Specializarea Matematic a – Informatic a [604586]

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
Facultatea de S tiint e
Specializarea Matematic a – Informatic a
LUCRARE DE LICENT  A
Student: [anonimizat] anil a Sandra-Aureliana
SIBIU
2017

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
Facultatea de S tiint e
Specializarea Matematic a – Informatic a
ELEMENTE DE "TEORIA
GEOMETRIC A A FUNCT IILOR" S I
APLICAT II
Coordonator  stiint ic
Prof. univ. dr. Eugen Dr aghici
Student: [anonimizat] anil a Sandra-Aureliana
SIBIU
2017

Cuprins
Introducere 4
1 Rezultate generale ^ n Teoria Funct iilor Analitice 7
1.1 Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Expresia trigonometric a a numerelor complexe . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Reprezentarea geometric a a numerelor complexe . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Criteriul lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Derivata unei funct ii de o variabil a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Integrala complex a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Integrala Stieltjes- Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Integrala complex a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Partea real a  si partea imaginar a a integralei complexe . . . . . . . . 18
1.3 Teorema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Teorema de leg atur a dintre primitiv a  si integrala . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Teorema de leg atur a dintre olomore  si primitiv a . . . . . . . . . . 20
1.3.4 Teorema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.5 Formulele lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Teorema analicit at ii funct iilor olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Mult imi de funct ii olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Teorema zerourilor unei funct ii olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Teorema lui Montel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.3 Principiul maximului modulului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.4 Lema lui Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Funct ii analitice  si injective. Generalit at i. 30
2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Funct ii univalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Limite elementare pentru funct ii univalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3

2.3.2 Rezultate ale lui Bieberbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Teoreme elementare de cre stere  si deformare . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.4 Coecient i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.5 Funct ii univalente convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.6 Funct ii reale caracteristice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.7 Funct ii univalente stelate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Teoria general a a lui Loewner- Kufarev 41
3.1 Teorema lui Loewner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 Propriet at iile limitelor ^ n transformarea conform a . . . . . . . . . . 42
3.1.3 Transform ari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.4 Structura transform arilor innitezimale . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.5 Transform ari sect ionate a lui Loewner . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.6 Propriet at i ale continuit at ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.7 Ecuat ii diferent iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.8 Al treilea coecient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.9 Coecient ii funct iei inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.10 Argumentul luif(z)
z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.11 Raze ale convexit at ii  si domenii stelate . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.12 Argumentul lui f0(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.13 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Bibliograe 62
4

Introducere
Analiza Complex a sau Teoria Funct iilor este disciplina matematic a, introdus a de c atre
mari matematicieni ca A.L. Cauchy, B. Riemann  si K. Weierstrass  si care se ocup a cu
studiul funct iilor analitice, adic a dezvoltabile ^ n serie Taylor.
S-a constatat de la ^ nceput c a, spre deosebire de cazul real, ^ n cazul complex, simpla
derivabilitate a unei funct ii ^ ntr-un domeniu atrage dup a sine  si analiticitatea ei. Dup a
stabilirea propriet at ilor generale ale funct iilor analitice s-a constatat imediat c a funct iile
analitice  si injective constituie o subclas a extrem de important a din cauza aplicat iilor
acestora ^ n practic a, mai ales ^ n Mecanica Fluidelor  si ^ n Fizic a.
Studiul funct iilor univalente (adic a analitice  si injective), a fost ^ nceput sistematic abia
^ n secolul al XX-lea de c atre Ludwig Bieberbach  si K. Koebe, matematicieni germani.
Ei au descoperit teoremele de baz a despre funct iile univalente (teorema ariei, delimitarea
coecientului al doilea din dezvoltarea taylorian a a unei funct ii univalente^ n discul unitate
pentru care f(0) =f0(0)1 = 0 etc.).
Studiul funct iilor univalente se face doar ^ n discul unitate, deoarece o celebr a teorem a
a lui Riemann arm a c a orice domeniu simplu conex diferit de ^ ntregul plan complex este
conform echivalent cu discul unitate. L. Bieberbach a armat, cu prilejul demonstr arii
teoremei sale asupra celui de-al doilea coecient, c a tot i coecient ii Taylor din dezvoltarea
unei funct ii univalente  si normate cu condit iile de mai sus satisfac inegalitatea janj6n.
Acest lucru nu a putut  demonstrat dec^ at peste 70 de ani, dar a condus la dezvoltarea
domeniului prin lucr arile unor matematicieni ca: K. Loewner, C. Goluzin, A. Schier, M.
Garabedian, P. Mocanu  si mult i alt ii.
^In prezenta lucrare, dup a prezentarea teoriei generale de baz a pentru funct iile deriva-
bile ^ n planul complex  si a integralei complexe, am trecut la partea referitoare la funct ii
univalente  si propriet at i de baz a ale lor, apoi la teoria elaborat a la ^ nceputul secolului al
XX-lea (teorema ariei Gronwall- Bieberbach  si consecint ele ei imediate, precum  si esti-
marea coecient ilor funct iilor univalente (^ n capitolul 2)), am continuat cu prezentarea
unor subclase remarcabile de funct ii univalente, ^ ncep^ and cu funct iile stelate  si convexe,
funct ii care, pe l^ ang a univalent  a, mai au  si unele propriet at i geometrice remarcabile.
Ultimul capitol, al treilea, este ^ n ^ ntregime dedicat celebrei teorii a lui Loewner re-
feritoare la funct iile univalente. Dup a prezentarea ecuat iei Loewner- Kufarev s-a dat o
demonstrat ie (cea original a a lui Loewner) pentru ipoteza lui Bieberbach privitoare la
cel de-al treilea coecient din dezvoltarea Taylor a unei funct ii univalente, apoi s-au dat
5

c^ ateva estim ari pentru raze de convexitate  si stelaritate.
Doresc pe aceast a cale s a aduc sincere mult umiri conduc atorului  stiint ic al lucr arii,
domnului Prof. univ. dr. Eugen Dr aghici, pentru modul ^ n care m-a ^ ndrumat ^ n elabo-
rarea lucr arii, pentru ^ ncrederea  si sprijinul acordat.
Totodat a, doresc s a ^ mi exprim sentimentele de stim a, respect  si recuno stint  a fat  a de
cadrele didactice de la Facultatea de S tiint e, care mi-au ^ ndrumat pa sii ^ n studiul mate-
maticii ^ n cei trei ani petrecut i ca student a a acestei facult at i.
Student
Sandra-Aureliana St anil a
6

Capitolul 1
Rezultate generale ^ n Teoria
Funct iilor Analitice
1.1 Numere complexe
1.1.1 Introducere
Denit ia 1.1.1. [1]FieR2produsul cartezian al perechilor ordonate (a;b)de numere
reale. Se numesc numere complexe toate perechile ordonate (a;b)de numere reale care
sunt supuse urm atoarelor legi operative:
Legea adun arii:
(1.1) ( a1;b1) + (a2;b2) = (a1+a2;b1+b2)
Legea ^ nmult irii:
(1.2) ( a1;b1)
(a2;b2) = (a1
a2b1
b2;a1
b2+a2
b1)
Prin denit ie, mult imea numerelor complexe Ceste mult imea R2dotat a cu operat iile
de adunare  si ^ mp art ire denite mai sus. A sadar, prin C^ nt elegem tripletul ( R2;+;
).
Propozit ia 1.1.1. [1]Ceste corp comutativ.
Din propriet at iile operat iilor de adunare  si ^ nmult ire pentru numere reale, rezult a
imediat c a operat iile introduse ^ n Csunt:
comutative ;
asociative ;
^ nmult irea este distributiv a fat  a de adunare ;
7

(0;0) si(1;0)sunt elemente neutre pentru adunare  si respectiv ^ nmult ire;
(a;b)este opusul lui (a;b), deoarece ( a;b) + (a;b) = (0;0).
Opusul elementului z= (a;b) se noteaza cuz.
orice element z2Cnf(0;0)g=Care invers.
Ecuat ia (a;b)(a1;b1) = (1;0), unde (a;b)6= (0;0) este echivalent a cu sistemul com-
patibil ^ na1 sib1:8
<
:a
a1b
b1= 1
b
a1+a
b1= 0
A sadar, inversul lui z= (x;y)2Ceste:
(a1;b1) =a
a2+b2;b
a2+b2
2C:
Inversul elementului z se noteaz a cu1
z.
^InC siCse pot deni operat ii inverse celor introduse ^ n Denit ia 1.1.1. :
Legea sc aderii: (a1+b1i)(a2+b2i) =a3+b3i
care este denit a prin:
a1+b1i= (a2+b2i) + (a3+b3i)
ceea ce ^ nseamn a:
a1=a2+a3)a3=a1a2
b1=b2+b3)b3=b1b2
A sadar:
(1.3) ( a1+b1i)(a2+b2i) = (a1a2) + (b1b2)i
Legea ^ mp art irii:a1+b1i
a2+b2i=a3+b3i
care este denit a prin:
a1+b1i= (a2+b2i)
(a3+b3i)
ceea ce ^ nseamn a c a:
a1=a2
a3b2
b3
b1=b2
a3+a2
b3
8

Sistemul este compatibil  si determinat dac a a2
2+b2
26= 0)a2;b2nu sunt am^ andou a
nule, saua2+b2i6= 0.
Atunci:
a3=a1
a2+b1
b2
a2
2+b2
2
b3=b1
a2a1
b2
a2
2+b2
2
A sadar:
(1.4)a1+b1i
a2+b2i=a1
a2+b1
b2
a2
2+b2
2+b1
a2a1
b2
a2
2+b2
2
i;
cua2+b2i6= 0.
Corpul comutativ C= (R2;+;
)se nume ste corpul numerelor complexe  si elementele
lui se numesc numere complexe.
Propozit ia 1.1.2. [4]Mult imea Rf0g=f(a;0);a2RgCdotat a cu operat iile din
Ceste un subcorp al lui C, iar aplicat ia ':R!Rf0g, unde'(a) = (a;0)este
izomorsm de corpuri.
Evident,'este o biject ie care p astreaz a operat iile:
'(x1+x2) ='(x1) +'(x2)
'(x1
x2) ='(x1)
'(x2):
Not am num arul complex (0 ;1) cui, undei2C sii2= 1.
Denit ia 1.1.2. [1]Expresiaz= (a;b) =a+bise nume ste forma algebric a a
num arului complex (a;b), undea,b2R, iari2C.
Denit ia 1.1.3. [1]Dac az=a+bieste un num ar complex, atunci num arul ase
nume ste partea real a a num arului complex z si se noteaz a cu <z, iar num arul bse
nume ste partea imaginar a a luiz si se noteaz a cu=z.
Denit ia 1.1.4. [1]Se dene ste zcanum ar conjugat num aruluiz=a+bi, astfel:
(1.5) z=abi
Denit ia 1.1.5. [1]Dac az=a+bieste un num ar complex, atunci jzj=p
a2+b2se
nume ste modulul luiz.
9

Oricare ar  z,z1 siz2, avem urm atoarele propriet at i:
1.<z=z+ z
2 si=z=zz
2;
2.z1+z2=z1+z2
z1
z2=z1
z2;
3.z=z.
4.jzj6<z6jzj
jzj6=z6jzj
5.jzj=jzj
6.jzj2=z
z si1
z=z
jzj2,z6= 0.
7.jzj= 0,z= 0;
jz1
z2j=jz1j
jz2j;
jz1+z2j6jz1j+jz2j.
1.1.2 Expresia trigonometric a a numerelor complexe
Denit ia 1.1.6. [1]Fiind dat a forma algebric a a unui num ar complex z=a+bi, unde
a,bsunt numere reale, b6= 0, spunem c a z=r(cos+i
sin), under=jzjesteforma
trigonometric a a num arului complex nereal.
Relat iile:
(1.6) a=rcos ;b=rsin
sunt compatibile indc a:a
r2
+b
r2
= 1 denesc un unghi p^ an a la un multiplu 2 .
Acest unghi se nume ste argumentul sauamplitudinea luiz si se calculeaz a dup a
cum urmeaz a:
I. Dac aa6= 0, atunci:
=arctgb
a+k;k2Z
 si distingem cazurile:
I1:a;b> 0)k= 0)=arctgb
a
I2:a<b;b2R)k= 1)=arctgb
a+
10

I3:a>0;b< 0)k= 2)=arctgb
a+ 2
II. Dac aa= 0  sib>0, atunci=
2.
1.1.3 Reprezentarea geometric a a numerelor complexe
Orice num ar complex poate  reprezentat printr-un singur punct ^ n plan ( R2), numit
imaginea acelui num ar. Dac a z=a+bi2C, atunci imaginea sa geometric a este punctul
M(a;b).
Numerele din C0se reprezint a pe axa absciselor, pe care o numim ax a real a . Nume-
rele pur imaginare (cele cu <(z) = 0) se reprezint a pe axa ordonatelor, pe care o numim
ax a imaginar a .
Reciproc, oric arui punct din plan ^ i corespunde un unic num ar complex, numit axul
acelui punct: dac a M(a;b) este un punct ^ n planul R2, atunciz=a+bieste axul
punctuluiM. Se mai noteaz a M(z).
Prin urmare, orice num ar complex este unic reprezentat de un punct^ n plan  si reciproc.
Din punct de vedere geometric, imaginea conjugatului se obt ine ca simetria imaginii
num arului complex, fat  a de axa real a.
1.1.4 Criteriul lui Cauchy
Teorema 1.1.1. [1]Fie mult imea D, cu
f(t) =u(x;y) +i
v(x;y);
iarz=a+biun punct limit a al mult imii D.
Pentru ca limf(t)s a existe  si s a e nit a este necesar  si sucient s a existe limu(x;y)
 silimv(x;y)nite.
Avem atunci:
lim
t!zf(x) = limx!a
y!bu(x;y) +i
limx!a
y!bv(x;y)
11

sau
lim
t!z<(f) =<lim
t!zf
lim
t!z=(f) ==lim
t!zf
Demonstrat ie:
Presupunem c a exist a lim
t!zf(t) =l+im=nit a.
Atunci, unui ">0 ^ i corespunde un >0, astfel ^ nc^ at:
jtzj<=)jf(t)j<":
Dup a inegalit at ile:(
jxaj<
2
jybj<
2implic ajtzj< si
jf(t)j<"implic a(
ju(x;y)lj<"
jv(x;y)mj<"
avem:
(
jxaj<
2
jybj<
2implic a(
ju(x;y)lj<"
jv(x;y)mj<"
ceea ce arat a c a:
limx!a
y!bu(x;y) =l
 si
limx!a
y!bv(x;y) =m;
iar teorema a fost demonstrat a.
Analog  si reciproca, demonstrat ia fac^ andu-se consider^ and vecin at at i p atrate.
Aceast a teorem a se aplic a  si ^ n cazul z=1( lim
t!1f(t) ind nit a), dac a ^ n real
adopt am aceea si concept ie a innitului ca^ n complex. Anume, av^ and^ n vedere echivalent a
cercurilor  si p atratelor ca vecin at at i, denim ca vecin atate a punctului (0 ;0) ^ n planul
punctelor (x;y), exteriorul unui p atrat de centru (0 ;0) :
jxj>M;jyj>M:
Cu ajutorul acestei denit ii lim n(x;y) cap at a un sens precis  si demonstrat ia teoremei
se poate face la fel  si ^ n cazul z=1.
Corolarul 1.1.1. [1]Pentru caf(t)s a e continu a  si nit a ^ n z=a+bieste necesar  si
sucient ca funct iile u(x;y) =<(f) siv(x;y) ==(f)s a e continue  si nite ^ n punctul
(a;b).
12

