Lucrare de licent a [609204]
Universitatea ,,Aurel Vlaicu" din Arad
Facultatea de S tiint e Exacte
Specializarea Matematic a informatic a
Lucrare de licent a
Operatori de evolut ie ^ n studiul
ecuat iilor diferent iale
Coordonator stiint i c:
Conf. dr. Codrut a STOICA
Absolvent:
C at alin D. DOHANGIE
Iulie 2015
Universitatea ,,Aurel Vlaicu" din Arad
Facultatea de S tiint e Exacte
Domeniul: Matematic a
Programul de studii: Matematic a informatic a
Nr. din
Date personale ale candidat: [anonimizat]
1. Date privind identitatea persoanei:
Numele: Dohangie
Numele anterior: {
Prenumele: C at alin
2. Sexul (M/F): M
3. Data si locul na sterii:
Ziua/luna/anul: 06/08/1993
Locul na sterii (localitate, judet ): Lipova, Arad.
4. Prenumele p arint ilor:
Tata: Dorinel
Mama: Tundica
5. Domiciliul permanent:
Str. Bugariu ,nr. 18b ,
bl. F ,sc. A ,
tel.: [anonimizat], e-mail : [anonimizat]
6. Sunt absolvent: [anonimizat] ia: Iulie 2015
7. Forma de ^ nv at am^ ant pe care am absolvit-o este: cu frecvent a, cu
tax a ;
8. Locul de munc a (dac a este cazul): –
9. Solicit ^ nscrierea la examenul de licent a sesiunea: Iulie 2015
10. Lucrarea de licent a pe care o sust in are urm atorul titlu:
Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
11.^Indrum ator stiint i c: Conf. dr. Codrut a STOICA
12. Mentionez c a sust in examenul de licent a pentru prima oar a si de-
clar pe propria-mi r aspundere c a am luat la cuno stint a de prevederile
art. 143 din Legea 1/2011. Declar c a prezenta lucrare nu este reali-
zat a prin mijloace fraduloase, ind con stient de faptul c a, dac a se do-
vede ste contrariul, diploma obt inut a prin fraud a ^ mi poate anulat a,
conform art. 146 din Legea 1/2011.
ARAD, 6 iunie 2016
Semn atura autorului lucr arii de licent a
Referat
privind lucrarea de licent a cu titlul
Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
^ ntocmit a de absolvent: [anonimizat] at alin D. DOHANGIE
1. Lucrarea are 70 pagini si este organizat a astfel:
Introducere
Notat ii uzuale
Capitolul 1. Considerat ii generale asupra ecuat iilor diferent iale
Capitolul 2. Operatori de evolut ie asociat i ecuat iilor diferent iale
Capitolul 2. Asupra stabilit at ii solut iilor ecuat iilor diferent iale
Capitolul 3. Aplicat ii ^ n abordarea ecuat iilor diferent iale
Concluzii
Bibliogra e
2. Aprecieri asupra cont inutului lucr arii de licent a, organizare lo-
gic a, mod de abordare, complexitate, actualitate, de cient e
Lucrarea de licent a are un cont inut bine documentat, complex si expus
^ n mod riguos, ind de actualitate si av^ and o mare aplicabilitate.
Lucrarea debuteaz a prin prezentarea unor not iuni matematice de baz a si
demonstrarea unor rezultate clasice, care vor utilizate ulterior.
Sunt introduse concepte recente, de mare actualitate si impact ^ n teo-
ria stabilit at ii, cum ar operatorii de evolut ie asociat i solut iilor ecuat iilor
diferent iale. Este dat a, de asemenea, de nit ia operatorului de evolut ie
translatat, cu o important a deosebit a ^ n caracterizarea propriet at ilor asimp-
totice demonstrate. De asemenea, sunt de nite si caracterizate dou a dintre
propriet at ile de baz a ale operatorilor de evolut ie, cum ar cre sterea si des-
cre sterea exponent ial a uniform a.
O important a deosebit a este acordat a studiului stabilit at ii si instabilit at ii
solut iilor ecuat iilor diferent iale si ale sistemelor de ecuat ii diferent iale, at^ at
prin metode clasice, de tip Liapunov, c^ at si prin intermediul operatorilor de
evolut ie asociat i. Accentul este pus pe tipurile de stabilitate aferente ope-
ratorilor de evolut ie, si, prin aceasta, solut iilor ecuat iilor diferent iale, cum
ar stabilitatea uniform a, stabilitatea exponent ial a uniform a, stabilitatea
integral a uniform a, precum si pe tipurile de instabilitate, ca, de exemplu,
instabilitatea uniform a, instabilitatea exponent ial a uniform a, instabilitatea
integral a uniform a. Sunt date conexiuni^ ntre not iuni si caracteriz ari ale aces-
tora. De asemenea, este pus a ^ n valoare important a operatorului de evolut ie
translatat ^ n caracterizarea propriet at ilor asimptotice avute ^ n vedere.
Aplicat iile prezentate se refer a at^ at la metodele clasice de tip Liapunov
care se utilizeaz a ^ n studiul stabilit at ii solut iilor ecuat iilor diferent iale si ale
sistemelor de ecuat ii diferent iale, c^ at si la metode recente de abordare a
propriet at ilor de stabilitate si instabilitate prin intermediul operatorilor de
evolut ie asociat i. Ele indic a actualitatea subiectului, ^ nscriindu-se ^ n tema-
tica abordat a.
3. Aprecieri asupra lucr arii (se va ment iona: num arul titluri-
lor bibliogra ce consultate, frecvent a notelor de subsol, calitatea si
actualitatea surselor consultate; modul ^ n care absolventul a pre-
lucrat informat iile din sursele bibliogra ce, contribut ii originale)
Lucrarea de licent a este redactat a conform indicat iilor metodologice si
respect a planul de preg atire stabilit si indicat iile bibliogra ce, cu unele ti-
tluri relevante din literatura de specialitate. Sunt date 20 de referint e bi-
bliogra ce de specialitate, f ac^ andu-se referiri explicite ale lucr arilor citate
^ n ecare capitol. Au fost consultate si citate tratate clasice de specialitate
de larg a circulat ie internat ional a, monogra i, precum si articole publicate
^ n jurnale indexate ISI. Absolventul a analizat informat iile, le-a prelucrat si
interpretat ^ ntr-un mod personal. Contribut iile personale se refer a la abor-
darea unor not iuni relativ recente, precum operatorii de evolut ie, ^ n studiul
ecuat iilor diferent iale. Alte contribut ii personale se refer a la demonstrarea
caracteriz arilor acestor concepte, precum si la construct ia unor exemple.
4. Concluzii (valoarea lucr arii elaborate de absolvent, relevant a
studiului ^ ntreprins, competent ele absolventului pe parcursul do-
cument arii si elabor arii lucr arii)
Problematica prezentat a ^ n lucrarea de licent a de fat a este de mare actu-
alitate si cu o aplicabilitate semni cativ a. Abordarea subiectului dovede ste
ambit ia absolventului de a utiliza cuno stint ele acumulate ^ n timpul anilor
de studiu ^ ntr-un mod riguros si de a acumula noi cuno stint e pentru a se
autodep a si. Lucrarea vine cu r aspunsuri riguroase si cu exemple pertinente
la problematici recente din teoria stabilit at ii, abordate prin intermediul ope-
ratorilor de evolut ie.
Este de remarcat interdisciplinaritatea subiectului abordat, prin
aplicat iile teoriei stabilit at ii ^ n economie, zic a, inginerie sau biologie. Ab-
solventul este si student al Facult at ii de S tiinte Economice a universit at ii
noastre, fapt ce vine ^ n sprijinul ideii de a ^ n m asur a s a aplice not iunile si
rezultatele tratate ^ n lucrarea de fat a ^ n abordarea unor modele matematice
caracteristice domeniului economic.
Absolventul a dat dovad a de seriozitate si consecvent a ^ n elaborarea
lucr arii, respect^ and planul de preg atire si indicat iile primite, contribuind ^ ns a
cu idei proprii pertinente ^ n abordarea si tratarea subiectului.
5. Redactarea lucr arii respect a normele de redactare cuprinse
^ n indicat iile metodologice.
6. Nu exist a suspiciuni de realizare prin fraud a a lucr arii de
fat a.
7. Din punct de vedere al cont inutului si al prezent arii, lucrarea
^ ntrune ste toate condit iile cerute de o lucrare de licent a elaborat a
^ n cadrul Programului de studii Matematic a informatic a din cadrul
Facult at ii de S tiint e Exacte. Av^ and ^ n vedere cele de mai sus,
recomand sust inerea public a a lucr arii de licent a ^ n sesiunea din
iulie 2015 si propun acordarea notei
ARAD, 6 iunie 2016
Conf. dr. Codrut a STOICA
Cuprins
Introducere 7
Notat ii uzuale 9
1 Considerat ii generale asupra ecuat iilor diferent iale 10
1.1 Asupra existent ei si unicit at ii solut iei problemei Cauchy . . . . 10
1.2 Ecuat ii diferent iale neautonome ^ n spat ii Banach . . . . . . . . 18
2 Operatori de evolut ie asociat i ecuat iilor diferent iale 23
2.1 Procese evolutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Operatori de evolut ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Asupra stabilit at ii solut iilor ecuat iilor diferent iale 33
3.1 Not iuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Tipuri de stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Criterii de stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Studiul stabilit at ii prin operatori de evolut ie asociat i . . . . . 51
3.2.1 Stabilitatea operatorilor de evolut ie . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Instabilitatea operatorilor de evolut ie . . . . . . . . . . 57
4 Aplicat ii ^ n abordarea ecuat iilor diferent iale 61
4.1 Abordarea prin intermediul metodelor Liapunov . . . . . . . . 61
4.2 Abordarea prin intermediul operatorilor de evolut ie . . . . . . 65
Concluzii 68
Bibliografie 69
6
Introducere
Majoritatea sistemelor dinamice care descriu procese din economie, in-
ginerie, biologie sau zic a sunt extrem de complexe, iar identi carea mo-
delelor matematice corespunz atoare este de multe ori di cil a. Multe feno-
mene complexe din lumea real a sunt modelate prin intermediul ecuat iilor
diferent iale, ecuat iilor cu diferent e, ecuat iilor integrale sau al ecuat iilor cu
derivate part iale. ^In acest context, teoria stabilit at ii se dovede ste a un
instrument de mare actualitate, interdisciplinar, prin aplicabilitatea larg a de
care se bucur a.
Lucrarea de fat a ^ si propune prezentarea propriet at ilor asimptotice ale
solut iilor ecuat iilor diferent iale prin al aturarea unor elemente moderne ce-
lor fundamentale ^ n vederea realiz arii unui studiu unitar. Sunt investigate
existent a, unicitatea, stabilitatea, precum si instabilitatea solut iilor.
Aspectele de actualitate din teoria stabilit at ii se refer a la stu-
diul comport arilor asimptotice ale operatorilor de evolut ie asociat i
ecuat iilor diferent iale, ca, spre exemplu, cre stere exponent ial a, descre stere
exponent ial a, stabilitate exponent ial a si instabilitate exponent ial a, tratate,
^ n lucrarea de fat a, ^ ntr-un cadru uniform.
Lucrarea este structurat a dup a cum urmeaz a.
^In primul r^ and, se prezint a Notat iile uzuale care sunt folosite de-a
lungul acestei lucr ari.
Capitolul 1 , numit Considerat ii generale asupra ecuat iilor diferent iale ,
cuprinde unele not iuni si rezultate fundamentale utile ^ n abordarea ecuat iilor
diferent iale. Sunt demonstrate teoreme de existent a si unicitate pentru
solut iile ecuat iilor diferent iale liniare omogene si neomogene.
Rezultatul central al acestui capitol este reprezentat de teorema de
existent a si unicitate pentru problema Cauchy asociat a unei ecuat ii
diferent iale studiate ^ n spat ii Banach. Pentru demonstrarea acesteia este
enunt at a si demonstrat a o proprietate clasic a din analiza matematic a, si
anume, lema lui Gronwall.
^InCapitolul 2 , intitulat Operatori de evolut ie asociat i ecuat iilor
7
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
diferent iale , accentul este pus pe de nirea not iunii de proces evolutiv aso-
ciat unei ecuat ii diferent iale, pentru care se demonstreaz a unele propriet at i
de baz a si care se dovedesc utile ^ n tratarea problemei Cauchy pentru ecuat ia
diferent ial a liniar a neomogen a. Se studiaz a cazuri particulare de probleme
Cauchy, precum problema Cauchy matricial a si problema Cauchy vectorial a.
Tot ^ n capitolul de fat a este de nit a si exempli cat a not iunea de opera-
tor de evolut ie. Este dat a, de asemenea, de nit ia operatorului de evolut ie
translatat, cu o important a deosebit a ^ n caracterizarea propriet at ilor asimp-
totice ce urmeaz a a demonstrate, at^ at ^ n capitolul de fat a, c^ at si ^ n ca-
pitolul urm ator. De asemenea, sunt de nite si caracterizate dou a dintre
propriet at ile de baz a ale operatorilor de evolut ie, cum ar cre sterea si des-
cre sterea exponent ial a uniform a.
^InCapitolul 3 , numit Asupra stabilit at ii solut iilor ecuat iilor diferent iale ,
se de nesc si studiaz a diverse not iuni de stabilitate si instabilitate pentru
solut iile ecuat iilor diferent iale si ale sistemelor de ecuat ii diferent iale, prin
metodele clasice de tip Liapunov dar si prin intermediul operatorilor de
evolut ie asociat i. Sunt prezentate conexiuni ^ ntre diferitele concepte de sta-
bilitate si instabilitate. De asemenea, este pus a ^ n valoare important a ope-
ratorului de evolut ie translatat ^ n caracterizarea propriet at ilor asimptotice
avute ^ n vedere: stabilitatea si instabilitatea exponent ial a.
^InCapitolul 4 , numit Aplicat ii ^ n abordarea ecuat iilor diferent iale , ac-
centul este pus pe prezentarea unor exemple. Acestea se refer a at^ at la meto-
dele clasice de tip Liapunov care se utilizeaz a ^ n studiul stabilit at ii solut iilor
ecuat iilor diferent iale si ale sistemelor de ecuat ii diferent iale, c^ at si la me-
tode recente de abordare a propriet at ilor de stabilitate si instabilitate prin
intermediul operatorilor de evolut ie asociat i.
Exemplele evident iaz a faptul c a propriet at ile asimptotice ale operato-
rilor de evolut ie sunt esent iale ^ n studiul stabilitat ii solut iilor ecuat iilor
diferent iale.
Concluziile pun ^ n evident a actualitatea subiectului studiat, cu accente
pe elemente clasice dar si moderne din teoria stabilit at ii si pe interdiscipli-
naritatea sa.
Bibliogra a const a dintr-o serie de lucr ari consultate si citate, pe baza
c arora a fost posibil a obt inerea rezultatelor, cu contribut ii personale la struc-
turarea elementelor de teorie si la construct ia unor exemple.
8
Notat ii uzuale
DRn{ domeniu
Ck(D) { mult imea funct iilor care admit ^ n Dderivate, respectiv derivate
part iale de ordinul kinclusiv, continue pe D
L(Rn) { mult imea operatorilor liniari de nit i pe Rncu valori ^ n Rn
X{ spat iu Banach
B(X) { algebra Banach a operatorilor liniari si m arginit i ^ n X
K{ corpul numerelor reale Rsau corpul numerelor complexe C
A{ algebr a Banach
GL(A) { mult imea elementelor inversabile din algebra Banach A
Mn;m(K) { mult imea matricilor cu nlinii simcoloane cu elemente din
corpul K
IR{ interval
CI{ mult imea aplicat iilor continue f:I!Rn
I{ operatorul unitate
9
Capitolul 1
Considerat ii generale asupra
ecuat iilor diferent iale
Capitolul de fat a cuprinde unele not iuni si rezultate fundamentale utile ^ n
abordarea ecuat iilor diferent iale. Sunt demonstrate teoreme de existent a si
unicitate pentru solut iile ecuat iilor diferent iale liniare omogene si neomogene.
Rezultatul central al acestui capitol este reprezentat de teorema de
existent a si unicitate pentru problema Cauchy asociat a unei ecuat ii
diferent iale studiate ^ n spat ii Banach. Pentru demonstrarea acesteia este
enunt at a si demonstrat a o proprietate clasic a din analiza matematic a, si
anume, lema lui Gronwall.
Rezultatele prezentate au fost analizate si structurate pe baza lucr arilor
[3], [6], [14] si [19].
1.1 Asupra existent ei si unicit at ii solut iei
problemei Cauchy
Pentru ^ nceput vom prezenta ni ste not iuni de baz a din algebr a si analiza
matematic a.
