s Cioar a Rahela-Angela [606666]

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
– INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat] s Cioar a Rahela-Angela
TIMIS OARA
2019

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
PROGRAMUL DE STUDII DE LICENT  A: MATEMATIC A
– INFORMATIC A
DEFINIREA NUM ARULUI 
COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat] s Cioar a Rahela-Angela
TIMIS OARA
2019

Abstract
abstractul in limba engleza
3

Cuprins
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Istoria faimosului num ar  6
1.1 Istoria timpurie a lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Istoria modern a a lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Calculul lui ^ n era calculatoarelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Determinarea zecimalelor lui cu ajutorul
calculatoarelor(1910-1980) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Determinarea zecimalelor lui cu ajutorul
calculatoarelor(1980-prezent) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Natura num arului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Serii convergente la  si expresii care ^ l cont in pe  19
4

Introducere
introducere
5

Capitolul 1
Istoria faimosului num ar 
1.1 Istoria timpurie a lui 
Dorint a de a ^ nt elege num arul  si nevoia de a calcula valori tot mai precise ale
acestei constante au provocat matematicienii de-a lungul mai multor secole.
Primele ^ nregistr ari despre num arul dateaz a din vremea babilonienilor  si a egipteni-
lor.Babilonienii pretindeau c a valoarea lui este25
8= 3:125;iaregiptenii au folosit
valoarea=256
81:Ceilalt i din Antichitate s-au mult umit s a foloseasc a simpla aproxi-
mare=3, acest lucru este evident iat  si ^ ntr-un pasaj biblic din Vechiul Testament .
Primul calcul matematic riguros pentru determinarea valorii lui a fost realizat de
cel mai mare matematician al Antichit at ii, Arhimede din Siracuza ( 287-212 ^ . Hr.),
care a folosit o metod a geometric a bazat a pe poligoane regulate ^ nscrise  si circumscrise
unui cerc. El a demonstrat dou a relat ii fundamentale despre perimetrele  si ariile
poligoanelor regulate, astfel pentru un cerc de raz a ravem:
b1=un hexagon inscris cu p1perimetru  si a1arie;
B1=un hexagon circumscris cu P1perimetru  si A1arie;
^In continuare, e b2,…,bn, care desemneaz a poligoane regulate ^ nscrise cu 6
2;:::;6

2nlaturi.
Analog, e B2,…,Bnpentru poligoane circumscrise.
Urm atoarele formule dau relat iile dintre perimetrele  si ariile acestor 6
2npoligoane:
Pn+1=2
pn
Pn
pn+Pnpn+1=p
pn
Pn
an+1=p
an
An An+1=2
an+1
An
an+1+An:
Atunci pentru un cerc cu diametrul d si un poligon regulat circumscris acestui cerc,
cu perimetrul Pnrezult a c a= lim
n!1Pn
d. Deci cu c^ at poligonul are mai multe laturi
cu at^ at aproximarea lui este mai exact a.
Folosind un poligon regulat cu 96 de laturi Arhimede a demonstrat:
310
71<< 31
7:
Nimeni nu a fost capabil s a ^ mbun at at easc a metoda lui Arhimede multe secole la r^ and,
6

de si un num ar de persoane au folosit aceast a metod a general a pentru a obt ine apro-
xim ari mai exacte pentru .
Spre exemplu, astronomul Ptolemeu (100-178 d.Hr.) a folosit pentru valoarea 317
120=3:141666:::.
De asemenea romanii au calculat suprafet e circulare utiliz^ and armat ia:
"O roat a cu diametrul de 4 picioare are un perimetru de 121
2picioare."
Aceasta ofer a aproximarea : 31
8.
Iarchinezii , chiar ^ nainte de anul 100 d.Hr. au utilizat 3, dar au folosit  si aproxi-
mareap
10(3:16). Matematicianul chinez Tsu Chung-Chin a folosit metode ale
lui Arhimede pentru a calcula cu  sapte cifre corecte. El a oferit dou a seturi de
aproxim ari:
=22
7
 si
=355
113:
De asemenea el a ar atat c a :
3:1415926<< 3:1415927:
Un alt rezultat nu s-a obt inut ^ n Europa p^ an a ^ n anul 1500.
Cea mai bun a aproximare a lui a fost dat a ^ n anul 500 d.Hr. de c atre matematicianul
indian Aryabatha utiliz^ and urm atoarea descriere:
"Adunat i 4 la 100, ^ nmult it i totul cu 8  si ad augat i 62000. Rezultatul este aproxi-
mativ circumferint a unui cerc al c arui diametru este 20000."
Desigur acest lucru implic a:
(100 + 4)
8 + 62000
20000= 3177
1250= 3:1416:
Totu si, aproximarea folosit a de obicei de indieni a fostp
10.
^In jurul anului 263 d.Hr. Liu Hui a descoperit o metod a riguroa a pentru a calcula
valorile lui . Acest matematician a utilizat un poligon cu 3072 laturi  si a obt inut
pentruvaloarea aproximativ a 3 :1416. Metoda folosit a de el a fost:
A3072= 3
28
vuuuuuut2vuuuuut2 +vuuuut2 +vuuut2 +vuut
2 +s
2 +r
2 +q
2 +p
2 + 13:1416:
Cu ajutorul metodei lui Liu Hui folosind un poligon regulat de 12288, matematicianul
Zu Chongzhi a obt inut ^ n anul 480 d. Hr. faptul c a =355
113 si de asemenea a demon-
strat c a 3:1415926<< 3:1415927.
7

