Specializarea Matematic a didactic a [608832]

Ministerul Educat ¸iei s ¸i Cercet ˘arii
Universitatea ”OVIDIUS” din Constant ¸a
Facultatea de Matematic ˘a s ¸i Informatic ˘a
Specializarea Matematic ˘a didactic ˘a
Predarea matematicii pentru elevii
performant ¸i: Teoreme de medie
Lucrare de disertat ¸ie
Coordonator s ¸tiint ¸ific:
Conf. dr. Cosma Luminit ¸a-Elena
Absolvent: [anonimizat] ¸ ˘a Bianca
Constant ¸a
2020

Introducere
ˆIn aceast ˘a lucrare vom prezenta cazul teoremelor clasice de medie ale
calculului diferent ¸ial: Rolle, Lagrange s ¸i Cauchy ˆımpreun ˘a cu aplicat ¸iile lor.
Pentru a putea vorbi despre acestea vom avea nevoie de o scurt ˘a introducere
despre analiza real ˘a.
Primul capitol va cont ¸ine not ¸iuni despre mult ¸imea numerelor reale s ¸i
propriet ˘at ¸ile acesteia, continuitate, derivabilitate, dar s ¸i propriet ˘at ¸ile acestora,
pentru a putea ˆınt ¸elege ceea ce se va prezenta ˆın continuare.
ˆIn urm ˘atorul capitol vom prezenta teoremele clasice de medie: Rolle,
Lagrange s ¸i Cauchy ˆımpreun ˘a cu demonstrat ¸iile, propriet ˘at ¸ile s ¸i consecint ¸ele
acestora pentru a putea ˆınt ¸elege rezolvarea problemelor ce vor urma a fi
prezentate.
Ultimul capitol al acestei lucr ˘ari va cont ¸ine aplicat ¸ii rezolvate cu aju-
torul teoremelor enunt ¸ate anterior pentru elevii performant ¸i.

Cuprins
Introducere i
Cuprins ii
1 Not ¸iuni introductive de analiz ˘a real ˘a 1
1.1 Not ¸iuni de teoria mult ¸imilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Serii s ¸i produse de numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Funct ¸ii reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Not ¸iuni de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Calcul diferent ¸ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Teoreme de medie 9
2.1 Teorema lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Teorema lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Teorema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Consecint ¸ele teoremelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Aplicat ¸ii ale teoremelor de medie 19
3.1 Aplicat ¸ii ale teoremei lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
ii

3.2 Aplicat ¸ii ale teoremei lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Aplicat ¸ii ale teoremei lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Concluzii 22
Referint ¸e bibliografice 23

Capitolul 1
Not ¸iuni introductive de analiz ˘a real ˘a
ˆIn acest capitol vom face o scurt ˘a prezentare a not ¸iunilor de analiz ˘a real ˘a. V om prezenta pe
scurt mult ¸imea numerelor reale cu propriet ˘at ¸ile sale, continuitatea s ¸i derivabilitatea ˆımpreun ˘a
cu propriet ˘at ¸ile acestora.
1.1 Not ¸iuni de teoria mult ¸imilor
Not ¸iuni de logic ˘a
Consider ˘am not ¸iunea de propozit ¸ie ca fiind o not ¸iune primar ˘a. Propozit ¸iile se vor nota
cup;q;r;


.
Operatorii logici sunt: :(negat ¸ia),_(disjunct ¸ia),^(conjunct ¸ia),!(implicat ¸ia),$(echivalent ¸a).
ˆImpreun ˘a cu aces ¸ti operatori logici se pot forma propozit ¸ii compuse.
Numim predicat (funct ¸ie propozit ¸ional ˘a) o propozit ¸ie care depinde de simboluri variabile.
Acestea le vom nota p(x),p(x;y).
Cuantificatorii sunt: 8(cuantificato universal), 9(cuantificator existent ¸ial).
Mult ¸imi. Operat ¸ii cu mult ¸imi
Consider ˘am mult ¸imea ca fiind o not ¸iune prima ˘a (colect ¸ie). Aceste mult ¸imi se vor
nota cu litere mari: X;Y;Z;


;A;B;C;


, iar elementele acestora le vom nota cu litere
mici:x;y;z;


;a;b;c;


. Mult ¸imea vid ˘a se va nota cu ?. V om nota cu litere mari
ronde:X;Y;Z;


;A;B;C;


familiile de mult ¸imi. Consider ˘am c ˘aXeste o mult ¸ime,
se va nota cu P(X)mult ¸imea tuturor p ˘art ¸ilor luiX. Dac ˘a elementele x;y;z;


sunt
formeaz ˘a mult ¸imea Xvom scrieX=fx;y;z;


g. Dac ˘a elementul xapart ¸ine lui Xvom
scriex2XsauX3x,ˆın caz contrar vom scrie x =2X. V om nota cufx2X;p(x)g
mult ¸imea tuturor punctelor xdinXdacap(x)este funct ¸ie propozit ¸ional ˘a.
1

Not ¸iuni introductive de analiz ˘a real ˘a Not ¸iuni de teoria mult ¸imilor
Definit ¸ie 1.1.1. FieA;B dou˘a mult ¸imi. Atunci vom scrie:
1:AB,8x2A)x2B(Ainclus ˘aˆınB);
2:A=B,AB^BA(Aegal˘a cuB);
3:AB,AB^A6=B(Ainclus ˘a strict ˆınB);
4:A[B,=fx;x2A_x2Bg(reuniunea mult ¸imilor As ¸iB);
5:A\B=fx;x2A^x2Bg(intersect ¸ia mult ¸imilor As ¸iB);
6:BnA=fx;x2B^x =2Ag(diferent ¸a dintre mult ¸imile Bs ¸iA).
Mult ¸imeaBnAse numes ¸te complementara lui Afat ¸˘a deBdac˘aABs ¸i se va nota cu
CBAsauCAdac˘a nu exist ˘a confuzie.
Definit ¸ie 1.1.2. Numim familie de mult ¸imi Iindexat ˘a o mult ¸ime de mult ¸imi Ai;i2I
s ¸i o vom nota cu (Ai)i2I. Familia (Aj)j2J, undeJIo vom numi subfamilie a familiei
date. V om numi finit ˘a familia (Ai)i2Idac˘aIeste finit ˘a.
Definit ¸ie 1.1.3. Fie familia de mult ¸imi (Ai)i2I. Atunci vom scrie:
1:S
i2IAi=fx;9i2Iastfel ˆıncˆatx2Aig(reuniunea lui (Ai)i2I)
2:T
i2IAi=fx;x2A8i2Ig(intersect ¸ia lui (Ai)i2I).
Propozit ¸ie 1.1.1. (Relat ¸iile lui De Morgan) Fie o mult ¸ime Xs ¸i o familie de submult ¸imi
(Ai)i2IdinX. Atunci avem:
1:C(S
i2IAi) =T
i2I(CAi);
2:C(T
i2IAi) =S
i2I(CAi).
Produs cartezian, relat ¸ii binare, funct ¸ii
Definit ¸ie 1.1.4. Numim produs cartezian al lui XcuYs ¸iˆıl not ˘am cuXYmult ¸imea
tuturor perechilor ordonate (x;y)cux2Xs ¸iy2Y.
Definit ¸ie 1.1.5. Numim relat ¸ie binar ˘a (relat ¸ie) de la XlaY, submult ¸imea a luiXY.
Se numes ¸te relat ¸ie pe Xo submult ¸ime a lui XX. V om nota xys ¸i vom spune c ˘axeste
ˆın relat ¸iacuydac˘a(x;y)2XY.
Definit ¸ie 1.1.6. Relat ¸ia binar ˘afde laXlaYse numes ¸te funct ¸ie (aplicat ¸ie) definit ˘a pe
Xcu valori ˆınYdaca:
1:Df:=fx2X;9y2Yastfel ˆıncˆat(x;y)2fgconincide cu X, undeDf=domeniul
maxim de definit ¸ie al funct ¸iei f.
2:feste univoc ˘a, adic ˘a8(x;y)2fs ¸i(x;y0)2f)y=y0.
Atunci vom scrie y=f(x)ˆın loc de (x;y)2fs ¸i vom spune c ˘af(x)este imaginea lui x
prinfsau valoarea funct ¸iei fˆınx.
V om nota
f:X!Y;X3x7!f(x)2Y;y=f(x);x2X
funct ¸ia definit ˘a peXcu valori ˆınY.
Obsertat ¸ie. Se va face distinct ¸ie ˆıntre funct ¸ia fs ¸i valoarea funct ¸iei fˆın punctulx,f(x).
2

