Colec ția de working papers ABC -UL LUMII FINANCIARE [608768]

Colec ția de working papers ABC -UL LUMII FINANCIARE
WP nr. 2 /2014

Modelarea curbei randamentelor
titlurilor de stat

Jelea Anca
Facultatea Finan țe, Asigurări, Bănci și Burse de Valori,
Masterat Finan țe-Bănci DOFIN, Anul I
[anonimizat]

Coordonatorul lucrării
Conf.univ.dr. Bobeică Gabriel

Rezumat: Lucrarea de fa ță prezinta evolutia curbei randamentelor titlurilor de stat in
Romania in perioada aug.2007 -mar.2014. Analiza este realizată si comparativ cu cateva
regiuni (SUA, zona Euro, CEE) cu scopul de a identifica particularită ți comune la nivel
empiric în contextul economic actual. Ne interesează de asemenea să identifică m cea mai
potrivita abordare pentru determi narea celor trei elemente principale ale curbei : nivel,
curbură și pantă , cat si influenta pe care o au anumiti indicatori macroeconomici asupra
acestora.

Cuvinte – cheie: curba randamentelor, ACP, algoritmul Nelson -Siegel, nivel, cur bură,
pantă

Clasificare JEL: C38, E43, G12

Clasificare REL : 8Z, 10B, 10Z

1. Introducere
Studierea curbei randamentelor titlurilor de stat (en. yield curve) este un element fundamental
in economie, in conditiile in care aceasta este un punct de referinta pentru preturilor altor
active financiare, pentru stabilirea/previzionarea ratelor de dobanda. Evolutia randamentelor
aferente titlurilor de stat influenteaza de asemenea si deciziile agentilor economici.
Pentru curba de randament pot fi observate atat aspectele micro cat și macro. La nivel micro
curba de randament ajută investitorii la alertarea cu privire la posibila recesiune sau redresare
a economiei. Curba de randament poate fi folosita ca un punct de referin ță pentru pre țurile
altor valori mobiliare cu rata de dobânda fixa. Abilitatea de a anticipa mi șcările de pe curba de
randament, le poate aduce managerilor castiguri substantiale pentru portofoliile lor de
obligatiuni.
Din punct de vedere macro curba randamentelor subliniază importan ța structurii pe terme n
lung a ratelor dobânzilor datorita efectelor sale asupra deciziilor de consum și deciziile de
investi ții ale agen ților economici, dar si a cererii aggregate. Din punct de vedere financiar,
existen ța curbei randamentelor favorizează dezvoltarea pie țelor d e capital interne, primare și
secundare.(Pereda, 2009).
Modelarea curbei randamentelor titlurilor de stat a inceput cu modelele de echilibru a lui
Vasicek(1997) si Coz(1985) dar s -a demonstrate ca aceste modele produc estimari slabe in
conditiile in care e stimari mai bune se pot obtine prin ipoteza ca randamentele urmeaza un
process de tip random -walk(a se vedea Duffee(2002)).
O alternativa a fost propusa de Nelson si Siegel(1987) care au testat performanta acestui
model pe baza datelor pentru SUA. In aceas ta lucrare vom utiliza metologia propusa de

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

162
Nelson si Siegel(1987) cu extinderea propusa de Diebold si Li (2006). Nu ne vom axa pe
estimari viitoare ale curbei de randament (intr -o oarecare masura ar fi si imposibil tinand cont
de numarul relativ mic de da te cu frecventa lunara de care dispunem pentru Romania) ci vom
evidentia cum se poate imparti curba in trei elemente care evolueaza dinamic in timp.
Daca Ministerul de Finante ar emite titluri de stat (certificate de trezorerie, obligatiuni) in
fiecare zi atunci am putea observa curba randamentelor efectiv de piata, dar acest lucru
evident nu are loc. In Romania, piata obligatiunilor si certificatelor de trezorerie nu este
dezvoltata, numarul ISIN -urilor in circulatie la data de 04.04.2014 fiind de 40.
Includerea obligatiunilor romanesti in indicii Barclays MLCGI (Nov'12) si JPM GBI -EM
(Ian'13) a crescut vizibilitatea titlurilor de stat romanesti si in consecinta si apetitul
nerezidentilor pentru acestea ,avand un efect pozitiv pentru economia romaneasca.

