Unitatea de învățământ: Liceul Teologic Baptist Reșița [607441]

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

Conducător științific :
Conf. dr. Dorel Miheț

Candidat: [anonimizat]. Alexandru Szucs

Unitatea de învățământ: Liceul Teologic Baptist Reșița

Timișoara
2013

1
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

TITLUL LUCRĂRII
COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ ÎN PLAN

Conducător științific :
Conf. dr. Dorel Miheț

Candidat: [anonimizat]. Alexandru Szucs

Unitatea de învățământ: Liceul Teologic Baptist Reșița

Timișoara
2013

2
CUPRINS

INTRODUCERE ………………………………………………………………………………….. 3

CAPITOLUL I. NOȚIUNI PRELIMINARE …………………………………………. 5
I.1. Prezentarea structurii de spațiu euclidian……………………………………. 5
I.2. Vectori. Operații cu vectori……………………………………………… ………. 12
I.3. Repere carteziene în planul euclidian…………………………………………. 20

CAPITOLUL II. COLINIARITATE …………………………………………………….. 23
II.1. Ce este o problemă de coliniaritate? Crite rii de coliniaritate
(Exemplificări)……………………………………………………………………….
23
II.2. Teorema lui Menelaus. Aplicații……………………………………………… 38
II.3. Teoreme celebre de col iniaritate………………………………………………. 44

CAPITOLUL III. CONCURENȚĂ ……………………………………………………….. 53
III.1. Ce este o problemă de concurență ? Criterii de concurență
(Exemplificări) ……………………………………………………………………….
53
III.2. Teorema lui Ceva. Aplicații…………………………………………………… 61
III.3. Teoreme celebre de concurență…………………………… …………………. 65

CAPITOLUL IV. CONSIDERAȚII METODICE ………………………………….. 68
IV.1. Dualitatea coliniaritate – concurență……………………………………….. 68
IV.2. Rezolvarea problemelor de coliniaritate și c oncurență prin
metode alternative. Exemplificări…………………………………………….
71
IV.3. Coliniaritate și concurență în programele școlare. Chestiuni de
evaluare……………………………………………… ………………………………..
82

BIBLIOGRAFIE …………………………………………………………………………………… 85

3 INTRODUCERE
Geometria prezintă caracterul cel mai concret dintre toate disciplinele matematic e.
Pornind de la studiul unor figuri prezente în imediata noastră apropiere, geometria îmbină
coerent gândirea abstractă cu gândirea concretă.
Geometria lui Euclid apare ca o doctrină constituită din punct de vedere teoretic, ca
o știință deductivă ale căr ei adevăruri numite teoreme, se deduc pe cale logică dintr -o serie
de definiții și axiome, rezultate din experiență, din observațiile făcute asupra figurilor din
spațiul în care trăim.
Reconceperea geometriei drept studiu logic deductiv a determinat reform ularea
sistemului a xiomatic a lui Euclid de către D avid Hilbert (1862 -1943) în cartea sa,
Fundamentele geometriei , apărută în 1899. Lucrarea prezintă un sistem complet de
axiome, pornind de la care se poate obține prin deducție logică întregul material al
geometriei. După axiomatica lui Hilbert au apărut și alte sisteme axiomatice pentru
geometria euclidiană: printre acestea se numără și sistemul axiomatic al lui G.D. Birkoff
(1884 -1944) studiat și în actualele manuale școlare într -o formă ușor modificată.
În geometria elementară, rezolvarea problemelor de coliniaritate a unor puncte sau
de concurență a unor drepte se realizează folosind metode și criterii matematice care
necesită din partea rezolvitorului o analiză amănunțită. Aceasta implică atât cunoștinț e
dobândite în școală, cât și un anumit antrenament de a rezolva problemele, o gândire
matematică și o tehnică de lucru specifică, o imaginație și o creativitate bine conturate.
Lucrarea de față este structurată în patru capitole după cum urmează:
– Capitolu l I prezintă structuri de spațiu euclidian, apoi introduce noțiunea de
vector în planul euclidian și de reper cartezian pe o dreaptă și în plan.
– Capitolul II se referă la noțiunea de coliniaritate a unor puncte în plan; sunt
prezentate câteva criterii de c oliniaritate aplicate pe o serie de probleme celebre
de coliniaritate (dreapta lui Gauss, dreapta lui Euler, dreapta lui Newton etc.).
– Capitolul III cuprinde noțiunea de concurență a dreptelor; sunt prezentate
criterii de concurență cu aplicabilitate în c âteva probleme deosebite și câteva
teoreme celebre (teorema lui Carnot, teorema lui Nagel, teorema lui Gergonne
etc.).
– Capitolul IV conține dualitatea coliniaritate – concurență precum și câteva
probleme rezolvate prin metode alternative, dificultăți în tr atarea acestor
probleme, evaluarea în problematica coliniarității și concurenței.

4 Desigur, nu se poate epuiza sfera problemelor de coliniaritate și concurență, însă în
cadrul lucrării s -a încercat cuprinderea celor mai interesante rezultate din acest domen iu.
Pentru sprijinul și recomandările primite în realizarea acestei lucrări, aduc
mulțumirile mele domnului conf. dr. Dorel Miheț

5 CAPITOLUL I

NOȚIUNI PRELIMINARE

I.1. PREZENTAREA STRUCTURII DE SPAȚIU EUCLIDIAN

Geometria euc lidiană plană este o teorie matematică axiomatizată. Această teorie
dezvoltă proprietățile unei structuri matematice, numită planul euclidian , notat:

  , : x , : [0,180],ε ε εI IV D m U A 

structu ră matematică pe care o prezentă m în continuare.

Prezentarea sistem ului axiomatic

La baza geometriei euclidiene plane se va considera un sistem axiomatic după
G.D.Birkoff, grație accesibilități i și eficienței sale.
Noțiunile primare sunt: punctul, dreapta, funcția distanță dintre două puncte
 ,
„func ția-măsură-în grade ” a unghiurilor m.
Relațiile primare sunt cele aparținând teoriei mulțimilor: apartenență, incluziune,
funcție, relația de echivalență etc.
Punctele se vor nota cu A, B, C,…., M, N ,…., iar dreptele cu a, b,c, d,… ; mulțimea
punctelor se notează cu
 , mulțimea dreptelor cu D, mulțimea unghiurilor din plan cu U.
Se presupun cunoscute proprietățile algebrice, de ordine, de continuitate și metrice
ale mulțimii numerelor reale.
x
este un corp comutativ, ordonat arhimedian și
euclidian. Structura metrică pe
este dată de funcția distanță:

( , ) ( , )d x y x d x y x y     

(în particula r,
are și o structură topologică indusă de d – topologia naturală).
Axiomele geometriei euclidiene plane sunt grupate î n 6 grupe mari.

6 Prezentarea grupelor de axiome

 Axiomele de apartenență
1A sau
13I :

1I
. Mulțimea punctelor ,
ε, este planul. Dreptele sunt submulțimi ale planului
ε .
2I
. Fiecare dreaptă conține cel puțin două puncte distincte. Planul conține cel puțin
trei puncte care nu aparțin acele iași drepte.
3I
. Pentru oricare două puncte distincte , există o dreaptă și numai una care le
conține.
Trei sau mai multe puncte aparținând aceleași drepte se numesc puncte coliniare .
Dreapta determinată de punctele A și B se noteaz ă AB. Două drepte aparținând aceluiași
plan se numesc drepte paralele , dacă
12dd  se scrie
12||dd .

 Axioma riglei
IIA sau R

R: Pentru fiecare
dD , există o funcție
:sd
, care verifică următoarele
condiții:
1R
: s este bijectivă
2R
:
,P Q d , are loc relația:
( , ) ( ) ( )P Q s P s Q (formula distanței ).

O funcție
:sd
care verifică
12,RR se numește sistem de coordonate
carteziene normale pe d (s.c.c.n.), cu originea
1(0) O s d . Dacă
Pd , numărul
()Px s P
se numește coordo nata (abscisa) lui P în raport cu s. Numărul
( , )PQ
se numește distanța dintre punctele P și Q și se notează cu
||PQ sau PQ.

( , ) | | 0P Q PQ PQ  

Distanța între două puncte este un număr real pozitiv, un itatea de măsură este fixată
aprioric. Axioma riglei permite introducerea metodei coordonatelor în studiul planului
euclidian, prin intermediul sistemului de coordonate carteziene, respectiv al reperului
cartezian.

7 Se spune că
Md separă punctele
,A B d sau că M este între A și B, notând
A-M-B, dacă
AM MB AB , i.e.
A M Bx x x sau
B M Ax x x .
Se definesc noțiunile de segment deschis (închis) (AB), respectiv [ AB],
semidreapta deschisă (închisă) (AB, respectiv [ AB, de exemplu:

  ( ) :AB M AB A M B   

  ( ) :M A M B AB M x d x x x   

  [ : sau sau sau AB M AB A A A M B M B A B M       

  [:M A M AB M x d x x  

unde
d AB este înzestrat cu un s.c.c.n. , cu proprietatea
ABxx .

Vom spune că două segmente [ AB], [CD] sunt congruente și notăm
[ ] [ ]AB CD ,
dacă au aceeași lungime, adică
AB CD .
Reuniunea a două semidrepte închise cu aceeași origine se numește unghi . Dacă
[OA, [OB sunt două semidrepte cu originea O, atunci figura:
[[ AOB OA OB
este
unghiul cu vârful O și laturile [ OA, [OB.

Se mai notează
AOB
sau
hk unde
[h OA și
[k OB .

AOB
este unghi nul dacă
[[OA OB

AOB
este unghi alungit dacă
A O B
 Altfel
AOB
este unghi propriu .

8 Dacă A, B, M sunt puncte coliniare
()MB , se numește raportul în care M
divide bipunctul ( A, B) sau raportul simplu al ternei ordonate (A, B, M ), numărul real:

, dac ă [ )
( , ; ) ( , ; ) \ { 1 }
, dac ă [ )MAM ABMBA B M k A B MMAM ABMB  
 
.

Dacă dreapta AB este înzestrată cu un s.c.n.n., atunci

AM
BMxxkxx

1ABMx kxxk .

M este mijlocul lui [ AB] dacă
1 k .
Fie
dD și
,AB . Dreapta d separă punctele A și B dacă
d AB  .
Dacă
,A B d și
d AB  , atunci A și B sunt de aceeași parte a lui d.

 Axioma de separare
IIIA sau SP

SP. Fie o dreaptă
dD și trei puncte distincte
, , \ ε A B C d . Dacă d separă pe
A, B și nu separă pe B, C atunci d separă pe C, A.
O dreaptă
εd separă planul
ε în două semiplane (deschise) ale lui
ε , care sunt
disjuncte și se numesc semiplane opuse determinate (limitate) de d.
Dacă
Od , atunci
  ( : nu separ ă , dO M d d O M se numește semiplanul
limitat de d care conține pe O.
Se numește interiorul unghiului propriu
AOB
, figura:

(( AOB aB bA
, unde
a OA și
b OB .

Unghiurile proprii
AOB
și
BOC
se numesc adiacente dacă
AOB BOC 
,
AOB
și
BOC
se numesc adiacente suplementare dacă
semidreptele [ OA și [OB sunt opuse.

9
 Axiomele unghiului
IVA sau
13UU :

Dacă U este mulțimea unghiurilor din
ε și
 : [0;180]m hk U m hk   este
funcția măsură – în – grade a unghiurilor, atunci m satisface axiomele:

1U
.
0 m AOB 
dacă și numai dacă
AOB
este un unghi nul.

180 m AOB 
dacă și numai dacă
AOB
este un unghi alungit.
2U
(axioma raportorului).
Fie ( OA o semidreaptă și
 un semiplan limitat de dreapta OA. Pentru fiecare
număr
(0,180)a există o sem idreaptă unică
(OB , astfel încât
 m AOB 
.
3U
(axioma de adunare a unghiurilor)
Dacă
AOB
și
BOC
sunt unghiuri adiacente cu
 (OB AOC
sau sunt
unghiuri adiacente suplementare, atunci
 m AOB m BOC m AOC 
.
Suma măsurilor a două unghiuri adiacente suplementare este egală cu 180. Două
unghiuri,
,hk lm se zic suplementare , dacă
180 m hk m lm .
Două unghiuri
ABC
și
MNP
se zic congruente și se notează
ABC MNP
, dacă
 m ABC m MNP 
.
Măsura unghiului se exprimă printr -un număr real din [0,180]; unitatea de măsură
este fixată aprioric, instrumenul de măsură este raportorul .
Considerăm o altă unitate de măsură a unghiurilor, radianul , se poate obține o
teorie paralelă, înlocuind funcția măsură -în-grade m, cu funcția măsură -în-radiani
: [0, ]U
. Relația care există între cele două funcții este dată de formula:

180m hk hk


care permite trecerea de la măsura în grade la măsura în radiani a unui unghi. Axiomele
13UU
se pot reformula în termeni de „măsură în radiani”.
Semidreapta [ OC este bisectoarea unghiului
AOB
, dacă
 (OC AOB
și
AOC COB
.

