METODA ELEMENTELOR FINITE CONCEPTE FUNDAMENTALE [608105]

2.

METODA ELEMENTELOR FINITE – CONCEPTE FUNDAMENTALE –
SCURT Ă RECAPITULARE. EFICIEN łA MODEL ĂRII CU ELEMENTE
FINITE

Simplitatea conceptelor de baz ă ale metodei elementelor finite (MEF) este unul din tre avantajele
importanate ale acesteia. Importan Ńa însu șirii și a în Ńelegerii corecte a acestora rezult ă din faptul c ă
aceste concepte includ anumite ipoteze, simplific ări și generaliz ări a c ăror ignorare poate duce la erori
grave în modelarea și analiza cu elemente finite (FEA). Se prezint ă, în continuare, cele mai importante
dintre conceptele de baz ă ale MEF.

Structura

Pentru a avea o eficien Ńă cât mai ridicat ă, în FEA se utilizeaz ă un concept de structur ă mai general
și mai simplu decât în mod obi șnuit. Uzual în FEA prin structur ă (de rezisten Ńă ) se în Ńelege un
ansamblu de bare, pl ăci, înveli șuri și volume (solide). De exemplu , o structur ă poate fi batiul unui
strung paralel, trenul de aterizare al unui avion, bra Ńul unei balan Ńe, carcasa unui reactor nuclear,
corpul unui submarin, o re Ńea de conducte etc.
Definit ă astfel, no Ńiunea de structur ă implic ă acceptarea ipotezei sec Ńiunii plane , a lui Bernoulli,
pentru bare și a ipotezei normalei rectilinii , a lui Kirchhoff, pentru pl ăci și înveli șuri. Acceptarea
acestor ipoteze face posibil ă, în MEF și FEA – pentru bare și pl ăci – înlocuirea for Ńelor exterioare reale
prin rezultantele interne – eforturile N, T, M – cu care sunt static echivalente, ceea ce nu este permis în
teoria elasticit ăŃii. În analiza structurilor se poate deci introduce conceptul de for Ńă concentrat ă, f ără ca
prin aceasta s ă se produc ă câmpuri de tensiuni, deforma Ńii și (sau) deplas ări cu singularit ăŃi, a șa cum se
întâmpl ă în teoria elasticit ăŃii, când aplicarea unei for Ńe concentrate într-un punct al semispa Ńiului
elastic (problema lui Boussinesq) duce la producere a unor tensiuni și deplas ări infinite în punctul
respectiv. De asemenea, conceptul sau no Ńiunea de structur ă, definit ă ca mai sus permite stabilirea
teoremelor deplas ării unitate și a for Ńei unitate – ale lui Maxwell – precum și a teoremelor lui
Castigliano, care au un în Ńeles clar în rezisten Ńa materialelor și în teoria structurilor, dar nu și în teoria
elasticit ăŃii.

Modelul de calcul

Pentru a putea efectua o analiz ă cu elemente finite a unei structuri, demersul hot ărâtor care trebuie
întreprins este elaborarea modelului de calcul al structurii respective. Toate aspectele privind acest
proces se prezint ă în detaliu într-un paragraf separat, datorit ă importan Ńei subiectului.
Modelele MEF sunt modele matematice aproximativ e ale structurii care urmeaz ă s ă fie analizat ă.
Pentru trecerea de la structura real ă la modelul ei de calcul nu exist ă algoritmi și metode generale
care s ă asigure elaborarea unui model unic, care s ă aproximeze, cu o eroare prestabilit ă, cunoscut ă,
structura care urmeaz ă s ă se aproximeze. În general este posibil ca pentru o structur ă s ă se elaboreze
mai multe modele, toate corecte dar cu performan Ńe diferite. Modelul pentru calculul de rezisten Ńă al
unei structuri se elaboreaz ă pe baza intui Ńiei, imagina Ńiei și experien Ńei anterioare a celui care face
modelarea. Modelul trebuie s ă sintetizeze eficient toate informa Ńiile disponibile referitoare la structura
respectiv ă.
Elaborarea unui model de calcul corect și eficient depinde de anumi Ńi factori și trebuie s ă
îndeplineasc ă anumite condi Ńii. Toate aceste aspecte se prezint ă detaliat în cadrul capitolului 7 .

