Raport De Cercetare Nr 2 [609259]

UNIVERSITATEA TEHNIC Ă DE CONSTRUC ȚII BUCURE ȘTI
ȘCOALA DOCTORAL Ă
DOMENIUL: INGINERIE CIVIL Ă ȘI INSTALA ȚII
FACULTATEA DE GEODEZIE
DEPARTAMENTUL DE TOPOGRAFIE ȘI CADASTRU

RAPORT DE CERCETARE NUM ĂRUL 2

PROCEDEE DE PRELUCRARE A
MĂSURĂTORILOR AFERENTE PROCESULUI
DE MONITORIZARE A CONSTRUC ȚIILOR ȘI
TERENURILOR

Conducător științific:
Prof. Univ. Dr. Ing. Petre Iuliu Dragomir

Student: [anonimizat]:
Ing. Cătălin Ionuț Vintilă

Ianuarie, 2015

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 2
Cuprins :
Cuprins ……………………………………………………………………………………………………….. ……. 2 
Lista Figurilor ………………………………………………………………………………………………… …… 3 
Abstract ………………………………………………………………………………………………………. ……. 4 
1. Introducere ……………………………………………………………………………………………….. 5 
1.1.  Generalit ăți …………………………………………………………………………………………. 5 
1.2.  Concluzii ……………………………………………………………………………………………. 7 
2. Prelucrarea m ăsurătorilor cu ajutorul modelului Gauss-Markov ………………………… 8 
2.1.  Algoritmul de calcul pentru compensarea m ăsurătorilor ……………………………. 8 
2.2.  Concluzii ………………………………………………………………………………………….. 10 
3. Prelucrarea m ăsurătorilor aferente procesului de monitorizare prin metoda tehnicii
robuste 11  
3.1.  Introducere ……………………………………………………………………………………….. 11 
3.2.  Necesitatea analizei statice robuste ……………………………………………………… 11 
3.3.  Erorile externe …………………………………………………………………………………… 12 
3.4.  Modelul compens ării robuste în geodezie ……………………………………………… 12 
3.4.1. Media aritmetic ă ……………………………………………………………………………. 13 
3.4.2. Modelul sau Valoarea dominant ă …………………………………………………….. 14 
3.4.3. Mediana ……………………………………………………………………………………….. 14 
3.5.  Concluzii: …………………………………………………………………………………………. 15 
4. Predicția și analiza deforma țiilor prin metoda elementelor finite ………………………. 16 
4.1.  Generalit ăți ……………………………………………………………………………………….. 16 
4.1.1. Conceptul de baz ă …………………………………………………………………………. 16 
4.1.2. Scurtă prezentare istoric ă ……………………………………………………………….. 18 
4.2.  Prezentarea metodei ………………………………………………………………………….. 19 
4.2.1. Etapele de rezolvare a unei probleme cu ajutorul metodei elementelor finite
22  
4.3.  Modelul Matematic …………………………………………………………………………….. 23 
4.4.  Discretizarea domeniului de analiz ă …………………………………………………….. 24 
4.5.  Tipuri de elemente finite ……………………………………………………………………… 25 
4.6.  Avantaje si dezavantaje ……………………………………………………………………… 29 
4.7.  Concluzii ………………………………………………………………………………………….. 30 
5. Concluzii generale ……………………………………………………………………………………. 31 
Bibliografie …………………………………………………………………………………………………… ….. 32

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 3
Lista Figurilor

Figura 1.1– Re țea de monitorizare 6  
Figura 4.1 – Aproximarea perimetrului unui cerc prin MEF 16  
Figura 4.2 – Procesele realizate înaintea construc ției 20  
Figura 4.3 – Discretizarea in elemente finite a unei por țiuni dintr-o sfer ă 21  
Figura 4.4 – Aproximarea prin elemente finite in cazul uni-dimensional 21  
Figura 4.5 – Discretizarea domeniului de analiz ă 24  
Figura 4.6 – Elemente finite unidimensionale 25  
Figura 4.7 – Elemente finite triunghiulare 26  
Figura 4.8 – Elemente finite patrulatere 27  
Figura 4.9 – Elemente finite tetraedrice 28  
Figura 4.10 – Elementul finit hexaedric triliniar 29

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 4

Abstract :

Urmărirea comport ării construc țiilor prin diverse metode, atât geodezice, cât și
non-geodezice, a fost și continu ă să fie o activitate foarte important ă pentru a
înțelege modul de comportare a acestora. Prin aceste ac țiuni se ob țin date
importante privind starea construc țiilor, eventualele fenomene atipice de comportare
a acestora, iar în baza lor se pot face predic ții viitoare ale comportamentului lor în
timp. Pentru a analiza cat mai bine comportarea construc țiilor si a terenurilor in timp
orice observa ții efectuate trebuie sa fie compensate prin diverse procedee de
prelucrare. Procedeele trebuie sa fie alese astfel încât rezultatele ob ținute sa reflecte
realitatea.
In ultimele decenii dezvoltarea excesiv ă a construc țiilor a demonstrat c ă
metodele topografice tradi ționale utilizate nu au mai f ăcut față cerințelor de înalt ă
calitate și precizie ale noilor domenii ap ărute, monitorizarea fenomenelor dinamice în
timp a construc țiilor de mari dimensiuni și cu forme arhitecturale complexe, controlul
marilor instala ții din industria constructoare de ma șini, rezolvarea problemelor tot mai
mari specifice domeniului montajelor navelor de mare tonaj și altele. [1]
Prin dorin ța de a exploata construc țiile fără pericole în cadrul proiect ării se
realizeaz ă calcule de rezisten ță și de stabilitate. Verificarea exactit ății calculelor de
rezistență și de stabilitate se realizeaz ă prin măsurători topografice. M ăsurătorile pot
fi executate asupra cercet ărilor experimentale sau pe obiecte similare executate în
natură. Prin cercet ările experimentale se ob țin informa ții privind analiza raportului
dintre mărimea for ței solicitării și deforma țiile rezultate. Aceste raporturi sunt folosite
la elaborarea ipotezelor de lucru privind calculele de stabilitate și rezisten ță a
construc țiilor. Prin observa țiile efectuate periodic în natur ă, asupra unor construc ții
similare realizate, atât în faza de execu ție cât și în faza de exploatare, se certific ă
sau se exprim ă corectitudinea sistemului constructiv și a ipotezelor de calcul avute în
vedere în timpul proiect ării. Prin compararea rezultatelor m ăsurătorilor efectuate pe
construc ții din natur ă, cu rezultatele ob ținute din încerc ări de laborator și cu ajutorul
datelor rezultate în urma calculelor statistice, se poate ob ține un diagnostic asupra
stării construc țiilor și eventual se pot emite predic ții și ipoteze despre comportarea în
timp a construc țiilor.
Metodele geodezice sunt, în cele mai multe cazuri, singurele metode care
permit determinarea absolut ă a mărimii și direcției deplas ărilor, orizontale sau
verticale, sau ale deforma țiilor ale unei construc ții sau a terenului de fundare.[2]