Definit ia 1.1.1 Fie (K;+;) un corp comutativ cu + : KK!K si
:KK!Koperat ii algebrice interne. O mult ime X6= ^ mpreun a cu
operat ia algebric a intern a
:XX!X; XX3(x;y)7!xy2X;
cu propriet at ile
(i)8x;y;z2X: (xy)z=x(yz)
10
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(ii)92X;8x2X:x=x=x
(iii)8x2X;9x02X:xx0=x0x=
(iv)8x;y2X:xy=yx
si operat ia algebric a extern a
:KX!X;KX3( ;x)7! x2X;
cu propriet at ile
(i)8 ; 2K;8x2X: ( + )x= ( x)( x)
(ii)8 2K;8x;y2X: (xy) = ( x)( y)
(iii)8 ; 2K;8x2X: ( )x= ( x)
(iv)8x2X: 1x=x
formeaz a o structur a algebric a de spat iu liniar sauvectorial cu scalari ^ n
corpul comutativ K, notat (X;;;K) si numit spat iu liniar sau vectorial.
Definit ia 1.1.2 Prin spat iu metric se ^ nt elege orice mult ime Xpe care este
de nit a o funct ie d:XX![0;1) ce satisface propriet at ile:
(i)d(x;y) = 0,x=y(d este pozitiv de nit a)
(ii)d(x;y) =d(y;x);8x;y2X(d este simetric a)
(iii)d(x;z)d(x;y) +d(y;z);8x;y;z2X(inegalitatea triunghiului)
Orice funct ie dcu propriet at ile de mai sus se nume ste funct ie distant a sau
metric a .
Definit ia 1.1.3 Unspat iu liniar normat este un spat iu liniar real sau com-
plex X pe care este de nit a o funct ie, kk :X![0;1), numit a norm a
av^ and urm atoarele propriet at i:
(i)kxk= 0,x= 0;8x2X
(ii)k xk=j jkxk;8x2X;8 2K(RsauC)
(iii)kx+ykkxk+kyk;8x;y2X
Definit ia 1.1.4 Prin algebr a se ^ nt elege un spat iu liniar X ^ nzestrat cu o
operat ie de ^ nmult ire a elementelor, notat a ( x;y)7!xy, cu propriet at ile:
11
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(i)x(yz) = (xy)z
(ii)x(y+z) =xy+xz
(iii) (y+z)x=yx+zx
(iv) ( x)( y) = ( )(xy);8 ; 2K
Definit ia 1.1.5 Prin operator se ^ nt elege o funct ie de nit a pe un spat iu
liniar X cu valori ^ ntr-un spat iu liniar Y.
Un operator este liniar dac a este aditiv siomogen , adic a ^ ndepline ste
condit iile:
(i)u(x1+x0) =u(x1) +u(x2),8×1;x22X
(ii)u( x) = u(x),8x2X si8 2K
Definit ia 1.1.6 Fie (X,d) un spat iu metric. Numim sir fundamental sau sir
Cauchy un sir (xn)n1din X cu proprietatea lim
n;m!1d(xn;xm) = 0.
Definit ia 1.1.7 Un spat iu metric (X,d) se nume ste complet daca pentru
ecare sir Cauchy ( xn)n1din X, exist a un element x2Xastfel ^ nc^ at
lim
n!1xn=x.
Definit ia 1.1.8 Un spat iu liniar normat ^ n care orice sir Cauchy este con-
vergent se nume ste spat iu Banach .
Definit ia 1.1.9 Algebr a normat a este o algebr a X ^ nzestrat a cu o norm a
kk astfel ^ nc^ atkxykkxkkyk;8x;y2X
Definit ia 1.1.10 O algebr a normat a X, unde X complet ca spat iu liniar
normat este algebr a Banach .
FieA:I!L(Rn) un operator liniar continuu si b:I!Rno aplicat ie
continu a. Fie ( t0;x0)2JIRn. Vom considera problemele Cauchy
(
x0(t) =A(t)x(t);8t2J
x(t0) =x0(A;t0;x0)
si (
x0(t) =A(t)x(t) +b(t);8t2J
x(t0) =x0:(A;b;t0;x0)
^In vederea demonstr arii teoremei de existent a si unicitate a solut iei pentru
problema Cauchy ^ n cazul ecuat iilor diferent iale liniare, omogene si neomo-
gene, vom considera urm atoarele rezultate.
12
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Lema 1.1.1 Fie'(;t0;x0)o solut ie a problemei Cauchy (A;t0;x0) si
(;t0;0)o solut ie a problemei Cauchy (A;b;t0;0). Atunci
'(;t0;x0) + (;t0;0)
este solut ie a problemei Cauchy (A;b;t0;x0).
Demonstrat ie . Este imediat a dac a se au ^ n vedere relat iile
'0(t) + 0(t) =A(t)'(t) +A(t) + (t) +b(t) =A(t)['(t) + (t)] +b(t)
si
'0(t) + 0(t) =x0+ 0 =x0:
S-a veri cat astfel c a funct ia '+ satisface condit iile problemei Cauchy
(A;b;t0;x0), ind solut ie a acesteia.
Lema 1.1.2 Aplicat iax:JI!Rneste o solut ie a problemei Cauchy
(A;b;t0;x0), dac a si numai dac a veri c a relat ia
x(t) =x0+Zt
t0A(s)x(s)ds+Zt
t0b(s)ds:
Demonstrat ie. Necesitatea. Dac ax:J!Rneste o solut ie a problemei
Cauchy (A;b;t0;x0), obt inem relat ia
x(t) x0=Zt
t0x0(s)ds=Zt
t0A(s)x(s)ds+Zt
t0b(s)ds:
Su cient a. Este imediat a, av^ and ^ n vedere c a x(t0) =x0 si deriv^ and relat ia
de de nire a lui x(t);t2J:
Definit ia 1.1.11 Fie (X,d) un spat iu metric. Numim sir fundamental sau
sir Cauchy un sir (xn)n1din X cu proprietatea lim
n;m!1d(xn;xm) = 0:
Definit ia 1.1.12 Un spat iu metric (X,d) se numeste complet dac a pentru
ecare sir Cauchy ( xn)n1din X, exist a un element x2Xastfel ^ nc^ at
lim
n!1xn=x:
Definit ia 1.1.13 Fie (X;d) si (Y;) dou a spat ii metrice. Se nume ste
contract ie o aplicat ief:X!Ypentru care exist a un num ar real c2(0;1)
astfel ca
(f(x);f(y))cd(x;y);8x;y2X:
13
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Teorema 1.1.1 Teorema contract iei a lui Banach. Fie (X,d) un spat iu me-
tric compret si f:X!Xo contract ie. Atunci f are un punct x unic x0 si
lim
n!1fn(x) =x0, pentru orice x2X, unde
fn=ff:::f|{z}
n-ori:X!X:
Demonstrat ie. Pentru ^ nceput, demonstr am existent a unui punct x pentru
aplicat ia f. S irul (xn)n1, de nit prin xn=fn(x);n1, undex2X, este
sir fundamental. Cum spat iul metric (X,d) este complet, rezult a c a exist a
lim
n!1xn=x0. Avem
d(f(x0);xn+1) =d(f(x0);f(xn))cd(x0;xn)
si lim
n!1d(x0;xn) = 0, de unde rezult a lim
n!1xn=f(xn):Din unicitatea limitei
sirului (xn)n1, se obt inef(x0) =x0, ceea ce arat a c a aplicat ia f are un punct
x.^In continuare dovedim unicitatea punctului x pentru aplicat ia f. Cum
f este o contradict ie, au loc inegalit at ile
d(x;y)d(x;f(x)) +d(f(x);f(y)) +d(y;f(y))
d(x;f(x)) +cd(x;y) +d(y;f(f));
pentru orice x;y2X, de unde se obt ine relat ia
d(x;y)1
1 c[d(x;f(x)) +d(y;f(y))]:
Presupunem prin absurd c a ar exista dou a puncte xe x0 siy0pentru aplicat ia
f, adic af(x0) =x0 sif(y0) =y0. T in^ and cont de relat ia anterioar a se obt ine
d(x0;y0)1
1 c[d(x0;f(x0)) +d(y0;f(y0))]:
de unde rezult a d(x0;y0) = 0, si, ^ n continuare x0=y0, ceea ce ^ ncheie
demonstrat ia.
Lema 1.1.3 Fie (X,d) un spat iu metric complet. Aplicat ia f:X!X
pentru care exist a un num ar natural n2astfel ca aplicat ia
fn=ff:::f|{z}
n-ori:X!X
s a e o contract ie, are un punct x unic.
14
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Demonstrat ie. Av^ and ^ n vedere Teorema 1.1.1, rezult a c a exist a un punct
x02Xcu proprietatea fn(x0) =x0. Cum aplicat iile f si fncomut a, avem
fn(f(x0)) =f(fn(x0)) =f(x0);
de unde rezult a c a f(x0) este un punct x pentru fn. T in^ and cont de uni-
citatea punctului x, se obt ine f(x0) =x0, de unde rezult a c a x0este punct
x pentruf.
Observat ia 1.1.1 Spat iulC1al aplicat iilor continue f:I!Rn, undeIR
este un interval, este un spat iu Banach, fapt dovedit prin aceea c a este un
spat iu metric complet relativ la metrica
d(f;g) = sup
t2Ikf(t) g(t)k
care este generat a de norma jjjfjjj= supt2Ikf(t)k.
Teorema 1.1.2 Problema Cauchy (A;b;t0;x0)admite o solut ie unic a notat a
x(;t0;x0) :I!Rn:
Demonstrat ie. FieJ= [a;b]Iun interval compcat. Fie t02J;x 0Rn:Vom
considera aplicat ia g:J!Rn, dat a prin relat ia
g(t) =x0+Zt
t0b(s)ds:
Conform Lemei 1.1.2 trebuie s a ar at am c a ecuat ia
x(t) =g(t) +Zt
t0A(s)x(s)ds (1.1.1)
are solut ie unic a x:J!Rn^ n spat iulCJ. Vom considera aplicat ia
F:CJ!CJ, de nit a prin
(Fx)(t) =g(t) +Zt
t0A(s)x(s)ds:
Pentru a ar ata c a Fare un punct x unic x2 CJ;este su cient s a
demonstr am, conform Lemei 1.1.3, c a exist a unn num ar natural n1;astfel
caFn:CJ!CJ;dat a prinFn=FF:::F|{z}
n-ori;s a e contract ie pe CJ:
Prin induct ie matematic a se arat a c a
(Fnx)(t) =g(t) +Zt
t0A(s)g(s)ds+Zt
t0Zt
t0A(s)A( )g( )d ds +:::+
15
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
+Zt
t0Ztn
t0:::Zt2
t0A(tn)A(tn 1):::A (t1)x(t1)dt1dt2:::dtn:
Se obt ine
(Fnx2)(t) (Fnx1)(t) =
=Zt
t0Ztn
t0:::Zt2
t0A(tn)A(tn 1):::A (t1)[x2(t1) x1(t1)]dt1dt2:::dtn;
de unde rezult a
k(Fnx2)(t) (Fnx1)(t)k
jjjx2 x1jjjZt
t0Ztn
t0:::Zt2
t0kA(tn)kkA(tn 1)k:::kA(t1)kdt1dt2:::dtn=
=jjjx2 x1jjj
n!Zt
t0kA(s)kdsn
:
Se obt ine c a
d(Fnx1;FnX2)Rb
akA(s)kdsn
n!d(x1;x2);
de unde rezult a c a Fneste o contract ie pe CJ;pentrunsu cient de mare.
Rezult a c a, pentru orice interval compact JI;exist a o solut ie
x:J!Rnpentru ecuat ia 1.1.1, care satisface relat ia x(t0) =x0:Cum
solut ia nu depinde de alegerea intervalului compact si cum orice punct din I
poate considerat ca apart in^ and unui compact JI;se obt ine c a solut ia x
este de nit a pe ^ ntreg intervalul I.
Vom de ni aplicat ia A(;t0) :I!L(Rn) prin relat ia
A(t;t0)x=x+Zt
t0A(t1)xdt1+
+1X
n=2Zt
t0Ztn
t0
:::Zt2
t0A(tn)A(tn 1):::A (t1)x
dt1
:::
dtn
undex2Rn:Se obt in urm atoarele consecint e ale Teoremei 1.1.2.
Corolarul 1.1.1 Solut ia problemei Cauchy (A;b;t0;x0)se poate scrie sub
forma
x(t;t0;x0) = A(t;t0)x0+Zt
t0A(t;s)b(s)ds:
16
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Demonstrat ie. Vom considera aplicat ia Fde nit a ca ^ n demonstrat ia Te-
oremei 1.1.2. Unicul punct x a lui Feste aplica ctia x:I!Rn;dat a
prin
x(t) = limn!1 (Fnx0)(t);
undex0poate considerat a o aplicat ie arbitrar a din CJ:De aici, t in^ and cont
de expresia lui Fn;se obt ine expresia lui x.
Corolarul 1.1.2 Solut ia problemei Cauchy (A;b;t0;x0)este dat a de
x(t;t0;x0) = A(t;t0)x0
Rezult a imediat lu^ and b= 0 ^ n Corolarul 1.1.1
Observat ia 1.1.2 Aplicat ia Aata seaz a vectorului x0valoarea sout iei pro-
blemei Cauchy ( A;;t0;x0) ^ n punctul t:Prin urmare, dac a Aeste cunoscut a,
ca de exemplu ^ n cazul ecuat iilor liniare cu coe cient i constant i, solut ia pro-
blemei Cauchy ( A;;t0;x0) poate determinat a conform Corolarului 1.1.2.
Aplicat ia A;numit a rezolvanta ecuat iei diferent iale ( A);are propriet at ile
(i) A(t0;t0) =I;
(ii) A(t;s)A(s;t0) = A(t;t0);8t;s;t 02I;
(iii) A(t;t0) este reversibil a si A(t;t0) 1= A(t0;t);
(iv) Aplicat ia t!A(t;t0) este diferent iabil a si
d
dtA(t;t0) =A(t)A(t;t0):
Observat ia 1.1.3 Aplicat ia':!R;dat a prin
'(t) = A(t;t0)x0;
este solut ia problemei Cauchy ( A;;t0;x0);iar aplicat ia :I!R;dat a prin
(t) =Zt
t0A(t;s)b(s)ds;
este solut ia problemei Cauchy ( A;b;t0;xt):
Av^ and ^ n vedere Lema 1.1.1, (t) +'(t) este solut ia problemei Cauchy
(A;b;;t0;x0):Prin urmare, orice solut ie a ecuat iei diferent iale neomogene
(A;b) este suma dintre o solut ie particular a 'a sa si o solut ie a ecuat iei
diferent iale liniare si omogene ( A):
17
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
1.2 Ecuat ii diferent iale neautonome ^ n spat ii
Banach
FieXun spat iu Banach si f: [a;b]R!Xo aplicat ie.
Definit ia 1.2.1 Funct iafse nume ste integrabil a pe [a;b] dac a exist a I2X
astfel ca pentru orice >0;exist a=()>0 cu proprietatea < ^ nc^ at
pentru orice partit ie ( P) :a=t0<t1<::: <t n=ba intervalului [ a;b] cu
kPk< si oricei2(ti 1;ti);i=1;n;s a aib a loc relat ia kS(f;P) Ik<:
FieIRun interval si f:I!Xo funct ie.
Definit ia 1.2.2 Aplicat ia f se nume ste local integrabil a pe domeniul de
de nit ieIdac a este integrabil a pe orice interval compact din I
Definit ia 1.2.3 Aplicat ia f se nume ste ] continu a pe Idac a este derivabil a
apt peI;f0este local integrabil a pe I si exist at02I^ nc^ at
f(t) =f(t0) +Zt
t0f0( )d ;8t2I: (1.2.1)
Observat ia 1.2.1 Dac a relat ia (1.2.1) are loc pentru o valoare t02I;atunci
are loc pentru orice s2I, adic a
f(t) =f(s) +Zt
sf0( )d ;8t2I:
Vom nota mult imea aplicat iilor ] continu a prinC](I;X) si operatorul
de derivare prin D:C1(I;X)!C(I;X);undeDf=f1:Fie
C]n(I;X) =f:I!Xjf;Df;:::;Dn 1f2C(I;X);Dnf2C](I;X)
FieAo algebr a Banach si a:I!A o aplicat ie local integrabil a pe
domeniul de de nit ie.