2. Aspecte esentiale cu privire la curba randamentelor

Inainte de a prezenta conceptele teoretice ce vor sta la baza analizei este important sa stim
raspunsul la cateva elemente fundamentale : ce este curba randamentelor titlurilor de stat? ce
tipuri de curbe de randament exista? etc.
Randamentul poate fi asociat cu suma pe care o primim periodic(sau la scadenta) pentru o
anumita investitie realizata. Randamentul unui titlu de stat este determinat de mai multe
elemente printre care pretul de cumparare, cuponu l. Apar insa doua notiuni: randament curent
si randament la maturitate. Randamentul curent este valoare anuala pe care o castigam/primim
in schimbul pretului platit pentru achzitionarea unui titlu de stat si se calculeaza ca raport intre
cash-flow-ul (actu alizat) generat de cupoanele primite si pretul la care a fost cumparat titlul
respectiv. Randamentul la maturitate reprezinta randamentul total pe care il primeste un
investitor care pastreaza titlul de stat pana la scadenta. Mai apare insa si notiunea de “yield to
call”, care se calculeaza identic cu randamentul maturitate dar se ia in calcul ca titlul este
rascumprat the emitent inainte de data maturitatii. In cazul acestui tip de randament referinta
este data “call -ului” si nu data scadentei asa cum era in cazul celui anterior. Aceste tipuri de
randament sunt esentiale pentru investitori deoarece in acest fel pot compara titluri de stat cu
caracteristici diferite: rate de cupon diferite,scadente diferite etc.
Sursele de randament/rentabilitate in cazul o bligatiunilor pot fi clasificate astfel:
Plati periodice de cupoane
Recuperarea principalului
Veniturile obtinute din reinvestirea cupoanelor
Sa incepem asadar cu elementul fundamental : curba randamentelor este o reprezentare
grafica a ratelor certificate lor de trezorerie si a obligatiunilor in functie de maturitati in
conditii identice de lichiditate si regim fiscal. In cele ce urmeaza vom considera maturitati pe
termen scurt (6 luni – 1 an) ,pe termen mediu (1 -3 ani), pe termen lung (>5 ani). Este impor tant
de mentionat ca pentru prima parte a curbei de randament principalii jucatori de pe piata sunt
bancile locale. Acestea au un profil de risc pentru plasamente de pana la 3 -5 ani. Pentru a
doua parte a curbei (plasamente pentru maturitati de peste 5 ani ) principalii jucatori sunt
fondurile de pensii,societatile de asigurari, societati de administrare a activelor (en. asset
management).
Curba randamentelor titlurilor de stat poate avea diferite forme in functie de anumite
circumstante economice la un anumit moment de timp. Principalele forme ale curbei de
randamente :
 Normala
 Aplatizata
 Inversata

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

163
 Neregulata

O curba normala este o curba ascendenta cu rate crescatoare, dar ritmul de crestere se
diminueaza pe masura ce maturitatile sunt mai mari. Denumir ea specificata se datoreaza
faptului că aceasta este forma unei curbe de randament considerata normala in condi ții de
echilibru economic (randamentele asteptate pe termen lung ar trebui sa fie mai mari decat cele
asteptate pe termen scurt datorita riscului asumat pe o perioada mai mare de rimp). Altfel
spus, este o curba cu panta pozitiva deoare ratele pe termen lung sunt mai mari decât cele pe
termen scurt.
O curba aplatizata este o curba in care ratele de dobanda sunt egale indiferent de maturitate.
O cur ba inversata este o curba descendenta cu rate descrescatoare ,dar cu ritmul de scadere
ce se diminueaza pe masura ce maturitatile cresc. Cu alte cuvinte, are o panta negativa
deoarece ratele pe termen scurt le devanseaza pe cele de pe termen lung. (Acest l ucru
reprezinta un risc de lichiditate si un semnal negativ al evolutiei economice.Practic costurile
de finantare pe termen scurt devin mai ridicate,in timp ce recompensele pentru banii
imprumutati devin mai mici.)
O curba neregulata (en. humped ) este una in care randamentele pe termen scurt și lung sunt
aproape egale, diferite de randamentele pe termen mediu, care sunt, prin urmare, fie mai mari
sau mai mici.
In figura1. sunt prezentate aceste tipuri de curbe pentru o mai buna intelegere a
caracteristicilo r acestora.

Figura1. Tipuri de curbe de randament
Sursa: Parker P.,” Mastering the ACI Dealing Certificate”,2003, pg. 59 -61

Majoritatea economistilor sunt de parere ca printre cei mai importanti factori care determina
modificarea pantei in cazul curbei de randament sunt asteptarile investitorilor cu privire la
ratele de dobanda viitoare si anumite prime de risc pentru detinerea/achizitionarea de titluri de
stat pe termen lung. In literatura au fost propuse 3 teorii principale care ar putea explica
struct ura la termen a ratelor de dobanda si anume:

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

164

Teoria asteptarilor (pure expectations theory) care explica curba
randamentelor plecand de la ipoteza ca investitorii au anumite asteptari. Aceasta sus ține că
panta curbei de randament reflectă numai a șteptările investitorilor pentru viitoare evolutii a
ratelor dobânzilor pe termen scurt. O mare parte din timp, investitorii se asteapta ca ratele
dobânzii să crească în viitor ceea ce rezulta intr -o panta ascendentă a curbei de randament.
Teoria preferintei pentru lichiditate afirmă că ratele dobânzilor pe termen
lung reflectă nu numai ipotezele investitorilor cu privire la ratele dobânzilor viitoare, dar, de
asemenea include si o primă de lichiditate pentru de ținerea de obliga țiuni pe termen lung.
Această primă com pensează investitorii de riscul suplimentar de a avea banii lor investiti
pentru o perioadă mai lungă, inclusiv incertitudinea de pre ț mai mare. Din cauza primei de
lichiditate, randamentele obliga țiunilor pe termen lung tind să fie mai mari decât
randamen tele pe termen scurt, iar curba de randament înclinată în sus.
Teoria habitatului preferat sau segmentarea pietei . prevede că, în plus fa ță
de așteptările de rata de dobânda, investitorii au orizonturi de investi ții diferite și necesită o
primă semnificat iva pentru a cumpăra obliga țiuni cu scaden țe în afara maturitatii, sau
habitatului preferat. Sus ținătorii acestei teorii cred că investitorii pe termen scurt sunt mai
predominanti pe piata titlurilor cu venit fix și, prin urmare, ratele pe termen lung tind să fie
mai mari decât ratele pe termen scurt.