Not ¸iuni introductive de analiz ˘a real ˘a Not ¸iuni de teoria mult ¸imilor
Definit ¸ie 1.1.7. Fie funct ¸ia f:X!Y. Numim graficul funct ¸iei fn ¸otat cuGf
mult ¸imeaf(x;f(x));x2Xginclus ˘aˆınXY.
Definit ¸ie 1.1.8. Fie funct ¸iile f:X!Ys ¸ig:Y!Z. Se numes ¸te compunerea lui g
cufnotat ˘a cugffunct ¸iah:X!Zdefinit ˘a prinh(x) =g(f(x));8x2X.
Observat ¸ie. Fie funct ¸iile f;g:X!X. Atuncifgnu este numaidec ˆat egal ˘a cugf.
Definit ¸ie 1.1.9. Fie funct ¸iaf:X!Ys ¸i mult ¸imea AX. Se numes ¸te imaginea lui A
prinfsau mult ¸imea valorilor lui fpeAnotat ˘a cuf(A)mult ¸imeafy2Y;9x2A;f(x) =
yg. Numim preimaginea lui Bprinfsau imaginea reciproc ˘a a luiBprinfs ¸i o vom nota cu
f1(B)mult ¸imeafx2X;f(x)2Bg, dac ˘aBY. Se numes ¸te extensia lui fla mult ¸imea
p˘art ¸ilor funct ¸ia g: (X)!Ydefinit ˘a pring(A) =f(A), iar funct ¸ia h:Y X definit ˘a prin
h(B) =f1(B);8B2Yse numes ¸te extensia reciproc ˘a a luifla mult ¸imea p ˘art ¸ilor.
As ¸adar:
1:y2f(A),9x2Aastfel ˆıncˆatf(x) =y;
2:x2f1(B),f(x)2B;
3:f1(f(A))A;
4:f(f1(B))B.
Definit ¸ie 1.1.10. Fie funct ¸iile f:X!Ys ¸if1:X1!Y1. Spunem c ˘a funct ¸iilefs ¸if1
sunt egale s ¸i scriem f=f1dac˘aX=X1;Y=Y1s ¸if(x) =f1(x);8x2X.
Observat ¸ie. Uneori se va identifica funct ¸ia f:X!Ycu funct ¸iaf0:X!f(X),
definit ˘a prinf0(x) =f(x);8x2X.
Definit ¸ie 1.1.11. Fie mult ¸imea Xs ¸iAX. Atunci numim inject ¸ia canonic ˘a a luiAˆın
Xnotat ˘aA,!Xfunct ¸iaf:A!Xdefinit ˘a prinf(x) =x;8x2A.
Definit ¸ie 1.1.12. Se numes ¸te funct ¸ia identitate pe Xs ¸i este notat ˘a cu1XsauidXfunct ¸ia
f:X!Xdefinit ˘a prinf(x) =x;8x2X.
Definit ¸ie 1.1.13. Fie mult ¸imile A;X;Y cuAXs ¸i funct ¸iilef:A!Y;g:X!Y.
Spunem c ˘afeste restrict ¸ia lui gla mult ¸imea Asau c ˘ageste prelungirea lui fla mult ¸imea
X, dac ˘ag(x) =f(x);8x2A. V om nota cu fjAsaufAfunct ¸iaf.
Propozit ¸ie 1.1.2. Fie funct ¸iaf:X!Y. Atunci avem inegalit ˘at ¸ile:
1:f(S
iAi) =S
if(Ai);f(T
iAi)T
if(Ai);8AiX;(i2I);
2:f1(S
iBi) =T
if1(T
iBi);f1(S
iBi) =T
if1(Bi);8BiY;(i2I).
Propozit ¸ie 1.1.3. Fie aplicat ¸ia f:X!Y. Atunci avem relat ¸iile:
1:f(A)nf(B)f(AnB);8A;BX;
2:CYf(A)f(CXA);8AX;dac˘af(X) =Y;
3:f1(AnB) =f1(A)nf1(B);8A;BY;
4:f1(CYB) =CXf1(B);8BY.
3