Definit ia 1.2.4 Problema determin arii unei aplicat ii x:JI!A cu
proprietatea x2C]n(J;A), care veri c a
x0(t) =a(t)x(t) a.p.t. ^ nJ (~ a)
se nume ste ecuat ie diferent ial a de ordinul 1 liniar a , ^ nA, de nit a de genera-
torult7 !a(t):
Fie (t0;x0)2JIA:
18
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Definit ia 1.2.5 Problema determin arii unei aplicat ii x:JI!A cu
proprietatea x2C]n(J;A);care satisface condit iile
(
x0(t) =a(t)x(t) a.p.t. ^ nJ
x(t0) =x0(~ a;t0;x0)
se nume ste problema Cauchy relativ a la punctul init ial ( t0;x0). O solut ie a
problemei Cauchy (~ a; t0;x0) se noteaz a prin x(;t0;x0):
Propozit ia 1.2.1 Problema Cauchy (~ a;t0;x0)este echivalent a cu problema
determin rii unei aplicat ii x:J!A cu proprietatea c a x2C]n(J;A); si
care veri c a ecuat ia integral a
x(t) =x0+Zt
t0a( )x( )d ;8t2J (R
a;t0;x0)
Demonstrat ie. Este imediat a t in^ and cont de De nit iile 1.2.3, 1.2.5 si de
Observat ia 1.2.1.
Vom prezenta ^ n continuare o teorem a de existent a si unicitate pentru
problema Cauchy (~ a; t0;x0). Pentru demonstrarea acesteia vom considera
urm atorul rezultat.
Lema 1.2.1 Lema lui Gronwall. FieJRun interval si t02J. Consi-
der am>0un num ar xat. Fie f;a:J!Rdou a aplicat ii cu propriet at iile:
(i)f(t)0 sia(t)0;8t2J;
(ii)f, a continue pe J;
(iii)f(t)+Rt
t0a( )f( )d ;8t2J;tt0:
Atunci are loc inegalitatea
f(t)eRt
t0a( )f( )d 8t2J;tt0:
Demonstrat ie. Relat ia (iii) mai poate scris a sub forma
f(t)
1 +1
Zt
t0a( )f( )d
;8tt0:
Au loc relat iile
a(t)f(t)
1 +1
Rt
t0a( )f( )d a(t)
19
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
sau1
a(t)f(t)
1 +1
Rt
t0a( )f( )d a(t);
de unde rezult a
ln
1 +1
Zt
t0a( )f( )d
Zt
t0a( )d :
^In continuare putem scrie
1 +1
Zt
t0a( )f( )d eRt
t0a( )f( )d ;
ceea ce implic a f(t)eRt
t0a( )f( )d ;8t2J;tt0 si ^ ncheie demonstrat ia.
Teorema 1.2.1 Dac a aplicat ia a:I!A este continu a, atunci problema
Cauchy (~ a;t0;x0)are unic a solut ie pe I.
Demonstrat ie. Existent a Se aplic a metoda aproximat iilor succesive a lui E.
Picard. Vom avea ^ n vedere urm atoarele etape: E1.Construim sirul de
aplicat ii (xn)n geq 0;undexn:J!A si aplicat ie a:J!A este continu a,
astfel:
x0(t) =x0
x1(t) =x0+Zt
t0a( )x0d
x2(t) =x0+Zt
t0a( )x1d
:::
xn+1(t) =x0+Zt
t0a( )xnd
Fie [ ; ]J:Atuncit7!ka(t)keste continu a pe [ ; ]. Vom nota
M= sup
t2[ ; ]ka(t)k<1:
E2.Ar at am c a sirul de aplicat ii ( xn)n0converge uniform pe orice interval
compact [ ; ]Jc atre o aplicat ie x:J!A:Au loc relat iile
kx1(t) x0(t)k=
Zt
t0a( )x0d
20
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Zt
t0ka( )kkx0kd Mkx0kjt t0j;
kx2(t) x1(t)k=
Zt
t0a( )[x1( ) x0( )]d
Zt
t0ka( )kkx1( ) x0( )kd Zt
t0Mkx0kMj t0jd =
=M2kx0kZt
t0j t0jd =kx0kM2jt t0j2
2!
Prin metoda indut iei matematice se arat a c a
kxn(t) xn 1(t)kkx0kM2jt t0jn
n!:
Pentru seria
x0+1X
m=1[xm(t) xm 1(t)] =x0+(x1 x0)+(x2 x1)+:::+(xn xn 1)+:::
avem
kx0k+kx1(t) x0k+kx2(t) x1(t)k+:::+kxn(t) xn 1(t)k+:::
kx0k+kx0kMjt t0j+kx0kM2jt t0j2
2!+:::+
+kx0kMnjt t0jn
n!+:::=kx0keMjt t0j:
Rezult a c a seria considerat a converge uniform pe orice interval compact
[ ; ]Jc atre o aplicat ie x:J!A , de unde se obt ine c a sirul ( xn)n0
converge uniform pe [ ; ] c atrex.E3.Vom demonstra c a xeste solut ie a
ecuat iei integrale (R
a;t0;x0):Conform etapei E2rezult a c axeste continu a
peJ. Trec^ and la limit a ^ n relat ia
xn+1(t) =x0+Zt
t0a( )xn( )d
se obt ine
lim
n!1xn+1(t) =x0+ lim
n!1Zt
t0a( )xn( )d :
Cum (xn)n0converge uniform pe [ ; ] c atrex, putem trece la limit a sub
integral a, pentru a obt ine
x(t) =x0+Zt
t0a( )x( )d ;
21
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
ceea ce arat a c a xveri c a ecuat ia integral a (R
a;t0;x0):Prin urmare, xeste
solut ie a problemei Cauchy (~ a; t0;x0):
Unicitatea. Se demonstreaz a prin metoda reducerii la absurd. Presupu-
nem c a problema Cauchy (~ a; t0;x0) are dou a solut ii pe un interval de forma
[t0;t0+T], undeT >0, pe care le not am
x1(t) =x0+Zt
t0a( )x1( )d six2(t) =x0+Zt
t0a( )x2( )d :
Fie
x(t) =x2(t) x1(t) =Zt
t0a( )[x2( ) x1( )]d =Zt
t0a( )x( )d :
Atunci
kx(t)kZt
t0ka( )kkx( )kd ;8t2[t0;t0+T]:
Fie>0;arbitrar, astfel ca
kx(t)k<+Zt
t0ka( )kkx( )kd :
Se aplica a 1.2.1 si se obt ine
kx(t)keRt
t0ka( )kd ;8t2[t0;t0+T]
Trec^ and la limit a pentru !0;se obt inekx(t)k= 0;8t2[t0;t0+T]:
Presupunem c a problema Cauchy (~ a; t0;x0) are dou a solut ii x1 six2pe un
interval de forma [ t0 ~T;t0];undet0>~T>0:Vom notax(t) =x2(t) x1(t);
de unde rezult a c a xeste solut ie a problemei Cauchy (~ a; t0;x0):Fiet=t0 s;
undes2[0;~T]:Not amx(t) =x(t0 s) =y(s):Atunci, cum
y0(s) = x0(t0 s) = a(t0 s)x(t0 s) = a(t0 s)y(s);
rezult a c a aplicat ia y: [0;~T]!A este solut ie a problemei Cauchy
(
y0(t) = a(t0 s)y(s)
y(0) = 0:
Fie aplicat ia b: [0;~T]!A;dat a deb(s) = a(t0 s); si care este continu a.
Cum (
y0(t) =b(s)y(s)
y(0) = 0;
undes2[0;~T] atunciy(s) = 0 este solut ie a problemei Cauchy ( ~b; 0;0):
Prin urmare, se obt ine x(t) = 0;de unde rezult a c a solut ia problemei
Cauchy (~ a; t0;x0) este unic a.
22
Capitolul 2
Operatori de evolut ie asociat i
ecuat iilor diferent iale
^In acest capitol este introdus a not iunea de proces evolutiv asociat unei ecuat ii
diferent iale, pentru care se demonstreaz a unele propriet at i de baz a si care
se dovedesc utile ^ n tratarea problemei Cauchy pentru ecuat ia diferent ial a
liniar a neomogen a.
Ca o continuare a rezultatelor prezentate ^ n capitolul anterior, se inves-
tigheaz a cazuri particulare de probleme Cauchy, precum problema Cauchy
matricial a si problema Cauchy vectorial a.
Tot ^ n capitolul de fat a este de nit a si exempli cat a not iunea de opera-
tor de evolut ie. Este dat a, de asemenea, de nit ia operatorului de evolut ie
translatat, cu o important a deosebit a ^ n caracterizarea propriet at ilor asimp-
totice ce urmeaz a a demonstrate, at^ at^ n capitolul de fat a, c^ at si^ n capitolul
urm ator.
De asemenea, sunt de nite si caracterizate dou a dintre propriet at ile
de baz a ale operatorilor de evolut ie, cum ar cre sterea si descre sterea
exponent ial a uniform a.
Rezultatele obt inute se bazeaz a pe lucr arile [7], [8], [9] si [19].
2.1 Procese evolutive
Definit ia 2.1.1 Solut iile problemelor Cauchy
(
x0(t) =a(t)x(t) apt ^ nJ
x(t0) =I(~ a;t0;I)
23
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
si (
y0(t) =y(t)b(t) apt ^ nJ
y(t0) =I(b;t0;I)
se numesc procese evolutive generate de aplicat iile continue a;b:I!A si
se noteaz a respectiv cu a(t;t0) si b(t;t0):
Propozit ia 2.1.1 Solut iile problemelor Cauchy (~ a;t0;x0 si(b;t0;y0)sunt
date respectiv de relat iile
x(t;t0;x0) = a(t;t0)x0 siy(t;t0;y0) =y0 b(t;t0):
Demonstrat ie. Sunt adev arate relat iile
x0(t;t0;x0) = 0
a(t;t0)x0=a(t)(t;t0)x0=a(t)x(t;t0;x0)
six(t0;t0;x0) = a(t0;t0)x0=Ix0=x0:De asemenea,
y0(t;t0;x0) =y0 0
b(t;t0) =y0 (t;t0)b(t) =y(t;t0;x0)b(t)
siy(t0;t0;x0) =y0 b(t0;t0) =y0I=y0:Demonstrat ia este ^ ncheiat a.
Vom considera z02A:
Propozit ia 2.1.2 Problema Cauchy
(
z0(t) =a(t)z(t) +z(t)b(t)apt ^ nJ
z(t0) =z0(~ a,b;t0;z0)
admite solut ia unic a z(t) = a(t;t0)z0 b(t;t0):
Demonstrat ie. Au loc relat iile
z0(t) = 0
a(t;t0)z0 b(t;t0) + a(t;t0)z0 0
b(t;t0) =
=a(t)a(t;t0)z0 b(t;t0) + a(t;t0)z0 b(t;t0)b(t) =a(t)z(t) +z(t)b(t)
si
z(t0) = a(t0;t0)z0 b(t0;t0) =z0;
ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
Teorema 2.1.1 Urm atoarele relat ii sunt adev arate:
(1)a(t0;t0) = b(t0;t0) =I;8t02I;
(2)a(t;r)a(r;s) = a(t;s); b(r;t) b(s;r) = b(t;s);8t;r;s2I;
trs;
24
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(3)a; b2GL(A) sia(t;t0) 1= a(t0;t); b(t;t0) 1= b(t0;t);
8t;t0;2I;tt0;
(4)a(t;t0) 1= a(t;t0); b(t;t0) 1= b(t;t0);8t;t0;2I;tt0;
(5) Aplicat iile a(;t0) :I!A si b(;t0) :I!A sunt de clas aC1:
Demonstrat ie. (1) Relat iile sunt evidente av^ and ^ n vedere Observat ia 2.1.1
si Propozit ia 2.1.1.
(2) De nim U;V :I!A prinU(t) = a(t;r)a(r;s) siV(t) = a(t;s):Au
loc relat iile
V0(t) = 0
a(t;s) =a(t)a(t;s) =a(t)V(t) siV(s) = a(s;s) =I;
de unde rezult a c a Veste solut ie a problemei Cauchy
(
x0(t) =a(t)x(t)
x(r) = a(r;s):(~ a;r,a(r;s))
Ar at am c a si Uveri c a problema Cauchy (~ a; r;a(r;s)):Sunt adev arate
urm atoarele relat ii
U0(t) = 0
a(t;s)a(r;s) =a(t)a(t;r)a(r;s) =a(t)U(t)
si
U(r) = a(r;r)a(r;s) = a(r;s):
Prin urmare, at^ at Uc^ at siVveri c a problema Cauchy (~ a; r;a(r;s)):Con-
form Teoremei 1.2.1, rezult a c a U(t) =V(t);8t2I:^In mod analog se de-
montreaz a si relat ia pentru b:
(3) Rezult a din relat iile
a(t;r)a(r;t) =I; b(t;r) b(r;t) =I;8t;r2I:
(4) Consider am U:I!A dat a deU(t) = a(t;t0) a(t;t0):Au loc relat iile
U0(t) =a(t)a(t;t0) a(t;t0) a(t;t0) a(t;t0)a(t) = 0;8t2I
siU(t0) =I:Prin urmare, U(t) =I;8t2I;de unde se obt ine relat ia
a(t;t0) 1= a(t;t0):Analog se arat a si relat ia pentru b:
(5) Se obt ine din modul de de nire al aplicat iilor a si b:
Cazuri particulare.
1A=M[n;K] sikAk= sup
jjxjj<1kAxk:de nit a prin A(t) = (aij(t))i;j=1;n;
aij:J!K ind aplicat ii continue. Vom enunt a:
25
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Problema Cauchy matricial a. Fiet02J siX02M [n;K] o matrice dat a.
Se consider a o aplicat ie A:J!M [n;K] continu a. Se cere determinarea
unei aplicat ii X:J!M [n;K];de clas aC1;care s a veri ce
(
X0(t) =A(t)X(t)
X(t0) =X0:(~A;t0;X0)
Problema Cauchy vectorial a. Fiet02J six02Knun vector dat. Se
consider a o aplicat ie A:J!M [n;K] continu a. Se cere determinarea unei
aplicat iix:J!Kn;de clas aC1;care s a veri ce
(
x0(t) =A(t)x(t)
x(t0) =x0:(~A;t0;x0)
Problema Cauchy pentru ecuat ia liniar a neomogen a. Fiet02J six02Kn
un vector dat. Se consider a dou a aplicat ii A:J!M [n;K] sif:J!Kn
continue. Se cere determinarea unei aplicat ii x:J!Kn;de clas aC1;care
s a veri ce (
x0(t) =A(t)x(t) +f(t)
x(t0) =x0:(~A,f;t0;x0)
Propozit ia 2.1.3 Solut ia problemei Cauchy ( ~A;f;t0;x0) este
x(t) = (t;t0)x0+Zt
t0(t; )f( )d ;8t2J;
unde (t;t0)x0este solut ia problemei Cauchy ( ~A;t0;x0)
Demonstrat ie. Conform Lemei 1.1.1, avem SA;f=SA+xp, undeSA;f
este mult imea solut iilor problemei Cauchy ( ~A;f;t0;x0),SAeste mult imea
solut iilor problemei Cauchy ( ~A;t0;x0), iarxpnoteaz a o solut ie particular a a
ecuat iei diferent iale neomogene.
Fiex(t) = (t;t0)x0solut ia problemei Cauchy vectoriale ( ~A;t0;x0). Pen-
tru determinarea solut iei particulare xp;aplic am metoda variat iei constante-
lor si c autam solut ii de forma xp(t) = (t;t0)'(t):Avem
x0
p(t) = 0(t;t0)'(t) + (t;t0)'0(t) =A(t)(t;t0)'(t) +f(t);
de unde rezult a ( t;t0)'0(t) =f(t) sau'0(t) = (t;t0) 1f(t):De aici se
obt ine'(t) =Rt
t0(t0; )f( )d ;pentru orice t2J:Atunci
xp(t) = (t;t0)'(t)x0
p(t) =
26
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
= (t;t0)Zt
t0(t0; )f( )d =Zt
t0(t; )f( )d :
Prin urmare, solut ia problemei Cauchy relative la ecuat ia diferent ial a
neomogen a va
x(t) = (t;t0)x0+Zt
t0(t; )f( )d ;8t2J;
ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
2A=M[n;K], unde K=RsauC:FieA= (aij)i;j=1;n;undeaij2K:
Vom enunt a:
Problema Cauchy matricial a. Fiet02J siX02M [n;K] o matrice dat a.
