Universit a tea Alexandr u Io an Cuza din Ia³i [605842]

Universit a tea Alexandr u Io an Cuza  din Ia³i
F a cul t a tea de Ma tema tic 
Mica ³i Marea Teorem  a lui
Picard
Lucrare de disertaµie
Conduc tor ³tiinµic:
Prof.dr. Apreutesei GabrielaCandidat: [anonimizat], 2019
Ia³i

Cuprins
In tro ducere 2
1 Noµiuni in tro ductiv e 3
1.1 Structura top ologic  a lui C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 F uncµii olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Caracterizarea Riemann – Cauc h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 F uncµii analitice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 In tegrabilitatea funcµiilor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Serii Lauren t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Singularit µile funcµiilor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7.1 Clasicarea punctelor singulare izolate . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Principii în analiza complex  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Mica T eorem  a lui Picard 14
3 Marea T eorem  a lui Picard 17
3.0.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Bibliograe 22
1

Introducere
Cele dou  teoreme ale lui Picard se refer  la funcµii care admit singularit µi izolate
esenµiale în tr-un an umit punct. Ne in tereseaz  ce v alori p oate lua o asemenea funcµie
a v ând o singularitate esenµial .
F uncµiile care au sigularit µi izolate se scriu în serii Lauren t p e un disc punctat.
A ceste singularit µi izolate se împart în singularit µii aparen te dac  partea princi-
pal  este zero, în p oli dac  partea principal  este o sum  nit  ³i în singularit µi
esenµiale dac  partea principal  este o serie efectiv   (adic  putem a v ea o innitate
de co ecienµi nen uli).
Nu putem demonstra cele dou  teoreme ale lui Picard înain te de a demonstra mai
în tâi an umite principii din analiza complex  ³i an ume "Principiul Prelungirii Anali-
tice" ³i "Principiul de Maxim".
În prim ul capitol am prezen tat rezultate preliminare din analiza complex  clasic .
În capitolele doi ³i trei am demonstrat cele dou  teoreme ale lui Picard, cât ³i teore-
mele necesare în ab ordarea lor.
În nal am indicat referinµele bibliograce p e care le-am consultat.
2

Capitolul 1
Noµiuni introductive
1.1 Structura top ologic  a lui C .
Deniµie 1 Prin mulµime a numer elor c omplexe se întele ge C=RR înzestr at cu
top olo gia pr o dus. În p articular, C este înzestr at cu metric a d(z1;z2) =jz1z2j .
Observ aµie 1
Dac z=a+ib este un n um r complex, atunci: a=Rez ³ib=Imz se n umesc
partea real  ³i partea imaginar  a n um rului complex z.
Deniµie 2 Mo dulul unui num r c omplex z=a+ib estejzj=p
a2+b2 .
Prop oziµie 1 1.jzj0;8z2C;jzj= 0()z= 0 ;
2.jz1z2j=jz1jjz2j;8z1;z22C ;
3.jz1+z2jjz1j+jz2j;8z1;z22C ;
4.jz1
z2j=jz1j
jz2j;8z1;z22C ;
5.8z2C;jajjzjjaj+jbj;jbjjzjjaj+jbj .
Deniµie 3 Conjugatul unui num r c omplex z=a+ib se note az  cu z ³i este
z=aib .
Deniµie 4 Fiez02C ³ir>0 . Se note az :
D(z0;r) =fz2C=jzz0j<rg
³i se nume³te discul deschis, de c entru z0 ³i r az  r.
Deniµie 5 Fiez2C . Prin ve cin tate a lui z se întele ge oric e mulµime VC
astfel înc ât exist  D(z;)V , unde>0 ,D(z;) =fw2C=jzwj<g .
3

Capitolul 1. Noµiuni intr o ductive 4
Deniµie 6 1. Spunem c   mulµime a DC este deschis  dac   este ve cinatate p entru
oric e punct al s u.
2. Mulµime a FC se nume³te închis  dac   c omplementar a sa (CnF) este deschis .
3. Spunem c   mulµime a MC este m r ginit  dac   exist  D(z0;r)M .
4. Multime a KC este c omp act  dac   este m r ginit  ³i închis .
5. Punctul z02C se nume³te punct de acumular e p entru mulµime a DC dac  8V
ve cin tate a lui z0 avem c   (Vnfz0g)\D6=; .
6. Punctul z02C se nume³te punct interior p entru mulµime a DC dac  
9D(z0;)D;8>0 .
Deniµie 7 Un ³ir (zn)n2NC este c onver gent dac   exist  z02C a³a înc ât
jzz0j!0() 8>09n2N astfel înc ât8nn=) jznzj< .
T eorem  1 (de c ar acterizar e a c onver genµei în C )
“irulzn=an+ibn este c onver gent la z0=a0+ib0()an!a0 ³ibn!b0 .
Deniµie 8 Prin ve cin tate a lui 1 se întele ge oric e mulµime V c ar e c onµine exte-
riorul unui disc.
Deniµie 9 Un ³ir (zn)n2NC ar e limita1 dac  8 >09n2N astfel înc ât
8n>n=) jznj .
Prop oziµie 2 “irul de numer e c omplexe (zn)n2NCnf0g ar e limita1 dac   ³i
numai dac   (1
zn)n2N ar e limita 0 .
Deniµie 10 Fief:DC!C ³i punctulz02D . Spunem c   funcµia f este
c ontinu  în punctul z0 dac  8V2V(f(z0));9UV2V(z0) astfel înc ât
8z2D\UV=)f(z0)2V() 8>0;9 a³a înc ât8z2D;jzz0j<=)
jf(z)f(z0)j< .
1.2 F uncµii olomorfe
FieDC o m ulµime desc his  ³i f:D!C .
Deniµie 11 Spunem c   f se nume³te derivabil  în punctul z0 dac   exist 
lim
z!z0f(z)f(z0)
zz02C:
A ceast  limit  se noteaz  cu f0(z0) .
Deniµie 12 F uncµiaf este difer enµiabil  în z0 dac  9A2C ,9!:D!C astfel
înc ât :
f(z)f(z0) =A(zz0) +!(z)(zz0);8z2D

