PROGRAM DE STUDII: MATEMATIC A-INFORMATIC A FORMA DE ^INVAT AM^ANT: ZI LUCRARE DE LICENT  A ^INDRUM ATOR S TIINT  IFIC: Lector dr. SIDA… [606149]

UNIVERSITATEA ,,AUREL VLAICU" DIN ARAD
FACULTATEA DE S TIINT  E EXACTE
DOMENIUL: MATEMATIC A
PROGRAM DE STUDII: MATEMATIC A-INFORMATIC A
FORMA DE ^INVAT AM^ANT: ZI
LUCRARE DE LICENT  A
^INDRUM ATOR S TIINT  IFIC:
Lector dr. SIDA LaviniaABSOLVENT: [anonimizat] 2017

UNIVERSITATEA ,,AUREL VLAICU" DIN ARAD
FACULTATEA DE S TIINT  E EXACTE
SPECIALIZAREA MATEMATIC A-INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT  A
NUMERE PROTH
^INDRUM ATOR S TIINT  IFIC:
Lector dr. Sida LaviniaABSOLVENT: [anonimizat] 2017

Universitate ,,Aurel
Vlaicu" din Arad
Aprobat
Facultatea de S tiint e
Exacte
Domeniul:
Matematic a
Program de studiu:
Matematic a-
Informatic a
Nr.. . . din.. . .Decan
Vizat
^Indrum ator  stiint ic
Date personale ale candidat: [anonimizat]
1.Date privind identitatea persoanei
Numele: Haiduc
Numele anterior:{
Prenumele: Andreea Luana
2.Sexul: F
3.Data  si locul na sterii:
Ziua/luna/anul: 12/09/1995
Locul (localitate, judet ): Arad
4.Prenumele p arint ilor:
Tata: Gheorghe Dan
Mama: Daliana Alina
5.Domiciliul permanent:
Cuvin, judet ul Arad, nr. 554
Telefon: [anonimizat]
1

E-mail: [anonimizat]
6.Sunt student a promot ia: iulie/2017
7.Forma de ^ nv at  am^ ant pe care am absolvit-o este:
cu frecvent  a, f ar a tax a.
8.Locul de munc a: {
9.Solicit ^ nscrierea la examenul de licent  a:
sesiune iulie, anul 2017
10.Lucrarea de licent  a pe care o sust in are urm atorul titlu:
Numere Proth
11.^Indrum ator  stiint ic:
Lector dr. Lavinia SIDA
12. Ment ionez c a sust in examenul de licent  a pentru prima oar a  si declar
pe propria-mi r aspundere c a am luat la cuno stint  a de prevederile art.
143 din Legea 1/2011. Declar c a prezenta lucrare nu este realizat a prin
mijloace frauduloase, ind con stient a de faptul c a, dac a se dovede ste
contrariul, diploma prin fraud a ^ mi poate  anulat a, conform art. 146
din Legea 1/2011.
SEMN ATURA
2

REFERAT
PRIVIND LUCRAREA DE LICENT  A
A
ABSOLVENT: [anonimizat]: MATEMATIC A
PROGRAM DE STUDIU:
MATEMATIC A{INFORMATIC A
PROMOT  IA 2017
1.Titlul lucr arii:
Numere Proth
2.Stuructura lucr arii:
Lucrarea are 45 de pagini  si este structurat a pe 3 capitole, ^ nsot ite de
Introducere, Concluzii  si Bibliograe, astfel:
Introducere
Cap.1 Istoric
Cap.2 Divizibilitatea numerelor
Cap.3 Numerele Prime
Concluzii
Bibliograe
3.Aprecieri asupra cont inutului lucr arii de licent  a: organizare
logic a, mod de abordare, complexitate, actualitate, decient e
Lucrarea de licent  a ^ nglobeaz a un bogat material referitor la nume-
rele perfecte  si la propriet at ile acestora. Lucrarea include o abordare
teoretic a vast a, urm arind evolut ia teoriei numerelor ^ n general, a nu-
merelor prime ^ n special, de-a lungul timpului  si sintetiz^ and cele mai
importante aspecte  si propriet at i privind acest a ramur a a matematicii.
Lucrarea este bine structurat a  si denot a o documentare riguroas a.
4.Aprecieri asupra lucr arii (se va ment iona: num arul titlurilor
bibliograce consultate, frecvent a notelor de subsol, calitatea
3

 si actualitatea surselor consultate; modul ^ n care absolvent: [anonimizat] iile din sursele bibliograce, contribut ii
originale)
Lucrare este redactat a conform modelului stabilit la nivelul univer-
sit at ii. Sunt incluse 28 referint e bibliograce care includ articole, c art i
 si site-uri matematice. La unele referint e se face trimitere direct ^ n
cadrul textului iar altele au fost studiate pentru o mai bun a documen-
tare. Sursele bibliograce consultate au fost cele propuse de absolvent
 si completate cu cele indicate de^ ndrum atorul  stiint ic. Informat iile au
fost bine prelucrate astfel ^ nc^ at ele prezint a o viziune proprie, original a,
iar modul ^ n care au fost structurate  si completate arat a c a absolventul
st ap^ ane ste tema abordat a.
5.Concluzii (valoarea lucr arii elaborate de absolvent, relevant a
studiului ^ ntreprins, competent ele absolventului, consecvent a
 si seriozitatea de care a dat dovad a absolventul pe parcursul
document arii  si elabor arii lucr arii)
Lucrarea de licent  a evident iaz a competent ele absolventului^ n domeniul
matematicii. Pe parcursul elabor arii lucr arii, absolventul a dat dovad a
de seriozitate  si consecvent  a.
7.Nu exist a suspiciuni de realizare prin fraud a a prezentei lucr ari.
8.Consider c a lucrarea ^ ndepline ste toate condit iile cerute pen-
tru o lucrare de licent  a la Specializarea Matematic a-informatic a
din cadrul Facult at ii de S tiint e Exacte  si propun sust inerea ei
public a ^ n sesiunea iulie 2016. Nota propus a: 10.
Arad
Data: 12.06.2017^INDRUM ATOR S TIINT  IFIC:
Lector dr. Sida Lavinia
4

Cuprins
Introducere 5
1 Istoric 7
2 Divizibilitatea numerelor 16
2.1 Divizibilitatea numerelor naturale N. . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Proprietat i ale divizibilitat ii numerelor naturale . . . . 17
2.1.2 Criterii de divizibilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Divizibilitatea numerelor ^ ntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Cel mai mare divizor comun  si cel mai mic multiplu comun . . 21
2.4 Teorema ^ mpartirii cu rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Numere prime 24
4 Numere Proth 26
5

