s Beleiu Alina [604893]
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
SPECIALIZAREA MATEMATIC A INFORMATIC A
LUCRARE DE LICENT A
Coordonator stiint i c: Candidat: [anonimizat] s Beleiu Alina
Timi soara, 2016
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
SPECIALIZAREA MATEMATIC A INFORMATIC A
OPERAT II CU MATRICE.
APLICAT II LA REZOLVAREA
SISTEMELOR DE ECUAT II
Coordonator stiint i c: Candidat: [anonimizat] s Beleiu Alina
Timi soara, 2016
Abstract
3
Cuprins
Introducere 6
1 Matricea ^ n algebr a 7
1.1 Generalit at i. Notat ii si de nit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Not iunea de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Cazuri particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Egalitatea matricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Operat ii cu matrice 13
2.1 Adunarea matricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Propiet at i ale adun arii matricelor . . . . . . . . . . . . 13
2.2 ^Inmult irea matricelor cu scalari din corpul K . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Propiet at i ale^ nmult irii matricelor cu scalari din corpul K 14
2.3 ^Inmult irea matricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Propiet at i ale ^ nmult irii matricelor . . . . . . . . . . . 15
2.4 Transpusa unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Propriet at i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Tipuri particulare de matrice p atratice . . . . . . . . . 17
2.5 Permut arile unei mult imi nite. Determinant i . . . . . . . . . 18
2.5.1 Permut arile unei mult imi . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2 Determinant i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.3 Calculul determinant ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Rangul unei matrice. Matrice inversabile . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1 Rangul unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.2 Matrice inversabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Sisteme de ecuat i liniare 26
3.1 De nit i. Notat i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Sisteme de tip Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Sisteme de m ecuat ii cu n necunoscute . . . . . . . . . 28
3.3 Sisteme omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4
3.4 Metode de rezolvare a sistemelor de ecuat ii . . . . . . . . . . . 32
3.4.1 Metode directe de rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . 34
Bibliogra e 36
5
Introducere
^In lucrarea \Operat ii cu matrice. Aplicat ii la rezolvarea siste-
melor de ecuat ii\ ne propunem s a trat am din punct de vedere teoretic
^In^ ncheiere doresc s a^ i mult umesc domnului Lect. Dr. Mihai Chi s pentru
sprijinul acordat, ^ n calitate de coordonator, ^ n elaborarea acestei lucr ari de
licent a.
6
Capitolul 1
Matricea ^ n algebr a
^In acest capitol vom trata, matricea ^ n algebr a si operat iile cu matrice con-
form [2], [3].
1.1 Generalit at i. Notat ii si de nit ii
De nit ia 1.1.1. O ecuat ie liniar a cu nnecunoscute x1;x2;:::;xneste o
ecuat ie de forma
a1x1+a2x2+:::+anxn=b (1.1)
undeai(i= 1;2;:::;n ) sibsunt numere complexe.
Consider am un sistem de mastfel de ecuat ii cu nnecunoscute:
8
>>><
>>>:a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
::::::::::::::::::::::::::::::
am1x1+am2x2++amnxn=bn(1.2)
undeaij;bi(i= 1;2;:::;m;j = 1;2;;n) sunt numere complexe. Numerele aij
poart a numele de coe cient i ai necunoscutelor, iar numerele bise numesc
termeni liberi.
A rezolva sistemul (1.2) ^ nseamn a a determina toate sistemele ordonate
de numere ( 1; 2;:::; n) astfel^ nc^ at, c^ and^ nlocuim^ n sistem necunoscutele
x1;x2;:::;xnrespectiv cu numerele 1; 2;:::; n ecare dintre ecuat iile sis-
temului este veri cat a. Se stie c a un astfel de sistem pentru cazul n=m= 2
saun=m= 3 se poate rezolva folosind metoda substituiei sau a reduce-
rii. Cum practica impune rezolvarea unor sisteme de forma (1.2) care au un
num ar mare de ecuat ii si necunoscute, exist a metode generale de rezolvare
7
prin operat ii aplicate coe cient ilor necunoscutelor precum si termenilor liberi
ai sistemului. Acest lucru impune un studiu mai atent al sistemelor de ecuat ii
liniare, studiu ^ n care un rol important ^ l au urm atoarele dou a matrice:
A=0
BB@a11a12a1n
a21a22a2n
am1am2amn1
CCA
respectiv
A=0
BB@a11a12a1nb1
a21a22a2nb2
am1am2amnbm1
CCA
Prima matrice se nume ste matricea sistemului (1.2), iar a doua matrice
este cunoscut a sub numele de matricea extins a a sistemului (1.2).
1.2 Not iunea de matrice
FieM=f1;2;:::;mg;N=f1;2;:::;ngmult imea primelor mrespectivn
numere naturale nenule. Vom nota cu C, mult imea numerelor complexe si
eEC.
De nit ia 1.2.1. Numim matrice de tipul (m;n) cu elemente din Eo
funct ieA:MN!E, astfel ^ nc^ at perechii ordonate ( i;j) ^ i corespunde
elementulaij2E:
A(i;j) =aij2E;8(i;j)2MN:
Reprezentarea^ n mod natural a unei matrice este un tablou bidimensional
cumlinii sincoloane se face astfel:
A=0
BB@a11a12a1n
a21a22a2n
am2am2amn1
CCA(1.3)
Datorit a notat iei (1.3), ^ n loc de matrice de tipul ( m;n) se mai spune
matrice cu m linii si n coloane . Numerele aijse numesc elementele
matricii A ;ireprezint a linia , iarjreprezint a coloana este situat elementul
aijal tabloului A.
De multe ori matricea Ase mai noteaz a si astfel:
8
A= (aij)1im
1jnsauA = (aij)i=1;:::m
j=1;:::n(1.4)
Restrict ia funct iei Ala mult imea elementelor de forma ( i;1);(i;2);:::(i;n)
de ne ste linia de rang ia matricei. De fapt, linia de rang ia matricei este
determinat a de sirul de elemente ai1;ai2;:::ain,i2f1;2;:::mg.
^In mod analog, restrict ia funct iei Ala mult imea elementelor de forma
(1;j);(2;j);:::(n;j), undej2f1;2;:::ng, de ne ste coloana de rang ja
matriceiA.
O matrice de tipul ( m;n) aremnelemente.
Not iunea de matrice a fost introdus a ^ n studiul sistemelor de ecuat ii lini-
are de c atre matematicianul englez Arthur Caylay (1821-1895) ^ n anul 1858.
