Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 3 Sisteme de ecuatii… [609979]

1

SISTEME DE
ECUATII
APLICATII PRACTICE

Autor: prof: Corina Diaconu

AN SCOLAR 2016 – 2017

2

Cuprins

Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 3
Sisteme de ecuatii ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 4
Metoda reducer ii ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 4
Exercitii: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 5
Metoda substitutiei ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 6
Exercitii: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 6
Metoda grafica: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 7
Metode combinate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….11
Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuatiilor si sistemelor de ecuatii …………….. 14
Fisa de lucru ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 15
In loc de incheiere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….19

3
Introducere

Ecuațiile și sistemele de ecuații algebrice sunt concepte cu care ne întalnim
începând încă din primii ani de școală (sub forma ”ecuații cu termen necunoscut“)
până la aplicații referitoare la rezolvarea unor probleme concrete de mare
actualitate ș i importanță .
Problema rezolvării ecuațiilor algebrice și a sistemelor de ecuații a apărut
pentru prima dată aproximativ în secolul II d.H., perioadă din care există o veche
lucrare colectivă intitulată “Matematica în nouă cărți“ în care apar: sisteme de
ecuații liniare și ecuații de gradul I și II.
Ecuațiile de gradul III apar mai târziu în matematica chineză (vezi de
exemplu lucrarea lui Van Siao Tur „ Continuări la matematica străveche“
elaborată în sec. VII d. H).
Preocupări în domeniul rezolvării ecuațiilor algebrice și sistemelor de
ecuații se pare că au apărut în România pentru prima dată în lucrările
matematicianului Petre Sergescu, absolvent: [anonimizat], D. Pompeiu, T. Lalescu.

4
Sisteme de ecuatii

Un ansamblu de doua ecuatii cu doua necunoscute notat :


00
f ey dxc byax
unde
Rfedcba …., este un sistem de doua ecuatii cu doua
necunoscute.
Definitie :
O pereche de numere reale (x,y) care verifica simultan cele doua ecuatii se
numeste solutie a sistemului.
A rezolva sistemul de ecuatii inseamna a -i determina solutiile.
Doua sisteme se numesc echivalente daca au aceeasi multime de solutii.
Metode le de rezolvare a unui sistem de do ua ecuatii cu doua necunoscute
sunt metoda reducerii, metoda substitutiei si metoda grafica.

Metoda reducerii

Procedura practica :
1. Se inmultesc termenii unei ecuatii cu un numar, iar termenii celeilalte
ecuatii cu un alt numar astfel incat prin adunarea sau scaderea egalitatilor
sa se anuleze termenii ce contin una din necunoscute.(termenii se reduc)
2. Se rezolva ecuatia cu o singura necunoscuta ob tinuta.
3. Se introduce valoarea necunoscutei aflate intr -una dintre ecuatiile
sistemului si se rezolva ecuatia obtinuta.( sau se poate rezolva tot prin
reducere pentru a afla a doua necunoscuta.)
4. Perechea de numere obtinuta este solutia sistemului.
5. Este posi bil ca in urma amplificarii si adunarii celor doua ecuatii sa se
anuleze toti termenii ce contin necunoscutele.In acest caz sistemul nu are
solutie unica.

5

Exercitii :
1.




06 6 150 10 6 4
3 02 2 5)2( 05 3 2y xy x
y xy x
11160 16 11 x x
1129
31
1187
11873113255311325 35 311162 

 y y y y y

Sistemul are solutia:


1129;1116
2.




5 372 753535 530 335 3 2
3 105 3 2y x xy xy x
yxy x
3 9 3 145 3 5 314  y y y y

Sistemul are solutia (7;3)

3.
341123123 4193 21 1530 20 15
3 31 7 55 6 4 3



y yy xy x
y xy x

2418282 41124 28 2042 28 21
4 31 7 57 6 4 3



x xy xy x
y xy x

Sistemul are solutia ( -3;2)

6

Metoda substitutiei

Procedura practica :
1. Se scoate o necunoscuta din una din ecuatii.
2. Se introduce necunoscuta scoasa in a doua ecuatie.
3. Se afla necunoscuta.
4. Cu solutia aflata se revine la prima ecuatie si se afla a doua necunoscuta.

Exercitii:
1.


y x yxy x
10 105 3 2
 3 15 5 5 3 2205 3 1025 2  y y yy y y yx

7310 10  x y x

3;7S

2.


