Didactica matematicii în în v µ mân tul [605150]

Didactica matematicii în în v  µ mân tul
primar
1

Cuprins
1 F ormarea conceptului de n um r natural 3
1.1 Elemen te preg titoare p en tru înµelegerea unor concepte matem-
atice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Meto dologia pred rii n umerelor naturale 5
2.1 Predarea n umerelor naturale de la 0 la 10 . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Predarea n umerelor naturale de la 0 la 100 . . . . . . . . . . . 7
2.3 Predarea n umerelor naturale mai mari decât 100 . . . . . . . . 8
3 Meto dologia pred rii adun rii n umerelor naturale 9
3.1 A dunarea n umerelor naturale în concen trul 010 . . . . . . . 9
3.2 A dunarea ³i sc derea n umerelor naturale în concen trul 0100 11
3.2.1 A dunarea ³i sc derea n umerelor naturale în concen trul
0100 f r  trecere p este ordin . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.2 A dunarea ³i sc derea n umerelor naturale în concen trul
0100 cu trecere p este ordin . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 A dunarea ³i sc derea n umerelor naturale mai mari decât 100 . 17
4 Meto dologia pred rii op eraµiilor de înm ulµire ³i împ rµire 18
4.1 Op eraµia de înm ulµire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 T abla înm ulµirii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Înm ulµirea n umerelor naturale mai mici sau egale cu 1000 . . . 20
4.4 Op eraµia de împ rµire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 Împ rµirea cu rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.6 Ordinea efectu rii op eraµiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Meto dologia pred rii fracµiilor 27
5.1 Unitate fracµionar . F racµii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Compararea fracµiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Op eraµii cu fracµii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4 Aarea unei fracµii din tr-un în treg . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 M surare ³i unit µi de m sur  33
6.1 M rime ³i m surare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 M surarea lungimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 M surarea capacit µii v aselor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.4 M surarea masei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.5 M surarea timpului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.6 Monede ³i bancnote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2

1 F ormarea conceptului de n um r natural
1.1 Elemen te preg titoare p en tru înµelegerea unor con-
cepte matematice
Pro cesul de formare a reprezen t rilor matematice în în v  µ mân tul primar
trebuie conceput ca o succesiune de activit µi ce solicit :
– observ are;
– in tuire;
– concretizare;
– abstractizare.
Deoarece exist  diferenµe în tre comp etenµele matematice ale copiilor, c hiar
dac  au frecv en tat sau n u gr diniµa, este necesar  o p erioad  preg titoare
p en tru înµelegerea conceptelor matematice ce urmeaz  a  in tro duse p e par-
cursul în v  µ mân tului primar.
Proiectat , în sp ecial ca timp ³i conµin uturi, în urma unei ev alu ri pre-
dictiv e ³i utilizând activit µi diferenµiate sau c hiar individualizate, aceast 
p erioad  trebuie s  reprezin te o mo dalitate de egalizare a ³anselor, s  asig-
ure tuturor copiilor o baz  com un  de p ornire.
Înµelegerea unor concepte matematice, începând cu conceptul de n um r
natural, de c tre elevul din în v  µ mân tul primar, este condiµionat  de cuno³ti-
inµe legate de:
1. Orien tare spaµial  ³i lo caliz ri în spaµiu. Începând cu activ-
it µi de observ are a obiectelor din clas  ³i con tin uând cu exerciµii-jo c, elevii
trebuie:
– s  recunoasc  ³i s  n umeasc  p oziµia un ui obiect faµ  de alt obiect
(stânga-dreapta, sus-jos, faµ -spate, in terior-exterior, etc.);
– s  p oziµioneze div erse obiecte în p oziµii relativ e indicate (stânga-dreapta,
deasupra-sub, faµ -spate, in terior-exterior, etc.);
– s  ap ecieze distanµa din tre obiecte sau de la un rep er la an umite obiecte
(aproap e-departe, mai aproap e, cel mai îndep rtat, etc.).
2. Grupare de obiecte si formare de m ultimi dupa criterii date
sau iden ticate . Prin activit µi concrete, elevii v or  dirijaµi spre formarea
unor m ulµimi de obiecte a v ând una sau mai m ulte propriet µi caracteris-
tice date (încercuie³te grupa orilor, încercuie³te ceea ce se p oate mânca,
etc.). Sesizare apartenenµei sau neapartenenµei un ui elemen t la o m ulµime
dat  conduce la recunoa³terea propriet µii caracteristice a m ulµimii date.
Descop erirea regulii de formare a unor mo dele rep etitiv e reprezen tate prin
obiecte, desene sau n umere ³i con tin uarea construcµiei este un exemplu de
activitate de în v  µare p oate mai dicil  dar absolut necesar .
3

3. Sortarea si clasicarea obiectelor sau a m ultimilor dupa cri-
terii v ariate . Se recomand  activit µi de sortare ³i clasicare a unor obiecte
date dup  criterii date sau iden ticate prin observ are, selectarea unor guri
geometrice desenate dup  criterii date ³i decuparea lor precum ³i precizarea
criteriilor utilizate (am ales obiectele de aceia³i culoare, am ales cercurile,
etc.). F r  a utiliza terminologia sp ecic , trebuie cultiv at  capacitatea
elevilor de v ârst  ³colar  mic  de a utiliza prop oziµia logic  ³i op eratorii logici
(iniµial negaµia, conjuncµia, disjuncµia ) prin activit µi concrete de tipul:
– sortarea obiectelor care n u au o an umit  proprietate dat  (n u sun t ro³ii,
n u sun t p trate, etc.);
– sortarea obiectelor care p osed  dou  propriet µi sim ultan (ro³u ³i tri-
unghi, v erde ³i p trat, etc.);
– sortarea obiectelor care au cel puµin o proprietate dat  (ro³u sau v erde,
trunghi sau p trat, etc.).
4. Aprecierea globala, compararea n umarului de elemen te a
doua m ultimi prin pro cedee v ariate, inclusiv punere în coresp on-
den ta. La v ârsta de ³ase-³apte ani copiii sun t capabili s  stabileasc  relaµii
în tre elemen tele a dou  m ulµimi care s  conduc  la compararea can titativ  
a lor ³i exprimarea rezultatului comparaµiei prin sin tagme de tipul: mai
mult , mai puµin , tot atâte a . A cest lucru p ermite ordonarea cresc toare sau
descresc toare a dou  sau mai m ulte m ulµimi. De asemenea, p ermite famil-
iarizare elevilor cu c or esp ondenµa unu la unu (funcµia bijectiv  ) ³i cu clasa
de e chivalenµ  a mulµimilor cu tot atâte a elemente , noµiuni absolut nece-
sare în in tro ducerea conceptului de n um r natural. A ctivit µile de punere în
coresp ondenµ  n u se rezum  la formarea de p erec hi în tre elemen tele a dou 
m ulµimi ci p ot  ³i de construire a unor m ulµimi ec hiv alen te cu o m ulµime
dat .
În jurul v ârstei de ³ase ani apar ³i reprezen t rile despre in v arianµa can-
tit µii. În clasa preg titoare elevul p oate înµelege c  o m ulµime r mâne cu tot
atâte a elemente indiferen t de forma elemen telor, p oziµia lor spaµial , m rimea
elemen telor, culoare ori distanµa din tre ele.
Se recomand  exerciµii de iden ticare a elemen telor unei m ulµimi, când
se ³tie regula de coresp ondenµ  din tre elemen tele resp ectiv ei m ulµimi ³i ele-
men tele altei m ulµimi date, exerciµii de iden ticare a regulii de coresp ondenµ 
din tre grupuri de obiecte, desene sau n umere ordonate.
4

2 Meto dologia pred rii n umerelor naturale
2.1 Predarea n umerelor naturale de la 0 la 10
Primele zece n umere naturale constituie fundamen tul p e care se dezv olt  în-
tregul ediciu al gândirii matematice a copilului ³i de aceea trebuie s  i se
acorde o atenµie deosebit . În practica didactic  a ³colii române³ti in tro duc-
erea n um rului natural se realizeaz  p e baza coresp ondenµei în tre m ulµimi
nite. A ctivit µile de stabilire a coresp ondenµei elemen t cu elemen t a dou 
sau mai m ulte m ulµimi urm resc s  dezv olte la elevi înµelegerea conceptului
de n um r natural ca o clas  de ec hiv alenµ  a m ulµimilor ec hip oten te cu o
m ulµime dat . Num rarea mecanic  sau repro ducerea den umirii un ui n um r
n u înseamn  însu³irea conceptului de n um r natural. Conform literaturii
de sp ecialitate, însu³irea con³tien t  de c tre elevi a n um rului natural pre-
supune:
 înµelegerea asp ectului cardinal al n um rului natural (proprietate co-
m un  a m ulµimilor cu tot atâte a elemente );
 înµelegerea asp ectului ordinal al n um rului natural (lo cul ec rui n um r
în ³irul n umerelor naturale);
 înµelegerea relaµiei de ordine p e m ulµimea n umerelor naturale ³i a ter-
minologiei sp ecice (relaµiile mai mic, mai mar e din tre n umere ce
corespund relaµiilor mai puµin , resp ectiv mai mult din tre m ulµimile ce
reprezin t  n umerele date);
 cunoa³terea cifrelor corespunz toare n umerelor;
 citirea ³i scrierea cifrelor corespunz toare n umerelor.
În formarea conceptului de n umar natural se recomand  parcurgerea ur-
m toarelor etap e (J. Bruner):
 etapa acµional  – acµiuni cu m ulµimi de obiecte concrete;
 etapa iconic  – sc hematizarea acµiunii ³i reprezen tarea grac  a m ulµim-
ilor;
 etapa abstract  – traducerea sim b olic  a acµiunilor.
Astfel, dac  la început predomin  activit µile cu obiecte, p e parcursul
ev oluµiei de la concret la abstract, de la in tuitiv la logic se v or utiliza tot mai
m ult reprezen t rile grace.
Cel mai utilizat mo del meto dologic p en tru in tro ducerea n um rului natu-
ral, s  lu m spre exemplu n um rul 7, parcurge urm toarele etap e:
5