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 5
1. Introducere
Prezentul raport de cercetare prezint ă aspecte teoretice și practice privind
monitorizarea fenomenelor dinamice ale construc țiilor și terenurilor folosind
tehnologii moderne de monitorizare de înalt ă precizie și prezinta procedee de
prelucrare a m ăsurătorilor aferente proceselor de monitorizare efectuate.
Monitorizarea fenomenelor dinamice în timp a construc țiilor și terenurilor
speciale reprezint ă o ramur ă foarte important ă a geodeziei. Prin monitorizarea
comportării în timp a construc țiilor și terenurilor se ob țin date privind starea acestora
și despre eventuale fenomene atipice neincluse in calculele de proiectare ale
construc țiilor, informa ții prețioase ce permit luarea unor decizii corespunz ătoare la
momentul potrivit, înainte ca acestea s ă devină periculoase. În alt ă ordine de idei,
monitorizarea în timp a construc țiilor și terenurilor reprezint ă garanția unei exploat ări
a acestora în condi ții de siguran ță. În zilele noastr e complexitatea lucr ărilor de
construc ții a ajuns la un nivel extrem de mare care au drept consecin ță directă
găsirea unor modalit ăți și tehnologii noi de urm ărire a comport ării în timp a acestora.
Există o multitudine de exemple de construc ții speciale, poduri, baraje, blocuri turn,
pentru care monitorizarea prin metode clasice este ie șită din discu ții. De asemenea,
atât în țara noastr ă, cât și pe plan mondial exist ă prevederi legale care oblig ă
administratorii oric ărei construc ții să monitorizeze comportamentul construc țiilor în
timp pe toat ă durata de via ță a acestora la intervale stabilite în prealabil.
Măsurătorile efectuate asupra construc țiilor existente, comparate cu rezultate
ale experimentelor pe modele matematice și calcule a priori de statistic ă reprezint ă
metoda cea mai utilizat ă la analiza st ării, respectiv a siguran ței în exploatarea
construc țiilor. Din punct de vedere științific, legăturile între procesele de deforma ții și
cerințele practice impun cercetarea modalit ăților de includere a diverselor cauze și
influențe asupra modific ărilor ale diverselor obiecte într-un sistem de analiz ă și
interpretare, prin diverse metode, ceea ce conduce spre un sistem modern de
analiză matematic ă și statistic ă. Toate acestea dau caracterul dinamic al comport ării
construc ției, al identific ării calităților ei și fac posibil ă rezolvarea unor probleme, la
care sunt solicita ți să dea un r ăspuns atât speciali știi din domeniul m ăsurătorilor
inginerești cât și speciali ști din toate celelalte domenii ale construc țiilor. [2]
1.1. Generalit ăți
În cazul în care avem o re țea de sprijin geodezic ă ce a fost realizat ă în scopul
de a obține coordonatele unui set de puncte geodezice, care mai apoi este utilizat ă
ca referin ță pentru lucr ări topografice ulterioare, m ăsurătorile se execut ă și se
prelucreaz ă o singur ă dată.
Într-o re țea geodezic ă realizată în scopul de a determina deplasarea sau
deformarea unor terenuri sau construc ții, măsurătorile se execut ă și se prelucreaz ă
în mai multe epoci, între care se determin ă deplasările ca diferen țe de coordonate.
În acest sens, se propune prelucrarea în bloc a m ăsurătorilor efectuate în mai multe
etape, într-o re țea de urm ărire.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 6
Analiza deforma țiilor presupune studierea deplas ărilor punctelor unei re țele în
mai multe etape de m ăsurători. Astfel, sunt m ăsurate m ărimi precum direc ții,
distanțe, diferen țe de nivel, sunt compensate re țelele respective prin intermediul
unor metode conform cerin țelor, dup ă care urm ătorul pas este analizarea
deformațiilor cu ajutorul testului global de congruen ță și se localizeaz ă prin aplicarea
unor teste statistice de localizare. În cadrul acestor teste se determin ă valorile limit ă
cu ajutorul unor tabele, în func ție de anumi ți parametrii și valori pentru fiecare punct
în parte. Cele dou ă valori sunt apoi comparate, în urma rezultatului ob ținut se
stabilește dacă un punct este sau nu deplasat. În zilele noastre se pot analiza blocuri
se măsurători, efectuate în mai multe etape, pe când la început se comparau doar
două modele. [3]
Pentru a stabili decizia testului global de congruenta, în principiu, se compar ă
coordonatele punctelor re țelelor determinate la etape diferite, a șa cum poate fi v ăzut
în figura 1.1.
În cadrul unei re țele de monitorizare se efectueaz ă măsurători în dou ă etape
distincte. În urma m ăsurătorilor efectuate în etapa T 0 se determin ă geometria re țelei.
Aceeași verificare se efectueaz ă si în cadrul etapei T 1.

Figura 1.1– Re țea de monitorizare
Pentru studiul deforma țiilor se suprapun re țelele și se analizeaz ă congruen ța
lor astfel:
 Rețelele sunt congruente dac ă nu apar deforma ții;
 Rețelele sunt non-congruente dac ă apar erori datorit ă modific ării
poziției punctelor.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 7
1.2. Concluzii
Algoritmul de calcul presupune în principiu m ăsurarea coordonatelor
punctelor unei re țele la etape diferite. Pentru a stabili dac ă rețelele sunt sau nu
congruente sunt analiza ți parametrii rezulta ți în urma prelucr ărilor. Astfel, dac ă
acestia se încadreaz ă sau nu într-o limit ă de siguran ță, care se calculeaz ă funcție de
abaterea medie p ătratică aposteriore determinat ă pentru fiecare punct în parte.
Rezultatele ob ținute se analizeaz ă astfel:
 Dacă diferențele nu se încadreaz ă în limitele de siguran ță stabilite, cele
două rețele nu sunt congruente, ceea ce înseamn ă că au apărut
deformații.
 Dacă diferențele se încadreaz ă în limitele de siguran ță stabilite, cele
două rețele sunt congruente, iar diferen țele apărute se datoreaz ă doar
erorilor de m ăsurare ci nu deplas ării punctelor.
În aceast ă analiză pentru fiecare punct în parte este stabilit un domeniu de
încredere ce seam ănă cu elipsa erorilor, purtând numele de elips ă de încredere. În
cazul re țelelor tridimensionale, domeniul de încredere seam ănă cu un elipsoid,
purtând numele de elipsoid de încredere.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 8

2. Prelucrarea m ăsurătorilor cu ajutorul modelului
Gauss-Markov
2.1. Algoritmul de calcul pentru compensarea m ăsurătorilor
In cadrul algoritmului de calcul privind compensarea m ăsurătorilor geodezice
pentru monitorizarea unei cl ădiri sau teren, se realizeaz ă calculul unghiurilor și a
distanțelor provizorii din coordonatele provizorii ale punctelor re țelei. Cu ajutorul
distanțelor și unghiurilor provizorii astfel calculate, se formeaz ă sistemul de ecua ții
liniare. [4]
Prelucrarea m ăsurătorilor folosite în geodezie se face conform modelului
funcțional și modelului stohastic (rela țiile de mai jos). Cele dou ă modele sunt
prezentate prin rela ții matematice, func ție de anumite variabile. Modelul func țional
reprezint ă o relație între m ărimi, neținând cont de variabile aleatoare, iar modelul
stohastic este un model mai complex, deoarece unei valori date îi corespunde un
ansamblu de valori posibile ale func ției. Cele dou ă modele descrise mai sus sunt de
forma:
lxAv
)Q CL2
0 L
Unde:
– v este vectorul corec țiilor;
– A – matricea coeficien ților parametrilor;
– x – vectorul parametrilor;
– l – vectorul termenilor liberi;
– CL – matricea de varian ță covarian ță a măsurătorilor;
– σ0 – variația unității de pondere;
– QL – matricea cofactorilor m ăsurătorilor.
După obținerea sistemului liniar al ecua țiilor de corec ții atât pentru distan țe,
cât și pentru direc ții măsurate se realizeaz ă normalizarea sistemului de ecua ții liniare
prin aplicarea urm ătoarei formule:
APA NT
În formula de mai sus, nota țiile reprezint ă:
– N – matricea sistemului normal;

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 9
– A – matricea coeficien ților;
– AT – matricea transpus ă a coeficien ților;
– P – matricea ponderilor.
Pentru a realiza compensarea re țelei ca o re țea liberă pentru dou ă etape de
măsurători, trebuie determinat vectorul parametrilor x pentru acest lucru trebuie
studiată posibilitatea invers ării matricei sistemului normal N. Pentru a putea inversa
matricea normala se efectueaz ă un control și anume determinantul matricei
sistemului normal de ecua ții trebuie sa fie nul, ceea ce înseamn ă ca matricea
normala este matrice singular ă și nu are invers ă. În aceast ă situație se calculeaz ă
pseudoinversa matricei normale N+ prin bordarea matricei normale cu o matrice
auxiliară G(2n,3), unde n reprezint ă numărul de puncte. [5]