10 Se numește unghi drept , orice unghi congruent cu un suplement al său.
AOB

este unghi drept dac ă și numai dacă
90 m AOB 
sau
2AOB
Dreptele OA și OB se numesc perpendiculare (în O) și se notează
OA OB dacă
AOB
este unghi drept.
Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul
său.
Două triunghiuri
,ABC MNP
se numesc congruente și se notează
ABC MNP
, dacă există o corespondență între vârfurile
, AM
, BN
CP ,
astfel încât:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]AB MN
AC MP
BC NP


și
AM
BN
CP
 .

 Axioma de congruență
VA sau L.U.L.

L.U.L.: Fie două triunghiuri
, ' ' 'ABC A B C
. Dacă
[ ] [ ' ']AB A B și
[ ] [ ' ']AC A C
și
' AA , atunci
' ' ' ABC A B C
.
În baza axiomei LUL se stabilesc teoremele de congruență a triunghiurilor: LLL,
LUU, ULU , precum și teorema unghiului exterior : un unghi exterior al unui triun ghi este
mai mare decât fiecare dintre unghiurile interioare neadiacente lui.

Consecințele primelor cinci grupe de axiome formează geometria absolută a
planului
ε , din care enumerăm câteva:

 Mediatoarea unui segment este locul g eometric al tuturor punctelor din plan,
care sunt la egală distanță de extremitățile segmentului.
 Fie
dD și
εA . Există o unică dreaptă care conține pe A și este
perpendiculară pe d.
 Pentru fiecare dreaptă
dD și fiecare punct
AD , există cel puțin o dreaptă
'dD
, astfel încât
' Ad și
' ||dd .

11  Bisectoarea unui unghi propriu este locul geometric al punctelor din interiorul
unghiului, care sunt la egală distanță de laturile unghiului, reunit cu vârful
acestuia. Bisectoarele unui triunghi sunt concurente.
 Într-un triunghi oarecare
ABC au loc inegalitățile:

AB BC CA
BC CA AB
CA AB BC



 Ansamblul
,εd formează un spațiu metric.
 Dacă două drepte
12,d d D formează cu o secantă o pereche de unghiuri
alterne interne, respective corespondente congruente, atunci
12||dd (criteriu de
paralelism).
 Într-un
ABC oarecare are loc relația:
180 m A m B m C  
.

 Axioma paralelelor
VIA sau P:

P: Fiind date, o dreaptă oarecare și un punct oarecare exterior dreptei, c el mult o
dreaptă conține punctul dat și este paralelă cu dreapta dată.
Consecințele tuturor grupelor de axiome anterioare formează geometria euclidiană
a planului
ε , din care enumerăm:

 Printr -un punct exterior unei drepte date e xistă o unică dreaptă paralelă la
dreapta dată.
 Dacă două drepte
12,d d D sunt paralele, atunci ele formează cu orice
secantă perechi de unghiuri alterne – interne, respectiv corespondente,
congruente.
 Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor
unghiurilor interioare neadiacente lui.
 Într-un
ABC oarecare are loc relația:
180 m A m B m C  
.

12 I.2. VECTORI. OPERAȚII CU VECTORI

Definiția 1
Fie
ε planul euclidian.
Produsul cartezian
ε x
εeste format din perechile ordonate de puncte din
ε numite
bipuncte .
Bipunctul
( , ) ε x ε AB are originea în A și extremitatea î n B, el determină
segmentul [ AB], dar și un sens pe dreapta AB, anume sensul semidreptei [ AB; de aceea,
bipunctul ( A,B) se mai numește segment orientat și se notează uneori cu
AB .
Un bipunct de forma ( A, A) este reprezentat grafic printr -un singur punct A. Două
bipuncte sunt bipuncte egale dacă și numai dacă au aceeași origine și aceeași extremitate.
Definiția 2
Două bipuncte ( A, B ) și
( ', ')AB se numesc bipuncte echipolente și vom nota
( , ) ( ', ')A B A B
dacă segmentele [ AB] și
[ ' ]AB au același mijloc.

Proprietățile relației de echipolență :

1) Toate bipunctele de forma ( A, A) unde
εA sunt considerate echipolente, prin
definiție.
2) Dacă punctele
, , ', 'A B A B nu sunt coliniare, atunci
( , ) ( ', ')A B A B dacă și
numai dacă
''AA BB este un paralelogram.
3) Dreptele A B și
''AB au aceeași direcție (adică
'' AB A B sau
|| ' 'AB A B )
4) Semidreptele [ AB și
[ ' 'AB au același sens ( adică
'AA nu separă B și
'B ).
5) [AB] și
[ ' ']AB sunt segmente congruente (au aceeași lungime).

13 6)
( , ) ( , )A B A B ( relația este reflexivă).
7)
( , ) ( ', ') ( ', ') ( , )A B A B A B A B   (relația este simetrică).
8)
( , ) ( ', ')A B A B și
( ', ') ( ", ") ( , ) ( ", ")A B A B A B A B   (relația este
tranzitivă).
9)
( , ) ( ', ') ( , ') ( , ')A B A B A A B B   .

Definiția 3
Se numește vector geomet ric sau vector liber sau vector din planul euclidian
ε cu
reprezentantul ( A, B), mulțimea tuturor bipunctelor din
ε care sunt echipolente cu ( A, B) și
se notează
AB .
  : ( , ) ( , ) ( , ) ε ε AB M N x A B M N 

' ' ( , ) ( ', ') ( ', ') ( , ) ' ' AB A B A B A B A B AB A B A B      
.

Definiția 4
Vectorul
AA
reprezentat de bipunctele de forma ( A, A) se numește vector nul , iar
vectorul
BA
reprezentat de bipunctul ( B,A) se numește opusul vectoru lui
AB
.
Mulțimea tuturor vectorilor din
ε se va nota
ε
.
Fiecare punct din
ε este originea unui reprezentant unic al unui vector dat, adică:

,:ε ε εv A B AB v    
.

Un vector nenul
v AB
determină o direcție unică, direcția dreptei suport AB, ea
se numește direcția vectorului
v.

AB CD AB CD  
sau
||AB CD .

Definiția 5
Doi vectori care au aceeași direcție se numesc vectori coliniari . Prin definiție,
vectorul nul este coliniar cu orice vector.

14

Un vector nenul
v AB
determină un sens unic pe direcția sa, anume sensul
semidreptei [ AB; el se numeșt e sensul vectorului
v.

[ ,[ AB CD AB CD
au același sens.

Doi vectori
, ' ' a OA b O A
sunt de sensuri opuse (contrare), dacă semidreptele
[OA și
[ ' 'OA au sensuri opuse.

Definiția 6
Un vector
v AB
determină un număr nenegativ unic, anume, lungimea
bipunctului ( A, B) sau lungimea segmentului [ AB]; el se numește lungimea sau modulul
vectorului
v și se notează cu
||v .

AB CD AB CD  
sau
| | | |AB CD
.

15 Implicația reciprocă nu este adevărată, adică egalitatea lungimilor a doi vectori nu
înseamnă egalitatea acestora.
Vectorul care are
| | 1v se numește vector unitar sau versor .
Observație : Fiecare vector nenul este unic determinat de ansamblul celor trei
elemente asociate: direcție, sens și lungime. Doi vectori sunt egali dacă și numai dacă au
aceeași direcție, același sens și aceeași lungime.

Definiția 7
Unghiul a doi v ectori nenuli
a și
b este unghiul determinat de doi reprezentanți
ai vectorilor, cu aceeași origine, respectiv măsura acestuia.
Dacă
a OA
și
b OB
, atunci
,:a b AOB
sau
 , : [0;180] m a b m AOB 
sau
 , : [0; ]a b AOB   
. Dacă
, 90 m a b 
, respectiv
,2ab 
, vectorii se numesc vectori ortogonali
(perpendiculari) și se notează
ab .
Observație : Doi vectori
a și
b sunt coliniari dacă și numai dacă
, {0;180} m a b 
, respectiv
, {0; }ab 
.

OPERAȚII CU VECTORI

Adunarea vectorilor
Fie
, a OA b OB
doi vectori nenuli din
ε
. Se numește suma vectorilor
a și
b
vectorul
a b OC
, unde C este simetricul lui O față de mijlocul lui [ AB], respectiv C
este c el de -al patrulea vârf al paralelogramului OACB construit pe
OA
și
OB
. Dacă unul
din vectorii
a sau
b este vectorul nul, de exemplu,
0b , atunci, prin definiție,
00a a a   
(
0 este element neutru la adunare).
Operația prin care se asociază la doi vectori suma lor se numeșt adunarea vectorilor.
Adunarea vectorilor
a și
b este corect definită, adică suma
ab depinde de alegerea
reprezentanților lui
a și
b.

16
( ', ') ( , ),( ', ') ( , ) ( ', ') ( , )O A O A O B O B O C O C   , unde
'C este simetricul
lui
'O față de mijlocul lui
[ ' ']AB .

Asemenea compunerii forțelor sau vitezelor din fizică, se spune că adunarea
vectorilor se face prin „regula paralelogramului ”. În calculul vectorial este util ă scrierea
sumei a doi vectori cu „regula triunghiului ”:

AB BC AC
,
,ε AB .

Diferența vectorilor
Diferența vectorilor
, a OA b OB
este
: a b BA
. Vectorii sumă și diferență
ab
, și
ab , au ca suporturi cele două diagonale ale paralelogramului AOBC, construit
pe
OA
și
OB
.
Pentru orice vector
AB
și orice punct O din
ε, există egalitatea:

AB = OB -OA;
AB OB OA

Adunarea vectorilor are următoarele proprietăți :
1)
 a b c a b c     (asociativitate)
2)
a b b a   (comutativitate);
3)
0 a a a a      (
a și
a sunt simetrice la adunare);
4)
 a b a b    ;
5)
a b c a b c     ;

17 6)
| | | | a b a b   (inegalitatea lui Minkowski )
7) Dacă
a și
b sunt coliniari, atunci
, a b a b sunt coliniari;
8)
0 AB BC CA  
,
,,A B C E (relația lui M.Chasles );
În general
1 2 2 3 1 … 0nn A A A A A A    
(regula poligonului ).

Produsul unui vector cu un scalar
Fie
a OA
vector nenul din
ε și

.
Se numește produsul vectorului
a cu scalarul
 vectorul
:a OD
unde D este
coliniar cu A și O și este determinat de valoarea și semnul lui
 , astfel:
– dacă
0 atunci D-O-A și
OD OA ;
– dacă
0 , atunci
DO ;
– dacă
0 , atunci
(D OA și
OD OA
Dacă
0a , atunci prin definiție
0 0,  
.

Înmulțirea cu scalari a vectorilor are ur mătoarele proprietăți :
1) Vectorii
a și
a sunt coliniari, de același sens dacă
0 și de sensuri opuse
dacă
0 .
2)
1 ;( 1)a a a a     ,
εa
;
3)
00aa   sau
0 ;
4)
 a a a a        ;
5)
a a a      ;
6)
 a b a a     ;
7)
| | | | | |aa .

18
Observații:

1. Doi vectori nenuli
a și
b sunt coliniari dacă și numai dacă există un număr real
nenul
 , astfel încât
ab .
2. Dacă
v este un vector nenul, atunci
1
||ev
v este un vector unitar, coliniar și de
același sens cu
v , numit versorul lui
v.
3. Fie punctele coliniare A, B, M
()MB . Numărul real
{ 1 } k
este raportul
în care M divide bipunctul ( A ,B) dacă și numai dacă
MA kMB
, deci:
( , ; )1OA kOBA B M k MA k MB OMk     
.
Punctul M este mijlocul segmentului [ AB] dacă și numai dacă
0 MA MB
.
4. Fie punctele coliniare distincte A, B, M, N . Punctele M, N sunt conjugate
armonic față de A, B dacă și numai dacă există un număr real
{ 1,0,1 } k  
astfel
încât
MA kMB
și
NA k NB 
, adică
,1OA kOBOM O Ek
.
Punctul M este mijlo cul lui [ AB], dacă și numai dacă
1
2OM OA OB
.

Produsul scalar a doi vectori

Definiția 1
Pentru doi vectori
a și
b se definește unghiul dintre cei doi vectori , unghiul
AOB
, unde O este un punct al planului euclidian, iar A și B sunt astfel alese încât
direcția semidreptei [ OA coincide cu direcția lui
a , iar direcția semidreptei [ OB coincide
cu direcția lui
b .

