Aplicații ale formulei Taylor [606038]

Aplicații ale formulei Taylor

1) În cazu l (i) din teorem a IV.28, polinoam ele Tn(n) aproximeaz ă
punctual func ția f(x), în sensul c ă: pentru orice ε > 0 dat, putem în
general să determinăm un polinom Tn(x) a.î. En(x) < ε pentru to ți x din
I. În acest caz eroarea En este prac tic m ai puțin utilă deoarece desp re
En(x) nu av em mai multe inf ormații decât despre Rn(x).
2) În cazu rile (ii) și (iii) din teorem a IV.28 polinoam ele Tn(x) dau pe
intervalu l I o aproximare global ă a funcției f(x) în sensul că: pentru
fiecare num ăr ε > 0 dat, se poate determ ina un polinom Tn(x) a.î.
En(x) < ε, ∀ x ∈ I.
3) Tipurile de aproxim ări ale lui f în condițiile teorem ei IV.28 vor fi m ai
exact p recizate în capito lul “Șiruri și Serii de func ții reale”.
4) Teorem a IV.28 se folose ște pentru aproximarea func țiilor indefini t
derivabile pe un interval I ⊆ R prin șirul corespunz ător de
polinoame Taylor .
Exemple:
1°. () ,xfxe xR=∈ ; () fCR∞∈ ; ()(),n x
xf ex R =∀∈ și xN∀∈;
()()
01,nf nN=∀∈. Ave m: ()21
1 … ,1!2! ! 1!nn
x xx x xeennξ+
xR =+++++ ∀∈+
și fixat ⇒ xR∀∈()1
lim 01!n
nxenξ+
→∞=+ ⇒ fiecare xR∈ fixat;
lim1 … ,1! !n
x
nxxex Rn→∞⎛⎞=+ ++∀∈ ⎜⎟⎝⎠ ⇒ 1 …1! !n
x x x
n≅+++ e .
– În particular, pentru x = 1: 11lim1 …1! !nen→∞⎛⎞=+ ++ ⎜⎟⎝⎠.
267

– Pentru x ∈ [0,1], să determ inăm n ∈ N a.î. prin aproxim are
() 1 …1! !n
x
nxxen≅+++=Tx eroarea En(x) < 0,125 ⇒
()()()111 … 0,125 1!81! ! 1! 8n
x
nxxExe e nnn⎛⎞=−+++< <=⇒+< ⎜⎟+ ⎝⎠e
pentru n = 3 ⇒ []23
1,1!2!3!x xx xex≅+++∀∈0,1.
2°. () sin, fxx xR =∈ ; () fCR∞∈ ;
()()sin ,2n
xxf xx R∈π⎛⎞=+ ∀ ⎜⎟⎝⎠xN,∀∈;
()()
()00; 2
sin2 1;2n
knk nf
nkπ = ⎧⎪== ⎨1 −=+ ⎪⎩ Ave m:
()()()()35 21 21
1sin … 1 1 cos3! 5! 21! 21!nn
n n xx x xxxnnξ−+
−=−+++− +−−+ ⇒
Pentru fieca re xR∈ fixat: ()()21
lim lim cos 021 !n
nnnxRxnξ+
→∞ →∞= =+ ⇒
⇒ ()()35 21
1sin lim .. 13! 5! 21!n
n
nxx xxxn−
−
→∞⎛⎞=− +++− ⎜⎟⎜⎟ −⎝⎠, în fiecare fixat xR∈
⇒ ()()35 21
1sin .. 13! 5! 21!n
n xx xxxn−
− ⎛⎞≅−+++− ⎜⎟⎜⎟ −⎝⎠.
– În particu lar: 3
sin3!xxx≅− cu ()35
sin65nx xExx x l =−+<⋅ și
x ∈ [0,1] cu l =1⇒ ()11
5!120nEx<= .
268

– Pentru 18xπ= radiani, obținem : 3
3sin18 18 618πππ≅−⋅ cu ero area
() ()5
5
5110,25!18 5 310nExπ⎛⎞<< < ⎜⎟⋅ ⎝⎠1.
3°. ()()() ln1 , 1, fx xxI =+ ∈=−∞; () fCI∞∈ ;
()()()()
()111 !,,
1n
n
x nnf xI
x−−−= ∀∈
+xN ∀∈ 1! și ()()()()1
01n nfn−=−⋅− Ave m:
() () ()
()23 1
1
11ln1 … 1 123 11nn
nn
nxx x xxxnn ξ+
−
++=−+++−+−⋅++;
Pentru []0,1 x∈ , găsim : ()()
()1
11lim lim 1 011n
n
n nnnxRxnξ+
+→∞ →∞=−=++⇒
() ()23
1ln1 lim … 123n
n
nx xxxxn−
→∞⎛⎞⇒+ =−+++− ⎜⎟⎝⎠ și atun ci
() () [23
1ln1 … 1 , 0,123n
n xx xxx xn− ⎛⎞+≅−+++− ∀∈ ⎜⎟⎝⎠] cu
()()()()1
1nn n Ex fxTx Rxn=− =<+.
– În particular pentru n = 9, obținem :
() []23 91ln1 … , 0,123 9 10xx xxx x +−+−−−<∀∈
– Pentru x = 1
}11 1 1 1879ln21 … ln2 0,7423 10 2520 n−+−−−<⇒≅≅
5) Form ula lui Taylor se folose ște în calcularea unor limite , care conduc
la forme nedeterm inate 0
0⎛⎞
⎜⎟⎝⎠.
269

Exemple :
1°. ()
()33
33
3300 03! 3! sin 11 1lim lim lim63 ! 6xx xxxxx x
xxxxxα
α
→→ →⎛⎞−−+⎜⎟⎛⎞ − ⎝⎠= =+⎜⎟⎝⎠=
()() ()0lim 0 0
xx
→==αα
2°. 23011 2lim1 ln2xxlxx x→+ ⎡⎤+− =⎢⎥− ⎣⎦
12 2ln ln ln1 ln12212x
2x xx
x x++ ⎛⎞ ⎛⎞== +−− ⎜⎟ ⎜⎟− ⎝⎠ ⎝⎠−=
() () ()23 5 2 3 5 3
3
1228 245 28245 12xx x x xx x x xx xx x x αα⎡⎤ ⎡ ⎤−++ −−−−+ =++ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎣⎦ ⎣ ⎦β
cu ()
0lim 0
xxβ
→=
() ()3
32
230011 1 1lim1 lim112 12 12xxxlx x x xxxββ
→→⎡⎤ ⎛⎞ ⎡⎤=+ −++ =−− = ⎢⎥ ⎜⎟ ⎢⎥⎣⎦ ⎝⎠ ⎣⎦1x
6) Teorema IV.29. (Determinarea p unctelor de extrem local)
Fie I ⊆ R interval, f : I → R o funcție derivabil ă de n (n ≥ 2) ori în
0xI∈ cu ()()()()1
00 0 ' " … 0nfx fx f x−=== = și ()()
00n
xf≠, atunci au
loc situațiile:
(i) Dacă n este par, atunci 0xI∈ este punct de extrem local pentru
f și anum e:
1) punct de m inim local când ()()
00n
xf>
2) punct de m axim local când ()()
00n
xf<
(ii) Dacă n este im par 0xI∈ nu este punct de extrem local pentru f.
270

Demonstra ție:
În ipotezele teo remei are lo c for mula lui Tay lor cu rest
Peano:
()() ()()
()()()()
()()
()() ()()00
01
1 00 0
00
0
0' …1! 1! !
;lim 0 ;!nn
nn
xx
n
xxxx xx xxfx fx fx f fnn
xxxx x xInαα α−
−
→⎧ −− −=+ ++ + ⎪− ⎪⎨
⎪−+= =∀∈ ⎪⎩+