SnS2S1S1
X-10Y01X-10Y01
G


Unde XSi, Y Si reprezint ă coordonatele punctelor re țelei reduse la centrul de
greutate.
Reducerea la centrul de greutate se realizeaz ă cu ajutorul urm ătoarelor
formule:

nX
Xn
1ii
G

nY
Yn
1ii
G

G0
i i X X X
G0
i i Y Y Y

După realizarea matricei auxiliare G se efectueaz ă controlul N*G=0, astfel se
poate trece la bordarea matricei normale cu matricea auxiliar ă, matricea astfel
obținută se va inversa, din matricea rezultat ă se va extrage pseudoinversa matricei
normale, N+.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 10



 
0 GG)(GG) G(G N
0 GGN
T 1 T1 T1
T
Odată extrasă pseudoinversa matricei normale se poate calcula vectorul
parametrilor:
lPA N xT
Altfel dup ă calcularea matricei coeficien ților, a vectorului parametrilor și al
vectorului termenilor liberi se efectueaz ă calculul vectorului corec țiilor, conform
formulei (1). Corec țiile astfel ob ținute se adaug ă coordonatelor provizorii ale
punctelor re țelei rezultând coordonatele compensate:
3
i0
i i 10dx X X
3
i0
i i 10dy YY
Evaluarea preciziei m ăsurătorilor. Pentru o etap ă de măsurători, evaluarea
preciziei este de forma:
dun[Pvv]s0i
În formula prezentat ă mai sus, nota țiile reprezint ă:
– s0i – abaterea standard empiric ă în etapa ”i” de m ăsurători;
– n – numărul de ecua ții;
– u – numărul de necunoscute;
– d – defectul de rang.
2.2. Concluzii
In cadrul modelului Gauss – Markov este folosita metoda celor mai mici
pătrate, aceasta fiind cea mai buna metoda de aproximare a erorilor ce afecteaz ă
măsurătorile.
Este metoda cea mai folosita in domeniul geodeziei inginere ști, fiind cea mai
sigura metoda de estimare a erorilor ce afecteaz ă măsurătorile geodezice.
Datorita volumului mare de calcul este o metoda ce se aplica mai greu, acest
impediment putând fi u șurat prin automatizarea metodelor de calcul.
In cadrul automatiz ării modelului trebuie avut in vedere posibilitatea aplic ării
acestuia pentru o gama variata de metode de m ăsurare si posibilitatea de a prelucra
sisteme mari de ecua ții. [6]

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 11
3. Prelucrarea m ăsurătorilor aferente procesului de
monitorizare prin meto da tehnicii robuste
3.1. Introducere
În general, când se vorbe ște de geodezie inginereasc ă și de metode de
compens ări se asociaz ă în mod automat cu metoda p ătratelor minime și estimarea
parametrilor prin modelul Gauss – Markov. Aceast ă metodă este considerat ă ca fiind
cea mai sigur ă metodă de estimare a parametrilor dup ă ce a fost demonstrat de
către Gauss c ă totalitatea erorilor din cadrul unui set de observa ții se supun unei
distribuții normale. Ideea principal ă este aceea c ă suma p ătratelor tuturor erorilor
trebuie s ă fie minim ă, de aici și denumirea de metoda p ătratelor minime.
Ulterior s-a realizat faptul c ă nu întotdeauna observa țiile se supun
presupunerilor clasice, astfel c ă metoda celor mai mici p ătrate nu este întotdeauna
cea mai optim ă.
În acest sens exist ă două metode de estimare a parametrilor ce nu se supun
distribuției normale. Prima metod ă este denumit ă diagnosticarea erorilor externe ,
această metodă încearcă să identifice care dintre observa ții sunt corecte și care nu
sunt corecte. Observa țiile incorecte sunt scoase din setul de date și ulterior se aplic ă
metoda celor mai mici p ătrate.
Ce-a de-a doua metod ă se nume ște metoda tehnicii robuste , această metodă
adoptă estimatori care sunt par țial sau chiar total afecta ți de erori externe. Aceast ă
metodă opune rezisten ță maximă influenței erorilor grosolane și erorilor sistematice.
3.2. Necesitatea anali zei statice robuste
Orice model statistic are la baz ă un anumit num ăr de presupuneri.
Presupunerile vizeaz ă, în mod general, formalizarea cuno ștințelor unui statistician
despre analiza observa țiilor sau a problemelor de modelare statistic ă cu care se
confruntă. Cu toate acestea, se în țelege că modelul rezultat este un model
simplificat al realit ății iar validarea acestuia este cel mult aproximativ ă. Modelul cel
mai des formalizat folosit este acela în care se accept ă presupunerea c ă datele sunt
distribuite normal. Aceast ă teorie este cunoscut ă de peste dou ă secole, fiind folosit ă
ca metod ă suport pentru toate modelele clasice: analiza varia ției, analiza multivariat ă
și regresia.
Se întâmpl ă uneori în practic ă ca un model a c ărei ipotez ă de normalitate este
acceptat ă, modelul regresiei liniare, s ă se men țină aproximativ, adic ă să descrie
aproximativ majoritatea datelor, îns ă există și observa ții care prezint ă caracteristici
diferite sau care nu urmeaz ă nici un fel de caracteristic ă.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 12
Abordarea robust ă pentru modelarea statistic ă și analiza datelor are ca
principal obiectiv aflarea unor metode care s ă obțină estim ări fiabile ale
parametrilor, teste și nivele de încredere, nu doar în cazul în care observa țiile se
supun unor distribu ții normale dar și în cazul în care apar supozi ții aproximative.
În cazul în care datele nu con țin erori grosolane, modelul robust ofer ă
aproximativ acelea și rezultate ca metodele clasice consacrate, dar în cazul în care
există erori aberante, fie ele într-o propor ție relativ mic ă, tehnica robust ă oferă
rezultate aproximative.
Este cunoscut faptul c ă principala metod ă de a detecta erorile aberante este
abordarea diagnostic ă. Aceast ă abordarea se bazeaz ă, în principiu, pe estim ări
clasice care au ca obiectiv vizualizarea grafic ă sau numeric ă a indicilor pentru
detectarea observa țiilor ce se îndep ărtează de model.
3.3. Erorile externe
Foarte des în procesul de compensare se folose ște proprietatea de distribu ție
normală a erorilor. Statistica clasic ă obține rezultate sub ipoteza c ă acest model este
strict adev ărat, dar în realitate aceast ă ipoteză nu întotdeauna are loc.
Abateri de la acest model pot s ă apară din cauza apari ției erorilor de
măsurare, folosirea a prea pu ține zecimale, sau pur și simplu, "ceva a mers gre șit".
Aceste "erori grosolane " pot s ă apară ca erori externe sau considerate ca fiind
"contaminare ascuns ă" care, de obicei, nici nu pot fi detectate. Din acest motiv,
distribuția normal ă devine doar o aproximare a modelului.
Aceste erori, chiar dac ă ele cauzeaz ă "mici abateri" de la modelul de
distribuție, poate s ă facă din metoda celor mai mici p ătrate o metod ă ineficient ă sau
chiar slab ă.
3.4. Modelul compens ării robuste în geodezie
În geodezie și în evaluarea datelor în mod general, se face compromisul ca
aceste observa ții să se supun ă distribuției normale. Aceast ă premisă este adev ărată
dacă observa țiile nu sunt afectate de erorile sistematice și nici de cele grosolane. Se
fac eforturi mari de c ătre geodezi ca ace știa să poată oferi date – observa ții – cât mai
bune (date precise care se supun distribu ției normale). Ca datele s ă fie distribuite
normal, metodele de m ăsurare implic ă metode riguroase de lucru care limiteaz ă
corelați a dintre observa ții. Cu toate aceste, "abateri" de la distribu ția normal ă au
avut loc destul de des și sunt explicate datorit ă existenței erorilor grosolane. Având
în vedere faptul c ă în geodezie noi c ăutăm erorile grosolane din cadrul observa țiilor,
în modelul regresiei multiple acestea reprezint ă valori externe. Aceste erori
grosolane distorsioneaz ă supoziția de distribu ție normal și conduce la distribu ția altui
tip de distribu ții.[11]

