F A CUL T A TEA DE MA TEMA TIC I INF ORMA TIC LUCRARE DE LICEN Conduc tor ³tiinµi c: Lect. univ. dr. Alexandru Mihail Absolv en t: Andrei Ion… [604347]
UNIVERSIT A TEA DIN BUCURETI
F A CUL T A TEA DE MA TEMA TIC I INF ORMA TIC
LUCRARE DE LICEN
Conduc tor ³tiinµi c:
Lect. univ. dr. Alexandru Mihail
Absolv en t:
Andrei Ion uµ Alexandru
BUCURETI
2018
UNIVERSIT A TEA DIN BUCURETI
F A CUL T A TEA DE MA TEMA TIC I INF ORMA TIC
Analiz pe F ractali
Conduc tor ³tiinµi c:
Lect. univ. dr. Alexandru Mihail
Absolv en t:
Andrei Ion uµ Alexandru
BUCURETI
2018
Cuprins
In tro ducere 4
1 Preliminarii 5
1.1 Spaµii top ologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Spaµii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Elemen te de teoria m surii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Spaµiul fractalilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Sisteme iterativ e de funcµii (IFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 T riunghiul lui Sieprinski 15
2.1 T riunghiul lui Sierpinski. Mulµime auto-similar . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Ecuaµia c ldurii p e K . In terpretare zic . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Laplacian ul p e triunghiul lui Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 O teorem de tip Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Problema Diric hlet p en tru ecuaµia lui P oisson . . . . . . . . . . . . . . 34
3 T etraedrul lui Sierpinski 41
3.1 T etraedrul lui Sierpinski. Mulµime auto-similar . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 F orme Diric hlet p e T etraedrul lui Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Construcµia explicit a formelor Diric hlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Laplacian ul p e T etraedrul lui Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Deriv ata normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Exemple ³i aplicaµii 59
4.1 Câtev a exemple de m ulµimi fractale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1 Mulµimi fractale în matematic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.2 Mulµimi fractale în natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Aplicaµii ale fractalilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1
Cuprins 2
Introducere
Analiza p e fractali reprezin t una din tre ram urile matematicii mo derne, a v ând n u-
meroase aplicaµii în m ulte domenii. Fiind in tro dus abia în an ul 1975 de c tre Benoit
Mandelbrot, aceast arie a matematicii dore³te s studieze propriet µile obiectelor sau
a fenomenelor nediferenµiabile.
T otul a p ornit de la dorinµa de a g si o funcµie ce este înzestrat cu proprietatea
c este con tin u p e tot domeniul de de niµie, dar n u este diferenµiabil în niciun
punct . A³a a ap rut funcµia lui W eierstrass în 1872, iar dup ea au v enit m ulte alte
m ulµimi fractale foarte cunoscute în ziua de ast zi. Matematicieni ren umiµi, precum
Jun Kigami, Hausdor F elix, Gaston Julia, Helge V on K o c h sau W acăa w Sierpi«ski, au
lucrat la studiul fractalilor ³i au pus la baza analizei fractale a³a cum este cunoscut
ast zi.
Eviden t, Mandelbrot n u a fost prim ul care a studiat aceste m ulµimi, dar a fost
prim ul care le-a dat o de niµie. A cesta a explicat fractalii ca ind forme geometrice
ce au proprietatea c atunci când sun t divizate în mai m ulte p rµi, ecare parte este
o replic la scar mai mic în tregii forme. A ceast caracteristic este n umit auto-
similaritate, iar fractalii ideali (adic cei descri³i din punct de v edere matematic) au
aceast proprietate oricât de m ult m rim sau mic³or m scara la care analiz m fractalul.
Aplicaµiile fractalilor sun t n umeroase, iar propriet µile lor sun t foarte in teresan te.
Dimensiunea fractal (care p oate de nit în foarte m ulte mo duri) reprezin t o car-
acteristic esenµial în evidenµierea atât a frum useµii, cât ³i a complexit µii acestora,
ei ind primele exemple de corpuri cu dimensiune n um r raµional.
Lucrarea de faµ , care este structurat în patru mari capitole, are drept scop in-
tro ducerea în analiza p e aceste m ulµimi, adic studiul propriet µilor funcµiilor ce au
drept sup ort un fractal. În particular v om v edea cum putem s de nim noµiunile fun-
damen tale în analiza matematic p en tru aceste funcµii, cum ar diferenµiabilitatea,
in tegrabilitate ³i a laplacian ului unei aplicaµii, dar ³i cum aplic m aceste elemen te
p en tru rezolv area ecuaµiilor cu deriv ate parµiale de tip Diric hlet.
3
Cuprins 4
Prim ul capitol are datoria de a preg ti cititorul p en tru a putea parcurge aceast
lucrare. Aici am prezen tat noµiuni elemen tare de top ologie, teoria m surii, analiz
funcµional ³i spaµii metrice care ne p ermit s descriem spaµiul fractalilor ³i câtev a din-
tre propriet µile acestuia, cum ar dimensiunea Hausdor ³i câtev a noµiuni elemen tare
de sisteme iterativ e de funcµii (IFS).
În capitolul doi este studiat analiza p e T riunghiul lui Sierpinski. A cest fractal
este un ul din tre cei mai cunoscuµi în matematic ³i v a reprezen ta subiectul principal
în aceast secµiune a lucr rii. Dup ce v om de ni în mo d riguros T riunghiul lui Sier-
pinski ³i funcµiile p e aceast m ulµime, de nirea laplacian ului, energiei ³i in tegralei v a
prioritar . A ceste elemen te v or esenµiale p en tru rezolv area Problemei Diric hlet dat
p e triunghi, dar ³i p en tru en unµarea un ui rezultat similar cu T eorema Gauss-Green din
analiza real .
Capitolul trei aduce în prim plan T etraedrul lui Sierpinski, ec hiv alen tul T riunghiului
lui Sierpinski în trei dimensiuni. În esenµ , acest capitol este construit analog cu
capitolul doi. Ne v om axa înc o dat p e de nirea energiei, laplacian ului, deriv atei ³i
a in tegralei p e aceast m ulµime. Capitolul se înc heie cu prezen tarea unei teoreme de
tip Gauss-Green ce face leg tura în tre toate aceste noµiuni.
Lucrarea se înc heie cu un capitol destinat prezen t rii aplicaµiilor m ulµimilor fractale.
Capitolul încep e cu descrierea a câtorv a din tre m ulµimile fractale celebre p e care se
p oate face analiz în acela³i mo d în care a fost prezen tat în capitolele doi ³i trei. În
nalul scrierii au fost menµionate câtev a din tre aplicaµiile foarte imp ortan te ale acestora
în diferite domenii.
Capitolul 1
Preliminarii
1.1 Spaµii top ologice
De niµia 1.1. FieX o mulµime nevid . O familie de p rµi se nume³te top olo gie
p eX dac ac e asta ar e urm to ar ele pr opriet µi:
i);2 ; X2 ;
ii) Pentru oric e familie de mulµimi fDigi2f1;:::;ng ,n2N , atunciTn
i=1Di2 ;
iii) Dac fDigi2I , atunciS
i2IDi2
În acest caz v om spune c p erec hea (X; ) este un spaµiu top ologic iar elemen tele
lui se n umesc m ulµimi desc hise. V om spune c o m ulµime F(X; ) este înc his
dac CF este desc his .
De niµia 1.2. [1] Un sp aµiu top olo gic (X; ) se nume³te sp aµiu Hausdor dac
p entru oric e dou puncte x;y2X; x6=y exist dou mulµimi D1 ³iD2 din astfel c a
x2D1 ,y2D2 .
P en tru cele ce urmeaz x m (X; ) spaµiu top ologic.
De niµia 1.3. Spunem c o submulµime V a sp aµiului top olo gic (X; ) se nume³te
ve cin tate a unui punct x2X , dac exist o mulµime deschis DV astfel înc ât
x2D
Not m cuVx m ulµimea v ecin t µilor lui x .
De niµia 1.4. FieA(X; )
i)x2X se va numi punct interior al lui A dac exist V2Vx astfel c aVA .
V om nota Å mulµime a punctelor interio ar e lui A .
5
CAPITOLUL 1. PRELIMINARI I 6
ii)x2X se va numi punct ader ent al lui A dac p entru oric e V2Vx avem c
V\A6=; . Mulµime a punctelor ader ente lui A o vom nota A ³i se nume³te ader enµa
luiA .
iii)A se nume³te dens dac A=X .
De niµia 1.5. Un sp aµiu top olo gic (X; ) se nume³te sep ar abil dac exist AX
num r abil ³i dens în X.
T eorema 1.1. FieA(x; ) . A tunci:
i) ÅAA ;
ii)A este închis ,A=A ;
iii)A este deschis ,A= Å.
De niµia 1.6. Fie dou sp aµii top olo gic e (X; ) ³i(Y;) . A tunci o funcµie f:X!
Y se nume³te c ontinu în x02X dac
(8)V2Vf(x0)(9)U2Vx0)f(U)V:
f se v a n umi con tin u p e X dac este con tin u în toate punctele din X .
1.2 Spaµii metrice
Fie X o m ulµime nevid .
De niµia 1.7. [1] O funcµie d:XX!R se nume³te semimetric p e X dac :
d1)d(x;x) = 0;(8)x2X ;
d2)d(x;y) =d(y;x);(8)x;y2X ;
d3)d(x;z)d(x;y) +d(y;z);(8)x;y;z2X .
Dac în plus semimetric a satisfac e c ondiµia:
d0
1)d(x;y) = 0)x=y , atuncid se nume³te metric (distanµ ).
P erec hea (X;d) se n ume³te spaµiu metric.
Observ aµia 1.1. Oric e semimetric ia valori p ozitive.
T eorema 1.2. Oric e sp aµiu metric este un sp aµiu top olo gic sep ar at.
De niµia 1.8. Fie(X;d) un sp aµiu metric ³i (xn)n un ³ir dinX .
Spunem c (xn)n c onver ge la un punct x2X ³i not mx= limnxn dac
(8)>0)(9)n2Npentrucared (xn;x)<; (8)nn
7 1.2. SP A I I METRICE
De niµia 1.9. Un ³ir (xn)n se nume³te ³ir Cauchy dac :
(8)>0 (9)n2Npentrucared (xn;xm)<; (8)n;mn:
Observ aµia 1.2. Oric e ³ir c onver gent este ³ir Cauchy
De niµia 1.10. Un sp aµiu metric se nume³te c omplet dac în ac est sp aµiu oric e ³ir
Cauchy este c onver gent.
De niµia 1.11. Dac A este o p arte a sp aµiului metric (X;d) , de nimd(;) = 0 ,
r esp e ctivd(A) = sup
x;y2Ad(x;y) , dac A6=; .
Elementuld(A) se nume³te diametrul mulµimii A .
De niµia 1.12. O submulµime M a unui sp aµiu metric (X;d) se nume³te m r ginit
dac d(M)<1 .
De niµia 1.13. Fie(X; ) un sp aµiu top olo gic sep ar at. O mulµime KX se
nume³te c omp act dac p entru oric e familie de mulµimi deschise (Di)i2I cu pr oprietate a
c K[
i2IDi , exist o subfamilie nit a ac esteia (Di)i=1;n astfel înc ât Kn[
i=1Di .
De niµia 1.14. O funcµief: (X;d)!(Y;) se nume³te uniform c ontinu dac
(8)>0 (9)pentrucare (8)x;y2X cud (x;y)<)(f(x);f(y))<:
Observ aµia 1.3. Oric e funcµie uniform c ontinu este în p articular c ontinu .
T eorema 1.3. [1] Dac (X;d) este c omp act ³i f: (X;d)!(Y;) este c ontinu ,
atuncif este uniform c ontinu .
De niµia 1.15. FieX un sp aµiu ve ctorial p este R ³i aplic aµia (;) :XX!R
astfel înc ât:
(i)(u;u)>0;(8)u6= 0 ³i(u;u) = 0,u= 0 ;
(ii)(u;v) = (v;u);(8)u;v2X;
(iii) ( u+ v;w ) = (u;w) + (v;w);(8) ; 2R;(8)u;v;w2X;
Spunem c aplic aµia (;) este pr o dus sc alar.
De niµia 1.16. FieX un sp aµiu ve ctorial r e al.
Numim norm p e X o aplic aµiekk:X!R c ar e satisfac e urm to ar ele pr opriet µi:
(i)kuk0;(8)u2X ikuk= 0,0;
(ii)k uk=j jkuk;(8) 2R;(8)u2X
(iii)ku+vkkuk+kvk;(8)u;v2X
În plus, p er e che a (X;kk) se nume³te sp aµiu normat.
CAPITOLUL 1. PRELIMINARI I 8
De niµia 1.17. [2] Fie (X;kk) un sp aµiu normat. X se nume³te sp aµiu Banach,
r elativ la norma indus , dac oric e ³ir Cauchy este c onver gent.
De niµia 1.18. FieX un sp aµiu ve ctorial înzestr at cu pr o dusul sc alar (;) ³i norma
aso ciat
kuk=p
(u;u);(8)u2X
Spunem c X este sp aµiu Hilb ert dac (X;kk) este sp aµiu Banach.
1.3 Elemen te de teoria m surii
FieX o m ulµime nevid .
De niµia 1.19. Spunem c o clas R de p rµi a lui X forme az o -algebr dac
este închis la difer enµe, r euniuni num r abile ³i c onµine p e X .
Fie acumR o -algebr de p rµi ale lui X ³iR+ .
De niµia 1.20. O funcµie:R!R+ se nume³te m sur p ozitiv dac :
i)(;) = 0;
ii) p entru oric e ³ir (An)nR cuAi\Aj=;(8)i6=j , avem
1[
n=1An!
=1X
n=1(An)
M sur a se nume³te nit dac (X)<1 .
