O ABORDARE METODICĂ A STUDIULUI UNOR FENOMENE [605575]

UNIVERSITATEA BABEȘ -BOLYAI CLUJ -NAPOCA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORM ATICĂ

O ABORDARE METODICĂ A STUDIULUI UNOR FENOMENE
PERIODICE

Coordonator științific,
Conf. univ. dr. BLAGA CRISTINA
Candidat: [anonimizat] 2017 -2019

2

Cuprins
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 4
I. Activitatea solară și influența ei asupra Pământului ………………………….. …………………………. 8
I.1. Structura Soarelui ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 8
I.2. Petele solare/ciclu solar ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 10
I.3. Influența ciclurilor solare asupra vieții pe Pământ ………………………….. …………………… 12
Probleme propuse: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 14
II. Metode de studiere și predicție a unor fenomene periodice ………………………….. ……………. 17
II.1. Noțiuni introductive de statistică ………………………….. ………………………….. ……………… 17
II.2. Reprezentarea datelor cantitative (elemente de statistică descriptivă) ……………………. 19
II.2.1. Frecvențe statistice ………………………….. ………………………….. ………………………….. 19
Probleme propuse: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 23
II.2.2. Reprezentarea grafică a datelor statistice ………………………….. ……………………….. 24
Probleme propuse: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 30
II.2.3. Indicatori statistici ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 33
Probleme propuse: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 40
II.3. Serii cronologice (de timp) ………………………….. ………………………….. ……………………… 44
II.3.1. Reprezentarea grafică a unei serii cronologice (de timp) ………………………….. ….. 45
II.3.2. Indicatori statistici pentru serii cronologice (de timp) ………………………….. ………. 48
II.3.3. Ajustarea seriei cronologice ………………………….. ………………………….. ……………… 55
II.3.4. Corelarea datelor obținute cu predicții publicate ………………………….. …………….. 67
Probleme propuse: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 68
III. Aplicații ale studiului fenomenelor periodice în activitatea de predare -învățare ………….. 70
III.1. De ce statistică? ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 70
III.2. Considerente metodologice ………………………….. ………………………….. ……………………. 76
III.2.1 Problematizarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 78
III.2.2. Abordarea euristică ………………………….. ………………………….. ………………………… 79
III.2.3. Învățarea prin descoperire ………………………….. ………………………….. ………………. 79
III.2.4. Algoritmizarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 79
III.2.5. Munca în grup ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 79
III.2.6. Proiectul, tema de cercetare ………………………….. ………………………….. …………….. 80
III.2.7. Studiul de caz ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 80
III.2.8. Ciorchinele ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 81

3
III.2.9. Metoda mozaicului ………………………….. ………………………….. …………………………. 82
III.2.10. Metoda asaltului de idei (brainstorming -ul) ………………………….. …………………. 82
III.2.11. Controversa creativă ………………………….. ………………………….. …………………….. 83
III.2.12. Evaluarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 84
III.3. Lecția ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 87
III.3.1. Model de lecție mixtă ………………………….. ………………………….. ……………………… 87
III.3.2. Model de lecție de verificare și evaluare ………………………….. ……………………….. 94
III.4. Unitatea de învățare ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 103
III.5. Probleme propuse ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 105
III.6. Concluzii ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 109
Bibliografie: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 112

4

Introducere
Moto: ‖ Statistical thinking will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to
read and write‖
H.G.Wells
 Primul turneu de Grand Șlem câștigat de Simona Halep este Roland Garros, fiind prima
tenismenă din lume ce câștigă acest titlu din prima poziție a clasamentului WTA. Simona
Halep a câștigat în trei seturi (3 -6, 6-4, 6-1) finala împotriva sportivei Sloane Stephens. Pe
lângă imaginea unui meci extraordinar, finala de la Roland Garros este prezentată pe scurt
astfel1:
 Rezultatele la examenul de Evaluare Națională 2018, matematică, Colegiul Național
―Inochentie Micu Clain‖ Blaj, clasa a VIII -a B2:

1 https://www.libertatea.ro/simona -halep/simona -halep -sloane -stephens -finala -de-la-roland -garros -2285233
2 http://evaluare.edu.ro/
Figură 1: Statistică finală Roland Garrros

5

Tabel 1: Rezultate EN matematică 2018
<5 (elevi cu
CES3)
[5,6) [6;7) [7;8) [8;9]
2 2 7 5 2

media clasei: 6,31 (incluzând elevii cu CES) sau 6,82 (fără elevii cu CES).
Comparativ, notele la simularea examenului de evaluare națională , la matematică , la
aceeași clasă:
Tabel 2: Rezultate simulare evaluare națională , matematică
<5 (+elevi cu
CES)
[5,6) [6;7) [7;8) [8;9]
9 4 4 0 1

media clasei: 4,67 (incluzând elevii cu CES) sau 5,07 (fără elevii cu CES).
 Evoluția cursului valutar în perioada 20.06.2017 -20.06.20184

 În luna mai 2016 temperatura maximă medie a fost de 20oC, iar temperatura minimă medie a
fost de 8oC, în luna mai 2017, în medie s -au înregistrat temperaturi de 21oC respectiv 10oC,
luna mai a anului 2018 fiind mai călduroasă cu 5oC la temperaturile mari (o medie de 25oC)
respectiv 1oC la temperaturile joase (o medie de 11oC). Ca nivel de precipitații l una mai a
anului 2018 a fost cea mai secetoasă, având, în medie 1,6 zile cu precipitații față de 2016
când s -au înregistrat, în medie, 3,5 zile cu precipitații.

3 CES—cerințe educaționale speciale; elevii cu CES fiind diagnosticați cu diferite probleme, dintre cele mai
întâln ite fiind probleme ce duc la îngreunarea procesului de învățare: retard psihic ușor, intelect la limită, având
nevoie de adaptare curriculară
4 https://www.cursbnr.ro/grafic -valute

Figură 2: Evoluție curs valutar

6
Punctul comun al exemplelor de mai sus este analiza fenomenelor date din punct de
vedere statis tic:
O imagine matematică a meciului devine un instrument esențial pentru un antrenor sau un
jucător pentru strategii viitoare, pentru corectarea greșelilor, pentru abordarea jocurilor
următoare cu respectiva jucătoare.
Notele luate de către elevi la EN re flectă evoluția lor în decursul celor 4 ani de gimnaziu,
fiind un bun indicator pentru profesorul de la clasă, precum și pentru imaginea școlii.
Evoluția cursului valutar ne afectează zi de zi prin variația prețurilor și prin variația
inflației. Reflectând stabilitatea economiei și a pieței, tendința cursului valutar este esențială
pentru afaceriști, pentru cei care au credite, pentru salariați.
Variația temperaturii ne influențează activitățile zilnice, iar tendințele pe termen lung ne
obligă să ne adaptăm rapid la schimbările climatice. Încălzirea globală este resimțită zilnic, prin
fenomenele naturale extreme tot mai dese: secetă prelungită, furtuni, diferențe foarte mari de
temperatură de pe o zi pe alta. Comparând evoluția temperaturilor și a precipitaț iilor din luna mai
pentru ultimii 3 ani se poate observa o creștere semnificativă a temperaturilor (temperatura
maximă având o medie mai mare cu 5oC decât acum 3 ani) precum și o scădere accentuată a
precipitațiilor.
Toate aceste exemple sunt doar câteva d in totalitatea fenomenelor modelate prin
statistică. De la indicii demografici, până la specii de plante și animale aflate în pericol, de la
evoluția economică până la existența vieții extraterestre, statistica oferă o imagine matematică
asupra fenomenelor naturale și sociale.
Prezenta lucrare prezintă o abordare statistică a fenomenelor periodice, cu accent pe
activitatea solară. Fizica Soarelui reprezintă o ramură importantă a astrofizicii, Soarele fiind cea
mai apropiată stea ea joaca un rol important i n studiul evoluției stelare . Activitatea Soarelui este
monitorizată zilnic, fiind urmărită și studiată îndeaproape. Există o legătură strânsă între
activitatea solară și schimbările climatice resimțite pe Pământ.
Lucrarea este structurată pe trei capi tole astfel: Capitolul I conține o descriere generală a
Soarelui și a petelor solare precum și noțiuni despre ciclul solar și modul în care activitatea
Soarelui afectează viața pe pământ.
Capitolul II este rezervat cercetării. Prima și a doua parte a capitol ului conțin noțiuni
introductive de statistică descriptivă: reprezentarea și interpretarea datelor provenite din diverse
fenomene, cu ajutorul graficelor și a indicatorilor statistici. Fiecare noțiune teoretică este însoțită
de exemple practice, paragrafel e fiind încheiate cu probleme propuse. În partea a treia a
capitolului se pune accent pe fenomene periodice —serii cronologice, cu aplicații la ciclurile

7
solare. Plecând de la înregistrarea și reprezentarea datelor pe perioade scurte (compararea
evoluției a ctivității solare pe parcursul a două luni) am introdus și analizat datele ultimului ciclu
solar și, comparativ a ultimelor cinci cicluri solare. Folosind metodele specifice seriilor de timp,
de la stabilirea trendului și până la ajustarea datelor, am ale s să folosesc programul Office
EXCEL, fiind predat și folosit în școli. Capitolul II se încheie cu corelarea datelor ultimului ciclu
solar cu două predicții ale acestui ciclu.
Capitolul III este rezervat abordării metodice a seriilor cronologice și a inst rumentelor
statistice. După o prezentare teoretică a diferitelor strategii moderne de predare -învățare, am
prezentat un plan de lecție care poate fi aplicat atât la nivelul clasei a VII -a cât și la nivelul clasei
a VI-a, fiind aplicație la măsuri de unghiuri, estimări, distanțe, în același timp studiind evoluția în
timp a unui fenomen real. Pentru evaluare am propus un test la nivelul clasei a VI -a, unitatea de
învățare Rapoarte și proporții —Elemente de organizare a date lor, test ce respectă programa
școlară în vigoare. De asemenea, având în vedere numărul tot mai mare a elevilor cu dificultăți în
învățare, având nevoie de adaptări curriculare, testul l -am adaptat astfel încât să poată fi aplicat
pentru adaptare curricula ră la nivelul clasei a V -a. Unitatea de învățare propusă urmărește
programa clasei a X -a la capitolul de Statistică și probabilități, profil socio -umane.
Lucrarea conține un număr de 40 de probleme propuse, probleme care pot fi folosite fie
la unitățile de învățare dedicate studiului statistic, cât și aplicații ale programului Office Excel.
Problemele abordează teme din diverse domenii de cercetare, tocmai pentru a evidenția
aplicabilitatea statisticii matematice. Nu am considerat necesară o anexă cu rezu ltatele aferente
exercițiilor, acestea fiind aplicații directe ale părților teoretice.

8

I. Activitatea solară și influența ei asupra Pământului

Principala sursă de energie a Sistemului Solar este Soarele. Studierea Soarelui a început
din cele mai vechi timpuri, Soarele fiind sursa principală a apariției și existenței vieții. Soarele a
reprezentat în multe culturi divinitatea într -un fel sau altul, deși nu era considerat ca fiind centrul
Sistemului Solar, ci rotindu -se în jurul Pământului (sistemul geoce ntric). Primele observații ale
mișcării aparente ale Soarelui s -au concretizat în apariția primelor forme de măsurare a timpului,
prin construcții megalitice descoperite pe toate continentele. Deși primele însemnări despre
petele solare apar în scrierile c hinezești datând cu 4 secole înainte de Cristos, în Europa Soarele
era considerat obiectul ceresc perfect. În 1543 Nicolas Copernicus a fost primul care a propus
modelul heliocentric, punând Soarele unde îi este locul, în centrul Sistemului Solar. Primele
observații la Soare, făcute cu un instrument astronomic, sunt observațiile făcute de Galileo
Galilei și Thomas Harriot, care în jurul anului 1612 au făcut primele consemnări ale petelor
solare.

02.06.1613
03.06.1613
05.06.1613
06.06.1613
Figură 3: Desene ale petelor solare realizate de Galileo Galilei

I.1. Structura Soarelui
Soarele este o stea de mărime
medie —pitică galbenă, având clasa
spectrală GII, cuprinzând 99,8% din masa
întregului Sistem Solar. Aflat la o distanță
de 149,6x106km (1 unitate astronomică) față
de Pământ, diametrul Soarelui este de
1,39x106km, iar masa sa este de
aproximativ 1,989x1030kg.
Începând cu an ul 1990 studiul Soarelui s -a amplificat odată cu primele misiuni sp ațiale
pentru observarea Soarelui. Astfel s -a putut determina structura Soarelui, de la nucleu până la
straturile exterioare:
Figură 4: Dimensiuni comparativ e în Sistemul Solar

9

Figură 5: Structura Soarelui, credit NASA/Jenny Mottar
Nucleul este zona cea mai fierbinte din Soare, aici având loc reacții termonucleare.
Radiația produsă aici este trimisă spre straturile exterioare prin zona radiativă, zonă care este
traversată în aproximativ 170000 ani.
Straturile exterioare ale Soarelui , vizibile prin observații directe, încep cu fotosfera.
Având o grosime de aproximativ 500 km, fotosfera principalul emitent al energiei solare pe care
o primim. Temperatura fotosferei variază între 6400K și 4400K către suprafață. Următorul strat
care este direct observabil este cromosfera. Având o grosime de aproximativ 2500km, în
cromosferă temperatura crește din nou ajungând până la 20000K. Ultimul strat al atmosferei
Soarelui îl reprezintă corona solară care se întinde la câteva raze solare, temperatura aici fiind
extrem de mare, ajungând până la 2000000K. Cromosfera și corona solară sunt foarte ușor
vizibile în timpul unei eclipse de Soare, cromosfera apărând ca un strat roșiatic la suprafața
Soarelui, pe când corona apare ca formațiuni albicioase ce se întind în spațiu.

10

Figură 6: Corona solară văzută la eclipsă

I.2. Petele solare/ciclu solar
Odată cu prima lunetă îndreptată înspre Soare, studiul Soarelui a devenit o necesitate.
Dacă Galileo Galilei a fost primul care a făcut o înregistrare sistematic ă a petelor solare, în
secolul XIX se făceau primele conexiuni între numărul de pete de pe suprafața Soarelui și
schimbări climatice la nivelul Pământului. Petele negre sunt regiuni mai întunecate ce apar pe
fotosfera Soarelui, regiuni caracterizate prin t emperaturi mult mai mici față de media
temperaturii de pe fotosferă (aproximativ 3500K), ceea ce duce la întunecarea acestor zone.
Această diferență de temperatură se datorează unor aglomerări de linii de câmp magnetic foarte
puternice, care nu permit căld urii să iasă la suprafață. Prin studierea petelor solare s -a putut
observa mișcarea de rotație a Soarelui în jurul propriei axe, mișcare mult mai complexă ca a
Pământului sau a celorlalte planete: sunt observate cel puțin trei zone de rotație: la ecuator ș i cele
două emisfere a căror rotație nu are loc în același timp. Înregistrarea zilnică a numărului de pete
solare a dus la observarea ciclicității activității solare, un ciclu având în jur de 11,8 ani
(astronomul german Heinrich Schwabe, a fost primul care a determinat ciclicitatea activității
solare în 1843). După cum se poate observa în imaginea de mai jos, ciclul solar 23 a început în
anul 1996, activitatea solară fiind minimă, a avut un maxim în 2001 când activitatea solară a fost
maximă, încheindu -se în 2006, când s -a înregistrat un nou minim al activității solare. Intensitatea
activității solare în ciclul 23, corespunde cu numărul de pete înregistrat în aceeași perioadă.

11

Figură 7: Ciclul so lar 23, credit NASA
Dispunerea petelor solare pe discul Soarelui nu este aleatorie, observându -se periodicități
și simetrii în apariția lor. Astfel petele solare sunt grupate în două benzi de latitudine, în jurul
ecuatorului, după cum se poate observa în diagrama fluture, diagramă obținută la Observatorul
Regal Greenwich, Marea Britanie. Este interesant de observat faptul că, la începutul ciclurilor
solare petele apar la latitudini mai mari, spre sfârșitul perioadei concentrându -se în jurul
ecuatorului.

Figură 8: Diagrama fluture, media zilnică a nuărului de p ete solare mediat pentru fiecare rotație solară
(https://solarscience.msfc.nasa.gov/SunspotCycle.shtml)

12
Având în vedere că, de cele mai multe ori, petele solare sunt dispuse în grupuri, metoda
de determinare a numărului de pete zilnice este metoda Zurich d e determinare a numărului de
pete (numărul lui Wolf):
10Z g s
,
unde g—reprezintă numărul de grupe de pete (fiecare grupă conținând în medie 10 pete)
s—reprezintă numărul de pete individuale observate
Petele solare pot varia în dimensiuni, de la câțiva kilometri (>1000km) având o durată de
viață de câteva ore, până la zeci de mii de kilometrii (20000km) având o durată de viață de până
la câteva luni, putând fi observate fără instrumente optice de mărire.

Figură 9: Pete solare m ici (por i) si structura unei pete solare
(http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/sun/sunspots.shtml)

I.3. Influența ciclurilor solare asupra vieții pe Pământ
Condițiile meteo și activitatea zilnică pe Pământ sunt strâns corelate cu activitat ea
Soarelui. Perioade îndelungi de inactivitate solară duc la modificări majore ale climei. Cel mai
bun exemplu este perioada 1650 -1700, când s -a înregistrat perioada cea mai lungă de inactivitate
solară, începând cu anul 1610 când s -au făcut primele obser vații asupra Soarelui:

13

Figură 10: Ciclurile solare începând din 1600, (https://solarscience.msfc.nasa.gov/images/ssn_yearly.jpg)

Perioada respectivă, cunoscută și ca Perioada de Minim Maunder, se remarcă printr -o scădere a
temperaturii, în geologie fiind cunoscută ca Mica Glaciațiune, zăpada fiind prezentă pe tot
parcursul anului la altitudini mici.
Petele solare sunt însoțite de ejecții de masă, explozii coronare care, ajungând pe Pământ
afectează desfășurarea vieții de zi cu zi.

Figură 11: Activitate solară, credit NASA/SDO/AIA/HMI/Goddard Space Flight Center

Cele mai vizibile și mai spectaculoase efecte ale activității solare pe Pământ sunt aurorele.
Acestea apar în momentul în care vântul solar (particulele din ejecțiile coronare) intră în contact
cu atmosfera Pământului.

14

Figură 12: Aurora boreală văzută de pe ISS, credit NASA/ESA (https://www.nasa.gov/image -feature/aurora -and-the-
pacific -northwest)

De asemenea radiațiile emise în urma activității solare afectează buna funcționare a sateliților
artificiali, resimțită în viața de zi cu zi îndeosebi în telecomunicații, putând duce de la
întreruperea parțială a telecomunicațiilor la căderea rețelelor electrice.
Probleme propuse:
1. Cunoscând dimensiunile Soarelui, d eterminați scara imaginii și dimensiunea petei solare aflată
cel mai central pe suprafața Soarelui. Comparați cu dimensiunile Pământului.

Figură 13: Pete solare, credit SOHO/NASA

15
25. În imagin ile de mai jos se văd trei momente al e unei explozii coronale de masă CME
(satelit LASCO/C2) . Astfel de explozii coronale au fost observate pentru prima dată în 1970 de
către Orbiting Solar Observatory (OSO 7).
Pe cele trei planșe sunt prezentate trei momente ale propag ării frontului exploz iei care are forma
unui arc ce se extinde. Imaginile sunt luate cu un coronograf în care imaginea S oarelui este
obturată, dar este indicat prin cercul central marginea Soarelui. Folosind imaginile determina ți
viteza de de plasare a fron tului jetului. Distanțele se măsoară în div iziuni (sau mm) cu rigla pe
planșe.
Planșa 1

5 Problemă propusă de către prof. univ. Mircea V. Rusu, la selecția lotului României pentru participarea la
Olimpiada Internațională de Astronomie 2012

16
Planșa 2

Planșa 3

17
II. Metode de studiere și predicție a unor fenomene periodice
II.1. Noțiuni introductive de statistică
Statistica este ramura matematicii ce se ocupă cu colectarea, analiza și interpretarea
datelor precum și realizarea de predicții privind evoluția viitoare a acestora. Astfel sunt bine
stabilite două ramuri mari ale statisticii: – statistică descriptivă (se studiază în școală, sub diverse
forme, începând cu clasa a V -a) ce se ocupă cu organizarea datelor prin grafice și indicatori
statistici
– statistică inferențială (inductivă) ce se ocupă cu interpretarea datelor
folosind modele matematice.
Pentru efectuarea corectă a unui studiu statistic e nevoie de stabilirea unor parametrii
pentru care se va face studiul. Pentru început trebuie stabilită populația statistică.
Definiție: Se numește populație statistică o mulțime supusă unei analize statistice.
Definiție: Elementele populației statistice se numesc indivizi sau unități statistice .
Ex.1. Se dorește studierea comportamentului albinelor în condiții de secetă prelungită.
Populația supusă studiului este mulțimea albinelor. Având în vedere numărul mare d e albine
existente, devine extrem de greu studierea comportamentului întregii populații. De aceea se
recomandă alegerea unor indivizi reprezentativi ai populației. Pentru a putea face un studiu cât
mai corect, indivizii aleși trebuie să fie cât mai variați cu putință.
Definiție: Se numește eșantion partea de populație care este supusă efectiv studiului
statistic.
Revenind la exemplul anterior, pentru a putea deduce comportamentul albinelor in
condiții de secetă prelungită trebuie ales un eșantion cât mai re prezentativ.
Ex.2. Un alt exemplu poate fi aplicarea unui sondaj în vederea viitoarelor alegeri
parlamentare. Populația statistică este dată de toți cetățeni cu drept de vot. Având în vedere
numărul mare al acestora e foarte dificil aplicarea sondajului p e întreaga populație. Se impune
deci alegerea unui eșantion reprezentativ: trebuie să cuprindă respondenți din toate categoriile
sociale, urban și rural în același timp. Pentru o reprezentare cât mai variată, alegerea
respondenților se face, de obicei, pri n tragere la sorți, alegându -se între 2000 și 5000 de indivizi.
Definiție: Se numește caracteristică trăsătura comună a tuturor unităților statistice ce
formează populația statistică.
Definiție: Se numește variabilă statistică mulțimea valorilor pe care o caracteristică le ia
pentru fiecare unitate statistică a populației. Se notează cu litere mari de tipar, de obicei de la
sfârșitul alfabetului: X, Y, Z.

