Construcția funcțiilor elementare [609790]

1
Capitolul 2
Construcția funcțiilor elementare
Scopul acestui capitol este de a descrie principalele funcții el ementare, un rol important
in ex punerea noastră, avand -ul seriile de puteri si ecuațiile funcționale.
2.1 Funția exponențială
Puterile raționale ale numerelor se definesc ca o aplicatie la Axioma marginii
superioare.Posibilitatea definirii tuturor puterilor cu exponent real este motivata de următoarea
teorema:
2.1.1Teorema. Pentru fiecare număr real a >1 există și este unică o functie f:
 , care
verifică următoarele proprietăți:
i)f(x+y)=f(x)f(y) pentru orice x,y
 ;
ii)f(1)=a;
iii)funcția f este strict crescătoare.
Funcția f, astfel definită, poarta numele de funcția esponențială de bază a și se notează
xa .În
cazul în care a=e, numim această funcție simplu , funcția exponențială și o notăm
xe .

Demonstrație.
Presupunând că funcția f există, vom arăta că are o expresie bine precizată
Din i) rezultă că f(0)=f(0)
2 , deci f(0)
 {0,1}.În mod necesar f(0)=1, altfel din i) și f(0)=0 ar
rezulta f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0 pentru orice x, contradicție cu iii).
Din i) și ii) rezultă că f(p)=a
p , pentru orice p . În acord cu Principiul lui Arhimede, pentru
orice număr x
 R și orice număr natural n , n≥1, există un număr m (în mod necesr și
unic) astfel încăt m≤nx<m+1.Deoarece f este strict crescătoare, rezultă de aici că

a
1)1 ( )( )( )(m n xa mf xf nxf mf
deci

a
nm
nm
axf1
)(
 .
Pentru n
k =2
k, k , notăm valoarea lui m corespunzătoare cu m
k .
Avem

2
2 m
k≤2 n
kx= n
1kx<2 (m
k+1)
De unde rezută că 2 m
k≤ m
1k si m
1k +1≤2(m
k +1). Întrucât
11
22

kk
kk
kk
nm
nm
nm
și
kk
kk
kk
nm
nm
nm 1
2)1 (21
11 

Șirul de intervale este descrescător și în acord cu Principiul lui Cantor, aceste intrevale au un
punct comun unic; lungimea lor tinde la 0 pentru k→∞.
Demonstrația se încheie cu valorificarea condițiilor i) -iii) din enunț.
Fie x,y două numere reale, arbitrar fixate.Pentru fiecare k să considerăm întregii m
k și p
k
astfel incât
m
k≤ n
kx< m
k +1 și p
k ≤ n
ky< p
k +1
Atunci m
k +p
k≤ n
k(x+y)< m
k+p
k+2 și
a
, )(1
kk
kk
nm
nm
a xf
 a
kk
kk
np
np
a yf1
)(

de unde rezultă că
a
) ( yxfkk k
np m
 , f(x)f(y)
kk k
np m
a2
 .
Prin urmare,




  
1 )()( ) (2
k kk k
n np m
a a yfxf yxf
și deoarece membrul drept tinde către 0 când k→∞,
rezultă egalitatea i) din enunț.
Din însuși modul de definiție, avem f(1)=a și f(x)>0 pentru orice x .Apoi, pentru orice x>0,
există un număr natural n astfel încât nx≥1.Rezultă că f(x)≥a
n1 și dacă y>x, atunci
f(y)=f(y -x)f(x) >f(x), deci funcția f este strict crescătoare. ș

Funcția exponențială se paote defini și pentru o bază a
 (0,1) astfel:
a
x
x
a


1 .

3
Convenim de asemenea să definim
11x
pentru orice x .
Proprietățile algebrice ale funcției exponențiale sunt sintetizate după cum urrmează:
y x yxaa a
;
a a a1 0;1
;
Dacă x<y și a>1 atunci
y xa a ;
Dacă x<y și 0< a<1 atunci
y xa a ;
xx
aa1

Proprietăți generale:
a)Dacă a > 1
i) f(x) este strict crescă toare pe ;
ii) f(x) este injectivă pe ;
iii) f(x) este surjectivă pe ;;
iv) f(x) este bijectivă pe ;;
v) f: ;→ (0, + ∞ ) este inversabilă iar inversa ei este
f
1 :(0, + ∞)→ , f
1 (x) = log
xa .
b)Dacă a
 (0, 1)
i) f(x) este strict descrescă toare pe ;;
ii) f(x) este injectivă pe ;
iii) f(x) este surjectivă pe ;
iv) f(x) este bijectivă pe ;
v) f: ;→ (0, + ∞ ) este inversabilă iar inversa ei este
f
1 :(0, + ∞)→ ;, f
1 (x) = log
xa .
Comportarea la infinit a exponențialei este următoarea:

 
 1 ,01 0 ,lima dacăa dacăax
x


 
 1 ,1 0 ,0lima dacăa dacăax
x

Pentru demonstrație să notăm mai în tâi inegalitatea
an an
pentru orice a>1 și orice n

4
Fapt care se demonstrează prin inducție matematică.Întrucât funcția exponențială este strict
crescătoare dacă a>1, din acestă inegalitate rezultă ultima din cele patru limite de mai
sus.Celelalte se deduc din acesta folosind operațiile cu limite.