Discretizarea

Modelul de calcul al structurii care urmeaz ă s ă fie supus ă analizei cu elemente finite, în cazul
general, este format din linii, care sunt axele barelor structurii, din suprafe Ńe plane și curbe, care sunt
suprafe Ńele mediane ale pl ăcilor componenete ale structurii și volume , care sunt corpurile masive ale
structurii. În aceast ă etap ă a elabor ării, modelulul este un continuu, cu o infinitate de puncte, ca și
structura dat ă. Discretizarea este demersul fundamental cerut de MEF și const ă în trecerea de la
structura continu ă (cu o infinitate de puncte) la un model discret , cu un num ăr finit de puncte ( noduri ).
Aceast ă opera Ńie se face “acoperind” modelul cu o re Ńea de dicretizare și se justific ă prin aceea c ă din
punct de vedere practic, ingineresc, sunt suficient e informa Ńiile privind structura (ca de exemplu,
cunoa șterea valorilor deplas ărilor și ale tensiunilor) într-un num ăr oarecare de puncte ale modelului,
num ărul acestora putând fi oricât de mare.
Metoda elementelor finite, în mod obi șnuit, define ște necunoscutele (deplas ări sau eforturi) în
punctele modelului și calculeaz ă valorile lor în aceste puncte. În aceste condi Ńii, rezult ă c ă dicretizarea
trebuie f ăcut ă astfel încât s ă se defineasc ă un num ăr suficient de mare de puncte în zonele de interes,
pentru ca aproximarea geometriei structurii, a cond i Ńiilor de rezemare și a condi Ńiilor de înc ărcare s ă fie
satisf ăcătoare pentru scopul urm ărit de FEA. Din cele men Ńionate rezult ă importan Ńa deosebit ă a
modului cum se face dicretizarea modelului, motiv p entru care toate detaliile procesului de discretiza re
se prezint ă cadrul unui capitol special, care este capitolul 6 .

Nodul

Punctele definite prin re Ńeua de dicretizare se numesc noduri . În noduri se definesc necunoscutele
nodale primare, ale c ăror valori sunt rezultatele FEA. Necunoscutele asoc iate nodurilor pot fi
deplas ările, caz în care MEF se nume ște model deplasare , sau eforturile, când MEF se nume ște model
echilibru . Relativ rar se folose ște și modelul mixt . Pentru modelul deplasare se admite c ă forma
deformat ă a structurii, ca urmare a unei solicit ări oarecare, este definit ă de deplas ările tuturor nodurilor
în raport cu re Ńeaua nodurilor înainte de deformare, fiecare nod pu tând avea maximum șase
componente ale deplas ării, denumite deplas ări nodale , în raport cu un reper global (la care este
raportat ă structura în ansamblu): trei componente u, v, w ale deplas ării liniare și trei rotiri ϕx, ϕy, ϕz.
Componentelor nenule ale deplas ărilor pe care le poate avea un nod al modelului str ucturii în procesul
de deforma Ńie li se asociaz ă un versor denumit grad de libertate geometric ă – DOF al nodului, care are
valoarea DOF=0, dac ă pe direc Ńia respectiv ă componenta deplas ării este nul ă sau cunoscut ă și valoarea
DOF=1, dac ă deplasarea este necunoscut ă. Se pot defini gradele de libertate geometric ă ale structurii
în totalitate. Rezult ă c ă num ărul total al necunoscutelor care trebuie determinat e prin calcul este egal
cu num ărul gradelor de libertate geometric ă c ărora le sunt ata șate necunoscute (care au DOF=1),
pentru toate nodurile modelului structurii.
Unele din gradele de libertate ale modelului tr ebuie “eliminate” deoarece unele noduri sunt “legat e”,
reprezentând reazeme și deci deplas ările lor sunt nule sau au valori cunoscute, impuse și nu mai
trebuie calculate.

Elementul finit

Procesul de discretizare are drept urmare împ ărŃirea modelului structurii într-un num ăr oarecare de
fragmente sau elemente , a șa cum, de exemplu, zidul unei cl ădiri poate fi privit ca fiind format din
cărămizile utilizate la construc Ńia sa. De exemplu, recipientul din figura 2.1, exec utat din table
asamblate prin sudur ă, poate fi descompus sau discretizat într-un num ăr de elemente patrulatere și
triunghiulare – denumite elemente finite – ca în figura 2.2. Elementele finite se leag ă între ele prin
nodurile comune, care sunt vârfurile patrulaterelor sau triunghiurilor (sunt și tipuri de elemente care au
noduri și pe laturi).
Un element finit poate fi privit ca o “pies ă” de sine st ătătoare, interac Ńionând cu celelalte elemente
numai în noduri. Studiul structurii reale se înlocu ie ște cu studiul ansamblului de elemente finite ob Ńinut
prin discretizare, care devine astfel o idealizare a structurii originare și este un model de calcul al

structurii date. Pentru ca rezultatele analizei s ă fie cât mai precise trebuie ca procesul de idealizare al
structurii date s ă fie cât mai “performant”, ceea ce implic ă respectarea unor regului și exigen Ńe privind
discretizarea, elaborarea modelului de calcul și – printre altele – utilizarea unor elemente fi nite
adecvate. În principiu, dimensiunile elementelor fi nite pot fi oricât de mici, dar trebuie totdeauna s ă fie
finite, adic ă nu poate fi f ăcut ă o trecere la limit ă prin care dimensiunile acestora s ă tind ă spre zero.
Figura 2.1 Figur a 2.2