19

Definiția 2
Fiind dați doi vectori
a și
b notăm cu
[0, ] unghiul acestor doi vectori.
Numărul real
| | | | cos a b a b      se numește produsul scalar al vectorilor
a și
b .
Dacă vectorii sunt perpendiculari atunci produsul lor scalar este 0.

Produsul scalar a doi vectori are următoarele proprietăți :

1. Dacă
0a sau
0b atunci
0 ab , prin definiție.
2. Dacă
, a OA b OB
și
' ( )OA A pr A și
' ( )OB B pr B atunci
' a b OA OB  
sau
' a b OA OB  
.
3.
2 2||aa , unde
220; 0 0 a a a a a      .
4.
a b b a   (simetrie).
5.
 a b c a b a c      (aditivitate).
6.
 , a b a b a b        
(omogenitate).
7.
| | | | a b a b   (inegalitatea lui Cauchy ).
8.
2()babp a b
b dacă
0b , unde
( ) : 'bp a OA
este proiecția ortogonală a lui
a
pe direcția lui
b .

20 Observații
1. Doi vectori
a și
b sunt coliniari dacă și numai dacă
| | | | a b a b   .
2. Doi vectori sunt ortogonali dacă și numai dacă
0 ab .
3. În planul euclidian se fixează doi vectori unitari ortogonali
i și
j . Dacă
1 1 1a x i y i
și
2 2 2a x i y i în raport cu
,ij , atunci:
1 2 1 2 1 2a a x x y y  
este exprimarea produsului scalar în coordonate .
4. Dacă
v xi yi , atunci se regăsește expresia lungimii lui
v , anume:
22||v x y
.
5. Dacă
1 1 1a x i y i și
2 2 2a x i y i sunt vectori nenuli, iar
[0, ]
notează unghiul vectorilor
1a și
2a , atunci form ula:
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2cosx x y y
x y x y
  
permite calculul lui
 cu ajutorul produsului
scalar.

I.3. REPER E CARTEZI ENE ÎN PLANUL EUCLIDIAN

Reper cartezian pe o dreaptă

Fie d o dreaptă. Se numește reper cartezian pe dreapta d o pereche
,Oi
formată dintr -un punct
Od (originea reperului) și un vector nenul
i din direcția lui d
(există
Xd , unic, astfel încât
OX i
). În p articular, dacă
i este un versor, atunci
,Oi
se numește reper cartezian normal pe d. Un segment orientat ( A, B) determină, în
mod natural, un reper cartezian
,A AB
pe dreapta AB.
Dreap ta d înzestrată cu un reper cartezian
,Oi se numește axă (de coordonate) cu
originea O și semiaxa pozitivă [OX.

21

Fie d înzestrată cu un reper cartezian (normal)
,Oi .
:MM M d x OM x i   
.
OM
se numește vectorul de poziție al punctului M;
Mx se numește coordonata
(abscisa) lui M relativ la
,Oi și se scrie
M M x d .
Funcția
:M s M d x  
este biject ivă și se numește sistem de coordonate
carteziene pe d asociat lui
,Oi . Se mai notează
s OX .
Observație: Dacă
( ), ( )ABA x B x d  , atunci
1.
()BA AB x x i  
;
2.
||BA AB x x ;
3.
( , ; )1A B A MM
BMx kx x xA B M k x kk x x     unde
( ) ,MM x d

MB .

Reper cartezian în plan

Fie
 un plan. Se numește reper cartezian în planul
 un ansamblu
;,O i j ,
format dintr -un punct
O (originea reperului) și doi vectori necoliniari
i ,
j din
direcția planară a lui
 (există
,XY , unic determinate de condițiile
, OX i OY j
). În particular, dacă
i ,
j sunt versori ortogonali, atunci
;,O i j este un
reper cartezian ortonormal în
 . Un triplet ordonat de puncte necoliniare ( A, B, C )
determină un reper cartezian
 ,,A AB AC
în planul ABC .
Dacă s -a fixat un reper cartezian (normal, ortonornal)
;,O i j în
 , atunci se mai
spune că planul
 este raportat la reperul
;,O i j .

22 Dreptele OX și OY formează sistemul de axe (de coordonate) cu reperele
carteziene
,Oi și respectiv
,Oj , asociat reperului cartezian
;,O i j .

Fie planul
 raportat la un reper cartezian ortonormal
;,O i j .
, x :M M M M M x y OM x i y j    
.
OM
este vectorul de poz iție a lui M;
,MMxy se numesc coordonatele (abscisa,
respectiv ordonata ) lui M relativ la
;,O i j și se scrie
,MM M x y  .
Funcția
2: ( , ) xMM s M x y   
este bijectivă și se numește sistem
de coordonate carteziene în
 asociat lui
;,O i j . Se mai notează
s OXY .
Observație: Dacă
 , , ,A A B BA x y B x y  , atunci:
AA
BBOA x i y j
OB x i y j


 B A B A AB x x i y y j   

22( ) ( )B A B A AB x x y y   

1( , ; )
1ABMA M A M
AB B M B MMx kxxx x y y kA B M k ky ky x x y yyk           
unde
,,MM M x y AB M B 
.

23 CAPITOLUL II

COLINIARITATE

II.1. CE E STE O PROBLEMĂ DE COLINIARITATE?
CRITERII DE COLINIARITATE (EXEMPLIFICĂRI)

Noțiunea de coliniaritate

Definiție
Două sau mai multe figuri (puncte, bipuncte, segmente, semidrepte) se numesc
figuri coliniare , dacă există o dreaptă care le conține. În caz contrar, ele se numesc
necoliniare .
Cum două puncte distincte determină o dreaptă, înseamnă că, dacă figurile sunt
puncte, atun ci problema coliniarității se pune pentru trei sau mai multe puncte.

A B C D E

Figurile A,
( ],[BC DE sunt coliniare.

A B CD

Puncte coliniare

24
B AC
Puncte necolin iare
Fie punctele A, B, C aparținând planului euclidian. Dacă A, B, C sunt coliniare,
atunci unul și numai unul dintre ele se află între celelalte două.
Dacă C este între A și B, adică
AC CB AB , atunci se notează
A C B sau
B C A
.

Criteriu nr.1 – Probleme în rezolvarea cărora se folosește postulatul lui Euclid:
„Printr -un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelă și numai una la acea dreaptă”

Criteriu nr.2 – Probleme în rezolvarea căr ora folosim teorema: „Într -un plan dintr –
un punct exterior unei drepte se poate duce pe acea dreaptă o perpendiculară și numai una”.

Criteriu nr.3 – Probleme în rezolvarea cărora se va identifica o dreaptă care
conține punctele considerate.

Criteriu nr.4 – Probleme în rezolvarea cărora se utilizează proprietățile unghiurilor
opuse la vârf.

Criteriu nr.5 – Probleme în rezolvarea cărora intervin două sau mai multe unghiuri
adiacente cu proprietatea că unghiul sumă a lor este un unghi alungit.

Criteriu nr.6 – Probleme în care se va redefini unul din punctele care figurează în
condiția de coliniaritate.

25 Punctele A, B, C sunt coliniare dacă:

1.
180 m ABC 
.

Observații :
1) În redactarea rezolvării problemei trebuie precizat: „Considerăm semi dreptele
(BA și
("BC pentru a nu se crea dubii asupra procedeului folosit.
2) În general
 m ABC
se obține o relație de tipul:
 m ABC m ABX m XBY m YBC   
unde
 Int BX ABY
și
 Int BY XBC
.

2.
0 m ABC 

Observație : Se consideră semidreptele ( AB, ( AC, (AX și se arată că
 m XAB m XAC 
.

3.
 m BAX m CAY 
unde
A XY iar B, C se găsesc în semiplane diferite
determinat e de dreapta XY.

26

Observație: Se utilizează reciproca teoremei unghiurilor opuse la vârf.

4.
||AB XY și
||AC XY

Observații :
a) Se utilizează axioma referitoare la unicitatea paralelelei dusă printr -un punct la o
dreaptă.

b) Ca variantă se poate folosi teorema privind unicitatea perpendicularei dusă dintr –
un punct pe o dreaptă și anume:
AB XY și
AC XY .

27 5. Aria triu nghiului ABC este nulă

Observație: Se va demonstra acest lucru cu ajutorul relației:
[ ] [ ] [ ]AOB AOC COB  
unde
 IntC AOB
.

1) Cu ajutorul mijlocului unui segment: dacă M este mijlocul lui [ BC]  A, M, B
coliniare.

A B M

2) Cu ajutorul dreptelor confundate (Cu axioma lui Euclid, arătând că cele trei
puncte determină două drepte paralele cu o dreaptă dată). Dacă
||
||AB dABAC d

și AC sunt drepte confundate.

A B C
d

3) Cu ajutorul distanțelor, arătând că fiind de aceeași parte a unei drepte sunt la
aceeași distanță față de acea dreaptă. Dacă
, , ( , )A B C d A și
( , ) ( , ) ( , ) , ,d A d d B d d C d A B C  
sunt coliniare.

28
A B C
d

4) Arătând că:
AB BC AC . Dacă AB, BC, AC sunt lungimi de segmente și
[] AB BC AC B AC   
și A, B, C sunt coliniare.
5)
A B C5 2

6) Cu ajutorul unghiurilor adiacente suplementare.
Dacă
180 , , m ABD m DBC A B C   
sunt coliniare.
A B CD

7) Cu ajutorul a două drepte perpendiculare pe o altă dreaptă în același punct al ei.
Dacă
,,AB dA B CAC d coliniare.

29
A
CdB
8) Analitic, arătând că coordonatele lor verifică ecuația dreptei. Fie
 , , , , ,A A B B C CA x y B x y C x y
trei puncte și ( d) o dreaptă de ecuație
0 ax by c  
. Dacă
0
0 , ,
0AA
BB
CCa x b y c
a x b y c A B C d
a x b y c    
      
     , deci sunt
coliniare sau dacă și numai dacă
1
10
1AA
BB
CCxy
xy
xy .

EXEMPLE ILUSTRATIVE
Problema 1 :
Se consideră paralelogramul ABCD și punctele
( );M AB N DM astfel încât
AM MB
și
3 MD MN . Să se demonstreze că punctele A, N, C sunt coliniare.
Soluție : Folosind operațiile cu vectori se obțin relațiile:
AN AM MN
(1)
CN CD DN

AB
CDM
N

30
Se înmulțește prima relație cu 2 și prin adunare cu a doua egalitate se obține:
2 2 2AN AM MN

CN CD DN

Avem:
2 2 2 2 2 2AN CN AM MN CD DN AM MN AM        

20MN
. Așadar
20AN CN
, deci vectorii
AN
și
CN
sunt coliniari. Rezultă că
punctele A, N, C sunt coliniare.

Problema 2 :
Se dau cercurile C(O,K) și C(O',R' ) care se intersectează în punctele A și B.
De aceeași parte cu A față de dreapta OO' se consideră punctele
( , ) M C O R și
' ( ', ')M C O R
astfel ca
|| 'OM O A și
' '||O M OA .
Să se arate că punctele A, M, M' sunt coliniare.

Demon strație :
Presupunem că punctele A, M, M' nu sunt coliniare.
Fie E al doilea punct de intersecție al dreptei MA cu cercul C(O',R' ).
Atunci:
' AMO EAO
(1) ca unghiuri corespondente.

31 Unghiurile
, ' ' MOA AO M
– având laturil e două câte două paralele și de același sens,
sunt congruente.
Triunghiurile isoscele
MOA și
''AO M sunt asemenea și atunci:
(2)
'' AMO M AO
.
Comparând relațiile (1) și (2) obținem că:
' ' ' EAO M AO
(3)
Din relația (3) rezultă că două unghiuri cu vârful comun în A, cu latura comună
[AO'] și cu interioarele de aceeași parte a laturii comune sunt congruente fără ca celelalte
două laturi [ AE, [AM' să coincidă.
Contradicția la care s -a ajuns arată că punctele A, M, M' sunt coliniare.

Problema 3 :
Fie trapezul isoscel ABCD (BC || AD).
Bisectoarele interioare ale unghiurilor A și B se întâlnesc în E, iar bisectoarele
interioare ale unghiurilor C și D în F.
Fie G mijlocul diagonalei AC. Să s e arate că punctele F, G, E sunt coliniare.

Demonstrație:
Triunghiul AEB este dreptunghic în E. Fie M – mijlocul laturii AB, atunci
1
2EM AB
, triunghiul EMA este isoscel.

MEA MAE EAD
, deci ME || AD.
Analog, pentru N – mijlocul lui CD, obținem NE || AD.
MN – fiind linie mijlocie în trapez, avem
||MN AD , deci punctele
,E F MN . G
– mijlocul diagonalei aparține lui MN, așadar punctele F, G, E – sunt coliniare.

