Rangul unei matrici s ,i aplicat ,ii [608293]

Ministerul Educat ¸iei Nat ¸ionale
Universitatea ”OVIDIUS” din Constant ¸a
Facultatea de Matematic ˘a s ¸i Informatic ˘a
Specializarea Matematic ˘a
Rangul unei matrici s ,i aplicat ,ii
Lucrare de licent ¸ ˘a
Coordonator s ¸tiint ¸ific:
Lect. univ. dr. Ene Viviana
Absolvent:
S,tefan Alexandra-Mihaela
Constant ¸a
2020

Cuprins
Cuprins 1
1 Spatii vectoriale 2
1.1 Spat ,ii vectoriale. Definit ,ie, exemple, reguli de calcul . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Definit ,ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Reguli de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Subspat ,ii s ,i operat ,ii cu subspat ,ii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Dependent ,a s,i independent ,a liniar ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Baz ˘a s,i dimensiune ˆıntr-un spat ,iu vectorial finit generat . . . . . . . . . . . 8
2 Rangul unei matrice 12
2.1 Definit ,ia rangului s ,i propriet ˘at,i de baz ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Teorema lui Kronecker de calcul a rangului . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Inegalit ˘at,i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Definitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Lista teoremelor: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Aplicat ,ii 35
1

Capitolul 1
Spatii vectoriale
1.1 Spat ,ii vectoriale. Definit ,ie, exemple, reguli
de calcul
1.1.1 Definit ,ie
Un spat ,iu vectorial sau un spat ,iu liniar este un grup de obiecte numite vectori, ad ˘augate
colectiv s ,iˆınmult ,ite (”scalate”) cu numere, numite scalare. Scalarsele sunt de obicei consi-
derate a fi numere reale. Exist ˘aˆıns˘a put ,ine cazuri de ˆınmult ,ire scalar ˘a prin numere rat ,ionale,
numere complexe etc., cu spat ,ii vectoriale. Metodele de ad ˘augare de vectori s ,i deˆınmult ,ire
scalar ˘a trebuie s ˘a satisfac ˘a cerint ,e specifice, cum ar fi axiomele. Spat ,iul vectorial real s ,i
termenii spat ,iului vector complex sunt folosit ,i pentru a defini scalare ca numere reale sau
complexe.
Un spat ,iu format din vectori, colectiv cu legea asociativ ˘a s,i comutativ ˘a a ad ˘aug˘arii de
vectori s ,i, de asemenea, procesul asociativ s ,i distributiv de ˆınmult ,ire a vectorilor cu scalare
se numes ,te spat ,iu vectorial. Un spat ,iu vectorial este format dintr-un set de V (elementele lui
V se numesc vectori), un c ˆamp F (elementele lui F sunt scalare) s ,i cele dou ˘a operat ,ii
Adaosul vectorial este o operat ,ie care ia doi vectori u, v 2V s ,i produce al treilea vector
u + v2VˆInmult ,irea scalar ˘a este o operat ,ie care ia un scalar c 2F s ,i un vector v2V
s,i produce un nou vector uv 2V .ˆIn cazul ˆın care ambele operat ,ii trebuie s ˘aˆındeplineasc ˘a
urm˘atoarea condit ,ie
Elementele lui V sunt mai ales numite vectori, iar elementele F sunt ˆın mare parte
scalare. Exist ˘a diferite tipuri de vectori. Pentru a califica spat ,iul vectorial V , operat ,ia de
ad˘augare s ,iˆınmult ,ire trebuie s ˘a respecte num ˘arul de cerint ,e numite axiome. Axiomele ge-
neralizeaz ˘a propriet ˘at,ile vectorilor introdus ,iˆın cˆampul F. Dac ˘a este peste numerele reale R
se numes ,te spat ,iu vectorial real s ,i peste numerele complexe, C se numes ,te spat ,iu vector
complex.
2

Spatii vectoriale Spat,ii vectoriale. Definit,ie, exemple, reguli de calcul
Un vector este o parte a unui spat ,iu vectorial, ˆın timp ce spat ,iul vectorial este un grup
de obiecte care se ˆınmult ,es,te cu scalare s ,i sunt combinate cu axiomele spat ,iale vectoriale.
Spat ,iul banal vector, reprezentat de 0, este un exemplu de spat ,iu vectorial care cont ,ine
vector zero sau vector nul. ˆIn acest caz, ad ˘augarea s ,iˆınmult ,irea scalar ˘a sunt banale.
1.1.2 Exemple
Setul singleton
f0
BB@0
0
0
01
CCAgf0
BB@0
0
0
01
CCAg
este un spat ,iu vectorial sub operat ,ii
0
BB@0
0
0
01
CCA+0
BB@0
0
0
01
CCA=0
BB@0
0
0
01
CCA
0
BB@0
0
0
01
CCA=0
BB@0
0
0
01
CCA0
BB@0
0
0
01
CCA+0
BB@0
0
0
01
CCA=0
BB@0
0
0
01
CCAr
0
BB@0
0
0
01
CCA=0
BB@0
0
0
01
CCA
care succede din R4:
Fie V un subspat ,iu al luiRnpentru unii n. O colect ,ie B =v11;v2;:::;vrde vectori de la
V se spune c ˘a este o baz ˘a pentru V dac ˘a B este liniar independent s ,i seˆıntinde V . Dac ˘a unul
dintre aceste criterii nu este satisf ˘acut, atunci colect ,ia nu este o baz ˘a pentru V . Dac ˘a o colect ,ie
de vectori se ˆıntinde pe V , atunci cont ,ine suficient ,i vectori, astfel ˆıncˆat fiecare vector din V
s˘a poat ˘a fi scris ca o combinat ,ie liniar ˘a a celor din colect ,ie. Dac ˘a colect ,ia este independent ˘a
liniar, atunci nu cont ,ine at ˆat de mult ,i vectori ˆıncˆat unii devin dependent ,i de ceilalt ,i. Intuitiv,
atunci, o baz ˘a are doar m ˘arimea potrivit ˘a: este suficient de mare pentru a spat ,iona spat ,iul,
dar nu at ˆat de mare ˆıncˆat s˘a fie dependent ˘a.
Exemplul 1: Colect ,ia i, j este un standard pentru R2, de vreme ce se ˆıntindeR2iar
vectorii i s ,i j sunt liniar independent ,i (pentru c ˘a niciunul nu este un multiplu al celuilalt).
Acesta se numes ,te baz ˘a standard pentru R2. Similar, setul i, j, k este numit un standard
pentruR3s,iˆın general este un standard de baz ˘a pentruRn.
e1= (1;0;0;:::;0),e2= (0;1;0;:::;0),en= (0;0;0;:::;1),
Exemplul 2: Colect ,ia i, i+j, 2 j nu este de baz ˘a pentruR2. Des ,i seˆıntindeR2, nu este
liniar independent. Nicio colect ,ie de 3 sau mai mult ,i vectori de la R2pot fi independent ,i.
3

Spatii vectoriale Spat,ii vectoriale. Definit,ie, exemple, reguli de calcul
Exemplul 3: Colect ,ia i+j, j+k nu este o baz ˘a pentruR3. Des ,i este liniar independent,
nu acoper ˘a toateR3. De exemplu, nu exist ˘a o combinat ,ie liniar ˘a de i + j s ,i j + k care este
egal i + j + k.
Exemplul 4: Colect ,ia i + j, i – j este o baz ˘a pentruR2.ˆIn primul r ˆand, este liniar
independent, deoarece niciuna dintre ele i + j nici i – j nu sunt multiplu ale celuilalt. ˆIn
al doilea r ˆand, se ˆıntinde pe toate R2pentru c ˘a fiecare vector ˆınR2poate fi exprimat ca o
combinat ,ie liniar ˘a de i + j s ,i i – j. ˆIn special, dac ˘a i + b j este orice vector ˆınR2, atunci dac ˘a
k1 =1
2( a + b) s ,ik2=1
2( a – b).
Un spat ,iu poate avea multe baze diferite. De exemplu, ambele i, j s ,i i + j, i – j sunt baze
pentruR2. De fapt, orice colect ,ie cont ,inˆand exact doi vectori independent ,i liniarR2este
o baz ˘a pentruR2.ˆIn mod similar, orice colect ,ie cont ,inˆand exact trei vectori independent ,i
liniarR3e un standard pentru R3s,i as ,a mai departe. Des ,i niciun subspat ,iu nontrivial al lui
Rnare o baz ˘a unic ˘a, exist ˘a ceva pe care toate bazele pentru un spat ,iu dat trebuie s ˘a le aib ˘aˆın
comun.
Fie V un subspat ,iu al luiRnpentru n. Dac ˘a V are o baz ˘a care cont ,ine exact r vectori,
atunci fiecare baz ˘a pentru V cont ,ine exact r vectori. Adic ˘a alegerea vectorilor de baz ˘a pentru
un spat ,iu dat nu este unic ˘a, dar num ˘arul vectorilor de baz ˘a este unic. Acest fapt permite
definirea urm ˘atoarei not ,iuni: num ˘arul de vectori dintr-o baz ˘a pentru un spat ,iu vectorial V
Rneste numit dimensiune pentru V , notat dim V .
Exemplul 5: De la baza standard pentru R2, i, j, cont ,ine exact 2 vectori, fiecare baz ˘a
pentruR2cont ,ine exact 2 vectori, deci dim R2= 2. ˆIn mod similar, de c ˆand i, j, k e de baz ˘a
pentruR3care cont ,ine exact 3 vectori, fiecare baz ˘a pentruR3cont ,ine exact 3 vectori, deci
slabR3= 3.ˆIn general, dim Rn= n pentru fiecare num ˘ar natural n.
Exemplu 6: In R3, vectorii i s ,i k acoper ˘a un subspat ,iu al dimensiunii 2.
1.1.3 Reguli de calcul
Vectorii care au aceeas ,i magnitudine s ,i aceeas ,i direct ,ie se numesc vectori egali. C ˆand doi
vectori sunt egali, segmentele de linie adresate sunt paralele. De asemenea, coloanele lor
vectoriale sunt identice.
Un adaos vector +”+” trebuie s ˘aˆındeplineasc ˘a urm ˘atoarele condit ,ii:
ˆInchidere: Dac ˘a x s ,i y sunt oricare vectori ˆın spat ,iul vectorial V , atunci x + y apart ,ine
lui V
Drept comutativ: Pentru tot ,i vectori x s ,i yˆın V , apoi x + y = y + x
Drept asociativ: Pentru tot ,i vectori x, yand z ˆın V , apoi x + (y + z) = (x + y) + z
Identitate aditiv ˘a: pentru orice vector x ˆın V , spat ,iul vectorial cont ,ine elementul de
identitate aditiv s ,i este notat cu”0” astfel ˆıncˆat 0 + x = x s ,i x + 0 = x
4

