Aritmetica lui Peano [604564]

Aritmetica lui Peano
"Die ganzen Zahlen hat
der liebe Got gemacht,
alles andere ist Menschenwerk."
Kronecker
0.Abordarea axiomatica a matematicii.
In matematica, in momentul in care demonstram diverse teoreme, propozitii
si/sau leme, pe parcursul demonstratiilor utilizam o serie de rezultate despre
care suntem siguri ca sunt adevarate. Din aceasta cauza multe rezultate im-
portante care sunt des utilizate in alte demonstratii poarta numele autorilor
lor pentru a putea … invocate mai usor. Dar orice a…rmatie matematica invo-
cata utilizata de noi in cursul unei demonstratii are la baza tot o demonstratie.
Aceste demonstratii se bazeaza, la randul lor, pe alte asertiuni considerate ca
…ind adevarate. Coborand astfel pe …rul rationamentelor matematice ne dam
seama ca procesul nu poate continua la in…nit si ca trebuie sa ajungem la an-
umite asertiuni de baza al caror adevar sa nu se mai bazeze pe ceva, adica
sa nu mai poata … demonstrat, ci sa …e admis ca …ind "evident" prin sine in-
susi. Asemenea asertiuni matematice, cunoscute drept axiome sau postulate,
constituie punctul de pornire al oricarei teorii matematice.
In aceasta lucrare vom de…ni axiomatic multimea Na numerelor naturale.
Alegerea axiomelor si modul lor de utilizare in cursul demonstratiilor vor juca un
rol esential in de…nirea lui Nasa incat sa rezulte ca aceasta multime este tocmai
cunoscuta multime f1;2;3; :::ga numerelor naturale asa cum am invatat-o la
matematica din clasele primare. Dupa ce acest obiectiv va … fost indeplinit vom
inzestra Ncu operatiile aritmetice de baza, adunarea si inmultirea.
1.Ideea unei abordari axiomatice a matematicii a aparut in Grecia antica,
acum vreo 2 300 de ani. Primul edi…ciu matematic construit pe triada: axiome,
demonstratie, teorema este reprezentat de celebrele Elemente ale lui Euclid. In
aceasta carte se prezentau sub o forma axiomatizat – deductiva cunostintele de
aritmetica si geometrie ale acelor vremuri. Desavarsirea constructiei s-a realizat
dupa mai bine de doua milenii si este opera marelui matematician german David
Hilbert care, in 1899, publica Grundlagen der Geometrie .
In veacul al XIX-lea o serie de matematicieni si-au dat seama ca trebuie
realizate constructii riguroase si in alte domenii ale matematicii. Daca luam
ca punct de pornire numerele reale si proprietatile lor se poate dezvolta de-
ductiv analiza matematica: teoria sirurilor si seriilor de numere reale, continui-
tatea,derivabilitatea si integrabilitatea functiilor de una sau mai multe variabile
reale, teoria ecuatiilor diferentiale ordinare si a celor cu derivate partiale etc.
Matematicieni importanti din secolul al XIX-lea cum ar …Weierstrass, Dede-
kind si Cantor au realizat un studiu aprofundat al multimii numerelor reale si au
1

propus mai multe moduri de constructie a lor care, in ultima instanta, reduceau
totul la conceptul de numar natural.
Intrucat in aceeasi perioada incepuse dezvoltarea teoriei multimilor si a
logicii matematice, utilizand si elemente din aceste doua discipline, s-a constatat
ca intregul edi…ciu al matematicii poate … construit in mod riguros pornind de
la o teorie coerenta a numerelor naturale.
Au fost facute mai multe incercari de formalizare a aritmeticii numerelor nat-
urale. In lucrarea Lehrbuch der Arithmetik, aparuta in 1861, matematicianul
german Hermann Grassmann, arata ca multe fapte din aritmetica pot … obt-
inute pe baza conceptelor de succesor si inductie. In anul 1881 matematicianul
american Charles Sanders Peirce realizeaza, la randul sau, o tratare axiomatica
a aritmeticii numerelor naturale.
Dar, o in‡ uenta decisiva o va avea foarte importanta monogra…e intitulata
Was sind und was sollen die Zahlen? a matematicianului german Richard
Dedekind, publicata in 1888, in care, pe langa o teorie a numerelor reale, este
prezentata si o fundamentare axiomatica foarte riguroasa pentru numerele nat-
urale avand drept notiuni primitive numarul unu sifunctia succesor . In anul
urmator, matematicianul italian Giuseppe Peano formuleaza, in lucrarea Arith-
metices principia, nova methodo exposita, un sistem de axiome pentru construc-
tia numerelor naturale, echivalent cu acela al lui Dedekind, dar mai simplu. La
ora actuala acest set of axiome este, in esenta, cel standard admis in constructia
numerelor naturale.
Constructiile axiomatice, pe langa eleganta lor, ridica insa probleme matem-
atice extrem de di…cile legate, in principal, de consistenta, independenta si com-
pletitudine a sistemului de axiome, asa cum au dovedit-o lucrarile lui Godel,
Cohen etc.
Sistemul axiomatic al lui Peano, cunoscut si sub denumirea de sistemul de
axiome Dedekind – Peano, a fost utilizat aproape nemodi…cat in numeroase si
extrem de importante cerceteri metamatematice asupra teoriei numerelor nat-
urale.
Axiomele lui Peano contin trei tipuri fundamentale de enunturi:
i) In abordarea axiomatica a oricarui domeniu al matematicii trebuie sa
…m foarte atenti la absolut toate notiunile si la toti termenii folositi pentru a nu
ajunge sa utilizam concepte nede…nite si/sau doar vag precizate care se bazeaza,
cel mai adesea, pe asa-zisul bun simt. Intr-o asemenea situatie se a‡ a binecunos-
cuta si larg acceptata notiune de egalitate . De aceea primele patru axiome sunt
asertiuni legate de conceptul de egalitate. In lucrarea mentionata a lui Peano,
dar si in unele abordari moderne ale aritmeticii numerelor reale, aceste axiome
nu sunt incluse printre axiomele lui Peano, considerandu-se mai degraba ca
apartinand corpului de axiome ale logicii subiacente.
ii)A cincea axioma a…rma ca exista cel putin un numar natural.
iii) In continuare, in urmatoarele trei axiome care sunt asertiuni de ordinul
– intai despre numerele naturale se expliciteaza proprietatile fundamentale ale
operatiei unare (functiei) succesor.
iv) In …ne, in cea de-a noua axioma , cea …nala, care este un enunt logic de
ordinul al doilea, se prezinta principiul inductiei matematice pentru numerele
2