Figura 2.1:Funcția exponențială

2.1.2Propoziție .Funcția exponențială este continuă pe ;.
Demonstrație. Pentru a dovedi aceasta afirmație este suficient să considerăm problema
continuității în x
0 =0, cazul general reducându -se la acesta în virtutea relației
10 0 0 xx x x xaa a a

Întrucăt a
11
n , pentru fiecare
0 există un număr natural N≥1, astfel încât
11
na
pentru orice n≥N.Presupunând(pentru a face o alegere ) că a> 1, avem
a
N x Na a1 1
 dacă |a|<
N1
și deci
|a
1x |≤max
a a a aN N N




 1 1 1
, max 1 ,1 pentru orice |x|<
N1 , fapt ce dovedște
continuitatea exponențialei în punctul 0.
Ținând cont de comportarea la infinit a exponențialei și de Teorema valorii intermediare,
rezultă că imaginea funcției exponențiale este R
*
 .ș

5
2.1.3.Teorema. (Funcția exponențială și numărul e).Fie funcția f(x)=
x
x

11 , definită p entru
orice x
 (-∞,-1)
),0( .Atunci:
i)
xlim
x
x

11 =e;
ii)
xlim
x
x

11 =e.
Demonstrație.
i)Pentru fiecare număr real x>1 există un unic număr natural n
x ≤x<n
x +1.Avem
x
x

11
≤



111xn
xn







xn
x n nx1111 ;
x
x

11
≥




xn
xn111









1111
1111
xn
x
nnx .
Atunci când x→∞ avem n
x→∞ și membrii drepți ai inegalităților de mai sus au aceeași limită, e.
ii)Punând y= -x, avem de arătat că
ylim

y
y


11 =e;
Dar,
ey y yy
yy y y















 
1111111111 , pentru y→∞, în virtutea rezultatului
de la punctul i).ș

2.2Logaritmul și funcția putere
Funcț ia strict monotona a
x , cu a>0, a≠1, privită ca funcție de la pe
*
, admite o
funcție inversî, numită funcția logaritm în baza a, care se notează log
a .Valorile acestei funcții se
mai numesc logaritmi.
Alegerea naturală a bazei este e și vom nota funcția logaritm în această bază simplu,
funcția log, ln.
Funcția logaritm este def inită pe
*
 și mulțimea valorilor sale este .Conform definiției
a
xalog =x, pentru orice x

*

log
x
aa x, pentru orice x
 .

6
Fiind inversa unei funcții strict monotone și continue, acționând pe intervale, funcția logaritm
este, de asemenea strict monotonă și continuă
Proprietățile algebrice ale funcției logaritm sunt sintetizate astfel :
log
y x yxa a a log log
log
01a și log
1aa
Dacă 0<x<y și 0<a<1 atunci log
y xa a log ;
Dacă 0<x<y și a>1 atunci log
y xa a log ;
log
xxa a log1


log
 x xa
alog1 .
Proprietăți generale:
Fie f:(0,∞)→ , a>0, a≠1 cu f(x)= log
xa
a)Dacă a > 1
i) f(x) este strict crescătoare pe (0, + ∞ );
ii) f(x) este injectivă pe (0, + ∞ );
iii) f(x) este surjectivă pe (0, + ∞ );
iv) f(x) este bijectivă pe (0, + ∞ );
v) f: (0, + ∞ ) → ; este inversabila iar inversa ei este
f
1 : ;→(0, + ∞), f
1 (x) = a
x

b)Dacă a
 (0, 1)
i) f(x) este strict descrescătoare pe (0,+ ∞ );
ii) f(x) este injectivă pe (0, + ∞ );
iii) f(x) este surjectivă pe (0, + ∞ );
iv) f(x) este bijectivă pe (0, + ∞);
v) f: (0, + ∞) → ; este inversabila iar inversa ei este
f
1 : ;→(0,+∞), f
1 (x) = a
x .

Comportarea funcției logaritm la capetele domeniului se deduce din comportarea exponențialei
la infinit:

  
 1 ,1 0 ,loglim
0 a dacaa dacaxax

7


  
 1 ,1 0 ,loglima dacaa dacaxax
Graficul ei este următorul:

Figura 2.2:Graficul funcției log
xa

2.2.1.Lemă. Pentru orice a>0, a≠1,b>0 și x
R , avem
log
b x bax
a log .
Demonstrație.Schimbând eventual a cu
a1 , putem presupune ca a >1.Atunci funcția f(x)=a
b xalog
îndeplinește condițiile i)-iii) din Teorema 2.1.1(cu f(1)=b).Rezultă că f(x)=b
x , deci
log
b x bax
a log .

2.2.2.Corolar (Formula schimbării de bază )Pentru orice a>0, a≠1,b>0 și x> 0 , avem
log
bxx
aa
bloglog .
Demonstrație.În leme precedentă înlocuim x cu log
xb .ș
2.2.3.Teoremă. Pentru orice a >0, a≠1, au loc relațiile:
i)
exx
aa
xlog)1(loglim
0
 ;
ii)
e xa
ax
x log1 1lim
0


8
Demonstrație.i)Observăm că
x
aaxxx1
) 1(log) 1(log și folosim apoi formula i) din Teorema
2.1.3, precum și continuitatea funcției logarim.
ii)Fie
y ax1 .Atunci x=log
) 1(ya și
)1(log1

yy
xa
ax .Atunci când x→0 avem y→0,
ceea ce reduce demonstrația la cazul demonstrația la cazul i).ș

Pentru a=e, rezultatul Teoremei 2.1.3 se mai poate scrie
ln(1+x)=
)(xoxx
)( 1 xoxx ex

Pentru x→0.

