1. ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE MONOFAZATE F ĂRĂ CUPLAJE MAGNETICE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 1.1. GENERALIT ĂȚI În cele ce urmează vom analiza… [605146]

5
CAPITOLUL I
1. ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE
MONOFAZATE F ĂRĂ CUPLAJE MAGNETICE
ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

1.1. GENERALIT ĂȚI

În cele ce urmează vom analiza circuitele monofazate în care bobinele sunt necuplate
magnetic (fluxul lor magnetic depinde doar de curentul propriu).
Elementele acestor circuite pot fi conectate în serie, paralel, mixt, stea, triunghi sau
complex. Vom considera în continuare doar cazul circuitelor electrice monofazate simple (cu
conexiuni serie sau paralel).
La alimentarea cu o te nsiune sinusoidală, circuitele cu elemente liniare sunt străbătute de
un curent sinusoidal. Circuitele de tensiune alternativă pot fi caracterizate prin oricare din
parametrii: rezistența R, inductanța L sau capacitatea C. Fiecare din acești parametri cont ribuie la
limitarea curentului în circuit. Problema constă în determinarea valorii efective a curentului care
străbate circuitul respectiv, a defazajului dintre tensiunea aplicată și curent și scrierea bilanțului
de puteri.
Pentru rezolvarea circuitelor cu elemente conectate în serie, se pornește de la ecuația
integro -diferențială a circuitului, scrisă pe baza aplicării celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff.
În cazul circuitelor cu elemente conectate în paralel ecuația se scrie aplicând prima teoremă a lu i
Kirchhoff într -unul din nodurile comune ale elementelor conectate în paralel.
Obișnuit, rezolvarea ecuației nu se face direct ci prin intermediul imaginii acestei ecuații,
fie pe calea reprezentării geometrice – în care cazul ecuației rezultate îi coresp unde o diagramă
fazorială care permite determinarea necunoscutei din relațiile obținute din construcția geometrică
respectivă – , fie pe calea reprezentării în complex – în care cazul ecuației rezultate îi corespunde
o ecuație algebrică în mărimi complexe ceea ce permite determinarea necunoscutei pe cale
analitică.
Ambele metode permit determinarea, cu ajutorul teoremei lui Ohm scrisă pentru cazul
regimului permanent sinusoidal:
U  I= =Y   UZ
(I.1.1)
a valo rii efective a curentului ca raport dintre valoarea efectivă a tensiunii aplicate și impedanța
circuitului:
U  I= =Y   UZ
(I.1.2)

6 în care Z = f (R,L,C,w). De asemenea, ambele metode permit deter minarea defazajului j dintre
tensiune și curent ca fiind o funcție de parametrii circuitului și frecvența sursei de alimentare j = f
(R,L,C,w).
Expresia impedanței complexe depinde de schema electrică a circuitului.
În cele ce urmează se va considera cazul general un circuit electric în care au loc toate
cele trei fenomene electromagnetice (pierderi de energie electromagnetică prin disipare de
căldură pe rezistori, înmagazinare de energie electromagnetică în câmpul magnetic al bobinelor,
înmagazinare de ene rgie electromagnetică în câmpul electric al condensatorilor), fenomene
caracterizate prin parametrii rezistență R, inductanța L, respectiv capacitate C. Schema electrică a
acestui circuit va conține toate cele trei elemente ideale de circuit: rezistor, bob ină și condensator
ideal. Funcție de modul de conectare a acestor elemente schema echivalentă poate fi serie sau
paralel.
Pentru cazurile particulare ale circuitelor electrice în care unele fenomene sunt neglijate,
fiind considerate preponderente altele, s chemele electrice ale circuitului vor conține doar acele
elemente corespunzătoare parametrului ce caracterizează fenomenele preponderente. Ecuațiile de
funcționare ale acestor circuite se vor obține din ecuațiile de funcționare ale circuitului ce
corespund e cazului general (când sunt considerate toate fenomenele electromagnetice) prin
particularizări corespunzătoare.
Se va analiza, în continuare un circuit electric reprezentat printr -o schemă echivalentă
serie (circuit RLC serie) sau printr -o schemă echival entă paralel (circuit RLC paralel), analiza
realizându -se prin mai multe metode:
– metoda rezolvării utilizând valorile instantanee,
– metoda utilizării reprezentării simbolice geometrice,
– metoda reprezentării simbolice analitice
și se vor compara rezult atele.

7 1.2. ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE
REPREZENTATE PRIN SCHEME ECHIVALENTE SERIE
FUNC ȚIONÂND ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

1.2.1. CIRCUITUL RLC SERIE

Se consideră în fig.1.1 un circuit format dintr -un rezistor având rezistența R, o bobină de
inductanță L și un condensator de capacitate C, conectate în serie (circuit RLC serie) și alimentat
de la o sursă de te nsiune sinusoidală de pulsație ω (se presupune că rezistența R include și
rezistențele proprii ale bobinei și condensatorului). Circu itul este străbătut de un curent, de
asemenea sinusoidal, care produce la bornele rezistorului R o cădere de tensiune uR (t), în bobina
de inductanță L o tensiune electromotoare de autoinducție eL(t) echilibrată de o parte uL(t) a
tensiunii aplicate ( uL (t) = -eL (t)) și, încărcând condensatorul, o
tensiune la bornele condensatorului uC(t), egală de asemenea cu
partea corespunzătoare din tensiunea aplicată.
În orice moment tensiunea aplicată trebuie să fie egală cu suma
tensiunilor la bornele celor trei ele mente de circuit.
u(t ) = uR (t )+ uL (t )+ uC (t ) (I.1.3)
sau, ținând seama de dependența de curent a fiecăreia dintre
tensiunile de la bornele elementelor, se obține ecuația integro –
diferențială:
( ) 1( ) ( ) ( )di tu t R i t L i t dtdt C     

(I.1.4)
în care necunoscuta este i(t ).
Rezolvarea ecuației ( I.1.4) este relativ dificilă, necesitând artificii de calcul incomode, de aceea
ecuația se rezolvă indirect prin una din met odele cunoscute: prin intermediul reprezentării
geometrice sau analitice (în complex).
Pentru rezolvarea pe cale geometric ă (polară) se consideră curentul sinusoidal necunoscut drept
origine de fază, deoarece este comun celor elemente de circuit, adică:
( ) 2 sin( )i i t I y    
(I.1.5)
Introducând expresia curentului, ecuația ( I.1.4) devine:

8
( ) 2 sin( ) 2 sin( ) 2 sin( )22i i iIu t RI t LI t tC                 (I.1.6)
Ecuația fazorială corespunzătoare este:

R L C U U U U  
(I.1.7)
în care fazorii reprezentând tensiunile de la bornele elementelor de circuit sunt cunoscuți, putând
scrie:
0, ,22R L CIU RI U LI UC    
(I.1.8)
Diagrama fazorială, reprezentată în fig.1.2, se construiește luând curentul I drept origine de fază.
Se trasează: fazorul reprezentând tensiunea la bornele rezistorului UR în fază cu curentul I ,
vectorul reprezentând tensiunea la bornele bobinei UL decalat cu unghiul
2 înaintea curentului,
iar fazorul reprezentând tensiunea la bornele condensatorului UC decalat cu
2 în urma
curentului. Fazorul care unește originea primului cu extremitatea ultimului fazor al sumei
reprezintă tensiunea U aplicată. Se observă că în funcție de lungimile fazorilor corespunzători
tensiunilor la bornele bobinei și condensatorului – ωL × I respectiv
1IC – se disting trei
cazuri, reprezentate în diagramele fazoriale din fig.1.2.a, b, c:

9 – dacă
1LC – reactanța inductivă este preponderentă ( XL > XC ) – defazajul tensiunii la
bornele circuitului în raport cu curentul este pozitiv
0 (curentul este defazat cu
 radiani în
urma tensiunii), circuitul având caracter inductiv (fig.1.2.a);
– dacă
1LC – reactanța capacitivă este preponderentă ( XC > XL ) – defazajul tensiunii la
bornele circuitului în raport cu curentul este negativ
0 (curentul este defazat cu
 radiani
înaintea tensiunii), circuitul având caracter capacitiv (fig.1.2.b);
– dacă
1LC – reactanța inductivă este egală cu reactanța capacitivă ( XL = XC ) defazajul
tensiu nii la bornele circuitului în raport cu curentul este nul
0 (curentul este în fază cu
tensiunea), circuitul având caracter rezistiv .
Deci unghiul
 poate avea valori pozitive sau negative după cum reactan ța inductivă este mai
mare sau mai mică decât reactanța capacitivă.
Din triunghiul tensiunilor OAB rezultă:
2
2 2 2 2 2 11( ) ( ) ( )R L C U U U U R I L I I I R L I I Z ICC                
(I.1.9)
unde Z reprezintă impedanța circuitului, putându -se exprima sub una din formele de mai jos:
2
2 2 2 2 2 1
LC Z R L R X X R XC       
(I.1.10)
În relația impedanței s -a notat cu
1
LC X X X LC    reactanța totală (echivalentă) a
circuitului.
Valoarea efectivă a curentului (egală cu lungimea fazorului I ) se deduce din relațiile de mai sus:
2 2 2
2 1LCU U UIZR X XRLC  
     
(I.1.11)
Relația (1.10) reprezintă teorema lui Ohm în curent alternativ în cazul circuitului complet , cu
rezistor, bobină și condensator conectate în serie.

10 Unghiul de defazaj al tensiunii în raport cu curentul rezul tă din același triunghi, sau din
triunghiul impedanței (fig.1.3) obținut prin împărțirea laturilor primului prin valoarea efectivă a
curentului curentul I (reprezentarea a fost făcută doar pentru primul caz, al circuitelor cu caracter
inductiv):

1
tanLCLXX C
RR

respectiv:
1
arctan arctanLCLXX C
RR
(I.1.12)
Astfel, faza inițială a curentului va fi:
1
arctani u uLC
R   
   
(I.1.13)

Diagramele din fig.1.2 au fost trasate admițând curentul drept origine de fază. În mod obișnuit,
drept origine de faz ă trebuie considerat ă tensiunea .
Din relațiile ( I.1.10) și ( I.1.12) și utilizând regula de reprezentare fazorială rezultă fazorul
corespunzător curentului:
21
2 arctan
1uLU CIR
RLC


    

(I.1.14)

Prin urmare, utilizând regula de repre zentare inversă (fazor – valoare instantanee), valoarea
instantanee a intensității curentului va avea expresia:

11
2
21
( ) 2 sin arctan
1uLU Ci t tR
RLC
    
    (I.1.15)
Curbele de variație în timp a semnalelor sinusoidale i(t) și u(t) sunt reprezentate în fig.1.4.

