Universit a tea Alexandr u Io an Cuza din Ia³i [605838]

Universit a tea Alexandr u Io an Cuza  din Ia³i
F a cula tea de Ma tema tic 
Corpul numerelor p-adice
Lucrare de disertaµie
Conduc tor ³tiinµic:
Conf. dr. V olf Aurelian ClaudiuCandidat:
R oman Andreea-Florentina
Iulie, 2019
Ia³i

Cuprins
Prefaµ  2
1 V alori absolute nearhimediene 3
2 Completarea un ui corp v aluat 9
3 Corpul n umerelor p-adice 16
3.1 Meto da Newton în corpuri complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Glosar 28
Bibliograe 28
1

Prefaµ 
Lucrarea este structurat  p e trei capitole.
Prim ul capitol, V alori absolute nearhimediene , este preliminar ³i cuprinde rezul-
tate des utilizate p e parcursul lucr rii.
Capitolul debuteaz  cu in tro ducerea noµiunii de v aloare absolut  p e un corp com uta-
tiv oarecare, v aloare absolut  nearhimedian , ap oi sun t prezen tate propriet µi ale v alorii
absolute nearhimediene ³i spre nalul capitolului este demonstrat  T e or ema lui Ostr ow-
ski .
Al doilea capitol, Completarea un ui corp v aluat , debuteaz  cu deniµia un ui ³ir
Cauc h y , dup  care se v a demonstra un rezultat conform c ruia corpul (Q;j
jp) n u este
complet, ap oi se v a face construµia completatului un ui corp oarecare utilizând propriet µi
ale ³irurilor ³i seriilor.
Al treilea capitol Corpul n umerelor p -adice , prezin t  în detaliu relaµia în tre Q
³iQp , unde Qp este completatul lui Q , se demonstreaz  c  Z este dens în Zp , ap oi se
prezin t  un rezultat ce presupune reprezen tarea unic  a un ui n um r p -adic, dup  care se
prezin t  op eraµii de baz  cu n umere p -adice, iar spre nal este prezen tat  Meto da Newton
în Corpuri Complete .
Doresc s  adresez sincere m ulµumiri domn ului Profesor Conferenµiar Dr. Claudiu
Aurelian V olf, p en tru îndrum rile, explicaµiile ³i ob erv aµiile f cute p e parcursul lucr rii
de disertaµie.
2

Capitolul 1
V alori absolute nearhimediene
Deniµie 1.1. Fie K un c orp c omutativ (to ate c orpurile ³i inelele c onsider ate vor 
c omutative).
O aplic aµiej
j se nume³te valo ar e absolut  p e K dac   sunt îndeplinite urm to ar ele
c ondiµii, p entru oric e x;y2K :
1.jxj0 ³ijxj= 0,x= 0 ;
2.jx
yj=jxj
jyj ;
3.jx+yjjxj+jyj (Ine galitate a triunghiular  ).
Exemplu 1.2. ÎnR , avem valo ar e a absolut  uzual  (mo dulul) denit  astfel:
jxj=(
x , dac  x0
x , dac  x<0
ÎnC , mo dulul este denit astfel:
Fiez2C ,z=x+iy; x;y2R , atuncijzj=p
x2+y2 .
În c azul în c ar e K este un c orp o ar e c ar e, se p o ate deni valo ar e a absolut  discr et  astfel:
k(x) :=jxj=(
1 , dac  x6= 0
0 , în r est
Deniµie 1.3. Un c orp K înzestr at cu o valo ar e absolut  se nume³te c orp valuat.
Deniµie 1.4. Fiej
j:K!R c e satisfac e pr opriet µile din Deniµia 1.1 .
Dac   în plus,j
j veric  :
jx+yjmaxfjxj;jyjg;8x;y2K;
atunci valo ar e a absolut  j
j se nume³te ne arhime dian .
Deniµie 1.5. Un c orp K înzestr at cu o valo ar e absolut  j
j:K!R se nume³te
ne arhime dian (ultr ametric) dac   este îndeplinit  varianta puternic   a ine galit µii tri-
unghiular e,
jx+yjmaxfjxj;jyjg;8x;y2K:
Dac   ac e ast  ine galitate nu este veric at , atunci c orpul K se nume³te arhime dian.
3

4
Prop oziµie 1.6. Fie(K;j
j) un c orp valuat ne arhime dian.
A tunci8x;y2K , cujxj6=jyj , avemjx+yj=maxfjxj;jyjg .
Demonstr aµie. S  consider m c  jxj<jyj .
V rem s  ar t m c  jx+yj=jyj .
“tim c jx+yjjyj , presupunem prin reducere la absurd c  jx+yj<jyj .
jyj=jyx+xjmax(jx+yj;jxj)<jyj
ceea ce este o con tradicµie.
Deci,jx+yj=jyj .
Similar se pro cedeaz  în cazul în care jyj<jxj .
Noµiunile prezen tate an terior se generalizeaz  la spaµiile metrice.
Deniµie 1.7. Per e che a (X;d) se nume³te sp aµiu metric dac   sunt veric ate urm to ar ele
pr opriet µi:
1.d(x;y)0 ³id(x;y) = 0,x=y ;
2.d(x;y) =d(y;x) ;
3.d(x;z)d(x;y) +d(y;z);8x;y;z2X .
Observ aµie 1.8. Fie(K;j
j) un c orp valuat. A tunci (K;djj) este un sp aµiu metric,
undedjj=jxyj;8x;y2K .
Deniµie 1.9. Un sp aµiu metric (X;d) , unde d satisfac e c ondiµia
d(x;z)maxfd(x;y);d(y;z)g;8x;y;z2X
se nume³te sp aµiu ultr ametric, iar metric a afer ent  se nume³te ultr ametric  .
Prop oziµie 1.10. Fie(K;j
j) un c orp valuat. A tunci djj este ultr ametric   dac   ³i numai
dac  djj este valo ar e ne arhime dian .
Demonstr aµie. Fiex;y;z2K alese arbitrar.
Dac djj(x;z)maxfdjj(x;y);djj(y;z)g , atunci, dac  x m x=y ³iz= 0 obµinem
proprietatea mo dulului.
A cum, dac  v aloarea este nearhimedian , atunci
djj(x;z) =jxzj=jxy+yzjmaxfjxyj;jyzjg=maxfdjj(x;y);djj(y;z)g .
În tr-un spaµiu metric, orice triunghi este isoscel, iar baza triunghiului are lungimea
mai mic  sau egal  decât lungimile celorlalte dou  laturi.
Demonstr aµie. Fie(X;d) spaµiu metric.
8x;y;z2X a v em c 
8
><
>:d(x;y) =d(x;z) sau
d(x;y) =d(y;z) sau
d(z;y) =d(z;x)
4