2.3.Funcția putere , de exponent a , se defineșt e ca fiind acea funcție definită pe
*
, care
asociază fiecărui număr, x>0 numărul
ax .
Proprietați:
a) pentru a par
i) f(x) este descrescăto are pe ;
 și crescătoare pe
 ;
ii) f(x) este pară;
iii) f(x) nu este injectivă pe dar restricțiile lui f la
 și la
 sunt funcții injective ;
iv) f(x) este surjectivă pe ;
v) f: → nu este bijectivă dar restricțiile f
R :
→
 si f
R :
 →
 sunt
bijective .

b)pentru a impar
i) f(x) este crescatoare pe ;
ii) f(x) este impar ă;
ii) f(x) este injectivă pe ;
iii) f(x) este surjectivă pe ;
iv) f(x) est e bijectivă pe ;
v) f: R → R este inversabilă iar inversa ei este f
1 : → , f
1 (x) =
ax
În studiul funcției putere este importantă următoarea formulă de legătură cu funcția logaritm
x a ax ab bb b xlog log) ( 
, pentru orice b>0, b≠1.

9
Spre exemplu ea demonstrează continuitatea funcției putere.Aceeași formulă implică relația
a a ayx yx 

valabilă pentru orice x,y>0 și orice a
 R.
Comportarea la capetele intervalului de definiție(ca și monotonia) rezultă din legătura sa cu
funcția logaritm.Astfel

 
 0 ,00 ,lim
0 a dacăa dacăxa
x


 
 0 ,0 ,0lima dacăa dacăxa
x
.

2.3.1 .Teoremă. Pentru orice a
R avem
axxa
x
1)1(lim
0
,
adică
)( 1)1( xox ax xa , pentru x→0.
Demonstrație.
Într-adevăr, conform unei observații de mai sus,
)(1)1()(1))( 1))(( 1(1 1 1 1)1()( )( )1ln(
xoaxxdecixox axxox xox ax ee e e x
axox ax xoxax x a a
   

pentru x→0.ș
2.4.Funcțiile trigonometrice
Principalele funcții elementare se definesc în complex ca sume ale unor serii de puteri.
Funcția exponențială în complex se definește ca suma unei serii de puteri:
e


02
…,!2!11! nn
x zz
nz z .
Conform formulei lui Abel, raza de convergență a seriei de definiție este ∞, de unde rezultă că
seria este absolut convergentă pentru orice z .
2.4.1.Lemă. Are loc relația
e
2 1 2 1 zz z ze e pentru orice z
2 1,z .
Demonstrație.Aplicăm Teorema lui Mertens referitoare la produsele de serii numerice absolut
convergente și avem

10
e
2 1z ze =






 …!2 !11 …!2!112
2 22
1 1 z z z z
=
…!2 !2 !2 !1!112
2 212
1 2 1




z zz z z z
=
2 1…!2) (
!112
2 1 2 1 zzezz zz .ș
Funcțiile sin și cos se definesc în complex, de asemenea ca sume de serii de puteri:
sin z=


05 3
12…,!5!3 )!12()1(
nnnz zz zn
cos z=


04 2
2…,!4!21)!2()1(
nnnz zzn

z .

Figura 2.3:Graficul funcției sinx
2.4.1.Funcția sinus
Proprietăți:
a)Fie f: →[-1.1], f(x) = sin x
i) f(x) este marginită;
ii) f(x) este impară;
iii) f(x) este periodică cu perioada T= 2k π , k , T * = 2π este perioada principală .

11

iv) f(x) nu este injectivă pe dar restrictia lui f(x) la

2,2 este o funcție injectivă;
v) f(x) este surjectivă pe
vi) f(x) nu este bijectivă pe dar restricț ia sa f :


2,2→[-1,1] este
bijec tiva si are ca inversă funcț ia
f
1 :[-1,1]→


2,2 f
1 (x)= arcsin(x) cu proprietatea că
sin(arcsin x)=x pentru orice x
 :[-1,1];
arcsin(sin x)=x pentru orice x


2,2

Figura 2.4:Graficul funcției arcsinx

Proprietăți
i) f
1 continuă și strict crescătoare pe
1,1 ;
ii) f
1 mărginită
2x arcsin2  ;
iii)-convexă pe [0,1]
-concavă pe [ -1,0]; x=0 punct de inflexiune ;
iv) arcsinx
 0 pentru

0,1 ; arcsinx
 0 pentru

1,0 ;

12
Observații:
1. Graficele funcțiilor arcsinx și sinx sunt simetrice față de prima bisectoare.
2.Dacă x 1,x2 , atunci are loc inegalitatea lui Jensen :
2xsinxsin
2xxsin2 1 2 1 



2.4.2.Funcția cosinus

Figura 2.5 :Graficul funcției cosx

Proprietăți:
Fie f: R →[-11], f(x) = cos x
i) f(x) este marginită;
ii) f(x) este pară;
iii) f(x) este periodică cu perioada T= 2k π , k , T * = 2π este perioada principală;
iv) f(x) nu este injectiva pe dar restrictia lui f(x) la [
,0 ] este o funcție injectivă;
v) f(x) este surjectivă pe ;
vi) f(x) nu este bijectivă pe dar restricț ia sa f: [
,0 ] →[-1,1] este
bijec tiva si are ca inversă funcț ia
f
1 :[-1,1]→ [0,π] f
1 (x)= arccos (x) cu proprietatea că
cos(arccos x)=x pentru orice x
 :[-1,1];
arccos(cos x)=x pentru orice x
 [0,π].