52222 5 2 2 55 3 2
yx y x y xy x
112929 11 25 15 44 5 35222 5 3 2 

 y y y y yyy x

7

1116
5558 22
5112922
522
 xyx
S=

1129;1116

Metoda grafica:

Procedura practica:
– pentru a rezolva un sistem prin metoda grafica se reprezinta in acelasi sistem
ortoganal de axe cele doua drepte. Solutia sistemului este data de coordonatele
punctului de intersectie.:

8

x-y=1
x+y=3Sistemul 1.
d,g concurente sistemul are solu ție unică

9

Sistemul 2.
2x-y=-4
2x-y=0
d//g ( dem?) sistemul nu are solu ții

10

Sistemul 3.
3x+3y=3
x+y=1
d=g sistemul are o infinitate de solu ții

11
Metode combinate

1.




1323
251622
27
yx y xyx y x

Notam
ty x21 si
vyx21

2 22 1126 6 1048 6 21
2/13353 /1627
13351627





t tvtvt
vtvt
vtvt

1 2 2 16227 1627  v v v vt

Avem deci :




121221
yxy x

21
1055 101124 2121 21 4 2

 x x x x x yyxy x
01212y


 0;21S

2.



4 21 411 51 3
y xy x

12


314421 421 14
20 101 2022 101 6
5/4 21 42 /11 51 3






 x x
y xy x
y xy x

4 20 5 11 533 11 51 3  y y y y x






424
331 31
yx x x

  4;2;4;4S

3.



2223 2236223 223
y xy x


223/2223 223)223(/6223 223

y xy x








2232 223 2232232236 223 223223
22
y xy x

Dar
 12 12 2232

 12 12 2232

13

 189 22 3 22322322


 

122223126 223
yxyx
2 1
22222 2 824 24222626 22 322 3

y y y yy y y y





 2 1;2 11212224323
12121222312223223612 6 12 12612 12 6223 223
2

 
Sxx x xy x y x

Obs: Putem stabili natura sistem ului inainte de rezolvare analiz and raportul
coeficientilor astfel :
1) Daca

sistemul este compatibil determinat (are solutie unica)
2) Daca

sistemul este compatibil nedeterminat (are o infinitate de
solutii)
3) Daca

sistemul este incompatibil (nu are solutii)

14

Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuatiil or si sistemelor de
ecuatii

Prezint în cele ce urmează cum trebuie să procedăm atunci când rezolvăm
probleme cu ajutorul ecuațiilor și sistemelor de ecuații. Orice problemă de
matematică am avea de rezolvat, ea trebuie mai întâi înțeleasă, trebuie să găsim
legaturile ce există între mărimile date în textul ei și apoi să -l transpunem în limbaj
matematic.
Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor sau sistemelor de ecuații se
face parcurgând câteva etape obligatorii, fără a fi necesar să le precizăm de fiecare
dată în scris, în redactarea rezolvării.

Procedura practica :
1. găsirea necunoscutei (necunoscutelor) din problemă;
2. scrierea modelului matematic (a ecuației sau sistemului de ecuații);
3. rezolvarea ecuației sau sistemului de ecuații;
4. verificarea și interpretarea rezultatului găsit. De ce și interpretarea
rezultatului? Pentru că ne putem da seama de eventualele greșeli de calcul pe
care le -am făcut!
Precizez că și aici trebuie să cunoaștem foarte bine semnificația cuvintelor cheie:
 cu atât mai m ult – adunare;
 cu atât mai puțin – scădere;
 de atâtea ori mai mult – înmulțire;
 de atătea ori mai puțin – împărțire;

15
Fisa de lucru

1. Suma a două numere este 236, iar diferența lor este 72. Să se afle numerele.

2.Două tarlale de pământ au împreună 42 ha. După ce din prima tarla se
seamănă 18 ha, iar din a doua 6 ha, suprafețele nesemănate ale celor două tarlale
sunt egale. Câte hectare are fiecare tarla?

3.Suma a două numere este 170. Mărind numărul mai mic cu 12 și
micșorând numărul mai mare cu 10, numerele devin egale. Aflați cele două
numere.

4. Îndouă lăzi se găsesc 96 kg de mere. După ce din prima ladă punem 6 kg
în a doua ladă, în prima ladă sunt tot atâtea kilograme câte erau, la început, în a
doua ladă. Câte k ilograme de mere erau, la început, în fiecare ladă?

5. Numitorul unei fracții este de 3 ori mai mare decât numărătorul său. Dacă
se mărește numărătorul cu 14 și se micșorează numitorul cu 3, se obține 3 /2. Care
este fracția?