El a folosit notat ia
A=
aij
1im
1jn;
notat ia (1.4) ind introdus a de M. Bocher ^ n anul 1919.
Not iunea de matrice s-a introdus pentru "algebrizarea not iunii de repre-
zentare geometric a" , unei transform ari geometrice asociindu-i-se o matrice
pentru a reduce studiul transform arilor geometrice la studiul matricelor. Ma-
tricele pot g^ andite si ca o generalizare a vectorilor, vectorii sunt matrice
cu o singur a linie sau cu o singur a coloan a.
1.2.1 Cazuri particulare
(1) Dac an= 1, matricea de tipul ( m;1) se nume ste matrice coloan a si
este de forma:
A=0
BBBBB@a11
a21
a31
…
am11
CCCCCA:
(2) Dac am= 1, matricea de tipul (1 ;n) se nume ste matrice linie si este
de forma:
A=
a11a12a13::: a 1n
:
(3) Dac am=n, matricea de tipul ( m;n) se nume ste matrice p atratic a
9
de ordinul n si este de forma:
A=0
BB@a11a12a1n
a21a22a2n
an2an2ann1
CCA
Pentru o matrice p atratic a de ordin n, sistemul ordonat de elemente
(a11;a22;a33;:::ann) se nume ste diagonala principal a a matriceiA, iar sis-
temul ordonat de elemente ( a1n;a2n 1;a3n 2;:::an1) se nume ste diagonala
secundar a a matriceiA.
Suma de forma a11+a22+a33++annse nume ste urma matriceiA
si se noteaz a:
Tr(A) =nX
i=1aii:
Vom nota cu Mn(C) muli mea tuturor matricelor p atratice de ordin ncu
elemente din C si cuMmn(C) mult imea tuturor matricelor de tip ( m;n) cu
elemente din ( C).^In mult imea Mn(C) exist a si urm atoarele cazuri particulare
de matrice:
(i)matricea unitate de ordin nde forma:
In=0
BB@1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 11
CCA
cua11= 1;i= 1;:::n siaij= 0;(8)i6=j:
Se mai noteaz a astfel: In= (ij)1i;jn, undeijeste simbolul lui
Kronecker, de nit astfel:
ij=1 dac a i=j
0 dac ai6=j:
(ii)matricea diagona a de ordin nde forma:
A=0
BB@a110 0 0
0a220 0
0 0 0ann1
CCA= (aijij)1i;jn:
10
(iii)matricea triunghiular a de ordin ncare poate de forma:
A1=0
BB@a11 0 0 0
a21a22 0 0
an1an2an3ann1
CCA
sau
A2=0
BB@a11a12a13a1n
0a22a23a2n
0 0 0ann1
CCA
Este matricea ^ n care aij= 0 pentru i<j , sau pentru i>j .
A1se nume ste matrice triunghiular a inferior, iar A2se nume ste matrice
triunghiular a superior.
(iv)matricea scalar a de forma:
A=0
BB@ 0 0 0
0 0 0
0 0 0 1
CCA; 2C
(v)matricea nul a este matricea ^ n care toate elementele sunt egale cu 0
si este de forma:
On=0
BB@0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 01
CCA
^In mult imea Mmn(C) distingem c^ ateva submult imi importante si anume:
Mmn(R) care reprezint a mult imea matricelor p atratice de tipul ( m;n) cu
elemente numere reale, Mmn(Q) care reprezint a mult imea matricelor p atratice
de tipul (m;n) cu elemente numere rat ionale, Mmn(Z) care reprezint a mult imea
matricelor p atratice de tipul ( m;n) cu elemente numere ^ ntregi.
Este clar c a avem incluziunile:
Mmn(Z)Mmn(Q)Mmn(R)Mmn(C).
Elementele mult imii Mmn(C) se noteaz a cu litere mari din alfabetul
latin:A;B;C;::: sauA0;B0;C0;:::.
11
1.3 Egalitatea matricelor
De nit ia 1.3.1. FieA,B2Mmn(C) dou a matrice. Cum A siBsunt
funct ii:
A;B :MN!C,
spunem c a matricele A siBsunt egale dac a si numai dac a sunt egale ca
funct ii .
Deci,A=B() (8)i2M;j2N;A(i;j) =B(i;j).
Folosind notat ia (1.3) corespunz atoare unei matrice si presupun^ and c a:
A=0
BB@a11a12a1n
a21a22a2n
am2am2amn1
CCA
si
B=0
BB@b11b12b1n
21b22b2n
bm2bm2bmn1
CCA
AtunciA=B()aij=bij;(8)i2M;j2N.
12
Capitolul 2
Operat ii cu matrice
2.1 Adunarea matricelor
De nit ia 2.1.1. FieA;B2Mmn(C);A= (aij)1im
1jn,B= (bij)1im
1jn.
De nim matricea C= (cij)1im
1jnastfel:
cij=aij+bij;(8)i=1;m;j =1;n.
MatriceaCse nume ste suma matricelor A siB si se noteaz a C=A+B.
De nit ia 2.1.2. Operat ia intern a pe Mmn(C), prin care oric aror dou a ma-
triceA;B se asociaz a suma lor C, se nume ste adunarea matricelor .
Observat ie 2.1.1 .Operat ia intern a pe Mmn(C), prin care oric aror dou a ma-
triceA;B se asociaz a suma lor C, se nume ste adunarea matricelor.
Observat ie 2.1.2 .Are sens s a vorbim de adunarea matricelor doar dac a ele
sunt de acela si tip.
2.1.1 Propiet at i ale adun arii matricelor
(1)Comutativitatea
(8)A;B;C2Mmn(C);A+B=B+A.
(2)Asociativitatea
(8)A;B;C2Mmn(C);(A+B) +C=A+ (B+C).
(3)Element neutru
(8)A2Mmn(C);A+Omn=Omn+A.
13
(4)Element simetrizabil
(8)A2Mmn(C);(9)A2Mmn(C), astfel ^ nc^ at:
A+ ( A) = ( A) +A=Omn.
Observat ie 2.1.3 .(i) Propriet at ile de mai sus arat a c a mulimea Mmn(C)
are o structur a de grup abelian.
(ii) Odat a cu adunarea, se de ne ste si operat ia de sc adere a matricelor.
Prin diferena A Bse ^ nt elege matricea A+ ( B).
