Universit a tea Alexandr u Io an Cuza din Ia³i [605345]

Universit a tea Alexandr u Io an Cuza din Ia³i
F a cul t a tea de Ma tema tic 
Puncte de echilibru în
problema restrâns  a celor
trei corpuri
Lucrare de licenµ 
Conduc tor ³tiinµic:
Conf. dr. C t  lin Gale³
Candidat: [anonimizat]³ Io ana-Corina
Iulie, 2019
Ia³i

Cuprins
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
In tro ducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Ecuaµii de mi³care în problema restrâns  a celor trei corpuri 5
2 In tegrala prim  a lui Jacobi 10
2.1 Stabilitatea de tip Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 P oziµia punctelor de ec hilibru 16
4 Stabilitatea punctelor de ec hilibru 20
4.1 Punctele coliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Punctele triunghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Bibliograe 29

Abstract
Lucrarea de faµ  studiaz  problema restâns  a celor trei corpuri.
A ceast  problem  const  în studiul mi³c rii unei particule innitezimale în jurul a
dou  corpuri masiv e, n umite ³i corpuri primare. T raiectoria corpurilor primare n u
este inuenµat  gra vitaµional de particula innitezimal .
Sun t prezen tate ecuaµiile de mi³care ale particulei innitezimale atât faµ  de un sis-
tem de referinµ  inerµial, cât ³i faµ  de un sistem de referinµ  sino dic.
Este determinat  in tegrala prim  a lui Jacobi, studiat  stabilitatea de tip Hill, de-
terminate punctele de ec hilibru ³i in v estigat  stabilitatea acestora.
2

In tro ducere
Problema celor trei corpuri a atras atenµia matematicienilor de-a lungul secolelor,
prin simplitatea form ul rii ³i a complexit µii soluµiei. Prin tre matematicieni de re-
n ume care au ab ordat problema ³i au con tribuit în mo d semnicativ, se n um r :
Euler(1707-1783), Lagrange(1736-1813), Laplace(1749-1827), Jacobi(1804-1851), Le
V errier(1811-1877), Hamilton(1805-1865), P oincaré(1854-1912) ³i Birkho(1884-1944).
Problema general  a celor trei corpuri const  în determinarea p oziµiilor ³i vitezelor
a trei corpuri masiv e care in teracµioneaz  gra vitaµional, dac  este cunoscut  starea
iniµial  a sistem ului.
Problema celor trei corpuri în form  general  n u este in tegrabil . Singura problem 
gra vitaµional  in tegrabil  este problema celor dou  corpuri.
Deoarece problema celor trei corpuri este considerat  simpl  din p ersp ectiv a form u-
l rii, s-a încercat ³i rezolv area acesteia, dar soluµia ei este una foarte complex , n u se
p oate rezolv a. Datorit  acestui fapt, s-a încercat g sirea unor probleme particulare,
cum ar  problema restrâns  a celor trei corpuri. În cadrul acestei probleme, masa
un uia din tre cele trei corpuri este considerat  neglijabil .
Problema restrâns  a celor trei corpuri descrie mi³carea masei innitezimale, aat 
în câmpul gra vitaµional a dou  corpuri masiv e în acela³i plan sau în afara plan ului
orbital al corpurilor primare, den umite corespunz tor problema plan  sau tridimen-
sional . Corpurile primare se rotesc în jurul cen trului lor com un de mas  p e orbite
circulare sau eliptice, sub inuenµa atracµiei gra vitaµionale. În cazul în care orbitele
sun t eliptice, problema se v a n umi pr oblema r estr âns  eliptic   a c elor tr ei c orpuri ,
iar dac  orbitele sun t circulare, problema se v a n umi pr oblema r estr âns  cir cular   a
c elor tr ei c orpuri .
Studiul problemei restrânse a celor trei corpuri a fost impulsionat de consideren te
de ordin practic. De exemplu, asteroizi sun t corpuri innitezimale, corpuri m ult
mai mici comparativ cu planetele. Astfel, putem mo dela sistem ul Soare-Jupiter-
Asteroid, prin tre problema restrâns  a celor trei corpuri. În niciun caz, asteroidul n u
inuenµeaz  mi³carea planetei Jupiter, a c rei mas  este m ult mai mare decât cea a
asteroidului.
În aceast  lucrare, ne propunem s  g sim punctele de ec hilibru în problema res-
trâns  a celor trei corpuri. În prealabil, v om discuta despre in tegralele prime, unde
v om descop eri c  exist  doar o in tegral  prim , care p oart  n umele de inte gr ala prim 
a lui Jac obi . A ceast  in tegral  conduce la denirea suprafeµei Hill, care m rgine³te
regiunile admisibile. A ceast  suprafaµ  p ermite in tro ducerea noµiunii de stabilitate
3

de tip Hill. P en tru an umite v alori ale constan tei Jacobi, dac  iniµial particula inni-
tezimal  este satelit al un uia din tre corpurile masiv e(sau a am b elor corpuri), atunci
r mâne mereu satelit al corpului resp ectiv(sau a am b elor corpuri). Suprafaµa Hill
p osed , în funcµie de constan ta Jacobi, div erse puncte duble. Se arat  c  aceste
puncte , în n um r de cinci, sun t ³i puncte de ec hilibru. T rei din tre aceste puncte
sun t coliniare, iar celelalte dou  sun t triunghiulare, care împreun  cu corpurile ma-
siv e formeaz  triunghiuri ec hilaterale.
Este determinat  p oziµia punctelor de ec hilibru ³i studiat  stabilitatea acestora.
A ceast  lucrare este structurat  în patru capitole.
În prim ul capitol este form ulat  problema restrâns  a celor trei corpuri, atât în ca-
drul inerµial, cât ³i în sistem ul sino dic.
În al doilea capitol se deduce singura in tegral  prim  a problemei restrânse a ce-
lor trei corpuri ³i se analizeaz  suprafeµele de tip Hill. T oto dat , este discutat 
stabilitatea de tip Hill.
În al treilea capitol sun t determinate punctele de ec hilibru, care reprezin t  puncte
duble ale suprafeµei de tip Hill.
Ultim ul capitol trateaz  stabilitatea punctelor de ec hilibru.
4

Capitolul 1
Ecuaµii de mi³care în problema
restrâns  a celor trei corpuri
Consider m mi³carea unei particule de mas  neglijabil  care se mi³c  sub inuenµa
gra vitaµional  a dou  mase primare m1 ³im2 . Presupunem c  cele dou  mase des-
criu orbite circulare în jurul cen trului com un de mas  ³i c  exercit  o forµ  asupra
particulei, de³i particula n u p oate afecta cele dou  mase. Consider m un sistem de
referinµ  inerµial cu originea în cen trul de mas  a corpurilor primare. Not m prin
;; axele în acest sistem. Presupunem c  axa  se situeaz  de-a lungul direcµiei
m1m2 la timpult= 0 , axa p erp endicular  p e axa  ³i în plan ul orbital al celor dou 
mase ,  iar axa  p erp endicular  p e plan ul  , de-a lungul v ectorului momen tului
cinetic.
Not m prin (1;1;1);(2;2;2) co ordonatele celor dou  corpuri primare în rep erul
denit mai sus. Distanµa din tre cele dou  corpuri, precum ³i vitezele unghiulare
medie ale corpurilor primare sun t constan te în timpul mi³c rii.
Alegem unitatea de m  sur  a masei astfel încât =G(m1+m2) = 1 . Altfel, putem
scrie:
(
G(m1+m2) = 1;
a=jP1P2j= 1:(1.1)
Dac  presupunem c  m1>m 2 denim:
=m2
m1+m2: (1.2)
Gm 1=Gm 1
1=Gm 1
G(m1+m2)=m1
m1+m2=m1+m2m2
m1+m2=m1+m2
m1+m2m2
m1+m2
)Gm 1= 1;
Gm 2=Gm 2
1=Gm 2
G(m1+m2)=m2
m1+m2
)Gm 2= :
5

