2006Program universitar de formare în domeniul [605529]

2006Program universitar de formare în domeniul
Pedagogie pentru Învățământ Primar și Preșcolar
adresat cadrelor didactice din mediul rural
DIDACTIC A MA TEMA TICII
ÎN ÎN VĂȚĂ MÂN TUL PRIM AR
Mihail ROȘ UForma de învățământ ID – semestrul III

Ministerul Educa ției și Cercetării
Proiectul pentru Înv ățământul Rural

PEDAGOGIA ÎNV ĂȚĂ MÂNTULUI
PRIMAR ȘI PREȘCOLAR

Didactica matematicii
în învățământul primar

Mihail RO ȘU

2006

© 2006 Ministerul Educa ției și Cercetării
Proiectul pentru Înv ățământul Rural

Nici o parte a acestei lucr ări
nu poate fi reprodus ă fără
acordul scris al Ministerului Educa ției și Cercetării

ISBN 10 973-0-04559-3; ISBN 13 978-973-0-04559-8.

Cuprins
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 1 CUPRINS

Introdu cere ……………………………………………………………………………………………………. …. 4

1. Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV ……………………………. 5
1.1. Obiectivele unit ății de învățare ……………………………………………………………………… 5
1.2. Obiectul metodicii pred ării matema ticii …………………………………………………………… 5
1.3. Obiectivele pred ării-învățării matema ticii ……………………………………………………….. 6
1.4. Con ținuturi ale matematicii școlare ……………………………………………………………….. 8
1.5. Formarea conceptel or matematice ……………………………………………………………… 10
1.5.1. Baza psihopedagogic ă a formării noțiunilor matema tice ………………………………….. 10
1.5.2. Formarea limbajul ui matema tic ……………………………………………………………………. 11
1.5.3. Probleme psihologice în formarea no țiunilor matema tice ………………………………… 12
1.5.4. Repere orient ative în predarea-înv ățarea conceptelor ma tematice …………………… 13
1.6. R ăspunsuri și comentarii la testul de autoevalua re ……………………………………….. 16
1.7. Bi bliograf ie …………………………………………………………………………………………… …. 16

2. Formarea conceptului de num ăr natural …………………………………………………… 17
2.1. Obiectivele unit ății de învățare ……………………………………………………………………… 17
2.2. Elemente preg ătitoare pentru în țelegerea conceptului de num ăr natural …………….. 17
2.3. Predarea numerelor natur ale în concent ru 0-10 ………………………………………………. 19
2.4. Predare numerelor natur ale în concent ul 10-100 …………………………………………….. 21
2.5. Predare numerelor natur ale în concentul 100-1000 …………………………………………. 21
2.6. Formarea no țiunilor de ordin și clasă ……………………………………………………………… 22
2.7. Predarea numerelor natur ale de nai mult e cifre ……………………………………………….. 22
2.8. Răspunsuri și comentarii la test ul de eval uare ………………………………………………… 25
2.9. Lucrare de ve rificare 1 …………………………………………………………………………………. 25
2.10. Biblio grafie ……………………………………………………………………………………………… … 25

3. Predarea opera țiilor cu numere naturale ……………………………………………………. 26
3.1. Obiectivele unit ății de învățare ……………………………………………………………………… 26
3.2. Predarea adun ării și scăderii numerelor naturale ……………………………………………. 26
3.2.1. Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10 ………………………….. 26
3.2.2. Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20 ………………………….. 29
3.2.3. Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100 ………………………… 31
3.2.4. Adunarea și scăderea numerelor naturale ma i mari decât 100 ………………………… 33
3.3. Predarea înmultirii si a împ ărțirii ………………………………………………………………….. 34
3.3.1. Predarea înmul țirii ……………………………………………………………………………………… 34
3.3.2. Predarea împ ărțirii …………………………………………………………………………………….. 37
3.4. Predarea ordinii efectu ării operațiilor ……………………………………………………………. 40
3.4.1. Ordinea efectuarii opera țiilor ……………………………………………………………………….. 40
3.4.2. Folosirea parantezelo r ……………………………………………………………………………….. 41

Cuprins
2 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 3.5. Răspunsuri si comentarii la testul de autoev aluare ………………………………………….43
3.6. Lucrare de verificare 2 ………………………………………………………………………………..43
3.7. Bi bliograf ie ……………………………………………………………………………………………. ….44

4. Predarea–înv ățarea mărimilor și unităților de m ăsură …………………………………..45
4.1. Obiectivele unit ății de învățare …………………………………………………………………….45
4.2. M ărime. Măsurarea unei m ărimi …………………………………………………………………..45
4.3. Unit ăți de măsură ………………………………………………………………………………………46
4.4. Estimarea m ăsurilor unei m ărimi ………………………………………………………………….47
4.5. Obiective și conținuturi ale pred ării-învățării mărimilor și măsurilor acestora ………48
4.6. Răspunsuri și comentarii la testul de autoeval uare …………………………………………51
4.7. Bibli ografie ………………………………………………………………………………………………. 51

5. Predarea elemente lor de geom etrie ……………………………………………………………..52

5.1. Obiectivele unit ății de învățare ………………………………………………………………………..52
5.2. Locul și rolul elementelor de geometrie în matematica școlară …………………………….52
5.3. Obiective și conținuturi ale înv ățării elementelor de geometri e …………………………….53
5.4.Intuitiv și logicîn predarea element elor de geomet rie …………………………………………..54
5.5. Formarea concepte lor geometri ce …………………………………………………………………..54
5.6. Sugestii metodice ………………………………………………………………………………………….5 5
5.7. Răspunsuri și comentarii la testul de autoeval uare …………………………………………….57
5.8. Bibli ografie ………………………………………………………………………………………………. ….57

6. Predarea frac țiilor ………………………………………………………………………………………..58
6.1. Obiectivele unit ății de învățare ………………………………………………………………………..58
6.2. Formarea no țiunii de frac ție ……………………………………………………………………………58
6.3. Compararea unei frac ții cu într egul …………………………………………………………………. 60
6.4. Frac ții egale …………………………………………………………………………………………………60
6.5. Compararea a dou ă fracții ………………………………………………………………………………60
6.6. Opera ții cu fracții ………………………………………………………………………………………….. 61
6.7. Aflarea unei frac ții dintr-un în treg …………………………………………………………………….62
6.8. Răspunsuri și comentarii la testul de autoeval uare …………………………………………….64
6.9. Bibli ografie ………………………………………………………………………………………………. ….64

7. Metodologia rezolv ării probleme lor ……………………………………………………………….65
7.1. Obiectivele unit ății de învățare ………………………………………………………………………..65
7.2. Conceptul de problem ă ………………………………………………………………………………….65
7.3.Rezolvarea problem elor simp le ………………………………………………………………………..66
7.4. Rezolvarea problem elor com puse …………………………………………………………………… 70
7.5. Răspunsuri și comentarii la testul de autoeval uare …………………………………………….75
7.6. Lucrare de ve rificare 3 …………………………………………………………………………………..75
7.7. Bibli ografie ………………………………………………………………………………………………. ….75

Cuprins
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 3 8. Jocul didact ic matematic …………………………………………………………………………….. 76
8.1. Obiectivele unit ății de învățare ……………………………………………………………………….. 76
8.2. Conceptul de jo c ………………………………………………………………………………………….. 7 6
8.3. Jocul didacti c …………………………………………………………………………………………….. .. 77
8.4. Jocul didacti c matemati c ……………………………………………………………………………….. 78
8.4.1. Caract eristi ci …………………………………………………………………………………………… .. 78
8.4.2. Nece sitate ………………………………………………………………………………………………. .. 79
8.4.3. Rol formati v …………………………………………………………………………………………….. .7 9
8.4.4. Locul și rolul în lec ția de matematic ă ……………………………………………………………. 79
8.4.5. Or ganizare ………………………………………………………………………………………………. .8 0
8.4.6. Desf ășurare ……………………………………………………………………………………………… 80
8.4.7. Tipuri de jocuri di dactice matema tice ……………………………………………………………. 81
8.5. Răspunsuri și comentarii la testul de autoeval uare …………………………………………… 82
8.6. Bibli ografie ………………………………………………………………………………………………. …. 82

9. Evaluarea randamentului școlar la matematic ă ………………………………………… 83

9.1. Obiectivele unit ății de învățare ……………………………………………………………………. 83
9.2. Eval uarea ………………………………………………………………………………………………… 8 3
9.2.1. Defini ții ……………………………………………………………………………………………………. 83
9.2.2. Evaluarea performan țelor școlare ……………………………………………………………….. 84
9.2.3. Strategii de evaluar e …………………………………………………………………………………. 84
9.2.4. Metode și tehnici de ev aluare ……………………………………………………………………. 85
9.3. Evaluarea randamentului școlar la matematic ă ……………………………………………. 86
9.3.1. Ce evalu ăm ? ………………………………………………………………………………………….. 86
9.3.2. Cu ce evalu ăm ? ……………………………………………………………………………………… 86
9.3.3. Cum evalu ăm ? ……………………………………………………………………………………….. 89
9.4. R ăspunsuri și comentarii la testul de autoeval uare ……………………………………….. 92
9.5. Bibl iografie ……………………………………………………………………………………………… 92

10. Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă ……………………………………… 93

10.1. Obiectivele unit ății de învățare ………………………………………………………………… 93
10.2. Proiectarea pedagogic ă …………………………………………………………………………. 93
10.2.1. Conceptul de proiectare pedagogic ă ………………………………………………………… 93
10.2.2. Modelul proiect ării tradiționale …………………………………………………………………. 94
10.2.3. Modelul proiect ării curricula re ………………………………………………………………….. 95
10.3 Proiectarea pe unit ăți de învățare …………………………………………………………….. 95
10.4 Proiectarea activit ății didactice la matematic ă ……………………………………………. 96
10.4.1. Planificarea calendaristic ă ……………………………………………………………………….. 97
10.4.2. Proiectarea unit ății de învățare …………………………………………………………………. 97
10.4.3. Proiectul de lec ție …………………………………………………………………………………… 98
10.5. R ăspunsuri și comentarii la testul de autoeval uare ……………………………………. 100
10.6. Lucrare de ve rificare 4 ………………………………………………………………………….. 100
10.7. Bibliogr afie ………………………………………………………………………………………….. 100
Bibliografie selectiv ă ………………………………………………………………………………………. 101

Introducere
4 Proiectul pentru Înv ățământul Rural INTRODUCERE

Cursul de fa ță își propune s ă-i familiarizeze pe viitorii profesori pentru înv ățământul
primar cu cele mai important e probleme legat e de predarea-înv ățarea matematicii în
clasele I-IV.
Concepția care a stat la baza structur ării modulului const ă în prezentarea
problemelor metodice conectate la con ținuturile esen țiale ale matematicii școlare din
clasele I-IV.
Conținutul său este focalizat pe „pilonii” acestei matematici școlare: numere
(naturale și fracționare), opera ții cu numere, m ărimi fizice și măsurarea lor, elemente de
geometrie. La acestea se adaug ă câteva probleme metodice importante, ce contureaz ă
cadrul metodologic al desf ășurării lecțiilor de matematic ă și condi ționează
eficiențademersului didactic, precum și elemente care țin de preg ătirea și evaluarea
acestor lec ții.
Aflată în zona de intersec ție a mai multor domenii (pedagogie, psihologie,
matematic ă), didactica matematicii vehiculeaz ă și valorizeaz ă concepte proprii ale acestor
discipline. De aceea, parcurgerea acestui modul presupune un cititor avizat în domeniul
psihopedagogiei procesului educa țional, cu capacitate de particularizare a no țiunilor
specifice acestora la domeniul pred ării-învățării matematicii.
După parcugerea și asimilarea modulului, a șteptăm ca cititorul:
• să cunoasc ă specificul pred ării-învățării principalelor con ținuturi ale matematicii
școlare a claselor I-IV;
• să aplice creator, în activit ățile de concepere, organizare și desfășurare a unei lec ții
de matematic ă, cunoștințele prezentate în acest modul;
• să-și formeze capacitatea de autoevaluar e a demersului metodic din lec ția de
matematic ă.
Finalizarea cursului presupune și rezolvarea a 4 lucr ări de verificare, ce se afl ă la
sfârșitul unităților de înv ățare 2 (Formarea conceptului de num ăr natural), 3 (Formarea
noțiunii de opera ție), 7 (Metodologia rezolv ării problemelor) și 10 (Elemente de proiectare
didactică la matematic ă).
Lucrările de verificare, rezolvate, vor fi tr ansmise tutorelui într-o modalitate stabilit ă de
comun acord (e-mail, prob ă scrisă etc).
Punctajul propus pentu rezolvarea fiec ărei lucrări se afl ă menționat dup ă enunțul
subiectelor.
Ponderea acestor lucr ări de verificare, ce reprezint ă evaluarea continu ă, este 50% din
evaluarea de bilan ț.

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 5 UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE 1
Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV

Cuprins
1.1. Obiectivele unit ății de învățare………………………………………………….. 5
1.2. Obiectul metodicii pred ării matematicii ………………………………………. 5
1.3. Obiectivele pred ării-învățării matematicii……………………………………. 6
1.4. Con ținuturi ale matematicii școlare……………………………………………. 8
1.5. Formarea conceptelor matematice………………………………………….. 10
1.5.1. Baza psihopedagogic ă a formării noțiunilor matematice……………… 10
1.5.2. Formarea limbajului matematic ……………………………………………….. 11 1.5.3. Probleme psihologice în formarea no țiunilor matematice ……………. 12
1.5.4. Repere orientative în predarea-înv ățarea conceptelor matematice . 13
1.6. Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare…………………….. 16
1.7. Bibliografie……………………………………………………………………………. 16

1.1. Obiectivele unit ății de învățare

La sfârșitul acestei unit ăți de învățare, studen ții vor fi capabili:
– să recunoasc ă determinarea psihopedagogic ă a metodicii pred ării-
învățării matematicii;
– să discrimineze obiectivele și conținuturile matematicii școlare a
claselor I IV;
– să cunoasc ă baza psihopedagogic ă a formării noțiunilor matematice;
– să identifice repere orientative în predarea înv ățarea conceptelor
matematice

1. 2. Obiectul metodicii pred ării matematicii

În sistemul științelor pedagogice, didactica are ca obiect procesul de
învățământ, studiind într-un mod sist emic componentele acestuia și
principiile didactice care guverneaz ă predarea-înv ățarea, con ținuturile,
strategiile de înv ățare și evaluare.
Ca ramur ă a pedagogiei școlare, didactica se ocup ă cu studiul
conceperii, organiz ării și desfășurării eficiente a procesului de înv ățământ.
Didacticile speciale sau metodicile sunt particulariz ări
interdisciplinare ale didacticii la anumite discipline de înv ățământ. didactica

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
6 Proiectul pentru Înv ățământul Rural Astfel, metodica pred ării matematicii are ca obiect studierea
legităților și conturarea celor ma i eficiente modalit ăți utilizabile în procesul
de predare – înv ățare – evaluare al acestei discipline. Ea încorporeaz ă
achiziții din domeniul matematicii, ped agogiei, psihologiei, sociologiei,
statisticii, care au o semnifica ție de natur ă metodic ă.
Zona de interes a metodicii matematice se plaseaz ă în două planuri:
• teoretic, de fundamentare logico- științifică și didactic ă a procesului
învățării matematice;
• practic-aplicativ, de stabilire a normelor privind organizarea și
desfășurarea activit ății de înv ățare a matematicii, de creare și
ameliorare a demersurilor didactice specifice acestei activit ăți.
Ca intersec ție a matematicii cu pedagogia, metodica pred ării-
învățării matematicii abordeaz ă problematica obiectivelor, con ținuturilor,
strategiilor didactice (metode și procedee, mijloace de înv ățământ, forme
de activitate și de organizare a elevilor) menite s ă conducă fiecare elev în
zona proximei dezvolt ări, prin cultivarea motiva ției pentru înv ățarea
matematicii.
Funcție de nivelul sistemului de înv ățământ vizat, se contureaz ă câte
o metodic ă specifică fiecărui palier: al activit ăților matematice din gr ădinița
de copii, al pred ării-învățării matematicii la clasele I- IV, în ciclul gimnazial,
liceal sau în înv ățământul superior. Fiecare dintre ele se conecteaz ă cu
celelalte, condi ționându-se reciproc.
Metodica de fa ță își propune nivelul claselor I – IV, urm ărind să ofere
alternative metodologice și modele posibile de lucru, care s ă asigure
optimizarea înv ățământului matematic în ci clul primar. Cum predarea-
învățarea matematicii este o activitate cu dubl ă determinare, organizare
științifică și realizare eficient ă, termenul de metodic ă nu trebuie în țeles ca o
sumă de metode pe care le folose ște învățătorul în procesul de înv ățământ.
În acest sens, în locul termenului de metodic ă poate fi folosit cel de
metodologie a didacticii matematicii, cu sensul de structur ă științifică și
normativ ă, care studiaz ă demersurile de cunoa ștere în domeniul respectiv.
Reușita asimil ării și aplicării metodologiei pred ării-învățării
matematicii la clasele I – IV este condi ționată de nivelul cunoa șterii
matematicii școlare, a fundamentelor acesteia, precum și a
psihopedagogiei procesului instructiv-educativ.

1.3. Obiectivele pred ării-învățării matematicii

Obiectivele educa ționale sunt induse de idealul educa țional și de
finalitățile sistemului de înv ățământ, care contureaz ă, într-o etap ă istorică
dată, profilul de personalitat e dorit la absolven ții sistemului de înv ățământ.
Finalitățile sistemului se concretizeaz ă în finalit ățile pe niveluri de
școlaritate (pre școlari, primar, gimnazial și liceal), care descriu specificul
fiecărui nivel de școlaritate din perspectiva politicii educa ționale.
Finalitățile învățământului primar sunt:
• asigurarea educa ției elementare pentru to ți copiii;
• formarea personalit ății copilului respectând nivelul și ritmul s ău de
dezvoltare;
• înzestrarea copilului cu acele cuno ștințe, capacit ăți și atitudini care
să stimuleze raportarea efectiv ă și creativă la mediul social și natural metodica
matematicii
obiective
generale
finalități

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 7

și să permită continuarea educa ției.
Curriculum-ul na țional, elaborat în anul 1998, realizeaz ă o
periodizare a școlarității prin gruparea mai multor ni veluri de clase, care au
în comun anumite obiective. Aceste cicluri curriculare au scopul de a
evidenția obiectivul major al fiec ărei perioade școlare și de a regala
procesul de înv ățământ din acea perioad ă.
Astfel, s-a format ciclul achizi țiilor fundamentale, ce cuprinde copiii
de 6-8 ani, afla ți în grădiniță și în clasele I – II, ciclul de dezvoltare,
cuprinzând copiii de 9-12 ani, corespunz ător claselor II – VI și ciclul de
observare și orientare, ce include copiii de 13-14 ani, din clasele a VII-a și a
VIII-a.
La nivelul înv ățământului primar, ciclul achizi țiilor fundamentale are
ca obiective majore acomodarea la cerin țele sistemului școlar și
alfabetizarea ini țială. Acest ciclu urm ărește:
9 asimilarea elementelor de baz ă ale principalelor limbaje
convenționale (scris, citit, calcul);
9 stimularea copilului în vederea perceperii, cunoa șterii și
adapt
ării la mediul apropiat;
9 formarea motiv ării pentru înv ățare.
Ciclul de dezvoltare are ca obi ectiv major formarea capacit ăților de
bază necesare pentru continuarea studiilor. Acest ciclu urm ărește:
9 dezvoltarea achizi țiilor lingvistice, a competen țelor de folosire
a limbii române, a limbii materne și a limbilor str ăine, pentru
exprimarea corect ă și eficient ă în situa ții variate de
comunicare;
9 dezvoltarea capacit ății de a comunica, folosind diferite limbaje
specializate;
9 dezvoltarea gândirii autonome și a responsabilit ății față de
integrarea în mediul social.
Studiul matematicii în ciclul primar urm ărește ca to ți elevii s ă-și
formeze competen țele de baz ă vizând: numera ția, calculul aritmetic, no țiuni
intuitive de geometrie și măsurarea m ărimilor.
În acest context, obiectivele cu ce l mai mare grad de generalitate,
numite obiective cadru , sunt:
1. cunoa șterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii;
2. dezvoltarea capacit ăților de explorare/investigare și de
rezolvare a problemelor;
3. formarea și dezvoltarea capacit ății de a comunica utilizând
limbajul matematic;
4. dezvoltarea interesului și a motiva ției pentru studiul și
aplicarea matematicii în contexte variate.

La nivelul fiec ărei clase, aceste obiective sunt detaliate și precizate
prin obiectivele de referin ță.
Astfel, la clasa I, primul obiectiv cadru se materializeaz ă în următorul
set de obiective de referin ță, exprimate în termeni de capacit ăți dorite la
elevi:
1.1 să înțeleagă sistemul pozi țional de formare a numerelor din zeci
și unități;
1.2 să scrie, să citească și să compare numerele naturale de la 0 la
100;
1.3 să efectueze opera ții de adunare și scădere în concentrul 0-30, obiective
de
referințã obiectivele
ciclurilor
curriculare
obiective
cadru

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
8 Proiectul pentru Înv ățământul Rural

fără trecere peste ordin;
Cel de-al doilea obie ctiv cadru se reg ăsește în urm ătoarele obiective
de referin ță:
2.1 să stabileasc ă poziții relative ale obiectelor în spa țiu;
2.2 să recunoasc ă forme plane și forme spa țiale, să sorteze și să
clasifice dup ă formă, obiecte date;
2.3. să sesizeze asocierea dintre elementele a dou ă categorii de
obiecte, desene sau numere mai mici ca 20, pe baza unor criterii date, s ă
continue modelele repet itive reprezentate prin obiecte, desene sau
numere mai mici decât 10;
2.4. să se continue modelel e repetitive reprezentate prin obiecte,
desene sau numere mai mici decât 10;
2.5. să exploreze modalit ăți de a descompune numere mai mici ca
30, în sum ă sau diferen ță folosind obiecte, desene sau numere;
2.6. să rezolve probleme care presupun o singur ă operație dintre
cele învățate;
2.7. să compun ă oral exerci ții și probleme cu numere de la 0 la 30.
2.8. să mă
soare dimensiunile, capacitat ea sau masa unor obiecte
folosind unit ăți de măsură nestandard aflate la îndemâna elevilor;
2.9. să recunoasc ă orele fixe pe ceas;
2.10. să estimeze num ărul de obiecte dintr-o mul țime și să verifice
prin num ărare estimarea f ăcută;
Al treilea obiectiv cadru se reflect ă în obiectivul de referin ță
3.1. să verbalizeze în mod constant modalit ățile de calcul folosite în
rezolvarea unor probleme practice și de calcul;
Cel de-al patrulea obiectiv cadru se reg ăsește în obiectivele de
referință
4.1. să manifeste o atitudine pozitiv ă și disponibilitate în a utilizarea
numerelor;
4.2. să conștientizeze utilitatea matematicii în via ța cotidian ă.
Toate aceste obiective sunt vala bile pentru curriculum-ul nucleu,
trunchiul comun ce corespunde num ărului minim de ore din planul de
învățământ .

1.4. Con ținuturi ale matematicii școlare

Curriculum-ul nucleu prevede urm ătoarele con ținuturi ale înv ățării la
clasa I :
• elemente preg ătitoare pentru în țelegerea conceptului de num ăr
natural;
• numere naturale de la 0 la 100: ci tire, scriere, comparare, adunare;
• adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-30, f ără
trecere peste ordin;
• figuri geometrice: triunghi, dreptunghi, p ătrat, cerc;
• măsurări cu unit ăți nestandard pentru lungime, capacitate, mas ă;
măsurarea timpului (unit ăți de măsură: ora, ziua, s ăptămâna, luna;
recunoașterea orelor fixe pe ceas)
• clasa I

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 9

La clasa a II-a sunt prev ăzute urm ătoarele noi con ținuturi ale
învățării:
• numere naturale pân ă la 1000 (formare, scrier e, citire, comparare,
ordonare);
• adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100, f ără și
cu trecere peste ordin; înmulțirea numerelor naturale în concentrul 0-
50; împărțirea dedus ă din tabla înmul țirii (se transfer ă în clasa a III-a
începând cu anul școlar 2004-2005);
• elemente intuitive de geometri e: punct, segment, linie dreapt ă, linie
frântă, linie curb ă; interiorul și exteriorul unei figuri geometrice;
exerciții de observare a obiectelor cu form ă de paralelipiped
dreptunghic;
• măsurarea m ărimilor și unităților de m ăsură pentru lungime (metrul),
capacitate (litrul), mas ă (kilogramul), timp (minutul); monede;
utilizarea instrumentelor de m ăsură adecvate: metrul, rigla gradat ă,
cântarul, balan ța;
Clasa a III-a are următoarele noi con ținuturi ale înv ățării:
• numere naturale pân ă la 1000000;
• adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-1000;
înmulțirea numerelor naturale în concentrul 0-100; împ ărțirea
(inclusiv cea cu rest) în acela și concentru; ordinea efectu ării
operațiilor și folosirea parantezelor rotunde;
• elemente intuitive de geom etrie: poligon; exerci ții de observare a
obiectelor cu forme de cilindru sau de con;
• măsurarea m ărimilor și a unit ăților de m ăsură pentru lungime
(multiplii și submultiplii metrului), capacitate (multiplii și submultiplii
litrului), mas ă (multiplii și submultiplii kilogramului), timp (anul),
monede și bancnote.
În clasa a IV-a sunt urm ătoarele noi con ținuturi ale înv ățării:
• numere naturale: clase (unit ăți, mii, milioane, miliarde);
caracteristicile sistemului de numera ție folosit (zecimal și pozițional);
scrierea cu cifre romane;
• adunarea și scăderea numerelor naturale f ără și cu trecere peste
ordin; înmul țirea când un factor are cel mult dou ă cifre sau este 10,
100, 1000; împ ărțirea la un num ăr de o cifr ă (diferen ță de 0) sau la
10, 100, 1000 ( a numerelor a c ăror scriere se termin ă cu cel pu țin
unul, dou ă sau trei zerouri); ordinea efectu ării operațiilor și folosirea
parantezelor;
• fracții: noțiunea de frac ție; fracții egale, reprezent ări prin desene;
fracții echiunitare, subunitare, supraunitare; compararea frac țiilor;
adunarea și scăderea frac țiilor cu acela și numitor; aflarea unei frac ții
dintr-un întreg;
• elemente intuitive de geometrie: unghi, drepte paralele; rombul;
perimetrul (dreptunghiului și pătratului); aria;
• măsurarea m ărimilor și unități de măsură, cu transform ări ale
multiplilor și submultiplilor unit ăților principale pentru lungime,
capacitate, mas ă; unități de măsură pentru timp (deceniul, secolul,
mileniul); monede și bancnote clasa a II-a

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
10 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 1.5. Formarea conceptelor matematice
Fiecare disciplin ă de înv ățământ trebuie s ă construiasc ă în
structurile mintale ale elevului un sistem de cuno ștințe, care s ă se apropie
de logica disciplinei respective.
Matematica școlară se fundamenteaz ă pe logica intern ă a științei
matematice, dar se construie ște ținând seama de particularit ățile psihice
ale elevilor.

1.5.1. Baza psihopedagogic ă a formării noțiunilor matematice

Specificul dezvolt ării stadiale a inteligen ței se manifest ă printr-o
proprietate esen țială: aceea de a fi concret-intuitiv ă. Conform concep ției
lui Piaget, la vârsta școlară mică, copilul se afl ă în stadiul opera țiilor
concrete, ce se aplic ă obiectelor cu care copilul ac ționează efectiv. Școlarul
mic (mai ales în clasa I) gânde ște mai mult operând cu mul țimile de obiecte
concrete, de și principiile logice cer o deta șare progresiv ă de baza concret ă,
iar opera țiile cer o interiorizare, o func ționare în plan mintal. Desigur, nu
obiectele în sine poart ă principiile matematice, ci opera țiile cu mul țimi
concrete. În acest cadru, se înscrie necesitatea ca proiectarea ofertei de
cunoștințe matematice pentru școlarul mic s ă ia în considerare
particularit ățile psihice ale acestei vâ rste. Dintre principalele caracteristici
ale dezvolt ării cognitive specifice acestei vârste, re ținem:
9 gândirea este dominat ă de concret;
9 perceperea lucrurilor este înc ă globală;
9 este perceput întregul înc ă nedescompus;
9 lipsește dubla ac țiune de disociere-recompunere;
9 compara ția reușește pe contraste mari, st ările intermediare
fiind greu sau deloc sesizate;
9 domină operațiile concrete, legate de ac țiuni obiectuale;
9 apare ideea de invarian ță, de conservare (a cantit ății, masei,
volumului);
9 apare reversibilitatea, sub forma inversiunii și compens ării;
9 puterea de deduc ție imediat ă este redus ă;
9 concretul imediat nu este dep ășit decât din aproape în
aproape, cu extinderi limitate și asociații locale;
9 intelectul are o singur ă pistă;
9 școlarul mic nu întrevede alternative posibile;
9 posibilul se suprapune realului.
Spre sfâr șitul micii școlarități se pot întâlni, evident diferen țiat și
individualizat, manifest ări ale stadiului preformal, simultan cu men ținerea
unor manifest ări intelectuale situate la nivelul opera țiilor concrete.

Caracteristicile acestui stadiu determin ă și variantele metodologice
destinate form ării noțiunilor matematice. În acest sens, prioritate va avea nu
atât stadiul corespunz ător vârstei, cât, mai ales, zona proximei dezvolt ări a
capacităților intelectuale ale elevilor.
Înainte de a se aplica propozi țiilor logice, opera țiile logice (nega ția,
disjuncția, conjunc ția, implica ția, echivalen ța), se exerseaz ă în planul
acțiunilor obiectuale, ale opera țiilor concrete. De aceea, procesul de dezvoltarea
cognitivã a
școlarului
mic
caracteristici

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 11

predare-înv ățare a matematicii în ciclul primar implic ă mai întâi efectuarea
unor acțiuni concrete, opera ții cu obiectele, care apoi se structureaz ă și se
interiorizeaz ă, devenind opera ții logice abstracte.
Formarea no țiunilor matematice se realizeaz ă prin ridicarea treptat ă
către general și abstract, la niveluri succesive, unde rela ția dintre concret și
logic se modific ă în direc ția esențializării realității. În acest proces, trebuie
valorificate diverse surse intuitive: experien ța empiric ă a copiilor,
matematizarea realit ății înconjur ătoare, limbajul grafic.
Un material didactic foarte potrivit pentru a demonstra conceptele
matematice de baz ă (mulțime, apartenen ță, incluziune, intersec ție,
reuniune ș.a.), care conduc la conceptul de num ăr natural și apoi la opera ții
cu numere naturale, este constituit din trusa de piese geometrice (blocurile
logice ale lui Dienes, Logi I, Logi II). Datorit ă faptului c ă atributul dup ă care
se constituie mul țimile (proprietatea caracteristic ă) de piese geometrice
este precis determinat (form ă, culoare, m ărime, grosime), structurile logice
se pot demonstra riguros. În operarea cu aceste piese, copiii se g ăsesc
foarte aproape de operarea cu structuri logice.
Limbajul grafic , materializat în reprezent ările grafice, este foarte
apropiat de cel no țional. El face leg ătura între concret și logic, între
reprezentare și concept, care reprezint ă o reflectare a propriet ăților relațiilor
esențiale ale unei categorii de obiecte s au fenomene. Între aceste niveluri,
interacțiunea este legic ă și continu ă. Ea este mijlocit ă de forma țiuni mixte
de tipul conceptelor figur ale, al imaginilor esen țializate sau schematizate,
care beneficiaz ă de aportul inepuizabil al concretului.
Imaginile mintale , ca modele par țial generalizate și reținute într-o
formă figurativ ă, de simbol sau abstract ă, îi apropie pe copii de logica
operației intelectuale, devenind astfel sursa principal ă a activit ății gândirii și
imaginației, mediind cunoa șterea realit ății matematice.
Pentru elevul clasei I, primele no țiuni matematice sunt cele de num ăr
natural și operații cu numere naturale (adunare și scădere). Formarea
acestor no țiuni parcurge urm ătoarele etape :
9 sesizarea mul țimilor și a relațiilor dintre acestea în realitatea
obiectivă (mulțimi de obiecte din m ediul ambiant, experien ța
de viață a elevilor, imagini ale mul țimilor de obiecte concrete);
9 operații cu mul țimi de obiecte concrete (cu mul țimi de obiecte
reale, cu mul țimi de obiecte simbol, cu piesele geometrice, cu
rigletele ș.a.);
9 operații cu simboluri ale mul țimilor de obiecte (imagini și
reprezent ări grafice);
9 operații cu simboluri numeric e (cifre, semne de opera ție, de
egalitate și inegalitate).