(iii) Ecuat ia matriceal a B+X=A, undeA;B2Mmn(C) are drept solut ie
unic a, matricea X=A B, cuX2Mmn(C).
2.2 ^Inmult irea matricelor cu scalari din cor-
pul K
De nit ia 2.2.1. Se nume ste produs dintre num arul 2K si matricea
A= (aij)1im
1jn2Mmn(K), matricea B= (bij)1im
1jn2Mmn(K), notat a
B=A, undebij=aij.
Deci, ^ nmult irea cu scalari din corpul Ka matricelor din Mmn(K) este
o operat ie extern a, care asociaz a ec arei perechi ( ;A)2KMmn(K) o
matriceA2Mmn(K).
Observat ie 2.2.1 .^Inmult irea cu scalari din corpul Kse poate de ni pentru
orice matrice, adic a este o operat ie peste tot de nit a pe M(K), unde am
notat cuM(K) mult imea tuturor matricelor cu elemente din corpul K.
2.2.1 Propiet at i ale ^ nmult irii matricelor cu scalari din
corpul K
(1) 1A=A;12Keste elementul unitate din K.
(2)(A) = ()A, unde;2K;A2M(K).
(3)(A+B) =A+B, unde2K;A;B2M(K).
(4) (+)A=A+A, unde;2K;A2M(K).
Se constat a deci c a operat iile de adunare si ^ nmult ire a matricelor cu
scalari din corpul Kdetermin a pe Mmn(K) o structur a de spat iu liniar
peste corpul K.
14
2.3 ^Inmult irea matricelor
De nit ia 2.3.1. FieA= (aij)1im
1jno matrice de tip ( m;n) siB= (bij)1im
1jn
o matrice de tip ( n;p). Prin produsul matricelor A siB, notatABse ^ nt elege
o nou a matrice C= (cij)1im
1jnde tipul (m;p) ^ n care orice element cijsituat
la intersect ia liniei "i" cu coloana "j" este egal cu suma produselor elementelor
din linia "i" a matricei Acu elementele din coloana "j" a matricei B, efectuat a
dup a regula urm atoare:
cij=ai1b1j+ai2b2j++ainbnj=nX
k=1aikbkj;(8)i=1;m;j =1;n (2.1)
2.3.1 Propiet at i ale ^ nmult irii matricelor
(1)Distributivitatea fat a de adunare Dac aA2Mmn(K), iarB1;B22
Mnp(K), atunci are loc relat ia:
A(B1+B2) =AB1+AB2 (2.2)
Dac aA1;A22Mmn(K), iarB2Mnp(K), atunci are loc relat ia:
(A1+A2)B=A1B+A2B (2.3)
(2)Asociativitatea (8)A2Mmn(K);B2Mnp(K) siC2Mpq(K),
are loc egalitatea:
(AB)C=A(BC) (2.4)
(3) (8)A2Mmn(K), au loc relat iile:
ImA=A (2.5)
AIn=A (2.6)
undeImeste matricea unitate de ordin m, iarInmatricea unitate de
ordinn.
(4) (8)A2Mmn(K), au loc relat iile:
OpmA=Opn (2.7)
AOnp=Omp (2.8)
undeOpm;Opn;Onp;Ompsunt matrice nule.
15
(5)^Inmult irea matricelor, ^ n general, nu este comutativ a.
De nit ia 2.3.2. Dac aAB=BA, atunci matricele A siBse numesc
permutabile .
Observat ie 2.3.1 .Matricea nul a On si matricea unitate Inde ordinnsunt
permutabile cu orice matrice de acela si ordin, adic a au loc relat iile urm atoare:
AIn=InA=A (2.9)
AOn=OnA=On;(8)A2Mnn(K): (2.10)
Observat ie 2.3.2 .FieA2Mnn(K). Se de nesc puterile matricei A^ n modul
urm ator:
A0=In,
A1=A,
A2=AA,
…
An=AAA|{z}
m ori;m2N
2.4 Transpusa unei matrice
De nit ia 2.4.1. FieA= (aij)1im
1jno matrice de tip ( m;n). Matricea
tA= (takl)1km
1lnundetakl=alk;(8)k= 1;:::n;l = 1;2;:::m se nume ste
transpusa matricei A.
Observat ie 2.4.1 .MatriceatAeste o matrice de tipul ( n;m) si se obt ine din
Alu^ and liniile, respectiv coloanele lui Adrept coloane, respectiv linii pentru
tA.
Observat ie 2.4.2 .Dac aAeste o matrice p atratic a de ordin n, atunci transpusa
satAeste de asemenea o matrice p atratic a de ordin n. Dack=l, atunci
takk=akk si deci diagonala principal a a matriceitAeste aceea si cu diagonala
principal a a matricei A.
2.4.1 Propriet at i
(1) Aplicat ia de transpunere este o aplicat ie bijectiv a a mult imii Mmn(K)
care satisface relat ia:
t(tA) =A;(8)A2Mmn(K).
16
(2)t(A+B) =tA+tB;(8)A;B2Mmn(K).
(3)t(A) =tA;(8)A2Mmn(K) si (8)2R.
(4) Dac aA= (aik)1im
1kp siB= (bkj)1kp
1jn, atuncit(AB) =tBtA.
2.4.2 Tipuri particulare de matrice p atratice
De nit ia 2.4.2. O matrice p atratic a Ase nume ste simetric a dac a satisface
condit ia:
tA=A.
Observat ie 2.4.3 .O matrice simetric a se caracterizeaz a prin faptul c a ele-
mentele sale a sezate simetric ^ n raport cu diagonala principal a sunt egale,
adic a:
aij=aji;(8)i;j= 1;2;:::n .
Propozit ia 2.4.1. Mult imea matricelor simetrice de ordin nformeaz a un
subspat iu liniar al spat iului liniar Mn(K).
Observat ie 2.4.4 .Produsul a dou a matrice simetrice nu este, ^ n general, o
matrice simetric a.
De nit ia 2.4.3. O matrice Ase nume ste antisimetric a dac a satisface
condit ia:
tA= A.
Observat ie 2.4.5 .^Intr-o matrice antisimetric a, elementele situate simetric ^ n
raport cu diagonala principal a sunt opuse, iar elementele diagonalei princi-
pale sunt nule, adic a:
aij=aji;(8)i;j= 1;2;:::n;i6=j
aii= 0;(8)i= 1;2;:::n .
Propozit ia 2.4.2. Mult imea matricelor antisimetrice de ordin nformeaz a
un subspat iu liniar al lui Mn(K).