32
Problema 4 :
Fie unghiul XOY și M un punct în interiorul lui, nesituat pe nici una din laturi.
Segmentul [ OM] se prelungește cu
[ ] [ ]MA OM . Paralela prin A la OX întâlnește
pe OY în B, iar paralela prin A la OY întâlnește pe OX în C.
Să se demonstreze că punctel e B, M, C – sunt coliniare.

Demonstrație:
În patrulaterul OBAC avem OC || AB, OB || AC, deci OBCA este paralelogram.

Segmentul [ OA] – este una din diagonale, cu M – mijlocul ei. Cealaltă diagonală
[BC] intersectază diagonala [ OA] în M. Așadar punctele B, M și C sunt coliniare.

Problema 5 :
Fie
', 'BC mijloacele segmentelor ( AC) respectiv ( AB).
D – simetricul lui B față de B', iar E – simetricul lui C față de C.
Să se demonstreze că punctele D, A, E – sunt coliniare.

Demonstrație :
Patrulaterul AEBC având diagonalele care se taie în părți congruente este un
paralelogram, deci:
(1) AE || BC.

33 În patrulaterul ABCD diagonalele se taie în părți congruente deci este un
paralelogram, atunci:
(2) AD || BC
Din relațiile (1) și (2), ținând cont de axioma unicității paralelei rezultă că punctele
D, A, E – sunt coliniare.

Problema 6 :
Fie un paralelogram ABCD și punctele E, F astfel încât
( ), ,B AE BE AD
( ),D AF DF AB
. Să se demonstreze că punctele E, C, F sunt co liniare.
Demonstrație:

34 Din triunghiurile isoscele
CBE și
FDC obținem relațiile:
(1)
BCE CEB

(2)
DCF CFD

iar din paralelogramul ABCD obținem
(3)
DAB DCB
.
Ținând cont de relațiile (1), (2) și (3) rezultă:
180 m FCD m DCB m BCE    

Cum punctele D, F și E, B sunt de aceeași parte a lui AC, rezultă că punctele F, E
sunt de o parte și de alta a dreptei AC, deci
()C FE .
Unghiurile ACF și ACE sunt adiacente suplementare dacă laturile lor necomune vor
fi în prelungire. Așadar punctele F, C, E – sunt coliniare.

Problema 7 :
Fie paralelogramul ABCD (AB < AD ) și punctele E, F astfel încât
( ), ( )A BE F AD
și
[ ] [ ]BE AD și
[ ] [ ]DF AB . Demonstrați că punctele C, F, E –
sunt coliniare.

Demonstrație:
Unim F cu C și separat F cu E. Triunghiurile
CDF și
AEF – isoscele.
Deoarece
AFE DFC
obținem că
AFE DFC
.

35 Deoarece semidreptele [ FE și [FC formează cu dreapta AD,
()F AD , de o parte
și de alta a ei, unghiurile congruente
AFE
și
DFC
, rezultă că se midreptele [ FE și [FC
sunt în prelungire, adică punctele E, F, C sunt coliniare.

Problema 8 :
Fie un triunghi ABC și punctele D, E, F, G – picioarele perpendicularelor duse din
A pe bisectoarele interioare și exterioare ale unghiurilor
ABC
, respectiv
ACB
. Să se
demonstreze că punctele D, E, F, G sunt coliniare.
Fie D, E , proiecțiile lui A pe bisectoarele unghiului ABC . ADBE – dreptunghi, deci
DE trece prin C – mijlocul diagonalei AB. Din
 ' m C EB m ABE 

1
2m B m EBC
, obținem că EC || BC.
Paralela prin C la BC trece prin B' – mijlocul laturii AC.
Prin urmare punctele D, E, F, G aparțin lui
''BC , deci sunt coliniare.

Problema 9 :
Trapezul isoscel ABCD (BC || AD) este circumscris unui cerc de centru O. Punctele
de contact ale laturilor ( AB), (BC), (CD), (DA) cu cercul înscris sunt: E, F, G, H .
Diagonalele trapezului se intersectează în O.
Demonstrați că E, O, G și H, O, F sunt triplete de puncte coliniare.

Demon strație:
Ținând cont că, trapezul ABCD este isoscel și este circumscris unui cerc avem
egalitățile: ( EB) = (BF) = (FC) = (CG) și (EA) = (AH) = (HD) = (DG).

36 Din asemănarea triunghiurilor formate obținem că:
EB BF BC BO
EA AH AD OD  
.
Aplicând reciproca t eoremei lui Thales:
din triunghiul
BAD obținem EO || AD (1)
iar din triunghiul
DAC obținem OG || AD (2)

Din relațiile (1) și (2), ținând cont de axioma unicității paralelei rezultă că punctele
E, O, G sunt coliniare.
Din
, OH AD OF BC , și
||AD BC obținem că punctele H, O, F sunt
coliniare.

Problema 10 :
Fie E un punct în interiorul pătratului ABCD și F un punct în exteriorul pătratului
astfel încât triunghiurile
ABE și
BCF să fie triunghiuri echilaterale.
Demonstrați că punctele D, E, F – sunt coliniare

Demonstrație:
Va trebui să demonstrăm că
CDE CDF
în condiția în care punctele E și F
sunt de aceeași parte a dreptei DC.

37

Din triunghiul isoscel
ADE obținem că
30 , m DAE 

75 . m ADE m AED   
Cum
 m ADE m ADC E 
și A sunt de
aceeași parte a lui DC și
15 . m CDE 

Din triunghiul isosce l
DCF avem
90 60 150 m DCF    
și
15 . m CDF m CFD   
cu punctele F și B de aceeași parte a lui DC.
Cum punctele E și A respectiv F și B sunt de aceeași parte a dreptei DC și
CDE CDF
obținem că pun ctele D, E, F – sunt coliniare.

Problema 11:
În planul euclidian raportat la un s.c.c.o.
;,O i j se consideră punctele
( 2; 1), (4,8)AB
și
(6,11)C . Arătați că punctele sunt coliniare.
Soluție : În rezolva re vom determina valoarea determinantului:
2 1 1
4 8 1 0
6 11 1

rezultă că punctele A, B, C sunt coliniare.
Problema 12
În planul euclidian raportat la un s.c.c.o.
;,O i j considerăm punctele
(8,0), (4,8), (0,3)A B C
. Dreapta BC intersectează axa Ox în D, iar dreapta AB

38 intersectează axa Oy în E. Arătați că mijloacele segmentelor [ OB], [AC], [DE] sunt
coliniare.
Soluție : Se determină ecuația dreptelor AB și BC calculând coordonatele punctelor
D și E de intersecție ale acestora cu axele de coordonate.
Se obține
( 3,0)D și
480,5E
 . Se calculează coordonatele mijloacelor [ OB],
[AC], [DE], respectiv
3 3 3 24,3 , 4, , ,2 2 2 5M N P                 se înlocuiesc aceste valori în
determinant, obținând valoarea deter minantului egală cu 0.
Rezultă că punctele M, N, P sunt coliniare.

II.2. TEOREMA LUI MENELAUS. APLICAȚII

Fie triunghiul ABC și punctele
, M BC N AC și
P AB , diferite de A, B, C .
Punctele M, N, P sunt coliniare dacă și numai dacă are loc relația:
(1) 1PA MB NC
PB MC NA   .

39 Observație : Demonstrația urmează o cale asemănătoare și în cazul când
transversala intersectează prelungirile laturilor triunghiului dat.

Teorema lui Menelaus

O dreaptă d care nu trece prin nici un vârf al
ABC intersectează dreptele suport
ale laturilor
ABC în punctele
', ', 'A B C .
Atunci
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B   .

Reciproca : Dacă
'A aparține lui BC,
'B aparține lui CA,
'C aparține lui AB și
dacă
', ', 'A B C sunt situate două pe laturi și unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe
prelungirile laturilor și dacă
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B   atunci punctele
', ', 'A B C sunt
coliniare.

40 Demonstrarea teoremei lui Menelaus utilizând metoda analitică

Demonstrație : Folosind coordonatele punctului ce împarte un segment într-un
raport dat, se obține:
1 2 1 2,11x x y yM


;
1 2 1 2,11x x y yN


;
1 2 1 2,11x x y yP


.
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2111
1011
111x x y y
x x y y
x x y y









dacă și numai dacă
1     .

41 Demonstrarea teoremei lui Menelaus utilizând metoda transformărilor
geometrice
Demonstrație : Fie d transversala dată și segmentele paralele
2 2 2[ ],[ ],[ ]AA BB CC
care intersectează dreapta d în
2 2 2,,A B C . Consider omotetiile
3 12
1 1 1;;k kk
A B CH H H astfel
încât:
12
11( ) ; ( ) ;kk
ABH B C H C A
3
1()k
CH A B rezultă
1 1 11 2 3
1 1 1;;A B B C C Ak k kA C B A C B   ;
avem
3 122 2 2 2 2 21 1 1( ) ; ( ) ; ( )k kk
A B CH B C H C A H A B   , deci
2 2 21 2 3
2 2 2;;BB CC AAk k kCC AA BB  
care prin înmulțire vor da:
1 2 3 1 k k k și se obține
relația cerută.

Problemă: (Reciproca teoremei lui Menelaus)
Considerăm un triunghi ABC și punctele
' ( ), ' ( )A BC B CA și
' ( )C AB .
Se presupune că două dintre puncte sunt situate pe două laturi ale triunghiului și
unul este situat pe prelungirea celei de -a treia latură (sau că punctele
', ', 'A B C sunt situate
pe prelungirile laturilor triunghiului). Dacă are loc egalitatea:
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B   (1)
atunci punctele
', ', 'A B C sunt coliniare.

42

Demonstrație:
Presupunem că două dintre puncte sunt situate pe două laturi ale triun ghiului și unul
este situat pe prelungirea celei de -a treia laturi.
Presupunem că punctele
', ', 'A B C nu sunt coliniare. Atunci dreapta A'B' ar
intersecta latura AB într-un punct C" diferit de C. Aplicând teorema lui Menelaus pentru
puncte le coliniare
', ', "A B C obținem:
' ' "1' ' "A B B C C A
A C B A C B   (2)
Din relațiile (1) și (2) rezultă că:
'"
'"C A C A
C B C B .
Ar însemna că segmentul [ AB] este împărțit de punctele interioare C și C" în același
raport – contradicție, eliminând presupunerea făcută ajungem la concluzia că punctele
', ', 'A B C
sunt coliniare.

Problemă:
Considerăm triunghiul ABC – triunghi neisoscel.
Bisectoarea exterioară a unghiului A intersectează drea pta BC în A'.
Analog: Bisectoarea exterioară a unghiului B intersectează dreapta AC în B'.
Bisectoarea exterioară a unghiului C intersectează dreapta AB în C. Să se arate că punctele
', ', 'A B C
– sunt coliniare.

43
Soluție :
Știm că bisecto area interioară este perpendiculară pe bisectoarea exterioară.

"'AA AA

"'BB BB

"'CC CC

Notăm: AB = c , AC = b , BC = a.
Din teorema bisectoarei unghiurilor exteriaore A, B, C, avem:
':'A B cAA C b
(1);
':'B C aBB A c
(2) și
':'C A bCC B a
(3).
Înmulțind cele trei relații membru cu membru, obținem:
' ' '1'''A B B C C A c a b
A C B A C B b c a     
și folosind reciproca teoremei lui Menelaus
pentru triunghiul ABC și punctele
', ', 'A B C situate pe prelungirile laturilor triunghiului
obținem că punctele
', ', 'A B C sunt coliniare.

44 II.3. TEOREME CELEBRE DE COLINIARITATE

Teorema lui Pascal

În orice hexagon înscris într -un cerc, punctele de inter secție ale laturilor opuse sunt
coliniare.
Demonstrație : Fie
{ }; { }; { } AB DE L CB FE M AF DC N      .
Consider triunghiul IJK format din prelungirile laturilor ( AB), (CD), (EF). Aplic teorema
lui Menelaus pentru triunghiul IJK și transversale ED, BC, AF .
Obțin următo arele relații:
1;(1)EK DI LJ
EI DJ LK  

1;(2)BJ CI MK
BK CJ MI  

1;(3)AJ FK NI
AK FI NJ  
.

Ținând cont de relațiile deduse din scrierea puterilor punctelor I, J, K față de cerc:
IC ID IE IF  
;
JB JA CJ JD   ;
KA KB KE KF   și înmulțind relațiile (1), (2)
și (3) membru cu membru obțin:
1LJ MK NI
LK MI NJ    conform reciprocei teoremei lui
Menelaus, punctele L, M, N coliniare.

