Elemente algebrice construibile cu rigla s i [605120]

Ministerul Educat ¸iei Nat ¸ionale
Universitatea ”OVIDIUS” din Constant ¸a
Facultatea de Matematic ˘a s ¸i Informatic ˘a
Specializarea Matematic ˘a – Informatic ˘a
Elemente algebrice construibile cu rigla s ¸i
compasul
Lucrare de licent ¸ ˘a
Coordonator s ¸tiint ¸ific:
Lect. univ. dr. Iorgulescu Gabriel
Absolvent: [anonimizat] ¸ Andreea M ˘ad˘alina
Constant ¸a
2019

Cuprins
Cuprins i
Lista Figurilor 1
1 Extinderi de corpuri 1
1.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Caracteristica unui inel(corp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Inele de polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Inele de fract ¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Element prime s ¸i elemente ireductibile . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Inele factoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.6 Factorialitatea inelelor de polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Polinoame ireductibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Criterii de ireductibilitate pentru polinoame . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Criteriul de ireductibilitate al lui Eisenstein . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Extinderi de corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Extinderi de corpuri algebrice s ¸i transcendente . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Extinderi de corpuri finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Extinderi de corpuri separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i

Cuprins Cuprins
1.3.4 Extinderi de corpuri normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5 Extinderi de corpuri Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Teoria lui Galois 18
2.1 Teorema fundamental ˘a a teoriei Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Grupul Galois al unui polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Extinderi radicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 R ˘ad˘acinile unit ˘at ¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Ecuat ¸ii binome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Aplicat ¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul 38
Referint ¸e bibliografice 47
ii

Lista Figurilor
1

Introducere
Teoria lui Galois reprezint ˘a un capitol spectaculos de algebr ˘a, extrem de important pentru
aplicat ¸iile sale ˆın matematic ˘a s ¸i informatic ˘a.ˆIn matematica abstract ˘a, ofer ˘a o leg ˘atur˘aˆıntre
teoria corpurilor s ¸i cea a grupurilor. Folosint teoria lui Galois, unele probleme care fac
referire la corpuri , pot fi reduse la grupuri, care sunt mai us ¸or de studiat. Evariste Galois
a folosit grupuri de polinoame pentru a ar ˘ata cum r ˘ad˘acinile unei ecuat ¸ii polinoame au o
leg˘atur˘a.
Scopul principal al algebrei a fost g ˘asirea formulelor de rezolvare a ecuat ¸iilor algebrice,
mai exact a exprimarea solut ¸iilor ˆın funt ¸ie de coeficient ¸i, folosind expresii cu radicali. Paolo
Ruffini s ¸i Niels Henrik Abel au demonstrat c ˘a ecuat ¸ia general ˘a de grad mai mare sau egal
cu 5 nu e rezolvabil ˘a cu radicali. Teoria lui Galois, care asociaz ˘a fiec ˘arei ecuat ¸ii un grup s ¸i
trage concluzii asupra ecuat ¸iei cu ajutorul studiului grupului, a rezolvat aceast ˘a problema.
ˆIn prima parte din primul capitol al lucr ˘arii vom fixa terminologia s ¸i notat ¸iile, vom
prezenta unele definit ¸ii s ¸i rezultate care ne vor fi necesare pentru a studia extinderile de
corpuri abeliene.
V om presupune c ˘a structurile algebrice,de baz ˘a, precum grupul, inelul sau corpul, sunt
s ¸tiute,s ¸i vom trece doar prin prin caracteristica unui corp, inel de polinoame, inel de frat ¸ii, el-
emente prime s ¸i elemente ireductibile, inele factoriale, factorialitatea inelelor ale polinoame,
polinoame ireductibile ˆımpreuna cu criteriile de ireductibilitate. ˆIn continuare vom prezenta
conceptul de extindere ale corpurilor comutative ˆımpreuna cu propriet ˘at ¸ile generale. V om
ˆıncepe cu extinderile simple, s ¸i anume extinderile algebrice s ¸i cele transcendente, ˆıntruc ˆat
cele algebrice intervin ˆın teoria lui Galois. ˆIn capitolul al doilea, vom studia teoria lui Ga-
lois. V om studia prima oar ˘a num ˘arul de elemente, izomorfismul s ˘au cu un grup de permut ˘ari.
Apoi vom da cateva exemple de grupuri Galois, vom prezenta grupul Galois al unui polinom,
grupul Galois al corpului de descompunere al acestul polinom.
Iar apoi, ˆın ultimul capitol, intr ˘amˆın studiul numerelor algebrice ”construibile” cu rigla
s ¸i compasul. Galois a dat cateva condit ¸ii necesare s ¸i suficiente pentru ca o ecuat ¸ie s ˘a fie
rezolvabil ˘a prin radicali. V om prezenta imposibilitatea rezolv ˘arii c ˆatorva probleme clasice
de constructibilitate cu rigla s ¸i compasul.

Capitolul 1
Extinderi de corpuri
1.1 Preliminarii
1.1.1 Caracteristica unui inel(corp)
FieRun inel cu unitate.
Definit ¸ie 1.1.1.1. Caracteristica lui Reste:
.ordinul lui 1 ˆın grupul (R;+),dac˘a este un num ˘a natural nenul,
sau
.zero,dac ˘a 1 nu are ordin finit.
Caracteristica lui Rse noteaz ˘a cucharR .
Fixˆand mult ¸imea A=fn2N;n1 = 0g, definit ¸ia devine :
charA =(
infA=f0gdac˘aA6=f0g
0 dac˘aA=f0g
Exemple 1.1.1.1. charR=charZ= 0,charZn=n
1.1.2 Inele de polinoame
Inelul polinoamelor de nedeterminat ˘aXpesteR, notat cuR[X],reprezint ˘a un polinom nenul
g2R[X],notat pring=Pn
i=0biXi,bi2R,i= 0;1;:::;n ,bn6= 0,n0.
Elementele bisunt coeficient ¸ii lui g, undeb0este termenul liber, bneste coeficientul domi-
nant, iarnfiind gradul lui g(n=deg(b)).
Dac˘a coeficientul dominant al lui geste 1, atunci polinomul se numes ¸te unitar sau monic.
Polinoamele constante sau, constantele lui R[X]sunt acele elemente ale lui Rcare sunt
”asimilate” cu polinoamele de grad 0 sau cu 0. Aceast ˘a ”asimilare” reprezint ˘a scufundarea
1

Extinderi de corpuri Preliminarii
luiRˆınR[X]via omomorfismului injectiv unitar de inele :R!R[X],'(b) =b,b2R.
R[X]este inel comutativ unitar, dar s ¸i R-modul(adic ˘a oR-algebr ˘a), av ˆand operat ¸iile:
Fieg=Pn
i=0biXis ¸ih=Pm
j=0cjXj, atuncig+h=Pp
k=0ekXk,undeek=bi+cj,k=
0;1;:::;p s ¸ipmax(n;m), iargh=g=Pq
l=0slXl,undesl=P
i+j=lbicj,
sm+n,rg=Pn0
i=0(rbi)Xi,unden0ns ¸in=n0dac˘abn6= 0.
Dac˘aReste corp comutativ, R[X]nu este,U(R[X])fiindR.
Putem construi inelul polinoamelor de n nedeterminate X1;:::;XnpesteR(n2) astfel:R[X1;:::;Xn] =
(R[X1;:::;Xn1][Xn],elementele sale put ˘and fi scrise sub forma : f=P
(i1;:::;in)ai1:::in
Xin
1:::Xinn, undeai1:::in2R,(i1;:::;in)2Nn, iar suma av ˆand un num ˘ar finit de termeni,
numit ¸i monoame.
Din construct ¸ie, f poate fi scris s ¸i sub forma g=Pn
j=0gjXj
n, cufj2R[X1;:::;Xn1],
j= 0;1;:::;n .
Un polinom se poate descompune unic, ˆın sum ˘a de polinoame.
Exemplu 1.1.2.1. Pentruf2Z[X1;X2],g= 1 +X14X2+ 2X1X2X4
1+X6
2:
g1= 1;g2=X14X2;g3= 0;g4= 2X1X2X4
1+X6
2
ˆIn teoria polinoamelor se foloses ¸te not ¸iunea de funct ¸ie asociat ˘a polinomului f, sau
funct ¸ia polinomial ˘a. FieRun subinel al inelului Ks ¸i asociind polinomul g=Pn
i=0biXi2
R[X],avem funt ¸ia eg:K!K;eg(x) =Pn
i=0bixi2K;8z2K.
Funt ¸iaegs ¸i polinomul gse pot nota la fel, iar eg(x)se numes ¸te valoarea lui gˆınx2K.Se
observ ˘a c˘a]g+h=eg+ehs ¸i]gh=egeh. Astfel, suma s ¸i produsul funt ¸iilor reprezint ˘a suma
s ¸i produsul punctuale.
Dac˘ag=h,atunci s ¸i eg=eh,dar sunt cazuri ˆın careeg=ehf˘ar˘a cags˘a fie egal cu h.
Exemplu 1.1.2.2. g;h2Z3[X],g=X+e1s ¸ih=X3+e1are funct ¸iile asociate egale
ˆIi putem asocia polinomului g2R[X1;:::;Xn]funct ¸iaeg:Kn!K,eg(x1;:::;xn) =P
(i1;:::;in)bi1:::inxi1
1:::xinn, undeg=P
(i1;:::;in)bi1:::inXi1
1:::Xinn, iar(x1;:::;xn)2Kn.
Aceast ˘a funct ¸ie permite introducerea not ¸iunii de r ˘ad˘acin˘a a polinomului g2R[X]
aflat˘aˆın suprainelul Kal luiR.Aceast concept ar reprezenta un element 2K, pentru care
eg(
) = 0 , mai precis un zero al funct ¸iei polinomiale asociate lui g.V om notag(
) = 0 .
Din egalitatea eg(x) = 0 , undexar putea fi o necunoscut ˘a , se obt ¸ine o ecuat ¸ie polinomial ˘a
asociat ˘a luiginR [X],cunoscut ˘a s ¸i ca ecuat ¸ie algebric ˘a:
bnxn+bn1xn1+:::+b1x+b0= 0;i= 0;1;:::;n:
Elementul
2K,pentru care eg() = 0 este numit soluc tie pentru ecuat ¸ia polinomial ˘a
eg() = 0 , zero pentru funt ¸ia polinomial ˘aegs ¸i r˘ad˘acin˘a pentru polinomul g.
2

Extinderi de corpuri Preliminarii
Teorem ˘a 1.1.2.1. (Proprietatea de universalitate a inelului de polinoame. ) FieRs ¸iK
inele,t2Kelement fixat , iar :R!Komomorfism unitar de inele. Atunci exist ˘a un
onmomorfism unitar de inele unic e :R[X]!K, astfel ˆıncˆate jRs ¸ie (X) =t.
Dac˘a exist ˘a, atunci, pentru orice g=Pn
i=0biXi2R[X],avem (g) =Pn
i=0e (bi)(e (x))i=Pn
i=0 (bi)vi. Ar˘at˘a c˘a aceste este omomorfism de inele prin verificarea propriet ˘at ¸ilor
din definit ¸ie.
Construct ¸ia inelului de polinoame av ˆand coeficient ¸i ˆınR, de oric ˆate nedeterminate (mai
precis,de nedeterminatele Xvjv2V, undeVeste o mult ¸ime nevid ˘a),se bazeaz ˘a pe situat ¸ia
cunoscut ˘a din cazul finit,s ¸i anume:
R[Xvjv2V] =WV;WfinitaR [Xwjw2W];
iar operat ¸iile de inel sunt definite utiliz ˆand faptul c ˘a, dac ˘aW1s ¸iW2sunt submult ¸imi fi-
nite dinV,W1[W2este tot o submult ¸ime finit ˘a dinV, iarR[Xvjv2Wi]R[Xvjv2T1[T2];8i=
1;2.
1.1.3 Inele de fract ¸ii
FieRinel comutativ unitar,iar Sun submonoid al monoidului <R;
;1>,cu12Ss ¸i pentru
8m;n2S,produsulmn2S.Acest submonoid se va numi sistem multiplicativ ˆınRs ¸i
vom presupune c ˘a0=2S.
Exemple 1.1.3.1. 1.1;m;m2;:::,undem2Reste element nilpotent;
2.Mult ¸imea nondivizorilor lui 0dinR;
3.U(R) =x2Rj9x12R;xx1=x1x= 1;
Pe mult ¸imea RSputem defini o relat ¸ie de echivalent ¸ ˘a:
(a;b) (a0;b0),exist ˘at2Sastfel ˆıncˆatt(ab0a0b) = 0 .
Not˘am mult ¸imea claselor de echivalent ¸ ˘a cuS1R=RS=, o clas ˘a^(a;b) = (a0;b0)2RS=(a0;b0)
care se noteaz ˘a cua
b, numit ˘a fract ¸ia cu numitor in S.
PeS1Rintroducem operat ¸iile algebrice:
a1
b1+a2
b2=a1b2+a2b1
a1b2;a1
b1a2
b2=a1a2
b1b2
3

Extinderi de corpuri Preliminarii
Aceste dou ˘a operat ¸ii sunt bine definite s ¸i satisfac axiomele de inel comutativ cu unitate
ˆın care :
.elementul zero este0
1= (a;b)2RSj9v2S;va = 0
.opusul luia
bestea
b
.elementul unitate este1
1= (a;b)j9v2S;va =vb
.fract ¸iile de formab
1sunt inversabile
S1Reste inelul de fract ¸ii al lui Rrelativ laS.
Aplicat ¸ia S:R!S1R, S(a) =a
1este un omomorfism unitar de inele, av ˆand propri-
etatea c ˘a S(S)U(S1R)s ¸iKer =a2Rj9v2S;va = 0.
Dac˘aSeste format din nondivizori ai lui 0:
1.(a;b) (a0;b0)def$ab0=a0b
2.0
1= (0;b)jb2S;1
1= (b;b)jb2S
3.Ker = 0, fiind un omomorfism de scufundare a lui RˆınS1R
Astfel,are loc urm ˘atoarea proprietate de universalitate:
Teorem ˘a 1.1.3.1. FieRun inel comutativ unitar s ¸i Sun sistem multiplicativ al s ˘au,0=2
S.Atunci:
1.S1Re un inel unitar comutativ,s ¸i S:R!S1R, S(a) =a
1un omomorfism unitar
de inele, av ˆand proprietatea c ˘a S(S)U(S1R);
2.Exis˘a un unic omomorfism unitar de inele :S1R!R0pentru orice inel unitar
comutativR0s ¸i pentru orice omomorfism unitar de inele :R!R0cu(S)
U(R0), astfel ˆıncˆat S=;
3.Inelul comutativ unitar Vs ¸iS1Rsunt inele unitare izomorfe dac ˘a perechea (V; 0
S)
s ¸i 0
S:R!V,care este omomorfism unitar de inele astfel ˆıncˆat 0
S(S)U(V),
satisfac condit ¸ia 2.
Dac˘aSreprezint ˘a totalitatea nondivizorilor lui zero ai inelului R,se obt ¸ine inelul total
de fract ¸ii al lui R,notat cuQ(R).Dac ˘aReste integru, Q(R)este un corp,numit corpul de
fract ¸ii al lui R.
4

