Lucrare de Licent a [606601]

Universitatea din Craiova
Facultatea de S tiint e
Departamentul de Matematic a
Lucrare de Licent  a
S iruri de funct ii
Coordonator  stiint ic:
Prof. Univ. Dr. Mihai Mih ailescu
Absolvent: [anonimizat]
2017

Cuprins
1 Introducere 2
2 Convergent a punctual a  si convergent a uniform a a  sirurilor
de funct ii 3
2.1 Convergent a uniform a a  sirurilor de funct ii . . . . . . . . . . 3
2.2 Criterii de convergent  a uniform a . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Propriet at i ale  sirurilor uniform convergente . . . . . . . . . . 12
3 Serii de funct ii 24
3.1 Convergent a uniform a a seriilor de funct ii . . . . . . . . . . . 24
3.2 Criterii de convergent  a uniform a . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Propriet at i ale seriilor uniform convergente . . . . . . . . . . . 32
4 Aproximarea uniform a a funct iilor continue 37
4.1 Teorema lui Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Spat iul C(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Mult imi relativ compacte ^ n C(K) . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1

Capitolul 1
Introducere
Lucrarea de fat  a trateaz a problema convergent ei punctuale  si a convergent ei
uniforme ^ n cadrul  sirurilor de funct ii  si, respectiv, a seriilor de funct ii.
^In Capitolul 2 sunt introduse not iunile de convergent  a punctual a  si
convergent  a uniform a a  sirurilor de funct ii, detaliate prin numeroase exem-
ple, precum  si unele teoreme  si criterii referitoare la acestea. Urmeaz a apoi
prezentarea unor propriet at i care se transmit prin convergent  a uniform a.
Capitolul 3 este dedicat seriilor de funct ii, unde se pune accent pe denirea
seriilor punctual convergente, seriilor absolut convergente  si a seriilor uniform
convergente, precum  si unele teoreme  si criterii referitoare la acestea. Ultima
sect iune din capitol trateaz a transmiterea unor propriet at i prin convergent  a
uniform a, precum  si un exemplu prin care se dovede ste c a exist a o funct ie
continu a pe R;care nu este derivabil a ^ n niciun punct din R:
Ultimul capitol (Capitolul 4) prezint a Teorema lui Weierstrass, cu nume-
roase aplicat ii^ n domeniul funct iilor monotone denite pe intervale compacte.
Urmeaz a prezentarea spat iului funct iilor continue, despre care se arat a c a este
un spat iu Banach. ^In ultima sect iune este tratat a Teorema de compactitate
Arzel a-Ascoli, cu un rol deosebit de important ^ n Analiza Matematic a  si ^ n
alte domenii.
Lucrarea se dore ste a  un \ survey " (otrecere ^ n revist a ) al (a) rezultatelor
fundamentale legate de teoria  sirurilor (seriilor) de funct ii. ^In acest sens au
fost consultate urm atoarele referint e bibliograce: Ignat, Ion & Mih ailescu
[1], Precupanu [3], Rudin [5]&[6], unde tematica abordat a ^ n lucrarea de fat  a
este bine reprezentat a.
2

Capitolul 2
Convergent a punctual a  si
convergent a uniform a a
 sirurilor de funct ii
2.1 Convergent a uniform a a  sirurilor de funct ii
Fie (X;d) un spat iu metric, A(X;d)  sifn:A!Run  sir de funct ii.
Pentru un punct x02Aspunem c a ( fn(x0))n0reprezint a  sirul numeric al
valorilor funct iilor ^ n x0. Dac a acest  sir numeric este convergent, atunci x0
este un punct de convergent  a al  sirului de funct ii ( fn)n0.
Mult imea tuturor punctelor de convergent  a ale  sirului de funct ii ( fn)n0se
va numi mult imea de convergent  a a  acestui sir.
Fiefn:A!Run  sir de funct ii  si E A mult imea de convergent  a a
 sirului de funct ii ( fn)n0. Funct ia
f:E!R;f(x) = lim
n!1fn(x)
este numit a funct ia limit a a  sirului de funct ii ( fn)n0.
Exemplu 2.1. Fie(fn)n0; fn: [0;1]!R; fn(x) =nx+ 2
nx2+ 3.
Distingem urm atoarele cazuri:
3

(i)dac ax= 0;atunci
lim
n!1fn(x) = lim
n!12
3=2
3;
(ii)dac ax2(0;1];atunci
lim
n!1fn(x) = lim
n!11 +2
nx
x+3
nx=1
x:
Urmeaz a c a mult imea de convergent  a a  sirului de funct ii (fn)n0este
[0;1], iar funct ia limit a este descris a astfel :
f: [0;1]!R;f(x) =(
2
3; x = 0
1
x; x6= 0:
Denit ie 2.1. FieA(X;d) sifn:A!Run  sir de funct ii. Vom spune
c a(fn)n0converge punctual sau simplu pe A la funct ia f:A!Rdac a
pentru orice x2A; sirul numeric (fn(x))n0este convergent la f(x).
Adopt am notat ia : fnp !
Afc^ andn!1 .
Cu alte cuvinte, pentru orice x 2A  si orice">0;exist a un rang n";x2N
astfel ^ nc^ at
(2.1) jfn(x)f(x)j<";8nn";x:
Am v azut deja ^ n Exemplu 2.1. un model de convergent  a punctual a.
Exemplu 2.2. Consider am  sirul de funct ii denit de fn(x) =nx(1x)n
pe[0;1]. Ne propunem s a ar at am c a acest  sir converge punctual la funct ia
f(x) = 0 .
Observ am imediat c a fn(0) =fn(1) = 0;8n2N. S a presupunem acum
0<x< 1,de unde rezult a
lim
n!1fn(x) = lim
n!1nxenln(1x)=xlim
n!1nenln(1x)= 0;
deoarece ln(1x)<0c^ and 0<x< 1. Practic, am ar atat c a fnp!
[0;1]0.
4

Av^ and ^ n vedere cele dou a exemple de mai sus, constat am c a acest tip
de convergent  a nu asigur a transferul unor propriet at i precum m arginirea,
continuitatea  si derivabilitatea de la termenii  sirului de funct ii c atre funct ia
limit a.
DinExemplu 2.1 , scoatem ^ n evident  a c a termenii  sirului ( fn)n0sunt
funct ii derivabile pe [0 ;1], iar funct ia limit a nu este nici m acar continu a pe
acest interval, ind discontinu a ^ n x= 0. Din aceste motive este necesar a
introducerea unui nou concept mai puternic de convergent  a.
Denit ie 2.2. FieA(X;d) sifn:A!Run  sir de funct ii. Spunem c a
 sirul (fn)nconverge uniform pe mult imea A la funct ia fdac a pentru orice
">0;exist a un rang n"2Nastfel ^ nc^ at
(2.2) jfn(x)f(x)j<";8nn";8x2A:
Vom nota aceast a convergent  a prin fnu !f(pe A) sau fnu !
Af.
Sesiz am imediat c a rangul n";xintrodus ^ n (2.1) nu mai depinde de x,iar
diferent ajfn(x)f(x)jpoate  sucient de mic a de la un rang n"^ ncolo,
indiferent de valoarea lui x2A.
Interpretarea geometric a a convergent ei uniforme este: pentru 8">0;9
un rangn"2Nastfel ^ nc^ at8nn"gracele funct iilor fnsunt cuprinse
^ ntre gracele funct iilor f" sif+".
Observat ie 1. Dac a un  sir de funct ii converge uniform la funct ia fpe
mult imea A, atunci  sirul converge  si punctual la fpe A.
Observat ie 2. Convergent a punctual a nu implic a convergent a uniform a.
^In acest sens, vom considera exemplul prezentat la Exemplu 2.2. A sa
cum am v azut, fnp!
[0;1]0.
Fie"=1
4 si s a presupunem c a fnu!
[0;1]fpentrun!1:Atunci exist a un
rangn"2Nastfel ca :
jfn(x)j<1
4;8nn";8×2[0;1]:
Pentrux=1
navemfn1
n=
11
nn
Euler!
n!11
e, ^ n contradict ie cu ine-
galitatea de mai sus. Astfel, prin acest contraexemplu, am ar atat faptul c a
fn6u !fpentrun!1 .
5

Observat ie 3. Fiefn:A!Run  sir de funct ii, care converge punctual la
funct iafpe mult imea A. Atunci fnu !
Af() pentru8" >0mult imea
fn";xjx2Ageste m arginit a.
Demonstrat ie.
\ =)"este evident a.
\(= " Cum mult imeafn";xjx2Ageste m arginit a atunci exist a mar-
ginea superioar a a acestei mult imi (^ n R), pe care o not am cu M. Fien0
primul num ar natural mai mare dec^ at M. Atunci, pentru orice nn0avem
jfn(x)f(x)j<";8x2A,i.e.fnu !
Af.
2.2 Criterii de convergent  a uniform a
Se poate obt ine imediat urm atorul criteriu de convergent  a uniform a, util
atunci c^ and limita  sirului este cunoscut a de la bun ^ nceput, sau se poate
determina facil.
Teorema 2.1. FieA(X;d) sifn:A!Run  sir de funct ii. Atunci  sirul
(fn)n0converge uniform pe A la funct ia fdac a  si numai dac a
(2.3) lim
n!1
sup
x2Ajfn(x)f(x)j
= 0:
Demonstrat ie.
\ =)"
Dac afnu !
Af,atunci conform Denit iei 2.2 rezult a c a pentru 8" > 0
exist an"2Nastfel ^ nc^ at
(?)jfn(x)f(x)j<"
2;8nn";8x2A;
de unde obt inem prin trecere la supremum
(??) sup
x2Ajfn(x)f(x)j"
2<";8nn";
i.e.
lim
n!1
sup
x2Ajfn(x)f(x)j
= 0:
\(= "
6

^In acest caz, presupunem c a (2.3) este ^ ndeplinit a, de unde reiese c a
pentru orice ">0 exist a un rang n"2Na sa ^ nc^ at
sup
x2Ajfn(x)f(x)j<";8nn";
de unde va rezulta c a
jfn(x)f(x)j<";8nn";8x2A;
lucru care asigur a c a fnu !
Af. Concluzia este acum clar a. 
Observat ie 4. Teorema 2.1 are un caracter deosebit de important ^ n practic a
^ ntruc^ at, dup a determinarea funct iei limit a a unui  sir de funct ii ^ n sensul
convergent ei punctuale, cu aceast a teorem a se poate verica dac a convergent a
este sau nu uniform a.
Exemplu 2.3. Consider am urm atorul  sir de funct ii :
(fn)n0;fn:R!R;fn(x) =x
1 +nx2:
Prin calcule elementare se observ a c a fnp !
R0:^Incerc am s a vedem dac a
obt inem  si convergent  a uniform a. Cum fneste derivabil a avem
f0
n(x) =1 +nx22nx2
(1 +nx2)2=1nx2
(1 +nx2)2:
Punem condit ia ca f0
n(x) = 0 pentru a obt ine punctele critice :
() 1nx2= 0()x=1pn; de unde semnul derivatei ne spune
c a punctul x=1pneste punct de minim  si punctul x=1pneste punct de
maxim pentru fn. De asemenea, cum
lim
x!1fn(x) = 0;
aceste puncte sunt chiar de extrem absolut.
Deoarece
fn
1pn
=1
2pn
7

rezult a c a
lim
n!1
sup
x2Rjfn(x)0j
= lim
n!11
2pn= 0;
ceea ce dovede ste faptul c a fnu !
R0:
Vom preciza ^ n continuare un alt criteriu care constituie o adaptare a
criteriului de convergent  a Cauchy pentru  siruri, ment ion^ and ^ n esent  a faptul
c a dac a  sirurile numerice ( fn(x))n0sunt fundamentale ^ n mod uniform, ^ n
sensul c a rangul indicat ^ n condit ia Cauchy depinde doar de ", nu  si de
x, atunci (fn)n0este uniform convergent. La fel ca  si ^ n cazul  sirurilor
numerice, nu este neap arat necesar s a se cunoasc a limita  sirului de funct ii,
similar cu ceea ce s-a ^ nt^ amplat ^ n cazul criteriului din Teorema 2.1.
Teorema 2.2 (Criteriul lui Cauchy) .FieA(X;d) sifn:A!Run
 sir de funct ii. Atunci  sirul (fn)n0converge uniform pe A c atre o funct ie
f:A!Rdac a  si numai dac a pentru orice " >0;exist a un rang n"2N
astfel ^ nc^ at
(2.4)jfn(x)fm(x)j<";8m; nn";8x2A:
Demonstrat ie.
\ =)"
Pentru aceast a parte vom presupune c a fnu !
Af. Atunci conform Denit iei
2.2 rezult a c a pentru 8">0 exist an"2Nastfel ^ nc^ at
(2.5) jfn(x)f(x)j<"
2;8nn";8x2A:
Consider am acum m; nn" si din relat ia (2.5) deducem c a
jfn(x)fm(x)jjfn(x)f(x)j+jf(x)fm(x)j<"
2+"
2=";8x2A;
i.e. (2.4).
\(= "
Reciproc, s a presupunem c a pentru 8">0 exist an"2Nastfel ^ nc^ at are
loc relat ia ( ?)
(?)jfn(x)fm(x)j<"
2;8m; nn";8x2A:
8

