s Cioar a Rahela-Angela [606667]

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
– INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat] s Cioar a Rahela-Angela
TIMIS OARA
2019

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
– INFORMATIC A
DEFINIREA NUM ARULUI 
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat] s Cioar a Rahela-Angela
TIMIS OARA
2018

Abstract
abstractul in limba engleza
3

Cuprins
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Istoria faimosului num ar  6
1.1 Istoria timpurie a lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Istoria modern a a lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Titlul capitolului 2 10
2.1 Titlul sect iunii 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Titlul sect iunii 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4

Introducere
introducere
5

Capitolul 1
Istoria faimosului num ar 
1.1 Istoria timpurie a lui 
Denit ia 1.1.1. Constanta matematic a reprezint a raportul dintre lungimea orc arui
cerc  si diametrul s au, ^ ntr-un spat iu euclidian.
Dorint a de a ^ nt elege num arul  si nevoia de a calcula valori tot mai precise ale
acestei constante au provocat matematicienii de-a lungul mai multor secole.
Primele ^ nregistr ari despre num arul dateaz a din vremea babilonienilor  si a egipteni-
lor.Babilonienii pretindeau c a valoarea lui este25
8= 3:125, iar egiptenii au folosit
valoarea=256
81. Ceilalt i din Antichitate s-au mult umit s a foloseasc a simpla aproximare
=3, acest lucru este evident iat ^ n urm atorul pasaj biblic din Vechiul Testament :
" A f acut marea turnat a din aram a. Avea zece cot i de la o margine p^ an a la cealalt a,
era rotund a de tot, ^ nalt de cinci cot i  si, de jur ^ mprejur, se putea m asura cu un r de
treizeci de cot i" .
Primul calcul matematic riguros pentru determinarea valorii lui a fost realizat de
cel mai mare matematician al Antichit at ii, Arhimede din Siracuza ( 287-212 ^ . Hr.),
care a folosit o metod a geometric a bazat a pe poligoane regulate ^ nscrise  si circumscrise
unui cerc. El a demonstrat dou a relat ii fundamentale despre perimetrele  si ariile
poligoanelor regulate, astfel pentru un cerc de raz a ravem:
b1=un hexagon inscris cu p1perimetru  si a1arie;
B1=un hexagon circumscris cu P1perimetru  si A1arie;
^In continuare, e b2,…,bn, care desemneaz a poligoane regulate ^ nscrise cu 6
2;:::;6

2nlaturi.
Analog, e B2,…,Bnpentru poligoane circumscrise.
Urm atoarele formule dau relat iile dintre perimetrele  si ariile acestor 6
2npoligoane:
Pn+1=2
pn
Pn
pn+Pnpn+1=ppn
Pn
an+1=pan
An An+1=2
an+1
An
an+1+An.
Atunci pentru un cerc cu diametrul d si un poligon regulat circumscris acestui cerc,
cu perimetrul Pnrezult a c a= lim
n!1Pn
d. Deci cu c^ at poligonul are mai multe laturi cu
at^ at aproximarea lui este mai exact a.
Folosind un poligon regulat cu 96 de laturi Arhimede a demonstrat:
310
71< < 31
7.
Nimeni nu a fost capabil s a ^ mbun at at iasc a metoda lui Arhimede multe secole la r^ and,
de si un num ar de persoane au folosit aceast a metod a general a pentru a obt ine apro-
xim ari mai exacte pentru .
6