Extinderi de corpuri Preliminarii
1.1.4 Element prime s ¸i elemente ireductibile
FieRdomeniu de integritate.
Definit ¸ie 1.1.4.1. Fiep2R.pse numes ¸te element prim ˆınRdac˘ap6= 0,p =2U(R)s ¸i dac ˘a
pjmn,cum;n2Ratuncipjmsaupjn.
Definit ¸ie 1.1.4.2. Fieq2R.qse numes ¸te element ireductibil ˆınRdac˘aq6= 0,q =2U(R)s ¸i
dac˘aq=mn, cum;n2Ratuncim2U(R)saun2U(R).
Teorem ˘a 1.1.4.1. FieRdomeniu de integritate, p;q2R. Atunci:
1.peste element prim,(p)este ideal prim ;
2.qeste element ireductibil ,(q)este ideal maximal ˆın mult ¸imea tuturor idealelor prin-
cipale;
3.Orice element prim este element ireductibil;
4.Dac˘a inelulRare proprietatea c ˘a oricare dou ˘a elemente din Rau un cel mai mare
divizor comun,atunci orice element ireductibil este prim.
Definit ¸ie 1.1.4.3. FiePun ideal ˆınR,P6=R.IdealulPse numes ¸te ideal prim, dac ˘a satisface
una din condit ¸iile echivalente :
1.Dac˘amn2P,pentrum;n2R,atuncim2Psaun2P;
2.Pentru orice ideale I;Jale luiR,dac˘aIJP, atunciIPsauJP;
3.R=P este domeniu de integritate.
Definit ¸ie 1.1.4.4. Un idealPal ineluluiR,P6=R,este numit ideal maximal, dac ˘a din
incluziunile PMR, pentru idealul Mal luiR,rezul ˘aP=MsauM=R.
1.1.5 Inele factoriale
Definit ¸ie 1.1.5.1. Fie(R;+;)domeniu de integritate. Rse numes ¸te inel factorial dac ˘a
orice element nenul s ¸i neinversabil al lui Reste produs de elemente prime ale lui R.
Exemplu 1.1.5.1. (Z;+;)este inel factorial.
5

Extinderi de corpuri Preliminarii
Teorem ˘a 1.1.5.1. Teorema de caracterizare a inelelor factoriale FieRdomeniu de integri-
tate. Urm ˘atoarele afirmat ¸ii sunt echivalente :
1.Reste inel factorial;
2.Orice element din Rnenul s ¸i neinversabil se scrie ca un produs unic de elemente
ireductibile din R;
3.Orice element din Rnenul s ¸i neinversabil se scrie ca un produs unic de elemente
ireductibile din Rs ¸i orice element ireductibil este prim;
4.Orice element din Rnenul s ¸i neinversabil se scrie ca un produs unic de elemente
ireductibile din Rs ¸i pentru orice doua elemente exist ˘a un cel mai mare divior comun
al lor, respectiv cel mai mic multiplu comun ;
5.Orice ideal prim nenul al lui Rcont ¸ine un element prim;
6.Orice lant ¸ ascendent de ideale principale din Reste stat ¸ionar: Rb1Rb2:::
Rbn:::atunci9n02Nastfel ˆıncˆatRbn0=Rbn0+1=:::;
7.intersect ¸ia a dou ˘a ideale principale este tot un ideal principal.
Definit ¸ie 1.1.5.2. Cel mai mare divizor comun d2Rs ¸i cel mai mic multiplu comun m2R
pentru perechea de elemente s;t2Rse definesc astfel :
d= (s;t), dac ˘a :
(i)d=ss ¸id=t;
(ii)d1=ss ¸id1=t)d1=d.
m= [s;t], dac ˘a :
(i)s=m s ¸it=m ;
(ii)s=m 1s ¸it=m 1)m=m 1.
Definit ¸ie 1.1.5.3. Rse numes ¸te ideal principal dac ˘a s ¸i numai dac ˘a orice ideal al s ˘au este
ideal principal.
1))2)Rezult ˘a din definit ¸ia inelului factorial s ¸i din propozit ¸ia :
Propozit ¸ie 1.1.5.1. Fiep1;p2;:::;pn2Relemente prime s ¸i fie q1;q2;:::;qm2Relemente
ireductibile astfel ˆıncˆatp1p2:::pn=q1q2:::qm. Atuncin=ms ¸i renumerot ˆand eventual
elementele avem c ˘apiqi,8i=1;n.
6

Extinderi de corpuri Preliminarii
2))3)Ar˘at˘am doar c ˘a dac ˘aqeste element ireductibil atunci este element prim.
Fieq2Rireductibil s ¸i presupunem c ˘aq=mn)mn=qo;o2R.
Darm=q1q2:::qs;n=q0
1q0
2:::q0
r;o=q"1q"2:::q"t, undeq1;q2;:::;qs;q0
1;q0
2;:::;q0
r;q"1;q"2;:::;q "t
sunt elemente ireductibile ˆınR
)q1q2:::qsq0
1q0
2:::q0
r=q"1q"2:::q"t
Cum conform lui 2)scrierea este unic ˘a, deducem c ˘aqqi;i=1;ssauqq0
j;j=1;r
qqi)q=m sauq=n
Astfel deducem c ˘aqeste element prim.
3))1)Este evident
1))4)Rezult ˘a din propozit ¸ia:
Propozit ¸ie 1.1.5.2. FieRinel factorial s ¸i P= (pi)i2Iun sistem de reprezentant ¸i de elemente
prime ˆınR.
Fies;t2R)s=aQ
i2Ipmi
i;t=bQ
i2Ipni
i;a;b2U(R).Atunci:
c:m:m:d:c:s;t =Q
i2Ipminmi;ni
i =d= (s;t)
c:m:m:m:cs;t =Q
i2Ipmaxmi;ni
i =m= [s;t].
4))3)Rezult ˘a din teorema de la Elemente prime s ¸i elemente ireductibile
1))5)FiePERideal prim al lui R.
CumP6= (0) atunci9a2P;s6= 0;s =2U(R).
DeoareceRinel factorial)s=p1p2:::pn,pielemente prime , i=1;n
Cump1p2:::pn2P)9k21;2;:::;n astfel ˆıncˆatpk2P.
5))1)FieS=fs2Rjs6= 0,s =2U(R),sse scrie ca un produs de elemente prime g
R.
Este evident c ˘uSeste sistem multiplicativ ˆınchis (adic ˘as;t2Satuncist2S).
Este suficient s ˘a ar˘at˘am c ˘a dac ˘as2R;s6= 0s ¸is =2U(R)atuncis2S.
Presupunem prin reducere la absurd c ˘as =2S.
Avem (s)\S=;.
ˆInseamn ˘a c˘a aplic ˆand Lema lui Zosn, exist ˘aPERideal maximal astfel ˆıncˆatP\S;s ¸i
(s)P.
Dovedim c ˘aPeste ideal prim.
Fie2P.Presupunem c ˘a =2Ps ¸i =2P,atunci2Ss ¸i2S.
Atunci9a1de formaa1=s1+0.Analog,9a2de formaa2=s2+0.
a1a2= (s1+0)(s2+0).
a1a2=s1s2+s10+s20+00
)a1a22P\S=;contradict ¸ie.
As ¸adar2Psau2P,adic ˘aPeste ideal prim. Deoarece este ideal prim,afirmat ¸ia 5)
7

Extinderi de corpuri Preliminarii
spune c ˘a exist ˘a un element prim ˆınP.
CumScont ¸ine toate elementele prime din R)contract ¸ie.
1))6)Consider ˘am s ¸irul ascendent de ideale principale Rb1Rb2:::Rbn:::
Deducem c ˘abn=b1.
CumReste inel factorial, atunci b1este un produs finit de elemente prime, deci b1are un
num˘a finit de divizori,atunci bnbn+1:::)Rbn=Rbn+1=:::.
6))1)Dovedim c ˘a orice element nenul s ¸i neinversabil este un produs finit de elemente
ireductibile.
Presupunem prin reducere la absurd c ˘a9bcare nu se poate scrie ca un produs de elemente
ireductibile.
FieX=fb2R/b =20,b =2U(R),a nu se poate scrie ca un produs de elemente ireductibile g;
X6=;
b2X,bnu este ireductibil)b=b1c1;b1c1=2U(R))b1=2Xsauc1=2X
Presupunem b1=2X)b1=b2c2;b2c2=2U(R)




Rb1Rb2:::Rbn:::
Astfel am obt ¸inut un lant ¸ strict cresc ˘ator de ideale principale.Contradict ¸ie.
7))4)Rezult ˘a din teorema :
Teorem ˘a 1.1.5.2. FieRdomeniu de integritate.Atunci urm ˘atoarele afirmat ¸ii sunt echivalente
:
1.pentru8s;t2R;9(s;t)2R;
2.pentru8s;t2R;9[s;t]2R;
3.pentru8s;t2R;Rs\Rt=Ru;u2R.
1.1.6 Factorialitatea inelelor de polinoame
Teorem ˘a 1.1.6.1. FieRun inel factorial. Atunci R[X]este inel factorial.
Pentru a demonstra aceast ˘a teorem ˘a vom avea nevoie de urm ˘atoarele rezultate.
Lem ˘a 1.1.6.1. Fies2Rs ¸ig2R[X],g=m0+s1x+:::+snxn, undesi2R,i=1;n.Dac ˘a
s=g, atuncis=si, pentru8i=1;n.
Lem ˘a 1.1.6.2. FieRinel factorial (domeniu de integritate).Atunci dac ˘ap2Reste element
prim, r ˘amˆane element prim s ¸i ˆınR[X].
8

Extinderi de corpuri Polinoame ireductibile
Lem ˘a 1.1.6.3. Lema lui Gauss FieRinel factorial s ¸i g;h2R[X]. Atuncic(hh) =
c(g)c(h).
Lem ˘a 1.1.6.4. FieRinel factorial s ¸i g;h2R[X],hpolinom primitiv, s2R.Dac ˘ahj
sg,atuncihjg.
Lem ˘a 1.1.6.5. FieRinel factorial s ¸i K=Q(R)corpul s ˘au de fract ¸ii.Fie g;h2R[X]
polinoame primitive.Atunci gs ¸ihasociate ˆın divizibilitate ˆınR[X],gs ¸ihasociate ˆın
divizibilitate ˆınK[X].
Lem ˘a 1.1.6.6. FieRinel factorial s ¸i Kcorpul s ˘au de fract ¸ii.Fie g2R[X]polinom primi-
tiv.Atuncigpolinom ireductibil ˆınR[X],gpolinom ireductibil ˆınK[X].
Demonstrat ¸ia teoremei. Fieg2R[X]polinom)g=t(g)g0;g02R[X]polinom primi-
tiv.
g02R[X]K[X], undeK=Q(R)corpul s ˘au de fract ¸ii.
DeoareceKeste corp)K[X]este inel euclidian )K[X]inel factorial)g0=g1g2
:::gn, undegi2K[X]polinoame ireductibile, 8i=1;n.
gi=si
tihi, unde (si;ti) = 1 s ¸ihi2R[X],8i=1;n
Avemgipolinoame primitive pentru 8i=1;n)hisunt polinoame primitive, 8i=1;n.
g0=s
th1h2:::hn)g0h1h2:::hnˆınK[X]Lema 1:5:5)g0h1h2:::hn
ˆınR[X],9a2U(R)astfel ˆıncˆatg0=ah1h2:::hn.
Cumt(f)este un produs de elemente prime ˆınR)aceste elemente sunt prime s ¸i ˆınR[X].
As ¸adar,feste un produs finit de elemente ireductibile ˆınR[X].
1.2 Polinoame ireductibile
1.2.1 Criterii de ireductibilitate pentru polinoame
Teorem ˘a 1.2.1.1. FieRinel factorial s ¸i fie f2R[X],g=b0+b1x+b2x2+:::+bnxn,bi2R,
8i=1;n.Presupusem c ˘a exist ˘ap2Relement prim s ¸i i20;1;:::;n astfel ˆıncˆat :
1.pjb0;pjb1;:::;pjbi1
2.p6jbi
3.p26jb0
Atuncigareˆın descompunerea sa cel put ¸in un polinom de grad i.
Demonstrat ¸ie 1.2.1.1. Cumg2R[X]s ¸iR[X]inel factorial)g=g1g2:::gt, unde
gk2R[X]polinoame ireductibile.
Presupunem prin reducere la absurd c ˘a gradul lui gki;8k=1;n.
ConsideramR
(p)=domeniu de integritate(deoarece peste element prim).
9

Extinderi de corpuri Extinderi de corpuri
Fie :R!R
(p)surject ¸ia canonic ˘b : (b) =^b;8b2R. induce un morfism de inele
 :R[X]!R
(p)[X]; (f) =^b0+^b1x+^b2x2+:::+^bnxn.
 este morfism de inele de polinoame .
Din condit ¸ia 1))^b0=^0;^b1=^0;:::; ^bi1=^0:
 =^bixi+:::+^bnxn=xi(^bi+:::+^bnxni)
 = (g1) (g2)::: (gt)
Decixij (g))xij (g1) (g2)::: (gt).
Cumxeste element prim ˆınR
(p)[X])xij (g1))xj (g1)!xij (g1)
 (g1) =^b01+^b11x+:::
 (g2) =^b02+^b12x+:::
)^b01=^0;^b02=^0)pjb01;pjb02
b0=b01b02:::b0t)p2jb0contradict ¸ie.
Deci,xij (g1) =xih)grad  (g1)k
Deoarecere am presupus c ˘agradg 1i;8k=1;t)gradgii)grad  (g1)i)
 (g1) = 0)^bi=^0)pjbicontradict ¸ie . Rezult ˘a c˘agradg 1i.
1.2.2 Criteriul de ireductibilitate al lui Eisenstein
Corolar 1.2.2.1. FieRinel factorial s ¸i g2R[X].Presupunem c ˘a9p2Relement prim
astfel ˆıncˆat :
1.pjb0;pjb1;:::;pjbn1
2.p6jbn
3.p26jb0
Atuncigeste polinom ireductibil ˆınK[X].
Demonstrat ¸ie: Aplic ˆand rezultatul precedent deducem c ˘agare un factor ireductibil de grad
n.
Deci,g=bh;b2R.Cumheste ireductibil ˆınR[X]Lema 1:6:7:)heste ireductibil s ¸i ˆın
K[X].Atuncigeste ireductibil ˆınK[X].
1.3 Extinderi de corpuri
Definit ¸ie 1.3.0.1. Fieks ¸iLdou˘a corpuri comutative, astfel ˆıncˆatLs˘a cont ¸in ˘akˆın calitate
de subcorp. Spunem c ˘aLeste o extindere de a lui k, ¸ notˆand acest lucru cu kL.
Fie extinderea kL.Utiliz ˆand operat ¸iile existente ˆınL, acesta poate fi considerat un
k-spat ¸iu vectorial,sau chiar o k-algebr ˘a.Dimensiunea lui Lpesteksau gradul lui Lpestek
este un num ˘ar natural sau un cardinal infinit, not ˆandu-se cu [L:k].
10