Introducere
Lucrarea de fat  a intitulat a "Numere proth" se ^ ncadreaz a ^ n vastul dome-
niu al teoriei numerelor.
^In primul capitol al lucr arii am urmarit evolut ia numerelor de-a lungul  si
^ n cadrul istoriei matematicii, de la vechii egipteni  si de la grecii antici, p^ an a
^ n zilele noastre.
Av^ and ^ n vedere contribut ia lui Euclid ^ n studiul numerelor perfecte, ^ n
capitolul al doilea ne-am ocupat de algoritmului lui Euclid ^ n general  si ^ n
particular de algoritmul lui Euclid pentru determinarea numerelor perfecte
(pare).
Tot aici am dat  si cateva exemple de algoritmi (programe) ^ n pascal sau
^ n C++ cu ajutorul c arora se verica dac a un num ar dat este num ar perfect
sau nu, sau care a seaz a toate numerele perfecte mai mici dec^ at un num ar
citit de la tastatur a.
Capitolul al treilea constituie partea cea mai important a a lucr arii, el
este dedicat ^ n ^ ntregime studiului numerelor Proth  si a proprie at ilor lor mai
importante.
Lucr^ and cu aceste numere deosebite nu am putut s a nu arunc am o pri-
vire  si asupra unor numere ^ nrudite cu acestea (numere aproape perfecte,
quasiperfecte, hiperperfecte  si numere superperfecte).
^In ultima parte, la concluzii am ment ionat cateva dintre problemele r amase
deschise, probleme privind numerele perfecte, spre exemplu existent a nu-
merelor perfecte impare, innitatea mult imii numerelor perfecte  si diverse
conjecturi privind numerele perfecte impare (^ n varianta in care acestea ar
exista).
Mari matematicieni din zilele noastre caut a ^ nc a s a g aseasc a astfel de
numere, numere perfecte impare, sau, s a demonstreze m acar c a ele exist a
(sau c a nu exist a).
6

Capitolul 1
Istoric
^Inca din cele mai vechi timpuuri numerele au fost foarte importante pentru
^ ntreaga omenire, acestea nu au ^ nsemnat numai moduul ^ n care oamenii
reu seau s a stabileasc a anumite cantitat i, mai mult de at^ at numerele^ nsemnau
entit at i.
De-a lungul timpului, oamenii au efecuat diferite studii pe aceast a tem a,
ajung^ and la concluzia c a aceste not iuni ^ i ^ nsot eau pe oamenii din preistorie
pretutinderi, implicit ^ n act iunile de pescuit  si v^ anat.
Arheologii au gasit religve, religve ce dateaz a cu aproximativ 40000 de
ani ^ naintea venirii lui Hristos pe P am^ ant. ^In acele vremuri cifrele reprezen-
tau not iuni necunoscute oamneilor, preistoricii folosind alte thenici pentru
a num ara. De exemplu, ace stia num arau cu ajutorul degetelor, pietrelor, a
bet elor uneori chiar  si cu ajutorul oaselor.
Atunci c^ and oamenii au ^ nceput prima dat a s a numere  si-au folosit de-
getele de la m^ aini, iar cum am^ andou a m^ aini aveau zece degete era resc s a
numere pana la 10. Astfel a aparut sistemul de numerat ie zecimal.
Sute de mi de de ani oamenii s-au descurcat foarte bine num^ arand pe
degete p^ an a acum vreo 6000 de ani c^ and au ap arut numerele babiloniene.
Scrierea babiloniana a fost cuneiforma. Numerele erau ^ ncrustate pe placut e
cu argil a ale c aror mii de exemplare se g asesc  si ast azi. Babilonienii foloseau
sistemul de numerat ie ^ n baza 60.
Dup a cum se observ a ^ n gura 1 ace stia foloseau doua semne (pentru cifra
1  si 12) astfel ecare grupa de 3 caractere se crea un grup descendent. Pro-
cedeul se repeta p^ an a la 39 urm^ and scrierea zeciml a actual a, prin desfacerea
a dou a simboluri, unul pentru cifra zecilor  si altul pentru cea a unitat ilor.
Procedura: avem num arul 758. ^In baza 10 ^ nseamn a 758=7
100 + 5

10 + 8.
In baza 60 avem
7

758 : 60 = 12 rest 38 deci num arul 758 10= (12)(38) 60
Din gura 1 se observ a c a nu exist a simbol pentru cifra 0. Chiar dac a
s-ar l asa un spat iu pentru aparit ia lui 0 numerele ca 61  si 3601 ar avea acea si
reprezentare.
Problema a fost rezolvat a de civilizat iile babiloniene prin introducerea unui
simbol special pentru 0.
Una dintre cele mai vrchi religve ale matematicii au fost descoperite de-a
lungul Nilului. Acolo condit ile erau prielnice agriculturii, asa c a egiptenii au
abandonatt viat a nomoda  si s-au stabilit ^ n acea regiune.
Pentru egipteni cel mai important eveniment al anului era rev arsarea Nilului.
^In ecare var a ei trebuiau s a delimiteze c^ ampurile deoarece
uviul se revarsa
acoperind loturile  si  sant urile. Egiptenii trebuiau s a numere zilele din dou a
inundat ii consecutive  si cele dintre dou a faze ale lunii.
^Inregistrarea principalelor caracteristici era esent ial a pentru administra-
rea terenurilor. Cum a sz am^ anturile, suprafet ele de p am^ ant a trebuit m asurate,
taxele calculate  si colectate, egiptenii au devenit expert i ^ n m asur atori.
Sistemul de numerat ie folosit era cel decimal, motivat de num arul dege-
telor de la m^ aini. cu toate acestea, era strecurat a o carent  a major a ^ n r^ andul
acestui sistem: un pai putea reprezenta doar o unitate, nu o sut a sau o mie;
cu toate c a era posibil s a se scrie "un milion" cu doar un caracter, ^ n locul
celor  sapte pe care noi le folosim, pentru a scrie 999999 era nevoie de 54 de
caractere.
^In ciuda acestui dezavantaj al sistemului de numerat ie, egiptenii erau briliant i
rezolvari de probleme matematice.
^Inregistrate pe foi de papirus, unele descoperiri matematice ale egipteni-
lor au d ainuit p^ an a ^ n ziua de ast azi.
"Papirus Matematic" a lui Rhind a fost descoerit ^ n Templul Lovar  si scoate
la iveal a principalele preocup ari matematice ale egiptenilor.
Egiptenii au construi piramide. Marea piramida a lui Keops este o minune
a matematicii. Dimensiunile ei includ numerele sacre pi siphi. Dou a mili-
oane de blocuri de piatr a au fost teiate manual pentru a se realiza aceast a
inpresionant a construct ie. Timp de 3500 de ani ea a fost cea mai mare  si mai
^ nalt a cl adire din lume p^ an a ^ n 1895, c^ and a fost construit turnul Eiel.
Geometria ^ n Grecia Antic a a fost introdus a de Thales din Milet ^ ncep^ and
cu perioada secolului al VI-lea ^ .Hr  si p^ an a ^ n 529 d.Hr. Ace stia au creat teo-
reme ce sunt considerate  si ast azi ca ind pietrele de temelie ale matematicii.
Grecia a fost punctul de plecare  si pentru Pitagora. Originar din insula
Samos, a emigrat la Crotone, ^ n Italia de Sud, unde a ^ ntemeiat  scoala ce-
i poart a numele, cea dintai  scoal a italic a a Greciei antice. Aceast a  scoal a
sust ine teoria numerelor  si a armoniei ca ind baza oric arei realit at i. P^ an a
la momentul de fat  a nicio scriere a marelui losof  si matematician grec, Pi-
8

