Lucrare de licent ,a [604440]

Universitatea"Aurel Vlaicu " din Arad
Facultatea de S ,tiint ,e Exacte
Domeniul: Matematic a
Programul de studiu: Matematic a-Informatic a
Lucrare de licent ,a
Probleme de coliniaritate s ,i
concurent , a
Absolvent: [anonimizat]:
Lect. univ. Dr. Lorena Popa
Arad
Iulie 2017

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Universitatea"Aurel Vlaicu " din Arad
Facultatea de S ,tiint ,e Exacte
Domeniul: Matematic a
Programul de studiu: Matematic a-Informatic a
Nr. din
Datele personale ale candidat: [anonimizat]
1. Date privind identitatea persoanei:
Numele: Anghelin
Init,iala tat alui: C
Prenumele: Alexandru
2. Sexul: M
3. Data s ,i locul nas ,terii:
Ziua/luna/anul: 19/07/1995
Locul nas ,terii (judet ,, localitate): jud. Arad, loc. Vladimirescu
4. Prenumele p arint ,iilor:
Tat al: Constantin
Mama: Maricica
5. Domiciliul permanent s ,i date de contact:
Jud. Arad, Loc. Vladimirescu
Str. G arii, Bl. B14, ap.6
Cod pos ,tal: 317405
Telefon: [anonimizat]
E-mail: Alexandru [anonimizat]
6. Sunt absolvent: [anonimizat]"Aurel Vlaicu " din Arad Facultatea
de S ,tiint ,e Exacte, promot ,ia:Iulie 2017
7. Forma de^ nv at , am^ ant pe care am absolvit-o este: Loc buget,^ nv at , am^ ant
la zi
1

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
8. Locul de munc a: Nu sunt angajat
9. Solicit ^ nscrierea la examenul de licent , a din sesiunea: Iulie 2017
10. Lucrarea de licent , a pe care o sust ,in are urm atorul titlu: Probleme de
coliniaritate s ,i concurent , a
11.^Indrum ator s ,tiint ,ic:Lect. univ. Dr. Lorena Popa
12. Ment ,ionez c a sust ,in examenul de licent , a pentru prima oar a s,i declar
pe propria-mi r aspundere c a am luat la cunos ,tiint , a de prevederile art.
143 din Legea 1/2011. Declar c a prezenta lucrare nu este realizat a prin
mijloace frauduloase, ind cons ,tient de faptul c a, dac a se deovedes ,te
contrariul, diploma obt ,inut a prin fraud a ^ mi poate  anulat a, conform
art, 146 din Legea 1/2011.
Arad , 10 Februarie 2017
Semn atura autorului lucr arii de licent , a
2

Cuprins
1 Problemele de coliniaritate 5
1.1Procedee de rezolvare a problemelor de coliniaritate . 5
1.2Teoreme remarcabile s ,i probleme clasice de coliniaritate 19
1.2.1 Teorema lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Teorema lui Newton-Gauss . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Teorema lui Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4 Teorema lui Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.5 Teorema lui Salmon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.6 Teorema Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.7 Teorema lui Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.8 Teorema lui Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Probleme de concurent , a 29
2.1Procedee de rezolvare a problemelor de concurent , a. . 29
2.2Teoreme remarcabile s ,i probleme clasice de concurent , a32
2.2.1 Teorema centrului de greutate al triughiului . . 32
2.2.2 Teorema de concurent , a a mediatoarelor unui
triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Teorema de concurent , a a^ n alt ,imilor unui triunghi 34
2.2.4 Teorema de concurent , a a bisectoarelor unui
triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.5 Teorema lui Gergonne . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.6 Teorema lui Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.7 Teorema lui Miquel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.8 Teorema lui Nagel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3Rezultate de leg atur a ^ ntre puncte remarcabile
stabilite anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3

Introducere
^In lucrarea de fat , a am abordat tema coliniarit at ,ii s,i a concurent ,ei, care
este o tem a important a a geometriei dar sensibil a deoarece uneori este us ,or
de intuit adev arul asupra coliniarit at ,ii sau a concurent ,ei, dar este dicil de
demonstrat.
^In primul capitol intitulat"Probleme de coliniaritate", am prezentat ^ n
primul paragraf o serie de procedee de rezolvare a problemelor de coliniaritate,
toate^ nsot ,ite de exemple. A doua parte a capitolului am dedicat-o teoremelor
remarcabile s ,i problemelor clasice de coliniaritate.
^In al doilea capitol"Probleme de concurent , a " am prezentat unele procedee
de demonstrare a concurent ,ei unor drepte, din care ment ,ionez doar reciproca
Teoremei lui Ceva, ^ n form a vectorial a s ,i trigonometric a, ce constituie o
tehnic a elegant a s ,i practic a de demonstrare a concurent ,ei. Acest capitol
include de asemenea un paragraf ce ^ nm anuncheaz a teoreme de concurent , a
referitoare la geometria triunghiului, pornind de la cele bine cunoscute s ,i
continu^ and cu altele mai put ,in cunoscute. Ultimul paragraf al acestui capitol
cont ,ine unele rezultate, care fac leg atura^ ntre punctele de concurent , a remarcabile
dintr-un triunghi, prezentate ^ n paragraful anterior.
4