În acest sistem de unit µi, p en tru cele dou  mase putem scrie:
1=Gm 1= 1 ³i2=Gm 2= : (1.3)
Fig.1. O v edere plan  a relaµiei din tre co ordonatele siderale (;; ) ³i co ordonatele
sino dice (x;y;z ) în particula P .
Originea O este lo calizat  în cen trul de mas  a corpurilor primare. Axele  ³iz coincid cu
axa de rotaµie, iar s geata indic  direcµia de rotaµie p ozitiv  .
Ecuaµiile v ectoriale ale mi³c rii "absolute" în problema restrânsâ a celor trei corpuri
faµ  de un sistem de referinµ  inerµial oarecare sun t:
8
>><
>>:m1r1=Gm 1m2
jr1r2j3(r2r1);
m2r2=Gm 1m2
jr1r2j3(r1r2);
m3r3=Gm 1m3
jr1r3j3(r1r3) +Gm 2m3
jr2r3j3(r2r3):(1.4)
Not m co ordonatele particulei în sistemul inerµial sau sider al prin (;; ) . Pu-
tem scrie:P1= (1;1;1) ³iP2= (2;2;2)
P e comp onen te, ecuaµiile de mi³care ale particulei innitezimale sun t:
8
>><
>>:=11
r3
1+22
r3
2;
=11
r3
1+22
r3
2;
=11
r3
1+22
r3
2;(1.5)
unde: (
r1=p
(1)2+ (1)2+ (1)2;
r2=p
(2)2+ (2)2+ (2)2:(1.6)
Dac  cele dou  mase primare se mi³c  p e orbite circulare, atunci distanµa din tre
ele este x  ³i deplasarea în jurul cen trului lor com un de mas  se realizeaz  cu o
vitez  circular  constan t , viteza unghiular  medie n . Astfel, ecuaµiile (1.5) repre-
zin t  un sistem mecanic neautonom; mem brii drepµi ai ecuaµiilor (1.5) depind explicit
de timp. În aceste condiµii, este normal s  se ia în considerare mi³carea particulei
în tr-un cadru de referinµ  rotativ, în care sun t xate ³i lo caµiile celor dou  mase.
Sistem ul de ecuaµii devine un sistem autonom; funcµiile date n u depind explicit de
timp. Consider m un sistem de co ordonate nou, rotativ, care are aceea³i origine ca ³i
6

sistem ul , , dar care se rote³te cu viteza unghiular  n în direcµia p ozitiv  . Direcµia
axei x este aleas  astfel încât cele dou  mase se a  în totdeauna de-a lungul ei cu
urm toarele co ordonatele (x1;y1;z1) = (2;0;0) ³i(x2;y2;z2) = (;0;0) .
În tr-adev  r, e P1(x1;0;0) ³iP2(x2;0;0) .
În trucât distanµa din tre P1 ³iP2 este1 ³i O este cen trul de mas  a celor dou  puncte,
putem scrie:
(
x2x1= 1;
m1x1+m2x2= 0;)(
m1x2m1x1=m1;
m1x1+m2x2= 0:
A dunând cele dou  relaµii obµinem: (m1+m2)x2=m1
)(
x2=m1
m1+m2;
x1=x21;)(
x2=m1+m2m2
m1+m2;
x1=x21;)(
x2=m1+m2
m1+m2m2
m1+m2;
x1=x21;
)(
x2= 1;
x1=m21;)(
x2= 1;
x1=:(1.7)
A³adar, a v em P1(;0;0) ³iP2(1;0;0)
Expresiile distanµelor m utuale se v or rescrie acum astfel:
(
r2
1= (x+)2+y2+z2;
r2
2= (x1 +)2+y2+z2;(1.8)
unde (x;y;z ) sun t co ordonatele particulei în rap ort cu sistemul r otativ sau sino dic .
A ceste co ordonate sun t legate de co ordonatele din sistem ul sideral prin:
0
@

1
A =0
@cosntsinnt0
sinnt cosnt 0
0 0 11
A0
@x
y
z1
A; (1.9a)
8
><
>:=xcosntysinnt;
=xsinnt+ycosnt;
=z:(1.9b)
De³i în sistem ul nostru de unit µi n= 1 , v om p stra n în urm toarele ecuaµii p en tru
a sublinia c  toµi termenii din ecuaµiile de mi³care au aceea³i unitate de m sur .
Din (1.9b) deducem:
0
@_
_
_1
A =0
@cosntsinnt0
sinnt cosnt 0
0 0 11
A0
@_xny
_y+nx
_z1
A; (1.10a)
8
><
>:_= ( _xny) cosnt( _y+nx) sinnt;
_= ( _xny) sinnt+ ( _y+nx) cosnt;
_= _z;(1.10b)
7

³i
0
@

1
A =0
@cosntsinnt0
sinnt cosnt 0
0 0 11
A0
@x2n_yn2x
y+ 2n_xn2y
z1
A; (1.11)
8
><
>:= (x2n_yn2x) cosnt(y+ 2n_xn2y) sinnt;
= (x2n_yn2x) sinnt+ (y+ 2n_xn2y) cosnt;
= z:
Reµinem c  trecerea la un cadru de referinµ  rotativ a in tro dus termenii în n_x ³in_y
(acceleraµia lui Coriolis) ³i n2x ³in2y (acceleraµia cen trifug ) în ecuaµiile de mi³care.
F olosind relaµiile de mai sus, ecuaµiile (1.5) devin:
(x2n_yn2x) cosnt(y+ 2n_xn2y) sinnt=
1(x) cosnt+ysinnt]
r3
1
+2(x+ 1) cosnt+ysinnt
r3
2
; (1.12)
(x2n_yn2x) sinnt+ (y+ 2n_xn2y) cosnt=
1(x) sinnt+ycosnt]
r3
1
+2(x+ 1) sinnt+ycosnt
r3
2
; (1.13)
z=1z
r3
1
+2z
r3
2
: (1.14)
Înm ulµim ecuaµia (1:12) prin cosnt , ecuaµia (1:13) prin sinnt , ³i v om aduna rezul-
tatele. Ap oi, din nou v om înm ulµi ecuaµia (1:12) prinsinnt , ecuaµia (1:13) prin
cosnt , ³i adun m rezultatele.
Obµinem astfel ecuaµiile de mi³care în sistem ul sino dic sub forma:
8
>><
>>:x2n_yn2x=(1)x+
r3
1(x1+)
r3
2;
y+ 2n_xn2y=(1)y
r3
1y
r3
2;
z=(1)z
r3
1z
r3
2:(1.15)
Expresiile acceleraµiilor (1.15) p ot , de asemenea, scrise ca un gradien t al unei funcµii
scalareU :
x2n_y=@U
@x; (1.16a)
y2n_x=@U
@y; (1.16b)
8