Spatii vectoriale Spat,ii vectoriale. Definit,ie, exemple, reguli de calcul
Invers aditiv: Pentru fiecare vector x ˆın V , exist ˘a un invers aditiv -x pentru a obt ,ine o
solut ,ieˆın V .
O operat ,ie de ˆınmult ,ire scalar ˘a este definit ˘aˆıntre un scalar s ,i un vector s ,i ar trebui s ˘a
ˆındeplineasc ˘a urm ˘atoarea condit ,ie:
ˆInchidere: Dac ˘a x este orice vector s ,i c este orice num ˘ar real ˆın spat ,iul vectorial V ,
atunci x. c apart ,ine lui V
Drept asociativ: Pentru toate numerele reale c s ,i d, s ,i vectorul x ˆın V , apoi c. (d. v) = (c.
d). v
Legea distributiv ˘a: Pentru toate numerele reale c s ,i d s ,i pentru vectorul x ˆın V , (c + d).
v = c. v + c. d
Legea distributiv ˘a: Pentru toate numerele reale c s ,i vectorii x s ,i yˆın V , c. (x + y) = c. x
+ c. y
Drept unitar: Pentru tot ,i vectori x ˆın V , apoi 1. v = v. 1 = v
Iat˘a cˆateva propriet ˘at,i de baz ˘a care sunt derivate din axiome sunt:
Operat ,ia de ad ˘augare a unei liste finite de vectori v1 v2 ,. . . , vk poate fi calculat ˆın
orice ordine, atunci solut ,ia procesului de ad ˘augare va fi aceeas ,i.
Dac˘a x + y = 0 , atunci valoarea ar trebui s ˘a fie y = – x .
Negarea sau valoarea negativ ˘a a negat ,iei unui vector este vectorul ˆın sine: – ( – v) = v.
Dac˘a x + y = x, dac ˘a s,i numai dac ˘a y = 0. Prin urmare, 0 este singurul vector care se
comport ˘a ca 0.
Produsul oric ˘arui vector cu zero ori d ˘a vectorul zero. 0 x y = 0 pentru fiecare vector din
y.
Pentru fiecare num ˘ar real c, orice timp scalar al vectorului zero este vectorul zero. c0 =
0
Dac˘a valoarea cx = 0, atunci c = 0 sau x = 0. Produsul unui scalar s ,i al unui vector este
egal cu c ˆand scalarul este 0 sau un vector este 0.
Valoarea scalar ˘a – 1 ori un vector este negat ,ia vectorului: ( – 1) x = – x . Definim
sc˘aderea ˆın termeni de ad ˘augare, definind x – y ca o prescurtare pentru x + ( – y) .
x – y = x + ( – y)
Urmeaz ˘a toate propriet ˘at,ile normale ale sc ˘aderii:
x + y = z atunci valoarea x = z – y.
c (x – y) = cx – cy.
(c – d) x = cx – dx
5

Spatii vectoriale Subspat,ii s,i operat,ii cu subspat,ii vectoriale
1.2 Subspat ,ii s,i operat ,ii cu subspat ,ii vectoriale
Un subspat ,iu W al unui spat ,iu vectorial V este un subset de V care este un spat ,iu vectorial
cu aceleas ,i operat ,iuni. Am analizat o mult ,ime de exemple de spat ,ii vectoriale, unele dintre
ele erau subspat ,ii ale unora dintre ele.
De exemplu, Pn, spat ,iul vectorial al polinoamelor din grad mai mic sau egal cu n, este
un subspat ,iu al spat ,iului vectorial Pn+1al polinoamelor cu un grad mai mic sau egal cu n +
1. Pentru ca un spat ,iu vectorial s ˘a fie un subspat ,iu al altui spat ,iu vectorial, trebuie doar s ˘a
fie un subset al celuilalt spat ,iul vectorial s ,i operat ,iunile de ad ˘augare de vector s ,iˆınmult ,irea
scalar ˘a trebuie s ˘a fie aceeas ,i. Poate c ˘a numele”spat ,iu vectorial” ar fi mai bine, dar singurul
tip de spat ,ii despre care vorbim aproximativ sunt spat ,ii vectoriale, asta-l va face”subspat ,iu”.
O alt ˘a caracterizare a subspat ,iului este urm ˘atoarea teorem ˘a:
Teorema 1. Un subset W al unui spat ,iu vectorial V este subspat ,iu din V dac ˘a s,i numai
dac˘a:
(1) 02W;
(2) W este ˆınchis sub adaosul vectorului, adic ˘a ori de c ˆate oriw1s,iw2apart ,in lui W,
atunci la fel w1+w2apart ,in lui W; s ,i
(3) W este ˆınchis ˆın produsele scalare, adic ˘a ori de c ˆate ori c este un num ˘ar real s ,i
w apart ,ine lui W, atunci cw apart ,ine lui W. O alt ˘a caracterizare a subspat ,iului este aceast ˘a
teorem ˘a.
Teorema 2. Un subset W al unui vector spat ,iul V este un subspat ,iu al lui V dac ˘a s,i
numai dac ˘a este W ˆınchis sub combinat ,ii liniare, adic ˘a ori de c ˆate oriw1,w2,. . . ,wktoate
apart ,in lui W, apoi face fiecare combinat ,ie liniar ˘ac1w1+c2w2+ · · · +cnwkdintre ele apart ,in
lui W.
Aceast ˘a a doua caracterizare este echivalent ˘a cu prima pentru c ˘a, mai ˆıntˆai, sunt constru-
ite combinat ,ii liniare din adaosuri vectoriale s ,i produse scalare s ,i,ˆın al doilea r ˆand, produsele
scalare s ,i ad˘aug˘arile vectoriale sunt cazuri speciale de combinat ,ii liniare.
6

Spatii vectoriale Dependent,a s,i independent,a liniar ˘a
1.3 Dependent ,a s,i independent ,a liniar ˘a
S˘a spunem c ˘a avem un grup de vectori s ,i dorit ,i s˘aˆınt,eleget ,i cum se leag ˘aˆıntre ei. De
exemplu, lu ˘am urm ˘atorul set de vectori:
w1=0
@1
2
31
A,w2=0
@2
4
61
A,w3=0
@0
0
01
A,w4=0
@1
1
11
A
Care sunt unele lucruri pe care le putem observa despre aces ,ti vectori?
(1) 2w1=w2
(2) 0w1=0w2=0w4=w3
(3)w4+0
@0
1
21
A=w1
Spunem c ˘a vectorii sunt liniar dependent ,i dac ˘a unul este multiplu scalar de cel ˘alalt, cum
ar fiw1s,iw2de mai sus. ˆIn caz contrar, spunem c ˘a acestea sunt liniar independente, cum ar
fiw1s,iw4. Mai formal, obt ,inem urm ˘atoarea definit ,ie:
Definit ,ie (liniar dependent):
Setul de vectori v1,v2,. . . ,vneste liniar dependent ˘a dac ˘a pentru unele vkdinv1,. . . ,
vnexist ˘a constantec1,. . . ,ck- 1,ck+ 1 ,. . . ,cnastfel ˆıncˆat
c1v1+c2v2+. . . +ck1vk1+ck+1vk+1+. . . +cnvn=vk, adic ˘a exist ˘a o combinat ,ie
liniar ˘a a celorlalt ,i vectori pentru a v ˘a obt ,inevk.
Este important de ment ,ionat c ˘a nu toate ci trebuie s ˘a fie zero. S ˘a revenim la exemplul
nostru de mai sus. Putem vedea cu us ,urint ,˘a asta:
2w1+w3+ 0w4=w2,
dar aceste constante nu sunt unice. De exemplu, c3ar putea fi cu adev ˘arat orice num ˘ar.
Atˆata timp c ˆatc1= 2 s ,ic4= 0.
Deci, o colect ,ie de vectori este liniar ˘a independent ˘a dac ˘a nu putem face acest lucru –
adic˘a nu putem g ˘asi zero constante ca o astfel de relat ,ie s˘a t,in˘a.
Definit ,ie (liniar independent). Setul de vectori v1,v2,. . . ,vneste liniar independent
dac˘a ecuat ,ia:
c1v1+c2v2+. . . +cnvn= 0
poate fi satisf ˘acut˘a numai deci= 0 pentru i = 1,. . . n. Adic ˘a, niciun vector din set nu
poate fi reprezentat ca o combinat ,ie liniar ˘a a vectorilor r ˘amas ,i din set.
De exemplu, setul de vectori:
7

Spatii vectoriale Baz ˘a s,i dimensiune ˆıntr-un spat,iu vectorial finit generat
f0
@1
0
01
A;0
@0
1
01
A;0
@0
0
11
Ag
sunt liniar independent ,i.
Acest lucru ar trebui s ˘a sune c ˆateva clopote despre eliminarea Gaussian ˘a! Dac ˘a at ,i f˘acut
o matrice umplut ˘a cu r ˆanduri egale cu vectorii dvs., ar trebui s ˘a fit ,i capabil s ˘a reducet ,i aceast ˘a
matrice folosind Gauss-Jordan. Dac ˘a putet ,i face dintr-un r ˆand toate zero-urile, setul dvs. este
liniar dependent (deoarece un r ˆand este multiplu al celuilalt). Luat ,iˆın considerare vectorii
w1,w2s,iw4din primul nostru exemplu. S ,tim c ˘aw2= 2w1, deci s ˘a construim o matrice s ,i s˘a
facem eliminarea gaussian ˘a.
0
@1 2 3
2 4 6
1 1 11
A
prin eliminarea lui Gauss( R
2=R2-2R1) aceasta devine:
0
@1 2 3
0 0 0
1 1 11
A
s,i as ,a, din moment ce avem un r ˆand de zero, avem dependent ,˘a liniar ˘a. Observ ˘am c ˘a
2w1=w2este aceeas ,i cu a spune c ˘aw2- 2w1= 0. Aceast ˘a relat ,ie fiind evident ˘a.
1.4 Baz ˘a s,i dimensiune ˆıntr-un spat ,iu vectorial
finit generat
Fie V desemnarea unui spat ,iu vectorial s ,i S =fu1;u2; :::;ungun subset din V . S se numes ,te
o baz ˘a pentru V dac ˘a urm ˘atoarele sunt adev ˘arate: 1. S se ˆıntinde ˆın V .
2. S este liniar independent.
Aceast ˘a definit ,ie ne spune c ˘a o baz ˘a trebuie s ˘a cont ,in˘a suficient ,i vectori pentru a genera
ˆıntregul spat ,iu vectorial. Dar nu cont ,ine prea multe. Cu alte cuvinte, dac ˘a noi am elimina
unul dintre vectori, nu va mai genera spat ,iul. O baz ˘a este generalizarea spat ,iului vectorial al
unui sistem de coordonate ˆınR2sauR3.
Am v ˘azut deja c ˘a mult ,imea S =fe1,e2gundee1= (1;0) s ,ie2= (0;1) a fost un set
cuprinz ˘ator deR2. Este, de asemenea, liniar independent pentru singura solut ,ie a ecuat ,iei
vectorialec1e1+c2e2= 0 este solut ,ia banal ˘a. Prin urmare, S este o baz ˘a pentruR2. Se
8