Pentru a extinde ^ n complex criteriul lui Cauchy, ne vom folosi de urm atoarea teorem a:
Teorema 1.1.2. [1]Pentru ca lim
t!zf(t)s a existe  si s a e nit a este necesar  si sucient
ca oric arui ">0s a ^ i corespund a o vecin atate V(z)astfel ^ nc^ at:
jf(t)f(t0)j<";
^ nV(z)(adic ajf(t)f(t0)j<"are loc pentru orice pereche de puncte t,t0dinV(z)).
Demonstrat ie:
Condit iajf(t)f(t0)j<"este necesar a.
Dac a exist a lim f(t)6= 0, avemjf(t)j<"^ nV(z), unde vom lua"
2^ n loc de":
jf(t)j<"
2;jf(t0)j<"
2
^ nV(z).
Darjf(t)f(t0)j=j[f(t)][f(t0)] jf(t)j+jf(t0)j;de unde
jf(t)f(t0)j<":
Condit iajf(t)f(t0)j<"este sucient a.
Aceasta implic aju(x;y)u(x0;y0)j< "^ nV(z)  sijv(x;y)v(x0;y0)j< "^ nV(z),
V(z) put^ and   si o vecin atate p atrat a, cont inut a ^ n acea circular a.
A sadar, dup a criteriul lui Cauchy pentru funct ii de variabile reale, exist a lim u(x;y)
 si limv(x;y) nite, deci, conform teoremei precedente, exist a lim
t!zf(t) nit a.
1.1.5 Derivata unei funct ii de o variabil a
Denit ia 1.1.7. [1]Spunem c a funct ia complex a denit a pe DCestederivabil a ^ n
punctulz02D, dac a exist a  si este unic a:
(1.7) lim
z!z0f(z)f(z0)
zz0
Valoarea acestei limite se noteaz a f0(z0)  si se nume ste derivata funct ieif(z)^ n punctul
z02D.
Denit ia 1.1.8. [1]O funct ie derivabil a ^ ntr-un punct se nume ste monogen a ^ n acel
punct. O funct ie monogen a ^ n ecare punct al domeniului Dse nume ste olomorf a pe
domeniulDsaumonogen a pe domeniul D.
Propozit ia 1.1.3. [1](Condit iile de monogeneitate ale lui Cauchy- Riemann )
Pentru ca funct ia complex a f(z) =u(x;y) +i
v(x;y)denit a ^ n domeniul Ds a e
monogen a ^ n punctul z0=x0+i
y02D, este necesar ca funct iile u sivs a admit a
13

derivate part iale de ordinul ^ nt^ ai ^ n punctul (x0;y0) si s a satisfac a relat iile:
(1.8)@u
@x(x0;y0) =@v
@y(x0;y0) si@u
@y(x0;y0) =@v
@x(x0;y0);
numite condit iile de monogeneitate ale lui Cauchy- Riemann.
1.2 Integrala complex a
1.2.1 Introducere
^In acest paragraf vom deni integrala complex a ca un caz particular al integralei
Stieltjes- Riemann, ceea ce ne permite s a prelu am un mare num ar de rezultate din ana-
liza real a.
Propozit ia 1.2.1. [1]Fief=u+vi siF=U+iV, dou a funct ii denite pe [a;b], cu
valori ^ n C.
Spunem c a feste integrabil a ^ n raport cu Fpe[a;b], dac au,vsunt integrabile at^ at
^ n raport cu U, c^ at  si cuVpe[a;b].
Dac afeste integrabil a ^ n raport cu F si asociem ec arei diviziuni
( t0;t1;:::;tn) a
segmentului [0 ;1], suma:
(f;F;
) =nX
k=1f(k)[F(tk)F(tk1)]
atunci, pentru (8)">0, (9)>0, astfel ^ nc^ atjj
jj<s a implice:
bZ
afdF (f;F;
)<":
.
Propozit ia 1.2.2. [1]Fief=u+iv,F=U+iV, iarfn,Fnaplicat ii denite din [a;b]
^ nC.
Urm atoarele armat ii sunt adev arate:
1.bZ
afdF +bZ
aFdf =f(b)F(b)f(a)F(a):
2.bZ
a(1f1+2f2)dF=1bZ
af1dF+2bZ
af2dF:
14

3. Dac afeste continu a, iar Feste cu variat ie m arginit a pe [a;b], atuncifeste inte-
grabil a pe [a;b]^ n raport cu F.
4. Dac afeste continu a, iar Feste derivabil a cu derivata continu a ^ n [a;b], atuncif
este integrabil a ^ n raport cu F  si:
bZ
afdF =bZ
af(t)F0(t)dt=bZ
a[u(t)U0(t)v(t)V0(t)]dt+ibZ
a[u(t)V0(t)v(t)U0(t)]dt:
Integrala Stieltjes- Riemann este folosit a pentru denirea integralei complexe.
1.2.2 Integrala Stieltjes- Riemann
Fieu,Udou a aplicat ii ale segmentului [ a;b]R si not am:
(u;U;
) =nX
k=1u(k)[U(tk)U(tk1)];
unde
este o diviziune a segmentului [ a;b], iark2[tk1;tk].
Dac a exist a un num ar real Iastfel ^ nc^ at pentru orice " > 0, s a existe  > 0 cu
proprietatea c ajj
jj<implic ajI(u;U;
)j<", atunci spunem c a ueste integrabil a
^ n raport cu Upe [a;b] (^ n sens Stieltjes- Riemann)  si not am:
I=bZ
audU
Fie acumf=u+vi siF=U+Vi, undef;F: [a;b]!C.
Spunem c a feste integrabil a ^ n raport cu Fpe [a;b] (^ n sens Stieltjes- Riemann), dac a
u sivsunt integrabile at^ at ^ n raport cu U, c^ at  si ^ n raport cu Vpe [a;b]  si not am:
bZ
afdF =bZ
atdUbZ
avdV +ibZ
audV +ibZ
avdU
Propozit ia 1.2.3. [1]Dac afeste integrabil a ^ n raport cu Fpe[a;b] si asociem ec arei
diviziuni
= (t0;t1;:::;tn)a segmentului [0;1]suma:
(f;F;
) =nX
k=1f(k)[F(tk)F(tk1)];
atunci pentru orice ">0, putem g asi un >0, astfel ^ nc^ atjj
jj< s a implice:
15

bZ
afdF(f;F;
)<":
Din propriet at iile integralei reale Stieltej- Riemann rezult a urm atoarele propriet at i ale
integralei complexe Stieltej- Riemann:
Propozit ia 1.2.4. [1]Fief=u+vi siF=U+Vi,fn;Fnaplicat ii denite pe [a;b]cu
valori ^ n C si e1;22C.
Sunt valabile urm atoarele propriet at i:
1. Dac afe integrabil a ^ n raport cu F, atunciFeste integrabil a ^ n raport cu f si:
bZ
afdF +bZ
aFdf =f(b)
F(b)f(a)
F(a)
2. Dac af1,f2sunt integrabile ^ n raport cu F, atunci1f1+2f2este integrabil a dup a
F si:
bZ
a(1f1+2f2)dF=1bZ
af1dF+2bZ
af2dF
3. Dac afe continu a, Fcu variat ie m arginit a pe [ a;b], atuncifeste integrabil a ^ n
raport cuF.
4. Fie (fn)n2Nun  sir de funct ii continue care converge uniform pe [ a;b] c atref si
(Fn)n2Nun  sir de funct ii cu variat ie m arginit a care converge simplu c atre F, iar  sirul
V(Fn[a;b]) e m arginit, atunci:
limn!1
k!1bZ
afndFk=bZ
afdF
5. Dac afe continu a, iar Fderivabil a cu derivata continu a pe [ a;b], atuncife
integrabil a ^ n raport cu F sibZ
afdF =bZ
af(t)F0(t)dt, unde integrala din dreapta este
egal a cu:
bZ
a[u(t)U0(t)v(t)V0(t)]dt+ibZ
a[u(t)V0(t) +v(t)U0(t)]dt
6. Dac aa<c<b  sife integrabil a ^ n raport cu F, at^ at pe [a;c], c^ at  si pe [ c;b], atunci
fe integrabil a ^ n raport cu Fpe [a;b]  si:
16

bZ
afdF =bZ
afdF +bZ
afdF
7. Dac afe integrabil a ^ n raport cu Fpe [a;b], iarheste un omeomorsm de la [ a0;b0]
la [a;b],h(a0) =a,h(b0) =b, atuncifheste intergrabil a ^ n raport cu Fhpe [a0;b0]  si:
bZ
afdF =b0Z
a0(fh)d(Fh)
1.2.3 Integrala complex a
Denit ia 1.2.1. [1]Fie
un drum recticabil, iar fo funct ie continu a pe suportul
drumului, cu valori ^ n C.
Atunci,f
va  continu a pe [0;1], deci integrabil a pe [0;1]^ n raport cu
.
Aceast a integral a Stieltjes se nume ste integrala complex a a luifde-a lungul drumului

 si o not am:
1Z
0(f
)d
=Z

f()d=Z

f
Propriet at i ale integralei complexe:
Fie
2D(z1;z2)  si
22D(z2;z3) dou a drumuri recticabile  si e f,gcontinue pe
1
 si;2C. Atunci:
1.Z

(f+g) =Z

f+Z

g;
2.Z

f=Z

f;
3. Dac afe continu a  si pef
1g, atunci:
Z

1S
2f=Z

1f+Z

2f
4. Dac ajf(
(t))j<M; (8)t2[0;1], atunci:
Z

fM
V(
1);
17

undeVeste variat ia lui
1(lungimea curbei);
5. Dac a
este un drum liniar, atunci:
Z

f= (z2z1)1Z
0f[(1t)z1+tz2]dt;
6. Dac a
este un drum recticabil  si fnun  sir de funct ii continue pe
 si uniform
convergente c atre
1, atunci:
lim
n!1Z

fn=Z

f:
1.2.4 Partea real a  si partea imaginar a a integralei complexe
Calculul p art ii reale  si celei imaginare a unei integrale complexe se realizeaz a ^ n
urm atorul mod:
Dac af=u+iv si
=+i, atunci:
Z

f=1Z
0(f
)d
=1Z
0[u(;)dv(;)d] +i1Z
0[u(;)dv(;)d]:
Aceste dou a integrale pot  considerate drept dou a integrale curbilinii de spet a a doua,
adic a:
Z

f=Z

(udvd) =iZ

(udvd):
1.3 Teorema lui Cauchy
1.3.1 Introducere
^In acest subcapitol dorim s a g asim condit ia care s a arate c aZ

1f=Z

2f.
A sadar, vrem s a arat am c a pe un domeniu simplu conex, olomora unei funct ii implic a
existent a primitivei.
Denit ia 1.3.1. [1]Dac ag2H(g) sig0(z) =f(z)pentru orice z2G, atunci spunem
c a g este o primitiv a a lui f pe G.
Ca  si ^ n analiza real a, nu orice funct ie fadmite primitiv a. Mai mult, dup a cum vom
vedea, nici m acar funct iile continue nu admit toate primitivele.
18

g(x) =xZ
af(t)dt primitiva funct iei reale continue f.
Dac a ^ ncerc am s a transpunem pentru funct ii complexe construct ia acestei primitive,
va trebui s a alegem un drum ce leag a un punct x z1cu un punct variabil z, printr-un
drum recticabil
2. DarZ

2fva depinde ^ n general nu numai de z, ci  si de drumul ales.
1.3.2 Teorema de leg atur a dintre primitiv a  si integrala
Teorema 1.3.1. [1]FieDun domeniu din C, iarf:D!Co funt ie continu a.
Atunci:
a) Dac aZ

f= 0 pentru orice contur
dinD, atuncifadmite o primitiv a pe D.
b) Dac afadmite o primitiv a g^ nD, atunci pentru orice drum recticabil
dinD
are loc formula Leibniz- Newton:
Z

f=g(
(1))g(
(0));
iar dac a
este contur, atunciZ

f= 0.
Demonstrat ie:
a) Dac aZ

f= 0 pentru orice contur
dinD, ezun punct variabil din D siz1un
punct xat din D.Dind un domeniu, acesta este poligonal conex, deci exist a o linie
poligonal a
z^ nDce une stez1cuz.
Fieg(z) =Z

zf:
Vrem s a ar at am c a g0(z0) =f(z0), ^ n oricez02D.
Pentru a calcula g(z)g(z0) =Z

fZ

z0f, alegem">0 sucient de mic pentru ca
U(z0;")D si ez2U(z0;"), iar
=
z[~
[
z0, unde ~
e un drum liniar de la z0la
z. Atunci,
este un contur  si avem:
0 =Z

f=Z

zfZ
~
fZ

z0f;
deci:g(z)g(z0) =Z

f= (zz0)1Z
0f[(1t)z0+tz]dt
19

)g(z)g(z0)
zz0=1Z
0f[(1t)z0+tz]dt:
Aceast a integral a are limita f(z0) c^ andztinde laz0, decig0(z0) exist a si e egal a cu f(z0)
b) Fiego primitiv a a lui f si
un drum poligonal ^ n D. Atunci, exist a o diviziune

