1.1.Teoria generală a liniilor de transmisie 7 1.1.1.Surse de câmp electromagnetic 7 1.1.2.Ecuațiile lui Maxwell 7 1.1.3.Condiții pe frontieră 9… [607509]

CUPRINS
1.Linii de transmisie 7
1.1.Teoria generală a liniilor de transmisie 7
1.1.1.Surse de câmp electromagnetic 7
1.1.2.Ecuațiile lui Maxwell 7
1.1.3.Condiții pe frontieră 9
1.1.4.Ecuația undelor 11
1.1.5.Moduri normale de propagare a câmpului electromagnetic 12
1.2.Linii de transmisie cu două conductoare 13
1.2.1.Unde de tensiune și curent 13
1.2.2.Ecuațiile telegrafiștilor 14
1.2.3.Ecuațiile undelor de tensiune și curent 15
1.2.4.Parametrii secundari ai liniilor de transmisie 17
1.2.5.Coeficientul de reflexie 19
1.2.6.Tipuri de linii de transmisie cu două conductoare 19
1.3.Regimuri de propagare 24
1.3.1.Regimul adaptat 24
1.3.2.Regimul de undă staționară 25
1.3.2.1.Linia în scurtcircuit 25
1.3.2.2.Linia în gol 26
1.3.2.3.Linia terminată pe o sarcină pur reactivă 26
1.3.2.4.Regimul de unde mixt 27
1.3.3.Transmiterea energiei electromagnetice pe linii 28
1.3.4.Linia de transmisie ca element de circuit 31
1.3.5.Diagrama circulară (Smith) 32
1.3.6.Adaptarea liniilor de transmisie 36
1.4.Linii coaxiale și plate 41
1.4.1.Linii coaxiale 41
1.4.2.Linii plate 44
1.4.3.Linii de transmisie microstrip 47
1.4.3.1.Linii microstrip pe substrat dielectric izotrop 47
1.4.3.2.Linii microstrip pe substrat dielectric anizotrop 51
1.5.Probleme
1.5.1.Probleme rezolvate
1.5.2.Probleme propuse

2.Ghiduri de undă 54
2.1.Ghidul de undă dreptunghiular 54
2.1.1.Clasificarea ghidurilor de undă 54
2.1.2.Ecuația caracteristică 57
2.1.3.Moduri normale în ghidul dreptunghiular 60
2.1.4.Vitezele undelor în ghidul dreptunghiular 61
2.1.5.Puterea transmisă în ghidul dreptunghiular 62
2.1.6.Modul fundamental în ghidul dreptunghiular 64
2.1.7.Impedanța de undă 65
2.2.Ghidul de undă circular 67
2.2.1.Determinarea componentelor longitudinale 67
2.2.2.Determinarea componentelor transversale 68
2.2.3.Constanta de fază și frecvența critică 70
2.2.4.Vitezele de fază și de grup;impedanța de undă 71
2.2.5.Filtre de mod 72
2.3.Discontinuități în liniile de transmisie 73
2.3.1.Diafragme 73
2.3.1.1.Diafragma cu fantă inductivă 74
2.3.1.2.Diafragma cu fantă capacitivă 77
2.3.1.3.Tije și diafragme rezonante 79
2.3.2.Cavități rezonante 81
2.3.2.1.Cavități rezonante paralelipipedice 83
2.3.2.2.Cavități rezonante cilindrice 85
2.3.2.3.Cavități rezonante coaxiale 86
2.3.3.Variația frecvenței cu modificarea volumului 87
2.4.Ghiduri de undă cu ferite 88
2.4.1.Ferite și granați 88
2.4.2.Fenomene magnetice în ferite 89
2.4.3.Propagarea câmpului prin ferita polarizată 91
2.4.4.Dispozitive nereciproce cu ferite 94
Anexe 95
Bibliografie

1.LINII DE TRANSMISIE
1.1.Teoria generală a liniilor de transmisie
1.1.1 Surse de câmp electromagnetic
Câmpul electromagnetic este o formă de existență a materiei
caracterizat prin energie, masă și impuls. Este pus în evidență prin acțiunile
pondero-motoare pe care le exercită asupra substanței și poate fi generat de
surse primare: densitati de sarcini electrice, densitati de curent (datorate
deplasării sarcinilor de polarizare, a mișcărilor orbitale sau de spin).
Deoarece pentru analiza la scară macroscopică a câmpului
electromagnetic numărul surselor primare de analizat este foarte mare, în
analiza teoretică se folosesc sursele secundare pentru câmpul electric –
inducția magnetică iar pentru câmpul magnetic, densitatea curentului de
deplasare.
Când sursele secundare variază în timp, produc câmp
electromagnetic. Când sarcinile electrice sau curenții nu variază în timp,
crează câmpuri electrostatice, respectiv magnetostatice, care pot fi
considerate cazuri degenerate ale câmpului electromagnetic, în care câmpul
și sursele sale sunt staționare. În cazul static, câmpurile electric și magnetic
pot exista independent, pe când la câmpurile dinamice aceste componente se
intercondiționează și se determină cu ecuațiile lui Maxwell.
1.1.2. Ecuațiile lui Maxwell
În electromagnetism se definesc urmatorii vectori fundamentali:
E– intensitatea câmpului electric,
H– intensitatea câmpului magnetic,
B– inducția magnetică,
D– inducția electrică,
cu amplitudini, faze și orientări variabile în spațiu ( x,y,z) și timp ( t). Fiecare
componentă a vectorilor este o mărime complexă, caracterizată printr-o
parte reală și una imaginară.
Vectorii câmpului electromagnetic sunt grupați în două perechi E și
B, D și H. Prima pereche de vectori determină forța exercitată în spațiu
asupra sarcinilor și a curentului electric, dependentă de constantele
dielectrice și magnetice ale mediului și este exprimată prin forța Lorentz:

F = q(E + v xB) (1.1)
Vectorii din a doua pereche au ca surse sarcinile și curenții din câmp,
determină liniile de forță care rezultă de la acestea și sunt independenți de
proprietățile mediului.
I dl Hq da D
S
==
òòò
(1.2)
La un câmp electromagnetic arbitrar , vectorii E și H determină
energia cu care se propagă câmpul.
Pentru rezolvarea diferitelor probleme de microunde, cea mai utilizată
metodă folosește ecuațiile lui Maxwell. Aceste ecuații exprimă
interdependența câmpurilor electrice și magnetice în interiorul oricărui
mediu material:
ïïï
îïïï
íì
= Ñ= Ѷ¶- = Ñ+ +¶¶= Ñ
0BDtBE xV JtDH x
rr
(1.3)
unde J– densitate de curent
r- densitate de sarcină
Relațiile dintre cei patru vectori fundamentali se pot stabili pentru
orice mediu dacă sunt complet definite distribuția de sarcini și
caracteristicile mediului. În medii mobile ( V≠0) , cristaline sau
feromagnetice, aceste relații sunt mai complicate. La mediile materiale
caracterizate prin permitivitatea electrică e, perneabilitatea magnetică m și
conductivitatea s, există relațiile suplimentare:
E J H B E Ds m e= = =, , (1.4)
Vom considera parametrii de material constanți în cadrul unor benzi
relativ înguste de frecvență, în care toate câmpurile variază armonic în timp
(regim permanent sinusoidal).
În cazul mediilor imobile, ( V = 0) ecuațiile lui Maxwell devin:
( )
ïï
îïï
íì
= Ñ= Ñ- = Ñ+ = Ñ
0BDH j E xE j H x
rwmwe s
(1.5)
Adăugăm ecuația de continuitate
tJ¶¶- = Ñr (1.6)

În unele probleme de microunde este utilă folosirea formei integrale a
ecuațiilor lui Maxwell în locul formei diferențiale. Prin aplicarea teoremelor
lui Stokes și a divergenței, se obțin ecuațiile:
ïïïï
îïïïï
íì
==¶¶- =¶¶+ =
òòòòò òòò òòòò òò ò
0a d Bdv a d Ds d Btl d Es d Dts d J l d H
AVSS S
r (1.7)
Sensul fizic al ecuațiilor lui Maxwell sub formă integrală:
– prima ecuație arată că integrala de linie pe o curbă închisă a
intensității câmpului magnetic este egală cu suma curenților de deplasare, de
conducție și de convecție (dacă este cazul) care trec prin acea buclă;
– din a doua ecuație rezultă că integrala de linie a intensității câmpului
electric pe o curbă închisă este egală cu variația în timp a fluxului magnetic
prin acea buclă;
– a treia ecuație, legea lui Gauss arată că fluxul electric prin orice
suprafață închisă, la orice moment de timp este dat de sarcina electrică aflată
în acel moment în interiorul volumului delimitat de suprafața închisă;
– ultima ecuație arată că în natură nu există sarcini magnetice.
Câmpul electromagnetic este complet determinat dacă sunt cunoscute
pozițiile în spațiu și legea de deplasare a surselor.
Câmpul în anumite regiuni se mai poate determina dacă se cunoaște
distribuția câmpului pe o anumită suprafață care înconjoară regiunea
analizată.
Comportarea câmpului în orice punct din spațiu este legată de
comportarea într-un punct învecinat cu ajutorul ecuațiilor cu derivate
parțiale (1.5). Dacă se dă valoarea câmpului și a derivatelor sale în orice
punct, putem calcula de la punct la punct și integrăm ecuațiile diferențiale
pentru a obține câmpul în orice alt punct.
Teorema unicității – arată că dacă anumite proprietăți ale câmpului
electromagnetic sunt cunoscute pe o suprafață închisă, câmpul este unic
determinat în interiorul volumului delimitat de acea suprafață. Câmpul
variant în timp aflat într-un volum V al unei substanțe cu comportare liniară ,
conform teoremei unicității , este unic determinat dacă este specificat la un
moment de timp t0 în interiorul volumului și prin componentele tangențiale
ale lui E sau H, determinate în fiecare punct al suprafeței și la toate
momentele de timp anterioare.
Ecuațiile lui Maxwell sunt valabile în orice punct din spațiu în care nu
au loc variații discontinue ale parametrilor de material. La suprafața de
separație a două medii, acestor ecuații li se adaugă anumite condiții la limită.

1.1.3. Condiții pe frontieră
Pentru a găsi soluțiile proprii și unice ale ecuațiilor lui Maxwell, în
anumite cazuri particulare, este necesară cunoașterea comportării câmpului
electromagnetic la suprafața de separare a corpurilor. Condițiile pe frontieră
joacă același rol în rezolvarea ecuațiilor cu derivate parțiale ca și condițiile
inițiale in ecuatiile diferențiale pentru calculul circuitelor electrice.
Determinarea condițiilor pe frontieră se face mai simplu folosind
forma integrală a ecuațiilor lui Maxwell (1.7).
Dacă la suprafața de separare a două medii cu parametrii e1, m1 șie2,
m2 nu sunt sarcini de suprafață la frontieră (cazul mediilor neconductoare),
fluxul inducției electrice pe suprafața cilindrului (fig. 1.1b), la limită, când h
tinde le zero, este:
òò D – D =
®Sn nhs D s D s d D1 20lim (1.8)
sau
2 1 1 2D n D n D Dn n = = = (1.9)
Prin
0®him lse anulează fluxul pe peretele lateral al cilindrului. Rezultă
că fluxul liniilor de câmp al inducției electrice este continuu în direcția
normală la frontieră. Un rezultat asemănător se obține și pentru liniile de
flux al inducției magnetice, deoarece divB = 0 și
nB2=nB 1 (1.10)
Condițiile la limită pentru componenta tangențială a câmpului
electromagnetic se obțin analizând circulația vectorilor (fig. 1.1.c). La limită
când h ® 0 fluxul câmpului magnetic prin contur se anulează:
0 lim lim1 20 0= D – D = – = òò ò® ®l E l E Dds j l d Et t
sh c hw (1.11)
Rezultă:t tE E1 2= (1.12)
Pentru același contur C, curentul total de deplasare se anulează:D1n
D2n
E2tE1t
n(e1,m1)
(e2,m2)hDS
nn
D2nD1n E1t
E2th
a). b). c).
Fig. 1.1. Condiții locale pe frontieră

0 lim lim1 20 0= D – D = = òò ò® ®l H l H Dds j l d Ht t
sh c hw (1.13)
sau t tH H1 2= (1.14)
Relațiile (1.12) și (1.14) arată că la frontiera de separare,
componentele tangențiale sunt continue.
Dacă suprafața de separare a celor două domenii este un material bun
conductor (metal) sau puțin spațiu liber, atunci condițiile pe frontieră au
forma particulare. Câmpul electromagnetic se propagă foarte puțin prin
materiale conductoare. Amplitudinea câmpului scade exponențial conform
legii exp(-u /ds), unde u este distanța evaluată pe direcția normală spre
conductor iar ds este adâncimea de pătrundere a câmpului în material. În
cazul cuprului adâncimea de pătrundere la frecvența de 10GHz este la 6,6
10-7m. Dacă conductivitatea are valori foarte mari, adâncimea de pătrundere
se apropie de zero iar curentul devine de suprafață.
1.1.4. Ecuația undelor
Componentele câmpului electromagnetic E și H se exprimă prin
funcții de undă (funcții care depind de timp și spațiu). Pentru determinarea
funcțiilor de undă este necesară rezolvarea ecuațiilor în care numai una din
componentele câmpului trebuie să fie necunoscută. Aplicăm rotorul ecuației
(1.5) și obținem:
( )H xtE x x Ѷ¶- = Ñ Ñm (1.15)
Folosim dezvoltarea dublului produs vectorial și ținând seama de
prima ecuație din (1.5), rezultă:
22
2
tEE E
¶¶- = Ñ – ÑÑme (1.16)
Considerăm că mediul în care are loc propagarea nu are sarcini
electrice (divE = 0): 022
2=
¶¶- Ñ
tEEme (1.17)
Relația (1.17) se numește ecuația undelor în spațiul tridimensional.
Pentru a determina natura soluțiilor ecuației, presupunem E
nondimensional ( )T
x0 , 0 , E E = , cu componenta sa depinzând numai de
coordonata x. Ecuația (1.17) se poate scrie:
022
22
=
¶¶-
¶¶
tE
xExme (1.18)
Orice funcție continuă, împreună cu primele două derivate ale sale, de
forma f(x-vt) este o soluție a ecuației anterioare. Deoarece,
( )' ' ; ; ' '2
22
2
22
22
f v
vtfv
tff
xf=
¶¶=
¶¶=
¶¶ (1.19)

obținem: 01
22
22
=
¶¶=
¶¶
tf
v xf (1.20)
Această soluție (fig. 1.2) reprezintă o perturbație care se propagă în
direcția pozitivă a lui x cu viteza v.
Dacă componentele luzi Evariază armonic în timp, ecuația undelor
devine:
02
02= + ÑE k E (1.21)
unde k0- numărul de undă, k0 = (wme)-0,5
Ecuația (1.21) se numește ecuația vectorială a lui Helmholtz.
1.1.5. Moduri normale de propagare a câmpului electromagnetic
Principalele moduri de propagare a câmpului electromagnetic sunt:
– mod transversal electromagnetic sau TEM , dacă Ez = 0, H z = 0;
– mod transversal electric TE sau H, dacă Ez = 0, H z≠ 0;
– mod transversal magnetic TM sau mod E, când Ez ¹ 0, H z = 0;
Pentru modul de propagare TEM , vectorii câmpurilor electric și
magnetic sunt așezați în planul transversal pe direcția de propagare ( Ez = 0,
Hz = 0 ). Unda TEM constituie modul de propagare dominant în liniile cu
două conductoare. Din punct de vedere matematic, frontierele acestor
regiuni pot fi privite ca multiplu conectate (spații multiple conex) iar soluția
ecuației Helmholtz presupune o valoare constantă pe o frontieră și o altă
valoare constantă pe altă frontieră. Câmpul se propagă fără atenuare.Pentru
modul de propagare TE, câmpul nu are componentă electrică pe axa z, dar
Hz¹ 0 și câmpul se propagă fără atenuare ( g pur imaginar).
Câmpul electromagnetic obținut când Hz = 0 și Ez ¹ 0 se propagă pe
modul TM.Din punct de vedere fizic, modurile constituie seturi de unde
progresive care se propagă prin linia de transmisie (unele cu atenuare, altele
fără atenuare). Matematic, modurile pot fi privite ca termenii unei serii
infinite (Bessel sau Fourier), cu care se reprezintă câmpul în regiunea
limitată.xf(x-vt)
t = 0
Fig. 1.2. Variația unei funcții de undă

1.2.Linii de transmisie cu două conductoare
1.2.1. Unde de tensiune și curent
Linia de transmisie este formată din două sau mai multe conductoare
cu care se conectează un generator de semnal la o anumită sarcină. Deoarece
în microunde lungimile liniilor de transmisie sunt comparabile cu lungimile
de undă ale semnalelor, liniile nu se pot reduce la un punct (ca în circuitele
cu constante concentrate) iar timpul de propagare a unei perturbații electrice
de-a lungul liniei este
Considerăm linia formată din două materiale perfect conductoare
separate de un material dielectric (de obicei aerul), alimentate cu
potențialele V 0/2 și –V 0/2 (fig.1.3.).
Pentru a determina câmpul electromagnetic care se propagă ca o undă
TEM (mod transversal electromagnetic), calculăm potențialul f(x,y) ca o
soluție a ecuației:
Ñt2F=0 (1.22.)
care satisface condițiile pe frontieră:
ïï
îïï
íì
-+
= F
2010
22
peSVpeSV
(1.23.)
F se poate determina ușor când configurația liniilor de câmp este destul de
simplă.
Se determină componentele câmpului Eși H care se propagă în
direcția Oz:0yzx
HS2
S1
E2V0+20V
-E0
nH
0nn E0
Fig.1.3. Secțiune transversală printr-o linie de transmisie

îíì
– ´ = =- F -Ñ = – = =
) exp() exp( ) exp(
0 0 3 00 0 0
z jk E a V H Hz jk z jk E E E
tt t (1.24.)
unde k0este numarul de undă din ecuația undelor (Helmholtz).
Integrala de linie a lui E0 pe o curba oarecare, între cele două
conductoare, are expresia:
( ) ( )[ ]0 1 2 02
12
12
1V s s dldtddl dl Es
ss
sts
s- = F – F – =F- = F Ñ – =ò ò ò (1.25.)
Asociat cu câmpul electric se poate defini unda de tensiune:
V=V 0exp(-jk 0z) (1.26.)
deoarece în spațiul dublu conex, integrala de linie a lui E0 între S1 și S2 este
independentă de drum ( E0 este gradientul unui potențial scalar). Integrala de
linie a lui H în jurul unui conductor S2 are expresia:
0 0
2I dl J dl Hs
s= F = ò (1.27.)
Aplicăm legea lui Ampere J D j H+ = ´ Ñw ( D nu are componenta
axială D z) Din condițiile pe frontiera conductoarelor 00= ´E n ,
șisJ H n= ´0 , unde n este normala exterioară, iar JS densitatea de curent în
direcția axială. La o anumită distanță de conductoare 00= ´ ÑHt , dar
integrala de linie în jurul conductoarelor este nenulă, deoarece prin acestea
circulă curent.Asociat cu intensitatea câmpului magnetic se poate defini o
undă de curent:
I=I 0exp(-jk 0z) (1.28.)
E0 și H0 sunt independente de frecvență deoarece potențialul este
independent de frecvență și reprezintă distribuția statică a câmpului între
conductoare parcurse de curenți când între ele există diferență de potențial.
1.2.2. Ecuațiile telegrafiștilor
Propagarea undelor de tensiune și curent se poate asocia cu modul
TEM al câmpurilor electrice și magnetice pe o linie de transmisie. Linia de
transmisie se poate descrie cu ajutorul unui circuit electric cu parametrii
distribuiți (fig. 1.4.).
D¢
C¢B¢ A¢D C BA
ZZ+ DZZ+ DZC¢C
B¢B
V1 V2Re Le
Ge Ce
a). b).
Fig. 1.4. Schema echivalentă a unui tronson de linie cu două conductoareI1 I2
Z

Energia înmagazinată în câmpul magnetic este rezultatul existenței
unei inductanțe Le , dispusă în serie, iar energia înmagazinată în câmpul
electric se poate asocia cu o capacitate Ce montată în paralel pe linie.
Puterea pierdută în conductoare se datorează rezistențelor Re și Ge.
Parametrii Le, Ce, Re, G e se mai numesc parametrii lineici sau primari și se
definesc pe unitatea de lungime a liniei de transmisie.
În general, conductoarele liniei de transmisie sunt neuniforme iar
materialul dielectric, neomogen, astfel că parametrii variază de-a lungul
liniei (Oz).
Aplicând legile lui Kirchhoff pentru tronsonul de linie de lungime Dz,
obținem:
ïï
îïï
íì
D¶¶+ D = + -D¶¶- D – = –
ztVC z G V I IztIL z R I V V
e ee e
2
2 2 11
1 1 2
(1.29.)
Dacă tensiunea în planul BB¢ (fig. 1.4.a) este V 1=V(z), în planul CC¢
va fi V 2=V(z). +DV Analog I 2=I(z) și I 1=I(z) +DI.
Pentru variații infinit mici Dz®dz, sistemul de ecuații devine:
ïï
îïï
íì
¶¶- – =¶¶¶¶- – =¶¶
tVC VGzItIL IRzV
e ee e
(1.30.)
Ecuațiile sistemului (1.30.) se numesc ecuațiile telegrafiștilor sau
ecuațiile liniilor lungi . Din acestea se deduc tensiunea și curentul pe linie
dacă se cunosc valorile tensiunii și curentului într-un punct apropiat.
Pentru semnalele monocromatice, ecuațiile telegrafiștilor devin:
ïï
îïï
íì
+ – =¶¶+ – =¶¶
) () (
e ee e
C j G VzIL j R IzV
ww
(1.31.)
1.2.3. Ecuațiile undelor de tensiune și curent (parametrii
principali ai liniei)
Ecuațiile undelor se pot obține din ecuațiile telegrafiștilor prin
derivare în raport cu z în prima ecuație și în raport cu t în a doua ecuație
(1.30.).
zL
tI
t zILzRIzIRzVe
ee
e¶¶
¶¶-¶ ¶¶-¶¶-¶¶- =¶¶2
22
(1.32.)
22 2
tVCtVGt zI
e e¶¶-¶¶- =¶ ¶¶(Ge, Ce nu variază în timp ) (1.33.)

Presupunem că linia de transmisie este uniformă și valoarea
parametrilor nu depinde de z. Ecuația (1.32.) devine:
÷÷
øö
çç
èæ
¶¶+¶¶+÷øöçèæ
¶¶+ =¶¶
22
22
tVCtVG LtVC V G RzV
e e e e e e (1.34.)
( ) 022
22
= -¶¶-¶¶+ =¶¶V G RtVC LtVG L C RzV
e e e e e e e e (1.35.)
Asemănător se determină și ecuația monodimensională a undei de
curent.
Considerăm o soluție a ecuației (1.35.) de forma:
( ) [ ] z t j U R Ve g w- = exp (1.36.)
atunci constanta de propagare g trebuie să fie o soluție a ecuației:
( ) 02 2= – + + -e e e e e e e eG R C L G L C R j w w g (1.37.)
În regim sinusoidal, ecuația undei de tensiune devine:
( ) ( ) 02
22
= + – – -¶¶V G L C R j V C L G RzV
e e e e e e e e w w (din 1.35.) (1.38.)
cu soluția generală de forma:
z
rz
d e V e V Vg g' '+ =-(din 1.37.) (1.39.)
unde g=a+ jb are forma ( ) [ ]e e e e e e e eG L C R j G R C L+ + + – = w w g2 (1.40.)
Constantele V d’și V r’ reprezintă amplitudini constante pentru undele
ce se propagă în direcțiile +z și –z (unda de tensiune directă și inversă, ce se
propagă în sensuri contrarii). Analog se află și soluția ecuației undei de
curent:
( )z
rz
dz
rz
d e V e V Z e I e I Ig g g g' ' 1
0' '- = – =- – – (1.41.)
unde Z0 se numește impedanța caracteristică
e ee e
C j GL j RZww
++=0 (1.42.)
Constantele V d’ și V r’ se determină din condițiile inițiale I=I g și
V=V g, dacă z=0 (distanța).
' '
0' '
r d gr d g
V V I ZV V V
– =+ =
(1.43.)
2222
0 ' '
00 ' '
0
g g
r r g gg g
d d g g
I Z UV V I Z UI Z UV V I Z U
-= Ț = -+= Ț = +
(1.44.)
Înlocuim în (1.39.):

÷÷
øö
çç
èæ –÷÷
øö
çç
èæ +=-++=
– –
2 22 2
00 0
z z
gz z
gz g g z g g
e eI Ze eU VeI Z UeI Z UV
g g g gg g
(1.45.)
z sh I Z z ch U Vg gg g0- = (1.46.)
Înlocuim (1.44.) în (1.41.) obținem:
÷÷
øö
çç
èæ++÷÷
øö
çç
èæ– =–+=
– –
2 22 2
000
00
z z
gz z
gz g g z g g
e eIe e
ZUIeZI Z UeZI Z UI
g g g gg g
(1.47.)
z ch I z shZUIggg g + – =
0 (1.48.)
Revenim la ecuația (1.39.) și (1.41.) și obținem:
ïîïíì
+ – =- =
z ch I z shZVIz sh Z I z ch V V
ggg g
g gg g
00
(1.49.)
Ecuațiile (1.49.) reprezintă ecuațiile undelor directe, de la generator la
sarcină.Prin înlocuire: sV V®;sI I®și z z- ®, obținem ecuațiile undelor
reflectate, exprimate funcție de valorile tensiunii și curentului la sarcină.
( )
( ) z ch z chz sh z sh
g gg g
– = – = – (1.50.)
Cunoscând trnsformările (1.50.), ecuațiile (1.49.) devin:
ïîïíì
+ =+ =
z sh Z I z ch V Vz ch I z shZVI
s sss
g gg g
00 (1.51.)
Undele de tensiune și curent reprezintă parametrii principali ai linei
de transmisie.
1.2.4. Parametrii secundari ai liniilor de transmisie
Impedanța caracteristică și constanta de propagare formează
parametrii secundari ai liniei de transmisie și depind de geometria liniei și de
frecvența semnalelor ce se propagă.