Extinderi de corpuri Extinderi de corpuri
1.3.1 Extinderi de corpuri algebrice s ¸i transcendente
Definit ¸ie 1.3.1.1. FiekLo extindere de c ˆampuri. Un element s2Leste definit ca
element algebric peste kdac˘a exist ˘a un polinom nenul ˆınk[X]astfel ˆıncˆat s˘a-l admit ˘a pes
ca r˘ad˘acin˘a,iar dac ˘a nu-l admite ca r ˘ad˘acin˘a atunci se numes ¸te element transcendent.
Propozit ¸ie 1.3.1.1. FiekLo extindere de corpuri.Pentru s2Lurm˘atoarele afirmat ¸ii
sunt echivalente:
i)seste algebric peste k
ii)seste o r ˘ad˘acin˘a a polinomului ireductibil din k[X]
iii)k[s]este un corp
iv)k(s) =k[s]
v)[k[s] :k]<1
Corolar 1.3.1.1. FiekLo extindere de c ˆampuri,s2Lelement algebric peste k.Pentru
un polinom f2k[X]afirmat ¸iile urm ˘atoare sunt echivalente :
(i)feste un polinom ireductibil,o r ˘ad˘acin˘a a sa fiinds
(ii)fdivide orice polinom din k[X]ce admite ca r ˘ad˘acin˘a pes
(iii) Idealul generat de fcoincide cu idealul generat de polinoamele din k[X]cu r˘ad˘acina
s
(iv)feste polinom de grad minim din k[X]nenul ce admite pe sca r˘ad˘acin˘a
Demonstrat ¸ie 1.3.1.1. (i))(ii): fieg2k[X]cug(s) = 0 .Cumfs ¸igau pesca r˘ad˘acin˘a
comun ˘a, s ¸i cumfeste ireductibil ,deducem c ˘afjg.
(ii))(iii): fieIun ideal ˆınk[X],I=g2k[X] :g(s) = 0 , deciIideal principal,
I=hk[X].Dar cumfjhs ¸if2Ideducem c ˘ahjf,de undefhs ¸iI=fk[X].
(iii))(iv): cumfjg,8g2I,deducem c ˘afeste de grad minim nenul ˆınI
(iv))(i): presupunem prin absurd c ˘afnu este ireductibil)un factor al s ˘a propriu l-ar
avea pesca r˘ad˘acin˘a)contradict ¸ie cu ipoteza.
Pentru elementul s2Lputem alege un polinom din k[X]care s ˘a aib ˘a urm ˘atoarele
propriet ˘at ¸i:
1) este ireductibil;
2) are coeficientul dominant 1;
3) s este r ˘ad˘acin˘a a acestui polinom.
Acest polinom se numes ¸te polinomul minimal al lui spestek,fiind unic determinat, notat cu
Irr(s;k).
11

Extinderi de corpuri Extinderi de corpuri
Observat ¸ie 1.3.1.1. Fie extinderile de c ˆampurikFL.
i)seste algebric peste Fs ¸iIrr(s;F)divideIrr(s;k)dac˘as2Leste element algebric
pestek
ii) dac ˘as2Leste element algebric peste F,s-ar putea s ˘a nu fie algebric peste k
Corolar 1.3.1.2. Dac˘as2Leste un element algebric al extinderii Lpestek, atunci :
k(s) =fn1X
i=0aisijai2k;i= 0;1;:::;n1g;
unden=deIrr (s;k)s ¸i[k(s) :k] =n, gradul luispestek.
Corolar 1.3.1.3. FiekLo extindere de c ˆampuri,s2Lalgebric peste k.Atunci exist ˘a un
izomorfism de c ˆampuri :
k[X]
(Irr(s;k))!k(s)
Propozit ¸ie 1.3.1.2. FiekLo extindere de corpuri comutative s ¸i x2Lun element
transcendent peste k.Atunci exist ˘a un izomorfism de corpuri
:k(X)!k(x);
undek[X]este corpul funct ¸iilor rat ¸ionale ˆın nedeterminata Xpestek, astfel ˆıncˆat
=k= 1k
Definit ¸ie 1.3.1.2. FiekLo extindere de c ˆampuri. Dac ˘aLnu este algebric ˘a pestek,
atunciLeste transcendenta peste k.
Exemple de extinderi transcendente :
1.k[X]pestek;
2.k(X1;:::;Xn)pestek;
3.RsauCpesteQ.
Definit ¸ie 1.3.1.3. FiekLo extindere de c ˆampuri s ¸iMLo mult ¸ime nevid ˘a. Elementele
mult ¸imiiMse vor numi elemente algebric independente dac ˘a pentru orice n elemente dis-
tinctex1;:::;xndinMs ¸i oricen2Nnu exist ˘a un polinom nenul f2k[X1;:::;Xn]astfel
ˆıncˆatf(x1;:::;xn) = 0 .
Definit ¸ie 1.3.1.4. O extindere La cˆampuluik, s ¸i dac ˘a exist ˘a oML,Mformat ˘a din
elemente independente algebric peste kastfel ˆıncˆatL=k(M)se numes ¸te extindere pur
transcendent ˘a pestek.
12

Extinderi de corpuri Extinderi de corpuri
1.3.2 Extinderi de corpuri finite
Definit ¸ie 1.3.2.1. O extindere de c ˆampurikLeste o extindere finit ˘a, dac ˘a gradul lui L
pestekeste finit.
Propozit ¸ie 1.3.2.1. Orice extindere finit ˘aLa luikeste extindere algebric ˘a a luik.
Demonstrat ¸ie 1.3.2.1. Dac˘adimkL=n,8x2L, sistemul de n+1elementef1;x;x2;:::;xng
este liniar independent. Deci exist ˘aai2k;8i=1;n, nu tot ¸i egali cu zero, astfel ˆıncˆatPn
i=0aixi= 0.Deci exist ˘af=Pn
i=0aixi2k[X]=f0gastfel ˆıncˆatf(x) = 0 ,adic ˘axeste
algebric peste k.
Propozit ¸ie 1.3.2.2. Fie extinderile de corpuri comutative kLF.[F:k] =mndac˘a
[F:L] =ns ¸i[L:k] =m.Reciproc, dac ˘a[F:L]<1s ¸i[L:k]<1, atunci [F:k]<1.
Prin aceast ˘a propozit ¸ie s ¸tim dac ˘a o extindere Lde grad prim peste Knu are subcorpuri
intermediare.
Corolar 1.3.2.1. Fie lant ¸ul de extinderi de c ˆampuri:
()k=L0L1L2:::Ln=L
[L:k]<1dac˘a[Li:Li1]<1;8i=1;n
Corolar 1.3.2.2. FiekLo extindere finit ˘a de c ˆampuri, [L:k] =n,x2L.Atunci
deg(Irr(x;k))dividen.
Demonstrat ¸ie 1.3.2.2. kk(x)L, iar[k(x) :k] =deg(Irr(x;k))divide [L:k].
Propozit ¸ie 1.3.2.3. Fie extinderea de c ˆampurikL. Mult ¸imeaA,care reprezint ˘a mult ¸imea
elementelor lui Lalgebrice peste k, este un subcorp al lui Lce includek. Acest corp Ase
numes ¸te inchiderea algebirc ˘a a luikˆınL. Se noteaz ˘ak0
L.
Propozit ¸ie 1.3.2.4. Tranzitivitatea algebricit ˘at ¸ii.Fie extinderile de corpuri kLF.F
este o extindere algebric ˘a a luikdac˘aFeste o extindere algebric ˘a pesteLs ¸iLeste extindere
algebric ˘a pestek.
Demonstrat ¸ie 1.3.2.3. Fiex2F.xeste algebric peste Li.
Consider ˘amIrr(x;L) =Pn
i=0biXi, cubi2L,80;n.
Fie extensiile kk(b0;b1;:::;bn)k(b0;b1;:::;bn;x).
Deoarecebisunt algebrice peste kavem [k(b0;b1;:::;bn) :k]<1.
xfiind algebric peste k(b0;b1;:::;bn),[k(b0;b1;:::;bn;x) :k(b0;b1;:::;bn)<1, atunci
[k(b0;b1;:::;bn;x) :k]<1, de undexeste algebric peste k.
13

Extinderi de corpuri Extinderi de corpuri
1.3.3 Extinderi de corpuri separabile
Definit ¸ie 1.3.3.1. FiekLo extindere de corpuri comutative. Un element 2Lse
numes ¸te separabil peste kdac˘aeste algebric peste ks ¸iIrr(;k)este separabil peste k.
ExtindereaLeste separabil ˘a pestekdac˘a toate elementele sale sunt separabile peste k.
Corolar 1.3.3.1. Orice extindere algebric ˘a a unui c ˆamp de caracteristic ˘a zero este separa-
bil˘a.
Definit ¸ie 1.3.3.2. Un c ˆamp ale c ˘arui extinderi algebrice sunt separabile se numes ¸te c ˆamp
perfect.
Teorem ˘a 1.3.3.1. Orice c ˆamp de caracteristic ˘a zero este perfect.Fie kun cˆamp de caracter-
isitc˘ap>0. Atuncikeste un c ˆamp perfect dac ˘a s ¸i numai dac ˘akp=k.
Observat ¸ie 1.3.3.1. Fie
:k!k,
(x) =xp;8x2kendomorfismul lui Frobenius,injectiv,
k=kp=
(k)ˆınsemn ˆand c ˘a
este un automorfism al lui k.
Teorema de mai sus mai poate fi exprimat ˘a s ¸i : Un c ˆamp de caracteristic ˘ap>0este perfect
dac˘a s ¸i numai dac ˘a endomorfismul lui Frobenius este un automorfism al s ˘au.
Propriet ˘at ¸i ale elementelor s ¸i extinderilor separabile peste un c ˆampk:
1.Fie2Fs ¸i extinderile de c ˆampurikLF.este separabil peste Ldac˘a este
separabil peste k;
2.O extinddere algebric ˘a a unui c ˆamp perfect este c ˆamp perfect;
3.Orice c ˆamp prim este perfect;
4.Orice c ˆamp algebric ˆınchis este c ˆamp perfect;
5.Fie extinderile de c ˆampurikLF.Leste separabil ˘a pestekdac˘aFeste separa-
bil˘a pestek;
Teorem ˘a 1.3.3.2. FiekLo extindere de c ˆampuri ,chark =p:
(i)L=k(Lp)dac˘aLeste separabil ˘a pestek;
(ii)Leste separabil ˘a pestekdac˘a[L:k]<+1s ¸iL=k(Lp).
Corolar 1.3.3.2. FiekLFo extindere de c ˆampuri.Feste extindere separabil ˘a a lui
kdac˘aLeste o extindere separabil ˘a cˆampuluiks ¸iFeste o extindere separabil ˘a a c ˆampului
L.
14

Extinderi de corpuri Extinderi de corpuri
1.3.4 Extinderi de corpuri normale
Definit ¸ie 1.3.4.1. Se numes ¸te extindere normal ˘a a luiko extindereLa cˆampuluikdaca este
algebric ˘a pesteks ¸i dac ˘a pentru orice 2L,Irr(;k)are corpul de descompunere peste
kinclus ˆınL.
Definit ¸ie 1.3.4.2. Fie un corp comutativ f2k[X]cudeg(f). O extindere a corpului
kˆın carefse descompune ˆın factori liniari s ¸i anume f=anQn
i=1(Xxi), undef=Pn
i=0aiXi, extinderea fiind minimal ˘a pestekavˆand aceast ˘a proprietate, se numes ¸te corp
de descompunere al polinomului fpestek.
Teorem ˘a 1.3.4.1. (de caracterizare a extinderilor normale). Fie kLo extindere algebric ˘a
de cˆampuri. Urm ˘atoarele afirmat ¸ii sunt echivalente:
(i)Leste extindere normal ˘a pestek;
(ii)Lreprezint ˘a corpul de descompunere comun al unei familii de polinoame din k[X];
(iii) FiekLk, undekesteˆınchiderea algebric ˘a a luikincluz ˆand extinderea L.Orice
k-monomorfism de c ˆampuriu:L!kreprezin ˘a unk-automorfism al lui L, mai exact
u(L) =L.
Corolar 1.3.4.1. Orice corp de descompunere peste kal unui polinom cu coeficient ¸i ˆın
cˆampulkreprezint ˘a o extindere normal ˘a a luik.
Corolar 1.3.4.2. FiekLkextinderi de corpuri , unde Leste o extindere normal ˘a
pestek, iarkesteˆınchiderea algebric ˘a a luik.Dac ˘a are loc aceast ˘a proprietate, orice k-
automorfism al lui kse restr ˆange la unk-automorfism al lui Ls ¸i reciproc, atunci extinderea
Leste normal ˘a pestek.
Corolar 1.3.4.3. Orice ˆınchidere algebric ˘a a luikreprezint ˘a o extindere normal ˘a a luik.
Teorem ˘a 1.3.4.2. 1.FiekLo extindere algebric ˘a de c ˆampuri. Atunci exist ˘a s ¸i e unic ˘a
pˆan˘a lak-izomorfisme o extindere Fa luiLce are urm ˘atoarele propriet ˘at ¸ii:
(i)Fe normal ˘a pestek;
(ii)Freprezint ˘a o extindere minim ˘a ce indeplines ¸te proprietatea (i);
2.Freprezin ˘a extinderea separabil ˘a a luikdac˘aLeste separabil ˘a pestek;
3.Feste o extindere finit ˘a a luikdac˘aLeste finit ˘a pestek.
Teorem ˘a 1.3.4.3. FiekL1Lo extindere de c ˆampuri.Leste o extindere normal ˘a peste
L1dac˘aLeste normal ˘a pestek.
Demonstrat ¸ie 1.3.4.1. Consider ˆandu-l peLca fiind un corp de descompunere al poli-
noamelor din familia Sk[X], dink[X]L1[X]reiese c ˘aLeste corpul de descompunere
al luiSpesteL1, deci extindere normal ˘a pesteL1.
15