In realitate insa, curba randamentelor titlurilor de stat are la baza toate cele trei teorii
mentionate mai sus: teoria asteptarilor,teoria preferintei pentru lichiditate si teoria segmentarii
pietei.
Este important de asemenea sa punem accent si pe tipurile de modificari ce pot aparea in
cazul curbei de randament:
 Modificări paralele ale curbei de randament –atunci când yield -urile pentru
toate maturitățile se modifică în aceeași direcție și cu aceeaș i valoare. Panta curbei de
randament rămâne neschimbată.
 Modificări neparalele ale curbei de randament –atunci când yield -urile pentru
diverse maturități se modifică cu valori diferite. În acest caz, panta curbei de randament se
modifică.

Printre moficaril e neparalele ale curbei cele mai frecvente sunt:
rotiri ale curbei de randament –atunci când prin modificările yield -urilor, curba
de randament devine mai aplatizată (spread -ul dintre ratele pe termen lung și cele pe termen
scurt se reduce) sau mai înaltă (atunci când spread -ul crește)
modificări butterfly –atunci când se modifică gradul de curbare al curbei de
randament. O modificare positive butterfly apare atunci când curba de randament devine mai
puțin curbată, de exemplu, atunci când ratele de dobânda cresc, dar cele pentru maturitățile pe
termen scurt și lung cresc cu mai mult decât cele pentru maturitățile intermediare. O
modificare negative butterfly apare atunci când crește gradul de curbură al structurii la termen
a ratei dobânzii, de exemplu, dacă ratele de dobândă cresc, ratele pentru maturitățile
intermediare cresc mai mult decât cele de la extremitățile curbei de randament.
Curba randamentelor este un bun predictor si pentru ciclurile economice. O structura la
termen normala ar fi crescatoare, i ar daca tinde sa se aplatizeze si sa aiba panta descrescatoare
ar putea fi semnul unei recesiuni. Curba de randament, ca o imagine a rela țiilor dintre

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

165
randamentele obliga țiunilor de scaden țe diferite, oferă o modalitate de a evalua diferite aspect
si de a anticipa daca în viitor dacă economia va fi puternica sau neperformanta. (Cano, Correa
și Ruiz, 2010).

3. Evolutia curbei randamentelor titlurilor de stat in Romania
In continuare, vom prezenta evolutia curbei randamentelor titlurilor de stat in Romania pan a
in prezent, pentru a avea o imagine de ansamblu. Pentru o reprezentare cat mai elocventa, in
continuare vor fi expuse separate reprezentarile grafice pentru vectorul de maturitati (6M, 1Y,
3Y, 5Y, 10Y) in perioada 20.08.2007 – 31.03.2014 (fig.2). Datele a u frecventa zilnica si
reprezinta cotatia bid pentru titlurile de stat aferente maturitatilor precizatete anterior, fiind
preluate din Datastream (Thomson Reuters).

Se observa ca in prezent randamentele titlurilor de stat in Romania sunt la niveluri mini me.
Evident insa este gresit sa privim acest lucru static, fara a face o corelatie cu rezultatele
curente ai unora dintre principalii indicatorilor macroeconomici (inflatie,rata de politica
monetara etc) .Vom analiza insa aceste aspecte in lucrarea de fata putin mai tarziu. Pana
atunci insa, consider ca este important sa avem fixat mai in detaliu transformarea curbei de
randament de la inceputul anului 2014 si pana in prezent. Reprezenatrea grafica apare in
figura 3.

135791113151719
20.aug.07
20.feb.08
20.aug.08
20.feb.09
20.aug.09
20.feb.10
20.aug.10
20.feb.11
20.aug.11
20.feb.12
20.aug.12
20.feb.13
20.aug.13
20.feb.14Randamentele pentru o
maturitate de 6M (%)
135791113151719
20.aug.07
20.feb.08
20.aug.08
20.feb.09
20.aug.09
20.feb.10
20.aug.10
20.feb.11
20.aug.11
20.feb.12
20.aug.12
20.feb.13
20.aug.13
20.feb.14Randamentele pentru o
maturitate de 1Y (%)

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

166
1,522,533,544,555,56
03.ian.2014
10.ian.2014
17.ian.2014
24.ian.2014
31.ian.2014
07.feb.2014
14.feb.2014
21.feb.2014
28.feb.2014
07.mar.2014
14.mar.2014
21.mar.2014
28.mar.2014
6M 1Y 3Y 5Y 10Y

Fig 2. Evolutia randamentelor titlurilor de stat in perioada 20.aug.2007 -31.mar.14

Fig 3. Evolutia curbei randamentelelor
titlurilor de stat in perioada 3.01.2014 –
31.03.2014 in Romania

246810121416
20.aug.07
20.feb.08
20.aug.08
20.feb.09
20.aug.09
20.feb.10
20.aug.10
20.feb.11
20.aug.11
20.feb.12
20.aug.12
20.feb.13
20.aug.13
20.feb.14Randamentele pentru o
maturitate de 3Y (%)
357911131517
20.aug.07
20.feb.08
20.aug.08
20.feb.09
20.aug.09
20.feb.10
20.aug.10
20.feb.11
20.aug.11
20.feb.12
20.aug.12
20.feb.13
20.aug.13
20.feb.14Randamentele pentru o
maturitate de 5Y (%)
468101214
20.aug.07
20.feb.08
20.aug.08
20.feb.09
20.aug.09
20.feb.10
20.aug.10
20.feb.11
20.aug.11
20.feb.12
20.aug.12
20.feb.13
20.aug.13
20.feb.14Randamentele pentru o
maturitate de 10Y (%)

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

167

In aceasta perioada am putea mentiona cateva elemente cheie care au influentat evolutia
randamentelor pentru diferite maturitati : lichidarea de active de pe pietele emergente pentru
unii investitori , deciziile de politica monetara a BNR, ruperea aliantei de guvernare, criza din
Ucraina etc. In luna februarie la trei din cele 5 licitatii programate au fost respinse toate
ofertele investitorilor din cauza volatilitatii existente pe piata si pentru a nu pune presiune
asupra yieldurilor de pe piata secundara.
In continuare, sunt reprezentate grafic curbele de randament in dif erite momente din 2014. Se
observa ca la sfarsitul lunii martie fata de inceputul aceleasi luni yieldurile pentru segmental
de maturitati scazute (6M -1Y) a scazut cu aproximativ 80bp. Pe segmentul final al curbei se
observa acelasi trend, insa declinul es te mai mic 10 -15 bp. Pentru maturitatea medie de 3 ani
se observa un spike insa acest lucru este determinat de schimbarea ISIN -ului.