Capitolul 1. Noµiuni intr o ductive 5
³ilim
z!z0!(z) =!(z0) = 0 .
Prop oziµie 3 (i) Dac  f este derivabil  în z0 , atuncif este c ontinu  în z0 .
(ii) F uncµia f este derivabil  în z0 dac   ³i numai dac   f este difer enµiabil  în z0 .
Demonstraµie 1 (i)lim
z!z0(f(z)f(z0)) = lim
z!z0(A(zz0) +!(zz0)) = 0 .
(ii)" =>" f derivabil  =) f difer enµiabil  .
A r  t m c  A=f0(z0) ³i!(z) =8
<
:f(z)f(z0)
zz0f0(z0); dac  z6=z0
0; dac  z=z0:
Pentru a ar  ta c   funcµia f este difer enµiabil  este sucient s  demonstr  m c   funcµia
! de mai sus veric   r elaµia :
lim
z!z0!(z) = 0
lim
z!z0(f(z)f(z0)
zz0f0(z0)) = 0
"<= " f difer enµiabil  =) f derivabil .
Pr esupunem z6=z0=)f(z)f(z0)
zz0=A+!(z) ³i tr e c ând la limit  r ezult  c  
9f0(z0) =A .
Deniµie 13 Spunem c   funcµia f se nume³te olomorf  dac   este derivabil  p e D.
1.3 Caracterizarea Riemann – Cauc h y
Fief:D!C ³iu;v:DR2!R funcµii de dou  v ariabile reale.
T eorem  2 (T e or ema de c ar acterizar e a lui R iemann)
F uncµia f este difer enµiabil  în z02D;z 0=x0+iy0 dac   ³i numai dac   :
(i) u ³i v sunt difer enµiabile în (x0;y0) .
(ii) A u lo c c ondiµiile Cauchy-R iemann:8
<
:@u
@x(x0;y0) =@v
@y(x0;y0);
@u
@y(x0;y0) =@v
@x(x0;y0):
În ac este c ondiµii, ar e lo c e galitate a:
f0(z0) =@u
@x(x0;y0) +i@v
@x(x0;y0)
Demonstraµie 2 Notamf0(z0) =a+ib ³i din difer enµiabilitate a funcµie f r ezult  :
f(z) =f(z0) + (a+ib)(zz0) +!(z)(zz0)
³ilim
z!z0!(z) = 0 .
Sep ar  m p arte a r e al  ³i p arte a imaginar   ³i obµinem:
u(x;y) =u(x0;y0) +a(xx0)b(yy0) +!1(x;y)jj(x;y)(x0;y0)jj

Capitolul 1. Noµiuni intr o ductive 6
³i lim
(x;y)!(x0;y0)!1(z) = 0 .
v(x;y) =v(x0;y0) +b(xx0) +a(yy0) +!2(x;y)jj(x;y)(x0;y0)jj
³i lim
(x;y)!(x0;y0)!2(z) = 0 .
undejj(x;y)jj=p
x2+y2 ,iar:
a=@u
@x(x0;y0) =@v
@y(x0;y0)
³i
b=@u
@y(x0;y0) =@v
@x(x0;y0)
De aici r ezult  c   f este difer enµiabil  ³i f0(z0) =a+ib:
1.4 F uncµii analitice
Deniµie 14 O funcµief:DC!C se nume³te analitic   dac   8z02D;9D(z0;r)
astfel înc ât f se dezvolt  în serii de puteri ale lui zz0 p e disc. A dic  9(an)n2NC
cu pr oprietate a c   f(z) =P1
n=0an(zz0)n;8z2D(z0;r) .
T eorem  3 Dac   funcµia f:D(z0;r)!C este olomorf , atunci f este analitic  .
Observ aµie 2 Co ecienµii dezvolt rii sunt an=f(n)(0)
n!.
1.5 In tegrabilitatea funcµiilor complexe
Deniµie 15 Fief:DC!C;f=u+iv o funcµie c ontinu  ³i
o curb  
r e ctic abil . A tunci denim:
Z

f(z)dz=Z

udxvdy+iZ

vdx+udy; undez=x+iy
Deniµie 16 Spunem c   drumul
ar e lungime nit  sau c   este r e ctic abil dac  
mulµime afl(

);
2D([a;b])g este mar ginit .
Fie
: [a;b]!Rnun drum recticabil,
= (
1::::
n) ³iF:
([a;b])!R o
funcµie dat .
V om deni in tegrala curbilinie a lui F în rap ort cu lungimea de arc. P en tru aceasta
e
:a=t0<t1<:::<tn=b diviziune a in terv alului [a;b] ³ik2[tk1;tk];
k2f1;::;pg un sistem fundamen tal de puncte in termediare.
Deniµie 17 O funcµie se nume³te inte gr abil  în r ap ort cu lungime a curb ei
dac  
exist  un num r r e al I cu pr oprietate a c   8>09=() astfel înc ât8
2D([a;b])

Capitolul 1. Noµiuni intr o ductive 7
cujj
jj<() ³i oric ar e ar  un sistem de puncte interme diar e =fkgk2f1;pg, s 
avem:
jS
(F;
;k)Ij<
În ac est c az I se nume³te inte gr ala curbilinie a funcµiei F ³i se note az  cu
I=R

F(x)dl .
Observ aµie 3 Pentru oric e curb   r e ctic abil  închis 
³i p entru oric e punct z062

avem c  I(
;z0) =1
2iR

1
zz0dz este un num r într e g, numit indic ele curb ei
în
r ap ort cu punctu z0 ³i ac esta num r   c âte r otaµii în sens trigonometric fac e curb a

