Programa școlară [607753]

Anexa nr. 2 la ordinul ministrului educației națion ale nr. 3393/28.02.2017
MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE

Programa școlară
pentru disciplina

MATEMATICĂ
CLASELE a V-a – a VIII-a

București, 2017

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 2
Notă de prezentare

Evoluția umanității a fost strâns legată de dezvolt area matematicii. Obiectele specifice matematicii
sunt în concordanță cu nevoile și interesele omului pentru rezolvarea unor situații teoretice, metodol ogice și
practice, dar și estetice. Matematica nu se rezumă doar la studiul numerelor și al relaț iilor dintre acestea, ci
este un domeniu de creație, bazat pe gândire logică și inovatoare.
Matematica este o disciplină de mare profunzime, având un car acter deschis, datorat și existenței
unei serii de probleme încă nerezolvate. În timp, r ezolvarea acestora a condus la crearea unor domenii noi de
cercetare și a contribuit la rezolvarea unor proble me conexe altor arii de cunoaștere. Totodată, Matematica
contribuie la înțelegerea realității subiective a p ropriei persoane și a realității obiective a mediul ui
înconjurător.
Programa școlară de matematică reprezintă o compone ntă esențială a curriculumului național, în
acord cu Planul-cadru de învățământ pentru învățământul gimn azial , aprobat prin OMENCS nr.
3590/05.04.2016, urmărind respectarea caracteristic ilor ciclurilor de dezvoltare cognitivă a elevului și
utilizarea eficientă a resurselor didactice disponi bile. Disciplina este inclusă în aria curriculară Matematică și
științe ale naturii din trunchiul comun și este prevăzută în planul-ca dru de învățământ cu un buget de timp de 4
ore/săptămână.
În procesul de proiectare curriculară s-au avut în vedere: profilul de formare al elevului de gimnaziu ,
programele școlare pentru ciclul primar la discipli na Matematică , competențele-cheie pentru învățarea pe tot
parcursul vieții din cadrul european de referință, rezultatele înregistrate la evaluările naționale și
internaționale pentru învățământul gimnazial și pri ncipiile de construcție curriculară.
Procesul de proiectare curriculară a programei școl are de matematică pentru învățământul gimnazial
s-a realizat ținând cont de:
• adaptarea curriculumului la așteptările societății și la realitățile sistemului de învățământ, având c a
obiectiv pregătirea elevului pentru viață și profes ie;
• echilibrarea ponderii domeniilor disciplinei și int egrarea/organizarea acestora într-un sistem coerent ;
• flexibilizarea curriculumului în sensul respectării diferențelor între elevii de aceeași vârstă (ritm de
învățare, nivel de achiziții anterioare, motivație internă, specific cultural și comunitar);
• asigurarea unei tranziții optime de la un ciclu de învățământ la altul și de la un an de studiu la alt ul,
cu introducerea unor secvențe de inițiere a procesu lui de instruire la nivelul achizițiilor de bază în
termeni de conținuturi-ancoră;
• corelarea activităților de învățare propuse prin pr ogramă cu dimensiunea axiologică a idealului
educației referitoare la formarea personalității au tonome creative.
Prin specificul său, disciplina Matematică este esențială în formarea și dezvoltarea competen țelor
necesare pentru învățarea pe tot parcursul vieții ș i constituie un fundament solid pentru argumentare,
dezvoltare de raționament logic, spirit și gândire critică, analizare, interpretare și rezolvare de pr obleme.
Atitudinile promovate de programa școlară de matema tică sunt cele prevăzute în documentele
europene pentru educația matematică: respectul pent ru adevăr și perseverența pentru găsirea celor mai
eficiente soluții, dezvoltarea de argumente și eval uarea validității acestora. Abordarea în spirit mat ematic a
situațiilor cotidiene solicită un tip de gândire de schisă și creativă, precum și un spirit de observaț ie dezvoltat,
matematica fiind modelul perfect pentru exersarea ș i implementarea gândirii critice la elevi. Prezenta
programă școlară își propune să formeze la elevi in ițiativa și capacitatea decizională, independența î n gândire
și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a ab orda situații variate, precum și capacitatea de a a precia
rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura modelă rii unei situații date, a rezolvării unei probleme sau a
construirii unei teorii. Programa școlară de matema tică promovează exersarea obișnuinței de a recurge la
modele matematice în abordarea unor situații cotidi ene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.
Demersul de predare-învățare-evaluare poate fi orga nizat individual, frontal sau pe grupe, cultivând
astfel la elevi calități precum spiritul de echipă, încrederea în sine și respectul pentru ceilalți, t oleranța,
curajul de a prezenta o opinie personală și spiritu l de inițiativă. Încrederea în sine și autonomia pe rsonală
sunt susținute la nivel metodologic prin utilizarea erorii ca sursă de învățare, prin încurajarea unor abordări
din perspective multiple și prin aplicarea matemati cii în viața de zi cu zi. Astfel se dezvoltă motiva ția elevilor
pentru a reuși în învățare și, implicit, pentru con tinuarea studiului disciplinei. Programa școlară de
matematică pentru gimnaziu se concentrează pe forma rea și pe dezvoltarea gradată și continuă a
competențelor matematice, astfel încât, la sfârșitu l gimnaziului, elevii devin capabili să rezolve sit uații
problematice diverse, utilizând atât corelații intr adisciplinare, cât și interdisciplinare.

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 3 Structura programei școlare include, pe lângă Nota de prezentare , următoarele elemente:
– Competențe generale
– Competențe specifice și exemple de activități de învățare
– Elemente de conținut
– Sugestii metodologice
Competențele generale vizate la nivelul disciplinei, încadrează achizițiile de cunoaștere și de
comportament ale elevului, fiind comune întregului ciclu de învățământ gimnazial și redând, într-un mo d
particularizat pentru această disciplină, orientare a generală a procesului educațional.
Competențele specifice sunt competențe derivate din competențele generale și reprezintă etape
măsurabile în formarea și dezvoltarea acestora. Pen tru formarea și dezvoltarea competențelor specifice , în
programă sunt propuse exemple de activități de învățare care valorifică experiența concretă a elevului și
care definesc contexte de învățare variate. Program a școlară de matematică pentru gimnaziu propune o o fertă
flexibilă de activități de învățare. Profesorul poa te să modifice, să completeze sau să înlocuiască ac este
activități cu altele adecvate clasei. Devine astfel posibil să se realizeze un demers didactic persona lizat, care
să asigure formarea/dezvoltarea competențelor prevă zute de programă, în contextul specific al fiecărei clase.
Conținuturile reprezintă decupaje didactice relevante pentru mate matică, structurate și abordate
astfel încât să fie accesibile elevilor de gimnaziu . Ele sunt mijloace informaționale prin care se for mează și se
dezvoltă competențele specifice. Conținuturile au f ost selectate pe baza principiului continuității și al
coerenței și sunt puternic interconectate, astfel î ncât, după parcurgerea lor integrală, elevul să fie capabil să
realizeze conexiuni între idei, texte cu conținut m atematic, reprezentări grafice și formule, în scopu l
rezolvării unor probleme diverse, de natură teoreti că sau practic-aplicativă.
Sugestiile metodologice reprezintă o componentă a programei care propune mo dalități și mijloace
pentru realizarea demersului didactic.
Note definitorii ale acestei programe
Programa școlară de matematică delimitează, pentru fiecare clasă a învățământului gimnazial, un
nivel de pregătire matematică necesar elevilor pent ru continuarea studiilor disciplinare și, pe baza a cestuia,
trasarea posibilităților de avansare în învățare.
Programa școlară de matematică a fost gândită astfe l încât să poată fi parcursă în 75% din timpul
alocat orelor de matematică, restul orelor (25%) fi ind la dispoziția profesorului pentru activități re mediale, de
fixare sau de progres.
O caracteristică a acestei programe școlare este că , în clasele a V-a și a VI-a, noțiunile sunt
prezentate intuitiv, evitându-se abuzul de notații sau de abstractizare. Spre finalul clasei a VI-a, a șteptările
sunt ca elevul să poată deja dezvolta raționamente deductive simple, utilizând, dacă este cazul,
contraexemple. Elevul devine capabil să folosească diferite mijloace de învățare, inclusiv softuri mat ematice.
De asemenea, poate folosi în mod adecvat regulile d e calcul pentru a investiga idei matematice și pent ru a
rezolva diverse situații problematice.
Pașii către dezvoltarea unei gândiri structurate, t eoretizările sau raționamentele mai ample, orientat e
spre formarea unor competențe de transfer al matema ticii în practică și al cotidianului în modele mate matice,
precum și familiarizarea cu o abordare pluridiscipl inară a domeniilor cunoașterii, se realizează trept at, mai
accentuat în ultimii doi ani din gimnaziu.
Extinderea spațiului numeric la acest nivel de școl aritate impune înțelegerea și dezvoltarea unor
competențe de operare cu numere reale. De asemenea, aprofundarea unor noțiuni de geometrie și de
măsurare devine o premisă în înțelegerea unor noțiu ni specifice altor discipline prevăzute în planul-c adru.

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 4

Competențe generale

1. Identificarea unor date, mărimi și relații matemati ce, în contextul în care acestea apar
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în
diverse surse informaționale
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a infor mațiilor, concluziilor și
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei si tuații date
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin int egrarea achizițiilor din diferite
domenii

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 5 CLASA a V-a
Competențe specifice și exemple de activități de în vățare
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matem atice, în contextul în care acestea apar
Clasa a V-a
1.1. Identificarea numerelor naturale în contexte v ariate
– Scrierea și citirea numerelor naturale în sistemul de numerație zecimal
– Identificarea unor numere naturale într-o diagramă, într-un grafic sau într-un tabel care conțin date
referitoare la o situație practică
– Identificarea unui număr natural pe baza unor condi ții impuse cifrelor sale
– Identificarea unei metode aritmetice adecvate pentr u rezolvarea unei probleme date
1.2. Identificarea fracțiilor ordinare sau zecimale în contexte variate
– Utilizarea unor reprezentări grafice variate pentru ilustrarea fracțiilor echiunitare, subunitare,
supraunitare
– Verificarea echivalenței a două fracții prin diferi te reprezentări
– Scrierea unui procent sub formă de fracție ordinară (de exemplu, 20% se scrie 20
100 )
– Identificarea unor date statistice din diagrame, ta bele sau grafice
1.3. Identificarea noțiunilor geometrice elementare și a unităților de măsură în diferite contexte
– Observarea unor figuri geometrice pe modele fizice/ desene
– Descrierea și identificarea unor elemente ale figur ilor și ale corpurilor geometrice
– Identificarea unor segmente congruente sau unghiuri congruente în configurații cu axe de simetrie
– Alegerea unității de măsură pentru estimarea lungim ilor/distanțelor, ariilor și volumelor în diferite
situații practice
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitat iv, calitativ, structural, cuprinse în diverse
surse informaționale
Clasa a V-a
2.1. Efectuarea de calcule cu numere naturale folos ind operațiile aritmetice și proprietățile acestora
– Efectuarea operațiilor aritmetice cu numere natural e
– Efectuarea de calcule utilizând factorul comun
– Efectuarea operațiilor cu puteri utilizând regulile de calcul specifice
– Reprezentarea datelor dintr-o problemă, în vederea aplicării unei metode aritmetice adecvate
2.2. Efectuarea de calcule cu fracții folosind prop rietăți ale operațiilor aritmetice
– Introducerea și scoaterea întregilor dintr-o fracți e ordinară
– Înmulțirea și împărțirea unei fracții zecimale cu u n număr finit de zecimale nenule cu 10, 100, 1000
– Scrierea unei fracții zecimale cu un număr finit de zecimale nenule ca un produs dintre un număr zecim al
și o putere a lui 10; scrierea unei fracții zecimal e cu un număr finit de zecimale nenule ca un cât di ntre un
număr zecimal și o putere a lui 10
– Calcularea unei fracții echivalente cu o fracție da tă, prin amplificare sau simplificare
– Simplificarea unei fracții ordinare în vederea obți nerii unei fracții ireductibile (prin simplificări
succesive, dacă este cazul)
– Efectuarea de operații cu numere raționale exprimat e sub formă de fracție zecimală și/sau ordinară
2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configurații
geometrice
– Construcția unor figuri geometrice cu dimensiuni da te
– Măsurarea unor lungimi pe modele sau obiecte din re alitatea înconjurătoare (utilizând instrumente de
măsură adecvate)
– Aplicarea unor metode practice pentru măsurarea per imetrelor pe modele sau obiecte din realitatea
înconjurătoare
– Construcția unor segmente congruente și a unor ungh iuri congruente
– Reprezentarea prin desen a unor configurații geomet rice (drepte paralele, drepte perpendiculare,
unghiuri de măsură dată etc.)
– Măsurarea cu raportorul a unui unghi dat

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 6 – Estimarea volumului/capacității unui corp
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifi ci în diverse contexte matematice
Clasa a V-a
3.1. Utilizarea regulilor de calcul pentru efectuar ea operațiilor cu numere naturale și pentru
divizibilitate
– Utilizarea algoritmului împărțirii, cu restul egal sau diferit de zero, în cazul în care deîmpărțitul și
împărțitorul au una sau mai multe cifre
– Aproximarea/estimarea rezultatelor obținute prin ut ilizarea algoritmului împărțirii
– Calcularea unor expresii numerice care conțin paran teze (rotunde, pătrate și acolade), cu respectarea
ordinii efectuării operațiilor
– Aplicarea metodelor aritmetice pentru rezolvarea un or probleme cu numere naturale
– Determinarea unui număr natural pe baza unor condiț ii impuse cifrelor sale (de exemplu, determinați
numerele de forma 2 5 a b , știind că produsul cifrelor sale este 120)
3.2. Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea oper ațiilor cu fracții ordinare sau zecimale
– Aplicarea algoritmilor de împărțire a unei fracții zecimale la un număr natural sau la o fracție zecim ală
cu un număr finit de zecimale nenule
– Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecima le și invers
– Aplicarea metodelor aritmetice pentru rezolvarea un or probleme cu fracții
3.3. Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) și a volumelor (cub, paralelipiped
dreptunghic) și exprimarea acestora în unități de m ăsură corespunzătoare
– Transformări ale unităților de măsură standard folo sind fracții zecimale
– Calcularea perimetrului unei figuri geometrice, evi dențiind intuitiv perimetrul
– Operații cu măsuri de unghiuri (limitate numai la g rade și minute sexagesimale)
– Determinarea volumului unui cub, al unui paralelipi ped dreptunghic, utilizând rețeaua de cuburi cu
lungimea muchiei egală cu 1 și deducerea formulei d e calcul
– Aplicarea formulei pentru calculul volumului unui c ub și a unui paralelipiped dreptunghic
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a in formațiilor, concluziilor și demersurilor de
rezolvare pentru o situație dată
Clasa a V-a
4.1. Exprimarea în limbaj matematic a unor propriet ăți referitoare la comparări, aproximări, estimări
și ale operațiilor cu numere naturale
– Reprezentarea pe axa numerelor a unui număr natural , utilizând compararea și ordonarea numerelor
naturale
– Justificarea estimărilor rezultatelor unor calcule cu numere naturale
– Justificarea scrierii unui număr natural dat sub fo rmă de putere cu baza sau exponentul indicat
– Exprimarea unor numere naturale de două cifre ca pr odus de numere prime
4.2. Utilizarea limbajului specific fracțiilor/proc entelor în situații date
– Încadrarea unei fracții zecimale între două numere naturale consecutive
– Utilizarea limbajului specific pentru determinarea unei fracții dintr-un număr natural n, multiplu al
numitorului fracției
– Utilizarea limbajului adecvat pentru exprimarea uno r transformări monetare (inclusiv schimburi
valutare)
4.3. Transpunerea în limbaj specific a unor problem e practice referitoare la perimetre, arii, volume,
utilizând transformarea convenabilă a unităților de măsură
– Compararea unor distanțe/lungimi, perimetre, arii ș i volume exprimate prin unități de măsură diferite
– Descrierea unor reprezentări geometrice în situații practice/aplicative (de exemplu, realizarea planul ui
clasei, al curții școlii prin metoda proiectului)
– Descrierea metodelor utilizate pentru verificarea c oliniarității unor puncte date (de exemplu, cu măsu ri
de unghiuri, cu lungimi de segmente)