1.5.2. Formarea limbajului matematic

Se știe că învățarea oric ărei științe începe, de fapt, cu asimilarea
limbajului ei no țional. Studiul matematicii urm ărește să ofere elevilor, la
nivelul lor de în țelegere, posibilitatea explic ării științifice a no țiunilor
matematice.
Există o legătură strânsă între con ținutul și denumirea no țiunilor,
care trebuie respectat ă inclusiv în formarea no țiunilor matematice. Orice Conținutul/
denumirea
noțiunilor formarea
noțiunilor
matematice materialul
didactic
limbajul
grafic
imaginile
mintale

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
12 Proiectul pentru Înv ățământul Rural

denumire trebuie s ă aibă acoperire în ceea ce prive ște înțelegerea
conținutului no țional; altfel, unii termeni apar cu totul str ăini față de limbajul
activ al copilului care, fie c ă-l pronun ță incorect, fie c ă îi lipsesc din minte
reprezent ările corespunz ătoare, realizând astfel o înv ățare formal ă.
Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte, se
introduce la început cu unele dificult ăți. De aceea, trebuie mai întâi
asigurate în țelegerea no țiunii respective, sesizarea esen ței, de multe ori
într-un limbaj accesibil copiilor, f ăcând deci unele concesii din partea
limbajului matematic. Pe m ăsură ce se asigur ă înțelegerea no țiunilor
respective, trebuie prezentat ă și denumirea lor științifică. De altfel,
problema raportului dintre riguros și accesibil în limbajul matematic al
elevilor este permanent prezent ă în preocup ările învățătorilor.
Unul dintre obiectivele generale ale lec țiilor de matematic ă se refer ă
la cunoa șterea și folosirea corect ă de către elevi a terminologiei specifice.
Noile programe de matematic ă prevăd explicit obiective legate de însu șirea
unor deprinderi de comunicare , ce presupun st ăpânirea limbajului
matematic și vizează capacități ale elevului cum sunt:
9 folosirea și interpretarea corect ă a termenilor matematici;
9 înțelegerea formul ării unor sarcini cu con ținut matematic, în
diferite contexte;
9 verbalizarea ac țiunilor matematice realizate;
9 comunicarea în dublu sens (elevul s ă fie capabil s ă pună
întrebări în leg ătură cu sarcinile matematice primite și să
răspundă la întreb ări în legătură cu acestea).

1.5.3. Probleme psihologice în formarea no țiunilor matematice

Contactul cu unele no țiuni de matematic ă are o contribu ție majoră la
elaborarea planului abstrac t-categorial în evolu ția școlarului mic, cu condi ția
să nu fie între ținută învățarea mecanic ă, nerațională.
Pe parcursul unor semnificative unit ăți de timp, școlarii mici sunt
antrenați în rezolvarea unor sarcini de rela ționare a cunoscutului cu
necunoscutul care, ca structuri matematice, au o sfer ă logică
asemănătoare. Pe fondul un or structuri de baz ă, pot fi proiectate construc ții
operaționale particulare, schimbând di mensiunile numerice ale m ărimilor
sau chiar num ărul mărimilor puse în rela ție. Elevii sunt familiariza ți cu
deplasarea în sens cresc ător sau descresc ător în șirul numerelor naturale,
ca și cu tehnica primelor dou ă operații aritmetice (adunarea și scăderea). Ei
își îmbogățesc nomenclatorul no țional, aflând c ă unele numere se cheam ă
termeni, sum ă descăzut, scăzător, sau rest, cunosc propriet ățile de
comutativitate și asociativitate ale adun ării, constat ă că pentru a solu ționa
“? + b = c” trebuie s ă scadă, iar pentru a solu ționa “? – b = c” trebuie s ă
adune. Este un gen de operativ itate care cultiv ă flexibilitatea, concur ă la
creșterea vitezei de lucru, stimuleaz ă descoperirea, în țelegerea și
raționamentul matematic. Este vorba de o strategie care-l pune pe elev în
situația de a con știentiza de fiecare dat ă semnifica ția necunoscutei și de a
ajunge la ea prin intermediul ra ționamentului, care î și asociaz ă ca tehnic ă
operațională, când adunarea, când sc ăderea. Aceast ă strategie are
avantajul de a preg ăti terenul achizi ționării de c ătre școlarul mic a obiective
de
comunicare

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 13 capacității de a rezolva problema, înv ățându-l să diferențieze între ce se d ă
și ce se cere.
Unul dintre riscurile introducerii de fectuoase a elevului în clasa I în
noțiunile matematice este cel al separ ării în timp și spațiu, a exerci țiului
practic de cuno ștințele teoretice generalizatoare (regula, principiul de
rezolvare), plasate în actul înv ățării ca ac țiuni neasociate, ca tipuri de
cunoștințe autonome, succesive, f ără a se crea prilejul de a se fonda una
pe alta și de a se ilustra una prin alta.
Momentul ini țial al pătrunderii școlarului mic în rela țiile matematice
este înso țit și de alte dificult ăți, între care: persisten ța unei orient ări fixate
eronat (ex.: plus, minus, mai mare, mai mic), con știentizarea inadecvat ă a
operațiilor matematice, insuficienta cult ivare a sensului matematic al
operației de sc ădere (condi ția ca desc ăzutul să fie mai mare sau cel pu țin
egal cu sc ăzătorul), diferen țierea nesatisf ăcătoare în probleme a planului
datelor de planul necunoscutelor.
În matematic ă, prestațiile școlarului mic sunt puternic dependente de
model, datorit ă capacității lui reduse de a- și autodirija disponibilit ățile și
procesele psihice în sensul dorit de înv ățător. De aici, rezult ă necesitatea
raportării la presta țiile micului școlar nu doar ca la ni ște rezultate finite, ci ca
la niște procese susceptibile de a fi optimizate pe parcursul lor. Pentru
aceasta este necesar ca în struct ura comportamentului didactic al
învățătorului să precump ănească sugestiile, explica țiile, lămuririle, sprijinul,
îndrumarea, încurajarea.

1.5.4. Repere orientative în predarea-înv ățarea conceptelor
matematice

Stabilirea unor repere metodologice în predarea-înv ățarea
matematicii presupune o anticipare concret ă a direc țiilor de evolu ție a
învățământului matematic în ciclul primar. Consider ăm că acestea ar putea
fi:
9 conștientizarea obiectivelor formative și creșterea ponderii
formativului în întreaga activitate didactic ă;
9 apropierea matematicii școlare de matematica – știință
contemporan ă, în sensul reducerii decalajului dintre acestea;
9 învățarea structural ă modular ă a conținuturilor, ce ar permite
exploatări în concentre numerice succesive și reducerea
timpului destinat form ării unor deprinderi de calcul;
9 accentuarea caracterului interdisciplinar al cuno ștințelor și
priceperilor matematice, precum și o mai eficient ă conectare
la cotidian, la realitatea înconjur ătoare;
9 dobândirea unor strategii de re zolvare a problemelor, în
extensia activit ăților suplimentare post-rezolvare și a
compunerii de probleme.
Metodica pred ării matematicii acord ă un loc prioritar parametrilor
metodologici ai ac țiunii educa ționale, în spe ță complexului de metode,
tehnici și procedee didactice, precum și utilizării mijloacelor de înv ățământ.
Nu se poate vorbi de metode universale, eficiente sau ineficiente, bune sau
rele, active sau pasive. Fiecare situa ție de înv ățare poate admite una sau repere

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
14 Proiectul pentru Înv ățământul Rural mai multe variante metodice, op țiunea pentru o variant ă sau alta fiind
condiționată de un complex de factori.
Specifice pred ării-învățării matematice la clasele I- IV sunt strategia
inductivă și strategia analogic ă. În strategia inductiv ă se întreprind
experimente asupra situa ției date, efectuând ac țiuni reale cu obiecte sau
concepte. Pe baza observa țiilor făcute în cadrul acestor concretiz ări, elevii
sunt condu și progresiv la conceptualiz ări. Strategia analogic ă are ca temei
o caracteristic ă a gândirii matematice și anume, relevan ța ei logic-
analogică. Se pot întâlni analogii între no țiuni, între idei, între teoreme, între
domenii. Punctul de plecare îl constituie faptul c ă analogia reprezint ă forma
principală sub care se manifest ă procesele de abstractizare.
Conținutul științific al conceptelor matematice nu exclude, ci,
dimpotriv ă, presupune utilizarea unor metode și procedee bazate pe
intuiție, dat fiind faptul c ă școlarul mic are o gândire care se plaseaz ă la
nivelul opera țiilor concrete. Înv ățătorul trebuie s ă asigure un echilibru între
metodele de tip intuitiv-observativ, cele ac ționale problematizatoare, pentru
a nu ajunge la abuz de intui ție, dar nici la înv ățământ formal, f ără suport
modelator și în care multe no țiuni matematice r ămân fără o suficient ă
acoperire intuitiv ă.
Test de autoevaluare

1. Ce elemente de pedagogie se constituie în preocup ări specifice didacticii
matematicii?
2. Precizeaz ă obiectivele cadru al înv ățării matematice în clasele I-IV .
3. Care dintre con ținuturile urm ătoare sunt prev ăzute în curriculum-ul nucleu pentru
clasa I:
a) numere naturale de la 0 la 100;
b) fracții;
c) adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-30, f ără trecere peste
ordin;
d) înmul țirea numerelor natural e în concentrul 0-100;
e) figuri geometrice: triunghi, dreptunghi, p ătrat, cerc.
4. Enumer ă cel puțin 5 dintre principalele caracteristici ale dezvolt ării cognitive
specifice vârstei școlare mici.
5. Care sunt, în opinia ta primele 3 ca importan ță repere orientative în predarea-
învățarea conceptelor matemati ce în clasele I-IV.

Răspunsul va putea fi încadrat în spa țiul rezervat în continuare.

strategii

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 15

Probleme generale ale pred ării matematicii în clasele I – IV
16 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 1.6. Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 1.2. (Obiectul metodicii pred ării matematicii), în partea ce se refer ă la intersec ția
matematicii cu pedagogia.
R: obiective, con ținuturi, strategii didactice.
2. Revezi 1.3. (Obiectivele pred ării-învățării matematicii), în partea ce se refer ă la
obiectivele cu cel mai mare grad de generalitate (obiective cadru).
3. R: a), c), e).
4. Revezi 1.5.1. (Baza psohopedagogic ă a formării noțiunilor matematicii).
5. Revezi și apreciaz ă importan ța reperelor prezent ate la 1.5.4.

1.7. Bibliografie

1) Neacșu I. (coord.), Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV , EDP, 1988
2) MEN, CNC, Curriculum na țional, Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
București, 1998;
3)***** Manuale (î n vigoare) de matematic ă pentru clasele I – IV.

Formarea conceptului de num ăr natural
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 17 UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE 2
Formarea conceptului de num ăr natural

Cuprins
2.1. Obiectivele unit ății de învățare …………………………………………………….. 17
2.2. Elemente preg ătitoare pentru în țelegerea conceptului
de număr natural ……………………………………………………………………….. 17
2.3. Predarea numerelor naturale în concentru 0-10 …………………………….. 19
2.4. Predare numerelor natu rale în concentul 10-100……………………………. 21
2.5. Predare numerelor natural e în concentul 100-1000………………………… 21
2.6. Formarea no țiunilor de ordin și clasă……………………………………………. 22
2.7. Predarea numerelor nat urale de nai multe cifre ……………………………… 22
2.8. Răspunsuri și comentarii la testul de evaluare……………………………….. 25
2.9. Lucrare de verificare 1………………………………………………………………… 25
2.10. Bibliografie……………………………………………………………………………….. 25

2.1. Obiectivele unit ății de învățare
La sfârșitul aceste unit ăți de învățare, studen ții vor fi capabili:
– să aplice metodologia introducerii unui num ăr natural, în clasa I;
– să discrimineze modalit ăți de predare a numera ției în clasele II-IV;
– să conștientizeze no țiunile de ordin și clasă

2.2. Elemente preg ătitoare pentru în țelegerea conceptului de
număr natural

Parcurgerea acestui capitol se va face dup ă o necesar ă evaluare
predictiv ă a elevilor în primele zile de școală. Vor fi evaluate acele
cunoștințe, priceperi și deprinderi ale elevilor ce se reg ăsesc în structura
unității și vor fi explicitate mai jos. În func ție de rezultatele evalu ării, va fi
luată o decizie didactic ă privind ritmul parcurgerii acestui capitol și implicit,
timpul afectat: cu cât rezultatele sunt mai bune, cu atât timpul va fi mai
scurt.
Nu trebuie uitat c ă acest capitol reprezint ă doar o preg ătire a elevilor
pentru asimilare – adaptare, o modalitate de egalizare a șanselor, de a oferi
tuturor copiilor o necesar ă bază comună de pornire. De aceea, activitatea evaluare
predictivǎ

Formarea conceptului de num ăr natural
18 Proiectul pentru Înv ățământul Rural

învățătorului va fi diferen țiată și individualizat ă, oferind fiec ărui copil un
program personal de compensare sau dezvoltare.
După parcurgerea acestui capitol și evaluarea sumativ ă
corespunz ătoare, înv ățătorul va avea informa ții și va putea decide și asupra
tipului de curriculum pe care îl va put ea aborda cu clasa: trunchiul comun,
aprofundare sau extindere.
Conținutul Unit ǎții 2 are un vizibil caracter interdisciplinar , cu
trimiteri nu numai în interiorul, ci și în afara ariei curriculare. Se conecteaz ă
cu zona “limbii și comunic ării” atât prin activizar ea unui limbaj specific, cât
și prin solicit ările de verbalizare a ac țiunilor în exprim ări corecte, complete,
clare. Cu zona “arte” se leag ă prin cuno ștințe (ex.: culorile), priceperi și
deprinderi ce țin de grafie (trasare de linii, încercuiri, bar ări), desenare și
colorare. De zona “educa ție fizică” se leag ă prin intermediul priceperilor și
deprinderilor motrice, de care depinde realizarea unor ac țiuni directe de
manipulare a obiectelor. În interiorul ariei curriculare di n care face parte
matematica, se conecteaz ă cu ș
tiințele naturii prin cuno ștințele despre
plante și animale, necesare interpret ării unor imagini, în vederea stabilirii
unor propriet ăți caracteristice.
Prezentăm în continuare câte o list ă conținând ce trebuie s ă știe
(cunoștințe) și să facă (priceperi și deprinderi) elevul clasei I în vedrea
înțelegerii conceptului de num ăr natural.

Cunoștințe necesare :
a) culori (ro șu, galben, albastru);
b) forme geometrice plane: ce rc, triunghi, dreptunghi, p ătrat;
c) poziții relative ale obiectelor: sus/jos, fa ță/spate, pe/sub,
stânga/dreapta, aproape/departe ș.a;
d) mărimea obiectelor: mare/mic, l ung/scurt, înalt/scund, lat/îngust;
e) elemente de logic ă matematic ă (fără utilizarea terminologiei):
propoziție logică și negația ei, conjunc ția a două propoziții, disjunc ția
a două propoziții, implica ția;
f) mulțimi (fără utilizarea terminologiei): determinare, apartenen ță/
neapartenen ță, opera ții cu mul țimi (reuniune, intersec ție,
complementara unei submul țimi);
g) coresponden țe: compararea cantitativ ă a două mulțimi, ordonarea
cantitativ ă a două sau mai multe mul țimi;
h) invarian ța cantității.

Priceperi și deprinderi necesare :
a) – precizarea culorii unui obiect sau a unei imagini date;
– colorarea unor imagini cu o culoare precizat ă;
b) – recunoa șterea oric ăreia dintre formele geometrice precizate, pe
obiecte din mediul înconjur ător;
– denumir e unei forme geometrice date;
c) – recunoa șterea pozi țiilor relative ale unor obiecte indicate;
– pl asarea unor obiecte în pozi ții relative indicate;
– g ăsirea unor obiecte a șezate într-o pozi ție precizat ă față de un
reper;
d) – stabilirea m ărimii relative a dou ă obiecte comparate;
– ordonarea cresc ătoare/descresc ătoare dup ă mărime a dou ă/trei
obiecte (sau imagini);
e) – sortarea obi ectelor care au o proprietate dat ă; priceperi și
deprinderi interdiscipli-
naritate

Formarea conceptului de num ăr natural
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 19 – alegerea obiectelor caracterizate prin dou ă atribute simultan;
– tr ierea obiectelor care au cel pu țin unul dintre atribute date;
– utilizarea unui ra ționament de tipul „dac ă …. atunci ……” într-o
situație practic ă;
– descoperirea regulii de formare a unei secven țe dintr-un șir de
obiecte/imagini și construirea în continuare a șirului;
f) – formarea unor mul țimi de obiecte având o proprietate caracteristic ă
dată;
– formarea unor mul țimi de obiecte pentru care proprietatea
caracteristic ă este o conjunc ție de dou ă atribute;
– recunoa șterea propriet ății caracteristice a unei mul țimi date;
– sesizarea apartenen ței/neapartenen ței unui element la o mul țime
dată;
– construirea reuniunii a dou ă mulțimi disjuncte de obiecte;
– precizarea propriet ății caracteristice a intersec ției a dou ă mulțimi,
folosind conjunc ția;
– precizarea propriet ății caracteristice a complementarei unei
submulțimi, folosind nega ția;
– construirea mul țimii diferen ță dintre o mul țime dată și o submul țime
a sa;
g) – formarea de perec hi între elementele a dou ă mulțimi prin
coresponden ță „unu la unu”;
– stabilirea unei rela ții de ordine între dou ă mulțimi, exprimat ă prin
„tot atât”, „mai mult/pu țin”;
– a șezarea în ordine cresc ătoare/descresc ătoare a dou ă sau mai
multe mul țimi de obiecte sau imagini;
h) – sesizarea faptului c ă o mulțime rămâne cu „tot atâtea” obiecte,
indiferent de pozi ția spațială a acesteia;
– sesizarea faptului c ă mărimea obiectelor din dou ă mulțimi nu
decide care dintre are mai multe obiecte.

2.3. Predarea numerelor naturale în concentrul 0-10

Numărul natural reprezint ă cea mai cunoscut ă și utilizată entitate
matematic ă, pe care copilul o întâlne ște încă din perioada pre școlarității.
Cunoștințele empirice, particulare, dobândite la aceast ă vârstă, se vor l ărgi
treptat, generalizator, în sensul form ării conceptului de num ăr natural, în
clasele I-IV.
Introducerea num ărului natural se realizeaz ă pe baza
coresponden ței între mul țimi finite. Suportul științific este dat de no țiunea
de mulțimi echipotente: dou ă mulțimi sunt echipotente dac ă există o bijecție
de la una la cealalt ă. Relația de echipoten ță împarte mul țimile în clase
disjuncte, într-o clas ă aflându-se toate mul țimile echipotente între ele. O
astfel de clas ă poartă numele de cardinal. Orice num ăr natural este
cardinalul unei mul țimi finite. De exemplu, num ărul 3 este clasa de
echipoten ță a tuturor mul țimilor ce au 3 elemente.
Este evident c ă problema nu po ate fi abordat ă astfel la școlarii mici.
Calea cea mai utilizat ă pentru introducerea unui num ăr natural oarecare n
(de exemplu, 4) trece prin urm ătoarele etape:
9 se construie ște o mul țime de obiecte av ănd atâtea elemente
cât este ultimul num ăr cunoscut (în exemplul men ționat, 3); introducere
la clasa I
suportul
științific

Formarea conceptului de num ăr natural
20 Proiectul pentru Înv ățământul Rural

9 se construie ște o altă mulțime, echipotent ă cu prima;
9 se adaug ă în cea de a doua mul țime încă un obiect;
9 se face constatarea c ă noua mul țime are cu un obiect mai
mult decât prima mul țime;
9 se afirm ă că noua mul țime, format ă din n-1 obiecte și încă un
obiect are n obiecte (deci, 3 obiecte și încă un obiect
înseamn ă 4 obiecte);
9 se construiesc și alte mul țimi, echipotente cu noua mul țime,
formate din alte obiecte, pentru a sublinia independen ța de
alegerea reprezentan ților;
9 se prezint ă cifra corespunz ătoare noului num ăr introdus.
Există și alte modalit ăți posibile de introducere a num ărului natural:
una prezint ă numărul natural definit prin axiomele lui Peano (cale
inaccesibil
ă elevilor), alta consider ă numărul natural ca rezultat al m ăsurării
unei mărimi cu ajutorul unui etal on. În practica didactic ă a școlii române ști
nu se utilizeaz ă nici una dintre aceste dou ă modalități.
Obiectivele lecțiilor vizând numera ția la clasa I, pentru secven ța 0-
10, sunt:
a) raportare cantitate – num ăr –cifră (se dă o mulțime de obiecte și se
cere să se determine num ărul acestora și să se atașeze cifra
corespunz ătoare);
b) raportare cifr ă – număr –cantitate (se prezint ă cifra și se cere s ă se
precizeze num ărul corespunz ător, apoi s ă se construiasc ă o
mulțime având acel num ăr de obiecte);
c) scrierea și citirea numerelor naturale înv ățate;
d) stabilirea locului num ărului învățat, în șirul numerelor naturale;
e) compararea num ărului nou înv ățat cu celelalte numere cunoscute;
f) ordonarea cresc ătoare/ descresc ătoare a unor numere naturale
date;
g) eviden țierea aspectului ordinal al num ărului natural;
h) compunerea și descompunerea unor mul țimi având drept cardinal
numărul nou înv ățat;
i) estimarea num ărului de obiecte dintr-o mul țime dată și verificarea
prin num ărare.
Însușirea con știentă de către copii a num ărului natural este
condiționată de:
9 înțelegerea aspectului cardinal al acestuia (ca proprietate
comună a mulțimilor echipotente: acela și număr de elemente);
9 înțelegerea aspectului ordinal al acestuia (stabilirea locului
unui element într-un șir);
9 capacitatea de a compara numer e naturale, precizând care
este mai mic/ mare și de a ordona cresc ător/ descresc ător
mai multe numere date;
9 cunoașterea, citirea și scrierea cifrelor corespunz ătoare
numerelor naturale.
În formarea conceptului de num ăr natural se parcurg urm ătoarele
etape :
9 acțiuni cu mul țimi de obiecte (etapa ac țională);
9 schematizarea ac țiunii și reprezentarea grafic ă a mulțimilor
(etapa iconic ă);
9 traducerea simbolic ă a acțiunilor (etapa simbolic ă).
obiective
condiționări

Formarea conceptului de num ăr natural
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 21
2.4. Predar ea numerelor naturale în concentrul 10-100
Trecerea de la concentrul 0-10 la numere naturale mai mici decât
100 constituie pasul decisiv pentru în țelegerea de c ătre elevi a structurii
zecimale a sistemului nostru de numera ție, ce va sta la baza extinderii
continue a secven țelor numerice.
Pentru lec țiile vizând secven ța 10 – 100, în lista obiectelor urm ărite
se adaug ă:
j) înțelegerea zecii ca unitate de numera ție, bază a sistemului utilizat;
k) formarea, citirea și scrierea unui num ăr natural mai mare decât 10;
l) relația de ordine în secven ța numeric ă respectiv ă (compararea și
ordonarea numerelor înv ățate).
Înțelegerea procesului de formare a numerelor mai mari decât 10 și
mai mici sau egale cu 20 este esen țială pentru extrapolarea în urm ătoarele
concentre numerice. Studiul concentrului 10 – 20 îi ajut ă pe elevi s ă-și
consolideze cuno ștințele anterioare și să le transfere în contexte noi, s ă-și
îmbogățească gândirea cu metode și procedee ce vor fi folosite frecvent în
învățarea, în continuare, a numera ției.
Introducerea num ărului 11 se poate realiza astfel:
9 se formeaz ă o mulțime cu 10 elemente;
9 se formeaz ă o mulțime cu un element;
9 se reunesc cele dou ă mulțimi, obținându-se o mul țime format ă
din zece elemente și încă un element;
9 se spune c ă această mulțime are unsprezece elemente și că
scrierea acestui num ăr este „11”, adic ă două cifre 1, prima
reprezentând zecea și cea de a doua, unitatea.
Pentru a eviden ția structura unui num ăr mai mare decât 10 și mai
mic decât 20, este util ca zecea s ă apară ca unitate de numera ție, prin
utilizarea „compact ă” a acesteia (de exemplu, m ănunchiul de 10 be țișoare
legat). La aceast ă „zece legat ă” se pot ata șa unul sau mai multe elemente:
unu „vine spre zece”, formând num ărul unsprezece, doi „vin spre zece”,
formând num ărul doisprezece ș.a.m.d. O asemenea imagine dinamic ă este
sugestivă pentru școlarul mic, ajutându-l s ă-și formeze reprezent ări ce vor
sta la baza în țelegerii conceptului de num ăr natural.
Cu introducerea num ărului 20, ca o zece și încă alte 10 unit ăți, adică
două zeci, se încheie secven ța esențială pentru elevi, ce condi ționează
înțelegerea ulterioar ă a modului de formare, scriere și citire a oric ărui
număr natural . Dac ă această etapă este corect parcurs ă, nu vor fi
întâmpinate dificult ăți metodice în introducerea numerelor pân ă la 100.
Prin cunoa șterea unor astfel de numere, elev ii iau contact cu sistemul
zecimal, întâlnind , pentru prima dat ă, o nouă semnifica ție a cifrelor, dat ă
de locul pe care-l ocup ă în scrierea numerelor.

2.5. Predarea numerelor naturale în concentrul 100-1000
În predare numerelor naturale di n concentrul 100-1000 se folose ște
analogia cu procedeele din concentrul anterior înv ățat, conturându-se
ideea că 10 unități de un anumit fel formeaz ă o unitatea nou ă, mai mare.
În ac est concentru, elevii adaug ă la unitățile de numera ție cunoscute
(unitatea simpl ă, zecea) o unitatea nou ă – suta și află că zece sute
formează o mie. obiective
specifice
introducerea
numerelor
mai mari
decât 10

Formarea conceptului de num ăr natural
22 Proiectul pentru Înv ățământul Rural Formarea oric ărui număr mai mare decât 100 se realizeaz ă după
algoritmul cunoscut de la formarea num erelor mai mari decât 10: o sut ă și
încă o unitate formeaz ă 101 s.a.m.d.
Singura problem ă metodic ă nouă față de concentrele anterioare
este indus ă de formarea, citirea și scrierea numerelor ce con țin pe 0. Este
necesar ca elevii s ă discrimineze între 101 și 110 (de exemplu), în care
cifra 0 arat ă absența zecilor, respectiv a unit ăților simple.

2.6. Formarea no țiunilor de ordin și clasă
În etapa urm ătoare, predarea-înv ățarea numerelor naturale mai mari
decât 100 se caracterizeaz ă prin introducerea no țiunilor de ordin și clasă.
Până acum, elevii au cunoscut 3 unit ăți de calcul: unitatea (simpl ă), zecea
și suta. Pentru a ordona și sistematiza secven țele numerice urm ătoare,
fiecărei unități de calcul îi va fi ata șat un “ordin”, ce reprezint ă numărul de
ordine în scrierea num ărului: unit ățile (simple) vor fi numite unit ăți de
ordinul întâi; zecile, unit ăți de ordinul doi; sutele, unit ăți de ordinul trei. În
acest fel, unit ățile de mii vor fi unit ăți de ordinul patru, zecile de mii – unit ăți
de ordinul cinci, su tele de mii – unit ăți de ordinul șase ș.a.m.d. Pe m ăsură
ce cunosc ordinele, elevii constat ă că grupuri de trei ordine consecutive,
începând cu primul, con țin unități care se numesc la fel: unit ăți, unități de
mii, unități de milioane ș.a.m.d. Dat ă fiind aceast ă “periodicitate”, este firesc
ca un grup de trei ordine consecutive s ă formeze o nou ă structură, numită
clasă. Ordinele 1, 2, 3 formeaz ă clasa unit ăților; ordinele 4, 5, 6 formeaz ă
clasa miilor; ordinele 7, 8, 9 – clasa milioanelor ș.a.m.d. Se poate sugera
astfel că procedeul poate fi aplicat în continuare la nesfâr șit și că, implicit,
există numere naturale oricât de mari. În scrierea unor astfel de numere,
evidențierea claselor se realizeaz ă prin plasarea unui spa țiu liber între ele.

2.7. Predarea numerelor naturale de mai multe cifre

O atenție deosebit ă în scrierea unui num ăr trebuie s ă fie acordat ă
cifrei 0 (zero), care semnific ă absența unităților de un anumit ordin. La
citirea unui num ăr în scrierea c ăruia apar zerouri, acestea nu se rostesc.
De altfel, edificatoare în evaluarea depr inderii elevil or de a scrie/citi corect
un număr natural oricât de mare sunt probele ce con țin numere în care
lipsesc unit ățile de diverse ordine.
Următoarele extensii secven țiale (numere natural e mai mari decât
100) realizate în clasele II-IV , urm ăresc, în plus, obiectivul general:
m) conștientizarea caracteristic ilor sistemului de numera ție: zecimal
(zece unit ăți de un anumit ordin formeaz ă o unitate de ordinul
imediat urm ător) și pozițional (o cifr ă poate reprezenta diferite
valori, în func ție de pozi ția pe care o ocup ă în scrierea unui
număr).
Metodologia form ării conceptului de num ăr natural se bazeaz ă pe
faptul că elevii de vârst ă școlară mică se află în stadiul opera țiilor concrete,
învăț
ând îndeosebi prin intuire și manipulare direct ă a obiectelor. Pe
măsură ce ne deplas ăm către clasa a IV-a, are loc ridicarea treptat ă către
general și abstract, în direc ția esențializării realității. ordin
clasă

Formarea conceptului de num ăr natural
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 23 Pentru alegerea unor strat egii didactice eficiente și organizarea unor
situații de învățare cu randament sporit, la clasele I –II trebuie s ă se aibă în
vedere urm ătoarele sugestii metodice:
1. necesitatea ca fiecare elev s ă opereze direct cu un material
didactic bogat, variat și atractiv;
2. gradarea solicit ărilor, cu orientare spre abstractizare (de la
operare cu obiecte concrete, la fo losirea jetoanelor cu imagini, a
figurilor simbolice și a schemelor);
3. antrenarea mai multor analizator i (vizual, auditiv, tactil) în
învățarea și fixarea unui num ăr;
4. matematizarea realit ății înconjur ătoare, ce ofer ă multiple
posibilități de exersare a num ăratului;
5. realizarea frecvent ă de corela ții interdisciplinar e (ex.: solicitarea
de a găsi, într-un text dat, toate cuvintele ce au un anumit num ăr
de litere sau de câte ori apare o liter ă dată);
6. utilizarea frecvent ă a jocului didactic matematic sau introducerea
unor elemente de joc.
La clasele III – IV se va urm ări:
9 sublinierea necesit ății de a lărgi secven ța numeric ă cunoscut ă
(de exemplu, elevii pot fi motiva ți pentru înv ățarea numerelor
mari, trezindu-li-se interesul prin întreb ări de tipul: ”Vre ți să
știți cum se scriu și se citesc numerele care arat ă câte fire de
nisip sunt pe o plaj ă, câte kg are P ământul, ce distan țe
străbate o nav ă cosmică ?”);
9 exersarea, pân ă la formarea unor deprinderi corecte și
conștiente, a citirii și scrierii numerelor naturale oricât de mari,
îndeosebi a celor în care lipsesc una sau mai multe unit ăți de
un anumit ordin;
9 sugerarea, în timp, a ideii c ă șirul numerelor naturale este
nemărginit superior (exist ă numere naturale oricât de mari,
deci nu exist ă un cel mai mare num ăr natural).

Test de autoevaluare
1. Care este suportul științific al introducerii unui num ăr natural?
2. Precizeaz ă, folosind cuvinte proprii, obiectivele lec țiilor vizând numera ția în concentrul
0-10 (clasa I). Dac ă este necesar particularizeaz ă pentru un num ăr ales de tine.
3. Stabile ște coresponden țe între elementele coloanelor de mai jos ce reprezint ă etape în
formarea conceptului de num ăr natural.

etapa ac țională traducerea simbolic ă a acțiunilor
etapa iconic ă ac țiuni cu mul țimi de obiecte
etapa abstract ă schematizarea ac țiunii și reprezentarea grafic ă

4. Care sunt, în opinia ta, primele trei ca importan ță sugestii metodice legate de predarea
numerației la clasele I-II. Argumenteaz ă răspunsul.
sugestii
metodice pentru
clasele I-II
Sugestii
metodice
pentru
clasele III-IV

Formarea conceptului de num ăr natural
24 Proiectul pentru Înv ățământul Rural Răspunsul va putea fi încadrat în spa țiul rezervat în continuare.

Formarea conceptului de num ăr natural
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 25 2.8. R ăspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 2.3. (Predarea numerel or naturale în concentrul 0-10).
R: relația de echipoten ță între mul țimi finite.
2. Revezi 2.3. în partea re feritoare la obiectivele lec țiilor vizând numera ția la clasa I.
3. R: I 1, II 2; I 2, II 3; I 3, II 1 (unde I, II reprezint ă coloanele, iar 1,2,3 num ărul liniei).
4. Revezi 2.7. (Predarea numerelor de mai multe cifre), în partea final ă.