tagora, nu a fost descoperit a. Tradictia ^ i atribuie descoperirea teoremei
geometrice  si a tablei ^ nmult irii, care ^ i poart a numele. Doctritna losoc a a
pitagorismului este totu si pus a ^ n evident  a ^ n lucr arile lui Aristotel  si Sextus
Empiricus, precum  si ^ n cele ale pitagoricienilor de mai t^ arziu. Totu si, este
imposibil de distins cu exactitate limita dintre descoperirile lui Pitagora  si
cele ale discipolilor s ai.
Dou a secole mai t^ arziu, prin lucrarile lui Euclid din Alexandria, matema-
tica a cunoscut descoperiri de o major a imortant  a. Matematicianul grec a
introdus not iunea de semidreapt a, paralelogram, tangent a la o curba, prism a,
poliedru  si tetraedru. Cartea sa "Elemente", tradusa ^ n 300 de limbi, include,
pe lang a not iuni de geometrie  si not iuni de teoria numerelor. Tot ^ n cartea
sa, puteam g asi teorema ^ mpart irii cu rest  si "Algoritmul lui Euclid" pentru
determinarea celui mai mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) a dou a numere
^ ntregi  si faptul c a exist a o ,,innitate" de numere prime.
S i ast azi, 23 de secole mai tarziu, se mai continu a tradit a init iat a de
Euclid, de a marca sf^ arsitul unei demonstrat ii prin expresia latin a "Quard
erat demonstrandum" sau QED.
De si este privit ca un proiectant de dispozitive mecanice, Arhimede de
Sirocuza ( 287-212 ^ .e.n ) a adus contribuit at i importante  si ^ n domeniul
matematicii. El este considerat unul dintre cei mai mari matematicieni din
antichitate, iar carol Freidrich Gauss spune c a Arhimede a fost cel mai mare
om de  stiint  a din ^ ntreaga istorie a omenirii.
^Inc a din secolul al III-lea ^ .Hr. a reusit s a foloseasc a marimile innite-
zimale ^ ntr-un mod similar cu calculul integral modern. Folosind metoda
reducerii la absurd, a reu sit s a dea raspunsuri cu un grad de precizie arbi-
trar a la problemele pe care le avea, specic^ and limitele ^ ntre care se situa
rezultatul. Thenica este cunoscut a drept metoda epuiz arii  si a fost folosit a
pentru a estima valuarea lui . Arhimede a ^ ncercat s a aproximeze valoarea
num aruluiinser^ nd cercuri ^ n poligoane regulate  si calcul^ and perimetrele
acestor poligoane. Aproximarea num arului de c atre Arhimede a avut va-
loarea de 3.14185. Arhimede a mai determinat aria  si volumul elipsoidului
de rotat ie  si al hiperbolidului de rotat ie cu p^ anze  si a denit spirala care ^ i
poart a numele, dar  si un sistem ingenios de exprimare a numerelor foarte
mari. El a demonstrat c a aria unui cerc este egal a cu produsul dintre  si
raza cercului la p atrat.
La fel, Apolonius din Praga ( 262 – 200 ^ .e.n ) are o contribut ie ^ nsemnat a
^ n dezvoltarea matematicii. El a studiat conicele, elipsa, hiperboloidul, pa-
rabola, not iunea de inversiune  si aproximeaz a num arul ^ n patru zecimale.
Mo Tzu sau Mozi ( 470 – 390 ^ .e.n ) a dezvoltat lozoa chinez a Mohism,
^ n care se reg ase ste cea mai veche lucrare de geometrie care dateaz a din anii
300 ^ .e.n. ^In canonul Mo Jing sunt reprezentate c^ ateva teoreme geometrice
9

 si denit ii pentru circumferint a, diametru, volum  si raz a.
" Cele noua capitole despre Arta Matematic a " este cea mai impotant a
lucrare ap arut a ^ n dinastia Han ( 202 ^ .e.n – 220 e.n ) care cont ine 246 de
probleme care cont ineau folosirea geometriei pentru realiarea arcurilor, pro-
bleme referitoare la triunghiurile dreptunghice  si pentru aproximarea lui .
De asemenea  si Teorema lui Pitagora este demonstrat a ^ n aceast a lucrare  si
metoda eliminarii lui Gauss.
Cartea "Supplementary Notes of the Art of Figures" scris a ^ n anul 190
de c atre astronomul  si matematicianul Xu Yue (185-227) ^ n care a ment ionat
sistemul numeric zecimal folosit de chinezi ^ n acea perioad a numit  si "rod-
numerals".
Diofant din Alexandria (^ ntre 200  si 214-298) a fost un matematician grec
considerat p arintele algebrei, ind ^ ntemeietorul acesteia. "Aricmetica" cel
mai vechi tratat cunoscut a fost scris de Diofant unde sunt prezentate pentru
prima dat a not iunile de num ar negativ  si metodele de rezolvare a ecuat iilor
de gradul al II-lea.
Diofant a introdus ^ n matematic a asa-numita "ecuat ie diofantic a" dar  si
not iunea de necunoscut a f ar a a indica o metod a de rezolvare.
Liu Hui editeaz a  si public a o carte cu solut iile problemelor matematice
prezentate ^ n "Cele noua capitole despre Arta Matematic a".
^In aceast a carte Liu Hui prezint a algoritmul de calcul pentru , unde ^ l
aproximeaz a cu cinci zecimale.
Papus din Alexandria (290 – 350)a fost unul dintre ultimii matematicieni
greci din antichitate.
^In lucrarea sa "Synagoge" sunt prezentate toate not iunile cunoscute ^ n acea
perioad a din domeniul geometriei.
O mare contribut ie ^ n dezvoltarea matematicii au avut-o  si indienii.
^In secolele IV, V e.n ^ n tratatul "Astronomic Saucrit Surya Siddhonta"
sunt introduse funct iile trigronometrice sinus  si cosinus, inversa funct iei si-
nus prezent^ andu-se reguli legate de mi scarea astrelor, pornind de la pozit iile
init iale al acestora pe cer.
Tot ^ n secolul al V-lea e.n un alt matematicean indian , Aryabhata (476 –
550) a scris un volum^ n versuri " Aryabhatya ". Acest volum a fost considerat
ca un supliment al regulilor de calcul folosite ^ n astronomie  si ^ n m asur arile
matematice.
Brahmagupa (598 – 660) un alt matematician indian a introdus reguli de
folosire a numerelor negativa, a g asit metode de rezolvare pentru ecuat iile de
gradul al II-lea  si pentru ecuat ii liniare.
Brahmagupa dene ste num arul 0 pentru prima dat a, operat iile de adunare
 si sc adere  si stabile ste reguli de calcul a operat iilor cu fract ii.
"Brahmosphutasiddhanta" (Deschiderea universului) scris a ^ n anul 628 a
10

