Algoritm de rezolvare a unui sistem de m ecuații [606991]
5
INTRODUCERE
Începuturile matricelor și determinanților se întâlnesc în secolul 2 î.e.n. deși urmele
se pot vedea încă din secolul 4 î.e.n. Cu toate acestea nu au existat p ână spre sfârșitul
secolului 17 când ideea reapare și se dezvoltă. Nu surprinde pe nimeni că începuturile
matricelor și determinanților apar datorită studiului sistemelor de ecuații liniare.
Babilonienii au studiat probleme care anticipează sistemele de ecuații liniare și câteva
dintre acestea sunt păstrate pană azi pe tă blițe de lut.
De exemplu o plăcuță datând din anul 300 î.e.n. conține următoarea problemă:
“Două terenuri care au împreună 1800 yard2 sunt cultivate cu grâu . De pe primul teren
s-au recoltat 2
3 dintr-un bușel (aproximativ 36 l)/ yard2 în timp ce de pe al doilea teren se
recoltează 1
2 bușel /yard2 . Dacă producția totală e de 1100 bușeli, care este mărimea
fiecărui teren?”
Și în manuscrise chinezești cuprinse între 200 -100 î.e.n. s-au găsit informații despre
matrice. Primul exemplu în acest sens este documentul “9 Capitole din Arta Matematicii”
scris în timpul dinastiei Han. Problema descoperită în acest document este la fel structurată
ca și în exemplul babilonian:
“Avem 3 tipuri de cereale, dintre care o grămadă din primul tip de cereale, două d in al
doilea și una din al treilea tip și cântăresc împreună 39 măsuri. Două grămezi din primul
tip, trei din al doilea și o grămadă din al treilea au împreună 34 măsuri. Una din primul
tip, două din al doilea și trei din al treilea fac 26 măsuri. Câte măs uri din fiecare tip de
cereale conține fiecare grămadă?”
În continuare autorul a făcut ceva cu adevărat remarcabil. El a aranjat coeficienții
sistemului de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute într-un tablou:
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
Ceea ce este remarcabil este că autorul, cu 200 ani î.e.n. instruia cititorul că poate
înmulți coloana din mijloc cu 2 și apoi o scădem pe cea din dreapta de cate ori este posibil,
apoi înmulțim prima coloană cu 3 și o scădem pe ultima de câte ori e posibi l. Obținem
astfel:
6
0 0 3
4 5 2
8 1 1
39 24 39
Apoi prima coloană este înmulțită cu 5 și a doua se scade din prima de câte ori e
posibil, obținând astfel:
0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39
Această metodă cunoscută acum ca metoda de eliminare a lui Gauss, nu devine
foarte cunoscută pană in secolul al XIX -lea. Apoi , în “Ars Magna” (1545) , Cardan dă o
regulă pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două necunoscute pe care el o
numește “regula de modo”. Această regulă stă la baza regulii lui Cramer pentru rezolvarea
unui sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute, ea nu a fost finalizată, nu s -a ajuns la definiția
determinantului dar e un pas important pentru obținerea acestei definiții.
Multe rezultate standard de teoria elementară a matricelor au apărut cu mult înainte
ca matricele să devină subiect de investigație. De exemplu, de Witt în “Elements of
curves” a publicat o parte a comentariilor din versiunea latină a geometriei lui Descartes
(apărută in 1660) care arată cum printr -o transformare a axelor putem reduce ecuația unei
conice date la forma ei canonică. Aceste raționamente făcute de Witt sunt echivalente de
fapt cu reducerea unei matrice simetrice la forma diagonală, dar de Witt nu a gândit
niciodată în acești termeni.
Ideea de determinant a apărut în Japonia și Europa cam în același timp. Seki
(matematician japonez care a trăit intre 1642 -1708) a fost totuși cel care a publicat mai
întâi în 1683 “Metode de rezolvare a problemelor disimulate” care conțin metode
matriceale scrise în tabele în același mod ca și metodele chinezeș ti descrise mai înainte .
Fără a avea un cuvânt care să corespundă “determinantului”, Seki a introdus determinanții
și a dat metode generale pentru calcularea lor bazate pe exemple. Seki a fost pregătit să
găsească determinanți de ordin 2,3,4,5 și i -a aplicat în rezolvarea ecuațiilor dar nu a
sistemelor de ecuații liniare. În același an 1683, au apărut determinanții și în Europa și tot
atunci Leibniz (matematician german care a trăit între 1646 -1716) îi scria lui L’Hopital că
sistemul de ecuații
10+11𝑥+12𝑦=0
20+21𝑥+22𝑦=0
30+31𝑥+32𝑦=0
are soluție pentru că
7
10∙21∙32+11∙22∙30+20∙31∙12=10∙22∙31+11∙20∙32+12∙21∙30
care este condiția ca matricea coeficienților să aibă determinantul 0.
De notat este faptul că Leibniz nu a folosit coeficienți numerici dar a folosit două
caractere, adică indici dubli pentru marcarea coeficienților, unul care să indice cărei ecuații
îi aparține necunoscuta, deci 21 indică ceea ce noi spunem azi 𝑎21. Leibniz era convins că
o bună notație era cheia pro gresului deci el a experimentat diverse notații pentru
coeficienții sistemului. Manuscrisele sale nepublicate conțin mai mult de 50 metode
diferite de scriere a coeficienților sistemului cu care el a lucrat pe o perioadă de 50 ani
începând cu anul 1678. Doar două publicații (1700 sau 1710) conțin rezultate in legătură
cu coeficienții unui sistem și el utilizează același notații care au fost menționate în
scrisoarea către L’Hopital. Leibniz a folosit cuvântul rezultantă pentru anumite sume
combinatoriale de termeni ai unui determinant. El a demonstrat rezultate diverse, incluzând
ceea ce este în esență regula lui Cramer. El a știut că un determinant poate fi dezvoltat
după orice coloană, ceea ce azi se cheamă dezvoltarea lui Laplace. Pe lângă studierea
coefic ienților sistemelor de ecuații care l -au condus la determinanți, Leibniz a studiat
coeficienții sistemelor de ecuații de gradul al II -lea (sau forme pătratice) care îl conduc
natural la teoria matricelor.
În 1730 Mac Laurin a scris un tratat de algebră care n -a fost publicat decât î n 1748,
la doi ani după moartea sa. El conține primele rezultate publicate despre determinanții
proveniți din regula lui Cramer pentru sisteme de 2 ecuații cu 2 necunoscute, 3 ecuații cu 3
necunoscute și a indicat cum putem lucra pentru sisteme de 4 ecuații cu 4 necunoscute.
Cramer a indicat metoda generală pentru sistemele de n ecuații cu n necunoscute în
articolul “Introducere în analiza curbelor algebrice”. El și -a pus problema găsirii ecua ției
unei curbe plane care trece printr -un număr dat de puncte. Regula apare în Appendix -ul
acestui articol dar nu e dovedit acest lucru. Tot Gabriel Cramer a formulat în 1750 regula
de rezolvare a sistemului linear
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1𝑧=𝑙1
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2𝑧=𝑙2
𝑎3𝑥+𝑏3𝑦+𝑐3𝑧=𝑙3
ca un c ât de determinanți
𝑥=𝐷𝑥
𝐷,𝑦=𝐷𝑦
𝐷 ș𝑖 𝑧=𝐷𝑧
𝐷,
D fiind determinantul coeficienților sistemului, Dx determinantul obținut din D înlocuind
coloana coeficienților lui x prin temenii liberi. Tot Cramer a observat că un determinant
este o funcție lineară omogenă de elementele fiecărei linii și a fiecărei coloane.
8
Apoi lucrările despre determinanți au început să apară regulat. În 1764 Bezout
(matematician francez care a trăit între 1730 -1783) a mai dat metode de calcul ale
determinanților asemănătoare cu ale lui Vandermonde . În 177 1 Theophile Vandermonde a
introdu s determinantul care îi poartă numele:
𝑉= 1 1 1
𝑎𝑏𝑐
𝑎2𝑏2𝑐2 = 𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 𝑐−𝑎
În 1772 Laplace (matematician francez care a trăit între 1749 -1827) a pretins că
metodele prezentate de Cramer și Bezout) nu sunt practice și într-un referat unde el a
studiat teoria perturbărilor planetare a folosit determinanții. În acest referat el a introdus și
ecuația seculară
𝑎11−𝑠𝑎12 ⋯𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22−𝑠 ⋯𝑎2𝑛
⋯ ⋯ ⋯⋯
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯𝑎𝑛𝑛−𝑠 =0
despre care a arătat că are toate rădăcinile reale. Destul de surprinzător este faptul că
Laplace a folosit cuvântul rezultant pentru ceea ce noi numim azi determinant . El a
introdus noțiunea de determinant de ordin general și a observat că dacă schimbăm două
linii între ele, determinantul își schimbă semnul și ca o consecință, a arătat că dacă un
determinant are două linii identice, atunci el este nul. Tot e l a enunțat următoarea teoremă:
„Un determinant de ordinul n este egal cu suma celor 𝐶𝑚𝑛 produse pe care le
obținem înmulțind minorii de ordin m extrași dintr -o matrice arbitrară formată cu m linii
ale determinantului prin complementele lor algebrice respective ”.
Lagrange (matematician francez care a trăit intre 1736 -1813), într-un articol din
1773 a studiat complet determinanții de ordinul al treilea și identități cu aceștia. Acest
articol de mecanică conține pentru prima dată interpretarea volumului ca determinant.
Lagrange a arătat că tetraedrul care are vârfurile în 𝑂 0,0,0 ,𝑀 𝑥,𝑦,𝑧 ,𝑀′ 𝑥′,𝑦′,𝑧′ și
𝑀′′(𝑥′′,𝑦′′,𝑧′′) are volumul
1
6 𝑧 𝑥′𝑦′′−𝑦′𝑥′′ +𝑧′ 𝑦𝑥′′−𝑥𝑦′′ +𝑧′′ 𝑥𝑦′−𝑦𝑥′ .
Tot el a introdus noțiunea de determinant reciproc al unui determinant de ordinul al treilea,
format înlocuind fiecare element prin complementul său și a arătat că un determinant
reciproc este pătratul determinantului dat.
Leonhard Euler a studiat începând din 1771, determinanții ortogonali, în legătură cu
problema deplasărilor. Numim determinant ortogonal un determinant de forma:
9
𝑎1𝑏1𝑐1
𝑎2𝑏2𝑐2
𝑎3𝑏3𝑐3
pentru care avem următoarele relații pătrate între elemente:
𝑎12+𝑏12+𝑐12=𝑎22+𝑏22+𝑐22=𝑎32+𝑏32+𝑐32=1,
𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2+𝑐1𝑐2=𝑎1𝑎3+𝑏1𝑏3+𝑐1𝑐3=𝑎2𝑎3+𝑏2𝑏3+𝑐2𝑐3=0
Analog definim determinantul ortogonal de orice ordin. Euler a demonstrat pentru
𝑛=3 că orice element al unui determinant ortogonal este egal cu complementarul său, iar
Joseph Lagrange a arătat că determinantul ortogonal are valoarea ±1.
Din problemele le gate de teoria generală a conicelor și a cuadricelor a fost inițiată
in secolul al 18 -lea și teoria formelor pătratice. Joseph Lagrange a introdus în 1773 forma
binară
𝑓 𝑥,𝑦 =𝑎11𝑥2+2𝑎12𝑥𝑦+𝑎22𝑦2
și forma ternară
𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =𝑎11𝑥2+2𝑎12𝑥𝑦+𝑎22𝑦2+2𝑎13𝑥𝑧+2𝑎23𝑦𝑧+𝑎33𝑧2.
El a arătat, pentru 𝑛=2, că dacă efectuăm o transformare liniară
𝑥=𝛼11𝑥′+𝛼12𝑦′
𝑦=𝛼21𝑥′+𝛼22𝑦′
atunci pentru noua formă
𝑓′ 𝑥′,𝑦′ =𝑎′11𝑥′2+2𝑎′12𝑥′𝑦′+𝑎′22𝑦′2
avem relația dintre discriminanții formelor și ai transformării
𝑎11′𝑎12′
𝑎21′𝑎22′ = 𝛼11𝛼12
𝛼21𝛼22 2
∙ 𝑎11𝑎12
𝑎21𝑎22 .
Euler a observat că un determinant de ordinul 3 conține numai trei parametri
independenți iar unul de ordinul 4 conține 6 parametri și a exprimat sub forma rațională
celelalte elemente in funcție de acești parametri, în cazurile 𝑛=3,4 menționate. El a emis
regula următoare : „Considerăm un determinant nenul 𝐵= 𝑏𝑖𝑗 de ordin n, ale cărui
elemente de pe diagonala principală au valoarea 1 iar celelalte sunt strâmb simetrice
𝑏𝑖𝑗+𝑏𝑗𝑖=0,𝑏𝑖𝑖=1 . Dacă 𝐵𝑖𝑗 este complementul algebric al lui 𝑏𝑖𝑗, punem
𝑎𝑖𝑖=2𝐵𝑖𝑖−1
𝐵, 𝑎𝑖𝑗=2𝐵𝑖𝑗
𝐵, 𝑖≠𝑗, atunci determinantul 𝑎𝑖𝑗 este ortogonal. ”
Termenul “determinant” a fost introdus pentru prima oară în “Discuții aritmetice”
de către Gauss (matematician german care a trăit între 1777 -1855) în timp ce se studiau
formele pătratice. Totuși acest concept nu este același cu determinantul pe care îl știm noi
10
astăzi. În aceeași lucrare Gauss a aranjat coeficienții formelor pătratice într-un sistem de
axe rectangulare. El a descris înmulțirea matricelor și a descris și construcția inversei unei
matrice. Metoda eliminării a lui Gauss (a cărei idee a apărut prima oară în textul “9
Capitole din Arta Matematicii” scris în anul 200 i.e.n., dar despre care Gauss nu știa
nimic), a fost utilizată de acesta în lucrarea sa care studia orbitele asteroidului Pallas.
Utilizând observațiile asupra asteroid ului făcute între 1803 și 1809, Gauss a obținut un
sistem de 6 ecuații liniare cu 6 necunoscute. Gauss a dat sistematic metode pentru
rezolvarea acestor ecuații care precizează eliminarea Gaussiană a coeficienților matricelor.
În 1812 Cauchy (matematician francez care a trăit intre 1789 -1875) a utilizat
determinanții în sensul modern. La el găsim primele însemnări mai complete despre
determinanți. El condamna rezultatele anterioare și a obținut noi rezultate despre minori.
11
PARTEA I – SEGMENTUL ȘTIINȚIFIC
CAPITOLUL I
ASPECTE TEORETICE
1.MATRICE
1.1. Noțiunea de matrice – proprietăți generale
Acest concept l -am întâlnit încă din ultimul an de gimnaziu, atunci când s -a pus
problema rezolvării unui sistem de două ecuații cu două necunoscute x, y, de forma
' ' 'cybxac byax
. Acestui sistem i -am asociat un tablou pătratic, care conține coeficienții
necunoscutelor (în prima linie sunt coeficienții lui x, y din prima ecuație, iar în a doua linie
figurează coeficienții lui x, y din ecuația a doua):
''
baba .
Am numit acest tablou matrice pătratică (sau matricea sistemului). Pe cele două
coloane ale matricei figurează coeficienții lui x (pe prima coloană a,
'a) și respectiv
coeficienții lui y (pe a doua coloană b,
'b).
Definiție: Se numește matrice cu m linii și n coloane (sau de tip
nm ) un tablou cu m
linii și n coloane de forma:
mn m mnn
a a aa aaa aa
… … … … … … …
2 12 22 211 12 11
ale cărui elemente
ija sunt numere complexe.
Uneori această matrice se notează și
jiaA unde
m i,1 și
n j,1 . Pentru
elementul
ija , indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice j indică pe
ce coloană este situat.
Mulțimea matricilor de tip
nm cu elemente numere reale se notează prin
𝑀𝑚,𝑛 ℝ . Aceleași semnificații au și mulțimile 𝑀𝑚,𝑛 ℤ ; 𝑀𝑚,𝑛 ℚ ; 𝑀𝑚,𝑛 ℂ .
Cazuri particulare:
1) O matrice de tipul
n1 (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are
forma 𝐴= 𝑎11𝑎12…𝑎1𝑛 .
12
2) O matrice de tipul
1m (cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are
forma 𝐵= 𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1 .
3) O matrice de tip
nm se numește nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se
notează cu
0 … 0 0… … … …0 … 0 00 … 0 0
O .
4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește
pătratică .
nn n nnn
a aaa aaa aa
A
… … … … … … …
2 12 22 211 12 11
.
Sistemul de elemente
nna aa … 22 11 reprezintă diagonala principală a matricei
A, iar suma acestor elemente
nna a a … 22 11 se numește urma matricei A notată cu
Tr(A)
n
iiia
1 . Sistemul de elemente
1 1 2 1 … n n n a aa reprezintă diagonala secundară
a matricei A.
Mulțimea acestor matrice se notează 𝑀𝑛 ℂ . O matrice foarte importantă este
1 … 0 0… … … …0 … 1 00 … 0 1
nI
numită matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele
egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).
1.2. Operații cu matrice
1.2.1. Egalitatea a două matrice
Definiție: Fie
jiaA ,
jibB
𝑀𝑚,𝑛 ℂ . Spunem că matricele A, B sunt egale și
scriem A = B dacă
jia =
jib ,
m i,1 ,
n j,1 .
Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încăt să avem egalitatea de matrice:
xx
y xyx x
29 01 2
2 0 1 .
13
Soluție: Matricele sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică:
.29 200121
x y xx yxx
Rezolvând acest sistem găsim soluția x = 1, y = – 3.
1.2.2. Adunarea matricelor
Definiție: Fie
jiaA ,
jibB ,
jic C
𝑀𝑚,𝑛 ℂ . Matricea C se numește suma
matricelor A, B dacă
jic =
jia +
jib ,
m i,1 ,
n j,1 .
Observații:
1) Două matrice se pot aduna dacă sunt de același tip , adică dacă au același număr de linii
și același număr de coloane, deci A, B
𝑀𝑚,𝑛 ℂ .
2) Explicit adunarea matricelor A, B înseamnă:
mn m mnn
a a aa aaa aa
… … … … … … …
2 12 22 211 12 11
+
mn m mnn
b b bb bbb bb
… … … … … … …
2 12 22 211 12 11 =
mn mn m m m mn nn n
b a b a b ab a b ab ab a b ab a
… … … … … … …
2 2 1 12 2 22 22 21 211 1 12 12 11 11 .
Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:
1.
5 1 103 5 0 , 1 0 32 1 1B A
2.
.0 11 0 , 1 11 1
B A
Soluții: 1.
6 1 131 4 1
51 10 1033-2 51- 01
5 1 103 5 0
1 0 32 1 1BA
2.
1 02 1
01 1111 01 .0 11 0
1 11 1 BA .
Proprietăți ale adunării matricelor:
1A
(Asociativitatea adunării). Adunarea matricelor este asociativă , adică:
CBACBA
,
A, B, C
Cnm, .
2A
(Comutativitatea adunării). Adunarea matricelor este comutativă , adică:
ABBA
,
A, B
Cnm, .
3A
(Element neutru). Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element
neutru , adică
nmO,
𝑀𝑚,𝑛 ℂ astfel încât:
14
A +
nmO, = A,
A
Cnm, .
4A (Elemente opuse). Orice matrice A
𝑀𝑚,𝑛 ℂ are un opus, notat
A , astfel
încât:
nmOA A,
.
1.2.3. Înmulțirea cu scalari a matricelor
Definiție: Fie
C și A =
jia
𝑀𝑚,𝑛 ℂ . Se numește produsul dintre scalarul
C și
matricea A, matricea notată
A
𝑀𝑚,𝑛 ℂ definită prin
A =
jia .
Observație: A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei
cu acest scalar.
Deci
A =
mn m mnn
a a aa a aa a a
… … … … … … …
2 12 22 211 12 11 .
Exemplu : Fie
1 32 05 3 21
A . Atunci 6 A =
6 4 030 18 3 .
Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari:
1S
A A ,
,
C,
A
𝑀𝑚,𝑛 ℂ
2S
B A BA
,
C,
A, B
𝑀𝑚,𝑛 ℂ
3S
A A A ,
,
C,
A
𝑀𝑚,𝑛 ℂ
4S
AA1
,1
C,
A
𝑀𝑚,𝑛 ℂ
1.2.4. Înmulțirea matricelor
Definiție: Fie A =
ika
Rnm, , B =
jib
𝑀𝑛,𝑝 ℝ . Produsul dintre matricele A și B
(în această ordine ), notat AB este matricea C =
jkc
𝑀𝑚,𝑝 ℝ definită prin
n
ijiik jk ba c
1 ,
m k,1 ,
n j,1 .
Observații:
1) Produsul AB a două matrice se poate efectua doar dacă A
𝑀𝑚,𝑛 ℝ ,B
𝑀𝑛,𝑝 ℝ , adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B,
când se obține o matrice C = AB
𝑀𝑚,𝑝 ℝ .
15
2) Dacă matricele sunt pătratice A, B
𝑀𝑛 ℝ atunci are sens întotdeauna atât AB
cât și BA, iar, în general, AB
BA adică înmulțirea matricelor nu este comutativă .
Proprietăți ale înmulțirii matricelor:
1I (Asociativitatea înmulțirii ). Înmulțirea matricelor este asociativă , adică:
BCACAB
,
A
𝑀𝑚,𝑛 ℂ ,
B
𝑀𝑛,𝑝 ℂ ,
C
𝑀𝑝,𝑠 ℂ .
2I (Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea ). Înmulțirea matricelor este
distributivă în raport cu adunarea , adică:
, , CB CABAC BC ACCBA
A, B, C matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.
3I Dacă
nI
𝑀𝑛 ℂ este matricea unitate, atunci
,A AIAIn n
A
𝑀𝑛 ℂ .
Se spune că
nI este element neutru în raport cu operația de înmulțire a matricelor.
1.2.5. Puterile unei matrice
Definiție: Fie A
𝑀𝑛 ℂ . Atunci
A A1 ,
AA A2 ,
AA A2 3 , …,
A A An n1 ,
n
*N
. (Convenim
20I A ).
Teorema Cayley -Hamilton. Orice matrice A
𝑀𝑛 ℂ își verifică polinomul caracteristic
0 det I A
.
Pentru n = 2,
dcbaA
bc addcbaA det ,
dcb a
dcbaI A
1 00 1
.
0 0 0 0 det2bc da ad bc d adcb aI A
02 bcad da , polinom caracteristic.
Generalizat:
0 det Tr1
nn nIA AA A
1.2.6. Transpusa unei matrice
Definiție: Fie A
𝑀𝑛 ℂ o matrice notată 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 cu
m i,1 și
n j,1 .
Atunci 𝐴= 𝑎𝑡
𝑘𝑙 𝑡 cu 𝑘=1,𝑛 și 𝑙=1,𝑚 , unde 𝑎𝑡
𝑘𝑙=𝑎𝑙𝑘 pentru orice 𝑘=1,𝑛 și
𝑙=1,𝑚 , se numește transpusa matricei A.
16
Se observă că 𝐴𝑡 este o matrice de tipul 𝑛,𝑚 și se obține din matricea A luând
liniile drept coloane, respectiv coloanele drept linii.
Caz particular: Dacă A este o matrice pătratică de ordinul n, atunci transpusa sa 𝐴𝑡 este
de asemenea o matrice pătratică de ordinul n. Dacă 𝑘=𝑙, atunci 𝑎𝑡
𝑘𝑘=𝑎𝑘𝑘 și deci
diagonala principală a matricei 𝐴𝑡 este aceeași diagonală principală cu a matricei A.
Proprietăți:
1) Dacă A,B
𝑀𝑚,𝑛 ℂ , atunci 𝐴+𝐵 =𝐴+𝐵𝑡𝑡 𝑡;
2) Dacă A
𝑀𝑚,𝑛 ℂ , B
𝑀𝑛,𝑝 ℂ atunci 𝐴∙𝐵 =𝐵∙𝑡𝐴𝑡 𝑡;
3) Dacă A
𝑀𝑚,𝑛 ℂ și 𝑎∈ℂ, atunci 𝑎𝐴 =𝑎𝐴𝑡 𝑡.
2.DETERMINANȚI
2.1. Determinanți de ordinul 2 și 3
Fie A=
jia
𝑀𝑛 ℂ o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat
det(A) numit determinantul matricei A.
Definiție: Dacă A=
11a
𝑀𝑛 ℂ este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci
det(A) =
11a .
Definiție: Determinantul matricii
22 2112 11
aaaaA este numărul
21 12 22 11 det aa aaA
22 2112 11
aaaa
și se numește determinant de ordin 2. Produsele
22 11aa ,
21 12aa se numesc termenii
dezvoltării determinantului de ordin 2 .
Definiție: Determinantul matricii
33 32 3123 22 2113 12 11
aaaa aaaaa
A este numărul
32 23 11 3321 12 31 22 13 31 23 12 3221 13 33 22 11) det( aaa aaa aaa aaa aaa aaaA
și se numește determinant de ordin 3. Produsele care apar în formulă se numesc termenii
dezvoltării determinantului de ordin 3 .
Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează trei tehnici simple:
17
i)Regula lui Sarrus: Fie determinantul de ordin 3,
.
3,1,
jijiad Pentru a calcula un astfel
de determinant se scriu sub determinant primele două linii apoi se face produsul
elementelor de pe diagonală:
Produsul elementelor de pe o diagonală descendentă este cu semnul plus.
Avem trei astfel de produse:
31 23 12 32 21 13 33 22 11 , , aaaaaaaaa ;
Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă este cu semnul minus.
Avem trei astfel de produse:
32 23 11 3321 12 31 22 13 , , aaa aaa aaa .
Suma celor șase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu
de calcul se numește „regula lui Sarrus”.
ii)Regula triunghiului: Am văzut că determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa șase
termeni, trei cu semnul plus și alți trei cu semnul minus.
Primul termen cu plus se găsește înmulțind elementele de pe diagonala principală,
iar ceilalți doi, înmulțind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o
latură paralelă cu cu diagonala princi pală. După aceeași regulă, referitoare la diagonala
secundară, se obțin termenii cu minus.
Observație: Cele două reguli amintite mai sus se aplică doar determinanților de ordin 3 .
Exemplu: Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul:
0 1 3 1 2 0 1 0 3
d
Soluții: a) Regula lui Sarrus:
9 036000000)1(1)3(123)1(03110023 d
iii)Recurența (sau dezvoltarea după o linie, respectiv o coloană)
Determinantul de ordin 3 are 3! =6 termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar
ceilalți cu semnul minus.
Are loc următoarea proprietate:
32 3122 21
1331
33 3123 21
1221
33 3223 22
1111)1( )1( )1() det(aaaaaaaaaaaaaaa A (1)
=
23 2213 12
3113
33 3213 12
2112
33 3223 22
1111)1( )1( )1(aaaaaaaaaaaaaaa . (2)
Observații:
18
1) Egalitatea (1) se mai numește dezvoltarea determinantului după elementele liniei
întâi , iar egalitatea (2) se numește dezvoltarea determinantului după elementele
coloanei întâi .
2) Formulele (1) și (2) sunt relații de recurență , deoarece determinantul de ordin 3 se
exprimă cu ajutorul unor deteminanți de ordin inferior (2).
2.2. Determinant ul de ordin 𝒏≥𝟒
Voi defini în continuare determinantul de ordin n prin recurență cu ajutorul
determinanților de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizări.
Fie A=
jia
Cn .
Definiție: Se numește minor asociat elementului
jia determinantul matricei pătratice
jiA
de ordin n – 1 obținut prin suprimarea liniei i și coloanei j din matricea A. Se notează acest
minor prin
jiA det sau
jiD .
Definiție: Se numește complement algebric al elementului
jia numărul
jijiA det1 .
Exponentul lui ( –1) este suma dintre numărul liniei i și coloanei j pe care se află
jia .
Definiție: Determinantul matricei A=
jia de ordin n este suma produselor elementelor din
prima linie cu complemenții lor algebrici adică
n nnDa Da Da DaA1 11
13 13 12 12 11 11 1 … det
.
Observații:
1) Elementelor, liniilor și coloanelor matricii A le vom spune d e asemenea elementele,
liniile și coloanele determinantului
nn n nnn
a aaa aaa aa
A
… … … … … … …
) det(
2 12 22 211 12 11
2) Formula din definiție spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n
după elementele primei linii .
3) Definiția determinantului de mai sus este încă puțin eficientă (o voi ilustra mai jos
pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietăți ale determinanților care să fie
comode atât din punct de vedere al teoriei cât și din punct de vedere al ca lculului. Aceste
proprietăți le prezint în paragraful următor.
19
4) Continuând cu explicitarea determinanților de ordin n – 1 din definiție
nD DD1 12 11 ,…,,
se obține pentru
) det(A o sumă de produse de elemente din determinant, fiecare p rodus
conținând elemente situate pe linii și coloane diferite.
5) Determinantul este o funcție
C CnΜ:det .
Exemplu : Să se calculeze determinantul de ordin 4 ,
0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 1 2 1 0 1
d .
Soluție: Aplicăm definiția dată mai sus pentru n = 4 și dezvoltăm determinantul după
elementele liniei întâi. Avem:
0 1 1 1 1 0 0 2 1
2
0 1 1 1 1 0 0 2 1
1
0 0 1 1 1 0 0 0 1
0
0 0 11 1 1 0 0 2
1
d =
=
12100 ,
unde determinanții de ordin 3 i -am calculat prin una din metodele prezentate la
determinanții de ordin 3.
2.3. Proprietățile determinanților
Formula determinantului de ordinul 2 este simplă, cea a determinantului de ordinul
3 se complică (vezi regula lui Sarrus) iar pentru un determinant de ordin 𝑛≥4 apar
calcule laborioase. Pentru un determinant de ordinul 4 avem 4!=24 termeni în formula sa,
pentru 𝑛=5 avem 5!=120 termeni de calculat și tot așa. Din aceste motive, pentru
simplificarea calculului determinanților s -au prezentat o serie de proprietăți ale acestora.
Proprietatea 1: Determinantul unei matrice coincide cu determinan tul matricii transpuse,
adică dacă A
Cn , atunci
A Atdet det .
Observație: Această proprietate ne arată că ori de câte ori avem o proprietate adevărată
referitoare la liniile unui determinant, aceeași proprietate este adevărată și pentru coloanele
acestuia.
Proprietatea 2: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr -o matrice sunt nule,
atunci determinantul matricei este nul.
Proprietatea 3: Dacă într -o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele
obținem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
Proprietatea 4: Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci
determinantul său este nul.
20
Proprietatea 5: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt
înmulțite cu un număr
, obținem o matrice al cărei determinant est e egal cu
înmulțit
cu determinantul matricei inițiale.
Proprietatea 6: Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt
proporționale, atunci determinantul este nul.
Proprietatea 7: Dacă linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul
ei este egal cu suma a doi determinanți corespunzători matricelor care au aceleași linii ca
A, cu excepția liniei i unde au câte unul din cei doi vectori.
nn nin in
nn nin in
nn nin in i in
a ab ba a
a aa aa a
a ab a b aa a
… … … … … … … … …
… … … … … … … … …
… … … … … … … … …
111 11
111 11
11 11 11
.
Observație: O proprietate anal oagă are loc și pentru coloane.
Proprietatea 8: Dacă o linie (o coloană) a unei matrice pătratice este o combinație
liniară de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricei este zero.
Proprietatea 9: Dacă la o linie (o coloană) a matricei A adun ăm elementele altei linii
(coloane) înmulțite cu același număr, atunci această matrice are același determinant ca și
matricea A.
Proprietatea 10:
1 detnI (Determinantul matricei unitate este egal cu 1 ).
Proprietatea 11:
, det det A An A
Cn .
Proprietatea 12: Dacă A=
jia este o matrice triunghiulară (sau diagonală), atunci
nnaaaA … det22 11
. (Valoarea determinantului este egală cu produsul elementelor de pe
diagonala principală ).
Proprietatea 13: Dacă A,B
Cn , atunci
B A AB det det det (Determinantul
produsului a două matrici pătratice este egal cu produsul determinanților acelor matrici ).
Caz particular:
, det detn nA A n
*N .
2.4. Calculul inversei unei matrici
Definiție: Fie A
Cn . Matricea A se numește inversabilă dacă există matricea
B
Cn cu proprietatea că
nIABBA ,
nI fiind matricea unitate.