Capitolul 1
Problemele de coliniaritate
1.1 Procedee de rezolvare a problemelor de
coliniaritate
Procedeul 1
Punctele A, B, C sunt coliniare dac a s ,i numai dac a m asura unghiului format
de ele este de 180 °.
ˆPentru BMInt([ABC ), aceasta presupune s a aib a loc relat ,ia:
m(\ABM ) +m(\MBC ) = 180 °
ˆPentru BM, BNInt([ABC ), condit ,ia de coliniaritate a punctelor A,
B, C se rezum a la condit ,ia:
m(\ABM ) +m(\MBN ) +m(NBC ) = 180 °
Figura 1.1.
5

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Exemplul 1.1
^In exteriorul rombului ABCD cu m(\A) = 60 °, se construiesc p atratul BCEF
s,i dreptunghiul ABNM cu latura AM = 2AB. S a se arate c a punctele N, F,
E sunt coliniare.
Figura 1.2.
FieABnot=a
Din ipotez a: m(\BAD ) = 60 °
)m([ABC ) = 120 °
m(\NBF ) = 360 °m([ABC )m(\ABN )m(\CBF )
= 360 °120 °90 °90 °
= 60 °
6

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
FieT2(BN) astfel ^ nc^ at BT=a)
BT=BF=a
m([TBF ) = 60 °)
)4BTF – echilateral)m([BFT ) = 60 ° (1)
)4FTN isoscel (FT=TN=a)
Cumm(\FTN ) = 180 °60 °= 120 °)
)m(\TFN ) = 30 ° (2)
Din (1) s ,i (2) rezult a:
m(\EFN ) =m(\EFB ) +m([BFT ) +m(\TFN )
= 90 °+ 60 °+ 30 °
= 180 °)E, F, N – puncte coliniare.
Procedeul 2
Punctele A, B, C sunt coliniare dac a s ,i numai dac a unghiul format de ele este
nul, adic am([ABC ) = 0 °. Pentru aceasta se procedeaz a astfel: se consider a
semidreptele (BA, (BC, (BM s ,i se arat a c a are loc relat ,iam(\ABM ) =
m(\CBM )
Figura 1.3.
Exemplul 1.2
Se consider a triunghiul 4ABC ^ n carem(bA) = 60 °s,i triunghiul echilateral
4BCT astfel ^ nc^ at A s ,i T apart ,in aceluias ,i semiplan delimitat de dreapta
7

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
BC.
Se iau punctele P s ,i Q as ,a ^ nc^ atA2(CP), (BP)\(AQ)6=  s ,i triunghiul
4BPQ este echilateral. S a se arate c a punctele A, T s ,i Q sunt coliniare.
Cumm([BAC ) = 60 °s,i triunghiul4BCT este echilateral, atunci
m([BAC ) =m([BTC ):
Folosind criteriul de inscriptibilitate a patrulaterelor: Dac a unul dintre
unghiurile formate de o diagonal a cu o latur a este congruent cu unghiul
format de cealalt a diagonal a cu latura opus a, atunci patrulaterul este inscriptibil,
Figura 1.4.
rezult a ATBC patrulater inscriptibil, de unde se obt ,ine
m([BAT ) =m([BCT ) = 60 °:
Se observ a c a
m([BAP ) +m(\BQP ) = 120 °+ 60 °= 180 °)
Folosind criteriul de inscriptibilitate al patrulaterului: Dac a dou a unghiuri
opuse ale patrulaterului sunt suplementare atunci patrulaterul este inscriptibil,
rezult a APQB patrulater inscriptibil.
m([BAQ ) =m(\BPQ ) = 60 °)m([BAT ) =m([BAQ ):
Deci
8

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
m([QAT ) =m([BAT )m([BAQ ) = 0 °)A, T s ,i Q sunt coliniare.
Procedeul 3
Fie punctele A, B, C s ,i dreapta d. Dac a ABkds,i ^ n acelas ,i timp s ,iACkd
atunci punctele A, B, C sunt coliniare.
Figura 1.5.
Observat ,ie.
Dac aABkds,iACkdatunci s ,iABkAC, ^ nseamn a c a este m([BAC ) = 0 °
deci se ajunge la procedeul 2, sau m([BAC ) = 180 °s,i se ajunge la
procedeul 1.
9

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Exemplul 1.3
Figura 1.6.
^In triunghiul ABC, B` este simetricul lui B fat , a de mijlocul laturii AC, C`
este simetricul lui C fat , a de mijlocul laturii AB. S a se arate c a punctele C`,
A s,i B` sunt coliniare.
Deoarece C` este simetricul lui C fat , a de mijlocul laturii AB rezult a:
C`M=MC; deci M este mijlocul segmentului C`C
M este mijlocul laturii AB)
)
)AB s ,i C`C au acelas ,i mijloc)AC`BC – paralelogram.
Deoarece B` este simetricul lui B fat , a de mijlocul laturii AC^ n mod analog
rezult a c a AB`CB este paralelogram.
S,tiind c a C`ACB s ,i AB`CB sunt paralelograme avem:
C`AkBCs,iAB`kBC.
T,in^ and cont de unicitatea dreptei care poate  dup a printr-un punct la o
dreapt a dat a,
)m(\C`AB`) = 180 °)C`, A, B` – puncte coliniare.
10

