1 UNIVER SITATEA PETROL – GAZE DIN PLOIEȘ TI DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC Aspecte didactice ale predării ecuațiilor,… [608310]

1 UNIVER SITATEA PETROL – GAZE DIN PLOIEȘ TI
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC

Aspecte didactice ale predării
ecuațiilor, inecuațiilor ,
sistemelor de ecuații în gimnaziu /liceu

Coordonator:
Lect.univ.dr. Boac ă Tudor

Candidat: [anonimizat], Comuna Vad u Săpat

Ploiești
2018
F367.16/Ed.1

2 Cuprins

Introducere………… ……………………………………………………………………… ..4
CAPITOLUL 1 – Ecua ții. Prezentare generală…………………………………. ………………………. 7
1.1 Noțiunea de ecuație…………………………………………………………………………………… .7
1.2 Rezolvarea ecuațiilor………….. ………………………………………… …………………………… 8
1.3 Studiul ecuației de gradul I………………………………………………………………… ……… 10
1.4 Studiul ecuaț iei de gradul al II -lea…….. ……………… ………………………… …………….. 12
1.4.1 Determinarea rădăcinilor ecuației…………………………………… ………………………….. 12
1.4.2 Relații între rădăcini și coeficienț i. Relațiile lui Vietè ……….. ………………………… …13
1.5 Studiul ecuațiilor iraționale,exponențiale și logaritmice ……………………………… …..17
1.5.1 Ecuații iraționale ………………………………………………………………. …………………….. 17
1.5.2 Ecuații exponențiale……………………………………………………………. …………………… 17
1.5.3 Ecuații logaritmice……………………………………………………………. …….. ……………… 19
1.6 Ecuații algebrice……………………………………………………………….. …………….. …….. 22
1.7 Studiul ecuațiilor algebrice cu ajutorul rădăcinilor …………………… ……… ……25
1.7.1 Rădăcini comune …………………………………………………… …… …… ……. 25
1.7.2 Rădăcini conjugate …………………………………………………………… …….26
1.7.3 Rădăcinile ecuațiilor cu ceoficienți întregi ……………………………………… ..27
Capitolul 2 – Sisteme de ecuații ………………………………………………………… …30
2.1 Rezolvarea sistemelor în gimnaziu și liceu …………………………………… ….. 30
2.1.1 Ecuații cu două necunoscute ……………………………………………… …………30
2.1.2 Rezolvarea sistemelor de ecuații cu două necunoscute. Metode de rezolvare ……32
2.1.3 Alte tipuri de sist eme specifice materiei de liceu……………………………… …..35
2.2. Sisteme de ecuații liniare ……………………………… …………………… ………..36
2.2.1 Forma generală a unui sistem de ecuații liniare ……………………… …… ……… .36
2.2.2 Metode de rezolvare a sistemelor ………………………………… ………… ……..39
2.2.3 Rezolvarea sistemelor la examenul de bacalaureat: ………………… ……… …….42
Capitolul 3 – Studiul inecuațiilor în gimnaziu și liceu………………………………… ……44
3.1 Inecuații de forma 𝑎𝑥+𝑏>0 ( ,  , ) 𝑎,𝑏 ∈𝐑……………………… ……… …44
3.1.1 Rezolvarea inecuațiilor …………………………………… ……………… …………45
3.1.2 Rezolvarea inecuațiilor cu parametru și a inecuațiilor care implică semnul funcției
de gradul I ………………………………………………………………………… …… …46

3 3.2 Aplicații ale semnului funcției de gradul al II lea ……………………… …… ……49
Inecuații de gradul al II lea
3.2.1 Rezolvări de inecuații de gradul al II lea în liceu ……………………………… ..53
3.2.2 Inecua ții exponențiale ………………………………………………………… ……54
3.2.3 Inecuații cu parametru ……………………………… ………………………… ……55
3.2.4 Inecuații logaritmice …………………………………………………………… …..56
3.3 Inegalități remarcabile ……………………………………… ………………… …….59
3.3.1 Inegalitatea mediilor ………………………………………………… …….. ……………. 59
3.3.2 Aplicații folosind inegalitatea mediilor …………………… ………………….. …….62
Capitolul 4 – Considerente metodice………………………………… ………………… ….68
4.1 Proiectarea unei unități de învățare ……………………… ……………………… ….69
4.2 Metode de învățar e…………………………………………… ……………… ……..69
4.2.1 Metode moderne de învățare……………………………………… ……… ………….70
4.2.2 Metode tradiționale de învațare……………………………………… ………… …..80
5. Proiecte didacti ce…………………………… ………………………………… ……84
Concluzii……… ……………………………………………………………………… …104
Bibliografie………… ……………………………………………………………… …….105

4 Introducere

„Matematica și arta izvoră sc din partea cea mai curată a sufletului
omenesc . Numai că arta este expresia pură a sentimentului, pe
când mat ematica este expresia cristalină a raț iunii pure. ”
Henri Poincaré (1854 -1912)

Matematica es te cel mai bun antrenament al gândirii. Respectată de către cei care n -au
pătruns -o și iubită de cei ce o înțeleg, prin armonia și echilibrul său, matematica provoacă
o del ectare de esenț ă superioară atunci când inteligența a reusit s -o pătrundă sau să dea o
soluție elegantă a unei probl eme di ficile. Matematica este veșnic tânăra, ea este fă ră limită
ca și Universul, inspirând tendința către perfecț iune. Putem spune că deviza unui adevă rat
matematician și a oricărui om demn în viaț ă este: „entuziasm , armonie, muncă ș i
sacrific ii”. Matematica oferă celor ce -o iubesc, prin precizia formulelor și a expresiilor
disciplină intelectuală , discreț ie, modestie, măsur ă în toate, sensibilitate artistică la
frumuseț ile acestei lumi . De asemenea ea educă simțul frumosului asa cum numai arta o
poate face. Demonstrarea unui rezultat matematic nou sau obținerea unei formule simple
și armonioase reprezintă o satisf acție de același tip cu cea dată de poezie sau muzică .
La toate nivelurile de învatamant , o atenț ie deose bită se acordă algebrei, deoarece ea
contribuie la dezvoltarea gâ ndirii și raționamentului deductiv a l elevului precum și faptul
că acumulează o serie de cunoștinte si deprinderi folosite în viată .Se spune că relația care
guvernează cu adevărat matematica este cea de inegalitate , egalitatea fiind un c az special,
deci un loc aparte îl ocupă rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și a siste melor de ecuații.
Din practica didactică, uneori elevii întâmpină probleme în înțelegerea corecta și însușirea
tehnicilor de calcul utile în rezolvarea ecuaștiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații
deoarece această tema necesită cunoștințe clare și precise dar și capacitatea de sinteza și
control și mai ales creativitate. De aceea se consideră că un studiu al ecuațiilor, inecuațiilor
și al sistemelor de ecuaț ii est e foarte util ș i bine venit. Studiul diferitelor tipuri de ecuații
și inecuații ,sisteme de ecuații ,precum și aplicabilitatea lor în diverse contexte sau ca itemi
la examenele naț ionale au dus la alegerea acestei teme .

5 Lucrarea de fată dezvoltă noțiunile de ecuaț ii, inecuații și sisteme de ecuații studiate
de catre elevi în gimnaziu și liceu. Aceste noțiuni fac parte din predarea -învatarea
matematicii în învaț amantul p reuniversitar dar rolul lo r este de a dezvolta elevului gâ ndirea
matematică prin aplicarea lor î n contexte variate.
Este structurată î n patru capitole: capitolul 1 este dedicat prezentă rii generale ale
ecuaț iilor cuprinzâ nd : diferite situaț ii- problemă care ne conduc la noțiunea de ecuaț ie ;
definiț ie, clasificare, exemp le specifice fiecarei categorii , metode de rezolvare. Se continuă
cu studiul ecuațiilor de gradul I , ecuaț iilor de gradul al II -lea; ecuațiilor iraț ionale,
exponențiale și lo garitmice; ecuații algebrice , proprietați, exemple , studiul ecuațiilor
algebrice cu ajutorul rădă cinilor. Capitolul conține ș i un studiu al ecuațiilor de catre elevi
necesar î n pregatirea ex amenului de bacalaureat precum și greș eli tipice.

Capitolul 2, intitu lat „ Sisteme de ecuații “ , cuprinde: situație problemă care conduce la
noțiunea de sistem de ecuaț ii, ti puri de sisteme: sisteme de două ecuații cu două
necunoscute, sisteme simetrice, sisteme liniare; metode de rezolvare a sistemelor liniare :
metoda Cramer, metoda matriceală, algoritm de rezolvare, aplicații î ntalnite la examenul
de bacalaureat precum ș i rezolvarea acestora.

Capitolul 3, intitulat „ Studiul inecuațiilor în gimnaziu ș i liceu” cuprinde: prezentarea
inecuaț iilor de gradul I și al II -lea , inecuații cu parametru , inecuații exponențiale,
inecuaț ii logaritmice , algoritmi de rezolvare, situații problemă , exemple ,greș eli tipice ,
aplicații de olimpiadă. De asemenea capitolul conține și studiul asupra unor inegalitaț i
importante precum: inegalitatea mediilor , incluzâ nd demonstrație algebrică și geometrică ,
demonstrația generalizării inegalitaț ii mediilor pent ru trei numere; aplicaț ii folosin d
inegalitatea mediilor, aplicații de olimpiadă precum și comentarii asupra lor.

Capitolul 4, intitulat : „Considerente metodice ” cuprinde unele considera ții de ordin
metodico -pedagogic referitoare la predare ș i strategiile de predare, demersul didactic
perso nalizat, metode didactice tradiționale ș i modern e : avantaje și limite folosirii acestora
în cadrul lec țiilor, precum ș i exemple de utilizare a acestora în predarea lecțiilor refer itoare
la ecuații, inecuații și sisteme de ecuații în gimnaziu ș i liceu.
Consideraț iile metodice su nt integrate ș i în capitolele 1 , 2 și 3 prin observațiile metodice
făcute de tipul: greș eli tipice, algoritmi de rezolvare.

6

Istori c
Nume glorioase precum Chuch et, Rudolff, Cardano, Tartaglia ,Maurolico, Viè te,
Stevin, Decartes, Newton, Euler , D’Alembert , Lagrange, Rolle s -au ocupat cu desăvarșire
de teoria ecuațiilor algebrice, introducând rădă cinile ne gative, apoi pe cele imaginare și
încercând rezolvarea algebrică prin radicali a ecuaț iilor de grad III ș i IV s.a.m.d.
S-au găsit metode de rezolvare a ecuaț iilor de grad III si IV, dar pentru grade super ioare
totul a fost un insucces. Între timp rezolvare a numerică dar și depistarea și separarea
rădăcinilor rea le a introdus analiza matematică în studiul ecuaț iilor algeb rice, ceea ce a
creat o legă tură puternică î ntre disciplinele mate matice. O problemă deosebită a secolu lui
al XVIII – lea a fost existența ș i numărul rădăcinilor unei ecuaț ii de grad n.
Matem aticianul D’Alembert a enunțat -o și a crezut că a și demonstrat -o, Euler ș i Lagrange
de asem enea, dar numai Gauss abia î n secolul a l XIX – lea a dat o demonst rație riguroasă a
acestei teoreme fundamentale a algebrei.
Teorema fundamentală a algebrei afirmă că orice ecuație algebrică de grad n are n ră dăcini
reale sau complexe , dacă se ține seama ș i de ordinu l de multiciplitate a unei ră dăcini.

7 CAPITOLUL 1
ECUAȚII. PREZENTARE GENERALĂ

1.1 Noțiunea de ecuaț ie
Definiție . Se numeș te ecuație o egalitate între două expresii algebrice ce conț in
variabile.
Variabilele unei ecuaț ii se numesc necunoscute. Acestea iau valori în mulț imea de defin iție
a ecua ției. De regulă , când mulțimea de definiție nu este precizată , aceasta se consideră a fi
R.
Definiție . Se numește soluție a ecuației , valoarea atribuită necunoscutei pentru care
propoziția este adevarată .
A rezolva o ecuație înseamnă a găsi toate soluțiile ei, adică a găsi mulțimea de soluții
notată cu S. Dacă ecuația nu admite soluții atunci 𝑆=∅
Exemple:
1) 𝑥+2=0,𝑥∈  nu are soluție î n , deci 𝑆=∅
2) 2𝑥+2=0,𝑥∈ are soluție unică pe 𝑥=−1, deci 𝑆={−1}.
3) 3𝑥+𝑥=4𝑥,𝑥∈𝐑 admite ca soluț ie orice variab ilă reală , deci 𝑆=𝐑

Clasificarea ecuaț iilor.
Ecuaț iile pot fi clasificate astfel:
a) după numărul de necunoscute: – ecuații cu o necunoscută
-ecuații cu două necunoscute
-ecuații n necunoscute ( n este un numă r finit )
b) după numărul de soluții: – ecuaț ii incompatibile ( care nu au nici o soluț ie )
– ecuaț ii unic determinate ( au o singur ă soluț ie sau un
număr finit de soluț ii )
– nedeterminate ( au o infinitate de soluț ii )
c) după tipul expresiilor care compun ecuaț ia:
– ecuații algebrice ( expresiile sunt polinoame );
– ecuații iraționale ( ecuațiile în care necunocuta se află sub radical );

8
– ecuații exponenț iale ( nec unoscuta este exponent sau se găseste într -o expresie aflată la
exponent );

– ecuaț ii logaritmice ( expresiile ce co ntin necunoscuta apar ca bază sau argument al unor
logaritmi );
– ecuaț ii trigonometrice ( necunoscuta es te de tip functie trigonometrică );
– ecuaț ii transcendente ( expresia care conț ine necunoscuta nu este un polinom) ;

Definiție . Două ecuaț ii se numesc echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții și același
domeniu de definiție. Rezolvarea unei ecuații se poate face utilizâ nd transformă ri
echivalente care simplifica forma ei. Două ecuații obținute prin transformări echivalente au
aceeași mulțime de soluț ii.
Exemplu:
5𝑥−23=3𝑥+7  5𝑥−23−(3𝑥+7)=0  5𝑥−23−3𝑥−7=0 
2𝑥−30=0  2𝑥=30  𝑥=15 𝑆={15}
Verificare: 515−23=52
315+7=52
Putem obține ecuaț ii echivalente dacă :
– schimbăm membrul stâ ng cu membrul drept;
-folosim asociativitatea, comu tativitatea, distributivitatea înmulțirii față de adunare și
scădere, descompunerea î n factori sau formule de calcul prescurtat pent ru transformarea
membrilor ecuaț iei;
-adunăm sau scădem în ambii membrii aceeași expresie algebrică ;
-înmultim sau împărtim ambii membr ii cu aceeași expresie nenulă .

1.2 Rezolvarea ecuaț iilor

9 A rezolva o ecuație înseamnă a gă si mulțimea de soluții. Pentru ecuaț iile simple ,
rezolv area se poate face prin metoda încercă rilor, iar pentru cele dificile prin diferite
metode sau algori tmi de rezolvare. Prin transformări echivalente se aduce ecuația la o
formă mai simplă . Atunci când avem o ecuație de grad m, prin transformă ri echivalente se
reduce la o ecuaț ie de grad n (𝑚>𝑛). Această ecuație se numeste ecuaț ie reduc tibilă la o
ecuaț ie de gradul n. După rezolvare se recomandă verificarea soluț iilor.

Exemplu: Rezolvați ecuaț ia: 2𝑥−1
(𝑥−1)(𝑥+2)=2
𝑥−1+1
𝑥+2

Algoritm de rezolvare:
1) Se stabileste mulțimea de definiție a ecuaț iei: 𝑥−1≠0  𝑥≠1 𝑥 𝐑 ⃥{−2;1}
𝑥+2≠0  𝑥≠−2
2) Se trece totul în membrul stâ ng : 2𝑥−1
(𝑥−1)(𝑥+2)−2
𝑥−1−1
𝑥+2=0
3) Se aduce la acelaș i numitor: 2𝑥−1−2(𝑥+2)−(𝑥+1)
(𝑥−1)(𝑥−2)=0
4) Se aplică regula raportului nul: 2𝑥−1−2𝑥−4−𝑥−1=0
𝑋
𝑌=0 atunci 𝑋=0 ș𝑖 𝑌≠0
5) Se rezolvă ecuația obținută : −𝑥=−6 / (−1) 𝑥=6
6) Se verifică dacă soluț ia se află î n domeniu: 6∈𝐑 ⃥ {−2;1}
7) Se scrie mulțimea de soluț ii: 𝑆={6}

Rezolv area ecuațiilor cu ajutorul substituț iilor.

Pentru o ecuație cu o singură necunoscută avem urmatorul algoritm de identificare a unei
substituț ii:
1) Se caută în ecuaț ie o expresie g(x) care se repetă astfel încât ecuația inițială h(x) se va
scrie sub forma 𝐻(𝑔(𝑥))=0;
2) Se scrie relația de substituț ie 𝑔(𝑥)=𝑦;
3) Se scrie noua ecuaț ie 𝐻(𝑦)=0;
4)Se det ermină rădă cinile no ii ecuaț ii : 𝑦1;𝑦2;…….;𝑦𝑛;
5) Se revine la substituț ie : 𝑔(𝑥)=𝑦1; 𝑔(𝑥)=𝑦2;……..; 𝑔(𝑥)=𝑦𝑛;
6) Se află rădăcinile acestor ecuaț ii,ele fiind rădăcinile ecuației iniț iale .

10
Exemplu:
Să se rezolve ecuaț ia:
(𝑥3+1)2−10(𝑥3+3)+29=0
Se află soluțiile aplicâ nd algoritmul de mai sus:
-se face substituț ia: 𝑥3+1=𝑦  𝑥3+3=𝑦+2
-ecuaț ia devine : 𝑦2−10(𝑦+2)+29=0 𝑦2−10𝑦+9=0  𝑦1=1; 𝑦2=9
-revenind la substituție rezolvă m ecuaț iile:
𝑥3+1=0  𝑥1=𝑥2=𝑥3=0
𝑥3+1=9  𝑥3=8  𝑥4=2; 𝑥5=−1+𝑖√3; 𝑥6=−1−𝑖√3
Deci rezolvarea unei ecua ții de grad 6 s -a redus la rezolvarea unei ecuaț ii de gradul 2 ș i
unei ecuaț ii de gradul 3.
Putem foloș i și reprezentă ri grafice în rezolvarea ecuaț iilor.
De exemplu dacă avem o ecuaț ie de forma f (𝑥)=0, putem reprezenta grafic funcț ia 𝑦=
𝑓(𝑥).
Numărul rădăcinilor este numă rul punctelor în care graficul funcției se intersectează cu
axa abscise lor, iar abscisele sunt chiar rădăcinile ecuaț iei.

Exemplu:
Să se rezolve e cuația:
𝑥2−2𝑥+3=0.
Vom reprezenta grafic func ția 𝑦=𝑥2−2𝑥+3 unde vâ rful este 𝑉(−𝑏
2𝑎;−∆
4𝑎 ) .
Vom avea ∆=𝑏2−4𝑎𝑐=4+12=16  𝑉 ( 1;−4)
Parabola se intersectează cu axa 𝑂𝑥 în punctele (−1;0) ș𝑖 (3;0).
Deci 𝑆={−1;3}

11
Fig.1
Parabolă de vârf V

1.3 Studiul ec uației de gradul I

O situație problemă :
Claudia a constatat că îi lipsesc 10 lei pentru a cumpăra un set de 12 pixuri, dar îi rămân
30 lei dacă ar cumpăra numai 10. Cât costă un pix?
Rezolvarea problem ei se reduce la rezolvarea ecuaț iei:
12𝑥−10=10𝑥+30
Forma generală a ecuaț iei de gradul I este 𝑎𝑥+𝑏=0,𝑎≠0 𝑎,𝑏∈𝐑 .

Definiție . Un numă r real 𝑥0 se numeș te soluție a ecuaț iei dacă 𝑎𝑥0 +𝑏=0 𝑎,𝑏∈𝐑 .
Asa cum am vă zut, rezolvarea unei ecuaț ii de gradul î ntâi constă în aflarea mulț imii de
soluții notată cu S.
Discuții asupra soluț iei.
Dacă 𝑎≠0  𝑥=−𝑏
𝑎  𝑆={ −𝑏
𝑎 }
Dacă 𝑎=0 ș𝑖 𝑏=0  𝑆=𝐑
Dacă 𝑎=0 ș𝑖 𝑏≠0  𝑆=∅
Exemple:
1) Să se verifice dacă 𝑥0 este soluție a ecuaț iei:
−2x+3=−1 ; 𝑥0=2
Soluț ie:
−22+3=−1  −1=−1  𝑥=2 soluție a ecuaț iei

12
2) Să se rezolve ecuaț iile:
a) 3(𝑥−1)=4𝑥−5  3𝑥−3=4𝑥−5  3𝑥−4𝑥=−5+3  −𝑥=
−2  𝑥=2 ; 𝑆={2}
b) 𝑥+2
√2=𝑥+3
√3  √3 (𝑥+2)= √2( 𝑥+3)  √3 𝑥+2√3= √2 𝑥+3√2  √3𝑥−
√2𝑥=3√2−2√3  𝑥( √3−√2 )=3√2−2√3  𝑥=3√2 −2√3
√3−√2
Se amplifică fracț ia cu conjugata : √3+√2
Vom avea: 𝑥=(√3+√2 )( 3√2−2√3)  𝑥= √6
𝑆={√6}
c) (𝑚−3)𝑥−𝑚+1=0  (𝑚−3)𝑥=𝑚−1 , 𝑚∈𝐑
Pentru 𝑚−3≠0  𝑚≠3  x soluție unică  𝑥=𝑚−1
𝑚−3
Dacă 𝑚−3=0 𝑚=3  0𝑥=3−1 0𝑥=2 Fals  pentru 𝑚=3 ecuaț ia nu are
soluț ie.

Greșeli tipice în rezolvarea ecuaț iei de gradul I :
– elevul nu cunoaște proprietă țile egalită ții pe R ceea ce va duce la aflarea greș it a mulțimii
de soluț ii;
-elevul nu cunoaște regulile de calcul cu numere întregi sau cu numere raț ionale .

1.4 Studiul ecuaț iei de gradul al II – lea

O situaț ie problemă :
Un teren agricol de forma patrată are aria de 16 ℎ𝑚2. Pe latura de la ș osea a terenului
trebuie construit un gard.Ce lungime va avea gardul?
Problema se va exprima sub forma unei ecuaț ii de gradul al II -lea, adica 𝑥2=
16  𝑥1;2=±√16=±4 unde x repre zinta lungimea laturii formei pă trate .
Dar c um lungimea nu poate fi negativă atunci lungimea gardului va fi de 4 hm.

Definiție.
O ecuaț ie de forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 𝑎∈ 𝑹∗, 𝑏,𝑐∈𝐑 se numeste ecuaț ie de gradul al II
lea cu coeficienț i reali.

13 Definiție . Un numă r 𝑥0 pentru care 𝑎𝑥02+𝑏𝑥0+𝑐=0 se numește soluție a ecuaț iei de
gradul al II – lea.

1.4.1 Determinarea rădă cinilor ecuaț iei

Din 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎( 𝑥2+𝑏
𝑎 𝑥+ 𝑐
𝑎 )=𝑎( 𝑥2+2𝑏
2𝑎𝑥+ 𝑐
𝑎 )=𝑎[(𝑥2+2𝑏
2𝑎𝑥+
𝑏2
4𝑎2 )−𝑏2
4𝑎2+ 𝑐
𝑎 ]= 𝑎[(𝑥+𝑏
2𝑎)2
−𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2]
Obținem :
a𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0  ( 𝑥+𝑏
2𝑎 )2= 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2 .
Avem soluții reale dacă și numai dacă 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2 ≥ 0  𝑏2−4𝑎𝑐 ≥ 0 . Se notează cu
∆=𝑏2−4𝑎𝑐 . Numă rul real ∆ se numeș te discriminant.
Ecua ția 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 va avea soluții reale dacă și numai dacă ∆ ≥0.
Dacă ∆<0 ecuația de gradul al II lea nu are soluț ii reale. Existența rădăcinilor precum și
numă rul lor sunt date de valoarea discriminantului.
Dacă ∆=𝑏2−4𝑎𝑐  0 atunci √∆ ∈𝐑 astfel î ncat vom avea :
(𝑥+𝑏
2𝑎)2
=∆
4𝑎2  ( 𝑥+𝑏
2𝑎 )2
−( √∆
2𝑎 ) 2=0 
( 𝑥+𝑏
2𝑎− √∆
2𝑎 ) (𝑥+𝑏
2𝑎 + √∆
2𝑎 )=0  𝑥+ 𝑏
2𝑎=±√∆
2𝑎  𝑥=−𝑏±√∆
2𝑎
Deci vom avea:
I. Dacă ∆> 0 atunci ecuația are două rădăcini reale ș i distincte : 𝑥1=−𝑏+√∆
2𝑎 ; 𝑥2=−𝑏−√∆
2𝑎
II. Dacă ∆=0 atunci ecuaț ia are rădăcina dublă reală : 𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎
III. Dacă ∆< 0 atunci ecuația are rădă cini nereale : 𝑥1=−𝑏+𝑖√−∆
2𝑎 ; 𝑥2= −𝑏−𝑖√−∆
2𝑎

1.4.2 Relații între rădăcini și coeficienț i .
Relațiile lui Vietè

Aceste relații ajută elevul să calculeze în funcț ie de co eficienții ecuației diferite expresii
sau să descompună trinomul de gradul 2 î n factori liniari ( de gradul I)
Se obtin astfel :
– pentru ∆ ≥0 iar 𝑥1 și 𝑥2 sunt rădăcinile ecuaț iei de gradul al II- lea

14 a𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 𝑎∈𝐑∗;𝑏,𝑐∈𝐑
Observăm că :
𝑥1+𝑥2= −𝑏−√∆
2𝑎+−𝑏+√∆
2𝑎= −2𝑏
2𝑎=−𝑏
𝑎
𝑥1∙ 𝑥2= −𝑏−√∆
2𝑎 ∙ −𝑏+√∆
2𝑎= (−𝑏)2−(√∆)2
4𝑎2=(−𝑏)2−(𝑏2−4𝑎𝑐)
4𝑎2=4𝑎𝑐
4𝑎2=𝑐
𝑎
Egalitățile obț inute:
{𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎
𝑥1 ∙𝑥2=𝑐
𝑎 𝑥1;𝑥2 −rădăcinile ecuației se numesc relaț iile lui Viet è.