De niµia 1.21. Se nume³te m sur exterio ar p e X o funcµie':P(X)!R+ cu
pr opriet µile:
i)'(;) = 0 ;
ii)ABX)'(A)'(B)
iii) dac (An)n este un ³ir de p rµi ale lui X, atunci
' 1[
n=1An!
1X
n=1'(An)
T eorema 1.4. Fie:R!R+ . A tunci avem:
1) este nit aditiv ;
2) Dac A;BR astfel înc ât AB ³i(A)<1 , atunci
(BnA) =(B) (A);
3) este cr esc to ar e;
9 1.4. SP A IUL FRA CT ALILOR
De niµia 1.22. Fie(X; ) un sp aµiu top olo gic. A tunci -algebr a gener at de familia
mulµimilor deschise din se nume³te – algebr a b or elienelor lui X ³i o vom notaB(X)
De niµia 1.23. O funcµie':X!R se nume³te etajat dac exist o p artiµie
nit (Ai)1in a luiX cuAi2R ³i numer ele r e ale a1;:::;an astfel c a
'=nX
i=1ai Ai
unde A r epr ezint funcµia c ar acteristic a lui A .
De niµia 1.24. O funcµief:X!R se nume³te m sur abil dac f 1(B)2R
p entru oric e B2B(R) .
În cele ce urmeaz x m X nevid ,R o -algebr p e X iar:R!R+ .
De niµia 1.25. [1] Dac ' este o funcµie etajat ³i p ozitiv , atunci elementul din
R+ dat prinZ
'd=nX
i=1ai(Ai)
se nume³te inte gr ala lui ' in r ap ort cu . V om spune c ' este inte gr abil dac inte gr ala
sa este nit .
Dac A2R atunci de nim inte gr ala lui ' p e mulµime a A c a ind:
Z
A'd=Z
' Ad
Not m cu"+ m ulµimea funcµiilor eta jate ³i p ozitiv e p e X .
De niµia 1.26. Fief:X!R+ o funcµie m sur abil . Elementul din R+ de nit
prin Z
fd= supfZ
'dj'2"+; 'fg
se nume³te inte gr ala lui f în r ap ort cu . De nim c a mai sus inte gr ala lui f p e mulµime a
A .
1.4 Spaµiul fractalilor
În cele ce urmeaz (X;d) reprezin t un spaµiu metric. V om nota cu P(X) clasa
tuturor p rµilor lui X , iar cuP(X) familia subm ulµimilor nevide ³i m rginite ale lui
X .
CAPITOLUL 1. PRELIMINARI I 10
De niµia 1.27. [1] Dac x2X; A2P(X) , de nim distanµa dintr e x ³iA prin
d(x;A) =inffd(x;a)ja2Ag
³i de asemene a, de nim bila deschis (r esp e ctiv închis ) de c entru A ³i de r az ">0
prin
B(A;") =fx2Xjd(x;A)<"g
De asemene a, p entru A;B2P (X) , de nim
d(A;B) = sup
x2Ad(x;B):
Observ aµia 1.4. Dac A;B sunt mulµimi c omp acte nevide, atunci exist dou
numer ea2A ³ib2B astfel înc ât
d(a;B) =d(a;b); d(A;B) =d(a;b):
Prop oziµia 1.5. Distanµa într e dou mulµimi de nit mai sus ar e urm to ar ele
pr opriet µi:
a)d(A;B) =inff">0j 8x2A;9y2B pentrucared (x;y)<"g ;
b)AB)d(A;B) = 0 ;
c)d(A;B) =d(A;B) ;
d)d(A;B) = 0)AB ;
e)d(A;C)d(A;B) +d(B;C) ;
Prop oziµia 1.6. Aplic aµia:P(X)P(X)!R dat prin
(A;B) =maxfd(A;B);d(B;A)g
este o semimetric .
De niµia 1.28. [1] Aplic aµia se nume³te semimetric a Hausdor-Pomp eiu.
V om nota cuK(X) clasa m ulµimilor compacte nevide ale spaµiului metric (X;d) .
Se p oate ar ta c restricµia lui p eK(X)K(X) este o metric , n umit metrica
Hausdor-P omp eiu ³i notat , p en tru simpli care, tot cu .
T eorema 1.7. Fie(An)n1 un ³ir de mulµimi c omp acte nevide din sp aµiul (X;d) .
A tunci:
i) dac An+1An , atunci lim
nAn=\
n1An ;
11 1.4. SP A IUL FRA CT ALILOR
ii) dac KX este o mulµime c omp act , AnK ,8n1 , ³ilim
nAn=K , atunci
K=[
n1An;
iii) dac exist o mulµime c omp act nevid K astfel c aKAn , p entru oric e n1 ,
³i pr esupunem c lim
nAn=K , atunci
K=1\
n=1An
De acum înain te v om considera familia K(X) înzestrat cu metrica Hausdor-
P omp eiu.
T eorema 1.8. Pr esupunem c sp aµiul metric (X;d) este c omplet ³i c onsider m un
³ir Cauchy (An)nK(X) . Dac not m
A=\
k1[
nkAn;
atunciA2K(X) .
T eorema 1.9. Dac sp aµiul (X;d) este c omplet, atunci sp aµiul metric (K(X);)
este de asemene a c omplet.
Mai mult, dac (An)n este un ³ir Cauchy din K(X) , atunci limita sa A p o ate
exprimat prin:
( )A=\
k1[
nkAn ;
( )A=fx2Xj exist un ³ir (xn)n cuxn2An c onver gent la xg
T eorema 1.10. Dac sp aµiul (X;d) este sep ar abil, atunci sp aµiul metric (K(X);)
este de asemene a sep ar abil.
T eorema 1.11. Dac sp aµiul metric (X;d) este c omp act, atunci sp aµiul metric
(K(X);) este de asemene a c omp act.
De niµia 1.29. [1] Dac sp aµiul (X;d) este c omplet, atunci sp aµiul metric c omplet
(K(X);) se nume³te sp aµiul fr actalilor .
P en tru studiul m surii m ulµimilor fractale se in tro duce m sura Hausdor. În con-
tin uare v om prezen ta doar mo dul de de nire ³i câtev a propriet µi. P en tru mai m ulte
detali p oate consultat cartea domn ului N.A. Secelean, "M sur ³i fractali".
CAPITOLUL 1. PRELIMINARI I 12
Consider m spaµiul metric (X;d) ³i v om nota cu d top ologia generat de metrica
d , iar cud(E) diametrul unei m ulµimi EX . De asemenea,
M=fh:R+!R+jhcrescatoare; h (t)>0pentrut> 0; hcontinualadreapta g
V om nota cuM0 clasa funcµiilor h dinM cu proprietatea c h(0) = 0 . De asemenea,
v om utiliza notaµia
h(E) =h(d(E)); dacaE6=;:
P en tru>0; h2M ³iEX , de nim
Hh
= inff1X
i=1h(Gi)jE1[
i=1Gi; Gi2 d; d(Gi)g
Prop oziµia 1.12. Dac h2M , aplic aµiaHh:X! R+ dat prin
Hh(E) = sup
>0Hh
(E);8EX
este o m sur exterio ar p e X .
De niµia 1.30. M sur exterio ar de nit în pr op oziµia anterio ar se nume³te h-
m sur a exterio ar Hausdor. Dac h(t) =ts;s0 , vom utiliza denumir e a s-m sur
exterio ar Hausdor ³i notaµia Hs.
De niµia 1.31. M sur a p ozitiv r ezultat r estricµionând h -m sur a exterio ar Haus-
dor la clasa mulµimilor Hh-m sur abile se nume³te h -m sur a Hausdor. Dac h(t) =
ts, vom spune s -m sur a Hausdor.
Pentru simpli c ar e, vom nota ac este m suri tot cu Hh, r esp e ctiv cuHs.
Un alt concept foarte imp ortan t în studiul top ologiei, dar ³i al analizei fractalilor
este dimensiunea. F ractalii au fost primele obiecte matematice in tro duse cu dimensiune
fracµional . V om prezen ta acum instrumen tul cu care putem deduce exact dimensiunea
un ui fractal, acesta ind dimensiunea Hausdor.
De niµia 1.32. [1] Fie un sp aµiu metric (X;d) ³iE o submulµime nevid a sa.
Numim dimensiune a Hausdor a lui E num rul
dim(E) =supfs0j Hs(E) =1g
13 1.5. SISTEME ITERA TIVE DE FUNCI I (IFS)
1.5 Sisteme iterativ e de funcµii (IFS)
De niµia 1.33. Fie(X;d);(Y;) dou sp aµii metric e ³i o funcµie f:X!Y .
Numim c onstanta Lipschitz a lui f , elementul
Lip(f) = sup
x6=y(f(x);f(y))
d(x;y):
Spunem c f este lipschitzian dac Lip(f)<1 .
Observ aµia 1.5. f lipschitzian )f uniform c ontinu .
De niµia 1.34. Dac Lip(f)<1 , atunci funcµia f se nume³te c ontr acµie iar
r=Lip(f) se nume³te r aµia sa.
Fie acum (X;d) un spaµiu metric complet.
De niµia 1.35. [1] O familie de c ontr acµii (!n)n=1;N ,N1 , se nume³te sistem
iter ativ de funcµii, notat IFS.
De nimS:K(X)!K (X) , prin
S(B) =N[
n=1!n(B);(8)B2K(X)
T eorema 1.13. [1] Fie (rn)n=1;N ³irul de r aµii c or espunz tor familiei de c ontr acµii
(!n)n=1;N . A tunci, aplic aµia S aso ciat sistemului iter ativ de funcµii (!n)n=1;N este o
c ontr acµie p e sp aµiul metric c omplet K(X) de r aµiermax
1nNrn:
Exist o singur mulµime A2K(X) invariant la IFS (!n)n=1;N , adic astfel înc ât
A=S(A) =N[
n=1!n(A):
În plus, p entru oric e B2K(X);A= lim
p!1Sp(B) , unde am notat Sp+1=SSp, cu
c onvenµiaS1=S .
De niµia 1.36. Unic a mulµime invariant faµ de S se nume³te atr actorul sis-
temului iter ativ de funcµii (!n)n=1;N .
V om notaNN=1Y
p=0f1;:::;Ng , clasa tuturor ³irurilor de elemen te în f1;:::Ng . Dac
v om considera p e NNNNaplicaµiadC dat prin
dC( ; ) =1X
p=1jip jpj
(N+ 1)p; pentruorice =i1i2:::; =j1j2:::;
obµinem o metric p e NN.
CAPITOLUL 1. PRELIMINARI I 14
De niµia 1.37. Sp aµiul metric (NN;dC) se va numi sp aµiul c o durilor aso ciat IFS
(!n)n=1;N .
P en tru orice sistem de indici i1;:::;ip2f1;:::Ng; p1; not m
!i1:::ip=!i1:::!ip:
Observ aµia 1.6. !i1:::ip este o c ontr acµie de r aµie ri1:::rip c e p ose d un singur punct
x.
T eorema 1.14. Fie(!n)n=1;N un IFS ³iA atr actorul s u. A tunci AAi1:::
Ai1;:::;ip , iar1\
p=1Ai1;:::;ip este format dintr-un singur element ai1;:::;ip .
T eorema 1.15. Fie =i1:::ip::: . Aplic aµia :NN!A ,
( ) =a
este surje ctiv ³i c ontinu .
Urm toarele rezultate se refer la dimensiunea un ui atractor de IFS.
De niµia 1.38. O mulµime A2K(X) se nume³te autosimilar dac :
a1)A este atr actorul unui IFS (!n)n=1;N ;
a2)Hs(A)>0;HS(!i(A)\!j(A)) = 0 , p entrui6=j , undes=dimA .
De niµia 1.39. Dac NX
n=1rD
n= 1; D se nume³te dimensiune a de asem nar e a
sistemului (!n)n=1;N
Prop oziµia 1.16. Dac A este atr actorul, D dimensiune a de asem nar e a IFS
(!n)n=1;N , iars=dimA , atunci
i)HD(A)<1 ³i de cisD ;
ii)0<Hs(A)<1 implic (Aautosimilar,s=D)
T eorema 1.17. Pr esupunem c dimensiune a de asem nar e a IFS (!n)n=1;N iar
atr actorul s u A . Dac p entru oric e mulµime deschis V nevid avem:
i)N[
n=1!n(V)V ;
ii)!i(V)\!j(V) =;; pentrui6=j ;
A tunci
0<HD(A)<1
³i de ciA este autosimilar . În p articular dimA =D
Capitolul 2
T riunghiul lui Sieprinski
La începutul secolului XX Sierpinski a descop erit m ulµimea care ast zi este cunoscut
sub n umele de T riunghiul Lui Sierpinski. A ceast m ulµime auto-similar este un exem-
plu foarte des în talnit de fractal, iar propriet µile acesteia au fost studiate de-a lungul
timpului de foarte m ulµi matematicieni, prin tre care J. Kigami, M. Y amagutti, R. S.
Stric hartz, etc.
Noi v om studia atât propriet µiile acestei m ulµimi în tr-un cadru cât mai general
cu putinµ , cât ³i cele ale funcµiilor de nite p e spaµiul delimitat de T riunghiul lui
Sierpinski.
2.1 T riunghiul lui Sierpinski. Mulµime auto-similar
De niµia 2.1. [3] Fiefp1;p2;p3g vârfurile unui triunghi e chilater al de latur a 1,
notat cuK . Se nume³te c ontr acµie o funcµie Fi dat prin formula
Fi(x) =1
2(x pi) +pi; (2.1)
undepi este xat, (8)i= 1;2;3 . Spunem c familia fF1;F2;F3g de ne³te un sistem
iter ativ de funcµii, iar K r epr ezint atr actorului ac estui sistem. Numim K triunghiul
lui Sierpinski , iar ac esta este unic a mulµime c omp act cu pr oprietate a c
K=F1(K)[F2(K)[F3(K): (2.2)
Consider m la prim ul pas triunghiul ec hilateral K . Aplicând la al doilea pas familia
de con tracµiifFig1i3 triunghiului K obµinem 3 triunghiuri rezultate " îndep rtând"
triunghiul desc his (f r con tur) ce are ca v ârfuri mijloacele laturilor lui K . Aplicând
acum acela³i pro cedeu ec ruia din tre aceste 3 triunghiuri de o in nitate de ori obµinem
ceea ce se n ume³te T riunghiul lui Sierpinski.