naturale.
In epoca in care Peano si-a formulat sistemul de axiome limbajul logicii
matematice era deabia la inceputurile sale si de aceea era si destul de sarac.
Pentru a-si putea prezenta sistemul de axiome, Peano a creat un intreg sistem
de notatii logice care, desi nu s-a dovedit popular de la inceput, a constituit
germenii notatiilor moderne pentru teoria multimilor. In locul semnului actual
de apartenenta 2Peano a folosit simbolul ";iar semnul de implicare provine
dintr-un "C"inversat folosit de Peano in lucrarile sale de inceput. Trebuie
subliniat faptul ca Peano a mentinut o distinctie clara intre simbolurile matem-
atice si cele logice situandu-se pe linia trasata, inca din 1879, de catre G.Frege.
Desi nu a cunoscut lucrarea lui Frege, Peano a recreat aparatul logic necesar
bazandu-se pe lucrari ale lui George Boole si E. Schröder.
Notatia consacrata la ora actuala pentru multimea numerelor naturale este
N. In enuntarea sistemului de axiome ale lui Peano se utilizeaza urmatoarele
doua simboluri non-logice:
a) simbolul constant 1
b) o functie unara reprezentata prin simbolul S;cunoscuta sub numele de
operatia sau functia succesor.
Primele patru axiome descriu relatia de egalitate pentru numerele naturale.
In abordarile moderne ale teoriei numerelor naturale aceste axiome nu sunt
considerate a face parte din corpul axiomelor lui Peano intrucat in logica de
ordinul intai ele sunt logic echivalente cu ceea ce in aceasta logica se numeste
relatie de egalitate.
Axioma 1. Pentru orice numar natural xavem x=x:
Aceasta inseamna ca egalitatea este re‡ exiva .
Axioma 2. Pentru orice numere naturale x; ydaca x=yatunci y=x:
Acest fapt se traduce prin simetria relatiei de egalitate .
Axioma 3. Pentru orice numere naturale x; y; z; daca x=ysiy=xatunci
x=z:
Aceasta proprietate inseamna ca relatia de egalitate este tranzitiva .
Remarca.
Cele trei proprietati mai sus evidentiate de re‡ exivitate, simetrie si tranzi-
tivitate apar foarte des in aproape orice domeniu al matematicii. Egalitatea este
un exemplu elocvent de ceea ce in matematica se numeste o relatie. O relatie
care se bucura de cele trei proprietati mentionate mai inainte se numeste relatie
de echivalenta .
Mai ramane de formulat o ultima axioma relativa la egalitate. In …ecare
dintre axiomele precedente cand utilizam un simbol, cum ar … x; ysauz;facem
totdeauna, in mod tacit, ipoteza implicita ca aceste simboluri reprezinta numere
naturale. Dar daca nu facem asemenea ipoteze putem intampina di…cultati
serioase. Pentru ca sa reusim depasirea lor mai adaugam inca o (a patra) axioma,
numita axioma de inchidere a egalitatii , care a…rma ca daca avem dat un numar
natural care este egal cu o anumita entitate, atunci acea entitate trebuie sa …e
tot un numar natural.
Axioma 4.
3