Se consider a o matrice A2 M [n;K]:Se cere determinarea unei aplicat ii
X:R!M [n;K];de clas aC1;care s a veri ce
(
X0(t) =AX(t)
X(t0) =X0:(A;t0;X0)
Propozit ia 2.1.4 Solut ia problemei Cauchy matriciale (A;t0;X0)este dat a
deX(t) =e(t t0)A:
Problema Cauchy vectorial a. Fiet02J six02Knun vector dat. Se
consider a o matrice A2M [n;K]:Se cere determinarea unei aplicat ii
x:R!Kn;de clas aC1;care s a veri ce
(
x0(t) =Ax(t)
x(t0) =x0:(A;t0;X0)
Propozit ia 2.1.5 Solut ia problemei Cauchy vectoriale (A;t0;x0)este dat a
de
x(t) =x0e(t t0)A:
Observat ia 2.1.1 Are loc relat ia (t;t0) =e(t t0)A:
27
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
2.2 Operatori de evolut ie
FieXun spat iu Banach real sau complex. Fie mult imea tuturor aplicat iilor
de nite pe Xcu valori ^ n Xnotat aB(X). Norma vectorilor si operatorilor
va desemnat a prin kk. Vom considera mult imea
T=f(t;t0)2R2;tt00g:
Definit ia 2.2.1 O aplicat ie : T!B(X) av^ and propriet at ile:
(e1) (t;t) =I;8t0;
(e2) (t;s)(s;t0) = (t;t0);8(t;s);(s;t0)2T
se nume ste operator de evolut ie peX.
Exemplul 2.2.1 Dac af:R!Rnf0g, atunci
(t;t0) =f(t)
f(t0)
este un operator de evolut ie pe R.
Exemplul 2.2.2 Fie problema Cauchy
(dx
dt=A(t)x;t>t 0
x(t0) =x0(2.2.1)
undeA:R+!L (X) este un operator local integrabil. Solut ia unic a ^ n
spat iulXa problemei Cauchy (2.2.1) este x(t;t0;x0) = (t;t0)x0, unde :
T!B(X) este un operator de evolut ie pe X.
Exemplul 2.2.3 Fie :T!B(X) un operator de evolut ie si 2R. Atunci
aplicat ia
:T!B(X);(t;t0) =e (t t0)(t;t0)
veri c a (e1) si (e2) din De nit ia 2.2.1. Vom numi acest operator de evolut ie
translatat .
^In vederea caracteriz arii stabilit at ii operatorilor de evolut ie, respectiv a
solut iilor ecuat iilor diferent iale si ale sistemelor de ecuat ii diferent iale vom
prezenta trei clase particulare de operatori de evolut ie ^ n
Definit ia 2.2.2 Un operator de evolut ie : T!B(X) se zice
28
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(e3)tare continuu (t.c.) dac a pentru orice x2X, aplicat ia dat a de
t!(t;t0)xeste continu a pe [ t0;1) si aplicat ia s!(t;s)xeste
continu a pe [0 ;t];
(e4)tare m asurabil (t.m.) dac a pentru orice ( t0;x)2R+X, aplicat ia
t!(t;t0)xeste m asurabil a.
^In continuare vom considera propriet at ile asimptotice de cre stere
exponent ial a uniform a si descre stere exponent ial a uniform a pentru carac-
teriz ari ulterioare ale stabilit at ii si instabilit at ii exponent iale uniforme.
Definit ia 2.2.3 Un operator de evolut ie : T! B (X) are cre stere
exponent ial a uniforma (u.e.g) dac a exist a dou a constante M1 si! > 0
astfel ^ nc^ at:
k(t;t0)xkMe!(t s)k(s;t0)xk (2.2.2)
pentru orice tst00 si oricex2X:
Ca o de nit ie echivalent a a cre sterii exponent iale uniforme poate con-
siderat a urm atoarea propozit ie.
Propozit ia 2.2.1 Un operator de evolut ie :T! B (X)are cre stere
exponent ial a uniform a dac a si numai dac a exist a M1 si! > 0astfel
^ nc^ at:
k(t;t0)xkMe!(t t0)kxk;8(t;t0)2T;8x2X (2.2.3)
Demonstrat ie. Necesitatea. Consider^ and ^ n De nit ia 2.2.3 s=t0;se obt ine
k(t;t0)xkMe!(t t0)k(t0;t0)xk=Me!(t t0)kxk;8(t;t0)2T;8x2X
av^ and ^ n vedere ( e1) din De nit ia 2.2.1.
Su cient a. Avem, conform propriet at ii ( e2) din De nit ia 2.2.1
k(t;t0)xk=k(t;s)(s;t0)xkMe!(t s)k(s;t0)xk
de unde rezult a c a are cre stere exponent ial a uniform a pentru orice ts
t00 si oricex2X:
Urm atoarea propozit ie poate privit a ca o caracterizare a propriet at ii de
cre stere exponent ial a uniform a pentru operatorii de evolut ie.
Teorema 2.2.1 Fie :T!B (X)un operator de evolut ie. Urm atoarele
a rmat ii sunt echivalente:
(i)are cre stere exponent ial a uniform a
29
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(ii) exist a o funct ie cresc atoare f: [0;1)!(1;1)astfel ca:
k(t;t0)xkf(t s)k(s;t0)xk (2.2.4)
pentru orice tst00 si oricex2X;
(iii) exist a o funct ie cresc atoare f: [0;1)!(1;1)astfel ca:
k(t;t0)xkf(t t0)kxk (2.2.5)
8(t;t0)2T;8x2X
Demonstrat ie. (i))(ii) Rezult a din De nit ia 2.2.3 dac a consider am
f: [0;1)!(1;1);f(t) =Me!t;M1;!> 0:
(ii))(iii) Se obt ine consider^ and ^ n relat ia de la ( ii)s=t0 si t in^ and
cont de proprietatea ( e1) din De nit ia 2.2.1.
(iii))(i) Dac atst00 consider am n= [t s]:Dac aM=f(1)>
1 si!= lnM > 0;conform ipotezei si propriet at ii ( e2) din De nit ia 2.2.1,
avem
k(t;t0)xk=k(t;t 1)(t 1;t0)xkMk(t 1;t0)xk
M2k(t 2;t0)xkMnk(t n;t0)xkMn+1k(s;t0)xk=
=Men!k(s;t0)xkMe!(t s)k(s;t0)xk
pentru orice tst00 si oricex2X;ceea ce arat a c a are cre stere
exponent ial a uniform a.
Propozit ia 2.2.2 Fie :T!B (X)un operator de evolut ie cu cre stere
exponent ial a uniform a. Atunci si operatorul de evolut ie translatat,>0
are proprietatea de cre stere exponent ial a uniform a
k(t;t0)xk=e(t t0)k(t;t0)xkMe(+!)(t t0)kxk;
8(t;t0)2T;8x2X.
Definit ia 2.2.4 Un operator de evolut ie :T! B aredescre stere
exponent ial a uniform a (u.e.dc.) dac a exist a dou a constante M1 si! >0
astfel ^ nc^ at:
k(s;t0)xkMe!(t s)k(t;t0)xk (2.2.6)
pentru orice tst00 si oricex2X.
Urm atoarea propozit ie este o de nit ie echivalent a pentru descre sterea
exponent ial a uniform a a unui operator de evolut ie.
30
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Propozit ia 2.2.3 Un operator de evolut ie :T! B are descre stere
exponent ial a uniform a dac a si numai dac a exist a M1 si! > 0astfel
ca:
e !(t t0)kxkMk(t;t0)xk (2.2.7)
pentru orice (t;t0)2T si oricex2X.
Demonstrat ie. Necesitatea. Consider^ and ^ n De nit ia 2.2.4 s=t0obt inem
kxk=k(t0;t0)xkMe!(t t0)k(t;t0)xk
pentru orice ( t;t0)2T si oricex2X.
Am t inut cont de proprietatea ( e1) din De nit ia 2.2.1.
Su cient a. Conform propriet at ii ( e2) din De nit ia 2.2.1, putem scrie
Mk(t;t0)xk=Mk(t;s)(s;t0)xke !(t s)k(s;t0)xk
pentru orice tst00 si oricex2X, ceea ce asigur a faptul c a are
descre stere exponent ial a uniform a.
O caracterizare a propriet at ii de descre stere exponent ial a uniform a pentru
operatorii de evolut ie este
Teorema 2.2.2 Fie :T!B (X)un operator de evolut ie. Urm atoarele
a rmat ii sunt echivalente:
(i)are descre stere exponent ial a uniform a;
(ii) exist a o funct ie cresc atoare f: [0;1)!(1;1),lim
t!1f(t) =1astfel
ca:
k(s;t0)xkf(t s)k(t;t0)xk (2.2.8)
pentru orice tst00 si oricex2X;
(iii) exist a o funct ie cresc atoare f: [0;1)!(1;1),lim
t!1f(t) =1astfel
ca:
kxkf(t t0)k(t;t0)xk (2.2.9)
pentru orice (t;t0)2T:
Demonstrat ie. (i))(ii) Rezult a din De nit ia 2.2.4 dac a consider am
f(t) =Me!t:
(ii))(iii) Se obt ine din De nit ia 2.2.4.
31
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(iii))(i) Dac atst00 atunci exist a un num ar natural nastfel
cant s<n + 1. Dac a not am M=f(1)>1 si!= lnM > 0;conform
ipotezei avem
k(s;t0)xkMk(s+ 1;t0)xkM2k(s+ 2;t0)xk
Mnk(s+n;t0)xkMn+1k(t;t0)xk=
=Men!k(t;t0)xkMe!(t s)k(t;t0)xk
pentru orice tst00 si oricex2X;ceea ce arat a c a are descre stere
exponent ial a uniform a.
Propozit ia 2.2.4 Fie :T!B(X)un operator de evolut ie cu descre stere
exponent ial a uniform a. Atunci si operatorul de evolut ie translatat,>0
are proprietatea de descre stere exponent ial a uniform a.
Demonstrat ie. Pe baza de nit iei propriet at ii de descre stere exponent ial a a
operatorului de evolut ie si a relat iei care de ne ste operatorul de evolut ie
translatat, au loc relat iile
k(s;t0)xk=e (s t0)k(s;t0)xkMe(+!)(t s)k(t;t0)xk;
pentru orice tst00 si oricex2X, ceea ce concluzioneaz a
demonstrat ia.
32
Capitolul 3
Asupra stabilit at ii solut iilor
ecuat iilor diferent iale
Acest capitol abordeaz a studiul stabilit at ii si instabilit at ii solui ilor ecuat iilor
diferent iale si ale sistemelor de ecuat ii diferent iale, at^ at prin metode clasice,
de tip Liapunov, c^ at si prin intermediul operatorilor de evolut ie asociat i.
Accentul este pus pe tipurile de stabilitate aferente operatorilor de
evolut ie, si, prin aceasta, solut iilor ecuat iilor diferent iale, cum ar stabi-
litatea uniform a, stabilitatea exponent ial a uniform a, stabilitatea integral a
uniform a, precum si pe tipurile de instabilitate, ca, de exemplu, instabilita-
tea uniform a, instabilitatea exponent ial a uniform a, instabilitatea integral a
uniform a. Sunt date conexiuni ^ ntre not iuni si caracteriz ari ale acestora. De
asemenea, este pus a^ n valoare important a operatorului de evolut ie translatat
^ n caracterizarea propriet at ilor asimptotice avute ^ n vedere.
Obt inerea rezultatelor, unele dintre ele ind contribut ii personale, a fost
posibil a pe baza studiului lucr arilor [1], [2], [4], [5], [12], [13], [18], [19] si [20].
3.1 Not iuni generale
3.1.1 Tipuri de stabilitate
Fie sistemmul de ecuat ii diferent iale de ordinul 1
dxi
dt=fi(t;x1;x2;:::;xn);i=1;n; (3.1.1)
undet00 este dat, t2[t0;1);fi: [t0;1)D!R;DRn ind un
domeniu.
Vom interpreta vectorul x= (x1;x2;:::;xn) ca ind coordonatele unui
punctM2D si vom presupune c a funct iile fi;i=1;nsunt continue si
33
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
admit derivate part iale continue pe [ t0;1)D, ^ n raport cu ecare argu-
ment, adic a ^ ndeplinesc condit iile standard pentru existent a si unicitatea
solut iilor sitemului de ecuat ii diferent iale 3.1.1, av^ and ^ n vedere faptul c a
diferent iabilitatea continu a implic a proprietatea funct iei fde a
local lipschitzian a ^ n raport cu x:
Vom considera ( x0
1;x0
2;:::;x0
n)2Rn:Solut ia problemei Cauchy
8
><
>:dxi
dt=fi(t;x1;x2;:::;xn)
xi(t0) =x0
i;i=1;n(fi;t0;x0
i)
se noteaz aX= (x1;x2;:::;xn);unde
xi=xi(t;t0;x0
1;x0
2;:::;x0
n);i=1;n;
ind numit a ^ n mecanic a mi scare.
Vom presupune c a la aceela si moment init ial t0;pozit ia punctului init ial
M0(x0
1;x0
2;:::;x0
n) se modi c a ^ n N0(y0
1;y0
2;:::;y0
n):Se va obt ine o nou a
mi scare, ca solut ie a problemei Cauchy
8
><
>:dyi
dt=fi(t;y1;y2;:::;yn)
yi(t0) =y0
i;i=1;n
si care se noteaz a Y= (y1;y2;:::;yn);unde
yi=yi(t;t0;y0
1;y0
2;:::;y0
n);i=1;n;
Scopul acestui studiu este de a stabili ^ n ce m asur a se abate a doua mi scare
fat a de prima.
Definit ia 3.1.1 Solut iaX= (x1;x2;:::;xn) a problemei Cauchy notate
(fi;t0;x0
i) se nume ste stabil a ^ n sens Liapunov dac a pentru orice valoare
t02[0;1) si orice >0;exist a=(t0;)>0;astfel ^ nc^ at pentru orice
tt0are loc relat ia
jxi(t;t0;x0
1;x0
2;:::;x0
n) yi(t;t0;y0
1;y0
2;:::;y0
n)j<;8i=1;n;
pentru valorile init iale care veri c a jx0
i y0
ij<;8i=1;n:
Observat ia 3.1.1 Not iunea de stabilitate a fost de nit a anterior la momen-
tult=t0:^In cazul stabilit at ii uniforme, pe de alt a parte, nu depinde de t0;
astfel c a relat iile din De nit ia 3.1.1 au loc pentru orice t00:
34
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Definit ia 3.1.2 Solut iaX= (x1;x2;:::;xn) a problemei Cauchy notate
(fi;t0;x0
i) se zice instabil a ^ n sens Liapunov dac a nu este stabil a, adic a dac a
exist a un0>0;exist a un moment t=T si un indice i0astfel ca pentru
orice>0 s a aib a loc relat ia
jxi0(T;t0;x0
1;x0
2;:::;x0
n) yi0(T;t0;y0
1;y0
2;:::;y0
n)j<;8i=1;n;
^ n ipotezajx0
i y0
ij<;8i=1;n:
Definit ia 3.1.3 Solut iaX= (x1;x2;:::;xn) a problemei Cauchy notate
(fi;t0;x0
i) se nume ste asimptotic stabil a dac a este stabil a si dac a, pentru
oricet02[0;1);exist a0=0(t0)>0;astfel ^ nc^ at
lim
t!1jxi(t;t0;x0
1;x0
2;:::;x0
n) yi(t;t0;y0
1;y0
2;:::;y0
n)j= 0;8i=1;n;
pentru valorile init iale care veri c a jx0
i y0
ij< 0;8i=1;n:
Definit ia 3.1.4 Solut iaX= (x1;x2;:::;xn) a problemei Cauchy notate
(fi;t0;x0
i) se nume ste uniform stabil a dac a pentru orice t02[0;1); si pentru
orice>0;exist a=()>0;astfel ^ nc^ at s a aib a loc relat ia
jxi(t;t0;x0
1;x0
2;:::;x0
n) yi(t;t0;y0
1;y0
2;:::;y0
n)j<;8i=1;n;
pentru valorile init iale care veri c a jx0
i y0
ij<;8i=1;n:
Definit ia 3.1.5 Solut iaX= (x1;x2;:::;xn) a problemei Cauchy notate
(fi;t0;x0
i) se nume ste uniform asimptotic stabil a dac a este uniform stabil a si
dac a, pentru orice t02[0;1);exist a0>0;astfel ^ nc^ at
lim
t!1jxi(t;t0;x0
1;x0
2;:::;x0
n) yi(t;t0;y0
1;y0
2;:::;y0
n)j= 0;8i=1;n;
uniform ^ n raport cu t0;pentru valorile init iale care veri c a jx0
i y0
ij< 0;
8i=1;n:
Observat ia 3.1.2 Condit ia de convergent a uniform a ^ n raport cu t0mai
poate formulat a si astfel: pentru orice >0, exist aT=T() astfel ca
jxi(t;t0;x0
1;x0
2;:::;x0
n) yi(t;t0;y0
1;y0
2;:::;y0
n)j<;8tt0+T:
Observat ia 3.1.3 Not iunea de stabilitate asimptotic a a fost de nit a la mo-
mentult=t0:^In cazul stabilit at ii asimptotice uniforme 0nu depinde de t0;
astfel ca relat iile din De nit ia 3.1.3 au loc pentru orice t00 si convergent a
este uniform a.
