GRADINARU(BARON) CAMELIA-EMILIA MATEMATICA DIDACTICA ANUL II 1.Aritmetica perechilor ^In cartea aIII-a a Aritmeticii Diofant remarca faptul c a 65… [607594]

ARITMETICA PERECHILOR
GRADINARU(BARON) CAMELIA-EMILIA MATEMATICA DIDACTICA ANUL II
1.Aritmetica perechilor
^In cartea aIII-a a Aritmeticii Diofant remarca faptul c a 65 este un num ar natural
ce poate  scris ca sum a de dou a p atrate perfecte ^ n dou a moduri, adic a 65 = 72+42
 si 65 = 82+ 12. Dar 65 = 5
13. 5  si 13 care pot  de asemenea scrise ca sum a de
dou a p atrate perfecte.
Se pare c a Diofant  stia c a produsul unor sume de dou a p atrate perfecte este ea ^ ns a si
suma a dou a p atrate perfecte, datorit a identit at ii
(a2
1+b2
1)(a2
2+b2
2) = ( a1a2∓b1b2)2+ (b1a2a1b2)2
De obicei Diofant doar ilustra rezultatul general. ^In acest caz lu^ and a1= 3; b1=
2; a2= 2  si b2= 1. Dar mai t^ arziu matematicienii  si-au dat seama la ce a con-
dus asta. Identitatea general a a fost observat a de c atre al-Khazin ^ n jurul anului
950. Discut^ and foarte mult aceast a problem a Diofant a demonstrat cele relatate ^ n
Cartea p atratelor lui Fibonacci ^ n 1225.
Dar Diofant spunea c a toate produsele de sume de p atrate a2+b2lucreaz a ^ n
perechi ( a; b), deoarece el vede a2+b2ca p atrat al ipotenuzei unui triunghi drep-
tunghic cu perechea de laturi a, b. Lu^ and semnele superioare ^ n identitatea sa el
descrie o regul a folosind dou a triunghiuri, ( a1; b1);(a2; b2) rezult^ and un al treilea tri-
unghi ( a1a2b1b2; b1a2+a1b2), a c arei ipotenuz a este egal a cu produsul ipotenuzelor
celor dou a triunghiuri luate init ial.
Acum, dac a ^ nlocuim perechea ( a; b) cu a+ib, atunci regula lui Diofant nu este
altceva dec^ at regula pentru ^ nmult irea numerelor complexe, deoarece
(a1+ib1)(a2+ib2) = ( a1a2b1b2) +i(b1a2+a1b2):
Ipotenuza luip
a2+b2este ceea ce noi numim valoarea absolut a ja+ibja lui
a+ib,  si identitatea sa (cu semnele superioare) este proprietatea de ^ nmult ire a
valorii absolute:
ja1+ib1jja2+ib2j=j(a1+ib1)(a2+ib2)j:
1