Pentru orice asib, daca beste un numar natural si a=b, atunci si aeste
tot un numar natural.
Acest fapt se "traduce" spunand ca multimea numerelor naturale este inchis ¼a
in raport cu egalitatea .
Remarca.
Includerea axiomelor de egalitate in setul de axiome ale lui Peano subliniaza
faptul ca la crearea unui sistem axiomatic valid si riguros trebuie sa ne punem
intrebari si sa dam raspunsuri logice si la cele mai "de baza" ipoteze si presupunei
matematice.
Nota¸ tie.
Pentru doua numere naturale nsimvom scrie
n6=m
daca si numai daca asertiunea n=meste falsa.
A cincea axioma din setul de axiome creat de Peano a…rma ca printre nu-
merele naturale se a‡ a constanta 1.
Axioma 5 :1este un numar natural.
Aceste fapt este reprezentat simbolic si prin notatiile: 12NsauN31:
Exista versiuni alternative ale axiomaticii lui Peano in care in aceasta axioma
elementul 1este inlocuit cu elementul 0:Aceasta modi…care nu are in‡ uente
majore si conduce la un sistem al numerelor naturale aproape identic cu cel
cunoscut, si anume cu multimea numerelor intregi mai mari sau egale cu zero,
asa cum le cunoastem din scoala generala. Includerea de catre matematicieni a
numarului 0printre numerele naturale depinde de contextul teoriei in care este
sau nu utilizat. La ora actuala majoritatea matematicienilor convin ca 0este
un numar natural.
Daca am crea un sistem axiomatic numai cu primele cinci axiome, alegand
N=f1gobtinem un model al multimii numerelor naturale care veri…ca toate
axiomele alese pentru sistemul nostru axiomatic. Prin urmare, pentru a reusi
sa obtinem ca multime a numerelor naturale binecunoscuta multime f1;2;3; :::g
este necesar sa suplimentam numarul de axiome din sistem.
Rostul celorlalte axiome este tocmai acesta, sa ne ajute sa de…nim propri-
et¼a¸ tile artmetice ale numerelor naturale.
Mai intai se admite ca multimea numerelor naturale este inchis ¼ain raport
cu o functie Snumita functia succesor. Asa cum ne sugereaza chiar numele
sau, functia succesor este o functie avand ca domeniu de de…nitie multimea N
a numerelor naturale. Axioma care urmeaza precizeaza faptul ca si codomeniul
functiei succesor Seste tot N.
Cu alte cuvinte, urmatoarea axioma ne spune ca:
Axioma 6. Pentru orice numar natural n, valoarea S(n)a functiei succesor
este tot un numar natural.
Mai concis, S:N !N:
Daca xeste un numar natural ne vom referi la S(x)ca …ind succesorul lui
x:Uneori acesta se noteaza cu x0:Pentru a putea lucra foarte usor cu aceasta
functie vom gandi, intuitiv, ca S(x)este x+ 1:Evident ca nu putem admite
4

ca aceasta abordare poate constitui o de…nitie formala pentru S(x)deoare nu
am de…nit si, prin urmare, nici nu stim, deocamdata, ce inseamna simbolul
+:Chiar si cu aceasta axioma suplimentara inca suntem departe de a putea
construi multimea numerelor naturale asa cum o cunoastem in mod intuitiv.
Inca o data, daca alegem N=f1gsi de…nim S(1) = 1 se veri…ca usor ca toate
axiomele sunt indeplinite. Pentru a evita aceasta situatie neplacuta va trebui
sa "insistam", de exemplu, ca elementul 1sa nu …e succesorul nici unui numar
natural, aici incluzandu-se si pe sine insusi.
Rostul urmatoarei axiome este exact acesta.
Axioma 7. Pentru orice numar natural na…rmatia S(n) = 1 este fals¼a.
Cu alte cuvinte, niciun numar natural nu poate … succesorul lui 1.
De fapt, aceasta axioma …xeaza pentru numarul natural 1si rolul de "prim"
element in multimea numerelor naturale.
Si in prezentarea originala a lui Peano pentru setul sau de axiome in locul
lui0era folosit ca "prim" numar natural 1:
Aceasta alegere este insa arbitrara deoarece axioma 5 nu inzestreaza con-
stanta 1cu vreo proprietate suplimentara speciala. Formularile moderne ale
teoriei numerelor naturale acorda lui 0un rol "privilegiat" deoarece aceasta
constanta este in aritmetica numerelor naturale unitatea in raport cu adunarea.
In acest moment am realizat un anumit progres. In primul rand stim ca S(1)
nu este egal cu 1:Prin urmare S(1)trebuie sa …e egal cu un alt numar natural.
Il vom desemna, in mod conventional, prin 2:
Prin urmare, cu setul de axiome avut la dispozitie pana in acest moment,
putem garanta ca Ncontine cel putin doua numere naturale, pe 1si2. Din
pacate, actualul set de axiome nu ne poate furniza mai mult, adica nu putem
stabili ca mai exista si alte numere naturale. De exemplu, daca alegem N=
f1;2gsi de…nim S(1) = 2 ;dar si S(2) = 2 toate proprietatile cerute de axiomele
1 – 7 sunt sunt indeplinite. Evident faptul ca S(1) = 2 siS(2) = 2 este suparator,
deoarece doua numere naturale diferite au acelasi succesor, ceea ce este departe
de intuitia noastra. Pentru a elimina aceasta neplacere este su…cient sa mai
introducem o axioma care sa impuna cerinta ca functia succesor sa …e injectiva.
Axioma 8. Pentru orice numere naturale msinavem m=ndaca si numai
daca S(m) =S(n).
Altfel spus, asertiunea din aceasta axioma poate … reformulata si astfel: la
numere naturale diferite corespund succesori diferiti.
In limbaj modern aceasta inseamna ca functia Seste injectiv ¼a.
Aceasta axioma are o seama de consecinte importante. Mai intai, ea exclude
posibilitatea de a putea de…ni Nca …ind doar f1;2g. Pentru a vedea acest lucru
sa retinem ca stim deja ca S(1) = 2 :Avand in vedere injectivitatea functiei
Srezulta ca in mod necesar egalitatea S(2) = 2 este falsa. De asemenea si
egalitatea S(2) = 1 este falsa (consecinta directa a axiomei 7). In concluzie,
S(2)trebuie sa …e un numar natural diferit de 1si de 2:Il vom desemna prin
3:O argumentare similara cu aceea de mai inainte ne spune ca S(3)trebuie
sa …e un numar natural diferit de 1;2si de 3:Il vom nota cu 4:Continuand
aceasta schema de generare de numere naturale vom deduce ca Ntrebuie sa
5

