Ecuația de gradul întâi și prezintă elevilor [603546]

UNIVERSITATEA DIN ORADEA
Departamentul pentru Pregătirea Personalului Didactic
Specializarea: Matematică – Fizică Profesor de matematică

METODICA REZOLVĂRII ECUAȚIILOR ȘI INECUAȚIILOR DE LA
GIMNAZIU LA LICEU

Conducător științific:
conf. univ. dr. Căuș Vasile -Aurel
Autor: prof. Paul Adrian Vasile
Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială Nr. 1
Husasău de Tinca
Localitatea: Husasău de Tinca
Județul: Bihor

– Oradea 2017 –

CUPRINS

ARGUMENT ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 3
CAPITOLUL I. ECUA ȚII ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 4
1.1. Ecuații de forma ………………………….. ………………………….. …….. 4
1.2. Ecuații reductibile la ecuații de forma ………………………….. …………………… 7
1.3. Ecuații de forma ………………………….. ………………………….. ……… 8
1.4. Ecuații de forma . Relațiile lui Viète ………………………. 10
1.5. Ecuații reciproce ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 17
1.6. Ecuații bipătrate ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 24
1.7. Ecuații binome ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 26
1.8. Ecuații exponențiale ………………………….. ………………………….. …………………………. 28
1.9. Ecuații logaritmice ………………………….. ………………………….. …………………………. 30
1.10. Ecuații trigonometrice fundamentale ………………………….. ………………………….. .. 32
1.11. Forma trigonometrică a unui număr complex. Ecuații ………………………….. …… 34
1.12. Ecuații matriceale ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 35
CAPITOLUL II. INECUAȚII ………………………….. ………………………….. ……………………. 39
2.1. Inecuații de forma ( ) ………………………….. …………… 39
2.2. Inecuații de forma ( ) ………………………….. …… 40
2.3. Inecuații exponențiale ………………………….. ………………………….. …………………….. 41
2.4. Inecuații loga ritmice ………………………….. ………………………….. ………………………. 42
CAPITOLUL III. APLCAȚII METODICE ………………………….. ………………………….. .. 44
3.1. Metode de predare – învățare ………………………….. ………………………….. ………….. 44
3.2. Metode de evaluare ………………………….. ………………………….. …………………………. 86
CONCLUZII ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 99
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 101

3 Motto: „ Învățând matematică, înveți să gândești .” , Grigore Moisil

ARGUMENT

Matematica este disciplina care parcurge întregul ciclu de învățământ preuniversitar,
începând de la grădiniță și finalizând cu terminarea liceului. Matematica contribuie în mod
esențial la dezvoltarea și formarea intelectuală a elevilor, pregătindu – i pentru viață.
Lucrarea Metodica rezolvării ecuațiilor și inecuațiilor de la gimnaziu la liceu este
concepută, după cum este scris și în titlul lucrării, pentru a venii în ajutorul înțelegerii și
aplicării ecuațiilor și inecuațiilor întâlnite în ciclul gimna zial, dar și în ciclul liceal.
Lucrarea este structurată pe trei capitole. În primele două capitole este făcută o scurtă
prezentare a ecuațiilor și inecuațiilor predate în gimnaziu și în liceu. Capitolul trei este axat pe
metode de predare – învățare – evaluare.
Definițiile, observațiile, proprietățile, teoremele, prezentate în primele două capitole,
ajută la cunoașterea și înțelegerea, mai ușoară, a tuturor tipurilor de ecuații și inecuații
studiate în gimnaziu și liceu, iar cu ajutorul exemplelor și exerc ițiilor, acestea, sunt
aprofundate și asimilate.
Ultimul capitol cuprinde metodele tradiționale și moderne de predare – învățare, dar și
aplicații concrete la fiecare metodă, atât pentru ciclul gimnazial cât și pentru ciclul liceal. În
încheierea capitolu lui al III -lea sunt prezentate metodele tradiționale și metodele alternative
de evaluare.