Formarea ecuației de gradul al II lea când cunoaș tem rădă cinile.

Fie 𝑥1;𝑥2R rădăcinile ecuaț iei
Notă m cu : 𝑆=𝑥1+𝑥2
𝑃=𝑥1𝑥2
Atunci 𝑥1;𝑥2 sunt rădăcinile ecuaț iei 𝑥2−𝑆𝑥+𝑃=0

Descompunerea trinomului î n produs de factori.

Atunci câ nd ∆ ≥0 și 𝑥1;𝑥2 sunt rădă cinile reale ale ecuaț iei de gradul 2 vom avea:
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎( 𝑥2+𝑏
𝑎𝑥+ 𝑐
𝑎 )=𝑎( 𝑥2−(𝑥1+𝑥2)𝑥+ 𝑥1𝑥2)=𝑎( 𝑥2−𝑥1𝑥−
𝑥2𝑥+𝑥1𝑥2 )=𝑎[𝑥(𝑥−𝑥1)−𝑥2(𝑥−𝑥1)]=𝑎(𝑥−𝑥1)( 𝑥−𝑥2).

Interpretare geometrică pentru rezolvarea ecuaț iei de gradul al II lea

Pentru 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 𝑎∈𝐑∗ ,𝑏,𝑐∈𝐑, avem funcția asociată 𝑓:𝐑→𝐑
𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐.

1. Dacă ∆>0, atunci graficul funcției se intersectează cu axa absciselor în două
puncte distincte 𝐴(𝑥1,0) și 𝐵(𝑥2,0), unde 𝑥1 și 𝑥2 sunt rădăcinile ecuației.

15

Fig.2 Fig.3
Graficul lui f când 𝒂>𝟎,∆>𝟎 Graficul lui f când 𝒂<𝟎,∆>𝟎
Axa de simetrie a graficului funcției f trece prin punctele (𝑥1+𝑥2
2,0) și (−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎) unde
𝑥1+𝑥2
2=−𝑏
2𝑎
2. ∆=0, atunci graficul funcției se intersectează cu axa abscise lor într -un Dacă punct
care este vârful parabolei 𝑉(−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎).
Soluțiile ecuației sunt 𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎.

Fig.4 Fig.5
Graficul lui f când 𝒂>𝟎,∆=𝟎 Graficul lui f când 𝒂<𝟎,∆=𝟎
0
𝐴(𝑥1,0)
𝐵(𝑥2,0)
𝑉(−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎)
𝑎<0
𝑥
𝑦
0
𝐴(𝑥1,0)
𝐵(𝑥2,0)
𝑉(−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎)
𝑎>0
𝑥
𝑦
0
𝑉(−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎)
𝑎>0
𝑥
𝑦
0
𝑉(−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎)
𝑎<0
𝑥
𝑦

16
3. Dacă ∆ <0, atunci graficul funcției nu intersectează axa absciselor.
În acest caz ecuația nu are rădăcini reale.

Fig.6 Fig.7
Graficul lui f când 𝒂>𝟎,∆<𝟎 Graficul lui f când 𝒂<𝟎,∆<𝟎

Exemple
1) Să se rezolve ecuaț iile de gradul al II lea :
a) 𝑥2−14𝑥−15=0
∆=𝑏2−4𝑎𝑐  =(−14)2−41(−15)=256=162
𝑥1,2=−𝑏±√
2𝑎  𝑥1,2= 14±16
2  𝑥1=15 ; 𝑥2=−1 𝑆={−1;15}
b) 25𝑥2+20𝑥+4=0
∆= 𝑏2−4𝑎𝑐= 202−4254=0
𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎  𝑥1=𝑥2=−−20
225=−2
5 𝑆={−2
5}
c)𝑥2−8𝑥+25=0
∆= 𝑏2−4𝑎𝑐=64−4125=−36
∆<0  𝑥1;2=−𝑏±𝑖√−∆
2𝑎  𝑥1,2=8±6𝑖
2=4±3𝑖 𝑆={ 4+3𝑖;4−3𝑖}

0
𝑉(−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎)
𝑎>0
𝑥
𝑦
0
𝑉(−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎)
𝑎<0
𝑥
𝑦

17 2) Se consideră ecuaț ia de gradul al II lea :
2𝑥2−(2𝑚−1)𝑥−𝑚=0
Să se determine 𝑚∈𝐑 astfel încat ecuația să aibă rădă cina dublă .
Soluț ie
∆=0  ∆=(2𝑚−1)2−42(−𝑚)=4𝑚2−4𝑚+1+8𝑚=4𝑚2+4𝑚+1=0
1=0 𝑚1=𝑚2=−1
2

3) Să se rezolve ecuaț ia :
(𝑥2−𝑥)2−3( 𝑥2−𝑥)+2=0
Soluț ie:
Se notează :
𝑥2−𝑥=𝑦  𝑦2−3𝑦+2=0
∆=1  𝑦1;2=3±1
2  𝑦1=2; 𝑦2=1
Revenim la notație și vom obține ecuaț iile:
𝑥2−𝑥=2  𝑥2−𝑥−2=0 ∆1=9  𝑥1=2 ;𝑥2=−1
𝑥2−𝑥=1  𝑥2−𝑥−1=0 ∆2=5  𝑥3=1−√5
2 ; 𝑥4=1+√5
2
S={ 2;−1; 1−√5
2 ; 1+√5
2 }

Greșeli tipice în rezolvarea ecuaț iei de gradul al II lea:

-elevul nu cunoaste sau nu stăpâ neste bine formula de ca lcul a discriminantului sau a
rădăcinilor;
-elevul nu înlocuiește corect în formule coeficienț ii ecu ației de gradul al II- lea ceea ce va
duce la o mulțime de soluții incorectă .

1.5 Studiul ecuațiilor iraționale,exponențiale ș i logaritmice
1.5.1 Ecuații iraț ionale

Definiție . Se numesc ecuații iraționale, ecuațiile care conț in necunoscuta sub semnul
radical.

18 Exemple :
1) √𝑥=1−3𝑥
2)√𝑥−3 3 =2
Pentru rezolvarea acesto r ecuații elevul trebuie să aibă în vedere câ teva etape:
a) Condiția de existența a radicalilor atunci când mulțimea de definiție nu este precizată
explicit. Expresiile de sub radical de ordin 2 sunt numere pozitve, cele de sub radicalul de
ordin 3 sunt n erestricț ionate, iar expresiile cu radicali de ordine dif erite sunt definite pe
intersecția mulțimilor lor de definiț ie;
b) Rezolvarea ecuațiilor , unde de regulă se urmă reste transformarea expr esiilor iraționale
în expresii rationale;
c) Verificarea soluț iilor.
Exemple :
1) √𝑥−1=4
Condiții de existenț a: 𝑥−1≥0  𝑥∈[ 1;+∞ )
Se ridică la pătrat ș i vom avea : 𝑥−1=16  𝑥=17 ∈[ 1;+∞) ; 𝑆={ 17}
2) √𝑥−13−𝑥+1=0  √𝑥−1 3=𝑥−1
Se ridică la cub ambii membrii: 𝑥−1=(𝑥−1)3  (𝑥−1)( 𝑥2−2𝑥)=0  𝑥1=1;
𝑥2=0; 𝑥3=2 ;
Soluțiile verifică ecuaț ia, deci 𝑆={0;1;2}

1.5.2. Ecuatii exponenț iale
Definiție . Ecuația exponențiala este ecuația care conț ine necunoscuta la exponent.
Exemple: 2𝑥2+ 2𝑥+1=0 ; 2𝑥+2=64
Rezolvarea ecuațiilor exponenț iale se bazeaz ă pe echivalenț a :
𝑎𝑥=𝑎𝑦 𝑥=𝑦 ,𝑎≠1 conform proprietații de injectivitate a funcției exponenț iale.
De asemenea în rezolvarea ecuațiilor exponențiale elevul va apela și la diverse substituții și
proprietați ale funcției exponenț iale pentru red ucerea ecuaț iei la una de gradul I sau al II –
lea.
Se poate afirma că nu există meto de generale de rezolvare a ecuațiilor exponenț iale.
Elevul de clasa a X -a poate î ntâlni tipurile particulare de ecuații exponenț iale,cum ar fi :
a) 𝑎𝑓(𝑥)=𝑏 unde 𝑎>0;𝑎≠1 și f este o funcț ie reală .

19 Atunci : dacă 𝑏≤0 ecuația nu are soluț ii.
dacă 𝑏 =𝑎𝛼 atunci 𝑎𝑓(𝑥)=𝑎∝  𝑓(𝑥)=𝛼; 𝛼=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
b) 𝑎𝑓(𝑥)=𝑎𝑔(𝑥) unde 𝑎>0,𝑎≠1 iar f si g sunt funcț ii reale. Se va folosi echivalenț a:
𝑎𝑓(𝑥)=𝑎𝑔(𝑥)  𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)
c) 𝛼𝑎2𝑓(𝑥)+ 𝛽𝑎𝑓(𝑥)+𝛾=0 unde 𝑎>0‚ 𝑎≠1‚ 𝛼‚ 𝛽‚ 𝛾 𝐑‚ α≠0 și f este o funcție
reală .
Pentru rezolvarea ecuației se notează 𝑎𝑓(𝑥)=𝑡,𝑡>0
d) 𝑎𝑓(𝑥)=𝑏𝑔(𝑥) a>0 ,a≠1 iar f și g sunt funcț ii reale
𝑏>0‚ 𝑏≠1
Rezolvarea constă în logaritmarea egalitații î n baza a :
𝑎𝑓(𝑥)=𝑏𝑔(𝑥)  𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥)= 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏𝑔(𝑥)  𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
Exemple:
1) 4−𝑥2=−7 nu are soluț ii
2) 2𝑥2=16  2𝑥2=24  𝑥2=4  𝑥1=2 ; 𝑥2=−2 𝑆={−2;2}
3) 3𝑥−2=5
La acest tip de ecuație elevul va trebui să logaritmeze într -o bază convenabilă :
𝑙𝑜𝑔33𝑥−2=𝑙𝑜𝑔35  𝑥−2= 𝑙𝑜𝑔35  𝑥=𝑙𝑜𝑔35+2
𝑆={ 𝑙𝑜𝑔35+2 }
4) 22𝑥−3= 2𝑥−9  2𝑥−3=𝑥−9  𝑥=12 𝑆={12}
5) 32𝑥+ 3𝑥−3=0
Elevul va trebui să noteze 3𝑥=𝑡 ; 𝑡>0 și va obține o ecuaț ie în t :
𝑡2+2𝑡−3=0
∆=16 ; 𝑡1=−6 <0 ; 𝑡2=1
Va rezolva ecuaț ia : 3𝑥=1  𝑥=0 𝑆={0}
6) Un exemplu d e ecuație care nu se încadrează în tipurile de ecuaț ii prezentate mai sus :
(2+√3 )𝑥+ (2−√3)𝑥=4
Elevul va trebui să observe că 1
2+√3=2−√3 și să noteze (2+√3)𝑥=𝑡
Atunci el va obtine o ecuatie in t : 𝑡2−4𝑡+1=0, =12 , 𝑡1=2−√3 ; 𝑡2=2+√3
Deci: (2+√3)𝑥=2−√3
(2+√3)𝑥=2+√3

20 𝑆={−1;1}

1.5.3.Ecuaț ii logaritmice
Definiție . O ecuație logaritmică este o ecuație care conține necunoscuta la bază sau la
argumentul unor logaritmi.

Exemple:
1) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥+1)=4
2) 𝑙𝑜𝑔𝑥+1(𝑥+3)=1
Rezolvarea ecuaț iilor logaritmice se bazează pe echivalenț a:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦  𝑥=𝑦 conform proprietății de injectivitate a funcț iei logaritmice.
Trebuie specific at și în cazul de fată că elevul va trebui să folosească diverse substituții și
proprietăț i ale fun cției logaritmice pentru a reduce ecuaț iile la un tip deja studiat (ecuaț ia
de gradul I sau al II lea ).

Elevul va î ntalni cateva tipuri particulare de ecuaț ii logaritmice:

a) Ecuaț ii de tipul 𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)=𝑎 unde 𝑎 𝑹 , unde f si g sunt funcții reale .
Elevul v a trebui să stie că existenț a logaritmului impune : 𝑓(𝑥)>0,𝑔(𝑥)>0,𝑔(𝑥)≠1
Atunci : 𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)=𝑎  𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)𝑎

b) Ecuaț ii de tipul 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑔(𝑥) unde 𝑎>0;𝑎≠1 iar f si g sunt funcț ii reale.
În acest caz e levul va impune condiț iile : 𝑓(𝑥)>0;𝑔(𝑥)>0 .
Atunci: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)

c)Ecuaț ii de tipul 𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) unde f;g;h sunt funcț ii reale .
Se impun condiț iile: 𝑓(𝑥)>0;𝑔(𝑥)>0;𝑔(𝑥)≠1;ℎ(𝑥)>0
Atunci: 𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) 𝑓(𝑥)=ℎ(𝑥) ;

d) Ecuaț ii de tipul : 𝛼𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥)2𝑓(𝑥)+𝛽𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)+𝛾=0 unde 𝛼;𝛽;𝛾𝑹 ; 𝛼≠0 ; f și
g funcț ii reale.
Se impun condiț iile 𝑓(𝑥)>0;𝑔(𝑥)>0;𝑔(𝑥)≠1

21 Se face notaț ia : 𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)=𝑡
Exemple:
1) 𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥2−2𝑥+1)=2
Elevul va impune condiț iile : 𝑥2−2𝑥+1>0
𝑥>0;𝑥≠1
El va obț ine : 𝑥2−2𝑥+1=𝑥2  −2𝑥+1=0  𝑥=1
2
Soluția verifică condițiile ecuaț iei, deci 𝑆={ 1
2 }
2) lg(𝑥2−15)=lg (𝑥−3)
Elevul va impune condiț iile: 𝑥2−15>0;𝑥−3>0
Apoi va deduce că 𝑥2−15=𝑥−3  𝑥2−𝑥−12=0
∆=49 ; 𝑥1=4;𝑥2=−3
Verificând condiț iile rezultă că : 𝑥2=−3 nu este soluție pentru că −3−3=−6< 0
Deci 𝑆={4}
3) 𝑙𝑜𝑔𝑥+2(𝑥2−3)=𝑙𝑜𝑔𝑥+2(3−𝑥)
Elevul va impune condiț iile : 𝑥2−3>0;3−𝑥>0;𝑥+2>0;𝑥+2≠0
El va deduce că : 𝑥2−3=3−𝑥  𝑥2+𝑥−6=0  ∆=25 ; 𝑥1=−3 ; 𝑥2=2
Verificând condiț iile pentru 𝑥1 si 𝑥2 va observa că doar pentru 𝑥2=2 sunt valabile.
Deci 𝑆={2}
4) 𝑙𝑜𝑔32𝑥−2𝑙𝑜𝑔3𝑥−3=0
Elevul va impune condiț ia ca 𝑥>0
Elevul va trebui să facă substituț ia 𝑙𝑜𝑔3𝑥=𝑡  𝑡3−2𝑡−3=0; ∆=16;
𝑡1=−1; 𝑡2=3
Va rezolva : 𝑙𝑜𝑔3𝑥=−1  𝑥1=3−1=1
3
𝑙𝑜𝑔3𝑥=3  𝑥2=33=27
Elevul va observa că 𝑥1=1
3 și 𝑥2=27 verifică condiț ia.
Deci 𝑆={ 1
3 ;27}

Întâlnim de asemenea și ecuații logaritmice, care nu se încadrează î n tipurile de mai sus:
𝑙𝑜𝑔2𝑥+𝑙𝑜𝑔4𝑥+𝑙𝑜𝑔16𝑥=7
Elevul va impune condiț ia 𝑥>0 .

22 În cazul acesta elevul va trebui să stie formula de schimb are a baze i logaritmului , adică :
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥=𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 (∀)𝑥>0;𝑏>0;𝑏≠1
Atunci el va obț ine :𝑙𝑜𝑔2𝑥+1
2𝑙𝑜𝑔2𝑥+1
4𝑙𝑜𝑔2𝑥=7  𝑙𝑜𝑔2𝑥=4  𝑥=16
Soluția verifică condiția de existenț a deci 𝑆={16}

Studiul ecuațiilor de catre elevi î n pregătirea examenului de bacalaureat. Greș eli
tipice.

În cadrul Examenului de B acalaureat, la proba de matematică elevii sunt puși să
rezolve difer ite ecuații iraționale, exponenț iale sau logaritmice.
Greșeli tipice întâ lnite :
– elevul nu ridică la pă trat s au la cub ambii membrii ai ecuaț iei ;
– uită condițiile de existență a radicalilor ceea ce duce la rezultate eronate.
– la ecuațiile logaritmice elevii uită condițiile de existență sau aplică eronat regulile de
calcul cu radicali.
-la ecuaț iile expo nențiale elevii nu pot forma ecuația î n t.

Exemple:
1) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuați a: √𝑥2+1=𝑥+1
( Exame nul de B acalaureat 2013,var.2; Științ e ale naturii)
De regulă elevul r idică la pătrat ambi termeni ai egalitații dar nu aplică corect formula
binomului sumă : (√𝑥2+1 )2=(𝑥+1)2  𝑥2+1=𝑥2+1 ceea ce este greșit,
doarece în cazul de faț a 𝑥∈ 𝐑
Rezolvare corectă :
-se pune condiț ia : 𝑥+1≥0  𝑥≥−1  𝑥∈[−1;+∞)
√𝑥2+1=𝑥+1  (√𝑥2+1 )2=(𝑥+1)2  𝑥2+1=
𝑥2+2𝑥+1  𝑥=0
Se face verificare: √02+1=(0+1)2  1=1 . Deci 𝑆={0}

23
2) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuaț ia:
𝑙𝑜𝑔5(𝑥2+𝑥+1)=𝑙𝑜𝑔5(𝑥+2)
(Exam enul de B acalaureat 2013;var . 9; Științe ale naturii)
O greșeal ă tipică î n rezolvar ea elevului este omiterea condițiilor de existență a
logaritmilor,ceea ce duce de regulă la soluț ii eronate. Se pot omite aceste conditii, dar
obligatoriu elevul va trebui s ă facă verificare a soluț iilor.
Rezolvare corectă :
𝑙𝑜𝑔5(𝑥2+𝑥+1)=𝑙𝑜𝑔5(𝑥+2)  𝑥2+𝑥+1=𝑥+2  𝑥2=1 𝑥1;2=±1
Verificare: 𝑙𝑜𝑔5(12+1+1)= 𝑙𝑜𝑔5(1+2) 𝑙𝑜𝑔53=𝑙𝑜𝑔53
𝑙𝑜𝑔5[(−1)2−1+1]=𝑙𝑜𝑔5(−1+2)  𝑙𝑜𝑔51=𝑙𝑜𝑔51
3) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuaț ia : 4𝑥−32𝑥+2=0
( Examenul de B acalaureat național 2015, Matematică -informatică )
O abord are a elevului de liceu este o încercare de rezolvare prin î nlocuirea necunocutei x
cu diferite valori, ceea ce nu va duce la un rezultat corect.
O rezolvare corectă :
Se face notația ajută toare: 2𝑥=𝑡 ,𝑡>0  𝑡2−3𝑡+2=0
∆=1; 𝑡1=2;𝑡2=1
Se rezolvă ecuaț iile: 2𝑥=2  𝑥=1
2𝑥=1  𝑥=0
𝑆={0;1}
1.6 Ecuații algebrice
Definiție . Se numeste ecuație algebrică î n necunosc uta x, o ecuaț ie de forma
𝑓(𝑥)=0 , unde f este o funcție polinomială nenulă .
Gradul funcț iei polinomiale f ne indică gradul ecuaț iei algebrice.
Dacă 𝑓=𝑎𝑛𝑋𝑛+𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1+⋯……..+𝑎0; 𝑎𝑛≠0, atunci ecuația are gradul n, iar
coeficienț ii 𝑎𝑛;𝑎𝑛−1;………;𝑎0 se numesc coeficienții ecuaț iei algebrice.
Atunci când coeficienții sunt numere reale, ecuația algebrică este cu coeficienț i reali.

Definiție . Un numă r 𝑎∈𝐂 este soluție (rădăcină ) a ecuaț iei 𝑓(𝑥)=0 dacă
f(𝑎)=0. Putem a firma că rădăcina ecuaț iei 𝑓(𝑥)=0 este și rădă cina polinomului f.
Rădăcinile ecuațiilor algebrice au aceleași proprietăti ca rădă cinile polinoamelor din care
provin.

24 Putem spune că descompunerea unui polinom în factori are legatură directă cu numărul și
natura rădăcinilor ecuaț iei polinomial e corespunzatoare. A descompune î n factori
polinomul și a rezolva ecuație polinomială sunt probleme echivalente.
Exemple
1) Să se rezolve ecu ația 𝑥4−2𝑥3+𝑥2−8𝑥−12=0 știind că admite rădă cina -1.
Aplicând teorema lui Bézout vom avea : (𝑋+1) ∣ (𝑋4−2𝑋3+𝑋2−8𝑋−12)
Apoi se efectuează împărț irea polinoamelor :
𝑋4−2𝑋3+𝑋2−8𝑋−12 X+1
−𝑋4−𝑋3 𝑋3-3𝑋2+4X-12
/ −3𝑋3+𝑋2−8𝑋−12
+3𝑋3 +3𝑋2
/ +4𝑋2−8𝑋−12
-4𝑋2 −4𝑋
/ −12𝑋−12
+12𝑋+12
/ /
Vom rezolva ecuaț ia 𝑥3−3𝑥2+4𝑥−12=0  (𝑥−3)(𝑥2+4)=0
Vom avea soluț iile 𝑥1=−1; 𝑥2=3; 𝑥3=2𝑖;𝑥4=−2𝑖
2) Să se rezolve ecuația bipătrată : 𝑥4−5𝑥2+4=0
Vom nota 𝑥2=𝑦  𝑦2−5𝑦+4=0
∆=9; 𝑦1=1 ; 𝑦2=4
Din ecuaț iile binome : 𝑥2=𝑦1 𝑥2=1  𝑥1;2=±1
𝑥2= 𝑦2  𝑥2=4  𝑥3;4=±2
Deci expresia polinomială se va descopune astfel:
𝑥3−3𝑥2+4𝑥−12=( 𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥−2)(𝑥+2)
O ecuație algebrică se poate construi atunci când se cunosc rădă cinile ei și de asemenea
descompune î n factori polinomul atasat.

25 Exemplu:
Să se formeze ecuaț ia care are rădăcinile: 1;−2; 3+2𝑖 ș𝑖 3−2𝑖.
Vom scrie ecuaț ia: (𝑥−1)(𝑥+2)[𝑥−(3+2𝑖)][(𝑥−(3−2𝑖)]=0  (𝑥−1)(𝑥+
2)(𝑥2−6𝑥+13)=0  𝑥4−9𝑥3+33𝑥2−51𝑥+26=0
Descompunerea î n R va fi : (𝑥−1)(𝑥−2) (𝑥2−6𝑥+13)
Formarea unei ecuații algebrice cunoscând rădă cinile se poate face cu aj utorul relațiilor lui
Viète:
Francois Viè te ( Fontenay de la Comte,1504 – Paris 1602) a fost un matematician ș i jurist
francez. Studiile superioare le -a făcut la Poitiers , după care a practicat av ocatura.
Maril e descoperiri matematice le -a făcut î ntre ani i 1564 -1568 și 1584 -1589.
A avut contribuții în astronomie și trigonometrie prin lucrările :„ Harmonicum coelesta “
și „Canon math ematicus seu at triangula”. A ră mas celebru prin introducerea literelor
pentru reprezentarea mă rimilor,a efectuat calcule cu expresii algebrice. Î n lucrarea „ Artem
analitica isagoce ” (1591) a dezvoltat considerabil informațiile despre ecuațiile al gebrice;
astfel a stabilit relații între rădăcinile ecuațiilor și coeficienț i.

