C8 SSD – Metode de decizii multi -atribut cu date de tip interval [605567]

C8 SSD – Metode de decizii multi -atribut cu date de tip interval

Se pornește de la forma generală a unei probleme decizionale multi -atribut, care poate fi reprezentată sub forma
unei matrici, în care cele m linii reprezintă variantele decizionale, iar cele n coloane reprezintă criteriile
decizionale. În abordarea clasică, alternativa A i corespunzătoare criteriului C j este descrisă de un număr real x ij,
iar elementele vectorului coeficienților de importanță c riterială 𝜋=(𝜋1,𝜋2,…,𝜋𝑛) sunt numere reale. În
abordarea cu date cu intervale de variație, în locul numerelor reale x ij se utilizează intervalele
]x,x[U
ijL
ij , iar
vectorul coeficienților de importanță este înlocuit de un vector de componente de tip interval 𝜋=
{[𝜋1𝐿,𝜋1𝑈],[𝜋2𝐿,𝜋2𝑈],…,[𝜋𝑛𝐿,𝜋𝑛𝑈]}. Forma matricei decizionale în această nouă abordare are următoarea
reprezentare:
12
1 11 11 12 12 1 1
2 21 21 22 22 2 2
1 1 2 2…
… [ , ] [ , ] [ , ]
… [ , ] [ , ] [ , ]
… [ , ] [ , ] [ , ]n
L U L U L U
nn
L U L U L U
nn
L U L U L U
m m m m m mn mnC C C
A x x x x x x
A x x x x x x
A x x x x x x

Deoarece identificarea celor mai potriviți coeficienți de importanță c riterială este adeseori dificilă, se propune
utilizarea metodei entropiei pentru date cu intervale de variație, în vederea determinării unor coeficienți obiectivi
de importanță.1

8.1 Metoda Entropiei pentru date cu intervale de variație

Această metodă are la bază conceptul de entropie, ca măsură generală de cuantificare a incertitudinii. În
problemele de decizii multi -atribut, cu cât nivelul entropiei corespunzător unu i criteriu este mai ridicat, cu atât va
fi mai mic gradul de diversificare a informației date de rezultatele respectivului criteriu, situație în care i se va
asocia un nivel de importanță criterială mai redus. O extensie a metodei entropiei pentru date cu intervale de
variație a fost propusă de Lotfi și Fallahnejad în 20102 și conține următorii pași:

Pasul 1. Normalizarea matricei consecințelor
11,        ,    i 1,.. ;      j 1,..LU
ij ij LU
ij ij mmUU
ij ij iixxp p m n
xx   
,

unde m=număr de alternative, iar n=număr de criterii.

Pasul 2. Calculul limitelor inferioare și superioare ale intervalului entropiei, astfel:

  00 11min ln , ln , 1,..mmL L L U U
j ij ij ij ij iih h p p h p p j n     

  00 11max ln , ln , 1,..mmU L L U U
j ij ij ij ij iih h p p h p p j n     

unde h 0= (ln m)-1 și
lnLL
ij ijpp =0, dacă
0L
ijp , sau
lnUU
ij ijpp = 0, dacă
0U
ijp .

1 Metoda a fost propusă de Lotfi și Fallahnejad (2010).
2 Metoda Entropiei a fost dezvoltată și pentru cazul în care datele sunt de tip fuzzy și prezentată în studiul lui Wang și Lee (2009). Coeficienții obiectivi de
importanță de tip fuzzy au fost apoi utilizați în rezolvarea unei aplicații folosind o extensie a metodei TOPSIS pentru date de tip fuzzy. 𝑖=1,…,𝑚;𝑗=1,…,𝑛
𝑗=1,…,𝑛
𝑗=1,…,𝑛

Pasul 3. Calculul limitelor inferioare și superioare ale intervalului gradului de diversificare ca:

1 ,  1 ,    j 1,..L U U L
j j j jd h d h n    

Pasul 4. Determinarea limitelor inferioare și superioare ale intervalului coeficienților de importanță, după
formula:

11     ,  ,   j 1,..LU
jj LU
jj nnUL
ss ssddw w n
dd  

Pasul 5. Identificarea ordinii de importanță a criteriilor

Pentru determinarea ordinii de importanță a criteriilor având la bază coeficienții de importanță criterială
exprimați sub formă de date cu intervale de variație, trebuie utilizate anumite metode speciale pentru compararea
datelor cu intervale de variație. O astfel de metodă este cea propusă de Sengupta și Pal3 și presupune ca pentru
oricare două intervale D=
[ , ]LU
ij ijdd și E=
[ , ]LU
ij ijee să se calculeze o funcție de acceptabilitate de forma:
()( ) ( )
( ) ( )m D m EAw D w E
, unde m(D) și m(E) sunt valorile medii ale intervalului D, respectiv E, în timp ce w(D) și
w(E) sunt jumătățile de lungime ale intervalului D, respectiv E. Dacă
()A
< 0 => intervalul D este inferior
intervalului E, iar dacă
()A
>0 => intervalul D este superior lui E.