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Procedeul 4
Reciproca Teoremei lui Menelaus
Fie triughiul4MNP cu punctele A2NP B2MP C2MN.
Figura 1.7.
Dac a dou a dintre punctele A, B, C sunt situate pe dou a laturi iar unul pe
prelungireadea treia laturi sau toate trei punctele sunt situate pe prelungirile
laturilor triunghiului, s ,i ^ n plus
AN
AP
BP
BM
CM
CN= 1;
atunci punctele A, B, C sunt coliniare.
Exemplul 1.4
Fie un triunghi4ABC , D simetricul centrului de greutate fat , a de mijlocul
lui [AB] s ,i E simetricul lui C fat , a de B. S a se arate c a punctele A, D s ,i E
sunt coliniare.
11

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 1.8.
Fie M mijlocul lui AB. Deoarece D este simetricul centrului de greutate
G al triunghiului 4ABC fat, a de M se obt ,ineDM =MG.
As,adar
DM
DC=DM
DM +MC=MG
MG + 3MG=1
4
Atunci
AB
AM
DM
DC
EC
EB= 2
1
4
2 = 1
s,i cumA2BM[BM],D2MC[MC],E2CB[CB] rezult a, din
reciproca teoremei lui Menelaus, faptul c a punctele A, D s ,i E sunt coliniare.
Procedeul 5
Se consider a dreapta d s ,i punctele A, B, C astfel ^ nc^ at A2d, iar punctele B
s,i C se g asesc ^ n semiplane diferite determinate de dreapta d. Fie M;N2d,
punctele M s ,i N situate de o parte s ,i de alta a punctului A. Dac a m(\MAC ) =
m(\NAB ) atunci punctele A, B s ,i C sunt coliniare.
12

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 1.9.
Observat ,ie:
Se utilizeaz a teorema potrivit c areia dac a semidreptele (AC s ,i (AB formeaz a
cu aceeas ,i dreapt a ind situate, de o parte s ,i de alta a ei, unghiuri congruente,
atunci aceste dou a semidrepte sunt ^ n prelungire.
Exemplul 1.5
^In paralelogramul ABCD, M s ,i N sunt mijloacele laturilor [ AB] s,i respectiv
[CD],AC\BD=fog. S a se arate c a M, O s ,i N sunt puncte coliniare.
Figura 1.10.
Se consider a triunghiul 4OAM s,i4ONC
AMNC (AM =AB
2=DC
2=NC)
AOOC(O – mijlocul diagonalei AC)
OAMOCN (unghiuri alterne interne)9
>=
>;)
13

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
4OAM4ONC)
]AOM]NOC
M, N se a
 a ^ n semiplane diferite determinate de dreapta AC)
)
)M, O, N sunt coliniare.
Procedeul 6
Se consider a punctele A, B, C s ,i dreapta d. Dac a AB?ds,iAC?datunci
punctele A, B, C sunt coliniare.
Figura 1.11.
Observat ,ie:
Se utilizeaz a teorema referitoare la unicitatea perpendicularei dus a dintr-un
punct pe o dreapt a.
Exemplul 1.6
Fie un trapez ABCD ( ABkCD) s,i un punct M ^ n planul s au. Cercurile
de centre A s ,i B care trec prin M se intersecteaz a din nou ^ n P iar cercurile
de centre C s ,i D ce trec prin M se intersecteaz a din nou ^ n Q. S a se arate
punctele P, M s ,i Q sunt coliniare.
14

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 1.12.
P este simetricul lui M fat , a de AB, deci MP?AB, iar Q este simetricul
lui M fat , a de CD, as ,adarMQ?CD. CumCDkABatunciMQ?AB.
Rezult aMP?ABs,iMQ?AB, prin urmare punctele M, P s ,i Q sunt
coliniare.
Procedeul 7
Punctele A, B, C sunt coliniare dac a s ,i numai dac a BC ] = 0 (unde cu
BC ] am notat aria triunghiului ABC).
15

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 1.13.
Observat ,ie
1)Relat ,iaBC ] = 0 este echivalent a cu OB ] =OC ] +OB ];
undeC2int([AOB ):
2)Dac a se cunosc coordonatele punctelor fat , a de un reper cartezian, de
exempluA(x1;y1;z1),B(x2;y2;z2),C(x3;y3;z3), se utilizeaz a pentru
aria4ABC , formula:
BC ] =1
2(vuuutx1y11
x2y21
x3y312
+y1z11
y2z21
y3z312
+z1x11
z2x21
z3x312)1
2
:
Exemplul 1.7.1
Se consider a un triunghi ABC s ,i puncteleM2(AB) s,i puncteleN2(AC),
astfel ^ nc^ atBM
MA=x,CN
NA=y. S a se arate c a MN trece prin centrul cercului
^ nscris triunghiului ABC dac a s ,i numai dac a bx+cy=a, unde s-a notat
AB=c, AC=b s ,i BC=a.
16