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 7 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
Clasa a V-a
5.1. Analizarea unor situații date în care intervin numere naturale pentru a estima sau pentru a
verifica validitatea unor calcule
– Evidențierea avantajelor folosirii proprietăților o perațiilor cu numere naturale în diferite contexte
– Analizarea faptului că un număr este sau nu pătratu l unui număr natural (utilizând ultima cifră,
încadrarea între pătratele a două numere naturale c onsecutive)
– Determinarea unor numere naturale care respectă anu mite condiții (de exemplu, determinați numerele
prime a și b, știind că 3 2 16 a b + = )
– Compararea a două numere naturale scrise sub formă de puteri folosind aducerea la aceeași bază sau la
același exponent
– Aplicarea criteriilor de divizibilitate a numerelor naturale pentru situații cotidiene
– Estimarea ordinului de mărime a numerelor de forma 2n, pornind de la probleme practice (de exemplu,
foi de hârtie îndoite consecutiv, povestea tablei d e șah)
– Realizarea unor estimări utilizând procente (de exe mplu, cunoscând numărul elevilor de gimnaziu dintr- un
oraș și faptul că aproximativ 2% dintre aceștia studiază un instrument muzical, est ima ți numărul de elevi
de gimnaziu care studiază un instrument muzical)
– Stabilirea valorii de adevăr a unui enunț matematic cu numere naturale, folosind metode aritmetice
5.2. Analizarea unor situații date în care intervin fracții pentru a estima sau pentru a verifica
validitatea unor calcule
– Reprezentarea pe axa numerelor a fracțiilor zecimal e cu un număr finit de zecimale nenule folosind
aproximarea acestora
– Analizarea unor scheme, modele sau algoritmi pentru rezolvarea unor probleme practice care implică
utilizarea operațiilor cu fracții ordinare sau zeci male și ordinea efectuării operațiilor
– Evidențierea, pe cazuri concrete, a relației dintre volum și capacitate
– Estimarea măsurilor unor mărimi caracteristice ale unor obiecte din mediul înconjurător (capacitate,
masă, preț)
– Estimarea mediei unui set de date; compararea estim ării cu valoarea determinată prin calcule
5.3. Interpretarea prin recunoașterea elementelor, a măsurilor lor și a relațiilor dintre ele, a unei
configurații geometrice dintr-o problemă dată
– Estimarea sau determinarea ariilor unor suprafețe î n contexte reale, utilizând caroiaje/pavaje
– Estimarea ariei unei piese de pavaj atunci când cun oaștem aria suprafeței și numărul de piese
– Estimarea mărimii unor caracteristici (lungime, ari e, volum) ale unor obiecte din mediul înconjurător
– Determinarea prin pliere a axelor de simetrie pentr u pătrat, dreptunghi
– Estimarea capacității unui vas prin raportare la ca pacitatea altui vas (activitate practică sau lecții
demonstrative utilizând calculatorul )
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii
Clasa a V-a
6.1. Modelarea matematică, folosind numere naturale , a unei situații date, rezolvarea problemei
obținute prin metode aritmetice și interpretarea re zultatului
– Modelarea unor probleme practice utilizând metode a ritmetice (metoda reducerii la unitate, metoda
comparației, metoda figurativă, metoda mersului inv ers etc.)
– Evidențierea unor situații în care metoda de rezolv are propusă este aplicată incorect
– Exemplificarea, folosind gândirea critică, a unor p robleme cu date insuficiente, a unor probleme cu da te
contradictorii etc.
– Formularea unei probleme pe baza unei scheme sau re guli date și rezolvarea acesteia prin metode
aritmetice (metoda reducerii la unitate, metoda com parației, metoda figurativă, metoda mersului invers
etc.)
6.2. Reprezentarea matematică, folosind fracțiile, a unei situații date, în context intra și
interdisciplinar (geografie, fizică, economie etc.)
– Formularea unor probleme cu fracții, pe baza unor s cheme sau reguli date și rezolvarea acestora prin
metode aritmetice (metoda reducerii la unitate, met oda comparației, metoda mersului invers etc.)
– Reprezentarea datelor statistice folosind softuri m atematice

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 8 – Argumentarea demersului de rezolvare a unei problem e pornind de la un set de informații cu caracter
cotidian sau științific (fizic, economic etc.)
6.3. Analizarea unor probleme practice care includ elemente de geometrie studiate, cu referire la
unități de măsură și la interpretarea rezultatelor
– Alegerea unui etalon adecvat pentru activități prac tice referitoare la lungimi/arii/volume/capacități
– Stabilirea unor legături, în contexte reale, între diferite tipuri de măsurători (de exemplu: determin area
indicelui de masă corporală, determinarea cantități i de apă care se acumulează într-un vas în timp dat )
– Aplicarea în situații practice a elementelor de geo metrie, pentru a obține un răspuns la o problemă
deschisă (de exemplu, utilizarea unor metode person ale pentru transpunerea unui model geometric dat pe
hârtie la suprafețe mari: rond de flori, mozaic, ma ndala) sau pentru a realiza estimări (de exemplu,
determinarea numărului de portocale care încap într -o cutie cubică imaginară cu latura de 100 metri)
– Modelarea unei situații date, referitoare la segmen te, figuri congruente, mijlocul unui segment și
simetricul unui punct față de un punct, prin traspu nerea acestora din contextul dat în limbaj specific
matematicii

Conținuturi

Domenii de
conținut Conținuturi
Numere 1. NUMERE NATURALE
Operații cu numere naturale
•• •• Scrierea și citirea numerelor naturale; reprezentar ea pe axa numerelor; compararea și
ordonarea numerelor naturale; aproximări, estimări
•• •• Adunarea numerelor naturale, proprietăți; scăderea numerelor naturale
•• •• Înmulțirea numerelor naturale, proprietăți; factor comun
•• •• Împărțirea cu rest zero a numerelor naturale; împăr țirea cu rest a numerelor naturale
•• •• Puterea cu exponent natural a unui număr natural; p ătratul unui număr natural; reguli de
calcul cu puteri; compararea puterilor; scrierea în baza 10; scrierea în baza 2 (fără
operații)
•• •• Ordinea efectuării operațiilor; utilizarea parantez elor: rotunde, pătrate și acolade
•• •• Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metod a reducerii la unitate, metoda
comparației, metoda figurativă, metoda mersului inv ers, metoda falsei ipoteze
Divizibilitatea numerelor naturale
•• •• Divizor; multiplu; divizori comuni; multipli comuni
•• •• Criterii de divizibilitate cu: 2, 5, 10 n, 3 și 9; numere prime; numere compuse
Numere.
Organizarea
datelor 2. FRACȚII ORDINARE. FRACȚII ZECIMALE
Fracții ordinare
•• •• Fracții ordinare; fracții subunitare, echiunitare, supraunitare; procente; fracții echivalente
(prin reprezentări)
•• •• Compararea fracțiilor cu același numitor/numărător; reprezentarea pe axa numerelor a unei
fracții ordinare
•• •• Introducerea și scoaterea întregilor dintr-o fracți e
•• •• Cel mai mare divizor comun a două numere naturale ( fără algoritm); amplificarea și
simplificarea fracțiilor; fracții ireductibile
•• •• Cel mai mic multiplu comun a două numere naturale ( fără algoritm); aducerea fracțiilor la
un numitor comun
•• •• Adunarea și scăderea fracțiilor
•• •• Înmulțirea fracțiilor, puteri; împărțirea fracțiilo r
•• •• Fracții/procente dintr-un număr natural sau dintr-o fracție ordinară
Fracții zecimale
•• •• Fracții zecimale; scrierea fracțiilor ordinare cu n umitori puteri ale lui 10 sub formă de
fracții zecimale; transformarea unei fracții zecima le cu un număr finit de zecimale nenule
în fracție ordinară
•• •• Aproximări; compararea, ordonarea și reprezentarea pe axa numerelor a unor fracții

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 9 zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
•• •• Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale cu un numă r finit de zecimale nenule
•• •• Înmulțirea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
•• •• Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracț ie zecimală; aplicație: media aritmetică
a două sau mai multor numere naturale; transformare a unei fracții ordinare într-o fracție
zecimală; periodicitate
•• •• Împărțirea unei fracții zecimale cu un număr finit de zecimale nenule la un număr natural
nenul; împărțirea a două fracții zecimale cu un num ăr finit de zecimale nenule
•• •• Transformarea unei fracții zecimale periodice în fr acție ordinară
•• •• Număr rațional pozitiv; ordinea efectuării operații lor cu numere raționale pozitive
•• •• Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu fracții în care intervin și unități de
măsură pentru lungime, arie, volum, capacitate, mas ă, timp și unități monetare
•• •• Probleme de organizare a datelor; frecvență; date s tatistice organizate în tabele, grafice cu
bare și/sau cu linii; media unui set de date statis tice
Geometrie 3. ELEMENTE DE GEOMETRIE ȘI UNITĂȚI DE MĂ SURĂ
•• •• Punct, dreaptă, plan, semiplan, semidreaptă, segmen t (descriere, reprezentare, notații 1)
•• •• Pozițiile relative ale unui punct față de o dreaptă ; puncte coliniare; „prin două puncte
distincte trece o dreaptă și numai una”; pozițiile relative a două drepte: drepte concurente,
drepte paralele
•• •• Distanța dintre două puncte; lungimea unui segment; segmente congruente (construcție);
mijlocul unui segment; simetricul unui punct față d e un punct
•• •• Unghi: definiție, notații, elemente; interiorul unu i unghi, exteriorul unui unghi
•• •• Măsura unui unghi 2, unghiuri congruente (măsurarea și construcția cu raportorul);
clasificări de unghiuri: unghi drept, unghi ascuțit , unghi obtuz; unghi nul, unghi alungit
•• •• Calcule cu măsuri de unghiuri exprimate în grade și minute sexagesimale
•• •• Figuri congruente (prin suprapunere); axa de simetr ie (prin suprapunere)
•• •• Unități de măsură pentru lungime, aplicație: perime tre; unități de măsură pentru arie,
aplicații: aria pătratului/dreptunghiului; unități de măsură pentru volum, aplicații: volumul
cubului și al paralelipipedului dreptunghic; transf ormări ale unităților de măsură
1 Notația AB reprezintă dreapta AB , segmentul AB , lungimea segmentului AB sau distanța de la punctul
A la punctul B, în funcție de context.
2 Notația AOB ∢ reprezintă atât unghiul AOB , cât și măsura unghiului AOB , în funcție de context.
Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva comp etențelor specifice. Activitățile de învățare suger ate
oferă o imagine posibilă privind contextele de form are/dezvoltare a acestor competențe.

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 10 CLASA a VI-a
Competențe specifice și exemple de activități de în vățare
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matem atice, în contextul în care acestea apar
Clasa a VI-a
1.1. Identificarea unor noțiuni specifice mulțimilo r și relației de divizibilitate în ℕ
– Recunoașterea unor mulțimi finite sau infinite (mul țimea numerelor naturale, mulțimea numerelor
naturale pare/impare, mulțimea cifrelor unui număr, mulțimea divizorilor/multiplilor unui număr natura l)
– Definirea unor mulțimi folosind diagrame și/sau enu merare de elemente
– Recunoașterea unor numere prime
– Identificarea, dintr-o mulțime de numere, a unui nu măr compus
– Identificarea unui divizor al unui număr dat
– Scrierea unui număr natural de două cifre ca produs de puteri de numere prime, prin observare directă
– Scrierea mulțimii divizorilor unui număr natural fo losind descompunerea în produs de numere prime
– Recunoașterea unor perechi de numere prime între el e
1.2. Identificarea rapoartelor, proporțiilor și a m ărimilor direct sau invers proporționale
– Identificarea, citirea, scrierea și exemplificarea de rapoarte, procente
– Identificarea, citirea, scrierea și exemplificarea de proporții și mărimi direct sau invers proporțion ale,
din practică/cotidian sau în context intradisciplin ar sau interdisciplinar (de exemplu: scara unei hăr ți,
concentrația unei soluții)
– Identificarea unor mărimi direct propor ționale în reprezentări grafice
1.3 . Identificarea caracteristicilor numerelor întregi î n contexte variate
– Identificarea unui număr întreg în situații practic e sau interdisciplinare (de exemplu: temperaturi,
altitudini, golaveraje, debit/credit)
– Reprezentarea pe axa numerelor a opusului unui numă r întreg; modulul ca distanță pe axa numerelor de
la origine la reprezentarea numărului
– Identificarea unor contexte practic-aplicative sau teoretice care folosesc ecuații sau inecuații în mu lțimea
numerelor întregi
1.4. Recunoașterea fracțiilor echivalente, a fracțiilor ireductibile și a formelor de scriere a unui număr
rațional
– Identificarea unui număr rațional în situații pract ice sau interdisciplinare (de exemplu: temperatura
corpului, înălțimea unei persoane, prețul unui prod us)
– Reprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor, utilizând și noțiunile: opus și modul
– Identificarea unor contexte practic-aplicative sau teoretice care folosesc numere raționale
1.5. Recunoașterea unor figuri geometrice plane (dr epte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în
configurații date
– Identificarea unor drepte sau unghiuri într-o confi gurație geometrică dată, din realitatea înconjurăto are
– Identificarea unor cercuri și arce de cerc într-o c onfigurație geometrică dată, din realitatea
înconjurătoare
– Identificarea unor relații între elemente geometric e date (apartenență, incluziune, egalitate, concure nță,
paralelism, perpendicularitate, simetrie)
1.6. Recunoașterea unor elemente de geometrie plană asociate noțiunii de triunghi
– Recunoașterea unor triunghiuri isoscele/echilateral e/ascuțitunghice/dreptunghice/obtuzunghice în
configurații geometrice date
– Recunoașterea elementelor caracteristice triunghiur ilor în desene, machete, mediul înconjurător etc.
– Descrierea unor caracteristici ale configurațiilor geometrice date referitoare la triunghi (prin obser vare,
prin utilizarea instrumentelor geometrice)
– Recunoașterea unor triunghiuri congruente într-o co nfigurație geometrică dată