45 Dreapta lui Simson – Wallace

Enunț: Proiecțiile ortogonale ale unui punct pe cercul circumscris triunghiului
ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.
Demonstrație : Fie D proiecția lui M pe BC, E proiecția lui M pe AC și F proiecția
lui M pe AB. Vom uni separat E cu F și E cu D. Patrulaterele AEMF , MEDC, FBDM sunt
inscripti bile.
Avem:
90 90 DEC DMC DCM FAM FMA FEA      
.
Deci,
FEA DEC
(opuse la vârf) și deci D, E și F sunt coliniare.

Problemă: Dreapta lui Simson
Să se demonstreze că proiecțiile ortogonale ale unui punct M de pe cercul
circumscris unui triunghi pe laturile acestuia sunt puncte coliniare.

Demonstrație:
Fie
' , ' , 'BC AC AB A pr M B pr M C pr M   .
Unim B' cu A' și separat B' cu
'C .
Patrulaterele ABCM , A'CMB' ,
''AB MC sunt inscriptibile.

46

Avem:
 ' ' ' 90 ' 90 ' m A B C m A MC m A CM m C AM      

 ' ' ' m C MA m C B A
deci
' ' ' 'A B C C B A
punctele
', ', 'A B C – sunt
puncte coliniare.

Cu ajutorul reciprocei teoremei lui Simson:
Problemă:
Fie H – ortocentrul triunghiului ABC și A' – piciorul înălțimii di n A. Se notează cu
D – simetricul lui H față de A' și fie
,AB AC E pr D F pr D . Să se demonstreze că
punctele E, A' și F – sunt coliniare.
Demonstrație:
Din Teorema lui Simson, știm că simetricul ortocen trului unui triunghi se află pe
cercul circum scris triunghiului
.

47 Punctele A', E, F sunt proiecțiile unui punct D de pe cercul circumscris triunghiului
ABC pe laturile acestuia.
Conform teoremei lui Simson, punctele A', F și E sunt puncte de pe dreapta lui
Simson a punctului D în raport cu triunghiu l ABC .
Fiind pe aceeași dreaptă, punctele A', F și E sunt puncte coliniare.

Dreapta lui Euler

Enunț : În orice triunghi ortocentrul ( H), centrul de greutate ( G) și centrul cercului
circumscris triunghiului ( O), sunt coliniare. Dreapta determinată de acest e puncte se
numește dreapta lui Euler.
Demonstrație : 1) Dacă triunghiul ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele trei
puncte se găsesc pe o mediană.

2) Fie triunghiul ABC ascuțitunghic. În cazul în care ABC este obtuzunghic,
considerațiile de mai j os rămân valabile.
~ ' ' HAB OA B (au laturile paralele). Din
teorema fundamentală a asemănării avem:
11
' ' ' ' 2 ' 2HA HB AB HA
OA OB A B OA     .
Dar și
'~ OGA HGA conform cazului al doilea de asemănare, de unde
'OA G AGH
. Conform metodei 3, va rezulta că punctele O, G și H sunt coliniare.

48 Dreapta ortică

Enunț : Fie triunghiul ABC și fie:
' Pr , ' PrBC AC A A B B și
' PrAB CC . Fie
' ' { }, ' ' { } BC B C M AB A B N   
și
' ' { } AC A C P .
Atunci punc tele M, N și P sunt coliniare. Dreapta determinată de aceste puncte se
numește dreapta ortică.
Demonstrație : Se va aplica metoda a 5 -a de demonstrare a coliniarității. Se aplică
teorema lui Menelaus în următoarele cazuri:
ABC
și
', ',A C P – coliniare;
ABC și
', ',B C M – coliniare;
ABC
și
', ',A B N – coliniare; și se obțin relațiile:
''1''PA CA BC
PC A B C A  
; (1),
''1''MB CB AC
MC B A C B   ; (2),
''1''NA BA CB
NB A C B A   ; (3)

Se aplică apoi în triunghiul ABC , teorema lui Ceva, unde:
' ' ' { }AA BB CC H  
și avem relația:
' ' '1'''A B CB AC
A C B A C B   ; (4).

49 Prin înmulțirea relațiilor (1), (2), (3) și (4) se va obține:
1PC NA MB
PA NB MC   ceea ce
înseamnă că punctele M, N și P sunt coliniare.

Dreapta antiortică

Enunț: Se consideră un triunghi neisoscel ABC . Bisectoarea exterioară
corespunzătoare vârfului A intersectează dreapta BC în punctul
'A . Analog se obțin
punctele
'B și
'C . Atunci punctele
'A ,
'B și
'C se găsesc pe o aceeași dreaptă (numită
dreaptă antiortică a triunghiului ABC ).

A
B D Cbc
A’

Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului. Conform teoremei bisectoarei unghiului
exterior, rezultă
'
'A B c
A C b . Analog se obțin egalitățile:
'
'B C a
B A c și
'
'C A b
C B a . Înmulțind
ultimele trei relații, se obține:
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B   și folosind reciproca teoremei lui
Menelaus (pentru triunghiul ABC și punctele
'A ,
'B ,
'C situate pe prelungirile laturilor
triunghiului) se obține că punctele
'A ,
'B,
'C sunt coliniare.

50 Teorema lui Carnot

Tangentele la cercul circumscris triunghiului ABC în punctele A, B, C întâlnesc
laturile opuse în punctele
1 2 3,,T T T coliniare.
Observație : Problema lui Carnot este un caz particular al problemei lui Pascal.
Dreapta care conține punctele
1 2 3,,T T T se numește dreapta lui Lemoine a t riunghiului
ABC .

Demonstrație:
11 ~ T AC T BA (conform cazului de asemănare U.U.)
2
1 1 1
21 1 1(1)T A AC T C T C AC
T B BA T A T B AB    
.

Analog se obțin relațiile:
2
2
22(2)T A AB
TC CB și
2
3
23(3)TA CB
TC AC .
Înmulțind membru cu membru relațiile (1) , (2) și (3) se obține:
2 2 2
3 12
2 2 21 2 3(2) 1TB T C T A AC AB CB
T B T C T A AB CB AC     
conform reciprocii teoremei lui Menelaus,
punctele
1 2 3,,T T T sunt coliniare.

51 Dreapta lui Gauss a patrulaterului

Să se arate că mijloacele diagonalelor unui patrulater complet sunt tr ei puncte
coliniare.

În demonstrație vom folosi teorema lui Menelaus. Considerăm patrulaterul complet
' ' ' BCB C A A
. Aplicăm teorema lui Menalaus pentru
ABC și
' ' 'A B C puncte
coliniare, obținem:
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B  
(1)
Se consideră triunghiul având ca vârfuri mijloacele a, b, c ale laturilor [ BC], [CA],
[AB] ale
ABC .
Notăm cu
', ', 'abc mijloacele diagonalelor
[ '],[ '],[ ']AA BB CC ale patrul aterului
complet. Se observă că paralela dusă prin punctul
'a la dreapta BC conține punctele b și c.
  ' || ' și ' || ' a b A C a c A B
. Analog
'b ca și
'c ab .

Din relația (1) rezultă

' ' '
2221'''
222A B B C C A
A C B A C B  
adică
' ' '1' ' 'a c b a c b
a b b c c a   .

52 Deoarece
' [ ], ' [ ], ' [ ]b ac c ba a cb   , putem folosi reciproca teoremei lui
Menelaus pentru
abc și punctele
', ', 'abc . Obținem astfel că punctele
', ', 'abc sunt
coliniare, dreapta pe care se află aceste puncte numindu -se dreapta lui Gauss.

53 CAPITOLUL III

CONCURENȚĂ

III.1. CE ESTE O PROBLEMĂ DE CONCURENȚĂ?
CRITERII DE CONCURENȚĂ (EXEMPLIFICĂRI)

Noțiunea d e concurență
Problemele de concurență a unor drepte reprezintă unele proprietăți simplu de
intuit, dar în a căror demonstrație sunt incluse raționamente exacte și o gamă largă de
tehnici specifice, solicitând rezolvitorului perspicacitate și cultură matema tică.

Definiția 1
Două drepte coplanare
12,dd se numesc drepte concurente dacă au un singur
punct comun. Notăm
12 {} d d A sau
12dd , unde punctul A se numește punct
de concurență sau punct comun al celor două drepte .

A
2d
1d

Observație : Dacă cele două drepte coplanare nu sunt concurente, atunci ele fie
coincid (au o infinitate de puncte comune), fie sunt paralele (nu au nici un punct comun).

Definiția 2
Trei sau mai multe drepte coplanare sau nu, care au un singur punct comun se
numesc drepte concurente (O – punctul de concurență).

54
2d
1d
3d
4d
5d
EXEMPLE ILUSTRATIVE

Dreptele
12,dd și
3d sunt concurente dacă
1 2 3 {} d d d O   .
1. Fie
1 2 3 { } , ,A d d B C d   . Dreptele
12,dd și
3d sunt concurente dacă
punctele A, B, C sunt coliniare.

Observație : În acest caz se poate observa cum rezolvarea unei problem e de
concurență necesită de fapt rezolvarea unei probleme de coliniaritate.
2. Fie
12 {}M d d și
13 {}N d d . Dreptele considerate sunt concurente
numai dacă punctele M și N concid.

55

Observație : Procedeul este utilizat î n rezolvarea problemelor de concurență prin
metoda reducerii la absurd.

3. Cele trei drepte sunt mediane sau bisectoare sau înălțimi sau mediatoare ale unui
anumit triunghi. Demonstrată fiind concurența acestora, rezultă că cele trei drepte sunt
concurent e.

4. Se poate arăta că dacă a doua dreaptă taie și împarte un segment din prima
dreaptă în același raport în care îl taie și îl împarte cea de -a treia dreaptă, atunci cele trei
drepte considerate sunt concurente.
5. Dreptele
1 1 2 2 3 3,,A B A B A B sunt concurente dacă și numai dacă
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3 , , (1 ) (1 ) (1 )x x x x OA x OB x OA x OB x OA x OB         

unde O este un punct oarecare, fixat.

6. Dacă planul euclidian este raportat la un s.c.c.o. și
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3:0
:0
:0d a x b y c
d a x b y c
d a x b y c  
  
  
,
1 2 3,,d d d sunt concurente dacă și numai dacă:
111
222
3330a b c
a b c
a b c
.

56 Problema 1:
Fie un patrulater circumscriptibil ABCD și
,, M AB N BC Q DA   punctele de
tangență ale cercului înscris cu laturile. Să se arate că dreptele AC, BD, MP, NQ sunt
concurente.
A
BCD
M
NQ
PS

Solu ție:
Fie
{}S AC NQ .
Avem:
1802m QMN m NPQm AQN m QNC   
și deci
 sin sin AQS QNC
. Aplicând teorema sinusurilor în triunghiurile
AQS și
CSN
obținem relația
AS AQ
CS CN (1).
A
BCD
M
NQ
PT

57 Fie
{}T AC MP . Analog ca mai sus, obținem relația
 sin AMT

 sin CPT
și aplicând teorema sinusurilor în triunghiurile
ATM și
CTP obținem
relația
AT AM
CT CP (2).
Deoarece
, AM AQ CN CP , din relațiile (1) și (2) rezultă că
AS AT
CS CT , adică
punctele S și T coincid. Deci dreptele MP, NQ, AC sunt concurente.

Problema 2:
Fie un trapez ABCD (
||AB CD ). Se construiesc în exterior triunghiurile
echilaterale ABM și CDM . Să se arate că dreptele AC, BD și MN sunt concurente.

A B
CDM
NO

Soluție :
Fie
{}O AC BD . Deoarece
~ OAB OCB rezultă
OA AB
OC DC și cum
, AB AM DC CN
, obținem:
OA AM
OC CN (1).

58 Dar
 60 m MAO m BAO m DCN m OCD m OCN     
și
deci
~ MAO NCO (conform relației (1)). Obținem astfel că
 m MOA 

 m NOC
, adică
O MN și dreptele AC, BD, MN sunt concurente .

Problema 3:
Se consideră într -un s.c.c.o. următoarele drepte:
1: 2 3 0d x y  

2: 2 4 0d x y  

3:10 5 7 0d x y  
.
Stabiliți dacă cele trei drepte sunt concurente.

Soluție : Calculând:
2 1 3
1 2 4 0
10 5 7

 . Deci dreptele date în enunț sunt concurente.

Concurența liniilor importante în triunghi

Medianele unui triunghi sunt concurente în punctul G (ce ntrul de greutate al
triunghiului).
Demonstrație : Fie
', ', 'AA BB CC medianele triunghiului ABC . Atunci
', ', 'A B C
sunt mijloacele laturilor [ BC], [CA], respectiv [ AB].

59
Aplicăm reciproca teoremei lui Ceva și obținem:
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B   , adică
medianele sunt concurente.

