Calea Mărășești, nr. 157, Bac ău, cod 600115 [603572]

1

ROMÂNIA
MINISTERUL EDUCAȚIEI NA ȚIONALE ȘI CERCETĂRII
ȘTIINȚIFICE
UNIVERSITATEA „VASILE ALECSANDRI” DIN BACĂU
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC
Calea Mărășești, nr. 157, Bac ău, cod 600115
Tel.Fax: 0234/588935; Tel.Fax: 0234/580050
E-mail: [anonimizat]; [anonimizat]

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Conf./univ. dr. NIMINEȚ VALER

CANDIDAT: [anonimizat]. UNGUREANU M. ADRIAN

SPECIALIZAREA:
MATEMATICĂ:

BACĂU 2020

2

ROMÂNIA
MINISTERUL EDUCAȚIEI NA ȚIONALE ȘI CERCETĂRII
ȘTIINȚIFICE
UNIVERSITATEA „VASILE ALECSANDRI” DIN BACĂU
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC
Calea Mărășești, nr. 157, Bacău, cod 600115
Tel.Fax: 0234/588935; Tel.Fax: 0234/580050
E-mail: [anonimizat]; [anonimizat]

GEOMETRIA TRIUNGHIURILOR. ASPECTE METODICE

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Conf. univ. dr. NIMINEȚ VALER

CANDIDAT: [anonimizat]. UNGUREANU M. ADRIAN

SPECIALIZAREA:
MATEMATICĂ

BACĂU 2020

3
Cuprins

Argument 6
Capitolul 1 Profilul psihopedagogic al elevului
1.1 Dezvoltarea stadială a personalității 8
1.2 Periodizări ale vârstelor în concepția contemporană 9
1.3 Definițiile și caracterizarea pa rticularităților de vârstă și individuale 9
1.4 Particularități ale proceselor cognitive la vârste mici 10
1.5 Gândirea și operațiile fundamentale 13
1.6 Particularități fiziologice ale adolescenței 13
1.7 Particularități cognitive, psihice și acționale ale adole scenței 14

Capitolul 2 Geometria triunghiului. Metodică și aplicații
2.1 Teorema lui Stewart 18
2.2 Teorema lui Pitagora 19
2.3 Teorema lui Pitagora generalizată 19
2.4 Teorema bisectoarei interioare 22
2.5 Teorema bisectoarei exterioare 24
2.6 Teorema sinusurilor 26
2.7 Teorema lui Menelaus 27
2.8 Teorema lui Menelaus pentru patrulatere 27
2.9 Teorema lui Ceva 28
2.10 Teorema lui Desargues 29
2.11 Teoremele lui Maxwell 30
2.12 Teorema lui Viviani 31
2.13 Teorema lui Kie pert 31
2.14 Teorema lui Van – Aubel 32
2.15 Teorema lui Pompe iu 37
2.16 Teorema lui Steiner – Lehmus 38

4
2.17 Teorema lui Barbilian 39
2.18 Teorema lui Bottema 40
2.19 Teorema lui Gergonne 41
2.20 Teorema lui Heron 42
2.21 Teorema lui Catalan 42
2.22 Teorema Carnot 43
2.23 Teorema lui Schooten 46
2.24 Teorema lui Smarandache 46
2.25 Teorema lui Arhimede 47
2.26 Relații metrice în triunghiul dreptunghic 48
2.27 Aria unui triunghi 49
2.28 Centrul de greutate al unui triunghi 52
2.29 Centrul cercului circumscris unui triunghi 55
2.30 Cercul înscris într -un triunghi 59
2.31 Ortocentrul unui triunghi 62
2.32 Punctul lui Gergonne 65
2.33 Triunghiul anticomplementar 69
2.34 Triunghiul antisuplementar 72
2.35 Triunghiul I – pedal 75
2.36 Triunghiul simedian 78
2.37 Triunghiuri înscrise 79
2.38 Triunghiul celor trei imagini 79

Capitolul 3 Cercetarea pedago gică
3.1 Elemente de cercetarea pedagogică 81
3.1.1. Rolul și locul cercetării pedagogice 81
3.1.2. Tipuri de cercetare pedagogică 81
3.1.3. Programul cercetării pedagogice 81
3.1.4. Izvoarele și metode de cercetare pedagogică 82

5
3.1.5. Metode de cercetare 83
3.1.6. Cerințele unei cercetări obiective și eficiente 87
3.2. Aplicarea cercetării pedagogice 88
3.2.1. Delimitarea problemei de cercetat 88
3.2.2 Obiectivele cercetării 88
3.2.3. Formularea ipotezei de cercetat 89
3.2.4 Organizarea cercetării 89
3.2.5 Metodele de cercetare 90
3.2.6 Instrumentul de colectarea a datelor 91

Capitolul 4 Interpretarea și analiza cercetării
4.1 Colectarea și interpretarea datelor obținute în urma aplicării testului inițial 94
4.2 Colectarea și interpretarea datelor obținute în urma aplicării testului final 98
4.3 Prezentarea comparativă a rezultatelor și concluziile cercetării 103

Anexă 106

Bibliografie 120

6
Argument

Originile matematicii sunt legate de conceptul de număr, mărime, formă, noțiuni ce au făcut
parte din viața societății încă din perioada antică fiind impuse de către activitatea oamenilor din
acele timpuri.
Osul Ishango de o vechime de aproximati v 20.000 de ani și descoperit în apropierea
izvoarelor râului Nil (nord -estul statului Congo) prezintă o serie de incizii dispuse în trei coloane
de-a lungul osului, Interpretări ale acestuia fiind legate de numărare , de șirul numerelor prime
sau de cal endarul de șase luni utilizat și de agricultorii acelor vremuri.
Primele picturi geometrice apar încă din mileniul al V -lea î.Hr. iar monumente importante din
Anglia și Scoția mileniului al III -lea î. Hr. au încorporat în construcțiile lor idei geome trice ca
cea de cerc, elipsă sau de numere pitagorice.
Matematica greacă este cunoscută începând cu Thales din Milet (624 -546) și Pitagora din
Samos (580 -495) care au fost interesați de matematica egipteană și babiloniană, iar conform
legendei Pitagor a călătorea în Egipt pentru a învăța matematicile, geometria și astronomia de la
sacerdoții egipteni.
În zilele noastre matematica a devenit un instrument de lucru de o mare importanță în toate
științele și domeniile tehnice motiv pentru care consider ăm firesc să i se acorde o maxima atenție
în procesul de cultivare a gândirii logice a tinerei generații
Alegerea temei mi -a oferit posibilitatea să constat că uneori elevii din clasa a IX -a întimpină
dificultăți în rezolvarea de probleme la geometri e dacă noțiunile fundamentale nu au fost însușite
corect în clasele din ciclul gimnazial, drept urmare am declanșat o cercetare pedagogic – pornind
de la ipoteza că prezentarea la clasă a noțiunilor de geometrie folosind metode tehnice moderne
conduc la cre șterea randamentului școlar.
Lucrarea „Geometria triunghiurilor. Aspecte metodice.ʺ este structurată în patru capitole.
În primul capitol „Profilul psihopedagogic al elevului ʺ am descris personalitatea
adolescentului, operațiile fundamentale al e gândirii, particularitățile psihice și acționale a
elevului de liceu.
În capitolul al doilea „Geometria triunghiului metodică și aplicațiiʺ am prezentat noțiuni
teoretice elementare de geometrie, o serie de teoreme însoțite de demonstrații ce pot fi utilizate
cu succes în rezolvarea de probleme.
Capitolul al treilea intitulat „Cercetarea pedagogicăʺ prezintă – date generale despre cercetare
cum ar fi: tipuri de cercetare, metode de cercetare, ipoteza și etape ale acesteia.
Ultimul capitol a l „Interpretarea și analiza cercetăriiʺ cuprinde tabele de colectare a datelor
rezultate în urma aplicării testelor inițiale si finale, prelucrarea prin metode statistice matematice
ale acestora, evidențierea progresului înregistrat de către elevi , formul area concluziilor cercetării
pedagogice realizate ce duc la confirmarea ipotezei lansate.

7
Lucrarea mai conține și o anexă cu două proiecte didactice și bibliografia studiată pentru
realizarea ei.

8
CAPITOLUL 1
Profilul psihopedagogic al elevului
1.1 Dezvoltarea stadială a personalității
Evoluția ființei umane se realizează în contextul unor modificări stadiale, trecând prin etape
ireversibile. Astfel dezvoltarea personalității se manifestă ca un proces stadial dinamic , ca o
succesiune de faze relativ distincte, dar și în interacțiune , cu caracter progresiv sistematic.
Stadiile sau fazele dezvoltării personalității sunt denumite și etape de vârstă iar evoluția ființei
umane este legată de interacțiunea a două mari stadii : dezvoltarea filogenetică, adică dezvoltarea
istorică a omul ui în care este prezentă ereditatea (gr. Filos – istorie și gr. genesis – naștere) și
dezvoltarea ontogenetică, adică dezvoltarea individuală pe tot parcursul vieții individului (gr.
ontos – individ, individual și gr .genesis – naștere).
Istoria pedagog iei și psihologiei a cunoscut mai multe teorii cu privire la dezvoltarea stadială
a personalității ,printre care se pot menționa :
A. Teoria interpersonală sau a relațiilor interpersonale susținută de H.S. Sullivan în
lucrarea „An interpersonal theory of psychiatry‟, New York, 1953, unde se susține că
relațiile dintre persoane sunt generalizate de particularități noi, relativ asemănătoare între
indivizii grupului din aceeași etapă de vârstă
B. Teoria psihosocială a ego -ului (a individualității ) susținută d e E. Erikson în lucrarea sa
„Childhood and Socyetyʺ, New York,1950, unde se susține ca factorii interni intră în relație
cu factorii externi de mediu culturali și educaționali , determinând particularități specifice și
relativ comune persoanelor din aceeaș i etapă de vârstă.
C. Teoria dezvoltării cognitive a personalității susținută de Jean Piaget în lucrarea
„Psihologia inteligenței‟, unde se arată că personalitatea parcurge anumite stadii operaționale
de natură cognitivă, astfel: stadiul inteligenței sen zorio -motorie: 0 -2 ani : stadiul operațiilor
concrete :2 -11 ani; stadiul operațiilor formale(logice):11 -19 ani și stadiul operațiilor
profesionalizării: după 19 ani.
In funcție de evoluția fizică ,de evoluția psihică și de evoluția prin educație s -au stabi lit
următoarele tipuri de vârste: vârsta cronologică ,după criteriul evoluției biologice;

9
vârsta mentală , după criteriul evoluției psihice și vârsta școlară , după criteriul evoluției
învățării
1.2 Periodizări ale vârstelor în concepția contemporană
In urma re zultatelor unor cercetări multidisciplinare (psihologice, pedagogice ,biologice
,medicale, sociologice ,ergonomice etc.) precum și a experienței didactice s -au conturat
grupe și perioade de vârstă (3 grupe și 9 etape de vârstă), astfel:
A. Grupa vârstelor pre mergătoare școlarității (de la naștere la 6 sau 7 ani)
1. Pruncia sau vârsta sugarului:; de la naștere pana la 1 an
2. Copilăria nepreșcolară: 1 -3 ani
3. Copilăria preșcolară: 3 -6(7) ani
B. Grupa vârstelor școlare: 6(7) ani – 18(19) ani
4. Prepubertatea – vârsta școlară mică : 6(7) ani – 10(11) ani –clasele I -IV
5. Pubertatea: adolescența timpurie sau vârsta școlară medie , corespunzătoare
gimnaziului: 10(11)ani -14(15) ani
6. Adolescența – tinerețea timpurie sau vârsta școlară mare: corespunzătoare liceului
sau a școlii profesi onale – 14(15)ani -18(19) ani
C. Grupa vârstelor adulte
7. Tinerețea 18(19)ani – 23(24 )ani sub raport fiziologic și 28(29) ani sub raport
spiritual: corespunde învățământului superior, învățământului postliceal și
activității social utile și creative.
8. Maturitat e 23(24)ani sau 28(29)ani pană la pensie: 60 ani(femei)și 65 (bărbați) –
corespunde vârstei social utile și creative
9. Bătrânețea – de la pensie , în funcție de longevitate.

1.3 Definițiile și caracterizarea particularităților de vârstă și individuale
a. Particularitățile de vârstă sunt structuri și trăsături anatomofiziologice, psihice și
acționare (comportamentale), ce caracterizează persoanele de aceeași etapă de vârstă,
ca urmare a influențelor relativ asemănătoare de mediu și educație.

10
Intr-o altă viz iune , particularitățile de vârstă mai pot fi definite ca fiind un nivel relativ
asemănător de dezvoltare fizică, mod asemănător de a gândi , de a simți, de a acționa și
de a se comporta.
b. Conceptul de particularități individuale este dat de structurile și trăsăturile
anatomofiziologice ,psihice și acționale (comportamentale), fie că sunt de aceeași
categorie de vârstă, fie de vârste diferite.

1.4 Particularități ale proceselor cognitive la vârste mici
Nivelul și calitatea particularităților psihice și acțion ale sunt determinate în măsură
importantă de influența agenților socio -educționali – viața și educația din familie, educația
preșcolară și școlară in deosebi, dar și de alți factori extrafamiliali și extrașcolari cum ar
fi : mass media și alți factori educa tivi.
In acest context vom analiza caracteristicile proceselor cognitive, afective și acționale
concomitent cu implicațiile lor psihopedagogice:
a. Atenția (procesul psihic de orientare și concentrare a componentelor
psihofiziologice): trece de la forma invol untară spre cea voluntară, de la cea puțin
stabilă spre cea stabilă; necesită ca durata activităților să fie adaptată procesului
cognitiv și vârstei subiectului, iar când atenția slăbește trebuie să se intervină pentru
menținere sau restabilire , prin moda lități corespunzătoare cum ar fi: anumite mișcări
la cei mici, pauze mai dese, o predare activă și interesantă, etc.
b. Memoria (procesul de stocare și reproducere a informațiilor); dovedește mare
plasticitate, receptivitate, datorită stocului redus de informații; la vârste mici 13 -15
ani acționează relativ puternic memoria auditivă, în timp ce memoria vizuală este
prezentă pana l a vârsta adultă; se trece treptat de la memoria mecanică la cea logică,
sunt necesare eforturi pedagogice de explicitare și argumentare pentru asigurarea
accesibilității, a înțelegerii celor memorate.
c. Gândirea (capacitatea de reflectare indirectă, abstract izată și generalizată a notelor
esențiale ale realității prin intermediul noțiunilor, judecăților și raționamentelor): are
o pondere însemnată gândirea concretă (copii gândesc și acționează prin concret, fără
evidențierea elementelor abstracte – noțiuni, id ei, principii etc) este posibilă și

11
necesară trecerea treptată de la gândirea concretă la cea abstractă prin îmbinarea
materialului didactic intuitiv în procesul de predare învățare cu mijloace logico –
matematice; aceasta necesită pregătirea copiilor pentr u formarea, înțelegerea și
operarea cu noțiuni, judecăți și raționamente pentru ca la pubertate să se stimuleze
gândirea logică.
d. Imaginația (capacitatea de a crea idei noi, soluții etc ), copii mici au o imaginație
fantastică (ireală) ; ei visează să devin ă orice; ei se văd ingineri, cosmonauți, medici,
etc, fără să -și dea seama dacă au posibilități de realizare; este nevoie să se stimuleze
cat mai mult imaginația, fie ea pentru început fantastică, iar apoi sa devină realist –
fantastică și spre pubertate să ajungă la o imaginație cu o doză importantă de realism,
adică să se îmbine cu realitatea socială cat si cea individuală de realizare.
e. Marea curiozitate (dorința și nevoia de a afla și înțelege) din cauza capacității
intelectuale limitate, a stocului redus de informație ,copiii mici au o mare „sete ‟ de
cunoaștere, de a afla cat mai multe, iar întrebările de tipul: de ce este așa? cerințe
cognitive firești. Bineînțeles nu avem posibilitatea de a oferi explicații menite să ofere
răspunsuri în profunzime și extensive, vom evita răspunsurile false, apelând la
anumite metafore care să ii satisfacă la o anumită vârstă și vom reveni cu răspunsuri
și explicații atunci când sunt pe altă treaptă a dezvoltării intelectuale.
f. Spirit de imitație (capacitatea de a repro duce anumite modele, comportamentale,
cognitive) : copiii au tendința de a imita fără discernământ pe cei mari ,doresc de să
se ridice la „nălțimea ‟ lor, argumentația fiind ca așa au văzut la mama, tata, bunica,
vecinul etc., de aici putem desprinde nec esitatea de a oferii modele bune, frumoase,
corecte ,civilizate.
g. Motivele -motivația: La vârste mici acționează mai mult motivele extrinseci , cum ar
fi notele, recompense morale si materiale date pe merit. Motivația interioară trebuie
să se dezvolte trepta t prin setea de cunoaștere, dragostea și pasiunea pentru învățătură,
deoarece îi vor conferi valențe înalte în evoluția lui psihice.
h. Procesele afective : trăirile sufletești și simțirile se caracterizează puternic prin ceea
ce numim tonus afectiv. Pe cop iii mici stimulii pozitivi îi entuziasmează, îi bucură, iar
cei negativi îi întristează, prin urmare adulții trebuie să nu îi impresioneze negativ
prin acțiunile lor, să nu îi dezamăgească.

12
i. Procese acționale : se caracterizează printr -o mare nevoie de mișc are , datorită
procesului intens de dezvoltare fizică, a necesității consumului de energie. Copiii
strigă, aleargă , sar garduri etc. fără a conștientiza că acțiunile lor pot deranja pe alții ,
de aceea este necesar să li se creeze condiții pentru a consum a surplusul de energie ,
prin activități specifice cum ar fi jocul didactice, sport, înlăturarea surselor de
accidentare si de poluare sonoră.
j. Pubertatea; este etapa optimă de orientare școlare și profesională a copiilor, prin
urmare este necesară cunoașt erea multidimensională a discipolilor luându -se în
considerare posibilitățile actuale și de perspectivă a acestora. În acest context se
procedează ca la absolvirea ciclului gimnazial, copiii să dorească să acceadă la o
anumită școală, la o anumită profesie unde s -ar putea să aibă reușită. La vârstele mici
și în deosebi vârsta pubertății , în urma administrării unei educații nepotrivite poate să
apară egocentrismul care sa îl facă pe copil să creadă că lui i se cuvine tot, totul se
învârte în jurul său. Dacă în mod exagerat că i s -ar satisface toate nevoile copilul ar
ajunge un „ʺmic tiran care i -ar „ torturaʺ pe cei din jur, ceea ce ar conduce la
degradarea personalității sale. Evident este normal să i se satisfacă nevoile , firești
cum ar fi cele fiziolog ice sau spirituale, dar nu capriciile, cerințele exagerate.
La pubertate datorita spiritului de imitație și bravare pot apărea anumite ticuri
(mișcări spontane ale unor părți ale organismului, cum ar fi clipirea din ochi, darea
din umeri, tragerea nasului, etc.).Ele trebuie prevenite și înlăturate pe cât posibil. Tot
aici în etapa pubertății apare așa numită vârstă critică, datorată dezvoltării rapide a
organismului și lipsei condițiilor de formare a personalității. Copiii la această vârstă
se înalță aproape ca părinții, atât fetele cat și băieții, constată maturiz area unor glande
cu secreție internă, ce -i face capabili de a procrea. În cazul lipsei conștientizării
limitelor dezvoltării fiziologice, intelectuale și profesionale pot ajunge la o încredere
exagerată în posibilitățile lor, se pot identifica trăsături și manifestări negative, spre
exemplu: îndrăzneală, încăpăținare, tendința de bravare, de nonconformism și
evadare, care duc la libertinism și vagabondaj, cu consecințe neașteptate de degradare
a personalității – delicvența juvenilă manifestată prin furturi, agresiuni, consum de
droguri, etc. O asemenea evoluție este fatală și prin urmare trebuie să se intervină la
timp și cu tact, în mod sistematic din partea factorilor educativi, familie. școală,

13
societatea civilă prin valorificarea valențelor vârstei și înl ăturarea vârstei critice prin
înlăturarea tuturor elementelor ce pot conduce la degradarea personalității
,competente și demne a individului .
Evidențiind limitele dezvoltării la vârsta pubertății este necesar să subliniem și
valențele pozitive , cum ar fi: că poate deveni un partener al educatorului în propria
sa formare prin conștientizare, autocontrol și autoevaluare.

1.5 Gândirea și operațiile fundamentale
Prin gândire se înțelege procesul de reflectare a realității in mintea ființei umane.
Operațiil e fundamentale ale gândirii sunt:
a. Comparația cu ajutorul căreia se stabilesc însușirile individuale (deosebirile) și cele
relativ stabile (asemănările).
b. Analiza implică procesul de descompunere mintală în elemente a chestiunii de studiat
și cercetarea lor separată.
c. Sinteza este operația inversă a analizei ce reunește mintal elementele studiate
formând întregul.
d. Abstractizarea presupune estragerea însușirilor comune generale ale unei categorii
de obiecte, fenomene, eliminând pe cele particulare sau reținând numai pe cele
semnificative în etapa de studiu.
e. Generalizarea reprezintă extinderea unor trăsături comune unui grup de obiecte ,
fenomene cercetate la toate cele din categoria respectivă
f. Particularizarea este operația opusă generalizării constând în indivi dualizarea u ui
obiect, a unui fenomen, cate face parte dintr -o categorie definită prin proprietăți
generale.
g. Sistematizarea este opera/ia care leagă și ordonează intr -un sistem cunoștințele
asupra obiectelor sau fenomenelor studiate.

1.6 Particularități fizi ologice ale adolescenței
Adolescența reprezintă etapa de vârstă între pubertate și tinerețe, este vârsta de la 1

14
3(15) ani la 18(19) ani, corespunzătoare liceului sau școlii profesionale și începutul
activității social -utile. Se cunosc două particularități fiziologice ale individului și anume:
a. Continuă dezvoltarea fizică , însă in ritm mai lent, se echilibrează și se maturizează
toate sistemele organismului, se dezvoltă puternic volumul plămânilor și a inimii,
tensiunea arterială ajunge la 114 mm, pulsul mii mii ajunge la 70 -72 bătăi/minut, se
solidifică sistemul osos, crierul ajunge la circa 1500 g, se maturizează centrele
scoarței cerebrale – memorie, înțelegere, imaginație, atenție, etc. se consolidează
sistemul muscular, adolescentul devine o înfățișare arm onioasă și frumoasă,
înlăturându -se disproporțiile din perioada pubertății.
b. Se menține o serie de implicații specifice vârstei pubertății se impune evitarea
alimentației nesănătoase, a consumului de alcool asigurarea unei vieți școlare și
extrașcolare ec hilibrate, se asigură condiții igienico -sanitare privind locuința ,
îmbrăcămintea, organismul și consultarea medicală de specialitate atunci când este
nevoie.
1.7 Particularități cognitive, psihice și acționale ale adolescenței
a. Atenția. se dezvoltă tot mai mult atenția voluntară și stabilă, cu posibilități de
concretizare sau distribuție, după caz. Dacă este pe o perioadă îndelungată pot să
apară elemente ale atenției involuntare ,scăderea și instabilitatea atenției. Menținerea
atenției se face printr -o activitate școlară interesantă, prin propunerea de aplicații
eficiente, intelectuale sau practice menite să mențină atenția chiar și intr -un timp mai
îndelungat..
b. Memoria . Ponderea memoriei logice este în creștere ceea ce face posibilă p redarea
și însușirea de date abstracte, generale și esențiale. Rămân însă elemente de memorie
mecanică, ceea ce înseamnă ca este necesar îmbinarea predării pe bază de material
didactic intuitiv cu material didactic abstract care să asigure înțelegerea spe cifică
vârstei adolescentului. După profilul elevului trebuie acționat în așa fel să se dezvolte
memoria auditivă, vizuală, motorie, etc.
c. Gândirea Elemente de gândire concretă se întâlnesc și la această vârstă, însă crește
ca pondere gândirea logică, abstr actă, cu elemente de independență, flexibilitate,
adaptabilitate și creativitate. Strategia de îmbinare în predare a concretului cu

15
abstractul este impusă și de caracterul unor discipline de învățământ, în deosebi cele
de specialitate noi, fiind și vârsta la care se poate implementa elemente de gândire
specializată, a gândirii tehnice, medicale, pedagogice, etc.
d. Imaginația se bazează pe însușirea bazelor științifice a disciplinelor de pregătire
profesională – este în creștere imaginația realist -științific ă. În acest context este
momentul propice de a se implementa elemente de imaginație specializată, cum ar fi
cea tehnică, pedagogică, medicală, economică, artistică etc. Trebuie avut în vedere că
sunt păstrate și elemente de imaginație fantastică, realist -fantastică și științifico –
fantastică – important este să dinamizăm aceste genuri de imaginație , să facem ca
adolescentul să manifeste într -o măsură importantă și imaginația realist -științifică și
realist=științifică specializată (profesionalizată).
e. Spirit ul de observație independentă – adolescentul este capabil de spirit critic , el
primește și asimilează numai ce este convins cu adevărat și corect, percepe
independent elemente abstracte și generale ale realității studiate. În acest context
grija educatoru lui trebuie să fie ca adolescentul să fie captat în actul de predare –
învățare și ca tot ceea ce li se oferă să fie corect, argumentat și convingător.
f. Afectivitatea – la adolescență se mențin trăirile sufletești existând posibilitatea să se
îmbine cu rați onalul, cu gândirea logică, dând posibilitatea adolescentului sa -și
manifeste acte afective superioare sub forma de sentimente, așa cum sunt: dragostea
față de învățătură, față de cei din jur, față de patrie, față de profesie, față de cei din
jur etc. Adol escența se caracterizează prin apariția unui sentiment socio -uman
superior nou – iubirea, dragostea, care este un act plin de romantism, de poezie, de
sensibilitate umană și de apropiere față de persoană de sex opus, iubirea rămâne o
mare preocupare a adol escenților de 14 -18 ani, fiind considerată de ei o a doua
valoare după libertate . Ei visează la iubirea shakespeariană, la Romeo și Julieta
secolului XXI -lea, investițiile în iubire sunt scurte și intense , adolescenții fiind puțin
conștienți în detalii. Dezvoltarea sentimentului de iubire necesită o educație sexuală
științifică cat și o educație socio -umană pe care să se sprijine întemeierea familiei,
creșterea și educația copiilor și tinerilor în spiritul unor relații demne și civilizate
între sexe.