Not ¸iuni introductive de analiz ˘a real ˘a Not ¸iuni de teoria mult ¸imilor
Definit ¸ie 1.1.14. Fie mult ¸imile X;Y s ¸i aplicat ¸iaf:X!Y. Spunem c ˘afeste:
a:injectiv ˘a: dac ˘a8y2Y, exist ˘a cel mult un x2Xcuf(x) =y;
b:surjectiv ˘a: dac ˘a8y2Y, exist ˘a cel put ¸in un x2Xcuf(x) =y;
c:bijectiv ˘a: dac ˘a8y2Y, exist ˘a un unicx2Xcuf(x) =y;
d:inversabil ˘a: dac ˘a funct ¸iag:Y!Xexist ˘a astfel ˆıncˆatgf=1Xs ¸ifg=1yacesta
se va numi inversa lui fs ¸i o vom nota cu f1.
Aplicat ¸ia bijectiv ˘a de laXlaXse va numi permutare a mult ¸imii X.
Observat ¸ie. Fie mult ¸imile X;YRs ¸i funct ¸iaf:X!Y. Dac ˘a funct ¸iafeste
inversabil ˘a, atunci graficele funct ¸iilor fs ¸if1vor fi simetrice fat ¸ ˘a de prima bisectoare.
Observat ¸ie. V om vorbi despre inversa lui fpe imagine, adic ˘a de funct ¸ia g:f(X)!X
definit ˘a pring(f(x)) =x;8f(x)2f(X), daca funct ¸ia f:X!Yeste injectiv ˘a, dar nu
este bijectiv ˘a.
Propozit ¸ie 1.1.4. Fie aplicat ¸ia f:X!Y. Atunci:
1:funct ¸iafeste injectiv ˘a,8×1;x22X;x 16=x2)f(x1)6=f(x2);
2:funct ¸iafeste surjectiv ˘a,f(X) =Y;
3:funct ¸iafeste bijectiv ˘a,feste injectiv ˘a dar s ¸i surjectiv ˘a;
4:Inversa funct ¸iei feste determinat ˘aˆın mod unic de fdac˘afeste inversabil ˘a.
Propozit ¸ie 1.1.5. Fie aplicat ¸ia f:X!Y. Atunci:
1:feste injectiv ˘a,9g:Y!Xfunct ¸ie surjectiv ˘a astfel ˆıncˆatgf=1X;
2:feste surjectiv ˘a,9g:Y!Xfunct ¸ie injectiv ˘a astfel ˆıncˆatfg=1Y;
3:feste bijectiv ˘a,feste inversabil ˘a.
Corolar 1.1.1. Dac˘a o funct ¸ief:X!Xare proprietatea c ˘aff=1X, atunci
funct ¸iafeste bijectiv ˘a.
Propozit ¸ie 1.1.6. Fie funct ¸iile f:X!Ys ¸ig:Y!Z. Atunci:
1:f;g funct ¸ii injective (respectiv surjective) )gfeste injectiv ˘a (respectiv surjectiv ˘a);
2:f;g funct ¸ii bijective)gfeste bijectiv ˘a s ¸i(gf)1=f1g1.
Propozit ¸ie 1.1.7 Fie funct ¸iaf:X!Y. Atunci urm ˘atoarele afirmat ¸ii sunt echivalente:
1:funct ¸iafeste injectiv ˘a;
2:f(A\B) =f(A)\f(B);8A;BX;
3:f(AnB) =f(A)nf(B);8A;BX.
Relat ¸iile de ordine s ¸i de echivalent ¸ ˘a
Definit ¸ie 1.1.15. Fie mult ¸imea Xs ¸i relat ¸ia binar ˘apeX. Atuncise va numi:
a:reflexiv ˘a:xx;8x2X;
b:simetric ˘a:8x;y2X;xy)yx;
c:antisimetric ˘a:8x;y2X;xy^yx)x=y;
d:tranzitiv ˘a:8x;y2X;xy^yz)xz;
e:total˘a (liniar ˘a):8x;y2X)xy_yx;
f:de preordine: dac ˘aeste reflexiv ˘a s ¸i tranzitiv ˘a;
4

Not ¸iuni introductive de analiz ˘a real ˘a Not ¸iuni de teoria mult ¸imilor
g:de ordine: dac ˘aeste reflexiv ˘a, antisimetric ˘a s ¸i tranzitiv ˘a;
h:de echivalent ¸ ˘a: dac ˘aeste reflexiv ˘a, simetric ˘a s ¸i tranzitiv ˘a.
Relat ¸ia de ordine pe o mult ¸ime, de exemplu X,se va nota cu;, iar relat ¸ia de echivalent ¸ ˘a
pe o mult ¸ime Xse va nota cu;.
Definit ¸ie 1.1.16. Fie mult ¸imea Xpe care a fost definit ˘a o relat ¸ie de (pre)ordine , vom
nota cuX[]sau cu (X;)s ¸i se va numi (pre)ordonat ˘a.
Definit ¸ie 1.1.17. Dac˘aeste relat ¸ie de ordine pe mult ¸imea Xatunci relat ¸ia <pe
mult ¸imeaXdefinit ˘a prin:
x<y,xy^x6=y
se va numi relat ¸ie de ordine strict ˘a asociat ˘a relat ¸iei.
Definit ¸ie 1.1.18. Fie mult ¸imea ordonat ˘aX[]s ¸iAX. Spunem c ˘aM(respectiv
m)2Xeste majorant (respectiv minorant) al lui Adac˘axM(respectivmx),8x2A.
Se numes ¸te mult ¸ime m ˘arginit ˘a o mult ¸ime care cont ¸ine majorant ¸i s ¸i minorant ¸i. Minorantul
(respectiv majorantul) mult ¸imii Acare apart ¸ine acesteia se va numi prim element, cal mai
mic element sau minim (respectiv ultim element, cel mai mare element sau maxim) al lui
As ¸i se va nota cu minA(respectiv maxA). Numim margine superioar ˘a (respectiv margine
inferioar ˘a) a mult ¸imii Acel mai mic majorant (respectiv cel mai mare minorant) al mult ¸imii
As ¸i o vom nota cu supA;sup
x2Ax;


(respectiv infA;inf
x2Ax;


). V om numi mult ¸ime bine
ordonat ˘a mult ¸imea X[], dac ˘a orice submult ¸ime nevid ˘a a acesteia cont ¸ine prim element.
Elementulm2Xse va numi maximal (respectiv minimal), dac ˘a8x2Xcomparabil
cumeste mai mic (respectiv mai mare) sau egal cu m)x2X^xm(respectiv
xm))x=m.
Definit ¸ie 1.1.19. Fie mult ¸imea Xs ¸i relat ¸ia de echivalent ¸ ˘apeX. Pentru8x2X
not˘am cu _x;^xsauCxmult ¸imeafu2X;yxgnumit ˘a clas ˘a de echivalent ¸ ˘a definit ˘a de
x. Numim mult ¸imea c ˆat (factor) a lui Xprinmult ¸imea tuturor claselor de echivalent ¸ ˘a
distincte ˆıntre ele notate cu Xj.
Propozit ¸ie 1.1.8. Fie mult ¸imea Xs ¸i relat ¸ia de echivalent ¸ ˘apeX. Atunci mult ¸imea
cˆatXjeste o partit ¸ie a lui X.
Corolar 1.1.2. Fie mult ¸imea Xs ¸i relat ¸ia de echivalent ¸ ˘apeX. Atunci9partit ¸ia
(Ai)i2Ia luiXcu propriet ˘at ¸ile:
1:8i2I;8x;y2Aiavemxy;
2:8x;y2X;xy;9i2Icux;y2A.
Propozit ¸ie 1.1.9. Fie mult ¸imea preordonat ˘aX[]. S˘a punemxy,xy^yx
dac˘ax;y2X. Atuncieste o relat ¸ie de echivalent ¸ ˘a pe mult ¸imea X; fie mult ¸imea c ˆat a lui
Xprin,Xj. Dac ˘a^x;^y2Xjpunem ^x^y,9×02^x;9y02^yastfel ˆıncˆatx0y0.
Relat ¸iadefinit ˘a anterior este relat ¸ie de ordine pe mult ¸imea Xj.
5