Atunci când se cunosc rădăcinile ecuaț iei 𝑥1;𝑥2;………..;𝑥𝑛, scrierea ecuației poate fi
făcută cu ajutorul relațiilor lui Viè te astfel :
– vom nota cu : 𝑆1=𝑥1+𝑥2+⋯.+𝑥𝑛
𝑆2= 𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+⋯….+𝑥𝑛−1𝑥𝑛
𝑆3= 𝑥1𝑥2𝑥3+𝑥1𝑥2𝑥4+⋯…….+𝑥𝑛−2𝑥𝑛−1𝑥𝑛
…………………………………………………………………..
𝑆𝑛= 𝑥1𝑥2……….𝑥𝑛
-vom calcula aceste sume , apoi forma ecuaț iei va fi:
𝑥𝑛−𝑆1𝑥𝑛−1+𝑆2𝑥𝑛−2−𝑆3𝑥𝑛−3+⋯….+(−1)𝑛𝑆𝑛=0

Exemplu
1) Determină ecuația algebrică de grad IV știind că admite rădă cinile : -4;4;-3;3

26 Scriem relațiile lui Viè te:
𝑆1=𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4=0
𝑆2=𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥1𝑥4+𝑥2𝑥3+𝑥2𝑥4+𝑥3𝑥4=−25
𝑆3=𝑥1𝑥2𝑥3+𝑥1𝑥2𝑥4+𝑥1𝑥3𝑥4+𝑥2𝑥3𝑥4=0
𝑆4=𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4=144
Vom avea 𝑥4−𝑆1𝑥3+𝑆2𝑥2−𝑆3𝑥+𝑆4=0  𝑥4−25𝑥2+144=0

2) Să se rezolve ecuația algebrică : 𝑥4−4𝑥3+5𝑥2−2𝑥−6=0 știind că suma a doua
rădăcini este egală cu suma celorlalte două .
Se scrie relațiile lui Viè te:
𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4=4 (1)
𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥1𝑥4+𝑥2𝑥3+𝑥2𝑥4+𝑥3𝑥4=5 (2)
𝑥1𝑥2𝑥3+𝑥1𝑥2𝑥4+𝑥1𝑥3𝑥4+𝑥2𝑥3𝑥4=2 (3)
𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4=−6 (4)
Avem condiția din ipoteză 𝑥1+𝑥2=𝑥3+𝑥4 (5)
Din relaț ia (1) si (5) avem 𝑥1+𝑥2=𝑥3+𝑥4=2
Relaț ia (2) se poate scrie : (𝑥1+𝑥2)(𝑥3+𝑥4)+𝑥1𝑥2+𝑥3𝑥4=5  𝑥1𝑥2+𝑥3𝑥4=1
Având în vedere relaț ia (4)  𝑥1𝑥2 și 𝑥3𝑥4 sunt r ădăcinile ecuaț iei
𝑧2−𝑧−6=0  ∆=25
𝑧1=3 ; 𝑧2=−2
Vom avea 𝑥1𝑥2=3; 𝑥1+𝑥2=2;𝑥3𝑥4=−2; 𝑥3+𝑥4=2
Pentru cazurile 𝑥1𝑥3=−2 ; 𝑥3𝑥4=3 avem aceleași soluț ii.  𝑥1=1+𝑖√2
𝑥2=1−𝑖√2 ; 𝑥3=1+√3 ; 𝑥4=1−√3

1.7 Studiul ecuațiilor algebrice cu ajutorul rădă cinilor.
1.7.1. Rădă cini comune.
Teoremă
Două ecuații algebrice ( care au același grad ) au aceleași rădăcini ( cu același ordin de
multiplicitate) dacă ș i numai da că au coeficienț ii pro porționali .
Fie ecuaț iile:
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+ 𝑎0=0 și 𝑏𝑛𝑥𝑛+𝑏𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑏1𝑥+𝑏0=0

27 Atunci ele au aceleași rădăcini dacă si numai dacă : 𝑎𝑛
𝑏𝑛=𝑎𝑛−1
𝑏𝑛−1+⋯+ 𝑎1
𝑏1= 𝑎0
𝑏0 .

Exemplu:
Ecuaț iile :
3𝑥2−4𝑥+1=0 și 6𝑥2−8𝑥+2=0 au soluț ii comune 𝑥1=1 ; 𝑥2=1
3
deoarece (conform teoremei ) avem 3
6=4
8=1
2 .
Exemplu:
Să se afle valorile lui m R astfel încat ecuații le :
𝑥2+𝑚𝑥+1=0 si 𝑥2+𝑥+𝑚=0
să aibă o rădăcină comună .
Soluț ie:
Dacă 𝑚=1 ecuațiile au aceleași rădă cini.
Dacă 𝑚≠1 fie 𝑥0 rădăcina comună a ecuaț iilor :
𝑥0 2+𝑚𝑥0+1=0
𝑥02+𝑥0+𝑚=0
𝑥0 2+𝑚𝑥0+1−(𝑥02+𝑥0+𝑚)=0 𝑥0 2+𝑚𝑥0+1− 𝑥02−𝑥0−𝑚=0  𝑥0=
𝑚−1
𝑚−1=1 (rădăcină comună )
Pentru 𝑥=1  12+𝑚1+1=0  𝑚= −2

1.7.2 Rădă cini conjugate
Teoremă
Dacă o ecuație cu coeficienți reali admite o rădăcină de forma 𝑥1=𝑎+𝑏𝑖, a; bR, 𝑏≠0
și 𝑖2=−1, atunci ecuația admite și rădă cina 𝑥2=𝑥1̅̅̅=𝑎−𝑏𝑖.
Se noteaz ă cu 𝑥2=𝑥1̅̅̅ rădăcina conjugată a lui 𝑥1

Exemplu
Să se rezolve ecuația cu coeficienț i reali 𝑥3+𝑥2−𝑥+15=0 știind că admite rădă cina
1+2i.
Soluț ie.Deoarece 𝑥1=1+2𝑖 este rădăcină a ecuației,atunci ș i 𝑥2=𝑥1̅̅̅=1−2𝑖 va fi
rădăcină .

28 Polinomul 𝑋3+𝑋2−𝑋+15 se divide cu [𝑋−(1+2𝑖)] [𝑋−(1−2𝑖)]= 𝑋2−2𝑥+5

Efectuăm împarț irea polinoamelor :
𝑋3+ 𝑋2 − 𝑋+15 𝑋2−2𝑋+5
-𝑋3+2𝑋2 − 5X X+3
/ 3𝑋2 − 6𝑋 +15
−3𝑋2 + 6𝑋−15
/ / /
Vom avea : 𝑥3+𝑥2−𝑥+15=(𝑥2−2𝑥+5)(𝑥+3)=0  𝑥2−2𝑥+5=0 și
𝑥+3=0
 𝑥1=1+2𝑖
𝑥2=1−2𝑖; 𝑥3=−3

1.7.3 Rădăcinile ecuațiilor cu ceoficienți î ntregi
Avem rezultate importante care ajută la rezolvarea ecuaăiilor cu coeficienți î ntregi
reprezentate prin teoremele :
Teoremă
Dacă f [X] ,𝑓=𝑎𝑛𝑋𝑛+𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1+⋯………+𝑎1𝑋+𝑎0, 𝑎𝑛≠0 și 𝑥=𝑝 este o
rădăcină î ntreagă a ecuaț iei f(x)=0, adică f(p)=0  𝑎𝑛𝑝𝑛+𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1+⋯..+𝑎1𝑝+𝑎0=
0 atunci p∣ 𝑎0
În caz general:
Teoremă

29 Dacă f [X] ,f =𝑎𝑛𝑋𝑛+𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1+⋯………+𝑎1𝑋+𝑎0, 𝑎𝑛≠0 și 𝑥=𝑝
𝑞, p; q;
(𝑝;𝑞)=1;𝑞≠0, este o ră dăcina a ecuaț iei f(x)=0; adică 𝑓(𝑝
𝑞)=0  𝑎𝑛(𝑝
𝑞 ) 𝑛+
𝑎𝑛−1( 𝑝
𝑞 )𝑛−1+.……+ 𝑎1𝑝
𝑞+𝑎0=0 atunci 𝑝∣ 𝑎0 si 𝑞∣ 𝑎𝑛.

Exemplu
Să se rezolve ecuația cu coeficienț i în Z : 2𝑥3−11𝑥2+17𝑥−6=0
Soluț ie
Conform teoremei avem:
𝑎0=−6; 𝑎3=2
D(𝑎0)=𝐷(−6)={−6;−3;−2;−1;1;2;3;6}
Vom aplica schema lui Horner pentru x=3

𝑋3 𝑋2 X 𝑋0
2 -11 17 -6
3 2 -5 2 0  𝑥=3 rădăcină a ecuaț iei
-2 2 -15 47 -100≠0
Se observă că exist ă divizori ai lui 𝑎0 dar nu sunt rădă cini, de exemplu 𝑥=−2 .
Stabilim daca ecuaț ia admite rădăcini raț ionale de forma :
𝑥=𝑝
𝑞 ,𝑝;𝑞 ∈; 𝑞≠0;(𝑝;𝑞)=1
D(𝑎0)=𝐷(−6)={−6;−3;−2;−1;1;2;3;6}
D(𝑎3)= 𝐷(2)= {−2;−1;1;2}
Cautăm rădăcini din mulț imea { −3
2; −1
2;1
2;3
2 } și gă sim pentru 𝑥=1
2 .

𝑋3 𝑋2 X 𝑋0
2 -11 17 -6
1
2 2 -10 17 0  𝑥=1
2 rădăcină

30 Vom scrie ecuaț ia (x−3)(x−2)(2x−1)=0  𝑥1=1
2
𝑥2=2
𝑥3=3
Nu întotdeauana o ecuație cu coeficienți întregi, raționali sau reali admite rădăcini
raționale,î ntregi sau reale.
Exemplu
Aflați rădăcinile întregi ale ecuaț iei: 𝑥4+5𝑥3−10𝑥2+25𝑥−35=0.
Criteriul lui Eisen stein
Fie A un inel factorial, 𝑓∈𝐴[𝑋], 𝑓=𝑎𝑛𝑋𝑛+⋯………+𝑎1𝑋+𝑎0. Dacă există un
element prim p A cu proprietaț ile :
a) p∤𝑎𝑛 ; p∤𝑎𝑛−1;…….;p∤𝑎1; p𝑎0
b)𝑝2∤ 𝑎0
Atunci f este ireductibil î n A[X]

Se poate aplica criteriul de ireductibilitate a lui Eisentein :
5∣5 ; 5∣(-10); 5∣ 25;5∣(-35); 5∤1;25∤(-35)  𝑋4+5𝑋3−10𝑋2+25𝑋−35=0
este ireductibil î n Z , atunci ecuația nu are rădăcini î ntregi.
De multe ori ecuaț iile algebrice nu pot fi rezolvate. De accea de -a lungul istoriei
mulți matematicieni au încercat ș i au reusit să rezolve ecuații de grad I, II, III și IV.
Pentru ecuaț iile de grad mai mai mare decat IV abia pr in secolul XIX,
matematicienii Abel ș i Ruffini au dem onstrat o teorema care le poartă numele:

Teorema Abel -Ruffini
O ecuatie algebrică generală de grad mai mare decat IV nu poate fi rezolvată prin
radicali.
Teorema Abel -Ruffini arată ca nu există o formulă care să exprime rădăcinile
oricarei ecuaț ii de grad mai mare sau egal cu 5 în funcție de coeficienții ecuaț iei numai cu
ajutorul radicalilor și a operațiilor elementare.

Greșeli tipice în rezolvarea ecuaț iilor algebrice:

31 -elevul nu cunoaste proprietațile și operațiile cu polinoame ceea ce va însemna
rezolvarea eronată a ecuațiilor.
-elevul nu cunoaste relațiile lui Vietè sau teorema lui Bé zout ceea ce va conduce la
imposibilitatea de descompunere a unor po linoame, deci la rezolvarea ecuaț iilor algebrice.

CAPITOLUL 2
SISTEME DE ECUA ȚII

Sistemele de ecuaț ii sunt o piatră de î ncercare pentru elevi la orele d e curs, la olimpiadele
școlare, la examenul de Evaluare Natională, la B acalaureat și nu în ultimul rând la
problemele din viata de zi cu zi. Est e vorba despre sisteme de ecuații elementare dar ș i de

32 problem e complexe care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații. Dacă analizăm erorile
apărute î n rezolvare a acestor probleme, va trebui să gă sim stra tegii de lucru eficiente
adaptate diferitelor tipuri de elevi, la rezolvarea unor p robleme prin mai multe metode .

2.1 Rezolvarea sistemelor în gimnaziu ș i liceu
2.1.1 Ecuații cu două necunoscute
O situație problemă
Pentru a co nfecționa o machetă, Daniel are nevoie de scânduri cu aceeași lațime,dar cu
lungimile de 45cm și respectiv 15 cm. Câte astfel de scâ nduri poate taia dintr -o bucată
având lațimea cerută ș i lungimea de 3m ?

Rezolvare
Se notează cu x, respectiv cu y numărul de scâ nduri cu lungimea de 45 de cm, respectiv 15
cm. Transpunem enunțul în ecuaț ia urmatoare:
45𝑥+15𝑦=300 / : 15  3𝑥+𝑦=20
Vom avea mulț imea perechilor de numere natural e (x;y) care verifică ecuaț ia.
Se exprimă y în funcție de x. Obț inem 𝑦=20−3𝑥
𝑆= { (𝑥;𝑦)/ 𝑥∈𝐍,y∈𝐍,y=20−3x}
𝑆={(1;17);(2;14); (3;11);(4;8);(5;5);(6;2)}
Dacă Daniel decide că are nevoie de 12 scâ nduri , mai apare î nca o co ndiție 𝑥+𝑦=12,
deci vom obține un sistem de două ecuaț ii.
În general mulțimea soluțiilor unei ecuații cu două variabile x, y de forma 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=
0, 𝑎,𝑏𝐑∗,𝑐∈𝐑 este formată din toate perechile ordonate de numere reale care,
înlocuind variabilele, transfor mă ecuația î ntr- o propoziție adevarată .
Propoziț ie
Mulțimea soluțiilor ecuaț iei cu do uă necunoscute 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 unde 𝑎≠0;𝑏≠0
(𝑥;𝑦)∈𝐑×𝐑 este infinită .
Reprezentarea geometrică a mulțimii de soluții este o dreaptă (dreapta soluț iilor)

Demonstraț ie
Fie 𝑥∈𝐑. Din ecuaț ia +𝑏𝑦=𝑐  𝑏𝑦=𝑐−𝑎𝑥  𝑦= 𝑐−𝑎𝑥
𝑏 , 𝑏≠0

33 Perechile (𝑥;𝑐−𝑎𝑥
𝑏 ) 𝑥∈𝐑, sunt soluții ale ecuaț iei.
Se obține atatea soluții câ te numere reale avem. Se poate porni cu 𝑦∈𝐑 și atunci vom
avea:
𝑆={ (𝑥;𝑦)/𝑥∈𝐑 ș𝑖 𝑦=𝑐−𝑎𝑥
𝑏 } sau 𝑆={ (𝑥;𝑦) / 𝑥=𝑐−𝑏𝑦
𝑎 ,𝑎≠0;𝑦∈𝐑}
Relaț ia 𝑦=𝑐−𝑎𝑥
𝑏 defineș te o funcț ie f :𝐑→𝐑 , 𝑓(𝑥)=−𝑎
𝑏𝑥+𝑐
𝑏
Reprezentarea geometrică a graficului funcției este o dreaptă .

O primă aplicație simplă ar putea fi ca elevul să verifice dacă perechile (𝑥; 24−3𝑥
4),𝑥 ∈
𝐑 sunt soluții ale ecuaț iei 3𝑥+4𝑦=24.

Rezolvare.
3𝑥+4 24−3𝑥
4=24 este o egalitate adevarată . Deci, perechile (𝑥; 24−3𝑥
4) ,
𝑥∈𝐑 sunt soluții ale ecuaț iei date.
Se pune întrebarea cum poate un elev să reprezinte cât mai usor dreapta soluțiilor
ecuaț iei:𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐 ?
Putem răspunde că o dreaptă este determinată de două pun cte. Aceste puncte pot fi
oarecare.
În particular, ele pot fi considerate ca fiind punctele d e intersecț ie cu axele de coordo nate
OX și OY :
– intersecț ia cu axa OX: 𝑦=0  𝑥=𝑐
𝑎  𝐴( 𝑐
𝑎 ;0)
-intersecț ia cu axa OY: 𝑥=0 𝑦=𝑐
𝑏 𝐵(0;𝑐
𝑏)

2.1.2 Rezolvarea sistemelor de ecuații cu două necunoscute. Metode de rezolvare.
Sisteme de forma {𝒂𝒙+𝒃𝒚=𝒄
𝒅𝒙+𝒆𝒚=𝒇 𝒂,𝒃,𝒄,𝒅,𝒆,𝒇 ∈𝐑
Predicatul scris sub forma {𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑑𝑥+𝑒𝑦=𝑓 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓∈𝐑 este un sistem de doua
ecuații cu două necunoscute unde a,b,c,d, e,f se numesc coeficienți iar c, f se numesc
terme ni liberi.

34 O soluț ie a unui astfel de sistem de ecuaț ii este o pereche de numere reale care , înlocuind
necunoscutele , transformă fiecare ecuație într -o propoziție adevarată .

Exemplu:
{3𝑥−𝑦=7
5𝑥+2𝑦=8
Perechea de numere (2;−1) verifică simultan ecuaț iile sistemului  32−(−1)=6+
1=7 ;52+2(−1)=10−2=8

Metode de rezolvare a sistemelor:
Medoda reducerii (elimină rii).
Algoritm
1.Înmultim convenabil ambele ecuații astfel încât prin adunarea lor să se reducă o
necunoascută .
2.Rezolvăm ecuatia cu o necunoscută .
3.Se înlocuieste necunoscuta gă sită în una din ecuaț iile sistemului ;
4. Se află și cealaltă necunoascută ;
5.Se verifică soluția gasită î n sistemul initial.

Exemplu
{4𝑥+𝑦=−5
3𝑥+2𝑦=−15
Reducem pe x {4𝑥+𝑦=−5 /3
3𝑥+2𝑦=−15/(−4) {12𝑥+3𝑦=−15
−12𝑥−8𝑦=60
/ −5𝑦 =45 𝑦=−9
Vom avea 4𝑥−9=−5  4𝑥=−5+9 4𝑥=4 𝑥=1  𝑆={(1;−9)}
Se face verificarea : 41+(−9)=4−9=−5; 31+2(−9)=3−18=−15

Metoda substituției (î nlocuirii)
Algoritm
1. Într -una din ecuaț ii se exprimă o variabilă în funcție de cealaltă ;

35 2. Înlocuim variabila gă sită în cealaltă ecuație, care va deveni astfel o ecuație cu o singură
necunoscută .
3. Se rezolvă ecuația cu o singură necunoascută .
4. Se va înlocui necunoscuta cu valoarea gă sită și se va determina cealaltă necunoscută .
5. Verificarea soluției în ecuaț iile sistemului.

Exemplu.
{𝑥−2𝑦=−2
2𝑥+𝑦=4 {𝑥=−2+2𝑦
2𝑥+𝑦=4 {𝑥=−2+2𝑦
2(−2+2𝑦)+𝑦=4{𝑥=−2+2𝑦
𝑦=8
5{𝑥=−2+28
5
𝑦=8
5
{𝑥=6
5
𝑦=8
5
𝑆={(6
5;8
5)}
Verificare: 6
5−28
5=−2 −2=−2
Metoda Cramer
Gabriel Cramer (1704 -1752) – a fost un matematician și fizician elvețian. La 18 ani ș i-a
luat doctoratul , iar doi ani mai tâ rziu era adjunct al catedrei din acest domeniu.
În 1749 devine membru al Royal Societ y. A fost profesor de matematică la Genf.
În 1730 a creat de terminanț ii, sub forma de algoritm matematic î n legatură cu combinările
și a elaborat ceea ce mai tâ rziu s -a numit „ Regula lui Cramer”, utilă pentr u rezolvarea
sistemelor de ecuaț ii liniare.
Sistemul de forma {𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑑𝑥+𝑒𝑦=𝑓 cu 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓∈𝐑 se mai numește și sistem liniar
(sistem de gradul I) de doua ecuații cu două necunoscute.
Vom pune condiț iile 𝑎;𝑏;𝑑;𝑒≠0
Sistemele liniare pot avea soluție unică, o infinitate de soluții sau nici o soluț ie care
corespund sisteme lor compatibil determinat, compatibil nedeterminat sau incompatibil.
Rezolvarea sistemului prin metoda Cramer presupune introducerea notiunii de determinant
de ordin 2, care este un numă r real scris sub forma unui tablou ș i care se c alculează astfel:

36 |𝐴𝐵
𝐶𝐷|=𝐴𝐷−𝐵𝐶 .
𝐴−𝐵;𝐶−𝐷 formează liniile iar 𝐴−𝐶;𝐵−𝐷 coloanele determinantului.
𝐴−𝐷 este diagonal a principal ă iar 𝐵−𝐶 diagonal a secundară .
Vom nota =|𝑎𝑏
𝑑𝑒| determinantul sistemului format din coeficienț ii necunoscutelor
𝑥=|𝑐𝑏
𝑓𝑒|=𝑐𝑒−𝑏𝑓 (oțtinut din  prin înlocuirea coloanei coeficienț ilor lui
x cu coloana termenilor liberi)
𝑦=|𝑎𝑐
𝑑𝑓|=𝑎𝑓−𝑐𝑑 ( obținut din  prin î nlocui rea coloanei coeficienț ilor lui
y cu coloana termenilor liberi)

Pentru rezo lvarea sistemului liniar de două ecuații cu două necunoscute vom folosi
urmă torul rezultat:
Teoremă
1) Dacă ∆≠0, sistemul e ste compatibil determinat, soluția sa de forma (x;y) fiind dată de
regula lui Cramer : 𝑥=∆𝑥
∆;𝑦=∆𝑦
∆ .
2) Dacă ∆=0 și ∆𝑥=∆𝑦=0, sistemul est e compatibil nedeterminat, soluț iile fiind de
forma (x;y) 𝑹×𝑹 care verifică ecuația 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0
3)Dacă ∆=0 iar ∆𝑥 𝑠𝑎𝑢 ∆𝑦 este nenul, sistem incompatibil.
Putem face o inte rpretare geometrică a teoremei . Deoarece fiecare di n ecuațiile sistemului
reprezintă ecuația unei drepte, înseamnă că f iecare soluț ie este cuplul coordonatelor
carteziene ale unu i punct de intersecț ie a celor doua drepte.
Notă m cu 𝑑1 si 𝑑2 dreptele reprezentate de ecuaț iile sistemului vom avea cazurile:
1) Dacă ∆≠0 dreptele 𝑑1 si 𝑑2 sunt concurente.
2) Dacă ∆=∆𝑥=∆𝑦=0 dreptele 𝑑1𝑠𝑖 𝑑2 coincid.
3) Dacă ∆=0 iar ∆𝑥≠0 sau ∆𝑦≠0 dreptele 𝑑1 𝑠i 𝑑2sunt paralele.

2.1.3 Alte tipuri de sisteme specifice materiei de liceu:
Sisteme simetrice fundamentale de forma {𝑥+𝑦=𝑠
𝑥𝑦=𝑝 𝑠,𝑝∈𝐑 x;y necunoscute .

37 Aceste sisteme su nt importante deoarece fac legătura cu rezolvarea unei ecuații atașate de
gradul II. Dacă perechea (𝑥;𝑦)∈𝐑×𝐑 este o soluț ie a sistem ului, ecuaț ia de gradul 2 în
t cu rădă cinile x,y va fi :
𝑡2−𝑠𝑡+𝑝=0.
De aici vom avea ș i metoda de rezolvare a sistem ului,basociindu -i acestuia ecuația de
gradul 2 în s si t, pe care va trebui să o rezolvă m.
Dacă ∆=𝑠2−4𝑝 0  𝑡1;𝑡2 rădăcini.
Vom avea soluț iile sistemului :
{𝑥1=𝑡1
𝑦1=𝑡2 si {𝑥2=𝑡2
𝑦2=𝑡1 adică perechi de forma (𝑡1;𝑡2); (𝑡2;𝑡1).
Dacă 𝑠2=4𝑝  𝑡1=𝑡2 soluț ii egale.
Dacă 𝑠2<𝑝, ∆ <0 ecuația în s ș i t nu are solu ții reale și atunci sistemul nu are soluții în
𝐑×𝐑.

Se propune spre rezolvare urmă torul sistem:

{𝑥+𝑦=6
𝑥𝑦=5
Aplicarea metodei de rezolvare:
1) Se scrie ecuația atasată sistemului : 𝑡2−𝑠𝑡+𝑝=0 , unde s=x+y iar p=xy;
2)Se î nlocuiesc valorile lui s și p din sistem și se rezolvă ecuaț ia de gradul 2:
𝑡2−6𝑡+5=0
∆=16 ; 𝑡1;2=6±4
2  𝑡1=5 ; 𝑡2=1
3) Vom avea soluț iile :
{𝑥1=𝑡1=5
𝑦1=𝑡2=1 și {𝑥2=𝑡2=1
𝑦2=𝑡1=5
𝑆={(5;1);(1;5)}

Putem aborda un ex ercițiu de forma:
Rezolva ți sistemul î n R : {𝑥2+𝑦2=25
𝑥𝑦=12

38 Acest sistem face legatura între cunoștințele matematice de gimnaziu ș i cele de liceu, unde
pentru rezolvare se pleacă de la formula binomului sumă (𝑥+𝑦)2=𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2.
Din (𝑥+𝑦)2=𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2 (𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦=𝑥2+𝑦2 (𝑥+𝑦)2=25+2𝑥𝑦=
25+24=49  𝑥+𝑦=7 𝑠𝑎𝑢 𝑥+𝑦=−7.
Vom avea două sisteme simetrice de forma I) {𝑥+𝑦=7
𝑥𝑦=12 și II) {𝑥+𝑦=−7
𝑥𝑦=12
Pentru sistemul I) rezol văm ecuaț ia 𝑡2−7𝑡+12=0 ∆=1  𝑡1;2 =7±1
2  𝑡1 =
4 ; 𝑡2 =3
Deci soluț iile sistemului vor fi : {𝑥1=𝑡1=4
𝑦1=𝑡2=3 sau {𝑥2=𝑡2=3
𝑦2=𝑡1=4
Pentru sistemul II) rezolvăm ecuaț ia:
𝑡2+7𝑡+12=0 ∆ =1  𝑡1;2=−7±1
2 𝑡1=−4; 𝑡2=−3
Deci soluțiile vor fi: {𝑥1=𝑡1=−4
𝑦1=𝑡2=−3 sau {𝑥2=𝑡2=−3
𝑦2=𝑡1=−4

Examenul de B acalaureat este un examen f oarte important pentru absolvenț ii de liceu.
Acesta face trec erea la un alt nivel de gâ ndire , atunci cand elev ul proasp ăt absolvent
participă la examenul de admitere la facultate. Consider ăm deosebit de important capitolul
de clasa a XI a : „ Sisteme liniare. Metode de rezolvare a sistemelor liniare: metoda
matriceal ă, metoda Cramer ”.
Examenul d e Bacalaureat la proba de matematic ă este compus din 3 subiecte, fiecare
subiect având exerciții care verifică anumite competente.

2.2. Sisteme de ecuaț ii liniare

39 2.2.1 Forma generală a unui sistem de ecuaț ii liniare
Definiție . O ecuaț ie cu n necunoscute 𝑥1,𝑥2,………,𝑥2 care are forma 𝑎1𝑥1+𝑎2𝑥2+
⋯…+𝑎𝑛𝑥𝑛=𝑏 , 𝑎1,….,𝑎2,𝑏 𝑪 se numeste ecuație liniară .
Numerele 𝑎1,𝑎2,……,𝑎𝑛 se numesc coeficienț ii necunoscutelor 𝑥1,𝑥2,……,𝑥𝑛, b se
numeș te termen liber .

Exemplu:
2𝑥−5𝑦=7 este o ecuație liniară în x și y , care are coeficienț ii necunoscutelor 𝑎1=
2 ; 𝑎2=−5 iar termenul liber 𝑏=7.

Definiție. Se numeste soluție a unei ecuaț ii liniare orice n -uplu de forma
(𝑠1,𝑠2,…..,𝑠𝑛) 𝑪𝒏, care verifică egalitatea : 𝑎1𝑠1+𝑎2𝑠2+⋯…..+𝑎𝑛𝑠𝑛=𝑏
A rezolva o ecuație liniară înseamnă a -i determina toate soluțiile. Mulțimea tuturor
soluțiilor unei ecuații liniare se numește soluția generală a ecuaț iei.