^In anul 833 d.Hr. matematicianul Al-Khwarizmi , considerat p arintele algebrei, a uti-
lizat dou a aproxim ari pentru num arul  si anume:
= 31
7
 si
=62832
20000= 3:1416:
^In anul 1436 Al-Kashi ofer a pentru valoarea:
26:2831853071795865 :
Acest fapt este unul extrem de impresionant pentru vremea respectiv a.
Nume An Zecimale corecte
Babilonieni 2000 ^ .Hr. 1
Egipteni 2000 ^ .Hr. 1
Chinezi 1200 ^ .Hr 1
Vechiul Testament 550 ^ .Hr. 1
Arhimede 250 ^ .Hr. 3
Ptolemeu 150 d.Hr. 3
Liu Hui 263 d.Hr. 5
Tsu Chung-Chin 480 d.Hr. 7
Aryabatha 500 d.Hr 4
Al-Khwarizmi 833 d.Hr. 4
Al-Khasi 1436 d.Hr. 14
Tabela 1.1: Istoria timpurie a calculului lui 
1.2 Istoria modern a a lui 
Matematicianul francez Fran cois Vi ete (1540-1603), a descoperit prima formul a di-
rect a pentru calculul num arului :
2
=p
2
2
p
2 +p
2
2
q
2 +p
2 +p
2
2


:
Aceast a este o formul a u sor de obt inut dintr-un p atrat inscriptibil  si succesiv dubl^ and
num arul de laturi obt inem un octagon, un hexadecagon. Utiliz^ and notat ia anpentru
aria unui poligon inscriptibil cu n laturi  si aplic^ and formula:
a2n=an
sec
2
8

recursiv, ^ ncep^ and cu n= 4. ^In urma acestor calcule Vi ete a obt inut 10 zecimale
exacte pentru ( a aplicat principiul lui Arhimede).
Ludolph van Ceulen , un alt matematician care a calculat cu 20 de zecimale
exacte. Ulterior a ajuns s a calculeze cu 31 de zecimale, acest lucru i-a adus o enorm a
satisfact ie, ind at^ at de m^ andru de realizarea sa ^ nc^ at a dorit s a-i e gravate pe piatra
funerar a zecimalele lui descoperite ce el. Datorit a acestei descoperiri num arul era
numit uneori constanta lui Ludolph, av^ and ^ n vedere c a la vremea respectiv a nu era
^ nc a cunoscut sub numele de .
Alte descoperiri f acute ^ n leg atur a cu acest num ar provin de la clericul, criptograful
 si matematicianul englez John Wallis (1616-1703) care a descoperit formula produsului
innit de numere naturale pentru :
2
=1
3
3
5
5
7



2
2
4
4
6
6


()1Y
k=14k21
4k2=2
:
Acest produs a condus ulterior la descoperirea funct iei gamma.
Matematicianul  si primul pre sedinte al Societ at ii Regale din Londra, lord William
Brouncher (1620-1684) a denit prima fract ie continu a  si innit a pentru , care s-a
bazat pe produsul innit descoperit de Wallis.
2
=1
1 +9
2+25
2+49
2+


:
Matematicianul scot ian James Gregory (1637-1675) a descoperit bine cunoscuta
formul a:
xZ
0dt
1 +t2=arctg (x) =xx3
3+x5
5x7
7+



^Inlocuindx= 1 ^ n relat ia de mai sus se obt ine:

4= 11
3+1
51
7+


:
Aceast a serie ^ ns a converge extrem de ^ ncet deoarece e nevoie de peste 600 de termeni
pentru a calcula cu dou a zecimale exacte. Matematicianul german Gottfried Leibniz
a descoperit independent ^ n anul 1674 aceea si ecuat ie ca  si cea descoperit a de Gregory.
Seria dat a de Gregory  si Leibniz a fost utilizat a de Abraham Sharp (1651-1742)
pentru a calcula cu 72 de zecimale exacte.
John Machin (1680-1751), un profesor de astronomie de la Colegiul Gresham a
obt inut 100 de zecimale exacte pentru calculul lui , utiliz^ and formula :

4= 4arctg1
5arctg1
239:
^Intre anii 1665-1666, Issac Newton a calculatcu ajutorul formulei particulare:
=3p
3
4+ 24(1
121
5
251
28
27+


) =3p
3
4+ 241
4Z
0p
xx2dx
9

 si a obt inut 15 zecimale. Newton a pornit de la o serie descoperit a de el pentru funct ia
arcsin :
arcsin (x) =x+1
x3
2
3+1
3
x5
2
4
5+1
3
5
x7
2
4
6
7+1
3
5
7
x9
2
4
6
8
9+