Spatii vectoriale Baz ˘a s,i dimensiune ˆıntr-un spat,iu vectorial finit generat
numes ,te baza standard pentru R2. Aces ,ti vectori au de asemenea un nume special. (1; 0)
este i s ,i (0; 1) este j.
ˆIn mod similar, baza standard pentru R3este setulfe1e2e3gundee1= (1; 0; 0),e2= (0;
1; 0) s ,ie3= (0; 0; 1). Aces ,ti vectori au s ,i ei un nume special. Ele sunt i; j, respectiv k.
Exemplu, s ˘a demonstr ˘am c ˘a c˘a S =f1,x,x2geste o baz ˘a pentruP2, setul de polinoame
cu un grad mai mic sau egal cu 2. Trebuie s ˘a dovedim c ˘a S se ˆıntinde peP2s,i este liniar
independent.
(1)S se ˆıntinde peP2. Am f ˘acut deja acest lucru ˆın sect ,iunea despre seturi de ˆıntindere.
Un polinom tipic de grad mai mic sau egal cu 2 este a x2+ bx + c.
(2)S este independent liniar. Aici, trebuie s ˘a ar˘at˘am c ˘a singura solut ,ie a (1) + bx + c x2
= 0 (unde 0 este polinomul zero) este a = b = c = 0.
Din algebr ˘a, ne amintim c ˘a doi polinomi sunt egali dac ˘a s,i numai dac ˘a coeficient ,ii lor
corespunz ˘atori sunt egali. Polinomul zero are toate coeficient ,i egali cu zero. Deci, a (1) +
bx + cx2= 0 dac ˘a s,i numai dac ˘a a = 0, b = 0, c = 0. Ceea ce dovedes ,te c˘a S este liniar
independent.
Orice vector dintr-un spat ,iu vectorial poate fi reprezentat ˆıntr-un mod unic ca o combinat ,ie
liniar ˘a a vectorilor unei baze. Fie V desemneaz ˘a un spat ,iu vectorial s ,i S =ffu1;u2;…ungo
baz˘a de V . Fiecare vector din V poate fi scris ˆıntr-un mod unic, ca o combinat ,ie liniar ˘a de
vectori ˆın S.
Deoarece S este o baz ˘a, s ,tim c ˘a seˆıntinde pe V . Dac ˘a v2V , atunci acolo exist ˘a scalare
c1,c2,…,cnastfel ˆıncˆat v =c1u1+c2u2+ … +cnun. S˘a presupunem c ˘a acolo este un alt mod
de a scrie v. Adic ˘a exist ˘a scalarid1,d2, …,dnastfel ˆıncˆat v =d1u1+d2u2+ … +dnun. Apoi,
c1u1+c2u2+ … +cnun=d1u1+d2u2+ … +dnun. Cu alte cuvinte, ( c1d1)u1+ (c2d2)u2+
… + (cndn)un= 0.Deoarece S este o baz ˘a, trebuie s ˘a fie liniar independent. Solut ,ia unic ˘a la
(c1d1)u1+ (c2d2)u2+ … + (cndn)un= 0 trebuie s ˘a fie solut ,ia banal ˘a. Aceasta urmeaz ˘a c˘aci
ci-di= 0 pentru i = 1; 2; :::; cu alte cuvinte ci=dipentru i = 1; 2; …; n. Prin urmare, cele
dou˘a reprezent ˘ari ale lui v sunt la fel.
Spunem c ˘a orice vector v al V are o reprezentare unic ˘a care respect ˘a baza S. Scalarii
utilizat ,iˆın reprezentarea liniar ˘a sunt numit ,i coordonatele vectorului. De exemplu, vectorul
(x; y) poate fi reprezentat ˆın bazaf(1; 0); (0; 1)gprin combinat ,ia liniar ˘a (x; y) = x (1; 0) + y
(0; 1). Astfel, x s ,i y sunt coordonatele acestui vector.
Dac˘a V este un spat ,iu vectorial, iar B = fu1,u2,…,ungeste o baz ˘a ordonat ˘a lui V ,
atunci s ,tim c ˘a fiecare vector v al lui V poate fi exprimat ca o combinat ,ie liniar ˘a a vecto-
rilor ˆın S ˆıntr-un mod unic. Cu alte cuvinte, exist ˘a scalari unici u1,c2,…,cnastfel ˆıncˆat v =
c1u1+c2u2+…+cnun. Aces ,ti scalarii se numesc coordonatele lui v ˆın raport cu cele din baza
B
Termenul baz ˘a ordonat ˘aˆınseamn ˘a pur s ,i simplu c ˘a acea ordine ˆın care enumer ˘am ele-
mentele este important ˘a.ˆIntr-adev ˘ar, de la fiecare coordonat este respectarea unuia dintre
vectorii din baz ˘a. S ,tim asta ˆınR2, nu este la fel ca (2; 3)
9

Spatii vectoriale Baz ˘a s,i dimensiune ˆıntr-un spat,iu vectorial finit generat
Care sunt coordonatele (1; 2; 3) ˆın raport cu bazaf1; 1; 0); (0; 1; 1); (1; 1; 1) g?
Se poate verifica ˆıntr-adev ˘ar c˘a acest set este baz ˘a pentruR3. G˘asirea coordonatelor din
(1; 2; 3) cu privire la aceast ˘a nou ˘a baz ˘a se face prin c ˘autarea numereleor (a; b; c) astfel ˆıncˆat
a (1; 1; 0) + b (0; 1; 1) + c (1; 1; 1) = (1; 2; 3). Asta ˆınseamn ˘a solut ,ionarea sistemului:
2
41 0 1
1 1 1
0 1 13
52
4a
b
c3
5=2
41
2
33
5
Solut ,ia sistemului fiind
2
41
2
33
5=2
41 0 1
1 1 1
0 1 13
52
41
2
33
5=2
41
1
23
5
Fie V desemnarea unui spat ,iu vectorial s ,i S = fu1; u2; :::; ung o baz ˘a de V . 1. Orice
subset de V care cont ,ine mai mult de n vectori trebuie s ˘a depind ˘a. 2. Orice subset de V care
cont ,ine mai put ,in de n vectori nu poate acoperi
1. Consider ˘am W = fv1; v2; :::; vrg un subset de V unde r¿ n. Trebuie s ˘a ar˘at˘am c ˘a
Wˆın dependent ,˘a. Deoarece S este o baz ˘a, putem scrie fiecare vi ˆın termen de elemente ˆın
S. Mai precis, ˆın mod constant, exist ˘a constante cij cu 1 i r s ,i 1 j n astfel ˆıncˆat vi = ci1u1 +
ci2u2 + ::: + cinun. Considera combinati liniari
Pr
j=1djvj=Pr
j=1dj(cj1u1+cj2u2+:::+cjnun) = 0
As,a c˘a trebuie s ˘a rezolv ˘am:
8
>>>>>>>><
>>>>>>>>:d1c11+d1c12+:::+d1c1n= 0
d2c21+d2c22+:::+d2c2n= 0
:
:
:
drcr1+drcr2+:::+drcrn= 0
unde necunoscutele sunt d1,d2,…,dn. Deoarece avem mai multe necunoscute dec ˆat ecuat ,ii,
suntem asigurat ,i c˘a acest sistem omogen va avea o solut ,ie neprivat ˘a. Astfel W este depen-
dent.
2. Consider ˘am W=fv1,v2, …,vrgun subset a lui V unde r <n. Noi trebuie s ˘a ar˘at˘am
c˘a W nu se ˆıntinde pe V . O facem prin contradict ,ie. Presupunem c ˘a aceasta se ˆıntinde pe V
s,i ar˘at˘am c ˘a aceasta ar ˆınsemna c ˘a S este dependent ˘a. Presupunem c ˘a exist ˘a constantacijcu
1in s,i 1jr astfel ˆıncˆatui=ci1v1+ci2v2+…+cirvr. Consider ˘am combinat ,ia linear ˘a:
Pn
j=1djuj=Pr
j=1dj(cj1v1+cj2v2+:::+cjrvr) = 0
10

Spatii vectoriale Baz ˘a s,i dimensiune ˆıntr-un spat,iu vectorial finit generat
As,a c˘a trebuie s ˘a rezolv ˘am:
8
>>>>>>>><
>>>>>>>>:d1c11+d1c12+:::+d1c1r= 0
d2c21+d2c22+:::+d2c2r= 0
:
:
:
dncn1+dncn2+:::+dncnr= 0
unde necunoscutele sunt d1,d2, …,dn. Deoarece avem mai multe necunoscute dec ˆat ecuat ,ii,
suntem asigurat ,i c˘a acest sistem omogen va avea o solut ,ie neprivat ˘a. Astfel S ar fi dependent,
dar nu poate fi din moment ce este o baz ˘a. Fie V un spat ,iu vectorial. Dac ˘a V are o baz ˘a cu n
elemente, atunci toate bazele lui V vor avea n elemente.
Toate bazele unui spat ,iu vectorial trebuie s ˘a aib ˘a acelas ,i num ˘ar de elemente. Acest un
num˘ar comun de elemente are un nume. As ,a c˘a definit ,ia dimensiunii ˆıntr-un spat ,iu vectorial
ar putea fi:
S˘a not ˘am V un spat ,iu vectorial. S ˘a presupunem c ˘a o baz ˘a a lui V are n vectori (prin
urmare, toate bazele vor avea n vectori). n se numes ,te dimensiunea lui V . Noi vom scrie dim
(V) = n, n poate fi orice num ˘arˆıntreg. Se spune c ˘a un spat ,iu vectorial V este dimensional
finit dac ˘a exist ˘a un subset de V care este baza lui V . Dac ˘a nu exist ˘a un astfel de subset, atunci
V se spune c ˘a este infinit-dimensional.
Am v ˘azut s ,i vom vedea mai multe exemple de dimensiuni finite ˆın spat ,ii vectoriale.
Unele exemple de spat ,ii vectoriale cu dimensiuni infinite includ
F(-1,1), C(-1,1),Cm(-1,1).
Dac˘a V este doar spat ,iul vectorial format din f0g, atunci spunem c ˘a dim (V) = 0.
Este foarte important, atunci c ˆand lucrat ,i cu un spat ,iu vectorial, s ˘a s,tit,i dac ˘a dimensiunea
este finit ˘a sau infinit ˘a. Multe lucruri frumoase se ˆıntˆampl ˘a cˆand dimensiunea este finit ˘a.
Urm ˘atoarea teorem ˘a este un astfel de exemplu:
Fie V denot ˘a un spat ,iu vectorial, astfel ˆıncˆat dim(V) = n <1. Fie S =fu1,u2, …,ung
un subset al lui V .
1. Dac ˘a S se ˆıntinde pe V , atunci S este de asemenea, liniar independent, de unde s ,i o
baz˘a pentru V .
2. Dac ˘a S este independent liniar, atunci S se ˆıntinde s ,i V , deci este o baz ˘a pentru V .
Aceast ˘a teorem ˘a spune c ˘aˆıntr-un spat ,iu dimensional finit, pentru un set cu c ˆat mai multe
elemente ca dimensiune a spat ,iului care trebuie s ˘a fie o baz ˘a, este suficient dac ˘a unul dintre
dou˘a condit ,ii pentru a fi o baz ˘a sunt ˆındeplinite.
11

Capitolul 2
Rangul unei matrice
2.1 Definit ,ia rangului s ,i propriet ˘at,i de baz ˘a
V˘a putet ,i gˆandi la o matrice r x c ca la un set de vectori pe r ˆand, fiecare av ˆand elemente c sau
v˘a putet ,i gˆandi la el ca la un set de vectori de coloan ˘a c, fiecare av ˆand r elemente. Rangul
unei matrice este definit ca fiind num ˘arul maxim de coloane de vectori independent ,i liniar
ˆın matrice sau num ˘arul maxim de vectori pe r ˆand independent ,i liniar din matrice. Ambele
definit ,ii sunt echivalente.
Pentru o matrice r x c,
(1)Dac ˘a r este mai mic dec ˆat c, atunci rangul maxim al matricei este r.
(2)Dac ˘a r este mai mare dec ˆat c, atunci rangul maxim al matricei este c.
Rangul unei matrice ar fi zero numai dac ˘a matricea nu ar avea elemente. Dac ˘a o matrice
ar avea chiar un singur element, rangul s ˘au minim ar fi 1.
Num ˘arul maxim de vectori independent ,i liniar ˆıntr-o matrice este egal cu num ˘arul de
rˆanduri diferite de zero ˆın matricea sa de es ,alon. Prin urmare, pentru a g ˘asi rangul unei ma-
trice, pur s ,i simplu transform ˘am matricea ˆın forma de es ,alon a r ˆandului s ,i num ˘ar˘am num ˘arul
de rˆanduri care nu sunt zero. Luat ,iˆın considerare matricea A s ,i matricea sa de es ,alon.
2
40 1 2
1 2 1
2 7 83
5)2
41 2 1
0 1 2
0 0 03
5
Deoarece forma es ,alonului de r ˆandArefare dou ˘a rˆanduri diferite de zero, s ,tim c ˘a ma-
tricea A are doi vectori de r ˆand independent ,i; s ,i s,tim c ˘a rangul matricei A este 2.
Putet ,i verifica dac ˘a acest lucru dac ˘a este corect. R ˆandul 1 s ,i Rˆandul 2 al matricei A sunt
liniar independent ,i. Cu toate acestea, r ˆandul 3 este o combinat ,ie liniar ˘a de r ˆandurile 1 s ,i 2.
12