Bisectoarele interioare ale unghiurilor unui triunghi sunt concurente în I (cercul
cercului înscris).
Demonstrație : Cu teorema bisectoarei interioare obținem:
'
'A B AB
A C AC ,
'
'B C BC
B A BA
și
'
'C A CA
C B CB .
Prin înmulțirea relațiilor de mai sus membru cu membru obținem:
' ' '1'''A B B C C A AB BC CA
A C B A C B AC BA CB     
, de unde conform reciprocei teoremei lui
Ceva obținem că bisectoarele interioare ale unghiurilor unui triunghi su nt concurente.

Bisectoarele exterioare a două unghiuri a unui triunghi sunt concurente cu
bisectoarea interioară a celui de -al treilea unghi într -un punct
aI (centrul cercului
exînscris) .

60 Demonstrație : Cu teorema bisectoarei int erioare pentru
'AA obținem:
'
'A B AB
A C AC
. Cu teorema bisectoarei exterioare pentru
'BB și
'CC obținem:
'
'B C BC
B A BA
și
'
'C A CA
C B CB .

Înmulțind membru cu membru cele trei relații de mai sus obținem:
' ' '1'''A B B C C A AB BC CA
A C B A C B AC BA CB     
de unde conform reciprocei lui Ceva
rezultă că cele două bisectoare exterioare și bisectoarea interioară sunt concurente în
aI .

Înălțimile unui triunghi sunt concurente în punctul H (ortocentrul triunghiului)
Demonstrație : Fie
', ', 'AA BB CC înălțimile triunghiului ABC .
Din asemănarea triunghiurilor
'A AB și
'C CB obținem:
'
'A B AB
C B BC . (1)

61

Din asemănarea triunghiurilor dreptunghice
'BB C și
'AA C obținem:

'
'B C BC
A C AC . (2).
Din asemănarea triunghiurilor dreptunghice
'C CA și
'B BA obținem:

'
'C A AC
B A AB . (3)
Din relațiile (1), (2) și (3) prin înmulțire membru cu membru obținem:

' ' '1' ' 'A B B C C A AB BC AC
C B A C B A BC AC AB      ,

care se mai scrie:

' ' '1' ' 'A B B C C A
C B A C B A  

și conform reciprocei teorem ei lui Ceva, înălțimile
', ', 'AA BB CC sunt concurente.

III.2. TEOREMA LUI CEVA. APLICAȚII

Se dă
ABC și dreptele concurente
', ', 'AA BB CC  laturi atunci
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B  
.

62

Reciproca : Se dă
ABC ,
'A aparține lui BC,
'B aparține lui CA,
'C aparține lui
AB
 vârfuri, situate pe laturi sau un punct pe o latură și două pe prelu ngirile laturilor.
Dacă
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B    dreptele
', ', 'AA BB CC sunt concurente.

1) În orice triunghi înălțimile sunt concurente.

Soluția I. Cu reciproca teoremei lui Ceva verificăm dacă:
1 1 1
1 1 11AC BA CB
C B A C B A   .
11~ AB B AC C
pentru că au unghiul A comun
11
11AC CC AC
B A BB AB   .
1 1 1 1 1 1 1 111
1 1 1 1 1 1 1 1~1CB BB BC AC BA CB CC AA BBCB B CA AA C AA AC B A C A A C BB CC AA           
sau
1 1 1
1 1 11AC BA CB AC AB BC
B A C A A C AB BC AC     
deci conform reciprocei teoremei lui Ceva
1 1 1 {} AA BB CC H  
ortocentrul triunghiului.

Soluția a II -a. Cu ajutoru l funcțiilor trigonometrice:

 1 cos AC AC A

 1 cos C B BC B

 1 cos BA AB B

63
 1 cos A C AC C

 1 cos CB BC C

 1 cos B A AB A




1 1 1
1 1 1cos cos cos1cos cos cosAC A AB B BC C AC BA CB
C B A C B A BC B AC C AB A          
deci
conform teoremei lui Ceva înălțimile sunt concurente.

2) Demonstrați că bisectoarele unui triunghi sunt concurente.
Soluție: Verificăm dacă:
1AF BD CE
FB DC EA  

Reciproca teoremei lui Ceva
Trebuie demonstrată relația:
' ' '1' ' 'AB CA BC
CB BA AC   .

Reciproca teoremei lui Ceva sub formă trigonometrică
Trebuie demonstrată relația:



sin ' sin ' sin '1sin ' sin ' sin 'BAB ACC CBB
CAA BCC ABB  
.

64

Problemă:
Se consideră triunghiul ABC , înălțimea [ AD] și punctele
( ), ( )M AB N AC . Să
se demonstreze că ( DA este bisectoarea unghiului MDN dacă și numa i dacă dreptele AD,
BN și CM sunt concurente.

Soluție :
Construim prin A dreapta d paralelă cu BC. Dreapta d intersectează dreptele DM și
DN în punctele R și S. Observăm că
~ ARM BDM și
~ ASN CDN rezultând
astfel
AR AM
BD BM respectiv
AS AN
CD CN . Obținem astfel:
AM BDARBM respectiv
AN CDASCN
.
A
B C DM NR Sd
P

65
Dar [ AD] este înălțime și pentru
DRS . Astfel ( DA este bis ectoarea unghiului
RDS
dacă și numai dacă
DRS este isoscel sau dacă și numai dacă [ AD] este mediană
a sa, rezultă că
AR AS .
Această egalitate este echivalentă cu:
AM BD AN CD
BM CN care mai poate fi
scrisă astfel:
1AM BD CN
BM CD AN   . Deci AD, BN, CM sunt drepte concurente.

III.3. TEOREME CELEBRE DE CONCURENȚĂ

Punctul lui Nagel
Enunț : Dacă
', 'AB și
'C sunt punctele de conta ct ale cercurilor exînscrise cu
laturile triunghiului ABC
  ' ( ), ' ( ), ' ( )A BC B AC C AB   atunci dreptele
', 'AA BB și
'CC
sunt concurente într -un punct (numit punctul lui Nagel).

Demonstrație : Fie a, b, c lungimile l aturilor triunghiului
( , ,BC a AC b
) AB c
și fie p semiperimetrul triunghiului. Notăm
', ' x BA y A C și avem:
x y a
și
2 x c y b x c a b       , adică
x p c și
y p b . Prin urmare
obținem:
'
'A B p b
A C p c .

66 Procedând în mod analog, se obțin relațiile:
'
'B C p a
B A p c și
'
'C A p b
C B p a .
Înmulțind aceste trei relații obținem
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B   și conform reciprocei teoremei
lui Ceva rezultă că dreptele
', 'AA BB și
'CC sunt concurente.

Punctul lui Gergonne

Enunț : Într -un triunghi ABC dreptele care unesc vârfurile triunghiului cu punctele
de contact ale ce rcului înscris cu laturile opuse sunt concurente într -un punct (numit
punctul lui Gergonne).
Demonstrație : Notăm punctele de contact cu D, E și F, unde
, D BC E AC și
F AB
. Vom folosi reciproca teoremei lui Ceva pentr u a arăta că are loc relația:
1(*)BD CE AF
DC EA FB  
. Dar
, BD BF CE CD și
AE AF (tangentele duse dintr -un
punct exterior la un cerc sunt congruente). Deci relația (*) este evidentă, ceea ce înseamnă
că AD, BE și CF sunt concurente într -un punct.

Punctul lui Newton

Enunț : Fie ABCD un patrulater circumscriptibil și fie
', ', 'A B C și
'D punctele de
tangență ale cercului înscris cu laturile patrulaterului. Atunci dreptele AC, BD,
''AC și
''BD
trec prin același punct N (numit punctul lui Newton).

67 Demonstrație : Notăm
 { } ' ', 'N AC B D a m AD N  
și
' b m AND
.
Se observă că
 ' ' 180 m AD N m NB C   
. Vom aplica teor ema sinusurilor în
triunghiurile
' NAD și
'NB C . Vom obține:
'
sin sinAD AN
ba și
'
sin sinB C NC
ba .

Din aceste două egalități vom avea că
' (1)'AN AD
NC B C .
Fie
{ '} ' 'N AC A C . Procedăm ca în cazul anterior și obținem:
'' (2)''AN AA
N C C C
. Deoarece
' ', ' 'AA AD CC CB , din (1) și (2) rezultă, ceea ce
dovedește că
' NN , adică AC trece prin intersecția segmentelor
''AC și
''BD .
Analog se demonstrează că
N BD .

68 CAPITOLUL IV

CONSIDERAȚII METODICE

IV.1. DUALITATEA COLINIARITATE – CONCURENȚĂ

Problemele de coliniaritate și concurență reprezintă, în gene ral, adevăruri ușor de
intuit, dar a căror demonstrație include raționamente exacte, și o gamă largă de tehnici
specifice care solicită rezolvitorului de probleme nu numai cultura matematică ci și
inventivitate.
Între problemele de concurență și cele de co liniaritate există o strânsă legătură.
Astfel pentru a demonstra că trei drepte
1 2 3,,d d d sunt concurente, se consideră punctul P
comun dreptelor
1d și
2d , precum și punctele M și N pe dre apta
3d . Atunci problema
inițială – stabilirea concurenței celor trei drepte date – se reduce la a arăta că punctele M,
N, P sunt coliniare.

În geometria plană există un număr mare de propoziții matematice foarte frumoase,
care pun în evidență unele proprietăți de coliniaritate a unor puncte, respectiv de
concurență a unor drepte. O astfel de propoziție matematică este teorema lui Desargues și
reciproca.

69 Definiție: Triunghiurile ABC și
' ' 'A B C se numesc omolog ice, dacă dreptele
', ', 'AA BB CC
sunt concurente. Punctul de concurență al acestor drepte, se numește
centru de omologie al triunghiurilor ABC și
' ' 'A B C .

TEOREMA LUI DESARGUES

Dacă două triunghiuri ABC și
' ' 'A B C sunt astfel situate încât dreptele
', ', 'AA BB CC
concurente, atunci laturile corespunză toare BC și
'BC , CA și
'CA , AB și
''AB
se intersecteaz ă în puncte co liniare.

Demonstrație : Aplic ând teorema lui Menelaus î n triunghiurile OBC și transversala
' ',B C OCA
și transversala
''AC și OAB cu transversala
''AB se ob țin pe r ând:
' ' ' ' ' '1; 1; 1;' ' ' ' ' 'MB CC B O NC AA C O PA BB A O
MC C O BB NA A O CC PB B O AA        
înmulțind cele trei
relații membru cu membru se obține
1;MB NC PA
MC NA PB   deci conform reciprocei
teoremei lui Menelaus, M, N, P coliniare.

70 Comentariu :
1. Dreapta care conț ine punctele M, N, P se numește axa de omologie a celor două
triunghiuri.
2. Dacă dreptele
', ', 'AA BB CC sunt necoplanare ș i toate trei se întâlnesc într-un
punct O, astfel î ncât laturile triunghiurilor ABC și
' ' 'A B C să nu fie respectiv paralele,
atunci dreptele BC și
''BC , CA și
''CA , AB și
''AB se intersecteaz ă în puncte coliniare.
Demonstrație : Punctele
, , ', 'A C A C sunt situate pe dreptele concurente
'AA și
'CC
, deci sunt coplanare. Dreptele AC și
''AC nu sunt paralele deci sunt concuren te. Fie
punctul lor de intersecț ie M. Analog AB și
''AB se întâlnesc în N și BC și
''BC sunt
concuren te în P. Dar punctele M, N, P aparțin pe de o parte planului ABC dar și planului
' ' 'A B C
, deci sunt situate pe dreapta de intersecție a celor două plane. Rezultă
coliniaritatea punctelor M, N, P .
Observația 1: Dacă două din laturile tr iunghiurilor sunt paralele de exemplu BC și
''BC
, restul enunțului rămânând același, se dovedește ușor că
|| || ' 'BC NM B C .
Observația 2: Dacă laturile triunghiurilor ABC și
' ' 'A B C sunt respectiv paral ele,
deci
( ) || ( ' ' ')ABC A B C și convenind c ă două drepte paralele au un punct comun la infinit,
respectiv dou ă plane paralele au o dreapt ă comun ă la infinit, în enun țul teoremei lui
Desargues nu mai este nevoie de specifica ția că laturile triunghi urilor ABC și
' ' 'A B C nu
sunt respectiv paralele. Enun țul se simplific ă, dar în acelaș i timp cap ătă un plus de
încărcătură prin generalizare.
3. Teorema lui Desargues în plan mai poate fi demonstrată și prin metoda proiecț iei.
Aceast ă metodă permite rezolvarea unor probleme de geometrie plan ă cu ajutorul
geometriei în spațiu.
Demonstrație : Fie a, b, c trei drepte în plan, concurente în O și triunghiurile ABC și
' ' 'A B C
au vârfurile respectiv pe aceste drepte, laturil e corespunz ătoare nefiind paralele.
Notând cu
 planul dreptelor a, b, c și
 planul perpendicular pe
 care trece prin O și
printr -o dreapt ă
'a, care se proiecteaz ă pe planul
 după dreapta a. Fie
1pr A A și
1'' pr A A
. Laturile triunghiurilor
1A BC și
1' ' 'A B C care î ndeplinesc condi ția teoremei
lui Des argues în spa țiu, se intersecteaz ă în punctele coliniare
1 1 1,,M N P , Pi care se vor
proiecta în M, N, P pe planul
 . Cum proiec ția unei drepte pe un plan este o dreapt ă, sau
un punct – însă în acest caz cum
11MN nu este perpendiculara pe
 , proiecț ia nu poate fi
un punct atunci ea este o dreapt ă, deci M, N, P colineare.