13

Figura 2.6:Graficul funcției arccosx

Proprietăți
i) f
1 continuă și strict descrescătoare pe
1,1 ;
ii) f
1 mărginită
 x arccos0 ;
iii)-convexă pe [-1,0]
-concavă pe [ 0,1]; x=0 punct de inflexiune ;
iv) arccos x
0 pentru x
[-1,1];

Observații:
1. Graficele funcțiilor arccosx și cosx sunt simetrice față de prima bisectoare.
2.Dacă x 1,x2є(-π/2,π/2) atunci are loc inegalitatea lui Jensen:
2xcosxcos
2xxcos2 1 2 1 


Să notăm că
arcsinx+arccosx=
2 , pentru orice x
 [-1,1].

2.4.3Formulele lui L.Euler .Au loc următoarele formule, care leagă funcțiile sin, cos și exp,
ziz eizsin cos

ie eziz iz
2sin

14

2siniz ize ez, pentru orice z .
2.4.4Corolar .Avem
cos x=Re e
ix și sinx=Im e
ix , pentru orice x din .
Din formulele lui Euler rezultă că
cos
  z orice pentru x x ,1 sin2 2 ,
iar de aici faptul că
|sinx|≤1 și |cosx|≤1 pentru orice x .
Funcțiile sin și cos sunt nemărginite în complex.
Tot cu ajutorul formulelor lui Euler se pot demonstra numeroase formule din trigonometrie care
leagă funcțiile sin și cos:
sin(x+y)=sin x cosy+siny cosx
sin(x -y)=sin x cosy -siny cosx
cos(x+y)=cos x cosy -sinx siny
cos(x -y)=cos x cosy+sinx siny
sin x+sin y=2
2cos2sinyx yx 
cos x+cos y=2
2cos2cosyx yx 

2.4.5.Lemă .Funcția cos este strict descrescătoare pe intervalul
]6,0[ și există în acest interval un
singur număr real , notat
2 , în care funcția cos se anulează.
După cum a arătat Lindeman în anul 1882(dublul valorii lui
2 , indicat mai sus), este
transcendent, adică nu este radacina nici unui polinom cu coeficienți întregi.Valoarea sa este
π=3,141 592 654… .Numărul π este legat de formula pen tru calcului lungimii cercului în funcție de
raza sa:
L=2πR.
Demonstrație.Să remarcăm mai întâi că dacă 0<x<
6 , atunci sinx>0.
Într-adevăr,
sin x=
…761!5 321 …,!5!3 )!12()1(2 5
02 5 3
12








 x x xxx xx xn nnn
și toate parantezele sunt strict pozitive în (0,
6).
Dacă 0<x<y<
6 , atunci
)6,0(2yx și deci

15
cos x -cos y= -2sin
0<2sin2xy xy  .
De aici rezultă că funcția cos este strict descrescătoare pe
]6,0[ .
Pe de altă parte,
cosx=










02 6 2 2 4 2
2…871!6 431!21…,!4!21)!2()1(
nnnx x x x x xxn

și cum toate parantezele sunt strict pozitive în (0,
6) rezultă că pe acest interval
cos x<1 –




431!22 2x x .
În particular,
cos2< –
31<0.

Deoarece funcția cos este continuă pe intervalul
]6,0[ , iar cos 0=1>0, cos2<0, funcția cos are în
acest interval cel puțin o radăcină.Această rădăcină este unica din acest interval, deoarece funcția
cos este strict descrescătoare pe intervalul
]6,0[ .ș
Deoarece funcția sin este pozitivă pe in tervalul
]6,0[ , din relația
cos
12sin22 2 rezultă că
sin
12 .
În concluzie, din formulele prezentate mai sus deducem că
sin
x x x x cos sin2cos cos2sin2  

  
cos
x x x x sin sin2sin cos2cos2   

   .
Deoarece pe intervalul


2,0 funcția cos descrește de la 1 la 0, formula a doaua ne arată că pe
același interval funcția sin crește strict de la 0 la 1.Apoi,
sin(π+x)=sin
x x x sin2cos2 2






 
cos(π+x)= -cosx
sin(2π+x)=sin(π+(π+x))= -sin(π+x)=sinx
cos(2π+x)=cosx, pentru orice x .Ultimele doua formule ne arată că funcțiile sin și cos sunt
periodice, de perioadă 2π.
2.4.6.Lemă .Pentru orice x are loc

16
|sin x≤x|, cu egaliatate numai daca x=0.
Demonstrație.Funcția sin fiind impară este suficient să arătăm că sinx <|x|, pentru orice x \{0}.
Această inegalitate este evidentă pentru |x|≥1.Rămâne deci să considerăm cazul când |x|≤1.Atunci

….981!7 541!3…761!5 !31 …,!5!3 )!1 2()1(sin
2 7 2 32 5
02 5 3
12

















x x x xxx x xxx xx xnx
nnn

unde toate parantezele sunt pozitive pentru x din [ -1,1].Prin urmare, 0<sin x<x dacă x este din
(0,1] și 0>sinx>x dacă x este din [ -1,0)ș.
2.4.7.Corolar .Pentru orice x,y au loc relațiile
|sin x -sin y|≤|x -y|
|cos x -cos y|≤|x -y|.
2.4.8.Calculul sumelor trigonometrice .Legătura funcțiilor trigonometrice cu exponențiala
conduce la o metodă mai bună de calcul a sumelor trigonimetrice.De exemplu,

2sin221 2sin2) 1(22… 1 …2…2 2 21cos… 2cos cos21
2 221
21
)1(2 2
 
  
        







    
ne ee e
ee ee e e ee e e e e en
i iinin
ii n niin i i inni in i i i i

pentru orice n
*.
Alternativ, notând
S
  ncos…2cos cos1  ,
Considerând și expresia conjugată, în sinusuri(1 este interpretat ca fiind cos0),
T
 sin…2sin sin 
și avem