Impedanța caracteristică – este o mărime fără suport fizic ce se
exprimă matematic printr-un număr complex:
j
ww j
e ee ee ZC j GL j RZ0 0=++= (1.52.)
Deoarece în domeniul microundelor se pot face următoarele
aproximări: e eR L>>w și e eG C>> w :
ee
CLZ=0 (1.53.)
Variația modulului impedanței caracteristice și fazei cu frecvența se
poate observa în fig. 1.5.
Impedanța caracteristică mai poate fi definită ca raportul undelor
directe de tensiune și curent sau al undelor reflectate, dar de semn schimbat.
rr
dd
cIU
IUZ – = = (1.54.)
Constanta de propagare – se exprimă printr-un număr complex
b a gj+ =, unde =apartea reală reprezintă constanta de atenuare, iar
=bpartea imaginară este constanta de fază.
( )( )[ ]5 , 0
e e e eC j G L j R jw w b a g+ + = + = (1.55.)
Dependența neliniară de frecvență a componentelor constantei de
propagare (fig. 1.6.) arată că linia de transmisie introduce distorsiuni de
atenuare și de fază.w
jee
CL÷Z0÷
Fig. 1.5. Variația impedanței caracteristice cu frecvența

Dacă linia nu are pierderi, 0= =e eG R , rezultă,
e eC L w b a= =, 0 (1.56.)
Liniile realizate profesional în gama microundelor au pierderi
neglijabile, astfel că acestea nu introduc distorsiuni de fază importante.
1.2.5. Coeficientul de reflexie
Coeficientul de reflexie se măsoară la distanța z de sarcină spre
generator (-z)și se definește ca raportul undelor de tensiune reflectată și
directă:
z
S SS S
z
dz
r
u eZ I UZ I U
e Ue U g
gg
2
00–
+-= = G (1.57.)
Asemănător se poate defini și un raport al undelor de curent (Gi) egal
cu coeficientul de reflexie în tensiune dar cu semn schimbat. Coeficientul de
reflexie la sarcină are expresia:
0
00
00 jj
S
SS
S SS S
S eZ ZZ Z
Z I UZ I UG =+-=+-= G (1.58.)
Se observă că pe linia de transmisie, faza coeficientului de reflexie se
modifică de două ori mai repede (1.57.) decât faza tensiunii sau curentului
(1.58.).Tensiunea și curentul pe linie se pot exprima funcție de coeficientul
de reflexie:
( )
( ) îíì
G – = – =G + = + =
11
d r dd r d
I I I IU U U U (1.59.)
Raportul de undă staționar se defnește ca:
mM
UU=G -G +=11s (1.60.)a
b
wee
GRg
Fig. 1.6. Variația constantei de propagare cu frecvența

De-a lungul linie de transmisie, valoarea raportului de undă staționară
și modulul coeficientului de reflexie nu depind de poziția de analiză.
Pentru sarcini pasive, raportul de undă staționară este supraunitar iar
modulul coeficientului de reflexie este subunitar. Inversul raportului de unda
stationara se numește coeficientul de undă proogresivă (K.U.P).
s1. . .=P U K (1.61.)
1.2.6. Tipuri de linii de transmisie cu două conductoare
Liniile de transmisie cu două conductoare întâlnite în practică au o
diversitate constructivă determinată de cerințele impuse referitoare la
pierderi (randament), radiații parazite minime, influență minimă din partea
câmpurilor electromagnetice exterioare.
Din punct de vedere constructiv, liniile de transmisie se clasifică în:
a). linii aeriene – bifilare
– plan-parelele
b). linii izolate – bifilare
c). linii ecranate – bifilare
– coaxiale
a). Linia aeriană bifilară sau deschisă (fig 1.7.) se compune din două
conductoare electrice paralele dispuse la o distanță 4l£a menținută
constantă cu ajutorul unor suporturi dielectrice.
– influența câmpurilor electromagnetice exterioare ce duc la distorsionarea
semnalului transmis;
– sensibilitate la acționări mecanice;
– creșterea pierderilor de energie sub influența factorilor atmosferici;
Pentru micșorarea pierderilor este indicat ca transmiterea energiei printr-
o astfel de linie să se facă la un curent mic și o tensiune ridicată.
Parametrii lineici ai liniei aeriene se determină cu relațiile de mai jos.
Inductanta lineica :ad
2 2 11
Fig. 1.7. Linia aeriană bifilară
1 – conductoare electrice
2 – suporți izolatoriAvantajul principal al liniei
bifilare aeriene este simplitatea
constructivă și deci preț de cost
redus.
Linia aer iană bifilară
prezintă și dezavantaje : – pierderi
de energie determinate de
radiațiile spre exterior la frecvențe
ridicate ( >200 MHz);

[ ]m Hrr aLe / lg 10 921 , 06 -× =- (1.62.)
unde a – distanța între centrele conductoarelor
r – raza conductorului
sau ] / [2ln 10 4 , 06m HdaLe-× = (1.63.)
Capacitatea lineica :
[ ]m F
rr aCr
e / 10
lg06 , 12 12-
-×=e (1.64.)
sau ] / [2ln8 , 27m F
daCr
ee= (1.65.)
unde er– permitivitatea electrică relativă a spațiului dintre
conductoare
[ ]mrfRe / 103 , 86W =- (1.66.)
sau ] / [ 10) (64 , 16 6m fcm dRe W =- (1.67.)
unde f– frecvența oscilațiilor electromagnetice transmise prin linie [Hz].
Ge– depinde de proprietațile electrice ale dielectricului dintre
conductoare și de frecvența oscilațiilor transmise. Se măsoară în (Wm)-1.
Impedanța caracteristică a liniei aeriene bifilare se determină cu
relația:
] [2ln 120 lg 2760 W = =da
raZ (1.68.)
unde – a– distanța între conductoare
b). Linia izolată bifilară (fig. 1.9.) se compune din două conductoare
electrice paralele, izolate fiecare cu dielectric de frecvență foarte înaltă. hd
Fig. 1.8.. Linie aeriană
plan-paralelăPentru linia aeriană plan-paralelă (de obicei
de lungime scurtă), impedanța caracteristică se
determină cu relația:
] [4ln 60 27 , 1 lg 1380 W = ÷øöçèæ=dh
dhZ
rr
p em (1.69.)
unde h– distanța între conductoarele plane
d– diametrul conductorului rotund

Fiind compactă, linia izolată bifilară este comodă în lucrările de montaj
și întreținere. Dezavantajele principale ale acestui tip de linie sunt:
– radiația în exterior cu creșterea frecvenței semnalului transmis;
– influența câmpurilor electromagnetice exterioare.
Impedanța caracteristică a liniei izolate bifilare se determină cu relația:
[ ]W-=rr aZ
rlg276
0e (1.70.)
c). Liniile ecranate folosesc o împletitură metalică (Cu) numită
“ecran” pentru înlăturarea radiației exterioare (efect de antenă) și protecția
liniei la influența câmpurilor electromagnetice exterioare.
Linia ecranata bifilară – se compune din două conductoare electrice
paralele (fig 1.10.) introduse în același dielectric de frecvență foarte înaltă.
Dielectricul este acoperit cu ecranul realizat din împletitura metalică și toată
construcția este acoperită cu un strat izolator.
Impedanța caracteristică se determină cu relația:
( )
( )[ ]W
+-=22
011lg276
c rc aZ
re unde Rac2= (1.71.)3Dielectricul folosit suportă o
tensiune de străpungere mai mare
decât aerul în cazul liniilor aeriene,
ceea ce permite transmitere a unor
puteri mai mari prin linia bifilară
izolată. Linia bifilară izolată este
protejată cu o izolație exterioară la
lovituri, deformări și acțiunile
agenților atmosferici.
Acest tip de linie are
următoarele avantaje:
– lipsa pierderilor de ener –
gie prin radiație în exte –
rior;
– lipsa influenței câmpuri –
lor electromagnetice ex –
terioare;
– lipsa influenței factorilo r
atmosferici;
-simplitate, ușurință în
instalare, montare;
-posibilitatea instalării
sub pământ și în apă.22r2R
4
3
1a
Fig. 1.10. Linie ecranată bifilară
1 – conductori; 2 – dielectric de FFI;
3 – tresă metalică; 4 – izolație exterioară.Fig.1.9. Linie izolată bifilară
1 – conductori; 2 – dielectrice de FFI;
3 – izolație exterioară. a2r
12

Linia coaxială (fig 1.11.) se compune dintr-un conductor interior
dispus axial în interiorul unui conductor exterior cilindric.
Conductorul exterior este realizat din impletitură metalică din Cu sau
cilindru metalic rigid. Cei doi conductori (interior și exterior) sunt izolață
prin dielectric de FFI elastic, compact sau prin izolatoare dielectrice (5 din
fig. 1.11.). Liniile coaxiale au toate avantajele celorlalte tipuri de linii :
– permit transmiterea unei game largi de frecvențe;
– nu sunt influențe ale câmpurilor electromagnetice exterioare;
– pierderile de energie în linie sunt mici;
– mărimea tensiunii de străpungere depinde de raportul razelor
conductorilor interior și exterior;
– nu au pierderi prin radiatie exterioara.
Parametrii lineici ai liniei coaxiale se determină cu relațiile de mai jos.
Inductanta lineica :
[ ]mH
rRLe lg 10 46 , 06-× = (1.72.)
sau ] / [ ln 10 2 , 06m HdDLe-× = (1.73.)
unde R– raza cercului interior al conductorului exterior;
r– raza conductorului interior
Capacitatea lineica:
[ ]mF
rRCr
e1210
lg1 , 24 -=e (1.74.)
sau ] / [ 10
ln5 , 55 12m F
dDCr
e-=e (1.75.)
Rezistenta lineica :
[ ]mr Rf Re W ÷øöçèæ+ =-6101 12 , 4 (1.76.)
unde f– frecvența oscilațiilor electromagnetice transmise prin linie [Hz]22r2R
43
1a153
Fig. 1.11. Linie coaxială
1 – conductor interior; 2 – dielectric; 3 – conductor exterior (ecran);
4 – izolație exterioară; 5 – șaibă dielectrică

Impedanța caracteristică a liniei coaxiale se determină cu relația:
] [ ln21
0 W÷øöçèæ=dDZem
p (1.77.)
unde R D2= – diametrul conductorului exterior
r d2=- diametrul conductorului interior
sau
[ ]W÷øöçèæ=dDZ
rlg138
0e (1.78.)
Raportul dDdetermină și mărimea pierderilor de energie în rezistența
activă, mărimea puterii transmise și mărimea tensiunii de străpungere.

1.3.Regimuri de propagare
Din soluția ecuației telegrafiștilor se observă că tensiunea și curentul
reprezintă suma a două unde : directă și reflectată.Amplitudinile acestor
unde variază de-a lungul direcției de propagare, legea de variație fiind
impusă de relația între impedanța de sarcină și impedanța caracteristică.
Presupunând că linia nu are pierderi ( a=0) și ținând cont de relațiile
lui Euler (1.79.), tensiunea și curentul vor fi descrise de relațiile (1.80.):
z chje ezz jshjje ez
z j z jz j z j
b bb b
b bb b
=+==-=
–
2cos2sin
(1.79.)
z I zZUj z Iz I jZ z U z U
SSS S
b bb b
cos sin ) (sin cos ) (
00
+ =+ =
(1.80.)
In funcție de valoarea impedanței de sarcină pe linia de transmisie se
pot stabili regimurile: adaptat, undă staționară sau mixt.
1.3.1. Regimul adaptat
Regimul de propagare adaptat apare când 0Z ZS=și se mai numește
regim de undă progresivă . Ecuațiile (1.80.) devin:
ïîïíì
==
z j
sz j
s
e I Ie Z I U
bb
0 (1.81.)
I
ZSi
ZSU
u
Z Zu
i
Fig.1.12.Distribuția tensiunii și curentului la regimul adaptat.

Amplitudinile tensiunii și curentului nu depind de z (fig 1.12.).
Valorile instantanee ale tensiunii și curentului vor avea expresiile:
( ) ( ) t z I Z t z us w b+ = cos ,0 (1.82.)
( ) ( ) t z I t z is w b+ = cos , (1.83.)
Unda se deplasează de la generator la sarcină ca o undă progresivă iar
tensiunea și curentul pe linie sunt egale cu tensiunile și curenții direcți.
Regimul adaptat este modul ideal de transmisie a energiei prin linii, puterea
transmisă sarcinii având valoare maximă: 025 , 0Z I PS s =
1.3.2. Regimul de undă staționară
Când impedanța de sarcină are valori particulare de forma: 0=SZ
(linie în scurt circuit); ¥ =SZ (linie în gol); s SjX Z= (linie terminată pe
sarcină pur reactivă), în linia de transmisie se stabilește un regim de undă
staționară corespunzător.
1.3.2.1. Linia în scurt circuit
Regimul în scurtcircuit este un regim particular ce apare pe linia de
transmisie când 0=SZ , ( 0³SU ). Din sistemul de ecuații (1.80.) rezultă:
îíì
==
z I Iz I jZ V
SS
bb
cossin0 (1.84.)
Amplitudinile celor două unde variază armonic în raport cu
parametrul z cu minime de valoare nulă iar puterea pe linie are caracter pur
reactiv (tensiunea și curentul sunt decalate la 2p). După cum se observă în
fig. 1.13.
Valorile instantanee ale tensiunii si curentului se descriu cu relatiile:0 Z½U½
½I½ ½I½
½U½
Fig.1.13.Distribuția tensiunii și curentului la regimul de scurtcircuit

( )
( )îíì
=- =
t z I t z it z I Z t z u
SS
w bw b
cos cos ,sin sin ,0 (1.85.)
1.3.2.2. Linia în gol
Acest regim apare când ( ) 0 ,® ¥ ®s SI Z . Înlocuind în sistemul de
ecuații (3.2), obținem:
ïîïíì
==
z U VzZUj I
SS
bb
cossin
0 (1.86.)
cu valorile instantanee:
( )
( )îíì
=- =-
t z U t z ut z Z U t z i
SS
w bw b
cos cos ,sin sin ,1
0 (1.87.)
În fig. 1.14. este reprezentată distribuția tensiunii și curentului în
regimul în gol. Se observă menținerea unui decalaj spațio-temporal de 900
între cele două unde, iar puterea activă transmisă prin linie este nulă.
1.3.2.3. Linia terminală pe o sarcină pur reactivă
Acest regim se stabilește când S SjX Z= și S S SI Z U = , adică
S S SI jX U = . Ecuațiile (1.80.) devin:
( )
( )ïï
îïï
íì
÷÷
øö
çç
èæ- =÷÷
øö
çç
èæ+ =
zZXz I z IzXZz U z U
S
SSS
b bb b
sin cossin cos
00
(1.88.)
Notăm raportul ytgXZ
S=0 și obținem:½u½
½I½½I½
½u½
z
Fig. 1.14. Distribuția tensiunii și curentului la regimul în gol

( ) ( )
( ) ( )ïï
îïï
íì
– – =- =
y byy by
zIz IzUz U
SS
sinsincoscos (1.89.)
Distribuția tensiunii și curentului este prezentată în fig. 1.15.:
Din relațiile (1.89.) rezultă că minimele distribuției curentului sunt
nule când Z n n Zm Î = -,p y b (1.90.)
iar pentru tensiune, când
Z n n Zm Î + = -,2ppy b (1.91.)
1.3.2.4. Regimul de unde mixt
Sunt situații când impedanța de sarcină are o valoare complexă cu
partea reală nenulă, obținându-se un regim intermediar, între adaptat și
staționar.
În acest caz, 0Z ZS¹ cu excepția
ïțïýü
ïîïíì
¥ =
SS
X jZ0
există simultan
unde progresive și staționare (fig. 1.16.):z
0½U½
l½U½½I½½I½
byp
by+
= =2 ,l l
Fig. 1.15. Distribuția tensiunii și curentului pe linia terminată pe sarcină pur reactivă
0½U½
½I½
z
Z½U½½I½
4l
2l
Fig. 1.16. Distribuția tensiunii și curentului în regim de unde mixt.

( )G + =÷÷
øö
çç
èæ+ = + = 1 1d
dr
d r d UUUU U U U (1.92.)
Sj
SS z
SSeZ ZZ ZeZ ZZ Z j gr=+-
+-= G-
00 2
00; (1.93.)
Presupunem 0= a și obținem:
( )z S S j z j je e eb j b jr r2 2- -= = G (1.94.)
Notăm j b j= -zS2 și obținem jrje= G
iar ( )2 2 2 2cos 2 1 sin cos 1 r j r j r j r+ + = + + =
dUU (1.95.)
deoarece ( ) j j j r j j rsin cos 1 cos sin 1 1j jUU
d+ + = + + = G + =
1.3.3. Transmiterea energiei electromagnetice pe linii
Soluțiile ecuațiilor telegrafiștilor prezintă tensiunile și curentul
analizate la distanța z de sarcină, astfel că putem înlocui ansamblul format
din impedanța de sarcină ZSși tronsonul de linie cu o impedanță, numită
impedanță de intrare .
a). Zint a liniei terminate pe o sarcină complexă
z ch I z shZUz sh I Z z ch UZIUZ
sSS S
i
g gg g
++= = =
00
int (1.96.)
Fig.1.17.Linia terminată pe o sarcină complexa
Simplificăm cu z ch ISg și obținem:
z th Z Zz th Z ZZ Z
SS
Sgg
++=
00
0 (1.97.)
Exprimăm tensiunea și curentul în funcție de mărimile directe și
reflectate:
G -G +=G -G +=-+= =11
) 1 () 1 (
0ZIU
I IU U
IUZ
dd
r dr d
i (1.98.)ZS Zintz

Stiind ca
dd
IUZ=0 si G -G +=11s (raport de unda stationara),
dr
dr
II
UU- = = G , rezulta Zi = sZ0 (1.99)
b). Zsint a liniei fără pierderi
Dacă linia nu are pierderi, z jtg z th jb g b g a = Ț = = , 0 și obținem:
z tg jZ Zz tg jZ ZZ Z
SS
ibb
++=
00
0 (1.100.)
Dacă ,0 0Z Z Z Zi S= Ț = adică în orice punct al liniei impedanța
este egală cu impedanța caracteristică.
b1). Linia fără pierderi, terminată în scurtcircuit
Dacă l tg jZ Z Zi S b0 , 0= = (1.101.)
Unde l = lungimea liniei
Din relația (1.101.) și figura 1.18. se observă că impedanța de intrare
a unei linii în scurtcircuit este o reactanță pură, inductivă pentru 4l<l ,
periodică cu perioada 2l
Deoarece c cf
ff w p
lp
lpb = = = =2 2 2 (1.102.)
lcftg Z X
eL ÷øöçèæ=p2
0 (1.103.)
lcftg Z Le ÷øöçèæ=pw2
0 (1.104.)Zi
0l
Fig. 1.18. Variația reactanței cu lungimea liniei în scurtcircuitl¤4 l¤2 3l¤4 l 5l¤4

flcftg Z
Lepp
22
0 ÷øöçèæ
= (1.105.)
Dacă pl
2<<l ,atunci l l tgb b@ și lcZLe0= (1.106.)
b2). Linia fără pierderi, terminată în gol
Dacă în relația (1.100.), ¥ =SZ rezultă că:
l ctg jZ Zi b0- = (1.107.)
Reprezentarea grafică a impedanței de intrare a liniei în gol se
observă în figura 1.19.
Impedanța de intrare a liniei în gol este o reactanță pură, capacitivă
pentru 4l<l și periodică cu perioada 2l.
Dacă lbeste mic ( ) l<<l ,atunci
lcjZljZ Zi
÷øöçèæ- = – =w b1 1
0 0 (1.108.)
l tg Zjl ctg jZ Zi b b0 01 1 1=-= (1.109.)
b3). Impedanța de intrare a liniei cu pierderi mici terminată în
scurtcircuit
Dacă în relația impedanței de intrare a liniei lungi cu pierderi (1.97.)
înlocuim:l¤2Zi
0l
l
Fig. 1.19. Variația reactanței cu lungimea liniei în goll¤4 3l¤4

( )l ltg jthl jtg l thl j l th l thb ab ab a g++= + =1 (1.110.)
Obținem:
( ) ( )
( ) ( ) l jtg l th Z l ltg jth Zl jtg l th Z l ltg jth ZZ Z
ss
b a b ab a b a
+ + ++ + +=11
00
0 1 (1.111.)
Când ¥ ®l , 1®l tha și deci
( )( )
( )( )0
00
011Zl jtg Z Zl jtg Z ZZ Z
Ss
i =+ ++ +@bb (1.112.)
Din această relație se observă că unda reflectată se atenuează, devine
neglijabilă, astfel că la intrarea liniei există numai unda directă de tensiune
și curent, al căror raport este egal cu impedanța caracteristică și totodată cu
impedanța de intrare.
Pentru linia cu pierderi mici terminată în scurtcircuit, cu 0> ași
0=sZ ,înlocuim în relația (1.97.) și obținem:
l z si j unde z th Z Zi = + = = b a g g ,0 (1.113.)
( )[ ]l lthj thl thj l thZ l j th Z Zib ab ab a++= + =10 0 (1.114.)
Pentru pierderi mici ( a foarte mic), l l tha a@și rezultă
l lth jl jth lZ Zib ab a
++=10 (1.115.)
Pentru 4l=l , 2 42 p l
lpb = = l iar lZZida0= (1.116.)
Relația de mai sus se numește impedanța de intrare derivație
( )idZdeoarece o linie de lungime 4lîn scurtcircuit se comportă ca un circuit
oscilant derivație.
Pentru 2l=l rezultă pl
lpb = =22l și obținem:
l Z Zis a0= (1.117.)
ZiSimpedanța de intrare serie , deoarece o linie de lungime 2l în
scurtcircuit se comportă ca un circuit oscilant serie.
Valorile finite ale lui Zid, Zis arată că la liniile reale cu pierderi, în
punctele de rezonanță, impedanțele nu sunt infinite sau nule, ci foarte mari
sau foarte mici.
1.3.4. Linia de transmisie ca element de circuit
În linia de transmisie terminată pe o impedanță de sarcină complexă
se stabilește un regim mixt de propagare a undelor (progresive și staționare).
Coeficientul de reflexie se exprimă prin relația:

b a ggj unde eZ ZZ Z z
SS+ =+-= G-,2
00 și
( ) j a b j a g jj j
rr
j z z j z
sz j
sj
sj
SS
s
e e e e e ee eZ ZZ Z
s ss s
2 2 2 200
– – – -= G = G = GG = =–= G
(1.118.)
unde zs s b j j r2 ,- = G = (1.119.)
Dacă linia nu are pierderi, jr aje= G Ț = , 0 și relația
0Z Zis= devine:
jj
jr
jj
ieeZ Z
-+=
11
0 (1.120.)
jj
rr
jj
i
ee
ZZ
-+=
11
0 (impedanță de intrare normată ) (1.121.)
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )
( )
inorm inormi
jX R jjj j
jj
ZZ
+ =
+ -+
+ –==
+ + – + + + – -==
+ -+ – + +=
– -+ +=
2 222 2 22 2 2 2 2 22 2 2
0
cos 2 1sin 2
cos 2 11sin cos cos 2 1cos sin sin cos sin sin sin cos 1sin cos 1sin cos 1 sin cos 1
sin cos 1sin cos 1
r j rj r
r j rrj j r j rj j r j r j j r j r j r j rj r j rj r j r j r j r
j r j rj r j r
(1.122)
Pentru ( )srr
rrj =-+=
–= =11
11, 0222
inormR (1.123.)
Constatăm că dacă:
( ) = Ț ÎiZ p j, 0 corespunde unui rezistor în serie cu condensator
( ) = Ț ÎiZ p p j2 , corespunde unui rezistor în serie cu bobină
= Ț =iZ p j pur rezistiv, cu rezistență foarte mică, echivalenta cu un
circuit RLC serie la rezonanță;
= Ț =sZ p j2 pur rezistiv, cu rezistență foarte mare, echivalent cu un
circuit RLC derivație la rezonanță
1.3.5. Diagrama circulară (Smith)
Determinarea impedanțelor ce se obțin pe linia de transmisie cu
aceeași precizie la valori foarte mici sau foarte mari ale mărimilor
componente R și X, este ușurată de folosirea unei reprezentări circulare
propusă de Smith în 1936. Această reprezentare se numește diagramă
circulară sau diagrama Smith și stabilește legătura între impedanță și
coeficientul de reflexie al unei linii de transmisie.