4 Capitolul I. Ecuații

Definițiile, teoremele și pro prietățile întâlnite în acest capitol sunt extrase din manualele
școlare sau culegeri le matematice. Majoritatea exercițiilor sunt rodul muncii autorului.

1.1. Ecuații de forma , a 0
O ecuație este o propoziție cu variabilă ( propozițiile cu variabilă se mai numesc
predicate ) în care apare, o singură dată, semnul „=”.
De exemplu, să considerăm propozițiile cu variabilă (predicatele):
1) * +
2) Litera y este în alfabetul latin, * +
3) * +
4)

, x
A doua și a treia nu sunt ecuații. Prima și a patra sunt ecuații cu o necunoscută.
Mulțimea în care ia valori necunoscuta se precizează în dreptul ecuației; în cazul în care
nu este scrisă, vom considera că este mulțimea numerelor reale.
Definiția 1 . O ecuație de forma
(1)
unde a și b sunt numere reale (iar ) se numește ecuație de gradul I cu o necunoscută .
x – se numește necunoscută;
a, b – se numesc coeficienți: a – coeficientul necunoscutei x, b – termenul liber.
O asemenea ecuație se rezolvă în două etape:
1) Scădem din ambii membri pe b și obținem :
2) Împărțim ambii membri cu a și obținem

Ecuația are unica soluție numărul real
.
Observații
1) Dacă , , atunci propoziția cu o variabilă se scrie ; deci
orice număr real este soluție a ecuației;
2) Dacă , , atunci propoziția cu o variabilă devine ,
imposibil deoarece produsul nici unui număr real cu zero nu este un număr real diferit de zero.

5 Interpretarea geometrică (fig. 1.1). Graficul funcției : R , ( ) , este o
dreaptă care intersectează axa Ox în punctual de abscisă
, (
fiind soluția ecuației
). În figura 1.1 am construit graficul pentru cazul:

, .
y

b

x

Fig. 1.1
Exempl u:
Exercițiul 1 . Să se rezolve ecuația în x,

(2)
Această ecuație devine ( )
Dacă , adică și , atunci ecuația (2) este de gradul I, având
soluția

( )( )

Dacă atunci ecuația (2) devine , care nu se verifică pentru nicio valoare
a lui x.
Dacă atunci ecuația (2) devine , care este adevărată pentru orice
număr real x.
Definiția 2 . Două ecuații care se rezolvă în aceeași mulțime și au aceeași mulțime de
soluții se numesc ecuații echivalente .

6 De exemplu, ecuațiile , și , sunt echivalente deoarece
au soluția comună 5.
Ecuații care conțin necunoscuta în modul .
Valoarea absolută a unui număr a, notată prin | |, se definește astfel:
| | {

De exemplu: | | , |
|
; | √ | √ etc.
Valoarea absolută a numărului a se mai numește modulul numărului a.
Rezultă că | | ( ) și deci | |, | |, ( ( ) fiind cel mai mare dintre
numerele – și ).
Proprietățile fundamentale ale modulului :
1. | |
2. | | dacă și numai dacă ;
3. | | | | | |;
4. | | | | | |;
5. | | dacă și numai dacă ;
6. ‖ | | ‖ | |.
Exemplu:
Exercițiul 2. Să se rezolve ecuația:
| | (3)
După definiția modulului avem:
| | {
( )

adică

| | {

Așadar, ecuația (3) devine:
a) Dacă avem , de unde . Cum , rezultă că 4 este o
soluție a ecuației.

7 b) Dacă avem , de unde . Cum , rezultă că
este o soluție a ecuației.