Not ¸iuni introductive de analiz ˘a real ˘a Numere reale
Mult ¸imi finite, infinite s ¸i num ˘arabile
Definit ¸ie 1.1.20.(Axiomele lui Peano) Numim mult ¸imea numerelor naturale mult ¸imea
Apentru care s-a definit aplicat ¸ia A3x7!x2A, numit ˘a legea de succesiune pe Acare
satisface urm ˘atoarele propriet ˘at ¸i:
Axioma 1:ˆIn mult ¸imea Aa fost distins un element numit prim element al mult ¸imii A, notat
cu1(sau0).
Axioma 2:Legea de succesiune de pe mult ¸imea Aeste o inject ¸ie a mult ¸imii Aˆın mult ¸imea
Anf1g.
Axioma 3:Fie mult ¸imea BAcu propriet ˘at ¸ile:
a:12B;
b:x2B)x2B.
AtunciB=A.
Observat ¸ie.
1.2 Numere reale
V om defini mult ¸imea numerelor reale Rca fiind un corp complet ordonat K, as ¸adar o
mult ¸ime abstract ˘a cu anumite propriet ˘at ¸i.
Definit ¸ie 1.2.1 Fie G o mult ¸ime nevid ˘a. Numim lege de compozit ¸ie pe G o funct ¸ie
f:GG!G; dac ˘a(x;y)2G,f(x;y)ˆıl vom nota cu xy;x
y;x+yetc s ¸i se numes ¸te
compunerea lui xcuy. Numim grup o mult ¸ime nevid ˘aGpe care a fost definit ˘a o lege de
compozit ¸ieGG3(x;y)7!xy2Gcu propriet ˘at ¸ile:
(1) (xy)z=x(yz);8x;y;z2G(asociativitate)
(2)9e2Gasfel ˆıncˆatxe=ex=x;8x2G(element neutru)
(3)8x2G;9x02Gastfel ˆıncˆatx0x=xx0=e(x0simetricul lui x).
Grupul (G;)este comutativ, dac ˘axy=yx;8x;y2G.
Dac˘aG, legea de compozit ¸ie, este notat ˘a cu +(aditiv) (respectiv (multiplicativ)),
atuncie, elementul neutru, se noteaz ˘a cu0(elementul nul) (respectiv 1(elementul unitate)),
iarx0, simetricul lui xˆıl vom nota cux(opusul luix) (respectivx1sau1
x(inversul lui x)).
Definit ¸ie 1.2.2 Numim corp o mult ¸ime nevid ˘aKpe care s-au definit dou ˘a legi de
compozit ¸ie +( ¸adunarea) si(ˆınmult ¸irea), av ˆand propriet ˘at ¸ile:
(1) (K;+)este grup comutativ;
(2) (Knf0g;
)grup;
(3)x
(y+z) =xy+xz; (x+y)
z=xz+yz;8x;y;z2K.
Corpul (K;+;
)se numes ¸te comutativ dac ˘axy=yx;8x;y2K.
Definit ¸ie 1.2.3 Numim corp ordonat mult ¸imea nevid ˘aKpe care s-au definit legile de
compozit ¸ie +,
s ¸i relat ¸ia binar ˘a, avˆand propriet ˘at ¸ile:
6

Not ¸iuni introductive de analiz ˘a real ˘a Numere reale
(1) (K;+;
)corp comutativ;
(2) (K;)mult ¸ime total ordonat ˘a;
(3)8x;y2K;xy, rezult ˘ax+zy+z;8z2Ks ¸ixzyz;8x2K;z0.
Definit ¸ie 1.2.4 Corpul ordonat (K;+;
;)se numes ¸te corp complet ordonat dac ˘a orice
mult ¸ime majorat ˘a dinKare margine superioar ˘a, adic ˘a8AK,Amajorat ˘a)9 supA.
Corpul complet ordonat ˆıl numim sistem (corp) de numere reale s ¸i ˆıl not ˘am cuR; elementul
xdinRse numes ¸te num ˘ar real. Se va nota cu R+:=fx2R;x0gmult ¸imea numerelor
reale pozitive; R:=fx2R;x0gmult ¸imea numerelor reale negative, R
+:=R+nf0g,
R
:=Rnf0g,R:=Rnf0g.
DeciR:= (R;+;
;), undeR6=?,+,
sunt legi de compozit ¸ie pe R, iarrelat ¸ie
binar ˘a peRcu propriet ˘at ¸ile:
Adunare ( +):
(1)x+ (y+z) = (x+y) +z;8x;y;z2R;
(2)902Rastfel ˆıncˆatx+ 0 = 0 +x=x;8x2R;
(3)8x2R;9x2Rastfel ˆıncˆatx+ (x) = (x) +x= 0;
(4)x+y=y+x;8x;y2R.
ˆInmult ¸ire (
):
(1)x(yz) = (xy)z;8x;y;z2R;
(2)912Rastfel ˆıncˆat1
x=x
1 =x;8x2R;
(3)8x2R;x6= 0;9x12Rastfel ˆıncˆatx
x1=x1
x= 1;
(4)xy=yx;8x;y2R.
Leg˘atura dintre +s ¸i
:
x(y+z) =xy+xz;8x;y;z2R
Relat ¸ia binar ˘a:
(1)xx;8x2R;
(2)8x;y2R;xy^yx)x=y;
(3)8x;y;z2R;xy^yz)xz;
(4)8x;y2R)xy_yx.
Leg˘atura dintre +s ¸i:
8x;y2R;xy)x+zy+z;8z2R;
Leg˘atura dintre
s ¸i:
8x;y2R;xy)xzyz;8z2R;z0
Marginea superioar ˘a:
8AR;Amajorat ˘a)9supA.
Definit ¸ie 1.2.5 Fie(K;+;
;)s ¸i(K0;+;
;)dou˘a corpuri ordonate. Funct ¸ia f:K!
K0se numes ¸te izomorfism (de corpuri ordonate) dac ˘a:
(1)feste aditiv ˘a:f(x+y) =f(x) +f(y);8x;y2K;
(2)feste multiplicativ ˘a:f(xy) =f(x)
f(y);8x;y2K;
(3)feste bijectiv ˘a;
(4)feste strict cresc ˘atoare:8x;y2K;x<y)f(x)<f(y).
7

Not ¸iuni introductive de analiz ˘a real ˘a Serii s ¸i produse de numere
1.3 Serii s ¸i produse de numere
1.4 Funct ¸ii reale
1.5 Not ¸iuni de topologie
1.6 Calcul diferent ¸ial
8

Capitolul 2
Teoreme de medie
ˆIn cele ce urmeaz ˘a vom prezenta pe r ˆand teoremele de medie: Rolle, Lagrange s ¸i Cauchy,
ˆımpreun ˘a cu demonstrat ¸iile s ¸i consecint ¸ele acestora, dar s ¸i c ˆateva exemple pentru acestea.
2.1 Teorema lui Rolle
2.1.1 Teorem ˘a (Fermat). FieIRun interval, f:I!Ro funct ¸ie s ¸ix02Iun punct
de extrem local pentru f. Dac ˘afeste derivabil ˘a inx0, atuncif0(x0) = 0 .
Demonstrat ¸ie.
Presupunem c ˘ax0este maxim local pentru f. Atunci9>0astfel ˆıncˆat(x0;x0+)I
s ¸if(x)f(x0);8×2(x0;x0+).
Evident avem:
f(x)f(x0)
xx0(
0;8×2(x0;x0)
0;8×2(x0;x0+);
deci
f0
s(x0) = lim
x%x0f(x)f(x0)
xx00; f0
d(x0) = lim
x&x0f(x)f(x0)
xx00;
as ¸adar
0f0
s(x0) =f0(x0) =f0
d(x0)0,f0(x0) = 0:
Corolar 2.1.1 FieIRun interval s ¸i f:I!Ro funct ¸ie derivabil ˘a. Atunci extremele
locale ale funct ¸iei fse afl ˘a printre solut ¸iile ecuat ¸iei f0(x) = 0 .
9