= (t0;t1;t2;:::;tn) ce ^ l descompune ^ n drumuri liniare  si [ tk1;tk]
va  derivabil a.
T  in^ and cont c a aici:
[g(
(t))]0=g0(
(t))

0(t);
=)Z

f=nX
k=1Z
tk1tk(f
)d
=nX
k=1tkZ
tk1g0(
(t))
0(t)dt=
nX
k=1tkZ
tk1[g(
(t))]0dt=nX
k=1[g(
(tk))g(
(tk1))] =
g(
(tn))g(
(t0)) =g(
(1))g(
(0)):
Dac a
nu e o linie poligonal a, exist a un  sir
nde drumuri poligonale ^ n Dce converge
uniform c atre
,
n(0) =
(0),
n(1) =
(1)  siV(
n)V(
).
Z

nf=g(
n(1))g(
n(0)) =g(
(1))g(
(0))
 si trec^ and la limit a, obt inem formula Leibniz- Newton.
1.3.3 Teorema de leg atur a dintre olomore  si primitiv a
Teorema 1.3.2. [1]FieDun domeniu stelat ^ n z0, iard1, …,dndrepte ce trec prin
z0,dreuniunea lor. Dac a f:D!Ce continu a  si derivabil a pe Dnd, atunci f admite
primitiv a pe D.
Demonstrat ie:
Fie
zdrumul liniar de la z0laz. Suportul lui este inclus ^ n D, decigeste denit a de:
g(z) =Z

zf;
dac az6=z0 sig(z0) = 0 aplic a D^ nC. S a ar at am c a geste o primitiv a a lui f.
1) Fiez12Dnd sir1=d(z1;(CnD)[d).
20

Avemr12R si consider am z2U(z1;r1).
Aplic^ and teorema lui Cauchy drumului
=(z0;z;z 1) =
z1[~
[

z, avem:
0 =Z

ztf+Z
~
fZ

zf;
adic a:g(z)g(z1) =Z
~
f si ~
e drum liniar de la zlaz1, de unde deducem c a
g0(z1) =f(z1).
2) Dac az22(D\d)nfz0g, atunciz22dk, pentru orice alegere a lui k si alegem
r2=d(z2; (C=D)[(dndk))  si pentru z2U(z2;r2) rat ion am ca la punctul 1), deoarecef
este olomorf a ^ n T(z0;z;z 2)  si continu a ^ n T(z0;z;z 2).
3) Mai avem de ar atat c a g0(z0) =f(z0).
Avemg(z0) = 0  si
g(z) = (zz0)1Z
0f((1t)ztz0)dt
deci:g(z)g(z0)
zz0=1Z
0f((1t)ztz0)dt
 si aceasta tinde c atre f(z0), c^ andztinde laz0.
1.3.4 Teorema lui Cauchy
Teorema 1.3.3. [1]Dac afe olomorf a pe mult imea deschis a G, iar
este un contur
omotop cu zero ^ n G, atunci:
Z

f= 0
Demonstrat ie:
Cum integrala din fpe un drum punctual e egal a cu zero, este sucient s a ar at am c a
dac a
0 si
1sunt dou a contururi din G, omotope ^ n G, atunci:
Z

0f=Z

1f
1) Fie':ST!Gdeformat ia lui
0^ n
1,K='(ST)  si"=d(K;G ).
Av^ and" > 0  si'ind uniform continu a pe ST, exist a un t>0 astfel ^ nc^ at
js0s00j< t sijt0t00j< ts a implicej(s0;t0)(s00;t00)j<"
2 si alegem o diviziune

= (t0;t1;:::;tn) a segmentului [0 ;1] de norm a mai mic a dec^ at .
Vom notask=tk;zj;k=(sj;tk)  siDj;k=U(zj;k;").
21

AvemDj;kD si din(s;1) rezult a c a zj;0=zj;n, deciDj;0=Dj;n.
2) Vom alege contururile 0,1, …,nastfel ca0s a coincid a cu
0,
1cu
n si pentru
oricej20;n1,k21;n sit2[tk1;tk] s a avemj(t)2Dj;k\Dj+1;k, iarn(t)2Dn;k.
^In acest scop alegem 0=
0,n=
1, iar pentru j21;n1 ^ nlocuim pe e
j(t) =
'(sj;t) care s-ar putea s a nu e recticabil, printr-un drum poligonal j= (e
j)
. Prin
denit ie,j(tk) este egal a cu zj;k, iarje un contur.
Pentrut2[tk1;tk]  sij= 0 sauj=n, avemjzj;kj(t)j=j'(sj;tk)'(sj;t)j<"
2<"
 si pentruj= 0, avemjz1;k0(t)j=j'(s1;tk)'(s0;t)j<"
2<", deci0(t)2D0;k\D1;k,
iarn(t)2Dn;k.
Dac aj21;n1  sit2[tk1;tk], atuncij(t) apart ine segmentului ce une ste zj;k1de
zj;kdeci:
jzj;kj(t)jjzj;kzj;k1j=j'(sj;tk)'(sj;tk1)j<"
2<"
 si
jzj+1;kj(t)jjzj+1;kzj;kj+jzj;kj(t)j<"
2+"
2<";
deci  si ^ n acest caz j(t)2Dj;k\Dj+1;k.
3) Pentru a demonstraZ

1f=Z

0feste sucient a ar ata c a pentru orice j21;navem
Z
j1f=Z
jf.
Fiej20;n,k20;n1. f va admite pe discul Dj;ko primitiv a pe care o not am
cugj;k. CumDj;0=Dj;n, convenim s a alegem gj;0=gj;n. Intersect iile Dj;k1\Dj;k
sunt convexe , deci conexe, iar funct ia gj;k1gj;k=cj si aceasta pentru orice j20;n,
k20;n1.
Pentru a calcula
Z
jf=nX
k=1tkZ
tk1(fj)dj
t inem cont c a j(t) ind ^ nDj;kc^ andt2[tk1;tk] putem folosi formula lui Newton-
Leibniz  si obt inem:
Z
jf=nX
k=1[gj;k(j(tk))gj;k(j(tk1))]
T  in^ and cont de denit ia constantelor cj;k si degj;0=gj;nobt inem:
Z
jf=nX
k=1cj;k:
22

La acela si rezultat ne conduce  si
Z
j1f=nX
k=1tkZ
tk1(fj1)dj1
deoarecej1(t)2Dj;kpentru orice t2[tk1;tk],j21;n. Deci:
Z
j1f=Z
jf:
Din teorema lui Cauchy putem deduce dou a consecint e imediate:
Corolarul 1.3.1. [1]Pe un domeniu simplu conex orice funct ie olomorf a admite primi-
tiv a.
Corolarul 1.3.2. [1]Dac afe olomorf a pe mult imea deschis a G, iar
0,
1sunt dou a
drumuri recticabile omotope ^ n G, atunci:
Z

0f=Z

1f:
Corolarul 1.3.2. asigur a independent a unor integrale fat  a de drumul de integrare.
Pentru demonstrat ie este sucient s a aplic am lui
0[e
1teorema lui Cauchy.
1.3.5 Formulele lui Cauchy
^In acest paragraf vom folosi teorema lui Cauchy pentru a ad^ anci studiul funct iilor
olomorfe obt in^ and c^ ateva noi rezultate fundamentale.
Cea mai important a e teorema formulelor lui Cauchy, care are un aspect dublu. Pe de
o parte se constat a c a orice funct ie olomorf a este nelimitat derivabil a, pe de alt a parte ne
permite s a determin am valorile unei funct ii olomorfe ^ ntr-un disc, cunosc^ andu-le pe cele
de pe frontier a. Din aceast a teorem a vom deduce un  sir de noi propriet at i, iar mai apoi
o vom extinde la drumuri care nu sunt circulare.
Ca  si ^ n cazul integralelor reale, vom ^ nt^ alni cazuri ^ n care integrala complex a depinde
de un parametru .
Fie
un drum recticabil cu suportul K=f
g,Go mult ime deschis a din C, iargo
aplicat ie continu a din GK^ nC. Atunci, pentru orice z2G, integralaZ

g(z;)dare
sens.
Propozit ia 1.3.1. [1]Dac ag:GK!Ceste continu a, atunci h:G!Cdenit a
deh(z) =Z

g(z;)deste continu a, iar dac a g0
z(z;)exist a  si este continu a pe GK,
atunciheste olomorf a ^ n G sih0(z) =Z

g0
z(z;)d.
23

Teorema 1.3.4. [1](Formulele lui Cauchy pentru disc) Fief:U(z0;r)!C
continu a pe U(z0;r) si olomorf a pe U(z0;r). Atunci este nelimitat derivabil a pe U(z0;r)
 si pentru orice z2U(z0;r)sunt valabile formulele lui Cauchy:
f(k)(z) =k!
2iZ
U(z0;r)f()
(z)k+1d; unde k2N:
Demonstrat ie:
1) Veric am mai ^ nt^ ai formula lui Cauchy pentru k= 0.
Av^ and 0jzz0j<r;n2Nalegemrn2Rastfel ^ nc^ at s a avem jzz0j<rn<r.
Avem pentru
n=U(z0;rn)
I=1
2iZ

nf()f(z)
zd=
=1
2iZ

nf()f(z)
zd+1
2if(z)Z

nd
z
Ultima integral a are dupa formula:
I=1Z
02ire2rt
re2rtdt= 2i1Z
0dt= 2i
valoarea 2i si ar at am c a penultima integral a are valoarea 0.
Elementul z2U(z0;r) ind xat, consider am variabil pe U(z0;r)  si construim
funct ia:
g() =8
<
:f()f(z)
zdac a2U(z0;r)nfzg
f0(z) dac a =z
care e derivabil a ^ n U(z0;r)nfzg si continu a ^ n domeniul convex, deci stelat U(z0;r). Prin
urmare,Gadmite o primitiv a  si atunci:
Z

ng()d= 0
darg(
n(t)) =f(
n(t))f(z)

n(t)zpentru orice t2[0;1], prin urmare:
Z

nf()f(z)
zd= 0
 si1
2iZ

nf()
zd=f(z).
24

Aleg^ and un  sir rn< rce tinde c atre r,
nva tinde uniform c atre
=U(z0;r)  si se
aplic a lim
n!1Z

nf=Z

f;
f(z) =1
2iZ
U(z0;r)f()
zd:
2) Din formula precedent a putem deduce, aplic^ and lema integralei de tip Cauchy
pentru'=f, c ah(z) =Z

f()
zde olomorf a pe Cnf
g si nelimitat derivabil a, iar
derivata ei de ordin keste
h(k)(z) =Z

f()
(z)k+1d:
Dar, conform punctului 1)al demonstrat iei, pe U(z0;r)Cnf
gavem
f(z) =1
2ih(z);
de unde rezult a formulele lui Cauchy  si derivabilitatea nelimitat a a lui fpeU(z0;r).
1.4 Teorema analicit at ii funct iilor olomorfe
Teorema 1.4.1. [4]Teorema analicit at ii funct iilor olomorfe: O funct iefdenit a
pe mult imea deschis a Geste olomorf a pe Gdac a  si numai dac a ea este analitic a pe G.
Consecint e:
1) Teorema analicit at ii este o teorem a de reprezentare local a a unei funct ii olomorfe
pe o mult ime deschis a oarecare.
Dac af(z) = log(1 + z) este ramur a uniform a ^ n U(0; 1) a lui log(1 + z), astfel ca
f(0) = 1, se obt ine dezvoltarea:
log(1 +z) =1X
n=1(1)n+1zn
n;z2U(0; 1):
2) Dac aaeste un num ar complex  si f(z) = (1 +z)aeste acea ramur a uniform a ^ n
U(0; 1) pentru care f(0) = 1, se obt ine dezvoltarea:
(1 +z)a= 1 +1X
n=1a(a1):::(an+ 1)
n!zn;z2U(0; 1);
numit a forma seriei binomiale.
25

1.5 Mult imi de funct ii olomorfe
Denit ia 1.5.1. [4]O mult ime FP(G)se spune c a este echicontinu a ^ n punctul
z02G, dac a oricare ar  ">0, exist a un =("), astfel ^ nc^ at:
z2G;jzz0j<";f2F)jf(z)f(z0)j<":
Mult imeaFse nume ste echicontinu a dac a ea este echicontinu a ^ n ecare punct din G.
Dac aFse reduce la o singur a funct ie f, aceast a denit ie coincide cu cea de continuitate
a luif^ n punctul z0. Dac aFeste format a din mai multe funct ii, atunci num arul este
acela si pentru toate funct iile din F.
Propozit ia 1.5.1. [1]Dac a mult imea FP(G)este echicontinu a  si  sirul (fn),fn2F
converge punctual pe o mult ime EG, dens a ^ nGc atref, atunci  sirul (fn)converge
uniform pe compacte ^ n Gc atref sif2P(G).
Denit ia 1.5.2. [1]O mult ime FP(G)estem arginit a dac a oricare ar  compactul
KGexist a unM=M(K)>0, astfel ^ nc^ at:
z2K;f2F)jf(z)jM
Propozit ia 1.5.2. [1]Dac a mult imea FP(G)este m arginit a, atunci mult imea F0=
ff0;f2Fgeste m arginit a.
Demonstrat ie:
FieU(z0;r)>0 un disc compact arbitrar inclus ^ n G. Vom alege un R >r astfel ca
U(z0;R)G. Dac af2F siz2U(z0;r), aplic^ and formula lui Cauchy avem:
f0(z) =1
2iZ

f()
(z)2d; unde
=[(z0;r):
Deoarecef
geste un compact inclus ^ n G, din ipotez a rezult a c a exist a M > 0 astfel
^ nc^ atjf()jMpentru orice 2f
g si oricef2F, deci:
jf0(z)j1
2
M
(Rr)2
2R=M
(Rr)2=M0
pentru orice z2U(z0;r)  sif2Fde unde rezult a c a Feste m arginit a.
Corolarul 1.5.1. [4]Dac a mult imea F2P(G)este m arginit a, iar  sirul (fn),fn2F
converge punctual pe o submult ime a lui G, care este dens a ^ n G, atunci  sirul (fn)converge
uniform pe compacte ^ n G.
Denit ia 1.5.3. [1]O mult ime FP(G)se spune c a este relativ compact a dac a
oricare ar   sirul (fn),fn2F, exist a un sub sir (fnk)al s au care converge uniform pe
compacte ^ n G.
26