 se construie³te o m ulµime cu tot atâte a elemen te cât este ultim ul n um r
cunoscut, în cazul nostru 6;
 se construie³te o alt  m ulµime cu tot atâte a elemen te ³i se v eric  prin
punere în coresp ondenµ  ³i prin n um rare;
 se adaug  în a doua m ulµime înc  un elemen t;
 se pune m ulµimea obµin ut  în coresp ondenµ  unu la unu cu m ulµimea
iniµial  ³i se constat  c  noua m ulµime are cu un elemen t mai m ult
decât prima m ulµime;
 se arm  de c tre profesor c  noua m ulµime are ³apte elemen te;
 se construiesc alte m ulµimi cu tot atâte a elemen te ca m ulµimea cu ³apte
elemen te, formate din alte obiecte p en tru a ar ta indep endenµa noµiunii
de alegerea reprezen tanµilor;
 se prezin t  cifra (sim b olul grac) corespunz toare n um rului nou in-
tro dus;
 se recunoa³te cifra în div erse con texte;
 se stabile³te relaµia de ordine din tre noul n um r ³i n umerele predate
an terior;
 se compune noul n um r din preceden tul ³i înc  o unitate precum ³i din
n umere diferite;
 se descompune noul n um r în diferite forme.
Sugestii meto dologice:
 V or  concepute ³i situaµii de în v  µare ce exerseaz  deprinderi de aso ciere
a n um rului la can titate, de aso cire a can tit µii la n um r ³i de estimare
a n um rului de elemen te ale unei m ulµimi date.
 Literatura de sp ecialitate recomand  ca în predarea-în v  µarea n um ru-
lui natural s  e evitat  utilizarea termen ului adunar e sau a sim b olului
"+" p en tru a desemna m ulµimea cu un elemen t în plus sau în cazul de-
scompunerii un ui n um r natural. În construcµia axiomatic  a m ulµimii
n umerelor naturale op eraµiile cu n umere naturale se in tro duc, eviden t,
dup  denirea n umerelor naturale deci n u putem deni n um rul natu-
ral cu a jutorul unei op eraµii.
6

2.2 Predarea n umerelor naturale de la 0 la 100
T recerea de la concen trul 0-10 la n umere mai mari decât 10 ³i mai mici
decât 100 reprezin t  prim ul pas spre înµelegerea caracteristicilor sistem ului
de n umeraµie:
 zecimal – zece unit µi de un an umit ordin formeaz  o unitate de ordin
imediat urm tor;
 p oziµional – o cifr  p oate reprezen ta diferite v alori, în funcµie de p oziµia
p e care o o cup  în scrierea un ui n um r.
Esenµial din punct de v edere meto dic în tratarea acestei teme este partiµia
unei m ulµimi în subm ulµimi de câte 10 elemen te ³i înµelegerea de c tre elevi
a unei zeci ca unitate de ordin sup erior.
Demersul meto dic p en tru in tro ducerea n um rului 11 este urm torul:
 se formeaz  o m ulµime cu zece elemen te;
 se formeaz  o m ulµime cu un elemen t;
 se reunesc cele dou  m ulµimi ³i se obµine o m ulµime cu 10 elemen te ³i
înc  1 elemen t;
 se arm  de c tre profesor c  aceast  m ulµime are unsprezece elemen te
iar sim b olul n um rului unsprezece este 11, adic  dou  cifre de 1, prima
reprezen tând n um rul zecilor iar a doua n um rul unit µilor.
Asem n tor se in tro duc n umerele 12, 13, . . . , 19, considerând o m ulµime
cu 10 elemen te ³i câte o m ulµime cu 2, 3, . . . , 9 elemen te. În ne, utilizând
reuniunea a dou  m ulµimi cu câte 10 elemen te se in tro duce n um rul 20.
A ctivit µile de reunire a m ulµimilor formate din tr-un n um r de subm ulµimi
disjuncte de câte 10 elemen te cu o m ulµime format  din tr-un n um r mai
mic decât 10 elemen te ne conduce la construcµia n umerelor naturalemai mici
decât 100. Spre exemplu, considerând o m ulµime cu 20 de elemen te ³i o
m ulµime cu 7 elemen te (m ulµimi disjuncte) reuniunea lor este o m ulµime cu
dou zeci ³i ³apte de elemen te cu sim b olul grac 27. În particular, reunind o
m ulµime cu 90 de elemen te cu o m ulµime cu 10 elemen te se in tro duce o nou 
unitate de n umeraµie n umit  suta .
7

2.3 Predarea n umerelor naturale mai mari decât 100
F ormarea un ui n um r mai mare decât 100 n u ridic  probleme deosebite,
urmând algoritm ul cunoscut de la formarea n umerelor mai mari decât 10 .
Spre exemplu: 1 sut  ³i înc  1 unitate formeaz  101 ,1 sut , 3 zeci ³i 5
unit µi formeaz  135; etc. Singura dicultate faµ  de concen trele ulterioare
este legat  de formarea, citirea ³i scrierea n umerelor ce conµin p e zero, spre
exemplu 230;507 unde cifra 0 arat  lipsa unit µilor, resp ectiv a zecilor.
Predarea n umerelor naturale mai mari decât 100 presupune in tro ducerea
noµiunilor de or din ³i clas  . P ân  acum au fost in tro duse trei unit µi de
calcul: unitatea (simpl ), zecea ³i suta. Elevii ³tiu deja c  10 unit µi simple
formeaz  1 zece, 10 zeci formeaz  1 sut  ³i o dat  cu in tro ducerea unei noi
unit µi mia format  din 10 sute, se con tureaz  ideea c  10 unit µi de un
an umit fel formeaz  1 unitate, eviden t mai mare.
Con tin uând pro cedeul se obµine:
10 unit µi (simple) = 1 zece
10 zeci = 1 sut 
10 sute = 1 mie
10 mii = 1 zece de mii
10 zeci de mii = 1 sut  de mii
10 sute de mii = 1 milion
10 milioane = 1 zece de milioane
10 zeci de milioane = 1 sut  de milioane
10 sute de milioane = 1 miliard (bilion)
… .
Fiec rei unit µi de calcul i se ata³eaz  un ordin ce reprezin t  n um rul
de ordine de la dreapta la stânga în scrierea n um rului. Astfel:
 unit µile (simple) v or  n umite unit µi de ordin ul 1;
 zecile v or  n umite unit µi de ordin ul 2;
 sutele v or  n umite unit µi de ordin ul 3;
 miile v or  n umite unit µi de ordin ul 4;
 . . . . . . . . . . . .
Este u³or de observ at de c tre elevi c  grupuri de câte trei ordine consec-
utiv e, începând cu prim ul, se n umesc la fel (unit µi, zeci de unit µi, sute de
unit µi) ceea ce conduce la denirea unei noi structuri n umit  clas . Clasele
se n umeroteaz  cu cifre romane ³i se den umesc dup  n umele unit µilor care
in tr  în comp onenµa sa. Astfel, a v em:
8

 I – clasa unit µilor format  din ordinele 1;2;3; (unit µi, zeci, sute)
 I I – clasa miilor format  din ordinele 4;5;6; (mii, zeci de mii, sute
de mii)
 I I I – clasa milioanelor format  din ordinele 7;8;9; (milioane, zeci de
milioane, sute de milioane)
 . . . . . . . . . . . .
În scrierea n umerelor cu mai m ulte cifre evidenµierea claselor se face prin
l sarea un ui spaµiu lib er în tre ele ( 1 234 ;352 207 ; etc.).
P en tru citirea n umerelor cu mai m ulte cifre se grup eaz  mai în tâi unit µile
p e clase, începând cu prima clas , ap oi se cite³te n um rul p e clase, cu indi-
carea unit µilor din care este format  ecare clas . Exemplu:
547975265381 ;
547 975 265 381 ;
547 miliarde 975 milioane 265 mii381 .
Dup  însu³irea ordinelor ³i claselor se trece la formarea, scrierea ³i citirea
n umerelor din mai m ulte cifre, o atenµie deosebit  acordându-se n umerelor
care conµin cifra 0 , care semnic  absenµa unit µilor de ordin ul corespunz tor
p oziµiei cifrei 0:
3 Meto dologia pred rii adun rii n umerelor nat-
urale
3.1 A dunarea n umerelor naturale în concen trul 010
In tro ducerea op eraµiei de adunare a n umerelor naturale se face utilizând re-
uniunea a dou  m ulµimi disjuncte. F olosind exemple cu m ulµimi div erse,
elevii trebuie s  înµeleag  c  rezultatul adun rii a dou  n umere este cardi-
nalul reuniunii a dou  m ulµimi disjuncte, ale c ror cardinale sun t n umerele
ce se adun .
F ormarea ³i însu³irea op eraµiei de adunare în concen trul 010 presupune
parcurgerea urm toarelor etap e:
 etapa p erceptiv   (concret ) ;
 etapa sim b olic  ;
9