:
Din aceast a formul a num arul poate  calculat not^ and arcsin (1
2) =
6:
^In anul 1874 englezul William Shanks (1812-1882), un matematician amator, a cal-
culat 707 zecimale pentru folosind formula lui Machin. Acesta a constatat mai t^ arziu
c a ^ ncep^ and de la cea de a 527 zecimal a calculul a fost eronat. Pentru a obt ine aceste
zecimale exacte sunt necesari 510 termeni obt inut i din formula lui Machin.
Leonhard Euler (1707-1783), considerat cel mare matematician din toate timpurile,
s-a n ascut la Basel ^ n Elvet ia  si a studiat matematica sub conducerea  si ^ ndrumatrea
lui Johann Bernoulli. Euler a descoperit noi formule pentru , spre exemplu ^ n anul
1779 a determinat formula:
= 20arctg1
78arctg3
79
poate  calculat din aceast a formul a utiliz^ and seria lui Gregory.
El a mai descoperit  si urm aroarele formule pentru :
2
6=1X
n=11
n2;
4
90=1X
n=11
n4;
6
945=1X
n=11
n6;
8
9450=1X
n=11
n8;
10
93955=1X
n=11
n10:
…
Aceast a list a se continu a cu sume de numere ^ ntregi p^ an a la 26. Euler a atribuit
simbolul modern pentru pi, "", av^ and ^ n vedere faptul c a John Wallis a folosit prima
dat a
pentrupi. De asemenea, ^ n 1801 Euler a folosit simbolul modern pentru e si
i=p1. El a mai demonstrat  si cea mai important a relat ie matematic a:
ei+ 1 = 0:
10

Nume An Zecimale
Fran cois Vi ete 1593 9
Ludolph van Ceulen 1596 20
Ludolph van Ceulen 1615 31
Newton 1665 16
Sharp 1699 72
Machin 1706 100
Shanks 1874 527
Tabela 1.2: Istoria modern a a calculului lui 
1.3 Calculul lui ^ n era calculatoarelor
1.3.1 Determinarea zecimalelor lui cu ajutorul
calculatoarelor(1910-1980)
Datorit a dezvolt arii tehnologiei calculatoarelor din anii 1950, a fost calculat cu
mii si mai apoi cu milioane de zecimale. Aceste calcule au fost facilitate de desco-
perirea unor algoritmi avansat i pentru efectuarea cu precizie a unor operat ii aritme-
tice pe calculator. Spre exemplu, ^ n 1965 s-a constatat c a noua formul a descoperit a
FFT(Transformarea rapid a Fourier) poate  folosit a pentru a efectua multiplic ari cu
o precizie mult mai mare fat  a de metodele convent ionale.
Aceste metode au oferit o reducere dramatic a a timpului de calcul necesar pentru
determinarea valorii lui  si, bine^ nt eles, a altor constante.
Cu toate acestea, p^ an a ^ n anii 1970, toate calculele computerizate pentru au
folosit formulele clasice, de obicei formule derivate din cea a lui Machin.
Unele din noile formule ale seriilor innite au fost descoperite de c atre matematicianul
indian Ramanujan ^ n jurul anului 1910. Una dintre acestea este remarcabila formul a:
1
=2p
2
98011X
k=0(4k)!(1103 + 26390 k)
(k!)4
(394)4k: (1.1)
Fiecare termen al acestei serii genereaz a opt cifre corecte ^ n rezultat, deci aceast a
formul a este mai ecient a dec^ at cele clasice, totu si are aceea si proprietate referitoare
la faptul c a num arul de termeni care trebuie calculat i cre ste proport ional cu num arul
de cifre dorite pentru .
Gosper a folosit aceast a formul a a lui Ramanujan pentru a calcula 17 milioane de
cifre ale lui ^ n anul 1985.
D.F.Ferguson (1945-1947) a folosit urm atoarea formul a:

4= 3tg1(1
4) +tg1(1
20) +tg1(1
1:985) (1.2)
11

 si a constatat c a valoarea celei de a 528 zecimal a nu coincidea cu cea dat a de William
Shanks. ^In 1946 el a aproximat la 620 de zecimale, iar ^ n ianuarie 1947 la 710
zecimale. ^Ins a, ^ n aceea si lun a, William Shanks a folosit formula lui Machin pentru a
calcula 808 zecimale ale lui , dar Ferguson a g asit o eroare la cea de a 723 zecimal a.
Pentru toate aceste calcule Ferguson a folosit un calculator de birou. De asemenea, ^ n
1948, Ferguson ^ mpreun a cu John William Wrench Jr., folosind un simplu calculator
de birou, au calculat 1.200 de zecimale ale lui . Acest record a fost dep a sit doar de
calculele electronice.
^In septembrie 1949, John Wrench  siL.R.Smith au fost primii care au calculat 
la 2.037 de zecimale cu ajutorul computerului ENIAC. Pentru acest calcul au folosit o
formul a de tip Machin. ^In acest proiect a fost implicat  si John Louis von Neumann ,
unul dintre cei mai inteligent i matematicieni ai secolului XX.
G.E. Felton a folosit, ^ n martie 1957, computerul Ferranti Pegasus pentru a de-
termina 10.021 zecimale ale lui ^ n 33 de ore. Programul s-a bazat pe formula lui
Klingenstierna:
= 32arctg (1
10)4arctg (1
239)16arctg (1
515) (1.3)
Cu toate acestea, o vericare ulterioar a a ar atat c a a ap arut o eroare astfel ^ nc^ at numai
7480 de zecimale au fost corecte. Rularea programului a fost repetat a ^ n mai 1958,
^ ns a varianta corect a nu a mai fost publicat a.
Francois Genuys a programat, ^ n ianuarie 1958, un IBM 704 la Centrul de Pre-
lucrare a Datelor din Paris. El a folosit o formul a de tip Machin  si a obt inut 10.000
de zecimale, ^ ntr-o or a  si 40 de minute. Un alt rezultat remarcabil obt inut este cel
din iulie 1959, iar ^ n urma acestuia, Genuys, a obt inut 16.167 zecimale ^ n 4 ore  si 30
minute.
Daniel Shanks (1917-1996)  si William Shanks au folosit, ^ n iulie 1961, formula
lui St ormer pe un IBM 7090 pentru a calcula la 100.265 zecimale, dintre care primele
100.000 de cifre au fost publicate. Timpul necesar acestui calcul a fost de 8 ore  si 43
de minute. Ei au vericat calculele folosind formula lui Gauss, care a necesitat 4 ore
 si 22 de minute.
^In februarie 1966, Jean Guilloud  siJ. Filliatre au folosit un IBM 7030 pentru
a obt ine o aproximare a lui la 250.000 zecimale. Ei au folosit formulele lui St ormer
 si Gauss, iar tot acest calcul a durat aproape 28 de ore.
De asemenea, ^ n februarie 1967, Guilloud  siM. Dichampt au utilizat CDC
(Control Data Corporation) 6600 la Paris pentru a aproxima la 500.000 zecimale.
Pentru aceasta, au folosit formulele lui St ormer  si Gauss. Calculatorul care a generat
o jum atate de milion de cifre a necesitat doar 26 de ore  si 40 de minute (plus o or a  si
30 de minute pentru a converti rezultatul nal din baza binar a ^ n cea zecimal a).
^In 1976 Eugene Salamin  siRichard Brent au descoperit ^ n mod independent
un nou algoritm pentru , algoritm care se bazeaz a pe media aritmetic a  si geometric a
 si pe unele idei preluate de la Gauss din 1800. Acest algoritm determin a aproxim ari
care converg mult mai rapid la , ind suciente 25 de iterat i pentru a calcula 45 de
milioane de zecimale exacte pentru .
Descrierea algoritmului Salamin-Brent:
Algoritm 1.3.1 .Fiea0=1,b0=1p
2 sis0=1
2. Pentruk= 1;2;3;