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 11 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitat iv, calitativ, structural, cuprinse în diverse
surse informaționale
Clasa a VI-a
2.1. Evidențierea în exemple a relațiilor de aparte nență, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de
divizibilitate cu 2, 5, 10 n, 3 și 9 în ℕ
– Recunoașterea și exemplificarea de elemente care ap arțin/nu aparțin unei mulțimi date prin diagrame
sau prin enumerarea elementelor
– Recunoașterea și exemplificarea de mulțimi date pri n diagrame sau prin enumerarea elementelor;
mulțimi care sunt sau nu în relație de incluziune
– Identificarea unor numere naturale care se divid cu 2, 5, 10 n, 3 sau 9, utilizând criteriile de divizibilitate
– Scrierea unui număr natural ca produs de puteri de numere prime folosind descompunerea în factori
primi
– Selectarea dintr-o enumerare dată a numerelor natur ale prime/compuse
2.2. Prelucrarea cantitativă a unor date utilizând rapoarte și proporții pentru organizarea de date
– Determinarea unui procent dintr-un număr dat; deter minarea unui număr, când se cunoaște un procent
din el (de exemplu: reducerea/creșterea prețului un ui produs, concentrația unei soluții)
– Calcularea unei valori necunoscute dintr-o proporți e
– Calcularea unor numere folosind un șir de rapoarte egale
– Calcularea valorii unui raport folosind un șir de r apoarte egale
– Organizarea și reprezentarea de date sub formă de g rafice, tabele sau diagrame statistice în vederea
înregistrării, prelucrării și prezentării acestora
2.3. Utilizarea operațiilor cu numere întregi pentru rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor
– Compararea numerelor întregi, pornind de la repreze ntările acestora pe axa numerelor
– Ordonarea elementelor unei mulțimi finite de numere întregi
– Utilizarea regulilor specifice pentru efectuarea op erațiilor cu numere întregi: adunare, scădere,
înmulțire, împărțire și ridicare la putere cu expon ent natural
– Validarea (prin probă) a soluți ei unei ecuații sau a unei inecuații în mul țimea numerelor întregi
2.4. Aplicarea regulilor de calcul cu numere raționale p entru rezolvarea ecuațiilor de tipul: x a b + = ,
x a b ⋅ = , 😡 a b = ()0a≠, ax b c + = , unde a, b și c sunt numere raționale
– Utilizarea regulilor specifice pentru efectuarea op erațiilor cu numere raționale: adunare, scădere,
înmulțire, împărțire (calcule ce implică maximum do uă operații)
– Estimarea rezultatului unui calcul înainte de efect uarea lui (cu scopul dezvoltării abilităților de ca lcul
mintal în contexte practice, cotidiene, de exemplu: cumpărături, cantități necesare, cantități suficie nte)
– Validarea (prin probă) a soluției unei ecuații cu c oeficienți numere raționale
– Rezolvarea de ecuații utilizând regulile de calcul studiate
2.5. Recunoașterea coliniarității unor puncte, a fa ptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacen te,
complementare sau suplementare și a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
– Prelucrarea cantitativă a unor informații privind d istanțe, lungimi de segmente sau măsuri de
unghiuri/arce în vederea stabilirii coliniarității unor puncte, inclusiv în contextul cercului (de exe mplu:
punctele diametral opuse, centrul cercului)
– Verificarea faptului că două unghiuri sunt suplemen tare, complementare sau congruente
– Aplicarea, într-o configurație dată, a proprietății unghiurilor opuse la vârf și a unghiurilor în juru l unui
punct pentru determinarea unor măsuri de unghiuri
2.6. Calcularea unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri în contextul geometriei triunghiului
– Stabilirea tipului de triunghi prin efectuarea de c alcule numerice cu lungimi de segmente și măsuri de
unghiuri
– Efectuarea de calcule numerice pentru formularea de răspunsuri privind liniile importante în triunghi
– Efectuarea de măsurători cu raportorul și rigla pen tru formularea de răspunsuri privind unghiurile
exterioare ale unui triunghi, inegalități între lat uri/unghiuri ale unui triunghi

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 12 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifi ci în diverse contexte matematice
Clasa a VI -a
3.1. Utilizarea unor modalități adecvate de repreze ntare a mulțimilor și de determinare a c.m.m.d.c . și
a c.m.m.m.c.
– Reprezentarea unor mulțimi prin diagrame și/sau pri n enumerarea elementelor
– Efectuarea de operații cu mulțimi (reuniunea, inter secția, diferența) punând accentul pe exemple pract ice
– Determinarea c.m.m.d.c./c.m.m.m.c. prin descompuner ea numerelor naturale în produs de puteri de
numere prime
– Verificarea, prin exemple, a proprietății ()[] , , a b a b a b ⋅ = ⋅ , unde a și b sunt numere naturale (de
exemplu, calcularea c.m.m.m.c. pentru numere prime între ele)
– Utilizarea unor exemple pentru deducerea unor propr ietăți ale relației de divizibilitate în mulțimea
numerelor naturale
3.2. Aplicarea unor metode specifice de rezolvare a prob lemelor în care intervin rapoarte, proporții și
mărimi direct/invers proporționale
– Determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporț ie
– Rezolvarea de probleme în care intervin rapoarte, p rocente sau proporții
– Stabilirea proporționalității (directe sau inverse) între două mărimi și rezolvarea de probleme în car e
intervin mărimi direct sau invers proporționale, în contexte practic-aplicative sau interdisciplinare
– Utilizarea unor reguli specifice pentru obținerea d e proporții derivate (numai pe exemple numerice)
– Calcularea probabilității în contexte practic aplic ative simple
3.3. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantez elor în efectuarea operațiilor cu numere întregi
– Aplicarea unor proprietăți ale operațiilor cu numer e întregi pentru optimizarea calculelor numerice
– Utilizarea regulilor de calcul cu puteri (calcule n umerice)
– Utilizarea eficientă a metodelor de determinare a u nei necunoscute dintr-o ecuație sau inecuație (meto da
mersului invers, metoda balanței, transformări ale relațiilor de egalitate/inegalitate)
3.4. Utilizarea proprietăților operațiilor pentru c ompararea și efectuarea calculelor cu numere
raționale
– Compararea numerelor raționale, inclusiv poziționar ea numerelor pe axa numerelor
– Ordonarea elementelor unei mulțimi finite de numere raționale
– Utilizarea de proprietăți ale operațiilor cu numere raționale pentru optimizarea calculelor numerice
– Utilizarea regulilor de calcul cu puteri (calcule n umerice)
– Determinarea unei necunoscute dintr-o ecuație (meto da mersului invers, metoda balanței, transformări
ale relațiilor de egalitate)
3.5. Utilizarea unor proprietăți referitoare la dis tanțe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea uno r
construcții geometrice
– Utilizarea instrumentelor geometrice (raportor, rig lă, compas) pentru realizarea unor figuri geometric e
– Construcția bisectoarei unui unghi folosind raporto rul și rigla, respectiv compasul și rigla
– Construcția dreptelor paralele, a dreptelor perpend iculare, a mediatoarei unui segment folosind
instrumentele geometrice
– Construcția simetricei unei figuri față de o dreapt ă dată
– Determinarea unor lungimi de segmente utilizând inf ormații cuprinse în reprezentările geometrice
– Determinarea unor măsuri de unghiuri/arce de cerc u tilizând informații cuprinse în reprezentările
geometrice
3.6. Utilizarea criteriilor de congruență și a prop rietăților unor triunghiuri particulare pentru
determinarea caracteristicilor unei configurații ge ometrice
– Stabilirea congruenței unor triunghiuri identificân d criteriul de congruență potrivit
– Utilizarea relației de congruență a triunghiurilor pentru stabilirea congruenței unor segmente sau
unghiuri
– Utilizarea proprietăților triunghiurilor isoscele/e chilaterale/dreptunghice pentru determinarea unor
lungimi de segmente, distanțe, măsuri de unghiuri, proprietăți ale punctelor de pe mediatoare, bisecto are

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 13 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a in formațiilor, a concluziilor și a demersurilor de
rezolvare pentru o situație dată
Clasa a VI-a
4.1. Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete care se pot descrie utilizând mulțimile ș i
divizibilitatea în ℕ
– Exprimarea în limbaj matematic a unor caracteristic i ale elementelor unor mulțimi finite (de exemplu,
mulțimea cifrelor pare)
– Formularea unor enunțuri simple folosind cuvintele „și”, „sau”, „nu” în contextul operațiilor cu mulți mi
– Utilizarea terminologiei specifice divizibilității
– Redactarea rezolvării unor probleme referitoare la relația de divizibilitate în ℕ
4.2. Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor și a mă rimilor care apar în probleme cu rapoarte,
proporții și mărimi direct sau invers proporționale
– Exprimarea relației de proporționalitate directă sa u inversă între mărimi sub forma unei proporții sau a
unei egalități de produse
– Exprimarea în limbaj matematic a datelor unei probl eme care se rezolvă cu regula de trei simplă
– Determinarea valorilor minime, maxime și medii dint r-un set de date
– Organizarea informațiilor pe baza unor criterii, ut ilizând sortarea, clasificarea și reprezentarea gra fică
(cu accent pe interpretarea aceluiași set de date î n contexte diferite și pe utilizarea softurilor mat ematice)
4.3. Redactarea etapelor de rezolvare a ecuațiilor și a inecuațiilor studiate în mulțimea numerelor
întregi
– Formularea unor răspunsuri logice în raport cu ceri nțe de calcul numeric (corelații intradisciplinare; de
exemplu: apartenența rezultatului unui calcul la o mulțime, estimarea rezultatului, utilizarea lui 0 c a
factor în produse de numere)
– Scrierea unei ecuații/inecuații echivalente cu o ec uație/inecuație dată
– Redactarea demersului de rezolvare a unor ecuații s au inecuații în mulțimea numerelor întregi (inclusi v
verificarea soluțiilor)
– Transpunerea unei probleme într-o ecuație care se r ezolvă în mulțimea numerelor întregi
– Exprimarea unor caracteristici ale modulului, deriv ate din definiția acestuia (x a =, x a <, x a ≤,
unde a și x sunt numere întregi)
4.4. Redactarea etapelor de rezolvare a unor probleme, f olosind operații în mulțimea numerelor
raționale
– Formularea unor răspunsuri logice în raport cu ceri nțe de calcul numeric (corelații intradisciplinare; de
exemplu: apartenența rezultatului unui calcul la o mulțime, estimarea rezultatului)
– Transpunerea unei probleme într-o ecuație care se r ezolvă în mulțimea numerelor raționale
– Redactarea demersului de rezolvare și validarea sol uțiilor (prin probă) în cazul problemelor cu conțin ut
practic
4.5. Exprimarea, prin reprezentări geometrice sau î n limbaj specific matematic, a noțiunilor legate de
dreaptă, unghi și cerc
– Descrierea în limbaj matematic a unor configurații geometrice date care conțin drepte, unghiuri, cercu ri
– Transpunerea unor informații date (matematic sau în context practic) în configurații geometrice care
conțin drepte, unghiuri, cercuri
– Justificarea paralelismului a două drepte utilizând perechi de unghiuri formate de două drepte cu o
secantă
4.6. Exprimarea în limbaj geometric simbolic și fig urativ a caracteristicilor triunghiurilor și ale li niilor
importante în triunghi
– Transcrierea în limbaj simbolic a caracteristicilor triunghiurilor conținute în figuri geometrice date
– Transcrierea, din figuri geometrice date, în limbaj simbolic a caracteristicilor liniilor importante î n
triunghi
– Redactarea datelor cunoscute (ipoteze) și a celor n ecunoscute (concluzii), în raport cu o situație dat ă
referitoare la triunghi
– Evidențierea unor relații și proprietăți: unghi ext erior unui triunghi, inegalități între laturi și re lații între
laturi și unghiuri ale unui triunghi etc.

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 14 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
Clasa a VI-a
5.1. Analizarea unor situații date în contextul mul țimilor și al divizibilității în ℕ
– Asocierea „unu la unu” a elementelor a două mulțimi finite care au același cardinal
– Estimarea cardinalului unei mulțimi în contexte pra ctic-aplicative (de exemplu: numărul elevilor școli i,
numărul notelor obținute de un elev într-un semestr u, numărul orașelor unui județ)
– Analizarea și compararea unor metode diferite de re zolvare a unei probleme de divizibilitate
– Aplicarea proprietăților divizibilității în ℕ pentru rezolvarea exercițiilor cu fracții
5.2. Analizarea unor situații practice cu ajutorul rapoa rtelor, proporțiilor și a colecțiilor de date
– Justificarea proporționalității în vederea aplicări i regulii de trei simplă
– Interpretarea datelor înregistrate în tabele, grafi ce sau diagrame; estimări
– Analizarea unui set de date pentru a determina exis tența unei proporționalități (de exemplu: economie,
cotidian)
– Interpretarea mediei unui set de date
– Exprimarea semnificației unor elemente dintr-un gra fic
5.3. Interpretarea unor date din probleme care se rezolv ă utilizând numerele întregi
– Analizarea unor situații practice în care se utiliz ează numere întregi
– Analizarea unor consecințe posibile ce decurg din m odificarea unui set de ipoteze în probleme referito are
la numere întregi
– Încadrarea soluției unei ecuații într-o mulțime de numere întregi, fără a efectua calcule
5.4. Determinarea unor metode eficiente în efectuar ea calculelor cu numere raționale
– Analizarea unor situații practice în care se utiliz ează numere raționale
– Analizarea și alegerea metodei optime de efectuare a calculului numeric prin utilizarea de proprietăți ale
operațiilor studiate
– Interpretarea răspunsurilor obținute prin rezolvare a de ecuații și identificarea mulțimii soluțiilor
5.5. Analizarea seturilor de date numerice sau a re prezentărilor geometrice în vederea optimizării
calculelor cu lungimi de segmente, distanțe, măsuri de unghiuri și de arce de cerc
– Stabilirea numărului minim/maxim de drepte determin ate de un număr dat de puncte (fără generalizare)
– Analizarea unei configurații geometrice pentru veri ficarea unor proprietăți referitoare la bisectoare (de
exemplu: bisectoarele unghiurilor opuse la vârf, bi sectoarele unghiurilor adiacente suplementare)
– Analizarea unei configurații geometrice pentru veri ficarea unor proprietăți referitoare la lungimi (de
exemplu: ordonarea unor puncte pe dreaptă utilizând lungimi de segmente date, lungimea coardei cel
mult egală cu lungimea diametrului)
– Analizarea unei configurații geometrice pentru veri ficarea unor proprietăți referitoare la simetria fa ță de
un punct, simetria față de o dreaptă
5.6. Analizarea unor construcții geometrice în vede rea evidențierii unor proprietăți ale triunghiurilo r
– Construcția unei configurații geometrice cu triungh iuri având proprietăți date, cu ajutorul instrument elor
geometrice sau al softurilor matematice
– Analizarea setului de ipoteze ale unei probleme și elaborarea unei strategii de rezolvare prin raporta rea
adecvată la proprietățile studiate ale triunghiuril or
– Analizarea și validarea veridicității unei afirmați i folosind raționamente simple referitoare la triun ghi
– Analizarea validității unor enunțuri referitoare la triunghiuri rezultate prin modificarea unei ipotez e
(necesar/suficient) sau prin interschimbarea unor i nformații din ipoteză și din concluzie
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii
Clasa a VI-a
6.1. Transpunerea, în limbaj matematic, a unor situ ații date utilizând mulțimi, operații cu mulțimi și
divizibilitatea în ℕ
– Deducerea unor consecințe imediate care decurg din analizarea unui set de date asociate mulțimilor (de
exemplu, în general \A B este diferită de \B A )
– Interpretarea unor situații practice sau interdisci plinare (de exemplu, numeral cardinal/ordinal) folo sind
limbajul specific mulțimilor și operațiilor cu mulț imi
– Interpretarea unor noțiuni de bază din geometrie (p unct, segment, semidreaptă, dreaptă; poziții relati ve:
punct-dreaptă, dreaptă-dreaptă) utilizând limbajul specific mulțimilor