()()()
()()()
00
0!n
n
xxxfxf x f xnα−⎡ ⎤ ⇒− = +⎣ ⎦ cu
()()()()()
000lim 0nn
xxxxfx fα
→⎡⎤+= ≠⎣⎦⇒
()0VV x ⇒∃∈ a.î. ()()()()()
00sign sign ,nn
xxf xf xVI α⎡⎤−=∀ ∈∩⎣⎦⇒
()()()()()
00
0 sign sign ;!n
n
xxxfxf x f xVn⎡⎤−⎡⎤ ⇒− = ⋅ ∀∈ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦⎢⎥⎣⎦I∩.
(i) Dacă n este par ()0 0,nxx⇒− > xV I∀∈∩ și avem
()()()()
00 sign signn
xfxf x f −=⎡ ⎤⎣ ⎦ și rezu ltă cazurile 1) și 2)
confor m definiției pun ctelor de extrem local (defini ția III.9).
(ii) Dacă n este im par, ()0nxx− are sem n variabil pe VI∩ și la fel
()()0 fxf x−⎡⎣⎤⎦ are sem n variabil pe VI∩, deci 0xI∈ nu
este punct de extrem local (defini ția III.9 ).
Consecin ța IV.14.
Fie IR⊆ interv al 0xI∈ punct interior și o funcție derivabil ă
de două ori pe I cu f” continuă în :fI R→
0xI∈. Dacă ()0'0fx= și ()0"0fx>
271

(respe ctiv ()0"fx 0<), atunci 0x este punct de minim local strict pentru f
(respectiv punct de m axim local strict pentru f).
Demonstra ția. Rezultă din teorem a IV.29 pentru n = 2.
Observație. Condiția ()()
00n
xf≠ este esențială în teorem a IV.29.
7) Formula lu i Taylor perm ite unele preciz ări în studiul variației une i
funcții reale de o variabil ă reală.
Dacă [] :,fab R→ este func ție de c lasă []() ( )22, Cf C ab∈ atunci f
este convexă pe [a,b] (f este concav ă pe [a,b] sau f “nu ține apa” ) sau
“f ține apa”, adică: [] 0, , xx ab ∀∈ avem :
()()()() 00 '0 fxf x fxxx ≥+ − (respectiv:
()()()() 00 '0 fxf x fxxx ≤+ − ), și graficul lui f este situa t deasupra
tangentei (respectiv sub tangent ă) în orice punct ()() 00,f xfx G∈ .
După formula Taylor cu rest Lagrange de ordin 1 ( n=1), avem :
()()()()()()2 0
00 0'"
1! 2!fx ffxf x xx xxξ=+ −+ − cu ξ situat în tre și x
0x de unde rezult ă că:
I dacă pe "0 f≥[],ab atunci f este convex ă și reciproc.
II dacă "0 f≤ pe [],ab atunci f este concav ă și reciproc sau f
concavă pe [],ab ()f⇔− este convex ă pe [],ab.
8) Consecin ța IV.15
Un număr real 0x este o rădăcină multiplă de ordinul k al unui polinom
de grad , dacă și num ai dacă, () nPX nk≥
()()()()1
00 0 ' … 0k
nn n Px P x P x−== = = și ()()00k
nPx≠.
272

Demonstra ție: Dacă 0xR∈ este rădăcină multiplă de ordinul k al
polinom ului () nPX, avem :
()()()01k
nPx xxQx =− cu () 10 0, Qx xR≠∈ și prin derivare se ob țin
condițiile din enun ț.
Dacă au loc condi țiile din enun ț, după formula lui Taylor, avem :
()() ()()() ()()()()00
0 0 …!!km
k k m
nn nxx xxPx P x P x xxQxkm−−=+ + =−0 1 cu
și rezu ltă că ()10 0 Qx≠0x este rădăcină multiplă de ordin k.
Exemple:
1°. Pentru determ inarea punctelo r de extrem local ale func ției
()1sin sin2,2fxx xx =− ∈R este suficient s ă le de terminăm pe cele
din [] 0,2 I Rπ=⊂, restul se ob țin adaugând perioada 2π.
()2' cos cos2 0 cos 12cos 0 fx x x x x =− =⇔+−= și
[]2cos 1,1 2 10 xy yy =∈−⇔−++= cu 11y=, 21
2y=− ⇒ punctele
critice sunt: 10x=, 22
3xπ= , 34
3xπ= , 42xπ= . Ave m:
()()()
()4sin 2sin2 sin 8sin2
cos 4cos2fxx xf x x
fx x x⎧′′=−+ =− ⎪⎨′′′=−+ ⎪⎩x
I : 10x=()'0 0 f=, ()''00 f=, ()'"030 f=≠ ⇒ 10x= nu este
punct de extrem local.
II 42xπ= : ()'2 0 fπ=, () ''2 0 fπ=, () '"2 30 fπ=≠ ⇒ 42xπ= nu
este punct de extrem local.
273

III 22
3xπ= : 2'03fπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 23'' 3 032fπ⎛⎞=−< ⎜⎟⎝⎠ ⇒ 22
3xπ= este
punct de m axim local și 2
34fπ⎛⎞ 3=⎜⎟⎝⎠ este valoarea m aximă a lui f.
IV 34
3xπ= : 4'03fπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 4 3'' 2 032fπ⎛⎞=> ⎜⎟⎝⎠ ⇒ 34
3xπ= este
punct de m inim local și 4
34fπ⎛⎞ 3=−⎜⎟⎝⎠ este valoarea m inimă a lui f.
Cum avem ()() 02ff π 0 == obținem : ()31sin sin242fx x x3
4−≤= −≤,
, adică xR∀∈22
3xπ= este punct de m axim absolut și 34
3xπ= este
punct de m inim absolut pentru f.
2°. ()632 3 fx xx=−+ Rx,∈ și să se determ ine punctele de extrem
local. Avem : () ()52'1 2 3 ' fx x x fx 0 =−⇒ = cu 0
130
1
4x
x=⎧⎪⎨=⎪⎩ puncte
staționare (c ritice ) ale lui f. ()4"6 0 6 fxx x =− , ()3"' 240 6 fx x=−.
I ⇒ 00x=()'0 0 f=, ()''00 f=, ()'"0 60 f=−≠ (n = 3 im par) ⇒
nu este punct de extrem local. 00x=
II 131
4x= ⇒ 31'0
4f⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 331 9'' 0
44f⎛⎞=>⎜⎟⎝⎠ (n = 2 par) ⇒
131
4x= este punct de m inim local cu min312
8 4ff⎛⎞==⎜⎟⎝⎠3.
3°. ()22cos , fx xxx =+∈R și să se determ ine punctele de extrem
local. Avem :
274

2750
2() 0 '2 sin 2 sin fx x x x x =−+⇔=⇒= punct critic al f.
()"2 cos fxx=−+; ()"' 2sin fxx= ; ()()42cos f x= x. Avem :
, ()'0 0 f=()''00 f=, ()'"00 f=, ()()402 0 f=> (n = 4 par) ⇒
este punct de m inim local cu 00x= () min 02 ff==.
4°. () sin,nfx x xx =⋅∈ R și n∈N și să se determ ine punctele de
extrem local. Avem :
() ( )11's in cos cos snn nin fxn x xx xx x xn x−−=+ = +
() ( )()1
1 02'0 cos sin 0
cos sin 0n
n xnfx x x xn x
xx n x−
− ⎧=≥=⇔ +=⇔⎨+= ⎩ ⇒
()00
1x
xtgx nn= ⎧⎪⇒⎨=−≥⎪⎩ și prin m etoda grafic ă 1
2yt gx
xyn=⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟=−⎜⎟⎝⎠ se
determ ină soluțiile '
"k
kx k
x kαπ
απ=+⎧
⎨=−+ ⎩ cu 2
0,1,2,… kπαπ⎧<<⎪⎨
⎪=⎩
Punctele critice (s taționare) ale func ției f sunt: 0x, '
kx, "
kx.
Avem:
()()( )( )21" 1 cos sin cos sin cosnnfx n x x xn xx xx xn x−−=− ++ −+=
()22 22c os sinnx nx xnnx x−⎡⎤=+ −−⎣⎦ și se obține:
I ()()()1 22'
"' cos'0n
k
k kxn nx
fx xn−++
= <'0
cos '0k
kx
x<⎧
⎨<⎩ pentru că și
punctele critice '2kxkπαπα⎛=+ <<⎜⎝⎠π⎞
⎟ sunt puncte de m axim local.