Expre sia valorii instantanee a intensității curentului necunoscut se poate determina ușor utilizând
reprezentarea în complex a ecuației integro -diferențiale.
Pornind de la imaginea în complex nesimplificat a ecuației (1.4) care se scrie:
1u R i j L i ijC    
(I.1.1 6)
se deduce:
1u R j L i R jX i Z iC        
(I.1.17)

în care
1j
LC Z R j L R j X X R jX Z eC         
(I.1.18)

cu modulul

12
2
2 22 1
LC Z R X X R LC       (I.1.19)

și argumentul
1
arctan arctanLCLXX C
RR
(I.1.20)
Valoarea instantanee complexe a intensității curentului (forma exponențială) rezultă:

  222uij t u
j t j t
ju U e Ui e I eZ Z e Z
    

        
(I.1.21)
în care:
22 2
2 1LCU U UIZR X XRLC  
 
(I.1.22)
1
arctani u uLC
R   
   
(I.1.23)
Trecând la forma trigonometrică,
  2 cos 2 sinuu i I t j I t              
(I.1.24)

se deduce expresia valorii instantanee a intensității curentului i(t ), aplicând regula de
trecere de la imaginea în complex la valoarea instantanee corespunzătoare:
2
21
Im 2 sin arctan
1uLU Ci t i tR
RLC
     
  
(I.1.25)

13 Se constată că s -a obținut aceeași expresie p entru valoarea instantanee a intensității curentului ca
și în cazul rezolvării problemei utilizând reprezentările simbolice geometrice (prin fazori).
La aceeași expresie se ajunge utilizând reprezentarea în complex simplificat :
1U R I j L I IjC     
(I.1.26)
1
LC U R j L I R j X X I R jX I Z IC               
(I.1.27)
în care
j
LC Z R jX R j X X Z e      
(I.1.28)
cu modulul
2
2 1Z R LC  
(I.1.29)
și argumentul
1
arctanLC
R

(I.1.30)
Valoarea efectivă complexă a curentului rezultă:
 u
uuj
jj
jU U e UI e I eZ Z e Z
   
      
(I.1.31)
în care:
2
2 1UUIZ
RLC

(I.1.32)
Regula de trecere de la imaginea în complex la valoarea instantanee este în acest caz:
 Im 2jti t e I  
(I.1.33)
Dar, observând că
22u jt jte I I e i        rezultă că expresia curentului căutat i(t ) este
cea determinată mai sus:

14
2
21
Im 2 sin arctan
1uLU Ci t i tR
RLC
     
  
(I.1.34)
Din cele expuse se observă că oricare ar fi metoda de rezolvare a circuitului, se ajunge la același
rezultat. Metoda de rezolvare grafo -analitică bazată pe reprezentarea geometric este mai
laborioasă dar prezintă avantajul că permite compararea valorilor și defazajelor diferiților
termeni ai ecuației, pe când metoda reprezentării simbolice prezintă avantajul unei determinări
rapide a mărimii necunoscute, care nu necesită construcții grafice.
Puterea activă corespunzătoare circuitului RLC serie are expresia:
22cos cos 0 P UI ZI RI   
(I.1.35)
și este pozitivă sau, la limită, nulă, indiferent de valoarea defazajului φ , ceea ce în seamnă că, în
general, circuitul RLC serie consumă putere reactivă.
Puterea reactivă :
2 2 2 1sin sin Q UI ZI XI L IC       
(I.1.36)
este:
– pozitivă în cazul circuitelor cu caracter inductiv (circuitul consumă putere reactivă),
– negativă în cazul circuitelor cu caracter capacitiv (circuitul consumă, de asemenea, putere
reactivă)
– nulă în cazul circuitelor cu caracter rezistiv (circuitul nu consumă și nici nu absoarbe putere
reactivă).
Astfel, puterea aparentă complex ă:
2 2 2 2 2 2 1cos sin S P jQ UI jUI RI jXI ZI jXI ZI R j L IC                
(I.1.37)
avân d modulul
2
2 2 2 2 1S P Q I R LC      
(I.1.38)

15 poate fi:
– reală în cazul circuitelor cu caracter rezistiv,
– pur imaginară, în cazul circuitelor cu caracter pur reactiv, având partea imaginară:
– pozitivă în cazul circuitelor cu caracter inductiv,
– negativă în cazul circuitelor cu caracter capacitiv.
Prin urmare un circuit RLC serie funcționând în regim permanent sinusoidal consumă atât putere
activă cât și puterea reactivă.
În concluzie, în cazul unui circuit RLC serie funcționând în regim permanent s inusoidal se
obține:
-impedanța complexă:
1Z R j LC  
-impedanța:
2
2 1Z R LC  
-defazajul tensiunii în raport cu curentul:
1
arctanLC
R

-valoarea efectivă a intesității curentului:
2
2 1UI
RLC

-faza inițială a intesității curentului:
1
arctaniuLC
R

-valoarea instantanee a intensității curentului:
221
( ) 2 sin arctan
1()uLU Ci t tRRLC
    


-putera activă:
2P R I
-puterea reactivă:
2 1Q L IC  

16 -puterea aparentă c omplexă:
2 1S P jQ R j L IC      
-puterea aparentă:
2
2 2 2 2 1S P Q I R LC      

Un exemplu de circuit RLC serie este o bobină la care rezistența proprie și capacitatea
echivalentă a spirelor nu sunt neglijate.

17
1.2.2. CIRCUITUL LC SERIE

Circuitul LC (fig.1.5) serie este o particularizare a circuitului RLC serie obținută prin
scurtcircuitarea rezistorului (anularea tensiunii la bornele acestuia).
Având în vedere că
Ru t Ri t rezultă că scurtcircuitarea rezistorului este echivalentă cu o
valoarea R = 0 a rezistenței acestuia.
Făcând R = 0 în relațiile (I.1.10 ¸I. 1.23 ), (I.1.15), (I.1.19 ) și (I.1.36 ¸ I.1.38 ) se obține:
– impedanța complexă:
1Z j LC
– impedanța:
1ZLC

– defazajul tensiunii în rap ort cu curentul:
1
arctan arctan02LC 
   

– valoarea efectivă a intensității curentului:
1UI
LC


– faza inițială a intensității curentului:
2iu

– valoarea instantanee a intensității curentului:
 2 sin1 2uUi t t
LC
    

18
– puterea activă: P = 0
– puterea reactivă:
2 1Q L IC  
– puterea aparentă complexă:
2 1S jQ j L IC   
– puterea aparentă:
2 1S Q L IC  
Prin urmare, în cazul unui circuit LC serie funcționând în regim permanent sinusoidal se pot face
următoarele observații: -impedanța este pur imaginară sau nulă (pentru
1LC )
-defazajul
 al tensiunii în raport cu curentul este:
-pozitiv (pen tru circuite cu caracter inductiv, la care
1LC )
-negativ (pentru circuite cu caracter capacitiv, la care
1LC )
-nedeterminat (pentru
1LC )
-curentul este:
-defazat în urma tensiunii cu u n unghi
2 radiani (pentru
1LC )
-defazat înaintea tensiunii cu un unghi
2 radiani (pentu
1LC )
-și are valoarea efectivă infinită pentru
1LC (în acest caz circuitul reprezentând un
scurtcircuit)
-circuitul nu consumă putere activă, de aceea aceste circuite se numesc fără pierderi
-circuitul consumă putere reactivă (nulă în ca zul
1LC )

19 -puterea aparentă complexă este pur imaginară
-puterea aparentă este egală cu puterea reactivă.

Pentru acest circuit este valabilă diagrama fazorială din fig.1.6.

Un astfel de circuit, numit circuit fără pierderi sau supraconductor nu poate exista în practică
deoarece nu există bobine și condensatori ideali (având rezistențele proprii nule). Circuitul,
prezintă importanță doar din punct de vedere teoretic.

20 1.3. ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE REPREZENTATE
PRIN SCHEME ECHI VALENTE PARALEL FUNC ȚIONÂND ÎN REGIM
PERMANENT SINUSOIDAL

1.3.1. CIRCUITUL RLC PARALEL

Se consideră în fig.1.7 un circuit care cuprinde un rezistor având rezistența R, respectiv
conductanța
1GR , o bobină de inductanță L și un conde nsator de capacitate C,
conectate în paralel (circuit RLC paralel) și alimentat de la o sursă de tensiune sinusoidală de
pulsație w (se presupune că rezistența R include și rezistențele proprii ale bobinei și
condensatorului).
Cele trei ramuri, fiind alime ntate de aceeași tensiune u(t ) sunt străbătute de curenți
diferiți care se pot exprima în funcție de tensiunea comună u(t ) și parametrii ramurilor.
Curentul care trece prin rezistor este proporțional cu conductanța G a sa:
iG (t ) = Gu(t ) (1.39 )
Curentul prin bobină creează fluxul magnetic variabil
LLt Li t și o tensiune
electromotoare de autoinducție care în orice moment este compensată de tensiunea u(t) aplicată,
respectiv:
L
Ldtu t e tdt 
Se deduce
L
LtitL
și
Lt u t dt  și prin urmare:
1
Li t u t dtL
(I.1.40)

Curentul prin condensator este exprimat de relația:

Cdq titdt
(I.1.41)

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff într -unul din noduri rezultă:
G C L i t i t i t i t  
(I.1.42)
Înlocuind în relația (1.34) curenții derivați, exprimați prin relațiile (I.1.39), (I.1.40) și
(I.1.41 ) funcție de tensiun ea aplicată, se obține ecuația integro -diferențială a circuitului:
1 du ti t Gu t C u t dtdt L   
(I.1.43)
în care necunoscuta este curentul i(t).
Admițând tensiunea sinusoidală de forma:

21
  2 sinu u t U t    
și făcând înlocuirile în relația precede ntă se obține:
  2 sin 2 sin 2 sin22u u uUi t GU t CU t tL                          
(I.1.44)
relație din care se pot deduce valorile efective și fazele inițiale ale curenților derivați în
situația în care tensiunea este considerată origine de fază.
Pentru a aduce expresia valorii instantanee a int ensității curentului sub forma:
 2 sini i t I t    

sunt necesare artificii de calcul relativ dificile, de aceea rezolvarea circuitului se face utilizând
reprezentările simbolice ale semnalelor sinusoidale.
Aplicând metoda de reprezentare geometric ă a semnalelor sinusoidale se scrie ecuația
fazorială corespunzătoare:
I = IG + IC + I L (I.1.45 )
în care fazorii reprezentând curenții derivați sunt cunoscuți prin modulul lor – egal cu valoarea
efectivă a curenților respectivi – și argumentul lor – egal cu faza inițială a curenților – , respectiv:
| 0, | , |22G C CI GU I CU I CU     
(I.1.46)
Se construiește diagrama fazorială luând fazorul tensiunii aplicate drept origine de fază și
trasând fazor ii reprezentativi astfel încât lungimile și orientările lor să corespundă modulelor,
respectiv argumente lor, indicate de relațiile (1.46 ).
Din ecuația (1.44 ) precum și din diagrama fazorială trasată în fig.1.8, se observă că
curenții din ramurile conținân d bobina și condensatorul sunt decalași cu
2 în urmă, respectiv
înainte, în raport cu tensiunea; prin urmare acești curenți sunt în opoziție, ei circulă în sensuri
opuse.