Spre exemplu, astronomul Ptolemeu (100-178 d. Hr.) a folosit pentru valoarea
317
120=3:141666:::. De asemenea romanii au calculat suprafet e circulare utiliz^ and
armat ia:
"O roat a cu diametrul de 4 picioare are un perimetru de 121
2picioare."
Aceasta ofer a aproximarea : 31
8.
Iarchinezii , chiar ^ nainte de anul 100 d.Hr. au utilizat 3, dar au folosit  si apro-
ximareap
10(3:16). Matematicianul chinez Tsu Chung-Chin a folosit metode
ale lui Arhimede pentru a calcula cu  sapte cifre corecte. El a oferit dou a seturi de
aproxim ari:
=22
7 si=355
113.
De asemenea el a ar atat c a :
3:1415926<< 3:1415927.
Un alt rezultat nu s-a obt inut ^ n Europa p^ an a ^ n anul 1500.
Cea mai bun a aproximare a lui a fost dat a ^ n anul 500 d.Hr. de c atre matematicianul
indian Aryabatha utiliz^ and urm atoarea descriere:
"Adunat i 4 la 100, ^ nmult it i totul cu 8  si ad augat i 62000. Rezultatul este aproxi-
mativ circumferint a unui cerc al c arui diametru este 20000."
Desigur acest lucru implic a:
(100+4)
8+62000
20000=3177
1250=3:1416.
Totu si, aproximarea folosit a deobicei de indieni a fostp
10.
^In jurul anului 263 d.Hr. Liu Hui a descoperit o metod a riguroa a pentru a calcula
valorile lui . Acest matematician a utilizat un poligon cu 3072 laturi  si a obt inut
pentruvaloarea aproximativ a 3 :1416. Metoda folosit a de el a fost:
=A3072=3
28
vuuuuut2vuuuut2 +vuuut2 +vuut2 +s
2 +r
2 +q
2 +p
2 +p2 + 13:1416.
Cu ajutorul metodei lui Liu Hui folosind un poligon regulat de 12288, matematicianul
Zu Chongzhi a obt inut ^ n anul 480 d. Hr. faptul c a =355
113 si de asemenea a demon-
strat c a 3:1415926<< 3:1415927.
^In anul 833 d.Hr. matematicianul Al-Khwarizmi , considerat p arintele algebrei, a
utilizat dou a aproxim ari pentru num arul  si anume:
=31
7 si=62832
20000=3:1416.
Iar ^ n anul 1436 Al-Kashi ofer a pentru valoarea:
26:2831853071795865.
Acest fapt este unul extrem de impresionant pentru vremea respectiv a.
7

Nume An Zecimale corecte
Babilonieni 2000 ^ .Hr. 1
Egipteni 2000 ^ .Hr. 1
Chinezi 1200 ^ .Hr 1
Vechiul Testament 550 ^ .Hr. 1
Arhimede 250 ^ .Hr. 3
Ptolemeu 150 d.Hr. 3
Liu Hui 263 d.Hr. 5
Tsu Chung-Chin 480 d.Hr. 7
Aryabatha 500 d.Hr 4
Al-Khwarizmi 833 d.Hr. 4
Al-Khasi 1436 d.Hr. 14
Tab.1 Istoria timpurie a calculului lui 
1.2 Istoria modern a a lui 
Matematicianul francez Fran cois Vi ete (1540-1603), a descoperit prima formul a
direct a pentru calculul num arului :
2
=p
2
2
p
2+p
2
2
q
2+p
2+p
2
2


.
Aceast a este o formul a u sor de obt inut dintr-un p atrat inscriptibil  si succesiv dubl^ and
num arul de laturi obt inem un octagon, un hexadecagon. Utiliz^ and notat ia anpentru
aria unui poligon inscriptibil cu n laturi si aplic^ and formula:
a2n=an
sec
2
recursiv, ^ ncep^ and cu n= 4. ^In urma acestor calcule Vi ete a obt inut 10 zecimale
exacte pentru (El a aplicat principiul lui Arhimede).
Ludolph van Ceulen , un alt matematician care a calculat cu 20 de zecimale
exacte. Ulterior a ajuns s a calculeze cu 31 de zecimale, acest lucru i-a adus o enorm a
satisfact ie, ind at^ at de m^ andru de realizarea sa ^ nc^ at a dorit s a-i e gravate pe piatra
funerar a zecimalele lui descoperite ce el. Datorit a acestei descoperiri num arul era
numit uneori constanta lui Ludolph, av^ and ^ n vedere c a la vremea respectiv a nu era
^ nc a cunoscut sub numele de .
Alte descoperiri f acute ^ n leg atur a cu acest num ar provin de la clericul, cripto-
graful  si matematicianul englez John Wallis (1616-1703) care a descoperit formula
produsului innit de numere naturale pentru :
2
=1
3
3
5
5
7