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 15 – Identificarea în situații practice a unor intersecț ii, reuniuni sau diferențe de mulțimi (de exemplu: criterii
de divizibilitate, numere de două cifre)
– Rezolvarea unor probleme practice utilizând proprie tățile divizibilității în ℕ
6.2. Modelarea matematică a unei situații date în care i ntervin rapoarte, proporții și mărimi direct sau
invers proporționale
– Modelarea matematică a dependențelor direct sau inv ers proporționale
– Interpretarea unui set de date descrise grafic sau numeric (de exemplu: dacă viteza este constantă, at unci
distanța și timpul sunt în relație de proporționali tate directă; dacă distanța este constantă, atunci viteza și
timpul sunt în relație de proporționalitate inversă )
– Interpretarea unui raport ca raport procentual sau ca probabilitate
6.3. Transpunerea, în limbaj algebric, a unei situații d ate, rezolvarea ecuației sau inecuației obținute și
interpretarea rezultatului
– Transpunerea unei situații date în limbaj matematic , utilizând ecuații sau inecuații
– Formularea de probleme cu numere întregi pe baza un ei scheme date sau a unui exercițiu dat
– Formularea unor probleme echivalente cu o problemă dată în contextul numerelor întregi
6.4. Interpretarea matematică a unor probleme pract ice prin utilizarea operațiilor cu numere
raționale
– Împărțirea unei cantități în părți direct sau inver s proporționale cu mai multe numere date
– Interpretarea matematică a unei proporționalități r eferitoare la segmente (de exemplu, interpretarea
regulilor din șirul lui Fibonacci în construcții ge ometrice cu segmente, pătrate și dreptunghiuri)
– Transpunerea, în limbaj matematic, a unei situații date, utilizând ecuații în contextul numerelor rați onale
– Formularea de probleme cu numere raționale pe baza unei scheme date sau a unui exercițiu dat
6.5. Interpretarea informațiilor conținute în repre zentări geometrice pentru determinarea unor
lungimi de segmente, distanțe și a unor măsuri de u nghiuri/arce de cerc
– Descrierea unei situații-problemă, cu transpunerea acesteia din limbaj curent în limbaj simbolic și
figurativ
– Estimarea lungimii unui segment, a unei distanțe, a măsurii unui unghi sau a unui arc utilizând divers e
date, reguli, relații
– Validarea rezultatului unui calcul/corectitudinii u nei reprezentări geometrice, folosind modalități di ferite
de abordare: estimări, măsurători, comparări
6.6. Transpunerea, în limbaj specific, a unei situa ții date legate de geometria triunghiului, rezolvar ea
problemei obținute și interpretarea rezultatului
– Modelarea geometrică a unei situații concrete, asoc iind acesteia un desen, implicând și estimări (de
exemplu, un traseu acasă – școală – teren de sport, reprezentat printr-un triunghi)
– Argumentarea demersului de rezolvare a unei problem e de geometrie
– Realizarea de conexiuni interdisciplinare sau pract ic-aplicative (de exemplu: planul înclinat, traseul de
lungime minimă, reflexia)
Conținuturi
Domenii de
conținut Conținuturi
Mulțimi.
Numere 1. MULȚIMI. MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE
• Descriere, notații, reprezentări; mulțimi numerice/ nenumerice; relația dintre un element și
o mulțime; relații între mulțimi
• Mulțimi finite, cardinalul unei mulțimi finite; mul țimi infinite, mulțimea numerelor
naturale
• Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferen ță
• Descompunerea numerelor naturale în produs de puter i de numere prime; aplicație:
determinarea celui mai mare divizor comun ( c.m.m.d.c. ) și a celui mai mic multiplu comun
(c.m.m.m.c. ); numere prime între ele
• Proprietăți ale divizibilității în ℕ: a a , unde a∈ℕ; a b și b c a c ⇒ , unde , , a b c ∈ℕ;
a b și ( ), a c a b c ⇒ ± unde , , a b c ∈ℕ; a bc și (), 1 a b a c = ⇒ , unde , , a b c ∈ℕ

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 16 Numere.
Organizarea
datelor și
probabilități 2. RAPOARTE. PROPORȚII
• Rapoarte; proporții; proprietatea fundamentală a pr oporțiilor; determinarea unui termen
necunoscut dintr-o proporție; proporții derivate
• Șir de rapoarte egale; mărimi direct proporționale; mărimi invers proporționale; regula de
trei simplă
• Elemente de organizare a datelor; reprezentarea dat elor prin grafice în contextul
proporționalității; reprezentarea datelor cu ajutor ul unor softuri matematice; probabilități
(aplicație la rapoarte)
Mulțimi.
Numere 3. MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI
• Mulțimea numerelor întregi; opusul unui număr între g; reprezentarea pe axa numerelor;
modulul unui număr întreg; compararea și ordonarea numerelor întregi
• Adunarea numerelor întregi, proprietăți; scăderea n umerelor întregi
• Înmulțirea numerelor întregi, proprietăți
• Împărțirea numerelor întregi când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului
• Puterea cu exponent număr natural a unui număr într eg nenul; reguli de calcul cu puteri
• Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parante zelor
• Ecuații, inecuații, probleme care se rezolvă cu aju torul ecuațiilor/inecuațiilor în contextul
numerelor întregi
4. MULȚIMEA NUMERELOR RAȚIONALE
• Număr rațional; mulțimea numerelor raționale; repre zentarea numerelor raționale pe axa
numerelor, opusul unui număr rațional; modulul; com pararea și ordonarea numerelor
raționale
• Adunarea numerelor raționale; proprietăți; scăderea numerelor raționale
• Înmulțirea numerelor raționale; proprietăți; împărț irea numerelor raționale; puterea cu
exponent număr întreg a unui număr rațional nenul; reguli de calcul cu puteri
• Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parante zelor
• Ecuații de tipul: x a b + = , x a b ⋅ = , 😡 a b =, ()0a≠, ax b c + = , unde a, b și c sunt
numere ra ționale; probleme care se rezolv ă folosind ecua ții de acest tip
Geometrie 5. NOȚIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE
• Unghiuri opuse la vârf, congruența lor; unghiuri fo rmate în jurul unui punct, suma
măsurilor lor; unghiuri suplementare, unghiuri comp lementare
• Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi, constru cția bisectoarei unui unghi
• Drepte paralele (definiție, notație, construcție in tuitivă prin translație); axioma
paralelelor; criterii de paralelism (unghiuri forma te de două drepte paralele cu o secantă);
aplicații practice în poligoane și corpuri geometri ce
• Drepte perpendiculare în plan (definiție, notație, construcție); oblice; aplicații practice în
poligoane și corpuri geometrice; distanța de la un punct la o dreaptă; mediatoarea unui
segment; construcția mediatoarei unui segment; sime tria față de o dreaptă
• Cerc (definiție, construcție); elemente în cerc: ce ntru, rază, coardă, diametru, arc de cerc;
unghi la centru; măsuri
• Pozițiile unei drepte față de un cerc; pozițiile re lative a două cercuri
6. TRIUNGHIUL
• Triunghiul: definiție, elemente; clasificare; perim etru; suma măsurilor unghiurilor unui
triunghi; unghi exterior unui triunghi, teorema ung hiului exterior
• Construcția triunghiurilor: cazurile LUL, ULU, LLL; inegalități între elementele
triunghiului (observate din cazurile de construcție )
• Linii importante în triunghi: bisectoarele unghiuri lor unui triunghi: concurența (fără
demonstrație), cercul înscris în triunghi; mediatoa rele laturilor unui triunghi: concurență
(fără demonstrație), cercul circumscris unui triung hi; înălțimile unui triunghi: definiție,
construcție, concurența (fără demonstrație); median ele unui triunghi: definiție, construcție,
concurența (fără demonstrație)
• Congruența triunghiurilor oarecare: criterii de con gruență a triunghiurilor: LUL, ULU,
LLL; criteriile de congruență a triunghiurilor drep tunghice: CC, IC, CU, IU
• Metoda triunghiurilor congruente, aplicații: propri etatea punctelor de pe bisectoarea unui

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 17 unghi/mediatoarea unui segment
• Proprietăți ale triunghiului isoscel; proprietăți a le triunghiului echilateral
• Proprietăți ale triunghiului dreptunghic (cateta op usă unghiului de 30 °, mediana
corespunzătoare ipotenuzei – teoreme directe și rec iproce); teorema lui Pitagora (fără
demonstrație, verificări de triplete de numere pita goreice, determinarea de lungimi
folosind pătrate le unor numere naturale )
Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva comp etențelor specifice. Activitățile de învățare suger ate
oferă o imagine posibilă privind contextele de form are/dezvoltare a acestor competențe.

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 18 CLASA a VII-a
Competențe specifice și exemple de activități de în vățare
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matem atice, în contextul în care acestea apar
Clasa a VII-a
1.1. Identificarea numerelor aparținând diferitelor subm ulțimi ale lui ℝ
– Identificarea pătratelor unor numere naturale dintr -o enumerare de numere date
– Identificarea, în exemple relevante, a relației înt re puterea cu exponent 2 și rădăcina pătrată a pătr atului
unui număr natural
– Identificarea rădăcinii pătrate din pătratul unui n umăr natural utilizând scrierea sub formă de putere cu
exponent 2
– Recunoașterea numerelor naturale, întregi, rațional e
– Recunoașterea unui număr irațional dintr-o mulțime de numere date
– Identificarea unei forme convenabile de scriere a u nui număr real în funcție de un context dat
1.2. Identificarea unei situații date rezolvabile p rin ecuații sau sisteme de ecuații liniare
– Recunoașterea unor relații matematice care reprezin tă ecuații
– Identificarea necunoscutei, coeficienților, termeni lor liberi ai unei ecuații
– Furnizarea unor exemple de relații matematice care reprezintă ecuații sau sisteme de ecuații liniare
– Identificarea și notarea datelor cunoscute și a dat elor necunoscute în cazul problemelor care se rezol vă cu
ajutorul ecuațiilor sau sistemelor de ecuații
1.3. Identificarea unor informații din tabele, grafice și diagrame
– Extragerea unei informații dintr-un tabel, grafic s au diagramă
– Identificarea modului adecvat de reprezentare a uno r date
– Identificarea unor exemple de corespondențe matematice în contexte variate
1.4. Identificarea patrulaterelor particulare în configurații geometri ce date
– Identificarea patrulaterelor pe corpuri geometrice sau pe desfășurări ale acestora
– Recunoașterea patrulaterelor în cotidian (în sala d e clasă, mediul înconjurător etc.)
– Identificarea patrulaterelor particulare în mediul înconjurător
– Identificarea paralelogramelor particulare într-o r eprezentare geometrică dată
– Identificarea pătratelor dintr-o mulțime de dreptun ghiuri și romburi
1.5. Identificarea elementelor cercului și/sau poli goanelor regulate în configurații geometrice date
– Recunoașterea elementelor unui cerc pe configurații geometrice date
– Identificarea unor proprietăți ale arcelor, coardel or și a diametrului perpendicular pe o coardă
– Identificarea poligoanelor regulate înscrise într-u n cerc
1.6. Identificarea triunghiurilor asemenea în configurații geometrice date
– Identificarea unor imagini care își păstrează forma prin mărire sau micșorare (de exemplu: zoom,
microscop)
– Recunoașterea proporționalității lungimilor unor se gmente care reprezintă laturi ale unor triunghiuri
– Identificarea laturilor omoloage ale unor triunghiu ri asemenea
– Identificarea vârfurilor omoloage ale unor triunghi uri asemenea
1.7. Recunoașterea elementelor unui triunghi dreptu nghic într-o configurație geometrică dată
– Identificarea triunghiurilor dreptunghice în config urații geometrice date
– Identificarea catetelor și a ipotenuzei într-un tri unghi dreptunghic dat
– Folosirea instrumentelor geometrice pentru a identi fica proiecția unui punct/segment pe o dreaptă
– Identificarea proiecției unui segment pe o dreaptă în diferite configurații geometrice
– Realizarea unor decupaje după indicații date (de ex emplu, decuparea unui triunghi de-a lungul unei
înălțimi)
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitat iv, calitativ, structural, cuprinse în diverse
surse informaționale
Clasa a VII-a
2.1. Aplicarea regulilor de calcul pentru estimarea și aproximarea numerelor reale
– Scrierea unui număr real în diverse forme
– Aproximarea unui număr real și reprezentarea acestu ia pe axa numerelor