16
g. Motivația – motivele – La adolescenți , pe lângă motivația extrinsecă (note bune,
recompense, etc) acționează și motivele intrinseci manifestate prin setea de
cunoaștere, dorința de autodepășire și de afirmare, competiția loială etc, cărora este
necesar să li se acorde o atenție mare în actul pedagogic.
h. Procesele acționale În contextul în care la adolescență se sporesc forțele fizice,
intelectuale și practice de o mai lungă durată, întregul surplus de energie trebuie
canalizat spre asimilarea unui bogat orizon t de cultură generală și profesională, spre
dezvoltarea unor capacități de valoare, spre însușirea unor deprinderi intelectuale și
profesionale, pentru distracție și odihnă activă.
i. Afirmarea de sine – poate avea în funcție trăsăturile de manifestare un car acter
pozitiv sau unul negativ: caracter pozitiv – manifestare de inițiativă și spirit de
independență, autodepășire , responsabilitate și autonomie corect înțelese,
autocontrol, autoapreciere și autoreglare (feed back) ; caracter negativ –
nonconformism, rezistență și opunere la normele de activitate și disciplină,
încăpăținare, vagabondaj, bravare, îngâmfare – pană la delicvență. Dacă se amplifică
caracteristicile negative ale afirmării de sine, atunci unii au considerat adolescența ca
o vârstă „critică‟ . În acest context trebuie să cunoaștem tendințele comportamentale
negative ale unor adolescenți pentru a le putea preveni. Astfel unii dintre adolescenți
pot fi atrași de acte ce pot denatura comportamentul ca: alcool, agresivitate,
distrugere de bunuri e tc. Adolescenții sunt la vârsta la care sunt foarte receptivi iar
daca nu vom descoperi și aplica cu tact și măiestrie strategiile educaționale, nu vom
reuși să prevenim sau să înlăturăm fenomenele negative ale „afirmării de sine ʺ,
discutăm de o „vârstă critică‟ a adolescenței, având consecințele ei negative în
dezvoltarea adolescenților. Dacă aplicăm strategiile corect , adolescenții vor fi
antrenați ca parteneri loiali, Ca subiecți ai educației, se previne sau se înlătură
fenomenele negative ale afirmăr ii de sine, vârsta adolescenței devenind astfel o etapă
frumoasă, normală și valoroasă de dezvoltare a personalității. Adolescentul posedă și
particularități pozitive , chiar dacă sunt în stare potențială, ne putem baza pentru a
transforma individul intr -un subiect al educației, într -un partener al acestui proces.
Așa cum spune Goethe „orice înfățișare decentă își are rațiunile ei interioare ʺ Ca și

17
in modă adolescentul trebuie educat să aleagă ceea ce ține de bunul -gust (de frumos),
de moral.
j. Relația prof esor elev – Seva urmării înlăturarea puterii tutelare a profesorului
asupra elevilor ca afirmare a particularităților pozitive. Între elevi , profesor și alți
factori educativi este necesar să se formeze o relație caracterizată prin îndrumare și
exigențe c orespunzătoare, dar și de cooperare, înțelegere, încredere și ajutor reciproc,
acesta fiind un argument important pentru eliminarea autoritarismului excesiv în
relația profesor -elev. Adolescenții trebuie să se ferească de fenomenul de infantilism,
adulții înțelegându -i de trăirea ultimelor urme frumoase ale copilăriei, deoarece și
perioada adolescenței este o vârstă a copilăriei mari, ce -i apropie de adulți.
Manifestarea dezvoltării parțiale a înclinațiilor, a aptitudinilor descrie adolescența,
mai ales câ nd școala îi conferă o profesionalitate, cu acordarea atenției
corespunzătoare. Pentru elevii de liceu aflați la adolescență se poate realiza o
reorientare, chiar și profesională astfel încât opțiunile și deciziile lor pentru un
anumit profil sau pentru un viitor parcurs postliceal și superior să corespundă
ofertelor.
k. Aspirațiile și idealurile pentru adolescenți devin mai stabile, mai realiste din punct de
vedere nivelului intelectual, moral și socioprofesional, al capacităților de
autocunoaștere și posibil ităților lor reale, cat si al ofertelor sociale prezente și de
perspectivă. Oricare ar fi situația, totalitatea factorilor educativi trebuie să acționeze
în scopul ca liceenii și adolescenții de școală profesională să aibă conturată aspirații
și un ideal î n viață, fiind sursa și factorii proiecției activităților lor eficiente în viață
l. Modele de urmat de către adolescenți Valoarea proprie a adolescentului se face
prin raportarea și compararea cu alte persoane, mai frecvent cu adulții, fiind aici
vorba de o p reocupare de a găsi modele cât mai valoroasei demne de urmat. Este de
reținut faptul că adolescenții manifestă un spirit critic, intransigent față de adulți, față
de discrepanțele ce apar între vorbele și faptele acestora. În contextul dat este de
amintit necesitatea manifestării prestigiului adultului , a unei autorități impuse,
coercitive, pentru a fi în concordanță cu sentimentul demnității ce -l manifestă
adolescentul . Adultul trebuie să aibă în vedere că adolescența pregătește unele
particularități ale tinereții, iar adolescenții trebuie tratați ca atare .

18
CAPITOLUL 2
GEOMETRIA TRIUNGHIULUI. METODICĂ ȘI APLICAȚII

2.1 Teorema lui Stewart

Dacă M este un punct pe latura BC. a triunghiul ABC, atunci: are loc relația:
2 2 2. AB MC AC BM AM BC BC BM MC       

Demonstrație .
Aplicând teorema cosinusului în ∆ 𝐴𝐵𝑀 și ∆ 𝐴𝑀𝐶 (Fig.1) obținem::
𝐴𝐵2=𝐴𝑀2+𝐵𝑀2−2𝐴𝑀∙𝐵𝑀∙cos (∢AMB)
𝐴𝐶2=𝐴𝑀2+𝑀𝐶2−2𝐴𝑀∙𝑀𝐶∙cos( ∢𝐴𝑀𝐶)̂
Cum
𝑐𝑜𝑠(∢𝐴𝑀𝐶)=𝑐𝑜𝑠(1800− 𝑚(∢𝐴𝑀𝐵))=−𝑐𝑜𝑠(∢𝐴𝑀𝐵) avem:
𝐴𝐵2∙𝑀𝐶=𝐴𝑀2∙𝑀𝐶+𝐵𝑀2∙𝑀𝐶−2𝐴𝑀∙𝐵𝑀∙𝐶𝑀∙cos(∢𝐴𝑀𝐵)
𝐴𝐶2∙𝑀𝐵=𝐴𝑀2∙𝑀𝐵+𝐶𝑀2∙𝑀𝐵+2𝐴𝑀∙𝐵𝑀∙𝐶𝑀∙cos(∢AMB)
Sumând egalitățile obținem:
2 2 2( ) ( ) AB MC AC BM AM MC MB BM MC MB MC       
adică
2 2 2. AB MC AC BM AM BC BM MC BC       

Consecințe:
1) Teorema medianei
Dacă M este un punct la mijlocul laturii BC a triunghiului ABC. , atunci,
2 2 2
22( )
4ab c am
(unde
am reprezintă lungimea medianei AM).
Demonstrație. Avem
.2aBM MC Din relația lui Stewart aplicată în triunghiul
ABC și punctului
M rezultă
2 2 2
22( ).4ab c am
2) Lungimea bisectoarei interioare
A
B
C
M
Fig. 1

19
Fie triunghiul ABC și AD bisectoarea interioară a ∢𝑩𝑨𝑪 , unde
D BC .atunci
2
24()()bcAD p p abc
, unde p este semiperimetrul triunghiului ABC.
Demonstrație . Din teorema bisectoarei interioare avem
,c BD
b DC de unde
c b BD DC
b DC

abDCbc (1) și
acBDbc (2) (Fig. 2). Teorema lui
Stewart aplicată în ∆ 𝐴𝐵𝐶 pentru
MD ne dă:
2 2 2 2AD a c DC b BD a DB DC       
(3). Din relațiile (1), (2) și (3) rezultă
2
24()()abcl p p abc
(unde prin
al înțelegem lungimea bisectoarei AD).
3) Lungimea bisectoarei exterioare
Fie AE bisectoarea exterioară a unghiului A, a triunghiul ABC, (
). E BC , atunci,
2
24 ( )( ).()bc p b p cAEbc

Demonstrație. Fie
,bc și
()B EC (Fig. 3). Din teorema lui Stewart aplicată în l ∆ 𝐴𝐵𝐶 avem:
2 2 2( ). AE BC AC EB AB EC AB EB BC        
Din
teorema bisectoarei exterioare avem:
c EB
b EC de
unde rezultă:
c EB EB
b c EC EB a și
acEBbc ;
analog
.abECbc Relația
() devine
2 2 2 ac ab acAE a b c c ab c b c b c         
de unde
obținem:
2
24 ( )( ),()bc p b p cAEbc
2abcp .

2.2 Teorema lui Pitagora
A
B
C
D
Fig. 2
A
B
C
E
Fig. 3

20
Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu
suma pătratelor lungimilor catetelor.
Demonstrația 1 . În ∆ 𝐴𝐵𝐶 , 𝑚(∢𝐴)=90° și înălțimea AD ,
()D BC
(Fig. 4) , avem triunghiurile asemenea ABD și CBA rezultă
AB BD
BC AB și de
aici
2AB BC BD (1), iar din ∆𝐴𝐷𝐶~∆𝐵𝐴𝐶 rezultă
AC DC
BD AC , de unde
2AC BC DC
(2). Din relațiile (1) și (2) avem :
2 2 2( )       AB AC BC BC BC BC BD DC
.

Demonstrația 2 . Construim pe ipotenuza BC pătratul CBNQ
(Fig. 5). În prelungirea catetelor AB și AC se construiește
pătratul AMPR cu lungimea laturii b+c. Prin urmare avem :
[ ] [ ] [ ] 4AMPR BCQN ABCA A A
sau
22( ) 42   bcb c a de unde rezultă
2 2 2a b c
.

2.3. Teorema lui Pitagora generalizată
Fie triunghiul ABC și D proiecția punctului A pe dreapta
BC. Dacă 𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)<90°, atunci
2 2 22. AB CA CB CB CD    , iar dacă 𝒎(∢𝑨𝑪𝑩)>𝟗𝟎° atunci
2 2 22. AB CA CB CB CD   

Demonstrație.

Din triunghiurile dreptunghice ABD și ACD (Fig. 6) avem
2 2 2 2 2 2,. AB BD AD AC AD DC    Dacă
𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)<90°, atunci
()D BC și
. BD BC CD Dacă m(∢ACB)>90° atunci
()B CD și
BD DC BC
, deci
2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 AB AD BC CD AD CD BC BC CD        , de unde rezultă
A
B
D
C
Fig. 4
A
C
B
M
N
Q
P
R
b
c
c
c
c

b
b
b
a
a
a
a
Fig. 5
A
B
C
D
Fig. 6
A
B
C
D
Fig. 7

21

2 2 22. AB CA CB CB CD    Dacă 𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)>90° atunci
BD BC CD (Fig. 7). Avem:
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 2 . AB AD BC CD AD DC BC BC CD CA CB CB CD           

1) Consecință: Teorema cosinusului
În orice triunghi ABC, având lungimile laturilor a, b, c, au loc relațiile
i)
2 2 22 cos , a b c bc A  
ii)
2 2 22 cos , b a c ac B  
iii)
2 2 22 cos . c a b ab C  
Demonstrație.
i) Fie D proiecția lui A pe BC (Fig.8). Dacă m(∢ACB)<90° atunci
din teorema lui Pitagora generalizată avem:
2 2 22 c a b a CD    . Și cum
cos CD b C
rezultă
2 2 22 cos . c a b ab C   Dacă m(∢ACB)=90° atunci
2 2 2c a b .
Dacă𝐦(∢ACB)>90°,atunci
2 2 22, c a b a CD   
cos(180 ) cos CD CA C b C   adică
2 2 22 cos . c a b ab C  

ii) și iii) se demonstrează analog cu i).
Observații:
1) În orice triunghi ABC,
2 2 2
cos2b c aAbc ,
2 2 2
cos2a c bBac ,
2 2 2
cos .2b a cCba
2) i) Dacă
( ) 90m BAC , atunci
2 2 2cos 0A a b c    .
ii) Dacă
( ) 90m BAC , atunci
2 2 2cos 0A a b c    .
iii) Dacă
( ) 90m BAC , atunci
2 2 2cos 0 .A a b c   

2) Teorema lui Pappus. Formula medianei
A
B
C
D
Fig. 8

22
Dacă A M este mediana dusă din v ârful A a triunghiului
ABC
atunci :
2 2 2 22( ). AB AC AM BM  
Demonstrație . Se aplică teorema cosinusului în triunghiurile ABM
și AMC (Fig. 9) și obținem:
𝐴𝐵2=𝐵𝑀2+𝐴𝑀2−2𝐴𝑀∙𝐵𝑀∙cos(∢𝐴𝑀𝐵)
𝐴𝐶2=𝑀𝐶2+𝐴𝑀2−2𝐴𝑀∙𝑀𝐶∙cos(∢𝐴𝑀𝐵) (1)
𝐴𝐶2=𝑀𝐶2+𝐴𝑀2−2 ∙𝐴𝑀 ∙𝑀𝐶
∙cos(𝜋−𝐴𝑀𝐵)
=𝑀𝐶2+𝐴𝑀2+2∙𝐴𝑀∙𝑀𝐶∙cos(𝐴𝑀𝐵) (2)
Din relațiile (1) și (2) prin adunare rezultă:
2 2 2 22( ) AB AC AM BM   , unde
. BM MC

Observații:
1) Expresia
2 2 2 22( )  AB AC AM BM se numește relația lui Pappus.
2) Dacă a,b,c sunt lungimile laturilor în triunghiului ABC iar
am lungimea medianei AM, relația
lui Pappus devine:
2 2 2
22( )
4ab c am ( Formula medianei ).
3) Prin permutări circulare ale relației precedente se obțin și egalitățile:
2 2 2
22( )
4bc a bm ,
2 2 2
22( )
4cb a cm
.

2.4 Teorema bisectoarei interioare

Teorema bisectoarei
Fie triunghiul
ABC și AD ,
 D BC bisectoarea ∢𝑩𝑨𝑪 , atunci,
.BD AB
DC AC

Demonstrație.
Să considerăm 𝐶𝐸∥𝐴𝐷,
E AB (Fig. 10 ). atunci ∢𝐴𝐶𝐸≡∢𝐷𝐴𝐶
( unghiuri alterne interne) și ∢𝐵𝐴𝐷≡∢𝐶𝐸𝐴 și cum ∢𝐵𝐴𝐷≡
A
B
C
M
Fig. 9
Fig. 10
A
B
C
D
E

23
∢𝐷𝐴𝐶 , rezultă ∢𝐴𝐶𝐸≡∢𝐴𝐸𝐶 , adică ∆ ACE este isoscel, deci
AC AE . Din teorema lui Thales
rezultă:
. BD AB AB
DC AE AC

Reciproca teoremei bisectoarei interioare
În triunghiul ABC, fie
()D BC astfel încât
,DB AB
DC AC atunci
(AD este bisectoarea interioară a
unghiului
.BAC

Demonstrație. Fie 𝐶𝐸∥𝐴𝐷 ,𝐸∈𝐴𝐵. Din teorema lui Thales în ∆
BCE rezultă
BD AB
DC AE , iar cu
relația din ipoteză
DB AB
DC AC avem că
, AE AC adică ∆ AEC este isoscel, deci 𝐴𝐸𝐶̂≡𝐴𝐶𝐸̂ (1).
Cum 𝐶𝐸∥𝐴𝐷 , rezultă 𝐷𝐴𝐶̂≡𝐴𝐶𝐸̂ (2) (unghiuri alterne interne) și 𝐵𝐴𝐷̂≡𝐴𝐸𝐶̂ (3) (unghiuri
corespondente). Din relațiile (1), (2) și (3) rezultă 𝐵𝐴𝐷̂≡𝐷𝐴𝐶̂ , adică AD este bisectoarea a 𝐵𝐴𝐶̂ .

1) Segmentele determinate pe latura BC de bisectoarea AD au lungimea egală cu
ac
bc ,
respectiv
ab
bc .
Demonstrație. Din teorema bisectoarei avem
BD c
DC b , sau
BD CD a
c b b c , de unde
acBDbc , și
abCDbc
.

2) În triunghiul ABC, fie D piciorul bisectoarei interioare a unghiului A,
()D BC . Atunci
2cos2abc Albc
, unde cu
al am notat lungimea segmentului AD.
Demonstrație. Soluția 1. Din
[ ] [ ] [ ]ABD ADC ABCA A A (Fig. 11) rezultă
11sin sin2 2 2 2aaAAc l b l     
1sin2bc A
, adică
2cos2abc Albc .
Soluția 2. Din teorema bisectoarei avem :
      BD c BD c acBDDC b BD DC b c b c
și
.abDCbc Teorema
A
B
D

Fig. 11

24
sinusurilor aplicată în
ABD ne dă:
sinsin2al BD
A B de unde
sin
.
sin2aacBbclA Dar
,sin sinab
AB de unde:
2cos .2abc Albc
Analog, se obțin lungimile celorlalte bisectoare interioare:
2cos2bac Blac și
2cos .2cab Clab

2.5 Teorema bisectoarei exterioare

Teorema bisectoarei exterioare
Fie triunghiul ABC și
. AB AC Dacă
(AE este bisectoarea exterioară a unghiului A,
, E BC
atunci
.EB AB
EC AC
Demonstrație . Fie
,bc deci
( ).B EC Paralela prin B la
AE intersectează latura AB în
1B (Fig. 12). Din teorema lui
Thales rezultă
1AB EB
EC AC (1). Dar
1 TAE AB B
(unghiuri
corespondente) și
1 EAB ABB
(unghiuri alterne interne),
deci
11 , AB B ABB
adică ∆
1ABB este isoscel, de unde
1 AB AB (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă
.EB AB
EC AC

Observații:
1) Condiția
AB AC din enunțul teoremei este esențială pentru că dacă
, AB AC atunci bisectoarea
exterioară a unghiului A este paralelă cu BC, deci nu ar mai exista punctul E.
2) Din teorema bisectoarei
EB c
EC b (presupunând
bc ) rezultă
c EB EB
b c EC EB a , adică
acEBbc
și analog
.abECbc

Reciproca teoremei bisectoarei exterioare
A
B
C
E
T

Fig. 12

25
Fie triunghiul ABC și
\[ ]E BC BC astfel încât
,EB AB
EC AC atunci
(AE este bisectoarea exterioară
a unghiului A.
Demonstrație . Evident
, AB AC deoarece altfel ar rezulta
EB EC ceea ce este imposibil pentru
că
\[ ]E BC BC . Fie
11 ,. BB AE B AC 
Din teorema lui Thales în triunghiul
EAC rezultă
1AB EB
EC AC ,
care cu relația din ipoteză dă
1, AB AB adică triunghiul
1ABB este isoscel, de unde obținem că
∢𝐴𝐵1𝐵≡∢𝐴𝐵𝐵1 Din 𝐴𝐸∥𝐵𝐵1 rezultă ∢𝐴𝐵1𝐵≡∢𝑇𝐴𝐸 (unghiuri corespondente) și ∢𝐸𝐴𝐵≡
∢𝐴𝐵𝐵1 (unghiuri alt. Int.) și de aici obținem că ∢𝑇𝐴𝐸≡∢𝐸𝐴𝐵 adică ( AE este bisectoarea
exterioară a unghiului A.

1) Segmentele determinate pe dreapta BC de bisectoarea exterioară a unghiului A au lungimile
egale cu
ac
bc , respectiv
ab
bc .
Demonstrație . Din teorema bisectoarei exterioare avem:
,EB c
EC b sau
EB EC a
c b b c (unde am
considerat
bc ).

2) Fie
',','CBA picioarele bisectoarelor exterioare ale
unghiurilor triunghiului isoscel
.ABC Punctele
',','CBA sunt
coliniare .
Demonstrație :
Cu teorema bisectoarei (Fig.13) obținem:
','A B AB
A C AC
'
'B C BC
B A BA
și
.''
CBCA
BCAC Avem:
1''
''
''CBCA
BABC
ACAB
BCAC
ABCB
CABA și
din reciproca teoremei lui Menelaus rezultă că punctele
',','CBA
sunt coliniare.

Observație: Teorema de mai sus aparține geometrului grec Pappus 1.

1 Pappus (290 – 350) – matematician și filosof grec; a pus bazele geometriei proiective

A
C
B
Fig. 13

26
3) În triunghiul ABC, fie
'D piciorul bisectoarei exterioare a unghiului A,
'(D CB . Atunci
'2sin2abc Albc
, unde cu
'
al am notat lungimea
segmentului
'AD .
Demonstrație. Deoarece:
[ ' ] [ ' ] [ ]AD C AD B ABCA A A
(Fig. 14) rezultă
'sin 90 'cos sin22AAb l c l bc A    
adică
2' sin2abc Albc .

2.6 Teorema sinusurilo r

În orice triunghi ABC, raza R a cercului circumscris verifică egalitatea:
2.sin sin sina b cRA B C  

Demonstrație . Vom demonstra teorema pentru cele trei cazuri
date de natura triunghiului
.ABC
i) Triunghiul ABC este ascuțitunghic (Fig. 15). Fie diametrul BD.
Atunci
BCD este dreptunghic . Avem:
1( ) ( ) ( )2m BAC m BDC m BXC
adică sin(𝐵𝐴𝐶̂)≡sin(𝐵𝐷𝐶̂)=
𝐵𝐶
𝐵𝐷=𝑎
2𝑅 Analog, avem : sin(∢𝐴𝐵𝐶)=𝑏
2𝑅 și sin(∢𝐴𝐶𝐵)=𝑐
2𝑅 .
ii) Triunghiul ABC este dreptunghic în A, avem sin(𝐵𝐴𝐶̂)=1,sin(𝐴𝐵𝐶̂)=𝑏
𝑎 și sin(𝐵𝐶𝐴̂)=𝑐
𝑎
Cum
2aR concluzia este evidentă.
iii) Triunghiul ABC este obtuzunghic (Fig. 16). Fie
sin( ) 90 .BAC
În triunghiul
BCD
( ( ) 90 )m BCD , avem:
sin( ) .2aBDCR
Patrulaterul ABCD fiind inscriptibil rezultă
( ) ( ) 180 ,m BAC m BDC  
deci
sin( / 2 ) sin( ) .2aBAC BACR   Pentru
unghiurile ascuțite
ABC și
BCA se aplică demonstrația de la
subpunctul i).
A
B
C
D

Fig. 14
A
B
C
D
X
Fig. 15
A
B
C

Fig. 16
O
D

27

2.7 Teorema lui Menelaus
Teorema lui Menelaus
Fie triunghiul
ABC și punctele
'A BC ,
'B CA ,
'C AB . Punctele
', ', 'A B C sunt coliniare dacă și
numai dacă
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B   .
Demonstrație . Presupunem că punctele
', ', 'A B C sunt
coliniare (Fig. 17). Conform axiomei lui Pasch, cel
puțin unul din punctele
', ', 'A B C se află pe
prelungirea laturilor ∆
ABC . Presupune că
' ( )B AC ,
' ( )C AB
și
' [ \[ ]A CB CB .
Soluția 1. Fie
1,A
1B ,
1C proiecțiile punctelor A, B, C
pe dreapta
' '.AB .Din asemănările triunghiurilor:
1'A BB și
1'A CC ;
1'B CC și
1'B AA ;
1'C AA și
1'C BB
rezultă egalitățile
1 1 1
1 1 1' ' ',,'''BB CC AA A B B C C A
A C CC B A AA C B BB care prin înmulțire dau:
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B   .
Soluția 2. Egalitatea evidentă
[ ' '] [ ' '] [ ' ']
[ ' '] [ ' '] [ ' ']1AC B BC A CA B
BC A CA B AC BA A A
A A A  este echivalentă cu:
' ' ' sin ' ' ' ' ' sin ' ' ' ' ' sin ' '1,' ' ' sin ' ' ' ' ' sin ' ' ' ' ' sin( ' ' )C AC B AC B A C A B C A B B A B C A B C
C B C A A C B A B A C CA B B A B C A B C            
adică
' ' '1.'''A B B C C A
A C B A C B  
Soluția 3. Fie
' ' ( ) BP A B P AC 
. Din asemănarea triunghiurilor
BPC cu
''A B C , respectiv a
triunghiurilor
''AC B cu ABP rezultă:
''
''B P A B
B C A C și
''
''B A C A
B P C B care prin înmulțire dau concluzia.
Reciproc, presupunem că
' ' '1'''A B B C C A
A C B A C B   (1) și demonstrăm că punctele
', ', 'A B C sunt coliniare.
Fie
' [ \[ ]A CB CB ,
' ( )C AB și
{ "} ' 'B A C AC . Atunci, conform primei pârți rezultă:
' " '1' " 'A B B C C A
A C B A C B  
care cu relația (1) dă
'"
'"B C B C
B A B A și de aici
'"B C B C
AC AC ,adică
'"B C B C și cum
există doar un singur punct interior laturii AC pentru care
'"B C B C , rezultă
'"BB , deci punctele
', ', 'A B C
sunt coliniare.