15
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 16
Figure 2.1: Construcµia T riunghiului lui Sierpinski
T eorema 2.1. Dimeniune a Hausdor a triunghiului lui Sierpinski esteln(3)
ln(2).
Demonstr aµie: T rebuie s observ m c trei v ersiuni ale T riunghiului lui Sierpinski p ot
puse împreun p en tru a crea o v arian t mai mare a acestuia. Mai m ult, ordin ul de
m rime al noului triunghi este de dou ori mai mare decât al celorlalte trei triunghiuri.
A³adar, dimensiunea T riunghiului este dat de soluµia ecuaµiei:
2d= 3
dat ded=ln(3)
ln(2)= 1;58496:::
P en tru a putea face analiz p e triunghiul lui Sierpinski este necesar s de nim
³irul (Vm;Lm) de grafuri, unde Vm reprezin t m ulµimea v ârfurilor triunghiului, iar Lm
reprezin t m ulµimea m uc hiilor acestuia, ca în gura 2.2 .
De niµia 2.2. [3] Pentru V0=fp1;p2;p3g siL0=f(p1;p2);(p1;p3);(p2;p3)g , ³i
un num r într e g m1 , c onstruim
Vm=[
1i1;i2;:::;im3Fi1Fi2:::Fim(V0)
Lm=f(Fi1Fi2:::Fim(pk); Fi1Fi2:::Fim(pl))j1i1;i2;:::;im3;1kl3g:
Fix m in cele ce urmeaz V=S
m0Vm . Înc hiderea Vm este triunghiul lui Sierpinski.
Observ aµia 2.1. VmVm+1 .
A³adar, T riunghiul lui Sierpinski p oate apro ximat cu ³irul de grafuri (Vm;Lm)
17 2.1. TRIUNGHIUL LUI SIERPINSKI. MUL IME A UTO-SIMILAR
Figure 2.2: T riunghiul lui Sierpinski ³i ³irul de apro xim ri (Vm;Lm)
În cele ce urmeaz v om folosi urm toarele notaµii:
1.f1;2;3gm=fw1w2w3:::wmj1w1;w2;:::wm3g
2.P en truw=w1w2:::wm2f1;2;3gm;
Fw=Fw1Fw2:::Fwm; Kw=Fw1Fw2:::Fwm(K);
pi(w) =Fw(pi); qi(w) =Fw(qi);(8)i= 1;2;3:
Cu aceste notaµii putem scrie
Vm=[
w2f1;2;3gmFw(V0); Fw(V0) =fp1(w);p2(w);p3(w)g (2.3)
Remarc Fiew o secv enµ format din n umerele 1, 2 ³i 3, adic w=w1w2w3:::;wi=
1;2 sau3 . În aceast situaµie a v em c Kw1w2:::wmKw1w2:::wmwm+1 p en tru orice n um r
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 18
în tregm1 . În con tin uare, cum diametrul m ulµimii Kw1w2:::wm+1 este (1
2)m, a v em
c m ulµimeaT
m1Kw1:::wm este format din tr-un singur elemen t. A ceast coresp on-
denµ ne conduce în mo d natural la de niµia funcµiei , care duce m ulµimea secv enµelor
in nite =fwjw=w1w2:::;w = 1;2;3g în m ulµimea K:
f(w)g=\
m1Kw1w2:::wm (2.4)
Observ aµia 2.2. [4] F uncµia : !K este surje ctiv . De asemene a, funcµia
este c ontinu faµ de pr o dusul c artezian al mulµimilor de forma f1;2;3g . Evalu m
in ni³te puncte exacte:
(_1) =p1; (_2) =p2; (_3) =p3; (1_2) =(2_1) =q3;
(1_3) =(3_1) =q2; (2_3) =(3_2) =q1;
unde _1 = 111:::; _2 = 222:::; _3 = 333::: .
În mo d similar putem construi o funcµie p en tru m ulµimi auto similare mai gen-
erale, ceea ce este foarte imp ortan t in studiul top ologiei acestor m ulµimi.
În cele ce urmeaz v om de ni Laplacian ul discret p e graful (Vm;Lm) .
De niµia 2.3. [4] Fiel(Vm) =ffjf:Vm!Rg . De nimHm:l(Vm)!l(Vm)
prin
(Hmf)(p) =X
q2Vm;p(f(q) f(p));
undef2l(Vm);p2Vm , iarVm;p r epr ezint mulµime a
Vm;p=fqj(9)p2Vm;(p;q)2Lmsau(q;p)2Vmg:
Relaµiile an terioare p ot scrise ³i sub form matriceal :
H0=0
BB@ 2 1 1
1 2 1
1 1 21
CCA, ³i0
BB@(H0(f))(p1)
(H0(f))(p2)
(H0(f))(p3)1
CCA=H00
BB@f(p1)
f(p2)
f(p3)1
CCA:
Fie matricile: T=0
BB@ 2 0 0
0 2 0
0 0 21
CCA;X=0
BB@ 4 1 1
1 4 1
1 1 41
CCA;
J=0
BB@0 1 1
1 0 1
1 1 01
CCA: Cu aceste notaµii a v em c matricea H1=
T J|
J X!
³i, de asemenea
(H1f)jV0
(H1f)jV1nV0!
=
T J|
J X!
fjV0
fjV1nV0!
(2.5)
19 2.1. TRIUNGHIUL LUI SIERPINSKI. MUL IME A UTO-SIMILAR
Lema 2.2. F uncµiileH0 siH1 sunt str âns le gate de urm to ar e a r elaµie:
3
5H0=T J|X 1J; (2.6)
F orm ula de mai sus ne arat leg tura din tre op eratorul diferenµial H0 p e(V0;L0)
si op eratorul H1 p e(V1;L1) . A ceast legatur o n umim ecuaµie de normalizare. Ea v a
a v ea un rol esenµial în încerc rile noastre de a face analiz p e triunghiul lui Sierpinski.
Lema 2.3.
3
5(H0f)(pi) = (H1f)(pi) +2
5X
j6=i(H1f)(qj) +1
5(H1f)(qj) (2.7)
Demonstr aµie: Fief2l(V1) . De nim funcµiile f0=fjV0 ³if1=fjV1nV0 .
Din lema an terioar a v em c :
3
5H0f0=Tf0 J|X 1Jf0
=Tf0 J|X 1Jf0+J|f1 J|f1
= (Tf0+J|f1) (J|X 1Jf0+J|X 1Xf1)
= (Tf0+J|f1) J|X 1(Jf0+Xf1)
= (H1f)jV1+1
50
BB@1 2 2
2 1 2
2 2 11
CCA(H1f)jV1nV0
= (H1f)(pi) +2
5X
j6=i(H1f)(qj) +1
5(H1f)(qj)(2.8)
În cele ce urmeaz v om de ni funcµiile armonice p e triunghiul lui Sierpinski. În
mo d clasic spunem c o funcµie f este armonic dac f= 0 , unde f reprezin t
Laplacian ul funcµiei f .
De niµia 2.4. [3] Notând C(K) mulµime a funcµiilor c ontinue p e K, spunem c o
funcµief2C(K) este armonic dac
(Hmf)(p) = 0
p entru oric e m1 ³ip2VmnV0 .
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 20
În urm toarea teorem v om ar ta ca funcµiile armonice formeaz o clas su cien t
de mare încât s putem pune mâna p e funcµii armonice unice ce satisfac orice condiµii
p e fron tier impuse, ³i c nici o funcµie armonic n u î³i atinge marginile p e in teriorul
triunghiului lui Sieprinski.
T eorema 2.4. ( Principiul de maxim ) Dac o funcµie armonic de nit p e tri-
unghiul lui Sieprinski î³i atinge valo ar e a maxim în interiorul lui KnV0 , atunci funcµia
este c onstant p e K.
T eorema 2.5. [3] Fie tr ei numer e ; ;
. A tunci exist o unic funcµie armonic
f c ar e s satisfac f(p1) = ;f(p2) = ;f(p3) =
.
Figure 2.3: (a) v alorile lui f p eV1 , (b) trecerea de la Vm laVm+1
Demonstr aµie: V om rezolv a p en tru început ecuaµia (H1f)jV1nV0= 0 scris în form
matriceal :0
BB@f(q1)
f(q2)
f(q3)1
CCA=1
50
BB@1 2 2
2 1 2
2 2 11
CCA0
BB@f(p1(w))
f(p2(w))
f(p3(w))1
CCA
Din gura 2.3(a) a v em v aloriile funcµiei f p e V1 . În con tin uare v om presupune c
a v em v aloriile lui f ³i p en tru Vm . Uitându-ne la Fw(V0) =fp1(w);p2(w);p3(w)g ( gura
2.3 (b)), g sim c dac f este armonic , atunci (Hm+1f)(qi(w)) = 0;i= 1;2;3 .
21 2.1. TRIUNGHIUL LUI SIERPINSKI. MUL IME A UTO-SIMILAR
Rezolv ând aceast ecuaµie în acela³i mo d în care am calculat v aloriile funcµiei f p e
V0 , obµinem c :0
BB@f(q1(w))
f(q2(w))
f(q3(w))1
CCA=1
50
BB@1 2 2
2 1 2
2 2 11
CCA0
BB@f(p1(w))
f(p2(w))
f(p3(w))1
CCA:
Cu aceast form ul putem con tin ua demonstraµia în mo d inductiv, începând cu
v alorile lui f p e V0 , v alorile lui f p e V1;V2;:::; obµinând funcµia f:V!R , unde
V=S
m1V0 . T ermin m demonstraµia ar tând urm toarele a rmaµii:
(1)f satisface condiµia (Hmf)(p) = 0 (8)m1 ³i(8)p2VmnV0 .
(2)f p oate extins prin con tin uitate la K .
Justi carea primei a rmaµii: V om face inducµie dup m. P en tru m=1, relaµia (1)
devine (H1f)(qi) = 0;i= 1;2;3 . Presupunem c relaµia (1) are lo c p en tru toate v aloriile
pân la m. Dac p2Vm+1nV0 , a v em c p2Fw(V0)\Fw0(V0) , p en truw;w02f1;2;3g
astfel încât w6=w0.
T rei situaµii sun t p osibile p en tru Vm în jurul lui p, iar acestea sun t reprezen tate în
gura .44. Din momen t ce acestea sun t iden tice în esenµ v om considera doar cazul I.
Figure 2.4: Vm în jurul lui p
În con tin uare aplic m Lema 2.3 înlo cuind pi cupi(w) , resp ectivpi(w0) ³iqi cuqi(w) ,
resp ectivqi(w0) , împreun cu faptul c
(Hm+1f)(qi(w)) = (Hm+1f)(qi(w0)) = 0;i= 1;2;3; (2.9)
³i obµinem c
5
3(f(p1(w)) +f(p3(w)) 2f(p2(w))) =f(q1(w)) +q(p3(w)) 2f(p2(w));
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 22
5
3(f(p2(w0)) +f(p3(w0)) 2f(p1(w))) =f(q2(w0)) +f(p3(w0)) 2f(p1(w0)):
Prin urmare (Hm+1f)(p) =5
3(Hmf)(p) , dar din ip oteza de inducµie ³tim c (Hmf)(p) =
0 . Deci (Hm+1f)(p) = 0 , ceea ce completeaz demonstraµia primei a rmaµii.
Demonstraµia a rmaµiei (2). A v em c :
(i) p en truqj;j= 1;2;3
min
i=1;2;3f(pi)f(qj)max
i=1;2;3f(pi);
unde egalitatea se în tâmpl doar p en tru f(p1) =f(p2) =f(p3) .
(ii) p en tru k= 1;2;3 ,
max
1i<j3jf(pi(k)) f(pj(k))j3
5max
1i<j3jf(pi) f(pj)j:
V om folosi (i) si (ii) p en tru a demonstra urm toarea lem prin inducµie.
Lema 2.6. Fiew2f1;2;3gm.
(i) Pentrup2V\Kw ,
min
i=1;2;3f(pi(w))f(p)max
i=1;2;3f(pi(w)):
(ii) Fix m C= max
1i<j3jf(pi) f(pj)j ³i
vw(f) = max
1i<j3jf(pi(w)) f(pj(w))j
A tunci
vw(f)C3
5m
(2.10)
Figure 2.5: (a) p; q se a în aceea³i celul ; (b) p; q se a în celule diferite
23 2.2. ECUA IA CLDURI I PE K . INTERPRET ARE FIZIC
Fiep;q2V astfel încâtjp qj(1
2)k. T rebuie s ne amin tim c am construit
triunghiul lui Sierpinski cu a jutorul triunghiului ec hilateral de latur un u, cu v ârfurile
fp1;p2;p3g astfel încât p en tru orice w2f1;2;3gmdiametrul lui Kw este(1
2)k. În acest
caz, prin diametrul lui Kw înµelegem distanµa maxim în tre dou puncte din Kw . Deci
p en trujp qj(1
2)k, a v em una din tre urm toarele p osibilit µi ( gura 2.5):
(a) P en tru w2f1;2;3g a v emp;q2Kw ;
(b) P en tru dou n umere w;w02f1;2;3g ce au proprietatea c Kw\Kw06=; , a v em
c :
jf(p) f(q)j2C3
5k
: (2.11)
În situaµia (a), aplic m Lema 2.6 si obµinem c jf(p) f(q)jC(3
5)k. Similar,
dac sun tem în situaµia (b) se p oate ar ta c jf(p) f(q)j2C(3
5)k. A³adar am
demonstrat:
Lema 2.7. Fiep;q2V cu pr oprietate a c jp qj(1
2)k. A tunci
jf(p) f(q)j2C3
5k
: (2.12)
Fiex2K ³ifxngn1 ³ir dinV con v ergen t la x , cândn!1 . A tunci p en tru orice
k putem g si dou n umere su cien t de mari m ³in cu proprietatea c jxn xmj(1
2)k.