Propozit ia 2.4.3. Produsul a dou a matrice antisimetrice de ordin n, per-
mutabile ^ ntre ele, este o matrice simetric a de ordin n.
De nit ia 2.4.4. O matrice A2Mn(R) se nume ste ortogonal a dac a si
numai dac a AtA=In, undeIneste matricea unitate de ordin n.
De nit ia 2.4.5. O matriceA2Mn(C) este cu elemente pur imaginare dac a
aij= aij;(8)i;j= 1;n, unde aijeste conjugatul num arului complex aij.
17
De nit ia 2.4.6. O matriceA2Mn(C) se nume ste hermitic a
dac aA=t(A).
De nit ia 2.4.7. O matriceA2Mn(C) se nume ste antihermitic a
dac aA= t(A).
De nit ia 2.4.8. O matriceA2Mn(C) se nume ste unitar a dac a
t(A)A=At(A) =In.
2.5 Permut arile unei mult imi nite. Determinant i
2.5.1 Permut arile unei mult imi
De nit ia 2.5.1. S a not am cu Amult imea primelor nnumere naturale, adic a
A=f1;2;:::;ng. O funct ie bijectiv a :A!Ase nume ste permutare
sausubstitut ie de graduln.
Observat ie 2.5.1 .Vom nota mult imea tuturor permut arilor de gradul ncu
Snsau cun, iar elementele din Snle vom nota cu litere mici grece sti:
'; ;;:::;; . Se obi snuie ste ca o permutare de gradulns a se noteze
astfel:
=1 2::: n
(1)(2)::: (n)
Observat ie 2.5.2 .Num arul tuturor permut arilor de grad nesten!.^In mult imea
Sndistingem un element remarcabil si anume funct ia identic a: 1 A:A!A,
care poart a numele de permutare identic a, notat a cu e. A sadar:
e=1 2 3::: n
1 2 3::: n
De nit ia 2.5.2. FieA=f1;2;:::;ng. De nim submult imea
M=f(i;j)g=1i<jng. Dac a2Sneste o permutare de gradul n, o
pereche ordonat a ( i;j)2Mse nume ste inversiune a permut arii dac a
(i)<(j).
Vom nota cu m() num arul tuturor inversiunilor permut arii . Se observ a
c am() este cel mult egal cu num arul elementelor mult imii M, care este egal
cuC2
n.
Deci, 0m()C2
n=n(n 1)
2.
Num arul() = ( 1)m()se nume ste signatura permut arii .
Permutarea se nume ste par a, respectiv impar a dac a () = +1 respectiv
() = 1.
18
2.5.2 Determinant i
De nit ia 2.5.3. Se nume ste determinant asociat unei matrice de or-
din 2 cuaij2K, K este corp comutativ, i;j2f1;2g,
A=a11a12
a21a22
;
num arul 2K, notat cu:
=detA = a11a12
a21a22 =a11a22 a12a21
Observat ie 2.5.3 .Mult imeaS2a permut arilor mult imii f1;2geste format a
din dou a elemente:
1=1 2
1 2
si
2=1 2
2 1
:
m(1) = 0;m(2) = 1 deci 1este permutare par a, iar 2este permutare
impar a.
De nit ia 2.5.4. Se nume ste determinant asociat unei matrice de or-
din 3 cuaij2K siKeste corp comutativ, i;j2f1;2;3g,
A=0
@a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
A;
num arul 2K, notat cu:
=detA = a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33 =X
2S3()a1i1a2i2a3i3:
De nit ia 2.5.5. Se nume ste determinant asociat unei matrice p atratice
de ordinncuaij2K si K este corp comutativ, i;j2f1;2;:::;ng,
A=0
BB@a11a12::: a 1n
a21a22::: a 2n
::: ::: ::: :::
a31a32::: ann1
CCA;
19
num arul unic determinat de 2K, dat de formula:
=detA = a11a12::: a 1n
a21a22::: a 2n
::: ::: ::: :::
a31a32::: ann =X
2S3()a1(1)a2(2):::a 3(3):
Observat ie 2.5.4 .1. Produsul a1(1)a2(2):::an(n)se nume ste termen al
determinantului de ordinul n.
2. Uneori num arul = detA se mai noteaz a prescurtat si jAjsau (aij)1in
1jn.
3.^In formula determinantului unei matrice exist a n! termeni, dintre care
n!=2 au semnul (+), iar n!=2 au semnul (-).
4. De nit ia determinantului se aplic a si matricelor de ordin 1, c^ and A=
(a11).^In acest caz, detA =a11.
5. Not iunea de determinant are sens numai pentru matricele p atratice.
Teorema 2.5.1. Dac a la o linie (sau coloan) a matricei Aadun am ele-
mentele altei linii (sau coloane) ^ nmult ite cu acela si num ar, atunci aceast a
matrice are acela si determinant ca si matricea A.
Teorema 2.5.2. Dac aA;B sunt dou a matrice p atratice de ordin ncu ele-
mente din acela si corp, atunci:
det(AB) =detAdetB .
2.5.3 Calculul determinant ilor
Calculul determinant ilor de ordin doi si trei
Fie determinantul de ordin doi
= a11a12
a21a22 (2.11)
cu dou a linii si dou a coloane format din 4 elemente. Valoarea determinantului
(2.11) este dat a de expresia:
=a11a22a12a21
20
Valoare care se obt ine f ac^ and diferent a dintre produsul elementelor de pe
diagonala principal a si produsul elementelor de pe diagonala secundar a.
S a consider am acum determinantul de ordin trei:
= a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33 (2.12)
Valoarea acestui determinant poate calculat a ^ n dou a moduri si anume:
Regula triunghiurilor
Valoarea determinantului (2.12) este dat a de expresia:
=a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a11a23a32a12a21a32
Termenii cu "+" din (2.12) sunt: produsul elementelor de pe diagonala
principal a si dou a produse de elemente situate ^ n v^ arfurile a dou a triunghiuri
(isoscele) care au bazele paralele cu prima diagonal a (vezi (2.13)). Termenii
cu "-" sunt: produsul elementelor de pe diagonala secundar a si dou a produse
de elemente situate ^ n v^ arfurile a dou a triunghiuri (isoscele) care au bazele
paralele cu diagonala secundar a (vezi (2.13)).