1.5.1 Teorema zerourilor unei funct ii olomorfe
Aceast a teorem a ne spune c a zerourile unei funct ii olomorfe neidentic nule pe un
domeniuDsunt puncte izolate ^ n D.
Denim mai ^ nt^ ai not iunea de zerou al unei funct ii:
Denit ia 1.5.4. [1]Spunem c a z02Dse nume ste zerou saur ad acin a pentru funct ia
f:D!C, dac af(z0) = 0 .
Teorema 1.5.1. [1](Teorema zerourilor unei funct ii olomorfe: ) Dac a funct ia f
olomorf a pe domeniul Dnu este identic nul a  si a2Deste un zero al lui f, atunci:
a) exist ar>0astfel caU(a;r)D sif(z)6= 0 pentruz2U(a;r);
b)aare un ordin de multiplicitate nit dac a exist a n2N sig2H(D);g(a)6= 0,
astfel ^ nc^ at f(z) = (za)n
g(z)pentruz2D.
Observat ia 1.5.1. Dac a armat ia a)nu ar avea loc, atunci punctul aar  punct de
acumulare de zerouri, deci A0\D6=? si funct iafnu ar  identic nul a.
1.5.2 Teorema lui Montel
Teorema 1.5.2. [1]Pentru ca o mult ime FP(G)s a e relativ compact a este necesar
 si sucient ca ea s a e m arginit a.
Demonstrat ie:
1) S a presupunem c a Feste relativ compact a. Dac a ea nu ar  m arginit a, ar exista
un compact KGcu proprietatea c a pentru orice n2Nexist afn2F sizn2Kastfel
^ nc^ atjfn(zn)j>n. Din  sirul ( fn) se poate extrage un sub sir ( fnk) care converge uniform
pe compacte ^ n Gc atre o funt ie F2P(G).
^In particular,  sirul (( fnk)jK) converge uniform c atre fjK, de unde deducem c a exist a
unk0>0 astfel ^ nc^ atjfnk(znk)f(znk)j<1, pentru orice k>k 0.
Funct iafind m arginit a pe K, va exista un M > 0 astfel ^ nc^ atjf(z)jMpentru
oricez2K.^In particular,jf(znk)jM,  si deducem c ajfnk(znk)j<1 +M, pentru
k>k 0, ceea ce contrazice inegalitatea jfnk(znk)j>nk, care are loc pentru orice k2N.
2) S a presupunem c a Feste m arginit a  si e S= (fn;n2N) un  sir oarecare de funct ii
dinF. FieE=fz1;z2;:::go mult ime num arabil a de puncte din Gcare este dens a ^ n G(de
exemplu, mult imea punctelor din G, care au p art ile reale  si imaginare numere rat ionale).
S irul de numere complexe f1(z1),f2(z1), …,fn(z1), … este evident m arginit  si conform
teoremei lui Bolzano- Weierstrass, din el se poate extrage un sub sir convergent f11(z1),
f21(z1), …,fn1(z1),… .
S irul de funct ii S1= (f11;f21;:::;fn1;:::) este extras din S si converge ^ n z1. Proced^ and
ca mai sus, din S1se poate extrage un sub sir S2= (f11;f22;f32;:::;fn2;:::) care converge
^ nz1 siz2. Continu^ and ^ n acela si mod, se construie ste inductiv un  sir ( Sn) de sub siruri ale
27

luiS, undeSn= (f11;f22;:::;fnn;fn+1;n;:::) este extras din Sn1 si converge ^ n punctele
z1,z2, …,zn. Se constat a u sor c a  sirul diagonal ( fnn) este extras din orice  sir Sn, deci el
converge pe E. A sadar, din cele studiate mai sus, deducem c a acest  sir converge uniform
pe compacte ^ n G.
1.5.3 Principiul maximului modulului
O proprietate important a a unei funct ii neconstante, olomorf a pe un domeniu Deste
aceea c a nu ^  si poate atinge maximul modulului ^ ntr-un punct din acel domeniul D.
Teorema 1.5.3. [1](Teorema maximului modulului:) Dac a funct ia feste olomorf a
pe un domeniu D si exist a un z02Dastfel ^ nc^ atjf(z)jjf(z0)jpentru orice z2D,
atuncifeste o constant a ^ n D.
Demonstrat ie:
Alegem un R> 0 astfel ^ nc^ at U(z0;R)D.
Atunci, pentru orice r2]0;R[, avem:
f(z0) =1
2iZ

f()
z0d unde
=U(z0;r):
Deoarece
(t) =z0+re2it,t2[0;1], calcul^ and integrala, obt inem
f(z0) =1Z
0f(
(t))dt:
Din ipotez a putem deduce:
jf(z0)j61Z
0jf(
(t))jdt6jf(z0)j;
deci
1Z
0[jf(z0)jjf(
(t))j]dt= 0:
Deoarece funt ia de sub integral a este nenegativ a  si continu a, integrala nu poate s a e
nul a doar dac ajf(
(t))j=jf(z0)j, pentru orice t2[0;1]. Cum aceasta are loc pentru
oricer2]0;R[, deducem c ajf(z)j=jf(z0)j, pentru orice z2U(z0;R). Deoarecejfj
este constant pe discul U(z0;R), deducem c a fe constant a pe acest disc, a sadar, feste
constant a pe domeniul D.
Corolarul 1.5.2. [1]Dac afeste olomorf a pe un domeniu m arginit D si este continu a
peD, atunci:
max
z2Djf(z)j= max
z2@Djf(z)j:
28

Funct iafind continu a pe D^  si atinge maximul ^ ntr-un punct z02D. Dac afeste
constant a,jf(z0)jeste maxim ^ n orice punct z02D.^In caz contrar, nu putem avea
z02D, conform teoremei maximului modulului, deci z02@D.
1.5.4 Lema lui Schwarz
Teorema 1.5.4. [1]Dac afeste o funct ie olomorf a pe discul U=U(0; 1)  si veric a
condit iilef(0) = 0  sijf(z)j<1, pentru orice z2U, atuncijf(z)j6jzjoricare ar
z2U sijf0(0)j61. Dac ajf(z0)j=jz0jpentru un anumit z02U, saujf0(0)j= 1, atunci
exist a un num ar complex c,jcj= 1, astfel ^ nc^ at f(z) =cz, pentru orice z2U.
Demonstrat ie:
i) Vom deni funct ia g:U!C,g(z) =f(z)
z, pentruz6= 0  sig(0) =f0(0). Funct ia
geste continu a pe U si olomorf a pe discul punctat U. Rezult a a sadar c a g2H(U). Fie
r2]0;1[  si avem:jg(z)j61
r, pentru orice z2U(0;r). Facem ca rs a tind a la 1  si obt inem
astfeljg(z)j61.
ii) Dac a exist a z2Uastfel ^ nc^ atjf(z0)j=jz0j, sau dac ajf0(0)j= 1, rezult a c ajgj^  si
atinge valoarea maxim a ^ ntr-un punct din U si conform teoremei maximului modulului,
geste o constant a c.
Deoarecejg(z0)j= 1 (respectivjg(0)j= 1), deducem c a jcj= 1. Ding(z) =cse obt ine
f(z) =cz, pentru orice z2U.
Lema lui Schwarz se poate u sor generaliza ^ n cazul c^ and f2H(U(z0;r))  sijf(z)
f(z0)j<R, pentru orice z2U(z0;r).^Intr-adev ar, consider^ and funct ia g() =1
R[f(z)
f(z0)], undez=z0+r, avemg2H(U),g(0) = 0  sijg()j<1, pentru orice 2U. Din
Teorema 1.5.4. deducem imediat
jf(z)f(z0)j6R
rjzz0j sijf0(z0)j6R
r;
cazul de egalitate av^ and loc dac a  si numai dac a feste de forma
f(z) =f(z0) +cR
r(zz0);
undejcj= 1.
29

Capitolul 2
Funct ii analitice  si injective.
Generalit at i.
2.1 Introducere
^In aceast a sect iune sunt prezentate not iunile  si rezultatele elementare din teoria geo-
metric a a funct iilor de o variabil a complex a.
^In ceea ce urmeaz a vom folosi urm atoarele notat ii: planul complex va  notat cu C,
iar cuU(z0;r) not am discul deschis de centru z02C si raz ar>0.
U=fz2Cjjzz0j<rg
Not am cuUr, disculU(0;r), iar cuU, discul unitate ( U1).
Frontiera unei mult imi Mo vom nota cu @M. Dac aMeste o mult ime deschis a a lui
C, not am cu H(M) mult imea funct iilor analitice pe Mcu valori ^ n C.
Pentrun2N sia2C, consider am mult imea:
H[a;n] =ff2H(U)jf(z) =a+anzn+:::;z2Ug
Not am cuclasa funct iilor univalente pe discul unitate, normalizate prin condit iile
f(0) = 0  sif0(0) = 1. A sadar, ecare funct ie din clasa are dezvoltarea ^ n serie Taylor
de forma:
f(z) =z+a2z2+:::+anzn+:::;z2U:
Not am=ff2Hu(D)jf(0) =f0(0)1 = 0g.
2.2 Funct ii univalente
Denit ia 2.2.1. [4]FieDCun domeniu  si e funct ia f:D!C. Spunem c a funct ia
festefunct ie univalent a , dac af2H(D) sifeste injectiv a pe D.
30

Vom nota cu Hu(D) mult imea funct iilor univalente pe D.
Denit ia 2.2.2. [4]Spunem c a Hu(D)poart a numele de clasa funct iilor univalente .
Not iunea de funct ie univalent a se poate generaliza, ^ n mod natural, introduc^ and
not iunea de funct ie multivalent a de ordin m.
O funct ie multivalent a de ordin meste o funct ie olomorf a pe D, care ia orice valoare
a sa ^ n cel mult mpuncte distincte din D si exist a cel put in o valoare luat a ^ n exact m
puncte distincte. Astfel, funct ia z7!z2este multivalent a de ordin 2, sau bivalent a pe C.
Exemple:
1) Orice funct ie omograc a este univalent a pe Cnz0, undez0e polul funct iei.
2) Prin compunerea a dou a funct ii univalente se obt ine tot o funct ie univalent a.
Teorema 2.2.1. [4]Dac af2Hu(D), atuncif0(z)6= 0 pentru orice z2D.
Teorema 2.2.2. [4]Dac afeste o funct ie olomorf a pe un domeniu simplu conex D si
exist a o funct ie g2Hu(D)astfel ^ nc^ at g(D)este un domeniu convex  si <f0(z)
g0(z)>0,
pentru orice z2D, atuncifeste univalent a pe D.
Demonstrat ie:
Fie
=g(D).
Deoarecegeste univalent a, exist a funct ia invers a g1, care este olomorf a pe domeniul
convex
. Rezult a c a funct ia h=fg1este olomorf a pe
 si avem:
<h0(w) =<f0(z)
g0(z)>0; pentruw =g(z)2
:
Dac aw1 siw2sunt puncte distincte din
, integr^ and de-a lungul drumului liniar de
law1law2, care are suportul ^ n domeniul convex
, obt inem:
h(w2)h(w1) =w2Z
w1h0(w)dw= (w2w1)1Z
0h0[w1+t(w2w1)]dt;
deci:
<h(w2h(w1)
w2w1=1Z
0<h0[w1+t(w2w1)]dt> 0;
de unde rezult a imediat c a heste injectiv a pe
 si deducem c a f=hgeste univalent a
peD.
Corolarul 2.2.1. [4]Dac aDeste un domeniu convex  si f2H(D)astfel ^ nc^ at<f0(z)>
0, pentru orice z2D, atuncifeste univalent a pe D.
31