Teoreme de medie Teorema lui Rolle
Observat ¸ie. Dac˘ax02InI, atunci teorema 2.1.1 nu este numaidec ˆat adev ˘arat˘a.
Contraexemplu. Fief(x) =x;x2[0;1]. Atuncix= 0(respectivx= 1) este minim
(respectiv maxim) absolut pentru fs ¸if0(0) = 1;f0(1) = 1 .
2.1.2 Teorem ˘a (Rolle) Fiea;b2R;a<b s ¸if: [a;b]!Ro funct ¸ie cu propriet ˘at ¸ile:
1.feste continu ˘a pe[a;b];
2.feste derivabil ˘a pe(a;b);
3.f(a) =f(b).
Atunci exist ˘ac2(a;b)astfel ˆıncˆatf0(c) = 0 .
Demonstrat ¸ie.
I:= [a;b]fiind o mult ¸ime m ˘arginit ˘a s ¸iˆınchis ˘a, deci compact ˘a s ¸ifcontinu ˘a,9×0;x12[a;b]
astfel ˆıncˆatf(x0)f(x)f(x1);8x2I.
(i) Dac ˘af(x0) =f(x1), atuncifconstant ˘a, decif0= 0.
(ii) Dac ˘af(x0)6=f(x1), atuncix0=2fa;bgsaux1=2fa;bg, astfel, din x02fa;bgs ¸i
x12fa;bgrezult ˘a c˘af(x0) =f(x1) =f(a) =f(b), absurd. As ¸adar x02(a;b)sau
x12(a;b); presupunem de exemplu c ˘ax02(a;b). Cumx02Is ¸ix0este punct de minim
absolut, deci punct de minim local, din teorema 2.1.1 rezult ˘a c˘af0(x0) = 0 .
Corolar 2.1.2 FieIRun interval s ¸i f:I!Ro funct ¸ie derivabil ˘a. Atunci:
1.ˆIntre dou ˘a solut ¸ii consecutive ale ecuat ¸iei f(x) = 0 se afl ˘a cel put ¸in o solut ¸ie a ecuat ¸iei
f0(x) = 0 ;
2.ˆIntre dou ˘a solut ¸ii consecutive x1;x2ale ecuat ¸iei f(x) = 0 se afl ˘a cel mult o solut ¸ie a
ecuat ¸ieif(x) = 0 s ¸i exact una, dac ˘af(x1)
f(x2)<0.
Corolar 2.1.3 Fief: [a;b]!Ro funct ¸ie de nori derivabil ˘a. Dac ˘a9ax0<
x1< x 2<


< xn=bastfel ˆıncˆatf(xk) = 0;8k=0;n, atunci9c2(a;b)astfel ˆıncˆat
f(n)(c) = 0 .
Demonstrat ¸ie.
Aplic ˆand teorema 2.1.2 rezult ˘a c˘af0se anuleaz ˘aˆın cel put ¸innpuncte distincte ci2(xi1;xi);(i=
1;n). Aplic ˆand din nou teorema 2.1.2 rezult ˘a c˘af00se anuleaz ˘aˆın cel put ¸in n1puncte
distinctec00
i2(c1i1;c1i);(i=2;n)etc.
Semnificat ¸ia geometric ˘a a teoremei lui Rolle
Fief: [a;b]!Ro funct ¸ie continu ˘a pe[a;b], derivabil ˘a pe(a;b)s ¸i cuf(a) =f(b).
Atunci exist ˘a cel put ¸in un punct c2(a;b)astfel ˆıncˆat tangenta geometric ˘a la graficul lui f
ˆın punctul (c;f(c))este paralel ˘a cu axaOx.
10

Teoreme de medie Teorema lui Rolle
Observat ¸ia 2.1.1 Fief: [a;b]!Ro funct ¸ie continu ˘a pe[a;b], derivabil ˘a pe(a;b)s ¸i
cuf(a) =f(b). Atunci ecuat ¸ia f0(x) = 0 poate avea o solut ¸ie, un num ˘ar finit arbitrar de
solut ¸ii sau o infinitate num ˘arabil ˘a de solut ¸ii.
Exemplul 2.1.1 Fief(x) =x2;x2[1;1]. Atuncif0(x) = 0 are exact o solut ¸ie:
x= 0.
Exemplul 2.1.2 Fief(x) =xsin
x, dac ˘ax2(0;1]s ¸if(0) = 0 . Atuncif(1
n) =
0;8n2N, deci aplic ˆand teorema lui Rolle pe intervalul [1
n+1;1
n];(n1)rezult ˘a c˘af0se
anuleaz ˘a cel put ¸in ˆıntr-un punct xn. As ¸adar ecuat ¸ia f0(x) = 0 are o infinitate num ˘arabil ˘a de
solut ¸ii.
Observat ¸ia 2.1.2 Fiecare din condit ¸iile teoremei lui Rolle sunt esent ¸iale.
Exemplul 2.1.3 Fief(x) =x2, dac ˘ax2(0;1]s ¸if(0) = 1 . Atuncifderivabil ˘a pe
(0;1);f(0) =f(1),ˆıns˘afnu este continu ˘aˆın0. Evidentf0(x)6= 0;8×2(0;1).
Exemplul 2.1.4 Fief(x) =jxj,x2[1;1]. Atuncifeste continu ˘a pe[1;1];f(1) =
f(1),fderivabil ˘a pe [1;1]nf0gs ¸i nederivabil ˘aˆınx= 0. Evidentf0(x)6= 0;8×2
[1;1]nf0g.
Observat ¸ia 2.1.3 Condit ¸iile din ipoteza teoremei lui Rolle sunt suficiente s ¸i nu nu-
maidec ˆat necesare ca derivata s ˘a se anuleze ˆıntr-un punct.
Exemplul 2.1.5 Fief(x) =x2, dac ˘ax2[1;2]\Qs ¸if(x) = 0;8×2[1;2]nQ.
Atuncifeste derivabil ˘a s ¸i continu ˘a numai ˆınx= 0s ¸i avemf0(x) = 0 .
Exemplul 2.1.6 Fief(x) =x3;x2[1;1]. Atuncifeste derivabil ˘a pe[1;1],ˆıns˘a
f(1)6=f(1). Evidentfse anuleaz ˘aˆın punctulx= 0.
11