Figure 1: Reprezen tare sim b olic  a adun rii
 etapa abstract  .
Etapa concret 
În prima etap  elevii v or desf ³ura activit µi cu m ulµimi concrete. Spre
exemplu: elevii formeaz  o m ulµime cu 2 b eµi³oare ³i o m ulµime cu 3 b eµi³oare.
Reunind cele dou  m ulµimi elevii v or obµine o m ulµime cu 5 b eµi³oare.
Se rep et  acµiunea folosind alte obiecte (creioane, ori, degete, etc.) pân 
când elevii con³tien tizeaz  c  reunind o m ulµime cu 2 obiecte cu o m ulµime
cu3 obiecte se obµine o m ulµime cu 5 obiecte. În aceast  etap  cardinalul
reuniunii este rezultatul pro cesului de n um rare sau pro cesul de compunere
a dou  n umere.
Etapa sim b olic  este etapa utiliz rii reprezen t rilor sim b olice. Se in tro-
duce acum semn ul " + "; n umit plus , prin care exprim m în scris op eraµia de
adunare. Spre exemplu, dac  am reunit o m ulµime a v ând dou  elemen te cu o
m ulµime a v ând 3 elemen te, atunci p en tru n um rul elemen telor reuniunii v om
utiliza scrierea 2 + 3 : Deoarece 2 + 3 ³i5 reprezin t  n um rul de elemen te al
aceleia³i m ulµmi v om utiliza semn ul " = " ; n umit e gal ³i v om scrie 2 + 3 = 5 :
În etapa abstract  dispare sup ortul in tuitiv ³i se folosesc doar n umerele.
Cele dou  n umere care se adun  se n umesc termenii adun rii iar rezultatul
adun rii se n ume³te sum  sau total .
Dup  o serie de exerciµii, p ornind de la op eraµii cu m ulµimi concrete ³i
parcurgând cele trei etap e se v a evidenµia proprietatea de com utativitate a
adun rii ³i simetria relaµiei de egalitate ceea ce exprim  faptul c  un n um r
se p oate descompune în suma a dou  n umere (în cazul exemplului nostru:
5 = 2 + 3 ;5 = 3 + 2 ).
Prin exerciµii de partiµionare (descompunere) a unei m ulµimi cu 5 ele-
men te în dou  subm ulµimi disjuncte elevii descop er  c  n u doar 2 + 3 = 5
ci sun t ³i alte p erec hi de n umere a c ror sum  este 5 . În particular elevii
reg sesc 4 + 1 = 5 , ceea ce ³tiau sub alt  form  de la formarea n um rului 5:
Odat  cu consolidarea op eraµiei de adunare a dou  n umere natuarale
în concen trul 010 , elevii v or reu³i s  adune ³i trei n umere (în acela³i
10

Figure 2: Reprezen tare sim b olic  a aso ciativit µii adun rii
concen tru), putându-se evidenµia aso ciativitatea adun rii – f r  utilizarea
paran tezelor în aceast  etap .
Sugestii meto dologice:
 Înµelegerea sensului op eraµiei de adunare se p oate realiza prin "com-
punerea" ³i "rezolv area" unor situaµii problem  (n u putem v orbi de
probleme în aceast  etap ), solicitând elevilor acµiuni practice de m rire
a can tit µii cu un n um r oarecare de unit µi.
 Se pune accen t p e leg tura din tre exprimarea v erbal  a acµiunilor efec-
tuate (se adaug , am mai primit, au mai sosit, a mai pus, mai m ult cu,
etc.) ³i transcrierea sim b olic  a acµiunilor sub form  de adunare.
3.2 A dunarea ³i sc derea n umerelor naturale în concen-
trul 0100
3.2.1 A dunarea ³i sc derea n umerelor naturale în concen trul 0
100 f r  trecere p este ordin
Predarea-în v  µarea adun rii ³i sc derii n umerelor naturale mai mici decât
100 se face în dou  etap e:
1. adunarea ³i sc derea n umerelor naturale mai mici decât 100
f r  trecere p este ordin;
2. adunarea ³i sc derea n umerelor naturale mai mici decât 100
cu trecere p este ordin.
Predarea-în v  µarea adun rii n umerelor naturale mai mici decât 100 f r 
trecere p este ordin este recomandabil s  parcurg  urm toarele etap e:
11

1. adunarea a dou  n umere formate n umai din zeci . A cest caz n u
ridic  probleme meto dice deosebite. T rebuie insistat p e faptul c  zecea este
o unitate de n umeraµie ³i în consecinµ  op eraµia de adunare se realizeaz 
dup  mo delul adun rii unit µilor. Astfel, de la
2 + 3 = 5
se deduce u³or c 
2 zeci+ 3 zeci= 5 zeci,
adic 
20 + 30 = 50 :
Un caz particular îl reprezin t  adunarea n umerelor formate n umai din
zeci a c ror sum  este 100 (20 + 80 = 100 ;30 + 70 = 100 ; etc):
2. A dunarea un ui n um r format n umai din zeci cu un n um r
format n umai din unit ti .
În acest caz elevii redescop er  mo dul de formare a n umerelor mai mari
decât 10 ³i mai mici decât 100: Spre exemplu,
50 + 7 = 57 ,
deoarece 5 zeci ³i 7 unit µi formeaz  n um rul 57:
3. adunarea un ui n um r format din zeci ³i unit µi cu un n um r
format n umai din zeci .
Efectuarea adun rii în acest caz presupune:
 descompunerea n um rului format din zeci ³i unit µi în dou  n umere,
un ul format n umai din zeci ³i cel lalt format n umai din unit µi;
 adunarea n um rului iniµial format n umai din zeci cu n um rul format
n umai din zeci obµin ut din descompunerea preceden t ;
 adunarea la suma an terioar  a n um rului format n umai din unit µi din
descopunerea n um rului format din zeci ³i unit µi.
Spre exemplu, a v em:
35 + 50 = (30 + 5) + 50
= (30 + 50) + 5
= 80 + 5
= 85 :
12

4. adunarea un ui n um r format din zeci ³i unit µi cu un n um r
format n umai din unit µi .
Se descompune prim ul n um r în dou  n umere, un ul format n umai din zeci
³i cel lalt format n umai din unit µi. Se adun  unit µile celor dou  n umere
iar suma obµin ut  se adun  la n um rul format n umai din zeci.
Spre exemplu:
42 + 6 = (40 + 2) + 6
= 40 + (2 + 6)
= 40 + 8
= 48 :
5. adunarea a dou  n umere formate din zeci ³i unit µi.
A cest caz, ca de altfel ³i preceden tele, se bazeaz  p e descompunere n u-
merelor în zeci ³i unit µi ³i utilizarea propriet µilor de aso ciativitate ³i co-
m utativitate ale adun rii. Algoritm ul op eraµiei de adunare în acest caz pre-
supune:
– descompunerea celor dou  n umere în zeci ³i unit µi;
– adunarea zecilor celor dou  n umere;
– adunarea unit µilor celor dou  n umere;
– adunarea sumelor parµiale obµin ute prin adunarea zecilor, resp ectiv
unit µilor. Exemplu:
32 + 64 = (30 + 2) + (60 + 4)
= (30 + 60) + (2 + 4)
= 90 + 6
= 96 :
Dup  însu³irea de c tre elevi a algoritm ului de adunare a n umerelor for-
mate din zeci ³i unit µi profesorul v a prezen ta ³i p osibilitatea scrierii p e
v erical  a acestei op eraµii. Astfel, exemplul preceden t se scrie
32 +
64
96
Se v a insista p e formarea deprinderilor de a scrie unit µile sub unit µi ³i
zecile sub zeci. Dup  mai m ulte exerciµii elevii v or putea concluziona c ,
indiferen t de mo dul de scriere, rezultatul adun rii a dou  n umere formate
din zeci ³i unit µi (f r  trecere p este ordin) este n um rul în care cifra zecilor
(unit µilor) este egal  cu suma cifrelor zecilor (unit µilor) n umerelor care se
adun .
13

In tro ducerea op eraµiei de sc dere a dou  n umere naturale mai mici decât
100 f r  trecere p este ordin (eviden t sc z torul este mai mic sau egal cu
desc zutul) urmeaz  un traseu meto dic asem n tor celui recomandat în cazul
adun rii. Etap ele recomandate în acest caz sun t:
1. Sc derea a dou  n umere formate n umai din zeci
Astfel, de la 53 = 2 se deduce u³or c  5 zeci3 zeci= 2 zeci, adic 
5030 = 20 :
2. Sc derea din tr-un n um r format din zeci ³i unit µi a un ui
n um r format n umai din zeci
3. Sc derea din tr-un n um r format din zeci ³i unit µi a un ui
n um r format n umai din unit µi
Sc derea a dou  n umere formate din zeci ³i unit µi
Algoritm ul este ilustrat prin exemplul urm tor:
7532 = (70 + 5)(30 + 2)
= (7030) + (52)
= 40 + 3
= 43 ;
sau
7532 = 75(30 + 2)
= (7530)2
= 452
= 43 :
3.2.2 A dunarea ³i sc derea n umerelor naturale în concen trul 0
100 cu trecere p este ordin
A dunarea cu trecere p este ordin este o tehnic  ce se înµelege mai greu
de c tre elevi ³i de aceia trebuie s  i se acorde o atenµie deosebit . Prim ul
pas în însu³ire acestui caz de adunare const  în adunarea a dou  n umere
formate n umai din unit µi dar a c ror sum  dep ³e³te 1 zece. Algoritm ul
utilizat în acest caz ste urm torul: se descompune cel de-al doilea n um r în
dou  comp onen te astfel încât prima comp onen t  adunat  cu prim ul n um r
s  dea 1 zece la care se adaug  ap oi cea de-a doua comp onen t .
A v em, spre exemplu:
7 + 5 = 7 + (3 + 2)
= (7 + 3) + 2
= 10 + 2
= 12 :
14