calcul am:
ak=ak1+bk1
2
12

bk=p
ak1
bk1
ck=a2
kb2
k
sk=sk12k
ck
pk=2a2
k
sk.
Deci:(an+bn)2
4sn. Astfel avem c a ecare iterat ie a acestui algoritm, aproximativ,
dubleaz a num arul de zecimale corecte ale lui .
^Incep^ and cu anul 1985, Jonathan  siPeter Borwein au descoperit alt i algoritmi
pentru aproximarea lui pi, unul dintre ace sti algoritmi este urm atorul:
Algoritm 1.3.2 .Fiea0=1
3 sis0=(p
31)
2. Atunci:
rk+1=3
1+2(1s3
k)1
3
sk+1=rk+11
2
ak+1=r2
k+1
ak3k(r2
k+11).
Avem c a1
akconverge cubic la , deci ecare iterat ie a acestui algoritm, aproximativ,
tripleaz a num arul de cifre corecte.
Un alt algoritm, este cel quartic:
Algoritm 1.3.3 .Fiea0=64p
2  siy0=p
21. Atunci:
yk+1=1(1y4
k)1
4
1+(1y4
k)1
4
ak+1=ak(1yk+1)422k+3yk+1(1 +yk+1+y2
k+1).
Avem c aakconverge quartic la1
.
Mai recent s-a ar atat c a exist a algoritmi care genereaz a aproxim ari convergente de
gradul m pentru ,8m.
1.3.2 Determinarea zecimalelor lui cu ajutorul
calculatoarelor(1980-prezent)
Primul calcul pe calculator al lui a fost efectuat pe ENIAC (Electronic Numerical
Integrator and Computer ). ENIAC a fost construit ^ n Aberdeen, Maryland de c atre
armata SUA. Acest calculator a avut 10 metri^ n alt ime, a ocupat 1.800 de metri p atrat i
 si a c^ ant arit 30 de tone. Calculul din 1949 al lui la 2037 de zecimale, calcul realizat
de ENIAC, a durat 70 de ore. ^In 1965, ENIAC a devenit ^ nvechit  si a fost dezmembrat
 si mutat la institut ia Smithsonian, ca pies a de muzeu.
Matematicianul japonez, Yasumasa Kanada , a descoperit noi metode compu-
terizate pentru calculul lui la nivel ridicat de precizie. ^Inainte de implementarea
metodelor lui Kanada, a fost calculat, cu ajutorul calculatoarelor, la 2037 de zeci-
male ^ n timp ce calculat manual,s-au obt inut pentru 707 zecimale, de-alungul a 15
ani de efort. ^In 1988, Kanada a calculat valoarea lui la peste 200 de milioane de
zecimale ^ n  sase ore pe un super calculator. Algoritmul 1.3.3 ^ mpreun a cu cel a lui
Salamin-Brent au fost folosite de Yasumasa Kanada, ^ n mai multe calcule ale lui ^ n
ultimii peste 10 ani. ^In ultimele dintre aceste calculele Kanada a obt inut peste 6.4
miliarde de zecimale pe un supercomputer Hitachi.
13