6. Într -ocurte sunt 120 de pă sări și oi. Câte păsări și câte oi sunt în curte,
dacă în total sunt 298 de picioare?

7. Într -un bloc sunt 102 apartamente cu 2 și 3 camere, totalizând 238 de
camere. Câte apartamente defiecare fel sunt?

8. Un tată are cu 24 de ani mai mult decat fiul să u. Peste 3 ani va avea dublul
vârstei fiului său. Câți ani are fiecare?

9. Suma a două numere este 15. Dacă înmulțim primul număr cu 4, pe al
doilea cu 7 și adunăm produsele obținem 99. Să se afle cele două numere.

10. Aflați un număr de două cifre, știin d că cifra zecilor este de două ori mai
mică decât cifra unităților, iar răsturnatul numărului este cu 18 mai mare decât
numărul dat.

11.Suma a două numere este 122. Împărțind numărul mai mare la
numărul mai mic se obține câtul 4 și restul 7. Să se afle numerele.

16

12.Suma cifrelor unui număr de două cifre este 11. Dacă adăugăm la acest
număr 63, obținem un număr format din aceleași cifre, dar așezate în ordine
inversă. Să se afle numărul.

13. Raportul a două numere este 32. Dacă mărim primul număr cu 9 și îl
micșorăm pe al doilea cu 10, primul număr astfel obținut este cu 1 mai mare decat
cel de -al doilea. Să se afle numerele.

14. Numărătorul unei fracții este cu 8 mai mic decât numitorul. Dacă mărim
numărătorul cu 5 și micșorăm numitorul cu 1, se obține 9 /8. Să se afle fracția.

15.Un număr este de două ori mai mic decât altul. Dacă micșorăm primul
număr de 3 ori și pe al doilea îl mărim cu 6, atunci acesta devine de 9 ori mai mare
decât primul. Să se afle numerele.

16. Diferența a două numere este 72. Să se afle cele două numere, știind că
raportul lor este 4031.

17. Un număr este de trei ori mai mare decât altul. Dacă mărim primul
număr de cinci ori și pe al doilea de două ori, diferența numerelor este 13. Să se
afle cele două numere.

18. Cumpărăm de 26 lei timbre poștale de 2lei și 3,5 lei bucata.
a) Putem cumpăra exact 10 timbre?
b) Dar 12?

19. Prețul unui kilogram de mere de calitatea a II -a este de 6 lei, iar de
calitatea I este 8 lei. Un cetățean care cumpără 24 kg de mere socotește că a plătit
7,50 lei pe kilogram. Câte kilograme de mere din fiecare calitate a cumpărat?

20. Dacă pe fiecare pagină a unui album s -ar lipi câte 2 fotografii, n -ar avea
loc 26 de fotografii. Dacă s -ar lipi câte trei fotografii pe p agină, ar rămâne 10
pagini fără fotografii. Câte pagini are albumul și câte fotografii trebui lipite în
album?

21.Un pix si un caiet costa impreuna 8000 lei . Cat costa fiecare daca, dupa
ce se scumpeste primul cu 20% si al doilea cu 10 %, costa impreuna 9100 lei .

17
22.Mai multe persoane vor sa cumpere un obiect. Daca fiecare persoana da
cate 25000 lei nu ajung 50000 lei, iar daca fiecare persoana da cate 35000 lei, sunt
in plus 40000. Cate persoane sunt si cat costa obiectul ?

23.Suma a 3 numere este 2002. Da ca se micsoreaza primul numar cu 50%
din el, al doilea numar cu 75% din el si al treilea numar cu 80% din el, atunci nr. sunt
egale. Aflati numerele.

24.Suma a doua numere naturale este de 6 ori mai mare decat diferenta lor.
Daca din numarul ma i mic se scade 11 se obtine un numar de doua ori mai mic decat
suma dintre numarul mai mare si 8. Aflati cele doua numere.

25.Trei frati au primit impreuna 160000 lei. Dupa ce primul a cheltuit a treime
din partea sa, al doilea a cheltuit un sf ert din partea sa, iar al treilea a cheltuit o
cincime din partea sa, toti au ramas cu sume egale de bani. Ce suma de bani a primit
fiecare dintre frati si ce suma a cheltuit fiecare ?

26.Media aritmetica a doua numere naturale a si b este 35. Marind numarul a
cu 11 si micsorand numarul b cu 9, numerele astfel obtinute devin egale. Aflati cele
doua numere.