contina toate numerele naturale invatate, pe cale intuitiva, asa cum le stim din
copilarie.
Recapituland, in acest moment am stabilit, pe baza acestor prime opt axiome
ca multimea numerelor naturale trebuie sa includa pe 1, pe succesorul acestuia
2 = S(1), pe succesorul succesorului lui 1;adica pe 3 = S(2) = S(S(1)) si
procesul continua inde…nit. Asadar, in mod formal multimea numerelor naturale
Ntrebuie sa contina elementele 1;S(1);S(S(1)); S(S(S(1))); …. Pentru a evita
asemenea scrieri ambarasante cu mult paranteze este mai comod sa utilizam
numeralele 2;3;4pentru a desemna S(1),S(S(1))andS(S(S(1))), respectiv.
Din pacate, succesul este doar partial. Aceste prime opt axiome au fortat ca
de…nitia formala a lui Nsa includa toate numerele naturale "uzuale" asa cum
sunt cunoscute pe cale intuitiva. Sumarizand, la ora actuala stim ca:
f1;2; :::g N:
Din nefericire sistemul axiomatic generat de primele opt axiome nu interz-
ice ca multimea noastra de numere naturale Nsa contina si alte elemente in
afara celor din f1;2; :::g:Pentru a ne convinge de acest lucru, sa consideram
urmatoarea versiune "extinsa" a multimii numerelor naturale:
N=f1;2; :::g [ f a; bg:
unde asibsunt doua simboluri oarecare, distincte, si care nu fac parte din
f1;2; :::g. Ramane sa de…nim functia succesor. Pe partea "clasica" f1;2; :::g
din reuniune o vom de…ni in modul descris prin axiomele anterioare: S(1) = 2 ;
S(2) = 3 ,S(3) = 4 si asa mai departe. Pentru a face extensia la partea fa; bg
din reuniune vom de…ni S(a) =bsiS(b) =a. Aceasta versiune "extinsa " a
luiN;cu functia succesor precizata imediat mai inainte, veri…ca toate cele opt
axiome. Evident insa ca nu satisface cerintele noastre in privinta a ceea ce am
dori noi sa obtinem ca multime a numerelor naturale.
Axiomele 5, 6, 7 si8permit o reprezentare unara a conceptului intuitiv
de numar natural: numarul natural 2poate … de…nit ca S(1);numarul natural
3ca …ind S(S(1))etc.
Totusi, doar bazandu-ne pe aceste axiome nu putem asigura ca orice numar
natural diferit de 1este succesorul unui alt numar natural, adica functia succe-
sor nu ne poate ajuta singura sa generam toate numerele naturale asa cum le
cunoastem intuitiv.
Pentru a ajunge la un concept de numar natural care sa coincida cu acela
obtinut pe cale intuitiva si care sa ne permita ca aplicand functia succesor de
su…cient de multe ori lui 1sa obtinem orice numar natural nenul este necesara
inca o axioma. Aceasta este cunoscuta, cel mai adesea, sub denumirea de axioma
induc¸ tiei .
Exista mai multe forme, echivalente, de enuntare ale acestei axiome.
Axioma 9 .
FieVo multime cu proprietatile:
a)1apartine lui V;
6

b) Pentru orice numar natural ncu proprietatea ca nse a‡ a in Vsa rezulte
ca si succesorul sau S(n)este, la randul sau, un element al lui V:
Atunci Vcon¸ tine toate numerele naturale.
O multime Vcare are cele doua proprietati mentionate mai inainte se numeste
multime inductiva.
Remarca.
Daca Veste o multime inductiva si stim ca ea este formata numai din nu-
mere naturale atunci axioma 9 ne spune ca Veste tocmai multimea numerelor
naturale, i.e. V=N:
Uneori axioma de inductie se utilizeaza in urmatoarea formulare:
Sa presupunem ca 'este un predicat unar astfel incat:
a)'(1)este adevarat;
b) Daca pentru orice numar natural npentru care '(n)este adevarat sa
rezulte ca si '(S(n))este adevarat.
Atunci '(n)este adevarat pentru orice numar natural n:
Asa cum am mai mentionat, primele opt axiome ne asigura ca f1;2; :::g 
N. Sa observam ca este simplu de veri…cat faptul ca multimea f1;2; :::geste
inductiva ! Atunci, bazandu-ne pe Axioma 9 va trebui rezulta, cu necesitate, si
incluziunea
N f1;2; :::g:
Astfel, dupa o calatorie destul de lunga pe taramul axiomaticii, obtinem
egalitatea dorita:
N=f1;2; :::g:
Remarca.
In multe situatii practice axioma de inductie are si urmatoarea formulare:
FiePeste o proprietate a numerelor naturale. Presupunem ca aceasta in-
deplineste urmatoarele doua conditii:
a)1are proprietatea P,
b) ori de cate ori un numar natural nare proprietatea Paceeasi calitate o
are si succesorul sau S(n):
Atunci toate numerele naturale au proprietatea P.