z=@U
@z; (1.16c)
undeU=U(x;y;z ) este dat de:
U=n2
2(x2+y2) +1
r1+2
r2: (1.17)
În aceast  ecuaµie termen ul în x2+y2este p otenµialul cen trifugal, iar termen ul în
1=r1 ³i1=r2 este p otenµialul gra vitaµional. Deriv atele parµiale ale funcµiei U dau
na³tere forµelor cen trifuge ³i gra vitaµionale. T ermenii 2n_y ³i+2n_x în ecuaµiile
(1.16a) ³i (1.16b) sun t termenii lui Coriolis, care depind de viteza particulei în cadrul
de referinµ  rotativ. F orµa rezultan t  a lui Coriolis este p erp endicular  p e v ectorul
vitez .
Reµinem c  în deniµia noastr  U este p ozitiv. T otu³i, acest lucru este opus practicii
zicii ³i este pur ³i simplu o con v enµie în mecanica cereasc . Am putea la fel de bine
s  îl consider m negativ ³i not m U=U , iar ecuaµiile mi³c rii ar dev eni:
8
><
>:x2n_y=@U
@x;
y2n_x=@U
@y;
z=@U
@z:(1.18)
Reµinem, de asemenea, c  U n u este adev  rat un p otenµial, ci este cel mai bine
cunoscut ca o funcµie scalar  din care p ot  deriv ate unele(dar n u toate) acceleraµiile
exp erimen tate de particula în cadrul rotativ. U este n umit  pseudo-p otenµial.
8
>><
>>:@U
@x=n2x(1)1
r2
1x+
r1mu
r2
2x1+
r2;
@U
@y=n2x(1)1
r2
1y
r1mu
r2
2y
r2;
@U
@z=(1)1
r2
1z
r1mu
r2
2z
r2:(1.19)
9

Capitolul 2
In tegrala prim  a lui Jacobi
Problema circular  restrâns  a celor trei corpuri are doar o in tegral  de mi³care, cu-
noscut  sub n umele de in tegrala prim  a lui Jacobi . A ceasta se obµine înm ulµând
ecuaµia (1:16a) cu_x , ecuaµia (1:16b) cu_y , ³i ecuaµia (1:16c) cu_z , ³i adunându-le,
obµinem
_xx+ _yy+ _zz=@U
@x_x+@U
@y_y+@U
@z_z=dU
dt: (2.1)
A ceasta p oate  in tegrat  p en tru a da
_x2+ _y2+ _z2= 2UCJ; (2.2)
undeCJ este o constan t  de in tegrare. Din momen t ce _x2+ _y2+ _z2=v2, p tratul
vitezei particulei în cadrul rotativ este:
v2= 2UCJ: (2.3)
Sau, putem utiliza ecuaµia (1:17) p en tru a rescrie ecuaµia (2.3) în forma:
CJ=n2(x2+y2) + 21
r1+2
r2
_x2_y2_z2: (2.4)
A ceasta demonstreaz  c  2Uv2=CJ este o constan t  de mi³care. A cesta este
in tegran tul lui Jacobi sau constan ta lui Jacobi, uneori n umit  ³i in tegrala energiei
relativ e.
Este imp ortan t de observ at c  aceasta n u este o can titate energetic  p en tru c  în
problema restrâns  a celor trei corpuri n u se conserv   nici energia, nici momen tul
cinetic.
In tegrala lui Jacobi este singura in tegral  a problemei circulare cu trei corpuri, ceea ce
înseamn  c  problema n u p oate  rezolv at  în form  înc his  p en tru cazuri generale.
Expresia p en tru CJ p oate , de asemenea, scris  în termeni ce priv esc p oziµia ³i
viteza particulei în cadrul ne-rotativ, sideral. P en tru v ectorii de p oziµie putem folosi
ecuaµia (1:9a) ³i obµinem:
0
@x
y
z1
A =0
@cosnt sinnt0
sinntcosnt0
0 0 11
A0
@

1
A: (2.5)
10

P en tru viteza v ectorilor putem s  folosim ecuaµia (1:10a) ³i obµinem
0
@_xny
_y+nx
_z1
A =0
@cosnt sinnt0
sinntcosnt0
0 0 11
A0
@_
_
_1
A: (2.6)
Cu toate acestea
0
@_xny
_y+nx
_z1
A =0
@_x
_y
_z1
A +n0
@sinntcosnt0
cosnt sinnt 0
0 0 01
A0
@

1
A; (2.7)
prin urmare
0
@_x
_y
_z1
A =0
@cosnt sinnt 0
sinntcosnt0
0 0 11
A0
@_
_
_1
An0
@sinntcosnt0
cosnt sinnt 0
0 0 01
A0
@

1
A:
(2.8)
Dac  not m prin:
A=0
@cosnt sinnt0
sinntcosnt0
0 0 11
A ³iB=0
@sinntcosnt0
cosnt sinnt 0
0 0 01
A; (2.9)
atunci din ecuaµia (2.8), a v em
_x2+ _y2+ _z2=
_x_y_z
0
@_x
_y
_z1
A
=___

ATA0
@_
_
_1
An___

ATB0
@

1
A
n
  

BTA0
@_
_
_1
A +n2
  

BTB0
@

1
A
=_2+ _2+_2+n2(2+2) + 2n(__); (2.10)
undeAT³iBTsun t transpusele matricelor A ³i B. Deoarece A ³i B sun t am b ele
matrici ortogonale, in v ersele lor coincid cu transpusele acestora. Deoarece distanµele
r  mân în totdeauna nesc him bate prin rotaµii(sau ec hiv alen t, deoarece determinanµii
metricelor ortogonale sun t egale cu unitatea), a v em ³i x2+y2+z2=2+2+2;
acest lucru p oate  obµin ut ³i din ecuaµia (1:9a) . Astfel, deducem:
CJ= 21
r1+2
r2
+ 2n(__)_xi2_2_2: (2.11)
11

P en tru exprimarea constan tei lui Jacobi în termenii co ordonatelor siderale, putem
rescrie aceast  ecuaµie în felul urm tor
1
2(_2+ _2+_2)1
r1+2
r2
= h*n1
2CJ; (2.12)
unde n= (0;0;n) ³i partea stâng  a ecuaµiei reprezin t  energia total  sau mecanic ,
p e unitatea de mas  a particulei. Deoarece h*n n u este o constan t , acest lucru
explic  de ce energia n u se conserv   în problema restrâns  a celor trei corpuri. M –
surarea p oziµiei ³i a vitezei particulelor în oricare din tre cele dou  sisteme de referinµ 
determin  v aloarea constan tei Jacobi aso ciat  mi³c rii particulei.
Constan ta lui Jacobi este singura in tegral  a mi³c rii în problema restrâns  a celor
trei corpuri. Nu putem s  o folosim p en tru a oferi o soluµie exact  p en tru mi³carea
orbital , dar o putem folosi p en tru a determina regiunile admisibile particulei. Utili-
tatea constan tei Jacobi p oate  apreciat  dac  se iau în considerare p oziµiile în care
viteza particulei este zero. În acest caz, a v em:
2U=CJ; (2.13)
sau
n2(x2+y2) + 21
r1+2
r2
=CJ: (2.14)
2.1 Stabilitatea de tip Hill
Am aat c  in tegrala lui Jacobi este:
v2= 2UCJ
sau
CJ=n2(x2+y2) + 21
r1+2
r2
_x2_y2_z2;
unde:
r2
1= (xx1)2+y2+z2
³i
r2
2= (xx2)2+y2+z2:
A ceasta este o relaµie format  din p tratul vitezei ³i co ordonatele particulei inni-
tezimale, rap ortate la sistem ul sino dic. Dac  viteza particulei devine zero, atunci
a v em:
2U=CJ
12