2.9. Lucrare de verificare 1

1. Alege, dintre elementele preg ătitoare pentru în țelegerea conceptului de num ăr natural,
două priceperi/depr inderi necesare și exemplific ă-le cu posibile tipuri de sarcini didactice și
situații de învățare în care ar putea fi antrena ți elevii.
2. Stabile ște unui algoritm prin care se introduce, la clasa I, num ărul 7.
3. Construie ște o listă cu numere de mai multe cifre, care s ă se constituie în obiect al
activității independente a elevilor (cit ire, scriere). Motiveaz ă introducerea fiec ărui număr în
listă.

Dup ă rezolvare, lucrarea de verificare trebuie transmis ă tutorelui, într-o modalit ate pe
care o ve ți stabili împreun ă (e-mail, prob ă scrisă etc.).

Sugestii pentru acordarea punctajului Oficiu: 10 puncte Subiectul 1: 30 puncte
Subiectul 2: 30 puncte Subiectul 3: 30 puncte

2.10. Bibliografie
1) Neacșu I. (coord.), Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV , EDP, 1988;
2) Roșu M., Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori ,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS. 2004;
3) **** MEN, CNC, Curriculum na țional. Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
București, 1998 (obiective de referin ță și exemple de activit ăți de înv ățare vizând
numerația);
4) **** SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ățământul primar , Editura Pro
Gnosis (matematic ă, numera ția);
5) **** Manuale (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I- IV (capitolele vizând
numerația).

Predarea opera țiilor cu numere naturale
26 Proiectul pentru Înv ățământul Rural UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE 3
Predarea opera țiilor cu numere naturale

Cuprins
3.1. Obiectivele unit ății de învățare ……………………………………………26
3.2. Predarea adun ării și scăderii numerelor naturale…………………..26
3.2.1. Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10…….26
3.2.2. Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20…….29
3.2.3. Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100…..31
3.2.4. Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mari decât 100…..33
3.3. Predarea înmultirii si a împ ărțirii…………………………………………….34
3.3.1. Predarea înmul țirii ……………………………………………………………….34
3.3.2. Predarea împ ărțirii……………………………………………………………….37
3.4. Predarea ordinii efectu ării operațiilor………………………………………40
3.4.1. Ordinea efectuarii opera țiilor …………………………………………………40
3.4.2. Folosirea parantezelor………………………………………………………….41
3.5. Răspunsuri si comentarii la testul de autoevaluare …………………..43
3.6. Lucrare de verificare 2………………………………………………………….43
3.7. Bibliografie………………………………………………………………………….44

3.1. Obiectivele unit ății de învățare

La sfârșitul acestei unit ăți de învâ țare, studen ții vor fi capabili:
– să aplice metodologia pred ării operațiilor cu numere naturale în clasele
I-IV;
– să discrimineze procedee de in troducere a ordinei efectu ării oprațiilor;
– să conștientizeze implica țiile calculatorii ale apari ției parantezelor într-o
expresie numeric ă.

3.2. Predarea adun ării și scăderii numerelor naturale
3.2.1. Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10

Pentru formarea no țiunii de adunare se porne ște de la opera ții cu
mulțimi de obiecte concrete (etapa perceptiv ă), după care se trece le
efectuarea de opera ții cu reprezent ări ce au tendin ța de a se generaliza
(etapa reprezent ărilor), pentru ca, în final, s ă se poat ă face saltul la
conceptul matematic de adunare (etapa abstract ă). adunarea

Predarea opera țiilor cu numere naturale
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 27

Introducerea opera ției de adunare se face folosind reuniunea a dou ă
mulțimi disjuncte.
În faza concret ă, elevii formeaz ă, de exemplu, o mul țime de baloane
roșii cu 3 elemente și o mulțime de baloane albastre cu 4 elemente.
Reunindu-se cele dou ă mulțimi de baloane se formeaz ă o mulțime care are
7 baloane ro șii sau albastre. Se repet ă apoi acțiunea folosind alte obiecte
(ex. creioane, be țișoare, flori, degete ș.a.), pân ă ce elevii con știentizeaz ă
că reunind o mul țime format ă din 3 obiecte cu o alt ă mulțime format ă din 4
obiecte (indiferent ce sunt acestea) se ob ține o mul țime format ă din 7
obiecte. În aceast ă fază, acțiunea elevului vizeaz ă număratul sau
compunerea unui num ăr, date fiind dou ă componente.
Faza a dou ă, semiabstract ă, este caracterizat ă de utilizarea
reprezent ărilor simbolice, cum ar fi:

3 4 3 4

3 + 4 = 7 3 + 4 = 7

Se introduc acum semnele grafice “+” și “=”, explicându-se ce
reprezint ă fiecare și precizându-se c ă acestea se scriu doar între numere.
În faza a treia, abstract ă, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar
numerele. Se introduce acum terminologia specific ă (termeni, sum ă/total) și
se eviden țiază proprietățile adunării (comutativitate, asociativitate, existen ța
elementului neutru), f ără utilizarea acestor termeni și cu apelare la intuire,
ori de câte ori este necesar. Tot în aceast ă etapă se poate sublinia
reversibilitatea opera ției, prin scrierea unui num ăr ca sum ă de două numere
(“descompunerea” num ărului), ce reflect ă simetria rela ției de egalitate.
Acest tip de solicitare antreneaz ă elemente de creativit ate pentru elevul
care, în urma unui ra ționament probabilistic, trebuie s ă găsească toate
soluțiile posibile, anticipând, în acela și timp, opera ția de scădere.
Scăderea se introduce folosind opera ția de diferen ță dintre o mul țime
și o submul țime a sa (complementara unei submul țimi).
În prima etap ă (concret ă), dintr-o mul țime de obiecte ce au o
proprietate comun ă se izoleaz ă (se îndep ărtează, se scoate) o submul țime
de obiecte și se constat ă câte obiecte r ămân în mul țime. Acțiunea mental ă
a elevului vizeaz ă număratul sau descompunerea unui num ăr în dou ă
componente, dat ă fiind una dintre acestea.
În a doua etap ă (semiabstract ă), reprezent ările utilizate pot fi de tipul
următor:

scǎderea

Predarea opera țiilor cu numere naturale
28 Proiectul pentru Înv ățământul Rural

7 – 3 = 4 7 – 3 = 4

Se introduce acum semnul grafic „-“, explicându-se ce reprezint ă și
precizându-se c ă și acesta se scrie „doar între numere.
În etapa a treia (abstract ă), în care se folosesc doar numerele, se
introduce terminologia specific ă (descăzut, scăzător, rest/diferen ță) și se
evidențiază proprietățile scăderii numerelor naturale (opera ție posibil ă doar
dacă descăzutul este mai mare sau egal cu sc ăzătorul; în cazul egalit ății,
restul este zero; când sc ăzătorul este zero, restul este egal cu desc ăzutul),
comparându-se cu propriet ățile adunării (scăderea nu este comutativ ă, nici
asociativ ă) și subliniind faptul c ă la adunare rezultat ul (suma) este mai
mare decât oricare dintre numerele care se adun ă (termeni), iar la sc ădere,
rezultatul (diferen ța) este mai mic decât desc ăzutul. Pentru ilustrarea
simetriei rela ției de egalitate în cazul sc ăderii și antrenarea reversibilit ății
gândirii, este necesar ă
abordarea solicit ării de a scrie un num ăr ca
diferență de alte dou ă numere.
Legătura dintre adunare și scădere trebuie subliniat ă și prin
realizarea probei fiec ărei dintre cele dou ă operații: la adunare, se scade din
sumă unul din termeni și trebuie s ă se obțină cel de-al doilea termen, iar la
scădere, se adun ă diferen ța cu sc ăzătorul și trebuie s ă se obțină
descăzutul. De asemenea, aceste rela ții se eviden țiază și în cazul afl ării
unui termen necunoscut la adunare sau la sc ădere, eliminând “ghicirea”, ce
apelează la memorie sau la procedeul încercare-eroare.
Înțelegerea acestor aspecte implic ă și formarea capacit ății elevilor de
a realiza discrimin ări terminologice (“mai mult cu…”, “mai pu țin cu…”), ce
vor sta la baza rezolv ării problemelor simple.
De altfel dintre rezolvarea unor situa ții-problem ă (îndeosebi ilustrate
cu material didactic concret sau prin imagini, dar și prezentate oral) ce
conduc la una dintre cele dou ă operații se realizeaz ă frecvent, înc ă înainte
de abordarea conceptului restrâns de problem ă din matematic ă. Și prin
aceste situa ții problem ă poate fi valorificat ă legătura dintre cele dou ă
operații, anticipând cunoa șterea faptului c ă din orice problem ă de adunare
se pot ob ține două probleme de sc ădere. De exemplu, o imagine ce
reprezint ă un lac pe care plutesc 4 ra țe, iar pe mal sunt alte 3 ra țe, poate fi
exploatat ă maximal (din punct de vedere matematic) prin formul ări de tipul:
9 Pe lac sunt 4 ra țe, iar pe mal sunt 3 ra țe. Câte ra țe sunt în
total?
9 Pe lac au fost 7 ra țe, iar 3 dintre ele au ie șit pe mal. Câte ra țe
au rămas pe lac?
9 Pe lac au fost 7 ra țe, iar acum sunt doar 4. Câte ra țe au ieșit
pe mal?

Predarea opera țiilor cu numere naturale
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 29 3.2.2.Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20

Comentariul priv ind predarea – înv ățarea celor dou ă operații în
concentrul 0 –10 r ămâne valabil în esen ță, extrapolându-se la noul
concentru numeric și lărgindu-se prin abordarea un or probleme metodice
specifice acestui concentru.
În predarea adun ării numerelor naturale pân ă la 20, se pot distinge
următoarele cazuri:
a) adunarea num ărului 10 cu un num ăr de unit ăți (mai mic
decât 10);
Acest caz nu ridic ă probleme metodice deosebite, dat fiind și faptul
că se coreleaz ă cu problematica form ării numerelor mai mari decât 10
(zecea și un num ăr de unități), abordat ă anterior, la numera ție.
b) adunarea unui num ăr format dintr-o zece și din unit ăți cu un
număr format din unit ăți;
În acest caz este necesar ca elevii s ă aibă deprinderile de a aduna
corect și rapid numere mai mici decât 10 și de a descompune num ărul mai
mare decât 10 într-o zece și unități, precum și priceperea de a ac ționa
numai cu unit ăț
ile celor dou ă numere, iar la final, s ă revină la primul caz.
Din punct de vedere metodic este necesar ă o acțiune direct ă,
demonstrativ ă, apoi, ori de câte ori este necesar, individual ă, cu obiectele,
acțiuni ce se vor reflecta în pa șii algoritmului:
9 descompunerea primului num ăr în 10 și unități;
9 adunarea unit ăților celor dou ă numere (cu sum ă mai mic ă sau
egală cu 10);
9 compunerea rezultatului din 10 și suma unit ăților.
De exemplu: 15 + 3 = (10 + 5) + 3 = 10 + (5 + 3) = 10 + 8 = 18
Scrierea de mai sus (eventual, f ără utilizarea parantezelor) trebuie
să apară pe tablă și în caiete, dar ea poate fi în țeleasă de către elevi doar
dacă se realizeaz ă în paralel cu ac țiunea direct ă cu obiectele. De men ționat
că aceast ă scriere nu reprezint ă un scop în sine, ce ar implica
automatizarea ei (scrierea “desf ășurată” a calcului), ci doar un mijloc de
conștientizare a algoritmului adun ării.
c) adunarea a dou ă numere mai mici decât 10 și a căror sum ă
este mai mare decât 10 (“cu trecere peste 10”).
Pentru în țelegerea acestui caz, elevii trebuie s ă aibă capacitatea de
a forma zecea, ca sum ă a două numere, dintre care unul este dat (g ăsirea
“complementului” unui num ăr dat în raport cu 10), priceperea de a
descompune convenabil un num ăr mai mic decât 10 și deprinderea de a
efectua adunarea zecii cu un num ăr de unități (cazul I).
Pașii algoritmului sunt:
9 căutarea unui num ăr care, adunat cu primul termen, conduce
la suma 10;
9 descompunerea convenabil ă a celui de-al doilea termen (una
din componente fiind num ărul găsit anterior);
9 adunarea zecii cu cealalt ă component ă a celui de-al doilea
termen.
De exemplu: 8 + 6 = 8 + (2 + 4) = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 = 14
Din punct de vedere metodic, se p ăstrează sugestiile prezentate în
cazul anterior, cu precizarea c ă formarea deprinderii respective este
deosebit de important ă și condiționează înțelegerea efectu ării adunării în 10 + 3
15 + 3
8 + 6 adunarea

Predarea opera țiilor cu numere naturale
30 Proiectul pentru Înv ățământul Rural

orice concentru numeric, deci trebuie s ă i se afecteze un timp suficient,
funcție de particularit ățile individuale ale elevilor.
În predarea sc ăderii numerelor naturale mai mici decât 20, se pot
distinge urm ătoarele cazuri:
a) desc ăzutul este cuprins între 10 și 20 iar sc ăzătorul este mai
mic decât unit ățile descăzutului (de exemplu 15 – 3);
Predarea acestui caz nu ridic ă probleme metodice deosebite, dac ă
elevii observ ă că este suficient ă scăderea unit ăților, zecea r ămânând
“neatinsă”. Algoritmul se reflect ă în modelul:
15 – 3 = (10 + 5) – 3 = 10 + (5 – 3) = 10 + 2 = 12.
b) desc ăzutul este cuprins între 10 și 20, iar sc ăzătorul este 10
(de exemplu, 15 – 10);
Nici acest caz nu prezint ă dificultăți metodice dac ă elevii observ ă că
este suficient ă scăderea zecii, unit ățile rămânând neschimbate. Algoritmul
se materializeaz ă în modelul:
15 – 10 = (5 + 10) – 10 = 5 + (10 – 10) = 5 + 0 = 5

c) atât desc ăzutul, cât și scăzătorul sunt cuprinse între 10 și 20
(de exemplu 15 – 13);
Acest caz reprezint ă o combina ție a celor dou ă și rezolvarea sa este
reductibil ă la descompunerea celor dou ă numere (cu câte o zece și unități),
scăderea unit ăților de acela și fel (10 –10 și unități – unități) și adiționarea
rezultatelor, ca în modelul: 15 – 13 = (10 + 5) – (10 + 3) = (10 –10) + (5 – 3) = 0 + 2 = 2
Mai mult decât în primele dou ă cazuri este acum necesar ă ilustrarea
algoritmului prin utilizarea unui material didactic corespunz ător (de exemplu
bețișoare), scrierea formalizat ă de mai sus nefiind altfel accesibil ă
înțelegerii elevilor.

d) desc ăzutul este 20 iar sc ăzătorul este mai mic decât 10 (de
exemplu 20 –3);
Este primul caz în care este necesar ă “desfacerea” unui zeci în
unități și apoi scăderea din 10 a unit ăților scăzătorului.
Pentru formarea priceperii corespunz ătoare este necesar ca elevii s ă
aibă
deprinderea de a efectua corect și rapid sc ăderea din 10 a unui num ăr
de unități și să înțeleagă necesitatea transform ării uneia din cele dou ă zeci
în unități.
Algoritmul se reflect ă în modelul:
20 – 3 = (10 + 10) – 3 = 10 + (10 – 3) = 10 + 7 = 17
Procedeul este însu șit cu ușurință de elevi, dac ă la început este
demonstrat și exersat ac țional, cu material didactic intuitiv.

e) desc ăzutul este 20 iar sc ăzătorul este cuprins între 10 și 20
(de exemplu 20 – 13);
Cazul reprezint ă o lărgire a celui anterior, ce face necesar ă, în plus,
scăderea zecilor. Algoritmul este ilustrat de modelul:
20 – 13 = (10 + 10) – (10 + 3) = ( 10 – 10) + (10 – 3) = 0 + 7 = 7
Și acest caz îl oblig ă pe învățător să organizeze situa ții de învățare
acționale, care s ă conducă la înțelegerea și apoi parcurgerea fluent ă a
pașilor algoritmului, f ără să mai solicite elevilor scrierea formalizat ă de mai
sus. scǎderea
15 – 3

15 – 10

15 – 13
20 – 3
20 – 13

Predarea opera țiilor cu numere naturale
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 31

f) desc ăzutul este cuprins între 10 și 20 iar sc ăzătorul, mai mic
decât 10, este mai mare decât unit ățile desc ăzutului (de
exempl 15 – 8);
Este cazul cel mai dificil pentru elevi, iar în țelegerea sa
condiționează înțelegerea de a efectua sc ăderi în orice situa ție dată și în
orice concentru numeric.
Acest caz poate fi rezolvat prin dou ă procedee.
Primul procedeu cuprinde:
9 descompunerea desc ăzutului într-o zece și unități
(15 = 10 + 5); 9 descompunerea sc ăzătorului astfel încât una dintr
componente s ă fie egală cu unitățile descăzutului (8 = 5 + 3);
9 scăderea acestei componente a sc ăzătorului din unit ățile
descăzutului (5 –5 = 0);
9 scăderea din zecea desc ăzutului a celeilalte componente a
scăzătorului (10 – 3 = 7).
Deci,
15 – 8 = (10 + 5) – 8 = (10 + 5) – (5 + 3) = 10 + (5 – 5) – 3 = 10 + 0 – 3=10 – 3 = 7
Al doilea procedeu revine la:
9 descompunerea desc ăzutului într-o zece și unități
(15 = 10 + 5); 9 scăderea din zecea desc ăzutului a unit ăților scăzătorului
9 (10 – 8 = 2);
9 adunarea acestui rest cu unit ățile descăzutului (2 + 5 = 7).
Deci, 15 – 8 = (10 + 5) – 8 = (10 – 8) + 5 = 2 + 5 = 7 Este necesar ca elevilor s ă li se prezinte ambele procedee, s ă fie
solicitați să le aplice pe amândou ă în una sau mai multe sc ăderi date,
pentru ca, apoi, ace știa să opteze pentru unul din procedee (care li se pare
mai ușor), ce va fi folosit în continuare.
Prezentarea celor dou ă procedee trebuie realizat ă cu material
didactic, f ără grabă, cu conștientizarea fiec ărui pas (analiza procedeului) și
apoi sinteza tuturor pa șilor, ilustrat ă în scrierile formalizate de mai sus, care
nu se vor constitui în sarcini de lucru pentru elevi.

3.2.3. Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul
0- 100

Predarea opera țiilor de adunare și scădere în concentrul
0 – 100 trebuie s ă urmărească însușirea de c ătre elevi a urm ătoarelor idei:
9 calculul în acest concentru se realizeaz ă în acela și mod ca și
în concentrul 0 –20;
9 orice num ăr mai mare decât 10 se descompune în zeci și
unități;
9 zecea este o nou ă unitate de calcul;
9 operațiile se realizeaz ă cu unit ățile de acela și fel (unit ăți,
zeci), ansamblând apoi rezultatele par țiale; idei
generale 15 – 8

Predarea opera țiilor cu numere naturale
32 Proiectul pentru Înv ățământul Rural

9 10 unit ăți se restrâng într-o ze ce, iar o zece se poate
“desface” în 10 unit ăți (echivalen ța dintre 10 unit ăți și o zece);
9 calculul este mai u șor de efectuat în scris (scrierea pe
verticală, cu unități sub unit ăți și zeci sub zeci).
În predarea adun ării numerelor naturale mai mici decât 100 se
disting urm ătoarele cazuri:
a) adunarea a dou ă numere formate numai din zeci (de exemplu
20 + 30);
În abordarea acestui caz, înv ățătorul trebuie s ă sublinieze c ă zecile
sunt și ele unit ăți de calcul și, în consecin ță, se va opera cu ele ca și cu
unitățile. Astfel, știind că 2 + 3 = 5 pentru orice fel de unit ăți, elevii vor putea
deduce cu u șurință că 2 zeci + 3 zeci = 5 zeci, adic ă 20 + 30 = 50.

b) adunarea unui num ăr format numai din zeci cu un num ăr mai
mic decât 10 (de exemplu, 30 + 4);
Nici acest caz nu ridic ă probleme metodice de osebite, deoarece se
coreleaz ă cu problematica form ării numerelor (3 zeci
și 4 unități formeaz ă
numărul 34, deci 30 + 4 = 34).
c) adunarea unui num ăr format numai din zeci cu un num ăr
format din zeci și unități (de exemplu, 30 + 24);
În acest caz, algoritmul opera ției presupune:
9 descompunerea num ărului al doilea în zeci și unități;
9 adunarea zecilor celor dou ă numere;
9 adiționarea la aceast ă sumă a unităților celui de-al doilea
număr;
Deci 30 + 24 = 30 + (20 + 4) = (30 + 20) + 4 = 50 + 4 = 54

d) adunarea unui num ăr format din zeci și unități cu un num ăr
mai mic decât 10, f ără trecere peste ordin (de exemplu 32 +
4);
Se diferen țiază de cazul anterior prin aceea c ă se adun ă unitățile
celor dou ă numere, adi ționând apoi și zecile primului num ăr.
Deci, 32 + 4 = (30 + 2) + 4 = 30 + (2 + 4) = 30 + 6 = 36

e) adunarea a dou ă numere formate fiecare din zeci și unități,
fără trecere peste ordin (de exemplu 35 + 24);
Pașii algoritmului sunt:
9 descompunerea fiec ărui număr în zeci și unități;
9 adunarea zecilor celor dou ă numere, respectiv unit ăților;
9 adiționarea celor dou ă sume par țiale.
Adică 35 + 24 = (30 + 5) + (20 + 4) = (30 + 20) + (5 + 4) = 50 + 9 = 59

f) adunarea a dou ă numere formate fiecare din zeci și unități,
având suma unit ăților 10 (de exemplu 35 + 25);
Elementul de noutate introdus de acest caz este faptul c ă suma
unităților (10) se restrânge într-o zece, care se va aduna cu suma zecilor
celor dou ă numere.
Așadar, 35 + 25 = (30 + 5) + (20 + 5) = (30 + 20) + (5 + 5) = 50 + 10 = 60

g) adunarea unui num ăr format din zeci și unități cu un num ăr
mai mic decât 10, cu trecere peste ordin (de exemplu 35 + 7);
Apare în plus fa ță de cazul anterior faptul c ă suma unit ăților este un adunarea
20 + 30
30 + 4
30 +24
32 + 4
35 + 24
35 + 25

Predarea opera țiilor cu numere naturale
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 33

număr mai mare decât 10. Se formeaz ă din aceast ă sumă o zece, care se
va aduna cu zecile primului num ăr și unități, ce se adi ționează la suma
zecilor. Deci: 35 + 7 = (30 + 5) + 7 = 30 + (5 + 7) = 30 + 12 = 30 + (10 + 2) = (30 + 10) +
2 = 40 + 2 = 42
h) adunarea a dou ă numere formate fiecare din zeci și unități,
cu trecere peste ordin (de exemplu 35 + 27);
În acest caz suma unit ăților (mai mare decât 10) se transform ă într-o
zece, care se va ad ăuga sumei zecilor celor dou ă numere și unități, ce se
vor adiționa la zecile ob ținute.
Adică,
35 + 27 = (30 + 5) + (20 + 7) = (30 + 20) + (5 + 7) = 50 + 12 = 50 + (10 + 2) =
= (50 + 10) + 2 = 60 + 2 = 62

În predarea sc ăderii, demersurile sunt asem ănătoare, astfel încât
vom prezenta gradat cazurile posibile, doar prin exemplif icarea scrierilor
formalizate ale acestora.
a) 50 – 20 = 30 (prin analogie cu 5 – 2 = 3); b) b) 54 – 4 = (50 + 4) – 4 = 50 + (4 – 4) = 50 + 0 = 50;
c) 54 – 50 = (50 + 4) – 50 = (50 – 50) + 4 = 0 + 4 = 4; d) 54 – 20 = (50 + 4) – 20 = (50 – 20) + 4 = 30 + 4 = 34; e) 56 – 4 = (50 + 6) – 4 = 50 + (6 – 4) = 50 + 2 = 52; f) 56 – 24 = (50 + 6) – (20 + 4) = ( 50 – 20) + (6 – 4) = 30 + 2 = 32;
g) 50 – 4 = (40 + 10) – 4 = 40 + (10 – 4) = 40 + 6 = 46;
h) 50 – 24 = (40 + 10) – (20 + 4) = ( 40 – 20) + (10 – 4) = 20 + 6 = 26
sau 50 – 24 = 50 – (20 + 4) = ( 50 – 20) – 4 = 30 – 4 = 26;
i) 54 – 8 = (50 + 4) – 8 = (40 + 10 + 4) –8 = 40 + 4 + (10 – 8) = 44 +
2 = 46
sau 54 – 8 = 54 – (4 + 4) = ( 54 – 4) – 4 = 50 – 4 = 46;
j) 54 – 28 = (50 + 4) – (20 + 8) = (40 + 10 + 4) – (20 + 8)
= (40 – 20) + (10 – 8) + 4 = 20 + 2 + 4 = 26
sau 54 – 28 = 54 – 20 – 8 = (54 – 20) – 8 = 34 – 8 = 26 .
3.2.4.
Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mari decât 100

Aceste cazuri nu ridic ă probleme metodice deosebite dac ă elevii
stăpânesc algoritmii celor dou ă operații, pe care i-au ap licat în concentre
numerice mai mici. Singura diferen ță este dat ă de ordinul de m ărime al
numerelor, dar aceasta nu afecteaz ă cu nimic structura algoritmilor.
Desigur, pe lâng ă zecea, apar și alte unit ăți de calcul, cum sunt suta, mia,
etc., dar ele reprezint ă extrapol ări ale cuno ștințelor și priceperilor
anterioare, pe care elevii le pot descoperi singuri. Ei vor constata c ă se
operează cu numere de orice m ărime, ca și cu numerele mai mici decât
100.
Învățătorul trebuie s ă abordeze gradat cazurile noi în care se
operează, fără să insiste prea mult pe denumir ile acestora (de exemplu, 35 + 7
35 + 27
scǎderea

Predarea opera țiilor cu numere naturale
34 Proiectul pentru Înv ățământul Rural adunarea cu trecere peste ordinul sutelor a dou ă numere mai mari decât
100, dar mai mici decât 1 000), care sunt neimportante pentru elevi, ba
chiar le pot da impresia c ă există mai multe feluri de adun ări. Este necesar
să li se ofere bucuria descoperirii c ă pot opera singuri și în alte contexte
decât cele înv ățate în lec ții.
Este necesar ă și o dozare eficient ă a sarcinilor calculatorii. Dac ă
timpul afectat acestora este prea mare și nu sunt intercalate și sarcini de alt
tip, probabilitatea ca elevii s ă greșească este mare, erorile fiind induse nu
de lipsa cuno ștințelor sau priceperilor, ci de monotonie, oboseal ă, scăderea
motivației pentru efectuarea calculelor . A „umple tabla” cu exerci ții de
adunare și scădere pe care elevii trebuie s ă le efectueze (eventual,
întreaga lec ție) este o evident ă eroare metodic ă a învățătorului.

3.3. Predarea înmul țirii și împărțirii

Operațiile de înmul țire și de împ ărțire se introduc dup ă ce elevii au
dobândit cuno ștințe și au formate priceperi și deprinderi de calcul
corespunz ătoare opera țiilor de adunare și scădere.
Înmulțirea și împărțirea se introduc separat, mai întâi înmul țirea, ce
se va conecta cu adunarea repetat ă de termeni egali, apoi împ ărțirea, ca
scădere repetat ă a unui acela și număr. Desigur, dup ă introducerea și
stăpânirea lor de c ătre elevi, cele dou ă operații sunt privite unitar,
evidențiindu-se leg ătura dintre ele.
În predarea-înv ățarea acestor opera ții, intuiția nu mai are un rol
predominant, deoarece cunoa șterea și înțelegerea lor se realizeaz ă mijlocit,
prin intermediul adun ării și scăderii.