35
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Observat ia 3.1.4 Not iunile de stabilitate uniform a sunt interesante doar ^ n
cazul sistemelor care depind de timp. Pentru sistemele invariante ^ n timp,
stabilitatea implic a stabilitatea uniform a si stabilitatea asimptotic a implic a
stabilitatea asimptotic a uniform a.
Observat ia 3.1.5 Not iunile de stabilitate date ^ n De nit iile 3.1.1 si 3.1.3,
la fel ca not iunile de instabilitate corespunz atoare, sunt de nite local. Stabi-
litatea global a, care, ^ n probleme practice, se dovede ste a greu de obt inut,
presupune ca relat iile care de nesc tipurile de stabilitate s a e veri cate pen-
tru orice condit ie init ial a x02Rn:
Definit ia 3.1.6 Solut iaX= (x1;x2;:::;xn) a problemei Cauchy notate
(fi;t0;x0
i) se nume ste uniform exponent ial stabil a dac a exist a >0; N1
si0>0;astfel ^ nc^ at pentru orice tst0are loc relat ia
jxi(t;t0;x0
1;x0
2;:::;x0
n) xi(s;t0;y0
1;y0
2;:::;y0
n)jNe (t s)jx0
i y0
ij;
pentru valorile init iale care veri c a jx0
i y0
ij< 0;8i=1;n:
Observat ia 3.1.6 Spre deosebire de stabilitatea ^ n sens Liapunov, not iunea
de stabilitate exponent ial a este o forma tare de stabilitate si implic a con-
ceptele de stabilitate uniform a si asimptotic a. Convergent a exponent ial a se
dovede ste a important a ^ n aplicat ii, av^ and ^ n vedere faptul c a se poate
arata c a este robust a la perturb ari.
Observat ia 3.1.7 La sisteme de ecuat ii diferent iale liniare putem vorbi de
stabilitatea sistemului, av^ and ^ n vedere faptul c a stabilitatea unei solut ii
implic a stabilitatea celorlalte. Un sistem este global uniform exponent ial
stabil dac a relat ia care de ne ste acest tip de stabilitate este veri cat a pentru
orice condit ie init ial a x02Rn:
Observat ia 3.1.8 Pe baza de nit iilor anterioare, remarc am c a o solut ie a
unui sistem de ecuat ii diferent iale este stabil a ^ n sens Liapunov dac a mici
deviat ii fat a de acesta nu au efecte semni cative, ^ n sensul c a traiectoria sau
mi scarea descris a de ea r am^ ane ^ n vecin atatea punctului M0:Stabilitatea
asimptotic a ^ nseamn a, ^ n plus, c a deviat iile init iale sunt amortizate. ^In cazul
stabilit at ii exponent iale, caracterul amortiz arii este speci c.
3.1.2 Criterii de stabilitate
Reamintim unele concepte clasice de funct ii, utile ^ n stabilirea criteriilor de
stabilitate ale solut iilor sistemelor de ecuat ii diferent iale.
36
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Definit ia 3.1.7 O funct ie continu a :Rn!Rse nume ste local pozitiv
de nit a dac a exist a o constant a >0 si o funct ie continu a, strict cresc atoare
m:R+!Rastfel ca urm atoarele condit ii s a e ^ ndeplinite:
(lpd1) (0) = 0;
(lpd2) (x)m(kxk);8x2Rncukxk<
Definit ia 3.1.8 O funct ie continu a :Rn!Rse nume ste pozitiv de nit a
dac a exist a o constant a >0 si o funct ie continu a, strict cresc atoare m:
R+!Rastfel ca urm atoarele condit ii s a e ^ ndeplinite:
(pd1) (0) = 0;
(pd2) (x)m(kxk);8x2Rncukxk<
lim
t!1m(t) =1
Definit ia 3.1.9 O funct ie continu a :Rn!Rse nume ste pozitiv de nit a
dac a exist a o constant a >0 si o funct ie continu a, strict cresc atoare
M:R+!Rastfel ca (x)M(kxk);8x2Rncukxk<:
Metoda direct a a lui Liapunov.
^In cele ce urmeaz a vom studia stabilitatea solut iei nule, care descrie starea
de repaus, a sistemului de ecuat ii diferent iale 3.1.1, f ar a a integra ecuat iile
diferent iale respective. Teoremele prezint a condit ii su ciente de stabilitate.
Teorema 3.1.1 Fiet00:Dac a exist a o funct ie :DRn!R;continuu
diferent iabil a, care satisface ^ n vecin atatea originii condit iile:
(i)funct ia are un minimum strict ^ n origine, adic a
(x)0;8x= (x1;x2;:::;xn)2D
si (x) = 0 dac a si numai dac a xi= 0;pentru orice i=1;n;
(ii)derivata funct iei ;calculat a de-a lungul curbelor integrale ale sistemu-
lui (3.1.1), satisface relat ia
0(x) =nX
i=1@
@xifi(t;x1;x2;:::;xn)0;8tt0;x= (x1;x2;:::;xn)2D
atunci solut ia nul a a sistemului 3.1.1 este stabil a.
37
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Demonstrat ie. Fie>0 sip2(0;] astfel ca
Bp=fx2RnjkxkpgD:
Vom nota = min
kxk=p (x) si vom considera 2(0; ):De nim mult imea
=fx2Bpj (x) g:
Cum, av^ and ^ n vedere c a 0(x(t))<0;pentru orice tt0;implic a inega-
lit at ile
(x(t)) (x(t0)) ;tt0;
rezult a c a
x(t0)2
)x(t)2
8tt0:
Exist a>0 astfel cakxk<;de unde obt inem (x)< : Prin urmare, au
loc incluziunile B
B:Avemx(t0)2B;ceea ce implic a x(t0)2
:
De aici rezult a x(t)2
si mai departe x(t)2B;pentru orice tt0;adic a
kx(t)k< ; pentru orice tt0;^ n ipotezakx(t0)k< : Rezult a, conform
De nit iei 3.1.1, c a solut ia nul a a sistemului de ecuat ii diferent iale (3.1.1)
este stabil a.
Observat ia 3.1.9 Funct ia se nume ste funct ia lui Liapunov. Derivata sa
de-a lungul curbelor integrale ale sistemului este dependent a de ecuat iile
acestuia. Dac a not am '(t;x1;x2;:::;xn) solut ia sistemului care la momentul
init ialt0are valoarea xatunci
0(x) =d
dt ('(t;x1;x2;:::;xn))jt=t0:
Observat ia 3.1.10 Condit iile su ciente ca solut ia nul a a sistemului de
ecuat ii diferent iale (3.1.1) s a e local stabil a se refer a la faptul ca funct ia
s a e local pozitiv de nit a si 0(x)0;8x2BD;unde> 0:
Teorema 3.1.2 Fiet00:Dac a exist a o funct ie :DRn!R;
diferent iabil a, care satisface ^ n vecin atatea originii condit iile:
(i)funct ia are un minimum strict ^ n origine, adic a
(x)0;8x= (x1;x2;:::;xn)2D
si (x) = 0 dac a si numai dac a xi= 0;pentru orice i=1;n;
38
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(ii)derivata funct iei ;calculat a de-a lungul curbelor integrale ale sistemu-
lui (3.1.1), satisface relat ia
0(x) =nX
i=1@
@xifi(t;x1;x2;:::;xn)0;8tt0
si pentrunP
i=1×2
i2>0;tT0t0are loc
d
dt <0;unde > 0;
atunci solut ia nul a a sistemului 3.1.1 este asimptotic stabil a.
Demonstrat ie. Fiew(t) = (x(t)):Presupunem c a
lim
t!1x(t) =x six6= 0:
Rezult a de aici c a lim
t!1 0(t) = 0:Darw0(x)<0:Se obt ine o contradict ie, de
unde se obt ine x= 0:
Conform De nit iei 3.1.3, rezult a c a solut ia nul a a sistemului (3.1.1) este
asimptotic stabil a.
Observat ia 3.1.11 Condit iile su ciente ca solut ia nul a a sistemului de
ecuat ii diferent iale (3.1.1) s a e local stabil a se refer a la faptul ca funct ia
s a e local pozitiv de nit a si 0s a e local pozitiv de nit a.
Observat ia 3.1.12 Teorema 3.1.1 poart a numele de Teorema de stabilitate a
lui Liapunov, iar Teorema 3.1.2 se nume ste Teorema de stabilitate asimptotic a
a lui Liapunov.
Observat ia 3.1.13 Sunt adev arate si reciprocele Teoremei 3.1.1 si Teoremei
3.1.2. Utilitaea acestor rezultate este afectat a de faptul c a nu ofer a indicat ii
asupra tehnicilor de construct ie a funct iei lui Liapunov.
Faptul c a nu se poate determina o funct ie Liapunov care s a veri ce
condit iile din teoremele anterioare nu implic a concluzia c a solut ia nul a nu
este stabil a sau asimptotic stabil a, ci se va face apel la alte metode.
Teorema 3.1.3 Dac a exist a > 0;wi:D!R;i=1;3;funct ii pozitiv
de nite, si o funct ie :DRn!Rcare satisface condit iile:
(i)w1kxk2 (x)w2kxk2;
39
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(ii) (x) =nX
i=1@
@xifi(t;x) w3kxk2;
pentru orice tt0 si oricex2D;atunci solut ia nul a a sistemului (3.1.1)
este uniform asimptotic stabil a.
Observat ia 3.1.14 (1)Dac a ^ n Teorema 3.1.3 se consider a w3(x) = 0;8×2
D;solut ia nul a a sistemului (3.1.1) este uniform stabil a.
(2)Dac a ipotezele Teoremei 3.1.3 se veri c a pentru orice x2Rn si are
loclim
x!1(x) =1;atunci solut ia nul a a sistemului (3.1.1) este global uniform
asimptotic stabil a.
F ar a demonstrat ie, vom prezenta, analog rezultatelor Teoremei 3.1.1, Te-
oremei 3.1.2 si Teoremei 3.1.3, caracterizarea a diverse tipuri de stabilitate
pentru solut ia nul a a unui sistem de ecuat ii diferent iale prin intermediul pro-
priet at ilor funct iei lui Liapunov.
Funct ia
(x)
a lui
LiapunovDerivata
0(x)
de-a lungul curbelor
integraleConcluzii
asupra stabilit at ii
solut iei nule
a sistemului
local pozitiv de nit a0
localstabil a
local pozitiv de nit a
si cu descre stere0
localuniform stabil a
local pozitiv de nit a
si cu descre sterelocal pozitiv
de nit auniform
asimptotic,stabil a
pozitiv de nit a
si cu descre sterepozitiv
de nit aglobal uniform
asimptotic,stabil a
Alt rezultat referitor la stabilitate si care nu poate ^ ncadrat cu u surint a
^ n cazurile anterioare este dat ^ n
Teorema 3.1.4 Dac a exist a >0; i>0;i=1;4;q> 0 si o funct ie
:DRn!Rcare satisface condit iile:
(i) 1kxkq (x) 2kxkq;
(ii) 0(x) =nX
i=1@
@xifi(t;x) 3kxkq;
40
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(iii)
@
@xi
5 4kxkq;
pentru orice x2Dcare ^ ndeplinesc condit ia kxk;atunci solut ia nul a a
sistemului (3.1.1) este local exponent ial stabil a.
Observat ia 3.1.15 Estim ari ale constantelor din De nit ia 3.1.6 pot con-
siderate
Nr 2
1; 3
2 2:
Observat ia 3.1.16 Teorema 3.1.4 furnizeaz a condit ii su ciente pentru ca
solut ia nul a a sistemului (3.1.1) s a e global exponent ial stabil a dac a relat iile
respective au loc pentru orice x2Rn:
Vom prezenta un rezultat pentru cazul ^ n care condit iile din teoremele
anterioare nu sunt ^ ndeplinite.
Teorema 3.1.5 Fiet00:Dac a exist a o funct ie :DRn!R;
diferent iabil a, care satisface ^ n vecin atatea originii condit iile:
(i)^ ntr-o vecin atate oric^ at de mic a a originii, notat a U;exist a o regiuneR
^ n care (x)>0; si relat ia (x) = 0 are loc pe o submult ime a frontierei
regiuniiRdinR;
(ii)^ n regiuneaR0^ n care ; > 0derivata func tiei satisface relat ia
0(x) =nX
i=1@
@xifi(t;x1;x2;:::;xn)>0;8tt0;
(iii)^ n regiuneaR;derivata funct iei ;calculat a de-a lungul curbelor inte-
grale ale sistemului (3.1.1) satisface relat ia
0(x) >0;8tt0;
atunci solut ia nul a a sistemului (3.1.1) nu este stabil a.
Demonstrat ie. De nim funct ia
(x1;x2) =1
2(x2
1 x2
2):
Pentru orice > 0;exist ax6= 0 cu proprietatea kxk< ; astfel ca
(x)>0:Fiep>0 astfel ca
Bp=fx2RnjkxkpgD:
41
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
FieU=fx2Bpj (x)>0g:Dac a 0(x)>0 pentru orice x2U si (x) =
>0;rezult a (x(t))>;pentru orice tt0:
Din De nit ia 3.1.2, rezult a c a solut ia nul a a sistemului (3.1.1) nu este
stabil a.
Observat ia 3.1.17 Teorema 3.1.5 poart a numele de Teorema de instabilitate
a lui Cetaev.
Observat ia 3.1.18 Teoremele prezentate anterior se pot aplica la investiga-
rea stabilit at ii oric arei mi sc ari. Studiul stabilit at ii solut iei xi=xi(t);i=1;n;
a problemei Cauchy ( fi;t0;x0
i) poate redus la studiul stabilit at ii solut iei
banale a unui sistem obt inut printr-o schimbare de funct ii adecvat a. Ast-
fel, sistemul de ecuat ii diferent iale (3.1.1) se transform a prin schimbarea de
funct iiy(t) =xi(t) xi(t);pentru orice tt0 si1;n^ n sistemul
dyi
dt= dxi
dt+fi(t;y1+x1;y2+x2;:::;yn+xn);i=1;n: (3.1.2)
Solut ia ce urmeaz a a studiat a din punct de vedere al stabilit at ii xi=xi
are ca si corespondent solut ia banal a yi= 0;i=1;na sistemului (3.1.2).
Astfel, prin translatarea originii sistemului de coordonate, studiul stabi-
lit at ii se poate reduce la solut ia nul a. Dac a exist a mai multe mi sc ari pentru
care se studiaz a stabilitatea, se va aborda ecare caz printr-o translatare
speci c a.
Observat ia 3.1.19 ^In cazul particular al sistemelor de ecuat ii diferent iale
liniare si omogene
dxi
dt=nX
j=1aij(t)x;i=1;n;
unde (
aij(t) = aij(t);i6=j
aij(t)0
putem considera, pentru studiul stabilit at ii solut iei nule, funct ia lui Liapunov
ca ind de nit a de relat ia (x1;x2;:::;xn) =nP
i=1×2
i:
Metoda indirect a a lui Liapunov.
^In vederea determin arii stabilit at ii solut iilor unui sistem neliniar de ecuat ii
diferent iale, metoda indirect a a lui Liapunov face apel la liniarizarea acestuia.
42
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
^In cele ce urmeaz a vom de ni not iuni de stabilitate si vom demonstra
unele criterii pentru stabilitatea punctului de echilibru al unui sistem de
ecuat ii diferent iale, de forma
x0=f(t;x) (3.1.3)
undef: [0;1]D!Rn;iarDReste un domeniu. Presupunem c a
funct iafsatisface condit iile standard pentru existent a si unicitatea solut iilor
sistemului de ecuat ii diferent iale (3.1.3), adic a funct ia feste Lipschitz con-
tinu a ^ n raport cu x, uniform ^ n t si continu a pe port iuni ^ n t:
Definit ia 3.1.10 Fiet02[0;1):Un vectorxe2Dse nume ste punct de
echilibru pentru sistemul de ecuat ii diferent iale (3.1.3) la momentul t0dac a
are locf(t;xe) = 0 pentru orice tt0:
Observat ia 3.1.20 Dac axeeste punct de echilibru al sistemului la momen-
tult0;atunci este un echilibru la orice moment t0:
Observat ia 3.1.21 Vectorulxeeste punct de echilibru al uni sistem de
ecuat ii de forma x0=f(x) la un moment oarecare 0 dac a si numai
dac a este un echilibru la orice moment.
Observat ia 3.1.22 Teoremele 3.1.1, 3.1.2 si 3.1.5 r am^ an adev arate pentru
xevectorul nul.