Deci, din Lema 2.3, a v em c jf(xn) f(xm)j2C(3
5)k; prin urmare ³irul ff(xn)gn1
este ³ir Cauc h y , deci este con v ergen t.
Dac x =2V , de nim v aloarea funcµiei f înx prinf(x) = lim
n!1f(xn) . În acest mo d
f devine o funcµie ce extinde funcµia original de p e V p eK . Eviden t, f este con tin u .
A cest lucru înc heie demonstraµia T eoremei 2.5.
2.2 Ecuaµia c ldurii p e K . In terpretare zic
Presupunem c a v em 3 puncte xate în T riunghiul lui Sierpinski astfel încât triunghiul
s se a e în plan. Lo vim triunghiul cu un b eµi³or de tob p en tru a creea o vibraµie
v ertical p e suprafaµa delimitat de triunghi, descris prin ecuaµia undelor,
M@2u
@t2=k@2u
@x2+@2u
@y2
(2.13)
p e
, unde
reprezin t suprafaµa plan corespunz toare "tob ei" formate de triunghiul
lui Sierpinski, u(x;y;t ) reprezin t p oziµia punctului (x;y) la momen tul t ,M este masa
suprafeµei, iar k este co e cien tul de elasticitate.
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 24
Figure 2.6: Mo delul unei oscilaµii p e (Vm;Lm)
În aceste condiµii, u=@2u
@x2+@2u
@y2 reprezin t Laplacian ul funcµiei u p e
, iar ecuaµia
an terioar se rescrie
M@2u
@t2=ku (2.14)
p eK , dac facem analogia în tre "toba" format ³i T riunghiul lui Sierpinski.
Aici este "Laplacian ul" care trebuie de nit p e în tregul K ,M este masa triunghi-
ului lui Sierpinski, k este constan ta de elasticitate, iar u(x;t) reprezin t p oziµia un ui
punctx la un momen t de timp t .
În sens in v ers, dac am construit un mo del ce descrie vibraµia tob ei determinat de
triunghiul lui Sierpinski, v om putea s de nim Laplacian ul p e triunghiul lui Sierpinski.
P en tru a ne con tin ua construcµia trebuie sa descriem vibraµia p e ecare graf din
³irulf(Vm;Lm)gm ce apro ximeaz triunghiul lui Sierpinski, iar dup , prin trecere la
limit , v om obµine vibraµia în tregului triunghi.
(a) Ecuaµia discret a undelor p e f(Vm;Lm)g
Fix m un punct material Mm;p p en tru ecare v ârf p din m ulµimea Vm . A ceste
puncte materiale sun t legate prin arce (p;q)2Lm cu co e cienµii de elasticitate km ,
unde presupunem c vibraµia este v ertical . Fiecare arc se deformeaz ca în gura 2.6,
exercitând o forµ în direcµie v ertical p en tru punctele materiale a ate în tr-o v ecin tate
a acestuia. Not m cu u(p;t) p oziµia punctului p p e direcµia v ertical la momen tul t .
A tunci forµa exercitat asupra punctului p la momen tul t este compunerea forµelor
arcelor conectate cu p . Dac ignor m forµa gra vitaµional , atunci forµa exercitat
asupra punctului p este egal cu
X
q2Vm;pkm(u(p;t) u(q;t)): (2.15)
25 2.2. ECUA IA CLDURI I PE K . INTERPRET ARE FIZIC
Prin urmare, putem scrie ecuaµia de mi³care a punctului p ca ind
Mm;pd2
dt2u(p;t) =km(Hmu)(p); (2.16)
undeHm reprezin t op eratorul diferenµa deriv at în relaµia an terioar .
În con tin uare trebuie s discut m despre v aloriile optime p en tru Mm;p ³ikm p en tru
descrierea oscilaµiilor care apar p e triunghiul lui Sierpinski, folosind mo delul descris
mai sus în cel mai natural mo d.
(b) Distribuµia masei (Mm;p)
FieM masa triunghiului lui Sierpinski, care presupunem c este uniform distribuit .
P en tru ecare w2f1;2;3gmmasa luiKw este (1=3)mM . P en trup2Vm , n um rul
eleemn telor w2f1;2;3gm+1p en tru care p2Kw este doi dac p2VmnV0 ³i un u dac
p2V0 ( gura 2.7).
Figure 2.7: Distribuµia masei Mm;p
În acest caz este natural s de nim Mm;p prin
Mm;p=8
><
>:2
3m+1M ; dac p2VmnV0
1
3m+1M ; dac p2V0
(c) Co e cien tul de elasticitate km
Fieu:Vm!R funcµia de p oziµie a punctelor lui Vm . Not m cu Em(u) suma
energiei elastice p strat în ecare arc
Em(u) =X
(p;q)2Lmkm
2(u(p) u(q))2: (2.17)
P en tru ecare secv enµ w=w1w2:::wm2f1;2;3gm³i ecareu:Vm!R , eEw(u)
n um rul
Ew(u) =X
i>j(u(pi(w)) u(pj(w)))2: (2.18)
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 26
Observ aµia 2.3. Pentrum= 0 avemf1;2;3gm=f1;2;3g0=; . V om fac e
urm to ar e a c onvenµie de notaµie: F;= identitate a, K;=K ,pi(;) =pi ,qi(;) =qi
(8)i2f1;2;3g . În p articular, scriem
E;(u) =X
i>j(u(pi) u(pj))2:
Observ aµia 2.4. Em(u) =km
2P
w2f1;2;3gmEw(u)
În cele ce urmeaz a v em nev oie de urm toarea ip otez zic p en tru energia elastic :
Ip oteza 2.1 [3] Fieu:Vm!R , p en tru orice m0 . A tunci
Em(u) =minfEm+1(u)jv:Vm+1!R;vjVm=ug: (2.19)
A ceast ip otez ne ofer su cien te condiµii p en tru a ne asigura urm torul scenariu
zic: p en tru funcµia de p oziµie u:K!R , energia elastic E(u) trebuie sa e limita
luiEm(ujVm) , cândm tinde c tre +1 . A ceast v aloare a energiei ar trebui s e 0
sau s div earg p en tru su cien t de m ulte funcµii.
Urm toarea discuµie v a stabili km+1=5
3km în condiµiile ip otezei an terioare.
Lema 2.8. (i) Pentruu:Fw(V0)!R avem
Ew(u) =5
3minf3X
j=1Ewj(v)jv:Fw(V1)!R;vjFw(V0)=ug:
Membrul dr ept al e galit µii îsi atinge minimul dac ³i numai dac (Hm+1v)(qi(w)) = 0
p entrui= 1;2;3
(ii) Pentru u:Vm!R avem
1
kmEm(u) =5
31
km+1minfEm+1(v)jv:Vm+1!R;vjVm=ug:
Membrul dr ept al e galit µii î³i atinge valo ar e a minim dac ³i numai dac (Hm+1v)(q) =
0 (8)q2Vm+1nVm:
Înain te de a trece la um toarea teorem trebuie s explic m semni caµia zic a
funcµieiv p en tru care mem brul drept în cazul (ii) î³i atinge minim ul. Ne reamin tim
c km(Hm+1(q) este forµa exercitat asupra punctului q , deci condiµia necesar ³i
su cien t (Hm+1v)(q) = 0 este ec hiv alen t cu faptul c v restricµioneaz funcµia
u:Vm!R în timp ce p streaz punctele m ulµimii Vm+1nVm în ec hilibru.
Lema an terioar ne conduce imediat la urm torul rezultat:
27 2.3. LAPLA CIANUL PE TRIUNGHIUL LUI SIERPINSKI
T eorema 2.9. [3] Ip oteza 2.1 este valabil dac ³i numai dac , p entru m0 avem
km+1=5
3km: (2.20)
Dac k0=k , atunci formula devine
km= (5
3)mk: (2.21)
A³adar am form ulat distribuµia masei Mm;p ³i co e cien tul de elasticitate în cel mai
natural mo d p en tru mo delul vibraµiei p e (Vm;Lm) . Înlo cuind rezultatele obµin ute în
form ulele an terioare, a v em:
(i)Md2
dt2u(p;t) =3
25mk(Hmu)(p);p2VmnV0;
(ii)Md2
dt2u(p;t) = 35mk(Hmu)(p);p2Vm:
T recând la limit dup m!1 în relaµiile an terioare obµinem relaµia care descrie
vibraµia p e T riunghiul lui Sierpinski, în forma
M@2u
@t2=ku; (2.22)
de îndat ce reu³im s de nim Laplacian ul p e toba lui Sierpinski.
Dac compar m ce am obµin ut cu relaµiile an terioare, deducem c ar trebui s
reu³im s de nim prin
u(p) = lim
m!13
25m(Hmu)(p); (2.23)
p en tru orice punct p2V . De acest lucru ne v om o cupa în urm toarea secµiune.
2.3 Laplacian ul p e triunghiul lui Sierpinski
În secµiunea an terioar am v zut cum putem de ni Laplacian ul p e triunghiul lui
Sierpinski. În acest sub capitol v om matematiza aceast de niµie ³i ne v om uita mai
aten t la clasa funcµiilor armonice, dar ³i la extensia armonic a funcµiilor de nite p e
K .
De niµia 2.5. [5] Pentru o funcµie u2C(K) ³i un vârfp2VmnV0 , scriem
(mu)(p) =3
25m(Hmu)(p):
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 28
Pr esupunem c p entru o funcµie 2C(K) avem
max
p2VmnV0j(mu)(p) (p)j!0; pentrum!+1:
În ac est c az putem scrie u= ³i putem numi L aplacianul lui u p e triunghiul lui
Sierpinski. În c ele c e urme az vom nota L mulµime a funcµiilor c ontinue cu pr oprietate a
c exist 2C(K) cu pr oprietate a c u= . În alte cuvinte, L r epr ezint domeniul
de de niµie al lui .
Chiar dac am de nit Laplacian ul, n u este complet clar dac acesta are sau n u sens.
P ân acum n u a v em foarte m ulte informaµii despre cardinalul lui L , în afara faptului
c funcµiile armonice f satisfac ecuaµia f= 0 , deci sun t înL . Urm toarea teorem
se o cup exact cu aceast problem .
T eorema 2.10. Fie 2C(K) ³i o alt funcµie arbitr ar :V0!R . A tunci exist
o unic funcµie u dinL cu pr oprietate a c u= ³iujV0= .
Sistem ul de ecuaµii de mai sus corespunde problemei Diric hlet p en tru ecuaµia lui
P oisson din analiza clasic . Demonstraµia se v a face în ultim ul sub capitol.
De niµia 2.6. Pentruu;v:Vm!R de nim ener gia p e gr aful (Vm;Lm)
"m(u;v) = 5
3mX
p2Vmu(p)(Hmv)(p):
Prin tr-un simplu calcul putem rescrie ecuaµia de mai sus prin:
"m(u;v) = 5
3mX
(p;q)2Vm(u(p) u(q))(v(p) v(q)); (2.24)
prin urmare, "m(u;v) este o form biliniar simetric ³i p ozitiv de nit p e l(Vm) =fuj
u:Vm!Rg . P en tru cele ce urmeaz trebuie s ne reamin tim form ula energiei elastice
in tro dus în sub capitolul an terior:
Em=X
(p;q)2Lmkm
2(u(p) u(q))2:
Aicikm= (5=3)mk , deci xând k= 2 obµinem
Em(u) ="m(u;u):
29 2.4. O TEOREM DE TIP GA USS-GREEN
Din aceast relaµie, împreun cu Lema 2.5 ³i T eorema 2.3 obµinem, p en tru u:Vm+1!
R;
"m(ujVm;ujVm)"m+1(u;u);
unde a v em egalitate doar dac (Hm+1u)(q) = 0 p en tru v ârfurile q2Vm+1nVm .
Observ m c , µinând con t de de niµia energiei grafului (vM;lM) , putem extinde
conceptul p en tru în tregul K . Astfel energia "(u) p eK este dat de
"(u) = lim
m!1"m(u;u):
De niµia 2.7. Fieu o funcµie de nit p e V0 . Extensia lui u laVm+1 , notat , se
nume³te extensie armonic p entru u dac minimize az valo ar e a lui "m+1 prin
"0(u) =5
3m
"m+1():
Observ aµia 2.5. [5] A c e ast extinder e este unic .
Am v zut c funcµiile armonice sun t cele care au proprietatea c u= 0 . Îns ,
aceast condiµie p oate înlo cuit cu condµia de minimizare care apare ³i în de niµia
de mai sus.
De niµia de mai sus ne asigur dac se cunosc v aloriile lui u p eV0 , atunci funcµia
se p oate extinde în mo d unic la Vm , p en tru orice m . Prin urmare, extindem u la
S
mVm=V? . F uncµiau este, prin urmare, o funcµie armonic ³i, în mo d eviden t orice
funcµie armonic u este determinat în mo d unic de c tre ujV0 .
2.4 O teorem de tip Gauss-Green
În con tin uare v om arat c form ula clasic Gauss Green se p oate extinde ³i p e tri-
unghiul lui Sierpinski.
Scopul nostru este de a face analiz p e triunghiul lui Sierpinski, dar p en tru a putea
face asta trebuie s in tro ducem o m sur ³i s de nim noµiunea de in tegral p e aceast
m sur . P en tru a face asta x m m sura de probabilitate corespunz toare unei dis-
tribuµii uniforme.