în jurul lui z0 (dac  
este inchis ).
Deniµie 18 O curb   se nume³te omotop   cu un punct în D dac   p entru
8z02
;
se p o ate deforma în mo d c ontinuu la curb a de gener at  z0 , deform rile
r  mânând în mulµime a D.
T eorem  4 (T e or ema fundamental  a lui Cauchy )
Fief:DC!C o funcµie olomorf  în D, D un domeniu simplu c onex ³i
o
curb   r e ctic abil , închis  din D. A tunciR

f(z)dz= 0 .
Deniµie 19 Domeniul D se nume³te simplu c onex dac   oric e curb   închis  din D
este omotop   cu un punct din D.
T eorem  5 (T e or ema inte gr al  a lui Cauchy)
FieDC un domeniu deschis,
D o curb   simpl  închis , omotop   cu un punct
în D,z02intD
;f:D!C o funcµie olomorf  în D. A tunci:
f(z0) =1
2iZ

f(z)
zz0dz:
Demonstraµie 3 Denim funcµia g:D!C prin:
g(z) =(f(z)f(z0)
zz0dac  z2Dnfz0g
f0(z0) dac  z=z0
F uncµia g este c ontinu  p e D ³i olomorf  în Dnfz0g .
Conform unor r ezultate anterio ar e, r ezult  c  :
0 =Z

g(z)dz=Z

f(z)
zz0dzf(z0)
zz0dz=f(z)
zz0dz2if(z0) =)f(z0) =1
2if(z)
zz0dz
T eorem  6 (T e or ema inte gr al  a lui Cauchy gener alizat )
Consider  m DC un domeniu deschis,
D o curb   simpl  închis , omotop   cu

Capitolul 1. Noµiuni intr o ductive 8
un punct în D, iar f:D!C o funcµie olomorf . A tunci 8z02intD
, f admite
derivate de oric e or din în z0 , iar derivata sa de or din n este:
f(n)(z0) =n!
2iZ

f(z)
(zz0)n+1dz:
1.6 Serii Lauren t
Deniµie 20 Prin serii L aur ent se întele ge o serie de forma :
1X
n=1an(zz0)n;unde z 02C;(an)n2Z;
mai pr e cis este vorb a de o p er e che de serii:P
n0an(zz0)n³iP
n1an1
(zz0)n ,
unde:P
n0an(zz0)nse nume³te p arte analitic  , iarP
n1an1
(zz0)n se nume³te
p arte princip al .
Deniµie 21 O serie L aur ent este c onver gent  în punctul z6=z0 dac   atât p arte a
analitic   c ât ³i p arte a princip al  sunt serii c onver gente.
T eorem  7 Fief:D(0;r1;r2)!C olomorf . A tunci f se dezvolta în serii L aur ent
dup   puterile lui z.
Demonstraµie 4 Fiez2D(0;r1;r2) =)r1<jzj< r2=) 91;2>0 astfel
înc âtr1<1<jzj<2<r2 .

Capitolul 1. Noµiuni intr o ductive 9
F olosid fomula inte gr al  a lui Chauchy p e C(0;1) ³i p eC(0;2) obµinem:
f(z) =1
2i(Z
C(0;2)f(w)
wzdwZ
C(0;1)f(w)
wzdw): (1.1)
Not m cuI1=R
C(0;2)f(w)
wzdw ³i cuI2=R
C(0;1)f(w)
wzdw .
PeI1:jwj=2>jzj=)jzj
jwj<1 ³i ³tim c  1
1q=P1
n=0qn;cujqj<1 , de unde
obµinem c   :
1
wz=1
w(1z
w)=1
w1X
n=0(z
w)n=1X
n=0zn
w(n+1)(1.2)
A m obµinut p arte a analitic  .
I1=1
2iZ
jwj=2(f(w)1X
n=0zn
w(n+1))dw=1
2i1X
n=0zn(Z
jwj=2f(w)
w(n+1)dw)
Not m:R
jwj=2f(w)
w(n+1)dw=an=fn+1(0)
n!.
A tunciI1=1
2iP1
n=0anzn.
PeI2:jwj=1<jzj=)jwj
jzj<1 ³i din1
1q=P1
n=0qn;cujqj<1 , obµinem c   :

Capitolul 1. Noµiuni intr o ductive 10
1
wz=1
z(1w
z)=1
z1X
n=0(w
z)n=1X
n=1wn
z(n+1)(1.3)
A m obµinut p arte a princip al .
I2=1
2iZ
jwj=1f(w)(1X
n=0wn
z(n+1))dw=1
2i1X
n=01
zn+1(Z
jwj=1f(w)wndw)
Not m:R
jwj=1f(w)
w(n+1)dw=a(n+1) .
A tunciI2=1
2iP1
n=0an1
zn .
Din (1.1), (1.2) ³i (1.3) avem c   :
f(z) =1X
n=0anzn+1X
n=1an1
zn
înz0= 0:
Pentru unz0 o ar e c ar e fac em tr anslaµia z!z+z0 ³i obµinem:
f(z) =1X
n=0an(zz0)n+1X
n=1an1
(zz0)n;
undean=f(n)(z0)
n!:
Corolar 8 Dac  f:D(z0;r1;r2)!C olomorf . A tunci f se dezvolta în serii L au-
r ent dup   puterile lui zz0 .
Deniµie 22 Fie seria L aur entP1
n=0an(zz0)ncur1<r2 . Se nume³te c or o an 
de c onver genµ  mulµime a r1<jzz0j<r2 .
Exemplu 1P1
n=0zn= 1 +z+z2+z3+:::
A c e asta este o serie L aur ent c ar e nu ar e p arte princip al  (c o ecienµii p  rµii princip ale
sunt toµi nuli), iar c or o ana de c onver genµ  este fjzj<1g de o ar e c e seria ge ometric  
este c onver gent  numai p entru z cu jzj<1 .
Exemplu 2P1
n=01
zn= 1 +1
z+1
z2+1
z3+:::
A c e asta este o serie L aur ent c ar e nu ar e p arte analitic   (c o ecienµii p  rµii analitic e
sunt toµi nuli), iar c or o ana de c onver genµ  este f1<jzjg de o ar e c e seria ge ometric  
este c onver gent  numai p entru j1
zj<1 .
Exemplu 31
z5+3
z22
z+z+z2
2!+z3
3!+z4
4!+:::
A c e asta este o serie L aur ent c ar e ar e p arte princip al  nit  (c o ecienµii p  rµii prin-
cip ale sunt toµi nuli, cu exc epµia unui num r nit ), iar c or o ana de c onver genµ  este