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 19 – Determinarea opusului, a modulului și a inversului unui număr real
– Compararea numerelor reale utilizând modulul, aprox imări, încadrarea unui număr real între doi întregi
consecutivi, scoaterea factorilor de sub radical, i ntroducerea factorilor sub radical
2.2. Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea soluțiilor unor ecuații sau sis teme
de ecuații liniare
– Verificarea, prin calcul, că un număr dintr-o enume rare este soluție a unei ecuații
– Verificarea, prin calcul, a soluției unui sistem de ecuații liniare
– Verificarea, prin calcul, că un număr real este sol u ție comună a unor ecua ții
2.3. Prelucrarea unor date sub formă de tabele, grafice sau diagrame în vederea înregistrării,
reprezentării și prezentării acestora
– Prelucrarea statistică a unor date reprezentate în tabel
– Reprezentarea unor date prin diagrame, grafice circ ulare sau grafice cu bare
– Reprezentarea unor date în tabele cu una sau cu dou ă intrări
2.4. Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți a le acestora, în configurații geometrice
date
– Recunoașterea patrulaterelor convexe în configurați i geometrice date
– Descrierea unor proprietăți ale laturilor, unghiuri lor și diagonalelor unor patrulatere particulare
– Recunoașterea paralelogramelor particulare pe baza unor proprietăți precizate
– Recunoa șterea trapezului isoscel sau a trapezului dreptung hic
2.5. Descrierea proprietăților cercului și ale poligoanelor regulat e înscrise într-un cerc
– Calcularea măsurii unghiurilor unui poligon regulat
– Reprezentarea prin desen a configurațiilor geometri ce care conțin un cerc și elementele sale folosind
instrumente geometrice
– Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a repre zenta prin desen poligoane regulate înscrise în cer c
2.6. Stabilirea relației de asemănare între triungh iuri
– Stabilirea relației de asemănare între două triungh iuri utilizând măsurile unghiurilor
– Stabilirea relației de asemănare între două triungh iuri utilizând proporționalitatea laturilor
– Stabilirea relației de asemănare între două triungh iuri utilizând proporționalitatea a două perechi de
laturi și congruența unghiurilor dintre ele
– Stabilirea relației de asemănare între două triungh iuri prin aplicarea teoremei fundamentale a
asemănării
2.7. Aplicarea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale
acestuia
– Calcularea lungimilor unor segmente utilizând teore ma înălțimii, teorema catetei sau teorema lui Pitag ora
– Calcularea ariei unui triunghi oarecare folosind de scompunerea suprafeței sale în triunghiuri
dreptunghice
– Calcularea sinusului, cosinusului, tangentei și cot angentei pentru unghiuri ascuțite ale unui triunghi
dreptunghic
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifi ci în diverse contexte matematice
Clasa a VII-a
3.1. Utilizarea unor algoritmi și a proprietăților operațiilor în efectuarea unor calcule cu numere re ale
– Utilizarea regulilor de calcul pentru produsul/rapo rtul a doi radicali și pentru raționalizarea numito rului
– Utilizarea de raționalizări sau introducerea/scoate rea factorilor de sub radical pentru a compara/ordo na
numere iraționale
– Calcularea modulului unor sume/diferențe de numere iraționale
– Calcularea puterii cu exponent număr întreg a unui număr real nenul
– Exersarea regulilor privind ordinea efectuării oper ațiilor cu numere reale
– Utilizarea calculatorului pentru efectuarea sau ver ificarea unor calcule cu numere reale
– Utilizarea distributivității înmulțirii față de adu nare/scădere în exerciții de desfacere a parantezel or
3.2. Utilizarea transformărilor echivalente în rezo lvarea unor ecuații și sisteme de ecuații liniare
– Aducerea unor egalități la o formă mai simplă prin transformări echivalente
– Aplicarea transformărilor pentru obținerea unor sis teme de ecuații liniare echivalente
– Utilizarea probei pentru justificarea unui rezultat obținut

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 20 3.3. Alegerea metodei adecvate de reprezentare a pr oblemelor în care intervin dependențe funcționale
și reprezentări ale acestora
– Reprezentarea într-un sistem de axe ortogonale a un or puncte având coordonatele numere reale
– Analizarea unor seturi de date pentru a determina u n mod adecvat de reprezentare grafică a acestora
– Interpretarea unei informații extrase dintr-un tabe l sau listă
3.4. Utilizarea proprietăților patrulaterelor în re zolvarea unor probleme
– Demonstrarea proprietăților paralelogramelor partic ulare utilizând metode variate
– Utilizarea definiției și a proprietăților liniei mi jlocii în trapez în rezolvarea de probleme
– Utilizarea liniei mijlocii pentru a demonstra paral elismul unor drepte
– Justificarea unor proprietăți ale patrulaterelor pe baza simetriei
3.5. Utilizarea proprietăților cercului în rezolvarea de probleme
– Utilizarea unor proprietăți ale arcelor, coardelor și/sau a diametrului perpendicular pe o coardă în
rezolvarea unor probleme
– Rezolvarea unor probleme practice de determinare a unor lungimi sau distanțe folosind raza cercului (d e
exemplu, calcularea numărului de rotații complete a le roții unui automobil folosind distanța parcursă)
– Rezolvarea unor probleme folosind proprietățile tan gentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc
3.6. Utilizarea asemănării triunghiurilor în config urații geometrice date pentru determinarea de
lungimi, măsuri și arii
– Determinarea lungimilor unor segmente sau a măsuril or unor unghiuri, utilizând asemănarea
triunghiurilor sau proprietățile șirului de rapoart e egale
– Calcularea lungimilor unor segmente în triunghi uti lizând teorema fundamentală a asemănării
– Determinarea lungimilor unor segmente prin utilizar ea teoremei paralelelor echidistante, a teoremei lu i
Thales sau a proporțiilor derivate
– Calcularea lungimilor segmentelor determinate de di agonalele unui trapez pe linia mijlocie
– Calcularea perimetrelor și ariilor a două triunghiu ri asemenea, prin utilizarea raportului de asemănar e
3.7. Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi drept unghic
– Aplicarea teoremei lui Pitagora, a teoremei înălțim ii sau a teoremei catetei, pentru a determina eleme nte
ale unui triunghi dreptunghic
– Determinarea valorilor pentru sinusul, cosinusul, t angenta și cotangenta unghiurilor de 30 °,45 °sau 60 °
– Utilizarea valorilor pentru sinusul, cosinusul, tan genta și cotangenta unghiurilor de 30 °, 45 °sau 60 °
pentru determinarea unor lungimi de segmente într-u n triunghi dreptunghic
– Determinarea unor lungimi de segmente, măsuri de un ghiuri, perimetre în configurații geometrice
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a in formațiilor, concluziilor și demersurilor de
rezolvare pentru o situație dată
Clasa a VII-a
4.1. Folosirea terminologiei aferente noțiunii de n umăr real (semn, modul, opus, invers)
– Sortarea unor numere naturale, întregi, raționale s au iraționale în funcție de mulțimea căreia îi apar țin
utilizând terminologia adecvată
– Utilizarea terminologiei specifice noțiunii de numă r real în descrierea modului de rezolvare a unui
exercițiu/a unei probleme
– Identificarea rezultatului corect dintr-o listă de răspunsuri posibile
4.2. Redactarea rezolvării ecuațiilor și sistemelor de ecuații liniare
– Rezolvarea unor ecuații de forma 0 ax b + = , unde ,a b ∈ℝ
– Utilizarea metodelor de rezolvare a sistemelor de e cuații liniare (metoda reducerii și metoda substitu ției)
– Verificarea validității unei soluții a unei ecuații sau a unui sistem de ecuații
4.3. Descrierea în limbajul specific matematicii a unor elemente de organizare a datelor
– Reprezentarea produsului cartezian a două mulțimi n umerice finite
– Evidențierea egalității între cardinalul produsului cartezian a două mulțimi finite și produsul cardin alelor
celor două mulțimi
– Exprimarea distanței dintre două puncte în plan ca lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic într- un
sistem de axe ortogonale
4.4. Exprimarea în limbaj geometric a noțiunilor le gate de patrulatere
– Construcția cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor patrulatere utilizând definiția sau proprietă ți

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 21 ale acestora
– Transpunerea în desen a unei configurații geometric e referitoare la patrulatere descrise matematic
– Evidențierea liniei mijlocii în trapez pe baza defi niției/proprietăților acesteia
– Evidențierea centrelor/axelor de simetrie pentru pa trulaterele studiate
– Caracterizarea tipului de simetrie pentru patrulate rele studiate
4.5. Exprimarea proprietăților cercului și ale poli goanelor în limbaj matematic
– Descrierea în limbaj matematic a unor relații (cong ruență, paralelism, perpendicularitate) între eleme nte
ale unor configurații geometrice
– Utilizarea instrumentelor geometrice pentru constru irea unor configurații geometrice referitoare la ce rc
– Identificarea unor cazuri particulare și evidențier ea unor proprietăți în configurații geometrice
referitoare la cerc și poligoane regulate
4.6. Exprimarea în limbaj matematic a proprietățilo r unor figuri geometrice folosind asemănarea
– Argumentarea alegerii între teorema fundamentală a asemănării și teorema lui Thales pentru rezolvarea
unor probleme specifice
– Stabilirea paralelismului unor drepte utilizând rec iproca teoremei lui Thales
– Construcția cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor configurații geometrice respectând condiții
date de asemănare
– Identificarea unor cazuri particulare și evidențier ea unor proprietăți referitoare la asemănarea
triunghiurilor
4.7. Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor di ntre elementele unui triunghi dreptunghic
– Utilizarea reciprocei teoremei lui Pitagora pentru stabilirea perpendicularității a două drepte sau a
naturii unui triunghi
– Observarea diferenței dintre condițiile necesare și suficiente în contexte geometrice referitoare la r elații
metrice
– Identificarea unor situații particulare și evidenți erea unor proprietăți în contexte geometrice referi toare
la relații metrice
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
Clasa a VII-a
5.1. Elaborarea de strategii pentru rezolvarea unor probleme cu numere reale
– Determinarea mediei geometrice a două numere reale pozitive
– Determinarea mediei aritmetice ponderate a două sau mai multor numere reale
– Raționalizarea unor numitori de forma a b cu ,a b +∈ℚ
– Scrierea adecvată a unor rapoarte de numere reale c are necesită raționalizare, descompunere în factori
și/sau simplificare
– Rezolvarea de probleme în care apar medii (aritmeti că ponderată sau geometrică)
5.2. Stabilirea unor metode de rezolvare a ecuațiilor sa u a sistemelor de ecuații liniare
– Utilizarea transformărilor echivalente a ecuațiilor pentru fundamentarea unei metode de rezolvare
– Evidențierea unor soluții asociate unei ecuații lin iare în cadrul unui sistem de ecuații (de exemplu,
observarea faptului că fiecare dintre ecuațiile unu i sistem de ecuații liniare are mai multe soluții)
– Compararea metodelor de rezolvare a unor sisteme de ecuații liniare
5.3. Analizarea unor situații practice prin elemente de organizare a datelor
– Interpretarea unor informații extrase dintr-un tabel /listă/grafic
– Verificarea unor afirmații pe cazuri particulare pri n construirea unor exemple și/sau contraexemple
– Interpretarea reprezentării a două sau mai multor p uncte într-un sistem de axe ortogonale, din punct d e
vedere geometric sau din punct de vedere al fenomenu lui asociat
5.4. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate î n vederea optimizării calculării unor lungimi de
segmente, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii
– Rezolvarea unor probleme utilizând proprietățile pa ralelogramelor particulare și ale trapezului
– Analizarea unor metode alternative de rezolvare a p roblemelor de geometrie utilizând proprietăți ale
patrulaterelor particulare
– Determinarea axei/centrului de simetrie a/al unei f iguri (intuitiv sau/și prin demonstrație)
– Analizarea și construcția unor figuri cu simetrie ax ială sau centrală
– Deducerea formulei ariei unui paralelogram, folosin d formula ariei dreptunghiului

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 22 – Deducerea formulei ariei unui triunghi, folosind fo rmula ariei paralelogramului
5.5. Interpretarea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor r egulate folosind reprezentări
geometrice
– Stabilirea unor metode adecvate pentru construcția poligoanelor regulate
– Analizarea poziției relative a unei drepte față de un cerc în funcție de numărul punctelor de intersec ție
dintre dreaptă și cerc
– Interpretarea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate în probleme de mișcare
5.6. Interpretarea asemănării triunghiurilor în con figurații geometrice
– Deducerea relației dintre raportul ariilor a două t riunghiuri asemenea și raportul de asemănare (folos ind
trecerea de la aplicații practice particulare – des ene la scară, spre generalizarea cu formulă)
– Discutarea, analizarea și compararea unor metode di ferite de rezolvare a unei probleme de asemănare a
triunghiurilor
– Analizarea unor metode alternative de rezolvare a p roblemelor de geometrie utilizând asemănarea
triunghiurilor
5.7. Interpretarea unor relații metrice între eleme ntele unui triunghi dreptunghic
– Determinarea elementelor unui triunghi dreptunghic utilizând relațiile metrice și trigonometrice studi ate
– Utilizarea valorilor pentru sinus, cosinus, tangent ă sau cotangentă din tabele trigonometrice în
rezolvarea unor probleme practice
– Utilizarea unor metode de calculare a ariei unui tr iunghi sau a unui patrulater
– Analizarea unor metode alternative de rezolvare a p roblemelor de geometrie utilizând relații metrice ș i
elemente de trigonometrie
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii
Clasa a VII-a
6.1. Modelarea matematică a unor situații practice care implică op erații cu numere reale
– Formularea de probleme pornind de la un set de info rmații obținute din cotidian sau din diverse domeni i
– Verificarea validității unor afirmații pe cazuri part iculare sau prin construirea unor exemple și/sau
contraexemple
– Rezolvarea unor probleme cu conținut practic, utili zând proprietățile operațiilor cu numere reale
6.2. Transpunerea matematică a unor situații date, utilizând ecuații și/sau sisteme de ecuații liniare
– Transpunerea relațiilor cuprinse într-o situație da tă sub formă de ecuații
– Rezolvarea unor probleme având conținut practic, ut ilizând ecuații sau sisteme de ecuații liniare
– Utilizarea estimărilor pentru încadrarea într-un or din de mărime a soluției unei ecuații
6.3. Transpunerea unei situații date într-o reprezentare adecvată (te xt, formulă, diagramă, grafic)
– Construirea și interpretarea unor diagrame cu date din situații practice
– Determinarea unor mulțimi finite atunci când se cuno aște reprezentarea geometrică a produsului lor
cartezian
– Rezolvarea unor probleme simple de geometrie pornin d de la reprezentarea punctelor într-un sistem de
axe ortogonale
6.4. Modelarea unor situații date prin reprezentări geometrice cu patrulatere
– Analizarea unei situații practice care necesită apl icarea proprietăților patrulaterelor particulare st udiate
– Observarea diferenței dintre condițiile necesare și cele suficiente pentru ca un paralelogram să fie un
paralelogram particular
– Estimarea perimetrului unui poligon sau a ariei unu i poligon prin descompunere în figuri cunoscute
6.5. Modelarea matematică a unor situații practice în care intervi n poligoane regulate sau cercuri
– Analizarea unor situații practice care necesită fol osirea proprietăților cercului sau ale poligoanelor
– Optimizarea metodelor de rezolvare a unor probleme de geometrie utilizând proprietăți ale cercului sau
ale poligoanelor
– Observarea diferenței dintre condițiile necesare și cele suficiente în contexte geometrice referitoare l a
cerc
6.6. Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând asemănarea
triunghiurilor
– Analizarea prin activități de grup sau individuale a unor situații care necesită folosirea asemănării, de
exemplu realizarea schiței clădirii școlii