22 Din triunghiul curenț ilor OAB rezultă:
2
22 2 1
G L C I I I I G U U C UC         
,

de unde se deduce valoarea efectivă a curentului nederivat :
2
2 1I U G C Y UL      
(I.1.47)
în care mărimea
2
2 1 IY G CUL    

este admitanța circuitului . Admitanța este formată din doi termeni: conductan ța G a
circuitului și mărimea
1BCL numită susceptanța circuitului. La rândul ei susceptanța
circuitului este formată din doi termeni:
1
LBL , numit susceptanță inductivă , și BC = wC ,
numit susceptanță capacitivă . Cu aceste notații ad mitanța circuitului se poate exprima prin
relația:
2
2 2 2 2 2 1
LC Y G B G B B G CL        
(I.1.48)
Prin urmare, valoarea efectivă a curentului nederivat poate fi exprimată funcție de
admitanța circuitului prin relația:
2
2 2 2 2 2 1
LC I Y U U G B U G B B U G CL             
(I.1.49)
Defazaj ul curentului nederivat în raport cu tensiunea rezultă din triunghiul curenților
OAB sau din triunghiul admitanțelor oab , reprezentat în fig.1.9, obținut prin împărțirea laturilor
triunghiului curenților prin tensiunea U care este factorul comun al celor t rei curenți. Se obține:

23
1
tanLCCBBB L
G G G  ,prin urmare:
1
arctan arctanLCCBB L
GG
(I.1.50)

Faza inițială a intensității curentului este:
1
arctani u uCL
G   
   
(I.1.51)

Din relațiile (I.1.49) și (I.1.50 ) și utilizând regula de reprezentar e fazorială rezultă fazorul
corespunzător curentului:
2
21
12 arctanuCLI U G CLG    
(I.1.52)
Prin urmare, utilizând regula de reprezentare inversă (fazor – valoare instantanee),
valoarea instantanee a intensității curentului va avea expresia:
2
21
12 sin arctanuCLi t U G C tLG           

(I.1.53)
Din relația (1.43) se observă că unghiul φ poate avea valori pozitive sau negative după
cum susceptanța inductivă este mai mare sau mai mică decât susceptanța capacitivă:
– în cazul în care susceptanța inductivă este preponderentă (BL > BC ) circuitul se
numește inductiv și se caracterizează printr -un curent decalat în urmă în raport cu tensiunea
aplicată fig.1.8.a;
– în cazul în care susceptanța capacitivă este preponderentă ( BC > BL ) circuitul este
capacitiv fiind caracterizat p rintr-un curent defazat înaintea tensiunii fig.1.8.b;
– în cazul în care susceptanța capacitivă este egală cu susceptanța inductivă( BC = BL )
circuitul este rezistiv fiind caracterizat printr -un curent în fază cu tensiunea fig.1.8.c.
Formele de undă ale t ensiunii și intensității curentului sunt identice cu cele reprezentate
în fig.1.4.
Rezolvarea circuitului se poate face și pe calea utilizării reprezentării în complex a
relației (I.1.40 ).
Astfel, utilizând reprezentarea în complex nesimplificat , imaginea ecuației circuitului se
scrie:
1i G u j C u j ul     
(I.1.54)

24 de unde rezultă:
1
LC i G j C u G j B B u G jB u Y uL               

în care :
1j
LC Y G j C G j B B G jB Y eL          
(I.1,55)
este admitanța complexa cu modulul:
2
2 22 1
LC Y G B B G CL      
și argumentul:
1
arctan arctanLCCBB L
GG
Valoarea instantanee complexă a curentului rezultă:
  2 2 2u u i j t j t j t ii Y u U e Ye YU e I e                    

unde :
2
2 22 1
LC I Y U U G B B U G CL          
sau ,sub forma trigonometrica:
 2 cos 2 sinii i I t j I t         .
Din ultima relație se deduce expresia curentului aplicând regula de trecere de la imaginea
în complex la valoarea instantanee a semnalului sinusoidal corespunzător:
2
21
1Im 2 2 sin arctanuCLi t i U G C tLG            

.
Utilizând metoda reprezentării în complex simplificat imaginea ecuației circuitului se
scrie:
1I G U j C U UjL     
(1.49)
de unde se deduce:
 1( ) ( )LC I G j C U G j B B U G jB U Y UC            

În care
ujU U e , deoarece orientarea fazorului reprezentativ coincide cu axa reală, iar
jY Y e
, după cum rezultă din relațiile precedente.Prin urmare:
()u u ij j j iI Y U Ue Ye Y U e I e              

unde:

25
2 2 2 2 1( ) ( )LC I Y U U G B B U G CL         
și
1
arctan arctanLCCBB L
GG

Având valoarea efectivă și argumentul mărimii sinusoidale se poate scrie expresia
curentului sinusoidal:
2
21
12 sin arctanCLi t U G C tLG           

.

La aceeași relație se ajunge utilizând regula de trecere de la imaginea în complex la
valoarea instantanee corespunzătoare observând că:
   Im 2 Im 2 2 sinu jt jt
u i t e I YU e YU t            
.
Din cele expuse se observă că oricare ar fi metoda de rezolv are a circuitului, se ajunge la
același rezultat. Metoda de rezolvare grafo -analitică bazată pe reprezentarea geometrică este mai
laborioasă dar prezintă avantajul că permite compararea valorilor și defazajelor diferiților
termeni ai ecuației, pe când meto da reprezentării simbolice prezintă avantajul unei determinări
rapide a mărimii necunoscute, care nu necesită construcții grafice.
Puterea activă corespunzătoare circuitului RLC paralel are expresia:
22cos cos 0 P UI YU GU   
,(I.1.56)
și este pozitivă sa u, la limită, nulă, indiferent de valoarea defazajului , ceea ce înseamnă
că, în general, circuitul RLC paralel consumă putere reactivă.
Puterea reactivă :

2 2 2 1sin sin Q UI YU BU C IL       
(I.1.57)
este:
– pozitivă în cazul circuitelor cu caracter inductiv (cir cuitul consumă putere reactivă),
– negativă în cazul circuitelor cu caracter capacitiv (circuitul consumă, de asemenea,
putere reactivă)
– nulă în cazul circuitelor cu caracter rezistiv (circuitul nu consumă și nici nu absoarbe
putere reactivă).
Astfel, puterea aparent ă complexă :

26
2 2 2 2 1cos sin S P jQ UI jUI GU jBU YU G j C UL               (I.1.58)
având modulul :
2
2 2 2 2 1S P Q U G CL      
(I.1.59)
poate fi:
– reală în cazul circuitelor cu caracter rezistiv,
– pur imaginară, în cazul circuitelor cu caracter pur reactiv, având partea imag inară:
– pozitivă în cazul circuitelor cu caracter inductiv,
– negativă în cazul circuitelor cu caracter capacitiv.
Prin urmare un circuit RLC serie funcționând în regim permanent sinusoidal consumă
atât putere activă cât și puterea reactivă.
În concluzie, în cazul unui circuit RLC paralel funcționând în regim permanent sinusoidal
se obține:
-admitanța complexă:
1() Y G j CL  
-admintanța:
22 1() Y G CL  
-defazajul tensiunii în raport cu curentul:
1
arctanCL
G

-valoa rea efectivă a intensității curentului:
2
2 1I U G CL    
-faza inițială a intensității curentului:
1
arctaniuCL
G

-valoarea instantanee a intensității curentului:
2
21
12 sin arctanuCLi t U G C tLG           


-puterea activă:
2P G U

27 -puterea reactivă:
2 1Q C UL  
-puterea aparentă complexă:
2 1S P jQ G j C UL      
-puterea aparentă:
2
2 2 2 2 1S P Q U G CL      

28
1.3.2. CIRCUITUL LC PARALEL

Circuitul LC paralel ( fără pierderi sau supraconductor ) este
o part icularizare a circuitului RLC paralel obținută prin
întreruperea ramurii ce conține rezistorul (anularea curentului prin
acesta).
Având în vedere că iR (t ) = Gu(t ) rezultă că întreruperea
ramurii ce conține rezistorul este echivalentă cu o valoarea G = 0 a
conductanței acestuia.
Făcând G = 0 în rela țiile ( I.1.47) (I.1.49), ( I.1.50), ( I.1.52), ( I.1.54) și ( I.1.56 ¸ I. 1.59) se
obține:
-admitanța complexa:
1Y j CL
-admitanța:
1YCL
-valoarea efectivă a intensității c urentului:
1I C UL  
-faza inițială a intensității curentului:
2iu
-defazajul tensiunii în raport cu curentul:
1
arctan02CL 
 
-valoarea instantanee a intensității curentului:
12 sin2u i t C U tL               
-puterea activă: P=0
-puterea reactivă:
2 1Q C UL  
-puterea aparentă complexă:
2 1S P jQ j C UL     
-puterea aparentă:
2 2 2 1S P Q C UL     

29 Prin urmare, în cazul unui circuit LC paralel funcționând în regim permanent sinusoi dal
se pot face următoarele observații:
-admitanța este pur imaginară sau nulă (pentru
1CL )
-defazajul
 al tensiunii în raport cu curentul este:
-pozitiv (pentru circuite cu caracter inductiv, la care
1
L >
C )
-negativ (pentru circuite cu caracter capacitiv,la care
1
C <
C )
-nedeterminat (pentru
1
C =
C )
-curentul e ste:
-defazat în urma tensiunii cu un unghi
2 radiani (pentru
1
L >
C )
-defazat înaintea tensiunii cu un unghi
2 radiani (pentru
1
C <
C )
și are valoarea efectivă infinită pentru
1CL (în acest caz circuitul reprezentând un
scurtcircuit)
-circuitul nu consumă putere activă, de aceea aceste circuite se numesc fară pierderi
-circuitul consum ă putere reactivă (nulă în cazul
1CL )
-puterea aparentă complexă este pur imaginară
-puterea aparentă este egală cu puterea reactivă.
Pentru aceste circuite este valabilă diagrama fazorială din fig.1.11.