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 13
Pentru a putea face fa ță acestor erori grosolane, putem s ă folosim a șa numiții
estimatori robu ști în procesul de evaluare a datelor . Caspary a formulat calit ățile sau
caracteristicile pe care un estimator robust ar trebui s ă le aibă:
 un estimator robust ar trebui s ă aibă un "punct înalt de pr ăbușire". De
aici rezulta c ă estimatorul este capabil s ă facă față erorilor grosolane –
să poată conlucra cu aceste erori mari
 estimatorul robust ar trebui s ă aibă o influen ță a funcției continu ă sau
mărginită – adic ă erorile grosolane nu ar trebui s ă influențeze
estimatorul in compara ție cu restul setului de date
 estimatorul ar trebui s ă obțină o eficien ță asimptotic ă mare. Cu alte
cuvinte, dispersia estimatorului în jurul valorii de a șteptare ar trebui s ă
fie foarte mic ă
 estimatorul ar trebui s ă aibă proprietatea de a distinge clar observa țiile
– cele de precizii slabe s ă primeasc ă corecții mari, iar observa țiile bune
să primeasc ă corecții mici.
Întrebarea care se pune este care dintre caracteristicile men ționate mai sus
este mai important decât alta, depinzând de cererile în care estimatorul va fi implicat,
de gradul de contaminare a datelor, de num ărul parametrilor necunoscu ți care
trebuie estima ți. De exemplu, pentru compensarea re țelelor geodezice unde atât
numărul de observa ții, cât și numărul de parametrii necunoscu ți care urmeaz ă a fi
estimați pot varia de la câteva zeci la câteva sute, estimatorii robu ști sunt destul de
potriviți, întrucât atunci când contaminarea datelor este mare, punctual înalt de
prăbușire al estimatorului folosit pentru determinarea parametrilor este mai
important. A se re ține faptul c ă toate aceste caracteristici sunt interconectate.
3.4.1. Media aritmetic ă
Media aritmetic ă reprezint ă valoarea reprezentativ ă tipică în jurul c ăreia se
concentreaz ă valorile individuale ( reprezentativitate).
Media aritmetic ă (x) se folose ște în general când fenomenul supus cercet ării
înregistreaz ă modificări aproximativ constant în progresie aritmetic ă.
Definiție. Medie aritmetic ă a valorilor individuale x1,x2……xn ale caracteristicii
x reprezint ă acea valoare x care s-ar fi înregistrat dac ă toți factorii de influen ță ar fi
acționat constant (cu aceia și intensitate) la nivelul fiec ărei unități de înregistrare.
Se disting dou ă tipuri de medie aritmetic ă:
 media aritmetic ă simplă – care se folose ște pentru seriile simple, adic ă
pentru cazurile în care num ărul variantelor caracteristicii studiate este
egal cu num ărul colectivit ății statice.
nxxi

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 14
 Media aritmetic ă ponderat ă – care se folose ște în cazul unei serii de
distribuție, când variantele caracteristicii se înregistreaz ă de mai multe
ori.
p… p ppxx
n 2 1i i

3.4.2. Modulul sa u Valoarea dominant ă
Definiție: Modulul este reprezentat prin valoarea caracteristicii cu frecven ța
cea mai mare. Din defini ție rezultă că modului se poate calcula numai la seriile de
distribuție.
Modulul când seria este simpl ă: fiind pu ține cazuri, de obicei nu se calculeaz ă
modulul.
Modulul când seria este per variante: modul este varianta cu frecven ța cea
mai mare.
Modulul când seria este pe intervale: modul se calculeaz ă după următoarea
formulă :
K l M
2 11
inf o 

Unde:
Linf este limita inferioara a intervalului modal
D1,D2 – diferen ța dintre frecventa intervalului modal si cea a intervalului
anterior, respectiv urmator
K – amplitudinea intervalului modal
3.4.3. Mediana
Mediana este valoarea central ă a unei serii ordonate cresc ător sau
descresc ător, subiectul median fiind punctul de mijloc al seriei.
• Mediana, când este simpl ă:
Seria are un num ăr par: mediana este valoarea din mijlocul seriei sau media
celor 2 valori din mijloc
2x x
M21n
2n 

Seria are un num ăr impar de termeni n și atunci mediana este valoare de
rang (n+1)/2, deci:
21nx M

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 15
• Mediana este pe variante: se calculeaz ă frecvențele cumulate, adic ă
frecvențele aferente unei variante sau unui interval inclusiv cele din varianta sau
intervalul anterior.
Observa ții:
Valoarea medianei nu este afectat ă de observa țiile extreme ale seriei,
proprietatea pe care media aritmetic ă nu o prezinta. Valorile externe sau erorile
aberante pot provoca (abstrac ție făcând de semn) apari ția unor erori mari numite
uneori și erori grosolane la calcularea preciziei m ăsurătorilor.
3.5. Concluzii:
Media se calculeaz ă atunci când este aproximativ normal distribuit ă.
Mediana se calculeaz ă atunci când seria este profund asimetric ă sau exist ă
valori extreme atipice.
Modulul se utilizeaz ă atunci când intereseaz ă care este categoria cea mai
important ă sub aspect numeric sau când seria este nominal ă.
Atunci când distribu ția este absolut simetric ă cei trei indicatori ai tendin ței
centrale : media, mediana și modul sunt egali.
Mediana face parte din categoria quantilelor, adic ă acele puncte care împart
frecvențele în mai multe p ărți egale.
Datorită propriet ăților men ționate, mediana este considerat ă un parametru
robust (Niemeier, 2002)
Toate cele prezentate mai sus fac parte din metoda tehnicii robuste, metoda
care a devenit extrem de utila in cazul in care num ărul de observa ții ce trebuie
prelucrate este foarte mare. Metoda se aplica cu succes in cazul monitoriz ării in timp
a deforma țiilor terenurilor si construc țiilor cu ajutorul tehnologiei Laser Scanner, unde
observațiile efectuate formeaz ă nori de puncte.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 16
4. Predic ția și analiza deforma țiilor prin metoda
elementelor finite
4.1. Generalit ăți
4.1.1. Conceptul de baz ă
Principiul de baz ă în metoda elementelor finite (MEF) este g ăsirea unei solu ții
pentru o problem ă complex ă prin înlocuirea acesteia cu una mai simpl ă. Prin
aceasta înlocuire îns ă se va putea g ăsi doar o solu ție aproximativ ă a problemei în
locul solu ției exacte. Aceast ă metodă are aplicabilitate în cazurile în care nici un
model matematic nu poate rezolva problema prin g ăsirea unei solu ții exacte, sunt
însă si cazuri când nu pot fi g ăsite nici solu ții aproximative prin alte metode, astfel, în
absenta oric ărei alte metode de a g ăsi o rezolvare, fie ea și aproximativ ă, a
problemei, metoda elementelor finite este o metoda de luat în considerare. Are, pe
de alta parte, și avantajul c ă soluția poate fi îmbun ătățită prin realizarea unui volum
mult mai mare de calcul, adic ă împărțirea problemei într-un num ăr mult mai mare de
elemente finite, astfel se ob ține o solu ție mai apropiat ă de soluția exactă.[8]

Figura 4.1 – Aproximarea perimetrului unui cerc prin MEF
În figura de mai sus nota țiile reprezint ă:

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 17
 P, P(i), P(c) – perimetrul cercului, perimetrul poligonului înscris in cerc,
respectiv perimetrul poligonului circumscris;
 r, s – lungimea laturii poligonului înscris in cerc, respectiv circumscris in
cerc.
În cadrul metodei elementelor finite, solu ția finala a problemei obiectului
studiat este considerat ă ca fiind suma solu țiilor individuale ale fiec ărui element. Un
exemplu simplu despre modul in care metoda elementelor finite poate fi folosit ă este
aproximarea perimetrului unui cerc cu perimetrul unui poligon cu n număr de laturi.
Poligonul poate fi atât circumscris cât și înscris in cerc, Figura 4.1.
Pentru a demonstra ca perimetrul unui cerc este aproximat prin perimetrul
unui poligon cu n laturi, trebuie demonstrat c ă:
P)i(PnLim
P)c(PnLim
Pentru asta, perimetrul celor dou ă poligoane trebuie exprimat în func ție de
raza cercului R și numărul de laturi n. Astfel, pentru fiecare din laturile poligoanelor
se pot scrie rela țiile:
n2Rsinr ;n2Rtans
Ținând cont ca perimetrul unui poligon este produsul dintre lungimea laturii cu
numărul total de laturi se poate scrie c ă:
n2nRsin nr P(i) ;n2sRtan ns P(c)
Relațiile de mai sus pot fi transcrise astfel:
nnsin
R2 P(i)





 ;
nntan
R2 P(c)






Cum n tinde către infinit, rezulta c ă π/n tinde către 0, astfel că:
PR2 P(i)  ; PR2 P(c) 
Prin demonstra ția prezentat ă se arata c ă, în pofida faptului ca metoda
elementelor finite este o metoda al c ărei rezultat este unul aproximat, cre șterea
numărului de elemente finite este direct propor ționala cu precizia metodei. Se poate
spune astfel ca atunci când num ărul de elemente finite tinde c ătre infinit, metoda nu
mai are o solu ție aproximativa a problemei ci una exact ă.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 18
4.1.2. Scurt ă prezentare istoric ă
Chiar daca numele metodei elementelor finite i-a fost atribuit recent, conceptul
datează de câteva secole. De exemplu, calculul circumferin ței unui cerc prin
aproximarea cu perimetrul unui poligon a fost realizat de matematicienii din Antichitate. Astfel, în termenii de ast ăzi, fiecare latura a poligonului este un element
finit, si pe m ăsura ce num ărul de elemente finite creste, valoarea aproximata
converge c ătre valoarea reala. Aceste caracteristici r ămân general valabile in orice
aplicație a elementelor finite. [8]
Pentru a g ăsii ecuația diferen țiala a unei arii de suprafa ța minima delimitata
de o curba închisa dat ă, Schellback a discretizat suprafa ța în mai multe triunghiuri si
a folosit o expresie de diferen ță finită pentru a calcula aria discretizat ă totala in 1851.
In metoda elementelor finite, o ecua ție diferen țiala este rezolvata prin înlocuirea
acesteia cu un set de ecua ții algebrice.
Încă din anii 1900, comportamentul unor cadre structurale, compuse din mai
multe bare aranjate într-un mod regulat, a fost aproximat prin comportamentul unui
corp elastic izotrop.
În anul 1943, Courant a prezentat o metod ă de a determina rigiditatea la
torsiune a unui arbore tubular prin divizarea sec țiunii transversale în mai multe
triunghiuri si prin folosirea unei varia ții liniare a func ției de torsiune pentru fiecare
triunghi in punctele sale caracteristice (numite noduri în terminologia metodei
curente). Aceasta lucrare este considerata ca fiind originea metodei elementelor finite.
Încă din anii 1950, inginerii din industria aeronautic ă au început s ă lucreze la
dezvoltarea unei metode aproximative de predic ție a forțelor exercitate de vânt
asupra aripilor avioanelor.
Numele de ” elemente finite” a fost folosit, pentru prima dat ă, de Ray William
Clough , acesta fiind considerat p ărintele fondator al metodei. Chiar dac ă metoda a
fost inițial dezvoltat ă în principiu prin intui
ție și prin argumente matematice, aceasta a
fost recunoscut ă ca fiind o form ă a clasicei metode Rayleigh-Ritz la începutul anilor
1960. Odat ă cu recunoa șterea bazei matematice a metodei, dezvoltarea de noi
metode ale elementelor finite pentru diferite tipuri de probleme și de asemenea si
popularitatea metodei au început s ă crească aproape exponen țial. Faptul c ă în
același timp a avut o dezvoltare fulminant ă și domeniul IT a dus la validarea metodei
din punct de vedere practic, putând fi realizat volumul mare de calcul ce face parte
din metod ă în mod mai mult sau mai pu țin automat.
O interpretare extins ă a metodei elementelor finite a fost realizat ă de
Zienkiewicz și de Cheung și aplicabilitatea metodei în orice domeniu. Odat ă cu
această interpretare extins ă s-a calculat c ă metoda elementelor finite poate deriva
prin aplicarea unei metode reziduale ponderate cum ar fi metoda Galerkin sau
metoda p ătratelor minime . Acest lucru a extins interesul matematicienilor și
inginerilor în aplicarea metodei elementelor finite pentru aflarea solu ției diverselor
ecuații diferen țiale liniare sau non liniare.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 19
În mod tradi țional, matematicienii sunt cei care dezvolt ă tehnici și metode
pentru aflarea solu țiilor unor ecua ții diferen țiale iar inginerii folosesc aceste metode
pentru a rezolva probleme in diverse domenii. Numai în cazul metodei elementelor
finite inginerii sunt cei care au dezvoltat tehnica pentru ca matematicienii s ă
foloseasc ă metoda pentru aflarea solu ției unor ecua ții diferen țiale complexe. În zilele
noastre, rezolvarea problemelor inginere ști prin metoda elementelor finite a devenit o
industrie, prin folosirea metodei sunt permise milioane de grade de libertate.
Progresul rapid al metodei elementelor finite poate fi observat prin faptul c ă
anual aproximativ 3800 de lucr ări de cercetare sunt prezentate și publicate. Înc ă din
anul 1995 au fost estimate un total de 56000 de lucr ări publicate, 380 de c ărți și 400
de conferin țe în domeniul metodei elementelor finite.
Prin acest progres, ast ăzi, metoda elementelor finite este considerat ă ca fiind
cea mai bine stabilit ă și convenient ă metodă de analiz ă atât de c ătre ingineri, cât și
de către cercet ători.
4.2. Prezentarea metodei

Metoda elementelor finite este o metoda de prelucrare aproximativa a
ecuațiilor diferen țiale cu derivate par țiale, ecua ții ce descriu sau nu fenomene fizice
reale.
În principiu, metoda elementelor finite const ă în împărțirea domeniului de
analiză în zone de form ă geometric ă simplă, analiza acestora si recompunerea
domeniului respectând anumite deziderate matematice.
Domeniile de aplica ție a metodei elementelor finite pot fi orice domenii de
activitate ce descriu un fenomen cu ajutorul unor ecua ții diferen țiale. Pân ă în
momentul de fa ță, metoda s-a dezvoltat în mod remarcabil in domenii precum:
analiza fluidelor, analiza electrica, analiza magnetica, analiza termica, analiza
structurala. [9]
Programul de calcul folosit pentru a analiza problema nu rezolva structura
reala, ci doar modele ale ei. Modelarea este o activitate de simplificare a structurii
prin încercarea de a încadra diverse por țiuni ale structurilor prin simplificarea
încărcărilor si a rezem ărilor. Modelarea este direct legata de modelator si ține foarte
mult de experien ța fiecăruia, a inspira ției si este strâns legata de cunoa șterea
bazelor teoretice ale metodei. Fiecare program ce are la baza metoda elementelor
finite prezinta anumite particularit ăți care trebuie înv ățate dar sunt si o serie de reguli
de baza ale metodei care odat ă stăpânite permite abordarea oric ărui program ce are
la baza metoda elementelor finite.
Metoda elementelor finite s-a dezvoltat într-o tehnologie indispensabila în
modelarea și simularea unor sisteme inginere ști avansate. In încercarea de a
construi un sistem ingineresc avansat, inginerii si proiectan ții trec printr-un proces
sofisticat ce se compune din modelare, simulare, vizualizare, analiza, proiectare,

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 20
testare și, în final, fabricare. De cele mai multe ori un volum imens de lucru se
realizeaz ă înainte fabric ării propriu-zise a construc ției. Acest lucru se realizeaz ă
pentru a asigura folosirea construc ției în condi ții optime, dar și pentru a avea un cost
redus de construire a proiectului. Acest proces este ilustrat în Figura 4.2, proces care de cele mai multe ori se reia în diverse faze datorit ă datelor ob ținute în teren.
Astfel, tehnicile ce au leg ătura direct ă cu modelarea și simularea joac ă un rol
important, iar metoda elementelor finite devine o unealt ă standard folosita în
aproape orice proiect de anvergura mare.