Vom considera sistemul x0=f(t;x);undef(t;0) = 0;pentru orice t0;
ceea ce^ nseamn a c a, ^ n acest caz, punctul de echilibru este originea. Matricea
Jacobi, ata sat a lui f(t;x) relativ la vectorul x, este
A(t) =@f(t;x)
@x(0):
Pentru ecare t xat, are loc relat ia
lim
kxk!0[f(t;x) A(t)x] = 0:
Pentru ca convergent a s a e uniform a, se impune o condit ie mai tare, dat a
de relat ia
lim
kxk!0sup
t0kf(t;x) A(t)xk
kxk= 0 (3.1.4)
^In acest caz, sistemul u0=A(t)ureprezint a liniarizare uniform a a sistemului
dat. C^ and aceast a liniarizare este posibil a, stabilitatea^ n acest caz determin a
stabilitatea local a a sistemului neliniar init ial.
43
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Teorema 3.1.6 Fie sistemul de ecuat ii diferent iale x0=f(t;x);av^ and ori-
ginea punct de echilibru. Dac a are loc relat ia (3.1.4) si dac a, ^ n plus, exist a
M > 0astfel cakA(t)kM;pentru orice t0;unde A este matricea
lui Jacobi ata sat a sistemului dat, atunci, faptul c a originea este un punct de
echilibru uniform asimptotic stabil al sistemului neliniar, implic a faptul c a
originea este un punct de echilibru local uniform asimptotic stabil al sistemu-
lui liniarizat.
Observat ia 3.1.23 Teorema 3.1.6 demonstreaz a c a stabilitatea uniform a
asimptotic a global a a sistemului liniarizat implic a doar stabilitatea uniform a
asimptotic a global a a sistemului neliniar init ial.
Observat ia 3.1.24 Dac a sistemul este autonom, de forma x0=f(x);ne-
depinz^ and de variabila independent a, ^ n cazul de fat a timpul t; sif(0) = 0;
metoda indirect a a lui Liapunov indic a faptul c a, dac a toate valorile proprii
ale matricii Jacobi A=@f(x)
@x(0) sunt situate ^ n semiplanul deschis st^ ang al
planului complex, atunci originea este asimptotic stabil a. Acest lucru va
evident iat si din cele ce urmeaz a.
Vom considera un sistem de ecuat ii diferent iale liniare si neomogene
x0=Ax+b;undeA2M [n;K] sib2Kn:^In acest caz, vom numi echilibru
o solut iexeconstant a a sistemului, deci care veri c a relat ia Axe+b= 0:
Solut ia acestei ecuat ii este unic a dac a matricea Aeste inversabil a.
Vom notay(t) =x(t) xe;t0;undexeste o solut ie arbitrar a sistemului
adic a deviat ia acesteia de la condit ia de echilibru. Rezult a c a
y0(t) =x0(t) =Ax(t) +b=A[y(t) +xe] +b=
=Ay(t) +Axe+b=Ay(t);8t0;
adic ayeste solut ia sistemului de ecuat ii diferent iale liniare si omogene y0=
Ay:Se obt ine
y(t) =eAty(0);t0:
Rezult a
x(t) xe=eAt[x(0) xe];8t0:
Conform rezultatelor, putem scrie
eAt=pX
k=1erktPk(t);
underk;k=1;p;sunt r ad acinile polinomului caracteristic si Pksunt poli-
noame, de grad respectiv mai mic ca dimensiunea matricii Jordan extinse
care are ca elemente diagonale rk:
44
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Vom considera urm atoarele cazuri:
1. Rerk0;k=1;pDin cele ment ionate anterior rezult a c a eAteste
m arginit a pentru orice t0;prin urmare exist a M > 0 astfel cajeAtj<
M;8t0:^In continuare rezult a
jx(t) xej=jeAtjjx(0) xejMjx(0) xej:
Prin urmare, pentru orice > 0;exist a=() =
M;astfel ca, pentru
jx(0) xej< 0;s a avem
jx(t) xej<;80:
Conform De nit iei 3.1.1 , rezult a c a echilibrul xeeste stabil.
2. Rerk<0;k=1;p
^In acest caz exist a
>0 astfel ca Re rk<
;k=1;p:Vom scrie
eAt=e tpX
k=1e(+rk)tPk(t):
Cum lim
t!1Pk(t) = 0;rezult a c a funct ia gdat a deg(t) =e(+rk)tPk(t) este
m arginit a, adic a exist a N > 0 astfel cajeAtj<Ne t;8t0:De aici rezult a
jx(t) xejNe tjx(0) xej;
adic a echilibrul xeeste exponent ial stabil.
Remarc am, ^ n vederea obt inerii rezultatelor care urmeaz a, c a matricea
A si transpusa sa Atau acela si polinom caracteristic, ceea ce face ca pro-
priet at ile referitoare la semnele valorilor proprii ale matricii As a e valabile
si ^ n cazul valorilor proprii ale matricii At:
Vom nota
V=Z1
0eAtteAtdt; (3.1.5)
unde, conform celor ar atate mai sus, integrala considerat a este convergent a.
Au loc relat iile
AtV+VA=Z1
0h
AteAtteAt+eAtteAtAi
dt=
=Z1
0d
dth
eAtteAti
dt= J:
45
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Presupunem c a toate valorile proprii ale matricii Aau partea real a strict
negativ a. Atunci
lim
t!1eAt= lim
t!1eAtt= 0:
Pentru orice vector x2Knau loc relat iile
xtVx=Z1
0xteAtteAtxdt=Z1
0jeAtxj2dt0:
^In plus, relat ia xtVx= 0 are loc dac a si numai dac a eAtx= 0;pentru orice
t0:Rezult a c a, pentru t!0;are locx= 0:Prin urmare, forma p atratic a
asociat a lui Veste pozitiv de nit a, de unde rezult a c a exist a >0 astfel ca
s a aib a loc
xtVxjxj2;8x2Kn:
^In cele ce urmeaz a vom demonstra un rezultat, numit teorema de stabili-
tate ^ n prima aproximare. FieD2Rn:Vom considera o funct ie f:D!Rn;
continuu diferent iabil a, si sistemul de ecuat ii x0=f(x):Vom notaxeechili-
brul pentru acest sistem. Fie matricea
A=@f
@x(xe):
Teorema 3.1.7 Dac a toate valorile proprii ale matricii Aau partea real a
strict negativ a, atunci echilibrul xeeste exponent ial stabil.
Demonstrat ie. Fiey2Rnastfel caxe+y2D:Cumfeste o funct ie de clas a
C1;conform formulei lui Lagrange avem
f(xe+y) f(xe) =Z1
0@f
@x(xe+ y)yd =
Z1
0@f
@x(xe+ y) @f
@x(xe)
yd +@f
@x(xe)y=Ay+g(y);
unde am notat
g(y) =Z1
0@f
@x(xe+ y) @f
@x(xe)
yd :
Se observ a c a funct ia gare proprietatea lim
jyj!0jg(y)j
jyj= 0:
Fiez=z(t);t0;o solut ie particular a a sistemului de ecuat ii diferent iale
x0=f(x):Not amy(t) =z(t) xe:Au loc relat iile
y0(t) =z0(t) =f(z(t)) =f(y(t) +xe) =Ay(t) +g(y(t));8t0:
46
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Cum matricea Aare proprietatea c a toate valoriile proprii au partea real a
negativ a, ei i se poate asocia matricea Vde nit a de relat ia 3.1.5, cu pro-
priet at ileAtV+VA= J si exist a>0 siM > 0 astfel ca s a aib a loc
jxj2xtVxMjxj2;8x2Kn:
De nim ^ n cele ce urmeaz a W(t) =ytVy(t):Funct iaWeste
diferenct iabil a si au loc relat iile
W0(t) =d
dtyt(t)
Vy(t) +yt(t)Vd
dty(t) =
= [yt(t)At+g(yt(t))]Vy(t) +yt(t)V[Ay(t) +g(y(t))] =
=yt(t)(AtV+VA)y(t) +g(yt(t))Vy(t) +ytVg(y(t)) =
= yt(t)y(t) +g(yt(t))Vy(t) +yt(t)Vg(y(t)):
Cum lim
jyj!0jg(y)j
jyj= 0:;exist a>0 astfel ca, pentru jyj<2rM
are loc
jg(y)j<1
4Mjyj:
Presupunem c ajz(0) xej<: Din continuitatea solut iei zrezult a c a exist a
un interval I0R+astfel cajy(t)j<2rM
;8t2I0:Va rezulta
jg(y(t))j<1
4Mjy(t)j;8t2I0:
Atunci
W0(t) jy(t)j2+ 21
4MMjy(t)j2= 1
2jy(t)j2;8t2I0:
Cumjy(t)j21
MW(t);pentru orice t0;rezult a
W0(t) +1
2MW(t)0;8t2I0;
de unde se obt ine
d
dt
e1
2MtW(t)
0;8t2I0:
47
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Prin urmare, funct ia dat a de t7!e1
2MtM(t) este descresc atoare. Rezult a
jy(t)j2W(t)e1
2MtMjx(0) xej2
si
jy(t)js
M
e 1
4Mts
M
<2s
M
:
Deci,
jx(t) xejs
M
e 1
4Mtjx(0) xej;8t0;
de unde rezult a c a echilibrul xeeste exponent ial stabil.
Observat ia 3.1.25 Echilibrulxeeste instabil dac a toate valorile proprii ale
matriciiAau partea real a strict pozitiv a.
Algoritmul lui Huruitz pentru determinarea stabilit at ii solut iei nule a unui
sistem de ecuat ii diferent iale
Fie sistemul de ecuat ii diferent iale de ordin 1
dxi
dt=fi(x1;x2;:::;xn);i=1;n;
1Se scrie matricea lui Jacobi asociat a sistemului dat
J(x1;x2;:::;xn) =@fj
@xk
j;k=1;n
2Se determin a matricea A=J(0;0;:::; 0) si valorile proprii 1;2;:::;n;
ca r ad acini ale ecuat iei det( A In) = 0
3Dac a toate valorile proprii determinate la punctul 2au partea real a strict
negativ a, solut ia nul a a sistemului este asimptotic stabil a.
Vom studia^ n continuare stabilitatea asimpotic a a unui punct de echilibru
atunci c^ and 0nu este local pozitiv de nit a. Rezultatul este aplicabil doar
sistemelor autonome sau periodice.
Fie sistemul de ecuat ii diferent iale neliniar
x(t)0=f(x(t));x(t0) =x0;t00; (3.1.6)
undet2f[t0; x0)j0 x01g sif:D!Rneste continu a pe domeniul
de de nit ie DRn;care este un domeniu cu 0 2D:Presupunem c a feste
Lipschitz continu a pe D sif(0) = 0:De asemenea, presupunem c a pentru
48
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
orice condt ie init ial a x(0)2D;pentru orice x0>0;sistemul 3.1.6 admite o
solut ie unic a x: [t0: x0]!D:
Pentrux02D sit00;aplicat iau(;t0;x0) :R!Rde ne ste traiectoria
sau curba solut iei sistemului 3.1.6 la momentul t;care la momentul init ial t0
a pornit din punctul x0:
Definit ia 3.1.11 Un vectorx2Rnse nume ste punct! limit a al traiectoriei
u(t;t0;x0) dac a exist a un sir crescator ( tn)n0;cu termenii pozitivi si av^ and
proprietatea lim
n!1tn=1;astfel ca
lim
n!1u(tn;t0;x0) =x:
Definit ia 3.1.12 Mult imeaw(x)Rna tuturor punctelor ! limit a se
nume ste mult ime! limit a.
Definit ia 3.1.13 O mult ime MRnse zice pozitiv invarianta relativ la
traiectoriile sistemului 3.1.6 dac a pentru orice y2M si oricet00 are loc
relat iau(t;t0;y)2M;pentru orice tt0:
Propozit ia 3.1.1 Mult imea!-limit a!(x)este pozitiv invariant a si ^ nchis a.
Demonstrat ie. Fiew2!(x):Conform De nit iei 3.1.11, este adev arat a relat ia
lim
n!1x(tx;t0;x0) =w;unde lim
n!1tn=1:Pentru orice t0;are loc
lim
n!1x(tn+t;t0;x0) =x(t;t0;x0);
de unde rezult a x(t;t0;x0)2!(x);adic a mult imea !-limit a!(x) este pozitiv
invariant a.
Fiewn2!(x) si lim
n!1wn=w:Exist atn>nastfel ca s a aib a loc
d(x(tn;t0;x0);wn)<1
n:
Din inegalitatea triunghiului rezult a
lim
n!1d(x(tn;t0;x0);w) = 0;
ceea ce implic a w2!(x) si demonstreaz a c a mult imea !-limit a!(x) este
^ nchis a.
Observat ia 3.1.26 Identi c^ and traiectoria u(;t0;x0)cu gra cul s au, orbita
punctuluix02Deste mi scarea de-a lungul curbei
Ox0def=fx2Djx=u(t;t0;x0);t2Rg:
49
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Fie
O+
x0def=fx2Djx=u(t;t0;x0);t0g;
care de ne ste orbita nenegativ a a punctului x0:Mult imea!-limit a a punctului
x0poate de nit a prin relat ia
!(x0) =\
t0O+
x0;
ceea ce con rm a faptul c a este o mult ime ^ nchis a.
Fie
cdef=fx2Rj (x)cgD
o mult ime compact a si pozitiv invariant a relatic la traiectoriile sistemului
3.1.6. Vom considera o funct ie :
c!R;continuu diferent iabil a si local
pozitiv de nit a, astfel ca 0(x)0;pentru orice x2
c:De asemenea,
de nim mult imea
Sdef=fx2
cj 0(x) = 0g:
FieMcea mai mare mult ime invariant a inclus a ^ n S.
Teorema 3.1.8 (i)Dac ax02
c;c^ andt! 1;solut ia sistemului
(3.1.6) tinde spre cea mai mare mult ime invariant a inclus a ^ n S, adic a
lim
t!1x(t) =M;
(ii)Dac a mult imeaSnu cont ine alte mult imi invariante ^ n afar a de f0g,
atunci solut ia nul a a sistemului (3.1.6) este asimptotic stabil a.
Demonstrat ie.
(i) Fiex(t);t0;solut ie a sistemului (3.1.6) av^ and x02
c:Cum 0(x)
0 pentru orice x2
c;rezult a
(x(t)) (x(s)) =Zt
s 0(x( ))d 0;8ts;
de unde se obt ine (x(t)) (x(s));pentru orice ts;ceea ce arat a
c a (x(t)) este descresc atoare ^ n t.
Av^ and ^ n vedere c a funt ia este continu a pe mult imea
c;care este
compact a, rezult a c a exist a o constant a 2Rastfel ca (x) ;
pentru orice x2
c; si, prin urmare, exist a lim
n!1 (x(t))not=lx0:Conform
De nit iilor 3.1.11 si 3.1.12, rezult a c a pentru orice w2!(x0);exist a un
sir (tn)n0;cresc ator, nem arginit, cu t0= 0;astfel ca lim
n!1x(tn) =w:
Cum funct ia este continu a au loc relat iile
(w) = ( lim
n!1x(tn)) = lim
n!1 (x(tn)) =lx0;
50
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
de unde se obt ine (w) =lx0;pentru orice w2!(x0):Cum mult imea
c
este compact a c si pozitiv invariant a, rezult a c a exist a o constant a >0
astfel cajx(t)j ;pentru orice t0:Deci, mult imea !(x0) este
nevid a, compact a, invariant a, ceea ce implic a 0(x) = 0;pentru orice
x2!(x0):Au loc incluziunile
!(x0)MS
0:
De aici si din relat ia lim
n!1x(t) =!(x0);rezult a c a lim
n!1x(t) =M
(ii) Remarc am c a, t in^ and cont de faptul c a (x)0;pentru orice x2
c;
solut ia nul a a sistemului (3.1.6) este stabil a ^ n sens Liapunov. Dac a
x02
c;rezult a c a are loc incluziunea !(x0)M;care este cea mai
mare mult ime invariant a inclus a ^ n S:Dar, cum mult imea Snu cont ine
alte mult imi invariante ^ n afar a de f0g;rezult aM=f0g:
Conform celor demonstrate la punctul ( i);se obt ine lim
n!1x(t) = 0;ceea
ce arat a c a solut ia nul a a sistemului (3.1.6) este asimptotic stabil a si ^ ncheie
demonstrat ia.
Observat ia 3.1.27 Teorema 3.1.8 poart a numele de Principiul de invariant a
Barbashin-Krasovskii-LaSalle.
3.2 Studiul stabilit at ii prin operatori de
evolut ie asociat i
^In cele ce urmeaz a vom aborda studiul stabilit at ii solut iilor ecuat iilor
diferent iale si ale sistemelor de ecuat ii diferent iale prin intermediul opera-
torilor de evolut ie asociat i.