3.3.1. Predarea înmul țirii

Dacă A este o mul țime având cardinalul a și B este o alt ă mulțime,
de cardinal b, atunci produsul ab este cardinalul produsului cartezian al
celor dou ă mulțimi A×B.
Desigur, aceast ă definiție științifică nu poate fi utilizat ă în
învățământul primar. Aici, înmul țirea este introdus ă ca o adunare
repetată de termeni egali. Astfel, suma 4 + 4+ 4 este v ăzută ca „de trei ori
patru”, definind astfel produsul 3 × 4. Aceast ă definiție are un suport
algebric, dat de reducerea monoamelor as emenea: a + a + a = 3a. De fapt,
definiția de mai sus este conven țională, utilă în scrierea rezolv ării
problemelor de înmul țire și nu în partea calculatorie, unde se poate folosi
proprietatea de comutativitate a acestei opera ții. Un argument în plus îl
constituie faptul c ă numerele care se înmul țesc se numesc, ambele,
nediferen țiat, factori, astfel încât o încercar e de delimitare, de tipul „primul suportul
științific
adunare
repetată

Predarea opera țiilor cu numere naturale
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 35

factor arat ă …”, este inutil ă și inexact ă. Tot incorect ă este și o formulare,
care mai circul ă încă în școala primar ă, de tipul „m ăriți numărul … de …
ori”, întrucât orice num ăr este o entitate de sine st ătătoare, constant ă, ce
nu poate fi m ărită printr-un procedeu sau altul.
După introducerea opera ției și prezentarea terminologiei specifice,
este utilă cunoașterea de c ătre elevi a unora dintre propriet ățile înmulțirii:
9 este totdeauna posibil ă;
9 este comutativ ă;
9 este asociativ ă;
9 admite element neutru (1);
9 dacă unul dintre factori este 0, produsul este 0;
9 distributivitatea înmul țirii față de adunare.
(făr
ă utilizarea terminologiei științifice)
După ce elevii au asimilat aceste cuno ștințe, se trece la înv ățarea
conștientă a înmul țirii numerelor din co ncentrul 0 – 10, alc ătuind tabla
înmulțirii pentru fiecare dintre ele. Înmul țirile cu 0 și 1 au fost prezentate la
proprietăți, unde, eventual, ar putea fi introdus ă și înmulțirea cu 10 (privind
zecea ca unitate de calcul), astfel încât prima tabl ă alcătuită va fi cea a
înmulțirii cu 2. pentru realizar ea acesteia, se apeleaz ă la defini ția înmulțirii
ca adunare repetat ă a numărului 2, elevii descoperind singuri produsele.
Aceste rezultate mai pot fi aflate și pot fi re ținute ușor dacă elevii sunt
solicitați să numere din 2 în 2, de la 0 la 20. Rezultatele ob ținute vor fi
consemnate în tabla înmul țirii cu 2, scris ă pe tablă și în caietele elevilor.
Este util ă reținerea acesteia pe dou ă coloane: în prima apar, în ordine,
înmulțirile care au factorul 2 pe locul al doil ea (primul factor fiind 1, 2, 3, …,
10), iar în cealalt ă, pe primul loc. de și elevii au cunoscut proprietatea de
comutativitate a înmul țirii, memorarea tablei înmul țirii se realizeaz ă mai
ușor dacă sunt vizualizate ambele scrieri.
O lecție în care se pred ă înmulțirea când unul dintre factori este un
număr dat parcurge mai multe etape:
9 repetarea tablei înmul țirii cu numerele pr ecedente, insistându-
se asupra situa țiilor în care apare ca factor num ărul dat (de
exemplu, la înmul țirea cu 7, sunt deja cunoscute, din cazurile
studiate, utilizând comutativitatea, toate produsele în care celălalt factor este mai mic dec ât 7: 1×7, 2×7,…, 6×7);
9 scrierea noii table a înmul țirii și completarea cu produsele
cunoscute (pân ă la n×n);
9 obținerea rezultatelor pent ru celelalte înmul țiri cu acest
număr, folosind defini ția înmul țirii ca adunare repetat ă și
proprietatea de distributivitate a înmul țirii față de adunare;
9 scrierea complet ă a tablei înmul țirii cu acel num ăr;
9 exerciții de memorare a acesteia;
9 aplicarea în exerci ții și probleme.
Nu se realizeaz ă o învățare mecanic ă, deoarece toate rezultatele
înmulțirilor sunt sau pot fi descoperite de elevi, dar ace știa trebuie s ă se
convingă de necesitatea memor ării tablei înmul țirii, din considerente ce
vizează doar timpul necesar prezent ării unui răspuns. Este printre pu ținele
locuri în care trebuie exersat ă memoria de lung ă durată a elevilor, tablele
înmulțirii constituindu-se în automatisme pentru întreaga via ță.
În vederea memor ării unei table a înmul țirii pentru un num ăr dat, pot
fi utilizate procedee variate:
9 repetarea acesteia, în ordinea cresc ătoare a factorului proprietăți
Etape ale
lecției de
predare –
învțare
procedee
de
memorare
a unei table
a înmulțirii

Predarea opera țiilor cu numere naturale
36 Proiectul pentru Înv ățământul Rural

variabil, elevii având în fa ță scrierea (pe tabl ă și în caiete) a
acesteia;
9 repetarea acesteia într-o ordine aleatoare („pe s ărite”),
propusă de învățător, care va insista pe situa țiile noi, în care
factorul variabil este mai mare sau egal cu num ărul dat;
9 se șterg rezultatele de pe tabl ă (iar elevii închid caietele) și se
reiau, în ordine, cele dou ă tipuri de sarcini prezentate anterior,
completând apoi, din nou, pe tabl ă, rezultatele șterse;
9 se șterg de pe tabl ă unii dintre factori și se cere elevilor s ă
reconstituie înmul țirile respective.
În lecția de formare a priceperilor și deprinderilor pentru înmul țirea
dată, tipurile de sarcini didactice pot fi:
9 efectuarea de exerci ții pentru aflarea produsului;
9 reconstituirea unor înmul țiri, când se cunoa ște unul dintre
factori și produsul;
9 scrierea unui num ăr ca produs de doi factori, cu precizarea/
neprecizarea unuia dintre fa ctori (descompunerea unui num ăr
în factori);
9 solicitări ce vizeaz ă terminologia specific ă: „Afla
ți produsul
numerelor…”, „Calcula ți produsul dac ă factorii sunt …”, „G ăsiți
numărul de … ori mai mare decât …”;
9 jocuri didactice, cum ar fi: ”Eu spun un num ăr, tu spui num ărul
de … ori mai mare!”.
La clasele a III-a și a IV-a, când elevii di spun de automatismele
induse de tabla înmul țirii, se introduc treptat alte cazuri de înmul țiri, ce pot fi
grupate dup ă gradul de dificultate, astfel:
a) înmul țirea numerelor naturale mai mici decât 10 cu un num ăr
format numai din zeci
Efectuarea acestui tip de înmul țire se bazeaz ă pe descompunerea
numărului format numai din zeci (n ×10), pe proprietatea de asociativitate și
pe tabla înmul țirii. De exemplu: 2×30= 2× (3×10)= (2×3)×10= 6×10= 60.
b) înmul țirea numerelor de o cifr ă cu numere formate din zeci și
unități
Efectuarea acestui tip de înmul țire se bazeaz ă pe descompunerea
numărului de dou ă cifre într-o sum ă în care primul termen este un num ăr
format numai din zeci, iar cel ălalt este un num ăr de o cifr ă (scrierea
sistemică a num ărului ab= a×10 + b), respectiv pe proprietatea de
distributivitate a înmul țirii față de adunare.
De exemplu, 2×31= 2×(30+ 1)= 2×30 + 2×1= 60+2 =62.
Din acest loc, se justific ă introducerea calcului în scris, dup ă
procedeul în scris al adun ării repetate și utilizând comutativitatea înmul țirii:
31+ (de dou ă ori o unitate= 2 unit ăți și 31× 2 × 1 = 2 +
31 de două ori 3 zeci = 6 zeci ) 2 2×30 = 60
62 62 62
c) înmul țirea numerelor de o cifr ă cu 100
Nu ridică probleme metodice întrucât suta este privit ă ca unitate de
calcul, înmul țirea cu ea realizându-se ca în tabla înmul țirii. Cu atât mai mult
cu cât, din punct de vedere al tehnicii de calcul, acest caz se reduce la
adăugarea, la sfâr șitul numărului, a dou ă zerouri.
sarcini
pentru
formarea
priceperilor
cazuri de
înmulțire
2 x 30
2 x 31
2 x 100

Predarea opera țiilor cu numere naturale
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 37

d) înmul țirea numerelor de o cifr ă cu numere formate numai din
sute
Se bazeaz ă pe descompunerea num ărului format numai din sute
(n×100), pe asociativitatea înmul țirii și pe tabla înmul țirii. De exemplu:
2×300= 2×(3×100)= (2×3)×100= 6×100= 600.
Nu este cazul s ă se apeleze la calculul în scris.
e) înmul țirea numerelor de o cifr ă cu numere formate din sute,
zeci și unități
Se bazeaz ă pe scrierea sistemic ă a numărului de 3 cifre și pe
distributivitatea înmul țirii față de adunare. De ex emplu: 2×345 =
2×(300+40+5) = 2×300 + 2×40 + 2×5= 600+80+10= 690. Se poate solicita
ca elevii s ă efectueze și calculul în scris corespunz ător.
f) înmul țirea unui num ăr cu 1 000
Nu ridică probleme metodice întrucât mia este privit ă ca unitate de
calcul, iar ca tehnic ă, se adaug ă 3 zerouri la sfâr șitul numărului cu care se
înmulțește.
g) înmul țirea a dou ă numere de mai multe cifre
Se bazeaz ă pe scrierile sistemice ale celor dou ă numere și pe
propriet
ățile de asociativitate și distributivitate a înmul țirii față de adunare.
De exemplu, 21×345 = (20 +1) × ( 300 + 40 + 5) = 20×(300 + 40 +5) + 1×(300 + 40 +5) = 20×300 + 20×40 +20×5 + 300+40+5= 2×3×1 000 + 2×4×100 + 2×5×10 + 345 = 6 000 + 800 + 100 + 345 = 7 245.
În aceste cazuri se efectueaz ă calculul în scris. Fiecare dintre
numerele care indic ă ordinele num ărului cu care înmul țim se înmul țește
succesiv cu toate unit ățile, de orice ordin, ale celuilalt num ăr. Din înmul țirea
fiecărei unități de ordin a num ărului cu care înmul țim se ob ține un produs
parțial. Scrierea acestor produse par țiale se realizeaz ă de la dreapta la
stânga și se începe cu cifra unit ăților num ărului cu care înmul țim. Prin
adunarea produselor par țiale se ob ține produsul total c ăutat.
Etapele calculului în scr is pentru exemplul men ționat sunt:
345× 345× 345×
21
21 2 1
345 345 + 345 + 6 9 0
690
7245
3.3.2. Predarea împ ărțirii
Împ ărțirea cu rest 0 (f ără rest)

Introducerea opera ției de împ ărțire se poate realiza la clasa a II-a, în
mai multe moduri:
a) împărțirea în p ărți egale
Suportul științific este dat de urm ătoarea defini ție: Fie A o mul țime de
cardinal a (având a el emente); se realizeaz ă o partiție a acestei mul țimi în b
(unde b este un divizor al lui a) submul țimi disjuncte echipotente; num ărul
elementelor din fiecare submul țime este câtul împ ărțirii numerelor a și b.
La clasa a II-a, problema se pune astfel: avem 6 mere, pe care
trebuie s ă le așezăm, în mod egal, pe dou ă farfurii și vrem să aflăm câte
mere vor fi pe fiecare farfurie. Ac țional, rezolvarea acestei probleme se va 21 x 345
moduri de
introducere 2 x 300
2 x 345
21×345

Predarea opera țiilor cu numere naturale
38 Proiectul pentru Înv ățământul Rural realiza în felul urm ător: se ia câte un m ăr, ce va fi a șezat pe fiecare dintre
cele dou ă farfurii (deci, dou ă mere luate). Au r ămas 6 – 2 = 4 (mere). Se
repetă acțiunea descris ă mai sus, în urma c ăreia, pe fiecare farfurie se vor
afla câte dou ă mere, rămânând de a șezat 4 – 2 = 2 (mere). Dup ă cel de al
treilea pas, ultimul posibil, pe fiecare farfurie vor fi 3 mere și merele
disponibile ini țial s-au epuizat. Aceasta înseamn ă că 6 mere : 2 = 3 mere.
Pentru a ajunge la generaliz ări, se folose ște material didactic variat,
reținând doar esen ța acțiunii: opera ția de împ ărțire a numerelor.
b) împărțirea prin cuprindere
Fie A o mul țime având cardinalul a; se realizeaz ă o partiție a mulțimii
în submul țimi disjuncte echipotente, având fi ecare câte b elemente (unde b
este un divizor al lui a); num ărul maxim al acestor submul țimi este câtul
împărțirii numerelor a și b.
Reluăm exemplul anterior, reformu lând: avem 6 mere, pe care
trebuie s ă le așezăm câte dou ă pe farfurii și vrem să aflăm câte farfurii vor
fi necesare. Ac țional, lucrurile se desf ășoară astfel: se iau dou ă mere și se
așează pe o prim ă farfurie (dintr-un teanc de farfurii), r ămânând de a șezat
6 – 2 = 4 (mere). Se iau înc ă două mere, ce vor fi a șezate pe o a doua
farfurie și rămân 4 – 2 = 2 (mere). Aceste ultime dou ă mere se a șează pe o
treia farfurie și nu mai r ămân mere nea șezate pe farfurii. Aceasta înseamn ă
că 6 (mere) : 2 (mere) = 3, adic ă grupul de dou ă mere se cuprinde în cel de
6 mere, de 3 ori.
c) împărțirea ca sc ădere repetat ă a unui acela și număr
Se poate observa c ă, în ambele cazuri anterioare, din mul țimea dat ă
„s-au scos”, în mod repetat, câte un acela și număr de elemente, pân ă la
epuizarea acesteia.
Astfel, opera ția 6 : 2 = 3 se reduce, de fapt, la sc ăderea repetat ă a
lui 2 din 6, 6 – 2 –2 – 2 = 0, în care num ărul care arat ă de câte ori s-a
realizat sc ăderea lui 2 reprezint ă câtul împ ărțirii lui 6 la 2.
d) împărțirea dedus ă din tabla înmul țirii
Împărțirea poate fi privit ă și ca opera ția prin care, cunoscând
produsul și unul dintre factori ( nenul) ai unei înmul țiri, se află celălalt factor.
Astfel, pornind de la înmul țirea 2 × ¤ = 6, în care se cunoa ște
produsul (6) și unul dintre factori (2), afla rea celuilalt factor înseamn ă
aflarea câtului împ ărțirii 6 : 2.
Desigur, toate procedeele descrise ma i sus sunt izomorfe între ele,
decizia alegerii și utilizării unuia sau altuia dintre ele fiind influen țată de
accesibilitatea în în țelegerea de c ătre copilul de vârst ă școlară mică.
Dopă introducerea opera ției se trece la alc ătuirea tablei împ ărțirii,
folosind leg ătura dintre înmul țire și împărțire. Pornind de la tabla înmul țirii
cu un num ăr dat 8de exemplu, 7), se construie ște tabla împ ărțirii cu acel
număr, considerând ca deîmp ărțit produsul din prima tabl ă, iar ca
împărțitor, factorul const ant (în exemplu, 7)
În practica școlară, cele dou ă table , pentru numere pân ă la 10, sunt
memorate de elevi, fiind incomod, dar posibil de reconstituit, desigur cu
pierdere inutil ă de timp. Memorarea acestor table nu se face îns ă mecanic,
ci după descoperirea, cunoa șterea și aplicarea lor de c ătre elevi.
Pot fi remarcate și reținute de elevi propriet ăți ale oper ției de
împărțire, exprimate de cazuri le particulare ale împ ărțirii unui num ăr nenul
la 1 și la el însu și.

Predarea opera țiilor cu numere naturale
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 39 Împ ărțirea cu rest

Dup ă ce a fost însu șită împărțirea cu rest 0, anterior prezentat ă, în
clasa a III-a este abordat ă situația în care restul împ ărțirii este diferit de
zero.
Se începe prin a constata c ă nu totdeauna elementele mul țimii A din
definiția operației de împ ărțire pot fi toate distribuite în submul țimi sau șirul
de scăderi repetate nu conduce la rest ze ro, respectiv în tabla înmul țirii nu
există nici un factor care s ă conducă la produsul dat.
Pornind de la împ ărțirea cunoscut ă, 6 : 2 = 3, se subliniaz ă că toate
elementele mul țimii inițiale au fost folosite, nu a r ămas nici unul disponibil.
Se reformuleaz ă problema, considerând deîmp ărțitul 7 și se constat ă că,
prin orice procedeu s-ar încerca, împ ărțirea 7 : 2 conduce la câtul 3, dar
rămâne un element disponibil. De ci, rezultatul acestei împ ărțiri este 3 rest
1. se poate continua cu împ ărțirea 8 : 2 = 4 (rest 0), pentru a contura
condiția restului (restul es te mai mic decât împ ărțitorul). Desigur, acest fapt
nu se concluzioneaz ă după un singur exemplu și nici nu este necesar ă o
exprimare formalizat ă a acesteia, dar elevii trebuie s ă desprind ă, în timp,
proprietatea respectiv ă, conștientizând c ă la împărțirea prin num ărul n (n
diferit de 0) sunt posibile doar resturile 0, 1, 2…, n – 1.
Relația dintre numerele date (deîmp ărțit, împărțitor) și cele ob ținute
(cât, rest), D = Î x C + R, cu R < Î se constituie și în proba împ ărțirii cu rest.
Pentru în țelegerea și însușirea algoritmului de împ ărțire a numerelor
de două cifre la un num ăr de o cifr ă, se pot parcurge mai multe etape,
ilustrate prin urm ătoarele exemplific ări:
• 60 : 2 = (6 zeci) : 2 = 3 zeci = 30;
• 64 : 2 = (6 zeci + 4 unit ăți) : 2 = (6 zeci) : 2 + (4 unit ăți) : 2 = 3 zeci +
2 unități = 30 + 2 = 32;
• 67 : 2 = (6 zeci + 7 unit ăți) : 2 = (6 zeci) : 2 + (7 unit ăți) : 2 = 30 + 3
rest 1 = 33 rest 1;
• 76 : 2 = (7 zeci + 6 unit ăți) : 2 = (6 zeci + 1 zece + 6 unit ăți) : 2 = (6
zeci) : 2 + 16 : 2 = 30 + 8 = 38;
• 77: 2 = (7 zeci + 7 unit ăți) : 2 = (6zeci + 1 zece + 7 unit ăți) : 2 =
= (6 zeci) : 2 +17 : 2 = 30 + 8 rest 1 = 38 rest 1.

Calculul în scris, pentru aceste cazuri, nu creeaz ă dificultăți
deosebite elevilor: 64 . 2 = 32 67 : 2 = 33 rest 1 76 : 2 = 38 77 : 2 = 38 rest 1
6
6 6 6
=4 =7 16 17
4 6 16 16
= 1 = = = 1

Este utilă, prezentarea, în fiecare dint re etape, a celor 2 procedee,
calculul în scris f iind exprimarea sintetic ă a raționamentului analitic ce
fundamenteaz ă primul procedeu.
Împărțirea unui num ăr de 3 cifre la un num ăr de o cifr ă se realizeaz ă
asemănător, dup ă cum num ărul unităților de un anumit ordin ale
deîmpărțitului se împarte, cu rest 0 sau diferit de 0, la împ ărțitor. De
exemplu: 600 : 2; 642 : 2; 640 : 2; 604 : 2; 643 : 2; 634 : 2, 653 : 2; 760 : 2; introducere
etape
Calcul în
scris

Predarea opera țiilor cu numere naturale
40 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 706 : 2; 754 : 2; 750 : 2; 759 : 2; 705 : 2.
Cazurile de împ ărțire la 10, 100 sau 1000 a numerelor a c ăror
scriere se termin ă cu cel pu țin 1, 2 sau 3 zerouri sunt u șor reținute de elevi,
pentru c ă, din punct de vedere al tehnicii de calcul, sunt reductibile la
eliminarea a 1, 2 sau 3 zer ouri finale din scrierea deîmp ărțitului. Aceast ă
tehnică se bazeaz ă pe raționamente de tipul urm ător:
80 : 10 = (8 zeci): ( 1zece) = 8 800 : 10 = (80 zeci): (1 zece) = 80 8000 : 10 = (800 zeci) : (1 zece) = 800 800 : 100 = ( 8 sute) : (1sut ă) = 8 ș.a.m.d
Cazurile în care împ ărțitorul este scris cu mai mult de 1 cifr ă nu mai
sunt prev ăzute în actuala program ă a claselor I – IV și, în consecin ță, nu ne
oprim asupra lor.

3.4. Predarea ordinii efectu ării opera țiilor
3.4.1. Ordinea efectu ării opera țiilor

În clasele I – II, exerci țiile sunt astfel alc ătuite încât s ă se efectueze
corect în ordinea în care sunt scrise. Pân ă acum s-au întâlnit numai
exerciți i î n c a r e a p ăreau opera ții de acela și ordin: adun ări / scăderi sau
înmulțiri/împărțiri. În acest fel, elevii î și formeaz ă deprinderea de a efectua
succesiv opera țiile, fără să-și pună problema existen ței unor reguli
referitoare la ordinea efectu ării acestora.
În clasa a III-a, dup ă ce elevii au înv ățat cele 4 opera ții cu numere
naturale, sunt pu și în fața efectuării unor exerci ții de tipul 4 + 6 x 5. Abord ări
diferite (schimbarea ordinii efectu ării operațiilor) conduc la rezultate diferite,
ceea ce impune stabilirea unor reguli dup ă care se efectueaz ă operațiile
într-un astfel de exerci țiu.
Pentru descoperirea regul ilor, este necesar s ă se porneasc ă de la o
problemă, a cărei rezolvare s ă poată fi scris ă sub forma exerci țiului
abordat. Pentru exerci țiul menționat mai sus, o astfel de problem ă poate fi:
„Andrei are pe prima pagin ă a clasorului s ău, 4 timbre, iar pe fiecare
dintre celelalte 6 pagini, câte 5 timb re. Câte timbre are Andrei în acest
clasor?”. Analiza, împreun ă cu clasa, a acestei probleme, eviden țiază că
primul pas în rezolvare este aflarea num ărului de timbre de pe cele 6 pagini
(6 x 5) și apoi se afl ă numărul de timbre din clasor (4 + 6 x 5).
Exemple de acest tip îi vor conduce pe elevi la constatarea c ă, într-
un exerci țiu cu mai multe opera ții, înmulțirile și împărțirile se efectueaz ă cu
prioritate fa ță de adun ări și scăderi, indiferent de locul unde apar.
Se ajunge astfel la regula cunoscut ă: într-un exerci țiu cu mai multe
operații, se efectueaz ă mai întâi (dac ă există) înmulțirile și împărțirile
(numite opera ții de ordinul a doilea), în ordinea în care apar și apoi
adunările și scăderile (numite opera ții de ordinul I), în or dinea scrierii lor. În
acest fel este rezolvat ă și problema apari ției în exerci țiu doar a unor opera ții
de acela și ordin: acestea se efectueaz ă în ordinea indicat ă de exerci țiu.
Pentru formarea la elevi a priceperilor și deprinderilor de efectuare a
unor astfel de exerci ții cu mai multe opera ții diferite, este necesar ca în
exercițiile propuse s ă fie utilizate numere mici, care orienteaz ă atenția împǎrțirea
la 10, 100
sau 1 000
algoritm

Predarea opera țiilor cu numere naturale
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 41 copiilor spre aspectul esen țial (ordinea efectu ării) și nu spre efectuarea în
sine a fiec ărei opera ții.
Aceste exerci ții trebuie s ă fie gradate, con ținând, mai întâi, doar
două operații de ordine diferite ( a + b x c; a – b x c; a + b : c; a – b : c).
Lungimea unui astfel de exerci țiu nu trebuie s ă fie foarte mare pentru c ă
poate induce la elevi oboseala și neatenția, ce se vor reflecta în ob ținerea
unor rezultate gre șite. Acela și efect îl poate avea și solicitarea de a rezolva,
prea mult timp, numai sarcini de acest tip.

3.4.2. Folosirea parantezelor

Uneori, contextul matematic impune efectuarea mai întâi a unor
operații de ordinul I și apoi a altora, de ordinul II. Ar ap ărea astfel o
contradic ție cu regula privind ordinea efectu ării operațiilor. De aceea, într-o
asemenea situa ție, acordarea priorit ăților de calcul este impus ă de
paranteze: mici (rotunde), mari (drept e), acolade. Acestea se folosesc doar
perechi și conțin, între ele, secven ța de exerci țiu căreia i se acord ă
prioritate.
Introducerea parantezelor se face tot prin intermediul unor probleme.
De exemplu:
„Bogdan și Cristian au cules cire șe: 23 kg și 17 kg. Cire șele culese
au fost puse în l ădițe de câte 5 kg fiecare. Câte l ădițe s-au umplut?”.
Analizând rezolvarea și expresia numeric ă a acesteia, se constat ă că, în
acest caz, se efectueaz ă mai întâi adunarea și apoi împ ărțirea. Pentru a
marca prioritatea (adunarea), se folosesc parantezele mici, astfel încât scrierea rezolv ării problemei este (23 + 17) : 5.
În mod asem ănător se pot introduce parantezele mari și acoladele,
ajungând la desprinderea regulii cunoscute: într-un exerci țiu cu paranteze
se efectueaz ă mai întâi opera țiile din parantezele mici, apoi cele din
parantezele mari și, la urmă, cele din interiorul acoladelor. Se ajunge astfel
la un exerci țiu fără paranteze, în care ac ționează regula stabilit ă anterior
privind ordinea efectu ării operațiilor.
Într-o posibil ă lecție de recapitulare, la clasa a IV-a, poate fi
evidențiat un algoritm de efectuare a oric ărui exerci țiu numeric, ce
sintetizeaz ă toate regulile cunoscute. Decisive sunt dou ă întrebări:
a) Exerci țiul conține paranteze?
Dacă da, se efectueaz ă operațiile din parantezele rotunde, apoi cele
din cele mari (dac ă există) și apoi din acolade (dac ă există).
Dacă nu, se trece la întrebarea a doua.
b) Exerci țiul conține opera ții de ordine diferite?
Dacă da, se efectueaz ă întâi opera țiile de ordinul II, în ordinea în
care sunt date, apoi cele de ordinul I, în ordinea în care sunt date.
Dacă nu, se efectueaz ă operațiile în ordinea în care sunt scrise în
exercițiu.

introducere
algoritm

Predarea opera țiilor cu numere naturale
42 Proiectul pentru Înv ățământul Rural Test de autoevaluare

1. Prezint ă un demers didactic pe ntru abordarea la clas ă a scăderii în cazul
descăzutului cuprins între 10 și 20 și scăzătorului, mai mic decât 10, mai mare
decât unit ățile descăzutului.
2. Prezint ă un demers didactic pentru introducerea tablei înmul țirii cu 7 (clasa a III-
a). 3. Enumer ă modalitățile de introducere a împ ărțirii cu rest 0 (f ără rest).
4. Formuleaz ă o problem ă care să ilustreze ordinea efectu ării opera țiilor într-un
exercițiu de tipul a+bxc.

Răspunsul va putea fi încadrat în spa țiul rezervat în continuare.

Predarea opera țiilor cu numere naturale
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 43
3.5.Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 3.2.2. (Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20),
cazul
f). 2. Revezi 3.3.1. (Predarea înmul țirii), secven ța care se refer ă lao lecție în care se
predă înmulțirea când unul dintre factori este un num ăr dat.
3. Revezi 3.3.2. (Predarea împ ărțirii), secven ța care se refer ă la împărțirea cu rest 0
(fără rest)
R: împ ărțirea în părți egale, împ ărțirea prin cuprindere, împ ărțirea ca sc ădere
repetată a unui acela și număr, împărțirea dedus ă din tabla înmul țirii.
4. Revezi 3.4.1. (Ordinea efectu ării operațiilor).

3.6 . Lucrare de verificare 2

1. Prezint ă un demers didactic pe ntru abordarea la clas ă a adunării a două numere
formate fiecare din zeci și unități, cu trecere peste ordin.
2. Prezint ă un demers didactic pentru înmul țirea a dou ă numere naturale de mai
multe cifre. 3. Stabile ște pașii algoritmului și precizeaz ă etapele calculului în scris pentru
împărțirea unui num ăr de 3 cifre la un num ăr de o cifr ă, în cazul în care num ărul sutelor și
cel al zecilor deîmp ărțitului se împart cu rest (diferit de zero) la împ ărțitor.
4. Formuleaz ă o problem ă care să ilustreze necesitatea folo sirii parantezelor mici
(rotunde). 5. Construie ște o listă cu exerci ții, gradate ca dificultate, con ținând opera ții de
ordine diferite, pentru o lec ție de formare a priceperilor și deprinderilor. Motiveaz ă
introducerea fiec ărui exerci țiu în listă.

După rezolvare, lucrarea de ve rificare trebuie transmis ă tutorelui, într-o modalitate
pe care o ve ți stabili împreun ă
(e-mail, prob ă scrisă etc.).

Sugestii pentru acordarea punctajului Oficiu: 10 puncte Subiectul 1: 20 puncte Subiectul 2: 20 puncte Subiectul 3: 20 puncte Subiectul 4: 20 puncte Subiectul 5: 10 puncte.

Predarea opera țiilor cu numere naturale
44 Proiectul pentru Înv ățământul Rural
3.7. Bibliografie

1) Neacșu I. (coord.), Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, EDP, 1988;
2) Roșu M., Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS. 2004;
3) **** MEN, CNC, Curriculum na țional. Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
București, 1998 (obiective de referin ță și exemple de activit ăți de înv ățare vizând
numerația);
4) **** SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ățământul primar , Editura Pro
Gnosis (matematic ă, numera ția);
5) **** Manuale (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I- IV , (capitolele vizând
numerația).

Predarea –înv ățarea mărimilor și unităților de m ăsură
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 45 UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE 4
Predarea–înv ățarea mărimilor și unităților de m ăsură

Cuprins

4.1. Obiectivele unit ății de învățare ………………………………………………….. 45
4.2. M ărime. Măsurarea unei m ărimi………………………………………………… 45
4.3. Unit ăți de măsură……………………………………………………………………..46
4.4. Estimarea m ăsurilor unei m ărimi ……………………………………………….. 47
4.5. Obiective și conținuturi ale pred ării-învățării mărimilor și măsurilor
acestora ………………………………………………………………………………….. 48
4.6. Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare ………………………. 51
4.7. Bibliografie……………………………………………………………………………… 51

4.1. Obiectivele unit ății de învățare

La sfârșitul acestei unit ăți de învățare, studen ții vor fi capabili:
– să aplice metodologia pred ării mărimilor și a unităților de m ăsură;
– să discrimineze specificul introducerii m ărimilor și a unităților de
măsură, la clasa I;
– să conștientizeze particularit ățile unei lec ții vizând predarea m ărimilor și
a unităților de m ăsură, în clasele II-IV.

4.2. M ărime. Măsurarea unei m ărimi
Problematica m ărimilor și a măsurării acestora reprezint ă o interfa ță între
matematic ă și alte domenii ale cunoa șterii umane, între matematic ă și viața
cotidiană. Prin prezentarea unor m ărimi frecvent întâlnite de elevi și a unităților
de măsură corespunz ătoare acestora, predarea-înv ățarea acestor no țiuni
trebuie s ă aibă un pronun țat caracter instrumental, of erind copiilor “unelte” din
ce în ce mai perfec ționate, în vederea interac ționării cu mediul.
De-a lungul timpului, termenul de mărime a fost definit în diverse moduri.
Într-o accep ție mai larg ă, prin mărime se în țelege tot ceea ce poate fi mai mare
sau mai mic, adic ă tot ceea ce poate varia cantitativ. În acela și timp, m ărimea
poate fi privit ă ca o proprietate a corpurilor și a fenomenelor, în baza c ăreia
acestea pot fi comparate (dimensiune, întindere, volum, cantitate, durat ă,
valoare).
O importan ță deosebit ă prezintă
în activitatea practic ă acele m ărimi care pot
fi evaluate cantitativ și se pot exprima valoric, ca urmare a posibilit ății de a fi mărime

Predarea –înv ățarea mărimilor și unităților de m ăsură
46 Proiectul pentru Înv ățământul Rural asociate, în raport cu m ărimi de referin ță de aceea și natură, cu un șir numeric.
Astfel de m ărimi sunt m ărimi fizice. M ărimile fizice caracterizeaz ă proprietățile
fizice ale materiei (mas ă, volum, densitate) sau mi șcarea materiei în spa țiu și
timp (vitez ă, timp, distan ță parcursă). Caracteristica principal ă a mărimilor
fizice este c ă sunt măsurabile, adic ă se pot detecta și evalua cu un mijloc de
măsurare oarecare.
Noțiunea de m ărime este, de fapt, o no țiune fundamental ă (ca și cea de
mulțime) și, în consecin ță, se introduce f ără a-i da o defini ție, înțelegerea
fiecărei mărimi făcându-se pe baz ă de exemple. M ărimile abordate începând
cu clasa I sunt: lungimea, volumul (capacitatea vaselor), masa, timpul și
valoarea.
A măsura o mărime oarecare înseamn ă a compara dimensiunea unui
obiect (din punctul de vedere al m ărimii respective: lungime ,mas ă ș.c.l.) cu
dimensiunea altui obiect de acela și fel, considerat ă ca unitate de m ăsură.
Prin opera ția de măsurare se stabile ște un raport numeric între m ărimea
de măsurat și unitatea de m ăsură. Astfel, m ăsura reprezint ă numărul care
arată de câte ori se cuprinde etalonul în dimensiunea obiectului respectiv.
De exemplu, a m ăsura lungimea unui obiect echivaleaz ă cu a o
compara cu lungimea unui alt obiect, pe ca re o vom considera drept unitate de
măsură. Măsura reprezint ă numărul care arat ă de câte ori se cuprinde etalonul
(unitatea de m ăsură) în lungimea obiectului considerat.

4.3. Unit ăți de măsură

Necesitatea m ăsurării este dat ă de necesitatea compar ării (în acest
caz) lungimilor celor dou ă obiecte. Dac ă obiectele sunt deplasabile (de
exemplu.: dou ă panglici), atunci compararea se poate face direct, prin
așezarea uneia peste cealalt ă, astfel încât s ă aibă un capăt comun. Pozi ția
celui de-al doilea cap ăt indică obiectul mai scurt/lung. Dar dac ă obiectele nu
sunt deplasabile (de exemplu: dou ă ferestre; lungimea și lățimea clasei)?
Atunci trebuie s ă luăm “ceva”, s ă le măsurăm pe fiecare cu acel “ceva” și să
comparăm numerele ob ținute ca rezultate ale m ăsurării. De fapt, introducem
astfel o unitate de m ăsură nestandard, acel “ceva” constituindu-se într-un
etalon arbitrar, subiectiv.
Să presupunem c ă intenționăm să măsurăm lungimea unui ghiozdan,
lățimea unui caiet și în
ălțimea unei vaze (utilizarea celor trei termeni – lungime,
lățime, înălțime – subliniaz ă varietatea pozi țiilor spa țiale ale obiectelor de
măsurat).
La început, se poate utiliza ca unitate de m ăsură nestandard, de
exemplu, lungimea unei agr afe de birou. În urma ac țiunii efective cu obiectele,
se constat ă că lungimea ghiozdanului este de 10 ori mai mare decât a agrafei,
lățimea caietului este cât 5 agrafe, iar în ălțimea vazei este de 15 agrafe. Deci,
măsurile lungimilor celor trei obiecte sunt: 10, 5 respectiv 15 (agrafe).
Dacă se schimb ă unitatea de m ăsură, se vor schimba și măsurile
obiectelor. Înlocuind agrafa cu un creion, se constat ă că lungimea ghiozdanului
este de dou ă ori cât lungimea creionului, l ățimea caietului este cât lungimea
creionului, iar în ălțimea vazei este cât trei creioane. Deci, dimensiunile
obiectelor au acum m ăsurile 2, 1 respectiv 3.
După astfel de experien țe se pot face și observa ții funcționale de tipul: măsurare
necesitate
unități
nestandard
lungime

Predarea –înv ățarea mărimilor și unităților de m ăsură
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 47 creșterea lungimii etalonului conduce la mic șorarea corespunz ătoare a m ăsurii
obiectului.
Desigur, ”instrumentele” de m ăsură a lungimii aflate cel mai la
îndemân ă sunt: deschiderea palmei, l ățimea unui deget, lungimea
brațului/brațelor, pasul. Utilizarea individual ă a acestora înt ărește ideea c ă
rezultatul m ăsurării se schimb ă odată cu schimbarea unit ății de măsură.
Și atunci, cum putem co mpara lungimile a dou ă obiecte aflate în locuri
diferite (clase diferite, școli diferite, localit ăți diferite), unde nu dispunem de un
același etalon? R ăspunsul la aceast ă întrebare conduce la necesitatea
introducerii și utilizării unei unit ăți standardizate (metrul), ce urmeaz ă a fi
studiat în clasa a II-a (conform programei).
Predarea-înv ățarea volumului și masei se realizeaz ă în mod
asemănător, cu men țiunea că terminologia utilizat ă la clasă nu poate fi identic ă
cu cea științifică, astfel c ă sintagme de tipul “capacitatea vaselor” și “cântărirea
obiectelor” sunt mai apropiate de în țelegerea copilului.
Predarea-înv ățarea timpului ridic ă probleme metodice deosebite,
întrucât aceast ă mărime este abstract ă și deci mai pu țin accesibil ă elevilor,
care nu o pot vizualiza și intui direct, ca în cazul celorlalte m ărimi. De aceea,
predarea-înv ățarea timpului se realizeaz ă în strâns ă legătură cu acțiunile și
evenimentele în care elevii sunt implica ți. Astfel, ora reprezint ă durata unei
lecții (plus pauza), ziua dureaz ă de la un r ăsărit al soarelui pân ă la alt răsărit.
O idee important ă ce trebuie urm ărită este cea de succesiune/
simultaneitate a evenimentelor în timp. Elevii vor trebui s ă sesizeze, s ă
compare și să precizeze ordinea desf ășurării în timp a dou ă (sau mai multe)
evenimente, stabilind dac ă unul are loc înaintea altuia sau se realizeaz ă în
același timp. Curgerea timpul ui poate fi materializat ă prin întocmirea unei
“benzi a timpului” (pentru o perioad ă mai scurt ă sau mai lung ă) ori a unui
calendar.
Chiar înv ățarea unit ăților de m ăsură pentru timp va fi mai dificil ă,
deoarece între acestea nu exist ă o relație de multiplicitate cu 10 (ca la celelalte
trei mărimi anterioare), ci cu 60 (1 or ă=60 minute, 1 minut=60 secunde) sau al ți
factori (ex.:1 zi=24 ore, 1 s ăptămână=7 zile).
Și în predarea-înv ățarea timpului se eviden țiază nu numai leg ătura cu
mediul, ci și interdisciplinaritatea. “Citirea” orelor pe c eas poate fi precedat ă de
realizarea la “abilit ăți practice” a unui cadran din carton și a acelor indicatoare,
ce vor fi utilizate în activit ățile de înv ățare din lec ția de matematic ă.