Capitolul 1. Noµiuni intr o ductive 11
Cnf0g de o ar e c e p arte a princip al  este nit  (adic   avem c onver gent  p entru 8z6= 0 ,
iar p arte a analitic   este seria exp onenµial .
1.7 Singularit µile funcµiilor complexe
Fie D un desc his ³i punctul z02D .
Deniµie 23 Punctulz0 se nume³te punct singular izolat p entru funcµia f dac  
f:Dnfz0g!C este o funcµie olomorf  .
Prop oziµie 4 Dac   funcµia f este olomorfa p e Dnfz0g , atunci f se dezvolt  în serie
L aur ent dup   puterile lui zz0 .
0<jzz0j<r; r =d(z0;FrD ) ,
f(z) =1X
n=0an(zz0)n+1X
n=0an(zz0)n:
Deniµie 24P1
n=0an(zz0)nse nume³te p arte a princip al  a dezvolt rii, iar
P1
n=0an(zz0)nse nume³te p arte a analitic  .
Observ aµie 4 Parte a princip al  este c onver gent  (absolut ³i uniform p e c omp acte)
p e mulµime a Cnfz0g .
1.7.1 Clasicarea punctelor singulare izolate
Punctele singulare izolate se clasic  astfel:
(i) Dac  partea principal  este zero 8n1 , atunciz0 se n ume³te punct singular
aparen t.
Prop oziµie 5 Punctulz0 este singularitate ap ar ent  dac   ³i numai dac  
9limz!z0f(z)2C sau, e chivalent cu 9limz!z0(zz0)f(z) = 0 , ac e asta p o art 
numele de Car acterizar e a lui R iemann.
Exemplu 4 f(z) =sinz
z;z2Cnf0g
z0= 0;f este olomorf  p e Cnf0g
sinz=P1
n=0(1)n
(2n1)!z(2n1);0<jzj<1
=)f(z) =P1
n=0(1)n
(2n1)!z2n= 1z2
3!+z4
5!z6
7!+::::+(1)nz2n
(2n1)!+:::;0<jzj<1
1z2
3!+z4
5!z6
7!+::::+(1)nz2n
(2n1)!+:::;0<jzj<1 este p arte a analitic  , p arte a princip al 
este zer o, de aici r ezult  c   punctul z0= 0 este singularitate ap ar ent  p entru f.

Capitolul 1. Noµiuni intr o ductive 12
(ii) Dac  partea principal  este o sum  nit , adic : 9n0 astfel încât an06= 0 ³i
an= 08n>n 0 , atunciz0 se n ume³te p ol de ordin n0 .
Prop oziµie 6 Fief:Dnfz0g!C olomorf ,z02D . Puntulz0 este p ol p entru f
dac   ³i numai dac   9limz!z0f(z) =1:
Exemplu 5 f(z) =1
z1;z2Cnf1g=)z0 este singularitate izolat 
f(z) = 0 + 0(z1) +:::+ 0 + 1(z1)1+ 0(z1)2+:::
0+0(z1)+:::+0 este p arte analitic  , iar 1(z1)1+0(z1)2+:: este p arte a princip al 
a1= 1;a2= 0;a3:::=)z0= 1 este p ol de or din 1 :
f(z) =1
(z1)k ar e înz0= 1 p ol de or din k :
(iii) Dac cardfn2N;an6= 0g=0 , atunciz0 se n ume³te singularitate esenµi-
al .
Prop oziµie 7 Punctulz0 este singularitate esenµial  dac   ³i numai dac   69limz!z0f(z) ,
adic   p arte a princip al  este o serie efe ctiv .
Exemplu 6 f(z) = cos1
zi;z2Cnfig f este olomorf  p e Cnfig
cosw=P1
n=0(1)nw2n
(2n)!;w= (zi)1
=)f(z) =P1
n=0(1)n
(2n)!1
(zi)2n= 11
2!1
(zi)2+1
4!1
(zi)4+:::+(1)n
(2n)!1
(zi)n+::;
0<jzij<1;
p arte a analitic   este: 1, iar p arte a princip al  este:
1
2!1
(zi)2+1
4!1
(zi)4+:::+(1)n
(2n)!1
(zi)n+:: . A vem c  z0=i este singularitate esenµial .
1.8 Principii în analiza complex 
T eorem  9 (T e or ema de c omp ortar e lo c al )
Fief:DC!C o funcµie olomorf  ³i ne c onstant  ³i D un deschis c onex. A tunci
8z02D;9p2N;9Uz02V(z0);9Vf(z0)2V(f(z0)) cu U ³i V deschise astfel înc ât
8w2Vn(f(z0)) e cuaµiaf(z)w= 0;8z2U ar e exact p soluµii.
T eorem  10 (Principiul aplic atiilor deschise)
Fief:DC!C o funcµie olomorf  ³i ne c onstant  ³i D un deschis c onex atunci f
este aplic aµie deschis  (adic   8D1 un deschis, cu D1D atuncif(D1) este deschis).
Demonstraµie 5 Etap a I (demonstr aµia lo c al ):
Fiez02D xat, atunci din T e or ema de c omp ortar e lo c al  r ezult  c   exist 
Uz02V(z0) ³i exist Vf(z0)2V(f(z0)) astfel înc ât f(Uz0) =Vf(z0) .
z02Uz0;w2Vf(z0) atuncif(z) =w , valorile lui f în z2Uz0 suntw2Vf(z0) , de
unde r ezult  c   f(Uz0) este deschis.

