Aritmetica perechilor [607589]

Aritmetica
perechilor
Gr adinaru
Camelia-
Emilia
Aritmetica perechilor
Gr adinaru Camelia-Emilia
Matematic a Didactic a Anul II
2017

Aritmetica
perechilor
Gr adinaru
Camelia-
EmiliaAritmetica perechilor
65 = 72+ 42 si 65 = 82+ 12.
Dar 65 = 5
13.
5 = 22+ 12 si 13 = 32+ 22
(a2
1+b2
1)(a2
2+b2
2) = ( a1a2∓b1b2)2+ (b1a2a1b2)2

Aritmetica
perechilor
Gr adinaru
Camelia-
EmiliaAritmetica perechilor
(a1+ib1)(a2+ib2) = ( a1a2b1b2) +i(b1a2+a1b2):
√
a2+b2=ja+ibj

Aritmetica
perechilor
Gr adinaru
Camelia-
EmiliaAritmetica perechilor
Denit ia nal a a fost dat a de Hamilton (1835): un num ar
complex este o pereche ordonat a (a,b) de numere reale, iar
aceste perechi sunt adunate  si ^ nmult ite conform regulilor :
(a1;b1) + ( a2;b2) = ( a1+a2;b1+b2);
(a1;b1)(a2;b2) = ( a1a2b1b2;b1a2+a1b2)

Aritmetica
perechilor
Gr adinaru
Camelia-
EmiliaAritmetica perechilor
^Inlocuirea num arului a+ibcu perechea de numere (a,b) este
de a elimina obiectul controversei i=p1 Adunare a
tripletelor, cum este adunarea vectorilor
(a1;b1;c1) + ( a2;b2;c2) = ( a1+a2;b1+b2;c1+c2)

Aritmetica
perechilor
Gr adinaru
Camelia-
EmiliaAritmetica perechilor
Viete^ n lucrarea sa Genesis triangulorum (1590)

Aritmetica
perechilor
Gr adinaru
Camelia-
EmiliaAritmetica perechilor
Exercitiul 1. Fie triunghiul dreptunghic cu laturile a1,b1av^ and
unghiul 1opus laturii b1,  si triunghiul dreptunghic cu laturile
a2,b2av^ and unghiul 2opus laturii b2. S a se calculeze tan 1,
tan2 si tan( 1+2).
Solut ie:
Cum tan 1=b1
a1 si tan 2=b2
a2, atunci
tan( 1+2) =tan1+ tan 2
1tan1tan2=b1
a1+b2
a2
1b1
a1
b2
a2=a2b1+a1b2
a1a2b1b2

Aritmetica
perechilor
Gr adinaru
Camelia-
Emilia
Exercitiul 2. Deducet i din exercit iul 1 c a triunghiul dreptunghic
cu laturile a1a2b1b2,b1a2+a1b2are unghiul 1+2. (Carei
laturi este opus unghiul?)
Solut ie: Fie un unghi opus laturii b1a2+a1b2. Vrem s a
calcul am tangenta unghiului . Atunci, tan =b1a2+a1b2
a1a2b1b2. Din
exercit iul anterior se observ a =1+2. Cum era opus
laturii b1a2+a1b2, rezult a c a 1+2este opus laturii
b1a2+a1b2.

Aritmetica
perechilor
Gr adinaru
Camelia-
EmiliaPropriet at ile adun arii  si ^ nmult irii
Popriet at ile adun arii  si ^ nmult irii sunt urm atoarele:
a+ (b+c) = ( a+b) +c;(Asociativitatea)
a+b=b+a;(Comutativitatea)
a+ (a) = 0 ;(inversul numarului)
a+ 0 = a;(elementul neutru)

Aritmetica
perechilor
Gr adinaru
Camelia-
EmiliaExist a un set similar de propriet at i pentru ^ nmult ire:
a(bc) = ( ab)c;(Asociativitatea)
ab=ba;(Comutativitatea)
a1 = a;(proprietatea numarului 1)
a0 = 0 ;(proprietatea numarului 0)
 si o regul a pentru interact iunea dintre adunare  si ^ nmult ire:
a(b+c) = ab+ac