Figura 4.2 – Procesele realizate înaintea construc ției

Metoda elementelor finite au fost ini țial folosite pentru a rezolva probleme de
analiza structurilor și analiza solidelor și de atunci a fost folosita în rezolvarea mai
multor tipuri de probleme din diferite ramuri ale ingineriei.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 21

Figura 4.3 – Discretizarea in elemente finite a unei por țiuni dintr-o sfer ă
În principiu, metoda elementelor finite este o metod ă numeric ă care caut ă o
soluție aproximativ ă a distribu ției variabilelor în domeniul cercetat, care, de obicei,
este greu de ob ținut prin metode analitice. Se aplica prin divizarea domeniului într-un
număr finit de piese numite elemente, de obicei forme simple din punct de vedere
geometric, cum este prezentat în Figura 4.3, unde o sec țiune a unei sfere este
discretizat ă in mai multe elemente simple. În pasul urm ător, principiile metodei sunt
aplicate fiec ărui element în parte.

Figura 4.4 – Aproximarea prin elemente finite in cazul uni-dimensional

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 22
Figura de mai sus ilustreaz ă schematic distribu ția unei func ții f(x), în cazul uni
dimensional ce este aproximat folosind metoda elementelor finite. În acest caz f(x)
este o func ție continua care este aproximat ă folosind func ții liniare pe por țiuni in
fiecare element. În cazul unidimensional sfâr șitul fiecărui element este denumit nod.
Variabilele necunoscute în metoda elementelor finite sunt valorile discrete ale
funcției in noduri. Principiile matematice sunt astfel folosite pentru a stabili ecua țiile
pentru fiecare element in parte, dup ă care elementele sunt legate unele de celelalte
pentru a descrie distribu ția privind întreaga geometrie. [9]
4.2.1. Etapele de rezolvare a une i probleme cu ajutorul metodei
elementelor finite
1. Împărțirea domeniului de analiz ă în elemente finite
În aceast ă etapă se alege tipul de elemente finite în concordan ță
cu obiectul studiat și se împarte structura în elemente finite. Aceast ă
operațiune poart ă numele de discretizare și de cele mai multe ori este
făcută în mod automat cu ajutorul calculatorului. Tipul de element finit
este definit de mai multe aspecte cum ar fi: num ărul de dimensiuni (
unidimensional, bidimensional sau tridimensional); num ărul de noduri ale
fiecărui element; func țiile de aproximare ce urmeaz ă a fi asociate.
Calitatea rezultatelor ob ținute este direct influen țată de alegerea tipului de
elemente finite și de modul în care este discretizat obiectul studiat.
2. Constituirea ecua țiilor elementelor finite
Comportarea obiectului studiat în cuprinsul unui element finit este
descris de ecua țiile elementelor finite, numite și ecuații elementale.
Acestea alc ătuiesc un sistem de ecua ții al fiecărui element finit.
3. Asamblarea ecua țiilor elementale în sistemul de ecua ții al structurii
Comportarea întregii structuri este modelat ă prin asamblarea
sistemelor de ecua ții ale fiec ărui element finit în sistemul general de
ecuații al structurii, ceea ce înseamn ă că echilibrul structurii este direct
proporțional cu echilibrul elementelor finite. Prin unirea acestora se
impune ca în nodurile comune func țiile necunoscute s ă aibă aceeași
valoare.
4. Implementarea condi țiilor la limit ă și rezolvarea sistemului de ecua ții al
structurii
Sistemul de ecua ții astfel format este rezolvat, ob ținându-se
valorile func țiilor în fiecare nod al re țelei. Acestea poart ă denumirea de
necunoscute primare sau de ordinul întâi.
5. Efectuarea de calcule suplimentare pentru determinarea
necunoscutelor secundare
În anumite cazuri, dup ă determinarea necunoscutelor primare,
analiza se încheie. Acest caz este de obicei cazul problemelor în care

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 23
necunoscutele ce trebuie aflate se g ăsesc în nodurile re țelei formate prin
discretizare. Sunt cazuri îns ă, în care cunoa șterea doar a necunoscutelor
primare nu este de ajuns, analiza continuând pân ă la aflarea unor
necunoscutelor secundare sau de ordinul doi. Astfel, de exemplu, în monitoriz ării deforma țiilor necunoscutele primare sunt deplas ările
nodurilor. Cu ajutorul lor îns ă se determin ă necunoscutele secundare care
sunt deforma țiile specifice în fiecare nod în parte.
4.3. Modelul Matematic
Un model matematic pentru analiza unei structuri implic ă în mod automat
determinarea unui num ăr de variabile și funcții u*(ξ) reprezentând deplas ări,
deformații, ξ fiind func ții de coordonate ξ(x,y,z) , definite în punctele nodale . În cazul în
care solu ția exactă u*(ξ) nu se cunoa ște și u(ξ) este o aproximare a acesteia, func ția
eroare e(ξ) este:
)(*u-)u()e( 
Pentru g ăsirea unei solu ții aproximative este suficient s ă fie descris ă o
expresie care s ă conțină n parametrii de aproximare ai.
)a,…a,a,u()u(n 2 1
Astfel, urmând a se determina ace ști parametri pe baza func ției de eroare.
În metoda elementelor finite aproximarea este nodal ă și are forma:
   nT
n321
N 3 2 1 uN
uuuu
)(N… )(N)(N )(N)u( 






Unde:
 ui sunt parametrii nodali ai aproxim ării și au o semnifica ție fizică
concretă (deplasare nodal ă),
 Ni(ξ) – funcții de interpolare sau de aproximare, care de regul ă au
forme polinomiale.
Soluțiile aproximative u(ξ) pot fi construite pe întreg domeniul V de defini ție a
structurii sau pe subdomenii elementare V e ale elementelor finite ceea ce înseamn ă
că:

n
1eeV V

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 24
Fiecare element finit se numeroteaz ă, de obicei de la 1 la num ărul total de
elemente n, raportarea la un element se face prin indicele e. Opera țiunea de
transformare a unui domeniu într-un num ăr finit de noduri și de elemente finite, fie
ele de acela și fel sau de mai multe feluri, se nume ște discretizare.
4.4. Discretizarea do meniului de analiz ă
Discretizarea domeniului de analiz ă este primul pas ce trebuie realizat în
cadrul rezolv ării numerice a unei probleme folosind metoda elementelor finite.
Discretizarea presupune în principiu deciderea formelor elementelor finite, a
dimensiunilor acestora și tipul, îns ă toate acestea sunt strict legate de elementul
studiat.
Inginerii sunt adesea confrunta ți cu problema delicat ă a raportului dintre
calitatea solu ției numerice și efortul de calcul depus pentru ob ținerea solu ției. În
general m ărimea re țelei de elemente finite este direct propor țională cu precizia
soluției. Totu și o rețea mare de elemente finite conduce c ătre sisteme mari de
ecuații, a căror rezolvare este de multe ori greu de realizat. Astfel, o importan ță
deosebit ă în stabilirea num ărului de elemente finite, modul de discretizare a
domeniului de analiz ă o are analistul care trebuie, prin experien ța sa, să decidă
mărirea rețelei de elemente finite numai în zonele unde sunt de a șteptat gradien ți
mari ai necunoscutelor. În zonele unde varia ția acestora se consider ă că au un
impact mic spre nesemnificativ se pot realiza re țele minimaliste de elemente finite
astfel încât precizia rezultatului s ă fie aproximativ aceea și. [10]