27.Ionel are cu 60 de lei mai mult decat Adrian, Adrian are de trei ori mai putin
decat Victor, iar Victor cu 20 de lei mai putin decat Ionel. Ce suma are fiecare ?

28.Intr-o clasa sunt baieti si fete. Nr. baietilor este cu 3 mai mare decat nr.
fetelor. Daca ar mai veni 4 baieti si ar pleca 4 fete, atunci numarul baietilor ar fi de
doua ori mai mare decat numarul fetelor. Sa se afle cati elevi sunt in clasa ?

29.3 metri de stofa si 2 metri de panza costa 29000 lei. 4 metri de stofa si 3
metri de panza costa 39500 lei. Cat costa un metru de stofa si un metru de panza ?

30.Un elev are iepuri și porumbei. Întrebat fiind câți iepuri și câți porumbei
are, acesta a răspuns: în total 15 capete și 34 de picioare. Câți iepuri și câți
porumbei a re elevul?

31.Diferența pătratelor a două numere pozitive este 45, iar diferența numerelor
date este 5. Găsiți cele două numere.

18
32.Aflați două numere reale, știind că diferența lor este 34 și numărul mai
mare este cu 35 mai mic de cât dublul numărului mai mic.

33.Aflați două numere știind că suma lor este 34 și jumătate din sfertul unuia
este 5.

34.Diferența a două numere naturale este de patru ori mai mare decât
numărul mai mic. Împărțind unul din cele două nume re la 6, obținem câtul 12 și
restul 3. Aflați cele două numere.

35.Un număr este cu 36 mai mare decât altul. Împărțind suma numerelor la
diferența lor, obținem câtul 35 și restul 34. Să se afle numerele.

36.Aflați două numere reale știind că suma lor este 500, iar diferența lor este
34.

37.Tatăl avea 25 de ani când s -a născut fiica sa și 29 de ani când s -a născut
fiul său. Acum toți trei au împreună 69 de ani. Aflați ce vârstă are fiecare.

38.Suma a trei numere naturale este 2.000. Dacă împărțim primul număr la
al doilea, obținem câtul 1 și restul egal cu al treilea, iar al treilea este cu 1.000 mai
mic decât al doilea. Aflați cele trei numere.

39.Dacă Iulia ar pune câte 3 flori într -o vază, ar mai rămâne 8 flori, iar dacă
ar pune câte 5 flori într -o vază ar rămâne două vaze goale. Câți ani are Iulia și câți
ani are mama ei, știind că vârsta Iuliei coincide cu numărul de vaze, iar vârsta
mamei cu numărul de flori?

19
In loc de inc heiere

Mutarea lecției “ S isteme de ecuații ” din finalul clasei a VI I-a în finalul
clasei a VIII -a.

Pentru a înțelege fenomenul trebuie să aruncăm o privire în trecut. Cele două
forme tradiționale de rezolv are a sistemelor de ecuații sunt metoda substituției (a
înlocuirii) și metoda reducerii . Tradițional acestea se parcurgeau “la pachet”,
dezvoltând în gândirea elevilor abilități de calcul absolut necesare în învățarea
algebrei. Acestea sunt niște metode cu un grad puternic “de naivitate ” și, pe
vremuri, ele erau stabilizate prin trecerea la sistemele de 3 ecuații cu 3
necunoscute, în care de multe ori se aplică în cadrul unei rezolvări ambele metode
(vezi sistemele din culegerea lui Gheba ).
Începând din anii ’80, lecției i -a fost adăugată o nouă metodă, cea grafică,
metodă ce a primit întâietate la predare, fiind prima care apărea în viața elevilor.
Este evident că accentul s -a mutat cu această ocazie spre zona mai riguroasă a
funcțiilor, a geometriei analitice, prin prezentarea ecuațiilor ca ecu ații a unei
drepte. Mișcarea a av ut câteva urmări didactice .
În primul rând, noua linie nu a putut fi continuată și la sistemele 3×3, cu
reprezentare grafic ă în spațiul 3D , motiv pentru care, cu timpul, acestea au fost
eliminate din programă (abandon ându -se după 1990). În acest moment se naște o
nouă problemă, colaterală, de înțelegere a matematicii de către elevi: înseamnă că
sistemele cu mai multe ecuații și necunoscute se pot aborda doar prin metodele
complicate din clasa a XI -a? (P rin anii ’90 înt r-o culegere renumită, existau două
pagini înghesuite cu sisteme 2×2 la care toate dădeau răspunsul ( 1;1), în afară de
un singur exercițiu, care avea altă soluție; dacă tocmai nu -l găseau pe acela, elevii
puteau înțelege că orice sistem are soluția x = 1 și y = 1)
În al doilea rând, elevii înțeleg mult mai greu metoda grafică decât pe
celelalte. Or, aceasta venind prima, impresia creată se extinde automat asupra
întregii lecții despre sisteme de ecuații ( am făcut sisteme de ecuații, este o lecție
foarte gre a!). Până la începutul anilor 2000, lecția a rezistat în programa de a VII –
a, după care a fost exilată la sfârșitul clasei a VIII -a în 2009, sub pretextul că lecția
este prea grea. Din păcate, lecția a fost mutată tot în această ordine (metoda grafică