II ()()()1 22"
"" cos"n
k
kkxn nx
fx xn−++
="0
cos "0k
kx
x<⎧
⎨<⎩ unde și
pentru n par cu ()"" 0k fx> "kx puncte de m inim local, iar
pentru n impar cu ()"" 0k fx< "kx puncte de m axim local.
III și calculăm: 00x=
()() ()11 1sin sin … !sin !sin22 2n nn
n xn nf xx nCx x nx x nπ ππ− −⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞=+ + + ++ ++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠x

de unde avem : ()()
00nf=, ()()1
0 0nf−=, …, ()'0 0 f= și ()()1
0 !nf n+= ⇒ 0x
este punct de m inim local pentru n impar.
4°. O noțiune im portantă în "Teoria informa ției" este cea de cantita te
de informa ție notată prin I. Vom considera inform ația () IIp= unde
p este prob abilita tea de producere a unui evenim ent din realitatea
fizică cu (]0,1 p∈ și care satisface axiom ele (propriet ățile de defini ție):
i 1) I este o func ție monotom descrescătoare,
i2) ()10 I= și ()
0lim
pIp
→=∞,
i3) ()()()(] ,, 0,1 Ipq IpIq pq =+ ∀∈ .
Proprietățile i1), i2) rezu ltă din faptul c ă informația I(p) este cu atât m ai
bogată, mai inte resantă, cu câ t probabilita tea p este m ai mică, adică
evenim entul care a generat acea in formație este m ai rar. Proprie tatea i 3)
exprimă faptul c ă dacă două evenim ente cu p robabilitățile p și q sun t
independente, atunci infor mația cu prinsă în p roducerea lor sim ultană (a
cărei prob abilitate es te pq) este sum a informațiilor cuprinse în producerile
separate ale acelo r evenim ente.
276

Dacă presupunem că funcția I se poate prelungi la o func ție derivabil ă
():0,I R∞→ , astf el încâ t: (i 4) ()(),0 , IpI p pαα Rα =∀>∈, atunci în
mod necesar, avem : () ln Ipk p= cu k o constantă reală, 0p∀>, de unde
rezultă: ()()1'Ip Ip= e, deci ()()ln IpI e= p și notăm ()0 kI e=<.
Definiția naturală, dedusă din considera ții intu itive, a f ost dată de C.
Shannon, pentru cantitatea de informa ție, prin: () 2log Ipp=− , luând
prin conven ție 1
ln2k=− ; unita tea de măsură este bitul ( 1 bit f iind prin
definiție 1
2I⎛⎞
⎜⎟⎝⎠, adică cantitatea de inform ație din tr-un evenim ent cu
probabilitatea 1
2).
Dacă se co nsideră o experien ță în care po t apărea n evenim ente cu
probabilit ățile 12
1,,…, 0 1,1,, 1n
ni i
ipp p p i n p
=⎛⎞<≤= =⎜⎟⎝⎠∑ , după C. Shannon,
cantita tea de informație sau entrop ia asociată este dată prin:
() ()()12 1 1 2
1,,…, … logn def
nn n
iHp p p pIp pIp p p
==+ + =−∑ i i și evid ent
() (] 1,…, 0, 0,1n i Hp p p≥∀∈ cu 1,2,…, in= .
În cazu l 2n=, notând 1p p=, 21p p=− și entropia va fi dat ă prin
() ()() ()()221log 1 log1 ln 1 ln1ln2Hp p p p p pp p p =− −− −=− +−− ⎡ ⎤⎣ ⎦.
277

Avem: () ()1'l n ln1ln2Hp p p =− −− ⎡ ⎤⎣ ⎦ și ()11 1"021Hppp⎛⎞=−+ < ⎜⎟−⎝⎠,
deci valo area m aximă a lui () Hp este atins ă pentru 1
2p=, adică
121
2pp==. Cantitatea medie de inf ormație într-o expe riență cu două
evenim ente posibile e ste m aximă atunci cân d evenim entele sun t egal
probabile.
Această analiză se poate extinde la cazul experien țelor din realitatea
fizică cu evenim ente posibile ([42] pag. 130-131 și pag 237-238;
[9]; [19]). ( 2 nn≥)

5. Funcții convexe. Aplica ții

Studiul no țiunilor de funcție conve xă și funcție concav ă impune
introdu cerea conceptu lui de mulțime convex ă din plan .
În plan con siderăm un sistem ortogonal de coordonate carteziene
xOy și notăm (),Px y un punct curent.
Date () 1 1,Axy , () 2 2, Bx y, ele determ ină o dreapt ă din plan ()
care conține segm entul d
AB. Pentru , după teorema lui Th ales
avem : PAB∀∈
[ , 0,APtt]1BP=∀∈ și în plus:

278

(d)
B’’(0,y2)
P’’(0,y)
A’’(0,y1)
P’(x,0) B’(x2,0) A’(x1,0)P(x,y)B(x2,y2)
A(x1,y1)y
0

x

()11
21 2 1'' ""IV.18'' ""xx yy AP AP APttBP BP BP xx yy−−== =⇔==⇔−−
()()
()12
121IV.181x tx tx
yt yty=− + ⎧⎪⇔ ⎨=−+⎪⎩[]0,1∈t⇔ ,
(IV.18') ()()()()11 2 2 ,1 , , xyt xy txy =− + ,[]0,1 t∀∈ și în concluzie: pentru
,AB∀ puncte din plan un punct PAB∈ , dacă și num ai dacă, coordonatele
sale (),xy verifică relațiile (IV .18).
Definiția IV.7.
1) Un segment din plan de capete () 1 1,Axy , () 2 2, Bx y, notat
()()11 2 2 ,; , ABx y xy =⎡⎣⎤⎦ este form at din m ulțimea punctelor (),Px y care
verifică relațiile (IV.18) sau (IV.18').
2) O m ulțime nevidă M din plan ()2M R⊂ se num ește mulțime convex ă,
dacă ,ABM∀∈ , segm entul AB este conținut în () MAB M⊂ .