Atunci, pentru orice x2Axat,  sirul numeric ( fn(x))n0este  sir fun-
damental (Cauchy). Conform criteriului de convergent  a Cauchy pentru  siruri
rezul a c a exist a limita sa, i.e. g asim o funct ie f:A!Rastfel ^ nc^ at pentru
oricex2Aavemf(x) = lim
n!1fn(x) , ceea ce ne spune c a feste de fapt
funct ia limit a a  sirului ( fn)n^ n sensul convergent ei punctuale din capitolul
anterior.
Fix am ^ n relat ia ( ?)nn" si l as amm!1  si obt inem
jfn(x)f(x)j= lim
m!1jfn(x)fm(x)j"
2<";8nn";8x2A;
mai precisfnu !
Af. Astfel, demonstrat ia teoremei este ^ ncheiat a. 
Observat ie 5. Dac a un  sir satisface condit ia din Teorema 2.2, atunci vom
spune c a acesta este un  sir uniform fundamental sau uniform Cauchy  si ^ n
acest caz putem prezenta o form a echivalent a a teoremei anterioare :
Teorema 2.3. FieA(X;d) sifn:A!Run  sir de funct ii. Atunci  sirul
(fn)n0este uniform convergent pe A c atre o funct ie f:A!Rdac a  si
numai dac a pentru orice ">0;exist a un rang n"2Nastfel ^ nc^ at
(2.6)jfn(x)fn+p(x)j<";8nn";8p2N;8x2A:
Exemplu 2.4. Fie(fn)n0,fn: [0;1)!R; fn(x) =xarctan(nx).
S a ar at am c a  sirul (fn)n0este uniform convergent pe [0;1).
Folosim Criteriul lui Cauchy. Fie ">0. Atunci
(?)jfn(x)fn+p(x)j=xjarctan(nx)arctan(n+p)xj
=xarctanpx
1 + (n+p)nx2
< x arctanpx
(n+p)nx2
< xpx
(n+p)nx2
=p
n(n+p)=1
n1
n+p<1
n:
Acum se impune ca1
n<", de unde rezult a c a pentru nn"=1
"
+ 1
are loc
jfn(x)fn+p(x)j<";8nn";8p2N;8×2[0;1):
9

Astfel, conform Teoremei 2.3, urmeaz a c a (fn)n0este uniform convergent.
Ca o remarc a, ^ n prelucrarea relat iei ( ?) de mai sus, am t inut cont de c^ ateva
rezultate de trigonometrie:
arctanxarctany= arctanxy
1 +xy, dac axy>1;
arctanxx;8×2[0;1):
Teorema 2.4 (Criteriul major arii) .FieA(X;d) sif; fn:A!R. Dac a
exist a un  sir de numere reale pozitive (n)n0, convergent la 0, astfel ^ nc^ at
(2.7)jfn(x)f(x)jn;8n2N;8x2A;
atuncifnu !
Af.
Demonstrat ie. Fix am">0 arbitrar. Cum lim
n!1n= 0 rezult a c a exist a
n"2Nastfel ^ nc^ at n<";8nn":
Deoarece (2.7) are loc, mai mult
jfn(x)f(x)jn;8nn";8x2A;
 si utiliz^ and rezultatul din Teorema 2.1, reiese imediat c a fnu !
Af.
Exemplu 2.5. Fie(fn)n0;fn: [0;1]!R;fn(x) =sinnx
n2+ 1:
Evident lim
n!1fn= 0 si atunci evalu am cantitatea
jfn(x)0j=jsinnxj
n2+ 11
n2+ 1;8n2N;8×2[0;1]:
Mai mult,
lim
n!11
n2+ 1= 0;
lucru care asigur a, conform Teoremei (2.4), faptul c a fnconverge uniform
c atre funct ia f: [0;1]!R;f(x) = 0 pentrux2[0;1]:
A sa cum am remarcat ^ n Observat ia 1, dac a un  sir ( fn)n0converge uni-
form la o funct ie fpe o mult ime, atunci converge  si punctual la aceea si
funct ie pe acea mult ime dar, reciproca nu este adev arat a (Exemplu 2.2).
Vom ar ata, ^ n cele ce urmeaz a, c a ^ n anumite condit ii, cu totul deosebite,
convergent a punctual a se poate transforma^ n convergent a uniform a. ^In acest
sens prezent am urm atorul criteriu :
10

Teorema 2.5 (Criteriul lui Dini) .Fie(X;d)un spat iu metric compact  si de
asemenea o funct ie continu a f:X!R:Dac afn:X!Reste un  sir de
funct ii continue pe X astfel ^ nc^ at
f1(x)f2(x):::fn(x)fn+1(x):::;8x2X;
iarfnp !
Xf, atuncifnu !
Xf.
Demonstrat ie. Fie">0 arbitrar. Facem urm atoarea notat ie
An=An(") =fx2X;jfn(x)f(x)j"g:
Cumf;fnsunt funct ii continue pe X, implicit obt inem c a
jfnfj1([";1)) =fx2X;jfn(x)f(x)j"g=An;
i.e.Aneste o mult ime ^ nchis a pentru orice n2N.
Darfnp !
Xf, ceea ce conduce la1\
n=1An=?:Imediat deducem c a are loc
identitatea :
X=Xn1\
n=1An=1[
n=1(XnAn):
DeoareceXeste compact,, mult imile fXnAngn2Nconstituie o acoperire
deschis a pentru acesta, de unde rezult a c a putem extrage o subacoperire des-
chis a nit a, adic a exist a
XnAi1;:::;XnAip
astfel^ nc^ at X=p[
k=1(XnAik);
de undep\
k=1Aik=?:
S a presupunem, f ar a a pierde din generalitate, c a ip= maxfi1;i2;:::;ipg:
Cum
A1A2:::AnAn+1:::
rezult a c aAip=?:Evident obt inem de fapt c a An=?;pentru orice nip:
Astfel, deducem c a pentru orice nn"=ipavem
jfn(x)f(x)j<";8nn";8x2X;
i.e.fnu !
Xf:
11

O alt a demonstrat ie a Teoremei 2.5 poate  g asit a ^ n [5, Theorem 7.13].
Observat ie 6. S a remarc am c a de fapt compactitatea este esent ial a ^ n acest
caz. De exemplu, dac a
(fn)n1; fn: (0;1)!R; fn(x) =1
nx+ 1;
atuncifnp!
(0;1)0 si este monoton a ^ n (0;1);dar convergent a nu este  si
uniform a.
2.3 Propriet at i ale  sirurilor uniform conver-
gente
Am v azut anterior c a prin convergent  a punctual a, propriet at ile de m arginire,
continuitate  si derivabilitate nu se transmit neap arat de la termenii  sirului
c atre funct ia limit a. Din acest motiv, vom ar ata ^ n cele ce urmeaz a c a meca-
nismul potrivit de transmitere a propriet at ilor uzuale este convergent a uni-
form a.
Teorema 2.6 (Transfer de m arginire) .FieA(X;d) sifn:A!Run  sir
de funct ii m arginite pe A. Dac a fnu !
Af, atuncifeste m arginit a pe A.
Demonstrat ie. Deoarecefnu !
Afrezult a c a pentru "= 1 exist an12N
astfel ^ nc^ at
(2.8) jfn(x)f(x)j<1;8nn1;8x2A:
Cumfn1este m arginit a pe A rezult a c a exist a un M1>0 astfel ^ nc^ at
(2.9) jfn1(x)jM1;8x2A:
Folosind informat iile din (2.8)  si (2.9) obt inem
jf(x)j=jf(x) +fn1(x)fn1(x)j
 jf(x)fn1(x)j+jfn1(x)j
<1 +M1=M;8x2A;
i.e.feste m arginit a pe A.
12

Teorema 2.7 (Transfer de existent  a a limitei ^ ntr-un punct) .FieA(X;d)
 sifn:A!Run  sir de funct ii uniform convergent pe Alaf. Dac ax0este
punct de acumulare pentru A
x02A0

 si exist a lim
x!x0fn(x);8n2N;atunci
exist a lim
x!x0f(x) si, ^ n plus, are loc egalitatea :
(2.10) lim
x!x0
lim
n!1fn(x)
= lim
n!1
lim
x!x0fn(x)
:
Demonstrat ie. Cumfnu !
Af, reiese c a, pentru orice " > 0, exist a un
rangn"2N, astfel ^ nc^ at
(?)jfn(x)f(x)j<"
3;8nn";8x2A:
Totodat a, pentru c a exist a lim
x!x0fn(x);8n2N;consider^ and n=n", avem:
8">0;9">0;astfel ^ nc^ at, pentru 8×0;x002A, cux06=x0; x006=x0 si
(??) d (x0;x00)<"=)jfn"(x0)fn"(x00)j<"
3:
Combin^ and relat iile ( ?)  si (??), deducem c a pentru orice " >0;exist a
">0;astfel ^ nc^ at, pentru 8×0;x002A, cux06=x0; x006=x0 si d (x0;x00)<";
avem:
jf(x0)f(x00)j  jf(x0)fn"(x0)j+jfn"(x0)fn"(x00)j+jfn"(x00)f(x00)j
<"
3+"
3+"
3=":
^In consecint  a, conform Teoremei Cauchy-Bolzano de existent  a a limitei unei
funct ii ^ ntr-un punct, exist a lim
x!x0f(x):
Trec^ and acum la limit a ( x!x0) ^ n (?), obt inem c a8" >0;9n"2N;
astfel ^ nc^ at pentru
lim
x!x0fn(x)lim
x!x0f(x)"
3<";8nn";8n2N:
Evident, acest lucru conduce la lim
n!1
lim
x!x0fn(x)
= lim
x!x0f(x);i.e. ega-
litatea (2.10). Teorema 2.7 este complet demonstrat a ^ n acest moment. 
13

Teorema 2.8 (Transfer de continuitate) .FieA(X;d) sifn:A!Run
 sir de funct ii continue ^ ntr-un punct x02A. Dac afnu !
Af, atuncifeste de
asemenea continu a ^ n x0.
Demonstrat ie. Deoarece funct iile fnsunt continue ^ n x02A, rezult a
c a lim
x!x0fn(x) =fn(x0);8n2N:De asemenea,  stim c a fnu !
Af, iar prin
aplicarea Teoremei 2.7, deducem c a exist a lim
x!x0f(x)  si are loc
lim
x!x0f(x) = lim
x!x0
lim
n!1fn(x)
= lim
n!1
lim
x!x0fn(x)
= lim
n!1fn(x0) =f(x0):
Deci,feste continu a ^ n x0.
Conform denit iei continuit at ii pe o mult ime, teorema anterioar a conduce
la urm atorul corolar.
Corolar 2.1. Dac afn:A!Reste un  sir de funct ii continue pe mult imea
A(X;d) sifnu !
Af, atuncifeste de asemenea continu a pe A.
Demonstrat ie. Cum funct iile fnsunt continue pe mult imea A;8n2N;
^ nseamn a c a fnsunt continue ^ n orice punct din A.
Atunci, pe baza rezultatului din Teorema 2.8, rezult a c a f, funct ia limit a
uniform a a  sirului ( fn)n0peA, este de asemenea continu a ^ n orice punct
din mult imea A. Prin urmare, feste continu a pe A.
Observat ie 7. Convergent a uniform a a unui  sir de funct ii constituie o
condit ie sucient a, nu ^ ns a  si necesar a, pentru transferul propriet at ilor de
m arginire, existent  a a limitei ^ ntr-un punct sau de continuitate. Exist a  siruri
de funct ii m arginite sau continue care, de si converg numai punctual, au
funct ia limit a cu aceea si proprietate.
^In acest sens, s a analiz am urm atoarea situat ie :
Exemplu 2.6. Fie(fn)n0;fn: [0;1]!R; fn(x) =nx
1 +n2x2:
Prin calcule elementare se observ a imediat c a lim
n!1fn(x) = 0;8×2[0;1]:
14

