Unda este o perturbatie a unui sistem de echilibru care se propaga in timp,dintr -o regiune [609675]

1

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN

BUCURESTI

FACULTATEA DE ENERGETICA

UNDE ELASTICE

Student: [anonimizat], Grupa:2103 A

-2016 –

2

UNDE ELASTICE

Unda este o perturbatie a unui sistem de echilibru care se propaga in timp,dintr -o regiune
a spat iului in alta.Putem definii unde le ca fiind perturbatiile care se propaga din aproape in
aproapecu o viteza finita ,ce dipende de proprietatile mediului intre un mediu elastic.
Pentru a intelege mai usor natiunea de unda ne putem imagina un mediu format dintr -un
numar mare de particuel,fiecare dintre ele fiind legata de vecinele ei printr -un mediu elastic,si daca
la un moment da t una dintre part icule osci leaza.miscarea ei va fi transmisa si la particula
invecinata,apoi la urmatoarea si din aproape in aproape in intreg mediul.De aceea putem definii
unde le ca fiind perturbatiile care se propaga din aproape in aproapecu o viteza finita ,ce dipende de
propriet atile mediului intre un mediu elastic.
Mediul elastic reprezinta medical alcatuit din particule in care se produc forte elastic.De
aceea ,in genereal formed de agregare sunt considerate medii elastic.
Din punct de vedere fizic,propaga rea undei depinde de elasticitatea mediului,in
general,marimea perturbata poate fi viteaza sau pozitita particulei in mediu,insa este influentata si
de denisitatea mediului si presiunea din mediu.
Marimea fizica pertubata variaza in functie de coordonatele spatialae si de timp si este
descrisa printr -o functie Ψ(x,y,z,t) ,functia de unda .
Dupa natura perturbatieie ,unde le pot fi clasificate in:

1) unde mecanice →produse de o deformare mecanica intr -un mediu elastic
2) unde termice →se datoreaza variatie de temperatura si caracterizeaza fenomenul de
propagare a caldurii
3) unde electromagnetice →se datoreaza uner perturbatii de natura
electromagnetica,caz in care marimea perturbata poate fin intensitatea campului
electirc,magnetic,indu ctia electrica ,etc
4) unde magneto -hidrodinamice →sunt asociate cu variatii ale plasmei
5) unde de Broglie →se datoeaza variatiei microparticulei

3
O observatie importanta este aceea ca spre deosebire ce celelalte tipuri de unde pentru
care este nevoie de un mediu de propagare material, undele electromagnetice se pot propaga si in
vid.
O alta clasificare a undel or este data de caracterul mat ematic al marimii fizice perturbate,iar
de aici rezulta ca avem doua tiprui de unde :
1) -unde scalare
2) unde vectoriale(ce se impart si ele in unde transversale si unde longitudinale)
O alta caracteristica importamta in progarea undei este mediu in care aceasta se propaga.
1)mediu omogen →daca propietatile de material sin aceleasi in orcie punct al mediukui(i ndice de
refractie ,densitate,conductivitatea,permitivitatea,etc),adica sunt independete de coordonatele
spatiale,mediul este omogen,iar in caz contrat este neomogen
2)mediu izotrop →daca proprietatile de material sunt aceleasi in orice directie ,adica sunt
independente de directie dupa care sse face masurarea lor mediul este izotrop,in caz contrar este
anizotrop
3)mediu dispersiv →daca viteza de propagare a undei depinde atat de caracteristicile mediului cat si
de cele ale undei,mediu este dispervis iar in caz contrar este nedispersiv
4)mediu liniar →un mediu este liniar daca pentru mai multe perturbatii notate cu Ψ ajunse simultam
in acelasi punct ,perturbatia rezultata este data de relatia Ψ(x,y,z,t)= ∑ Ψ(x,y,z,t)
5)mediu disipativ →daca propagarea undei se produce cu absorbtie de energie ,este disipativ
→daca energia totala se conserva ,adica mediul nu absoarbe energia undei ,mediul
este conservativ
Daca un mediu este omoge n,izotrop,liniar.dispersiv si con servativ este un mediu idea l.