18
Definiție: Valoarea variabilei statistice se numește dată (stare ) statist ică. Se notează cu
litere mici, corespunzătoare variabilei ( xi, yi, zi) și poate fi un număr sau un cuvânt.
Revenind la ex.1. avem:
Populația statistică : mulțimea albinelor din România
Eșantion : albinele din stupinele din zona Blaj
Caracteristică : compo rtamentul albinelor
Variabila: X = comportamentul albinelor în condiții de secetă prelungită
Datele : xi = comportament normal, agitate, agresive
În funcție de tipul de date, variabilele statistice pot fi:
i) Variabile calitative : descriu proprietăți ale populației, iar datele pot fi cuvinte
(variabile nominale) sau coduri (variabile ordinale)
ii) Variabile cantitative : se obțin din măsurători sau prin numărare, datele fiind strict
numerice.
Variabilele cantitative, la rândul lor, pot fi:
– discrete: datele sunt cel mult numere raționale, provenind din numărare
– continue: datele provin din măsurători, putând fi reprezentate printr -un interval
de numere reale
În funcție de natura lor, variabilele pot fi:
i) Atributive —exprimă o însușire esențială a unităților s tatistice dintr -o populație,
însușire pe baza căreia se face gruparea în clase omogene
ii) De timp —exprimă timpul în care au luat ființă sau perioada de timp în care au
existat unitățile statistice ale unei populații. Permit cunoașterea tendințelor
evolutive ale populației.
iii) De spațiu —permit cunoașterea variabilității populației în spațiu.
Ex.3. Evidența mediilor la examenul de bacalaureat 2018: variabila statistică este de tip
cantitativ, discret (mediile de la examenul de bacalaureat)
Ex.4. Clasificarea crate relor lunare în funcție de diametrul lor: variabilă statistică de tip
cantitativ, continuu
Ex.5. Evidența agenților economici de pe raza localității Blaj, în funcție de profilul de
activitate: variabilă statistică de tip calitativ.
Ex.6. Numărul petelor so lare în decursul unui an: variabilă de timp, cantitativă, discretă.
Exerciții:
1. Identificați variabila statistică și tipul ei:
a) Consumul de tutun în rândul minorilor, în România.

19
b) Timpul petrecut pe rețelele de socializare de către adolescenții cu vârste c uprinse între
14 și 16 ani.
c) Tipul de flori vândute de o florărie în decursul unui an.
d) Dimensiunea asteroizilor cunoscuți
e) Tipurile de sol din România
f) Calitatea aerului în zona Cluj Napoca
II.2. Reprezentarea datelor cantitative (elemente de statistică descriptivă)
II.2.1. Frecvențe statistice
După culegerea datelor statistice urmează prelucrarea lor. Având valori numerice, datele
cantitative se pot prelucra cel mai ușor, din punct de vedere statistic. Primul pas în prelucrarea
datelor statistice îl reprezintă înregistrarea datelor în serii statistice.
Definiție: Seria statistică este un mod de înregistrare/reprezentare a datelor statistice,
care redă distribuția și variația populației în funcție de una sau mai multe variabile.
Seriile statistice se c lasifică, în funcție de tipul și numărul variabilelor astfel:
I) După numărul variabilelor avem
i) serii unidimensionale —conțin o singură variabilă
ii) serii bidimensionale —au la bază două variabile
iii) serii multidimensionale —conțin trei sau mai multe variabile
II) După conținutul variabilei avem
i) serii de distribuție (de frecvențe) —se referă la o variabilă atributivă
ii) serii de timp (cronologice) —se referă la variabilele de timp
iii) serii teritoriale (de spațiu) —se referă la variabilă de spațiu.
III) După natura variabilei avem
i) serii calitative (homograde) —au la bază variabilele calitative
ii) serii cantitative (heterograde) —au la bază variabilele cantitative
Definiție: Se numește volumul populației (N) numărul total de unități statistice ce
formează populația statistică (cardinalul populației statistice). Dacă referirea se face la numărul
total de indivizi în cadrul unui eșantiona, volumul populației se notează n.
Definiție: Se numește frecvență absolută (ni) numărul de unități statistice
corespunzătoare datei xi dintr -un studiu sta tistic.
Astfel, o serie statistică unidimensională se reprezintă astfel:

20

12
12… …
… …in
inx x x xXn n n n
, unde
1n
i
inN
dacă se lucrează pe întreaga populație,
sau
1n
i
inn
dacă studiul se efectuează pe un eșantion reprezentativ.
Seria statistică bidimensională va fi reprezentată astfel:
X
Y x1 x2 … xi … xn Total
y1 n11 n12 … n1i … n1n n1
y2 n21 n22 … n2i … n2n n2
… … … … … … … …
yj nj1 nj2 … nji … njn nj
… … … … … … … …
ym nm1 nm2 … nmi … nmn nm
Total n1 n2 … ni … nn
1, 1,ij
i n j mnn

Unde nji,
1, ; 1,i n j m
—frecvența absolută corespunzătoare unității la care se întâlnește
simultan data statistică xi, respectiv data statistică yj

1m
i ji
jnn
—frecvența absolută corespunzătoare unității xi a variabilei X, indiferent de
valoarea caracteristicii Y

1n
j ji
inn
—frecvența absolută corespunzătoare unității yi a variabilei Y, indiferent de
valoarea caracteristicii X
1, 1,ij
i n j mn n N
dacă se consideră întreaga populație, sau
1, 1,ij
i n j mn n n
dacă se lucrează pe un eșantion reprezentativ
Orice serie bidimensională se poate descompune în serii unidimensionale astfel:
– serii de repartiție marginale în funcție de X sau Y:
12
12… …
… …in
inx x x xXn n n n
,

21

12
12… …
… …jm
jmy y y y
Yn n n n

– serii de repartiție unidimensională în raport cu X (Y), condiționată de Y=y j (X=x i),
numărul acestora fiind egale cu numărul de stări ale variabilei Y (X):
12
12… …
:… …in
j
j j ji jnx x x x
X Y yn n n n
,
12
12… …
:… …jm
i
i i ji miy y y y
Y X xn n n n

Ex.7. Sosiri ale turiștilor pe județe în perioada 1.01 -31.05.20186
Sosiri
Județe
români străini TOTAL
ALBA 48246 10148 58394
ARAD 55848 18659 74507
ARGEȘ 59388 16829 76217
BACĂU 44913 4749 49662
BIHOR 148690 24883 173573
BISTRIȚA –
NĂSĂUD 30295 5058 35353
BOTOȘANI 16822 750 17572
BRAȘOV 420247 63123 483370
BRĂILA 22497 1772 24269
BUCUREȘTI 333332 463701 797033
BUZĂU 27104 2034 29138
CARAȘ -SEVERIN 56621 2881 59502
CĂLĂRAȘI 5612 1474 7086
CLUJ 181401 48898 230299
TOTAL 1451016 664959 2115975

Ex.8. Repartiția în funcție de înălțime a elevilor clasei a VIII -a de la Colegiul Național
‖Inochentie Micu Clain‖, Blaj:
[1,50;1,55) [1,55;1,60) [1,60;1,65) [1,65;1 ,70) 1,70
6 10 19 8 5X

6 Institutul Național de Statistică, http://www.insse.ro/cms/

22
Definiție: Frecvența relativă (fi) reprezintă ponderea unităților statistice din volumul
populației (eșantionului). Se exprimă în procente sau ca raport, astfel
% 100i
infn
sau
i
infn
.
Analog, pentru seria statistică bidimensională, se definește frecvența relativă ca fiind
raportul dintre frecvența absolută și volumul populației (eșantionului):
% 100ji
jinfn
,
% 100i
infn
și
% 100j
jnfn
,
1, ; 1,i n j m
.
Revenind la ex.8. , seria statistică, în funcție de frecvența relativă este:
[1,50;1,55) [1,55;1,60) [1,60;1,65) [1,65;1 ,70) 1,70
12,5% 20,83% 39,58% 16,67% 10,42%X
,
5
1100%i
if
, adică
39,58% dintre elevii clasei a VIII -a au înălțimea cuprinsă între 1,60 m și 1,65 m.
Definiție: Frecvența cumulată crescător a unei grupe este egală cu numărul unităților ce
au valorile variabilelor mai mici sau egale cu limita superioară a grupei.
Frecvența absolută cumulată crescător corespunzătoare variabilei xi:
1i
ik
kNn

Frecvența relativă cumulată crescă tor corespunzătoare variabilei xi:
1i
ik
kFf
.
Definiție: Frecvența cumulată descrescător a unei grupe este egală cu numărul unităților
ce au valorile variabilelor mai mari sau egale cu limita inferioară a grupei.
Frecvența absolută cumulată descrescător corespunzătoare variabilei xi:
'n
ik
kiNn

Frecvența relativă cumulată descrescător corespunzătoare variabilei xi:
'n
ik
kiFf
.
Ex.9. Pentru repartiția notelor la matematică la examenul de evaluare națională 2018,
clasa a VIII -a B, cu un efectiv total (volum) de 16 elevi, seria statistică este:
xi – notele
obținute ni-numărul de elevi având
nota în intervalul indicat fi (%) Ni Fi (%)
'
iN
'
iF (%)
[5;6)
2 12,5 2 12,5 16 100
[6;7) 7 43,75 9 56,25 14 87,5
[7;8) 5 31,25 14 87,5 7 43,75
[8;9] 2 12,5 16 100 2 12,5
Alegând una dintre variabile pentru interpretate se obține:

23
5 elevi au obținut note între 7 și 8, ceea ce reprezintă 31,25% din efectivul total al clasei;
9 elevi au obținut note mai mici de 7, adică 56,25% din total; 2, adică 12,5% dintre elevi au
obținut note mai mari de 8.
În acest exemplu s -a folosit seria statistică sub forma intervalelor de variație: clase de
valor i. Pentru o serie statistică de tip continuu, numărul intervalelor poate fi prestabilit (empiric)
sau poate fi stabilit folosind relația lui Sturges
1 3,322lgrN
, rotunjindu -se la un număr
întreg (e recomandată folosirea unui număr între 4 și 10 intervale -pentru un număr de până la
100 de unități, respectiv până la 20 de intervale pentru mai mult de 100 de unități, pentru o mai
mare precizie a studiului statistic). Pentru a determina mărimea unui astfel de interval se
folosește relația
max miniixxhr
, construindu -se apoi intervalele:

min min[ ; )iix x h
…

min min[ ( 1) ; )iix r h x rh

Probleme propuse:
2. Echipa națională de handbal feminin a României are în componență 18 jucătoare
având înălțimile 177 cm, 181 cm, 178 cm, 171 cm, 175 cm, 180 cm, 181 cm, 177 cm, 177 cm,
176 cm, 178 cm, 186 cm, 177 cm, 174 cm, 186 cm, 181 cm, 173 cm, 168 cm, greutatea: 73 kg,
73 kg, 71 kg, 70 kg, 73 kg, 70 kg, 71 kg, 70 kg, 71 kg, 70 kg, 64 kg, 78 kg, 72 kg, 69 kg, 78 kg,
72 kg, 65 kg, r espectiv 60 kg.
a) Construiți seria statistică în funcție de înălțime, specificând: populația, variabila și
tipul acesteia, datele statistice
b) Determinați frecvența relativă a seriei construite și frecvențele cumulate crescătoare,
respectiv descrescătoare
c) Se pot grupa aceste date statistice în intervale de variație? Dacă da, stabiliți numărul
intervalelor și mărimea acestora. Dacă nu, explicați de ce.
d) Construiți seria statistică în funcție de greutate, determinând frecvența relativă.
3. Conform Anuarului Statistic al României 2017, în învățământul profesional,
postliceal și de maiștri, în școlile postliceale în perioada 2014 -2017, situația elevilor înscriși la
câteva specializări arată astfel:
– profil Turism: – anul școlar 2014 -2015: înscriși 2728
– anul școla r 2015 -2016: înscriși 2794
– anul școlar 2016 -2017: înscriși 2570

24

– profil Servicii, – anul școlar 2014 -2015: înscriși 1744
– anul școlar 2015 -2016: înscriși 1655
– anul școlar 2016 -2017: înscriși 1719
– profil Informatică, – anul școlar 2014 -2015: înscriși 4029
– anul școlar 2015 -2016: înscriși 3777
– anul școlar 2016 -2017: înscriși 3771
– profil Sanitar, – anul școlar 2014 -2015: înscriși 69239
– anul școlar 2015 -2016: înscriși 63912
– anul școlar 2016 -2017: înscriși 60126
– profil Cultură, – anul școlar 2014 -2015: înscriși 184
– anul școlar 2015 -2016: înscriși 185
– anul școlar 2016 -2017: înscriși 130
a) Construiți seria statistică corespunzătoare datelor de mai sus.
b) Determin ați frecvența relativă pentru seria construită mai sus.
c) Determinați seriile marginale.
d) Cu cât la sută sunt mai mulți înscriși la Turism față de Servicii?
e) Cum a evoluat situația înscrișilor, în cei trei ani, per total și pentru fiecare profil în
parte?
4. Situația imigranților în România între anii 2011 -2016, este redată în tabelul de mai
jos. În care dintre cei 6 ani, diferența între ponderea imigranților de sex masculin și a celor de sex
feminin a fost cea mai mică? Dar cea mai mare?

II.2.2. Reprezentarea grafică a datelor statistice
După înregistrarea datelor statistice în serii statistice, pentru o interpretare cât mai
adecvată se folosește reprezentarea grafică a datelor statistice. Reprezentarea cu ajutorul unui

25
36.84%
26.32% 36.84% OIAA
aur
argint
bronz18.97%
34.48% 46.55% OIA
aur
argint
bronzgrafic a datelor statistice permite compararea variabilelor statistice și studierea schimbărilor la
care sunt supuse variabilele statistice.
Printre cele mai întâlnite reprezentări grafice ale datelor statistice sunt:
– Diagrama circulară
– Reprezentarea prin batoane orizontale sau ver ticale
– Grafic liniar pe porțiuni
– Histograma
– Poligonul frecvențelor
Diagrama circulară se folosește, de obicei, pentru a reprezenta variabile calitative,
nominale. Datele sunt reprezentate ca sectoare de cerc proporționale cu frecvențele
corespunzătoare va riabilelor. Pentru fiecare sector de cerc se menționează variabila și frecvența
relativă în procente.
Ex.10. Rezultatele obținute de echipele României la Olimpiada Internațională de
astronomie în cele 15 ediții la care a participat, și rezultatele obținu te la Olimpiada Internațională
de Astronomie și Astrofizică, în cele 11 ediții desfășurate .
Medalii
OIA Număr
medalii
aur 11 18.97%
argint 20 34.48%
bronz 27 46.55%
Total 58 100.00%

La reprezentarea prin batoane verticale, reprezentarea se face într -un sistem ortogonal
de axe, pe axa Ox fiind reprezentate variabilele, iar pe axa Oy, frecvențele corespunzătoare, pe
când la reprezentarea prin batoane orizontale, pe axa Ox sunt reprezentate frecvențele, iar pe
axa Oy, variabile le. Reprezentarea grafică prin batoane este cea mai bună reprezentare pentru a Medalii
OIAA Număr
medalii
aur 21 36.84%
argint 15 26.32%
bronz 21 36.84%
Total 57 100.00%
Figură 13: Medalii obținute la Olimpiadele Internaționale de
Astronomie (OIA) și de Astronomie și Astrofizică (OIAA)

26
compara două serii statistice, fiind folosită atât pentru variabile calitative cât și pentru variabile
cantitative.
Ex.11. Medaliile obținute la Olimpiada Internațională de Astronomie (OIA) comparativ
cu medaliile obținute la Olimpiada Internațională de Astronomie și Astrofizică (OIAA) de către
echipele României participante la aceste olimpiade (15 ediții OIA, respectiv 11 ed iții OIAA).
Medalii OIA OIAA
aur 11 18.97% 21 36.84%
argint 20 34.48% 15 26.32%
bronz 27 46.55% 21 36.84%
Total 58 100% 57 100.00%

De asemenea, când suma frecvențelor relative depășește 100% sau când e mai mică ca
100% e indicată folosirea reprezentării prin batoane.
Ex.12. Suma frecvențelor relative depășește 100% :
Situația elevilor înscriși la probele scrise ale examenului de bacalaureat 2018, proba Ea)
Limba și literatura română și proba Ec) obligatorie a profilului. Diferența până la 10 0% se
datorează faptului că cele 4 mulțimi de candidați nu sunt disjuncte. Situația celor 173 de
candidați se prezintă astfel:
Proba Număr candidați
Limba și literatura română, real 88 50.87% 11 20 27
21 15 21
0 5 10 15 20 25 30aurargintbronz
OIAA
OIA

27
42.86%
10.71% 17.86%
3.57% 3.57% 7.14%
0.00%5.00%10.00%15.00%20.00%25.00%30.00%35.00%40.00%45.00%50.00%
ReligiaLimba și literatura română, uman 85 49.13%
Matematică 114 65.90%
Istorie 59 34.10%
Total 173 200.00%

Ex.13. Suma frecvențelor relative este mai mică de 100% :
Distribuția în funcție de religie a 28 de elevi dintr -o clasa de a 12 -a (diferența până la
100% se datorează unei variabile lipsă, cei care nu au dorit sa -i declare religia):

50.87% 49.13% 65.90%
34.10%
0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%70.00%
Limba și
literatura
română, real Limba și
literatura
română,
uman Matematică IstorieProba
Religia Nr.
elevi
Ortodox 12 42.86%
Catolic 3 10.71%
Greco
Catolic 5 17.86%
Reformat 1 3.57%
Baptist 1 3.57%
Alte culte 2 7.14%
Total 28 85.71%

28
050000100000150000200000250000300000350000400000450000500000
Turiști români
Turiști străini
14
10 9 10
5
2
051015
1200 2000 4000 4500 5000 7000F
r
e
c
v
e
n
ța

Număr de pași Ex.14. Reprezentând seria statistică de la ex.7. , sosiri ale turiștilor în 14 județe ale țării,
se obține:
Graficul liniar pe porțiuni este format din segmente de dreaptă ce se obțin
prin unirea valorilor frecvențelor corespunzătoare a două variabile diferite, consecutive. Se
reprezintă într -un sistem de axe ortogon ale, axei Ox corespunzându -i variabilele statistice, iar pe
axa Oy se reprezintă frecvențele corespunzătoare.
Ex.15. La un sondaj, 50 de persoane au fost întrebate câți pași fac într -o oră.
Răspunsurile primite sunt reprezentate mai jos:
Nr. pași Nr.
persoane
1200 14
2000 10
4000 9
4500 10
5000 5
7000 2
50

Pentru reprezentarea datelor statistice grupate în clase de valori se folosește histograma .
Histograma e tot o reprezentare prin batoane (dreptunghiuri), acestea fiind lipite între ele, pe axa
Oy sunt reprezintă valorile absolute, în timp ce pe axa orizontală marginile claselor de valori.

29
Lățimile dreptunghiurilor sunt proporționale cu mărimea claselor, lungimile fiind date de
frecvența valorii mediane a intervalului:
1
2iixx
, clasa fiind
1 [ , )iixx
.
Ex.16. Comerțul internațional de bunuri, exprimat în milioane de euro, în anul 2011, cu o
parte din țările europene poate fi reprezentat cu ajutorul histogramei astfel:

sau, folosind valorile medii pentru fiecare clasă:

Poligonul frecvențelor este tot un grafic liniar prin segmente, aplicat de data asta
variabilelor de tip continuu. Pentru a trasa poligonul frecvențelor se determină mai întâi valorile
medii ale fiecărei clase de valori, și apoi se construiește graficul liniar prin segmente, folosind
valorile găsite.
Ex.17. Pentru situația exporturilor în 2011, poligonul frecvențelor arată astfel: 05101520
250.5 750.5 1250.5 1750.5 2250.5 2750.5 3250.5 MoreFrecvența
Export (milioane euro) Histograma exporturi bunuri 05101520Frecvența
Export (milioane euro) Histograma -exporturi

30

Reprezentarea grafică a seriei statistice în funcție de frecvențele cumulate se numește
ogivă . Ogiva este tot un grafic liniar prin segmente, pe axa Oy fiind reprezentate frecvențele
cumulate crescătoare sau descrescătoare.
Ex.18. Ogiva seriei statistice de la ex.15. , în funcție de frecvența cumulată absolută
crescătoare:
Nr. pași Nr.
persoane Ni
1200 14 14
2000 10 24
4000 9 33
4500 10 43
5000 5 48
7000 2 50

Probleme propuse :
5. În graficul de mai jos sunt reprezentate datele statistice, în funcție de frecvențele
relative, obținute în urma unui sondaj aplicat pe 50 de persoane privind cantitatea de apă
consumată într -o zi.
a) Determinați cantitatea de apă, în ml, consumată de fiecare din cei 50 de respondenți.
b) Ce procent, din cei 50 de respondenți, consumă mai mult de 1000 ml de apă într -o zi?
c) Câți respondenți consumă mai puțin de 800 ml de apă într -o zi? 05101520
250.5 750.5 1250.5 1750.5 2250.5 2750.5 3250.5 MoreFrecvența
Export (milioane euro) Histograma și poligonul
frecvențelor -exporturi
0102030405060
1200 2000 4000 4500 5000 7000Frecvența cumulată
crescătoare
Numar pași

31
00.050.10.150.20.25
400 500 750 800 1000 1250 1500 1750 2000f
r
c
v
e
n
ț
a
r
e
l
a
t
i
v
ă
Cantitate apă

6. Temperaturile medii lunare (în oC), înregistrate în luna ianuarie 2016 în 18 orașe ale
țării sunt: -2,1; -3,1; -0,6; -2,8; -2,8; -2,8; -2,5; -0,3; -1,9; -3,0; -12,6; -2,2; -2,7; -1,9; -2,0; –
3,4; -2,5; 0,2. Să se construiască histograma acestor date, folosind frecvențele relative. În
stabilirea claselor nu o să se ia în considerare temperatura de -12,6oC. Care este procentul
orașelor cu o temperatură mai mică decât -2,0oC?
7. Conform Anuarului Statistic al României 2017, situația ariilor protejate din România
în anul 2016 este reprezenta tă în tabelul:

a) Reprezentați grafic, folosind reprezentarea prin batoane, situația ariilor protejate în
funcție de numărul lor și apoi în funcție de suprafața lor.
b) Ce procent din suprafața totală a ariilor protejate îl reprezintă parcurile naturale?
8. Reprezentați grafic seria statistică, în funcție de înălțime, construită la exercițiul 2.