Capitolul 1. Noµiuni intr o ductive 13
Etap a II:
FieD1 un deschis, D1=S
z2D1D(z;rz) .
D1 este deschis atunci r ezult  c   8z2D1 exist rz astfel înc ât D(z;rz)D1 , de
unde r ezult  c  S
z2D1D(z;rz)D1 .
Invers: Fie z02D1 atunciz02D(z0;rz0)S
z2D1D(z;rz) , undeD(z;rz) sunt
ve cin t µi p entru z.
D1=S
z2D1D(z;rz) , ac e ast  e galitate ar e lo c în p articular ³i p entru D(z;rz) ³i din
T e or ema de c omp ortar e lo c al  r ezult  c   f(D1) =f(S
z2D1D(z;rz)) =Sf(D(z;rz)) =
S
z2D1Vf(z) , undeVf(z) sunt deschi³i. De ci f(D1) este deschis.

Capitolul 2
Mica T eorem  a lui Picard
T eorem  11 Dac  f:Cnfz0g ! C este o funcµie ne c onstant  ³i olomorf  p e
Cnfz0g . A tunci f ia valori în tot planul c omplex C , cu exc epµia c el mult a unui
punct.
P en tru a demostra aceast  teorem  v om a v ea nev oie de urmatorul rezultat:
T eorem  12 (Blo ch-L andou)
Fie f o funcµie analitic   p e D(0;1) cu pr oprietate a c   jf0(0)j1 . A tunci imagine a
luiD(0;1) prin f c onµine un disc de r az 1
16.
Demonstraµie 6 (Demonstr aµia te or emei lui Pic ar d)
V om pr esupune prin r e duc er e la absur d c   f nu ia c el puµin dou  valori distincte din
planul c omplex. Fie ac este a  ³i .
F c ând o schimb ar e de funcµie putem pr esupune c   ac este valori sunt 0 ³i1 .
Consider  m funcµia g:C!C;g(z) =f(z)
.
Se observ  c   g(z) = 0()f(z) = ³ig(z) = 1()f(z) = , de ci g nu ia
valorile 0 ³i1 .
Cu ajutorul funcµiei g vom c onstrui o funcµie  c ar e c ontr azic e te or ema lui Blo ch-
L andou.
De o ar e c eexp(C) =Cnf0g , iar g nu ia valo ar e a 0 atunci exista o funcµie olomorf 
h:C!C a³a înc âtg(z) =e2ih(z).
Se p o ate observa c   g(z)6= 1;8z2C()h(z)6= 1 . În p articular h(z)6= 0 ³i
h(z)6= 18z2C .
A r  t m c   exist  u;v:C!C dou  funcµii olomorfe astfel înc ât h(z) =u2(z) ³i
h(z)1 =v2(z) ;
Fie un punct arbitr ar xat z2C ³ih(z) =p+iq . Caut mu(z) sub formau(z) =s+it
a³a înc âtp+iq= (s+it)2;8s;t2R: Numer ele r e ale s, t tr ebuie s  veric e r elaµia :
14

Capitolul 2. Mic a T e or em  a lui Pic ar d 15
(s+it)2= (p+iq) , adic  8
<
:p=s2t2
q= 2st
“tim c  p+iq=h(z)6= 0 r ezult  c   ³i s+it6= 0; de ci s ³i t nu p ot  simultan 0.
Cazul I: Pr esupunem c   s6= 0; atuncit=q
2s³ip=s2q2
4s2:
p=s2t2=)s2pt2= 0 =)s2pq2
4s2= 0 =)4s44ps2q2= 0:
R enotând=s2obtinem e cuaµia: 424pq2= 0 .
De o ar e c e discriminantul este 16p2+ 16q2>0 e cuaµia ar e dou  solµii distincte
1=p+p
p2+q2
2³i2=pp
p2+q2
2.
Cazul II: Pr esupunem c   t6= 0; atuncis=q
2t³ip=q2
4t2t2:
p=s2t2=)s2pt2= 0 =)q2
4t2pt2= 0 =)4t4+ 4pt2q2= 0:
R enotând=t2obtinem e cuaµia: 42+ 4pq2= 0 .
De o ar e c e discriminantul este 16p2+ 16q2>0 e cuaµia ar e dou  soluµii distincte
1=p+p
p2+q2
2³i2=pp
p2+q2
2.
De ci exist  s, t soluµii în C c e veric   sistemul de mai sus.
A nalo gh(z)16= 08z2C , ar  t m c   exist  funcµia olomorf  v a³a înc ât
h(z)1 =v2(z) .
Se observ  c   u2(z)v2(z) =h(z)(h(z)1) = 1 , de ci
(u(z)v(z))(u(z) +v(z)) = 1 . Astfelu(z)v(z)6= 0;8z2C , de ci exist  o funcµie
olomorf   astfel înc ât u(z)v(z) =e(z). A tunci
u(z) +v(z) =1
u(z)v(z)=1
e(z)=e(z), de unde:
u2(z) = (e(z)+e(z)
2)2=e2(z)+e2(z)+2
4:
Astfelg(z) =e2iu2(z):
În c ontinuar e vom ar  ta c   imagine a planului c omplex prin  nu c onµine nici un disc
de r az  1.
a) Oric e disc de r az  1 c onµine puncte de forma:
(m;n) =ln(pm+pm+ 1)+ni
2;
unden2Z;m2N.
Pentrum> 1 ³in2Z avem:
j
(m+ 1;n)
(m;n)j=lnpm+pm+1pm+pm1<lnpm+1+pm+1pm1+pm1=lnpm+1pm1=1
2lnm+1
m1.
De cij
(m+ 1;n)
(m;n)j8
<
:1
2ln3; dac  m2;
ln(p
2 + 1); dac  m= 1<1 .
De asemene aj
(m;n + 1)
(m;n)j=
2<p
3 .
Pentru m ³i n xate punctele
(m+1;n);
(m;n);
(m;n+1);
(m+1;n+1) forme az 
un dr eptunghi cu lungime a ³i l µime a mai mic   c a 1 , r esp e ctivp
3 . Oric e num r c om-
plex se va aa într-un asemene a dr eptunghi. Dac   not m cu
c el mai apr opiat