8.2 Metoda TOPSIS pentru date cu intervale de variație

Metoda TOPSIS extinsă pentru date cu intervale de variație , presupune următorii pași:

Pasul 1. Se normalizează matricea consecințelor prin calculul valorilor normalizate ale intervalelor matricei,
astfel:
22
1, 1,.. ;  1,..
[( ) ( ) ]ij
ijL
L
m
LU
ij ij
ix
n i m j n
xx
  

,
22
1, 1,.. ;  1,..
[( ) ( ) ]ij
ijU
U
m
LU
ij ij
ix
n i m j n
xx
  


Pasul 2.
2.1 Dacă forma coeficienților de importanță criterială este π j atunci se determină matricea
normalizată ponderată a consecințelor:

𝑣𝑖𝑗𝐿=𝜋𝑗𝑛𝑖𝑗𝐿,𝑖=1,…,𝑚; 𝑗=1,…,𝑛
𝑣𝑖𝑗𝑈=𝜋𝑗𝑛𝑖𝑗𝑈,𝑖=1,…,𝑚; 𝑗=1,…,𝑛

3 în lucrarea lor din 1997 intitulată „A -index for ordering interval numbers”. 𝑗=1,…,𝑛
𝑗=1,…,𝑛
𝑖=1,…,𝑚; 𝑗=1,…,𝑛

2.2 Dacă forma coeficienților de importanță criterială este [𝝅𝒋𝑳 , 𝝅𝒋𝑼 ] atunci se calculează 𝜋𝑗̅=
𝜋𝑗 𝐿+ 𝜋𝑗𝑈
2 ,𝑗=1,…,𝑛 și se normalizează 𝜋𝑗=𝜋𝑗̅̅̅̅
∑ 𝜋𝑗̅̅̅̅𝑛
𝑗=1 ,𝑗=1,…,𝑛. Apoi se trece la pasul 2.1

2.3. Dacă nu se cunosc coeficienții de im portanță criterială se aplică metoda entropiei pentru date cu
intervale de variație pentru a identifica coeficienții obiectivi de importanță 𝜋𝑗̅, pentru fiecare criteriu j,
calculați ca: 𝜋𝑗̅=𝜋𝑗 𝐿+ 𝜋𝑗𝑈
2 ,𝑗=1,…,𝑛. După normalizarea coeficienților de importanță astfel: 𝜋𝑗=
𝜋𝑗̅̅̅̅
∑ 𝜋𝑗̅̅̅̅𝑛
𝑗=1 ,𝑗=1,…,𝑛. se trece la pasul 2.1 pentru a se determina matricea normalizată ponderată a
consecințelor .

Pasul 3. Se identifică soluția ideală pozitivă, precum și soluția ideală negativă, astfel:

{(max ),(min )}
{(min ),(max )}UL
ij iji i
LU
ij iji iA v j B v j C
A v j B v j C
  
  

unde B este mulțimea asociată criteriilor de maxim, iar C criteriilor de minim.

Pasul 4. Se determină gradul de separare al fiecărei alternative față de soluțiile ideale pozitive și negative,
utilizând distanța euclidiană n -dimensională, astfel:
1
222{ ( ) ( ) } , 1,..LU
i ij ij ij ij
j B j Cd v v v v i m  
    

1
222{ ( ) ( ) } , 1,..UL
i ij ij ij ij
j B j Cd v v v v i m  
    

Pasul 5. Se calculează coeficientul de apropiere al fiecărei alternative în parte față de soluțiile ideale pozitive și
negative, astfel:
i CC , 1,..i
iidimdd
 și pe baza lor se ierarhizează alternativele în ordine descrescătoare.
Soluția optimă este varianta i*, pentru care
iiiCC CC max * .