De niµia 2.8. [5] De nim o m sur de pr ob abilitate P p eK a³a înc ât satisfac e
P(Kw) = (1=3)mp entru e c ar e m0 ³i e c ar ew2f1;2;3gm. O astfel de pr ob abilitate
P exist ³i este unic .
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 30
De fapt, v om de ni P prinP(A) =Hd(A)=Hd(K);AK , unded=ln3=ln2 ³iHd
este m sura Hausdor aso ciat dimensiunii d .
Observ m c p en tru o funcµie dat :Vm!R , exist ³i este unic o funcµie
con tin u f p eK cu proprietatea c fjVm= , ³i(Hnf)(q) = 0 p en tru orice n>m ³i
oriceq2VnnVm , sau, în mo d ec hiv alen t p en tru orice w2f1;2;3gg=fFw este o
funcµie armonic ce satisface g(pi) = (pi(w)) (8)i= 1;2;3 (teorema 2.5 ne asigur
existenµa exact a unei funcµii armonice). Putem spune c f este o extensie con tin u ³i
armonic p e p orµiuni a lui p eK .
În aceste circumstanµe putem da urm toarea de niµie.
De niµia 2.9. [3] Fiem0 ³ip2Vm . De nim aplic aµia c ontinu p
m p eK cu
pr oprietate a c p entru oric e w2f1;2;3gm, funcµia p
mFw este armonic , ³i p entru
q2Vm ,
p
m(q) =(
1; dac q=p
0; dac q6=p
Dac f este armonic aproap e p este tot ³i extinde :Vm!R la K, atnci putem
scrie c
f=X
p2Vm (p) p
m:
Lema 2.11. (i) Pentruf2C(K) c onsider m ³irul de funcµii gm:Vm!R;m1;
cu pr oprietate c
max
p2Vmjgm(p) f(p)j!0; pentrum!1
³i c onstruim
fm=X
p2Vmgm(p) m
p: (2.25)
A tuncifm c onver ge uniform la f .
(ii) Pentru m0 ³ip2Vm avem
Z
K m
pdP=8
>><
>>:21
3m+1
; dac p2VmnV0
1
3m
; dac p2V0
Demonstr aµie: (i) Fie m= maxp2Vmjgm(p) f(p)j . Deoarece f este con tin u p e
K , iarK este compact, a v em c f este uniform con tin u p e K . Prin de niµie a v em
c exist un ³ir 0;1;:::; undem>0 , care con v erge la 0 , cu proprietatea c p en tru
orice p erec he de n umere p ³iq cujp qj(1
2)ma v em c
jf(p) f(q)jm:
31 2.4. O TEOREM DE TIP GA USS-GREEN
P en truw2f1;2;3gmne uit m la diferenµa din tre fm ³if p eKw . Dac lu m
h=fFw;H=fmFw , obµinem
h(pi) =f(pi(w)); H(pi) =gm(pi(w)) (8)i= 1;2;3;
³i c H este armonic . T rebuie s observ m c p en tru p;q ca mai sus, a v em jh(p)
h(q)jm:
P en trup2K , a v em
jh(p) H(p)jjh(p) h(p1)j+jh(p1) H(p1)j+jH(p1) H(p)j;
unde ³tim c jh(p) h(p1)jm ³ijh(p1) H(p1)j m:
Cu principiul de maxim obµinem c :
min
i=1;2;3H(pi)Hpmax
i=1;2;3H(pi);
deci xând H(pk) = max i=1;2;3H(pi) ³iH(pl) = mini=1;2;3H(pi) , a v em estimarea
jH(p) H(pi)jjH(pk) H(pl)j
jH(pk) h(pk)j+jh(pk) h(pl)j+jh(pl) H(pl)j
2 m+m:
Din aceast estimare rezult c jh(p) H(p)j3 m+ 2m . A cum observ m c ,
p en tru orice w2f1;2;3gm³i p en tru orice p2Kw;jfm(p) f(p)j3 m+ 2m . Deci
sup
p2Kjfm(p) f(p)j3 m+ 2m!0; pentrum!1:
Decifm con v erge uniform catre f .
(ii) P en tru w2f1;2;3gmconsider m
Z
Kw m
pi(w)dP;
ce satisface, prin simetrie,
Z
Kw m
p1(w)dP=Z
Kw m
p2(w)dP=Z
Kw m
p3(w)dP:
De asemenea, ³tim c m
p1(w)+ m
p2(w)+ m
p3(w)1 p eK ,³i prin urmare:
Z
Kw m
pi(w)dP=1
3Z
KwdP=1
3m+1
:
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 32
Fiep2Vm . Dac w2f1;2;3gm³ip =2Kw , trebuie s a v em m
p= 0 p eKw . Prin
urmare, Z
K m
pdP=X
w2f1;2;3gm;p2KwZ
Kw m
pdP:
Din gura 2.7 a v em c
]fwjw2f1;2;3gm;p2Kwg=(
2; dac p2VmnV0
1; dac p2V0
a³adar a v em c
Z
K m
p=8
>><
>>:21
3m+1
; dac p2VmnV0
1
3m+1
; dac p2V0
Urm torul nostru obiectiv este s d m o teorem de tipul "Gauss-Green" p en tru
triunghiul lui Sierpinski. P en tru a face asta trebuie s de nim înain te deriv ata Neu-
mann în tr-un v ârf de p e fron tier p2V0 , ce corespunde cu deriv ata p e direcµia normalei
exterioare din analiza p e Rn.
Lema 2.12. Fieu2L . A tunci, p entru oric e p2V0 ,³irul (5=3)m(Hmu)(p) c on-
ver ge p entru m tinzând c tr e in nit. Not m ac e ast limit cu (du)p ³i o numim derivata
Neumann a lui u înp .
Demonstr aµie: Este su cien t s facem demonstraµia p en tru p=p1 . Aplic m lema 1.2
p en truF(1)m(V1) , unde (1)m= 11:::1; p en tru a obµine
3
5(Hmu)(p1) = (Hm+1u)(p1) +2
5X
k=2;3(Hm+1u)(qm
k) +1
5(Hm+1u)(qm
1) (?)
Am notatqm
i=qi((1)m) p en trui= 1;2;3 .
Cumu2L , rezult c exist un n um r C cu proprietatea c p en tru orice n um r
în tregm1 ³i p en tru toµi q2VmnV0 , a v em urm toare inegalitate:
j5m(Hmu)(q)jC:
Dac înm ulµim relaµia (?) cu(5n3)m³i aplic m inegalitatea de mai sus obµinem c
j5
3m
(Hmu)(p1) 5
3m+1
(Hm+1u)(p1)j5
3m+1C
A³adar am obµin ut c ³irul f(5
3)m(Hmu)(p1)g este Cauc h y , deci con v ergen t.
33 2.4. O TEOREM DE TIP GA USS-GREEN
Fieu2C(K) . Not m cu "(u;v) limita lui"m(u;v) (dac exist ), p en tru m!1 .
În aceste condiµii putem da urm toarea teorem de tip Gauss Green p en tru triunghiul
lui Sierpinski.
T eorema 2.13. [4] Fieu2C(K) ³iv2L . A tunci
"(u;v) =X
p2V0u(p)(dv)p Z
Kuvdv: (2.26)
A ceast form ul corespunde, spre exemplu, cu urm toarea egalitate
Z
(Ou;Ov)dxdy =Z
@
u@v
@uds Z
uvdxdy;
unde
este domeniul m rginit de o curb neted în plan. Cum "(u;v) ="(v;u); a v em
urm torul corolar.
Corolarul 2.14. ( T e or ema Gauss-Gr e en) [3] Fie u;v2L . A tunci
(i)X
p2V0(u(p)(dv)p v(p)(du)p) =Z
K(uv vu)dv
(ii)Z
Kudv=X
p2V0(du)p(2.27)
În ultima parte a acestui sub capitol ne v om o cupa de domonstraµia teoremei de tip
Gauss Green:
Demonstr aµie: P en tru început trebuie s ar t m c
5
3mX
p2VmnV0u(p)(Hmv)(p)!Z
KuvdP
p en trum!1 . Fix m
fm(x) =X
p2VmnV0u(p)(mu)(p) m
p(x) +X
p2V0u(p)v(p) m
p(x):
A tunci
max
p2Vmjfm(p) u(p)v(p)j!0:
Din lema 2.12 obµinem c fm con v erge uniform la f , cândm!1 . Aplic m acum
teorema lui Leb esgue de con v ergenµ dominat ³i obµinem c
Z
KfmdP!Z
KuvdP:
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 34
A³adar a v em c
Z
KfmdP5
3mX
p2VmnV0u(p)(Hmv)(p) +X
p2V01
3m+1
u(p)v(p);
unde
X
p2V01
3m+1
u(p)v(p)!0
cândm!1 .
Deci
"m(u;v) = 5
3mX
p2VmnV0u(p)(Hmv)(p) +X
p2V0u(p)( 5
3m
(Hmv)(p)):
Din lema 2.13:
X
p2V0u(p)( 5
3m
(hmv)(p))!X
p2V0u(p)(dv)p
cândm!1 .
Am ar tat c
"m(u;v)!X
p2V0u(p)(dv)p Z
KuvdP:
2.5 Problema Diric hlet p en tru ecuaµia lui P oisson
În acest segmen t v om studia problema lui Diric hlet p en tru ecuaµia lui P oisson .
Reamin tim:
T eorema 1.10 [4] Fie 2C(K) ³i o alt funcµie arbitrar :V0!R . A tunci
exist o unic funcµie u dinL cu proprietatea c u= ³iujV0= .
Corolarul 2.15. Fieu2C(K) . Urm to ar ele a rmaµii sunt e chivalente:
(i)u este armonic ;
(ii)u2L ³iu= 0 .
Se p oate ar ta c problema Diric hlet p en tru ecuaµia lui P oisson translatat p e
T runghiul lui Sierpinski este ec hiv alen t cu o serie de ecuaµii de forma celor din urm –
toarea teorem .
35 2.5. PR OBLEMA DIRICHLET PENTR U ECUA IA LUI POISSON
T eorema 2.16. [3] Fie funcµiile 2C(K) ³i:V0!R . A tunci T e or ema 2.10
este valabil dac ³i numai dac au lo c urm to ar ele c ondiµii:
(Hmu)(p) =3
5mZ
K m
p dP
ujV0=;(8)m1^p2VmnV0; u2C(K)(2.28)
P en tru demonstraµia teoremei v om a v ea nev oie de urm toarea lem .
Lema 2.17. Pr esupunem c funcµia :K!R satisfac e (Hm+1 )(q) = 0 p entru
q2Vm+1nVm . A tunci"m( ;u) ="m+1( ;u) , undeu:K!R .
Demonstr aµie: Consider m cazul m= 0 . Cum (x) =P3
i=1 (p) 0
pi(x) , este su cien t
s trat m cazul sp ecial în care = 0
pi. Putem calcula explicit v aloarea funcµiei 0
p1
p eV1 cu a jutorul algoritm ului aplicat în demonstraµia teoremei 2.5, ³i deci, prin tr-un
simplu calcul, se p oate ar ta c "0( ;u) ="1( ;u) .
În cazul general, folosim faptul c
"m( ;u) =5
3mX
w2f1;2;3gEw( ;u);
a³adar, este su cien t s ar t m c p en tru w2f1;2;3g ,
Ew( ;u) =5
33X
i=1Ewi( ;u);
dar aceast relaµie este ec hiv alen t cu faptul c "0( ;u) ="1( ;u) , p en truw= .
Putem demonstra acum teorema 2.17
Demonstr aµie: Încep em prin a ar ta c în condiµiile teoremei 2.10, teorema 2.16 este
v alabil . Fie u ca în teorema 2.10, atunci p en tru p2VmnV0 ³im1 a v em c
"( m
p;u) = Z
K m
p dP (??)
Observ m c m
p satisface (Hn m
p)(q) = 0 p en trun > m ³iq2VnnVm . Din lema
2.17 a v em c
"m( ;u) ="m+1( ;u) ="m+2( ;u) =:::;
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 36
a³adar
"( ;u) ="m( ;u) = 5
3mX
q2Vm m
p(q)(Hmu)(q)
= 5
3m
(Hmu)(p):
Mergem cu aceast relaµie în (??) ³i reiese c rezultatul dat de sistem ul din teorema
2.10 implic sistem ul din teorema 2.16.
Mai departe ar t m c teorema 2.16 implic teorema 2.10.
Cum este con tin u p e K , a v em c ea este uniform con tin u . În acest caz, din
lema 2.11(i), exist un ³ir de n umere 1;2;:::; astfel încât i>0 ³ilim
n 1n= 0 astfel
încâtp;q2K
jp qj(1
2)m)j (p) (q)jm:
A cum, p en tru p2VmnV0 exist dou w -uri cu proprietatea c p2Kw , p e care le v om
diferenµia prin w1³iw2. A tunci
fx: m
p(x)>0gKw1[Kw2:
Dac x2Kw1[Kw2 , atuncijx pj(1n2)m, decij (p) (x)jm:
Altfel, din corolarul 2.15 a v em c
jZ
K m
p (x)dP(x) Z
K m
p(x) (p)dP(x)j
mZ
K m
pdP(x) = 2m1
3m+1
;
prin urmare, a v em
j(mu)(p) (p)j=3m+1
2jZ
K m
p dP 21
3m+1
(p)jm;
ceea ce demonstreaz c
max
p2VmnV0j(mu)(p) (p)j!0; pentru m!1:
A cest lucru demonstraz implicaµia dorit ³i, prin consecinµ , ³i teorema.