sau
n2(x2+y2) + 21
r1+2
r2
=CJ; (2.15)
undeCJ este o constan t  determinat  din condiµiile iniµiale.
Ecuaµia (2.15) este imp ortan t  în aceast  problem  deoarece dene³te p en tru o v a-
loare dat  lui CJ limitele regiunii în care particula innitezimal  se p oate deplasa.
A ceste regiuni sun t acelea p en tru care 2U > CJ , din momen t ce v2v a  negativ  ,
dând v alori imaginare p en tru vitez .
Ecuaµia (2.15), n umit  supr afaµ  de limitar e a lui Hil l , n u ne spune nimic despre
orbitele particulei în spaµiul admisibil; p en tru a obµine informaµii despre celelalte
in tegrale ale problemei trebuie, mai în tâi, s  le g sim. Cu toate acestea, putem s 
studiem comp ortamen tul suprafeµei limit  a lui Hill p en tru diferite v alori ale lui C .
Dac  atâtCJ , cât ³in2(x2+y2) au v alori mari, atunci ecuaµia din (2.15) a v em:
n2(x2+y2)CJ; (2.16)
care reprezin t  ecuaµia un ui cerc. Dac  CJ este mare, iar r1 saur2 au v alori mici,
atunci suprafeµele devin o v ale separate ³i v or conµine corpurile primare de mase
(1) ³i . A cest caz este descris în gura 2.1.a , unde axaz este considerat  p er-
p endicular  p e plan. Spaµiul în care viteza particulei ar  imaginar  este reprezen tat
prin culoarea albastru desc his. Dar dac  particula încep e iniµial în in teriorul un uia
din tre o v ale sau în afara con turului aproap e circular care înconjoar  am b ele o v ale,
particula trebuie s  r mân  acolo unde cele trei regiuni sun t separate de regiunea
"in terzis ".
Dac CJ scade, o v alele in terioare se extind în timp ce suprafaµa exterioar (aproap e
de secµiunea transv ersal ) se mic³oreaz . P en tru o an umit  v aloare a lui CJ (s  îi
spunemCJ2 ) o v alele in terioare devin tangen te în punctul dublu L2 . A cest lucru este
ilustrat în gura 2.1.b . O u³oar  sc dere a lui CJ are ca rezultat unirea celor
dou  o v aluri, care alc tuiesc o suprafaµ  sub form  de haltere cu un gât îngust prin
care este p osibil ca particula s  scap e din v ecin tatea unei mase nite în cealalt ,
de³i înc  n u este p osibil ca particula s  a jung  în regiunea exterioar ( gura 2.1.c ).
P en tru o v aloare mai mic  a lui CJ , regiunea in terioar  în tâlne³te regiunea exteri-
oar  în tr-un punct dublu L3 ( gura 2.1.d ), ³i ap oi p e m sur  ce CJ scade ³i mai
m ult, se obµine un nou punct dublu L1 , în timp ce l rgirea gâtului în jurul v alorii
luiL3 p ermite particulei s  se mi³te în afara regiunii în tre cele dou  mase nite în
spaµiul exterior( gura 2.2.f ). P e m sur  ce pro cesul con tin u , regiunile inaccesibile
ale particulei din plan ul xy se mic³oreaz  pân  când dispar în dou  puncte L4 ³i
L5 ( gura 2.2.g )
P e baza unor rezultate din geometria analitic , punctele duble sun t acele puncte în
care deriv atele parµiale ale unei funcµii se an uleaz . În acest caz funcµia este f , dat 
prin:
f=n2(x2+y2) + 21
r1+2
r2
CJ= 2UCJ: (2.17)
Problema circular  restrâns  a celor trei corpuri utilizeaz  suprafaµa de vitez  zero
p en tru a indica categoric în ce regiuni se p oate deplasa particula. Dac  constan ta
CJ limiteaz  particula la o v alul de mas   , de exemplu, n u ³tim dac  se v a cio cni
sau n u cu , dar cel puµin putem spune c  n u v a trece nicio dat  suprafaµa de vitez 
n ul .
13

Dac  cele dou  corpuri nite se deplaseaz  p e orbite eliptice(problema eliptic  res-
trâns  a celor trei corpuri), atunci in tegrala Jacobi n u exist , dar este ten tan t s 
presupunem(a³a cum au f cut m ulµi) c  dac  excen tricitatea unei orbite eliptice a
unei mase nite este mic , atunci se p ot aplica rezultatele problemei circulare unei
probleme eliptice. A ceasta este doar o presupunere. Cel m ult se p oate spune c  pre-
supunerile din in tegrala Jacobi p ot  aplicate p en tru un in terv al de timp, comparativ
cu p erioada de rev oluµie a celor dou  corpuri nite.
a b
c d
Figura 2.1: Curba Hill ³i regiunile admisibile p en tru = 0:1
Zonele alb e reprezin t  regiunile admisibile particulei innitezimale, în timp ce
zona sau zonele albastre reprezin t  regiuni prohibite (n u este satisf cut  condiµia
2UCJ ³i implicit ecuaµia v2= 2UCJ ). Figurile au fost obµin ute p en tru
urm toarele v alori ale constan tei CJ :
CJ= 3:85 (stânga sus) ; C J= 3:8 (dreapta sus) ;
CJ= 3:68 (stânga jos) ; C J= 3:55 (dreapta jos) :
14

e f
g h
Figura 2.2: Curba Hill ³i regiunile admisibile p en tru = 0:1
Figurile au fost obµin ute p en tru urm toarele v alori ale constan tei CJ :
CJ= 3:38 (stânga sus) ; C J= 3:2 (dreapta sus) ;
CJ= 3:02 (stânga jos) ; C J= 2:85 (dreapta jos) :
15