32
9. Construiți poligonul frecvențelor pentru seria statistică dată de:
Număr cărți citite
într-un an frecvența
0 6
1 10
2 4
4 4
5 3
7 2
10 1

10. Construiți diagrama circulară pentru seria statistică dată de:
Culoarea ochilor frecvența
căprui 15
verzi 3
albaștrii 5
negrii 3

11. Măsurând diametrul a 26 cratere lunare s -au obținut următoarele valori, în km: 14,5;
11,6; 13,8; 11,1; 11,6; 11,9; 15,4; 18,3; 17,5; 18,3; 14,7; 17,5; 18; 13,2; 11,3; 12,4; 18; 14,8;
13,8; 13; 20,8; 19,3; 10,9; 12,7; 10,1; 12,5.
a) Construiți histograma d atelor de mai sus.
b) Analizând datele se poate explica forma histogramei?
12. Notele la limba și literatura română și matematică ale unui elev sunt reprezentate în
graficul de mai jos:

a) Cum s -ar putea explica forma graficului notelor de la matematică? Dar a notelor de la
limba și literatura română?
b) Ce procent din totalul notelor obținute la matematică sunt mai mici decât 8? 00.751.52.253
5 6 7 8 9 10Nota matematică
Nota română

33
c) Ce procent din totalul notelor obținute la limba și literatura română sunt mai mari decât
7?
II.2.3. Indicatori statistici
După înregistrarea și reprezentarea datelor statistice, pentru o mai bună interpretare a lor
se folosesc indicatorii statistici .
Conform Anuarului Statistic al României ‖ Indicatorul statistic este expresia numerică a
unor fenomene, procese, activități sau categorii economice sau sociale, manifestate în timp,
spațiu și structuri ‖7.
Indicatorii statistici permit caracterizarea sintetică a unei serii statistice fără a ține cont de
fiecare caracteristică. În statistica inferențială se folosesc, cu precădere, două mari categorii de
indicatori statistici: – indicatorii tendinței centrale
– indicatorii de variație.
Pentru o serie cantitativă, cei mai folosiți indicatori ai tendinței centrale sunt: media ,
mediana și modul (modala ).
Media unei serii statistice este media aritmetică a caracteristicilor seriei. Dacă media se
calculează pentru un eșantion reprezentativ, vom avea:
1n
i
ix
xn
, iar dacă media se raportează
la întreaga populației statistică
1n
i
ix
N
. Media indică locul unde datele au tendința de a se
aglomera.
Pentru o serie statistică reprezentată prin clase statistice, calculul mediei se face pentru
valorile medii ale fiecărui interval ce definește clasa, astfel:
– valoarea medie a clasei
1 [ , )iixx
se calculează ca fiind
1
2iixx

– media seriei va fi
1
1()
2n
ii
ixx
xn
.
Dacă datele statistice sunt grupate în funcție de frecvențe, pentru calculul mediei se va folosi
media aritmetică ponderată:
11
1nn
i i i i
ii
n
i
ix n x n
xnn
.

7 Anuarul Statistic al României 2017, pag. IX

34
Ex.19. Se consideră seria
47 49 50 55 61 70
2 5 3 2 2 4X
, unde caracteristicile
reprezintă masa (în kg) celor 18 elevi ai unei clase a VIII -a. Să se determine masa medie a clasei:
47 2 49 5 50 3 55 2 61 2 70 4 100155,612 5 3 2 2 4 18x kg

Deci masa medie a clasei este de 55,61 kg.
Ex.20. În 2016, conform Anuarului Statistic al României 2017, transportul rutier de
mărfuri pe capacități de transport este sistematizat astfel:
Tipul de
autovehicul
(tone) Cantitatea
transportată
(mii tone)
3.5-7.5 4457
7.6-12.0 90288
12.1-17.0 46590

Capacitatea medie a autovehiculelor se va determina astfel:
– valorile medii ale claselor:
[3,5;7,5] 5,5
[7,6;12,0] 9,8
[12,1;17,0] 14,55t
t
t

– capacitatea medie de transport este dată de:
5,5 4457 9,8 90288 14,55 4659011,234457 90288 46590xt
.
Obs. 1. Media păstrează unitatea de măsură a caracteristicilor.
2. Media este cuprinsă în intervalul de variație:
min maxx x x
, unde
minx este cea
mai mică valoare a caracteristicilor, iar
maxx este cea mai mare valoare a șirului caracteristicilor.
3. Dacă în șirul caracteristicilor nu există caracteristică negativă sau nulă, și există
diferențe mari între oricare două caracteristici consecutive, pentru calculul mediei se poate folosi
și media geome trică (media geometrică ponderată):
1n
ngi
ixx
, respectiv
11
11n
ii i
inn
nn nng i i
iix x x
.

35
4. Dacă, într -o serie, predomină valorile mari ale caracteristicilor, pentru calculul
mediei, se poate folosi media pătratică (media pătratică ponderată):
2
1n
i
i
px
xn
, respectiv
22
11
1.nn
i i i i
ii
p n
i
ix n x n
xnn

Mediana unei serii statistice este caracteristica ce împarte șirul caracteristicilor în două
șiruri de lungimi egale. Pentru o serie cu un număr impar de caracteristici ordonate, mediana este
caracteristica din mijlocul seriei:
1
2n Me x
. Pentru o serie cu un număr par de caracteristici,
mediana este media aritmetică a celor două caracteristici centrale. De exemplu, pentru un șir cu
50 de caracteristici, locul medianei în șir se va stabili astfel:
50 125,52
, ceea ce înseamnă că
mediana se află între a 25 -a și a 26 -a caracteristică.
Ex.21. Pentru șirul caracteristicilor reprezentând masele elevilor dintr -o clasă de a VIII -a:
47 kg, 47 kg, 49 kg, 49 kg, 49 kg, 49 kg, 49 kg, 50 kg, 50 kg, 50 kg, 55 kg, 55 kg, 61 kg, 61 kg,
70 kg, 70 kg, 70 kg, 70 kg, locul medianei în șir este dată de
18 19,52
, adică mediana se află
între a 9 -a și a 10 -a caracteristică:
50 50502Me
.
Pentru o serie statistică în care datele sunt înregistrate în funcție de frecvențe, pentru a
determina mediana se urmăresc etapele:
– găsirea locului medianei în cadrul seriei:
1
2n
, unde
1n
i
inn

– calculul frecvențelor cumulate crescătoare, determinându -se acea frecvență care este imediat
mai mare sau egală cu locul medianei
– mediana este caracteristica corespunzătoare frecvenței cumulate crescător găsită în etapa
anterioară.
Ex.22. La un sondaj, 50 de persoane au fost întrebate câți pași fac într -o oră.
Răspunsurile primite sunt reprezentate în t abelul de mai jos.
Nr. pași Nr. persoane Ni
1200 14 14
2000 10 24

36
4000 9 33
4500 10 43
5000 5 48
7000 2 50

În medie respondenții fac un număr de 3136 pași/oră, iar mediana seriei, aflată între a 25 –
a și a 26 -a caracteristică va fi caracteristica corespunzătoare frecvenței cumulate crescător 33. În
concluzie
4000 Me
de pași iar
3136x
de pași.
Pentru o serie a cărei date sunt grupate în clase statistice, pentru a determina mediana se
urmează aceeași pași ca mai sus:
– se determină locul medianei în șirul caracteristicilor
– se calculează frecvențelor cumulate cr escătoare, determinându -se acea frecvență care
este imediat mai mare sau egală cu locul medianei
– intervalul corespunzător frecvenței cumulate găsită mai sus se numește interval median.
Pentru o serie statistică
1 2 2 3 1 1
12[ , ) [ , ) … [ , ) … [ , ]
… …i i n n
inx x x x x x x xXn n n n
, fie
1 [ , )iixx
intervalul median, de amplitudine h, având frecvența absolută ni, și frecvența absolută cumulată
crescătoare Ni. Mediana se determină după formula:
11
2i i i
inn x h N
Men
.
Ex.23. Pentru repartiția notelor la matematică la examenul de evaluare națională 2018,
clasa a VIII -a B, cu un efectiv total (volum) de 17 elevi, seria statistică este:
xi – notele
obținute ni-numărul de elevi având nota
în intervalul indicat Ni
[5;6) 2 2
[6;7) 7 9
[7;8) 5 14
[8;9] 3 17

iar mediana se va calcula astfel: intervalul median este
[6;7) , h=1, ni=7, Ni-1=2

7 6 1 (9 2)77Me
.
Grafic, mediana este abscisa punctului de intersecție a celor două ogive (crescătoare și
descrescătoare).
Modul (modala sau dominanta) unei serii statistice este caracteristica cu cea mai mare
frecvență. Depinde de modul de grupare a datelor statistice. D acă, într -o serie statistică, toate

37
caracteristicile au aceeași frecvență, seria statistică nu are mod. Dacă două caracteristici au
frecvențele egale, și maxime ca valoare, seria statistică este bimodală. În cazul în care trei sau
mai multe caracteristici au frecvența maximă, seria este multimodală.
Pentru a determina modul unei serii statistice reprezentată prin clase de variație se
procedează astfel: – se determină intervalul modal (cu cea mai mare frecvență):
1 [ , )iixx
cu
frecvența relativă ni
– se calculează diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența
intervalului precedent:
11 iinn

– se calculează diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența
intervalului următor:
21 iinn

– modul va fi dat de
1
1
12( ) .i i i Mo x x x

Ex.24. Revenind la seria statistică a numărului de pași făcut de 50 de persoane în decurs
de o oră:
Nr. pași Nr. persoane Ni
1200 14 14
2000 10 24
4000 9 33
4500 10 43
5000 5 48
7000 2 50

Frecvența maximă este n1=14, de unde se deduce ușor modul ca fiind Mo=1200 pași.
Ex.25. Pentru seria statistică ce prezintă repartiția notelor la matematică la examenul de
evaluare națională 2018, clasa a VIII -a B, cu un efectiv total (volum) de 17 elevi:
xi-notele
obținute ni-numărul de elevi având nota
în intervalul indicat Ni
[5;6) 2 2
[6;7) 7 9
[7;8) 5 14
[8;9] 3 17

Frecvența maximă este n2=7, clasa modală fiind
[6;7) . În acest caz modul seriei va fi:
726 (7 6) 6,717 2 7 5Mo
.

38
Datele unei serii statistice pot fi grupate în jurul mediei sau pot fi dispersate. De aceea e
necesară studierea gradului de împrăștiere a datelor statistice prin indicatorii de variație.
Indicatorul de variație cel mai ușor de calculat este amplitudinea absolută seriei statistice:
diferența între cea mai mare și cea mai mică valoare a caracteristicii
max min A x x
. (În cazul
amplitudinii relative
max min(%) 100xxA
x
). Oferă informații despre intervalul maxim în care
datele seriei statistice iau valori. O amplitudine mare poate însemna date împrăștiate sau un
număr foarte mare de valori.
Abaterea de la medie determină variația fiecărei valori a caracteristicilor de la medie.
Prezintă interes abaterea de la medie maximă pozi tivă, precum și abaterea de la medie minimă,
negativă, oferind date despre gradul de împrăștiere a fiecărei caracteristici de la valoarea medie.
Poate fi calculată atât pentru valori absolute:
ixx
cât și pentru valori relative
100ixx
x
.
Suma abaterilor de la medie este nulă:
1( ) 0.n
i
ixx

Abaterea medie liniară arată cu cât se abate, în medie, fiecare caracteristică de la medie.
Se calculează ca medie aritmetică a valorilor abaterii de la medie, în valoare absolută. Păstrează
unitatea de măsură a caracteristicii, acordând aceeași importanță tuturor abaterilor ind ividuale
(abaterile mari influențând în mai mare măsură gradul de variație al caracteristicii). Pentru serii
statistice reprezentate prin frecvențele absolute, abaterea medie liniară va fi:
1
1n
ii
i
n
i
ix x n
d
n
,
iar pentru frecvențe relative abaterea medie liniară este:
1
100n
ii
ix x f
d
.
Pentru a evita suma nulă a abaterilor de la medie, ca indicator de împrăștiere a datelor
statistice în funcție de medie se folosește dispersia . Dispersia se calculează ca medie aritmetică a
pătratelor abater ilor de la medie.
Dacă studiul statistic este realizat pe un eșantion reprezentativ, dispersia va fi dată de:
22
11()1n
i
is x xn

Dacă referirea se face la întreaga populație, dispersia va fi:

39

2
11()n
i
ixN

O valoare mare a dispersiei înseamnă o împrăștiere mare a datelor din serie. Nu se poate folosi
pentru a compara două seturi de date, având unitatea de măsură a caracteristicilor ridicată la
pătrat, însă permite compararea în cadrul aceluiași set de date f olosind abaterea medie
pătratică (abaterea standard ).
Abaterea medie pătratică se calculează ca fiind radicalul de ordin 2 din dispersie. Pentru
o serie statistică pe un eșantion reprezentativ, abaterea medie pătratică va fi:
2ss
,
iar pentru întreaga populație abaterea standard va fi dată de:
2
.
De remarcat că, atât dispersia cât și abaterea medie pătratică sunt valori pozitive.
Abaterea standard păstrează unitatea de măsură a caracteristicilor, având o valoare comparabilă
cu abaterile individuale de la medie. Dacă abaterea standard este nulă, toate datele statistice au
aceeași valoare. La o abatere standard mare datele din serie sunt foarte împrăștiate. Pentru orice
serie de date statistice are loc teore ma Cebîșev:
Teorema Cebîșev: Pentru orice set de date, în intervalul
; x ks x ks
, unde
0k
,
sunt cuprinse cel puțin
211k
date statistice.
Asta înseamnă că: – cel puțin 75% din date sunt cuprinse în intervalul
2 ; 2x s x s

– cel puțin 89% din date sunt cuprinse în intervalul
3 ; 3x s x s

– cel puțin 95% din date se află în intervalul
4,5 ; 4,5x s x s

Pentru o distribuție normală (sub formă de clopot) a datelor statistice, o regulă empirică
spune că: – aproximativ 68% din date sunt cuprinse în intervalul
;x s x s

– aproximativ 95% din date sunt cuprinse în intervalul
2 ; 2x s x s

– aproximativ 99,7% din date sunt cuprinse în intervalul
3 ; 3x s x s

Omogenitatea seriei se determină cu ajutorul coeficientului de variație :
100sv
x
sau
100dv
x
.

40
Dacă v=0 seria este perfect omogenă, datele statistice având toate aceeași valoare. Dacă
35%v

seria este omogenă iar dacă
70%v
seria este eterogenă iar media nu este reprezentativă.
Ex.26. Pentru studiul statistic privind numărul de pași realizat de 50 de persoane în
decurs de o oră, după determinarea mediei, medianei (vezi ex.22. ) și a modului (vezi ex.24. )
studiul statistic se continuă cu determinarea indicatorilor de împrăștiere:
3136x
pași
4000 Me
pași
Mo=1200 pași
– abaterea medie liniară :
1936 14 1136 10 864 9 1364 10 1864 5 3864 21538,5650d

– dispersia :
6
2
22 1()
2815004,1 (pasi/or ă)50 1ii
ix x n
s

– abaterea medie pătratică :
21677,797 ss
pași/oră
– coeficientul de variație :
1677,797100 53,50%3136v
, deci seria nu este foarte
omogenă, existând variații destul de mari.
Probleme propuse:
13. Demonstrați că suma abaterilor de la medie pentru o serie statistică este egală cu 0.
14. Arătați că dispersia se poate calcula și ca:
2
22
1111
1nn
ii
iis x xnn
.
15. La examenul de bacalaureat notele celor 270 de candidați respectă o distribuție
normală, cu o medie de 7,2 și o abatere medie pătratică de 0,8. Determinați cu aproximație,
numărul notelor cuprinse între 6,4 și 8,0, precum și cele cuprinse între 5,6 și 8,8.
16. Să se calculeze media, mediana, modul și abaterea medie patratică pentru seriile
statistice definite la exerciț iile 2; 5 și 11.
17. Pe perioada iernii, în medie, într -o gospodărie se adună 5,5 ouă/zi. Având în vedere
că în majoritatea zilelor se strâng între 0 și 3 ouă iar doar în câteva zile se strâng peste 10 ouă, să
se determine un interval optim care să conțină 75% din producția de ouă. Abaterea medie
pătratrică este de 2,5. Nr.
pași ni
ixx

1200 14 -1936
2000 10 -1136
4000 9 864
4500 10 1364
5000 5 1864
7000 2 3864

41
18. La o cofetărie cantitatea de zahăr, în grame, folosită la 15 categorii de prăjituri
variază astfel: 172 g, 140 g, 123 g, 130 g, 115 g, 148 g, 108 g, 129 g, 137 g, 161 g, 123 g, 152g,
133 g, 128 g, 142 g.
a) Calculați abaterea medie standard pentru datele de mai sus.
b) Reprezentați grafic datele obținute.
c) Determinați mediana și modulul seriei.
d) Determinați intervalul optim în care să se regăsească peste 75% din cantitățile de zahăr
utilizate .
19. Pentru a determina calitatea apei pentru consum, compania de apă a prelevat 100 de
probe pentru analiză. Cantitatea de impurități în mg/l găsită în cele 100 de probe este dată de
seria:
0 / 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 8 /
71 16 6 2 1 2 1 1mg l mg l mg l mg l mg l mg l mg l mg lX

a) Calculați media, mediana, modul și aba terea standard a seriei.
b) Ce procent din cantitatea totală de impurități găsită se află la o abatere standard de 2
față de medie?
20. Abaterea medie pătratică se poate aproxima empiricca fiind o pătrime din
amplitudinea seriei. Să se determine empiric, abate rea medie pătratică pentru datele de la
exercițiile 18 și 19, comparându -se rezultatele cu abaterea standard calculată analitic.
21. Analizând cele două grafice de mai jos, răspundeți la întrebările:

a) Seriile statistice prezentate în cele două grafice au aceeași mediană? Argumentați
răspunsul.
b) Abaterea standard pentru primul grafic este mai mică sau mai mare decât abaterea
standard a datelor din al doilea grafic? Argumentați răspunsul. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

42
22. Eliminând valoarea extremă a temperaturii de -12,6oC, determinaț i media, mediana și
modul seriei date la exercițiul 6. Aproximați empiric abaterea standard și apoi calculați -o
analitic, comparând cele două rezultate obținute. Ce abatere standard are temperatura de -2,7oC?
Calculați media, mediana și modulul seriei țin ând cont de toate temperaturile date. Comparați cu
rezultatele obținute mai sus. Ce concluzii se pot desprinde?
23. Vârsta medie a populației din România în anul 2016 a fost de 40,9 ani, iar in 2017 a
fost de 41,2 ani. Găsiți două motive pentru care vârsta med ie a crescut. Argumentați.
24. La Campionatul Mondial de Natație 2017, la proba de ștafetă 4x100m liber, echipa
Statelor Unite a obținut un timp mediu de 49,9s, cu o abatere medie pătratică de 1,5s, echipa
Canadei a obținut un timp mediu de 50,9s, cu o abatere standard de 1,3s iar echipa Olandei a
scos timpul mediu de 50,5s cu o abatere standard de 1,2s. Unul dintre înnotătorii americani a
obținut un timp de 52,71s, pe când unul dintre înnotătorii canadieni a avut timpul de 48,68s iar
pentru Olanda, unul dintre înnotători a scos timpul de 52,33s.
a) Care este cel mai rapid înnotător raportat la echipa sa? Argumentați.
b) De ce înnotătorul american este considerat a fi mai bun decât înnotătorul canadian,
chiar dacă acesta din urmă are un timp mai bun?
25. Realizați un sondaj printre colegi, privind timpul petrecut pe rețelele de socializare ăn
decursul unei săptămâni, analizând răspunsurile obținute prin prisma indicatorilor statistici.
26. Conform Institutului Național de Statistică, în 2016 situația populației înscrise la
învățământ liceal a fost următoarea8:
Vârsta școlară Sex Ani Număr
persoane
14 ani Masculin Anul 2016 13534
14 ani Feminin Anul 2016 17339
15 ani Masculin Anul 2016 59876
15 ani Feminin Anul 2016 68475
16 ani Masculin Anul 2016 66468
16 ani Feminin Anul 2016 75032
17 ani Masculin Anul 2016 69164
17 ani Feminin Anul 2016 75482
18 ani Masculin Anul 2016 56824
18 ani Feminin Anul 2016 57994
19 ani Masculin Anul 2016 10417
19 ani Feminin Anul 2016 7721
20 ani Masculin Anul 2016 3046
20 ani Feminin Anul 2016 1800

8 Institutul Național de Statistică, România 1998 -2018, http://statistici.insse.ro/shop/

43
a) Conform datelor din tabel, în medie, cu cât este mai mare numărul fetelor decât
numărul băieților ce urmează învățământul liceal?
b) Cât de îndepărtați față de medie sunt elevii de 14 ani? Dar cei de 20 de ani?
c) Conform datelor statistice numărul elevilor de 18 ani este mai mic decât al elevilor de
17 ani. Găsiți trei motive care ar putea explica acest fenomen.
d) Comparați, reprezentând grafic, populația școlară masculină cu cea feminină. Ce
concluzii se pot deduce?
27. Genul de emisiuni difuzate la radiourile de pe teritoriul țării, după numărul de ore de
difuzare sunt9:
Genuri de emisiuni radio Număr o re
de difuzare
Actualităț i 35314
Sportive 4939
Sociale 3725
Publicistice 2627
Literare ș i artă 7086
Copii ș i tineret 2171
Educaț ie, știință și
învățămâ nt 8671
Teatru 4327
Varietăț i 3176
Muzicale 53616
Publicitate 2472
a) Reprezentați grafic datele din tabel.
b) Care este media orelor de difuzare a tipurilor de emisiuni?
c) Care este ponderea emisiunilor literare și de artă, din totalul emisiunilor difuzate? Dar
a celor dedicate educației, științei și învățământului?
d) Exceptând emisiunile muzicale și de actualități, în cadrul căror genuri de emisiuni
publicit atea are ponderea mai mare? Dar mai mică?