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33 (2.13)
Calculul determinant ilor de ordin n
Fie determinantul urm ator de ordin n:
d= a11a12a13::: a 1n
a21a22a23::: a 2n
::: ::: ::: ::: :::
a31a32a33::: ann
Determinantul de ordin n 1 care se obt ine din dsuprim^ and linia i si
coloanajse nume ste minorul elementului aij si se noteaz a cu dij.
Num arulAij= ( 1)i+jdijse nume ste complementul algebric al elemen-
tuluiaij^ n determinantul d.
Teorema 2.5.3. Fie determinantul de ordin n;d =jaijj1in
1jn. Atunci,
(8)1inare loc egalitatea:
d=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin (2.14)
21
Egalitatea (2.14) poart a denumirea de dezvoltarea determinantului d
dup a linia i.
Teorema 2.5.4. Fie determinantul de ordin n;d =jaijj1in
1jn. Atunci,
(8)1jnare loc egalitatea:
d=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj (2.15)
Egalitatea (2.15) poart a denumirea de dezvoltarea determinantului d
dup a coloana j.
Determinant i triunghiulari
Sunt acei determinant i care au toate elementele situate deasupra uneia din
diagonale, nule.
= a11 0 0 0
a21a220 0
::: ::: ::: :::
an1an2::: ann (2.16)
Dezvolt^ andu-l dup a prima linie, vom avea:
=a11 a22 0::: 0
a32a33::: 0
::: ::: ::: :::
an2an3::: ann
Proced^ and analog, vom obine:
=a11a22a33an 1n 1ann.
Valoarea unui determinant triunghiular de tipul (2.16) este egal a cu produsul
elementelor de pe diagonala principal a.
Determinant i simetrici si antisimetrici
1) Un determinant = jaijj1in
1jnse nume ste simetric, dac a elementele
simetrice fat a de diagonala principal a sunt egale, adic a aij=aji.
Un astfel de determinant aren(n+1)
2elemente diferite.
2) Un determinant = jaijj1in
1jnse nume ste antisimetric, dac a elemen-
tele sale au proprietatea aij= ajiadic a elementele simetrice fat a de
diagonala principal a sunt egale si de semn contrar.
22
2.6 Rangul unei matrice. Matrice inversabile
2.6.1 Rangul unei matrice
FieA= (aij)1in
1jno matrice din Mmjaijj1in
1jntimesn (C) sik2Nastfel ^ nc^ at
1kmin(m;n).
Dac a lu am din matricea a klinii sikcoloane, elementele care se g asesc
la intersect ia acestor linii si coloane formeaz a o matrice p atratic a al c arei
determinant se nume ste minor de ordin kal matricei A.
Din matricea Ase pot obine Ck
mCk
nminori de ordin k.
De nit ia 2.6.1. FieA2Mmn(C) o matrice de tip ( m;n) nenul a. Spunem
c a matricea Aare rangulr(rangA =r) dac a are un minor de ordin r, nenul,
iar tot i minorii de ordin mai mare din A(dac a exist a) sunt nuli.
Observat ie 2.6.1 .Dac aAeste matricea nul a, convenim s a spunem c a rangul
ei este 0, adic a rangOmn= 0.
Teorema 2.6.1. FieA2Mmn(C)o matrice nenul a. Num arul natural r
este rangul matricei Adac a si numai dac a exist a un minor de ordin rdinA
nenul si tot i minorii de ordin r+ 1(dac a exist a) sunt nuli.
Teorema 2.6.2. FieA2Mmn(C) siB2Mnp(C)dou a matrice. Atunci
orice minor de ordin k(lkmin(m;p))al produsului AB se poate
scrie ca o combinat ie liniar a de minori de ordin kai matricei A(sau, ca o
combinat ie liniar a de minori de ordin kai matricei B).
Corolarul 2.6.3. Rangul produsului a dou a matrice este mai mic sau egal
dec^ at rangul ec arei matrice ^ n parte.
rang (AB)rangA sirang (AB)rangB .
Observat ie 2.6.2 .1. Deoarece ecare linie ( ai1;ai2;:::;ain) a unei matrice
A2Mmn(C), poate privit a ca un vector ^ n spat iul liniar Cn=C si
ecare coloan at(aj1;aj2;:::;ajm) a luiApoate privit a ca un vector
^ n spat iul liniar Cm=C, rangul matricei Acoincide cu num arul maxim
de linii liniar independente ale lui A(sau cu num arul maxim de coloane
independente ale lui A, acest num ar ind acela si).
2. Rangul unei matrice se calculeaz a pornind de la un minor de ordin 1
nenul. Se adaug a o linie si o coloan pentru a obt ine minori de ordin 2.
Dac a m acar unul este nenul, se continu a operat ia p^ an a se obt in minori
de un anumit ordin, e acesta r+ 1, tot i nuli. Rangul matricei Ava
r.
23
3. Rangul unei matrice A2Mmn(C) se mai poate calcula si folosind me-
todele transform arii ^ n matricea unitate sau ^ n matricea triunghiular a,
precum si cu ajutorul sistemelor de ecuat ii liniare.
2.6.2 Matrice inversabile
De nit ia 2.6.2. O matrice p atratic a A2Mn(K) se nume ste singular a sau
degenerat a dac a detA = 0 si se nume ste nesingular a sau nedegenerat a dac a
detA6= 0, unde prin detA am notat determinantul matricei A.
Observat ie 2.6.3 .Matricea unitatea de ordin n;In, este nesingular a deoarece
detIn= 16= 0.
De nit ia 2.6.3. O matrice p atratic a A2Mn(K) este inversabil a dac a
(9)B2Mn(K) astfel ^ nc^ at:
AB=BA=In.
MatriceaBse nume ste inversa matricei A.
Observ am c a si Aeste inversa matricei B.
Teorema 2.6.4. Inversa unei matrice, dac a exist a, este unic a.
Notat ie: Inversa unei matrice A, dac a exist a, se noteaz a cu A 1 si astfel
vom avea:
AA 1=A 1A=In, de unde (A 1) 1=A.
Teorema 2.6.5. FieA2Mn(K)o matrice p atratic a. Matricea Aeste in-
versabil a dac a si numai dac a este nesingular a (detA6= 0) .
Propietat i
(1) Dac aA2Mn(K) este inversabil a, atunci si A 1este inversabil a si are
loc egalitatea ( A 1) 1=A.
(2) Dac aA2Mn(K) este nesingular a, atunci si A 1este nesingular a deo-
arece are loc egalitatea ( A 1) 1=A.
(3)^Intre determinantul matricei A si determinantul matricei A 1are loc
egalitatea:
detA 1=1
detA.