Capitolul 3
P oziµia punctelor de ec hilibru
De³i problema restrâns  circular  a celor trei corpuri n u este in tegrabil , putem g si
o serie de soluµii sp eciale. A cest lucru p oate  obµin ut prin conguraµiile în care
particula innitezimal  are vitez  zero ³i acceleraµie zero în sistem ul de referinµ 
sino dic. Astfel de puncte sun t n umite puncte de ec hilibru ale sistem ului. A cum,
v om presupune c  orice mi³care este plan .
P en tru a facilita calculul p oziµiilor punctelor de ec hilibru, v om rescrie U în tr-o alt 
form .
Din deniµiile lui r1 ³ir2 din ecuaµia (1.8) ³i utilizând proprietatea 1+2= 1 ,
a v em:
1r2
1+2r2
2=x2+y2+12; (3.1)
³i, prin urmare:
U=1(1
r1+r2
1
2) +2(1
r2+r2
2
2)1
212: (3.2)
Lu m în considerare ecuaµiile de mi³care, ecuaµiile (1.16a) ³i (1.16b) cu x= y= _x=
_y= 0 . P en tru a g si p oziµiile punctelor de ec hilibru trebuie sa rezolv  m urm toarele
ecuaµii:
@U
@x=@U
@r1@r1
@x+@U
@r2@r2
@x= 0; (3.3)
@U
@y=@U
@r1@r1
@y+@U
@r2@r2
@y= 0: (3.4)
Din (3.2), (3.3) ³i (3.4) obµinem urm toarele ecuaµii p en tru determinarea punctelor
de ec hilibru:
1
1
r2
1+r1x+2
r1+2
1
r2
2+r2x1
r2= 0; (3.5)
1
1
r2
1+r1y
r1+2
1
r2
2+r2y
r2= 0: (3.6)
16

Eviden t, cele dou  ecuaµii de mai sus sun t satisf cute dac :
8
>>>><
>>>>:@U
@r1=1
1
r2
1+r1
= 0;
@U
@r2=2
1
r2
2+r2
= 0;(3.7)
de unde v a rezulta c  r1=r2= 1 în sistem ul nostru de unit µi. F olosind ecuaµia
(1.6), aceasta implic :
(x+2)2+y2= 1; (x1)2+y2= 1; (3.8)
cu dou  soluµii:
x=1
22; y =p
3
2: (3.9)
Din faptul c  r1=r2= 1 , ecare din cele dou  puncte denite de aceste ecuaµii
formeaz  un triunghi ec hilateral cu masele 1 ³i2 . A cestea se n umesc punctele tri-
unghiular e de e chilibru ale lui L agr ange , notate cuL4 ³iL5 . Prin con v enµie, ordonata
punctuluiL4 este p ozitiv  , iar cea a punctului L5 este negativ  .
P e de alt  parte, se observ   c  (3.6) p oate  satisf cut  dac  y= 0 , adic  celelalte
puncte de ec hilibru se a  p e axa x . Abscisa acestor puncte de ec hilibru se obµine
rezolv ând ecuaµia (3.5) p en tru y= 0 .
De fapt, exist  trei astfel de soluµii care corespund punctelor Lagrange de ec hilibru
coliniare, notate cu L1 ,L2 ³iL3 . PunctulL1 se situeaz  în tre masele 1 ³i2 , punc-
tulL2 se a  în afara masei 2 , iarL3 se a  p e axa negativ   x .
În cele ce urmeaz , v om obµine o p oziµie apro ximativ   p en tru ecare din punctele
colineare.
P en tru punctul L1 a v em:
r1+r2= 1; r1=x+; r 2=(x+1);@r1
@x=@r2
@x= 1: (3.10)
Prin urmare, înlo cuind în ecuaµia (3.5) v om a v ea:
1
1
(1 +r2)2+ 1 +r2
+2
1
r2
2+r2
= 0; (3.11)
sau
2
1= 3r3
2(1 +r2+r2
2=3)
(1 +r2)2(1r3
2): (3.12)
Dac  denim:
=2
311=3
; (3.13)
este eviden t c  v om a v ea o soluµie de forma r2= .
Din ecuaµia (3.12) v om a v ea:
=r2+1
3r2
2+1
3r3
2+53
81r4
2+O(r5
2): (3.14)
17

P en tru a-l obµine p e r2 în funcµie de  , v om in v ersa seria an terioar  folosind te o-
r ema lui L agr ange de inversar e a seriilor . Dac  v ariabila z se exprim  în funcµie
de v ariabila  prinz=+e() ,(e < 1) , unde este o funcµie real  indenit
deriv abil , atunci v ariabila  se p oate exprima la rândul ei explicit în funcµie de z
prin dezv oltarea:
=z+1X
j=1ej
j!dj1
dzj1[(z)]j: (3.15)
Prin urmare, putem scrie:
r2=+ (1=3)(r2); (3.16)
unde funcµia  este denit  de:
(r2) =r2
2+r3
2+53
27r4
2+O(r5
2); (3.17)
de unde putem scrie urm toarele relaµii:
[()]2=4+ 25+O(6); (3.18)
d
d[()]2= 43+ 104+O(5); (3.19)
[()]3=6+O(7); (3.20)
d2
d2[()]3= 304+O(5): (3.21)
Din expresiile de mai sus, împreun  cu ecuaµia (3.15), v om a v ea:
r2=+1X
j=1(1=3)j
j!dj1
dj1[()]j; (3.22)
r2=1
321
9323
814+O(5): (3.23)
P en tru punctul L2 a v em:
r1r2= 1; r 1=x+2; r 2=x1;@r1
@x=@r2
@x= 1: (3.24)
Prin urmare, înlo cuind p e r1 în ecuaµia (3.5) deducem:
1
1
(1 +r2)2+ 1 +r2
+2
1
r2
2+r2
= 0; (3.25)
sau
2
1= 3r3
2(1 +r2+r2
2=3)
(1 +r2)2(1r3
2): (3.26)
18

Utilizând expresia lui  în ecuaµia (3.13) ne v a da:
=r21
3r2
2+1
3r3
2+1
81r4
2+O(r5
2); (3.27)
r2=+1
321
9331
814+O(5): (3.28)
P en tru punctul L3 a v em:
r2r1= 1; r 1=x2; r 2=x+1;@r1
@x=@r2
@x=1: (3.29)
Înlo cuindu-l p e r2 în ecuµia (3.5), v om a v ea:
1
1
r2
1+r1
+2
1
(1 +r2
1)2+ 1 +r1
= 0; (3.30)
sau
2
1=(1r3
1)(1 +r1)2
r3
1(r2
1+ 3r1+ 3): (3.31)
Impunem ca r1= 1 + (care implic  r2= 2 + ) ³i a v em:
2
1=12
7+144
4921567
3433+O(4); (3.32)
=7
122
1
+7
122
12
13223
207362
13
+O2
14
: (3.33)
Suprafaµa de vitez  n ul  din problema restrâns  a celor trei corpuri este descris  de
ecuaµiaCJ= 2U .
Celor cinci puncte de ec hilibru le corespund, prin deniµie, v alori extreme ale energiei
p otenµiale si, p e suprafaµa de vitez  n ul , v alori extreme ale constan tei lui Jacobi,
CJ . PuncteleL1 ,L2 ³iL3 sun t puncte de maxim, iar L4 ³iL5 sun t puncte de minim.
În tr-adev  r, prin tr-o analiz  liniar  a stabilit µii, se p oate ar ta c  punctele coliniare
sun t puncte de ec hilibru instabil, iar celelalte dou  sun t puncte de ec hilibru stabil
p en tru2.0:04 ³i instabil în caz con trar.
F olosind relaµia CJ= 2U ³i expresiile deduse an terior, v om determina cu apro ximaµie
pân  la ordin ulO(2) constan ta lui Jacobi p en tru ecare din cele cinci puncte de
ec hilibru Lagrangian, dup  cum urmeaz :
CL13 + 34=32=3
2102=3; (3.34)
CL23 + 34=32=3
2142=3; (3.35)
CL33 +2; (3.36)
CL432; (3.37)
CL532: (3.38)
Constan ta Jacobi are v aloarea cea mai mare În punctul L1 ³i v aloarea cea mai mic 
în punctele L4 ³iL5 , a³a cum se p oate v erica imediat. Când 2!0 , atunci
CL1!CL2 ³i prin neglijarea termenilor de ordin ul O(2) , rezult  c  distanµele lor
la corpul p erturbator devin, de asemenea, egale. T ot la limit , punctul L3 se apropie
de cercul de raz  cu cen trul în corpul cen tral, cerc p e care sun t situate ³i punctele
L4 ³iL5 .
19