4.4. Estimarea m ăsurilor unei m ărimi

O problem ă comună predării-învățării mărimilor este cea a estimării
dimensiunilor unui obiect sau fenomen din aceast ă sferă. Nu este suficient ca
elevii să dobândeasc ă doar cuno ștințe despre m ăsuri și deprinderi elementare
de măsurare cu instrumentele corespunz ătoare, ci și capacitatea de a estima
lungimea unui obiect, capacitatea unui vas, masa unui corp sau durata
desfășurării unui eveniment. Tocmai aceast ă capacitate este implicat ă frecvent
în viața cotidian ă, inclusiv în luarea unor decizii mai mult sau mai pu țin
importante (de exemplu.: nu încerc ăm să introducem pe o u șă un obiect de
mobilier care “nu încape”; nu încerc ăm să golim con ținutul unei canistre pline
într-o sticl ă ș.a. Iar un șofer care nu poate estima corect distan ța față de un

Predarea –înv ățarea mărimilor și unităților de m ăsură
48 Proiectul pentru Înv ățământul Rural obstacol și vitezele cu care se circul ă își riscă viața sa și a altora).
Este necesar ca estim ările făcute de elevi s ă fie verificate prin m ăsurare
directă, pentru ca priceperea respectiv ă să devină mai rafinat ă, conținând o
marjă de eroare din ce în ce mai mic ă. Aceast ă activitate, ce vizeaz ă
autocontrolul, poate fi coroborat ă cu cea de înregistrare a datelor într-un tabel
și urmată apoi de o parte calculatorie, în care fiecare elev î și poate determina
„eroarea personal ă” de apreciere în plus sau în minus, a dimensiunii m ărimii
respective. Aceasta presupune și o evident ă conectare la realitatea imediat ă,
solicitările trebuind s ă vizeze m ărimi și dimensiuni ale unor obiecte, distan țe,
fenomene pe care elevii le întâlnesc frecvent în mediul înconjur ător, în sala de
clasă, în școală sau în afara ei.

4.5. Obiective și conținuturi ale pred ării-învățării mărimilor
și măsurilor acestora

Referindu-ne la întreaga Unitatea care vizeaz ă mărimile și măsurarea
lor, preciz ăm că obiectivele pe care înv ățătorul ar trebui s ă le aibă în vedere
sunt:
9 intuirea de c ătre elevi a no țiunii de m ărime, prin prezentarea unor m ărimi
de largă utilizare (lungime, volum, mas ă, timp);
9 motivarea elevilor pentru a în țelege necesitatea introducerii unit ăților de
măsură (etaloane nestandardizate, apoi cele standardizate) pentru o
mărime considerat ă;
9 înțelegerea m ăsurării ca o ac țiune de determinare a unui num ăr ce
caracterizeaz ă dimensiunea unui obiec t sau fenomen (num ărul care arat ă
de câte ori se cuprinde etalonul în dimensiunea ce trebuie m ăsurată);
9 alegerea unor unit ăți de m ăsură convenabile, iar în perspectiv ă,
cunoașterea unit ăților principale pentru m ărimea studiat ă;
9 familiarizarea cu instrumentele utilizate în m ăsurarea unei m ărimi
considerate;
9 formarea deprinderii de a utiliza instrumentele de m ăsură și a priceperii de
a măsura dimensiunile unor obiecte din mediul înconjur ător;
9 formarea priceperii de a consemna, compara și interpreta rezultatele
măsurărilor;
9 formarea capacit ății de a aprecia (estima) corect dimensiunile unor obiecte
din mediul înconjur ător;
9 formarea priceperii de a opera (adunare/sc ădere) cu m ăsurile a dou ă
obiecte de acela și fel, atât prin ac țiune direct ă, cât și prin calcul.
La toate acestea se adaug ă, pentru clasele a III-a și a IV-a, urm ătoarele
obiective:
9 înțelegerea necesit ății introducerii submultiplilor / multiplilor unit ăților
principale de m ăsură;
9 cunoașterea submultiplilor/multiplilor unit ăților de m ăsură ale mărimilor
studiate;
9 familiarizarea cu instrumentele de m ăsură specifice acestora;
9 formarea priceperii de a m ăsura utilizând submul tiplii/multiplii;
9 înțelegerea necesit ății transform ării unităților de m ăsură;
9 formarea priceperii de a transforma unit ățile de măsură, folosind multiplii și
submultiplii unit ății principale; obiectve
pentru clasele
III-IVobiective

Predarea –înv ățarea mărimilor și unităților de m ăsură
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 49

9 formarea priceperii de aplic are în probleme a cuno ștințelor dobândite
despre unit ățile de măsură.
Obiectivul de referin ță prevăzut de programa de matematic ă a clasei I,
vizând m ărimile, cere ca elevii s ă fie capabili s ă măsoare și să compare
lungimea, capacitatea sau masa unor obiecte, folosind unit ăți de măsură
nestandard, aflate la îndemâna copiilor și să recunoasc ă orele fixe pe ceas.
Conținuturile înv ățării corespunz ătoare acestui obiectiv sunt:
9 măsurări cu unit ăți nestandard (palm ă, creion, bile, cuburi, etc.)
pentru lungime, capacitate, mas ă;
9 măsurarea timpului; recunoa șterea orelor fixe pe ceas; unit ăți de
măsură: ora, ziua, s ăptămâna, luna.
La clasa a II-a, primul obiectiv de referin ță tematic cere ca elevii s ă măsoare
și să compare lungimea, capacitatea sau masa unor obiecte folosind unit ăți de
măsură nestandard adecvate, precum și următoarele unit ăți de măsură
standard: metrul, centimetru l, litrul. Un al doilea obiectiv tematic impune ca
elevii să utilizeze unit ăți de măsură pentru timp și unități monetare.
Conținuturile înv ățării corespunz ătoare acestor obiective sunt:
9 măsurări folosind unit ăți neconven ționale;
9 unități de măsură pentru lungime (metrul ), capacitate (litrul),
masa (kilogramul), timp (ora, minutul, ziua, s ăptămâna, luna);
monede și bancnote;
9 utilizarea instrumentelor de m ăsură adecvate.
Obiectivul de referin ță corespunz ător clasei a III-a cere ca elevii s ă cunoasc ă
unitățile de măsură standard pentru lungime, capacitate, mas ă, timp și unități
monetare și să exprime leg ătura dintre unitatea principal ă de măsură și
multiplii, respectiv submultiplii ei uzuali.
Acestui obiectiv îi corespund urm ătoarele con ținuturi ale înv ățării:
9 măsurări folosind etaloane neconven ționale;
9 unități de măsură pentru lungime: metrul, multiplii, submultiplii
(fără transform ări); unități de măsură pentru capacitate: litrul,
multiplii, submultiplii (f ără transform ări); unități de măsură pentru
masă: kilogramul, multiplii, submultiplii (f ără transform ări); unități
de măsură pentru timp: ora, minutul, ziua, s ăptămâna, luna anul;
monede și bancnote;
9 utilizarea instrumentelor de m ăsură adecvate: metrul, rigla
gradată, cântarul, balan ța.
La clasa a IV-a, obiectivul de referin ță cere ca elevii s ă cunoasc ă unitățile de
măsură standard pentru lungime, capacitate, mas ă, suprafa ță, timp și unități
monetare și să exprime prin transform ări pe baza opera țiilor învățate, legăturile
dintre unit ățile de măsură ale aceleia și mărimi.
Acestui obiectiv îi corespund urm ătoarele con ținuturi ale înv ățării:
9 măsurări folosind etaloane neconven ționale;
unități de măsură pentru lungime: metrul, multip lii, submultiplii, transform ări;
unități de măsură pentru capacitate: litrul, mult iplii, submultiplii, transform ări;
unități de măsură pentru mas ă: kilogramul, multiplii, submultiplii, transform ări;
unități de măsură pentru timp: ora, minutul, s ăptămâna, luna ,anul, deceniul,
secolul, mileniul; monede și bancnote.
clasa I
clasa a II-a

clasa a III-a
clasa a IV-a

Predarea –înv ățarea mărimilor și unităților de m ăsură
50 Proiectul pentru Înv ățământul Rural Test de autoevaluare

1. Ce înseamn ă a măsura o m ărime fizic ă și ce reprezint ă rezultatul m ăsurării ?
2. Exemplific ă unități de măsură nestandard utilizabile în m ăsurarea m ărimilor, în
clasa I.
3. Enumer ă cel puțin 5 obiective ale pred ării-învățării mărimilor și măsurilor acestora,
în ordinea importan ței pe care le-o atribui.
4. Precizeaz ă conținuturile înv ățării corespunz ătoare temei, la cel pu țin una dintre
clasele II-IV.

Răspunsul va putea fi încadrat în spa țiul rezervat în continuare.

Predarea –înv ățarea mărimilor și unităților de m ăsură
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 51
4.6.Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 4.2. (M ărime. Măsurarea unei m ărimi).
2. Revezi 4.3.(Unit ăți de măsură= și încearc ă să „inventezi” noi unit ăți nestandard.
3. Revezi 4.5. (Obiective și conținuturi ale pred ării-învățării mărimilor și măsurilor
acestora), analizeaz ă și ierarhizeaz ă cel puțin 5 obiective.
4. Revezi 4.5., alege cel pu șin una dintre clasele II-IV și precizeaz ă conținuturile.

4.7. Bibliografie
1) Neacșu I. (coord.), Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, EDP, 1988;
2) Roșu M., Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS. 2004;
3) **** MEN, CNC, Curriculum na țional. Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
București, 1998 (obiective de referin ță și exemple de activit ăți de învățare vizând
numerația);
4) **** SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ățământul primar , Editura Pro
Gnosis (matematic ă, numera ția);
5) **** Manuale (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I- IV, (capitolele vizând
numerația).

Predarea elementelor de geometrie
52 Proiectul pentru Înv ățământul Rural UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE 5
Predarea elementelor de geometrie

Cuprins

5.1. Obiectivele unit ății de învățare……………………………………………………….52
5.2. Locul și rolul elementelor de geometrie în matematica școlară…………..52
5.3. Obiective și conținuturi ale înv ățării elementelor de geometrie …………..53
5.4.Intuitiv și logicîn predarea elemen telor de geometrie …………………………54
5.5. Formarea conceptelor geometrice………………………………………………….54
5.6. Sugestii metodice ………………………………………………………………………..55 5.7. Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare …………………………..57
5.8. Bibliografie………………………………………………………………………………….57
5.1. Obiectivele unit ății de învățare

La sfîrșitul acestei unit ăți de învățare, studen ții vor fi capabili:
– să aplice metodologia pred ării elementelor de geometrie în clasele I-IV;
– să discrimineze condi ționările psihologice ale form ării conceptelor
geometrice;
– să conștientizeze particularit ățile unei lec ții vizând predarea elementelor
de geometrie.

5.2. Locul și rolul elementelor de geometrie în matematica școlară

Elementele de geometrie reprezint ă o interfa ță între matematic ă și realitatea
înconjurătoare, constituindu-se în instrumente de modelare și simulare a acestei
realități.
Prin înv ățarea elementelor de geometrie se dezvolt ă la elevi spiritul de
observație, sunt angajate opera țiile gândirii, formând un tip specific de
raționament (ra ționamentul geometric), este stimulat ă plăcerea de a cerceta și
de a descoperi prin for țe proprii, atrac ția pentru problematic.
Introducerea elementelor de geometrie în matematica școlară a claselor I-IV
urmărește ca elevii s ă-și însușească cunoștințe fundamentale legate de spa țiu,
pornind de la obser varea obiectelor din realitatea cunoscut ă și accesibil ă lor.
Prin activit ățile de construc ție, desen, pliere și măsurare, înv ățătorul asigur ă
implicarea mai multor organe de sim ț în perceperea corpurilor și figurilor
geometrice plane, în vederea cre ării bazei intuitive necesare cunoa șterii lor
științifice. Consider ăm că abordarea no țiunilor de geometrie în clasele primare
are drept scop principal forma rea la elevi a unor reprezent ări spațiale, necesare locul
rolul

Predarea elementelor de geometrie
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 53 în clasele urm ătoare pentru însu șirea sistematic ă și logică a geometriei, precum
și a capacit ății de a esen țializa și abstractiza realitatea înconjur ătoare.
Preocuparea pentru studiul geometriei, la acest nivel, este justificat ă de faptul c ă
aceasta se constituie într-o modalitate inedit ă de a aplica matematica în via ță și
de a matematiza elemente și relații între elementele spa țiale ale realit ății
imediate.
Studiul geometriei se realizeaz ă modular, prin introducerea unui astfel de
capitol în fiecare dintre clasele I-IV și se plaseaz ă pe 3 planuri: dobândirea de
cunoștințe științifice, formarea capacit ății de a aplica cuno ștințele de geometrie
și dezvoltarea ra ționamentului matematic.
Din punct de vedere al con ținutului, acesta trebuie s ă formeze un sistem
coerent și structurat de cuno ștințe despre formele obiectelor lumii reale, despre
proprietățile acestora și despre m ărimile ce la pot caracteriza. În aceast ă
perspectiv ă, geometria se conecteaz ă cu o alt ă temă majoră a matematicii
școlare din clasele I-IV: m ărimi și măsurarea m ărimilor.

5.3. Obiective și conținuturi ale înv ățării elementelor de geometrie

Predarea-înv ățarea elementelor de geometrie vizeaz ă realizarea urm ătoarelor
obiective:
9 cunoașterea intuitiv ă a unor no țiuni de geometrie și formarea
capacității de a le utiliza;
9 dezvoltarea capacit ăților de explorare/ inve stigare a mediului
înconjurător, în vederea form ării unor reprezent ări și noțiuni
geometrice corecte, precum și inițierea în rezolvarea problemelor
cu conținut geometric;
9 formarea și dezvoltarea capacit ății de a comunica, prin includerea
în limbajul activ al elevilor a unor termeni din geometrie;
9 dezvoltarea interesului și a motiva ției pentru studiul geometriei.
La clasele I și a II-a, obiectivul de referin ță corespunz ător acestui capitol este
același, solicitând recunoa șterea formelor plane și a formelor spa țiale.
La clasa I, con ținuturile înv ățării sunt:
9 figuri geometrice: triunghi, p ătrat, dreptunghi, cerc;
9 cub, sfer ă (observarea obiectelor cu aceast ă formă).
La clasa a II-a, aceste con ținuturi se îmbog ățesc cu:
9 punct, segment, linie dreapt ă, linie frânt ă, linie curb ă;
9 interiorul/ exteriorul unei figuri geometrice.
Obiectivul de referin ță pentru clasa a III-a solicit ă sortarea și clasificarea de
obiecte și desene dup ă forma lor și remarcarea propriet ăților simple de simetrie
ale unor desene. Con ținuturile înv ățării, corespunz ătoare acestui obiectiv, sunt:
9 poligon;
9 paralelipiped dreptunghic, cilindr u, con (observare de obiecte).
Obiectivul de referin ță pentru clasa a IV-a vizeaz ă recunoa șterea formelor
plane și a formelor spa țiale, identificarea și desemnarea propriet ăților simple ale
unor figuri geometrice. Con ținuturile înv ățării constau în:
9 unghi; drepte paralele;
9 patrulatere speciale: rombul;
9 perimetrul (dreptunghi, p ătrat);
9 aria. obiective

Predarea elementelor de geometrie
54 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 5.4. Intuitiv și logic în predarea elementelor de geometrie
Elementele de geometrie au un caracter intuitiv, cu un stil de g ăndire
apropiat de al etapei preeuclidiene (600 – 300 î.e.n.).
Rolul dominant al intui ției este justificat de necesitatea corel ării cu
particularit ățile psiho-fiziologice ale școlarului mic, cu experien ța sa
didactică și de viață.
Caracterul intuitiv se reg ăsește, în principal, în urm ătoarele aspecte:
9 noțiunile primare au o baz ă intuitivă;
9 propozi țiile care au, la acest nivel, un con ținut evident prin el
însuși (deși constituie teoreme în geometria euclidian ă), aici nu
se demonstreaz ă (se admit tocmai pe baza caracterului lor
intuitiv);
9 accentul este pus pe tratarea pr oblemelor aplicative, ridicate
de realitate; nu exist ă probleme „de demonstrat”.
Desigur, nu trebuie s ă se rămână doar la nivel de intui ție, pentru c ă
formarea no țiunilor presupune abstractiz ări și generaliz ări.
În cunoa șterea și înțelegerea con ținutului geometric, este decisiv ă
stabilirea unui raport corespunz ător între intuitiv și logic. Dobândirea
elementelor de geometrie trebuie s ă înceapă cu procese de intuire a mai
multor cazuri particulare de obiecte care eviden țiază materializat no țiunea
geometric ă ce urmeaz ă a fi extras ă. Apoi, cu ajutorul cuvântului, prin
dirijarea atent ă a observa ției, se ajunge la ceea ce este esen țial și
caracteristic. Nota general ă astfel stabilit ă, ce define ște noțiunea
geometric ă, se converte ște în limbaj matematic. Printre primele elemente
logice se înscrie defini ția. Pentru a ajunge la defini ția unei no țiuni
geometrice este necesar ă distingerea propriet ăților caracteristice ale
obiectului de definit, a condi țiilor necesare și suficiente existen ței acestuia.
În timp, toate acestea se structureaz ă în precizarea elementelor ce apar țin
noțiunii definite (genul proxim) și a celor care precizeaz ă diferența specific ă.

5.5. Formarea conceptelor geometrice

În formarea unei no țiuni geometrice trebuie s ă fie parcurse urm ătoarele
etape:
– intuirea, în mediul înconjur ător, a obiectelor care eviden țiază
materializat no țiunea, cu dirijarea aten ției elevilor c ătre ceea ce
intereseaz ă a fi observat, asupra notelor caracteristice no țiunii
respective;
– observarea și analizarea acestor propriet ăți pe un material didactic
ce eviden țiază noțiunea (model, machet ă);
– reprezentarea prin desen a no țiunii, cu indicarea elementelor
componente descoperite prin observarea direct ă, notarea figurii și
evidențierea propriet ăților caracteristice;
– formularea defini ției, prin precizar ea genului proxim și a diferen ței
specifice, acolo unde este posib il sau prin stabilirea propriet ăților
caracteristice care determin ă sfera no țiunii;
– identificarea no țiunii în alte situa ții, poziții, domenii ale realit ății;
– construirea materializat ă a noțiunii, folosind hârtie, sârm ă, bețișoare
ș.a. (atunci când este posibil);
– sistematizarea conceptelor prin cl asificarea figurilor care fac parte intuitiv
logic
etape

Predarea elementelor de geometrie
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 55 din aceea și categorie;
– utilizarea no țiunii în rezolvarea problemelor și transferul ei în situa ții
geometrice noi.
În consecin ță, pentru asimilarea elementelor de geometrie de c ătre școlarii
mici, este necesar ca no țiunile să fie învățate prioritar prin procese intuitive și
formate ini țial pe cale inductiv ă, să se înscrie în spiritul rigurozit ății și să fie
funcționale.

5.6. Sugestii metodice

Predarea-înv ățarea noțiunilor de geometrie în înv ățământul primar este
direcționată de câteva cerin țe, dintre care men ționăm:
Elevii nu trebuie s ă învețe definițiile pe de rost. Defini țiile și propriet ățile
figurilor geometrice se vor deduce di n analiza modelelor prezentate. În
cele mai multe cazuri, nici nu se poate da o defini ție riguroas ă, deoarece
elevii întâlnesc mai întâi no țiunea specie și apoi cu no țiunea gen. Este
abordat un caz particular, înaintea celu i general (de exemplu, dreptunghiul
se studiaz ă înaintea paralelogramului).
La studierea figurilor geometrice, înv ățătorul va folosi cu prec ădere
activitatea individual ă, directă a elevilor. Ace știa vor construi figura cu
ajutorul instrumentelor geometrice, o vor examina și vor încerca s ă-i
descopere propriet ățile. Învățătorul va prezenta elevilor cazuri și poziții
variate ale no țiuni geometrice și nu se va rezuma numai la studierea unui
caz particular.
În formarea unui conc ept geometric, se va porni de la explorarea vizual ă
a mediului și de la intuirea materialului di dactic. Sunt eficiente modelele
mobile, care permit elevilor s ă intuiască, să înțeleagă și să rețină
proprietățile figurilor geometrice.
Observa țiile și concluziile vizând o no țiune geometric ă vor avea la baz ă
intuiția, experien ța empiric ă a elevilor, ra ționamentul de tip analogic și
inductiv, dar și elemente de deduc ție, atât de necesare dezvolt ării gândirii
elevilor. Ca baz ă pentru concluzii nu trebuie s ă se foloseasc ă o singur ă
experien ță. Pentru aceasta, elevii trebuie orienta ți să observe, s ă compare
și să generalizeze cu precau ție, întrucât concluzia rezultat ă numai dintr-un
caz particular poate fi gre șită.
Învățătorul trebuie s ă aibă în vedere plauzibilitatea m ăsurilor ata șate
mărimilor geometrice, s ă prezinte probleme cu date posibil de reprezentat
în desen, pe pagina caietului. Rezultatele ob ținute de elevi prin
raționamente geometrice și calcul vor fi verificate prin m ăsurare direct ă.

În redactarea rezolv ării unei probleme cu con ținut geometric, înv ățătorul
îi poate conduce pe elevi spre utilizarea structurii specifice problemelor de
geometrie: ” Se d ă; Se cere”.
Prin lec țiile cu con ținut geometric, înv ățătorul va urm ări ca un num ăr cât
mai mare din cuno ștințele dobândite s ă poată fi folosite nu numai în
activitatea urm ătoare a elevilor la geometrie, dar și în alte domenii ale
matematicii sau la alte discipline școlare.
Elementele de geometrie se pot conecta cu zona pred ării – învățării
mărimilor și a unităților de m ăsură sau pot fi utilizate în rezolvarea
problemelor de matematic ă, în vederea schematiz ărilor sau a
concretiz ărilor acestora. definițiile
activitatea
individulă
a elevilor
plauzibilitatea
măsurilor

Predarea elementelor de geometrie
56 Proiectul pentru Înv ățământul Rural Cunoștințele, priceperile și deprinderile vizând geometria pot avea ca
sursă ori pot valoriza ceea ce elevii și-au însu șit sau au folosit în lec țiile de
educație plastic ă, abilități practice, educa ție fizică și chiar limba român ă (în
învățarea scrisului).

Test de autoevaluare

1.Prezint ă, folosind cuvinte proprii, specificul pred ării elementelor de geometrie în clasele
I-IV.
2. Formuleaz ă, folosind cuvinte proprii, obiectivele înv ățării elementelor de geometrie.
3. Precizeaz ă conținuturie înv ățării elementelor de geom etrie, la cel pu țin două dintre
clasele I-IV.
4. Opteaz ă pentru intuitiv sau logic în predarea elementelor de geometrie și motiveaz ă-ți
opțiunea.
5. Enumer ă și descrie, pe scurt, etapele din formarea unei no țiuni geometrice.

Răspunsul va putea fi încadrat în spa țiul rezervat în continuare.

Predarea elementelor de geometrie
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 57

5.7. R ăspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 5.2. (Locul și rolul elementelor de geometrie în matematica școlară).
2. Revezi 5.3.(Obiective și conținuturi ale înv ățării elementelor de geometrie).
3. Revezi 5.3., analizeaz ă și optează.
4. Revezi 5.4. (Intuitiv și logic în predarea elementelor de geometrie), analizeaz ă și
evalueaz ă.
5. Revezi 5.5.(Formarea conceptelor geometrice).

5.8. Bibliografie

1) Neacșu I. (coord.), Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, EDP, 1988;
2) Roșu M., Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS. 2004;
3) **** MEN, CNC, Curriculum na țional. Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
București, 1998 (obiective de referin ță și exemple de activit ăți de învățare vizând
numerația);
4) **** SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ățământul primar , Editura Pro
Gnosis (matematic ă, numera ția);
5) **** Manuale (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I- IV, (capitolele vizând
numerația).

Predarea frac țiilor
58 Proiectul pentru Înv ățământul Rural UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE 6
Predarea frac țiilor

Cuprins
6.1. Obiectivele unit ății de învățare……………………………………………………….58
6.2. Formarea no țiunii de frac ție…………………………………………………………..58
6.3. Compararea unei frac ții cu întregul…………………………………………………60
6.4. Frac ții egale ………………………………………………………………………………..60
6.5. Compararea a dou ă fracții …………………………………………………………….60
6.6. Opera ții cu fracții………………………………………………………………………….61
6.7. Aflarea unei frac ții dintr-un întreg……………………………………………………62
6.8. Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare …………………………..64
6.9. Bibliografie………………………………………………………………………………….64

6.1. Obiectivele unit ății de învățare

La sfârșitul acestei unit ăți de învățare, studen ții vor fi capabili:
– să aplice metodologia specific ă predării fracțiilor, în clasa a IV-a;
– să discrimineze specificul introducerii frac țiilor, în clasa a IV-a;
– să conștientizeze extinderea conceptului de num ăr și implicațiile
psihologice ale acestui fapt la elevii clasei a IV-a.

6.2. Formarea no țiunii de frac ție

Introducerea, în clasa a IV-a, a no țiunii de frac ție reprezint ă prima
lărgire a conceptului de num ăr. Elevii vor înv ăța că noua mul țime
numerică o include pe cea a numerelor naturale, prin în țelegerea faptului
că o fracție cu numitorul 1 reprezint ă un număr natural.
Formarea no țiunii de frac ție este un proces mai complicat, ce va
conduce, în timp, la conceptul de num ăr rațional. Bazele psihopedagogice
ale predării-învățării fracțiilor sunt determinate de sporirea experien ței de
viață și didactice a elevilor, a maturiz ării lor cognitive, a l ărgirii ariei
cunoștințelor lor matematice și din alte domenii ale cunoa șterii. Demersul
didactic trebuie s ă aibă traseul obi șnuit în înv ățarea la aceast ă vârstă: de
la elementele ac ționale, concrete, la cele de reprezentare iconic ă și
atingând nivelul abstrac țiunii, prin elemente simbolice.
Învățarea frac țiilor în clasa a IV-a nu porne ște de pe un loc gol. În clasa
a II-a, elevii au cunoscut termenii de jum ătate ( doime ) și sfert ( pătrime ),
în legătură cu împărțirea unui num ăr la 2, respectiv la 4, lucruri ce pot fi
valorificate în acest capitol. Astfel, știind că una din cele dou ă părți de lărgirea
conceptului
de număr
cazuri
particulare
cunoscute

Predarea frac țiilor
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 59

aceeași mărime în care a fost împ ărțit un întreg reprezint ă o doime, c ă una
din cele 4 p ărți de aceea și mărime în care a fost împ ărțit întregul
reprezint ă o pătrime, se pot aborda alte cazuri particulare, ce vor conduce
la generalizarea ce define ște unitatea frac ționară: o parte dintr-un întreg
care a fost împ ărțit în părți la fel de mari. Elevii vor fi condu și să intuiască
întregul ca un obiect, o figur ă geometric ă, o mulțime de obiecte sau
imagini de acela și fel sau chiar num ăr.
Date fiind experien ța matematic ă redusă a elevilor, capacit ățile de
abstractizare și generalizare înc ă nematurizate, precum și noutatea
noțiunii , înv ățarea acesteia parcurge mai multe etape:
a) etapa de frac ționare efectiv ă a unor obiecte concrete (m ăr,
pâine, portocal ă ș.a.) și de parti ție a unor mul țimi de obiecte
concrete (nuci, creioane, be țișoare, jetoane ș.a.);
b) etapa de frac ționare prin îndoirea unor figuri geometrice plane
care au axe de simetrie (p ătrate, dreptunghiur i, cercuri);
c) etapa de frac ționare prin trasarea unor linii pe un desen
geometric dat, pe care-l împart în p ărți la fel de mari (axe de
simetrie ale unui p ătrat, dreptunghi, cerc ș.a) sau frac ționarea
unor imagini de obiecte (trasar ea unor linii pe imaginea unui
măr, a unei cl ădiri ș.a)
d) etapa de frac ționare a numerelor, reductibil ă la împ ărțirea
acestora la un num ăr dat (2, pentru aflarea unei doimi; 4, pentru
aflarea unei p ătrimi ș.a.m.d.)
În cadrul fiec ărei etape se va eviden ția unitatea frac ționară și se va
sublinia faptul c ă întregul a fost împ ărțit în părți la fel de mari.
Se introduce apoi no țiunea de frac ție, ca fiind una sau mai multe unit ăți
fracționare și scrierea/citirea acesteia. Pentru ca elevii s ă rețină mai ușor
denumirile celor doi te rmeni ai unei frac ții, se poate preciza c ă numitorul
“numește” unitatea frac ționară (de exemplu, 2 – întregul a fost împ ărțit în
două părți la fel de mari, numite doimi), iar num ărătorul “num ără” câte
unități fracționare formeaz ă fracția dată. În citirea unei frac ții se va urm ări
ca exprim ările elevilor s ă fie complete și corecte (ex. 3/4 = trei p ătrimi și nu
“3 pe 4”sau “3 supra 4”), pentru a con știentiza no țiunea de frac ție, evitând
formalizări ce nu spun nimic elevului din clasa a IV-a. De asemenea, din
punct de vedere metodic, se recomand ă folosirea unei frac ții ai căror
numărători/numitori sunt numer e mai mici decât 10.
Primele tipuri de sarcini ale elevilor vizeaz ă precizarea frac ției
corespunz ătoare unor p ărți dintr-un întreg împ ărțit în părți egale (de
exemplu: s ă se scrie frac ția corespunz ătoare părții hașurate/colorate dintr-
un întreg împ ărțit în părți egale: ). Apoi se cere elevilor s ă
hașureze/coloreze partea dintr-un întreg împ ărțit în părți egale ce
corespunde unei frac ții date, respectiv s ă împartă întregul și să
hașureze/coloreze corespunz ător fracției date. Sarcinile de lucru pot fi și
de natur ă practică: să se plieze o foaie de hârtie de form ă pătrată astfel
încât să se obțină un num ăr de părți egale și apoi să se coloreze câteva
dintre acestea, corespunz ător unei frac ții date. Un alt tip de sarcin ă, mai
dificil, este cel în care, prezentându-se obiecte concrete de dou ă feluri sau
imagini ale acestora (de exemplu, mere și pere), se cere elevilor s ă scrie
fracția ce reprezint ă numărul obiectelor de primul fel fa ță de toate sau fa ță
de cele de felul al doilea (în exemplu: num ărul merelor fa ță de num ărul
fructelor și față de numărul perelor).
etape
definire

Predarea frac țiilor
60 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 6.3. Compararea unei frac ții cu întregul

Următoarele informa ții pe care și le pot însu și elevii se refer ă la tipurile de
fracții date de compararea cu întregul (subuni tare, echiunitare, supraunitare).
Prin acțiune direct ă cu obiecte sau cu imagini, ace știa constat ă că dacă
numărătorul frac ției este mai mic decât numitorul , trebuie luate în considerare
mai puține unități fracționare decât are întregul în cazul dat (ex.: pentru frac ția
¾, întregul a fost împ ărțit în 4 părți la fel de mari și s-au luat în considerare doar
3 dintre ele), deci frac ția reprezint ă, în acest caz, mai pu țin decât un întreg,
numindu-se subunitar ă. Dacă numărătorul frac ției este egal cu numitorul, atunci
se iau în considerare toate unit ățile fracționare ale întregului, deci tot întregul,
fracția reprezentând, în aces t caz, chiar întregul și numindu-se echiunitar ă.
Dacă numărătorul frac ției este mai mare decât numitorul, elevii constat ă că nu
sunt suficiente unit ăți fracționare ale întregului și este necesar ă considerarea
încă unui întreg (sau mai mul ți) de acela și fel, pentru a ob ține fracția. Firește, în
acest caz, frac ția reprezint ă mai mult decât un întreg și se va numi
supraunitar ă. Treptat, concretul reprezentat de obiecte sau imagini va disp ărea
și elevii își vor forma priceperea de a sesiza tipul frac ției, prin simpla comparare
a numărătorului cu numitorul.