Datorit acestei teoreme putem calcula v alorile soluµiei u p eV=S
m0Vm din
problema lui Diric hlet p en tru ecuaµia lui P oisson p e triunghiul lui Sierpinski prin ur-
m torul algoritm:
P asul 1: Fix mujV0=:
37 2.5. PR OBLEMA DIRICHLET PENTR U ECUA IA LUI POISSON
P asul 2: Odat ce ³tim v alorile lui u p eVm , urm toarea form ul este v alabil
p en tru toµi w2f1;2;3g :
(Hm+1u)(qi(w)) =3
5m+1Z
K m+1
qi(w) dP: (2.29)
A cesta este un sistem de ecuaµii ce resp ect v aloriile lui u(qi(w))(i= 1;2;3) , ³i deci
când v aloarea lui u în ecare punct pi(w)2Vm este dat , putem determina u(qi(w)) ;
prin urmare, a v em v aloriile lui u p eVm+1 .
Demonstr aµie: Demonstraµia teoremei 2.10 se reduce la a ar ta urm toarele a rmaµii:
(1) F uncµia u:V!R dat de algoritm ul de mai sus se extinde în mo d unic ³i
con tin uu p e K .
(2) F uncµia u:V!R dat de algoritm ul de mai sus satisface relaµiile din teorema
2.16 p en tru orice m1 ³i p en tru orice p2VmnV0:
Demonstraµia primei a rmaµii: Cum funcµia este con tin u p e K , este m rginit
p eK . De asemenea, a v em din Lema 2.11(ii) c
Z
K m+1
pdP= 21
3m+2
; p2Vm+1nV0;
prin urmare, mem brul drept al ecuaµiei din punctul (ii) al algoritm ului prezen tat mai
sus, satisface
j3
5m+1Z
K m+1
qi(w) dPj1
5m
C;
undeC este o constan t indep enden t de m;w ³iqi(w) . Prin urmare, dac p en tru
q2Vm+1nVm x m3
5m+1Z
K m+1
q dP=1
5m
C(q);
obµinemjC(q)jC:
Scriem
um=X
p2Vmu(p) m
p;
undeu este funcµia generat de algoritm ul de mai sus. Rescriem relaµia din al doilea
pas al algoritm ului astfel
Juw
0+Xuw
1=1
5m
Cw;
unde
uw
0=0
BB@u(p1(w))
u(p2(w))
u(p3(w))1
CCA;uw
1=0
BB@u(q1(w))
u(q2(w))
u(q3(w))1
CCACw= (1
5)m0
BB@C(q1(w))
C(q2(w))
C(q3(w))1
CCA:
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 38
A tunci, a v em
uw
1= X 1Juw
0+X 11
5m
Cw:
Fix m ( X 1Ju0)qi(w)=um(qi(w)); acest lucru ne d v aloarea lui u p eVm ce este
soluµia ecuaµiei (Hmu)(qi(w)) = 0 , ³i prin urmare obµinem
um(qi(w)) =um(qi(w)):
Mai departe
um+1=X
p2Vm+1um(p) m+1
p+X
p2Vm+1nV0um(q);
unde x m 1
5m
X 1Cw
(qi(w)) =vm(qi(w)):
AiciP
p2Vm+1um(p) m+1
p=um , ³i deci xând vm=P
p2Vm+1nV0vm(q) , obµinem
um+1=um+vm:
Prin urmare, a v em c
sup
x2Kjum+1(x) um(x)jsup
x2Kjvm(x)j1
5m
C:
Cumum con v erge uniform când m!1 , funcµiau:V!R se extinde în mo d unic
la o funcµie con tin u p e K .
Demonstraµia lui (2): F acem demonstraµia prin inducµie dup m . P en trum= 1 ,
a v emV1nV0=fq1;q2;q3g ; deci xând w=; în algoritm ul de determinare al lui u ,
stabilim ceea ce ne trebuie. Presupunem c ip oteza este adev rat p en tru m . P en-
truq2Vm+1nVm , este ok. Di cultatea apare p en tru p2VmnV0 . Presupunem c
p2Fw(V1)\Fw0 . A tunci aranjamen tul lui Vm+1 în jurul lui p este ca în gura 2.4.
In v estig m acum cazul I din gura 2.4. Aplic m Lema 2.2 lui Fw(V1) ³iFw0 ³i obµinem
c
3
5(Hmu)(p) = (Hm+1u)(p) +2
5X
q2Q1(Hm+1u)(q) +1
5X
q2Q2(Hm+1u)(q);
undeQ1=fq3(w);q1(w);q2(w0);q3(w0)g;Q2=fq2(w);q3(w0)g:
Din ip oteza de inducµie, împreun cu faptul c relaµia de la pasul 2 din algoritm
este v alabil p en tru q2Vm+1nVm , obµinem egalitatea
3
5m+1Z
K m
p dP= (Hm+1u)(p)+2
5X
q2Q13
5m+1Z
K m+1
q dP+1
5X
q2Q23
5m+1Z
K m+1
q dP:
39 2.5. PR OBLEMA DIRICHLET PENTR U ECUA IA LUI POISSON
Prin urmare, a v em
(Hmu)(p) = 3
5m+1Z
K m+1
p dP
ceea ce arat c sistem ul din teorema 2.16 este v alabil p en tru p2VmnV0 . A cest fapt
înc heie demonstraµia lui (2).
Demonstraµia teoremei 2.10 reiese din demonstraµia a rmaµiilor (1) ³i (2).
CAPITOLUL 2. TRIUNGHIUL LUI SIEPRINSKI 40
Capitolul 3
T etraedrul lui Sierpinski
În capitolul an terior am discutat despre triunghiul lui Sierpinski ³i am construit Lapla-
cian ul p e aceast m ulµime auto-similar . În cele ce urmeaz ne dorim s extindem
aceast noµiune ³i s v edem ce se în tâmpl în 3 dimensiuni.
Analogul T riunghiului lui Sierpinski, este ceea ce v om n umi T etraedrul lui Sierpin-
ski, ³i v om notaT , obiect obµin ut prin tr-un pro ces iterativ constituit din con tractarea
rep etat un ui obiect 3-dimensional la jum tate din în lµimea lui iniµial , punând îm-
preun patru copii, astfel încât v ârfurile de p e fron tier coincid cu cele iniµiale.
În lucr rile sale, J. Kigami încep e prin a de ni ³i studia Laplacian ul p e in terv alul
[0;1] , reu³ind s a jung la concluzia c acest instrumen t se p oate de ni p en tru o funcµie
de dou ori deriv abil , evitând prima deriv at a funcµiei ³i folosind doar v alorile acesteia
în puncte ec hidistan te ce împart in terv alul [0;1] înn segmen te egale.
Figure 3.1: T etraedrul lui Sierpinski
41
CAPITOLUL 3. TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI 42
3.1 T etraedrul lui Sierpinski. Mulµime auto-similar
În cele ce urmeaz v om lucra în spaµiul euclidian 3-dimensional. V om xa P0 ,P1 ,P2 ,
P3 , urm toarele puncte:
P0= (0;0;0);P1= (61
3;0;61
3);P2= (0;61
3;61
3);P3= (0;0;61
3):
Fie familia de con tracµii fF0;F1;F2;F3g de nit în capitolul an terior. Reamin tim
c aceste funcµii erau date de urm toarea lege:
Fi(X) =X+Pi
2; (3.1)
p en tru orice X2R3³i p en tru orice i2f0;:::;3g . T rebuie menµionat c funcµiile de nite
în capitolul 2 a v eau proprietatea c transp ortau puncte din R2în puncte din R2, în timp
ce con tracµiile de nite în aceast secµiune reprezin t doar o extensie natural p e spaµiul
euclidian 3-dimensional. P en tru u³urinµ v om nota am b ele familii de con traµii cu Fi ,
p en tru orice i2f0;:::;3g .
Figure 3.2: T etraedrul dup o iteraµie, resp ectiv dup dou iteraµii
43 3.1. TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI. MUL IME A UTO-SIMILAR
Observ aµia 3.1. F amiliafF0;:::;F 3g este o familie de c ontr acµii de r aµie1
2.
Observ aµia 3.2. Pentru oric e num r într e g i2f0;1;2;3gPi este punct x p entru
Fi .
Prop oziµia 3.1. [6] Exist ³i este unic o mulµime T R3cu pr oprietate a c
T=3[
i=0Fi(T) (3.2)
c ar e se va numi T etr ae drul lui Sierpinski.
Observ aµia 3.3. (Dimensiune a Hausdor a tetr ae drului lui Sierpinski T )
Dimensiune a Hausdor a tetr ae drului lui Sierpinski T estelog24 = 2 .
V om nota în cele ce urmeaz V0=fP0;:::;P 3g .
Mulµimea de puncte V0 , unde p en tru orice i2f0;1;2g , punctulPi este legat de
punctulPi+1 , constituie un graf orien tat, notat T0 .V0 se n ume³te m ulµimea v ârfurilor
grafuluiT0 .
P en tru orice n um r în treg m , de nim
Vm=3[
i=0Fi(Vm 1):
Mulµimea de puncte Vm , unde dou puncte consecutiv e sun t legate, constituie un
graf orien tat, p e care îl v om nota cu Tm:
Num rul de v ârfuri ale lui Tm îl v om nota cuNm .
Prop oziµia 3.2. Fiind dat o p er e che de numer e într e gi (i;j)2f0;:::;3g2, avem
c
Fi(Pj) =Fj(Pi)
³i
Nm= 4_Nm 1 6:
Demonstr aµie: Din legea funcµiilor Fi , p en trui2f0;:::;3g , a v em c :
Fi(Pj) =Pi+Pj
2=Pj+Pi
2:
CAPITOLUL 3. TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI 44
P en tru a doua parte a demonstraµiei, v om v olosi relaµia demonstrat an terior.
CumTm+1 se obµine aplicând funcµiile F0;:::;F 3 m ulµimii de v ârfuri ale grafului Tm , ³i
deoarece, a v ând în v edere c Fi(Pj) =Fj(Pi) , a v em c 6 puncte se rep et , relaµia este
demonstrat .
De niµia 3.1. Dou puncte X ³iY ale luiT se numesc vârfuri c onse cutive dac
exist dou numer e natur ale m ³ij2f0;1;2;3g , astfel înc at:
X= (Fi1:::Fim)(Pj)
³i
Y= (Fi1:::Fim)(Pj+1);
undefi1;:::;img2f 0;1;2;3gm:
De niµia 3.2. Pentru oric e num r natur al m , numim p olie dru delimitat de Tm ³i
not mD(Tm) , r euniune a c elor 4mtetr ae dr e c omp onente ale lui Tm .
De niµia 3.3. [6] Numim p olie dru delimitat de T etr ae drul lui Sierpinski T , ³i
not mD(T) , limita
D(T) = lim
n!1D(Tm):
Reamin tim c p en tru w2 f0;1;2;3gmam de nit Fw=Fw1:::Fwm , unde,
w=w1w2:::wm cuwi2f0;1;2;3g(8)i2f1;:::;mg .
De niµia 3.4. Fiem un num r natur al. Spunem c dou puncte X ³iY sunt
adiac ente dac sunt vârfuri c onse cutive p entru gr aful Tm ³i scriem:
X
mY
Prop oziµia 3.3. Fiind dat un num r natur al m , o se cvenµ w2f0;1;2;3gmde
lungimem , p e gr afulTm , p entru oric e j2f0;:::;3g , oric eX=Fw(Pj) dinVmnV0 ar e
exact tr ei vârfuri adiac ente în Fw(V0) , date de:
Fw(P(j+n)(mod4));(8)n2f1;2;3g:
45 3.2. F ORME DIRICHLET PE TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI
Prop oziµia 3.4. [6] Fix m
V?=[
m2NVm: (3.3)
A tunci mulµime a V? este dens înT .
3.2 F orme Diric hlet p e T etraedrul lui Sierpinski
De niµia 3.5. [7] FieV o mulµime nit , dotat cu un pr o dus sc alar. Pentru oric e
p er e che de funcµii (u;v) de nite p eV , se aso ciaz :
(u;v) =X
P2Vu(P)v(P): (3.4)
O form Dirichlet p e V este o aplic aµie biliniar simetric " , cu urm to ar ele pr opriet µi:
(i) Pentru oric e funcµie cu valori r e ale u p eV :"(u;u)0 .
(ii)"(u;u) = 0 dac ³i numai dac u este c onstant p e V ,
(iii) Pentru oric e funcµie cu valori r e ale u p e V, dac
u?= min(max( u;0);1)
adic
(8)p2V:u?=8
>><
>>:1; dac u(p)1
u(p); dac 0<u(p)<1;
0; dac u(p)0
atunci"(u?;u?)"(u;u) (Pr oprietate a Markov).
De niµia 3.6. Fiem un num r într e g natur al ³i u ³iv dou funcµii cu valori r e ale,
de nite p e setul
Vm=fSm
0;Sm
1;:::;Sm
Nm 1g:
Ener gia gr afuluiTm prin p er e che a de funcµii (u;v) , este:
ETm(u;v) =Nm 2X
i=1(u(Sm
i) u(Sm
i+1))(v(Sm
i) v(Sm
i+1))
CAPITOLUL 3. TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI 46
sau
ETm(u;v) =X
X
mY(u(X) u(Y))(v(X) v(Y)):
Observ aµia 3.4. ETm(u;u) = 0 , p entru oric e funcµie u c onstant . ETm este o
form Dirichlet p e T .