9 Institutul Național de Statistică, România 1998 -2018, http://statistici.insse.ro/shop/

44
II.3. Serii cronologice (de timp)

Pentru studierea fenomenelor cu evoluție în timp se folosesc seriile de timp . Seria de
timp se poate reprezenta sub forma a două șiruri de date: un șir fiind format din valorile
variabilei timp, iar celălalt șir din valorile variabilei înregistrate pentru o anumită perioadă de
timp:
i
ttXy
.
Particularitățile se riei de timp sunt: – variabilitatea, acestea modificându -se în timp
– omogenitatea, seriile de timp conținând date ce au
aceeași unitate de referință, rezultate din fenomene de același gen.
Dacă se urmărește dezvoltarea fenomenului într -o succesiune de m omente, seriile
cronologice se numesc serii de momente . Dezavantajul unei astfel de serii este faptul că, prin
însumarea datelor unei astfel de serii, rezultatul obținut nu are nici o semnificație (dezvoltarea
fenomenului studiat, într -un anumit moment imp lică toate datele anterioare acelui moment).
Ex.27. Evidența populației în România, în ultimii 5 ani, în luna august
Seriile de intervale (diferențiale) , spre deosebire de seriile de momente, urmăresc
evoluția fenomenelor pe anumite perioade de timp (zile , luni, ani etc.). Datorită aceste
particularități, datele seriei de intervale pot fi însumate astfel încât studiul permite stabilirea
rezultatelor pe intervale mari de timp. De exemplu dacă se însumează datele zilnice din decursul
unei luni, se obține o s erie cu date lunare.
Ex.28. Evoluția petelor solare în ultimii 5 ani.
Analiza seriilor de timp trebuie să țină cont de analiza factorilor ce influențează evoluția
fenomenului, cei mai importanți fiind:
– factorii esențiali ce imprimă o tendință generală seriei cronologice, cu acțiune de lungă
durată
– factorii sezonieri a căror acțiune este pe perioade scurte, ducând la modificări sezoniere
ale seriei
– factorii ciclici imprimă oscilații în jurul tendinței generale, ducând la periodicitatea
seriei
– factorii întâmplători au ca rezultat variații accidentale ce se pot compensa la un număr
mare de perioade de timp și a căror acțiune poate fi estimată cu metode specifice.
Seriile cronologice sunt bine descrise de două modele:

45
– modelul aditiv, dacă seria prezintă oscilații de amplitudine egală și constantă față de
trend. În acest caz seria va fi determinată de suma factorilor ce influențează evoluția
fenomenului:
yt = trend+sezonier+ciclic+rezidual
– modelul multiplicativ, dacă se ria prezintă oscilații a căror amplitudine variază față de
trend, seria fiind determinată de produsul factorilor ce influențează evoluția fenomenului:
yt = trend x sezonier x ciclic x rezidual
Obiectivele analizei seriilor cronologice sunt:
– stabilirea p roprietăților statice ale seriei (medie, varianță, autocorelație)
– identificarea relațiilor care există pe termen lung între variabile
– modelarea seriei
– prognoza pe termen scurt, pe baza modelului identificat.
Primul pas în analiza seriei cronologice, la fel ca orice serie statistică, este reprezentarea
seriei într -un mod cât mai accesibil. De aceea e utilă reprezentarea grafică sub diverse forme.
II.3.1. Reprezentarea grafică a unei serii cronologice (de timp)
Printre cele mai întâlnite reprezentări gr afice ale unei serii cronologice este
reprezentarea prin coloane sau benzi. La reprezentarea prin coloane, pe axa Ox a unui sistem
cartezian de coordonate xOy, se reprezintă timpul, iar pe axa Oy, sunt reprezentați termenii
seriei; pentru reprezentarea prin benzi, timpul este reprezentat pe axa ordonatelor iar datele seriei
pe axa absciselor.
Ex.29. În decembrie 2017 s -au înregistrat următoarele date pentru pete solare10:

Data 6/
12 7/
12 10/
12 11/
12 12/
12 19/
12 20/
12 21/
12 22/
12 23/
12 24/
12 25/
12 26/
12 27/
12 31/
12
Număr
pete 13 11 11 12 13 11 16 19 25 26 29 24 16 13 13

10 SILSO data/image ( http://www.sidc.be/silso/datafiles#total ), Royal Ob servatory of Belgium, Brussels

46
05101520253035Număr pete solare, decembrie 2017
0 5 10 15 20 25 30 356/12/20177/12/201710/12/201711/12/201712/12/201719/12/201720/12/201721/12/201722/12/201723/12/201724/12/201725/12/201726/12/201727/12/201731/12/2017Număr pete solare, decembrie 2017

47
Din cel două reprezentări se poate observa o aglomerare de pete în două perioade ale
lunii decembrie, 10 -12 decembrie, respectiv 19 -27 decembrie 2017, perioade în care Pământul s –
a confruntat cu două furtuni solare.
Reprezentarea grafică specifică seriilor cronologice este cronograma (historiograma ).
Se trasează tot într -un sistem cartezian de axe, pe axa absciselor fiind reprezentat timpul, iar
termenii seriei sunt uniți prin segmente de dreaptă.
Ex.30. Evoluția nu mărului petelor solare în luna ianuarie 2018 este dată în graficele de
mai jos (primul grafic prezintă situația pentru toate zilele lunii ianuarie, pe când al doilea grafic
reflectă situația petelor doar în zilele în care a fost înregistrat un număr nenul de pete solare)
Data 4/I 5/I 6/I 7/I 8/I 9/I 10/I 11/I 14/I 15/I 16/I 17/I 18/I 19/I 30/I 31/I
Număr
pete 13 11 11 12 13 16 20 12 12 13 15 16 12 12 11 12

0510152025
1/1/2018
2/1/2018
3/1/2018
4/1/2018
5/1/2018
6/1/2018
7/1/2018
8/1/2018
9/1/2018
10/1/2018
11/1/2018
12/1/2018
13/1/2018
14/1/2018
15/1/2018
16/1/2018
17/1/2018
18/1/2018
19/1/2018
20/1/2018
21/1/2018
22/1/2018
23/1/2018
24/1/2018
25/1/2018
26/1/2018
27/1/2018
28/1/2018
29/1/2018
30/1/2018
31/1/2018Număr pete Pete solare ianuarie 2018

48
II.3.2. Indicatori statistici pentru serii cronologice (de timp)
Indicatorii ce descriu o serie de timp sunt împărțiți în trei mai categorii:
i) Indicatori absoluți
ii) Indicatori relativi
iii) Indicatori medii.
i) Indicatorii absoluți:
a) Primul indicator absolut îl reprezintă indicatorul de nivel .
Indicatorii de nivel,
ty , sunt chiar termenii seriei, redând nivelul fenomenului la un
moment dat t, sau într -un interval de timp (în acest caz obținându -se prin însumare).
Ex.31. pentru seria ce reprezintă evoluția petelor solare în decembrie 2017, indicatorii de
nivel sunt: {13 , 11, 11, 12, 13, 11, 16, 19, 25, 26, 29, 24, 16, 13, 13}.
b) Modificarea absolută (sporul absolut) compară evoluția fenomenului în două
perioade de timp calculându -se ca diferența între doi termeni ai seriei.
Dacă toți termenii sunt comparați cu un acelaș i termen fixat, de obicei primul, modificarea
absolută va fi modificare absolută cu bază fixă:
/1 1 , 1,tt y y t n

Dacă fiecare termen este comparat cu predecesorul său, modificarea absolută va fi modificare
absolută cu bază mobilă:
/ 1 1 , 2, .t t t t y y t n
0510152025Număr pete Pete solare ianuarie 2018

49
Proprietăți: 1.
/ 1 /1
2n
t t n
t

2.
/1 1/1 / 1 , 2,t t t t tn
.
Obs. Dacă modificările absolute iau valoarea zero se spune despre serie că are ‖creștere
zero‖, iar dacă modificările absolute iau valori negative, seria are ‖creștere negativă‖.
Ex.32. Pentru datele din ex.31. vom avea:
,10, 2, 2, 1,0, 2,3,6,12,13,16,21,3,0,0t

/1 2,0,1,1, 2,5,3,6,1,3, 5, 8, 3,0tt

ii) Indicatori relativi
a) Indicele de dinamică se folosește pentru compararea a doi termeni ai seriei, prin
raportarea unuia dintre termenii la celălalt.
Dacă toți termenii se raportează la un același termen, de obicei primul ter men al seriei, indicele
de dinamică se va numi indice de dinamică cu bază fixă :
/1
1t
tyIy
sau, ca procent,
%
/1
1100, 1, .t
tyI t ny

Dacă fiecare termen se raportează la termenul precedent, indicele de dinamică se numește indice
de dinami că cu bază mobilă :
/1
1t
tt
tyIy
sau, ca procent
%
/1
1100, 2,t
tt
tyI t ny
.
Proprietăți: 1.
/ 1 /1
2,m
t t m
tI I m n

2.
/1
/1
1/1, 2,t
tt
tII t nI

b) Ritmul de dinamică arată cu câte procente s -a modificat un termen față de alt termen.
Dacă raportarea se face la un același termen fixat, ritmul de dinamică se va numi ritm de
dinamică cu bază fixă :
1
/1
1100t
tyyRy
sau
%
/1 /1 100%, 2,ttR I t n

Dacă raportarea se face la termenul precedent, vom avea ritm de dinamică cu baza în l anț
(mobilă) :
1
/1
1100tt
tt
tyyRy
sau
%
/ 1 / 1 100%, 2,t t t tR I t n
.

50
Obs.
/ 1 / 0
1n
t t n
tRR
.
c) Valoarea absolută a unui procent de dinamică este raportul dintre modificarea
absolută și ritmul de dinamică. În funcție de termenul la care se face raportarea vom avea:
valoarea absolută a unui procent de dinamică cu baza fixă, ce exprimă câte unități, din
sporul înregistrat într -un an, revin la fiecare procent din ritmul sporului:
/1 1
/1 %
/1100t
t
tyA ctR

valoarea absolută a unui procent de dinamică cu baza mobilă (în lanț)
/ 1 1
/1 %
/1, 2,100t t t
tt
ttyA t nR
.
Ex.33. Pentru seria statistică reprezentând numărul de pete solare în luna decembrie
2017, neținând cont de zilele cu 0 pete solare, indicatorii absoluți și relativi sunt dați de:
Data Nr. pete
/1t

/1tt

%
/1tI
%
/1ttI

/1tR
/1ttR

/1tA
/1ttA

6/12/2017 13 0 – 100 – 0 – 0.13 –
7/12/2017 11 -2 -2 84.6 84.6 -15 -15 0.13 0.13
10/12/2017 11 -2 0 84.6 100 -15 0 0.13 0.11
11/12/2017 12 -1 1 92.3 109 -7.7 9.09 0.13 0.11
12/12/2017 13 0 1 100 108 0 8.33 0.13 0.12
19/12/2017 11 -2 -2 84.6 84.6 -15 -15 0.13 0.13
20/12/2017 16 3 5 123 145 23.1 45.5 0.13 0.11
21/12/2017 19 6 3 146 119 46.2 18.8 0.13 0.16
22/12/2017 25 12 6 192 132 92.3 31.6 0.13 0.19
23/12/2017 26 13 1 200 104 100 4 0.13 0.25
24/12/2017 29 16 3 223 112 123 11.5 0.13 0.26
25/12/2017 24 11 -5 185 82.8 84.6 -17 0.13 0.29
26/12/2017 16 3 -8 123 66.7 23.1 -33 0.13 0.24
27/12/2017 13 0 -3 100 81.3 0 -19 0.13 0.16
31/12/2017 13 0 0 100 100 0 0 0.13 0.13

Pentru seria statistică reprezentând variația petelor solare în luna decembrie 2017,
indicatorii absoluți și relativi vor fi, ținând cont de zilele cu 0 pete solare, luând y1=13.
Data Număr pete ( yi)
/1t

/1tt

/1tI
/1tR
/1tA
/1ttA

1/12/2017 0 -13 0 -1 0.13

51
2/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
3/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
4/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
5/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
6/12/2017 13 0 13 1 0 0.13 0
7/12/2017 11 -2 -2 0.85 -0.2 0.13 0.13
8/12/2017 0 -13 -11 0 -1 0.13 0.11
9/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
10/12/2017 11 -2 11 0.85 -0.2 0.13 0
11/12/2017 12 -1 1 0.92 -0.1 0.13 0.11
12/12/2017 13 0 1 1 0 0.13 0.12
13/12/2017 0 -13 -13 0 -1 0.13 0.13
14/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
15/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
16/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
17/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
18/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
19/12/2017 11 -2 11 0.85 -0.2 0.13 0
20/12/2017 16 3 5 1.23 0.23 0.13 0.11
21/12/2017 19 6 3 1.46 0.46 0.13 0.16
22/12/2017 25 12 6 1.92 0.92 0.13 0.19
23/12/2017 26 13 1 2 1 0.13 0.25
24/12/2017 29 16 3 2.23 1.23 0.13 0.26
25/12/2017 24 11 -5 1.85 0.85 0.13 0.29
26/12/2017 16 3 -8 1.23 0.23 0.13 0.24
27/12/2017 13 0 -3 1 0 0.13 0.16
28/12/2017 0 -13 -13 0 -1 0.13 0.13
29/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
30/12/2017 0 -13 0 0 -1 0.13 0
31/12/2017 13 0 13 1 0 0.13 0

Se poate observa că nu se pot calcula indicii de dinamică cu bază în lanț, precum și ritmul de
dinamică cu bază în lanț. Se poate constata, de asemenea, creșterea negativă din multe zile ale
lunii.
iii) Indicatorii medii
A) Nivelul mediu al serie de timp se determină pentru fiecare tip de serie astfel:
– pentru serie cronologică de intervale nivelul mediu va fi:
11n
t
tyyn

– pentru serie cronologică de momente, cu intervale neegale între momente, nivelul mediu se
calculează ca fiind o medie cronologică ponderată (fiind singurul indicator me diu al seriei)
astfel:

52
– fie
1, 1, 1i i ih t t i n
lungimea intervalelor de momente
–
1
1
1
1
1()1
2n
i i i
i
cr n
i
iy y h
y
h
media cronologică ponderată
Ex.34. Nivelul mediu al numărului de locuitori ai localității Blaj:
1 2 33,5 , 2 , 1h ani h ani h an

20914,03cry
locuitori

– pentru serie de momente la intervale egale, nivelul mediu este dat de media cronologică simplă:
1
1
22
2( 1)n
ni
i
cry y y
yn
.
B) Modificarea medie absolută este media aritmetică a modificărilor absolute cu baza
mobilă:
/1
21
11n
tt
tn yy
nn
.
C) Indicele mediu de dinamică arată de câte ori s -a modificat, în medie, nivelul
fenomenului studiat:
1 1/1
2 1n
nn ntt
tyIIy
.
În cazul în care, pentru aceeași serie statistică, există mai mulți indici medii de dinamică
(parțiali) ce caracterizează subdiviziuni succesive ale perioadei de timp, indicele mediu de
dinamică va fi:
1
1k
i i
ikn n
i
iII
, unde k-numărul indicilor medii parțiali, ni-numărul indicilor de
dinamică cu bază mobilă ce intră în calculul indicelui mediu parțial,
iI – indicele mediu parțial
D) Ritmul de dinamică arată cu câte procente s -a modificat, în medie, nivelul
fenomenului analizat, de la o perioadă la alta:
%100% ( 1) 100 R I I

Ex.35. Revenind la situația petelor solare din luna decembrie 2017, indicatorii medii
calculați vor fi:
8,13y
,
0
,
1I
,
0%R
, ceea ce înseamnă că, în medie, s -au observat
aproximativ 8 pete solare/zi, fără a înregistra, în medie, creșteri zilnice. Momentul înregistrării Număr locuitori
1 ian. 2011 20630
1 iulie 2014 21089
1 iulie 2016 20941
1 iulie 2017 20865

53
Ex.36. În ceea ce privește situația petelor din luna ianuarie 2018:
Data Număr pete ( yi)
/1t

/1tt

/1tI
/1tR
/1tA
/1ttA

1/1/2018 0 -13 0 -1 0.13
2/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
3/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
4/1/2018 13 0 13 1 0 0.13 0
5/1/2018 11 -2 -2 0.85 -0.2 0.13 0.13
6/1/2018 11 -2 0 0.85 -0.2 0.13 0.11
7/1/2018 12 -1 1 0.92 -0.1 0.13 0.11
8/1/2018 13 0 1 1 0 0.13 0.12
9/1/2018 16 3 3 1.23 0.23 0.13 0.13
10/1/2018 20 7 4 1.54 0.54 0.13 0.16
11/1/2018 12 -1 -8 0.92 -0.1 0.13 0.2
12/1/2018 0 -13 -12 0 -1 0.13 0.12
13/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
14/1/2018 12 -1 12 0.92 -0.1 0.13 0
15/1/2018 13 0 1 1 0 0.13 0.12
16/1/2018 15 2 2 1.15 0.15 0.13 0.13
17/1/2018 16 3 1 1.23 0.23 0.13 0.15
18/1/2018 12 -1 -4 0.92 -0.1 0.13 0.16
19/1/2018 12 -1 0 0.92 -0.1 0.13 0.12
20/1/2018 0 -13 -12 0 -1 0.13 0.12
21/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
22/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
23/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
24/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
25/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
26/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
27/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
28/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
29/1/2018 0 -13 0 0 -1 0.13 0
30/1/2018 11 -2 11 0.85 -0.2 0.13 0
31/1/2018 12 -1 1 0.92 -0.1 0.13 0.11

Am considerat y1=13 ( 4/1/2018) iar yn=12 (31/1/2018). Pe întreaga lună ianuarie se pot
constata doar patru zile cu creșteri ale numărului de pete solare, majoritatea zilelor înregistrând
creșteri negative. În medie s-au măsurat 6,8 pete solare/zi, (
6,8y
), având o creștere negativă
de -0,03 (
0,03
), cu o rată de -0,3% zilnic (
0,3% R
).

54
Ex.37. Analizând evoluția petelor solare în decursul anilor 2017 și 2016 se poate observa
o ciclicitate a graficelor, și o tendință de scădere a numărului de pete11:

Folosind mediile lunare se poate observa tendința de scădere a numărului de pete:

11 Toate datele legate de numărul petelor solare sunt preluate de la SILSO data/image ( http://www.sidc.be/silso/ ),
Royal Observatory of Belgium, Brussels 020406080100120Evoluție pete solare 2016
020406080100120140Evoluție pete solare 2017

55
Calculând indicatorii medii pentru cele două serii statistice se obține:
– pentru anul 2017, în medie, au fost observate 21,8 pete solare pe zi având o abatere standard de
21.4, cu o rată a creșterii de
0%
și un coeficient de variați e de 98.17%.
– pentru anul 2016, în medie, au fost observate 39,8 pete solare pe zi având o abatere standard de
24,7, cu o creștere negativă de
0,07%
pete/zi, având o rată de scădere de -0.33% zilnic,
cu un coeficient de variație de 6 2,06%.
Pentru un studiu cât mai complet al unei serii de timp, după reprezentarea grafică a
acesteia, se impune ajustarea datelor seriei.
II.3.3. Ajustarea seriei cronologice
Ajustarea seriilor de timp constă în aplicarea de metode specifice pentru a determina
tendința generală a fenomenului ( trendul ) și o prognoză a evoluției fenomenului studiat, prin
înlocuirea termenilor reali ai seriei cu valorile trendului.
Pentru o determinare optimă a trendului se folosesc două tipuri mari de metode:
– mecanice: metoda grafică, metoda mediilor mobile, metoda sporului mediu, metoda
indicelui mediu de dinamică.
– analitice: bazate pe modelare prin funcții și folosind metoda celor mai mici pătrate.
3.1. Metoda grafică de ajustare a unei serii cronologice e ste una dintre metodele
mecanice și constă în unirea, printr -o curbă/dreaptă trasată pe graficul seriei, a valorilor extreme
ale seriei, astfel încât valorile reale să aibă abateri minime de la curba trasată. Este o metodă
empirică ce ajută la determinarea intuitivă a trendului, ajutând la alegerea metodei optime de
determinare a tendinței generale a seriei cronologice. 0102030405060
123456789101112 123456789101112
2016 2017număr pete Evoluție pete solare 2016 -2017

56
3.2. Metoda mediilor eșalonate presupune gruparea valorilor consecutive câte două, trei
sau mai multe, pentru calculul mediei aritmetice a lor. Oricare două grupe diferite sunt disjuncte.
Dacă seria are n valori, mediile eșalonate se vor calcula conform exemplului de mai jos:

y1
y2
12
12yyy

y3
y4
34
22yyy

12
12yyy

… … …
yn-1
yn
1
/22nn
nyyy

( 1)/ 2 / 2
/42nn
nyyy

Dacă seria conține foarte multe valori se poate continua procedeul, pentru mediile
obținute, găsindu -se medii eșalonate de nivel superior.
3.3. Metoda mediilor mobile presupune calculul mediei aritmetice parțiale a p<n valori
consecutive ale seriei. Un termen al seriei poate apărea în mai multe grupe considerate. Dacă o
grupă este formată dintr -un număr par de termeni, numărul mediilor ajustate va fi mai mic cu p
termen i, astfel:
MP MCA
y1
1 2 3 4
14y y y yp

2345
24y y y yp

3 4 5 6
34y y y yp

4 5 6 7
44y y y yp

y2
y3
12
12ppy

y4
23
22ppy

y5
34
32ppy

y6 …
… … …
Ceea ce se poate observa e faptul că, mediile parțiale ( MP) calculate nu pot înlocui nici o
valoare inițială a seriei (sunt între termeni). De aceea e necesar calculul mediei ajustate ( MCA )
pentru centrarea valorilor, repetând procedeul anterior pentru mediile pa rțiale calculate.

57
Dacă grupele sunt formate din număr impar de temeni se vor obține n-(p-1) medii mobile
ajustate, astfel:
MP MCA
y1
y2
1 2 3
13y y yp

1 1yp

y3
234
23y y yp

2 2yp

y4
345
33y y yp

3 3yp

… … …

Ex.38. Curba trendului seriilor statistice reprezentând evoluția numărului de pete solare
în anii 2016 și 2017 este dat ă în graficele de mai jos. Având în vedere că datele înregistrate sunt
zilnice, am folosit, pentru a determina mediile mobile ajustate (MCA) grupe de câte 7 valori.
Pentru primele două grafice, pentru comparare am folosit și grupe de câte patru valori. Ten dința
obținută în cele trei grafice se apropie de valorile inițiale ale seriei. Pentru al treilea grafic, având
în vedere că sunt reprezentate datele zilnice din decursul a doi ani, am folosit pentru a determina
MCA, grupe de câte 30 de valori —MCA30 (cores punzător unei luni). Din curba obținută se
poate observa tendința generală de scădere a numărului de pete, deși în 2017, luna august a fost o
lună cu acti vitate solară destul de intensă.
0204060801001202016
2016 MCA4 MCA 7

58

3.4. Metoda sporului mediu (metoda modificării medii absolute ) presupune o legătură
între primul termen (sau un termen reprezentativ al seriei), modificarea medie absolută și un
termen oarecare al seriei. Matematic, această legătură este o progresie aritmetică de forma:
1( 1) , 1,iY y i i n
,
rația progresiei fiind modificarea medie absolută.
Valorile ajustate obținute sunt reprezentate sub forma unei drepte, eliminându -se
fluctuațiile întâmplătoare ale seriei.
Ex.39. Pentru seria reprezentând numărul de pete pentru anul 2016, dreapta obținută este
dată de gr aficul de mai jos, observându -se clar tendința de scădere. 0204060801001201402017
2017 MCA4 MCA7
0204060801001201402016 -2017
2016-2017 MCA7 MCA30

59

Ex.40. Pentru seria reprezentând numărul de pete pentru anul 2017, dreapta obținută este
dată de graficul de mai jos, observându -se o tendință de evoluție constantă.