2.8 Teorema lui Menelaus pentru patrulatere
A
B
C

A1
B1
C1
Fig. 17

28
Dacă X, Y, Z, W sunt puncte coliniare pe laturile AB, BC, CD, respectiv DA ale patrulaterului
ABCD, atunci
1.AX BY CZ DW
XB YC ZD WA   
Demonstrație.
Fie
{ } .T BD XY (Fig. 18) Din teorema lui
Menelaus aplicată în triunghiurile ABD și
BCD ne dau :
1XA WD TB
XB WA TD   și
1,TD ZC YB
TB ZD YC  
relații care prin înmulțire dau
concluzia teoremei.

2.9. Teorema lui Ceva2

Teorema lui Ceva
Fie triunghiul
ABC și punctele
D BC ,
E CA ,
F AB . Dacă dreptele AD, BE și CF sunt
concurente, atunci
1AF BD CE
FB DC EA   .
Demonstrație: Fie
{}K AD BE CF   (Fig. 19).
Prin A ducem o paralelă la BC, iar G și F sunt intersecțiile
dintre dreptele BE respectiv CF cu această paralelă. Din
∆𝐴𝐻𝐹~∆𝐵𝐶𝐹 rezultă
AF AH
FB BC (1),
∆𝐵𝐶𝐸~∆𝐴𝐸𝐺 rezultă
CE BC
EA AG (2),
∆𝐴𝐶𝐾~∆𝐵𝐷𝐾 rezultă
AG AK
BD DK (3),
∆𝐶𝐷𝐾~∆𝐴𝐻𝐾 rezultă
AH AK
DC DK (4). Din relațiile (3) și (4) obținem
AG AH
BD DC de unde
AG BD
AH DC
(5). Din relațiile (1) , (2) și (5) rezultă
1AF BD CE AH AG BC
FB DC EA BC AH AG     
Reciproca teoremei lui Ceva

2 Giovanni Ceva (1647 -1734) – matematician italian, profesor la Universitatea din Mantua, contribuții în geometrie
A
B
C

Y
Fig. 18

D
A
B
C
D
E
F
G
H
K
Fig. 19

29
Fie triunghiul
ABC și punctele
D BC ,
E CA ,
F AB . Dacă
1AF BD CE
FB DC EA   , atunci dreptele
AD, BE și CF sunt concurente .
Demonstrație. Fie
{}K BE CF și
{ '}D AK BC . Conform primei părți rezultă
'1'AF BD CE
FB D C EA  
care împreună cu relația din ipoteză dă :
'
'BD BD
D C DC de unde
''
'BD D C BD DC
D C DC deci
'BC BC
D C DC
și de aici rezultă că
'D C DC , adică
'. DD

Observații:
1) Reciproca teoremei lui Ceva este adevărată și în cazul în care unul din punctele D,E, sau F
aparține unei laturi, de exemplu
D BC – și celelalte două puncte
E CA ,
F AB verifică condiția:
“dreapta BE nu este paralelă cu dreapta CF (Fig.20).
2) Dacă 𝐵𝐸∥𝐶𝐹, reciproca teoremei lui Ceva nu mai este adevărată,
așa cum o arată următorul contraexemplu: „Fie D mijlocul segmentului
BC, F simetricul lui B față de A și E simetricul lui C față de A. Atunci,
11 2 12AF BD CE
FB DC EA     
, dar dreptele AD, BE, CF nu sunt concurente
(deoarece 𝐴𝐷∥𝐵𝐸∥𝐶𝐹, , AD – linie mijlocie în triunghiurile BEC și
BFC. ”

2.10 Teorema lui Desargues3

Teorema lui Desargues
Punctele de intersecție ale dreptelor omologe, a două triunghiuri omologe coplanare, sunt
coliniare .

3 Gérard Desargues (1591 -1661) – matematician francez , fondatorul geometriei proiective
A
B
C
Fig. 20
D
E
F

30
Demonstrație .
Fie ABC și
' ' 'A B C triunghiuri coplanare astfel
încât
' ' ' { }AA BB CC O   (Fig. 21). T eorema
lui Menelaus aplicată triunghiurilor
,,OBC OCA OAB
și transversalelor
''BC ,
''CA
respectiv
''AB ne dă:
''1''  LC B B C O
LB B O C C ,
''1''  MA C C A O
MC C O A A
,
'''1'  NB A A B O
NA A O BB ,care
prin înmulțire membru cu membru dau:
1LC NB MA
LB NA MC  
și conform teoremei lui
Menelaus aplicată ∆
ABC și punctelor
,,L M N rezultă coliniaritatea punctelor
,,L M N ..

Observație : Dreapta care conține punctele
,,L M N se numește axa de omologie . Triunghiurile
ABC și
' ' 'A B C se numesc omologice.

2.11 Teoremele lui Maxwell

1) Fie P un punct în planul triunghiului
ABC și
' ' 'A B C un triunghi care are laturile paralele
cu cevianele punctului P în raport cu triunghiul
ABC . Cevienele triunghiului
' ' 'A B C paralele
cu laturile triunghiului
ABC sunt concurente .
Demonstrație . Sunt o infinitate de triunghiuri
' ' 'A B C asemenea, prin urmare deci este suficient
să demonstrăm problema pentru unul din aceste triunghiuri. Fie
1A ,
1B,
1C picioarele cevianelor
corespunzătoare punctului P (Fig.22) . Fie
2'A A AB
,
2'B B BC
,
2' AC CC
,
M
A
B
C
L

N
Fig. 21
O

31

(
2 '' A B C ,
2 '' B A C ,
2'' C A B ). Din asemănarea triunghiurilor
1PC B și
2''B A A , respectiv
1PAC cu
2 ''C A A
rezultă
11
22''C B PC
A A B A și
11
22''AC PC
A A A C , de unde :
12
12'
'C B A C
C A A B . Analog, se obțin relațiile
12
12'
'B A C B
B C C A
și
12
12'
'A C B A
A B B C . Deoarece dreptele
1AA ,
1BB și
1CC sunt concurente rezultă
1 1 1
1 1 11A C B A C B
A B B C C A 
adică
2 2 2
2 2 2' ' '1' ' 'B A C B A C
B C C A A B  , deci concurența dreptelor
2AA ,
2BB și
2CC ..

2.12 Teorema lui Viviani

Suma distanțelor de la un punct, situat în interiorul unui triunghi
echilateral la laturile triunghiului este egală cu înălțimea
triunghiului.
Demonstrație . Fie P un punct în interiorul
ABC și
1 2 3,,P P P proiecțiile
lui P pe laturile BC, AC respectiv AB (Fig. 23). Fie a lungimea laturii
AB și
h înălțmea triunghiului echilateral ABC . Avem:
[ ] [ ] [ ] [ ]  ABC PBC PAC PABA A A A
, adică
3 12
2 2 2 2     PP a a h PP a PP a , de
unde rezultă
1 2 3  h PP PP PP .

2.13 Teorema lui Kiepert

Pe laturile unui triunghi ABC, în exteriorul său, se construiesc triunghiurile isoscele asemenea
' , ' , 'BA C AB C BC A
. Dreptele
'AA ,
'BB și
'CC sunt concurente .
A

B
A1
B1
C1

C
P
C2
A2
B2
Q
Fig. 22
A
B
C
P3
P2
P1
P
Fig. 23

32
Demonstrație .

Notăm afixele punctelor cu litere mici corespunzătoare. Fie ∆ 𝐴,,𝐶𝐵 și
"A mijlocul laturii BC.
(Fig. 24) Avem
A 'A"sinA 'C , deci
" sin'1 sinaca
 sau
2 sin'2(1 sin )b c ca
 și analog se obțin
egalitățile:
2 sin'2(1 sin )a c ab
 ,
2 sin'2(1 sin )b a bc
 . Sumând ecuațiile dreptelor
'AA ,
'BB , respectiv
'CC
avem :
2 sin 2 sin ( 2sin ) ( 2 sin )0.2(1 sin ) 2(1 sin ) 2(1 sin ) 2(1 sin )b c c b c c a b c c a b c ca z a z   
                       
Obținem identitatea
( ) ( ) ( ) 0     a c b c b a b a c
, de unde rezultă concurența dreptelor
'AA ,
'BB și
'CC .

2.14 Teorema lui Van – Aubel
Dacă AD, BE și CF sunt trei ceviene concurente într -un punct P interior triunghiului ABC ,
atunci
.AP AF AE
PD FB EC
Demonstrație. Avem:



APB APC APB APC
BPD PCD BPD PCDA A A A AP
PD A A A A
   (Fig. 25), de unde rezultă că:



 (1).APB APC APB APC
BPC BPC BPCA A A A AP
PD A A A
  
Dar




 (2)ACF APF ACF APF APC
FCB FPB FCB FPB BPCA A A A A AF
FB A A A A A
    și analog

 (3).APB
BPCA AE
EC A
Din relațiile (1), (2) și (3) rezultă concluzia.

A
B
C

Fig. 24

33
1) Dacă D, E, F sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC , atunci P este centrul de greutate al
triughiului ABC și relația lui Van – Aubel devine
2. AG GD

2) Dacă P este I, centrul cercului înscris triunghiului ABC, atunci
,,AF b AE c
FB a EC a
relația lui Van Aubel devenind
1,AI b c
ID a relație
ce arată că I este mai „aproape” de piciorul bisectoarei D, decât de
vârful A.

3) Dacă P este H, ortocentrul triunghiului ABC, atunci
,,AF tgB AE tgC
FB tgA EC tgA relația lui Van Aubel
devenind
cos.cos cosAH A
HD B C

4) Dacă P este punctul lui Lemoine K al triunghiului ABC, atunci
22
22,,AF b AE c
FB EC aa relația lui
Van – Aubel devenind
22
2AK b c
KD a .

5) Dacă P este punctul lui Gergonne
, atunci
,,AF p a AE p a
FB p b EC p c de unde
()
( )( )A a p a
D p b p c  
.
6) Dacă P este primul punct Brocard
 , atunci
22
22,,AF b AE b
FB EC ca de unde
2 2 2 2
22A a b b c
D ac .

7) Dacă P este al doilea punct al lui Brocard
' , atunci
22
22,AF c AE c
FB EC ab și relația lui Van Aubel
devine
2 2 2 2
22'.'A b c a c
D ab

8) În triunghiul ABC fie cevienele AD, BE și CF concurente într -un punct P astfel încât
,kkBD AB AF AC
DC AC FB BC         
și
,.kAE ABkEC BC
Atunci:
.kk
kAP AC AB
PD BC
A
B
C

E

D
F
Fig. 25

34
Demonstrație : Notăm lungimile laturilor BC, CA respectiv AB cu a, b, c . Din teorema lui Van –
Aubel rezultă că
.kk
kAP AF AE AC AB
PD FB EC BC  

Observații:
1) Dacă pe latura BC a triunghiului ABC se consideră un punct D astfel încât
,kBD ABkDC AC

atunci dreapta AD se numește ceviană de rang k .
2) i) Mediana AD este o ceviană de rang 0,
( 0),k deoarece
0
1BD AB
DC AC .
ii) Bisectoarea AD este o ceviană de rang 1,
( 1),k deoarece
1BD AB
DC AC .
iii) Simediana AD este o ceviană de rang 2,
( 2)k , deoarece
2BD AB
DC AC .
iv) Antibisectoarea AD este o ceviană de rang
( 1),( 1), k  deoarece
1
.BD AB
DC AC

9) Dacă P este punctul de concurență a trei ceviene de rang k și M este un punct din planul
triunghiului ABC , atunci:
,k k k
k k ka MA b MB c MCMPabc    
(unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC,
CA respectiv AB).
Demonstrație. Fie cevienele AD, BE și CF ceviene de rang k,(Fig.26) . Din triunghiul MAD:
,1MA MBMP

unde
.AP
PD Conform teoremei (1),
,kk
kAP b c
PD a
deci
().k k k
k k ka MA b c MDMPabc  
În triunghiul MBC ,
,kkBD AB c
DC AC b         
deci
1k
kk
k k kcMB MCb MD c MC bMDbc c
b  
de
unde
.k k k
k k ka MA b MB c MCMPabc    

Cazuri particulare :
A
B
C

E

D
F
Fig. 26

35
1) Pentru
0,k P G relația din teoremă devine
.3MA MB MCMG

2) Pentru
1, ,k P I relația din teoremă devine:
.aMA bMB cMCMIabc

3) Pentru
2,k P K (punctul lui Lemoine), relația din teoremă devine:
2 2 2
2 2 2.a MA b MB c MCMKabc

4) Pentru
1, k P Z  (punctul de recurență al antibisectoarelor), relația din teoremă devine:
.bcMA acMB abMCMZab bc ac

10) Fie P punctul de concurență a trei ceviene de rang k, M un punct din planul unui triunghi
ABC. Atunci:
2 2 2 2 2 2
2
2().()k k k k k k k k k
k k k k k ka MA b MB c MC a b c a b cMPa b c a b c        
Demonstrație. Utilizând teorema precedentă avem:
2  
MP MP MP
2 2 2 2 2 2
21( 2 2 2 )()        
k k k k k k k k k
k k ka MA b MB c MC a b MA MB b c MB MC a c MA MCabc
Dar
2 2 2
2 2 2 1cos ( )22MA MB ABMA MB MA MB AMB MA MB MA MB ABMA MB         
și analoagele. Înlocuind în
relația precedentă va da relația cerută.

Cazuri particulare :
1) Pentru
0,k P G , relația din teoremă devine:
2 2 2 2 2 2
2
39MA MB MC a b cMG    (relația lui
Leibniz).
2) Pentru
1, ,k P I relația devine
2 2 2
2aMA bMB cMC abcMIabc   .
3) Pentru
2, ,k P K relația devine
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 23
()a MA b MB c MC a b cMKa b c a b c    .
4) Pentru
1, , k P Z  relația devine
2 2 2 3 3 3
2
2().()bcMA acMB abMC abc a b cMZab bc ac ab bc ac    

36
11) În triunghiul ABC fie cevienele de ordin k AD, BF și CE
()
k concurente într -un punct
P. Dacă
()M AB și
()N AC dreapta MN trece prin P dacă și numai dacă:
,k k kMB NCb c aMA NA   
(unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC, CA , respectiv AB).
Demonstrație. Utilizând teorema transversalei în triunghiul ABC cu ceviana AD și secanta MN
rezultă
(1).MB DC NC BD PD
MA BC NA BC PA    Din relația lui Van -Aubel avem:
AE AF AP
EB FC PD adică
kk
kb c AP
PD a
, deci
k
kkPD a
AP bc . Din
k
kDC b
BD c rezultă
k
kkDC b
BC bc și
(2).k
kkBD c
BC bc Din relațiile
(1) și (2) rezultă
.k k kMB NCb c aMA NA    Reciproc, fie
.k k kMB NCb c aMA NA    Fie
{ } .R MN AD Atunci,
.MB DC NC BD RD
MA BC NA BC RA   
Din ipoteză avem
1,kkb MB c NC
a MA a NA             adică
1.AE MB AF NC
EB MA FC NA    Din
teorema lui Menelaus aplicată în triunghiul ABD și transversala EC rezultă
AE AP DC
EB PD BC și analog
.AF AP BD
FC PD BC
Atunci,
,MB DC NC BD PD
MA BC NA BC PA    deci
,PD RD
PA RA de unde rezultă că
. PR

Cazuri particulare:
1) Dacă
, PG atunci
0.k Dreapta MN trece prin G dacă și numai dacă
1.MB NC
MA NA
2) Dacă
, PI atunci
1k . Dreapta MN trece prin I dacă și numai dacă
.MB NCb c aMA NA   
3) Dacă
,PK atunci
2k . Dreapta MN trece prin punctul lui Lemoine al triunghiului ABC dacă
și numai dacă
2 2 2.MB NCb c aMA NA   
4) Dacă
PZ (punctul de concurență al antibisectoarelor), atunci
1k . Dreapta MN trece prin
Z
dacă și numai dacă
1 1 1.MB NC
b MA c NA a   

12) Orice ceviană de ordinul k este locul geometric al punctelor pentru care distanțele la două
laturi ale triunghiului sunt proporționale cu acele laturi la puterea (k-1).

37
Demonstrație. Fie AD o ceviană de ordinul k,
( ), ( )D BC M AD , iar
1 2 3,,M M M proiecțiile lui M
pe AC, AB , respectiv BC. (Fig. 27) Notăm cu x, y, z lungimile
segmentelor
12, MM MM și
3MM , iar cu
1 și
2 măsurile unghiurilor
BAD
, respectiv
.CAD
Avem:
,kBD c
DC b
[] 11
[ ] 2 2sin sin,sin sinBAD
DACA AD c BD c
A DC AD b b
   
de unde
1
1
2sin
sinkc
b
 (1). Din
triunghiurile dreptunghice
2AM M și
3AM M rezultă
1sinz
AM și
2 sin ,y
AM
de unde
1
2sin (2).sinz
y
 Din relațiile (1) și (2) rezultă
11.kkzy
cb Analog, se arată că
11,kkzy
ab
de unde
1 1 1.k k kz y z
abc  

2.15 Teorema lui Pompeiu
Fie triunghiul echilateral ABC și M un punct în planul sau ce
nu aprține cercului circumscris triunghiului. Distanțele MA,
MB, MC reprezintă lungimile laturilor unui triunghi .
Demonstrație.
Soluția 1. Fie
'M punctul obținut din M prin rotația de centru A
și unghi de 60ș . Atunci
'MM MA (deoarece triunghiul AMM’
este echilateral). Din congruența ∆ BAM și ∆
' CAM (
' AM AM
,
BA CA , 𝑚(𝐵𝐴𝑀̂)=𝑚(𝐶𝐴𝑀 ,̂)=60°−𝑚(𝐶𝐴𝑀̂)), rezultă
', MB CM
deci lungimile laturilor ∆
'MM C sunt egale cu cele
ale segmentelor MA, MB, MC (Fig.28).
Observație: Dacă punctul M se află pe centrul cercului circumscris triunghiului echilateral ABC ,
atunci conform teoremei lui Schooten segmentul cu cea mai mare lungime dintre segmentele MA,
MB, și MC au lungimea egală cu suma lungimilor celorlalte două.
Soluția 2. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzătoare. Plecând de la relația evidentă:
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 (1)m a b c m b c a m c a b        
rezultă:
( )( ) ( )( ) ( )( )m a b c m b c a m c a b       
. Trecând la modul în egalitatea precedentă obținem:
A
B
C

D

Fig. 27

A
B
C
M

Fig. 28

38

( )( ) ( )( ) m a b c m a c a m c a b        
m b c a m c a b     , de unde:
m a m b m c    
adică
. MA MB MC Cum M nu sunt pe cecul circumscris ∆ ABC rezultă
. MA MB MC Din
simetria relației (1) rezultă inegalitățile
MB MC MA și
MC MA MB , adică segmentele MA, MB,
MC determină un triunghi.

2.16 Teorema lui Steiner – Lehmus
Un triunghi care are două bisectoare interioare egale (măsurate de la vârf la latura opusă) este
isoscel .
Demonstrație.
Soluția 1 . Fie BE și CF bisectoarele unghiurilor
B, respectiv C ale ABC (Fig. 29). Să considerăm
că
AB AC și fie
AB AC , atunci 𝑚(𝐴𝐶𝐵̂)=
𝑚(𝐴𝐵𝐶̂) de unde avem că 𝑚(𝐴𝐶𝐵̂)
2=𝑚(𝐴𝐵𝐶̂)
2.. În
triunghiurile BEC și BFC , rezultă
CE BF (1)
construim paralelogramul BEGF . Astfel
EG BF
, 𝑚(𝑃𝐺𝐸̂)=𝑚(𝐴𝐵𝐶̂)
2,
FG BE FC , de unde
𝑚(𝑃𝐺𝐶̂)=𝑚(𝑃𝐶𝐺̂). Din 𝑚(𝑃𝐺𝐸̂)=𝑚(𝐴𝐵𝐶̂)
2>𝑚(𝑃𝐶𝐸̂)=𝑚(𝐴𝐶𝐵̂𝐵)
2 avem că
( ) ( ) m EGC m ECG
, de unde :
CE EG BF contradicție cu (1). Deci, presupunerea făcută că
AB AC este falsă.
Cazul în care
AB AC se tratează analog rezultand
AB AC , adică triunghiul ABC este isoscel.
Soluția 2. Utilizăm faptul că
2cos2abc Albc (unde
al este lungimea bisectoarei interioare a unghiului
BAC
). Fie că
bcll adică
cos() 2
()cos2B
b a c
Cc a b . Presupunem prin absurd că
BC , adică
bc și atunci
()1()c a b
b a c
, de unde
cos cos22BC ,deci
BC absurd. Analog, dacă
BC se ajunge la o contradicție.
Urmează că
( ) ( )m ABC m ACB , adică triunghiul ABC este isoscel.
Observație : Dacă bisectoarea exterioară unghiului B intersectează prelungirea laturii AC în
punctul F atunci segmentul BF se numește bisectoare externă a lui B (Fig. 30) . Fie CG bisectoarea
externă a lui C. Este ușor de demonstrat că dacă
AB AC atunci
. FB CG

Fig. 29

39
Reciproca (dacă doua bisectoare externe ale unui triunghi sunt egale, atunci triunghiul este
isoscel) nu este neaparat adevarată. Un exemplu elocvent în acest sens este triunghiul lui
Emmerich .Triunghiul lui Emmerich are unghiurile de masuri egale cu
132 ,
36 și respectiv
12 și
are două bisectoare externe egale. Fie triunghiul ABC în care
( ) 132 m ABC ,
( ) 36 , m CAB
( ) 12 m BCA
. Fie BF ș i CG bisectoarele externe ale unghiurilor B, respectiv C. Avem:
180 132( ) 242   m FBA

( ) 24 132 156    m FBC ,
( ) 12 m BCF ,
( ) 180 156 12 12     m BFC
adică triunghiul FBC este isoscel, cu
FB BC (1) . În triunghiul BCG avem:
180 12( ) 842    m BCG
,
( ) 48 m GBC ,
( ) 180 86 48 48     m BGC , de unde rezultă că triunghiul BCG este isoscel cu
CG BC
(2). Din relațiile (1) și (2) rezultă că
FB CG .

2.17 Teorema lui Barbilian
Fie ABC și
' ' 'A B C două triunghiuri echilaterale cu același centru (O), cu vârfurile notate în
același sens de rotație. Să se demonstreze că triunghiurile sunt de trei ori omologice în ordinele:
( , ' ' '),( , ' ' '),( , ' ' ').ABC C B A ABC B A C ABC A C B

A
C
G
F
B
Fig. 30

40
Demonstrație.

Fie
1 2 3 1{ } ' ',{ } ' ' ,{ } ' ' ,{ } ' ' ,A BC B C A A C BC A A B BC B B C AC       
2{ } ' ' ,B A C AC
3{ } ' 'B A B AC
,
1 2 3{ } ' ',{ } ' ' ,{ } ' ' .C AB B C C A C AB C A B AB      Pentru ca triunghiurile
( , ' ' ')ABC C B A
să fie omologice arătăm că dreptele
', 'AC BB și
'CA sunt concurente (Fig. 31,). Din congruența
triunghiurilor
', 'OAA OBB și
' OCC rezultă
' ' '.AA BB CC Deoarece
2 3 1' ' ' C AA A BB B CC
avem
2 3 1AC BA CB
și de aici
1 2 3 (1). B A C B A C Deoarece
2 2 3 3 1 1AB C BA C CA B
rezultă
2 3 1 , AB BC CA
de unde
2 3 1 (2) B C C A A B (unde am utilizat faptul că
23 ( ') ( ') ( ') ( ') ( ')m AOA m BOB m COC m AB A m BC B     

2 ( ')m CB C
). Din teorema lui Menelaus
aplicată în ∆ ABC și transversalei
''BC rezultă:
1 1 1
1 1 11,A B B C C A
AC B A C B   de unde reiese egalitatea
1 1 1
1 1 1.C A AC B A
C B A B B C
Atunci,
3 1 2 1 1 2
1 3 2 1 1 21AB C A B C AC B A B C
C B A C B A A B B C B A      (unde am utilizat relațiile (1) și (2)), de
unde rezultă că punctele
13,CA și
2B sunt puncte coliniare, adică triunghiurile ABC și
'''C B A sunt
omologice.

2.18 Teorema lui Bottema

Pe laturile
ABC se construiesc în exterior pătratele ABDE și ACFG. Dacă M este mijlocul
segmentului DF atunci triunghiurile BMC și EMG sunt dreptunghice și isoscele.
Demonstrație.
A
B
C

A1
B1
C1
Fig. 31
B2
C2
A2
A3
B3
C3

41

Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzătoare (Fig. 32). Din
2
B D R A
 rezultă
() d b i a b  
(unde prin
2
BRA am notat rotația de centru B și unghi
2 a punctului A), iar
2
C F R A
, deci
( ), f c i a c   de unde
().22d f b c i c bm    Atunci
2
2BM m b c b    și
2,2CM m c c b   
de unde avem că ∆
BMC este isoscel. Din
*,mbiimc  
rezultă că
, BM MC
adică triunghiul
BMC este dreptunghic isoscel. Analog, se arată că și triunghiul EMG
este dreptunghic isoscel.