30

Să considerăm că la un mo ment dat întrerupem alimentarea circuitului. În momentul întreruperii
curentul în circuit are valoarea instantanee i, energia câmpului magnetic este
21
2mW Li , iar a
celui electric
2 1
2eCW Cu . Chiar după întreruperea ali mentării, procesul electromagnetic în
acest circuit va continua pe seama energiei câmpurilor. Altfel spus, în circuit va continua să
circule un curent i, deși circuitul nu mai este alimentat de la sursă. Energia câmpului electric va
trece în câmpul magneti c, iar de aici în câmpul electric și așa mai departe, prin intermediul unui
curent i alternativ de pulsație
1
LC . Deoarece circuitul nu are rezistența care să transforme
energia câmpurilor în căldură și să o cedeze mediului exterior, procesul ar continua la infinit,
fără ca valoarea efectivă a curentului să scadă (proces neamortizat).
Un astfel de circuit, numit circuit oscilant , nu poate exista în practică deoarece nu există
bobine și condensatori ideali (având rezistențele proprii n ule). Circuitul, numit circuit fără
pierderi sau supraconductor , prezintă importanță doar din punct de vedere teoretic.

31 CAPITOLUL II

2. REZONAN ȚE ÎN CIRCUITE ELECTRICE LINIARE
FĂRĂ CUPLAJE MAGNETICE FUNC ȚIONÂND ÎN REGIM
PERMANENT SINUSOIDAL

2.1. GENERALIT ĂȚI

În general sursele de energie electrică care alimentează circuitele electrice furnizează
acestora atât putere activă, necesară diverselor utilizări, cât si putere reactivă, corespunzătoare
variației energiei înmagazinate în câmpurile electric e si magnetice ale rețelei.În anumite cazuri
particulare este posibil ca în timp ce în unele din aceste câmpuri se acumulează energie, în
celelalte câmpuri energia să scadă cu o cantitate egală,câmpurile electrice si magnetice
furnizându -i reciproc energia necesară, așa încât, schimbul de energie între sursă si câmpurile din
circuit este nul în orice moment și –corespunzător -puterea reactivă furnizată de sursă este de
asemenea nulă. Deși circuitul are elemente reactive el va absorbi de la sursă numai putere activă.
În acest caz se spune că in circuit au loc fenomene de rezonanță.
Este posibil ca, la funcționarea circuitelor RLC (serie sau paralel ), în anumite condiții, defazajul
tensiunii în raport cu curentul să fie nul deși circuitele conțin elemente reac tive care defazează
curentul în raport cu tensiunea.
Având în vedere expresia defazajului corespunzator circuitelor RLC serie și paralel, condiția de
rezonanță poate fi scrisă, după caz:


100L C e L X X X QC       – în cazul ci rcuitelor reprezentate prin scheme
echivalente serie,

100L C e C B B B QL      
– în cazul circuitelor reprezentate prin scheme
echivalente paralel.
Condiția de rezonanța poate fi obținută:

la variați a pulsației respectiv a frecvenței tensiunii de alimentare, pastrând constante inductanța
L și capacitatea C:
1
rLC respectiv
1
2rf
LC ,
r și
rf numindu -se pulsație, respectiv
frecvență de rezonanță;

32
 la variația inducției, alimentând circuitul de la o sursă de frecvență fixă și păstrând constantă
capacitatea C:
21
rLC ,
rL
numindu -se inductanță d e rezonanță;

la variația capacității, alimentând circuitul de la o sursă de frecvență fixă și păstrând constantă
inductanța L:
21
rCL ,
rC numindu -se capacitate de rezonanță.
În cele ce urmează vom analiza consecințele regimului de rezonanță, comparativ pentru cele
două circuite: RLC serie și RLC paralel, considerând că s -a obținut condiția de rezonanță prin
variația pulsației.

2.2. REZONAN ȚA ÎN CIRCUITE RLC SERIE

În cazul unui circu it RLC serie funcționând în regim permanent sinusoidal, în condiții de
rezonanță, pornind de la relațiile ( I.1.10
I.1.13), (I.1.15), (I.1.18 ) și (I.1.35
I.1.38 ) se obține:
-impedanța complexă:
1()rr
rZ R j L RC   
-impedanța:
2
2
min1
rr
rZ R L R ZC    

-defazajul tensiunii în raport cu curentul:
1
arctan 0r
rLC
R
 ,
cos 1r
-valoarea efectivă a intensității curentului:
r
rUUIZR ,
max r
rUUIIZR  
-faza inițială a intensității curentului:
1
arctan
rr
i u uLC
R  
  
-tensiunea la bornele rezistorului ideal:
rRrUU R I R UR     ,
rRUU (II.2.1 )
-tensiunea la bornele bobinei ideale:

33
,r
Lr r r rL UU j L I j L j URR     
rr
LLUUR (II.2.2)
-tensiunea la bornele condensatorului ideal:
1 1 1,
rr
Cr
r r rL UU j I j j U j UC C R RC R
       

1
rC
rUURC (II.2.3)
-puterea activă:
2
2
max rrUP R I PR   
-puterea reactivă:
2 10.r r r
rQ L IC  

Curbele de variație în timp a semnalelor sinusoidale u(t) si i(t) și diagramele fazoriale ale
tensiunilor în condiții de rezonanță au fost prezentate în fig.1.4.c. respectiv fig.1.2.c.
În concluzie, în regim de rezonanță:
-impedanța (rea lă), egală cu rezistența circuitului, are valoarea minimă,
-factorul de putere este maxim,
-curentul, în fază cu tensiunea, are valoarea maximă,
-tensiunea pe bobinăsi condensator sunt egale în valori efective, și de semn contrar și pot depași
tensiunea ap licată circuitului , adică în circuit apar supratensiuni. Din acest motiv rezonanța serie
se mai numește și rezonanță de tensiuni.
Condiția de apariție a supratensiunilor este ca tensiunea pe bobină sau condensator (egale între
ele) să fie mai mare decât t ensiunea pe rezistență, egală cu tensiunea de alimentare a circuitului:
11r
rL
R RC


Dar cum în regim de rezonanță
1,rLC rezultă
11L
RC .
Notându -se
1
r
rLLCC   – impedanța caracteris tică a circuitului RLC serie, condiția de
apariție a supratensiunilor se poate scrie și sub forma:

34
1 1 .r
rL
RURUR     
Supratensiunile de rezonanță pot determina arderea spirelor bobinei sau străpungerea
dielectricului condensatorului.
Dacă se defi nește factorul de calitate al circuitului q, numeric egal cu raportul de amplificare al
tensiunilor la rezonanță:
rrLCUUqU U R  
(II.2.4)
și factorul de amortizare al circuitului:
1RLdRq q C  
(II.2.5)
Condiția de apariție a supratensiunilor se mai poate scrie: q>1 sau d<1.
La rezonanță circuitul RLC serie nu consumă și nu debitează putere reactivă.
Dacă într -un circuit electric unul dintre par ametrii R, L, C sau pulsația
 este variabilă, pentru
anumite valori se atinge condiția de rezonanță. În timpul acestei variații, semnalele electrice din
circuit (tensiuni, curenți) și factorul de putere variazădupă curbe caracter istice, denumite curbe
de rezonanță. De cele mai multe ori interesează curbele de rezonanță obținute prin variația
pulsației
 astfel încat în cele ce urmează vor fi analizate unele din aceste curbe, în cazul
circuitului RLC serie , fără a efectua calculele matematice corespunzătoare, acestea fiind
elementare.
Se notează:
11r RCRdLL LC
  

1rRCRC R LC dL
C
  

Intensitatea curentului în circuit:
2
2 1UI
RLC


pentru
0 are valoarea
00,I

35
 pentru
(0, ]r crește până la
max ,UIR

pentru
[ , )r scade din nou până la
0I (fig.1.27).
Tensiunea la bornele bobinei:
2222
2 2
2211L
rrUUU L I L
RL dC
     
       
(II.2.6)

pentru
0 are valoarea
00,LU


pentru
(0, ]L unde
22
2L r rd   crește până la valoarea maximă
max2,
14LUU
dd



pentru
[ , ),L scade până la valoarea
LUU (fig.2.1)

Tensiunea la bornele condensatorului:

36
2222
2 2
2211
11C
rrUUUICC
RL dC     
        (II.2.7)

pentru
0 are valoarea
0CUU ,

pentru
(0, ]C unde
22
2C r rd   crește până la valoarea
max max2
14CLUUU
dd



pentru
[ , )C scade până la valoarea
0CU (fig.2.1).
Pentru
,r adică la rezonanță, tensiunile
LU și
CU sunt egale și au valoarea efectivă:
.Lr CrUUUd

Se observă că pentru
2, d valorile
L și
C sunt imaginare, deci
LU crește con tinuu, iar
CU
scade continuu, fără a trece prin maxime.
Din relațiile precedente, rezultă clar și condițiile în care apar supratensiuni în circuitele RLC
serie și anume: pentru
2 d nu apar supratensiuni la ni ci o pulsație; pentru
2 d apar
supratensiuni la pulsați diferite de pulsația de rezonanță, dar în general apropiate de aceasta.
Unghiul de defazaj
 între tensiunea u(t) și intensitatea curentului i(t) rezu ltă din relația:
1
1tan .r
rLC
Rd   

(II.2.8)

pentru
0 ,
tan ,
2 , deci curentul este defazat capacitiv cu
2 înaintea tensiunii
u(t) (fig.2.1),

pentru
(0, ]r unghiul
 scade în valoare absolută și pentru
r , adică la rezonanță,
tan 0
,
0 , deci curentul este in fază cu tensiunea, iar factorul de putere
cos 1 ,

37
 pentru
[ , )r defazajul crește în sens inductiv și pentru
 ,
tan ,
2 , adică
curentul este defazat cu
2 în urma tensiunii.
Pentru a putea compara mai ușor diferite circuite între ele, se obișnuiește ca mărimile I,
LU și
CU
să fie reprezentate nu în valorile absolute, ci prin mărimile relative:
maxIiI
,
L
LUuU ,
,C
CUuU
Considerând ca variabilă pulsația relativă
r . În cele ce urmează se va arăta numai variația
intensității relative i a curentului. Ținând seama de expresia intensității maxime a curentului
rezultă:
2 2 2
max2
211
11 111 1I U RiIULRLC R RC d      
                  
(II.2.9)
Din această expresie rezultă:

pentru
0
( 0) intensitatea relativă i a curentului are valoarea zero (I=0),

pentru
1
()r intensitatea r elativă i a curentului are valoarea maximă i=1
max ( ),II

pentru

0i (fig.2.2).
Forma exactă a curbei depinde însă de valoarea factorului de amortizare d. Cu c ât factorul de
amortizare este mai mare, cu atât curba de rezonanță este mai plată și invers, cu cât factorul de
amortizare este mai mic, cu atât curba curentului este mai ascuțită, deci rezonanța apare mai
puternic în evidentă.