Definiție . Se numeș te sistem de m ecuaț ii liniare cu n nec unoscute, un si stem de forma :
𝑆:{𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯…+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎211+𝑎22𝑥2 +⋯….+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2
………………………………………….
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛 𝑎𝑖𝑗∈𝑪,∀ 𝑖= 1,𝑚̅̅̅̅̅̅ ,𝑗=1,𝑛 ̅̅̅̅̅,𝑏𝑖 ∈
𝑪 ,∀ 𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅
Sistemul (S) se mai scrie sub forma : ∑𝑎𝑖𝑗 𝑛
𝑗=1𝑥𝑗=𝑏𝑖,𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅ (S’)
− 𝑥1,𝑥2,……….,𝑥𝑛 se numesc necunoscutele sistemului .
− 𝑎𝑖𝑗 ,𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅,𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅ se numesc coeficienții necunoscutelor sau coeficienț ii sistemului.
− 𝑏𝑖,𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅ se numesc termenii liberi ai ecuaț iilor sau termeni i liberi ai sistemului.
Putem afirma că un sistem de ecuații liniare este o mulț ime finită de ecuaț ii liniare.

Definiție . Sistemul (S) se numeste omogen dacă toț i termenii liberi 𝑏𝑖,𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅ sunt egali
cu zero.
Se ob ține sistemu {𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯…+𝑎1𝑛𝑥𝑛=0
𝑎211+𝑎22𝑥2 +⋯….+𝑎2𝑛𝑥𝑛=0
………………………………………….
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛=0 sau condensat:
∑𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛
𝑗=1=0,𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅ se numeste sistem omogen asociat sistemului (S).

40
Definiție . Se numeste soluț ie a sistemului (S) orice n -uplu ( 𝑠1,𝑠2,……..,𝑠𝑛)∈𝐂𝐧 care
este soluție pentru fiecare din ecuaț iile sistemului.

A rezolva sistemul (S) î nseamna a -i determina toate soluț iile.
Se poate observa că sistemul linear omogen are întotdeauna cel puțin soluț ia 𝑥1=𝑥2=
⋯….=𝑥𝑛=0 numită soluț ie banala .
Exemple de sisteme:
1) {2𝑥+5𝑦=−1
𝑥−3𝑦=3 2) {𝑥1−2𝑥2+𝑥3=3
−3𝑥1+𝑥2−5𝑥3=−1
3𝑥1+5𝑥2−𝑥3=2 3) {𝑥1+3𝑥2+𝑥3=0
3𝑥1−5𝑥2+3𝑥3
𝑥1+𝑥2−2𝑥3=0=0

Scrierea matriceală a unui sist em liniar.
Unui sist em de forma (S) îi asociem matricea de forma :
𝐴=(𝑎11 𝑎12⋯𝑎1𝑛
⋮⋱⋮
𝑎𝑚1𝑎𝑚2⋯𝑎𝑚𝑛) care se numeste matricea sistemului cu notația 𝐴=(𝑎𝑖𝑗) ;
𝐵=(𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛) –matricea termenilor libe ri;
𝑋=
(
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛) – matricea necunoscutelor ;
𝐴̅=(𝑎11⋯ 𝑎𝑎𝑛 𝑏1
⋮⋱⋮
𝑎𝑚1⋯ 𝑎𝑚𝑛𝑏𝑚) -matricea extinsă a sistemului,obtinută prin ad ăugarea
termenilor liberi ai sistemului .
Atunci sistemul (S) se va scrie sub forma 𝐴𝑋=𝐵 și reprezintă forma matriceală a
sistemului (S) .

Exemplu:
1) Să se scrie sub forma matriceală sistemele:
{−𝑥+2𝑦=1
2𝑥+3𝑦=−3

41 Matricea sistemului este 𝐴=(−12
23); matricea necunoscutelor este 𝑋=(𝑥
𝑦); matricea
termenilor liberi este 𝐵=(1
−3).
Forma matriceală a sistemului este : 𝐴𝑋=𝐵.
{𝑥1+2𝑥2+𝑥3=5
−2𝑥2+𝑥2+3𝑥3=−2
3𝑥1+4𝑥2−𝑥3=1
𝐴=(121
−213
34−1 ) – matricea sistemului; 𝑋=(𝑥1
𝑥2
𝑥3)- matricea necunoscutelor;
𝐵=( 5
−2
1) – matricea termenilor liberi.
Forma matriceală a sistemului va fi : 𝐴𝑋=𝐵

Atunci când elevul vrea să afle soluțiile unui sistem ar trebui să se gândească la
urmatoarele etape:
– existența soluț iilor ( studiul co mpatib ilitații sistemului S );
-găsirea unei metode de aflare a soluț iilor;
-determinarea tuturor soluțiilor dacă sistemul este compatibil;
Existența soluțiilor unui sistem se rezumă la:
-sisteme compatibil e – sunt sistemele care au soluț ii :
a) sisteme compatibile de terminate – sisteme care au soluție unică ;
b) sisteme compatibile nedeterminate – sisteme care au mai mult de o soluț ie;
– sisteme incompa tibile – sisteme care nu au soluț ii;

2.2.2 Metode de rezolvare a sistemelor
Se vor prezen ta două metode de rezolvare a sistemelor liniare și anume:

42 metoda matriceală ș i metoda lui Cramer, metode care sunt des folosite î n cadrul
examenului de b acalaureat atunci câ nd elevul are de rezolvat sisteme cu numărul de ecuații
egal cu numă rul de necunoscute, iar determinantul matricei sistemului este diferit de zero.

Metoda matriceală .
Fie sistemu l (S) scris sub forma matriceală 𝐴𝑋=𝐵 cu det(𝐴)≠0, adică matricea
sistemului este nesingulară. Numărul det(A) se numeș te determinantul sistemului.
Vom avea:
𝐴𝑋=𝐵
det(𝐴)≠0  A inversabilă . Se va înmulții egalitatea , la stâ nga cu 𝐴−1 și vom obț ine :
𝐴−1/ 𝐴𝑋=𝐵  𝑋=𝐴−1𝐵, soluția sistemului. Putem afirma că sistemul este
compatibil determinat.
Atunci câ nd si stemul este liniar omogen, adică 𝐵=𝑂, atunci sistemul admite doar soluț ia
banală 𝑋=𝑂, adică 𝑥1=𝑥1=⋯…=𝑥𝑛=0
Algoritm de rezolvare:
1) Dacă sistemul are n ecuaț ii cu n necunoscute ,atunci el se scrie sub forma : 𝐴𝑋=𝐵 și
se calculează det (A).
2)Dacă det(𝐴)≠0, se calculează 𝐴−1.
3)Soluț ia sistemului este 𝑋=𝐴−1 𝐵.

Exemplu:
Să se rezolve sistemel e de ecuaț ii liniare :
1) {2𝑥+𝑦=4
3𝑥−2𝑦=1
Elevul va trebui să aplice algoritmul de rezolvare :
– va scrie sistemul sub forma 𝐴𝑋=𝐵 unde 𝐴= (21
3−2); 𝑋=(𝑥
𝑦); 𝐵=(4
1) ;
-va calcula det (A) , det(𝐴)=−7≠0  A este inversabilă  𝑋=𝐴−1𝐵 ;
-va calcula inversa matricei A si va g ăsi 𝐴−1= (2
71
7
3
7−2
7)  𝑋=𝐴−1𝐵=(9
7
10
7) 
𝑥=9
7;𝑦=10
7 .

43
2) {2𝑥−3𝑦+2𝑧=0
−3𝑥+𝑦+𝑧=−1
2𝑥−2𝑦−𝑧=0

Elevul va aplica al goritmul de rezolvare:
-va scrie sistemul sub forma : 𝐴𝑋=𝐵 unde 𝐴=( 2−32
−311
2−2−1 ) ; 𝑋=( 𝑥
𝑦
𝑧 ); 𝐵=
( 0
−1
0 )
-va calcula det(A) , det(𝐴)=7 ≠0  A este inversabilă  𝑋=𝐴−1𝐵;
-va calcula inversa matricei A și va g ăsi : 𝐴−1=
( −2
7−1−5
7
−1
7−6
7−8
7
4
7−2
7−1)  𝑋=𝐴−1𝐵=
( 1
6
7
2
7)  𝑥=1;𝑦=6
7 ;𝑧=2
7 .

Metoda Cramer.
Este aplicabilă unui sistem de n ecuaț ii liniare cu n necunoscute de forma :
(S): {𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯…+𝑎1𝑛𝑥𝑛=0
𝑎211+𝑎22𝑥2 +⋯….+𝑎2𝑛𝑥𝑛=0
………………………………………….
𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=0 sau în scriere matriceal ă 𝐴𝑋=𝐵 , când
det (𝐴)≠0.

În aceste condiț ii siste mul este compatibil determinat și soluția unică este determinata de :

Teoremă

44 Orice sistem de n ecuaț ii liniare cu n necunoascute pentru care determinantul este nenul,
este compatibil determinat cu soluția dată de formulele ( 𝐹) 𝑥1=∆𝑥1
∆ ; 𝑥2=∆𝑥2
∆ ; 𝑥3=
∆𝑥3
∆ , unde ∆=det (𝐴); A matricea asociată sistemul (S) iar ∆𝑥𝑘 se obț ine din ∆ înlocuind
coloana coeficienț ilor lui 𝑥𝑘 prin coloana termenilor liberi, 𝑘= 1,𝑛̅̅̅̅̅.
Formulele (F) care dau soluț ia sistemului se numesc formulele lui Cramer.
Un sistem de forma (S) cu det (𝐴)≠0 se numeste sistem Cramer.

Algoritm de rezolvare
1) Se calculează ∆ unde ∆≠0.
2) Se calulează determinanț ii ∆𝑥𝑘,𝑘= 1,𝑛̅̅̅̅̅ obținuti din ∆ prin î nlocuirea coloanei k prin
coloana termenilor liberi.
3) Soluția sistemului este dată de formulele lui Cramer:
𝑥1=∆𝑥1
∆ ; 𝑥2=∆𝑥2
∆;……..;𝑥𝑛=∆𝑥𝑛
∆.

Exemplu
Să se rezolve sistemul:
{𝑥+𝑦+𝑧=4
𝑥+2𝑦+2𝑧=7
2𝑥−𝑦+𝑧=3
Elevul va aplica algoritmul de rezolvare:
– va calcula ∆=det(𝐴) unde A= (111
122
2−11)și va ob ține det(𝐴)=2 ≠0  sistem
Cramer ;
– va calcula ∆𝑥1= [411
722
3−11]=2 ; ∆𝑥2= [141
172
231]=2; ∆𝑥3=[114
127
2−11]=2
– va afla soluț iile : 𝑥1=∆𝑥1
∆=2
2=1; 𝑥2=∆𝑥2
∆=2
2=1; 𝑥3=∆𝑥3
∆=4
2=2 .

2.2.3 Rezolvarea sistemelor la examenul de bacalaureat:
1) Se consideră sistemul de ecuaț ii:

45 {−𝑥+𝑎𝑦+(2𝑎+4)𝑧=1
(𝑎+2)𝑥+𝑎𝑦+(𝑎+1)𝑧=1
(𝑎+1)𝑥+(2𝑎−1)𝑦+3𝑧=2 𝑎∈𝑹

a)Arătați că determinantul matricei sistemului este egal cu 3𝑎3+9𝑎2−3𝑎−9.
b)Determinaț i valorile reale ale lui a penru care sistemul este compatibil determinat.
c) Pentru 𝑎=−2 rezolvaț i sistemul.
( Examenul de Bacalaureat 2012, M atematică informatică ,var.9)
Rezolvare:
a) Fie A matricea sistemului asociat, atunci :
det𝐴= [−1𝑎2𝑎+4
𝑎+2𝑎𝑎+1
𝑎+12𝑎−13]=[3𝑎+3𝑎2𝑎+4
3𝑎+3𝑎𝑎+1
3𝑎+32𝑎−13]=
(3𝑎+3)[1𝑎2𝑎+4
1𝑎𝑎+1
12𝑎−13]=(3𝑎+3 )[1𝑎2𝑎+4
00−𝑎−3
0𝑎−1−2𝑎−1]
=(3𝑎+3)(𝑎−1)(−𝑎+3)
=3𝑎3+9𝑎2−3𝑎−9
b) Sistemul este compatibil determinat dacă det (𝐴)≠0
Dacă det(𝐴)=0 atunci (3𝑎+3)(𝑎−1)(−𝑎+3)=0  𝑎∈{ −1;1;−3}
c) Pentru 𝑎=−2  {−𝑥−2𝑦=1
−2𝑦−𝑧=1
−𝑥−5𝑦+3𝑧=2
Se aplică metoda Cramer:
Elevul va calcula ∆=det(𝐴) unde 𝐴=(−1−20
0−2−1
−1−53)  ∆=9≠0 sistem Cramer
Va calcula
∆𝑥=[1−20
1−2−1
2−53]=−1 ; ∆𝑦=[−110
01−1
−123]=−4 ; ∆𝑧=[−1−21
0−21
−1−52]=−1
El va gasi soluț iile : 𝑥=∆𝑥
∆=−1
9 ;𝑦=∆𝑦
∆=−4
9;𝑧=∆𝑧
∆=−1
9

Greș eli tipice în rezolvarea sistemelor de catre elevi:

46 -elevul omite condiț ia de compatibilitate a unui sist em, ceea ce va duce la inexistența
soluț iiei sistemului.
-elevul nu scrie corect matricea asocia tă sistemului, ceea ce va cond uce la un determinant
calculat gresit.
-atunci când calculează soluția, elevul nu î nlocui este coloana termenilor liberi î n
∆𝑥;∆𝑦;∆𝑧.

CAPITOLUL 3

47 STUDIUL INECUAȚIILOR ÎN GIMNA ZIU ȘI
LICEU

3 .1 Inecuaț ii de forma 𝒂𝒙+𝒃>𝟎 (<,≥,≤) 𝒂,𝒃 𝐑

Definiție . O inegalitate referitoare la una sau mai m ulte elemente variabile din
mulțimi date sau subîntelese se numește inecuaț ie.
Terminologia folosită în cadrul inecuațiilor este identică cu cea folosită în cazul ecuaț iilor.
Variabilel e se numesc neconoscute. Mulțimea dată sau subînteleasă, parcursă de
necunoscută este domeniul inecuaț iei. De exemplu D= N.
Elementele din domeniu pentru care inecuația se transformă î ntr- o propoziție adevarată
sunt soluțiile inecuației, iar mulț imea lor se n umește mulțimea de soluț ii.
A rezolva o inecuație înseamnă a -i determina mulțimea de soluții. Doua inecuaț ii sunt
echiva lente daca au același domeniu și aceeași mulțime de soluț ii.
Cele mai simple ecuații sunt cele de forma 𝑥>𝑎 (<,≤,≥) . Dacă domeniul este mulțimea
numerelor reale, mulțimile de soluții vor fi intervale nemă rginite:
𝑥>𝑎,𝑥∈𝐑  S=(a;+∞)
𝑥≥𝑎,𝑥∈𝐑  S=[𝑎,+∞)
𝑥<𝑎,𝑥∈𝐑  S=(−∞;a)
𝑥≤𝑎,𝑥∈𝐑  S=(−∞;a]
Proce deele prin care se obțin inecuații echivalente derivă din proprietațile de legatură
dintre inegalitați și operaț iile cu numere reale.
Observăm că oricare ar fi 𝑎,𝑏,𝑐∈𝐑 au loc echivalen țele :
1. 𝑎<𝑏  𝑎+𝑐<𝑏+𝑐 și 𝑎<𝑏  𝑎−𝑐<𝑏−𝑐
2. Dacă 𝑐>0 atunci 𝑎<𝑏 𝑎𝑐<𝑏𝑐 și 𝑎<𝑏  𝑎:𝑐<𝑏:𝑐
3. Dacă 𝑐<0 atunci 𝑎<𝑏  𝑎𝑐>𝑏𝑐 și 𝑎<𝑏  𝑎:𝑐>𝑏:𝑐
Se observ ă că proprietațile ramân valabile și dacă înlocuim î n mod adecv at simbolurile din
inegalitatea „ <”ș𝑖 „>” cu alte variante (>,<,≤,≥). Procedeele de a obține inegalită ți
(inecuații) echivalente sunt aceleași ca în cazul egalitaților (ecuaț iilor).

48 Proprietatea 3. evidențiază faptul că: dacă înmultim sau împă rtim f iecare termen al unei
inegalităț i (inec uații) cu ac elași numă r negativ , pentru a obține forme echivalente, trebuie
să schimbăm și sensul inegalităț ii .

3.1.1 Rezolvarea inecuaț iilor
Exemple :
1) 2x−4<0,𝑥𝐑
2𝑥<4  𝑥<2
𝑆=(−∞;2)
Deosebit de im portant este domeniul de definiție, deoarece atunci câ nd nu este 𝐑, ci orice
altă submulț ime a lui 𝐑 va trebui sa determinăm intersecț ia dintre 𝐑 și această submulț ime
pentru a afla mulțimea soluțiilor inecuaț iilor.
De exemplu putem avea:
2) −3𝑥+5≤0,𝑥𝐑+−3𝑥≥−5/ (−1)  𝑥≤ 5
3  𝑥∈(−∞;5
3] , dar 𝑥∈𝑹+ 
𝑥∈(−∞;5
3 ) ∩[0;+∞)  𝑥∈[ 0;5
3 ]
Putem avea de exemplu inecua ții liniare cu necunoscuta î n modul , unde elevul va
trebui să stie și proprietăți ale modulului utile î n rezo lvarea acestor tipuri de inecuaț ii .
Proprietățile modulului utile î n rezolvare a inecuaț iilor sunt :
P1) ∣𝑥∣≥0 ∀𝑥∈𝐑 ; ∣𝑥∣=0  𝑥=0
P2) 𝑎>0 vom avea ∣ 𝑥∣ > 𝑎 𝑥∈ (−∞;−𝑎)∪(𝑎;+∞)
∣𝑥∣<𝑎  𝑥∈ (−𝑎;𝑎)
𝑏<0∶ ∣𝑥∣>𝑏  𝑥∈𝐑
∣𝑥∣< 𝑏 𝑥∈ ∅
P3) ∣𝑥+𝑦∣ ≤ ∣𝑥∣+∣𝑦∣ ,∀𝑥,𝑦∈𝐑
P4)∣𝑥−𝑦∣≥∣∣𝑥∣−∣𝑦∣∣ ,∀ 𝑥,𝑦∈𝐑
Exemple:
1) ∣𝑥∣<3,𝑥𝐑 aplicând P2) vom avea 𝑥∈(−3;3)
2) ∣x∣−7 > 0,𝑥Z ∣𝑥∣>7 aplic ând P2) vom av ea ca solu ție 𝑥∈(−∞;−7)∪
(7;+∞) dar 𝑥∈𝒁  x∈{……,−9,−8,8,9,10,………}
3) ∣𝑥∣+1< 0,𝑥𝐑∣𝑥∣<−1 aplicâ nd P2)  𝑥∈∅
4) ∣𝑥−1 ∣> 4,𝑥∈𝑵  (𝑥−1)∈(−∞;−4)∪(4;+∞) 𝑥−1<−4 𝑠𝑎𝑢 𝑥−1>
4  𝑥<−3 𝑠𝑎𝑢 𝑥> 5  𝑥 (−∞;−3)∪(5;+∞).

49 Dar 𝑥∈𝑵  𝑥∈{6;7;8;………}
5) ∣1−3𝑥∣≤5,𝑥∈𝐙 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐â𝑛𝑑 𝑃2)  (1−3𝑥)∈ [−5;5]  1−3𝑥≥−5 ș𝑖 1−
3𝑥 ≤ 5 {1−3𝑥≥ −5
1−3𝑥≤5  {−3𝑥≥−6 ⃓  (−3)
−3𝑥≤ 4⃓ (−3) {𝑥≤2
𝑥≥ −4
3  𝑥∈[4
3;2]
Dar 𝑥∈ 𝐙  𝑥∈{−1;0;1;2}

3.1.2 Rezolvarea i necuaț iilor cu parametru și a inecuațiilor care implică semnul
funcției de gradul I
1) Să se rezolve și să se discute inecuaț ia 𝑥−𝑚
1−𝑚𝑥 ≥ 1, 𝑚∈𝐑 (G.B.M, 1974)
Obs. Să reamintim înainte semnul funcț iei de gradul I
𝑓:𝐑 →𝐑,𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 𝑎,𝑏∈𝐑,𝑎≠0
Tabel 1
Semnul functiei

x −∞ −𝑏
𝑎 +∞
ax+b
a0 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 +++++++++++++++++++++++
ax+b
a0 ++++++++++++++++++++++++++++++0 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Solu ție
Existența numitorului impune condiț ia 1−mx≠0.
Pentru m≠0 aceasta revine la 𝑥 𝐑 ⃥{ 1
𝑚 }, iar pentru m=0 conditia este 1≠0 și se
verifică pentru orice x real.
Inecuația va fi echivalentă cu :
𝑥−𝑚
1−𝑚𝑥−1≥0  𝑥−𝑚−1+𝑚𝑥
1−𝑚𝑥 ≥ 0  (𝑚+1)(𝑥−1)
1−𝑚𝑥 ≥0
Vom avea trei cazuri:
a) Dacă m >−1  m+1> 0 , inecuaț ia revine la 𝑥−1
1−𝑚𝑥 ≥ 0
b)Dacă m <−1  m+1< 0, avem 𝑥−1
1−𝑚𝑥 ≤ 0
c) Pentru 𝑚=−1  0≥0 adevarată pentru 𝑥∈𝐑׀ { −1}
Pentru cazurile a) și b) observ ăm că numărătorul se anulează î n 𝑥=1, iar numitorul î n
𝑥=1
𝑚.

50 Intuitiv se poate obseva că :
1) dacă 𝑚<0  1
𝑚 <0 <1
2) dacă 𝑚∈ (0,1)  1
𝑚 >1
3) dacă 𝑚>1  1
𝑚<1
4) dacă 𝑚=1  1
𝑚=1
Tinand cont de aceste observaț ii ,vom avea cazurile :
A1) 𝑚∈( −1;0) vom rezolva ecuaț ia 𝑥−1
1−𝑚𝑥 ≥0 iar 1
𝑚 <0<1
Vom avea tabelul:
Tabel 2
Semnul expresiilor

x -∞ 1
𝑚 1 +∞
𝑥−1 – – – – – – – – – 0 + + + + + +++++++++++++
1−𝑚𝑥 ––––––––– – 0++++++ +++++++++ ++++++++++++++++++
𝑥−1
1−𝑚𝑥 +++++++++++++ ++++⃓ – – – – – – – – – – 0 +++++++++++++++++++

Vom avea soluț ia : 𝑥∈ (−∞;1
𝑚)∪[ 1;+∞)
𝐴1) 𝑚∈(0;1) vom avea de rezolvat aceeași inecuaț ie 𝑥−1
1−𝑚𝑥≥0 dar 1
𝑚 >1
Se alcatuieste un tabel s imilar celui de mai sus, rezultând soluț ia 𝑥∈[1;1
𝑚 )
𝐴2) 𝑚=1  𝑥−1
1−𝑥 ≥ 0  −1≥0  𝑥∈∅
𝐴3) m ∈ (1; +∞) ,în acest caz vom avea 0< 1
𝑚 <1. Se alcă tuieste un tabel ca mai
sus,rezultâ nd 𝑥∈( 1
𝑚;1]
În cazul b) avem de rezolvat inecuaț ia 𝑥−1
1−𝑚𝑥 ≤ 0 iar 1
𝑚 <0<1 .Se alcatuiește tabel cu
soluț ia 𝑥∈ (1
𝑚;1]
Când 𝑚=0 inecuaț ia devine 𝑥≥1  𝑥∈[1; +∞)

51

Vom trece intr -un tabel toate soluț iile:
Tabel 3
Soluții finale

m Soluția inecuaț iei
𝑚
∈(−∞;−1) 𝑥∈ ( 1
𝑚;1]
𝑚=−1 𝑥∈𝐑 ⃥ {−1}
𝑚∈(−1;0) 𝑥∈ (−∞; 1
𝑚)∪[1;+∞)
𝑚=0 𝑥∈ [1;+∞)
𝑚∈ (0;1) 𝑥∈ [ 1;1
𝑚 )
𝑚=1 𝑥∈∅
𝑚∈(1; +∞) 𝑥∈ ( 1
𝑚;1]

Greșeli tipice în rezolvarea inecuațiilor de că tre elevi
Unii elevi elimină greșit numitorii atunci câ nd rez olvă inecuații î n care necunoscuta apare
la numitori.
Exemplu
5+𝑥
3−𝑥≤ 1
Rezolvare greș ită:
5+ 𝑥
3−𝑥≤ 1  5+𝑥≤ 3−𝑥  2𝑥≤ −2  𝑥≤−1  𝑥∈ (−∞;−1]
Rezolvare corectă :
5+𝑥
3−𝑥≤1  5+𝑥
3−𝑥−1 ≤0  2+2𝑥
3−𝑥 ≤0
Tabel 4
Semul expresiilor

52

x -∞ -1 3 +∞
2+2x – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
3-x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
2+2𝑥
3−𝑥 – – – – – – – – – – – – – – – – 0 ++++++++++ ⃓ – – – – – – – – – – – – – – – – – –

𝑥∈(−∞;−1]∪[3;+∞)

3.2 Aplicații ale semnului funcț iei de gradul al II lea . Inecuaț ii de gradul al II lea
Inecuaț iile de forma:
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐> 0 (≤,≥,<) unde a, b, cR, a≠ 0 se numesc inecuaț ii de gradul al doilea.
Rezolvarea inecuaț iilor de g radul al doilea este o consecința imediată a studiului semnului
funcției 𝑓:𝐑→𝐑, 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 unde a, b, c R, a ≠ 0 care se numeste funcție de
gradul al doilea .
În studiul acestor funcții vom face cateva observatii:
1) Domeniul și codomeniul f uncției de gradul al doilea este mulț imea num erelor reale, ceea
ce ne face să afirmăm că este o funcție numerică .
2) O funcț ie de gradul al doilea f: R→R, 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 este perfect determinată
când se cunosc numerele reale a, b, c ( 𝑎≠0).
3)Trebu ie să observăm faptul că în definiția funcției de gradul al doilea, condiț ia 𝑎≠0
este esential ă în sensul că dacă 𝑎=0 atunci funcț ia este de gradul I.
4) Denumirea de funcț ie de gradul al doilea pro vine din faptul că este definită prin
intermediul trinomului de gradul al doilea 𝑎𝑋2+𝑏𝑋+𝑐.
În rezolvarea inecuaț iilor de grad ul al doilea elevul va trebui să stie proprietătile funcț iei de
gradul al doilea :