Capitolul 2. Mic a T e or em  a lui Pic ar d 16
punct de dintr e c ele p atru puncte, avem jReRe
j<1
2,jImIm
j<p
3
2, de
undej
j<q
(1
2)2+ (p
3
2)2= 1 . Astfel oric e disc de c entru  ³i r az  1 c onµine c el
puµin un num r
.
b)(C) nu c onµine nici un punct
(m;n) , cun2Z;m2N:
Pr esupunem prin r e duc er e la absur d c   9n2Z;m2N³iz02C înc ât
(z0) =ln(pm+pm+ 1 +ni
2) . A tunci :
e(z0)= (pm+pm+ 1)1(cosn
2+isinn
2) = (pmpm+ 1)in³i
e(z0)= (pmpm+ 1)in.
R ezult  c  :
u2(z0) =(pmpm+1)2(1)n+(pmpm+1)2(1)n+2
4=(1)n(m+m+12p
m(m+1)+m+m+12p
m(m+1)+2
4
u2(z0) =(1)n(4m+2)+2
4
u2(z0) =8
<
:m+ 1; dac  n p ar;
m; dac  n imp ar.
Conform deniµiei g(z0) =e2iu2(z0)= 1 , fals, de o ar e c e g nu ia valo ar e a 1.
Din a) ³i b) r ezult  c   imagine a planului c omplex prin  nu c onµine niciun disc de
r az  1.
În c ele c e urme az , arm m c   92C astfel înc ât 0()6= 0: În c az c ontr ar am
ave a 0() = 0;8z2C , de unde  este c onstant p e C , adic  u2(z) =e(z)+e(z)+2
4
este c onstant. Astfel g(z) =e2iu2(z)este c onstant ³i f(z) =+ ()g(z) este
c onstant, fals.
Fie acum funcµia :C!C; (z) =1
16(16
0(z)+)
V eric  m c   veric   pr opriet µile din T e or ema lui Blach-L andou.
În primul r ând este olomorf  c a o c ompuner e de funcµii olomorfe. A tunci este
analitic   ³i e dezvoltar e a sa în serie de puteri în jurul originii:
(z) = (0) 0(0)
1!z+::: .
A tunci: (0) =1
16(); 0(z) =1
160(16
0()z+)16
0(), de unde
0(0) =1
160()16
0()= 1 .
Astfelj 0(0)j= 1 ³i din T e or ema lui Blo ch-L andou avem c   z02C astfel înc ât
D(z0;1
16) (D(0; 1))()D(z0;1
16)1
16(16
0()D(0; 1) +) sau
D(z0;1
16)1
16(D(;16
0())) sauD(z0; 1)(D(;16
0())) .
Cu atât mai mult D(z0; 1)(C) , c e e a c e c ontr azic e faptul c   imagine a planului
c omplex prin  nu c onµine niciun disc de r az  1, de ci pr esupuner e a facut  este fals .

Capitolul 3
Marea T eorem  a lui Picard
T eorem  13 (Principiul de maxim forma tar e)
Fief:DC!C o funcµie olomorf , ne c onstant  ³i D un deschis c onex. A tunci
nu exist z02D astfel înc ât f(z) s  î³i ating  maximul (@z02D astfel înc ât
jf(z0jjf(z)j;8z2D) .
F orm ularea ec hiv alen t : Fie f:DC!C o funcµie olomorf  ³i D un desc his
conex, iarz02D a³a încâtjf(z0jjf(z)j atunci f este constan t .
Demonstraµie 7 (F orma e chivalent ):
Pr esupunem prin r e duc er e la absur d c   f este ne c onstant  ³i D un deschis c onex,
atunci din Principiul aplic aµiilor deschise r ezult  c   f(D) este deschis .
Cumf(D) este deschis ³i f(z0)2f(z) atunci exist  D(f(z0);r)f(D) .
Fie dr e apta c e tr e c e prin O si f(z0) de e cuaµie:
z=tf(z0);8t2R;
17