Fig.4 Curba randamentelor titlurilor de stat in Romania
Este important sa analizam cum a evoluat curba randamentelor til turilor de stat si in alte tari
pentru a observa anumite similitudini sau diferente si mai ales pentru a observa cum se
situeaza Romania in contextul economic actual.
11,522,533,544,555,56
6M 1Y 3Y 5Y 10Y
03.01.2014 03.02.2014 05.03.2014 31.03.2014

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

168

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

169

 Pentru Romania am considerat perioada 20.08.2007 -31.03.2014 pentru
vectorul de maturitati (in ani) [0.5 1 3 5 10].
 In cazul Ungariei am considerat perioada 03.01.2002 -31.03.2014 pentru
vectorul de maturitati (in ani) [0.25 0.5 1 3 5 10 15].
 Pentru Poloni a am considerat perioada 03.01.2001 -31.03.2014 pentru
vectorul de maturitati (in ani) [0.5 1 2 3 4 5 10].
 In cazul SUA am considerat perioada 03.01.2001 -31.03.2014 pentru
vectorul de maturitati (in ani) [0.5 1 2 3 5 7 10 20 30].
 Pentru Germania am conside rat perioada 03.01.2001 -31.03.2014 pentru
vectorul de maturitati (in ani) [0.25 1 2 3 5 7 10 20 30].

Asa cum se poate observa din cele 5 grafice de mai sus ,in present in tarile din Europa
randamentele sunt la niveluri istorice minime. Acest lucru trebui e analizat si din prisma
nivelului indicatorilor macroeconomici actuali. In acest sens, tabelele de mai jos pun in
lumina evolutia yieldurilor pe maturitati ca medie in perioada 2003 -2013, 2011 -2013, dar
prezinta si evolutia acestora in Q1 2014.

Yield 6M Average 2003* –
2013 Average
2011 -2013 Average Q1 2014

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

170
Romania 7,94 5,57 2,79
Ungaria 7,45 5,80 2,98
Polonia 4,68 3,96 2,80
Germania 1,59 0,24 0,12
USA 1,64 0,10 0,07

Yield 6M Average 2003* –
2013 Average 2011 –
2013 Average Q1 2014
Romania 7,94 5,57 2,79
Ungaria 7,45 5,80 2,98
Polonia 4,68 3,96 2,80
Germania 1,59 0,24 0,12
USA 1,64 0,10 0,07

Yield 1Y Average 2003* –
2013 Average 2011 –
2013 Average Q1 2014
Romania 8,03 5,70 3,04
Ungaria 7,49 5,90 3,19
Polonia 4,78 3,92 2,77
Germania 1,82 0,31 0,14
USA 1,75 0,16 0,12

Yield 3Y Average 2003* –
2013 Average 2011 –
2013 Average Q1 2014
Romania 8,19 6,24 3,98
Ungaria 7,81 6,54 4,57
Polonia 5,15 4,21 3,33
Germania 2,16 0,57 0,25
USA 2,20 0,55 0,76

Yield 5Y Average 2003* –
2013 Average 2011 –
2013 Average Q1 2014
Romania 8,14 6,42 4,68
Ungaria 7,74 6,89 5,00
Polonia 5,38 4,50 3,74
Germania 2,55 1,01 0,71
USA 2,73 1,15 1,61

Yield 10Y Average 2003* –
2013 Average 2011 –
2013 Average Q1 2014
Romania 7,91 6,66 5,47
Ungaria 7,56 7,27 5,90
Polonia 5,62 5,02 4,40
Germania 3,22 1,95 1,68
USA 3,55 2,31 2,77

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

171

Rata Inflatiei (% yoy) Average
2003* -2013 Average
2011 -2013
Romania 7,3 4,2
Ungaria 4,8 3,8
Polonia 2,7 2,8
Germania 1,7 2,1
USA 2,4 2,2
PIB real (% yoy) Average
2003* –
2013 Average
2011 –
2013
Romania 3,4 2,1
Ungaria 1,1 0,3
Polonia 4,0 2,6
Germania 1,1 1,5
USA 1,8 2,2

Rata dobanzii
la 3M Average
2003* –
2013 Average
2011 –
2013 Average
Q1 2014
Romania 10,4 5,1 2,8
Ungaria 7,5 5,8 2,9
Polonia 4,8 4,2 2,7
Germania 2,1 0,7 0,3
USA 2,0 0,3 0,2

Daca am organiza in clustere aceste 5 tari este evident ca evolutia yieldurilor in Romania
urmeaza acelasi trend cu cel din Ungaria. De asemenea, si evolutia inflatiei si a ratelor
dobanzii la 3 luni par sa urmeze aceeasi tendinta.