2.19 Teorema lui Gergonne

Dacă cevienele AD,BE și CE sunt concurente într -un punct P interior triunghiului ABC, atunci:
i)
1PD PE PE
AD BE CF   ; ii)
2AP BP CP
AD BE CF   ; iii)
2AP BP CP AP BP CP
PD PE PF PD PE PF      .
Demonstrație.
A
B
C
M
D
E
G
F
T
Fig. 32

42
i) Avem:
[],
[]A PD BPD
AD A ABC
[]
[]A PE APC
BE A ABC și
[]
[]A PF APB
CF A ABC , (Fig.33) de
unde prin sumare rezultă concluzia.
ii) Cum
1 , 1 , 1PD AP AP AP PE BP PF CP
AD AD AD BE BE CF CF       , prin sumare
rezultă
13AP BP CP
AD BE CF    , adică
2AP BP CP
AD BE CF   .
iii) Fie
,,AP BP CPx y zPD PE PF   . Egalitatea demonstrată anterior
devine
2
1 1 1x y z
x y z  
   , de unde
2. x y z xyz   

2.20 Teorema lui Heron

Fie a, b, c lungimile laturilor BC, CA respectiv AB ale unui triunghi ABC, iar 2p=a+b+c. Aria
triunghiului ABC este dată de formula
( )( )( ).   ABCA p p a p b p c
Demonstrație . Fie D piciorul înălțimii din A a triunghiului ABC (Fig.34).
Notăm
.a AD h Din teorema lui Pitagora generalizată avem
2 2 22, c a b a DC   
de unde
2 2 2
.2a b cDCa Din triunghiul dreptunghic
ADC rezultă:
22 2 2
22
2  
aa b chba
2 2 2 2 2 2
21(2 ) (2 ),4      ab a b c ab a b ca de unde
2( )( )( )   ah p p a p b p ca
și de aici obținem:
( )( )( ).2   a
ABChaA p p a p b p c

2.21 Teorema lui Catalan4

Trei antiparalele egale relative la laturile unui triunghi determină pe laturi puncte conciclice .

4 Éugéne Catalan (1814 -1894) – matematician belgian, contribuții în geometrie, algebră și analiză
A
B
C
D
Fig. 34
A
B
C
D
E
F
P
Fig. 33

43
Demonstrație . Fie
' ", ' ", ' "A C B A C B trei antiparalele egale
', " ( )A A BC
,
', " ( )B B CA ,
', " ( ).C C AB (Fig. 35) Din
' " " 'BA C BAC CA B
rezultă
" ' " 'C A C BA B ; cum
' " " 'A C A B
rezultă că
' " ' "A A B C este trapez isoscel, deci
inscriptibil (1), Atunci
'"B C BC
, deci dreapta
'"CB este
antiparalelă cu
'"BC , de unde rezultă că
' " ' "B B C C este
patrulater inscriptibil (2). Analog, patrulaterul
' " ' "A C C B
este inscrip tibil (3). Din relațiile (2) și (3) rezultă că
punctele
', ", ', ", 'A C C B B sunt conciclice (4). Din relațiile (4)
și (1) rezultă că punctele
', ", ', ", 'A C C B B
", 'CC sunt
conciclice.

Observație: Cercul ce conține punctele
', ", ', ", 'A C C B B
", 'CC se numește cercul lui Taylor.

2.22 Teorema Carnot

Teorema lui Carnot
In orice triunghiul
ABC cu punctele
'A BC ,
'B AC respectiv
'C AB are loc concurența.
perpendicularelor duse din punctele
', ', 'A B C pe laturile
,,BC AC respectiv AB dacă și numai dacă
2 2 2 2 2 2' ' ' ' ' ' 0AC BC BA CA CB AB     
(*).
Demonstrație .
Fie P -un punc de intersecție a acestor perpendicularet . (Fig.36) Din teorema lui Pitagora rezultă:
A

Fig. 35

44

2 2 2''AC C P AP (1)

2 2 2''BC C P BP (2)

2 2 2''BA A P BP (3)

2 2 2''CA A P CP (4)

2 2 2''CB B P CP (5)

2 2 2''AB B P AP (6)

Din ecuațiile (1), (3) și (5) respectiv (2), (4) și (6) prin
sumare rezultă:
2 2 2 2 2 2 2 2 2' ' ' ' ' 'AC C P BA A P CB B P AP BP CP       
(7), respectiv
2 2 2 2 2 2 2 2 2' ' ' ' ' 'BC C P CA A P AB B P BP CP AP       
(8). Scăzând relațiile (7) și (8)
membru cu membru rezultă concluzia. Pentru a demonstra reciproca, fie
{ } ' 'P A P B P . Fie
D piciorul perpendicularei duse din P pe AB. Conform primei părți avem
2 2 2 2 2 2' ' ' ' 0 AD BD BA CA CB AB     
, care cu ipoteza ne dă
2 2 2 2'' AD BD AC BC  
(). Fie
, BD x

'DC y și
'.C A z Atunci,
x y z c   și din relația
() rezultă
'. DC

Consecințe:
1) Fiecare din relațiile următoare este echivalentă cu relația (*):
(9)
' ' ' ' ' ' , c AC a BA b CB c C B a A C b B A          
(10)
2 2 22( ' ' ') ,c AC a BA b CB c a b       
(11)
' sin 'sin 'sin ' sin ' sin ' sinAC C BA A CB B C B C A C A B A B      
Demonstrație . Relația (*) este echivalentă cu
( ' ' )( ' ' ) ( ' ' )( ' ' )AC C B AC C B BA A C BA A C     
( ' ' )( ' ' ) 0CB B A CB B A  
sau
' ' ' ' ' ' 0AC c C B c BA a A C a CB b B A b            (adică relația (9)).
Relația (10) se obține din relația (9) astfel:
2( ' ' ') 2( ' ' ' )c AC a BA b CB c C B a A C b B A           
2 2 2' ' ' ' ' ' .c C B a A C b B A c AC a BA b CB c a b              
Relația (11) este echivalentă cu relația
(9) utilizând teorema sinusurilor.

2) Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente .

Fig. 36

45
Demonstrație . Fie
', ', 'A B C mijloacele laturilor
,BC AC respectiv AB ale triunghiului
ABC (Fig.
37). Din reciproca teoremei lui Carnot rezultă :
2 2 2 2 2 2' ' ' ' ' ' 0,AC BC BA CA CB AB      deoarece
' ' ,BA A C
''B A B C
și
''C A C B .

3) Înălțimile unui triunghi sunt concurente .
Demonstrație. F ie
', ', 'AA BB CC înălțimile triunghiului
ABC (Fig. 38). Avem:
2 2 2 2 2' ' ' AB BA AA AC CA   
de unde
2 2 2 2'' AB AC BA CA   . Analog se obțin relațiile:
2 2 2 2'' AC BC AC BC  
și
2 2 2 2' ' . BC AB CB AB   Sumând relațiile precedente obținem :
2 2 2 2 2 2' ' ' ' ' ' 0AC BC BA CA CB AB     
, relație care arată că înălțimile
', ', 'AA BB CC sunt concurente.

4) Perpendiculare duse în punctele de tangență ale cercului înscris în triunghiul
ABC cu laturile
acestuia pe laturile triunghiului sunt concurente .
Demonstrația este evidentă.

5) Teorema lui Soons (Existența ortopolului unei drepte)
Vârfurile
,,A B C ale triunghiului
ABC se proiectează pe o dreaptă d oarecare ce nu trece prin
vârfurile triunghiului ABC în
,LM respectiv N. ortopolul dreptei d a triunghiului ABC este
punctul de intersecție a perpendiculareore din L pe
BC , M pe
AC și
N pe AB

O

Fig. 37
C
H
A
B

Fig. 38

46
Demonstrație. Fie
,AL BM și
CN perpendicularele duse din A, B și C
pe dreapta d , (
,,L M N d ). Fie
',LA BC
',MB AC
'NC AB ,
',A BC
',B AC
'C AB
(Fig.39). Avem
2 2 2 2 2AM ML AL AN LN    ,
ce înseamnă că
2 2 2 2AM AN LM LN   . La fel,
2 2 2 2BN BL MN LM  
și
2 2 2 2CL CM LN MN   .Adunând relațiile rezultă
2 2 2 2 2 20 AM AN BN BL CL CM     
, adică
2 2 2 2 2 2( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' )MB AB C N AC C B C N     

2 2 2 2 2 2( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' ) 0BA A L A C LA B M B C     
egalitate echivalentă
cu :
2 2 2 2 2 2' ' ' ' ' ' 0AB AC C B BA A C B C      și concluzia reiese din reciproca teoremei lui Carnot.

2.23 Teorema lui Schooten

Fie punctul M situat pe arcul
BC al cercului circumscris triunghiului echilateral
ABC , atunci
CM BM AM 
.
Demonstrație.
Soluția 1 . Fie
()D AM astfel încât
MD BD . Deoarece
( ) ( ) 60m ACB m AMB  
rezultă că triunghiul
MBD este
echilateral, deci
MD BM (Fig. 40). Deoarece
, AB BC
BD BM
și ∢𝐴𝐵𝐷≡∢𝐶𝐵𝑀 rezultă că
CBM ABD , de unde
.MC AD
Atunci,
.MB MC DM AD AM 

Soluția 2. Din prima teorema a lui Ptolemeu avem:
,BMAC MCAB BC AM  adică
MB MC AM
( deoarece
AB BC AC )

2.24 Teorema lui Smarandache

Fie
,,abcH H H picioarele înălțimilor unui triunghi ascuțitunghic ABC. Dacă
', ', 'abc sunt
lungimile laturilor triunghiului podar
abcH H H , atunci
 2 2 24 ' ' ' ' ' 'a b a c b c a b c     , unde a, b,
c reprezintă lungimile laturilor triunghiului ABC.
C

B
N
M

A
L

d
Fig. 39
M
C
A
B

Fig. 40

47
Demonstrație.
Lemă: Fie p și
'p semiperimetrele triunghiurilor ABC și respectiv
abcH H H
atunci
'2pp .
Demonstrație: Avem:
cAH bcosA ,
bAH ccosA , de unde
2 2 2 2 22 cos cosb c b c b cH H AH AH AH AH A a A    
, adică
cosbcH H a A .
Analog,
cosacH H b B și
cosabH H c C (Fig. 41). Astfel,
' ' ''2abcp

cos cos cos
2a A b B c C sau
  sin 2 sin 2 sin 2' 2 sin sin sin2R A B Cp R A B C
( am aplicatt teorema sinu surilor, R fiind raza
cercului circumscris triunghiului ABC ), deci:
[]'2222ABCA a b cpRR R R R    , (unde
[]ABCA reprezintă aria
triunghiului ABC ). Cum
[]ABCA r p , (r–raza cercului înscris în triunghiul ABC ) rezultă:
'2rpppR  
(unde am aplicatt inegalitatea lui Euler 2r
R).
Demonstrația teoremei lui Smarandache. Utilizând inegalitățile cunoscute:
2 2 2 23( ) ( ) 3( ), , ,xy xz yz x y z x y z x y z         
ℝ rezultă
222
2 2 2 22' 11' ' ' ' ' ' ( ' ' ') ( ).3 3 3 3 4 4p a b c pa b a c b c a b c a b c          

2.25 Teorema lui Arhimede

Fie
M mijlocul unui arc
ACB de pe cercul circumscris triunghiului
ABC
și
D piciorul perpendicularei duse din
M pe latura de
lungime mai mare dintre
AC și
.BC Atunci,
. AD DC CB
Demonstrație. Fie
(F AC astfel încât
BC CF și
()m CFB  (Fig.
42). Atunci,
()m CBF  și
( ) ( ) 2m ACB m AMB   , de unde
( ) 2 ( )m AMB m AFB
. Deci,
M este centrul cercului circumscris
triunghiului
ABF (punctul
M aparținand mediatoarei segmentului
AB
). Rezultă:
AD DF DC CF DC CB     .
A
B
C
Ha
Hb
Hc
Fig. 41
C
A
B
M
D
F
Fig. 42

48

2.26 Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Teorema înălțimii: Într -un triunghi dreptunghic lungimea înălțimii duse din vârful unghiului
drept este medie proporțională între lungimile catetelor pe ipotenuză .
Demonstrație.

Fie triunghiul ABC cu
( ) 90 m BAC și D piciorul înălțimii duse din A
pe latura BC (Fig. 43) . Deoarece ∢𝐴𝐷𝐵≡∢𝐴𝐷𝐶 și ∢𝐵𝐴𝐷≡∢𝐴𝐶𝐷
rezultă că ∆𝐴𝐵𝐷~∆𝐶𝐴𝐷 , de unde
AD BD
DC AD , adică
2.AD BD DC

Reciproca teoremei înălțimii: Fie
()D BC proiecția vârfului A al triunghiului ABC pe latura
BC. Dacă
2, AD BD DC atunci triunghiul ABC este dreptunghic.
Demonstrație . Deoarece ∢𝐴𝐷𝐵≡∢𝐷𝐶𝐴 și
AD BD
DC AD rezultă că triunghiurile ABD și CAD sunt
asemenea,(Fig.44) de unde avem ∢𝐴𝐷𝐵≡∢𝐷𝐴𝐶 și ∢𝐵𝐴𝐷≡∢𝐴𝐶𝐷 .
Dar
( ) ( ) ( ) 180    m ABC m BAC m ACB
Adică
2 ( ) ( ) 180  m ABC m ACB , de unde rezultă
( ) ( ) 90   m ABC m ACB
și de aici
( ) 180 90 90 ,    m BAC adică ∆ ABC este dreptunghic.
Observație: Dacă
( ) \D BC BC , atunci teorema reciprocă nu mai este adevărată. Se observă că
triunghirile DAB și DCB sunt asemenea, de unde avem că
2, AD BD DC dar triunghiul ABC nu
este dreptunghic. Deci, condiția ca
()D BC este esențială pentru ca ∆ ABC să fie dreptunghic.

Teorema catetei: Într -un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este medie proporțională
între lungimile ipotenuzei și a proiecției acestei catete pe ipotenuză.

A
B
C
D
Fig. 44
A
B
C
D
Fig. 43

49
Demonstrație .Fie punctul D proiecția vârfului A al ∆ ABC
(𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=900) pe ipotenuza BC. (Fig. 45) Deoarece ∢𝐵𝐴𝐷≡
∢𝐴𝐶𝐵 și ∢𝐴𝐷𝐵≡∢𝐵𝐴𝐶 rezultă că ∆𝐴𝐵𝐷~∆𝐶𝐵𝐴 , de unde
BD AB
AB BC
. Analog se arată că
2. AC BC DC

Reciproca teoremei catetei: Fie
()D BC proiecția vârfului A al triunghiului ABC pe latura BC.
Dacă
2AB BC BD (sau
2AC BC DC ) atunci triunghiul ABC este
dreptunghic .
Demonstrație . Deoarece ∢𝐴𝐵𝐷≡∢𝐴𝐵𝐶 și
AB BD
BC AB rezultă asemănarea triunghiurilor ABD și
CAB , de unde ∢𝐵𝐷𝐴≡∢𝐵𝐴𝐶 (1). Analog, din asemănarea triunghiurilor CDA și CAB avem că
∢𝐶𝐷𝐴≡∢𝐶𝐴𝐵 (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă ∢𝐴𝐷𝐵≡∢𝐴𝐷𝐶 , iar
( ) ( ) 180   m BDA m CDA , de
unde :
( ) 90 m BDA și deci
( ) 90 m BAC .

Teorema lui Pitagora: Într -un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu
suma pătratelor lungimilor catetelor .
Demonstrație . Fie punctul D proiecția vârfului A pe ipotenuza BC a triunghiului ABC . Din
teorema catetei obținem
2AB BD BC și
2, AC CD BC de unde
2 2 2( ) . AB AC BC BD CD BC   

Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacă într -un triunghi pătratul lungimii unei laturi este egal
cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic .
Demonstrație . Fie triunghiul ABC în care
2 2 2BC AB AC și triunghiul dreptunghic
' ' 'A B C astfel
încât
'' A B AB și
' ' .A C AC Din teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul
' ' 'A B C rezultă
2 2 2' ' ' ' ' '   B C A B A C

2 2 2, AB AC BC de unde
' '. BC B C Din congruența triunghiurilor ABC și
' ' 'A B C
(conform cazului de congruență LLL) rezultă
( ) ( ') 90 .m A m A  

2.27 Aria unui triunghi
A
B
C
D
Fig. 45

50
În cele ce
urmează
notăm cu
[]ABCA
aria
triunghiului
ABC , cu
a,b,c
lungimile
laturilor
BC,CA, respectiv AB, iar cu
,,abch h h lungimile înălțimilor triunghiului duse din A,B, respectiv C.
Din definiția ariei unui triunghi avem:
[]2 2 2a b c
ABCa h b h c hA     .
1) Aria unui triunghi este egală cu jumătatea produsului a două laturi înmulțit cu sinusul
unghiului dintre ele.
Demonstrație. Din triunghiul
aABH avem
sinahBc (Fig. 46), sau
sin( )ahBc (Fig. 47), de unde
sinah c B
, deci
[]sin
2ABCa c BA .

Observații:
1) rin permutări circulare obținem
[]sin sin
22ABCc b A b a CA    .
2) Aria unui triunghi este egală cu
[] ( )( )( )ABCA p p a p b p c    , unde
2abcp (formula lui
Heron).
Demonstrație. Avem
[]sin ( )( ) ( )2 sin cos2 2 2 2ABCa b C ab C C p a p b p p cA abab ab           sau
[] ( )( )( )ABCA p p a p b p c   
.

3) Aria unui triunghi este egală cu
[]4ABCabcAR , unde R este raza cercului circumscris
triunghiului ABC.
Demonstrație.
[]sinsin2 2 2 2 4ABCa c B ac ac b abcABRR      .
A
B
C
a
H

Fig. 46
c

b
A
B
C
a

Fig. 47
c
b

51

4) Aria unui triunghi ABC este egală cu
[] ( ) ( ) ( )ABC a b c a b cA pr p a r p b r p c r rr r r        , unde r
este raza cercului înscris, iar
,,abcr r r sunt razele cercurilor exînscrise.
Demonstrație: Aceste formule rezultă imediat din descompunerea triunghiului ABC. Dacă I este
centrul cercului înscris în triunghiul ABC atunci:
[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1
2 2 2ABC AIB BIC CIAA A A A ar br cr pr       și
[ ] [ ] [ ] [ ]a a a ABC ABI ACI BCIA A A A   

()()2 2 2 2a a a a
ac r b r a r b c a rp a r           . Ultima formulă se obține
prin înmulțirea primelor patru expresii ale ariei ∆ ABC și ținând seama de formula lui Heron.

5) Aria unui triunghi ABC este egală cu
22
[] .2 2 2 2 2 2ABC aA B C A B CA r ctg ctg ctg r ctg tg tg
Demonstrație. Din
.2 2 2   A B Cp r ctg ctg ctg (vezi „Cercul înscris”) și
[]ABCA pr rezultă
2
[]2 2 2ABCA B CA r ctg ctg ctg
. A doua egalitate se obține utilizând teorema 27) – „Cercuri exînscrise”,
efectuând produsul
( )( )( )p p a p b p c   .

6) Dacă vârfurile A,B,C ale triunghiului ABC au coordonatele carteziene
( , ),( , ),A A B Bx y x y
respectiv
( , )CCxy , atunci aria triunghiului ABC este egală cu:
[]1
2ABCA   , unde
1
1
1AA
BB
CCxy
xy
xy .
Demonstrație. Ecuația dreptei BC este:
1
10
1BB
CCxy
xy
xy , iar distanța de la punctul A la dreapta BC
este egală cu:
22( , )
( ) ( )C B C Bd A BC
x x y y
   , deci aria triunghiului ABC este egală cu:
[]1
2ABCA  
.

52
7) Consecință: Dacă vârfurile A,B,C ale triunghiului ABC au afixele
,,ABzz respectiv
Cz atunci
aria triunghiului ABC este egală cu:
[]ABCA , unde
1
1.4
1AA
BB
CCzz
izz
zz 
Demonstrația rezultă imediat utilizând proprietatea 6) și faptul că
2AA
Azzx și
2AA
Azzyi .

8) Consecință: Dacă
( , , ), 1
ii i i i i iA         în raport cu triunghiul
ABC de arie
S . Atunci,
1 1 1[]A B CAS  
, unde
1 1 1
2 2 2
3 3 3  
  
   .
Demonstrația rezultă imediat utilizând proprietatea 6) și faptul că
,i i A i B i Cx x x x    
, { 1,2,3}i i A i B i Cy y y y i     
.
9) Sunt adevărate următoarele formule pentru aria unui triunghi
ABC :
1.
[]4( )( )( )3ABC a b cA m m m        , unde
2abcm m m .
2.
[]( )( )( )
2a b b c c a
ABCr r r r r rrAR   .
3.
[]2abc
ABCRh h hA .
4.
2
[] 2 sin sin sinABCA R A B C .
5.
[]1 1 1 1 1 1b c a b c
ABC
a b c a b crr r r r rA
h h h h h h
     .

2.28 Centrul de greutate al unui triunghi

Centrul de greutate al unui triunghiului este punctul de intersecție al medianelor unui
triunghi . Este notat de regulă cu G și este situat ăn interiorul triunghiului.

53

1) Centrul de greutate al unui triunghi se află pe fiecare
mediană la o treime de mijlocul laturii opuse
corespunzătoare și la două treimi de vârful corespunzător.
Demonstrație: Fie
abcM M M triunghiul median al triunghiului
ABC (Fig. 48). Teorema lui Menelaus aplicată
triunghiului
aAM C și transversalei
b BGM ne dă:
1ba
abM C BM GA
GM M A BC  
sau
2a GA GM , deci
1
3aaGM AM și
2
3a GA AM
.

2) Centrul de greutate al unui triunghi este egal depărtat de varfurile triunghiului și egale cu.:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1112( ) , 2( ) , 2( )333     b c a a c b b a c
.
Demonstrație. Deoarece
2
3a GA AM , rezultă
2 2 2 2 2 2 2 2 1 12( ) 2( )3 3 2 3       a GA AM b c a b c a ,
unde am utilizat teorema medianei. Analog,
2 2 2 12( )3  GB a c b și
2 2 2 12( ) .3  GC a b c

3) Distanțele de la centrul de greutate al unui triunghi la laturile triunghiului sunt egale cu:
1 1 1,,3 3 3abch h h
, unde
,,abch h h sunt lungimile înălțimilor triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie
aG și
aH proiecțiile punctelor G, respectiv A pe BC. Din asemănarea
triunghiurilor
aaGG M și
aaAH M rezultă
1
3aa
aaGG GM
h AM , deci
1.3aaGG h
4) Centrul de greutate al unui triunghi aparține dreptei lui Euler a triunghiului.

5) Consecință: Centrul de greutate, centrul cercului circumscris, și ortocentrul unui triunghi
ABC sunt puncte coliniare și
11
23GO HG OH .

6) Dacă L este punctul lui Longchamps al unui triunghi ABC, atunci
1
3GO OL .
A
B
C

G
Fig. 48

54

7) Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi ABC, atunci
2 2 2
22
9abcOG R .

8) Pentru orice punct M din planul triunghiului ABC este adevărată relația :
3MA MB MCMG
.
Demonstrație. Din teorema medianei scrisă vectorial avem:
2aMM MB MC
. Din
2
aGA
GM rezultă
2
1 2 3a MA MM MA MB MCMG 
(1).
Consecințe:
2.1) Dacă
MG relația (1) devine:
0 GA GB GC  
.
2.2) Dacă
MO relația (1) devine:
3 OA OB OC OG OH   
(relația lui Sylvester).
2.3) Dacă
MA relația (1) devine:
.3AB ACAG

9) Coordonatele baricentrice absolute ale centrului de greuta te al unui triunghi ABC sunt
111,,333G

.
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.

10) Afixul centrului de greutate al unui triunghi ABC este egal cu
.3A B C
Gz z zz
Demonstrație analoagă cu cea din teorema (8).

11) Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Pentru orice punct M din planul triunghiului
ABC este adevărată relația :
2 2 2
2 2 2 23.3AB BC CAMA MB MC MG   
Demonstrație. Vezi „Teorema lui Leibniz”.

12) În orice triunghi ABC este adevărată relația:
2 2 2
2 2 2
3  AB BC CAGA GB GC .
Demonstrația rezultă din teorema precedentă pentru
.MG

55

13) În orice triunghi ABC este adevărată relația:
4 4 4
4 4 4
9  abcGA GB GC .
Demonstrație. Ridicând la pătrat relația
2 2 2 21[2( ) ]9   AG b c a rezultă:
4 4 4 2 2 4 2 2 21[4( 2 ) 4 ( )],81      AG b c b c a a b c
de unde:
4 4 4
4 4 4
9  abcGA GB GC .

2.29 Centrul cercului circumscris unui triunghi
Punctul de intersecție al mediatoarelor unui triunghi ABC se numește centrul cercului
circumscris triunghiului ABC (se notează de obicei cu O). Raza acestui cerc se numește raza
cercului circumscris triunghiului ABC (se notează de obicei cu R).
Observații:
i) Centrul cercului circumscris unui triunghi ascuțitunghic se află în interiorul triunghiului (Fig. 49
).
ii) Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei. Raza
acestui cerc are lungimea jumătate din lungimea ipotenuzei (Fig. 50 ).