Din nefericire, nu se poate concepe un element finit general, care s ă aib ă o utilitate universal ă.
Pentru a putea fi implementat într-un program MEF și utilizat pentru un model de calcul, elementul
finit trebuie în prealabil “proiectat” în toate det aliile, adic ă trebuie definit din punct de vedere
geometric, fizic, matematic etc.
Privit din punct de vedere informa Ńional, un element finit este un “dispozitiv” – sa u un model – care
trebuie s ă poat ă prelucra cât mai precis un volum cât mai mare de i nforma Ńii, pentru un set de condi Ńii
impuse. Aceasta presupune ca elementul de o anumit ă form ă geometric ă, de exemplu triunghiular ă, s ă
aib ă un num ăr cât mai mare de noduri, fiecare nod s ă aib ă un num ăr cât mai mare de grade de libertate
geometric ă, iar func Ńiile de interpolare să fie cât mai complexe, adic ă s ă aib ă un num ăr cât mai mare
de parametri. Desigur c ă men Ńiunile anterioare sunt de principiu, deoarece cu câ t cre ște
“complexitatea” elementului finit cresc și dificult ăŃile de calcul, astfel încât pentru fiecare situa Ńie
concret ă în parte se caut ă o solu Ńie de compromis când se “concepe” un element finit de un anumit tip.
O consecin Ńă nefast ă a acestei situa Ńii este c ă programele MEF au biblioteci cu un num ăr relativ mare
de tipuri de elemete finite, pentru a satisface un num ăr cât mai mare de cerin Ńe, cât mai diverse.
Ideea de baz ă a MEF este c ă, pentru un element de un tip oarecare, trebuie f ăcut ă ipoteza c ă
deplas ările din interiorul elementului variaz ă dup ă o lege “cunoscut ă”, aleas ă apriori , determinat ă de o
func Ńie de interpolare. Consecin Ńa acestui demers este c ă, local , acolo unde se va afla plasat elementul
finit, în urma procesului de discretizare, acesta v a aproxima starea de deplas ări a structurii prin legea
de interpolare implementat ă în elementul respectiv.
Figura 2.3

Func Ńiile de interpolare au frecvent forma unor polinoam e. Alegerea gradului polinomului și
determinarea valorilor coeficien Ńilor acestora trebuie s ă asigure o cât mai bun ă aproximare a solu Ńiei

exacte – necunoscute – a problemei date. În figura 3 se prezint ă schematic modul în care polinoamele
de gradul zero, unu și doi – respectiv cu unu, doi și trei termeni – pot aproxima o stare de deplas ări
oarecare.
Elementele care au acelea și tipuri de func Ńii (de obicei polinoame), atât pentru definirea geo metriei
elementului (de exemplu, pentru laturile sale), cât și pentru definirea deplas ărilor în interiorul s ău
(func Ńia de interpolare), se numesc elemente izoparametrice și sunt cele mai eficiente și folosite
elemente finite în practica MEF.
Elementele finite se pot clasifica dup ă diverse criterii, dintre care cele mai importante sunt:
Tipul de analiz ă. Pe o re Ńea de discretizare se pot defini elemente finite ca re au “incluse” diverse
proceduri matematice destinate unor analize diverse , ca, de exemplu: liniar elastic ă, neliniar ă, transfer
de c ăldur ă, mecanica fluidelor, electro magnetism, electro ma gnetism de înalt ă frcven Ńă etc.
Rolul func Ńional. Elementele finite utilizate pentru modelarea unei s tructuri trebuie s ă poat ă
asigura cât mai bine “rolul func Ńional” al structurii date, adic ă, de exemplu, o grind ă cu z ăbrele trebuie
modelat ă cu elemente de tip bar ă, un capac din tabl ă sub Ńire trebuie modelat prin elemente de tip plac ă,
o funda Ńie prin elemente de tip c ărămid ă etc. Din aceste considerente elementele sunt de ti p punct
(element de mas ă sau de tip arc), de tip linie (elemente de bare drepte sau curbe, în plan sau în spa Ńiu)
de tip suprafa Ńă (elemente de pl ăci plane sau curbe, groase sau sub Ńiri, în plan sau în spa Ńiu, elemente
axial simetrice, de membran ă etc) sau de tip volum (elemente spa Ńiale, – 3D – pentru structuri “solide”,
compozite, cu num ăr variabil de noduri, pentru fluide, piezoelectrice , magnetice etc). Fiecare din
categoriile de elemente enumerate au mai multe vari ante, num ărul acestora putând ajunge la câteva
zeci. De asemenea, categoriile prezentate includ și elemente cu rol func Ńional special, ca de exemplu:
rigid, de contact, de frecare, de leg ătur ă, definit prin matricea de rigiditate etc.
Forma geometric ă. Elementele finite au, în general, forme simple ca, de exemplu, linie dreapt ă
sau arc de cerc, triunghi, patrulater oarecare, tet raedru, hexaedru etc. De asemenea, unele caracteris tici
geometrice pot fi constante sau variabile, ca sec Ńiunile barelor sau grosimile pl ăcilor.
Num ărul nodurilor. Pentru unele dintre elemente, o form ă geometric ă dat ă, de exemplu un
triunghi, poate avea mai multe variante în ceea ce prive ște num ărul de noduri, deoarece în afara
nodurilor din vârfuri mai pot exista noduri și pe laturi și (sau) în interior. De asemenea se pot utiliza
noduri și în interiorul elementului, pentru rezultate. Se u tilizeaz ă și elemente cu num ăr variabil de
noduri, ca, de exemplu, pentru pl ăci groase elementul poate avea între 8 și 48 de noduri.
Num ărul gradelor de libertate ale fiec ărui nod. Nodurile elementelor au ata șate, implicit,
unele DOF din cele șase posibile, deci se poate opera și cu num ărul total de DOF pentru un element,
care este num ărul nodurilor înmul Ńit cu num ărul DOF pe nod.
Gradul polinomului de interpolare. Fiecare element finit are “implementate” polinoame de
interpolare de un anumit grad, începând cu gradul î ntâi. Cu cât gradul polinoamelor este mai ridicat c u
atât cre ște cantitatea de informa Ńii cu care elementul opereaz ă și deci el este, în general, mai
performant.
Caracteristicile materialului. În practica FEA, materialul elementului finit poat e fi omogen și
izotrop sau cu o anizotropie de un anumit tip. De a semenea, constantele elastice și fizice ale
materialului pot fi dependente de temperatur ă sau solicitare.
Trebuie f ăcut ă precizarea c ă descrierea de mai sus a elementelor finite nu este exhaustiv ă, ci c ă ea
doar semnaleaz ă unele aspecte importante din practica MEF. În conc luzie, se men Ńioneaz ă c ă fiecare
tip de element finit este un ansamblu de condi Ńii și ipoteze și el trebuie privit ca un întreg și folosit ca
atare, numai dup ă ce s-a studiat temeinic documenta Ńia care îl înso Ńește. De exemplu, din parametrii
care definesc elementul rezult ă comportarea sa la solicitare, tipul st ării de tensiuni, interac Ńiunea sa cu
celelalte elemente etc.
Programele MEF care se folosesc în practica FEA au biblioteci cu un num ăr impresionant de tipuri
de elemente finite, la care se adaug ă periodic elemente noi. Pentru a ilustra dinamica d ezvolt ării MEF,
se citeaz ă articolul [1], în care înc ă din anul 1984 se identificaser ă 88 de variante ale elementelor finite
de plac ă.