Gosper a folosit, pentru a calcula la 17 milioane de cifre, ^ n 1985, o serie de tip
Ramanujan, seria 1.1. De fapt, Gosper a calculat mai ^ nt^ ai o fract ie simpl a continu a
pentru, sper^ and s a descopere ni ste lucruri noi ^ n expansiunea sa, dar nu a g asit
nimic.
David  siGregory Chudnovsky de la Universitatea Columbia au f acut, de
asemenea, unele estim ari de ^ nalta precizie a lui ^ n ultimii ani, altern^ and cu Kanada
pentru recordul mondial. Calculul lor cel mai recent (1994) a produs peste patru
miliarde de cifre pentru . Ei nu au folosit un algoritm precum cel al lui Salamin-
Brent sau al lui Borwein, dar ^ n schimb au folosit urm atoarea serie innit a:
1
= 121X
k=0(1)k(6k)!(13591409 + 545140134 k)
(3k)!(k!)36403203k+3
2(1.4)
Fiecare termen din aceast a serie produce 14 zecimale corecte ale lui .
^In timp ce seria Ramanujan  si Chudnovsky sunt, ^ n practic a, considerabil mai e-
ciente dec^ at formulele clasice, acestea ^ mp art a sesc proprietatea c a num arul de termeni
necesari cre ste liniar cu num arul de zecimale dorite: dac a se dore ste s a se calculeze de
dou a ori mai multe zecimale ale lui , trebuie su a se evalueze de dou a ori mai mult i
termeni din aceste serii.
^Inainte de 1996, majoritatea cercet atorilor au crezut c a pentru a determina a n
a zecimal a a lui , ar trebuit s a se genereze primele nzecimale. Acest lucru nu este
adev arat, cel put in pentru baz a 16 sau binar a (baza 2). ^In 1996, Peter Borwein, Ploue
 si Bailey( BBP ) au g asit un algoritm pentru calculul cifrelor hexa individuale ale lui
. Acesta ofer a un  sir de hexazecime( sau binare) cu lungime modest a pentru , este
implementabil pe orice calculator modern, nu necesit a software multiplu de precizie,
necesit a foarte put in a memorie  si are un cost de calcul care cre ste doar put in mai
repede dec^ at pozit ia numeric a. Spre exemplu, cifra binar a de patru milioane a lui a
putut  g asit a ^ n patru secunde pe un computer Apple 2005. Acest algoritm s-a bazat
pe o nou a formul a descoperit a pentru :
=1X
i=01
16i(4
8i+ 12
8i+ 41
8i+ 51
8i+ 6) (1.5)
^In 1997, Fabrice Bellard de la INRIA a calculat 152 de cifre binare ale lui 
^ ncep^ and cu pozit ia trilion. Calculul a durat 12 zile pe 20 de stat ii de lucru care au
lucrat ^ n paralel pe internet. Schema Bellard se bazeaz a pe urm atoarea relat ie:
= 41X
k=0(1)k
4k(2k+ 1)1
641X
k=0(1)k
1024k(32
4k+ 1+8
4k+ 2+1
4k+ 3) (1.6)
.
^In 1998, Colin Percival , atunci un student de 17 ani de la Universitatea Simon
Fraser, a accesat 25 de ma sini pentru a calcula mai ^ nt^ ai cifra hexazecimal a de cinci
miliarde a lui  si apoi cea de zece miliarde. ^In luna septembrie a anului 2000, el a
constatat c a cifra binar a de patru miliarde este 0, un calcul care a necesitat utilizarea
a 1734 de ma sini ^ n 56 de t  ari.
^In decembrie 2002, Kanada a calculat la peste 1,24 trilioane cifre zecimale.
Echipa lui a calculat ^ n hexazecimal (baza 16) la 1.030.700.000.000 de locuri, fo-
losind urm atoarele dou a relat ii:
14

= 48tg11
49+ 128tg11
5720tg11
239+ 48tg11
110443(1.7)
= 176tg11
57+ 28tg11
23948tg11
682+ 96tg11
12943: (1.8)
Relat ia 1.7 a fost descoperit a ^ n 1982 de K. Takano, profesor de liceu  si compozitor
de melodii. Cea de-a doua formul a a fost g asit a de F. C. W. Stormer ^ n 1896.
Kanada a vericat rezultatele  si apoi a convertit secvent a de cifre din baza 16 ^ n baza
zece, acest procedeu necesit a un calcul masiv. Kanada  si echipa sa au evaluat aceste
dou a formule utiliz^ and o schem a analog a cu cea utilizat a de Chudnovsky ^ n calculele
lor. Kanada a folosit un sistem de memorie de 1 Tbyte  si a obt inut de  sase ori mai
multe cifre, pentru a ajunge la acest rezultat au fost necesare 600 de ore de rulare pe
un calculator Hitachi.
Kanada a reu sit s a- si conrme calculul din 2002 ^ n numai 21 de ore prin calcularea
unui  sir de 20 de cifre hexagonale ^ ncep^ and cu cifra trilioane  si compar^ and acest  sir cu
 sirul hexagonal pe care la obt inut init ial ^ n peste 600 de ore.
Daisuke Takahashi a calculatla peste 2.649 trilioane de cifre zecimale^ n 2009^ n
luna ianuarie, calcul care a durat 64 ore 14 minute cu 6732 GB de memorie principal a  si
73 ore 28 minute cu 6348 GB de memorie principal a (cele dou a calcule s-au diferent iat
numai ^ n ultimele 139 de zecimale). ^In luna aprilie, Takahashi  si-a m arit recordul la
2.576.980.377.524 de zecimale.
Aproape de sf^ ar situl lui 2009, Fabrice Bellard a calculat aproape 2,7 miliarde de
zecimale ale lui folosind seria Chudnovsky. Acest lucru a durat 131 de zile, ^ ns a el
a folosit doar o singur a stat ie de lucru cu 4 nuclee.
Alexander Yee  siShigeru Kondo , ^ n august 2010 au anunt at c a au folosit
formula Chudnovsky pentru a calcula 5 trilioane de cifre pe o perioa a de 90 de zile, ^ n
special pe un sistem Intel Xeon cu dou a nuclee, cu 96 GB de memorie. Ei au conrmat
rezultatul^ n dou a moduri, folosind formula BBP, care a necesitat 66 de ore  si o variant a
a formulei BBP datorat a lui Bellard, care a necesitat 64 de ore. Transformarea de la
baza binar a la cea zecimal a necesar a a fost 8 zile. Acest record a fost majorat la 10
trilioane de cifre ^ n octombrie 2011.
Ast azi, recordul mondial este det inut de c atre Peter Trueb  si Alexander Yee, record
obt inut la data de 11 noiembrie 2016, peste 22 de trilioane de zecimale.
15