6.4. Frac ții egale

Fracțiile egale sunt definite ca fiind frac țiile ce reprezint ă aceeași parte dintr-
un întreg sau din întregi identici. Aceast ă definiție nu poate fi asimilat ă de elevi
decât prin intuirea unor situa ții particulare. Astfel, se poate cere elevilor s ă
plieze o foaie de hârtie dreptunghiular ă astfel încât s ă obțină două părți la fel de
mari, apoi s ă hașureze/coloreze într-un anumit mod, una dintre p ărți (deci, 1/2).
Apoi se cere plierea aceleia și foi astfel încât s ă se obțină patru p ărți la fel de
mari și să se hașureze/coloreze într-un alt mod, dou ă părți (deci, 2/4). Se
compară apoi părțile hașurate/colorate, constatându-se c ă reprezint ă aceeași
parte din întreg, motiv pentru care vor fi numite frac ții egale și se va scrie
1/2 = 2/4.

Acțiunile de acest tip ar putea continua, elevii descoperind c
ă 1/2 = 2/4 = 4/8,
ceea ce constituie un prim pas în sesizarea propriet ății de amplificare
(înmulțirea atât a num ărătorului cât și a numitorului cu un acela și număr nenul),
ce reprezint ă și o modalitate de ob ținere a frac țiilor egale cu o frac ție dată.
Analiza șirului de egalit ăți scrise în ordine invers ă (4/8 = 2/4 = 1/2) sugereaz ă
proprietatea de simplificare a frac țiilor (împ ărțirea atât a num ărătorului cât și a
numitorului cu un acela și număr nenul).

6.5. Compararea a dou ă fracții

Problema compar ării a dou ă fracții apare imediat dup ă problema egalit ății:
dacă fracțiile nu sunt egale, trebuie stabilit care dintre ele este mai mic ă/mare.
În acest fel se va introduce o rela ție de ordine în mul țimea frac țiilor. La clasa a fracții
subunitare
fracții
echiunitare
fracții
supraunite
definire
obținere
fracții cu
același
numitor

Predarea frac țiilor
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 61

IV-a, sunt abordate doar dou ă situații în compararea frac țiilor:
a) fracțiile au acela și numitor;
b) fracțiile au acela și numărător.
Primul caz nu ridic ă probleme metodice deosebi te, elevii intuind cu u șurință
că, fracțiile având acela și numitor, “p ărțile” (unitățile fracționare) sunt la fel de
mari, deci va fi mai mic ă fracția cu num ărătorul mai mic, deoarece se “iau mai
puține unități fracționare.
Pentru compararea frac țiilor care au acela și numărător, elevii trebuie s ă
înțeleagă că, împărțind un întreg în p ărți (egale) mai multe, p ărțile vor fi mai
mici. Aceast ă aserțiune poate fi intuit ă cu ușurință prin prezentarea
problematizat ă a unei situa ții de tipul: Avem dou ă prăjituri egale, una împ ărțită
în două părți (egale), cealalt ă în trei p ărți (egale); pe care bucat ă ai alege-o și
de ce? În acest fel, elevii pot realiza c ă 1/2 > 1/3 și prin abordarea altor cazuri
particulare, c ă 1/2 > 1/3 > 1/4 >…, adic ă, dintre dou ă unități fracționare diferite
este mai mare cea cu numitorul mai mic. În acest context este mai u șor pentru
elevi să ordoneze descresc ător mai multe unit ăți fracționare diferite. Dup ă
asimilarea faptului c ă 1/2 > 1/3, se deduce imediat c ă 1/3 < 1/2 și prin induc ție,
se ajunge la regula ce permite ordonarea cresc ătoare a unit ăților fracționare:
dintre dou ă unități fracționare este mai mic ă cea care are num itorul mai mare.
În etapa urm ătoare se consider ă nu câte o unitate frac ționară, ci mai multe (dar
tot atâtea din fiecare întreg!), adic ă fracții cu num ărători egali. Cunoscând faptul
că o pătrime reprezint ă mai mult decât o cincime (din acela și întreg sau din doi
întregi egali), elevii intuiesc cu u șurință că dacă se iau câte 3 asemenea p ărți, 3
pătrimi înseamn ă mai mult decât 3 cincimi. Dup ă prezentarea mai multor
asemenea cazuri particulare, se poate ob ține regula: dintre dou ă fracții cu
același numărător este mai mare cea cu numit orul mai mic. Sarcinile care
urmează vizează: stabilirea celei mai mari frac ții dintre mai multe frac ții cu
același numărător, compararea și ordonarea descresc ătoare a mai multor
astfel de frac ții, urmată de ordonarea lor cresc ătoare.

6.6. Opera ții cu frac ții

Adunarea și scăderea frac țiilor cu acela și numitor) nu ridic ă probleme
metodice deosebite deoarece, în aceast ă etapă, elevii pot discrimina cu
ușurință tipul de problem ă simplă întâlnit, iar partea calculatorie este corect
intuită, după utilizarea unui desen sugestiv și a unor exprim ări neformalizate
(de tipul: dou ă cincimi + o cincime =?, trei cincimi – dou ă cincimi =?). Se
ajunge astfel la regulile cunoscute: pentru a aduna/sc ădea dou ă fracții cu
același numitor se adun ă/scad num ărătorii, numitorul r ămânând neschimbat.
În perspectiva simetriei rela ției de egalitate, pentru cultivarea reversibilit ății
gândirii elevilor este necesar ă abordarea unor sarcini de tipul scrierii unei
fracții ca o sum ă/diferență de fracții având acela și numitor

(ex. 3/5 = 1/5 + ; 5/6 = /6 + ; 6/7 = +
și analog pentru sc ădere). Mai men ționăm că, la nivelul trunchiului comun al
programei, este suficient s ă se opereze cu frac ții subunitare, deoarece
utilizarea celorlalte tipuri de frac ții (echiunitare, supraunitare) ar atrage dup ă

sine o alt ă problem ă: scoaterea întregilor din frac ție.
O eventual ă extindere la cazul adun ării/scăderii frac țiilor cu numitori diferi ți
este posibil ă doar în situa ția în care elevii au capacitatea de a ob ține fracții fracții cu
același
numărător
operare
extindere

Predarea frac țiilor
62 Proiectul pentru Înv ățământul Rural egale cu o frac ție dată (vezi amplificarea) și de a o alege pe cea util ă. Poate fi
abordat cazul în care unul dinte numit ori este numitorul comun al frac țiilor
date (de exemplu, 2/5 + 1/10, 3/4 – 1/2, 2/3 – 4/9)

6.7. Aflarea unei frac ții dintr-un întreg

Aflarea unei frac ții dintr-un întreg trebuie realizat ă metodic în dou ă etape:
a) aflarea unei (singure) unit ăți fracționare dintr-un întreg;
b) aflarea unei frac ții (mai multe unit ăți fracționare) dintr-un întreg.
Prima etap ă se parcurge apelând mai întâi la intui ție, prin utilizarea unui
material didactic tridimensional (obiecte) și plan (imagini, figuri). Problema
aflării unei doimi dintr-un astfel de întreg este transpus ă cu ușurință de către
elevi în plan opera țional, la împ ărțirea acestuia în dou ă părți egale. Prin
inducție se ajunge la concluzia c ă aflarea unei unit ăți fracționare dintr-un
întreg este reductibil ă la împărțirea acestuia în atâtea p ărți egale cât arat ă
numitorul. Apoi se afl ă unități fracționare din întregi ce reprezint ă mase,
lungimi, volume, cantit ăți (ex.: 1/2 din 10 kg, 1/ 3 din 9m, 1/4 din 12 l), re ținând
ideea: împ ărțire (în p ărți egale). De aici, se tr ece la aflarea unei unit ăți
fracționare dintr-un num ăr (1/2 din 10, 1/3 din 9, 1/4 din 12), subliniind
procedeul: împ ărțire.
Parcurgerea celei de-a dou ă etape (aflarea unei frac ții dintr-un întreg)
presupune doi pa și: aflarea unei singure unit ăți fracționare de tipul indicat de
numitor și apoi aflarea frac ției respective din întreg. De exemplu, problema
aflării a 3/4 din 12 este reductibil ă la: aflarea unei p ătrimi din 12 (ceea ce elevii
știu) și constatarea c ă 3 astfel de p ărți (pătrimi) înseamn ă de 3 ori mai mult
decât una singur ă (deci înmul țire cu 3).
După rezolvarea mai multor cazuri particulare se sintetizeaz ă modul de lucru
în regula: pentru a afla cât reprezint ă o fracție dintr-un num ăr (natural),
împărțim numărul la numitorul frac ției și înmulțim rezultatul cu num ărătorul.
Din punct de vedere metodic, aceast ă ultimă etapă poate fi parcurs ă, funcție
de particularit ățile clasei, trecând prin fiec are dintre fazele concret ă,
semiconcret ă și abstract ă sau numai prin ultimele/ultima. Consider ăm că elevii
și-au însu șit procedeul afl ării unei frac ții dintr-un întreg, dac ă vor avea
capacitatea s ă gândeasc ă și să exprime (oral sau scris) de tipul 3/4 din
12 = 12 : 4 x 3.

Test de autoevaluare

1. Precizeaz ă etapele înv ățării noțiunii de frac ție, la clasa a IV-a.
2. Prezintă, folosind cuvinte proprii, un demer s didactic vizând compararea unei frac ții
cu întregul.
3. Enumeră modalități de obținere a unei frac ții, la clasa a IV-a.
4. Prezintă, folosind cuvinte proprii, un demer s didactic vizând compararea frac țiilor cu
același numărător.
5. Descrie, pe scurt, un demers didactic ce vizeaz ă aflarea unei frac ții dintr-un întreg.
etape
prima
etapă
a doua
etapă

Predarea frac țiilor
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 63 Răspunsul va putea fi încadrat în spa țiul rezervat în continuare.

Predarea frac țiilor
64 Proiectul pentru Înv ățământul Rural
6.8. R ăspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 6.2. (Formarea no țiunii de frac ție).
2. Revezi 6.3.(Compararea unei frac ții cu întregul), esen țializează și reformuleaz ă.
3. Revezi 6.4. (Frac ții egale).
4. Revezi 6.5.(Compararea a dou ă fracții), selecteaz ă și reformuleaz ă.
5. Revezi 6.7. (Aflarea unei frac ții dintr-un întreg), esen țializează și reformuleaz ă.

6.9. Bibliografie
1) Neacșu I. (coord.), Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, EDP, 1988;
2) Roșu M., Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS. 2004;
3) **** MEN, CNC, Curriculum na țional. Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
București, 1998 (obiective de referin ță și exemple de activit ăți de înv ățare vizând
numerația);
4) **** SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ățământul primar , Editura Pro
Gnosis (matematic ă, numera ția);
5) **** Manuale (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I- IV, (capitolele vizând
numerația).

Metodologia rezolv ării problemelor
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 65 UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE 7
Metodologia rezolv ării problemelor

Cuprins

7.1. Obiectivele unit ății de învățare ……………………………………………………… 65
7.2. Conceptul de problem ă……………………………………………………………….. 65
7.3.Rezolvarea problemelor simple……………………………………………………… 66 7.4. Rezolvarea problemelor compuse…………………………………………………. 70 7.5. Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare………………………….. 75
7.6. Lucrare de verificare 3…………………………………………………………………. 75 7.7. Bibliografie…………………………………………………………………………………. 75

7.1. Obiectivele unit ății de învățare

La sfârșitul acestei unit ăți de învățare, studen ții vor fi capabili:
– să aplice metodologia rezolv ării problemelor de matematic ă în claseleI-IV;
– să exerseze un comportament explorator/i nvestigator prin rezolvarea de probleme;
– să conștientizeze valen țele formative ale activit ăților de rezolvare și compunere de
probleme.

7.2. Conceptul de problem ă
Noțiunea de problem ă, în sens larg, se refer ă la orice dificultate de natur ă
practică sau teoretic ă ce necesit ă o soluționare. În sens restrâns, problema
din matematic ă vizează o situație problematic ă a cărei rezolvare se ob ține
prin procese de gândire și calcul. Ea presupune o anumit ă situație, ce se
cere lămurită în condi țiile ipotezei (valori numerice date și relații între ele)
enunțată în text, în vederea concluzion ării, prin ra ționament și printr-un șir
de opera ții, a căror efectuare conduce la rezo lvarea problemei. Problema
implică în rezolvarea ei o activitate de descoperire, deoarece exclude
preexisten ța, la nivelul rezolvitorului, a unui algoritm de rezolvare, care ar
transforma-o într-un exerci țiu. Un exerci țiu oferă elevului datele (numerele
cu care se opereaz ă și precizarea opera țiilor respective),sarcina lui
constând în efectuarea calculelor dup ă tehnici și metode cunoscute.
Distinc ția dintre o problem ă și un exerci țiu se face, în general, în func ție
de prezen ța sau absen ța textului prin care se ofer ă date și corelații între
ele și se cere, pe baza acestora, g ăsirea unei necunoscute. Dar din punct
de vedere metodic, aceast ă distincție nu trebuie f ăcută după forma
exterioar ă a solicit ării, ci dup ă natura rezolv ării. Clasificarea unor enun țuri
matematice în exerci ții sau probleme nu se poate face în mod tran șant, fără
a ține seama și de experien ța de care dispune și pe care o poate utiliza cel
care rezolv ă. Un enun ț poate fi o problem ă pentru un elev din clasa I, un
exercițiu pentru cel din clas a a V-a sau doar ceva perfect cunoscut pentru sens lar g
sens
restrâns
problemă/
exercițiu

Metodologia rezolv ării problemelor
66 Proiectul pentru Înv ățământul Rural cel din liceu.
O prim ă clasificare a problem elor conduce la dou ă categorii: probleme
simple (cele rezolvabile printr-o singur ă operație) și probleme compuse
(cele rezolvabile prin cel pu țin două operații).

7.3. Rezolvarea problemelor simple
Specific clasei I este primul tip de probleme, a c ăror rezolvare conduce la
o adunare sau sc ădere în concentrele numerice înv ățate.
Rezolvarea acestora reprezint ă, în esen ță, soluționarea unor situa ții
problematice reale, pe care elevii le întâlnesc sau le pot întâlni în via ță, în
realitatea înconjur ătoare. Pe plan psihologic , rezolvarea unei probleme
simple reprezint ă un proces de analiz ă și sinteză în cea mai simpl ă formă.
Problema trebuie s ă cuprindă date (valori numerice și relații între ele) și
întrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simpl ă analiză a
întrebării problemei se ajunge la date și la cea mai simpl ă sinteză a datelor
se ajunge la întrebarea problemei. A rezolva în mod con știent o problem ă
simplă înseamn ă a cunoa ște bine punctul de plecar e (datele problemei) și
punctul la care trebuie s ă se ajung ă (întrebarea problemei), înseamn ă a
stabili între acestea un drum ra țional, o rela ție corect ă, adică a alege
operația corespunz ătoare, impus ă de rezolvarea problemei.
Predarea oric ărui nou con ținut matematic trebuie s ă se facă, de regul ă,
pornind de la o situa ție- problem ă ce îl presupune. Și din acest motiv,
abordarea problemelor în clasa I trebuie s ă înceapă suficient de devreme și
să fie suficient de frecvent ă pentru a sublinia (implicit, dar uneori și explicit)
ideea că matematica este impus ă de realitatea înconjur ătoare, pe care o
reflectă și pe care o poate solu ționa cantitativ.
În momentul în care elevii cunosc numerele naturale dintr-un anumit
concentru și operațiile de adunare/ sc ădere cu acestea, introducerea
problemelor ofer ă elevilor posibilitatea aplic ării necesare și plauzibile a
tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoa ște și discrimina situa țiile care
implică o opera ție sau alta, precum și exersarea unei activit ăți specific
umane: gândirea.
Elevii din clasa I întâmpin ă dificultăți în rezolvarea problemelor simple, din
pricina neîn țelegerii rela țiilor dintre date (valori numerice), text și întrebare.
Valorile numerice sunt greu legate de con ținut și de sarcina propus ă în
problemă și pentru c ă numerele exercit ă asupra școlarilor mici o anumit ă
fascinație, care îi face s ă ignore con ținutul problemei.
Un alt grup de dificult ăți apare din pricina limbajului matematic, pe care
școlarii mici nu îl în țeleg și, în consecin ță, nu pot rezolva o anumit ă
problemă. De aceea, una dintre sa rcinile importante ale înv ățătorului este
aceea de a înv ăța pe elevi s ă “traducă” textul unei prob leme în limbajul
operațiilor aritmetice.
Să vedem ce se poate face pentru dep ășirea acestor dificult ăți, astfel
încât școlarii mici s ă poată rezolva corect și cu ușurință problemele simple.
Având în vedere caracterul in tuitiv-concret al gândirii micului școlar,
primele probleme ce se rezolv ă cu clasa vor fi prezentate într-o form ă cât
mai concret ă, prin “punere în scen ă”, prin ilustrarea cu ajutorul materialului
didactic și cu alte mijloace intuitive.
Conștientizarea elementelor co mponente ale problemei, ca și noțiunile de
“problem ă”, “rezolvarea problemei, “r ăspunsul la întrebarea problemei” le problemă
simplă/
compusă
introducerea
problemelor simple la
clasa I

Metodologia rezolv ării problemelor
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 67 capătă elevii cu ocazia rezolv ării problemelor simple, când se prezint ă în
fața lor probleme “vii”, probleme-ac țiune, fragmente autentice de via ță.
Școlarii mici trebuie mai întâi s ă trăiască problema, ca s ă învețe să o
rezolve.
Prezent ăm în continuare o modalitate posibil ă la clasa I, dup ă
introducerea opera ției de adunare în concentrul 0-10.
Învățătoarea d ă unei feti țe (să-i spunem Mihaela) 5 flori și unui băiețel
(să-i spunem Mihai) 3 flori. Ea cere feti ței să pună florile în vaza de pe
catedră. Apoi dialogheaz ă cu clasa.
– “Ce a f ăcut Mihaela?” (A pus 5 flori în vaza de pe catedr ă.)
Acum, înv ățătoarea cere b ăiețelului să pună florile sale în vaz ă.
– “Ce a f ăcut Mihai?” (A pus și el cele 3 flori ale sale în vaz ă.)
– “Câte flori a pus Mihaela și câte flori a pus Mihai în vaza de pe
catedră?” (Mihaela a pus 5 flori și Mihai a pus 3 flori.)
– “Câte flori sunt acum în vaz ă?” (Elevii r ăspund cu u șurință,
deoarece v ăd cele 8 flori în vaz ă.)
– “Cum a ți aflat?” (Lâng ă cele 5 flori pe care le-a pus Mihaela, a
mai pus și Mihai 3 flori și s-au făcut 8 flori. Deci 5 flori și încă 3
flori fac 8 flori, adic ă aflarea num ărului total de flori s-a realizat
prin adunare: 5+3=8.)
Un elev expune ac țiunea făcută de colegii s ăi și formuleaz ă întrebarea
problemei: Mihaela a pus în vaz ă 5 flori, iar Mihai a pus 3 flori. Câte flori
sunt în total, în vaz ă?
Cu acest prilej, înv ățătoarea îi familiarizeaz ă pe elevi cu no țiunile de
“problem ă” și “rezolvarea a problemei”, diferen țiind și părțile componente
ale problemei. Nu este inutil ca, în aceast ă etapă, să se strecoare elevilor
ideea verific ării rezultatului (aici, vizual, prin num ărare), ca o înt ărire
imediată a corectitudinii solu ției.
Dacă în problema anterioar ă rezultatul era vizibi l (la propriu!), nu acela și
lucru se întâmpl ă în etapa urm ătoare.
– “Fiți atenți la Mihaela și veți spune ce a f ăcut ea!” (La indica ția
învățătoarei, Mihaela arat ă 4 caiete pe care le pune într-un
ghiozdan gol, aflat pe catedr ă.)
– “Ce a f ăcut Mihaela?” (A pus 4 caiete în ghiozdan.)
– “Observa ți ce face ea acum !” (Mihaela mai pune înc ă două
caiete în ghiozdan.)
– “Ce a f ăcut acum Mihaela?” (A mai pus dou ă caiete în ghiozdan.)
– “Spune ți tot ce a ți văzut că a făcut Mihaela de la început!” (A pus
în ghiozdan 4 caiete și încă două caiete.)
– “Dar vede ți voi câte caiete sunt acum în ghiozdan?” (Nu.)
– “Atunci, ce nu știm noi sau ce trebuie s ă aflăm?” (Câte caiete
sunt acum în ghiozdan.)
– “Să spunem acum problema!” (Mihael a a pus în ghiozdan mai tâi
4 caiete și apoi înc ă două caiete. Câte caiete a pus Mihaela, în
total, în ghiozdan?)
– “Aceast ă problem ă este format ă din două părți: o parte ne arat ă
ce cunoa ștem sau ce știm în problem ă. Spuneți ce știm noi în
această problem ă!” (Că Mihaela a pus în ghiozdan mai întâi 4
caiete și apoi înc ă două caiete.)
– O alt ă parte a problemei ne arat ă ce nu cunoa ștem, adic ă ce
trebuie s ă aflăm. Aceasta se nume ște întrebarea problemei. Ce
nu cunoa ștem noi în aceast ă problem ă?” (Nu cunoa ștem câte etape în
rezolvare

Metodologia rezolv ării problemelor
68 Proiectul pentru Înv ățământul Rural caiete a pus Mihaela, în total.)
– Deci, care este întrebarea pr oblemei?” (Câte caiete a pus
Mihaela, în total, în ghiozdan?)
– Să rezolvăm acum problema! Cum vom gândi?” ( La 4 caiete pe
care le-a pus întâi, am ad ăugat cele dou ă pe care le-a pus apoi și
s-au făcut 6 caiete, pentru c ă 4+2=6.)
– “Ce am aflat?” (C ă Mihaela a pus în total 6 caiete în ghiozdan.)
– “Acesta este r ăspunsul la întrebarea problemei.”
– “Să vedem acum dac ă am rezolvat corect problema! Mihaela, ia
ghiozdanul de pe catedr ă, scoate caietele și numără-le, să vadă
toți copiii!” (Ace știa se conving de corectitudinea rezolv ării
problemei.)
Să mai ilustr ăm printr-un exemplu, etapele pe care le parcurge un elev ce
rezolvă o problem ă simplă.
1. Copilul pune împreun ă, în aceea și cutie, dou ă cantități ( două
creioane și 3 creioane).
2. “Traducerea” oral ă: “Am avut dou ă creioane într-o mân ă, 3 în cealalt ă
și le-am pus pe toate în aceea și cutie; deci, în aceast ă cutie sunt 5
creioane.” De altfel, ai ci putem distinge dou ă etape: copilul vorbe ște
în timp ce execut ă acțiunea, apoi vorbe ște fără să mai execute
acțiunea.
3. “Traducerea” în desen:

Întâlnim aici o dificultate de ordi n psihologic: condensarea într-un singur
desen a uneia sau mai multor ac țiuni care au o anumit ă durată. Efortul de
depășire a acestei dificult ăți obligă copilul s ă nu deseneze decât lucrurile
importante și îl obișnuiește treptat s ă nu mai ia în considera ție amănuntele,
ci să rețină ceea ce este esn țial.
4. “Traducerea” cu introduc erea simbolismului elementar:

+ =

Aici începe introducerea primelor conven ții, care nu sunt altceva decât un
rezumat al experien ței. Este important s ă se explice elevilor c ă semnul +, în
acest caz, nu face decât s ă rezume o ac țiune (am pus împreun ă, în
aceeași cutie) sau s ă transpun ă o acțiune.
5. În decursul etapei precedente poate s ă apară o alt
ă “traducere”: 2
creioane + 3 creioane = 5 crei oane, într-un prim stadiu și 2 + 3 = 5, în
stadiul al doilea.
Evident c ă aspectele enumerate nu cores pund unor etape rigide; ele doar
indică linia general ă de evolu ție.
6. Am putea s ă continuăm astfel și să spunem c ă “traducerea” a + b = c
se înscrie în aceast ă evoluție, care pleac ă d e l a c o n c r e t și care se
purifică tot mai mult de-a l ungul diferitelor etape. tipuri de
probleme
simple
prezentarea
problemelor
la clasa I

Metodologia rezolv ării problemelor
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 69 Pe aceea și linie, a înv ățării “traducerilor”, înv ățătorul trebuie s ă-i conduc ă
pe elevi spre recunoa șterea în probleme a principa lelor categorii de situa ții
care conduc la o anumit ă operație aritmetic ă. De exemplu:
a) probleme care se rezolv ă prin adunare:
– suma obiectelor analoage (3 bile + 4 bile = 7 bile);
– reuniunea unor obiecte care trebuie s ă fie regrupate într-o
categorie general ă (3 mere + 4 pere = 7 fructe, 3 g ăini + 4 ra țe
= 7 păsări);
– suma valorilor negative (s-au spart 3 baloane și încă 4 baloane,
am pierdut 3 nasturi și încă 4 nasturi).
b) probleme care se rezolv ă prin scădere
– se caut ă un rest (Am avut 8 bomboan e; din ele am mâncat 2.
Câte au mai r ămas?);
– se caut ă ceea ce lipse ște unei m ărimi pentru a fi egal ă cu alta
(Am dou ă caiete în ghiozdan și trebuie s ă am 5 caiete. Câte
caiete îmi lipsesc?);
– se compar ă două mărimi (Raluca are 3 timbre și Mihaela 8
timbre. Cu câte timb re are mai mult Mihaela decât Raluca?).
Condiție necesar ă pentru rezolvarea unei probleme simple, cunoa șterea
elementelor sale de structur ă nu trebuie s ă realizeze numai cu prilejul
rezolvării primelor probleme, ci este necesar ă o permanent ă consolidare.
Pentru aceasta, se pot fo losi diferite procedee:
– prezentarea unor “probleme” cu date incomplete, pe care elevii le
completeaz ă și apoi le rezolv ă. De exemplu: Raluca a avut 9
nasturi și a pierdut câ țiva dintre ei. Câ ți nasturi i-au r ămas?
– prezentarea datelor “problemei”, la care elevii pun întrebarea. De
exemplu: Un copil avea 5 creioan e. El a dat 2 creioane fratelui s ău.
– Prezentarea întreb ării, la care elevii completeaz ă datele. De
exemplu: Câte c ărți au rămas?
În manualul clasei I, introducerea pr oblemelor se face relativ devreme,
din motivele men ționate anterior. Prezentarea acestora se face gradat,
trecând prin etapele:
– probleme dup ă imagini;
– probleme cu imagini și text;
– probleme cu text.
Introducerea problemelor cu text este condi ționată și se învățarea de
către elevi a citirii/scrierii literelor și cuvintelor componente.
Manualul sugereaz ă și modalitatea de redactare a rezolv ării unei
probleme, urmând ca, în absen ța unui text scris, înv ățătorul să-i
obișnuiască pe elevi s ă scrie doar datele și întrebarea problemei. Dup ă
rezolvarea problemei, men ționarea explicit ă a răspunsului îi determin ă pe
elevi să conștientizeze finalizarea ac țiunii, fapt ce va deveni vizibil și în
caietele lor, unde acest r ăspuns va separa problema separat ă de alte
sarcini ulterioare de lucru (exerci ții sau probleme).