In continuare vom admite ca …ind cunoscute doar notiunile primare si ax-
iomele din setul de axiome Dedekind– Peano si ca nimic altceva privind orice
tip de numere si/sau proprietati ale lor ne-ar … cunoscut. Notiuni familiare,
cunoscute inca din scoala primara, cum ar … adunarea, scaderea si inmultirea
de numere naturale urmeaza a … de…nite in mod riguros, strict in cadrul sis-
temului axiomatic ales, iar modul de operare si diferite proprietati ale lor vor …
derivate din axiome.
Consecin¸ te ale axiomaticii Dedekind– Peano.
In cadrul axiomaticii Dedekind– Peano vom utiliza urmatoarele trei notiuni
primare: “num ¼ar natural” ,“1”¸ si“succesor” , unde succesorul unui numar
natural nva … desemnat prin S(n).
7

Daca renuntam la cele patru axiome de egalitate raman cinci axiome care
relationeaza cele trei notiuni primare de mai inainte:
Axiomele Dedekind-Peano .
Numerele naturale satisfac urmatoarele axiome:
I.1este un num ¼ar natural.
II.Orice num ¼ar natural nare un unic succesor S(n)care este, la rândul
s¼au, tot un num ¼ar natural.
III. 1nu este succesorul niciunui num ¼ar natural.
IV.Nu exista numere naturale distincte care sa aiba acelasi succesor (i.e.,
pentru orice numere naturale m; n egalitatea S(m) =S(n)implica egalitatea
m=n).
V.Axioma de induc¸ tie :
FiePeste o proprietate a numerelor naturale. Presupunem ca aceasta in-
deplineste urmatoarele doua conditii:
a)1are proprietatea P,
b) ori de cate ori un numar natural nare proprietatea Paceeasi calitate o
are si succesorul sau S(n):
Atunci toate numerele naturale au proprietatea P.
In multe situatii este folositoare si urmatoarea varianta a axiomei de inductie:
FieVo multime de numere naturale cu proprietatile:
a)1apartine lui V;
b) Pentru orice numar natural ncu proprietatea ca nse a‡ a in Vsa rezulte
ca si succesorul sau S(n)este, la randul sau, un element al lui V:
Atunci Vcoincide cu multimea tuturor numerelor naturale.

In lumea matematicii faptul ca toate proprietatile cunoscute ale numerelor
naturale pot … deduse din acest set de cinci axiome a produs o impresie puter-
nica.
Reamintim ca am de…nit:
2 := S(1);3 := S(S(1)) = S(2);4 := S(S(S(1))) = S(3);
5 := S(S(S(S(1)))) = S(4);6 := S(S(S(S(S(1))))) = S(5);
7 := S(S(S(S(S(S(1)))))) = S(6);8 := S(S(S(S(S(S(S(1))))))) = S(7);
9 := S(S(S(S(S(S(S(S(1)))))))) = S(8);
10 := S(9) = S(S(S(S(S(S(S(S(S(1)))))))))
etc. adoptand scrierea zecimala uzuala ca notatie pentru prescurtarea unor
expresii formale extrem de lungi de forma " S(:::S(S(1)):::)” .
Conventie de notatie .
Numerele naturale vor …desemnate prin litere latine minuscule m; n; p; x; y; z;
… cu sau fara indici inferiori si/sau superiori
8

Vom presupune faptul toti cuanti…catorii implicati de aceste variabile vor
parcurge multimea numerelor naturale. De exemplu, o scriere de tipul “pentru
orice aexista b”reprezinta o varianta prescurtata pentru “pentru orice numar
natural aexista un numar natural b.”
Proprieta¸ ti fundamentale ale numerelor naturale
Propozi¸ tia 1 .
Niciun numar natural nu este propriul sau succesor, i.e. S(n)6=n, pentru
orice n.
Demonstra¸ tie.
Fie
V:=fn2NjS(n)6=ng:
Conform axiomei III avem 12V:In fapt, aceasta axioma ne spune mai mult,
si anume ca 16=S(n);oricare ar … numarul natural n:Fie acum un n2V:
Inseamna ca S(n)6=n:Intrucat functia succesor Seste injectiva rezulta ca
S(S(n))6=S(n):Deoarece S(n)este numar natural (axioma II), din ultima
relatie deducem ca S(n)2V:Ramane sa aplicam axioma de inductie pentru a
obtine a…rmatia de demonstrat.
Propozi¸ tia 3 . (Reciproc ¼a a Axiomei III ).
Orice numar natural diferit de 1este succesorul unui anumit numar natural,
i.e., daca n6= 1atunci n=S(m)pentru un anume m.
Demonstra¸ tie.
Sa notam cu
V:=fn2Nnf1g j9m2N; n=S(m)g
si sa de…nim
V:=f1g [V:
Sa aratam ca Veste inductiva. Este evident ca 12V:A ramas sa mai
aratam ca daca n2Vatunci si S(n)2V:In cazul n= 1 este evident ca
S(1)6= 1 este un element din V:Daca n2Vatunci, prin ipoteza, exista
unm2Nasa incat n=S(m):Rezulta ca S(n) =S(S(m));si cum S(n)6= 1;
oricare ar … n2N(axioma III), iar S(n); S(m)2N(axioma II), deducem ca
S(n)2VV:Conform axiomei de inductie V=N:

Sa retinem ca in acest moment nu putem utiliza expresii precum: 1 + 3
sau (5 + 6)
7ori asertiuni de forma 3<5:; asemenea expresii nu au inca sens
deoarece nu au fost de…nite operatiunile binare +si
;dar nici relatia <.
Adunare ;ordine ¸ si multiplicare
9