Transformarea impedanței de intrare a liniei de transmisie din planul
complex cu semidrepte de rezistență și reactanțe constante fig. 1.20., in
cercuri ortogonale, are avantajul aducerii valorilor infinite la distanță finită.
Coeficientul de reflexie exprimat în funcție de impedanță
00
Z ZZ Z
+-= G iar impedanța de intrare normată: jx rZZ+ =
0(1.124.)
Considerăm jx rjx r
ZZZZ
jV U+ ++ -=
+-
= + = G11
11
00(1.125.)
Raționalizăm numitorul: ( )2 22 2
12 1
x rx j x rjV U
+ ++ + -= + (1.126.)
cu componentele:
( )2 22 2
11
x rx rU
+ ++ -= (1.127.)
( )2 212
x rxV
+ += (1.128.)
Eliminăm x din ultimele două relații:
( ) ( )
11 12 2
2
-+ – -=Ur U rx (1.129.)
( ) ( )
( )sau
Ur U rrUr U r
V22 2
22 2
2
1) 1 ( ) 1 (111 14
úûù
êëé
-+ – -+ +-+ – –
= (1.130.)
nN
r U r U rU r U rV =
+ – – + – +- + – -=2 2 2 22 2
2
] ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 [() 1 ]( ) 1 ( ) 1 [( 4(1.131.)Fig. 1.20. Reprezentarea în coordonate carteziene X
X1
0Z1
R1Rx = ct
R = ct

După o serie de transformări, numărătorul N se poate scrie:
( )2
2
11 4 4 ÷øöçèæ
+- + – =rrU r N (1.132.)
iar numitorul n devine
( )21 4+ =r n (1.133.)
( )22
2
11
1 ++÷øöçèæ
+- – =
r rrU V (1.134.)
de unde rezultă:
( )222
11
1 += + ÷øöçèæ
+-
rVrrU (1.135.)
Această relație permite reprezentarea părții reale a unei impedanțe
normate z în planul complex jV U+al coeficientului de reflexie G. Această
dependență reprezintă o familie de cercuri cu centrele în punctele
0 ,10 =+= VrrU și de rază 11
+r.
Dacă 1 , 02 2= + =V U r . Cercul de rază unitate are centrul în origine
(fig.1.21.).
Vr = 0
r = ¥r = 0,3
r = 10
UVV
(1,0)
Fig. 1.23. Cercurile de rezistență constantă
din diagrama circulară0 UV
(0,1)
(1,0)
Fig. 1.21. Cercul de r = 0 în
coordonatele U,VDacă r = ¥, relația (1.135.) devine:
( ) 0 12 2= + -V U (1.136.)
adică un cerc de rază nulă cu centrul în
(1,0), ca în fig. 1.22.
În diagrama circulară axa U este verticală
(rotire 2p-) iar cercurile cu r = ct . au
centrele pe această axă (fig. 1.23.).
U
0(1,0)
Fig. 1.22. Cercul r = ¥ degenerat în
punctul (1,0)

Pentru r =1 , cercul de rezistență constantă trece prin origine și prin punctul
(1,0): 0 12 2= – + V U (1.137.)
Cercurile de reactanță constantă au centrele pe axa U = 1 (fig. 1.24.).
Înlocuim (1.138.) în relația (1.139.) și după o serie de transformări se
obține în final:
( )( )
( )[ ]22 22
2
11 41
x rrU
+ ++= – (1.139.)
22 21)1( ) 1 (
x xV U = – + – (1.140.)
Această expresie reprezintă o serie de cercuri cu centrele în punctele
xV U1, 10 0= =.
Se observă că reactanțele inductive sunt dispuse deasupra razei U iar
cele capacitive dedesupt. Ambele familii de cercuri sunt trasate în diagrama
Smith în interiorul cercului r = 0 .
Diagrama circulară în coordonatele rotite cu 2p-este prezentată în fig.
1.25. UV
0
Fig. 1.24. Cercurile de reactanță
constantă1,0Pentru aflarea curbelor de x = ct., se
elimină r din (1.128.) :
( )VVx xr2
221-= + (1.138.) În
relația (1.127.) scădem din ambii
membrii -1 și obținem (1.139.)

În diferite puncte ale liniei fără pierderi coeficientul de reflexie G își
păstrează modulul constant și numai faza variază cu z. Se obțin astfel cercuri
de coeficient de reflexie constant, concentrice, cu centrul în originea axelor
U,V. Acestea sunt cercuri de factor de undă staționară s = ct., deoarece
aceasta este determinat cu ajutorul modulului coeficientului de reflexie ( G).
Când G = 0, cercul devine punctul din origine (s= 1, cazul adaptării). Când
½G½= 1, adică ¥ =s , cercul .ct= Gse confundă cu cercul de rezistență nulă
. 0=r
Cercul de contur ( ) ¥ = = G =s, 1 , 0 R este gradat în l/l(lungimea pe
linie raportată la lungimea de undă) și corespunde . 5 , 02÷øöçèæ= =ll lsau l
Cu ajutorul cercurilor .ct= G(sau .ct=s ) se poate determina
distribuția tensiunii (sau curentului) pe linia de transmisie pentru o sarcină
sau un factor de undă staționară s cunoscut.Pe linia de transmisie, undele
directă și reflectata au amplitudinile constante în toate punctele liniei iar
defazajul variază, bz fiind pentru unda directă și -bz pentru unda reflectată.
Dacă amplitudinea undei directe se consideră unitate, fazorul undă
reflectată se deplasează pe cercul r
drUUUct = = = G . după cum se observă
în figura 1.26.V
Ur =0
r = ct.
x = ct.x = ct.
(1,0)
Fig. 1.25. Cercurile de rezistență și reactanță în coordonate U i V rotite cu 2p-
UdUzUr
0jr
Fig. 1.26. Tensiunea în orice punct al liniei

Scara radiala a diagramei Smith permite determinarea modulului
coeficientului de reflexie iar unghiul față de axa orizontală, argumentul
acestuia.
Diagrama Smith se poate folosi și pentru admitanțe: jB G Y+ = .
Dacă Y0=1/Z 0 este admitanță caracteristică, valorile normate ale
conductanței și susceptanței, vor fi: g=G/Y 0 și b=B/Y 0. Cum impedanțele și
admitanțele sunt mărimi inverse, argumentele lor sunt egale și opuse.
Coeficientul de reflexie nu se schimba iar punctele figurative sunt pe același
cerc de .ct=s Cercurile de rezistență constantă devin de conductanța
constantă iar cele de reactanță constantă devin de susceptanță constantă
având susceptanța capacitivă (+ jb) deasupra axei U iar susceptanța
inductivă (-jb) sub această axă.
1.3.6.Adaptarea liniilor de transmisie
Transferul maxim de putere de la generator la sarcină prin liniile de
transmisie este limitat de pierderile active în linie și de reflexiile datorate
neadaptării.
Pierderile active în linie pot fi limitate prin utilizarea unor materiale
dielectrice cu pierderi foarte mici și a unor conductoare acoperite cu metale
cu conductivitate foarte mare (aur, argint., etc.).
Pierderile datorită reflexiilor se micșorează prin utilizarea circuitelor
de adaptare.
In regim de adaptare puterea maximă cedată de un generator, are
expresia:
02
max Y U I U P Pd d d d= = = (1.141.)
In cazul neadaptării apare o putere reflectata:
02Y U I U Pr r r r= = (1.142.)
In sarcină se dezvoltă puterea activă:
) 1 (2G – = – =d r d sP P P P (1.143.)
Daca a ¹ 0 și luăm în considerare pierderile pe linie, puterea la
intrarea pe linie se obține cu relația:
) (2 2 2 2 2 l l
dl
rl
d i e e P e P e P Pa a a a- -G – = – = (1.144.)
Randamentul liniei de transmisie:
l
l
ISe
e PP a
ah2
4 22
11-
-G -G -= = (1.145.)
La adaptare, l ela ha2 1 , 02
max – » = = G- (1.146.)
Revenim la relația (1.145.):

max2
max22
11h
hh
G -G -= (1.147.)
Dacă nu se îndeplinește condiția de adaptare Z g=Zs , o parte din
puterea directă se reflectă spre generator iar pe linie se stabilește un regim
mixt de propagare.
Dacă părțile reale ale impedanțelor generatorului și sarcinii nu sunt
nule, se pot conecta circuite pasive care să asigure un coeficient de reflexie
egal în modul și cu faza inversată față de cel prezentat de sarcină, astfel că
generatorul va vedea o linie adaptată.
Circuitele de adaptare se realizeaza din linii de transmisie , circuite cu
constante concentrate sau o combinație a acestora.
Circuitele de adaptare din linii de transmisie folosesc linii neuniforme
(tranziții) sau tronsoane de linii cu variația în trepte a impedanței
caracteristice.
Liniile de transmisie neuniforme au impedanța caracteristică variabilă
de-a lungul direcției de propagare, după o anumită lege, astfel că asigură
la intrarea dispozitivului o impedanță egală cu cea a generatorului iar la
ieșire cu impedanța sarcinii. Circuitul se folosește numai pentru
adaptarea impedanțelor pur reale.
Variația continuă a impedanței caracteristice poate fi: exponențială,
hiperbolică, parabolică, oferind tranzițiile corespunzătoare pentru
adaptare. Dacă părțile reale și imaginare ale impedanțelor generatorului
și sarcinii se află în anumite raporturi, adaptarea se poate realiza cu un
tronson de linie .
Considerăm un tronson de linie de lungime l , cu impedanța
caracteristică Z 0, ce se termină pe o sarcină ZS=R S+jX S. Impedanța de
intrare a liniei se poate separa în :
– partea reală
–
q qq
2 2 2
02 2
0
) () 1 (
tg R tg X Ztg R ZR
S SS
IN+ -+= ` (1.148.)
– partea imaginarăZS
Zg
Z Z+dZdZ
ZSZgl
a) b)
Fig.1.27.Adaptare cu linii de transmisie neuniforme:
a) cu variația în trepte a Z C; b) cu variația continuă a Z C.

–
q qq q q
2 2 2
02
0 0 0 0
) () )( (
tg R tg X Ztg R Z tg X Z tg Z X ZX
S SS S S
IN+ – – += (1.149.)
– unde q=2pl/l reprezintă lungimea electrică a liniei de adaptare.
Impunând comdițiile de adaptare , RIN=R g si XIN=X g, parametrii liniei
trebuie să satisfacă condițiile:
5 , 02 2
0 ÷÷
øö
çç
èæ
–+ =
g Sg S S g
S gR RX R X RR R Z (1.150.)
s g g SS g
R X R XR RZ tg+-=0 q (1.151.)
Coeficientul de reflexie transferat la intrare are expresia:
5 , 0
2 2
02 5 , 0
2
) () (,
úú
ûù
êê
ëé
+ ++ -= G G = G-
S SS g s
Sj
S IX Z RX R Req (1.152)
cu minim pentru Z0=R S, pentru care:
5 , 02
min min4 1
úú
ûù
êê
ëé
÷÷
øö
çç
èæ+ = G = G
SS
in SXR(1.153.)
Dacă se consideră si reactanța generatorului nulă, lungimea electrică a
liniei se determină cu relația:
22
412SS
SS
RX
RXtg + ± – = q (1.154.)
Dacă sarcina este pur rezistivă , q = 90 °.Impedanța caracteristică a
liniei este media geometrică între impedanța de sarcină și impedanța
generatorului iar tronsonul de linie folosit se numeste transformator in
sfert de lungime de undă.
Pentru o bandă de frecvențe mai largă, circuitul de adaptare se
realizează din mai multe tronsoane de linie, cu diferite impedanțe,
conectate în cascadă.ZS=R S+jX SZg=R g+X G
Z0,l G
Fig.1.28.Circuit de adaptare cu un tronson de linie

Adaptarea cu două tronsoane de linie se poate realiza în două
variante:
– tronson de linie serie cu sarcina, urmat de un tronson paralel (fig.1.29.);
– tronson paralel cu sarcina, urmat de un tronson serie(fig.1.30.).
Tronsoanele dispuse paralel cu impedanța caracteristică Z0 se termină
în gol sau în scurtcircuit. Dacă sarcina trebuie să fie polarizată în curent
continuu, se folosește linia paralelă în gol iar în celelalte cazuri se preferă
linia paralelă în scurtcircuit deoarece nu radiază. Cele două tronsoane se
pot conecta și în serie (fig.1.31.).
Pentru adaptare se pot folosi și circuite cu constante concentrate cu
componente rezistive sau reactive.ZS=R S+X S
Fig.1.29. Circuit de adaptare cu tronson de linie serie-paralel.Zg=R g+X gZ0lP
lSG
Zg=R g+X g
G ZS=R S+X SZ0
LS=l¤4lp
Fig.1.30. Circuit de adaptare cu tronson de linie paralel -serie.
ZIN1
Fig.1.31. Circuit de adaptare cu două tronsoane de linie în serie.ZS=R S+X SZG=R g+X g
Z1,q1Z2,q2
ZIN2G

Circuitele de adaptare cu componente rezistive se folosesc pentru a
uniformiza comportarea în bandă și pentru a micșora dispersia
parametrilor dispozitivelor semiconductoare.
Cel mai des sunt utilizate circuitele de adaptare cu elemente reactive
deoarece nu consumă putere activă de microunde (fig.1.32.).
In circuitele integrate monolitice de microunde se folosesc pentru
adaptare circuite combinate formate din segmente de linii și din circuite
cu constante concentrate.Fig.1.32. Structuri de circuite de adaptare cu constante concentrate .

1.4.Linii coaxiale și plate
1.4.1. Linia coaxială
Structura geometrica a unei linii coaxiale este prezentată în figura
1.33.
F nu depinde de unghiul j și (1.155.) se poate scrie:
01=÷øöçèæ
¶F ¶
¶¶
rrr r (1.156.)
Integrăm de doua ori și rezultă:
F=C 1lnr+C 2 (1.157.)
Constantele C 1 și C 2 se determină în condițiile pe frontieră:
0 ,0 = F = F==b ra rV (1.158.)
și rezultă:
ab
C b CC a C V
lnln
ln 0ln
1 2 12 1 0
-+ =+ =(1.159.)
baVCbaC V
lnln0
1 1 0= Ț = (1.160.)2a
2b
F=0F=V 0
Fig.1.33. Strucrura
geometrică a liniei
coaxiale.In interiorul liniei coaxiale potențialul F
satisface ecuația lui Laplace: 02= F Dt
In coordonate polare, ecuația
devine: 0
2 21
2 1 12
1=÷÷
øö
çç
èæ
¶¶
¶¶+÷÷
øö
çç
èæ
¶¶
¶¶
uu
hh
u uu
hh
u
unde h1=1, h 2=r. (1.155.)

bab V
abb VCabC b V
lnln
lnlnln ln0 0
2 2 0 – = = Ț = (1.161.)
1
00 0
2 1 ln ln
lnln
lnlnln-
÷øöçèæ= – = + = Fba
brV
bab V
bar VC r C (1.162.)
Pe linia coaxială câmpul electromagnetic se propagă în modul
TEM , având componentele descrise cu ajutorul funcțiilor de undă:
) exp( ln) exp( ln
011
0 0 3 0011
0
r jk a rabV Y E a Y Hr jk a rabV E
yr t
– ÷øöçèæ= ´ =- ÷øöçèæ= F -Ñ =
–-
(1.163.)
Câmpului electric îi asociem tensiunea cu legea de variație:
V=V 0exp(-jk 0r) (1.164.)
Pe conductorul intern, densitatea curentului de conducție este:
) exp( ln1
01
0 0 r jk aab
aH Y H n Jz a r S – ÷øöçèæ= ´ =-
= (1.165.)
Curentul total fără termenul exp(-jk 0r), are forma:
1
02
00 0 01
0 ln 2 ln- –
÷øöçèæ= ÷øöçèæ= òabV Y ad V Yaba Ip
p j (1.166.)
Pe partea interioară a conductorului exterior, curentul este I0, îndreptat
în direcția negativă a lui z, iar unda de curent este descrisă prin
ecuația:
I=I 0exp(-jk 0r) (1.167.)
Puterea transmisă prin linie se determină cu relația :
1
02
0 ln ) ( 5 , 0-
÷øöçèæ= =abY V VI R Pe t (1.168.)
Pe linia coaxială se produce o atenuare datorită conductivității finite a
materialelor, care se determină cu expresia:
r Cab
ab
beldm pa1
ln 11
2-
÷øöçèæ÷øöçèæ+ = (1.169.)
Pentru b/a=3,6 se obține valoarea minimă a atenuării, corespunzător
unei impedanțe caracteristice Z0=77W.

Tensiunea maximă permisă între conductoare până la apariția
străpungerilor are forma:
÷øöçèæ=abbEbaVm mlg 3 , 2 (1.170.)
Pentru b/a=2,718, Z 0=60W. Puterea maximă corespunzătoare
02
2ZVmse
obține cu relația:
÷øöçèæ
÷÷
øö
çç
èæ=ab E aPmlg2 , 522 2
max (1.171.)
Pentru b/a=1,65 se obține Z0=30W. Dacă se realizează structuri
rezonante în l¤4, impedanța la rezonanță este un extrem al funcției:
÷øöçèæ
úûù
êëé÷øöçèæ+ =-
ab
abZS d21
0 lg 1 807 d (1.172.)
cu valoarea Z0d max =133 W pentru b/a=9,2 .
Dacă se realizează o structură rezonantă în semiundă, impedanța la
rezonanță este descrisă de relația:
÷øöçèæ+ =ab
bZS
S 130
0pd (1.173.)
cu o valoare minimă pentru b/a apropiat de unitate.
Concluziile rezultate din această analiză au condus la
standardizarea impedanței caracteristice utilizate la cablurile coaxiale.
Pentru lucrul în radiofrecvență, ca atenuarea în tensiune să fie
minimă, impedanța caracteristică se alege Z 0=75W.
Pentru lucrul în microunde , pentru transferul maxim al puterii se
alege o valoare intermediară a impedanței
caracteristice Z 0=50W.
In circuitele de foarte mare putere ce
lucreaza în gama inferioară a microundelor,
impedanța caracteristică a cablurilor este
Z0=30W.Cablurile coaxiale se folosesc
până la 18 Ghz, având conductorul interior din cupru argintat, unifilar
sau multifilar ( cu pierderi mai mici). Conductorul exterior se reali-Fig.1.34. Distribuția
câmpului electromagnetic în
linia
coaxială

zează din tresă de cupru. Materialul dielectric din interiorul liniei
coaxiale (de cele mai multe ori polietilena) are pierderi mici.
1.4.2. Linii plate
Linia plată (panglica sau stripline) se obține din deformarea liniei
coaxiale neglijând câmpul din zonele îndepărtate de conductorul
central.
Linia obținută (fig.1.35.c.) are două plane de masă dispuse simetric față
de conductorul central. Dacă un plan de masă se dispune la distanță mult
mai mare, cea mai mare parte a energiei este înmagazinată între
conductorul central și planul apropiat. De aceea se poate renunța la planul
îndepărtat și se obține linia microstrip sau linia plată asimetrică
(fig.1.35.d.)a) b) c) d)
Fig.1.35. Transformarea liniei coaxiale în linie
plană .
D
dt
a) Linie plată
nesimetrică cu
dielect ric solidt
D
d
b) Linie plată cu aer
nesimetricăd
D
t
c) Linie plată simetrică
cu dielectric solid.
t
bs
g) Linie simetrică cu
cuplaj suprapus.
t bs
h) Linie simetrică cu cuplaj lateral și moduri
de propagare .+_+ +
Fig.1.36. Tip uri de linii plate.
D
2d+tt
d) Linie cu aer
simetrică.
D
2d+t t
e) Linie nesimetrică
cu dielectric mixt.
D
t
2d+2t+cc
f) Linie simetrică cu
placă dielectrică.

Diferite tipuri de linii plate sunt prezentate în fig.1.36.
Structura liniilor plate permite realizarea lor cu tehnologiile
aplicate circuitelor imprimate, obținând siguranță în funcționare ,
economie de material, volum și greutate mică. Deoarece secțiunea
transversală este neomogenă iar geometria acestor linii nu conduce la
separarea modurilor, se poate considera cu o bună aproximație distribuția
din regim staționar (conform ecuației lui Laplace).
Parametrii ce interesează la linia plată (impedanța caracteristică și
dispersia) se pot determina analitic dacă se cunoaște configurația
liniilor de câmp sau structura potențialului în secțiunea transversală a
liniei. Pentru modul TEM , potențialul este descris de ecuația
0 ) , (2= F Dy xt .
Se poate aplica metoda transformării conforme și în special
transformata Schwartz-Christoffel, care conduce la integrale eliptice
ușor integrabile în condițiile date.In metoda aproximativă, se deduce
impedanța caracteristică din viteza de propagare, considerând
capacitatea panglicii D fără efect marginal.
CZCLZ
LC uu1 1
0 0= Ț = Ț = (1.174.)
In calculul exact al impedanței caracteristice se consideră și
grosimea panglicii metalice:
2 0
12 , 1 65 , 0 47 , 01 94
÷øöçèæ- + +÷øöçèæ-
=
dt
dt
dDdt
Z (1.175.)
pentru d t5 , 0£ si ) ( 35 , 0t d D- ³
÷÷÷÷
øö
çççç
èæ
+=
dt
dDZ
4 , 18
lg 1380p (1.176.)
Considerând condensatorul plan,
DdZ94
0= și eroarea depinde de raportul D/d. Constanta de atenuare
este funcție de pierderile în dielectric și în metal: aT= ad+ am , unde
constanta de atenuare în dielectric se exprimă prin:

ld eatgr
d3 , 27= (1.177.)
usor de dedus din expresia generala:
dba2 01 1
2tgd + + – = (1.178.)
unde- er= constanta dielectrică ,
wesd=tg – tangenta unghiului de pierderi,
s= conductivitatea,
w=2pf- frecvența unghiulară,
f= frecvența,
l= lungimea de undă în aer,
e= permitivitatea.
Constanta de atenuare datorită pierderilor în conductori are forma:
úûù
êëé=dtdZ
dDdZ
dddZ
ZRr
m0 0 0
0; ;0231 , 0 ea (1.179.)
unde:
Z0= impedanța caracteristică,
d = distanța între suprafețele conductoare,
D = lățimea panglicii,
R = rezistivitatea ( W/unitatea de suprafață).
In general,constanta de atenuare se determină:
rP
PP
2=a (1.180.)
unde
PP= puterea pierdută prin efect Joule pe unitatea de lungime,
Pr= puterea transmisă în secțiunea transversală,
ò=
CM
Pdl HRP22t(1.181.)
unde

RM=1/ds rezistența în metal,
d= adâncimea de pătrundere,
s= conductivitatea,
Ht= câmpul magnetic tangențial la conductor,
C= conturul transversal al conductorului.
da HZPTu
r ò
å=2
2(1.182.)
unde
Zu= impedanța de undă,
HT= câmpul magnetic în secțiunea transversală,
da= elementul de arie din secțiunea transversală,
S= suprafața transversală a liniei de transmisie.
Dacă se consideră H=ct ca la unda plană uniformă, constanta de
atenuare are forma:
òò
å=
da H Zdl H R
T UCM
22
2t
a (1.183.)
unde adâncimea de pătrundere se determină cu relația:
7
0 10 28 , 61 2) (
-= =
s s wmd
fm (1.184.)
și atenuarea :
[ ] m dbd Zr/36 , 17
0dsea= (1.185.)
După cum s-a arătat mai sus, în calculul constantei de atenuare
intervin puterea disipată în conductori și puterea transmisă prin
secțiunea transversală a liniei.
Puterea disipată conduce la ridicarea temperaturii conductorilor (mai
ales cel central), îndeosebi la linia plată simetrică cu mediu dielectric,
unde disipația căldurii este diferită.
Puterea transmisă este limitată de valoarea maximă a câmpului
electric de străpungere,care dacă este depășită duce la descărcări prin
dielectric și linia devine inutilizabilă.

1.4.3.Linii de transmisie micropstrip
1.4.3.1.Linii microstrip pe substrat izotrop
Linia de transmisie microstrip are în compunere doi conductori:
unul panglică îngustă cu lățime w și grosime tplasat pe o parte a
dielectricului, iar celălalt, cu grosime variabilă, legat la pamânt,
acoperă toată suprafața dielectricului.
Ambii conductori au rezistivitatea electrica r iar substratul
dielectric se caracterizează prin parametrii:
H– grosimea substratului,
er– constanta dielectrică relativă,
tgde- factorul de pierderi dielectrice,
k– conductivitatea electrică,
er este o mărime scalară, iar efectul câmpului electric aplicat asupra
substratului este independent de direcția câmpului.
Parametrii de material enumerați nu sunt dependenți de frecvență
iar unda se propagă prin linia microstrip în modul TEM .
Vom presupune că circuitul are pierderi mici și poate fi descris
prin impedanța caracteristică ZL și constanta dielectrică efectivă eref. MicrostripDirecția de
propagare a
undelor
Conductor
de bază r
Substrat
dielectric
er,tgdeUhIwZL
teref
E
EH
a)b)
Fig.1.37. Linie microstrip
a) secțiune prin linie; b) distribuția câmpului electromagnetic .