5
S  consider m c  d(x;y)<d(x;z) .
Ne dorim s  obµinem c  d(y;z) =d(x;z) saud(y;z) =d(x;y) .
Prin reducere la absurd, presupunem c  d(y;z)<d(x;z) .
A tuncid(x;z)max(d(x;y);d(y;z))<d(x;z) , con tradicµie.
Deci,d(y;z)d(x;z) .
Presupunem c  d(y;z)>d(x;z) ³i vrem s  ar t m c  d(y;z) =d(x;y) .
Dac , prin reducere la absurd, d(y;z)<d(x;y) ,
atuncid(x;y)max(d(x;z);d(z;y)) =d(y;z)<d(x;y) , ceea ce este absurd.
Deci,d(y;z)>d(x;y) ceea ce con trazice presupunerea f cut .
A³adar,d(y;z) =d(x;y) .
FieVk=fa2Kjjaj1g despre care v om demonstra c  este subinel în K , n umit
inelul v alu rii.
P en tru orice a ³ib dinVk :jaj1 ³ijbj1 , atunci
ja
bj=jaj
jbj1
³i
jabjmaxfjaj;jbjg 1
DeciVk este inel.
Consider m Pk=fa2Kj jaj<1g depre care v om ar ta c  este unicul ideal
maximal al lui Vk .
Dac a;b2Pk)a+b2Pk .
Dac a2Pk ³ib2Vk , atuncijb
aj=jbj
jaj<1 .
Decib
a2Pk . Rezult  c  Pk este ideal în Vk .
Mai m ult, dac  a2Vk ³i dac a =2Pk , rezult  c jaj= 1 . Deci,ja1j= 1 , ceea ce
implic a12Vk , decia este in v ersabil.
A³adar,Pk este unicul ideal maximal în V .
Consider m Uk=fx2Kjjxj= 1g . Este clar c  Vk=Pk[Uk ³iPk\Uk=? .
A cum v om da un exemplu de v aloare absolut  nearhimedian  în Q .
Fiep un n um r prim ³i vp:Q!R denit  astfel:
vp(a) = maxfn2Njpnjag;a2Z:
Punem prin con v enµie vp(0) =1:
Aplicaµiavp se n ume³te valuar ep -adic   ³i are urm toarele propriet µi:
vp(a+b)minfvp(a);vp(b)g (1.1)
vp(ab) =vp(a) +vp(b);8a;b2Z (1.2)
Se extindevp laQ , denind:vp(a
b) =vp(a)vp(b): Se arat  u³or c  deniµia este corect 
³i satisface propriet µile de mai sus.
5

6
Denimjxjp=pvp(x), p en tru orice x2Q .
j
jp are propriet µile unei v alori absolute nearhimediene:
1:jxjp0 ³ijxjp= 0,x= 0;
2:jx
yjp=jxjp
jyjp;
3:jx+yjpmaxfjxjp;jyjpg:
În cele ce urmeaz , v om en unµa ³i demonstra un rezultat imp ortan t referitor la v alorile
absolute în Q .
T eorem  1.11. T e or ema lui Ostr owski
Oric e valo ar e absolut  ne discr et  denit  p e Q este e chivalent  cu valo ar e a absolut 
uzual  (notat j
j1 ) sau cu o valo ar e absolut  p -adic  , cup num r prim.
Mai pr e cis, oric ar e ar  j
j o valo ar e absolut  a lui Q , dac  j
j este ne arhime dian ,
atunci exist  p un num r prim ³i exist  t>0 astfel înc âtjxj=jxjt
p .
Dac  j
j este arhime dian , atunci exist  t>0 astfel înc âtjxj=jxjt
1 .
Demonstr aµie. V aloarea absolut  p e Q este determinat  de v alorile absolute ale n umerelor
în tregi p ozitiv e, deci este sucien t s  ar t m c  9t >0 astfel încâtjnj=nt,8n2Z+
saujnj=jnjt
p , undep este un n um r prim, p2Z .
S  presupunem c  exist  n2N astfel cajnj6= 1 ,n2Z (adic  v aloarea absolut  este
nediscret ).
Consider m dou  cazuri: exist  n > 1 astfel încâtjnj>1 , saujnj1 , p en tru orice
n2 .
În prim ul caz, v om ar ta c  j
j este o putere a v alorii absolute în Q , iar în cel de al
doilea caz, v om ar ta c  j
j este putere a unei v alori absolute p -adice.
Cazul I Exist n>1 astfel încâtjnj>1 .
Mai în tâi, demonstr m c  jnj>1 ,8n2 .
Dac , prin reducere la absurd, exist  n02 astfel încâtjn0j1 , atunci v om ar ta c 
jnj1 ,8n2 , ceea ce este o con tradicµie.
Îl scriem p e n în bazan0 :
n=a0+a1
n0+


+ad
nd
0 , unde 0ain01 ,ad6= 0 , decind
0<n<nd+1
0 .
A v emjaijj1 + 1 +


+ 1jj1j+j1j+


+j1j=ai<n 0 , deci
(1)jnjja0j+ja1j
jn0j+


+jadj
jn0jd<n 0+n0
jn0j+


+n0
jn0jd
Cumjn0j1 , din (1) rezult  c jnjn0
(d+ 1)n0
(logn0n+ 1) .
Înlo cuim p e n cunkîn aceast  inegalitate ³i obµinem
jnjkn0
(k
logn0n+ 1)
deci
(2)jnjkq
n0
(k
logn0n+ 1)
6

7
A v em c  logn0n>0 ,n0>1 ,n>1 , ek!1 în relaµia (2) :
lim
k!1jnjlim
k!1kq
n0
(k
logn0n+ 1)
rezult  c jnj1 ,8n .
Înlo cuirea lui n cunkeste o idee p e care o v om folosi din nou.
Fiem;n2Z ,m;n> 2 . A v emjmj>1 ³ijnj>1 .
Exist s ³it n umere reale astfel încât jmj=ms³ijnj=nt. V rem s  ar t m c  s=t .
Fied0 astfel încât mdn<md+1.
Îl scriem p e n în bazam ³i obµinem
jnjm
(1+jmj+


+jmjd)
³tim c jmj>1 , deci a v em c 
jnjm
(1+jmj+


+jmjd) =m
jmjd+11
jmj1<m
jmjd+1
jmj1=mjmj
jmj1
jmjd:
Cumdlogmn ,
jnj<mjmj
jmj1
jmjlogmn:
Îl înlo cuim p e n cunk³i obµinem:
jnkj<mjmj
jmj1
jmjk
logmn;
deci a v em c 
jnj<ks
mjmj
jmj1
jmjk
logmn:
F cându-l p e k s  tind  la innit, obµinem njmjlogmn.
Scriindu-l p ejmj=ms³i p ejnj=nt, undes>0;t> 0 , obµinem:
nt(ms)logmn=ns)ts:
Dac  sc him b m rolurile lui m ³in)st .
Cazul I Ijnj1 ,8n2Z .
Exist n2;jnj6= 1;0<jnj<1 , p en tru c  v aloarea absolut  n u este trivial  (discret ).
Fiep cel mai mic n um r p ozitiv în treg, cu proprietatea c  jpj<1 .
Deoarece 0<jpj<1 ³i0<1
p<1 , exist  un t>0 astfel încâtjpj= (1
p)t,t>0:
Demonstr m c jnj=jnjt
p ,8n1 .
Ar t m c  p este n um r prim.
Fiea;b2Z ,a;b > 0 ,p=a
b ,a < p ,b < p . Cump este minim, rezult  c  jaj= 1 ,
jbj= 1 , rezult  c jpj=jaj
jbj= 1 , ceea ce este fals p en tru c  0<jpj<1 .
Ar t m c 8m2Z+ ,p-m)jmj= 1:
7