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 23 – Justificarea, prin exemple, contraexemple sau demons trații, a unui demers sau rezultat matematic obținu t
în contextul asemănării triunghiurilor
– Folosirea unor metode standardizate sau nestandardi zate care permit modelarea matematică a unor
situații practice, de exemplu estimarea distanței p ână la un obiect inaccesibil
6.7. Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații date, utilizând relații metrice în
triunghiul dreptunghic
– Analizarea prin activități de grup sau individuale a unor situații care necesită folosirea relațiilor metrice
în triunghiul dreptunghic
– Compararea diferitelor metode utilizate în rezolvare a unor probleme referitoare la relații metrice într- un
triunghi dreptunghic
– Rezolvarea unor probleme prin estimarea unor mărimi din situații practice, folosind triunghiul
dreptunghic (de exemplu, verificarea faptului că un dulap așezat în poziție orizontală poate fi ridicat în
poziție verticală, în condițiile unei camere de înă lțime dată)

Conținuturi

Domenii de
conținut Conținuturi
Mulțimi.
Numere 1. MULȚIMEA NUMERELOR REALE
• Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural; e stimarea rădăcinii pătrate dintr-un
număr rațional
• Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea f actorilor sub radical
• Numere iraționale, exemple; mulțimea numerelor real e; incluziunile ⊂ ⊂ ⊂ ℕ ℤ ℚ ℝ ;
modulul unui număr real (definiție, proprietăți) 1; compararea și ordonarea numerelor
reale; reprezentarea numerelor reale pe axa numerel or prin aproximări
• Operații cu numere reale (adunare, scădere, înmulți re, împărțire, puteri cu exponent
număr întreg); raționalizarea numitorului de forma a b
• Media aritmetică ponderată a n numere reale, 2n≥; media geometrică a două numere
reale pozitive
• Ecuația de forma 2x a =, unde a∈ℝ
Algebră 2. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
• Transformarea unei egalități într-o egalitate echiv alentă; identități
• Ecuații de forma 0 ax b + = , unde ,a b ∈ℝ; mulțimea soluțiilor unei ecuații; ecuații
echivalente
• Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute ; rezolvare prin metoda substituției
și/sau prin metoda reducerii
• Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații liniare
Organizarea
datelor 3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR
• Produsul cartezian a două mulțimi nevide; sistem de axe ortogonale în plan; reprezentarea
într-un sistem de axe ortogonale a unor perechi de numere reale; reprezentarea punctelor
într-un sistem de axe ortogonale; distanța dintre d ouă puncte din plan
• Reprezentarea și interpretarea unor dependențe func ționale prin tabele, diagrame și
grafice; poligonul frecvențelor
Geometrie 4. PATRULATERUL
• Patrulaterul convex; suma măsurilor unghiurilor unu i patrulater convex
• Paralelogramul: proprietăți; aplicații în geometria triunghiului: linie mijlocie în triunghi,
centrul de greutate al unui triunghi
• Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat ; proprietăți
• Trapezul, clasificare, proprietăți; linia mijlocie în trapez; trapezul isoscel, proprietăți
• Perimetre și arii: paralelogram, paralelograme part iculare, triunghi, trapez

1 La definirea noțiunii de modul se va insista pe reprez entarea lui pe axa numerelor și pe semnificația sa ca distanță.

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 24 5. CERCUL
• Unghi înscris în cerc; coarde și arce în cerc, prop rietăți: la arce congruente corespund
coarde congruente și reciproc, diametrul perpendicu lar pe o coardă, arce cuprinse între
coarde paralele, coarde egal depărtate de centru; t angente dintr-un punct exterior la un
cerc
• Poligoane regulate înscrise într-un cerc (construcț ie, măsuri de unghiuri)
• Lungimea cercului și aria discului
6. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR
• Segmente proporționale; teorema paralelelor echidis tante (fără demonstrație)
• Teorema lui Thales (fără demonstrație); reciproca t eoremei lui Thales; împărțirea unui
segment în părți proporționale cu numere (segmente) date
• Triunghiuri asemenea; criterii de asemănare a triun ghiurilor; teorema fundamentală a
asemănării, aplicații: raportul ariilor a două triu nghiuri asemenea, aproximarea în situații
practice a distanțelor folosind asemănarea
7. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
• Proiecții ortogonale pe o dreaptă; teorema înălțimi i; teorema catetei
• Teorema lui Pitagora; reciproca teoremei lui Pitago ra
• Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta și
cotangenta unui unghi ascuțit
• Rezolvarea triunghiului dreptunghic; aplicații: cal culul elementelor (latură, apotemă, arie,
perimetru) în triunghiul echilateral, în pătrat și în hexagonul regulat; aproximarea în
situații practice a distanțelor folosind relații me trice
Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva comp etențelor specifice. Activitățile de învățare suger ate
oferă o imagine posibilă privind contextele de form are/dezvoltare a acestor competențe.

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 25 CLASA a VIII-a
Competențe specifice și exemple de activități de în vățare
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matem atice, în contextul în care acestea apar
Clasa a VIII-a
1.1. Recunoașterea apartenenței unui număr real la o mulțime
– Reprezentarea pe axa numerelor a intervalelor de nu mere reale
– Reprezentarea pe axa numerelor a intervalelor făcân d legătura între tipurile de intervale și submulțim ile
dreptei
– Identificarea apartenenței unui element la o mulțim e definită printr-o proprietate a elementelor ei
1.2. Identificarea componentelor unei expresii alge brice
– Identificarea numerelor reprezentate prin litere în diferite contexte date
– Identificarea termenilor asemenea dintr-o expresie algebrică
– Recunoașterea unei formule de calcul prescurtat
– Identificarea ecuațiilor de tipul 0 ax b + = , unde ,a b ∈ℝ sau 20 ax bx c + + = , unde *a∈ℝ, ,b c ∈ℝ
1.3. Identificarea unor dependențe funcționale în diferite situații da te
– Completarea unui șir numeric când regula de constru ire este dată explicit
– Determinarea unei reguli de construire a unui șir c ând se cunosc câțiva termeni
– Identificarea unor dependențe funcționale în diferi te situații concrete
– Exprimarea unor dependențe funcționale în diverse f orme (tabele, grafice, formule)
1.4. Identificarea unor figuri plane sau a unor elemente caracteristice acestora în configurații spațiale
date
– Identificarea, construcția, notarea și citirea unor drepte concurente/paralele/necoplanare în configur ații
spațiale, cu exemplificare și în realitatea înconju rătoare
– Identificarea, în configurații spațiale simple și î n realitate, a pozițiilor relative ale unei drepte față de un
plan
– Identificarea pozițiilor relative a două plane în c onfigurații spațiale simple și în realitatea înconj urătoare
– Recunoașterea figurilor geometrice obținute în urma secționării unei piramide sau a unei prisme cu un
plan paralel cu baza
1.5. Identificarea corpurilor geometrice și a eleme ntelor metrice necesare pentru calcularea ariei sau a
volumului acestora
– Identificarea și numirea corpurilor geometrice (cub ; paralelipiped dreptunghic; prisma dreaptă cu baza :
triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat; cili ndru circular drept; con circular drept) dintr-un s et de
corpuri date sau în cotidian
– Identificarea înălțimii în corpurile geometrice stu diate
– Identificarea elementelor corpurilor geometrice în configurații spațiale și pe desfășurări (diagonale,
vârfuri, muchii, fețe)
– Construirea, din diferite materiale, a corpurilor g eometrice studiate
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitat iv, calitativ, structural, cuprinse în diverse
surse informaționale
Clasa a VIII-a
2.1. Efectuarea unor operații cu intervale numerice reprezentate pe axa numerelor sau cu mulțimi
definite printr-o proprietate a elementelor ei
– Reprezentarea pe axa numerelor a intersecției a dou ă intervale
– Reprezentarea pe axa numerelor a reuniunii a două i ntervale cu intersecția nevidă
– Verificarea faptului că un număr este soluția unei inecuații
– Verificarea apartenenței unui obiect la o mulțime p e baza unei/unor proprietăți a/ale elementelor aces teia
2.2. Aplicarea unor reguli de calcul cu numere reale exprimate pri n litere
– Efectuarea de calcule cu numere reale reprezentate prin litere (adunarea, scăderea, înmulțirea,
împărțirea, ridicarea la putere cu exponent număr î ntreg)
– Aplicarea directă a regulilor și a formulelor de ca lcul prescurtat în expresii algebrice
– Calcularea valorii numerice a unei expresii algebri ce prin atribuirea de valori numerice variabilelor

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 26 – Verificarea faptului că un număr real este soluție a unei ecuații
2.3. Descrierea unei dependențe funcționale într-o situație dată, f olosind diagrame, tabele sau formule
– Determinarea elementelor unei funcții (domeniu de d efiniție, mulțimea în care funcția ia valori, lege de
corespondență)
– Corelarea elementelor unor funcții cu situații prac tice
– Sortarea și organizarea unor date după criterii de tip dependență funcțională
2.4. Reprezentarea, prin desen sau prin modele, a u nor configurații spațiale date
– Reprezentarea prin desen sau prin modele a unor con figurații spațiale în/din contexte reale
– Utilizarea instrumentelor geometrice și a softurilo r matematice pentru a desena diferite configurații
spațiale
– Utilizarea diferitelor mijloace didactice pentru a modela rezultate asociate relațiilor de paralelism și
perpendicularitate în spațiu
– Utilizarea convențiilor de notare și citire a confi gurațiilor spațiale
– Reprezentarea, prin desen, a proiecțiilor și a ungh iurilor
– Clasificarea prismelor/piramidelor după forma bazei
– Construirea înălțimii unei prisme sau a unei pirami de
2.5. Prelucrarea unor date caracteristice ale corpu rilor geometrice studiate în vederea calculării uno r
elemente ale acestora
– Desfășurarea în plan a piramidei/prismei și caracte rizarea figurilor plane obținute
– Alegerea celei mai potrivite unități de măsură pent ru un anumit context
– Determinarea lungimii unui segment sau a măsurii un ui unghi într-o situație practică
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifi ci în diverse contexte matematice
Clasa a VIII-a
3.1. Utilizarea unor procedee matematice pentru operații cu interva le și rezolvarea inecuațiilor în ℝ
– Aproximarea numerelor reale pentru reprezentarea un or intervale
– Reprezentarea unui interval sub forme echivalente ( notație, reprezentarea pe axa numerelor)
– Transformarea unei inecuații într-o inecuație echiv alentă folosind proprietățile relației de ordine
3.2. Utilizarea formulelor de calcul prescurtat și a unor algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor și a
inecuațiilor
– Amplificarea și simplificarea unui raport de numere reale reprezentate prin litere
– Efectuarea unor calcule care presupun utilizarea fo rmulelor de calcul prescurtat
– Efectuarea unor calcule care urmăresc respectarea s emnificației parantezelor și a ordinii efectuării
operațiilor cu numere reale reprezentate prin liter e
3.3. Reprezentarea în diverse moduri a unor funcții cu scopul caracterizării acestora
– Reprezentarea grafică a unor funcții numerice
– Determinarea unor puncte care aparțin graficului un ei funcții numerice
– Determinarea intersecțiilor graficului unei funcții numerice cu axele de coordonate
– Determinarea indicatorilor tendinței centrale a unu i set de date
3.4. Folosirea unor proprietăți de paralelism sau p erpendicularitate pentru analizarea pozițiilor
relative ale dreptelor și planelor
– Utilizarea măsurilor unghiurilor și a distanțelor p entru stabilirea pozițiilor relative între drepte ș i/sau
plane
– Determinarea paralelismului în spațiu, între drepte și/sau plane cu ajutorul proprietăților relațiilor de
paralelism și de perpendicularitate în configurații simple
– Determinarea perpendicularității în spațiu, între d repte și/sau plane cu ajutorul proprietăților relaț iilor de
paralelism și de perpendicularitate în configurații simple
3.5. Alegerea metodei adecvate pentru calcularea unor caracterist ici numerice ale corpurilor
geometrice
– Calcularea ariei laterale și a ariei totale ale uno r corpuri geometrice (paralelipiped dreptunghic, cu b,
prismă triunghiulară regulată, prismă patrulateră r egulată, piramidă triunghiulară regulată, piramidă
patrulateră regulată, cilindru circular drept, con circular drept), utilizând desfășurarea lor
– Calcularea ariilor și volumelor folosind decupări, descompuneri, pavaje, rețele
– Determinarea ariei laterale, a ariei totale și a vo lumului corpurilor geometrice studiate prin aplicar ea

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 27 directă a formulelor de calcul
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a infor mațiilor, concluziilor și demersurilor de
rezolvare pentru o situație dată
Clasa a VIII-a
4.1. Folosirea terminologiei aferente noțiunilor de mulțime, de interval numeric și de inecuații
– Utilizarea terminologiei specifice intervalelor de numere reale în contexte interdisciplinare
– Rezolvarea unei inecuații de forma () ax b c + < ≤ , unde *a∈ℝ, ,b c ∈ℝ
– Selectarea, dintr-o mulțime dată, a elementelor car e verifică o condiție suplimentară
4.2. Exprimarea matematică a unor situații concrete prin calcul alg ebric
– Descrierea unei situații concrete utilizând expresi i algebrice (de exemplu, transpunerea în ecuație a
datelor unei probleme)
– Precizarea mulțimii de definiție a unei expresii al gebrice
– Determinarea soluțiilor unei ecuații de forma 20 ax bx c + + = , unde *a∈ℝ, ,b c ∈ℝ prin aplicarea
formulelor de calcul prescurtat (formula pătratului sumei sau diferenței și formula diferenței de pătr ate)
4.3. Utilizarea unui limbaj specific pentru formularea unor opinii referitoare la diferite dependențe
funcționale
– Formularea unor presupuneri matematice despre o fun cție/despre regula de construire a unui șir
– Utilizarea unor exemple sau contraexemple pentru a susține un argument în contextul funcțiilor
– Utilizarea unui limbaj specific pentru a interpreta un grafic sau o dependență funcțională
– Ilustrarea grafică a indicatorilor tendinței centra le a unui set de date
4.4. Descrierea în limbaj matematic a elementelor u nei configurații geometrice
– Construirea unor configurații geometrice cu drepte și plane aflate în relații de paralelism sau
perpendicularitate
– Verificarea validității unor afirmații legate de po zițiile relative ale dreptelor și/sau ale planelor prin
exemple și contraexemple
– Identificarea și utilizarea axiomelor, teoremelor d irecte/reciproce pentru rezolvarea de probleme în
configurații spațiale simple
– Evidențierea unor aspecte particulare sau a unor as pecte ce pot fi generalizate, referitoare la config urații
spațiale
4.5. Utilizarea unor termeni și expresii specifice pentru descrierea proprietăților figurilor și corpu rilor
geometrice
– Precizarea proiecțiilor pe un plan a unor puncte, d repte și segmente, în corpurile geometrice studiate
– Calcularea, în corpurile geometrice studiate, a dis tanței de la un punct la o dreaptă/un plan
– Calcularea, în corpurile geometrice studiate, a lun gimii proiecției unui segment pe un plan
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
Clasa a VIII-a
5.1. Interpretarea unei situații date utilizând intervale și inecuații
– Rezolvarea unor inecuații de forma 0 ax b + < , () , , > ≤ ≥ , unde *a∈ℝ, b∈ℝ
– Descrierea mulțimii soluțiilor unei probleme printr -o proprietate care le caracterizează
– Rezolvarea de inecuații de forma 0a
bx c <+, () , , > ≤ ≥ , unde *,a b ∈ℝ, c∈ℝ
5.2. Interpretarea unei situații date utilizând calcul algebric
– Efectuarea unor calcule rapide utilizând formulele studiate, de exemplu ( )2 223 20 3 = + ,
()() 18 22 20 2 20 2 ⋅ = − +
– Descompunerea în factori utilizând scoaterea factor ului comun și/sau a formulelor de calcul prescurtat
– Restrângerea unei expresii algebrice utilizând form ulele de calcul prescurtat
– Rezolvarea de exerciții care pun în evidență avanta jele utilizării unor formule de calcul prescurtat
5.3. Analizarea unor funcții în context intra și in terdisciplinar
– Determinarea coordonatelor punctului de intersecție a graficelor a două funcții și interpretarea acest ora