Adunarea numerelor naturale.
De…ni¸ tia 4 .
Suma m+na doua numere naturale msineste de…nita prin "induc¸ tie dup ¼a
n", pentru orice m;dupa cum urmeaza:
1+)
m+ 1 := S(m);
si
2+)
m+S(n) :=S(m+n):
Cu alte cuvinte, vom de…ni
m+ 1 = S(m)
(acesta este cazul n= 1) si odata ce am de…nit m+nse poate de…ni si
m+S(n) :=S(m+n):
In acest fel se de…ne¸ ste suma a doua numere naturale. Sa remarcam ca
aceasta de…nitie nu este perfect riguroasa deoarece nu stim foarte clar ce in-
seamna m+n.
O de…nitie mai acurata se obtine daca se utilizeaza metoda de…nirii prin
recursivitate primitiva datorata lui Dedekind. (c.f. Moshovakis[]).
Propozi¸ tia 5.
Pentru orice numar natural nare loc egalitatea
n+ 1 = 1 + n;
adica avem comutativitatea adunarii cu 1:
Demonstra¸ tie.
FieVmultimea numerelor naturale npentru care n+ 1 = 1 + n:Utilizand
proprietatea de re‡ exivitate a relatiei de egalitate este evident ca 12V:Sa
presupunem acum ca neste un numar natural din V:Vom arata ca si S(n)2V:
Asadar, trebuie sa probam ca
S(n) + 1 = 1 + S(n):
Pentru aceasta vom retine ca are loc urmatoarea secventa de egalitati:
1 +S(n)2+
=S(1 + n)n2V=S(n+ 1)1+
=S(S(n))1+
=S(n) + 1 :
Daca tinem cont de simetria relatiei de egalitate, cât ¸ si de axioma de induc¸ tie,
rezulta ca V=N:
Propozi¸ tia 6 .
Adunarea (de…nita ca mai sus) este asociativ ¼a, i.e.
m+ (n+p) = ( m+n) +p;8m; n; p 2N:
10

Demonstra¸ tie.
Se va utiliza inductia dupa p. Mai precis, …e
V=fp2Njm+ (n+p) = ( m+n) +p;8m; n2Ng:
Vom proba, pentru inceput, c ¼a12V:Pentru aceasta este su…cient sa observam
ca are loc secventa de egalitati:
m+ (n+ 1)1+
=m+S(n)2+
=S(m+n)1+
= (m+n) + 1 :
Sa presupunem acum ca p2Vsi sa aratam ca S(p)2V:Avem:
m+ (n+S(p))2+
=m+S(n+p)2+
=S(m+ (n+p))p2V=
=S((m+n) +p)2+
= (m+n) +S(p):
In secventa de egalitati de mai inainte am aplicat, de mai multe ori, axioma 2+
din de…nitia adunarii combinata cu axioma de simetrie a relatiei de egalitate.
Conform axiomei de inductie rezulta ca V=N:
Propozi¸ tia 7.
Adunarea numerelor naturale de…nita mai sus este comutativ ¼a,adica:
m+n=n+m;
oricare ar … numerele naturale msin.
Demonstra¸ tie.
Se utilizeaza iarasi inductia matematica. Fie
V=fm2Njm+n=n+m;8n2Ng:
Conform propozitiei 5 rezulta ca 12V:Ramane sa aratam ca daca m2V
atunci si S(m)2V:Acest fapt se deduce din secventa de egalitati:
n+S(m)2+
=S(n+m)m2V=S(m+n)1+
= (m+n) + 1 =
asociativitate=
adunarem+ (n+ 1)n+1=1+ n= m+ (1 + n)asociativitate=
adunare(m+ 1) + n=
=S(m) +n:
In concluzie, V=N:
Propozi¸ tia 8.
Are loc proprietatea de reducere pentru adunare. Aceasta inseamna ca dintr-
o egalitate de tipul:
m+p=n+p;
unde m; n; p sunt numere naturale, se obtine egalitatea m=n.
Demonstra¸ tie.
11

Sa observam ca pentru m; p2Navem:
m+p=SS:::S| {z }
p compuneri(m)notatie=Sp(m):
Asadar, cum are loc si egalitatea n+p=Sp(n);ipoteza din enunt se poate scrie
sub forma:
Sp(m) =Sp(n):
Conform axiomei IV functia succesor S:N !Neste injectiva. Prin urmare
¸ siSpva … tot injectiva. De aici se deduce ca m=nin mod necesar.
Rela¸ tia de ordine
De…ni¸ tia 9 .
Daca msinsunt doua numere naturale vom spune ca m < n daca si numai
daca n=m+p;pentru un anume numar natural p.
In locul notatiei m < n vom utiliza uneori si scrierea n > m .
Propozi¸ tia 10.
Relatia <este tranzitiva, adica pentru orice trei numere naturale m; n; p
pentru care m < n sin < p rezulta ca m < p:
Demonstra¸ tie.
Din ipoteze rezulta ca exista doua numere naturale u; vasa incat n=m+u
sip=n+v:Rezulta ca
p= (m+u) +v=m+ (u+v):
Cu notatia w:=u+vrezulta ca weste un numar natural care veri…ca egalitatea
p=m+w:
De aici rezulta, conform de…nitiei relatiei <;cam < p:

Urmatoarele cateva rezultate pot … demonstrate fara inductie.
Propozitia 11 .
Pentru orice numar natural nare loc inegalitatea:
n < S (n)( ) S(n)> n:
Demonstra¸ tie.
Fin2N:Conform axiomei 1+)din de…nitia adunarii de numere naturale
avem: S(n) =n+ 1:Ramane sa aplicam de…nitia relatiei de ordine cu p= 1:
Propozi¸ tia 12.
Nu exista niciun numar natural nastfel incat n < n: Acest fapt inseamna
ca nu exista doua numere naturale nsipastfel incat
n=n+p:
Demonstra¸ tie.
Fie
V:=fn2Njn6=n+p;8p2Ng:
12