Sugestie meto dologic . Este recomandabil ca în exerciµiile de acest tip
s  se accen tueze de ecare dat  c  se utilizeaz  proprietatea de aso ciativitate
a adun rii.
Utilizând com utativitatea adun rii elevii descop er  c  se p oate descom-
pune ³i prim ul termen în suma a dou  n umere dup  care se aplic  algoritm ul
menµionat mai sus.
P en tru cazul general al adun rii a dou  n umere naturale de la 0 la100
cu trecere p este ordin sun t recomandate dou  pro cedee:
1. descompunerea un uia din tre termenii adun rii în dou  n umere astfel
încât prin adunare s  se formeze un termen care s  aib  n umai zeci.
Spre exemplu:
48 + 24 = 48 + (2 + 22)
= (48 + 2) + 22
= 50 + 22
= 72 :
2. descompunerea n umerelor în zeci ³i unit µi, efectuarea adun rii în tre
unit µile de acela³i fel ³i însumarea rezultatelor parµiale.
Exemplu:
56 + 37 = (50 + 6) + (30 + 7)
= (50 + 30) + (6 + 7)
= 80 + 13
= 93 :
Sc derea cu trecere p este ordin a n umerelor naturale de la 0 la100 , la fel
ca în cazul adun rii, se in tro duce în mai m ulte etap e:
1. sc  der e a dintr-un num r cuprins într e 10 ³i20 a unui num r mai mic
de c ât 10 dar mai mar e de c ât unit µile desc  zutului .
Este cazul cel mai dicil de înµeles de c tre elevi datorit  transform rii 1
zeci a desc zutului în 10 unit µi dar ³i cel mai imp ortan t deoarece înµelegerea
acestui caz condiµioneaz  înµelegerea sc derilor în orice concen tru n umeric.
În practica p edagogic  s-au impus dou  pro cedee.
1.1 Prim ul pro cedeu presupune:
 descompunerea desc zutului în 1 zece ³i unit µi;
 descompunerea sc z torului astfel încât una din tre comp onen te s  e
egal  cu unit µile desc zutului;
 sc derea acestei comp onen te din unit µile desc zutului ³i a celeilalte
din1 zece.
15

Exemplu:
127 = (10 + 2)7
= (10 + 2)(5 + 2)
= (105) + (22)
= 5 + 0
= 5 :
1.2. Al doilea pro cedeu presupune:
 descompunerea desc zutului în 1 zece ³i unit µi;
 sc derea din 1 zece a unit µilor sc z torului;
 adunarea diferenµei obµin ute cu unit µile desc zutului.
Exemplu:
127 = (10 + 2)7
= (107) + 2
= 3 + 2
= 5 :
2. Sc derea din tr-un n um r format din zeci ³i unit µi a un ui n um r format
din unit µi. Se transform  1 zece a desc zutului în 10 unit µi care se adun 
cu unitaµile iniµiale ale desc zutului. Din n um rul obµin ut (în tre 10 ³i20 )
se scade sc z torul iar rezultatul se adun  cu n um rul de zeci r mase la
desc zut.
Exemplu:
618 = (60 + 1)8
= (50 + 10 + 1) 8
= (50 + 11)8
= 50 + (118)
= 50 + 3
= 53 :
O alt  v arian t  utilizat  este de a descompune sc z torul în dou  n umere
din tre care un ul este n um rul unit µilor desc zutului, se scad din desc zut
unit µile care le conµine ³i din diferenµa obµin ut  se scade ³i restul de unit µi
ale sc z torului.
Exemplu:
16

618 = 61(1 + 7)
= (611)7
= 607
= 53 :
3. Sc derea a dou  n umere formate din zeci ³i unit µi. Prin descom-
punerea celor dou  n umere se a junge la un ul din tre cazurile studiate. Exem-
plu:
7628 = 76(20 + 8)
= (7620)8
= 568
= 48 ;
sau
7628 = (70 + 6)(20 + 8)
= (60 + 10 + 6) (20 + 8)
= (6020) + (108) + 6
= 40 + 2 + 6
= 48 :
3.3 A dunarea ³i sc derea n umerelor naturale mai mari
decât 100
A dunarea ³i sc derea n umerelor naturale mai mari decât 100 cu ³i f r  trecere
p este ordin, n u ridic  probleme meto dice deosebite dac  elevii st pânesc
algoritmii p en tru adunarea ³i sc derea n umerelor naturale din tre 0 ³i100:
Pro cedeele aplicabile în aceste cazuri se bazeaz  p e op erarea cu unit µi de
acela³i ordin ³i p e faptul c  10 unit µi de un an umit ordin formeaz  1 unitate
de ordin sup erior.
Se v a încep e cu adun ri ³i sc deri f r  trecere p este ordin iar dup  în-
su³irea acestora de c tre elevi se v a con tin ua cu cele cu trecere p este ordin.
Un caz mai dicil îl reprezin t  sc derile în care cifrele de un an umit ordin
ale desc zutului sun t 0 (zero). P en tru înµelegerea acestui caz v or  ab ordate
exerciµii cât mai v ariate, cuprinzând toate v arian tele p osibile.
O atenµie deosebit  trebuie acordat  scrierii p e v ertical , unde se v a in-
sista p e scriere unit µilor de un an umit ordin sub unit µile de acela³i ordin.
17

4 Meto dologia pred rii op eraµiilor de înm ulµire
³i împ rµire
4.1 Op eraµia de înm ulµire
Conform programei de matematic  în vigoare înm ulµirea se in tro duce în clasa
a I I-a.
În predarea-în v  µarea înm ulµirii in tuiµia n u mai are rolul predominan t ca
în cazul adun rii;
Dup  reactualizarea cuno³tinµelor despre adunare se v a insista p e adunarea
mai m ultor termeni egali. Astfel 2+2+2 se v a citi de tr ei ori doi ,3+3+3+3
se v a citi de p atru ori tr ei , etc.
Se explic  elevilor c  p en tru adun rile r ep etate se se folose³te o nou 
scriere: 32 ( de tr ei ori doi ) p en tru 2 + 2 + 2 ;43 ( de p atru ori tr ei )
p en tru 3 + 3 + 3 + 3 ; iar adunar e a r ep etat  se iden tic  cu o nou  op eraµie
n umit  înm ulµire.
Sim b olul op eraµiei de înm ulµire este "" ³i se in tro duce o dat  cu scrierea
primei op eraµii de înm ulµire. Numerele care se înm ulµesc se n umesc factori
iar rezultatul înm ulµirii se n ume³te pr o dus .
Com utativitatea op eraµiei de înm ulµire. Înc  de la primele lecµii de predare-
în v  µare a înm ulµirii se scoate în evidenµ  faptul c  înm ulµirea este com uta-
tiv  , proprietate m ult utilizat  atunci când se alc tuie³te tabla înm ulµirii.
P en tru înµelegerea com utativit µii înm ulµirii sun t foarte utile reprezen t rile
grace de tipul celor din gura urm toare:
unde se observ   c  de dou  ori tr ei ³i de tr ei ori doi reprezin t  acela³i
n um r.
4.2 T abla înm ulµirii
Dup  înµelegerea semnicaµiei înm ulµirii se trece la înm ulµirea n umerelor nat-
urale din concen trul 010; alc tuind, cu participarea activ   a elevilor, tabla
înm ulµirii p en tru ecare din ele.
Relativ u³or elevii descop er  c  înm ulµind orice n um r cu 0 (zero) obµinem
pro dusul 0 (zero) ³i înm ulµind orice n um r cu 1 pro dusul este egal cu acel
n um r ( 1 este elemen t neutru p en tru înm ulµire).
18

P en tru tabla înm ulµirii cu 2 , utilizând deniµia înm ulµirii ca adunare
rep etat  a n um rului 2; elevii v or descop eri singuri pro dusele. Se v a menµiona
c  înm ulµind un n um r cu 2 se obµine un n um r de dou  ori mai mar e sau
dublul n um rului iniµial.
Analog se in tro duce tabla înm ulµirii cu 3; sin tagmele de tr ei ori mai mar e,
triplul unui num r, etc.
În general, alc tuirea tablei înm ulµirii cu un n um r dat presupune par-
curgerea urm toarelor etap e:
 rep etarea tablei înm ulµirii cu n umerele preceden te;
 evidenµiere ³i reµinerea înm ulµirilor în care apare ca factor n um rul dat;
 scrierea tablei înm ulµirii cu n um rul dat ³i completarea pro duselor
cunoscute – p e baza com utativit µii înm ulµirii;
 obµinerea celorlalte pro duse, utilizând adunarea rep etat  ³i scrierea
complet  a tablei înm ulµirii cu acel n um r.
În v  µarea tablei înm ulµirii decurge din efectuarea rep etat  a unor în-
m ulµiri, necesitatea memor ri ei impunându-se doar din consideren te ce vizeaz 
timpul necesar prezen t rii un ui r spuns.
Memorarea tablei inm ulµirii n u trebuie s  e un pro ces mecanic ci un
demers structurat p e un sistem de exerciµii ce presupune:
 rep etarea tablei înm ulµirii în ordine cresc toare a factorului v ariabil;
 rep etarea tablei înm ulµirii în tr-o ordine aleatoare;
 înm ulµiri cu factori lips ;
 relaµia din tre adunare ³i înm ulµire.
F r  utilizarea terminologiei sp ecice se evidenµiaz  aso ciativitatea în-
m ulµirii ³i distributivitatea înm ulµirii faµ  de adunare ³i sc dere prin exerciµii
div erse însoµite de reprezen t ri grace de tipul:
 s  se scrie ca un pro dus n um rul steluµelor alb e: 23 = 6 ;
 s  se scrie ca un pro dus n um rul steluµelor albastre: 24 = 8 ;
 s  se ae n um rul total de steluµe: 2(3 + 4) = 23 + 24 ;
19

4.3 Înm ulµirea n umerelor naturale mai mici sau egale
cu 1000
Dup  însu³irea acestor propriet µi se in tro duc alte cazuri de înm ulµiri, reco-
mandabil în ordinea urm toare:
1. înm ulµirea n umerelor naturale mai mici decât 10 cu un n um r
format n umai din zeci. A ceste înm ulµiri se bazeaz  p e descompunerea în
pro dus de dou  n umere a n um rului format n umai din zeci (un ul din factori
ind 10 ) ³i aso ciativitatea înm ulµirii.
Exemplu:
240 = 2(410)
= (24)10
= 810
= 80 :
2. înm ulµirea n umerelor naturale mai mici decât 10 cu n umere
formate din zeci ³i unit µi. Efectuarea acestor înm ulµiri se bazeaz  p e
descompunerea n um rului de dou  cifre în ze ci+ unit µi ³i distributivitatea
înm ulµirii faµ  de adunare.
Exemplu:
241 = 2(40 + 1)
= (240) + (21)
= 80 + 2
= 82 :
Se in tro duce "calculul în scris" utilizând com utativitatea înm ulµirii ³i par-
curgând etap ele (p en tru exemplu preceden t):
41
2
82
12 = 2 unit µi
42 = 8 zeci
 înm ulµim în tâi unit µile cu 2 :12 = 2 unit µi ;
 înm ulµim ap oi zecile cu 2 :42 = 8 zeci ;
 adun m pro dusele parµiale.
20