Rangul unei matrice Teorema lui Kronecker de calcul a rangului
Mai exact, r ˆandul 3 = 3 * (r ˆandul 1) + 2 * (r ˆandul 2). Prin urmare, matricea A are doar doi
vectori pe r ˆand independent ,i.
Cˆand tot ,i vectorii dintr-o matrice sunt liniari independent ,i, se spune c ˘a matricea este de
rang complet. Luat ,iˆın considerare matricile A s ,i B de mai jos.
1 2 3
2 4 6
2
41 0 2
2 1 0
3 2 13
5
Observat ,i c˘a rˆandul 2 al matricei A este un multiplu scalar al r ˆandului 1; adic ˘a rˆandul 2
este egal cu de dou ˘a ori r ˆandul 1. Prin urmare, r ˆandurile 1 s ,i 2 sunt liniar dependente. Matri-
cea A are un singur r ˆand liniar independent, deci rangul s ˘au este 1. Prin urmare, matricea A
nu este un rang complet.
Acum, uitat ,i-v˘a la matricea B. Toate r ˆandurile sale sunt liniar independente, deci rangul
matricei B este 3. Matricea B este rang complet.
Propriet ˘at,i:
(a) Rangul nu poate fi mai mare dec ˆat cea mai mic ˘a dimensiune a matricei.
(b) Atunci c ˆand rangul este egal cu cea mai mic ˘a dimensiune este numit”rang complet”,
un rang mai mic se numes ,te”deficient de rang”.
Rangul este cel put ,in 1, cu except ,ia unei matrice zero (o matrice format ˘a din toate
zerourile) al c ˘arei rang este 0.
2.2 Teorema lui Kronecker de calcul a rangului
ˆIn primul r ˆand, s ˘a caracteriz ˘am simbolurile operatorilor Hankel cu rang finit.
Operatorul Hankel Hu are rang finit dac ˘a s,i numai dac ˘a u(z) este o funct ,ie rat ,ional ˘a a
lui z f ˘ar˘a pol ˆın discul de unitate ˆınchis. ˆIn loc s ˘a d˘am o dovad ˘a complet ˘a a acestui fapt, s ˘a
ne concentr ˘am asupra urm ˘atoarelor fapte.
Cazul de rang 1: ˆIn acest caz, dovada este deosebit de us ,oar˘a, deoarece SHu=HuS,
obt ,inemSu =u, ceea ce, pe coeficient ,ii Fourier, ˆınseamn ˘a(n+1)=(n), sau
(n)=an.
13

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
Prin urmare,jj<1 s,i u(z)=a
1z. Apoi rezult ˘a c˘a: u(t,x)=ei!tu0(x-ct),!=jaj2
(1jj2)2
c=jaj2
1jj2care este de fapt starea de baz ˘a a inegalit ˘at,ii de tip Gagliardo-Nirenberg E(u) 
Q(u)2+2Q(u)M(u).
Cazul general este o adaptare a probei de mai sus, care profit ˘a de faptul c ˘a secvent ,a
coeficient ,ilor Fourier satisface o ecuat ,ie recurent ˘a liniar ˘a. Prin urmare, o solut ,ie u astfel
ˆıncˆat Hu are rang finit poate fi interpretat ˘a ca un multi-soliton exact. Este de fapt posibil s ˘a
caracteriz ˘am complet elementele u astfel ˆıncˆat rk (Hu) + rk (Ku) = N
Astfel vom spune c ˘a un sistem este compatibil doar dac ˘a s,i rangul acelei matrice este
egal cu rangul ei extinse.
2.3 Inegalit ˘at,i
2.3.1 Definitii
Subiectul inegalit ˘at,ilor matematice este str ˆans legat de metodele de optimizare. ˆIn timp ce
cea mai mare parte a subiectului inegalit ˘at,ilor este adesea l ˘asat˘aˆın afara cursului educat ,ional
obis ,nuit, acestea sunt frecvente ˆın olimpiadele de matematic ˘a.
Inegalit ˘at,ile sunt, probabil, o ramur ˘a a algebrei elementare s ,i se refer ˘a us ,or la teoria
numerelor. Ele trateaz ˘a relat ,iile variabilelor notate cu patru semne: >;<;;.
Pentru dou ˘a numere a s ,i b:
a>b dac˘aae mai mare dec ˆatb, atunci,abeste pozitiv.
a<b dac˘aae mai mic dec ˆatb, atunci,abeste negativ.
abdac˘aaeste mai mare sau egal cu b, atunci,abeste ori pozitiv ori 0.
abdac˘aae mai mic sau egal cu b, atunci,abeste ori negativ ori 0.
Ret ,inet ,i c˘a dac ˘a s,i numai dac ˘aa>b ,b<a s,i invers. Acelas ,i lucru este valabil s ,i pentru
ultimele dou ˘a semne: dac ˘a s,i numai dac ˘aab,ba, s,i invers.
Unele propriet ˘at,i ale inegalit ˘at,ilor sunt:
Dac˘aa>b , atuncia+c>b , undec0.
Dac˘aab, atuncia+cb, undec0.
Dac˘aab, atuncia+c>b , undec>0.
14

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
O aplicare comun ˘a a inegalit ˘at,ilor este rezolvarea lor pentru o variabil ˘a. De exemplu, ia
ˆın considerare inegalitatea 5x+ 7>3x+ 8. Putem rezolva pentru variabila x2x1>0,
x >1
2, plas ˆand astfel restrict ,ii implicite asupra variabilei x. Un exemplu mai complex este
x8
x+5+43. Aici este o gres ,eal˘a comun ˘a:x8
x+5+43)x+513
x+5+43)113
x+5+4
3)x+ 513 + 4x+ 203x+ 15)x3
2.
Problema aici este c ˘a am ˆınmult ,it cu x+5 ca unul dintre ultimii pas ,i. De asemenea, am
p˘astrat semnul inegalit ˘at,iiˆın aceeas ,i direct ,ie. Cu toate acestea, nu s ,tim dac ˘a cantitateax+ 5
este negativ ˘a sau nu; nu putem presupune c ˘a este pozitiv pentru tot ,ixreali. Astfel, este
posibil s ˘a fie nevoie s ˘a invers ˘am direct ,ia semnului inegalit ˘at,ii dac ˘aˆınmult ,im cu un num ˘ar
negativ. Dar nu s ,tim dac ˘a cantitatea este negativ ˘a. O solut ,ie corect ˘a ar fi s ˘a mutat ,i totul
pe partea st ˆang˘a a inegalit ˘at,ii s ,i s˘a format ,i un numitor comun. Apoi, va fi simplu s ˘a g˘asit ,i
solut ,iile inegalit ˘at,ii, lu ˆandˆın considerare semnul (negativitatea sau pozitivitatea) fract ,iei,
deoarecexvariaz ˘a:
x8
x+5+ 43)x8
x+5+ 10)2x3
x+50.
V om ˆıncepe cu o solut ,ie intuitiv ˘a s,i apoi se poate construi o regul ˘a pentru solut ,ionarea
inegalit ˘at,ilor fract ,ionale generale. Pentru a face lucrurile mai us ,oare, test ˘amˆıntregi pozitive.
0reprezint ˘a un bun punct de plecare, dar nu rezolv ˘a inegalitatea. Nici 1 dolar. Prin urmare,
aceste dou ˘a nu sunt solut ,ii. Apoi ˆıncepem s ˘a test ˘am numere precum 2 ;3s,i as ,a mai departe.
Toate acestea funct ,ioneaz ˘a. De fapt, nu este dificil s ˘a vezi c ˘a fract ,ia va r ˘amˆane pozitiv ˘a,
ˆıntruc ˆatxdevine tot mai mare. Dar exact unde ˆıncepex, care determin ˘a o fract ,ie negativ ˘a de
la 0 s ,i1,ˆıncepe s ˘a provoace o fract ,ie pozitiv ˘a? Nu putem presupune doar c ˘a2este punctul
de comutare; aceast ˘a solut ,ie nu se limiteaz ˘a pur s ,i simplu la numere ˆıntregi. Numerotatorul
s,i numitorul sunt indicii mari. Mai exact, examin ˘am c ˘a atunci c ˆand2x3 = 0 atunci fract ,ia
este de 0s,iˆıncepe s ˘a fie pozitiv ˘a pentru toate valorile mai mari de x. Rezolvarea ecuat ,iei
relev ˘a c˘ax=3
2este punctul de cotitur ˘a. Dup ˘a mai multe tipuri de lucr ˘ari, ne d ˘am seama
c˘ax=5aduce diviziune cu 0 , deci cu sigurant ,˘a nu este o solut ,ie. Cu toate acestea, ne
spune, de asemenea, c ˘a orice valoare de xcare este mai mic ˘a de5aduce o fract ,ie care are
un num ˘ar˘ator s ,i numitor negativ, rezult ˆand o fract ,iune pozitiv ˘a s,i astfel satisface inegalitatea.
Nicio valoare ˆıntrex=5s,ix=3
2(cu except ,ia3
2ˆın sine) pare a fi o solut ,ie. Prin urmare,
concluzion ˘am c ˘a solut ,iile sunt intervalele (1;5)[[3
2;+1).
Pentru o notare mai bun ˘a, definit ,i”interceptarea x” a unei inegalit ˘at,i fract ,ionate ca fiind
acele valori de xcare determin ˘a numerotatorul s ,i / sau numitorul s ˘a fie0. Pentru a dezvolta
o metod ˘a pentru solut ,ii mai rapide de inegalit ˘at,i fract ,ionale, putem considera pur s ,i simplu
”interceptele x” ale num ˘ar˘atorului s ,i numitorului. Le grafic ˘am pe linia numeric ˘a. Apoi, ˆın
fiecare regiune a liniei numerice, test ˘am un punct pentru a vedea dac ˘aˆıntreaga regiune face
parte din solut ,ie. De exemplu, ˆın exemplul de mai sus, vedem c ˘a a trebuit s ˘a test ˘am o singur ˘a
valoare, cum ar fi 0ˆın regiunea (5;3
2), precum s ,i o valoare ˆın regiunea (1;5]and
[3
2;+1)atunci vedem ce regiuni fac parte din solut ,ia setat ˘a. Acest lucru ofer ˘aˆıntr-adev ˘ar
setul complet de solut ,ii.
Trebuie s ˘a fim atent ,i la limitele solut ,iilor. ˆIn exemplul problemei, valoarea x=3
2a
fost o solut ,ie doar pentru c ˘a inegalitatea era nelimitat ˘a. De asemenea, valoarea x=5
nu a fost o solut ,ie, deoarece ar produce divizarea cu 0.ˆIn mod similar, orice”interceptare
x” a num ˘ar˘atorului este o solut ,ie dac ˘a s,i numai dac ˘a inegalitatea este nelimitat ˘a s,i fiecare
15

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
”interceptare x” a numitorului nu este niciodat ˘a o solut ,ie, deoarece nu putem ˆımp˘art,i cu0.
O inegalitate care este valabil ˘a pentru toate numerele reale sau pentru toate numerele
pozitive (sau chiar pentru toate numerele complexe) este uneori numit ˘a o inegalitate com-
plet˘a. Un exemplu pentru numere reale este as ,a-numita inegalitate banal ˘a, care afirm ˘a c˘a
pentru orice x,x20. Majoritatea inegalit ˘at,ilor de acest tip sunt doar pentru un num ˘ar
pozitiv, iar acest tip de inegalitate are adesea probleme s ,i aplicat ,ii extrem de inteligente.
2.3.2 Lista teoremelor:
(1) Inegalitatea medie aritmetic ˘a-medie geometric ˘a este o inegalitate elementar ˘a s,i este, ˆın
general, una dintre primele predate la cursurile de inegalitate. Teorema precizeaz ˘a c˘a pentru
orice set de numere reale nenegative, media aritmetic ˘a a mult ,imii este mai mare sau egal ˘a cu
media geometric ˘a a mult ,imii. Algebric, aceasta este exprimat ˘a dup ˘a cum urmeaz ˘a.
Pentru un set de numere reale nenegative a1;a2;:::;an, urm ˘atorul t ,ineˆıntotdeauna:
a1+a2+:::+an
nnpa1a2


an
Folosind notat ,ia scurt ˘a pentru rezumate s ,i produse:
nX
i=1ai
nnY
i=1a1
n
i:
De exemplu, pentru setul f9;12;54g, media aritmetic ˘a 25 este mai mare dec ˆat media
geometric ˘a 18; Teorema garanteaz ˘a c˘a acest lucru este ˆıntotdeauna cazul.
Condit ,ia egalit ˘at,ii acestei inegalit ˘at,i afirm ˘a c˘a media aritmetic ˘a s ,i media geometric ˘a
sunt egale dac ˘a s,i numai dac ˘a tot ,i membrii setului sunt egali.
Forma ponderat ˘a a teoremei este dat ˘a prin utilizarea mediilor ponderate. De exemplu,
media aritmetic ˘a ponderat ˘a axs,iycu3 : 1 este3x+1y
3+1iar geometricul este3+1p
x3y.
Teorema se aplic ˘a mediilor ponderate. Concret, inegalitatea ponderat ˘a teoremei afirm ˘a
c˘a dac ˘aa1;a2;:::;ansunt numere reale pozitive s ,i1;2;:::;nsunt numere real pozitive
(”greut ˘at,ile”) care ˆınsumeaz ˘a 1, atunci
1a1+2a2+