^In consecint  a, at^ at funct iile fn, c^ at  si funct ia limit a f= 0 sunt continue pe
[0;1]:Totu si, convergent a  sirului nu este  si uniform a.
^Intr-adev ar, cum fneste derivabil a, avem f0
n(x) =n(1n2x2)
(1 +n2x2)2;iar
f0
n(x) = 0() 1n2x2= 0()x=1
n; de unde semnul derivatei
ne spune c a punctul x=1
neste punct de minim  si punctul x=1
neste
punct de maxim pentru fn. De asemenea, cum
lim
x!0fn(x) = 0 =f(0) si lim
x!1fn(x) =n
1 +n2=f(1);
aceste puncte sunt chiar de extrem absolut.
De aici obt inem
lim
n!1"
sup
x2[0;1]jfn(x)j#
= lim
n!1n
1
n
1 +n2
1
n2= lim
n!11
2=1
2;
ceea ce dovede ste, conform Teoremei 2.1, faptul c a fn6u !0pe[0;1]:
Este previzibil ca nici integrabilitatea Riemann a funct iilor  sirului s a nu e
conservat a de convergent a punctual a. Pentru asta, s a consider am urm atorul
Exemplu 2.7. FieA=fr1;r2;:::;rn;:::gmult imea punctelor rat ionale din
[0;1] si'nfunct ia denit a ^ n felul urm ator
'n(x) =(
0; x2[0;1]nfr1;r2;:::;rng;8n2N
1; x2fr1;r2;:::;rng:
Se observ a c a 'neste discontinu a ^ n orice punct ri2A; i=1;n;^ n rest ind
continu a. Cu alte cuvinte, funct ia 'neste m arginit a  si are un num ar nit de
puncte de discontinuitate, fapt ce conduce la a arma c a 'neste integrabil a
Riemann pe [0;1](Teorema de integrabilitate a lui Lebesgue).
Pe de alt a parte,  sirul ('n)n0converge punctual pe [0;1]la funct ia
'(x) =(
0; x2[0;1]nA
1; x2A:
15

Consider am
n=
0;1
n;2
n;:::;n1
n;1
o diviziune a intervalului [0;1]
cu
k
nk= max
i=1;n(xixi1) =1
n!
n!10;
de unde

n(f;) =nX
i=1f(i) (xixi1)
=(
0;pentrui2[xi1;xi]\([0;1]nA);8i=1;n
1;pentrui2[xi1;xi]\A ;8i=1;n:
^In consecint  a, deducem c a nu exist a lim
n!1
n(f;);ceea ce antreneaz a c a '
nu este integrabil a ^ n sens Riemann pe intervalul [0;1].
Vom ar ata, totu si, c a proprietatea de integrabilitate ^ n sens Riemann este
conservat a de convergent a uniform a.
Teorema 2.9 (Transfer de integrabilitate) .Dac afn: [a;b]!Reste un
 sir de funct ii integrabile Riemann pe [a;b] sifnu!
[a;b]f, atuncifeste de
asemenea integrabil a Riemann pe [a;b]. Mai mult, are loc relat ia :
(2.11) lim
n!1Zb
afn(x) dx=Zb
af(x) dx:
Demonstrat ie. ^Intruc^ atfnu!
[a;b]f, reiese c a, pentru orice " >0, exist a
un rangn"2N, astfel ^ nc^ at
(2.12)jfn(x)f(x)j<"
4 (ba);8nn";8×2[a;b]:
^In particular, pentru fn"are loc
(?)fn"(x)"
4 (ba)<f(x)<fn"(x) +"
4 (ba);8×2[a;b]:
Prin urmare, e
n= (x0;x1;x2;:::;xn1;xn) o diviziune arbitrar a a inter-
valului [a;b] astfel ^ nc^ at a=x0<x 1<x 2<:::<x n1<xn=b.
16

Cumfn"este integrabil a Riemann, rezult a c a fn"este m arginit a  si ^  si
atinge marginile, e acestea
Mn"
i= sup
x2[xi1;xi]fn"(x)  simn"
i= inf
x2[xi1;xi]fn"(x);pentru8i=1;n.
^In continuare, caracteriz am funct ia integrabil a fn"^ n limbaj \"", uti-
liz^ and criteriul de integrabilitate a lui Darboux : 8" >0;9"=(")>0
astfel ^ nc^ at pentru orice diviziune
na intervalului [ a;b] cuk
nk<avem :

(fn";
n) =S(fn";
n)s(fn";
n) (2.13)
=nX
i=1Mn"
i(xixi1)nX
i=1mn"
i(xixi1)
=nX
i=1(Mn"
imn"
i) (xixi1)<"
2;
undeS(fn";
n)  sis(fn";
n) reprezint a suma superioar a ^ n sens Darboux,
respectiv suma inferioar a ^ n sens Darboux.
Dar (fn)n0este un  sir uniform convergent de funct ii m arginite pe [ a;b],
de unde deducem c a feste de asemenea m arginit a pe [ a;b] (din Teorema
2.6), deci m arginit a  si pe intervalele [ xi1;xi].
Not am prin Mi= sup
x2[xi1;xi]f(x)  simi= inf
x2[xi1;xi]f(x);8i=1;n;apoi
trecem la sup  si inf ^ n relat ia ( ?) pentrux2[xi1;xi] :
Mn"
i"
4 (ba)MiMn"
i+"
4 (ba); (2.14)
mn"
i"
4 (ba)mimn"
i+"
4 (ba): (2.15)
^Inmult im inegalitatea (2.15) cu 1 (pentru a nu avea restrict ii de sens), iar
apoi vom aduna inegalit at ile (2.14)  si (2.15) membru cu membru, adic a
Mn"
imn"
i"
2 (ba)MimiMn"
imn"
i+"
2 (ba);
de unde, prin ^ nmult ire cu xixi1obt inem
(Mimi) (xixi1)(Mn"
imn"
i) (xixi1) +"
2 (ba)(xixi1):
17

^In acest moment, ^ nsum am dup a i=1;naceast a ultim a inegalitate  si
tinem cont de relat ia (2.13) pentru a deduce c a

(f;
n) =S(f;
n)s(f;
n)
=nX
i=1(Mimi) (xixi1)
nX
i=1(Mn"
imn"
i) (xixi1) +"
2 (ba)nX
i=1(xixi1)
=
(fn";
n) +"
2<"
2+"
2=";
estimare ce are loc pentru orice diviziune
na intervalului [ a;b] cuk
nk<:
Deci, cu alte cuvinte, am ar atat c a feste integrabil a pe intervalul [ a;b]:
Acum, pentru a obt ine relat ia (2.11), t inem cont rezultatul din (2.12). ^In
acest sens, evalu am estimarea
Zb
afn(x) dxZb
af(x) dx=Zb
a(fnf) dx
Zb
ajfnfjdx
<"
4 (ba)(ba) ="
4<";
pentru8nn", i.e. (2.11). Demonstrat ia Teoremei 2.9 este complet a. 
Observat ie 8. S i pentru integrabilitatea funct iei limit a a unui  sir de funct ii,
convergent a uniform a constituie o condit ie sucient a, nu  si necesar a, dup a
cum se poate sesiza imediat din Exemplul 2.6, ^ n care funct iile  sirului sunt
integrabile,  sirul ind convergent punctual, f ar a a  uniform convergent, iar
funct ia limit a este de asemenea integrabil a. Mai mult, pentru acest exemplu
se ment ine  si egalitatea (2.11).
^Intr-adev ar, am v azut c a lim
n!1fn(x) = 0;8×2[0;1];deci implicit  si
Z1
0f(x) dx= 0;iar, pe de alt a parte,
Z1
0nx
1 +n2x2dx=1
2nln
1 +n2x2
1
0=ln (1 +n2)
2n!
n!10;
i.e. (2.11) este satisf acut a.
18

^In continuare, ne vom ocupa cu studiul unei alte propriet at i, anume
cea de derivabilitate, despre care, la prima vedere, s-ar putea crede c a  si
aceasta se transmite de la termenii unui  sir de funct ii c atre funct ia limit a
prin convergent  a uniform a. Cu alte cuvinte, dac a ( fn)neste un  sir de funct ii
derivabile pe un interval I sifnconverge uniform la f, atuncifeste deriva-
bil a peI?
Acest lucru nu este ^ ns a adev arat, a sa cum se poate observa din urm atorul
exemplu :
Exemplu 2.8. Fie(fn)n1;fn:R!R;
fn(x) =8
><
>:x1
2n; x1
n
n
2×2; x2
1
n;1
n

x+1
2n; x1
n:
Prin calcule elementare obt inem
f0
n(x) =8
><
>:1; x<1
n
nx; x2
1
n;1
n

1; x>1
n:
De asemenea, (f0
n)s
1
n
= (f0
n)d
1
n
=f0
1
n
=1 si
(f0
n)s1
n
= (f0
n)d1
n
=f01
n
= 1;fapt ce asigur a c a fneste derivabil a
^ nx1=1
n six2=1
n, deci este derivabil a pe Rpentru orice n1.
Fie acumf:R!R;f(x) =jxj si ne propunem s a demonstr am c a
fnu !
Rf.^In acest scop, evalu am estimarea
jfn(x)f(x)j=8
><
>:1
2n=1
2n; x 1
n n
2×2jxjn
2jxj2+jxj3
2n; x2
1
n;1
n

1
2n=1
2n; x 1
n:
^In consecint  a,jfn(x)f(x)j3
2n;8x2R, iar conform criteriului ma-
jor arii, prezentat ^ n Teorema 2.4, rezult a c a fnu !
Rf:Totu si, funct ia limit a
f(x) =jxjnu este derivabil a ^ n x= 0, deci proprietatea de derivabilitate nu
se transmite neap arat prin convergent  a uniform a.
19

S a observ am c a rezultatul din exemplul anterior nu este surprinz ator,
deoarece convergent a uniform a a unui  sir de funct ii este o proprietate global a,
m asur^ and, ^ ntr-un anumit sens, c^ at de \aproape" sunt termenii acestui  sir
de funct ii de funct ia limit a, ^ n timp ce derivabilitatea unei funct ii este o
proprietate local a, m asur^ and viteza de variat ie a acelei funct ii. ^In acest sens,
dou a funct ii pot avea valori \apropiate", dar valorile uneia dintre ele pot
varia cu mult mai repede dec^ at valorile celeilalte, e  si doar local, caz ^ n care
derivatele celor dou a funct ii nu vor  \apropiate" una de alta.
O alt a ^ ntrebare natural a este dac a convergent a uniform a a unui  sir de
funct ii (fn)n0atrage convergent a uniform a a  sirului derivatelor sale ( f0
n)n0:
R aspunsul la aceast a ^ ntrebare este de asemenea negativ, i.e. chiar dac a fn
converge uniform la f sifn; fsunt funct ii derivabile, atunci este posibil ca
 sirul derivatelor ( f0
n)n0s a nu convearg a la f0, a sa cum se poate observa din
urm atorul exemplu.
Exemplu 2.9. Fie(fn)n1;fn: [0;1]!R; fn(x) =xn
n:
Prin calcule elementare obt inem c a fnu!
[0;1]0:Totu si, deoarece f0
n(x) =xn1,
iarf0
n(1) = 1 = lim
n!1f0
n(1) sif0(1) = 0 , urmeaz a c a lim
n!1f0
n(1)6=f0(1). Prin
urmare, nici convergent a punctual a nici cea uniform a nu se transmit de la
termenii  sirului derivatelor (f0
n)n0c atre funct ia limit a f0.
Pentru derivarea termen cu termen a unui  sir de funct ii avem urm atorul
rezultat fundamental :
Teorema 2.10 (Transfer de derivabilitate) .FieIun interval m arginit pe R
 sifn:I!Run  sir de funct ii derivabile pe I. Dac a exist a un punct x02I
astfel ^ nc^ at  sirul (fn(x0))n0s a e convergent  si exist a o funct ie g:I!R
astfel ^ nc^ at f0
nu !
Ig, atunci :
1. exist a o funct ie f:I!Rastfel ^ nc^ at fnu !
If,  si
2.feste derivabil a pe I, iar derivata sa este f0=g, i.e.