2
2
4
4
6
6


()1Q
k=14k21
4k2=2

Acest produs a condus ulterior la descoperirea funct iei gamma.
Matematicianul  si primul pre sedinte al Societ at ii Regale din Londra, lord William
Brouncher (1620-1684) a dat prima fract ie continu a  si innit a pentru , care s-a bazat
pe produsul innit descoperit de Wallis.
2
=1
1+9
2+25
2+49
2+


.
Matematicianul scot ian James Gregory (1637-1675) a descoperitbine cunoscuta
formul a:xR
0dt
1+t2=arctg (x)=xx3
3+x5
5x7
7+



^Inlocuindx= 1 ^ n relat ia de mai sus se obt ine:
8


4=11
3+1
51
7+



Aceast a serie ^ ns a converge extrem de ^ ncet deoarece e devoie de peste 600 de termeni
pentru a calcula cu dou a zecimale exacte. Matematicianul german Gottfried Lei-
bniz a descoperit independent ^ n anul 1674 aceea si ecuat ie ca  si cea descoperit a de
Gregory.
Seria dat a de Gregory  si Leibniz a fost utilizat a de Abraham Sharp (1651-1742)
pentru a calcula cu 72 de zecimale exacte.
John Machin (1680-1751), un profesor de astronomie de la Colegiul Gresham a
obt inut 100 de zecimale exacte pentru calculul lui , utiliz^ and formula :

4=4arctg1
5arctg1
239.
^Intre anii 1665-1666, Issac Newton a calculatcu ajutorul formulei particulare:
=3p
3
4+ 24(1
121
5
251
28
27+


)=3p
3
4+ 241
4R
0p
xx2dx
 si a obt inut 15 zecimale. Newton a pornit de la o serie descoperit a de el pentru funct ia
arcsin :
arcsin (x)=x+1
x3
2
3+1
3
x5
2
4
5+1
3
5
x7
2
4
6
7+1
3
5
7
x9
2
4
6
8
9+


.
Din aceast a formul a num arul poate  calculat not^ and arcsin (1
2)=
6:
Englezul William Shanks (1812-1882), un matematician amator a calculat ^ n anul
1874, folosind formula lui Machin 707 zecimale pentru , dar mai t^ arziu a constatat
c a ^ ncep^ and de la cea de a 527 zecimal a calculul a fost eronat. Pentru a obt ine aceste
zecimale exacte sunt necesari 510 termeni obt inut i din formula lui Machin.
Leonhard Euler (1707-1783), considerat cel mai mare matematician din toate tim-
purile, n ascut la BaseL^ n Elvet ia  si studiind matematica sub conducerea  si^ ndrumatrea
lui Johann Bernoulli. Euler a descoperit noi formule pentru , spre exemplu ^ n anul
1779 a determinat formula:
=20arctg1
78arctg3
79
poate  calculat din aceast a formul a utiliz^ and seria lui Gregory.
El a mai descoperit si urm aroarele formule pentru :
9

Capitolul 2
Titlul capitolului 2
2.1 Titlul sect iunii 2.1
2.2 Titlul sect iunii 2.2
…etc…
10

Bibliograe
[1] Autori, Titlu carte, Editura, An aparit ie.
[2] Autori, Titlu articol, Nume jurnal Num ar (An aparit ie), pag. start – pag. nal.
[3] Descriere resurs a online, URL: https://www.google.com
11