Data Nume Implementare/Observat ii Timp Zecimale
1946 D. F. Ferguson Calculator de birou – 620
ianuarie 1947 D. F. Ferguson Calculator de birou – 710
1947 D. F. Ferguson Calculator de birou – 808
1948 D. F. Ferguson  si John Wrench Calculator de birou – 1.200
1949 John Wrench  si L. R. Smith ENIAC 70 ore 2.037
1958 George E. Felton Ferranti Pegasus 33 ore 10.021
ianuarie 1958 Francois Genuys IBM 704 1 or a  si 40 de minute 10.000
iulie 1959 Francois Genuys IBM 704 (Paris) 4 ore  si 30 de minute 16.167
iulie 1961 Daniel Shanks  si William Shanks IBM 7090 8 ore  si 43 minute 100.265
februarie 1966 Jean Guilloud  siJ. Filliatre IBM 7030 28 ore 250.000
februarie 1967 Jean Guilloud  si M. Dichampt CDC 6600(Paris) 28 ore 500.000
1988 Yasumasa Kanada HITAC S-820/80 – 201.326.551
octombrie 1985 Bill Gosper Symbolics 3670 – 17,526,200
18 mai 1994 Gregory V. Chudnovsky  si David V. Chudnovsky – – 4.044.000.000
11 octombrie 1995 Yasumasa Kanada  si Daisuke Takahashi HITAC S-3800/480 (dual CPU) – 6.442.450.000
24 noiembrie 2002 Yasumasa Kanada  si echipa sa HITACHI SR8000/MPP (Japonia) 600 ore 1.241.100.000.000
29 aprilie 2009 Daisuke Takahashi T2K Open Supercomputer 29 ore 2.576.980.377.524
31 decembrie 2009 Fabrice Bellard Core i7 CPU 131 zile 2.699.999.990.000
2 august 2010 Shigeru Kondo  si Alexander Yee 2 x Intel Xeon X5680 90 zile 5.000.000.000.000
17 octombrie 2011 Shigeru Kondo  si Alexander Yee – 371 zile 10.000.000.000.50
11 noiembrie 2016 Peter Trueb  si Alexander Yee 4 x Xeon E7-8890 105 zile 22,459,157,718,361
Tabela 1.3: Calculul lui ^ n era calculatoarelor
1.4 Natura num arului 
Motivat ia pentru calculul lui , de-a lungul timpului a fost aceea de a vedea dac a ^ n
toate zecimalele lui apar repet ari care ar  permis s a se arme faptul c a reprezint a
raportul dintre dou a numere. ^Ins a aceast a problem a a fost stabilit a ^ n secolul 18 de
c atre matematicianul Johann Lambert, care a ar atat pentru prima dat a c a este
irat ional.[ ?, p. 12]
Johann Lambert (1728-1777), n ascut ^ n Frant a, ul unui croitor s arac, a fost totu si
capabil s a se bucure de compania celor mai mari matematicieni din acea vreme, ma-
tematicieni precum Lagrange  si Euler.
^In anul 1761 el a demonstrat c a dac a xeste un num ar rat ional nenul, atunci nici
num arulex, nicitg(x) nu pot  rat ionali, a ar atat acest lucru utiliz^ and fract ia con-
tinu a dat a de Euler pentru e^ n 1737.
De asemenea, Adrien Marie Legendre (1752-1833) a demonstrat, ^ n anul 1794, c a
 si2sunt irat ionale.
Teorema 1.4.1. Num aruleste un num ar irat ionl.
Demonstrat ie. Fie=a
b, coecientul ^ ntregilor pozitivi. Denim funct ile polino-
miale:
f(x) =xn(abx)n
n!
F(x) =f(x)f(2)(x) +f(4)(x)