+nana1
1a2
2


an
n;
sau,ˆın notat ,ia mai compact ˘a,
nX
i=1iainY
i=1ai
i:
Egalitatea este valabil ˘a dac ˘a s,i numai dac ˘aai=ajpentru toate numerele ˆıntregii;jastfel
ˆıncˆati6= 0s,ij6= 0. Obt ,inem forma neponderat ˘a a teoremei prin setare 1=2=


=
n= 1=n.
16

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
(2) Inegalitatea Cauchy-Schwarz (care este cunoscut ˘a de alte nume, inclusiv Inegalita-
tea lui Cauchy, Inegalitatea lui Schwarz s ,i Inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) este
o inegalitate binecunoscut ˘a cu multe aplicat ,ii elegante. Are o form ˘a elementar ˘a, o form ˘a
complex ˘a s,i o form ˘a general ˘a.
Louis Cauchy a scris prima lucrare despre forma elementar ˘aˆın 1821. Forma general ˘a a
fost descoperit ˘a de Bunyakovsky ˆın 1849 s ,i independent de Schwarz ˆın 1888.
Pentru orice numere reale a1;:::;ans,ib1;:::;bn,
nX
i=1aibi!2
 nX
i=1a2
i! nX
i=1b2
i!
cu egalitate atunci c ˆand exist ˘a o constant ˘a nenul ˘aastfel ˆıncˆat pentru tot ,i1in,
ai=bi.
Consider ˘am vectorii a=ha1;:::anis,ib=hb1;:::bni. Dac ˘aeste unghiul format de
as,ib, atunci partea st ˆang˘a a inegalit ˘at,ii este egal ˘a cu p ˘atratul produsului punct din as,ib,
sau(a
b)2=a2b2(cos)2.Partea dreapt ˘a a inegalit ˘at,ii este egal ˘a cu(jjajjjjbjj)2=a2b2.
Inegalitatea rezult ˘a apoi dinjcosj1, cu egalitatea atunci c ˆand unul dintre a;beste un
multiplu al celuilalt, dup ˘a cum ne dorim.
Forma Complex ˘a. Inegalitatea apare uneori sub urm ˘atoarea form ˘a:
Fiea1;:::;ans,ib1;:::;bns˘a fie numere complexe. Apoi
nX
i=1aibi2
 nX
i=1ja2
ij! nX
i=1jb2
ij!
Acest lucru pare a fi mai puternic, dar rezult ˘a din
nX
i=1aibi2
 nX
i=1jaij
jbij!2
 nX
i=1ja2
ij! nX
i=1jb2
ij!
Limita superioar ˘a pe (a)(b)
Fiea1;a2;:::;ans,ib1;b2;:::;bns˘a fie dou ˘a secvent ,e de numere reale pozitive cu
0<mai
biM
pentru 1in. Then
nX
i=1a2
i! nX
i=1b2
i!
(M+m)2
4Mm nX
i=1aibi!2
;
cu egalitate dac ˘a s,i numai dac ˘a, pentru o anumit ˘a ordonare a perechilor (ai;bi)7!(a(i);b(i)),
nis,te0jnexist ˘a astfel ˆıncˆata(i)=mb(i)pentru 1(i)js,ia(i)=Mb(i)
17

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
pentruj+ 1(i)n, s,i
mjX
(i)=1b2
(i)=MnX
(i)=j+1b2
(i):
Dac˘a restrict ,ion˘am astam1aiM1s,im2biM2pentru tot ,ii, atunci este clar c ˘a
pentruai=bis˘a fiem=m1=M2sauM=M1=m2pentru tot ,ii, atunciai=m1()bi=M2
s,iai=M1()bi=m2, so
mjX
(i)=1b2
(i)=MnX
(i)=j+1b2
(i)
este echivalent cu
m(jM2
2) =M((nj)m2
2)()m1M2j=M1m2(nj)
()j=M1m2
M1m2+m1M2
n:
( Cˆand acesta nu este un num ˘arˆıntreg, maximul apare atunci c ˆandjeste fie plafonul, fie
podeaua din partea dreapt ˘a.)ˆIn cazul special c ˘aaibi=k > 0este constant pentru tot ,ii,
avemM1= 1=m2s,im1= 1=M2, iarˆınjtrebuie s ˘a fien=2.
Ret ,inem c ˘a pentru tot ,ii, avem
0ai
bim
Mai
bi
=1
b2
i(aibiMa2
ib2
iMm +aibim)
sau
(M+m)aibia2
i+ (Mm)b2
i;
cu egalitatea dac ˘a s,i numai dac ˘aai=mbisauai=Mbi. Rezum ˆand aceste inegalit ˘at,i peste
1in, obt ,inem din (1) c ˘a
(M+m)nX
i=1aibinX
i=1a2
i+ (Mm)nX
i=1b2
i
2vuutMm nX
i=1a2
i! nX
i=1b2
i!
;
iar p ˘atratul ne ofer ˘a leg ˘atura dorit ˘a. Pentru ca egalitatea s ˘a apar ˘a, trebuie s ˘a avemai=mbi
orai=Mbipentru tot ,ii. Dac ˘a, f˘ar˘a pierderea generalit ˘at,ii,ai=mbipentru 1ijs,i
ai=Mbipentruj+ 1inpentru nis ,te0jn, atunci pentru (1) pentru a ajunge la
18

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
egalitatea dorit ˘a trebuie s ˘a avem (presupunem M >m din moment ce M=meste banal )
nX
i=1a2
i=MmnX
i=1b2
i
m2jX
i=1b2
i+M2nX
i=j+1b2
i=MmjX
i=1b2
i+MmnX
i=j+1b2
i
(mM)mjX
i=1b2
i= (mM)MnX
i=j+1b2
i
mjX
i=1b2
i=MnX
i=j+1b2
i:
Forma general ˘a
FieVs˘a fie un spat ,iu vectorial s ,i s˘a l˘asat ,ih
;
i:VV!Rs˘a fie un produs interior.
Atunci pentru orice a;b2V,
ha;bi2ha;aihb;bi;
cu egalitatea dac ˘a s,i numai dac ˘a exist ˘a constante;nu ambele zero astfel ˆıncˆata=b.
Lu˘amˆın considerare polinomul lui t
hta+b;ta+bi=t2ha;ai+ 2tha;bi+hb;bi:
Acest lucru trebuie s ˘a fie ˆıntotdeauna mai mare sau egal cu zero, deci trebuie s ˘a aib ˘a un
discriminant non-pozitiv, i.e., ha;bi2trebuie s ˘a fie mai mic ˘a sau egal ˘a cuha;aihb;bi, cu
egalitatea c ˆanda=0sau c ˆand exist ˘a ceva scalartastfel ˆıncˆatta=b.
Consider ˘am
hab;abi=ha;ai+hb;bi2ha;bi:
Deoarece acest lucru este ˆıntotdeauna mai mare sau egal cu zero, avem
ha;bi1
2ha;ai+1
2hb;bi:
Acum, dac ˘a este asaubeste egal cu 0, atunciha;bi2=ha;aihb;bi= 0.ˆIn caz contrar,
putem normaliza astfel ˆıncˆatha;ai=hb;bi= 1, s,i avem
ha;bi1 =ha;ai1=2hb;bi1=2;
cu egalitate c ˆandas,ibpot fi scalate ˆıntre ele, dup ˘a dorint ,˘a.
Forma elementar ˘a a inegalit ˘at,ii Cauchy-Schwarz este un caz special al formei generale,
as,a cum este s ,i inegalitatea Cauchy-Schwarz pentru Integrale: pentru funct ,ii integrabile f;g:
[a;b]7!R,Zb
af(x)g(x)dx2
Zb
a
f(x)2dx
Zb
a
g(x)2dx
19

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
cu egalitatea atunci c ˆand exist ˘a constante ; nu ambele sunt egale cu zero astfel ˆıncˆat
t2[a;b],
Zt
af(x)dx=Zt
ag(x)dx:
(3)Lema lui Titu afirm ˘a c˘a:
a2
1
b1+a2
2
b2+


+a2
n
bn(a1+a2+


+an)2
b1+b2+


+bn:
Este o consecint ,˘a direct ˘a a teoremei Cauchy-Schwarz.
Lema lui Titu poart ˘a numele dup ˘a Titu Andreescu s ,i este cunoscut ˘a s,i sub denumirea
de lema T2, forma lui Engel sau inegalitatea lui Sedrakyan.
(4) Inegalitatea lui Chebyshev, numit ˘a dup ˘a Pafnuty Chebyshev, afirm ˘a c˘a dac ˘aa1
a2:::ans,ib1b2:::bnatunci se ment ,ine urm ˘atoarea inegalitate:
n(Pn
i=1aibi)(Pn
i=1ai) (Pn
i=1bi).
Pe de alt ˘a parte dac ˘aa1a2:::ans,ibnbn1:::b1atunci:n(Pn
i=1aibi)
(Pn
i=1ai) (Pn
i=1bi).
Inegalitatea lui Chebyshev este o consecint ,˘a a inegalit ˘at,ii reamenaj ˘arii, ceea ce ne ofer ˘a
aceast ˘a sum ˘aS=a1bi1+a2bi2+:::+anbineste maximal ˘a cˆandik=k.
Acum, ad ˘augˆand inegalit ˘at,ile:
Pn
i=1aibia1b1+a2b2+:::+anbn
Pn
i=1aibia1b2+a2b3+:::+anb1




Pn
i=1aibia1bn+a2b1+:::+anbn1
obt ,inem inegalitatea init ,ial˘a.
(5) O inegalitate geometric ˘a este o inegalitate care implic ˘a diverse m ˘asuri (unghiuri,
lungimi, zone etc.) ˆın geometrie.
Inegalitatea triunghiului spune c ˘a suma lungimilor oric ˘arei dou ˘a p˘art,i ale unui triunghi
nedegenerat este mai mare dec ˆat lungimea celei de-a treia p ˘art,i. Aceast ˘a inegalitate este deo-
sebit de util ˘a s,i apare frecvent la problemele de geometrie la nivel intermediar. De asemenea,
ofer˘a baza definit ,iei unui spat ,iu metric ˆın analiz ˘a.
Inegalitatea pitagoreic ˘a este o generalizare a teoremei pitagoreene. Teorema afirm ˘a c˘a
ˆıntr-un triunghi drept cu laturile de lungime abcatunci avem a2+b2=c2. Inegalitatea
se extinde asupra triunghiurilor obuze s ,i acute. Inegalitatea spune:
20

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
Pentru un triunghi acut cu laturile de lungime abc,a2+b2> c2. Pentru un
triunghi obtuz cu laturile abc,a2+b2<c2. Aceast ˘a inegalitate este un rezultat direct
al Legii Cosinelor, des ,i este posibil s ˘a se dovedeasc ˘a f˘ar˘a a utiliza trigonometria.
Inegalitatea izoperimetric ˘a afirm ˘a c˘a dac ˘a o figur ˘a din plan are suprafat ,˘aAiar perime-
trulP, atunci4A
P21. Aceasta ˆınseamn ˘a c˘a dat un perimetru Ppentru o figur ˘a plan ˘a, cercul
are cea mai mare suprafat ,˘a.ˆIn schimb, din toate figurile plane cu suprafat ,aA, cercul are cel
mai put ,in perimetru.
Inegalit ˘at,i trigonometrice
ˆIn4ABC ,sinA+sinB+sinC3p
3
2. Atunci¿ sineste o funct ,ie concav ˘a din 0
. Prin urmare, putem folosi inegalitatea lui Jensen:sinA+sinB+sinC
3sinA+B+C
3