Ex.41. Pentru seria ce reprezintă evoluția petelor solare în decursul anilor 2016 -2017,
dreapta obținută arată clar tendința de scădere a numărului de pete. 0501001502016
2016 Y
0501001502017
2017 Y
0501001502016 -2017
2016-2017 MCA30 Y

60
3.5. Metoda indicelui mediu de dinamică presupune o legătură între primul termen (sau
un termen repreze ntativ al seriei), indicele mediu de dinamică și un termen oarecare al seriei.
Matematic, această legătură este o progresie geometrică de forma:
1
1 , 1,i
iY y I i n
,
rația progresiei fiind indicele mediu de dinamică.
Valorile ajustate obținute su nt reprezentate sub forma unei curbe, eliminându -se
fluctuațiile întâmplătoare ale seriei.
Ex.42. Pentru seria ce reprezintă evoluția petelor solare în decursul anilor 2016, curba
obținută arată clar tendința de scădere a numărului de pete.
Valorile aju state folosind metoda sporului mediu și metoda indicelui mediu de dinamică,
pentru luna ianuarie a anului 2016 sunt prezentate în tabelul de mai jos, unde valoarea inițială
pentru fiecare din cele două metode a fost aleasă astfel încât erorile obținute să fie cât mai mici,
adică
2
1( ) min.n
ii
iyY
Graficele de mai sus s -au obținut extrapolând metodele folosite
pentru toată perioada studiată.
yi
1( 1)iY y i

1
1i
iY y I

2()iiyY
pentru
I
2()iiyY
pentru

37 55 65 784 324
40 54.93 64.78 614.26 222.87
51 54.86 64.57 184.13 14.88
70 54.79 64.36 31.86 231.46
35 54.72 64.14 849.24 388.68
31 54.64 63.93 1084.31 559.03
61 54.57 63.72 7.38 41.31 0204060801001202016
2016 YI

61
86 54.50 63.51 506.01 992.16
97 54.43 63.29 1136.05 1812.19
90 54.36 63.08 724.44 1270.29
47 54.29 62.88 252.03 53.11
40 54.22 62.67 513.78 202.11
38 54.15 62.46 598.23 260.67
41 54.07 62.25 451.63 170.93
45 54.00 62.05 290.53 81.05
44 53.93 61.84 318.24 98.63
58 53.86 61.63 13.21 17.14
54 53.79 61.43 55.20 0.04
66 53.72 61.23 22.79 150.85
62 53.65 61.02 0.96 69.78
64 53.58 60.82 10.11 108.67
67 53.50 60.62 40.73 182.14
63 53.43 60.42 6.67 91.53
48 53.36 60.22 149.25 28.75
67 53.29 60.02 48.76 187.95
69 53.22 59.82 84.31 249.03
83 53.15 59.62 546.65 891.15
77 53.08 59.42 309.00 572.32
64 53.01 59.22 22.81 120.88
36 52.93 59.03 530.28 286.77
35 52.86 58.83 567.97 319.09
44 52.79 58.64 214.24 77.30
10969.06 10076.76

Valorile seriilor cronologice sunt ajustate și cu ajutorul metodelor analitice . Pentru
aceasta se folosesc funcții a căror reprezentare grafică modelează cel mai bine reprezentarea
seriei. Cele mai folosite funcții sunt: funcția de gradul I (liniară), funcția de gradul II
(parabolică), funcția hiperbolică, funcția exponențială și funcția logistică. Trendul imprimat de
aceste funcții unei seri cronologice poate fi unul sau mai multe dintre variantele:
– trend liniar, imprimat de funcția de gradul I,
ty a bt
, variabila fiind timpul iar
coeficienții
, , 0a b b
urmând a fi determinați
– trend parabolic, imprimat de funcția de gradul II,
2
ty a bt ct
, coeficienții
, , , 0a b c c
urmând a fi determinați
– trend exponențial,
t
ty a b
, având coeficienții
, , 0a b b

– trend hiperbolic,
tbyat
, având coeficienții
, , 0a b b

62
– trend logistic,
1t a btkye
, având coeficienții
,.ab

Pentru oricare din aceste funcții parametrii se determină folosind metoda celor mai mici
pătrate:
2
1( ) min,
in
i t
iyy
ceea ce înseamnă că derivatele parțiale de ordin I în funcție de
fiecare din parametrii să fie nule.
Pentru funcția de gradul I, parametrii se determină astfel:
ty a bt

22( ) min ( ) min
i i tt t y y y a bt

Derivatele parțiale de ordin 1 fiind zer o se obține:
2t
tna y
b t y t
, de unde
2t
tyan
ytbt
.
Analog se obțin coeficienții pentru trendul parabolic și hiperbolic.
Pentru funcția exponențială
t
ty a b
, logaritmând se reduce la a afla coeficienții unei
funcții de gradul I:
ln ln lnty a t b
, notând
lnaA
și
lnbB
, funcția devine
lnty A tB
,
coeficienții ce trebuie determinați fiind A și B, apoi folosind legătura între a și A,
respectiv b și B, se determină funcția exponențială corespunzătoare trendului, unde:
2ln
,lnt
A
B
tyAae nundety beBt
.
Pentru a alege una dintre funcțiile de mai sus trebuie ținut cont de forma graficului seriei
statistice: dacă, vizual, seria are un trend liniar se folose ște funcția de gradul I, dacă seria are
tendințe de creșteri absolute din ce în ce mai mari se folosește funcția exponențială. Condiția
pentru una sau alta dintre metodele aplicate este ca
10n
i
it
. De aceea originea valorilor de
timp se alege ca fiind la mijlocul seriei (dacă numărul total al variabilelor este impar),
considerându -se a avea valoarea 0, valorile precedente fiind notate descrescător -1, -2, -3…, iar
valorile ce urmează, crescător 1, 2, 3….Dacă numărul total al variabilelor este par, originea

63
valorilor de timp se alege ca fiind între cele două valori centrale, folosind notațiile: … -3, -2, -1,
1, 2, 3….
Ex.43. Seria cronologică reprezentând datele zilnice ale ciclului curent al Soarelui este
reprezentată grafic astfel:

Curba de trend MCA6 este calculată folosind metoda mediilor mobile grupele având o
amplitudine corespunzătoare a 6 luni (180 de zile), iar curba de trend Poly.(tot) reprezintă o
aproximare a trendului printr -o funcție polinomială de gradul VI:

-19 6 -15 5 -11 4 -8 3 -4 2 -1y = 4.09 10 x – 2.92 10 x + 1.75 10 x – 9.60 10 x + 2.17 10 x – 1.12 10 x + 14.7
.
Pe lângă trend, un factor important al seriei cronologice îl reprezintă
sezonalitatea/ciclicitatea seriei. Sezonalitatea /ciclicitatea seriei cronologice reprezintă oscilații
periodice în jurul trendului . Dacă oscilațiile au loc la interva le regulate cu perioade scurte (sub
un an) , seria cronologică va fi sezonieră12, iar dacă perioadele sunt pe mai mulți ani seria este
ciclică.

12 În acest caz sezon nu se referă strict la anotimpuri, ci la oscilații egale ca perioadă de timp -50050100150200250Ciclul 24
tot MCA6 Poly. (tot)

64
Ex.44. Din analiza petelor solare lunare în perioada 1963 -2018 se poate constata
ciclicitatea seriei cu o perioadă de aproximativ 11 ani:

Maximele seriei se pot observa a fi în jurul anilor 1969, 1980, 1991, 2002, 2014, cu o diferență
de aproximativ 11 ani între ele.
Sezonalitatea se studiază în funcție de trend. Variația sezonieră se exprimă printr -un
coefi cient de sezonalitate. Pentru determinarea coeficientului de sezonalitate (Sj) cea mai
folosită metodă este metoda mediilor mobile.
Algoritmul de determinare a sezonalității este:
i) se elimină trendul (determinat cu metoda mediilor mobile):
– pentru modelul aditiv:
ij j ij ij y y S u
,
– pentru modelul multiplicativ:
ij
j ij
ijySu
y
,
unde uij reprezintă factorul rezidual al seriei,
1,in
numărul curent al perioadei,
1,jm
numărul curent al subperioadei,
jS – indicele de sezonalitate
ii) se elimină factorii reziduali, obținându -se factori sezonieri intermediari
'
jS : 050100150200250300
1963
*
*
1967
*
*
1971
*
*
1975
*
*
1979
*
*
1983
*
*
1987
*
*
1991
*
*
1995
*
*
1999
*
*
2003
*
*
2007
*
*
2011
*
*
2015
*
*număr pete
year Time series plot of număr pete

65
– pentru modelul aditiv:
'
11()n
j j ij j
iS S u Sn
dacă
10n
ij
iu

– pentru modelul multiplicativ:
'
1()n
nj j ij j
iS S u S
dacă
11n
ij
iu

Dacă
10n
ij
iu
sau
11n
ij
iu
, se trece la pasul următor:
iii) se determină indicii de sezonalitate corectați, astfel
– pentru modelul aditiv
''
11m
j j j
jS S Sm

– pentru modelul multiplicativ
'
'j
j
m
jSS
S
.
Termenii seriei ajustați în funcție de sezonalitate/ciclicitate, depinzând doar de trend și
elementele reziduale, vor fi:
– pentru modelul aditiv:
j j ij j y S y u

– pentru modelul multiplicativ:
j
ij j
jyyuS
.
Ex.45. Datele desezonalizate ale seriei cuprinzând numărul de pete solare pentru perioada
2008 -2011 sunt date în tabelul de mai jos :
Anul Luna Număr
pete Termeni
desezonalizați
jjyS
Anul Luna Număr
pete Termeni
desezonalizați
jjyS

2008 1 4.1 3.13 2010 1 19.5 18.53
2 2.9 1.91 2 28.5 27.51
3 15.5 14.52 3 24 23.02
4 3.6 2.63 4 10.4 9.43
5 4.6 3.61 5 13.9 12.91
6 5.2 4.20 6 18.8 17.80
7 0.6 -0.42 7 25.2 24.18
8 0.3 -0.73 8 29.6 28.57
9 1.2 0.17 9 36.4 35.37
10 4.2 3.17 10 33.6 32.57
11 6.6 5.63 11 34.4 33.43
12 1 -0.02 12 24.5 23.48
2009 1 1.3 0.33 2011 1 27.3 26.33
2 1.2 0.21 2 48.3 47.31

66
3 0.6 -0.38 3 78.6 77.62
4 1.2 0.23 4 76.1 75.13
5 2.9 1.91 5 58.2 57.21
6 6.3 5.30 6 56.1 55.10
7 5.5 4.48 7 64.5 63.48
8 0 -1.03 8 65.8 64.77
9 7.1 6.07 9 120.1 119.07
10 7.7 6.67 10 125.7 124.67
11 6.9 5.93 11 139.1 138.13
12 16.3 15.28 12 109.3 108.28
Indicii de sezonalitate folosiți pentru ajustarea datelor sunt:
Luna Indice de
sezonalitate
1 0.97
2 0.99
3 0.98
4 0.97
5 0.99
6 1.00
7 1.02
8 1.03
9 1.03
10 1.03
11 0.97
12 1.02
Folosind acești indici am desezonalizat întreaga serie statistică cuprinzând numărul de
pete solare din perioada 1963 -2018.
Ex.46. Reprezentarea grafică a serie comparativ cu datele desezonalizate este:
-500501001502002503001963 -2018
trend 12 luni sez 1963-2018

67
Un nou ciclu solar începe în momentul în care numărul de pete atinge minimul. De asemenea se
poate observa că fiecare ciclu are două maxime, interesant la ultimul ciclu solar este faptul că al
doilea maxim este mai mare decât primul. De asemenea, p entru ultimul ciclu s olar, începutul ar
fi trebuit să fie în anul 2007, însă anul 2008 a fost anul cu cele mai multe zile fără activitate
solară, din ultimele cinci cicluri solare:

II.3.4. Corelarea datelor obținute cu predicții publicate
De-a lungul timpului au fost făcute numeroase predicții ale ciclului 24, unele mai exacte alte mai
puțin exacte. Una dintre predicții a fost realizată de către o echipă de cercetători sub numele de
The Solar Cycle 24 Prediction Panel , NOAA și NASA13. Corelâ nd datele utimului ciclu solar cu
predicțiile făcute se obține:

13 https://www.swpc.noaa.gov/content/solar -cycle -24-prediction -updated -may-2009 0510152025
N
u
m
ă
r
p
e
t
e
Ani cu activitate solară minimă
1965 1976 1986 1996 2007 2008 2009 2017
0.0020.0040.0060.0080.00100.00120.00140.00160.00

68
Datele corelate sunt reprezentate, începând cu anul 2007, cu albastru, trendul fiind trasat cu
verde. În toate predicțiile maximul ciclului era indicat în jurul anului 2012, când, într-adevăr, a
avut loc primul maxim, însă maximul ciclului s -a atins in anul 2014.
O altă predicție a fost făcută de către prof. dr. Mircea Rusu14, Universitatea București.
Pentru toate predicțiile, faptul că minimul a fost atins în 2008 nu în 2007 a fost una dintre
problemele apărute. În acest caz al doilea maxim a fost prezis în jurul anului 2013 mult mai mic
decât primul maxim, datele corelate arătând că al doilea maxim a fost mai mare decât primul,
având loc în 2014.

Analiza ciclurilor soare și predictibilitatea lor este un domeniu de mare actualitate, având
în vedere numărul tot mai mare de sateliți ce orbitează Pământul. Importanța acestor studii se
traduce, în primul rând prin asigurarea bunei funcționări a sateliți lor trimiși în spațiu, precum și
siguranța echipajelor de astronauți și cercetători ce se află la bordul Stației Spațiale
Internaționale.
Probleme propuse:
28. Arătați că, pentru un trend liniar
ty a bt
, acesta va conține punctul de coordonate
( ; )t T t y
.
29. Având următoare serie statistică (mediile lunare ale numărului de pete solare în anii
2014, 2015) determinați coeficienții a și b pentru trend liniar:

14 Rusu, Mircea. (2007). The asymmetry of the solar cycle: A result of non -linearity. Advances in Space Res earch –
ADV SPACE RES. 40. 1904 -1911. 10.1016/j.asr.2007.02.098.
0.0020.0040.0060.0080.00100.00120.00140.00160.00

69
Luna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2014 117 146,1 128,7 112,5 112,5 102,9 100,2 106,9 130 90 103,6 112,9
2015 93 66,7 54,5 75,3 88,8 66,5 65,8 64,4 78,6 63,6 62,2 58

30. Aceeași cerință pentru un trend exponențial.
31. Pentru graficul de mai jos se poate stabili un trend liniar de forma:

Folosind graficul, determinați ecuația trendului.
32. Determinați coeficienții trendului polinomial de gradul II al seriei reprezentate mai
jos:

020406080100120140160
1 3 5 7 911 1 3 5 7 911 1 3 5 7 911
2012 2013 2014Pete solare 2012 -2014 (medii lunare)
Pete solare 2012-2014 (medii lunare)
Linear (Pete solare 2012-2014 (medii lunare))
020406080100120140160
123456789101112123456789101112123456789101112
2009 2010 2011Pete solare 2009 -2011 (medii lunare)
Pete solare 2009-2011 (medii lunare) Poly. (Pete solare 2009-2011 (medii lunare))

70
III. Aplicații ale studiului fenomenelor periodice în activitatea de predare –
învățare
III.1. De ce statistică?
Primele noțiuni de statistică apar la nivelul clase i I, când elevii, culegând datele din
grafice, trebuie sa răspundă la o serie de cerințe de genul15:

Sau sunt puși în postura de a învăța prin descoperire, efectuând experimente de genul celui
prezentat în imaginea de mai jos16:

15 Imagini preluate din Caietul elevului de clasa I, Matematică și explorarea mediului, Editura Intuitext 2017, sem.II
și Caiet de vacanță, Comunicare în limba română/Matematică și explorarea mediului, Editura Taida, 2017
16 Imagine preluată din Manualul de clasa I, Matematică și explorarea mediului, Partea I, editura CDPRESS, 2017

71

Noțiunile de statistică sunt continuate și în celelalte clase primare, prin cerințe de felul:
– clasa a II -a, punându -se accentul pe interpretarea datelor reprezentate graf ic17

– clasa a III-a, înregistrarea datelor în tabele și interpretarea lor, citirea datelor din diferite tipuri
de diagrame18:

17 Matematică și explorarea mediului, Manual de clasa a II -a, partea a II -a, editura DPH, 2014
18 Matematică, Manual pentru clasa a III -a, partea a II -a, editura Intuitext, 2016

72

– clasa a IV -a, cu un capitol special dedicat Organizării și Interpretării datelor elevii sunt puși în
postura de a culege, înregistra și rep rezenta grafic date19:

19 Matematică, Manual pentru clasa a IV -a, partea a II -a, editura Art, 2016

73
Dacă în clasele primare, accentul se pune pe interpretarea intuitivă a datelor statistice, din
clasa a V -a se introduc primii indicatori statistici, prin calculul mediei aritmetice simple și
ponderate. Se continuă reprezentarea intuitivă a datelor înregist rate în tabele, iar în clasa a VII -a
se introduc primele noțiuni despre sistemul ortogonal de axe, avantajele reprezentării grafice a
datelor în sisteme de coordonate alese convenabil.
Studiul statistic continuă la nivel de lice u, în clasa a X -a, când, p e lângă diversele
reprezentări ale datelor statistice, interpretările nu se vor mai face la nivel intuitiv ci folosind
indicatorii statistici. Pentru elevii de la profilul uman, specializare socio -umane, studiul statisticii
continuă și în clasa a XI -a, pri n culegerea, înregistrarea, reprezentarea și interpretarea datelor
statistice rezultate din studii de caz și sondaje de opinie.
Deși, la nivel de liceu, studiul statistic și probabilistic este minimalizat ca importanță,
acesta constituie un instrument afl at la îndemână pentru creșterea interesului studiului științelor
exacte: într -una din generațiile trecute (2015 -2016), profil socio -umane, în clasele a IX -a și a X -a
am putut constata un interes scăzut față de noțiunile matematice, însă începând cu noțiuni le de
statistică, interesul a crescut considerabil, de la media clasei de 5,65 la unul dintre testele date,
am ajuns la media clasei de 9,30 la partea de statistică (mediile clase menținându -se în jurul lui 9
pe to t parcursul studierii statisticii ).
Într-un fel sau altul, statistica se regăsește în toate domeniile de cercetare, în toate domeniile
economice sau sportive, fiind cel mai la îndemână instrument pentru analiza în perspectivă a
unor fenomene periodice sau neperiodice. De la cantitatea de aer pe c are o respirăm până la
procentul de substanță activă în medicamente, de la viteza unui sportiv pe pistă până la numărul
de pasageri ai curselor aeriene, de la modificările cursului valutar până la starea vremii sunt doar
câteva dintre fenomenele studiate p rin prisma statisticii. De aceea, predarea statisticii oferă cea
mai bună oportunitate de îmbinare a metodelor clasice cu metodele activ -participative, centrate
pe elevi, de a -i familiariza pe aceștia cu metode de cercetare, precum și cadru pentru evidenți erea
trans – și inter -disciplinarității.
Cel mai controversat subiect dat la examenul de Evaluare Națională a fost un subiect de
statistică20:

20 http://subiecte2016.edu.ro/2016/evalu arenationala/Subiecte_si_bareme

74

Controversa a plecat de la dificultatea elevilor de a citii corect o diagramă, dintr -o dată foarte
mulți părinți, și parte a opiniei publice devenind ‖experți‖ în statistică, controversa plecând de la
legenda graficului, graficul fiind bine făcut, legenda explicită. Însă această controversă nu a făcut
altceva decât să evidențieze gradul tot mai mare de analfabetism funcțional cu care se confruntă
toate societățile, în contradicție cu efectul Flynn de creștere a coeficientului de inteligență cu
aproximativ 3 puncte/deceniu, începând cu anul 190021:

21 https://ourworldindata.org/intelligence

75
Tocmai de aceea e nevoie de schimbarea perspectivei cadrului didactic în procesul de predare
învățare, aducerea în fața elevilor a unor subiecte de actualitate, care îi pasionează tot mai mult, cum ar fi
folosirea internetului în scopuri educative, subiecte legate de Univers. Deși astronomia nu se mai predă în
școli, subiectele legate de astronomie, locul Pământului în spațiu, configurațiile de pe bolta cerească pe
timp de noapte sunt lucruri extrem de captivante ș i de interesante din prisma elevilor.
În clasa a VII -a sunt introduse primele noțiuni de trigonometrie, începând cu definirea sinusului,
cosinusului, tangentei și cotangentei în triunghiuri dreptunghice, elevii fiind nevoiți, prin prisma a ceea ce
se cere de la ei, să memoreze niște formule și valorile acestor funcții pentru unghiurile de 30o, 45o
respectiv 60o, însă majoritatea nu văd utilitatea acestor formule. Oricât de multe exemple ar rezolva, fiind
puși în fața unei probleme reale de măsurarea a dista nțelor nu reușesc să facă legătura între funcțiile
trigonometrice învățate și ceea ce au de făcut. În anul școlar 2014 -2015 am efectuat un experiment cu o
clasă de a VII -a, folosind trigonometria în determinarea circumferinței Pământului, tehnică folosită de
Eratostene cu aproximativ 2100 de ani în urmă. Experimentul constă în măsurarea umbrei unui băț
vertical, pentru ușurarea calculelor bățul se recomandă a avea o lungime de 100 cm, la amiaza adevărată
(prin măsurători succesive, se determină valoarea cea mai mică a umbrei bățului, valoare corespunzătoare
momentului amiezii adevărate ). Aplicând funcțiile trigonometrice în triunghi dreptunghic și folosind scara
unei hărți se poate determina fără probleme circumferința Pământului. Experimentul e relevant din punct
de vedere statistic prin prisma culegerii și înregistrării datelor , s-au realizat minim 10 măsurători , pentru
determinarea momentului amiezii adevărate. Eroarea obținută, făcând calculele prin raportare la linia
ecuatorului, a fost de 100 km, valoar ea circumferinței obținute fiind de 40175 km, față de 40075km. Un
foarte bun motiv pentru determinarea cauzelor ce pot produce erori în calcule. Elevii au participat cu
entuziasm la experiment, chiar dacă aceasta a însemnat două ore petrecute sub Soarele a rzător. Pe lângă
rezultatele strict legate de experimentul Eratostene, elevii au înțeles cum se calculează distanțe folosind
trigonometrie elementară, au înțeles că funcțiile trigonometrice se pot aplica pentru orice unghiuri (putând
fi calculate fără prob leme cu ajutorul calculatoarelor științifice) , au descoperit utilitatea calculatorului
științific de pe telefon, au aplicat fără probleme scara unei hărți, găsind metoda cea mai adecvată de
măsurarea a distanței pe hartă.