8
Dac jmj6= 1)jmj<1 , a v em c  0<jpj<1 ³i0<jmj<1 .
P en tru unk sucien t de mare, jpjk<1
2³ijmjk<1
2.
Numerelepk³imksun t prime în tre ele, rezult  c  9xk;yk2Z astfel încât
1 =pk
xk+mk
yk , a v em c  1 =jpk
xk+mk
ykjjpkj
jxkj+jmkj
jykj
jpjk+jmjk<1
2+1
2= 1 , con tradicµie. R mâne c  jmj= 1 .
Fie acumn2 ,n=pe
n0,e0 ,p-n0.
A tuncijn0j= 1 , decijnj=jpe
n0j=jpje
jn0j=jpje=1
pe
t
.
Dar,jnjp=1
pe
, decijnj=jnjt
p:
8

Capitolul 2
Completarea un ui corp v aluat
Deniµie 2.1. Spunem c   un ³ir (an) este fundamental (sau ³ir Cauchy) dac  
8">0;9N=N(") astfel înc âtjanamj<";8n;mN":
Deniµie 2.2. Fie K un c orp ³i j
j valo ar e a absolut  p e K.
Fiefang un ³ir de elemente din K.
Spunem c   ³irulfang c onver ge la un element a2K (spunem c   a este limita lui fang ,
notat prin lim
n!1an=a sauan!a ) dac  ,8" >0;9N2Nastfel înc âtjanaj< " ,
8n>N (") .
Deniµie 2.3. Corpul K se nume³te c omplet în r ap ort cu valo ar e a absolut  j
j dac  
oric e ³ir Cauchy din K, în r ap ort cu j
j , ar e limit  în K.
Corpul Q n u este complet în rap ort cu v aloarea absolut  uzual , în timp ce R ³iC
sun t am b ele complete în rap ort cu v alorile absolute corespunz toare.
Corpul Q n u este complet faµ  de norma p -adic , dup  cum arat  teorema urm toare.
A ceasta implic  necesitatea construirii unei "complet ri" a lui Q faµ  de norma p -adic .
T eorem  2.4. Fiej
jp normap -adic   în c orpul numer elor r aµionale Q , undep este
num r prim.
A tunci c orpul (Q;j
jp) nu este c omplet.
A c e asta înse amn  c   exist  ³iruri Cauchy în (Q;j
jp) c ar e nu au limit  în Q .
Demonstr aµie. Presupunem c  p>3 .
A tunci exist  a2Z astfel încât 1<a<p1 .
Consider m ³irul (xn)Q , undexn=apn,a2Z ,1<a<p1 .
Fien2N .
A tunci:japn+1apnjp=japn(apn(p1)1)jp , din T e or ema lui Euler , a v em c 
apn(p1)10(mod pn) . Deci,japn(apn(p1)1)jppn!0; p en trun!1 .
Ceea ce înseamn  c , din caracterizarea ³irurilor Cauc h y în norma nearhimedian ,
(xn) este ³ir Cauc h y în (Q;j
jp) , adic  lim
n!1jxn+1xnjp= 0 .
Prin reducere la absurd, presupunem c  (xn) con v erge la x2Q .
9

10
De unde rezult :
x= lim
n!1xn
jxjp=jlim
n!1xnjp
jxjp= lim
n!1jxnjp;8n; p-apn=xn!jxnjp= 1:
Decijxjp= lim
n!1jxnjp= 1; x6= 0 .
Cum
x= lim
n!1xn
= lim
n!1xn+1
= lim
n!1(xn)p
=
lim
n!1xn!p
=xp
Cumx6= 0!xp1= 1 , decix= 1 saux=1 ³i cumax2Z ³i0< ax < p ,
rezult  c p-(ax) .
A³adar,jxajp= 1 .
Cumxn!x; n!1 , a v em c 9N;8n>N :jxnxjp<jxajp .
Ceea ce înseamn  c  9N;8n>N :japnxjp<jxajp .
Fien>N :jxajp=jxapn+apnajpmaxfjxapnjp;japnajpg .
Cumjxapnjpjxajp , a v em c 
jxajp=japnajp
=jajpjapn11jp
=japn11jp
<1
F apt ce con trazice armaµia jxajp= 1 .
În concluzie, (xn) este un ³ir Cauc h y care n u are limit  în (Q;j
jp) .
Înain te de a considera pro cedeul general de completare a un ui corp, trebuie s  stabilim
dou  rezultate folositoare referitor la corpurile complete în rap ort cu o v aloare absolut .
Dac  corpul K este complet în rap ort cu v aloarea j
j , putem in tro duce (ca în cazul
clasic) noµiunea de con v ergenµ  a unei serii1P
n=1an .
Rezult  imediat c  dac 1P
n=1an con v erge, atunci lim
n!1an= 0 .
Dac j
j este nearhimedian, are lo c armaµia recipro c :
10

11
T eorem  2.5. Dac   K este un c orp c omplet în r ap ort cu valo ar e a ne arhime dian  j
j
³i dac  fang este un ³ir de elemente din K astfel înc ât lim
n!1an= 0 , atunci seria1P
n=1an
c onver ge.
Demonstr aµie. Fiesn=a1+


+an ³ism=a1


+am , undem<n .
A tunci,jsnsmj=jan+


+am+1jmax
m11njaij!0 ,n;m!1 , ceea ce implic 
faptul c  exist  lim
n!1sn deoareceK este un corp complet.
Deci1P
n=1an este con v ergen t .
T eorem  2.6. Dac   K este un c orp c omplet în r ap ort cu o valo ar e absolut  j
j ³i dac  
an este un ³ir de elemente din K astfel înc ât seria1P
n=1janj este c onver gent  în K, atunci
1P
n=1an este c onver gent .
Demonstr aµie. Demonstraµie clasic : orice serie absolut con v ergen t  este con v ergen t .
Fies0
n=ja1j+


+janj ³isn=a1+


+an .
A tunci, p en tru n>m ,
js0
ns0
mj=janj+


+jam+1j (2.1)
undejs0
ns0
mj se refer  la v aloarea absolut  uzual  p e R ,janj+


+jam+1j=janj+


+jam+1j .
Cumjaij0 ³ijsnsmjjanj+


+jam+1j!0 , unden;m!1 p en tru c  seria
1P
n=1janj este con v ergen t .
Decijsnsmj!0 ,n;m!1 ³i cumK este complet, rezult  c 1P
n=1an este con v ergen t .
În con tin uare, v om discuta despre pro cedeul de completare a corpului K .
Dat un corp K înzestrat cu o v aloare absolut  j
j , trebuie s  construim un corp
v aluat complet ^K ( n umit completatul lui K ) ce conµine un corp ~K , izomorf cu K , astfel
încât ~K este dens în ^K .
Mai m ult, ^K este unic determinat pân  la izomorsm de armaµia de mai sus.
K n u este doar izomorf cu ~K , ci este izometric cu ~K , adic  izomorsm ul p streaz 
metrica (v aloarea absolut ).
De asemenea, ^K este unic determinat de propriet µile de mai sus pân  la un izomorsm
izometric.
Ne în toarcem la pro cedeul de construire.
Fiefang ³ifbng dou  ³iruri Cauc h y din K în rap ort cuj
j .
In tro ducem op eraµiile de înm ulµire ³i adunare a dou  ³iruri Cauc h y astfel:
fang+fbng=fan+bng;
11