Prop oziµia 3.5. (Extensia armonic a unei funcµii p e T etr ae drul lui Sier-
pinski) [6] Pentru oric e num r strict p ozitiv m , dac u este o funcµie cu valori r e ale
de nit p e Vm 1 , extensia ei armonic , notat cu eu , este obµinut prin extensia lui u
p eVm c ar e minimize az ener gia:
"Tm(eu;eu) =X
X
mY(eu(X) eu(Y))2: (3.5)
Leg tura din tre "Tm ³i"Tm 1 este dat de in tro ducerea a dou constan te strict
p ozitiv erm ,rm+1 , cu proprietatea c
rmX
X
mY(eu(X) eu(Y))2=rm 1X
X
mY(u(X) u(Y))2:
În particular
r1X
X
1Y(eu(X) eu(Y))2=r0X
X
0Y(u(X) u(Y))2:
Dac x m r0= 1 . A tunci
"Tm(eu;eu) =1
r1"T0(eu;eu):
De nim constan ta r=1
r1³i
"m(u) =rmX
X
mY(eu(X) eu(Y))2:
Deoarece determinarea extensiei armonice a unei funcµii pare s e mai m ult o
problem lo cal , p e graful Tm 1 ce este legat deTm prin tr-un mo d similar prin care
grafurileT1 ³iT0 sun t legate, se deduce c p en tru orice n um r p ozitiv m a v em:
"Tm(eu;eu) =1
r1"Tm 1(eu;eu):
47 3.2. F ORME DIRICHLET PE TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI
Prin inducµie obµinem c
rm=rm
1r0=r m:
Dac v este o funcµie cu v alori reale de nit p e Vm 1 , p en tru extensia armonic ev ,
v om scrie
"m(u;v) =r mX
X
mY(eu(X) eu(Y))(ev(X) ev(Y)): (3.6)
De niµia 3.7. De nim forma Dirichlet " aplic aµia c ar e aso ciaz oric rui duplet de
funcµii c ontinue (u;v) :
"= lim
m!1"m(ujVm;vjVm) = lim
m!1X
X
mYr m(ujVm(X) ujVm(Y))(vjVm(X) vjVm(Y)):
De niµia 3.8. Luând în c onsider ar e c ³irul ("m(ujVm))m0 este de nit p e
V?=[
i0Vi;
de nim ener gia normalizat aso ciat funcµiei u , de nit p eT , prin
"(u) = lim
m!1"m(ujVm): (3.7)
Prop oziµia 3.6. F orma Dirichlet " c ar e aso ciaz oric rui duplet de funcµii c ontinue
(u;v) :
"= lim
m!1"m(ujVm;vjVm) = lim
m!1X
X
mYr m(ujVm(X) ujVm(Y))(vjVm(X) vjVm(Y))
satisfac e r elaµia auto-similar :
"(u;v) =r 13X
i=0"(ufi;vfi):
Demonstr aµie:
3X
i=0"(ufi;vfi) = lim
m!13X
i=0"m(ujVmfi;vjVmfi)
= lim
m!1X
X
mYr m3X
i=0(ujVm(fi(X)) ujVm(fi(Y)))(vjVm(fi(X)) vjVm(fi(Y)))
= lim
m!1X
X
m+1Yr m3X
i=0(ujVm+1(X) ujVm+1(Y))(vjVm+1(X) vjVm+1(Y))
= lim
m!1r"m+1(ujVm+1;vjVm+1) =r"(u;v)
CAPITOLUL 3. TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI 48
Notaµie [4] Not m cu dom" subspaµiul format din funcµii con tin ue u de nite p eT ,
cu proprietatea c
"(u)<+1
Notaµie [4] Not m cu dom 0" subspaµiul format din funcµii con tin ue u de nite p e
T , care iau v aloarea 0 p e V0 , cu proprietatea c
"(u)<+1
Prop oziµia 3.7. [4] Sp aµiuldom" , mo dulo un sp aµiu alc tuit din funcµii c onstante
p eT , esteHilbert .
3.3 Construcµia explicit a formelor Diric hlet
Fieu o funcµie de nit p e
V0=fP0;P1;P2;P3g:
Ne propunem s determin m extensia armonic eu a luiu p eV1 .
P en tru simplitate, v om nota în cele ce urmeaz :
u(p0) =a; u(p1) =b; u(p2) =c; u(p3) =d:
inem con t de faptul c energia p e V0 este dat de form ula:
E0(u) = (a b)2+ (a c)2+ (a d)2+ (b c)2+ (b d)2+ (c d)2(3.8)
P en tru simplitate not m:
eu(f0(q1)) =x1;eu(f1(q2)) =x2;eu(f0(q2)) =x3;eu(f0(q3)) =x4;eu(f1(q3)) =x5;eu(f2(q3)) =x6:
A tunci:
E1(eu) =(x1 a)2+ (x1 b)2+ (x1 x2)2+ (x1 x3)2+ (x1 x4)2+ (x1 x5)2
+ (x2 b)2+ (x2 c)2+ (x2 x3)2+ (x2 x5)2+ (x2 x6)2
+ (x3 a)2+ (x3 c)2+ (x3 x4)2+ (x3 x6)2+
+ (x4 a)2+ (x4 d)2+ (x4 x5)2+ (x4 x6)2+
+ (x5 b)2+ (x5 d)2+ (x5 x6)2+
+ (x6 c)2+ (x6 d)2
(3.9)
49 3.3. CONSTR UCIA EXPLICIT A F ORMELOR DIRICHLET
Minim ul acestei can tit µi se obµine în tr-un ul din tre punctele critice, ceea ce ne
conduce la rezolv area sistem ului:
6×1 x2 x3 x4 x5=a+b
6×2 x1 x3 x5 x6=b+c
6×3 x1 x2 x4 x6=a+c
6×4 x1 x3 x5 x6=a+d
6×1 x2 x3 x4 x5=d+b
6×6 x2 x3 x4 x5=c+b;
scris în form matriceal
Ax=b
unde
A=0
BBBBBBBBBB@6 1 1 1 1 0
1 6 1 0 1 1
1 1 6 1 0 1
1 0 1 6 1 1
1 1 0 1 6 1
0 1 1 1 1 61
CCCCCCCCCCA; b=0
BBBBBBBBBB@a+b
b+c
a+c
a+d
b+d
c+d1
CCCCCCCCCCA;
iarx reprezin t v ectorul necunoscutelor
x=0
BBBBBBBBBB@x1
x2
x3
x4
x5
x61
CCCCCCCCCCA
Se arat c sitem ul de mai sus are soluµia
x=0
BBBBBBBBBB@1
6(2a+ 2b+c+d)
1
6(a+ 2b+ 2c+d)
1
6(2a+b+ 2c+d)
1
6(2a+b+c+ 2d)
1
6(a+ 2b+c+ 2d)
1
6(a+b+ 2c+ 2d)1
CCCCCCCCCCA
CAPITOLUL 3. TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI 50
Înlo cuind soluµia gasit x în energiaE1 a v em c
E1(eu) =f2
3(3a2 2a(b+c+d) + 3b2 2b(b+c) + 3c2 2cd+ 3d2)g
=2
3E0(u)(3.10)
Figure 3.3: Extensia armonic a unei funcµii p e T etraedrul lui Sierpinski care ia v alorile
a=0, b=2, c=0, d=2
Mergând mai departe la cazul general, consider m un n um r natural m . Fiecare
punct al m ulµimii Vm+1nVm aparµine unei m ulµimi de tipul
fW(T)
undeW reprezin t o secv enµ de lungime m . Energia total Em+1(eu) este dat de
expresia:
Em+1(eu) =X
jWj=mE1(eufW): (3.11)
Problema de minim global se p oate reduce la 4mprobleme de minim lo cal care sun t
de tipul celei p e care to cmai am rezolv at-o.
A³adar, constan ta de normalizare este:
r=2
3
A cest lucru ne p ermite s de nim energia de normalizare
"m(u) =r mEm(u)
³i limita sa
"(u) = lim
m!+1"m(u) (3.12)
p en truu2dom(") .
51 3.4. LAPLA CIANUL PE TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI
3.4 Laplacian ul p e T etraedrul lui Sierpinski
De niµia 3.9. O masur p eR3se nume³te auto-similar p e T etr ae drul lui Sier-
pinski dac exist o familie de p onderi strict p ozitive (i)0i3 cu pr oprietate a c
=3X
i=1if 1
i;3X
i=0i= 1 (3.13)
P en tru descrieri mai riguroase ale propriet µiilor m surii facem trimitere la lu-
crarea lui J. E. Hutc hinson(v ezi [9]).
Prop oziµia 3.8. (Construcµia unei m suri auto-similar e p e T etr ae drul
lui Sierpinski) [6] F ormele Dirichlet menµionate anterior ne c esit o m sur p ozitiv .
Fix m p entru oric e num r într e g i din mulµime af0;1;2;3g :
i=1
4
A c est lucru ne p ermite s de nim m sur a auto-similar p eT prin:
=1
43X
i=0fi (3.14)
De niµia 3.10. Pentru oric e num r într e g strict p ozitiv m , ³i p entru oric e funcµie
cu valori r e ale u , de nit p e Vm , de nim L aplacianul de or din m ,m(u) , prin:
mu(X) =X
Y2Vm;Y
mX(u(X) u(Y));(8)X2VmnV0:
De niµia 3.11. Fiem un num r într e g p ozitiv. O funcµie cu valori r e ale u , de nit
p e mulµime a Vm format din vârfurile gr afului Tm , se nume³te armonic de or din m
dac
mu(X) = 0;(8)X2VmnV0
De niµia 3.12. Fiind dat un num r într e g strict p ozitiv, o funcµie u cu valori r e ale,
de nit p eT , se nume³te armonic de or din m p e p orµiuni dac , p entru oric e se cvenµ
de cifr eW de lungime m ,ufW este armonic de or din m .
CAPITOLUL 3. TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI 52
De niµia 3.13. Not m cudom domeniul de existenµ al L aplacianului, p e gr a-
fulT , pr e cum ³i mulµime a funcµiilor u dindom" cu pr oprietate a c exist o funcµie
c ontinu p eT , notat cu u , p e c ar e o vom numi L aplacianul lui u , astfel înc ât:
"(u;v) = Z
D(T)vud; (8)v2dom 0"
De niµia 3.14. O funcµieu ap arµinând lui dom se va numi armonic dac L apla-
cianul ei este zer o.
Notaµie În cele ce urmeaz v om nota cu H0dom spaµiul funcµiilor armonice.
Fiind dat un n um r în treg m , v om nota prinS(H0;Vm) spaµiul de dimensiune 4m
al funcµiilor spline de ordin m ,u , de nite p eT , con tin ue, cu proprietatea c , p en tru
orice secv enµ W de lungime m ,uTW este armonic .
Prop oziµia 3.9. [6] Pentru oric e num r natur al m :
S(H0;Vm)dom": (3.15)
Prop oziµia 3.10. Fiem un num r într e g p ozitiv, X =2V0 un vârf al gr afului T , ³i
m
X2S(H0;Vm) o funcµie spline cu pr oprietate a c :
m
X=(
XY (8)Y2Vm
0 (8)Y =2Vm
Ap oi, cumX =2V0 , avem c m
X2dom 0":
P en tru orice funcµie u dindom" , cu proprietatea c Laplacian ul ei exist , aplic m
de niµia de mai sus p en tru m
X si obµinem c :
"(u; m
X) ="m(u; m
X) = r mmu(X) = Z
D(T) m
X(u)d u(X)Z
D(T) m
Xd
din momen t ce u este con tin u .
T recând la limit când m tinde la in nit, obµinem
lim
m!1Z
D(T) m
Xmud= u(X) lim
m!1Z
D(T) m
Xd;
adic
u(X) = lim
m!1r mZ
D(T) m
Xd 1
mu(X): (3.16)
53 3.4. LAPLA CIANUL PE TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI
Observ aµia 3.5. A³a cum este explic at în [13], putem fac e analo gia cu c azul unu-
dimensional. Mai exact, p e c azul p articular I= [0;1] , cu extr emit µile X0= (0;0) , ³i
X1= (1;0) . F uncµiile X1 ³i X2 cu pr oprietate a c , p entru Y dinR2:
X1(Y) =X1Y; X2(Y) =X2Y
sunt, în c el mai simplu mo d, funcµii cu gr a cul în form de triunghi. Pentru m sur a
standar d, una prime³te valori indep endente de X1 , sauX2 :
Z
I X1d=Z
I X2d=1
2
(c e c or espunde cu aria sub gr a cului c elor dou funcµii).
În cazul nostru, noi n u v om mai face analogia cu in terv alul unitate, dar ind dat
un n um r natural m ³i un punct X2Vm , funcµia spline m
X se sprijin p e dou celule
p oliedrale a T etraedrului. A³adar p en tru orice celul p oliedral de ordin m fW(T)
v ârfurileX; Y6=; Z6=X;T6=X :
m
X+ m
Y+ m
Z+ m
T= 1
A³adar :Z
fW(T)( m
X+ m
Y+ m
Z+ m
T)d=(fW(T)) =1
4m:
Prin simetrie, toµi sumanµii au in tegrala egal , ceea ce ne conduce la:
Z
fW(T) m
Xd=1
4m+1
inând con t de con tribuµia n umeric a celor m p oliedre, obµinem:
Z
T m
Xd=2
4m+1
ceea ce ne conduce la: Z
T m
Xd 1
=4m+1
2:
Cum
r m=3
2m
putem scrie form ula Laplacian ului în ecare punct din T , p en tru orice u2dom :
8X2T: u(X) = 2 lim
m!16mmu(X): (3.17)
CAPITOLUL 3. TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI 54
T eorema 3.11. [6] Fieu2dom . A tunci, ³irul de funcµii (fm)m0 cu pr oprietate a
c p entru oric e num r natur al m ³i p entru oric e X dinV?nV0 :
fm(X) =r mZ
D(T) m
Xd 1
mu(X) (3.18)
c onver ge uniform la u , ³i, r e cipr o c, dac ³irul de funcµii (fm)m0 c onver ge uniform
la o funcµie c ontinu u p eV?nV0 , atunci
u2dom (3.19)
Demonstr aµie: Fieu2dom . A tunci
r mZ
D(T) m
Xd 1
mu(X) =R
D(T)u m
XdR
D(T) m
Xd
Cumu aparµine lui dom , Laplacian ul ei exist ³i este con tin uu p e graful T . De aici
reiese con v ergenµa uniform a ³irului de funcµii (fm)m0 .