Ecuatia de propagare a undelor Ψ depinde de coordonatele spatiale cat si de timp :
Ψ(x,y,z) ↔t
Daca o unda este produsa de mici oscilatii intr -un mediu idel ecuatia devine de forma:

4

+
+
=
*

Tinand cont de solutia ecuatiei de propagare a undei ,putem definii doua tipuri de unde :
a)unde progresive →se sunt un dele care se propaga in sensul poztiiv al axei Ox
V=

b)unde regresive →se propaga in sensul regresiv al axei Ox
V=

O alta categorie de unde sunt undele sferice .
Daca intr -un mediu omogen si izotrop ,perturbatia produsa de o sursa p unctuala se propaga
sub forma unor cercuri concentri ce numite sfere aceasta se numeste unda sferica .Putem denumii
undele sferice ca fiind undele care se propaga intr -un mediu om ogen si izotrop care are simetri e
sferica.
Undele inchise de sursa punctuala sunt emise cu viteza finite de acceasi valaore astfel incat
dupa un anumit interval de timp ele ajung la acceasi distanta fata de sursa si se aseaza dupa o
sfera,iar aceasta suprafata poata numele de suprafata de unda .
Suprafata de unda cea mai indepartata de sursa poarta num ele de front de unda.
Tinand cont ca avem un mediu cu simetri sferica cel mai indica ar fii sa lucram in coordinate
sferice,iar din acest motiv ecuatia de propagare a undei sferie este de forma :

Coord onate sferice:

5

Insa daca se tine cont de coordonatele sferice si de expresia Laplacianului,se obtine ,in
final,ecuatia de propagare pentru undele sferice sub forma:

iar solutia finala este :
,de unde se poate si obesrva faptul c amplitudinea undei scade cu
distanta r .
Un caz particular este unda plana .Aceasta este o unda sferica pentru care r→∞ (distanta fata
de sursa tinde catre infinit),caz in care sursa este foart e departata ,iar pe un interval ingust AB putem
considera ca suprafata de unda este plana,iar de aici rezulta ca avem o unda plana .

Unda armonica plana
Unda armonica plana este unda emisa de un oscilator armonic,si are functia de unda de forma
urmatoare:
Ψ(x,t)=A*
¥
-A=amplitudinea undei ,care totodata este si valoarea maxima a marimii perturbate
-ω=pulsatia undei si este data de variatia ω
;si este masurata in rad/s .
Reflexia si Refractia.
Fenomene ale undelor

Legile generale dale reflexiei si fefractiei poarta numele de legile lui Snellius .
Putem definii fenomenul de reflexie ca fiind fenomenul un urma caruia o radiatie incidenta
se reintoartce in mediul din care provine(mediu incident)atunci cand intalneste suprafata de
separatie dintre doua medii cu indici de reflexie diferiti.
Legea reflexiei :
σ0= σ1

6

Reflexia interna totala
Se defineste ca fiind fenomenul de reflexie totala fenomenul in urma caruia unda incidenta
pe suprafata de separatie dintre douamed ii cu indici de refractie diferiti se reintoarce intotalitate in
mediul din care provine,deoarece unda ramane in mediul de incidenta.
Aceasta se obtine pentru un unghi de incidenta σ0= σ c,unde σ c reprezinta unghiul critic.

Fenomenul de refractie se poate definii ca fiind fenomenul in urma caruia o unda incidenta
pe suprafata de separatie dintre doua medii cu indici de refractie diferiti trece in cel de -al doilea
mediu la un unghi de refractrie σ2 facut de unda refractata si normala la suprafata .
Unda incidenta pe suprafata de separatie dintre doua medii cu indici de refractie diferiti e
partial reflectata sub unghiul σ 1 cce este egal cu unghiul de incidenta si partial refractata sun unghiul
σ2.

Legea refractiei :
n2sinσ 0=n2sinσ 2

7

n1-indice de refractie al mediului 1

n2-indice de rrefractie al mediului 2
σ0-unghi de incidenta
σ2-unghi de refratie

Legea refractiei se poate scrie si sub forma:
v2sinσ0=v1sinσ2,de unde se poate afla viteza de propagare a undei in mediul in care se afla .

Efectul Doppler si unghiul Brewster
Unghiul Brewster
Se defineste ca fiind unghiul la care amplitudinea undei reflectate este zero.La unghiul
Brewster,in urma reflexiei si ref ractiei la suprafata de separatie dintre doua medii dielectrice se
obtine o lumina polarizata liniar total.