Capitolul 4
Stabilitatea punctelor de ec hilibru
Nu este sucien t s  ³tim c  exist  un n um r de puncte de ec hilibru p en tru un sistem
dinamic; trebuie, de asemenea, s  determin m stabilitatea acestor puncte. A tunci
când un sistem este supus unei forµe deriv ate din tr-un p otenµial, suma energiei ci-
netice ³i a energiei p otenµiale r mâne constan t . În tr-un astfel de sistem, mi³carea
"stabil " are lo c în v ecin tatea p oziµiile de ec hilibru care sun t minime p otenµiale.
Obiectele plasate în aceste p oziµii v or r mâne în v ecin tate, în ciuda deplas rilor
mici.
Consider m curb e de vitez  zero în v ecin tatea un ui punct de ec hilibru triunghiular.
Am ar tat deja c  CJ= 2Uv2este minim în L4 ³iL5 . Dac  alegem con v enµia de
a face can titatea U negativ   transformând-o in tr-o funcµie U=U , atunciCJ v a
 maxim în punctele triunghiulare.
Fie p oziµia un ui punct de ec hilibru in problema restrâns  notat  prin (x0;y0) ³i e
(x;y) o p oziµie v ecin . In tro ducem notaµiile X=xx0 ³iY=yy0 . Ap oi,
înlo cuind în ecuaµiile (1.16a) ³i (1.16b) ³i extinzând prin tr-o serie T a ylor, v om a v ea:
X2n_Y@U
@x
0+X@
@x@U
@x
0+Y@
@y@U
@x
0(4.1)
=X@2U
@x2
0+Y@2U
@x@y
0; (4.2)
³i
Y2n_X@U
@y
0+X@
@x@U
@y
0+Y@
@y@U
@y
0(4.3)
=X@2U
@x@y
0+Y@2U
@y2
0; (4.4)
unde indicele 0 denot  v aloarea deriv atelor parµiale în punctul de ec hilibru.
Pro cedura standard descris  mai sus conduce la liniarizarea ecuaµiilor de mi³care în
v ecin tatea punctelor de ec hilibru.
Rezultatele nale reprezin t  un set de ecuaµii diferenµiale liniare de forma:
X2_Y=XUxx+YUxy; Y+ 2_X=XUxy+YUyy; (4.5)
unden= 1 ³i:
Uxx=@2U
@x2
0; Uxy=@2U
@x@y
0; Uyy=@2U
@y2
0; (4.6)
20

sun t toate constan te.
Putem scrie ecuaµiile în form  matriceal  astfel:
0
BB@_X
_Y
X
Y1
CCA=0
BB@0 0 1 0
0 0 0 1
UxxUyy 0 2
UxyUyy2 01
CCA0
BB@X
Y
_X
_Y:1
CCA: (4.7)
Prin urmare, obµinem patru ecuaµii diferenµiale de ordin ul în tâi, în lo c de dou  ecuaµii
diferenµiale sim ultane, de ordin ul doi. Ecuaµiile au acum forma:
_X=AX; (4.8)
unde
X=0
BB@X
Y
_X
_Y1
CCA³iA=0
BB@0 0 1 0
0 0 0 1
UxxUyy 0 2
UxyUyy2 01
CCA: (4.9)
A cum lu m în considerare o ecuaµie matriceal  general , de forma dat  în ecuaµia
(4.8), unde A este o matrice de tipul nn , iarX este un v ector n-dimensional cu
elemen teleXi(i= 1;2;:::;n ) .
Dac  un v ector x satisface urm toarea ecuaµie:
Ax=x; (4.10)
unde este o constan t  scalar  nen ul , atunci x este un v ector propriu a matricii A ,
iar o v aloare proprie.
Prim ul pas în g sirea soluµiei ecuaµiei (4.8) este de a g si v alorile proprii ale lui A .
Putem rescrie ecuaµia (4.10) ca:
(AI)x= 0; (4.11)
undeI este matricea unitate.
În con tin uare a v em urm toarea condiµie:
det(AI) = 0: (4.12)
Din aceasta v a rezulta e cuaµia c ar acteristic   , care este o ecuaµie p olinomial  de grad
n în cun r d cini complexe. V ectorii proprii corespunz tori p ot  g siµi prin
înlo cuirea ec rui  în ecuaµia (4.10) ³i rezolv ând ecuaµia obµin ut .
Fie transformarea de la X laY reprezen tat  de:
Y=BX; (4.13)
unde B este o matrice constan t  urmeaz  a  determinat . A v em:
X=B1Y ³i _X=B1_Y; (4.14)
undeB1este in v ersa matricii B . Prin urmare, ecuaµia (4.8) p oate  scris  în
urm torul mo d:
B1_Y=AB1Y; (4.15)
21

sau înm ulµând la stânga ³i la dreapta cu B :
_Y=BB1_Y=BAB1Y: (4.16)
Din (4.16) v om a v em noi ecuaµii diferenµiale. A cestea p ot  obµin ute dac  matricea
B este aleas  astfel încât
BAB1=; (4.17)
unde este o matrice diagonal .
=0
BBB@10::: 0
02::: 0
……. . ….
0 0::: n1
CCCA: (4.18)
Sistem ul de ecuaµii p oate  scris acum astfel:
_Y=Y; (4.19)
sau
_Yi=iYi (i= 1;2;:::;n ): (4.20)
Soluµia sistem ului de mai sus p oate  scris  în forma:
Yi=cieit(i= 1;2;:::;n ); (4.21)
undeci reprezin t  constan tele de in tegrare.
Din ecuaµia (4.14) a v em:
X=B1Y=B10
BBB@c1e1t
c2e2t
…
cnent1
CCCA: (4.22)
În cazul nostru n= 4 , iar ecuaµia caracteristic  este dat  de
det(AI) = 0 1 0
00 1
UxxUxy2
UxyUyy2= 0; (4.23)
care se reduce la o ecuaµie p olinomial :
4+ (4UxxUyy)2+UxxUyyUxy2= 0: (4.24)
A v em o ecuaµie de gradul 4 , cu v ariabila  , de unde se observ   c  v om a v ea 4 r d cini.
A cestea sun t:
1;2=1
2(Uxx+Uyy4)
1
2
(4UxxUyy)24(UxxUyyU2
xy)1=21=2; (4.25)
22