Matricea B din definiție se numește inversa matricii A și se notează
1AB . Deci
nIAA AA 1 1 .
21
Teoremă: Matricea A
Cn este inversabilă dacă și numai dacă
.0 detA O astfel
de matrice se numește nesingulară .
Construcția lui
1A presupune următorii pași:
Pasul 1. (Construcția transpusei )
Dacă
nn n nnn
a aaa aaa aa
A
… … … … … … …
2 12 22 211 12 11 , atunci construim transpusa lui A,
nn n nnn
t
a aaa aaa aa
A
… … … … … … …
2 12 22 121 12 11 .
Pasul 2. (Construcția adjunctei )
Matricea
nnnn
nn
nnnnnn
D D DD D DD D D
A
1 … 1 1 … … … … 1 … 1 1 1 … 1 1
22
1122
2222
211211
1221
1111
*
obținută din
At , înlocuind fiecare element cu complementul său algebric se numește
adjuncta matricii A.
Pasul 3. (Construcția inversei ) Se ține cont de teorema precedentă și se găsește că:
,
… 0 0 0 … … … … …0 … 0 0 0 … 0 0
* *
ddd
AAAA
iar de aici
.1 1* *
nI AdAAAd
Ultimele egalități arată că
2.5. Metode de calcul al determinanților
1.Metoda reducerii la forma triunghiulară – constă în transformarea determinantului
(folosind proprietățile) într -unul subdiagonal (când toate elementele de deasupra
diagonalei principale sunt egale cu zero) sau supradiagonal (când toate elementele de sub
diagonala principală s unt nule). În acest caz, valoarea determinanului va fi egală cu
produsul elementelor de pe diagonala principală.
Exemplu: Calculați determinantul următor:
𝐷= 𝑎1𝑥𝑥…𝑥
𝑥𝑎2𝑥…𝑥
𝑥𝑥𝑎3…𝑥
……………
𝑥𝑥𝑥…𝑎𝑛
* 1
det1AAA
22
Scăzând prima linie din toate celelalte obținem un nou determinant de forma:
𝐷= 𝑎1𝑥 𝑥…𝑥
𝑥−𝑎1𝑎2−𝑥 0… 0
𝑥−𝑎1 0𝑎3−𝑥… 0
…… ………
𝑥−𝑎1 0 0…𝑎𝑛−𝑥
Și după ce dăm factor comun pe 𝑎1−𝑥 în prima coloană, pe 𝑎2−𝑥 în a doua coloană și
tot așa până la 𝑎𝑛−𝑥 în ultima coloană, obținem valoarea determinantului:
𝑫= 𝒂𝟏−𝒙 𝒂𝟐−𝒙 … 𝒂𝒏−𝒙 ∙ 𝒂𝟏
𝒂𝟏−𝒙𝒙
𝒂𝟐−𝒙𝒙
𝒂𝟑−𝒙…𝒙
𝒂𝒏−𝒙
−𝟏𝟏𝟎…𝟎
−𝟏𝟎𝟏…𝟎
……………
−𝟏𝟎𝟎…𝟏 ;
𝐷= 𝑎1−𝑥 𝑎2−𝑥 … 𝑎𝑛−𝑥 ∙
1+𝑥
𝑎1−𝑥𝑥
𝑎2−𝑥𝑥
𝑎3−𝑥…𝑥
𝑎𝑛−𝑥
−1 1 0… 0
−1 0 1… 0
… … ………
−1 0 0… 1
Și adunând primei coloane toate celelalte obținem un determinant supradiagonal, adică cu
toate elementele de sub diagonala principală egale cu zero:
𝐷
= 𝑎1−𝑥 𝑎2−𝑥 … 𝑎𝑛−𝑥
∙
1+𝑥
𝑎1−𝑥+𝑥
𝑎2−𝑥+𝑥
𝑎3−𝑥+⋯+𝑥
𝑎𝑛−𝑥𝑥
𝑎2−𝑥𝑥
𝑎3−𝑥…𝑥
𝑎𝑛−𝑥
0 1 0… 0
0 0 1… 0
… … ………
0 0 0… 1
Iar valoarea acestuia va fi egală cu produsul elementelor diagonalei principale, adică:
𝐷=𝑥 𝑎1−𝑥 𝑎2−𝑥 … 𝑎𝑛−𝑥 ∙(1
𝑥+1
𝑎1−𝑥+1
𝑎2−𝑥+1
𝑎3−𝑥+⋯+1
𝑎𝑛−𝑥)
2.Metoda transformării liniare – constă în privirea determinantului ca o funcție
polinomială în una sau mai multe necunoscute, egal ca valoare cu produsul factorilor primi
ce rezultă din descompunerea acesteia.
Exemplu: Calculați determinantul:
𝐷= 0𝑥𝑦𝑧
𝑥0𝑧𝑦
𝑦𝑧0𝑥
𝑧𝑦𝑥0
23
Adunăm prima coloană cu celelalte coloane și obținem determinantul:
𝐷= 𝑥+𝑦+𝑧𝑥𝑦𝑧
𝑥+𝑦+𝑧0𝑧𝑦
𝑥+𝑦+𝑧𝑧0𝑥
𝑥+𝑦+𝑧𝑦𝑥0 = 𝑥+𝑦+𝑧 1𝑥𝑦𝑧
10𝑧𝑦
1𝑧0𝑥
1𝑦𝑥0
Adunăm primele două coloane, le scădem pe ultimele și obținem:
𝐷= 𝑥−𝑦−𝑧𝑥𝑦𝑧
𝑥−𝑦−𝑧0𝑧𝑦
𝑦+𝑧−𝑥𝑧0𝑥
𝑧+𝑦−𝑥𝑦𝑥0 = 𝑦+𝑧−𝑥 −1𝑥𝑦𝑧
−10𝑧𝑦
1𝑧0𝑥
1𝑦𝑥0
Analog, adunăm prima și a treia coloană, apoi scădem a doua și a patra, obținem:
𝐷= 𝑦−𝑥−𝑧𝑥𝑦𝑧
𝑥+𝑧−𝑦0𝑧𝑦
𝑦−𝑧−𝑥𝑧0𝑥
𝑧+𝑥−𝑦𝑦𝑥0 = 𝑥−𝑦+𝑧 −1𝑥𝑦𝑧
1 0𝑧𝑦
−1𝑧0𝑥
1𝑦𝑥0
În final, adunăm prima și a patra coloană, apoi scădem a doua și a treia coloană:
𝐷= 𝑧−𝑥−𝑦𝑥𝑦𝑧
𝑥+𝑦−𝑧0𝑧𝑦
𝑦+𝑥−𝑧𝑧0𝑥
𝑧−𝑥−𝑦𝑦𝑥0 = 𝑥+𝑦−𝑧 −1𝑥𝑦𝑧
1 0𝑧𝑦
1𝑧0𝑥
−1𝑦𝑥0 .
Deoarece 𝑥,𝑦,𝑧 sunt diferite, 𝑥+𝑦+𝑧 , 𝑦+𝑧−𝑥 , 𝑥−𝑦+𝑧 și 𝑥+𝑦−𝑧 sunt
prime între ele două câte două și de aici rezultă că determinantul este divizibil prin
produsul acestor factori primi.
𝐷=−1 𝑥+𝑦+𝑧 𝑦+𝑧−𝑥 𝑥−𝑦+𝑧 𝑥+𝑦−𝑧
3.Metoda recurenței – este cea mai bună alegere în cazul determinanților mai dificili. Ea
se bazează pe scrierea termenului general sub o altă formă, transformarea determinantului
inițial într -unul în care apar determinanți de ordin inferior și ap oi folosirea inducției.
Exemplu: Calculați determinantul următor:
𝐷𝑛= 𝑎1𝑥𝑥…𝑥
𝑥𝑎2𝑥…𝑥
𝑥𝑥𝑎3…𝑥
……………
𝑥𝑥𝑥…𝑎𝑛
Rescriem determinantul astfel: 𝐷𝑛= 𝑎1𝑥𝑥… 𝑥
𝑥𝑎2𝑥… 𝑥
𝑥𝑥𝑎3… 𝑥
………… …
𝑥𝑥𝑥…𝑥+(𝑎𝑛−𝑥) apoi îl
descompunem în sumă de doi determinanți:
24
𝐷𝑛= 𝑎1𝑥𝑥…𝑥
𝑥𝑎2𝑥…𝑥
……………
𝑥𝑥…𝑎𝑛−1𝑥
𝑥𝑥…𝑥𝑥 + 𝑎1𝑥…𝑥 0
𝑥𝑎2…𝑥 0
……………
𝑥𝑥…𝑎𝑛−1 0
𝑥𝑥…𝑥𝑎𝑛−𝑥
Dacă scădem ultima coloană a primului determinant din toate celelalte coloane și
dezvoltăm al doilea determinant după ultima coloană, obținem:
𝐷𝑛=𝑥 𝑎1−𝑥 𝑎2−𝑥 … 𝑎𝑛−1−𝑥 +(𝑎𝑛−𝑥)𝐷𝑛−1
(relația de recurență). Urmând același algortim, obținem:
𝐷𝑛=𝑥 𝑎1−𝑥 𝑎2−𝑥 … 𝑎𝑛−1−𝑥
+𝑥 𝑎1−𝑥 𝑎2−𝑥 … 𝑎𝑛−2−𝑥 (𝑎𝑛−𝑥)+𝐷𝑛−2 𝑎𝑛−1−𝑥 𝑎𝑛−𝑥 ,
Adică:
𝐷𝑛=𝑥 𝑎1−𝑥 𝑎2−𝑥 … 𝑎𝑛−1−𝑥
+𝑥 𝑎1−𝑥 𝑎2−𝑥 … 𝑎𝑛−2−𝑥 (𝑎𝑛−𝑥)
…+𝑥 𝑎2−𝑥 … 𝑎𝑛−𝑥 + 𝑎1−𝑥 𝑎2−𝑥 … 𝑎𝑛−𝑥
Și tot așa, folosind faptul că 𝐷1=𝑎1=𝑥+ 𝑎1−𝑥 vom obține rezultatul final:
𝐷𝑛=𝑥 𝑎𝟏−𝑥 𝑎𝟐−𝑥 … 𝑎𝒏−𝑥 ∙(1
𝑥+1
𝒂𝟏−𝒙+1
𝑎2−𝑥+1
𝑎3−𝑥+⋯+1
𝑎𝑛−𝑥).
4.Metoda reprezentării determinantului ca o sumă de determinanți (de același tip)
Exemplu: Calculați determinantul următor:
𝐷𝑛= 𝑎1+𝑏1𝑎1+𝑏2…𝑎1+𝑏𝑛
𝑎2+𝑏1𝑎2+𝑏2…𝑎2+𝑏𝑛
… ………
𝑎𝑛+𝑏1𝑎𝑛+𝑏2…𝑎𝑛+𝑏𝑛
Fixând prima linie, putem descompune acest determinant în sumă de doi
determinanți, apoi fiecare dintre aceștia în sumă de câte doi determinanți și tot așa,
obținând în final 2𝑛 determinanți în momemtul în care am ajuns la ultima linie a
determinantului i nițial.
Dacă în fiecare descompunere considerăm prima variabilă de tipul 𝑎𝑖 și cea de -a
doua de tipul 𝑏𝑗, atunci liniile din determinanții obținutți prin descompunere vor fi de tipul
𝑎𝑖,𝑎𝑖,…..,𝑎𝑖 (proporționale) sau de tipul 𝑏1,𝑏2,…..,𝑏𝑛(egale). Când 𝑛>2 cel puțin două
linii din prima categorie vor fi egale în fiecare determinant, de unde obținem conform
proprietăților determinanților că 𝐷𝑛=0.
Atunci, 𝐷1=𝑎1+𝑏1, 𝐷2= 𝑎1𝑎1
𝑏1𝑏2 + 𝑏1𝑏2
𝑎2𝑎2 = 𝑎1−𝑎2 𝑏2−𝑏1
25
2.6. Clase de determinanți
1. Determinantul Vandermonde
Determinantul Vandermonde se notează cu 𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 și este definit prin
𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 = 1 1… 1
𝑎1𝑎2…𝑎𝑛
…………
𝑎1𝑛−1𝑎2𝑛−1…𝑎𝑛𝑛−1 ,𝑛∈ℕ și 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛∈ℂ
Vom calcula valoarea lui prin două metode:
Metoda I: Efectuând −𝑎1𝐿𝑛−1+𝐿𝑛, −𝑎1𝐿𝑛−1+𝐿𝑛, ,…..,−𝑎1𝐿𝑛−1+𝐿𝑛, obținem:
𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 = 1 1 1 … 1
0𝑎2−𝑎1 𝑎3−𝑎1…𝑎𝑛−𝑎1
0𝑎2(𝑎2−𝑎1)𝑎3(𝑎3−𝑎1)…𝑎𝑛(𝑎𝑛−𝑎1)
… … … … …
0𝑎2𝑛−2(𝑎2−𝑎1)𝑎3𝑛−2(𝑎3−𝑎1)…𝑎𝑛𝑛−2(𝑛−𝑎1) =
𝑎2−𝑎1 𝑎3−𝑎1 …(𝑎𝑛−𝑎1)𝑉 𝑎2,𝑎3,…,𝑎𝑛 , relație ce reprezintă o relație de
recurență.
Deci, 𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 = 𝑎2−𝑎1 𝑎3−𝑎1 …(𝑎𝑛−𝑎1)𝑉 𝑎2,𝑎3,…,𝑎𝑛 ,
𝑉 𝑎2,𝑎3,…,𝑎𝑛 = 𝑎3−𝑎2 𝑎4−𝑎3 …(𝑎𝑛−𝑎2)𝑉 𝑎3,𝑎4,…,𝑎𝑛
………………………………………………………………………
𝑉 𝑎𝑛−2,𝑎𝑛−1,…,𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1−𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−𝑎𝑛−2 𝑉 𝑎𝑛−1,𝑎𝑛 .
În final obținem:
𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 = 𝑎𝑗−𝑎𝑖
1≤𝑖<𝑗≤𝑛
Metoda a II -a: Fie polinomul 𝑃 𝑥 = 𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛−1 ,𝑥 de gradul 𝑛−1. Observăm
că 𝑃 𝑎1 =𝑃 𝑎2 =⋯=𝑃(𝑎𝑛−1)=0 (am exclus cazul banal în care două dintre
numerele 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛−1 sunt egale). Deducem că polinomul P este de forma:
𝑃 𝑥 =𝑎 𝑥−𝑎𝑘 𝑛−1
𝑘=1
Dezvoltând după ultima linie, a fiind coeficientul lui 𝑥𝑛−1 deducem că
𝑎= 𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛−1 , deci
𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛−1 ,𝑥 = 𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛−1 𝑥−𝑎𝑘 𝑛−1
𝑘=1
Pentru 𝑥=𝑎𝑛, obținem:
𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 = 𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−𝑎𝑘 𝑛−1
𝑘=1
26
Ținând seama de această relație de recurență și de egalitatea 𝑉 𝑎1,𝑎2 = 𝑎2−𝑎1 ,
obținem:
𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 = 𝑎𝑗−𝑎𝑖
1≤𝑖<𝑗≤𝑛
2. Determinantul polinomial
Fie 𝑃𝑖∈ℂ 𝑥 polinom de grad cel mult 𝑛−1,𝑖=1,𝑛 Și fie 𝑥𝑗∈ℂ,𝑗=1,𝑛 .
Determinantul 𝑑𝑒𝑡 𝑃𝑖 𝑥𝑗 = 𝑃1 𝑥1 𝑃1 𝑥2 …𝑃1 𝑥𝑛
𝑃2 𝑥1 𝑃2 𝑥2 …𝑃2 𝑥𝑛
…………
𝑃𝑛 𝑥1 𝑃𝑛 𝑥2 …𝑃𝑛 𝑥𝑛 se numește determinant
polinomial. Dacă 𝑃1 𝑥 =𝑎11+𝑎12𝑥+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛−1,
𝑃2 𝑥 =𝑎21+𝑎22𝑥+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛−1
…………………………………………
𝑃𝑛 𝑥 =𝑎𝑛1+𝑎𝑛2𝑥+⋯+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛−1 și notăm 𝑃= 𝑃𝑖𝑘 𝑖,𝑘=1,𝑛 matricea ceficienilor
polinoamelor 𝑃𝑖 , 𝑖=1,𝑛 observând egalitatea 𝑃𝑖 𝑥𝑗 = 𝑃𝑖𝑘 𝑥𝑗𝑘−1 , dducem că
𝑑𝑒𝑡 𝑃𝑖 𝑥𝑗 =det𝑃∙ 𝑉 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛
3.Determinantul circular
Fie 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛∈ℂ. Se numește determinant circular al numerelor 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 și
se notează 𝐶 ,𝑎2,…,𝑎𝑛 determinantul
𝐶 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 =
𝑎1𝑎2…𝑎𝑛
𝑎2𝑎3…𝑎1
𝑎3𝑎4…𝑎2
…………
𝑎𝑛𝑎1…𝑎𝑛−1
Pentru calculul lui considerăm ecuația binomă 𝑥𝑛−1=0,𝑛≥2, ale cărei rădăcini sunt
𝜀1, 𝜀2, …, 𝜀𝑛 numite rădăcini de ordinul n al unității și construim un determinant
Vandermonde de forma:
𝑉 𝜀1,𝜀2,…,𝜀𝑛 = 1 1… 1
𝜀1𝜀2…𝜀𝑛
𝜀12𝜀22…𝜀𝑛2
…………
𝜀1𝑛−1𝜀2𝑛−1…𝜀𝑛𝑛−1
Înmulțim și obținem:
27
𝐶 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 ∙ 𝑉 𝜀1,𝜀2,…,𝜀𝑛
= 𝑎1+𝑎2𝜀1+⋯+𝑎𝑛𝜀1𝑛−1𝑎1+𝑎2𝜀2+⋯+𝑎𝑛𝜀2𝑛−1…𝑎1+𝑎2𝜀𝑛+⋯+𝑎𝑛𝜀𝑛𝑛−1
𝑎2+𝑎3𝜀1+⋯+𝑎1𝜀1𝑛−1𝑎2+𝑎3𝜀2+⋯+𝑎1𝜀2𝑛−1…𝑎2+𝑎3𝜀𝑛+⋯+𝑎1𝜀𝑛𝑛−1
… … … …
𝑎𝑛+𝑎1𝜀1+⋯+𝑎𝑛−1𝜀1𝑛−1𝑎𝑛+𝑎1𝜀2+⋯+𝑎𝑛−1𝜀2𝑛−1…𝑎𝑛+𝑎1𝜀𝑛+⋯+𝑎𝑛−1𝜀𝑛𝑛−1
Considerăm polinomul 𝑓 𝑥 =𝑎1+𝑎2𝑥+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛−1 astfel că produsul anterior devine:
𝜀1𝑛𝑓(𝜀1)𝜀2𝑛𝑓(𝜀2)…𝜀𝑛𝑛𝑓(𝜀𝑛)
𝜀1𝑛−1𝑓(𝜀1)𝜀2𝑛−1𝑓(𝜀2)…𝜀𝑛𝑛−1𝑓(𝜀𝑛)
… ………
𝜀1𝑓(𝜀1)𝜀2𝑓(𝜀2)…𝜀𝑛𝑓(𝜀𝑛)
=𝑓 𝜀1 ∙𝑓 𝜀2 ∙…∙𝑓(𝜀𝑛)∙ 𝜀1𝑛𝜀2𝑛…𝜀𝑛𝑛
𝜀1𝑛−1𝜀2𝑛−1…𝜀𝑛𝑛−1
…………
𝜀1𝜀2…𝜀𝑛
Ultima linie se poate aduce pe prima linia prin 𝑛−1 schimbări. Procedând la fel cu toate
celelalte linii obținem 𝐶 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 ∙ 𝑉 𝜀1,𝜀2,…,𝜀𝑛 = −1 𝑛−1 + 𝑛−2 +⋯+2+1∙
𝑓 𝜀1 ∙𝑓 𝜀2 ∙…∙𝑓 𝜀𝑛 ∙ 𝑉 𝜀1,𝜀2,…,𝜀𝑛 = −1 𝑛 𝑛+1
2∙𝑓 𝜀1 ∙𝑓 𝜀2 ∙…∙𝑓 𝜀𝑛 ∙
𝑉 𝜀1,𝜀2,…,𝜀𝑛 , de unde prin simplificare cu 𝑉 𝜀1,𝜀2,…,𝜀𝑛 obținem: 𝐶 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 =
−1 𝑛 𝑛−1
2∙𝑓 𝜀1 ∙𝑓 𝜀2 ∙…∙𝑓 𝜀𝑛 , unde 𝑓 𝜀 =𝑎1+𝑎2𝜀+⋯+𝑎𝑛𝜀𝑛−1 iar 𝜀 este o
rădăcină a ecuației 𝑥𝑛−1=0,𝑛≥2.
4.Determinantul Cauchy
Fie 𝑎𝑖,𝑏𝑗∈ℂ,𝑖,𝑗=1,𝑛 . Se numește determinant Cauchy al numerelor 𝑎𝑖,𝑏𝑗,
determinantul de forma:
𝐷 𝑎𝑖,𝑏𝑗 =
1
𝑎1+ 𝑏11
𝑎1+ 𝑏2…1
𝑎1+ 𝑏1
1
𝑎2+ 𝑏11
𝑎2+ 𝑏2…1
𝑎2+ 𝑏𝑛… ………
1
𝑎𝑛+ 𝑏11
𝑎𝑛+ 𝑏2…1
𝑎𝑛+ 𝑏𝑛
Pentru calculul său scădem ultima linie din celelalte linii, dăm factor comun pe linii și
coloane apoi scădem ultima coloană din celelalte coloane și dăm din nou factor comun. Se
obține astfel relația de recurență:
𝐷𝑛=𝐷𝑛−1
𝑎𝑛+ 𝑏𝑛∙ 𝑎𝑛− 𝑎𝑘 𝑏𝑛− 𝑏𝑘
𝑎𝑛+ 𝑎𝑘 𝑏𝑛+ 𝑏𝑘 𝑛−1
𝑘=1
de unde
28
𝐷 𝑎𝑖,𝑏𝑗 =𝑉 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 𝑉 𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛
𝑎𝑖+ 𝑏𝑘 𝑛
𝑖,𝑗=1
5.Funcții polinomiale de tip determinant
Voi prezenta o metodă de stabilire a unor proprietăți ale determinanților cu ajutorul unor
funcții polinomiale de tipul 𝑑𝑒𝑡(𝐴+𝑥𝐵), unde 𝐴,𝐵∈𝑀𝑛 ℂ .
Teoremă: Fie 𝐴,𝐵∈𝑀𝑛 ℂ . Atunci 𝑓 𝑥 =𝑑𝑒𝑡(𝐴+𝑥𝐵) este un polinom de grad ≤𝑛
iar termenul liber este egal cu 𝑑𝑒𝑡𝐴 și coeficientul lui 𝑥𝑛 este egal cu 𝑑𝑒𝑡𝐵.
Demonstrație: Din dezvoltarea lui 𝑑𝑒𝑡(𝐴+𝑥𝐵) cu definiția determinantului, rezultă că f
este un polinom de grad ≤𝑛 iar termenul liber este egal cu 𝑓 0 =𝑑𝑒𝑡𝐴. Coeficientul lui
𝑥𝑛 este determinat de:
lim
𝑛→∞𝑓 𝑥
𝑥𝑛=lim
𝑛→∞1
𝑥𝑛𝑑𝑒𝑡(𝐴+𝑥𝐵)=lim
𝑛→∞det 1
𝑥𝐴+𝐵 =𝑑𝑒𝑡𝐵
6.Derivata unui determinant
Teoremă: Fie 𝑓𝑖𝑗:ℝ→ℝ, funcții derivabile pe ℝ, 𝑖,𝑗∈ 1,2,…,𝑛 iar 𝑓:ℝ→ℝ,
𝑓 𝑥 = 𝑓11(𝑥)𝑓12(𝑥)…𝑓1𝑛(𝑥)
𝑓21(𝑥)𝑓22(𝑥)…𝑓2𝑛(𝑥)
…………
𝑓𝑛1(𝑥)𝑓𝑛2(𝑥)…𝑓𝑛𝑛(𝑥)
Arătați că f este derivabilă pe ℝ și:
𝑓′ 𝑥 = 𝑓11(𝑥)𝑓12(𝑥)…𝑓1𝑛(𝑥)
…………
𝑓𝑗1′(𝑥)𝑓𝑗2′(𝑥)…𝑓𝑗2′(𝑥)
…………
𝑓𝑛1(𝑥)𝑓𝑛2(𝑥)…𝑓𝑛𝑛(𝑥) 𝑛
𝑗=1
Demonstrație: Faptul că funcția f este derivabilă pe ℝ rezultă din aceea că dacă funcțiile
𝑔1, 𝑔2,….., 𝑔𝑛 sunt derivabile pe ℝ, atunci funcția 𝑔1∙ 𝑔2∙…..∙𝑔𝑛 este derivabilă pe ℝ și
𝑔1∙ 𝑔2∙…..∙𝑔𝑛 ′= 𝑔1∙ 𝑔2∙…∙𝑔𝑗′∙…∙𝑔𝑛𝑛
𝑗=1
Apoi scriem relația
𝑓 𝑥 = 𝜀 𝜎
𝜎∈𝑆𝑛∙𝑓1𝜎 1 𝑥 ∙𝑓2𝜎 2 𝑥 ∙… ∙𝑓𝑛𝜎 𝑛 𝑥
care prin derivare se transformă în relația pe care o aveam de demonstrat:
𝑓′ 𝑥 = 𝜀 𝜎
𝜎∈𝑆𝑛∙𝑓1𝜎 1 𝑥 ∙𝑓2𝜎 2 𝑥 ∙…∙𝑓′
𝑗𝜎 𝑗 𝑥 ∙… ∙𝑓𝑛𝜎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑗=1
29
3. SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
Forma generală a unui sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute este:
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥1+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥1+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2
………………………………………
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥1+⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑚 (1)
Numerele 𝑎𝑖𝑗∈ℝ,𝑖=1,𝑚 ,𝑗=1,𝑛 se numesc coeficienții necunoscutelor iar
𝑥1,…,𝑥𝑛∈ℝ sunt necunoscutele sistemelor. Numerele 𝑏1,…,𝑏𝑚∈ℝ se numesc termeni
liberi . Dacă toți termenii liberi sunt nuli, atunci sistemul de ecuații liniare se numește
sistem liniar omogen .
Sistemul de ecuații (1) poate fi scris mai condensat astfel: 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗=𝑛
𝑗=1 𝑏𝑗,𝑖=1,𝑚 .
Acestuia i se asocia ză următoarele matrice:
𝐴= 𝑎11𝑎12⋯𝑎1𝑛
𝑎21𝑎22⋯𝑎2𝑛
⋯⋯⋯⋯
𝑎𝑚1𝑎𝑚2⋯𝑎𝑚𝑛 (matricea coeficienților sau matricea sistemului)
𝑋= 𝑥1
𝑥2
⋯
𝑥𝑛 (matricea necunoscutelor) , 𝐵= 𝑏1
𝑏2
⋯
𝑏𝑚 (matricea termenilor liberi)
𝐴 = 𝑎11𝑎12⋯𝑎1𝑛𝑏1
𝑎21𝑎22⋯𝑎2𝑛𝑏2
⋯⋯⋯⋯⋯
𝑎𝑚1𝑎𝑚2⋯𝑎𝑚𝑛𝑏𝑚 (matricea termenilor liberi)
Cu ajutorul acestor matrice putem scrie forma matriceală a sistemului de ecuații liniare:
𝐴⋅𝑋=𝐵
Un sistem de numere ∝1,∝2,…,∝𝑛 ,∝𝑖∈ℝ ,𝑖=1,𝑛 se numește soluție a sistemului de
ecuații (1) dacă înlocuind necunoscutele 𝑥1,…,𝑥𝑛 cu aceste numere, toate ecuațiile
sistemului sunt verificate, ceea ce se scrie sub forma:
𝑎𝑖𝑗∝𝑗=𝑛
𝑗=1𝑏𝑗,𝑖=1,𝑚
Din punct de vedere al existenței soluției și al numărului de soluții, un sistem de ecuații
liniare poate fi:
1. Sistem incompatibil , când nu are nici o soluție.
30
Exemplu : Fie sistemul de ecuații liniare 2𝑥1−𝑥2=5
2𝑥1−𝑥2=1 . Dacă ar exista perechea ∝1,
∝2 care să verifice cele două ecuații, atunci ar trebui ca 5=1, ceea ce este fals. Așadar,
sistemul este incompatibil.
2. Sistem compatibil , când are cel puțin o soluție.
a) Un sistem compatibil cu o singură soluție se numește sistem compatibil determinat .
Exemplu : Sistemul de ecuații 𝑥1+2𝑥2=5
𝑥1+𝑥2=3 are soluție unică 𝑥1=1 și 𝑥2=2.
b) Un sistem compatibil cu mai multe soluții se numește sistem compatibil nedeterminat.
Exemplu : Sistemul de ecuații 2𝑥1+𝑥2=3
4𝑥1+2𝑥2=6 are o infinitate de soluții de forma
∝,3−2∝ ,∝∈ℝ.
Observație : Orice sistem liniar omogen este compatibil. Se observă că o soluție a acestuia
este 0,0,…0 numită și soluție banală.
Problema esențială care se pune în legătură cu un sistem de ecuații liniare este dacă
acesta este compatibil sau incompatibil, iar în caz de compatibilitate, care este numărul
soluțiilor și cum se determină mulțimea acestora.
3.1.Sisteme de ecuații liniare de tip Cramer
Fie (S) un sistem de n ecuații cu n necunoscute, 𝑛≤4.
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥1+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥1+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2
………………………………………
𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥1+⋯+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛
Folosind următoarele notații:
𝐴= 𝑎11𝑎12⋯𝑎1𝑛
𝑎21𝑎22⋯𝑎2𝑛
⋯⋯⋯⋯
𝑎𝑛1𝑎𝑛2⋯𝑎𝑛𝑛 ∈𝑀𝑛×𝑛 ℝ ,
𝑋= 𝑥1
𝑥2
⋯
𝑥𝑛 ∈𝑀𝑛×1 ℝ și 𝐵= 𝑏1
𝑏2
⋯
𝑏𝑚 ∈𝑀1×𝑛 ℝ ,
sistemul se scrie sub forma matriceală 𝐴⋅𝑋=𝐵.
Definiție : Un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute cu proprietatea că matricea
sistemului are determinantul nenul se numește sistem de tip Cramer.
Dacă sistemul ( S) este de tip Cramer ( 𝑑=𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠0), atunci matricea A a sistemului
este matrice inversabilă în 𝑀𝑛 ℝ și matricea X a necunoscutelor este 𝑋=𝐴−1⋅𝐵.
31
Pornind de la această exprimare a matricei X a necunoscutelor, vom deduce o regulă de
determinare element cu element a soluției 𝑥1,…,𝑥𝑛 a sistemului.
Formu la de dezvoltare după linie
Teoremă : În determinantul de ordinul n, 𝑑= 𝑎𝑖𝑗 1≤𝑖≤𝑛
1≤𝑗≤𝑛, pentru orice 𝑖=1,n are loc
egalitatea 𝑑=𝑎𝑖1𝛿𝑖1+𝑎𝑖2𝛿𝑖2+𝑎𝑖3𝛿𝑖3+⋯+𝑎𝑖𝑛𝛿𝑖𝑛, numită dezvoltarea determinantului
d după linia i.
Teorema lui Cramer : Un sistem de tip Cramer este compatibil determinat, iar soluția lui
este dată de formulele:
𝑥1=𝑑1
𝑑𝑒𝑡 𝐴 , 𝑥2=𝑑2
𝑑𝑒𝑡 𝐴 , …, 𝑥𝑘=𝑑𝑘
𝑑𝑒𝑡 𝐴 , (1)
unde 𝑑𝑘 este determinantul obținut din determinantul matricei A a sistemului înlocuind
coloana k (coloana coeficienților necunoscutei 𝑥𝑘) cu coloana formată din termenii liberi,
𝑘=1,n .