lim
n!1fn0
= lim
n!1f0
n:
Demonstrat ie. Vom structura demonstrat ia Teoremei 2.10 ^ n trei etape :
20

I.Consider am  sirul de funct ii 'n:Infx0g!R, denit prin
(2.16) 'n(x) =fn(x)fn(x0)
xx0;
undex0este punct de convergent  a al  sirului ( fn)n0:Ne propunem s a dove-
dim c a ('n)n0este un  sir uniform convergent pe Infx0g, i.e.  sir uniform
Cauchy.
Din ipotez a deducem c a ( f0
n)n0este un  sir uniform Cauchy, deci pentru
orice">0, exist a un rang n"2Nastfel ^ nc^ at
(2.17)jf0
n(x)f0
m(x)j<";8m; nn";8x2I:
Fie acum cantitatea
(2.18)j'n(x)'m(x)j=1
xx0[fn(x)fn(x0)fm(x) +fm(x0)];
pentru8x2Infx0g:
^In continuare, not am cu h(x) =fn(x)fm(x);8x2I si observ am c a
hsatisface condit iile impuse ^ n Teorema de medie a lui Lagrange. Atunci
pentru orice x2Infx0g;exist a cel put in un punct 2(x0;x) astfel ^ nc^ at
(2.19) h(x)h(x0) =h0() (xx0):
Combin am relat iile (2.18)  si (2.19), iar apoi t inem cont de (2.17), pentru
a deduce c a pentru 8m; nn"are loc
j'n(x)'m(x)j=jh0()j=jf0
n()f0
m()j<";8x2Infx0g;
i.e. ('n)n0este uniform convergent pe Infx0g:
II.Vom ar ata acum c a ( fn)n0este uniform convergent pe I.
Din etapa I stim c a'nu!
Infx0g':Cu alte cuvinte, pentru orice " > 0,
exist a un rang n"2Nastfel ^ nc^ at
j'n(x)'(x)j<"
`;8nn";8x2Infx0g;
unde`reprezint a lungimea intervalului I. Acest lucru conduce la
j(xx0)'n(x)(xx0)'(x)j=jxx0jj'n(x)'(x)j<jxx0j"
`<";
21

pentru8x2Infx0g;i.e.  sirulfn(x)fn(x0) = (xx0)'n(x);8x2Infx0g
este uniform convergent pe Infx0g:
Din ipotez a  stim c a ( fn)n0este convergent ^ n punctul x0, de unde reiese
c a de fapt ( fn)n0este uniform convergent pe I. Fieffunct ia sa limit a.
III. ^In aceast a etap a, vom ar ata c a funct ia feste derivabil a pe I si c a
pentru8x2Iare locf0(x) = lim
n!1f0
n(x):
Fix am un punct arbitrar y^ nI. Deoarece  sirul ( fn(y))n0este convergent,
atunci, conform celor prezentate ^ n etapa I, deducem c a  sirul
(2.20) n(x) =fn(x)fn(y)
xy;8x2Infyg;
este uniform convergent pe Infygla funct ia
(x) =f(x)f(y)
xy;8x2Infyg:
Se observ a c a termenii  sirului ( n)n0au limit a ^ n punctul de acumulare
yiar
lim
x!y n(x) = lim
x!yfn(x)fn(y)
xy=f0
n(y):
Atunci, conform rezultatului prezentat ^ n Teorema 2.7, deducem imediat
c a funct ia are limit a ^ n punctul y si lim
x!y (x) = lim
n!1f0
n(y):Deci exist a
lim
x!yf(x)f(y)
xy= lim
n!1f0
n(y);
ceea ce dovede ste c a feste derivabil a ^ n punctul y si c af0(y) = lim
n!1f0
n(y):
Cumya fost ales arbitrar ^ n Irezult a c a

lim
n!1fn0
= lim
n!1f0
n:
Astfel, demonstrat ia teoremei este ^ ncheiat a. 
O demonstrat ie similar a poate  g asit a  si ^ n [5, Theorem 7.17, p. 140].
Observat ie 9. Dac a pentru un  sir fn:I!Rde funct ii derivabile, conver-
gent la o funct ie f:I!RpeI,  sirul (f0
n)n0converge la f0, atunci vom
spune c a  sirul (fn)n0se poate deriva termen cu termen.
22

Observat ie 10. ^In Teorema 2.9, condit iile pe care le ^ ndeplinesc funct iile
 sirului (fn)n0prezint a doar un caracter de sucient  a, nu  si de necesitate.
Mai exact, exist a  siruri de funct ii care pot  derivate termen cu termen, f ar a
ca  sirul derivatelor s a convearg a uniform. ^In acest scop, s a consider am  sirul
de funct iifn: [0;1]!R; fn(x) =ln(1 +n4x2)
2n:
Calcule elementare, utiliz^ and Regula lui l'H^ opital pentru calculul unor
limite de  siruri, conduc la
lim
n!1ln(1 +n4x2)
2n= 0;i:e:fnp!
[0;1]0:
Pe de alt a parte,  sirul (f0
n)n0; f0
n(x) =xn3
1 +n4x2;8×2[0;1];converge
punctual la f0= 0 pe[0;1]:
Prin urmare,  sirul (fn)n0se poate deriva termen cu termen. Dar, cu
toate acestea, se remarc a imediat c a f0
n6u !0pe[0;1]:
23

Capitolul 3
Serii de funct ii
Fiind dat un  sir de funct ii ( fn)n0;vom numi serie de funct ii de ter-
men general fnperechea
(fn)n0;(Sn)n0

;format a din  sirul ( fn)n0al
termenilor seriei  si  sirul de funct ii ( Sn)n0al sumelor part iale, denit prin
Sn=f0+f1+:::+fn;8n2N:
Notat ia folosit a pentru aceast a serie de funct ii este1X
n=0fnsauX
n0fnsau
f0+f1+:::+fn+::: :
3.1 Convergent a uniform a a seriilor de funct ii
Denit ie 3.1. FieA(X;d) sifn:A!Run  sir de funct ii. O serie1X
n=0fn
se nume ste punctual (simplu) convergent a pe mult imea Adac a  si numai dac a
 sirul sumelor part iale Sn=nX
k=0fk;8n2N;este punctual (simplu) conver-
gent pe mult imea A:Funct iaf:A!R;pentru care Snp !
Af;se nume ste
suma punctual a a seriei de funct ii1X
n=0fn si1X
n=0fnp=f.
Observat ie 11. Dac afn:A!R;atunci mult imea BAa tuturor
24

punctelor ^ n care seria1X
n=0fnconverge punctual este numit a mult imea de
convergent  a a acestei serii.
Denit ie 3.2. FieA(X;d) sifn:A!Run  sir de funct ii. Seria1X
n=0fn
se va numi convergent a absolut dac a seria1X
n=0jfnjeste convergent a punctual,
adic a pentru orice x02Aseria numeric a1X
n=0jfn(x0)jeste convergent a.
Denit ie 3.3. FieA(X;d) sifn:A!Run  sir de funct ii. O serie
1X
n=0fnse nume ste uniform convergent a pe mult imea Adac a  si numai dac a
 sirul sumelor part iale Sn=nX
k=0fk;8n2N;este uniform convergent pe A:
Dac aSnu !
Af;atuncifse va numi suma uniform a a seriei de funct ii1X
n=0fn
 si1X
n=0fnu=f.
Exemplu 3.1. Consider am seria de funct ii1X
n=01
(x+n) (x+n+ 1) si dove-
dim c a este uniform convergent a pe (0;1):
^Intr-adev ar,
Sn(x) =nX
k=01
x+k1
x+k+ 1
=1
x1
x+n+ 1!
n!11
x;8×2(0;1);
i.e. seria1X
n=01
(x+n) (x+n+ 1)p=1
x;8×2(0;1):
Pe de alt a parte, estimarea jSn(x)f(x)j=1
x+n+ 11
n+ 1;conduce
la a concluziona c a Snu!
(0;1)f;conform Criteriului major arii prezentat ^ n
Teorema 2.4. Astfel, seria dat a este uniform convergent a pe (0;1):
25

3.2 Criterii de convergent  a uniform a
Conform Teoremei 2.3  si denit iei convergent ei uniforme, se obt ine urm atorul
criteriu de convergent  a uniform a :
Teorema 3.1 (Teorema lui Cauchy) .FieA(X;d) sifn:A!Run  sir
de funct ii. Seria de funct ii1X
n=0fnconverge uniform pe Adac a  si numai dac a
pentru orice ">0;exist a un rang n"2Nastfel ^ nc^ at
(3.1)jfn+1(x) +:::+fn+p(x)j<";8nn";8p2N;8x2A:
Demonstrat ie. FieSn=nX
k=0fk sirul sumelor part iale ale seriei1X
n=0fn:
Conform Teoremei 2.3,  sirul ( Sn)n0este uniform convergent pe Adac a  si
numai dac a ( Sn)n0este uniform Cauchy, i.e. pentru 8" > 0;9un rang
n"2Nastfel ^ nc^ at
jSn(x)Sn+p(x)j<";8nn";8p2N;8x2A;
sau echivalent
jfn+1(x) +:::+fn+p(x)j<";8nn";8p2N;8x2A:
Demonstrat ia este ^ ncheiat a. 
Corolar 3.1. Dac a seria1X
n=0fneste absolut convergent a pe o mult ime A,
atunci ea este  si convergent a pe A:
Demonstrat ie. Deoarece seria1X
n=0fneste absolut convergent a pe A;
rezult a c a seria numeric a1X
n=0jfn(x)jeste convergent a pentru 8x2A;ceea
ce, potrivit Criteriului general al lui Cauchy, ^ nseamn a c a pentru 8">0;9
un rangn"2Nastfel ^ nc^ at
jfn+1(x)j+jfn+2(x)j+:::+jfn+p(x)j<";8nn";8p2N:
26

Atunci are loc inegalitatea remarcabil a
n+pX
k=n+1fk(x)n+pX
k=n+1jfk(x)j<";8nn";8p2N;8x2A;
i.e. pentru8">0;9n"2Nastfel ^ nc^ at are loc relat ia (3.1). Drept urmare,
seria1X
n=0fneste convergent a pe A.
Observat ie 12. Reciproca din corolarul anterior nu este ^ n general adev arat a.
Teorema 3.2 (Criteriul=M-testul lui Weierstrass) .FieA(X;d) sifn:
A!Run  sir de funct ii. Dac a exist a un  sir de numere reale pozitive (n)n0
astfel ^ nc^ at1X
n=0neste convergent a  si
(3.2) jfn(x)jn;8n2N;8x2A;
atunci seria de funct ii1X
n=0fneste uniform  si absolut convergent a pe A:
Demonstrat ie. Seria numeric a1X
n=0neste convergent a, deci pentru
8">0;9un rangn"2Nastfel ^ nc^ at
n+1+:::+n+p<";8nn";8p2N:
Atunci, ^ n baza relat iei (3.2), rezult a c a, 8">0;9n"2Nastfel ^ nc^ at
n+pX
k=n+1fk(x)n+pX
k=n+1jfk(x)jn+pX
k=n+1k<";8nn";8p2N;8x2A:
^In conformitate cu Teorema 3.2  si cu criteriul lui Cauchy de absolut a convergent  a,
deducem de aici c a seria1X
n=0fneste uniform  si absolut convergent a pe A. 
27

Exemplu 3.2. Fie seria de funct ii1X
n=0sinnx
n2+x2+ 1;8x2R:Deoarece
sinnx
n2+x2+ 1jsinnxj
n2+ 11
n2+ 1;8n2N;8x2R;
iar seria numeric a1X
n=01
n2+ 1este convergent a, atunci, conform Criteriului
lui Weierstrass, urmeaz a c a seria1X
n=0sinnx
n2+x2+ 1este uniform  si absolut
convergent a pe R:
Exemplu 3.3. Fie seria de funct ii1X
n=01
x2+ 2n;8x2R:Obt inem estimarea
1
x2+ 2n1
2n;8n2N;8x2R;
iar cum
1X
n=01
2n= lim
n!111
2
n+1
11
2= 2<1;
i.e. seria numeric a1X
n=01
2neste convergent a, de unde rezult a c a seria de
funct ii dat a este uniform  si absolut convergent a pe R:
Un alt criteriu de convergent  a uniform a (nu  si absolut a), pentru serii de
forma1X
n=0fngn;este urm atorul :
Teorema 3.3 (Criteriul lui Dirichlet) .FieA(X;d) sifn; gn:A!R
dou a  siruri de funct ii. Dac a seria1X
n=0fnare  sirul sumelor part iale m arginit
uniform, iar  sirul (gn)n0este monoton descresc ator  si uniform convergent
la0;atunci seria1X
n=0fngneste uniform convergent a.
28