76
III.2. Considerente metodologice

Deși tendința actuală este spre metode centrate pe elev, activ -participative, în practica la
clasă încă predomină metodele clasice. Motivele sunt multiple, de la lipsa timpului, prin prisma
unei programe aglomerate și a unor examene cu itemi standardizați la un nivel mediu spre mic.
Totuși, prin prisma a ceea ce așteaptă și își doresc elevii, noi metode își fac loc în demersul
didactic. Din această cauză voi face o prezentare teoretică a unor metode didactice compatibile
cu predarea statistici i, metode aflate în concordanță cu prevederile pr ogramei școlare aprobate de
MEN , ce respectă conținutul științific, stadiul actual al gândirii științifice asupra naturii
problemelor studiate, ierarhizarea cunoștințelor pe grade de dificultate, realizarea unui demers
didactic logic, cu legături între ceea ce se știe și ceea ce se învață, adecvarea la vârsta și la
nivelul de cunoștințe deja dobândite, stimularea creativității elevului de a adapta informațiile
dobândite, încurajarea demersului intelectual ind ependent al elevului, motivarea pentru lucrul în
echipă, evitarea stereotipiilor și a prejudecăților. Filosoful irlandez John Locke, spunea în carte
sa ‖Some Thoughts Concerning Education‖ că: ‖ Este imposibil ca elevii să învețe ceva cât timp
gândurile lor sunt robite și tulburate de vreo patimă. Întrețineți -i deci într-o stare de spirit
plăcută, dacă vreți să vă primească învățăturile. Este tot atât de imposibil să imprimi un caracter
frumos și armonios într-un suflet care tremură, pe cât este de greu să tragi linii frumoase și drepte
pe o hârtie care se mișcă .‖22
Metodele de predare -învățare, datorită importanței deosebite pe care au în procesul
didactic, au constituit permanent un subiect de dezbatere și analiză. Specialiștii din domeniul
științelor educa ției au propus și elaborat, în timp, diverse modalități de clasificare a metodelor de
învățământ. Din punct de vedere pragmatic, importanța nu este elaborarea unei taxonomii a
metodelor didactice, respectiv încadrarea rigidă a unei metode într -o anumită ca tegorie, ci
identificarea principiilor și a cerințelor care stau la baza utilizării ei eficiente, desigur, în
combinație cu alte metode didactice și în așa fel încât să țină cont de caracteristicile situației de
instruire.
Didactica modernă susține că „met oda de învățământ este înțeleasă ca un anumit mod de
a proceda care tinde să plaseze elevul într -o situație de învățare, mai mult sau mai puțin dirijată
care să se apropie până la identificare cu una de cercetare științifică, de urmărire și descoperire a
adevărului și de legare a lui de aspectele practice ale vieții‖.23

22 Locke John —Some Thoughts Concerning Education , Cambridge Univ. Press 1889, digitalizată
https://archive.org/details/somethoughtsconc00lockuoft
23 Miron Ionescu , Ioan Radu – Didactica mo dernă , Ed. Dacia, București, 2001, p.128.

77
Diversificarea situațiilor de instruire a dus, în timp, la diversificarea metodologiei
didactice; „școala de astăzi se declară în favoarea diversificării și flexibilizării metodologiei de
instruire―24, ceea ce conduce la extinderea ariei problematice a domeniului; criteriile de
clasificare sunt foarte numeroase și autori diferiți adoptă una/alta dintre variante. Le voi enumera
pe cele mai frecvent citate în lucrările de didactică reprezentat ive.
Am ales să redau clasificarea metodelor de învățământ25 realizată de M. Ionescu care le
împarte în:
i) metode de transmitere și însușire a cunoștințelor.
– metode de comunicare orală:
a) metode de comunicare orală expozitivă (expunerea, expunerea cu oponent,
povestirea, descrierea, explicația, informarea, prelegerea -școlară, prelegerea -dezbatere,
conferința -dezbatere, cursul magistral);
b) metode de comunicare orală conversativă (conversația, discuția, dezbaterea,
asaltul de idei, colocviul);
c) metoda problematizării.
– metode de comunicare scrisă:
a) lectura (explicativă, dirijată);
b) activitatea cu manualul.
– metode de comunicare la nivelul limbajului intern:
a) reflecția personală;
b) introspecția.
ii) metode de cercetare a realității :
– metode de cercetare directă a realității:
a) observația sistematică și independentă;
b) experimentul;
c) abordarea euristică (în plan material);
d) învățarea prin descoperire (în plan material).
– metode de cercetare indirectă a realității:
a) ab ordarea euristică (în plan mental);
b) învățarea prin descoperire (în plan mental);
c) demonstrația;

24 ibidem, 130.
25 Miron Ionescu – Demersuri creative în predare și învățare , Editura Presa Universității Clujeană, 2000.

78
d) modelarea.
iii) metode bazate pe acțiune practică:
– metode de acțiune reală:
a) exercițiul;
b) rezolvări de probleme;
c) algoritmizarea;
d) lucrări practice;
e) studiul de caz;
f) proiectul/tema de cercetare.
– metode de acțiune simulată:
a) jocuri didactice;
b) jocuri de simulare;
iv) instruirea și autoinstruirea asistată de calculator.
Parcurgerea acestor metode relevă dinamismul metodologiei didactice dar și evoluția
cercetării pedagogice în domeniu. Toate lucrările de specialitate descriu conținutul acestor
metode, avantajele și dezavantajele pe care utilizarea lor le induce.
III.2 .1 Problematizarea
Vizează dezvoltarea gândirii independente productive, dezvoltă schemele gândirii
divergente, antrenează aptitudinile creatoare, asigurând motivarea intrinsecă a învățării;
Problema sau situația -problemă reprezintă o interacțiune cognitivă între subiect -obiect.
Interacțiunea are următ oarele proprietăți:
– există anumite lacune în cunoștințele elevului;
– declanșează nevoia de cunoaștere;
– incertitudine, necunoscut.
– profesorul trebuie să creeze situații problemă, preluate, structurate în raport cu tematica
obiectului de studiu; elevu lui i se cere efectuarea unei analize a situației problemă;
– tema propusă trebuie să trezească surpriza, mirarea, uimirea;
– elevul parcurge următoarele momente:
– perceperea problemei și a primilor indici orientativi pentru rezolvare (profesorul
descrie situația problemă);
– studierea datelor problemei;
– căutarea soluțiilor posibile la problema pusă;
– obținerea rezultatului final și evaluarea lui.

79
III.2 .2. Abordarea euristică
În strategia euristică, cele care fac obiectul procesului de predare -învățare sunt
conceptele. Ele determină selecția obiectelor și evenimentelor discutate. Problema rezultă din
raporturile particulare în care se află diferite concepte.
Abordarea euristică presupune:
– momente de incertitudine, căutări, tatonări;
– selecție a posibi lităților;
– alegerea celor mai bune căi;
– angajarea elevului într -o sarcină de cunoaștere pentru care are o experiență insuficientă.
III.2 .3. Învățarea prin descoperire
Presupune ca elevii să descopere adevărul refăcând drumul elaborării cunoștințelor pr in
activitate independentă. În accepțiunea primară s -a numit maieutică; profesorul îi determină pe
elevi să găsească rezultatul dorit printr -o serie de întrebări bine formulate. În școală are loc un
proces denumit învățare prin descoperire dirijată , adică îndrumarea de către profesor a
procesului de descoperire efectuat de elevi sub forma sugestiilor și a indicațiilor;
Avantajele metodei:
– asigură condiții pentru o activitate intelectuală intensă;
– structurarea celor descoperite în achiziții trainice;
– dezvoltarea unei motivații intrinseci;
– însușirea unor metode euristice de descoperire.
III.2 .4. Algoritmizarea
Algoritmul are trei note definitorii ( A.A. Markore, 1954):
 caracter precis determinat;
 valabilitatea sa pentru o clasă de obiecte problemă;
 finalitate certă, rezultativitatea sa.
Algoritmizarea poate fi considerată ca fiind prezentă în interiorul fiecărei metode de
învățământ.
III.2 .5. Munca în grup
Presupune cooperare și activitate comună pentru a rezolva o sarcină.
Metoda valorifică avantajele muncii școlare și extrașcolare în grup:
– atenuarea unei manifestări exagerate a individualității;
– rezultatele îmbinării muncii individuale cu cea de grup etc.
Cerințele în utilizarea metodei sunt:

80
 cunoașterea modului în care vor fi realizate grupele (4 -6 me mbri);
 constituirea unor grupe permanente sau ocazionale după diferite criterii;
 efectuarea unui plan:
– analiza temei;
– împărțirea sarcinilor;
– emiterea unor teze;
– efectuarea investigației propriu -zise;
– notarea rezultatelor obținute;
– interpretarea rezultatelor;
– elaborarea referatului final;
– judecarea, evaluarea, aprecierea rezultatelor.
 modificarea sistemului obișnuit de notare prin folosirea unui sistem de punctaj ,
utilizarea unor grile;
 îmbinarea formei competitive de lucru cu forma cooperativă.
III.2.6. Proiectul, tema de cercetare
Presupune efectuarea de către elevi, a unei cercetări ce are obiective practice și finalizate
printr -un produs: instalații, obiecte, aparate, albume etc.
Un proiect îmbină munca de investigare științifică cu activitate a practică a elevului.
Tema de cercetare se concretizează în:
– efectuarea de investigații în mediul înconjurător (elaborarea unor sondaje , studii privind
evoluția în timp a unei localități, istoricul unei școli etc. );
– proiectarea și confecționarea unor aparate, instalații modele necesare în învățământ;
– lucrări științifice pe o temă prestabilită;
– participarea elevilor la elaborarea unor proiecte de amplasare a unor obiective
industriale, sau culturale, de sistematizare a localității etc.;
– lucrare de diplomă.
III.2 .7. Studiul de caz
Este o metodă de instruire și de învățare activă și de cercetare (psihologie, pedagogie,
sociologie, economie etc.). R. Nuchielli, precizează următoarele cazuri:
– incidente semnificative care denotă o stare de fapt nec lară sau chiar penibilă;
– o situație particulară, desfășurată în timp;
– o persoană aflată la un moment dat în încurcătură (cu dificultăți de diferite naturi);
– un moment problematic în viața profesională școlară.

81
Studiul de caz are rol formativ deoarece elevii:
– se obișnuiesc să adune informații, să le selecteze, să le valorifice, să elaboreze decizii în
mod argumentat;
– își dezvoltă capacitatea de examinare critică a diferitelor strategii și variante de
soluționare;
– își dezvoltă capacitatea de a ant icipa evoluția evenimentelor;
– iau decizii eficiente;
– trebuie să -și argumenteze ipotezele, explicațiile proprii prin participarea activă la
soluționarea cazului;
Profesorul, în studiul de caz, este necesar:
– să dețină o gamă largă de cazuri adaptate disc iplinei și particularităților de vârstă a
elevilor;
– să conducă desfășurarea studiului de caz astfel încât acesta să devină un exercițiu al
căutării, al descoperirii;
– să evidențieze reguli de soluționare a mai multor cazuri similare;
– să prezinte cazul, să o rganizez e, să conducă întregul proces de analiză a acestuia, să
dirijeze dezbaterile;
– profesorul poate sugera mai multe variante de soluționare, incitând la căutarea celei
mai bune.
III.2 .8. Ciorchinele
Ciorchinele creează structura necesară pentru a stimula gândirea cu privire la legăturile
între idei. Această metodă încurajează o formă neliniară de gândire care reflectă felul în care
funcționează mintea noastră. Poate fi folosită pentru a stimula gândirea înainte ca un subiect să
fie studiat mai în d etaliu. De asemenea poate fi utilizată ca mijloc de rezumare a ceea ce s -a
studiat, ca mod de construire a unor noi asocieri sau ca mod de reprezentare grafică a noilor
rațiuni. În general, este o modalitate de accesare a propriilor cunoștințe, rațiuni sau convingeri
despre un subiect. Deoarece este o activitate de scriere, servește la informarea autorului asupra
cunoștințelor și legăturilor de care acesta nu era conștient.
Ciorchinele poate fi realizat individual sau ca activitate de grup. Ca activitate de grup
poate servi drept cadru pentru ideile grupului, oferindu -le elevilor prilejul să cunoască asocierile
și relațiile pe care alți elevi le deduc din îndrumări. Activitatea individuală de elaborare a
ciorchinelui reprezintă o alternativă la brainstorming -ul de grup, deoarece este rapidă și permite
tuturor elevilor să se implice activ în procesul de gândire.
Etapele care pot fi parcurse prin metoda ciorchinelui sunt:

82
– scrierea unui cuvânt sau expresii ce constituie „nucleul‖;
– adăugarea altor cuvinte sau exp resii legate de „nucleul‖ dat, până la epuizarea
timpului dat sau până la epuizarea ideilor;
– realizarea conexiunilor între cuvinte sau expresii;
– compararea în perechi, pentru ciorchinele realizat individual, sau cu întregul grup.
III.2 .9. Metoda mozaicului
Metoda mozaicului este o metodă de învățare prin colaborare. Presupune împărțirea clasei
în grupuri cooperative, fiecare membru al grupului devenind expert pe o anumită parte din tema
propusă spre studiu. Astfel metoda cubului începe prin formarea grupuri lor cooperative, prin
împărțirea materialului în 4 -5 subteme. Clasa va fi împărțită în grupe de 4 -5 elevi, fiecărui elev
din grupă revenindu -i o subtemă din cele propuse, devenind astfel expert pe porțiunea respectivă.
Se continuă cu gruparea elevilor în g rupe de experți, experții pe aceeași temă formând o grupă în
cadrul căreia se studiază și se aprofundează materialul pentru a fi înțeles și explicat (predat)
colegilor. Ultima parte specifică metodei, constă în refacerea grupurilor inițiale (grupuri
cooper ative), în cadrul cărora fiecare expert își prezintă tema astfel încât toți elevii din cadrul
unui grup vor fi puși în dublă ipostază: de a preda tema însușită și de a învăța și a înțelege
celelalte teme din cadrul lecției.
Evaluarea se poate realiza fie folosind aprecieri verbale, fie prin realizarea unor proiecte
sau prin autoevaluare.
Cu toate că metoda presupune riscul ca nu toți elevii să -și însușească corect noțiunile,
metoda are numeroase avantaje dintre care se pot pune în evidență următoarele:
– dezvoltarea compete nțelor cognitive și de comunicare
– participarea activă a elevilor la lecție, prin implicarea tuturor elevilor în realizare
sarcinilor de predare -învățare
– compararea modalităților de învățare
– dezvoltarea capacităților de cooperare
III.2 .10. Metoda asaltului de idei (brainstorming -ul)
Metoda a fost inițiată de Alex. F. Osborn , iar sub aspect pedagogic are două sensuri:
– originar, fiind o metodă de stimulare a creativității participanților, de descoperire a unor
soluții inovatoare pentru probl emele în domeniu;
– al doilea sens este de a fi cadru propice pentru instruirea școlară.
Metoda presupune:

83
1. O primă etapă de ordin cantitativ, care reunește un grup de 5 -12 persoane ce emit timp
de o oră mai multe idei, nicio afirmație nu este supusă unui demers critic. Astfel, se dezvoltă o
atmosferă constructivă, fiecare idee primind maximum de atenție. Deoarece nu se critică, se
diminuează factorii inhibitori și se elimină blocajele din gândire favorizate rutinei intelectua le.
Brainstorming -ul presupune respectarea următoarelor reguli :
– toate ideile, cu caracter de cunoștințe vor fi primite ca atare de către membrii grupului;
– nicio sugestie nu se critică;
– membrii grupului sunt încurajați să construiască pe ideea altuia , la final nicio idee nu
aparține nimănui, se încurajează combinațiile de idei;
– sunt solicitați și cei tăcuți din grup, aceștia fiind investiți cu această structură de rol și de
putere;
– calitatea e mai puțin importantă decât cantitatea, dar nu înseamnă că membrii grupului
nu trebuie să gândească inteligent și creativ.
2. A doua etapă constituie „perioada de incubare ‖, de reflecție, de evaluare și selecție a
ideilor sau soluțiilor propuse. În practica pedagogică trebuie ca grupul care a emis ideile să fi e
același cu cei care le evaluează la finalul sesiunii.
Aplicarea metodei asaltului de idei în practica școlară a permis desprinderea următoarelor
concluzii:
– elevii se integrează greu într -o asemenea activitate;
– grupul care a emis ideile să fie același care le evaluează la sfârșitul sesiunii (se poate ca
investirea unor elevi cu titlul de evaluator ai ideilor emise de colegii lor să inducă o atmosferă
inhibitorie și conflictuală în cadrul grupul);
– elevii trebuie obișnuiți cu specificitatea unei astfel de metode (se pot aplica situații de
brainstorming amuzante și nespecifice);
– se pot aplica simultan mai multe metode de stimulare;
– metoda se realizează mai ușor pe grupe omogene, dar este mai puțin eficientă în ceea ce
privește originalitatea ideilor, dacă are lor pe grupe eterogene;
– una dintre limitele serioase ale metodei „tradiționale‖ este că se consumă o mare
cantitate de timp, datorită inhibiției, anumite persoane pot dovedi un ritm de creativitate sensibil,
mai ridicat față de altele;
– grupul poate fi dominat de un membru ineficient.
III.2 .11. Controversa creativă
Metoda nu este centrată doar pe problemă și pe rezolvarea acesteia, ci pe regăsirea prin
experiența părților unor contradictorii.

84
Modelul a fost propus de David și Roger Johnson și presupune :
– divizarea grupului de lucru în microgrupuri care conțin patru persoane;
– în astfel de microgrupuri doi participanți susțin cu fermitate poziția într -un caz
controversat, iar ceilalți doi vor susține cu aceeași fermitate poziția controver să. De exemplu, doi
vor susține că învățarea prin expunere este mai avantajoasă decât cea presupusă de tehnicile
active, iar ceilalți doi vor insista pe argumentele calitative ale tehnicilor active care dezvoltă
strategii de gândire, de memorare conștie ntă;
– prezența celor două echipe în poziție evidentă de opoziție și concurență, de aceea se
cultivă spiritul de competiție, de implicare profundă și completă;
– ca liderul, conducătorul lecției să ceară fiecărui susținător al unei anumite poziții să se
retragă din microgrupul de dezbateri și să discute cu alți colegi din alte microgrupuri ce au
același rol și apără aceeași perspectivă ca ei. Ulterior se vor reîntoarce și vor discuta în
microgrupul de origine ideile pe care le -au găsit.
III.2 .12. Evaluare a
Evaluarea poate fi realizată în orice moment pe parcursul unui program educațional,
majoritatea programelor educaționale cuprinzând elemente sumative, formative și diagnostice.
Scurta trecere în revistă a diferitelor tipuri de evaluare prezentată mai jos scoate în evidență
faptul că evaluarea servește unor scopuri diferite în situații diferite. Kellough (1999) descrie
aceste scopuri ca fiind:
– de a asista învățarea elevilor
– de a identifica punctele tari și punctele slabe ale elevilor
– de a evalua eficacita tea unei anumite strategii de instruire
– de a evalua și îmbunătății eficacitatea programelor curriculare
– de a evalua și îmbunătății eficacitatea predării
– de a oferi date care să sprijine procesul de luare a deciziilor
– de a comunica cu părinții și a implica părinții
Printre tehnicile de evaluare cel mai des folosite în practică sunt:
EVALUAREA SUMATIVĂ
Evaluarea sumativă este un test de un anumit fel, în general administrat la sfârșitul
semestrului sau programului. Examinările pentru calificări sunt exemple de evaluări sumative.
Evaluarea sumativă se raportează la scopurile și obiectivele curriculumului, furnizând o măsur ă a
gradului în care aceste scopuri și obiective au fost îndeplinite. În majoritatea programelor
educaționale, scopul final este de a aduna date de evaluare sumativă care reflecte învățarea
„cumulată‖ a elevilor.

85
În timp ce „informațiile sumative de cal itate pot contura modul în care prof esorii își
organizează cursul sau ce oferă școlile elevilor‖ (NCFOT, 1999), există dovezi că evaluările
sumative, cum ar fi examenele standardizate, pot afecta în mod negativ elevii (Swearingen 2004
citat din Black 1999) .
EVALUAREA FORMATIVĂ
Evaluarea formativă poate fi realizată la începutul și pe tot parcursul unui program
educațional. Scopul evaluării formative este de a oferi elevului și profesorului informații și
feedback cu privire la progresul înregistrat până în a cel moment și la pașii următori. Evaluarea
informală realizată în clasă este una din cele mai obișnuite tehnici de evaluare formativă. De
exemplu, când profesorii folosesc fraze precum „Foarte bine, cred că ar trebui să treci la…‖ sau
„Mai fă unul, dar d e data aceasta folosește calculatorul‖, ei realizează o evaluare formativă.
Scopul evaluării formative este de a îmbunătăți calitatea învățării elevului. Nu trebuie să fie
niciodată evaluativă sau să implice acordarea de note elevilor.
Evaluarea formativă poate duce și la schimbări în ceea ce privește competențele. S -a
sugerat că evaluarea formativă este deosebit de eficientă pentru elevii cu rezultate mai slabe la
învățătură; că poate facilita reducerea distanței dintre elevii cu rezultate slabe și cei cu rezultate
bune la învățătură concomitent cu creșterea nivelului general de performanță. Se susține de
asemenea că dacă scopul principal al evaluării este de sprijini învățarea de calitate, atunci acest
scop se realizează cel mai bine printr -o utilizare sp orită a evaluării formative.
EVALUAREA DIAGNOSTIC Ă
Evaluarea diagnostică se realizează în general înainte de începerea predării pentru a
evalua punctele tari și punctele slabe ale unui elev. Aceasta se realizează pentru a oferi un
program educațional a decvat și pentru a stabili necesitățile de resurse suplimentare care trebuie
asigurate. Gândirea actuală acordă o importanță deosebită evaluării diagnostice ca mijloc de
maximizare a oportunităților de învățare și de abordare a nevoilor individuale. Evaluă rile
diagnostice nu implică în mod normal acordarea de note; acesta nu este scopul lor. Scopul lor
este de a informa profesorul și elevul despre ceea ce trebuie să facă în continuare pentru a
progresa.
AUTOEVALUAREA
Autoevaluarea este un aspect esențial a l procesului de evaluare. Ajută elevul să se
orienteze, informându -l cu privire la ceea ce a realizat și la ceea ce mai are încă de realizat. Când
elevii participă la activități de autoevaluare, au ocazia de a reflecta asupra modului cum învață și
asupra m odalităților prin care învață cel mai eficient; adică, dezvoltă abilități meta -cognitive.