279

Teorema IV.30 (teorema de caracteriz are a mul țimilor
convexe)
Fie M≠∅, 2M R⊂ . Următoarele afirm ații sunt echivalente:
(i) M mulțime convexă din plan
(ii) ,ABM∀∈ și []0,1 t∀∈ , avem :
() ()()() ( ) 11 2 2 11 , , tA tBM txy txy M −+∈⇔− + ∈
(iii) ,ABM∀∈ și ,uv R∀∈ cu , avem : 0, 0, 1 uv uv ≥≥ +=
()() 11 2 2 , , ux y vxy M +∈ .
Demonstra ția: este d irectă folosind defini ția și com entariile
preceden te. Fie IR⊆ un interval nedegenerat, care poate fi m ărginit sa u
nemărginit, închis, d eschis, sau n ici înch is și nici deschis și o funcție
. :fI R→
Definiția IV.8
1) Funcția f se num ește funcție con vexă, dacă ,ab I∀∈ și
[]0,1 t∀∈ , avem :
(IV.19 1) ()( )()() 11f ta tb tfatfb −+ ≤−+ ⎡⎤⎣⎦.
2) Funcția f se num ește funcție con cavă, dacă ,ab I∀∈ și
[]0,1 t∀∈ , avem :
(IV.19 2) ()( )()() 11f ta tb tfatfb −+ ≥−+ ⎡⎤⎣⎦
Teorema IV.31 (teorema de caracteriz are pentru func ții
convexe)
1) Funcția este funcție convexă, dacă și num ai dacă
și :fI R→
,ab I∀∈ ,uv∀ cu [] , 0,1 uv∈ , 1 uv+=, avem :
(IV.19’ 1) ()()() fua vb ufavfb +≤ +
280

2) Funcția este funcție concavă, dacă și num ai dacă
și :fI R→
,ab I∀∈ [] , 0,1 uv∀∈ cu 1 uv+=, avem :
(IV.19’ 2) ()()() fua vb ufavfb +≥ +
Demonstra ția este d irectă din (iii) – teorem ă de caracterizare a
mulțimilor convexe din plan (teorem a VI.30).
Observații
1. Relațiile (IV.19 2) și (IV .19’ 2) se obțin din (IV.19 1) și (IV .19’ 1)
prin înm ulțirea cu (-1). Dacă f este funcție convex ă, atun ci (-f)
este funcție concav ă și invers.
2. Toate prop rietățile funcțiilor concave se ob țin din propriet ățile
funcțiilor convexe înlo cuind f cu (-f). Vom studia num ai
funcțiile con vexe.
3. Relațiile (I V.191), (IV .19 2), (IV .19’1), (IV .19’ 2) au inte rpretări
geom etrice folosind graficul unei func ții reale și caracterizarea
punctelor unui segm ent din plan (IV.18).

]
(b,0) [
(a,0) AB
P
My
x 0 ]
(b,0) [
(a,0) A B
PM y
x0
281

Fie ()() () { }2, Gf xyRyfxxI, =∈= ∈ graficul func ției f și
() ,,ABM Gf∈ cu PAB∈ , date prin: ()() ,Aaf a, , ()(),Bb fb
()(), Mxf x și (),Px y.
Din (IV.18) pentru []()
()()(10,11xt atbtyt fatf=−+ ⎧⎪∀∈⇒⎨=− + ⎪⎩ )b și cum
, iar PAB∈ () M Gf∈ și au abscisele egale cu x, cu ajutorul ordonatelor
acesto r puncte: y = f(x) vom caracteriza func țiile convexe.
Teorema IV.32.
Funcția cu graficul :fI R→ () Gf este o func ție convex ă, dacă și num ai
dacă, () ,ABG f ∀∈ atunci res tricția graficulu i lui f la [],ab I⊂ se află
sub segm entul ()[] ( ) ,, ABf x yxab ⇔≤ ∀∈ .
Demonstra ția este evident ă prin figurarea în plan a m ulțimilor AB
și . () Gf
Definiția IV.9.
1°. Funcția este strict convex ă dacă :fI R→ ,ab I∀∈ cu
și ab≠
[]0,1 t∀∈ , avem :
(IV.19 1”) () ()()() 11f ta tb tfatfb −+ <−+ ⎡⎤⎣⎦
2°. Funcția este strict concav ă dacă :fI R→ ,ab I∀∈ cu
și ab≠
[]0,1 t∀∈ , avem :
(IV.19 2”) () ()()() 11f ta tb tfatfb −+ >−+ ⎡⎤⎣⎦

282

Exemple:
1°. ()fxm x=+n cu ,mn R∈, 0m≠ este în acela și tim p convexă și
concavă:
,ab R∀∈ și []0,1 t∀∈ ⇒ () () 1 1 f ta tb m tatb n −+= −++ ⎡⎤ ⎡⎤⎣⎦ ⎣⎦=
()()()()()() 11tm antmbn tfatfb =− +++=−+ .
2°. ()2, fxx x=∈R și () ()2, gx x fxxR =−=−∈
,ab R∀∈ și []0,1 t∀∈ , avem :
() () () ()()(22211 1 1 ) f ta tb ta tb ta tb tfatfb −+ =−+<−+=−+ ⎡⎤ ⎡⎤⎣⎦ ⎣⎦
deoarece
() () ()()2 2 2211 1 ta tb ta tb tt ab −+ <−+⇔−−< ⎡⎤⎣⎦0 ⇒ f este strict
convexă și g este strict concav ă.
3°. () , fxx x=∈R este con vexă, dar nu este strict convex ă: ,ab R∀∈ și
[]0,1 t∀∈ , avem :
M(1,1)
(1,0)M0y
x0 ()()()()() 11 1 f ta tb tatb tfatfb −+ ≤−+=−+ ⎡⎤⎣⎦
fx= nu este strict convex ă deoarece OM
este pe g raficul lu i f.

283

y = xy = x3
0 xy
(1,0) (0,1)
(-1,0)
A(-1,0) (0,-1)4°. ()3, fxx xR=∈ nu este nici convex ă
și nici concav ă.
Segm entul AB cu ()1,1 A−−, nu
este în în tregim e situ at deasupr a sau
dedesubtul graficului func ției(1,1B)
[]1,f
−1.
Funcția f este strict conv exă pe (0, + ∞) și
strict con cavă pe (- ∞, 0).
5°. , :fR R→()1; 0
1; 0xfxx≥⎧=⎨−<⎩ nu este nici convex ă și nici concav ă,
deoarece segm entul AB de cap ete ()1,1 A− , ()1,1B nu es te în întregim e
situat deasupra sau dedesubtul graficului func ției []1,1f
−.
y = − 1
(-1,-1) Ay = 1 B(1,1)
) [
0y

x

6°. Fie o subm ulțime proprie; func ția car acteristică a lui AR⊆
()1;:0; \AxAAxxRAϕ∈⎧=⎨∈⎩ nu este nici convex ă și nici con cavă.

284

Teorema IV.33 (Teorem ă de caracteriz are pentru funcții
convexe)
Fie . Funcția f este con vexă, dacă și num ai da că, pentru orice
cu și :fI R→
nN∈ 2n≥12,,…,n xxx I ∀ ∈ 0it, ∀≥ () 1,…, in= cu 1… 1n tt++=,
avem :
(IV.20) ()
11nn
ii i i
iif tx tfx
==⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠∑∑
Demonstra ție:
Presupunem f convexă pe I și demonstr ăm valabilitatea rela ției (IV .20)
prin induc ție după n. Pentru 2n= relația (IV.20) este verificat ă după
(IV.19’ 1). Presupunem că (IV.20) este adev ărată pentru ()1k− puncte cu
și demonstrăm că are loc pent ru k puncte. Ave m:
unde 12k−≥
1
11kk
ii ii kk kk
iitx tx txtxtx−
===+ =⋅+ ∑∑1
1k
i
itt−
==∑ și 1
1k
i
itx xt−
==∑ . Cum f este
convexă și (IV.20) este valabil ă pentru ()1k− puncte, avem :
() ()()()()()1
11kk
i
ii kk k k i k k i i
iit
1k
if tx ftxtx tfx tfx t fx tfx tfxt−
==⎛⎞=+ ≤+≤ +=⎜⎟⎝⎠∑∑
=∑
⇒ proprietatea din (IV.2 0) are loc pentru nN∀∈ cu . 2n≥
Dacă pentru f este va labilă relația (IV.20), atunci f este o func ție convex ă
pe I. Pentru 2n= din (IV.20) se ob ține re lația (IV .191’) deci f este func ție
convexă pe I
Vom stabili o leg ătură între clasa func țiilor reale conve xe și
mulțimile convexe din plan.
Teorema IV.34.
1°. Funcția este convex ă, dacă și num ai dacă supragraficu l său,
adică mulțimea: :fI R→
285