1.2. Ecuații reductibile la ecuații de forma
Dacă ( ) și ( ) sunt expresii ce conțin variabila , atunci ( ) ( ), ,
este forma generală a unei ecuații cu o singură necunoscută. Mulțimea se numește
mulțimea în care ia valori necunoscuta.
Pentru rezolvarea acestei ecuații procedăm astfel:
 Dacă în cele două expresii apar fracții, aducem fracțiile la același numitor și
eliminăm numitorii;
 Efectuăm calculele folosind proprietățile operațiilor, formulele de calcul prescurtat;
 Separăm necunoscuta (trecem termenii ce conțin necunoscuta într -un membru, iar
ceilalți termeni în celălalt membru, prin schimbarea semnelor termenil or);
 Aducem ecuația la forma , (efectuând calculele);
 Rezolvăm ecuația , .
Soluțiile ecuației , sunt soluțiile ecuației echivalente : ( ) ( ),
.
Exemple:
Exercițiul 1. Rezolvați ecuația:

R: )
)

– )
← aducem fracțiile la același numitor
( ) ← am eliminat numitorii fracțiilor
← am eliminat paranteza
← am adunat termenii asemenea
← am separat necunoscuta
← ecuația la care s -a redus ecuația dată

← soluția ecuației date
Exercițilul 2. Rezolvați ecuația:

8 ( )( ) ( ) ,

R: ( )( ) ( ) ← desfășor parantezele
← adunăm termenii asemenea
← separăm necunoscuta
← adunăm termenii asemenea
← ecuația la care s -a redus ecuația dată

← deoarece
, rezultă că ecuația nu are soluții.
Observație: Există situații când rezolvarea ecuațiilor se poate face mai simplu.
Exercițiul 3. Să se rezolve ecuația:

, 2

3

Observăm că 5 este soluție (5 anulează numărătorul fracțiilor).
Reținem soluția 5 și apoi simplificăm cu factoru l .
Rezolvăm ecuația

, 2

3 (1)
Ecuația (1) este echivalentă cu , 2

3 (2)
Rezolvând ecuația (2) obținem
2

3
Ecuația dată are două soluții: 5 și

1.3. Ecuații de forma
Definiție. Propoziția , (x, y) unde a, b, c , a 0 și b 0 se
numește ecuația de gradul întâi cu două necunoscute (variabile).
– se numesc necunoscute;
a, b și c – se numesc coeficienți: a coeficientul lui x, b coeficientul lui y, c termenul
liber.
Exemple:
(x, y)

√ (x, y)

9 Perechea ordonată (u, v ) este soluție a ecuației dacă
înlocuindu -l pe x cu u și pe y cu v în ecuație obținem egalitatea: .
A rezolva o ecuație de forma , (x, y) , înseamnă a -i determina
mulțimea soluțiilor.
Observații:
1. Perechea (1, 2) este soluție a ecuației , (x, y ) deoarece
. Perechea ordonată (2, 1) nu este soluție a ecuației
, (x, y) deoarece .
2. În cele ce urmează, o ecuație de forma , (x, y ) va fi scrisă
mai simplu , (subînțelegând că necunoscutele x și y sunt numere reale).
3. Dacă (u, v) este o soluție a ecuației , atunci și (ordinea
de scriere a componentelor soluției corespunde ordinii de scriere, în ecuație, a necunoscutelor
de la stânga la dreapta).

Cum rezolvăm o ecuație de forma ?

Exercițiul 1. Să considerăm ecuația: ( )
Înlocuind în ecuația ( ) cu 1 obținem ecuația . Soluția ecuației în y este

. Deci (1,
) este soluție a ecuației ( )
Înlocuind în ecuația ( ) cu 1 obținem ecuația . Soluția ecuației în y
este 2. Deci ( 1, 2) este soluție a ecuației ( ).
Se observă că oricărei valori reale atribuită lui x îi corespunde astfel că perechea
( ) este soluție a ecuației ( ). Într -adevăr, rezolvând ecuația , y se
obține y
. Toate perechile ordonate (
), sunt soluțiile ecuației ( ).
De asemenea: putem atribui valori necunoscutei y și deducem valorile lui x. Toate
perechile ordonate ( , y), sunt soluțiile ecuației ( ).
Cele două moduri de rezolvare dau aceeași mulțime de soluții.
Două ecuații și sunt echivalente dacă au aceeași
mulțime de soluții.