12
fang
fbng=fan
bng
S  ar t m c  m ulµimea tuturor ³irurilor Cauc h y este parte stabil  în rap ort cu op eraµiile
denite.
Ar t m c fan+bng este ³ir Cauc h y .
jan+bn(am+bm)jjanamj+jbnbmj .
Decifan+bng este ³ir Cauc h y .
Cum orice ³ir Cauc h y este m rginit, fan
bng este de asemenea un ³ir Cauc h y ,
p en tru c 
jan
bnam
bmj=jan(bnbm) +bm(anam)j
janjjbnbmj+jbmjjanamj
k1
jbnbmj+k2janamj;
undejanjk1;8n , ³ijbnjk2;8n:
Deci m ulµimea (A;+;
) este inel cu unitate, unde A=f(an)n2NjanCauchy; a n2Kg .
Deniµie 2.7. Un ³iran se nume³te ³ir nul dac   lim
n!0an= 0 .
Fie acuman ³ibn dou  ³iruri n ule.
Deoarecejanbnjjanj+jbnj ,fangfbng este ³ir n ul.
Dac fcng este un ³ir Cauc h y ³i dac  fang este ³ir n ul, atunci jcn
anjk
janj ,
undejcnjk;8n:
Prin urmare,fcng
fang este ³ir n ul, de unde rezult  c  m ulµimea M , a tuturor ³irurilor
n ule, este un ideal în inelul A .
V om construi completatul lui K în rap ort cuj
j ca ind inelul factorA
M(despre care
v om ar ta c  este corp, adic  M este maximal). Not m cu f^ang clasa luifang înA
M.
În prim ul rând, observ  m c  dac  ³irul Cauc h y fang n u este ³ir n ul, atunci
9">0 ³iN2N; astfel încâtjanj";8n>N: (2.2)
În tr-adev  r, presupunem prin reducere la absurd c  8">0;8N2N;9n>N astfel încât
janj<":
Dar9N2N astfel încât
jamanj<"; p en trun;m>N;
atuncijamjjanj+jamanj<2" ,8">0 ,m>N , ceea ce con trazice presupunerea
faptului c fang este ³ir Cauc h y care n u este ³ir n ul, deci (2:2) are lo c.
Denim
bn=8
<
:0; p en trunN
1
an; p en trun>N(2.3)
12

13
fbng este un ³ir Cauc h y , p en tru c  jbnbmj=j1
an1
amj=jaman
am
anjjanamj
"2; n;m>N:
Observ  m c 
fang
fbng=f0;0;:::; 0;1;1;


g =f1;1;:::gf 1;1;:::; 1;0;0;:::g:
8fang2AnM;9fbng astfel încât:fang
fbngf 1;1;:::; 0;0;:::g2M:
Deci, înA
Ma v em c ^fang
^fbng=^1:
A³adarA
Meste corp, deci M este ideal maximal în A .
In tro ducem v aloarea absolut  p e ^K=A
M, astfel:8^fang2A
M, denescj^fangj=
= lim
n!1janj .
A cum trebuie s  ar t m c  aceast  limit  este bine denit , adic  ea n u depinde de
reprezen tan tulfang ales ³i mai trebuie s  v eric m deniµia v alorii absolute.
Limita lim
n!1janj exist :janjjamjjanamj ,janj este un ³ir Cauc h y de
n umere reale ³i atunci are limit .
V aloarea absolut  j
j p e^K este corect denit  fang+M=fbng+M , atunci
fanbng=fangfbng2M ,
decijanjjbnjjanbnj!0 ³ilim
n!1janj= lim
n!1jbnj .
Fie2^K . A v em:
jj0
jj= 0,lim
n!1janj= 0 , adic  dac  ³i n umai dac  fang2M sau= 0 +M .
Dac =fbng+M , atunci

=fan
bng+M ³ij
j= lim
n!1jan
bnj= lim
n!1janj
lim
n!1jbnj=jj
jj .
+=fan+bng+M ,
decij+j= lim
n!1jan+bnjlim
n!1janj+ lim
n!1jbnj=jj+jj .
Fie acuma2K .
Consider m f:K!A
Mdat def(a) =fag+M , undefag desemneaz  ³irul constan t
a;a;a;::: .
Ar t m c  f este morsm de corpuri:
K =
fag+Mja2K
.
f(a
b) =fa
bg+M= (fag+M)(fbg+M) =f(a)f(b):
f(a+b) =fa+bg+M= (fag+M) + (fbg+M) =f(a) +f(b) .
Dac f(a) = 0 , atuncifag2M , adic fag este ³ir n ul, de unde jaj= 0 ³ia= 0 .
Decijf(a)j= lim
n!1jaj=jaj:
Decif este sim ultan izomorsm ³i p streaz  v aloarea absolut  (este izometrie).
V om iden tica p e K cu~K .
În con tin uare, ar t m c  K este dens în ^K .
Fie=fang+M2^K ³i">0 arbitrar.
A tunci9N astfel încâtjanamj<" ,8n;m>N .
Consider m elemen tul =faN;aN;aN;:::g+M2^K :
jj= lim
n!1janaNj" .
13

14
Deci ~K este dens în ^K .
A cum v om ar ta c  ^K este complet.
Mai în tâi, consider m a0
1;a0
2;:::;a0
n;::: un ³ir Cauc h y din ~K , unde
a0
n=fan;an;:::;an;:::g+M .
Cumja0
nj=janj ,a1;a2;:::;an;::: este un ³ir Cauc h y ³i lim
n!1a0
n= , unde
=fang+M , deoarece lim
n!1ja0
nj= lim
n!1lim
m!1jamanj= 0:
Fie acum1;2;:::;n;::: un ³ir Cauc h y arbitrar în ^K . Cum ^K este dens în ~K ,
putem g si un ³ir a0
1;a0
2;:::;a0
n;::: de elemen te din ~K astfel încâtja0
nnj<1
n;n2N.
Cumja0
ma0
njja0
mmj+jmnj+jna0
nj ,a0
1;a0
2;:::;a0
n;::: este un
³ir Cauc h y de elemen te din ~K ³i din ceea ce am ar tat pân  acum, lim
n!1a0
n= , unde
2^K . Dar1;2;:::;n;::: con v erge la  deoarecejnjja0
nj+ja0
nnj:
A³adar, ^K este complet.
Presupunem c  a v em dou  corpuri complete K1 ³iK2 înzestrate cu v alorile j
j1 ³i
j
j 2 astfel încât K este dens în K1 ³iK2 ³i astfel încâtj
j 1 ³ij
j 2 extind sim ultan
v aloarea absolut  j
j dat  p eK , adic jaj1=jaj2=jaj;a2K .
Deci exist  ³irul a1;a2;:::;an;::: cu elemen te din K astfel încât lim
n!1an=1 , unde
12K1 ,K dens înK1 .
fang este un ³ir con v ergen t ³i este un ³ir Cauc h y . Mai m ult, acest ³ir p oate  v  zut ca
un ³ir Cauc h y din K2 deoareceKK2 ³ij
j2 extinde p ej
j .
DeoareceK2 este complet, lim
n!1an=2 , unde22K2 .
Putem deni o aplicaµie f:K1!K2 ,f(1) =2 . T rebuie s  justic m c  f este
morsm ³i c  f(a) =a;a2K . Mai în tâi, observ  m c  aplicaµia este bine denit .
Dac  lim
n!1an= lim
n!1bn=1 înK1 ³ilim
n!1an=2 înK2 , atunci
j2bnj2j2anj2+janbnj , ceea ce înseamn  c  lim
n!1bn=2 înK2 .
Dac  lim
n!1an=1 ³ilim
n!1bn=1 înK1 , atunci lim
n!1(an+bn) =1+1 înK1 , dar
dac  lim
n!1an=2 ³ilim
n!1bn=2 , atunci lim
n!1(an+bn) =2+2 înK2 .
De aici obµinem c  f(1+2) =f(1) +f(1) .
Similar, obµinem c  f(11) =f(1)f(1) . Decif este morsm p este K2 .
În plus, dac  lim
n!1an=1 ³ilim
n!1bn=1 înK1 ³ilim
n!1an=2 ³ilim
n!1bn=2 înK2 ,
atunci cumj11j1j1anj1+janbnj+jbn1j1 , obµinem:
j11j1lim
n!1janbnj; (2.4)
darjanbnjjan1j1+j11j1+j1bnj1:
Astfel,
lim
n!1janbnjj11j1 (2.5)
Comparând relaµiile (2:4) ³i(2:5) , realiz m c 
lim
n!1janbnj=j11j1: (2.6)
14