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 1.14.
Fie I centrul cercului^ nscris. Coliniaritatea punctelor M, I, N este echivalent a
cu
MN ] =MI ] +NI ]:
DinBM
MA=x
1)BM +MA
AM=x+ 1
1)AM =c
x+ 1:
DinCN
NA=y
1)CN+NA
AN=y+ 1
1)AN=b
y+ 1:
MN ] =MI ] +NI ],
1
2AM
AI
sinA
2+1
2AN
AI
sinA
2=1
2AM
AN
sinA,
,AIsinA
2(c
1 +x+b
1 +y) =bc
(1 +x)(1 +y)sinA
Dar cum bc sin A = 2S s ,iAIsinA
2=r=S
p, atunci
MN ] =MI ] +NI ],
,S
P(c
1 +x+b
1 +y) =2S
(1 +x)(1 +y),
,c
1 +x+b
1 +y=2p
(1 +x)(1 +y),
,c(1 +y) +b(1 +x) =a+b+c,bx+cy=a
As,adar punctele M, N s ,i I sunt coliniare dac a s ,i numai dac a bx+cy=a.
17

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Exemplul 1.7.2
S a se verice coliniaritatea punctelor A(3;0;1),B(0;2;4),C(1;4
3;3).
Se calculeaza aria triunghiului:
BC ] =1
2(vuuut3 0 1
0 2 1
14
312
+0 1 1
2 4 1
4
33 12
+1 3 1
4 0 1
3 1 12)1
2
Constat am c a tot ,i determinant ,ii sunt egali cu 0, as ,adar:
BC ] = 0)A, B, C – puncte coliniare.
Procedeul 8
Punctele A, B, C din spat ,iulE3sunt coliniare dac a s ,i numai dac a vectorii!ABs,i!ACsunt vectori coliniari.
Fie punctele A(x1;y1;z1),B(x2;y2;z2) s,iC(x3;y3;z3) din spatiul euclidian
E3.
Punctele A, B, C sunt coliniare dac a s ,i numai dac a vectorii
!AB= (x2x1)i+ (y2y1)j+ (z2z1)k
!AC= (x3x1)i+ (y3y1)j+ (z3z1)k
sunt coliniari. Iar doi vectori sunt coliniari dac a au coecient ,ii proport ,ionali,
adic a:
x2x1
x3x1=y2y1
y3y1=z2z1
z3z1:
Exemplul 1.8
S a se verice dac a punctele A(2;1;3),B(1;0;4),C(5;2;2) sunt coliniare.
Se scriu vectorii!AB=3ij+ks,i!AC= 3i+jks,i se veric a condit ,ia
de coliniaritate:
3
3=1
1=1
1=1
)!AB;!AC- vectori coliniari )A, B, C – puncte coliniare.
18

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Procedeul 9
Punctele A, B, C sunt coliniare dac a s ,i numai dac a C2AB.
Fie punctele A(x1;y1;z1),B(x2;y2;z2),C(x3;y3;z3). Se scrie ecuat ,ia dreptei
AB:
AB:xx1
x2x1=yy1
y2y1=zz1
z2z1
s,i se probeaz a dac a coordonatele punctului C ( x1;y3;z3) veric a ecuat ,ia.
Exemplul 1.9
S a se verice coliniaritatea punctelor A(3, 6, -1), B(2, 4, 3), C(5, 8, -9). Se
scrie ecuat ,ia dreptei
AB:x3
1=y6
2=z+ 1
4
s,i se veric a dac a punctul C apart ,ine dreptei AB, adic a:
53
1=86
2=9 + 1
4,
, 2 =1 =2(F))
)C =2AB)A, B, C nu sunt puncte coliniare.
1.2 Teoreme remarcabile s ,i probleme clasice
de coliniaritate
1.2.1 Teorema lui Euler
^In orice triunghi oarecare ortocentrul, centrul de greutate s ,i centrul cercului
circumscris triunghiului sunt pe aceeas ,i dreapt a, care se numes ,tedreapta
lui Euler
19

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 1.15.
Fie triunghiul oarecare ABC, cu punctele de concurent , a ale ^ n alt ,imilor,
medianelor s ,i a mediatoarelor, s ,i anume ortocentrul, centrul de greutate
respectiv centrul cercului circumscris triunghiului, notate ^ n ordine H, G
s,i O.
FieM1mijlocul segmentului [ NP],N1mijlocul segmentului [ MP],P1
mijlocul segmentului [ MN], iarM2=prNPM,N2=prMPN,P2=prMNP
Cum4MHN;4M1ON 1(triunghiuri cu laturi paralele ))
MH
M1O=MN
M1N1= 2
DeoareceMG
M1G=MN
M1N1= 2 s ,im(\HMG ) = 90 °m(\MM 1M2) =m(\OM 1G))
4MHG4M1OG
s,i se obt ,ine
m(\HGM ) =m(\OGM 1)
Din aceast a relat ,ie se deduce c a semidreptele [HG s ,i [GO sunt^ n prelungire,
adic a punctele H, G s ,i O sunt coliniare deci sunt pe aceeas ,i dreapt a.
20