Extinderi de corpuri Extinderi de corpuri
Sunt posibile urm ˘atoarele situat ¸ii pentru extinderile algebrice de c ˆampurikL1L:
a)Lextindere normal ˘a pestek, darL1nu este extindere normal ˘a pestek;
b)L1extindere normal ˘a pestek,Lextindere normal ˘a pesteL1,darLnu este extindere nor-
mal˘a pestek;
c)Lextindere normal ˘a pesteks ¸i pesteL1,L1extindere normal ˘a pestek.
Exemple :
a)QQ(3p
2)Q(3p
2;);
b)QQ(2p
2)Q(4p
2);
c)QQ(2p
2)Q(4p
2;i).
1.3.5 Extinderi de corpuri Galois
Definit ¸ie 1.3.5.1. Fie extinderea de corpuri kL.Mult ¸imea :
G(L=k) :=fu2Aut(L)jujk= 1kg
se numes ¸te grupul Galois al lui Lpestek
Propozit ¸ie 1.3.5.1. Fie o extindere simpl ˘a normal ˘a a c ˆampuluik L=k()k. Atunci
grupulG(L=k)este finit, av ˆand tot at ˆatea elemente c ˆat ¸i conjugat ¸i are pestek(adic ˘a
num˘arul r ˘ad˘acinilor distincte ale polinomului Irr(;k)). Va avea loc urm ˘atoarea inegali-
tate :
jG(L=k)j[L:k];
iar egalitatea are loc doar dac ˘aLeste o extindere separabil ˘a al lui.
Demonstrat ¸ie 1.3.5.1. Fieu2G(L=k)s ¸i polinomul minimal al lui pestekf=Irr(;k)2
k[X]. Pentru c ˘a :
f(u()) =u(f()) =u(0) = 0
s ¸i
u()2L=k()
rezult ˘a c˘a o r ˘ad˘acina a polinomului festeu(). Observ ˆand c ˘a imaginea u()determin ˘a
perfectu, deducem c ˘a elementele lui usunt ˆın num ˘ar mai mic sau chiar egal cu num ˘arul
r˘ad˘acinilor distincte ale lui f. Puem determina un k-automorfism al lui Lpentru orice
r˘ad˘acin˘a, avˆandv() =s ¸iv(a) =a,8a2k. Pentru c ˘aLeste o extindere normal ˘a
rezult ˘a c˘av(L) =L. Deci
jG(L=k)jgradf = [L:k];
iar egalitatea are loc c ˆandeste separabil peste k.
16

Extinderi de corpuri Extinderi de corpuri
Propozit ¸ie 1.3.5.2. jG(L=k)j= [L:k]dac˘aLeste o extindere finit ˘a normal ˘a s ¸i separabil ˘a
a luik.
Definit ¸ie 1.3.5.2. Spunem c ˘a o extindere este Galois, sau extindere galoisian ˘a a luik, dac ˘a
este o extindere finit ˘a, normal ˘a s ¸i separabi ˘a cˆampuluik.
Teorem ˘a 1.3.5.1. Fie un corp comutativ k, o extindere Galois(fini ˘a)L1ks ¸i o extindere
algebric ˘aL2k. AtunciL1L2=k(L1;L2)L2va fi o extindere Galois, tot finit ˘a, iar
aplicat ¸ia :
:G(L1L2jL1)!G(L1=k);
care este definit ˘a prin(u) =ujL1,8u2G(L1L2jL2), este un morfism injectiv de grupuri.
Demonstrat ¸ie 1.3.5.2. AvemL1=k(), undeeste element primitiv , fiindc ˘a[L1:k]<1
s ¸iL1este separabil ˘a.L1L2=k(L2)(L1) =k(L2)()s ¸i cumeste algebric s ¸i separabil
pestek,deci va fi s ¸i peste L2. Rezult ˘a c˘aL1L2va fi separabil ˘a s ¸i finit ˘a pesteL2. Din nor-
malitatea lui L1avem c ˘aL1este corpul de descompunere peste kal polinomului Irr(;k).
Putem spune acelas ¸i lucru s ¸i despre L1L2,ˆın leg ˘atur˘a cu polinomul Irr(;L2)care este un
factor al polinomului minimal al lui pestek. Consider ˘am acumu2G(L1L2=L2), unde
ujk= 1k. Din normalitatea lui L1avemujk:L1!L1. Deci aplicat ¸ia este injectiv ˘a
deoareceueste caracterizat de imaginea lui prinus ¸i aceasta este una dintre r ˘ad˘acinile
luiIrr(;L2), deci s ¸i ale lui Irr(;k).este omorfism de grupuri pentru c ˘a :
(uv) = (uv)jL1=ujL1vjL1=(u)(v)
17

Capitolul 2
Teoria lui Galois
2.1 Teorema fundamental ˘a a teoriei Galois
Fie extinderea Galois kL. V om nota mult ¸imea extinderilor intermediare dintre ks ¸iLcu
K(L;k) :=fL1jkL1L;L 1subcorp ınLg, iar laticea subgrupurilor grupului Galois al
luiLpesteko vom nota cuL(G(L=k)).
Corespondent ¸a bijectiv ˘a dintre cele doua mult ¸imi este stabilit ˘a cu ajutorul teoremei funda-
mentale a lui Galois, s ¸i anume aplicat ¸ia s ¸i inversa ei sunt antimonotone relativ la incluziune
s ¸i se comport ˘a specific ˆın cazul extinderilor intermediare normale peste k.
Aplicat ¸ia ce d ˘a corespondent ¸a Galois:
:L(G(L=k))!K (L;k);
unde(H) :=LH=f2Lju() =;8u2Hg,HG(L=k)s ¸i
:K(L;k)!L(G(L=k));
unde (L1) =G(L=L 1),L12K(L;k).
s ¸i sunt bine definite ˆıntruc ˆatLHeste un corp intermediar ˆıntreLs ¸ik, s ¸i , pentru c ˘a
Leste extindere Galois a oric ˘arui corp intermediar L12K(L;k)exist ˘a grpulG(L=L 1), mai
exact subgrupul lui G(L=k). Au loc s ¸i urm ˘atoarele implicat ¸ii:
H1H2)LH1LH2
L1L2)G(L=L 1)G(L=L 2);
De aici rezult ˘a antimonotonia aplicat ¸iilor de mai sus.
Lem ˘a 2.1.0.1. Fie extinderea Galois finit ˘aKLs ¸iH2L(L=k). Atunci
G(LjLH) =H:
18

Teoria lui Galois Teorema fundamental ˘a a teoriei Galois
Demonstrat ¸ie 2.1.0.1. Fie2Hs ¸ix2LH. Cum(x) =x, avem c ˘a2G(LjLH),
deciHG(LjLK). Conform teoremei elementului primitiv , exista 2Lastfel ˆıncˆat
L=LH().
Vom considera 1;:::;r2Hˆın num ˘ar maxim astfel ˆıncˆat mult ¸imea care se creeaz ˘a s˘a
cont ¸in ˘a doar elemente distincte. Vom presupune c ˘a1= 1jL. Fie :
f(X) := (X1())
:::
(Xr())
s ¸i fie2Harbitrar. Vom ar ˘ata c ˘a :
f1();:::;r()g=f1();:::;r()g
Elementele mult ¸imii f1();:::;r()gsunt distincte ˆıntruc ˆateste injectiv ˘a. Con-
sider ˘am unicare s ˘a nu apart ¸in ˘a mult ¸imii precizate mai sus. De aici rezult ˘a c˘af1();:::;r()g
cont ¸ine strict mult ¸imea f1();:::;r()g, doar c ˘a aceasta contrazice maximalitatea mult ¸imii
f1();:::;r()g. Avem:
f(X) =Xra1Xr1+:::+ (1)rar:
Atunci:
a1=1() +:::+r();
:::
ar=1()
:::
r()
Deci(ai) =a1;82H.Avemai2LH;8i2f1;rg, decif2LH[X]s ¸ieste o r ˘ad˘acin˘a
a sa. Dar :
ord(G(LjLH)) = [L:LH] =deg(g)deg(f) =r;
deciord(G(LjLH))ord(H). CumHG(LjLH)s ¸i ambele sunt mult ¸imi finite, rezult ˘a
c˘aH=G(LjLK).
Lem ˘a 2.1.0.2. Fie o extindere Galois finit ˘akLs ¸iF2E(Ljk);H:=G(Ljk). Atunci
LH=F.
Demonstrat ¸ie 2.1.0.2. Observ ˘am c ˘aord(H) = [L:F]. Din lema precedent ˘a rezult ˘a c˘a
[L:LH] =ord(H), deci [L:F] = [L:LH]. Dar cumFLH, avem c ˘a[LH:F] = 1 ,
deciLH=F.
Lem ˘a 2.1.0.3. Fie extinderea Galois finit ˘akLs ¸iF2E(Ljk). Urm ˘atoarele afirmat ¸ii
sunt echivalente:
i) extinderea kFeste normal ˘a;
ii)H:=G(LjF)este subgrup normal al lui G:=G(Ljk), adic ˘aG(Fjk)'GjH
Demonstrat ¸ie 2.1.0.3. i))ii) rezult ˘a din urm ˘atoarea teorem ˘a :
19

Teoria lui Galois Teorema fundamental ˘a a teoriei Galois
Teorem ˘a 2.1.0.1. Fie extinderea de corpuri kLM, astfel ˆıncˆatLs˘a fie corpul de
descompunere peste Kal unui polinom f2K[X].
a)G(MjL)este un subgrup normal ˆınG(Mjk), iarG(Mjk)
G(MjL)este izomorf cu un subgrup al
luiG(Ljk);
b) dac ˘aMeste corpul de descompunere peste kal unui polinom g2K[X], atunciG(Mjk)
G(MjL)'
G(Ljk).
ii))i) Vom presupune c ˘aHeste un subgrup normal ˆınGs ¸i fiex2LH. Va fi suficient
s˘a demonstr ˘am c ˘a tot ¸i conjugat ¸ii lui xsunt ˆınLH. Fieyconjugatul lui x, atunci va exista
unu2G(Ljk)astfel ˆıncˆatu(x) =y. Deci8v2Havemuvu1(y) =uv(x) =u(x) =y,
s ¸i cumuHu1=H, obt ¸inemy2LH.
Teorem ˘a 2.1.0.2. (Teorema fundamental ˘a a teoriei lui Galois) Fie extinderea Galois finit ˘a
kLs ¸iG=G(Ljk),
:L(Ljk)!E(Ljk);(H) =LH;
:E(Ljk)!L(Ljk); (E) =G(LjE):
Atunci:
a) = 1L(Ljk); = 1E(Ljk); deci aplicat ¸iile precedente sunt antimonotone,bijective s ¸i
inverse una celeilalte;
b)ord(G(LjF)) = [L:F];8F2E(L;k);
c)ord(H) = [L:LH];8H2L(L:k);
d) consider ˘amF2E(L;k);H:= (F). Atunci extinderea kFeste o extindere normal ˘a
,Heste subgrup normal al lui G, adic ˘aG(Fjk)'GjH.
Observat ¸ie 2.1.0.1. O extindere Galois finit ˘a a luikeste reprezentat ˘a de corpul de descom-
punere peste kal unui polinom f2k[X]de grad mai mare sau egal cu 1. Grupul Galois
al acestei extinderi este numit grupul Galois al lui fpesteksau grupul Galois al ecuat ¸iei
polinomiale asociate lui fpestek.
Exemple de grupuri Galois
1)G(Q(p
2)=Q) = 1L;v, undeL=Q(p
2);v(p
2) =p
2;vQ= 1Q;
2) Consider ˘amL=Q(3p
2;). V om ˆıncerca s ˘a construim G=G(L=Q). FieQ=Q()
L,Irr(;Q) =X2+X+ 1,Q()este normal ˘a pesteQ. DeciG(Q()=Q) =f1Q();ug,
cuu() =2=1. Extinz ˆand elementele lui G(Q()=Q)laLil obt ¸inem pe G, mai
exact preciz ˆand imaginea lui3p
2, care va fi aleasa din conjugat ¸ii lui, adic ˘a3p
2,3p
2,23p
2.
DeciGva fi construit din 6 elemente :
20

Teoria lui Galois Teorema fundamental ˘a a teoriei Galois
Geste generat de mult ¸imea v2;v4s ¸i izomorf cu S3.
G=f1L;v2;v2
2;v4;v2v4;v2
2v4gs ¸i are urm ˘atoarea latice a subgrupurilor:
undeH=<v2>;H 1=<v4>;H 2=<v2v4>;H 3=<v2
2v4>s ¸iHEG.
Extinderile intermediare sunt :
LH=Q();LH1=Q(3p
2);LH2=Q(23p
2);LH4=Q(3p
2)
3) FieQQ(4p
2;i) =F,care este corpul de descompunere pentru f=X42, s ¸i
G=G(F=Q).Geste izomorf cu grupul dihedral al p ˘atratuluiD4.ˆIl vom construi
utiliz ˆand s ¸irul de extinderi normale:
QQ(i)F;[F:Q] = 8:
Geste generat de us ¸iv, undeu(i) =i;u(4p
2) =i4p
2s ¸iv(i) =i;v(4p
2) =4p
2.
G=f1F;u;u2;u3;v;uv;u2v;u3vg.
Laticea subgrupurilor este:
21

