I. 1. Recursivitatea … 3 [604058]

1
Cuprins

Introducere ………………………………………………………………………………………………………………………….. 2
Capitolul I – Noțiuni teoretice și practice privind metodele și tehnicile de programare ……………. 3
I. 1. Recursivitatea …………………………………………………………………………………………………………….. 3
I. 1. 1. Conceptul de recursivitate …………………………………………………………………………………… 3

2
Introducere

Teoria ecuațiilor algebrice are drept scop determinarea prin calcul a rădăcinilor utilizând
anumite proprietăți și formule matematice.
Lucrarea de față are drept scop metodele de rezolvare a ecuațiilor algebrice de grad I, II,
III și IV cu coeficienți reali, ea fiind structurată pe patru capitole, relevând aspecte teoretice, prac-
tice și metodice.
În Capitolul I am făcut o prezentare generală a noțiunii de polinom cu o nedeterminată,
deoarece ecuațiile algebrice sunt de fapt ecuații polinomiale.
Capitolul II tratează problema de bază a lucrării „Rezolvarea prin radicali a ecuațiilor al-
gebrice de grad mai mic sau egal cu 4”, acesta conținând metode de rezolvare a acestor tipuri de
ecuații. Punctele forte ale acestui capitol sunt formula lui Cardano de rezolvare a ecuației de gradul
III și metoda Lagrange de rezolvare a ecuațiilor de grad mai mic s au egal cu patru.
Considerentele metodice ale lucrării sunt prezentate în Capitolul III unde sunt abordate
metode de predare- evaluare a ecuațiilor de gradul I și II în ciclul gimnazial. Partea de început a
capitolului o constituie noțiunile teoretice . Aceasta este urmată de metode de predare la clasă iar
în cea de -a treia parte a capitolului reprezintă o comparație între două teste de evaluare cu itemi
diferiți.
Ultimul capitol al lucrării îl reprezintă anexele și anume: aspecte din Programa Școlară,
proiectele unităților de învățare, proiectele didactice și modele de teste.
Tematica prezentată, precum și observațiile metodice sunt însoțite de exemple, exerciții și
probleme, lucrarea înscriindu -se în cadrul preocupărilor de dezvoltare profes ională și aprofundare
a studiului de specialitate.
Tema aleasă prin lucrarea de față „Rezolvarea prin radicali a ecuațiilor algebrice de grad
mai mic sau egal cu 4” este o temă de importanță deosebită din punct de vedere teoretic și practic
deoarece ecuaț iile algebrice sub forma cea mai simplă se studiază încă din ciclul primar și o sferă
largă de utilizare în viața de zi cu zi.
Matematica actuală are ca preocupare majoră problema creării unor concepte, metode ge-
nerale și riguroase, ea pătrunzând în domen ii precum fizica, informatică, biologie, economie, ci-
bernetică. O cercetare tehnică de înalt nivel științific cere un instrument pur și perfecționat.
În prezent, rolul profesorului nu se rezumă doar la prezentarea noțiunilor teoretice de spe-
cialitate în c adrul disciplinei, ci la transpunerea problemelor cotidiene în limbaj matematic folo-
sindu- se de noțiuni și concepte din mai multe discipline.

3
Capitolul I – Noțiuni teoretice și practice privind metodele și tehnicile de pro-
gramare

I. 1. Recursivitatea
I. 1. 1. Conceptul de recursivitate

Termenul recursivitate1 ( în latină r ecurrere = „ a reven i”, „a se întoarce” ) înseamnă uti-
lizarea a „ceva ” „cu referire la el însuși” . Recursivitatea este un concept fundamental atât în in-
formatică, cât și în matematică. O structură este recursivă atunci când părți ale sale au același mod
de construcție ca și structura însăși. Un algoritm este recursiv atunci când în interiorul acestuia
există subprograme care apelează la același algoritm.
Algoritmii iterativi pot fi transformați în algoritmi recursivi (spre exemplu pentru o buclă
se creează o me todă recursivă) și invers (folosind o stivă ce reprezintă ap elurile recursive).
În informatică , recursivitatea2 este o metodă de soluționare a unei probleme în care soluția
depinde de soluții la instanțe mai mici ale aceleiași probleme. Astfel de probleme pot fi rezolvate,
în general, prin iterație , dar acest lucru t rebuie să identifice și să indexeze instanțele mai mici la
timpul de programare. Recursiunea rezolvă astfel de probleme recursive prin utilizarea funcțiilor
care se apelează de la propriul cod. Abordarea poate fi aplicată la mai multe tipuri de probleme,
iar recursivitatea este una dintre ideile centrale ale informaticii.