Recipro c, dac ³irul de funcµii (fm)m0 con v erge uniform la o funcµie con tin u p e
V?nV0 , atunci, p en tru orice n um r în treg m , ³i p en tru orice v2dom 0":
"m(u;v) =X
(XY)2V2m;X
mYr m(ujVm(X) ujVm(Y))(vjVm(X) vjVm(Y))
=X
(XY)2V2m;X
mYr m(ujVm(Y) ujVm(X))(vjVm(Y) vjVm(X))
= X
X2VmnV0r mX
Y2Vm;Y
mXvjVm(X)(ujVm(Y) ujVm(X))
X
X2V0r mX
Y2Vm;Y
mXvjVm(X)(ujVm(Y) ujVm(X))
= X
X2VmnV0r mv(X)mu(X)
=X
X2VmnV0v(X)Z
D(T) m
Xd
r mZ
D(T) m
Xd 1
mu(X)(3.20)
În con tin uare, s observ m c orice X2VmnV0 admite exact trei v ârfuri adiacen te
ce aparµin lui VmnV0 , ceea ce ne conduce la faptul c suma:
X
X2VmnV0r mX
Y2VmnV0;Y
mXv(X)(ujVm(Y) ujVm(X))
55 3.5. DERIV A T A NORMAL
are acela³i n um r de termeni cu suma
X
(XY)2(VmnV0)2;X
mYr m(ujVm(Y) ujVm(X))(vjVm(Y) vjVm(X))
P en tru orice n um r în treg m de nim ³irul de funcµii (fm)m0 , cu proprietatea c
p en tru orice X2VmnV0 :
fm(X) =r mZ
D(T) m
Xd 1
mu(X):
irul con v erge uniform la u . A tunci:
"m(u;v) = Z
D(T)fX
x2VmnV0vjVm(X)ujVm(X) m
Xgd
3.5 Deriv ata normal
A³a cum am spus, J. Kigami ³i-a început lucr rile referitoare construcµia Lapla-
cian ului p e segmen tul unitate de p e axa real . A cesta studiaz mo dul de de nire al
Laplacian ului în cazul unei funcµii de clas C2([0;1]) .
Fieu2C2([0;1]) . A tunci, Laplacian ul u în cazul un u-dimensiunal este de nit ca
ind deriv ata a doua a funcµiei u . Astfel, p en tru orice duplet de funcµii (u;v) aparµinând
spaµiului funcµiilor diferenµiabile p e in terv alul [0;1] , cu proprietatea c v(0) =v(1) = 0 ,
Kigami pune în evidenµ c , a v ând în v edere:
Z1
0(u)(x)v(x)dx= Z1
0u0(x)v0(x)dx= lim
n!1nX
k=1Zk
n
k 1
nu0(x)v0(x)dx
dac exist >0 , con tin uitatea funcµiilor u0³iv0arat existenµa un ui n um r natural n0
care are proprietatea c , p en tru orice nn0 , ³i p en tru orice x2[k 1
n;k
n] (8)1kn :
u0(x) u(k
n) u(k 1
n)
1
n ; v0(x) v(k
n) v(k 1
n)
1
n
relaµia:
Z1
0(u)(x)v(x)dx= lim
n!1nnX
k=1
uk
n
uk 1
n
vk
n
vk 1
n
CAPITOLUL 3. TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI 56
ne p ermite s de nim Laplacian ul lui u , evitând noµiunea de deriv at .
Con tin uând acest raµionamen t, în cazul mai puµin fericit al funcµiilor care n u au
sup ort compact p e in terv alul (0;1) , a v em relaµia :
Z1
0(u)(x)v(x)dx=Z1
0u0(x)v0(x)dx+u0(1)v(1) u0(0)v(0)
Deriv atele normale:
@nu(1) =u0(1); @nu(0) =u0(0)
apar în mo d natural. A cest lucru ne conduce la urm toarea form ul :
Z1
0(u)(x)v(x)dx= Z!
0u0(x)v0(x)dx+X
@[0;1]v@nu (3.21)
A ceast relaµie este un caz particular al form ulei lui Green.
P en tru a obµine o form ulare ec hiv alen t a form ulei lui Green p en tru cazul grafului
T , trebuie s a v em, p en tru o p erec he de funcµii con tin ue (u;v) p eT , cu proprietatea
c u are o deriv at normal :
"(u;v) = Z
(u)vd+X
V0v@nu (3.22)
unde este o masur p e
.
P en tru orice n um r în treg m a v em c :
"m(u;v) =X
(X;Y)2V2m;X
mYr m(ujVm(Y) ujVm(X))(vjVm(Y) vjVm(X)
= X
X2VmnV0r mX
Y2Vm;Y
mXvjVm(X)(ujVm(Y) ujVm(X))
X
X2V0r mX
Y2Vm;Y
mXvjVm(X)(ujVm(Y) ujVm(X))
=X
X2VmnV0r mvjVm(X)mujVm(X)
+X
X2V0X
Y2Vm;Y
mXr mvjVm(X)(ujVm(Y) ujVm(X))(3.23)
Putem în acest caz s d m un analog form ulei lui Green în care deriv ata normal
este dat de:
X
X2V0r mX
Y2Vm;Y
mXvjVm(X)(ujVm(Y) ujVm(X))
57 3.5. DERIV A T A NORMAL
De niµia 3.15. Pentru oric e vârf X al luiV0 ³i p entru oric e funcµie c ontinu p e
T , spunem c u admite o derivat normal în X , notat cu @nu(X) , dac
lim
m!1r mX
Y2Vm;Y
mXvjVm(X)(ujVm(Y) ujVm(X))<+1
Derivata normal a lui u înX va chiar valo ar e a limitei de mai sus.
De niµia 3.16. Pentru oric e num r natur al k , oric e vârf X al luiVm ³i p entru
oric e funcµie c ontinu u p eT , spunem c u admite o derivat normal în X , notat
cu@nu(X) , dac
lim
k!1r mX
Y2Vk;Y
kXvjVk(X)(ujVk(Y) ujVk(X))<+1
Derivata normal a lui u înX va chiar valo ar e a limitei de mai sus.
T eorema 3.12. [4] Fieu2dom . A tunci, p entru oric e X2T ,exist @nu(X) .
Mai mult, p entru oric e v dindom" ³i p entru oric e num r natur al m , putem scrie
formula lui Gr e en:
"(u;v) = Z
D(T)(u)vd+X
V0v@nu (3.24)
CAPITOLUL 3. TETRAEDR UL LUI SIERPINSKI 58
Capitolul 4
Exemple ³i aplicaµii
Capitolele an terioare au descris în tr-un mo d cât mai riguros cu putinµ construcµia
a dou m ulµimi fractale foarte cunoscute din punct de v edere al analizei matematice.
A ceste dou m ulµimi n u au fost nici primele, nici ultimele descop erite. Matematicieni
de pretutindeni au lucrat p en tru a construi zeci de alte m ulµimi fractale care au aplicaµii
în foarte m ulte domenii. În acest capitol v or prezen tate câtev a din tre asp ectele cu
privire la imp ortanµa fractalilor, dar ³i câtev a aplicaµii ale acestora în diferite domenii
[8]. V om n umi câtev a din tre aceste exemple cunoscute de m ulµimi fractale atât din
matematic , cât ³i din natur [9].
4.1 Câtev a exemple de m ulµimi fractale
4.1.1 Mulµimi fractale în matematic
(a) F ulgul lui K o c h
d= log341:2619
(b) Curba lui K o c h 3d
d2:5849
59
CAPITOLUL 4. EXEMPLE I APLICA I I 60
(c) Co v orul lui Sierpinski
d= log381:8928
(d) Buretele lui Menger
d2:7286
(e) Dragon ul de aur
d= log 'p''='1:61803
(f ) Curba lui Hilb ert
d= 2
(g) Curba lui P eano
d= 2
(h) Copacul lui Pitagora
d= 2
(i) Mulµimea lui Can tor
d= log320:6309
(j) Mulµimea lui Can tor
d1:9340
61 4.1. CÂ TEV A EXEMPLE DE MUL IMI FRA CT ALE
Mulµimi de tip Julia
De niµia 4.1. [10] Fief:C!C o funcµie p olinomial ³i fp1;p2;p3;:::g o orbit
p entruf . Spunem c orbita lui f este m r ginit dac to ate punctele ei sunt incluse
într-o bil de r az nit c entr at în origine.
De niµia 4.2. [10] Fief o funcµie p olinomial . De nim mulµime a Julia aso ciat
luif mulµime a:
fp12Cjorbitaluip 1estemarginitag
Figure 4.2: Mulµimi de tip Julia p en tru funcµii de forma z2+c , unde
(a) c=0.37+0.16i (b)c=-0.50-0.56i (c) c=-0.25
Figure 4.3: Mulµimi de tip Julia p en tru funµii de forma z2+c , unde
(d) c=i (e) c=-1.5 (f ) c=-0.75+0.25i
CAPITOLUL 4. EXEMPLE I APLICA I I 62
De niµia 4.3. [8] Mulµime a de Mandelbr ot M p o ate de nit astfel
M=fc2Cjorbitalui 0subfunctiaf (z) =z2+cestemarginitag
Figure 4.4: Mulµimi Julia reg site în trei puncte din m ulµimea Mandelbrot
63 4.1. CÂ TEV A EXEMPLE DE MUL IMI FRA CT ALE
Figure 4.5: Un zo om în m ulµimea Mandelbrot
4.1.2 Mulµimi fractale în natur
(a) Coasta Marii Britanii
d1:25
(b) Suprafata Plamanilor
d2:97
(c) Coasta Norv egiei
d1:52
(d) Suprafaµa creierului uman
d2:79
(e) Construcµiile asem n toare cu cea a fulgerului
d2:50
(f ) Clusterele de galaxii
d2
CAPITOLUL 4. EXEMPLE I APLICA I I 64
4.2 Aplicaµii ale fractalilor
1. Compresia F ractal a imaginilor [8]
P oate una din tre cele mai folositoare aplicaµie a teoriei fractalilor în Computer
Sience este compresia fractal a imaginilor. A cest tip de compresie se folose³te
de faptul c lumea real este bine descris de geometria fractal . Cel mai des
este folosit p en tru cre³terea rezoluµiei imaginilor.
2. Mecanica uidelor [8]
Studiul turbulenµelor prezen te în mi³carea uidelor se a în strâns leg tur cu
fractalii. Fluxul turbulenµelor este haotic ³i foarte di cil de mo delat corect. O
reprezen tare fractal a acestora .
3. Metamateriale fractale [11]
Metamaterialele reprezin t materiale sin ten tice ce p osed propriet µi p e care ma-
terialele naturale n u le au. A cestea con v ertesc energie electromagnetic în câm-
puri de suprafaµ in nitezimale, p ermiµând con trolul distribuµiei energiei de-a
lungul suprafeµei. Metamaterialele fractele au foarte m ult p otenµial, de la trans-
fer de c ldur , pân la înc rcarea wireless.
4. T elecom unicaµii [8]
O nou industrie ap rut în domeniul telecom unicaµiilor este cea a an tenelor în
form fractal . Bene ciile acestor an tnee depinde de fractalul aplicat an tenei
³i frecv enµa dorit , dar în mo d sigur, un b ene ciu general reprezin t reducerea
m rimii ³i a greut µii an tenelor.
65 4.2. APLICA I I ALE FRA CT ALILOR
Un studiu realizat în an ul 2015 la Univ ersitatea din Punjabi (v ezi [12]) arat c
p en tru o form mo di cat a triunghiului lui Sierpinski, o an ten construit sub
aceast form p oate folosit p en tru com unicaµiile wireless WLAN, dar ³i p en tru
primirea/trimiterea semnalelor de înalt frecv enµ .
Figure 4.7: Geometria an tenei dup mo delul triunghiului lui Sierpinski
CAPITOLUL 4. EXEMPLE I APLICA I I 66
Bibliogra e
[1] N. Secelean, Masura si fractali, ed, Lucian Blaga, Univ. Sibiu , 2002.
[2] H. Brezis, F unctional analysis, Sob olev sp ac es and p artial dier ential e quations .
Springer Science & Business Media, 2010.
[3] M. Y amaguc hi, M. Hata, and J. Kigami, Mathematics of fr actals . American
Mathematical So c., 1997, no. 167.
[4] J. Kigami, Harmonic calculus on p cf self-similar sets, T r ansactions of the A mer-
ic an Mathematic al So ciety , v ol. 335, no. 2, pp. 721755, 1993.
[5] E. Guariglia, Harmonic sierpinski gask et and applications, Entr opy , v ol. 20, no. 9,
p. 714, 2018.
[6] N. Riane and C. Da vid, Laplacian, on the sierpinski tetrahedron, arXiv pr eprint
arXiv:1703.05793 , 2017.
[7] J. Kigami, Harmonic analysis for resistance forms, Journal of F unctional A nal-
ysis , v ol. 204, no. 2, pp. 399444, 2003.
[8] T. Kluge, F ractali în natur ³i aplicaµii, 2000. [Online]. A v ailable:
h ttps://kluge.in- c hemnitz.de/do cumen ts/fractal/no de2.h tml
[9] Exemple de fractali. [Online]. A v ailable: h ttps://en.wikip edia.org/wiki/List_
of_fractals_b y_Hausdor_dimension
[10] Julia sets and the mandelbrot set. [Online]. A v ailable: h ttp://facult y .bard.edu/
~b elk/math323s11/JuliaSets.p df
[11] Metamateriale. [Online]. A v ailable: h ttps://www.fractenna.com/our/
metamaterials.h tml
[12] M. Choudhary and M. Kaur, Mo di ed sierpinski gask et for wi- and wlan appli-
cations, 2015.
67
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: F A CUL T A TEA DE MA TEMA TIC I INF ORMA TIC LUCRARE DE LICEN Conduc tor ³tiinµi c: Lect. univ. dr. Alexandru Mihail Absolv en t: Andrei Ion… [604347] (ID: 604347)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.