Demonstrație :
Fie ( S) un sistem de n ecuații cu n necunoscute, 𝑛≤4, de tip Cramer, cu scrierea
matriceală 𝐴⋅𝑋=𝐵. Deoarece A este matrice inversabilă avem relați a 𝑋=𝐴−1⋅𝐵. Cu
notațiile adoptate pentru matricele X și B și știind că 𝐴−1=1
𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝛿11𝛿21⋯𝛿𝑛1
𝛿12𝛿22⋯𝛿𝑛2
⋯⋯⋯⋯
𝛿1𝑛𝛿2𝑛⋯𝛿𝑛𝑛 ,
cu 𝛿𝑖𝑗= −1 𝑖+𝑗𝑑𝑖𝑗 numit complement algebraic al elementului 𝑎𝑖𝑗 din matricea A, avem:
𝑥1
𝑥2
⋯
𝑥𝑛 =1
𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑑 𝛿11𝛿21⋯𝛿𝑛1
𝛿12𝛿22⋯𝛿𝑛2
⋯⋯⋯⋯
𝛿1𝑛𝛿2𝑛⋯𝛿𝑛𝑛 ∙ 𝑏1
𝑏2
⋯
𝑏𝑛 ,
ceea ce duce la relația:
𝑥1
𝑥2
⋯
𝑥𝑛 =1
𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑏1𝛿11𝑏2𝛿21⋯𝑏𝑛𝛿𝑛1
𝑏1𝛿12𝑏2𝛿22⋯𝑏𝑛𝛿𝑛2
⋯⋯⋯⋯
𝑏1𝛿1𝑛𝑏2𝛿2𝑛⋯𝑏𝑛𝛿𝑛𝑛 .
Aplicând egalitatea a două matrice se obțin formulele după care se calculează fiecare
necunoscută 𝑥1,…,𝑥𝑛:
𝑥1=1
𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑏1𝛿11+𝑏2𝛿21+⋯+𝑏𝑛𝛿𝑛1 =𝑑1
𝑑𝑒𝑡 𝐴
𝑥2=1
𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑏1𝛿12+𝑏2𝛿22+⋯+𝑏𝑛𝛿𝑛2 =𝑑2
𝑑𝑒𝑡 𝐴
…………………………………………….………………….
32
𝑥𝑛=1
𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑏1𝛿1𝑛+𝑏2𝛿2𝑛+⋯+𝑏𝑛𝛿𝑛𝑛 =𝑑𝑛
𝑑𝑒𝑡 𝐴 ,
unde 𝑑𝑘 este determinantul obținut din determinantul matricei A a sistemului înlocuind
coloana k (coloana coeficienților necunoscutei 𝑥𝑘) cu coloana formată din termenii liberi,
𝑘=1,n .
Observație : Formulele (1) se numesc formulele lui Cramer . Pentru 𝑛=2 și 𝑛=3 aceste
formule au fost obținute atunci când s -a definit determinantul de ordin 2, respectiv 3.
Exercițiu rezolvat : Să se rezolve sistemul de ecuații liniare folosind regula lui Cramer:
2𝑥1−𝑥2+𝑥3−𝑥4=0
3𝑥1+2𝑥2−𝑥4=2
2𝑥1−2𝑥2−𝑥3=3
𝑥1+𝑥2+𝑥3+3𝑥4=3
Soluție : Matricea sistemului este 𝐴= 2−1 1−1
3 2 0−1
2−2−1 0
1 1 1 3 și 𝑑𝑒𝑡 𝐴 =−65≠0.
Rezultă că sistemul este de tip Cramer și are soluție unic dată de formulele lui Cramer:
𝑥1=𝑑1
𝑑𝑒𝑡 𝐴 , 𝑥2=𝑑2
𝑑𝑒𝑡 𝐴 , 𝑥3=𝑑3
𝑑𝑒𝑡 𝐴 , 𝑥4=𝑑4
𝑑𝑒𝑡 𝐴 .
Dar 𝑑1= 0−1 1−1
2 2 0−1
3−2−1 0
3 1 1 3 =−65, 𝑑2= 20 1−1
32 0−1
23−1 0
13 1 3 =0,
𝑑3= 2−10−1
3 2 2−1
2−23 0
1 1 3 3 =65 și 𝑑4= 2−1 1 0
3 2 0 2
2−2−13
1 1 1 3 =−65.
Așadar, soluția sistemului de ecuații este sistemul de numere 1,0,−1,1 .
3.2.Studiul compatibilității sistemelor de ecuații liniare și rezolvarea acestora
Am stabilit anterior ce este un sistem de ecuații liniare de tip Cramer și care este
metoda de rezolvare a acestuia. În continuare vom considera un sistem oarecare de m
ecuații liniare cu n necunoscute, 𝑛≤4. Compatibilitatea unui astfel de sistem este dată de
următorul rezultat:
Teorema Kronecker -Capelli : Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai
dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 , unde A este matricea sistemului iar 𝐴 , este matricea extinsă.
Demonstrație : Să presupunem mai întâi că sistemul este compatibil. Fie ∝1,∝2,…,∝𝑛
o soluție a sa. Deci avem relațiile: 𝑎𝑖𝑗∝𝑗=𝑛
𝑗=1 𝑏𝑗,𝑖=1,𝑚 .
Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑟, se observă că 𝑟=𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 . Pentru a demonstra că avem egalitatea
rangurilor este suficient să arătăm că orice minor 𝑑 𝑟+1, de ordin r+1 al matricei 𝐴 este nul.
33
Dacă 𝑑 𝑟+1, nu conține coloana termenilor liberi, atunci el este minor al matricei A și prin
urmare este nul, de oarece 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑟. Dacă 𝑑 𝑟+1, conține coloana termenilor liberi, atunci
el este de forma:
𝑑 𝑟+1= 𝑎𝑖1𝑗1𝑎𝑖1𝑗2…𝑎𝑖1𝑗𝑟𝑏𝑖1
𝑎𝑖2𝑗1𝑎𝑖2𝑗2…𝑎𝑖2𝑗𝑟𝑏𝑖2
……………
𝑎𝑖𝑟+1𝑗1𝑎𝑖𝑟+1𝑗2…𝑎𝑖𝑟+1𝑗𝑟𝑏𝑖𝑟+1 .
Din relațiile de mai sus se obține 𝑎𝑖𝑘𝑗∝𝑗=𝑛
𝑗=1 𝑏𝑖𝑘,𝑘=1,𝑟+1 . Înlocuind pe 𝑏𝑖𝑘 cu
𝑘=1,𝑟+1 în 𝑑 𝑟+1 se observă că 𝑑𝑟+1 se poate scrie ca o sumă de n minori de forma:
𝑎𝑖1𝑗1𝑎𝑖1𝑗2…𝑎𝑖1𝑗𝑟𝑎𝑖1𝑗∝𝑗
𝑎𝑖2𝑗1𝑎𝑖2𝑗2…𝑎𝑖2𝑗𝑟𝑎𝑖2𝑗∝𝑗
………… …
𝑎𝑖𝑟+1𝑗1𝑎𝑖𝑟+1𝑗2…𝑎𝑖𝑟+1𝑗𝑟𝑎𝑖𝑟+1𝑗∝𝑗 = 𝑎𝑖1𝑗1𝑎𝑖1𝑗2…𝑎𝑖1𝑗𝑟𝑎𝑖1𝑗
𝑎𝑖2𝑗1𝑎𝑖2𝑗2…𝑎𝑖2𝑗𝑟𝑎𝑖2𝑗
……………
𝑎𝑖𝑟+1𝑗1𝑎𝑖𝑟+1𝑗2…𝑎𝑖𝑟+1𝑗𝑟𝑎𝑖𝑟+1𝑗 ∙∝𝑗
Din acești minori de ordin r+1 ai lui A sunt toți nuli, deoarece 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑟, deci suma lor
este zero, adică 𝑑 𝑟+1=0.
Reciproc , fie 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 =𝑟. Există deci un minor de rang r, nenul, al matricei A
astfel încât toți minorii de rang r+1 sunt nuli. Putem presupune că acesta este la intersecția
primelor r linii și primelor r coloane ale matricei A, adică 𝑎11𝑎12⋯𝑎1𝑟
𝑎21𝑎22⋯𝑎2𝑟
⋯⋯⋯⋯
𝑎𝑟1𝑎𝑟2⋯𝑎𝑟𝑟 ≠0 .
Deoarece 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑟, rezultă că orice minor de ordin r+1 care se obțin din acesta prin
bordarea sa cu elemente corespunzătoare ale coloanei termenilor liberi și cele ale uneia
dintre liniile rămase este nul. Procedând ca la calculul rangului unei matrice, rezultă că
există ∝1,∝2,…,∝𝑟 astfel încât coloana te rmenilor liberi ai matricei 𝐴 să fie combinație
liniară de coloanele matricei corespunzătoare minorului ales, cu coeficienții ∝1,∝2,…,∝𝑟.
Deci au loc relațiile 𝑎𝑖𝑘∝𝑘=𝑟
𝑘=1 𝑏𝑖,𝑖=1,𝑚 . Acestea arată că
∝1,∝2,…,∝𝑟,0,…0 este o soluție a sist emului, adică sistemul este compatibil.
Observație : Considerăm 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 =𝑟. Minorul de ordin r care dă rangul matricei
A se numește minor principal sau determinant principal și se va nota cu 𝑑𝑝. Necunoscutele
sistemului de ecuații liniare ai căror coeficienți formează minorul principal se numesc
necunoscute principale iar celelalte necunoscute se numesc necunoscute secundare .
Ecuațiile sistemului care corespund liniilor minorului principal se nu mesc ecuații
principale iar celelalte ecuații se numesc ecuații secundare . Orice minor al matricei 𝐴 care
se obține din determinantul principal prin bordarea (completarea) cu o linie formată din
coeficienții necunoscutelor principale dintr -o ecuație secun dară și cu o coloană formată din
34
termenii liberi ai ecuațiilor principale și termenul liber al ecuației secundare alese, se
numește minor caracteristic . Minorii caracteristici se vor nota 𝑑𝑐1, 𝑑𝑐2, …iar numărul
acestora este egal cu numărul ecuațiilor secundare ale sistemului. Toți minorii de ordinul
r+1 ai matricei 𝐴 sunt nuli, deci și toți minorii caracteristici sunt nuli.
Astfel, teorema Kronecker -Capelli poate fi enunțată sub următoarea formă echivalentă:
Teorema lui Rouche : Un sistem de ecuații li niare este compatibil dacă și numai dacă toți
minorii carcateristici sunt nuli.
Exercițiu rezolvat : Să se studieze compatibilitatea sistemului de ecuații:
2𝑥−3𝑦+𝑧=−1
𝑥+2𝑦+5𝑧=4
3𝑥−𝑦+6𝑧=3
Matricea sistemului de ecuații, respectiv matricea extinsă a acestuia sunt:
𝐴= 2−31
1 2 5
3−16 ∈𝑀3 ℝ , 𝐴 = 2−31−1
1 2 5 4
3−16 3 ∈𝑀3,4 ℝ
Avem 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 2−31
1 2 5
3−16 =0 și minorul 2−3
1 2 =7≠0. Rezultă că 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=2 și
𝑑𝑝= 2−3
1 2 . Astfel, matricea 𝐴 are un singur minor caracteristic notat
𝑑𝑐1= 2−3−1
1 2 4
3−1 3 =0
Conform teoremei lui Rouche rezultă că sistemul este compatibil.
3.3.Metoda lui Gauss
Fie (S) sistemul de m ecuații liniare cu n necunoscute, 𝑛≤4:
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥1+𝑎13𝑥3+𝑎14𝑥4=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥1+𝑎23𝑥3+𝑎24𝑥4=𝑏2
………………………………………
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥1+𝑎𝑚3𝑥3+𝑎𝑚4𝑥4=𝑏𝑚
Definiții:
Sistemul ( S) este echivalent cu un sistem ( S1) și se scrie 𝑆~𝑆1 dacă au aceeași mulțime de
soluții.
Se numește transformare elementară de tipul 1 a sistemului ( S) orice permutare a două
ecuații ale sistemului.
Se numește transformare elementară de tipul 2 a sistemului ( S) o operație prin care se
adună o ecuație cu o altă ecuație înmulțită eventual cu un număr nenul.
35
Metoda lui Gauss sau metoda eliminării succesive este metoda prin care un sistem ( S) este
transformat într -un sistem echi valent (𝑆′) de formă triunghiulară sau trapezoidală prin
transformări elementare succesive de tipul 1 sau 2. Un astfel de sistem are forma:
𝛼11𝑥1+𝛼12𝑥2+𝛼13𝑥3+𝛼14𝑥4=𝑐1
𝛼22𝑥2+𝛼23𝑥3+𝛼24𝑥4=𝑐2
𝛼33𝑥3+𝛼34𝑥4=𝑐3
𝛼44𝑥4=𝑐4
……………………………………………
0=𝑐𝑚
Sistemul ( 𝑆′) se rezolvă începând cu ultima ecuație. Pot apărea următoarele situații:
Dacă în sistemul ( 𝑆′) apar ecuații de forma 0=𝑐𝑘, cu 𝑐𝑘≠0, atunci sistemele
(S) și (𝑆′) sunt incompatibile.
Dacă în sistemul ( 𝑆′) nu apar ecuații contradictorii, atunci sistemul este
compatibil.
Dacă apar necunoscute secundare, ele se notează parametric, se trec în al doilea
membru și se continuă cu rezolvarea sistemului triunghiular format.
Exercițiu rezolvat:
Să se rezolve prin metoda lui Gauss următorul sistem de ecuații liniare:
2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡=1
3𝑥−𝑧+𝑡=−3
2𝑥−𝑦−3𝑡=2
2𝑥+2𝑦−2𝑧+5𝑡=−6
Soluție: Eliminăm necunoscuta x din ultimele trei ecuații. Pentru aceasta, vom înmulți
prima ecuație cu −3
2 și o adunăm la a doua ecuație, apoi înmulțim prima ecuație cu −1 și o
adunăm pe rând la a treia, respectiv a patra ecuație (transformări de tipul 2). Se obține
sistemul echivalent 2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡=1
3𝑦−5𝑧+5𝑡=−9
−𝑧−2𝑡=1
3𝑦−3𝑧+6𝑡=−7 . După o transformare de tipul 1, permutând
ecuația a treia cu cea de -a patra, se obține sistemul echivalent 2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡=1
3𝑦−5𝑧+5𝑡=−9
3𝑦−3𝑧+6𝑡=−7
−𝑧−2𝑡=1 .
Eliminăm necunoscuta y din a treia ecuație, având ca ecuație de referință ecuația a doua și
obținem sistemul echivalent 2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡=1
3𝑦−5𝑧+5𝑡=−9
−2𝑧−𝑡=−2
−𝑧−2𝑡=1 . Eliminăm ecuația z din a patra ecuație,
36
având ca ecuație de referință a treia ecuație, prin înmulțirea celei de-a patra ecuații cu −2
și adunarea cu a treia ecuație. Obținem astfel un sistem scris în formă triunghiulară astfel:
2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡=1
3𝑦−5𝑧+5𝑡=−9
−2𝑧−𝑡=−2
−3𝑡=4 . Pornind de la ultima ecuație către prima se va obține ca și
soluție a sistemului inițial, sistemul de numere 0;2; 5
3; −4
3 iar sistemul este compatibil
determinat.
Concluzie: Algoritmul de stabilirea a compatibilității unui sistem de ecuații liniare
1) Se calculează 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴≤min(𝑚,𝑛)
2) Se compară 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴=𝑟 cu 𝑚
a) Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴=𝑚, atunci sistemul ( S) este compatibil
b) Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑚, atunci se calculează minorii caracteristici (numărul lor egal
cu 𝑚−𝑟).
Dacă există cel puțin un minor caracteristic nenul, atunci sistemul ( S) este
incompatibil. Dacă toți minorii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul ( S) este
compatibil. Ecuațiile care au coeficienți în determinantul principal
(determinant ce a dat rangul matricei) se numesc ecuații p rincipale iar
celelalte se numesc ecuații secundare .
3) Stabilim dacă ( S) este compatibil determinat sau compatibil nedeterminat prin
compararea rangului matricei cu n.
a) Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴=𝑛, atunci sistemul ( S) este compatibil determinat și se rezolvă
cu formulele lui Cramer
b) Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑛, atunci sistemul ( S) este compatibil nedeterminat.
Necunoscutele care au coeficienți în determinantul principal se numesc
necunoscute principale iar celelalte se numesc necunoscute secundare iar soluția
sistemului i nițial este soluția sistemului format din ecuațiile principale în care
necunoscutele secundare notate cu 𝛼,𝛽,𝛾… se trec în partea dreaptă a ecuațiilor.
37
CAPITOLUL al I I-lea
APLICAȚII ALE SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE
1. NECESITATEA UTILIZĂRII SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE ÎN ALTE
DOMENII
1.1. În Științele Economice
În prezent și în viitor este clar pentru oricine că o simplă observație a unui fenomen
economic, fără un studiu matematic și statistic aprofundat, nu mai este satisfăcătoare și nu
poate fi acceptată fără urmări. Folosirea metodelor matematice în practica economică
constituie o preocupare cu efecte benefice în rezolvarea problemelor economice actuale.
Persoana interesată de studiul fenomenelor economice treb uie să aibă o pregătire
interdisciplinară. Studierea globală a aspectelor calitative și cantitative ale unui fenomen
economic necesită un anumit volum de noțiuni, concepte și metode matematice care
considerate ca un ansamblu dau un așa numit model matemati c atașat fenomenului studiat.
Un alt motiv care pledează pentru utilizarea matematicii în studiul proceselor
economice este dorința omului de a atinge un anumit optim.
Aplicația 1. Optimizarea producției unei întreprinderi
Să considerăm o întreprindere care își desfășoară activitatea de producție în
următoarele condiții:
i) În întreprindere se desfășoară n activități 𝐴𝑖,𝑖=1,𝑛 ;
ii) Există m factori disponibili 𝐹𝑗,𝑗=1,𝑚 ;
iii) Se cunosc coeficienții tehnici de utilizare a celor m factori în cele n activități.
Soluție: Vom încerca să obținem descrierea matematică a activității de producție.
Pentru realizarea modelării acestui program de producție vom nota cu 𝑥𝑖 nivelul
activității 𝐴𝑖, cu 𝑏𝑖 volumul (cantitatea) disponibil de factorul 𝐹𝑗 și cu 𝑎𝑖𝑗 factorul de
proporționalitate al consumului 𝐹𝑖 pentru activitatea 𝐴𝑗.
Acum putem scrie restricțiile:
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛≤𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛≤𝑏2
……………………………………..
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛≤𝑏𝑚
Restricțiile de mai sus reprezintă c ondițiile în care întreprinderea poate să își
desfășoare activitatea. Ele se pot scrie și sub formă matriceală: 𝐴= 𝑎𝑖𝑗 – matricea
38
coeficienților tehnici, 𝑥= 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 𝑡– vectorul coloană al nivelului producției,
𝐶1,𝐶2,…,𝐶𝑛- vectorii coloană din matricea A, 𝐶0 – vectorul coloană al volumelor
disponibile. Acum, condițiile de mai sus se pot scrie sub forma:
𝐶1𝑥1+𝐶2𝑥2+⋯+𝐶𝑛𝑥𝑛≤𝐶0 ,
sau
𝐴𝑥≤𝐶0.
Până aici am urmărit descrierea tehnologică a producției dar orice proces de
producție urmărește și o motivație economică, de exemplu să se realizeze o eficiență
maximă. Practic, finalul acestui proces este optimizarea unei anumite funcții, care de fapt
realizează optimizarea funcționării unui proces economic.
Aplicația 2. Prob lema dietei (nutriției)
Una dintre problemele celebre de gospodărire este problema alimentării cât mai
ieftine și realizarea unor cerințe de alimentație conform cu un scop propus.
O alimentație se consideră bună dacă se oferă anumite substanțe în cantități
minimale precizate. Evident că aceste substanțe se găsesc în diferite alimente cu prețuri
cunoscute. Se cere să se stabilească o dietă (rație) care să fie corespunzătoare și totod ată
cât mai ieftină. Substanțele care intră într -o dietă se numesc substanțe nutritive sau
principii nutritive .
Soluție: Vom obține în continuare modelul matematico -economic pentru problema dietei.
Fie 𝑆1,𝑆2,…,𝑆𝑚 substanțele nutritive care trebuie să intre în compunerea dietei în
cantitățile minimale 𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚 și 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛 alimentele de care dispunem cu prețul
corespunzător pe unitate 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛.
Notăm cu 𝑎𝑖𝑗 numărul de unități din substanța 𝑆𝑖, 𝑖=1,𝑚 care se găsesc într -o
unitate din alimentul 𝐴𝑗,cu 𝑗=1,𝑛 . Se cere să se afle 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 numărul de unități din
alimentele 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛 astfel încât să se obțină o rație acceptabilă la un preț cât mai mic.
Datele problemei se prezintă de obicei într -un tabel de forma:
Alimente 𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑗 … 𝐴𝑛 Minim necesar din 𝑆𝑖 Substanța
𝑆1 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛 𝑏1
… … … … … … … …
𝑆𝑖 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑖
…. … … … … … … …
𝑆𝑚 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
Preț alimente 𝑐1 𝑐2 … 𝑐𝑗 … 𝑐𝑛
Unități de consum 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑗 … 𝑥𝑛
39
Cantitatea din substanța 𝑆𝑖 care se realizează este 𝑎𝑖1𝑥1+𝑎𝑖2𝑥2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝑥𝑛 care
din cerința problemei trebuie să fie ≥𝑏𝑖, 𝑖=1,𝑚 . Ajungem astfel la restricțiile:
𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛≥𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛≥𝑏2
……………………………………..
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛≥𝑏𝑚
Natura datelor cu care lucrăm impun condiții de nenegativitate așa că:
𝑥1≥0, 𝑥2≥0, …, 𝑥𝑚≥0.
Funcția obiectiv care exprimă costul unei rații este dată de:
𝑓=𝑐1𝑥1+𝑐2𝑥2+⋯+𝑐𝑛𝑥𝑛.
Problema dietei cere să determinăm 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 astfel încât f să fie minimă. O
astfel de dietă se numește optimă . Orice dietă care satisface aceste restricții se numește
admisibilă .
Modelul dietei poate fi folosit și în alte situații, ca de exemplu problema furajării
raționale (în zootehnie), chestiunea amestecului optim (în amestecuri de benzină sau uleiuri
auto, în realizarea unor sortimente de băuturi sau înghețată, ș.a.).
Aplicația 3.
O fabrică de mobilă produce trei tipuri de mese A, B și C. Fiecare masă trece prin
trei etape: prelucrare, asamblare și finisare. Capacitatea maximă a fabricii pentru
sculptură este de 200 ore, pentru prelucrare este de 195 ore și pentru finisare de 165 ore.
Pentru fiecare masă A sunt necesare 6 ore la prelucrare, 5 ore la asamblare și 4 ore la
finisare, pentru masa B 3 ore la prelucrare, 4 ore la asamblare și 3 ore la finisare, iar
pentru masa C 1 oră la prelucrare, 1 oră la asamblare și 2 ore la finisare. Determinați
numărul de mese de fiecare tip care pot fi produse utilizând la maxim capacitatea fabricii.
Soluție: Notăm cu x – numărul de mese tip A, y – numărul de mese tip B și cu z –
numărul de mese tip C.
Cele 200 de ore destinate sculptării sunt descrise de ecuația 6 x+3y+z = 200.
Cele 175 de ore destinate asamblării sunt descrise de ecuația 5 x+4y+z = 195.
Cele 135 de ore destinate finisării sunt descrise de ecuația 4 x+3y+2z = 165.
Deci sistemul ce trebuie rezolvat este :
6𝑥+3𝑦+𝑧 = 200
5𝑥+4𝑦+𝑧 = 195
4𝑥+3𝑦+2𝑧 = 165
40
𝐴 = 631
541
432 200
195
165 , det A = 631
541
432 = 48+12+15 -16-30-24 = 5 = Δ
Δ𝑥= 200 31
195 41
165 32 = 1600+495+585 -660-600-1170 = 250 și
x = Δ𝑥
𝑥 = 250
5 = 50 (scaune tip A)
Δ𝑦= 6200 1
6195 1
4165 2 = 2340+800+825 -780-1170 -2000 = 15 și
y = Δ𝑦
𝑦= 15
5= 3 (scaune tip B)
Δ𝑧= 63200
54195
43165 = 3960+2340+3000 -3200 -3510 -2475 = 115 și
z =Δ𝑧
Δ= 115
5 = 23 (scaune tip C)
1.2. În Fizică
Prima teoremă a lui Kirchhoff: Suma algebrică a intensităților curenților din
laturile legate într -un nod al rețelei este nulă, 𝐼𝑘=0, unde 𝐼𝑘 este intensitatea curentului
din latura k, considerată cu semnul plus dacă sensul curentului este orientat dinspre nod, și
cu semnul minus d acă sensul curentului este orientat spre nod.
A doua teoremă a lui Kirchhoff: Suma algebrică a tensiunilor electromotoare
(imprimate) dintr -un ochi al unei rețele este egală cu suma căderilor de tensiune din laturile
ochiului 𝐸𝑘= 𝑅𝑘𝐼𝑘; căderea de tens iune într -o latură este considerată pozitivă dacă
sensul de parcurgere al acestei laturi coincide cu cel ales pentru curentul respectiv –
aceeași regulă este valabilă și pentru tensiunea electromotoare.
Aplicația 1: Să se calculeze curenții din laturile
rețelei electrice din figura alăturată dacă se
cunosc: 𝐸1=40𝑉, 𝐸2=20𝑉, 𝑅1=2Ω,
𝑅2=2Ω, 𝑅3=1Ω, 𝑅4=8Ω, 𝑅5=4Ω, 𝑅6=
6Ω.
Soluție: Se observă că rețeaua are patru noduri
(un nod este punctual de întâlnire a cel puțin trei
laturi iar o latură este porțiun ea de circuit
41
cuprinsă între două noduri) notate cu A, B, C și D, șase laturi și trei ochiuri notate cu I, II și
III.
Pentru curenții din cele șase laturi și parcurgerea ochiurilor se aleg sensurile
indicate în figură. Aplicând prima teoremă a lui Kirchh off în nodurile A, B, C și cea de -a
doua teoremă în ochiurile I, II și III se obține sistemul de ecuații liniare în necunoscutele
𝐼1,𝐼2,𝐼3,𝐼4,𝐼5,𝐼6 :
𝐼4+𝐼6=𝐼1
𝐼2+𝐼6=𝐼5
𝐼4+𝐼5=𝐼3
𝐼1𝑅1+𝐼4𝑅4+𝐼3𝑅3=𝐸1
𝐼2𝑅2+𝐼5𝑅5+𝐼3𝑅3=𝐸2
𝐼6𝑅6+𝐼5𝑅5−𝐼4𝑅4=0
iar după ce înlocuim valorile pentru 𝑅1,𝑅2,𝑅3,𝑅4,𝑅5,𝑅6 rezultă sistemul liniar:
𝐼4+𝐼6−𝐼1=0
𝐼2+𝐼6−𝐼5=0
𝐼4+𝐼5−𝐼3=0
2𝐼1+8𝐼4+𝐼3=40
2𝐼2+4𝐼5+𝐼3=20
6𝐼6+4𝐼5−8𝐼4=0
cu soluția: 𝐼1=5𝐴,𝐼2=1𝐴,𝐼3=6𝐴,
𝐼4= 𝐼5=3𝐴,
𝐼6=2𝐴.
Aplicația 2: Să se calculeze curenții din laturile
rețelei electrice din figura alăturată.
Soluție: Se observă că rețeaua are două noduri notate
cu A, B și două ochiuri. Atât pentru curenții din laturi
cât și pentru parcurgerea ochiurilor se aleg sensurile
indicate în figură. Aplicând prima teoremă a lui
Kirchhoff în nodurile A, B și cea de -a doua teoremă în
cele două ochiuri se obține sistemul de ecuații liniare
în necunoscutele 𝐼1,𝐼2,𝐼3 :
𝐼1+𝐼3=𝐼2
15−2𝐼1−4𝐼2−5𝐼1=0
20−4𝐼2−2𝐼3=0
sistem echivalent cu:
42
𝐼1−𝐼2+𝐼3=0
7𝐼1+4𝐼2=15
4𝐼2+2𝐼3=20
ceea ce se poate scrie sub formă matriceală:
1−11 0
7 4 015
0 4 220 ⇔ 1000,2
0103,4
0013,2
întrucât nu avem variabile libere, obținem soluțiile sistemului: 𝐼1=0,2𝐴; 𝐼2=3,4𝐴 și
𝐼3=3,2𝐴.
1.3. În Chimie
Analize chimice de amestecuri multicomponente
Dacă se pune problema analizei prin specrofotometrie IR a unui amestec de mai
mulți componenți, cunoscându -se dinainte spectrul de absorbție individual al acestora, se
poate realiza această determinare utilizând legea Lambert -Beer. În conformitate cu legea
amintită, în cazul în care componentele nu interacționează unele cu altele, se poate admite
aditivitatea absorbanțelor adică: absorbanța unei substanțe aflate în amestec cu alta este
aceeași cu cea care ar avea -o substanța dacă ar fi singură în celulă. Datorită numărului
mare de linii metoda este aplicabilă și în domeniul IR, în special pentru amestecuri de
gaze.
Aplicația 1: S ă considerăm un amestec de trei compuși, fiecare având o
concentrație finită simbolizată CA, CB, CC. Pentru determinarea prin analiză a substanțelor
A, B și C se alege o câte o bandă caracteristică, diferită, pentru fiecare, cu maximele λ 1, λ2
și λ 3. Chiar dacă maximele sunt diferite la fiecare din cele trei lungimi de undă, se constată
că toate cele trei substanțe absorb lumina dar într -o măsură foarte diferită. Să notăm cu A1,
A2 și A3 absorbanțele măsurate pentru cele trei lungimi de undă λ 1, λ2 și λ 3. Evident, în
virtutea celor amintite anterior, fiecare din cele trei absorbanțe măsurate reprezintă
contribuția tuturor celor trei substanțe. Pentru fiecare din cele trei substanțe ( A, B și C), la
fiecare din cele trei lungimi de undă (λ 1, λ2 și λ 3) cunoscându -se coeficienții molari de
extincție ε(Substanță, Lungime de undă) se pot scrie, în cazul unei celul e cu lungimea b
constantă, pe baza existenței aditivității absorbanțelor următoarele ecuații:
ε(A,λ i)·C A + ε(B,λ i)·C B + ε(C,λ i)·C C = A i/b, unde i=1, 2, 3.
Se obține astfel un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute C A, C B, C C
(adică chiar concentrațiile). Soluția se află analitic:
43
CA
CB
CC = 𝜀(𝐴,𝜆1)𝜀(𝐵,𝜆1)𝜀(𝐶,𝜆1)
𝜀(𝐴,𝜆2)𝜀(𝐵,𝜆2)𝜀(𝐶,𝜆2)
𝜀(𝐴,𝜆3)𝜀(𝐵,𝜆3)𝜀(𝐶,𝜆3) −1
∙ A1
A2
A3
Practic pot interveni mai mult de trei lungimi de undă. Sistemul deși are în acest caz
mai multe ecuații decât necunoscute se poate rezolva și conduce la rezultate mai precise. În
cazul anterior notând matricea coeficienților [ε] , matricea absorbanțelor [A] și matricea
concentrațiilor (necunoscutelor) [C] , se poate scrie soluția si stemului precedent mai simplu
astfel:
[C] = [ε]-1·[A].
Aplicația 2: Reacții chimice – Arderea propanului
Să se echilibreze următoarea reacție chimică 𝐶3𝐻8+𝑂2⟶𝐶𝑂2+𝐻2𝑂.
Soluție: Ecuația chimică nu ne oferă suficiente informații despre această reacție. Pentru că
nu se poate ca o moleculă de 𝐶3𝐻8 să reacționeze exact cu o moleculă de 𝑂2 și să rezulte o
moleculă de 𝐶𝑂2 și una de 𝐻2𝑂. În realitate, toate aceste substanțe vor pa rticipa la reacție
în anumite proporții exacte pe care noi le vom calcula în continuare, bazându -ne pe această
ecuație chimică.
Dacă luăm 𝑥1 molecule de propan care să reacționeze cu 𝑥2 molecule de oxigen,
vor rezulta 𝑥3 molecule de dioxid de carbon ș i 𝑥4 molecule de apă. Noi vom determina
valorile acestor necunoscute cu autorul unui sistem de ecuații. De asemenea, trebuie să
ținem cont de faptul că aceste necunoscute considerate trebuie să fie numere întregi
pozitive, deoarece nu putem lua decât o as tfel de cantitate dintr -o moleculă de substanță.