Liniile de transmisie microstrip sunt studiate printr-o analiză statică
la frecvențe mici până la f=0 și o analiză dinamică pentru cazul
frecvențelor înalte.
In domeniul frecvențelor cuprinse între f=0 și f=fg st (frecvența de
tăiere pentru aproximația statică) există numai componentele
transversale ale lui E și H.
Intre conductorul strip și conductorul de bază predomină
componenta câmpului electric Ex iar la marginea conductorului
predomină componentele Ex si Ey.
Componentele câmpului magnetic au aceeași distribuție ca în cazul
lipsei substratului dielectric.
La f > f g.st componentele longitudinale ale câmpului EZ,HZ cresc în
mărime cu creșterea frecvenței.
Definim o densitate a curentului de suprafață g[A/m] prin curentul
care circulă pe o porțiune de unitate de lungime din suprafața
conductorului, care este perpendiculară pe direcția fluxului curentului.
Pentru frecvențe 0 < f < f g.st = 1…5Ghz , componentele
longitudinale ale câmpului magnetic se neglijează în analiza statică și
sunt prezenți numai curenții longitudinali:
gL1– de pe suprafața superioară a conductorului strip,
gL2– de pe suprafața inferioară a conductorului strip,
gL3– din conductorul de bază.Microstrip
Conductor
de bazăhtw
ergL1
gL2
gL3gT1
gT2
gT3
Fig.1.38. Distribuția curenților în linia microstrip pentru modul
fundamental TEM la frecvențe mici în aproximație statică.
a) longitudinali; b) transversali.a) b)

Distribuția curenților este independentă de er și la marginile
conductorului microstrip apar maxime de curent iar densitatea de
curent gL2 > g L1 (fig.1.38.a.).
La frecvențe f > f g.st, componenta longitudinală HZ a câmpului
magnetic devine semnificativă și determină apariția curenilor
transversali (fig.1.38.b.):
gT1– pe partea superioară a microstripului,
gT2– pe partea inferioară a microstripului,
gT3– în conductorul de bază.
Curenții transversali sunt proporționali cu w/l0 ,valorile lor
maxime cresc cu creșterea frecvenței dar sunt cu până la doua ordine
de mărime mai mici decât valorile curenților longitudinali(pentru
w/l0<0,1 ).
Frecvența maximă până la care pote fi utilizată aproximația statică
la proiectarea practică a circuitelor se exprimă prin relația:
( ) hZ
hZfL
ef rst g 04 , 0 04 , 0
.0
. = =
e
(1.186.)
unde ef r L Z Z. 0e = – impedanța caracteristică a liniei exprimată
pentru er=1,h (mm) si fg.st(Ghz).
Wheeler a obținut pentru parametrii liniei microstrip cu
conductorul de grosime t=0 când mediul dielectric este omogen
(parțial cu aer er=1, parțial dielectric cu er>1 ) următoarele expresii:
a) pentru conductori strip înguști cu w/h <3,3 impedanța caracteristică
úúú
ûù
êêê
ëé
÷÷÷÷
øö
çççç
èæ
+÷øöçèæ
+–÷÷
øö
çç
èæ
+÷øöçèæ+
+=
r rr
rLwh
whZ
ep
p
ee
e4ln
2ln
) 1 ( 212 164ln
) 1 ( 21202
(1.187.)
b) pentru conductori strip lați cu w/h > 3,3 impedanța caracteristică
úúúú
ûù
êêêê
ëé÷øöçèæ-
+÷
øöç
èæ÷øöçèæ+ +++ + =2216ln ) 1 (
94 , 0
2ln
2ln
21 4ln
260
rr
rr
rLc
hw c
hwZ
pepep
pee
p ep(1.188.)
c) constanta dielectrică efectivă pentru conductori strip înguști cu
w/h<1,3

2 2
0
.21÷øöçèæ
-+=÷÷
øö
çç
èæ=B AA
ZZr
Lef ree (1.189.)
unde
úúúú
ûù
êêêê
ëé÷øöçèæ
+÷øöçèæ
+-=
úúúú
ûù
êêêê
ëé
÷øöçèæ
+÷øöçèæ=
r rrBhw
whAep p
ee4ln
2ln) 1 ( 21;328ln2
(1.190.)
c) pentru conductori lați care îndeplinesc relația 1,3 < w < 2
2 2
0
. ÷øöçèæ-=÷÷
øö
çç
èæ=ED E
ZZ
R
Lef r e e (1.191.)
țýü
îíì
÷÷
øö
çç
èæ-úûù
êëé÷øöçèæ+-=16ln194 , 02 2ln212p
ep
pee c
hw cD
r rr(1.192.)
țýü
îíì
úûù
êëé÷øöçèæ+ + =94 , 022 ln1
2 hwchwE pp(1.193.)
Când lățimea conductorului microstrip se reduce la zero (w/h<1),
energia câmpului este puternic concentrată în jurul conductorului și
putem considera că se împarte simetric în substratul dielectric și în spațiul
liber din partea superioară a conductorului. Parametrii liniei microstrip
devin:
21) 0 / (.+= ®r
ef r h wee (1.194.)
÷÷
øö
çç
èæ
÷øöçèæ
+= <<whh w Z
rL8ln
12 60) 1 / (
e(1.195.)
Pentru lățimi foarte mari ale conductorului microstrip w/h>>1 ,
câmpul electric de la marginea conductorului este mult mai mic în
comparație cu câmpul concentrat în condensatorul cu plăci paralele
format între conductor și planul de bază ( C). Capacitatea acestui
condensator se determină cu relația:
hwh w Cre e0) 1 / (= >> (1.196.)
Impedanța caracteristică și constanta dielectrică efectivă se exprimă prin
relațiile:

rLwhh w Z
ep120) 1 / (= >> (1.197.)
r ef r h w e e= ¥ ®) / (. (1.198.)
1.4.3.2. Linii microstrip pe substrat dielectric anizotrop
Efectul unui câmp electric aplicat asupra substratului dielectric
anizotrop este dependent de direcția câmpului și de axele de simetrie ale
materialului.Daca aceeași linie microstrip (cu dimensiunile w si h) este
construită pe două piese de același material anizotrop dar cu direcții
diferite ale axei cristaline principale, atunci cele două circuite vor avea
valori diferite pentru ZL și er.ef.
Materialele dielectrice anizotrope sunt cristale care nu au simetrie
sferică , pentru care componenta paralelă și componenta perpendiculară
fată de axa de simetrie a cristalului au valori diferite
De obicei substratul anizotrop este tăiat astfel încât axa principală
C să fie perpendiculară pe suprafața substratului (fig.1.39.).
Componentele erx = er┴ și ery = er║ au aceeași valoare în secțiunea
transversală a circuitului pentru orice direcție z a liniei microstrip iar
parametrii circuitului C,Z L,L și er.ef sunt independenți de direcția liniei
de transmisie. Prin linia microstrip cu substrat dielectric anizotrop,
unda se propagă în mod TEM , cu frecvența de tăiere fg.st , cu
impedanța caracteristică ZL independentă de frecvența iar constanta
dielectrică relativă, determinată din aproximația statică.
Pentru a determina relațiile care exprimă parametrii circuitului, se
folosește o transformare echivalentă a liniei de transmisie pe un
substrat izotrop. Relațiile transformării echivalente se exprimă prin:Axa C
X = xY = h
Z = zw
ht = 0r rhe e=
^ =r rxe e
Fig.1.39. Secțiune transversală prin linia
microstrip cu substrat anizotrop.

h xe e e e eee
r r r r rrrh hw w
= ===
^·^··
(1.199.)
pentru orice dimensiuni w, h și orice material cu rII r r re e e eh x= =^; .
Linia microstrip echivalentă , pe substrat izotropic, are aceeași
lățime w dar o grosime a substratului diferită de materialul anizotrop,
Folosind relațiile de transformare și metoda de analiză a circuitului
pe substrat izotrop, determinăm parametrii ZLși er.ef.
ef r ef r L L Z Z. . ; e e= =· ·
Deoarece
0.
00 0;CC
C CZef r L= = ee h, rezultă
0.
00 0;CC
C CZef r L·
·= = ee h
(1.200.)
unde C0 este capacitatea circuitului original iar Ċ capacitatea
circuitului echivalent. Parametrii caracteristici pentru linia microstrip
cu substrat anizotrop se calculează cu relațiile:
5 , 0
172 , 0
0 172 , 0 98 , 1 98 , 1-
· ·ïțïýü
ïîïíì
úú
ûù
êê
ëé
÷÷
øö
çç
èæ
+
úú
ûù
êê
ëé
÷øöçèæ+ = A
hw
hw
hw
hwZLh (1.201.)
unde:
úúúúúú
ûù
êêêêêê
ëé
÷øöçèæ+÷øöçèæ÷÷
øö
çç
èæ
+÷÷
øö
çç
èæ
úú
ûù
êê
ëé
–
÷÷÷
øö
ççç
èæ
+-++=· · · · ·
172 , 0172 , 0
98 , 198 , 1
5 , 010121
21
hw
hwhw
hw
whAr re e(1.202.)
în domeniul de valori cuprins între limitele:
¥ < £ ¥ < £^·
) , ( 1 ; ) / , / ( 06 , 0r rII h w h w e e

La frecvențe mai mari de fg.st apare o dependență a parametrilor ZL
si er.ef de frecvență.
In concluzie, semnalele se propagă prin liniile plate pe modurile TE
sau TM, dacă au lungimea de undă cel mult egală cu jumătate din
distanța dintre conductorul central și planul de masă.
Liniile plate au permis miniaturizarea circuitelor de microunde,
fiind realizate pentru impedanțe caracteristice de 10 – 250 W.
Lungimea electrică nu depășește o semiundă iar atenuarea este mai
mică de 0,01 db/ l. Suportul dielectric este realizat din alumină, ferită
cuarț, duroid, etc.

1.5.Probleme
1.5.1.Probleme rezolvate
1. Să se determine parametrii secundari ( Zc ,g) ai unei linii bifilare
aeriene din cupru, cu diametrul conductoarelor d = 2 mm , distanța între
conductoare D = 10 cm , pentru frecvența semnalului ce se transmite , de
25 Mhz .
Rezolvare:
Se calculează parametrii lineici
005 6 1021 12
284 1 10 3 2 41023 210 4 22 41
210 10 5 6 1610
002 010 25 6 16106 16
122 776 6
66
6
= d w =úûù
êëé=e=pe=úûù
êëém= × × =
pp=
pm=úûù
êëéW=× × ×=×= =
–-
– –
Ctg GmpF
dD
dDCmH
dD
dDLm dfR
r,
ln,
ln, lg , lg , ln,,
,, ,
Impedanța caracteristică:
W = =5522276dDZc lg
Constanta de propagare:
524 0 0373 0524 00373 02
, ,,,
jmradLCmNp
ZRJ
c
+ = gúûù
êëé= w = búûù
êëé= = ab + a = g

2. Să se calculeze parametrii secundari ai unei linii coaxiale rigide
cu diametrul conductorului interior d = 5 mm , diametrul conductorului
exterior D = 5 cm, la frecvența de 400 Mhz , știind că L = 1 mH/m și C = 9
pF/m.
Rezolvare:
Impedanța caracteristică:
W = = =138 138 60dD
dDZc lg ln
Constanta de propagare :
54 7 013 054 7013 0266 3 101 132 86
, ,,,, ,
jmradLCmNp
ZRmfD dRj
c
+ = gúûù
êëé= w = búûù
êëé= = aúûù
êëéW= ÷øöçèæ+ =b + a = g
–
3.Un generator cu frecvența de 3Mhz este conectat la intrarea unei
linii fără pierderi, cu lungimea de 20 m . Știind că tensiunea generatorului
la intrarea liniei este de 20 V , să se determine tensiunea la capătul în gol
al liniei ( rezistența internă a generatorului se consideră nulă).
Rezolvare:
a) Pentru linia în gol, cu originea distanței la sarcină,
u = U 2cos bx sin wt
Notăm U = U 2cosbx, unde b=w/c=2 pf/c=2 p/l
VlU
xUU 65
10 310 3 220
861
2 =
×× p=b=b=
coscos cos
b) Când originea distanței se consideră la generator:
u = U 1chgx – I 1Zcshgx
g=jb(a=0);
U1/I1=Z i = -jZ cctgbx
U = U 1(chbx+tgbxsinbx)
bx=bl=2pl/l=72
U2=20(0,31+3,08.0,95)=65 V °

4.Considerăm o linie fără pierderi cu impedanța caracteristică
Zc=100 W, conectată la o sarcină inductivă Zs=100 +j100W. Știind că
tensiunea la bornele sarcinii este de 100 V, să se determine amplitudinile
maxime și minime ale tensiunii pe linie și pozițiile maximelor și
minimelor apropiate de sarcină.
Rezolvare:
Calculăm coeficientul de reflexie
o4 63447 02 100 100 100100 100 100 ,,j
c sc s
r ejj
jj
Z ZZ ZK =+=+ +- +=+-=
Calculăm raportul de undă staționară
6 211,=-+=
rr
sKKK
Unda directă de tensiune la bornele sarcinii
Vj KUU
rS
d 794 0 2 1100
1=+=+=, ,
Amplitudinile maxime și minime ale tensiunii pe linie sunt:
( )
( )
dr d r dr d r d
U U UK U U U UK U U U U
211
= +- = – =+ = + =
min maxminmax
Ținem seama de relația KS=U max/Umin și obținem:
( )
d
Sd
SSd S d
S
UKU UKKUU K U UKUU
12
122 1 2
+=+== + = = +
min maxminmax
max
;;
Înlocuim valorile cunoscute și rezultă:
V U V U8 436 379 21 1146 379 6 2 2,,; ,,,
min max =×= =× ×=
Deducem pozițiile punctelor de maxim și de minim pe linie, pornind de la
expresia tensiunii pe linie:
( ) ( )( ) x j
r d r d r de K U K U U U Ub – j+ = + = + =21 1
Tensiunea este maximă când j- 2bx=2n p și este minimă când j-
2bx=(2n+1) p
Obținem distanțele la cele mai apropiate puncte de maxim și
minim:
XM=j/2b=0,088 l

Xm=l/4+X M
5. Segmentele de linie AB, BC și CD sunt cuplate la rezistențe de
sarcină de câte 300 W fiecare. Știind ca în toate cele trei segmente se
asigură regim de undă progresivă, să se calculeze impedanțele acestor
segmente.
Rezolvare:
W =+×= 150
22
CDCD
BCZ RZ RZ
Segmentul AB are ca sarcină:
W =+×= 100
11
BCBC
ABZ RZ RZ
6.Un cablu coaxial are raportul diametrelor conductoarelor exterior
și interior de 4. Știind că lungimea de undă a tensiunii prin cablu este 40
cm și factorul de calitate 2500 , să se determine diametrul interior al
conductorului exterior.
Rezolvare:
Determinăm impedanța caracteristică a liniei coaxiale:
W = =83 138dDZC lg
Coeficientul de atenuare al liniei :
úûù
êëé=×=lp= amNp
Q00314 04 0 250014 3,,,
Calculăm rezistența lineică :
Rl=2Z Ca=0,521[ W/m]
mm Dd DRl
91 21521 02 2 72 0
,,,
==÷øöçèæ+l=A1 B 1 C 1 D 1A B C D
R1 R2 R3Impedanța caracteristică a
segmentului CD este Z CD=300 W.
Segmentul BC are ca sarcină R 3
în paralel cu R 2:

7.Să se determine eroarea de calcul a impedanței caracteristice
pentru o linie plată cu D/d=3 și t/d=0,1.
Rezolvare:
Impedanța caracteristică a unei linii plate are forma:
2 0
12 1 65 0 47 01 94
÷øöçèæ- + +÷øöçèæ-
=
dt
dt
dDdt
Z
, , ,
Pentru ( )t d D d t- ³ £ 35 0 5 0 , ; ,
dt
dDZ
4 18
1380
,lg
+p=
( )
W =+p=W =× – + +-=
68 1914 0 38
13893 2301 0 12 1 065 0 47 0 31 0 1 94
21
,,lg,, , , ,,
OO
ZZ
DZ=18%
8. Să se determine constanta de atenuare pe o linie plată cu
ZO=120 p.W, la f=3Ghz , cu d=4mm și dielectric cu er=3,când d=1,28 mm.
Rezolvare:
úûù
êëé=dse= am =
× s ×= d
–
mNp
d Zm
f
r38 036 1728 1
10 28 61
07
,,,
,
9. Să se deducă raportul de undă staționară folosind diagrama
circulară, pentru o linie cu impedanța caracteristică ZC=100 W, terminată
pe o sarcină ZS=100+j100 W.
Rezolvare:
Se normează impedanța de sarcină:

jjz jx rZZzS S S
CS
S + =+= + = = 1100100 100;
Cercul pentru rS=1 se intersectează cu cercul pentru xS=1 și indică zS.
Prin acest punct trece cercul concentric cu R/Z 0=1. Prin măsurare cu rigla
se determină proporțional distanța și se află KS=2,66
10.Să se găsească impedanța de intrare a unei linii cu bornele
terminale legate în scurtcircuit. Lungimea liniei este 3,82l iar impedanța
caracteristică Z0=700 W.
Rezolvare:
Se folosește numai lungimea liniei mai mare decât multiplii de
0,5l,adică 0,32l iar lungimea normată este l’=0,32 . Pornind de la punctul
de impedanță nulă ( R=0;X=0 ), se rotește raza vectoare spre generator cu
o lungime normată 0,32 și se află : xI= – 2,1
XI=Z CxI= – 1470 W

1.5.2.Probleme propuse
1.O linie de transmisie aeriană este formată din doi conductori de
cupru cu diametrul d= 3mm , Distanța între conductori este D= 20 cm .
Știind că linia funcționează la frecvența de 4 Mhz , să se determine
parametrii lineici ai acesteia.
R:11,1 W/m 1,95 mH/m 5,68pF/m 0
2. Să se calculeze parametrii lineici ai liniilor bifilare aeriene cu
parametrii din tabelul următor:
1 2 3 4 5 6 7 8
D[cm] 10 15 20 30 10 15 20 30
d[cm] 0,2 0,3 0,5 0,6 0,6 0,5 0,3 0,2
l[m] 300 30 10 20 100 200 50 5
Material Cu Al Cu Alama Cu Ag Cu Al
3.O linie de transmisie bifilară aeriană utilizată la frecvența de
16Mhz are conductoarele din aluminiu cu diametrul de 5 mm la distanța
de 40 cm .Să se determine parametrii lineici ai liniei.
R:13,31 W/m 2,03 mH/m 5,48pF/m 0
4.Să se calculeze parametrii lineici ai unui cablu coaxial din cupru
cu izolație de polietilenă , dacă are d=1m, D= 8mm și lucrează la
frecvențe de 50Mhz sau 100Mhz .
R: 0,41 mH/m ;61,67pF/m la f1 și f2
33,41 W/m; 0,58.10-51/Wm la f1
47,25 W/m; 0,116.10-41/Wm la f2
5.O linie coaxială rigidă izolată cu aer, este din alamă , cu d=5mm
și D=10cm . Să se determine parametrii lineici dacă funcționează la
frecvența de 400 Mhz.
R: 34,94 W/m; 0,6 mH/m; 1,85pF/m; 0

6.O linie coaxială rigidă cu dielectric aer, are capacitatea pe
unitatea de lungime 25pF . Pentru ce raport între diametrul interior al
conductorului exterior și diametrul conductorului interior se obține
această capacitate?
R: D/d=9,2
7.Un generator de tensiune sinusoidală cu frecvența de 15 Mhz
alimentează o linie cu parametrii lineici : C=25pF/m și L=1 mH/m. Să se
determine viteza de propagare a undelor în linie și lungimea de undă în
linie.
R: v=2.108m/s;ll=13,3m
8.Admițând că nu sunt pierderi în dielectric , să se determine relația
de calcul a constantei de atenuare a în funcție de dimensiunile geometrice
ale liniei bifilare din cupru și de lungimea de undă a generatorului.
R:úûù
êëé
l×= a-
mNp
dDd210 012 03
ln,
9.Să se determine raportul dintre distanța între conductoare și
diametrul conductoarelor ( 2D/d) liniei bifilare aeriene , pentru care
atenuarea în linie este minimă (considerăm G=0).
R: 2D/d=2,7
10.Pentru un cablu coaxial cu parametrii lineici L=0,25 mH/m și
C=100pF/m , să se determine impedanța caracteristică a cablului,
constanta dielectrică a izolației și viteza de propagare a semnalelor.
R: Z C=50W; er=2,25; v=2.108m/s
11.Un sistem de două linii coaxiale , concentrice, izolate cu aer, are
grosimea pereților de 1mm . Știind că diametrul exterior este D3=54mm ,
să se afle diametrele exterioare ale tuburilor din compunerea sistemului,
fiecare linie având impedanța caracteristică ZC=50W.
D1D2D3

R: D 2=22,6mm; D 1=9mm.
12.Un generator cu frecvența de 100 Mhz , conectat la o linie în gol
cu impedanța caracteristică Z C=300 W, furnizează la capătul liniei
tensiunea de 60 V.
Să se determine amplitudinea tensiunii și curentului la 40 m de capătul
liniei.
R: U=30V; I=0,173A.
13.Tensiunea la capătul unei linii în gol este de U2=100V . Știind
valoarea curentului măsurat la 2 metri de capătul liniei , I=0,3A , să se
calculeze impedanța caracteristică a liniei parcursă de semnale cu l=10
m.
R: Z C=317 W
14.Să se calculeze coeficientul de reflexie pentru o linie de
transmisie cu impedanța caracteristică ZC=400 W, conectată la o
impedanță de sarcină ZS=200 W.
R: p=j
r e K31
15. O linie de transmisie cu impedanța caracteristică ZC=50W este
conectată la o reactanță capacitivă XC=50W. Să se determine coeficientul
de reflexie și tensiunea la bornele sarcinii cunoscând tensiunea
corespunzătoare undei directe, Ud.
R: 42p-=j
d Se U U
16.O inductanță L=1mH este conectată la capătul unei linii aeriene
cu Zc = 100 W.Frecvența generatorului care alimentează circuitul este 15
Mhz. Să se calculeze distanța de la capătul liniei până la cel mai apropiat
nod de tensiune.
R: lmin = 7,6 m
17. Un segment de linie cu dielectric aer având Zc = 80 W se
termină pe o inductanță L. Frecvența generatorului de alimentare este de
750 Mhz . Nodul de tensiune se află la 15 cm de sarcină. Să se calculeze
L.
R: L = 0,017 mH

18.Unei linii în scurtcircuit lungă de 10 m , cu Zc = 500 W și ll =
9m, i se aplică la bornele de intrare o tensiune de 400 V . Să se calculeze
curentul în bara de scurtcircuitare.
R: Iscc = 1,25 A.
19.Dimensiunile secțiunii transversale ale unei linii simetrice cu
dielectric aer sunt d = 4mm , D = 10 cm . Să se calculeze cât trebuie să fie
lungimea segmentului de linie în scurtcircuit, pentru ca la frecvența de
125 Mhz să fie echivalent cu un condensator C = 8pF .
R: l = 1,08m
20. O linie coaxială cu dielectric aer, cu lungimea de 10m și Zc =
70W se termină pe o rezistență de 280W. Să se calculeze impedanța de
intrare a liniei la frecvențele de 7,5 Mhz și 15Mhz .
R: Zi = 17,5 W; 280 W.
21.Să se determine impedanța caracteristică și atenuarea la o linie
bifilară în aer, dacă diametrele conductoarelor de cupru sunt de 3mm , iar
distanța dintre ele de 200 mm . Generatorul care alimentează linia lucrează
la frecvența de 150 Mhz.
R: Zc = 586 W ; a = 5.10-3 db/m
22.Un cablu coaxial are următoarele dimensiuni: diametrul
conductorului interior d = 2mm , iar diametrul interior al conductorului
exterior D = 9mm . Izolatorul dintre conductoare are er = 2,3 . Să se
determine Zc.
R: 57W
23. Un cablu coaxial adaptat cu sarcina este legat la un generator
care lucrează cu l = 70 cm . Cablul se caracterizează prin următoarele: d
= 0,8mm, D = 4,2 mm; er = 2,5.
Să se determine lungimea cablului dacă la tensiunea generatorului
U1 = 25V , curentul este I2 = 0,3 A.I2 RSU1

R: l = 14,65 m.
24.O linie cu o sarcină activă RS = 200 W, de o lungime l=l se
alimentează de la un generator de oscilații sinusoidale . Rezistența internă
a generatorului , ri = 300 W, iar t.e.m. de amplitudine 80V. Să se
determine tensiunea la bornele generatorului și puterea consumată în
sarcină.
R: Um = 32V;P 2 = 2,57 W .
25. Tensiunea la bornele generatorului care alimentează o linie în
gol este 40V. Să se găsească tensiunea la capătul liniei cu l = 20 m , dacă
frecvența generatorului este 3 Mhz.
R: U2 = 130V .
26.O linie scurtcircuitată la capăt primește la celelalte borne de la
generator o tensiune de 30V cu frecvența de 150 MHz . Determinați
amplitudinea curentului și tensiunii la distanța de 0,4 m de la capătul
liniei , dacă ZC = 55 W.
R: Imx = 0,336A; U mx = 57V .
27. Pentru determinarea frecvenței de oscilație a unui generator, la
acesta se cuplează o linie de măsură în scurtcircuit, de-a lungul căreia se
stabilește un regim de undă staționar. Cu cât este egală frecvența
oscilației generate dacă distanța între nodurile de tensiune este 25 cm.
R: f = 600 MHz.
28. O linie bifilară, deschisă la capăt, se alimentează de la un
generator care are l = 1,5m. Dimensiunile liniei sunt: diametrul
conductorului 3 mm , distanța între conductoare 10 cm , lungimea 0,6 m .
Determinați ce inductanță echivalentă are linia.
R: Lech = 0,552 mH
29. Sarcina unei linii coaxiale este o reactanță inductivă de 50 W.
Linia are diametrul conductorului interior de 2,5 mm , diametrul interior al
conductorului exterior de 25 mm , lungimea 5m și er = 2,5 . Să se afle
impedanța de intrare pentru frecvența de 30 Mhz .
R: Zint = 50,5 W

30. Determinați factorul de calitate a circuitului realizat dint-un
segment de linie coaxială de un sfert de lungime de undă dacă diametrul
conductorului interior este de 5mm, diametrul interior al conductorului
exterior este de 18mm și l = 60 cm.
R: Q = 1690.