A proximarea și interpolarea

Un model matematic pentru analiza unei structur i de rezisten Ńă implic ă determinarea unui num ăr de
variabile și func Ńii u*( ξ) reprezentând deplas ări, deforma Ńii, tensiuni etc, ξ fiind func Ńii de coordonate
ξ(x,y,z), definite în punctele domeniului pe care es te definit ă structura. Dac ă solu Ńia exact ă u*( ξ) nu se
cunoa ște și u( ξ) este o aproximare a acesteia, func Ńia eroare e( ξ) este

e( ξ) = u( ξ) – u*( ξ). ( 2.1)

Pentru constituirea unei solu Ńii aproximative este suficient s ă se descrie o expresie care s ă con Ńin ă n
parametrii de aproximare a i

u( ξ) = u( ξ, a 1, a 2, …,a n)

și s ă se determine ace ști parametri pe baza rela Ńiei (2.1) și a unui criteriu de convergen Ńă adecvat.
În MEF aproximarea este nodal ă și are forma
u( ξ) = [ N 1(ξ) N 2(ξ) … N n ( ξ) ]






n21
u. . uu
= [N] T{u n},
în care: u i sunt parametrii nodali ai aproxim ării și au o semnifica Ńie fizic ă concret ă (deplas ări nodale,
temperaturi nodale etc); N i(ξ) – func Ńii de interpolare sau de aproximare, care de regul ă au forme
polinomiale.
Solu Ńiile aproximative u( ξ) pot fi construite pe întreg domeniul V de defini Ńie a structurii sau pe
subdomenii elementare V e – ale elementelelor finite – ceea ce înseamn ă c ă Σ V e ≡ V . În MEF
aproxima Ńia nodal ă se face pe subdomenii V e, care sunt de fapt elementele finite, valorile fun c Ńiilor
aproximative u i( ξ) = u*(x i) fiind variabilele nodale ale problemei iar x i, coordonatele nodurilor.
În mecanica structurilor se poate construi o fu nc Ńional ă π care este energia poten Ńial ă total ă a
structurii. Impunând acestei func Ńionale condi Ńia de sta Ńionaritate

δπ = W = 0,
se ob Ńine ecua Ńia caracteristic ă

W(u) = 0 dV )f w(L(u) R(u)wdV v = − =∫ ∫
V V
în care: L(u) este solu Ńia exact ă a problemei; f V – solu Ńia aproximativ ă; R(u) = (L(u) – f V) – func Ńia
reziduu; w – func Ńii pondere, denumite și func Ńii de corec Ńie.
Precizia solu Ńiei u depinde de alegerea func Ńiilor de pondere w, care au uzual forma
∑
==k
1i wβiψi ,
în care: ψi sunt un set de func Ńii liniar independente; βi – coeficien Ńi numerici arbitrari. Presupunând
că solu Ńiile aproximative u satisfac condi Ńiile de margine ale structurii, eroarea de aproxima re
reprezentat ă de rezidul R(u) este ponderat ă (distribuit ă) prin multiplicare cu func Ńiile de pondere w,
pe întreg domeniul V.
Dac ă func Ńionala structurii este π(u) aceasta se poate aproxima prin procesul de dis cretizare,
devenind
π(u) = π[u (a 1, a 2, …,a n)],

sau . …. n
n 2
2 1
1δaaπδaaπδaaπδπ∂∂
∂∂
∂∂= ++ +
Se ob Ńine sistemul de ecua Ńii
,n ,, 2, 1i , 0aπ
i… = =∂∂
prin rezolvarea c ăruia se determin ă parametrii a i ai aproxim ării și se rezolv ă problema MEF.