2.3 Limite elementare pentru funct ii univalente
2.3.1 Introducere
O funct ie regulat a f(z) denit a pe un domeniu Dse spune c a este univalent a peD,
dac aw=f(z) ia valori diferite pentru z^ nD.
^In acest caz, ecuat ia
w=f(z)
are cel mult o r ad acin a ^ n Dpentru orice num ar complex w.
^In acest capitol vom obt ine c^ ateva rezultate clasice, care ne vor da limitele unor funct ii
univalente ^ n cazul c^ and jzj<1.
Celelalte rezultate vor ajuta la generalizarea acestor teoreme prin obt inerea de rezul-
tate pentru acele funct ii p-univalente ^ n care ecuat ia f(z) =wia cel mult o r ad acin a p^ n
Dpentru orice num ar complex wsau dup a cum wia valori ^ n plan.
Dac a
f(z) =1X
n=0anzn
este univalent a ^ n jzj<1, atunci rezult a f(z)a0 sif(z)a0
a1, cu proprietatea c a
a1=f0(0)6= 0. De fapt, dac a a1era 0, atunci f(z) lua toate valorile sucient de
apropiate de w=a0de cel put in dou a ori.
Vom studia clasa normal a a funct iilor:
w=f(z) =z+a2z2+:::
univalent a ^ njzj= 1.
Cele dou a rezultate obt inute mai sus au fost date de c atre Bieberbach pentru funct ia
f(z)2,ja2j62 lu^ and ecare valoare wastfel ^ nc^ atjwj<1
4. Aceast a teorem a a fost
demonstrat a mai t^ arziu de c atre Koebe.
2.3.2 Rezultate ale lui Bieberbach
Teorema 2.3.1. [2]Dac af(z)2atunci pentruja262, avem egalitate doar pentru
funct iile:
f(z) =z
(1zei)2=z+ 2z2ei+ 3z3e2i+:::
Avem urm atoarea lem a:
Lema 2.3.1. [2]Presupunem c a
w=f(z) =+1X
n=1anzn
32

este regulat a pe un domeniu ce cont ine jzj=r si imaginea lui f(z)cujzj=reste o curb a
J(r), atunci aria A(r)J(r)este:
+1X
n=1njanj2r2n:
Demonstrat ie:
Scriemw=f(rei) =u() +iv(), unde
u() =1
2+1X
n=1[anein+anein]rn;
v() =1
2i+1X
n=1[aneinanein]rn:
Astfel,
A(r) =2Z
0udv
dd=
=1
42Z
0"+1X
m=1rm(ameim+amein#
"+1X
n=1nrn(anein+anein)#=
=
2+1X
n=1[an(nan+nr2nan) +an(nr2nannan)]=
=+1X
n=1bjanj2r2n;
 si dinX
nanan=X
nanan= 0, ^ nlocuind ncun^ n sum a, rezult a c a suma este
demonstrat a.
Presupunem acum c a w=f(z) =z+a2z2+:::2atunci
F(z) =jf(z2)j1
2=z+1
2a2z3+::::
De fapt,f(z2) dispare doar dac a z= 0  si dac a F(z1) =F(z2), atuncif(z2
1) =f(z2
2),
deciz2
1=z2
2, cuz1=z2. DarF(z) este o funct ie impar a, deci z1=z2. S i cum funct ia
f(z2) are doar un singur zerou, atunci F(z) este regulat a. De aceea, F(z) este univalent a.
Avem:
g(z) =1
F(z)=1
z1
2a2z+:::=1
z+1X
n=1anzn:
Atuncig(z) este univalent a ^ n 0 <jzj<1,  si deci imaginea lui g(z) cujzj=reste o
curb a simpl a pentru 0 <r< 1. De aici, Lema 2.3.1. :
33

1
r2+1X
n=1njanj2r2n=A(r)

este valabil a pentru 0 < r < 1. Termenul din st^ anga este negativ pentru r si pentru
0<r< 1. F ac^ andr!1, deducem:
1X
n=1njanj261:
Avem astfeljb1j=1
2ja2j61 si egalitatea este posibil a doar pentru bn= 0, (n= 1)  si
^ n acest caz,
g(z) =1
zzei;
F(z) =z
1z2ei;
f(z) =z
(1zei)2;
ceea ce rezult a c a Teorema 2.3.1. este demonstrat a.
Teorema 2.3.2. [2]Presupunem c a f(z)2 sif(z)6=wcujzj<1, atuncijwj>1
4.
Egalitatea este posibil a numai dac a f(z)este dat de Teorema 2.3.1.  siw=1
4ei.
Demonstrat ie:
Dinf(z)6=wavem:
wf(z)
wf(z)=z+
a2+1
w
z2+:::2:
Astfel, rezult a c a:
a2+1
w62;1
w62 +ja2j64; cujwj>1
4
Egalitatea este posibil a numai dac a a2= 2i,w1=4ei sif(z) trebuie dat de f(z)
^ nTeorema 2.3.1. .^In nal vom spune c a funct ia
f(z) =z
(1z)2=1
41 +z
1z2
1
4
cujzj<1 taie planul wpe axa negativ a de la 1
4la1. Astfel,f(z)2 sif(z)6=1
4
^ njzj<1.
De aici rezult a c a funct iile f(z) =eif(zei) apart in lui  sif(z)6=1
4ei. A sadar,
Teoremele 2.3.1.  si2.3.2. sunt posibile.
34

2.3.3 Teoreme elementare de cre stere  si deformare
Teorema 2.3.3. [2]Presupunem c a f(z)2atunci avem pentru jzj=r(0<r< 1):
(2.1)r
(1 +r)26jf(z)j6r
(1r)2
(2.2)1r
(1 +r)36jf0(z)j61 +r
(1r)3
(2.3)1r
r(1 +r)6f0(z)
f(z)61 +r
r(1r)
Egalitatea are loc ^ n toate cazurile numai pentru funct iile fdinTeorema 2.3.1. .
Demonstrat ie:
Pentrujzj<1  si mult imea:
(2.4) ( z) =fz0+z
1 +z0z
=a0+a1z+a2z2+:::
(z) este univalent a ^ n jzj<1. Mai departe avem a0=fz0,a1= 0(0) = (1jz0j2)f0(z0),
a2=1
200(0) =1
2(1jz0j2)2f00(z0)z0(1jz0j2)f0(z0).
Scriindz0=pei, deducem:
(2.5)z0f00(z0)
f0(z0)2p2
1p264p
1p2:
Denit ia 2.3.1. [2]Fief(z) =z+a2z2+:::o funct ie regulat a ^ n jzj<1. Vom spune
c a dac a funct ia f(z)20d a orice num ar complex z0cujz0j<1 si orice funct ie w()
univalent a  si satisface condit iile jw()j<1,w()6=z0^ njj<1, avem pentru () =
f(w())relat ia:
j0(0)j64(j(0)j+jf(z0)j):
Teorema 2.3.4. [2]Presupunem c a f(z) =z+a2z2+:::20. Atunci:
(2.6) ja2j62:
Mai departe avem pentru jzj=r, (0<r< 1):
(2.7)r
(1 +r)26jf(z)j6r
(1r)2
35

(2.8) jf0(z)j61 +r
r(1r)jf(z)j61 +r
(1r)3
Ecuat ia are exact o r ad acin a ^ n jzj<1, dac ajwj61
4.
Demonstrat ie:
Pentru a demonstra Teorema 2.3.4. , facem:
z
(1z)2=Z=4d
(1)2;
unded=r
(1 +r)2, pentrurxat, cu condit ia 0 <r< 1.
Dac a scriem z=w(), () =f(w()), atunciw() este univalent a, w()6=r^ n
jj<1  si deci, cum f(z)20, avem:
j0(0)j64(j(0)j+jf(r)j);
4djf0(0)j64jf(r)j:
Cumf0(0) = 1, atuncijf(r)>d si aplic^ and argumentul la eif(zei) care apart ine
lui0 si cuf(z)20, avem inegalitatea din st^ anga de la 2.7..
Alegem si avema2ei=ja2j. Atunci, cum r!0, obt inem:
jf(rei)j=jr+a2eir2+O(r3)j=rja2jr2+O(r3);
 si
jf(rei)j>r
(1 +r)2=r2r2+O(r3)
de aici rezult aja2j62. Dinf(0) = 0  sif(z)20, avem:
j0(0)j=(1r)3
1 +r4rjf0(r)j64j(0)j= 4jf(r)j:
Cumeif(zei20, obt inem
f0(rei)61 +r
r(1r)3jf(rei)j=1 +r
r(1r)jf(rei)j;
aceasta ind inegalitatea de la st^ anga a lui 2.8.. Astfel,
(2.9)@
@rlogjf(rei)j6f0(rei)
f(rei)61 +r
r(1r)
36

 si integr^ and de la r1lar2, unde 0<r 1<r 2<1, deducem:
logf(r2ei)
f(r1ei)6r2Z
r11 +r
r(1r)dr=log(1r1)2r2
(1r2)2r1
sau(1r2)2
r2jf(r2ei)j6(1r1)2
r1jf(r1ei):
F ac^ andr1!0 ^ n inegalitate, obt inem inegalit at ile din dreapta lui (2.7.)  si(2.8.) , cu
r=r2. Rezult a c a Teorema 2.3.4. este demonstrat a.
Teorema 2.3.5. [2]Presupunem c a f(z) =z+a2z2+:::20 si
M(r;f) = max
jzj=rjf(z)j(0<r< 1);
atunci, dac a f(z) =f(z) =z(1zei)2,(1r)2r1M(r;f)strict descre ste cu rcresc ator
(0< r < 1) si tinde c atre  < 1cur!1, rezult a c a limita superioar a pentru jf(z)j,
jf0(z)jdat a de (2.7.)  si(2.8.) este obt inut a doar pentru funct ia f(z).
2.3.4 Coecient i
Teorema 2.3.6. [2]Presupunem c a f(z) =z+a2z2+:::2, atunci:
(2.10) I(r;f) =1
22Z
0jf(rei)jd<r
1r;(0<r< 1)
 si deci,
(2.11) janj<eIn1
n;f
<en; (n>2)
Demonstrat ie:
Dup a cum am v azut ^ n demonstrat ia de la Teorema 2.3.1.
(z) = [f(z2)]1
2=z+a3z3+a5z5+:::2
 si din Teorema 2.3.3. aplicat a lui f(z), avem
j(z)j6r
1r2pentrujzj6r:
Vom nota c a
1
22Z
0j0(rei)j2d=
37

1
22Z
0 1X
n=1nanrn1ei(n1)! 1X
m=1mamrm1ei(m1)!
d=
1X
n=1n2janj2r2n2:
Astfel,1X
n=1njanj2r2n=
=rZ
0rdr2Z
0j0(rei)j2d<r
1r22
:
Integr^ and termen cu termen de la 0 la r, prin ^ mp art ire obt inem:
1X
n=1janj2r2n<r2
1r2:
Dar
I(r2;f) =1
22Z
0jf(r2ei)jd=
=1
22Z
0j(rei)j2d=
=1
22Z
0(rei)(rei)d=
=1X
n=1jbnj2r2n:
Astfel,I(r2;f)<r2
1r2.^Inlocuindrcur2obt inem (2.10.)  si scriind pe r= 11
n,
avem:
janj=1
2Z
jzj=rf(z)
zn+1dz=
=1
2rn2Z
0f(rei)eind61
rnI(r;f)6
61
rn1(1r)=
1 +1
n1n1
; n<en;
ceea ce ne d a (2.11.)  si ^ ncheie demonstrat ia Teoremei 2.3.6. .
38

2.3.5 Funct ii univalente convexe
^In aceast a sect iune vom considera funct iile cu jzj<1 pe un domeniu convex D.
Aceste funct ii le vom numi convexe univalente .
Denit ia 2.3.2. [2]Un domeniu Dse spune c a este convex dac a dou a puncte din D,w1
 siw2sunt unite printr-un segment care apart ine tot lui D. Atunci este u sor de demonstrat
prin introducerea ^ n centrul de gravitat ie1
n(w1+w2+:::+wn)anpuncte de la w1law2
dinD.
Teorema 2.3.7. [2]Presupunem c a
g(z) =1X
n=1gnzn
este convex a univalent a  si transform a jzj<1^ nD. L as am ca
w=h(z) =1X
n=1hnzn
s a e regulat a ^ njzj<1 si lu am numai valorile wcare apart in lui D. Atunci,jhnj6jg1j
 si, ^ n particular,jgnj6jg1jpentrun>1.
Demonstrat ie:
Consider am
(z) =g1[h(z)] =h1
g1z+:::
atunci, (z) este regulat a ^ n jzj<1  si satisface condit iile j (z)j<1  si (0) = 0.
^In continuare l as am ca k(16k6m) s a e am-a r ad acin a a unit at ii  si consider am
H(z) =1
mmX
k=1h(kz1
m) =hmz+h2mz2+:::
^ n loc deh(z).
CumDeste convex a  si h(z) ia numai valori ^ n interiorul lui D, rezult a c a  si H(z)
ia valori ^ n interiorul lui D si deducem c ajhmj6jg1j(m= 2;3;:::), ceea ce trebuia
demonstrat.
Teorema 2.3.8. [2]Presupunem c a w=f(z) =z+:::este convex a univalent a, atunci
f(z)ia ecare valoare din disc jwj<1
2.
Teorema 2.3.9. [2]Presupunem c a w=f(z) =z+:::este convex a univalent a, atunci
avem pentrujzj=r(0<r< 1):
1.r
1 +r6jf(z)j6r
1r;
39

2.1
(1 +r)26jf0(z)j61
(1r)2;
3.1
r(1 +r)6f0(z)
f(z)61
r(1r):
2.3.6 Funct ii reale caracteristice
Denit ia 2.3.3. [2]Spunem c a o funct ie f(z)estereal a caracteristic a dac af(z)este
regulat a ^ njzj<1 sif(z)estereal a dac a  si numai dac a zeste real a.
Teorema 2.3.10. [2]Presupunem c a f(z) =z+a2z2+:::este real a caracteristic a. ^In
particular, dac a f(z)2 si are coecient i reali, atunci avem janj6n(n= 2;3;:::).
Demonstrat ie:
Fief(z) =u+iv si presupunem c a f(z) este real a caracteristic a, atunci f(z) este
real a pe axa real a  si are coecient i reali. Astfel,
v(rei) =1X
n=1anrnsinn:
De asemenea, v(rei) are semn constant pentru 0 <<  si deci
janrnj=2
Z
0v(rei) sinnd6
62n
Z
0jv(rei) sinnjd=nr(0<r< 1)
cujsinnj6nsin.
Facemr!1  si obt inemjanj6n. Dac af(z) are coecient i reali  si este real a pentru
ni ste numere complexe z0, avemf(z0) =f(z0), ceea ce este imposibil pentru o funct ie
univalent af(z).
Deci, dac af(z)2 si are coecient i reali, atunci f(z) este real a caracteristic a.
2.3.7 Funct ii univalente stelate
Denit ia 2.3.4. [2]Un domeniu D^ n planulwse spune c a este stelat relativ la un
punct xOdinD, dac a pentru orice punct PdinD, segmentul OP apart ine tot lui D.
Teorema 2.3.11. [2]Dac af(z) =z+a2z2+:::este univalent stelat a, atunci janj6n
(n= 2;3;:::).
40