Metodologia rezolv ării problemelor
70 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 7.4. Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea unei probleme compuse nu este reductibil ă doar la rezolvarea
succesiv ă a unor probleme simple. Dific ultatea unor astfel de rezolv ări este
dată de necesitatea descoperirii leg ăturilor dintre date și necunoscute, de
construirea ra ționamentului corespunz ător.
De aceea, primul pas în realizarea demersului didactic îl constituie
rezolvarea unor probleme compuse, alc ătuite din succesiunea a dou ă
probleme simple, unde cea de a doua problem ă are ca una dintre date,
răspunsul de la prima problem ă.
De exemplu, se prezint ă și se rezolv ă, pe rând, urm ătoarele dou ă
probleme simple:
1. Pe o ramur ă a unui pom erau 5 vr ăbii, iar pe alta, 3 vr ăbii. Câte vr ăbii
erau în pom?
2. Două dintre vr ăbiile din acel pom au zburat. Câte vr ăbii au rămas în
pom?
Se reformuleaz ă apoi, construind din cele dou ă o singur ă problem ă:
Pe o ramur ă a unui pom erau 5 vr ăbii, iar pe alta, 3 vr ăbii. Două dintre
vrăbiile din acel pom au zburat. Câte vr ăbii au rămas în pom?
În urma unor astfel de activit ăți, elevii sesizeaz ă pașii raționamentului și
învață să redacteze rezolvarea problemei, pe baza elabor ării unui plan și
efectuării calculelor corespunz ătoare.
Pentru rezolvarea unei probleme compuse este necesar ă parcurgerea
următoarelor etape:
a) însușirea enun țului problemei;
b) examinarea (judecata) problemei;
c) alcătuirea planului de rezolvare;
d) rezolvarea propriu-zis ă;
e) activit ăți suplimentare dup ă rezolvarea problemei.
În fiecare etap ă, activitățile ce se desf ășoară sunt variate, unele obligatorii,
altele doar dac ă este cazul.
Astfel, pentru însu șirea enun țului problemei, activit ățile necesare sunt:
– expunerea/citirea textului problemei
Se poate realiza prin modalit ăți diferite, dup ă cum textul problemei poate fi
vizualizat de elevi în manual, pe tabl ă, pe o plan șă, într-un auxiliar didactic,
iar citirea acestuia poate fi f ăcută de către de înv ățător, de către unul sau
mai mulți elevi, de c ătre fiecare elev (f ără voce). Este o activitate necesar ă și
obligatorie în aceast ă etapă.
– explicarea cuvintelor/expresiilor necunoscute
Reprezint ă o activitate necesar ă doar dac ă textul problemei con ține
cuvinte necunoscute elevilor. Înv ățătorul are avantajul cunoa șterii, de la
limba român ă, a cuvintelor ce intr ă în vocabularul activ al elevilor s ăi și este
în măsură să decidă când este cazul s ă se opreasc ă asupra explic ării unor
cuvinte din text. Neîn țelegerea de c ătre elevi a unor cuvinte conduce la
incapacitatea acestora de a- și imagina contextul descris în problem ă și, în
consecin ță, la imposibilitatea elabor ării unor ra ționamente.
– discuții privitoare la con ținutul problemei
Sunt necesare doar în cazul în care nu to ți elevii reu șesc să conștientizeze
și să-și reprezinte contextul descris în problem ă.
– concretizarea enun țului problemei prin diferite mijloace
intuitive
Dacă activitatea precedent ă nu a condus la în țelegerea textului, pot fi introducerea
unei
probleme
compuse
etape în
rezolvarea unei
probleme
compuse
activități
pentru
însușirea
enunțului
problemei
pentru examinarea
problemei

Metodologia rezolv ării problemelor
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 71 utilizate diverse mijloace materiale, care s ă ilustreze textul, f ăcându-l
accesibil oric ărui elev.
– scrierea datelor problemei
Este o activitate necesar ă, obligatorie, pentru c ă reprezint ă un pas spre
esențializarea textului și păstrarea doar a informa țiilor cantitative și a
întrebării problemei. Se poate realiza pr in scrierea datelor pe orizontal ă („cu
puncte, puncte”) sau pe vertical ă (ca la geometrie, cu „se d ă”, „se cere”).
Alegerea unuia sau altuia dintre procedee se face în func ție de
particularit ățile clasei, complexitatea problemei, inten țiile, dar și
personalitatea fiec ărui învățător.
– schematizarea problemei
Se poate realiza atunci când elevii întâlnesc un nou tip de problem ă,
pentru a facilita vizualizarea leg ăturilor dintre datele problemei sau dup ă ce
elevii au rezolvat o clas ă de probleme de un acela și tip, în vederea re ținerii
schemei generale de rezolvare.
– repetarea problemei de c ătre elevi
Este o activitate necesar ă, obligatorie care ofer ă învățătorului feed-back-ul
privind însu șirea de c ătre elevi a enun țului problemei, iar elevilor înt ăririle
imediate pentru a putea accede la urm ătoarele etape ale rezolv ării. Numărul
elevilor care repet ă enunțul problemei este variabil (nu unul singur, dar nici
fiecare elev din clas ă) și se stabile ște de fiecare înv ățător, în func ție de
complexitatea problemei și de particularit ățile clasei. Repetarea se poate
realiza urm ărind datele deja scrise pe tabl ă (și în caietele elevilor), în ordinea
apariției acestora în enun ț sau enun țând, la întâmplare, câ te una dintre date
și cerând elevilor s ă spună ce reprezint ă ea. Nu trebuie neglijat ă repetarea
întrebării problemei, ce va sta la baza urm ătoarei etape de rezolvare.
Examinarea (judecata) problemei se poate realiza pe cale sintetic ă sau pe
cale analitic ă. Ambele metode constau în descompunerea problemei date în
probleme simple, care prin rezolvarea lor succesiv ă duc la g ăsirea
răspunsului problemei. Deosebirea între ele const ă în punctul de plecare al
examinării: prin metoda sintetic ă se porne ște de la datele problemei spre
determinarea solu ției, iar prin metoda analitic ă se porne ște de la întrebarea
problemei spre datele ei și stabilirea rela țiilor pentru acestea.
Cum mersul gândirii rezolvitorului nu este liniar în descoperirea solu ției,
întâmpinarea unei dificult ăți sau un blocaj în rezolvare poate conduce la
schimbarea c ăii de examinare. De aceea, cele dou ă metode se pot folosi
simultan sau poate predomina una dintre ele. La vârsta școlară mică,
metoda sintetic ă de examinare a unei probleme este mai accesibil ă, dar nu
solicită prea mult gândirea elevilor , mai ales dac ă ne mărginim să le
prezentăm probleme în care datele se leag ă între ele în ordinea apari ției în
enunț. În acest fel, exist ă riscul depist ării și rezolvării unor probleme simple
care nu au leg ătură cu întrebarea probl emei. Metoda analitic ă, mai dificil ă,
dar mai eficient ă în dezvoltarea gândirii elevilor poate fi utilizat ă la clasele a
III-a și a IV-a, ajutându-i pe elevi s ă vadă problema în totalitatea ei, s ă aibă
mereu în centrul aten ției întrebarea problemei.
Alcătuirea planului de rezolvare se face începând cu prima problem ă
simplă ce se ob ține din descompunerea problemei date și continuă cu
celelalte probleme simple, ce au putut fi depistate prin examinarea sintetic ă.
Întrebările acestor probleme simple constitu ie planul de rezolvare, ce poate fi
redactat sub aceast ă formă interogativ ă sau poate fi prezentat prin exprim ări
concise, nun țiative. Prima modalitate este mai la îndemâna școlarului mic,
dar sporirea în timp a experien ței de rezolvitor îl va conduce spre a accepta, pentru
alcătuirea
planului
de
rezolvare
rezolvarea
propriu-zis ă
activități
suplimen-
tare

Metodologia rezolv ării problemelor
72 Proiectul pentru Înv ățământul Rural ba chiar a prefera, ce a de-a doua modalitate.
Rezolvarea propriu-zis ă a problemei este separat ă de cealalt ă etapă doar
din rațiuni legate de timpul demersului implicat: dac ă examinarea are la baz ă
raționamente și implică o activitate de descoperire, rezolvarea este de
natură calculatorie și implică o activitate executorie. Aceast ă etapă constă în
alegerea opera țiilor corespunz ătoare „întreb ărilor” problemei, justificarea
alegerii și efectuarea calculelor. În mod obi șnuit, se realizeaz ă în acela și
timp cu stabilirea „întreb ărilor”, prin alternarea acestora cu calculele
corespunz ătoare. Se realizeaz ă astfel o unitate între ceea ce a gândit elevul
și ceea ce calculeaz ă.
Rezolvarea se încheie, cu men ționarea r ăspunsului la întrebarea
problemei.
Activitățile suplimentare, dup ă rezolvarea problemei, reprezint ă o etapă
foarte bogat ă în valen țe formative, ce trebuie s ă stea permanent în aten ția
învățătorului și a elevilor. Desigur, dup ă rezolvarea unor probleme nu se pot
realiza toate aceste activit ăți posibile, dar și desfășurarea câtorva reprezint ă
mult pentru dezvoltarea intelectual ă a copilului.
Fără pretenția prezent ării unei liste exhaustive, printre aceste activit ăți se
află:
– revederea planului de rezolvare
Nu înseamn ă o recitire mecanic ă a acestuia, ci sublinierea pa șilor realiza ți
în rezolvare. Mai mult, dac ă examinarea problemei s-a realizat sintetic, acum
poate fi activat ă calea analitic ă, marcând necesitatea realiz ării fiecărui pas
din rezolvare. Revederea planului de rezo lvare contribuie la formarea și dezvoltarea
capacităților de sistematizare, generalizare și abstractizare ale gândirii
elevilor.
– verificarea solu ției
Poate con ține două componente, dintre care prima, grosier ă, permite
eliminarea solu țiilor neplauzibile (nu poate constitui un r ăspuns corect,
soluția 3 muncitori și jumătate!), cu un ordin de m ărime complet diferit de
datele problemei (dac ă acestea sunt mai mici decât 10, nu se poate ob ține o
soluție de ordinul miilor). Spre deosebire de aceast ă modalitate de verificare
a plauzibilit ății soluției, bazat ă pe raționament, cea de-a doua modalitate
este calculatorie, constând în introducerea solu ției în enun țul problemei și
verificarea tuturor conexiunilor men ționate în enun ț.
Verificarea solu ției confer ă rezolvitorului siguran ță, îi spore ște încredea în
forțele proprii și se constituie într-un instru ment de autocontrol utilizabil nu
numai la matematic ă, o adevărată deprindere de munc ă intelectual ă.
– alte căi de rezolvare
De multe ori, o problem ă dată admite mai multe c ăi de rezolvare. Dup ă
găsirea uneia dintre ele, se poate lansa solicit area de a rezolva problema
„astfel”. În momentul g ăsirii tuturor c ăilor de rezolvare, acestea pot fi
analizate, alegând-o pe cea mai „frumoas ă” (mai elegant ă, mai neobi șnuită
sau măcar mai scurt ă).
În felul acesta este activat ă capacitatea de explorare/ investigare a elevilor,
implicați într-o activitate de descoperire, care nu numai c ă îi motiveaz ă
pentru înv ățarea matematicii, ci și contribuie la dezvoltarea gândirii
divergente a acestora. Sunt dep ășite astfel nivelurile inferioare de
cunoaștere, înțelegere, aplicare ajungându-se în zonele analizei, sintezei și
evaluării.
– scrierea expresiei numerice corespunz ătoare rezolv ării

Metodologia rezolv ării problemelor
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 73 problemei
Reprezint ă una dintre modalit ățile uzuale de seriere condensat ă a
rezolvării problemei, a șa numitul „exerci țiu al problemei”. Numai c ă scopul
său nu este legat de calcul, ci de a eviden ția, într-o manier ă sintetică,
întreaga rezolvare a problemei. Deci, dup ă scrierea acestei expresii
numerice, nu se cere efectuar ea acesteia, ci se analizeaz ă fiecare opera ție
component ă, identificând întrebarea problemei ce a condus la aceasta (de
exemplu, un produs de doi factori poate reprezenta un cost al unui produs,
unul din factori reprezen tând cantitatea, iar cel ălalt prețul unitar). Scrierea
expresiei numerice reprezint ă un pas spre descoperirea claselor de
probleme, preg ătește introducerea algebrei și le poate fi de folos elevilor în
activitatea de compunere a problemelor.
În acest fel, sunt antrenate opera ții ale gândirii ca abstractizarea și
generalizarea, contribui nd la cultivarea calit ăților acesteia.
– rezolvarea unor probleme de acela și tip
Se poate realiza schimbând valor ile numerice ale datelor, schimbând
mărimile ce intervin în problem ă sau schimbând și valorile și mărimile.
Realizarea acestei activit ăți dă consisten ță claselor de probleme introduse
de învățător și îi apropie pe elevi de activi tatea de compunere a problemelor.

– complicarea problemei
Nu înseamn ă a face ca problema dat ă să devină mai complicat ă, ci a găsi
și alte întreb ări posibile pentru aceasta, particulariz ări ale solu ției sau
extinderi, eventual prin introducerea de date noi. Poate contribui la dezvoltarea gândirii divergente a elevilor, precum și la
cultivarea inventivit ății și creativit ății acestora.
– generaliz ări
Un prim pas spre generalizare s-a realizat chiar prin scrierea expresiei
numerice corespunz ătoare rezolv ării. Următorul pas îl constituie expresia
literală, ce stabile ște tipul de problem ă și îi pregătește pe elevi pentru
învățarea algebrei. Pentru copiii ce reu șesc să ajungă în aceast ă zonă,
acest tip de activitate contribuie la sporirea capacit ății de abstractizare.
– compuneri de probleme de acela și tip
Este categoria de activit ăți ce cultiv ă la elevi imagina ția creatoare, ce îi
transform ă din rezolvitori în autori de probleme. De și imagina ția lor nu
trebuie îngr ădită, înv
ățătorul trebuie s ă-i atenționeze asupra plauzibilit ății
problemei alc ătuite, care trebuie s ă fie concordant ă cu realitatea
înconjurătoare.

Test de autoevaluare

1. Compune cel pu țin două probleme simplede înmul țire, ilustrând situa ții diferite.
2. Completeaz ă lista de mai jos cu celelalte etape din rezolvarea unei probleme
compuse:
– examinarea (judecata) problemei; – rezolvarea propriu-zis ă.
3. Alege una dintre etapele rezolv ării unei probleme compuse și precizeaz ă activitățile
ce se desfa șoară în aceast ă etapă.
4. Prezint ă un demers didactic complet vizând rezolvarea la clas ă a problemei:

Metodologia rezolv ării problemelor
74 Proiectul pentru Înv ățământul Rural În excursie, copiii au g ăsit castane. Daniel,Elena și Florin au strâns împreun ă 84 de
castane. Daniel și Florin au strâns împreun ă 44 castane, iar Elena de dou ă ori mai
multe decât Florin. Câte cast ane a strâns fiecare copil ?

Răspunsul va putea fi încadrat în spa țiul rezervat în continuare.

Metodologia rezolv ării problemelor
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 75
7.5. R ăspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

1. Revezi 7.3. (Rezolvarea problemelor simple).
2. Revezi 7.4.(Rezolvarea problemelor compuse), compar ă și apoi completeaz ă lista.
3. Revezi 7.5.
4. Revezi 7.5.
R: 24, 40, 20 castane.

7.6. Lucrare de verificare 3

1. Compune cel pu țin două probleme simple de împ ărțire, ilustrând situa ții diferite.
2. Prezint ă un demers didactic complet, vizând reyolvarea la clas ă a problemei:
La un magazin de juc ării s-au adus 901 baloane ro șii, galbene și verzi. Dup ă ce s-a
vândut acela și număr de baloane din fiecare culoare, au r ămas 87 baloane ro șii,
314 baloane galbene și 125 baloane verzi. Câte baloane de fiecare culoares-au
adus la magazin?

După rezolvare, lucrarea de verificare trebuie transmis ă tutorelui, într-o
modalitate pe care o ve ți stabili împreun ă (e-mail, prob ă scrisă etc.).
Sugestii pentru acordarea punctajului
Oficiu: 10 puncte
Subiectul 1: 30 puncte Subiectul 2: 60 puncte

7.7. Bibliografie

1) Neacșu I. (coord.), Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV , EDP, 1988;
2) Roșu M., Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori ,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS. 2004;
3) Roșu M., 111 probleme rezolvate pentru clasele III-IV , Editura METEOR PRESS, 2002;
4) **** MEN, CNC, Curriculum na țional. Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
București, 1998 (obiective de referin ță și exemple de activit ăți de învățare vizând
numerația);
5) **** SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ățământul primar , Editura Pro
Gnosis (matematic ă, numera ția);
6) **** Manuale (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I- IV, (capitolele vizând
numerația).

Jocul didactic matematic
76 Proiectul pentru Înv ățământul Rural UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE 8
Jocul didactic matematic

Cuprins

8.1. Obiectivele unit ății de învățare……………………………………………………….76
8.2. Conceptul de joc………………………………………………………………………….76
8.3. Jocul didactic ………………………………………………………………………………77
8.4. Jocul didactic matematic ………………………………………………………………78
8.4.1. Caracteristici…………………………………………………………………………….78 8.4.2. Necesitate………………………………………………………………………………..79
8.4.3. Rol formativ ……………………………………………………………………………..79
8.4.4. Locul și rolul în lec ția de matematic ă……………………………………………79
8.4.5. Organizare……………………………………………………………………………….80
8.4.6. Desf ășurare ……………………………………………………………………………..80
8.4.7. Tipuri de jocuri didactice matematice …………………………………………..81
8.5. Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare …………………………..82
8.6. Bibliografie………………………………………………………………………………….82

8.1. Obiectivele unit ății de învățare

La sfârșitul acestei unit ăți de învățare, studen ții vor fi capabili:
– să aplice metodologia organiz ării și desfășurării jocului didactic
matematic;
– să discrimineze locul și rolul jocului didactic în lec ția de matematic ă;
– să conștientizeze avantajele oferite de jocul didactic matematic în
clasele I-IV.

8.2. Conceptul de joc

În viața de fiecare zi a copilului, jocul ocup ă un rol esen țial. Jucându-se,
copilul își satisface nevoia de activitate, de a ac ționa cu obiecte reale sau
imaginare, de a se transpune în diferite roluri și situații care îl apropie de
realitatea înconjur ătoare.
Copilul se dezvolt ă prin joc, î și potențează funcțiile latente, punând în
acțiune posibilit ățile care decurg din st ructura sa particular ă, pe care le
traduce în fapte, le asimileaz ă și le complic ă.
Jocurile colective reprezint ă rațiunea existen ței unui grup de copii, for ța de
coeziune care îi ține laolalt ă. Jocul îi apropie pe copii, genereaz ă și
stabilizeaz ă sentimente de prie tenie, stimuleaz ă colaborarea, sco țându-i din “Iubirea și
înțelepciu-
nea mea e
jocul”

Jocul didactic matematic
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 77 izolare.
Jocul are urm ătoarele tr ăsături caracteristice:
– este una dintre variatele activit ăți ale oamenilor, determinat ă de
celelalte activit ăți și care, la rândul s ău, le determin ă pe
acestea; înv ățarea, munca, crea ția nu s-ar putea realiza în
afara jocului, dup ă cum acesta este purt ătorul principalelor
elemente psihologice de esen ță neludică ale oric ărei ocupa ții
specific umane;
– este o activitate con știentă: cel care îl practic ă, îl
conștientizeaz ă ca atare și nu-l confund ă cu nici una din
celelalte activit ăți umane;
– jocul introduce pe acela care-l practic ă în specificitatea lumii
imaginare pe care și-o creeaz ă jucătorul respectiv;
– scopul jocului este ac țiunea îns ăși, capabil ă să-i satisfac ă
jucătorului dorin țele sau aspira țiile proprii;
– prin atingerea unui asemenea scop, se restabile ște echilibrul
vieții psihice și se stimuleaz ă funcționalitatea de ansamblu a
acesteia;
– jocul este o ac țiune specific ă, încărcată de sensuri și tensiuni,
întotdeauna desf ășurată după reguli acceptate de bun ăvoie și
în afara sferei utilit ății sau necesit ății materiale, înso țită de
sentimente de în ălțare și încordare, de voio șie și destindere.
Există cel puțin 3 tipuri principale de joc:
– jocul explorator – manipulativ (desf ășurat cu obiecte concrete);
– jocul reprezentativ (se adaug ă imagina ția);
– jocul de c ăutare a unor regularit ăți (structurat de reguli).

8.3. Jocul didactic

1. Specie de joc care îmbin ă armonios elementul instructiv și
educativ cu elementul distractiv;
2. Tip de joc prin care educatorul consolideaz ă, precizeaz ă și
verifică cunoștințele predate copiilor, le îmbog ățește sfera de
cunoștințe. Conținutul, sarcina didactic ă, regulile și acțiunile de
joc (ghicire, surpriz ă, mișcare, etc.) confer ă jocului didactic un
caracter specific, înlesnind rezo lvarea problemelor puse copiilor.
Jocul didactic reprezint ă un ansamblu de ac țiuni și operații care, paralel
cu destinderea, buna dispozi ție și bucuria, urm ărește obiective de preg ătire
intelectual ă, tehnică, morală, estetică, fizică a copilului.
Între jocul didactic și procesul instructiv-educativ exist ă o dublă legătură:
pe de o parte, jocul sprijin ă procesul instructiv, îl adânce ște și îl
amelioreaz ă, pe de alt ă parte, jocul este condi ționat de procesul instructiv
prin preg ătirea anterioar ă a elevului în domeniul în care se plaseaz ă jocul
Jocul didactic poate desemna o activitate ludic ă propriu-zis ă, fizică sau
mentală, generatoare de pl ăcere, distrac ție, reconfortare, dar care are, în
același timp, rolul de asimilare a realului în activitatea proprie a copilului.
În acest fel, jocul didactic se cons tituie într-una din pr incipalele metode
active, deosebit de eficient ă în activitatea instructiv-educativ ă cu școlarii
mici. Valoarea acestui mijloc de instruire și educare este subliniat ă și de
faptul că poate reprezenta nu numai o metod ă de învățământ, ci și un caracteristi-
cile unui joc
tipuri de
jocuri
definiții

Jocul didactic matematic
78 Proiectul pentru Înv ățământul Rural procedeu care înso țește alte metode sau poate constitui o form ă de
organizare a activit ății elevilor.
În învățământul primar, jocul didactic se poate organiza la oricare dintre
disciplinele școlare, în orice tip de lec ție și în orice moment al lec ției.
Diversitatea domeniilor, obiectivelor și conținuturilor pentru care se
utilizează jocul didactic induce o posibil ă clasificare a acestora:
a) după obiective și conținuturi
– jocuri de dezvoltare a vorbirii
– jocuri matematice – jocuri de cunoa ștere a mediului
– jocuri de mi șcare
– jocuri muzicale, etc.
b) după materialul didactic folosit
– jocuri cu materiale
– jocuri f ără materiale
c) după momentul folosirii în lec ție
– joc didactic ca lec ție de sine st ătătoare
– joc didactic ca un moment al lec ției
– joc didactic în completarea lec ției.

8.4. Jocul didactic matematic
8.4.1. Caracteristici

Un exerci țiu sau o problem ă de matematic ă poate deveni joc didactic
matematic dac ă:
– urmărește un scop didactic;
– realizeaz ă o sarcin ă didactică;
– utilizeaz ă reguli de joc, cunoscute anticipat și respectate de
elevi;
– folose ște elemente de joc în vederea realiz ării sarcinii
propuse;
– vehiculeaz ă un conținut matematic accesibil prezentat într-o
formă atractivă.
Scopul didactic este dat de cerin țele programei școlare pentru clasa
respectiv ă, reflectate în finalit ățile jocului.
Sarcina didactic ă se refer ă la ceea ce trebuie s ă facă în mod concret
elevii în cursul jocului pentru a se realiza scopul propus. Sarcina didactic ă
constituie elementul de baz ă, esența activit ății respective, antrenând
operațiile gândirii, dar și imagina ția copiilor. De regul ă, un joc didactic
vizează o singur ă sarcină didactică.
Regulile jocului concretizeaz ă sarcina didactic ă și realizeaz ă, în acela și
timp, sudura între aceasta și acțiunea jocului. Regul ile jocului activeaz ă
întreg colectivul și pe fiecare elev în parte, antrenându-i în rezolvarea
sarcinii didactice și realizând echilibr ul dintre acesta și elementele de joc.
Elementele de joc pot fi: întrecerea (individual ă sau pe echipe),
cooperarea între participan ți, recompensarea rezult atelor bune, penalizarea
greșelilor, surpriza, a șteptarea, aplauzele, cu vântul stimulator ș.a.
Conținutul matematic al jocului didactic trebuie s ă fie accesibil, recreativ
și atractiv prin forma în care se desf ășoară, ca și prin mijloacele de clasificǎri
ale jocului
didactic
scopul
didactic
sarcina
didacticǎ

Jocul didactic matematic
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 79 învățământ utilizate. În jocurile cu material didactic, aceasta trebuie s ă fie
variat, atractiv, adecvat con ținutului. Se pot folosi: plan șe, folii, fi șe
individuale, cartona șe, jetoane, piese geometrice ș.a.

8.4.2. Necesitate
Necesitatea utiliz ării jocului didactic matematic este dat ă de:
– continuitatea gr ădiniță – școală;
– tipul de activitate dominant ă (jocul – înv ățarea);
– particularit ățile psiho – fiziologice ale școlarilor mici.
Toate acestea impun ca, la vârsta școlară mică, lecția de matematic ă să
fie completat ă, intercalat ă sau chiar înlocuit ă cu jocuri didactice matematice.

8.4.3. Rol formativ

Utilizarea jocului didactic mate matic la clasele mici realizeaz ă importante
sarcini formative ale procesului de înv ățământ. Astfel:
– antreneaz ă operațiile gândirii și cultivă calitățile acesteia;
– dezvolt ă spiritul de ini țiativă și independen ța în munc ă, precum
și spiritul de echip ă;
– formarea spiritul imaginativ – creator și de observa ție;
– dezvolt ă atenția, disciplina și spiritul de ordine în desf ășurarea
unei activit ăți;
– formeaz ă deprinderi de lucru rapid și corect;
– asigur ă însușirea mai pl ăcută, mai accesibil ă, mai temeinic ă și
mai rapid ă a unor cuno ștințe relativ aride pentru aceast ă
vârstă.

8.4.4. Locul și rolul în lec ția de matematic ă

După locul (momentul) în care se folosesc în cadrul lec ției, exist ă jocuri
didactice matematice.
• ca lecție de sine st ătătoare, complet ă;
• folosite la începutul lec ției (pentru captarea aten ției și motivarea
elevilor);
• intercalate pe parcursul lec ției (când elevii dau semne de oboseal ă);
• plasate în finalul lec ției.
În ceea ce prive ște rolul jocului didact ic matematic în înv ățarea școlară,
acesta poate contribui la:
• facilitarea în țelegerii unei no țiuni noi (în lec ția de dobândire de
cunoștințe);
• fixarea și consolidarea unor cuno ștințe, priceperi și deprinderi (în
lecția de formare a priceperilor și deprinderilor intelectuale);
• sistematizarea unei unit ăți didactice parcurse 8în lec ția de
recapitulare și sistematizare);
• verificarea cuno ștințelor, priceperilor și deprinderilor (în lec ția de
evaluare).
elemente
de joc
loc

Jocul didactic matematic
80 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 8.4.5. Organizare

Organizarea unui joc didactic matematic presupune:
– pregătirea înv ățătorului (studierea con ținutului și a structurii
jocului; preg ătirea materialului didactic);
– organizarea corespunz ătoare a elevilor clasei;
– valorificarea mobilierului (eventual reorganizare);
– distribuirea materi alului didactic.

În timpul jocului, înv ățătorul trebuie s ă aibă în vedere:
– respectarea momentelor (etapelor) jocului; – ritmul și strategia conducerii jocului;
– stimularea elevilor în perspectiva particip ării active la joc;
– asigurarea unei atmosf ere prielnice de joc;
– varietatea elementelor de joc (complicarea jocului,
introducerea altor variante etc.)

8.4.6. Desf ășurare

Desfășurarea jocului didactic cuprinde urm ătoarele momente (etape):
– introducerea în joc (discu ții pregătitoare);
– anunțarea titlului jocului și a scopului acestuia (sarcina
didactică);
– prezentarea materialului; – explicarea și demonstrarea regulilor jocului;
– fixarea regulilor;
– executarea jocului de c ătre elevi;
– complicarea jocului/introducerea unor noi variante;
– încheierea jocului (eval uarea conduitei de grup sau/ și
individuale).
Există două moduri de a conduce jocul elevilor:
• conducerea direct ă (învățătorul având rolul de conduc ător al jocului);
• conducerea indirect ă (învățătorul ia parte activ ă la joc, f ără să
interpreteze rolul de conduc ător).

În oricare situa ție, învățătorul trebuie:
¾ să imprime un anumit ri tm al jocului;
¾ să mențină atmosfera de joc;
¾ să urmărească desfășurarea jocului, evitând momentele de
monotonie, de stagnare;
¾ să controleze modul în care se realizeaz ă sarcina didactic ă;
¾ să creeze cerin
țele necesare pentru ca fiecare elev s ă rezolve
sarcina didactic ă în mod independent sau în cooperare;
¾ să urmărească comportarea elevilor, rela țiile dintre ei;
¾ să urmărească respectarea regulilor jocului.
înainte
de joc
în
timpul
jocului
etape în
desfășurare
conducere
sarcinile
conducăto-
rului de joc

Jocul didactic matematic
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 81 8.4.7. Tipuri de jocuri didactice matematice

După momentul în care se folosesc în cadrul lec ției, există:
– joc didactic matematic ca lec ție de sine st ătătoare, complet ă;
– jocuri didactice matematice fo losite ca momente propriu-zise
ale lecției;
– jocuri didactice matematice în completarea lec ției, intercalate
pe parcursul lec ției sau în final.
După conținutul capitolelor de însu șit în cadrul matematicii sau în cadrul
claselor, exist ă:
– jocuri didactice matemati ce pentru aprofundarea însu șirii
cunoștințelor specifice unei unit ăți didactice (lec ție, grup de
lecții, capitol);
– jocuri didactice matematice specifice unei vârste și clase.
O categorie special ă de jocuri didactice matematice este dat ă de jocurile
logico – matematice, care urm ăresc cultivarea unor calit ăți ale gândirii și
exersarea unei logi ci elementare.

Test de autoevaluare

1. Enumer ă cel puțin 3 dintre caracteristicile unui joc.
2. Define ște, folosind cuvinte proprii, jocul didactic.
3. Prezint ă caracteristicile unui joc didactic matematic.
4. Enumer ă cel puțin 3 aspecte formative induse de jocul didactic matematic.
5. Prezint ă locul și rolul jocului didactic în lec ția de matematic ă.
6. Găsește sau inventeaz ă un joc didactic matematic având ca scop
consolidarea numera ției într-un concentru dat.

Răspunsul va putea fi încadrat în spa țiul rezervat în continuare.

clasificări

Jocul didactic matematic
82 Proiectul pentru Înv ățământul Rural

8.5. Răspunsuri și comentariila testul de autoevaluare

1. Revezi 8.2. (Conceptul de joc) 2. Revezi 8.3. (Jocul didactic) 3. Revezi 8.4.1. (Caracteristici)
4. Revezi 8.4.3. (Rol formativ)
5. Revezi 8.4.4. (Locul și rolul în lec ția de matematic ă)
6. Revezi 8.4.5. (Organizare) și 8.4.6. (Desf ășurare).

8.6. Bibliografie

1) Neacșu I. (coord.), Metodica pred ării matematicii la clasele I-IV, EDP, 1988;
2) Roșu M., Metodica pred ării matematicii pentru colegiile universitare de institutori,
Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS. 2004;
3) **** MEN, CNC, Curriculum na țional. Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
București, 1998 (obiective de referin ță și exemple de activit ăți de învățare vizând
numerația);
4) **** SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ățământul primar , Editura Pro
Gnosis (matematic ă, numera ția);
5) **** Manuale (în vigoare) de matematic ă pentru clasele I- IV, (capitolele vizând
numerația).

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 83 UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE 9

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă

Cuprins
9.1. Obiectivele unit ății de învățare…………………………………………………… 83
9.2. Evaluarea……………………………………………………………………………….. 83
9.2.1. Defini ții …………………………………………………………………………………… 83
9.2.2. Evaluarea performan țelor școlare………………………………………………. 84
9.2.3. Strategii de evaluare ………………………………………………………………… 84 9.2.4. Metode și tehnici de evaluare ……………………………………………………. 85
9.3. Evaluarea randamentului școlar la matematic ă……………………………. 86
9.3.1. Ce evalu ăm ?………………………………………………………………………….. 86
9.3.2. Cu ce evalu ăm ? ……………………………………………………………………… 86
9.3.3. Cum evalu ăm ?……………………………………………………………………….. 89
9.4. Răspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare……………………….. 92
9.5. Bibliografie ……………………………………………………………………………… 92

9.1. Obiectivele unit ății de învățare

La sfârșitul acestei unit ăți de învățare, studen ții vor fi capabili:
– să aplice metodologia evalu ării la matematic ă;
– să discrimineze strategiile de evaluare;
– să conștientizeze importan ța evaluării într-un demers didactic la
matematic ă.

9.2. Evaluarea
9.2.1. Defini ții

Conceptul de evaluare a primit mai multe defini ții, unele complementare
altora.
Astfel, evaluarea este privit ă ca un proces de m ăsurare și apreciere a
valorii rezultatelor sistemului de înv ățământ sau a unei p ărți a acestuia, a
eficienței resurselor, condi țiilor și strategiilor folosite, prin compararea
rezultatelor cu obiectiv ele propuse, în vederea lu ării unor decizii de
ameliorare.
Într-o alt ă definiție, evaluarea este considerat ă ca un proces de ob ținere
a informa țiilor asupra elevului, profesorului sau asupra programului
educativ și de valorificare a acestor informa ții, în vederea elabor ării unor
aprecieri, ca baz ă pentru adoptarea unor decizii.
Evaluarea poate fi privit ă ca un proces complex de comparare a prima
definiție
a doua definiție

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă
84 Proiectul pentru Înv ățământul Rural rezultateloractivit ății instructiv-educative cu obiectivele propuse (evaluarea
calității), cu resursele utiliz ate (evaluarea eficien ței) sau cu rezultatele
anterioare (evaluar ea progresului).
Rezultă că evaluarea :
– este un proces care se desf ășoară în timp;
– nu se limiteaz ă la aprecierea și notarea elevilor;
– implic ă un șir de măsurări, compara ții, aprecieri pe baza c ărora se
adoptă decizii optimizatoare.

9.2.2. Evaluarea performan țelor școlare

Performan țele școlare reprezint ă rezultanta unor factori multipl, care țin
de elevi, de profesor, de resursel e materiale, de management. Aceste
performan țe sunt determinate, cunoscute și ameliorate atunci când
evaluarea devine parte integrant ă a procesuli de înv ățământ.
Evaluarea este o component ă esențială a activității didactice,
constituindu-se în punctul final al unei succesiuni de evenimente:
stabilirea obiectivelor, proiectarea și executarea programului de realizare
a acestora, m ăsurarea rezultatelor aplic ării programului.
Scopul evalu ării este, în principal, acela de a preveni e șecul școlar, de a
constata din vreme r ămânerile în urm ă la învățătură ale elevilor, depistînd
cauzele și stabilind m ăsurile necesare pentru a le elimina și pentru a
determina progresul constant al celor care înva ță.
Evaluarea performan țelor elevilor se realizeaz ă în funcție de obiectivele
propuse și este necesar ă pentru:
– cunoa șterea stadiului ini țial de la care se porne ște în abordarea
unei secven țe de instruire, în vederea organiz ării eficiente a noii
activități de învățare;
– confirmarea realiz ării obiectivelor pr opuse pentru o anumit ă unitate
didactică;
– stabilirea nivelului la care a ajuns fiecare elev în procesul form ării
capacitățilorimplicate de obiective.

9.2.3. Strategii de evaluare
Există 3 tipuri de evaluare: ini țială (predictiv ă), continu ă (formariv ă) și
finală (sumativ ă), dupăcum se realizeaz ă la începutul, pe parcursul sau la
sfârșitul unei unit ăți de învățare.
Evaluarea ini țială este diagnostic ă și indică planul de urmat în procesul
de învățare. Ea arat ă profesorului dac ă elevii au cuno ștințele, priceperile
și deprinderile anter ioare necesare înv ățării care urmeaz ă. În func ție de
nivelul acestora, profesorul realizeaz ă programe diferen țiate, menite s ă
aducă elevii la capacit ățile necesare abord ării unei noi unit ăți de învățare.
Evaluarea continu ă (formativ ă) se realizeaz ă pe tot parcursul unit ății
didactice și are un rolcorector, care permite vizualizare traiectoriei înv ățării
și depistarea punctelor slabe, în vederea g ăsirii mijloacelor de a le dep ăși. a treia
definiție
performan țe
școlare
scopul
evaluării
necesitate
inițială
continuă

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 85 Se realizeaz ă prin raportare la obiectivele opera ționale propuse și vizează
comportamentele observabile și măsurabile ale elevilor, în fiecare lec ție.
Evaluarea sumativ ă se realizez ă la finalul programului de instruire, fiind
o evaluare de bilan ț a rezultatelor pe perioade mai lungi. Întrucât nu
însoțește procesul didactic secven ță cu secven ță, nu permite ameliorarea
acestuia decât dup ă perioade îndelungate de timp.