(4) Inversa matricei unitate de ordin neste tot matricea unitate de ordin
n:
I 1
n=In
24
(5) Inversa matricei transpuse este egal a cu transpusa matricei inverse:
(tA) 1=t(A 1)
(6) Dac aA siBsunt matrice inversabile, de acela si ordin, atunci produsul
lor esteABeste tot o matrice inversabil a si inversa matricei produs
este egal a cu produsul matricelor inverse, luate ^ n ordine schimbat a,
adic a:
(AB) 1=B 1A 1
(7) Dac aA2Mn(Q) sauA2Mn(R), cudetA6= 0, atunci A 12Mn(Q)
sauA 12Mn(R).
(8) Dac aA2Mn(Z) sidetA =1, atunciA 12Mn(Z), adic aAeste
inversabil a ^ n Mn(Z).
(9) FieA;B2Mn(C) astfel^ nc^ at As a e nesingular a si ecuat iile matriceale
AX=B;YA=B. Solut iile celor dou a ecuat ii sunt dou a matrice
distincte, deoarece ^ nmult irea matricelor ^ n Mn(C) nu este comutativ a.
X=A 1B siY=BA 1.
25
Capitolul 3
Sisteme de ecuat i liniare
3.1 De nit i. Notat i
Sistemele de ecuat ii liniare intervin aproape ^ n toate domeniile matemati-
cii aplicate. ^In unele cazuri, ele apar ^ n mod natural, din ^ ns a si formularea
problemei. ^In alte cazuri, sistemele de ecuat ii liniare rezult a din aplicarea
unor metode numerice de rezolvare a problemelor init iale. Problema apro-
xim arii funct iilor si problema rezolv arii de sisteme de ecuat ii diferent iale sunt
exemple tipice de astfel de probleme.
De nit ia 3.1.1. FieKun corp comutativ. Se nume ste sistem de ecuat ii
liniare cu coe cient i ^ n K^ n necunoscutele x1;x2;:::;xnun ansamblu de
egalit at i: 8
>><
>>:a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
::::::::::::::::::::::::::::::
am1x1+am2x2++amnxn=bm(3.1)
undeaij;bi2K.
Sistemul (3.1) poate scris sub form a condensat a astfel:
nX
j=1aijxj=bi;1im (3.2)
Matricea de tip mn:
A=0
BB@a11a12::: a 1n
a21a22::: a 2n
::: ::: ::: :::
am1am2::: amn1
CCA;
26
notat a siA= (aij)1im
1jn, se nume ste matricea coe cient ilor sistemului, iar
matricea de tip m(n 1):
A=0
BB@a11a12::: a 1nb1
a21a22::: a 2nb2
::: ::: ::: ::: :::
am1am2::: amnbm1
CCA;
av^ and primele ncoloane, coloanele matricei A si ultima coloan a format a din
coloana termenilor liberi ai sistemului se nume ste matricea extins a. Matricea
B=0
BBB@b1
b2
…
bm1
CCCA
este matricea termenilor liberi, iar dac a not am cu
X=0
BBB@x1
x2
…
xm1
CCCA;
este matricea necunoscutelor, sistemul (3.1) se mai scrie si sub forma matri-
ceal a:
AX=B (3.3)
De nit ia 3.1.2. Un sistem ordonat de elemente 1; 2;:::; ndinKse
nume ste solut ie a sistemului (3.1), dac a ^ nlocuind ^ n (3.1) xjprin j;1j
n, toate cele mecuat ii sunt veri cate, adic a
nX
j=1aij j=b;1im:
Dac a sistemul (3.1) are m acar o solut ie, se spune a este compatibil determinat
dac a solut ia este unic a si nedeterminat, dac a exist a mai multe solut ii.
Dac a sistemul (3.1) nu admite solut ii, se spune c a este incompatibil.
A rezolva un sistem de ecuat ii liniare (3.1) ^ nseamn a a decide dac a acesta
este compatibil sau incompatibil, iar ^ n cazul compatibilit at ii, a-i g asi solut ia
unic a, atunci c^ and este determinat, si solut ia general a c^ and este nedetermi-
nat.
27
3.2 Sisteme de tip Cramer
Sistemele liniare de forma:8
>><
>>:a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
::::::::::::::::::::::::::::::
an1x1+an2x2++annxn=bn(3.4)
^ n care matricea Aa sistemului este o matrice p atratic a cu elemente din
corpul comutativ K;A2Mn(K) siB=t(b1;b2;:::;bn) este o matrice nenul a
de tipn1, sunt sisteme de tip Cramer.
Sistemele de mai sus se pot scrie sub form a matriceal a astfel:
AX=B (3.5)
unde,X=t(x1;x2;:::;xn) este coloana necunoscutelor.
Teorema 3.2.1. (Regulile lui Cramer)
Cu notat iile de mai sus, dac a d=detA este nenul, atunci sistemul (3.4)
are solut ie unic a si anume:
x1=d1
d;x2=d2
d;:::;xn=dn
d(3.6)
dj ind determinantul care se obt ine din dprin ^ nlocuirea coloanei jcu co-
loana termenilor liberi.
Observat ie 3.2.1 .Formulele (3.6) poart a numele de formulele lui Cramer. ^In
concluzie, un sistem de tip Cramer este compatibil determinat dac a matricea
sa este nesingular a, iar solut ia este dat a de formulele (3.6). Pentru a g asi
solut ia sistemului (3.4) avem de calculat a sadar n+ 1 determinant i si de
efectuatn^ mp art iri.
3.2.1 Sisteme de m ecuat ii cu n necunoscute
Revenim la un sistem de forma:8
>><
>>:a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
::::::::::::::::::::::::::::::
am1x1+am2x++amnxn=bm(3.7)
Vom p astra de asemenea toate notat iile f acute la ^ nceput. Evident, ^ n cele ce
urmeaz a, se pune problema compatibilit at ii unui astfel de sistem de ecuat ii
liniare. Pentru rezolvarea acestei situat ii exist a c^ ateva rezultate remarcabile
si anume:
28
Teorema lui Kronecker-Capelli
Sistemul de ecuat ii liniare (3.7) este compatibil dac a si numai dac a rangA =
rangA.
Av^ and in vedere considerat iile f acute la calculul rangului unei matrice ^ n
capitolul anterior, aceast a teorem a se mai poate enunt a si ^ n felul urm ator:
Teorema lui Rouch e
Sistemul (3.7) este compatibil dac a si numai dac a tot i minorii caracteristici
sunt nuli.