În cazul trecerii p este ordin se aplic  regula c  10 unit µi de un an umit
ordin formeaz  o unitate de ordin imediat sup erior.
3. înm ulµirea un ui n um r mai mic decât 10 cu100: A cest caz n u
ridic  probleme meto dice deosebite deoarece suta este privit  ca unitate de
calcul. Elevii descop er  rep ede c  din punct de v edere tehnic înm ulµirea
un ui n um r natural cu 100 se reduce la ad ugarea a dou  zerouri la sfâr³itul
n um rului ( 3100 = 300 ;7100 = 700 ; etc.).
4. înm ulµirea n umerelor formate din tr-o cifr  cu n umere formate
n umai din sute. Se bazeaz  p e descompunerea în pro dus a n um rului
format n umai din sute (un ul din factori ind 100 ) ³i aso ciativitatea înm ulµirii.
Exemplu:
3200 = 3(2100)
= (32)100
= 6100
= 600 :
5. înm ulµirea n umerelor de o cifr  cu n umere formate din sute,
zeci ³i unit µi. Se bazeaz  p e scrierea în baza 10 a n umerelor naturale mai
mici decât 1000 ³i distributivitatea înm ulµirii faµ  de adunare.
Exemplu:
2123 = 2(100 + 20 + 3)
= (2100) + (220) + (23)
= 200 + 40 + 6
= 246 :
Deducerea regulii p en tru calculul în scris se face asem n tor cazului în-
m ulµirii n umerelor formate din tr-o singur  cifr  cu n umere formate din dou 
cifre.
Spre exemplu, a v em:
123
2
246
32 = 6 unit µi
22 = 4 zeci
12 = 2 sute
În cazul trecerii p este ordin se aplic  regula c  10 unit µi de un an umit
ordin formeaz  o unitate de ordin imediat sup erior.
21

6. înm ulµirea a dou  n umere de mai m ulte cifre. A cest caz
are la baz  scrierea sistemic  a celor dou  n umere ³i propriet µile adun rii ³i
înm ulµirii n umerelor naturale. În general înm ulµirile de acest tip se efectueaz 
în scris. A³ezarea n umerelor care se înm ulµesc se face ca în cazul adun rii:
unit µi sub unit µi, zeci sub zeci, sute sub sute, etc. De regul , p e rândul
al doilea se scrie n um rul cu mai puµine cifre. Fiecare unitate a n um rului
cu care se înm ulµe³te, începând cu cifra unit µilor, se înm ulµe³te succesiv
cu toate unit µile n um rului p e care îl înm ulµim, obµinând în ecare caz un
pro dus parµial. Scrierea pro duselor parµiale încep e de la dreapta la stânga ³i
cu ordin ul cu care se înm ulµe³te. Prin adunarea pro duselor parµiale se obµine
pro dusul celor dou  n umere.
Exemplu:
31223 = 312(20 + 3)
= (31220) + (3123)
= 6240 + 936
= 7176
sau – în scris:
312
23
936 3123 = 936 unit µi
624 3122 = 624 zeci= 6240 unit µi
7176
4.4 Op eraµia de împ rµire
Împ rµirea n umerelor naturale se in tro duce în clasa a I I-a ³i se realizeaz 
prin dou  pro cedee:
 împ rµirea în p rµi egale ;
 împ rµirea prin cuprindere .
În am b ele cazuri sup ortul ³tiinµic este dat de partiµia unei m ulµimi
în subm ulµimi ec hip oten te. În cazul împ  rµirii în p  rµi e gale se cunoa³te
n um rul elemen telor m ulµimii iniµiale ³i n um rul subm ulµimilor care se formeaz 
iar prin împ rµire se a  n um rul elemen telor ec rei subm ulµimi.
Utilizând material didactic v ariat (b eµi³oare, creioane, b om b oane, etc.)
profesorul stabile³te n um rul de obiecte ce trebuie împ rµit ³i n um rul p rµilor.
Spre exemplu, 10 b om b oane se împart în mo d egal la 2 elevi. Câte b om b oane
v a primi ecare elev?
Practic, rezolv area acestei probleme decurge în felul urm tor:
22

 se d  ec rui elev câte o b om b oan , r mânând de dat 102 = 8
(b om b oane);
 din b om b oanele r mase se d  câte o b om b oan  ec rui elev r mânând
de dat 82 = 6 (b om b oane);
 se con tin u  pro cedeul pân  n u mai r mâne nici o b om b oan  ( 102
2222 = 0 );
 se stabile³te n um rul de b om b oane date ec rui elev ( 5 b om b oane).
 se concluzioneaz : împ rµind 10 b om b oane în mo d egal la 2 elevi,
ecare elev prime³te câte 5 b om b oane.
 A cest lucru se scrie 10: 2 = 5 , unde " : " reprezin t  sim b olul op eraµiei
de împ rµire.
 Num rul care se împarte se n ume³te deîmp rµit, n um rul la care se
împarte se n ume³te împ rµitor iar rezultatul împ rµirii se n ume³te cât.
 Analizând mo dul în care s-a efectuat împ rµire se constat  c  op eraµia
10: 2 = 5 se reduce la sc derea rep etat  a lui 2 din10 , ap oi din restul
obµin ut, ³.a.m.d. ( 1022222 = 0 ) iar n um rul de sc deri
reprezin t  câtul împ rµiri lui 10 la2:
În cazul împ  rµirii prin cuprinder e se cunoa³te n um rul elemen telor m ulµimii
iniµiale ³i n um rul elemen telor ec rei subm ulµimi ec hip oten te din partiµie iar
prin împ rµire se a  câte subm ulµimi se formeaz .
Spre exemplu, 10 b om b oane se împart la elevi, un elev primind câte 5
b om b oane. Câµi elevi v or primi b om b oane?
Practic, rezolv area acestei probleme decurge în felul urm tor:
– se dau 5 b om b oane un ui elev, r mânând de dat 105 = 5 (b om b oane);
– cele 5 b om b oane r mase se dau altui elev ³i se constat  c  au mai r mas
55 = 0 b om b oane de dat.
Concluzion m c  n um rul de elevi care au primit b om b oane este 2; deci
10 : 5 = 2 ; ceea ce se mai cite³te 5 se cuprinde în 10 de2 ori. Se observ  
c  ³i în acest caz împ rµirea lui 10 la5 s-a redus la sc derea rep etat  a lui 5
din10 pân  s-a obµin ut rezultatul 0 (1055 = 0 ) ³i n um rul de sc deri
rep etate a lui 5 din10 reprezin t  câtul împ rµirii lui 10 la5:
Sc derea rep etat  se folose³te doar la in tro ducerea op eraµiei de împ rµire,
atunci când se pune în evidenµ  semnicaµia acestei op eraµii cu a jutorul
materialelor concrete.
23

Dup  ce elevii ³i-au însu³it op eraµia de împ rµire ca sc dere rep etat  se
face leg tura op eraµiei de împ rµire cu op eraµia de înm ulµire prin seturi de
probleme de tipul:
1. P e ecare din cele 3 farfurii sun t câte 7 mere. Câte mere sun t p e cele
trei farfurii? R spuns: 37 = 21 (mere).
2. P e 3 farfurii se împart în mo d egal 21 de mere. Câte mere v or  p e
ecare farfurie? R spuns: 21 : 3 = 7 (mere) deoarece 37 = 21 :
3.21 de mere se a³eaz  câte 7 p e câte o farfurie. Câte farfurii sun t
necesare? R spuns: 21 : 7 = 3 (farfurii) deoarece 37 = 21 :
Prin astfel de exerciµii elevii v or  dirijaµi spre concluzia c  împ rµirea
p oate  privit  ca op eraµia prin care se p oate aa un ul din tre factorii un ui
pro dus nen ul cunoscând pro dusul ³i cel lalt factor.
Se trece la alc tuirea tablei împ rµirii cu 2;3; . . . ,10; menµionând c 
împ rµind un n um r la 2 se obµine un n um r de2 ori mai mic ( jum tate a ),
împ rµind un n um r la 3 se obµine un n um r de3 ori mai mic, etc.
Prin exerciµii corespunz toare v or  evidenµiate cazurile sp eciale de îm-
p rµire: împ rµirea un ui n um r natural diferit de 0 la el însu³i, împ rµirea
un ui n um r natural la 1 ³i împ rµirea lui 0 la orice n um r natural diferit de
0:
4.5 Împ rµirea cu rest
Dup  însu³irea împ rµirii f r  rest (cu rest 0) , se ab ordeaz  situaµia împ rµirii
cu rest nen ul. Spre exemplu, p ornind de la împ rµirea a 11 b om b oane la 2
elevi, prin orice pro cedeu s-ar încerca se obµine câtul 5 dar mai r mâne o
b om b oan  disp onibil . Profesorul concluzioneaz  c  aceasta este o împ rµire
cu rest iar rezultatul acestei împ rµiri este câtul 5; rest1: Dup  mai m ulte ex-
erciµii bine alese elevii v or descop eri relaµia din tre deîmp rµit ( d ), împ rµitor
(^{ ), cât ( c ) ³i rest ( r ) (teorema împ rµirii cu rest):
d= ^{c+r; r < ^{:
Împ rµirea un ui n um r natural mai mic decât 1000 la un n um r
de o cifr .
Înµelegerea ³i însu³irea algoritm ului de împ rµire a un ui n um r natural
mai mic decât 1000 la un n um r de o cifr  presupune parcurgerea urm –
toarelor etap e:
1. Împ rµirea n umerelor de dou  cifre formate n umai din zeci la
n umere formate din tr-o singur  cifr  când restul este 0: Considerând
zecea ca unitate în sistem ul de n umeraµie, acest tip de împ rµire se reduce la
împ rµirea n umerelor formate din tr-o singur  cifr . Exemplu:
24