fost cea mai important a lucrare lui Brahmagupa. Ea cont ine idei remarcabile,
^ n care este inclus a  si ^ nt elegerea ^ n matematic a a rolului 0. A mai introdus
reguli de folosire a numerelor negative  si pozitive, identitatea  si teorema lui
Brahmagupa, o metoda de calculare a r ad acinilor ecuat ilor p atratice.
Brahmagupa a contribuit la denitivarea sistemului numeric indo-arab pe
care matematicienii islamici l-au adaptat  si pe care le numimt numere arabe.
Un alt matematician indian Bhaskara (1114 – 1185) studiaza operat iile
de ^ nmult ire  si ^ mpart ire cu numere algebrice pozitive, negative  si irat ionale,
iar ^ n "Siddhanta Shiromani", prima carte a sa intitulat a "Lilavati" se ocup a
printre altele  si teorema numerelor, d^ and chiar o estimare pentru numarul .
Matematicianu italian, Leonardo Fibonacci (1170 – 1240) cunoscut  si sub
numele de Leonardo din Tisa era numit pentru "S irul lui Fibonacci" sau
"Numerele lui Fibonacci" introduce pentru prima dat a ^ n Europa numerele
negtive, ca ind asociate cu datoriile, a descoperit  sirul de numere naturale
^ n care ecare termen este egal cu suma cerlorlalt i doi termeni precedent i ai
s ai  si a stabilit c a numarul are valoarea 864 / 275.
^In lucrarea "Precious Mirror of the Four Elements" matematicianul chinez
Chu Shih-Chich (1280 – 1303) prezint a solut ii ale unor ecuat ii algebrice de
orin superior.
Fondatorul  scolii de matematic a Kerala, Madhava din Sangamagra (1340
– 1425) a folosit 21 de termeni din seriile Madhava-Leibniz pentru determina-
rea valorii lui ca ind 3.14159265359. A folosit seriile de puteri Madhava-
Newton pentru determinarea sinusului, cosinusului  si aproximarea Tylor pen-
tru funct iile sinus  si cosinus.
Jamshid al-Khasi (1380 – 1429) a fost un astronom  si matematicean per-
san care ^ n anul 1424 a aproximat numarul 2 cu o acurat ie de 17 zecimale.
Aceast a aproximat ie a fost realizat a ^ naintea matematicienilor greci, unde
Arhimede a determinat doar 3 zecimale, a matematicienilor chinezi, care au
determinat 7 zecimale  si al matematicienilor indieni, care au determinat 11
zecimale.
Algebra s-a dezvoltat considerabil ^ n epoca modern a  si datorit a matema-
ticianului italian, Scipione del Ferro (1465 – 1526) ind primul care a g asit o
metod a de rezolvare a euatiilor cubice.
"Relat iile lui Vi ete" pentru radacinile unui polinom  si "Formulele lui
Vi ete" pentru numarul a fost o alt a descoperire important a ^ n acea pe-
rioada al matematicianului francez Fran cois Vi ete (1540 – 1603).
John Napir (1550 – 1617) a fost un matematician, zician  si astronom
scot ian. El a scris ^ n lucrarea "Mirici Logarithmorum Canonis Descrip-
tion", publicat a ^ n anul 1614, un tabel despre logaritm, mai precis o list a de
logaritmi naturali calculat i pe baza constantei e.
^In secolul al XVII-lea, Pierre de Fermat (1601 – 1665) creaz a teoria nu-
11

merelor. Pe l^ ang a numeroase rezultate ^ n diverse domenii ale matematicii ^ n
teoria numerelor ocup^ andu-se de divizibilitatea numerelor  si a anunt at dou a
teoreme care-i poart a numele.
Cu put in timp mai t^ arziu matematicianul elvet ian Jean Berroulli (1667 –
1748) a facut public a cartea "Lectiones mathematicae de methode integalium
alisque" ^ n anul 1742 prima carte de calcul integral, dar  si o carte de calcul
diferent ial" Lections de calculo dierentialium" (1691 – 1692). Tot el a intro-
dus  si metoda de integrare a funct iilor rat ionale, a determinat proprietat iile
spiralei logaritmice  si descoper a curba lemniscat a, ca solut ia unei probleme
de mecanic a ^ n 1698.
Leonhard Euler (1707-1783) a fost un matematician  si un zicean elvet ian
care este considerat cel mai mare matematician al secolului al XVIII-lea. El a
introdus not iunea de funct ie not^ and f(x) pentru aplicarea funct iei felemen-
tuluix, a introdus notat a epentru baza logaritmului natural, cuoscut a  si sub
numele de Euler, litera greceasc aP( sigma ) pentru suma, ipentru unitatea
imaginar a  si litera greceasca (pi) pentru raportul dintre circumferint a unui
cerc  si diametrul s au.
Euler a denit ^ n 1748 funct ia exponent iala pentru numerele complexe,
fac^ and legatura dintre funct ia exponent iala  si funct iile trigonometrice, prin
formula celebr a:
ei'=cos' +isin'
Faimoasa "identitate a lui Euler",
ei+ 1 = 0;
care combin a^ ntr-o formul a cele cinci numere fundamentale e;i;; 1  si 0 a fost
votat a ca ind "cea mai frumoas a formul a matematic a din toate timpurile"^ n
cadrul revistei "Mathematical Intelligencer" ^ n anul 1988, ind o consecint  a
a formulei lui Euler.
Primele lucr ari realizate de Euler ^ n domeniul teoriei numerelor se bazau
pe rezultatele obt inute de Pierre de Fermat, demostr^ and ca unele "conjecturi"
a lui Fermat erau false. De asemenea a demonstrat "Identitatea lui Newton",
"mica teorema a lui Fermat", "teorema celor dou a p atrate" a lui Fermat  si
"teorema celor patru p atrate" a lui Lagrange. Euler a rezolvat o mult ime de
probleme concrete din lumea real a prin realizarea unor aplicat ii folosind serii
Fourier, diagramele Venn, numerele Bernoulli, constantele sie, integrale  si
fract ii continue.
Johann Heinreich Lambert (1728 – 1777) a fost un matematician elvet ian
care ^ n 1761 a ar atat c a numerele  siesunt transcendente, demonstr^ and c a
este irat ional.
12

Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) a fost unul dintre cei mai important i
matematicieni francezi avand o in
uient  a extraordinar a asupra contempora-
nilor si succesorilor sai. el a fost unul dintre fondatorii analizei matematice
remarcandu-ne de la el un numar impresionant de lucrari stintice. in cadrul
analizei mamematice sa ocupat de studiul sirurilor si al seriilor , ocupandu-se
in special de seriile cu termeni pozitivi si seriile trigonometrie, a avut insem-
nate contribuitati in devoltarea calcului diferential si integral, a ecuatiilor
diferentiale , iar in domeniul analizei functionale, mai exact in studiul func-
tiilor de variabila complexa , contributia sa este complet novatoare. a denit
criteriul de convergenta a unei serii, a fondat teroemele de existenta ale teo-
riei ecuatiilor diferentiale si ale ecuatiilor partiale iar in algebra studiaza ceea
ce ulterior se va numi "matricea lui Cauchy" de asemenea deneste " sirul
Cauchy" , demonstreaa comvergenta seriilor geometrice, folosind analiza ma-
tematica in geometrie eterminand tangenta si ecuatia planului , iar in 1813
emonstreaza teorema egalitatii a doua poliedre regulate convexe.
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) a fost un matematician, lozof
si zicean francez unu dintre obiectivele importante ale vastei sale opere a fost
teoria rezolvarii umerice a ecuatiilor algebrice. in 1822 in lucrarea sa "theorie
analytiqe de la chaleur" (teoria analitica a caldarii) , el introduce notiunea
peintegrala denita ,a utilizat o metoda pentru exprimarea functiilor prin
serii trigonometrice, care se numesc "transformata Fourier " .
matematicianul de origine germana Karl Friedrich Gauss care a debu-
tat la varsta de 10-12 ani , lasand uimiti profesorii prin descoperirea unei
metode de a calcula suma intregiilor pana la 100, iar in liceu sa ocupat de
teoria numerelor complexe, introducand in 1795 , in teza sa de doctorat ,
reprezentarea geometrica a acestora. de asemenea a studiat teoria congru-
entelor, facand distinctie intre concurentele algebrice si cele transcendente, a
completat tabelul numerelor prime , a axiometrizat teoria numerelor .
William Rowan Hamilton (1788-1856) a fost un matematician , zicean
si astronom anglo-irlandez care a contribuit la dezvoltarea matematicii mo-
derne introducand cuaternionul in 1843 si a adus contributii la dezvoltarea
algebrei necomutativa scotand in evidenta proprietatiile de comutativitate ,
asociativitate si distributilitate. matematicianul german Johann Peter Gus-
tav Lejeune Dirichlet (1805-1859) a introdus notiunea limitelor laterale in
anul 1837 , in anul 1838 a inceput sa studieze seriile , care poarta numele
, serii care au o importanta deosebita in teoria numerelor; in 1839 notiu-
nea de integrala multipla si a fondamentat conceptul de functie de variabila
complexa.
William Shanks (1812-1882) a fost un matematician britanic care a de-
terminat numarul ^ n anul 1873, cu o precizie de 707 zecimale.
Johnn Martin Zacharias Dase (1824-1861) a fost un matematician german
13

, celebru pentru abilitatiile sale de calcul , manifestate inca din copilarie el
a calculat numarul cu aproximatie de 200 de zecimale. acest calcul a fost
realiat in anul 1844 in decursul a doar 200 de luni insa in 1854 reuseste sa
calculeze numarul cu o precizie de 400 de zecimale .
Tot un matematician german , Georg Fried Rich Bernhard Riemann
(1826-1866) a studiat domenii ca analiza matematica si geometria diferenti-
ala , teoria numerelor , etc. Notiunea de suprafete reimann a fost introdusa
in anul 1851 si studiaza integralele denite , iar in 1854 introduce notiunea
de oscilatie intr-un punct, introducand astfel o noua geometrie neeuclidiana
si anume geometria sferica.
Joseph Liouville (1809-1882)a fost un matematician francez care a studiat
mai multe domenii ale matematicii. In 1844 Liouville a dat prima demon-
stratie a existentei numerelor transcendente, folosind functii continue.
Pufnuti Lvovici Cebasev a fost un matematician rus care a formulat "teo-
rema limitei centrale " in 1845 si este considerat "creatorul" legilor asimtotice
ale numerelor prime.
Matematicianul francez Charles Hermite (1822-1901) care in 1873a de-
monstrat ca baza logaritmului natural, numarul e , este un numar transcen-
dent.
Richard Dedekind (1831-1816) a fost primul matematician are a pus ba-
zele teoriei idealelor. in aceasta descoperire el a inlocuit numere intregi al-
gebrice prin ideal in inelul R al numerelor intregi algebrice ale corpului k
.
Matematicianul german George Ferdinant Ludwig Philipp Cantor (1845-
1918) considerat fondatorul teoriei multimilor , realizand prima clasicare a
acestora . la sfarsitul secolului al XIX-lea , cantor a studiat in 1877 multimea
numerelor transnite, a demonstrat ca numerele algebrice sunt numarabile.
el a gasit o noua metoda pentru constructia numerelor transcendente.
Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939) a fost un matematician german
care in 1882 a demonstrat transcendenta lui , folosind metode similare cu
cele folosite de Chatles Hermit , pentru demonstrarea transcendent ei lui e.
Israel Gelfand (1913-2009) a fost un matematician sovietic si american de
origine ebraica care a demonstrat transcendenta numerelor
Alexander Gelfond si Theodor Schnider folosind metodele diferite , in
1934 , a obtinut aceiasi demonstratie pentru a 7-a problema propusa de
Hilbert.
In anul 1976 , matematicienii americani Wolfgang Haken si Kenneth Aa-
ppel au reusit sa demonstreze "teorema celor patru culori cu ajutorul unui
calculator, aceasta ind prima teorema demonstrata cu ajutorul calculatoru-
lui.
^In matematica actual a, computerele sunt din ce ^ n ce mai importante, se
14

extind aplicat ii ale matematicii ^ n toate domeniile, apar domenii noi (bioin-
formatica), iar num arul lucr arilor  stiint ifoice este ^ ntr-o real a expansiune.
15

Capitolul 2
Divizibilitatea numerelor
2.1 Divizibilitatea numerelor naturale N
Mult imea numerelor naturale o vom nota cu N
N=f0;1;2;:::;n;:::g
Consider am a sibdou a numere naturale. Num arul natural aeste divizibl
cu num arul natural b, dac a exist a un alt num ar natural c, astfel ^ nc^ at a=b
c.
Ca notat ie pentru relat ia de divizibilitate, folosim:
bja si se cite ste ,, bdividea";
a…b si se cite ste ,, ase divide cu b.
a…b bjaa=b
c
a= multiplu b= divizor a= multiplu
b= divizor a= multiplu b= divizor
c= divizor
Fiea2 un num ar natural. Numerele 1  si ase numesc divizori improprii
a luia, iar ceilalt i divizori ai lui a, ^ n cazul ^ n care exist a, se numesc divizori
proprii.
Orice num ar natural n>1 are cel put in doi divizori pe 1  si pe el ^ nsu si.
Divizorul propriu a lui neste un divizor diferit de numarul n, iar divizorul
netrivial al lui n, este divizorul diferit de 1  si n.
16