53 Proprietăți ale funcției de gradul al doilea :

f:𝐑→𝐑 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐 𝑎;𝑏;𝑐∈𝐑 ;𝑎≠0

1) Domeniul (maxim) de definiție al funcției este D(f)= R
2) Extremele și punctele de extrem ale funcției:
I. Dacă 𝑎>0, atunci funcția are un minim (global):
min
𝑥∈R𝑓(𝑥)= 𝑓𝑚𝑖𝑛=𝑓(−𝑏
2𝑎 ) =−∆
4𝑎 – minimul funcției pătratice;
• Vârful parabolei 𝑉(−𝑏
2𝑎;−∆
4𝑎 ) este punctul de minim (global) al funcției;
II. Dacă 𝑎<0, atunci funcția are un maxim (global):
max
𝑥∈R𝑓(𝑥)= 𝑓𝑚𝑎𝑥=𝑓(−𝑏
2𝑎 ) =−∆
4𝑎 – maximul funcției pătratice;
• Vârful parabolei 𝑉(−𝑏
2𝑎;−∆
4𝑎 ) este punctul de maxim (global) al funcției.
3) Mulțimea valorilor funcției (domeniul de valori al funcției)
)(fE :
I. Dacă 𝑎>0, atunci mulțimea valorilor funcției este 𝐸(𝑓)=[−∆
4𝑎;+∞) ;
II. Dacă 𝑎<0, atunci mulțimea valorilor funcției este 𝐸(𝑓)=(−∞;−∆
4𝑎 ) .
4) Monotonia funcției de gradul doi (intervalele de creștere și descreștere):
I. Dacă 𝑎>0, atunci:
a) funcția este strict descrescătoare pe intervalul ( −∞;−𝑏
2𝑎 ) ;
b) funcția este s trict crescătoare pe intervalul (−𝑏
2𝑎;+∞);
II. Dacă 𝑎<0, atunci:
a) funcția este strict crescătoare pe intervalul (−∞;−𝑏
2𝑎 ) ;
b) funcția este strict descrescătoare pe intervalul (− 𝑏
2𝑎;+∞) ;
5) Zerourile funcției de gradul doi:
• Zerourile funcției de gradul doi sunt soluțiile (rădăcinile) ecuației 𝑓(𝑥)=0, adică
soluțiile (rădăcinile) ecuației de gradul doi 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0.
Au loc 3 cazuri:
I. Dacă ∆<0, atunci ecuația nu are soluții și funcția nu are zerouri;
II. Dacă ∆=0, atunci ecuația are o soluție și funcția are un singur zerou: 𝑥=−𝑏
2𝑎;

54 x
y
+ + + c +

y
x
_ _ _ _
c

III. Dacă ∆>0, atunci ecuația are 2 soluții și funcția are două zerouri: 𝑥1=−𝑏−√∆
2𝑎 și 𝑥2=
−𝑏+√∆
2𝑎.
6) Semnele funcției de gradul doi:
Se scrie fun cția f în forma canonică: 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=( 𝑥+𝑏
2𝑎 )2 și se determină
unul din cele 6 cazuri care are loc :
I. Dacă 𝑎>0 și ∆<0, atunci 𝑓(𝑥)>0 pentru ∀ 𝑥∈𝐑 și
0)(xf pentru 𝑥∈∅;
II. Dacă 𝑎>0 și ∆=0, atunci 𝑓(𝑥)>0 pentru ∀ 𝑥∈𝐑\ {−𝑏
2𝑎 } și 𝑓(𝑥)=0 pentru
𝑥=−𝑏
2𝑎;
III. Dacă 𝑎>0 și ∆>0, atunci 𝑓(𝑥)>0 pentru 𝑥∈(−∞;𝑥1)∪(𝑥2;+∞) și 𝑓(𝑥)<0
pentru 𝑥∈(𝑥1;𝑥2);
IV. Dacă 𝑎<0 și ∆<0, atunci 𝑓(𝑥)<0 pentru ∀ 𝑥∈𝐑 și 𝑓(𝑥)≥0 pentru 𝑥∈∅;
V. Dacă 𝑎<0 și ∆=0, atunci 𝑓(𝑥)<0 pentru ∀ 𝑥∈𝑹\ {−𝑏
2𝑎 } și 𝑓(𝑥)=0 pentru
𝑥=−𝑏
2𝑎;
VI. Dacă 𝑎<0 și ∆>0, atunci 𝑓(𝑥)<0 pentru 𝑥∈(−∞;𝑥1)∪(𝑥2;+∞) și 𝑓(𝑥)>0
pentru 𝑥∈(𝑥1;𝑥2)
1) Cazul  < 0 (cazurile I și IV de mai sus )
Semnul valorilor funcției f coincide cu semnul numărului a, pentru orice 𝑥∈ 𝐑.

Fig.8 Fig.9
Graficul lui f când 𝒂>𝟎,∆<𝟎 Graficul lui f când 𝒂<𝟎,∆<𝟎

2) Cazul  = 0 (cazurile II și V de mai sus )

55
y
+ + + +
c

x
_ _ _ _

_ _ _
x2
x1
y
x
+ +

Δ>0
x2
x1
x
+ +
_ _ _ _

y y Semnul valorilor funcției 𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥+𝑏
2𝑎)2 coincide cu semnul numărului a, pentru
orice 𝑥∈𝐑\ {−𝑏
2𝑎 } .

Fig.10 Fig.11
Graficul lui f când 𝒂>𝟎,∆=𝟎 Graficul lui f când 𝒂<𝟎,∆=𝟎
3) Cazul  >0 (cazurile III și VI de mai sus )

Semnul valorilor funcț iei f , cu zerourile 𝑥1și 𝑥2 , unde 𝑥1<𝑥2 , coincide cu semnul
numărului a, pentru orice 𝑥∈(−∞;𝑥1)∪(𝑥2;+∞) și este opus semnului lui a,
pentru orice 𝑥∈(𝑥1;𝑥2) .

Fig.12 Fig.13
Graficul lui f când 𝒂>𝟎,∆>𝟎 Graficul lui f când 𝒂<𝟎,∆>𝟎

O situație problemă

56 Făt –Frumos vrea să trimită pri nțesei exilate în vârful unui turn î nalt de 3 0 m un mesaj.
Pentru aceasta , a împăturit bucata de hârtie scrisă și a legat -o de o piatră.Cu ce viteză
trebuie să arunce piatra , pent ru ca aceasta să depăsească înalț imea turnului?
Rezolvare.
La momentul t piatra se va găsi la înalțimea h(t) dată de formula :
ℎ(𝑡)=𝑣𝑡−1
2𝑔𝑡2, unde g=9,8 𝑚/𝑠2
Pentru ca piatra să depășească înalț imea turnului, trebuie ca h(t) 30, pentru un 𝑡>0. În
acest fel, apare inecuația î n t: 𝑣𝑡−1
2𝑔𝑡2  30
Cum g=9,8 𝑚/𝑠2 , iar rezultatul nu cer e o precizie prea mare ,aproximă m 9,8 la 10.
Vom avea 5𝑡2−𝑣𝑡+30 0; 50  parabola va avea ramurile orientate î n sus.
Pentru a î ndeplini condi ția cerută,ea va trebui să intersecteze axa Ox.Vom avea ∆>0
=𝑣2−4 5 30= 𝑣2−600 0,𝑣0
𝑣2−600=( 𝑣−10√6)(𝑣+10√6 )
Vom studia semnul expresiei 𝑣2−600
Tabel 5
Semnul expresiei

v -∞ -10√6 0 10√6 +∞
𝑣2−600 ////////// / / / +/////////////// 0 – ( – 0 +

Vom avea 𝑣∈(10√6 ,+∞)
Răspuns:
Pentru a fi sigur că mesajul sau învinge gravitația și ajunge la destinație, Făt-Frumos
trebuie să arunce piatra cu o viteză initiala de cel puț in 10√6 𝑚/𝑠≈24,5𝑚/𝑠

3.2.1 Rezolvări de inecuații de gradul al II lea în liceu
1) Să se rezolve inecuaț ia : 𝑥2−5𝑥+6> 0
Rezolvare:
Fie 𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+6. Se rezolvă 𝑓(𝑥)=0
Se observa ca =25-24=10

57 𝑥1=2 și 𝑥2=3
Se va co mplete tabelul de semn al funcț iei.

Tabel 6
Semnul funcției

x -∞ 2 3 +∞
f(x) + 0 – 0 +

Multimea soluțiilor inecuaț iei este ( -∞;2)∪(3;+∞)
Tehnici de lucru
În gen eral, pentru a rezolva o inecuație ,căutam să o reducem la o comparare cu zero.
De exemplu:
Determinaț i valorile lui x care verifica relaț ia 2
𝑥+1 𝑥+2
Algoritm
1. Stabilim domeniul de definiție al inecuaț iei: 𝑥+1≠0  𝑥≠
−1  𝑥∈𝐑 ⃥ {−1}
2. Trecem totul î n membrul stang pentru a reduce 2
𝑥+1 −( 𝑥+2)≤0
la o comparare cu zero.
3. Aducem la același numitor ,descompunem î n factori 2−(𝑥+2)(𝑥+1)
𝑥+1 ≤0
numitorul ș i numărătorul ,p ăstrând numitorul. 2−𝑥2−3𝑥−2
𝑥+1 ≤ 0 ⇔
⇔−𝑥(𝑥+3)
𝑥+1 ≤0
4. Studiem semnul expresiei din membrul stâng cu ajutorul tabelului de sem n:

Tabel 7
Semnul expresiei

58 x -∞ -3 -1 0 +∞
−𝑥2−3𝑥 – 0 + + 0 –
𝑥+1 – – 0 + +

5. Observăm că semnul convenab il pe ultima linie a tabelului ș i citim pe prima linie
intervalele de soluț ie.Se scrie reuniunea intervalelor al e căror numere respectă condiț ia de
semn.
𝑆=[−3;−1)∪(0;+∞)
2) Inecua ții cu modul:
Să se rezolve inecuaț ie : ∣𝑥2−𝑥−2∣ ≤ 1
Vom avea de rezolvat doua inecuatii:
−1≤ 𝑥2−𝑥−2 ≤1  {𝑥2−𝑥−2 ≤1
𝑥2−𝑥−2 ≥−1
Pentru prima inecuaț ie ∆=13 și 𝑥1=1−√13
2
𝑥2=1+√13
2
Făcâ nd tabelul de semn va rezulta soluț ia 𝑁1 =[ 1−√13
2 ;1+√13
2 ]
Pentru inecuaț ia 𝑥2−𝑥−2≥ −1  𝑥2−𝑥−1 ≥0 ∆=5
𝑥1=1−√5
2; 𝑥2=1+√5
2
Făcând tabelul de semn va rezulta soluț ia 𝑁2 =(−∞; 1−√5
2 ] ∪[ 1+√5
2 ; +∞ )
Mulțimea soluț iilor va fi 𝑁1 ∩ 𝑁2 =[ 1−√13
2 ; 1−√5
2 ] ∪[ 1+√5
2 ;1+√13
2 ]

4.2.2 Inecua ții exponenț iale

Rezolvarea inecuațiilor exponențiale se bazează pe proprietaț ile de monot onie ale funcției
exponenț iale.
Funcția exponențială de bază 𝑎>0 ;𝑎≠1 ;𝑓∶(0;+∞)→𝐑 ;𝑓(𝑥)=𝑎𝑥 este:
– strict crescătoare dacă 𝑎>1

59 – strict descrescătoare dacă 0 <𝑎<1
Definiție . Doua inecuații exponențiale sunt echivalente dacă au aceeași mulț ime de
soluț ii.
Pentru o retinere mai bună din partea elevilor se poate propune urmatoarea schemă de
rezolvare:
{𝑎𝑔(𝑥)>𝑎ℎ(𝑥)
𝑎>1  {𝑔(𝑥)>ℎ(𝑥)
𝑎>1 si {𝑎𝑔(𝑥)>𝑎ℎ(𝑥)
0<𝑎<1 {𝑔(𝑥)<ℎ(𝑥)
0<𝑎<1

Exemplu:
1) Să se rezolve inecuaț iile :
4𝑥>16 4𝑥> 42 , dar funcț ia 𝑓: 𝐑→𝐑 ,𝑓(𝑥)=3𝑥 este crescă toare, deci 𝑥>2 .
2) (3
5 )3−4𝑥≤( 3
5 ) 3𝑥−5  3−4𝑥 ≥3𝑥−5  𝑥≤−8
7 unde funcț ia 𝑓(𝑥)=( 3
5)𝑥 este
strict descrescă toare.
Atunci câ nd elevul întâlnește ecuaț ii mai complicate de tip 𝑓(𝑥)≥0(≤0),𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 ,
iar în membrul stâng fig urează și exponențiale este recomandat să folosească urmatoarea
tehnică de calcul:
-se rezolvă ecuaț ia de forma 𝑓(𝑥)=0;
-se realizează tabelul de semn al funcției ,tinâ nd cont de faptul că dacă funcția nu se
anulează pe un interval,atunci va avea pe acest interval semn constant. Pentru a vedea
semnul lui f pe un astfel de interval se alege din el o valoare 𝑥0 apoi se calculează 𝑓(𝑥0).
Semnul lui 𝑓(𝑥0) va fi pe tot intervalul.
Exemplu:
Să se rezolve inecuaț ia: 25𝑥<65𝑥−5
Elevul va aduce inecuaț ia la forma 𝑓:𝐑→𝐑,𝑓(𝑥)=25𝑥−65𝑥+5 <0
Rezolvă 𝑓(𝑥)=0  25𝑥−65𝑥+5=0 aplicând algoritmul de la ecuaț iile
exponenț iale.
Va găsi soluț iile 𝑥1=0,𝑥2=1
Va face tabelul de semn:
Tabel 8
Semnul funcției

60 x −∞ 0 1 +∞
f(x) + 0 – 0 +
Deci 𝑓(𝑥)<0 dacă 𝑥 (0;1)

3.2.3 Inecuaț ii cu parametru
Definiție . Se numeste inecuație cu parametru o inecuație î n care necunoscuta x depinde de
un parametru, adică de un numă r necunoscut,dar fixat.

Exemplu:
1) Să se rezolve inecuațiile în funcț ie de parametrul m :
𝑚𝑥<1
Vom avea trei cazuri:
a) dacă 𝑚>0  𝑥≤1
𝑚
b) dacă 𝑚<0  𝑥≥ 1
𝑚
c) dacă 𝑚=0  0 𝑥 ≤1 𝑆=𝐑
2) Să se rezolve inecuaț ia 3(4𝑚−𝑥)<2𝑚𝑥+3 și să se discute după parametrul real
m.
Avem:
3(4𝑚−𝑥)<2𝑚𝑥+3  12𝑚−3𝑥<2𝑚𝑥+3  12𝑚−3 <2𝑚𝑥+3𝑥  𝑥(2𝑚+
3)>3(4𝑚−1)
Discuț ii:
-dacă 2𝑚+3>0  𝑚> −3
2  𝑥> 3(4𝑚−1)
2𝑚+3

61 -dacă 2𝑚+3 <0  𝑚<−3
2  𝑥(2𝑚+3) >3(4𝑚−1)  𝑥< 3(4𝑚−1)
2𝑚+3
-dacă 2𝑚+3=0  𝑚=−3
2  0>−21  orice numar real este soluție a inecuaț iei.
Vom avea:
-dacă 𝑚 (−3
2;+∞) 𝑥 ∈ ( 3(4𝑚−1)
2𝑚+3 ;+∞)
-dacă 𝑚 (−∞;−3
2)  𝑥 ∈ (−∞; 3(4𝑚−1)
2𝑚+3 )
-dacă 𝑚=−3
2  𝑥∈𝐑

3)Pen tru ce valori ale lui m, inecuaț ia (m−1)𝑥2−(𝑚+1)𝑥+(𝑚+1)>0
este verificată pentru orice 𝑥∈𝐑 ?
Elevul va trebui să pună condiț ia ca discriminantul ecu ației =𝑏2−4𝑎𝑐=(𝑚+1)2−
4(𝑚2−1)≥0 și coeficientul lui 𝑥2,𝑎=𝑚−1 >0  𝑚∈(1;+∞)
Rezolvând inecuaț ia lui   3𝑚2−2𝑚−5 ≥0  𝑚∈ (−∞;1]∪[ 5
3;+∞)
Intersectând intervalele el va obț ine 𝑚∈ [ 5
3;+∞ )

3.2.4 Inecuaț ii logaritmice
Pentru rezolvarea inecuaț iilor logaritmice simple , un elev trebuie să știe monotonia
funcției logaritmice de bază 𝑎>0,𝑎≠1,𝑓:(0;+∞)→𝑹,𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥.
Această funcț ie este :
– strict crescatoare dacă 𝑎>1
– strict descrescă toare daca 0<𝑎<1
Două inecuaț ii logaritmice sunt echivalente dacă au aceleași mulțimi de soluț ii.
De asemenea , pentru ca un elev să rezolve corect o ecuație logaritmică, este necesar ca el
să retină urmatoarele scheme de rezolvare:
1) {𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥)>0
𝑎>1{𝑓(𝑥)>1
𝑎>1 2) {𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥)>0
0<𝑎<1{0<𝑓(𝑥)<1
0<𝑎<1

62 3) {𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥)<0
𝑎>1 {0<𝑓(𝑥)<1
𝑎>1 4) {𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥)<0
0<𝑎<1 {𝑓(𝑥)>1
0<𝑎<1
La fel ca în cazul inecuațiilor exponențiale, atunci când elevul întâlnește inecuaț ii mai
complicate de tip 𝑔(𝑥)≥0 (≤0), g funcție continuă, unde în membrul stâng există și
logaritmi ce au î n argument necunoscuta x, se recomand ă utilizarea urmatoarei tehnici de
calcul:
– elevul rezolvă ecuaț ia 𝑔(𝑥)=0
-realizează tabelul de s emn al funcției g,tinând seama de faptul că dacă funcția nu se
anulează pe un interval , atunci are pe acest interval semn constant. Pentru a vedea semnul
lui g pe un ast fel de interval se alege o valoare a lui 𝑥0 și se calculează 𝑔(𝑥0).Semnul lui
𝑔(𝑥0) se pastrează pe tot intervalul analizat.

Exemple:
Să se rezolve inecuaț iile logaritmice:
1) 𝑙𝑜𝑔2(3𝑥−1)>0
Elevul va pune condiția de existență : 3𝑥−1>0  𝑥>1
3
El va scrie inecuația echivalentă : 𝑙𝑜𝑔2(3𝑥−1)>𝑙𝑜𝑔21=0  3𝑥−1 >1  𝑥>2
3
𝑆=( 2
3; +∞ )
2) 2𝑙𝑜𝑔2(𝑥−3)−𝑙𝑜𝑔2(𝑥−2)>1
Vom aplica ambele metode de rezolvare:
Metoda 1.
Se pun condițiile de existență : 𝑥−3>0  𝑥>3
𝑥−2>0  𝑥>2
Se scr ie inecuația echivalentă astfel: 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥−3)2
𝑥−2> 𝑙𝑜𝑔22=1  (𝑥−3)2
𝑥−2>2  𝑥2−
8𝑥+13>0
𝑥∈ ( −∞;4−√3)∪(4+√3 ; +∞)
Dar 𝑥>3 deci 𝑆=( 4+√3;+∞)
Metoda a 2 a
Vom avea funcț ia: 𝑓∶(3;+∞)→𝐑 ; 𝑓(𝑥)=2𝑙𝑜𝑔2(𝑥−3)−𝑙𝑜𝑔2(𝑥−2)−1 >0
Ecuaț ia 𝑓(𝑥)=0 va avea soluț iile : 𝑥1=4−√3 ; 𝑥2=4+√3
Elevul va trebui să facă și tabelul de semn al funcț iei:

63 Tabel 9
Semnul funcției

x -∞ 4-√3 4+√3 +∞
f(x) ++ + + 0 – – – – – 0+ + + +
Cum 𝑓(𝑥)>0  𝑥∈(−∞;4−√3)∪(4+√3;+∞)
Dar cum domeniul este (3;+∞)  𝑆=(4+√3 ;+∞)
Greșeli tipice în rezolvarea inecuaț iilor:
– elevul nu stapâneste proprietațile funcției exponențiale ș i logaritmice ceea ce va duce la
aplicarea greșită a schemelor de rezolvare.
-elevul nu știe să facă tabelul de semn ,ceea ce va conduce la o rezolvare incorectă .

3.3 Inegalități remarcabile
3.3.1 Inegalitatea mediilor
a≥b≥0  𝑏≤√𝑎𝑏 ≤𝑎+𝑏
2 ≤𝑎
Demonstraț ie
a≥b≥0  √𝑎≥√𝑏 ≥0 √𝑎√𝑏≥(√𝑏)2 √𝑎𝑏≥𝑏
(√𝑎−√𝑏 )2≥0a−2√𝑎𝑏 +b≥0 a+b≥2√𝑎𝑏  𝑎+𝑏
2 ≥√𝑎𝑏
a≥b  𝑎
2≥𝑏
2  𝑎
2+ 𝑎
2≥𝑎
2+ 𝑏
2 𝑎≥𝑎+𝑏
2
Egalitatea are loc  𝑎=𝑏

64 Demonstrație geometrică (𝒃≠𝟎)

Fig.14 Desen demonstratie geometrica inegalitatea mediilor

Considerăm segmentul [𝐴𝐵] și 𝐷(𝐴𝐵) astfel încâ t :
𝐴𝐷=𝑎 și 𝐵𝐷=𝑏.Notăm cu C intersecț ia dintre semicercul
de diametru AB ș i perpendicular a în D pe AB.
În triunghiul dreptunghic ACB, m( ACB) =900, [𝐶𝑂] este
mediană iar [𝐶𝐷] înalțime.
CO= 1
2 AB=𝑎+𝑏
2,CD=√𝑎𝑏 ( teorema înălț imii). Din CD ≤ CO rezultă inegalitatea
mediilor,iar relația de egalitate având loc dacă 𝐷=𝑂 adica 𝑎=𝑏

Analog putem demonstra :

√𝒂𝟐+𝒃𝟐
𝟐 ≥𝒂+𝒃
𝟐 oricare ar fi 𝐚,𝐛𝟎 (media patratică și media aritmetică )
√𝒂𝒃 ≥𝟐
𝟏
𝒂+𝟏
𝒃 oricare ar fi 𝐚,𝐛𝟎 (media geometrica si media armonica)
În fiecare dintre acestea ,egalitatea are loc dacă 𝑎=𝑏
Avem șirul de inegalităț i :

65 √𝑎2+𝑏2
2 ≥𝑎+𝑏
2≥√𝑎𝑏 ≥ 2
1
𝑎 +1
𝑏 oricare ar fi 𝑎;𝑏≥0
unde recunoastem media patratic ă, media aritmetică, media geometrică, media armonică
Se pot generaliza inegalitațile mediilor ș i pentru 3 numere:
I) √𝒂𝟐+𝒃𝟐 +𝒄𝟐
𝟑 ≥𝒂+𝒃+𝒄
𝟑 oricare ar fi 𝒂;𝒃;𝒄≥𝟎
II) 𝒂+𝒃+𝒄
𝟑 ≥√𝒂𝒃𝒄𝟑 oricare ar fi 𝒂;𝒃;𝒄≥𝟎
III) √𝒂𝒃𝒄 𝟑 ≥𝟑
𝟏
𝒂+𝟏
𝒃+𝟏
𝒄 oricare ar fi 𝒂;𝒃;𝒄≥𝟎
Egalitatea av ând loc dacă și numai dacă a =𝑏=𝑐 .

Demonstraț ie:

Metoda folosită în demonstrații se numește reducere și constă în scrierea inegalității inițiale
în forme echivalente prin efectuare a de operaț ii simple asupra unei ine galități,până câ nd se
ajunge la o formă pentru care putem spune că este adevarată :

I)√𝑎2+𝑏2+𝑐2
3 ≥ 𝑎+𝑏+𝑐
3  𝑎2+𝑏2+𝑐2
3 ≥(𝑎+𝑏+𝑐)2
9  3(𝑎2+𝑏2+𝑐2)≥(𝑎+𝑏+
𝑐)22𝑎2+2𝑏2+2𝑐2≥2ab+2bc+2ac  𝑎2 −2𝑎𝑏+𝑏2−2𝑏𝑐+−2𝑐𝑎+𝑎2≥
0(𝑎−𝑏)2+(𝑏−𝑐)2+(𝑐−𝑎)2≥0, inegalitate evidentă,dar egalitatea avâ nd loc
 𝑎=𝑏=𝑐

II ) Pentru demonstrarea inegalității II) vom folosi tot reducerea:
-folosim de asem enea identitatile :
(*) 𝑥3+𝑦3+𝑧3−3𝑥𝑦𝑧=(𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥2+𝑦2+𝑧2−𝑥𝑦−𝑦𝑧−𝑧𝑥) și
**) 𝑥2+𝑦2+𝑧2≥𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥 oricare ar fi x,y,z R
Egalitatea se verifică uș or prin calcul, iar inegalitatea se demonstrează astfel :
 𝑥2+𝑦2+𝑧2≥xy+yz+zx 2𝑥2+2𝑦2+2𝑧2≥2xy+2yz+2zx𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2+
𝑦2−2𝑦𝑧+𝑧2+𝑧2−2𝑧𝑥+𝑥2 (𝑥−𝑦)2+(𝑦−𝑧)2+(𝑧−𝑥)2≥0,ceea ce este
evident.
Dacă (𝑥−𝑦)2+(𝑦−𝑧)2+(𝑧−𝑥)2=0  𝑥=𝑦=𝑧.