2. GHIDURI DE UNDĂ
2.1. Ghiduri de undă dreptunghiulare
Ghidurile de undă sunt structuri pasive care permit transmiterea
ghidată a energiei electromagnetice printr-un material dielectric delimitat
de o suprafață conductoare.
Ghidurile cu secțiune transversală constantă și cu material
dielectric izotrop sunt ghiduri uniforme și omogene.
2.1.1. Clasificarea ghidurilor de undă :
După modul de variație a secțiunii transversale a ghidului
deosebim:
a). – ghiduri de undă uniforme;
b). – ghiduri de undă neuniforme.
a). Ghidurile de undă neuniforme se pot clasifica după natura
dielectricului în:
a1). – ghiduri omogene
a2). – ghiduri neomogene
a1). În funcție de materialele utilizate, ghidurile uniforme omogene
pot fi:
a11). – metalice (ghiduri închise, care nu au câmp
electromagnetic în
exteriorul lor);
a12). – dielectrice (ghiduri deschise, care au câmp
electromagnetic și în
exteriorul lor).
a11). Ghidurile metalice neuniforme și omogene pot avea secțiuni de
formă (fig.1.1.):
– a 111-dreptunghiulare;
– a 112-circulare;
– a 113-eliptice;
– a 114-în formă de U;
– a 115-în formă de H, etc.

a12). Ghidurile dielectrice neuniforme și omogene (fig.2.2.):
– cilindrice.
a2). Ghidurile uniforme neomogene pot fi:
a21– metalice cu secțiune dreptunghiulară (fig.2.3.)
a22– dielectrice cu secțiune cilindrică (fig.2.4.)
care se clasifică după distribuția constantei dielectrice.
a21). Ghidurile metalice neuniforme transversal neomogene:
a211– cu mediu dielectric parțial pe bază și complet pe înălțime;
a212– cu mediu dielectric parțial pe înălțime și complet pe bază;
a213– cu placă dielectrică verticală.
a22). Ghidurile dielectrice cu secțiune cilindrică pot fi:
– a 221– cu salt de constantă dielectrică;
– a 222– cu distribuție parabolică a constantei dielectrice.a). b).
Fig. 2.2. Ghiduri dielectrice
a211 a212
a213
Fig.2.3. Ghiduri neuniforme neomogene dreptunghiulare a). b). c). d).
e).
Fig. 2.1. Ghiduri metalice

b). Ghidurile neuniforme pot fi:
b1). – metalice
b2). – dielectrice
b1). Ghidurile neuniforme metalice (fig.2.5.) se împart în:
b11– piramidale
b12– conice
b13– ghiduri diafragmentete.
b2). Ghidurile neuniforme dielectrice (fig.2.6.) sunt:
b21– piramidale
b22– conice
b23– helice cilindricăerer
er2er1
a22
1a22
2
Fig.2.4. Ghiduri de undă uniforme neomogene dielectrice
(fibre optice)
Db12
Fig.2.5. Ghiduri neuniforme metalice b13b11
b22
Fig.2.6. Ghiduri neuniforme dielectrice b23b21

Tronsoanele de ghid neuniforme se mai numesc pâlnii sau hornuri
și se folosesc ca antene (când îndeplinesc funcții de sisteme radiante) sau
ca circuite de adptare. Ghidurile neuniforme nu pot fi folosite ca linii de
transmisie la distanțe mari.
În categoria ghidurilor neuniforme intră și ghidurile periodice
utilizate în acceleratoare liniare (ghiduri diafragmate) sau în tuburi de
microunde (helicea cilindrică în tubul cu undă progresivă).
2.1.2. Ecuația caracteristică
Pentru analiza fenomenului de propagare a câmpului
electromagnetic prin ghidurile de undă se impun următoarele condiții:
– generatorul și sarcina sunt dispuse pe direcția de propagare, axa
z, la – ¥ și + ¥ (nu sunt unde reflectate);
– materialul dielectric este caracterizat prin er și mr;
– ghidul de undă este realizat dintr-un material perfect conductor
cu ¥ – =j
mre și 0j
mr=m
Ecuația undelor pentru oricare din componentele Ez, Hz:
022
22
22
=÷÷
øö
çç
èæ
÷÷
øö
çç
èæ
¶¶+
¶¶+
¶¶
zz
HE
z y x (2.1)
Deoarece undele ce se deplasează în direcția pozitivă a axei z sunt
descrise de funcția ( ) z t jb w- exp , 22
b- =¶¶
zși ecuația (2.1) devine:
( ) 02
22
22
2 2=÷÷
øö
çç
èæ
÷÷
øö
çç
èæ+
¶¶+
¶¶=÷÷
øö
çç
èæ+ Ñ
zz
zz
tHEk
y x HEk (2.2)x
zy
ab
Fig.2.7. Ghid de undă dreptunghiularGhidul de undă dreptun-
ghiular este neuniform și omogen
cu secțiunea transversală în
dreptunghi (fig.2.7.).
Rezolvând ecuațiile lui
Maxwell determinăm componen-
tele câmpului electromagnetic.
Cum ghidul este uniform, com-
ponentele câmpului în planul
transversal se determină din
componentele longitudinale.

unde2
0 02 2b e m e m w- =r r k (nr. de undă) (2.3)
Presupunem soluții de forma:
( ) z t j y g x fHE
zzb w- =÷÷
øö
çç
èæexp ) ( ) ( (2.4)
unde f(x) este independent de y și z și g(y) independent de x și z.
fgfg k f g gf10 ' ' ' '2= + + (2.5)
0' ' ' ' 2= + +kgg
ff (2.6)
Pentru integrarea în raport cu x,2.' '
yk ctgg- =
2 2 2 ' '
x yk k kff- = – = (2.7)
Similar, la integrarea în raport cu y, 2.' '
xk ctff- = =
2 2 2 ' '
y xk k kgg- = – = (2.8)
Constantele kx, ky, k se numesc constante de separare , ce separă
componentele după axa x,y și z.
Ecuațiile (2.7) și (2.8) au soluțiile:
y jk y jk x jk x jk y y x xDe Ce g Be Ae f- -+ = + = , (2.9)
Obținem soluțiile ecuației (2.2) de forma:
( ) ( )
( ) ( ) ïțïýü
+ + =+ + =
– – –
y jk y jk x jk x jk
zy jk y jk x jk x jk
z
y y x xy y x x
De Ce Be Ae Ee D e C e B e A H0 0 0 0 (2.10)
Componentele din planul transversal se determină cu relațiile:
ïïïïï
țïïïïï
ýü
¶¶-¶¶- =¶¶-¶¶- =¶¶-¶¶- =¶¶-¶¶- =
yH
kj
xE
kj HxH
kj
yE
kj HyE
kj
xH
kj ExE
kj
yH
kj E
z z r
yz z r
xz z r
yz z r
x
2 202 202 202 20
b e web e web m wmb m wm
(2.11)
Constantele din (2.10) se determină prin impunerea condițiilor pe
frontieră. Componenta tangențială a câmpului electric este nulă în cazul
unui perete perfect conductor. Componenta normală a inducției B trebuie

să fie continuă la frontieră dar 0j=m și la suprafața ghidului această
componentă este nulă.
1. 0=zE pentru 0=y. Din (2.9) rezultă că D C- =și putem nota
( )y k jC De Ceyy jk y jkj ysin 2 = +-
2. 0=zE pentru 0=x .Din (2.9) rezultă A = – B și obținem
( )x k jA Be Aexx jk x jkx xsin 2 = +-
3. 0=zE când x = a . Rezultă că ( ) 0 sin=a kx și deci
Z pap kx Î =,p
4. 0=zE când y = b . Rezultă că ( ) 0 sin=b ky și deci Zbky Î =rrp,
Componenta longitudinală a câmpului electric devine:
t j z j
z e eby q
ax pN Ew b p p -= sin sin (2.12)
unde AC N4- =
5. 0=xH la 0=x . Derivăm Hz din (2.10) în (2.11) și obținem
expresia lui Hx:
( )( ) ( )y jk y jk
xy je D e C B A jk
kj-+ – – =0 0 0 0 20b (2.13)
Această relație este adevărată pentru orice y când 00 0= -B A . Putem
nota ( )x k A e B e Axx jk x jkx xcos 20 0 0 = +-
6. 0=yH la 0=y. Analog obținem:
( ) ( )( )0 0 0 2cos 2 0 D C x k A jk
kjx y – – =b (2.14)
valabilă pentru orice x, deci 0 0D C=
Notăm 0 0 0 4C A N = și obținem componenta longitudinală a câmpului
magnetic:
t j z j
z e ebx q
ax pN Hw b p p -÷øöçèæ÷øöçèæ= cos cos0 (2.15)
Constantele de separare se determină din relația:
22 2
22 2
2 2 2
bq
apk k ky xp p+ = + = (2.16)
denumită ecuația caracteristică .
Pentru anumite valori întregi ale lui p și q se obține valoarea lui b=
constanta de fază
22 2
22 2
0 02 2
bq
ap
r rp pe e m m w b – – = (2.17)

Frecvența pentru care b = 0 se numește frecvență critică (fc). La
frecvențele w pentru care 2b este real, termenul z jeb-reprezintă o
funcție de oscilație corespun zătoare propagării undei în lungul axei z.
Valorile pozitive ale lui b corespund propagării în direcția pozitivă a
axei z. Dacă 2beste negativ, amplitudinea undei scade exponențial cu
distanța.
Dacă notăm
glpb2= , unde =gllungimea de undă a semnalului în ghid,
obținem:
( )5 , 02
02
0 0– =l l m e l lr r g (2.18)
unde =0l lungimea de undă a semnalului în aer
=cllungimea de undă corespunzătoare frecvenței critice.
2.1.3. Moduri normale în ghidul dreptunghiular
Pentru o frecvență dată, corespunzător perechilor de valori p și q se
obțin valorile particulare ale constantei de fază bpq și componentelor
câmpului electromagnetic din planul secțiunii transversale. Înlocuim
(2.12) și (2.15) în (2.10) și (2.11) si obtinem:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ïïïïïïï
țïïïïïïï
ýü
=÷÷
øö
çç
èæ+ – =÷÷
øö
çç
èæ+ – ==÷÷
øö
çç
èæ- – =÷÷
øö
çç
èæ- =
y k x k N Hy k x k
kN kj
kN kj Hy k x k
kN kj
kN kj Hy k x k N Ey k x k
kN kj
kN kj Ey k x k
kN kj
kN kj E
y x zy xy x r
yy xx y r
xy x zy xy x r
yy xx y r
x
cos cossin coscos sinsin sincos sinsin cos
020
2020
202 20 02 20 0
b e web e web m wmb m wm
(2.19)
Au fost omiși factorii t jewși z jeb-iar N și N0 sunt factori de
normalizare.
Prin suprapunerea efectelor obținem două familii de moduri
normale prin ghidul de undă dreptunghiular:
– moduri Hpq când N = 0 sau 0=zE și ; 0¹zH
– moduri pqEcând 00=Nsau 0=zH și 0¹zE .

Indicii p și q arată câte semiunde cuprind distribuțiile de amplitudine
ale câmpului în lungul laturii mari, respectiv laturii mici a ghidului
dreptunghiular.Pentru orice mod particular, frecvența critică se
determină cu relația:
÷÷
øö
çç
èæ+ =22
22
0 02
2
bq
ap
r rcm m e epw (2.20)
iar lungimea de undă critică:
1
22
22
24-
÷÷
øö
çç
èæ+ =
bq
ap
r r ce m l (2.21)
Modul de propagare cu frecvență critică cea mai mică se numește
mod fundamental, celelalte moduri fiind considerate moduri superioare.
În ghidul de undă dreptunghiular, modul fundamental este H10.
2.1.4. Vitezele undelor in ghidul dreptunghiular
Din ecuația caracteristică (2.16), unde k este independent de w
putem determina vitezele de fază și de grup:
bw
bw
ddV Vg f= =; (2.22)
Înlocuim =bconstanta de fază (2.17) și obținem:
( ) ( )[ ]
( ) [ ] ï
țï
ýü
– = =- =
– –
11
0 02 2 2
22
21
0 02 2 5 , 01
e m w e m
bwe e m m w e m
k c Vk c V
r r fr r r r g
(2.23)
e mc este viteza undei plane în modul cu care este umplut ghidul.
Când frecvența semnalului se apropie de frecvența critică, viteza de fază,
mai mare decâtteza luminii crește spre infinit iar viteza de grup crește
asimptotic de la zero la viteza luminii (fig.2.8.).
1
Vg/c
w¤w cVf¤cV¤c
Fig. 2.8. Variația vitezelor undelor în ghidul dreptunghiular

Reprezentarea variației frecvenței funcției de constantă de fază
(fig.2.9.) constituie caracteristica de frecvență a ghidului .
Propagarea prin ghid are loc când lungimea de undă a semnalului
este mai mică decât frecvența critică.
Când lungimea de undă este mai mare decât lungimea de undă
critică, propagarea se face cu atenuare, constanta de atenuare având
expresia:
2 22 2÷øöçèæ-÷÷
øö
çç
èæ=lp
lpa
c (2.24)
Pentru cl l>> rezultă a=54db/ l și reprezintă constanta de atenuare
introdusă de un ghid sub frecvență critică.
2.1.5. Puterea transmisă prin ghidul dreptunghiular
Însumând puterea transmisă prin fiecare suprafață elementară a
secțiunii transversale, putem evalua puterea transmisă prin ghidul
dreptunghiular.
Energia în ghid se poate determina prin integrarea componentelor
2Eși 2H , apoi se multiplică cu 2gV sau se poate folosi vectorul Poynting.
Dacă se folosesc relațiile (2.19) se poate arăta că:
( ) ( ) òò òò =úûù
êëé+ ´-
Sg
Sr rVda H E S d H E21
2
02
0 m m e e (2.25)
iar ( ) ( ) òò òò òò + = ´ = P =
S Sr r
SdS H EddS d H E S d P2
02
0 5 , 0 m m e ebw(2.26)
Pentru modurile Hpq, impunând 0=N în (2.19), obținem:P
0bw
Fig.2.9. Caracteristica de frecventa a ghidului.w/bdb/dw

( )
x y xy x y r r y x r r
k y k ky k x k k N k E E E
2 2 22 2 2 2
02
0 04 2 2
02
0
sin cossin cos ( 5 , 0 + – = + =-w e e m m e e e e
(2.27)
( )
y k x k N k x k y k ky k x k k N k H H H H
y x r x y xy x y r z y x r r
2 2 2
0 04 2 2 22 2 2 2 2
0 04 2 2 2
02
0
cos cos 5 , 0 ) sin cossin cos ( 5 , 0
m mb m m m m m m
–
– ++ – = – + =
(2.28)
Dar
ab y k x k y k x k y k x ky
Sx y
Sx
Sy x 25 . 0 sin cos cos sin cos cos2 2 2 2 2 2= = = òò òò òò (2.29)
Înlocuim în relația (2.19) și rezultă:
ab N k Pr2
0 02
1 125 , 0 b m wm– = (2.30)
Asemănător, pentru modurile Epq, când în ecuația (2.19) 00=N se
poate arăta că:
ab N k Pr2
02
2 125 , 0 b e we– = (2.31)
Puterea totală transmisă prin ghid va avea expresia:
( )2
0 02
02
2 1 125 , 0 N N ab k P P Pr rm m b e e wb+ – = + =- (2.32)
La modurile Epqcomponentele câmpului electromagnetic conțin
factorii N și la modurile Hp,q , N0 iar puterea conține termenii N2 și 2
0N.
Din relația (2.32) rezultă valorile constantelor N și N0:
( )
( )5 , 0
00
05 , 0
00
2 22 2
abkj Nabkj N
rr
b m wmlb e wel
==
(2.33)
Componentele electrice și magnetice ale câmpului electromagnetic
vor avea expresiile:
a). Modul Epq( ) : 0 Hz=

( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )ïïïïïïï
țïïïïïïï
ýü
==- =÷
øöç
èæ=÷
øöç
èæ- =
y k x k
abk jEy k x k
ab kkEy k x k
ab kkEy k x kab kkHy k x kab kkH
y x
rzy x
ry
yy x
rx
xy xr x
yy xr y
x
sin sin2 2cos sin2 2sin cos2 2sin cos2 2cos sin2 2
5 , 0
005 , 0
005 , 0
005 , 0
0 05 , 0
0 0
b e wele web le web lbe we lbe we l
(2.34)
b). Modul H pq( ) : 0 Ez=
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )ïïïïïïï
țïïïïïïï
ýü
=- =- =÷
øöç
èæ=÷
øöç
èæ- =
y k x k
abkj Hy k x k
ab kkHy k x k
ab kkHy k x kab kkEy k x kab kkE
y x
rzy x
ry
yy x
rx
xy xr x
yy xr y
x
cos cos2 2sin cos2 2cos sin2 2cos sin2 2sin cos2 2
5 , 0
005 , 0
005 , 0
005 , 0
0 05 , 0
0 0
b m wmlm wmb lm wmb lbm wm lbm wm l
(2.35)
Structura câmpului electromagnetic în ghidul dreptunghiular se
poate observa în figurile din anexă.
2.1.6. Modul fundamental în ghidul dreptunghiular
Cel mai folosit în practică este modul TE10 (H 10). Inpunem
0 , 1= =q p în relațiile (2.35) obținem componentele câmpului
electromagnetic ( ) ( )T
z xT
y H H H E E, 0 , , 0 , , 0 = = care sunt descrise de relațiile:

( )
( )
( )ïïï
țïïï
ýü
– =- – =- – =
–
z taxH hz taxH hz taxZ H e
zg xg y
b wpb wpl lb wpl l
cos cossin sinsin sin
001
00 01
0
(2.36)
Indicii p și q au fost omiși deoarece ne referim la un singur mod.
Parametrii b, Kc, ZTE au expresiile:
05 , 02
2; ; ZHEZa aKg
xx
TE Cll pme w bp= – =
úú
ûù
êê
ëé
÷øöçèæ- = = (2.37)
În ghid lungimea de undă se calculează cu relația:
5 , 02
0
012
úú
ûù
êê
ëé
÷÷
øö
çç
èæ- = =
cglllbpl (2.38)
Lungimea de undă critică cleste valoarea maximă a lungimii de
undă a semnalului pentru care este posibil fenomenul de propagare.
Vitezele de fază și de grup se determină cu relațiile:
c V c Vg g g f1
01
0;- -= =l l l l (2.39)
După cum se observă în fig.2.10., liniile de câmp magnetic
înconjoară liniile câmpului electric, ce poate fi considerat ca sursă (curent
de deplasare) pentru câmpul magnetic.
Liniile câmpului electric leagă distribuția sarcinilor electrice pe
suprafața inferioară și superioară a pereților interni ai ghidului de undă.
Este necesară cunoașterea distribuției componentelor câmpului
electromagnetic pentru a proiecta circuitele de introducere sau de HZyHX
Ox
EYEY
HX
zHZ
Fig. 2.10.. Distribuția componentelor câmpului electromagnetic la modul H 10

extragere a energiei din ghid prin cuplaje capacitive, inductive sau
diafragme cu fante.
Componentele Hz și Ey (fig.2.11.) sunt decalate spațio-temporal cu
900.
2.1.7. Impedanța de undă
Raportul componentelor câmpului electromagnetic al căror produs
vectorial determină vectorul Poynting, determină un parametru teoretic
numit impedanța de undă
XY
YX
HE
HEZ – = =mod (2.40.)
Inlocuim cu expresiile componentelor câmpului și obținem:
– impedanța de undă pe modul TE
5 , 02 2
02 21-
ïțïýü
ïîïíì
úú
ûù
êê
ëé
÷øöçèæ+÷øöçèæ- =÷÷
øö
çç
èæ=bq
apZ Zg
TEl l
em
em
ll(2.41.)
– impedanța de undă pe modul TM
5 , 02 2
02 21-
ïțïýü
ïîïíì
úú
ûù
êê
ëé
÷øöçèæ+÷øöçèæ- =÷÷
øö
çç
èæ=bq
apZ Z
gTMl l
em
em
ll(2.42.)
Analizând relațiile anterioare se observă că impedanța de undă in
spatiul liber Z0este media geometrică a impedanțelor de undă a
celor două moduri:
TM TEZ Z Z =2
0 (2.43.)
Cand propagarea microundelor se face fără atenuare, cele două impedanțe
de undă sunt pur rezistive, impedanța pe mod H având valori mai mari.Ey
a).z
0xHz
b).+
Fig.2.11. Variația componentelor Ey, H x (a) și Hz (b) la
modul H10H
X
_

Variația impedanțelor în funcție de frecvență este prezentată in
figura 2.12. Impedanța de undă este o noțiune teoretică, nu are suport
fizic, fiind o mărime raportată la un punct din spațiu.ZTMZTE
Z0
fcfTMXTEX
Fig.2.12. Variația impedanțelor de mod in ghidul dreptunghiular

2.2.Ghidul de undă circular
Ghidul de undă circular (fig.2.13.) este o structură pasivă ce
permite transmiterea energiei electromagnetice printr-un material
dielectric delimitat de o suprafață conductoare cilindrică. Și la analiza
câmpului electromagnetic intr-un astfel de ghid se pun aceleași condiții
inițiale ca la ghidul dreptunghiular.
2.2.1. Determinarea componentelor longitudinale
Ecuația undelor
( ) 01 1 2
22
2 22
2 2=÷÷
øö
çç
èæ
÷÷
øö
çç
èæ+
¶¶+¶¶+
¶¶=÷÷
øö
çç
èæ+ Ñ
ZZ
ZZ
HEk
rr r r HEk
q(2.44.)
se rezolvă prin metoda separării variabilelor.
Notăm Y=R(r)T( q) unde Yexpj( wt-bz) este una din componentele
longitudina-le ( EZ sau HZ) și ecuația (2.44.) se poate scrie sub forma:
RTrRT kT
rRTrR
rT
rR2
2
22
2 22
01= +
¶¶+¶¶+
¶¶
q(2.45.)
01 1 1
22
2
22
2=
¶¶+÷÷
øö
çç
èæ+¶¶+
¶¶
qT
TkrR
Rr rR
Rr (2.46.)
T(q) este independent de r și la integrarea în raport cu r putem
nota:
0 ,1 2
22
2
22
= +
¶¶- =
¶¶T pTsi pT
T q q(2.47.)
cu soluția de forma :
q qjp jpe B e A T-+ =' ' (2.48.)r = a
r
q
Fig.2.13. Ghid de unda circularCorespunzător formei
ghidului de undă, folosim un
sistem de coordo-nate cilindric
pentru rezolvarea ecuației lui
Helmholtz și determinarea
coordo-natelor longitudinale.
Ghidul este uni-form si
dependența de z a funcțiilor de
undă are forma exp(-j bz).

unde A’ și B’ sunt constante arbitrare.
Ecuația (2.46.) se poate scrie sub forma:
01
22
2
22
=÷÷
øö
çç
èæ- +¶¶+
¶¶R
rpkrR
r rR(2.49.)
Facem substituția kr =x , de unde xRkrR
¶¶=¶¶ si 22
2
22
xRk
rR
¶¶=
¶¶ iar ecuația
(2.49.)
devine: 0 122
22
2=÷÷
øö
çç
èæ- +¶¶+
¶¶R
xp
xR
rk
xRk (2.50.)
Ecuația (2.50.) este o ecuație Bessel de ordin p cu soluția, o
combinație liniară de funcții Bessel de speța intâi și a doua.
R = C’J P(kr) + D’Y P(kr) (2.51.)
unde C’ si D’ sunt constante arbitrare.
Soluția generală a ecuației (2.46.) are forma:
RT = [C’J P(kr) + D’Y P(kr)](A’ejpq+B’e-jpq) (2.52.)
Funcția RTexpj( wt-bz) poate fi EZ sau HZ. Notăm C’A’ = A, C’B’ =
B, D’/C’=C si componenta EZva avea forma:
EZ=[J P(kr)+CY P(kr)](Aejpq+Be-jpq)ejwte-jbz(2.53.)
HZ=[J P(kr)+C 1’YP(kr)](A 1’ejpq+B 1’e-jpq)ejwte-jbz(2.54.)
cu C!’,A1’,B1’ alte constante arbitrare.
2.2.2. Determinarea componentelor transversale
Din ecuația undelor se obține:
Z t Z t Z r tH j E a j H kÑ + Ñ ´ – =b e we02(2.55.)
Z t Z t Z r t E j H a j E kÑ – Ñ ´ =b m wm02(2.56.)
unde qj jj¶¶+¶¶= Ñrmrt1l cu l și m versorii direcției radiale și azimutale
iar
qj jj¶¶-¶¶= Ñ ´r rm at Z1l (2.57.)
Înlocuim și separăm componentele radiale și azimutale:

ïïïï
îïïïï
íì
¶¶-¶¶=¶¶-¶¶- =¶¶-¶¶- =¶¶-¶¶=
qb m wmb
qm wmqb e web
qe we
qq
Z Z rZ Z r
rZ Z rZ Z r
r
E
kjrH
kj ErE
kjH
r kj EH
kjrE
kj HrH
kjE
r kj H
2 202 202 202 20
(2.58.)
Pentru determinarea componentelor transversale ale câmpului
electromagnetic în ghidul circular, aplicăm condițiile pe frontieră și
specificăm constantele arbitrare.
Condițiile pe frontieră constau în:
– impunerea valorilor finite ale câmpului în toate punctele din
secțiunea transversală;
– câmpurile la unghiurile q să fie egale cu cele de la unghiul
q+2p;
– componentele tangențiale ale lui E și normale ale lui H să se
anuleze pe suprafața perfect conductoare r=a.
C1. Pentru a obține aceleași valori ale câmpului pentru unghiurile q și
q+2p trebuie ca valoarea lui p din (2.53.),(2.54.) să fie număr întreg.
C2. Câmpurile trebuie să fie finite la r=0, dar YP(kr) este infinit în acel
punct pentru orice p indiferent de k (real, imaginar sau complex).
Termenul ce conține YP(kr) este exclus dintre soluții astfel că C sau C’vor
fi nuli iar ecuațiile (2.53.),(2.54.) devin:
EZ=JP(kr)(Aejpq+Be-jpq)ejwte-jbz(2.59.)
HZ=JP(kr)(A’ejpq+B’e-jpq)ejwte-jbz(2.60.)
C3. Când r = a, E Z = 0 pentru orice q, când JP(ka) = 0 .
(2.61.)
Această ecuație determină valorile pentru care ka anulează JP.
C4. Pentru r = a, 0=¶¶
rHZ pentru orice q, când JP’(ka) = 0
(2.62.)
și se determină valorile posibile ale lui k pentru care ka anulează JP’.
Condițiile C3 și C4 sunt satisfăcute simultan pe frontieră când EZ¹
0, H Z=0, Ez=0, H z¹0, când există modurile E și H ca la ghidurile
dreptunghiulare .
Alegând convenabil pe k, soluțiile ecuațiilor (2.59.),(2.60.) satisfac
condițiile pe fronieră si câmpurile pot exista pentru orice valoare A și B în
cazul modurilor E, sau A’,B’ în cazul modurilor H.