2.3. REZONANȚA ÎN CIRCUITE LE RLC PARALEL

În cazul unui circuit RLC paralel funcționând în regim permanent sinusoidal, în condiții
de rezonanț ă, pornind de la relațiile (I.1.48), (I.1.50), (I.1.51), (I.1.53 ), (I.1.55 ) și (I.1.57
I.1.59 )
se obține:

38 – admitanța complexă:
1
rr
rY G j C GL   

– admitanța:
2
2
min1
r
rY G C G YL    

– defazajul tensiunii în raport cu curentul:
1
arctan 0r
rCL
G
 ,
cos 1r
– valoarea efectivă a intensității curentului:
1,rr
rI G j C U G UL     

min rI G U I  
– faza inițială a intensității curentului:
1
arctanr
r
ir u uC
G  
  
– intensitatea curentului prin rezistor:
,Rr rI G U I  
Rr rI G U I  
– intensitatea curentului prin bobină:
1,Lr
rI j UL 
1
Lr
rIUL
– intensitatea curentului prin condensator:
1,Cr r
rI j C U j UL   
1
Lr
rIUL
– puterea activă:
2
rP GU
-puterea reactivă:
2 10rr
rQ C UL   

În concluzie, în regim de rezonantă:
– admitanța (reală), egală cu conductanța circuitului, are valoarea minimă,
– factorul de putere este maxim,
– curentul, în fază cu tensiunea, are valoarea minimă,
– intensităților curenșilor prin bobină și condensator sunt egale în valori efe vtive și de semn
contrar și pot avea valori efective mai mari decât cea a intensității curentului total furnizat
de sursa de alimentare. În această situație pot aparea supracurenți, iar rezonanța în
circuitul RLC paralel se mai numește și rezonanțăde curen ți.
Condiția de apariție a supracurenților este:

39
1
r
rCGL
Deoarece la rezonanță
1,rLC rezultă
CGL .
Notând
C
L – admitanța caracteristică a circuitului RLC paralel, cond iția de apariție a
supracurenților se mai poate scrie:
G
sau
1.G
Dacă se definește factorul de calitate al circuitului q, numeric egal cu raportul de amplificare
al curenților la rezonanță:
Cr Lr
Rr RrI IqI I G  
(II.2.10)
și factorul de amortizare:
G

condiția de apariție a supratensiunilor se mai poate scrie:
1q
sau
1 .

40

La rezonanță circuitului RLC paralel nu consumă și nu debitează puterea reactivă.
În cazul circuitelor RLC paralel, curbele de rezonanță reprezintă variația curenților I,
RI ,
CI
și a defazajului
 în funcție de pulsația
 (fig.2.3).
Curentul total:
2
2 1I U G CL    

pentru
0 este infinit,

pentru
(0, ]r scade la valoarea
min , I G U

pentru
( , )r crește tinzând către infinit.
Curentul prin rezistor:
RUI G UR   este constant.
Curentul prin bobină:
LUIL (II.2.11)

pentru
0 este infinit,

pentru
 , tinde către z ero.

41 Deci curentul prin bobină scade invers proporțional cu pulsația
 (curba de variație
descriind o hiperbolă echilaterală).
Curentul prin condensator:
CI C U
(II.2.12)

pentru
0 este zero,

pentru
0 , tinde către infinit.
Deci curentul prin condensator variază proporțional cu pulsația
 (curba de variație desciind
o dreaptă).
Unghiul de defazaj
 dintre tensiune si intensitatea curentului, determinat de relația:
1
tanCL
G



pentru
0 ,
tan ,
2 ,

pentru
,r
tan 0,
0,

pentru
 ,
tan ,
.2
Curbele de rezonanță studiate mai sus pot fi reprezentate și în mărimi relative, așacum s -a
arătat pentru circuitul RLC serie.

2.4. REZONAN ȚA ÎN CIRCUITE F ĂRĂ PIERDERI
(SUPRACONDUCTOARE). CIRCUITE OSCILANTE

Consid erăm un circuit închis pe el însuși, conținând o bobină de inductanță L și un
condensator de capacitate C (fig.1.10) rezistența circuitului fiind nulă. Un asemenea circuit se
numește supraconductor.
Alimentăm acest circuit de la o sursă montată în serie pe circuit, apoi întrerupem
alimentarea, revenind la schema din figură.

42 În momentul întreruperii alimentării curentul în circuit are intensitatea i(t), energia
câmpului magnetic este
2 1( ) ,2mW Li t iar al celui electric
2 1( ).2ecW Cu t
Chiar după întreruperea alimentării, procesul electromagnetic în acest va continua pe
seama energiei câmpurilor. Astfel spus, în circuit va continua sa circule un curent i(t), deși
circuitul nu mai este alimentat de la sursă.
Energia câmpului electric v a trece în câmpul magnetic, iar de aici în câmpul electric și
așa mai departe, prin intermediul unui curent i(t) alternativ, de pulsație
1
rLC și perioadă
22
rT LC
.
Deoarece circuitul nu are rezistență care să trans forme energia câmpurilor în căldură și săo
cedeze mediului exterior, procesul ar continua oricât de mult, fără ca valoarea efectivă a
curentului să scadă (proces neamortizat -fig.2.4).

În cazul circuitelor fără pierderi LC serie, funcționând la rezonanță:
impedanța complexă are expresia și modulul:
0
010, Z j LC  

(circuitul fiind echivalent cu o ramură scurtcircuitată)
valoarea efectivă a intensității curentului:
0
0,
1UI
LC 

ceea ce înseamnă că un astfel de circuit nu poate fu ncționa la rezonanță.

43 În cazul circuitelor fără pierderi LC paralel, funcționând la rezonanță:
0
010, Y j CL  


0
010 YCL   (circuitul fiind echivalent cu o ramură întreruptă)
valoarea efectivă a intensității curentului:
0
010, I C UL   

ceea ce înseamnă că un circuit LC paralel la rezonanță nu permite
trecerea semnalelor sinusoidale de pulsație de rezonanță; acest circuit reprezintă un filtru de
frecvență.
Un asemenea circuit se numește circuit oscilant. În practică, c ircuitul ddin fig.1.10 nu poate fi
lipsit de rezistență, astfel încât energia câmpurilor se transformă, treptat, în căldură iar valoarea
efectivă a curentului scade (proces amortizat – vezi 2.4), iar pulsația scade de asemenea. Pentru a
menține valoarea cu rentului din circuit,acesta trebuie alimentat cu energie din exterior.

2.5. REZONAN ȚA ÎN CIRCUITE MIXTE

În cazul unui circuit format dintr -o bobină și un condensator conectate în paralel (și considerate
ideale –cu rezistențe proprii nule), chiar după î ntreruperea alimentării circuitului, în circuit va
exista un curent de instantanee i, deoarece procesul electromagnetic în acest circuit va continua
pe seama energiei câmpurilor, circulația curentului continuând la infinit.
În practică, circuitul din fig. 1.10 nu poate fi lipsit de rezistență, astfel încât energia câmpurilor se
transformă, treptat, în căldură iar valoarea efectivă a curentului scade (proces amaortizat), iar
pulsația scade de asemenea (fig.2.5). Pentru a menține valoarea curentului din circu it acesta
trebuie alimentat cu energie din exterior.
Să considerăm circuitul mixt din fig.2.6.

44

Condiția de rezonanță se poate obține pe diferite căi:
folosind diagrama fazorială,
separând elementele active și reactive ale circuitului,
prin calcul cu ajut orul reprezentării simbolice analitice.
În ramura
1RL serie curentul are valoarea efectivă
1
1UIZ și este defazat cu unghiul
1 în urma
tensiunii (fig.2.7) ; acest current are o componen tă reactivă cu valoarea efectivă
11sin .rI În
ramura
2RC serie curentul are valoarea efectivă
2
2UIZ și este defazat cu unghiul
2 înaintea
tensiunii; acest curent are o componentă reactivă cu valoarea efectivă
2 2 2 sinrII  . Pentru a
obține rezonanță, factorul de putere trebuie să aibă valoarea unu, deci componenta reactivă a
curentului total trebuie să fie nulă și, în consecință:
12
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2sin sin 0rrXXUUI I I IZ Z Z Z          

Sau
12
22
120XX
ZZ
Deoarece
1 , XL
21, XC
2 2 2 2
11 , Z R L 
22
22 221, ZRC condiția precedentă
devine:
2 2 2
2 2
2 2210.1L
RLCRC
  (II.2.13)

45 Cele doua regimuri au următoarele susceptanțe echivalente:
1
1 2 2 2 2
11,X LBZ R L


2
2 2
2 2
2 221
1XBZCRC
La rezonanță susceptanța totală trebuie să fie nulă, deci:
12 2 2 2
2 1
2 22101LB B BRLCRC
     
(II.2.14)
Dacă impedanțele complexe ale celor două ramuri sunt:
11Z R j L
(II.2.15)
221Z R jC
(II.2.16)
Impedanța echivalentă a circuitului va fi:

12
12
12
121
1eR j L RZZ jCZZZR R j LC
   
(II.2.17)
După transformări simple se obține forma:

 2 2
2 2 2 2 2 21
1 2 2 1 2 2 2 2 2
22
22
1 2 1 211eRR LLR R R R L R LRC C C CZj
R R L R R LCC  
     

              
(II.2.18)
În circuitul considerat va exista rezonanța când reactanța echivalentă (coeficientul lui j din relația
2.18) se anulează, adică:
2 2
2 1
2 20R LLLRC C C   
(II.2.19)
Rezolvând această ecuație, se obține pulsația de rezonanță:

46
2
221
1
22
22
211
rLRR C
L R LC LCRC   
d)Admitanța complexă a circuitului este:
12
1 2 1
21 1 1 1
1Y Y YZ Z R j LRjC
     

Sau
2
1
2 2 2
21
21
1RjR j L CYjRLRC 



Condiția de rezonanță devine:
2 2 2
2 1
2 22101LBRLCRC
   
(II.2.20)
În consecință, indiferent de metoda fol osită, condiția de rezonanță, dată de relațiile (2.13), (2.14),
(2.20) are aceeași formă. Din relațiile precedente, prin
22
1
22
21
rR
R LC
(II.2.21)
În care
L
C
Expresia puls ației de rezonanță arată că în circuitul considerat, pulsația de rezonanță depinde și
de rezistențele
1R și
2R din circuit, spre deosebire de rezonanța din circuitele ideale (serie și
paralel), unde pulsația de rezonanță este funcție numai de parametrii L și C.
Din expresia precedentă se deduc următoarele cazuri particulare:
Pentru
12RR
1
rLC

47 Deci condiția de rezonanță are aceeași formă ca în circuitele RLC serie s au derivație.
Pentru
12RR , condiția de rezonanță sub forma (1.70) devin o nedeterminare, deci
rezonanța se produce la orice pulsație.
Pentru
1 , R
2R sau
1R ,
2R pulsația
r din relația (1.70) este imaginară, deci
rezonanța nu este posibilă.
Un alt caz particular, cu aplicatii practice, îl constituie cazul
20 R , când ramura a doua se
reduce nu mai la o capacitate (înt -adevăr, dacă ramura a doua reprezintă un condensator,
neglijând pierderile sale de putere activă, rezistența sa echivalentă poate fi de asemenea
neglijată).
Condiția de rezonanță devine:
2 2 2
10LCRL
De unde :
2 2 2
1LCRL
Relația precedentă dă valoarea capacități C a condensatorului care trebuie montat în paralel cu un
circuit inductiv compus dintr -un rezistor de rezistență
1R în serie cu o bobină de inductanță L,
pentru ca ans amblul să aibă factor de putere egal cu unitatea.
2.6. CIRCUITE CU REACTAN ȚE SEMICOMPENSATE

Circuitele rezonante sunt caracterizate, conform relațiilor (2.18) prin aceea că reactanțele
inductive și capacitive se compensează reciproc. Circuitele cu reactan țe semicaompensate sunt
acele circuite pentru care sunt satisfăcute relațiile de forma:
1
2LC
(II.2.22)
Sau sub forma:
2LC
(II.2.23)
În aceste circuite reactanțele se compensează numai pe jumătate.
Există numeroase aplicații practice ale circuitelor cu reactanțe semicompensate. Se examinează,
de exemplu, circuitul din fig.2.8, în care reactanțele satis fac relația ( II.2.22), iar rezistența R este
variabilă.

48 Curentul din circuit va fi dat de relația:

e I U Y
(II.2.24)
Unde admitanța complexă echivalentă este:
211
ej CR LCY j CR j L R j L  
(II.2.25)
În cazul reactanțelor semicompensate (relația II.2.22) rezultă:
2 2 2
2 2 2112 ( )2 2 ( )ejY R L j R LL R j L L R L        
(II.2.26)
Modulul admitanței este:
1
2eYL
(II.2.27)
Iar argumentul este:
2 2 2
arctan2RL
RL
(II.2.28)
Curentul rezultă:
2UIL
(II.2.29)

49

Această relație arată că valoarea efectivă a curentului absorbit de la rețea nu depinde de
rezistența R, însă faza curentului, conform relației ( II.2.28) variază de la
2 la
2 când
rezistența variază de l a zero la infinit.
Vârful fazorului I se deplaseaza pe un semicerc (fig.2.9) de rază
2U
L , când rezistența variază de
la zero la infinit.
Se obține deci un defazor de curent.
2.7. REZONAN ȚA ÎN CIRCUITE DE ORDIN SUPERIOR

În circuitel e RLC serie și paralel se obține câte un singur regim de rezonanță. În circuite
complexe conținând mai multe elemente reactive (bobine și condensatori) numărul de rezonanțe
este cu unu mai mic decât numărul acestor elemente.

50 Una dintre condițiile de re zonanță este ca intensitatea curentului absorbit de circuit să fie în fază
cu tensiunea de la borne. Dacă circuitul este reprezentat sub forma unui dipol liniar pasiv
(fig.2.10), pentru care tensiunea și intensitatea curentului sunt exprimate în formă expo nențială,
condiția ca cele două semnale să fie în faza conduce la un defazaj nul între acestea.
ujU U e

ujI I e
,
00uj       
uj

Cea mai generală condiție de rezonanță este:
0 .
Puterea reactivă corespunzătoare dipolului, calculată pe baza relației sale de definiție, conduce
la:
sin sin0 0 Q UI UI     

Deci un circuit în regim de rezonanță nu produce și nu consumă putere reactivă.

22
0S P Q
Q


S=P,
cos 1k
Dacă circuitul este reprezentat sub forma unui dipol liniar pasiv, el poate fi echivalat printr -o
impedanță complexă
eZ (fig.2.11)
j
e e e eZ R jX Z e   

Cu modulul
22
e e eZ R X și argumentul
arctane
eX
R

51 Deoarece la rezonanță
0 , rezultă
0eX , sau
Im( ) 0eZ reprezentând condiția de rezonanță
când circuitul este redus la o impedanță.
În mod asemănător, dacă circuitul este de tip paralel și se reduce la o admitanță echivalentă
complexă,
j
ee Y G jB Ye  

Unde argumentul este:
arctane
eB
G
Condiția de rezonanță se scrie:
0eB
sau
Im( ) 0eY .
În cazul circuitelor cu rezonanțe multiple se constată că pulsațiile de rezonanță serie și paralel
alternează, deci nu se poate trece dintr -un regim de rezonanță serie în altul decât printr -un regim
de rezonanță par alel.

52

53

2.8 ASPECTE ENERGETICE ÎN FENOMENELE DE REZONAN ȚĂ

54

2.9 IMPORTAN ȚA PRACTIC Ă A FENOMENELOR DE REZONAN ȚĂ ÎN
ELECTROTEHNIC Ă

55

56

57

58
separă in aparatul de radiorecepție un anume post de radioemisie dintr -un număr foarte mare de
posturi care l ucreaza concomitant (tensiunile electromotoare induse de postul cu care s -a facut
acordul ,produc curenți maaximi ceea ce face posibilă audiția ,curenții produși de celelalte
tensiuni electromotoare fiind mici,nu perturbă audiția).
Telefonia multipla
În mod analog, in telefonia multipla, se folosește un singur circuit cu două fire, pentru a
efectua simultan mai multe convorbiri. Ca și în transmisiile radio convorbirile se efectuează pe o
anume frecvența purtătoare , deosebită de a celorlalte posturi. Pentr u a pune doua posturi în
legtură ,faraa perturba sau a fi perturbați de celelalte convorbiri, este suficient ca posturile în
legatură să fie acordate pe aceeași frecvența purtătoare, ceea ce se realizează tot cu ajutorul unor
dispozitive de rezonanță, denu mite filtre.
Îmbunatațirea factorului de putere
Rezonanta curenților este folosita mult și la frecvența industrială pentru îmbunatațirea
factorului de putere al instalațiilor care cuprind receptoare inductive consumatoare de energie
reactivă, dat fiind că , prin aducerea la rezonantă a circuitului , unghiul de defazaj dintre curent di
tensiune se anulează. În acest scop, in paralel cu receptoarele inductive se cupleaza condensatori
sau compensatoare sincrone care, absorbind un curent de defazat inaintea ten siunii (curent
reactiv capacitiv) compensează în parte sau total, componenta reactivă inductivă a curentului
absorbit de receptor. Prin acesta curentul absorbit este adus în fază (sau aproape fază) cu
tensiunea și deci factorul de putere (cosφ) multimbunat ațit.
Exemplele enumerate mai sus se refera la cazurile în care fenomenul de rezonanță are un efect
util.
Trebuie însa remarcat că există și cazuri în care fenomenele de rezonanță pot avea și
efecte dăunătoare, mai ales când de produc fără a fi prevăzute.
Un exemplu,deosebit de periculos, îl constituie cuplarea în serie a unor elemente de circuit
inductive și capacitive când rezistența circuitului este foarte mică în raport cu reacțiile
circuitului. În acest caz, dacă reactanțele sunt apropiate ca ordin de mărime, reactanța totală se
anulează, apare rezonznța tensiunilor, caracterizată prin apariția supratensiunilor la bornele
reacțiilor și apariția curenților de intensități foarte mari,în același timp amortizarea d este mică se
produc supratensiuni importan te.
Un asemenea fenomen are loc în cazul unor anumite linii aeriene (sau în cablu), puse sub
tensiune la un capăt de către un transformator sau un generator de curent alternativ, capătul
celălalt fiind în gol (fără receptori de putere activă). În acest caz rezistența liniei este mica și este
posibil ca reactanța totală sa fie nulă,generatorul sau transformatorului se caracterizează printr -o

59 indictanță mare, iar cablul, funcționând in gol, printr -o capacitate mare, asamblul lor construind
un circuit echivale nt cu parametrii L, C legați în serie.
Dacă la frecventa rețelei sau a unei armonici superioare reactanțele reactanțele celor două
elemente sunt apropiate ca valoare, la bornele generatorului și între conductoarele cablului apar,
fenomenul de rezonanță, te nsiuni cu mult mai mari decât tensiunea aplicată (tensiunea la capatul
nealimentat este mult mai mare decâttensiunea la capatul alimentat) care, întrecândtensiunile
nominale ale elementelor, pot produce străpungerea izolației dintre spitele înfașurăilor
generatorului (transformatorului) sau străpungerea izolației cablului. Curentul de mers în gol
este, de asemenea mare putând conduce la deteriorarea înfașurarilor generatorului datorită
forțelor electrodinamice mari ce rezulta