3.2.1 Stabilitatea operatorilor de evolut ie
Definit ia 3.2.1 Un operator de evolut ie : T!B(X) se zice
(i)uniform stabil (u.s.) dac a exist a N1 astfel ^ nc^ at:
k(t;t0)xkNk(s;t0)xk (3.2.1)
pentru orice tst00 si pentru orice x2X;
51
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(ii)uniform exponent ial stabil (u.e.s.) dac a exist a N1 si > 0 astfel
^ nc^ at:
k(t;t0)xkNe (t s)k(s;t0)xk (3.2.2)
pentru orice tst00 si pentru orice x2X:
Condit ii echivalente pentru ca un operator de evolut ie s a e uniform sta-
bil, respectiv uniform exponent ial stabil sunt date ^ n
Propozit ia 3.2.1 Un operator de evolut ie :T!B(X)este
(i)uniform stabil dac a exist a N1astfel ^ nc^ at:
k(t;s)kN (3.2.3)
pentru orice (t;s)2T;
(ii)uniform exponent ial stabil dac a exist a N1 si >0astfel ^ nc^ at:
k(t;s)kNe (t s)(3.2.4)
pentru orice (t;s)2T:
Demonstrat ie. Este similar a demonstrat iei Propozit iei 2.2.1.
Observat ia 3.2.1 Au loc urm atoarele implicat ii:
(i) un operator de evolut ie uniform exponent ial stabil este uniform stabil
(u:e:s: ) =)(u:s:)
(ii) un operator de evolut ie uniform stabil are cre stere exponent ial a uni-
form a
(u:s:) =)(u:e:g: )
Pentru caracterizarea propriet at ii de stabilitate exponent ial a uniform a
consider am urm atorul rezultat.
Teorema 3.2.1 Un operator de evolut ie :T! B (X)este uniform
exponent ial stabil dac a si numai dac a exist a f: [0;1)!(1;1)o funct ie
cresc atoare astfel ^ nc^ at:
f(t s)k(t;t0)xkk (s;t0)xk (3.2.5)
pentru orice tst00 si pentru orice x2X:
52
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Demonstrat ie. Necesitatea. Este imediat a dac a consider am f(t) =et:
Su cient a. Fie>0:Avemf()>1:Not am=lnf()
>0 si obt inem
e(t s)k(t;t0)xkf()f()nk(t;t0)xk
f()f()n 1k(t ;t0)xk:::f()k(t n;t 0)xk
f()f(r)k(t n;t 0)xkf()k(s;t0)xk:
Dac a consider am N=f( >1);rezult a c a este uniform exponent ial
stabil.
Vom introduce un nou tip de stabilitate ^ n
Definit ia 3.2.2 Un operator de evolut ie : T!B(X) se zice a uniform
integral stabil (u.i.s.) dac a exist a o constant a M1 astfel ^ nc^ at:
Zt
sk( ;t0)xkd Mk(s;t0)xk (3.2.6)
pentru orice tst00 si pentru orice x2X;
Observat ia 3.2.2 Un operator de evolut ie uniform exponet ial stabil este
uniform integral stabil.
(u:e:s: ) =)(u:i:s: )
Teorema de mai jos prezint a o leg atur a ^ ntre proprietatea de cre stere
exponent ial a uniform a a unu cociclu de evolut ie si stabilitate exponent ial a
uniform a a operatorului de evolut ie.
Teorema 3.2.2 Un operator de evolut ie :T!B(X), tare m asurabil, este
uniform exponent ial stabil dac a si numai dac a este uniform stabil si uniform
integral stabil.
(t:m:)este(u:e:s: )() (u:s:) si(u:i:s: )
Demonstrat ie. Necesitatea. Este o simpl a veri care.
Su cient a. Din stabilitatea uniform a a lui rezult a c a exist a o constant a
N1 astfel ca
k(t;t0)xkNk( ;t0)xk
pentru orice t st00 si pentru orice x2X:
Integr^ and relat ia anterioar a pe intervalul [ s;t] si av^ and ^ n vedere ipoteza
rezult a c a
(t s)k(t;t0)xkNZt
sk( ;t0)xkd MNk(s;t0)xk;
53
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
de unde se obt ine
(t s+ 1)k(t;t0)xkN(M+ 1)k(s;t0)xk
pentru orice tst00 si pentru orice x2X:Conform Teoremei 3.2.1
rezult a c a este uniform exponent ial stabil.
Stabilitatea exponent ial a uniform a a unui operator de evolut ie mai poate
caracterizat a ca ^ n
Teorema 3.2.3 Un operator de evolut ie :T!B(X), tare m asurabil, este
uniform exponent ial stabil dac a si numai dac a este uniform integral stabil si
are cre stere exponent ial a uniform a.
(t:m:)este(u:e:s: )() (u:i:s: ) si(u:e:g: )
Demonstrat ie. Este su cient s a demonstr am c a, dac a operatorul de evolut ie
are cre stere exponent ial a uniform a si, ^ n plus, satisface relat ia 3.2.6, atunci
este uniform stabil.
^Intr-adev ar, dac a not am
1
N=Z1
0du
f(u);
undefeste dat a de Teorema 2.2.1, atunci
k(t;t0)xk
N=Zt
t 1k(t;t0)xk
f(t )d
Zt
sk( ;t0)xkd Mk(s;t0)xk
deci
k(t;t0)xkMNk(s;t0)xk
pentru orice ts+ 1;st00 si pentru orice x2X:
Pentrut2[s;s+ 1] avem
k(t;t0)xkf(t s)k(s;t0)xkf(1)k(s;t0)xk
pentru orice st00 si pentru orice x2X:
Rezult a c a
k(t;t0)xk[MN +f(1)]k(s;t0)xk
pentru orice tst00 si pentru orice x2X:
Deducem c a este uniform stabil. Conform Teoremei 3.2.2, demonstrat ia
este ^ ncheiat a.
Ca o consecint a putem enunt a
54
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Corolarul 3.2.1 Fieun operator de evolut ie uniform integral stabil.
Urm atoarele a rmat ii sunt echivalente:
(i) este uniform stabil;
(ii) este uniform exponent ial stabil;
(iii) are cre stere exponent ial a uniform a.
(u:i:s: ) : (u:s:)() (u:e:s: )() (u:e:g: )
^In continuare va pus a ^ n evidet a leg atura cu rezultatele prezentate ^ n
paragraful 4.1.2.
Definit ia 3.2.3 O aplicat ie :XR+!Xse nume ste funct ia lui Liapunov
pentru operatorul de evolut ie : T!B(X) dac a exist a o constant a M > 0
astfel ^ nc^ at:
(L1) (0;t0) = 0;
(L2) (0;t0) (x;t0)Mkx0k;
(L3) exist ad
dt ((t;t0)x;t) = k(t;t0)xk;
pentru orice t00 si oricex2X:
Teorema 3.2.4 Un operator de evolut ie :T! B (X)este uniform
exponent ial stabil dac a si numai dac a exist a o funct ie Liapunov pentru ope-
ratorul de evolut ie :
Demonstrat ie. Necesitatea. De nim aplicat ia
:XR+!X; (x;t) =Z1
tk(s;t0)xkds
care veri c a relat iile ( L1) (L3) ale De nit iei 3.2.3
Su cient a. Dac a exist a o funct ie Liapunov pentru operatorul de evolut ie
avem relat iile
0 ((t;t0)x;t) = (x;t) +Zt
t0d
ds ((s;t0)x;s)ds=
= (x;t) Zt
t0k(s;t)xkdsMkxk Zt
t0k(s;t)xkds:
55
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Prin urmare, obt inem
Z1
tk(s;t)xkdsMkxk;8t0;8x2X:
adic a este uniform integral stabil. Analog demonstrat iei Teoremei 3.2.7,
rezult a c a este uniform stabil, iar conform Teoremei 3.2.2, rezult a c a
este uniform exponent ial stabil.
Propozit ia de mai jos prezint a o leg atur a ^ ntre proprietatea de cre stere
exponent ial a uniform a a unui operator de evolut ie si stabilitatea exponent ial a
uniform a a operatorului de evolut ie translatat.
Propozit ia 3.2.2 Un operator de evolut ie are cre stere exponent ial a uni-
form a dac a si numai dac a exist a o constant a >0 astfel ^ nc^ at operatorul de
evolut ie-translatat s a e uniform exponent ial stabil.
Demonstrat ie. Necesitatea . Cum are cre stere exponent ial a uniform a atunci
exist a constantele M1 si!>0 astfel ca
e !(t s)k(s;t0)xkMk(t;t0)xk;8tst00;8x2X:
Lu^ and= 2!>0 se obt ine succesiv
k(t;t0)xk=e (t t0)k(t;t0)xkMe (t t0)e!(t s)k(s;t0)xk=
=Me (t t0)e!(t s)k(s;t0)xke(s t0)=Me !(t s)k(s;t0)xk;
pentru orice tst00 si oricex2X, ceea ce arat a c a este uniform
exponent ial stabil.
Su cient a . Dac a exist a > 0 ^ nc^ at operatorul de evolut ie s a e
uniform exponent ial stabil, atunci exist a constantele N > 1 si >0 astfel
ca
k(t;t0)xkNe (t s)k(s;t0)xk;8tst00;8x2X:
Se obt ine ^ n continuare
k(t;t0)xk=e(t t0)k(t;t0)xk
Ne(t t0)e (t s)k(s;t0)xk=Ne(t s)e (t s)k(s;t0)xk;
pentru orice tst00 si oricex2X. Not^ and
!= ;dac a>
1;dac a;
va rezulta c a are cre stere exponent ial a uniform a.
56
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
3.2.2 Instabilitatea operatorilor de evolut ie
Definit ia 3.2.4 Un operator de evolut ie :T!B(X)se zice
(i)uniform instabil (u.is.) dac a exist a o constant a N1astfel ^ nc^ at:
k(s;t0)xkNk(t;t0)xk (3.2.7)
pentru orice tst00 si pentru orice x2X;
(ii)uniform exponent ial instabil (u.e.s.) dac a exist a constantele N1 si
>0astfel ^ nc^ at:
e (t s)k(s;t0)xkNk(t;t0)xk (3.2.8)
pentru orice tst00 si pentru orice x2X:
Ca de nit ii echivalente pentru instabilitatea uniform a respectiv instabili-
tatea exponent ial a uniform a sunt a rmat iile din
Propozit ia 3.2.3 Un operator de evolut ie :T!B(X)este
(i)uniform instabil dac a si numai dac a exist a o constant a N1astfel
^ nc^ at:
1Nk(t;s)k (3.2.9)
pentru orice (t;s)2T;
(ii)uniform exponent ial instabil dac a si numai dac a exist a constantele N
1 si >0astfel ^ nc^ at:
e (t s)Nk(t;s)k (3.2.10)
pentru orice (t;s)2T:
Demonstrat ie. Este similar a celei pentru Propozit ia 3.2.1.
Observat ia 3.2.3 Urm atoarele a rmat ii sunt adev arate:
(i)un operator de evolut ie uniform exponent ial instabil este uniform in-
stabil
(u:e:is: ) =)(u:is:)
(ii)un operator de evolut ie uniform instabil are descre stere exponent ial a
uniform a
(u:is:) =)(u:e:d: )
57
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Proprietatea de instabilitate exponent ial a uniform a a unui operator de
evolut ie poate caracterizat a ca ^ n urm atoarea
Teorema 3.2.5 Un operator de evolut ie :T! B (X)este uniform
exponent ial instabil dac a si numai dac a exist a f: [0;1)!(1;1)o funct ie
cresc atoare astfel ^ nc^ at:
f(t s)k(s;t0)xkk (t;t0)xk (3.2.11)
pentru orice tst00 si pentru orice x2X:
Demonstrat ie. Este asem an atoare demonstrat iei Teoremei 3.2.1.
Un alt tip de instabilitate este dat de
Definit ia 3.2.5 Un operator de evolut ie : T!B(X) se nume ste uniform
integral instabil (u.i.is.) dac a este tare m asurabil si dac a exist a o constant a
M1 astfel ^ nc^ at:
Zt
sk( ;t0)xkd Mk(t;t0)xk (3.2.12)
pentru orice tst00 si pentru orice x2X:
Observat ia 3.2.4 Un operator de evolut ie uniform exponet ial instabil este
uniform integral instabil.
(u:e:is: ) =)(u:i:is: )
Teorema de mai jos prezint a o leg atur a ^ ntre proprietatea de de-
cre stere exponent ial a uniform a a unui operator de evolut ie si instabilitate
exponent ial a uniform a a operatorului de evolut ie.
Teorema 3.2.6 Un operator de evolut ie :T!B(X), tare m asurabil, este
uniform exponent ial instabil dac a si numai dac a este uniform instabil si
uniform integral instabil.
(t:m:)este(u:e:is: )() (u:is:) si(u:i:is: )
Demonstrat ie. Necesitatea. Este o simpl a veri care.
Su cient a. Cum este uniform instabil, exist a o constant a N > 1 astfel ca
k(s;t0)xkNk( ;t0)xk
pentru orice t st00 si pentru orice x2X:
58
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Integr am relat ia anterioar a pe intervalul [ s;t] si, conform ipotezei, rezult a
(t s)k(s;t0)xkNZt
sk( ;t0)xkd MNk(t;t0)xk;
ceea ce implic a
(t s+ 1)k(s;t0)xkN(M+ 1)k(t;t0)xk
pentru orice tst00 si pentru orice x2X:
Conform Teoremei 3.2.5, este uniform exponent ial instabil.
Instabilitatea exponent ial a uniform a a unui operator de evolut ie mai
poate caracterizat a ca ^ n
Teorema 3.2.7 Un operator de evolut ie :T!B(X), tare m asurabil, este
uniform exponent ial instabil dac a si numai dac a are descre stere uniform a
exponent ial a si este uniform integral instabil si .
(t:m:)este(u:e:is: )() (u:e:d: ) si(u:i:is: )
Demonstrat ie. Este su cient s a arat am c a dac a operatorul de evolut ie
are descre stere uniform a exponent ial a si satisface relat ia 3.2.12, atunci este
uniform instabil.
^Intr-adev ar, dac a not am
1
N=Z1
0du
f(u);
unde funct ia feste dat a conform Teoremei 2.2.2, atunci
k(s;t0)xk
N=Zs+1
sk(s;t0)xk
f( s)d Zs+1
sk( ;t0)xkd
Zt
t0k( ;t0)xkd Mk(t;t0)xk
de unde rezult a
k(s;t0)xkMNk(t;t0)xk
pentru orice tst00 si pentru orice x2X:Obt inem c a este uniform
instabil, ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
Ca o consecint a putem enunt a
Corolarul 3.2.2 Fieun operator de evolut ie uniform integral instabil.
Urm atoarele a rmat ii sunt echivalente:
59
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
(i) este uniform instabil;
(ii) este uniform exponent ial instabil;
(iii) are descre stere exponent ial a uniform a.
(u:i:is: ) : (u:is:)() (u:e:is: )() (u:e:d: )
O leg atur a ^ ntre proprietatea de descre stere exponent ial a a unui operator
de evolut ie si instabilitatea exponent ial a a operatorului de evolut ie translatat
este prezentat a ^ n
Propozit ia 3.2.4 Un operator de evolut ie este cu descre stere exponent ial a
uniform a dac a si numai dac a exist a o constant a >0 astfel ^ nc^ at operatorul
de evolut ie -translatat s a e uniform exponent ial instabil.
Demonstrat ie. Necesitatea . Dac a are descre stere exponent ial a uniform a
atunci exist a constantele M1 si!>0 astfel ca
e !(t s)k(s;t0)xkMk(t;t0)xk;8tst00;8x2X:
Lu^ and= 2!>0 se obt ine
k (s;t0)xk=e(s t0)k(s;t0)xk
Me!(t s)e(s t0)k(t;t0)xk=Me !(t s)k (t;t0)xk;
pentru orice tst00 si oricex2X, ceea ce arat a c a este uniform
exponent ial instabil.
Su cient a . Dac a exist a > 0 ^ nc^ at operatorul de evolut ie s a e
uniform exponent ial instabil, atunci exist a constantele N1 si >0 astfel
ca
k(s;t0)xk=e (s t0)k (s;t0)xk
Ne (t s)e (s t0)k (t;t0)xk=Ne (t s)e(t s)k(t;t0)xk;
pentru orice tst00 si oricex2X. Lu^ and
!= ;if>
1;if;
se obt ine faptul c a are descre stere exponent ial a uniform a.