(IV.21 1) ()() () { }()22,; ; Gf xyRyfxxIGf R++=∈ ≥∈ ⊂
este o m ulțime convexă din plan.
2°. Funcția este concav ă, dacă și num ai dacă subgraficul s ău,
adică mulțimea: :fI R→
(IV.21 2) ()() () { }()22,; ; Gf xyRyfxxIGf R−−=∈ ≤∈ ⊂
este o m ulțime convexă din plan.
Demonstra ție:
Vom dovedi num ai echivalen ța: f convexă pe I ⇔ () G f+ convexă în plan,
deoarece f convexă implică ()f− concavă.
Fie f o funcție convex ă pe I și să arătăm că () G f+ este o m ulțime convexă
din plan. Pentru ()()()11 2 2 ,, , xyx y G f+∀∈ și []0,1 t∀∈ , notăm:
(*) ()()()()11 2 2 ,1 , , xyt xy tx =− + y și cum avem ()(11 2, yf xy fx ≥≥ )2,
iar ()12 1 , x tx txxI =−+∀∈ ⇒
()()()()()12 1 2 11 fx f txtx tfx tfx =− +≤−+ ⎡⎤⎣⎦≤
() ()()12 1 , ty ty y xyG f+≤− +=⇒∈ care este o m ulțime convex ă din
plan, conform teorem ei de caracterizare a m ulțimilor con vexe (teo rema
IV.31).
Presupunem () G f+ mulțime convexă din plan și să dovedim că f
este conv exă.
Fie și ,ab I∈ []0,1 t∀∈ , notăm 1s t=− și avem: ()()() ,af a G f+∈ ,
()() () ,bf b G f+∈ și cum () G f+ este m ulțimea convex ă ⇒
()() ()() ()() ( )() ,, ; sa fa tbfb satbsfatfb G f++= + +∈⇒
286

() ()() fsatb sfatfb ⇒+ ≤+ tocm ai (IV.19 1') ⇒ f este func ție con vexă.
Observații:
1) Testarea direct ă a co ndițiilor de caracteri zare a unei func ții convexe:
(IV.19 1') (din defini ție) sau (IV.19 1) (din teorema de caracterizare) este de
multe ori g reoaie.
2) Se vor p rezenta con diții mai ușor de tes tat în prac tică, care folosesc
proprietatea de deri vabilitate a unei f uncții.
3) Fie puncte distincte dou ă câte două și cons iderăm funcția: ,,abc I∈
(IV.22) {}()
()()()1
1:,1
1aafa
fx fxf arI a Rrx xa
x−−→ = =−
care este panta segm entului AM cu ()() ,Aaf a și ()() , Mxf x.
4) Monotonia func ției f pe I poate fi exprim ată prin condi ția ca rapo rtul
sau () 0arx≥()0arx≤, ,ax I∀∈ cu xa≠.
5) Se va generaliza func ția raport ()arx din (IV.22) considerând
cu ab , , b,,abc I∈
≠ ac≠ c≠ cu care definim :
(IV.23) ()()
()
()
2
2
21
1
1,,
1
1
1af a
bf b
cf cRabc
aa
bb
cc=
care p rin calculul determ inanților de ordin 3:
()()()()()()()
()()(),,ab fc fb cbfa fbRa bcab cbca−− −− − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦= ⇒−−−
287

⇒ (IV.23’) ()()(),,bbrc raRabcca−=−
6) Vom caracteriza con vexitatea fu ncțiilor rea le prin rapor tul () ,,, Rabc
dat prin (IV.23’). Din defini ția de terminanților rezultă că
raportul() ,,, Rabc este simetric în r aport cu v ariabile le a, b, c.
7) A vem situația: abc<<, dacă și num ai dacă, există a.î.
și înlo cuind în (IV .23’) obținem : (0,1 t∈)
tc()1bt a=−+
()()()
()()()()
()1,,1fc fb fa fbRa bcca tca tca⎡ ⎤ −−=+ ⇒ ⎢ ⎥−− − −⎣ ⎦
(IV.23”) ()()()()()
()()211,,
1tf atfc f tatcRa bc
tt ca−+ −−+⎡ ⎤⎣ ⎦=
−−
Teoremă IV.35 (Teorem ă de caracteriz are pentru func ții reale
convexe)
Fie interval nedegenerat. Urm ătoarele afirm ații sunt
echivalente: :,fI RIR→⊂
(i) f este convex ă (resp ectiv strict conv exă)
(ii) puncte distincte (respectiv (),, 0,,, Rabc abc I ≥∀ ∈ (),, 0 Rabc>)
(iii) ()(),, ,bbra rc abc I ≤∀ ∈ cu (resp ectiv abc<< ()(bbra rc<))
(iv) este m onoton cresc ătoare br bI∀∈( este m onoton strict
crescătoare). br
Demonstra ție: ([41] pag. 227-229)
(i) ⇔ (ii) d upă simetria lui R, presupunând abc<< și echivalen ța rezultă
din (IV.23”).
(ii) ⇔ (iii) r ezultă din eg alitatea (IV. 23’)
288

(ii) ⇔ (iv) rezultă din (IV.23’)
(iv) ⇔ (iii) este ev identă (definiția funcției crescătoare)
Teorema IV.36 (Propriet ăți ale fu ncțiilor con vexe)
Fie o funcție convex ă, atunci au loc afirm ațiile: :fI R→
I) f este func ție derivabil ă la stânga și la dreapta în orice punct interior
. bI∈
II) f este func ție continuă în orice punct interior bI∈.

Demonstra ție:
I) Fie punct interior, atunci exist ă bI∀∈ ,ac I∈ astfel în cât ,
deci abc<<
[],ac I⊂. După teorem a precedent ă restricția funcției la ()
este m onoton cresc ătoare și mărginită superior de br ,ac
()brc; în aceste condi ții
raportu l pentru ()brx [], xac∀∈ are lim ită la stânga în b, adică există:
()()()() lim lim 'bsxb xb
xb xbfx fbrx fb Rxb→→
<<−==−∈și f este derivabilă la stânga în
punctul . La fel se arat ă că există bI∈ ()'dfbR∈ și f este derivabil ă la
dreapta în p unctul bI∈.
II) Din afirm ația I), care asigu ră existența ()'sfb, ()'dfb, rezultă că f
este con tinuă la stâng a și la dre apta în bI∈ punct interior, deci f este o
funcție continu ă în bI∈.
Observații:
2891. O func ție , :fI R→ IR⊂
interval și f convexă, funcția f nu
este totd eauna con tinuă în
extrem itățile intervalu lui I. (0,1) (1,1)
0 )
(1,0)( • • y
x