I. 1. 2. Mecanismul de realizare al recursivității

Recursivitatea se realizează prin intermediul funcțiilor. O funcție se numește recursivă
dacă se autoapelează. Pentru a scrie o funcție recursivă, este necesar să decidem ce se înt âmplă
pentru un anumit nivel, deoarece la toate ni velurile se întâmplă același lucru. Foarte importantă
este condiți a de terminare, deoarce trebuie să fim siguri că algoritmul se termină și nu se ajunge
la o buclă infinită. Aceasta însemnă că avem nevoie de o condiție care decide că metoda nu va mai
fi apelată.
Mecanismul3 care face posibilă recur sivitatea derivă din modul de funcționare a funcțiilor.
Ca în cazul oricărui apel de funcție, și în cazul funcțiilor recursive se alocă o zonă de memorie pe
stivă pentru valorile parametrilor, precum și pentru valorile variabilelor locale. Această zonă de
memorie rămâne alocată pe tot parcursul execuției apelului funcției, fiind eliberată la momentul
revenirii în funcția apelantă. Stiva nu este gestionată explicit de către programator, ci d e către
sistem.
În cele ce urmează vom exemplifica modul de descompunere a unei probleme în procese
recursive4.
Enunțul problemei. Să se calculeze suma primelor n numere naturale. Valoarea lui n se
introduce de la tastatură.
Această problemă poate fi rezolvată prin doi algoritmi:
– folosind iterația (algoritm iterativ );
– folosind recursivitatea ( algoritm recursiv ).
Acești algoritmi (iterativ sau recursiv) se bazează pe următoarea metodă – se consideră funcția
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝒏𝒏) care se generează astfel:

1 Doina Logofătu – Algoritmi fundamentali în C++. Aplicații, pag. 163, Editura Polirom, Iași,2007
2 https://en.wikipedia.org/wiki/Rec ursion_(computer_science)
3 Emanuela Cerchez, Marinel șerban – Programarea în limbajul C/C++, pag. 12, Editura P olirom, Iași,200 5
4 Mariana Miloșescu , Manual matematică- informatică, clasa a X I neintensiv, E ditura didactică și pedagogică,
București 2011

4

Iterativ Suma(0) ← 0
Suma(1) ← Suma(0)+1
Suma(2) ← Suma(1)+2
…………………
Suma(n) ← Suma(n- 1)+n
Recursiv
Acestui proces de calcul i se pot asocia două funcții matematice :
– funcția iterativă – definiția iterativă a unei funcții se face printr- o expresie care conține numai
valori cunoscute;
– funcția recursivă – definiția recursivă a unei funcții se face printr -o expresie care conține însăși
funcția.
Funcția matematică iterativă asociată acestui proces de calcul este:
𝑺𝑺𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝑛𝑛)=�0, pentru 𝑛𝑛=0
1+2+3+⋯+𝑛𝑛,pentru 𝑛𝑛≠0
Programul care folo sește algoritmul iterativ este:

#include <iostream.h>
int suma( int n)
{ int i,s=0;
if (n==0) return 0;
else {for (i=1;i<=n;i++) s=s+i;
return s;
}
}
void main()
{ int n;
cout <<"n= ";
cin >>n;
cout <<"suma= "<<suma(n);
}

Funcția matematică recursivă asociată aces tui proces de calcul este :
𝑺𝑺𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝑛𝑛)=�0, pentru 𝑛𝑛=0
𝑛𝑛+𝑺𝑺𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝑛𝑛−1),pentru 𝑛𝑛≠0
Programul care folo sește algoritmul recursiv este:

#include <iostream.h>
int suma( int n)
{ if (n= =0) return 0;
else return suma(n -1)+n;
}
void main()
{ int n;
cout <<"n= ";
cin >>n;
cout <<"suma= "<<suma(n);
}

5