Exemplificare:

Se consideră problema decizională privind selecția celui mai bun proiect de investiții, în raport cu încasările
înregistrate în primul an, costul investiției și rentabilitatea investiției. Matricea consecințelor se prezintă astfel:

ÎNCASĂRI ÎN PRIMUL AN
(mii euro) COST
(mii euro) RENTABILITATE
(%)
Proiect 1 [3, 5] [16, 20] [9, 11]
Proiect 2 [8, 10] [36, 40] [14, 20]
Proiect 3 [16,20] [64, 70] [20, 23]

Pentru stabilirea coeficienților de importanță criterială s -a făcut distincție între nivelul probabilităților subiective
și probabilitățile obiective.
Astfel, considerându -se mai întâi criterii de importanță egală, probabilitățile au fost ulterior recalculate pe baza
metodei entropiei pentru date cu intervale de variație.
𝑖=1,…,𝑚
𝑖=1,…,𝑚

Etapele parcurse au fost următoarele:
 s-a pornit de la matricea consecințelor:
ÎNCASĂRI
ÎN PRIMUL AN
(mii euro) COST
(mii euro) RENTABILITATE
(%)
C1
(max) C2
(min) C3
(max)
L U L U L U
Proiect 1 3 5 16 20 9 11
Proiect 2 8 10 36 40 14 20
Proiect 3 16 20 64 70 20 23

 s-a normalizat matricea consecințelor:

Proiecte C1 C2 C3
L U L U L U
Proiect 1 0,09 0,14 0,12 0,15 0,17 0,20
Proiect 2 0,23 0,29 0,28 0,31 0,26 0,37
Proiect 3 0,46 0,57 0,49 0,54 0,37 0,43

 s-au calculat limitele inferioare și superioare ale intervalului entropiei:

hL = 0,82 0,88 0,93
hU = 0,87 0,90 0,96

 s-au calculat limitele inferioare și superioare ale intervalului gradului de diversificare:

dL = 0,13 0,10 0,04
dU = 0,18 0,12 0,07

 s-au determinat limitele inferioare și superioare ale intervalului coeficienților de importanță:

wL si wU [0,35;0,64] [0,28;0,45] [0,1;0,27]
nivel mediu 0,494 0,366 0,189
jumătatea lungimii [ ] 0,147 0,087 0,084

 s-a identificat ordinea de importanță a criteriilor:

Criterii C1 C2 C3 RANG
C1 0 0,55 1,32 1
C2 -0,55 0 1,03 2
C3 -1,32 -1,03 0 3

Ordinea de importanță a criteriilor este: C3, C1, C2, iar coeficienții de importanță criterială sunt: 49,4%, 36,6%
și 18,9%. În urma normalizării coeficienților de importanță s -au obținut următoarele valori: 47,1%, 34,9% și
18%.

S-a aplicat apoi metoda TOPSIS cu date de tip interval pentru următoarea matrice a consecințelor:

ÎNCASĂRI ÎN PRIMUL AN
(mii euro) COST
(mii euro) RENTABILITATE
(%)
Proiect 1 [3, 5] [16, 20] [9, 11]
Proiect 2 [8, 10] [36, 40] [14, 20]
Proiect 3 [16,20] [64, 70] [20, 23]
πj 0,47 0,35 0,18

 Pas. 1. Se normalize ază matricea consecințelor:

Proiecte C1
(max) C2
(min) C3
(max)
L H L H L H
Proiect 1 0,1 0,17 0,14 0,18 0,22 0,26
Proiect 2 0,27 0,34 0,32 0,36 0,34 0,48
Proiect 3 0,55 0,68 0,57 0,62 0,48 0,55
πj 0,47 0,35 0,18

 Pas 2. Se construiește matricea normalizată ponderată V= (v ij)





0.0996 0.0866 0.2181 0.1994 0.3223 0.2579 0.0866 0.0606 0.1246 0.1122 0.1612 0.1289 0.0476 0.0390 0.0623 0.0498 0.0806 0.0484

 Pas 3 . Se identifică soluția ideală pozitivă V* și respectiv soluția ideală negativă V-

 
  0.0390 0.2181 0.0484 = 0.0996 0.0498 0.3223 V
-*
V

 Pas 4 . Se determină gradul de separare al fiecărei alternative față de soluțiile ideale pozitive și negative,
utilizând distanța euclidiană n -dimensională.

distanța față de
  0.1806 0.2110 0.2809 V *
distanța față de
  0.2812 0.1619 0.1715 = -V

 Se calculează coeficientul de apropiere al fiecărei alternative în parte, pe baza căruia se întocmește
clasificarea variantelor decizionale, descrescător.

Poziția 1: Alternativa 3 – CC 3= 0,61
Poziția 2: Alternativa 2 – CC 2= 0,43
Poziția 3: Alternativa 1 – CC 1= 0,38

Putem concluziona așadar că Proiectul 3 se dovedește a fi cel mai bun proiect de investiții, în raport cu încasările
înregistrate în primul an, costul și respectiv rentabilitatea investiției, a tunci când estimările se prezintă sub forma
unor intervale de variație, în condiții de incertitudine.