Legea conservării materiei ne spune că numărul atomilor fiecărui element din
stânga ecuației trebuie să fie egal cu numărul acestora din partea dreaptă a ecuației
(numărul atomilor dintr -o substanță rămâne a celași după o reacție chimică). Așa că vom
obține următoarele ecuații pentru fiecare substanță în parte:
3𝑥1=𝑥3 pentru atomii de carbon;
8𝑥1=2𝑥4 pentru atomii de hidrogen;
2𝑥2=2𝑥3+𝑥4 pentru atomii de oxigen.
44
Scrie sub forma unui sistem: 3𝑥1−𝑥3=0
8𝑥1−2𝑥4=0
2𝑥2−2𝑥3−𝑥4=0 , un sistem omogen ce conține
cel puțin o soluție banală ( 𝑥1=𝑥2=𝑥3=𝑥4=0) dar care însă nu ne mulțumește. Vom
alcătui matricea sistemului:
30−1 0 0
80 0−20
02 2−10 ⇔
100−1
40
010−5
40
001−3
40
Considerând 𝑥4 variabilă liberă, vom obține în funcție de aceasta soluțiile:
𝑥1=1
4𝑥4; 𝑥2=5
4𝑥4; 𝑥3=3
4𝑥4 .
Dacă îi dăm valori lui 𝑥4 vom obține seturi de valori pentru 𝑥1,𝑥2,𝑥3, cu condiția
să fie numere întregi pozitive, deci în același timp și 𝑥4 trebuie să fie multiplu de 4.
Cea mai mică valoare a soluțiilor va fi 𝑥4=4; 𝑥1=1; 𝑥2=5; 𝑥3=3 și astfel
putem scrie ecuația chimică inițială sub forma completă:
𝐶3𝐻8+5𝑂2⟶3𝐶𝑂2+4𝐻2𝑂.
1.4.În Geometrie
Ecuația dreptei sub formă de determinant
Ecuația dreptei determinată de punctele
1 1 2 2, , ,A x y B x y se scrie sub formă de
determinant de ordinul doi astfel: 𝑥−𝑥1𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥2𝑦−𝑦2 =0 sau 𝑥𝑦 1
𝑥1𝑦11
𝑥2𝑦21 =0 cu ajutorul
determinantului de ordinul 3.
Aplicație: Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctele
1,3 , 0,2AB
a) folosind determinantul de ordin 2;
b) folosind determinantul de ordin 3.
Soluție:
a) Din 𝑥−𝑥1𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥2𝑦−𝑦2 =0⇒ 𝑥+1𝑦−3
𝑥−0𝑦−2 =0⇒ 𝑥+1 𝑦−2 − 𝑦−3 𝑥=0,
ceea ce ne duce la forma finală a ecuației: 𝑥+𝑦−2=0.
b) Din 𝑥𝑦 1
𝑥1𝑦11
𝑥2𝑦21 =0
1
1 3 1 0 3 2 2 0 2 0
0 2 1xy
x x y x y .
45
Condiția de coliniaritate a trei puncte
Relația de coliniaritate a celor trei puncte 𝐴 𝑥1,𝑦1 , 𝐵 𝑥2,𝑦2 ,𝐶 𝑥3,𝑦3 se scrie
sub formă de determinant de ordinul doi astfel: 𝑥3−𝑥1𝑦3−𝑦1
𝑥2−𝑥1𝑦2−𝑦1 =0 sau
𝑥1𝑦11
𝑥2𝑦21
𝑥3𝑦31 =0 cu ajutorul determinantului de ordinul 3.
Aplicație: Să se arate că punctele 𝐴 −2; −1 , 𝐵 4;8 ,𝐶 6;11 sunt coliniare.
Soluție: Scriem ecuația dreptei ( AB) sub formă de determinant: 𝑥𝑦 1
−2−11
4 8 1 =0.
Condiția ca punctul C să fie coliniar cu punctele A, B este echivalentă cu condiția ca
punctul C să aparțină dreptei ( AB). Acest lucru se întâmplă dacă înlocuind coordonatele lui
C, 𝑥=𝑥𝐶 și 𝑦=𝑦𝐶, ecuația dreptei ( AB) se verifică, adică 6 11 1
−2−11
4 8 1 =0.
Aria unui triunghi
Fie
1 1,yxA ;
2 2,yxB ;
3 3,yxC vârfurile unui triunghi. Atunci:
21
ABCS
, unde
111
3 32 21 1
yxyxyx
Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă
Studiul funcției afine funcției 𝑔 𝑥 =𝑚𝑥+𝑛 a condus la faptul că graficul
acesteia este o dreaptă. Studiul funcției 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,𝑎≠0 a condus la faptul ca
graficul acesteia este o parabolă.
Soluțiile unui sistem de două ecuații de forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑦
𝑚𝑥+𝑛=𝑦 cu 𝑎≠0
reprezintă din punct de vedere geometric coordonatele punctelor de intersecție dintre
dreapta si parabolă:
Dacă dreapta intersectează parabola în două puncte distincte siste mul are
două soluții distincte și dreapta este secantă parabolei;
Dacă dreapta intersectează parabola într -un singur punct, sistemul are
soluție unică și dreapta este tangentă parabolei;
Dacă dreapta nu intersectează parabola, sistemul de ecuații nu are s oluții și
dreapta este exterioară parabolei.
46
2.5. Poziția relativă a două parabole
Prin rezolvarea sistemului de ecuații: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑦
𝑚𝑥2+𝑛𝑥+𝑝=𝑦 cu 𝑎,𝑚≠0 se obțin punctele de
intersecție dintre cele doua parabole.
Dacă 𝑎=𝑚,𝑏=𝑛,𝑐=𝑝, sistemul are o infinitate de soluții, iar cele doua
parabole coincid.
Dacă 𝑎=𝑚,𝑏=𝑛,𝑐≠𝑝, sistemul este incompatibil, cele doua parabole nu se
intersectează și au aceeași axă de simetrie.
Dacă 𝑎=𝑚,𝑏≠𝑛,𝑐≠𝑝, sistemul are o singură soluție, cele două parabole se
intersectează într -un singur punct ale cărui coordonate sunt soluțiile sistemului.
Dacă 𝑎≠𝑚, ecuația 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑚𝑥2+𝑛𝑥+𝑝 poate avea:
1)Δ>0. Sistemul are doua soluții iar parabolele se intersectează în
două puncte ale căror coordonate sunt soluțiile sistemului.
2)Δ=0. Sistemul are o singură soluție iar parabolele sunt tangente,
coordonatele punctului de tangență fiind soluțiile sistemului.
3)Δ<0. Sistemul este incompatibil iar parabolele nu se intersectează.
1.5.În studierea traficului rutier
Urmărind intensitatea traficului rutier într -o intersecție, pe o anumită perioadă de
timp, se pot impune condiții asupra variabilelor implicate, oferind condiții asupra unei
semaforizări corespunzătoare a acesteia. La nivelul un ui oraș rețeaua străzilor studiată cu
ajutorul sistemelor de ecuații liniare oferă o imagine completă asupra intensității traficului
în anumite zone.
Aplicația 1: Să se calculeze intensitatea
traficului rutier în zona din imagine
știind că în punctul A traficul măsoară
85 mașini/oră, în punctul B intră 120
mașini/oră, în punctul C circulă 70
mașini/oră iar în punctul D, 45
mașini/oră.
Soluție: Legea I a lui Kirchhoff se poate
aplica și în genul acesta de probleme. O putem adapta atât pentru fiecare inters ecție
(„Numărul total al mașinilor ce intră în intersecție este egal cu numărul total al mașinilor
47
care ies din ea”) cât și pentru tabloul general („Numărul total al mașinilor ce intră într -o
zonă de trafic este egal cu numărul total al mașinilor care ies din ea”).
Considerând cele patru intersecții
A, B, C, D, respectiv întreaga zonă din
imagine, precum și ținând cont de
notațiile din a doua figură, putem scrie
ecuațiile ce reies din aplicarea acestei
legi astfel:
Pentru intersecția A vom scrie ecuația : 85=𝑥1+𝑥2
Pentru intersecția B vom scrie ecuația: 𝑥1+𝑥3+45=120
Pentru intersecția C vom scrie ecuația: 𝑥4+𝑥2=70+𝑥3
Pentru intersecția D vom scrie ecuația: 70=45+𝑥5
Pentru întreaga zonă vom scrie ecuația: 85+𝑥4=120 +𝑥5
Obținem astfel sistemul:
85=𝑥1+𝑥2
𝑥1+𝑥3+45=120
𝑥4+𝑥2=70+𝑥3
70=45+𝑥5
85+𝑥4=120 +𝑥5⇔
𝑥1+𝑥2=85
𝑥1+𝑥3=75
𝑥2−𝑥3+𝑥4=70
𝑥5=20
𝑥4−𝑥5=35
Apoi scriem matricea
00 0 1−135
11 0 0 0 85
10 1 0 0 75
01−11 0 70
00 0 0 1 25 ⇔
10 1 0075
01−10010
00 0 1060
00 0 0125
00 0 00 0
Și astfel obținem soluțiile:
𝑥1=75−𝑥3
𝑥2=10+𝑥3
𝑥3=liberă
𝑥4=60
𝑥5=25
Observăm că datele nu sunt suficiente pentru determinarea tuturor soluțiilor. Pentru
determinarea lui 𝑥3 avem nevoie de studierea traficului pe un segment suplimentar de
stradă și doar după determinarea acestuia se pot afla exact și 𝑥1, 𝑥2.
48
Aplicația 2: În figura de mai jos este indicat traficul dintr -o anumită zonă a unui oraș.
Săgețile indică direcția de deplasare a mașinilor. Numerele indicate pe figură
reprezintă numărul de mașini care intră sau ies din intersecție. La fiecare din cele patru
intersecții se află semafoare care dirije ază circulația. Pentru a evita blocajele, toate
mașinile care intră într -o intersecție trebuie să o părăsească.
a) Să se determine
1x ,
2x,
3x,
4x
b) Pentru
4x =300, determinați
1x ,
2x,
3x.
Soluție:
a) Deoarece toate mașinile care intră într -o intersecție trebuie să o și părăsească, pentru
fiecare intersecție obținem următoarele ecuații:
b-dul A
b-dul C: 300+1200=
1x +
4x
b-dul A
b-dul D:
1x+
2x=500+800
b-dul B
b-dul C:
3x+
4x=1300+700
b-dul B
b-dul D: 1400+400=
2x +
3x
Sistemul pe care îl avem de rezolvat este:
1800200013001500
3 24 32 14 1
x xx xx xx x , un sistem de
patru ecuații liniare și patru necunoscute. Matricea sistemului și matricea extinsă a
sistemului sunt: 1200 300
1x
4x
1300
700
3x
2x 500
800
1400
400 b-dul A
b-dul B b-dul C b-dul D
49
A=
0110110000111001 și
18000110200011001300001115001001
A
Cum
011011001 0110001
0110110000111001
=0, rang(A )=3.
Fie determinantul principal
1
100011001
p , deoarece determinantul caracteristic
0
18001102000100200 0101500001
1800110200010013000111500001
c
, înseamnă că sistemul este compatibil
simplu nedeterminat cu necunoscuta secundară
4x . (Teorema lui Rouche)
Luând sistemul format din ecuațiile principale avem
200013001500
32 11
xxxx , unde
4x =𝛼,𝛼∈ℝ
Soluția sistemului este: S={(1500 –
,
-200,2000 –
), 𝛼∈ℝ }.
b) Pentru
4x =300, obținem soluția sistemului S={(1200, 100,1700,300)}.
2. EXERCIȚII REZOLVATE
2.1. Exerciții din manual ele școlare
Exercițiul nr. 1
Să se stabilească dacă următoarele sisteme sunt compatibile iar în caz afirmativ, să se
rezolve:
i. 𝑥+𝑦+𝑧=2
𝑥+2𝑦+3𝑧=3
Soluție: Matricea coeficienților sistemului este 𝐴= 111
123 . Dacă 𝑚=2,𝑛=3
rezultă 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴≤2. Se calculează rangul matricei A: 𝑑1= 1 =1≠0⟹𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴≥1;
𝑑2= 11
12 =1≠0⟹𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴=2 și 𝑑2=𝑑𝑝 (determinantul principal). Se stabilește
dacă sistemul este compatibil:
50
a) Se compară 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 cu 𝑚 (numărul de ecuații)
𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴=𝑚 și de aici sistemul este compatibil și toate ecuațiile sunt principale.
b) Se compară 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 cu 𝑛 (pentru a stabili dacă sistemul este compatibil determinat
sau nedeterminat)
𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑛; 𝑥,𝑦− necunoscute principale (au coeficienți în 𝑑𝑝);
𝑧− necunoscută secundară, 𝑧=∝,∝∈ℝ.
Sistemul devine 𝑥+𝑦=2−∝
𝑥+2𝑦=3−3∝ . Scăzând prima ecuație din a doua, obținem
𝑦=1−2∝⟹𝑥=2−∝−1+2∝⟹𝑥=1+∝.
Așadar soluția sistemului este 𝑆= 1+∝;1+2∝; ∝ | ∝∈ℝ .
ii. 3𝑥−𝑦+2𝑧=3
6𝑥−2𝑦−𝑧=11
Soluție: Matricea coeficienților sistemului este 𝐴= 3−1 2
6−2−1 . Dacă 𝑚=2,𝑛=3
rezultă 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴≤2. 𝑑𝑝= 3 2
6−1 =−3−12=−15≠0.
Se stabilește dacă sistemul este compatibil:
a) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴=𝑚 și de aici sistemul este compatibil și toate ecuațiile sunt principale.
b) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑛; rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat
𝑥,𝑧− necunoscute principale (au coeficienți în 𝑑𝑝);
𝑦− necunoscută secundară, 𝑦=∝,∝∈ℝ.
Sistemul devine 3𝑥+2𝑧=3+∝
6𝑥−𝑧=11+2∝ . Folosind metoda reducerii se obține prin
înmulțirea pr imei ecuații cu −2:𝑧=−1 și înlocuind în prima ecuație se obține 𝑥=𝛼+5
3 .
Așadar soluția sistemului este 𝑆= ∝+5
3; ∝; −1 | ∝∈ℝ .
iii. 2𝑥−𝑦+𝑧=3
4𝑥−2𝑦+2𝑧=6
Soluție: Matricea coeficienților sistemului este 𝐴= 2−11
4−22 .
Dacă 𝑚=2,𝑛=3 rezultă 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴≤2. Se găsește 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=1 𝑑𝑝= 2 =2≠0
Se stabilește dacă sistemul este compatibil:
51
a) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑚 și de aici rezultă că există un minor caracteristic ∆𝑐, prima ecuație
este cea principală iar a doua ecuație este cea secundară, ∆𝑐= 23
46 =12−12=
0, adică sistemul este compatibil.
Stabilim dacă sistemul este compatibil determinat sau nedeterminat:
b) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑛; rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat
𝑥− necunoscuta principală; 𝑦,𝑧− necunoscute secundare, 𝑦=∝,𝑧=𝛽; ∝,𝛽∈ℝ.
Soluția sistemu lui inițial este soluția sistemului format din ecuația principală
2𝑥=3+𝛼−𝛽⟹𝑥=3+𝛼−𝛽
2, 𝑆= 3+𝛼−𝛽
2; ∝; 𝛽 | ∝,𝛽∈ℝ .
Exercițiul nr 2.
i. Să se discute după valorile parametrului real 𝛼, sistemul 𝛼𝑥+𝑦+𝑧=1
𝑥+𝛼𝑦+𝑧=2−𝛼
𝛼𝑥+𝑦+𝛼𝑧=3𝛼+1
Soluție: Matricea sistemului este 𝐴= 𝛼 11
1𝛼 1
11𝛼 cu 𝑑𝑒𝑡𝐴= 𝛼−1 2 𝛼+2 .
Observație: Când matricea este pătratică se calculează direct determinantul.
Cazul I – Dacă 𝛼∈ℝ− 1; −2 , atunci 𝑑𝑒𝑡𝐴≠0⟹𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=3.
a) 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑚⟹ sistemul este compatibil
b) 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑛⟹ sistemul este compatibil determinat și soluțiile se determină cu
regula lui Cramer: 𝑥=1
1−𝛼;𝑦=𝛼
1−𝛼;𝑧=3𝛼2+5𝛼−2
𝛼+2 𝛼−1 =1−3𝛼
1−𝛼
Cazul II – Dacă 𝛼=1, atunci sistemul se scrie 𝑥+𝑦+𝑧=1
𝑥+𝑦+𝑧=1
𝑥+𝑦+𝑧=4 , deci sistemul este
incompatibil.
Cazul III – Dacă 𝛼=−2, atunci sistemul se scrie −2𝑥+𝑦+𝑧=1
𝑥−2𝑦+𝑧=4
𝑥+𝑦−2𝑧=−5 . Din 𝑑𝑒𝑡𝐴=0⟹
𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴≠3. Cum 𝐴= −2 1 1
1−2 1
1 1−2 , un determinant principal 𝑑𝑝= −2 1
1−2 =4−
1=3≠0⟹𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=2.
a) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑚 rezultă că există minori caracteristici ∆𝑐, primele do uă ecuații sunt
principale iar a treia ecuație este cea secundară, ∆𝑐= −2 1 1
1−2 4
1 1−5 =−20+
1+4+2+8+5=0, adică sistemul este compatibil.
52
b) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑛; rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat.
𝑥;𝑦− necunoscute principale; 𝑧− necunoscută secundară, 𝑧=𝛽; 𝛽∈ℝ.
Soluția sistemului inițial este soluția sistemului format din ecuațiile principale
−2𝑥+𝑦=1−𝛽
𝑥−2𝑦=4−𝛽 . Înmulțind prima ecuație cu 2 și apoi adunând ecuațiile se obține
−3𝑥=4−3𝛽+2⟹𝑥=6−3𝛽
−3⟹𝑥=𝛽−2 și 𝑦=𝛽−3. Soluția sistemului va fi
𝑆= 𝛽−2; 𝛽−3; 𝛽 | 𝛽∈ℝ .
Concluzie:
1) Pentru 𝛼∈ℝ− 1; −2 sistemul este compatibil determinat și are soluția
𝑆= 1
1−𝛼; 𝛼
1−𝛼; 1−3𝛼
1−𝛼 | ∝∈ℝ ;
2) Pentru 𝛼=1 sistemul este incompatibil;
3) Pentru 𝛼=−2 sistemul este compatibil nedeterminat și are soluția
𝑆= 𝛽−2; 𝛽−3; 𝛽 | 𝛽∈ℝ .
ii. Să se rezolve și să se discute după valorile parametrului real 𝜆, următorul sistem de
ecuații liniare: 𝑥+2𝑦+(𝜆−3)𝑧=5
−𝑥+(𝜆−5)𝑦+2𝑧=−1
2𝑥+𝑦+𝑧=𝜆
Soluție: Matricea sistemului 𝐴= −1 2𝜆−3
1𝜆−5 2
2 1 1 are 𝑑𝑒𝑡𝐴=−2 𝜆−2 𝜆−6 .
Cazul I – Dacă 𝜆∈ℝ− 2; 6 , atunci 𝑑𝑒𝑡𝐴≠0⟹𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=3.
a) 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑚⟹ sistemul este compatibil
b) 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=𝑛⟹ sistemul este compatibil determinat și soluțiile se determină cu
regula lui Cramer: 𝑥=𝜆2−2𝜆+5
2 𝜆−2 ;𝑦=𝜆+3
2 𝜆−2 ;𝑧=7−𝜆
2 𝜆−2 .
Cazul II – Dacă 𝜆=2, atunci sistemul se scrie: 𝑥+2𝑦−𝑧=5
−𝑥−3𝑦+2𝑧=−1
2𝑥+𝑦+𝑧=2 și
𝐴= −1 2−1
1−3 2
2 1 1 ; un determinant principal este 𝑑𝑝= 1 2
−1−3 =−1≠0⟹
𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=2.
a) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑚 rezultă că există minori caracteristici ∆𝑐, primele două ecuații sunt
principale iar a treia ecuație este cea secundară, ∆𝑐= 1 2 5
−1−3−1
2 1 2 =−6−5−
4+30+1+4=20≠0, adică sistemul este incompatibil.
53
Cazul III – Dacă 𝜆=6, atunci avem 𝐴= 1 23
−112
2 11 . Se calculează rangul matricei A;
un determinant principal este 𝑑𝑝= 1 2
−11 =1+2=3≠0⟹𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴=2.
a) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑚 rezultă că există minori caracteristici ∆𝑐, primele două ecuații sunt
principale iar a treia ecuație este cea secundară, ∆𝑐= 1 2 5
−11−1
2 1 6 =6−5−4−
10+1+12=0, adică sistemul este compatibil.
b) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑛; rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat.
𝑥;𝑦− necunoscute principale; 𝑧− necunoscută secundară, 𝑧=𝛽; 𝛽∈ℝ.
Soluția sistemului inițial este soluția sistemului format din ecuațiile principale
𝑥+2𝑦=5−3𝛽
−𝑥+𝑦=−1−2𝛽 . Adunând ecuațiile obținem 3𝑦=4−5𝛽⟹𝑦=4−5𝛽
3; 𝑥=5−
3𝛽−2⋅ 4−5𝛽
3=15−9𝛽−8+10𝛽
3=7+𝛽
3.
Soluția sistemului va fi 𝑆= 7+𝛽
3; 4−5𝛽
3; 𝛽 | 𝛽∈ℝ .
Concluzie:
1) Dacă 𝜆∈ℝ− 2; 6 , atunci sistemul este compatibil determinat și
𝑆= 𝜆2−2𝜆+5
2 𝜆−2 ;𝜆+3
2 𝜆−2 ;7−𝜆
2 𝜆−2
2) Dacă 𝜆=2 , atunci sistemul este incompatibil
3) Dacă 𝜆=6 , atunci sistemul este compatibil nedeterminat și are soluția
𝑆= 7+𝛽
3; 4−5𝛽
3; 𝛽 | 𝛽∈ℝ
Exercițiul nr.3: Să se rezolve prin metoda lui Gauss următoarele sisteme de ecuații
liniare:
i) 𝑥+𝑦+𝑧=2
2𝑥−𝑦−2𝑧=−2
𝑥+4𝑦+5𝑧=8
2𝑥+5𝑦+6𝑧=10
54
Soluție: i) Aplicând succesiv transformări elementare de tipul 1 și 2 se obțin următoarele
sisteme echivalente 𝑥+𝑦+𝑧=2
−3𝑦−4𝑧=−6
3𝑦+4𝑧=6
3𝑦+4𝑧=6 (prin înmulțirea primei ecuații cu −2 și apoi
adunarea cu cea de -a doua, apoi cu a patra; se înmulțește prima ecuație cu −1 și se adună
cu ecuația a treia) și 𝑥+𝑦+𝑧=2
−3𝑦−4𝑧=−6
0𝑧=0
0𝑧=0 . Din compoziția ultimului sistem scris sub formă
trapezoidală se vede clar că z poate lua orice valoar e. De aceea z se va nota ca necunoscută
secundară și se va nota parametric 𝑧=∝, unde ∝∈ℝ. Apoi obținem 𝑦=6−4∝
3 și 𝑥=∝
3.
Mulțimea soluțiilor sistemului este 𝑆= ∝
3,6−4∝
3,∝ |∝∈ℝ , iar sistemul este compatibil
simplu nedeterminat.
ii) 2𝑥−3𝑦+𝑧=−1
𝑥+2𝑦−3𝑧=0
𝑥−12𝑦+11𝑧=−1
4𝑥−15𝑦+9𝑧=0
Soluție: Se aplică succesiv transformări elementare de tipul 1 sau 2 iar sistemul devine
succesiv 𝑥+2𝑦−3𝑧=0
2𝑥−3𝑦+𝑧=−1
𝑥−12𝑦+11𝑧=−1
4𝑥−15𝑦+9𝑧=0 ~ 𝑥+2𝑦−3𝑧=0
−7𝑦+7𝑧=−1
−14𝑦+14𝑧=−1
23𝑦+21𝑧=0 ~ 𝑥+2𝑦−3𝑧=0
−7𝑦+7𝑧=−1
0𝑧=1 (𝑓𝑎𝑙𝑠).
Acest sistem conține o contradicție ( 0𝑧=1), fapt pentru care acest sistem este
incompatibil, deci și sistemul inițial este incompatibil.
2.2. Exerciții pentru pregătirea examenului de Bacalaureat
Exercițiul nr. 1:
a)Găsiți matricea X
)(2RΜ astfel încât
1 32 1
3 3 1 2
1 02 1X
b) Să se determine m
R astfel încât sistemul următor să fie compatibil și apoi
rezolvați -l:
myxy xyx
31 21
55
Soluție: a)
1 32 1
3 3 1 2
1 02 1X
3 31 2
1 32 1
1 02 1
3 3 1 2
1 32 1
1 02 1X X
4 01 3
2 22
4 01 3
1 2 0 2 1 2 0 1
4 01 3
1 02 1
tzzyxx
t z tzy x y x
tzyxXX
4 4 25 1 61 20 0 23
t tzy y yxz zx
. Deci
4 05 3X .
b)
myxy xyx
31 21
y x yx 1 1
322 3 1 2 11 2 y y y y y x
31
321 1 x y x
35
32132
313 3 m m m myx
Exercițiul nr. 2:
a) Fie matricea A
)(2RΜ ;
1 0 1aA ,
0a . Să se calculeze
2A și
3A și apoi
să se determine
nA ,
*Nn în funcție de n.
b) Să se afle
,,,, vuyx numere reale astfel încât
1 10 1
1 01 1
vuyx
Soluție: a)
1 02 1
011 10101 1 0 11
1 0 1
1 0 12 a
aa a a a aAA A
1 03 1
011 1010 121 0211
1 0 1
1 02 12 3 a
aa a a a aAA A
56
1 0 1
naAn
Inducție matematică
)1( )( kP kP
1 0)1( 11 a nAn
1 0)1( 1
011 1010 1 1 0 11
1 0 1
1 0 11 a n
ana a na a naAA An n (A)
Deci
1 0 1naAn .
b)
111 00 1
1 10 1
1 10 1
1 01 1
vuy vyx ux
v uvyux
vuyx
Deci
1 11 0
vuyx .
Exercițiul nr.3:
Să se rezolve ecuația:
0
xaaaaxaaaaxaaaax
Soluție:
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
axaxaxax
aaaaaaaaaaaaaaaa
axaxaxax
xaaaaxaaaaxaaaax
a x ax axax
axaxax
ax
4,3,2,14 3 110) ( 00) () ( 0
0 0 0 0 0 0
)1() (
57
Exercițiul nr.4:
Dacă
3 2 1,,xxx sunt rădăcinile ecuației
0 172 22 3 x x x să se calculeze
valoarea determinantului
2 1 31 3 23 2 1
xxxxxxxxx
d .
Soluție:
1722
0 172 2
32132 31 213 2 1
2 3
xxxxxxxxxxxx
x x x
) ( 3
3
33
23
1 321
2 1 31 3 23 2 1
x x x xxx
xxxxxxxxx
5122)22(2
) (2) (51) (2) (2)( 0 17 2 20 17 2 20 17 2 2
3
33
23
1
32 31 212
3 2 12
32
22
13 2 12
32
22
13
33
23
132
33
322
23
212
13
1
x x x
xxxxxx xxx x x xxxx x x x x x xx x xx x xx x x
553
33
23
1 x x x
4 55)17(3) ( 33
33
23
1 321 d x x x xxx d
Exercițiul nr.5:
În reperul cartezian 𝑥𝑂𝑦 se consideră punctele A(2,1), B(1,2) și C
n (n,-n), 𝑛∈ℤ.
a. Să se scrie ecuația dreptei C
4 C
2
b. Să se arate că oricare ar fi 𝑛∈ℤ , nenul, punctele O, C
n , C
1n sunt coliniare.
c. Să se calculeze aria triunghiului ABC
3 .
Bacalaureat 2009
Varianta 77
Soluție:
a. C
4C
2:
111
2 24 4
C CC C
y xy xy x =0 -4x+2y -8+8+2x -4y=0 x+y=0.
58
b. O, C
n , C
1n coliniare
111
1 10 0
Cn CnCn Cn
y xy xy x =0, = 0+0-n
2-n+n
2 +n-0-
0=0 O, C
n , C
1n coliniare () n
.
c. Aria
3ABC = 1
2 𝑑 , d=
111
3 3 C CB BA A
y xy xy x =
13 3121112
= 4+3-3-6-1+6 = 3 , Aria
3ABC =
23
2.3. Exerciții date la examenul de Bacalaureat
Exercițiul nr.1: Se consideră sistemul
2𝑥+𝑦+3𝑧=0
𝑥+2𝑦+3𝑧=0
𝑥+𝑦+𝑚𝑧=0 , 𝑚∈ℝ.
a) Calculați determinantul matricei sistemului.
b) Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluție unică.
c) În cazul 𝑚=2, determinați soluția 𝑥0,𝑦0,𝑧0 a sistemului pentru care 𝑥0>0 și
𝑥02+𝑦02+𝑧02=3.
Examenul de bacalaureat 2012, Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ, Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică -informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică -informatică
Soluție:
a) 𝐴= 21 3
12 3
11𝑚 ⇒det𝐴=3𝑚−6.
b) Sistemul are o soluție unică dacă și numai dacă 𝑑𝑒𝑡𝐴≠0⇒3𝑚−6≠0⇒𝑚≠
2⇒𝑚∈ℝ\ 2 .
c) 𝑑𝑒𝑡𝐴=0și 21
12 ≠0⇒ matricea sistemului are rangul doi
𝑧=𝛼⇒ 2𝑥+𝑦=−3𝛼
𝑥+2𝑦=−3𝛼 ⇒𝑥=−𝛼,𝑦=−𝛼
𝑥02+𝑦02+𝑧02=3⇒ −𝛼 2+ −𝛼 2+𝛼2=3⇒𝛼∈ −1,1
Soluția este 𝑥0,𝑦0,𝑧0 = 1,1,−1
59
Exercițiul nr.2: Se consideră matricea 𝐴 𝑚 = 𝑚 1−1
1𝑚−1
−1 1𝑚
și sistemul
𝑚𝑥+𝑦−𝑧=1
𝑥+𝑚𝑦−𝑧=1
−𝑥+𝑦+𝑚𝑧=1 , unde 𝑚 este un număr real.
a) Calculați 𝑑𝑒𝑡 𝐴 2 .
b) Arătați că 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑚 =𝑚3−𝑚.
c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑚 =0.
d) Verificați dacă, pentru 𝑚=3, tripletul 1
3,1
3,1
3 este soluție a sistemului 𝑆 .
e) Pentru 𝑚=2, rezolvați sistemul 𝑆 .
f) Pentru 𝑚=0, arătați că sistemul 𝑆 nu are soluții.
Examenu l de bacalaureat 2012, Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ, Varianta 5
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător -educatoare
Soluție:
a) 𝐴 2 = 2 1−1
1 2−1
−11 2 ⇒𝑑𝑒𝑡 𝐴 2 =6.
b) 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑚 =𝑚3−1+1−𝑚+𝑚−𝑚=𝑚3−𝑚.
c) 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑚 =0⇒𝑚3−𝑚=0⇒𝑚 𝑚−1 𝑚+1 =0
⇒𝑚=−1,𝑚=0,𝑚=1
d) 𝑚=3⇒ 3𝑥+𝑦−𝑧=1
𝑥+3𝑦−𝑧=1
−𝑥+𝑦+3𝑧=1⇒ 1
3,1
3,1
3 este soluție a sistemului.
e) 𝑚=2⇒ 2𝑥+𝑦−𝑧=1
𝑥+2𝑦−𝑧=1
−𝑥+𝑦+2𝑧=1⇒ 𝑥=1
2,𝑦=1
2,𝑧=1
2 sunt soluții ale sistemului în
acest caz.
f) 𝑚=0⇒ 𝑦−𝑧=1
𝑥−𝑧=1
−𝑥+𝑦=1⇒ prin scăderea primelor două ecuații că 𝑦=𝑥. Înlocuind
în a treia ecuație se obține 0=1, imposibil, ceea ce înseamnă că sistemul nu are
soluții pentru 𝑚=0.
60
Exercițul nr. 3: Fie sistemul 𝑥−2𝑦−8𝑧=−65
3𝑥+𝑦−3𝑧=22
𝑥+𝑦+𝑧=28 unde 𝑥,𝑦,𝑧∈ℝ și matricea asociată
sistemului 𝐴= 1−2−8
3 1−3
1 1 1 .
a) Arătați că rangul matricei A este egal cu 2.
b) Rezolvați sistemul în ℝ×ℝ×ℝ.
c) Determinați numărul soluțiilor sistemului din mulțimea ℕ×ℕ×ℕ.
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010, Proba E c)
Probă scrisă la MATEMATICĂ, Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică – informatică.