³i
3;4=1
2(Uxx+Uyy4)
+1
2[(4UxxUyy)24(UxxUyyU2
xy)]1=21=2: (4.26)
Din ecuaµia (4.22), se observ   c  putem scrie soluµia p en tru X ³i_X astfel:
X=4X
j=1jejt; _X=4X
j=1jjejt; (4.27)
unde j sun t constan te, j=1;n .
Similar, putem scrie ecuaµiile p en tru Y ³i _Y , în funcµie de constan ta j . A v em:
Y=4X
j=1jejt; _Y=4X
j=1jjejt; (4.28)
unde j sun t constan te, j=1;n
Relaµia din tre j ³ij p oate  obµin ut  din ecuaµiile de la (4.5). Înlo cuind expresiile
p en truX;Y ³i_Y în ecuaµia (4.5) a v em:
4X
j=1
j2
j2jjUxxjUxyj

ejt= 0: (4.29)
Soluµia trivial  a ecuaµiei ne v a da relaµia din tre j ³ij :
j=2
jUxx
2j+Uxyj: (4.30)
Dac , la timpul t= 0 , a v em condiµiile X=X0 ,Y=Y0 ,_X=_X0 ³i_Y=_Y0 , atunci
cele patru constan te j sun t determinate din soluµiilor celor patru ecuaµii liniare
sim ultane:
4X
j=1j=X0;4X
j=1jj=_X0;4X
j=1j=_Y0;4X
j=1jj=_Y0: (4.31)
Deci, soluµia sistem ului (4.8) sau (4.19), cu urm toarele condiµii iniµiale x(0) =
x0; y(0) =y0;_x(0) = _x0 ³i_y(0) = _y0 , are forma (4.27)(resp ectiv (4.28)), unde j;j
sun t co ordonatele obµin ute prin rezolv area sistem ului algebric (4.31). Stabilitatea
punctelor de ec hilibru p oate  determinat  prin in v estigarea v alorilor proprii. P en tru
a face acest lucru, denim can tit µile:
A=1
(r3
1)0+2
(r3
2)0; (4.32)
B= 31
(r5
1)0+2
(r5
2)0
y2
0; (4.33)
C= 3
1(x0+2)
(r5
1)0+2(x01)
(r5
2)0
y0; (4.34)
D= 3
1(x0+2)2
(r5
1)0+2(x01)2
(r5
2)0
: (4.35)
23

În funcµie de aceste constan te, putem scrie:
Uxx= 1A+D; (4.36)
Uyy= 1A+B; (4.37)
Uxy=C: (4.38)
Reµinem c  aceste can tit µi sun t n umere reale. X ,Y ,_X ³i_Y trebuie neap rat s 
aib  v alori reale, c hiar dac  v alorile proprii ale j ³i ale constan telor j ,j p ot 
complexe.
F orma general  a v alorilor proprii date din ecuaµiile (4.25) ³i (4.26) este:
1;2=(j1+ik1);  3;4=(j2+ik2); (4.39)
undej1;k1;j2 ³ik2 sun t can tit µi reale, iar i=p1 .
Dat faptul c  soluµia general  a sistem ului (4.8) implic  o com binaµie liniar  a terme-
nilor de forma ejtrezult  c  ecare din termenii e+(j1+ik1)t;e+(j2+ik2)teste cuplat
cu un termen de forma e(j1+ik1)tsaue(j2+ik2)t. Dac j1=j2= 0 , atunci se obµine
o soluµie oscilatorie în trucât termenii eik1;eik2 se reduc la o com binaµie de funcµii
trigonometrice(deoarece ei= cosisin ). Îns , dac  j1 sauj2 este p ozitiv,
atunci soluµia v a cre³te exp onenµial p en tru t!1 ³i astfel putem spune c  soluµia
p erturbat  este instabil .
În concluzie, punctul de ec hilibru este stabil dac  toate v alorile proprii sun t pur ima-
ginare.
4.1 Punctele coliniare
Consider m soluµiile coliniare corespunz toare punctelor Lagrange L1;L2 ³iL3 . P en-
tru aceste puncte a v em y0= 0;(r2
1)0= (x0+2)2, ³i(r2
2)0= (x01)2, ³i prin
urmare:
Uxx= 1 + 2 A; Uyy= 12A; Uxy= 0: (4.40)
Ecuaµia caracteristic  devine:
4+ (2A)2+ (1 + A2A2) = 0: (4.41)
Ca un exemplu sp ecic, consider m stabilitatea punctului L1 p en tru2= 0:01 , din
capitolul 2. Din acest capitol, a v em x0= 0:848 ³iy0= 0 ; v om presupune o deplasare
iniµial  de forma X0=Y0= 105³i lu m _X0=_Y0= 0 . V alorile proprii rezultate
sun t290 ³i2:32i , care indic  faptul c  punctul este liniar instabil. Rezolv ând
p en tru j ³ij obµinem urm toarea soluµie:
8
>>>><
>>>>:X(t) = 6:99106e2:90t+ 4:96106e+2:90t
+1:96106cos 2:32t+ 2:54106sin 2:32t;
Y(t) = 3:25106e290t2:31106e+2:90t
+9:06106cos 2:32t+ 6:96106sin 2:32t:(4.42)
24

Al doilea termen din ecare ecuaµie v a  dominan t în cele din urm  ³i v a duce la
o cre³tere exp onenµial  în X ³iY . În acest caz, in terv alul de timp necesar p en tru
aceast  cre³tere este 1=2:90 p erioade orbitale ale masei 2 .
V alorile nen ule ale p rµiilor reale ³i imaginare ale soluµiilor ecuaµiei p en tru cazul
punctuluiL1 sun t în tre 0:1 ³i0:001 . R d cinile sun t în totdeauna de forma j ³i
ik , undej;k2R:
Din propriet µile p olinoamelor ³tim c  pro dusul r d cinilor trebuie s  e egal cu ter-
men ul constan t în p olinom. Prin urmare, ecuaµia caracteristic  trebuie s  satisfac :
(12)(34) = 1 + A2A2; (4.43)
unde, din ecuaµia (4.25) ³i (4.26), 1=2 ³i3=4 . P en tru ca toate r d cinile
s  e pur imaginare (condiµia p en tru stabilitate) trebuie s  a v em 2
1=2
2<0 ³i
2
3=2
4<0 ; aceasta implic  1 +A2A2= (1A)(1 + 2 A)>0 .
Prin urmare, punctele coliniare sun t stabile dac îndeplinesc urm toarea condiµie
1=2<A < 1 . Cu taote acestea, înlo cuind v alorile lui r1 ³ir2 p en tru punctele
coliniare în ecuaµia (4.32) arat  faptul c  A>1 (deoarece2<1=2 ) ³i deci punctele
coliniare sun t instabile p en tru toate v alorile lui 2 . De fapt, soluµia v a a v ea în tot-
deauna forma dat  în ecuaµia (4.42), dar cu v alori proprii din ce în ce mai mici p e
m sur  ce masa scade.
Din punct de v edere zic, putem înµelege existenµa punctelor coliniare instabile luând
în considerare sc him b rile acceleraµiei gra vitaµionale ³i a forµei cen trifuge în diferite
p oziµii de-a lungul axei x . Deplasându-se deoparte de cele dou  mase, acceleraµia
gra vitaµional  scade, iar forµa cen trifug  cre³te. Astfel sun t exact dou  puncte de
ec hilibru cu m1 ³im2 în tre ele. A cela³i raµionamen t arat  c  exist  doar un punct
de ec hilibru în tre cele dou  mase.
F orµa ce acµioneaz  asupra unei particule oriunde p e axa x , este îndreptat  departe
de aceste puncte de ec hilibru ³i deci sun t instabile.
Cu toate acestea, a v ând condiµii sp eciale de p ornire este p osibil s  se g seasc  or-
bite p erio dice stabile în v ecin tatea punctelor de ec hilibru. Un exemplu sp ecial este
na v a spaµiala SOHO (1995), care a fost plasat  în tr-o astfel de orbit , în apropiera
punctuluiL1 , în sistem ul P  mân t-Soare, p en tru a observ a încon tin uu Soarele.
Figura 4.1: V alori n umerice reale ³i imaginare ale r d cinilor ecuaµiei caracteristice
p en tru punctul L1 ca o funcµie de v alori p en tru 2 .
25