Dacă B = ±A factorii exponențiali conduc la funcții de sinus și
cosinus:
ïï
îïï
íì
÷÷
øö
çç
èæ=÷÷
øö
çç
èæ=
–
qq
b wb w
p e e kr J N Hp e e kr NJ E
z j t j
P Zz j t j
P Z
cossin) ( 'cossin) (
(2.63.)
unde N sau N’ sunt factori de normalizare.
Dacă A sau B este zero , câmpul variază cu exp(-jp q) și se
reprezintă ca suma a două unde :
EZ=AJ P(kr)(cosp q ±sinpq)ejwte-jz(2.64.)
J se poate scrie ca ÷øöçèæ±2exppj, reprezentând o deplasare de faza de
90° a undei în sinus fată de unda în cosinus. Unda compusă , care
cuprinde două unde în cuadratură spațială și temporală este polarizată
circular pe axa ghidului.
Înlocuim relațiile (2.63.),(2.64.) în (2.58.) și obținem componentele
câmpului electromagnetic ce se propagă în cazul modurilor E și H în
ghidul circular.
În cazul modului E:
ïïïïïï
îïïïïïï
íì
=- =- =- ===
0cos ) ( 'sin ) (cos ) ( 'sin ) (cos ) (
0202
ZPrPr
rP rPP Z
Hp kr NJkj Hp kr NJ
r kj Hp kr NJkj Ep kr NJ
r kp jEp kr NJ E
qe weqe weqbqbq
qq
(2.65.)
Componentele câmpului electromagnetic pentru modul H:

ïïïïïï
îïïïïïï
íì
– ======
qbqbqqm wmqm wm
qq
p kr J Nkj Hp kr J N
r kpj Hp kr J N HEp kr J Nkj Ep kr J N
r kpj E
P rPP ZZPrPr
r
cos ) ( ' 'sin ) ( 'cos ) ( '0cos ) ( ' 'sin ) ( '
2020
(2.66.)
In ecuațiile de mai sus a fost omis factorul ejwt. Distribuția liniilor
de câmp pentru câteva moduri particulare se poate observa în figurile din
anexă.
2.2.3. Constanta de fază și frecvența critică
Constanta de fază Ecuațiile (2.61.) și (2.62.) reprezintă ecuațiile
caracteristice pentru modurile E și H. Dacă în ecuația caracteristică pentru
modurile E (2.61.) rpq este radacina de ordinul q a lui JP, se obține modul
Epq. Pentru kpq=rpq rezultă ecuația constantei de fază:
22
0 02
cpq
r r pqrm m e e w b- = (2.67.)
cu o mulțime dublu infinită de valori ale lui b, în concordanță cu valorile
lui p și q. Rădăcinile funcției Bessel se găsesc tabelate.
Analog pentru modurile Hpq se notează r’
pq rădăcina a q-a a
funcției J’P (2.62.) și rezultă ecuația:
22
0 02'
cpq
r r pqrm m e e w b- = (2.68.)
Frecvența critică. În ecuațiile (2.67.) și (2.68.) se pune condiția bpq
= 0 și se obține frecvența critică a modurilor Epq sau Hpq
Pentru modul Epq rezultă:
r rpq
crc m m e erw
0 0= (2.69.)
iar pentru modurile Hpqse înlocuiește rpq cu r’pq. Lungimea de undă în
spațiul liber are expresia:
0 02 2
m e wp
wpl
c crcrc= = (2.70.)

se folosește pentru determinarea valorii lungimii de undă critice pentru
modurile E și H:
pqr r
cr
pqr r
cr a E a'2 ); ( 2rm ep lrm ep l = = (2.71.)
Modul fundamental se obține pentru cele mai mici valori ale lui rpq sau
r’pq.
2.2.4. Vitezele de fază și de grup ; impedanța de undă
Viteza de fază și de grup. Pentru determinarea vitezei frontului de
undă de fază constantă în ghidul circular se folosește aceeași metodologie
ca la ghidul dreptunghiular.
5 , 0
0 922
1-
÷÷
øö
çç
èæ- = =
r r r rfk cV
e e m m w m e bw(2.72.)
Derivând expresia constantei de fază în raport cu frecvența unghiulară,
obținem:
5 , 0
0 022 1
1÷÷
øö
çç
èæ- = ÷øöçèæ=-
r r r rgk c
ddV
e e m m w m e wb(2.73.)
Se observă că:
r rf gcV Vm e2
= (2.74.)
Viteza de fază este mai mare decât viteza luminii iar când frecvența tinde
spre infinit, ambele viteze se apropie de viteza luminii.
Impedanța de undă se determină efectuând raportul între
componentele câmpului electric și cele ale câmpului magnetic din planul
secțiunii transversale.
Pentru modul TE:
00ZkZTEb= (2.75.)
iar pentru modul TM:
0
0ZkZTMb= (2.76.)
unde:
00 2
0emZ= reprezintă impedanța de undă în spațiul liber.
2.2.5. Filtre de mod.
Când în interiorul ghidului de undă sunt prezente două sau mai
multe moduri, este foarte greu de determinat circuitul echivalent de

microunde. De asemenea , există mai multe moduri parazite care reduc
eficiența modului excitat și nu poate fi utilizată întreaga putere transmisă.
Pentru evitarea sau micșorarea modurilor nedorite, se utilizează filtre de
mod sau absorbanți de mod.
Filtrele de mod sunt realizate din ecrane metalice cu geometrie
convenabilă, plasate în planul secțiunii transversale a ghidului de undă.
Prin proiectarea acestor ecrane, modurile nedorite sunt refrlectate, fără a
afecta transmisia modului excitat.
În construcția filtrelor de mod se folosesc conductoare subțiri
dispuse de-a lungul liniilor de câmp electric din planul secțiunii
transversale pentru modul nedorit, dar să nu cuprindă componentele
transversale ale modului util (fig.2.14.).
În figura 2.14.a. filtrul de mod prezentat suprimă alte moduri în
afară de TE01(care nu are componente radiale ale câmpului electric). Alte
moduri TE din ghidul circular cu p¹0, sunt reflectate de ecran, deoarece
conțin componente transversale ale câmpului electric de-a lungul direcției
radiale. De asemenea sunt reflectate toate modurile TM care au
componente electrice radiale . Filtrul din figura 2.14.b. este convenabil
pentru modul TM 01în ghidul circular . Toate modurile TM pq cu p¹0 sunt
reflectate de acest ecran și toate modurile TEpq.
În figura 2.14.c. este prezentat un inel rezonant care reflectă modul
TE11 în ghidul circular, chiar dacă și modul TE01 este parțial reflectat.
Pentru asigurarea compatibilității mecanice, dimensiunile
ghidurilor circulare folosite în microunde urmează recomandările de
standardizare propuse de Comisia Internațională de Electrotehnică, IEC
153, prezentate în anexe.Fig.2.14. Filtre de mod din fire conductoare.a) b) c)

2.3. Discontinuități în liniile de transmisie
Modificarea bruscă a dimensiunilor geometrice sau a parametrilor
de material în lungul liniilor de transmisie constituie discontinuități ale
acestora. Aceste discontinuități duc la distorsiunea distribuției câmpului
prin forma geometrică și poziția discontinuității. Reprezentarea câmpului
distorsionat de o discontinuitate se face prin serii infinite care satisfac
condițiile la limită (pe frontiera sursei).
Obținerea unor circuite cu constante concentrate echivalente
depinde de posibilitatea cu care se pot determina câmpurile electrice și
magnetice care generează curenți în zona discontinuității.
Reprezentarea printr-un circuit cu constante concentrate a unei
discontinuități este valabilă dacă pe linia de transmisie se află un singur
obstacol sau mai multe, la o distanță mult mai mare decât lungimea de
undă.Prin perturbarea structurii câmpului în zona discontinuității se strică
echilibrul între energiile înmagazinate în câmp electric și magnetic. În
funcție de valoarea dezacordului și de modul de variație al acestuia cu
frecvența, discontinuitățile pot fi realizate prin utilizarea unor suprafețe
conductoare (diafragme) cu fante de diferite forme în diferite poziții sau
cu materiale conductoare de formă cilindrică (tije).
2.3.1. Diafragme
Diafragmele sunt plăcuțe metalice subțiri așezate în secțiunea
transversală a ghidului astfel încât să nu o acopere în întregime.
Clasificarea diafragmelor se face după mai multe criterii:
a). După reactanțele echivalente introduse în traseul de ghid
,diafragmele sunt:
– inductive (fig.2.15.)
– capacitive (fig.2.18.)
– rezonante – parelel
– serie (fig.2.21.)
b). După dispunerea în secțiunea transversală a ghidului,
diafragmele sunt:
– simetrice (fig.2.15.a,b; fig 2.18.a,b)
– asimetrice (fig.2.15.c,d; fig.2.18.c,d)
c). După forma fantei diafragmele sunt:
– dreptunghiulare

– cilindrice (circulare, inelare)
Schematic , clasificarea diafragmelor poate fi reprezentată astfel :
– inductive simetrice cu o fantă
cu două fante
Diafragme – capacitive nesimetrice parțiale
totale
– rezonante paralel
serie
2.3.1.1. Diafragme cu fantă inductivă
Considerăm că ghidul nu are pierderi, sursa și sarcina se află la + ¥
și respectiv – ¥ , diafragma are o grosime neglijabilă și este confecționată
din material conductor ideal.
Fanta paralelă cu liniile de câmp electric pe toată înălțimea
ghidului are comportare asemănătoare cu o inductanță dispusă paralel pe
ghidul de undă, dacă prin aceasta se transmite modul fundamental H 10.dd
d
abd d
a). b). c). d).
Fig.2.15. Tipuri de diafragme cu fantă inductivă
a). simetrică cu o fantă; b). simetrică cu două fante; c). nesimetrică totală;d)nesimetric
d).nesimetrică parțială
Fig. 2.16. Diafgragmă cu fantă inductivă0 a1 a2 a BA
ZZ = 0

Componenta electrică este descrisă de relația:
z
y eaxE E1
1sin0g p -= (2.77.)
Diafragma introduce în acest caz perturbații pe latura mare (a) și
apar moduri superioare de tip Hom în care componenta electrică Eymse
descrie prin funcția:
4 , 3 , 2 , sin sin0 = =-m eax m
axE Ez
ym
mg p p (2.78.)
care se propagă cu constanta de propagare gm . Lungimea de undă
critică are valoarea:
ma
mc2=l (2.79.)
În zona A (z < 0) se însumează câmpul electric al modului
fundamental (incident i
yE
1și r
yE
1reflectat ) cu câmpurile electrice ale
modurilor superioare reflectate r
ymEși rezultă câmpul electric total:
åå
¥
=-¥
=
G+ G + = + + =
200 1 0
2
sin sinsin sin1 1
1 1
mz
mz z
mr
yr
yi
yA
y
mm
eax m
axEeaxE eaxE E E E E
gg g
p pp p
(2.80.)
În zona B (z > 0) câmpul electric se obține din însumarea undelor
directe ale modului fundamental și a celor superioare:
å å¥
=- -¥
=+ = + =
20 0 1
21 sin sin sin1 1
1
mz z
mz
mi
y mi
yB
ym
me
ax me
axE T e
axE T E T E T Eg g gp p p(2.81)
Din dezvoltarea funcției Ey în serie Fourier, obținem coeficienții de
reflexie mGși de transmisie Tm , reținând numai termenii în sinus și
cosinus în zona discontinuității:
ò ò= =2
112
11sin2,1
1a
ay ma
ay dxax mEaT dx EaTp (2.82.)
ò ò+ = Ga
aya
y dx Eadx Ea
211
11 1
01 (2.83.)
ò ò+ = Ga
aya
y m dxax mEadxax mEa
211
1sin1sin1
0p p (2.84.)
În zona aperturii (diafragmei) intensitatea câmpului electric din
zona A este egală cu intensitatea câmpului electric din zona B.

0 02
12
11
= =ò ò=
Za
aB
y
Za
aA
y dx E dx E (2.85.)
Înlocuim expresiile celor două câmpuri din zona aperturii ( Z = 0 ):
òå òòå ò ò
¥
=¥
=
+ == G + G +
2
12
12
12
12
1
sin sin sinsin sin sin sin
20 1 020 1 0 0
a
a mma
aa
a mma
aa
a
dxax m
axT E dxaxT Edxax m
axE dxaxE dxaxE
p p pp p p p
(2.86.)
Ținând seama de relațiile (2.82.),(2.83.),(2.84.) se obțin ecuațiile:
å å¥
=¥
== G = G +
22
22
1 1 1 1;
mm
mm m T T T T T (2.87.)
Dacă cunoaștem componenta electrică Ey la modurile de tip
0mH,
atunci , componentele magnetice se deduc cu relațiile:
zEC HxEC Hy
xy
z¶¶=¶¶=2 1 ; (2.88.)
unde C1și C2 sunt constante.
Componentele transversale ale intensității câmpului magnetic din
zonele A și B se descriu cu relațiile:
z
mm mz z A
xme
ax m
axE e
axE e
axE Hg g gp pgpgpg sin sin sin sin0
20 1 1 0 11 1å¥
=-G + G + – = (2.89.)
z
mm mz B
xmeax m
axE T eaxT E Hg g p pgpg-¥
=-å- – = sin sin sin0
21 0 11 (2.90.)
În zona discontiunuității (fantei) impunem condiția de continuitate
a componentei magnetice:
0 02
12
1 = =ò ò=
Za
aB
x
Za
aA
x dx H dx H (2.91.)
Înlocuim componentele câmpului în zona diafragmei și obținem:
2
22
1 1
21 1 1 1 121
21
m
mm
mm m m T T T T Tå å¥
=¥
=- – = G + G + – g g g g g (2.92.)
Dacă ținem seama de relația (2.87.) rezultă:

( ) å¥
=+ = G –
22 2
1 1 1 1 1 1
mm mT T Tg g g (2.93.)
În zona depărtată de diafragmă, câmpul se propagă numai pe
modul fundamental. Coeficientul de reflexie are forma:
SS
YY
+-= G11
1 (2.94.)
unde SYeste sarcina normată dispusă în paralel pe discontinuitate:
jb YS + =G +G- = 1121
11 (2.95.)
unde YBb=se determină în practică cu formula aproximată:
axctgaxctgaw
YBbg
pp pl
22 2
2sin 1 ÷øöçèæ× +
= = (2.96.)
unde wși x se observă în figura 2.17.
Pentru diafragma simetrică ( ) 2a x= , susceptanța fantei inductive
devine:
axctga YB g p l2- = (2.97.)
Creșterea grosimii diafragmei sau plasarea la o distanță mai mică
decât 0,125 lg de o altă diafgragmă cu fantă, duce la creșterea valorii
susceptanței față de valorile estimate cu relațiile anterioare.
2.3.1.2. Diafragma cu fantă capacitivă
Fanta capacitivă este practicată perpendicular pe latura mică a
ghidului și produce perturbarea liniilor de câmp electric.wx
0,5 a
Fig. 2.17. Diafragmă asimetrică cu fantă
inductivă

Metodologia de calcul a diafragmei cu fantă capacitivă este
asemănătoare cu cea prezentată la diagrama cu fantă inductivă.
În ghidul de undă apar moduri superioare H1nîn care amplitudinea
componentei electrice a câmpului electromagnetic este dată de relația:
by n
axE E
nyp pcos sin0= (2.98.)
iar constanta de propagare este:
2
22
÷øöçèæ+ – ÷øöçèæ=a bn
npme wpg (2.99.)
Dezvoltăm în serie Fourier componenta
1yE, reținem numai
termenii în cosinus și obținem coeficienții de transmisie și de reflexie:
dyby nEbT dy EbTb
by nb
bypcos2,12
112
11 1 ò ò= = (2.100.)d
d d b
a
a). b). c). d).
Fig.2.18. Tipuri de diafragme cu fante capacitive
a). diafragmă capacitivă cu o fantă; b). diagramă capacitivă simetrică cu două fante;
c). diagramă capacitivă cu asimetrie totală; d). diagramă capacitivă cu asimetrie
parțială.
BA
Z Z = 0
Fig. 2.19. Diafragmă cu fantă capacitivă0b1b2ba

dy Ebdy Ebb
byb
y ò ò+ = G
211
11 1
01 (2.101.)
dyby nEbdyby nEbb
byb
y np pcos2cos22
111
1
0ò ò+ = G (2.102.)
Valoarea susceptanței diafragmei cu fantă capacitivă se determină
din relația:
å¥
=÷÷
øö
çç
èæ
-÷øöçèæ-÷øöçèæ+÷øöçèæ
=
22
12222 2
0 mn
TT
abn
a
YB
me wpme wp p
(2.103.)
0 0 01YBjGG
YYt t+ + = (2.105.)
unde, ÷øöçèæ- + =bw
wb
YB
YB
gt
lpd2
0 0 (2.106.)
bw
YB
GG
g× × =
00
02
lpd (2.107.)
2.3.1.3. Tije și diafragme rezonante
Diafragma rezonantă este o diafragmă mixtă constituită din
suprapunerea a două diafragme cu fante, una capacitivă și una inductivă
și este echivalentă cu un circuit derivație rezonant conectat în paralel pe
ghid.a
w
y
Fig.2.20. Diafragmă cu fantă capacitivăPentru o fantă capacitivă
simetrică:
úûù
êëé÷øöçèæ=bwecb
YB
g 2cos ln4
0p
l (2.104.)
Dacă se ia în considerare
grosimea fantei și pierderile active
ce au loc în materialul conductor
al diafragmei, valoarea totală a
admitanței se modifică.

Condiția de rezonanță se obține din relația:
2
1 112
2121÷÷
øö
çç
èæ- = ÷øöçèæ-a ba
a ba l l (2.108.)
Se observă că valoarea minimă a lățimii fantei este 21l=a astfel că
diafragma să fie rezonantă.
Când 4, 0l= =x y și deci deschiderea totală este 2l.
Când 2,2byax = – =hiperbola are vârful la ÷øöçèæ0 ,4lși trece prin colțul
ghidului 2,2b a. Această hiperbolă este locul geometric al colțurilor
fantei pentru care diafragma este rezonantă la frecvența dată.
Dezavantajul acesteia diafragmei constă în aceea că nu se poate modifica
frecvența de rezonanță. Acest dezavantaj este înlăturat prin folosirea
tijelor rezonante. Ca și diafragmele, tijele, caracterizate prin diametru F
și poziția în ghidul dreptunghiular se clasifică astfel:ab a1b1
a). b).
Fig.2.21. Tipuri de diafragme rezonante
a). paralel; b). serie
xy
x
y
b1
a1
l/2
Fig. 2.22 Locul geometric al colțurilor fanteiDacă notăm coordonatele
colțului fantei cu x și y.
y bx a
==
11
22 (2.109.)
relația (2.108.) devine o
hiperbolă
1
22 42
2 22
22
=
÷÷÷÷
øö
çççç
èæ
-=
÷øöçèæ
ll l
aby x
(2.110.)

Asimetrice
inductive simple
simetrice
multiple
Tije
cilindrice fixe
capacitive
de lungime variabilă (șurub)
Diferite tipuri de tije sunt reprezentate în fig.2.23. și 2.24.
Tijele sunt folosite ca elemente de adaptare, ca elemente periodice
în filtre (fig.2.23.).Susceptanța a trei tije cilindrice identice așezate la
distanțe egale a/4 se determină cu relația:af
x0a/2a/2a/4a/4a/4a/4d da
a). b). c). d).
Fig.2.23.. Tipuri de tije inductive
a). asimetrice; b). simetrice simple; c,d). simetrice multiple.
yf
yfb0f
b
ah
2a
a
Fig.2.24. Tipuri de tije capacitive
a). cilindrice fixe; b). de lungime variabilă

2
0404 , 0 081 , 0 ln4
÷øöçèæ+ ÷
øöç
èæ- =
l fl a aaB
gg (2.111.)
Tijele capacitive (fig.2.24.) pot fi fixe cu axul perpendicular
vectorului câmp electric (orizontal în ghidul dreptunghiular) sau cu
lungime variabilă (șurub).
Dacă șurubul (sau tija de lungime variabilă) are lungimea h mică în
comparație cu înălțimea ghidului dreptunghiular (fig.2.24.b.), respectiv cu
lungimea de undă, șurubul este capacitiv. Când efectul grosimii nu este
neglijabil, circuitul echivalent al șurubului este reprezentat de un
cuadripol pur capacitiv.
Dacă lungimea h crește (depășește 4 gl )reactanța paralelă devine
inductivă, trecând prin valoarea zero (rezonanță serie).
2.3.2. Cavități rezonante
Rezonatorii electromagnetici sunt circuite pasive de microunde în
care au loc fenomene de rezonanță. Ele se folosesc în construcția
oscilatoarelor, amplificatoarelor de frecvențe foarte mari, ca filtre,
discriminatoare de frecvență, undametre,etc.
Rezonatorul este realizat sub forma unui corp geometric dielectric
(rezonator cu pereți deschiși), poate fi parțial deschis (cavitatea Fabry-
Perot) sau poate fi complet delimitat de o suprafață conductoare (cavități
rezonante).
Cavitățile rezonante pot preveni din ghiduri de undă uniforme și au
forme cilindrice, de paralelipiped sau pot avea o formă oarecare (sferice
sau toroidale).
a
aa2ac cb
bca). b)
.c).
d)
.e).f).
Fig.2.25. Tipuri de rezonatori electromagnetici
a). paralelipipedic; b). cilindric; c). parțial deschis(Fabry-Perot; d). dielectric;
e). sferic; f) . toroidal.

Cavitatea rezonantă se poate realiza cu una sau mai multe părți iar
cuplajul cu generatorul sau sarcina se face prin aperturi (diafragme cu
fante), inductiv sau capacitiv.
Parametrii fundamentali ai rezonatorului electromagnetic sunt:
frecvența de rezonanță, factorul de calitate și impedanța la rezonanță.
Frecvența de rezonanță este frecvența pentru care pe parcursul unei
perioade, energia înmagazinată în câmp electric este transferată în
totalitate în câmp magnetic și invers.
Determinarea frecvenței de rezonanță presupune cunoașterea
mărimilor primare: inductanță, capacitate, rezistență.
Pierderile active din circuitul pasiv de microunde se apreciază prin
factorul de calitate. Pentru determinarea frecvenței de rezonanță și a
factorului de calitate trebuie cunoscută structura câmpului în interiorul
rezonatorului.
La cavitățile rezonante provenite din linii uniforme la care se
cunosc soluțiile analitice ale câmpului care se propagă, frecvența de
rezonanță se determină utilizând metoda reflexiilor.
2.3.2.1. Cavități rezonante paralelipipedice
Cavitatea rezonantă paralelipipedică se obține dintr-un ghid
dreptunghiular prin obturarea cu două diafragme metalice la capete
(fig.2.27.).cavitate
rezonantă
ghid de undă
fantăa).
b)
.c).
Fig.2.26. Tipuri de cuplaje la cavitatea rezonantă
a). cu difragmă cu fantă; b). capacitiv; c). inductiv
0
cxy
za
Fig.2.27. Cavitate rezonantă paralelipipedicăb

Introducerea celor două plane la Z = 0 și Z = c impune satisfacerea
unor condiții pe frontieră de către componentele câmpului
electromagnetic și introducerea unor restricții asupra funcțiilor de undă.
Componentele longitudinale ale câmpului electromagnetic trebuie
să satisfacă ecuația undelor:
00 02
22
22
22
=
țýü
îíì
țýü
îíì+
¶¶+
¶¶+
¶¶
zz
HEk
z y xm e (2.112.)
Considerăm că mediul are . 1 , 1= =r rm e
Separând variabilele, căutăm soluții de forma:
( ) ( ) ( ) ( ) t j z h y g x fHE
zzw exp =
țýü (2.113.)
unde ( ) ( ) ( ) y x h h z x g g z y f f, , , , , ¹ ¹ ¹
Pentru componenta Ez obținem:
t j z t j z t j ze fgh
zEe fhg
yEe ghf
xE w w w' ' ; ' ' ; ' '22
22
22
=
¶¶=
¶¶=
¶¶(2.114.)
Ecuația (2.112.) devine:
0 ' ' ' ' ' '0 02= + + +fgh fhg gfh ghfm e w (2.115.)
Împărțind cu fgh și integrăm succesiv în raport cu x,y,z:
( ) ( ) ( )t j z jk z jk y jk y jk x jk x jk
z e e C Ce e B Be e A Ae Ez z y y x x w – – -+ + + =' ' ' (2.116.)
Analog se determină soluția pentru componenta Hz:
( ) ( ) ( )t j z jk z jk y jk y jk x jk x jk
z e e G Ge e F Fe e D De Hz z y y x x w – – -+ + + =' ' ' (2.117.)
Din ecuațiile lui Maxwell se determină componentele din planul
secțiunii transversale cunoscând elementele longitudinale:
ïïïïï
țïïïïï
ýü
¶¶+¶ ¶¶=¶¶-¶ ¶¶=¶¶-¶ ¶¶=¶¶+¶ ¶¶=
xHjy zEE kyHjx zEE kxEjy zHH kyEjx zHH k
z z
yz z
xz z
yz z
x
02
202
202
202
2
wmwmwewe
(2.118.)
Putem analiza separat cazurile când componentele Ez și Hz sunt
nule și însumăm rezultatele.
Presupunând , 0=zE constantele din (2.117.) se determină prin
impunerea condițiilor pe frontieră componentelor tangențiale ale lui E și
normale ale lui H:

-pentru 0=y și 0 ,= =xE b y . Din ecuațiile (2.118.) rezultă
' , 0F FyHz= =¶¶și ; 0 ,> =q q b ky p
– la pereții conductori 0 , , 0= = =yE a x x Rezultă din (2.118.)
0=¶¶
xHzși se impune ca 'D D=și ; 0 ,> =p p a kx p
– la pereții conductori 0 , , 0= = =xE c z z . Din sistemul de ecuații
(2.118.) rezultă 0=¶¶
yHzși 'G G- =iar 0 ,> =r r c kz p .
Revenind în ecuația (2.117.) rezultă:
t j
z ecz r
by q
ax pB Hw p p psin cos cos = (2.119.)
Înlocuind în (2.118.) obținem elementele din planul secțiunii
transversale:
ïïïï
țïïïï
ýü
– =- =- ==
t j
yt j
xt j
yt j
x
ecz r
by q
ax p
cb kB qrHecz r
by q
ax p
ac kB prHecz r
by q
ax p
b kBjp Eecz r
by q
ax p
b kBjq E
wwww
p p p pp p p pp p p wpmp p p wpm
cos sin coscos cos sinsin cos sinsin sin cos
22222020
(2.120.)
Componenta Hz care se propagă de la generator la sarcină se
descrie prin relația:
( ) z t j d
z eby q
ax pB Hb w p p += cos cos (2.121.)
Introducând diafragma la c z=, apare unda reflectată:
( ) z t j r
z eby q
ax pB Hb w p p -G = cos cos (2.122.)
Componenta magnetică normală la suprafața conductoare are
coeficientul de reflexie –1 și câmpul total Hzare forma:
( ) ( )[ ]z t j z t j r
zd
zt
z e eby q
ax pB H H Hb w b w p p – +- = + = cos cos (2.123.)
Pentru diafragma de la 0=z, condiția pe frontieră este îndeplinită.
Ca t
zHsă fie nul la c z=, trebuie ca:
0 sin==c zzb (2.124.)
relație ce se îndeplinește pentru Z r r Cg Î =,
0p b
Rezultă lungimea rezonatorului

20elr c= (2.125.)
ca un multiplu de semiundă.
2.3.2.2. Cavități rezonante cilindrice
Cavitatea rezonantă cilindrică se obține dintr-o secțiune de ghid
circular de lungime c și rază a, scurtcircuitat la ambele capete (fig.
2.25.b). Această cavitate are factor de calitate de valoare foarte mare,
poate lucra într-o bandă largă de frecvențe, astfel că se folosește foarte
mult în construcția undametrelor.
După cum pentru studiul cavității rezonante paralelipipedice am
folosit analogii cu ghidul de undă dreptunghiular, asemănător vom folosi
analogiile cu ghidul circular pentru studiul cavității cilindrice.
Ecuația undelor se rezolvă prin metoda separării variabilelor iar
componentele transversale se deduc ca la cavitatea paralelipipedică.
Ecuația caracteristică este de forma:
22 2
22
0 02
cs
ap rm e w + = (2.126.)
unde s este un întreg iar r este o constantă care depinde de mod.
Deoarece Ez sau rHz
¶¶trebuie să se anuleze pe suprafața cilindrului, r este
nul al funcției Jp(kr) pentru modurile tip E sau al funcției ( )r pk J' pentru
modurile H. În funcție de condițiile pe frontieră, se pot deduce două seturi
ale componentelor de câmp pentru 0=zH sau 0=zE .
2.3.2.3. Cavitatea rezonantă coaxială
Cavitatea rezonantă coaxială se obține dintr-un segment de linie
coaxială obturat cu două diafragme metalice la capete. Conductorul
interior poate fi pe toată lungimea segmentului, sau mai scurt (fig.2.28.).
A B
L
a).b).
Fig.2.28. Tipuri de cavități rezonante coaxiale

Dacă la z = 0 se aplică un câmp electromagnetic cu faza 0f f=A ,
prin propagare pe lungimea L ajunge la capătul în scurtcircuit cu faza
L0 Bb + f = f. Considerând placa de scurtcircuitare cu conductivitate
infinită, rezultă valoarea coeficientului de reflexie –1. La intrarea în linie,
semnalul reflectat va avea faza p b f f+ + =LA 20 .
Dacă la z = 0 unda reflectată este în fază cu unda directă, structura are o
comportare rezonantă.
Dacă k = 2 se obține modul fundamental de oscilație în care L40=l
(2.127.)
care ne arată dependența liniară între lungimea de undă și lungimea fizică
a rezonatorului.
Introducerea și extragerea semnalelor din rezonator se face prin
bucle inductive (fig.2.28.b).
Rezonatorul se proiectează cu conductorul intern mai scurt decât
cel exterior obținând un ghid cilindric sub frecvența critică ce va bloca
propagarea semnalului în spațiu.
2.3.3. Variația frecvenței cavităților rezonante
Frecvența proprie de rezonanță a cavităților se poate modifica în
limite relativ mici prin modificarea geometriei acestora. Acest lucru este
necesar în procesul de fabricație sau pentru reglaje pe timpul funcționării.
De cele mai multe ori se introduce în cavitatea rezonantă, după axa
de simetrie verticală, o mică tijă metalică (șurub). Variația frecvenței de
rezonanță obținută este de forma:
VV
WW Wf fE HD – = D
002(2.128)
unde V – volumul cavității,
DV – variația volumului datorită tijei (volumul tijei);
W0– energia la rezonanță pe unitatea de volum;
WE– variația energiei electrice pe unitatea de volum;
WH– variația energiei magnetice pe unitatea de volum.
Pentru o tijă de rază r și lungime h, introdusă în cavitate în axul de
simetrie ÷øöçèæ= =2,2czax :
c ar
ff
×- =D2
02p (2.129.)
Semnul minus din relațiile (2.128.), (2.129.) arată că scade frecvența de
rezonanță.
Modul de oscilație în cavitate este H101.