86
Beneficiile autoevaluării se aplică în aceeași măsură tuturor elevilor, profesorul câștigând și el la
fel de mult ca urmare a practicii reflexive.
Similar majorități i activităților de învățare, autoevaluarea este o abilitate care trebuie
învățată. De aceea, elevii neobișnuiți cu practica autoevaluării vor avea nevoie de ajutor și
îndrumare în realizarea primilor pași, în alegerea întrebărilor pe care trebuie să și le adreseze și
în interpretarea rezultatelor.
Procesul de autoevaluare cere elevului să:
– analizeze ceea ce a realizat
– identifice zonele în care se simte încrezător
– identifice zonele unde este necesară o dezvoltare suplimentară
– analizeze și evalueze progre sul
Printre întrebările tipice din autoevaluare se numără:
– Ce am învățat astăzi?
– Ce am făcut bine?
– De ce nu sunt sigur?
– Unde am nevoie de ajutor?
– Despre ce vreau să cunosc mai multe?
– La ce voi lucra în continuare?
Unul din scopurile autoevaluării este de a determina elevii să -și stabilească singuri
obiective. Stabilirea obiectivelor sau a scopurilor este o etapă importantă în procesul de învățare.
Realitatea arată că , pe măsură ce câștigă experiență în practica autoevaluării, elevii devin mai
conșt ienți de propriile nevoi, abilități, stiluri de învățare etc.
LUMINILE SEMAFORULUI
Priestley sugerează că semafoarele sunt o tehnică utilă în inter -evaluare și în
autoevaluare. Când folosesc culorile semaforului, elevii etichetează activitățile în concorda nță cu
nivelul lor de înțelegere:
– Roșu (Nu înțeleg)
– Galben -portocaliu (Înțeleg o parte)
– Verde (Înțeleg tot)
Priestley sugerează că elevii pot apoi forma grupuri de învățare și de analiză în funcție de
nivelul lor de înțelegere (pe care l -au stabilit ei în șiși). De exemplu: galbenii și verzii lucrează
împreună în timp ce roșii lucrează cu profesorul.

87
III.3. Lecția
Unitatea didactică fundamentală și funcțională în actul educațional îl reprezintă lecția.
Aceasta trebuie să fie centrată pe competențe, implicând conținuturi și strategii didactice bine
conturate. După Bocoș M. ‖ lecția modernă se constituie într -un progra m didactic și educațional,
respectiv un sistem de procedee de lucru și acțiuni comune profesorului și elevil or (expuneri,
explicații, demonstrații logice și experimentale, rezolvări de probleme etc.), structurate și
organizate în vederea atingerii obiectiv elor operaționale propuse și în vederea activizării elevilor
în procesul didactic ‖26. După majoritatea autorilor, lecțiile sunt împărțite în trei categorii mari:
– lecții de comunicare sau însușire de noi cunoștințe
– lecții de formare de priceperi și deprinderi intelectuale/practice
– lecții de fixare și sistematizare
– lecții de verificare și evaluare
– lecții mixte.
În cadrul fiecărui tip de lecție este importantă stabilirea strategiilor didactice și alegerea
metodei de lucru, în funcție de particularități le elevilor clasei. Îmbinarea metodelor clasice cu
cele moderne în cadrul unei lecții duc la o creștere a implicării elevilor și la rezultate mai
ridicate. Scopul final al lecției este ca toți elevii să -și însușească competențele propuse.
III.3.1. Model de lecție mixtă
Mai jos prezint un model de lecție mixtă (îmbină fixarea și sistematizarea cunoștințelor
cu acumulare de noi deprinderi, și evaluare). Metoda folosită este metoda mozaicului. Lecția
prezentată poate fi folosită atât la clasa a 6 -a urmărind deprinderea elevilor cu măsurare de
unghiuri și cu scara unei hărți, precum și la clasa a 7 -a, prin poziționarea punctelor într -un sistem
de axe. Tema aleasă nu e printre temele propuse în pr ograma școlară, însă urmărește competențe
prevăzute în programele școlare în vigoare.

26 Miron Ionescu, Mușata Bocoș —Tratat de didactică modernă, editura Paralela 45, 2009, pg. 309

88
PROIECT DE LECTIE FOLOSIND METODA MOZAIC
Aria cur riculară: Matematică și științe
Disciplina: Matematică
Profesor: Anca -Cătălina Marian
Școala : Colegiul Național Inochentie Micu Clain, Blaj
Unitatea de învățare : Elemente de organizare a datelor
Tema lecției : Evoluția în timp a Polului Nord m agnetic
Clasa: a VII -a
Tipul lecției : mixtă
Scopul lecției însușirea de cunoștințe, formarea de priceperi și deprinderi pentru a determina
coordonatele unui punct în plan, reprezentarea unei serii cronologice
Competențe cadru :
O1. Cunoașterea și înțelegerea conceptelor, terminologiei și a procedurilor de calcul spe cifice
O2. Dezvoltarea capacității de investigare, explorare și rezolvare de probleme
O3. Dezvoltarea capacității de a comunica folosind terminologia specifică
O4. Dezvoltarea motivației pentru aplicarea metodelor specifice matematicii în contexte variate
Competențe operaționale :
Competențe cognitive:
La sfârșitul activității elevii vor:
1. reprezenta puncte în plan
2. identifica coordonatele carteziene ale unui punct
3. identifica coordonatele polare ale unui punct
4. determina distanțe folosind harta polară
5. reprezenta grafic o serie cronologică
Competențe afective :
La sfârșitul activității elevii vor:
6. deprinde să participe activ la lecție
7. manifesta independență în gândire și acțiune
8. dezvoltarea abilităților elevilor în folosirea instrumentelor geometrice pent ru a măsura
unghiuri și distanțe folosind coordonatele polare
Resurse procedurale:
conversația; explicația; problematizarea; metoda mozaicul; exercițiul.
Resurse materiale:
Instrumente geometrice, cretă, fișe de lucru pe grupe, tabla

89
Forme de organizare:
Clasa va fi organizată în 7 grupe eterogene a câte 4 elevi
Evaluare:
Aprecierea verbală (satisfăcător, optim, excepțional), autoevaluarea, evaluarea activității în grup
Desfășurarea lecției:
După prezentarea conținutului noțional al lecției (20 minute), se împarte clasa în grupe
eterogene de câte 4 elevi, grupuri casă: Grupa 1: Mercurieni; Grupa 2: Venusieni; Grupa 3:
Pământeni; Grupa 4: Marțieni; Grupa 5: Jupiterieni; Grupa 6: Saturnieni; Gr upa 7:
Uranieni. (20 minute )
Se organizează patru grupe de experți fiecare grupă având câte un reprezentant din fiecare grup
casă. După formarea experților aceștia revin la grupul clasă, pentru a explica celorlalți din grup
partea sa de expertiză.
Exercițiu:
Scop: investigarea mișcării Polului Nord magnetic
Obiectiv: dezvoltarea abilităților elevilor în folosirea instrumentelor geometrice și
trigonometrice pentru a măsura unghiuri și distanțe folosind coordonatele polare , precum și
reprezentarea g rafică a unei serii cronologice
Mijloace procedurale și materiale : metoda mozaicului, foi cu schița unei hărți polare
oarbe, fișe de lucru
Metode de evaluare : evaluarea
activității din grup, evaluare verbală
Conținut noțional:
Schița alăturata reprezin tă o hartă schematică a
unei regiuni a globului Pământesc (regiune
aflată în imediata vecinătate a PN), având în
centru Polul Nord geografic (PN). Latitudinea
este reprezentată de cercurile concentrice, Polul
Nord geografic având latitudinea egală cu 90o.
Longitudinea se măsoară în grade plecând de la
meridianul Zero (Meridianul Greenwich), în
sens trigonometric, astfel încât poate lua valori
între 0o (Meridianul Zero) și 360o.

90
După prezentarea obiectivelor și a conținutului noțional, fiecare grupă de experți
primește sarcina de lucru, sub formă de fișe de lucru , având la dispoziție 10 minute
pentru rezolvarea și stabilirea modalităților de predare a sarcinilor primite .

FIȘA 1
1. Având harta de mai jos, măsurați coordonatele punctelor date. Valorile pentr u latitudine
vor fi aproximate știind că cercurile concentrice sunt așezate din 2o în 2o, iar valorile
pentru longitudine vor fi aproximate știind că unghiul dintre două linii este de 300.
Coordonatele punctului A sunt date.
Punctul Latitudine Longitudine
A 82.7o 167o
B
C
D
E

91
FIȘA 2
2. Poziționați pe harta de mai jos, punctele a căror coordonate sunt date în tabelul următor,
știind că valorile pentru latitudine vor fi aproximate știind că cercurile concentrice sunt
așezate din 2o în 2o, iar valorile pentru longitudine vor fi aproximate știind că unghiul
dintre două linii este de 300.
Punctul Latitudine Longitudine
A 88o 310o
B 82o 60o
C 85o 195o
D 81.7o 260o
E 83.9o 121o

92
FIȘA 3
3. Utilizând scara dată pentru distanțe, construiți o scară care să vă permită să măsurați
distanțe până la 2000 km. Folosind harta de mai jos, determinați distanța dintre punctele
date în tabelul următor:
De la punctul Până la punctul Distanța
A B 1400 km
B C
C D
D E
E A
B D
C A
E B

93
FIȘA 4
4. În tabelul de mai jos sunt date pozițiile estimate ale Polului Nord magnetic în decurs de
2000 de ani. Marcați pe harta dată aceste poziții. (tabelul este preluat din The Earth's
Magnetic Field , de Ronald Merrill și Michael McElhinny, apărută în 1983 la Academic
Press, pagina 100).

Comparați poziția Polului Nord magnetic în anul 1000 cu poziția Polului Nord magnetic în anul
1100:
1. Cu ce distanță s -a deplasat Polul Nord magnetic?
2. Care este distanța pe care s -a deplasat Polul Nord magnetic (în km) în decursul unui an?
3. Estimați când Polul Nord magnetic coincide cu Polul Nord geografic (latitudine 90o).
După rezolvarea sarcinilor primite, experții revin în grupuril e inițiale și își prezintă
subtemele colegilor (15 minute).
Evaluarea activității constă în a utoevaluare și evaluări verbale ale activității. Lecția se
încheie cu discuții și concluzii legate de tema primită (5 minute).

94
III.3.2. Model de lecție de verific are și evaluare
Evaluarea activității și a gradului de însușire a competențelor vizate se face în cadrul
tuturor tipurilor de lecții, însă ca și evaluare sumativă se impune o lecție creată special pentru
evaluare. Pentru acest tip de lecție propun un test sumativ pentru unitatea de învățare Elemente
de organizare a datelor , clasa a VI -a.
Evaluare clasa a VI -a
Având în vedere caracterul eterogen al claselor de elevi, în ultimii ani sunt tot mai mulți
elevi la ciclul gimnazial care au nevoie de adaptare curr iculară. Am ales un test la clasa a VII -a
pentru a pune în evidență evaluarea diferită a elevilor, în funcție de nivelul de adaptare
curriculară.
Precizia și eficiența evaluării su nt strâns legate de formularea competen țelor și de
desfășurarea demersurilor de instruire. În aceste condiții, probele de evaluare trebuie selectate și
elaborate în strânsă legătură cu competențele urmărite și, mai ales în funcție de gradul de
complexitate al obiectivului (asimilare de cunoștințe, aplicație, sinteză, evaluare), precum și în
funcție de rezultatele așteptate ale instruirii (cunoștințe, deprinderi sau capacități intelectuale,
priceperi și depri nderi practice). Urmând tipologia curriculum -ului național, în proiectarea
testului am urmărit următoarele competențe generale27:
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în
diverse surse informaționale
3. Utili zarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice al e unei situații date
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite
domenii
Plecând de la competențele generale stabilite, competențele specifice28 pe care elevi
trebuie să le atingă sunt :
2.2. Prelucrarea cantitativă a unor date utilizând rapoarte și proporții pentru organizarea
de date
3.2. Aplicarea unor metode specifice de rezolvare a problemelor în care intervin rapoarte,
proporții și mărimi direct/invers proporționale

27 Conform Programei Școlare pentru disciplina matematică, clasele a V -a—a VIII -a, Anexa 2 la OMEN
3393/28.02.2017
28 ibidem

95
4.2. Exprimarea în limbaj matemati c a relațiilor și a mărimilor care apar în probleme cu
rapoarte, proporții și mărimi direct sau invers proporționale
5.2. Analizarea unor situații practice cu ajutorul rapoartelor, proporțiilor și a colecțiilor de
date
6.2. Modelarea matematică a unei situ ații date în care intervin rapoarte, proporții și
mărimi direct sau invers proporționale
În elaborarea testului am parcu rs următoarele etape:
 stabil irea scopului: aplicarea unui test la clasa a VI -a pentru a afla nivelul de înțelegere și
de aplicabilitate a cunoștințelor acumulate de către fiecare elev;
 selectarea conținuturilor și a obiectivelor corespunzătoare
 formularea itemilor; având în ve dere clasificarea itemilor, am cuprins î n test trei categorii
de itemi : itemi de completare, itemi cu alegere multi plă și itemi cu răspuns deschis
 stabilirea unei grile de corectare și elaborarea baremului de notare
 aplicarea testului pe parcursul a 5 0 minute.
Obiectivele de evaluare sunt:
 determinarea unui procent dintr -un număr dat
 organizarea și reprezentarea de date sub formă de grafice, tabele sau diagrame statistice
 calcularea probabilității în contexte practic aplicative
 determinarea valorilor minime, maxime și medii dintr -un set de date
 organizarea informațiilor pe baza unor criterii, utilizând sortarea, clasificarea și
reprezentarea grafică
 interpretarea datelor înregistrate în tabele, grafice sau diagrame
 interpretarea mediei unui set de date
 exprimarea semnificației unor elemente dintr -un grafic
 interpretarea unui set de date descrise grafic sau numeri c
 aplicarea operațiilor cu numere raționale în determinarea mediei unui set de date
 calcularea mediei aritmetice simple și ponderate
 abordarea eficientă a problemelor propuse
 redactarea coerentă și completă a soluției unei probleme
 folosirea eficientă a ca lculatorului de buzunar pentru operații cu numere raționale

96
TEST: Reprezentarea datelor prin grafice
Clasa a VI -a

Subiectul I (20 puncte) Completați spațiile punctate cu răspunsul corect:
(10p) 1. Cei 44 de elevi ai clasei a VI -a au participat la un sondaj privind tipul de telefon utilizat.
Rezultatele sondajului sunt reprezentate în diagrama de mai jos.

Conform diagramei, procentul de telefoane de tip IPhone folosite este de…
(10p) 2. Într-un magazin, Aidin a cheltuit o sumă de bani astfel:
Tricouri Pantaloni Cărți Electronice
31,5 lei 152,3 lei 72 lei 201,4 lei
În medie, Aidin a cheltuit …
Subiectul II (1 0 puncte) Încercuiți răspunsul corect:
(5p) 3. Conform diagramei de mai jos, înălțimile copacilor dintr -un parc încep de la 1m.

Numărul copacilor care depășesc 2m în înălțime este:
a) 100 b) 75 c) 45 d) 85
(5p) 4. Patru colegi vor să cumpere un joc, fiecare contribuind cu sumele din grafic. 34%
23% 9%
Samsung Huawei Iphone Nokia
010203040
1m 1.5m 2m 2.75m 3m >3mnumăr copaci

97

Conform graficului, prețul jocului este de:
a) 60 lei b) 80 lei c) 75 lei d) 70 lei
Subiectul III (50 puncte) La problema 5 se cere rezolvare completă . Pentru efectuarea
calculelor se poate folosi calculator de buzunar, neprogramabil :
5. În urma unui sondaj privind timpul petrecut, în minute, folosind telefonul pe parcursul unei
zile, răspunsurile celor 44 elevi ai clasei a VI -a sunt:
10, 30, 60, 30, 180, 150, 60, 180, 240, 110, 60, 150, 30, 50, 180, 120, 120, 60, 180, 150, 60, 150,
150, 110, 240, 120, 60, 180, 150, 60, 60, 30, 30, 30, 30, 150, 120, 120, 120, 180, 150, 30, 60,
120.
(20p) a) Completați tabelul:
Număr
minute 10 30 50 60 110 120 150 180 240
Număr
elevi
Procentaj
elevi
(10p) b) Reprezentați, folosind coloane, datele din tabel.
(10p) c) Determinați cât timp se petrece, în medie, folosind telefonul.
(10p) d) Câți elevi folosesc telefonul mai puțin de 120 de minute?
(10p) e) Calculați probabilitatea ca, alegând un elev, acesta să folosească telefonul 150 de minute
zilnic.

NOTĂ: – se acordă 10 puncte din oficiu;
– timp de lucru 50 minute  SPOR LA TREABĂ 

Vlad Ela Ralu
Cristiana
051015202530
0 1 2 3 4 5

98
MATRICEA DE SPECIFICAȚII GENERALĂ:

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE
Subiectul I+Subiectul II: nu se acordă fracțiuni de punct
Item+punctaj 1. 10p 2. 10p 3. 5p 4. 5p
Răspuns corect 34,09% 114,3 lei b) 75 d) 70

Subiectul III
5 a) Organizarea datelor în tabel ……………………………. 5p
Calculul procentelor :
.10044nr elevi
…………………. 15p
Număr
minute 10 30 50 60 110 120 150 180 240
Număr
elevi 1 8 1 9 2 7 8 6 2
Procentaj
elevi 2,27% 18,18% 2,27% 20,45% 4,55% 15,91% 18,18% 13.64% 4,55%

b) reprezentarea grafică corespunzătoare ……………. 10p
c) calculul mediei aritmetice ponderate ……………… 10p
10 1 30 8 50 1 60 9 110 2 120 7 150 8 180 6 240 2105,9144am
minute
d) citirea și interpretarea corectă a datelor de pe grafic sau din tabel: mai puțin de 120 minute
înseamnă 10min, 30min, 50min, 60min respectiv 110min, rezultând un număr de: Conținuturi Achiziția
informației Înțelegere Aplicare Rezolvare
de
probleme Tot
al
Organizarea și reprezentarea
datelor sub formă de grafice și
tabele 5% 10% 5% 5% 25
Determinarea unui procent dintr –
un număr dat 5% 5% 5% 15
Calculul mediei aritmetice
simple și ponderate 5% 5% 5% 10% 25
Determinarea probabilității unui
eveniment 5% 5% 5% 15
Interpretarea datelor înregistrate în
tabele sau diagrame 5% 10% 5% 20
Total 20 30 25 25 100

99
1+8+1+9+2=21 de elevi ……………….. 10p
e) calculul probabilității
Cazuri favorabile: numărul de elevi care folosesc telefon ul timp de 150 min
Cazuri posibile: numărul total de elevi
80,18 18,18%44cazuri favorabilepcazuri posibile
……………………. 10p
Notă: se acordă 10p din oficiu, nota calculându -se prin împărțirea punctajului total la 10.
CORESPONDENȚA DINTRE ITEMII PROBEI ȘI COMPETENȚELE SPECIFICE ,
OBIECTIVELE DE EVALUARE ȘI PUNCTAJ:
ITEMI PUNCTAJ COMPETENȚE
SPECIFICE OBIECTIVE DE EVALUARE

I 1. 10 5.2  interpretarea datelor înregistrate în
tabele, grafice sau diagrame
2. 10 6.2; 4.2  determinarea valorilor minime,
maxime și medii dintr -un set de date
 interpretarea mediei unui set de date
 aplicarea operațiilor cu numere
raționale în determinarea mediei unui
set de date
 calcularea mediei aritmetice simple și
ponderate
II 3. 10 5.2; 6.2  interpretarea unui set de date descrise
grafic sau numeric
 exprimarea semnificației unor
elemente dintr -un grafic
4. 10 6.2; 4.2  interpretarea unui set de date descrise
grafic sau numeric
 exprimarea semnificației unor
elemente dintr -un grafic compararea
numerelor reale
 organizarea informațiilor pe baza
unor criterii, utilizând sortarea,
clasificarea și reprezentarea grafică
III 5.a) 10 2.2  organizarea și reprezentarea de date
sub formă de grafice, tabele sau
diagrame statistice
 abordarea eficientă a problemelor
propuse
 determinarea unui procent dintr -un
număr dat
 folosirea eficientă a calculatorului de

100
buzunar pentru operații cu numere
raționale
5.b) 10 2.2; 4.2  organizarea și reprezentarea de date
sub formă de grafice, tabele sau
diagrame statistice
 organizarea informațiilor pe baza
unor criterii, utilizând sortarea,
clasificarea și reprezentarea grafică
 abordarea eficientă a problemelor
propuse
5.c) 10 4.2; 5.2  interpretarea mediei unui set de date
 aplicarea operațiilor cu numere
raționale în determinarea mediei unui
set de date
 calcularea mediei aritmetice simple și
ponderate
 redactarea coerentă și completă a
soluției unei probleme
 folosirea eficientă a calculatorului de
buzunar pentru operații cu numere
raționale
5.d) 10 5.2; 4.2  determinarea valorilor minime,
maxime și medii dintr -un set de date
 interpretarea unui set de date descrise
grafic sau numeric
 exprimarea semnificației unor
elemente dintr -un grafic compararea
numerelor reale
 redactarea coerentă și completă a
soluției unei probleme
5.e) 10 3.2  calcularea probabilității în contexte
practic aplicative
 redactarea coerentă și completă a
soluției unei probleme
 folosirea eficientă a calculatorului de
buzunar pentru operații cu numere
raționale

Pentru elaborarea unui astfel de test pentru elevi ce au nevoie de adaptare curriculară
(diagnostic ‖intelect la limită ‖), se pot folosi aceleași competențe, și aceleași obiective de
evaluare, punându -se însă accent pe citirea și interpretarea datelor, folosirea corectă a
calculatorului de buzunar. După cum se poate obse rva gradul de dificultate al itemilor e adaptat,
dând posibilitate elevilor aflați în această situație să fie evaluați conform competențelor deprinse.
Mai jos am adaptat itemii test ului de mai sus pentru adaptare curriculară:
TEST: Reprezentarea datelor pr in grafice —adaptare curriculară

101
Clasa a VI -a

Pentru efectuarea calculelor se poate folosi calculator de buzunar, neprogramabil:
Subiectul I (20 puncte) Completați spațiile punctate cu răspunsul corect:
(10p) 1. Cei 44 de elevi ai clasei a VI -a au participat la un sondaj privind tipul de telefon utilizat.
Rezultatele sondajului sunt reprezentate în diagrama de mai jos.

Conform diagramei, procentul de telefoane de tip IPhone folosite este de…
(10p) 2. Într -un magazin, Aidin a cheltuit o sumă de ban i astfel:
Tricouri Pantaloni
45 lei 151 lei
În medie, Aidin a cheltuit …
Subiectul II (10 puncte) Încercuiți răspunsul corect:
(10p) 3. Conform diagramei de mai jos, înălțimile copacilor dintr -un parc încep de la 1m.