17


2sin211… 1
2 2)1(
2 22 2)1()1(

  










 
 
i ni
i ii niii n
in i
e ei
e ee eeee e iTS

Astfel că S se calculează ca partea reală a sumei gasite și T ca partea imaginară.
Avem
T
2sin2sin2)1(sin
sin
1 
n n
kn
k
 
 .
2.4.3. Funcția tangentă.
Funcția f:R –

 Zk k ;2)1 2(
 , descrisă de f(x)=
xx
cossin se numește funcția tangentă.
Aceasta este o funcție periodică de perioadă principală T 0=π.Prin urmare studiul acestei funcții se
va realiza pe un interval de lungime π. Prezint în cele ce u rmează principalele propri etăți:

Figura 2.7 :Graficul funcției tgx

Proprietăți:
i) f(x) este impară ;
ii) f(x) e ste continuă și periodică cu perioada T = kπ , k є Z
T * = π este perioada principală .
iii) f(x) nu este i njectivă pe R\

 Zk;2)1k2( dar restricț ia lui f(x) la


2,2 este o funcț ie
inject ivă;

18

iv) f(x) este surjectivă pe R\

 Zk;2)1k2(

v)f este strict crescătoare pe intervalul


2,2

vi) f(x) nu este bijectivă pe R\

 Zk;2)1k2( dar restricț ia sa f:


2,2 → este bijectivă
si are ca inversa functia
f
1 : →


2,2 f
1(x)=arctg (x) cu proprietatea că
tg(arctg x)=x pentru orice x
 ;
arctg (tg x)=x pentru orice x



2,2

Figura 2.8:Graficul funcției arctgx
Observație.
Graficele funcțiilor arctgx și tgx sunt simetrice față de prima bisectoare.
Proprietăți
i) f
1 continuă și strict crescătoare pe ;
ii) f
1 mărginită
2 2  arctgx ; x=
2 asimptotă verticală la +

x=-
2 asimptotă verticală la –
;
iii)-convexă pe [-∞,0]
-concavă pe [ 0,∞); x=0 punct de inflexiune ;

19

iv) arctgx < 0 pentru x
 (-
,0); arctgx > 0 pentru x
 (0,
 )

2.4.4 . Funcția cotangentă.
Funcția f: \ {kπ,k є Z}, descrisă de f(x)=
xx
sincos se numește funcția cotangentă.

Figura 2.6:Graficul funcției ctgx

Proprietăți:
i) f(x) este impară;
ii) f(x) e ste continua și periodică cu perioada T = kπ , k є Z , T * = π este perioada principală;
iii) f(x) nu este i njectivă pe \
Zkk; dar restricția lui f(x) la
,0 este o funcție
inject ivă;
iv) f(x) este surjectivă pe \
Zkk;

v)f(x) este stict descrescătoare pe (0,π);
vi) f(x) nu este bijectivă pe \
Zkk; dar restricția sa f:
),0( → este bijectivă si are ca
inversa functia
f
1 : →
,0 f
1(x)=ar cctg (x) cu proprietatea că
ctg(arcctg x)=x pentru orice x
 ;
arcctg (ctg x)=x pentru orice x

,0

20

Observație.
Graficele funcțiilor arc ctgx și ctgx sunt simetrice față de prima bisectoare.
Proprietăți
i) f
1 continuă și strict descrescătoare pe ;
ii) f
1 mărginită
arctgx0 ; x=0 asimptotă verticală la +

x=π asimptotă verticală la –
;
iii)-concavă pe [-∞,0]
-convex ă pe [ 0,∞); x=0 punct de inflexiune ;
iv) arctgx >0 pentru x
 .

Figura 2.7 :Graficul funcției arcctgx

21
Capitolul 3
Aplicații ale funcțiilor elementare
3.1 Aplicații ale funcției exponențiale în rezolvarea de ecuații și inecuații
Defini ție.Ecuația în care expresii ce conțin necunoscute apar numai la exponent, bază fiind
constantă se numeste ecuatie exponențială .
3.1.1 Ecuații exponențiale de forma a
1,0 ,)( )( a a axg xf
Ecuația este echivalent ă cu f(x)=g(x)
3.1.2Ecuații exponențiale de forma a
1,0 ,)( a abxf
Dacă b≤0 ecuația nu are soluții.
Dacă b >0, atunci se logaritmează într -o bază convenabilă, ecuația scriindu -se f(x)=log
ba .
3.1.3Ecuații exponențiale de forma a
1 ,,0 ,,)(
2)(
1)(
2)(
1  i i i ixi xh xg xfba ba b b a
Se logaritmează într-o bază convenabilă și apoi se rezolvă ecuația obținută.
Exemplul3.1.3. 1Să se rezolve ecuația
x x x x 7 5 3 275 3 2 

Se logaritmează în baza 10
2xlg(2)+3xlg3=5xlg5+7xlg7
0 ,0)7lg75lg53lg32lg2(    x nenulă fiind paranteza x
.
3.1.4Ecuații exponențiale de forma
1,0 ,0)( )(2 a a p na maxf xf .
Ecuațiile de acest tip se rezolvă prin substituție.Se notează a
0)(yxf și se obține o ecuație de
gradul al doilea.
3.1.5Ecuații exponențiale de forma
.1 ,1,,0 ,,0)( )( ba ba ba p nb maxf xf .
Din a
 b=1
ab1 și ecuația devine de tipul 3.1.4.
3.1.6Ecuații exponențiale de forma
.1 ,,0 ,, … …)( )(
1)( )(
11 1 k k k kxf
kxf xf
kxfba ba bd bd ac ack k