2 GRADINARU(BARON) CAMELIA-EMILIA MATEMATICA DIDACTICA ANUL II
Astfel, ^ ntr-un anumit sens Diofant "a observat" regula de ^ nmult ire a numerelor
complexe,  si de asemenea, faptul c a proprietatea de ^ nmult ire implic a valoarea abso-
lut a. Desigur, nu exist a nici o regul a de adunare, care s a ia perechile ( a1; b1);(a2; b2)
 si s a rezulte perechea ( a1+a2; b1+b2) astfel ^ nc^ at Diofant nu a avut nici o aritmetic a
real a a perechilor, dar acest lucru a trebuit s a mai a stepte.
Not iunea de num ar complex a ap arut ^ n algebr a, dar era mai mult utilizat a ^ n
geometrie  si analiz a matematic a.
Denit ia nal a a fost dat a de Hamilton (1835): un num ar complex este o pereche
ordonat a (a,b) de numere reale, iar aceste perechi sunt adunate  si ^ nmult ite conform
regulilor :
(a1; b1) + ( a2; b2) = ( a1+a2; b1+b2);
(a1; b1)(a2; b2) = ( a1a2b1b2; b1a2+a1b2)
Motivul ^ nlocuirii num arului a+ibcu perechea de numere (a,b), desigur, este de
a elimina obiectul controversei i=p1. Odat a ce acest lucru s-a f acut este u sor
s a g asim regulile de adunare  si de ^ nmult ire a perechilor ( a1; b1)  si ( a2; b2). Dup a ce
^ nlocuim este mai u sor s a g asim regulile de adunare  si ^ nmult ire pentru a1+ib1 si
a2+ib2. Doar rescriem regulile de adunare  si ^ nmult ire pentru a1+ib1 sia2+ib2^ n
perechi. Acesta pare a  un truc folosind i2=1 pentru a g asi regulile de ^ nmult ire,
apoi ^ ndep art am i, dar dac a ne amintim Diofant a g asit regula de ^ nmult ire f ar a a
se folosi dep1.
Hamilton  si-a dat seama c a ^ nmult irea ^ n perechi a numerelor reale a fost o
chestiune important a ^ n sine. De fapt, el a fost interesat de probleme mai mari
de ^ nmult ire a tripletelor, cvadruplelor  si a sa mai departe. Exist a o modalitate
evindent a de adunare a tripletelor, cum este adunarea vectorilor
(a1; b1; c1) + ( a2; b2; c2) = ( a1+a2; b1+b2; c1+c2)
care se poate generaliza p^ an a la n elemente. Dar, cum ar  s a se  si ^ nmult easc a
tripletele? Regula de ^ nmult ire nu putea  generalizat a ^ n nici un mod. Hamilton
a fost chinuit de aceast a problem a ani la r^ and  si pentru o lung a perioada de timp
din aritmetica perechilor acesta era tot progresul pe care ^ l avea de raportat. Dup a
cum vom vedea ^ n capitolele urm atoare, a jucat un rol important ^ n a clarica ce
este aritmetica ^ n dimensiunea 1 sau ^ n dimensiunea 2  si ceea ce ar trebui s a e ^ n
dimensiuni mai mari.
O alt a observat ie a ^ nmult irii numerelor complexe a fost f acut a de V iete^ n lu-
crarea sa Genesis triangulorum (1590). V ietea descoperit independent de regula
lui Diofant c a dac a ia dou a triunghiuri atunci va rezulta un al treilea, dar V iete
a folosit asta ^ n cu totul alt rezultat. ^In loc s a ^ nmult easc a ipotenuzele el avea s a
adune unghiurile.

ARITMETICA PERECHILOR 3
E 1. Fie triunghiul dreptunghic cu laturile a1,b1av^ and unghiul 1opus laturii b1,
 si triunghiul dreptunghic cu laturile a2,b2av^ and unghiul 2opus laturii b2. S a se
calculeze tan 1, tan 2 si tan( 1+2).
Solut ie:
Cum tan 1=b1
a1 si tan 2=b2
a2, atunci
tan( 1+2) =tan1+ tan 2
1tan1tan2=b1
a1+b2
a2
1b1
a1
b2
a2=a2b1+a1b2
a1a2b1b2
E 2. Deducet i din exercit iul 1 c a triunghiul dreptunghic cu laturile a1a2b1b2,
b1a2+a1b2are unghiul 1+2. (C arei laturi este opus unghiul?)
Solut ie: Fie un unghi opus laturii b1a2+a1b2. Vrem s a calcul am tangenta
unghiului . Atunci, tan =b1a2+a1b2
a1a2b1b2. Din exercit iul anterior se observ a =1+2.
Cum era opus laturii b1a2+a1b2, rezult a c a 1+2este opus laturii b1a2+a1b2.
A fost chiar speculat c a^ nmult irea numerelor complexe, cel puin^ nmult irea perechilor
se a
 a ^ n spatele colect iei misterioase de triplete Pitagorice ^ n Plimpton 322.
Pentru a explora mai bine aceast a speculat ie, trebuie s a avem triplete complete. Se
pare c a ecare pereche lateral a ( a; b) este de forma ( a1a2b1b2; b1a2+a1b2) pentru un-
ele perechi ^ ntregi mai mici ( a1; b1)  si ( a2; b2). Acesta este a+ib= (a1+ib1)(a2+ib2).
Chiar mai uimitoare, cu except ia multiplilor (45 ;60;75) a numerelor (3 ;4;5), ecare
num ar de forma a+ibeste un p atrat perfect, p^ an a la un factor de i. Vom da
c^ ateva exemple pentru care acest lucru nu este greu de vericat.