71

Reciproca teoremei lui Desargues :
Fie triunghiurile ABC și
' ' 'A B C . Dac ă laturile corespunz ătoare BC și
''BC , AC și
''AC
, AB și
''AB se intersecteaz ă în puncte colineare, atunci triunghiurile ABC și
' ' 'A B C
sunt omologice.
Demonstrație : Presup unând ca M, N, P coliniare, atunci M este centru de omologie
al triunghiurilor
' NCC și
'PBB , deci aceste triunghiuri au o ax ă de omologie care conț ine
punctele O, A și A' definite astfel:
' ' { },CC BB O
{} CN BP A ,
' ' { '}NC PB A
, deci dreptele
'BB și
'CC se intersecteaz ă în O situat pe
'AA sau
triunghiurile ABC și
' ' 'A B C sunt om ologice.

IV.2. REZOLVAREA PROBLEMELOR DE COLINIARITATE
ȘI CONCURENȚĂ PRIN METODE ALTERNATIVE.
EXEMPLIFICĂRI

În matematică, prin metodă înțelegem calea care trebuie urmată în vederea
rezolvării unei probleme. În formarea priceperilor și deprinderilor intervine cunoașterea
metodelor generale precum ar fi analiza, sinteza, metoda reducerii la absurd etc,

72 valabile în toate ramurile matematicii școlare, precum și a metodelor specifice capitolului
studiat.
După cum spunea matematicianul ame rican G.Polya în lucrarea sa „Cum rezolvăm
o problemă?”, în matematică nu există „o cheie magică” prin care s -ar deschide toate ușile
și ar rezolva toate problemele, ci se pot da numai sfaturi de abordare a rezolvării. Sfaturile
date de profesor precum: de scompunerea problemei în elemente componente, căutarea
unor analogii, abordarea cazurilor particulare, folosirea desenului și multe altele sunt
binevenite, dar adevărata învățare se realizează prin însăși desfășurarea acestei activități.
În lucrarea aminti tă anterior, Polya scria: „ Dacă vreți să rezolvați o problemă
trebuie… să rezolvați probleme ”. Este bine și necesar să menționăm două aspecte,
aparent paradoxale:
l. De multe ori se învață mai cu folos prin rezolvarea unei probleme… rezolvate
(folosind u-ne de alte metode);
2. Uneori, nerezolvarea unei probleme poate fi mai utilă pentru formarea
priceperilor, decât rezolvările dintr -o bucată dar care în afară de satisfacția succesului
imediat s -ar putea să nu lase „urme” care să fie folosite și la alte p robleme.
Formarea deprinderilor ține de însușirea unor automatisme. Din punct de vedere
metodic apare contradicția între tendința de a face multe exerciții pentru formarea acestor
deprinderi și grija de a nu cădea în rutină, în formalism. Desigur, prin acu mulări
cantitative, priceperile se transformă în deprinderi .
În continuare, merită prezentate câteva metode generale de rezolvare a
problemelor de matematică.

Analiza. Analiza constă în următoarele:
Se pornește de la o propoziție necunoscută P1, care se r educe la altă propoziție P2,
apoi P2 la altă propoziție necunoscută P3 etc. până se ajunge la propoziția cunoscută P.
Între prima și ultima propoziție se interpune un număr oarecare de propoziții necunoscute,
iar propozițiile consecutive sunt echivalente d in punct de vedere logic.

Sinteza. Prin această metodă se ponește de la o propoziție cunoscută P1 și se trece
la o propoziție P2 până se ajunge la propoziția care trebuie demonstrată P. După cum se
observă, această metodă urmează o cale inversă metodei an alizei.

73 Metoda reducerii la absurd . Aceasta se bazează pe principiul „terțului exclus”.
Pentru a demonstra o teoremă este suficient să demonstrăm contrara reciprocei ei, deoarece
cele două propoziții sunt echivalente din punct de vedere logic. Cu alte cuv inte, prin
reducere la absurd, presupunând concluzia teoremei directe falsă, se va ajunge prin
deducții logice succesive la o contradicție (de regulă cu ipoteza teoremei), acest lucru ar
echivala cu faptul că este falsă contrara teoremei reciproce.
Prin ur mare, presupunerea făcută este falsă, deci concluzia teoremei este
adevărată. Când se prezintă elevilor această metodă trebuie insistat asupra obligativității
includerii a acestui ultim aspect în cadrul oricărei demonstrații în care se utilizează această
metodă.

Metoda algebrică . Această metodă constă în considerarea uneia sau a mai multor
mărimi ce trebuiesc determinate, ca necunoscutele unor ecuații sau a unor sisteme de
ecuații. Aceste ecuații (respectiv sisteme de ecuații) se formează cu ajutorul relaț iilor de
legătură ce se stabilesc între cerințe și datele problemei, precum și prin intermediul unor
rezultate matematice deja cunoscute. Un lucru important în acest demers îl constituie
alegerea corectă a necunoscutelor, formare ecuațiilor (care de multe ori se poate dovedi
dificilă) precum și verificarea soluțiilor găsite. Dacă la formarea ecuațiilor, elevii
întâmpină dificultăți, este recomandat ca ei să construiască și un model grafic al problemei.
Acest model le -ar putea ușura (în mod intuitiv) descope rirea relațiilor de legătură dintre
datele problemei. Verificarea soluțiilor găsite ne pernițe să analizăm "fiabilitatea"
modelului construit și poate să descoperim alte metode de rezolvare.

Cum îmi aleg problemele?
În vederea selectării problemelor ce vo r fi rezolvate de către elevi, în cadrul lecției,
este util să urmărim următoarele aspecte: gradul de dificultate să crească treptat de la
simplu la complex; să fie accesibile fiecărui elev; să aibă un caracter aplicativ (chiar
legate de experiența de zi c u zi a elevilor, dacă este posibil); să posede un grad cât mai
mare de atractivitate.

Etapele rezolvării unei probleme.
Spre deosebire de exercițiu, care constă în aplicarea directă a noțiunilor teoretice
învățate, rezolvarea unei probleme necesită gândir ea creatoare, imaginația matematică și

74 ingeniozitatea elevilor, în vederea rezolvării unei probleme, trebuie să ținem cont de
următoarele:
Înțelegerea problemei. Iată întrebările care trebuie să ni le formulăm în această
primă etapă: Care este necunoscuta? Care sunt datele? Care este condiția ? Este
suficientă condiția pentru a determina cerința? Trebuie să facem un desen ? Care sunt
noutățile corespunzătoare? Care sunt diversele părți ale condiției? Segmentele condiției se
pot scrie în limbaj matematic?

Întocmirea planului (construirea modelului matematic).
Am învățat vreo teoremă care ar putea fi aplicată aici ? Cunoaștem vreo
problemă înrudită având aceeași necunoscută, sau căreia am putea să -i folosim metoda de
rezolvare? Nu am putea să introducem un eleme nt auxiliar pentru a o face utilizabilă ?
Am putea -o reformula? Ne putem imagina o problemă mai generală? Dar una particulară?
Au fost utilizate toate datele problemei?
Enunțăm relațiile dintre date și necunoscute. Aceste relații pot fi egalități,
inegalită ți sau de altă formă și ele vor forma așa -numitul model matematic al problemei.

Rezolvarea modelului matematic. Transformăm elementele care ni se dau și cele
necunoscute, încercăm să introducem elemente noi, mai apropiate de datele problemei.
Generalizăm. Examinăm cazurile particulare. Aplicăm analogii.

Verificarea soluției găsite.
Se interpretează datele obținute. Se aleg soluțiile practice. Nu există oare o altă cale
mai directă care să ne ducă la același rezultat? Se consemnează soluțiile găsite și în acest
fel, schema rezolvării unei probleme a luat sfârșit.

Metode de rezolvare a problemelor de concurență

Între problemele de concurență și coliniaritate există o strânsă legătură. Astfel,
pentru a demonstra că dreptele
12,dd și
3d sunt concurente putem considera punctul A
comun dreptelor
1d și
2d și punctele B și C situate pe
3d și arătăm că punctele A, B, C
sunt coliniare.

75 Există și căi specifice pentru a demonstra concurența unor drepte. Iată câteva
metode specifice ilustrate prin probleme:

1. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului
și reciproc orice punct egal depărtat de laturile unui unghi a parține bisectoarei
unghiului respectiv.
2. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele
segmentului și reciporc orice punct din planul unui segment este egal depărtat
de capetele unui segment aparține mediatoarei segmentului.
3. În plan două drepte distincte sunt sau paralele sau concurente.
4. Într-un triunghi două mediatoare sunt concurente.
5. Într-un triunghi două mediane sunt concurente.
6. Într-un triunghi două bisectoare sunt concurente.
7. Diagonalele unui paralelogram sunt concurente.
8. Dacă avem ordinea A-E-M, B-E-N, C -E-P, atunci dreptele AM, BN și CP sunt
concurente.
9. Două puncte interioare unui segment ce formează anumite rapoarte egale
coincid.

Metode alternative de rezolvare a problemelor de coliniaritate

Problemă

Fie un triunghi ABC și punctul
[]D BC astfel încât
3 BC DC . Fie
'C ,
mijloacele segmentelor
[ ],[ ']AB CC . Arătați că punctele A, E și D sunt coliniare.
A
B CDEC’

76
Soluți a 1. (metoda raționamentului geometric )
Din
3 BC DC rezultă
2 BD DC . Avem
'1;22AC DB
AB DC și
1'EC
EC deci
'1'AC DB EC
AB DC EC  
. Conform teoremei lui Menelaus rezultă că A, E și D sunt coliniare.

Soluția 2 . (metoda vectorială )
Vom arăta că există

, astfel încât
AE DE
. În acest scop vom exprima
AE
și
DE
în funcție de doi vectori necolini ari din configurație, de exemplu
AB
și
AC
.
Cum
'EC EC , avem
1 1 1'2 2 2AE AC AC AB AC    
. Avem
1 1 1 1'3 2 3 4DE DC CE BC CC BC CA CB      
. Înlocuind
BC AC AB
,
, CA AC CB BC 
, obținem:
11
62DE AB AC 
. Prin urmare,
26AE DE
,
deci
3 AE DE
. În concluzie, punctele A, D, E sunt coliniare.

Problemă: Să se arate că mijloacele diagonalelor unui patrulater complet sunt trei
punct e coliniare.( dreapta lui Gauss a patrulaterului ).

77 Soluția 1: (metoda vectorială ):
Fie ABCD un patrulater complet și
{ }, { } AB CD E BC AD F    . Laturile
patrulaterului complet sunt (ABE), (ADF ), (BCF ), (DCE ); vârfurile lui sunt: A, B, C, D, E,
F iar di agonalele (AC), (BD), (EF). Am notat cu M, N și P mijloacele diagonalelor [AC],
[BD], [EF].
Fie
AB u
, iar
, AE u AF v
unde
, (1, )  . Prin urmare
1 1 1,,2 2 2AN u v AP u v AM AC      
. Cum
C BF și
C DE , există
,0xy
astfel încât
11u x v v y uACxy
de unde se impun relațiile:
1
1x
1y
y
;
1
11x
xy care conduc la
1xy ,
1
( 1)x
 .
Prin urmare
1 ( 1) ( 1)
2 2( 1)uvAM AC   
  
.
Acum se arată că vectorii
,NM NP
sunt coliniari.
(1 ) (1 )
2( 1)uvNM AM AN
    
;
( 1) ( 1)
2uvNP AP AN    
, deci
1
1NM NP
, adică M, N, P
sunt coliniare.
Soluția 2 : (metoda coordonatelor ):

78 Considerăm un s.c.c.o. astfel încât:
 (0,0); ,0 ; , ; ,B C C D D A B x C x y D x y .
Vom calcula coordonatele punctelor M, N, P care reprezintă mijloacele diagonalelor [ AC],
[BD], [EF].

( ) : 0DD AD y x x y

 ( ) : 0C B C B C BC y x x x y x y   

Rezolvăm sistemul de ecuații de mai sus și obținem coordonatele punctului F

;B D C B C D
D C B D C D D C B D C Dx x y x y yFx y x y x y x y x y x y
   
.