22
Exemplul3.1.6. 1Să se rezolve ecuația
2 1 2 13 3 3 5 5 5   x x x x x x

Ecuația se scrie
)331(3)551(52 1 2 1x x



53lg1331lg
1331
53315 133 xx
x x
3.1.7Ecuații exponențiale de forma
1,,0 ,,0 ) ()( )(2 )(2 ba ba bap nb maxf xf xf .
O ecuație de acest tip o numim omogenă.
Pentru a rezolva o astfel de ecuație împărțim ambii membrii prin b
)(2xf obținând o ecuație de
tipul 3.1.4.
Exemplul3.1.7. 1Să se rezolve ecuația
x x x82 12 27 

Ecuația se scrie echivalent
0223
2322 )23( 33
3 2 3



x x
x x x
Fie
0 1 0)2 )(1( 01 1 02232 3 3

x y y y y y y y y yx
3.1.8Ecuații exponențiale cu soluție unică
Metodele de rezolvare constă în a aduce ecuația la forma f(x)=c, c
 , constantă, și care are o
rădăcină reală, apelează la monotonia funcției f.Dacă f este montonă(deci injectivă) atunci
soluția este unică.

3.1 Aplicații ale funcției logaritmice în rezolvarea de ecuații și inecuații
Defini ție.Ecuația în care expresii ce conțin necunoscute apar ca argument sau ba ză al unor
logaritmi se numeste ecuatie logaritmica .
3.1.1 Cea mai simplă ecuație logaritmică este ecuaț ia de tipul
log
bxfxg)()( , este echivalentă cu rezolvarea sistemului

23





bxg xfxgxgxf
)( )(1)(0)(0)(l
3.1.2Ecua ții logaritmice ce conțin logaritmi în aceeași bază
log
)( log)()( )( xh xfxg xg este echivalentă cu rezolvarea sistemului

3.1.3Ecua ții logaritmice ce conțin logaritmi cu baze diferite
Se impun condițiile de existentă asupra logaritmilor, se aduc logaritmii la aceiași bază și se
procedează ca la tipul precedent.
3.1.4Ecua ții exponențial exponențial -logaritmice
Prezentăm câteva probleme pentru a ilustra categoria de ecuații pe care o circumscrie titulatura.
Exemplul 3.1.4.1 Să se rezolve ecuația:
log
xx 3)29(2
Ecuația este echivalentă cu sistemul


x xx
32 290 29
.
Ecua ția are soluțiile x
1 =0, x
2 =3 care verifică inegalitatea din sistem, deci ambele valori sunt
soluții ale ecuației date.
Exemplul 3.1.4. 2 Să se rezolve ecuația
x
162)3(logxx
Se impun condițiile x >0, x≠1 .Ecua ția se mai scrie
x
 7 ,1 16)3( 16 x 162 12 2)3(log )3(log2x  x x xx xx




)( )(0)(0)(1)(0)(
xhxfxhxfxgxg

24
care însă nu verifică celelalte condiții.Deci ecuația dată nu are soluții.
Exemplul 3.1.4. 3 Să se rezolve ecuația
3
64 25 5 log 2 logxx
Se impune condiția x>0.Pentru rezolvarea ecuației se folosește proprietatea
a
a bc cblog log
Ecua ția se mai scrie 3
625 4 log 64 24 64 2 25log log log5 5 5 x xx x x , care este
soluție a ecuației date.
3.1.5Ecua ții logaritmice cu soluție unică
Metodele de rezolvare ale acestui gen de probleme sunt diverse.Cea mai utilizată, aplicabilă la o
ecuație de forma f(x)=c, c
 , constantă, și care are o rădăcină reală, apelează la monotonia
funcției f.
Dacă f este montonă(deci injectivă) atunci soluția este unică.
O altă metodă vizează inegalitățile clasice(a mediilor, Cauchy -Buniakovski -Schwartz) și anume
cazul când avem egaliatate în aceste inegalități.
Alt procedeu constă în evidențierea unei soluții x
0 și apoi să demonstrăm că dacă x≠ x
0,
membrul stâng al ecuației este diferi t de membru drept.
Exemplul 3.1.5 .1Să se arate ca ecuația următoare are soluție unică
x+2
7 log2 xx
Se impune condiția x >0 și se consideră funcția f :(0,∞)→ , f(x)= x+2
xx
2log , care este o
funcție strict crescătoare(sumă de funcții strict crescătoare).Observăm ca x=2 verifică ecuația,
deci x=2 este soluție unică.
Exemplul 3.1.5 .2 Să se arate ca ecuația următoare are soluție unică
4 5 9)3(log )1(log9 5   x x

Ecuația există dacă x >1.Notăm
a x)1(log5 și
b x)3(log9 rezultând că
x=5
1a și respective x=9
3b , care egalate dau
9
a b5 =4.
Pe de altă parte ecuația se scrie
9
b a5 =4.