15
Similar, obµinem c 
lim
n!1janbnj=j22j2: (2.7)
Cumj11j1=j22j2 rezult  c f este izometrie, deci f este o congruenµ .
Deci, p en tru a2K , ³irulfag con v erge ³i în K1 ³i înK2 , decif(a) =a .
Rezumând, putem form ula urm torul rezultat:
T eorem  2.8. Fie un c orp K ³i o valo ar ej
j p eK . A tunci exist  un c orp ^K ³i o
valo ar e absolut  p e ^K , numit c ompletatul lui K în r ap ort cuj
j , astfel înc ât ^K este un
c orp c omplet în r ap ort cu valo ar e a extins  j
j ³iK este dens în ^K .
T eorem  2.9. Dac  j
j este o valo ar e ne arhime dian  p e K, atunci jKj=j^Kj , unde
^K este c ompletatul lui K.
Demonstr aµie. Fie2^K .
Dac = 0 , atuncijj= 0 .
Presupunem c  6= 0 . CumK este dens în ^K , exist  un ³ir Cauc h y fang cu elemen te
dinK astfel încât lim
n!1an= .
Îns j
j este nearhimedian , deci janj=j+ (an)j= max(jj;janj) =jj ,
cât timpjj6= 0 ³ijanj alegem unn sucien t de mare astfel încât janj<jj .
Deci,janj=jj , p en trun sucien t de mare.
15

Capitolul 3
Corpul n umerelor p-adice
Deniµie 3.1. Fiep un num r prim ales arbitr ar.
Completatul lui (Q;j
jp) se nume³te c orpul numer elor p -adic e ³i este notat prin Qp .
Observ aµie 3.2. Utilizând r ezultatele obµinute în c apitolele anterio ar e, observ m c  :
i.Q este dens în Qp ;
ii.j
jp p o ate  extins  la o valo ar e ne arhime dian  p e Qp , vom nota (prin abuz) extinder e a
cuj
jp ;
iii.jQpjp=jQjp=fpnjn2Zg[f 0g , adic  8x2Qp;9n2Z astfel înc âtjxjp=1
pn.
Deniµie 3.3. Un într e gp -adic este un element din inelul Zp=
x2Qpjxjp1
.
Observ aµie 3.4. 8z2Z avemjzjp1 , de ciZZp .
Prop oziµie 3.5. Fiea2Zp ales arbitr ar. A tunci exist  un unic ³ir (ai) de numer e
într e gi astfel înc ât ai tinde laa ³i8i0;0ai< pi+1³iaipi+1ai+1 , c e e a c e
înse amn  c   Z este dens în Zp .
Demonstr aµie. CumQ este dens în Qp , exist  un ³ir (an
bn)n02Q cu(an;bn) = 1 , p en tru
orice den , astfel încât a= lim
n!1an
bn
.
A cum, dac  alegem p e n sucien t de mare,an
bn
p< p ³i decian
bn
p1 (j
jp ia v alori
discrete::::;1
p;1;p;::: ). A ceasta înseamn  c  janjpjbnjp .
Dac  prin reducere la absurd presupunem c  pjbn , atuncip n u divide p e an (p en tru c 
an ³ibn sun t prime în tre ele) ³i obµinem o con tradicµie: janjp= 1;jbnjp<1 .
Decip n u este divizor al lui bn în trucât (an;bn) = 1 ³ip-an ,
a v emjanjp
jbnjp=1
jbnjpp>1 , ceea ce con trazice faptul c  x2Zp .
16

17
Prin urmare, exist  un2Z cubn
unpn1 ³i p en tru c jbnjp= 1 ³ijanjp1 ,
obµinem urm toarea inegalitate:
jaan
unjp=jbnjp
jaan
unjp
=jbn
abn
an
unjp
jbn
aanjp+janbn
an
unjp
=jbnjp
aan
bn
p+janjp
j1bn
unjp
aan
bn
p+pn:
Din aceast  inegalitate observ  m imediat c  an
un tinde laa , deci Z este dens în Zp .
Deci, exist  un în treg z02Z cuz02Bp1(a) , undeBp1(a) este bila de cen tru a ³i
raz p1 , ³i putem alege a0 astfel încât 0a0<p , decia0pz0 , adic a02Bp1(a) .
Restul demonstraµiei se face prin inducµie: presupunem c  a0;:::;as este deja construit,
ceea ce înseamn  c aas
ps+12Zp ³i deci exist  un în treg z2Bp1(aas
ps+1) .
Denindas+1:=as+z
ps+1, obµinem
as+1ps+1as
³i
0as+1<ps+1+ (p1)
ps+1<ps2
a³a cum ne-am dorit.
Prin aceast  construcµie a v em c  ai2Bpi1(a) , p en tru orice i ³i deci ³irul construit
con v erge la a .
P en tru a demonstra unicitatea acestui ³ir, alegem un ³ir fbig cu acela³i propriet µi.
Presupunem c  j este cel mai mic astfel de index, cu aj6=bj , not m c 
ajpj+1aj1=bj1pj+1bj , cu0aj;bj<pj+1, ceea ce înseamn  c  aj=bj .
Observ aµie 3.6. Zp este c omplet, c a submulµime închis  a sp aµiului c omplet Qp .
A³a cum valo ar e a p e Q p o ate  extins  în mo d unic la o valo ar e p e Qp , p entrux;y2Z
putem obµine c  jxyjp ar e ac e e a³i valo ar e în Z c a înZp , de ci, îl putem c onsider a p e
Zp c ompletatul lui Z în r ap ort cuj
jp .
Prop oziµie 3.7. Fie c ar ea2Zp p o ate  scris în mo d unic în forma
a=1X
i=0ai
pi;0aip1:
Demonstr aµie. Ne reamin tim c  seria con v erge la a dac  ³irul sumelor parµiale con v erge
laa .
În cazul nostru, ³irul sumelor parµiale corespunz tor lui ai , din seria noastr , este cel din
Prop oziµia an terioar  3:5 (ai2Bpi1(a) ), unde s-a ar tat c  ai con v erge la a .
De unde concluzia prop oziµiei.
17