60 CAPITOLUL III

3.FACTORUL DE PUTERE AL CIRCUITELOR ELECTRICE DIPOLARE
ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

3.1. DEFINI ȚIE

Se definește factorul de putere ca raportul între puterea activă și puterea aparentă:
pPkS
(III.3.1)
Cu alte cuvinte, factorul de putere arată ce cantitate din puterea aparentă reprezintă
puterea activă.
În regim permanent sinusoidal :
coscospPSkSS  
(III.3.2)
deci factorul de putere este egal cu cosinusul unghiului de defazaj dintre tensiune și
curent, putând varia în intervalul (0 , 1).
Când factorul de putere are valoarea sa maximă, adică
cos 1 , puterea activă devine
P=UI și are valoare maximă, egală cu puterea aparentă. Prin urmare puterea aparentă S este
puterea activă maximă care poate să fie dată de o sursă pentru o anumită tensiune U și un anumit
curent I.
Neegalitatea dintre puterea aparentă și cea activă se datorează faptului că în afară de
curentul activ Ia, în fază cu tensiunea, receptorul mai absoarbe un curent reactiv, defazat cu
2 în
urma tensiunii (la receptorii inductivi), necesar magnetizării circuitelor magnetice ale
receptorului. Corespunzător, receptorul absoarbe o putere reactivă Q = UI × sinj = UIr . Pentru
ca o anumită instalație, de putere aparentă nominală dat ă, să funcționeze cu maximum de putere
activă, adică cu maximum de eficacitate, factorul de putere corespunzător trebuie să fie cât mai
mare (mai apropiat de unitate), adică defazajul dintre tensiune și curent să fie cât mai mic (mai
apropiat de zero).
Unii receptori cum ar fi: motoarele asincrone de turație mică, motoarele asincrone de
turație mare când funcționează cu sarcină mică sau în gol, transformatoarele de rețea când
funcționează în gol, cuptoarele de inducție, transformatoarele de sudură etc., înr ăutățesc
(micșorează) factorul de putere.
Factorul de putere mediu al unei unități, sau subunități industriale se calculează cu relația:

61
2211cos
1 tan1med
med rW
W

  (III.3.3)
unde :
sintancosmed r
med
medUI t W
UI t W
în care energia reactivă Wr și energia activă W sunt înregistrate cu contoare în același
interval de timp t (de exemplu o lună).
Dacă
cosmed are o valoare sub cea stabilită, unitatea consumatoare de energie electrică
este obligată să plăteasc ă o anumită penalizare, cu atât mai mare cu cât
cosmed este mai mic.

3.2. DEZAVANTAJELE UNUI FACTOR DE PUTERE SC ĂZUT

Un factor de putere scăzut duce la o serie de neajunsuri, prezentate în cele ce urmează.
Dacă, de exemplu, Im este curentul maxim pe care îl poate debita o centrală electrică și I
– curentul unui receptor (care are la borne tensiunea U și absoarbe puterea activă P) rezultă
numărul de receptori identici care pot fi conectate la centrală:
cosmmI I UnIP adică, acest
număr este direct proporțional cu factorul de putere
cos .
Alt dezavantaj al unui factor de putere redus este pierderea de tensiune D U, de putere D P
și deci de energie D W = D(P × t ):

cosPU Z I ZU   
;
2
2
22cosPP Z I ZU   

adică, aceste pierderi active sunt cu atât mai mari cu cât factorul de putere și tensiunea sunt mai
mici.
Alte dezavantaje ale unui factor de putere scăzut sunt:
– mărirea puterii instalate la transformato arele și generatoarele sistemului. De exemplu,
dacă o întreprindere oarecare absoarbe o putere activă de 80 kW la un factor de putere
cos 0,5
, puterea instalată la transformator va trebui să fie:
80160cos 0,5PS kVA  

Dacă factor ul de putere ar fi
cos 0,8 , puterea transformatorului poate fi:
80100cos 0,8PS kVA  

62 – mărirea secțiunii conductorilor pentru ca pierderile de tensiune și pierderile de energie
provocate de curentul to tal să nu depășească limitele admise. Se vede că pentru o anumită putere
aparentă S, pe măsură ce crește puterea reactivă Q, scade puterea activă P. Dar, conform cu
relația de definiție a puterii reactive, puterea reactivă crește atunci când crește
cos , deci când
crește unghiul de defazaj φ și scade factorul de putere
cos
. Consumatorii care au bobine
cu inductanțe mari (unele mașini electrice, transformatoare etc.) defazează mult curentul
absorbit, în urma te nsiunii (unghi de defazaj mare), astfel încât cer o importantă putere reactivă,
făcând ca prin aceasta să scadă factorul de putere al sursei care alimentează rețeaua care nu poate
da în consecință decât o putere activă P mică. De aici interesul de a avea u n factor de putere cât
mai mare la consumatori.
Din cele prezentate mai sus, legat de dezavantajele unui factor de putere scăzut, rezultă
una din problemele tehnico -economice cele mai importante ale gospodăririi energetice: problema
ameliorării factorului de putere a instalațiilor consumatoare de energie electrică, problemă care
va fi tratată în cele ce urmează.

3.3. ÎMBUN ĂTĂȚIREA FACTORULUI DE PUTERE

Mărirea factorului de putere sau, cum se spune, îmbun ătățirea factorului de putere pentru
o instalație dat ă va duce la mică orarea curentului total absorbit și, prin aceasta, la posibilitatea
de a conecta noi receptori la aceeași rețea.
În cazul unei instalații noi proiectate, luând toate măsurile ca factorul de putere să fie cât
mai mare, instalația proiectat ă va fi mai economică (secțiunea conductorilor mai mică, puterea
postului de transformare mai mică).
În prezent, puterile cerute de întreprinderi de la sistemul energetic sunt din ce în ce mai
mari. În consecință, problema factorului de putere are o import anță deosebită. Îmbunătățirea
factorului de putere se poate face pe două căi:
· prin măsuri organizatorice, cu ajutorul cărora factorul de putere este mărit fără nici un
fel de investiții;
· prin producerea puterii reactive la fața locului.
Principalele mă suri organizatorice sunt:
– utilizarea rațională a motoarelor electrice, astfel încât să fie încărcate, pe cât posibil, la o
putere de cel puțin 0,75 din puterea lor nominală (funcționarea acestora la o sarcină cât mai
apropiată de cea nominală, înlocuirea motoarelor și transformatoarelor supradimensionate);
Într-adevăr, puterea reactivă absorbită de un motor asincron depinde puțin de sarcină. De
aceea, cu cât un motor asincron merge cu o sarcină mai mică, cu atât factorul său de putere va fi
mai redus.

63 – reducerea tensiunii aplicate fazelor motorului, prin schimbarea conexiunii din triunghi
în stea.
Aceasta se admite numai la motoarele la care încărcarea nu depășește (0,4 , 0,5) din
puterea nominală și se poate aplica numai la motoarele la care pornirea se face cu comutator
stea-triunghi. Trebuie amintit însă că, trecând de la conexiunea stea, cuplul de pornire și cuplul
maxim al motorului scade de trei ori. În instalațiile electrice moderne, la care sarcina motorului
variază în decursul timpului, se utilize ază comutatoarele stea -triunghi automate, care la scăderea
sarcinii motorului schimbă conexiunile pe stea, iar la creșterea sarcinii, revin pe conexiunea
triunghi în mod automat, în funcție de curentul care trece prin motor;
– evitarea mersului în gol al r eceptorilor reactivi (motoare asincrone și transformatoare de
sudură) în special, prin deconectarea lor de la rețea, atunci când nu au sarcină;
– utilizarea, atunci când este posibil, a unor compensatoare sincrone (motoare sincrone ce
funcționează în gol, supraexcitate) sau înlocuirea motoarelor asincrone cu motoare sincrone.
Motoarele sincrone pot funcționa cu factor de putere
cos 1 și, în plus, pot produce
energie reactivă, pe are o dau rețelei;
– sincronizarea motoarelor asincrone m ari.
Producerea puterii reactive chiar la întreprindere se realizează cu ajutorul mașinilor de
curent alternativ sincrone sau cu ajutorul condensatorilor; ele absorb din rețea o putere reactivă
capacitivă, care compensează puterea reactivă inductivă, neces ară magnetizării circuitelor
magnetice, ceea ce înseamnă, cu alte cuvinte, că acești receptori produc putere reactivă
inductivă.
Mașinile sincrone folosite sunt motoarele sincrone obișnuite sau generatoarele sincrone
special construite pentru producerea pu teri reactive, numite compensatoare sincrone.
Ca soluții de reducere a pierderilor de energie se adoptă, pentru transportul energiei
electrice, montarea unor transformatoare electrice ridicătoare (după generator) și coborâtoare
(înaintea receptorului), iar pentru îmbunătățirea (creșterea factorului de putere), montarea în
paralel cu receptorul, a unor condensatori (pentru defazaj inductiv) și a unor bobine (pentru
defazaj capacitiv).
Dacă factorul de putere al unii receptor este
cos și din motive tehnico economice este
necesar să se compenseze (să crească) acesta până la valoarea cosj’, rezultă că puterea reactivă a
elementului compensator (condensator sau bobină) este:
  ' tan tan 'cQ Q Q P     

unde:
tan QP este puterea reactivă a receptorului consumată la factorul de putere
cos
,
tan QP este puterea reactivă a receptorului consumată la factorul de putere
cos , iar
P este puterea activă a receptorul ui.
Dacă receptorul este inductiv (cazul practic cel mai răspândit) elementul compensator
(condensatorul) are capacitatea:
 
22tan tan 'CP QCUU


64 În mod similar se obține și inductanța elementului compensator (bobina) dacă receptorul
este capacitiv:
 22
tan tan 'CUULQP   
Utilizarea condensatorilor este uneori avantajoasă, deoarece condensatorii funcționează
cu pierderi mici și fără zgomot, au greutate mică, nu au piese în mișcare și se instalează destul de
simplu.
Pentru îmbunătățirea factorului de putere se folosesc ăi baterii de condensatori.
Capacitatea C a unei baterii de condensatori legate în triunghi, pentru a compensa o
putere reactivă Q, absorbită de un grup de receptori la tensiunea , se determină cu ajutorul
relației:
23QCU ,
în care:
C este capacitatea unei faze a bateriei, în F;
U – tensiunea de linie a rețelei, în V;
Q – puterea reactivă de compensat, în VAr;
w – pulsația curentului alternativ industrial de 50 Hz
Puterea reactivă de compensat Q se poate lua ega lă cu puterea medie corespunzătoare
energiei reactive înregistrate de contoarele de energie reactivă pe un anumit interval de timp
pentru grupul de receptori considerat.
Compensarea puterii reactive se face în următoarele feluri:
– individual – instalând c ondensatori lângă fiecare receptor în parte;
– pe grupe – instalând bateria la plecarea cablurilor unui grup de receptori mai importanți;
– centralizat – instalând bateria de condensatori în cuprinsul stației de transformare
principală a întreprinderii. Ac est ultim procedeu descarcă de putere reactivă numai sistemul
energetic care alimentează exploatarea. Primul și al doilea procedeu permit reducerea puterii
transformatoarelor și a secțiunii cablurilor chiar în cadrul exploatării, însă complică instalații le
acesteia.
Calculele tehnice economice arată că este rațional ca factorul de putere să fie îmbunătățit
până la (0,9 ; 0,95).
În fig.3.1 este reprezentată o sursă de curent alternativ care alimentează cu tensiunea U
un receptor inductiv (care conține elem ent reactiv inductiv și rezistor).