=>
=0=>
/^2

8
=>
,insa din legea refractiei

=>

=>

=

=>
,;dar n=
,iar v=
,unde ε≠ ε0 si μ≈ μ0 pentru vid si mediu
dielectric
=>unghiul Brewster
=>

=>

Prin unde se intelege si fenomenul de vibratie a particulei in mediul elastic,numit si sunet .Un
alt capitol ce se leaga de undele elastice este acustica.aceasta este o partea a fizicii ce se ocupa cu
producerea,propagare si repeceptarea sunetor. Undele acustice se pot propaga in medii solide,lichie
de gazoase(medii elastice).
O observatie importanta este accea ca undele acustice nu se pot progapa in vid,,ceea ce
reprezinta o proprietate importanta in propagaraea undelor elastice. In functie de frevcenta
sonora (ν),putem aveam :
-infrasunete: – ν<10Hz
-sunete: – ν∈[16Hz -20kHz]
-ultrasunte; – ν∈[20-106kHz]
-hipersunete: – ν∈[106-1011kHz]
O carancteristica importanta a undelor sonore este vitezade propagare a acestora :

9
→in mediul solid avem: v s=
,unde E reprezinta modulul lu Young(da gradul de deformabilitate
al mediului in care se propaga unda), ρ reprezinta densitatea solidului;
→in mediul lichid: v s=
,unde K reprezinta coeficientul de compresibiliate a lichidului iar ρ
reprezinta densitatea lichidului;
→in mediul gazos: v sizoterm =
,repreentata de frecvente mici;
Vsadiabat =
,reprezentata de frecvente mari;
R-reprezinta constanta universala a gazelor;
T-reprezinta temperatura;
-reprezinta masa molara;
-reprezinta exponentul adiabat

Efectul Doppler longitudinal
Efectul Doppler este considerat ca fiind constant pentru undele elas tice.Acesta apare la
miscarea relatica a unei surse fata de un receptor(observant) si consta in receptarea sunetului emis
de o sursa de catre receptor cu o frencventa diferita de cea a suntetului emis initial se sursa.
In cazul loingitudinal sursa se aprop ie de repec tor.

S-pozitia suser cabd emite rpimul semnal
S`-pozitita sursei cand emite cel de -al II-lea semnal
R-pozitia receptorului cand inregistreaza/primeste primul semnal
R`-pozitia r eceptorl=ului cand inregistreaza/primeste al II -lea semnal

10
u1-viteza sursei S
u2-viteza receptorlui R
v-viteza de propagare a suntetului/undei
T-perioada semnalului emis de sursa T=

SR=SS`+S`R`+R`R
Timpul necesar parcurgeriii de catre sunet a distante din S pana la receptorul R este egala cu
timpul parcurgerii de care sunet a distantei S -S si R` -R
Dispersia undelor electromagnetice
In teoria clasica a electromagneticii,initia,se considera ca indicele de refractie nu depinde de
lungimea de unda a radiatiei,adica n(λ)=constanta ,desi Newton demonstrase experimental
dependenta indicelui de refractie de lungimea d e unda.
Dispersia undelor reprezinta fenomenul de descompunere a radiatiei luminoase in
componente spectrale in functie de frecventa acestora.Newton a pus in evidenta dispersia undelor
electromagnetice cu a jutorul prismei optice.
Numeroasele tentative de a gasi o relatie de dependenta a n in functie de λ au fost finalizate
de Louis Cauchy care a gasit urmatoarea relatie n(λ):
n(λ)= A+

unde λ este lungimea de unda in vid a radiatiei electromagnetice,iar A,B si C sunt cons tante ce pot fi
determinate experimental.
Aceasta relatie este convenabila pentru cazul corpurilor transparente,din aceasta relatie se
observa ca
in mod normal(cazul dispersiei normale),dar progresele tehnicii experimentale
au permis sa se evidentieze faptul ca ,pentru unele substante,indicele de refractive variaza intr -un
mod anormal cu lungimea de unda λ, adica
,caz numit dispersie anormala.

Dependenta indicelui de refractrie

Pentru a putea gasii aceasta relatie este nevoie de un model,modelul lui
Thomson,care considera atomul ca fiind un oscilator armonic cu pulsatia proprie ω0.

11
Acesta dependenta n(λ) a fost gasita de Lorentz,care presupune ca pentru a gasii
dependenta n fata de λ,e suficient sa se calculeze polarizatia,din legea de material: \

=ε

=>
=

-se poate permitivitatea electrica relativa εr functie de ω si din relatia :
εr=n2 =>n(ω) => n(λ)

Dispersia normala
Pentru dispersia normala se consifera ca nu avem amortizare ,adica δ=0 si εr si n devine real.Trecere
de la complex la real se obtine prin negli jarea absortbtiei undelor electromagnetice. Tinanad cont de
aceste lucruri ,ecuatia de dispersie devine de forma:
=1+

O observatie importanta referitor la dispersia normal este accea ca in domniul
vizibil,copurile transparente nu prezinta benzi de absortbtie,in timp ce,in domeniul
ultraviolet,acestea absorb putermic radiatia electromagnetica.

12