=p
3
2
ˆIn mod alternativ, putem folosi o metod ˘a care poate fi numit ˘a”perturbare”. Dac ˘a l˘as˘am
toate unghiurile A;B;C s˘a fim egali, dovedim c ˘a dac ˘a vom face un unghi mai mare s ,i cel˘alalt
mai mic, vom sc ˘adea valoarea total ˘a a expresiei. Pentru a demonstra acest lucru, tot ce trebuie
s˘a ar˘at˘am este dac ˘a0< A;B < 180, atunci sin(A+B) + sin(AB)<2 sinA. Aceast ˘a
inegalitate se reduce la 2 sinAcosB < 2 sinA, care este echivalent ˘a cucosB < 1.ˆIntruc ˆat
acest lucru este ˆıntotdeauna adev ˘arat pentru 0<B < 180, aceast ˘a inegalitate este adev ˘arat˘a.
Prin urmare, valoarea maxim ˘a a acestei expresii este atunci c ˆandA=B=C= 60 , ceea ce
ne ofer ˘a valoarea sinA+ sinB+ sinC=3p
3
2.
ˆIn mod similar, ˆın4ABC ,cosA+ cosB+ cosC3
2.
Inegalitatea lui Euler afirm ˘a c˘aR2rcu egalitate c ˆand4ABC este echilateral, unde
Rs,irnoteaz ˘a circumradiul s ,i inradiul triunghiului ABC , respectiv.
Distant ,addin circumcentrul s ,i stimulatorul unui triunghi poate fi exprimat ca d2=
R(R2r),ˆınsemn ˆandR2r0sau echivalent R= 2rcu egalitate dac ˘a s,i numai dac ˘a
stimulatorul este egal cu circumcentrul, s ,i anume triunghiul este echilateral.
Inegalitatea lui Ptolemeu afirm ˘a c˘a pentru orice patrulater ABCD ,AB
CD+BC

DAAC
BD cu egalitatea atunci c ˆand patrulaterul ABCD este ciclic.
Fie P punctul acesta ˆın as ,a fel ˆıncˆat4ABC4ADP . Dup ˘a SAS avem s ,i4ABD
4ACP . Dup ˘a inegalitatea triunghiului, PD+DCPC. calcul ˆand lungimile, obt ,inem o
declarat ,ie echivalent ˘a:BCDA
AB+CDBDAC
AB.ˆınmult ,ind cuABobt ,inem rezultatul dorit cu
egalitatea atunci c ˆand P este pe DC. Acest lucru se ˆıntˆampl ˘a atunci c ˆand\ADP +\ADC =
180. Dar\ABC=\ADP so\ABC +\ADC = 180, sau patrulater ABCD este ciclic.
Folosind inversiunea (A;1)B, C s ,i D p ˆan˘a la B ’, C’ s ,i D ’respectiv. Avem atunci
B0C0=BC
AB
AC
C0D0=CD
AC
AD
B0D0=BD
AB
AD:
21

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
Prin inegalitatea triunghiului, avem
B0C0+C0D0B0D0=)BC
AB
AC+CD
AC
ADBD
AB
AD:
ˆInmult ,ind cuAB
AC
ADde ambele p ˘art,i obt ,inem rezultatul dorit cu egalitate atunci c ˆand
B0C0D0este colinear, ceea ce implic ˘a fie ABCD este ciclic sau colinear.
Inegalitatea Erd ˝os-Mordell afirm ˘a c˘a dac ˘aPse afl ˘aˆınABC atunciPA+PB+PC
2(PD+PE+PF)undeD;E;F sunt piciorul altitudinilor de la PlaAB;BC; s,iAC:
Lema lui Mordell: PAsinAPEsinC+PFsinB
FieMs,iNs˘a fie proiect ,iile luiEs,iFpe liniaPD:
Figura 2.1 : figura 1
Ret ,inem c ˘aAFPE este un diametru ciclic AP: Dup˘a ELOS,EF
sinA= 2R=AP =)
EF=APsinA:Dac˘aBDPF este ciclic, avem asta Bs,i\FPD sunt suplimentare. Dac ˘a
MPD este o linie, B=\FPM: Aceasta ˆınseamn ˘a c˘asinB= sinFPN =FN
FP=)
FN=PFsinB:Asem ˘an˘ator cu,EM =PEsinC:Deci problema se reduce la dovedirea
acestui lucru EFFN+EM dar reiese din Teorema Pythagoreic ˘a.
Acum, restul problemei este simpl ˘a. Noi s ,tim asta
PAPEsinC
sinA+PFsinB
sinA
PBPFsinA
sinB+PDsinC
sinB
PCPDsinB
sinC+PEsinA
sinC:
Ad˘augarea acestora implic ˘a
PA+PB+PCPDsinB
sinC+sinC
sinB
+PEsinC
sinA+sinA
sinC
+PFsinA
sinB+sinB
sinA
:
22

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
Dup˘a (1),PA+PB+PC2(PD+PE+PF)cu egalitate atunci c ˆand ABC este
echilateral ˘a s,i P este centrul acesteia.
(6) Inegalitatea lui Jensen este o inegalitate descoperit ˘a de matematicianul danez Johan
Jensen ˆın 1906.
L˘as˘amFs˘a fie o funct ,ie convex ˘a a unei variabile reale. L ˘as˘amx1;:::;xn2Rs,i
a1;:::;an0s˘a satisfac ˘aa1+


+an= 1. Atunci
F(a1x1+


+anxn)a1F(x1) +


+anF(xn)
Dac˘aFeste o funct ,ie concav ˘a, atunci avem:
F(a1x1+


+anxn)a1F(x1) +


+anF(xn)
Dovada inegalit ˘at,ii lui Jensen este foarte simpl ˘a. Deoarece graficul fiec ˘arei funct ,ii con-
vexe se afl ˘a deasupra liniei sale tangente la fiecare punct, putem compara funct ,iaFcu funct ,ia
liniar ˘aL, al c ˘arui grafic este tangent cu graficul din Fˆın punctula1x1+


+anxn. Apoi,
partea st ˆang˘a a inegalit ˘at,ii este aceeas ,i pentruFs,iL,ˆın timp ce partea dreapt ˘a este mai mic ˘a
pentruL.Dar cazul egalit ˘at,ii este valabil pentru toate funct ,iile liniare.
Unul dintre cele mai simple exemple ale inegalit ˘at,ii lui Jensen este media cuadratic ˘a
– inegalitatea medie aritmetic ˘a. Lu ˘amF(x) =x2(verific ˘am c ˘aF0(x) = 2xs,iF00(x) =
2>0) s,ia1=


=an=1
n. V om obt ,inex1+


+xn
n
2x2
1+


+x2
n
n.ˆIn mod similar,
inegalitatea aritmetic ˘a medie-geometric ˘a poate fi obt ,inut˘a din inegalitatea lui Jensen, lu ˆand
ˆın considerare F(x) =logx.
(7) Inegalitatea lui Nesbitt este o teorem ˘a care, des ,i este citat ˘a rar, are multe dovezi
instructive. Aceasta afirm ˘a c˘a pentrua;b;c ,
a
b+c+b
c+a+c
a+b3
2,
cu egalitatea atunci c ˆand toate variabilele sunt egale.
Toate dovezile de mai jos generalizeaz ˘a pentru a demonstra urm ˘atoarele inegalit ˘at,i mai
generale.
Dac˘aa1;:::ansunt pozitive s ,iPn
i=1ai=s, atunci
Pn
i=1ai
sain
n1,
sau echivalent
Pn
i=1s
sain2
n1,
cu egalitatea atunci c ˆand tot ,iaisunt egali.
Metode de dezvoltare:
1. S-ar putea s ˘a normaliz ˘am astfel ˆıncˆata+b+c= 1. Apoi ne dorim s ˘a ar˘at˘am
a
1a+b
1b+c
1c3
2:
23

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
Cazul de egalitate este atunci c ˆanda=b=cas,a vom folosi prima metod ˘a. Dorim s ˘a ar˘at˘am
dac˘aa6=batunci
a
1a+b
1b>2
a+b
2
1a+b
2:
Dac˘a acest lucru este adev ˘arat, atunci dac ˘a minimul apare ˆıntr-un punct ˆın carea6=batunci
putem ˆınlocuias,ibcu media lor s ,i apoi expresia scade, astfel ˆıncˆat aceasta nu poate fi
minim ˘a. Astfel, minimul apare acolo unde sunt tot ,i egali s ,i am fi terminat.
Extind ˆand ambele p ˘art,i ale inegalit ˘at,ii s ,i elimin ˆand numitorii pe care ˆıi obt ,inem
a2+b2>2ab;
ceea ce este adev ˘arat pentru c ˘aa6=b.
2. Prin Rearanjare. Ret ,inem c ˘aa;b;c s,i1
b+c=1
a+b+ca,1
c+a=1
a+b+cb,1
a+b=1
a+b+cc
sunt sortate ˆın aceeas ,i ordine. Apoi prin inegalitatea de rearanjare,
2a
b+c+b
c+a+c
a+b

b
b+c+c
b+c+c
c+a+a
c+a+a
a+b+b
a+b= 3.
Pentru ca egalitatea s ˘a apar ˘a, de c ˆand ne-am schimbat a
1
b+c+b
1
c+atob
1
b+c+a
1
c+a,
trebuie sa avem a=b, deci prin simetrie, toate variabilele trebuie s ˘a fie egale.
3. Prin Cauchy-Schwarz avem
[(b+c) + (c+a) + (a+b)]1
b+c+1
c+a+1
a+b

9,
sau
2a+b+c
b+c+a+b+c
c+a+a+b+c
a+b

9. Egalitatea apare atunci c ˆand(b+c)2= (c+a)2=
(a+b)2, i.e., c ˆanda=b=c.
4. Prin AM-GM (1)
Prin aplicarea AM-GM de dou ˘a ori, vom avea
[(b+c)+(c+a)+(a+b)]1
b+c+1
c+a+1
a+b

3[(b+c)(c+a)(a+b)]1
3

1
(b+c)(c+a)(a+b)1
3=
9,
ceea ce produce inegalitatea dorit ˘a.
5. Prin expansiune s ,i AM-GM Consider ˘am echivalent ,a inegalit ˘at,ii
[(b+c) + (c+a) + (a+c)]1
b+c+1
c+a+1
a+b

9.
Set˘amx=b+c;y=c+a;z=a+b, extindem partea st ˆang˘a pentru a obt ,ine
3 +x
y+y
x+y
z+z
y+z
x+x
z9,
Care rezult ˘a dinx
y+y
x2, etc., cu egalitatea c ˆandx=y=z.
6. Prin inegalitatea AM-HM pentru trei variabile,
24

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
x+y+z
33
1
x+1
y+1
z,
este echivalent ˘a pentru
(x+y+z)
1
x+1
y+1
z
9.
Setˆandx=b+c;y=c+a;z=a+bproducem inegalitatea dorit ˘a.
7. Prin substit ,iex=a
b+c;y=b
c+a;z=c
a+bsatisfacem condit ,iaxy+yz+zx+
2xyz= 1. Astfel, este suficient s ˘a demonstrezi c ˘a, dac ˘a exist ˘a numerex;y;z satisfacem
xy+yz+zx+ 2xyz= 1, atuncix+y+z3
2.
S˘a presupunem, dimpotriv ˘a, c˘ax+y+z <3
2. Atunci avem xy+yz+zx(x+y+z)2
3<3
4,
s,i2xyz2x+y+z
3
3<1
4. Ad˘augˆand aceste randamente inegalit ˘at,ixy+yz+zx+2xyz < 1,
obt ,inem o contradict ,ie.
8. Prin normalizare s ,i AM-HM c ˘aa+b+c= 1. Este suficient s ˘a dovedim c ˘a
1
b+c+1
c+a+1
a+b9
2,
care rezult ˘a din AM-HM.
9. Prin AM-HM normaliz ˘am astfel ˆıncˆata+b+c= 1.
Maiˆıntˆai remarc ˘am c ˘a prin inegalitatea de rearanjare sau prin faptul c ˘a(ab)2+ (b
c)2+ (ca)20,
3(ab+bc+ca)a2+b2+c2+ 2(ab+bc+ca),
atunci
1
a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)1
2
3(a+b+c)2=3
2.
Din moment ce a+b+c= 1, datorit ˘a AM-HM ce ne ofer ˘a
a
1
b+c+b
1
c+a+c
1
a+b1
a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)3
2.
10. Prin Muirhead s ,i Cauchy
Prin Cauchy ,
X
cyca2
ab+ac(a+b+c)2
2(ab+ac+bc)=a2+b2+c2+ 2(ab+ac+bc)
2(ab+ac+bc)
= 1 +a2+b2+c2
2(ab+ac+bc)3
2
din moment ce a2+b2+c2ab+ac+bcprin Muirhead ca s ,i[1;1;0][2;0;0]
25