65 Fig. 3.1 fig 3.2

Curentul I1 absorbit de acest receptor este defazat în urma tensiunii U cu unghiul φ. În
paralel cu receptorul inductiv se l eagă un condensator de capacitate C.
Pentru a vedea efectul condensatorului asupra factorului de putere, se trasează o diagramă
fazorială, ca în fig.3.2. Se ia drept origine de fază vectorul tensiunii U. Se trasează apoi vectorul
I1 absorbit de receptorul inductiv.
Curentul I2 ce trece prin condensator este reprezentat printr -un vector defazat cu unghiul
2
înaintea vectorului tensiunii U.
Curentul total I se obține din compunere vectorilor care reprezintă curenții I1 și I2. Se
vede din figură că vectorul curentului I este defazat față de tensiunea U cu un unghi φ’ mai mic
decât unghiul de defazaj φ în cazul când nu există condensator. S -a reușit cu ajutorul
condensatorului să se obțină un factor de putere cosφ’ mai mare decât factor ul de putere inițial
cosφ. În consecință condensatorul permite îmbunătățirea factorului de putere.

66 CAPITOLUL IV
4. APLICA ȚII EWB PENTRU STUDIUL FENOMENELOR DE
REZONAN ȚĂ

4.1. MEDIUL DE PROGRAMARE EWB

Mediul de programare EWB (Electronic Workbench) este util izat pentru simularea
circuitelor analogice și digitale. El dispune de o biblioteci pentru:
surse
componente de circuit
– rezistori
– bobine liniare și neliniare, invariabile și variabile
– condensatori invariabili și variabili, polarizați
– transformato are liniare și neliniare
– relee
– întrerupătoare diverse
– potențiometre.
diode
tranzistori
circuite integrate analogice
circuite integrate digitale
circuite integrate mixte
porți logice
indicatori (ampermetre, voltmetre, lămpi indicatoare, etc.)
circuite ce realizează funcții matematice (multiplicatoare, integratoare, etc.)
instrumente de măsură și control (multimetre, generatoare de semnal, osciloscop,
ploter, analizor logic, convertoare logice), etc.
Se pot utiliza componente având caracteristi cile implicite (apropiate de cele ideale sau
chiar ideale) sau se pot simula componente cu caracteristicile dorite (impuse de noi sau cele ale
anumitor firme).
Cu ajutorul unor icon -uri din meniu se pot selecta, copia, tăia, roti, etc. componentele
dorite și conecta conform schemei dorite.
Rularea aplicației se realizează prin acționarea unui buton din partea dreaptă – sus a
ferestrei alicației.
Mediul EWB permite ca anumite scheme, deja realizate să fie utilizate drept părți ale
altor scheme prin salvarea a cestora ca subcircuite. Utilizarea lor într -o altă aplicație se face sub
forma unui bloc.
De asemenea, mediul EWB permite vizualizarea formelor de undă ale unor semnale din
circuit utilizând opțiunea „Display Graphs”.

67

68
4.2. REALIZAREA UNUI WATTMETRU P ENTRU APLICA ȚII EWB

Deoarece mediul de programare EWB nu dispune, în biblioteca de aparate de măsură, de
wattmetre s -a impus proiectarea și realizarea unei scheme care să aibă funcția unui wattmetru,
schemă ce va fi utilizată ca subprogram în aplicaăiile privind studiul fenomenelor de rezonanță.
Să considerăm un circuit ce funcționează în regim permanent sinusoidal, tensiunea și
curentul având expresiile:
  2 sinu u t U t    

 2 sin 2 siniu i t I t I t          

Puterea instantanee p(t) este egală cu prod usul valorilor instantanee ale tensiunii și
curentului, fiind exprimată prin relația:
 p t u t i t
(IV.4.1)
După înlocuirea tensiunii și curentului în relația (4.1), puterea instantanee devine:
 2 sin sinuu p t u t i t UI t t            
(IV.4.2)
Utilizând relația trigonometrică
 sin sin cos cosa b a b a b    
rezultă:
  cos cos 2 2u p t UI UI t          
(IV.4.3)
Primul termen
cos P UI 
(IV.4.4)

constant, este componenta continuă a puterii instantanee și reprezintă în ace lași timp valoarea
medie a puterii instantanee, numit putere activă .
Având în vedere faptul că puterea activă reprezintă componenta continuă a puterii
instantanee, se poate realiza pentru wattmetru schema din fig.4.1.a.
Tensiunea de la bornele circuitului a cărui putere activă consumată se măsoară se aplică
la bornele porții de comandă ale unei surse de tensiune comandată în tensiune, pentru care
factorul de multiplicare a fost ales 1 V/V. La bornele porții comandate ale acesteia se va obține o
tensiune ide ntică cu cea de comandă.
Curentul prin circuitul a cărui putere activă consumată se măsoară se aplică la bornele
porții de comandă ale unei surse de tensiune comandată în curent, pentru care factorul de
multiplicare a fost ales 1
 . La bornele porții comandate ale acesteia se va obține o tensiune ce
are forma de undă identică cu cea a curentului de comandă.
Tensiunile obținute la bornele porților comandate ale celor două surse se aplică

69 la intrările unui multiplicator, cu factorul de amplificare unitar. La ieșirea acestuia se va obține o
tensiune a cărei forme de undă este identică cu puterea instantanee.

Figura 4.1 Wattmetru EWB
a – schema electrică; b – verificarea watt metrului

Dacă la ieșirea acestui multiplicator se conectează un voltmetru de tensiune continuă,
acesta va indica o valoare egală cu puterea activă.
Verificarea schemei se face utilizând metoda alimentării fictive (fig.4.1.b). Se
vor aplica la bornele circ uitului de curent, respectiv circuitului de tensiune ale wattmetrului astfel
realizat un curent sinusoidal, respectiv o tensiune sinusoidală cu frecvența 50 Hz și amplitudini
unitare. Faza inițială a curentului se va considera nulă.
Modificând faza inițial ă a tensiunii voltmetru va indica, de fapt, cosinusul unghiului de
defazaj dintre tensiune și curent, adică factorul de putere. Cum aceste cosinusuri sunt ușor de
cunoscut, verificarea schemei este simplă. De exemplu, pentru
3 245 ,cos 0,707 707 102uu     

Se observă, în fig.4.1.b corectitudinea indicației voltmetrului. Schema a fost verificată și pentru
alte valori ale lui
u . De asemenea verificarea s -a realizat și în regim staționar (c.c.).

4.3. PREZENTAREA APLICA ȚIILOR

Pentru st udiul funcționării circuitului RLC serie a fost realizată aplicația din fig.4.2.
Sursa de alimentare este un generator de semnal, la care se poate modifica atât
amplitudinea cât și frecvența tensiunii de alimentare a circuitului ceea ce ne permite analiza
funcționării acestuia la frecvență variabilă.

70 Componentele de circuit sunt liniare și variabile (rezistor variabil, bobină variabilă,
condensator variabil). Acest lucru ne permite analiza funcționării circuitului la inductivitate,
respectiv capacitate vari abilă.
Aplicația pune în evidență fenomenul de rezonanță de tensiuni realizat prin una
din cele trei căi:
– variația frecvenței
– variația inductivității
– variația capacității.
Pentru studiul funcționării circuitului RLC paralel a fost realizată aplicația din fig.4.3.
Legat de componentele acestui circuit observațiile sunt aceleași ca și în cazul aplicației
anterioare.

Figura 4.2
Aplicație EWB pentru analiza circuitului RLC serie

71

Figura 4 .3
Aplicație EWB pentru analiza circuitului RLC paralel
4.4. RE ZULTATE EXPERIMENTALE ȘI CONCLUZII

Utilizând aplicațiile prezentate mai sus s -au luat câteva date, prezentate în tabelele
4.1÷4.6.
S-a considerat tensiunea de alimentare având valoarea efectivă 220,1 V, iar valorile
maxime ale rezistenței, inductivității și capacității:
max 40 R

max 506,604 L mH

max 80 CF

S-au făcut determinări pentru:
– frecvență variabilă în domeniul {10, 20, … 100} Hz
– inductivitate variabilă în domeniul {10%, 20%, …, 90%, 100%} din Lmax
– capacitate variabilă în domeniul {10%, 20%, …, 90%, 100%} din Cmax
rezistența având valoarea
max0,5 20RR   .

Tabelul 4.1

72

Tabelul 4.2

Tabelul 4.3

73

Pe baza datelor din tabelele 4.1÷4.3 au fos t trasate graficele din fig.4.4÷4.6.

74

Figura 4.4

75

Figura 4.5

76

Figura 4.6

77
Analiza tabelelor 4.1÷4.3 și a graficelor din fig.4.4÷4.6 indică faptul că la frecvența,
inductivitatea, respectiv capacitatea de rezonanță s -au obținut:
– valoare maximă pen tru curent,
– tensiune pe rezistență maximă,
– tensiuni pe inductivitate și capacitate egale
– putere activă maximă.

Tabelul 4.4

Tabelul 4.5

Tabelul 4.6

78

Figura 4.7

Figura 4.8

79

Figura 4.9
Analiza tabelelor 4.4÷4.6 și a graficelor din fig.4.7÷4. 9 indică faptul că la frecvența,
inductivitatea, respectiv capacitatea de rezonanță s -au obținut:
– valoare minimă pentru curent,
– curenți prin inductivitate ți capacitate egali,
– putere activă maximă.