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
1.2.2 Teorema lui Newton-Gauss
Patrulatere complete
Se numes ,te patrulater complet ABCDEF, patrulaterul ABCD unde fEg=
AB\CD,fFg=BC\AD: Segmentele AC, BD s ,i EF se numesc diagonalele
patrulaterului complet.
Teorema lui Newton-Gauss
Mijlocul diagonalelor AC, BD, EF ale patrulaterului complet ABCDEF sunt
coliniare.
Demonstrat ,ie:
Fie P, N, M mijloacele diagonalelor [FE], [CA] respectiv [AC], iar T, U, V
mijloacele segmentelor [AB], [BF] respectiv [FA].
Figura 1.16.
Deoarece P, V, U sunt mijloacele segmentelor [FE], [FA] respectiv [FB]
avem P, V, U coliniare iar
PV=EA
2;PU =EB
2:
Pentru V, N, T mijloacele segmentelor [AF], [CA] respectiv [AB] proced am
la fel deci vom constata c a V, N, T – coliniare s ,i:
NV=CF
2;NT =CB
2:
21

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
^In mod analog proced am s ,i cu U, M, T care sunt mijloacele segmentelor
[BF], [BD] respectiv [BA] de unde avem:
MT=DA
2;MU =DF
2:
Aplic^ and teorema lui Menelaus pentru triunghiul 4TUV s,i punctele P,
N, M ne rezult a expresia:
PV
PU
MU
MT
NT
NV=EA
2
DF
2
CB
2
EB
2
DA
2
CF
2=EA
EB
CB
CF
DF
DA
Prin teorema lui Menelaus, consider^ and 4FAB cu secanta E, D, C
expresia devine:
EA
EB
CB
CF
DF
DA= 1
DeciPV
PU
MU
MT
NT
NV= 1
Conform reciprocei teoremei lui Menelaus se deduce c a P, N, M sunt coliniare
form^ and dreapta lui Gauss a patrulaterului complet ABCDEF.
1.2.3 Teorema lui Pappus
Figura 1.17.
22

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
1.2.4 Teorema lui Simson
Teorema lui Simson.
Proiect ,iile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi, pe laturile
acestuia, sunt coliniare. Dreapta pe care sunt situate aceste puncte se numes ,te
dreapta lui Simson.
Demonstrat ,ie
FieM1=prBCM,M2=prACM,M3=prABM:Patrulaterele MM 1M2M3,
MM 1M2Csunt inscriptibile, rezult a:
m(\BM 1M3) =m(\BMM 3) = 90 °m(\MBM 3)
= 90 °m(\MCM 2)
=m(\CMM 2) =m(\CM 1M2)
)]CM 1M2]BM 1M3
)puncteleM1,M2,M3sunt deci coliniare.
Figura 1.18.
23

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Reciproca teoremei lui Simson.
Dac a proiect ,iile unui punct pe laturile unui triunghi sunt coliniare, punctul
este situat neap arat pe cercul circumscris.
Folosing notat ,iile din Teorema lui Simson-direct a din faptul c a patrulaterele
MM 3M2M1s,iMM 1M2Csunt inscriptibile se obt ,ine c a:
m(\MCB ) = 180 °m(\MM 1M2) =m(\MM 1M3) =m(\M3BM)
= 180 °m(\ABM )
)m(\MCA ) +m(\ABM ) = 180 °
)patrulaterul MBAC este inscriptibil, deci M se a
 a pe cercul circumscris
triunghiului ABC.
Observat ,ie
Exist a s ,i o generalizare a Teoremei lui Simson
Dac a M apart ,ine cercului circumscris 4ABC s,iM12BC,M22AC
s,iM32ABastfel ^ nc^ at m(\MM 3B) =m(\MM 1C) =m(MM 2C), atunci
puncteleM1;M2;M3sunt coliniare.
24

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
1.2.5 Teorema lui Salmon
1.2.6 Teorema Carnot
Figura 1.19.
25

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
1.2.7 Teorema lui Pascal
Figura 1.20.
1.2.8 Teorema lui Desargues
Dou a triunghiuri ABC s ,i A`B`C` se numesc triunghiuri omologice dac a dreptele
AA`, BB` s ,i CC` sunt concurente ^ ntr-un punct M, numit centru de omologie.
Teorema lui Desargues. Laturile corespunz atoare a dou a triunghiuri
omologice ABC s ,i A`B`C` se ^ nt^ alnesc ^ n trei puncte coliniare.
26

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 1.21.
Demonstrat ,ie
Not amBC\B`C` =fg,CA\C`A` =fgs,iAB\A`B` =f
g.
Consider^ and4ABM s,i transversala B0A0
.
Teorema lui Menelaus= = = = = = = = = = = =)
A

B
B`B
B`M
A`M
A`A= 1 (1)
Consider^ and4BMC s,i transversala B`C`, aplic^ and Teorema lui Menelaus ,
rezult a:
B
C
C`C
C`M
B`M
B`B= 1 (2)
Din4AMC s,i transversala A`C`, conform Teoremei lui Menelaus ,
se obt ,ine:
B
A
A`A
A`M
C`M
C`C= 1 (3)
27

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
^Inmult ,ind relat ,iile (1) (2) (3), rezult a:

A

B
B`B
B`M
A`M
A`A
B
C
C`C
C`M
B`M
B`B
B
A
A`A
A`M
C`M
C`C= 1
Dup a efectuarea simplic arilor se obt ,ine:

A

B
B
C
C
A= 1
de unde conform reciprocei Teoremei lui Menelaus rezult a c a;;

sunt puncte coliniare.
Reciproca teoremei lui Desargues
Dac a laturile a dou a triunghiuri se taie dou a c^ ate dou a^ n trei puncte coliniare,
aceste triunghiuri sunt omologice.
Demonstrat ,ie
Se aplic a acelas ,i rat ,ionament ca la implicat ,ia direct a dar ^ n sens invers.
Observat ,ie
Dreapta
se numes ,te ax a de omologie.
28

Capitolul 2
Probleme de concurent , a
2.1 Procedee de rezolvare a problemelor de
concurent , a
Procedeul 1
Drepteled1; d2; d3sunt: mediane, bisectoare, ^ n alt ,imi, mediatoare
pentru un anumit triunghi. Atunci dreptele d1,d2, s,id3sunt concurente.
Procedeul 2
Fie dreptele d1,d2,d3, astfel ^ nc^ at d1\d2=fMgs,id2\d3=fNg.
Drepteled1,d2s,id3sunt concurente dac a s ,i numai dac a punctele M s ,i
N coincid.
Figura 2.1.
Observat ,ie: Acest tip de probleme se rezolv a de obicei prin reducere
la absurd.
Procedeul 3
29

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Denit ,ia cevienei
Se numes ,tecevian a dreapta care unes ,te un v^ arf al unui triunghi cu
un punct de pe latura opus a.
Condit ,ia de concurent , a a trei ceviene, este dat a de reciproca teoremei
lui Ceva :
Fie triunghiul4MNP s,i puncteleA2(MN),B2(MP),C2(NP):
Figura 2.2.
Dreptele MC, NB, PA sunt concurente dac a se ^ ndeplines ,te relat ,ia:
CN
CP
BP
BM
AM
AN= 1:
Procedeul 4
Fie dreptele d1,d2,d3astfel ^ nc^ at punctul B s ,i C apart ,in drepteid1
iard2\d3=fAg:Drepteled1,d2,d3sunt drepte concurente dac a s ,i
numai dac a A, B, C sunt coliniare.
30

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 2.3.
Procedeul 5
Fie un triunghi4ABC s,i puncteleA`2(BC),B`2(AC),C`2(AB)
astfel ^ nc^ at:
sin(\BAA `)
sin(\CAA `)
sin(\CBB `)
sin(\ABB `)
sin(\ACC `)
sin(\BCC `)= 1
Atunci dreptele AA`,BB` s,iCC` sunt concurente (reciproca teoremei
lui Ceva sub form a trigonometric a).
Figura 2.4.
31

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Aplic^ and teorema sinusurilor ^ n 4ABA ` s,i4CAA ` rezult a
sin(\BAA `)
A`B=sin(\AA`B)
AB;sin(\CAA `)
A`C=sin(\AA`C)
AC
s,i deci
sin(\BAA `)
sin(\CAA `)=A`B
A`C
b
c
Analog se obt ,in relat ,iile
sin(\CBB `)
sin(\ABB `)=B`C
B`A
c
a;sin(\ACC `)
sin(\BCC `)=C`A
C`B
a
b
cea ce face ca relat ,iile
A`B
A`C
B`C
B`A
C`A
C`B= 1 (reciproca teoremei lui Ceva)
sin(\BAA `)
sin(\CAA `)
sin(\CBB `)
sin(\ABB `)
sin(\ACC `)
sin(\BCC `)= 1
s a e echivalente.
2.2 Teoreme remarcabile s ,i probleme clasice
de concurent , a
2.2.1 Teorema centrului de greutate al triughiului
MedianeleMM 1,NN 1,PP1ale triunghiului MNP sunt concurente ^ ntr-un
un punct G, numit centrul de greutate al triunghiului; Mai mult, are loc
relat ,ia:
MG
GM 1=NG
GN 1=PG
GP 1= 2
32

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 2.5.
Demonstrat ,ie.
FiefGg=NN 1\PP1, undeNN 1s,iPP1sunt mediane ^ n triunghiul 4MNP .
Not am A s ,i B mijloacele segmentelor NG s ,i PG.
^In4MNP; P 1N1- linie mijlocie)P1NkNP:P 1N1=NP
2
^In4NGP; AB – linie mijlocie )ABkNP;AB =NP
2)
)
)P1N1kABs,iP1N1AB)ABN 1P1paralelogram)AGGN 1
darAGNAA – mijlocul lui NG)
)
)NA=AG=GN 1
AnalogP1GGB
darGBPB)
)PB=BG=GP1
Conside^ and ^ n mod analog medianele NN 1s,iMM 1s,i relu^ and procedeul,
obt,inem c a s ,i medianaMM 1trece prin G s ,i veric a o relat ,ie similar a cu cele
de mai sus, ceea ce permite s a concluzion am c a medianele sunt concurente
^ n punctul G s ,i veric a egalitatea:
MG
GM 1=NG
GN 1=PG
GP1= 2
33