Tabelu l 2.1

Metoda
elementelor finite
Principiul
varai Ńional
Tipul func Ńiilor
Din interiorul
elementului Condi Ńiile
impuse
în lungul
frontierelor
dintre elemente
Necunoscutele
din sistemul
final de ecua Ńii
Model deplasare, cu
elemente conforme Minimum
energiei
poten Ńiale Deplas ări
continue Compatibilitatea
deplas ărilor Deplas ările
nodale

Model echilibru Minimum
energiei
complementare Tensiuni
continue aflate
în echlibru Echilibrul
eforturilor de pe
frontiere a. Deplas ări
generalizate
b. Eforturi
parametrice
Metoda hibrid ă
a eforturilor Energia
complementar ă
modificat ă Tensiuni
continue aflate
în echlibru Compatibilitatea
deplas ărilor Deplas ările
nodale
Metoda hibrid ă
a deplas ărilor
(1) Energia
poten Ńial ă
modificat ă Deplas ări
continue Compatibilitatea
deplas ărilor Deplas ările
nodale H

I

B

R

I

D Metoda hibrid ă
a deplas ărilor
(2) Energia
poten Ńial ă
modificat ă Deplas ări
continue Echilibrul
eforturilor de pe
frontiere Deplas ările
nodale și
eforturile de pe
Frontiere

Principiul lui
Reissner Metoda lui
Reissner
modificat ă de
Herrmann Continuitatea
Eforturilor și
Func Ńii ale
deplas ărilor Combinarea
eforturilor și
deplas ărilor de
pe frontiere Combinarea
eforturilor și
deplas ărilor

Metoda
generalizat ă a
deplas ărilor

Energia
poten Ńial ă
modificat ă
Deplas ări
continue Multiplicatorii
Lagrange pentru
eforturi
Deplas ările
nodale și
Multiplicatorii
Lagrange
M

I

X

T Metoda
generalizat ă a
eforturilor Energia
complementar ă
modificat ă Tensiuni
continue aflate
în echlibru Multiplicatorii
Lagrange pentru
Deplas ări Deplas ările
nodale și
Multiplicatorii
Lagrange

Varaiante conceptuale de formulare a MEF

Când a ap ărut MEF, prin anii “60, fundamentarea matematic ă era foarte sumar ă, utilizarea metodei
făcându-se mai mult intuitiv. Ulterior, pe m ăsura clarific ării conceptelor de baz ă, MEF a fost formulat ă

în diverse variante, dintre care cele mai cunoscute au fost trecute în revist ă în lucrarea [2], în anul
1969 și în lucrarea [1], în 1984, din care se reproduce T abelul 2.1.
Se men Ńioneaz ă faptul c ă și în prezent se utilizeaz ă mai multe formul ări ale MEF, fiecare variant ă
având avantajele, dezavantajele, susu Ńin ătorii și utilizatorii ei. Dar aceste aspecte apar Ńin mai ales
specula Ńiilor matematice și nu fac obiectul prezentei lucr ări. În programele MEF actuale se folose ște
mai ales modelul deplasare, pentru care neconoscutele sunt deplas ările nodale.

EFICIEN łA MODELELOR CU ELEMENTE FINITE

Modelul elaborat pentru o structur ă oarecare, în vederea realiz ării unei analize cu elemente finite
(FEA), trebuie s ă asigure ob Ńinerea unor rezultate corecte și sigure, pe de o parte, iar pe de alta, el,
modelul, trebuie s ă fie eficient. Principalele condi Ńii pe care trebuie s ă le îndeplineasc ă modelul pentru
a fi eficient sunt:
– elaborarea modelului s ă se fac ă cu un volum de munc ă rezonabil;
– modelul s ă valorifice toate informa Ńiile disponibile privind structura care se analizea z ă;
– volumul informa Ńiilor ob Ńinute în urma FEA s ă fie suficient de mare și cu un nivel de încredere
acceptabil, având în vedere scopul urm ărit, destina Ńia informa Ńilor și modul de valorificare a acestora.
În vederea satisfacerii acestor ceri Ńe, la dispozi Ńia fiec ărui utilizator se afl ă diverse și nenum ărate c ăi
și mijloace, cele mai importante fiind:

Configura Ńia discretiz ării . Este comod și ra Ńional ca re Ńeaua de discretizare a modelului s ă fie cât
mai simpl ă și cât mai uniform ă, ca, de exemplu, cea a unui recipient, din figura 11.1. Dar acest
deziderat este în contradic Ńie cu cerin Ńa de eficien Ńă a modelului. Se impune ca discretizarea s ă aib ă în
vedere configura Ńia estimat ă a st ării de tensiuni a structurii și deci și a modelului, adic ă în zonele cu
gradien Ńi mari ai st ării de tensiuni discretizarea s ă fie fin ă, iar în celelalte zone mai grosier ă. Trecerea
de la elemente cu dimensiuni mici la unele cu dimen siuni mari trebuie s ă se fac ă progresiv, ca, de
exemplu, în figura 11.2, pentru fundul aceluia ș recipient, în varianta cu elemente shell patrulate re și
triunghiulare.