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 28 ca soluție a unui sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute
– Determinarea unei funcții care îndeplinește condiți i date
– Verificarea coliniarității a trei sau a mai multor puncte, cunoscând coordonatele lor
5.4. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate î n vederea descrierii unor configurații spațiale și a
calculării unor elemente metrice
– Argumentarea demersului de rezolvare a unei problem e de geometrie în spațiu
– Adecvarea reprezentărilor configurațiilor spațiale la cerințele problemelor, în vederea optimizării
rezolvării problemei
– Optimizarea rezolvării de probleme prin utilizarea instrumentelor interactive de realizare a
reprezentărilor geometrice (softuri matematice)
– Analizarea/interpretarea unor situații din realitat ea înconjurătoare și transpunerea lor în probleme d e
geometrie în spațiu
5.5. Analizarea condițiilor necesare pentru ca o co nfigurație geometrică spațială să verifice anumite
cerințe date
– Calcularea măsurii unghiului a două plane în divers e configurații spațiale, inclusiv în corpurile
geometrice studiate
– Calcularea unor distanțe și măsuri de unghiuri pe f ețele sau în interiorul corpurilor: distanța de la un
vârf la o muchie sau la o diagonală a bazei, distan ța de la un vârf al bazei la o față laterală, dista nța de
la centrul bazei la o muchie sau o față laterală, u nghiul unei muchii cu o față laterală sau bază, ung hiul a
două fețe ale unei piramide, unghiul a două muchii ale unui corp studiat
– Determinarea unor elemente ale corpurilor geometric e când se cunosc aria laterală, aria totală, volumu l
sau alte elemente ale acestora
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii
Clasa a VIII-a
6.1. Rezolvarea unor situații date, utilizând intervale numerice sa u inecuații
– Estimarea erorii unui calcul aproximativ cu numere reale
– Utilizarea de estimări pentru a compara/ordona nume re reale în diferite contexte
– Modelarea unei situații concrete utilizând inecuați i studiate
– Interpretarea soluțiilor unei inecuații în rezolvar ea unor probleme concrete
6.2. Interpretarea matematică a unor probleme pract ice prin utilizarea ecuațiilor sau a formulelor de
calcul prescurat
– Modelarea unei situații concrete utilizând ecuațiil e studiate
– Folosirea formulelor de calcul prescurtat pentru mo delarea unei situații date
– Interpretarea soluțiilor unei ecuații obținute în r ezolvarea unor probleme concrete
6.3. Modelarea cu ajutorul funcțiilor a unor fenomene din viața re ală
– Rezolvarea unor probleme din cotidian cu ajutorul f uncțiilor
– Interpretarea unor fenomene din cotidian descrise c u ajutorul funcțiilor
– Interpretarea unei reprezentări grafice a indicator ilor tendinței centrale a unui set de date
6.4. Modelarea unor situații practice în limbaj geo metric, utilizând configurații spațiale
– Formularea de ipoteze și de concluzii în probleme c u conținut practic legate de proiecții pe plan a un or
puncte, drepte, segmente
– Verificarea validității unor rezultate, în cazul în locuirii unor părți din ipoteză cu părți din conclu zie
– Transpunerea unor situații date în limbajul specifi c geometriei, interpretarea rezultatelor obținute ș i
corelarea răspunsului geometric cu restricțiile imp use de realitatea înconjurătoare
6.5. Interpretarea informațiilor referitoare la distanțe , arii și volume după modelarea printr-o
configurație spațială a unei situații date din coti dian
– Estimarea rezultatelor unor calcule referitoare la distanțe, măsuri de unghiuri, arii și volume
– Rezolvarea unor probleme având conținut practic leg ate de proiecții de puncte, drepte, segmente în
corpurile geometrice studiate și în cotidian
– Argumentarea demersului de rezolvare a unei problem e de geometrie în spațiu

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 29 Conținuturi

Domenii de
conținut Conținuturi
Mulțimi.
Numere 1. INTERVALE DE NUMERE REALE. INECUAȚII ÎN ℝ
• Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elem entelor lor
• Intervale numerice și reprezentarea lor pe axa nume relor; intersecția și reuniunea
intervalelor
• Inecuații de forma 0 ax b + ≥ , (), , ≤ < > , unde ,a b ∈ℝ
Algebră 2. CALCUL ALGEBRIC ÎN ℝ
• Operații cu numere reale reprezentate prin litere ( adunare, scădere, înmulțire, împărțire,
ridicare la putere); reducerea termenilor asemenea
• Formule de calcul prescurtat
( )2 2 2 2 a b a ab b ± = ± + , unde ,a b ∈ℝ
( )( )2 2 a b a b a b − + = − , unde ,a b ∈ℝ
• Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ (factor comun, grupare de
termeni, formule de calcul prescurtat)
• Fracții algebrice; operații cu acestea (adunare, sc ădere, înmulțire, împărțire, ridicare la
putere)
• Ecuații de forma 20 ax bx c + + = , unde , , a b c ∈ℝ
Funcții.
Organizarea
datelor și
probabilități 3. FUNCȚII
• Funcții definite pe mulțimi finite, exprimate cu aj utorul unor diagrame, tabele, formule;
graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a g raficului unor funcții numerice
• Funcții de forma :f D →ℝ, ()f x ax b = + , unde a și b sunt numere reale și D este o
mulțime finită de numere reale sau un interval nede generat; interpretare geometrică;
lecturi grafice
• Elemente de statistică: indicatorii tendinței centr ale (frecvență, medie, mediană, mod și
amplitudine a unui set de date)
Geometrie 4. ELEMENTE ALE GEOMETRIEI ÎN SPAȚIU
• Puncte, drepte, plane: convenții de notare, repreze ntări, determinarea dreptei, determinarea
planului, relații între puncte, drepte și plane
• Corpuri geometrice: piramida, piramida regulată, te traedrul regulat; prismă dreaptă,
paralelipiped dreptunghic, cub; cilindru circular d rept; con circular drept; reprezentare,
elemente caracteristice, desfășurări
• Paralelism: drepte paralele, unghiul a două drepte, dreaptă paralelă cu un plan, plane
paralele, aplicații: secțiuni paralele cu baza în c orpurile geometrice studiate; trunchiul de
piramidă și trunchiul de con circular drept (descri ere și reprezentare)
• Perpendicularitate: drepte perpendiculare, dreaptă perpendiculară pe un plan, aplicații:
înălțimea unei piramide, înălțimea unui con circula r drept, distanța dintre două plane
paralele, înălțimea prismei drepte, a paralelipiped ului dreptunghic, a cilindrului circular
drept, a trunchiului de piramidă/con circular drept ; plane perpendiculare, aplicații: secțiuni
diagonale, secțiuni axiale în corpurile studiate
• Proiecții de puncte, de segmente și de drepte pe un plan; unghiul dintre o dreaptă și un
plan, aplicație: lungimea proiecției unui segment; unghi diedru, unghi plan corespunzător
diedrului; unghiul a două plane; plane perpendicula re
• Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanț ei de la un punct la o dreaptă; calculul
distanței de la un punct la un plan; calculul dista nței dintre două plane paralele
5. ARII ȘI VOLUME ALE UNOR CORPURI GEOMETRICE
• Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în int eriorul corpurilor geometrice studiate
(determinare prin calcul)

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 30 • Arii și volume ale unor corpuri geometrice: piramid ă regulată (cu baza triunghi echilateral,
pătrat sau hexagon regulat), prismă dreaptă (cu baz a triunghi echilateral, pătrat sau
hexagon regulat), paralelipiped dreptunghic, cub, c ilindru circular drept, con circular drept,
trunchi de piramidă regulată, trunchi de con circul ar drept
• Sfera: arie, volum
Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva comp etențelor specifice. Activitățile de învățare suger ate
oferă o imagine posibilă privind contextele de form are/dezvoltare a acestor competențe.

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 31
Sugestii metodologice
Formarea și dezvoltarea competențelor matematice re prezintă mai mult decât a învăța concepte
matematice și presupun procese cognitive și metacog nitive valorificate printr-o bună alegere și constr ucție a
experiențelor de învățare din cadrul procesului de predare-învățare-evaluare. Acest proces creează
oportunități pentru ca elevii să fie conduși spre c onexiuni între diferite teme, între abstract și pra ctic, iar
mijloacele TIC reprezintă un avantaj important în e xplorarea de concepte și relații matematice.
În proiectarea și desfășurarea activităților de înv ățare vor fi valorificate și dezvoltate experiența
matematică acumulată de către elevi în anii anterio ri, precum și gândirea lor, aflată la un nivel de m aturitate
specific acestei etape. Sarcinile de învățare vor f i eșalonate după gradul lor de dificultate, iar niv elul de
aprofundare și complexitatea conținuturilor vor fi corelate cu nivelul de dezvoltare cognitivă a elevi lor.
Introducerea conceptelor din cadrul domeniilor de c onținut se va realiza intuitiv, pornind de la
exemple din realitatea înconjurătoare, de la experi ența anterioară a elevilor și de la conexiunile
intradisciplinare și interdisciplinare, realizând a stfel un demers didactic care echilibrează nivelul
intuitiv/descriptiv cu rigoarea specifică matematic ii.
Abordarea intuitivă reprezintă o formă de cunoașter e imediată a adevărului, fără raționamente logice
complexe preliminare. Este o modalitate de a organi za, ierarhiza, gestiona informațiile nestructurate, cu
scopul de a forma reprezentări matematice, de a pro pune metode de rezolvare a unor situații date sau d e a
anticipa situații, această abordare fiind o etapă n ecesară în generalizări sau formalizări ulterioare. În
matematică, intuiția este privită ca o primă etapă a înțelegerii anumitor informații, metode sau rezul tate, fiind
o formă de interpretare a realității, bazată pe exp eriență și pe raționamente anterioare, aplicate uno r situații
similare.
Pornind de la premisa că există o strânsă legătură între înțelegerea unor noțiuni și reprezentarea
mentală a acestora, se va acorda o importanță deose bită competențelor specifice asociate conținuturilo r din
algebră și geometrie, care sunt noi pentru elevii d in gimnaziu. Modul în care elevii își reprezintă id eile,
structurile, informațiile îi ajută în rezolvarea pr oblemelor și, în general, în gestionarea informații lor.
Deoarece reprezentările matematice se bazează unele pe altele, profesorii vor evidenția conexiunile po sibile
dintre noțiuni.
În cazul calcului numeric, de exemplu, intuiția pre supune estimarea rezultatului unui calcul, fără a
efectua operațiile. Introducerea geometriei se va r ealiza tot într-o manieră intuitivă, prin exemple s au
accesând experiențele anterioare ale elevilor, util izând desene sau modele spațiale, astfel devenind p osibilă
încadrarea corespunzătoare într-o sferă conceptuală (de exemplu, pătratul poate fi înțeles în conexiun e cu alte
figuri: pătratul este un romb cu un unghi drept; pă tratul este un dreptunghi cu două laturi alăturate egale). Cu
ajutorul exemplelor intuitive se pot elimina eroril e tipice și se pot forma și accesa reprezentări mat ematice
corecte. Într-o etapă ulterioară intuiția se verifi că prin diverse metode: măsurare sau exemplificare și se
validează prin raționament matematic bazat pe argum ente logice. Exersându-și intuiția, elevul ajunge s ă
interpreteze matematic realitatea înconjurătoare, c a expresie a competențelor matematice, cultivându-ș i astfel
încrederea în sine.
Prin construcția programei, elevii sunt provocați s ă înțeleagă matematica prin raportare la experiența
cotidiană. Într-o primă etapă, aplicațiile se vor l imita la formarea deprinderilor de bază, fără calcu le
ample/sofisticate. Și în cazul geometriei, în parte a sa de început, introducerea oricărei noțiuni se face tot prin
raportare la imagine, model, obiect, mediul înconju rător. Caracteristicile și proprietățile configuraț iilor
geometrice vor fi evidențiate întâi prin observare directă și verificate prin măsurare, în sensul unei abordări
cât mai naturale și intuitive, raționamentul fiind introdus către finalul clasei a VI-a (începând cu m etoda
triunghiurilor congruente).
Competențele generale și competențele specifice derivate din acestea respectă etapele de
structurare specifice operațiilor mentale dezvoltat e la nivelul acestei discipline, astfel se pot iden tifica
următoarele corespondențe:
– identificarea unor elemente noi în diferite contexte, care duc l a o reorganizare a sferei conceptuale,
pe baza observației (competența generală 1);
– prelucrarea datelor, ca nivel elementar al aplicațiilor, folosind o regulă sau o formulă dată, ori
recurgând la reprezentări (competența generală 2);
– utilizarea algoritmilor, metodelor sau a unor reguli matemati ce în situații diverse (competența
generală 3);
– exprimarea în limbaj matematic pentru descrierea unei situații matematice, prezent area unei
probleme, a unui demers de rezolvare sau a rezultat ului obținut (competența generală 4);