2. Exemplu ()()1; 0,1
0; 0,1x xfxx== ⎧=⎨∈⎩
f este func ție convex ă pe []0,1 și este discontinu ă în punctele și
. 0x=
1x=
Teorema IV.37 (Teorema de ca racteriz are a func țiilor convexe
cu derivata de ordin I)
Fie o funcție derivabilă pe intervalul :fI R→ IR⊂. Următoarele
afirm ații sun t echiv alente:
(1°). f convexă (resp ectiv strict conv exă)
(2°). (IV.24) ()()()() ' fax afa fx +− ≤ ,ax I∀∈ cu xa≠
(respe ctiv ()()()() ' fax afa fx +− < )
(3°). Deriv ata este monon cresc ătoare (res pectiv f’ este
monoton strict cresc ătoare). ':fI R→
Demonstra ție:
(1°) ⇒ (2°) Presupunem f convexă și fie ,ax I∀∈ cu ax≠, de exem plu
. Consider ăm ax< ,ts I∈ cu at sx<<< și ave m:
()()()()()()()()()
aa aftf a fsfa fx fart rs rxta sa xa−−=≤ = ≤=−−−
−
a
de unde prin trecere la lim ită pentru , rezultă: t→
()()()()()()()()''fsfa fx fa fx fafa fasa xa xa−− −≤≤ ⇒≤−− −⇔
()()()()()()()() '' xaf a fx fa fa xaf a fx ⇔− ≤−⇔+− ≤
care co incid e cu (IV.24) din (2 °).
(2°) ⇒ (3°) Fie ,ax I∈ cu ax< și după (2°) are loc rela ția
290

(IV.24’) ()()()() ' fxa xfx fa +− ≤ (în care ax
x a→
→)
și scriind r elația de form a (IV.24) ()()()( ') fax afa fx +− ≤ prin
adunarea lui (IV.24’) cu (IV.24), avem :
()()() ()() '' 0 ''
0xa fa fx faf x
ax xa⎧−− ≤ ⎡⎤ ⎧≤ ⎪⎣⎦⇒ ⎨ ⎨< −> ⎪ ⎩ ⎩ ⇒ f’ este fu ncție
crescătoare pe [],ax și cum ,ax I∀∈ ⇒ f’ crescătoare pe I.
(3°) ⇒ (1°) Presupunem c ă f’ este monoton cresc ătoare pe I și ,,abc I∀∈
cu a după teorema IV.35 cazul (iii), aplicând teorema lui Lagrange,
există t cu și exis tă s cu bsbc<<
at b<< c<< astfel în cât:
()()()()()()()() ''b bfb fa fc fbra ft fs rcba cb−−== ≤= =−− și dec i:
(iii) ⇔ (i) f este func ție convex ă pe I. ()()b b ra rc≤
Teorema IV.38 (Teorem ă de ca racteriz are a func țiilor convexe
cu derivata ordin II)
Fie o funcție derivabil ă de două ori pe I, atunci au loc
echivalen țele: :fI R→
1. f este con vexă pe I ⇔ () fx′′ ≥0, ∀x∈I.
2. f este strict convex ă pe I ⇔ () fx′′ >0, ∀x∈I și f " nu este id entic nu lă
pe nici un subinterval nedegenerat J ⊂ I.
Demonstra ție: 1. Pentru f derivabilă de două ori pe I, avem
() fx′′ ≥0, ∀x∈I ⇔ f ' este monoton cresc ătoare p e I tocm ai (3°) din
teorem a precedent ă și cum (3°)⇔ (1°) ⇒ f este func ție convex ă pe I.
291

2. Presupunem f strict convex ă pe I și dov edim că () fx′′ >0, ∀x∈I și f "
nu este ide ntic nulă pe J ⊂ I. Cum f strict convex ă pe I ⇔ f ' strict
crescătoare pe I ⇔ () fx′′ ≥0, ∀x∈I. Dacă avem ()ft′′ ≥0, ∀t∈J cu J ⊂ I
nedegenerat, atunci () , fxa xbx =+∀∈I și nu este valabil ă ipoteza f strict
convexă pe I ⇒ f " nu este identic nul ă pe I.
Presupunem () fx′′ >0 pe I și f" nu este identic nul ă pe nici un
subinterval nedegenerat J ⊂ I. Din () fx′′ ≥0, ∀x∈I ⇒ f este convex ă pe I
și din teorem a preceden tă, avem f ' monoton cresc ătoare pe I. Dac ă f ' nu ar
fi strict crescătoare pe I, atunci a r exista a, b ∈ I, a < b și ()() faf b′′= ⇒
f ' este func ție constant ă pe [ a, b] ⇒ f " ≡ 0 pe [ a, b] ceea ce contrazice
ipoteza asup ra lui f ". Rezult ă că f ' este strict crescătoare pe I și deci, dup ă
teorem a precedent ă f este strict conv exă pe I.
Teorema IV.39. (Teorema de caracteriz are geometric ă a
funcțiilor convexe).
Fie f : I → R o funcție derivabil ă. Funcția f este convex ă pe I, dac ă și
numai dacă, tangenta dus ă în orice punct al graficului lui f se află sub
grafic (cu ex cepția punctului de tangent ă).
Demonstra ție: Ipoteza f derivabil ă pe I ⇒ graficul lui f are
tangentă în orice punct din I. F ie a∈I, ecuația tangente i la graf icul lui f în
x = a este: ()()() yf a xafa′ =+ − și conform punctului (2 °) din teorem a
de caracterizare a func țiilor convexe cu derivat ă de ordin I, avem :
(IV.24.) ()()()(),, fax afa fx ax ′ I +−≤ ∀∈ cu a ≠ x ⇒
()tang grafic yy f≤= x și are loc afirmația din teorem ă deoarece (2 °)⇔(1°) f
convexă pe I.
292

Exemple: 1. ⇒ () ()2
4 12 ;,
0; 0*RRxxfx xx fx
x⎧∈′′ =∈ ⇒=⎨=⎩
() fx′′ >0, ∀x ≠0 ⇒ f strict cresc ătoare.
2. Fie cu 120, 0,…, 0n tt t >> >12 … 1n tt t+++= și n ≥ 2, n∈N, iar
. Să se dem onstreze rela ția: 120, 0,…, 0n xx x >> >
(IV.25) . ()()()12
11 22 1 2 … …n tt
nn n tx tx tx x x x +++≥⋅⋅⋅t
Consider ăm f : (0, ∞)→ R cu ()ln fx=x care este func ție
concavă, deoarece ()210, 0 fx xx′′=−<∀>. Folosind re lația (IV.20) d in
teorem a IV.33 de caracterizare a func țiilor convexe aplicat ă lui
() ln fx=x⎞
⎟ cu x > 0, avem : și prin
aplicarea exponen țialei ⇒ . Dacă ()
11 1ln ln lnin nnt
ii i i i
ii itx tx x
== =⎛ ⎛⎞≥= ⎜ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠∑∑ ∏
()
1 1in nt
ii i
i itx x
= =≥∑∏ 121…n tt tn==== din
(IV.25), ave m: 12
12……n n
anxx x
g M xx x Mn+++=≥ +++= .
3. Fie () 1, R fx x x=−∈ și să se arate c ă f este func ție convex ă iar f ° f
nu este func ție convex ă. La fel și () [] 1sin, 0, gx xx =−∈π este func ție
convexă iar g ° g nu este func ție con vexă.
I. Pentru ∀a, b∈R și ∀t∈[0,1], avem :
() () () () 11 11 ||||1 () () f ta tb ta tb tatb tfatfb −+ =−+−≤−+=−+ ⎡⎤⎣⎦⇒
() 1 fx x=− este func ție convex ă pe R.
() ()()()() ()1( ) ()1 ||1 ||1 1 |||| tf atfb ta tb tatb −+ =−−+−=−+ 1−
293