Teoria lui Galois Teorema fundamental ˘a a teoriei Galois
undeHiEG;8i= 1;2;3;4.
Subcorpurile intermediare din corespondent ¸a Galois sunt urm ˘atoarele:
LH1=Q(p
2);LH2=Q(i);LH3=Q(ip
2);LH4=Q(p
2;i);LH5=Q(4p
2);LH6=
Q(i4p
2);LH7=Q((1 +i);4p
2);LH8=Q((1i)4p
2)
LH1;LH2;LH3s ¸iLH4sunt extinderi normale peste Q.
4) Aln- lea corp ciclotomic se defines ¸te ca fiind o extindere a lui Qprintr- o r ˘ad˘acin˘a
primitiv ˘ade gradnal lui 1, QQ(). S ¸tim c ˘a[Q() :Q] ='(n), decijQ()=Qj=
'(n). Se demonstreaz ˘a us ¸or c ˘a:
G(Q()=Q)'U(Zn);
As ¸adar grupul Galois este grup abelian. Dac ˘an=peste num ˘ar prim,'(p) =p1, iar
U(Zp) =Z
peste grup ciclic .
Corpuln-ciclotomic este la fel ca cel 2n-ciclotomic pentru nimpar. Dac ˘a=e2i
2n,
atuncin=1,=n+12Q(2), iar2este o r ˘ad˘acin˘a primitiv ˘a a lui 1 de grad n,
Q(2)fiind defapt corpul n-ciclotomic.
Avem c ˘aQ()Q(2), s ¸i cum'(2n) ='(n);[Q(2) :Q] = [Q() :Q], aa ¸dar
Q(2) =Q().
Are loc urm ˘atoarea afirmat ¸ie general ˘a :
”Orice extindere Galois finit ˘a a luiQcu grupul Galois abelian(extindere abelian ˘a) este
cont ¸inut ˘aˆıntr-o extindere ciclotomic ˘a.”
5) O ecuat ¸ie polinomial ˘a al c ˘arei corp de descompunere peste corpul de baz ˘a se obt ¸ine
ad˘augˆand o singur ˘a r˘ad˘acin˘a a acesteia se numes ¸te normal ˘a.
Ecuat ¸ia normal ˘a se obt ¸ine astfel:
Polinoamele de forma Xn12Q[X]s ¸i cele ciclotomice sunt normale peste Q.
Polinoamele de forma XpnX2Zp[X]s ¸i orice polinom ireductibil peste Zpsunt nor-
male peste Zp.
Polinomulf=X33X12Q[X]are ecuat ¸ia algebric ˘a asociat ˘a normal ˘a ,fiindc ˘aF=
Cf=Q=Q(), unde;1
+1;1;1
sunt r ˘ad˘acinile polinomului s ¸i G(F=Q)'Z3.
Orice extindere galoisian ˘a finit ˘a va admite cel put ¸in o ecuat ¸ie normal ˘a ,adic ˘a ecuat ¸ia aso-
ciat˘a polinomului minimal al elementului s ˘au primitiv.
22

Teoria lui Galois Grupul Galois al unui polinom
2.2 Grupul Galois al unui polinom
Fief2k[X]cu gradul pozitiv, unde keste un corp de caracteristic ˘a 0. Consider ˘amF=
C(F=k), atunci avem c ˘akFeste o extindere Galois finit ˘a.G(F=k)reprezint ˘a grupul
Galois al polinomului fpestek, notat cuG. Observ ˘am c ˘a :
i) grupulGeste izomorf cu un subgrup al grupului simestric Sn, undeneste num ˘arul
r˘ad˘acinilor distincte ale lui f;
ii) dacafeste ireductibil de grad n, atuncinva divine ordinul lui G, iarGeste izomorf cu
un subgrup tranzitiv al lui Sn;
iii) dacafeste ireductibil s ¸i separabil, atunci G'Z2;
iv) ecuat ¸ia general ˘a de gradnpeste un corp are grupul Galois izomorf cu Sn.
Definit ¸ie 2.2.0.1. Fie un corp de caracteristic ˘a6= 2s ¸i un polinom de grad ncunr˘ad˘acini
distincte1;:::;nˆın corpul de descompunere. Fie
=Q
1i<jn(ij)2F.D=
2
se nume ste discriminantul lui f.
Corolar 2.2.0.1. Pentru orice element udin grupul Galois al unui polinom , permutarea
asociat ˘a este par ˘a, respectiv impar ˘a,u(
) =
, respectivu(
) =
.
Demonstrat ¸ie 2.2.0.1. u(
2) =
2)(u(
))2=
2)u(
)2f
;
g.
Dar2An,u(
) =
;2SnjAn,u(
) =
.
Teorem ˘a 2.2.0.1. Fiekun corp,char(k)6= 2,f2k[X],deg(f) =n,
2discriminantul
luifs ¸iFcorpul de descompunere al lui fpestek.
a)
2= 0,fare r ˘ad˘acini multiple;
b) dac ˘a
26= 2s ¸iX2
2are o r ˘ad˘acin˘aˆınk, atunciG(F=k)An;
c) dac ˘a
26= 2s ¸iX2
2nu are nicio r ˘ad˘acin˘aˆınk, atunciX2
2are o r ˘ad˘acin˘a

ˆınFs ¸ik(
)este corpul fixat de G(F=k)\An.
Definit ¸ie 2.2.0.2. a)Evident.
b)dac˘aX2
2are o r ˘ad˘acin˘aˆınk)(
) =
;82G(F=k))G(F=k)An;
c)dac˘aX2
2nu are o r ˘ad˘acin˘aˆınk, atunciX2
2este ireductibil peste ks ¸i deci
[k(
) :k] = 2 .
G(F=k)\Aneste subgrup de indice 2al luiG(F=k))G(F=k[
)) =G(F=k)\An.
ˆIn cazul particular n= 3, vom obt ¸ine descrierea precis ˘a a grupului Galois al unui poli-
nom de grad 3.
23

Teoria lui Galois Grupul Galois al unui polinom
Corolar 2.2.0.2. Dac˘a polinomul f, de gradul 3, este ireductibil s ¸i separabil, atunci G'S3
sauG'A3.
DeciG'A3(chark6= 2),
2k.
Propozit ¸ie 2.2.0.1. Fiekun corp s ¸i polinomul f(X) =Xn+an1Xn1+:::+a02k[X].
Presupunem c ˘achar(k)>nsauchar(k) = 0 . Fieg(X) :=f(Xan1
n. Atunci
2
f=
2
g.
Demonstrat ¸ie 2.2.0.2. dac˘a1;:::;nsunt r ˘ad˘acinile luif)i:=i+an1
n;8i2
f1;:::;ngsunt r ˘ad˘acinile luig. Avem c ˘a:

2
g=Y
1i<jn(ij)2=Y
1i<jn(i+an1
njan1
n)2=Y
1i<jn(ij)2=
2
f:
Corolar 2.2.0.3. Consider ˘am peG1subgrupul lui Sncorespunz ˘ator grupului G. Atunci :
(i)G1\Aneste grupul corespunz ˘ator subgrupului lui Gce invariaz ˘a element cu element
k(
).
(ii)G1\An,
2k.
Corolar 2.2.0.4. Fiekun corp cuchar(k)6= 2;3. Fie :
f=X3+aX2+bX+c2k[X];g=X3+qX+r=f(Xa
3)2k[X] =
Atunci :

2
f=4q327r2=a2b24b34a3c27c2+ 18abc
Demonstrat ¸ie 2.2.0.3. Oberv ˘am c ˘a :
g(X) =f(Xa
3) = (Xa
3)3+a(Xa
3)2+b(Xa
3)+c=X3+(ba2
3)X+(2a3
27ab
3+c):
)g(X) =X3+qX+r;q=ba2
3;r=2a3
27ab
3+c:
Consider ˘am pec1;c2;c3r˘ad˘acinile luig. Atunci:
g(X) =X3+qX+r= (Xc1)(Xc2)(Xc3):
Avem urm ˘atoarele relat ¸ii:
c1+c2+c3= 0;
c1c2+c1c3+c2c3=q;
c1c2c3=r;
c3
i=qcir:
Observ ˘am s ¸i c ˘a :
(cicj)2= (ci+cj)24cicj:
)
2
f= (c1c2)2(c1c3)2(c2c3)2:
24

Teoria lui Galois Grupul Galois al unui polinom
Exemple
1)f=X33X+ 12Q[X]are
2=4(3)327
12= 81 = 92, deciG(f=Q)'A3.
2)f=X3+ 3X2X12Q[X]areg=f(X1) =X34X2ireductibil peste Q.
Deci
2=4
(4)327
22= 256108 = 148 s ¸iG'S3.
Propozit ¸ie 2.2.0.2. Fie polinomul f(X) =X3+qX+r2C[X]. Fie r ˘ad˘acinile luif ;
s ¸i
2C,F:=Q(q;r). AtunciF(;q

2
f)este corpul de descompunere al lui fpesteF.
Demonstrat ¸ie 2.2.0.4. Vom nota corpul de descompunere al lui fpesteFcuL:=F(;;
).
Consider ˘amK:=F(;q

2
f). Pentru c ˘aq

2
f=()(
)(
)2L)KL.
Reciproc va trebuii s ˘a ar˘at˘am c ˘a;
2K. Avem c ˘af() = 0 s ¸i2K, deci :
f(X) = (X)g(X);g2K[X];deg(g) = 2;
iar;
fiind r ˘ad˘acinile luig:
g(X) = (X)(X
) =X2(+
)X+
:
Dar s ¸tim c ˘ag2K[X];2K)g() = ()(
)2K. Deci :

=()(
)(
)
()(
)=q

2
f
()(
)2K:
Dar+
2Kdeoarece este un coeficient al lui g. As ¸adar;
2K.
Ne vom aminti pe scurt modul de rezolvare a ecuat ¸iei X3+qX+r= 0. Not ˘am cu
A:=r2+4q3
27.p
Aare un rol decisiv ˆın calculul solut ¸iilor ecuat ¸iei. Este evident c ˘ap
A2C
atunci c ˆandA < 0. Discriminantul ecuat ¸iei va fi egal cu 27A > 0, deci toate r ˘ad˘acinile
sunt reale. Pentru a calcula r ˘ad˘acinile am apelat la numere complexe. Suntem indemnat ¸i s ˘a
ˆıncerc ˘am s ˘a rezolv ˘am un caz simplu, ca de exemplu:
X317X2+ 87X135 = (X3)(X5)(X9) = 0
Ce se ascunde defapt ˆın spatele acestui fenomen? De ce avem nevoie de numere complexe
pentru a calcula r ˘ad˘acinile unei ecuat ¸ii reale?Nu cumva este prea complicat ˘a formula de
rezolvare? Nu ar trebuii s ˘aˆıncerc ˘am s ˘a g˘asim o alt ˘a formul ˘a? Urm ˘atoarea teorem ˘a ne va
ar˘ata c ˘a acest lucru este imposibil.
Teorem ˘a 2.2.0.2. (Casus irreducibilis) Fie polinomul ireductibil peste Q(q;r)f(X) =
X3+qX+r2R[X]cu r˘ad˘acinileu;v;w2R. FieF:=Q(q;r);E:=F(u;v;w )
un corp de descompunere al lui fpesteFs ¸iF=K0K1:::Kto extindere radical ˘a
a luiFcuEKt. AtunciKtnu poate fi subcorpul lui R.
25

Teoria lui Galois Grupul Galois al unui polinom
Pentru a calcula grupul Galois a unui polinom de grad 4, vom considera urm ˘atoatea
situat ¸ie: fie kun corp, un polinom f2k[X]cudeg(f) = 4 , cu r ˘ad˘acinile1;2;3;4,
L:=k[1;2;3;4]corpul de descompunere al lui fpestek,G:=G(F=k) =G(Ljk).
V om presupune c ˘af(X) =X4+qX2+rX+s.
i) dac ˘afare o r ˘ad˘acina12k, atuncif[X] = (X)f1(X),deg(f1) = 3 , iarG(F=k) =
G(f1=k);
ii) dac ˘afse descompune ˆın produsul a doua polinoame ireductibile de grad 2,f=gh, fie
1o r˘ad˘acin˘a a luigs ¸i3o r˘ad˘acin˘a a luih.
Dac˘ak(1)\k(3) =k, atunci:
G'G(h=k)
G(h=k)'Z2Z2:
Dac˘ak(1)\k(3)k, obt ¸inem32k(1) =k(1;3) =L, iarord(G) = 2 , deci :
G(f=k)'Z2:
V om presupune acum c ˘a1;2;3;4sunt distincte.
Observat ¸ie 2.2.0.1. Fie extinderea galoisian ˘akL;
i)Geste izomorf cu un subgrup al lui S4;
ii) FieV:=fe;(12)(34);(13)(24);(14)(23)gS4. AtunciVeste subgrup normal al lui
S4, izomorf cu Z2Z2, iarV\Geste subgrup normal al lui G.
V om face urm ˘atoarele notat ¸ii:
u:= (1+2)(3+4);
v:= (1+3)(2+4);
w:= (1+4)(2+3):
Lem ˘a 2.2.0.1. Fiek(u;v;w )corpul fixat de V\G;
i)kk(u;v;w )este extindere Galois;
ii)G(k(u;v;w )jk)'GjG\V.
Demonstrat ¸ie 2.2.0.5. Fie2V\G. Deci(u) =u;(v) =v;(w) =w. Dac ˘a verific ˘am
toate permut ˘arile dinS4, observ ˘am c ˘a dac ˘a((i+j)(kl)) = (i+j)(k+l),
atunci2V[f(ij);(ijkl);(kl);(iljk)g. As ¸adar2Gfixeaz ˘a peu;v;w,2V\G.
Definit ¸ie 2.2.0.3. Cubica rezolvent ˘a a luifse defines ¸te ca fiind polinomul cf(X) = (X
u)(Xv)(Xw).
26

Teoria lui Galois Grupul Galois al unui polinom
Observat ¸ie 2.2.0.2. i)cf2k[u;v;w )[X];
ii) o alta form ˘a pentru cubica rezolvent ˘a este :
cf(X) = (X(12+34))(X(13+24))(X(14+23)):
Propozit ¸ie 2.2.0.3. Fie polinomul: f(X) =X4+qX2+rX+s. Atunci :
cf(X) =X32qX2+ (q24s)X+r2:
Demonstrat ¸ie 2.2.0.6. Polinomul se poate scrie ca o descompunere :
f(X) = (X2+kX+l)(X2kX+m)
undek2este o r ˘ad˘acina a polinomului h(X) =X3+ 2qX2+ (q24s)Xr2.
este o r ˘ad˘acin˘a a luih,este r ˘ad˘acin˘a pentru cubica rezolvent ˘a.
Presupunem c ˘afare r ˘ad˘acinile1;2;3;4astfel ˆıncˆat1;2s˘a fie r ˘ad˘acinile luiX2+
kX+ls ¸i3;4s˘a fie r ˘ad˘acinile luiX2kX+m.
ˆInseamn ˘a c˘ak=(1+2), iark=(3+4).
Avemu= (1+2)(3+4) =k2, iarueste o r ˘ad˘acin˘a a luihpentru c ˘ah(k2) = 0 .
f(X) = (X2+k1X+l1)(X2k1X+m1)
unde r ˘ad˘acinile primei paranteze sunt 1;2, iar3;4sunt r ˘ad˘acinile pentru a doua.
Obt ¸inemv= (1+3)(2+4) =k2
1, deci s ¸iveste o r ˘ad˘acin˘a a luih.
La fel,w=(1+4)(2+3)este o r ˘ad˘acin˘a a polinomului h.
)h(X) = (X+u)(X+v)(X+w), deci obt ¸inem cf(X) = (Xu)(Xv)(Xw)prin
schimbarea semnelor termenilor de grad 2 s ¸i 0.
Observat ¸ie 2.2.0.3. i) Fief(X) =X4+qX2+rX+s.Geste subgrup tranzitiv al lui
S4s ¸i4jord(G)pentru c ˘afeste ireductibil. Deci ord(G) =f4;8;12;24g:
ii) Subgrupurile tranzitive de ordin 4,12 s ¸i 24 ale lui S4suntS4;A4;Vs ¸i subgrupurile
ciclice generate de cicluri de lungime 4.
iii) FieD4sugrupul generat de f(1234),(24)gal luiS4. DeciD4este sugrup tranzitiv de
oridin 8.S4are exact 3 subgrupuri de ordin 8, toate izomorfe cu D4, care sunt defapt
2-subgrupuri Sylow.
iv) FieHun subgrup al lui S4. AtunciH\Vva fi sugrup normal ˆınHs ¸i
HjH\V'HVjVS4jV'S3:
As ¸adar,ord(HjH\V)j6 =ord(S3).
Propozit ¸ie 2.2.0.4. FieHun subgrup al lui S4astfel ˆıncˆat4jord(H)s ¸i fiem=ord(HjH\
V).
a) dac ˘am= 6)H=S4,
b) dac ˘am= 3)H=A4,
c) dac ˘am= 1)H=V,
d) dac ˘am= 2)H'D4;H'VsauH'Z2.
27