Capitolul 3
Teoria general a a lui Loewner-
Kufarev
3.1 Teorema lui Loewner
3.1.1 Introducere
^In acest capitol vom trata am anunt it teorema lui Loewner care ne d a posibilitatea de
a obt ine limitele clasei pentru funct iile:
f(z) =z+a2z2+:::
univalente ^ njzj<1. Vom spune c a 0este dens a ^ n , dac a0este subclas a a lui 
 si ecare funct ie f(z)2poate  aproximat a de o succesiune a funct iilor fn20 si c a
fn(z)!f(z) este uniform a pe ecare compact c^ and n!1 . Rezultatul lui Loewner
^ ncepe cu:
Teorema 3.1.1. [3]Presupunem c a t0> sik(t)o funct ie complex a continu a a lui t,
cuprins a ^ ntre 06t6t0cu condit iajk(t)j= 1.
Fiew=f(z;t)solut ia ecuat iei diferent iale
(3.1)@w
@t=w1 +k(t)w
1k(t)w(06t6t0)
astfel ^ nc^ at f(z;0) =z, atunci funct ia etf(z;t0) si funct iak(t)formeaz a o subclas a
dens a a lui .
Vom demonstra aceast a teorem a ^ n prima parte a acestui capitol prin a ar ata c a:
a) dac aw=f(z;t) =et(z+a2(t)z2+:::) transform ajzj<1 ^ njwj<1,
atunci funct ia etf(z;t) este dens a pe ;
b) aceste funct ii sunt de fapt solut ii ale ecuat iei diferent iale.
41

3.1.2 Propriet at iile limitelor ^ n transformarea conform a
Lema 3.1.1. [3]Presupunem c a w= (z)transform a un domeniu D1^ njzj= 1 pe un
domeniuD2ce apart ine luijwj<1 si el(R)lungimea total a a imaginii pe domeniul D2
a circumferint eijzz0j=Rcare apart ine lui D1. Atunci, dac a R1>0,k>1, exist aR
astfel ^ nc^ at R1<R<kR 1 sil(R)62
logk1
2
.
^In particular, exist a o secvent  a Rncare descre ste p^ an a la zero c^ at timp n!1 , astfel
c al(R)!0cun!1 .
Demonstrat ie:
Vom considera transformarea z= 1(w) dinD2peD1 si not am:
(w) = 1(w)z0:
Atunci curba
RdinD2corespunz atoare lui jzz0j=Reste curbaj (w)j=R.
Fiel(R) lungimea total a a sa. Atunci, cum (w) este univalent a, putem aplica o
teorem a precedent a cu p(R)61,A61, ceea ce rezult a
kR1Z
R1l(R)2dR
R61Z
0l(R)2dR
Rp(r)62A622:
Dac aleste cea mai mic a limit a a lui l(R) ciR1<R<kR 1, atunci avem
l2logk622;
l62
logk1
2
:
Dac a denim acum R0
nprin induct ie cu R0
0= 1,R0
n+1=enR0
n, atunci exist a Rnastfel
^ nc^ atR0
n+1<Rn<R0
n si
l(Rn)<r
2
n;
ceea ce rezult a c a lema este demonstrat a.
Lema 3.1.2. [3]Fie
un arc de lungime l <1care apart ine luijzj<1 si care apropie
jzj= 1de ambele capete. Fie Dmult imea tuturor punctelor P^ njzj<1astfel ^ nc^ at orice
curb a ce atinge originea P^ njzj<1^ nt^ alne ste
 si diametrul lui Deste cel mult l.
Demonstrat ie:
Curba
are ca parametrii z=(t) (a < t < b ). Fietn,n= 0;1;2;:::o secvent  a
cresc atoare de numere, astfel c a
a<tn<b(n>1)
42

tn!b(n!1 ):
AtuncinX
r=1j(tr)(tr1)j6l;
 si deci
1X
r=1j(tr)(tr1)j61;
1X
r=1j(tr)(tr1)jconvergent a :
Astfel,(tr) aproximeaz a o limit a (b) cur!1  si(b) este independent a de secvent a
tr. Deci,(t)!(b) cut!b. Scriemz1=(a),z2=(b)  si avemjz1j=jz2j= 1 din
ipotez a.
Fiez31
2(z1+z2). Dac azeste orice punct de pe
, atunci avemjzz1j+jzz2j6l
 si
are lungimea l si decizse a
 a ^ n interiorul elipsei de centru z3. Astfel,zse a
 a
^ n interiorul cercului Cde centruz3 si raz a1
2l. Acest cerc are diametrul l,  si cumC^ l
cont ine pez1,Cnu poate  ^ n origine. Astfel, Dapart ine lui C si are diametrul cel mult
l.
3.1.3 Transform ari
Fie
(3.2) f(z) =(z+a2z2+:::)
unde > 0 este univalent a ^ n jzj<1  si satisface condit ia jf(z)j<1, atuncif(z) se
nume ste transformare .
Transformarea w=f(z) transform ajzj<1 ^ ntr-un domeniu D^ njwj<1. Vom spune
c a dou a puncte z,wpejzj= 1  si frontiera Dcorespund transform arii w=f(z) dac a
exist a o secvent  a znastfeljzj<1 (n>1)  sizn!z,f(zn)!w(n!1 ).
FieB=Bfmult imea tuturor punctelor jzj= 1 care corespund punctelor lui S. Vom
nota c a punctele lui { z{ = 1  si nu cele din Bcorespund numai punctelor din jwj= 1.
Lema 3.1.3. [3]Dac af(z)este o transformare dat a de (3.2.) , atunci avem urm atoarea
notat ie: 1d661.
Demonstrat ie:
Inegalitatea 61 rezult a din Lema lui Schwarz .
Pentru a demonstra c a >1dpresupunem c a d61. Rezult a c a dac a Sintersecteaz a
jwj=rpentrur <1, atunciSintersecteaz ajwj=pentrur <  < 1, deciSapart ine
jweij6d sijwj>1d.
43

Astfel,Dcont ine cerculjwj<1d, deci inversa funct iei z=f1(w) transform a
jwj<1d^ ntr-un subdomeniu a lui { z{ = 1  si
f1[(1d)w] =(1d)w
+:::
satisface condit iile Lemei lui Schwarz. Rezult a c a 1 d6 si lema este demonstrat a.
Lema 3.1.4. [3]Avem urm atoarele notat ii:
64
log2
d1
2
; d64
log2
1
2
:
Demonstrat ie:
Pentru a demonstra prima inegalitate vom lua d<2e42. Pentru62, inegalitatea
este simpl a.
Fiew0limita luiSfpejwj= 1, atunci Sfapart ine luijww0j=Rce apart ine lui
jwj<1  si luiD. Fie
Rimaginea lui CRcuz=f1(w)  si el(R) lungimea lui
R,
atunci cu ajutorul Lemei lui Schwarz cu R1=d,k=d1, putem alege R0care satisface
condit iile:d<R 0<1,
l(R0)61
2log1
d1
2
61
4log2
d1
d
<1:
CumCRsepar aw= 0 deSf, rezult a c a
R0separ az= 0 deBf si se obt ine:
f6l(R0)62
log2
d1
2
:
Demonstrat ia celei de-a dou a inegalit at i este similar a cu prima,  si deci lema este
demonstrat a.
Lema 3.1.5. [3]Presupunem c a (z) =u+iveste regulat a ^ njzj<1 siu(z)are semn
constant  si v(0) = 0 . Presupunem c a
u(rei)!0 (r!1)
uniform a pentru 6j0j6, atunci avem
(z) = (0)ei0+z
ei0z+(z)
;
undej(z)j<5jei0zj2pentrujei0zj>2,jzj<1.
44

Demonstrat ie:
Avem  0= 0 atunci, cu ajutorul formulei lui Poisson, pentru jzj<r< 1, avem
(z) =1
2+Z
u(rei)rei+z
reizd+iC;
undeCeste constant ^ njzj<r si cum (0) este real, atunci C= 0. Astfel, pentru zx
avem
(3.3) (z) =1
2+Z
u(rei)rei+z
reizd+o(l) (r!1):
Scriind (0) =, obt inem
(3.4)1
2+Z
u(rei)d!(r!l):
De asemenea,rei+z
reiz!ei+z
eizsi dac ajz1j>2,jj6, avemjei1j6 si
deci
ei+z
eiz1 +z
1z=2z(ei1)
(eiz)(1z)6
62
j1zj(j1zj)64
j1zj2:
Astfel, dac ajz1j>2,jj< sireste sucient de aproape de l, atunci
rei+z
reiz1 +z
1z<5
j1zj2
astfel, f ac^ and r!1, deducem
 (z)1 +z
1z1
2+Z
u(reid6
65
j1zj212+Z
ju(rei)jd +o(l):
Folosind (3.4.)  si faptul c a uare semn constant ^ n jzj<1, deducem
 (z)1 +z
1z65jj
j1zj2
45

 si dac aj1zj>2, rezult a Lema 3.1.5. .
3.1.4 Structura transform arilor innitezimale
Lema 3.1.6. [3]Fiefn(z) =n(z+:::)o secvent  a a transform arii jzj<1 si ed(fn),
(fn)denite ca ^ n (3.2.)  si presupunem c a d(fn)sau(fn)!0cun!1 , atunci
(3.5) fn(z)!z(n!1 )
uniform a ^ njzj<1 si ^ n particular n!1. Dac azneste un punct pe jzj<1care
corespunde unui punct wn^ njwj<1cuw=fn(z) si dac a 0<r< 1, atunci
(3.6) fn(z)z(logn)zzn+z
znz(n!1 )
uniform a ^ njzj6r.
Demonstrat ie:
Rezult a din Lema 3.4. c a dac a(fn)!0 atuncid(fn)!0  si invers. Din Lema 3.3.
rezult a c an!1. Scriem
n(z) = logfn(z)
z=un(z) +ivn(z):
Cumfn(z) se anuleaz a doar pentru z= 0, n(z) este regulat a ^ n jzj= 1  si cum fn(z)
satisface ipoteza lemei lui Schwarz, un(z)60 ^ njzj= 1,zn=eincorespunde lui wn, unde
jwnj<1 cuw=fn(z), atunci dac ajeieinj>(fn)  si punctul z=eicorespunde unui
punctwpejwj= 1  si ind dat  >0, aceasta este adev arat a pentru 6jnj6,
dac an>n 0() din(fn)!0.^In acest caz, un(rei)!0, (r!1 ) este uniform a pentru
6jnj6 si un punct xat n>n 0(). Aplic am Lema 3.5.  si obt inem:
(3.7) n(z) = lognzn+z
znz+n(z)
;
undejn(z)j<5jzznj2pentrujzznj>2. Astfel, dac a este xat  si pozitiv, ^ l
putem alege pe n1sucient de mare ^ nc^ at j n(z)j<. Dac an>n 1 sijzznj>, atunci
(3.8) jfn(z)zj=jzjje n(z)1j6en1<2;
dac a <1
2. Lu amnsucient de mare astfel ^ nc^ at v^ arful arcului jzznj=pejzj= 1
corespunde numai punctului pe jwj= 1. Din (3.8.) rezult a c a
jfn(z)zj62 sijfn(z)znj63
sunt pe arc. Valorile pe care w=fn(z) le ia pentrujzznj< formeaz a un domeniu
46

^ njwj<1 care este separat de w= 0 prin imaginea arcului jzznj=cuw=fn(z)
deci
apart ine lui jwznj<3.^In nal avem
jfn(z)znj63^ njzznj<n
 si
fn(z)zj<4pentrujznzj6:
Acestea ^ mpreun a cu (3.8.) demonstreaz a (3.5.) .
^In continuare, (3.7.) arat a c a dac a reste x, 0< r < 1, atunci n(z)!0 (n!0)
uniform a pentrujzj6r si deci avem
fn(z)z=z[e n(z)1]~z n(z)~zlogzn+z
znz
care este (3.6.) , de unde rezult a demonstrat ia lemei.
3.1.5 Transform ari sect ionate a lui Loewner
Fie
o funct ie Jordan care are un singur punct Bpejwj= 1  si care apart ine lui
jwj<1. Presupunem c a
nu trece de w= 0  si const a dintr-un num ar nit de arcuri
analiticeP1,P2,P3, …,Pn1,B. Vom numi un astfel de arc
osect iune analitic a .
Mult imea de puncte Gce cont ine toate punctele din jwj<1  si nu cele din
, va
un domeniu unit simplu. Geste un domeniu ce cont ine w= 0  si datorit a teoremei de
transformare a lui Riemann, exist a o funct ie unic a
(3.9) w=f(z) =(z+a2z2+:::)
ce transform ajzj<1 ^ ntr-un domeniu G sif(0) = 0,f0(0) = >0.
Lema 3.1.7. [3]Funct iaf(z)=, undef(z)este construit a ca ^ n (3.9.) sub forma unei
subclase dense 002.
Demonstrat ie:
Presupunem c a f(z)2 si 0< p < 1, atuncif(z) transform ajzj<1 ^ n imaginea
unei curbe analitice jzj=cuf(z). De asemenea,1
f(z)2,1
f(z)!f(z) cu!1,
uniform a pentrujzj6rc^ and 0<r< 1. Este sucient s a ar at am c a funct ia1
f(z) poate
 aproximat a de o funct ie din
00. Dac aMeste sucient de mare
w= (z) =1
Mf(z) =1
Mz+:::
transform ajzj<1 ^ n interiorul Dal curbei analitice ^ nchise care apart ine lui jwj<1.
Fie nun segment de linie dreapt a ce une ste cel mai apropiat punct Pde pe cu
w= 1.
47