Fig. 49

Fig. 50

Fig. 51

56
iii) Centrul cercului circumscris unui triunghi obtuzunghic se
află în exteriorul triunghiului (Fig. 51).

1) Triunghiul podar al centrului cercului circumscris unui
triunghi ABC este triunghiul median al acestuia .

2) Fie
' ' 'A B C triunghiul pedal al centrului cercului
circumscris triunghiului ABC. Atunci,
' sin 2,' sin 2A B C
A C B
' sin 2
' sin 2B C A
B A C
și
' sin 2.' sin 2C A B
C B A
Demonstrație. Avem:
( ') ( )m BAA m BAO 
1[180 2 ( )]2mC 
90 ( ) mC
și
( ') ( ) 90 ( )m CAA m CAO m B   
(Fig. 52). Din teorema sinusurilor aplicată în triunghiurile
'ABA
și
'ACA rezultă:
''
sin( / 2 ) sinA B AA
CB , respectiv
''
sin( / 2 ) sinA C AA
BC , de unde
' sin cos sin 2
' sin cos sin 2A B C C C
A C B B B
. Asemeni aratăm că
' sin 2
' sin 2B C A
B A C și
' sin 2.' sin 2C A B
C B A

3) Fie
' ' 'A B C triunghiul pedal al centrului cercului circumscris triunghiului ABC. Atunci,
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2, , .' sin 2 ' sin 2 ' sin 2AO B C BO C A CO A B
OA A OB B OC C    

Demonstrație. Din teorema lui Van -Aubel rezultă:
' ' sin 2 sin 2
' ' ' sin 2AO AB AC B C
OA B C C B A   . Analog se
arată celelalte egalități.

4) Fie O centrul cercului circumscris unui triunghi ABC. Pentru orice punct M din planul
triunghiului este adevărată egalitatea:
sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 sin 2A MA B MB C MCMOA B C    
.

Fig. 52

57
Demonstrație. Din
sin 2 sin 2
' sin 2AO B C
OA A rezultă
sin 2 sin 2'sin 2
sin 2 sin 21sin 2BCMA MAAMOBC
A

(1), iar din
' sin 2,' sin 2A B C
A C B
rezultă
sin 2
sin 2 sin 2 sin 2'sin 2 sin 2 sin 21sin 2CMB MCB MB C MC BMAC BC
B  
(2). Din relațiile (1) și (2)
rezultă concluzia.

Observație: Ținând cont de identitatea
22sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sinSA B C A B CR    , unde S
reprezintă aria triunghiului ABC , egalitatea demonstrată anterior devine:
2
(sin 2 sin 2 sin 2 ).2RMO A MA B MB C MCS     

Cazuri particulare:
1) Dacă
MO obținem:
sin 2 sin 2 sin 2 0.A OA B OB C OC     

2) Dacă
MG obținem:
sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 sin 2A GA B GB C GCGOA B C    
.
3) Dacă
MA obținem
sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 sin 2B AB C ACAOA B C  
.

5) Coordonatele baricentrice absolute ale centrului cercului circumscris unui triunghi ABC
sunt:
222
sin 2 , sin 2 , sin 2222RRRO A B CSSS

 .
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.

6) Fie
,,A B Cz z z afixele vârfurilor unui triunghi ABC. Afixul centrului cercului circumscris
triunghiului ABC este egal cu
sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 sin 2A B C
OA z B z C zzA B C     .
Demonstrația rezultă din proprietatea (3).

7) Coordonatele unghiulare ale centrului cercului circumscris unui triunghi ascuțitunghic ABC
sunt egale cu:
( ) 2 ( ), ( ) 2 ( )m BOC m A m COA m B și
( ) 2 ( ).m AOB m C

58
Demonstrația este evidentă deoarece – de exemplu – BOC este unghi la centru, deci are măsura
egală cu măsura arcului
BC .
8) Raza cercului circumscris unui triunghi oarecare este egală cu
4abcRS , unde a, b, c sunt
lungimile laturilor triunghiului și S este aria acestuia .
Demonstrație. Vezi „Aria unui triunghi”.

9) Consecință: Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral de latură l este
3
3lR .

10) Distanțele de la centrul cercului circumscris unui triunghi ascuțitunghic ABC la laturile
triunghiului sunt egale cu
, , .2 2 2  a b cctgA ctgB ctgC
Demonstrație. Avem
cos cos2sin 2   aaaOM R A A ctgAA . Analog,
2bbOM ctgB și
.2ccOM ctgC

11) Centrul cercului circumscris unui triunghi aparține dreptei lui Euler a triunghiului.
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler”.

Consecințe:
12.1 – Centrul cercului circumscris, centrul de greutate și ortocentrul unui triunghi ABC sunt
puncte coliniare.
12.2 –
3 OH OG OL și
2 HG OG (vezi „Dreapta lui Euler”și „Punctul lui Longchamps (L)”).

13) Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi ABC, atunci
2 2 2
22
9abcOG R .
Demonstrație. Vezi „Teorema lui Leibniz”.
14) Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC, atunci
2 2 2 2 29 ( ). OH R a b c   
Demonstrație. Vezi „Teorema lui Leibniz”.

15) Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC, atunci
22(1 8cos cos cos ). OH R A B C

59
Demonstrație. Puterea punctului H față de cercul circumscris triunghiului ABC este egală cu:
2 2 22   HaP AH HH R OH
sau
222 cos 4 cos cos   R A R B C R OH ,
2 2 28 cos cos cos  R A B C R OH
de unde rezultă concluzia.

16) Consecință: Din teoremele (13) și (14) rezultă
2 2 2 28 (1 cos cos cos ).    a b c R A B C

17) Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, atunci
222OI R Rr .
Demonstrație. Vezi „Cercul înscris”.

2.30 Cercul înscris într -un triunghi

1) Bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente .
Demonstrație : Fie triunghiul
ABC și punctele
', ', 'A B C
picioarele bisectoarelor unghiurilor
,,A B C iar
{ } ' 'I BB CC
(Fig. 53). Fie
,,abcC C C proiecțiile punctului I pe laturile
, , .BC CA AB
Din congruența triunghiurilor
aBC I cu
cBC I ,
respectiv
aCC I cu
bCC I avem că
acC I C I și
abC I C I , de unde
rezultă
cbC I C I adică 𝐼∈𝐴𝐴ț adică bisectoarei.
Observații:
1) Deoarece punctul I este situat egală distanțe față de laturile
triunghiului
ABC , el este centrul unui cerc tangent interior laturilor triunghiului
ABC – cercul se
numește cercul înscris în triunghiul
ABC .
2) Punctul I de concurență al bisectoarelor interioare unghiurilor triunghiului
ABC se numește
centrul cercului înscris în triunghiul
ABC .
3) Raza cercului înscris în triunghiul
ABC o vom nota cu r.
4) Triunghiul
abcC C C ale cărui vârfuri sunt punctele de tangență dintre laturile triunghiului și cercul
înscris se numește triunghiul de contact al triunghiului
ABC .

2) Distanțele de la centrul cercului înscris într -un triunghi la laturile triunghiului sunt egale cu
raza cercului înscris în acest triunghi.
A
B
C
Fig. 53

Cc
Cb
Ca
I
O
r

60

3) Distanțele de la centrul cercului înscris într -un triunghi la vârfurile triunghiului sunt egale
cu
,,
sin sin22rr
AB respectiv
.
sin2r
C
Demonstrație. Din triunghiul
cAIC rezultă
sin2rAIA ; analog
sin2rBIB și
sin2rCIC .

4) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC. Atunci,
4 sin sin22BCAI R .
Demonstrație. Avem
4 sin sin sin2 2 24 sin sin .22sin sin22  A B CRr B CAI RAA Analog,
4 sin sin22CABI R
și
4 sin sin22ABCI R .

5) Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul
ABC , atunci
1( ) 90 ( )2 
m BIC m BAC ,
1( ) 90 ( )2 
m AIB m ACB
și
1( ) 90 ( )2 
m CIA m ABC .
Demonstrație.
( ) ( ') ( ' ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]     
m BIC m BIA m A IC m BAI m ABI m CAI m ICA
 11( ) ( ) ( ) ( ) 90 ( )22    
m BIC m BAC m ABC m ACB m BAC
. Analog se determină și măsurile
celorlalte două unghiuri.

6) Coordonatele baricentrice ale centrului cercului circumscris triunghiului ABC sunt:
,,222a b c
ppp

.
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.

61

7) Fie
,,A B Cz z z sunt afixele vârfurilor A,B,C ale
triunghiului ABC de laturi a,b,c. Afixul centrului
cercului înscris este egal cu
A B C
Iaz bz czzabc .
Demonstrați e. Alegem un sistemul cartezian cu originea
în punctul O, centrul cercului circumscris triunghiului
ABC (Fig. 54). Din teorema bisectoarei avem:
'
'c BA
b A C
sau
' c BA
b c BC , deci
'acBAbc , de unde rezultă că
'
1BC
Aczzbzc
b


. Teorema bisectoarei aplicată în ∆
'ABA pentru bisectoarea BI ne dă:
''AB IA
BA IA sau
'IA b c
IA a
, deci
'
1AA
A B C
Ibczzaz bz cz azbc abc
a  .

8) Dacă
abcC C C este triunghiul de contact al triunghiului
ABC atunci
,,         b c a c a bAC AC p a BC BC p b CC CC p c
, unde a,b,c sunt lungimile laturilor
,,BC AC BA
, iar
2abcp .
Demonstrație. Evident
,,     b c a c a bAC AC x BC BC y CC CC z , de unde rezultă că
2( ) 2     x y z a b c p
, deci
  p x y z . Cum
,   y z a z x b rezultă
,,     x p a y p b z p c .
9) Dacă r este raza cercului înscris în triunghiul ABC, atunci:
2 2 2  p a p b p crA B Cctg ctg ctg .
Demonstrație. Din triunghiul dreptunghic
bAIC rezultă
2A p actgr . Analog se obțin și celelalte
două egalități.
Consecință:
.2 2 2   A B Cp r ctg ctg ctg
Demonstrație. Avem:
2 2 2 2 2 2            A B C A B Cp a p b p c r ctg ctg ctg r ctg ctg ctg .
A
B
C

I
Fig. 54

62

10) Fie I centrul cercului înscris și
H ortocentrul triunghiului
ABC . Atunci,
2222h IH r r R
(unde
hr este raza cercului înscris în triunghiul ortic al triunghiului ABC ).
Demonstrație. Fie
abcC C C și
abcH H H triunghiurile de contact, respectiv ortic corespunzătoare
triunghiului ABC (Fig. 55) . Deoarece AI și BI sunt bisectoarele unghiurilor BAC , respectiv ABC
rezultă
(1)sin / 2rAIA și
(2)2aBBC rctg . Avem:
cos , cos .2    a a a a aBBH c B C H BH BC c B rctg Din
triunghiul
aaIC H rezultă
2
22cos (3)2  aBIH r c B rctg . Dar
2 cos AH R A
(4) și
2 cos cosaHH R B C (5) Relația lui Stewart
aplicată în triunghiul
aAIH ne dă:
2 2 2 (6).a a a a a AI HH IH AH IH AH HH AH AH       
Din
relațiile (1) – (6) rezultă
222 2 .h IH r r R ,unde
2 cos cos coshr R A B C
(vezi „Triunghiul ortic”).

2.31 Ortocentrul unui triunghi
Ortocentrul triunghiului (H) este punctul de intersecție al înălțimilor unui triunghi.
Dacă triunghiul ABC este ascuțitunghic , ortocentrul se află în interiorul triunghiului (Fig. 56).
Dacă triunghiul ABC este dreptunghic
( ) 90m BAC , ortocentrul triunghiului este punctul A (Fig.
57). Dacă triunghiul ABC este obtuzunghic , ortocentrul este situat în exteriorul triunghiului ABC
(Fig. 58).
1) Fie H
ortocentrul unui triunghi nedreptunghic ABC și
abcH H H triunghiul său ortic. Sunt adevărate
egalitățile:
, , .a b c
a b cBH CH AH tgC tgA tgB
H C tgB H A tgC H B tgA  
A
B
C
Fig. 55

Ca
I
H
C

B
C
Ha
H
A
B
C
Hb
Hc
Ha
H
A
B
Hb
Ha
Hc
Fig. 56
Fig. 57
Fig. 58

63
Demonstrație . Din triunghiurile dreptunghice
aBH A și
aCH A rezultă
a
aAHBHtgB și
a
aAHCHtgC
de unde
a
aBH tgC
H C tgB . Analog se arată și celelalte egalități.

2) Fie H ortocentrul unui triunghi nedreptunghic ABC și
abcH H H triunghiul său ortic. Sunt
adevărate egalitățile:
cos cos cos,,cos cos cos cos cos cosabcAH A BH B CH C
HH B C HH C A HH A B     .
Demonstrați e. Din teorema lui Van -Aubel avem
cos
cos cosbc
a b cAH AH AH tgC tgB A
HH H C H B tgA tgA B C     .

3) Pentru orice punct M din planul unui triunghi nedreptunghic ABC este adevărată egalitatea:
.tgA tgB tgCMH MA MB MCtgA tgB tgC tgA tgB tgC tgA tgB tgC       

Demonstrație. Din
aAH tgC tgB
HH tgA și
a
aBH tgC
H C tgB avem:
1atgC tgBMA MHtgAMHtgC tgB
tgA

()a tgA MA tgC tgB MH
tgA tgB tgC   

și
1atgCMB MCtgBMHtgC
tgB



tgB MB tgC MC
tgB tgC  

, de unde rezultă concluzia.

4) Coordonatele baricentrice absolute ale ortocentrului H al unui triunghi ascuțitunghic ABC
sunt
, , .tgA tgB tgCHtgA tgB tgC tgA tgB tgC tgA tgB tgC
     
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.

Observație: Deoarece
tgA tgB tgC tgA tgB tgC     rezultă
( , , ).H ctgBctgC ctgCctgA ctgActgB

5) Fie
,,A B Cz z z afixele vârfurilor triunghiului ABC. Afixul ortocentrului H al triunghiului ABC
este egal cu
.H A B CtgA tgB tgCz z z ztgA tgB tgC tgA tgB tgC tgA tgB tgC       
Demonstrația rezultă din proprietatea (3).

64

6) Coordonatele unghiulare ale ortocentrului unui triunghi ascuțitunghic ABC sunt egale cu:
( ) 180 ( )m BHC m A 
,
( ) 180 ( )m CHA m B  ,
( ) 180 ( ).m AHB m C 
Demonstrație. Avem:
( ) ( ) 180 ( )bc m BHC m H HH m A   (deoarece patrulaterul
cbAH HH este
inscriptibil). Analog,
( ) 180 ( )m CHA m B  și
( ) 180 ( ).m AHB m C 

7) Distanțele de la ortocentrul unui triunghi ABC la vârfurile acestuia sunt egale cu
2 cos ,2 cos ,2 cos .R A R B R C

Demonstrație. Deoarece patrulaterul
acBH HH este inscriptibil rezultă
( ) ( )cm H HA m B , atunci
sin sinc
cHAH HA BAH
, de unde
cos2 cossin sin  cAH bAAH R ABB . Analog se arată că
2 cosBH R B și
2 cos .CH R C

8) Consecință:
2( ). AH BH CH R r   
Demonstrație. Avem:
2 (cos cos cos ) 2 1 4sin sin sin2 2 2A B CAH BH CH R A B C R        ; dar
4sin sin sin2 2 2r A B C
R
, deci
2( ). AH BH CH R r   

9) Distanțele de la ortocentrul unui triunghi ABC la laturile acestuia sunt egale cu
2 cos cos ,2 cos cos ,2 cos cos .R B C R C A R A B

Demonstrație. Din triunghiul dreptunghic
a BHH rezultă
cos 2 cos cosaHH BH C R B C . Analog,
2 cos cosbHH R C A
și
2 cos cos .cHH R A B

10) Ortocentrul H al triunghiului ABC aparține dreptei lui Euler a triunghiului ABC .
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler “ .

11) Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC, O centrul cercului circumscris triunghiului și G
centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci
2 HG GO și
3. HO GO
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler “ .

65
12) Simetricul ortocentrului H al triunghiului ABC față de mijlocul unei laturi se află pe cercul
circumscris triunghiului .
Demonstrație. Fie
aM mijlocul laturii BC și
'A punctul
diametral opus lui A (Fig. 59). Deoarece BH
 AC și
'A C AC
rezultă
' BH CA
. Analog, rezultă
' BH CA
, deci
patrulaterul
' BHCA este paralelogram, deci simetricul lui H față
de
aM este situat pe cercul circumscris triunghiului ABC .

13) Simetricul ortocentrului H al triunghiului ABC față de
una din laturile triunghiului se află pe cercul circumscris
triun ghiului .
Demonstrație : Fie
1A punctul de intersecție dintre înălțimea
aAH și cercul circumscris triunghiului
ABC . Deoarece
( ) 90 ( )a m HBH m BCA   
1 90 ( ) m BA A 
1()a m A BH rezultă că înălțimea
aBH este și
bisectoarea unghiului
1HBA , adică triunghiul
1HBA este isoscel , deci
1 aaHH H A .

Observație : Fie
1B și
1C simetricele ortocentrului H față de laturile AC , respectiv AB. Triunghiul
1 1 1A B C
se numește triunghiul circumpedal al ortocentrului triunghiului ABC.

2.32 Punctul lui Gergonne

1) Într -un triunghi ABC dreptele care unesc vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale
cercului înscris cu laturile opuse sunt concurente .
Demonstrație. Fie
,,abcC C C punctele de tangență dintre
cercul înscris în triunghiul
ABC și laturile BC, AC respectiv
AB (Fig. 60). Cum
,acBC BC
abCC CC și
,bcAC AC avem:
1a b c
a b cC B C C C A
C C C A C B  
, iar din reciproca teoremei lui Ceva rezultă
că dreptele
,abAC BC și
cCC sunt concurente.

Punctul
 de concurență al dreptelor
,abAC BC și
cCC se numește punctul lui Gergonne .
A
B
C

Fig. 60
Ha
Hb
A
Fig. 59
B
Hc
C
H

66

2) Dacă (
) este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC , iar
abcC C C triunghiul său de contact,
atunci
()
( )( )aA a p a
C p b p c   ,
()
( )( )bB b p b
C p c p a   ,
()
( )( )cC c p c
C p a p b   .
Demonstrație. Din teorema lui Van -Aubel rezultă
cb
c c bAC AC A p a p a
C C B C C p b p c        
()
( )( )a p a
p b p c
 .
Analog se demonstrează și celelalte două egalități.

3) Consecință. Este adevărată relația:
4
abcA B C R
C C C r       .
Demonstrația este imediată ținând cont de teorema precedntă și de formulele
[] ( )( )( )4ABCabcA p p a p b p c prR     
.

4) Dacă (
) este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC, atunci pentru orice punct M din
planul triunghiului ABC este adevărată egalitatea:
1 1 1 1M MA MB MCs p a p b p c  
, unde
1 1 1sp a p b p c    
.
Demonstrație. Din
()
( )( )aA a p a
C p b p c   rezultă
()
( )( )
()1( )( )aa p aMA MCp b p cMa p a
p b p c
(1), dar
a
aBC pb
C C p c de
unde
( ) ( )
1apbMB MCp c MB p b MC pcMCpb a
pc   
(2). Din relațiile (1) și (2) rezultă concluzia.

5) Coordonatele baricentrice relative ale punctului lui Gergonne sunt
1 1 1,,p a p b p c   .
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.

67
6) Fie
,,A B Cz z z sunt afixele vârfurilor A,B,C ale triunghiului ABC de laturi a,b,c. Afixul
punctului lui Gergonne corespunzător triunghiului ABC este egal cu
1 1 1
1 1 1A B Cz z zp a p b p cz
p a p b p c  
  
.
Demonstrația rezultă din proprietatea (2).

7) Punctul lui Gergonne (
) al triunghiului
ABC este punctul simedian al triunghiului de
contact al triunghiului
ABC .
Demonstrație. Fie
abcC C C triunghiul de contact al triunghiului
ABC și
{}abcAC BC CC    .
Deoarece simediana dintr -un vârf al unui triunghi conține punctul de intersecție al tangentelor la
cercul circumscris duse în celelalte două vârfuri ale triunghiului (vezi „Simediane”), rezultă că
aCA
,
bCB și
cCC sunt simediane în triunghiul
abcC C C , deci punctul lor de intersecție
 , este punctul
lui Lemoine al triunghiului de contact
abcC C C .

8) Punctele lui Gergonne (
) și Nagel
()N ale triunghiului
ABC sunt puncte izotomice .
Demonstrație. Fie
abcC C C triunghiul de contact al triunghiului
ABC și
aD ,
bE,
cF punctele de
tangență ale cercurilor exînscrise cu laturile
BC ,
CA , respectiv
AB . Deoarece
aaBD CC p c   ,
rezultă că punctele
aD și
aC sunt simetrice față de mijlocul laturii
BC . Analog, punctele
bE și
bC
, respectiv
cF și
cC sunt simetrice față de mijloacele laturilor
AC , respectiv
AB . Deci punctele de
concurență ale dreptelor
( , , )abcAC BC CC și
( , , )a b cAD BE CF – adică punctul lui Gergonne, respectiv
punctul lui Nagel – sunt izotomice.

68

9) Fie
ABC un triunghi neisoscel,
abcC C C triunghiul său de contact,
{ '}bc A C C BC
,
{ '}ac B C C AC ,
{ '}ab C C C AB . Punctele
'A ,
'B,
'C
sunt coliniare .
Demonstrație. Teorema lui Menelaus aplicată în triunghiul
ABC
(Fig. 61) pentru transversalele
( ', , )cbA C C ,
( ', , )caB C C , respectiv
( ', , )abC C C
dă:
'1'cb
cbC A C C AB
A C C B C A   ,
'1'ac
acC B C A BC
B A C C C B   și
'1'ab
abC B C C CA
C B C C C A  
, de unde rezultă:
2' ' '1'''a b c
a b cC C C A C B A B B C C A
A C B A C B C B C C C A      

. Atunci, din reciproca teoremei lui Menelaus rezultă că
punctele
'A ,
'B,
'C sunt coliniare.

Observație : Dreapta ce conține punctele
'A ,
'B,
'C se numește dreapta lui Gergonne .

10) Dreapta lui Gergonne a triunghiului
ABC este polara triliniară a punctului lui Gergonne .
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă, triunghiurile
abcC C C și
ABC fiind omologice,
punctul lui Gergonne fiind polul triliniar.

11) Punctul lui Gergonne, punctul lui Nagel și retrocentrul unui triunghi sunt coliniare .

12) Punctul lui Gergonne al triunghiului ortic
corespunzător unui triunghi
ABC este punctul de întâlnire
al dreptelor ce unesc picioarele înălțimilor triunghiului
ABC
cu proiecțiile ortocentrului pe laturile triunghiului
ortic .
Demonstrație . Înălțimile
aAH ,
bBH ,
cCH (Fig. 62) sunt
bisectoarele unghiurilor triunghiului ortic
abcH H H (vezi
„Triunghiul ortic”), deci
H este centrul cercului înscris în triunghiul ortic, iar
1H ,
2H ,
3H –
proiecțiile lui
H pe laturile t riunghiului ortic – sunt punctele de contact ale cercului înscris cu

Fig. 61
A
B
C
H

Fig. 62

69
laturile triunghiului ortic, deci dreptele
1aHH ,
2 bHH și
3cHH sunt concurente în punctul lui
Gergonne al triunghiului ortic
abcH H H

13) Dreptele care unesc vârfurile unui triunghi ABC cu punctele de contact dintre un cerc
exînscris și dreptele AB, BC, CA sunt concurente .
Demonstrație. Fie
1 1 1,,A B C punctele de contact dintre cercul
A – exînscris și
dreptele BC, CA respectiv AB (Fig. 63). Cum
1 1 1 1 , AB AC BA BC și
11CA CB
rezultă:
1 1 1
1 1 11   A B B C C A
AC B A C B și din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că dreptele
11,AA BB
și
1CC sunt concurente într -un punct
a . Analog, se obțin punctele
b
și
.c Punctele
,,  abc se numesc adjunctele punctului Gergonne.

2.33 Triunghiul anticomplementar
Triunghiul anticomplementar (sau antimedian ) al triunghiului
ABC este triunghiul
'''CBA
determinat de paralelele duse prin vârfurile triunghiului
ABC la laturile opuse.

Numi m exmediană a unui triunghi o dreaptă ce trece prin vârful unui triunghi și este paralelă cu
latura opusă. Triunghiul anticomplementar este determinat de intersecțiile exmedianelor
triunghiului ABC . Vârfurile triunghiului anticomplementar se numesc puncte exmediane.

1) Triunghiul
'''CBA este triunghiul anticomplementar al triunghiului
ABC dacă triunghiul
ABC
este triunghiul său median .

A
B
C
Fig. 63

Fig. 64

70
2) Segmentele
AB ,
BC ,
AC sunt liniile mijlocii ale triunghiului anticomplementar .

3) Dacă
cba,, sunt lungimile laturilor
CABC, respectiv AB ale triunghiului
ABC , atunci laturile
triunghiului aticomplementar
'''CBA sunt egale cu 2a,2b,2c.