66 Vom avea 𝑥3+𝑦3+𝑧3−3𝑥𝑦𝑧=(x+y+z)(𝑥2+𝑦2+𝑧2−xy−yz−zx) 0  𝑥3+
𝑦3+𝑧33xyz, egalul avand loc 𝑥=𝑦=𝑧.
Notăm cu 𝑥3=𝑎 𝑥=√𝑎3
𝑦3=𝑏 𝑦=√𝑏3
𝑧3=𝑐 𝑧=√𝑐3
𝑥3+𝑦3+𝑧3≥3𝑥𝑦𝑧  𝑎+𝑏+𝑐
3 ≥√𝑎𝑏𝑐3 cu egalitate dacă 𝑎 =𝑏=𝑐 și avem
demonstrat (II)
Pentru a demonstra inegalitatea III) ne folosim de inegalitatea II) .
Vom avea: √𝑎𝑏𝑐 3 ≥3
1
𝑎+1
𝑏+1
𝑐 ≥ 3
1
𝑎+1
𝑏+1
𝑐 ≥√1
𝑎1
𝑏1
𝑐3 și recunoaștem inegalitatea II) aplicată
pentru
1
𝑎,1
𝑏,1
𝑐>0
Se face precizarea că și în inegalit atea III) ,egalul se atinge dacă 𝑎=𝑏=𝑐
În concluzie avem ordonarea mediilor ș i pentru 3 numere :
√𝑎2+𝑏2+𝑐2
33 ≥𝑎+𝑏+𝑐
3 ≥√𝑎𝑏𝑐3 3
1
𝑎+1
𝑏+1
𝑐
Se pot demonstra inegalitațile mediilor ș i pentru n numere reale 𝑎1,𝑎2,…….,𝑎𝑛 0
I) √𝒂𝟏𝟐+𝒂𝟐𝟐+⋯…….+𝒂𝒏𝟐
𝒏 ≥𝒂𝟏+𝒂𝟐+⋯……+𝒂𝒏
𝒏
II) 𝒂𝟏+𝒂𝟐+⋯…….+𝒂𝒏
𝒏≥ √𝒂𝟏𝒂𝟐……..𝒂𝒏𝒏
III) √𝒂𝟏𝒂𝟐……..𝒂𝒏𝒏≥ 𝒏
𝟏
𝒂𝟏+𝟏
𝒂𝟐+⋯….+𝟏
𝒂𝒏
În fiecare inegalitate egalul avâ nd loc  𝑎1=𝑎2=⋯….=𝑎𝑛
Avem deci inegalitaț ile :
√𝑎12+𝑎22+⋯…+𝑎𝑛2
𝑛 ≥𝑎1+𝑎2+⋯..+𝑎𝑛
𝑛 ≥√𝑎1𝑎2……..𝑎𝑛𝑛 ≥𝑛
1
𝑎1+1
𝑎2+⋯…..+1
𝑎𝑛
oricare ar fi 𝑎1,𝑎2,…….,𝑎𝑛>0

3.3.2 Aplicaț ii folosind inegalitatea mediilor

1) Demonstrați că oricare ar fi 𝑎,𝑏,𝑐>𝑜 au loc inegalitaț ile :

67 𝑎+𝑏+𝑐
3≥√𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎
3≥√𝑎𝑏𝑐3
Demonstraț ie

Se demonstrează prima inegalitate folosind reducerea :
𝑎+𝑏+𝑐
3 ≥√ 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎
3  (𝑎+𝑏+𝑐)3≥(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)𝑎2+𝑏2+𝑐2≥𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎
 se obține inegalitatea (**)
Pentru inegalitatea a doua vom ridica la pă trat  √ 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎
3 ≥√𝑎𝑏𝑐 3 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎
3 ≥
(√𝑎𝑏𝑐)32 
𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎
3 ≥√(𝑎𝑏)(𝑏𝑐)(𝑐𝑎)3 inegalitate adevărată tinâ nd cont de inegalitatea II) aplicată
numerelor ab,bc,ca
În ambele inegalități avem egalitate dacă 𝑎=𝑏=𝑐

2) Demonstrati că dacă 𝑎,𝑏,𝑐>0 atunci 𝑏𝑐
𝑎+𝑐𝑎
𝑏+𝑎𝑏
𝑐 ≥𝑎+𝑏+𝑐

Demonstraț ie
Folosim inegalitatea (**) vom avea:
𝑏𝑐
𝑎+𝑐𝑎
𝑏+𝑎𝑏
𝑐≥𝑎+𝑏+𝑐 𝑏2𝑐2+𝑐2𝑎2+𝑎2𝑏2≥𝑎𝑏𝑐(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎𝑏)2+(𝑏𝑐)2+
(𝑐𝑎)2≥(𝑎𝑏)(𝑏𝑐)+(𝑏𝑐)(𝑐𝑎)+(𝑐𝑎)(𝑎𝑏) inegalitate evidentă
Egalitate are loc dacă 𝑎𝑏=𝑏𝑐=𝑐𝑎  𝑎=𝑏=𝑐 .

3) Determinați valoarea minimă a expresiei :

𝐸(𝑥,𝑦)=𝑥4+𝑦4+2
𝑥2𝑦2 x,yR .Prec izați valorile lui x și y pentru care se realizează
acest minim.
(OLMR 2003,cls a VIII a)
Aplicăm de două ori inegalitatea II):
***) 𝐸(𝑥,𝑦)=𝑥4+𝑦4+2
𝑥2𝑦2 ≥ ≥2√𝑥4𝑦4+2
𝑥2𝑦2=2(𝑥2𝑦2+1
𝑥2𝑦2)≥
22√𝑥2𝑦21
𝑥2𝑦2 =4

68  valoarea minimă a lui 𝐸(𝑥,𝑦)=4
Verificăm dacă valoarea poate fi atinsă , adică dacă există (a,b) pentru care 𝐸(𝑎,𝑏)=4.
Folosim egalitatea mediilor ,dacă 𝑎,𝑏≥ 0 atunci 𝑎+𝑏
2 =√𝑎𝑏  𝑎=𝑏
Deci cele două inegalități din ( ***) trebuie să devină egalități ș i acest lucru se întâmplă
dacă :
x4=𝑦4𝑥=±𝑦 și 𝑥2𝑦2=1
𝑥2𝑦2(𝑥𝑦)4=1𝑥𝑦=±1 
(𝑥,𝑦)∈{( 1,1),(−1,1),(1,−1),(−1,−1)}  singurele posibilităț i de atingere a
minimului sunt 𝐸(1,1)=𝐸(−1,1)=𝐸(1,−1)=𝐸(−1,−1)=4
Există și o altă metodă care completează reducerea și ne ajută în rezolvarea inegalităț ilor.
Această metodă se numeș te spargere și se bazează pe proprietățile relaț iei de ordine “ ” pe
mulțimea numerelor reale.
Sunt importante și propoziț iile:
(𝑃1): Fie a,b,c,d R, astfel încâ t 𝑎≥𝑐 ș𝑖 𝑏≥𝑑 atunci 𝑎+𝑐≥𝑏+𝑑
(𝑃2): Fie 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑≥0 astfel încâ t 𝑎≥𝑐 𝑠𝑖 𝑏≥𝑑 atunci 𝑎𝑐≥𝑏𝑑
Atunci când vrem să demonstră m o inegalitate de forma 𝑎+𝑐≥𝑏+𝑑 unde 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑≥0
este suficient să demonstrăm că 𝑎≥𝑐 și 𝑏≥𝑑.
Egalitatea î n 𝑎+𝑐≥𝑏+𝑑 are loc dacă și numai dacă ambele inegalităț i 𝑎≥𝑐 și 𝑏≥𝑑
devin egalităț i.

Exemple
1) Fie x,y,z numere r eale strict po zitive. Să se arate că :
3𝑥2
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 ≥2𝑥−𝑦
𝑥

Utilizâ nd reducerea putem scrie
3𝑥2
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 ≥2𝑥−𝑦
𝑥  3𝑥3≥(2𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2) 𝑥3+𝑦3≥𝑥2𝑦+𝑥𝑦2  𝑥2(𝑥−
𝑦)−𝑦2(𝑥−𝑦)≥0(x-y)(𝑥2−𝑦2)≥0 (𝑥−𝑦)2(𝑥+𝑦)≥0 ceea ce este evident.
Dacă 𝑥=𝑦  egalitate.

69 2) 𝑥2
𝑦(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)+𝑦2
𝑧(𝑦2+𝑦𝑥+𝑧2)+𝑧2
𝑥(𝑧2+𝑧𝑥+𝑥2)≥𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥
3𝑥𝑦𝑧
Vom sparge inegalitatea de demonstrat:
𝑥2
𝑦(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)+𝑦2
𝑧(𝑦2+𝑦𝑥+𝑧2)+𝑧2
𝑥(𝑧2+𝑧𝑥+𝑥2)≥𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥
3𝑥𝑦𝑧 în trei inegalităț i .
Inegalitatatea 1 ) se poate scrie echivalent cu 𝑥2
𝑦(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)≥ 2𝑥−𝑦
3𝑥𝑦 oricare ar fi 𝑥,𝑦>0
Atunci vor avea loc inegalităț ile 𝑦2
𝑧(𝑦2+𝑦𝑧+𝑧2)≥ 2𝑦−𝑧
3𝑦𝑧; 𝑧2
𝑥(𝑧2+𝑧𝑥+𝑥2)≥ 2𝑧−𝑥
3𝑧𝑥  prin
sumarea ultimelor trei inegalități (în care a fost spartă inegalitatea „ mare” ) obț inem
𝑥2
𝑦(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)+ 𝑦2
𝑧(𝑦2+𝑦𝑧+𝑧2)+𝑧2
𝑥(𝑧2+𝑧𝑥+𝑥2) ≥ 2𝑥−𝑦
3𝑥𝑦+2𝑦−𝑧
3𝑦𝑧+ 2𝑧−𝑥
3𝑧𝑥=𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥
3𝑥𝑦𝑧

Comentariu
Reținem din rezolvarea primei cerințe o inegalitate folositoare î n rezolvarea de probleme
cu inegalităț i :

4) 𝑥3+𝑦3≥ 𝑥2𝑦+𝑥𝑦2 pentru orice 𝑥,𝑦≥0
Dacă 𝑥=𝑦 egalitate
Această inegalitate se poate general iza:
Pentru orice n 𝑁∗ are loc:
5) 𝑥𝑛+𝑦𝑛=𝑥𝑛−1𝑦+𝑥𝑦𝑛−1 oricare ar fi 𝑥,𝑦≥0
Egalit atea are loc dacă 𝑥=𝑦

Demonstraț ie:
𝑥𝑛+𝑦𝑛≥ 𝑥𝑛−1𝑦+𝑥𝑦𝑛−1  𝑥𝑛−1(𝑥−𝑦)−𝑦𝑛−1 (𝑥−𝑦)≥0  (𝑥−𝑦)(𝑥𝑛−1 −
𝑦𝑛−1)≥0 
(𝑥−𝑦)2(𝑥𝑛−2+𝑥𝑛−3𝑦+⋯+𝑥𝑦𝑛−3+𝑦𝑛−2)≥0, inegalitate evidentă ,cu egal pentru
𝑥=𝑦
În demonstrație s -a folosit identitatea ( 6) 𝑥𝑝 −𝑦𝑝=(𝑥−𝑦)(𝑥𝑝−1+𝑥𝑝−2𝑦+
𝑥𝑝−3𝑦2+⋯…+𝑥2𝑦𝑝−3+𝑥𝑦𝑝−2+𝑦𝑝−1) oricare ar fi x,y R, p𝐍∗

70 Această formulă poate fi utilă î n demonstrarea prin reducere a uno r inegalități dar și în alte
probleme de algebră pentru olimpiadă .
De exemplu putem întă ri folosirea metodelor de spargere ș i reducere prin rezolvarea
aplicaț iei date la OBMJ (Olimpiada Balcanică de Matematică pentru junior i):
Fie a,b,c numere reale pozitive. Demonstraț i inegalitatea:
𝑎3
𝑏2+𝑏3
𝑐2+𝑐3
𝑎2 ≥ 𝑎2
𝑏+𝑏2
𝑐+𝑐2
𝑎

Dem onstrați e
Vom î ncerca spargerea inegalității date în trei inegalităț i folosind in egalitatatea (4)
demonstrată anterior:
𝑥3+𝑦3≥𝑥2𝑦+𝑥𝑦2 oricare ar fi 𝑥,𝑦>0 .Împî rtind inegalitatea la 𝑦2și grupând
convenabil termenii  𝑥3
𝑦2≥ 𝑥2
𝑦+𝑥−𝑦  𝑎3
𝑏2≥𝑎2
𝑏+𝑎−𝑏
𝑏3
𝑐2 ≥𝑏2
𝑐+𝑏−𝑐
𝑐3
𝑎2≥ 𝑐2
𝑎+𝑐−𝑎
iar prin î nsumare dau ine galitatea ce trebuia demonstrată .

Exerc iții rezolvate cu ajutorul metodei spargere sau reducere:
a) Demonstrați că oricare ar fi numă rul natural nenul avem :
√6
2+√20
9+√42
13+⋯+√2𝑛(2𝑛+1)
4𝑛+1<𝑛
2
Soluț ie:
Termenul general este 𝑎𝑘 =√2𝑘(2𝑘+1)
4𝑘+1=√2𝑘(2𝑘+1)
2𝑘+(2𝑘+1) k∈{1,…..,𝑛}
Forma obtinută ne duce cu gândul la folosirea inegalităț ii : √𝑎𝑏< 𝑎+𝑏
2 𝑎,𝑏≥0 ,𝑎≠𝑏
 √𝑎𝑏
𝑎+𝑏 <1
2  √2𝑘(2𝑘+1)
4𝑘+1<1
2 𝑘∈{1,….,𝑛}

71 Dând lui k valorile 1,2…..,k obț inem :
√6
5<1
2;√20
9<1
2; √42
13<1
2;………;√2𝑛(2𝑛+1)
2𝑛+1<1
2
Prin sumarea acestor inegalități (în care a fost spartă inegalitatea inițială) vom obține cee a
ce trebuia demonstrat.

b) Să se demonstreze inegalitatea:
(𝑎2+𝑏2)(𝑥2+𝑦2)≥(𝑎𝑥+𝑏𝑦)2oricare ar fi 𝑎,𝑏,𝑥,𝑦𝑹 𝑎,𝑏≠0. În ce condiț ii are loc
egalitatea?

Solutie:
Se va folosi reducerea ,vom avea :
(𝑎2+𝑏2)(𝑥2+𝑦2)≥(𝑎𝑥+𝑏𝑦)2  𝑎2𝑥2+𝑎2𝑦2+𝑏2𝑥2+𝑏2𝑦2≥ 𝑎2𝑥2+2𝑎𝑏𝑥𝑦+
𝑏2𝑦2 𝑎2𝑦2−2𝑎𝑏𝑥𝑦+𝑏2𝑥2≥0(𝑎𝑦−𝑏𝑥)2≥0 inegalitate evidentă .
Vom avea egalitate d acă și numai dacă (𝑎𝑦−𝑏𝑥)2=0  𝑎𝑦=𝑏𝑥 𝑥
𝑎=𝑦
𝑏
Come ntarii:
Inegalitatea de mai sus poartă denumirea de inegalitatea Cauchy -Schwarz pe care o vom
nota cu (CS).

Inegalitatea (CS) se poate generaliza :
I) ( 𝑎2+𝑏2+𝑐2)(𝑥2+𝑦2+𝑧2)≥(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧)2 𝑎,𝑏,𝑐≠0
Avem egalitate dacă și numai dacă 𝑥
𝑎=𝑦
𝑏=𝑧
𝑐.
Demonstraț ie

Vom folosi reducerea:
( 𝑎2+𝑏2+𝑐2)(𝑥2+𝑦2+𝑧2)≥(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧)2  (𝑎2𝑥2+𝑎2𝑦2+𝑎2𝑧2+𝑏2𝑥2+
𝑏2𝑦2+𝑏2𝑧2+𝑐2𝑥2+𝑐2𝑦2+𝑐2𝑧2≥(𝑎2𝑥2+𝑏2𝑦2+𝑐2𝑧2+2𝑎𝑥𝑏𝑦+2𝑎𝑥𝑐𝑧+
2𝑏𝑦𝑐𝑧)(𝑎2𝑦2−2𝑎𝑏𝑥𝑦+𝑏2𝑥2)+(𝑏2𝑧2−2𝑏𝑐𝑦𝑧+𝑐2𝑦2)+(𝑐2𝑥2−2𝑐𝑎𝑧𝑥+
𝑎2𝑧2)≥0 (𝑎𝑦−𝑏𝑥)2+(𝑏𝑧−𝑐𝑦)2+(𝑐𝑥−𝑎𝑥)2≥0 inegalitate evidentă .
Avem egalitate dacă 𝑎𝑦=𝑏𝑥,𝑏𝑧=𝑐𝑦,𝑐𝑥=𝑎𝑧  𝑥
𝑎=𝑦
𝑏=𝑧
𝑐.
Dacă î n I) facem 𝑎=𝑏=𝑐=13( 𝑥2+𝑦2+𝑧2)≥(𝑥+𝑦+𝑧)2cu formele
echivalente

72 𝑥2+𝑦2+𝑧2≥𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥 și √𝑎2+𝑏2+𝑐2
3≥𝑎+𝑏+𝑐
3 care este chiar inegalitatea III)
Inegalitatea Cauchy -Schwarz se poate scrie ș i pentru n  4 adică:
(𝑎12+𝑎22+⋯+𝑎𝑛2)(𝑥12+𝑥22+⋯+𝑥𝑛2)≥ (𝑎1𝑥1+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛)2
De asemenea avem egalitate dacă 𝑥1
𝑎1=𝑥2
𝑎2…….=𝑥𝑛
𝑎𝑛

Exemple de aplicaț ii rezolvabile cu inegalitatea Cauchy -Schwarz:

1) Fie x,y,z R astfel încâ t 𝑥2+𝑦2+𝑧2=1. Demonstrați că :
−√3≤𝑥+𝑦+𝑧≤√3
Demonstraț ie
Se scrie inegalitatea Cauchy -Schwarz astfel:
(𝑥+𝑦+𝑧)2≤3(𝑥2+𝑦2+𝑧2) și conform condiț iei 𝑥2+𝑦2+𝑧2=1 vom avea
(𝑥+𝑦+𝑧)2≤3 −√3≤𝑥+𝑦+𝑧≤√3

2) Dacă 𝑎,𝑏,𝑐 >0 atunci 𝑎2
𝑏+𝑐+𝑏2
𝑐+𝑎+𝑐2
𝑎+𝑏≥𝑎+𝑏+𝑐
2
Demonstraț ie
Vom scrie 𝑎2
𝑏+𝑐+𝑏2
𝑐+𝑎+𝑐2
𝑎+𝑏≥𝑎+𝑏+𝑐
2  [(𝑏+𝑐)+(𝑐+𝑎)+(𝑎+𝑏)](𝑎2
𝑏+𝑐+𝑏2
𝑐+𝑎+
𝑐2
𝑎+𝑏)≥[(𝑏+𝑐)+(𝑐+𝑎)+(𝑎+𝑏)]𝑎+𝑏+𝑐
2
Se poate observa că membrul stâ ng al ine galității se regăsește î n inegalitatea Cauchy –
Schwarz.
Vom avea:
[(√𝑏+𝑐 )2+(√𝑐+𝑎 )2+(√𝑎+𝑏 )2 ] [(𝑎
√𝑏+𝑐 )2+(𝑏
√𝑐+𝑎)2+(𝑐
√𝑎+𝑏)2]
≥ (√𝑏+𝑐 𝑎
√𝑏+𝑐+√𝑐+𝑎𝑏
√𝑐+𝑎+√𝑎+𝑏 𝑐
√𝑎+𝑏)2
Vom mai arăta că :
(√𝑏+𝑐 𝑎
√𝑏+𝑐+√𝑐+𝑎𝑏
√𝑐+𝑎+√𝑎+𝑏 𝑐
√𝑎+𝑏)2≥ [(𝑏+𝑐)+(𝑐+𝑎)+(𝑎+𝑏)] 𝑎+𝑏+𝑐
2
 (𝑎+𝑏+𝑐)2≥(𝑎+𝑏+𝑐)2
Egalitatea se atinge dac ă și numai dacă :
𝑎
√𝑏+𝑐
√𝑏+𝑐=𝑏
√𝑐+𝑎
√𝑐+𝑎=𝑐
√𝑎+𝑏
√𝑎+𝑏 𝑎
𝑏+𝑐=𝑏
𝑐+𝑎=𝑐
𝑎+𝑏 𝑎=𝑏=𝑐

73

CAPITOLUL 4
CONSIDERENTE METODICE

Predarea reprezintă una din condițiile esențiale ale învăță rii. Pentru ca d emersul comun
al profesorului și elevilor să fie eficient , est e necesară adop tarea unor strategii de
acțiune. Strategiile de predare urmă resc folos irea celor mai adecvate metode și procedee de
predare, îmbinate cu mijloacele de învățământ moderne. Profesorul urmărește î ndeplinirea
obiectivelor prefigurându -și traseul metod ic cel mai eficient care urmează să fie parcurs,
pentru a preveni erorile, riscurile și evenimentele neprevă zute. Conceptul central al
proiectă rii didactice este demersul didac tic personalizat, care reprezintă capacitatea
profesorului de a lua decizii as upra modalităților pe care le consideră optime în creșterea

74 calității procesului de învățământ, cât și a asigura elevilor un parcurs școlar individualizat.
Programa școlară este un elemet principal al proiectării didactice dar ș i un document
reglator care s tabileste obiectivele care trebuie să fie atinse prin intermediul activităț ii
didactice . Proiectarea unui demers didactic presupune respectarea unor etape cum ar fi:
-studiul programei ș colare ;
– planificarea calendaristică ;
-proiectarea unităților de înv ățare;
-proiectarea activității didactice( a lecț iei) .
Pentru o lectură personalizată a programei școlare profesorul va trebui să creeze
întotdeauna o punte de legătură între competențe generale – competențe specifice –
conținuturi și activități de învaț are. Planificarea calendaristică este documentul
profesorului care se realizează la început de an școlar, în baza programei școlare î n care
sunt indicate competențele speci fice, conț inuturile cu alocarea de timp considerată optimă
de catre cadrul didactic pe parcursul unui an ș colar sau semestru. De asemenea est e un
instrument necesar și util activității didactice deoarece of eră o imagi ne clară asupra
modu lui de realizare în timp a competențelor specifice cât și funcțională, fiind destinată
uzului didactic și instrument de autocontrol.
În elaborarea planifică rilor se recomandă parcurgerea urmatoarelor etape:
– realiza rea asocier ilor dintre competenț e specific e și conț inuturi;
– împărțirea conținutului în unităti de învăț are;
– stabilirea succesiuni i de parcurgere a unităților de învăț are;
– alocarea timpului cores punzător fiecarei unitați de învătare, î n co ncordanță cu
competențe le specifice și conț inuturile vizate.

4.1 Proiectarea unei unități de învăț are

O unitate de învățare reprezintă o structură didactică deschisă și flexibilă ce are
cararacteristicile:
– deter mină formarea la elevi a unui comportament specific, genera t prin integrarea unor
competenț e specific;
-este unitară din punct de vedere tematic;
-se desfă soară sistematic și continuu pe o perioadă de timp ;
-se finalizeaza prin evaluare .

75 Atunci câ nd profesorul proiectează o unitate de învățare , va trebui să identifice elementele
necesare demersului didactic, adică să parcu rgă urmatoarele etape:
-identificarea competenț elor;
-alegerea conț inuturilor;
-analiza resurselor sau a strategiilor didactice: metode de pre dare -învatare,mijloace
didactice, locul de des fasurare a activităț ii didactice,forme de organizare,t imp.
-determinarea activităților de învaț are;
-stabil irea instrumentelor de evaluare.

4.2 Metode de î nvățare
Învațarea centrată pe elev reprezintă o abordare care pre supune un stil de învațare
eficient și integrarea programelor de învățare în funcție de ritmul propriu de învă tare al
elevului. Elevul trebuie să fie implicat ș i responsbil pen tru progresele pe care le face î n cee a
ce priveste propria lui educaț ie. În abordarea cent rată pe elev, succesul la clasă depinde de
competențele cadrului didactic de a crea oportunitățile optime de învățare pentru fiecare
elev. Astfel, în funcție de context, profesorul acționează mereu, dar adecvat și adaptat
nevoilor grupului.
Putem enumera avantaje ale predă rii centrate pe elev:
– creșterea motivației elevilor , deoarece aceștia sunt conștienți că influențează procesul de
învățare;
-învățarea capătă sen s, doarece a învăța înseamnă a înț elege;
– aceste metode pot fi adaptate în funcție de po tentialul fiecărui elev, de capacitățile diferite
de învățare sau de contextele de învăț are specific.
Cu ajutorul metodelor de învățare centrate pe elev lecț iile devin mai interesant e și sprijină
elevii în înțelegerea conț inuturilor pentru a le aplica în viata reală .
Printre metodele care activeaz ă predarea -învățarea sunt și cele prin care elevii lucreaz ă
productiv unii cu al ții, își dezvolt ă abilit ăți de colaborare și ajutor reciproc. Ele pot avea un
impact extraordinar asupra elevilor datorit ă denumirilor, caracterului ludic și ofer ă
alternative de învățare cu ,,priz ă” la elevi.
În vederea dezvolt ării gândirii critice la elevi, trebu ie să utiliz ăm, cu prec ădere unele
strategii activ -participative, creative. Acestea nu trebu ie rupte de cele trad iționale, ele
marc ând un nivel superior în spirala moderniz ării strategiilor didactice.

76
4.2.1 Metode moderne de învățare

Dintre metodele moderne specifice învățării active care pot fi aplicate cu succes și la
orele de matematică fac parte: brainstormingul, metoda mozaicului, turul galeriei,
ciorchinele .

Metoda Brainstorming ( asaltul de idei)

Brainstormingul este o metodă activ participativă care ajută la crearea unor idei ș i
concepte.
Pentru ca brainstormingul să fie eficient trebuiă sa nu existe critici asupra ideilor care vin
din partea elevilor, exprimarea să fie liberă fară a avea teama de a fi respinși sau criticaț i.
Se poate expune u n concept, o idee sau o problemă și fiecare elev își spune propriile
idei,incluzâ nd chiar idei comice sau inaplicabile.