4. Extragerea elementelor principale ale curbei

Cercetatorii in finante au studiat curba randamentelor din punct de vedere statistic si au
concluzionat ca schimbarile formei curbei poate fi stribuita cator va variabile neobservabile.
Mai exact , studiile empirice arata ca miscarile diferite ale randamentelor obligatiunilor sunt
surprinse de trai factori: “nivel”, “panta” si “curbura”. Practic, numele acestora descriu modul
in care curba de randament isi schi mba forma ca raspuns la un anumit soc. Figura 5 ilustreaza
modul in care curba de randament este influentata de un soc asupra elementului “nivel”. Linia
continua reprezinta curba randamentelor initiala,iar linia punctate este curba dupa ce s -a
produs un s oc. Asadar, un soc asupra nivelului schimba yieldurile pentru toate maturitatile
,induce deci o schimbare paralele care schimba nivelul noii curbe de randament.

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

172

Figura 4. Efectul unui soc asupra nivelului curbei

In figura 5, poate fi observata influenta factorului “panta” asupra curbei de randament. Un soc
asupra pantei duce la majorarea yieldurilor pe termen scurt cu valori mai mari decat yieldurile
pe termen lung astfel incat curba devine mai putin abrupta si panta corespunzatoare acesteia
scade.

Figura 5. Efectul unui soc asupra pantei curbei

In cadrul graficului nr.6 putem observa influenta unui soc asupra factorului “curbura”.
Principalul efect este evidentiat asupra randamentelor pe termen mediu care cresc mult mai
repede.

Figura 6. Efectul unui soc asupra curburii

Diferite modele au fost estimate si dezvoltate pentru a caracteriza miscarea acestor factori
neobservabili si in consecinta asupra curbei randamentelor. Putine sunt insa cele care ofera
informatii cu privire la identifica rea fortelor care stau la baza miscarii lor sua cu privire la
raspunsul acestor factori la variatia unor variabile macroeconomice.
In continuare vom folosi in analiza date cu frecventa lunara deoarece vom avea nevoie de date
cu aceasta frecventa mai taziu, in lucrraea de fata.

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

173
In literatura au fost propuse diferite abordari pentru a extrage aceste 3 elemente principale ale
curbei.

4.1 Abordarea “naturala”

Aceasta abordare presupune alegerea a 3 maturitati pe curba de randament apartinand celor 3
segmente mari : maturitate pe termen scurt, maturitate medie si maturitate pe termen lung. Se
va considera ca proxy pentru factorul “nivel” rata pe termen scurt.Curbura va fi definita ca
diferenta intre yieldul aferent unei maturittai pe termen mediu din care se scade rata pe termen
scurt.Cel de -al treilea factor, “panta” va fi calculate ca suma a diferentelor dintre rata medie
si rata pe termen scurt la care se adauga diferenta dintre rata medie si rata pe termen lung.
Daca definim , si care randamentele pe termen scurt, mediu si lung factorii vor fi
reprezentati astfel:

,

In cazul Romaniei, putem alege = randamnetul la 6 luni, = randamentul la 3 ani si =
randamentul la 10 ani.

Rezultatele obtinute sunt prezentate in figura 7:

Aceasta metoda nu este considerate una potrivita deoarece nu ia in calcul toate maturitatile.

4.2 Analiza in componente principale

Pentru inceput vom prezenta cadrul teoretic al analizei in component principale. Asadar,
analiza in componente principale are ca scop extragerea informatiilor din cele n variabile si
redarea acesteia sub o forma mai simpla si mai clara prin intermediul unei noi constructii
numite componente principale.
Componentele principale Prin 1,Prin 2,….Prin k sunt noi constructii abstracte,definite sub forma
unor combinatii liniare de variabile originale si care au urmatoarele doua proprietati:
Au varianta maxima in ordine descrescatoare var(Prin 1)>var(Prin 2)>….. …var(Prin k)
Sunt necorelate doua cate doua(matricea de covarianta a componentelor principale
este o matrice diagonala) -5,00-3,00-1,001,003,005,007,009,0011,0013,0015,00
aug.07
ian.08
iun.08
nov.08
apr.09
sep.09
feb.10
iul.10
dec.10
mai.11
oct.11
mar.12
aug.12
ian.13
iun.13
nov.13
nivel curbura panta

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

174
Inainte de a realiza analiza in componente principale cu ajutorul softului statistic SAS trebuie
sa analizam matricea de corelatie pent ru a observa cat de corelate sunt datele de care
dispunem(cat de intense/puternice sunt legaturile intre date) .
Matricea de corelatie este una simetrica,de aceea pentru matricea prezentata mai sus sunt
completate doar elementele de sub diagonala principa la(diagonala pe care se afla evident doar
elemente egale cu 1 )
Dupa cum se poate observa, yieldurile pentru diferite maturitati sunt puternic corelate.

v6m v1y v3y v5y v10y
v6m 1,000 0,989 0,985 0,981 0,934
v1y 0,989 1,000 0,991 0,986 0,940
v3y 0,985 0,991 1,000 0,995 0,962
v5y 0,981 0,986 0,995 1,000 0,975
v10y 0,934 0,940 0,962 0,975 1,000
Tabel 2: Matricea de corelatie a yieldurilor

In acest moment datele de care nu se pot constitui in elemente informationale clare si simple
din cauza dimensionalitatii foarte mari.Analiza componentelor principale este o tehnica
folosita pentru a reduce aceasta dimensionalitate cu minim de pierdere de informatii(altfel
spus,conservarea informationala sa fie maxima,acceptandu -se,totusi,o pierdere informationala
minima. Metoda se bazeaza pe eliminarea redundantei informationale.
Componentele principale sunt variabile vectoriale abstracte,definite sub forma unor
combinatii liniare de variabile originale si care au urmatoarele doua proprietati fundamentale:
 Sunt necorelate doua cate doua si suma patratelor coeficientilor care
definesc combinatia liniara ce corespunde unei componente principale este egala cu
unitatea
 Prima componenta principala este o combinatie liniara normalizata a
carei varianta este maxima,cea de -a doua componenta principala este o combinatie
liniara necorelata cu prima componenta principala si care are o varianta cat mai mare
posibila,insa mai mica decat cea a primei componente etc.
Trebuie reliefat ca suma varian telor componentelor principale coincide cu suma variantelor
variabilelor originale , astfel încât componentele principale preiau în totalitate variabilitatea
continuta in variabilele originale.