18
Putem generaliza aceast  idee în cazul n umerelor p -adice dup  cum urmeaz :
consider m x2Qp;jxjp1;jxjp=pm;m2N .
Înm ulµirea lui x cupmrezult  astfel x0:=x
pm;jx0jp= 1 ³i
x=1
pm
1X
i=0x0
i
pi
fapt ce ne conduce la form ularea urm torului rezultat.
T eorem  3.8. Fie c ar e element x2Qp p o ate  scris în sub forma
x=1X
i=mxi
pi;(?)
undexm6= 0 ³ixi2f0;1;:::;p1g .
A c e ast  r epr ezentar e este unic   ³i se nume³te r epr ezentar e a p -adic   a lui x .
Deniµie 3.9. Elementele xi din r elaµia (?) de mai sus se numesc cifr ele p -adic e ale
luix .
Prop oziµie 3.10. Fiex:=1P
i=0xi
pi,xi= 0 p entru 0ik;k2N ³ixk6= 0 , atunci
jxjp=1
pk:
Pentrux:=1P
i=mxi
pi;xm6= 0 , avem c  jxjp=pm.
Demonstr aµie. “irul sumelor parµiale an al seriei1P
i=0xi
picon v erge la x , prin urmare, în
prim ul caz obµinem
jxjp=jxan+anjp
max(nX
i=kxi
pi
p;1X
i=n+1xi
pi
p)
maxfpk;pn1g;
din care rezult  imediat c  jxjp=pkp en tru toµi nk .
P en tru cel lalt caz, demonstraµia este similar .
Observ aµie 3.11. Este u³or s  c alcul m distanµa într e doi într e gi p -adicia;b dac  
r epr ezentar e a lor p -adic   este cunoscut .
Dac   primele lor cifr e sunt e gale, atunci pndivideab , c e e a c e înse amn  c  , în ac est
c az,b2Bpn(a) .
Datorit  prop oziµiei an terioare, putem extinde deniµia ordin ului un ui elemen t la
toate elemen tele din Qp ,vp(x) =ordp(x) =m .
18

19
Corolar 3.12. Unit µile numer elor p -adic e sunt elementele mulµimii
U(Zp) =
a2Zpjajp= 1
.
Utilizând unicitate a r epr ezent rii p -adic e, ac e ast  mulµime p o ate  scris  c a
(
a=1X
i=0ai
pia6= 0)
Corolar 3.13. Pentrux2Zp cujxjp=pn;n2Z , atunci9"2U(Zp) astfel înc ât
x="
pn.
Exemplu 3.14. a) Seria1P
i=0pi
(p1) c onver ge la12Qp :
0 = 1 +1X
i=0pi
(p1)
De ci,
1 =1X
i=0pi
(p1) ³ivp(p) = 1;
c e e a c e înse amn  c   seriile c onver g.
Observ m c   nu ar e sens noµiune a de num r ne gativ în Qp , adic   nu exist  o r elaµie de
or dine total  p e Qp c ar e s  e c omp atibil  cu structur a de c orp.
b)x=90
109= 21
32
51
231
831,jxj2=1
2,jxj3=1
3,jxj5=1
5,jxj23= 23 ,jxj83= 83
³ijxjp= 1;8p num r prim.
c) ÎnQ5 ³irul (1;5;52;53;:::) este ³ir nul, îns  ³irul (1;1
2;1
22;1
23;:::) este m r ginit, dar
nu este ³ir Cauchy.
Observ aµie 3.15. T e or ema (3:8) de r epr ezentar e unic   a unui numar p -adic p o ate 
exprimat  sub forma: exist  o bije cµie

Z
pZ!N
!Zp
(:::;a 2;a1;a0)!1X
i=0ai
pi;
de cijZpj= 2@0 , adic   Zp (³iQp ) nu sunt num r abile.
A c e asta c onstituie o nou  demonstr aµie a faptului c   Q nu este c omplet în r ap ort cu
normap -adic  .
V om ilustra prin tr-un exemplu cum se obµine reprezen tarea canonic  a un ui n um r
p -adic.
19

20
Exemplu 3.16. S  r epr ezent m3
8înQ5 .
j3
8j5=j5j50= 1;n= 0:
O soluµie p entru 8
x1(5) estex= 2
2
31(5))a0= 1
Fie
1= (3
81) =5
8
j5
8j5=j5j51)a16= 0 ³i5
8
5=1
8:
O soluµie p entru 8
x1(5) estex= 2
2
13(5))a1= 3
j
2j5=j5j53;a2= 0;a36= 0 ³i
2
53=1
8)a3= 3 .
a4=a6=


= 0 ,a5=a7=


= 3:
R epr ezentar e a lui3
8înQ5 este3
8= 1;303030:::(5) , sau mai scurt,3
8= 1;30:::(5) .
În con tin uare v om exemplica op eraµiile de baz  în corpul n umerelor p -adice.
1. A dunarea
a) A dunarea în Q7 :
452,137612
+37,5213152
1 11 1 1 1
413,0613303
b) A dunarea în Q5 în tre urm toarele elemen te ³i exprimarea rezultatului în reprezen tarea
canonic  se realizeaz  astfel:3
8+1
5.
3
8= 1;303030:::
³i
1
5= 10;000000::: .
Deci3
8+1
5= 11;303030::: .
2. Înm ulµirea
a) Înm ulµirea în Q7 :
12;314
1;203
12312
24628
3693 12
1112 1
14,0464551
20

21
b) Înm ulµirea în Q5 în tre urm toarele elemen te ³i exprimarea rezultatului în repre-
zen tarea canonic  are lo c astfel.
A v em 10;000:::
1;3030:::= 13;030303::: .
3. Sc derea.
a) Sc derea în Q7 :
56,3524
-1,2403
55,1121
b) Sc derea în Q5 în tre urm toarele elemen te se realizeaz  astfel:
054,444444…
221,43021
-134,231422
141,64323244…
=141,10423244…
4. Împ rµirea
Împ rµirea în Q5 :
32;13j43;12 = 2;034430 034430
32;34
03344:::
3234
11044:::
10241
1134244:::
10241
323244:::
3234
00344:::
21