Dacă în locul tijei metalice se introduce o tijă dielectrică sau
magnetică, relația (2.128.) devine:
VV
WW W
ffH ED×D+D
– =D
0 02mm
ee
(2.130.)
unde ( )
( )00
11
m m me e e
– = D- = D
rr
De aici se deduce pentru o tijă dielectrică, când 0= Dm
120+D×D=VV
ff
re (2.131.)
constanta dielectrică, cunoscând celelalte mărimi.

2.4.Ghiduri de undă cu ferite
Ghidurile de undă cu ferite fac parte din categoria circuitelor
nereciproce. Ele au permis construirea unor sisteme de microunde pentru
propagarea undelor electromagnetice într-un sens cu o atenuare foarte
mică dar sunt absorbite complet dacă propagarea se face în sens contrar.
Astfel de circuite nereciproce permit folosirea aceleeași antene cuplată la
un sistem de emisie sau cuplată la un sistem de recepție.
Din punct de vedere constructiv, orice material cu parametrii fizici
ca permeabilitate sau permitivitate ce nu sunt uniformi în toate direcțiile
poate fi folosit ca element nereciproc. În această categorie intră și ferita, a
cărei permeabilitate magnetică are o structură tensorială.
2.4.1.Ferite și granați
Fierul,nichelul și cobaltul au proprietăți feromagnetice determinate
de orientarea momentelor de spin ale electronilor neâmperecheați, ai
ionilor din structură. Prin polarizare este posibilă alinierea spinilor
electronilor. Din cauza conductivității ridicate, materialele feromagnetice
obișnuite nu se prea folosesc în domeniul microundelor.
Feritele au o rezistivitate de 1012 ori mai mare ca a metalelor și sub
acțiunea unui câmp magnetic exterior (fenomen de ferimagnetism ), are
loc alinierea spinilor dispuși în diferite plane.
Feritele nu sunt bune conductoare electrice dar sunt penetrate de
câmpul electromagnetic astfel că interacțiunea câmpului electromagnetic
cu vectorul de polarizare conduce la efecte nereciproce importante în
domeniul microundelor.
Feritele sunt substanțe cristaline anorganice formate din oxigen și
cel puțin două tipuri de metale, cu o structură cristalină cubică
asemănătoare spinelilor minerali. Feritele sunt compuși ionici cu structură
chimică simplă (MO)(Fe 2O3), unde nu lipsește fierul (de unde denumirea
de ferită ) și unde M este ionul unui element bivalent. Cei mai des
utilizați ioni sunt: Mn++,Zn++,Fe++,Co++,Cu++,Ni++,Mg++.
Pentru realizarea feritelor, oxidul de fier se amestecă cu oxidul
elementului dorit, se menține 4-24 ore la o temperatură de 1000 – 1400 °C
(mai mică decât temperatura de topire a oxizilor). Pe timpul arderii, oxizii

sinterizează într-o rețea cubică, unde dimensiunea este dată de atomii de
oxigen, iar atomii de metal contribuie la magnetizarea feritei.
Ferita este un material magneto-dielectric cu rezistivitate 106-108
W/cm și permitivitatea electrică relativă între 10 și 20. În câmp magnetic
continuu, permeabilitatea magnetică relativă în domeniul microundelor
poate lua valori între 10 și 2000 variind cu frecvența.
Feritele spinelice sunt mixte și se specifică după materialul utilizat
(de exemplu Ni rZnk-rFe2O4).
Granații se obțin din silicați de tipul A 3B2Si3O12 (de exemplu:
ferosilicatul de calciu, Ca 3Fe2Si3O12) prin schimbarea Ca++ cu A+++ și
Si+++ cu Fe++ rezultând o structură de forma 3A 2O35Fe 2O3, unde A
reprezintă ionul unui element din grupa pământurilor rare
(Z,La,Eu,Gd,etc.).
Granatul cel mai utilizat în practică este granatul de ytriu și fier
3Y 2O35Fe 2O3 cu denumirea comercială YIG.
2.4.2. Fenomene magnetice în ferite
Comportamentul nereciproc în domeniul microundelor al feritelor a
fost demonstrat teoretic în 1939 de D.Polder prin caracterul tensorial al
permeabilității acestora la polarizarea cu un câmp magnetic continuu
exterior.
În lipsa oricărui câmp vectorul de magnetizare al feritei rămâne
paralel cu intensitatea câmpului magnetic continuu H0. Un câmp exterior
duce la perturbarea din poziția de echilibru a vectorului de magnetizare și
duce la o mișcare de precesie în jurul lui H0 datorită spinului electronului
ce acționează ca un giroscop când este deplasat sub acțiunea unui cuplu
de forțe (fig.2.29.).
dtp dB m TS
S = ´ =0 (2.132.)x
yz
mSB0
pS
Fig.2.29. Mișcarea de spinMomentul magnetic de spin
mS=(m X,mY,mZ)T care apare ca urmare a
mișcării de rotație a sarcinii electronului
în jurul axei proprii, este dat de produsul
între raportul giromagnetic de spin
(gS=2e/m) și momentul unghiular
pS=(p X, pY, pZ)T. Prin aplicarea unui
câmp magnetic continuu, cu altă direcție
decât mS, de inducție B0= (0,0,B 0)T, se
aplică asupra electronului un cuplu de
forțe T=m SxB0 dat de viteza de variație a
momentului unghiular de spin.

Ținând cont că mS=gSpS, și folosind sistemul de coordonate
carteziene, obținem ecuațiile:
ïïï
îïïï
íì
=- =
00 00 0
dtdHdtdHdtd
zxyyx
mm g mmm g mm
(2.133.)
Ultima ecuație ne arată că momentul magnetic de spin nu variază
după axa z iar primele două indică o mișcare oscilatorie, descrisă
parametric prin relațiile :
ïîïíì
===
ctt At A
zyx
mw mw m
) sin() cos(
00
(2.134.)
unde A– constantă ce depinde de condițiile inițiale, iar w0=gSm0H0 este
frecvența de girorezonanță sau frecvența Larmor , cu care se rotește mS în
jurul axei z. Valoarea frecvenței Larmor nu depinde de unghiul dintre B0
și ms (inducția magnetică și momentul magnetic de spin) iar sensul de
rotație se poate schimba prin inversarea sensului câmpului magnetic.
La deplasarea axei electronului față de direcția câmpului,
electronul nu mai revine în poziția inițială dar își continuă mișcarea de
rotație în jurul axei câmpului, asemănător giroscopului.
Dacă perturbațiile vectorului de polarizare sunt periodice, va
conduce la oscilații forțate ce depind ca nivel de intensitatea excitației.
Excitația produsă de un câmp magnetic de microunde polarizat circular,
perpendicular pe H0 va determina oscișații forțate circulare. Un câmp de
microunde polarizat liniar se descompune în două polarizări circulare de
sensuri inverse iar deplasarea magnetizării va fi eliptică.
Dacă excitația se rotește în sensul precesiei naturale, deplasarea
vectorului de magnetizare devine mare, când frecvența oscilației este
aceeași cu frecvența Larmor și se produce rezonanța giromagnetică .
x x
yyz z
a) b)
Fig.2.30. Variația unghiului de precesie în funcție de sensul de
rotație al câmpului.

Considerăm că asupra feritei acționează două câmpuri: unul
continuu, de polarizare, H0=(0,0,H 0)T, și altul de microunde
H~=(H xejwt,Hyejwt,Hzejwt)T, în care Hz<<H0. Câmpul de microunde paralel
cu axa z are numai componente de ordinul doi,componentele de ordinul
unu MZ=m0HZ fiind mai puțin semnificativă.
Dependența vectorului de magnetizare de intensitatea câmpului
magnetic se descrie cu ecuația operatorială:
÷÷÷
øö
ççç
èæ
÷÷÷
øö
ççç
èæ –
=
÷÷÷
øö
ççç
èæ
ZYX
ZYX
HHH
jkjk
MMM
1 0 000
0 cc
m (2.135.)
unde susceptivitatea relativă este mărime tensorială. Inducția în ferită se
determină cu relațiile:
( ) H H H H M H Bm m c m c m m m0 0 0 0 0 1 = + = + = + = (2.136.)
unde tensorul permeabilității magnetice este descris de operatorul:
÷÷÷
øö
ççç
èæ
+- +
=
1 0 00 10 1
cc
m jkjk
(2.137.)
La dimensiuni finite ale feritei, câmpurile magnetice de polarizare ,
intern și extern, au valori diferite, ceea ce duce la fenomenul denumit
demagnetizarea feritei .
Dacă se aplică un câmp extern, uniform la o ferită de formă
arbitrară, câmpul în interiorul feritei va fi neuniform din cauza efectelor
de demagnetizare a polilor magnetici liberi de la suprafața feritei.
2.4.3. Propagarea câmpului prin ferită polarizată
Pentru determinarea caracteristicilor undelor electromagnetice care
se propagă prin ghidurile ce conțin ferite se rezolvă ecuațiile lui Maxwell
în medii anizotrope. Pentru un sistem de coordonate cartezian, în lipsa
surselor primare, ecuațiile lui Maxwell au forma:
îíì
– – = – ´ Ñ = ´ Ñ- = – ´ Ñ = ´ Ñ
) exp( ) , ( ) exp( ) , ( ) , , , ( ') exp( ) , ( ) exp( ) , ( ) , , , ( '
z j y x B j z t j y x E t z y x Ez t j y x E j z t j y x H t z y x H
g w w g wg w w g w(2.138.)
Descompunem câmpurile și operatorii vectoriali în componente
transversale și longitudinale:
ïïï
îïïï
íì
¶¶+¶¶= Ñ´ Ñ = ´ Ñ´ Ñ = ´ Ñ
yaxay x E y x Ey x H y x H
ttt
2 1) , ( ) , () , ( ) , (
(2.139.)

Revenim la ecuațiile (2.139.) și obținem:
ïîïíì
= ´ = ´- = ´ – Ñ= ´ – Ñ
03 333
Z Ztt
E a H aB j E a EE j H a H
w gw g
(2.140.)
Exprimăm componentele E și H sub forma:
îíì
+ =+ =
Z tZ t
H a H HE a E E
33(2.141.)
atunci,
îíì
´ Ñ + ´ Ñ = ´ Ñ´ Ñ + ´ Ñ = ´ Ñ
33
a E E Ea H H H
Z tZ t(2.142.)
Înlocuim în relațiile (2.140.) și obținem:
îíì
– = Ñ + ´ – ´ Ñ= Ñ + ´ – ´ Ñ
B j E E a EE j H H a H
Z t tZ t t
w gwe g
) () (
33(2.143.)
Vectorul inducție magnetică se mai poate scrie:
3 0 3a H H a jk H BZ t tm m+ ´ + = (2.144.)
Înlocuim în (2.143.) , separăm componentele longitudinale de cele
transversale și obținem:
ïï
îïï
íì
= Ñ ´ – + ´ -= Ñ ´ – ´ – + ´ -= + ´ Ñ= – ´ Ñ
0000
3 33 3 333
Z t tZ t t tZ tZ t
H a E j H aE a H a k H j E aa H j Ea E j H
we gw wm gwmwe
(2.145.)
Eliminăm termenii care conțin a3xHt și rezultă:
z z t t t H a k E a H j E j E aÑ ´ + Ñ ´ – = – – ´ -3 32 2
3 ' w g wm b g (2.146.)
unde ke w b2 2'=
Înmulțim vectorial cu a3 și eliminăm Ht din relația anterioară:
( )Z Z z t t H k H a j E E a j EÑ + Ñ ´ + Ñ – = ´ + +w wm g b b g3 32 2 2' (2.147.)
unde me w b2 2= . Înmulțim vectorial cu ja3 și rezultă:
( )Z t Z t Z t t t H a k j H E a j E E a jÑ ´ + Ñ + Ñ ´ – = + ´ +3 32
32 2' w wm g b b g (2.148.)
Ecuațiile (2.147.),(2.148.) se rescriu sub forma:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ïîï
íì
Ñ ´ + Ñ – Ñ ´ – = + ´ +Ñ + Ñ ´ + Ñ – + = ´ + + +
Z t Z t Z t t tZ t Z t Z t t
H a k H j E a j E E a jH k H a j E E a j E
3 32 4
32 2 232 2
32 2 2 2 2
' ' ''
w wm g b b b b gw wm g b g b b g b g
(2.149.)
Similar se poate elimina E t și obținem:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ïîïíì
Ñ + Ñ ´ – = – ´ +Ñ ´ – Ñ – + = ´ + + +
Z t Z t t tZ t Z t t t
E j H a j j E H a jE a j H H a j H
we g b b b b gwe g b g b g b b g
32 4
32 2 232 2
32 2 2 2 2
' ' ''
(2.150.)
Din relațiile (2.149.) și (2.150.) se deduce că:
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ]
( )[ ] ( ) [ ]
( )[ ] ïïï
îïïï
íì
– + Ñ ´- + – Ñ = ++ – + Ñ ´+ + + – Ñ = – +
Z Z tZ Z t tZ Z tZ Z t t
H H a jH E HE H k a jkH E E
2 2 2
32 2 2 422 22 2 2 2
32 2 2 422 2
'' _' ''
gb we b gg b g we b b b ggb b m g m b wwg g b g b b g
(2.151.)
Sistemul de ecuații (2.149.) arată că în ghidul cu ferită anizotropă,
componentele transversale pot fi determinate dacă sunt cunoscute
componentele longitudinale (excepție cazul când b2+g2-b’4=0).
În absența câmpului magnetic continuu, k ®0, m®m 0, și sistemul de
ecuații (2.151.) este același cu cel pentru medii izotrope. Pentru medii
fără sarcini electrice:
Z t t Z tt H H E Eg g= Ñ = Ñ ; (2.152.)
iar din (2.139.) și (2.143.)
Z Z t t EkH Hmwemmg – = Ñ0(2.153.)
Înlocuim în sistemul de ecuații (2.151.) și obținem:
( )[ ] ( )
( )[ ] ( ) ï
îï
íì
Ñ + Ñ + – = ÷
øöç
èæ+ – – +Ñ + Ñ + – = – +
Z t Z t Z ZZ t Z t Z
E H EkHH k E E
2 2 2 2 2 0 422 22 2 2 2 2 422 2
' ''
we b g b gmwemmg b b g gwg g b g b b g g
(2.154.)
Relațiile se mai pot scrie sub forma:
ïîïíì
= + + Ñ= + + Ñ
00
22
Z Z Z tZ Z Z t
dE cH HbH aE E(2.155.)
unde, mwgemmg bmg wmmb g bkd ckbka – = + = = – + = ; ) ( ; ; '0 2 2
02 2 2
Sistemul de ecuații (2.155.) arată că prin ferita polarizată nu există
moduri pure E, H sau TEM .
Prin ghidul cu ferită apar moduri hibride în care există simultan EZ
și HZ. Pentru a obține ecuațiile unor unde reale, de o singură variabilă,
independentă, înmulțim prima ecuație din (2.155.) cu ( ) c+ Ñ2 și ecuația a
doua cu -b, rezultând:

( )( ) ( )
( )ïîïíì
+ – + Ñ -= + Ñ + + Ñ + Ñ
00
22 2 2
Z Z tZ t Z t t
bdE H c bH c b E c a(2.156.)
Adunăm cele două ecuații și obținem:
( )( )[ ] 02 2= – + Ñ + ÑZ t tE bd c a (2.157.)
Această ecuație se mai poate scrie sub forma:
( )( ) 02
22 2
12= + Ñ + ÑZ t tE S S (2.158.)
unde: ( ) ( )
( ) ( ) bd a c c a Sbd a c c a S
4 5 , 04 5 , 0
2 2
22 2
1
– – – + =- – + + = (2.159.)
Se poate găsi o relație asemănătoare cu (2.158.) și pentru H Z. Rezultă
ecuațiile unor moduri cvasi TE sau cvasi TM astfel că unul din aceste
moduri va fi dominant.
2.4.4. Dispozitive nereciproce cu ferite
Prin introducerea unei ferite polarizate într-un ghid de undă se
poate realiza un element nereciproc de tipul defazoarelor, atenuatoarelor
sau circulatoarelor.
Se are în vedere la realizarea dispozitivelor nereciproce: tipul
ghidului de undă , direcția de aplicare a câmpului magnetic continuu de
polarizare, tipul de undă incidentă, posibilitatea de a se propaga un
anumit mod prin ghidul cu ferită, etc.
La introducerea unei ferite în ghidul dreptunghiular, componenta
electrică se modifică față de modul inițial, sinusoidal. Plasarea feritei la o
distanță de aproximativ un sfert din lățimea ghidului (fig.2.31.) permite
folosirea polarizării circulare a câmpului de microunde. La dispunerea la
o distanță de trei sferturi din lățimea ghidului, câmpul își schimbă sensul
de rotație și structura acționează ca un defazor nereciproc. Un ansamblu
de circuite pasive reciproce cu două defazoare nereciproce poate asigura
funcția de circulator de fază.
Dacă pe latura de lângă peretele îngust se depune o peliculă
rezistivă, se realizează un atenuator nereciproc.
Ho
invers
direct
Fig.2.31. Distribuția componentei electrice în ghidul cuferită polarizată

2.5.Probleme
2.5.1.Probleme rezolvate
1.În ghidul de undă dreptunghiular cu dimensiunile interioare a = 3
cm și b = 5 cm se propagă o undă electromagnetică cu frecvența f = 4000
Mhz.
Să se calculeze constanta de propagare a fazei, lungimea de undă în ghid,
viteza de propagare a fazei și viteza de grup pentru modurile TE01 și TE 02.
Rezolvare:
( ) cmfc5 , 7 10 4 10 319 8= · · = =-l
lC01 = 2b = 10 cm
cm rad
C g/ 554 , 0 662 , 05 , 72
105 , 715 , 72122 22 2
0101 = = ÷
øöç
èæ- =÷÷
øö
çç
èæ- =p p
ll
lp
lpb
cm
Cg 3 , 11
105 , 715 , 7
12 2
0101 =
÷
øöç
èæ-=
÷÷
øö
çç
èæ-=
llll
s mcv
Cf / 10 52 , 4662 , 010 3
188
2
0101 · =·=
÷÷
øö
çç
èæ-=
ll
s m c v
Cg / 10 98 , 1 662 , 0 10 3 18 82
0101 · = · · =÷÷
øö
çç
èæ- =ll
2. Se dă ghidul dreptunghiular cu dimensiunile secțiunii
transversale a = 3,4 cm și b = 7,2 cm , umplut cu aer.Ghidul este conectat
la un generator de microunde cu l=10 cm . Să se calculeze constanta de

propagare și impedanța de undă pentru modul fundamental și pentru
modul superior imediat următor. Se vor neglija pierderile în pereții
ghidului.
Rezolvare:
a) Constanta de propagare
– pentru modul H01
45 12 , 710
1 , 021222 2
01 jb= – ÷
øöç
èæ= – ÷
øöç
èæ=p l
lpg
g01 = jb = j 45 rad/s
– pentru modul H02:
60 12 , 710
1 , 02122 2
02 = – ÷
øöç
èæ= – ÷
øöç
èæ=p l
lpgb
g02= a = 60 N/m
b) Impedanța de undă
– pentru modul H01
W = =
÷
øöç
èæ-=
÷
øöç
èæ-= 52572 , 0120
4 , 14101120
21120
2 201p p
lp
bZTE
– pentru modul H02
W – =
-=
÷
øöç
èæ-=
÷
øöç
èæ-= 380
93 , 0120
2 , 7101120
1120
2 202j
bZTEp p
lp
3. Pentru ghidul de undă dreptunghiular cu dimensiunile interioare
a = 34 mm și b = 72 mm, să se calculeze frecvențele critice ale
principalelor moduri TEpq și TM pqși să se construiască diagrama
modurilor.
Rezolvare:
Atât pentru modurile TEmn cât și pentru modurile TM mn se
calculează lungimea de undă critică cu relația:

2 22
÷
øöç
èæ+÷
øöç
èæ=
bn
nmCmnl
cm b
b aC 4 , 14 2 , 7 2 2
02
2 201 = · = =
÷
øöç
èæ+÷
øöç
èæ=
ll
lC02= b 7,2 cm
lC03 = 2b/3 = 4,8 cm
lC10 = 2a = 6,8 cm
lC20 = a 3,4 cm
lC30 = 2a/3 = 2,26 cm
cm
b aab
C 16 , 6
2 , 7 4 , 32 , 7 4 , 3 2 2
2 2 2 211 =
+· ·=
+= l
cm
baab
C 95 , 4
212
212 =
÷
øöç
èæ+= l
cm
abb
C 3 , 3
122
221 =
+÷
øöç
èæ= l
cm
baa
C 92 , 3
312
213 =
÷
øöç
èæ+= l
cm
abb
C 23 , 2
132
231 =
+÷
øöç
èæ= l
Diagrama modurilor este realizată ca în figura de mai jos:

4. Pentru ghidul de undă cu secțiune circulară având raza
interioară r0, să se calculeze frecvențele critice ale principalelor moduri
TEpq și TM pq și să se construiască diagrama modurilor.
Rezolvare:
a) Pentru modurile TM mn se calculează lungimile de undă critice cu
relația:
0 ) (2rrpqTM Cpl = , unde rpq este rădăcina m a funcției Bessel de speța
I-a și ordinul n (tabel în anexe).
0 0 0
12120 0 0
11110 0 0
1010
22 , 1136 , 52 264 , 1832 , 32 261 , 2405 , 22 2
r r rrr r rrr r rr
CCC
= = == = == = =
p plp plp pl
0 0 0
2121 89 , 0016 , 72 2r r rrC = = =p pl
0 0 0
2020 13 , 152 , 52 2r r rrC = = =p pl2,23 3,3 3,92 4,95 6,16 6,8 7,2 14,4H31 șiE 31
H21 și E 21
H 20
H 13 și E 13
H03
H 12 și E 12
H11 și E 11
H 10
H 02
H 01

0 0 0
2222 75 , 0417 , 82 2r r rrC = = =p pl
c) Pentru modurile TEmn se calculează lungimile de undă critice cu
relația:
( ) 02r
rmnTE Cmnpl = , unde r’
mn este rădăcina m- a a derivatei funcției
Bessel de speța întâia și ordinul n ( tabel din anexă).
o Cr r r
r64 , 1832 , 32 2
0 0 '
1010 = = =p pl
0 0 0 '
1111 4 , 3841 , 12 2r r r
rC = = =p pl
0 0 0 '
22220 0 0 '
21210 0 0 '
20200 0 0 '
1212
95 , 0706 , 62 217 , 1331 , 52 289 , 0016 , 72 206 , 2054 , 32 2
r r r
rr r r
rr r r
rr r r
r
CCCC
= = == = == = == = =
p plp plp plp pl
d) Se întocmește diagrama modurilor pentru ghidul cu secțiune
circulară de rază r0.
0,75 0,89 0,95 1,13 1,17 1,22 1,64 2,06 2,61 3,4 l/r0Modul
E22
E21 și H 20
H22
E20
H21
E12
E11și H 10
H12
E10
H11

5. Să se reprezinte distribuția câmpului electromagnetic
corespunzător modului TM 10 în ghidul de undă cu secțiune circulară
(diametrul = 2r0) și lungimea infinită.
Rezolvare:
În expresiile componentelor câmpului electromagnetic în ghidul
circular deduse pentru modurile TM mn se înlocuiește m=1 și n=0, precum
și . ,2
2
02
10 2
rrk
g= =lpb Se obțin componentele câmpului (mărimi
complexe) pentru modul TM 10:
( )
( )
( )
02
'
1 02
102
00 0'
0 02
102
0
= = =- ==- =
–
z rz t jz t j
zz t j
gr
H H Ee J E
rrj He J E Ee J E
rrj E
jb w
jb wb w
welp
Valorile instantanee ale componentelor sunt:
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ] ( )
0~ ~ ~sin~cos~sin2 ~
'
1 02
1020 0'
0 02
102
0
= = ==- = =- = =- = =
z ro
ez e zgr e r
H H Ez t J E
rrH R Hz t J E E R Ez t J E
rrE R E
jj j b w web wb wlp
În figura de mai jos se reprezintă distribuția liniilor de câmp
electric și magnetic, pe baza ultimelor relații la un anumit moment t=0.
H E

6. Să se calculeze atenuarea și randamentul de transmisie pentru
ghidul dreptunghiular, confecționat din cupru, cu simensiuni a = 3,4 cm ,
b = 7,2 cm și lungimea l = 10 m. Ghidul este excitat cu modul
fundamental, iar l = 10 cm.
Rezolvare:
a) Se calculează constanta de atenuare:
úûù
êëé
úú
ûù
êê
ëé
÷øöçèæ+
÷øöçèæ-=mN
b ba
bamm2
2 22 1
211
2l
lm se wma
Pentru cupru sm = 5,8 . 107 1/Wm și mm = m0mrm = m0
Pentru dielectricul aer , e = e0 și m= m0
Rezultă
22
21221 012 , 0
÷øöçèæ-úú
ûù
êê
ëé
÷øöçèæ+
=
bab ba
lll
a unde a, b, l sunt exprimate în cm.
m N/ 10 24 , 2
2 , 7 2101 10 4 , 32 , 7 210
2 , 74 , 3 21 012 , 0
3
22
-· =
÷
øöç
èæ
·-úú
ûù
êê
ëé
÷
øöç
èæ
··+
=a
a = 2,24.10-3 N/m
b) Calculul atenuării:
a = al = 2,24.10-3.10 = 2,24.10-2 Neperi
a = 8,7.2,24.10-2 = 0,194 decibeli
c) Calculul randamentului de transmisie:
lah
÷÷
øö
çç
èæ+ +=
SKKS111
La adaptare KS = 1 deci h = 1/1+2 al
h = 1/1+2.2,24.10-2 = 0,955
h = 95,5%

7. O cavitate rezonantă paralelipipedică are dimensiunile :
a = 2,4 cm, b = 4,8 cm, l = 6 cm .Se folosește ca dielectric aerul. Să se
calculeze lungimea de undă de rezonanță a cavității corespunzătoare
modurilor H011, H 012, H 021, H 022, H 023, H 111, E 111, E 123 și să se reprezinte
câmpul în cavitate pentru fiecare mod.
Rezolvare:
Atât pentru modurile Hmnp cât și pentru modurile Emnp, se folosește
relația:
2 2 202
÷
øöç
èæ+÷øöçèæ+÷øöçèæ=
lp
bn
aml
( ) cm
bb
bH 5 . 7
6 8 , 46 8 , 4 2 2
1 12
2 2 2 2
2 2011 0 =
+· ·=
+=
+=
ll
ll
( ) cm
bH 1 , 5
2 12
22
2012 0 =
+=
ll
l0(H021)= 4,5 cm;
l0(H022) = 3,74 cm;
l0(H023) = 1,44 cm;
l0(H111) = l0(E111) = 4,66 cm;
l0(E123) = 2,6 cm.
Pentru reprezentarea câmpului în cavitate, se obțin pentru fiecare
mod expresiile componentelor câmpului înlocuind valorile particulare ale
numerelor m,n,p . Astfel, pentru modul H022se obțin:
0~ ~ ~cos2sin2sin2120~sin2sin2cos 2~sin2cos2sin 2~
0 0
00 00 0
= = =÷øöçèæ÷øöçèæ=÷øöçèæ÷øöçèæ=÷øöçèæ÷øöçèæ- =
x z yxzy
H E Et z ybHbEt z ybH Ht z ybHbH
wp p
lpwp pwp p
lll l
Pe baza acestor relații se reprezintă câmpul în cavitatea dată.