Fie
nce const a dinjwj<1 except^ and t aietura n si
fn(z) =n(z+a2z2+:::)
transform ajzj<1 ^ n
n. Mai r am^ ane de ar atat c a fn(z)! (z) (n!1 )  si deci
fn(z)=naproximeaz a1
f(z) pentruxat care prin ^ ntoarcere aproximeaz a f(z).
Consider am acum =fn1[ (z)] =gn(z)  si veric am c a gn(0) = 0,g00
n(0)>0 astfel
^ nc^ atgn(z) este o transformare. Fie Sgndenit a ca ^ n (3.2.) , atunciSgncont ine toate
punctele ^ njj<1 care corespund punctelor din afara lui Dcu ajutorul transform arii
w=fn(). Alegemsucient de mic astfel ^ nc^ at cercul de centru P si raz aR^ nt^ alne ste
D^ ntr-un singur arc
Rpentru 0<R<  si origineaw= 0 apart ine exteriorului cercului,
astfel dac a1
n<R, atunci
Rcorespunde unui arc CR^ njj<1 cu=fn1(w)  si toate
punctele lui Sgnsunt separate de = 0 fat  a de CR. Din Lema 3.1.1. putem alege Rastfel
^ nc^ at lungimea l(R) a luiCRsatisface
l(R)61
2log (n)1
2
 si deci rezult a
d(gn)61
2log (n)1
2
:
Rezult a acum din Lema 3.1.6. c agn(z)!z(n!1 ) uniform a ^ njzj<1. Fiind dat
r <1, alegemastfel ^ nc^ at r <  < 1. Din inegalitatea lui Cauchy aplicat a discului cu
centrulz si raz a 1, avem
jfn0(z)j6(1)1(jzj6):
Astfel, pentrujz1j6,jz2j6,
jfn(z1)fn(z2)j=z2X
z1fn0(z)dz6(1)1jz1z2j:
Acum presupunem jzj6r, atunci pentru nsucient de mare, avem jgn(z)j6, cum
gn(z)!zeste uniform a. Astfel
jfn(z) (z)j=jfn(z)fn[gn(z)]j6(1)1jzgn(z)j
 si decifn(z)! (z) (n!1 ) uniform a pentru jzj6r, rezult a a sadar demonstrat ia
lemei.
3.1.6 Propriet at i ale continuit at ii
Lema 3.1.8. [3]Dac aw=gt(z)denit a caw=gt(z) =(t)(z+a2(t)z2+:::) ((t)>0),
48

atunci funct ia invers a z=g1
t(w)e continu a ^ n w=(t)astfel cumw=gt(z)!(t)
dinG(t),zaproximeaz a un punct (t)astfel c aj(t)j= 1.
Demonstrat ie:
Alegemsucient de mic astfel ^ nc^ at cercul jw(t)j=R^ nt^ alne ste
t^ n exact un
punct pentru 0 <R< . Alegerea este posibil a doar dac a
tare tangent a la (t).
Atunci, pentru 0 < R <  , cerculjw(t)j=Rapart ine lui G(t), f ac^ and except ie
un singur punct. Imaginea acestui cerc este un arc CRcare apart inejzj<1. Datorit a
lemei 3.1.1. putem alege o secvent  a Rn!0astfel c al(Rn)!0, undel(Rn) este lungimea
luiCRn.
Dac aRn<j(t)j, atunci disculjw(t)j<Rnsect ioneaz a arcul
tcare corespunde
domeniului ^ n care CRdividejzj<1, numit
ncare nu cont ine z= 0. Din lema 3.1.2. ,
diametrul lui
nnu este mai mare dec^ at l(Rn)  si tinde c atre zero c^ at timp n!1 . Din

n
n1c^ andRn<Rn1, rezult a c a
nse transform a ^ ntr-un singur punct (t), cum
n!1 .
Astfel, putem alege nsucient de mare ^ nc^ at
napart ine discului jz(t)j< .
Atunci, dac ajw(t)j< Rn siw=gt(z), avemjz(t)j< , ceea ce demonstreaz a
Lema 3.1.8. .
Avem
h(z;t0;t00) =g1
t00[gt0(z)];06t06t006t0:
Vom studia comportamentul lui h(z;t0;t00) c^ at timpt00!t0!0. Avem c a w=g1
t00(w)
transform ajzj<1 ^ nG(t0) dac ajwj<1 sect ioneaz a
t0. De asemenea, =g1
t00(w)
transform a G(t00) ^ njj<1  si deciG(t0) corespunde luijj<1, except^ and imaginea lui

t0t00din=g1
t00(w).
t0t00apart ine lui G(t00) cu except ia punctului (t00). Din Lema
3.1.8. ,=g1
t00(w) este continu a ^ n (t00)  si astfel transform a
t0t00^ ntr-un arc Jordan St0t00
^ njj61. Astfel,=h(z;t0;t00) transform ajzj<1 ^ njj<1 ce sect ioneaz a St0t00.
FieBmult imea punctelor pe jzj<1 ce corespund lui St0t00. Cele ale luijzj= 1
corespund numai lui jj= 1. Avem
Lema 3.1.9. [3]Cut00t!0c^ at timp unul dintre t=t0saut=t00r am^ an xe, avem
c a at^ atSt0t00, c^ at  sit0t00apropie punctul (t)^ n planele respective. De asemenea, (t)este
continu a.
Demonstrat ie:
Presupunem mai ^ nt^ ai c a t00!t0.
C^ at timpt0r am^ ane x, arcul
t0t00se apropie de punctul x (t0)  si ^ n nal apart ine
unui disc de centru (t0)  si raz a. Dac aeste sucient de mic, rezult a din lema 3.1.8.
c a putem alege ce depinde de astfel ^ nc^ at dac a w=gt0(z)  sijw(t0)j< , atunci
jz(t0)j<, astfel dac a
t0t00are diametrul mai mic dec^ at , atunciBt0t00are diametrul
mai mic dec^ at . Deci, cum t00!t0, diametrul lui Bt0t00tinde c atre zero ca  si St0t00.
49

Similar,t0!t00.
C^ at timpt00r am^ ane x,
t0t00se apropie de punctul (t00). Urmeaz a din continuitatea
luig1
t00(w) cuw=(t00) c aSt0t00care corespunde lui
t0t00din=g1
t00(w) se apropie de
punctulg1
t00[(t00)] =(t00)  si deci diametrul lui St0t00tinde c atre zero. Astfel, diametrul
luiBt0t00tinde tot la zero, din lema 3.1.4. . Rezult a din lema 3.1.6. c a ^ n ambele cazuri
(3.10) h(z;t0;t00)!z
uniform a ^ njzj<1 c^ at timp t00t!0.
Astfel, dac a zapart ine lui Bt0t00 sieste un punct similar pe St0t00, avem ^ n nal
jzj< . De asemenea, St0t00^ l cont ine pe (t00)  siBt0t00^ l cont ine pe (t0). Lu^ and
z=(t0) ^ l alegem pe t00sucient de apropiat de t0, astfel ^ nc^ at diametrul lui St0t00este
mai mic dec^ at , atuncij(t00)j< sijzj< si deci
j(t00) =(t0)j<2:
La fel, dac a t00este xat, alegem =(t00)  sit0at^ at de aproape de t00astfel ^ nc^ at
diametrul lui Bt0t00este mai mic dec^ at . Atunci, ^ n ambele cazuri ( (t00)(t0))!0
 si dac at=t0saut=t00 sitxat, atunci (t0)  si(t00) tind c atre (t). Astfel,(t) este
continu a.
Cum diametrele lui St0t00 siBt0t00tind c atre zero  si aceste mult imi cont in (t00)  si(t0),
ambele mult imi tind c atre (t) cut00t0!0 p^ an a c^ and unul din t0saut00r am^ ane xat.
Rezult a a sadar demonstrat ia lemei 3.1.9. .
3.1.7 Ecuat ii diferent iale
Vom nota c a pentru 0 6t0<t006t0,
h(z;t0;t00) =(t0)
(t00)z+:::
satisface condit iile lemei lui Schwarz ^ n jzj<1, astfel(t) este o funct ie strict cresc atoare
^ n 06t6t0. Din (3.10.) rezult a
(t0)
(t00)!1;(t00t0)!0
c^ at timp oricare din t0saut00r am^ an xe, deci (t) este continu a. Astfel
r= log(t)
(0)
50

este o funct ie strict cresc atoare a lui tpentru 0 6t6t0 si putem lua rpentru parametrul
tcare ^ nc a nu a fost determinat. Avem
(3.11) gt(z) =et(z+a2(t)z2+:::);06t6t0
unde=(0) =f0(0),t0= log1
. De asemenea,
h(z;t0;t00) =et0t00z+::::
Lema 3.1.10. [3]Cu notat ia (3.11.) , e (t00t0)!0c^ at timpt=t0saut00r am^ ane
xat ^ ntre 06t0<t006log1
atunci avem c a funct ia este uniform a pentru jzj6rc^ and
0<r< 1
h(z;t0;t00)z
t00t0!z1 +k(t)z
1k(t)z;
undek(t) =(t)1.
Demonstrat ie:
De fapt, lemele 3.1.6.  si3.1.9. arat a a sa pentrujzj6r<1
h(z;t0;t00)z~(t0t00)zei+z
eiz;
unde (t00t0)!0, undeeieste un punct al lui Bt0t00 si deciei!(t).
Teorema 3.1.2. [3]Dac af(z;t) =g1
t[f(z)],06t6t0= log1
, atuncif(z;t)satisface
ecuat ia diferent ial a
@f
@t=f1 +k(t)f
1k(t)f
cu condit ia init ial a f(z;0) =z. Funct ia1f(z;t0)formeaz a o subclas a a lui .
Demonstrat ie:
Funct iaw=f(z) transform ajzj<1 ^ njwj<1  si sect ioneaz a
. De asemenea,
=g1
t(w) transform ajwj<1 ^ njj<1. Astfel,=f(z;t) transform ajzj<1 ^ ntr-o
submult ime a lui jj<1  si deci este o funct ie univalent a pentru
06t6t0= log1
:
De asemenea, z= 0, avemw=f(z) =z+:::=gt() =ei+:::astfel=eiz+:::
 si decieif(z;t)2 si particular, 1f(z;t0=1f(z))2.
^In continuare vom ^ nlocui ^ n Lema 3.1.10. pezcuf(z;t0). Acest lucru este permis
dac ajf(z;t0)j<1 pentrujzj<1. Mai avem
h[f(z;t0);t0;t00] =g1
t00fgt0(g1
t0[f(z)])g=g1
t00[f(z)] =f(z;t00):
51

Astfel, Lema 3.1.10. d a urm atoarea echivalent  a
(3.12)f(z;t00)f(z;t0)
t00t0f(z;t0)1 +k(t)f(z;t0)
1k(t)f(z;t0)
dac a (t00t0)!0 c^ at timp t0saut00r am^ an xe. Dac a t=t0e xat, acest lucru d a
rezultatul dorit pentru derivata din dreapta. Dac a t0r am^ ane x, atunci acest lucru d a
rezultatul dorit pentru derivata din st^ anga.
De fapt, din Lema 3.1.9.  si cumk(t) =1
(t), rezult a
k(t0)!k(t00); t0!t000
c^ at timpt00este xat  si din Lema 3.1.10.
h(z;t0;t00)z!0; t0!t00
uniform a ^ njzj<1.^Inlocuindzcuf(z;t0), obt inem
f(z;t00)f(z;t0)!0m t0!t00
uniform a ^ njzj<1  si deci rezult a (3.12.) . Dac at=t00este xat
f(z;t)f(z;t0)
tt0!f(z;t)1 +k(t)f(z;t)
1k(t)f(z;t);
cut0!t, ceea ce ^ ncheie demonstrat ia teoremei 3.1.2. .
3.1.8 Al treilea coecient
Vom da un num ar de aplicat ii la teorema 3.1.1. .
Fieclasa obi snuit a a funct iei
f(z) =z+a2z3+:::
care este univalent a ^ n jzj<1.^In aceast a parte vom demonstra:
Teorema 3.1.3. [3]Dac af(z)2, atuncija3j63.
Demonstrat ie:
Ne folosim de Teorema 3.1.1. , mai concret de funct ia et0f(z;t0), deoarece formeaz a o
subclas a dens a a lui .^Inlocuim=et0 si avem
f(z;t0) =
z+1X
n=2anzn!
52

 si ^ ncerc am s a dezvolt am formula lui Loewner pentru an. Este convenabil s a lucr am cu
funct iagt() denit a prin
gt[f(z;t)] =f(z;t0);06t6t0:
Scriem=f(z;t)  si deriv am relat ia de mai sus ^ n raport cu t. Rezult a
@g
@
@t+@g
@t= 0:
^Inlocuind ^ n (3.1.) obt inem
(3.13)@g
@t=@g
@1 +k
1k
Avemf(z;t) =et(z+:::) cuz= 0  si deci
gt() =et"
+1X
n=2cn(t)n#
;
cu= 0. ^Inlocuim ^ n (3.13.)  si obt inem pentru n>2
c0
n(t) +cn(t) =ncn+ 2n1X
r=1(nr)cnr(t)[k(t)]r;
c0
n(t) = (n1)cn(t) + 2n1X
r=1rcr(t)[k(t)]nr;06t6t0:
C^ andt= 0,f(z;0)z,g0(z)f(z;t0),cn(0) =an sit=t0,gt(z)z si deci
cn(t0) = 0, cun>2.^In nal,c1(t)1. Astfel avem condit iile
c1(t)1
cn(0) =an
cn(t0) = 0; n>2:
Din acest sistem vom determina coecient ii  si vom obt ine
cn(t) =2en1tt0Z
t(n1X
r=1rcr()[k()]nr)
e(n1)rdr;06t6t0:
De unde avem
c2(t) =2ett0Z
th()erdr:
53

De asemenea, avem
c3(t) =2e2t8
<
:t0Z
tk()2e2rdr+ 2t0Z
tk()c2()e2rdr9
=
;=
=2e2t8
<
:t0Z
t[k()]2e2rdr20
@t0Z
tk()erdr1
A29
=
;;
cum
d
dt0
@t0Z
tk()erdr1
A2
=2k(t)ett0Z
tk()erdr=k(t)c2(t)e2t:
Rezult a imediat c a ja2j=jc2(0)j62. Scriemk(t) =ei(t) si consider am
<a3=2t0Z
0[2 cos2(t)1]e2tdt+ 40
@t0Z
0cos(t)etdt1
A2
40
@t0Z
0sin(t)etdt1
A2
:
Pentru a obt ine o limit a mai mare pentru <a3facem abstract ie de cel de-al treilea
termen din dreapta. Primul termen este
4t0Z
0e2tcos2(t)dt+ 1e2t0
 si cu ajutorul inegalit at ii lui Schwarz, al doilea termen este cel mult
4t0Z
0etdtt0Z
0etcos2(t)dt< 4t0Z
0etcos2(t)dt
astfel obt inem
ja3j=<a361 + 4t0Z
0cos2(t)(ete2t)dt6
61 + 41Z
0(ete2t)dt= 3;
de unde rezult a demonstrat ia teoremei 3.1.3. .
54