Demonstrat ie. Pentru ^ nceput, cum  sirul sumelor part iale ( Sn)n0;unde
Sn=nX
k=0fk;8n2N;este uniform m arginit, rezult a c a exist a M > 0 astfel
^ nc^ at
(3.3)jf0(x) +f1(x) +:::+fn(x)jM;8n2N;8x2A:
^In acela si timp, cum gnu !
A0;rezult a c a,8">0;9un rangn"2Nastfel
^ nc^ at
(3.4) jgn(x)j"
2M;8nn";8x2A:
Consider am acum nn"; p2Narbitrar  si t inem seama de relat iile (3.3),
(3.4)  si de faptul c a ( gn)n0este monoton descresc ator pentru a obt ine
n+pX
k=n+1fk(x)gk(x)=n+pX
k=n+1[Sk(x)Sk1(x)]gk(x)
=jSn(x)gn+1(x) +Sn+1(x) [gn+1(x)gn+2(x)] +:::
:::+Sn+p1(x) [gn+p1(x)gn+p(x)] +Sn+p(x)gn+p(x)j
M"
gn+1(x) +gn+p(x) +n+p1X
k=n+1(gk(x)gk+1(x))#
2M
gn+1(x)<2M
"
2M=";8x2A:
Conform Teoremei 3.1, concluzion am c a seria1X
n=0fngneste uniform con-
vergent a pe A. Demonstrat ia Teoremei 3.3 este complet a. 
Exemplu 3.4. Folosim Criteriul lui Dirichlet pentru a demonstra c a seria
de funct ii1X
n=1sinnx
n;8×2[";2"];cu" >0;este uniform convergent a
pe[";2"]:
Pe de o parte,  sirul sumelor part iale ale seriei1X
n=1sinnxeste
Sn(x) =cosx
2cos2n+1
2x
2 sinx
2;ceea ce conduce la
jSn(x)j=cosx
2cos2n+1
2x
2 sinx
22
2sinx
2=1sinx
2<1
sin"
2;
29

pentru8x2[";2"];8n2N:Deci, (Sn)n0este uniform m arginit.
Pe de alt a parte,  sirul (gn)n0, dat degn(x) =1
n;este monoton des-
cresc ator  si uniform convergent la 0:Astfel, ^ n baza Teoremei 3.3, seria
1X
n=1sinnx
neste uniform convergent a pe [";2"]:
Remarc am c a seria dat a nu este  si absolut convergent a.
De asemenea, tot pentru serii de funct ii de forma1X
n=0fngnvom stabili  si
urm atorul criteriu de convergent  a uniform a :
Teorema 3.4 (Criteriul lui Abel) .FieA(X;d) sifn; gn:A!Rdou a
 siruri de funct ii. Dac a seria1X
n=0fneste uniform convergent a pe A;iar  sirul
(gn(x))n0este uniform m arginit  si monoton pentru orice x2A;atunci seria
1X
n=0fngneste uniform convergent a pe A.
Demonstrat ie. Deoarece  sirul ( gn(x))n0este uniform m arginit  si mono-
ton pentru ecare x2A;deducem c a exist a lim
n!1gn(x) =lx2R;8x2A:
S a presupunem, f ar a a pierde din generalitate, c a  sirul ( gn(x))n0este mo-
noton descresc ator pentru orice x2A:De aici, rezult a c a  sirul ( gng)n0;
undeg:A!R; g(x) =lx;8x2A;este convergent la 0 ;uniform pe A:
Totodat a, acest  sir nou construit este  si monoton descresc ator.
Scriindfngn=fn(gng) +fng;8n2N;observ am c a, prin aplicarea
Criteriului lui Dirichlet prezentat ^ n Teorema 3.3  si a faptului c a seria1X
n=0fn
este uniform convergent a pe A(ceea ce implic a c a  sirul sumelor part iale,
(Sn)n0;este uniform m arginit pe A), obt inem convergent a uniform a a seriei
1X
n=0fngn:
Observat ie 13. O alt a demonstrat ie [3, Teorema 10.2.5] a Criteriului lui
Abel se poate realiza similar cu demonstrat ia din Teorema 3.3, unde se utili-
zeaz a Lema lui Abel.
30

Exemplu 3.5. Fie seria1X
n=1(1)n1xn
n;undex2[0;1]:
Lu amfn(x) =(1)n1
n sign(x) =xn:Din Criteriul lui Leibniz pentru serii
numerice, reiese imediat c a seria numeric a1X
n=1(1)n1
neste convergent a,
deci  si uniform convergent a. Pe de alt a parte, pentru orice x2[0;1]; sirul
gn(x) =xneste monoton descresc ator, iar jxnj1;8×2[0;1];8n2N:
Aplic am Criteriul lui Abel  si deducem c a seria dat a este uniform convergent a,
dar nu  si absolut convergent a.
Teorema 3.5 (Criteriul lui Leibniz) .Dac aA(X;d) sifn:A!Reste un
 sir de funct ii monoton descresc ator pentru orice x2A si uniform convergent
la0peA;atunci seria1X
n=0(1)nfneste uniform convergent a pe A:
Demonstrat ie. Utiliz am Criteriul lui Dirichlet : seria1X
n=0(1)nare  sirul
sumelor part iale m arginit, deci uniform m arginit, iar  sirul ( fn)n0este mo-
noton descresc ator  si uniform convergent la 0 :
Teorema 3.6 (Criteriul lui Dini) .Fie(X;d)un spat iu metric compact  si
de asemenea un  sir fn: (X;d)!Rde funct ii continue  si nenegative. Dac a
1X
n=0fnconverge punctual pe Xla funct ia continu a f;atunci1X
n=0fnconverge
 si uniform pe Xlaf:
Demonstrat ie. FieSn=nX
k=0fk sirul sumelor part iale ale seriei1X
n=0fn:
Se observ a imediat c a  sirul ( Sn)n0satisface condit iile impuse ^ n ipotezele
Teoremei 2.5, monotonia cresc atoare ind dat a de pozitivitatea termenilor
seriei date. Concluzia reiese imediat. 
31

3.3 Propriet at i ale seriilor uniform conver-
gente
Ca  si ^ n cazul  sirurilor de funct ii, convergent a uniform a a seriilor ofer a posibi-
litatea transferului de propriet at i (e.g. continuitatea, derivabilitatea, integra-
bilitatea) de la termenii seriilor ^ n cauz a la funct iile sum a corespunz atoare.
Teorema 3.7 (M arginirea seriilor uniform convergente) .FieA(X;d) si
fn:A!Run  sir de funct ii m arginite pe A. Dac a seria1X
n=0fneste uniform
convergent a pe A la f;atunci  sif;i.e. suma uniform a a seriei1X
n=0fn;este
respectiv m arginit a pe A.
Demonstrat ie. FieSn=nX
k=0fk;8n2N:Cum funct iile  sirului fnsunt
m arginite rezult a c a  si funct ia Sneste m arginit a pentru orice n2N:Deoarece
seria1X
n=0fneste uniform convergent a pe A la f, atunciSnu !
Af;de unde,
conform Teoremei 2.6, se obt ine  si faptul c a feste m arginit a pe A:
Teorema 3.8 (Existent a limitei ^ ntr-un punct a seriilor uniform conver-
gente) .FieA(X;d) sifn:A!Run  sir de funct ii astfel ^ nc^ at seria
1X
n=0fneste uniform convergent a pe A la f:Dac ax0este un punct de acumu-
lare pentru A
x02A0

 si exist a lim
x!x0fn(x);8n2N;atunci exist a lim
x!x0f(x)
 si, ^ n plus, are loc egalitatea
(3.5) lim
x!x01X
n=0fn(x) =1X
n=0
lim
x!x0fn(x)
:
Demonstrat ie. Se aplic a Teorema 2.7 pentru  sirul ( Sn)n0al sumelor
part iale ale seriei date. 
Teorema 3.9 (Continuitatea seriilor uniform convergente) .FieA(X;d)
 sifn:A!Run  sir de funct ii astfel ^ nc^ at seria1X
n=0fneste uniform con-
vergent a pe A la f:Dac a funct iile fnsunt continue ^ ntr-un punct x02A
(respectiv pe A), atuncifeste de asemenea continu a ^ n x0(respectiv pe A).
32

Demonstrat ie. Este evident a din folosirea Teoremei 2.8 (respectiv a Co-
rolarului 2.1) pentru  sirul ( Sn)n0al sumelor part iale ale seriei date. 
Teorema 3.10 (Integrabilitatea seriilor uniform convergente) .Dac afn:
[a;b]!Reste un  sir de funct ii integrabile Riemann pe [a;b];iar seria1X
n=0fn
este uniform convergent a pe [a;b]laf;atuncifeste de asemenea integrabil a
Riemann pe [a;b]. Mai mult, are loc relat ia :
(3.6)Zb
a 1X
n=0fn(x)!
dx=1X
n=0Zb
afn(x) dx:
Demonstrat ie. Pentru^ nceput, cum seria1X
n=0fneste uniform convergent a
pe [a;b] laf;reiese c aSnu!
[a;b]f;undeSn=nX
k=0fk;8n2N:
Totodat a, cum fkeste integrabil a Riemann pe [ a;b];8k2N;atunci
implicit  siSneste integrabil a pe [ a;b];8n2N:
Utiliz am Teorema 2.9, aplicat a  sirului ( Sn)n0, pentru a deduce integra-
bilitatea Riemann a lui f;iar, ^ n plus, obt inem
lim
n!1Zb
aSn(x) dx=Zb
alim
n!1Sn(x) dx=Zb
af(x) dx:
De aici, concluzia este imediat a, t in^ and cont de faptul c a
Zb
a nX
k=0fk(x)!
dx=nX
k=0Zb
afk(x) dx:
Teorema 3.11 (Derivabilitatea seriilor uniform convergente) .FieIun in-
terval m arginit pe R sifn:I!Run  sir de funct ii derivabile pe I. Dac a
seria1X
n=0f0
neste uniform convergent a la o funct ie g:I!R si exist a un
punctx02Iastfel ^ nc^ at seria numeric a1X
n=0fn(x0)este convergent a, atunci
seria1X
n=0fneste uniform convergent a la o funct ie f:I!R,feste derivabil a
33

peI, iarf0=g;i.e.
(3.7) 1X
n=0fn!0
=1X
n=0f0
n:
Demonstrat ie. Facem urm atoarele notat ii : Sn=nX
k=0fk;Tn=nX
k=0f0
k;
8n2N:Observ am c a  sirul de funct ii ( Sn)n0al sumelor part iale^ ndepline ste
condit iile impuse ^ n Teorema 2.10 : funct iile Snsunt derivabile ca sume nite
de funct ii derivabile, exist a un punct x02Iastfel ^ nc^ at ( Sn(x0))n0este
convergent, iar  sirul Tn=S0
nconverge uniform pe Ila o funct ie g:
Atunci exist a o funct ie f:I!Rastfel ^ nc^ at Snu !
If;iarfeste derivabil a
peI sif0=g;i.e.
1X
n=0fnu=fsi 1X
n=0fn!0
=1X
n=0f0
n:
Ca aplicat ie a propriet at ilor seriilor uniform convergente, vom prezenta
^ n continuare un exemplu celebru de funct ie continu a pe R;care nu este
derivabil a ^ n niciun punct, anume Exemplul lui van der Waerden .
Teorema 3.12. [3, Teorema 10.2.14], [5, Theorem 7.18] Exist a o funct ie
F:R!Rcontinu a pe R, care nu este derivabil a ^ n niciun punct din R:
Demonstrat ie. Fie urm atoarea funct ie
(3.8) f(x) =(
x; x2[0;1]
2x; x2(1;2];
pe care o prelungim prin periodicitate la Rcer^ and ca
f(x+ 2) =f(x);8x2R:
Evident, funct ia feste continu a pe R:Denim acum o alt a funct ie
(3.9) F(x) =1X
n=03
4n
f(4nx);8x2R:
34