60
Capitolul 4
Aplicat ii ^ n abordarea
ecuat iilor diferent iale
^In capitolul de fat a, accentul este pus pe prezentarea unor aplicat ii. Aces-
tea se refer a at^ at la metodele clasice de tip Liapunov care se utilizeaz a ^ n
studiul stabilit at ii solut iilor ecuat iilor diferent iale si ale sistemelor de ecuat ii
diferent iale, c^ at si la metode recente de abordare a propriet at ilor de stabili-
tate si instabilitate prin intermediul operatorilor de evolut ie asociat i.
Exemplele prezentate pun ^ n evident a faptul c a propriet at ile asimpto-
tice ale operatorilor de evolut ie sunt esent iale ^ n studiul stabilit at ii solut iilor
ecuat iilor diferent iale.
Obt inerea rezultatelor a fost posibil a pe baza studiului lucr arilor [10],
[11], [15], [16], [17] si [19].
4.1 Abordarea prin intermediul metodelor
Liapunov
Exemplul 4.1.1 S a se studieze stabilitatea solut iei nule a ecuat iilor
diferent iale si a sistemelor de ecuat ii diferent iale:
(a)x0= x3; x2R(b)8
<
:x10=x2
x20= asinx1; a2R+
(c)8
><
>:x0= x3+x3
2sint; t>t 0
x(t0) =x0(d)8
<
:x10=x5
1+x3
2
x20=x3
1+x5
2:
61
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Solut ie. (a) Fie :R!R;dat a de (x) =1
2×2:Se veri c a condit iile
Teoremei 3.1.2
(i) (x)0;8x2R si are loc (x) = 0 dac a si numai dac a x= 0;
(ii) 0(x) =xx0= x40;8x2R si ^ n afara unei vecin at at i a originii
are loc 0(x)<0:
Rezult a c a solut ia nul a este asimptotic stabil a.
(b) Fie :R2!R;de nit a prin (x1;x2) =a(1 cos(x1)) +1
2×2:Veri c am
condit iile Teoremei 3.1.1
(i) (x1;x2)0;8(x1;x2)2R2 si, ^ n plus, (x1;x2) = 0 dac a si numai
dac ax1=x2= 0;
(ii) 0(x1;x2) =@
@x1x0
1+@
@x2x0
2=asin(x1)x0
1+x2x0
2= 0;pentru orice
(x1;x2)2R2:
(c) Fie :R!R;dat a de (x) =1
2×2:Se veri c a condit iile Teoreme 3.1.3
(i) pentruw1(x) =w2(x) = (x)
(ii) cum 0(x) =@
@xx0= x4
1 sint
2
lu amw3=1
3×4:
Rezult a c a solut ia nul a este global uniform exponent ial stabil a.
(d) Fie :R2!R;de nit a prin (x1;x2) =x4
1 x4
2:Se veri c a condit iile
Teoremei 3.1.5
(i) (x1;x2)>0;pentrujx1j>jx2j;
(ii) 0(x1;x2) =@
@x1x0
1+@
@x2x0
2= 4(x8
1 x8
2)>0;pentrujx1j>jx2j;
(iii) pentru >0 avem 0 >0:
Obt inem c a solut ia nul a nu este stabil a.
62
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Exemplul 4.1.2 S a se determine valorile parametrilor a;b2Rastfel ^ nc^ at
solut ia nul a a sistemului de ecuat ii diferent iale
8
>>><
>>>:dx1
dt=ax2
1 bex2 3×1+x2
dx2
dt=ax1+ 2bx1x2 3×2
2
s a e asimptotic stabil a.
Solut ie. Avem
f1(x1;x2) =ax2
1 bex2 3×1+x2
si
f2(x1;x2) =ax1+ 2bx1x2 3×2
2
Matricea lui Jacobi asociat a sistemului dat este
J(x1;x2) =0
BBBB@@f1
@x1@f1
@x2
@f2
@x1@f2
@x21
CCCCA=2ax1 3 bex2+ 1
a+ 2bx22bx1 6×2
:
Atunci
A=H(0;0) = 3 b+ 1
a
= 0:
si ecuat ia caracteristic a este dat a de
3 b+ 1
a = 0
de unde se obt ine ecuat ia 2+ 3+a(b 1) = 0:Ne intereseaz a sem-
nele p art ilor reale ale valorilor proprii :Solut ia nul a a sistemului dat este
asimptotic stabil a dac a p art ile reale ale tuturor r ad acinilor solut iilor ecuat iei
obt inute anterior sunt strict negative. Punem condit ia ca suma acestora s a
e stric negativ a si produsul lor s a e strict pozitiv, de unde rezult a
(
1+2= 3<0
12=a(b 1)>0:
Prin urmare, condit ia pe care trebuie s a o ^ ndeplineasc a parametrii a sib
astfel ca solut ia nul a a sistemului dat s a e asimptotic stabil a este a(b 1)>0:
63
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Exemplul 4.1.3 Fie sistemul de ecuat ii diferentt iale:
8
>><
>>:dx1
dt=x2
dx2
dt= f(x2) g(x1);
undef sigsunt funct ii de clas a C1;cu propriet at ile
xf(x)0;xg(x)0;8×2[ x0;x0];
undex00 este dat si egalit at ile au loc doar pentru x0= 0:
Pentru studiul stabilit at ii solut iei nule a sistemului, vom de ni funct ia lui
Liapunov
:R2!R; (x1;x2) =Zx1
0g( )d +x2
2
2:
Se veri c a u sor c a este local pozitiv de nit a si c a are loc relat ia
0(x1;x2) = x2f(x2)0 pentrujx2j x0:Prin urmare, rezult a doar
c a originea este stabil a.
Pentru a studia stabilitatea asimptotic a, vom aplica Teorema 3.1.8
Fiec= minf ( x0;0); (x0;0)g si mult imea
c=fx= (x1;x2)2R2j (x)cg:
Se observ a c a 0(x1;x2)0 pentru (x1;x2)2
c:Traiectoria tinde spre cea
mai mare mult ime invariant a inclus a ^ n mult imea
c\f(x1;x2)2R2j 0(x1;x2) = 0g=
c\f(x1;0)g:
Pentru a obt ine cea mai mare mult ime invariant a mult ime inclus a ^ n aceast a
regiune vom lua x2(t) = 0;ceea ce implic a x1(t) =k;kconstant a. De
asemenea, cum x0
2(t) = 0;rezult a c a f(0) g(k) = 0;de undeg(k) = 0;
ceea ce implic a k= 0:
Astfel mult imea c autat a este f0g;de unde rezult a c a originea este local
asimptotic stabil a.
64
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
4.2 Abordarea prin intermediul operatorilor
de evolut ie
Exemplul 4.2.1 Fie problema Cauchy
8
<
:dx
dt=A(t)x;t>t 0
x(t0) =x0(4.2.1)
undeA:R+!L (X) este un operator local integrabil. Solut ia unic a ^ n
spat iulXa problemei Cauchy 4.2.1 este x(t;t0;x0) = (t;t0)x0;unde
:T!B(X) este un operator de evolut ie pe X.
Exemplele de mai jos pun ^ n evident a faptul c a propriet at ile asimpto-
tice ale operatorilor de evolut ie sunt esent iale ^ n studiul stabilit at ii solut iilor
ecuat iilor diferent iale.
Exemplul 4.2.2 Fie problema Cauchy
8
<
:x0(t) = 1
t+ 1x(t);t>t 00
x(t0) =x0(4.2.2)
Rezolv^ and ecuat ia diferent ial a si t in^ and cont si de condit ia Cauchy, se
obt ine
x(t) =t0+ 1
t+ 1×0;
pentru orice tt00:Vom considera
(t;t0) =t0+ 1
t+ 1:
Cum
k(t;t0)k= t0+ 1
t+ 1 =t0+ 1
t+ 11;8tt00:
rezult a c a solut ia ecuat iei diferent iale 4.2.2 este uniform stabil a si prin ur-
mare, stabil a.
De asemenea, cum
lim
t!1k(t;t0)k= lim
t!1t0+ 1
t+ 1= 0;
rezult a c a solut ia ecuat iei diferent iale 4.2.2 este asimptotic stabil a.
65
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
Pe de alt a parte, pentru t=t0+T;T > 0;se obt ine
lim
t!1k(t;t0)k= lim
t!1t T+ 1
t+ 1= 16= 0;
de unde rezult a c a solut ia ecuat iei diferent iale 4.2.2 nu este uniform asimp-
totic stabil a si nici uniform exponent ial stabil a.
Exemplul 4.2.3 Fie o ecuat ie diferent ial a de tipul
x0(t) =A(t)x(t);t2R (4.2.3)
av^ and coe cient ii integral m arginit i.
Presupunem c a exist a K > 0 astfel ca
Zt+1
tkA( )kd K;8t0:
Aplicat ia : TX! B (X);dat a de relat ia x(t) = (t;s)x(s);unde
x(t);t0;este solut ia ecuat iei diferent iale 4.2.3, este un operator de evolut ie.
Fie (t;s)2T:Not amn= [t s]:Atunci exist a 0 sir2[0;) astfel
cat s=n+r:Exist a
M=ek1 si!=K
>0
astfel ^ nc^ at urm atoarele relat ii s a e veri cate
k(t;s)xke Rt
skA( )kd kxk1
Me !(t s)kxk;
pentru orice ( t;s)2T si oricex2X:
Prin urmare, operatorul de evolut ie are cre stere exponent ial a uniform a
si descre stere exponent ial a uniform a.
Exemplul 4.2.4 Fie problema Cauchy
8
<
:x0(t) = 1 e2t
1 +e2tx(t);t> 0
x(0) =x0(4.2.4)
Consider am X=R:Aplicat ia : TX!B(X);dat a de relat ia
x(t) = (t;s)x(s);
66
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
undex(t);t0;este solut ia ecuat iei diferent iale 4.2.4, este un operator de
evolut ie. Se obt ine
(t;s)x=es+e s
et+e tx:
Cum
k(t;s)xk=es(1 +e 2s)
et(1 +e 2t)2e (t s)jxj;
pentru orice ( t;s)2T si oricex2X;rezult a, conform Propozit iei 3.2.1,
pentruN= 2 si= 1;c a operatorul de evolut ie este uniform exponent ial
stabil.
Exemplul 4.2.5 Consider am spat iul Banach X=R. Aplicat ia
:T!B(R);(t;t0) =et t0
este o un operator de evolut ie pe R. Obt inem relat ia
k(s;t0)ke (t s)k(t;t0)k;
pentru orice ( t;s);(s;t0)2T si orice (x;v)2XR, ceea ce arat a c a este
uniform exponent ial instabil cu
N= 1 si= 1
si, prin urmare, uniform instabil.
Faptul c a exist a operatori de evolut ie uniform instabili care nu sunt ^ ns a
uniform exponent ial instabili, este pus ^ n evident a ^ n
Exemplul 4.2.6 FieX=R sif:R+!R
+o funct ie cresc atoare si
m arginit a. Aplicat ia
:T!B(R);(t;s)x=f(t s+x)
f(x)
este un operator de evolut ie. Se observ a c a este uniform instabil, cu N= 1.
Presupunem c a exist a constantele N1 si >0 astfel ^ nc^ at
f(t s+x)
f(x)Ne (t s);8(t;s;x )2TR+:
Pentrus= 0 obt inem
N
f(x)f(t+x)et;
ceea ce este absurd dac a consider am t!1 . Prin urmare, nu este uniform
exponent ial instabil.
67
Concluzii
Teoria stabilit at ii este un domeniu de mare actualitate, interdisciplinar, prin
aplicabilitatea larg a de care se bucur a ^ n construirea si studierea modelelor
matematice, abordate prin prisma ecuat iilor diferent iale, care intervin ^ n
fenomene zice, economice, inginere sti.
Majoritatea sistemelor dinamice care descriu procese din biologie, ingine-
rie, zic a sau economie sunt extrem de complexe, iar identi carea modelelor
matematice corespunz atoare este di cil a.
Studiul propriet at ilor asimptotice pentru ecuat ii de evolut ie a cunos-
cut ^ n ultimele decenii o dezvoltare exploziv a, ind posibil a punerea ^ n
evident a a unor condit ii care descriu stabilitatea exponent ial a si instabilita-
tea exponent ial a ^ n spat ii Banach prin intermediul operatorilor de evolut ie.
^In lucrarea de fat a elemente fundamentale se al atur a not iunilor mai re-
cente din teoria stabilit at ii, cu scopul realiz arii unui studiu unitar al ecuat iilor
diferent iale, pentru care sunt investigate cre sterea exponent ial a, descre sterea
exponent ial a, stabilitatea exponent ial a si instabilitatea exponent ial a a
solut iilor, tratate ^ n lucrarea de fat a ^ ntr-un cadru uniform.
Aspectele de actualitate din teoria stabilit at ii se refer a la studiul
comport arilor asimptotice ale operatorilor de evolut ie asociat i ecuat iilor
diferent iale.
Lucrarea de fat a este un instrument util de lucru pentru cei interesat i de
studiul modelelor matematice date prin intermediul ecuat iilor de evolut ie si
al sistemelor dinamice care descriu procese din domenii teoretice sau practice.
Exemplele si aplicat iile vin s a sust in a si s a sublinieze elementele de teorie.
Lucrarea de fat a evident iaz a important a si actualitatea subiectului, iar
rezultatele obt inute indic a direct ii viitoare de cercetare legate de subiectul
abordat, cum ar , de exemplu, studiul propriet at ii de dichotomie si tratarea
teoriei prezentate ^ ntr-un cadru neuniform.
68
Bibliogra e
[1] E.A. Barba sin, Introduction dans la theorie de la stabilit e, Izd. Nauka,
Moscou, 1967.
[2] R. Datko, Uniform asymptotic stability of evolutionary processes in Ba-
nach spaces , Siam J. Math. Anal. 3 (1972) 428{445.
[3] D. Ga spar, Analiz a funct ional a, Ed. Facla, Timi soara, 1981.
[4] W.M. Haddad, V.S. Chellaboina, Nonlinear Dynamical Systems: a
Lyapunov-based Approach, Princeton University Press, 2008.
[5] D.V. Ionescu, Ecuat ii diferent iale si integrale, Ed. Didactic a si Pedago-
gic a, Bucure sti, 1972.
[6] M. Megan, Propri et es qualitatives des syst emes lin eaires c^ ontrol es dans
les espaces de dimension in nie, Tip. Universit at ii din Timi soara, 1988.
[7] M. Megan, A.L. Sasu, B. Sasu, Asymptotic Behaviour of Evolution Fa-
milies, Ed. Mirton, 2003.
[8] M. Megan, C. Stoica, On uniform exponential trichotomy of evolution
operators in Banach spaces , Integral Equations Operators Theory, 60,
No. 4 (2008) 499{506.
[9] M. Megan, C. Stoica, Equivalent de nitions for uniform exponential tri-
chotomy of evolution operators in Banach spaces , Hot Topics in Operator
Theory, Theta Ser. Adv. Math. (2008) 151{158.
[10] G. Micula, P. Pavel, Ecuat ii diferent iale si integrale prin probleme si
exercit ii, Ed. Dacia, Cluj-Napova, 1989.
[11] G. Moro sanu, Ecuat ii diferent iale. Aplicat ii, Ed. Academiei, Bucure sti,
1989.
69
C at alin DOHANGIE Operatori de evolut ie ^ n studiul ecuat iilor diferent iale
[12] J.M.A.M. van Neerven, Exponential stability of operators and operator
semigroups , J. Funct. Anal. 130, No. 2 (1995) 293{309.
[13] O. Perron, Die Stabit atsfrage bei Di erentialgleichungen , Math. Z. 32
(1930) 703{728.
[14] M. Reghi s, P. Topuzu Ecuat ii diferent iale ordinare: Teme de baz a, Ed.
Mirton, Timi soara 2000.
[15] M. Ro sculet , M. Craiu, Ecuat ii diferent iale aplicative, Ed. Academiei,
Bucure sti. 1979.
[16] A.L. Sasu, B. Sasu, Exponential stability for linear skew-product
ows ,
Bull. Sci. Math. 128 (2004) 727{738.
[17] C. Stoica, Ecuat ii diferent iale si cu derivate part iale prin exercit ii si
probleme, Ed. Mirton. Timi soara, 2002, Edit ia a II-a, 2004.
[18] C. Stoica, Uniform Asymptotic Behaviors for Skew-evolution Semi
ows
on Banach Spaces, Ed. Mirton, Timi soara, 2010.
[19] C. Stoica, Aspecte clasice si moderne ^ n studiul ecuat iilor diferent iale si
cu diferent e, Ed. Mirton, Timi soara, 2011.
[20] C. Stoica, M. Megan, On uniform exponential stability for skew-evolution
semi
ows on Banach spaces , Nonlinear Analysis, 72, Issues 3{4 (2010)
1305{1313.
70
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Lucrare de licent a [609204] (ID: 609204)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.