Dupa cum am precizat anterior,componentele principale sunt com binatii liniare de variabilele
originale, combinatii care au insa o serie de proprietati.Cele n componente principale pot fi
privite sub forma unui vector n -dimensional,notat cu Prin:

Fiecare coordonata/componenta Prin i a ace stui vector reprezinta o componenta principala
definita in raport cu variabilele originale cu ajutorul combinatiei liniare :

Coeficientii sunt coordonatele vectorilor proprii corespunzatori matricii de
covarianta/corelatie a variabilelor originale X 1 ,X2 ,….X n ,iar variantele componentelor
principale sunt chiar valorile proprii ale acestei matrici.

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

175
Asadar valorile si vectorii proprii ai matricei de corelatie in acest caz sunt statistici importante
pentru analiza in componente principale.
Urmatorul tabel prezinta valorile proprii ale matricei de corelatie(care sunt egale cu variantele
componentelor principale) reliefand ponderea din varian ta totala explicata de fiecare
componenta principala.
Coloana 2,”Difference” evidentiaza diferenta dintre valorile proprii ale componentelor
consecutive.

Eigenvalue Difference Proportion Cumulative
1 4,89 4,81 0,979 0,979
2 0,08 0,07 0,0164 0,9953
3 0,01 0,01 0,0026 0,9979
4 0,01 0,00 0,0015 0,9994
5 0,00 0,0006 1

Tabelul 3. Valorile proprii ale matricei de corelatie

Intreabarea care se pune in continuare este cum alegem numarul de componente principale
retinute in analiza?
Prezentam in continuare cateva criteii de determinare a numarului de componente principale
retinute in analiza:
1)Criteriul lui Kaiser
Criteriul lui Kaiser poate fi utilizat doar atunci cand variabilele originale sunt
standardizate.In cazul de fata acest criteriu nu po ate fi utilizat.
Acest criteriu evidentiaza ca numarul de componente principale ce trebuie retinute in analiza
este determinat de numarul de componente principale care au varianta supraunitara.
2)Criteriul pantei are la baza reprezentarea grafica a celor n valori proprii intr -un sistem de
axe de tip comercial.
Determinarea numarului de componente principale ce trebuie retinute in analiza se determina
pe baza efectuarii unei taieturi transversale in raport cu abscisa astfel incat la dreapta taieturii
sa rama na o portiune grafic cu panta apropiata de 0.Numarul de componente principale este
dat de ultima eticheta de la stanga taieturii.

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

176

3)Criteriul procentului de acoperire se bazeaza pe analiza variantei cumulate explicata de
componentele principale alegan du-se o valoare convenabila.
Aceste valori sunt prezentate in tabelul prezentat anterior „ Eigenvalues of the Correlation
Matrix” ,dar si in graficul urmator:

Toate aceste criterii evidentiaza ca numarul oprim de componenete principale ce ar trebui sa
fie pastrate este egal cu 3. Conform abordarii unor autori aceste 3 componente pot fi
reprezentate ca nivel, panta si curbura.
Componentele principalele poate fi scrise ca o combinatie liniara dintre variabilele originale.
Prin1 Prin2 Prin3
v6m 0,447 -0,440 0,776
v1y 0,448 -0,367 -0,422

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

177
v3y 0,451 -0,083 -0,373
v5y 0,451 0,095 -0,185
v10y 0,439 0,810 0,214
Tabelul 4. Vectorii proprii

Graficul de mai jos evidentiaza mai bine interpretarea ca acestor factori ca nivel,panta si
curbura. Output -ul “Component Pattern Profiles” ilustrand corelatiile intre variabilele
intiale si componentele principale rezultate in urma analizei.

Graficul pentru cele 3 componente selectate pentru intervalul aug.2007 -mar.2014 este
reprezentat in continuare:

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

178

4.3 Algoritmul Nelson -Siegel
Algoritmul Nelson Siegel utilizeaza ca forma functionala pentru descrierea curbei
randamentelor:

In aceasta lucrare insa vom folosi metodologia propusa de Diebold si Li(2003) :

Aceasta factorizare corespunde de fapt pentru
Elementele corespunzatoare coeficientilor ,, sunt reprezentate in graficul de ma i
jos. Pentru avem coeficientul 1,o constanta care nu sacde la 0 la limita si deci poate fi
vazut ca un factor pe termen lung. Pentru avem o functie care incepe de la 1
descreste monotonic la 0 si poate fi vazut ca un factor p e termen scurt. Iar coeficientul lui
este o functie ce incepe la ),creste apoi descreste la 0 si poate fi vazut ca un
factor pe termen mediu. -4-3-2-10123456
aug.07
dec.07
apr.08
aug.08
dec.08
apr.09
aug.09
dec.09
apr.10
aug.10
dec.10
apr.11
aug.11
dec.11
apr.12
aug.12
dec.12
apr.13
aug.13
dec.13
Prin1 Prin2 Prin3