Teoria lui Galois Grupul Galois al unui polinom
Demonstrat ¸ie 2.2.0.7. a);b)dac˘am= 6saum= 3, cumord(H)este divizibil cu 3 s ¸i cu
4, avemord(H)12.
DarA4Hs ¸iVA4.
Deci, dac ˘a6, atunciH=S4, iar dac ˘am= 3,avemH=A4.
c)dac˘am= 1, avem c ˘aH=H\Vs ¸iHV. Cum 4jord(H))H=V.
d)dac˘am= 2, avemord(H) = 2
(H\V).
Observ ˘am c ˘aord(V) = 4)ord(H\V) = 1;2;4
Dac˘aord(H\V) = 1)ord(H) = 2 , deci 46jord(H).
Dac˘aord(H\V) = 4)ord(H) = 8 , deciH'Z4sauH'V.
Propozit ¸ia de mai sus a fost pasul principal pentru a putea calcula grupul Galois al
unui polinom de gradul 4.
Teorem ˘a 2.2.0.3. Fiekun corp s ¸if2k[X]un polinom ireductibil separabil, cu deg(f) =
4;G:=Gk(f);ord(Gk(cf)) =mordinul grupului Galois al cubicii rezolvente. Atunci:
i) Dac ˘am= 6)G'S4;
ii) Dac ˘am= 3)G'A4;
iii) Dac ˘am= 1)G=V;
iv) Dac ˘am= 2)G'D4sauG'Z4;
v) Dac ˘am= 2s ¸ifeste ireductibil peste k(u;v;w ))G'D4;
vi) Dac ˘am= 2s ¸ifeste reductibil peste k(u;v;w ))G'Z4.
Demonstrat ¸ie 2.2.0.8. Primele 3 afirmat ¸ii rezult ˘a dintr-un rezultat precedent.
iv)Din rezultatul anterior )G'D4;G'VsauG'Z4.
Cumm= 2,ord(G) = 2ord(G\V), deci putem avea G'V,ord(G\V) = 2 , adic ˘a
ord(G) = 4 .
Cumfeste ireductibil , Geste tranzitiv.
S4are peVsi pe subgrupurile ciclice generate de cicluri de lungime 4 ca subgrupuri tranz-
itive, deci nu putem avea G'V.
v)Diniv))G'D4sauG'Z4.
Vom presupune c ˘afeste ireductibil peste k(u;v;w )s ¸i c˘aG'Z4.
Deci,G[V=G(Ljk(u;v;w ))are ordinul 2 s ¸i nu este tranzitiv.
Exist ˘ai6=j, care are proprietatea c ˘a nu exist ˘a2G[Vatfel ˆıncˆat(i) =j.
Leste corp de descompunere al lui fpestek(u;v;w )(i), dar s ¸i peste k(u;v;w )(j).
Dac˘a ar exista un izomorfism
varphi :k(u;v;w )(i)!k(u;v;w )(j)
astfel ˆıncˆat'jk(u;v;w )= 1k(u;v;w )s ¸i'(i) =j, atunci's-ar prelungi la un 2G(Ljk(u;v;w )) =
G[V, ceea ce e absurd.
Deci nu exist ˘a un astfel de izomorfism )is ¸ijnu pot fi r ˘ad˘acini ale aceluias ¸ polinom
ireductibil peste k(u;v;w ))fnu este ireductibil peste k(u;v;w ):
28

Teoria lui Galois Extinderi radicale
vi)Vom presupune c ˘afeste reductibil peste k(u;v;w )s ¸i c˘aG'D4.
Avem c ˘aG[V=V.
CumVeste tranzitiv s ¸i G[V=G(Ljk(u;v;w ));8i2f1;2;3;4g,i6=j92G[V
care induce un izomorfism k(u;v;w )(i)'k(u;v;w )(2)astfel ˆıncˆat(i) =j, iar
jk(u;v;w )= 1k(u;v;w ))feste ireductibil peste k(u;v;w ).
Exemple
1)f(X) =X410X2+ 12Q[X]ireductibil;
cf(X) =X3+ 20X2+ 96X=X(X+ 8)(X+ 12) – cubica rezolvent ˘a;
Q(u;v;w ) =Q;m= 1;G=V'Z2Z2.
2)f(X) =X422Q[X]ireductibil;
cf(X) =X3+ 8X=X(X2+ 8) =X(X+ 2ip
2)(X2ip
2)- cubica rezolvent ˘a;
Q(u;v;w ) =Q(ip
2);[Q(u;v;w ) :Q] = 2 ;
fireductibil peste Q(ip
2))G'D4.
3)f(X) =X4+ 4X2+ 22Q[X]ireductibil;
cf(X) =X38X2+ 8X=X(X28X+ 8) =X(X4 +p
8)(X4p
8)- cubica
rezolvent ˘a;
Q(u;v;w ) =Q(p
2))G'Z4sauG'D4;
fireductibil peste Q(p
2))G'Z4.
4)f(X) =X44X+ 22Q[X]ireductibil;
cf(X) =X38X+ 16 – cubica rezolvent ˘a ireductibil;
Dcf=8960)GQ(cf)'S3)GQ(f)'S4.
2.3 Extinderi radicale
Fiekun corp de caracteristic ˘a 0 s ¸ikLo extindere algebric ˘a finit ˘a.2Lse numes ¸te
radical de indice mpestek(m2N;m2), dac ˘a9a2kastfel ˆıncˆatm=a.
Not˘am=mpa. Dac ˘a=mpa;a2k, atunci=mtp
at8t2N, pentru c ˘aamt=at2k.
Definit ¸ie 2.3.0.1. Leste o extindere radical ˘a a luik,91;2;:::;n2L, cun2N
astfel ˆıncˆat :
a)L=k(1;2;:::;n);
b)1este un radical de indice m1pestek;
c)Li=Li1(i)extindere radical ˘a a luik;8i=f1;2;:::;ng,ieste un radical de indice
mi2NpesteLi1.
29

Teoria lui Galois Extinderi radicale
Exemple de extinderi radicale
1)QQ(), unde=p
12C;=e2i
n.
2)QQ(p
2).
3)QQ(3p
2;), unde3= 1;2CnR
4)QQ(1 +p
2)este o extindere radical ˘a, pentru c ˘aQ(1 +p
2) =Q(p
2).
Definit ¸ie 2.3.0.2. O ecuat ¸ie algebric ˘a pestek, a c˘arei r ˘ad˘acini se afl ˘aˆıntr-o extindere rad-
ical˘a a luik, sau care are corpul de descompunere peste kal polinomului asociat este o
extindere radical ˘a pestekse numes ¸te ecuat ¸ie rezolvabil ˘a prin radicali peste k.
Exemplu: ecuat ¸ia x7= 2×43×3+6 = 0 este rezolvabil ˘a prin radicali peste Q, pentru
c˘a3p
2,3p
2,23p
2,4p
3,4p
3,i4p
3,i4p
3-r˘ad˘acinile sale sunt cont ¸inute ˆınQ(3p
2;4p
3;i),
care este o extindere radical ˘a a luiQ.
Definit ¸ie 2.3.0.3. O extindere radical ˘a normal ˘a simpl ˘a a luikeste extinderea de tipul:
k(mpa;). Nu orice extindere radical ˘a pestekeste s ¸i normal ˘a pestek.
Exemplu: QQ(3p
2).
2.3.1 R ˘ad˘acinile unit ˘at ¸ii
Fiekun corp s ¸i polinomul f(X) =Xm12k[X]. Presupunem c ˘achar(k) = 0 sau
char(k) =p>0, cup6jm.
FieLun corp de descompunere al polinomului peste k.
fnu are r ˘ad˘acini multiple ,deci Leste extindere Galois finit ˘a.
Not˘am mult ¸imea r ˘ad˘acinilor luifcuR=f2Ljm= 1g.
Un element al mult ¸imii de mai sus se numes ¸te r ˘ad˘acin˘a a unit ˘at ¸ii pestek.
Observat ¸ie 2.3.1.1. Reste subgrup multiplicativ finit al lui L, iar(R;
)este grup ciclic de
ordinm.
Definit ¸ie 2.3.1.1. Un generator al grupului ciclic multiplicativ se numes ¸te r ˘ad˘acin˘a primi-
tiv˘a de ordinma unit ˘at ¸ii.
Definit ¸ie 2.3.1.2. FieS=f2Rjr˘ad˘acin˘a primitiv ˘a de ordinma unit ˘at ¸iig. Atunci
m(X) =Y
2S(X)
este alm-lea polinom ciclotomic.
Observat ¸ie 2.3.1.2. m2L
30

Teoria lui Galois Extinderi radicale
Lem ˘a 2.3.1.1. Fie extinderea de corpuri kLs ¸iq2L[X]astfel ˆıncˆat9f;g2k[X];f;g6=
0astfel ˆıncˆatf=gq. Atunciq2k[X].
Demonstrat ¸ie 2.3.1.1. Fie
q(X) =a0+a1X+:::+amXm;am6= 0;
g(X) =b0+b1X+:::+bnXn;bn6= 0;
f(X) =c0+c1X+:::+cm+nXm+n;cm+n6= 0;
Observ ˘am c ˘aambn=cm+n)am2k.
Presupunem c ˘a am ar ˘atat c ˘aai2k;i>j .
Deci
ajbn+aj+1bn1+:::+ambn+jm=cn+j;
adic˘aaj2k.
Propozit ¸ie 2.3.1.1. Dac˘akLeste o extindere radical ˘a a luik, iarNesteˆınchiderea
normal ˘a a luiLpestek, atunciNeste o extindere radical ˘a a luik.
Demonstrat ¸ie 2.3.1.2. FiekL0L1:::Ln=L;Li=Li1(i), cusi
i2
Li1;8i=f1;2;:::;ng.
Vom face induct ¸ie dupa n.
Pentrun= 1;L=L1=k(1);N1=L1(1), unde1este r ˘ad˘acina primitiv ˘a de ordins1a
lui 1 pestek.
N1este extindere radical ˘a(normal ˘a simpl ˘a),ˆınchiderea normal ˘a a luiL1pestek, pentru c ˘a
N1este corpul de descompunere peste kal luiXs1s1
12k[X].
Cu ajutorul ipotezei, avem c ˘aˆınchiderea normal ˘aN0a luiLn1pestekeste extindere radi-
cal˘a a luik.
Consider ˘amsnn=2Ln1;g=Irr(;k)cu r˘ad˘acinile=1;2;:::;rˆınN0.
Pentru fiecare polinom de tipul
Xsnj2Ln1[X]N0[X];8j=f1;2;:::;rg
fie
jo r˘ad˘acin˘a a sa din ˆınchiderea algebric ˘a a luikincluz ˆandN0s ¸iLn.

1=n:
Consider ˘am peno r˘ad˘acin˘a primitiv ˘a de gradsna lui 1 peste k. Avem c ˘a
N=N0(n;
1;:::;
r)
este o extindere radical ˘a a luiks ¸i normal ˘a pestek, pentru c ˘a este corp de descompunere
pentru polinomul
f=rY
j=1(Xsnj)2k[X]:
Definit ¸ie 2.3.1.3. Un grupGeste rezolubil dac ˘a exist ˘a un s ¸ir descendent de sbgrupuri G=
G0G1:::Gn=fegastfel ˆıncˆat:
i)Gi+1subgrup normal ˆınGi8i= 0;1;:::;n1;
ii)Gi
Gi+1grup abelian ,8i= 0;1;:::;n1.
31

Teoria lui Galois Extinderi radicale
Lem ˘a 2.3.1.2. FiekLo extindere galoisian ˘a . Dac ˘aLeste cont ¸inut ˘aˆıntr-o extindere
radical ˘a a luik, atunciG(L=k)este grup rezolubil.
Lem ˘a 2.3.1.3. FiekLo extindere galoisian ˘a,[L:k] =n. Dac ˘aˆınkexist ˘a o r ˘ad˘acin˘a
primitiv ˘a a lui 1 de grad n, iar grupul G=G(L=k)este ciclic, atunci92L, astfel ˆıncˆat
L=k(), iarIrr(;k) =Xna2k[X].
Lem ˘a 2.3.1.4. FiekLo extindere galoisian ˘a,[L:k] =n. Dac ˘aG=G(L=k)este grup
ciclic, atunci Leste inclus ˘aˆıntr-o extindere radical ˘a a luik.
Demonstrat ¸ie 2.3.1.3. Consider ˘amjGj=ns ¸io r˘ad˘acin˘a primitiv ˘a de grad n pentru 1
pestek.
Avem c ˘aF=L() =L:k()este o extindere normal ˘a s ¸i finit ˘a pestek()s ¸i c˘aG1=
G(F=k())este izomorf cu un subgrup din G.
S ¸tim c ˘aGeste grup ciclic)G1este grup ciclic , iar k()F.
As ¸adarFeste extindere radical ˘a a luik(), deci a luik,iarFL.
Lem ˘a 2.3.1.5. FiekLo extindere galoisian ˘a,[L:k] =n. Dac ˘aG=G(L=k)este grup
rezolubil, atunci Leste inclus ˘aˆıntr-o extindere radical ˘a a luik.
Cu ajutorul lemelor de mai sus obt ¸inem demonstrat ¸ia urm ˘atoarei teoreme:
Teorem ˘a 2.3.1.1. FiekLo extindere galoisian ˘a finit ˘a.Leste cont ¸inut ˘aˆıntr-o extindere
radical ˘a a luik,G=G(L=k)este grup rezolubil.
Corolar 2.3.1.1. Orice ecuat ¸ie polinomial ˘a de grad inferior sau egal cu 4 peste keste re-
zolvabil ˘a prin radicali.
Demonstrat ¸ie 2.3.1.4. Fie extinderea galoisian ˘akL,Lcorpul de descompunere pentru
polinomul din care provine ecuat ¸ia s ¸i G=G(L=k)'GSn;8n4.
Snfiind rezolubil,8n4,Gtot rezolubil)G(L=k)este rezolubil.
As ¸adar, corolarul este adev ˘arat.
Corolar 2.3.1.2. (Teorema lui Ruffini-Abel) Ecuat ¸ia general ˘a care nu se rezolv ˘a prin radi-
cali este cea cu gradul mai mare sau egal cu 5.
Demonstrat ¸ie 2.3.1.5. Conform corolarului precedent, Snnu este rezolubil pentru nmai
mare de 4.
2.3.2 Ecuat ¸ii binome
O ecuat ¸ie de forma Xna= 0;a2kse numes ¸te ecuat ¸ie binom ˘a.
Fiekun corp , ¸n2Nastfel ˆıncˆatchar(k)6jn,a2k,Lun corp de descompunere al
polinomului Xna2k[X]pestek.
Cumchar(k)6jn, ecuat ¸ia are nr˘ad˘acini :,,2,:::,n1, undeeste o r ˘ad˘acin˘a
particular ˘a a luiXna, iarprimitiv ˘a de ordinna unit ˘at ¸ii. DeciL=k(;).
Lem ˘a 2.3.2.1. FiekLo extindere radical ˘a normal ˘a simpl ˘a. Atunci grupul Galois al lui
Lpestekeste rezolubil s ¸i grupul Galois al lui Lpestek()este ciclic.
32