Filiera vocațonală, profilul militar, specializarea matematică – informatică
Soluție:
a) 𝑑𝑒𝑡𝐴=0, 1−2
3 1 =7 (sau orice alt minor de ordinul 2 nenul), deci rangul matricei
A este egal cu 2.
b) Minorul caracteristic este nul deci sistemul este compatibil nedeterminat. De exemplu,
luând 𝑧=𝛼 o necunoscută secundară, obținem 𝑥=2𝛼−3 și 𝑦=31−3𝛼.
d) 𝑥=2𝛼−3≥0,𝑦=31−3𝛼≥0,𝑧=𝛼≥0⇒3
2≤𝛼≤31
3⇒
𝛼∈ 2,3,…,10 ,adică sunt 9 soluții în mulțimea ℕ×ℕ×ℕ.
Exercițiul nr.4: Pentru 𝑚∈ℝ se consideră matricea 𝐴= 1−1−1
1 3−1
𝑚 0 2 și sistemul de
ecuații 𝑥−𝑦−𝑧=−2
𝑥+3𝑦−𝑧=−2
𝑚𝑥+2𝑧=4 , unde 𝑥,𝑦,𝑧∈ℝ.
a) Calculați determinantul matricei A.
b) Determinați 𝑚∈ℝ pentru care matricea A este inversabilă.
c) Rezolvați sistemul pentru 𝑚=−1.
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010
Probă scrisă la matematică – Proba E c), Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii.
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale
Soluție:
a) det 𝐴 = 1−1−1
1 3−1
𝑚 0 2 =6+𝑚+0+3𝑚+0+2=8+4𝑚.
b) A inversabilă ⇔𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠0⇔8+4𝑚≠0, adică 𝑚∈ℝ\ −2 .
c) Pentru 𝑚=−1 se obține 𝑑𝑒𝑡 𝐴 =4≠0, adică 𝑥=𝑦=0 și 𝑧=2.
61
2.4. Exerciții date la diferite concursuri, olimpiade școlare
Exercițiul nr. 1:
Fie
,3 n N n și
1 2 1, ,… ,nn a a a a termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Să se calculeze
1 2 3 1
2 3 4 1
3 4 5 1 2
1 1 3 2
1 2 2 1…
…
…
…………………………………. ..
…
…nn
n
n n n n
n n na a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
.
G.M. prof. Aurel Ene
(Festivalului Internațional de Matematică și Informatică PIATRA NEAMȚ
Concurs de matematică – proba individuală(clasa a XI -a))
Soluție: Fie q rația progresiei și
determinantul. Scăzând prima linie din liniile 2,3,…n ,
înmulțite cu
21, ,…nq q q obținem:
2 2 1
1
1
1 2 2 21 …
0 0 0 … 0 1
0 0 0 … 1
…………………………………. ..
0 1 …nn
n
n n n
n n n nq q q q
q
a q q q
q q q q q
După
1n schimbări de linii, prima linie va ajunge ultima:
1
1
1
2 2 10 0 0 … 0 1
0 0 0 … 1( 1)
…………………………………. ………………
1 …n
nn
nn
nnq
q q qa
q q q q
iar determinantul este produsul elementelor diagonalei secundare, înmulțite cu semnul
permutării
1 2 3………..
1 2……….1n
n n n
Așadar, obținem
2
12
1 1 1 2
11( 1) ( 1) (1 ) ( 1) (2 )nnn
C n n n n n n na q a q
.
62
Exercițiul nr.2:
a) Fie
R și
2() A M R astfel încât
2
2 det( ) 0 IA . Demonstrați că
det( )A .
b) Arătați că există
*R și
2() A M R astfel încât
2
2 det( ) 0 IA și
det( )A .
prof. Dan Popescu, Suceava
(Festivalului Internațional de Matematică și Informatică PIATRA NEAMȚ
Concurs de matematică – proba individuală(clasa a XI -a))
Soluție:
a) Fie
2( ),abA M Rcd iar
, det u a d trA v ad bc A
Cum
2
2, A uA vI atunci
2
22()()()ua v ubI A uA v Iuc ud v ,
2 2 2 2 2 2
2 det( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I A u v ua v ud v v v u v cu
22, , ( )u v R
, suma precedentă este nulă numai dacă
0v adică
det( )A.
b) De exemplu, putem considera
10
02A și
1 . Atunci
2
200det( ) 003IA ,
iar
det 2 .A
63
PARTEA a II -a – SEGMENTUL METODIC
CAPITOLUL al III -lea
ASPECTE METODOLOGICE
1.CARACTERISTICI ALE PROCESULUI DE PREDARE -ÎNVĂȚARE ÎN
DIDACTICA MODERNĂ
1.1. Strategia didactică: caracterizare, tipologie
Strategia didactică este unul din „instrumentele definitorii” ale activității didactice.
De aceea cunoașterea modului de elaborare, desfășurare și evaluare a strategiei didactice
este o condiție necesară pentru eficiența oricărei activități didactice. I. Cerghit def inește
strategia de instruire ” ca un mod de abordare a predării și învățării, de combinare și
organizare optimă a metodelor și mijloacelor avute la dispoziție, precum și a formelor de
grupare a elevilor, în vederea atingerii obiectivelor urmărite ”.
Concept ul de strategie didactică se bucură de mai multe accepțiuni care subliniază
complexitate acestuia și importanța înțelegerii lui pentru practica didactică.
Analizând definițiile propuse conceptului de strategie didactică I.Cerghit identifică
următoarele acc epțiuni:
Strategia – un mod de gândire și acțiune;
Strategia – structură procedurală;
Strategia – tactică (reacție la reacțiile elevilor, cu niște soluționări practice,
metodice, prompte și punctuale ivite pe parcurs);
Strategia – înlănțuire de decizii;
Strategia – rezultat al contopirii strategiei de predare și strategiei de învățare.
Problema strategiei didactice este o problemă de competență didactică, ce
presupune cunoștințe de specialitate dar și psiho -pedagogice care fundamentează alegerea
unei strate gii potrivite în funcție de anumiți factori: disciplina predată, caracteristicile
clasei de elevi, forma de organizare, materialele didactice avute la dispoziție etc.
Pentru a putea elabora o strategie cât mai adecvată specificului elevilor și a
disciplin ei pe care o predă, profesorul trebuie să cunoască elementele constitutive ale
strategiei didactice.
Acestea sunt (după Panțuru):
obiectivele/finalitățile strategiei de instruire;
64
subiectul și obiectul strategiei de instruire (cadrul didactic și elevul, f iecare cu
rolurile și responsabilitățile sale; dacă profesorul este managerul strategiei de
instruire, cel care o proiectează, realizează și evaluează, elevii sunt principalii
beneficiari ai acesteia. Colaborarea dinte profesor și elevi se concretizează în
rezultatele obținute/competențele formate);
tipurile de activități și conținuturile strategiei de instruire (aceste componente sunt
decisive pentru formarea competențelor);
timpul alocat strategiei de instruire (timpul este una dintre resursele care
condi ționează calitatea instruirii);
metodele de instruire (sunt cele care reprezintă instrumentele de lucru ale
profesorului cu elevii și care trebuie alese cu grijă pentru a obține ceea ce ne
propunem);
mijloace de instruire (utilizarea unor mijloace de instr uire noi pot stimula interesul
pentru învățare);
formele de organizare a instruirii (frontal, pe grupe sau individual);
interacțiunile și relațiile instrucționale (aceste relații care apar între elevi sau între
elevi și profesor definesc atmosfera psihologică a clasei, decisivă pentru învățare.
Să nu uităm faptul că specialiștii în științele educației subliniază rolul stimulativ al
emoțiilor în învățare! Important este și stilul profesorului, care imprimă o anumită
coloratură afectivă climatului înv ățării);
deciziile instrucționale.
Fiecare dintre aceste componente are un rol hotărâtor în determinarea strategiei, cu
atât mai mult cu cât între aceste componente se stabilesc strânse legături. Astfel,
obiectivele strategiei de instruire care se deduc di n competențele prezentate în programă,
vor preciza tipurile de activități și competențele pe care dorim să le formăm. Aceste
conținuturi și activități însă nu se aleg prin ele însele, „rupte” de celelalte componente. În
funcție de timpul avut la dispoziție (una sau două ore), de mijloace și materialele didactice
avute la dispoziție, nu în ultimul rând în funcție de potențialul și nevoile de formare ale
elevilor și experiența profesorului, putem adapta conținutul și tipurile de activități pentru a
obține efi ciența maximă posibilă.
L. Vlăsceanu propune șase parametri de construcție a strategiei:
1. organizarea elevilor;
2. organizarea conținutului;
3. modul de prezentare -asimilare a cunoștințelor;
65
4. frecvența, continuitatea intervențiilor profesorului;
5. modul de programar e a exercițiilor aplicative;
6. natura probelor de evaluare.
Pentru a evidenția mai bine aspectele specifice vom analiza tipurile de strategii
descrise în literatura pedagogică.
Astfel, unul din criteriile folosite în clasificarea strategiilor este reprezenta t de
logica gândirii , rezultând următoarele tipuri de strategii:
strategii inductive;
strategii deductive;
strategii analogice;
strategii transductive;
strategii mixte.
La elevii din clasele mai mari pot fi utilizate strategiile deductive, ce reprezintă un
demers descendent al gândirii de la principii, teorii, la fapte/cazuri concrete.
Un alt criteriu folosit în clasificarea strategiilor didactice ține de gradul de
dirijare/nondirijare al învățării:
strategii algoritmice (imitative, explicativ -reproductive, explicativ -intuitive,
algoritmice, programate);
strategii nealgoritmice (explicativ -investigative, conversativ -euristice,
descoperirea independentă, problematizante, observarea investigativă,
inductiv -experimentale, creative);
strategii mixte.
În acord cu un învățământ formativ, centrat pe competențe, se impune utilizarea
strategiilor nealgoritmice sau activ -participative. Această strategie este indicată deoarece
are efecte formative evidente nu numai în plan cognitiv (deoarece îi antrenează pe elevi
într-un efort de căutare, de selectare, analiză și comparație a informațiilor) dar și în plan
social (dezvoltă spiritul de colaborare, de comunicare eficientă cu colegii) și chiar personal
(elevii lucrând împreună cu colegii își pot conștientiza propriile res urse, posibilități și
limite; pot fi resurse de învățare pentru alți colegi sau pot învăța de la alții).
Frecvent folosite, sunt strategiile mixte, mult mai ușor de adaptat specificului temei
de studiat, al mijloacelor didactice avute la dispoziție și la s pecificul elevilor. Acestea
combină, într -un mod fericit, explicațiile profesorului cu activitatea independentă a
elevilor, dirijarea profesorului cu momente de creativitate ale elevilor. În acest caz,
66
competența profesorului de a organiza și fructifica ef ectele formative ale situației de
învățare este decisivă.
Bineînțeles că nu există o „rețetă” a unei strategii eficiente în sine. Profesorul, prin
experiența și competența sa, este cel care stabilește modul cel mai adecvat de desfășurare
al activității, ți nând cont de o serie de „factori critici”ce stau la baza elaborării strategiei de
instruire (după Panțuru):
tipurile de obiective vizate;
nivelul de școlaritate: primar, gimnazial, particularitățile grupului de elevi;
tipurile de elevi din colectivele res pective, sub aspectul: natura motivației
școlare, capacități intelectuale, stil cognitiv, factori de personalitate;
natura disciplinei de învățământ/ structura sa logico -teoretică;
timpul avut la dispoziție;
echipamente și materiale necesare;
particularită țile cadrului didactic.
Adoptarea unei anumite strategii didactice este o problemă de responsabilitate și
competență, cu atât mai mult cu cât, în contextul reformei învățământului, trebuie să avem
în vedere formarea unor competențe , a atitudinilor și valo rilor față de școală, viață, muncă.
1.2. Metode didactice
Prin metodă didactică (în limba greacă odos – cale și metha – spre) se înțelege o
acțiune proiectată conform unui program care anticipează o suită de operații ce trebuie
îndeplinite în vederea atingerii unui rezultat bine determinat.
Pentru o predare/învățare activ -participativă, profesorul trebuie să-și aleagă o
varietate de metode. Desigur, profesorul trebuie să cunoască funcțiile și importanța
metodelor; să știe că metodele se clasifică după criteriul organizării muncii, în baza
surselor de informații, conform tipului de activitate de învățare, c ă eficiența lecției depinde
și de legătura dintre obiectivul propus și metoda aleasă. Este foarte important ca metoda
aleasă să ducă la motivația interioară și să promoveze relații democratice.
Taxonomia metodelor didactice (după S. Cristea)
A. Metode did actice în care predomină acțiunea de comunicare:
a) orală expozitivă
67
B. Metode didactice în care predomină acțiunea de cercetare a realității :
a) în mod direct
b) în mod indirect
C. Metode didactice în care predomină acțiunea practică, operațională
a) Reală
b) Simulată
D. Metode didactice în care predomină acțiunea de programare specială a
instruirii:
Conversația euristică (socratică ) (după Bontaș) este o formă de conversație
bazată pe învățarea conștientă, folosind dialogul ca proces de descoperire, de creație, de
naștere a cunoștințelor.
68
Dezbaterea (discuția) valorifică procedeul întrebărilor orientate spre un schimb
organizat de informații semnificative pentru soluționarea unor probleme, dezvoltarea unor
capacități de stăpânire a materi ei.
Brainstorming -ul (asaltul de idei) elaborează în cadrul unui anumit grup, în mod
spontan și în flux continuu, anumite idei, modele, soluții noi, originale, necesare rezolvării
unor probleme sau teme.
Etapele brainstorming -ului:
a) anunțarea temei;
b) elaborarea soluțiilor;
c) încheierea ședinței de asalt;
d) evaluarea datelor și stabilirea concluziilor.
Regulile brainstorming -ului:
1. Aprecierile critice sunt interzise.
2. Imaginația este absolut liberă. Fiecare poate spune prima idee venită în minte.
3. Se cere mai multă cantitate decât calitate .
4. Se încurajează ideile cele mai neobișnuite.
Sinectica este o modalitate de creație în cadrul grupului, ca urmare a unor
combinații și analogii eterogene, uneori chiar fără o legătură evidentă între datele
problemei de rezolvat. Sinectica se aseamănă în anumite privințe cu brainstorming -ul în
ceea ce privește desfășurarea ședinței de creație, interpretarea și stabilirea concluziilor, dar
se permite evaluarea critică în timpul elaborării ideilor, soluțiilor, f ără a limita inițiativa în
creație.
Problematizarea urmărește realizarea obiectivelor propuse prin lansarea și
rezolvarea unor situații – problemă. Elementele obligatorii ale situațiilor -problemă sunt:
experiența trecută (datele cunoscute) și noutatea (da tele necunoscute). Tensiunea dintre
aceste două elemente imprimă gândirii elevului un sens explorator.
Etapele problematizării:
1. Momentul inițial (crearea tipului de problematizare).
2.A) Momentul tensional (evidențierea contradicției dintre cunoscut și necunoscut).
Se cunosc trei tipuri de contradicții care pot conduce la crearea situațiilor de problemă:
– contradicții dintre cunoștințele științifice și cele obținute din viața de toate zilele ;
– contradicții dintre cunoștințele noi și cele obținute ante rior.
– contradicțiile realității obiective.
2.B) Elaborarea variantelor de soluționare a contradicțiilor.
69
3. Momentul rezolutiv (alegerea soluției optime).
Modelarea reprezintă modalitatea de studiu al unor obiecte, fenomene, procese,
etc. prin intermediul unor copii materiale și ideale ale acestora, denumite modele, capabile
să reproducă caracteristicile esențiale ale realității studiate sau să ofere informații despre
aceasta.
Algoritmizarea este modalitatea de a studia un fenomen, obiect sau proces prin
intermediul unor prescripții, denumite algoritmi.
Studiul de caz (metoda cazului) este modalitatea de a analiza o situație care există
sau poate să apară într -o acțiune, într -un fenomen sau sistem, denumită caz, în vederea
studierii lui, asigurând luarea unei decizii optime în domeniul respectiv.
Jocul didactic – este metoda prin care informațiile, cunoștințele, deprinderile se
însușesc prin simulare într -un joc. În acest caz, jocul este folosit ca pretext pentru a face
învățarea mai antrenantă, mai plăcută și este utilizat mai mult în sfera învățământului
preșcolar și primar, mai puțin în învățământul liceal. Jocul didactic interdisciplinar este o
activitate în care se îmbină sarcini didactice din domenii de cunoaștere diverse, într -o
structură unitară, axată pe învățare.
Instruirea programată organizează acțiunea d idactică, aplicând principiile
ciberneticii la nivelul activității de predare -învățare -evaluare.
Instruirea asistată pe calculator valorifică principiile de modelare și de analiză
cibernetică ale activității de instruire, în contextul noilor tehnologii inf ormaționale. în
ultima vreme, pe piață au apărut unele resurse didactice programate, care pot fi folosite la
diferite etape ale lecțiilor .
Selectarea metodelor didactice în funcție de obiective (după I.Cerghit)
Obiective de conținut Tipuri de acțiuni/ ver be realizate de elev Metode didactice adecvate
Învățarea conceptelor a defini,
a distinge,
a asimila,
a recunoaște. lectura,
observația,
expunerea,
instruirea programată.
Învățarea regulilor a sintetiza,
a deduce,
a formula,
a modifica,
a demonstra,
a defini,
a clasifica. convorbirea euristică, dezbaterea,
studiul de caz,
exercițiul.
Formarea de deprinderi a exersa,
a executa,
a efectua,
a rezolva,
a construi. exercițiul,
experimentul de laborator,
exerciții aplicative,
elaborarea de proiecte,
lucrări practice.
70
Eficiența lecției va depinde nu numai de modul de interacțiune complexă a
componentelor ei, ci și de felul cum este integrată ea în procesul de învățământ, ca sistem
de funcționalitate, pentru că în lecție se obiectivează elementele acestuia (obiective,
resurse, conținut, strategii și evaluarea rezultatelor).
În esență, fiecare lecție trebuie orientată spre atingerea unor anumite finalități (scop
și obiective concrete), realizată printr -un anumit conținut, pus în valoare de profesor și
elevi, folosind strategii optime (combinații de metode, tehnici, mijloace de învățământ).
Metode și tehnici interactive de grup
În condițiile în care azi societatea se confruntă cu o explozie de informații din orice
domeniu de activitate, sistemul educațional ar e un rol extrem de dificil: acela de a forma
personalități care să știe să aleagă corect informația și să extragă esențialul din general.
Școala de astăzi trebuie să știe cum să motiveze pe elev să învețe și cum să
faciliteze procesul învățării, organizân d și dezvoltând strategii de lucru interactive, punând
accentul pe utilitatea cunoștințelor și pe necesitatea însușirii lor pentru a se descurca în
viață. Rolul profesorului de astăzi este nu de a îndopa elevii cu diverse cunoștințe, ci de a
le arăta ce au de făcut cu acestea.
Astăzi școala promovează învățarea prin cooperare ca formă superioară de
interacțiune psihosocială, bazată pe sprijin reciproc, pe toleranță, pe efort susținut din
partea tuturor, îndreptat către același scop. Motivația este rezulta tul acțiunii conjugate a
tuturor membrilor ce urmăresc un destin comun. Atenția este îndreptată asupra procesului
de elaborare împreună, prin colaborare, a demersurilor de realizare a sarcinii. Evaluarea
urmărește acordarea ajutorului imediat, având mai mu lt o funcție corectivă, ameliorativă,
ducând la reducerea stresului. Ea se realizează prin raportarea la progresul individului și
are în vedere atât participarea fiecărui membru la procesul elaborării în comun cât și
rezultatele echipei.
Activitățile pro puse elevilor în scopul sporirii gradului de implicare activă și
creativă în școală, trebuie să asigure: stimularea gândirii productive, a gândirii critice, a
gândirii divergente și laterale, libertatea de exprimare a cunoștințelor, a gândurilor, a
faptelo r. În acest sens apar ca adecvate activitățile care cer spontaneitate și contribuie la
dezvoltarea independenței în gândire și acțiune. Utilizarea talentelor și a capacităților
specifice fiecărui individ în parte, incitarea interesului către nou și oferire a satisfacției
găsirii soluției după depunerea unui efort de căutare, dezvoltarea capacității de organizare
prin întocmirea de portofolii asupra activității proprii, sunt coordonate majore ale învățării
prin cooperare.
71
Aceste metode interactive de grup se pot clasifica după funcția lor didactică în:
I. Metode de predare -învățare interactivă
metoda predării/învățării reciproce (Reciprocal teaching – Palinscar);
metoda Jigsaw (Mozaicul);
metoda învățării pe grupe mici – STAD (Student Teams Achievement Di vision);
metoda turnirurilor între echipe – TGT (Teams/Games/Tournaments);
metoda schimbării perechii (Share -Pair Circles);
metoda piramidei (a bulgărelui de zăpadă).
Prin metoda predării/învățării reciproce elevii sunt puși în situația de a fi ei înșiși
profesori și de a explica colegilor rezolvarea unei probleme. Astfel copiii sunt împărțiți pe
grupe de câte patru, în care fiecare are un rol bine definit: unul este rezumător (cel care
face un scurt rezumat al textului citit), unul este întrebătorul grupului(cel care pune
întrebări clarificatoare), altul este clarificatorul (el trebuie să aibă o viziune de ansamblu
și să încerce să răspundă întrebărilor grupului), iar cel de -al patrulea copil este
prezicătoru l (cel care își va imagina, în colaborare însă cu ceilalți care va fi cursul
evenimentelor). Elevii aceleiași grupe vor colabora în înțelegerea problemelor și rezolvarea
sarcinilor de lucru, urmând ca frontal să se concluzioneze soluțiile. Grupele pot avea
probleme diferite pe aceeași temă, sau pot avea probleme diferite. Ei pot lucra pe fișe
diferite, urmând ca în completarea lor să existe o strânsă colaborare, sau pot lucra pe o
singură fișă, pe care fiecare să aibă o sarcină precisă. Avantajele acestei metode de lucru
sunt indiscutabile: stimulează și motivează, ajută elevii în învățarea metodelor și tehnicilor
de lucru, tehnici de muncă intelectuală pe care le poate folosi apoi și în mod independent,
dezvoltă capacitatea de exprimare, atenția, gândirea cu operațiile ei și capacitatea de
ascultare activă, stimulează capacitatea de concentrare asupra textului problemei.
Jigsaw (în engleză jigsaw puzzle înseamnă mozaic ) sau “metoda grupurilor
interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă (teamlearnin g). Fiecare
elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert . El are în același timp și
responsabilitatea transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți colegi. Metoda presupune o
pregătire temeinică a materialului dat spre stud iu elevilor. Educatorul propune o temă de
studiu pe care o împarte în patru sub -teme. Pentru fiecare temă în parte educatorul trebuie
să dea un titlul, sau pentru fiecare să pună o întrebare. Fiecare membru al grupei va primi
ca obiect de studiu materiale necesare fiecărei sub -teme, pentru care va alcătui și o schemă.
La sfârșit elevii își comunică ce au învățat despre sub -tema respectivă. Aranjarea în clasă a
grupurilor trebuie însă să fie cât mai aerisită, astfel încât grupurile să nu se deranjeze între
72
ele. Obiectul de studiu poate constitui și o temă pentru acasă, urmând ca în momentul
constituirii mozaicului fiecare “expert” să -și aducă propria contribuție.
Metoda piramidei sau metoda bulgărelui de zăpadă are la bază împletirea
activității individuale cu cea desfășurată în mod cooperativ, în cadrul grupurilor. Ea constă
în încorporarea activității fiecărui membru al colectivului într -un demers colectiv mai
amplu, menit să ducă la soluționarea unei sarcini sau a unei probleme date. Această metodă
are mai multe faze: faza introductivă – profesorul enunță problema, faza lucrului
individual – fiecare elev lucrează individual timp de 5 minute la soluționarea problemei,
faza lucrului în perechi – elevii se consultă cu colegul de bancă, sunt notate toate soluți ile
apărute, faza reuniunii în grupuri mai mari – elevii de consultă asupra soluțiilor în
grupuri alcătuite dintr -un număr egal de perechi, faza raportării soluțiilor în colectiv și
faza decizională . Ca și celelalte metode care se bazează pe lucrul în pere chi și în colectiv,
metoda piramidei are avantajele stimulării învățării prin cooperare, al sporirii încrederii în
forțele proprii prin testarea ideilor emise individual, mai întâi în grupuri mici și apoi în
colectiv. Dezavantajele înregistrate sunt de ord in evaluativ, deoarece se poate stabili mai
greu care și cât de însemnată a fost contribuția fiecărui participant.
II.Metodele de fixare și sistematizare a cunoștințelor și de verificare
harta cognitivă sau harta conceptuală (Cognitive map, Conceptual ma p);
fishbone maps (scheletul de pește);
pânza de păianjăn (Spider map –Webs);
tehnica florii de nufăr (Lotus Blossom Technique);
metoda R.A.I.
III. Cele mai cunoscute și mai folosite metode sunt cele de rezolvare de probleme
prin stimularea creativității
brainstorming;
starbursting (Explozia stelară);
metoda Pălăriilor gânditoare (Thinking hats – Edward de Bono);
patru colțuri (Four corners);
Brainstorming -ul este o metodă interactivă de dezvoltare de idei noi ce rezultă din
discuțiile purtate între mai mu lți participanți, în cadrul căreia fiecare vine cu o mulțime de
sugestii. Rezultatul acestor discuții se soldează cu alegerea celei mai bune soluții de
rezolvare a situației dezbătute. Calea de obținere a acestor soluții este aceea a stimulării
creativităț ii în cadrul grupului, într -o atmosferă lipsită de critică, fără inhibiții, rezultat al
73
amânării momentului evaluării. Specific acestei metode este și faptul că ea cuprinde două
momente: unul de producere a ideilor și apoi momentul evaluării acestora.
Starbursting (eng.“star”=stea și ”burst”=a exploda), este o metodă nouă de
dezvoltare a creativității, similară brainstormingului . Scopul metodei este de a obține cât
mai multe întrebări și astfel cât mai multe conexiuni între concepte. Este o modalitate de
stimulare a creativității individuale și de grup. Organizată în grup, starbursting facilitează
participarea întregului colectiv, stimulează crearea de întrebări la întrebări, așa cum
brainstormingul dezvoltă construcția de idei pe idei. Modul de procedare este simplu. Se
scrie problema a cărei soluție trebuie “descoperită” pe o foaie, apoi se înșiră cât mai multe
întrebări care au legătură cu ea. Un bun punct de plecare îl constituie cele de tipul „Ce?,
Când?, Cum?, De ce?” – unele întrebări ducând la altel e din ce în ce mai complexe care
necesită o concentrare tot mai mare.
Este foarte important să educă imaginația copiilor pentru că a fi un om imaginative
înseamnă să te poți adapta în situații diverse. O metodă didactică de educare a imaginației
copilului este “metoda pălăriilor gânditoare” . Aceasta este o tehnică interactivă, de
stimulare a creativității participanților care se bazează pe interpretarea de roluri în funcție
de pălăria aleasă. Sunt 6 pălării gânditoare , fiecare având câte o culoare: alb, roș u, galben,
verde, albastru și negru. Membrii grupului își aleg pălăriile și vor interpreta astfel rolul
precis, așa cum consideră mai bine. Rolurile se pot inversa, participanții sunt liberi să
spună ce gândesc, dar să fie în acord cu rolul pe care îl joac ă. Culoarea pălăriei este cea
care definește rolul: pălăria albă este neutră, participanții sunt învățați să gândească
obiectiv, pălăria roșie dă frâu liber sentimentelor, oferă o perspectivă emoțională asupra
evenimentelor. Pălăria neagră este perspective gândirii negativiste, pesimiste, pălăria
galbenă este simbolul gândirii pozitive și constructive, al optimismului. Cel ce stă sub
pălăria verde trebuie să fie creativ. Gândirea laterală este specifică acestui tip de pălărie.
Cere un efort de creație. Pălă ria albastră este dirijorul orchestrei și cere ajutorul celorlalte
pălării. Gânditorul pălăriei albastre definește problema, conduce întrebările, recorelează
informațiile pe parcursul activității, formulează ideile principale și concluziile la sfârșit.
Mon itorizează jocul și are în vedere respectarea regulilor. Acest nou tip de metodă de
predare – învațare este un joc în sine. Copiii se împart în șase grupe – pentru șase pălării.
Ei pot juca și câte șase într -o singură grupă. Împărțirea elevilor depinde de materialul
studiat. Pentru succesul acestei metode este important însă ca materialul didactic să fie
bogat, iar cele șase pălării să fie frumos colorate, să -i atragă pe elevi. Marele avantaj al
74
acestei metode este acela că dezvoltă competențele inteligențe i lingvistice, inteligenței
logice și inteligenței interpersonale.
IV. Metode de cercetare în grup
tema / proiectul de cercetare in grup;
experimentul pe echipe;
portofoliul de grup.
Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează inte racțiunea
dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu
rezultate evidente. Acest tip de interactivitate determină “identificarea subiectului cu
situația de învățare în care acesta este antrenat”, ceea ce duce la transformarea elevului în
stăpânul propriei formări. Interactivitatea presupune atât cooperarea, cât și competiția,
ambele implicând un anumit grad de interacțiune.
CUBUL – Se anunță tema pusă în discuție apoi se împarte clasa în 6 grupuri. Se
prezintă elevilor un cub din carton cu fețele divers colorate. Pe fețele acestuia sunt notate
cuvintele: descrie, compară, asociază, analizează, aplică și argumentează . Se atribuie
rolurile membrilor fiecărui grup:
“cititorul” – rostogolește cubul și anunță grupului cerința înscrisă pe fața de deasupra;
”ascultătorul activ” repetă sarcina, o reformulează pentru a fi înțeleasă de fiecare
membru, adresează întrebări profesorului;
”intero gatorul” solicită idei, legate de modul de rezolvare a sarcinii, de la membrii
grupului;
”rezumătorul” va fi “raportorul” grupului, va trage concluziile, le va nota și le va
comunica întregii clase.
Elevii vor lucra pe grupe (unii la tablă, alții pe caiete , alții pe foi) apoi „raportorul”
grupului va prezenta întregii clase modul în care grupul său a rezolvat cerința. În final, se
aduc lămuriri, completări de către profesorul “consultant”/”participant”/
“observator”.
Avantaje : permite diferențierea sarcinilor de învățare, stimulează gândirea logică și
sporește eficiența învățării (elevii învață unii de la alții).
TURUL GALERIEI – Elevilor li se comunică sarcina de lucru apoi se formează
grupurile. Timp de câteva minute elevii lucre ază în grup, pe o foaie de format mare (afiș)
apoi prezintă în fața clasei afișul, explicând semnificația celor scrise pe el și răspund
întrebărilor puse de colegi. Se expun afișele pe pereți, acolo unde dorește fiecare echipă iar
lângă fiecare afiș se lip ește câte o foaie goală. Se cere grupurilor să facă un tur, cu oprire în
75
fața fiecărui afiș și să noteze pe foaia alba anexată, comentariile, sugestiile, întrebările lor.
Fiecare grup va citi comentariile făcute de celelalte grupe și va răspunde la întrebă rile
scrise de acestea pe foile albe.
Avantaje : elevii oferă/primesc feed -back referitor la munca lor, au șansa de a
compara produsul muncii cu al altor echipe și de a lucra în mod organizat si productiv.
Acestea sunt numai câteva dintre metodele int eractive de lucru în echipă. Fiecare
dintre ele înregistrează avantaje și dezavantaje, important fiind însă momentul ales pentru
desfășurarea lor. Profesorul este acela care are puterea decizională și capacitatea de a alege
ceea ce știe că se poate desfășu ra în propriul colectiv de elevi. În teoria și practica didactică
contemporană, problematica instruirii interactive cunoaște abordări științifice noi,
complexe, interdisciplinare, susținute de argumente ce susțin participarea activă și
reflexivă a elevilor în procesele învățării și evaluării.
1.3. Mijloace de învățământ folosite în procesul de predare – învățare
Alături de metodologia didactică, mijloacele de învățământ reprezintă o
subdiviziune a tehnologiei instruirii și autoinstruirii – un proces comple x, care vizează
toate etapele procesului de învățământ, urmărind legăturile stabilite între acestea:
proiectare, realizare, (auto)evaluare, (auto)reglare.