Deoarece 0f(x)1;8x2R;atunci, conform Criteriului lui Weierstrass
(Teorema 3.2), urmeaz a c a seria de funct ii (3.9) este uniform convergent a,
ceea ce antreneaz a, conform Teoremei 3.9, c a Feste continu a pe R:
Fix am acum x2R;arbitrar,  si m2N:Atunci exist a un k2Zastfel
^ nc^ at
k4mxk+ 1
Not am cum= 4mk sim= 4m(k+ 1):Consider am numerele 4nm si
4nm:
Observ am c a pentru n>m; num arul 4nm4nmeste par, pentru n=m
este 1;iar pentrun<m nu exist a niciun ^ ntreg cuprins ^ ntre aceste numere.
Atunci deducem c a
(3.10)jf(4nm)f(4nm)j=(
0; n>m
4nm; nm;
de unde obt inem
jF(m)F(m)j=mX
n=03
4n
[f(4nm)f(4nm)]
mX
n=03
4n
4nm>1
2
3
4m
;
sau, echivalent,
(3.11)F(m)F(m)
mm>1
2
3m:
Deoarecemxm si lim
m!1(mm) = 0;rezult a c aFnu este derivabil a
^ nx:Contrar, dac a am presupune c a Feste derivabil a ^ n x;astfel ^ nc^ at
lim
m!1m=x= lim
m!1m;atunci
lim
m!1F(m)F(m)
mm=F0(x):
^Intr-adev ar, aleg^ and
m=mx
mmse observ a c a 0 <
m<1:
35

Dar,
F(m)F(m)
mmF0(x) =
mF(m)F(x)
mxF0(x)
+
+ (1 +
m)F(m)F(x)
mxF0(x)
;
iar cum  sirurile din cele dou a paranteze au limita 0 ;iar (
m)  si (1 +
m) sunt
 siruri m arginite ar rezulta implicit c a
lim
m!1F(m)F(m)
mm=F0(x);
^ n contradict ie cu inegalitatea (3.11). ^In consecint  a, Fnu este derivabil a ^ n
x:
Un alt exemplu de funct ie poate  reg asit ^ n [6, Theorem 7.18, p. 154].
Observat ie 14. Primul exemplu de funct ie continu a nic aeri derivabil a a fost
construit de Weierstrass (1872). Aceast a funct ie este denit a prin
(3.12) F(x) =1X
n=0cos 3nx
2n;8x2R:
Aceast a serie converge uniform pe Rdin Criteriul lui Weierstrass (Teo-
rema 3.2), deoarece
cos 3nx
2n1
2n;iar1X
n=01
2n= 2:
Din Teorema 3.9 deducem c a Feste continu a pe R:Se arat a, printr-o demonstrat ie
destul de laborioas a, c a Fnu este derivabil a ^ n niciun punct x2R:
Deriv^ and aceast a serie termen cu termen, obt inem seria 1X
n=03
2n
sin 3nx;
care este divergent a ^ n orice punct x6=k; k2Z;fapt ce ne sugereaz a s a
ne a stept am c a funct ia Fnu este diferent iabil a ^ n niciun punct x2R:
De asemenea, Bolzano (1830) a construit o funct ie continu a, care nu
este derivabil a ^ n niciun punct, dar rezultatele sale nu au fost publicate p^ an a
^ n 1922. Ulterior, Takagi (1903) a construit o funct ie similar a celei a lui
Weierstrass, dar cu o demonstrat ie mult mai simpl a.
36

Capitolul 4
Aproximarea uniform a a
funct iilor continue
4.1 Teorema lui Weierstrass
^In acest capitol, vom scoate ^ n evident  a un rezultat fundamental al Anali-
zei Matematice, cu numeroase implicat ii ^ n diverse domenii ale Matematicii.
Este vorba de aproximarea uniform a a funct iilor continue pe intervale com-
pacte ale lui Rprin funct ii continue cu structur a mai elementar a, polinoame
algebrice.
^Inainte de a prezenta Teorema lui Weierstrass, care precizeaz a tocmai
acest rezultat, vom stabili urm atoarea
Lema 4.1. Pentru orice x2[0;1]are loc inegalitatea
(4.1)nX
k=0Ck
n(knx)2xk(1x)nkn
4:
Demonstrat ie. Din Binomul lui Newton, pentru dou a numere reale x si
tdin intervalul [0 ;1] avem
(4.2)nX
k=0Ck
ntnkxk= (t+x)n:
Deriv^ and ambii membri ai relat iei (4.2) ^ n raport cu x si apoi ^ nmult ind
37

rezultatul cu x;obt inem
(4.3)nX
k=0kCk
ntnkxk=nx(t+x)n1:
Deriv am din nou ambii membrii ai relat iei (4.3) ^ n raport cu x si apoi
^ nmult im rezultatul cu x;de unde g asim
(4.4)nX
k=0k2Ck
ntnkxk=n(n1)x2(t+x)n2+nx(t+x)n1:
Dac a, ^ n relat iile (4.2), (4.3)  si (4.4) facem substitut ia t7!1x;obt inem
succesiv
(?)nX
k=0Ck
n(1x)nkxk= 1;
(??)nX
k=0kCk
n(1x)nkxk=nx;
(???)nX
k=0k2Ck
n(1x)nkxk=n(n1)x2+nx:
^Inmult ind ambii membrii ai relat iilor ( ?);(??)  si (???) cun2x2;2nx;res-
pectiv 1  si apoi realiz^ and adunarea lor membru cu membru obt inem
(4.5)nX
k=0(nxk)2Ck
nxk(1x)nk=nx(1x):
S a remarc am acum faptul c a x(1x)1
4;8×2[0;1];iar din (4.5) rezult a
imediat (4.1). 
Denit ie 4.1. Fief: [0;1]!R:Polinomul
(4.6)Bn(f;x) =Bn(x) =nX
k=0Ck
nxk(1x)nkfk
n
;8×2[0;1];
se nume ste polinomul lui Bernstein de gradnata sat funct iei f:
38

Teorema 4.1 (Teorema lui Bernstein). [3, Teorema 10.3.3] Dac a f:
[0;1]!Reste o aplicat ie continu a pe [0;1];atunci  sirul polinoamelor Bern-
stein converge uniform pe [0;1]la funct iaf:
Demonstrat ie. Deoarecefeste continu a pe [0 ;1];rezult a c a feste
m arginit a  si ^ n acela si timp, uniform continu a pe [0 ;1]:
FieM= sup
x2[0;1]jf(x)j:Din uniform continuitatea funct iei fpe [0;1] de-
ducem c a pentru orice ">0;exist a>0 astfel ^ nc^ at
(4.7)jf(x0)f(x00)j<"
2;8×0; x002[0;1] cujx0x00j<:
Fix am un punct arbitrar x^ n intervalul [0 ;1]:Din relat ia ( ?);utilizat a ^ n
demonstrat ia Lemei 4.1, vom avea :
(4.8) f(x) =nX
k=0Ck
nxk(1x)nkf(x)
de unde, utiliz^ and (4.6), vom obt ine
(4.9)jBn(x)f(x)jkX
n=0f(x)fk
nCk
nxk(1x)nk:
^In continuare, vom ^ mp art i punctele k=0;n1 ^ n dou a mult imi A siB
astfel ^ nc^ at (
k2Adacak
nx<
k2Bdacak
nx:
Pe de o parte, cazul k2A;utiliz^ and (4.7)  si ( ?);conduce la
X
k2Af(x)fk
nCk
nxk(1x)nk<"
2X
k2ACk
nxk(1x)nk(4.10)
"
2nX
k=0Ck
nxk(1x)nk="
2:
Pe de alt a parte, k2Bantreneaz a(knx)2
n221;iar din rezultatul
39

Lemei 4.1 vom avea
X
k2Bf(x)fk
nCk
nxk(1x)nk2M
n22X
k2B(knx)2Ck
nxk(1x)nk
2M
n22nX
k=0(knx)2Ck
nxk(1x)nk
2M
n22
n
4=M
2n2: (4.11)
Combin^ and relat iile (4.9), (4.10)  si (4.11) deducem c a pentru orice n2N
 si">0 are loc estimarea
jBn(x)f(x)j<"
2+M
2n2:
Se impune caM
n2<"; de unde rezult a c a pentru nn"=M
"2
are loc
jBn(x)f(x)j<";8nn";8×2[0;1];
i.e.Bnu!
[0;1]f:
Demonstrat ia Teoremei lui Bernstein este complet a. 
Pornind de la aceast a teorem a, folosind metoda induct iei matematice, se
poate ar ata imediat urm atorul :
Corolar 4.1. Dac af: [0;1]!Reste o funct ie de clas a Cppe[0;1];atunci
 sirul
B(p)
n
n1converge uniform pe [0;1]laf(p);undeB(p)
neste derivata
de ordinpa polinomului lui Bernstein Bnasociat funct iei f;iarf(p)este
derivata de ordinul pa funct ieif:
Teorema 4.2 (Teorema lui Weierstrass). [3, Teorema 10.3.5] Dac a f:
[a;b]!Reste o funct ie continu a pe [a;b];atunci exist a un  sir de polinoame
algebrice care converge uniform pe [a;b]la funct iaf:
Demonstrat ie. Denim funct ia g: [0;1]!R; g(t) =f(a+t(ba)):
Evidentgeste continu a pe [0 ;1];ind compunerea funct iilor continue f
 six=a+t(ba);8t2[0;1]:Atunci, conform Teoremei lui Bernstein
(Teorema 4.1),  sirul Bn(g;t) =Bn(t) al polinoamelor Bernstein converge
uniform pe [0 ;1] la funct ia g;i.e.8">0;9n"2Nastfel ^ nc^ at
(4.12)jBn(g;t)g(t)j<"
2;8nn";8t2[0;1]:
40

^In acela si timp, funct ia Pn(x) =Bn
g;xa
ba
;8×2[a;b] este un
polinom algebric, i.e. relat ia (4.12) se reduce la
Pn(x)gxa
ba<"
2;8nn";8×2[a;b];
sau, cu alte cuvinte,
(4.13)jPn(x)f(x)j<";8nn";8×2[a;b]:
^In consecint  a, am obt inut Pnu!
[a;b]f:Demonstrat ia este ^ ncheiat a. 
O demonstrat ie distinct a poate  reg asit a ^ n [5, Theorem 7.24], [6, The-
orem 7.26, p. 159].
^In continuare, vom scoate ^ n evident  a c^ ateva rezultate remarcabile refe-
ritoare la funct iile monotone denite pe intervale compacte.
Propozit ie 4.1. Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a pe [a;b]astfel ^ nc^ at :
(4.14)Zb
axnf(x) dx= 0;8n2N:
Atuncif(x) = 0;8×2[a;b]:
Demonstrat ie. Din Teorema lui Weierstrass (Teorema 4.2)  stim c a pen-
tru orice funct ie continu a fpe un interval compact [ a;b];exist a un  sir de
polinoame algebrice ( Pn)n0care converge uniform pe [ a;b] c atre funct ia con-
tinu af:Astfel, (4.14) devine :
Zb
aPn(x)f(x) dx= 0;8Pn2R[X]:
Mai mult, trec^ and la limit a sub semnul integralei (2.11) avem :
lim
n!1Zb
aPn(x)f(x) dx=Zb
af2(x) dx;
de unde reiese de fapt c aZb
af2(x) = 0;i.e.f(x) = 0;8×2[a;b]:
41