8. Să se deducă expresiile componentelor câmpului
electromagnetic în cavitatea rezonatoare cilindrică excitată cu modurile
TM mnp (figura de mai jos).
Să se exprime de asemenea lungimea de undă la rezonanță.
Rezolvare:
Undele directe din ghidul circular se adună sau se scad cu undele
reflectate respectându-se condițiile la limită ( la pereții transversali) și
rezultă:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0cos cos2cos sin2cos cos 2sin sin2sin cos2
00000
'
2020020'
20
=÷
øöç
èæ- =÷
øöç
èæ- =÷
øöç
èæ=÷
øöç
èæ=÷
øöç
èæ- =
zt j
nt j
n rt j
n zt j
nt j
n r
He zpkr J n
kEj He zpkr J nrn
kEj He zpkr J n E Ee zpkr J nrn p
kEEe zpkr J np
kEE
w
jwww
jw
pjwepjwepjpjppjp
llll ll l2r0
l

2 2
002
÷
øöç
èæ+÷÷
øö
çç
èæ=
lpe m pl
p
rrmnr r
TM unde k= r mn/r0
8. Să se deducă expresiile componentelor câmpului
electromagnetic în cavitatea rezonatoare cilindrică excitată cu modurile
TEmnp.
Să se exprime de asemenea lungimea de undă la rezonanță.
Rezolvare:
( )
( )t j
nt j
n r
e zpkr J n H
kEe zpkr J nrnH
kE
00
cos cos 2sin sin 2
'
0202
w
jw
pjwmpjwm
÷
øöç
èæ· =÷
øöç
èæ· =
ll
( )
( )
( )t j
n zt j
nt j
n rz
e zpkr J n H j He zpkr J nrnH
kj He zpkr J n H
kj HE
000
sin cos 2cos sin 2cos cos 20
002'
02
ww
jw
pjpjbpjb
÷
øöç
èæ· – =÷
øöç
èæ· =÷
øöç
èæ· – ==
lll
22
0'2
÷
øöç
èæ+÷÷
øö
çç
èæ=
lpe m pl
p
rrmnr r
oTE unde k = r mn*/r0
10. Să se calculeze factorul de calitate al unui rezonator cubic
izolat (necuplat cu alte circuite) cu latura de 10 cm , pentru modul TE011.
Rezonatorul este confecționat din cupru iar dielectric este aerul.
Rezolvare:
‚
Lungimea de undă la rezonanță va fi :

) 10 (1 , 14 41 , 1
1 12
2 20
cm a c bcm b
c b
== == == =
+=l
Frecvența de rezonanță:
Ghzcf 13 , 21 , 1410 . 310
00 = = =l
Factorul de calitate:
pabQ31
0= unde a p este adâncimea de pătrundere
ms w02=pa
Pentru cupru : m = m0mr = m0 = 4p10-7
s = 5,8.107 1/Wm
ap = 0,143.10-5 m
300 . 23
10 . 143 , 01 , 0
31
50 = =-Q

2.5.2. Probleme propuse
1.În ghidul de undă dreptunghiular cu a = 10,2 mm și b = 22,9 mm
se excită modul H01. Generatorul are lungimea de undă de 3 cm . Să se
calculeze : lC01, lg, vf, vg, ZTE.
R: 4,58 cm; 3,97 cm; 3,973.108 m/sec; 2,265.108 m/sec;
500W.
2. Se dă un ghid de undă dreptunghiular cu dimensiuni interioare a
= 3 cm și b = 5 cm . Dielectricul ghidului este aerul. Se cere să se
determine frecvențele critice ale principalelor moduri TEmn. Să se deducă
gama de frecvențe în care prin ghid se propagă numai modul
fundamental.
R:2 2
2÷
øöç
èæ+÷
øöç
èæ=bn
am cfcmn
3. Se dă un ghid cu secțiune circulară având diametrul interior D =
2r0 = 5 cm și dielectric aerul.Să se determine frecvențele critice ale
modurilor TM mnși TEmn când m = 1 și n = 0,1,2. Să se deducă gama de
frecvențe în care prin ghid se propagă numai modul fundamental.
R: Pentru TM mn: f C10 = 4,6 Ghz
fC11 = 7,33 Ghz
fC12 = 9,85 Ghz
Pentru TE mn : f C10 = 7,33 Ghz
fC11 = 3,54 Ghz
fC12 = 5,82 Ghz
În gama de frecvențe 3,54 – 4,6 Ghz se propagă numai H11.
4. Printr-un ghid de undă dreptunghiular cu dimensiunile secțiunii
transversale a = 2 cm și b = 4,2 cm se propagă un semnal de FFÎ, ghidul
fiind excitat cu modul H01. Cu ajutorul unui ghid de măsură s-a
determinat lungimea de undă în ghid lg = 7 cm.
Să se deducă frecvența generatorului de semnal și impedanța de
undă a ghidului.

R: f = 5,6 Ghz; Z TE = 485 W
5. Un ghid dreptunghiular are a = 3,5 cm și b = 8 cm . Care moduri
se pot propaga prin acest ghid, la frecvența de 3000 Mhz ? Dar la
frecvența de 1500 Mhz?
R : La f = 3000 Mhz – H 01
La f = 1500 Mhz – nu se propagă semnal.
6. Să se calculeze puterea maximă care se poate transmite printr-un
ghid de undă dreptunghiular excitat cu modul fundamental, dacă valoarea
maximă a câmpului electric nu trebuie să depășească 15KV/cm. Se dau : a
= 3,4 cm; b = 7,2 cm; l = 10 cm; K S = 1,2; dielectricul din ghid este
aerul.
R : P = 2,2 Mw .
7. Un ghid de undă cu secțiunea dreptunghiulară ( 3,4 cm x7,2 cm )
se termină cu o sarcină neadaptată. Cu ajutorul unui ghid de măsură s-a
determinat o deplasare a minimului de câmp electric, către generator, cu
0,1 lg față de situația când ghidul era în scurtcircuit și KS = 2.
Să se calculeze dimensiunile diafragmei utilizată pentru adaptare și
locul dispunerii acesteia.
R: Diafragmă inductivă cu dimensiunile :
a = 3,4 cm
b = 7,2 cm
b’ = 4,71 cm
Se montează la 7 cm de sarcină .
8. Se dă o cavitate cilindrică cu dimensiunile: r0 = 3 cm și l = 6 cm.
Dielectric este aerul. Cu cât trebuie mărită lungimea cavității pentru a se
obține o frecvență de rezonanță mai mică cu 5 % față de cea calculată
pentru modul H111?
R:Dl = 7,2 mm.
9. Să se calculeze frecvența de rezonanță a unui rezonator cilindric
cu înălțimea de 10 cm și diametrul de 5 cm , excitat cu modul TM 100. Se
știe că dielectricul din interiorul rezonatorului este aerul.
R: l = 6,52 cm.

10. Să se calculeze frecvențele de rezonanță ale unei cavități
rezonante prismatice cu baza un pătrat și cu dimensiunile : a = 10 cm, b =
5 cm și c = 5 cm , pentru modurile TE011 și TE 111. Dielectricul cavității
este aerul.
Ce valori vor avea frecvențele de rezonanță dacă rezonatorul este
cubic ( a = b = c = 5 cm )?
R: Pentru TE011, l = 7,07 cm când a = 10 cm și a = 5 cm .
Pentru TE111, l = 6,32 cm când a = 10 cm și 5,76 cm când a = 5
cm.
11.Un ghid de undă dreptunghiular are dimensiunile secțiunii
a =5 cm ,
b = 2 cm . Să se determine lungimea de undă critică pentru modul H11.
R: lcr = 3,7 cm .
12. Să se determine lungimea de undă critică pentru modul E01, la
un ghid
de undă circular cu diametrul de 3 cm .
R: lcr = 3,93 cm.
13. Să se determine dimensiunile secțiunilor unui ghid de undă
dreptunghiular , dacă se cunoaște că pentru unda H01lcr = 5 cm , iar
pentru H11,
lcr = 2 cm.
R: a > 2,5 cm< b > 1,09 cm .
14. Într – un ghid de undă dreptunghiular cu dimensiunile secțiunii
a = 2,3 cm , b = 1,1 cm se excită unda H01 de către un generator care
lucrează pe frecvența de 10000 Mhz . Să se determine lungimea de undă în
ghid.
R: l = 3,94 cm.
15. Într – un ghid de undă dreptunghiular cu dimensiunile secțiunii
transversale a = 4,3 cm și b = 3,2 cm se excită o undă E11. Să se
determine lungimea de undă în ghid, dacă generatorul lucrează pe
lungimea de undă de laer = 3,16 cm.

R: l = 4 cm.
16. Să se determine lungimea de undă critică, dacă se cunoaște că
lungimea de undă în ghid este 3,92 cm , iar lungimea de undă în aer 3 cm.
R: lcr = 4,6 cm.
17. Un generator de microunde care lucrează pe frecvența de 9400
Mhz excită într – un ghid de undă dreptunghiular o undă de tip H01. Să se
determine dimensiunea peretelui lat , dacă lugimea de undă în ghid este 4
cm.
R: a = 2,71 cm.
18. Viteza de fază a undei H01 într – un ghid dreptunghiular este
3,68.108m/s. Să se determine dimensiunea peretelui lat al ghidului , dacă
generatorul lucrează pe frecvența 9375 Mhz .
R: a = 2,83 cm.
19. În ghidul circular cu diametrul interior de 4 cm se propagă
unda E01. Să se determine viteza de fază a undei , dacă frecvența
generatorului este 7500 Mhz.
R: Vf = 3,75.108 m/s.
20. Să se determine frecvența unui generator de microunde care
excită într – un ghid unde cu lungimea de 6 cm și viteza de fază 4.108 m/s.
R: f = 6670 Mhz.
21. Viteza de grup a propagării undei în ghid este 2,5.108 m/s. Să se
determine lungimea de undă a generatorului , dacă lungimea de undă în
ghid este .
R: l = 4,17 cm .
22. Lungimea de undă H01 în ghidul de undă dreptunghiular cu
dimensiunea peretelui lat a = 4 cm., este de două ori mai mare ca în
ghidul la care dimensiunea peretelui mare este a = 8 cm . Să se determine
lungimea de undă a generatorului de excitație.

R: l = 7,16 cm .
23. Într – un ghid de undă cu dimensiunea peretelui lat a = 4 cm se
propagă unda H01. Să se determine impedanța caracteristică a ghidului,
dacă frecvența generatorului este de 10000 Mhz .
R: Zc = 408 W
24. Într – un ghid de undă dreptunghiular se excită unda H01 de la
un generator care lucrează pe frecvența de 9390 Mhz . Impedanța
caracteristică pentru tipul de undă dat este 500 W. Să se determine
dimensiunea peretelui lat,a.
R: a = 2,38 cm.
25. Ghidul de undă principal al unei stații de radiolocație de unde
centimetrice se leagă cu cavitatea amestecătorului RAF cu ajutorul unui
atenuator a cărui atenuare este de 60 db . Puterea în impuls în ghidul
principal este 100 Kw . Să se determine puterea semnalului în cavitatea
amestecătorului.
R: P = 0,1 w.
26. Să se arate că impedanța ghidului pentru unda H10în ghidul de
unde dreptunghiular cu conținut de aer se apropie de 376,7 W, dacă
dimensiunile ghidului sunt foarte mari în comparație cu lungimea undei.
27. Un ghid de unde metalic are o secțiune pătrată cu latura de 10
cm. Să se enumere toate tipurile de unde, care se pot propaga pe ghidul de
unde la frecvențele 2000, 3000, și 5000 Mhz.
R: la f = 2000 Mhz- H 10, H 01
la f = 3000 Mhz – H 10, H01, H11, H 20, H 02, E11.
La f = 5000 Mhz – H 10, H 01, H 11, H 20, H 02,
H12,H21, H 22, H 30, H 31, H 03, H 13, E11, E12, E13, E21, E22,
E31.
28.În cavitatea rezonatoare cilindrică, care are un diametru de 6 cm
și înălțimea de 5 cm , se excită o undă de tip TE011. Să se determine
lungimea undei rezonatoare.
R: lr = 4,4 cm.

29.Să se determine lungimea de undă de rezonanță a oscilațiilor
E110 în cavitatea rezonatoare cubică , cu m. laturile a = b = c = 5 c
R: lr = 7,1 cm.
30 În cavitatea rezonatoare cilindrică cu înălțimea de 5 cm apare o
undă TE011. Cât trebuie să fie diametrul rezonatorului ca să fie acordat la
rezonanță pe o frecvență de 10000 Mhz.
R: d = 3,82 cm.
31. Să se determine factorul de calitate al cavității rezonatoare
cilindrice din cupru , având diametrul de 8 cm . și înălțimea de 4 cm . În
rezonator apar oscilații E010, cu o lungime de undă de .
R: Q = 16700
32. Să se determine factorul de calitate al rezonatorului toroidal din
cupru, având dimensiunile de : R = 1 cm, r = 5 cm, a = 1 cm , dacă în el
apar oscilații cu o lungime de undă de 10 cm.
R: Q =34400

CLASIFICAREA UNDELOR ELECTROMAGNETICE
ANEXA nr 1
Nr.
crt.Domeniul de frecvență
(lungimi de undă)Denumirea undelor
Simbolizarea Caracteristici,aplicatii
0 1 2 3
1 (3…30)Khz
sau
(100…10)KmUNDE MIRIAMETRICE(UMam)
(unde foarte lungi)
Frecvențe foarte joase (FJF)
Very Low Freqvency (VLF)-Unde de suprafață , cu caracteristici foarte sigure, a căror propagare nu depinde de anotimp, de zi
sau noapte.
– (10…50)Khz- radiocomunicații, radionavigație.
– (3…30)Khz- încălzire inductivă.
2 (30…300)Khz
sau
(10…1)KmUNDE KILOMETRICE(Ukm)
(unde lungi=UL)
Frecvente joase(JF)
Low Freqvency(LF)- Unde de suprafață și ionosferice cu propa garea de noapte similară cu a FJF, însă ceva mai puțin
sigură; în timpul zilei absorbția acestor frecvențe este mai mare decât a FJF și crește cu frecvența.
– (151…281)Khz- radiodifuziune pe unde lungi.
– (30…100)Khz- încălzire inductivă.
3 (300Khz…3Mhz)
sau
(1Km…100m)UNDE HECTOMETRICE(UHm)
(unde medii=UM)
Frecvențe medii (MF)
Medium freqvency(MF)-Unde de suprafață, cu atenuare mică noaptea și mare ziua, iarna propagarea mai bună decât vara,
cu siguranța legăturilor mai mică decât la frecvențe joase.
– (285…405)Khz-radionavigație.
– (405…520)Khz-radiocomunicații
– (520…1602)Khz-radiodifuziune pe unde medii.
– (1602…3000)Khz-radiocomunicații
4 (3…30)Mhz
sau
(100…10)mUNDE DECAMETRICE(UDm)
(unde scurte=US)
Frecvențe înalte (ÎF)
High Freqvency (HF)- Unde de suprafață și ionosferice cu transmisiile la distanțe foarte mari ce depind de ionizarea
atmos- ferei și de momentul transmisiei(vara, iarna, noapte, zi).
– (3…3,9)Mhz-radiocomunicații.
– (3,9…26,1)Mhz- radiocomunicații și radiodifuziune pe unde scurte.
– (26,1…30)Mhz- radiocomunicații.
– 13,56Mhz,27,12Mhz- încălzire de înaltă frecvență.
5 (30…300)Mhz
sau
(10…1)mUNDE METRICE(Um)
(unde ultrascurte=UUS)
Frecvențe foarte înalte (FIF)
Very High Freqvency(VHF)- Propagare în linie dreaptă, neafectate de ionosfe ră.
– (41…68)Mhz- televiziune (banda I); (63…73)Mhz sau (87…108)Mhz -radiodifuziune pe unde
ultrascurte (UUS-MF)(banda II);(162…216)Mhz -televiziune (banda III); (30…300)Mhz
radiocomunicații (în intervalele libere);40,68 Mhz -încălzire de înaltă frecvență.

0 1 2 3
6 (300Mhz…3Ghz)
sau
(1…0,1)mUNDE DECIMETRICE(Udm)
(microunde)
Frecvențe ultraînalte(UIF)
Ultra High Frequency(UHF)- (470…960)Mhz- televiziune (banda IV,
banda V)
– (2,5…2,69)Ghz-radiodifuziune prin satelit.
– 2,375Ghz-încălzire de înaltă frecvență.
– Radiolocație.
7 (3…30)Ghz
sau
(0,1…0,01)mUNDE CENTIMETRICE (Ucm)
(microunde)
Frecvențe supraînalte (SIF)
Super High Frequency(SHF)- (11,7…12,5)Ghz- radiodifuziune prin satelit
– 22,125Ghz-încălzire de înaltă frecvență.
– Radiocomunicații,radiolocație.
8 (30…300)Ghz
sau
(0,01…0,001)mUNDE MILIMETRICE (Umm)
(microunde)
Frecvențe extrem de înalte (EIF)
Extremely High Frequency(EHF)-(41…43)Ghz-radiodifuziune prin satelit
-radiocomunicații, radiolocație.
9 (3.1011…4.1014)Hz
sau
(10-3…7,8.10-7)mRaze infraroșii(radiații infraroșii):
-infraroșu apropriat(10-3…3.10-5)m
-infraroșu mijlociu(3.10-5…3.10-6)m
-infraroșu îndepărtat(3.10-6…7,8.10-7)m- Sunt produse mai ales de corpurile încălzite; sunt realizate și instalații electronice care
generează unde submilimetrice.
10 (4.1014…8.1014)Hz
sau
(7,8.10-7…3,8.10-7)mRaze vizibile (radiații vizibile) -Sunt unde la care retina ochi ului uman este sensibilă.
11 (8.1014…3.1017)Hz
sau
(3,8.10-7…6.10-10)mRaze ultraviolete(radiații ultraviolete) – Sunt unde generate de către atomii și moleculele dintr -o descărcare electrică în gaze.
-Soarele este o sursă puternică de radiații ultraviolet e.
12 (3.1017…3.1019)Hz
sau
(6.10-10…6.10-12)mRaze X(radiația X sau Röntgen) – Sunt produse cu ajutorul unor tuburi speciale în care un fascicul de electroni accelerat cu
ajutorul unei diferențe mari de potențial bombardează un electrod din elemente grel e.
13 (3.1019…3.1022)Hz
sau
(10-10…1014)mRaze gamma(radiația g) -Sunt radiate de către nucleele atomilor.
14 – Razele cosmice – Ocupă partea superioară a spectrului undelor electromagnetice. Prezintă interes în fizica
particulelor elementare.

ANEXA nr.2
CLASIFICAREA MICROUNDELOR
Nr.crt. Simbol Lungimea de unda Semnificatia
1 P 133,5 – 76,9 cm Unde metrice
2 L 76,9 – 19,3 cm Unde decimetrice
3 S 19,3 – 7,69 cm 10 cm
4 C 7,69 – 4,84 cm 7 cm
5 X 4,84 – 2,75 cm 3 cm
6 J 2,75 – 1,74 cm 2 cm
7 K 1,74 – 0,91 cm 1,2 cm
8 Q 0,91 – 0,65 cm 8 mm
9 V 0,65 – 0,54 cm 5 – 6 mm

2ANEXA nr 3
Structura câmpului electromagnetic în ghidul dreptunghiular
TE10 TE20
TE11 TE21

3
TM 12 TM 22TM 11 TM 21

4ANEXAnr.4
Materiale conductoare folosite în construcția liniilor de transmisie
Materialul Conductivitatea 107 S/m
Aluminiu curat3,25
Alamă (suprafață frezată) 1,48
Placă de aluminiu cadmiată1,33
Placă de alamă cromată3,48
Cupru laminat5,84
Cupru electrolitic5,92
Cupru argintat4,10
Argint6,14
Dielectrici folosiți la frecvențe înalte
Dielectricul er tgd 10- 4
Aer 1 0
Polistirol 2,5 1,5 – 3
Polietilen 2,3 2 – 5
Policlorvinil 3,1 – 3,4 200
Plexiglas 3,2 500
Cuarț 3,5 – 4 1 – 3
Micalex 7 – 8 40
Preșpan 3 – 6 350
Sticlă 5,5 – 8 10 – 100
Textolit 7 700 – 1000

5Bibliografie
1. Bucățică,L.,Nicolae,G.,Pricop,G.,- Tehnica frecvențelor înalte , vol.2.,
Universitatea “ Transilvania ” Brașov,2000.
2. Drăgoi,G.,- Culegere de probleme detehnica frecvențelor foarte înalte ,
Editura militară, București, 1972.
3. Drăgoi,G.- Tehnica frecvențelor foarte înalte, Editura Academiei militare,
București,1988
4. Edmond,N., și alții,- Manualul inginerului electronist,Radiotehnica ,vol1 și
II, Editura Tehnică, București,1987.
5. Fîntîneru,i.,Negruș,M .,- Curs de bazele radiotehnicii și radiolocației , vol I și
II, Școala militară de ofițeri activi de artilerie și radiolocație “Leontin
Sălăjan”, Brașov,1979.
6. Gavriloaia,G.,Bucățică,L.,- Tehnica frecvențelor înalte ,vol I,Universitatea
“Transilvania”, Brașov, 1997.
7. Negruș,M.,- Culegere de probleme pentru bazele radiotehnicii și metodele
radiolocației, Școala militară de ofițeri activi de artilerie și radiolocație
“Leontin Sălăjan”,Brașov,1975.
8. Preda,A.,D., și alții – Radiocomunicații,lucrări de laborator ,Institutul
Politehnic București,1972.
9. Rulea,G.,- Radiolocația ,Editura didactică și pedagogică,București,1966.
10. Ștefan,A.,Strîmbu,C.,- Simularea asistată a circuitelor de microunde ,
Editura Albastră, Cluj-Napoca,2000.
11. Țurcanu,I.,- Linii de transmitere a energiei electromagnetice de frecvență
foarte înaltă , Școala militară de maiștri militari și subofițeri de artilerie și
radiolocație , Brașov,1978.
12. * * * – Bazele radiotehnicii și radiolocației,Sisteme oscilante ,
București, 1972.
13. * * * – Curs de bazele radiotehnicii și radiolocației , vol I,
Școala militară de ofițeri activi de artilerie și radiolocație “Leontin
Sălăjan”,Brașov,1981.
14. * * * – Radiotehnica frecvențelor foarte înalte , Culegere de
exerciții și probleme , Școala militară de ofițeri activi de artilerie și
radiolocație “Leontin Sălăjan”,Brașov,1967.