Deoarece conform axiomei III avem
16= 1 + p=p+ 1 = S(p);8p2N;
rezulta ca 12V:Fie acum un n2V:Inseamna ca n6=n+p;8p2N;de unde
rezulta, tinand cont de injectivitatea functiei succesor S;ca:
S(n)6=S(n+p):
Dar,
S(n+p) = ( n+p) + 1comutativitatea=
adunarii1 + ( n+p) =
asociativitatea=
adunarii(1 + n) +pcomutativitatea=
adunarii(n+ 1) + p=S(n) +p;8p2N:
Asadar,
S(n)6=S(n) +p;8p2N:
Prin urmare, S(n)2V:
Propozitia 13.
Pentru orice numar natural navem: 1< nsau 1 =n. Altfel spus, nu exista
niciun numar natural nastfel incat n < 1.
Asadar 1este “cel mai mic numar natural” (este mai mic decat orice alt
numar natural).
Demonstratie.
Fien2N:Daca n= 1nu avem ce demonstra. Sa presupunem ca n6= 1:
Atunci, conform Propozitiei 3 exista m2Nastfel incat
n=S(m) =m+ 1 = 1 + m:
De aici, folosind de…nitia relatiei de ordine <rezulta ca 1< n:
Propozi¸ tia 14 .
Fiem; n doua numere naturale. Atunci are loc inegalitatea m < n daca si
numai daca S(m)< noriS(m) =n.
Demonstra¸ tie.
Fiem; n2Ncare veri…ca inegalitatea m < n: Conform de…nitiei exista un
p2Nasa incat n=m+p:In cazul in care p= 1avem n=m+ 1 = S(m):
Daca p6= 1atunci exista un q2Nasa incat p=S(q):Rezulta,
n=m+S(q) =m+ (q+ 1) = ( m+ 1) + q=S(m) +q:
Asadar, exista un q2Npentru care n=S(m) +q:Conform de…nitiei relatiei
de ordine <deducem ca S(m)< n:
Propozi¸ tia15.
Fiem; n; k trei numere naturale. Atunci, m+k < n +kdaca si numai daca
m < n .
Demonstra¸ tie.
13

Fiem; n; k 2Nastfel incat m+k < n +k:Conform de…nitiei relatiei de
ordine <exista un numar natural pasa incat:
n+k= (m+k) +p:
Dar
(m+k) +p=m+ (k+p) =m+ (p+k) = ( m+p) +k:
Prin urmare, va avea loc egalitatea
n+k= (m+p) +k:
utilizand propozitia deducem ca
n=m+p;
ceea ce inseamna ca m < n:
Refacand drumul de mai sus in sens invers se obtine si implicatia "(= ":

Teorema 16.
Fiem; n doua numere naturale. Atunci are loc unul si numai unul dintre
urmatoarele cazuri:
1)
m=n:
2) Exista si este unic un numar natural pastfel incat
m=n+p( ) n < m:
3) Exista si este unic un numar natural qastfel incat
n=m+q( ) m < n:
Demonstratie.
)Cele trei cazuri sunt incompatibile doua cate doua. Mai exact, incom-
patibilitatea cazurilor 1) si 2), cat si a cazurilor 1) si 3) se obtine din Propozitia
12. Sa analizam acum compatibilitatea cazurilor 2) si 3). Admitand acest lucru
ca …ind adevarat, ar trbui ca:
m=n+p= (m+q) +p=m+ (q+p) =m+r;
unde r=q+p2N:Cu propozitia invocata mai inainte ajungem din nou la o
contradictie.
In concluzie nu se poate realiza decat cel mult unul dintre cele trei cazuri
mentionate mai sus.
)Fiem2Narbitrar ales, dar presupus …xat. Sa notam cu Vurmatoarea
multime de numere naturale:
V:=fn2Njm=nsaum < n saun < m jg:
14

Observam ca 12Vdeoarece m= 1saum > 1(conform propozitiei 13). Fie
acum un n2V:Asadar, n=msaun < m saum < n: Vrem sa aratam ca si
S(n)2V;ceea ce revine la a arata ca are loc una dintre proprietatile: S(n) =m
sauS(n)< m saum < S (n):
In cazul n=mrezulta ca S(n) = S(m) = m+ 1;ceea ce inseamna ca
m < S (n):In situatia n < m; dinPropozitia 14 stim ca S(n)< m sauS(n) =m:
In …ne, in cazul n > m; din aceeasi propozitie invocata imediat mai inainte,
vom avea S(m)< nsauS(m) =n:In varianta S(m)< nrezulta ca exista un
unatural asa incat
n=S(m) +u=S(m+u) =m+S(u);
de unde obtinem
S(n) =S(m+S(u)) = m+S[S(u)] =m+w;
unde w=S[S(u)];ceea ce conduce la concluzia ca m < S (n):In …ne, in cazul
S(m) =nrezulta
S(n) =S[S(m)] =S(m+ 1) = m+S(1):
Iarasi obtinem inegalitatea m < S (n):Conform axiomei de inductie rezulta ca
V=N:

Ne reamintim ca o relatie pe o anumita multime se numeste relatie de ordine
liniara daca este tranzitiva, nere‡ exiva si totala pe respectiva multime.
Teorema 17.
Relatia <de…nita mai sus este o ordine liniara totala pe multimea numerelor
naturale.
Demonstra¸ tie.
Tranzitivitatea relatiei <se obtine ca o consecinta imediata a proprietatii
de asociativitate a adunarii de numere naturale. Daca m < n sin < p atunci
n=m+rsip=n+s;pentru anumite numere naturale nenule r; s.
Prin urmare
p=n+s= (m+r) +s=m+ (r+s) =m+t;
unde t=r+seste un numar natural nenul. Prin urmare m < p:
Nere‡ exivitatea este o consecinta directa a Propozitiei 12 .
In …ne, pentru a proba ca relatia <este totala se utilizeaza Teorema 16.
De…ni¸ tia 18.
Fiem; n2N:Vom scrie mndaca m < n saum=n:
Propozi¸ tia 19.
i) Relatia peNeste re‡ exiva, antisimetrica si tranzitiva.
ii) Pentru m; n2Navem m=ndaca si numai daca mnsinm:
iii) Pentru m; n2Navem m < n daca si numai daca S(m)n:
Teorema 20 (Proprietatea de buna ordonare a lui N).
15