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
2.2.2 Teorema de concurent , a a mediatoarelor unui triunghi
Demonstrat ,ie.
FieM1As,iN1Bmediatoarele segmentelor NP s ,i MP. Aceste drepte nu pot
 paralele, deci va exista un punct O comun al mediatoarelor N1Bs,iM1A.
DinO2M1Aurmeaz aONOPiar dinO2N1Burmeaz aOMOP)
OMON, de unde se deduce c a O se g ases ,te s,i pe mediatoarea P1C.
Figura 2.6.
2.2.3 Teorema de concurent , a a^ n alt ,imilor unui triunghi
Ducem paralele la laturile opuse ale triunghiului prin varfurile acestuia s ,i
obt,inem triunghiul complementar al lui MNP pe care ^ n gur a ^ l avem notat
M1N1P1.
MN 1kNP
N1PkMN)
)MN 1PN- paralelogram)MN 1NP
MP 1kNP
MPkP1N)
)NPMP 1- paralelogram)P1MNP9
>>>>=
>>>>;)
)MN 1P1M)M mijlocul lui P1N1
iarAM?P1N1)
)AM – mediatoarea segmen-
tuluiP1N1
34

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Analog se arat a c a BN – mediatoarea segmentului P1M1s,i CP mediatoarea
segmentului M1N1.
Utiliz^ and T.2.2.2 (Teorema de concurent , a a mediatoarelor unui triunghi)
pentru4M1N1P1se obt ,ine c a mediatoarele AM, BN s ,i CP sunt concurente
^ ntr-un punct H, numit ortocentrul triunghiului MNP.
Figura 2.7.
2.2.4 Teorema de concurent , a a bisectoarelor unui triunghi
Bisectoarele unui triunghi sunt concurente.
35

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 2.8.
Demonstrat ,ie
Fie MC, NB s ,i PA bisectoare ^ n triunghiul 4ABC . Conform teoremei
bisectoarei, avem:
AM
AN=MP
NP,BM
BP=NP
MN,CN
CP=MN
MP.
^Inmult^ nd aceste trei relat ,ii obt ,inem:
AM
AN
BM
BP
CN
CP=MP
NP
NP
MN
MN
MP= 1
de unde conform reciprocei teoremei lui Ceva bisectoarele sunt concurente.
2.2.5 Teorema lui Gergonne
Dac a ^ ntr-un triunghi oarecare ABC not am punctele de contact ale cercului
^ nscris cu D, E, F pe laturile BC, AC respectiv AB, atunci dreptele AD, BE
s,i FC vor  concurente intr-un punct care se numes ,te punctul lui Gergonne
s,i care se noteaz a cu .
36

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Demonstrat ,ie:
Se constat a c a
CD=CE; AE =AF; BF =BD
ca segmente tangente dintr-un punct la un cerc rezult a c a:
DB
DC
EC
EA
FA
FB=1
(ecare raport ind negativ)
Din reciproca Teoremei lui Ceva(Procedeul 3 ) se obt ,ine c a AD, Be s ,i CF
sunt concurente, punctul de concurent , a ind – punctul lui Gergonne .
Figura 2.9.
Observat ,ie: Teorema este valabil a s ,i ^ n cazul unui cerc ex^ nscris ^ ntr-un
triunghi, ^ n acest caz 2 rapoarte sunt pozitive s ,i unul negativ.
2.2.6 Teorema lui Lemoine
Denit ,ia simedianei
Se numes ,te simediana unui triunghi, simetrica dreptei suport a unei mediane
a triunghiului fat , a de dreapta suport a bisectoarei inferioare din acelas ,i v^ arf.
37

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Observat ,ie
Un triunghiu are trei simediane, ecare trec^ and prin c^ ate un v^ arf.
Teorena lui Lemoine
Simedianele unui triunghi sunt concurente iar punctul lor de intersect ,ie se
numes ,te punctul simedian al triunghiului sau punctul lui Lemoine
Demonstrat ,ie
Figura 2.10.
Fie4ABC , O centrul cercului circumscris s ,i!un al doilea cerc cu centrul
in punctul D` si cu raza DB s ,i D punctul de intersect ,ie ale dreptelor AD` cu
BC. Fie dreptele AC si AC care au punctele de tangent , a cu!^ n puntele P
s,i Q.
38

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
]PBQ =]BQC +]BAC
=1
2]BD`C +1
2]BOC
=1
2(]BD`C + ]BOC )
= 90 °
)P, D, Q coliniare s ,i PQ este diametrul cercului !
Stiind ca punctele P, B, C, Q sunt conciclice s ,i c a punctul M este mijlocul
dreptei BC iar D` este mijlocul dreptei PQ deducem c a:
]ABC =]AQP
]ACB =]APQ)
)
4ABMs4AQD`
AM median a)
)AD este simedian a.
^In mod analog a
 am simedienele din celelalte dou a v^ arfuri, B s ,i C.
Dac a AD, BE, CF sunt simedianele triunghiului ABC atunci:
FA
FB
EA
EC
DB
DC=AB2
AC2
BC2
AB2
AC2
BC2= 1:
s,i din reciproca teoremei lui Ceva, rezult a c a simedianele sunt concurente.
2.2.7 Teorema lui Miquel
Denit ,ia patrulaterului complet:
Se numes ,te patrulater complet ABCDEF, patrulaterul ABCD unde fEg=
AB\CD,fFg=BC\AD: Segmentele AC, BD s ,i EF se numesc diagonalele
patrulaterului complet.
Teorema
Cercurile circumscrise ec aruia din cele patru triunghiu ale unui patrulater
complet trec prin acelas ,i punct numit punctul lui Miquel.
39