Teoreme de medie Teorema lui Lagrange
2.2 Teorema lui Lagrange
2.2.1 Teorem ˘a (Lagrange). Fiea;b2R;a<b s ¸if: [a;b]!Ro funct ¸ie cu propriet ˘at ¸ile:
1.fcontinu ˘a pe[a;b];
2.fderivabil ˘a pe(a;b).
Atunci9c2(a;b)astfel ˆıncˆatf(b)f(a) = (ba)f0(c).
Demonstrat ¸ie.
FieI:= [a;b]s ¸ig:I!Ro funct ¸ie definit ˘a astfel:
g(x) =(xa)f(x);x2I;:=f(b)f(a)
ba:
Evidentgeste continu ˘a peI, derivabil ˘a peIs ¸ig(a) =g(b) =f(a).
Atunci conform teoremei 2.1.2 9c2Iastfel ˆıncˆatg0(c) = 0 . Cumg0(x) =f0(x);x2I,
rezult ˘a c˘a
f0(c) =g0(c) = 0,f0(c) ==f(b)f(a)
ba:
Corolar 2.2.1 FieIRun interval s ¸i f:I!Ro funct ¸ie continu ˘a peIs ¸i derivabil ˘a
peI. Atunci8x1;x22I;x1< x 2, exist ˘ac2(x1;x2)astfel ˆıncˆatf(x1)f(x2) =
(x1x2)f0(c).
Demonstrat ¸ie.
Aplic ˘am teorema 2.2.1 pentru funct ¸ia fj[x1;x2].
Corolar 2.2.2 FieIRun interval s ¸i f:I!Ro funct ¸ie derivabil ˘a. Atuncif
constant ˘a,f0= 0.
Demonstrat ¸ie.
"("Fiex1;x22I;x1< x 2, fixat ¸i, conform corolar 2.2.1 9c2(x1;x2)astfel ˆıncˆat
f(x1)f(x2) = (x1x2)f0(c). Cumf0(c) = 0 , rezult ˘a c˘af(x1) =f(x2), as ¸adar,f
constant ˘a.
Corolar 2.2.3 FieIRun interval s ¸i f:I!Ro funct ¸ie derivabil ˘a. Atuncifeste
monoton cresc ˘atoare (respectiv descresc ˘atoare),f00(respectivf00).
Demonstrat ¸ie.
")"Fiex02Ifixat; presupunem c ˘ax0<supI. Deoarecefeste monoton cresc ˘atoare,
avem:
f(x)f(x0)
xx00;8x2I\(x0;+1);
12

Teoreme de medie Teorema lui Lagrange
as ¸adar
f0(x0) =f0
d(x0) = lim
x&x0f(x)f(x0)
xx00:
Rat ¸ionamentul este analog pentru x0>infI.
"("Presupunem c ˘af00s ¸i fiex1;x22I;x1< x 2fixat ¸i. Atunci, conform teo-
remei 2.2.1,9c2(x1;x2)astfel ˆıncˆatf(x1)f(x2) = (x1x2)f0(c). Cumx1x2<0
s ¸if0(c)0, rezult ˘a c˘af(x1)f(x2)0, decif(x1)f(x2), as ¸adarfeste monoton
cresc ˘atoare.
Corolar 2.2.4 FieIRun interval s ¸i f:I!Ro funct ¸ie derivabil ˘a. Atunci:
1. Dac ˘af0>0(respectivf0<0), rezult ˘a c˘afeste strict cresc ˘atoare (respectiv de-
scresc ˘atoare);
2. Dac ˘a mult ¸imeaA:=fx2I;f0(x)6= 0geste dens ˘aˆın I, rezult ˘a c˘afeste strict cresc ˘atoare
(respectiv descresc ˘atoare),f00(respectivf00).
Demonstrat ¸ie.
1. Se aplic ˘a acelas ¸i rat ¸ionament ca ˆın corolar 2.2.3.
2."("Dac˘af00, rezult ˘a conform corolar 2.2.3 c ˘afmonoton cresc ˘atoare. Fie
x1;x22I;x1< x 2fixat ¸i. Presupunem c ˘af(x1) =f(x2); atunci, s ¸tiind c ˘af(x1)
f(x)f(x2);8×2[x1;x2], rezult ˘a c˘afeste constant ˘a pe[x1;x2]. As ¸adar,f0se anuleaz ˘a
pe[x1;x2], deciA\(x1;x2) =?. Aceasta contrazice faptul c ˘aAeste dens ˘aˆınI. Obt ¸inem
f(x1)6=f(x2), decif(x1)<f(x2), as ¸adar,feste strict cresc ˘atoare.
Corolar 2.2.5 FieIRun interval de capete a;b2Rs ¸if:I!Ro funct ¸ie deriv-
abil˘a peI. Atunci avem:
1.f00peIs ¸if(a+)0(respectiv>0))f0(respectiv>0) peI;
2.f00peIs ¸if(b)0(respectiv<0))f0(respectiv<0) peI;
3.f00peIs ¸if(a+)0(respectiv<0))f0(respectiv<0) peI;
4.f00peIs ¸if(b)0(respectiv>0))f0(respectiv>0) peI.
Demonstrat ¸ie.
1. Dac ˘af00peI, rezult ˘a c˘afeste strict monoton ˘a pe I, as ¸adar,f(a+)s ¸if(b)ex-
ist˘a. Dac ˘a9x02Icuf(x0)<0, atuncif(x)f(x0);8×2(a;x0), decif(a+) =
inf
x2(a;x0)f(x)f(x0)<0, absurd. Rezult ˘a c˘af(x)0;8×2I.
13

Teoreme de medie Teorema lui Lagrange
Corolar 2.2.6 FieIRun interval (respectiv compact) s ¸i f:I!Ro funct ¸ie
derivabil ˘a cuf0m˘arginit ˘a (respectiv continu ˘a). Atuncifeste lipschitzian ˘a.
Demonstrat ¸ie.
Fie:= sup
x2Ijf0(x)j. Atunci8x;y2I;x < y;92(x;y)astfel ˆıncˆatf(x)f(y) =
(xy)f0(), as ¸adarjf(x)f(y)jjxyjetc.
Observat ¸ie. Dac˘a o funct ¸ief:I!Reste derivabil ˘a s ¸i strict monoton ˘a, nuu rezult ˘a
numaidec ˆat c˘af0>0.
Contraexemplu. f(x) =x3;x2R, este derivabil ˘a, strict monoton ˘a s ¸if0(0) = 0 .
Semnificat ¸ia geometric ˘a a teoremei lui Lagrange
Fief: [a;b]!Ro funct ¸ie continu ˘a pe[a;b]s ¸i derivabil ˘a pe(a;b). Atunci exist ˘a cel
put ¸in un punct c2(a;b)astfel ˆıncˆat tangenta geometric ˘a la graficul lui fˆın punctul (C;f(c))
este paralel ˘a cu dreapta care trece prin punctele A(a;f(a))s ¸iB(b;f(b)).
14

Teoreme de medie Teorema lui Lagrange
Exemplul 2.2.1 S˘a se arate inegalit ˘at ¸ile:
ba
a<lnblna<ba
b;80<a<b< +1:
Fie funct ¸iaf(x) := lnx;x2R
+. Este clar faptul c ˘a f este derivabil ˘a s ¸if0(x) =1
x.
Fix˘ama;b2R
+;a<b ;atunci avem:
lnblna= (ba)1
;a< <b:
Cum1
b<1
<1
a, rezult ˘aba
b<ba
<ba
a, deci
ba
b<lnblna<ba
a:
De exemplu, pentru a= 1s ¸ib= 1 +x;x>1, avem:
x
1 +x<ln(1 +x)<x;8×2(1;1);
dar dac ˘aa=xs ¸ib= 1 +x;x2R
+, rezult ˘a:
1
1 +x<ln(1 +x)lnx<1
x;8x2R
+:
15