20
înaintea celor tradiționale), așa că problema tot nu s -a rezolvat: prima impresie
asupra elevilor este tot ce a veche, că este o lecție grea .
Este evident că toată lumea suferă, dar mai ales elevii, care se trezesc brusc
în cine -știe-ce problemă cu o situație de sistem de ecuații, înainte de a face lecția la
clasă oficial.
O observație specială ar fi necesară aici în legătură cu alte metode
elementare de rezolvare a sistemelor. De exemplu, în manuale din Germania am
găsit multe sisteme de forma: x = 2y + 1 și x = –y + 5, ce se rezolvă cel mai bine
cu o metodă ce poate fi numită metoda tranzitivității , ducând direct la ecuația 2y +
1 = –y + 5. Este evident că această metodă este mult mai rapidă în cazul
intersecției graficelor a două funcții.
Tot în manuale din Germania am găsit și sisteme formate dintr -o ecuație cu
două necunoscute și o ecuație cu o necunoscută. A cestea nu merită o atenție prea
mare;
Cum arata programa și manual ele din anii ’70, respectiv ’80:
În anii ’70 sistemele de ecuații (2×2 și 3×3) erau în cadrul capitolului despre
ecuații din clasa a VIII -a. Iată câteva exemple.
Programa de matematică pt. clasele V -X ale școlii generale (București 1972):
Clasa a VIII -a, Cap. III, Ecuații de gradul I,
1. Rezolvarea ecuațiilor de gradul I cu coeficienți numer ici și literari
(recapitulare Cl. a VII -a) Sisteme de două (trei) ecuații de gradul I cu două
(trei) necunoscute cu coeficienți numerici și literari. Rezolvarea problemelor
cu ajutorul sistemelor de ecuații.
2. Rezolvarea grafică a unui sistem de gradul I de două ecuații cu două
necunoscute. Discuția sistemului de două ecuații cu două necunoscute de
gradul I, cu ajutorul graficului.
O situație similară, dar mai detaliată, se găsește în Programa de matematică
din 1977 .
În manualul de Algebră pentru clasa a VIII -a (Ivanca Olivotto, Constantin
Ionescu -Bujor, Ion Giurgiu , 1980 ), apar următoarele lecții :

21
4. Ecuații de gradul I cu două necunoscute
5. Sisteme de ecuații de gradul I cu două necunoscute
6. Rezolvarea sistemelor… Metoda substituției
7. Rezolvarea sistemelor … Metoda reducerii
8. Sisteme cu coeficienți literari
9. Sisteme de trei ecuații de gradul I cu trei necunoscute
10. Probleme rezolvate cu ajutorul sistemelor de ecuații de gradul I
Analizând manualele din anii ’80 -’90, găsim sistemele de ecuații cu un an mai
devrem e . De pildă, în manualul de Algebră pentru clasa a VII -a (Tiberiu Spircu,
Ioan Crăciunel, Lucia Chișu, 1989 ) avem următoarele lecții:
45. Ecuații de gradul I cu două necunoscute (unde apare dreapta soluțiilor
reprezentată în sistemul cartezian de axe);
46. Echivale nța ecuațiilor de gradul I cu două necunoscute;
47. Noțiunea de sistem de ecuații (unde soluția se găsește la intersecția celor
două drepte ale ecuațiilor, actala metodă grafică);
48. Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției;
49. Sisteme echivalente;
50. Metoda redu cerii;
51. Rezolvarea unor probleme cu ajutorul sistemelor de ecuații;
Sistemele 3×3 nu mai apar în acele manuale, dar profesorii le mai făceau la
începutul anilor ‘90. Mențio nez că în clasa a VIII -a se studiau la vremea
respectivă polinoame le.