9.2.4. Metode și tehnici de evaluare

Metodele tradi ționale de evaluare folosite în practica școlară sunt date
de:
– probele orale;
– probele scrise;
– probele practice; – testul docimologic.
Alături de acestea exist ă și metode alternative de evaluare, cum sunt:
– investiga ția;
– observarea sistematic ă;
– proiectul; – portofoliul; – autoevaluarea.
Unul dintre elementele esen țiale ale moderniz ării procesului evaluativ
este introducerea unor cr iterii unitare, a unor indicatori de performan ță.
Aceștia sunt necesari nu numai evaluarea propriu – zis ă, dar și pentru
monitorizarea la diferite ni vele a demersului didactic.
Indicatorii de performan ță reprezint ă rezultatele observabile anticipate
ale activit ăților desfășurate, definite ca niveluri acceptabile ale realiz ării
obiectivelor proiectate. Nivelurile de performan ță sunt: insuficient,
suficient, bine, foarte bine.
Indicatorii de performan ță trebuie s ă aibă următoarele calit ăți:
– vizibilitate (posibilitatea identific ării și observării directe);
– adecvare (leg ătura cu obiectivul evaluat);
– măsurabilitate (s ă poată fi apreciat ă existența indicatorilor și nivelul
de realizarea celor cantitativi);
– relevan ță (să se refere la performan țele de fond ș
i nu la cele
conjuncturale).
Pentru ca rezultatele evalu ării să fie corecte, instrumentele de evaluare
(probele) trebuie s ă se caracterizeze prin:
– validitate (calitatea de a m ăura ceea ce este destinat s ă măsoare);
– fidelitate (calitatea de a da rezu ltate constante în cursul aplic ării
succesive);
– obiectivitate (gradul de concordan ță între aprecierile f ăcute de
evaluatori);
– aplicabilitate (calitat ea de a fi administrat ă și interpretat ă cu
ușurință).

sumativă
tradiționale
alternative
indicatori de
performan ță
calitățile
probelor de
evaluare

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă
86 Proiectul pentru Înv ățământul Rural
9.3. Evaluarea randamentului școlar la matematic ă

9.3.1. Ce evalu ăm ?

Evaluarea la matematic ă urmărește realizarea obiectivelor specifice
acestei discipline, subsumate obiectivelor-cadru ale programei școlare și
exprimate în obiective de referin ță.
De exemplu, la clasa I, în zona primului obiectiv-cadru (Cunoașterea și
utilizarea conceptelor specifice mate maticii), evaluarea ar trebui s ă
urmărească dacă elevii sunt capabili:
– să scrie, să citească și să compare numerele naturale de la 0 la
100;
– să efectueze opera ții de adunare și scădere cu numere în
concentrul 0-30, f ără trecere peste ordin;
– să recunoasc ă forme plane și forme spa țiale, să sorteze și să
clasifice dup ă formă, obiecte date;
– să măsoare și să compare lungimea, capacitatea sau masa unor
obiecte folosind unit ăți de măsură nestandard, afla te la îndemâna
copiilor; s ă recunoasc ă orele fixe pe ceas.
În zona celui de al doilea obiectiv-cadru (Dezvoltarea capacit ăților de
explorare/investigare și rezolvare de probleme) pentru aceea și clasă,
evaluarea trebuie s ă urmărească dacă elevii sunt capabili:
– să exploreze modalit ăți de a descompunenumere mai mici decât
20 în sum ă sau diferen ță;
– să estimeze num ărul de obiecte dintr-o mul țime și să verifice prin
numărare estimarea f ăcută;
– să rezolve probleme care presupun o singur ă operație dintre cele
învățate;
– să compun ă oral exerci ții șiprobleme cu numere de la 0 la 20.
În zona celui de al treilea obiectiv-cadru (Formarea și dezvoltarea
capacității de a comunica utilizând limbaj ul matematic) pentru aceea și
clasă, evaluarea trebuie s ă urmărească dacă elevii sunt capabili s ă
verbalizeze în mod constant modalit ățile de calcul folosite.
În zona ultimului obiectiv-cadru (Dezvoltarea interesului și a motiva ției
pentru studiul și aplicarea matematicii în c ontexte variate), evaluarea ar
trebui să constate dac ă elevii manifest ă disponibilitate și plăcere în a
utiliza numere.

9.3.2. Cu ce evalu ăm ?

Informațiile se colecteaz ă prin intermediul unor tehnici și instrumente
care ofer ă dovezi asupra aspectelor luate în considerare. Instrumentul în
domeniul evalu ării serve ște pentru a culege, a analiza și a interpreta
informații despre felul cum au înv ățat și ce au înv ățat elevii. Cu
câtinstrumentele de m ăsurare la matematic ă (probe orale, scrise sau
practice) sunt mai bine puse la punct, cu atât informa țiile sunt mai
concludente.
Instrumentul de evaluare este o prob ă, un chestionar, un test de
evaluare care se compune din unul sau mai mul ți itemi. clasa I

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 87

Din punct de vedere al obiectivit ății în notare, itemii se clasific ă în:
– itemi obiectivi;
– itemi semiobiectivi;
– itemi subiectivi.
Itemii obiectivi (sau, cu r ăspuns la alegere) solict ă elevul s ă aleagă
varianta de r ăspuns corect din mai multe r ăspunsuri date. Corectarea, în
acest caz, se realizeaz ă obiectiv.
Itemii obiectivi reprezint ă componente ale probelor de progres, în
special a celor standardizate, ofer ă obiectivitate ridicat ă în evaluarea
rezultatelor înv ățării, iar punctajul se acord ă sau nu, în func ție de
indicarea de c ătre elev a r ăspunsului corect.
Există 3 tipuri de itemi obiectivi:
– itemi cu alegere multipl ă;
– itemi cu alegere dual ă;
– itemi de tip pereche.
–
Itemii cu alegere multipl ă presupun existen ța unei premise (enun ț) și a
unei liste de alternative (solu ții posibile). Elevul trebuie s ă aleagă
răspunsul corect sau cea mai bun ă alternativ ă.
De exemplu:
• Alege r ăspunsul corect și taie-le pe cele incorecte:
5 + 14 = 64; 19; 91. 23 – 9 = 11; 32; 14.
• Încercuie ște răspunsul corect:
Unitatea de m ăsură pentru lungime este: or a, metrul, kilogramul.
Unitatea de m
ăsură pentru capacitatea vaselor este: kilogramul,
paharul, litrul.

Itemii cu alegere dual ă solicită elevul s ăselecteze din dou ă răspunsuri
posibile: corect/ gre șit, adevărat/ fals, da/ nu etc.
De exemplu:
• Verific ă dacă este adev ărat (A) sau fals (F) și scrie în dreptul
exercițiului litera corespunz ătoare:
5 + 14 = 19
23 – 9 = 11.
• Verific ă dacă soluția este corect ă (și atunci bifeaz ă răspunsul) sau
greșită (și atunci taie r ăspunsul):
20 – a = 5
a = 20 + 5 a = 25.

Itemii de tip pereche solicită din partea elevului stabilirea unor
coresponden țe între elementele a dou ă categorii de simboluri, dispuse pe
două coloane. Elemente le din prima coloan ă se numesc premise, iar cele
din coloana a doua, r ăspunsuri. Criteriul pe baza c ăruia se stabile ște
răspunsul corect este enun țat în instruc țiunile care preced cele dou ă
coloane. De exemplu:
• Alege r ă
sppunsul corect, unind printr-o s ăgeată operația cu
rezultatul ei :
23 x 2 = 64
32 x 3 = 46 itemi
obiectivi

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă
88 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 12 x 3 = 96
21 x 2 = 36
42.
• Unește printr-o s ăgeată definiția cu denumirea corespunz ătoare:
Rezultatul înmul țirii se nume ște factor
Unul din numerele care se înmul țește se nume ște produs.

Itemii semiobiectivi (cu răspuns construit scurt) formuleaz ă o
problemă sub forma unei întreb ări foarte exacte și solicită un răspuns
scurt (un cuvânt sau o expresie). R ăspunsul construit fiind atât de scurt,
corectarea tinde c ătre obiectivitate, c ăci diversitatea în r ăspunsuri tinde
către zero.
Itemii semiobiectivi se concretizeaz ă în:
– itemi cu r ăspuns scurt;
– itemi de completare;
– întreb ări structurate.
Itemii cu r ăspuns scurt solicită formularea r ăspunsului sub forma unui
cuvânt, propozi ție, număr. Cerința este de tip întrebare direct ă.
De exemplu:
• Răspunde pe scurt, în scris:
Cum se nume ș
te unghiul format de dou ă drepte perpendiculare?
Cum se numesc dreptele care nu au nici un punct comun?

Itemii de completare solicită drept răspuns unul/câteva cuvinte, care se
încadreaz ă în spa țiul dat. Cerin ța este prezentat ă ca o informa ție
incomplet ă.
De exemplu:
• Competeaz ă propozițiile:
Submultiplii metrului sunt …………….. …………. …………
Un litru este de ……. ori mai mare decât un centilitru.

O întrebare structurat ă este format ă din mai multe subîntreb ări de tip
obiectiv sau semiobiectiv, legate în tre ele printr-un element comun.
Prezentarea unei întreb ări structurate se poate realiza astfel:
• un material cu func ție de stimul (text, date, imagini, diagrame,
grafice etc);
• subîntreb ări;
• date suplimentare, în rela ție cu subîntreb ările, dacă este cazul.

De exemplu: Andrei, Bogdan, Corina și Dan colec ționează timbre. Num ărul timbrelor
fiecărui copil este dat în graficul de mai jos.
Itemi semi-
obiectivi

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 89 050100150200250300350400Timbre

1) Competeaz ă textul:
Andrei are ….. timbre, Bogdan are .. … timbre, iar Dan are ….. timbre.
2) Câte timbre au împreun ă cei trei b ăieți?
3) Cu câte timbre are mai mult Andrei decât Corina?
ș.a.m.d.

Itemii subiectivi (cu răspuns deschis) reprezint ă o formă tradițională de
evaluare în țara noastr ă, deoarece sunt relativ u șor de construit și
testează obiectivele care vizeaz ă originalitatea, creativitatea și caracterul
personal al r ăspunsului.
Utilizarea acestor itemi se asociaz ă, de regul ă, cu itemi obiectivi sau
semiobiectivi.
Din categoria itemilor subiectivi, pentru matematic ă, intereseaz ă
rezolvarea de probleme. Rezolvarea de probleme reprezint ă o activitate ce dezvolt ă gândirea,
imaginația, creativitatea, capac itatea de generalizare.
În func ție de domeniul solicitat, ce l al gândirii convergente sau
divergente, compotamentele care pot fi evaluate sunt cele din categoria
aplicării sau explor ării.
De exemplu:
• Într-o camer ă sunt dou ă mame, dou ă fiice,o bunic ăși o nepoat ă.în
total sunt trei pesoane. Cum este posibil?
• Pornind de la expresia numeric ă (12+3)x5 formuleaz ă
o problem ă
și rezolv-o prin dou ă metode.

9.3.3. Cum evalu ăm ?

Ne vom referi doar la evaluarea continu ă (formativ ă), care apare cu
frecvența cea mai mare la clas ă.
Întrucât evaluarea este parte integrant ă a oricărui demers didactic, ea
trebuie gândit ă în momentul stabilirii obiectivelor opera ționale ale lec ției și
corelată cu acestea. itemi
subiectivi
corelare cu
obiectivele

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă
90 Proiectul pentru Înv ățământul Rural Stabilirea obiectivelor opera ționale ale lec ției, în termeni de
comportamente observabile și măsurabile, cu precizarea resurselor și
menționarea perfoman țelor minime acceptabile este înso țită de
conceperea probei de evaluare formativ ă indusă. Itemii probei de
evaluare trebuie s ă ne ofere posibilitatea s ă apreciem realizarea
performan țelor minime acceptabile de c ătre toți elevii.
Este posibil ca evaluarea formativ ă să nu presupun ă existența unei
probe, în sensul strict al cuvântului, ci s ă finalizeze și să valorizeze o
activitate independent ă a elevilor, desf ășurată într-un timp dat.
O astfel de procedur ă poate conduce la formar ea comportamentului
autoevaluativ al elevilor. participarea lor la aprecie rea propriilor rezultate
are efecte pozitive atât sub aspectul feed-back-ului, cât și sub cel de
ajustare, de autoreglare.
Astfel, evaluarea este pus ă în slujba orient ării procesului de înv ățare. În
acest demers, prezen ța elevului este activ ă și se plaseaz ăpe traiectoria:
stăpânire anticipat ă a demersului – autoevaluare- autocorectare.
Pe acest vector se poate ajunge de la evaluarea formativ ă la evaluarea
formatoare, care favorizeaz ă învățarea.
„Trusa” instrumentelor de evaluare formativ ă este bogat ă. Practica
didactică integreaz ă tehnicile de evaluare și le transform ă. Nu trebuie uitat
că tehnicile de evaluare reprezint ă doar instrumente pentru rezolvarea
unei situa ții de învățare și utilizarea uneia sau alteia nu este scop în sine.
Depinde de noi ce, când și cum le folosim pentru realizarea obiectivelor
propuse.

Test de autoevaluare

• Opteaz ă pentru una dintre clasele I-IV.
• Alege un capitol din matematica acestei clase.
• Construie ște o prob ă de evaluare predictiv ă pentru acest cpitol.
• Alege o lec ție din capitol și construie ște o prob ă de evaluare formativ ă.
• Construie ște o prob ă de evaluare sumativ ă pentru capitolul ales.

Răspunsul va putea fi încadrat în spa țiul rezervat în continuare.

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 91

Evaluarea randamentului școlar la matematic ă
92 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 9.4. R ăspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

Resurse necesare:
• MEC, CNC, Curriculum na țional. Programe pentru înv ățământul primar , 1998
• SNEE, CNPC, Descriptori de performan ță pentru înv ățământul primar , Editura
Prognosis
• *** Manual (în vigoare) de matematic ă pentru clasa aleas ă.

9.5. Bibliografie

1) Manolescu M., Evaluarea școlară – un contract pedagogic , Editura Funda ției „D.
Bolintineanu”, 2002
2) Manolescu M., Evaluarea școlară – metode, tehnici și instrumente , Editura
METEOR PRESS, 2005
3) Manolescu M., Evaluare în înv ățământul primar. Apica ții –matematic ă, Editura
Fundației „D. Bolintineanu”, 2002
4) Radu I.T., Evaluarea în procesul didactic , EDP, 2000
5) Roșu M., Ilarion N., Teste. Matematic ă pentru clasele I-IV , Editura ALL, 1999
6) Stoica A., Evaluarea curent ă și examenele. Ghid pentru profesori , Editura
Prognosis, 2001
7) *** MEC, CNC, Curriculum na țional. Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
1998
8) *** SNEE, CNPC, Descriptori de performan ță pentru înv ățământul primar , Editura
Prognosis.

Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 93 UNITATEA DE ÎNV ĂȚARE 10

Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă

Cuprins

10.1. Obiectivele unit ății de învățare ………………………………………………… 93
10.2. Proiectarea pedagogic ă…………………………………………………………. 93
10.2.1. Conceptul de proiectare pedagogic ă……………………………………….. 93
10.2.2. Modelul proiect ării tradiționale ………………………………………………… 94
10.2.3. Modelul proiect ării curriculare…………………………………………………. 95
10.3 Proiectarea pe unit ăți de învățare ……………………………………………. 95
10.4 Proiectarea activit ății didactice la matematic ă…………………………… 96
10.4.1. Planificarea calendaristic ă………………………………………………………. 97
10.4.2. Proiectarea unit ății de învățare………………………………………………… 97
10.4.3. Proiectul de lec ție………………………………………………………………….. 98
10.5. R ăspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare…………………… 100
10.6. Lucrare de verificare 4………………………………………………………….. 100
10.7. Bibliografie …………………………………………………………………………. 100

10.1. Obiectivele unit ății de învățare

La sfârșitul acestei unit ăți de învățare, studen ții vor fi capabili:
– să realizeze proiectarea unei unit ăți de învățare, la matematic ă;
– să aplice metodologia proiect ării didactice în realizarea unui proiect de
lecție de matematic ă;
– să conștientizeze importan ța proiect ării în reu șita unei lec ții de
matematic ă.

10. 2. Proiectarea pedagogic ă

10.2.1. Conceptul de proiectare pedagogic ă

Conceptul de proiectare pedagogic ă reflectă ansamblul ac țiunilor și
operațiilor angajate în cadrul activit ății didactice pentru realizarea finalit ăților
asumate la nivel de sistem și de proces, în vederea asigur ării funcționalității proiectare

Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă
94 Proiectul pentru Înv ățământul Rural optime a acestora.
Activitatea de proiectare pedagogic ă angajeaz ă acțiunile și operațiile de
definire anticipativ ă a obiectivelor, con ținuturilor, strategiilor înv ățării,
probelor de evaluare și a relațiilor dintre acestea, în condi țiile induse de un
anumit mod de organizare a procesului de înv ățământ.
Activitatea de proiectare didactic ă vizează acțiunile de planificare,
programare și concretizare a instruirii prin valorificarea maxim ă a timpului
real destinat înv ățării.
Prin raportare la resursa material ă a timpului se diferen țiază două
modalități de proiectare pedagogic ă:
• proiectarea global ă, care acoper ă perioada unui nivel, treapt ă, ciclu
de învățământ și urmărind elaborarea planului de înv ățământ și a
criteriilor generale de elaborare a programelor de instruire;
• proiectarea e șalonată, care acoper ă perioada unui semestru, an de
învățământsau a unei activit ăți didactice concrete (cum este lec ția),
urmărind elaborarea program elor de instruire și a criteriilor de
operaționalizare a obiectivelor generale și specifice ale programelor
de instruire.
Proiectarea pedagogic ă se materializeaz ă în două modele de ac țiune,
care reflect ă dimensiunea func țională a conceptului, realizat prin mijloace
operaționale specifice didacticii tradi ționale, respectiv didacticii curriculare.

10.2.2. Modelul proiect ării tradiționale

Proiectarea tradi țională concepe criteriul de opt imalitate în limitele
obiectivelor priori tar informative.
Modelul proiect ării tradiționale este centrat pe con ținuturi, care
subordoneaz ă obiectivele, metodologia și evaluarea într-o logic ă propie
învățământului informativ.
Potrivit concep ției tradiționale, aptitudinile intelectuale le elevilor sunt
inegal distribuite. Într-o popula ție școlară mai mare, distribu ția se realizeaz ă
procentual potrivit curbei în form ă de clopot a lui Gauss : 70% dintre elevii
unei colectivit ăți se plaseaz ă în jurul valorii medii, de o parte și de alta a
acestui interval se situeaz ă 13% elevi buni, respecti v 13% elevi slabi, iar la
extreme se plaseaz ă elevii foarte buni (2%) și foarte slabi (2%).
În consecin ță, criteriile de notare și probele de evaluare ar trebui s ă fie
elaborate și standardizate astfel încât s ă conducă la distribuirea elevilor
într-unul dintre intervalele de pe curba lui Gauss.
Pe acest model tradi țional, proiectarea didactic ă presupune următorii
pași:
• definirea în termeni relativi sau procentuali a performan țelor
standard, conform modelului teoret ic bazat pe curba lui Gauss;
• formularea standardelor instruc ționale în termeni de con ținuturi,
funcție de distribu ția relativă.
Practica educa țională a demonstrat c ă aplicarea acestui model de
proiectare a activit ății instructiv-educativepoate conduce la stagnare:elevii
tind să se identifice cu o anumit ă poziție pe curba distribu ției normale, iar
așteptările profesorilor vizând performan țele unui elev converg c ătre poziția
acceptat ă de acesta. moduri de
proiectare
vizează
obiective
informative
curba lui
Gauss

Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 95
10.2.3. Modelul proiect ării curriculare

Proiectarea curricular ă este centrat ă pe obiectivele activit ății instructiv-
educative, în care prioritar ă este conceperea activit ății didactice ca
activitate de predare-înv ățare și evaluare.
Abordarea curricular ă a procesului de înv ățământ presupune construirea
unor rețele interdependente între toate elementele componente ale
activității didactice: obiective – con ținuturi – metodologie – evaluare.
Aceste re țele valorific ă rolul central acordat obiectivelor pedagogice, care
urmăresc realizarea unui înv ățământ prioritar formativ, bazat pe resursele
de instruire și educare ale fiec ărui elev.
Modelul proiect ări icurriculare marcheaz ă trecerea de la structura de
organizare bazat ă pe conținuturi definite explicit (ce înv ățăm?) la structura
de organizare definit ă prin intermediul unor obiective și metodologii explicite
și implicite (cum înv ățăm?), cu efecte macrostructurale (plan de înv ățământ
elaborat la nive l de sistem) și microstructural (programe și manuale
elaborate la nivel de proces).
Proiectarea curricular ă implică un program educa țional care conține:
• selecționarea și definirea obiectivelor înv ățării în calitate de obiective
pedagogice ale procesuli de înv ățământ;
• selecționarea și crearea experien țelor de înv ățare adecvate
obiectivelor pedagogice, în calitate de con ținuturi cu resurse
formative maxime;
• organizarea experien țelor de înv ățare la niveluri formative
superioare, prin metodolog ii adecvate obiectivelor și conținuturilor
selecționate;
• organizarea ac țiunii de evaluare a rezultatelor activit ății de instruire
realizată, conform criteriilor definite la nivelul obiectivelor pedagogice
asumate.
În aceat ă perspectiv ă, proiectarea curricular ă promoveaz ă o nouă curbă
de diferen țiere a performan țelor standard, curba în formă de J .
Ea eviden țiază faptul c ă diferențele dintre elevi, valorificate în sens
formativ, pot asigura un nivel de performan ță acceptabil pentru majoritatea
elevilor (circa 90-95%), ăn condițiile realiz ării unui model de înv ățare
deplină. Un asemenea model respect ă ritmul de activitate al fiec ărui elev,
concretizat în nivelul de înv ățare al elevului, care este determinat în func șie
de raportul dintre timpul real de înv ățare și timpul necesar pentru înv ățare.
Dezvoltarea proiect ării curriculare genereaz ă o nou ă structur ă
operațională a activit ății de instrire și educare, a c ărei consisten ță internă
susține interdependen ța acțiunilor didactice de predare, înv ățare, evaluare.

vizează
obiective
formative
algoritm
curba în J

Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă
96 Proiectul pentru Înv ățământul Rural 10.3. Proiectarea pe unit ăți de învățare

Unitatea de înv ățare constituie o entitate supraordonat ă lecșiei,
cuprinzând un sistem de lec ții structurate dup ă un sistem de referin ță
corelativ, cel al obiectivelor-cadr u sau al obiectivelor de referin ță.
Dacă în mod tradi țional se pornea de la con ținuturi (Ce voi preda ast ăzi?),
noua viziune d ă prioritate obiectivelor prev ăzute de program ă și
standardelor de performan ță (Unde trebuie s ă ajung?). centrarea pe
obiective presupune și o schimbare de abordare, de orientare spre
prioritățile didactice ale diferitelor secven țe instruc ționale.
O unitate de înv ățare reprezint ă o structur ă didactică deschisă și flexibilă,
care are urm ătoarele caracteristici:
• determin ă formarea la elev a unui co mportament specific, generat de
integrarea unor obiective de referin ță;
• este unitar ă din punct de vedere tematic;
• se desf ășoară sistematic și continuu, pe o perioad ă ai mare de timp;
• se finalizeaz ă prin evaluare sumativ ă.
Proiectarea pe unit ăți de învățare are urm ătoarele avantaje:
• constituie un cadru complem entar de realizare a proiect ării,
neînlocuind proiectul de lec ție, putând exista ca modalitate
suplimentar ă de proiectare curricular ă, ce se poate adecva unor
situații specifice de înv ățare;
• presupune o viziune ansamblist ă, integrativ ă, unitară asupra
conținuturilor ce urmeaz ă a fi abordate în actul de predare –înv ățare
– evaluare;
• reprezint ă o matrice procedural ă ce permite înt r-o mai mare m ăsură
integrarea și corelarea unor ipostaze didactice moderne (resurse,
metode, mijloace=.
Algoritmul proiect ării unei unit ăți de învățare conține următorii pași:
– identificarea obiectivelor (De ce voi face?);
– selec ționarea con ținuturilor (Ce voi face?);
– analiza resurselor (Cu ce voi face ?);
– determinarea activit ăților de înv ățare (Cum voi face ?);
– stabilirea instrumentelor de eval uare (Cât s-a realizat ?).

10.4. Proiectarea activit ății didactice la matematic ă

Proiectarea activit ății didactice la matematic ă reprezint ă o particularizare,
la domeniul men ționat, a prezent ării generale schi țate în rândurile de mai
sus.
Ne vom opri, în cele ce urmeaz ă, asupra a 3 elemente de proiectare,
necesare profesorului: planificarea calendaristic ă, proiectarea unit ății de
învățare și proiectul de lec ție.

unitate de
învățare
avantaje
algoritm

Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 97 10.4.1. Planificarea calendaristic ă

Planificarea calendaristic ă a activit ăților de predare-înv ățare face parte
din activitatea de programare, organizatoare a con ținuturilor. Ea trebuie
precedat ă de o analiz ă pentru a aprecia:
– timpul mediu necesar clasei de el evi pentru a realiz a sarcinile de
învățare corespunz ătoare obiectivelor și a atinge performan țele
anticipate;
– tipurile de strategii adecvate dirij ării învățării elevilor;
– tipurile de activit ăți și eșalonarea lor în timp;
– succesiunea probelor de evaluare formativ ă și sumativ ă.
Planificarea calendaristic ă nu este un document administrativ, ci un
instrument de interpretare personal ă a programei.
Elaborarea unei planific ări calendaristice presupune:
• citirea atent ă a programei de matematic ă;
• stabilirea succesiunii de parcurgere a con ținuturilor;
• corelarea fiec ărui conținut în parte cu obiectivele de referin ță
vizate;
• verificarea concordan ței traseului ales de profesor cu resursele
didactice de care dispune (îndrum ătoare, ghiduri metodice etc);
• alocarea timpului considerat necesar pentru fiecare con ținut, în
concordan ță cu obiectivele de referin ță vizate.

Rubrica ția planific ării calendaristice poate fi:
Nr. crt.
Unități de înv ățare
Obiective de referin ță vizate
Nr. ore alocate
Săptămâna
Observa ții

10.4.2. Proiectarea unit ății de învățare

În elaborarea acestui tip de demers trebuie s ă se aibă în vedere:
• centrarea demersului pe obiective, nu pe con ținuturi;
• implicarea în proiectare a urm ătorilor factori:
– obiective (De ce?): obiective de referin ță
– activit ăți de învățare (Cum?)
– evaluare (Cât?): descriptori de performan ță
– resurse (Cu ce?).

Rubrica ția unui proiect al unit ății de învățare poate fi:
Conținuturi (detalieri)
Obiective de referin ță
Activitățideînvățare
Resurse
Instrumente de evaluare Observatii analiza
prealabil ă
algoritm
rubrici
algoritm
rubrici

Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă
98 Proiectul pentru Înv ățământul Rural
Pentru acest tabel:
• în rubrica referitoare la Con ținuturi apar inclusiv detalieri de con ținut
induse de alegerea unui anumit parcurs;
• în rubrica Obiective de referin ță se trec numerele corespunz ătoare
obiectivelor de referin ță sau al competen țelor specifice din program ă;
• activitățile de înv ățare pot fi cele din program ă, completate,
modificate sau chiar înlocuite cu altele, pe care profesorul le
consider ă necesare pentru realizar ea obiectivelor propuse;
• rubrica Resurse con ține specific ări de timp, loc, forme de organizare
a clasei;
• în rubrica Instrumente de evaluare se men ționează modalitatea de
realizare a evalu ării (în final, evaluare sumativ ă).

10.4.3. Proiectul de lec ție

Proiectul de lec ție trebuie s ă conțină:
• datele de identificare: data, clasa, disciplina (matematic ă);
• datele pedagogice ale lec ției: subiectul lec ției, tipul lec ției (dobândire
de noi cuno ștințe, formare de priceperi și deprinderi, recapitulare și
sistematizare, evaluare), obiectivele de referin ță, obiectivele
operaționale, strategii didactice folosite:
• scenariul didactic ( desf ășurarea lec ției ), care con ține: eșalonarea în
timp a situa țiilor de înv ățare (secven țele lecției), obiectivele
operaționale urm ărite, con ținuturile, strategiile didactice și
modalitățile de evaluare.

Etapele mari ale unei lec ții sunt, în general, urm ătoarele:
– moment organizatoric; – verificarea temei;
– reactualizarea cuno ștințelor, priceperilor și deprinderilor implicate în
înțelegerea noului con ținut;
– captarea aten ției;
– anunțarea subiectului lec ției;
– enunțarea obiectivelor;
– predarea noilor con ținuturi;
– fixarea acestora;
– transferul cuno ștințelor;
– tema pentru acas ă.
Evaluarea formativ ă, ca parte integrant ă a demersului didactic se poate
realiza fie ca moment de sine st ătător în lec ție, fie în urma activit ății
independente obi șnuite a elevilor.

Pentru a fi de calitate, un proiect de lec ție trebuie :
• să ofere o perspectiv ă complet ă asupra lec ției;
• să aibă un caracter realist;
• să fie simplu și operațional;
• să fie flexibil.
structură
etapele
lecției
calități
necesare
proiectului

Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 99 Test de autoevaluare

• Opteaz ă pentru una dintre clasel I-IV;
• Alege o unitate de înv ățare din matematica clasei respective.
• Realizeaz ă un proiect al unit ății de învățare alese.

Răspunsul va putea fi încadrat în spa țiul rezervat în continuare.

Elemente de proiectare didactic ă la matematic ă
100 Proiectul pentru Înv ățământul Rural
10.5. R ăspunsuri și comentarii la testul de autoevaluare

Revezi 10.3. (Proiectarea pe unit ăți de înv ățare) și 10.4.2. (Proiectarea unit ății de
învățare). Folose ște cel pu țin programa de matematic ă și un manual alternativ (în vigoare)
pentru clasa aleas ă.

10.6. Lucrare de verificare 4

• Opteaz ă pentru una dintre clasele I-IV.
• Alege o unitate de înv ățare din matematica clasei respective.
• Selecteaz ă o lecție din aceast ă unitate de înv ățare.
• Realizeaz ă un proiect pentru lec ția aleasă.

După rezolvare, lucrarea de ve rificare trebuie transmis ă tutorelui, într-o modalitate
pe care o ve ți stabili împreun ă (e-mail, prob ă scrisă etc.).

Sugest ii pentru acordarea punctajului
• Oficiu : 10 puncte
• stabilirea corect ă și corelarea tipului de lec ție cu obiectivele
și strategiile didactice de înv ățare și evaluare: 30 puncte
• reflectarea, în scenariul didactic, a etapelor unei lec ții
de matematic ă de tipul precizat: 40 puncte
• pertinen ța și adecvarea instumentelor de eval uare: 20 puncte

10.5. Bibliografie

1) Iucu R., Manolescu M., Pedagogie pentru institutori, înv ățători, educatori, profesori
și studenți, Editura Funda ției „D.Bolintineanu”, 2001
2) Manolescu M., Curriculum pentru înv ățământul primar și preșcolar. Teorie și
practică, Universitatea din Bucure ști, Editura CREDIS, 2004
3) *** MEN, CNC, Curriculum na țional. Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
1998.

Bibliografie
Proiectul pentru Înv ățământul Rural 101 BIBLIOGRAFIE SELECTIV Ă

1. Bonta ș, Ioan, Pedagogie. Tratat , Editura ALL, 2001;
2. Dottrens, Robert (coord.), A educa și a instrui , EDP, 1970;
3. Neac șu, Ioan (coord.), Metodica pred ării matematicii la clasele I – IV , EDP, 1988;
4. Neagu, Mihaela, Beran, Georgeta, Activități matematice în gr ădiniță, Editura AS’S,
1995;
5. Păun, Emil, Iucu, Romi ță (coord.), Educația preșcolară în România , Editura
Polirom, 2002;
6. Roșu, Mihail, Dumitru, Alexandr ina, Ilarion, Niculina, Ghidul înv ățătorului.
Matematic ă pentru clasa I , Editura ALL, 2000
7. MEN, CNC, Curriculum Na țional. Programe școlare pentru înv ățământul primar ,
București, 1998;
8. MEN, Programa activit ăților instructiv educative în gr ădinița de copii , Bucure ști,
2000;
9. MECT, CNFPIP, Ghidul programului de informar e / formare a institutorilor /
învățătorilor , București, 2003;
SNEE, CNC, Descriptori de performan ță pentru înv ățământul primar