Teoreme de medie Teorema lui Cauchy
2.3 Teorema lui Cauchy
2.3.1 Teorem ˘a (Cauchy). Fiea;b2R;a < b s ¸if;g: [a;b]!Rdou˘a funct ¸ii cu pro-
priet ˘at ¸ile:
1.fs ¸igsunt continue pe [a;b];
2.fs ¸igsunt derivabile pe (a;b).
Atunci9c2(a;b)astfel ˆıncˆat
(f(b)f(a))g0(c) = (g(b)g(a))f0(c):
Demonstrat ¸ie.
FieI:= [a;b]s ¸i':I!Ro funct ¸ie definit ˘a astfel:
'(x) = [f(b)f(a)]
[g(x)g(a)][g(b)g(a)]
[f(x)f(a)]:
Este clar c ˘a'este continu ˘a peI, derivabil ˘a pe Is ¸i'(a) ='(b) = 0:Atunci, conform
teoremei 2.1.29c2Iastfel ˆıncˆat'0(c) = 0 . Cum avem:
'0(x) = [f(b)f(a)]g0(x)[g(b)g(a)]f0(x);s2I;
rezult ˘a c˘a:
[f(b)f(a)]g0(c)[g(b)g(a)]f0(c) ='0(c) = 0
etc.
Corolar 2.3.1 Fiea;b2Rs ¸if;g: [a;b]!Rdou˘a funct ¸ii cu propriet ˘at ¸ile:
1.fs ¸igsunt continue pe [a;b];
2.fs ¸igsunt derivabile pe (a;b)s ¸ig0(x)6= 0;8×2(a;b).
Atuncig(a)6=g(b)s ¸i9c2(a;b)astfel ˆıncˆat
f(b)f(a)
g(b)g(a)=f0(c)
g0(c):
Demonstrat ¸ie.
Dac˘ag(a) =g(b), atunci din Formula lui Leibniz rezult ˘a c˘a9x02(a;b)astfel ˆıncˆat
g0(x0) = 0 , absurd. Avem g(a)6=g(b). Aplic ˘am mai departe teorema 2.3.1.
2.4 Consecint ¸ele teoremelor
Definit ¸ie 2.4.1. FieIRun interval s ¸i f:I!Ro funct ¸ie. Spunem c ˘afeste o
derivat ˘a (funct ¸ie derivat ˘a), dac ˘a exist ˘ag:I!Ro funct ¸ie derivabil ˘a astfel ˆıncˆatg0=f,
adic˘ag0(x) =f(x);8x2I:
16

Teoreme de medie Consecint ¸ele teoremelor
2.4.1 Teorem ˘a (Darboux). FieIRun interval s ¸i f:I!Ro funct ¸ie derivat ˘a.
Atuncifare proprietatea Darboux.
Demonstrat ¸ie.
Fieg:I!Rderivabil ˘a astfel ˆıncˆatg0=fs ¸i fiea;b2I;a < b s ¸icuprins ˆıntre
f(a)s ¸if(b)fixat ¸i; presupunem f(a)< f(b), decif(a)<  < f (b). Consider ˘am funct ¸ia
'(x) =g(x)x;x2I. Este evident c ˘a'este derivabil ˘a s ¸i avem:
'0(x) =g0(x)=f(x);8x2I;
as ¸adar,
'0(a) =f(a)<0;'0(b) =f(b)>0:
Cum
lim
x&a'(x)'(a)
xa='0(a)<0; lim
x%b'(x)'(a)
xb='0(b)>0;
rezult ˘a c˘a exist ˘ac;d2(a;b);c<d , cu propriet ˘at ¸ile:
'(x)'(a)
xa<0;8×2(a;c);'(x)'(a)
xb>0;8×2(d;b);
as ¸adar,
'(x)<'(a);8×2(a;c);'(x)<'(b);8×2(d;b):(1)
Funct ¸ia'fiind continu ˘a s ¸i[a;b]ˆınchis s ¸i m ˘arginit,9×02[a;b]astfel ˆıncˆat'(x0)'(x);8×2
[a;b]. De aici s ¸i din (1)rezult ˘a c˘ax06=as ¸ix06=b, decix02(a;b). Atunci putem aplica
teorema 2.1.1, rezult ˘a c˘a'0(x0) = 0 s ¸if0(x0) =, as ¸adar,fare proprietatea Darboux.
Corolar 2.4.1. FieIRun interval s ¸i f:I!Ro funct ¸ie derivabil ˘a. Atuncif0are
proprietatea Darboux.
Corolar 2.4.2. FieIRun interval s ¸i f:I!Ro funct ¸ie derivabil ˘a. Dac ˘af0(x)6=
0;8x2I, atuncif0(x>0);8x2Isauf0(x)<0;8x2I, decifeste strict monoton ˘a.
Demonstrat ¸ie.
Dac˘a ar existax1;x22I;x1< x 2cuf0(x1)
f0(x2)<0atuncif0avˆand proprietatea Dar-
boux, ar exista x02(x1;x2)cuf0(x0) = 0 , contradict ¸ie.
Corolar 2.4.3 (teorema lui Rolle generalizat ˘a).Fiea;b2R;a<b s ¸if: (a;b)!R
o funct ¸ie derivabil ˘a cu proprietatea c ˘af(a+);f(b)exist ˘a s ¸i sunt egale. Atunci 9c2(a;b)
astfel ˆıncˆatf0(c) = 0 .
Demonstrat ¸ie.
Presupunem f0(x)6= 0;8×2(a;b). Conform corolar 2.4.2 f0p˘astreaz ˘a semnul constant, de
exempluf0>0, rezult ˘afstrict cresc ˘atoare. Fiea < c < d < b fixat ¸i. Observ ˘am c ˘a avem
17

Teoreme de medie Consecint ¸ele teoremelor
f(x)<f(c);8×2(a;c), deci
f(a+) = lim
x&af(x) = lim
x&afj(a;c)(x)f(c):
Analog, avem f(b)f(d), rezult ˘af(a+)f(c)<f(d)f(b) =f(a+), contradict ¸ie.
Avem c ˘a9c2(a;b)cuf0(c) = 0 .
Corolar 2.4.4 (teorema lui Cauchy generalizat ˘a).Fiea;b2R;a < b s ¸if;g :
(a;b)!Rdou˘a funct ¸ii cu propriet ˘at ¸ile:
1.f(a+);f(b);g(a+);g(b)exist ˘a s ¸i sunt finite;
2.fs ¸igsunt derivabile s ¸i g0(x)6= 0;8×2(a;b).
Atuncig(a+)6=g(b)s ¸i9c2(a;b)astfel ˆıncˆat
f(b)f(a+)
g(b)g(a+)=f0(c)
g0(c):
Demonstrat ¸ie.
Avemg(a+)6=g(b), conform corolar 2.4.3 rezult ˘a c˘a9c2(a;b)cug0(c) = 0 , contradict ¸ie.
Fie': (a;b)!Ro funct ¸ie definit ˘a astfel:
'(x) = [f(b)f(a+)]
[g(x)g(a+)][g(b)g(a+)]
[f(x)f(a+)]:
Cum'derivabil ˘a s ¸i'(a+) ='(b) = 0 , rezult ˘a conform corolar 2.4.3 c ˘a9c2(a;b)astfel
ˆıncˆat'0(c) = 0 . Se continu ˘a caˆın teorema 2.3.1.
18