4.2 Punctele triunghiulare
Consider m mi³carea în v ecin tatea punctelor L4 ³iL5 . În acest caz, r1=r2= 1 ,
x= 1=22;y=p
3=2 , ³i v om a v ea:
Uxx= 3=4; Uyy= 9=4; Uxy=3p
3(122)=4: (4.44)
Ecuaµia caracteristic  devine:
4+2+27
42(12) = 0: (4.45)
Exact ca mai sus, v om considera un exemplu sp ecic. În punctul L4 cu2= 0:01 ,
a v emx0= 0:49 ³iy0=p
3=2 , cu acelea³i condiµii iniµiale ca mai înain te.
V alorile proprii care v or rezulta sun t 0:963i ³i0:268i , v alori care indic  faptul c 
punctul este liniar stabil. Soluµia p en tru mi³carea p erturbat  este:
8
>>>><
>>>>:X(t) = 3:451065 cos 0:268t2:45105cos 0:963t
+3:07104sin 0:268t8:55105sin 0:963t;
Y(t) = 5:201065 cos 0:268t4:20105cos 0:963t
1:76104sin 0:268t+ 4:90105sin 0:963t:(4.46)
Prin urmare, soluµia este de tip oscilator cu p erioade fundamen tale de 1=0:268 ³i
1=0:963 p erioade orbitale ale corpului orbital.
V alorile proprii sun t n umere reale p en tru v alorile lui 2 mai mari decât o v aloare
critic  (log 21:4) . În acest caz, v alorile proprii sun t de forma j;ik , ³i deci,
mereu, v a  un n um r real. Cu toate acestea, dac  masa este sucien t de mic  p en tru
ca v alorile proprii sa e mereu de forma ik1 ³iik2 , atunci mi³carea p erturbat 
este stabil .
Figura 4.2: V alori n umerice reale ³i imaginare ale r d cinilor ecuaµiei caracteristice
p en tru punctele L4 ³iL5 ca o funµie de v alori p en tru 2 . Observ  m c  v aloarea
proprie este log 21:4 .
Înlo cuind expresiile p en tru Uxx;Uyy ³iUxy în ecuaµia (4.25) ³i (4.26), v om a v ea:
1;2=q
1p
127(12)2p
2; (4.47)
26

³i
3;4=q
1 +p
127(12)2p
2: (4.48)
Prin urmare, toate v alorile proprii v or  pur imaginare dac  ³i n umai dac  v or
satisface condiµia:
127(12)20: (4.49)
A ceast  condiµie p en tru stabilitate liniar  se reduce la:
227p
621
540:0385: (4.50)
Când v alorile proprii sun t pur imaginare, ele v or ap rea în p erec hi de forma
1;2=ik1 ³i3;4=ik2 , undek1;k22R . Dac  scriem j= aj+ibj , unde
aj;bj2R , atunci, din ecuaµia (4.27), soluµia p en tru X(t) este de forma:
X(t) = (a1+ib1)e+ik1t+ (a2+ib2)eik1t
+ (a3+ib3)e+ik2t+ (a4+ib4)eik2t; (4.51)
cu o ecuaµie asem n toare p en tru Y(t) . Putem utiliza ecuaµia (4.31) ³i faptul c 
X;Y; _X ³i_Y trebuie s  e reale p en tru a ar ta c  a1= a2=a1;a3= a4=a2;b1=
b2=b1 ³ib3=b4=b2 , iar co ecienµii termenilor exp onenµiali constau în p erec hi
de conjugate complexe. Prin urmare, soluµia lui X(t) p oate  scris  astfel:
X(t) = (a1+ib1)e+ik1t+ (a1ib1)eik1t
+ (a2+ib2)e+ik2t+ (a2ib2)eik2t: (4.52)
Deoareceei= cos+isin ³i co ecienµii sun t conjugate complexe, aceast  relaµie
se p oate scrie în felul urm tor:
X(t) = 2a1cosk1t+ 2a2cosk2t2b1sink1t2b2sink2t: (4.53)
Prin urmare, dac  v alorile proprii sun t pur imaginare, mi³carea rezultat  a particulei
innitezimal  deplasate din punctulul de ec hilibru este de tip oscilatorie; de aceea,
particula v a r mâne în v ecin tatea punctului de ec hilibru ³i mi³carea v a  stabil .
A ceasta conrm  rezultatul n umeric determinat mai sus.
Dac  n u este satisf cut  condiµia din ecuaµie (4.50), atunci v alorile proprii sun t
n umere reale de forma (jik) . În acest caz, putem scrie:
X(t) = (a1+ib1)e(j+ik)t+ (a1ib1)e(jik)t
+ (a2+ib2)e(j+ik)t+ (a2ib2)e(jik)t; (4.54)
care se reduce la:
X(t) = 2(a1ejt+a2ejt) coskt2(b1ejt+b2ejt) sinkt: (4.55)
Deci, v a exista în totdeauna o cre³tere exp onenµial  în v ariabila X , care rezult  din
cel puµin doi termeni. A cela³i lucru este v alabil ³i p en tru expresiile Y;_X ³i_Y . Re-
zultatul este o traiectorie care se deplaseaz  departe de punctul de ec hilibru ³i, prin
27

urmare, punctul v a  liniar instabil.
Dac  ne în toarcem în cazul analiz rii stabilit µii (2<0:0385) , observ  m din ecu-
aµiile (4.47) ³i (4.48) faptul c  p en tru v alori mici ale lui 2 , v alorile proprii se p ot
scrie astfel:
1;2r
1 +27
42;  3;4r
27
42: (4.56)
Am b ele n umere sun t pur imaginare p en tru rap oartele de mas  mic  ³i am v  zut
n umeric ³i analitic c  mo duli ale acestor v alori p en tru  sun t cele dou  frecv enµe ale
mi³c rii particulei în oscilaµiile ei faµ  de punctul de ec hilibru triunghiular. Existenµa
acestor frecv enµe în soluµia mi³c rii p erturbate în apropierea punctelor L4 ³iL5 d 
na³tere la o alt  problem , care reduce generalitatea condiµiei ar tat  în ecuaµia
(4.50). P osibilitatea existenµei rezonanµelor în tre aceste frecv enµe înseamn  c  p en tru
un n um r nit de rap oarte de mas  sp ecice, punctele sun t instabile, c hiar dac  este
satisf cut  ecuaµia (4.50).
28

Bibliograe
[1] Carl D. Murra y , Stanley F. Dermott-Solar System Dynamics – Cam bridge Uni-
v ersit y Press (2000).p df
[2] Ro y – Orbita Motion F ourth Edition.p df
29