Sintagma „mijloace de învățământ” se referă la ansamblul materialelor naturale –
obiecte d in realitatea înconjurătoare, în forma lor naturală: minerale, plante, animale,
aparate, instalații, etc. sau realizate intenționat: modele, planșe, hărți, manuale, cărți, fișe
de lucru, chestionare, teste, portofolii, jocuri didactice, care sprijină ating erea obiectivelor
activității instructiv – educative. De asemenea, sintagma „mijloace de învățământ” include
ansamblul cerințelor pedagogice de selectare și integrarea lor în strategiile didactice, în
viziune sistemică și de valorificare eficientă în proc esul instructiv – educativ.
Valențele psiho -pedagogice ale mijloacelor de învățământ se referă la faptul că ele
asigură caracterul intuitiv, concret – senzorial și sugestiv al activității de învățare;
asigură transmiterea și însușirea de informații bogate, bine selectate și prelucrate din
punct de vedere didactic.
Mijloacele de învățământ dobândesc valoare de instrumente pedagogice – se
interpun între logica științei și logica elevului, înlesnesc și optimizează comunicarea
profesor – elev, interacțiu nile care se stabilesc în clasă.
Dezvoltarea ansamblului mijloacelor de învățământ, valorificarea lor eficientă în
activitățile didactice și soluționarea unor probleme practice ale instrucției și educației, au
76
demonstrat și demonstrează că activitat ea didactică nu se restrânge la transmiterea verbală
a cunoștințelor și că limbajul verbal nu constituie unicul instrument de predare al
cunoștințelor. În funcție de caracteristicile situației de instruire, se utilizează mijloacele de
învățământ ale căror funcții și virtuți le fac eficiente în contextul educațional respectiv.
Cele mai importante funcții pedagogice sunt:
Funcția stimulativă – dezvoltarea motivației interne a elevilor pentru
studiu, în trezirea curiozității și a dorinței de cunoaștere;
Funcția formativă – este asigurată de contribuția lor la exersarea și
dezvoltarea gândirii și a operațiilor acestora: analiza, sinteza, comparația, abstractizarea,
generalizarea, etc;
Funcția informativă – este datorată faptului că mijloacele de învățămân t
oferă, în mod direct, un volum de informații despre diferite obiecte, fenomene, procese,
evenimente;
Funcția ilustrativă și demonstrativă – este exercitată atunci când
mijloacele de învățământ sunt valorificate ca material demonstrativ, ca substitute ale
realității, însoțind explicațiile profesorului;
Funcția de investigare experimentală și de formare a priceperilor și
deprinderilor intelectuale și practice – este asigurată în contextele educaționale cu
caracter experimental, în care elevii își formează ș i exersează priceperi și deprinderi
intelectuale și practice;
Funcția ergonomică – este funcția de raționalizare a eforturilor profesorilor
și elevilor în timpul activităților de predare – învățare, respectiv de reducere a ponderii
acțiunilor repetitive, r utiniere, de eficientizare a acțiunii de organizare și ghidare a
activităților elevilor;
Funcția substitutivă – este asigurată de facilitățile pe care le oferă unele
mijloace de învățământ care permit realizarea învățământului la distanță (de exemplu
televiziunea, computerele, rețele de calculatoare, Internet);
Funcția de evaluare – este datorată faptului că unele mijloace de
învățământ pot servi la verificarea și evaluarea nivelului de cunoștințe, priceperi,
deprinderi, competențe ale elevilor;
Funcți a estetică – este asigurată în contextele educaționale în care elevii
receptează, înțeleg și evaluează frumosul, respectiv valori cultural – artistice, morale,
sociale;
Funcția de orientare a intereselor elevilor – este realizată în secvențele în
77
care mijl oacele de învățământ le oferă acestora informații în legătură cu anumite profesiuni
și status -uri, imagini, comentarii.
Pornind de la particularitățile de vârstă și individuale ale elevilor și de la
caracteristicile situației de instruire, profesorul proi ectează și organizează secvențe de
instruire care să contribuie într -o măsură cât mai mare și cât mai eficient la formarea și
informarea elevilor, recurgând la mijloace de învățământ pe care le consideră cele mai
adecvate și mai eficiente.
După C. Cucoș, m ijloacele de învățământ sunt împărțite în două mari categorii:
a)Mijloace de învățământ ce cuprind mesaj didactic
Obiecte substitutive, funcționale și acționale: machete, mulaje, modele.
Suporturi figurative și grafice: hărți, planșe, albume fotografice, p anouri.
Mijloace simbolico -raționale: tabele cu formule, scheme structurale sau
funcționale.
Mijloace tehnice audio -vizuale: diapozitive, filme, materiale audio -video.
b)Mijloace de învățământ care facilitează transmiterea mesajelor didactice
Instrumente, aparate și instalații de laborator
Instrumente muzicale și aparate sportive
Computere și orice dispozitiv media
Jocuri, simulatoare didactice.
Mijloacele de învățământ se dovedesc a fi utile, în măsura în care sunt integrate
organic în contextul lecțiilor și li se imprimă o finalitate pedagogică. Eficiența utilizării
mijloacelor de învățământ ține de inspirația și experiența didactică a profesorului, în a
alege și a –și sprijini discursul pe un suport tehnic.
2. ELEMENTE DE DEONTOLOGIE A EVALUĂRII ÎN CONTEX TUL
CREȘTERII CALITĂȚII ACTULUI EDUCAȚIONAL
Lumea se află într -o continuă schimbare. Pentru a putea transmite informații
corecte și reale trebuie să fim foarte bine informați și să avem o serie de abilități. În
opinia celor mai mulți, noi nu producem nim ic. Însă toți au trecut mai mult sau mai puțin
prin școală…este greu pentru ei să recunoască meritul cadrelor didactice fără de care ei nu
ar putea scrie, citi sau chiar vorbi.
Calitățile pe care trebuie să le aibă un educator sunt din ce în ce mai multe iar
standardele pe care ar trebui să ni le impunem fiecare sunt dintre cele mai înalte. Personal,
78
consider că cel mai bun criteriu de evaluare a unui cadru didactic îl constituie, pe lângă
rezultatele elevilor săi, și recunoștința pe care aceștia i -o poar tă. Ce răsplată poate fi mai
mare ca aceea când un fost elev îți mulțumește pentru ceea ce l -ai învățat … ?!
Formarea cadrului didactic începe pe băncile școlii și nu se termină niciodată .
Pentru a putea desfășura o muncă de calitate trebuie să fii la cur ent cu toate
schimbările, cu toate noutățile. De aceea în această meserie înveți tu pentru a -i învăța pe
alții. Formarea continuă a devenit o necesitate. Este nevoie de această formare continuă
pentru a putea face față afluxului de informații, pentru a ne adapta strategiile la mijloacele
noi pe care le avem la dispoziție, dar, mai ales, la elevul din ziua de azi.
În opiniile multora, performanțele elevilor sunt legate de dăruirea și calitatea
corpului profesoral, de dotarea materială a școlii. Elevii evolu ează într -un mediu care le
determină succesele și eșecurile. Eficiența lor la învățătură, chiar motivația, depind de
mediul social organizat de adulți.
Statutul social al profesorului în societatea contemporană pare să fie statutul clasei
mijlocie. Meseria de profesor nu se găsește între cele mai solicitate, dar nici între cele
evitate. Profesiunea intelectuală, respectată, nu distribuie deținătorului putere, influență
sau venituri superioare dar conferă prestigiu și satisfacții, vocația fiind considerată u nul
dintre motivele de bază în alegerea acestei profesiuni. Principala calitate a profesorului
este vocația pedagogică și eu cred că cele mai multe discuții care s -au purtat asupra
trăsăturilor de personalitate ale profesorilor au fost despre aptitudinea p edagogică.
Tactul pedagogic sau lipsa de tact apar numai pe fundalul interacțiunii profesor –
elev. În opinia profesorilor, tactul pedagogic presupune: calm, echilibru, aprecierea
corectă și obiectivă a elevilor, conștiinciozitate, perseverență, spirit de răspundere în
activitatea pedagogică.
Profesorul nu este dor un transmițător de informații, care se rezumă la a da
indicații elevilor, ce și cum să învețe, ci și un antrenor care, prin întrebări analitice,
stimulând gândirea elevilor, creează premise pentr u ca aceștia, prin găsirea independentă a
răspunsurilor, să ajungă la o mai bună înțelegere a problemei; trezirea interesului elevilor,
stimularea motivației acestora. A organiza învățarea, înseamnă a găsi metodele cele mai
adecvate, a construi secvențe in structive bazate pe logica obiectivă a disciplinei, a trezi
interesele elevilor și a stimula performanțele.
Evaluarea efectuată de către profesor asupra rezultatelor elevilor constituie o
activitate deosebit de complexă care exercită un impact profund la nivelul beneficiarilor
atât din punct de vedere pedagogic, cât și din perspectiva psihologică și socio -morală.
79
Evaluarea rezultatelor școlare furnizează datele necesare în vederea adoptării celor
mai bune decizii educaționale, apreciază măsura în care re zultatele învățării sunt în
concordanță cu obiectivele educaționale propuse, vizează totalitatea proceselor și a
produselor care măsoară natura și nivelul performanțelor atinse de elevi.
Profesorul de matematică are in vedere faptul că obiectivele operați onale susțin și
determină structura și felul rezultatelor care, la rândul lor, converg spre diferite tipuri de
achiziții obținute, exprimate prin cunoștințe achiziționate, capacitate de aplicare a acestora
în actul de formare de priceperi și deprinderi, tr ăsături de personalitate, conduite si
capacități intelectuale, redate în raționamente, argumente și interpretări ale faptelor din
natură și societate.
Între evaluare și activitatea de predare învățare se poate identifica o relație
complexă, care explică și orientează procesul educațional, reclamând ca:
procesele evaluative să susțină și să stimuleze activitatea de predare –
învățare, indiferent de obiectivele evaluării;
reglarea activității de predare -învățare pe baza rezultatelor școlare să se
realizeze c ontinuu și permanent;
cunoașterea rezultatelor și explicarea acestora, predicția rezultatelor
probabile în secvențele următoare au rolul de a regla procesul didactic prin
acțiunile evaluative.
Rezultă de aici, că acțiunile evaluative sunt prezente în toat e activitățile didactice,
independent de complexitatea și dimensiunile ei. Acțiunile evaluative nu se suprapun
actului didactic, dar se află într -un raport de interacțiune funcțională (I.T.Radu, 2005).
Profesorul de matematică proiectează activitatea de evaluare concomitent cu
proiectarea demersului de predare – învățare și în deplină concordanță cu acestea. Finalul
fiecărei unități de învățare presupune evaluarea sumativă .
În proiectarea probelor de ev aluare apar următoarele întrebări:
•Care sunt obiectivele de referință, competențele și conținuturile pe care trebuie să le
rezolve elevii?
• Care sunt performanțele minime, medii și superioare pe care le pot realiza elevii?
• Pentru ce tip de evaluare optez? Cu ce instrumente voi realiza evaluarea?
• Cum voi folosi datele oferite de instrumentele de evaluare administrate pentru a elimina
blocajele ivite în formarea elevilor și pentru a asigura progresul școlar?
Stabilirea criterii lor de apreciere reprezintă o problemă specifică evaluării și se
pune problema trecerii de la prioritatea acordată criteriului subiectiv (profesorul este
80
suveran în acordarea notei, adică fiecare profesor apreciază în funcție de ceea ce se
consideră că tre buie să știe elevii) la criterii obiective , cât mai detașate de evaluator. În
acest context s -a introdus distincția între aprecierea raportată la normă și la criteriu. Astfel,
raportarea la nivelul general al clasei (evaluarea criterială) se corelează cu o biectivele
operaționale propuse, care evidențiază distincția dintre normă și criteriu. De regulă,
rezultatele școlare constatate pun în evidență valoarea efectelor activității de învățare. De
aceea după efectuarea măsurării rezultatelor se impune formulare a răspunsurilor la
următoarele întrebări :
• rezultatele obținute sunt satisfăcătoare ?
• rezultatele sunt în concordanță cu așteptările ?
• rezultatele marchează un progres în pregătirea elevului ?
• rezultat ele pot fi ameliorate ?
Răspunsurile la aceste întrebări se dau în urma interpretării rezultatelor care se
axează pe diferite criterii valorice, condiția este ca aprecierea rezultatelor să fie realizarea
unei evaluări obiective. Urmează luarea unor decizi i și măsuri de ameliorare a activității de
predare – învățare, cu respectarea calității evaluării.
Un bun profesor trebuie sa fie capabil de o mare varietate de stiluri didactice,
să-și regleze stilul prin adaptare, în funcție de situațiile ivite, asigurâ nd flexibilitate și
eficiență .
Profesorul de matematică este creativ în conceperea și conducerea lecțiilor numai
dacă are o consistentă pregătire pedagogică, metodică și de specialitate, precum și o
deschidere suficient de largă pentru a proiecta corect actul didactic.
Atingerea unui randament superior în activitatea didactică nu este posibilă
fără cunoașterea și aplicarea corectă a strategiilor didactice . Strategiile euristice și
algoritmice sunt consolidate de strategiile evaluativ -stimulative.
In con dițiile unui stil didactic elevat, riguros și performant, o condiție esențială este
raportarea evaluării la componentele actului didactic. În felul acesta, instrumentele de
evaluare, metodele și tehnicile adecvate trebuie să fie cât mai flexibile, să asigu re
validitatea și fidelitatea , pentru ca măsurarea rezultatelor învățării să fie reală, obiectivă și
exactă.
Profesorul de matematică trebuie să se distingă prin:
• competența profesională;
• integritate;
• obiectivitate;
81
• confidențialitate.
Profesorul de matematică trebuie să fie în permanență preocupat de succesul școlar,
care reprezintă o stare de concordanță a capacității de învățare a elevului și a exigențelor
școlare, de aceea este necesară punerea de acord a solicitărilor profesorului de geografie cu
capacitățile de învățare ale elevilor și de adaptare a acestora la activitatea școlară, trebuie
să se axeze pe alternanța dintre metodele tradiționale de evaluare și cele complementare.
Personalitatea profesorului evaluator se bazează pe două dimensiuni importante
care pot fi puse în legătură cu etica procesului evaluativ:
• dimensiunea profesionalismului său, care poate fi analizat sub aspectul
cunoștințelor și abilităților pe care el le are în domeniul specialității precum și, în
domeni ul teoriilor și practicilor evaluative;
• dimensiunea atitudinii pe care el o adoptă în decursul procesului evaluativ
(aspect care se află într -o relație directă cu caracterul și cu setul de valori morale la care
el aderă, cu atașamentul său la valorile a cceptate din punct de vedere social).
Evaluarea rezultatelor școlare ale elevilor trebuie să fie cât mai obiectivă, evaluările
perfect obiective reprezintă o aspirație perpetuă a evaluatorilor.
3.TIPOLOGIA ITEMILOR – definiție și caracterizare generală
Instrumentul de evaluare se compune din itemi care solicită tehnici de declanșare/
prezentare/ redactare a răspunsurilor. Cele trei concepte sunt intim asociate. Deși vizează
realități diferite ale procesului evaluativ, se află într -o strânsă interdependen ță. Între itemii
de evaluare, tehnicile de evaluare și instrumentele de evaluare este o legătură indisolubilă.
Itemul poate fi definit ca o unitate de măsurare care include un stimul și o formă
prescriptivă de răspuns, fiind formulat cu intenția de a susc ita un răspuns de la cel
examinat, pe baza căruia se pot face interferențe cu privire la nivelul achizițiilor acestuia
într-o direcție sau alta. El poate fi prezentat singular sau în strânsă relație cu alți itemi de
același tip (sau tipologii diferite), po ate presupune alegerea sau elaborarea răspunsului într –
un timp strict determinat sau fără limită de timp.
Itemii trebuie să respecte aceleași exigențe de proiectare, administrare și scorare
indiferent de natura testului în care sunt incluși (teste elaborat e de profesor, teste
standardizate, teste formative, sumative etc).
Literatura de specialitate oferă mai multe clasificări ale itemilor. Criteriul
asigurării obiectivității în notarea sau aprecierea elevilor este, fără îndoială, cel mai
important. După ac est criteriu identificăm:
82
itemi obiectivi
itemi semiobiectivi
itemi subiectivi
Voi prezenta în continuare cele trei categorii de itemi cu avantaje și dezavantaje.
ITEMII OBIECTIVI presupun întotdeauna alegerea răspunsului corect dintr -o
listă anterior elaborată și pusă la dispoziția celui examinat. Acești itemi se mai numesc
itemi cu răspuns dat sau itemi închiși deoarece elevul nu este nevoit sa elaboreze
răspunsul ci să îl aleagă din mai multe variante posibile. Astfel, răspunsul este identic
pentru t oți candidații iar evaluatorii corectează în același mod. Clasificarea acestui tip de
item se face în funcție de natura stimulului sau în funcție de natura răspunsurilor solicitate:
a. Itemi cu răspuns dual – solicită alegerea uneia din cele două posibilit ăți de
răspuns: adevărat/fals, corect/greșit, potrivit/nepotrivit.
Acest tip de item este alcătuit dintr -o instrucțiune pentru cel examinat, unul sau mai
multe enunțuri conținând sarcina de rezolvat, însoțite de variantele de răspuns DA/NU, A/F
etc. Uneori există și alternativa ca examinatul să plaseze, nu să bifeze aprecierile de acest
tip, în relație cu itemii corespunzători.
AVANTAJE:
obiectivitate ridicată în evaluarea rezultatelor;
evaluarea unui număr mare de conținuturi într -un timp relativ scurt, da t fiind
faptul că răspunsurile sunt deja formulate iar examinatul indică doar valoarea
de adevăr a acestora;
precizia și simplitatea sarcinilor de rezolvat crește fidelitatea și obiectivitatea
acestui tip de itemi;
punctajul se acordă sau nu, în funcție de marcarea răspunsului corect;
favorizează evaluarea unor comportamente asociate unor nivele taxonomice
diferite (cunoaștere, înțelegere, aplicare);
favorizează un feed -back rapid;
proiectarea este relativ simplă;
rezultatele sunt ușor de cuantificat.
DEZAV ANTAJE:
validitate relativ mică datorată simplității itemilor de acest tip;
încurajează o învățare bazată pe recunoaștere (unele răspunsuri corecte pot fi
ghicite prin eliminare sau chiar ghicite);
83
defavorizează elevul care a rezolvat corect o parte din pr oblemă și întâmpină
dificultăți în rezolvarea acesteia pe parcurs;
nu permite verificarea raționamentului, a modului de exprimare și chiar de
redactare a soluției;
nu pot fi folosiți în evaluarea unor rezultate de învățare complexe.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
evitarea adevărurilor banale în redactarea testului;
evitarea formulărilor lungi, greoaie, chiar inexacte ce induc elevul în eroare;
evitarea includerii în același enunț a două idei care nu se află în relație directă
și pot dezorienta elevul;
evitarea enunțurilor negative, mai ales cele care includ o dublă negație;
trebuie să existe un echilibru între numărul enunțurilor adevărate și cele false
pentru a nu determina elevul să greșească prin generalizarea unei reguli pe care
poate considera că a deprins -o din rezolvarea itemilor anteriori.
b. Itemi cu alegere multiplă – solicită alegerea unui răspuns dintr -o listă de
alternative. Pot servi atât la măsurarea unor comportamente specifice nivelurilor
taxonomice superioare, cât și a comportamentelor asociat e cu analiza și evaluarea. Acest
tip de itemi sunt utilizați în cazul probelor de evaluare, permițând măsurarea rezultatelor
învățării: cunoașterea terminologiei, a definițiilor, a principiilor, metodelor sau
procedeelor.
Un item cu alegere multiplă este format din două elemente:
tulpina (problema) – formulată printr -o întrebare directă sau un enunț
incomplet;
o serie de răspunsuri propuse, din care una este corectă (sau cea mai bună) iar
celelalte au rolul de distractori (variante incorecte), constituind obstacole ce
trebuie depășite de examinați în alegerea răspunsului corect. Distractorii
trebuie să fie stimulativi, nu derutanți.
Dacă discutăm despre natura răspunsului solicitat, acest tip de itemi pot fi proiectați
în două variante:
itemii cu răspuns corect – presupun alegerea răspunsului corect care
completează un enunț, dintr -o listă de alternative pusă la dispoziția elevului.
(Se aseamănă cu itemii semiobiectivi tip răspuns scurt, de completare, însă în
acest caz el evul alege răspunsul, nu îl elaborează).
84
itemii cu răspunsul cel mai bun sunt preferați pentru analiză și evaluare, mai
multe dintre răspunsurile pe care elevul trebuie să le analizeze sunt acceptabile,
dar în măsură diferită, elevul trebuind să indice cea mai potrivită variantă.
AVANTAJE:
pot acoperi conținuturi diverse la un nivel de profunzime satisfăcător;
proiectarea, administrarea și scorarea este relativ simplă;
asigură o obiectivitate ridicată în evaluarea rezultatelor;
au eficiență crescută, având în vedere volumul mare de conținuturi ce poate fi
evaluat într -o singură sesiune de evaluare;
punctajul se acordă sau nu, în funcție de marcarea răspunsului corect.
DEZAVANTAJE:
nu permit evaluarea capacităților creative ale elevilor, a capacității de sint eză;
itemii care solicită precizarea celui mai bun răspuns sunt dificil de proiectat –
distractorii trebuie să fie suficienți de contrastanți în raport cu răspunsul corect
iar alternativele să fie în același timp, omogene;
scorarea itemilor de mai sus poat e genera dezacorduri între evaluatori în cazul
în care există mai mult de o variantă de răspuns corectă;
uneori răspunsurile corecte pot fi ghicite sau găsite prin eliminare.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
răspunsurile să fie formulate corect gramatical și să aib ă , pe cât posibil,
aceeași lungime;
„tulpina” itemului trebuie să fie formulată clar, logic și complet, evitându -se
impreciziile și ambiguitățile, să evite formulările negative ce pot pune în
încurcătură elevul;
distractorii să aibă legătură cu problema i lustrată în enunț, trebuie să constituie
răspunsuri plauzibileastfel încât să stimuleze elevul în analiza fiecărui posibil
răspuns;
evitarea folosirii expresiilor de tipul „toate cele de mai sus” sau „niciuna”;
dacă un test include mai mulți itemi cu alege re multiplă, poziția răspunsului
corect trebuie să varieze pentru a descuraja specularea locului alternativei ce
trebuie bifată.
85
c. Itemi de împerechere sau de asociere – presupun stabilirea unei corespondențe
între două liste de afirmații sau concepte, d ate, informații plasate de obicei în două coloane
diferite (în prima – stimulii sau premisele iar în cea de -a doua – răspunsurile).
AVANTAJE:
obiectivitate ridicată în evaluarea rezultatelor;
ușor de proiectat și de administrat;
punctajul se acordă sau nu, în funcție de marcarea răspunsului corect;
pot viza nivele taxonomice inferioare dar și superioare;
itemii de tip pereche sunt cei mai complecși dintre itemii obiectivi, fiind practic
construiți dintr -o serie de itemi cu alegere multiplă. Posibilitatea ca elevul să
ghicească răspunsul corect este redusă prin elaborarea listei de răspunsuri în
așa fel încât să conțină și distractori.
DEZAVANTAJE:
nu permit evaluarea capacităților creative ale elevului, a capacității de
organizare a informației;
proiectar ea poate fi dificilă în cazul în care se vizează respectarea omogenității
premiselor și alternativelor de răspuns;
în majoritatea situațiilor acești itemi sunt utilizați pentru a aprecia acuratețea
asimilării informațiilor de tip factual, deși se pretează și în evaluarea
comportamentelor asociate înțelegerii, aplicării și chiar analizei.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
premisele și alternativele de răspuns trebuie să acopere un spectru omogen
astfel încât elevul să nu poată asocia elementele din cele două liste pri n
excluderea răspunsurilor atipice, fără legătură logică cu celelalte;
răspunsurile trebuie prezentate într -o anumită ordine: fie cronologic, fie
alfabetic astfel încât să se evite dezorientarea elevului;
numărul premiselor trebuie să fie mai mic decât num ărul răspunsurilor propuse
pentru a se evita relaționarea elementelor prin excludere;
toate premisele și răspunsurile să fie plasate pe o singură pagină pentru a nu
genera confuzii sau omisiuni.
ITEMII SEMIOBIECTIVI solicită elevului operarea cu noțiuni ma tematice într –
un ritm mai alert decât fusese obișnuit, claritate în exprimare, demonstrarea înțelegerii
noțiunilor învățate.
86
a. Itemi cu răspunsuri scurte și itemi de completare sunt două categorii de itemi
similari; proiectarea, administrarea și notarea răspunsurilor se supun acelorași exigențe. În
cazul primei categorii, răspunsul se solicită printr -o întrebare directă sau printr -un enunț
direct, în timp ce itemii de completare constau în completarea unui cuvânt sau a unei
sintagme într -un text lacunar.
Aceste tipuri de itemi permit evaluarea de rezultate diverse ale activității de
învățare dar la nivele taxonomice inferioare: cunoașterea terminologiilor, a regulilor,
metode ș i procedee de acțiune, interpretarea unor date simple, capacitatea de a utiliza
simboluri matematice, capacitatea de rezolva probleme simple de matematică.
AVANTAJE:
acoperă o arie largă de conținut;
se construiesc relativ ușor;
permit o notare obiectivă;
permit evaluarea unui număr mare de concepte, deprinderi, priceperi.
DEZAVANTAJE:
nu permit testarea unor nivele cognitive superioare: analiză, sinteză, rezolvare
de probleme;
fiecare zonă de conținut necesită un număr mare de itemi;
răspunsul foarte scurt limitează dezvoltarea unor abilități complexe.
EXIGENȚE DE PROIECTARE
este recomandat să nu se utilizeze un text din manual pentru a nu se încuraja
memorarea mecanică;
este indicat ca unitățile de măsură să fie precizate atât în formularea întrebării
cât și în spațiul lacunar (asta va sugera evaluatorului că un răspuns greșit din
partea elevului nu este cauzat de o eroare de citire sau înțelegere a întrebării);
este indicat ca spațiul liber furnizat să sugereze dacă răspunsul va conține un
cuvânt sau mai m ulte, propoziții sau fraze (în ultimele situații spațiile libere vor
avea aceeași lungime pentru a nu oferi elevului indicii privind răspunsul).
b. Itemii structurați constituie de fapt un set de întrebări care au în comun un
element sau se referă la acela și concept, fenomen. Un astfel de item este alcătuit dintr -un
material -stimul (reprezentat printr -un desen, text, tabel etc) și o suită de subîntrebări
conectate prin conținut cu materialul -stimul. Practic, subîntrebările ghidează răspunsurile
elevului și îi oferă un cadru în care își realizează demersul.
87
AVANTAJE:
permit aprofundarea unei teme din diferite perspective;
stimulează creativitatea elevului;
evaluează comportamente corespunzătoare unor nivele taxonomice
înalte:aplicare și uneori chiar analiză;
permit abordarea întrebărilor structurate de către un număr mare de elevi,
măcar în prima parte, deoarece itemii sunt organizați în funcție de gradul lor de
dificultate;
asigură atractivitatea evaluării prin utilizarea unor materiale -stimul de tipul
graficelor, diagramelor etc;
permit transformarea unor itemi de tip eseu într -o serie de itemi obiectivi și
semiobiectivi iar asta determină o creștere a fidelității evaluării.
DEZAVANTAJE:
elaborarea schemelor de corectare și notare este mai dificilă;
în unele situații răspunsurile la întrebări sunt conectate între ele și asta trebuie
să se evidențieze clar în schema de notare.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
se recomandă ca subîntrebările să fie independente astfel încât să nu
condiționeze răspunsurile la un item de r ăspunsurile itemilor anteriori;
itemii trebuie să fie strict conectați la materialul -stimul pentru a nu orienta
eronat elevul către speculații inutile;
subîntrebările trebui proiectate gradat din punct de vedere al nivelului de
dificultate, din cel puțin d ouă motive: pentru a asigura evaluarea unor
capacități cu nivele crescânde de complexitate dar și pentru a încuraja
abordarea subiectului de către elev;
fiecare subîntrebare testează unul sau mai multe obiective.
ITEMII SUBIECTIVI solicită răspunsuri desch ise care în funcție de volumul
răspunsului așteptat pot avea caracter restrictiv sau extins. Acest tip de itemi permite
evaluarea unor obiective complexe ale învățării care evidențiază originalitatea, creativitatea
și carcaterul personal al răspunsului. Ei reprezintă forma tradițională de evaluare în țara
noastră, sunt ușor de construit, solicită răspunsuri deschise și evaluează procese cognitive
de nivel înalt.
Se pot delimita două categorii de itemi subiectivi: itemi de tip rezolvare de
probleme și item i de tip eseu (structurat sau nestructurat).
88
Natura acestor itemi imprimă o notă subiectivă asupra calculării punctajului chiar
dacă se elaborează un barem de corectare foarte riguros.
a.Itemi de tip rezolvare de probleme presupun prezentarea unor situați i-
problemă, nefamiliare care nu dispun de o soluție predeterminată, precum și antrenarea
acestuia pentru identificarea unor soluții prin parcurgerea unor etape: identificarea
problemei, culegerea și selectarea datelor relevante, formularea și validarea uno r ipoteze,
identificarea metodei de rezolvare, propunerea unei soluții, evaluarea soluției și formularea
concluziei asupra rezolvării realizate.
Situațiile -problemă pot fi:
închise , când elevului îi sunt puse la dispoziție toate datele necesare rezolvării,
scopul este precizat clar iar succesiunea cerințelor sugerează și etapele de
rezolvare;
deschise , când elevul dispune doar de datele cele mai importante, procesul de
rezolvare este doar sugerat iar demersul propriu -zis trebuie ales de către cel
examinat.
Elaborarea și rezolvarea problemelor necesită mai mult timp și uneori implică și
existența unor resurse materiale. Capacitatea de a rezolva probleme se dezvoltă prin
exercițiu de -a lungul unei perioade lungi de timp. De aceea, când se folosește rezolvarea de
probleme ca metodă de evaluare, trebuie să se înceapă cu cerințe simple.
AVANTAJE:
permite formularea unei gândiri productive;
stimulează gândirea creativă a elevilor și încurajează transferul de proceduri și
metode de rezolvare a problemelor în interiorul aceluiași domeniu sau domenii
diferite;
încurajează elevul să analizeze comparativ mai multe metode, căi de rezolvare
a unei probleme, să ia decizii cu privire la alegerea celei mai potrivite;
permite utilizarea unor materiale diverse, unele dintre ele favorizând contactul
cu elemente ale vieții cotidiene;
favorizează activitățile de lucru în echipă (dacă sunt proiectați în acest sens) și
dezvoltarea abilităților autoevaluative;
oferă posibilitatea analizei erorilor.
DEZAVANTAJE:
timpul de ad ministrare și de corectare este mai îndelungat decât în cazul
itemilor obiectivi și subiectivi;
89
elaborarea schemei de corectare și notare este dificilă, lăsând uneori loc
interpretărilor subiective ale evaluatorului;
notarea fiecărui elev trebuie făcută nu anțat, în funcție de ajutorul acordat de
profesor sau colegi, notându -se de asemenea și contribuția fiecărui elev în
cadrul grupului.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
activitatea se poate desfășura individual sau în grup, în funcție de natura și
conținutul problemei;
situația -problemă trebuie să fie adecvată nivelului de vârsta și de pregătire al
elevilor;
sarcinile de evaluat trebuiesc conectate la obiectivul de evaluare vizat și
conținuturile disciplinei;
schema de notare și corectare trebuie elaborată cu deosebită atenție, pentru a
minimiza efectele subiectivității evaluatorului.
b.Itemi de tip eseu presupun elaborarea de către elev a unor răspunsuri complexe,
având suficientă libertate în explicare, argumentare etc. Așa cum ne putem da seama și din
denumi rea lui, acest tip de item nu se pretează disciplinelor exacte, fiind un instrument de
evaluare cu precădere în domeniile „umaniste”, așa că nu vom insista asupra lui.
90
CAPITOLUL al IV -lea
PROIECTARE DIDACTICĂ
1. PROIECTAREA DIDACTICĂ
Proiectarea oricărei activități umane este o caracteristică a acțiunii eficiente, a
responsabilității și a competenței celui care realizează acțiunea. Activitatea didactică, care
are drept scop formarea ființei umane nu poate să facă abstracție de proiecta rea acestor
activități.
Proiectarea didactică reprezintă procesul deliberativ, de fixare mentală a pașilor ce
vor fi parcurși în realizarea instruirii și educației.