+ (1)nf(2n)(x);
n un num ar ^ ntreg pozitiv. Deoarece n!f(x) are coecient i ^ ntregi  si termenii care
cont in necunoscuta xnu sunt de grad mai mic dec^ at n,f(x) si derivatele sale f(i)(x)
au valori ^ ntregi pentru x=0, de asemenea,  si pentru x==a
bau valori ^ ntregi
16

deoarecef(x) =f(a
bx). Avem:
d
dxfF0(x)sinxF(x)cosxg=F00(x)sinx +F(x)sinx =f(x)sinx
 si
Z
0f(x)sin(x)dx= [F0(x)sinxF(x)cosx]=
0=F() +F(0): (1.9)
Avem c aF() +F(0) este ^ ntreg, de asemenea, fi()  sifi(0) sunt ^ ntregi. Dar pentru
0<x< :
0<f(x)sinx<nan
n!
,
integrala (1.9) este pozitiv a, dar arbitrar mic a pentru n sucient de mare. Astfel (1.9)
este fals a, deci presupunerea f acut a este fals a rezult a c a num arul este irat ional.
Remarca 1.4.1. Aceast a demonstrat ie interesant a referitoare la irat ionalitatea lui 
a fost dat a de Ivan Niven [ ?] ^ n 1947.
O alt a problem a legat a de natura lui a fost urm atoarea ^ ntrebare : dac a se a
 a
printre solut iile unei ecuat ii algebrice cu coecient i rat ionali.
R aspunsul a venit ^ n 1882, c^ and Lindemman (1852-1939) a demonstrat c a este un
num ar transcendent. Lindemann a ar atat c a dac a a;b;c;


 sim;n;r;


sunt numere
algebrice atunci ecuat ia:
aem+ben+cer+


=0
nu are solut ii rat ionale. Deci ecuat ia:
eix+ 1=0
nu poate s a existe dac a xeste un num ar algebric.Utiliz^ and celebra formul a a lui Euler:
ei+ 1=0.
rezult a, deci, c a nu poate  algebric, el ind un num ar transcendent.
Demonstrat ia lui Lindemann[?]r aspunde la ^ ntrebarea grecilor antici, dac a se poate
construi un p atrat cu aria egal a cu cea a unui cerc de raz a dat a, folosind compasul  si
rigla. R aspunsul este negativ, deoarece numerele constructibile sunt numere algebrice.
Numerele transcendente au fost descoperite, ^ n anul 1844, de c atre Joseph Liouvi-
lle(1809-1882), el ar at^ and c a toate numerele Liouville sunt transcendente. Iar ^ n anul
1873, Charles Hermite (1822-1901) a demonstrat ca eeste transcendent, ar at^ and c a
acesta nu poate  solut ie a unei ecuat ii polinomiale cu coecient ii rat ionali.
De asemenea, ^ n anul 1953, Kurt Mahler (1903-1988) a ar atat c a nu este un
num ar Liouville.
Denit ia 1.4.1. Un num ar real xeste numit num ar Liouville dac a pentru orice
num ar ^ ntreg pozitiv n,9^ ntregiip siq, cuq>1 astfel ^ nc^ at:
0<jxp
qj<1
qn(1.10)
17

Teorema 1.4.2 (Teorema lui Ghelfond-Schneider) .Dac a numerele x siysunt numere
algebrice cu x =2f0;1g;y =2Qatuncixyeste un num ar transcendent.
Teorema 1.4.3. Num aruleeste transcendent.
Demonstrat ie.
18

Capitolul 2
Serii convergente la  si expresii
care ^ l cont in pe 
Num arul, considerat o constant a zic a: =Lungime cerc
Diamectru cerc=LC
DC, este, ^ nc a,
unul dintre cele mai inexplicabile  si misterioase rezultate ale creativit at ii umane, ex-
primat printr-un num ar innit de ecuat ii.
Teorema 2.0.1 ( Leibnitz-Gregory) .Are loc urm atoarea formul a:
1
11
3+1
51
7+1
91
11+


=
4= 0:78539816


(2.1)
Demonstrat ie. Fie
tg(y) =x=)y=arctg (x);d
dx(tg(y)) = 1:
Dind
dx(tg(x)) =sec2(x)  sisec(y) =1
cos(y)rezult a c asec2(y)
dy
dx= 1  sidy
dx=
1
sec2(y)=1
1 +x2.
S tim c a:
1
1 +x2= 1x2+x4x6+


(2.2)
Integr am ambii membri ai relat iei 2.2:
1Z
1dy
dx
dx=1Z
11
1 +x2dx=1Z
1(1x2+x4x6+


)dx
 si obt inemy=xx3
3+x5
5x7
7+


de unde rezult a c a arctg (x) =xx3
3+x5
5x7
7+



Fiex=1 deciarctg (1) =
4pentru care se obt ine:

4= 11
3+1
51
7+


:
19

Remarca 2.0.1. Matematicianul scot ian, James Gregory(1638-1675) a descoperit se-
ria 2 ^ n 1671.
Independent de descoperirea acestuia, marele matematician german, Gottried Leibnitz(1646-
1716) a descoperit aceea si serie ^ n 1674.
Observat ia 2.0.1. Prin urmare, aceast a ecuat ie poart a numele de seria Leibnitz-
Gregory. Din p acate aceast a sum a tinde la valoarea extrem de lent, ind necesar
de aproximativ 600 de termeni pentru a determina valoarea corect a a lui cu dou a
zecimale.
Teorema 2.0.2 (Euler) .Are loc seria:
X
n01
n2=1
12+1
22+1
32+1
42+1
52+1
62+


=2
6
Demonstrat ie. Pornin de la extinderea binomului:
(a+x)2=a2+ 2ax+x2
(a+x)3=a3+ 3a2x+ 3ax2+x3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a+x)n=a0+a1x+a2x2+


+xn;
undea0;a1;a2;


sunt constante, coecient ii termenilor din expresie.
Fie funct ia f(x)=a0+a1x+a2x2+