Capitolul 3. Mar e a T e or em  a lui Pic ar d 18
lu m unt01 ³i obµinem :
z1=t0f(z0)2D=) 9z22D astfel înc ât
jf(z2)j=jz1j=) jf(z2)j=jt0f(z0)j=t0jf(z0)j>jf(z0)j
9z22D a³a înc âtjf(z2)jjf(z0)j , fals.
T eorem  14 (Principiul de maxim forma slab  )
Fie D deschis ³i m r ginit ³i f:D!C a³a înc ât f este olomorf  p e D, c ontinu  p e
D , atunci:
max
z2Djf(z)j= max
z2@Djf(z)j
(dac   f este ne c onstant atunci maxz2Djf(z)j se atinge do ar p e fr ontier  ).
Lema 1 Dac  DC este un deschis, atunci exist  un sub³ir (Kn)n de multimi
c omp acte, c ar e ar e urm to ar ele pr opriet µi:
(i)KnD;8n2N .
(ii)KnintKn+1;8n2N , undeintK este interiorul top olo gic al mulµimii K.
(iii) Pentru e c ar e c omp act KD9n2N a³a înc âtKKn:
Lema 2 (T e or ema lui A rzelà-Asc oli)
FieKC o mulµime c omp act  ³i un ³ir de funcµii fn:K!C având urm to ar ele
pr opriet µi:
(i)9M astfel înc âtjfn(z)jM;8z2M;8n2N
(ii) Echic ontinuitate a: 8z02K;> 0;9>0 a³a înc âtjzz0j< =)
=) jfn(z)fn(z0)j<;8n2N .
A tunci ³irul (fn)n admite un sub³ir uniform c onver gent la K.
Deniµie 25 FieDC un domeniu ³i familia ffg2A , o familie de funcµii denite
p e D. A c e ast  familie se nume³te normal  dac   e c ar e ³ir al s u (fj) e c onµine un
sub³ir (fjk) uniform c onver gent p e c omp acte, e c onµine un sub³ir (fjl) uniform
diver gent.
Deniµie 26 Dac   D este un domeniu ³i (fj) este un ³ir de funcµii olomorfe p e D.
Spunem c   ³irul (fj) este c omp act diver gent dac   p entru oric e p er e che de mulµimi
c omp acteKD ³iLC exist n0>0 astfel înc ât p entru oric e j >n 0;
fj(z)62L;8z2K .
Deniµie 27 F uncµiaf:D!C[f1g se nume³te mer omorf  dac   exist  un num r
nit de puncte z1;z2;:::;zn2D p oli p entru f cu f(z1) =f(z2) =:::=f(zn) =1 ³i
f:Dnfz1;::zng!C este o funcµie olomorf .

Capitolul 3. Mar e a T e or em  a lui Pic ar d 19
Deniµie 28 Fie f o funcµie mer omorf  p e un disc punctat D(z0;r)nfz0g . O valo ar e
2C[f1g se nume³te valo ar e omis  p entru funcµia f în punctul z0 dac   exist  un
num r>0 a³a înc âtf(z)6= p e discul punctat 0<jzz0j< .
Similar se p oate deni v aloarea omis  a lui z0 în punctulz0=1 .
T eorem  15 (Montel)
Dac  fn:D!C este un ³ir de funcµii olomorfe în D, având urm tar e a pr oprietate:
8KD c omp act,9M astfel înc ât8z2K;8n2N:jfn(z)jM . A tunci exist  un
sub³ir uniform c onver gent p e c omp acte în D.
Demonstraµie 8 Fiez02D ³iR > 0 astfel înc ât D(Z0;R)D . Pentru e c ar e
z2D(z0;R
2) putem scrie:
jfn(z)fn(z0)j=jRz
z0f0
n()djjzz0jsupjz0jR
2jf0
n()j
jzz0jsupjz0jR
2j1
2R
jwj=Rfn(w)
(w)2dwjjzz0j1
22RM
R.
(M este c onstanta c or espunz to ar e c omp actului D(z0;R) ). R ezult  c   familia (fn)n
este e chic ontinu  în e c ar e punct z02D . Consder ând ³irul (Kn)n asigur at de L ema1
³i aplic ând L ema2 suc c esiv, p e e c ar e c omp act din Kn . Se extr age de ci un sub³ir
(fn1)n1 , uniform c onver gent p e K1 . Din ac est sub³ir, se extr age un sub³ir (fn2)n2
uniform c onver gent p e K2 . Prin r e cur enµ , se obµin sub³irurile (fnm)nm , uniform
c onver gete p e Km . Consder ând ³irul diagonal (fnn)nn , c ar e este, cu exc epµia unui
num r nit de termenii, sub³ir uniform c onver gent p e e c ar e c omp act Kn ; de ci de
fapt, p e e c ar e c omp act din D.
T eorem  16 (Mar e a te or em  a lui Pic ar d)
Fief:D(z0;r)nfz0g!C o funcµie olomorf  p e un disc punctat
D0(z0;r)D(z0;r)nfz0g .
Dac   f ar e singularit te esenµial  în z0 , atuncif(z) nu p o ate lua c el mult dou  valori
c omplexe p entru z2D(z0;r)nfz0g .
Demonstraµie 9 Pr esupunem prin r e duc er e la absur d c   f ar e singularitate esenµial 
înz0 ³i c   funcµia f nu ia valorile  ³i .
F r   a r estr ânge gener alitate a putem pr esupune c   z0= 0 ( astfel vom fac e în nal
o tr anslaµie de p as z0 ) ³i c  = 0;= 1 . Pentru c azul 6= 0;6= 1 se pr o c e de az 
c a la Mic a T e or em  a lui Pic ar d c onsider ând funcµia g(z) =f(z)
:
V om c ontr azic e faptul c   f ar e singularitate esenµial  în z0= 0 .
Fie1>2>::::::!0 . A tunci avem c  :
fj(z) =f(jz);0<jzj<r:

Capitolul 3. Mar e a T e or em  a lui Pic ar d 20
A tunciffjg nu ia tr ei valori (c ele dou  din ip otez , adic   0 ³i1, ³i 1 ). Prin urmar e,
din te or ema lui Montel, ffjg este o familie normal . Fie f0o limi  a unui sub³ir
dinD0(z0;r) .
Dac  f06=1 , atuncif0este olomorf  în D0(z0;r) . Fie 0< s < r . A tunci exist 
un num r p ozitiv M astfel înc ât jf0(z)j<M , c ândjzj=s . Pentru j destul de mar e,
obµinem c  jfj(z)j< M c ândjzj=s . În c oncluzie,jf(z)j< M p entrujzj=js .
Din principiul de maxim, jf(z)j<M p entrujsjzjs;j= 1;2;::::: . Dac   lu m
r euniune dup   j, observ m c   jf(z)j<M p e disculD0(z0;s) . A cum, din te or ema lui
R iemann a singularit µilor ap ar ente r ezult  c   f ar e în z0 singularitate ap ar ent , fals.
Dac   în schimb f01 , atunci pur ³i siumplu aplic  m ar gumentul pr e c e dent, p entru
funcµia1
f0 . Concluzia este c  1
fse p o ate pr elungi prin c ontinuitate la o funcµie
analitic   în z0 cu valo ar e a 0 înz0 . Astfel f ar e un p ol în z0 ,f(0) =1
0=1 . Ce e a c e
este o c ontr adicµie.
Observ aµie 5 Mic a T e or em  a lui Pic ar d se p o ate obµine c a ³i c onse cinµ  a Marii
T e or eme a lui Pic ar d.
3.0.1 Exemple
Este u³or de g sit exemple care s  ilustreze principiul din teoremele lui Picard.
Exemplu 7 O funcµie p olinomial  este olomorf  în C ( adic   este într e ag ),
f(C) =C , f nu omite nicio valo ar e din C .
Exemplu 8 F uncµiaf(z) =ezeste într e ag  ³i omite o singur   valo ar e ³i anume 0.
Pentru ac est exemplu tr ebuie s  demostr  m c   urm to ar e a e cuaµie elementar  
ez=w ar e soluµii p entru w6= 0 :
8
<
:excosy=Rewnot=a;
exsiny=Imwnot=b(3.1)
R idic  m e cuaµia (3.1) la p  tr at :
8
<
:e2xcos2y=a2;
e2xsin2y=b2(3.2)
“i adunând r elaµiile obµinem: e2x(cos2y+sin2y) =a2+b2=)e2x=a2+b2=)
lne2x= ln(a2+b2) =)x=1
2ln(a2+b2) .
Dac   în e cuaµia (3.1) cosy6= 0 atunci prin împ  rµir e a r elaµiilor obµinem:
siny
cosy=b
a=)tgy=b
a=)y=arctgb
a+k
Dac   în e cuaµia (3.1) cosy= 0 ³isiny6= 0 atunci prin împ  rµir e a r elaµiilor obµinem:
cosy
siny=a
b=)ctgy =a
b=)y=arcctga
b+k .

Capitolul 3. Mar e a T e or em  a lui Pic ar d 21
Exemplu 9 F unctiaf(z) =e1
z ar e o singularitate esenµial  în origine ³i omite
valo ar e a 0 în jurul originii.
Pentru ac est exemplu tr ebuie s  demostr  m c   urm to ar e a e cuaµie elementar  
ez=w ar e soluµii p entru w6= 0 :
8
<
:excosy=Rewnot=a;
exsiny=Imwnot=b(3.3)
R idic  m e cuaµia (3.3) la p  tr at :
8
<
:e2xcos2y=a2;
e2xsin2y=b2(3.4)
“i adunând r elaµiile obµinem: e2x(cos2y+sin2y) =a2+b2=)e2x=a2+b2=)
lne2x= ln(a2+b2) =)x=1
2ln(a2+b2) .
Dac   în e cuaµia (3.3) cosy6= 0 atunci prin împ  rµir e a r elaµiilor obµinem:
siny
cosy=b
a=)tgy=b
a=)y=arctgb
a+k
Dac   în e cuaµia (3.3) cosy= 0 ³isiny6= 0 atunci prin împ  rµir e a r elaµiilor obµinem:
cosy
siny=a
b=)ctgy =a
b=)y=arcctga
b+k .
O alt  meto d  ar  s  ne le g m de exemplul pr e c e dent ³i anume:
Not m1
z=w ³i obtinem funcµia din exemplul pr e c e dent ew, despr e c ar e ³tim c   nu
ia valor e a 0 , p entru8w2C , de ci nici funcµia e1
z nu ia valo ar e a 0 p entru8z2Cnf0g:
Exemplu 10 F unctiaf(z) =zezeste într e ag  ³i nu omite nicio valo ar e.
Fieg(z) =ez, din exemplele de mai sus ve dem c   funcµia g(C) =Cnf0g .
F uncµiaf(z) =zg(z) , atuncif(C) =f(Cnf0g)[ff(0)g
f(Cnf0g) = (Cnf0g)g(Cnf0g) = (Cnf0g)(Cnf0gnf1g) =Cnf0g
f(0) = 0 .
De cif(C) =Cnf0g[f 0g=C:
Exemplu 11 F unctiaf(z) =cosz este într e ag  ³i nu omite nicio valo ar e.
Ecuaµiacosz =w ar e soluµii p entru oric e w2C .
eiz+eiz
2=w
Not meiz=t , atunci e cuaµia devine:
1
2(t+1
t) =w()t22wt+ 1 = 0 . A c e ast  e cuaµie de gr adul al doile a ar e dou 
soluµii în C (e ac este a distincte sau nu) t1it2 .
A tunci e cuaµia eiz=tk;k= 1;2 ar e soluµii în C dac  tk6= 0 .
Dac  tk= 0 atunci:bp

= 0() p

=b()
=b2()

Capitolul 3. Mar e a T e or em  a lui Pic ar d 22
()b24ac=b2() 4ac= 0()a= 0 sauc= 0 , dar în c azul nostru a= 1
³i c=1. De ci tk nu p o ate lua valo ar e a 0 .
Observaµie 6 F uncµia nu este nici m r ginit  c onform te or emei lui Liouvil le.
T e or em  17 (T e or ema lui Liouvil le)
Fief:C!C o funcµie olomorf  ³i m r ginit . A tunci f este c onstant .

Bibliograe
[1] Eugen P opa-" In tro ducere în teoria funcµiilor de o v ariabil  complex " , Editura
Univ ersitaµii "Alexandru Ioan Cuza" Iasi, 200;
[2] Stev en G. Kran tz – "Geometric F unction Theory . Explorations in Complex Ana-
lysis", Editura Birkh a user, 2005;
[3] Ragha v an Narasimhan,Y v es Niev erelt-"Complex Analysis in one v ariable", Edi-
tura Birkh a user Boston, 2001;
[4] P . Ham burg, N. Nego escu, P . Mo can u-" Analiza matematic  .F unctii complexe",
Editura Didactic  ³i P edagogic  Bucuresti, 1982.
23