Capitolul 3
Aplicat ¸ii ale teoremelor de medie
3.1 Aplicat ¸ii ale teoremei lui Rolle
1.Fiefs ¸igfunct ¸ii continue pe [a;b], derivabile pe intervalul deschis (a;b)s ¸i fie
f(a) =f(b) = 0 . Ar˘atat ¸i c ˘a exist ˘ax2(a;b)astfel ˆıncˆatg0(x)f(x) +f0(x) = 0 .
Solut ¸ie.
Funct ¸iah(x) =eg(x)f(x),8×2[a;b]satisface condit ¸iile teoremei lui Rolle. As ¸adar, 9×02
(a;b)astfel ˆıncˆat0 =h0(x0) = (g0(x0)f(x0) +f0(x0))eg(x0).
Atuncig0(x0)f(x0) +f0(x0) = 0 .
2.Ar˘atat ¸i c ˘a dac ˘a r˘ad˘acinile polinomului Pde gradn2sunt reale, atunci s ¸i r ˘ad˘acinile
luiP0sunt reale.
Solut ¸ie.
Conform teoremei lui Rolle, ˆıntre dou ˘a r˘ad˘acini reale ale polinomului Pexist ˘a cel put ¸in o
r˘ad˘acin˘a real ˘a a luiP0.ˆIn plus, fiecare r ˘ad˘acin˘a a luiPde ordink(k2)exist ˘a o r˘ad˘acin˘a
a luiP0de ordin (k1). As ¸adar, exist ˘an1r˘ad˘acini ale lui P0, num ˘arate conform multi-
plicit ˘at ¸ii.
3.Fieak;bk2R,k=1;n. S˘a se demonstreze c ˘a exist ˘ax02(0;2)astfel ˆıncˆat
nX
k=1(aksinkx 0+bkcoskx 0) = 0:
Solut ¸ie.
Fie funct ¸iaf: [0;2)!R,f(x) =nP
k=11
k(akcosxbksinx):
Evidentfeste derivabil ˘a pe[0;2]s ¸i avemf(0) =f(2) =nP
k=11
kak

deci conform teore-
mei lui Rolle exist ˘ax02(0;2)astfel ˆıncˆatf0(x0) = 0 .
19

Aplicat ¸ii ale teoremelor de medie Aplicat ¸ii ale teoremei lui Lagrange
Darf0(x) =nP
k=1(aksinkx +bkcoskx ), deci
f0(x0) =nX
k=1(aksinkx 0+bkcoskx 0)
.
3.2 Aplicat ¸ii ale teoremei lui Lagrange
1.S˘a se arate c ˘a dac ˘aas ¸ibsunt numere pozitive, a<b , iarn2Natunci avem inegalit ˘at ¸ile:
n(ba)an1<bnan<n(ba)bn1:
Solut ¸ie.
Fief: [a;b]!R,f(x) =xn. Conform teoremei lui Lagrange, 9c2(a;b)astfel ˆıncˆat
f(b)f(a)
ba=f0(c)()bnan
ba=ncn1:
Dinc2(a:b)rezult ˘anan1<ncn1<nbn1, de unde obt ¸inem:
nan1<bnan
ba<nbn1:
2.S˘a se arate inegalitatea ex>1 +x;8x2R
+.
Solut ¸ie.
Fief(x) =ex1x;x2R. Este clar ca feste derivabil ˘a s ¸if0(x) =ex1, decif0(x)<0,
dac˘ax2R
+;f0(x)>0, dac ˘ax2R
s ¸if0(x) = 0 . Din teorema 2.2.1, corolar 2.2.4 rezult ˘a
c˘afeste strict descresc ˘atoare pe R
s ¸i strict cresc ˘atoare pe R
+, as ¸adar 0este punct de minim
absolut s ¸i este unic determinat. Atunci putem scrie:
f(x)>f(0);8x2R,ex>1 +x;8x2R:(1)
Din inegalitatea (1)s ¸i din Inegalitatea lui Bernoulli Corolar 2, rezult ˘a inegalit ˘at ¸ile:
1 +nX
k=1xknY
k=1(1 +xk)enP
k=1xk;(2)
dac˘axk>1;(k=1;n)s ¸i tot ¸i av ˆand acelas ¸i semn. Din (2), pentruxk=1
k;(k=1;n),
avem inegalitatea
enP
k=11
knY
k=1(1 +1
k) =n+ 1;
20

Aplicat ¸ii ale teoremelor de medie Aplicat ¸ii ale teoremei lui Cauchy
din care observ ˘am din nou c ˘a seriaP
k=11
neste divergent ˘a.
3.S˘a se arate c ˘aexxe;8x2R
+s ¸ieeste singurul num ˘ar pozitiv cu aceast ˘a propri-
etate.
Solut ¸ie.
Fie funct ¸iaf(x) :=1
xlnx;x2R
+. Este evident c ˘afeste derivabil ˘a s ¸if0(x) =1
x2(1
lnx);8x2R
+, as ¸adarf0(x)>0, dac ˘ax2(0;e);f0(x)<0, dac ˘ax2(e;1)s ¸if0(e) = 0 .
As ¸adar, f este strict cresc ˘atoare pe (0;e)s ¸i strict descresc ˘atoare pe (e;1), rezult ˘a c˘aeeste
punct de maxim absolut s ¸i el este unic determinat. Atunci vom scrie:
e1=f(e)>f(x) =1
xlnx;8x2R
+nfeg,ex>xe;8x2R
+nfeg:
Fiea2R
+cu proprietatea axxa;8x2R
+. Atuncixlnaalnx;8x2R
+, rezult ˘a
f(a) =1
alna1
xlnx;8x2R
+. As ¸adar,aeste punct de maxim global, rezult ˘a c˘aa=e.
ˆIn particular, obt ¸inem e>e.
3.3 Aplicat ¸ii ale teoremei lui Cauchy
21

Concluzii
ˆIn aceast ˘a lucrare am prezentat cazul teoremelor clasice de medie ale cal-
culului diferent ¸ial: Rolle, Lagrange s ¸i Cauchy ˆımpreun ˘a cu aplicat ¸iile aces-
tora. Pentru a putea vorbi despre acestea a trebuit s ˘a facem o scurt ˘a introduc-
ere a analizei reale pentru a putea ˆınt ¸elege demonstrat ¸iile acestor teoreme, dar
s ¸i a aplicat ¸iilor acestora.
ˆIn primul capitol am vorbit despre mult ¸imea numerelor reale s ¸i pro-
priet ˘at ¸ile acesteia, dar s ¸i despre continuitate, derivabilitate s ¸i propriet ˘at ¸i.
ˆIn continuare am prezentat teoremele clasice de medie: Rolle, La-
grange s ¸i Cauchy ˆımpreun ˘a cu demonstrat ¸iile acestora, dar s ¸i propriet ˘at ¸ile s ¸i
consecint ¸ele, unde a fost cazul.
Ultimul capitol a fost o prezentare a aplicat ¸iilor acestor teoreme ˆımpreun ˘a
cu rezolvarea lor pentru elevii performant ¸i.
22

Referint ¸e bibliografice
(1) Gh. Siret ¸chi, Calcul diferent ¸ial s ¸i integral vol.1 not ¸iuni fundamentale, Editura
S ¸tiint ¸ific ˘a s ¸i Enciclopedic ˘a, Bucures ¸ti, 1985.
(2) Gheorghe Boroica, Vasile Pop, Nicolae Mus ¸uroia, Florin Bojor, Cristian Heuberger,
Matematic ˘a de excelent ¸ ˘a – Clasa a XI-a, Editura Paralela 45, 2016.
(3) W.J.Kaczor, M.T.Nowak, Problems in Mathematical Analysis II Continuity and
Differentiation, Student Mathematical Library V olume 12, American Mathematical Soci-
ety, 2001.
23