+xn. Pentrur1;r2;


;rn, r ad acinile funct iei
fscriem sub form a de produse de diferit i termeni funct ia  si obt inem:
f(x) = (xr1)(xr2) + (xr3)




(xrn)
^Imp art ind ecuat ia de mai sus cu r1r2


rn si rearanj^ and termenii putem scrie funct ia
sub urm atoarea form a:
f(x) = (1x
r1)(1x
r2)(1x
r3)


(1x
rn) (2.3)
Dinsin(x)
x= 1x2
3!+x4
5!x6
7!+


 si 2.3 putem scrie ecuat ia sub form a de produs
de factori:
sin(x)
x= (1x2
r1)(1x2
r2)(1x2
r3)



Deci
(1x2
r1)(1x2
r2)(1x2
r3)


= 1x2
3!+x4
5!x6
7!+



^Inmult ind membrul drept  si echival^ and coecient ii termenilor corespunz atori obt inem
pentru coecient ii lui x2:
1
3!=(1
r1+1
r2+


)
Pentrusin(x)=0 obt inem x=, 2, 3,


, asta deoarece sin()=0,sin(2)=0,
sin(3)=0,


.
Pentrusin(x)
x=0, (12
r1)=0, (1(2)2
r2)=0,



20

r1=2,r2=(2)2,r3=(3)2,



1
3!=(1
2+1
(2)2+1
(3)2+


) ceea ce implic a1
6=1
2(1 +1
22+1
32+


)
rezult a2
6= 1 +1
22+1
32+


.
Observat ia 2.0.2. ^In secolele 17-18 matematicienii au c autat diferite modalitat i de
^ nsumare a seriilor innite. Printre cele mai interesante dintre aceste serii este suma
inversului p atratelor tuturor numerelor ^ ntregi pozitive. Lipsa unei solut ii pentru aceast a
serie nu a ^ nsemnat faptul c a nu s-au f acut ^ ncerc ari. ^Ins a o rezolvare a fost dat a de
Euler.
Remarca 2.0.2. Leonhard Euler(1707-1783) un mtematician elvet ian, dar  si unul
dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile. ^In 1734, la 27 de ani, Euler
a rezolvat, d^ and pentru aceast a serie solut ia2
6, pun^ and astfel cap at c aut arilor f acute
de generat ii de matematicieni.
Alte serii descoperite de Euler :
Teorema 2.0.3. Are loc urm atoarea relat ie:
S1=1
12+1
32+1
52+1
72+


=2
8(2.4)
Demonstrat ie. Fie seriaX
n01
n2=2
6, care este absolut convergent a, deci dezvolt^ and
suma obt inem:
S=2
6=1
12+1
22+1
32+1
42+1
52+1
62+


=
= (1
12+1
32+1
52+


)+(1
22+1
42+1
62+


) = (1
12+1
32+1
52+


)+1
4(1
12+1
22+1
32+1
42+


) =
= (1
12+1
32+1
52+


) +1
4
S
rezult a:
S1
4
S=1
12+1
32+1
52+



3
4S=1
12+1
32+1
52+


=S1
deciS1=3
4
2
6=2
8de unde rezult a 2.4.
Teorema 2.0.4. Are loc reprezentarea:
S2=1
22+1
42+1
62+1
82+


=2
24(2.5)
21

Demonstrat ie. Din demonstrat ia teoremei 2.4 rezult a:
1
4
2
6=1
4(1
12+1
22+1
32+1
42+


)
care implic a2
24=1
22+1
42+1
62+


deciS2=2
24rezult a 2.5
Teorema 2.0.5. Are loc suma:
S3=1
121
22+1
321
42+


=2
12(2.6)
Demonstrat ie. Calcul^ and:
2
82
24= (1
12+1
32+1
52+


)(1
22+1
42+1
62+


)
obt inem
2
12=1
121
22+1
321
42+1
521
62+



rezult aS3=2
12din care rezult a relat ia 2.6 .
Teorema 2.0.6 (Formula lui Euler) .Are loc urm atoarea formul a:
arctg (1
n) =arctg (1
n+ 1) +arctg (1
n(n+ 1) + 1) (2.7)
Demonstrat ie. S tim c a
tg(ab) =tg(a)tg(b)
1 +tg(a)
tg(b):
Fietg(a)=A sitg(b)=Bimplic aarctg (A)=a siarctg (B)=b. rezult a
tg(ab)=AB
1 +A
Bdeciab=arctg (AB
1 +A
B) ceea ce implic a
arctg (A)arctg (B)=arctg (AB
1 +A
B).
FieA=1
n siB=1
n+ 1rezult aarctg (1
n)arctg (1
n+ 1) =arctg (1
n1
n+1
1 +1
n
1
n+1) =arctg (1
n(n+ 1) + 1)
 si obt inem arctg (1
n) =arctg (1
n+ 1) +arctg (1
n(n+ 1) + 1) .
Corolarul 2.0.1. Din formula lui Euler se deduce relat ia:
arctg (1
1) =arctg (1
2) +arctg (1
3)
Demonstrat ie. Din relat ia 2.7  si pentru n=1 obt inem arctg (1
1)=arctg (1
2) +arctg (1
3)
.
Observat ia 2.0.3. Formul a 2.7 este cunoscut a ca ind "Formula lui Euler", care a
fost publicat a pentru prima dat a ^ n 1738.
22