Pedagogii americani R.M. Gagne și L.J. Briggs folosesc pentru proiectarea
didactică sinta gma „design instrucțional”, în sensul de act de anticipare și de prefigurare a
unui demers educațional, astfel încât să fie admisibil și traductibil în practică.
1.1. Tipuri de proiectare didactică
L.Vlăsceanu distinge două tipuri de proiectări având drep t criteriu perioada de timp:
proiectarea globală și proiectarea eșalonată.
Proiectarea globală are ca referință o perioadă mai mare de instruire – ciclu sau an
de studii – și operează cu obiective, conținuturi și criterii de evaluare mai largi, ce au în
vedere activitățile din instituțiile școlare. Concretizarea acestui tip de proiectare se
realizează îndeosebi prin dimensionarea planurilor de învățământ și a programelor.
Proiectarea eșalonată se materializează prin elaborarea programelor de instruire
specifice unei discipline și apoi unei lecții, aplicabile la o anumită clasă de elevi.
Așadar putem observa faptul că, proiectarea globală creează cadrul, limitele și
posibilitățile proiectării eșalonate. Cadrul didactic realizează o proiectare eșalonată,
raportându -se la trei planuri temporale: anul școlar, semestrul școlar, ora școlară. El
realizează o proiectare anuală și semestrială a disciplinei pe care o predă, apoi o proiectare
a unităților de învățare. Documentul orientativ pentru elaborarea acestor pla nificări este
programa școlară a disciplinei respective.
Modelul curricular al proiectării pedagogice presupune următoarele caracteristici:
este centrat pe obiective și propune acțiuni didactice specifice procesului
complex de predare -învățare -evaluare;
91
punctul de plecare îl constituie obiectivele stabilite pentru elev în spiritul
unui învățământ formativ, bazat pe valorificarea potențialului de
autoinstruire – autoeducație a fiecărui elev/student;
între toate elementele activității didactice (obiective -conținut -metodologie –
evaluare) se stabilesc raporturi de interdependență, determinate de rolul
central al obiectivelor pedagogice;
asigură echilibru dintre pregătirea de specialitate a formatorilor (concepută
interdisciplinar, cu o disciplină „p rincipală” și cel puțin una „secundară”) și
pregătirea psihipedagogică. (Cucoș,pp.313 -314).
1.2. Etapele proiectării didactice
I. Jinga și I. Negreț propun un algoritm al proiectării didactice sub forma
răspunsurilor la patru întrebări:
I. Ce voi face? Precizarea în mod clar a obiectivelor
educaționale
II. Cu ce voi face? Stabilirea resurselor educaționale
III. Cum voi face Stabilirea strategiei educaționale potrivite
pentru realizarea obiectivelor
IV. Cum voi ști dacă am realizat ceea ce
trebuia? Stabilirea unui sistem de evaluare a eficienței
activității pe care o vom realiza.
Etapa precizării obiectivelor – este cea mai importantă etapă deoarece identificarea
și stabilirea clară a obiectivelor este garanția succesului în educație, toate celelalte
componente ale procesului de învățământ: conținutul, strategiile de predare -învățare și
evaluare raportându -se la obiectivele stabilite. Realizarea acestei etape este nu numai
dificilă, dar și de mare responsabilitate pentru educator deoarece el va trebui să delimiteze,
să formuleze conduite și achiziții educative pe care să le redea în termeni de
comportamente concr ete, identificabile și comensurabile.
Etapa a doua – analiza resurselor – cuprinde operațiile de identificare a
conținutului învățământului, a resurselor psihologice și a celor materiale care determină
buna desfășurare a procesului de învățământ.
Etapa a treia – elaborarea strategiei didactice – este etapa în care creativitatea și
experiența didactică a educatorului pot fi valorificate la maximum. Această etapă mai este
cunoscută și ca „ etapa celor 3 M ” – adică: Metode – Mijloace – Materiale . Combinația
celor trei variabile (3M) în proiectarea didactică trebuie astfel realizată încât fiecare
variabilă să potențeze valoarea celeilalte, ajungându -se în final la creșterea eficienței
procesului didactic.
92
Etapa a patra – evaluarea – vizează stabilirea tehni cilor de evaluare a rezultatelor
învățării în concordanță cu obiectivele operaționale formulate în etapa întâia. Prin evaluare
se va stabili raportul obiective/rezultate cât și eficiența activității didactice în raport cu
resursele.
Conform noului curriculum, planificarea/proiectarea calendaristică/semestrială
este un document administrativ, care asociază într -un mod personalizat elemente ale
programei cu alocarea de timp considerată optimă de către cadrul didactic, pe parcursul
unui an școlar.
Proiectarea pedagogică a unei unități de învățare detaliază proiectarea semestrială
și presupune următoarele activități:
precizarea obiectivelor specifice unității de învățare respective, pornind de la
obiectivele de referință formulate în pr oiectarea semestrială;
analiza conținutului capitolului/ unității de învățare;
delimitarea activităților/ lecțiilor care asigură realizarea obiectivelor specifice
corelate cu conținuturile unității de învățare;
formularea obiectivelor operaționale (concre te) corespunzător fiecărui obiectiv
specific;
precizarea resurselor necesare realizării obiectivelor operaționale;
metodologia de evaluare a realizării obiectivelor operaționale.
De menționat că, în concepția actuală, prin unitate de învățare se înțelege „O
structură didactică deschisă și flexibilă, care are următoarele caracteristici :
determină formarea la elevi a unui comportament specific, generat prin
integrarea unor obiective de referință sau competențe specifice;
este unitară din punct de vedere tematic;
se desfășoară în mod sistematic și continuu pe o perioadă de timp;
se finalizează prin evaluare .”
93
2.PROIECTAREA UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE
Unitatea de învățare : SSIISSTTEEMMEE DDEE EECCUUAAȚȚIIII LLIINNIIAARREE
Disciplina : Matematică
Clasa : a XI -a
An școlar :
Profesor :
Competențe specifice :
C1: Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces
C2: Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice
C3: Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme
C4: Rezol varea unor sisteme utilizând algoritmi specifici
C5: Identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora
C6: Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații -problemă prin alegerea unor strategii
și metode adecvate
Sugestii metodologice :
M1: Folo sirea unor idei și reguli matematice în abordarea unor probleme practice sau
pentru structurarea unor situații diverse
M2: Utilizarea unor formule standard în rezolvarea de probleme
M3: Analiza secvențelor logice în etapele de rezolvare
M4: Citirea corectă și conștientă a enunțului unei probleme
M5: Reformularea unei probleme echivalente sau înrudite
M6: Inițierea sau realizarea creativă a unor investigații
M7: Folosirea unor reprezentări variate pentru anticiparea unor rezultate
M8: Precizarea modului de alcătuire a unei succesiuni de date și verificarea pe cazuri
particulare a regulilor descoperite
M9: Imaginarea și folosirea unor reprezentări variate pentru depășirea unor dificultăți
94
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE „SISTEME DE ECUAȚII LINIARE”
Nr.crt Etape ale
proiectării Detalieri ale etapelor Compet.
specifice Conținuturi Activități de învățare Resurse Evaluare
1. Actualizarea
Identificarea setului
de cunoștințe Se identifică achizițiile
anterioare necesare în
înțelegerea și
prelucrarea noului
conținut. C2
C6 Matrice inversabile
din Mn(C), n≤4.
Ecuații matriceale
Rangul unei
matrice Exerciții recapitulative de determinare a
inversei unei matrice pătratice (dacă există),
de rezolvare a unor ecuații matriceale și de
determinare a rangului unei matrice date, cu
sau fără parametri. Activitate frontală și
pe grupe, utilizând fișe
de lucru,
problematizare,
manualul, metoda
exerciț iului. Evaluare orală
inițială
Observarea
sistemică a
elevilor
2. Învățare
pregătitoare, prin
situații -problemă
Enunțarea unor
situații -problemă
desprinse din
cotidian.
Problematizarea,
învățarea prin
descoperire pe baza
unor exemple
relevante. Se oferă pretextul –
problemă relevant.
Se valorifică achizițiile
anterioare adaptând
experiența la situații –
problemă prezentate,
în vederea pregătirii
noului conținut. C1
C6 Sisteme de ecuații
liniare. Noțiuni
generale Alternarea prezentării conținuturil or, cu
moduri variate de antrenare a gândirii.
Exprimarea prin simboluri specifice a
relațiilor matematice dintr -o problemă.
Analiza secvențelor logice în etapele de
rezolvare a unei probleme.
Exprimarea rezultatelor rezolvării unei
probleme în limba ma tematic. Activitate frontală și
pe grupe.
Expunerea
sistematică,
conversația euristică.
Metoda descoperirii
Problematizarea Evaluare orală
Evaluare
frontală
95
Nr.crt Etape ale
proiectării Detalieri ale etapelor Compet.
specifice Conținuturi Activități de învățare Resurse Evaluare
3. Suportul noțional
Esențializarea și
sistematizarea
noțiunilor ce decurg
din prelucrarea
exemplelor și
situațiilor -problemă
anterioare. Se sistematizează
rezultatele teoretice ce
decurg din situațiile
problemă prezentate.
Se exersează
conținutul noțional pe
exemple
semnificative. C3
C4
C5
C6 Sisteme de ecuații
liniare de tip
Cramer
Studiul
compatibilității
sistemelor de
ecuații liniare și
rezolvare a acestora Punerea elevului în situația ca el să formuleze
sarcini de lucru adecvate
Obținerea de soluții sau interpretări variate
pentru aceeași unitate informațională
Formularea de sarc ini rezolvabile prin
activitatea de grup
Sugerarea unui algoritm al învățării, prin
ordonarea sarcinilor
Analiza capacității metodelor de a se adapta
la situații concrete
Utilizarea rezultatelor și a metodelor pentru
crearea de strategii de lucru
Expune rea
Activitate frontală,
individuală
Muncă independentă,
fișe de lucru
Temă pentru acasă
din manual și din fișa
de lucru Evaluare orală
și prin teme de
muncă
independentă
în clasă, tema
pentru acasă
Evaluare
continuă prin
observarea
sistematică a
elevilor
4. Modelarea
Determinarea unor
aplicații relevante. Se dezvoltă unele
rezultate teoretice,
identificând strategii de
rezolvare a unor
probleme. C2, C3
C4, C5
C6 Rezolvarea
sistemelor de
ecuații liniare cu
parametrii.
Discuții
Obținerea de soluții sau interpretări variate
pentru aceeași unitate informațională
Formularea de sarcini rezolvabile prin
activitatea de grup
Sugerarea unui algoritm al învățării, prin
ordonarea sarcinilor
Expunerea
Conversația euristică
Exercițiul
Problematizarea Evaluare orală
individuală
96
Nr.crt Etape ale
proiectării Detalieri ale etapelor Compet.
specifice Conținuturi Activități de învățare Resurse Evaluare
5. Exersarea
direcțională
Sistematizarea ce
conduce la strategii
de rezolvare. Se exersează rezultate
teoretice, identificând
strategii de rezolvare. C3, C4
C5, C6 Rezolvare de
probleme Analiza secvențelor logice în etapele de
rezolvare a unor probleme Manual
Culegere
Fișe de lucru
Lucrul în echipe Evaluare scrisă
6. Aprofundare,
generalizare
Transferarea
cunoștințelor
dobândite cu
contexte variate. Se optimizează soluții. C2, C3
C4, C5
C6 Probleme cu
caracter aplicativ Utilizarea rezultatelor și a metodelor pentru
crearea de strategii de lucru.
Transferul și extrapolarea soluțiilor unor
probleme pentru rezolvarea acestora Manual
Culegere
Fișe de lucru
Lucrul în echipe
Tema pentru acasă Evaluare orală,
frontală și
individuală
97
DETALIERI DE CONȚINUT ALE ETAPELOR:
1.Actualizarea
Competențe specifice vizate: C2, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă exercițiile din fișa de lucru nr. 1
2.Învățare pregătitoare prin situații -problemă
Competențe specifice vizate: C1, C6
Sugestii metodologice: M1, M3, M4, M5, M6, M7
Sugestii de detaliere a conținuturilor:
Să considerăm următoarea problemă -suport:
“Într-un bazin apa curge prin trei robinete identice. Dacă primul robinet se
deschide timp de 6 ore, al doilea 4 ore și al treilea 3 ore, în bazin se adună 390 dal apă.
Dacă primul robinet se deschide 5 ore, al doilea 2 ore și al treilea 3 ore, atunci în bazin
vor fi 305 dal apă. Dacă primul robinet este deschis 3 ore, al doilea 7 ore și al treilea 3
ore, atunci în bazin vor fi 405 dal apă.
Câți dal de apă curg într -o oră prin fiecare robinet? ”
Vom organiza datele problemei în următorul tabel de tip matriceal:
Robinetul I
(nr. ore) Robinetul II
(nr. ore) Robinetul III
(nr. ore) Cantitatea de apă
(dal)
6 4 3 390
5 2 3 305
3 7 3 405
Vom nota cu 𝑥,𝑦,𝑧 debitul robinetelor I, II și III. Datele referitoare la numărul de ore de
funcționare a celor trei robinete le consemnăm într -o matrice de ordinul 3, notată cu A, cele
referitoare la cantitatea totală de apă le consemnăm într -o matrice coloană B iar datele care
identifică necunoscutele p roblemei le scriem într -o matrice coloană X. Astfel se obțin
matricele:
𝐴= 643
523
373 ,𝐵= 390
305
405 ,𝑋= 𝑥
𝑦
𝑧
98
Corelarea celor trei categorii de date consemnate în matricele 𝐴,𝐵,𝑋 de mai sus cu
elemente din mulțimea ℝ o vom face exprimând cantitatea totală de apă ca fiind suma
cantităților de apă furnizate de fiecare robinet în parte în timpul funcționării. În felul acesta
se obține următorul model matematic al problemei:
6𝑥+4𝑦+3𝑧=390
5𝑥+2𝑦+3𝑧=305
3𝑥+7𝑦+3𝑧=405
Acest model este un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute 𝑥,𝑦,𝑧 cu exponentul
1, numit sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute .
Determinarea valorilor celor trei necunoscute se face pe baza unor considerente
legate de matrice și determ inanți (vezi CAP.I).
3.Suportul noțional
Competențe specifice vizate: C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3, M8, M9
Sugestii de detaliere a conținuturilor (vezi CAP.I).
4.Modelarea
Competențe specifice vizate: C2, C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3, M6, M8
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă exercițiile din fișa de lucru nr. 4
5.Exersarea direcționată
Competențe specifice vizate: C2, C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3, M6, M8
Sugestii de detalie re a conținuturilor: se rezolvă sistemele de ecuații din fișa de lucru nr.5
6.Aprofundare, generalizare
Competențe specifice vizate: C2, C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M3, M6, M7, M9
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă exerciții le 12 și 13 din fișa de lucru nr.5
99
2.1. FIȘE DE LUCRU
FIȘA NR.1
1. În coloana A sunt prezentate matrice pătratice, iar în coloana B sunt date inversele
corespunzătoare matricelor din coloana A. Precizați, cu ajutorul unor săgeți, cărei
matrice din coloana A îi corespunde inversa în matricea B:
A B
a) 2 1−3
1 5 4
−12−3 a) 1 0 1
−22−2
−32−1
b) 123
014
001 b)
23
683
68−19
68
1
689
6811
68
−7
685
68−9
68
c) 1 1−1
2 1 0
1−1 1 c) 1−2 5
0 1−4
0 0 1
2. Completați cu răspunsul corect propoziția: „Fie matricea 𝐴= 0 1𝑚
−1𝑚 2
3 1−4 . Valorile
lui m pentru care matricea A este singulară sunt ………….”.
3. Completați cu răspunsul corect propoziția: „Pentru o matrice cu m linii și n coloane,
numărul minorilor de ordinul al doilea este ………….”.
4. Fie ecuația matriceală: 21
32 ∙𝑋∙ −3 2
5−3 = −2 4
3−1 . Precizați care este
matricea 𝑋∈𝑀2 ℝ care verifică relația de mai sus, încercuind litera corespunzătoare
răspunsului corect (este corectă o singură variantă de răspuns):
a) 10
01 ; b) 21
32 ; c) −3 2
5−3 ; d) 01
10 ; e) 24 13
−34−18 .
5. Fie ecuația matriceală: 1 2−3
3 2−4
2−1 0 ∙𝑋= 1−30
10 2 7
10 7 8 . Suma elementelor de pe
diagonala principală a matricei X care verifică relația de mai jos este:
a) 5; b) 10; c) 15; d) 20; e)−5
100
6. Fie matricea 𝐴= 𝑎1 2 3
1𝑏−1−3
𝑎1 1 2 . Precizați valorile parametrilor reali a și b pentru
care matricea A are rangul 2, încercuind litera corespunzătoare răspunsului corect (este
corectă o singură variantă de răspuns):
a) 𝑎=𝑏=1;b) 𝑎=−1,𝑏=2;c) 𝑎=−1
2;𝑏=−2;d) 𝑎=−2,𝑏=1; e)𝑎=1,𝑏=2.
7. Fie numerele reale nenule a, b, c, u, v, w și matricele 𝐴= 𝑎
𝑏
𝑐 și 𝐵= 𝑢𝑣𝑤 .
Scriind în dreptul lor A (adevărat) sau F (fals), stabiliți valoarea de adevăr a
următoarelor propoziții:
a) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵 =1 și 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐵𝐴 ≤1;
b) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵 =1 și 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐵𝐴 =1;
c) produsul 𝐵∙𝐴 nu există;
d) 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵 =2 și 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐵𝐴 ≤1;
e) produsul 𝐴∙𝐵 nu există.
8. Fie matricea 𝐴= 2𝑥 3
𝑥−1𝑥
1 2𝑚 . Scriind în dreptul lor A (adevărat) sau F (fals),
stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:
„Toate valorile lui 𝑚∈ℝ pentru care 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 =3, ∀ 𝑥∈ℝ sunt:
a) 𝑚=3; b) 𝑚∈ −∞,1
2 ∪ 2,+∞ ; c) 𝑚∈ 1
2,2 ; d) 𝑚∈ 1,3
2 ; e)𝑚∈∅. ”
101
FIȘA NR.2
1. Scrieți sub formă matriceală sistemele:
a) 𝑥1−2𝑥2+𝑥3=0
2𝑥1+𝑥2−3𝑥3=1
b) 2𝑥+𝑦−𝑧=1
−𝑥+2𝑦=−2
4𝑥+𝑦+2𝑧=0
2. Scrieți sistemul de ecuații liniare asociat matricei extinse 1−12−22
3 0 5 1 3 .
3. Utilizând metoda matriceală (sau metoda matricei inverse), rezolvați sistemele:
a) 3𝑥−2𝑦=−2
5𝑥+4𝑦=2
b) 𝑥−2𝑦+𝑧=1
𝑥−𝑦+𝑧=−1
2𝑥+4𝑦−𝑧=4
4. Să se rezolve ecuația dreptei 𝑑 :𝑦=𝑎𝑥+𝑏, dacă trece prin punctele:
a) 𝐴 −3,0 ; 𝐵 0,2
b) 𝐴 −1,2 ; 𝐵 3,5
102
FIȘA NR.3
1. Să se rezolve prin regula lui Cramer următoarele sisteme liniare:
a) 3𝑥−𝑦=−2
2𝑥+3𝑦=5 ; b) 3𝑥−𝑦+𝑧=0
−2𝑥+𝑦+3𝑧=−7
𝑥+2𝑦−2𝑧=7 ; c) 𝑥−2𝑦+3𝑧=0
3𝑥+𝑦−2𝑧=0
−𝑥+3𝑦+4𝑧=0
2. Să se rezolve sistemele:
a) 𝑥−𝑦+𝑧=2
3𝑥+𝑦−𝑧=1 ; b) 2𝑥−𝑦+𝑧=3
4𝑥−2𝑦+2𝑧=6 ; c) 𝑥−2𝑦=3
3𝑥+𝑦=2
𝑥+2𝑦=−1 ; d) 2𝑥+4𝑦=−6
3𝑥+6𝑦=−9
𝑥+2𝑦=−3 ;
e) 𝑥+2𝑦+𝑧=5
2𝑥−𝑦+2𝑧=8
3𝑥+𝑦+3𝑧=13
𝑥−3𝑦+𝑧=3 ; f) 𝑥+2𝑦−𝑧+𝑡=1
𝑦−𝑧−𝑡=0
2𝑥+𝑦+𝑧+𝑡=3
𝑥−𝑦+2𝑧+3𝑡=2 ; g) 𝑥+2𝑦+𝑧+𝑡=0
2𝑥+𝑦+𝑧+2𝑡=0
𝑥+2𝑦+2𝑧+𝑡=0
𝑥+𝑦+𝑧+𝑡=0 .
3. Fie sistemul liniar 2𝑥+𝑦−𝑧=5
−𝑥+2𝑦+𝑧=2
3𝑥−𝑦−2𝑧=3 . Scriind în dreptul lor A (adevărat) sau F
(fals), stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții: „Sistemul liniar are:
a) numai soluția 1,2,−1 ;
b) o infinitate de soluții;
c) șapte soluții;
d) numai soluția 7,0,9 ;
e) soluția 6,−2,10 ”.
4. În coloana A sunt date sisteme de ecuații liniare, iar în coloana B sunt date soluțiile
corespunzătoare acestora. Precizați cu ajutorul unei săgeți, soluția corespunzătoare
fiecărui sistem din coloana A:
A B
a) 𝑥+2𝑦−3𝑧=0
5𝑥−3𝑦+𝑧=0 a) 7𝜆,𝜆,−4𝜆,𝜆 ,𝜆∈ℝ
b) 𝑥−2𝑦+𝑧=0
𝑥+3𝑦−2𝑧=0 b) 4𝜆+9
13,7𝜆+6
13,𝜆 ,𝜆∈ℝ
c) 2𝑥−𝑦+3𝑧=4
3𝑥+4𝑦−𝑧=−5
𝑥+5𝑦−4𝑧=−9 c) 𝜆
5,3𝜆
5,𝜆 ,𝜆∈ℝ
d) 2𝑥−3𝑦+𝑧=0
𝑥+5𝑦−3𝑧=3
5𝑥+12𝑦−8𝑧=9 d) 21−𝜆,𝜆−13,𝜆,0 ,𝜆∈ℝ
103
e) 𝑥+2𝑦+2𝑧−𝑡=0
2𝑥+3𝑧−2𝑡=0
𝑥+𝑦+2𝑧=0 e) 7𝜆
13,16𝜆
13,𝜆 ,𝜆∈ℝ
f) 2𝑥+3𝑦−𝑧+𝑡=3
−𝑥−2𝑦+𝑧−3𝑡=5
𝑥+𝑦−4𝑡=8 f) 1−𝜆,−2+ 𝜆,𝜆 ,𝜆∈ℝ
5. Se consideră sistemul 3𝑥+4𝑦+𝑧+2𝑡=3
6𝑥+8𝑦+2𝑧+5𝑡=7
9𝑥+12𝑦+3𝑧+10𝑡=13 . Sistemul admite soluțiile
−1,1,0,1 , respectiv 1,0,−2,2 ? Justificați răspunsul!
6. Completați cu răspunsul corect: „Funcția de gradul al doilea 𝑓:ℝ→ℝ,𝑓 𝑥 =
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,𝑎≠0, al cărei grafic conține punctele 𝐴 −2,11 ;𝐵 1,−4 și
𝐶 3,6 este: …………………………………………”.
7. Comple tați cu răspunsul corect: „Se dau matricele: 𝐴= 12
20 ,𝐵= 0 1
−10 ,
𝐶= 𝑚 3
2 0 . Valorile parametrului real m astfel încât ∃ 𝑥,𝑦,𝑧∈ℝ nu toate nule
și să aibă loc relația 𝑥∙𝐴+𝑦∙𝐵+𝑧∙𝐶=0 sunt ………………..”.
104
FIȘA NR.4
1. Să se discute după valorile lui
Rm sistemul:
22
32 202 1
mm mzy xzy mxmm zy mx .
2. Să se discute sistemul liniar și omogen:
Ra
azy xz ayxz y ax
,
0 20 7 20 7 4 .
3. Să se discute și să se rezolve sistemul:
0 10 1 20 1
zyx mzy m xzyx m .
4. Să se rezolve și să se discute sistemul:
Rm
mxxxxx mxxxm xx mxxxxx mx
,
111
4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1 .
5. Să se rezolve și să se discute sistemul:
2111 1
z yxzy xzyx .
6. Se dă sistemul:
R
zyxzy xz yx
,
11 .
a) Să se calculeze determinantul sistemului.
b) Să se determine valorile parametrului
pentru care sistemul admite soluție unică.
c) Pentru
1,2 , să se studieze natura sistemului și în caz de compatibilitate, să se
rezolve.
7. Se consideră sistemul
Rm
y mxmy xmy x
,
31 3 21 2 .
a) Să se scrie matricea A a sistemului.
b) Să se determine rangul matricei A.
c) Pentru ce valori ale parametrului real m sistemul este compatibil?
d) Pentru
0m să se studieze natura sistemului și în caz de compatibilitate, să se rezolve.
105
8. Se consideră sistemul:
R
z y xzy xzyx
,1
2 .
a) Pentru
2 să se rezolve sistemul.
b) Să se determine valorile lui
pentru care sistemul are soluție unică.
106
FIȘA NR.5
1. Se consideră sistemul 𝑎𝑥+𝑦+𝑧=1
𝑥+𝑎𝑦+𝑧=2−𝑎
𝑥+𝑦+𝑎𝑧=3𝑎+1 , 𝑎∈ℝ. Precizați pentru ce valoare a lui
𝑎∈ℝ, sistemul este compatibil simplu nedeterminat, specificând litera
corespunzătoare răspunsului corect (o singură variantă de răspuns este corectă):
a) 𝑎=2; b) 𝑎=1; c) 𝑎=−1; d) 𝑎=−2; e) 𝑎=0.
2. Se consideră sistem ul 𝑥−3𝑦=−2
𝑥+2𝑦=3
3𝑥−𝑦=𝛼
2𝑥+𝑦=𝛽 , 𝛼,𝛽∈ℝ. Precizați pentru ce valoare a
parametrilor 𝛼,𝛽∈ℝ, sistemul este compatibil, specificând litera corespunzătoare
răspunsului corect (o singură variantă de răspuns este corectă):
a) 𝛼=3,𝛽=2; b) 𝛼=1,𝛽=3; c) 𝛼=𝛽=1; d) 𝛼=5,𝛽=4; e) 𝛼=2,𝛽=3.
3. Se consideră sistemul 𝑚𝑥+𝑦−2𝑧=2
2𝑥+𝑦+3𝑧=1
2𝑚−1 𝑥+2𝑦+𝑧=𝑛 . Precizați valorile parametrilor
𝑚,𝑛∈ℝ, pentru care sistemul este incompatibil, specificând litera corespunzătoare
răspunsului corect (o singură variantă de răspuns este corectă):
a) 𝑚=3,𝑛≠3; b) 𝑚=1,𝑛≠2; c) 𝑚=2,𝑛≠−1; d) 𝑚=3,𝑛≠−3;
e) 𝑚≠1,𝑛=2.
4. Completați cu răspunsul corect: „Valoarea parametrului 𝑚∈ℝ astfel încât sistemul
2𝑥+𝑦=8
𝑥−𝑦=1
5𝑥+4𝑦=𝑚 să fie compatibil este …………….”.
5. Completați cu răspunsul corect: „Valorile parametrilor 𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ pentru care sistemul
2𝑥−3𝑦−4𝑧−5𝑡=−1
𝑥+9𝑦+𝑎𝑧+𝑡=3
5𝑥−6𝑦+10𝑡+𝑏𝑡=𝑐 este compatibil dublu nedeterminat sunt …………….”.
6. Completați cu răspunsul corect: „Valorile parametrului 𝑎∈ℝ pentru care sistemul
𝑥+𝑦+𝑎𝑧=−1
𝑎𝑥−𝑦+2𝑧=−4
4𝑥+𝑦+4𝑧=−2 este compatibil nedeterminat sunt …………….”.
107
7. Completați cu răspunsul corect: „Valorile parametrilor 𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ astfel ]nc \t
matricea sistemului 2𝑥−3𝑦+4𝑧−5𝑡=−1
𝑥+9𝑦+𝑎𝑧+𝑡=3
5𝑥−6𝑦+10𝑧+𝑏𝑡=𝑐 să aibă rangul doi și sistemul să fie
compatibil sunt …………….”.
8. Completați cu răspunsul corect: „Valoarea lui 𝑚∈ℝ pentru care sistemul
2𝑥+𝑚𝑦+𝑧=0
2𝑥+2𝑦−𝑧=0
2𝑥−𝑦+2𝑧=0 admite și soluții diferite de soluția banală este …………….”.
9. Se consideră sistemul liniar omogen 𝑥+2𝑦+𝑧=0
2𝑥+𝑚𝑦+𝑧=0
𝑥−3𝑦+2𝑧=0 ,𝑚∈ℝ.
a) Să se determine m astfel încât sistemul să admită numai soluția banală;
b) Pentru 𝑚=9 să se arate că expresia 𝑥2−𝑦2+𝑧2
𝑥2+𝑦2+𝑧2 este constantă.
10. Se consideră sistemul liniar omogen 2𝑥1−𝑥2+𝑥3−𝑥4=1
𝑥1+𝑥2+𝛼𝑥3+𝑥4=−1
𝑥1−𝑥2+𝑥3+𝛽𝑥4=𝛾 .
a) Să se determine 𝛼,𝛽∈ℝ astfel încât matricea sistemului să aibă rangul doi;
b) Pentru 𝛼,𝛽 obținute mai sus să se determine 𝛾 astfel încât sistemul să fie
compatibil și să se rezolve.
11. Fie sistemul 2𝑥−3𝑦+4𝑧=2
𝑥+2𝑦+𝑧=𝑎
3𝑥−𝑦+𝑏𝑧=5,𝑎,𝑏∈ℝ . Să se afle 𝑎,𝑏∈ℝ astfel încât sistemul
să fie compatibil simplu nedeterminat și rezolvați sistemul.
12. Se consideră sistemul liniar
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗=5𝑖−1,4
𝑗=1𝑖=1,4
unde 𝑎𝑖𝑗=𝑗𝑖−1. Dacă 𝛿 este determinantul sistemului și 𝑅=𝑥1+𝑥2−𝑥3−𝑥4,
unde 𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4 este soluția sistemului, atunci specificați litera corespunzătoare
răspunsului corect (o singură variantă de răspuns este corectă):
a) 𝛿=10,𝑅=5; b) 𝛿=12,𝑅=5; c) 𝛿=4,𝑅=1; d) 𝛿=9,𝑅=4;
e) 𝛿=11,𝑅=10.
13. Se consideră sistemul liniar
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗=𝑏𝑖,3
𝑗=1 unde 𝑖,𝑗=1,3
108
cu 𝑏1=6,𝑏2=−7,𝑏3=3, 𝑎𝑖𝑗= 1,𝑑𝑎𝑐ă 𝑖=𝑗
0,𝑑𝑎𝑐ă 𝑖>𝑗
−1 𝑖+𝑗,𝑑𝑎𝑐ă 𝑖<𝑗=𝐴 . Fie ∆=𝑑𝑒𝑡𝐴,
𝛼= 𝑥𝑖3
𝑖=1 cu 𝑥1,𝑥2,𝑥3 soluția sistemului. Atunci ∆=…… și 𝛼=… .
109
3.PROIECT E DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ
Numele și prenumele cadrului didactic:
Disciplina: Matematică
Clasa: a XI-a
Subiectul lecției: Sisteme de ecuații liniare
Durata: 50 minute
Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor
Obiectivul fundamental: Formarea deprinderilor și priceperilor în vederea rezolvării
corecte a sistemelor de ecuații liniare precum și a abilităților ce se impun la rezolvarea
sistemelor cu parametrii în situații impuse, asigurând astfel nivelul de cultură generală în
matematică, utilizarea lor în studiul altor capitole precum și promovarea examenului de
bacalaureat și a examenelor de admitere în învățământul superior.
Competențe generale:
1. Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ., structural sau contextual cuprinse în
enunțuri matematice
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matema tice în rezolvarea de probleme .
4. Exprimarea și redactarea coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian a rezolvării sau
strategiilor de rezolvare a unei probleme.
5. Analiza de situații – problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea solu țiilor.
6. Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau
prin generalizarea algoritmilor.
Competențe specifice:
C1: Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice.
C2: Rezolvarea unor ecuații și sistem e utilizând algoritmi specifici.
C3: Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și
identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora.
C4: Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații -problemă prin alegerea unor strategii
și metode adecvate.