4) Centrul de greutate al triunghiului anticomplementar al triunghiului
ABC este centru de
greutate și pentru triunghiul
ABC .
Demonstrație. Fie
G centrul de greutate al triunghiului
'''CBA și
cbaMMM triunghiul său median
(Fig. 64). Deoarece patrulaterul
CABA' este paralelogram rezultă că diagonalele
BC și
'AA se
înjumătățesc, deci
aAM este mediană în triunghiul
ABC . Analog se arată că
bBM este mediană,
deci
G este centrul de greutate al triunghiul
.ABC

Observație: Triunghiul anticomplementar
'''CBA este triunghiul anticevian al triunghiului
ABC
corespunzător centrului de greutate
G al acestuia.

5) Aria triunghiului anticomplementar
'''CBA este egal cu :
 ' ' '4.A B C ABCAA
Demonstrație. Deoarece patrulaterele
' ,'ABCBC ABA și
BCAC' sunt paralelograme, rezultă că
 ' ' '  ABC BCA ACB ABCA A A A
, de unde
  ' ' '4.A B C ABCAA

Cercul circumscris triunghiului anticomplementar se numește cerc anticomplementar .

6) Centrul cercului anticomplementar este ortocentrul triunghiului
.ABC
Demonstrație. Fie
.BC AHa Din
''||CB BC rezultă că
''CB AHa , cum
A este mijlocul
segmentului
''CB obținem că
aAH este mediatoarea segmentului
'.'CB Analog se arată că înălțimea
bBH
este mediatoarea segmentului
''CA , deci punctul de concurență al înălțimilor triunghiului
ABC
este centrul cercului circumscris triunghiului anticomplementar.

7) Raza cercului anticomplementar este egală cu dublul razei cercului circumscris triunghiului
ABC
.

71
Demonstrație.

Fie R raza cercului circumscris triunghiului
ABC și
AR raza cercului circumscris triunghiului
anticomplementar
' ' '.A B C (Fig. 66) Atunci:
  ' ' '' ' ' 2 2 2
4 4 4     A
A B C ABCa b c a b cRAA
[]224
ABCabcRA .

8) Fie
' ' 'A B C triunghiul anticomplementar al triunghiului ABC și
", ", "A B C simetricele
punctelor A, B respectiv C față de ortocentrul H al triunghiului ABC. Dreptele
' ", ' ", ' "A A B B C C
sunt concurente.
Demonstrație. Alegem un reper complex cu originea în centrul cercului circumscris ( O) al
triunghiului ABC. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzătoare. Atunci
( ), ( ), ( ), ( ), ( ),O o A a B b C c H a b c 
de unde rezultă
" " "
2 2 2a a b b c ch     și de aici
" 2 2 , " 2 2 , " 2 2 .a a b c b a b c c a b c        
Deoarece
' ' ' ' ' ',,2 2 2c b a c a ba b c     rezultă
' ' ', a b c a b c    
deci
2 ',a a b c a    de unde
'a b c a   și analog,
' , ' .b a c b c b a c     
Ecuația dreptei
'"AA este:
1
' ' 1 0
" " 1zz
aa
aa sau
(2 ) ( 2 ) 3[( ) ( )] 0 (1).z a b c z b c a ba ab ca ac         
Analog ecuațiile dreptelor
'"BB și
'"CC sunt:
( ' ") : (2 ) ( 2 ) 3[( ) ( )] 0 (2)B B z b a c z a c b ab ba cb bc          
, respectiv
( ' ") : (2 ) ( 2 ) 3[( ) ( )] 0 (3).C C z c a b z a b c ac ca bc cb          
Sumând ecuațiile (1), (2) și (3) obținem
o egalitate ceea ce arată că dreptele
' ", ' "A A B B și
'"CC sunt concurente

Fig. 65

72
9) Cercul circumscris triunghiului anticomplementar al triunghiului
ABC este tangent
cercurilor circumscrise triunghiurilor
CHA BHC , și AHB, unde H este ortocentrul triunghiului
.ABC

Demonstrație. Deoarece patrulaterul
C HBA' este inscriptibil, iar
m(HBA ') 90 rezultă că
'HA este
diametrul în cercul circumscris patrulaterului
.'C HBA Cum
'HA este raza în cercul circumscris
triunghiului anticomplementar rezultă cercul circumscris triunghiului
BHC este tangent interior în
'A
cercului anticomplementar. Analog se arată că cercurile circu mscrise triunghiurilor
CHA și
AHB sunt tangente interior cercului anticomplementar.

2.34 Triunghiul antisuplementa r

Triunghiul antisuplementar
abcI I I al unui triunghi
ABC este triunghiul determinat de bisectoarele
exterioare ale triunghiului
ABC (Fig. 67).

1) Triunghiul
abcI I I având vârfurile în centrele cercurilor exînscrise este triunghiul
antisuplementar al triunghiului
ABC .
A
B
C
Ia
Ib
Ic
Fig. 63

73
Demonstrația este evidentă ținând cont că punctele
,,abcI I I aparțin bisectoarelor exterioare ale
triunghiului
ABC .

2) Unghiurile triunghiului antisuplementar au măsurile egale cu
190 ( ),2mA
190 ( ),2mB

190 ( )2mC
.
Demonstrație. În triunghiul
aBCI ,
( ) 180 [ ( ) ( )]a a a m BI C m I BC m I CB    

1 1 1180 90 ( ) 90 ( ) 90 ( ).2 2 2m B m C m A     
Analog,
1( ) 90 ( ),2b m AI C m B  

1( ) 90 ( ).2c m AI B m C  

3) Triunghiul antisuplementar corespunzător triunghiului ABC este triunghiul anticevian
corespunzător centrului cercului înscris (I) în triunghiul ABC.
Demonstrația este evidentă.

4) Triunghiul
ABC este triunghiul ortic al triunghiului antisuplementar .
Demonstrație. Deoarece
,,abcAI BI CI sunt înălțimile triunghiului
abcI I I (vezi„Cercurile exînscrise”)
rezultă că triunghiul
ABC este triunghiul ortic al triunghiului
abcI I I .

Consecințe:
i) Triunghiurile ABC și antisuplementar sunt omologice.
ii) Axa ortică a triunghiului antisuplementar
abcI I I al triunghiului
ABC este axa ortică a
triunghiului
ABC .

5) Cercul circumscris al unui triunghi
ABC este cercul lui Euler al triunghiului
antisuplementar al triunghiului
ABC .
Demonstrație. Deoarece triunghiul
ABC este triunghiul ortic al triunghiului
abcI I I rezultă că cercul
circumscris triunghiului
ABC este cercul lui Euler al triunghiului
abcI I I .

74
6) Fie
', ', 'A B C punctele de intersecție dintre bisectoarele unghiurilor
,,CAB ABC respectiv
BCA
cu cercul circumscris triunghiului
ABC . Dacă
", ", "A B C sunt punctele diametral opuse
punctelor
', ', 'A B C în cercul circumscris triunghiului
ABC , atunci punctele
", ", "A B C aparțin
laturilor triunghiului antisuplementar.
Demonstrație. Din teorema lui Beltrami (vezi „Cercuri exînscrise”) rezultă că
'A este mijlocul
segmentului
[]aII . Atunci,
'"AA este diametru în cercul lui Euler corespunzător triunghiului
antisuplementar. Conform teoremei 5) rezultă că al doilea punct de intersecție dintre dreapta
bcII
și cercul circumscris triunghiului
ABC este mijlocul segmentului
bcII , deci
"A este mijlocul
segmentului
bcII . Analog se arată că
"B și
"C sunt mijloacele segmentelor
caII , respectiv
abII .

7) Dreapta care unește centrele cercurilor înscris și circumscris ale unui triunghi
ABC este
dreapta lui Euler a triunghiului antisuplementar .
Demonstrație . Centrul cercului înscris I al triunghiului
ABC este ortocentrul triunghiului
antisuplementar, iar centrul cercului circumscris ( O) al triunghiului
ABC este centrul cercului lui
Euler al triunghiului antisuplementar, deci dreapta
OI este dreapta lui Euler a triunghiului
antisuplementar.

Observație: Triunghiul antisuplementar
abcI I I și triunghiul de contact
abcC C C au aceeași dreaptă
a lui Euler OI.

8) Dreptele
,,abcOI OI OI sunt dreptele lui Euler ale triunghiului
,b c a cII I II I , respectiv
abII I .
Demonstrația este analoagă celei precedente.

9) Triunghiul antisuplementar
abcI I I și triunghiul cevian
1 2 3I I I al centrului cercului înscris într –
un triunghi
ABC sunt ortologice, dreapta lui Euler a triunghiului
abcI I I fiind axa de ortologie .
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler”.

10) Triunghiul antisuplementar
abcI I I și triunghiul de contact
abcC C C al unui triunghi
ABC sunt
omotetice .

75
Demonstrație . Deoarece
bcC C AI și
bcI I AI rezultă că
b c b cC C I I
(Fig. 399). Analog ,
a c a cC C I I
,
a b a bC C I I , de unde rezultă că triunghiurile
abcI I I și
abcC C C sunt omotetice.

11) Centrul cercului circumscris triunghiului antisuplementar este mijlocul segmentului ce
unește punctele lui Nagel și Longchamps corespunzătoare triunghiului
ABC .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul extangențial”.

12) Centrul de greuta te al triunghiului antisuplementar
abcI I I coincide cu centrul de greutate al
triunghiului
NIL , unde
N și
L sunt punctele lui Nagel și Longchamps, iar
I este centrul
cercului înscris în triunghiul
.ABC
Demonstrație. Deoarece
I este ortocentrul triunghiului antisuplementar și
O este centrul cercului
lui Euler corespunzător triunghiului antisuplementar, rezultă că centrul său de greutate este
mijlocul segmentului ce unește punctul
O cu centrul cercului circumscris acestui triunghi, adică
mijlocul segmentu lui
NL (cf. Th.11).

13) Laturile triunghiului median
abcM M M al unui triunghi
ABC trec prin proiecțiile vârfurilor
triunghiului
ABC pe laturile triunghiului antisuplementar
abcI I I .
Demonstrație. Fie
12,BB proiecțiile lui B pe laturile
cbII și
abII ale
triunghiului antisuplementar (Fig. 67) și
1 { } .
P BB AC Triunghiul
APB este isoscel pentru că AB este bisectoare și înălțime, deci
1B este
mijlocul segmentului PB. În triunghiul APB,
1cMB este linie mijlocie,
deci
1
cM B AP adică
1
c a cM B AC M M ,de unde avem că
1ac B M M
analog se arată că
2ac B M M .

2.35 Triunghiul I – peda l

Fig. 67

76

Triunghiul
1 2 3I I I determinat de picioarele bisectoarelor interioare ale
triunghiului
ABC se numește triunghiul I – pedal.

1) Triunghiul
1 2 3I I I este triunghiul cevian al triunghiului
ABC
corespunzător centrului cercului înscris în triunghiul
ABC .

2) Laturile triunghiului I – pedal,
1 2 3I I I , au lungimile
3 2( cos cos cos )',( )( )   abc A B Caa b a c

3 2(cos cos cos )',( )( )  abc A B Cbb c b a
3 2(cos cos cos )'( )( )  abc A B Ccc a c b ,
(unde am notat cu
', ', 'abc lungimile laturilor
2 3 3 1,,I I I I respectiv
12II și cu a, b, c lungimile
laturilor triunghiului ABC ).
Demonstrație . Din teorema bisectoarei (Fig. 68) , rezultă
2
2,AI c
I C a de unde
2bcAIac și analog
se obține
3 .bcAIab Teorema cosinusului aplicată în triunghiul
23AI I ne dă:
2 2 2
2 3 2 3 2 3 2 cos , I I AI AI AI AI A    
sau
2 2 2 2 2 2 2
2
22'22 ( ) ( )       b c b c bc bc b c aaa c a b bc a c a b
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2[( ) ( ) ] [3 2( cos cos cos )]( ) ( ) ( ) ( )              b c a b ca b bc a c bc b c a A B Ca b a c a b a c
și de aici rezultă:
3 2( cos cos cos )'.( )( )   abc A B Caa b a c
Analog se determină și lungimile celorlalte două laturi.

3) Aria triunghiului I – pedal este egală cu
1 2 3[ ] [ ]2.( )( )( )  I I I ABCabcAAa b b c c a
Demonstrație. Din teorema bisectoarei avem:
1
1,BI c
I C b
2
2,CI a
I A c
3
3.AI b
I C a Atunci,
23[] 2 3 3 2
[] ( )( )         AI I
ABCA AI AI AI AI c b bc
A AB AC AC AB a b a b a b a c
(1), analog
13[]
[] ( )( )BI I
ABCA ac
A b a b c (2) și
21[]
[] ( )( )CI I
ABCA ab
A c a c b
(3), iar
1 2 3 2 3 1 3 2 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]   I I I ABC AI I BI I CI IA A A A A (4). Din relațiile (1), (2), (3) și (4)
rezultă
1 2 3[ ] [ ]2.( )( )( )  I I I ABCabcAAa b b c c a

Fig. 68

77

4) Triunghiul cevian
1 2 3I I I al centrului cercului înscris într -un triunghi ABC și triunghiul
antisuplementar
abcI I I și sunt ortologice .
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler”.

5) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC,
1 2 3I I I triunghiul cevian al punctului I,
'I
simetricul lui I față de latura BC,
1 1 2 3{ } ' ,{ '} .A AI BC A AI I I    Dreptele
1'AA și BC sunt
perpendiculare.
Demonstrație.

Deoarece
'AA și
1AI sunt bisectoare în triunghiurile
23AI I și ABC (Fig. 69) rezultă:
122' cos , cos .2 2 2bc A bc AAA AIa b c b c  
Din teorema bisectoarei rezultă
11AI c b c
II BI a de unde
2cos2bc AAIa
și
' ' 2 cos .2 (2 )A a b cA I AI AA bca a b c    Atunci,
11'',AA IA
AI II deci punctele
1 , , ',A I I I
sunt conjugate armonic, atunci
'A și
1I sunt picioarele bisectoarelor interioare, respectiv exterioare
ale unghiului
1A al triunghiului
1,AA I deci
1'.A A BC

6) Fie
1 2 3I I I triunghiul cevian al centrului cercului înscris (I) în triunghiul ABC,
*I simetricul
punctului I față de
*
2 3 2 3,{ } .I I D AI I I Dreptele
1ID și
23II sunt perpendiculare.
Demonstrație. Deoarece punctele
1 , ', ,A A I I sunt conjugate armonic (cf. th. 5), atunci considerând
fasciculul
1 ( ; , , ', )D A I A I rezultă că
'DA este bisectoarea interioară a unghiului
IDA și
1DI
bisectoarea exterioară a unghiului
,IDA
deci
1 '.DA DI

Fig. 69

78
2.36 Triunghiul simedian
Triunghiul
abcK K K determinat de intersecțiile simedianelor cu laturile triunghiului ABC se numește
triunghi simedian .
1) Dacă K este punctul lui Lemoine al triunghiului ABC și
abcK K K triunghiul simedian al
acestuia, atunci
22
2
aAK b c
KK a .
Demonstrație. Din teorema lui Van -Aubel rezultă:
cb
a c bAK AK AK
KK K B K C
, adică
2 2 2 2
2 2 2
aAK b c b c
KK b a a   (Fig. 70)

Observație : Prin permutări circulare se obțin relațiile:
22
2
bBK a b
KK b
și
22
2
cCK b a
KK c .

2) Aria triunghiului simedian
abcK K K este egală cu :
2 2 2
[ ] [ ] 2 2 2 2 2 22
( )( )( )abcK K K ABCabcAAa b b c c a   .
Demonstrație. Avem
22
[]
2 2 2 2
[]sin
sin ( )( )abAK K b c b c
ABCA AK AK A AK AK bc
A AB AC A AB AC a b a c         (1). Analog,
22
[]
2 2 2 2
[] ( )( )acBK K
ABCA ab
A a c b c
(2) și
22
[]
2 2 2 2
[] ( )( )abCK K
ABCA ac
A a b b c (3), iar
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]a b c b c a c a bK K K ABC AK K K BK K K CA A A A A   
(4). Din relațiile (1), (2), (3) și (4) rezultă
2 2 2
[ ] [ ] 2 2 2 2 2 22
( )( )( )abcK K K ABCabcAAa b b c c a  
.

3) Aria triunghiului simedian ABC este maximă, atunci când triunghiul ABC este echilateral .
Demonstrație.
[]abcK K KA este maximă, atunci când raportul
2 2 2
2 2 2 2 2 22
( )( )( )abc
a b b c c a   este maxim.
Utilizând inegalitatea mediilor
2xyxy pentru
,0xy obținem:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1
4 ( )( )( ) 8a b c a b c
a b b c c a a b c   
. Egalitatea se obține pentru
abc , dacă triunghiul ABC este
echilateral și
abcK K K este triunghiul median al triunghiului ABC .

A
B
C

Fig. 70

79

2.37 Triunghiuri înscrise
Triunghiul
' ' 'A B C este înscris în triunghiul ABC , dacă pe fiecare latură a triunghiului
ABC se află
câte un singur vârf al triunghiului
' ' ',( ' ( ), ' ( ), ' ( ))   A B C A BC B AC C AB

Triunghiul
' ' 'A B C înscris în triunghiul ABC are laturile paralele cu trei ceviene concurente ale
triunghiului
ABC dacă și numai dacă:
' ' '1BA CB AC
BC CA AB   sau
' ' '1.CA AB BC
BC AC AB  
Demonstrație. Fie
1 1 1,,AA BB CC cevienele concurente . Laturile triunghiului
' ' 'A B C fiind paralele cu
cevienele
', ', 'AA BB CC rezultă că sunt posibile două ordonări:
i)
1 1 1' , ' , ' B A A C C B B A A C C B         (Fig. 71)
ii)
1 1 1 ' , ' , ' B A A C C B B A A C C B         (Fig. 72).
i) Din reciproca teoremei lui Ceva rezultă
1 1 1
1 1 11 AC B A C B
A B B C C A   (1).
Notăm cu a,b,c lungimile laturilor BC, CA, respectiv AB și cu
' ' ', , , , , (0,1).   BA CB ACx y z x y zBC CA AB
Din teorema lui Thales
rezultă
1
1' 'AA AC
AB A B de unde
11'11BA axzA B A B    adică
11 az
A B x ,
deci
1
11 AC xz
A B x (2). Analog,
1
11 (3)BA xy
B C y și
1
11 (4).CB yz
C A z
Fie
1x y x t    . Din relațiile (1), (2), (3) și
(4) rezultă
2[ ( ) ( )] 0t t x y z t xy yz zx        , adică
(1 )[(1 )(1 )(1 ) ] 0.x y z x y z xyz       
Deoarece
(1 )(1 )(1 ) 0x y z xyz    
rezultă că
1 x y z   , relație
echivalentă cu
' ' '1BA CB AC
BC CA AB   . Cazul ii) se tratează analog.

2.38 Triunghiul celor trei imagini

Triunghiul
* * *A B C ale cărui vârfuri sunt obținute prin simetria vârfurilor triunghiului
ABC față
de laturile opuse se numește triunghiul celor trei imagini al triunghiului
ABC (Fig. 73).
A

B
C

Fig. 71
A
B
C

Fig. 72

80

1) Triunghiurile ABC și
* * *A B C sunt omologice centrul de omologie fiind ortocentrul
triunghiului ABC.
Demonstrație. Deoarece dreptele
**,AA BB și
*CC sunt perpendiculare pe laturile BC, CA, respectiv
AB rezultă că ele sunt concurente în ortocentrul triunghiului ABC , deci conform teoremei lui
Desargues triunghiurile ABC și
* * *A B C sunt omologice.

2) Centrul cercului circumscris triunghiului celor trei imagini
* * *A B C corespunzător unui
triunghi ABC este simetricul centrului cercului circumscris triunghiului ABC față de punctul
lui Coșniță.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Coșniță”.

3) Cercurile circumscrise triunghiurilor
* * * * * *,, AB C BC A CA B trec prin inversul punctului lui
Coșniță față de cercul circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Coșniță”.

4) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC și
* * *A B C triunghiul celor trei imagini
corespunz ător triunghiului ABC. Cercurile circumscrise triunghiurilor
AOA ,
BOB și
COC se
întâlnesc într -un punct care este inversul punctului izogonal conjugat al centrului cercului
lui Euler al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Teorema lui Musselman”.

B
C

H
Fig. 73

81
CAPITOLUL 3
CERCETAREA PEDAGOGICĂ
3.1. Elemente de cercetarea pedagogică
3.1.1. Rolul și locul cercetării pedagogice
Cercetarea reprezintă un demers ce trebuie să ajute la optimizarea și dezvoltarea fiecărui
domeniu social în pas cu exigențele și necesitățile contemporane.
Cercetarea științifică reprezintă u n demers investigativ necesar dezvoltării durabile și trebuie
demarată numai in scopul progresului spre bine a umanității
Cercetarea pedagogică a adus o contribuție importantă în dezvoltarea pedagogiei ca știință, la
descoperirea legilor educației ,funcțiilor, laturilor și conținuturilor educației și învățământului ,
precum și perfecționarea continuă a învățământului și e ducației, este un factor esențial
dinamizator al transformării revoluționare și continue a educației.

3.1.2. Tipuri de cercetare pedagogică
a) Cercetarea pedagogic – aplicată: are drept scop rezolvarea problemelor educației pe termen
relativ scurt, în co ncordanță cu reforma învățământului, asigurând restructurarea , modernizarea
și perfecționarea la nivelul standardelor societății actuale.
b) Cercetarea fundamentală : este destinată să investigheze probleme educative pe termen lung,
de perspectivă , ea con cepe și proiectează educația în viitor.

3.1.3. Programul cercetării pedagogice
O cercetare pedagogică trebuie să cuprindă următorul program:
a) Stabilirea temei (temelor) de cercetare aplicativă și fundamentală
b) Asigurarea documentării preliminare: pentru a cunoaște tot ce s -a realizat mai de valoare
în lume, un istoric a temei atât în plan teoretic cât și aplicativ în ideea de a nu cerceta
ceea ce a fost rezolvat deja.

82
c) Elaborarea ipotezei științifice și de lucru: este specifică temei (temelor) stabilite ăn
vederea cercetării. Ipoteza științifică pedagogică este o presupunere privind desfășurarea
în viitor a unui proces (fenomen) educațional, conceput și proiectat în condiții naturale
sau provocate, în scopul obținerii unor date teoretice noi, menite să du că atât la
îmbogățirea tezaurului științific al pedagogiei cât și optimizarea fenomenului educațional
studiat. Elaborare ipotezei trebuie să țină seama de respectarea unor condiții, printre care:
elaborarea ipotezei în concordanță cu realitatea de studiat, cuprinderea unei sfere mai
largi de fenomene în afara celor studiate, pentru a putea face comparații și delimitări
corespunzătoare și asigurarea vericabilității ipotezei. O ipoteză bine elaborată oferă o
anumită certitudine în reușita investigațiilor, evi tând riscurile, eșecurile. Procentul de
probabilitate a ipotezei, de risc pot fi înlăturate pe parcurs prin intervenții adecvate.
Ipoteza de lucru presupune elaborarea strategiilor de investigare – metode, mijloace și
forme de investigație, ea orientează î ntreaga activitate de investigație – demonstrarea,
ipoteza de lucru, organizarea cercetării experimentale, culegerea și prelucrarea datelor,
stabilirea concluziilor și soluțiilor.
d) Organizarea și desfășurarea activității de investigație: presupune continuar ea
documentării cât mai complexe, strâns legată de datele experimentărilor, presupune
asigurarea unității și factorului uman de cercetare – unități de învățământ cu subiecți
(elevi sau studenți), cercetători, mijloace materiale, aparatură necesară colectă rii și
analizei datelor, mijloace financiare, stabilirea concluziilor și alegerea soluțiilor optime
pe baze științifice și eficiente.

3.1.4. Izvoarele și metode de cercetare pedagogică
Izvoarele de cercetare pedagogică pot fi grupate în:
a) Materiale arheologice: inscripții , desene din peșteri, etc;
b) Folclorul cu caracter educațional: zicători, proverbe, ghicitori sau povești, etc:
c) Documente oficiale: legi, planuri de învățământ, aflate în arhivă;
d) Documente istorice generale și de istoria pedagogiei: p rivesc cultura , învățămantul
din anumite perioade, in anumite țări;
e) Presa generală și cea pedagogică: de -a lungul timpului;

83
f) Operele filozofice, etice, juridice, etc, cu referiri la educație;
g) Operele pedagogiei ale teoreticienilor și practicienilor din dom eniul cercetării
pedagogice, izvor deosebit de valoros pentru etapa de documentare;
h) Practica școlară (universitară) contemporană generalizată.