Figura 1 1.1 F igura 11.2

Num ărul nodurilor modelului. În principiu, este bine ca modelul s ă aib ă un num ăr de noduri cât mai
mare, deoarece rezultatele FEA sunt mai precise și volumul informa Ńiilor ob Ńinute este mai mare.
Cerin Ńa de a discretiza structura printr-o re Ńea cât mai fin ă, cu un num ăr cât mai mare de noduri,
trebuie privit ă critic, cu foarte mult ă pruden Ńă și discern ământ deoarece cre șterea excesiv ă a num ărului
de noduri nu duce la îmbun ătăŃirea solu Ńiei. În general m ărirea num ărului de noduri este eficient ă
pentru un model cu num ăr relativ mic de noduri. Dup ă ce acesta a atins un anumit prag, cre șterea

num ărului de noduri nu mai duce la îmbun ătăŃirea solu Ńiei FEA. În ceea ce prive ște num ărul de
elemente ale modelului acesta are o dependen Ńă liniar ă în func Ńie de num ărul nodurilor, dac ă tipurile
elementelor nu se schimb ă.
Pentru o discretizare cvasi uniform ă a unui model, alura obi șnuit ă a curbelor care reprezint ă
dependen Ńa, de exemplu, a valorilor maxime ale deplas ării nodale rezultante (totale), δ și a tensiunii
echivalente (von Mises) pe element σech se prezint ă în figura 11.3. Pentru o cre ștere de patru ori a
num ărului de noduri, se ob Ńine:
– în partea stâng ă a figurii, adic ă pentru valori mici ale num ărului de noduri, cre șterea valorii
deplas ării δ este de 24 %, iar pentru valoarea tensiunii σech cre ștera este de 70 %;
– în partea dreapt ă a figurii, adic ă pentru valori mari ale num ărului de noduri, cre șterea valorii
deplas ării δ este de 8 %, iar pentru valoarea tensiunii σech cre ștera este de 23 %.
Figura 11.3

Se ajunge la concluzia c ă pentru o aceea și cre ștere a num ărului de noduri, efectul asupra rezultatelor
FEA este de trei ori mai mic pentru valori mari dec ât pentru valori mici ale num ărului de noduri.
Pentru a asigura o cre ștere a eficien Ńei modelului este preferabil ca o m ărire moderat ă a num ărului de
noduri și de elemente ale acestuia s ă fie înso Ńit ă și de o discretizare neuniform ă, adaptat ă configura Ńiei
st ării de tensiuni a modelului.
Forma curbelor din figura 11.3 sugereaz ă întrebarea dac ă acestea tind fiecare c ătre o asimptot ă și
dac ă asimptotele respective corespund sau nu solu Ńiei exacte a problemei analizate. Un r ăspuns
categoric nu poate fi formulat în cazul general al FEA.

Dimensiunile elementelor finite. O alternativ ă la cerin Ńa privind num ărul de noduri este cea a
dimensiunilor elementelor, aceste dou ă aspecte ale model ării fiind strâns legate între ele. Pentru
structura supus ă FEA se vor stabili, în func Ńie de configura Ńia acesteia și de scopul analizei,
dimensiunile maxime și minime ale elementelor finite ale modelului. Desi gur c ă acest ă opera Ńie
presupune c ă anterior s-au stabilit tipurile elementelor ce se vor utiliza pentru diversele regiuni ale
modelului și c ă utilizatorul cunoa ște foarte bine proprit ăŃile și performan Ńele lor. Dimensiunile maxime
ale elementelor se vor stabili având în vedere c ă elementele “mari” aproximeaz ă, în general, mai prost
geometria și starea de tensiuni decât cele “mici”, dar acestea au dezavantajul c ă pot deveni excesiv de
numeroase. În concluzie, intuitiv trebuie g ăsit ă o solu Ńie de compromis în ceea ce prive ște
dimensiunile maxime și minime ale elementelor și aceasta pentru diversele regiuni ale modelului. S e
men Ńioneaz ă faptul c ă diversele variante ale procedurilor de discretizri e automat ă, implementate în
programele MEF, au în vedere definirea ca parametri i ai procesului fie num ărul nodurilor, fie
dimensiunile (maxime sau minime) ale elementelor.

Generarea automat ă. Pentru ca elaboarea modelului s ă se fac ă cu un volum de munc ă minim, adic ă
pentru ca demersul s ă fie cât mai eficient, programele MEF au implementa te proceduri de generare
“dirijat ă” a nodurilor și elementelor, altele dec ăt cele de discretizare automat ă. Dup ă ce s-au definit