Remarc am faptul c a ipoteza f: [a;b]!Reste o funct ie continu a pe [ a;b]
este esent ial a ^ n stabilirea Propozit iei 4.1. Dac a ^ nlocuim ipoteza ca fs a e
continu a pe [ a;b] cu ipoteza ca fs a e integrabil a pe [ a;b], atunci valoarea
de adev ar a propozit iei este fals a, a sa cum se poate vedea din urm atorul
Exemplu 4.1. Fief: [0;1]!Rastfel ^ nc^ at f(x) = 0;8×2[0;1]n1
3;2
3
;
iarf1
3
= 1; f2
3
= 2
Evidentfeste integrabil a pe [0;1];deoarece are mult imea punctelor de
discontinuitate nit a (Teorema lui Lebesgue), iar pentru orice n2Nxat,
funct iag(x) =xnf(x)este integrabil a pe [0;1]:^In plus
Zb
ag(x) dx=Zb
axnf(x) dx= 0;8n2N:
Astfelfsatisface ipoteza (4.14), dar f6= 0 pe[0;1]:
^In cele ce urmeaz a vom ^ nlocui ipoteza fcontinu a pe [ a;b] din Propozit ia
4.1 cu ipoteza mai slab a din punct de vedere al netezimii, i.e fmonoton a
pe [a;b]:Av^ and ^ n vedere c a funct iile monotone sunt continue pe ^ ntreg
domeniul de denit ie, except^ and o mult ime cel mult num arabil a, deducem
c a acestea pot avea chiar o mult ime innit a de puncte de discontinuitate.
Propozit ie 4.2. [1, Propozit ia 2] Fie 0b<1 sif: [a;b]!Ro funct ie
monoton a pe [a;b]astfel ^ nc^ at :
(4.15)Zb
axnf(x) dx= 0;8nk:
Atuncif(x) = 0;8×2(a;b):
Demonstrat ie. Presupunem, f ar a a pierde din generalitate, c a feste
cresc atoare (altfel lu am f^ n loc def). Cumfeste monoton a rezult a c a
exist af(a+ 0)  sif(b0):Distingem dou a cazuri :
I.f(a+ 0)0:Atuncif(x)0;8×2(a;b]:Dac af(b0)>0
atunci pentru orice ">0;sucient de mic, exist a  >0;astfel ^ nc^ at f(x)
f(b0)";8×2[b;b];de unde
Zb
axkf(x) dxZb
bxk(f(b0)") dx>0:
42

Decif(b0) = 0;iar din monotonie, f(x) = 0;8×2(a;b):
II.f(a+ 0)<0:Dac af(b0)0;atunciZb
ax2kf(x) dx < 0 ca
la pasul I.Dac af(b0)>0;atunci exist a a < cd < b astfel ^ nc^ at
f(x)<0;dac ax2[a;c); f(x) = 0;dac ax2(c;d)  sif(x)>0;dac a
x2(d;b]:Descriem din nou f(b0) :
Zb
dxnf(x) dxZb
bxn(f(b0)") dx >Zb
b(b)n(f(b0)") dx
=(f(b0)") (b)n:
Pe de alt a parte, avem :
Zc
axnf(x) dx=Zc
axnjf(x)jdxZc
axnjf(a)jdx Zc
acnjf(a)jdx
=(ca)cnjf(a)j:
Adun am aceste ultime dou a inegalit at i  si obt inem :
Zb
axnf(x) dx=Zc
axnf(x) dx+Zb
dxnf(x) dx> (f(b0)") (b)n
(ca)cnjf(a)j= (b)n
(f(b0)")(ca)cnjf(a)j
(b)n
:
Aleg^ and de la ^ nceput  si"convenabile astfel ^ nc^ at f(b0)>" si
b >c; ultima parantez a este strict pozitiv a, pentru nsucient de mare,
^ n contradict ie cu relat ia (4.15). Deci, cazul IIeste imposibil  si demonstrat ia
este ^ ncheiat a. 
Observat ie 15. Propozit ia 4.2 nu este o generalizare a Propozit iei 4.1 ^ n
sensul c a, nu decurge ca un corolar al acesteia.
^In continuare, prezent am c^ ateva rezultate remarcabile care decurg din
Propozit ia 4.2 :
Corolar 4.2. Fiek2Nxat. Dac a ai; j2R;cui=1;k; j =1;k+ 1
satisfac simultan propriet at ile :
(i)a1a2:::ak;
(ii)12:::kk+1;
43

(iii)
n+1
2n+1
1

a1+
n+1
3n+1
2

a2+:::+
n+1
k+1n+1
k

ak= 0;8n2
N;atuncia1=a2=:::=ak= 0:
Demonstrat ie. Se aplic a Propozit ia 4.2 pentru g: [1;k+1]!R; g(x) =
ai;pentrux2[i;i+1); i=1;k1  sig(x) =ak;pentrux2[k;k+1):
Evidentgeste o funct ie cresc atoare pe [ 1;k+1]  si :
Zk
1xng(x) dx=1
n+ 1kX
j=1
n+1
j+1n+1
j

aj= 0;8n2N;
de unde concluzia. 
Corolar 4.3. Fiek2N; k2;xat  sif: [a;b]!Ro funct ie cresc atoare
pe[a;b];unde 0abastfel ^ nc^ at :
Zb
axk
nf(x) dx= 0;8n1:
Atuncif(x) = 0;8×2(a;b):
Demonstrat ie. Cu schimbarea de variabil a xk=y;relat ia din enunt  se
reduce la :Zbk
akynf
y1
k

y1k
kdy= 0;8n1;
sau, echivalent
Zbk
akyn1
y1
kf
y1
k
dy= 0;8n1:
De asemenea, funct ia g(y) =y1
keste cresc atoare, acest lucru conduc^ and
la faptul c a aplicat ia y7!y1
kf
y1
k
este cresc atoare pe
ak;bk
:Concluzia
corolarului rezult a din Propozit ia 4.2. 
Corolar 4.4. Fief: [a;b]!Ro funct ie cresc atoare pe [a;b];unde 0a
bastfel ^ nc^ at :Zb
aen
xf(x) dx= 0;8n1:
Atuncif(x) = 0;8×2(a;b):
44

Demonstrat ie. Facem schimbarea de variabil a ex=y si relat ia din enunt 
devine :Zeb
eayn1
f(ln(y)) dy= 0;8n1:
Evident aplicat ia y7!f(ln(y)) este cresc atoare pe
ea;eb
;iar concluzia este
clar a acum din Propozit ia 4.2. 
^Inainte de a prezenta un alt rezultat important, reamintim Inegalita-
tea lui Ceb^ a sev : Dac af; g : [a;b]!Rsunt dou a funct ii monotone  si
m arginite, care au aceea si monotonie, atunci are loc inegalitatea :
(4.16)Zb
af(x) dx
Zb
ag(x) dx(ba)Zb
af(x)g(x) dx:
^In cazul ^ n care f sigau monotonii diferite are loc inegalitatea invers a.
Demonstrat ia acestei inegalit at i se construie ste de la urm atoarea inegali-
tate evident a ^ n cazul a dou a funct ii monotone f sig;care au aceea si mono-
tonie :
(f(x)f(y))
(g(x)g(y))0;8×2[a;b]:
Se integreaz a pe r^ and ^ n raport cu x;respectivyaceast a ultim a inegalitate
 si se obt ine (4.16).
Propozit ie 4.3. [1, Propozit ia 3] Fie b > 1 sig: [1;b]!Ro funct ie
cresc atoare. Dac a exist a M > 0astfel ^ nc^ at :
Zb
1xng(x) dxM;8n2N;
atuncig(x) = 0;8×2(1;b):
Demonstrat ie. Fix amk2Narbitrar. Aplic^ and Inegalitatea lui Ceb^ a sev
pentru unn>k arbitrar, dar xat, avem :
Zb
1xnkdx
Zb
1xkg(x) dx(b1)Zb
1xng(x) dx(b1)M:
De aici deducem c a
Zb
1xng(x) dxnk+ 1
bnk+11(b1)M!
n!10:
45

Astfel reiese c aZb
1xng(x) dx0;8n2N:Cu alte cuvinte, combin^ and
rezultatele obt inute, am obt inut inegalit at ile :
(4.17) MZb
1xng(x) dx0;8n2N:
Cumgeste cresc atoare pe [1 ;b];rezult a c a exist a limitele laterale ale lui
g^ n orice punct din [1 ;b]:Distingem urm atoarele cazuri :
I.Exist a 1<c<d<b astfel ^ nc^ at g(x)<0;pentrux2[1;c); g(x) = 0;
pentrux2[c;d]  sig(x)>0;pentrux2(d;b]:Atunci, pentru orice " >0;
sucient de mic, exist a  >0 astfel ^ nc^ at g(x)> g(b0)";pentru orice
x2[b;b]  si deci pentru orice n2Navem :
0Zc
1xng(x) dx+Zb
dxng(x) dxZc
1xng(x) dx+Zb
bxng(x) dx
(c1)cng(1 + 0) +(g(b0)") (b)n=
= (b)n(c1)cng(1 + 0)
(b)n +(g(b0)")
:
Aleg^ and de la ^ nceput  si"convenabile astfel ^ nc^ at g(b0)>" sib>c;
apoi trec^ and la limit a ^ n relat ia anterioar a obt inem o contradict ie dat a de
faptul c a membrul drept tinde la 1c^ andn!1:Deci, acest caz este exclus.
II.Presupunem acum c a g(x)<0;8×2[1;b)  si consider am 1 <c<b:
Evident Zc
1xng(x) dxM;8n2N:
De asemenea, cum geste cresc atoare, obt inem :
g(c0)
cn+11
n+ 1=Zc
1xng(c0) dxZc
1xng(x) dxM;8n2N:
L as am acum n!1  si av^ and ^ n vedere c a membrul st^ ang tinde la 1,
obt inem o contradict ie. Deci  si acest caz este exclus.
^In consecint  a, deducem c a unicul caz posibil este g(x)0;8×2[1;b):
Utiliz^ and relat ia (4.17) obt inem de fapt :
Zb
1xng(x) dx= 0;8n2N;
de unde, aplic^ and Propozit ia 4.2, concluzia este imediat a. 
46

Corolar 4.5. Fief: [0;a]!Ro funct ie cresc atoare cu proprietatea c a
exist aM > 0astfel ^ nc^ at :
Za
0enxf(x) dxM;8n2N:
Atuncif(x) = 0;8×2(0;a):
Demonstrat ie. Utiliz am schimbarea de variabil a ex=y, de unde inega-
litatea din enunt  devine :
Zea
1yn1f(ln(y)) dyM;8n2N:
Cum aplicat ia y7!f(ln(y)) este cresc atoare pe [1 ;ea];concluzia este clar a
acum din Propozit ia 4.3. 
4.2 Spat iul C(K)
FieKun spat iu metric compact. Vom nota prin C(K) mult imea tuturor
funct iilor continue f:K!R:Se poate ar ata u sor c a C(K) are structur a de
spat iu vectorial peste corpul numerelor reale :
Dac af; g2C(K)  si2R;atunci :f+g2C(K); 
f2C(K):
Din Teorema lui Weierstrass deducem c a orice funct ie f2C(K) este
m arginit a, mai mult are loc : sup
x2Kjf(x)j<1:
Cu alte cuvinte, aplicat ia k
k:C(K)!R+;denit a prin
(4.18) kfk= sup
x2Kjf(x)j;8f2C(K)
este o norm a pe C(K);numit a norma Ceb^ a sev sau norma convergent ei uni-
forme. ^Intr-adev ar :
(N1) 0kfk<1;8f2C(K) iarkfk= 0()f= 0
(N2)kfk=jj
kfk;8f2C(K);82R
(N3)kf+gkkfk+kgk;8f; g2C(K);deoarece
47

jf(x) +g(x)jjf(x)j+jg(x)jsup
x2Kjf(x)j+sup
x2Kjg(x)j=kfk+kgk;8x2K:
Evident, norma (4.18) induce urm atoarea metric a :
(4.19) d(f;g) =kfgk= sup
x2Kjf(x)g(x)j;8f; g2C(K):
Deoarece produsul a dou a funct ii continue pe Keste tot o funct ie con-
tinu a peK;constat am c a pe spat iul vectorial C(K) se poate deni o a doua
operat ie intern a, notat a \
", prin
(f
g) (x) =f(x)
g(x);8x2K:
Cum pentru8f; g; h2C(K)  si8; 2Rsunt ^ ndeplinite urm atoarele
propriet at i :
(i)f
(g
h) = (f
g)
h(asociativitatea)
(ii)f
g=g
f(comutativitatea)
(iii)f
(g+h) =f
g+f
h(distributivitatea fat  a de adunare)
(iv) (f)
(g) = (g)
(f)
rezult a c a ( C(K);+;
) este o algebr a comutativ a.
Mai mult, norma (4.18) satisface  si
(4.20) kf
gk=kfk
kgk;8f; g2C(K)
i.e. algebra C(K) este o algebr a normat a.
Teorema 4.3. Un  sir (fn)n0de elemente din C(K)converge ^ n metrica
(4.19) la un element f2C(K)dac a  si numai dac a  sirul de funct ii (fn)n0
converge uniform pe Klaf:
Demonstrat ie.
\ =)"
Presupunem c a  sirul ( fn)n0dinC(K) converge ^ n metrica (4.19) la f2
C(K):Cu alte cuvinte, pentru orice ">0;exist a un rang n"2Nastfel ^ nc^ at
(?)kfnfk= sup
x2Kjfn(x)f(x)j<";8nn";8x2K;
48