3.1.5. Metode de cercetare
Prezentăm în cele ce urmează un sistem al metodelor de cercetare care cuprinde:
a) Observația: metodă principală de investigație directă care se manifestă ca un act
sistematic de urmărire atentă a procesului instructiv -educativ, în ansamblul lui, ori
sub diversele lui laturi, aspecte , situații, fără să i se aducă vreo modificare din
partea cercetătorului. Observația are un caracter constatativ, de diagnoză, datele
obținute astfel se înregistrează fără a fi interpretate intr -un caiet special numit
jurnal de observații. Se poate folosi aparatură de înregistrare sau fotocopiere , iar
pentr u a ajunge la concluzii valabile este nevoie să se repete observația de un
anumit număr de ori pentru ca fiecare dată importantă înregistrată să fie tipică, să
aibă un caracter de repetabilitate în proces. Observația trebuie să fie cat mai
naturală, sponta nă, fără elemente perturbatoare.
b) Experimentul: Metoda experimentală este o metodă principală de investigație
pedagogică directă, ce are un profund caracter inovator, de aceea mai este
denumită și „ observație provocată”. Experimentul presupune modificare a
fenomenului pedagogic pe care îl studiem, creându -i-se acestuia condiții speciale
de apariție și desfășurare, în mod repetat, orientat și controlat. Experimentul
găsește și măsoară efectele obținute într -o situație provocată, prin introducerea
unuia sau mai multor factori determinați, el pornește de la ipoteze științifice și de
lucru anterior formulate, are ca scop optimizarea procesului pedagogic, urmărind
fie ameliorarea unor soluții instructiv educative, fie descoperirea altoar noi
calitative și mai e ficiente. Pentru evitarea elementelor perturbatoare este de
preferat ca experimentul să fie realizat sub forma unui proces natural, firesc, elevii
și profesorii să considere că așa trebuie să se desfășoare procesul instructiv
educativ. O bună cercetare îmb ină armonios condiții experimentale cu cele
naturale. Se poate folosi și experimentul de laborator, cu aparate și simulări,

84
acesta fiind mai mult un act de testare psihologică și docimologică, condițiile de
realizare în laborator fiind considerate relativ artificiale, drept urmare datele
obținute astfel se cer a fi corelate cu cele obținute din experimentul natural, la
scară reală. De remarcat este că unele cercetări de laborator sunt inevitabile pentru
a nu risca viața omului (cosmonautică, aviație, transp orturi etc) Veridicitatea
valorii și eficienței datelor pedagogice obținute prin experiment se face prin
comparare, astfel cercetarea se desfășoară în două grupe paralele de subiecți(clase
sau școli diferite): o grupă experimentală unde se introduce anumi ți factori
determinanți ce provoacă fenomenul și o grupă martor, de control unde nu este
intervenit cu niciun factor declanșator, se fac numai observații de obișnuite de
constatare. De remarcat este faptul că inițial subiecții din ambele grupe
(eșantioane) trebuie să aibă nivele de pregătire relativ egale iar prin compararea
datelor obținute la final de la cele două grupe de cercetare va confirma dacă
ipoteza experimentului a adus ameliorări reale, a adus ceva nou. Experimentul
bine făcut trebuie să își con firme valoare și eficiența superioară a grupei
experimentale față de grupa martor. Generalizarea rezultatelor se va face numai
după ce rezultatele obținute vor si verificate si pe grupe sau școli pilot.
c) Convorbirea (interviul): este o metodă de cercetare d irectă prin care se discută în
mod intenționat cu cât mai mulți subiecții și factorii educativi pentru obținerea de
date în legătură cu desfășurarea procesului instructiv -educativ. Ea se desfășoară
sub formă de dialog – interviu sau sub formă de dezbateri -discuții, se recomandă
ambele forme să nu aibă un caracter prea oficial, rigid ci unul natural, spontan și
firesc, iar relația dintre cercetător și subiecți trebuie să fie una de încredere, numai
așa se pot obține date reale nemodificate despre aspectul ed ucațional care ne
preocupă.
d) Ancheta (testarea sau chestionarul) : Ancheta este o metodă directă de cercetare în
formă scrisă dintre cercetător și subiecți cu ajutorul unui formular ce cuprind
întrebări denumite itemii cu privire la o anumită temă, chestion arul putând fi
multiplicat ancheta poate testa un număr mare de subiecți într -un timp scurt.
Testul se completează individual de către subiecți, fie acasă , fie sub
supravegherea cercetătorului. Există baterii de teste cum ar fi: teste de interese de

85
aptitudini, teste de sondaj de opinie ,teste de cunoștințe teoretice -docimologice,
teste sociometrice și teste mixte. Răspunsurile la teste pot fi construite, binare –
da sau nu și la alegere – tip grilă. Evitarea subiectivității intervievatului se va face
în mo d natural, obișnuit: De exemplu: nu vom întreba dacă au citit literatură din
perioada interbelică ,cu vom putea organiza un concurs cultural -distractiv, dotat
cu premii în care vom cere să se enumere sau să se scrie numele scriitorilor citiți
precum și ope rele acestora, descrierea pe scurt a acțiunii sau denumirea eroilor
principali, descrierea personalități cestora, etc. În ceea ce privește câteva condiții
ale chestionarelor putem enumera: să nu aibă întrebări vagi, echivoce, să nu
sugereze răspunsul inte rvievatului , să nu fie prea complexe, să nu aibă itemi prea
mulți (50 -80), să ceară răspunsuri scurte. Se recomandă sa se cuprindă un număr
cat mai mare de subiecți, care să dea răspunsurile independent în vederea
diminuării coeficientului de subiectivita te. Testele pot fi însoțite de baremuri
(punctaje) de evaluare pentru fiecare item, astfel încât evaluarea să fie relativ
constantă ,egală și cat mai obiectivă pentru fiecare subiect.
Testele trebuie să aibă două calități principale : fidelitatea (const anță ) care
măsoară aceleași aptitudini, sau calități ori de cate ori sunt aplicate și validitatea
(valabilitatea) , care menține aceeași valoare a aptitudinii sau capacității când se
repetă în aceleași condiții asemănătoare. Rezultatele anchetei (testării)t rebuie
corelate cu rezultatele abținute prin metode diferite de investigație.
e) Studiul documentelor școlare : este o metodă de investigare indirectă prin faptul
că datele obținute nu sunt colectate direct de la subiecți sau direct din procesul
educațional, c i dintr -o serie de documente școlare, care reflectă în scris conținutul
educației, procesul desfășurat sau rezultatele muncii tineretului studios și a
factorilor educativi. Asemenea documente ce pot oferii date pentru analiză sunt:
planurile de învățământ, programele și manualele școlare, planurile de muncă a
factorilor educativi, consiliul profesoral, senat, catedre, organizații de tineret,
cataloagele de note, tezele, notițele , proiectele elevilor (studenților) , produsele
materiale din expoziții, contra cte de cercetare etc. realizate de elevi , studenți și
cadre didactice.

86
f) Metoda bibliografică sau studiul bibliografiei de specialitate : este o metodă
indirectă de obținere a datelor referitoare la gândirea pedagogică din trecut și cea
actuală, relatată de viața și operele marilor pedagogi clasici dar și a celor
contemporani sau în presa pedagogică. Aceasta constituie în esență ceea ce
numim documentarea, modalitate care ne informează, ne pregătește pentru
cercetare evitând astfel să pornim de pe un loc gol , sau de a face o cercetare a
unui fapt ce de mult era rezolvat, chiar dacă numai parțial. Se cere o analiză
critică științifică în documentare, o tehnică științifică de studiu cu cartea (bănci de
date, fișe etc.).
g) Metoda monografică : Prin metoda de cercet area monografică se înțelege o cale
indirectă, o metodă sociopedagogică ce analizează fenomenul educațional intr -un
anumit spațiu social cu o pondere pedagogică mai mică sau mai mare: Spațiul
social poate fi: o școala, un institutul, un sat, o comună, un o raș. Analiza
pedagogică se face în corelație cu celelalte fenomene sociale, economic, tehnic,
socio -științific. Monografiile și anuarele studiate servesc planificării și dezvoltării
școlare și realizării altor obiective ale politicii cultural -educative în pas cu
dezvoltarea economico -socială.
h) Metoda istorică : Este o modalitate de cercetare pedagogică indirectă, de operare
cu ajutorul documentelor pedagogice istorice, apărute în timp (documentele de
arhivă, scrisori, inscripții, picturi didactice, diferite obiecte didactice, realizări ale
culturii materiale și spirituale, etc.) care pot oferii informații prețioase despre
educație și învățământ, fie în mod direct, fie prin extrapolare. Pe această cale s -a
putut aprecia că școala pe teritoriul țării noastre ar e o istorie de peste două milenii
și că nivelul ei de dezvoltare era același ca al școlilor din țările Europei. Evident
este faptul necesitatea de verificare a autenticității datelor și de analiza în spirit
critic, științific și nu de exaltare.
i) Metoda „bra instorming” -ului și „studiului de cazʺ : această metodă rezultă din
studiul metodelor de învățământ.
j) Statistica matematică : reprezintă o metodă auxiliară, indirectă ce permite
măsurarea, modelarea și cuantificarea din punct de vedere matematic a unor date
pedagogice. Ea evidențiază – variația, frecvența apariției (repetării), nivelului

87
înregistrat în cadrul fenomenului instructiv –educativ, materializat printr -o serie
de materiale cantitative cum ar fi : tabele numerice, medii, procente, diagrame r,
curbe de distribuție etc. și chiar formule matematice,(modele) logico -matematice,
informatice, etc. Cuantificarea matematică poate avea valoare și operativitate
pedagogică numai dacă este însoțită și de analiza calitativă a fenomenului
pedagogic, adică numai dacă p relucrarea datelor și stabilirea concluziilor
pedagogice sunt corelate cu rezultatele și concluziile obținute prin celelalte
metode de cercetare pedagogică. Scopul analizei și interpretării calitative a datelor
este acela de a elimina erorile. De altfel, m etodele de cercetare pedagogică au
valoare științifică și eficacitate educațională numai dacă sunt privite ca acționând
în intercondiționare, ca alcătuind un sistem unitar.

3.1.6. Cerințele unei cercetări obiective și eficiente
Printre cerințele pe ca re trebuie să le îndeplinească o cercetară eficiente și obiectivă amintim:
– înregistrarea fidelă a datelor (fotografierea lor) folosind o aparatură corespunzătoare;
– investigarea unui număr suficient de cazuri, care să se justifice statistic,
– asigurarea cadrului natural al situațiilor pedagogice de investigare pe baza cărora se culeg
datele;
– folosirea îmbinată a datelor din izvoarele directe cât și a izvoarelor indirecte;
– Folosirea metodelor de investigație cu caracter cantitativ și calitati;
– Să se acorde în final o pondere generoasă analizei, prelucrării , interpretării și formulării
concluziilor fenomenului educațional.
– Înainte de stabilirea concluziilor finale să se reia acțiunea de prelucrare și de interpretare
a datelor, acest fapt oferind posi bilitate de formulare a unor concluzii eronate, neadecvate
sau incomplete;
– Folosirea unor mijloace tehnice moderne , îndeosebi informatice și valorificarea
rezultatelor cercetării în lucrări scrise (cărți, tratate, reviste de specialitate etc), filme,
benz i magnetice și casete.
Valoarea și eficiența soluțiilor pedagogice teoretico -aplicative noi, stabilite în baza
cercetări, sunt asigurate și de folosirea în interacțiune a metodelor de cercetare, cu

88
respectarea condițiilor prezentate. Numai în acest mod se poate contribui la
modernizarea și perfecționarea educației și învățământului, la dezvoltarea către o treaptă
calitativ superioară a statutului de știință a pedagogiei.

3.2. APLICAREA CERCETĂRII PEDAGOGICE

3.2.1. Delimitarea problemei de cercetat
a) Se sizarea apariției problemei de cercetat
Experiența de predare a matematicii la clasele a ix -a de liceu, profil tehnologic mi -a arătat că
marea majoritate a elevilor întâmpină o dificultate în înțelegerea noțiunilor de geometrie și în
deosebi în rezolvare a problemelor propuse ca temă pentru acasă ceea ce duce inevitabil la
scăderea performanței școlare.
b) Formularea problemei
Pentru ca dobândirea cunoștințelor de geometrie să fie realizată cu succes de către fiecare elevi
trebuie avut în vedere metodele d e predare utilizate de către cadrul didactic, modul în care acesta
reușește să organizeze colectivele de elevi, să conducă întreaga activitate prin aplicarea unei
bune strategii didactice menite să activeze interesul partenerului său – elevul .
c) Documenta rea în domeniu
Sursele de documentare studiate și contextul tehnologizării învățământului mă conduc la ipoteza
ca modul de prezentare a noțiunilor de geometrie la clasă poate avea un impact pozitiv în
achiziționarea de cunoștințe precum și operaționalizar ea acestora de către fiecare elev.

3.2.2 Obiectivele cercetării
a) De ce se realizează cercetarea?
Deoarece mi -am propus să studiez aportul utilizării noilor tehnologii în activarea colectivelor de
elevi, am organizat o cercetare experimentală. Experimen tul își propune să determine cantitativ,

89
prin măsurarea fenomenului investigat, oferind posibilitatea de evidențiere obiectivă a eficienței
tehnologiei didactice supuse experimentării.
b) Ce își propune cercetarea?
În cercetarea pedagogică propusă doresc s ă folosesc mijloace moderne de prezentare a materiei
la clasă pentru a dovedi eficiența acestor în procesul de achiziție a noilor cunoștințe și a creșterii
performanței școlare a elevilor.

3.2.3. Formularea ipotezei de cercetat
În cadrul cercetării între prinse am pornit de la următoarea ipoteză specifică:
”Dacă folosim metode moderne/tehnologia calculatorului in predarea geometriei triunghiului
atunci randamentul școlar al elevilor va crește.”
3.2.4 Organizarea cercetării
a) Perioada de cercetare/Metodica cercetării
i) Etapa constatativă: (28 Octombrie -01 Noiembrie 2019) este etapa în care am aplicat un test de
evaluare inițială având ca obiectiv principal depistarea lacunelor avute de către elevi la geometrie
și reprezintă punctul de pl ecare în realizarea demersului experimental.
ii) Etapa ameliorativă:(04 -Noiembrie -13 Decembrie 2019) Această etapă a constat în
introducerea factorului de progres respectiv folosirea mijloacelor tehnologice moderne/a
calculatorului în realizarea activități i didactice cu scopul de a activa participanții la lecțiile de
geometrie și la creșterea randamentul școlar al elevilor.
iii) Etapa finală: (16 -20 Decembrie 2019) etapă în care am reaplicat testul prin care s -a urmărit
atât evoluția elevilor sub raportul c unoștințelor acumulate, deprinderilor formate cât si al
capacității cognitive.
b) Locul cercetării: sala de clasă
c) Delimitarea eșantionului de elevi: clasa a IX -a A
d) Stabilirea grupului sau claselor experimentale: clasa a IX -a A

90
e) Caracterizarea subie cților: Cercetarea pe care am inițiat -o este de tip constatativ -formativă și a
urmărit rezultatele obținute de către elevii clasei a IX -a A al Liceului Tehnologic „Jacques M.
Eliasʺ Sascut în decursul semestrului I al anului școlar 2019/2020.
Colecti vul de elevi este omogen ca vârstă – 15-16 ani, având distribuția pe sexe astfel:
i) băieți: 6
ii) fete:12
-Din perspectiva provenienței social – profesională putem spune că acești elevi provin din
mediul rural, cu familii modeste ca și condiții materiale, cu p ărinți muncitori, în mare parte
absolvenți de studii gimnaziale și medii dar care manifestă un deosebit interes pentru educarea
copiilor menținând în permanență un contact cu școala prin faptul că răspund solicitărilor tuturor
cadrelor didactice în ceea ce privește procesul instructiv -educativ.
f) Disciplina de învățământ vizată în cercetare: matematică
g) baza materială necesară cercetării
– materiale : sala de clasă, tablă, cretă topuri de hârtie, markere și coli de flip -chart, prezentări
Power Point;
– aparatură: laptop, proiector;
-cheltuieli: nesemnificative ca și cost financiar;
h) colaboratori implicați : informaticianul unității de învățământ

3.2.5 Metodele de cercetare
Etimologia cuvântului „metodăʺ derivă din grecescului methodos și a re înțelesul de „drum,
caleʺ. În didactică, metoda se referă la calea ce se urmează spre a ajunge la atingerea obiectivelor
educaționale, reprezintă o cale pe care profesorul o urmează pentru a da posibilitatea elevilor săi
să găsească și singuri calea de urmat în procesul învățării. Sintetizând opiniile marilor pedagogi
putem afirma că metodele de învățământ reprezintă calea sau modalitatea de lucru cu
următoarele accepțiuni:

91
a) metoda este selecționată de către cadrul didactic și pusă în aplicare în cadrul lecțiilor
sau a activităților extrașcolare cu ajutorul elevilor și în beneficiul acestora;
b) metoda aleasă presupune în toate cazurile cooperarea dintre profesor și elevi și
participarea acestora la găsirea soluțiilor problemei la distingerea adevărului de
eroare,
c) se folosește sub forma unor variante sau procedee selecționate, combinate și utilizate
în funcție de nivelul de înțelegere sau interesele a elevilor cu scopul asimilării
temeinice a cunoștințelor, a trăirii valorilor, a stimulării spiritului creati v, etc,
utilizarea metodelor nu vizează numai asimilarea cunoștințelor;
d) metoda/metodele utilizate în demersul educativ îi permite profesorului să se manifeste
ca fiind un purtător competent al conținutului învățământului și ca organizator al
procesului de predare -învățare, iar în cursul derulării acestor procese el poate juca
rolul de animator, ghid evaluator, predarea fiind o ipostază a învățării.
În alegerea adecvată a metodei profesorul va trebui să țină seama de factorii obiectivi ce țin
de natura finalității, de logica internă a științei, de legile fenomenului învățării și de factorii
subiectivi determinați de contextul social al aplicării ei, de personalitate profesorului, de
psihologia elevilor clasei.
Pentru realizarea obiectivului cercetări i pedagogice am folosit ca instrument testul și
următoarele metode de cercetare: observația, analiza produselor activității elevilor, metode
statistice.

3.2.6 Instrumentul de colectarea a datelor
Pentru realizarea achizițiilor de date privind nivelului de cunoștințe precum și depistarea
eventualelor lacune la geometrie a elevilor clasei a IX -a a fost necesar în activitatea
experimentală să întocmesc și să propun spre rezolvare următorul te st de evaluare în care am
respectat tipologia itemi lor și anume am ales ca aceștia să fie :item cu alegere multiplă , item de
asociere și item de rezolvare de probleme:

92
Test

Se acordă 10 puncte din oficiu
1. Triunghiul ABC are coordonatele vârfurilor astfel: A( 2;4), B( -2;-2) respectiv C(4;1).
Centrul de greutate al triunghiului ABC are coordonatele:
a) G(4; 3,5) b) G(1; 1) c) G(4
3; 1) d) G(2; 1)
2. Realizați corect corespondența între noțiunile din coloana A și enunțurile din coloana B:
A. 1) Mediana B. a) Intersecția bisectoarelor
2) Centrul de greutate al triunghiului b) Simetrica medianei față de
bisectoare
3) Centrul cercului înscris triunghiului c) Centrul cercului circumscris
triunghiului
4) Ortocentrul triunghiului d) unește vârful cu mijlocul
laturii opuse
5) Simed iană e) Intersecția medianelor
6) Intersecția mediatoarelor f) Punctul de intersecție al
înălțimilor
3. Se consideră punctele A(2; 3), B( -1; 1) și C(2; -1). Calculați :
a. Perimetrul triunghiului
b. Aria triunghiului
4. Se consideră triunghiul ABC și punctul 𝑀∈[𝐵𝐶] astfel încâ t 𝐵𝑀
𝑀𝐶=1
2. Demonstrați că:
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2
3𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ;
Punctaj: 1. 10 p; 2. 5p*6=30p; 3. a. 20p, b. 10p; 4. 20p

93
Test – Barem de notare și evaluare
Se acordă 10 puncte din oficiu:
1. Răspuns corect c) 10 puncte
2. 1. d) 5 puncte
2. e) 5 puncte
3. a) 5 puncte
4. f) 5 puncte
5. b) 5 puncte
6. c) 5 puncte
3. a) AB=5 5 puncte
BC=3 5 puncte
AC=4 5 puncte
𝑃∆𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶=5+4+3=12 cm 5 puncte
b) Scrierea formulei pentru aria triunghiului 5 puncte
Argumentarea faptului că triunghiul A BC este dreptunghic în C 2 puncte
Finalizare 𝑆∆𝐴𝐵𝐶=6𝑐𝑚2 3 punc te
4. Desenarea corectă a figurii 5 puncte
Scrierea relațiilor vectoriale în triunghiurile ABM respectiv ACM
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4 puncte
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4 puncte
Înmulțirea cu 2 a relației 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 puncte
Adunarea relațiilor vectoriale 3 puncte
Finalizare 2 puncte

94
CAPITOLUL 4
INTERPRETAREA ȘI ANALIZA CERCETĂRII PEDAGOGICE
4.1 Colectarea și interpretarea datelor obținute în urma aplicării testului inițial
Tabel cu rezultate obținute de elevii clasei a IX -a A la testarea inițială
Nr.
crt
. Numel
e
elevulu
i Item
ul 1
Itemul 2 Itemul 3 Ite
mu
l 4 Ofic
iu Nota
obțin
ută
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.a) 3.b)
10 5 5 5 5 5 5 20 10 20 10
1 A. A.
R. 0 5 5 0 0 5 5 15 5 13 10 6,30
2 A. A.
Ș. 10 5 5 5 5 5 5 20 10 15 10 9,50
3 B. A.
M. 0 5 5 5 0 0 0 10 5 5 10 4,50
4 B. C. 10 5 5 5 5 0 0 20 10 8 10 7,80
5 B. A.
E. 10 5 5 5 5 5 5 10 0 13 10 7,30
6 C. M. I. 0 5 0 0 0 0 5 10 5 7 10 4,20
7 C. T. C. 10 5 5 5 5 5 5 15 0 5 10 7,00
8 D. M. 0 5 5 0 0 0 0 20 7 5 10 5,20
9 G. E.
M. 10 5 5 5 5 5 5 10 0 3 10 6,30
10 G. D. I. 0 5 5 5 0 0 5 10 7 8 10 5,50
11 I. A. M. 0 5 0 5 0 5 0 20 5 5 10 5,50
12 N. O.
A. 10 5 5 0 0 0 0 3 5 13 10 5,10

95
13 P. C. P. 10 5 5 5 5 5 5 20 5 4 10 7,90
14 P. A. Ș. 10 5 0 0 0 0 5 20 7 4 10 6,10
15 P. S. A. 0 5 0 5 0 0 0 15 5 13 10 5,30
16 R. R. 0 5 0 0 0 0 5 10 8 9 10 4,70
17 Ș. A. F. 10 5 5 5 0 0 0 20 8 5 10 6,80
18 Z. A.
M. 10 5 5 5 5 5 5 20 10 18 10 9,80

Media clasei la testul inițial este :
𝑀𝑡=6,37
Rezultate obținute de către elevi în urma aplicării testului inițial – pe itemi:
Număr item Item
1 Item
2.1 Item
2.2 Item
2.3 Item
2.4 Item
2.5 Item
2.6 Item
3.a) Item
3.b) Item
4
Punctaj
maxim /item 180 90 90 90 90 90 90 360 180 360
Total puncte
realizate/item 110 90 65 60 35 40 55 268 102 153
Procentaj
realizare/item
(%)
61,11
100
72,22
66,66
38,88
44,44
61,11
74,44
56,66
62,5

Sintetizând aceste date am obținut următoarele rezultate la proba de evaluare inițială:
Notă între Număr elevi
1-1,99 0
2-2,99 0
3-3,99 0

96
4-4,99 3
5-5,99 5
6-6,99 4
7-7,99 4
8-8,99 0
9-9,99 2
Notă de 10 0

Histograma nr.1 a rezultatelor obținute la testul inițial:
0123456
1-1,99 2-2,99 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 Notă de
10Număr de eleviTitlu axă
NotaRezultate testare inițială

97
Diagrama areolară nr.1 a procentelor realizate de către elevi la testul inițial:

Poligonul frecvențelor nr.1 a rezultatelor testului inițial:

Analizând datele consemnate în tabelul analitic de la testul inițial se constată că:
– din cei 18 elevi cuprinși in experiment 11 au reușit să aplice și să rezolve corect itemul în
care li s -a cerut să determine centrul de greutate al unui triunghi căruia i se cunosc
coordonatele vârfurilor în plan;
– toți elevii cunosc noțiunea de mediană în triunghi; 0 00
16,66
27,77
22,2222,220
11,110Notă %
1-1,99 2-2,99 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 Notă de 10
0123456
1-1,99 2-2,99 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 Notă de
10Număr de eleviaxă
NotaPoligonul frecvențelor

98
– 13 elevi știu ce este centrul de greutate al unui triunghi:
– 7 elevi cunosc ce este ortocentrul triunghiului;
– 8 elevi au reușit să determine perimetrul unui triun ghi cunoscând coordonatele vârfurilor
sale și numai 3 dintre ei au determinat și aria triunghiului;
– 5 elevi știu ce este simediana;
– nici un elev nu a reușit să rezolve problema cu vectori propusă integral.
Se poate concluziona că elevii au reușit în m are parte să rezolve testul propus puțin peste
jumătate din cerințele acestuia și că au lacune în ceea ce privește liniile importante în triunghi
precum și rolul acestora, mulți nu stăpânesc formula de calcul a distanței dintre două puncte
în plan.
Acest lucru m -a făcut să apelez la metodele moderne de prezentare a materiei cu scopul
principal de a -l transforma pe elev într -un subiect activ la propria formare prin facilitarea
înțelegerii noțiunilor predate.