Teoria lui Galois Extinderi radicale
Exemplu:k=Q(i);L=k(;8p
2, unde=p
2
2(1 +i)este o r ˘ad˘acin˘a primitiv ˘a de
grad 8 a lui 1 peste Q.
Irr(;k) =X2i,p
22k[])gradul lui8p
2pestek()este 4.
Deci [L:k] = 8;Irr(8p
2;k()) =X4p
2;[L:Q] = 16 .
G1=G(L=k()) = [u]4;u(8p
2) =28p
2.
8p
2,28p
2 =i8p
2,48p
2 =8p
2,68p
2 =i8p
2sunt conjugat ¸ii lui8p
2pestek().
G1'[^2]4,[^2]4subgrup ˆın<Z8;+>.
Corolar 2.3.2.1. Fiepun num ˘ar prim s ¸ikun corp care cont ¸ine o r ˘ad˘acin˘a primitiv ˘a de
ordinpa unit ˘at ¸ii. Polinomul Xpa;a2kse descompune ˆın factori liniari ˆınksau este
ireductibil peste k.
Definit ¸ie 2.3.2.1. Fiekun corp abelian s ¸i Gun grup. Un morfism de grupuri de la Gla
(k;
)se numes ¸te caracter pe Gcu valori ˆınk.
Observat ¸ie 2.3.2.1. Un morfism de grupuri de la Gla(k;
)este o funct ¸ie de la Glak.
Mult ¸imea acestor funct ¸ii formeaz ˘a unk- spat ¸iu vectorial.
Teorem ˘a 2.3.2.1. (Dedekind) Fiekun corp abelian, Gun grup s ¸iSo mult ¸ime de caractere
peGcu valori ˆınk. AtunciSeste liniar independent peste k.
Demonstrat ¸ie 2.3.2.1. Vom presupune c ˘aSnu este liniar independent peste ks ¸i consider ˘am
o mult ¸ime de caractere din S,f
1;:::;
ng, liniar dependent ˘a, minimal ˘a. Atunci91;:::;n2
k, tot ¸i nenuli, cu proprietatea c ˘a :
1
1(g) +:::+n
n(g) = 0;8g2G

1(e) = 1)
16= 0)n2.

16=
n)9h2Gcu proprietatea c ˘a
1(h)6=
n(h). Dar
1
1(hg) +:::+n
n(hg) = 0;8g2G
deci
1
1(h)
1(g) +:::+n
n(h)
n(g) = 0;8g2G
Dac u a ˆınmult ¸im prima relat ¸ie cu
n(h)s ¸i o scadem din a treia )
1(
1(h)n(h))
1(g) +:::+n1(
n1(h)n(h))
n1(g) = 0;8g2G
Cum
1(h)
n(h)6= 0)f
1;:::;
ngsunt liniar dependente peste k, ceea ce contrazice
minimalitatea luif
1;:::;
ng.
Teorem ˘a 2.3.2.2. Fiekun corp , iar Lo extindere Galois al lui k,[L:k] =n. Avem :
i)G=G(L;k)grup ciclic;
ii)char(k)6jn;
iii)92kr˘ad˘acin˘a primitiv ˘a de ordinn;
33

Teoria lui Galois Extinderi radicale
Teorem ˘a 2.3.2.3. FiekMo extindere Galois, n= [M:k];G=G(M=k)grup ciclic s ¸i
un generator al lui G. Fie 2M. Urm ˘atoarele afirmat ¸ii sunt echivalente:
a)Pn1
i=0i( ) = 0 ;
b)92Mcu proprietatea c ˘a =().
Demonstrat ¸ie 2.3.2.2. G=f1M;;2;:::;n1g.b))a)Pn1
i=0i( ) =Pn1
i=0i(
()) =Pn1
i=0(i()i+1()) = 0 .
a))b)9w2Mcu proprietatea
u=w+(w) +:::+n1(w)6= 0:
i(u) =u;8i2f0;1;:::;n1g, deciu2k
(u1w) =u1(w).
Consider ˘amt=u1w. Deci
n1X
i=0i(t) =u1w+u1(w) +:::+u1n1(w) =u1(n1X
i=0i(w)) =u1u= 1:
Consider ˘am acum
= t+ ( +( ))(t) + ( +( ))2(t) +:::+ ( +( ) +:::+n2( ))n2t
Pentru c ˘aPn1
i=0i( ) = 0 , avem
=(( ) +2( ) +:::+n1( ))
deci
() = t+ (t) + 2(t) +:::+ n2(t) + n1(t) =
Teorem ˘a 2.3.2.4. Fiekun corp cu char(h) =p > 0s ¸i o extindere finit ˘akM.
Urm ˘atoarele afirmat ¸ii sunt echivalente:
a)kMeste extindere Galois, G=G(M=k)grup ciclic s ¸i [M:k] =p;
b)Meste corpul de descompunere peste kal unui polinom ireductibil de forma XpXa,
a2k.
Corolar 2.3.2.2. Fiekun corp cuchar(h) =p>0s ¸i un polinom f(X) =XpXa2
k[X]. Atuncifeste ireductibil ˆınk[X]sau se descompune ˆın factori liniari ˆınk[X].
Demonstrat ¸ie 2.3.2.3. Consider ˘amF= corpul de descompunere peste kal luif, s ¸iG=
G(F=k).
Este suficient s ˘a ar˘at˘am c ˘a dac ˘aG'Im() =Fp, atuncifeste ireductibil.
Consider ˘am r ˘ad˘acinile luif:a;b,b=a+i,i2Fp.
92G;(a) =b)este izomorfism al lui k(a)pek(b))a;bau acelas ¸i polinom
minimal peste k.
barbitrar)feste ireductibil.
34

Teoria lui Galois Extinderi radicale
Teorem ˘a 2.3.2.5. (Irat ¸ionale auxiliare) Fiekun corp, un polinom f2k[X],Mun corp de
descompunere al lui fpesteks ¸iG=G(Mjk). FiekNo extindere a lui ks ¸iMun
corp de descompunere al lui fpesteN,MM. Atunci
:G(MjN)!G(Mjk);() =jM
este un morfism injectiv de grupuri.
Demonstrat ¸ie 2.3.2.4. FieA=f1;2;:::;ngmult ¸imea r ˘ad˘acinilor luif,M=k(1;2;:::;n),
M=N(1;2;:::;n).
Fie2G(MjN).
jN= 1Ns ¸i(i)2A;8i= 1;:::;n:)jM2G(M=k).
este morfism de grupuri.
() = 1M, atunci(1) =1;8i= 1;:::;n:)= 1M.
2.3.3 Aplicat ¸ii
Pentru a g ˘asi ecuat ¸i nerezolvabile prin radicali este suficient s ˘a g˘asim polinoame al c ˘aror
grup Galois s ˘a nu fie rezolubil.
Teorem ˘a 2.3.3.1. Fie un num ˘ar primp, un subcorp kal luiRs ¸i un polinom ireductibil
f2k[X]cudeg(f) =p. Dac ˘afare exact doua r ˘ad˘acini nereale, atunci Gk(f)'Sp.
Demonstrat ¸ie 2.3.3.1. FieA=f
1;
2;:::;
pgmult ¸imea r ˘ad˘acinilor lui f, cu
1;
22
CnR,
1= 
2;
3;:::;
p2Rs ¸iG=Gk(f) =G(Ajk). Aplicat ¸ia
:G!SA'Sp;() =jA
este un morfism injectiv de grupuri.
FieB=Im()'GSp. Se s ¸tie c ˘aBeste tranzitiv. Fie
':C!C;'(a) = a:
Avem'(
1) =
2,'(
2) =
1,'(
i) =
i;8i= 3;:::;p:
Se observ ˘a c˘a'jBcorespunde unei transpozit ¸ii ˆınA)A=Sp.
Exemplu:X54X+ 2 = 0 este o ecuat ¸ie care nu este rezolvabil ˘a prin radicali.
Teorem ˘a 2.3.3.2. Fie un num ˘arˆıntreg par,p52Z. Atunci9g2Q[X]ireductibil cu
propriet ˘ac tiledeg(g) =ps ¸iGQ(g)'Sp.
Corolar 2.3.3.1. (Abel) Fien5. Exist ˘a un polinom de grad npesteQcare nu este
rezolvabil prin radicali.
Demonstrat ¸ie 2.3.3.2. Fiepnun num ˘ar prim s ¸igun polinom de grad pavˆand pro-
priet ˘at ¸ile din teorema de mai sus. Fie k=np.
f(X) =Xkg(X)are propriet ˘at ¸ile cerute.
35

Teoria lui Galois Extinderi radicale
Definit ¸ie 2.3.3.1. Fiekun corp,n2Ns ¸ik(a1;:::;an)corpul fract ¸iilor rat ¸ionale ˆın nede-
terminatele a1;:::;an. Polinomul Pn2k(a1;:::;an)[X],
Pn(X) =Xna1Xn1+a2Xn2+:::+ (1)n1an1X+ (1)nan
se numes ¸te polinomul general de grad npestek.
Ecuat ¸iaPn= 0se numes ¸te ecuat ¸ia general ˘a de gradnpestek.
Observat ¸ie 2.3.3.1. 1) orice polinom monic de grad n,f(X) =Xn+b1Xn1+:::+bn2
k[X]se poate obt ¸ine din polinomul general f ˘acˆandai= (1)ibi.
2) dac ˘a ecuat ¸iaPn= 0este rezolvabil ˘a prin radicali relativ la k(a1;:::;an), atunci r ˘ad˘acinile
oric˘ariu polinom monic de grad npestekpot fi g ˘asite din formulele pentru Pn= 0.
Teorem ˘a 2.3.3.3. Fiekun corp cuchar(k) = 0 . Ecuat ¸ia general ˘a de gradneste rezolvabil ˘a
prin radicali peste k(a1;:::;an),n4.
Demonstrat ¸ie 2.3.3.3. Este suficient s ˘a demonstr ˘am c ˘aGk(a1;:::;an)(Pn) =Sn.
Pentru aceast ˘a fiey1;:::;ynr˘ad˘acinile luiPnˆıntr-un corp de descompunere
A=k(a1;:::;an)(y1;:::;yn)al luiPn. Atunci
a1=nX
i=1yi;
a2=X
1i<jnyiyj;
…
an=y1
yn:
ai=gi(y1;:::;yn), undeg1;:::;gnsunt polinoamele simetrice fundamentale ˆınnnedeter-
minate.
A=k(y1;:::;yn).
Fie acumfZ1;:::;Zngnedeterminate, Bsubcorpul fract ¸iilor simetrice din k(Z1;:::;Zn).
AtunciB=k(g1;:::;gn).
Exist ˘a o aplicat ¸ie

:k(a1;:::;an)!k(g1;:::;gn);
(ai) =gi;8i= 1;:::;n:
care este morfism surjectiv de inele.
Dac˘a
(h) = 0 , avemh(g1;:::;gn) = 02k[g1;:::;gn]k[Z1;:::;Zn]. Dar
gj(Z1;:::;Zn) =X
1i1<:::<ijnZi1:::Zij
s ¸i deci
0 =h(g1;:::;gn) =h(g1(Z1;:::;Zn);:::;gn(Z1;:::;Zn)):
SubstituimZi=yis ¸i obt ¸inem
0 =h(g1(y1;:::;yn);:::;gn(y1;:::;yn)) =h(g1;:::;gn) =h(g1(Z1;:::;Zn);:::;gn(Z1;:::;Zn)):
36

Teoria lui Galois Extinderi radicale
Rezult ˘a c˘a
este injectiv, deci izomorfism s ¸i atunci
se extinde la un izomorfism al cor-
purilor de fract ¸ii

:k(a1;:::;an)!k(g1;:::;gn) =B:
Avem c ˘aA=k(y1;:::;yn)este corp de descompunere peste k(a1;:::;an)al luiPns ¸i

Z(Pn) =Zng1Zn1+:::+ (1)ngn= (ZZ1):::(ZZn):
Cumk(Z1;:::;Zn)este corp de descompunere al lui
Z(Pn)pestek(g1;:::;gn) =B,
se
extinde la un izomorfism A'k(Z1;:::;Zn)care ducek(a1;:::;an)peB. Atunci
Gk(a1;:::;an)(Pn) =G(Ajk(a1;:::;an))'G(k(Z1:::;Zn)jB)'Sn:
Teorem ˘a 2.3.3.4. Fien0. Exist ˘a un subcorp kal luiRs ¸i un polinom f2k[X]cu
deg(f) =ncu proprietatea c ˘aGk(f)'Sn.
Demonstrat ¸ie 2.3.3.4. Este suficient s ˘a demonstr ˘am c ˘aRcont ¸ine un subinel cu Q[A1;:::;An].
Pentrun= 0este evident.
Vom presupune c ˘a exist ˘a aplicat ¸ia
:Q[A1;:::;An]!R:
este un morfism injectiv.
Fieui= (Ai);8i= 1;:::;n s ¸i fieu2R. Atunci
u:Q[A1;:::;An+1]!R
astfel ˆıncˆat
ujQ[A1;:::;An]=
u(An+1) =u:
Fieg2Q[A1;:::;An],
g=g0+g1An+1+:::+gmXm
n+1;g0;:::;gm2Q[A1;:::;An]:
Rezult ˘a c˘a:
u(g) = (g0) + (g1)u+:::+ (gm)um
s ¸i
(gj)2Q[u1;:::;un]Q[A1;:::;An]:
Dac˘a unu este injectiv, ueste algebric peste Q[u1;:::;un]. Dar extinderea Q[u1;:::;un]
Rnu este algebric ˘a, pentru c ˘aRnu este mult ¸ime num ˘arabil ˘a, deci exist ˘a m˘acar un element
u2Rcu proprietatea c ˘a us˘a fie injectiv.
37