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

179

Estimarea modelului
Presupunem ca avem M yielduri pentru diferite maturitati .Utilizand modelul
propus de Diebold si Li trebuie gasiti parametrii optimi ,, si care estimeaza cel
mai bine curba randamentelor:

Putem rescrie acest sistem i n forma urmatoare :

Unde r este un vector de dimensiune M, e ste o matrice de Mx3 iar b este un vector cu
tridimensional:

Pentru a gasi valorile optime ale parametrilor trebuie sa rezolvam urmatoarea problema:

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

180

Valori mai mari pentru lambda vor estima curba mai bine pentru maturitati scazute, insa vor
avea rezultate foarte slabe pentru maturitati mai mari. Evident, in cazul in care lambda ia
valori foarte mici, estimarea pentru segmentul de curba aferent maturitatilor scazute nu va fi
eficient.
Diebold si Li(2006) propun sa fixam acest parametru lambda la o valoare specificate deoarece
in acest fel permite estimarea valorilor beta la fiecare moment t utilizand metoda celor mai
mici patrate. Diebold si Li(2006) argumenteaza ca in acest fel se imbu natateste nu doar
simplitatea algoritmului, cat si “credibilitatea numerica”, deoarece permite inlocuirea
tehnicilor difice de optimizare cu metoda celor mai mici patrate. Intrebare acare se pune in
acest context este cum determinam acea valoare optima a lui lambda. Parametrul lambda
determina acea valoare la care factorul pe termen mediu obtine valoarea maxima. Diebold si
Li precizeaza ca 2 sau 3 ani sunt maturitatile cel mai des utilizate in acest sens,iar in studiul
lor considera media acetor maturitat i, respectiv 30 luni. Valoare pentru lambda pe care o
gasesc acestia este 0.0609. In cazul Romaniei,din lipsa datelor pentru maturitati mai multe
vom considera 3 ani ca maturittae medie si in acest caz prin maximizarea functiei urmatoare

obtinem λ=0.5978.
Valorile estimate pentru parametrii ,, sunt reprezentati in figura urmatoare:

Modelul estimeaza destul de bine curba pentru valori in sample.
-15-10-505101520253035
aug.07
dec.07
apr.08
aug.08
dec.08
apr.09
aug.09
dec.09
apr.10
aug.10
dec.10
apr.11
aug.11
dec.11
apr.12
aug.12
dec.12
apr.13
aug.13
dec.13beta0
beta1
beta2

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

181

In continuare vom incerca sa vedem in ce masura un model VAR ar putea fi utlizat pentru a
estima valorile viitoare ale celor trei elemente principale ale curbei randamentelor titlurilor de
stat: nivel,panta si curbura.
Pentru inceput vom testa stationaritatea celor trei serii de date:

Null Hypothesis: BETA0 has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic – based on SIC, maxlag=11)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey -Fuller test statistic -0.733437 0.8316
Test critical values: 1% level -3.515536
5% level -2.898623
10% level -2.586605

Null Hypothesis: BETA2 has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic – based on SIC, maxlag=11)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey -Fuller test statistic -2.520086 0.1146
Test critical values: 1% level -3.515536
5% level -2.898623
10% level -2.586605

Null Hypothesis: BETA1 has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic – based on SIC, maxlag=11)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey -Fuller test statistic -2.059499 0.7019
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.533.544.555.5
Maturity, years
Romania yield curve (as of 03/14)
NS(
0 = 5.75,
1 = -2.61,
2 = -4.28,
= 0.60)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 107.157.27.257.37.357.47.457.57.557.67.65
Maturity, years
Romania yield curve (as of 09/10)
NS(
0 = 7.48,
1 = -0.90,
2 = 1.28,
= 0.60)

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

182
Test critical values: 1% level -3.515536
5% level -2.898623
10% level -2.586605

Asa cum evidentiaza rezultatele testului ADF cele 3 serii nu sunt stationare,insa acestea sunt
stationare ca prima diferenta.Prin urmare in continuare vom utiliza aceste transformari.

Vector Autoregression Estimates
Included observations: 77 after adjustments
Standard errors in ( ) & t -statistics in [ ]

DBETA0 DBETA1 DBETA2

DBETA0( -1) 0.149668 -0.198194 2.194957
(0.11852) (0.35189) (1.00132)
[ 1.26284] [-0.56323] [ 2.19206]

DBETA0( -2) 0.030311 0.571334 -1.728365
(0.12406) (0.36834) (1.04813)
[ 0.24433] [ 1.55111] [-1.64900]

DBETA1( -1) 0.050917 -0.524775 1.943764
(0.07752) (0.23018) (0.65499)
[ 0.65679] [-2.27986] [ 2.96764]

DBETA1( -2) -0.051309 0.298139 -0.594189
(0.07862) (0.23344) (0.66427)
[-0.65259] [ 1.27716] [-0.89450]

DBETA2( -1) 0.031030 -0.129743 0.576764
(0.02672) (0.07933) (0.22575)
[ 1.16129] [-1.63540] [ 2.55487]

DBETA2( -2) 0.017813 0.193852 -0.571929
(0.02650) (0.07869) (0.22392)
[ 0.67208] [ 2.46340] [-2.55411]

C -0.008920 -0.005776 -0.100325
(0.04359) (0.12942) (0.36826)
[-0.20465] [-0.04463] [-0.27243]