3.1.9 Coecient ii funct iei inverse
Din nou presupunem c a w=f(z)2 si e funct ia invers a
z= (w) =f1(w)
dat a de
(w) =w+1X
m=2bmwm
^ n vecin atateajwj= 0. Avem urm atorul rezultat:
Teorema 3.1.4. [3]Dac aw=f(z)2 si
z=f1(w) =w+1X
m=2bmwm;
atunci
jbmj61
3
5:::(2m1)2m
m+ 1; m>2:
Demonstrat ie:
Egalitatea este valabil a c^ and
f(z) =z
(1 +z)2; f1=[12w(14w)1
2]
2w:
Fief(z;t) funct ia din Teorema 3.1.1.  si ez= t(w) funct ia invers a astfel ^ nc^ at
(3.14)  t[f(z;t)] =z
Scriem
(3.15)  t(w) =et"
w+1X
m=2bm(t)wm#
;06t6t0
 si=et0, astfel
(w) = t0(w) =1X
m=2bmwm
este inversa lui 1f(z;t)2 si deci trebuie s a demonstr am doar inegalitatea pentru
coecientul bma funct iei ( w), undebm=m1bm(t0).
Aceste ecuat ii conduc la (3.13.)
@t(w)
@t=@t(w)
@ww1 +k(t)w
1k(t)w:
55

^Inlocuind ^ n (3.15.) obt inem la fel ca ^ n sect iunea anterioar a
b0
m(t) +bm(t) =mbm(t) + 2m1X
r=1rbr(t)[k(t)]mr;06t6t0; m>2:
Se obt ine urm atoarea relat ie inductiv a
bm(t) = 2e(m1)ttZ
0(m1X
r=1rbr()[k()]mr)
e(m1)rdr; m> 1:
Este clar c ajbm(t0)jatinge valoarea maxim a posibil a pentru orice t0>0 xat  si
m > 1, dac ak(t)1.^In acest caz, toate valorile bm(t) sunt reale  si pozitive. Este
evident c a valoarea corespunz atoare lui bm=e(m1)t0bm(t0) cre ste cu t0cresc ator  si
astfel obt inem limita superioar a pentru variabila t0c^ at timpt0!1 . Lu amk(t)1 ^ n
ecuat ia diferent ial a (3.1.)  si obt inem prin integrare
f(z;t0)
1 + [f(z;t0)]2=z
(1 +z)2
w
(1 +w)2=t0(w)
[1 + t0(w)]2:
Scriem (w) = t0(w)  si deducem
(w)
[1 + (w)]2=w
(1 +w)2
astfel,!0, (t0!1 )  si (w)! (w), unde
(w)
[1 + (w)]2= 2;
(w) =12wp14w
2w=1X
m=1bmwm
 si
bm=1
3:::(2m1)2m
m+ 1:
Inversa funct iei w= 1(z) =z(1 +z)22 si deci (w) are cel mai mare coecient,
iarteorema 3.1.4. este demonstrat a.
3.1.10 Argumentul luif(z)
z
C^ at timp metodele elementare din capitolul I sunt adecvate ^ n a obt ine limitele pentru
jf(z)j,jf0(z)jetc. atunci c^ and f(z)2, limita pentru argf(z)
zapart ine. Aici funct ia
z(1z)2nu mai este extrem a.
56

Teorema 3.1.5. [3]Presupunem c a f(z)2, atunci avem
(3.16) log1 +jzj
1jzj6argf(z)
z6log 1 +jzj1jzj
Am^ andou a inegalit at iile sunt valabile pentru orice punct x z^ njzj<1.
Demonstrat ie:
Este sucient s a ^ nlocuim funct ia et0f(z;t0) din Teorema 3.1.1. cuf(z;t0) cu arget0=
0.
Scriemf=f(z;t)  sik=k(t). Avem urm atoarea inegalitate
@
@tlogf=1 +kf
1kf=(1 +kf)(1kf)
j1kfj2:
Lu^ and partea real a  si partea imaginar a, deducem
(3.17)@
@tlogjfj=1jfj2
j1kfj2
(3.18)@
@targf=2=(kf)
j1kfj2
Ecuat ia (3.17.) arat a c ajfjdescre ste strict cu tcresc ator. De asemenea, din (3.17.)
 si(3.18) rezult a relat ia
(3.19) dtargf62jfj
1jfj2dtlog1
jfj
Integr am de la t= 0 lat0 si not amf(z;0) =z. Astfel
argf(z;t0)
z6log(1 +jzj)(1f(z;t0))
(1jzj)(1 +f(z;t0))6log1 +jzj
1jzj:
Aceasta d a limita superioara din (3.16.) . Limita inferioar a se calculeaz a la fel. Nu are
nici o important  a faptul c a metoda de la capitolul I conduce numai la
argf(z)
z62 log1 +jzj
1jzj:
Vom ar ata ^ n continuare c a inegalitatea din dreapta de la (3.16.) este valabil a pentru
o valoare x a z0dinz^ njzj<1. Pentru a putea face acest lucru, trebuie s a g asim un
k(t) cu 0 6t6t0astfel ^ nc^ at solut ia f=f(z0;t) a ecuat iei diferent iale
df
dt=f1 +kf
1kf06t6t0
57

cu condit ia init ial a f(z0;) =z0satisface
=(kf) =jfj:
Pentru acest caz vom avea egalitate ^ n (3.19.) . De asemenea, ^ n acest caz, (3.17.) d a
urm atorul rezultat
@
@tlogjfj=1jfj2
1 +jfj2:
S i decif=f(z0;t) satisface egalitatea
jfj
1jfj2=etjz0j
1jz0j2:
Denimjfj=jf(z0;t)j^ n aceast a ecuat ie, atunci arg f(z0;t) din
dtargf=2dtjfj
1jfj2
este
argf(z0;t)
z0= log1 +jz0j
1jz0jlog1 +jfj
1jfj:
S i ^ n nal
k(t) =ijf(z0;t)j
f(z0;t):
Cu aceste denit ii ale lui k(t)  sif(z0;t),(3.17.)  si(3.18) sunt satisf acute  si argf(z0;t)
z0
poate  ales c^ at de aproape vrem de log1 +jz0j
1jz0j. At^ ata timp c^ at f(z0;t)!0,t!1 ,
solut iaet0f(z0;t0) a ecuat iei (3.1.) corespunz atoare valorii k(t) apart ine lui .^Inlocuind
f(z0;t) cuf(z0;t) putem ar ata c a limita inferioar a este valabil a, de unde rezult a c a Teo-
rema 3.1.5. este demonstrat a.
3.1.11 Raze ale convexit at ii  si domenii stelate
Funct iaf(z) transform ajzj=r^ ntr-o curb a convex a
(r) dac a tangenta la
(r) ^ n
punctulf(r;e) se rote ste continuu ^ n sens invers acelor de ceasornic, c^ at timp cre ste.
Condit ia pentru acest lucru este c a arg[ ireif0(rei)] cre ste cu cresc ator  si deci
@
@argf0(rei) + 1>0;0662
=@
@logf0(rei)
=<
reif00(rei)
f0(rei)
>1;0662:
58

Din aceast a relat ie rezult a
<
zf00(z)
f0(z)
>1;jzj=r:
Pentruf(z)2avem
<
zf00(z)
f0(z)
>r(2r4)
1r2;jzj=r
 si astfel condit ia este satisf acut a dac a 2 r24r>r21, adic a
r24r+ 1>0;06r62p
3:
Astfel,f(z)2Stransform ajzj=r^ ntr-o curb a convex a pentru 0 6r62p
3. Pe
de alt a parte, dac a f(z) =z(1z)2atunci
zf00(z)
f0(z)=2z2+ 4z
1z2
 si aceasta este real a  si mai mic a dec^ at 1 pentru1<r<p
32. Deci aceast a funct ie
nu transform ajzj=r^ ntr-o curb a convex a pentru r >2p
3. Cantitatea rC= 2p
3
se nume ste raz a a convexit at ii . Putem demonstra ^ n mod similar pentru raza celui mai
mare cercjzj=rastfel ^ nc^ at imaginea lui
(r) dinf(z) tinde mereu c atre un domeniu
stelat cuw= 0. Condit ia pentru aceasta este
<
zf0(z)
f(z)
>0;adic aargzf0(z)
f(z)6
2;jzj=r:
Dac a scriem
(z) =f(z0+z
1+z0z)f(z0)
(1jz0j2)f0(z0)
atunci(z)2dac a  si numai dac a f(z)2. Aplic^ and inegalitatea (3.16.) pentru(z)
cuz=z0obt inem argz0f(z0)
f0(z0)6log1 +jz0j
1jz0j:
Astfel, raza domeniului stelat rSind raza celui mai mare cerc al c arui interior este
^ ntotdeauna transformat ^ ntr-un domeniu ^ n form a de stea cu w= 0 este dat de

2= log1 +rS
1rS; rS= tanh
4= 0
65:::
3.1.12 Argumentul lui f0(z)
Ca o ultim a aplicat ie vom demonstra urm atorul rezultat al lui Golusin.
59

Teorema 3.1.6. [3]Presupunem c a f(z)2. Atunci avem urm atoarele inegalit at i
adev arate
jargf0(z)j64 sin1jzj;jzj61p
2
jargf0(z)j6+ logjzj2
1jzj2;1p
2<jzj<1:
Ne vom limita la funct ia f(z;t) din Teorema 3.1.1. . Vom ^ ncepe cu ecuat ia (3.1.) .
@
@tf(z;t) =f1 +kf
1kf=f+2
k2
k(1kf)
 si deriv am ^ n raport cu z. De aici rezult a
@
@tf0(z;t) =f0(z;t)
12
(1kf)2
;
adic a
@
@tlogf0(z;t) = 12
(1kf)2:
Lu^ and partea imaginar a, avem
@
@targf0(z;t) =2=(1kf)2
j1kfj4:
Elimin amt si avem
dtargf0=2=(1kf)2
j1kfj2
dtjfj
jfj(1jfj2);
cutcresc ator. Cumjk(t)j= 1, avem
j=(1kf)2j
j1kfj2=jsin[2 arg(1kf)]j6
(3.20) 68
<
:2jfjp
1jfj2;jfj61p
2
1;jfj>1p
2:
T  in^ and cont c a dtjfj<0, deducem c a
dtargf068
<
:4dtjfjp
1jfj2;jfj61p
2
2dtjfj
jfj(1jfj2);jfj>1p
2:
60

Integr^ and de la t= 0 lat0obt inem pentrujzj61p
2
jargf0j6jzjZ
jfj4p
(1x2)dx64 sin1jzj
 si pentrujzj>1p
2avem
argf061p
2Z
jfj4p
1x2dx+jzjZ
1p
22
x(1x2)dx6+ logjzj2
1jzj2
:
Aceasta dovede ste inegalitatea teoremei 3.1.6. . Pentru a ar ata c a inegalitatea este
exact a, trebuie s a g asim k(t) astfel ^ nc^ at f(z0;t) s a e solut ia pentru (3.1.) cu valoarea
init ial af(z0;0) =z0, atunci egalitatea are loc ^ n (3.20.) . Ecuat ia rezultat a ne permite
s a calcul am kf(z0;t) ^ n intervaluljf(z0;t)j. Ecuat ia rezultat a face posibil a calcularea lui
kf(z0;t) ^ n termenii luijf(z0;t)j, de undejf(z0;t)jface posibil a calcularea ^ n termenii
luitcu ajutorul lui (3.17)  si apoi arg f(z0;t) ^ n termenii lui t, cu ajutorul lui (3.18.) .
C^ and aceasta este calculat a pentru 0 6t6t0, atunci (3.17) ,(3.18)  si(3.20) vor avea loc
simultan  si vom avea
argf0(z0;t0) =jz0jZ
jf(z0;t0)j4p
1x2dx;jz0j<1p
2;
argf0(z0;t0) =1p
2Z
jf(z0;t0)j4p
1x2+ logjz0j2
1jz0j2;jz0j>1p
2;
dac ajf(z0;t0)j<1p
2. Astfel, limita superioar a a teoremei 3.1.6. poate  aproximat a
dup a cum dorim s a e de apropiat a.
3.1.13 Concluzii
Teoremele prezentate^ n acest capitol reprezint a unele dintre principalele succese obt inute
de Loewner  si de c atre succesorii s ai prin intermediul teoremei 3.1.1. . Pentru mult i ani,
aceast a metod a a fost singura capabil a s a produc a rezultate deosebite. Recent au ap arut
dou a alte metode. Acestea sunt metoda variat ional a a lui Schier  siteoria modulelor
a lui Jenkins . Ambele metode sunt folosite ^ n a demonstra ja3j63.^In plus, ambele
metode au condus la descoperirea unei variet at i de rezultate. Astfel, combin^ and tehnica
variat ional a cuteorema 3.1.1. , Garambedian  si Schier au putut demonstra  si ja4j64.
61

Bibliograe
[1] P. Hamburg, P. Mocanu, N. Negoescu, Analiz a matematic a (Funct ii complexe) , Edi-
tura didactic a  si pedagogic a, Bucure sti, 1982.
[2] W. Hayman, Multivalent Functions , Cambridge University Press, 1958.
[3] K. Loewner, Untersuchungen  uber schlichte Konforme Abbildungen des Einheitskre-
ises I , Math. Ann 89(1923), 103- 121.
[4] O. Mayer, Teoria funct iilor de o variabil a complex a , Editura Academiei, 1984 (vol.1).
62