110
Obiective operaționale: La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:
1. Să rezolve sisteme de ecuații liniare alegând metoda adecvată.
2. Să stabilească ce condiții se impun pentru determinarea unor parametrii în funcție de
contextul problemei.
3. Să rezolve sisteme de ecuații liniare cu parametri, făcând discuție asupra naturii
sistemului după valorile acestora și aflând soluțiile atunci când acestea există.
Strategii didactice:
Metode și procedee de învățare:
De transmitere: conversația, explicația;
De expunere directă: observația organizată; examinarea documentară;
De expunere indirectă: demonstrația;
De acțiune reală : exercițiul.
Mijloace (resurse): culegere, manual, fișe de lucru.
Stilul de învățare:
Stilul vizual – va fi favorizat de vizualizarea informațiilor în formă tipărită
(aplicarea comunicării de tip non -verbal);
Stilul auditiv – va fi favorizat de ascultarea, redarea și explicarea informațiilor
(comunicare verbală);
Stilul practic – va fi favorizat de aplicarea inf ormațiilor obținute.
Documentare bibliografică:
1. Marius Burtea, G. Burtea – Manual de matematică pentru clasa a XI -a, Ed.
Carminis, Pitești, 2006;
2. Ilie Petre Iambor, Ioan Odăgescu – Teste de matematică, Ed. Aramis, București,
2003;
3. Dumitru Deleanu – Teste de matematică, Ed. Nautica, Constanța, 2003.
Scenariul didactic:
1. Captarea atenției (2’)
Profesorul asigură condițiile ergonomice, verifică materialul didactic și prezența elevilor,
le captează atenția prin prezentarea fișei de lucru și a obiectivelor urmărite pe parcurs.
111
2. Reactualizarea cunoștințelor asimilate anterior (7’)
Se realizează o clasificare a sistemelor din punct de vedere al existenței soluției și al
numărului de soluții cu ajutorul elevilor, folosind metoda ciorchinelui , astfel:
Se scrie î n mijlocul tablei titlul temei ce urmează a fi recapitulată, „ Sisteme de
ecuații liniare ”;
Elevii vor fi solicitați să își noteze toate tipurile de sisteme cunoscute în jurul temei
din centru, trasând linii de legătură între acestea și tema inițială;
Pe mă sură ce își amintesc tipurile de sisteme și le notează, elevii vor trasa linii între
toate cuvintele (ideile) ce par a fi conectate.
Se reamintește algoritmul de stabilire a compatibilității unui sistem (folosind proprietatea
de compatibilitate a lui Rou che), precum și modul de determinare a mulțimii soluțiilor
sistemului folosind metoda ciorchinelui astfel:
Se scrie în mijlocul tablei tema: „Algoritm de rezolvare a unui sistem de m ecuații
cu n necunoscute, 𝑛≤4”;
Elevii vor fi solicitați să își noteze t oate noțiunile pe care le au în minte în legătură
cu acest algoritm, stabilind corespondența între acestea și tema centrală prin
trasarea unor linii;
În timp ce își amintesc alte etape, elevii le notează și vor trasa linii între toate ideile
ce par a fi co nectate;
Activitatea se oprește în momentul în care se epuizează toate ideile.
112
3. Anunțarea competențelor (1’)
4. Prezentarea fișei de lucru și rezolvarea exercițiilor conținute de aceasta (22’)
5. Asigurarea transferului – obținerea de performanțe (15’)
Se discută și se rezolvă exercițiile mai grele de pe fișa de lucru (10, 12, 13) apoi se notează
răspunsurile primite.
6. Asigurarea feed -back -ului (3’)
Se dă tema pentru acasă (exercițiile rămase nerezolvate de pe fișa de lucru precum și
exerciții asemănătoare d in manual).
113
FIȘA DE LUCRU
1.Scriind în dreptul lor A (adevărat) sau F (fals), stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor
propoziții: „Regula lui Cramer se aplică:
a) pentru aflarea rangului unei matrice;
b) pentru calculul inversei unei matrice;
c) pentru rezolvarea sistemelor liniare compatibil determinate;
d) pentru determinarea minorului caracteristic”.
2.Fie sistemul omogen 𝑥+𝑦+𝑧+𝑡=0
−𝑥+𝑦=0
−𝑥+𝑧=0
−𝑥+𝑡=0 . Specificați litera corespunzătoare răspunsului
corect (există o singură v ariantă de răspuns). „Sistemul este:
a) compatibil determinat;
b) compatibil simplu nedeterminat, cu soluția 𝑥=𝑦=𝑧=𝑡=𝜆,𝜆∈ℝ;
c) compatibil simplu nedeterminat, cu soluția 𝑥=𝑦=𝑧=𝑡=1−𝜆,𝜆∈ℝ;
d) compatibil dublu nedeterminat”.
3.Să se studieze com patibilitatea următoarelor sisteme și să se precizeze (acolo unde
există) mulțimea soluțiilor:
a) 𝑥+2𝑦+3𝑧=1
2𝑥+3𝑦+4𝑧=1
3𝑥+4𝑦+5𝑧=1 ; b) −𝑥3+4𝑥4=2
𝑥1−2𝑥2+4𝑥3+3𝑥4=4
3𝑥1−6𝑥2+8𝑥3+5𝑥4=0
4.Se consideră sistemul omogen 2𝑥−𝑦+5𝑧+7𝑡=0
4𝑥−2𝑦+7𝑧+5𝑡=0
2𝑥−𝑦+𝑧−5𝑡=0 . Stabiliți afirmația adevărată:
a) Sistemul este compatibil determinat, cu soluția nulă 𝑥=𝑦=𝑧=𝑡=0;
b) Sistemul este compatibil determinat, cu soluția 𝑥=−8;𝑦=8;𝑧=−3;𝑡=1;
c) Sistemul este compatibil determinat, cu sol uția 𝑥=4;𝑦=8;𝑧=0;𝑡=0;
d) Sistemul este compatibil simplu nedeterminat.
5.Se consideră sistemul 2𝑥+𝑦=8
𝑥−𝑦=1
5𝑥+4𝑦=𝑚 , 𝑚∈ℝ. Valoarea lui m pentru care sistemul este
compatibil este ……………..
6.Sistemul liniar 𝑥−𝑎𝑦+𝑧=1
𝑥−𝑦+𝑧=−1
𝑎𝑥+𝑎2𝑦−𝑧=𝑎2 , 𝑎∈ℝ este compatibil nedeterminat pentru
𝑎∈ ……. .
114
7.Fie sistemul 2𝑥+𝑦+𝑚𝑧=1
𝑥−𝑦+𝑚2𝑧=𝑚
2𝑥+ 𝑚+1 𝑧=𝑚2 și M= 𝑚∈ℝ| sistemul este incompatibil și S
suma elementelor lui M. Specificați litera corespunzătoare răspunsului corect:
a) 𝑆=−1; b) 𝑆=1
2; c) 𝑆=−1
3; d) 𝑀=∅.
8. Să se determine 𝛼,𝛽,𝛾∈ℝ astfel încât sistemul 2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡=1
𝑥+𝑦+𝛼𝑧+𝑡=−1
𝑥−𝑦+𝑧+𝛽𝑡=𝛾 să fie
compatibil dublu nedeterminat.
9.Pentru ce valori ale parametrului real m, sistemul omogen 𝑚𝑥+𝑦+𝑧+𝑡=0
𝑥+𝑚𝑦+𝑧+𝑡=0
𝑥+𝑦+𝑚𝑧+𝑡=0
𝑥+𝑦+𝑧+𝑚𝑡=0 este
compatibil simplu nedeterminat? Specificați litera corespunzătoare răspunsului corect:
a) 𝑚=1; b) 𝑚=−3; c) 𝑚=0; d) 𝑚=∅.
10.Fie sistemul liniar 𝑥+𝑦+𝑧=𝑎
𝑥−2𝑦−𝑧=𝑏
2𝑥−𝑦−2𝑧=1 , 𝑎,𝑏∈ℝ, cu soluția 𝑥 ,𝑦, 𝑧 . Dacă 𝑥 ,𝑦, 𝑧 sunt în
progresie aritmetică, atunci specificați litera corespunzătoare răspunsului corect:
a) 𝑎+𝑏=0; b) 𝑎+2𝑏=1; c) 𝑎=𝑏=0; d) 𝑎2=𝑏.
11.Fie sistemul omogen 𝑥−3𝑦+𝑧=0
2𝑥−5𝑦+3𝑧=0
𝑚𝑥−2𝑦+4𝑧=0
𝑥+𝑛𝑦+2𝑧=0 . Să se afle 𝑚,𝑛∈ℝ pentru care sistemul are
și soluții diferite de soluția banală.
12. Se consideră sistemul liniar 𝑎𝑥+𝑦+𝑧=1
𝑥+𝑎𝑦+𝑧=1
𝑥+𝑦+𝑎𝑧=1
𝑥+𝑦+𝑧=𝑏 , 𝑎,𝑏∈ℝ. Precizați care din următoarele
afirmații este adevărată:
a) Pentru 𝑎=1,𝑏≠1 sistemul este comp atibil dublu determinat;
b) Pentru 𝑎∈ ℝ\ −2;1 ,𝑏=3
𝑎+2 sistemul este incompatibil;
c) Pentru 𝑎=−2,𝑏∈ ℝ, sistemul este incompatibil;
d) Pentru 𝑎=𝑏=1 sistemul este compatibil dublu nedeterminat.
13.Specificați litera corespunzătoare răspunsului corr ect: „Condiția necesară și suficientă
ca sistemul 𝑥=𝑏𝑦+𝑐𝑧
𝑦=𝑎𝑥+𝑐𝑧
𝑧=𝑎𝑥+𝑏𝑦 să aibă soluție nebanală este:
115
a) 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎+4𝑎𝑏𝑐=1;
b) 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎−2𝑎𝑏𝑐=1;
c) 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎−2𝑎𝑏𝑐=1;
d) 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=2𝑎𝑏𝑐;
e) 𝑎𝑏𝑐=1”.
14.Se consideră sistemul 𝑥+2𝑦=𝑚+1
2𝑥+3𝑦=𝑚−1
𝑚𝑥+𝑦=3 , 𝑚∈ℝ.
a) Să se scrie matricea A a sistemului ;
b) Să se determine rangul matricei A;
c) Pentru ce valori ale parametrului real m sistemul este compatibil?
d) Pentru 𝑚=0 să se studieze natura sistemului și în caz de compatibilitate, să se
rezolve.
15.Se consideră matricele 𝐴= 1234
0123
0012 , 𝐵= 0001 și sistemul de ecuații
𝑥+2𝑦+3𝑧+4𝑡=3
𝑦+2𝑧+3𝑡=2
𝑧+2𝑡=1 .
a) Să se scrie rangul matricei A;
b) Să se determine mulțimea soluțiilor sistemului A;
c) Să se demonstreze că ecuația 𝑋∙𝐴=𝐵 nu are soluții, 𝑋∈𝑀1,3 ℝ .
116
CHESTIONAR – Autoevaluarea colaborării
Exemple referitoare la contribuția mea la rezolvarea problemelor:
…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
……………………………………………………………………………………………………. …………………….
…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
…………………………………………………………………………….. …………………………………………….
Ce mi -a plăcut cel mai mult la această metodă:
…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
………….. …………………………………………………………………………………………………………….. .
…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
…………………………………………………………………………………………………………….. …………….
Ce am învățat din această activitate:
……………………………………………………… …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
………………………………. ………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….. …………….
Exemple d e schimbări pe care le -aș încerca data viitoare când voi mai lucra în cadrul unei
grupe:
…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
…………………….. ……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
…………………………………………………………………………………………………………….. …………….
117
PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ
Numele și prenumele cadrului didactic:
Disciplina: Matematică
Clasa: a VIII -a
Subiectul lecției: Rezolvarea prin metoda reducerii a sistemelor de ecuații de forma:
1 1 1
2 2 20
0a x b y c
a x b y c
, unde coeficienții a1,b1,c1,a2,b2,c2 ∈ℝ.
Durata: 50 minute
Tipul lecției: Mixtă
Obiectivul fundamental: Formarea deprinderilor și priceperilor în vederea rezolvării
corecte a sistemelor de ecuații precum și a abilităților ce se impun la rezolvarea sistemelor
cu parametrii în situații impuse, asigurând astfel nivelul de cultură general ă în matematică,
utilizarea lor în studiul altor capitole precum și promovarea examenului de testare
națională.
Competențe generale:
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în
care au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri
matematice.
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situații concrete.
4. Exprimarea caracteristicil or matematice cantitative sau calitative ale unei situații
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă.
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variat e, prin integrarea
cunoștințelor din diferite domenii.
Obiective operaționale: La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:
1. Să rezolve sisteme de două ecuații liniare prin metoda reducerii sau substituției.
118
2. Să rezolve aplicații cu ajutorul sistemelor de ecuații studiate (determinarea
coordonatelor punctului de intersecție a graficelor a două funcții; identificarea unei
perechi de numere care verifică o ecuație sau un sistem a cărui soluție este dată;
determinarea unei funcții de forma f :R→R, f(x)= a x+b, al cărei grafic conține două
puncte date).
3. Să identifice unii termeni matematici folosind procedee specifice gramaticii.
4. Să determine sisteme echivalente cu sistemul dat.
Strategii didactice:
Metode și procedee de învățare:
De transmitere: conversați a, explicația;
De expunere directă: observația organizată; examinarea documentară; exercițiul,
jocul didactic.
De expunere indirectă: demonstrația; mozaic – învățarea prin cooperare, învățarea
prin descoperire.
De acțiune reală : exercițiul.
Mijloace (resur se): culegere de exerciții, manual, fișe de lucru.
Stilul de învățare:
Stilul vizual – va fi favorizat de vizualizarea informațiilor în formă tipărită
(aplicarea comunicării de tip non -verbal);
Stilul auditiv – va fi favorizat de ascultarea, redarea și ex plicarea informațiilor
(comunicare verbală);
Stilul practic – va fi favorizat de aplicarea informațiilor obținute.
Documentare bibliografică:
1. Manual clasa a VIII -a, Ed. Teora Educațional
2. Manual clasa a VIII -a, Ed. Sigma;
3. Petre Simion – Matematică. Culegere de exerciții și probleme pentru clasa a
VIII-a, Ed. Aramis;
4. Manea Ion Monalisa – Culegere de probleme de matematică pentru clasa a
VIII-a, Ed. Logos Junior;
5. Artur Bălăucă – Auxiliar la manualele alternative , Ed. Taida;
6. Daniela Bălănescu, Florian G ache – 100 teste de matematică.
119
FIȘA DE LUCRU I
Rezolvarea sistemelor de ecuații de forma:
1 1 1
2 2 20
0a x b y c
a x b y c
; a1,b1,c1,a2,b2,c2 ∈ℝ.
prin metoda substituției
I.Scrieți rezultatul corect:
1.Soluția sistemului
5
3 17x
xy
este perechea (…. ; ….)
II.Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerință, alegeți rezultatul
corect.
2.Numerele naturale m și n pentru care sistemul
3
25mx ny
mx ny
are soluția
11;2 sunt:
A. m=-2; n= 2 B. m=2; n= -2 C. m=-1; n= 0,5 D. m=6; n=2
3.Graficele funcțiilor f: R
R, f(x)= 3 -4x si g: R
R, g(x)= 2x -21 au ca punct comun:
A. P(12; -45) B. P(4; -13) C. P(-4; 19) D. P(-3; 15)
III.Scrieți rezolvările complete.
4.Rezolvați sistemul
x = 3
x+6y= 3 ; x, y ∈ℝ.
5.Determinați ( x,y) ∈ℝxℝ, știind că:
212
32xy + (y-3x-5)
2=0
120
Fișa de lucru II
1.Găsind un sinonim pentru cuvântul “procedeul” și un antonim al cuvântului “majorării”,
veți descoperi titlul lecției de azi: …………………………………..
2.Se dă sistemul
2 5 16
4 5 8xy
xy
, (x,y) ∈ℝxℝ
a) Adunați membru cu membru cele două ecuații ale sistemului și rezolvați ecuația
obținută.
b) Înmulțiți prima ecuație cu ( -2) si repetați același procedeu ca la punctul a ).
c) Scrieți soluția sistemului.
3.Rezolvați sistemele următoare:
5
a)
8 3 2
2 5 1 0xy
xy
; (x,y) ∈ℝxℝ
7
b)
2 2 2(x-2) + (y+4) = (x+2)(x-2)+y
3x + 2y = 50
; ( x,y) ∈ℝxℝ
7 c)
x+22y-2
3 4( 3)xy
; (x,y) ∈ℝxℝ,𝑦≠2
9
d)
110,3 0,52
5 10
6 2 3xy
yx
; (x,y) ∈ℝxℝ
10
e)
3612 3 1 2 3 1
6 2412 3 1 2 3 1x y x y
x y x y
9
4.a). Aflați funcția f:R
R, f(x)=ax +b știind că punctele A(
3 ; 4) și
B(-
3 ; -2) aparțin graficului funcției.
10
b) Determinați numerele raționale a și b, știind că este adevărată egalitatea:
2a
3 + 5b -1 = 3
3 b – 2a +7
121
FIȘĂ “EXPERȚI”
Rezolvarea sistemelor de ecuații de forma:
1 1 1
2 2 20
0a x b y c
a x b y c
; a1,b1,c1,a2,b2,c2 ∈ℝ.
prin metoda reducerii
I. Etape în aplicarea metodei reducerii:
înmulțim convenabil ambele ecuații astfel încât prin adunarea lor să fie
eliminată o necunoscută
adunăm ecuațiile membru cu membru și obținem o ecuație cu o singură
necunoscută, pe care o rezolvăm
procedăm asemănător pentru a reduce cealaltă necunoscută
perechile ordonate astfel obținute sunt soluțiile sistemului
Exemplu:
Rezolvați sistemul următor prin metoda reducerii:
3 2 9 0
5 4 7 0xy
xy
; x,y∈ℝ
5 15 10 45 3 2 9
15 12 21 3 5 4 7xy xy
xy xy
/ 22 y = 66
y = 3
6 4 18 3 2 9 2
5 4 7 5 4 7xy xy
xy xy
S=
(1;3)
11x / = 11
x = 1
II.Observații:
Dacă după înmulțirea și adunarea celor două ecuații se reduc toți termenii sau se
reduc numai termenii care conțin necunoscute, atu nci sistemul este compatibil
nedeterminat sau incompatibil.
Exemple:
1.
2x + 3y – 8 = 0
x + 1,5y +5 = 0
( 2)
2 3 8 0
2 3 10 0xy
xy
-18 =0
S =
122
2.
2 4 2 0
5 10 5 0xy
xy
5
2
10 20 10 0
10 20 10 0xy
xy
0=0
2x – 4y +2 =0 | :2
x- 2y +1 =0
x = 2y -1
S=
(2y-1, y) | y Є R }
123
4.TEST E DE EVALUARE
4.1.TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ (MATRICE)
1. Matricea
5 1,7 1, j i aij are…….linii și ………… coloane .
2. O matrice de tipul
n,1 se numește…………………….. .
3. O matrice de tipul
1,m se numește…………………….. .
4. Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane atunci matricea se
numește…………….…… .
5. Matricea
CMAn , de forma
nnaaa
…0 0 00 …… … …0 …0 00 …0 0
2211 se numește ……………. .
6. Matricea
CMAn , de forma
1…00…………0…100…01 se numește …………….. .
7. Să se determine
Ryx, astfel încât să avem egalitate de matrice:
xx
yxyx x
2901 2
2 01
.
a)
2 ;32y x ; b)
1;3 y x ; c)
3 ;1y x ; d)
3 ;0y x .
8. Fie matricea
101000101
A .Valoarea lui
Nn pentru care avem egalitatea
480 48000480 48
1n nA A
este:
a)
2n ; b)
6n ; c)
12n ; d)
8n .
9.Se dau matricele:
321212121
A și
121024114
B .Să se calculeze
ABBA .
10. Fie matricea
100110011
A . Să se calculeze
nA ,
.2,nNn .
124
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 50 min. Se acorda 10 puncte din oficiu.
Barem:
Subiectul 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Punctajul 5p 5p 5p 5p 5p 5p 10p 10p 20p 20p
ANALIZA REZULTATELOR ADMINISTRĂRII
INSTRUMENTULUI DE EVALUARE
„„EEsseennțțaa ttuuttuurroorr lluuccrruurriilloorr eessttee nnuummăărruull””
Pitagora.
Administrarea testelor scrise reprezint ă o etap ă vitală în desf ășurarea fiec ărei
evalu ări. Instrumentul de evaluare aplicat de mine este un test de progres școlar ,
concretizat într -un test de cunoaștere și înțelegerea conceptelor, a terminologiei și a
procedurilor de calcul specifice matematicii, precum și de dezvoltare a capacităților de a
comunica utilizând limbajul matematic.
Fiind un test elaborat de profesor si nu unul standardizat, am încercat în
proiectarea lui:
1. Să asamblez itemii, respectând matricea de specifica ție, prin atingerea în mod
gradat si echilibrat a tuturor nivelelor t axonomice;
2. S ă elaborez itemii prin corelare cu obiectivele de evaluare, obiectivele de
referin ță alese și obiectivul cadru corespunz ător;
3. Să construiesc un barem de corectare si notare explicit, care s ă permit ă o notare
obiectiv ă a testului.
Timpul de lucru efectiv pentru test este de 50 de minute iar punctajul maxim
acordat este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu.
În alcătuirea acestui test de evaluare sumativă am folosit trei tipuri de itemi:
1. Itemi subiectivi cu răspuns scurt/d e completare
2. Itemi obiectivi cu alegere multiplă
3. Itemi subiectivi cu rezolvarea completă a problemelor.
Instrumentul care conferă validitate testului este matricea de specificații . Aceasta
realizează corespondența dintre competențele de evaluat (corespunzătoare nivelurilor
taxonomice) și unitățile de învățare/conceptele -cheie/conținuturile/temele specifice
programei școlare de matematică pentru clasa căreia i se adresează testul. C ompetențele de
125
evaluat se stabilesc prin derivare din competențele generale și/sau din competențele
specifice ale programei școlare.
Competențele de evaluat asociate testului. La sfârșitul capitolului MATRICE elevii vor
fi capabili:
C1. să recunoască tipul unei matrice și elementele acesteia;
C2. să poată preciza dacă două matrice sunt egale;
C3. să poată efectua corect o sumă de matrice de același tip utilizând definiția și
proprietățile sumei;
C4. să poată efectua corect un produs de matrice utilizâ nd definiția și proprietățile
produsului;
C5. să stăpâneasca corect noțiunea de putere a unei matrice și aplicarea inducției
matematice în rezolvarea acestui tip de problemă.
Matricea de specificații este un instrument care certifică faptul că testul măsoa ră
competențele de evaluat propuse si că testul are validitate de conținut:
liniile matricei precizează conținuturile abordate;
coloanele matricei conțin competențele de evaluat corespunzătoare nivelurilor
cognitive.
Profesorul care creează testul de evalu are stabilește ponderea fiecărui conținut ce
urmează a fi evaluat, în funcție de competențele de evaluat specificate în matrice.
Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare sumativă
este următoarea:
Competențe
de evaluat C1 C2 C3 C4 C5 TOTAL
Conținuturi
Tabel de tip
matricial.
Matrice,
mulțimi de
matrice. 1, 2, 3, 4, 5, 6
(30p) 7
(10p) 40p
Operații cu
matrice:
adunarea,
înmulțirea
unei matrice
cu scalar. 8
(10p) 10p
Operații cu
matrice:
înmulțirea,
proprietăți. 9
(20p) 10
(20p) 40p
TOTAL 30p 10p 10p 20p 20p 90p
126
Colectivul de elevi este eterogen, 4 -5 elevi participând la concursuri școlare cu
rezultate mulțumitoare dar nu excepționale, restul lucrând numai după programa școlară,
tema pentru acasă propusa la școală și nimic suplimentar.
Distribuția pe tranșe de note ( număr elevi prezenți: 24 , din 24 ):
Note
cuprinse
între: < 4,99 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 9,99 10
4 4 5 4 5 2 –
Media clasei: 6,99
PPrroommoovvaabbiilliittaattee:: 8833,,3333%%
Diferențele sesizate între notele la lucrări și mediile notelor din timpul semestrului
se datorează faptului că:
ajutați de profesor, se descurcă mai bine în oral decât în scris;
sunt muncitori, execută cu plăcere toate sarcinile pe care le primesc prin
diversele forme de evaluare propuse de profesor: fișe de lucru, portofolii
individuale și de grup, hărți conceptuale;
rezultatele obținute în timpul semestrului reflectă într -un procent mai mare
atitudinea acestor elevi fata de procesul de învățare pe când r ezultatele
obținute la test reflectă, evident, mai mult cunoștințele și strategiile
dobândite în aceasta perioadă de timp.
Recomandări de optimizare a procesului de evaluare:
corectarea testului la clasă;
recapitularea sintezei teoretice;
rezolvarea subiectelor propuse în fișa de lucru;
rezolvarea mai multor probleme practice;
antrenarea și implicarea mai mult a elevilor cu rezultate scăzute; 0123456
< 4,99 5 –5,99 6 –6,99 7 –7,99 8 –8,99 9,00 -9,99 10
127
nivelul clasei nefiind unul foarte ridicat, problemele mai dificile ar trebui
rezolvate în număr mai mare la o ra de pregătire suplimentară și doar foarte
rar la orele de curs. De fapt, trebuie să se țină cont de nivelul cerințelor de la
examenul de bacalaureat.
Subiectele cu răspuns deschis să aibă o pondere mai mare la următorul test
și dacă este posibil acesta s ă dureze 2 ore.
128
4.2.TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ (SISTEME DE ECUAȚII LINIARE)
1) Scrieți sub formă matriceală sistemul:
0 41 3 24 2
2 13 23 2 1
xxx xx xx .
2) Scrieți sistemul de ecuații liniare asociat matricei extinse:
0 1 412 3023 0111 230
3) Se consideră sistemul:
000
mzyxz myxzy mx .
a) Să se determine 𝑚∈ℝ, astfel încât sistemul să admită numai soluția banală.
b) Pentru 𝑚=−2, rezolvați sistemul.
4) Dacă 𝑥,𝑦,𝑧 este soluția sistemului:
7 2 27 3 20 3
z y xzyxzyx , atunci: 𝑥+𝑦+𝑧 este:
a)0; b)1; c)-1; d)2; e) – 2.
5)a) Să se determine
,
,
, astfel încât sistemul:
4 3 2 14 3 2 14 3 2 1
10 6 53 3 91 4 3 2
x x x xx x x xxx x x să fie
compatibil, iar matricea sistemului să aibă rangul 2.
b) Cu:
,
,
determinați, la punctul a), rezolvați sistemul obținut.
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 50 min. Se acorda 10 puncte din oficiu.
Barem:
Subiectul 1. 2. 3. 4. 5.
a. b. a. b.
Punctajul 10p 10p 10p 15p 20p 10p 15p
129
PRECIZĂRI METODOLOGICE
Timpul de lucru efectiv pentru test este de 50 de minute iar punctajul maxim
acordat este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu.
În alcătuirea acestui test de evaluare sumativă am folosit trei tipuri de itemi:
1. Itemi cu răspuns scurt
2. Itemi obiectivi cu alegere multiplă
3. Itemi subiectivi cu rezolvarea completă a problemelor.
Competențele de evaluat asociate testului. La sfârșitul capitolului SISTEME DE
ECUAȚII LINIARE elevii vor fi capabili:
C1. să poată scrie sub formă matriceală un sistem de ecuații;
C2. să poată scrie un sistem de ecuații dacă se cunoaște forma matriceală;
C3. să poată stabili condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și să
identifice metode adecvate de rezolvare a acestora;
C4. Să rezolve ecuații și sisteme utilizând algoritmi specifici;
Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare sumativă
este următoarea:
Competențe
de evalu at C1 C2 C3 C4 TOTAL
Conținuturi
Sisteme liniare
cu cel mult 4
necunoscute.
Sisteme de tip
Cramer. 1
(10p) 2
(10p) 3
(25p) 45p
Rangul unei
matrice. 5
(10p) 10p
Studiul
compatibilității
și rezolvarea
sistemelor:
proprietatea
Kroneker –
Capelli,
proprietatea
Rouche. 4
(20p) 20p
Studiul
compatibilității
și rezolvarea
sistemelor:
metoda Gauss. 5
(15p) 15p
TOTAL 10p 10p 45p 15p 90p
130
Colectivul de elevi este eterogen, 4 -5 elevi participând la concursuri școlare cu
rezultate mulțumitoare dar nu excepționale, restul lucrând numai după programa școlară,
tema pentru acasă propusa la școală și nimic suplimentar.
Distribuția pe tranșe de note ( număr elevi prezenți: 22 , din 24 ):
Note
cuprinse
între: < 4,99 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 9,99 10
4 4 5 3 5 1 –
Media clasei: 6,85
PPrroommoovvaabbiilliittaattee:: 8811,,8811%%
Diferențele sesizate între notele la lucrări și mediile notelor din timpul semestrului
se datorează faptului că:
ajutați de profesor, se descurcă mai bine în oral decât în scris;
sunt muncitori, execută cu plăcere toate sarcinile pe care le primesc prin
diversele forme de evaluare propuse de profesor: fișe de lucru, portofolii
individuale;
rezultatele obținute la test reflectă, evident, mai mult cunoștințele și
strategiile dobândite în aceasta perioadă de timp.
Recomandări de optimizare a procesului de evaluare:
Să rezolvăm mai multe probleme practice.
Să-i antrenez mai mult ca până acum și pe cei mai slabi la această disciplină.
Nivelul clasei nefiind unul foarte ridicat, problemele mai dificile ar trebui
rezolvate în număr mai mare la ora de pregătire suplimentară și doar foarte
rar la orele de curs. De fapt trebuie să se țină cont de nivelul cerințelor de la
examenul de bacalaureat. 0123456
< 4,99 5 –5,99 6 –6,99 7 –7,99 8 –8,99 9,00 -9,99 10
131
BIBLIOGRAFIE:
I. ȘTIINȚIFI CĂ
1. Pic Gh. – Algebr ă superioar ă, Ed. Didactic ă și Ped agogic ă, Bucure ști, 1966
2. Proskurzakov I. V. – Problems in Linear Algebra , Mir Publishers Moscow, 1978
3. Mihăileanu, N. – Istoria Matematicii , vol.2, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1981
4. Năstăsescu C., Niță C., Vraciu C. – Bazele algebrei , Ed. Academiei RSR, București, 1986
5. Popescu O., Raischi C. – Matematici aplicate în economie, vol. I -II, Ed. Didactic ă și Ped agogic ă,
Bucure ști, 19 93
6. Năstăsescu C., Niță C., Stănescu I. – Matematica – Elemente de algebr ă superioar ă, manual pentru clasa
a XI-a, Editura Didactic ă și Pedagogic ă, 1995.
7. Brânzei D., Ulmeanu S. – Matematica în concursurile școlare , Editura Paralela 45, Argeș, 2000
8. Ganga M. – Manual de Matematică, Elemente de Algebră liniară și Geometrie analitică, clasa a XI -a,
Ed. Mathpress, Ploiești, 2002
9. I. Purdea, I. Pop – Algebra , Ed. GIL, Zal ău, 2003
10. Jantschi L., Nașcu H.I. – Chimie analitică și instrumentală , Academic Pres& Academic Dire ct, 2009
11. Bernard Bad zoch – Linear Algebra, Applications of systems of linear equations
II. MET ODICĂ
1. Cucoș C. – Pedagogie , Ed. Polirom, Iași , 1996
2. Cerghit I. – Metode de învățare , E.D.P. , București , 1997
3. Cristea S. – Dicționar de termeni pedagogici , E.D.P. , R.A., București, 1998
4. Stoica A.&Co – Evaluarea curentă și examenele, Ghid pentru profesori , ed. ProGnosis, București, 2001
5. SNEE – Ghidul examinatorului, Ed. Aramis, București, 2001
6. Cerghit I. – Sisteme de instruire alternative și complementare. Structuri , stiluri și strategii , Ed. Aramis,
București , 2002
7. Panțuru S. – Elemente de teoria și metodologia instruirii , Ed. Univ. Transilvania, Brașov , 2002
8. Suport curs DeCeE
9. Covalciuc F., Handa M., Vasiluță A. – Determinați și sisteme de ecuații, aspecte metodice , Ed. Crizon,
Constanța, 2010
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Algoritm de rezolvare a unui sistem de m ecuații [606991] (ID: 606991)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.