2.1.1 Proprietat i ale divizibilitat ii numerelor naturale
1. Orice num ar natural este divizibil cu 1 sau 1 jaoricare ar  adinN.
2. Num arul 0 este divizibil cu orice num ar natural sau aj0, oricare ar  a
dinN.
3. Orice num ar natural se divide cu el ^ nsu si sau, altfel spus, aja, oricare
ar adinN.
4. Fiea;bdoua numere naturale. Dac a aeste divizibil cu b sibeste
divizibil cu aatuncia=bsau, alfel spus, dac a ajb sibja, oricare ar
a;bdinN.
5. Fiea;b sictrei numere naturale. Dac a bse divide cu aiarcse divide
cubatuncicse divide  si cu asau, altfel spus, dac a ajb sibjc, atunci
ajc, oricare ar  a;b;c dinN. Dac a un num ar natural se divide cu un
alt num ar natural, atunci primul se divide cu tot i divizorii celui de-al
doilea.
6. Dac a ecare termen al unei sume de dou a, sau mai multe, numere
naturale se divide cu un num ar natural, atunci  si suma lor se divide cu
acel num ar natural.
7. Dac a unul din termenii unei sume de dou a numere naturale se divide
cu un num ar natural, iar celalalt termen nu se divide cu acel num ar
natural, atunci suma nu se divide cu acel num ar natural.
8. Fiea;b simnumerele naturale, a > b . Dac aase divide cu m sibse
divide cumatunci  si produsul abse divide cu msau, altfel spus, dac a
mja simjb, atuncimjaboricare ar  a;b;m dinN,a>b .
9. Dac a un num ar natural ase divide cu un num ar natural m, atunci
produsul lui acu orice num ar natural se divide cu m, sau, altfel spus,
dac amja, atuncimjab, oricare ar  a;b;m dinN.
10. Relat ia dedivizibilitate este o relat ie de ordine (part ial a) pe N, adic a:
este re
exiv a: aja,8a2N;
este antisimetric a: ajb sibja)a=b;
este tranzitiv a: ajb sibjc)ajc;
 si nu este total a: 9a sib2Nastfel ^ nc^ at aXb sibXa.
17

11. Relat ia de divizibilitate este compatibil a cu relat ia de ordine, adic a:
ajb)a6b.
2.1.2 Criterii de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 2.
Un num ar natural este divizibil cu 2 dac a ultima cifr a a sa este par a (0,
2, 4, 6 sau 8).
Criteriul de divizibilitate cu 3
Un num ar natural este divizibil cu 3 dac a suma cifrelor sale se divide cu
3.
Exemplu: 72513 se divide cu 3 deoarece 7+2+5+1+3=18  si 9 j18.
Criteriul de divizibilitate cu 9.
Un num ar natural este divizibil cu 9 dac a suma cifrelor sale se divide cu
9.
Exemplu: 53614008 se divide cu 9 deoarece 5+3+6+1+4+0+0+8=27  si 9 j27.
Criteriul de divizibilitate cu 4.
Un num ar natural este divizibil cu 4 dac a num arul format din ultimele
dou a cifre ale num arului dat este divizibil cu 4.
Exemplu. 4j5032 pentru c a 4j32;
4j528 pentru c a 4j28.
Criteriul de divizibilitate cu 5.
Un num ar natural este divizibil cu 5 dac a ultima cifr a a sa este 0 sau 5.
Criteriul de divizibilitate cu 25.
Un num ar natural este divizibil cu 25 dac a num arul format din ultimele
dou a cifre ale num arului dat este divizibil cu 25.
Exemplu. 25j5850 pentru c a 25 j50.
Criteriul de divizibilitate cu 11.
Un num ar natural este divizibil cu 11 dac a diferent a dintre suma cifrelor
situate pe locurile impare  si suma cifrelor situate pe locurile pare este mul-
tiplu al lui 11.
Exemplu: 1925 : 11=175; (9+5)-(1+2)=11;
1012 : 11=92; (1+1)-(0+2)=0.
18

Criteriul de divizibilitate cu 10, 100, 1000, 10.000, 100.000, 1.000.000
etc.
Un num ar natural este divizibil cu 10 dac a ultima cifr a a sa este 0, cu
100 dac a ultimele dou a cifre ale sale sunt 00, cu 1000 dac a ultimele trei cifre
ale sale sunt 000, cu 10.000 dac a ultimele patru cifre ale sale sunt 0000,
cu 100.000 dac a ultimele cinci cifre ale sale sunt 00000, cu 1.000.000 dac a
ultimele sase cifre ale sale sunt 000000 s.a.m.d.!
Relat iajdenit a pe Nse nume ste relat ie de divizibilitate pe N. Se arat a
u sor c a aceasta este o relat ie de ordine pe N.
Prin denit ie, un num ar prim este un num ar mai mare dec^ at 1 care nu are
altt i divizori ^ n afar a de 1  si el ^ nsu si. Un num ar se nume ste compus dac a
are cel put in un divizor netrivial.
Lema 2.1.1. Orice num ar natural, mai mare dec^ at 1, are un divizor prim.
Demonstrat ie : Pentru a demonstra armat ia, se aplic a metoda reducerii
la absurd  si presupunem c a exist a un num ar n>1 care nu are divizori primi.
Dac a not am mult imea acestor numere cu S, cum ea este nevid a  si Neste
bine ordonat a, exist a un cel mai mic element ^ n S. Fie acesta n0.n0este
atunci un num ar compus, deci n0=a
b, cu 1< a;b < n 0. Pentru a nu
contrazice alegerea lui n0,anu apart ine lui S, adic aaare un divizor prim
care va  divizor  si pentru n0, ceea ce contrazice faptul c a n02S.
19

2.2 Divizibilitatea numerelor ^ ntregi
Mult imea numereleor ^ ntregi o vom nota cu Z
Z=f:::;2;1;0;1;2;:::g
.
Avem numerele ^ ntregi a sib. Spunem c a adivideb si scriemajbdac a
exist a un ^ ntreg castfel ^ nc^ at b=a
c. Ca  si ^ n cazul relat iei de divizibilitate
denite pe N, ea este re
exiv a  si tranzitiv a, dar nu mai este antisimetric a.
De exemplu, 2j-2  si2j2. Pentru a putea obt ine o relat ie de echivalent  a pe
Z, denim relat ia numit a asociere ^ n divizibilitate, prin: xyx=y
Denit ia 2.2.1. Fiea;bnumere ^ ntregi. Spunem c a un num ar ^ ntreg deste
un cel mai mare divizor comun al numerelor a;bdac a:
dja sidjb,
Pentru orice d0ja sid0jb, rezult ad0jd.
Un cel mai mare divizor comun al lui a sibeste unic determinat, mai
put in o asociere ^ n divizibilitate. Putem presupune c a acesta este un num ar
natural. Un astfel de cel mai mare divizor comun este unic determinat  si ^ l
not amd= (a;b).
Dac a (a;b) = 1, spunem c a numerele a sibsunt prime ^ ntre ele sau relativ
prime.
Propozit ia 2.2.1. Fiea;bnumere ^ ntregi  si d= (a;b). Atunci,a=a0d;b=
b0d, undea0;b0sunt numere ^ ntregi prime ^ ntre ele.
Din denit ia celui mai mare divizor comun a dou a numere a;b, rezult a
c adj(ab). Euclid a folosit acest rezultat pentru a determina cel mai mare
divizor comun a dou a numere naturale folosind metoda sc aderii repetate a
num arului mic din cel mare.
Mult imea numerelor ^ ntregi ^ n raport cu adunarea  si ^ nmultirea are o
structura de inel. Datorit a acestui fapt, ^ n unele probleme de teoria numere-
lor este indicat  si mai convenabil s a lucr am cu numere ^ ntregi, aceasta largire
a cadrului permit ^ and folosirea metodelor algebrice.
Vom aminti ^ n continuare c^ ateva proprietati fundamentale ale mult imii
numerelor ^ ntregi, anume axiomele lui Peono  si teoria ^ mp art irii cu rest.
20