Etapele unui brainstorming sunt:
1) d eschiderea sesiunii de brainstorming unde se v a prezenta scopul acesteia dar și
tehnicile ș i regulile utilizate;
2) a locarea a 5 -10 minute î n care grupul de elevi va intra î n atmosfera
brainstormingului,vor propune idei , vor discuta des pre ele apoi se va trece la altă etapă ;
3) u rmează partea creativă care are alocat 25 -30 minute , unde î n timpul derularii acesteia
se recomandă ca profesorul să amintească timpul care a trecut și câ t a mai ramas.
Profesorul trebuie să stimuleze elevi i să spună parerile referitoare la tema dezbătută .
5) la finalul părț ii creative coordonatorul (profeso rul) brainstormingului clarifică ideile
notate și puse în discuție, verificâ nd modul de întelegere al acestora dar și eliminarea
sugestiilor prea î ndrazne țe sau ca re nu sunt pertinente. Se face ș i o evalua re a sesiunii de
brainstroming și a modului î n care fiecare elev a partici pat. Pentru evaluare se pot lua î n
considerare: aptitudinile gru pului, repartiț ia timpului,punctele care au fost atinse;
6) la final, cei care au paticipa t la sesiunea de brainstorming își vor expune ideile ș i vor
face aprecieri și elevii vor stabili singuri care sunt ideile care s -au pliat pe conceptul
propus;

77 Brains tromingul functionează dupa ideea : generarea calită tii prin cantitat e și își propune să
elimine neajunsurile generat e de autocritică .
Avantajele metodei :
-se obțin rapid și usor idei noi si soluț ii ale problemelor;
-metoda are o aplicabilitate largă, aproape î n toate domeniile;
-dezvoltă la elevi creativitatea,spontaneitate a, abilitatea de lucru în echipă și încrederea î n
sine .
Limitele metodei:
– oferă doar soluții posibile ale problemei sau exercitiului nu și rezolvarea completă ;
– pentru unii par ticipanț i metoda poate fi obositoare;
-metoda depinde î n mare parte de cal itațile moderator ului( profesorului) de a anima și
dirija discuția pentru obț inerea rezultatului dorit;

Aplicarea metodei brainstorming la rez olvarea unei probleme de algebră la clasa a XI a
în care se aplică metoda Cramer.
Etape:
1)Se va alege sarcina de lucru . Se va scrie problema pe tablă .
Se consideră sistemul {𝑥+𝑚𝑦+𝑚𝑧=1
𝑚𝑥+2𝑦+𝑚𝑧=𝑚
2𝑥−4𝑦−𝑧=2
a) Să se arate că pentru oricare m R sistemul este de tip Cramer ;
b) Să se rezolve sistemul ;
2) Se v a solicita elevilor exprimarea î ntr-un mod câ t mai clar a tuturor ideilor de rezolvare
a problemei. Nu se vor face referiri critice.
Profesorul le va cere elevilor să propună strategii de rezolvare. Pot aparea sugestii de
calcul al determinatului matricei asociate sistemului. Elevii vor fi l ăsați să propună orice
metodă le trece prin cap.

78 3) Se vor scrie pe tablă toate ideile elevilor referitoare la rezolvarea problemei. Se va
anunta o pauză ( 15 minute ) pentru aranjarea ideilor.
Profesorul va nota to ate propunerile elevilor. La sfârș itul orei, elevii vor nota aceste idei.
4) Se vor relua ideile emise ș i se vor grupa pe categorii, simboluri, cuvinte cheie.
Pentru problema an alizată ,cuvintele cheie ar putea fi: sistemul este compatibil determinat ,
modul de calcul al determinanț ilor ∆𝑥,∆𝑦,∆𝑧
5) Analiza critică, evaluarea, argumentarea ș i contraargumentarea ideilor emise anterior.
Se vor selecta ideile cele mai apropiate de rezolvarea corectă .
Se pun întrebări de tipul: cân d un sistem este compatibil determinat? Care sunt formulele
de aflare a lui x,y si z.
6) Se vor afișa ideile rezultate î ntr-un mod cat mai variat .
În urma discuț iilor avute cu elevii va rezul ta strategia de rezolvare a problemei.
Strategia poate fi sintetizată sub forma:
– se calculează determinatul matricei asoc iate sistemului și se observă că este diferit de 0
-se calculează ∆𝑥,∆𝑦,∆𝑧 și se află x,y si z.

Mozaicul

Mozaicul este metoda cunoscută ș i sub numele de metoda „ grupurilor interdependente” –
este o strategie bazată pe învățarea în echipă .
Fiecare elev v a avea o sarcină de lucru, unde la final va trebui să devină expert. De
asemenea el va trebui să transmită informațiile as imilate și celorlaț i colegi.
Când profesorul folosește această metodă , rolul lui se diminuează, el intervenind doar la
începutul lecției unde împarte elevii în grupuri de lucru și trasează sarcinile apoi la sfârșitul
activităț ii unde va prezenta concluzii le.
Etapele metodei:
1) Pregă tirea materialului de studiu
– profesorul stabilește o temă de lucru pe care o împarte î n cateva sub -teme;
-realizează fiș a expert unde se vor adauga sub -temele propuse , apoi va fi oferită fiecarui
grup;
2) Organizarea clasei în echipe de învăț are de cate 4 -5 elevi;

79 -fiecare elev pri mește o literă (A,B,C, D) și va avea ca sarcină să studieze sub -tema
corespunzatoare literei sale;
– el va trebui să devină expert în problema dată.
În cadrul acestei eta pe va avea loc faza independentă, unde fiecare elev studiază sub -tema
lui,citește textul corespunzător. Faza independentă poate avea loc și acasă sub forma unei
teme.
3) Constituirea grupului de experț i
După parcurgerea faz ei de studiu independent , experții cu aceeasi literă se reunesc,
formând grupe de experț i pentru dezbaterea problemei.
Faza discuțiilor din grupurile de experț i:
– elevii vor prezenta un raport individual asupra temei studiate indep endent , apoi vor avea
loc discuții asupra datelor ș i a materialelor avute la dispoziție adăugând elemente noi.
Se stabileș te modalidat ea de transmitere a noilor cunoștinte memebrilor din echipa inițială .
Fiecare elev va fi membru într -un grup de experți , dar va face parte și din echpa de
învăț are.
Mesele vor fi aranjate în sala de clasă astfel încât elevii să nu se deranjeze î ntre ei.
Grupul de experți trebuie să se instruiască cât mai bine, dar avâ nd și responsabilitatea
propriei învățări cât și predarea și învăț area celorla lți colegi din echipa inițială .
4) Reîntoarcerea în ech ipa inițială de învăț are.
Raportul de echipă: experț ii vor transmite cunoștințele asimilate, reținând și cunoștinț ele
transmise de colegii lor, exper ți în alte sub -teme. Cunoștinț ele se pot tran smiste cu ajutorul
mijloacelor audio -vizuale, diverse materiale.
Membrii vor fi stimulați să pună întrebări, să noteze și să -și realizeze propriul plan.
5) Evaluarea
Grupele vor prezenta rezultatele î ntregii clase. Elevii sunt gata să demonstreze ceea ce au
învăț at.
Profesorul va pune întrebări sau va da o fisă de evaluare. Se poate folosi și evaluarea orală ,
unde fiecarui elev i se va pune o î ntrebare.

Avantajele metodei:
–metoda ajută la dezvoltarea capacităț ii de sinteză,de analiză ș i argumentare;
-elevii își dezvoltă capacitățile de comunicare ș i exprimare a propriilor idei.
– asigură implicarea ș i parti ciparea tuturor elevilor la lecț ie;
– elevii își dezvoltă capacități de cooperare î n cadrul grupului;

80 Limitele metodei:
-prin s chimbarea elevilor de la o grupă la alta se crează agitaț ie;
-unii ele vi rămân pasivi ș i se folosesc de munca altora;

Aplicarea metodei mozaic la predarea lecției: Ecuaț ia de gradul al 2 lea la clasa a IX a

Etape:
1) Împărț irea clasei a IX a în 4 grupuri eterogen e de 4 elevi, fiecare primind câte o fișa de
învășare notată cu litera ( A;B;C;D). Fișele vor cuprinde părț i dintr -un material care va fi
studiat și discutat de că tre elevi.
Se propune lecția „ Ecuaț ia de gradul al II lea ” la clasa a IX a
2) Se va pre zenta succint subiectul tratat ș i se va exp lica sarcinile de lucru precum și modul
de desfășurare al activităț ii.
Subiectul analizat va fi „ Ecuatia de gradul al II lea ”.
3) Elevii vor fi regrupați în funcție de litera fișei primite î n grupuri le de exp erți, adică toți
elevii care au primit fiș a A vor forma un grup, cei cu B alt grup s.a.m.d.
4) Va urma învațarea prin cooperare a secțiunii care a revenit fiecărui grup de experț i.
Elevi i vor discuta, vor înc earca să înteleagă cat mai bine , hotără sc modul de predar e a
celor studiate și înț elese celorlati colegi din grupul iniț ial.
Elevii fiecarui grup vor decid e modul de predare. Ei se pot folosi de exemple numerice,
simboluri matematice.
5) Elevii vor reveni în grupul inițial și vor încerca să predea secțiunea pregatită celorla lți
membrii. Atunci când vor fi ne clarități, se pun întrebări expertului.
Dacă neclarităț ile vor persista, se pot pune întrebări ș i celorla lți membr ii din grupul expert
pentru secțiunea respectivă .
Prin cele patru fișe expert se vor preda noț iunile de : form a unei ecuaț ii de gradul al II lea,
rezolvarea ecuaț iei, rezolvare a cazurilor particulare precum și descompunerea în factori
folosind rădă cinile.
Fiecare elev va dev eni responsabil pentru propria învîțare cât și pentru transmiterea corectă
a informaț iilor. Profes orul va monitoriza acea stă activitate pentru ca achizițiile să fie corect
transmise.
La final , împreună cu toți participanții se va prezenta oral î ntreg materialul.
Câteva exerciț i bine alese de catre profesor va arăta nivelul de înț elegere al temei.
De exemplu:

81 1) Să se rez olve î n R ecuațiile :
a) 2𝑥2−5𝑥=0
b) 6𝑥2−𝑥−1=0

2)Să se formeze ecuaț ia de gradul al II lea ale cărei soluț ii sunt : 𝑥1=2 ; 𝑥2=−3

Fișe expert.
Fișa A : Forma generală a ecuaț iei de gradul al II lea este : 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 , 𝑎≠0 ,
a,b,cR
Num erele a,b,c se numesc coeficienții euației iar x este necunoscuta ecuaț iei.
Exemplu: 𝑥2+6𝑥+5=0 , xR

Fișa B : Rezolvarea ecuaț iei de gradul al II lea. Etape specifice rezolvă rii:
1) Identificarea coeficienț ilor (a,b,c)
2) Calcularea lui ∆=𝑏2−4𝑎𝑐
3)Natura soluțiilor ecuației depind de valo area lui ∆ :
– dacă ∆<0 atunci ecuația nu are soluț ii reale;
-dacă ∆=0 atunci ecuația are 2 soluț ii egale 𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎
-dacă ∆>0 atunci ecuaț ia are soluț iile 𝑥1;2=−𝑏±√∆
2𝑎

Fișa C :
Rezolvarea cazurilor particulare (forme incomplete)
1.) 𝑏=0
𝑥2−36=0  𝑥2=36  𝑥1;2=±6
2.) 𝑐=0
𝑥2+8𝑥=0  𝑥(𝑥+8)=0  𝑥1=0 si 𝑥+8=0  𝑥2=−8

Fișa D:

82 Orice expresie de forma 𝐸(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 cu ∆≥0 se poate descompune î n factori
astfel
𝐸(𝑥)=𝑎(𝑋−𝑥1)(𝑋−𝑥2)
Exemplu:
Descompuneți î n factori 𝑥2+7𝑥+12
𝑎=1; 𝑏=7 ; 𝑐=12
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=49−48=1
∆>0 ecuația are doua soluț ii diferite
𝑥1;2=−𝑏±√∆
2𝑎  𝑥1=−3 ; 𝑥2=−4
Deci 𝑥2+7𝑥+14=(𝑥+3)(𝑥+4)

Ciorchinele

Este o metodă activ -participativă care presupune găsirea unor conexiuni logice între idei,
putând fi folosită la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștinț elor a nterioare , cât
și în lecțiile de sinteză , de recapitulare și sistematizare a cunoștinț elor.
Ciorc hinele reprezintă o tehnică de predare și ev aluare care încurajează elevii să
gândească liber ș i deschis.
Etapele metodei ciorchinelui:
1) Profesorul va scr ie un cuvânt sau o temă de cercetare î n mijlocul tablei sau a foii de
hârtie.
2) Elevii vor trebui să–și noteze toate ideile sau sintagmele c are au legatură cu tema
propusă , în jurul cuvântului din centru trîgându -se linii între acestea și cel iniț ial.
3) Se trag linii î ntre toate cuvintele ce par a fi conectate
4) Atunci când se epuizează ideile sau t impul activitatea se va opri.

Avantajele metodei:
-metoda fixează și structurează ideile;
-ajută la î ntelegerea ideilor;
-metoda poate fi aplicată atâ t individual ( se poate aplica și la evaluare) dar și la nivelul
întregii clase pentru consolidarea și sistematizarea cunoștinț elor.
Limitele metodei:

83 – elevii pot enunț a unele idei nerelevante pentru tema propusă ;
-necesitatea unui timp î ndelungat pentru aplicabilitate;
-implicarea inegală a elevilor în cadrul activităț ilor;

Exemplu metoda ciorchinelui aplicată în lecția de recapitulare : Ecuaț ia de gradul I la
clasa a VIII a

Ecuația de gradul I
cu o necunoscută 5−𝑥=0 1
3𝑥−1
5=1
(𝑥−2)(𝑥−5)=0 ∣𝑥−3∣=1

84

Exemplu metoda ciorch inelui aplicată în lecția: Sisteme de ecuaț ii- recapitulare pentru
bacalaureat cls a XII a

x 3
√3 𝑥
2=2𝑥−1
3
Sisteme de ecuații
Sisteme liniare de 2
ecuații cu 2
necunoscute Sisteme
simetrice Formate dintr -o
ecuație de gr I si
una de gr II

85

Turul galeriei

Meto da turul galeriei este o metodă inter activă de învățare unde elevii colaborează î ntre ei
și sunt puși în ipostaza de a găsi soluț iile unei probleme.
În cadrul acestei metode produsele realizate de către elevi se evaluează interactiv și
formativ.
Etapele metodei sunt următoarele :
1) Se va împărti clasa î n gru puri de 3 sau 4 elevi care vor încerca să rezolve o problemă .
2) Îercă rile de rezolvare ale grupului vo r fi trecute sub forma de schemă , diagrame,
inventor de idei notate pe o ha rtie (poster)
3) Posterele vor fi expuse pe pereț ii clasei, care va deveni o galerie.
4) La semnalul profesorului, grupuri le vor merge pe râ nd la fie care poster pentru a vedea
soluț iile colegilor. Elevii vor nota pe pos terul analizat diferite observaț ii sau comentarii. Metoda
reducerii

re Metoda
substitutiei Sisteme de 3
ec. liniare cu
3 nec.
Incompatibile Compatibile
Metoda
matriceala Metoda
Cramer Metoda
Gauss

86 5)După ce se va î ncheia turul galeri ei fiecare echipă îș i va exa mina propriile realizări
comparativ cu ale celorlalți ș i vor discuta comentariile notat e de colegi pe propriul poster.

Avantajele metodei:
– elevii își dezvoltă gândirea critică ;
-elevii își dezvoltă competențe de relaționare,comunicare, învățare și emoț ionale;
-elevii îsi formează și dezvoltă competențe de evaluare ș i autoevaluare;
Limitele metodei:
-există tendința din partea unor elevi să devină lideri , ceea ce va duce la dominarea
grupului;
– metoda poate genera o gâ ndire de grup;
– unii el evi pot fi marginalizați sau autoizolați datorită faptului că au alte idei;
– implicarea profesorului este minimă ;

Aplicarea metodei tur ul galeri ei la consolidarea lecț iei :
Inecuaț ii de forma +𝒃≥𝟎 (>;≤;< ) , x, a, b R , a≠0 la clasa a VIII a

În aplicarea met odei profesorul va respecta urmă toarele etape :
1) Va form a grupuri de 4 elevi , unde aceștia vor încerca să rezolve de exemplu
următoarele aplicaț ii:
a) Determină toate nu merele naturale care sunt soluții ale inecuaț iei 2𝑥+3<10 ;
b) Rezolvă inecuaț iile : 2𝑥≤4 , xR
2𝑥+1
−3 ≥0 , xR
𝑥
3−0,(6)>0
c) Determină numerele reale x pentru care √3𝑥+2 are definite valoarea.
2) Grupurile de elevi v or scrie încercările de rezolvare sub formă de scheme, diagrame pe
un poster.

87 3) Posterele vor fi expuse pe pereții clasei , la fel ca tablourile dintr -o galerie de artă.
4) La semnalul profes orului grupurile vor merge pe rând pentru a vedea soluț iile
colegilor.Se vor nota pe p oster observaț ii sau alte metode de rezolvare.
5) După î ncheierea t urului galeriei , fiecare echipă îsi examinează propriile realizări și
discută comentariile notate de celelalte grupuri.

4.2.2 Metode tradiționale de învaț are:
1) Expunerea didactică
Este o metodă didactică care constă î n prezentare a de catre profesor a unor cunoștințe noi,
pe cale orală, î n structuri bine definite,ceea ce garantează o eficiență sporită ,prin
transmit erea unui volum mare de informații î ntr –o unitate de timp determinată .
Este o metodă tradițională ,expozitivă care îmbracă mai multe variante:
– povestirea – este o narațiune si mplă, într -un limbaj expresiv,folosită de obicei la clasele
mici;
-explicația – presupune o dezvă luire a adev ărului pe baza unei argumentaț ii deductive;
-prelegerea școlară – constă în expunerea de că tre profeso r a unui volum mai mare de
cunoștințe,bine orga nizate și sistematizate,presupunâ nd o mai mare maturitate receptivă a
elevilor.
Metoda expunerii didactice co nstituie o cale simplă , directă și rapidă de transmitere a unor
cunoștinț e. Ea este o modalitate functională de predare, elevii putând sesiza direct , în
gândirea profesor ului, un model de discriminare și de operare t eoretică .

Avantajele metodei
-elevii pot asculta ex punerea profesorului fara a fi întrerupti,ceea ce îi ajută să urmărească
firul prezentă rii .
– elevul îs i poate forma păreri pe baza celor expuse, având o viziune de ansamb lu;
-în timpul expunerii ,la unele întrebă ri raspunsul apare de la sine;
Limitele metodei
– atunci când expunerea este lungă , elevul se poate plictisi pierzând firul prezentă rii;
– elevul nefiind implicat activ, atentia poate să -i fie distrasă de alte preocupă ri;

2) Exerciț iul didactic

88 Este o metodă bazată pe modalita tea de efectuare a unor operații ș i acțiuni mintale ,în chip
conștient și repetat, în vederea achiziționării sau consolidării unor cu noștințe sau abilități.
Pe lângă formarea și consolidarea unor depr inderi exercitiul poate realiza ș i alte sarcini:
adâncirea întelegerii noțiunilor,regulilor,principiilor și teoriilor învățate,consolidarea
cunoștințelor și deprinderil or însuș ite,dezvol tarea operațiilor mintale, prevenirea uitării ș i
confuziei.
Putem face și o clasificare a exercițiilor în funcț ie de criteriile:
– funcțiile îndeplinite: introductive,de bază ,de consolidare,operatorii, structural;
-după numărul de partici panți la exerciț iu:individuale,de echipă,col ective;
-după gradul de intervenț ie al cadrului didactic: dirijate,semidirijate.autodirijate,combinate ;
-după obiectele de î nvatamant:gr amaticale,literare, matematice,sportive,artisitce.

Avantajele metodei
– asigură consolidarea cunoștințelor ;
– elevul lucrează independent ;
-activează simțul critic și autocritic cee a ce înseamnă că elevul își va aprecia rezultatele ș i
metodele de lucru.

Limitele metodei
-eficacitatea exercițiilor este condiționată de atitu dinea co nștientă și de interesul pe care îl
manifestă fată de activitatea pe care o exersează ;
-în timpul rezolvării de că tre elevi a exercițiilor este posibil să apară plictiseală și o
oboseală ;
-de multe ori este necesar o aplicare diferențiată a exercițiilor î n funcție de particularitățile
capacităților de învăț are.

Metoda lucrului cu manualul.
Este o metodă didactică în care învățarea se realizează cu ajutorul manualului ș colar sau
alte surse similare. Putem afirma fa ptul că prin această metodă elevul dobândește fondul
aperceptiv necesar înțelegerii unui text, precum ș i deprinderea de a utiliza cartea .

89 Pentru cadrul didactic manualul este un instrument de lucru orientativ, un ghid în
proiectarea și realizarea activităților didactice.
Pentru ele vi manualul este un instrument de informare și de lucru . Cu ajutorul profesorului
elevii învața cum să utilizeze manualul în cadrul lecțiilor, cum să alcătuiască rezumate,
conspecte sau fiș e.
Manualul scolar îndeplinește 3 funcț ii:
-informare;
-structurar e și organizare a învăță rii;
-ghidare a învăță rii;
Lucrul cu manualul constă î n:
1) studierea sistematică a unui text: orientarea î n text;anal iza celor citite, memorarea
conținutului sau extragerea ideilor principale.
2) memorarea corespunză toare.

Avantajele metodei
-ajută la îmbinarea notiț elor cu studiul pe text;
– elevii pot lectura ș i ana liza diferite fragmente din lecție, pe care nu au reusit să le
înteleagă în clasă ;
– ajută la o informare amănunțită asupra diferitelor cap itole pe care elevul le studiază .
– ajută la învățarea efectuării de fișe de lucru, aplicaț ii matematice
Limite ale metodei
– nu întotdeauna un manual es te bine structurat sau usor de înțeles din perspectiva elevilor
fără deprinderi matematice;
– nu oferă o gamă variată de exerciții și probleme necesare rezolvării în clasă sau ca temă
pentru acasa .

Metoda demonstrației
Este o metodă care constă î n prezentarea de o biecte,fenomene care vor usura înț elegerea
altor feno mene mai complexe. A demonstra înseamna a ară ta., a prezenta obiecte, procese ,
acțiuni pentru o înțelegere mai bună a elevilor a u nor legi și proprietăți care sunt elemente
de bază ale cunoaș terii.La baza demonst rației se află un suport material(natural, figurativ ,
simbolic) de la car e se pleacă și se construiesc reprezentări,constatări și interpretă ri.

90 Există diverse tipuri de demo nstrație, depinzâ nd de materialul avut la dispoziț ie:
– pe viu: exp erimente de laborator,demonstraț ia unor comportamente;
– figurative: reprezentă ri grafic e;
– cu ajutorul desenului;
– cu ajutorul imaginilor audio -vizuale;
– prin exemple;

Avantajele metodei
– asigură o bază perceptivă ,de formare a deprinderilor specifice;
-se poate folosi în toate momentele lecției sau în predare,fixare, î n aplicare ,verificare
-stimulează observația și reduce verbalismul î n instruire;
Limitele metodei
-efectele depind de calitatea mijloacelor folosite;
-participarea in dependent a elevilor este redusă, datorită demers ului pedagogic dirijat;

5.Proiecte didactice

PROIECT DIDACTIC

Unitatea de învațamâ nt : Scoala Gimnaziala,Comuna Vadu S ăpat
Clasa : a VIII a

91 Profesor : Petre Bogdan
Disciplina: Matematică
Unitatea de învatare : Ecuații.Inecuații. Sisteme de ecuaț ii
Titlul lecției: Ecuaț ia de gradul al II – lea
Tipul lecț iei: dobâ ndire de noi cuno ștințe
Durata: 50 min
I. COMPETENȚE SPECIFICE:
CS 1. Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a numerelor reale
și a formulelor de calcul prescurtat .
CS 2. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea de
algoritmi pentru optimizarea calculului cu numere reale .
CS 3. Determinarea soluțiilor unor ecuații, i necuații sau sisteme de ecuații .

II . OBIECTIVE OPERAȚ IONALE:
– să recunoască formele unei ecuaț ii de gradul al II – lea complete ș i incomplete;
-să reproducă și să aplic e formula discriminantului ecuaț iei de gradul al II – lea;
-să afle soluț iile reale ale ecuaț iei de gradul al II -lea

III . STRATEGIA DIDACTICĂ
Metode s i procedee: conversația euristică, explicația, problematizarea, învățarea prin
descoperire, observaț ia, algoritmizarea.
Resurse:
– materiale: – manual matematică cls a VIII a
– fisa de lucru
– caiete
– creta albă
-umane: -clasa omogenă
– activităț i frontale, individuale

Forme de organizare : frontal ă si individuală
IV. B ibliografie : – programa scolară de matem atică cls a VIII a
-manual matematică cls a VIII a ed. Teora
-culegere Mate 2000

92 -ghid metodologic pentru apl icarea programelor de matematică

DESFĂȘ URAREA LECȚ IEI

Etapele
lecției

C.s Activitatea
de instruire Strategii didactice

Activitatea
profesorului
Activitatea
elevului Form e
de org. Meto –
de ș i
proce –
dee
Res
ur-
se
Moment
organizatoric Se asigură
condiț iile optime
pentru desfășurarea
lecției.
Se notează absenții
și se verifică dacă
elevii au
materialele
necesare
desfășurării lecț iei. Elevii se
pregatesc pentru
lecție Tabl
a

Caie
te

Reactualizar
ea
cunoștinț elor
dobândite
anterior

Profesorul va pune
următoarele
întrebări:
Ce este o ecuaț ie?
Ce înseamnă a
rezolva o ecuaț ie?
Ce este o soluție a
ecuaț iei?

Elevii răspund la
întrebă ri

Activita
-te
frontală

93 Anuntarea
temei ș i a
obiectivelor Se anunța tema și
obiectivele lecț iei.
Se scrie ti tlul pe
tablă :
Ecuaț ia de gradul al
II lea
Elevii notează
titlul lecț iei Conver
sația
Explica
ția
Ta
-bla

Cretă
albă

Dirijarea
învăță rii

CS1
CS2
CS3
Forma general a
ecuatiei de gradul
al II lea este:
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=
0 ,𝑎≠0 , a; b;
cR
Numerele a; b; c se
numesc coeficienț i,
iar x necunoscuta.
Exemple:
Identificați
coeficienții ecuaț iei
:𝑥2+5𝑥+1=0 ,
xR
Pentru a rezolva o
ecuaț ie de gradul al
II- lea se parcurg
urmatoarele etape:

1) Se identifică
coeficienții ecuaț iei
a;b;c .
2) Se calculează

Elevii notează pe
caiete forma
generală,etapele
rezolvă rii,
exemplele
efectuate la tablă .