80 : 4 = 8 zeci: 4
= 2 zeci
= 20 :
2. Împ rµirea n umerelor de dou  cifre formate din zeci ³i unit µi
la n umere formate din tr-o singur  cifr  când restul este 0:
Pro cedeul se bazeaz  p e descompunerea n umerelor de dou  cifre în zeci
³i unit µi ³i p e reducerea împ rµirii necunoscute la împ rµiri cunoscute.
Exemplu: 96 : 3 = (90 + 6) : 3
= (90 : 3) + (6 : 3)
= 30 + 2
= 32 :
Calculul în scris: 96:3=32
9
6
6
==
3. Împ rµirea un ui n um r de dou  cifre la un n um r de o cifr 
când restul este diferit de zero iar n um rul zecilor se împarte exact
la împ rµitor.
A cest caz este ilustrat prin exemplul:
86 : 4 = (80 + 6) : 4
= (8 zeci: 4) + (6 : 4)
= 2 zeci+1; rest2
= 21 , rest 2:
4. Împ rµirea un ui n um r de dou  cifre la un n um r de o cifr 
când restul este diferit de zero iar n um rul zecilor n u se împarte
exact la împ rµitor.
A cest este ilustrat prin exemplul:
95 : 4 = (90 + 5) : 4
= (80 + 10 + 5) : 4
= 80 : 4 + 15 : 4
= 20 + 3 , rest 3
= 23 ; rest3:
25

În ecare etap  este util  prezen tarea calculului în scris care n u este
altcev a decât exprimarea sin tetic  a raµionamen tului analitic ce fundamen teaz 
op eraµia de împ rµire în ecare caz în parte.
Împ rµirea un ui n um r de trei cifre la un n um r deo singur  cifr  se
realizeaz  asem n tor, prin parcurgerea etap elor:
 împ rµirea cu rest 0;
 cifra unit µilor n u se împarte cu rest 0;
 cifra zecilor n u se împarte cu rest 0;
 cifra sutelor n u se împarte cu rest 0;
 cifra zecilor este mai mic  decât împ rµitorul;
 cifra zecilor este 0;
 cifra sutelor este mai mic  decât împ rµitorul.
4.6 Ordinea efectu rii op eraµiilor
Exerciµiile ce se rezolv   în clasa preg titoare ³i în clasa a I-a (adun ri ³i
sc deri) se efectueaz  în ordinea în care sun t scrise, astfel c  pân  în clasa a
I I-a elevii n u-³i pun problema existenµei unor reguli privind ordinea efectu rii
op eraµiilor.
Dup  în v  µarea înm ulµirii apar exerciµii de tipul 2 + 34; în care sc him-
barea ordinii efectu rii op eraµiilor conduce la rezultate diferite: adunând 2
cu3 ³i înm ulµind rezultatul cu 4 obµinem 20 iar înm ulµind 3 cu4 ³i adunând
rezultatul la 2 obµinem 14 .
A cest tip de exerciµii impune stabilirea unor reguli privind ordinea efec-
tu rii op eraµiilor, reguli ce trebuie deduse de c tre elevi din rezolv area unor
probleme a c ror rezolv are p oate  pus  sub form  de exerciµiu. O astfel de
problem  p oate :
La o cofet rie s-au adus 3 cutii cu câte 12 pr  jituri ³i 5 cutii cu câte 8
pr  jituri. Câte pr  jituri s-au adus în total?
Rezolv area acestei probleme în etap e ³i punerea rezolv  rii sub forma un ui
exerciµiu cu mai m ulte op eraµii, resp ectiv
312 + 58 = 76 ;
26

v a conduce p e elevi la constatarea c  în tr-un exerciµiu cu adun ri ³i în-
m ulµiri, înm ulµirile se efectueaz  înain tea adun rilor indiferen t de lo cul unde
apar.
A dun rile ³i sc derile sun t n umite op eraµii de ordin ul I iar înm ulµirile ³i
împ rµirile sun t op eraµii de ordin ul al I I-lea
Exemple similare v or conduce la concluziile:
 în tr-un exerciµiu cu mai m ulte op eraµii de acela³i ordin, op eraµiile se
efectueaz  în ordinea în care sun t scrise;
 în tr-un exerciµiu cu mai m ulte op eraµii (f r  paran teze) se efectueaz 
mai în tâi înm ulµirile ³i împ rµirile ap oi adun rile ³i sc derile.
P en tru formarea la elevi a pricep erilor ³i deprinderilor de efectuare a
exerciµiilor cu mai m ulte op eraµii se recomand :
 in tro ducerea gradat  a acestor exerciµii, începând cu exerciµii ce conµin
doar dou  op eraµii de ordine diferite;
 utilizarea unor n umere mici p en tru a menµine atenµia elevilor asupra
ordinii efectu rii op eraµiilor ³i n u asupra efectu rii ec rei op eraµii;
 utilizarea unor exerciµii de lungimi rezonabile p en tru a evta la elevi
ob oseala sau neatenµia.
Practica impune uneori efectuarea mai în tâi a op eraµiilor de ordin ul în tâi
³i ap oi a celor de ordin ul al doilea. În aceast  situaµie acordarea priorit µii
efectu rii op eraµiilor este dat  de utilizarea paran tezelor mici (rotunde) ³i a
paran tezelor mari (p trate).
Astfel, în tr-un exerciµiu cu mai m ulte op eraµii, cu paran teze rotunde ³i
paran teze p trate, se efectueaz  mai în tâi op eraµiile din tre paran tezele ro-
tunde ap oi cele din tre paran tezele p trate ³i ap oi cele din afara paran tezelor.
În cadrul paran tezelor de acela³i fel se resp ect  ordinea cunoscut  de efectu-
are a op eraµiilor iar o dat  cu efectuarea op eraµiilor din tre paran tezele rotunde
acestea n u se mai utilizeaz  ³i paran tezele p trate (dac  exist ) se transform 
în paran teze rotunde.
5 Meto dologia pred rii fracµiilor
5.1 Unitate fracµionar . F racµii
In tro ducerea noµiunii de fracµie reprezin t  prima extensie a conceptului de
n um r natural. F amiliarizarea elevilor cu noµiunea de parte-în treg încep e
27

o dat  cu in tro ducerea op eraµiei de împ rµire. În paralel cu împ rµirea la 2;
resp ectiv 4; elevii ³i-au însu³it noµiunile de jum tate, resp ectiv sfert, f r  a
utiliza termenii doime, p trime ³i f r  utilizarea scrierii fracµionare.
Predarea fracµiilor se încep e cu rep etarea noµiunilor de jum tate-doime,
sfert-p trime ³i in tro ducerea sim b olurilor grace corespunz toare1
2; resp ec-
tiv1
4: Rep etarea faptului c  una din cele dou  p rµi de aceia³i m rime în care
a fost împ rµit un în treg reprezin t  o doime, c  una din cele patru p rµi de
aceia³i m rime în care a fost împ rµit un în treg reprezin t  o p trime u³ureaz 
însu³irea de c tre elevi a noµiunii de parte fracµionar  .
P artea fracµionar  este o parte din tr-un în treg (obiect, gur  geomet-
ric , n um r) care a fost împ rµit în p rµi egale (la fel de mari).
Astfel se in tro duce treimea, cincimea, ³esimea, etc. ³i sim b olurile grace
corespunz toare1
3;1
5;1
6; etc.
Op erând cu în tregi diferiµi se evidenµiaz  faptul c  unitatea fracµionar 
are aceia³i semnicaµie indiferen t de natura în tregilor dar are v alori diferite
în funcµie de m rimea în tregilor. Astfel un sfert de m r este diferit ca m rime
de un sfert de p ep ene de³i se scriu la fel sub form  de fracµie.
Datorit  exp erienµei matematice reduse a elevilor din în v  µ mân tul pri-
mar, a capacit µilor de abstractizare ³i generalizare înc  nematurizate, liter-
atura de sp ecialitate recomand  parcurgerea urm toarelor etap e în predarea-
în v  µarea noµiunii de unitate fracµionar :
 etapa de fracµionare a unor obiecte concrete ³i de partiµie a unor m ulµimi
de obiecte concrete. Al turarea p rµilor v a duce la reconstituirea în-
tregului;
 etapa de fracµionare prin îndoirea unor guri geometrice plane care
au axe de simetrie ³i deci p ot  fracµionate în p rµi egale prin îndoire
(p trate, dreptunghiuri, cercuri).
 etapa de fracµionare prin trasarea unor linii p e un desen dat p e care
28

îl împart în p rµi egale (împ rµire un ui segmen t în mai m ulte p rµi de
aceiaµi lungime, trasarea axelor de simetrie ale un ui p trat, etc.);
 etapa de fracµionare a n umerelor, reprezin t  etapa de generalizare ³i
abstractizare a etap elor preceden te. Obµinerea unor unit µi fracµionare:
doime, treime, cincime, etc. din tr-un n um r se reduce la împ rµirea
acelui n um r la 2; resp ectiv 3;5; etc.
Se in tro duce ap oi noµiunea de fracµie ca ind una sau mai m ulte unit µi
fracµionare precum ³i sim b olul s u grac format din dou  n umere suprapuse
desp rµite prin tr-o linie, n umit  line de fracµie (2
3;1
5;3
7; etc.).
Num rul de sub linia de fracµie se n ume³te n umitor ³i ne arat  în câte
p rµi egale a fost împ rµit în tregul iar n um rul de deasupra liniei de fracµie
se n ume³te n um r tor ³i ne arat  câte p rµi am luat din n um rul de p rµi
egale în care a fost împ rµit în tregul.
Sugestie meto dologic . Sarcinile de în v  µare v or  orien tate spre
înµelegerea in tuitiv   a noµiunii de fracµie atât prin scrierea fracµiei corespun-
z toare unei acµiuni de împ rµire cât ³i prin împ rµirea care corespunde unei
fracµii date. În ecare din tre cele dou  acµiuni care corespund unor obiec-
tiv e de referinµ  din program  se cere reprezen tarea prin desen ³i exprimarea
acµiunilor în tr-un lim ba j sp ecic.
5.2 Compararea fracµiilor
Dou  fracµii sun t egale dac  reprezin t  p rµi la fel de mari din acela³i în treg
sau din în tregi diferiµi dar de aceia³i m rime.
Spre exemplu:
1
2=2
4=3
6:
Prin div erse aplicaµii practice, bine dirijate, elevii p ot descop eri dou 
mo dalit µi de obµinere a unor fracµii egale cu o fracµie dat :
29