4 GRADINARU(BARON) CAMELIA-EMILIA MATEMATICA DIDACTICA ANUL II
E 3. Pentru perechea ( a; c) = (119 ;169) s a ar at am c a b= 120  si c a 119 + 120 ieste
un p atrat perfect.
Solut ie: Se observ a c a 169 = 132=ipotenuza2
2.Propriet at ile adun arii  si ^ nmult irii
^Inc a din timpul anului 1830 Hamilton  si colegii s ai Peacock, De Morgan  si John
Graves au urm arit s a extind a not iunea de num ar. Existent a not iunii de num ar a
fost deja rezultatul unei serii de extinderi de la numere naturale  si rat ionale la nu-
mere reale  si complexe. Peackock a observat c a unele propriet at i au fost implicate.
S-a convenit ^ n mod tacit c a unele propriet at i de adunare  si de ^ nmult ire ar trebui
folosite ^ n continuare cu ecare extindere a not iunii de num ar.
Propriet at ile ,,permanente" nu au fost complet clare la momentul respectiv, dar
cele mai multe dintre ele se cristalizeaz a^ n denit ia unui domeniu dat de Dedekind(1871).
Acest concept a avut o origine independent a ^ n activitatea lui Galois ^ n teoria
ecuat iilor ^ n jurul anului 1830. Deci, mai convenabil ar  s a ^ ncepem cu denit ia
domeniului  si apoi vom explica rolul lui Hamilton ^ n cercetarea sa ^ n aritmetica a
n-uple.
Un domeniu este un set de obiecte ^ n care operat iile de adunare  si ^ nmult ire sunt
denite cu anumite propriet at i sau legi. Pentru a arma aceste propriet at i concis
vom folosi de asemenea operat ia minus( ). De notat faptul c a ,,-" este interpretat ca
ind operatorul care transform a un num ar natural A ^ n negativul lui sau opusul lui.
Negativul unui num ar negativ este denit astfel ,, a=a"  si diferent a abeste
denit a ca ind a+(b) . Apoi propriet at ile adun arii  si ^ nmult irii sunt urm atoarele:
a+ (b+c) = ( a+b) +c;(Asociativitatea)
a+b=b+a;(Comutativitatea)
a+ (a) = 0 ;(inversul numarului)
a+ 0 = a;(elementul neutru)
Exist a un set similar de propriet at i pentru ^ nmult ire:
a(bc) = ( ab)c;(Asociativitatea)
ab=ba;(Comutativitatea)

ARITMETICA PERECHILOR 5
a1 = a;(proprietatea numarului 1)
a0 = 0 ;(proprietatea numarului 0)
 si o regul a pentru interact iunea dintre adunare  si ^ nmult ire:
a(b+c) =ab+ac
Propriet at ile denite p^ an a acum denesc un inel comutativ cu unitate, un exemplu
ar  mult imea numerelor ^ ntregi Z.
Propriet at ile unui domeniu sunt cele descrise mai sus, acestea ^ mpreun a cu inversul
operat iei de ^ nmult ire, care este denit pentru orice a̸= 0  si anume:
aa1= 1 (inversul ^ nmult irii)
Exemple tipice de domenii sunt mult imea numerelor rat ionale Q, a numerelor
realeR si a numerelor complexe C.
^In cercetarea sa de a g asi aceste mult imi, Hamilton a fost ghidat de mai multe
propriet at i pe care le au ^ n comun.: existent a valorii absolute, o funct ie de prim
rang real cu propriet at ile:
a̸= 0) jaj>0;jabj=jajjbj
A sa cum s-a v azut ^ n capitolul anterior, valoarea absolut a a ^ nmult irii pentru
numere complexe a fost esent ial a ^ n descoperirea lui Diofant cu mult ^ nainte de
descoperirea numerelor complexe ^ n sine. Hamilton a fost con stient de acest lucru
pentru c a el nu a studiat teoria numerelor  si a fost bucuros de ce spunea teoria
numerelor despre valoarea absolut a a ^ nmult irii tripletelor. Istoria ulterioar a a nu-
merelor complexe ar  fost diferit a dac a el ar  avut ceva ^ mpotriv a.