de unde, evident,
(??)jfn(x)f(x)j<";8nn";8x2K;
i.e.fnu !
Kf:
\(= "
Presupunem acum c a fnu !
Kf;de undef2C(K) (Corolarul 2.1)  si are
loc relat ia ( ??):Acum din ( ??) se obt ine imediat  si ( ?) :
sup
x2Kjfn(x)f(x)j<";8nn";8x2K;
i.e.  sirul (fn)n0dinC(K) converge ^ n metrica (4.19) la f2C(K):
Similar se poate ar ta  si urm atorul rezultat :
Teorema 4.4. Un  sir (fn)n0de elemente din C(K)este fundamental ^ n me-
trica (4.19) dac a  si numai dac a  sirul de funct ii (fn)n0este uniform Cauchy
peK:
Aceste dou a teoreme conduc la obt inerea urm atoarei
Teorema 4.5. Spat iulC(K)este un spat iu Banach ^ n raport cu norma
(4.18).
Demonstrat ie. Pentru ^ nceput, ne reamintim c a un spat iu Banach este
un spat iu normat complet, adic a vom demonstra c a orice  sir fundamental
(fn)n0^ n metrica (4.19) este convergent la un element f2C(K):
Consider am ( fn)n0un  sir fundamental ^ n metrica (4.19). Atunci, con-
form Teoremei 4.4, deducem c a ( fn)n0este un  sir uniform Cauchy pe K:
Dar atunci, conform Teoremei 2.2, urmeaz a c a exist a o funct ie f:K!R
astfel ^ nc^ at fnu !
Kf:
^In plus, cum fn2C(K) reiese c a  si f2C(K) (Corolar 2.1).
Atunci, ^ n baza Teoremei 4.3, obt inem c a  sirul fnconverge ^ n metrica
(4.19) la funct ia f;i.e.C(K) este un spat iu complet ^ n raport cu metrica
indus a de norma (4.18).
DeciC(K) este Banach, iar demonstrat ia este complet a. 
Observat ie 16. Cu ajutorul Teoremei 4.5, deprindem c a spat iul C(K)este o
algebr a Banach, i.e. algebra normat a C(K)este totodat a  si un spat iu Banach
^ n raport cu norma Ceb^ a sev.
49

^In cele ce urmeaz a, consider am cazul particular ^ n care K= [a;b];unde
[a;b] este un interval compact din R; si utiliz am Teorema lui Weierstrass
(Teorema 4.2) pentru a prezenta urm atorul rezultat remarcabil :
Teorema 4.6. Spat iulC[a;b]este un spat iu separabil.
Demonstrat ie. Vom ar ata c a spat iul C[a;b] cont ine o submult ime num arabil a
 si dens a, anume mult imea Aa tuturor restrict iilor la [ a;b] a polinoamelor cu
coecient i rat ionali.
Pe de o parte, dac a f2C[a;b] este arbitrar a, atunci, conform Teoremei
lui Weierstrass, exist a un  sir de polinoame algebrice ( Pn)n0astfel ^ nc^ at
Pnu!
[a;b]f;i.e. pentru orice ">0;exist a un rang n"2Nastfel ^ nc^ at
(4.21) kfPnk<"
2;8nn":
Pe de alt a parte, cum Qeste dens a ^ n R;deducem c a exist a un polinom
algebricQn2Q[X] astfel ^ nc^ at
(4.22) kPnQnk<"
2;8n2N:
Relat iile (4.21)  si (4.22) conduc la :
kfQn"kkfPn"k+kPn"Qn"k<"
2+"
2=";
i.e. mult imea Aeste dens a ^ n C[a;b]:Faptul c aAeste  si num arabil a reiese
din [3, Corolar 1.3.18].
Demonstrat ia Teoremei 4.6 este complet a. 
4.3 Mult imi relativ compacte ^ n C(K)
^In aceast a sect iune vom prezenta un criteriu remarcabil de compactitate re-
lativ a pentru familii de funct ii din C(K):
^In acest sens vom deni, pentru ^ nceput, not iunile de familie echicontinu a
de funct ii, respectiv de familie uniform echicontinu a de funct ii.
Denit ie 4.2. Fie(X;d)un spat iu metric  si Fo familie de funct ii denite
peXcu valori ^ n R:
50

1. Spunem c a familia de funct ii Feste echicontinu a ^ n punctul x02X
dac a pentru orice " > 0;exist a o vecin atate Va punctului x0astfel
^ nc^ at
(4.23)jf(x)f(x0)j<";8x2V;8f2F:
2. Spunem c aFeste echicontinu a pe Xdac a este echicontinu a ^ n orice
punctx2X:
Observat ie 17. Dac a familiaFeste echicontinu a ^ n x02X;atunci toate
funct iilef2 F sunt continue ^ n x0, iar vecin atatea V(care corespunde
ec arui">0) este aceea si pentru toate funct iile familiei.
Exemplu 4.2. FieFmult imea tuturor funct iilor Lipschitziene pe intervalul
[a;b]cu constanta Lipschitz L > 0:Atunci, pentru8x; y2[a;b]are loc
inegalitatea :
jf(x)f(y)jL
jxyj;8f2F;
ceea ce asigur a echicontinuitatea familiei F^ n orice punct x2[a;b];deci pe
^ ntregul [a;b]:
Denit ie 4.3. Fie(X;d)un spat iu metric  si Fo familie de funct ii denite
peXcu valori ^ n R:Spunem c a familia Feste uniform echicontinu a pe X
dac a pentru orice ">0;exist a>0astfel ^ nc^ at
jf(x)f(y)j<";8f2F;8x; y2X;cud(x;y)<:
Se remarc a c a familia de funct ii Fdin Exemplul 4.2 este  si uniform echi-
continu a.
Observat ie 18. Dac a familiaFeste uniform echicontinu a pe X;atunci orice
funct iefa acestei familii este uniform continu a pe X:Reciproc, acest lucru
nu este posibil. Spre exemplu, consider am fn(x) =xn;8×2[0;1];8n2N:
Evident, orice funct ie a acestei familii este uniform continu a, dar familia ^ n
sine nu este uniform echicontinu a pe X:
Observat ie 19. Dac a o familieFeste uniform echicontinu a pe X;atunci
ea este  si echicontinu a pe X:
^In acest moment, putem s a demonstr am urm atorul criteriu de compacti-
tate relativ a :
51

Teorema 4.7 (Teorema lui Arzel a-Ascoli). [3, Teorema 10.3.12] Fie K
un spat iu metric compact. O submult ime Ma luiC(K)este relativ compact a
^ nC(K)dac a  si numai dac a sunt ^ ndeplinite condit iile :
I:M este m arginit a ^ n C(K);
II:M este echicontinu a pe K:
Demonstrat ie.
\ =)"
Presupunem c a Meste relativ compact a, i.e. Meste compact a, deci
m arginit a. Cum MM;rezult a c a  si Meste m arginit a ^ n C(K):Deci
condit ia I este ^ ndeplinit a.
Fie acumx02K si">0:CumMeste relativ compact a, atunci Meste
precompact a (total m arginit a), de unde MMeste de asemenea precom-
pact a (Hausdor). Cu alte cuvinte, exist a o"
3ret ea nit a, format a din
funct iileffign
i=1astfel ^ nc^ at pentru 8f2C(K);9i=1;ncu proprietatea
c akffik<"
3;ceea ce conduce la
(4.24) jf(x)fi(x)j<"
3;8x2K:
Totodat a, funct iile ffign
i=1sunt continue ^ n x0;deci exist a o vecin atate V
a punctului x0(V=n\
i=1Vi;undeVieste vecin atatea corespunz atoare lui"
3
pentru funct ia continu a fi^ n punctul x0) astfel ^ nc^ at
(4.25) jf(x)fi(x0)j<"
3;8x2V;8i=1;n:
Atunci, din relat iile (4.24)  si (4.25) obt inem c a pentru 8x2V si8f2M
are loc
jf(x)f(x0)jjf(x)fi(x)j+jfi(x)fi(x0)j+jfi(x0)f(x0)j<";
i.e.Meste echicontinu a ^ n x02K;deci echicontinu a pe K:
\(= "
Presupunem acum c a MC(K) este m arginit a ^ n C(K)  si echicontinu a
peK si demonstr am c a Meste relativ compact a ^ n C(K):CumC(K) este un
spat iu complet, observ am c a este sucient s a ar at am c a Meste precompact a.
52

Fie" >0; x2Karbitrare. Not am prin V"
xo vecin atate deschis a a lui
x;obt inut a din condit ia II :Sesiz am c a familia fV"
xgx2Kreprezint a o aco-
perire deschis a a lui K si cumKeste compact a, atunci se poate extrage o
subacoperire deschis a nit a
V"
xi m
i=1.
FieRmspat iul euclidian m-dimensional  si aplicat ia ':C(K)!Rm;
denit a prin
'(f) = (f(x1);f(x2);:::;f (xm));8f2C(K):
Din ipotez a, cum Meste m arginit a^ n C(K);deducem c a '(M) este m arginit a
^ nRm:^In acest sens, cum Meste m arginit a ^ n C(K) urmeaz a c a exist a >0
astfel ^ nc^ at
(4.26) kfk;8f2M;
iar not^ and cuk
kmnorma ^ n Rm;rezult a c a
k'(K)km=p
f2(x1) +f2(x2) +:::+f2(xm)p
m2=pm;8f2M;
i.e.'(M) este m arginit a ^ n Rm:Evident urmeaz a c a '(M) este precompact a
^ nRm;adic a pentru orice " > 0;exist affjgn
j=1Mastfel ^ nc^ at pentru
8f2M;9j=1;ncu proprietatea c a k'(f)'(fj)km<"
3;de unde
obt inem :
(4.27) jf(xk)fj(xk)j<"
3;8k=1;m:
^Ins aK=m[
i=1V"=3
xi;de unde pentru8x2K;exist a o vecin atate V"=3
xkastfel
cax2V"=3
xk:Astfel, condit ia II  si relat ia (4.27) conduc la :
jf(x)fj(x)jjf(x)f(xk)j+jf(xk)fj(xk)j+jfj(xk)fj(x)j<";
8x2K;ceea ce conduce la kffjk<":
Am obt inut astfel c a mult imea ffjgn
j=1constituie o "ret ea nit a pentru
M;i.e.Meste relativ compact a ^ n C(K).
Demonstrat ia Teoremei lui Arzel a-Ascoli este complet a. 
Observat ie 20. Deoarece funct iile continue denite pe un compact sunt uni-
form continue, se poate observa imediat c a ^ n enunt ul Teoremei 4.7, condit ia
IIse poate reformula  si cu proprietatea de uniform echicontinuitate.
Pentru mai multe detalii despre aceast a sect iune se pot consulta [5, p.
142-157]  si [6, p. 154-171].
53

Bibliograe
[1] L. Ignat, D. Ion & M. Mih ailescu: Asupra unor propriet at i ale funct iilor
monotone denite pe intervale compacte .Gazeta Matematic a, Seria
A, Nr. 4 (2005), 345-351.
[2] C. P. Niculescu: Analiz a Matematic a pe dreapta real a. O abordare con-
temporan a , Ed. Universitaria, Craiova, 2002.
[3] A. Precupanu: Bazele Analizei Matematice , Ed. Polirom, Ia si, 1998.
[4] S. R adulescu & M. R adulescu: Teoreme  si probleme de Analiz a mate-
matic a , Ed. Didactic a  si Pedagogic a, Bucure sti, 1982.
[5] W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis . Second edition. Depar-
tament of Mathematics. University of Wisconsin. McGraw-Hill Book
Company, RI, 1964.
[6] W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis . Third edition. Depar-
tament of Mathematics. University of Wisconsin. McGraw-Hill Book
Company, RI, 1976.
[7] G. Siret chi: Calcul diferent ial  si integral, Vol. I & II, Editura S tiint ic a
 si Enciclopedic a, Bucure sti, 1985.
54