4.2 Colectarea și interpretarea datelor obț inute în urma aplicării testului final
Tabel cu rezultate obținute de elevii clasei a IX -a A la testarea finală
Nr.
crt
. Numel
e
elevulu
i Item
ul 1
Itemul 2 Itemul 3 Ite
mu
l 4 Ofic
iu Nota
obțin
ută
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.a) 3.b)
10 5 5 5 5 5 5 20 10 20 10

1 A. A.
R. 10 5 5 5 0 0 0 20 10 13 10 7,80
2 A. A. Ș. 10 5 5 5 5 5 5 20 10 20 10 10
3 B. A.
M. 0 5 5 0 5 0 5 15 10 13 10 6,80

99
4 B. C. 10 5 5 0 5 0 5 15 10 15 10 8
5 B. A. E. 10 5 5 0 5 5 0 15 9 5 10 6,90
6 C. M. I. 10 5 5 0 5 0 5 10 10 10 10 7
7 C. T. C. 10 5 5 5 5 5 5 15 7 13 10 8,5
8 D. M. 10 5 5 0 0 5 0 15 10 9 10 6,90
9 G. E.
M. 0 5 5 5 0 5 0 15 10 9 10 6,40
10 G. D. I. 10 5 5 0 5 0 5 12 10 15 10 7,70
11 I. A. M. 0 5 0 5 5 5 0 15 7 13 10 6,5
12 N. O.
A. 10 5 5 0 0 5 5 10 9 13 10 7,20
13 P. C. P. 10 5 5 5 5 0 0 15 10 18 10 8,30
14 P. A. Ș. 10 5 5 5 0 5 0 20 10 13 10 8,30
15 P. S. A. 0 5 5 5 0 0 5 15 10 13 10 6,8
16 R. R. 10 5 5 0 0 0 5 10 8 5 10 5,8
17 Ș. A. F. 0 5 5 5 0 5 0 12 8 9 10 5,90
18 Z. A.
M. 10 5 5 5 5 5 5 20 10 15 10 9,5

Mesia clasei în urma rezultatelor obținute la testul final este:
𝑴𝑻𝑭=𝟕,𝟒𝟔
Rezultate obținute de către elevi în urma aplicării testului final – pe itemi:
Număr item Item
1 Item
2.1 Item
2.2 Item
2.3 Item
2.4 Item
2.5 Item
2.6 Item
3.a) Item
3.b) Item
4
Punctaj
maxim /item 180 90 90 90 90 90 90 360 180 360

100
Total puncte
realizate/item 130 90 85 50 50 50 55 269 168 221
Procentaj
realizare/item
(%)
72,22
100
94,44
55,55
55,55
55,55
61,11
74,72
93,33
61,38

Sintetizând aceste date am obținut următoarele rezultate la proba de evaluare finală:
Notă între Număr elevi
1-1,99 0
2-2,99 0
3-3,99 0
4-4,99 0
5-5,99 2
6-6,99 6
7-7,99 4
8-8,99 4
9-9,99 1
Notă de 10 1

101
Histograma nr.2 a rezultatelor obținute la testul final:

Diagrama areolară nr.2 a procentelor realizate de către elevi la testul final:
01234567
1-1,99 2-2,99 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 Notă de
10Număr de elevi
Note întreRezultate obținute la testarea finală
0%
0%
0%
0%
11%
33%
22%
22%
6%
6%Note exprimate în procente
1-1,99
2-2,99
3-3,99
4-4,99
5-5,99
6-6,99
7-7,99
8-8,99
9-9,99
Notă de 10

102
Poligonul frecvențelor nr.2 a rezultatelor testului final:

Analizând datele consemnate în tabelul analitic de la testarea finală s e constată că:
– din cei 18 elevi cuprinși in experiment 13 dintre ei au reușit să aplice și să rezolve corect
itemul în care li s -a cerut să determine centrul de greutate al unui triunghi căruia i se
cunosc coordonatele vârfurilor în plan;
– toți elevii cunosc noțiunea de mediană în triunghi;
– 17 elevi știu ce este centrul de greutate al unui triunghi:
– 10 elevi știu ce este ortocentrul triunghiului, simediana și centrul cercului circumscris ;
– 8 elevi au reușit să determine perimetrul unui triunghi cunoscân d coordonatele vârfurilor
sale și numai 3 dintre ei au determinat și aria triunghiului;
– un elev a reușit să rezolve integral problema cu vectori propusă.
Se poate concluziona că nu s -au mai înregistrat note sub 5 iar in medie numărul elevilor
care au reușit să obțină note de 7 și 8 au crescut dar și înregistrarea unei note de 10.
Aceste constatări duc la concluzia că metoda aleasă este una eficientă capabilă de
îmbunătățirea randamentului școlar al elevilor.
01234567
1-1,99 2-2,99 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 Notă de
10Număr de elevi
Nota întrePoligonul frecvențelor

103
4.3 Prezentarea comparativă a rezulta telor și concluziile cercetării
În această etapa prezentam progresul școlar al elevilor prin compararea rezultatelor finale cu
cele inițiale cu ajutorul metodei statistice astfel:
Tabel de sinteză a rezultatelor obținute la teste:
Rezultate test iniț ial Rezultate test final
Notă între Număr elevi Procentul
– % Notă între Număr
elevi Procentul
– %
1-1,99 0 0 1-1,99 0 0
2-2,99 0 0 2-2,99 0 0
3-3,99 0 0 3-3,99 0 0
4-4,99 3 16,66 4-4,99 0 0
5-5,99 5 27,77 5-5,99 2 11,11
6-6,99 4 22,22 6-6,99 6 33,33
7-7,99 4 22,22 7-7,99 4 22,22
8-8,99 0 0 8-8,99 4 22,22
9-9,99 2 11,11 9-9,99 1 5,5
Notă de 10 0 0 Notă de 10 1 5,5

104
Histograma nr. 3 a rezultatelor comparative dintre testarea inițială și testarea finală

Histograma nr.4 a rezultatelor comparative dintre testări exprimate în procente (%).
1-1,99 2-2,99 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99Notă de
10
Test inițial 0 0 0 3 5 4 4 0 2 0
Test final 0 0 0 0 2 6 4 4 1 10 0 035
4 4
02
0 0 0 0 026
4 4
1 1
01234567Număr de elevi
Note întreRezultate comparative
Test inițial Test final
1-1,99 2-2,99 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99Notă
de 10
Test inițial 0 0 0 16,66 27,77 22,22 22,22 0 11,11 0
Test final 0 0 0 0 11,11 33,33 22,22 22,22 5,55 5,550 0 016,6627,77
22,22 22,22
011,11
0 0 0 0 011,1133,33
22,22 22,22
5,55 5,55
05101520253035Procentaj %
Note întreReprezentare comparativă
Test inițial Test final

105
Poligonul frecvențelor nr. 3 a reprezentării comparative a rezultatelor obținute la testarea
inițială și la testarea finală.

Prin introducerea în cadrul orelor de geometrie a mij loacelor tehnice moderne se constată că
interesul elevilor față de activitatea desfășurată și gradul de asimilare a noțiunilor prezentate
crește.
Evoluția rezultatelor de la testarea finală în raport cu cele de la testarea inițială este
evidențiată pr in:
– Dispariția notelor sub 5 și scăderea cu un procent de 6% a notelor cuprinse între 5 și 6;
– Creșterea cu 11% a notelor cuprinse între 6 și 7;
– Apariția unei note de 10 ce reprezintă 5,5% din numărul de elevi supuși experimentului;
– Creșterea mediei clasei cu 1,09 puncte de la 6,37 la 7,46;
– Din poligonul frecvențelor nr. 3 se observă o deplasare pre dreapta a curbei ce reprezintă
rezultatele de la testarea finală față de curba reprezentativă a rezultatelor testării inițiale
ceea ce confirmă ipoteza cercetări i;
– tehnologia modernă poate fi utilizată combinat cu celelalte metode în procesul de
predare -învățare.

0 0 035
4 4
02
0 0 0 0 026
4 4
1 1
01234567
1-1,99 2-2,99 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 Notă de
10Număr de elevi
Note întreReprezentare comparativă
Test inițial test final

106
Anexă
Proiect de technologie didactică
Clasa : a IX -a
Disciplina : Matematică
Profesor : Ungureanu Adrian
Școala: Liceul tehnologic „Jacques M. Eliasʺ Sascut
Unitatea de învățare: Funcția de gradul al II -lea
Tema : Poziționarea parabolei față de axa Ox
Tipul lecției: de dobândire de noi cunoștințe
Competente specifice:
1. Recunoașterea coresponden ței dintre seturi de date și reprezent ări grafice
2. Reprezentarea grafic ă a unor date diverse în vederea compar ării varia ției lor
3. Utilizarea lecturii grafice pentru rezolvarea unor ecua ții, inecua ții și sisteme de ecua ții
4 Exprimarea prin reprezent ări grafice a unor condi ții algebrice; exprimarea pr in condi ții
algebrice unor reprezent ări grafice
5. Interpretarea unei configura ții din perspective pozi țiilor relative ale unor drepte
6. Utilizarea lecturilor grafice în vederea optimiz ării rezolv ării unor probleme practice
Competențe operaționale:
la sfârșitul orei elevii vor fi capabili:
A. Cognitive :
OC1. să scrie coordonatele vârfului parabolei asociate funcției de gradul al II -lea;
OC2. să discute în funcție de a și  forma graficului funcției și intersecțiile acestuia cu
axele;

107
OC3. să stabilească minimul și maximul unei funcții de gradul al II -lea cu ajutorul
interpretării graficului.
OC4. să identifice corect semnul funcției de gradul al lI – lea
OC5 să emită soluții corecte a diferite exerciții cu funcții de gradul II intr -un timp scurt.
B: Psiho -motorii:
OP1. Să manifeste interes pentru lecție.
OP2. Să scrie lizibil pe caiete și la tablă.
C: Afective:
OA1. Să participe activ la lecție.
OA2. Să -își dezvolte interesul pentru studiul matematicii.
Metode și procedee didactic e:
M1. conversația euristică
M2. exercițiul
M3. descoperirea dirijată
M4. Metoda – Știu /Vreau să știu / Am învățat
M5 metoda – Turul galeriei
M6 metoda ciorchinelui

Mijloace de învățământ:
m1. fișe de lucru
m2. tablă cretă și caietele elevilor
m3. postere și markere de culori diferite
m4. calculator și retroproiector – prezentare Power Point

108
m5. fișă de sinteză a lecției cu poziționarea parabolei fată de axa Ox.

Forme de organizare:
F1. frontală
F2. individuală
F3 . pe grupe a 4 -5 elevi
Resurse:
Umane. clasa de elevi
Temporale . 50 minute
Bibliografie
i. oficiale
– programa școlară pentru disciplina matematică din 2009
ii. științifice
– manual de matematică pentru clasa a IX -a D. Brânzei, G. Caba E.D.P. Buc 1999
– manual pentru casa a I X-a, M. Burtea Ed. Carminis ,Pitești 2004
iii. didactice
– Metodica predării matematicii ,Ghe. Neagu ed. Plumb Bacău 2002
– Carte pentru tinerii profesori de matematică și nu numai… , V. Popa , Ed Egal , Bacău
2004
– Didactica matematicii, F. Cârjan Ed. Corint 20 07.
O scurtă descriere a desfășurării lecției :
In realizarea acestei lecții voi parcurge următorul scenariu didactic: Elevii sunt împărțiți in 4
grupe a câte 4 – 5 membrii fiecare. Fiecare grupă va primii o fișă denumită – Știu/ Vreau să știu/
Am în vățat pe care vor completa inițial primele două coloane, ultima coloana fiind lăsată spre
finalul orei. Vor primi fișe de lucru in care se află 2 exerciții .Sarcinile vor fi împărțite între
membrii grupului astfel încât fiecare sa participe activ si să e xiste cooperare . Odată ce fișele

109
sunt rezolvate de fiecare grupă, ideile principale si schemele graficelor funcțiilor vor fi
reprezentate pe foi de Filip chart cu markere de diferite culori de către un reprezentant al grupei
(se aplică metoda turul gale riei). După ce fiecare reprezentant pune pe poster ideile principale
legate de poziționarea parabolei față de axa Ox după cum a și ∆ sunt mai mici/ mai mari. egale
cu zero , prin metoda ciorchinelui sunt sintetizate de unul dintre elevi/ profesor la t ablă și notată
in caiete. Ca temă pentru acasă se propune schimbul de fișe intre grupe și ofer acestora câte o
foaie cu reprezentarea grafică a funcției de gradul al II -lea.

110
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
1 2 3 4 5
Secvențele
lecției Obiective Activitatea profesorului Activitatea elevilor Metode și
procedee/mijloace
/forme de
organizare
1.Moment
organizatoric.
Pregătirea
clasei pentru
lecție – verifica prezenta, verifică dacă este cretă
burete și cere elevilor să -și pregătească
materialele necesare desfășurării lecției în
condiții optime.
– formarea grupelor de elevi
– verifică efectuarea temei de către elevi.
Elevii își pregătesc manualele, caietele și
instrumentele de scris.
Se așază in grupe de 4 -5 el3vi
Elevi i menționează dacă au avut
dificultăți în efectuarea temei.
M1

2min
2.Captarea
atenției și
verificarea
cunoștințelor
predate
anterior O1
O2
O3
O4
-sunt împărțite fișele – Știu /Vreau să știu / Am
învățat
Profesorul verifică următoarele noțiuni:
– coordonatele vârfului parabolei; .
– primenesc fișele
– se gândesc și completează primele
două coloane din fișă. M1,M4

m 1

f1

111
– reprezentarea grafică a funcției de gradul al II –
lea;
– semnul funcției de gradul al II -lea;
– minimul și maximul funcției de gradul al II -lea;
– împarte fișele de lucru la cele 4 grupe formate
– monotonia funcției
Comple tează primele două coloane din fisa Știu
/Vreau să știu / Am învățat

3min
3.Anunțarea
lecției noi și a
obiectivelor
urmărite Lecția de astăzi se numește “Funcția de gradul al II –
lea: Poziționarea parabolei față de axa Ox” și are ca
scop principal însușirea unui algoritm de studiu al
poziționării graficului funcției de gradul II. Elevii ascultă și notează titlul lecției în
caiete. M1, m2, m4
F1

2min
4.Prezentarea
conținutului
nou si
dirijarea
învățării O1
O1
O2
O3 – oferă fișele de lucru spre rezolvare
– dă explicațiile necesare rezolvării fișelor de lucru
pe grupe ,
– asistă cu atenție grupele de lucru, stabilind cu
fiecare pașii necesari rezolvării fișei – sunt atenți la explicațiile primite.
– rezolva individual și in grup fișa de
lucru
– transcriu pe caiete rezolvările facute M1,m1, f3
M2
M3
M5

112

O4
O5 – invită la tablă câte un reprezentant al grupelor
pentru a prezenta idele principale rezultate după
rezolvarea fișei de lucru.
-sunt atenți la prezentările făcute de
colegi
m 1
m 3

f1,f2,

30min
5. Fixarea și
sistematizarea
învățării C2 – realizează la tablă o schemă logică a algoritmului
de determinare a poziției parabolei față de axa Ox
in funcție de valorile lui a și ∆ comparate cu 0.
-prezentare diapozitiv Power Point -elevii sunt atenți.
-notează schema in caiete M3,M5, M6
m2,m3
F1, F2

9min
5.Aprecierea
elevilor si
evaluarea
cunoștințelor – face aprecieri verbale asupra m odului de
desfășurare a lecției și scoate in evidență elevii care
au dat răspunsuri deosebite
-ascultă pe profesor M1

113
2min
6.Incheierea
lecției Propune ca temă rezolvarea prin rotație a fișelor de
la celelalte grupe
– oferă. fișele de sinteză cu poziționarea parabolei
fata de axa Ox. -iși notează temele in caiete M1

2min

114 Fișe de lucru

Grupa 1 :

1. Fie funcția f :R →𝑅 , 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−3.

a. scrieți coordonatele vârfului parabolei.
b. determinați soluțiile ecuației.
c. reprezentați graficul funcției intr -un sistem de axe ortogonale și stabiliți dacă funcția
are punct de extrem.
d. stabiliți intr -un tabel de valori semnul funcției f pe întreg domeniul de definiție.
e. caracterizați graficul funcției f față de ax a Ox, valorile ∆ și a .

2. Rezolvați inecuația
𝑥2−7𝑥+10≥0

Grupa 2 :

1. Fie funcția f :R →𝑅 , 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+7𝑥−2.

a. scrieți coordonatele vârfului parabolei.
b. determinați soluțiile ecuației.
c. reprezentați graficul funcției intr -un sistem de axe ortogonale și stabiliți dacă funcția
are punct de extrem.
d. stabiliți intr -un tabel de valori semnul funcției f pe întreg domeniul de definiție.
e. caracterizați graficul funcției f față de axa Ox, valorile ∆ și a .

2. Rezolvați inecuația
𝑥2−7𝑥+10<0

Grupa 3

115
1. Fie funcția f :R →𝑅 , 𝑓(𝑥)=−𝑥2+4𝑥−4.
a. scrieți coordonatele vârfului parabolei.
b. calculați 𝑓(0) și 𝑓(4) .
c. reprezentați graficul funcției intr -un sistem de axe ortogonale și stabiliți dacă funcția
are punct de extrem.
d. stabiliți intr -un tabel de valori semnul funcției f pe întreg domeniul de definiție.
e. caracterizați graficul funcției f față de axa Ox, valorile ∆ și a.

2. Arătați că pentru orice 𝑥∈𝑅 are loc inegalitatea :
4𝑥2−12𝑥+9≥0

Grupa 4

1. Fie funcția f :R →𝑅 , 𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥+2.
a. scrieți coordonatele vârfului parabolei .
b. calculați 𝑓(−3
2) și 𝑓(5
2) .
c. reprezentați graficul funcției intr -un sistem de axe ortogonale și stabiliți dacă funcția
are punct de extrem.
d. stabiliți intr -un tabel de valori semnul funcției f pe întreg domeniul de definiție.
e. caracterizați graficul funcției f față de axa Ox, valorile ∆ și a.

2. Arătați că pentru orice 𝑥∈𝑅 are loc inegalitatea
−2𝑥2+5𝑥−4<0

Proiect de tehnologie didactica
Unitatea de invățămȃnt: Liceul Tehnologic „Jacques M.Eliasʺ Sascut
Clasa : a -IX-a
Disciplina: matematică -geometrie

116 Profilul : tehnician activități economice
Unitatea de învățare : vectori in plan
Tema : Coordonatele unui vector in plan.
Tipul lecției: de dobândire de noi cunostinte
Competențe
C1. Sa definească noțiunea de baza a planului ,
C2. Sa identifice diferența dintre un sistem ortogonal si un sistem ortonormat
C3. Sa scrie corect coordonatele unui vector in plan/ a unui punct in diferite contexte
matematice
C4. Sa aplice corect proprietățile de adunare a vectorilor in rezolvarea de exerciții
C5. Sa scrie corect coordonatele unui vector rezultat din produsul unui alt vector cu un număr
real.
Metode si procedee
M1. Conversația
M2. Explic ația
M3 Demonstrația
M4. Exercițiul
Mijloace didactice :
m 1 tabla si creta
m 2 fise de lucru
m3 manual
Forme de organizare
F 1 frontala

117 F 2 individuala
Desfășurarea lecției
Etapele
lecției Conținutul lecției Strategii didactice Evalu
are
Activitatea
profesorului Activitatea
elevilor Metode Mijloac
e Forme
de
organiz
are
1 Moment
organizatori
c
5 min Verific dacă sunt
îndeplinite condițiile
pentru lecție: material
didactic, prezența
elevilor.
Verificarea temei prin
întrebări, iar dacă este
cazul rezolvă la tablă
exercițiile care au creat
dificultăți elevilor. Se
pregătesc
pentru
lecție M1
M4 m 1 F1 Aprec
iere
verba
la
2 Anunțarea
temei și a
obiectivelor
5 min Se anunța titlul lecției di
se precizează obiectivele
sale.
ʺCoordonatele unui
vector in planʺ
Sunt atenți
si își
notează
titlul lecției
in caiete M1, M2 m 1,
m2 F1, f2 Feud
back
imedi
at
3 Dirijarea
învățării
5 min Prezentarea noțiunilor
elementare despre vectori
in plan ;
Metode de sumare ,
noțiunea de baza a Notează in
caiete si
sunt atenți
la
explicațiile
oferite M1 M 2
, M3 m4 m1 ,, F1 Feud
back

118 spațiului si coordonatele
unui vector in plan
4 Consolidare
și fixare.
25 min Împarte fisele de lucru si
oferă ajutorul necesar in
realizarea sarcinilor Cate un
elev este
invitat la
tabla , face
figurile
descrise in
sarcinile de
lucru M2 ,M4 m2 F1, f2 Feud
back,
si
apreci
eri
5 Realizarea
feud- back –
ului
2 min Adresează întrebări
despre noțiunile învățate Răspund
corect M1 m 1 F1, f2 Feud
back
6 Tema
pentru acasă
2 min Propune elevilor
terminarea exercițiilor din
fișă si oferă indicații
cheie in abordarea
rezolvării exercițiilor Își notează
teme M1 m 1 F1 Feud
back
7. Aprecierea
performanțelo
r elevilor și
precizări
pentru
continuarea
activității
1 min Face aprecieri asupra
modului in care s -a
desfășurat ora , notează
elevii care s -au remarcat
prin răspunsurile corecte
si atenționează pe cei ce
au dat răspunsuri
incorecte Asculta si
se bucura
de
rezultatele
obținute M1 m 1 F1, f2 –

119 Fișă de lucru
1. Fie reperul ortonormat (𝑂 ,𝑖 ,𝑗)⃗⃗⃗ in care avem punctele A( -3, 1) si B(5,5) .
Se cere:
a. Reprezentați vectorii de poziție a punctelor A si B.
b. Scrieți coordonatele vectorului 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
c. Determinați coordonatele vectorului de poziție a mijlocului segmentului AB
2. Fie vectorii :
𝑢⃗ (−2;2)
𝑣 (1; −3)
𝑤⃗⃗ (0; −4)
Se cere:
a) Determinați coordonatele vectorilor:
𝑢⃗ +𝑣 , (𝑢⃗⃗⃗⃗ +𝑣 )+𝑤⃗⃗ , 5𝑢⃗ , 2𝑢⃗ +3𝑣 și 3𝑢⃗ −2𝑣
b. Verificați identitățile:
b1. 2(𝑢⃗ +𝑣 )=2𝑢⃗ +2𝑣
b2. 7𝑢⃗ =2𝑢⃗ +5𝑢⃗
b3. 3(−4𝑣 )=−12𝑣
3. 1. Fie Δ ABC in plan .
a. Scrieți vectorii de poziție a picioarelor medianelor triunghiului ABC
b. Scrieți coordonatele centrului de greutate al triunghiului
c. Arătați ca vectorul de poziție al centrului de greutate al triunghiului este :
𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
3
d. Daca punctul P este un punct oarecare din plan atunci arătați ca are loc relația :
𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ . In ce conditie aceasta relatie devine nula ?

120 Bibliografie
[1] Ardelean L., Secelean N. Didactica matematicii -managementul, proiectarea și evaluarea
activității didactice, Editura Universității Lucian Blaga Sibiu,2007
[2] Barbu C. Teoreme fundamentale din geometria triunghiului, Ed. Unique , Bacău, 2 008,
[3] Burtea M. Manual pentru clasa a IX -a, Ed. Carminis, Pitești, 2004
[4] Blănuță V. Elemente de algebră liniară și geometrie analitică, Ed. Fundației Humanitas,
București, 2001
[5] Bocoș M. Fundamentele pedagogiei teoria și metodologia curriculum – ului, Ed. Paralelea
45, Pitești, 2010
[6] Bontaș I. Tratat de pedagogie, Ediția a VI -a revizuită și adăugită, Ed. All, București, 2007
[7] Brȃnzei D. Metodica predării matematicii ediția a IV -a revizuită și adăugită, Ed. Paralela
45, Pitești, 2007
[8] Brânze i D. ,Caba G, Manual de matematică pentru clasa a IX -a, Ed. E.D.P. București,
1999
[9] Cerghit I. Metode de învățământ, E.D.P., București, 2006
[10] Cucoș C. Pedagogie,, Ediția a II -a revizuită și adăugită, Ed. Polirom, Iași, 2008
[11] Cârjan F. Didactica Matematicii, Ed. Corint, București, 2007
[12] Dumitriu C. Metodologia cercetării pedagogice, E.D.P. , București, 2004
[13] Dumitriu Gh. , Dumitriu C. Psihopedagogie, E.D.P., București, R.A. , 2003
[14] Jinga I. Manual de pedagogie, Ed. All, București, 2007
[15] Neagu Gh. Teme alese de metodica predării matematicii, Ed. Plumb, Bacău, 2003
[16] Popa V. Carte pentru tinerii profesori de matematică, Ed. Egal, Bacău, 2004
[17] Postelnicu V. Mică enciclopedie matematică, Ed. Tehnică, București, 1980

121 [18] Programa se adresează clasei a IX-a, ciclul inferior al liceului, conform planurilor –
cadru aprobate prin OMECI nr. 3410, 3411 din 16.03.2009
[19] www.edu.ro
[20] www.didactic.ro
[21] www.geogebra.ro
[22] www.profudemate.ro
[23] www.mateinfo.ro

122

ROMÂNIA
MINISTERUL EDUCAȚIEI NA ȚIONALE ȘI CERCETĂRII
ȘTIINȚIFICE
UNIVERSITATEA „VASILE ALECSANDRI” DIN BACĂU
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC
Calea Mărășești, nr. 157, Bac ău, cod 600115
Tel.Fax: 0234/588935; Tel.Fax: 0234/580050
E-mail: dppd@ub.ro; sdppd@ub.ro

DECLARA ȚIE DE AUTENTICITATE
privind elaborarea lucrării metodico -științifice pentru gradul didactic I

Subsemnatul, Ungureanu M. Adrian , declar pe propria răspundere că:
a) lucrarea a fost elaborată personal și îmi aparține în întregime;
b) nu au fost folosite alte surse de cât cele menționate în bibliografie;
c) nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse fără a fi
citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale
mele;
d) lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.

Data, Semnătura,

F 394.10/Ed. 0