Axiomele lui Peono
Putem spune c a mult imea numerelor naturale Nconstituie un sistem
(N,O,f) format din 3 elemente:
o mult ime N;
un element xat al mult imii O2N;
o funct ief:N!Nnumit a funct ie de succesine.
Pentru aceast a funct ie de succesiune sunt ^ ndeplinite axiomele:
P1 :n2N)f(n)6= 0 (adic a 0 nu este succesorul nici unui num ar
natural);
P2 : dac am;n2N,f(n) =f(m), atuncin=m;
P3 : dac a MN siO2M si din n2Mrezult a c af(n)2M, atunci
M=N.
ElementulOpoart a numele zero. O alt a formulare pentru P3 ar :
Meste o mult ime de numere naturale care ^ ndepline ste condit ile:
O2M;
dac an2M, atuncin+ 12M, atunci M=N.
Axioma lui Peono st a la baza principiului indut iei matematice, o metod a
prin care se demonstreaz a c a o propozit ie matematic a deprinz^ and de o vari-
abil an,n2N, este adevarat a pentru orice valoare natural a a variabilei.
2.3 Cel mai mare divizor comun  si cel mai
mic multiplu comun
Cel mai mare divizor comun a dou a sau mai multe numere se noteaz a c.m.m.d.c
 si este cel mai mare num ar cu care se divide ecare din numerele considerate.
21

Denit ia 2.3.1. Num arul natural deste cel mai mare divizor comun al nu-
merelor naturale a sib, ambele neind nule, dac a satisface simultan condit iile:
ddivide pea siddivide peb;
deste divizibil cu orice divizor comun al numerelor a sib.
Cel mai mic multiplu comun a dou a sau mai multor numere se noteaz a
c.m.m.m.c.  si este cel mai mic num ar care se divide cu ecare din numerele
considerate. Mai precis pentru dou a numere naturale a sibavem denit ia:
Denit ia 2.3.2. Num arul natural deste cel mai mic multiplu comun al
numerelor naturale a sibdac a satisface simultan condit iile:
deste divizibil cu a sib.
orice alt multiplu comun al numerelor a sibeste multiplu al lui d:
(8)d2Ncuajd sibjd)djd.
Notat ie:d= [a;b]
2.4 Teorema ^ mpartirii cu rest
Oricare ar  numerele ^ ntregi a sibcub6= 0, exist a numere unice q sirastfel
^ ncat:
1.a=bq+r;
2. 0r<jbj.
Observat ia 2.4.1. Numereleq sirse numesc c^ at, respectiv rest.
Demonstrat ie :^In primul caz consider am a0  sib>0, vom demonstra prin
induct ie c a oricare ar  a2N, exist a numerele naturale q sircare veric a
punctele de mai sus.
Fie M=fa2Nj9q;ra.^ a=bq+r si 0r<jbjg
Se vede c a 02M, c aci 0 = 0
b+ 0. Prsumunem c a a2M, adic a
a=bq+r,b 0r < b . Avema+ 1 =bq+r+ 1 Dac ar+ 1< b, rezult a
c aa+ 12M. Dac ar+ 1 =bscriema+ 1 =b(q+ 1) + 0  si la fel rezult a
a+ 12M.
22

^In al doilea caz, lu am a >0,b <0, aplic^ and cazul anterior lui a sib
obtinema= (b)q+rcur < b . Scriind egalitatea anterioar a sub forma
a=b(q) +r, demonstrat ia rezult a,
q
a=b(q1) + (br)
, unde 0<br<b .
^In al treilea caz lu am a < 0,b >0. Avema=bq+r,r < b . Dac a
r= 0, ^ nmult im egalitatea cu 1  si obt inem a=b(q) + 0. Dac a 0 <r<b ,
^ nmult m egalitatea cu 1  si scriem:
^In al patrulea caz lu am a<0,b<0. Se procedeaz a ca ^ n cazul anterior.
S a demonstr am unicitatea lui q sir; e scrierile a=bq+r sia=bq0+r0cu
0r <jbj, 0r0<jbj. Presupunem c a r < r0; prin sc aderea celor dou a
egalitat i rezult a b(qq0) =r0r, unde 0<r0r <jbjrjbj. Dar din
egalitatea precedent a  si qq06= 0 rezult ajb(qq0)j=jbkq0jjbj. Am
obt inut o contradict ie. Deci r=r0 si atunci avem imediat q=q0.
Observat ia 2.4.2. Dac a restul ^ mp art irii lui " a" la "b" este 0 (adic a rest
=0), spunem c a " a" se ^ mparte exact la " b"  si not am
a:b=q
, unde "a"  si "b" sunt factorii c^ atuli, iar " q" este c^ atul.
23

Capitolul 3
Numere prime
Denit ia 3.0.1. Un num ar prim e un num ar care are doar doi ivizori: pe
1  si pe el ^ n sine.
O alt a deniftie a numerelor prime echivalent a cu prima este urm atoarea:
Un num ar prim e un numa ar ireductibil.
Teorema 3.0.1. (Euclid) Exista o innitate de numere prime.
Demonstat ie 1. Presupunem, prin absurd, c a mult imea numerelor prime
este nit a. Astfel, presupunem c a exist a doar nnumere prime p1;p2;:::;pn.
Num arulN=p1
p2
:::
pn+ 1
pn+1este mai mare dec^ at 1, deci are un
divizor prim. Cum ecare pi- N, acesta va  prim, adic a N=pkpentru un
k2f1;:::;ng, ceea ce este absurd.
Demonstat ie 2. FiePn=n! + 1 , pentrun1. FiecarePng asim c^ ate un
divizor prim pn. Dac a unpnn, atuncipnjn! si cumpnjPn, rezult apn= 1,
fals. Deci,pn>n, pentru orice n. Am obt inut astfel c a, pentru orice n1,
exist apn>n num ar prim, ceea ce arat a c a mult imea numerelor prime este
innit a.
Pentru aln-lea num ar prim pe care ^ l not am cu pn, demonstrat ia lui
Euclid furnizeaz a  si o anumit a majorare. Dac a peste un num ar prim diferit
dep1;p2;:::;pn sipjp1p2:::pn+ 1, atunci:
pn+ 1pp1p2:::pn+ 1
Prin inductie matematic a dup a n, se poate demonstra c a
pn<22n
24

.
Denim funct ia
:R+!N
 si prin(x) not am num arul numerelor prime x. Astfel,(1) = 0;(2) =
1;(3) =(4) = 2;etc.
Este evident c a (pn) =n sip(n) =n, pentru orice num ar prim n. Atunci,
dinpn<22n, obt inem(22n)n, pentru orice num ar natural n1
Propozit ia 3.0.1. Pentru orice num ar real x>1, avem(x)>ln(lnx).
Demonstat ie 3. Fiencel mai mic num ar ^ ntreg mai mare ca ln(lnx).
Atunci
n1ln(lnx)<n
, ceea ce este echivalent cu
een1xeen
. Dac axee3, atuncin4 si avem:
e3>(2;7)3= 19;683>16 = 24:
Atunci,
(x)(22n)n>ln (lnx)
.
Dac a 5<x<ee3, avem(x)3>ln(lnx).
Dac a 2x5, avemee>e2>(2;7)2= 7;29>5x,
de unde(x)1>ln(lnx).
Dac a 1<x< 2, avemln(x)<1, de unde(x) = 0>ln(lnx).
25