Figura 4.5 – Discretizarea domeniului de analiz ă

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 25
Fiecare nod al re țelei de elemente finite astfel format prezint ă o posibil ă
deplasare pe axa ox și pe axa oy, astfel se poate spune c ă există doi parametrii ce
definesc într-un mod unic deplasarea unui nod. Ace ști parametri poart ă denumirea
de grade de libertate ale unui nod, în literatura de specialitate gradele de libertate sunt notate cu DOF (degree of freedom).
Modelul de calcul al unei structuri ce urmeaz ă a fi supus unei analize prin
metoda elementelor finite, în cazul general, este constituit din linii, suprafe țe plane
ori curbe sau volume. În aceast ă etapă a model ării, modelul este unul continuu
având o infinitate de puncte. Discretizarea reprezint ă demersul fundamental în
metoda elementelor finite și constă în transformarea unei structuri continue, cu o
infinitate de puncte, la un model discret, model caracterizat de un num ăr finit de
puncte, numite noduri.
În noduri se definesc necunoscutele nodale primare, ale c ăror valori se
calculeaz ă prin metoda elementelor finite. Necunoscutele asociate nodurilor pot fi
deplasările, caz în care metoda elementelor finite se nume ște model deplasare.
Pentru modelul deplasare se admite c ă forma deformat ă a unei structuri, ca urmare
a unor diverse solicit ări, este definit ă de deplas ările tuturor nodurilor în raport cu
rețeaua nodurilor înainte de deformare. Fiecare nod poate avea maximum șase
componente ale deplas ării, acestea purtând numele de deplas ări nodale, în raport cu
un sistem de coordonate și referință, sistem la care este raportat ă structura în
ansamblu, trei componente x, y, z , ale deplas ării liniare și trei rotiri Φx, Φy,
Φz.
4.5. Tipuri de ele mente finite
O clasificare general ă, destul de vag ă însă, împarte elementele finite în trei
mari categorii, în func ție de num ărul de dimensiuni din care este constituit domeniul
în discretizarea c ăruia sunt folosite:
 Elemente finite unidimensionale;
Elementele finite unidimensionale sunt folosite atunci când m ărimea analizat ă
ce trebuie aproximat ă depinde de o singur ă variabil ă, astfel c ă elementele
unidimensionale sunt segmente de dreapt ă sau arce de curb ă de-a lungul c ărora ia
valori variabila independent ă a problemei.

Figura 4.6 – Elemente finite unidimensionale

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 26
Cel mai simplu element unidimensional este segmentul de dreapt ă ce
prezintă două noduri, câte unul pe fiecare cap ăt, figura 3.6.a., acesta are asociat ă o
funcție de aproximare de ordinul întâi astfel c ă poartă denumirea de element de
ordinul întâi sau liniar.
Mai complexe sunt elementele unidimensionale de ordinul al doilea, figura
3.6.b., respectiv de ordinul al treilea, figura 3.6.c. În principiu ele nu au numai noduri pe capete ci prezint ă și noduri intermediare. Elementele de ordin al doilea sau
pătratice au trei noduri și sunt aproximate printr-o func ție de tip parabolic. Cele de
ordinul al treilea au patru noduri și sunt aproximate printr-o func ție de tip parabol ă
cubică.
 Elemente finite bidimensionale;
Elemente finite bidimensionale sunt utilizate atunci când m ărimea aproximat ă
depinde direct de dou ă variabile. De exemplu, acestea pot fi folosite pentru
rezolvarea problemelor de elasti citate bidimens ionale, deforma ții și deplasări plane.

Figura 4.7 – Elemente finite triunghiulare
Elementele finite bidimensionale pot fi împ ărțite, în func ție de forma lor, în
elemente finite triunghiulare, Figura 4.7, și elemente finite patrulatere, Figura 4.8.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 27
Elementele triunghiulare sunt regiuni de form ă triunghiulare ale planului. Cel
mai simplu este triunghiul cu laturi rectilinii și trei noduri, func ția sa de aproximare
fiind un polinom de gradul întâi cu dou ă variabile. Elementele triunghiulare de
ordinul al doilea și de ordinul al treilea au noduri nu numai în vârfuri ci și pe laturi, cel
de ordin al treilea având nod interior triunghiului. Elementele de ordinul al doilea au
ca funcție de aproximare un polinom de gradul al doilea complet, iar cele de ordinul
al treilea au un polinom de gradul al treilea complet, în dou ă variabile.

Figura 4.8 – Elemente finite patrulatere
Elementele patrulatere sunt regiuni ce au patru laturi ale planului. Cel mai
simplu este, de asemenea, patrulaterul cu laturi rectilinii și patru noduri, câte unul în
fiecare vârf, func ția de aproximare fiind de tip biliniar. Elementele finite patrulatere de
ordinul doi, figura 3.8.b. este un patrulater ce are 8 noduri, func ția de aproximare
fiind de tip bip ătratic. Elementele finite patrulatere de ordinul al treilea sunt
patrulaterele ce prezint ă douăsprezece noduri, func ția sa de aproximare fiind de tip
bicubic. De obicei, multi utilizatori consider ă că elementul bip ătratic are prea multe
noduri, astfel c ă în practic ă se constat ă o preferin ță aproape exclusiv ă pentru
elementul patrulater biliniar.
 Elemente finite tridimensionale;

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 28
Elementele finite tridimensionale formeaz ă o clasă destul de mare, din
aceasta ce mai des folosite sunt urm ătoarele dou ă familii de elemente finite:
elementele finite tetraedrice și elementele finite hexaedrice.

Figura 4.9 – Elemente finite tetraedrice
În spațiul cu trei dimensiuni, num ărul de noduri ale elementelor cre ște odată
cu creșterea gradului polinomului de aproximare. Aceasta este o cauz ă din care
utilizatorii metodei î și limiteaz ă opțiunile la elemente de ordin mai redus.
În figura 4.9.a. este prezentat cel mai simplu element tetraedric, acesta are
fețe plane și patru noduri. Func ția de aproximare este un polinom de gradul întâi cu
trei variabile. În figura 4.9.b. este prezentat elementul tetraedric de ordinul al doilea
(pătratic) atât în varianta cu fe țe plane, cât și în cea cu fe țe curbe, func ția de
aproximare fiind polinomul de gradul al doilea cu trei variabile.
Singurul element din familia de elemente finite hexaedrice utilizat în aplica ții
este cel cu opt noduri și muchii rectilinii, func ția sa de aproximare fiind de tip triliniar.
Există și elemente hexaedrice de ordin superior, care au, de asemenea, și
variante curbilinii, îns ă utilizarea lor este extrem de rar ă din cauza num ărului excesiv
de mare de noduri.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 29