3.1. METOD A NEWTON ÎN CORPURI COMPLETE 22
3.1 Meto da Newton în corpuri complete
FieK un corp complet în rap ort cu v aloarea nearhimedian  j
j .
FieV inelul v alu rii.
Lem  3.17 (T eorema lui T a ylor) . Pentru oric e f dinV[X] ³i oric eh dinK , exist  un
unic p olinom g(x;h) cu c o ecienµi în V , unde deghn2 , astfel înc ât ar e lo c r elaµia
f(x+h) =f(x) +hf0(x) +h2g(x;h):
Demonstr aµie. Consider m p olinom ul f2V[X]; f=an
xn+:::+a0; cuai2V; i=0;n .
A v em (x+h)i=C0
ixi+C1
ixi1h+C2
ixi2h2+:::+Ci1
ixhi1+Ci
ihi; i=0;n .
i=n: (x+h)n=C0
nxn+C1
nxn1h+C2
nxn2h2+:::+Cn1
nxhn1+Cn
nhn
i=n1 : (x+h)n1=C0
n1xn1+C1
n1xn2h+C2
n1xn3h2+:::+Cn2
n1xhn2+Cn1
n1hn1
:::
i= 0 : ( x+h)0= 1
A ceste relaµii sun t ec hiv alen te cu urm toarele:
i=n: (x+h)n=xn+ (xn)0h+h2(C2
nxn2+:::+Cn1
nxhn3+hn2)
i=n1 : (x+h)n1=xn1+ (xn1)0h+h2(C2
n1xn3+:::+Cn2
n1xhn4+hn3)
:::
i= 0 : ( x+h)0= 1
Înm ulµind aceste egalit µi cu co ecienµii corespunz tori ai; i=0;n ³i adunându-le a v em:
f(x+h) =nP
i=0ai(x+h)i=anxn+an1xn1+:::+a0+h(an(xn)0+an1(xn1)0+:::a1x0)+
+h2(C2
nxn2+:::+Cn1
nxhn3+hn2+C2
n1xn3+:::+Cn2
n1xhn4+hn3+:::+ 1) ,
decif(x+h) =f(x) +f0(x)h+h2g(x;h) , undeg(x;h) =C2
nxn2+:::+Cn1
nxhn3+
+hn2+C2
n1xn3+:::+Cn2
n1xhn4+hn3+:::+ 1:
Astfel rezultatul este demonstrat.
T eorem  3.18. Fief(x) un p olinom de gr ad n cu c o ecienµi în V . Pr esupunem c   f(x)
ar e c o ecientul dominant 1 .
Dac   exist  12K astfel înc âtjf(1)j<1 ³ijf0(1)j= 1 , atunci ³irul
8
>>>><
>>>>:2=1f(1)
f0(1)
3=2f(2)
f0(2)
:::(3.1)
c onver ge la o r  d cin  2V a luif(x) , cuj1j1 .
22

3.1. METOD A NEWTON ÎN CORPURI COMPLETE 23
Demonstr aµie. V om ar ta c  12V .
Dac 
f(x) =xn+an1xn1+:::+a0; ai2V
atunci
f(1) =n
1+an1n1
1+:::+a0: (3.2)
Dac  presupunem c  j1j>1 , atunci rezult  c  jf(1)j>1 , ceea ce con trazice ip oteza
(jf(1)j<1) . Conform L emei preceden te ( T e or ema lui T aylor ) a v em c :
f(x+h) =f(x) +hf0(x) +h2g(x;h)
undeg este un p olinom care are toµi co ecienµii în V .
Fieg(x;h) =f2(x) +hf3(x) +:::+hn2fn(x) , undefi sun t înV[X] .
Prin urmare,
f(2) =f
1f(1)
f0(1)!
=f(1)f(1)
f0(1)
f0(1) +
f(1)
f0(1)!2

g
1;f(1)
f0(1)!
(3.3)
darg
1;f(1)
f0(1)!
=f2(1) +
f(1)
f0(1)!

f3(1) +::: .
Co ecienµii lui fi sun t toµi în V ,12V ³if(1)
f0(1)<1 , decig
1;f(1)
f0(1)!1 .
Deci, din (3:3) ³i folosind ip oteza, a v em c :
jf(2)jjf(1)j2<1:
Din T e or ema lui T aylor ,f0(x+h) =f0(x) +hF(x;h) , undeF are toµi co ecienµii în V ,
deci
f0(2) =f0(1)f(1)
f0(1)
F
1;f(1)
f0(1)!
:
Darf(1)
f0(1)<1 ³iF
1;f(1)
f0(1)!
1 , rezult  c jf0(2)j=jf0(1)j= 1 .
Deci2 satisface acelea³i condiµii ca ³i 1 .
Iterând, a v em
j21j=jf(1)j
j32j=jf(2)jjf(1)j2
j43j=jf(3)jjf(2)j2jf(1)j4
:::
jnn1jjf(1)j2n2
:::
23

3.1. METOD A NEWTON ÎN CORPURI COMPLETE 24
Deci ³irul (n) este ³ir Cauc h y , adic  este con v ergen t la un  dinV (V este înc his în K ).
De asemenea, cum jf(n)jjf(1)j2n1, trecând la limit , rezult  c  f() = 0 .
Observ  m c j1j= lim
n!1jn1j , dar
jn1jmax
2injii1j<1;
deci a v em c j1j1 .
A³adar, demonstraµia este complet .
Urmato rea teorem  este o generalizare a teoremei preceden te.
T eorem  3.19. Fief(x) un p olinom cu c o ecienµi în V , cu c o ecientul dominant e gal
cu1 . Pr esupunem c   exist  12K astfel înc âtjf(1)j<1 ,jf0(1)j6= 0 ,jf(1)j1
³i notândd1=f(1)
f0(1)2, ar e lo cjd1j<1 .
A tunci ³irul din r elaµia (3:1) c onver ge la o r  d cin  2V a luif(x) .
Demonstr aµie. Ca în demonstraµia teoremei an terioare, rezult  c  1 este înV .
Deci, a v em 12V .
j21j=jd1j
jf0(1)j .
Conform T e or emei lui T aylor ,
f(2) =f
1f(1)
f0(1)!
=f(1)f(1)
f0(1)
f0(1) +
f(1
f0(1)!2

; (3.4)
unde este de forma g(1;h) , cug dinV[x;h] ³ih=f(1)
f0(1). Cumh este dinV ,
rezult  c  este înV .
Deci,f(2) =
f(1)
f0(1)!2

=f(1)

f(1)
f0(1)2=d1

f(1) .
Rezult  c jf(2)j=jd1j
jj
jf(1)jjd1j
jf(1)j .
Deci,
jf(2)jjf(1)j
jd1j: (3.5)
De asemenea,
f0(2) =f0
1f(1)
f0(1)!
=f0(1)f(1)
f0(1)
f00(1) +
f(1)
f0(1)!2

g1
1;f(1)
f0(1)!
,
cug12V[x;h] .
Rezult  c 
f0(2) =f0(1)f(1)
f0(1)

f00(1) +f(1)
f0(1)
g1
1;f(1)
f0(1)!!
=f0(1)f(1)
f0(1)

;
24

3.1. METOD A NEWTON ÎN CORPURI COMPLETE 25
unde
=
f00(1) +f(1)
f0(1)
g1
1;f(1)
f0(1)!!
,
2V p en tru c f00(1)2V;
f(1)
f0(1)=d1
f0(1)2V ³ig1
1;f(1)
f0(1)!
2V:
Rezult  c  f0(2) =f0(1)
(1d1

) , cu
2V ³i
jf0(2)j=jf0(1)j
j(1d1

)j=jf0(1)j:
Deci
jf(2)jjf(1)j
jd1j<1
f0(2) =f0(1)
"; undej"j= 1)f0(2)6= 0: (3.6)
³i
d2=f(2)
f0(2)2=
f(1)
f0(1)!2