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Figura 2.11.
Demonstrat ,ie
Fie ABCDEF – patrulater complet. Triunghiurile care formeaz a patrulaterul
complet sunt:4AFB ,4AED ,4BEC s,i4DCF .
Consider am pentru^ nceput 4ADE s,i4ABF a c aror cercuri circumscrise
au dou a puncte de intersect ,ie: A s ,i M s ,i arat am c a s ,i cercul circumscris
triunghiului BEC trece prin M
ˆ]CBM este ^ nscris ^ n cercul O1
)m(\CBM ) =m(MmF_) (1)
ˆPatrulaterul ADME este ^ nscris ^ n cercul O2
)\DEM\DAM
)m(\DAM ) =m(MmF_) (2)
Din (1) s ,i (2)
)\CBM =\DAM =\CEM)
)patrulaterul BCME este inscriptibil )
)cercul circumscris 4BEC trece prin M.
Analog se arat a c a s ,i cercul circumscris triunghiului DCF trece prin M.
^In concluzie M este punct de intersect ,ie al cercurilor circumscrise triunghiurilor
din patrulaterul complet ABCDEF.
40

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
2.2.8 Teorema lui Nagel
Teorema
Liniile care unesc v^ arful unui triunghi ABC cu punctele de tangent , a dintre
dreapta s ,i cercul ex^ nscris opuse v^ arfului sunt concurente ^ ntr-un punct N
care se numes ,tepunctul lui Nagel.
Figura 2.12.
Fie triunghiul ABC, C(IA;rA),C(IB;rB),C(IC;rC), cercurile ex^ nscrise
triunghiului ABC. Fie T1s,iT2punctele de tangent , a ale cercului C(IA;rA) cu
AB respectiv AC. Avem A1B=BT1,A1C=CT2s,i cumAT1=AT2rezult a
AB+A1B=A1C+AC
S,tiind c aA1B+A1C=BCs,i c aAB+A1B=A1C+ACrezult a:
A1B=BC+ACAB
2)A1B=pAB
A1C=BC+ABAC
2)A1C=pAC
As,adar
41

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
A1B
A1C=pAB
pAC
^In mod analog se obt^ n egalit at ,ile:
B1C
B1A=pBC
pAB;C1A
C1B=pAC
pBC
De unde rezult a:
A1B
A1C
B1C
B1A
C1A
C1B=pAB
pAC
pBC
pAB
pAC
pBC= 1
Din reciproca Teoremei lui Ceva rezult a c a cevienele A1A,B1B,C1Csunt
concurente.
2.3 Rezultate de leg atur a^ ntre puncte remarcabile
stabilite anterior
1)
Triunghi ortic este triunghiul care are ca v^ arfuri picioarele ^ n alt ,imilor unui
triungi dat.
Ortocentrul unui triunghi oarecare ABC este centrul cercului^ nscris
^ n triunghiul ortic HaHbHc
Figura 2.13.
42

ANGHELIN Alexandru Lucrare de licent  a
Demonstrat ,ie
FieAHa?BC,BHb?ACs,iCHc?AB.
AHa\BHb\CHc=fHg-ortocentrul triunghiului 4ABC.
4HaHbHctriunghiul ortic al triunghiului 4ABC .
HaHH bC- patrulater inscriptibil
m(\HH aC) +m(\HH bC) = 180 °

)
\AHaHb\ACH c(1)
HaHH cB- patrulater inscriptibil
m(\HH cB) +m(\HH aB) = 180 °

)
\AHaHc\ABH b(2)
4ABH bs,i4ACH c- triunghiuri dreptunghice
]A- unghi comun)
)4ABH bs4ACH c)
\ABH b\ACH c(3)
Din (1), (2) s ,i (3))\AHaHc\AHaHb)AHa- bisectoarea ]HcHaHb.
Analog se arat a c a BHb- bisectoarea ]HaHbHciarCHc- bisectoarea
]HbHcHa.
2)
Fie:
4ABC cuA2,B2, mijloacele dreptelor BC respectiv AC,
A1,B1, picioarele bisectoarelor din v^ arfurile opuse dreptei pe care se a
 a,
p – semiperimetrul triunghiului ABC,
Ta,Tbpunctele de tangent , a dintre dreapta BC s ,i cercul ex^ nscris A respectiv
dintre dreapta AC s ,i cercul ex^ nscris B,
fIg=AA 1\BB 1- centrul cercului ^ nscris,
fGg=AA 2\BB 2- centrul de greutate,
fNg=ATa\BTb- punctul lui Nagel.
Din teorema bisectoarei rezult a:
A1B
A1C=AB
AC)A1B=BC+AB
AC+AB
A1B
A1C=AB
AC)A1B=BC+AB
AC+AB
IA
IA1=AB
A1B)
)AC+AB
BC(1)
43