unele dintre nodurile si elementele modelului, flos indu-se de acestea ca “surse”, utilizatorul dispune de
o mul Ńime de comenzi prin care poate “genera” noi noduri și elemente. Cele mai utilizate comenzi de
generare automat ă sunt:
a. atât pentru noduri cât și pentru elemente:
– copiere, repozi Ńionare, mutare, alipire; opera Ńii care constau în modificarea pozi Ńiei nodurilor și
elementelor “surs ă” prin opera Ńii de transla Ńie și rota Ńie corespunz ătore, pentru ob Ńinerea nodurilor și
elementelor “generate”, dorite;
– simetrie fa Ńă de un punct, o direc Ńie sau un plan; se genereaz ă noduri și elemente simetrice cu cele
“surs ă”;
– schimbarea scalei; const ă în multiplicarea cu un factor a valorilor coordona telor nodurilor și
elementelor “surs ă”;
b. numai pentru elemente:
– “extrudare”, “alunecare”, “m ăturare”, “târâre”; opera Ńii care duc la “acoperirea” suprafe Ńelor sau
“umplerea” volumelor ob Ńinute, cu elementele generate și, implicit, cu nodurile corespuz ătoare.
Fiecare procedeu se define ște într-un mod oarecare în programele MEF.
Genearea implic ă și opera Ńia de numerotare automat ă a noilor noduri și elemente.

Tipurile elementelor finite. Programele destinate FEA au biblioteci cu sute de tipuri de elemente
finite, dintre care utilizatorul trebuie s ă le aleag ă pe cele mai eficiente pentru modelarea structurii date.
Alegerea se face pe baza intui Ńiei și experien Ńei utilizatorului. MEF nu con Ńine “indica Ńii” sau restric Ńii
în aceast ă privin Ńă . Pentru a asigura eficien Ńa modelului, trebuie ca tipurile de elemente s ă fie alese în
func Ńie de numero și factori și condi Ńii, dintre care primul este func Ńionalitatea , adic ă elementele s ă
poat ă “simula” cât mai bine: principiile constructive, p reluarea și transmiterea sarcinilor, reproducerea
st ărilor de deplas ări și de tensiuni, asigurarea condi Ńiilor de rezemare, libertatea producerii anumitor
deplas ări și împidicarea altora etc. De exemplu, pentru o cons truc Ńie realizat ă din profile laminate se
vor folosi elemente de tip bar ă, pentru un utilaj exectutat din table sudate se vo r alege elemente de tip
plac ă sau înveli ș, iar pentru o re Ńea de conducte se vor utiliza elemente de tip Ńeav ă.
Pentru ilustrarea unora dintre aspectele men Ńionate mai sus privind eficien Ńa modelului de calcul, în
figura 11.4 se prezint ă un r ăcitor de gaz de mari dimensiuni (diametrul conducte i 2.5 m și în ălŃimea
total ă ≈7 m). În figura 11.5 se prezint ă modelul de calcul, discretizat cu elemente shell c u patru și trei
noduri (fig. 11.5.a), și numai cu elemente shell cu trei noduri (fig. 11.5 .c). În figurile 11.5.b și 11.5.d se
prezint ă detalii ale discretiz ării în zona reazemelor. Solicitarea r ăcitorului const ă în: presiune
exterioar ă de 1 bar = 0.1 N/mm 2 (vacuum), greutatea proprie, sarcin ă vertical ă pe flan șa superioar ă și
o for Ńă concentrat ă vertical ă, aplicat ă într-un nod, în zona inferioar ă. Fixarea este asigurat ă de cele
patru reazeme.
Ambele modele au avut 932 de noduri. Modelul di n figura 11.5.a a avut 896 de elemente shell cu
patru noduri și 36 de elemente shell cu trei noduri, folosite num ai pentru unele zone de trecere, cu
scopul de a ob Ńine o discretizare cu o configura Ńie cât mai simpl ă. Modelul din figura 11.5.c, cu 1828
elemente shell triunghiulare, a fost ob Ńinut din modelul din figura 11.5.a astfel: cele 896 elemente shell
patrulatere au fost împ ărŃite în câte dou ă triunghiuri, ob Ńinându-se astfel 2*896 = 1792 triunghiuri, la
care s-au ad ăgat cele 36 in Ńiale, r ămase nemodificate. Re Ńeaua de discretizare (coordonatele nodurilor)
a r ămas nemodificat ă.

Figura 11.4

a. b. c. d.
Figura 11.5

S-au efectuat cinci rul ări pentru cele dou ă modele astfel: o rulare pentru modelul cu elemente
triunghiulare și patru rul ări pentru cel ălalt model (fig. 11.5a), corespunz ătoare celor patru variate de
utilizare ale elementelor shell4 și anume: un singur patrulater, descompus în dou ă triunghiuri,
descompus în patru triunghiuri și varianta când pentru solicitarea de membran ă se folosesc polinoame
de grad superior. Pentru elementele folosite s-a av ut în vedere faptul c ă acestea sunt implementate în
programele destinate FEA în dou ă variante: ca elemente de plac ă curb ă sub Ńire (thin shell) și ca
elemente de plac ă curb ă groas ă (thick shell). Datele de intrare și informa Ńiile furnizate de cele dou ă
tipuri de elemente shell (sub Ńiri și groase) sunt identice. În diversele programe treb uie v ăzut cum au
fost concepute, ce asem ănări și deosebiri au cele dou ă tipuri de elemente. În teoria pl ăcilor plane și
curbe (a înveli șurilor) nu este foarte clar cum se define ște placa sub Ńire și cea groas ă. În principiu
diferen Ńirea lor se face în func Ńie de valoarea raportului dintre raza de curbur ă medie R și grosimea h.
Curent dac ă R/h ≥ 10 placa se consider ă sub Ńire. Pentru structura prezentat ă R=1250 mm și h=10 și 20
mm, deci înveli șul este sub Ńire.
Rezulatele ob Ńinute se prezint ă în tabelul 11.1. Se dau valorile maxime ale tensiu nilor echivalente
von Mises σech în noduri și în elemente, valorile deplas ărilor nodale rezultante maxime δrez , valorile

factorului de estimare a erorii, precum și valorile multiplicatorului sarcinilor la flambaj pentru primul
mod de pierdere a stabilit ăŃii, adic ă valorile a cinci m ărimi.