 ( ) : 0C D D C C D D C DC x y y y x x x y x y      
.
Determinăm coordonatele punctului E:
;0D C C D
CDx y x yEyy
 .
Punctul P fiind mijloc ul segmentului [ EF], coordonatele acestui punct sunt:

  ;22B D C B C D
D C B D C D D C B D C Dx x y x y yPx y x y x y x y x y x y
   
.

Scriem ecuația dreptei care trece prin punctele
,22CCxyM
 și
;22D B Px x yN

;
   ( ) : 2 2 2 2 2 0C D C D B C D D C MN x y y y x x x x y x y       
.
Se înlocuiesc coordonatele punctul ui P în ecuația dreptei MN și se obține identitate,
astfel obținem că punctele M, N, P sunt coliniare.

79 Metode alternative de rezolvare a problemelor de concurență

Problemă:

Fie triunghiul ABC și punctele
', ', 'A B C care divid bipunct ele ( B, C ), (C, A ),
respectiv ( A, B) în rapoartele
, respectiv
 , astfel încât dreptele
', ', 'AA BB CC să nu
fie paralele două câte două. Sunt echivalente propozițiile:
1)
', ', 'AA BB CC sunt concurente;
2)
1 (teorema lui Ceva 1647 -1719)

Soluție vectorială :
Din ipoteză:
''A B A C
,
' ' , ' 'B C B A C A C B
.
Fie
' ' { }, ' ' { }AA BB M AA CC N    .
', ' MA MA NA NA
. Se deduce
' , (1 ) '1BA BC CB CA  
.
Teorema lui Menelaus pentru
'AA C și punctele coliniare
, , 'M B B implică
11  
, respectiv
1 . Teorema lui Menelaus pentru
'AA C și punctele
coliniare
, , 'N C C implică
1(1 ) 1    respectiv
(1 )   .
Acum
', ', 'AA BB CC sunt concurente
MN      
1(1 ) 1      
.

Soluție analitică :
Se consideră sistemul de coordonate carteziene cu originea C și axele CA, CB , deci
(0,0), (1,0), (0,1)C A B
. Se deduce că
1' 0,1A
 ,
' ,01B

 ,
1',11C

 .
Ecuațiile dreptelor
', ', 'AA BB CC sunt:
': (1 ) 1 0AA x y    
;
': (1 ) 0BB x y     
;
': 0CC x y
.

80 Condiția ca
', ', 'AA BB CC să fie concurente este exprimată prin relația
10
.

Problemă:
Fie patrulaterul inscriptibil ABCD și M, N, P, Q mijloacele laturilor
[AB],[BC],[CD],[DA]. Să se arate că perpendicularele din M pe CD, din N pe DA, din P pe
AB și din Q pe BC sunt concurente, punctul de intersecție numindu -se anticentrul lui
ABCD (punctul lui Mathot ).

Soluția 1: (metoda vectorială ):
Fie O centrul cercului circumscris lui ABCD, E intersecția perpendicularelor din M
pe CD și din P pe AB, iar F intersecția perpendicularelor din N pe AD și din Q pe BC.
OMEP și ONFQ sunt paralelograme, deci:
 1
2OE OM OP OA OB OC OD     
,
 1
2OF ON OQ OB OC OD OA     
.
Rezultă că
OE OF
și E = F.

81
Soluția 1: (metoda raționamentului geometric ):

Fie O centrul cercului circumscris patrulaterului inscriptibil ABCD și
', ', ', 'A B C D
mijloacele laturilor [AB],[BC],[CD],[DA]. Deoarece punctul O se află pe
mediatoarele laturilor patrulaterului, rezultă că:
' , ' , ' ,OA AB OB BC OC CD  
'OD AD
.
Bimedianele patrulaterului sunt concurente într -un punct E. Fie M simetricul lui O
față de E. Patrulaterul
''MA OC este paralelogram deoarece diagonalele se înjumătățesc.
Rezultă
'|| 'MA OC . Deoarece
'OC CD , rezultă că
'MA CD . Analog se arată că
' , 'MB AD MC AB
și
'MD BC . Prin urmare perpendicularele duse din mijloacele
laturilor unui patrulater inscriptibil pe laturile opuse sunt concurente. Punctul M de
concurență se numește punctul lui Mathot .

82 IV.3. COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ ÎN PROGRAMELE
ȘCOLARE. CHESTIUNI DE EVALUARE

Prin predarea geometriei în școala generală și la liceu, se urmărește ca elevii să -și
însușească un număr de cunoștințe matematice, cu precădere cele din programa școlară, dar
nu numai. În mod deosebit, geometria est e chemată să dezvolte gândirea, mai ales gândirea
vie, activă și complexă, capacitatea de a analiza și generaliza, de a extrage esențialul, de a
deprinde legăturile raționale dintre elemente, dezvolta inițiativa personală și în gândire.
În însușirea de cun oștințe se urmărește ca toate noțiunile și conceptele dobândite să
devină pentru elevi bunuri proprii, instrumente de lucru, nu numai să fie reținute pur și
simplu. De aceea, scopul instructiv se împletește strâns cu cel educativ, cu activitatea
concretă, practică.
Este necesar ca predarea geometriei să se facă astfel încât în liceu studiul să se
poată baza pe cunoștințele acumulate în școala generală. Dacă nu se asigură existența
acestor punți de legătură între ciclurile școlare, predarea ignoră ceea ce el evii au învățat
anterior.
În geometria elementară, rezolvarea problemelor de coliniaritate a unor puncte sau
de concurență a unor drepte continuă să reprezinte o constantă în procesul rezolvării unor
probleme de larg interes aplicativ, folosind metode și p rincipii matematice.
Studiul problemelor de coliniaritate și rezolvarea lor cu metoda raționamentului
geometric se face începând cu clasa a IV -a, atunci când, pentru a demonstra că trei puncte
sunt coliniare se apelează la axioma paralelelor.
Cu ajutorul n oțiunilor de matematică pe parcursul clasei a VII -a, elevul poate
rezolva probleme de coliniaritate, fie cu ajutorul criteriului referitor la „unghiuri opuse la
vârf” sau cel referitor la „unghiul alungit”. La nivel de clasa a VII -a, elevul poate rezolva
probleme de concurență a dreptelor, folosind în special „proprietățile liniilor importante în
triunghi”. Acest criteriu constă în a găsi, în funcție de datele problemei, un triunghi în care
dreptele respective să fie înălțimi, mediane, bisectoare sau mediat oare.
Programa școlară actuală nu prevede studiul teoremelor lui Ceva și a lui Menelaus,
însă la clasele cu nivel de cunoștințe destul de ridicat, pentru obținerea performanțelor
școlare, în cadrul orelor de opțional, acest lucru poate fi realizat. Foarte multe probleme de
coliniaritate și concurență pot fi „elegant” rezolvate folosind raționamentul geometric,
utilizând relațiile ce apar în aceste două teoreme (teorema directă, respectiv reciprocă a lui
Ceva și Menelaus).

83 În clasele de liceu, problemele de coliniaritate și concurență pot fi tratate utilizând
„metoda vectorială” (clasa a IX -a, respectiv a X -a). Până nu demult programa analitică la
geometrie pentru clasele a IX -a, respectiv a X-a conținea sistemul axiomatic al lui Birkhoff
iar demonstrarea teo remelor se făcea cu ajutorul metodei raționamentului geometric.
Actualele programe de învățământ liceal prevăd studiul vectorilor și al transformărilor
geometrice începând cu clasa a IX -a. S-a renunțat prea ușor la o prealabilă tratare riguroasă
a noțiunil or și proprietăților fundamentale ale geometriei euclidiene (elementare) ca
demers absolut necesar pentru introducerea conceptelor de „vector” și „transformare
geometrică”.
În aceste condiții, responsabilitatea revine exclusiv profesorului. El este nevoit ca,
în limita numărului de ore alocate prin planul de învățământ, să reia acele cunoștințe de
geometrie elementară care -i permit să explice conținutul noțiunii de vector, operații cu
vectori și ca aplicație: coliniaritatea a doi vectori.
În ceea ce priveșt e rezolvarea problemelor de coliniaritate și concurență cu ajutorul
„metodei vectoriale” subliniem două aspecte importante:
 Dacă enunțul conține vectori, atunci obligatoriu, rezolvarea sa va utiliza metoda
vectorială.
 Dacă enunțul nu conține vectori, atun ci soluția vectorială poate oferi doar o
alternativă de rezolvare a problemei.
În ambele situații este indicată interpretarea geometrică, în spiritul enunțului, a
rezultatelor exprimate vectorial.
Studiul problemelor de geometrie se poate face și cu ajutor ul metodei
coordonatelor care apare în programa școlară a clasei a XI -a, profilul real.
Astfel elevii pot rezolva probleme de coliniaritate și concurență utilizând metoda
coordonatelor. Însă, chiar și în acest context, în care programa școlară pune accentu l pe
rezolvarea problemelor de geometrie, fie cu „metoda vectorială”, fie cu „metoda
coordonatelor”, nu trebuie neglijată „metoda raționamentului geometric”, ca și variantă de
rezolvare a unor probleme.
Geometria elementară cu așa numita „metoda raționamen tului geometric”, este cea
care prefigurează arhitectura sistemului de gândire al elevului, pentru toată viața.

84 Dificultăți în tratarea problemelor de coliniaritate și concurență

În rezolvarea problemelor de geometrie o greșeală frecventă care apare e ste aceea
de a presupune adevărată afirmația care trebuie demonstrată.
O altă greșeală frecventă este aceea de a folosi ca justificare, o teoremă care este,
de fapt, o consecință a afirmației care trebuie demonstrată. O astfel de situație creează așa
numit ul cerc vicios și este fără valoare ca demonstrație logică. Un exemplu de cerc vicios
ar fi următorul: în demonstrarea teoremei să folosim ca justificare a unui pas însăși
teorema.
La rezolvarea problemelor de coliniaritate, o greșeală frecventă pe care o fac elevii
în rezolvare este aceea de a considera pe parcursul demonstrației sau a rezolvării problemei
tocmai coliniaritatea punctelor. O altă greșeală care poate apărea este cea a scrierii
incorecte a relației din teorema lui Menelaus.
În cazul problemel or de concurență, greșeala ce poate fi întâlnită este dată de
folosirea în rezolvare tocmai a concurenței dreptelor, adică a ceea ce trebuie demonstrat. O
altă greșeală care poate apărea este cea a scrierii incorecte a teoremei lui Ceva.
Utilizarea metodei vectoriale în rezolvarea problemelor de coliniaritate și
concurență nu este adecvată atunci când:
 există alte metode mai rapide, mai eficiente și mai interesante;
 soluția vectorială este doar o transpunere în limbaj vectorial a soluției
geometrice, dovedi ndu-se astfel un simplu exercițiu, gratuit și interesant.
Evitarea dificultăților de acest tip în rezolvarea problemelor de coliniaritate și
concurență se face prin precizarea cât mai exactă a elementelor care se cunosc, printr -un
desen realizat riguros în cadrul raționamentului geometric, prin alegerea adecvată a
metodei ce duce la o soluție cât mai interesantă și mai „elegantă”.

85
BIBLIOGRAFIE

[1] I.D. Albu, I.D. Bîrchi, Geometrie vectorială în liceu , Editura Bîrchi, Timișoara,
2004;

[2] I.D.Alb u, Geometrie. Concepte și metode de studiu . Partea I: Construcția
axiomatică a geometriei euclidiene , Editura Mirton, Timișoara, 1998;

[3] A. Coța, Manual de geometrie pentru clasa a IX -a, Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1989;

[4] A. Coța, Manual de geometrie pentru clasa a X -a, Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1989;

[5] L. Nicolescu, V. Boskoff, Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică,
București, 1990;

[6] G. Țițeica, Probleme de geometrie, Editura Tehnică, București, 199 0;

[7] Ștefan Sabău, Dumitru Săvulescu, Probleme de geometrie plană, Editura
Paralela’45, 1995.

86 Declara ție

Subsemnatul Szucs Alexandru, CNP 1801029114906, posesor al CI, seria KS, nr.
393538 domiciliat în județul Caraș -Severin, oraș Boc șa, str. Semenicului, bl. 16 C, ap. 29
declar pe propria răspundere următoarele cu privire la lucrarea metodico -științifică pentru
obținerea gradului didactic I cu titlul "Coliniaritate și concurență în plan" :

1. a) lucrarea a fost elaborată personal si apa rține în întregime candidatului;
2. b) nu au fost folosite alte surse decât cele menționate în bibliografie;
3. c) nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte
surse fără a fi citate si fără a fi precizată sursa preluării , inclusiv în cazul în care
sursa o reprezintă alte lucrări ale candidatului;
4. d) lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.

Timișoara, 22 august 2013 Semnătura