(f0(1)
")2=f(1)2
f0(1)4
;
unde=
"2; deci2V . De aici,jd2jd2
1 .
Astfel,2 satisface acelea³i condiµii ca 1 .
Pro cedând inductiv, exist  un ³ir (n)2V ³idn2V cu proprietatea:
jn+1nj=jdnj
jf0(1)jjd1j2n1jf0(1)j:
Deci, ³iruln este Cauc h y , deci este con v ergen t la un  dinV ,f() = 0 .
La fel ca în teorema preceden t , j1j1 .
S  consider m o aplicaµie imp ortan t  a teoremelor an terioare.
V om determina existenµa r d cinilor p trate de n umere în tregi în corpurile Qp .
Observ  m c , p en tru a aplica teoremele preceden te în cazul Qp , este sucien t s  g sim
1 dinZ care s  îndeplineasc  condiµiile din teoreme (p en tru c  Z este dens în Zp ).
Exemplu 3.20. Consider  m K=Q5 ,f(x) =x2+ 1 ³i1= 2 .
A tunci avem: f(2) = 5 , de cijf(2)j5<1; f0(2) = 4 , de cijf0(2)j5= 1 .
Conform T e or emei 3:18 , ³irul (3:1) c onver ge la o r  d cin   a luif(x) :
2+ 1 = 0; adic  p
12Q5:
T eorem  3.21. Fiep un num r prim imp ar. Consider  m e cuaµia x2a= 0 ,
undea2Z ³ip2-a . A tunci :
i: dac  pja , atunci e cuaµia nu ar e nicio soluµie în Qp ;
ii: dac  a este un r est p  tr atic mo dulo p , atunci e cuaµia ar e dou  soluµii în Qp ;
iii: dac  a nu este r est p  tr atic mo dulo p , atunci e cuaµia nu ar e nicio soluµie în Qp .
25

3.1. METOD A NEWTON ÎN CORPURI COMPLETE 26
Demonstr aµie. i. Presupunem c  pja .
Dac x2a are soluµia2Qp , rezult  c 
jj2
p=j2jp=jajp)jjp=p
jajp=p1
2=1pp, dar m ulµimea v alorilor p e care le ia
normap -adic  estefpnjn2Zg . Con tradicµie.
ii. Fiep-a ³ia rest p tratic mo dulo p . Deci exist  12Z cu2
1amodp .
Cump-a , rezult  c  p-1)j1jp= 1:
Fief=x2a . A v emjf(1)jp=j2
1ajp<1 (c cipj2
1a ),f0(1) = 2
1 ³i
p-2
1 , decijf(1)j0
p . Din T e or ema 3:18 , rezult  c 92Zp cuf() = 0 .
iii. Presupunem c  a n u este rest p tratic mo dulo p . A tunci ecuaµia x2a n u are dou 
soluµii în Qp .
În tr-adev  r, presupunem prin reducere la absurd c  ecuaµia ar a v ea o soluµie 2Qp ,
rezult  c 2a= 0)jj2
p=jajp1)jjp1)2Zp:
Exist b2Z astfel încât +^P=b+^P , unde ^P estepZp (unicul ideal maximal al lui
Zp ). Deci,2+^P=b2+^P=a+^P)b2amodp , adic b2a2pZp .
Observ aµie 3.22. pZp\Z=pZ .
pZp=fp
j2Zpg=fx2Qpjxjp<1g .
pZp[Z=fa2Zjajp<1g=pZ .
Deci, conform observ aµiei, b2a2pZ)pjb2a , ceea ce înseamn  c  a este rest
p tratic mo dulo p , ceea ce con trazice presupunerea f cut .
Astfel teorema este demonstrat .
S  consider m cazul p= 2 , unde 2-a . Aici trebuie s  aplic m T e or ema 3:19 .
Deci, c ut m 12Z astfel încâtjf(1)j2=j2
1aj2<1 ³ijd1j2<1 ,
unded1=f(1)
f0(1)2=2
1a
42
1.
Cum 2-2
1 , observ  m c  este sucien t s  a v em c  8j2
1a , caz în care toate cele trei
condiµii din teorema preceden t  v or  îndeplinite.
Prin urmare, trebuie s  rezolv  m congurenµa
x2amod 8
cu un1 astfel încât
11 mod 2;
adic 1 trebuie s  e impar.
Dar p en tru orice în treg impar 1 a v em c 
2
11 mod 8:
A³adar, observ  m c  dac  a1 mod 8 , atunci putem utiliza orice n um r în treg impar
1 ³i astfel condiµiile teoremei an terioare v or  satisf cute.
In v ers, dac   este o soluµie p en tru ecuaµia x2a= 0 înQ2 , atunci2Z2 ³i a v em
c  exist b2Z astfel încât
bmod 23:
26

3.1. METOD A NEWTON ÎN CORPURI COMPLETE 27
Prin urmare, a=2b2mod 23; de aici ³i din faptul c  b trebuie s  e impar, rezult 
c 
ab21 mod 8:
Rezumând, în acest caz putem form ula urm torul rezultat:
T eorem  3.23. Consider  m e cuaµia x2a= 0 , undea2Z ³i4-a . Dac  :
i:2ja , atunci e cuaµia nu ar e soluµie în Q2 ;
ii:2-a ³ia1 mod 8 , atunci e cuaµia ar e dou  soluµii în Q2 ;
iii:2-a ³ia nu este c ongruent cu 1 mo dulo 8 , atunci e cuaµia nu ar e soluµii în Q2 .
Deniµie 3.24. Un c orpK se nume³te total or donat dac   p entru oric e x;y;z dinK
sunt îndeplinite c ondiµiile:
1: xy)x+zy+z ;
2: z0 ³ixy)x
zy
z .
Lem  3.25. Într-un c orp K total or donat, p  tr atul oric  rui num r nenul este p ozitiv.
Demonstr aµie. Fiex2K; x> 0 . A v em c : 0
x<x
x)0<x2.
Fie acumx2K; x< 0 . A v em:x
x>0
x)x2>0 .
Deci, p tratul oric rui n um r nen ul este strict p ozitiv.
Lem  3.26. Într-un c orp K total or donat, o sum  de p  tr ate de elemente nenule este
strict p ozitiv .
Demonstr aµie. Fiex;y2K . Conform L emei an terioare, x2>0;y2>0;8x;y2K .
A dunând, obµinem c  x2+y2>0 .
Astfel L ema este demonstrat .
Aplicaµie 3.27. Qp nu p o ate  înzestr at cu o structur   de c orp total or donat.
Soluµie
S  consider m cazul p= 2 .
A v em c ,p72Q2 , p en tru c 71 mod 8 . Prin urmare,p72+12+12+12+22= 0 .
DeciQ2 n u este un corp total ordonat.
Dac p6= 2 , exist p1p (p en tru c  1p1 modp , deci 1p este rest p tratic
mo dulop ).
Prin urmare,p1p2+ (p1)
12= 0 . A³adar Qp n u este corp total ordonat.
27

Bibliograe
[1] Aurelian Claudiu V olf, Structuri algebric e ³i aplic aµii ,
Editura Univ ersitatea "Al. I. Cuza" Ia³i, 2004.
[2] George Bac hman, Intr o duction to p -A dic Numb ers and V aluation The ory , Editura
A cademic Press, New Y ork, 1964.
[3] Gilles Bellot, Intr o duction to p -adic numb ers , Editura TU Dortm und Univ ersit y .
28