Numărul copacilor care depășesc 2m în înălțime este:
a) 100 b) 75 c) 45 d) 85
(10p) 4. Patru colegi vor să cumpere un joc, fiecare contribuind cu sumele din grafic. Samsung
34%
Huawei
23% Nokia
9%
IPhone
05101520253035
1m 1.5m 2m 2.75m 3m >3mnumăr copaci

102

Conform graficului, prețul jocului este de:
a) 60 lei b) 80 lei c) 75 lei d) 70 lei
Subiectul III (50 puncte) La problema 5 se cere rezolvare completă.
5. În urma unui sondaj privind timpul petrecut, în minute, folosind telefonul pe parcursul unei
zile, răspunsurile celor 10 elevi ai clasei a VI -a sunt:
10, 30, 60, 30, 180, 150, 60, 180 , 60, 150
(20p) a) Completați tabelul:
Număr
minute 10 30 60 150 180
Număr
elevi
Procentaj
elevi
(10p) b) Comple tați, folosind datele din tabel , graficul de mai jos:

(10p) c) Determinați cât timp se petrece, în medie, folosind telefonul.
(10p) d) Câți elevi folosesc telefonul mai puțin de 60 de minute?

NOTĂ: – se acordă 10 puncte din oficiu;
– timp de lucru 50 minute  SPOR LA TREABĂ 
Vlad Ela Ralu
Cristiana
051015202530
0 1 2 3 4 5
00.511.522.533.5
10 30 60 150 180

103
III.4. Unitatea de învățare
Realizarea eficientă a activit ății educațional e are nevoie de proiectare corespunzătoare.
Proiectarea didactică însumează toate resursele, procedeele și strategiile didactice pentru
optimizarea rezultatelor. Prin proiectare se anticipează acțiunile desfășurate pe perioada unui an
școlar, a unui semestru, a unei unități de învă țare sau a unei lecții. Anticiparea demersului
didactic pentru un an școlar se realizează prin planificările calendaristice, planificări prin care se
structurează conținutul ce urmează a fi predat, pe perioada unui an. De obicei, planificarea
anuală este d oar orientativă, având în vedere influența factorilor întâmplători ce ar putea apărea
în decursul unui an. De aceea se impune o proiectare pe termen scurt, o proiectare care să lege
competențele specifice cu conținuturile, strategiile și resursele educațio nale. Proiectarea pe
unități de învățare se face ritmic, pe parcursul anului, fiind anticipate activități pe durata a maxim
8 ore, activitatea didactică, putând astfel fi personalizată. Conform Miron Ionescu, Mușata Bocoș
‖Demersurile de proiectare a unită ților de învățare presupun, practic, ca pe baza indicațiilor din
planificare să se realizeze detalierile pe orizontală, ierarhizând activitățile în succesiunea
derulării lor, raportându -le la câte un obiect de referință/competență specifică menționând și
resursele necesare bunei desfășurări a procesului instructiv -educativ ‖29. Prin p roiectarea unității
de învățare, procesul educativ poate fi structurat după schema propusă de Cucoș, astfel30:

În cele ce urmează am realizat proiectarea unității de învățare ‖ Elemente de statistică ‖,
elaborate la nivelul clasei a X -a, respectând programa în vigoare, aprobată prin OMEN 4598 /
31.08.2004 . Numărul de ore alocate pe întraga unitate este de 6, în funcție de modul în care sunt
percepute și asimilate informațiile de către elevi putând a se mai aloca o oră suplimentară.

29 Miron Ionescu, Mușata Bocoș —Tratat de didactică modernă, editura Paralela 45, 2009, pg. 320
30 Constantin Cucoș —Pedagogie , editura Polirom 2006, pg. 326

104
PROIECTAREA PE UNIT ATE DE ÎNVĂȚARE
ANUL ȘCOLAR …

PROFESOR
PROPUNĂTOR DISCIPLINA CLASA SPECIALIZAREA NR. ORE /
SĂPTĂMÂNĂ
Anca -Cătălina
Marian Matematică a X-a E Științe sociale 2

PROGRAMA VALABILĂ
4598 / 31.08.2004 MANUAL / EDITURĂ / AUTOR

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE
Elemente de statistică NR. DE ORE
ALOCATE
6

CONȚINUTURI
(DETALIERI) COMPETENȚE
SPECIFICE ACTIVITĂȚI DE
ÎNVĂȚARE RESURSE EVALUAR
E Nr.
Ore Materiale Procedurale
Culegerea,
clasificarea și
prelucrarea
datelor
statistice: date
statistice,
reprezentarea
grafică a
datelor
statistice. -Recunoașterea
unor date de tip
probabilistic
sau statistic în
situații concrete
– Interpretarea
primară a
datelor statistice
sau
probabilistice cu
ajutorul
calculului
financiar, a
graficelor și
diagramelor
-Analiza și
interpretarea
unor situații
practice cu
ajutorul
conceptelor
statistice sau
probabilistice. -definirea și
identificarea
termenilor
specifici
statisticii
matematice:
populație
statistică,
esantion,
caracteristică,
frecvențe, clase
de valori
-culegerea
datelor statistice
-calculul
frecvențelor
absolute și a
frecvențelor
relative într -un
studiu statistic și
interpretare
-reprezentarea
grafică a datelor
statistice,
interpretarea
graficelor 2h fișe de
lucru

chestionare

portofoliu

calculator

pachetul
Microsoft
Office
Conversatia
Expunerea
Invatarea prin
descoperire
Munca in
echipe
Exercitiul
Problematizare

-Evaluare
frontală;
-Evaluarea
activității
în echipe
-portofoliu

Interpretarea
datelor
statistice prin – Utilizarea unor
algoritmi
specifici – calculul
mediei,
medianei, 4h

105
parametri de
poziție: medii,
dispersia,
abateri de la
medie calculului
financiar,
statisticii sau
probabilităților
pentru analiza
de caz.
-Transpunerea
în limbaj
matematic prin
mijloace
statistice sau
probabilistice a
unor probleme
practice.
-Analiza și
interpretarea
unor situații
practice cu
ajutorul
conceptelor
statistice sau
probabilistice.
modulului unei
serii statistice
– interpretarea
datelor statistice
cu ajutorul
mediei,
medianei,
modulului
– dispersia și
abaterea de la
medie
– interpretare și
prognoză

III.5. Probleme propuse
33. Situația fondului forestier din regiunea centru în perioada 1990 -2017 este redată în
tabelul de mai jos31:
Ani Total Rășinoase Foioase
1990 1169.7 518.5 651.3
1991 1170.4 519.1 651.3
1992 1171.1 518.6 652.4
1993 1170.2 517.4 652.8
1994 1170.2 517.9 652.3
1995 1170.2 514.9 655.2
1996 1168.8 511.9 656.7
1997 1166.8 511 655.7
1998 1164.8 508.1 656.6
1999 1164.2 507.1 657.1
2000 1164 506.4 657.7
2001 1165.4 505.8 659.6
2002 1162 501.9 660.1
2003 1165.7 497.1 668.5
2004 1166.9 510 656.8

31 Date statistice conform Institutului Național de Statistică, http://statistici.insse.ro

106
2005 1171.2 513.6 657.6
2006 1208 544.2 663.8
2007 1233.8 555.9 678
2008 1231.2 552.1 679.1
2009 1235.4 556.2 679.2
2010 1235.9 558 677.9
2011 1240.4 563.7 676.7
2012 1241 565.9 675.1
2013 1244.3 566 678.3
2014 1245 563.5 681.5
2015 1243.5 555.9 687.6
2016 1244.1 554.7 689.4
2017 1243.4 551 692.4

a) Comparați, reprezentând grafic datele de mai sus.
b) Determinați trendul pentru Rășinoase, și încercați să faceți o previziune a evoluției
suprafețelor cu rășinoase.
34. Seria reprezentată mai jos reprezintă situația regenerărilor artificiale ale pădurilor de
rășinoase, din regiunea centru, în perioada 1990 -201832.

a) Conform graficului, seria este sau nu sezonieră?
b) Determinați ritmul de dinamică al seriei.

32 Date statistice conform Institutului Național de Statistică, http://statistici.insse.ro 1000150020002500300035004000Rășinoase/hectare
Anul Time series plot of Rășinoase/hectare

107
c) Deter minați trend -ul seriei.
35. Începând cu anul 2004, numărul de mesaje text trimise a fost:
Anul Nr. Mesaje
(*106)
2004 931
2005 1647
2006 2253
2007 3155
2008 4306
2009 7442
2010 7921
2011 11172
2012 13873
2013 16904
2014 19499
2015 20242
2016 18279
a) Reprezentați grafic seria dată.
b) Determinați indicatorii medii ai seriei statistice.
c) Găsiți un argument pentru care numărul mesajelor scrise a început să scadă.
36. Tabelul de mai jos conține date privind Rata de fertilitate în rândul adolescentelor
(nașteri la 1000 de fete cu vârste cuprinse între 15 și 19 ani), în câteva țări din Europa și Statele
Unite ale Americii33
2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Austria 9.5292 8.9966 8.464 8.15 7.836 7.522 7.208
Belarus 21.5848 21.4214 21.258 20.4384 19.6188 18.7992 17.9796
Bulgaria 43.7244 43.5952 43.466 42.6728 41.8796 41.0864 40.2932
Croatia 12.5344 11.8532 11.172 10.7226 10.2732 9.8238 9.3744
Finland 8.1462 7.7846 7.423 7.2922 7.1614 7.0306 6.8998
France 9.6746 9.5568 9.439 9.2798 9.1206 8.9614 8.8022
Germany 8.7462 8.4046 8.063 7.7574 7.4518 7.1462 6.8406
Hungary 20.0066 20.1608 20.315 20.1876 20.0602 19.9328 19.8054
Lithuania 16.1048 15.1664 14.228 13.519 12.81 12.101 11.392
Moldova 26.2568 25.9544 25.652 24.9128 24.1736 23.4344 22.6952
Norway 7.1886 6.6138 6.039 5.9496 5.8602 5.7708 5.6814
Romania 37.4372 36.8946 36.352 35.6942 35.0364 34.3786 33.7208
United States 32.5494 30.2342 27.919 26.093 24.267 22.441 20.615
United
Kingdom 20.8564 19.3002 17.744 16.6948 15.6456 14.5964 13.5472
Ukraine 28.9362 28.4446 27.953 27.1304 26.3078 25.4852 24.6626

33 https://worldbank.org/

108
a) Reprezentați în același grafic seriile cronologice din tabelul de mai sus.
b) Calculați indicatorii medii pentru România și pentru Ungaria.
c) Analizați comparativ situația din România cu cea din Bulgaria, Ungaria și Republica
Moldova.
d) Determinați trendul seriilor corespunzătoare României și Statelor Unite ale Americii.
Care este pronosticul pentru anul 2017 pentru cele două țări?
37. Emisiile de diox id de carbon, măsurate în tone pe cap de locuitor sunt date in tabelul
de mai jos34:
2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Austria 8.295096 7.518751 8.071132 7.748134 7.387077 7.368748 6.869868
France 5.690501 5.438357 5.428981 5.077911 5.075064 5.062174 4.573182
Germany 9.506321 8.818596 9.279634 9.124859 9.1993 9.390623 8.88937
Hungary 5.463501 4.840111 5.022312 4.7979 4.494129 4.25966 4.265575
Moldova 1.338363 1.276291 1.38463 1.415303 1.383552 1.404532 1.386829
Romania 4.692067 4.005211 3.922214 4.212926 4.074315 3.550167 3.516154
Russian
Federation 12.01451 11.02386 11.69435 12.33488 12.78498 12.39356 11.85753
United Kingdom 8.424424 7.574622 7.857836 7.079298 7.355898 7.145844 6.49744
United States 18.46176 17.15774 17.44217 16.97346 16.30429 16.31435 16.49061

a) Comparați, grafic, emisiile de dioxid de carbon din Statele Unite ale Americii cu cele
ale Federației Ruse. Analog, comparați emisiile din Austria, Germania și Marea Britanie.
b) Comparați, grafic, totalul emisiilor de dioxid de carbon din Franța, Ungaria, Moldova,
România cu cele din Statele Unite ale Americii.
c) Calculați indicatorii medii pentru datele corespunzătoare României.
d) Stabiliți trendul pentru datele corespunzătoare României.
38. Situația vaccinărilor împotriva pojarului la copii cu vârsta cuprinsă între 12 și 23 luni
(% din totalul copiilor cu vârsta între 12 -23 luni) este:
2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Austria 80 84 88 92 96 96 95
Bulgaria 97 95 94 95 93 92 92
Franța 89 89 90 89 91 91 90
German ia 97 97 97 97 97 97 97
Grecia 99 99 99 99 97 97 97
Ungaria 99 99 99 99 99 99 99
Moldova 97 91 91 91 90 89 88
Româ nia 95 93 94 92 89 86 86
Rusia 98 98 98 98 98 98 98

34 https://worldbank.org/

109
Statele Unite 92 92 91 92 92 92 92
a) Reprezentați grafic datele corespunzătoare Austriei, Bulgariei, Moldovei și României.
b) Care țară are cea mai spectaculoasă creștere în imunizarea populației contra pojarului?
Dar scădere?
c) Analizați, prin prisma tuturor indicatorilor statistici, situația prezentată în tabelul de
mai sus.

III.6. Concluzii
Statistica stă la baza a numeroase cercetări științifice: de la științe sociale la medicină sau
sport, de la evoluții economice la evoluții stelare. Tocmai de aceea statistica este un instrument
foarte util de a pune elevii în ipostaza cea mai apropiată de munca unui cercetător. Îmbinând
metode clasice cu metode moderne, activ -participative, predare -învățarea statisticii poate deveni
o plăcere pentru elevi. Dacă, până la nivelul clasei a VIII -a se pune accentul pe reprezentarea
grafică a datelor statistice, începând cu clasa a X -a se face legătura cu teoria probabilităților,
oferind un câmp foarte variat de teme ce pot fi studiate de către elevi fie prin proiecte de
cercetare pe anumite teme: pariuri sportive vs. rezultate și predicții ale rezultatelor sport ive (fără
a încuraja pariurile sportive, realitatea arată că foarte mulți elevi la nivel liceal joacă la
pronosport), tipuri de mașini preferate, caracteristici ale acestora (capacitate, viteză, consum),
folosirea zilnică a internetului etc., precum și pri n studii de caz prin aplicarea de chestionare,
metodă folosită cu succes la nivelul clasei a XI -a profil științe sociale. Fiind puși în ipostaza de a
lucra în echipă, de a -și stabili întrebările la chestionare astfel încât informația obținută să fie cât
mai relevantă, până la a aplica, înregistra și analiza rezultatele, elevii pot fi evaluați formativ, pe
parcursul desfășurării studiului de caz, activitatea încheindu -se cu prezentarea rezultatelor
obținute. Un exemplu de chestionar aplicat de elevii clasei a XI-a științe sociale este prezentat
mai jos, cu înregistrarea rezultatelor pe categorii de vârstă, pentru prima întrebare. Proiectul a
constat în efectuarea analizei răspunsurilor primite la cele trei întrebări, în funcție de vârstă, de
mediu, de sex. La un proiect de acest fel au lucrat în grupe de 2 -3 elevi, fiecare grupă
concepându -și și aplicând chestionarul pe o temă generală dată (ex. tipul de cărți citite, genuri de
muzică preferată etc.). Proiectul s -a desfășurat pe parcursul unui semestru, pentru fiecare noțiune
nou introdusă completându -se proiectul. Finalizarea a constat în prezentarea rezultatelor și a
concluziilor obținute (ex. fetele fac, în medie, mai puțină mișcare decât băieții; băieții citesc mai
puțin ca fetele, genul preferat fiind fict ion; sporturile de echipă sunt preferate celorlalte activități
sportive) iar provocarea a fost găsirea unor posibile explicații ale rezultatelor obținute.

110

111
Fiind puși în situații inedite pentru ei, elevii au reacționat foarte bine, interesul pentru
orele de matematică crescând considerabil. Posibilitatea îmbinării competențelor de TIC, cu
noțiunile de matematică este un plus în creșterea motivației elevilor. De foarte multe ori, prin
prisma cadrului didactic, o problemă majoră o reprezintă munca indepe ndentă a elevilor (aceasta
tinzând spre zero), însă prin aplicarea unor proiecte prin care elevii sunt puși în situația de a -și
realiza singuri proiectele, cu supervizare, pe o perioadă suficientă de timp , de a -și prezenta
proiectele într -o manieră aleasă de ei crește gradul de implicare și colaborare al acestora. După
cum spunea Alexander Wittenberg în cartea sa Bildung und Mathematik35: ‖The real essence of
teaching is not found in the subject -related material but in the process of working on it‖.

35 Alexander Wittenberg —Bildung und Mathematik , Klett -Verlag 1990

112
Bibliografie :
1. Benestad, R., (2006) Solar Activity and Earth ’s Climate , 2nd Edition, Springer Praxis
2. Blaga, P., (2001) Statistică matematică, Ediția a II -a, Universitat ea ‖Babeș -Bolyai‖, Cluj
Napoca
3. Brânzei, D., Brânzei, R., (2000 ) Metodica predării matematicii , Ed. Paralela 45
4. Chiș, V., (2005) Pedagogia contemporană -pedagogia pentru competențe , Casa Cărții de
Știință, Cluj Napoca
5. Cucoș, C., (2006) Pedagogie , ediția a II -a, editura Polirom
6. Dean, S.; Illowsky, B, (2013) Introductory Statistics, 2nd Edition, OpenStax College
7. Iagăr, M.E.; Gered, B.; Ciuchea, A.; Vaida -Muntean, Gh., (2018) Anuarul Statistic al
României 2017 , Institutul Național de Statistică
8. Ionescu M., (2000 ) Demersuri creative în predare și învățare , Editu ra Presa Universității
Clujeană
9. Ionescu, M.; Bocoș, M., (2009) Tratat de didactică modernă, editura Paralela 45
10. Ionescu M.; Radu I., (2001 ) Didactica modernă , Ed. Dacia, București
11. James, G.; Witten, D.; Hastie, T.; Tibshirani, R., (2013) An Introduction to Statistical
Learning, Springer Praxis
12. McEhhinny, M.; Merrill, R., (1983) The Earth ’s Magnetic Field, Academic Press
13. Stix, M. , (1989, 2002 ) The Sun – An Introduction , Springer -Verlag Berlin Heidelberg,
Astronomy and Astrophysics Library
14. Șaronov, V.V., (1955) Soarele și observarea lui, Editura Tehnică
15. Wackerly, D.; Mendenhall, W.; Scheaffer, R., (2008) Mathematical Statistics with
Applications, ediția a V II-a, Thomas Learning Inc., USA
16. Wittenberg, A., (1990) Bildung und Mathematik , Klett -Verlag
17. Al-Khayat BYT, Hamdi MS (2018) Modeling and Periodicity Analysis of Sunspot Time
Series 1700 -2015 . J Appl Computat Math 7: 385. doi: 10.4172/2168 -9679.1000385
18. Rusu, M., (2007) The asymmetry of the solar cycle: A result of non -linearity, în Advances in
Space Researche —ADV SPACE RES. 40, 1904 -1911
19. Shaikh, Y.H.; Khan, A. R., (2008) Sunspots data analysis using time series, în Fractals,
Vol.16, Nr. 3, 259 -265
20. Programa școlară pentru disciplina matematică, clasele a V -a, a VIII -a, aprobată prin
OMEN 3393/28.02.2017
21. Matematică, Manual pentru clasa a IV -a, partea a II -a, editura Art, 2016
22. Caietul elevului de clasa I, Matematică și explorarea mediului , Editura Intuitext 2017

113
23. Caiet de vacanță, Comunicare în limba română/Matematică și explorarea mediul ui, Editura
Taida 2017
24. Manual de clasa I, Matematică și explorarea mediului, Partea I, Editura CDPress 2017
25. Matematică și explorarea mediului, Manual de clasa a II -a, Partea a II -a, Editura DPH 2014
26. Matematică, Manual pentru clasa a III -a, partea a II -a, Editura Intuitext, 2016
27. Locke, J., Some Thoughts Concerning Education , Cambridge Univ. press, 1889, digitalizat ă
2006, https://archive.org/details/somethoughtsconc00lockuoft , accesată la data de 20.06.2018
28. Institutul național de statistică, http://statistici.insse.ro , accesat la data de 18.07.2018
29. Subiecte Evaluare Națională 2016, http://subiecte2016.edu .ro, accesat la data de 01.08.2018
30. Solar Math , http://spacemath.gsfc.nasa.gov , 2012 , accesat la data de 02.02.2017
31. The World Bank, http://www.worldbank.org/ , accesat la data de 10.08.2018
32. Sunspot index and Long term Solar observations, http://www.sidc.be/silso/datafiles , accesat
la data de 20.03.2017
33. https://sohowww.nascom.nasa.gov/ , accesat la data de 20.03.2017
34. https://www.swpc.noaa.gov/content/solar -cycle -24-prediction -updated -may-2009 , accesat la
data de 20.07.2018
35. https://solarscience.msfc.nasa.gov , accesat la data de 06.07.2018
36. http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/sun/sunspots.shtml , accesat la da ta de
06.07.2018
37. https://www.libertatea.ro/simona -halep/simona -halep -sloane -stephens -finala -de-la-roland –
garros -2285233 , accesat la data de 08.06.2018
38. http://evaluare.edu.ro , accesat la data de 23.06.2018
39. https://www.cursbnr.ro , accesat la data de 20.06.2018
40. https://ourworldindata.org/intelligence , accesat la data de 08.08.2018

114
Declarație pe proprie răspundere privind autenticitatea lucrării de Gradul I

Subsemnatul(a) Marian Anca Cătălina _, legitimat(ă) cu _ CI___ seria _ AX_ nr.
___528557 ___ CNP __2790817013930 __, autorul lucrării cu titlul ____ O ABORDARE
METODICĂ A STUDIULUI UNOR FENOMENE PERIODICE __ (coordonator științific
___conf. univ. dr. Cristina Blaga __), elaborată în vederea susținerii examenului de gradul I,
sesiunea 2017 -2019 la specializa rea _ matematică , declar pe proprie răspundere, că această
lucrare este rezultatul propriei activități intelectuale, pe baza cercetărilor mele și pe baza
informațiilor obținute din surse care au fost citate, în textul lucrării, și în bibliografie.
Declar, c ă această lucrare nu conține porțiuni plagiate, iar sursele bibliografice au fost
folosite cu respectarea legislației române și a convențiilor internaționale privind drepturile de
autor.
Declar, de asemenea, că această lucrare nu a mai fost prezentată, de către alt candidat, în alte
contexte evaluative.
În cazul constatării ulterioare a unor declarații false, voi suporta sancțiunile administrative,
respectiv, anularea examenului de licență/disertație.

Data
Semnătura