25
Scăzând aceste două egalități, se obține
(9
)55()9a b a b =0
 a=b(altfel am obține o contradicție).Acum ecuația devine
9
a a5 =4, cu soluția evidentă a=1.Se adduce ecuația la forma
9
a a a a
a aaf 







91495)(9149514 5 , cu f strict descrescătoare.

a=1 soluție unică
x=6.
Exemplul 3.1.5 .3 Să se arate ca ecuația următoare are soluție unică
log
)13(log)12(2 3 x x
Ecuația are sens dacă x>0.Funcția f: →(0,∞), f(x)= log
)1 2(3x este bijectivă, având inversa
f
1:(0,∞)→ , f
1(x)= log
)13(2x
Ecuația devine f(x)=f
1 (x)
f(x)=x,(f strict crescătoare) , deoarece graficele funcțiilor f și f
1
sunt simetrice în raport cu prima bisectoare(y=x), deci valorile f(x),f
1 (x) vor coincide pentru
y=x, când f(x)=f
1 (x)=x
Ecuația f(x)=x
 log
131
32312 )12(3 



x x
x x xx cu soluție unică x=1.

3.1.6Inecuații logaritmice
Rezolvarea inecuațiilor logaritmice simple reclamă cunoșterea monotoniei funcției logaritmice.
3.3Ecuații exponențiale și logaritmice nestandard
În cele mai multe cazuri problemele propuse la concursuri nu se încadrează în anumite ti pare,
rezolvarea lor presupunând pe lângă buna cunoaștere a aparatului matematic și o abilitate
deosebită care să permită abordarea problemei.Tehnicile utilizate în continuare apelează la
monotonia unei funcții, inegalități clasice, convexitate etc.
3.3.1 Utilizarea monotoniei unor funcții
Teorema 3.3.1.1. Dacă f este o funcție strict monotonă pe intervalul I și c o constantă reală,
atunci ecuația f(x)=c are pe intervalul I cel mult o soluție.
Demonstrație.Presupunem f strict crescatoare.Dacă ecuația ar avea două soluții diferite pe I x și
y.Fie x <y atunci f(x)<f(y).Contradicție cu f(x)=f(y). ș

26
Teorema 3.3.1.2. Dacă funcțiile f și g sunt monotone pe intervalul I, cel puțin una fiind strict
monotonă, atunci ecuația f(x)=g(x) are cel mult o soluție în I.
Demonstrație.Fie f strict crescătoare, g descrescătoare pe I.Presupunem că există cel puțin două
soluții distincte x,y ale ecuației f(x)=f(y) pe I.
Fie x<y atunci f(x)=g(x) ≥g(y)=f(y).Contradic ție cu f stict cresc ătoare pe I. ș
3.3.2Utilizarea inegalităților
I.Metoda constantei separatoare sau metoda minimaximului, se bazează în principal pe
evaluarea ambilor membri ai ecuației.
Fiind dată ecuația f(x)=g(x).presupunem cunoscut f(x) ≤A și g(x) ≥A, pentru orice x din I.Evident
ecuația va avea soluții dacă și numai dacă sistemul


A xgA xf
)()( este compatibil.Evident partea cea
mai grea o reprezintă determinarea constantei A.
Exemplul 3.3.2 .1Să se rezolve ecuația
x x x x2 26cos22
2

Soluție.Avem
2 2 2;26cos22
2x x x x cu egaliatate dacă


2 2 226cos22
2
x xx x
.Din a doua ecuație x=0 este soluție unică, care verifică și prima ecuație.
Ecuația data are soluția unică x=0.
II.Utilizarea inegalităților clasice
Exemplul 3.3.2 .2Să se rezolve ecuația
2
n n nx x x xn 2 1 4 3 log log log log)1( … 3
Soluție.Folosind că a
a cb bclog log ți inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică avem
n nn n n n
n nnn
xnxn x x x xn
)1( log…34log23log2 4 3 2 1 4 3 )1(log….3log2log )1(log log 3log 2log…

 
nx xnn n
, egalitea are loc când x=1.

27
Am folosi t faptul că
12lg)1 lg(…3lg4lg
2lg3lg2 log…4 log3 log)1( 3 2  n
n

III.Utilizarea convexității
TeoremaIII.1 O funcție f:I
 → , este stict convexă dacă oricare ar fi x
1 , x
2I și oricare ar
fi
 [0,1] are loc inegalitatea
f(
)()1()( ))1(2 1 2 1 xf xf x x    ) (1)
Dacă inegalitatea este de semn contrar, func ția se numește strict concavă .
Exemplul 3.3.2 .3Să se rezolve în mulțimea numerelor naturale ecuația
x x x x x x9 8 6 11 7 5 

Soluție.Evident x=0 și x=1 sunt soluții.Arătăm că ecuația nu are alte soluții.
Funcția f:[0,∞)→ , f(t)=t
n , unde n este natural n≥2, este stict convexă.
Atunci din (1) obținem că
n n nba b a


2 2 , pentru a,b>0; a≠b.
Deci,
xx x x
6275
27 5

 , x≥2

xx x x
92711
27 11

 , x≥2

xx x x
82115
25 11

 , x≥2
Adunând aceste relații se obține că
.2 ,9 8 6 117 5  xx x x x x x
Deci ecuația nu poate avea alte soluții.
Un aspect legat de folosirea convexității în rezolvarea unor tipuri de problem este cuprins în
următoarea propoziție:
PropozițieIII.2. 1Dacă funcția f:I
 → , este stict convexă pe I, iar g:I→ este o funcție
liniară, atunci ecuația f(x)=g(x) are cel mult două soluții pe intervalul I.
Demonstrație.Presupunem ca ecuația admite trei soluții distincte x
I xx3 2 1,, .Fie
2 1 3 2 1 3 ) 1( ),1,0( )(),( x x x xx x   
.Dar
f(x
)() 1()( )() 1()( )) 1( ( )( )2 1 2 1 2 1 3 3 xf xf xg xg x xg xg       .