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
11. O alt ˘a metod ˘a interesant ˘a, fie
S=a
b+c+b
c+a+c
a+b
s,i
M=b
b+c+c
c+a+a
a+b
iar
N=c
b+c+a
c+a+b
a+b
Atunci, noi obt ,inem
M+N= 3
De asemenea prin AM-GM;
M+S3
s,i
N+S3
=)M+N+ 2S6
=)2S3
=)S3
2
prin Muirhead s ,i expandare.
Fie[x;y;z ] =P
symaxbycz. Extinz ˆand obt ,inem c ˘a inegalitatea noastr ˘a este echivalent ˘a
cuX
cyca3+X
syma2b+X
cycabc3(a+b)(b+c)(c+a)
2
Asta ˆınseamn ˘a c˘a
[3;0;0]=2 + [2;1;0] + [1;1;1]=23
2(a+b)(b+c)(a+c)
Deci rezult ˘a c˘a trebuie s ˘a dovedim
[3;0;0] + 2[2;1;0] + [1;1;1]3([2;1;0] + [1;1;1]=3)
Deci rezult ˘a c˘a trebuie s ˘a dovedim [3;0;0][2;1;0]care rezult ˘a imediat din Muirhead.
(8) Inegalitatea reamenaj ˘arii afirm ˘a c˘a, dac ˘aA=fa1;a2;


;angeste o permutare a
unui set finit (de fapt, multiset) de numere reale s ,iB=fb1;b2;


;bngeste o permutare a
unui alt set finit de numere reale, cantitatea a1b1+a2b2+


+anbneste maximizat c ˆandAs,i
Bsunt sortate ˆın mod similar (adic ˘a dac ˘aakeste mai mare sau egal ˘a cuidin ceilalt ,i membri
ai luiA, atuncibkeste de asemenea mai mare sau egal ˘a cu exactiale celorlalt ,i membri aiB).
Invers,a1b1+a2b2+


+anbneste minimizat atunci c ˆandAs,iBsunt sortate opus (adic ˘a
dac˘aakeste mai mic sau egal cu iale celorlalt ,i membri ai lui A, atuncibkeste de asemenea
mai mare sau egal cu iale celorlalt ,i membri din B).
26

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
Inegalitatea reamenaj ˘arii poate fi tratat ˘a prin contradict ,ie. Doar forma de maximizare
este dovedit ˘a aici; dovada de minimizare este practic identic ˘a.
ˆInainte de a ˆıncepe, este util s ˘a lu˘amˆın considerare cazul ˆın caren= 2. F˘ar˘a pierderea
generalit ˘at,ii, sort ˘amAs,iBastfel ˆıncˆata2a1s,ib2b1. Prin ipotez ˘a,(a2a1)(b2b1)
0. Extinz ˆand s ,i luˆand c ˆat,iva termeni ˆın cealalt ˘a parte a inegalit ˘at,ii, obt ,inema1b1+a2b2
a1b2+a2b1, as ,a cum se dores ,te.
Acum pentru cazul general. Din nou, f ˘ar˘a pierderea generalit ˘at,ii, set ˘ama1a2



ans,ib1b2


bn; s,i s˘a presupunem c ˘a gruparea care maximizeaz ˘a suma
dorit ˘a de produse nu este cea care se ˆımperecheaz ˘aa1cub1,a2cub2, s,i as ,a mai departe.
Aceasta ˆınseamn ˘a c˘a exist ˘a cel put ,in o instant ,˘aˆın careaiesteˆımperecheat cu bjˆın timp ce
akesteˆımperecheat cu bl, undei < j s,ik > l . Cu toate acestea, utilizarea tehnicii v ˘azute
mai sus pentru a demonstra inegalitatea pentru n= 2, putem vedea c ˘a suma produselor poate
cres ,te doar dac ˘aˆın schimb ne ˆımperechem aicubls,iakcubj(cu except ,ia cazului ˆın care
ambele a sau b sunt egale, caz ˆın care fie putem alege o alt ˘a pereche de produse, fie not ˘am
c˘a aranjamentul curent este de fapt identic cu cel dorit), ceea ce contrazice presupunerea
noastr ˘a c˘a aranjamentul pe care l-am avut a fost deja cel mai mare.
(9) Inegalitatea medie a puterii este o form ˘a generalizat ˘a a inegalit ˘at,ii mediei aritme-
tice cu variabil ˘a medie-geometric ˘a. Pentru numere reale k1;k2s,i numere reale pozitive
a1;a2;:::;an,k1k2implic ˘ak1media puterii este mai mare sau egal ˘a cuk2.
Algebric,k1k2implic ˘a faptul c ˘a
k1s
ak1
1+ak1
2+


+ak1n
nk2s
ak2
1+ak2
2+


+ak2n
n
care poate fi scris mai concis ca
k1vuutnP
i=1ak1
i
nk2vuutnP
i=1ak2
i
n
Inegalitatea medie a puterii rezult ˘a din faptul c ˘a@M(t)
@t0(undeM(t)este atth putere
medie) ˆımpreun ˘a cu inegalitatea Jensen.
nX
i=1ak1
i
n!1
k1
 nX
i=1ak2
i
n!1
k2
Ridic ˆand ambele p ˘art,i la putereak1, obt ,inem
nX
i=1ak1
i
n nX
i=1ak2
i
n!k1
k2
Observ ˘am c ˘a funct ,iaf(x) =xk2
k1este concav ˘a pentru toate x > 0, astfel putem aplica
27

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
inegalitatea lui Jensen. Astfel,
nX
i=1ak1
i
n!k2
k1
=f nX
i=1ak1
i
n!
nX
i=11
nf
ak1
i

=nX
i=1ak2
i
n
(10) Inegalitatea triunghiului spune c ˘aˆıntr-un triunghi nedegenerat ABC :
AB+BC >AC
BC+AC >AB
AC+AB >BC
Adic ˘a, suma lungimilor oric ˘arei dou ˘a fet ,e este mai mare dec ˆat lungimea celei de-a treia
p˘art,i.ˆIn triunghiurile degenerate, inegalitatea strict ˘a trebuie ˆınlocuit ˘a cu”mai mare sau egal ˘a
cu”.
Inegalitatea triunghiului poate fi extins ˘a s,i la alte poligoane. Lungimile a1;a2;:::;an
nu poate fi dec ˆat laturile unui nedegenerat n-gon dac ˘aai<a 1+:::+ai1+ai+1+:::+an=Pn
j=1aj
aifori= 1;2:::;n . Exprimarea inegalit ˘at,iiˆın aceast ˘a form ˘a duce la 2ai<P,
undePeste suma lui aj, sauai<P
2. Aflat ˆıntr-un alt fel, se spune c ˘aˆın fiecare poligon,
fiecare parte trebuie s ˘a fie mai mic ˘a dec ˆat semiperimetrul.
(11) Inegalitatea banal ˘a este o inegalitate care afirm ˘a c˘a p˘atratul oric ˘arui num ˘ar real este
negativ. Numele s ˘au vine din simplitatea s ,iˆındreptarea sa.
Pentru toate numerele reale x,x20, are loc egalitatea dac ˘a s,i numai dac ˘ax= 0.
Proced ˘am prin contradict ,ie. S ˘a presupunem c ˘a exist ˘a un num ˘ar realxastfel ˆıncˆatx2<
0.Putem avea ori x= 0,x>0, saux<0. Dac ˘ax= 0, atunci exist ˘a o contradict ,ie clar ˘a, ca
x2= 026<0. Dac ˘ax>0, atuncix2<0obt ,inemx<0
x= 0dup˘aˆımp˘art,irea lax(care este
pozitiv ˘a), deci acest caz duce s ,i la o contradict ,ie.ˆIn final dac ˘ax<0, atuncix2<0obt ,inem
x>0
x= 0prinˆımp˘art,irea lax(which is negative), s ,iˆınc˘a o dat ˘a avem o contradict ,ie.
Astfel,x20pentru toate numerele reale x.
Inegalitatea banal ˘a este una dintre cele mai utilizate teoreme ˆın matematic ˘a. Este foarte
cunoscut s ,i nu necesit ˘a dovezi.
O aplicat ,ie este maximizarea s ,i minimizarea funct ,iilor patratice. Ofer ˘a o dovad ˘a us ,oar˘a
a cazului cu dou ˘a variabile ale inegalit ˘at,ii mediei geometrice aritmetice:
S˘a presupunem c ˘axs,iysunt numere reale pozitive. Prin inegalitatea banal ˘a, avem
(xy)20, orx22xy+y20. Ad˘augˆand4xyambelor p ˘art,i,obt ,inemx2+ 2xy+y2=
(x+y)24xy. Deoarece ambele p ˘art,i ale inegalit ˘at,ii nu sunt negative, este echivalent cu
x+y2pxy, astfel obt ,inem
x+y
2pxy;
28

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
(12) Inegalitatea lui Schur este o inegalitate care t ,ine de un num ˘ar pozitiv. Este numit
dup˘a Issai Schur.
Inegalitatea lui Schur afirm ˘a c˘a pentru toate numerele care nu sunt negative a;b;c2R
s,ir>0:
ar(ab)(ac) +br(ba)(bc) +cr(ca)(cb)0
Cele patru cazuri de egalitate apar atunci c ˆanda=b=csau c ˆand dou ˘a dintrea;b;c
sunt egale s ,i al treilea este 0.
Cazuri comune:
Cˆandr= 1cazul produce inegalitatea binecunoscut ˘a:a3+b3+c3+3abca2b+a2c+
b2a+b2c+c2a+c2b
Cˆandr= 2, o form ˘a echivalent ˘a este:a4+b4+c4+abc(a+b+c)a3b+a3c+
b3a+b3c+c3a+c3b
Fieabc. Ret ,inem c ˘aar(ab)(ac) +br(ba)(bc) =ar(ab)(ac)
br(ab)(bc) = (ab)(ar(ac)br(bc)). Clar,arbr0, s,iacbc0.
Astfel, (ab)(ar(ac)br(bc))0 =)ar(ab)(ac) +br(ba)(bc)0.
Totus ,i,cr(ca)(cb)0, s,i astfel dezvoltarea este complet ˘a.
Forma generalizat ˘a:
Valentin V ornicu a ar ˘atat c ˘a exist ˘a o form ˘a mai general ˘a a inegalit ˘at,ii lui Schur. Consi-
der˘ama;b;c;x;y;z2R, undeabc, s,i nicixyzsauzyx. L˘as˘amk2Z+
s,if:R!R+
0fie convex, fie monoton. Apoi,
f(x)(ab)k(ac)k+f(y)(ba)k(bc)k+f(z)(ca)k(cb)k0.
Forma standard a lui Schur este cazul acestei inegalit ˘at,iˆın carex=a; y =b; z =
c; k= 1; f(m) =mr.
(13) Inegalitatea lui Acz ´el afirm ˘a c˘a dac ˘aa2
1> a2
2+