Capitolul 4
Numere Proth
Numerele Proth denumite dup a matematicianul francez Fran cois Proth au
o important  a deosebit a ^ n teoria numerelor. Fran cois Proth, n ascut ^ n anul
1852  si decedatin1879dincauz anecunoscut a;afostunautodidactfermierfrancezmatematiciancareatr ait^ nVauxdevantDamloupaproapedeVerdun;Fran t a:Elaanun t patruteoremelegatedeprimalitateanumerelor:Ceamaifaimosdintreacestea;TeoremaluiProth;poatefifolosit apentruatestadac aunnum arProth (unnum ardeforma k2n+
1 cukimpar  sik < 2n) este prim. Numerele care veric a acest test sunt
numite numere Proth. Aceste numere au o important  a deosebit a ^ n calculul
cu numere prime foarte mari.
Denit ia 4.0.1. Numerele de forma
k
2n+ 1
, undekeste impar, nnum ar ^ ntreg pozitiv, iar k<2n.
Primele 24 numere Proth 3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97,
113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 257, 289.
Denit ia 4.0.2. Un num ar prim Proth este un num ar Proth care este prim.
Primele c^ ateva numere Proth primr sunt: 3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 247,
257, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, etc.
Observat ia 4.0.1. F ar a ultima condit ie ( k < 2n) toate numerele ^ ntregi
impare ar  numere Proth.
Primalitatea numerelor Proth se poate testa cu ajutorul Teoremei lui
Proth care stipuleaz a c a un num ar Proth peste prim dac a  si numai dac a
exist a un ^ ntreg mcare veric a relat ia mp1
21(mod p). ^In 2016 a fost
descoperit ^ n cadrul programului Prime Grid cel mai mare prim Proth cu-
noscut.
Cel mai mare num ar prim Proth g asit p^ an aacum este 10223
231172165+ 1
 si are 9383761 cifre. El este ^ n acla si timp  si cel mai mare num ar prim care
26

nu e num ar prim Mersene (num ar de forma 2n1)  si a fost g asit de c atre
Szablez Peter prin programul "Prime Grid distributed computing project"
^ n noiembrie 2016.
Exemple de numere prime Proth:
3 = 1
21+ 1
5 = 1
22+ 1
13 = 3
22+ 1
17 = 1
24+ 1
41 = 5
23+ 1
97 = 3
2; 5 + 1
113 = 7
24+ 1
193 = 3
26+ 1
241 = 15
24+ 1
257 = 1
28+ 1
353 = 11
25+ 1
449 = 7
26+ 1
577 = 9
26+ 1
641 = 5
27+ 1
673 = 21
25+ 1
769 = 3
28+ 1
929 = 29
25+ 1
1153 = 9
27+ 1
1217 = 19
26+ 1
1409 = 11
27+ 1
1601 = 25
26+ 1
Subseturi de clase numerelor Proth
Numerele Fermat : sunt numerele Fndenite prin formula Fn= 22n+1, unde
neste num ar ^ ntreg nonnegativ.
Numerele Cullen : sunt numerele naturale de forma nbn+1, unden>b2,
se numesc numere Cullen.
Numere Sierpinski : sunt numerele impare kastfel ^ nc^ at k2n+1 este compus
pentru orice nnatural se numesc numere Sierpiski de ordinul doi.
27

Concluzii
Numerele prime Proth, ca  si alte numere primefoarte mari sunt importante
^ n teoria cript ari unde nu lucreaz a cu numere prime foarte mari.
De exemplu ^ n metoda oheilor publice e nevoie de dou a numere naturale
(prime) sucient de mari, ecare av^ and num arul de cifre de ordinul sutelor,
produsul acestor numere put^ and  u sor calculat cu ajutorul computerului.
Faptul c a nu se cunoa ste metoda de a a
a aceste numere prime p siq
c^ and se cunoa ste produsul lor st
28

Bibliograe
[1] Enciclopedia pentru tineri LAROUSSE- Matematic a  si informatic a, Cla-
ude Naudin, 2001, Enciclopedia RAO
[2] http://www.icstm.ro/DOCS/josa/josa 2008 1=a:04CESTIMDARMAIALESCENUSTIMDESPRE NUMERE:pdfhttp :==www:icstm:ro=DOCS=josa=josa 2008 1=a:04CESTIMDARMAIALESCENUSTIMDESPRE NUMERE:pdf
[3] [3] http://ro.math.wikia.com/wiki/Pitagora
[4] https://ro.wikipedia.org/wiki/Euclid
[5] https://ro.wikipedia.org/wiki/Algoritmul lui Euclid
[6] https://cnamd09.wikispaces.com/le/view/0904+Numere+speciale.pdf
[7] https://ro.wikipedia.org/wiki/Algoritmul luiEuclidhttps :==ro:wikipedia:org=wiki=Algoritmul luiEuclid
[8] [8] https://ro.wikipedia.org/wiki/Algoritmul luiEuclidhttp :==desprenumere:blogspot:ro= 2012=01=numereperfecte:html
[9] [9] https://ro.wikipedia.org/wiki/NumC483r perfecthttp :==alpha:math:uga:edu= pollack=pnp 4:pdf
[10] [10] https://ro.wikipedia.org/wiki/Numr perfecthttps :==cnamd 09:wikispaces:com=file=view= 0904 +Numere +speciale:pdf
[11] [11] Makowski, A. (1962). "Remark on perfectnumbers". Elem. Math. 17 (5):
109
[12] le:///C:/Users/user/Desktop/0fcfd50e571fd8460d000000.pdf
[13] http://fs.gallup.unm.edu/EnciclopediaNumerelor.pdf
[14] Coman, M., Enciclopedia Matematic a a Claselor de Numere ^Intregi,
2013, Multimedia Larga
[15] Smarandache, F., Noi Functii in Teoria Numerelor, 1999, U.S.M.
[16] Cira, Octavian and Smarandache, Florentin, Various Arithmetic Func-
tions and their Applications, 2016
29

[17] Marius Coman, Enciclopedia Matematic a a Claselor de Numere ^Intregi,
2013, Innite Study
[18] Alberto Mussa, Mi scarea pendular a (Romanian edition), 2013, MintRi-
ght Inc
[19] Societatea de tiine Matematice i Fizice din R.P.R., Gazeta matematic a
 si zic a, Volumul 15, 1963, Editura Tehnic
[20] Elemente de algoritmica – probleme si solutii, Mugurel Ionut Andreica,
2011, Cibernetica Publishing House
[21] Noi Functii in Teoria Numerelor, Florentin Smarandache, 1999, Innite
Study
[22] ENCICLOPEDIA SOCIOLOGIEI UNIVERSALE FONDATORII (vol.
I), Ilie Badescu, Ioan Mihailescu, Catalin Zamr, Editura Mica Valahie
[23] Banda lui Mobius, Cliord A. Pickover, 2013, Humanitas
30