 înm ulµirea atât a n umitorului cât ³i a n um r torului fracµiei cu un
n um r diferit de zero (amplicare);
 împ rµirea, atunci când este p osibil, atât a n umitorului cât ³i a n um r –
torului fracµiei cu un n um r diferit de zero (simplicare).
Dac  dou  fracµii n u sun t egale atunci apare în mo d natural în trebarea:
care din tre cele dou  fracµii este mai mic  (sau mai mare)?. Programa p en tru
clasa a IV-a prev ede doar compararea fracµiilor care au acela³i n umitor ³i a
celor care au acela³i n um r tor.
Dac  fracµiile au acela³i n umitor (unit µile fracµionare sun t la fel de mari),
atunci v a  mai mare fracµia cu n um r torul mai mare deoarece se iau mai
m ulte unit µi fracµionare.
Spre exemplu, a v em
2
5<3
5; deoarece 2<3:
Compararea fracµiilor care au acela³i n um r tor este o tem  mai dicil 
p en tru elevii din clasa a IV-a. P en tru a u³ura înµelegerea compar rii acestor
fracµii elevii trebuie s  înµeleag  în prim ul rând c  împ rµind un în treg în
mai m ulte p rµi egale, p rµile v or  mai mici.
Dup  o serie de aplicaµii se v a concluziona c  din tre dou  unit µi fracµionare
diferite v a  mai mare cea cu n umitorul mai mic adic , a v em:
1
2>1
3>1
4>1
5>



Cunoscând faptul c , spre exemplu, o cincime este mai mare decât o
optime, elevii p ot înµelege cu u³urinµ  c  un n um r oarecare de cincimi este
mai mare decât acela³i n um r de optimi (3
5>3
8;4
5>4
8; etc.).
Dup  câtev a astfel de exerciµii se p oate concluziona: din tre dou  fracµii
care au acela³i n um r tor este mai mare fracµia care are n umitorul mai mic.
F racµii ec hiunitare. Un caz particular de fracµie îl reprezin t  fracµia
care are n um r torul egal cu n umitorul. În acest caz am luat în considerare
toate unit µile fracµionare ale în tregului, deci tot în trgul. Astfel de fracµii,
n umite fracµii ec hiunitare sau egale cu în tregul, sun t
30

1
1=2
2=3
3=4
4=


= 1:
F racµii subunitare. F racµiile care au n um r torul mai mic decât n umi-
torul se n umesc fracµii subunitare (2
3;3
5;5
9; . . . ). Eviden t fracµiile sub-
unitare sun t mai mici decât în tregul, deoarece am luat mai puµine unit µi
fracµionare decât are în tregul.
F racµii supraunitare. F racµiile care au n um r torul mai mare decât
n umitorul se n umesc fracµii supraunitare (3
2;5
3; etc.). Eviden t fracµiile
supraunitare reprezin t  mai m ult decât un în treg. Obµinerea unei fracµii
supraunitare se p oate realiza prin împ rµirea a doi sau mai m ulµi în tregi
iden tici în acela³i n um r de p rµi egale ³i luarea un ui n um r de p rµi mai
mare decât a n um rul în care a fost împ rµit ecare în treg.
Compararea unei fracµii cu un în treg se mai p oate face scriind în tregul ca
o fracµie a v ând atât n umitorul cât ³i n um r torul egal cu n umitorul fracµiei
date ³i ap oi compararea fracµiilor care au acela³i n umitor.
5.3 Op eraµii cu fracµii
Programa de matematic  prev ede p en tru clasa a IV-a doar adunarea ³i
sc derea fracµiilor care au acela³i n umitor. In tro ducerea acestor op eraµii n u
ridic  probleme meto dice deosebite. Elevii înµeleg c  a³a cum
2 mere + 3 mere = 5 mere,
tot a³a
2 optimi + 3 optimi = 5 optimi,
adic 
2
8+3
8=5
8:
Deci, suma a dou  fracµii care au acela³i n umitor este o fracµie a v ând ace-
la³i n umitor iar n um r torul sumei este egal cu suma n um r torilor fracµilor
ce se adun .
Sc derea a dou  fracµii p streaz  terminologia cunoscut : desc zut, sc z –
tor, rest sau diferenµ . Rezultatul sc derii a dou  fracµii care au acela³i n umi-
tor este o fracµie a v ând acela³i n umitor iar n um r torul este diferenµa din tre
n um r torul desc zututlui ³i n um r torul sc z torului.
31

Dup  însu³irea de c tre elevi a op eraµiilor de adunare ³i sc dere a fracµi-
ilor se recomand  efectuarea prob elor adun rii ³i sc derii precum ³i exerciµii
în care s  apar  am b ele op eraµii. O atenµie deosebit  trebuie acordat  scrierii
corecte a fracµiilor în cadrul exerciµiilor, în sp ecial alinierii semnelor op eraµi-
ilor cu liniile de fracµie.
5.4 Aarea unei fracµii din tr-un în treg
Aarea unei fracµii din tr-un în treg se realizeaz  în dou  etap e:
 aarea unei unit µi fracµionare din în treg;
 aarea unei fracµii (mai m ulte unit µi fracµionare) din tr-un în treg.
Prin mai m ulte exerciµii, utilizând guri geometrice, lungimi, mase ³i în
nal n umere, se stabile³te faptul c  aarea unei unit µi fracµionare din tr-un
în treg se reduce la împ rµire acestuia în atâtea p rµi egale cât arat  n umitorul
unit µii fracµionare.
Se recomand  scrierea:1
3din24m este24m: 3 = 8 m;
1
5din20kg este20kg: 5 = 4 kg;
1
7din35l este35l: 7 = 5 l:
Aarea unei fracµii din tr-un în treg presupune iniµial aarea unei unit µi
fracµionare de tipul celei p e care o indic  n umitorul fracµiei ³i ap oi aarea
fracµiei din în treg prin înm ulµirea unit µii fracµionare cu n um rul unit µilor
fracµionare indicate de n um r torul fracµiei.
Dup  rezolv area mai m ultor exerciµii se stabile³te, cu a jutorul elevilor,
regula de aare a unei fracµii din tr-un în treg (n um r): se împarte în tregul
(n um rul) la n umitorul fracµiei iar rezultatul se înm ulµe³te cu n um r torul.
Dac  la început cele dou  op eraµii se scriu separat, dup  ce elevii ³i-au însu³it
pro cedeul se p oate trece la scrierea în tr-o singur  expresie, scoµând astfel în
evidenµ  caracterul unitar al celor dou  op eraµii:
3
5din45 este45: 5
3 = 27 :
O ev en tual  extindere a unit µii de în v  µare p oate ab orda tema obµinerii
de fracµii egale cu o fracµie dat  cu aplicabilitate la compararea fracµiilor sau
op eraµii cu fracµii ce n u au acela³i n umitor.
32

6 M surare ³i unit µi de m sur 
6.1 M rime ³i m surare
Studiul m rimilor ³i a unit µilor de m sur  în în v  µ mân tul primar reprezin t 
un ul din tre exemple edicatoare privind leg tura direct  din tre matematic 
³i viaµa cotidian . P e lâng  cuno³tinµele de baz  legate de m rimi ³i unit µi
de m sur  de larg  utilitate tema formeaz  ³i dezv olt  la elevi in teresul ³i
motiv aµia p en tru aplicarea matematicii în con texte v ariate.
Noµiunea de m rime este o noµiune primar  care n u se dene³te. M rimea
p oate  privit  ca o proprietate a corpurilor ³i a fenomenelor în baza c reia
acestea p ot  comparate (dimensiune, can titate, durat , v aloare, etc.).
A m sura o m rime oarecare înseamn  a compara aceast  m rime cu o
alta considerat  ca unitate de m sur .
În Sistem ul In ternaµional, utilizat în p este 125 de µ ri, ³apte m rimi z-
ice sun t considerate m rimi fundamen tale: lungimea, masa, timpul, temp er-
atura, in tensitatea curen tului electric, can titatea de substanµ  ³i in tensitatea
lunminoas .
Corespunz tor m rimilor zice fundamen tale s-au denit unit µile de m –
sur  fundamen tale, resp ectiv: metrul, kilogram ul, secunda, k elvin ul, amp e-
rul, molul ³i candela.
M rimile zice ce p ot  denite cu a jutorul m rimilor fundamen tale se
n umesc m rimi deriv ate (arie, v olum, vitez , etc. ).
În în v  µ mân tul primar, programa de matematic  prev ede studierea unit µilor
de m sur  p en tru lungime, capacitate, mas , timp, precum ³i studiul mon-
edelor ³i bancnotelor – inclusiv cele europ ene.
In tro ducerea noµiunii de m rime, p en tru ecare caz în parte, se face p e
baz  de exemple.
Elevii sun t condu³i ap oi spre necesitatea compar rii m rimilor ³i in tro-
ducerea unor unit µi de m sur .
Este recomandabil ca iniµial s  se utilizeze unit µi de m sur  nestandard
iar necesitatea compar rii m rimilor s  duc  la in tro ducerea unit µilor stan-
dard.
Ca argumen te p ot  utilizate date istorice legate de istoria m sur torilor
sau necesitatea unic rii unor unit µi de m sur  impus  de in tensicarea
sc him burilor economice sau de dezv oltarea ³tiinµelor.
P e parcursul în v  µ mân tului primar, în predarea-în v  µarea unit µilor de
m sur , p en tru div erse m rimi, suger m parcurgerea urm toarelor secv enµe:
 in tro ducerea m rimii, p ornind de la cotidian, de la realitatea încon-
jur toare;
33