Tabelul 1 1.1
Tensiunea
σech. max.
[N/mm 2] V
a
r
i
a
n
t
a

Elemente

finite

Tipul

elementului

σech /
nod
σech /
elem.
Depla-
sarea
rezul-
tant ă
maxim ă
δrez .
[mm] Facto-
rul
de
esti-
mare
a
erorii
[%]

Multi-
plicatorul
sarcinii la
flambaj
sub Ńire 63.34 41.83 2.755 38.89 3.388
1 1828
elemente
triunghiulare Triunghi
shell3 sau
shell3T gros 36.96 43.08 2.819 36.44 3.366
sub Ńire 69.30 35.97 2.551 38.54 3.371
2 Un patrulater
gros 46.06 48.34 2.214 52.32 3.543
sub Ńire 64.44 36.82 2.081 34.00 3.383
3 Descompus în
2 triunghiuri gros 37.87 33.16 2.109 29.29 3.469
sub Ńire 64.38 33.40 2.408 31.72 3.408
4 Descompus în
4 triunghiuri gros 35.98 33.89 2.436 28.66 3.389

sub Ńire
68.31

36.02
2.566
38.44
3.356

5 896
elemente
patrulatere
shell4 sau
shell4T
și 36
elemente
triunghulare
shell3 sau
shell3T P
a
t
r
u
l
a
t
e
r
e Polinoame de
grad superior
pentru
solicitarea de
membran ă gros 48.21 48.84 2.227 52.93 3.527

Pentru cele 10 variante ale FEA ar fi trebuit; în principiu, s ă se ob Ńin ă rezultate foarte apropiate. Din
analiza valorilor prezentate în tabelul 11.1 se pot formula urm ătorele concluzii și observa Ńii:
– Varia Ńiile maxime ale celor cinci m ărimi calculate sunt:
σech/nod = 92.61 %;
σech/element = 47.28 %;
δrezultant = 35.46 %;
factorul de estimare a erorii = 84.68 %;
multiplicatorul sarcinii la flambaj = 5.57 %.
Se poate trage concluzia c ă varia Ńiile maxime ale celor cinci m ărimi sunt foarte mari, mai ales,
pentru tensiunea echivalent ă în noduri.
– Varia Ńiile tensiunilor din noduri și elemente (pentru acee și variant ă de calcul):
[ σech/nod / σech/element] maxim = 92.75 % pentru elemente shell4 (sub Ńiri), descompuse în
patru triunghiri (varianta 4 de calcul);
[ σech/nod / σech/element] minim = – 1.29 % pentru elemente shell4T (groase), cu p olinoame
de grad superior pentru solicitarea de membrabn ă (varianta 5 de calcul);
Se constat ă c ă modelarea cu elemente shell sub Ńiri sau groase duce la rezultate foarte diferite.
– Varia Ńiile maxime ale celor cinci m ărimi calculate pentru elementele shell4 sub Ńiri (thin) sunt:
σech/nod = 9.41 %;
σech/element = 25.24 %;
δrezultant = 32.39 %;
factorul de estimare a erorii = 22.60 %;
multiplicatorul sarcinii la flambaj = 1.55 %.
– Varia Ńiile maxime ale celor cinci m ărimi calculate pentru elementele shell4T groase (thick) sunt:

σech/nod = 33.99 %;
σech/element = 47.28 %;
δrezultant = 33.66 %;
factorul de estimare a erorii = 84.68 %;
multiplicatorul sarcinii la flambaj = 5.26 %.
Marea varietate a tipurilor de elemente finite disponibile și u șurinŃa cu care acestea se pot schimba
(se schimb ă doar numele sau varianta tipului) ofer ă utilizatorului posibilitatea de a ob Ńine un mare
num ăr de variante ale modelului, în vederea alegerii co nfigura Ńiei optime a acestuia. Din nefericire, nu
este evident totdeauna care este modelul optim și deci cel eficient.

Concluzie . Varia Ńia foarte mare a valorilor ob Ńinute pentru modele la care s-au folosit diferite t ipuri
de elemente finite – circa 100 % pentru tensiunile în noduri și aroximativ 30 % pentru deplas ări –
atrage înc ă o dat ă aten Ńia asupra importan Ńei felului cum a fost elaborat modelul de calcul.

Bibliografie

1. Hrabok M. M., Hrudey T. M., A review and c atalogue of plane bending finite elements. Comput.
Structures, 19 (3), 479-495 (1984).
2. Pian H.H., Tong P., Basis of finite element methods for solid continua. Int. J. Numer. Meth.
Engng. 1 (1), 3-28 (1969).