Orice submultime nevida Ade numere naturale are un cel mai mic element,
adica exista un m2Aastfel incat pentru orice k2Asa avem mk.
Demonstra¸ tie .
Stim ca 1npentru orice n2N:Prin urmare 1kpentru orice k2A:In
cazul in care 12Ase poate lua m= 1:
Sa admitem ca 1=2A:Vom nota cu Vurmatoarea multime:
V:=fn2Njnk;8k2Ag:
Stim ca 12V:Sa remarcam faptul ca pentru orice k2Arezulta ca S(k)=2V:
Inseamna ca in mod cert V6=N:De aici rezulta ca trebuie sa existe un m2V
astfel incat S(m)=2V:In caz contrar, pentru orice n2Var rezulta ca si
S(n)2V:Prin urmare, conform axiomei de inductie ar trebui ca V=N;ceea
ce, dupa cum am vazut mai inainte este imposibil. Din apartenenta lui mlaV
stim ca mkpentru orice k2A:Ramane sa aratam ca are loc si apartenenta
m2A:Sa presupunem contrariul, adica faptul ca m =2A:Acest fapt este
echivalent cu m < k; pentru orice k2A:Conform Propozitiei 19 inseamna ca
S(m)k;oricare ar … k2A:Tragem concluzia ca S(m)2V;ceea ce contrazice
alegerea lui m:Ramane ca m2A:
Remarca 21.
Teorema de mai inainte este de fapt echivalenta cu axioma generala de in-
ductie. Ea este insa formulata in limbajul unei aritmetici de ordinul al doilea
intrucat, spre deosebire de alte rezultate prezentate mai inainte, se refera la
intreaga multime a numerelor naturale.
Propozi¸ tia 22 .
Daca msinsunt doua numere naturale cu proprietatea ca m > n atunci
exista un unic numar natural nenul kastfel incat m=n+k.
Demonstra¸ tie.
Sa admitem ca exista doua numere naturale ksipasa incat m=n+ksi
m=n+p:Rezulta ca
n+k=n+p:
Aplicand comutativitatea adunarii numerelor naturale si propozitia 8 rezulta
egalitatea k=p:Partea de existenta se obtine direct din de…nitia relatiei de
ordine < :
Sc aderea numerelor naturale
De…ni¸ tia 23 .
Daca msinsunt doua numere naturale cu proprietatea ca m > n , vom
de…ni, in mod corect pe baza propozitiei anterioare,
mn:=k;
unde keste unicul numar natural nenul pentru care m=n+k.
Inmul ¸ tirea numerelor naturale
De…ni¸ tia 24 .
16

Produsul m
na doua numere naturale msinse de…neste, prin inductie
dupa n;pentru orice m;dupa cum urmeaza:
1)
m
1 =m;
2)
m
S(n) =m
n+m:
Vom utiliza si scrierea mnpentru m
n.
Propozi¸ tia 25.
Inmultirea, de…nita ca mai inainte, este distributiva in raport cu adunarea:
m(n+p) =mn+mp:
Demonstra¸ tie.
Se utilizeaza inductia dupa p:
Propozi¸ tia 26.
Inmultirea este asociativa:
m(np) = ( mn)p;
oricare ar … numerele naturale m; n; p:
Demonstra¸ tie.
Se utilizeaza inductia dupa p:
Propozi¸ tia 27 .
Inmultirea este comutativa:
mn=nm;
pentru orice numere naturale msin.
Demonstra¸ tie.
Se utilizeaza inductia dupa m;pentru orice n:
Propozi¸ tia 28. (Simpli…carea în egalit ¼a¸ ti)
Daca m; n; p sunt numere naturale atunci mp =npdaca si numai daca
m=n:
Propozi¸ tia 29 (Simpli…carea în inegalit ¼a¸ ti).
Daca m; n; p sunt numere naturale, atunci mp < np daca si numai daca m <
n.
Propozi¸ tia 30.
Daca meste un numar natural atunci m < 2m.
Nota¸ tie.
Vom utiliza notatia n2pentru n
n.
Propozi¸ tia 31.
Daca msinsunt doua numere naturale vom avea m2< n2daca si numai
daca m < n .

17

Exrci¸ tii
Ar¼ata¸ ti c ¼a:
a)36= 5.
b)2 + 2 = 4 .
c)2
3 = 6 .
Bibliogra…e.
1) Dedekind, R.: Was sind und was sollen die Zahlen? (1888)
2) Frege, G.:Begri¤sschrift: Eine der arithmetischen nachgebildete Formel-
sprache des reinen Denkens (1879), Halle
3) Grassmann, Hermann : "Lehrbuch der Arithmetik", (1861), Enslin.
4) Landau, Edmund: Grundlagen Der Analysis, (1965).
5) Moschovakis, Y., Notes on Set Theory, New York, Springer-Verlag, 1994.
6) Peano, Giuseppe: Arithmetices principia, nova methodo exposita, (1889).
7) Shoen…eld, Joseph R Mathematical Logic (Addison-Wesley Series in Logic,
2nd ed.), [1967].
18