Dup a cum se poate observa, aceste teoreme nu spun nimic de rezolvarea
propriuzis a a unui sistem de forma (3.7). Despre acest lucru ne vom ocupa
^ n continuare.
Vom numi minor principal al unei matrice de rangr , un minor de ordin
rnenul si minor caracteristic de ordin r+ 1, minorul obt inut din minorul
principal bord^ andu-l cu elemente corespunz atoare coloanei termenilor liberi,
precum si cu cele ale uneia din liniile r amase din A.
Observat ie 3.2.2 .Minori caracteristici exist a dac a m > r , iar num arul lor
este egal cu m r, m este num arul de ecuat ii, iar r este rangul matricei A.
Presupunem c a sistemul (3.7) este compatibil si c a r angA =r. Vom lua
minorul principal ca ind situat la intersect ia primelor rlinii cu primele r
coloane din A: a11a12::: a 1r
a21a22::: a 2r
::: ::: ::: :::
ar1ar2::: arr 6= 0
Orice linie i;i > r , a matricelor A siAeste o combinat ie liniar a a primelor
rlinii (tot i minorii de ordin mai mare ca r ind nuli). De aici rezult a c a
orice ecuat ie i(i>r ) a sistemului (3.7) este o combinat ie liniar a de primele
recuat ii ale sistemului, cu anumit i coe cient i. De aceea, orice solut ie a
primelorrecuat ii satisfac toate ecuat iile din (3.7). Astfel, este su cient s a
rezolv am sistemul:
8
>><
>>:a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
::::::::::::::::::::::::::::::
ar1x1+ar2x2++arnxn=br(3.8)
care va echivalent cu (3.7), av^ and aceea si mult ime de solut ii.
Matricea noului sistem are rangul r;rn.
29
(1) Dac ar=n, sistemul (3.8) este de tip Cramer, compatibil determinat,
iar solut ia unic a a sistemului, dat a de formulele (3.6), va solut ia
sistemului.
(2) Dac ar < n , x am minorul principal, necunoscutele corespunz atoare
lui, necunoscute principale si trecem ^ n (3.8), ^ n membrul drept, tot i
termenii care cont in necunoscutele secundare: xr+1;xr+2;:::;xn. Aces-
tora din urm a le atribuim valori arbitrare, respectiv 1;2;3;:::;n r.
Se obine sistemul:
8
>><
>>:a11x1+a12x2++a1rxr=b1 a1;r+11 a1nn r
a21x1+a22x2++a2rxr=b2 a2;r+11 a2nn r
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
ar1x1+ar2x2++arrxr=br ar;r+11 arnn r(3.9)
care este un sistem Cramer, compatibil si se rezolv a cu ajutorul formu-
lelor (3.6). Solut ia unic a a sistemului (3.9) este ( 1; 2;:::; r) iar ( 1;
2;:::; r;1;2;3;:::;n r) este solut ia sistemului (3.8), adic a a sistemu-
lui (3.7). Deoarece 1;2;3;:::;n rsunt alese arbitrar, obt inem pentru
(3.7) o in nitate de solut ii, care constituie mult imea tuturor solut iilor siste-
mului (3.7).
Deci, pentru a rezolva un sistem de mecuat ii cunnecunoscute proced am
^ n felul urmtor:
(1) Se studiaz a compatibilitatea sistemului. Pentru aceasta se caut a un mi-
nor principal al lui A, matricea sistemului, apoi se caut a si se calculeaz a
minorii caracteristici.
Putem avea cazurile:
exist a cel puin unul nenul, sistemul ind astfel incompatibil;
to ai sunt nuli, sistemul ind astfel compatibil.
(2) Dac a sistemul (3.7) este compatibil atunci formul am sistemul de tip
(3.9).
(3) Se rezolv a sistemul (3.9) si se scrie apoi mult imea solut iilor sistemului
(3.7) de forma ( 1; 2;:::; r;1;2;3;:::;n r).
3.3 Sisteme omogene
De nit ia 3.3.1. Un sistem de ecuat ii liniare se nume ste sistem omogen dac a
termenul liber al ec arei ecuat ii este nul, adic a ecare ecuat ie este omogen a.
30
Forma general a a unui sistem omogen cu mecuat ii sinnecunoscute este
urm atoarea: 8
>><
>>:a11x1+a12x2++a1nxn= 0
a21x1+a22x2++a2nxn= 0
::::::::::::::::::::::::::::::
am1x1+am2x2++amnxn= 0(3.10)
Observ am de la ^ nceput c a un sistem omogen este totdeauna compatibil
deoarece admite solut ia banal a x1=x2==xn= 0.
Se pune ^ n schimb problema dac a sistemele omogene admit si alte solut ii
si dac a da, atunci r am^ ane de studiat cum le determin am. Este de remarcat
faptul c a rezultatele de la celelalte tipuri de sisteme se aplic a si sistemelor
omogene, cu condit ia s a consider am termenii liberi zero.
Procedm astfel:
vom scrie matricea ata sat a sistemului ( A) si-i determin am rangul. Fie
acestar, putem avea situat iile:
dac ar=n, atunci sistemul admite solut ia banal a ca solut ie unic a;
dac ar<n , sistemul admite o in nitate de solut ii care se determin a ^ n
acela si mod cu solut iile sistemelor discutate din prezentul capitol.
Observat ie 3.3.1 .Deoarece necunoscutelor secundare li se atribuie valori ar-
bitrare, obt inem si solut ii nenule ^ n acest caz pentru un sistem omogen.
Deci, condit ia necesar a si su cient a ca un sistem omogen s a admit a si
solut ii nenule este ca r<n .
^In cazul ^ n care sistemul omogen are necuat ii sinnecunoscute, se scrie
matricea sistemului si se calculeaz a determinantul acesteia, dup a care se con-
stat a una din urm atoarele sitat ii:
dac adetA6= 0;rangA =n, sistemul admite solut ia banal a, solut ie
unic a;
dac adetA = 0;rangA<n , sistemul admite si solut ii nenule.
Deci, condit ia necesar a si su cient a pentru ca un sistem omogen, cu n
ecuat ii sinnecunoscute, s a admit a si solut ii diferite de solut ia banal a este
ca determinantul matricei sistemului s a e nul.