Figura 4.10 – Elementul finit hexaedric triliniar
În practic ă sunt foarte rar utilizate elemente cu func ții de aproximare de grad
mai mare ca trei. Marea diversitate a elementelor în uz la ora actual ă conduce c ătre
imposibilitatea de a g ăsi un criteriu unic de clasificare. În special, elementele finite de
complexitate matematic ă ridicată sunt cel mai greu de inclus într-o anumit ă clasă de
elemente.
Fiecare tip de element finit trebuie proiectat astfel încât s ă satisfac ă cât mai
fidel discretizarea obiectului studiat, neexistând un element finit ”universal valabil”,
cu ajutorul c ăruia să se poată modela orice form ă geometric ă. [7]
4.6. Avantaje si dezavantaje
Principalele avantaje ale metodei elementelor finite sunt:
Flexibilitate – aceast ă caracteristic ă este dat ă prin faptul c ă se permite
discretizarea unor corpuri sau suprafe țe indiferent de cât de complexe sunt aceste în
elemente de forme geometrice nu doar simple, ci și foarte cunoscute, iar prin
aplicarea unor calcule matematice de baz ă se pot calcula variabilele locale pentru
fiecare element finit in parte urmând a le folosi în determinarea variabilelor globale și
implicit rezolvarea problemei și găsirea solu ției.
Posibilitatea de a modela corpuri neomogene considerând propriet ățile fizice
ale acestora.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 30
Ușurința de a implementa metoda elementelor finite în programe de calcul
generale.
Posibilitatea de a aplica aceea și metodă pentru diferite tipuri de probleme din
diverse domenii inginere ști datorită generaliz ării metodei.
Simplitatea conceptelor de baz ă ale metodei elementelor finite poate fi
considerat un avantaj important al metodei. Importan ța însușirii și a înțelegerii
corecte a acestora poate rezulta din faptul c ă astfel de concepte includ anumite
ipoteze, simplific ări și generaliz ări. Însă ignorarea acestor concepte pot duce la erori
grave în modelare și analiza cu elemente finite și astfel poate devenii un dezavantaj
al metodei.
Dezavantajele metodei elementelor finite: Un dezavantaj major al metodei elementelor finite poate fi considerat num ărul
mare de date de intrare, volumul mare de ca lcul care trebuie realizat pentru a calcula
modelul. Cea mai mare pondere din volumul de lucru discretizarea in elemente finite
a corpului studiat și calcularea coordonatelor nodurilor și configura ția rețelei de
elemente finite.
La ora actual ă programele de prelucrare și analiză prin metoda elementelor
finite existente pe pia ță au module specializate în discretizarea automat ă a corpului
studiat, degrevând astfel utilizatorul de realizarea unui volum mare de lucru prin
discretizarea manual ă.
4.7. Concluzii
Metoda elementelor finite este o metod ă de analiz ă extrem de r ăspândită și
de utilizat ă in diverse domenii inginere ști. Aceast ă metodă prezintă avantajele de a
discretiza orice corp studiat și indiferent cât de complex în elemente simple,
posibilitatea de a aplica aceea și metodă în diverse domenii, simplitatea conceptelor
de bază ale metodei ș.a.m.d. Pe de alt ă parte împ ărțirea obiectului studiat într-un
număr extrem de mare de elemente finite, pentru a avea un rezultat apropriat de
adevăr, duce la formarea unui num ăr mare de noduri și implicit un volum
extraordinar de calcul. În cazul în care tehnologia informatic ă nu evolua odat ă cu
metoda de calcul, u șurând astfel munca depus ă pentru volumul imens, precizia de
determinare f ăcea ca aceasta metoda sa nu fie luat ă în calcul pentru multe din
ramurile inginere ști. Discretizarea obiectelor studiate în elemente finite reprezint ă
partea în care se depune cel mai mare volum de lucru, aceast ă parte este u șurată
cu ajutorul programelor specializate care au implementate programe de calcul ce
realizeaz ă în mod automat discretizarea, indiferent de complexitatea obiectelor
studiate.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 31

5. Concluzii generale

În cazul în care se cere alegerea celui mai bun procedeu de prelucrare
aferent unui anume set de observa ții efectuate, trebuie avut în vedere, în principiu,
minimizarea volumului de calcul, posibilitatea de a putea prelucra sisteme cât mai mari, automatizarea procedeelor de calcul în func ție de metoda de m ăsurare folosita.
Analiza geometric ă a deforma țiilor trebuie s ă poată combina orice fel de
observații, atât geodezice cât și geotehnice ducând astfel la o analiz ă laborioas ă, cu
ajutorul c ăruia se pot determina cel mai bine deforma țiile sau deplas ările apărute în
timp.
Modelarea unui obiect este urmat ă de o simulare a procesului studiat, se
urmărește astfel evolu ția unor parametri cu ajutorul modelului, în condi ții apropriate
de cele reale. Metoda elementelor finite permite acest lucru astfel încât se poate
estima înc ă din faza de proiectare, m ărimea deforma țiilor care vor rezulta asupra
obiectului studiat în condi ții de utilizare considerate normale.
Analiza și interpretarea deforma țiilor depinde în primul rând de tipul re țelei
geodezice și de precizia m ăsurătorilor efectuate. Pentru a putea realiza o analiz ă
completă este nevoie de cunoa șterea influen țelor factorilor externi care concur ă la
deformarea obiectului examinat, deci pentru o interpretare corect ă este nevoie de
specialiști din mai multe domenii și discipline complementare, ingineri geodezi,
constructori, geologi, speciali ști IT.
Trebuie specificat ca în cazul prelucr ării mă
surătorilor geodezice aferente
procesului de monitorizare metoda cea mai r ăspândită și folosită este modelul
Gauss – Markov, deoarece solu ția modelului este considerat ă cea mai apropriat ă de
soluția exactă.
Metoda elementelor finite este într-adev ăr mult mai r ăspândită și folosită dar
în alte domenii inginere ști. În domeniul ingineriei geodezice aceast ă metodă a fost
prezentat ă parțial în diferite teze de doctorat sau lucr ări de cercet ări științifice și puțin
folosită având în vedere faptul ca este o metod ă ce aproximeaz ă soluția și nu oferă o
soluție exactă. Dat fiind faptul c ă, în lucrarea de fa ță, s-a prezentat c ă aproprierea
soluției aproximate prin metoda elementelor finite de solu ția exactă are leg ătură
directă cu mărimea num ărului de elemente finite aplicate problemei și implicit cu
volumul mare de lucru pentru a aplica metoda, consider c ă în viitor aceast ă metodă
va fi folosit ă cu succes în problemele de prelucrare a m ăsurătorilor aferente
proceselor de monitorizare.
Avantajele metodei elementului finit, prezentate mai sus, ofer ă posibilitatea de
studiere a acestei metode nu numai in predic ția deforma țiilor sau a deplas ărilor dar
și in prelucrarea și analiza m ăsurătorilor.

Drd. ing. Vintil ă D. Cătălin-Ionuț Procedee de Prelucrare a M ăsurătorilor
Aferente Procesului de Monitorizare a
Construc țiilor și Terenurilor

UTCB – Școala Doctoral ă Pagina 32
Bibliografie :
1. Dragomir, P. I. – Bazele M ăsurătorilor Inginere ști, Editura Conspress,
București, 2009;
2. Onose, D. – Tehnologii de modelare si monitorizare 3D, note de curs,
Facultatea de Geodezie, Bucure ști, 2012
3. Vintilă, C.I. – Diserta ție: Tehnologia de urm ărire a comport ării în timp a
infrastructurii blocului turn ”Sky Tower” din Floreasca City Center,
București, Facultatea de Geodezie, Bucure ști, 2013;
4. Vintilă, C.I ., Rădulescu C.A., Dragomir P.I. – Monitoring Vertical
Displacements by Means of Geometric Levelling for Sky Tower Building
from Floreasca City Center, Bucharest, GENG14, pag 31-40, Bra șov,
România, 2014
5. Rădulescu A.C., Vintilă C.I. , Dragomir P.I. – Improving the railway
bridges monitoring techniques, GENG14, pag 116-124, Bra șov, România,
2014
6. Vintilă, C.I., Rădulescu C.A., Dragomir P.I. – Modern techniques of lands
and constructions deformation monitoring, GeoCAD, Alba Iulia, 2014
7. Ghergheles, L., – Analiza proceselor dinamice ale constructiilor si
terenurilor, Teza de doctorat, Universitatea Tehnica de Constructii
Bucuresti, 2011
8. Rao, S.S. – The finite element method in engineering, Editura Butterworth
– Heinermann, Burlington, USA, 2011, ISBN 978-1-85617-661-3
9. Liu, G.R., Quek, S.S., – The finite element method, a practical course,
Editura Elsevier, Croydon, UK, 2013, ISBN 978-0-08-098356-1
10. Comșa, D.S. – Metoda Elementelor Finite, Curs Introductiv, Editura U.T.
PRES, Cluj-Napoca, 2007
11. Nistor, S. – Contributii la prelucrarea, analiza si reprezentarea datelor
geodezice, Teza de doctorat, Universitatea Tehnica de Constructii
Bucuresti, 2013.