()()()() ()2; 1
11 1 ; 1,
2; 1xx
hx ffx fx x xx
xx−≥⎧
⎪== −=−−=−∈⎨
⎪1−
−−≤− ⎩o .
Funcția h este discon tinuă în punctele x = -1 și x =1 ⇒ h este discon tinuă
pe R ⇒ h nu este conv exă după condiția II) d in teorem a care p recizează
proprietăți ale funcțiilor convexe.
Avem și ()()()
()()1; 1,0 1,
1; ,1 0,1x
hx x+∈−∪∞
′=−∈−∞−∪
∃;1 ; 0;1h
xx x⎧
⎪⇒ ⎨
⎪=−== ⎩ nu are de rivate laterale în
orice punct din R.
II. Pentru () [] 1sin, 0, gx xx =−∈π, avem :
() () [] cos, sin 0, 0, gx xgx x x g ′′ ′ =− =≥∀∈π⇒ este func ție convex ă pe
[0, π].
()()()[]
()[]() []
() [] []21sin 1sin1sin
cos1sin cos cos cos1sin
sin cos1sin cos sin1sinx ggx gx x
x xx x x
x xx xϕ= =− =−−
′ϕ=−−−=⋅−
′′ϕ=−⋅−+⋅−o
x
și ϕ" nu are sem n constant pe [0, π]
() () 0s in10; 10; sin102gg⎛π ⎞ ⎛⎞′′ ′′ ′′ ϕ=>ϕ =−<ϕπ=>⇒ϕ= ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠o nu este
funcție convex ă pe [0, π].
4. Să se arate c ă:ln ln ln2xy x yx yxy xy+≤+++ pentru ∀x, y∈(0, ∞).
Fie cu t >0 ⇒ () ln ft tt=()
()ln 1
10, 0ft t
ft tt′=+⎧⎪⇒ ⎨′′=>∀> ⎪⎩ f este func ție convex ă
și după (IV.20), avem :
294

ln ln ln ln ln ln22 2222 2xy xy xxyy xy x yx yxy xy++ +≤+ ⇔ ≤ +++.
5. Fe ∀x, y∈ R și ∀n∈N*, să se arate c ă are lo c inegalitatea:
22n nnxyx y ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠.
Fie ()nftt= cu t ≥0 ⇒ ()
()()1
21;
0; 1n
nft nt
nn tnft
n−
−′⎧=
⎪
⎧ 2 −≥ ⎨⎪′′=⎨⎪=⎪⎩⎩
⇒() [) 0 pentru 0, fx t ′′≥∀ ∈∞ ⇒ f este func ție convex ă ⇒
()()
22 2n nnfx fy
2xyx yf+ ++⎛⎞ ⎛⎞≤⇔ ≤ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠x y+.
6. Fie a ≥ 0, n ≥1 și să se arate că are loc ineg alitatea: ()2
01n n
k
kna a
=+≤∑ .
Fie () () cu și 0 ,1 ln și Rxxfxa x a a fxa a ′ =∈ >≠⇒=
()()2ln 0, Rxfxa a x f ′′=≥ ∀∈⇒ este func ție convex ă pe R. după
proprietatea (IV.20) avem :
()
001 1
11nn
kkf kf knn==⎛⎞≤⎜⎟++⎝⎠∑∑ cu ()kfk a= și
()
01 11
11 2n
knn nknn=+=++∑2= de unde rezult ă: 2
01
1n n
k
kaan=≤+∑ ⇔
⇔()2
01n n
k
kna a
=+≤∑ .
7. Fie ()12 1 ,,…, 0,1 cu …n aa a aa an ∈ =++ și să se arate ca are loc
inegalita tea: 12
12…11 1n
na aa n
aa a n++ +≥a
a −−− −.
295

Fie ()1xfxx=− cu x ∈ [0,1) ⇒()
()
()
()[)2
31
1
20 pe 0,1
1fx
x
fx
x⎧′=⎪− ⎪⎨
⎪′′=≥⎪ −⎩⇒ f este
funcție convex ă.
()()()12 12… …n nfaf a fa aa afnn++ + +++ ⎛⎞≤ ⎜⎟⎝⎠ după (IV.20)
Avem 12
1
121 … și :1 …11 1n
n
na aa aaaa ann n a a a⎛⎞ ⎛⎞=++ −≤ +++ ⎜⎟ ⎜⎟−− − ⎝⎠ ⎝⎠⇔
a
n1 n
na n⋅≤−12
12…11 1n
na aa
aa a⎛⎞++ + ⎜⎟−− − ⎝⎠⇔
12
12…11 1n
na aa na
na a a a≤+ ++−− − −.
8. Fie cu atunci: 120, 0,…, 0n xx x >> >
11n
i
ix
==∑
()2
1
11 1, Nppn
i p
i in
xpxn−
=+ ⎛⎞+≥ ∀∈ ⎜⎟
⎝⎠∑ . Pentru Np∀∈ fixat consider ăm
funcția: ()1p
ft tt⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠ cu t > 0 ⇒ ()1
211p
ft pt ttt−⎛⎞⎛′=+ − ⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞
⎟⎠ și
()() ()21
212 11, 0pppft pp t t t fttt t−−⎛⎞ ⎛⎞′′ ′′ =− +++∀>⇒≥ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠0
pentru ∀t >0 ⇒ f este f uncție convex ă și după (IV.20), avem:
()
1111nn
ii
iifx fxnn==⎛⎞≤⇔⎜⎟⎝⎠∑∑
111 1 1p pn
i
i inf xnn n x =⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞+=≤ +⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠∑ ⇔
()2
1
11 1ppn
i p
i in
xnx−
=+ ⎛⎞≤+⎜⎟
⎝⎠∑ .
296

9. Fie ()12,,…, 0,1n xx x∈ cu
11n
i
ix
==∑ să se arate c ă are lo c inegalitatea:
2
11
11n
i in
xn =≥−−∑ .
Fie () (1cu 0 ,11ft tt= ∈−) ⇒ și ()
()
()
()()2
31
1
20, 0,1
1ft
t
ft t
t⎧′=⎪− ⎪⎨
⎪′′=≥ ∈⎪ −⎩
⇒ f este fun cție convex ă și după (IV.20), avem :
()
1111nn
ii
iifx fxnn==⎛⎞≤⇔⎜⎟⎝⎠∑∑
111 1
1 11n
i i nx
n=≤ ⇔−−∑ 2
11
11n
i in
nx =≤−−∑ .

5. Reprezentarea grafic ă a funcțiilor reale de o variabil ă
reală.

Fie A ⊆ R o mulțime care se reprezint ă printr-o reuniune finit ă sau
numărabilă de intervale nedegenerate și disjuncte dou ă câte dou ă, num ită
mulțime standard din R și f : A → R.
A repre zenta grafic fu ncția f înseamnă a de sena graficul lui f ,
adică a reprezenta m ulțimea de puncte G f = {( x, f(x))| x∈A} într-un sis tem
de axe ortogonale xOy în plan. În acest scop vom pune în eviden ță puncte,
drepte și alte elem ente din plan intim legate de varia ția funcției f pe A.
După teo rema lui Fer mat, dacă f este derivabil ă pe A, printre solu țiile
ecuației () 0, fx x′ A=∈ se găsesc punctele de ex trem local ale func ției f.
Dacă x0∈A este pun ct interior și f derivabilă pe V = ( x0- α, x0 + α)∈ V(x0)
297