Dac a un sistem omogen are necuat ii sin+ 1 necunoscute, iar rangul
matriceiAesten, atunci sistemul este compatibil. Fie sistemul:
8
>><
>>:a11x1+a12x2++a1nxn+a1;n+1xn+1= 0
a21x1+a22x2++a2nxn+a2;n+1xn+1= 0
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
an1x1+an2x2++annxn+an;n+1xn+1= 0(3.11)
31
cu matricea A= (aij)i=1;n
j=1;n+1. CumrangA =n, se pot forma n+ 1 minori
de ordin maxim n, nenuli. Vom considera un 1, minor de ordin nnenul
suprim^ and din Acoloana 1. Acesta va ales minor principal, necunoscuta
x1este necunoscut a secundar a si x2;x3;:::;xn+1ca necunoscute principale.
Analog putem alege minorii 2;3;:::; n+1.
Putem rezolva ecuat iile principale ^ n raport cu necunoscutele principale
dup a formulele lui Cramer deoarece i6= 0. Solut iile sistemului (3.11) sunt
formate din sisteme de ( n+ 1) numere proport ionale cu 1; 2;3;:::;
( 1)nn+1:
x1
1= x2
2=x3
3==xn+1
( 1)nn+1=t
De obt inem c a:
x1=t1
x2= t2
x3=t3…
xn+1= ( 1)ntn+1
.
D^ and luitvalori arbitrare obt inem toate solut iile sistemului (3.11).
Propiet at i
(1) Dac a ( 1; 2;:::; n) si ( 1; 2;:::; n) sunt solut ii ale unui sistem omo-
gen atunci si ( 1+ 1; 2+ 2;:::; n+ n) este solut ie a sistemului.
(2) Dac a ( 1; 2;:::; n) este solut ie a unui sistem omogen, atunci si
(k 1;k 2;:::;k n) este solut ie a aceluia si sistem.
3.4 Metode de rezolvare a sistemelor de ecuat ii
Regulile lui Cramer de rezolvare a sistemelor p atratice de ordin n, cu matricea
sistemului nesingular a nu reprezint a un algoritm practic atunci c^ and neste
mare, deoarece implic a un num ar mare de calcule, n+1 determinant ii, ecare
cu (n 1)n! ^ nmult iri.
^In aplicat iile practice se folosesc dou a tipuri de metode:
1) metode directe, prin care solut ia exact a se obt ine ^ ntr-un num ar nit
de operat ii aritmetice, f ac^ and abstract ie de erorile de rotunjire;
32
2) metode iterative pentru care vectorul xeste soluia sistemului (3.7)
Ax=beste limita unui sir de vectori fxngpentrun!1 .
Metodele directe pot ^ ncadrate ^ n urm atoarea schem a general a:
Se determin a transformarea Pnesingular a cu care sistemul (3.7) devine
PAx=Pb (3.12)
Astfel ^ nc^ at noua matrice PA, s a e de o form a c^ at mai simpl a, care s a
permit a o rezolvare imediat a. Dac a PAnu este su cient de simpl a, se mai
folose ste o transformare nesingular a Qla dreapta, astfel ^ nc^ at sistemul de-
vine:
PAQy =Pb;x =Qy (3.13)
De obicei, matricele PA siPAQ sunt matrice triunghiulare dar pot si de
alt a form a convenabil a pentru rezolvarea sistemului (3.7).
De exemplu, dac a ^ n sistemul (3.13) PAeste o matrice superior triunghiular a
PA= (tij)i=1;n
j=1;n siPb= (ci)i=1;n, atunci sistemul devine:
8
>><
>>:t11x1+t12x2++t1nxn=c1
t22x2++t2nxn=c2
::::::::::::::::::::::::::::::
tmnxn=cn(3.14)
Din ultima ecuat ie se obt ine:
xn=cn
tmn
^Inlocuind ^ n penultima ecuat ie, avem:
xn 1=cn 1tmn cntn 1;n
tmntn 1;n 1
si tot a sa p^ an a la prima ecuat ie, de unde se obt ine:
x1=c1 Pn
j=2t1jxj
t11
Algoritmul este:
xn=cn
tmn
xn i=cn 1 Pn
j=n i+1tn 1;jxj
tn i;n i
33
Metodele directe au dezavantajul c a odat a cu cre sterea ordinului sistemu-
lui (3.7) se acumuleaz a erori de rotunjire care duc la erori relative mari ale
solut iei. Pentru a minimiza aceste erori, se impune, ^ n general, reordonarea
ecuat iilor sistemului, dup a ecare etap a, pentru a avea elemente maximale
pe diagonala principal a a matricei sistemului. Aceste operat ii suplimentare
sunt ^ n num ar foarte mare ^ n cazul sistemelor mari.
Metodele iterative permit, ^ n principiu, g asirea solut iei unui sistem de
ecuat ii liniare, pornind de la o aproximat ie init ial a a solut iei, pe baza unui
proces iterativ. Dac a sistemul este bine condit ionat numeric (adic a matricea
sistemului ^ ndepline ste anumite condit ii), procesul iterativ converge c atre
solut ia exact a a sistemului. Practic, procesul este ^ ntrerupt dup a un num ar
nit de pa si, furniz^ and solut ia sistemului cu o anumit a precizie, afectat a de
erori de rotunjire (mai mici dect cele de la metodele directe) si de erori de
trunchiere.
Avantajele acestor metode sunt mai multe, printre care:
erorile de rotunjire si chiar de trunchiere pot practic eliminate;
pot folosite la ^ mbun at at irea solut iei sistemului obt inut a prin alte
metode;
dac a se cunoa ste o aproximare init ial a apropiat a de solut ia exact a a
sistemului, convergent a metodelor iterative este rapid a;
se codi c a u sor sub form a de program.
3.4.1 Metode directe de rezolvare
Metoda de eliminare a lui Gauss
34
Concluzii
35
Bibliogra e
[1]Toma Albu, Ion D. Ion ,Itinerar elementar ^ n algebra superioar a,
Edit ia a II-a revizuit a si ad augit a , MATRIX ROM, Bucure sti 2012.
[2]Toma Albu, Ion D. Ion ,Itinerar elementar ^ n algebra superioar a ,
Editura ALL EDUCATIONAL S.A, Bucure sti, 1997.
[3]Ion D. Ion, Nicolae Radu ,Algebr a, Edit ia a IV-a revizuit a si com-
pletat a , EDITURA DIDACTIC A S I PEDAGOGIC A Bucure sti, 1991.
36
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: s Beleiu Alina [604893] (ID: 604893)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.