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 32 – interpretarea unor situații problematice, ca etapă superioară de aplicare a matematicii, în context
intradisciplinar și interdisciplinar (competența ge nerală 5);
– modelarea matematică prin utilizarea cunoașterii dobândite, integrând ac hiziții din diverse domenii
(competența generală 6).
Modalitățile de organizare a activităților de învățare (frontale, individuale sau pe grupe) se vor
adapta particularităților clasei de elevi, resursel or disponibile și finalităților vizate. Se recomand ă utilizarea
metodelor și mijloacelor didactice care să favorize ze implicarea elevului în propriul proces de învăța re,
inclusiv a mijloacelor TIC.
În cadrul procesului de predare-învățare-evaluare, componenta evaluare are un rol fundamental.
Deoarece este necesară asigurarea unui feedback per manent și corespunzător, atât pentru actorii proces ului
educațional, cât și pentru factorii de decizie, se va urmări accentuarea dimensiunii formative a evalu ării.
Astfel, se va monitoriza nivelul de formare și dezvoltare a competențelor specifice asociate fiecărui domeniu
de conținut și, implicit, se va orienta demersul di dactic spre trecerea la domeniul de conținut următo r, spre
aprofundarea unor aspecte sau spre revenirea asupra aspectelor deficitare, prin alocarea unui timp
suplimentar de studiu, având mereu în vedere zona p roximei dezvoltări.
Evaluarea se realizează în principal în vederea învățării, p rin forme, metode și instrumente cât mai
diversificate, orientate pe formarea și dezvoltarea competențelor matematice:
– forme de evaluare : evaluare frontală, evaluare scrisă, evaluare asis tată de calculator;
– metode de evaluare : conversația, explicația, observarea sistematică a activității și
comportamentului elevului, rezolvarea de probleme, autoevaluarea, jocul didactic, portofoliul,
investigația, studiul de caz, proiectul etc.;
– instrumente de evaluare : fișe de lucru sau fișe de lucru individualizate, seturi de întrebări
structurate, chestionare, teste de evaluare etc.
Programele școlare de matematică pentru clasele a V -a și a VI-a se axează pe introducerea intuitivă a
conceptelor matematice, fără utilizarea excesivă a formalismului specific matematicii (notații, teorie
prezentată în extenso, demonstrații exhaustive) și cu accent pe formarea și dezvoltarea competențelor
matematice prin exersarea cu scop, cu o mai bună le gătură cu realitatea și favorizând abordări
intradisciplinare și interdisciplinare. Programele școlare de matematică pentru clasele a VII-a și a V III-a
realizează trecerea de la metodele predominant intu itive, abordate în clasele anterioare, la definirea unor noi
concepte, demonstrarea unor proprietăți și la aplic area unor algoritmi de calcul.
CLASA a V-a
Programa școlară de matematică pentru clasa a V-a r ealizează o continuitate între ciclul primar și cel
gimnazial, urmărind o construcție curriculară logic ă și coerentă, care îmbină nivelul intuitiv cu rigo area
specifică matematicii, construcție adaptată caracte risticilor elevilor în această etapă de dezvoltare.
Abordarea problemelor prin metode aritmetice (atât la Numere naturale , cât și la Fracții ordinare.
Fracții zecimale ) are în vedere dezvoltarea capacității de analizar e și sintetizare a informațiilor dintr-o
situație-problemă, a raționamentului logico-matemat ic. Se vor evita abordările algebrice (de altfel, n oțiunea
de ecuație nu se regăsește în programa de clasa a V -a, fiind introdusă în clasa a VI-a).
Noțiunile „cel mai mare divizor comun” și „cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin
enumerarea divizorilor, respectiv multiplilor, iar identificarea „celui mai mare divizor comun”, respe ctiv a
„celui mai mic multiplu comun” se realizează strict cu scopul utilizării acestor noțiuni în efectuarea
operațiilor cu fracții. Prin urmare, se recomandă f olosirea fracțiilor care au la numitor numere forma te din cel
mult două cifre, urmărindu-se cu prioritate fixarea regulilor de calcul și crearea unui „simț al numer elor” și
nu efectuarea unor calcule voluminoase.
Noțiunea de număr rațional se va prezenta doar la n ivel intuitiv, ca exprimare prin forme echivalente
de scriere a aceluiași obiect matematic; de exemplu : o doime, trei șesimi, 0,5 sau 50% reprezintă form e de
reprezentare a aceluiași număr rațional, care semni fică o jumătate dintr-un întreg.
Abordarea elementelor de geometrie urmărește, cu pr ecădere, dezvoltarea deprinderilor de utilizare a
instrumentelor geometrice și formarea deprinderilor de identificare, investigare și construcție a figu rilor și
corpurilor geometrice. De asemenea, se face trecere a de la perceperea intuitivă a noțiunilor geometric e de
bază la reprezentarea și notarea lor. Tema Figuri congruente se va prezenta tot în mod intuitiv, denumind
„figurile congruente”, de exemplu, „figuri care pot fi suprapuse exact”. Pentru poligoane, acest lucru revine
la faptul că „două poligoane congruente au aceeași formă și mărime, iar elementele corespondente (ungh iuri,
laturi) sunt congruente”.
La tema Probleme de utilizare a datelor , temă abordată și în programa școlară de matematică de la
ciclul primar, introducerea noțiunilor de frecvență și medie ca elemente care pot fi extrase dintr-o

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 33 reprezentare statistică de date, urmărește familiar izarea elevilor cu unele metode de prelucrare, repr ezentare
și interpretare primară a datelor statistice.
În toate activitățile de învățare, accentul se va p une pe evidențierea dimensiunii aplicative a
cunoștințelor matematice, în situații concrete cât mai variate, avându-se în vedere intradisciplinarit atea și
interdisciplinaritatea, dar și utilizarea mijloacel or TIC. Astfel, se au în vedere stimularea și menți nerea
interesului elevilor pentru studiul matematicii.
CLASA a VI-a
Programa școlară de matematică pentru clasa a VI-a continuă demersul început în clasa a V-a din
punct de vedere al prezentării intuitive/descriptiv e a noțiunilor, urmărind ca în final să se treacă l a definirea
riguroasă a unor concepte matematice și la demonstr area unor proprietăți.
Pentru formarea și dezvoltarea competențelor specif ice, la tema Mulțimi. Mulțimea numerelor
naturale prezentarea noțiunilor se va realiza fără exces de limbaj formal sau de notații, utilizând mulțimi da te
doar prin diagrame sau prin enumerări de elemente, inclusiv în cazul operațiilor cu mulțimi, cu legătu ri
intradisciplinare (elemente de bază ale geometriei de tip mulțimi de puncte, drepte etc), urmărind și
dezvoltarea gândirii combinatorice.
La tema Rapoarte. Proporții , conceptele vor fi introduse pe baza cât mai multo r exemple din
realitate, din cadrul altor discipline, din corelaț ii intradisciplinare, nivelul de dificultate al apl icațiilor
raportându-se în principal la intuiție și observare directă, fără a se baza pe raționamente ample. Apl icațiile în
zona proporțiilor derivate au rol de a anticipa uti lizarea acestora în capitolul de asemănare, exersar ea având
scopul formării unor deprinderi de bază. Profesorul va propune situații de învățare în care elevul tre buie să
colecteze date reale pentru stabilirea unor proporț ionalități sau alte caracteristici ale unor serii d e date,
inclusiv prin învățarea prin colaborare, fiind încu rajat să emită ipoteze pe baza datelor colectate sa u
informațiilor accesate din diverse surse (media, in ternet). Se vor utiliza jocuri practice prin care e levul să fie
pus să experimenteze și să identifice evenimente as ociate experimentului (aruncarea zarului, alegerea unei
bile dintr-o cutie etc.).
La temele Mulțimea numerelor întregi și Mulțimea numerelor raționale, accentul trebuie pus pe
introducerea numerelor din considerente și necesită ți practice, reprezentarea pe axa numerelor fiind r ealizată
cu scopul formării unor deprinderi de localizare. L a utilizarea modulului, nu se va folosi calculul li teral,
acordându-se o pondere mare exemplelor numerice car e utilizează distanțe măsurate pe axa numerelor.
Pentru sprijinirea deprinderilor de calcul mintal, se vor utiliza jocuri didactice și se va limita cal cul numeric
la zona de exersare relevantă.
Tema Noțiuni geometrice fundamentale continuă introducerea în geometrie realizată în cla sa a V-a în
aceeași manieră, prin raportare la imagine, model, obiect, mediul înconjurător. Caracteristicile și pr oprietățile
configurațiilor geometrice vor fi evidențiate prin observare directă, experiment, măsurare, în sensul unei
abordări cât mai naturale și intuitive. Accentul va fi pus pe consolidarea deprinderilor de utilizare a
instrumentelor geometrice pentru realizarea desenel or specifice, pe utilizarea de softuri educaționale în
vederea facilitării înțelegerii/identificării mai b une/mai ușoare a unor caracteristici ale configuraț iilor
geometrice.
La tema Triunghiul, caracteristicile și proprietățile configurațiilor g eometrice se vor evidenția prin
observare directă, experiment, măsurare, urmând ca după formarea deprinderilor de bază să se utilizeze
raționamente simple și instrumente geometrice pentr u realizarea desenelor specifice. Activitățile de î nvățare
de la calculul cu unități de măsură vor urmări form area deprinderilor de bază, reflectând cât mai mult din
realitatea înconjurătoare. Rolul introducerii teore mei lui Pitagora, fără demonstrație, este de a spri jini
înțelegerea unor fenomene studiate la diverse disci pline, iar exersarea trebuie să fie bine dimensiona tă,
pentru a încuraja elevul în studiul geometriei și s porirea gradului de atractivitate a matematicii.
CLASA a VII-a
În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metod ele predominant intuitive, abordate în clasele
anterioare, la definirea unor noi concepte, demonst rarea unor proprietăți și la aplicarea unor algorit mi de
calcul.
Programa pentru algebră vizează continuarea studiul ui mulțimilor de numere prin introducerea
mulțimii numerelor reale, pentru a fi folosite în r ezolvarea de ecuații și sisteme de ecuații liniare, pentru
organizarea datelor și pentru calcule din cadrul ge ometriei.
Studiul geometriei se caracterizează prin trecerea de la studiul intuitiv al caracteristicilor matemat ice
ale figurilor geometrice, la studiul calitativ al a cestora, bazat pe demonstrație. Una dintre finalită țile așteptate

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 34 ale studiului geometriei prin proprietăți este mode larea configurațiilor geometrice pentru a calcula l ungimi de
segmente, măsuri de unghiuri, perimetre și arii.
La tema Ecuații și sisteme de ecuații se are în vedere formarea unor deprinderi de rezolv are a
ecuațiilor și sistemelor de ecuații liniare, utiliz ând diverse metode de rezolvare. Comparativ cu clas ele
anterioare, unde abordarea problemelor practice se realizează prin metode aritmetice, problemele întâl nite în
viața cotidiană vor fi rezolvate modelând cu ajutor ul simbolurilor informațiile deduse din enunț, asoc iind în
acest mod problemei o ecuație sau un sistem de ecua ții.
La tema Patrulatere se vor demonstra: proprietatea liniei mijlocii în triunghi și în trapez, proprietatea
centrului de greutate al unui triunghi, utilizând p roprietăți ale patrulaterelor particulare. Pornind de la aria
dreptunghiului se vor deduce ariile pentru paralelo gram, romb, triunghi și trapez. Astfel, la final se va putea
determina aria unui poligon prin descompunerea aces tuia în figuri geometrice studiate. În continuarea
studiului din clasa a VI-a al congruenței triunghiu rilor, la Asemănarea triunghiurilor se vor introduce
teorema paralelelor echidistante și teorema lui Tha les, ambele fără demonstrație. Cazurile de asemănar e a
triunghiurilor se vor prezenta prin analogie cu caz urile de congruență a triunghiurilor.
La Relații metrice în triunghiul dreptunghic se va pune accent pe determinarea elementelor unui
triunghi dreptunghic identificat în configurații ge ometrice sau practice date. Utilizând noțiunile pre zentate la
Cerc se vor calcula elemente ale poligoanelor regulate studiate. Aceste elemente vor fi utile pentru corpu rile
geometrice studiate în clasa a VIII-a.
CLASA a VIII-a
În clasa a VIII-a se consolidează competențele form ate și dezvoltate anterior pentru calculul
numeric. Unele dintre formulele de calcul pot fi de duse, pe baza definiției (de exemplu, pentru aria l aterală și
aria totală a unei prisme, piramide, cilindru etc), altele, mai complexe, vor fi puse la dispoziția el evilor.
Înțelegerea și aplicarea formulelor cu o anumită ri tmicitate, în situații concrete cât mai diverse, fa cilitează
interiorizarea acestora.
Prin modul de abordare interdisciplinar al temei Funcții sunt dezvoltate competențele de interpretare
a reprezentărilor grafice, realizându-se astfel o c onexiune cu teme specifice domeniului de conținut
Organizarea datelor și, pentru anumite situații particulare de funcții , cu teme specifice de la Rapoarte.
Proporții din clasa a VI-a.
În cazul geometriei în spațiu, se va acorda o atenț ie specială raționamentului matematic și
argumentărilor personale. Pentru realizarea unor fi guri utile în raționamente, este indicat să se insi ste la
început pe realizarea aceleiași configurații din di verse perspective. Aceasta conduce la o mai bună
reprezentare mentală a conceptului respectiv, ca ba ză necesară interpretării diferitelor situații și m odelării
corespunzătoare a situațiilor concrete. Ca și în cl asele anterioare, utilizarea instrumentelor geometr ice sau a
softurilor este necesară pentru acuratețea reprezen tărilor grafice ale configurațiilor spațiale, cu re spectarea
convențiilor de desen.

Matematică – clasele a V-a – a VIII-a 35

Grupul de lucru :

Nume și prenume Instituția de apartenență
Grigorescu Daniel Ministerul Educației Naționale
Catană Luminița Institutul de Științe ale Educației
Gologan Radu Nicolae Societatea de Științe Matemati ce din România
Streinu-Cercel Gabriela Centrul Național de Evalua re și Examinare
Cristescu Bogdan Centrul Național de Evaluare și E xaminare
Avganti Carmen Școala Gimnazială „Titu Maiorescu”, București
Bălună Mihail Colegiul Național „Mihai Viteazul”, B ucurești
Bogdan Constantin Colegiul Tehnic „Ion Mincu”, Tg J iu
Căprioară Daniela-Dumitra Universitatea „Ovidius”, Constanța
Erculescu Laura-Maria Inspectoratul Școlar Județean Dâmbovița
Ianoși Daniel Liceul Teoretic „Mircea Eliade”, Lupe ni
Ionescu Mihaela Liceul Teoretic „Vasile Alecsandri” , Iași
Naghi Elisabeta Ana Colegiul Național „Mihai Emines cu”, Oradea
Năsui Mariana Colegiul Național „Ion Minulescu”, Sl atina
Neța Camelia Elena Școala Gimnazială Nr. 2, Piatra- Neamț
Neța Constantin Ciprian Centrul Județean de Excelen ță Neamț
Perianu Marius Colegiul Național „Ion Minulescu”, S latina
Șontea Ovidiu Mihai Colegiul Național de Informatic ă „Tudor Vianu”, București
Suciu Nicolae Inspectoratul Școlar Județean Sibiu
Vrînceanu Gabriel-Narcis Colegiul Național „Iulia H așdeu”, București