+a2
nsaub2
1> b2
2+


+b2
n,
atunci
(a1b1a2b2


anbn)2(a2
1a2
2


a2
n)(b2
1b2
2


b2
n):Consider ˘am
funct ,iaf(x) = (a1xb1)2Pn
i=2(aixbi)2= (a2
1a2
2


a2
n)x22(a1b1a2b2



anbn)x+ (b2
1b2
2


b2
n).
Avemf
b1
a1
=Pn
i=2
aib1
a1bi2
0, apoi de la a2
1> a2
2+


+a2
nobt ,inem
limx!1f(x)!1 . Astfel,f(x)trebuie s ˘a aib ˘a cel put ,in o r ˘ad˘acin˘a,,D= (a1b1a2b2



anbn)2(a2
1a2
2


a2
n)(b2
1b2
2


b2
n)0.
Forma general ˘a:
Fiep1;:::;pm1astfel ˆıncˆatPm
i=11
pi= 1s,i obt ,inem
29

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
(a11;:::;a 1n);
…
(am1;:::;amn)fiemsecvent ,e de numere reale pozitive, astfel ˆıncˆatapi
i1api
i2



api
in>0pentrui= 1;:::;m . Astfel
Qm
i=1ai1Qm
i=1ai2


Qm
i=1ainQm
i=1(api
i1api
i2


api
in)1
picu egalitatea
dac˘a s,i numai dac ˘a toate secvent ,ele sunt proport ,ionale.
(14) Inegalitatea lui Callebaut afirm ˘a c˘a pentru 1xy0;
nX
i=1a1+x
ib1x
inX
i=1a1x
ib1+x
inX
i=1a1+y
ib1y
inX
i=1a1y
ib1+y
i:
Poate fi considerat ca o interpolare sau un rafinament al Cauchy-Schwarz, care este x=
1;y= 0caz.
Fief(t) :=Pn
i=1at
ib2t
i. Apoi de H ¨older,
f(1 +y)
f(1y)f(1)2, apoi (deoarecey
x1)
f(1x)y
x
f(1)1y
xfy
x(1x) + 1y
x

=f(1y)s,i
f(1 +x)y
x
f(1)1y
xfy
x(1 +x) + 1y
x

=f(1 +y).
Ridicarea acestor trei la (x
y1),x
y,x
yputere, obt ,inem
f(1 +y)x
y1
f(1y)x
y1f(1)2(x
y1)
f(1x)
f(1)x
y1f(1y)x
y
f(1 +x)
f(1)x
y1f(1 +y)x
y
ˆInmult ,irea randamentelor din ultimele trei linii f(1 +x)f(1x)f(1 +y)f(1y)
dup˘a cum este necesar.
(15) Inegalitatea lui Carleman afirm ˘a c˘a pentru numere reale care nu sunt negative
fangn1,
1X
k=1(a1a2


ak)1=k<e1X
k=1ak;
doar dac ˘a toateaksun egale cu 0.
Fiecn=n
1 +1
n
n=(n+1)n
nn1. Apoi pentru toate numerele ˆıntregi pozitive k,
(c1


ck)1=k=k+ 1:
Astfel1X
k=1(a1


ak)1=k=1X
k=1(c1a1


ckak)1=k
(c1


ck)1=k=1X
k=1(c1a1


ckak)1=k
k+ 1:
30

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
Acum folosind AM-GM,
1X
k=1(c1a1


ckak)1=k
k+ 11X
k=1kX
j=1cjaj1
k(k+ 1)=1X
j=11X
k=jcjaj1
k(k+ 1):
Dar1
k(k+1)=1
k1
k+1, deci pentru orice num ˘arˆıntregj,
1X
k=j1
k(k+ 1)=1X
k=j1
k1
k+ 1= lim
N!11
j1
N+ 1
=1
j:
Astfel1X
j=11X
k=jcjaj1
k(k+ 1)=1X
j=1
1 +1
jj
ak:
Din moment ce
1 +1
jj
<epentru toate numerele ˆıntregij.
(16)Inegalitatea lui H ¨older:
Dac˘aa1;a2;:::;an;b1;b2;:::;bn;:::;z 1;z2;:::;znsunt numere reale pozitive s ,ia;b;:::;z
sunt realit ˘at,i negative cu suma de 1, atunci
aa
1bb
1


zz
1+


+aa
nbb
n


zz
n
(a1+


+an)a(b1+


+bn)b


(z1+


+zn)z:
De ret ,inut c ˘a cu aceste dou ˘a secvent ,eas,ib, iara=b= 1=2, aceasta este forma elemen-
tar˘a a inegalit ˘at,ii lui Cauchy-Schwarz.
Putem afirma astfel inegalitatea mai concis: Fie ffaijgn
i=1gm
j=1s˘a fie mai multe secvent ,e
pozitive s ,i s˘a l˘as˘amfign
i=1s˘a fie o secvent ,˘a pozitiv ˘a, astfel ˆıncˆatP= 1. Atunci
X
jY
iai
ijY
iX
jaiji
:
V om folosi AM-GM. V om ignora secvent ,elefaijgn
i=1pentru care unul dintre termeni
este zero, deoarece termenii acestor secvent ,e nu contribuie la partea st ˆang˘a a inegalit ˘at,ii
dorite, dar pot contribui la partea dreapt ˘a.
Pentru numere ˆıntregi 1km, s˘a definim
k=Q
iai
ikP
jQ
iai
ij:
Evident,Pj= 1. Apoi pentru toate numerele ˆıntregi 1in, folosind AM-GM,
X
jaij=X
jjaij
j
Y
jaij
jj
:
31

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
Prin urmare
Y
iX
jaiji
Y
iY
jaij
jij
=Y
jY
iaij
jij
:
Datorit ˘a alegerii f ˘acutej, pentru toate numerele ˆıntregi 1jm,
Y
iaij
ji
=Q
iai
ij
k=Q
jai
ijQ
jai
ij=P
jQ
iai
ij=X
jY
iai
ij:
AstfelY
jY
iaij
jij
=Y
kX
jY
iai
ijk
=X
jY
iai
ij;
din moment ce suma keste 1. Prin urmare,
Y
iX
jaiji
X
jY
iai
ij;
. Egalitatea t ,ine c ˆandaij=j=aij0=j0pentru toate numerele ˆıntregii;j;j0, cˆand toate
secvent ,elefaijgm
j=1sunt proport ,ionale.
Dac˘ap;q> 1,1=p+ 1=q= 1,f2Lp;g2Lqthenfg2L1andjjfgjj1jjfjjpjjgjjq.
Dac˘ajjfjjp= 0 atuncif= 0 astfel ˆıncˆat nu este nimic de dovedit. Cazul jjgjjq= 0
este similar. Pe de alt ˘a parte, ne-am putea asuma c ˘af(x);g(x)2Rpentru toate x. Fie
a=jf(x)jp
jjfjjp
p;b=jg(x)jq
jjgjjq
q;= 1=p; = 1=q. Inegalitatea lui Youngne ofer ˘a
jf(x)j
jjfjjpjg(x)j
jjgjjq1
pjf(x)jp
jjfjjp
p+1
qjg(x)jq
jjgjjq
q:
Aceste funct ,ii sunt m ˘asurabile, deci prin integrare obt ,inem
jjfgjj1
jjfjjpjjgjjq1
pjjf(x)jjp
jjfjjp
p+1
qjjg(x)jjq
jjgjjq
q=1
p+1
q= 1:
(17)Omogenizarea este o tehnic ˘a util ˘a pentru a rezolva anumite inegalit ˘at,i multivariate.
Avˆandˆın vedere o inegalitate a formei P(a1;a2;:::;an)0, undePeste un polinom
omogen (adic ˘a gradul oric ˘arui termen a unui polinom este acelas ,i), atunci putem impune ˆın
mod arbitrar o ret ,inere a unui singur ordin.
Dac˘aa;b;c> 0s,ia+b+c= 1, dovedim c ˘aa2+b2+c2+ 14(ab+bc+ca).
Deci, tot ,i termenii, cu except ,ia lui 1sunt de gradul doi. ˆInlocuima+b+ccu1.
Inegalitatea d ˘aˆın continuare o inegalitate neomogen ˘a. As ,a c˘a,ˆın schimb, p ˘atrundem condit ,ia
de a face gradul doi s ,i s˘a obt ,inem
a2+b2+c2+ 2(ab+bc+ca) = 1
32

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
Acum ad ˘aug˘am cu gradul 1ˆın inegalitate s ,i prin simplificare obt ,inema2+b2+c2ab+
bc+ca, ceea ce este binecunoscut prin inegalitatea reamenaj ˘arii.
(18) Inegalit ˘at,ile izoperimetrice sunt inegalit ˘at,i privind aria unei figuri cu un perimetru
dat. Au fost lucrate pe larg de Lagrange.
Dac˘a o figur ˘a dintr-un plan are suprafat ,aAs,i perimetrul Patunci4A
P21. Aceasta
ˆınseamn ˘a c˘a prin perimetrul Ppentru o figur ˘a plan ˘a, cercul are cea mai mare suprafat ,˘a.ˆIn
schimb, din toate figurile plane cu suprafat ,aA, cercul are perimetrul cel mai put ,in.
(19) Inegalitatea Maclaurin este o inegalitate ˆın polinoamele simetrice. Pentru notat ,ie
s,i fundal, ne referim la inegalitatea lui Newton.
Pentru pozitive x1;:::;xn,
d1d1=2
2:::d1=n
n,
cu egalitatea exact atunci c ˆand toatexisunt egale.
Prin lema din inegalitatea lui Newton, este suficient s ˘a se arate asta pentru oricare n,
d1=(n1)
n1d1=n
n.
ˆIntruc ˆat aceasta este o inegalitate omogen ˘a, putem normaliza astfel dn=Qxi= 1.
Apoi transform ˘am inegalitatea ˆın
P1=xi
n1n1
n= 1.
Deoarece media geometric ˘a a1=x1;:::; 1=xneste 1, inecuat ,ia este adev ˘arat˘a datorit ˘a
AM-GM.
(20) Inegalitatea lui Muirhead afirm ˘a c˘a dac ˘a o secvent ,˘aAmajoreaz ˘a o secvent ,˘aB,apoi
un set dat de realit ˘at,i pozitivex1;x2;


;xn:
X
symx1a1x2a2


xnanX
symx1b1x2b2


xnbn
Inegalitatea este mai us ,or de ˆınt,eles av ˆand un exemplu. De c ˆand secvent ,a(5;1)majo-
reaz˘a(4;2)(as5>4;5 + 1 = 4 + 2 ), Inegalitatea lui Muirhead afirm ˘a c˘a pentru orice este
pozitivx;y,
x5y1+y5x1x4y2+y4x2.
V om dovedi mai ˆıntˆai un fapt important. Dac ˘a avem o secvent ,˘aCastfel ˆıncˆatPn
i=1ci=
0, atunci se ment ,ine urm ˘atorul rezultat:
X
symx1c1x2c2


xncnn!
pentru orice num ˘ar realx1;x2;:::;xn.
33

Rangul unei matrice Inegalit ˘at,i
Conform AM-GM, s ,tim c ˘a :
P
symx1c1x2c2


xncn
n! n!sY
symx1c1x2c2


xncn
Cu toate acestea, extinz ˆand partea dreapt ˘a, vedem
n!sY
symx1c1x2c2


xncn=n!vuutnY
i=1x(n1)!(c1+c2+


+cn)
i = 1
sau P
symx1c1x2c2


xncn
n!1)X
symx1c1x2c2


xncnn!
Ne definim secvent ,aCastfel ˆıncˆat
ci=aibi81in
Ret ,inem c ˘a
nX
i=1ci=nX
i=1aibi=nX
i=1ainX
i=1bi= 0
Astfel, obt ,inem c ˘aX
sym(x1c1x2c2


xncn)n!0
ˆInmult ,im cuP
symQn
i=1xbi
is,i obt ,inem:
X
symnY
i=1xbi
i! X
sym(x1c1x2c2


xncn1)!
=X
symnY
i=1xbi+ci
inY
i=1xbi
i0
Sincebi+ci=bi+aibi=ai, ca apoi s ˘a obt ,inem
X
symnY
i=1xai
inY
i=1xbi
i0
sau X
symx1a1x2a2


xnanX
symx1b1x2b2


xnbn
(21)
(22)
(23)
34

Capitolul 3
Aplicat ,ii
35