28
Contradicție cu f stict convexă.
Evident, concluzia propoziției se păstrează dacă f strict concavă.
Exemplul 3.3.2 .4Să se rezolve ecuația
10
x x xx 2000…21)2 1999(3
Soluție.Se verifică ușor că x=0 și x=1 sunt soluții.Cum f: → , f(x)= 10
)2 1999(3x este
liniară iar f: → , g(x)=
x x x2000… 2 1  , este strict convexă(sumă de funcții strict
convexe) atunci ecuația f(x)=g(x) are cel mult două soluții.
3.4Utilizarea funcțiilor trigonometrice in rezolvarea de ec uatii si inecuatii trigonometrice
3.4.1 . Ecuatii trigonometrice
Definiție4.4.1.1. Ecuatiile ce conțin necunoscute sub semnul funcț iilor trigonometrice se numesc
ecuaț ii trig onometrice.
I.Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt ecuaț iile de tipul
sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a, a  (1)
Cum rezolvarea ecuaț iilor trigonometri ce se reduce la rezolvarea ecuaț iilor de tipul ( 1) (utilizâ nd
diferite t ransformari), vom aminti afirmațiile de bază referito are la soluțiile ecuaț iilor ( 1).
Afirmatia 1 . Ecuatia sinx = a, a  , (2)
pentru |a| > 1 nu are soluții, iar pentru |a| ≤ 1 mulțimea soluț iilor ei este dată de formul a
x = ( -1)
karcsina + kπ, k  , (3)
Observația 1 . Dacă în ecuația (2) a {0;-1;1} soluț iile ei (3) se scriu mai simplu, ș i anume
sinx = 0
 x = kπ , , k ,
sinx = 1
 x =
2 + 2kπ, , k  ,,
sinx = -1
 x = –
2+ 2kπ , k ,.
Afirmatia 2 . Ecuația cosx = a, a  , (4)
pentru |a| > 1 nu are soluții, iar pentru |a| ≤ 1 mulțimea soluț iilor ei este dată de formul a
x =
 arccosa + 2kπ, k  , (5)

29
Observația 2. Dacă în ecuația (4) a {0;-1;1} soluț iile ei (5) se scriu mai simplu, ș i anume
cosx = 0
 x =
2 + kπ, , k ,
cosx = 1
 x = 2kπ, , k  ,,
cosx = -1
 x = π+ 2kπ , k .

Afirmatia 3 . Ecuția tgx = a, a  (6) are soluț iile
x = arctga + kπ , , k . (7)
Afirmatia 4 . Ecuția c tgx = a, a  (8) are soluț iile
x = arcctga + kπ , , k . (9)
Observatie . Ecuaț iile
sin f(x) = a, cos f(x) = a, tg f(x) = a, ctg f(x) = a (10)
prin intermediul substituț iei f(x) = t se reduc la rezolvarea ecuaț iilor (1).
II.Ecuaț ii trigonometrice reductibile la e cuații de gradul al doilea
Ecuația asin
2 x + bsinx + c = 0, a, b, c  , a ≠ 0 (11)
prin intermediul substitutiei t = sinx, (|t| ≤1) se reduce la ecuația at
2 + bt + c = 0.
Exemplul 5. Să se rezolve ecuaț iile
a) 2sin
2x – 5sinx + 2 = 0; b) sin
2 2x – sin2x = 0; c) sin
2 x – sinx + 6 = 0.
Soluții:
a) Se note aza sinx = t si ecuatia devine 2t
2- 5t + 2 = 0,
de unde t
1 =
21 si t
2 = 2. Cum |t| ≤ 1, rămâ ne t =
21 și prin urmare ecuația inițială este
echivalentă cu ecuația sinx =
21 , soluțiile că reia sunt x = ( -1)
karcsin
21 + kπ, k  ,
b) Se noteaza sinx = t si se obtine ecuatia pătrata t
2 – t = 0 cu solutiile t
1 = 0 si t
2 = 1. Astfel
ecuatia initiala este echiv alenta cu sin2x = 0 sau sin2x = 1, de unde rezultă
x



 Zkk Zkk  
4 2

30
c) Similar exemplelor prec edente se obține ecuatia t
2 – t + 6 = 0, care nu are soluții.Rezultă că
ecuația trigonometrică nu are soluț ii.
Ecuatiile
acos
2 x + bcosx + c = 0, (12)
atg
2x + btgx + c = 0, (13)
actg
2 x + bctgx + c = 0, (14)
unde a, b, c , a ≠ 0 se rezolvă similar ecuației (11 ).
În cazul ecuației (12) se ține seama că t = cosx , ca |t| ≤1 , iar pentru t = tgx (t = ctgx) în ecuația
(13) (respectiv (14)) restricț ii nu sunt.
III. Ecuaț ii omogene.
Ecuaț ia
a
0sin
nx + a
1 sin
1n xcosx + … + a
1n sinxcos
1n x + a
n cos
nx = 0, (15)
unde a
0 •a
n≠0, se numește ecuație omogenă de gradul n în raport cu sinx ș i cosx.
Cum x=
k2 , k nu verifică ecuația ( 15) (toți termenii, î ncepand cu al doilea sunt nuli, iar
primul este diferit de zero) înmulți nd ecuatia cu
0
cos1
xn se obține ecuația echivalentă
a
0tg
nx + a
1 tg
1n x + … + a
1n tgx + a
n = 0,
care prin substituț ia tgx = t, se reduce la rezolvarea unei ecuaț ii algebrice de gradul n.