Activita
te
frontală Expu ne
-rea

Explica
-ția

Algorit
mizarea

Conver
-sația
Explica

94 discriminantul
ecuației după
formula : ∆=𝑏2−
4𝑎𝑐
3) În funcț ie de
valoarea lui  se
află soluțiile
ecuaț iei:
– dacă ∆<0 atunci
ecuația nu are
soluț ii reale
– dacă ∆=0 atunci
𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎
– dacă ∆>0 atunci
soluțiile ecuaț iei
sunt 𝑥1;2=−𝑏±√∆
2𝑎
Exemplu:
Aflati soluțiile
ecuaț iei:
1)
2𝑥2+3𝑥+1
=0,𝑥𝐑

Vom avea: 𝑎=
2;𝑏=3;𝑐=1
∆=32−4∙2∙1
=1
>0

𝑥1;2=−3±√1
2∙2 
𝑥1=−1 ; 𝑥2=−1
2

-ția

Algorit –
mizarea

95 𝑆={ −1;−1
2}
2) 𝑥2+6𝑥+9=
0,𝑥 ∈𝐑
Vom avea 𝑎=
1;𝑏=6;𝑐=9
∆=62−4∙1∙9
=0
𝑥1=𝑥2=−6
2=
−3

3) 2𝑥2+3𝑥+2=
0 𝑥∈𝐑

Vom avea:

𝑎=2;𝑏=4;𝑐
=2
∆=32−4∙2∙2=
9−16=−7 <0
 ecuația nu are
soluț ii reale
Cazuri particulare:
1) Dacă 𝑏=0;𝑐=
0 atunci vom avea
𝑎𝑥2=0
𝑥=0

2) Dacă 𝑏≠0;𝑐=
0 atunci vom avea
𝑎𝑥2+𝑏𝑥=0 
𝑥(𝑎𝑥+𝑏)
=0  𝑥=0 ;

Ex: 3𝑥2=0 
𝑥=0

5𝑥2+10𝑥
=0 
5𝑥(𝑥+2)=
0  5𝑥=
0 𝑥=0 ;𝑥+
2=0  𝑥=−2

Ex : x2-25= 0
a=1, b=0, c = -25
(x-5)(x+5)=0, cu
soluț iile x=5 sau
x= -5

96 𝑎𝑥+𝑏=0  𝑎𝑥
=−𝑏 
𝑥=−𝑏
𝑎
3) Dacă 𝑏=0,𝑐≠
0 atunci :

cand 𝑐∈𝐑+∗ avem
𝑎𝑥2+𝑐=0

𝑎𝑥2=−𝑐 𝑥∈∅
Ex: x2+36= 0

Cand 𝑐∈𝑅−∗ avem
𝑎𝑥2−𝑐=0

OBS.
Expresiile de forma
𝐸(𝑥)
=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 ,𝑎
∈𝐑 ,𝑏;𝑐∈𝐑 ,𝑎
≠0
unde ∆≥0 se
descompune î n
factori astfel:
𝐸(𝑥)
=𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥
−𝑥2)
𝑥1;𝑥2 rădăcinile
ecuaț iei
Ex:
Descompuneți î n
factori expresia:
𝑥2+2𝑥−3

97

Obținerea
performanței
și asigurarea
feed-back lui Profesorul
distribuie fișe de
lucru elevilor și
solicită un elev la
tablă pen tru
rezolvarea
exercitiului nr 5 .
Dacă timpul
permite se vor
rezolva mai multe
probleme din fișă la
tablă. Elevii rezolvă
exercițiul propus
din fiș a de lucru.
Activ ita
te
individ
uală

Fișe
Concluzii și
enunțarea
temei pentru
acasă
Se fac aprecieri
asupra lecției.
Tema de
acasă:Culegere ed.
Mate 2000, ex
1;5;6 pg 56;57

Elevii notează
tema de acasă .
Activita
-te
frontală Explica
-ția
Conver
-sația

Cule
gere

98

PROIECT DIDACTIC

Unitatea de învațământ : Scoala Gimnazială,Comuna Vadu Să pat
Clasa : a VIII a
Profesor: Petre Bogdan
Disciplina: Matematică
Unitatea de învățare : Ecuații. Inecuații. Sisteme de ecuaț ii
Titlul lecției: Ecuații. Inecuaț ii. Sisteme de e cuații
Tipul lecție: Lecție de recapitulare ș i sistematizare
Durata : 50 min

I. Competenț e specifice:
CS1. Determinarea soluțiilor unor ecuații, inecuații sau sisteme de ecuații;
CS2. Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor sau
a sistemelor de ecuații, rezolvarea acestora și interpretarea rezultatului obținut;

II. Obiective operaț ionale:
– să rezolve ecuații și inecuaț ii de gradul I ;
-să rezolve sisteme de doua ecuații cu două necunoscute ;
-să rezolve pro bleme practice cu ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor ș i sistemelor ;
– să realizeze o clasificare a ecuațiilor studiate î n clasele V -VIII.

III . STRATEGIA DIDACTICA
Metode ș i procedee: conversația euristică, explicaț ia, problematizarea, algoritmizarea;
turul galeriei;
Resurse:
– materiale: – manual matematică cls a VIII a
– fisă de lucru
– caiete

99 – creta albă
-umane: -clasa omogenă
– activi tăți frontale, individuale
Forme de organizare : frontal, individuală ,grupe

IV. Bibliografie : – program a școlară de matematică cls a VIII a
– manual matematică cls a VIII editura Teora.
-culegere Mate 2000
-ghid metodologic pentru apl icarea programelor de matematică

DESFĂȘ URAREA LECȚ IEI

Etapel
e
lecției

C
s
. Activitatea
de instruire
Strategii didactice

Activitatea
profesorului
Activitatea
elevului Forme de
organizare Metode ș i
procedee Resurse
Mome
nt org. Se asigură condițiile
optime pentru
desfăsurarea lecț iei.
Se notează absenții și se
verifică dacă elevii au
materialele necesare
desfăsurării lecț iei
Se informează elevii
asupra temei lecției și a
obiectivelor urmă rite. Elevii se
pregatesc pentru
lecție. Tabla

Caiete
Reactu
ali-
zarea
cunoști
n Profesorul va pune
întrebări referitoare la
definițiile unei ecuații,
inecuații, soluție , ecuaț ii
echivalente sau etapele Elevii răpund la
întrebă rile puse de
profesor. Conver –
sația
Explica –
ția

100 -țelor rezolv ării unei probleme
cu ajutorul ecuaț iilor.
Intens.
atenție
i și
asigur
area
transfe
ru-lui Realizarea de către elevi
a unei clasificări a
ecuaț iilor studiate:
a) 𝑥−5=10
b) √𝑥−2=5
c) ∣3𝑥−1∣=5
d) 𝑥2−3𝑥+1=0
d) 1
𝑥−3+1
𝑥+3=10
𝑥2−9
Obs.Asemănă tor se pot
gasi tipurile de inecuaț ii.
Profesorul face legătura
inecuaț iilor cu
intervalele de numere
reale:
Ex: Mulțimea soluțiilor
inecuaț iei:
4𝑥−8≤0 este :
a)[2;∞);𝑏) (−∞;2];
𝑐)(2;+∞)

Elevii realizeaza
clasificarea
ecuatiilor.

Elevii isi vor da
seama de legatura
dintre interval si
ecuatii.

Activitate
frontal ă Tabla

Cretă albă

Fișa

Dirija –
rea
învăță –
rii Profesorul va pune
întrebarea elevilor
refer itoare la întâlnirea
inecuaț iilor pe par cursul
claselor V -VIII, precum
și stabilirea unui
exemplu.

Exemplu:
Elevii vor da ca
exemple:

𝑑=𝑣∙𝑡; 𝜌=𝑚
𝑉

Expunerea

Explicaț ia

101

Exemplu:

Profesorul va specifica
faptul că nu numai la
algebră se pot întâlni
ecuațiile ci și î n cadrul
geometriei.
Se poate pune o
întrebare referitoare la
acest aspect.

Elevii vor fi împărțiți în
4 grupe, iar fiecare
grupă va primi o fișă de
lucru.Exercițiile vor fi
redactate în echipă pe un
poster pe care îl vor
avea la dispoziț ie.Elevi i
vor cere pe parcursul
activității informaț ii, La chimie:
-scrierea ecuaț iilor
chimice;
La biologie:
-aflarea d ensității
populaț iei;
La geografie:
-scara hărț ii

Elevul va ră spunde
: calcularea
unghiurilor
complementare,supl
ementare,rezolvarea
triunghiului
dreptunghic

Rezolvă fisa de
lucru Activitate
frontal ă

Algoritmi
zarea

Conversaț i
a
Explicaț ia

Algoritmi
zarea

Brainstor –
-ming

102 lămuriri suplimentare
asupra enunțului,
cerinței , realizării
desenului,
demon strației.Toate
posterele vor fi afișate
pe pereții clasei. Î n
cadrul grupului elevii
vor fi lăsați să scrie toa te
ideile de rezolvare apoi
aceștia le vor alege pe
acelea corecte.
Va urma turul galeriei:
-într-o anumită ordine
grupurile vor tr ece prin
fața posterelor celorlalte
grupe menționând
observaț ii, apreci eri
asupra modului de
redactare.Aceștia trebuie
să argumenteze
observațiile,criticile ș i
metodele.
Se va impune
suprave gherea
permanentă a elevilor
pentru desfașurarea în
condiții optime a lecț iei.
Grupa 1
1) Legea lui Ohm:
𝐼=𝑈
𝑅
I= intensitatea
curentului electric

Redactează posterul

Activitate
pe grupe

Fișe de
lucru

103 R=rezistenț a
U=tensiunea
Aplicație : dacă 𝐼=
4,5 𝐴;𝑈=220 𝑉 , aflaț i
R.

2) În câte grame de
soluț ie se găsesc 70g
zahăr dacă soluția are
concentraț ia 𝑐=30%
𝑐=𝑚𝑑
𝑚𝑠∙100

Grupa 2
1) Randamentul ɳ=𝐿𝑢
𝐿𝑐
ɳ- randametul
𝐿𝑢-lucrul mecanic util
𝐿𝑐-lucrul mecanic
consumat
Aplicație:dacă ɳ=60%
𝐿𝑢=23000 𝐽 aflați 𝐿𝑐

2)Pe o hartă cu scara de
1:500000 distanț a dintre
punctele C si D este de 5
cm.Aflați distanța î n
kilometri, din teren,
dintre
punctele C ș i D.

Grupa 3

1) Un corp de zinc

104 cantărește 300 g.Ce
masă are placa de sticlă
cu acelaș i volum?

(𝜌 𝑧𝑖𝑛𝑐=7,1 𝑔/𝑐𝑚3
𝜌 𝑠𝑡𝑖𝑐𝑙𝑎=2,5 𝑔/𝑐𝑚3
𝜌=𝑚
𝑉 )

2)Fie 𝑓: 𝑹→𝑹 𝑓(𝑥)=
3𝑥+2 ,𝑥∈𝐑
Rezolvați inecuaț ia
𝑓(𝑥)≤3

Grupa 4
1) Fie triunghiul ABC
dreptunghic în A.Dacă
𝐴𝐶=4 𝑐𝑚 și 𝑠𝑖𝑛𝐵=1
2
aflați AB.

2) Într-un bloc sunt 32
de apartament e care au
în total 84 de camere.
Știind că unele
apartamente au 2
camere, altele 3 camere ,
stabiliți câ te
apartame nte de fiecare
sunt.

La final profesorul se
poate juca cu elevii :
– se ia un numar , se
adună cu 14.Rezultatul Jocul
didactic

105

se dublează ,apoi se
scade 8 ,ce se obține se
împarte la 2 ,iar la final
se scade numă rul la care
elevii s -au gâ ndit.
Se adreseaza întrebarea
dacă numă rul este 10.

Apreci
eri

Se fac aprecieri asup ra
lectiei și activității
elevilor.Se acordă note
elevilor care au răspuns
la lecție.

.

Activitate
frontală

Explicaț ie
Conv. Culegere
Tema
pentru
acasă
Exerciț ii din culegerea
Mate 2000
Ex4 pg 46;ex2 pg 29 Elevii notează tema
pentru acasă .
Activitate
individuală

106

PROIECT DIDACTIC

Unitatea de învățămâ nt : Scoala Gimna zială,Comuna Vadu Să pat
Clasa : a VI a
Profesor: Petre Bogdan Nicolae
Disciplina: Matematică
Unitatea de învătare : Ecuații și inecuații î n Z
Titlul lec ției: Rezolvarea ecuațiilor și a inecuațiilor î n Z.
Tipul lecț iei: consolidare
Durata: 50 min

I . COMPETENTE SPECIFICE:
CS 4 . Redactarea solu țiilor ecua țiilor și inecua țiilor studiate în mulțimea numerelor
întregi, în rezolvarea sau î n compunerea unei probleme.
CS 5. Interpretarea unor d ate din probleme care se rezolvă utilizâ nd numere î ntregi.
CS 6 . Transpunerea unei situa ții-problem ă în limbaj al gebric , rezolvarea problemei
obținute ș i interpretarea rezultatului.

II. OBIECTIVE OPERA ȚIONALE
– să rezolve corect ecuații și inecuații î n Z ;
– să utilizeze corect operațiile cu numere întregi ș i proprietă tile acestora;

III . STRATEGIA DIDACTICĂ
Metode si procedee: conversația euristică, explicaț ia, problematizarea, algoritmizarea;
Resurse:
– materiale: – manual matematică cls a VI a

107 – fisă de lucru
– caiete
– creta albă
Forme de organizare : frontal ă și individual ă
IV. Bibliografie : – programa școlară de matematică cls a VI a ;
-manual matematică cls a VI a Editura Didactică și Pedagogică ;
-culegere Mate 2000 ;
-ghid metodologic p entru apl icarea programelor de matematică .

DESF ĂȘURAREA LECȚ IEI

Etapele lecției

C.s
Activitatea de instruire
Strategii didactice

Activitatea
profesorului
Activitatea
elevului
Forme de
organizare

Met. și
procedee Forme
de
evaluare
1) Moment
organizatoric -se vor asigura
condițiile optime
pentru
desfăș urarea
lecției;
-verificarea
prezenț ei elevilor – își vor pregăti
cele necesare
începeri lecț iei;
Conversa
-ția
2) Verificare a
temei pentru
acasă -se va verifica
tema cantitativ și
calitativ ; – îsi vor pregă ti
caietele de
teme
– vor discuta
despre tema Conversa
ția Aprecieri
verbale

108 efectuată
3) Informarea
elevilor
asupra
obiectivului
urmă rit

Cs.4

Cs.5 Pune întrebă ri
referitoar e la
modul de
rezolvare a
ecuațiilor și
inecuaț iilor,
regula semnelor,
modulul unui
număr î ntreg.
Elevii vor primi
câte o fișă de
lucru și vor
rezolva exercițiile
la tablă .
După rezolvarea
fișei, profesorul
va împărți clasa
în două grupe
omogene unde
vor discuta și
rezolva aplicații
din fiș a 2 – elevii vor
răspunde la
întrebă rile
profesorului
Elevii vor
rezolva
exerciț iile pe
caiete , a poi la
tablă .

Frontală
Conversa
-ția

Explica
-ția Observa
-rea
sistemati –
-că

Observa
-rea
sistemati –
-că a
elevilor
în grup

109 4) Dirijarea
învăță rii Profesorul va
împărți fiș a 2 , ia r
dupa
familiarizarea cu
exercițiile,sub
îndrumarea atentă ,
aceștia vor ieși la
tablă pentru
rezolvarea lor. Grupele vor
rezolva
exercițiile,apoi
vor ieși la
tablă pentru
prezentarea
acestora. Frontală

Individuală

Exerciț iul
5.Obținerea
performanței
și realizarea
feed-back -lui
Obținerea
performanț ei se va
face printr -un mic
concurs în care se
va urmări
implicarea fiecă rui
elev,corectitudinea
calculelor și
timpul de reacți e.
După rezolvarea
fiecărui exercițiu
grupa își va anunța
răspunsul prin
liderul ei.
Grupa care va
răspunde cel m ai
rapid va primi 3
puncte, dacă va
greși iar cealaltă
grupă va raspun de
corect va primi 2
puncte.Dacă vor fi
la egalitate de Grupele vor
rezolva
exerciț iile din
fisa 2.

Frontală

110 reactie ș i raspuns
corect vor primi 1
punct. La final ,se
va î ntocmi
punctajul primit.
Aprecieri Se fac aprecieri
asupra lectiei și
activității
elevilor.Se acordă
note elevilor care
au răspuns la
lecție.

Frontal ă

Conversa
-ția
Tema pentru
acasă Culegerea Mate
2000;ex 2;4 pg 81
Ex3 pg 84 Elevii își
notează tema
pentru acasa Conversa
-ția

111
Concluzii

Obiectivul urmărit în cadrul acestei lucrări a fost acela de a sintetiza ș i disemina
cunoștinț e despre studiul ecuați ilor, inecuaț iilor, sistemelor de ecuaț ii în gimnaziu și liceu.
În structura lucră rii am considerat un rol es ențial existen ța situaț iilor problemă care conduc
la prezentarea într -o formă atractivă pentru elevi a noțiunilor de ecuaț ii, inecuații și sisteme
de ecuații în lecțiile susținute la clasă . Aplicarea unei metode adecvate ș i implicit a unor
exemple de ecuații, inecuații și sisteme de ecuații din viata cotidiană fac lecțiile mai
atractive pentru elevi , iar cunoștinț ele pe termen lung dezvoltate. Pot spune că pentru ele v
etapa gimnaziului este o etapă unde el se dezvoltă, dobândeș te competențe , iar împreună
cu profesorul va descoperi l egatura deosebită dintre egalitate, inegalitate precum și
aplicarea acestora î n contexte variate. Se poate concluziona faptul că prezența situațiilor
problemă, a tipurilor de ecuații,inecuații , a sistemelor de ecuaț ii și a metodelor de
rezolvare specifi c gimnaziului din prezenta lucrare joaca un rol deter minant î n perceperea
acestor noț iuni de catre elevi î n clasele liceale.
În aceasta etapă de dezvoltare a elevului, el va recunoaș te noțiunile simp le de ecu ații,
inecuații ș i sisteme de ecuaț ii, apoi studiul acestora la un ni vel mai ridicat se va face cu
ușurința . Elevul nu va fi speriat de ecuaț ii, de al goritmii de rezolvare specific fiecarui tip ,
deoarece baza ecuațiilor și inecuaț iilor este bine dezvoltată în mintea lui î n perioada
gimnaziului. De asemenea, în cadrul lucr ării am considerat că este oportun introducerea
unor algoritmi de rezolvare a ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuaț ii, dar și un
studiu al greș elilor tipice pe care unii elevi le fa c în cadrul orei de matematică sau la
sustinerea examenelor de E valuar e Națională ș i Bacalaureat.

112
BIBLIOGRAFIE

1. Brânzei,D., Brânzei, R. (2003). Metodica predării matematicii , Pitești, Editura
Paralela 45.
2. Burtea,M., Burtea , G. (2011). Matematică , București, Editura Campion.
3. Colecția Mate 2000, (2017). Algebră, geometrie , Pitești, Editura Paralela 45.
4. Coșniță,C., Turtoiu,F., (1972). Probleme de algebră ( Ediția a treia revizuită și
completată) , București, Editura Tehnică .
5. Cucoș, C. (2006 ). Pedagogie , Iași, Editura Polirom .
6. De Marchin,R., Bosteels,G. (1957). Complemènts d ’algèbre , Namur, Maison
d’éditions Ad.Wesmael -Charlier.
7. Ganga,M. (2005). Matematică -manual pentru clasa a X -a , Ploiești, Editura
Mathpress .
8. Ganga ,M . (2006). Matematică -manual pentru clasa a XI -a , Ploiești, Editura
Mathpress.
9. Joița,E., Ilie,V., Vlad,M., Frăsineanu,E. (2003). Pedagogie și elemente de
psihologie școlară, Craiova, Editura Arves.
10. Mihăileanu,N. (1974,1979). Istoria matematicii vol I ;II, Bucure ști, Editura
Științifică și Enciclopedică.
11. Mihăileanu,N. (1968). Complemente de algebră elementară , București, Editura
Didactică și Pedagogică.
12. Năstăsescu,C., Niță,C. (1979). Teoria calitativă a ecuațiilor algebrice ,
București, Editura Tehnică.
13. Neagu,M. (1999). Matematică –probleme rezolvate și comentate, Alexandria,
Editura Tipoalex.
14. Nediță,I.N., Caba,G. (2007). Matematică M2 -manual pentru clasa a XII -a ,
București, Editura Corint.
15. Panaitopol,L., Drăghicescu, I.C. (1980). Polinoame și ecuații algebrice,
București, Editura Albatros.
16. Savu,C., Caba,G., Teodorescu,E., Popoiu,D. (2000). Matematică -manual
pentru clasa a VIII -a, București, Editura Teora.

113 17. Simion,P., Nicula,N., Nicolae,V., Dilimoț -Niță,V. (2016). Matematica M1 –
breviar teoretic,exerciții și teste de evaluare pentru bacalaureat , București, Editura
Niculescu.
18. Singer,M., Năchilă,P., Voica,C., Ghiciu,N. (2004). Matematică – manual pentru
clasa IX -a, Editura Sigma.
19. Singer,M. (2001). Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică
primar -gimnaziu, București, Editura Aramis Print.
20. Ștefan,C.L., Stefan,M. (2016). Matematică M1 -M2-exerciții și teste de evaluare
pentru bacalaureat, București, Editura Niculescu.
21. Teodorescu, N., Mangu,V., Cărbunaru,C., Negru, A., Trifu,M. (1984).
Culegere de probleme în sprijinul candidațilo r în treapta a II – a de liceu și olimpiade,
Bucuresti, Editura Informația.
22. Țena,M., Nicolae,M. (1999). Matematică -manual pentru clasa a 9 a , București,
Editura Corint.
23. Udrea,T., Nițescu,D. (2013). Matematică -manual pentru clasa a VI -a, Bucure ști,
Editura Didactică și Pedagogică .
24. Udriște,C. (coordonator) (2005) – Matematică – manual pentru clasa a X -a,
Bucure ști, Editura Fair Partners.
.

Site-uri web/ Webografie :

https://biblioteca.regielive.ro
https://www.didactic.ro
https://innerspacejournal.wordpress.com
https://kupdf.net/inegalitati algebrice
programe.ise.ro
https://vdocuments.mx/mecanica -fluidelor – note de curs pentru uzul
studentilor
https://wikipedia.org

114 Anexe

Fișă de lucru cls a VIII -a
Ecua tia de gradul al II -lea

1) Să se scrie coeficie nții a,b,c ai ecuaț iilor :
a) 3𝑥2−2𝑥+1=0 b) −𝑥2−𝑥+2=0 c) −11𝑥2=0
2) Rezolvați ecuațiile î n R :
a)𝑥2−4𝑥+3=0 b) 𝑥2+6𝑥+9=0 c) 2𝑥2+5𝑥+4=0
3) Descompuneți î n factori expresiile :
a) 𝑥2+2𝑥−3 b) 3𝑥2−5𝑥−2
4)Aflaț i valoarea lui 𝑎 𝐑 astfel încât ecuaț ia 2𝑥2+𝑎𝑥−4=0 , 𝑥∈𝑹 are soluț ia -4.
5) Rezolvați ecuațiile în R :
a) 11𝑥2=0 b) 𝑥2−6𝑥=0 c) 3𝑥−1
𝑥+1=𝑥−5
𝑥−1

Fișe de lucru cls a VIII -a
Ecua ții,inecuații,sisteme de ecuații

Fișă grupa 1
1) Legea lui Ohm:
𝐼=𝑈
𝑅
I= intensitatea curentului electric
R=rezistenț a
U=tensiunea
Aplicație : dacă 𝐼=4,5 𝐴;𝑈=220 𝑉 , aflați R.

2) În câte grame de soluție se găsesc 70g zahăr dacă soluția are concentraț ia 𝑐=30%

115 𝑐=𝑚𝑑
𝑚𝑠∙100
Fișă grupa 2
1) Randamentul ɳ=𝐿𝑢
𝐿𝑐
ɳ- randametul
𝐿𝑢-lucrul mecanic util
𝐿𝑐-lucrul mecanic consumat
Aplicație :dacă ɳ=60% ; 𝐿𝑢=23000 𝐽 aflati 𝐿𝑐 .

2)Pe o hartă cu scara de 1:500000 distanța dintre punctele C și D este de 5 cm.
Aflați distanța în kilometri, din teren, dintre punctele C și D.

Fișă grupa 3
1) Un corp de zinc cântărește 300 g. Ce masă are placa de sticlă cu același volum?
(𝜌 𝑧𝑖𝑛𝑐=7,1 𝑔/𝑐𝑚3 𝜌 𝑠𝑡𝑖𝑐𝑙𝑎=2,5 𝑔/𝑐𝑚3
𝜌=𝑚
𝑉 ) .

2)Fie 𝑓: 𝑹→𝑹 𝑓(𝑥)=3𝑥+2 ,𝑥∈𝐑
Rezolvați inecuaț ia f (𝑥)≤3 .

Fișă grupa 4
1) Fie triunghiul ABC dreptunghic în A.Dacă 𝐴𝐶=4 𝑐𝑚 și 𝑠𝑖𝑛𝐵=1
2 aflați AB.
2)Într-un bloc sunt 32 de apartamente care au în total 84 de camere.Știind că unele
apartamente au 2 c amere,altele 3 camere , stabiliți câ te apartamente de fiecare sunt.

116
Fișe de lucru cls a VI -a
Ecuații și inecuații în Z

Fișă de lucru 1:
1) Fie ={ −1;−2;3;−6;10;20} . Stabiliți dacă elementele mulțimii sunt soluții ale
ecuaț iilor:
𝑥+7=1
𝑥:(−4)=−5
4𝑥+16=12
2) Determinați mulț imea A:
𝐴={ 𝑥∈𝐙∣−5x+9≤𝑥−3}
3) Rezolvați ecuațiile și inecuațiile î n Z :
a) 6(𝑥−3)=−2
b) 3𝑥−2≥𝑥−5
c) ∣𝑥−2∣=−3
d) 4∣𝑥−3∣+2=∣𝑥+3∣+17
e)3(2𝑥−5)=2𝑥−4

Fisă de lucru 2
Rezolvați următoarele ecuații și inecuaț ii în Z :
a)2(4𝑥−5)+3(𝑥+2)=5(2𝑥−6)
b)5(𝑥+2)≥20
c) 2[5−2(𝑥−3)]−3=15
d) −6∣2𝑥−1∣ +4=−∣2𝑥−1∣−11

117

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE

Subsemnata/ul ………………………………………………………………………………………………… ……………..
declar pe propria răspundere că lucrarea a fost elaborată personal și îmi aparține în între gime.

Declar că nu am folosit alte surse în afara celor menționate în bibliografie, nu au fost preluate
texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse fără a fi citate și fără a fi
precizată sursa preluării, inclusiv lucrări perso nale.

Menționez că lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.

Data, Semnătura,

118