R-squared 0.135403 0.155892 0.232204
Adj. R -squared 0.061295 0.083540 0.166393
Sum sq. resids 10.07787 88.84226 719.3692
S.E. equation 0.379433 1.126577 3.205730
F-statistic 1.827103 2.154625 3.528345
Log likelihood -30.96992 -114.7660 -195.2892
Akaike AIC 0.986232 3.162752 5.254264
Schwarz SC 1.199305 3.375826 5.467338
Mean dependent -0.016587 -0.024556 -0.095488
S.D. dependent 0.391625 1.176803 3.511125

Determinant resid covariance (dof adj.) 0.496146
Determinant resid covariance 0.372762
Log likelihood -289.7824
Akaike information criterion 8.072270
Schwarz criterion 8.711489

Colecție de working papers ABC -ul LUMII FINANCIARE
WP nr. 2/2014

183

Valorile proprii sunt in intervalul [ -1,1] ceea ce evidentiaza ca modelul VAR este stabil.
In continuare vom analiza in ce masura cei trei parametrii sunt influentati atat de factori
interni( ROBOR3M, inflatie CORE3, Indicele productiei industriale,ESI), cat si de factori
externi (componenta curbei aferenta SUA/GE la care se adauga indicatorii definiti mai sus
pentru pietele externe).
Prin analizarea rezultatelor functie de raspuns la impuls se observa ca nivelul este influentat
de ROBOR la 3M, dar si de nivelul curbei ra ndamentelor din SUA si Germania precum si de
EURIBOR 3M. Trebuie mentionat ca variabilele aferente pietelor externe au fost considerati
factori exogeni.

Panta pare a fi influentata de sectorul real (productia industriala).

-.1.0.1.2.3.4.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Response of DPRIN1 to DPRIN1
-.1.0.1.2.3.4.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Response of DPRIN1 to DCORE_RO
-.1.0.1.2.3.4.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Response of DPRIN1 to DPROD_ROM
-.1.0.1.2.3.4.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Response of DPRIN1 to DROBOR3MResponse to Cholesky One S.D. Innovations ± 2 S.E.
-.08-.04.00.04.08.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Response of DPRIN2 to DPRIN2
-.08-.04.00.04.08.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Response of DPRIN2 to DESI_ROMANIA
-.08-.04.00.04.08.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Response of DPRIN2 to DPROD_ROM
-.08-.04.00.04.08.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Response of DPRIN2 to DROBOR3MResponse to Cholesky One S.D. Innovations ± 2 S.E.

Jelea Anca
Modelarea curbei randamentelo titlurilorde stat

184
In ceea ce priveste curbura,aceasta este influentata de ROBOR la 3M, fara a avea alte
influente de la factorii mentionati anterior.
Concluzii
Aceasta lucrare a prezentat principalele elemente ale curbei randamentelor titlurilor de stat in
Romania in perioada aug.2007 – mar.2014. Am analizat si evolutia curbei comparativ cu alte
tari evidentiind faptul ca la momentul actual yieldurile sunt la niveluri minime in tarile
europene.Au fost determinate si elementele principale ale curbei:nivel,cur bura si panta
evidentiind inter actiunile cu variabilele macroeconomice.
Viitoare directii de cercetare se pot constitui in estimarea curbei randamentelor prin alti
algoritmi ca de exemplu cel dezvoltat de Nelson -Svensonn ,dar si modelarea acesteia prin
intermediul unor procese stochastice.

Bibliografie
Ang, A and Piazzesi, M(2003) A No -Arbitrage Vector Autoregression of Term Structure
Dynamics with Macroeconomic and Latent Variables, Journal of Monetary Economics
50,745 -787
Bliss, R,(1997) Testing Term Structure Estimation methods, Advances in Futures and Options
Research , 9, 97 -231
Cox, JC, Ingersoll, JE & Ross, SA(1985), A Theory of the Term Structure of Interest Rates,
Econometrica 53, 385 -407
Diebold, F., X.,Li, C (2006) .,Forecasting the term structure of government bond yields,
Journal of Econometrics, Elsevier, vol. 130(2), pages 337 -364
Diebold, F, Li, C and Yue, V(2005) Modeling Term Structures of Global Bond
Yields,Working paper, University of Pennsylvania , (2005)
Diebold, F Piazzesi, M & Rudebusch, D(2005),Modeling Bond Yields in Finance
andMacroeconomics, Working paper 11089: National Bureau of Economic Research
Diebold, F. X., Glenn D.R,, and Aruoba S. B (2006) `The macroeconomy and the yield curve:
a dynamic late nt factor approach.' Journal of Econometrics131(1 -2)
Fabozzi, J, Martellini, L & Priaulet, P(2005), Predictability in the shape of the term structure
of interest rates, The Journal of Fixed Income
Kladivko K. (2010), “The Czech Treasury Yield Curve from 19 99 to the Present”, The Czech
Journal of Economics and Finance (Finance a úver) , 60(4), pp. 307 -335.
Marciniak M. (2006), “Yield Curve Estimation at the National Bank of Poland”, National
Bank oPoland, Working paper N° 47
McCulloch, JH(1971(, Measuring th e Term Structure of Interest Rates, Journal of Business ,
no.44
Nelson, CR and Siegel, AF(1987), Parsimonious Modeling of Yield Curves, Journal of
Business, no. 60
Vasicek, OA(1997), An equilibrium characterization of the term structure, Journal of
Financial Economics , 5, 177 -188
Vasicek, OA, & Fong, HG (982), Term Structure Modeling Using Exponential
Splines, Journal of Finance , 37, 339 -348