 evidenµierea necesit µii m sur rii acestei m rimi;
 prezen tarea ³i utilizarea unit µilor nestandard;
 sublinierea necesit µii unei m rimi standard;
 in tro ducerea unit µii standard ³i a notaµiei corespunz toare;
 acµiuni practice de m surare cu consemnarea rezultatelor:
 in tro ducerea m ultiplilor ³i a subm ultiplilor unit µii de m sur ;
 op eraµii cu unit µi de m sur ;
 compuneri ³i rezolv  ri de probleme conµinând unitatea de m sur  re-
sp ectiv  ;
 estim ri ale m surilor unor m rimi din realitatea înconjur toare (clas ,
curtea ³colii, etc.);
 organizarea, sortarea, in terpretarea datelor rezultate din m sur ri;
 ab ordare in terdisciplinar  (recunoa³terea ³i utilizarea m rimii ³i a unit µii
de m sur  în alte domenii).
6.2 M surarea lungimilor
În predarea-în v  µarea unit µilor de m sur  p en tru lungime suger m parcurg-
erea urm toarelor secv enµe:
 m surarea lungimii, l µimii, grosimii, în lµimii cu unit µi nestandard:
mâna, cotul, creion ul, pasul, guma etc.;
 apariµia noµiunilor an tagonice: mare-mic, lung-lat, gros-subµire, înalt-
scund, stabilite prin comparare;
 sublinierea necesit µii apariµiei ³i folosirii unit µii de m sur  standard
– metrul , notaµia folosit  – m ;
 utilizarea unor instrumen te de m sur  p otrivite p en tru m surarea lungimii:
rigla, metrul de croitorie, metrul liniar, metrul tâmplarului, ruleta;
 exersarea capacit µii de m surare p ornind de la obiectele din clas ,
acas  ³i afara ³colii (în practic  profesorul alege acele lungimi ce p ot 
exprimabile în n umerele naturale p e care elevii le cunosc);
34

 con³tien tizarea necesit µii in tro ducerii m ultiplilor ³i subm ultiplilor metru-
lui p en tru exprimarea mai como d  a lungimilor mai mari/mai mici,
notaµii folosite;
 aso cierea m ultiplilor cu m rirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori
³i a subm ultiplilor cu mic³orarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori
(utilizarea sc rii);
 formarea deprinderilor de efectuare rapid  ³i precis  a m sur torilor
utilizând m ultipli ³i subm ultipli ai metrului;
 transform ri din tr-o unitate de m sur  în alt  unitate de m sur ;
 rezolv  ri de probleme .
6.3 M surarea capacit µii v aselor
În predarea-în v  µarea unit µilor de m sur  p en tru capacitatea v aselor sug-
er m parcurgerea urm toarelor secv enµe:
 compararea ³i sortarea v aselor prin m surare direct ;
 compararea v aselor de aceea³i capacitate ³i form  diferit ;
 diferenµierea: m ult-puµin;
 m surarea capacit µii un ui v as cu unit µi nestandard;
 sublinierea necesit µii in tro ducerii unit µii standard p en tru capacitatea
v aselor – litrul , notatia folosita – l ;
 con³tien tizarea necesit µii in tro ducerii m ultiplilor ³i subm ultiplilor litru-
lui p en tru exprimarea mai como d  a capacit µii v aselor mai mari/mai
mici, notaµii folosite;
 aso cierea m ultiplilor cu m rirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori
³i a subm ultiplilor cu mic³orarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori
(utilizarea sc rii);
 utilizarea unor instrumen te de m sur  p otrivite p en tru m surarea ca-
pacit µii în tâlnite în practic ;
 formarea deprinderilor de efectuare rapid  ³i precis  a m sur torilor
utilizând m ultipli ³i subm ultipli ai litrului;
 transform ri din tr-o unitate de m sur  în alt  unitate de m sur ;
 rezolv  ri de probleme.
35

6.4 M surarea masei
În predarea-în v  µarea unit µilor de m sur  p en tru masa corpurilor suger m
parcurgerea urm toarelor secv enµe:
 compararea prin mân uire direct , apariµia noµiunilor: mai u³or-mai
greu, tot atât de greu;
 folosirea balanµei cu braµe egale în stabilirea relaµiei din tre masele
obiectelor;
 compararea, sortarea ³i gruparea obiectelor cu aceea³i mas ;
 conserv area masei, folosind un obiect care p oate  descompus în p rti;
 utilizarea unit µilor de m sur  nestandard în m surarea masei unor
corpuri;
 sublinierea necesit µii in tro ducerii unit µii principale p en tru mas  –
kilogram ul , notaµia folosit  ( kg );
 utilizarea unor instrumen te de m sur  p otrivite p en tru m surarea ma-
sei: cân tarul de buc t rie, de baie, de la piaµ , balanµa, etc.;
 exerciµii practice de m surare a masei unor obiecte;
 con³tien tizarea necesit µii in tro ducerii m ultiplilor ³i subm ultiplilor kilo-
gram ului , notatii folosite;
 aso cierea m ultiplilor cu m rirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori
³i a subm ultiplilor cu mic³orarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori
(utilizarea sc rii);
 formarea deprinderilor de efectuare rapid  ³i precis  a m sur torilor
utilizând m ultipli ³i subm ultipli ai kilogram ului;
 transform ri din tr-o unitate de m sura în alt  unitate de m sur ;
 rezolv  ri de probleme.
36

6.5 M surarea timpului
În predarea-în v  µarea unit µilor de m sur  p en tru timp suger m parcurgerea
urm toarelor secv enµe:
 predarea-în v  µarea m rimii timp ³i a unit µilor de m sur  se face
în strâns  legatur  cu acµiunile, fenomenele ³i ev enimen tele p erio dice
cunoscute de elevi;
 se încep e cu cele mai cunoscute de elev: ora, ziua, s pt mâna ,luna,
an ul, m surate cu ceasul ³i calendarul;
 timpul este ciclic ³i se în telege studiind program ul de activit µi zilnice
ale elevului, ora la care face acea acµiune;
 s pt mâna se con³tien tizeaz  prin activit µile ³colare ³i de acas ;
 luna ca unitate mai mare decât ziua ³i s pt mâna, se prezin t  prin tr-un
pro ces comparativ de apreciere a activit µilor desf ³urate în tr-o s p-
t mân  ³i în tr-o lun ;
 den umirea ec rei luni (³i anotimp) se aso ciaz  cu ordinea în an, din
data scris  zilnic p e tabl ;
 noµiunea de an – ca in terv alul din tre zilele aniv ersare, din tre o prim  v ar 
³i alta;
 zilele lunilor (30/31/29/28) se p ot în v  µa folosind pro eminenµele pum-
nilor;
 deceniul, secolul, mileniul;
 unitatea de m sur  standard – secunda , notatia folosita – s ;
 m ultipli ³i subm ultipli, notaµii folosite;
 utilizarea unor instrumen te de m sur  p otrivite p en tru m surarea tim-
pului: calendarul, ceasul de mân , de p erete, p endula, orologiul, cronometrul,
ceasul electronic, clepsidra, etc.;
 transform ri din tr-o unitate de m sur  în alt  unitate de m sur ;
 rezolv  ri de probleme.
A ctivit µi de în v  µare recomandate:
37

 confecµionarea un ui cadran de ceas;
 în to cmirea calendarului p e o s pt mân  care s  cuprind  den umirile
zilelor ³i datele resp ectiv e, p e o lun  sau p e mai m ulte luni;
 în to cmirea calendarului p e un an sub forma de band  a timpului;
 notarea cu consecv enµ  a datei;
 cunoa³terea, notarea de c tre elevi a propriilor date de na³tere, precum
³i a datelor de na³tere ale fraµilor, p rinµilor;
 exprimarea v ârstei lor, a prietenilor, a p rinµilor, etc.;
 m surarea ³i exprimarea în unit µi corespunz toare a timpului necesar
p en tru a parcurge an umite distanµe: de acas  la ³coal , de acas  pân 
la cel mai apropiat magazin alimen tar etc.;
 cunoa³terea v ârstei p e care o p ot atinge unele animale (s lbatice, do-
mestice);
 durata vieµii copacilor ³i p omilor fructiferi etc.;
 µinerea evidenµei în unit µi de timp a activit µii p e care o desf ³oara
elevul în tr-o an umit  p erioad : ora de³tept rii, ora plec rii la ³coal ,
timpul p etrecut la ³coal  etc.;
 stabilirea un ui regim raµional de m unc  ³i o dihn  cu precizarea în
unit µi de timp a activit µilor programate;
 realizarea in terdisciplinarit µii matematic -com unicare (notarea în unit µi
de timp a datelor biograce ale unor scriitori etc.);
 realizarea in terdisciplinarit µii matematic -istorie;
 evidenµierea unor ev enimen te p etrecute în viaµa colectivului;
 form ularea ³i rezolv area unor probleme aplicativ e legate de începutul,
durata sau sfâr³itul un ui ev enimen t în cadrul unei ore etc.
38

6.6 Monede ³i bancnote
P en tru a aprecia corect v aloarea m rfurilor ³i p en tru a le putea cump ra,
oamenii folosesc banii.
Unitatea monetar  în µara noastr  ( leul ) ³i alte µ ri europ ene ( euro );
A ctivit µi de în v  µare.
 recunoa³terea v alorii monedelor ³i a bancnotelor;
 efectuarea de sc him buri ec hiv alen te cu monede ³i bancnote;
 efectuarea de sc him buri ec hiv alen te cu sume de bani;
 compararea sumelor de bani.
39