Capitolul 3
Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul
Fie un plans ¸i dou ˘a puncteA;B2.
Not˘am cuL(A;B)dreapta determinat ˘a de punctele A;B ,ABsegmentul determinat de
As ¸iB, iar lungimea sa cu jABj.CuC(A;B)vom nota cercul de centru As ¸i razajABj.Cu
ajutorul riglei putem trasa dreapta L(A;B), iar cu ajutorul compasului putem construi cercul
C(A;B).
Deci, cu ajutorul riglei s ¸i a compasului, putem construi puncte care apar ca intersect ¸i de
drepte s ¸i cercuri construite cu ajutorul unor puncte init ¸iale.
ˆIn planulfix˘am un sistem de coordonate.
V om alegere doua puncte, Ms ¸iN, dreapta determinat ˘a de eleL(M;N )va reprezenta
axax.V om construi cu compasul cercurile C(M;N )s ¸iC(N;M ))C(M;N )\C(N;M ) =
fS;Tg. Deci axayva fi reprezentat ˘a de dreapta L(S;T).
Cele doua axe se intersecteaza ˆın origine, notat ˘a cuOs ¸i sunt perpendiculare.
DefinimjOMj= 1.
Astfel am introdus coordonatele ˆın plan.
Cu ajutorul num ˘arului complex zA=x+iyvom determina punctul A(x;y).
Definit ¸ie 3.0.0.1. FieA;B;S;T patru puncte din planul . Un punct P2se numes ¸te
constructibil din A;B;S;T dac˘a are loc cel put ¸in una din situat ¸iile de mai jos:
i)P2L(A;B)\L(S;T)s ¸iL(A;B)6=L(S;T);
ii)P2L(A;B)\C(S;T);
iii)P2C(A;B)\C(S;T)siC(A;B)6=C(S;T).
38

Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul
Un punctP2se numes ¸te constructibil dac ˘aP=M,P=Nsau dac ˘a ex-
ist˘aA1;:::;An2,P=Ans ¸i8i1;Ai+1este constructibil din puncte apart ¸in ˆand
fM;N;A 1;:::;Aig.
Un num ˘ar complexzA=x+iyeste constructibil dac ˘aA(x;y)este constructibil.
Observat ¸ie 3.0.0.1. (i) Nu toate punctele unei drepte sau unui cerc sunt constructibile
chiar dac ˘a le putem construi.
(ii)ˆIn continuare vom presupune c ˘a sunt cunoscute construct ¸iile geometrice din geometria
elementar ˘a, de exemplu construirea bisectoarei unui unghi, perpendiculara dintr-un
punct pe o dreapt ˘a etc.
Observat ¸ie 3.0.0.2. Amintim c ˆateva construct ¸ii de baz ˘a :
a) Ridicarea unei perpendiculare pe o dreapt ˘addintr-un punct al ei , M
Cu compasul g ˘asim cercul de raz ˘arde centruM, puncteleN;P2d. DinNs ¸iPse
traseaz ˘a doua cercuri de raze egale r1> r, ce intersecteaz ˘a puncteleSs ¸iT. Dreapta
obt ¸inut ˘a prin unirea celor doua puncte trece prin Ms ¸i este perpendicular ˘a ped.
b) Determinarea mijlocului Ual unui segment [NP]
39

Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul
Se face ca la punctul precedent, ”uit ˆand deM” , ce se obt ¸ine la intersect ¸ia perpendicu-
lareiSTcu dreaptad, ce trece prin Ns ¸iP.
c) Cobor ˆarea unei perpendiculare pe o dreapt u a dat ˘ad, dinM =2d
Se duce un cerc cu centru Ms ¸i raz ˘arcare taiedˆınNs ¸iP. Construim doua cercuri
de raze egale din Ns ¸iP,MP, cercuri ce se taie ˆınMˆınMs ¸iQ. DreaptaMQ este
perpendicular ˘a ped.
d) Construirea dreptei paralele la dreapta dat ˘adprin punctul dat M =2d
40

Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul
Se traseaz ˘a perpendiculara din MS ped. Se construies ¸te d0perpendicular ˘a pe dreapta
MS ˆınM)d0jjd.
e) Date segmentele de lungime ms ¸in, s˘a se construiasc ˘am
n
Se iau doua semidrepte ds ¸id0de origine comun ˘a, segmentele OM ped, de lungime m,
[OS]s ¸i[SN]ped0de lungimi 1. Se unes ¸te McuS, iar prinNducem paralel ˘a la dreapta
MS.MS taiedˆınTs ¸iMT are lungimea x=m
n.
f) Date segmentele de lungime ms ¸in, s˘a se construiasc ˘am
n
41

Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul
Se iau doua semidrepte ds ¸id0de origine comun ˘a, segmentele OM ped, de lungime
m,[ON]de lungime ns ¸i[NS]de lungime 1. Se unes ¸te McuN, iar prinMducem
paralel ˘a la dreapta MN .MN taiedˆınTs ¸iMT are lungimea egal ˘a cuy. Avemm
n=y
1,
de undey=m
n.
g) Construct ¸ia unui segment de lungimepm, dac ˘a se s ¸tie segmentul de lungime m
Lem ˘a 3.0.0.1. Fiekmult ¸imea numerelor complexe constructibile.
i)ksubcorp al lui C,k\Rsubcorp al lui R;
ii) dac ˘ak\Reste corp ˆın care toate elementele pozitive au r ˘ad˘acin˘a p˘atrat ˘a, atunci s ¸i
elementele din kvor avea r ˘ad˘acin˘a p˘atrat ˘a.
Demonstrat ¸ie 3.0.0.1. i) Trebuie s ˘a ar˘at˘a dec ˆat implacat ¸ia invers ˘a, deoarece cea direct ˘a
este evident ˘a.
Vom presupune c ˘ak\Re un subcorp al lui R.
Fiex=m+ni;y =s+ti;x;y2k;x6= 0)m;n;s;t2k\R.
Darx+y= (m+s) +i(n+t);m+s;n+t2k\R)x+y2k.
Analog se demonstreaz ˘a c˘ayx;x12k.
ii) Fiex=abi2k)q2=a2+b22k\R)q2k\R.
Darx=qei;pq2k\R;eieste constructibil)px=p
qei2k.
Teorem ˘a 3.0.0.1. Fiekmult ¸imea numerelor complexe constructibile. Atunci keste subcorp
al luiCˆınchis la conjugarea complex ˘a s ¸i la extragerea r ˘ad˘acinii p ˘atrate.
Demonstrat ¸ie 3.0.0.2. Aplic ˆand lema precendent ˘a va trebuii s ˘a demonstr ˘am doar c ˘ak\R
este un subcorp al lui Rˆınchis la extragerea r ˘ad˘acinii p ˘atrate s ¸i c ˘akesteˆınchis la conju-
garea complex ˘a.
42

Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul
m+neste construibil
mneste construibil
m1este construibil
43

Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul
pmeste construibil
Fiem;n2Rconstructibile.
i)meste constructibil.
A(m;0)este constructibil, deci B(m;0)este cealalt ˘a intersect ¸ie a axei xcuC(O;A).
ii)m+neste constructibil.
FieI(0;1);A(m;0);B(n;1).Beste intesect ¸ia paralelei la axa xprinIcu perpendiculara
la axaxprinB1(n;0)care este constructibl )B(n;1)este constructibil.
Dreapta care trece prin Bparalel ˘a cuIAintersecteaz ˘a axaxˆın punctulD(m+n;0).
Deci,m+neste constructibil.
iii)mneste constructibil.
FieM(1;0);N(1 +m;0);P(0;n), iarQintersect ¸ia axei ycu paralela prin NlaMP.
Avem
OMP'
ONQ , decijONj
jOMj=jOQj
jOPj)m+1
1=n+jPQj
n)jPQj=mn.
As ¸adarn+mneste constructibil)mn=n+mnneste constructibil.
iv) dac ˘am6= 0, atuncim1este constructibil.
FieM(1;0);U(0;m);V(0;1 +m). Dac ˘aNeste intersect ¸ia axei xcu paralela prin
VlaMU, atunciN(1 +q;0);q2R. Dar
OUM'
OVN , decijOVj
jOUj=jONj
jOMj
)1+m
m=1+q
1)q=m1.
As ¸adar 1 +m1este constructibil s ¸i m1=q1este constructibil.
v) dac ˘am0, atuncipmeste constructibil.
FieM(1;0);N(1+m;0), iarPmijlocul lui ON,Pfiind constructibil. Fie Sintersect ¸ia
perpendicularei ˆınMpe axaxcuC(P;0). Cum
MOS'
MSN , decijOMj
jMSj=jMSj
jMNj
)jMSj=pm.
44

Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul
V om da o interpretare analitic ˘a a intersect ¸iilor de cercuri s ¸i drepte, pentru un plan determinat
de un subcorp al corpului numerelor reale M,QMR:
Consider ˘planul determinat de M,=MM.
Dreptele din sunt mult ¸imi de puncte :
f(a;b)2MMjma+nb+p= 0g;
undem;n;p2Ms ¸im;n nu sunt simultan 0.
Fie punctele A1(a1;b1),A2(a2;b2)2,A16=A2. Ele determin ˘a o dreapt ˘a unic ˘a dat ˘a
prin ecuat ¸ia:
bb1= (b2b1)
(a2a1)1(aa1);(a;b)2;
dac˘aa26=a1, iar prin ecuat ¸ia
aa1= 0
dac˘aa2=a1.
Un cerc de centru A(m;n)s ¸i de raz ˘ar2Meste mult ¸imea :
f(a;b)2j(am)2+ (bn)2r2= 0g:
Doua drepte:
(d1)ma+nb+p= 0;(a;b)2
(d2)m0a+n0b+p0= 0;(a;b)2
pot fi :
i) dac ˘am
m0=n
n06=p
p0sunt drepte paralele,
ii) dac ˘am
m06=n
n0sunt drepte concurente,
iii) dac ˘am
m0=n
n0=p
p0sunt drepte coincidente.
Un cerc s ¸i o dreapt ˘a:
(C)a2+b2+sa+tb+u= 0;
(d)ma+nb+p= 0;
45

Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul Construct ¸ii cu rigla s ¸i compasul
pot avea ˆın comun:
i) doua puncte,
ii) un punct (dreapta este tangent ˘a),
iii) nici un punct.
Iar despre doua cercuri:
(C1)a2+b2+sa+tb+u= 0;
(C2)a2+b2+s0a+t0b+u0= 0;
intersect ¸ia lor este aceeas ¸i cu cea a lui C1cu dreapta (axa radical ˘a):
(ss0)a+ (tt0)b+ (uu0) = 0:
Observat ¸ie 3.0.0.3. Dac˘aa2Reste construibil cu rigla s ¸i compasul ,peste Q, atunciava
fi algebric peste Qde grad 2v,v2N. Rezult ˘a c˘a :
1.Nu este posibil ˘a duplicarea cubului, as ¸adar construct ¸ia cu rigla s ¸i compasul a laturii
unui cub de volum dublu fat ¸ ˘a de volumul unui cub dat.
2.Cuadratura cercului nu este posibil ˘a, adic ˘a obt ¸inerea cu rigla s ¸i compasul a laturii l
a unui p ˘atrat cu aria egal ˘a cu aria unui cerc de raz ˘ar, deoareceeste transcendent
pesteQ.
3.ˆIn general, ˆımp˘art ¸irea unui unghi ˆın trei p ˘art ¸i congruente este imposibil ˘a.
4.Problema celor trei bisectoare are r ˘aspuns negativ ˆın general. Problema cere constru-
irea triunghiului c ˘aruia i se cunosc bisectoarele.
5.Lunulele lui Hippocrate sunt figuri m ˘arginite de dou ˘a arce echivalente de cerc, cu un
p˘atrat dat. ˆIn particular, s ˘a se construiasc ˘a un cerc echivalent cu un p ˘atrat.
46

Referint ¸e bibliografice
[1] E. Arghiriade, Curs de algebr ˘a superioar ˘a, vol. I, Editura Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a,
Bucures ¸ti, 1963
[2] D. Barbilian, Teoria aritmetic ˘a a idealelor, Editura Academiei, Bucures ¸ti, 1956
[3] D. Barbilian, Algebra, Editura Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a, Bucures ¸ti, 1985
[4] I. Creang ˘a, M. S ¸tef ˘anescu, Probleme de algebr ˘a, Editura Universit ˘at ¸ii Ias ¸i, 1979
[5] G. Galbur ˘a, Algebr ˘a, Editura Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a, Bucures ¸ti, 1972
[6] I.D. Ion, C. Nit ¸ ˘a, D. Popescu, N. Radu, Probleme de algebr ˘a, Editura Didactic ˘a s ¸i
Pedagogic ˘a, Bucures ¸ti, 1981
[7] I.D. Ion, N. Radu, Algebra, ed a III-a, Editura Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a, Bucures ¸ti, 1992
[8] C. Ionescu, Ecuat ¸ii algebrice, Editura Ovidius University Press, Constant ¸a, 2005
[9] A.T. Lascu, Exercit ¸ii de algebr ˘a, Editura Tehnic ˘a, Bucures ¸ti, 1967
[10] T. Luchian, Algebr ˘a abstract ˘a, Editura Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a, Bucures ¸ti, 1975
[11] C. N ˘ast˘asescu, C. Nit ¸ ˘a, C. Vraciu, Bazele algebrei, vol. I, Editura Academiei, Bucures ¸ti
[12] N. Radu, Inele locale, vol. I,II, Editura Academiei, Bucures ¸ti
[13] G. S ˆamboan, Teoria lui Galois, Editura Tehnic ˘a, Bucures ¸ti, 1968
[14] M. S ¸tef ˘anescu, Teoria lui Galois, Editura Ex Ponto, Constant ¸a, 2002
47