cu V ⊆ A și α > 0, α∈R, iar ()00 fx′= și f′>0 (sau f′<0) pe ( x0- α, x0),
<0 (sau f′ f′> 0) pe ( x0, x0 + α), atun ci x0 este pu nct de extrem local
strict pen tru f (Dem onstrația este direct ă din defini ția punctelor de extrem
local și consecin ța teorem ei Lagrange care indic ă intervalele de m onotonie
pentru f). Pentru x0∈A, punct interior, cu proprietatea c ă f este strict
concavă (sau convex ă) pe ( x0- α, x0) și f este strict conv exă (sau concav ă)
pe (x0, x0 + α) se num ește punct de inflexiune pentru f. Într-o ve cinătate
V⊆A sufi cient de m ică a punctului de inflexiune x0∈A, tangenta la graficul
lui f în (x0, f (x0)) traverseaz ă o singură dată graficul lui f .
Teorema IV.40.
1] Fie A ⊆ R mulțime standard și f: A → R o funcție derivabil ă de două
ori. Un punct x0 interio r lui A este punct de inf lexiune pen tru f dacă există
α >0 cu ( x0- α, x0 + α)⊆A a. î . f′′>0 pe (x0 – α, x0) și f′′<0 pe ( x0, x0+ α)
sau invers.
2] Dacă f este derivabil ă de două ori pe A și x0 punct interior lui A este
punct de inflexiune, atunci f′′( x0) = 0.
Demonstra ția este direct ă folosind defini țiile și cara cterizările
pentru punctul de inflexiune și convexitate, respec tiv concavitate.
Din teorem ă rezultă că punctele de inflexiune pentru f sunt printre soluțiile
ecuației ( x) = 0, x∈A și sem nul lui f′′ f′′ pe o vecin ătate a unui
asem enea punct precizeaz ă în ce situa ție ne aflăm.
O dreaptă (d) din plan de ecua ție y = mx + n este asim ptotă la (∞)
la graf icul lui f dacă ±
()() lim 0
xfx mxn
→±∞−+= ⎡⎣⎤⎦. Asi mptota este oblic ă
dacă m ≠ 0 și asim ptota este orizontal ă dacă m = 0.

298

Teorema IV.21.
Dreaptă (d) din plan de ecua ție y = mx + n este asim ptotă la (+ ∞) la
graficul func ției f : (a, ∞) → R, dacă și num ai dacă, ()lim
xfxmx→+∞= și
cu () lim
xnf x
→+∞=−⎡⎤⎣⎦mx ,mn∈R.
Demonstra ție: Din defini ție avem :
()()() ()lim 0 0lim lim
xxfx mxn fx
xfxm xnxx→+∞ →+∞ →+∞−−−+ =⇔= = − ⎡⎤⎣⎦m⇒
()lim
xfxmx→+∞= . Ave m d(yd, yf) = ( mx + n) – f (x) cu d(y lim
x→+∞d, yf) = 0
⇒() (),df fx mxndyy −=− ⇒ [ n – d(y lim
x→+∞d, yf)] = n ⇒
⇒ n = () lim
xfxmx
→+∞−⎡⎤⎣⎦.
Fie x0∈A și f : A – { x0} → R, eventual A interv al; dreapta ( d) de
ecuație x = x0 este asimp totă vertical ă la g raficul lui f dacă
()
0lim
xxfx
→=±∞ (sau ()
0
0lim
xx
xxfx
→
<=±∞ sau ()
0
0lim
xx
xxfx
→
>=±∞).
Reprezentarea grafică a funcției f : A → R, A ⊆ R o mulțime
standard se realizeaz ă pe baza un ui algoritm care cup rinde următoarele
etape:
Etapa I. Domeniul (mu lțimea) de d efiniție.
1. Se precizeaz ă dacă pe A ⊆ R f este func ție: pară, impară, periodic ă.
2. Se determ ină punctele în care graficul lui f intersecteaz ă axele de
coordonate: și . ()0y
yf x=⎧⎪⎨=⎪⎩ ()0x
yf x=⎧⎪⎨=⎪⎩
3. Se precizeaz ă existența lim itelor () lim
xfx
→−∞ și () lim
xfx
→+∞ și avem :
299

α) () lim
xfx
→±∞=±∞⇒ s-ar p utea să existe asim ptote oblice sau o rizontale,
după cum ()lim
xfxmx→+∞= ∈R sau m = 0 și () lim
xnf x
→+∞=− mx ⎡ ⎤⎣ ⎦∈R.
β) Dacă m∈{- ∞, + ∞} nu avem asimptote nici oblice și nici orizontale la
graficul lui f.
γ) Dacă ()
0lim
xxfx
→=±∞, x0∈A, atunci dreapta x = x0 este asim ptotă
verticală și f : A – { x0}→ R.
Etapa a II-a. Intervale de monotonie și puncte de extrem local.
1. Se calcu lează (), fxx A′∈ și se re zolvă ecuația ()0, fx x′ A=∈.
2. Sem nul lui f′ pe intervalele din A ne d ă monotonia lui f pe aceste
intervale și precizăm care din so luțiile e cuației ()0 fx′= sunt puncte de
extrem local ( f′ își sch imbă sem nul pe o vecin ătate a unui asem enea
punct).
Etapa a III-a. Intervale de convexitate și conca vitate.
Se calcu lează (), fxx A′′∈.
1. Soluțiile ecuației ()0, fx x′′ A=∈ sunt puncte de inflexiune dac ă își
schim bă semnul pe o vecin ătate a unui asem enea punct. f′′
2. Intervalele pe care f′′ are sem nul constant sunt inte rvale le de
convexitate pentru f′′ > 0 și intervalele de concavitate pentru f′′ < 0.
Etapa a IV-a. Toate rezultatele din cel elalte etape se trec în
tabelul de v ariație al func ției f∈ C2(A):
a) în pr ima rubrică orizontală se trec valor ile rem arcabile x∈A.
b) în a doua rubric ă orizontal ă se precizeaz ă semnul lui f′ pe interva le și
x∈A cu ()0 fx′=.
300

c) în a treia rubric ă orizontal ă se trec valor ile lu i f în punctele rem arcabile
x∈A și săgețile care indic ă f crescătoare, respectiv des crescătoare pe
intervale.
d) în a p atra rub rică orizontal ă se precizeaz ă sem nul pentru pe
intervale, x∈A cu f′′
()0 fx′′= și sem nul ca re indică convexitatea lui f
respectiv co ncavitatea lu i f pe inte rvale.
Etapa a V-a – se tr asează graficul lu i f, desenând asm ptotele,
punctele rem arcabile x∈A și apoi graficul lui f ca o linie continu ă dacă
f∈C2(A).
Exemple:
1) . () 2arctg,R fx x xx =− ∈
I.1. f este im pară: ()(),R fx fxx −=− ∈ și se poate trasa graficul num ai
pe R+.
() lim
xfx
→+∞=+∞, deci graf icul lui f adm ite cel pu țin o asim ptotă:
()lim 1
xfxmx→+∞== , () lim
xnf x
→+∞=− mx ⎡ ⎤⎣ ⎦= – π ⇒ dreapta ( d) y = x – π
asim ptotă oblică la + ∞.
II. ()2
21
1xfxx−′=+ cu ()fx′= 0 în x1 = 1 ( și x2= – 1 ∈R+) și ()fx′ < 0,
∀x∈[0, 1], iar ()fx′ >0, ∀x∈(1, + ∞) ⇒ f descresc ătoare pe [0, 1] și
crescătoare pe (1, + ∞).
301III. ()
()224
1xfx
x′′=
+ cu () fx′′=0 în x0= 0 și () fx′′ < 0 pentru x< 0 și
() fx′′ > 0 pentru x>0 ⇒ x0= 0 este punct de inflexiune și f este concav ă
pe (- ∞ , 0) și convexă pe (0, + ∞).

IV.

0 x 1 +∞
f '(x)
f (x)
f ''(x)
–
0 12π− + ∞

(i) (M)
0 + + +
– – 0 + + +
302

2. ()()1
2
*Rxfxx e
xA⎧⎪=+⎨
⎪∈=⎩. (1,0) (−1,0)y = x − π y = x + π
(0,π)
(0,−π)(π,0) (−π,0)0 y
x
I.1. A = R – {0}; f nu este nici par ă, nici im pară.
2. Graficul n u taie O y; 0
2y
x=⎧
⎨=−⎩ interse cția cu Ox.
3. ()()()1
2lim lim lim 1x
xx xfx x efx mxx→±∞ →±∞ →±∞+=±∞⇒= = =.