Ecuații echivalente obținem când:

10  Aplicăm diferite reguli de calcul în oricare membru al ecuației;
 Trecem termenii dintr -un membru în celălalt (cu semn schimbat);
 Înmulțim sau împărțim ambii membri ai ecuației cu acelașinumăr real nenul;
 Schimbăm semnul la toți termenii;
 Eliminăm numitorii.

1.4. Ecuații de forma 0. Relațiile lui Viète
Definiție. Ecuația de forma , (a, b, c ) se numește ecuația
de gradul al doilea cu o necunoscută.
este termenul în , este termenul în x, iar c este termenul liber ;
și c sunt coeficienții ecuației;
și , spunem că avem o formă completă , altfel, avem o formă incompletă;
Exemple:
Exercițiul 1. Identificați și c, în cazul următoarelor ecuații:
a) ;
b) ;
c) ;
d) √
;
e)
f) .
Precizați care ecuații au forme incomplete.
R: a) , , ; b) , , ; c) , , ;
c) √ ,
, ; e) , , ; f) , , .
Ecuațiile care au forma incompletă sunt cele de la punctele c), e) și f).

A. Rezolvarea ecuațiilor de forma (a, b )
Ecuația (a, b ) se rezolvă astfel :
 Se descompune membrul stâng în factori: ( ) ;
 Se rezolvă ecuația: și ;
 Dacă domeniul este R, atunci S = 2
3.
Exemple:
Exercițiul 2. Rezolvați în R ecuațiile : a) , b) √ √ .

11 a) ( ) S = * +
b) √ ( √ ) √ √ √ S = { √ }

B. Rezolvarea ecuațiilor de forma (a )
Exemplu:
Exercițiul 3. Folosind descompunerea în factori, rezolvați ecuația , x .
R: ( )( ) sau
sau

Ecuația are două soluții, numere opuse; S = 2

3.
Dacă la extragerea rădăcinii pătrate dintr -un număr pozitiv p rezultă un singur număr,
√ , la rezolvarea ecuației (x ) rezultă două numere: soluțiile √ și √ .
Exemplu:
Exercițiul 4. Rezolvați în , apoi în , ecuațiile: a) ; b) ;
R: Dacă D= atunci: a) S = {√ }; b) S
Dacă D= atunci: a) S = { √ √ }; b) S
Ecuația , x (d ) nu are soluții în cazul d , are soluție unică ( ) în
cazul d , și are două soluții ( √ și √ ) în cazul d .
Exemplu:
Exercițiul 5. Reducând la forma discutată anterior, rezolvați în R ecuațiile :
a)
b)
R: a)

)

2

3.

12 Pentru rezolvarea ecuației , x
, avem
următoarele situații:
I. Dacă a și c au același semn, atunci ;
II. Dacă , atunci * +;
III. Dacă a și c sunt de semne diferite, atunci { √
√
}.
Definiție. Fie ecuația , (a, b, c , ). Se numește soluție sau
rădăcină reală a ecuației un număr real astfel încât să avem: .
Prin rezolvarea ecuației se înțelege determinarea tuturor soluțiilor
(rădăcinilor) acestei ecuații.
Ecuația are rădăcini reale dacă și numai dacă . Dacă ,
ecuația nu are rădăcini reale.
Existenț a rădăcinilor reale ale ecuației de gradul al doilea, precum și numărul lor
depinde de expresia . Această expresie se numește discriminantul ecuației de gradul
al doilea și se notează cu . Expresia se mai numește realizantul ecuației.
Pentru a rezolva în R ecuația , ( ), calculăm discriminantul
. Vom avea următoarele situații:
I. Dacă 0, atunci ;
II. Dacă , atunci 2
3
;
III. Dacă , atunci 2 √
√
3 sau √
și √

Observație. Formula obținută poate fi folosită și în rezolvarea formelor incomplete, dar
sunt mai eficiente metodele folosite anterior.
Algoritmul de calcul al soluțiilor este următorul:
Pasul 1. Citește coeficienții a, b și c;
Pasul 2. Calculează ;
Pasul 3. Dacă 0, scrie „ Ecuația nu are nicio soluție ”, STOP.
Dacă , continuă cu pasul 4;
Pasul 4. Calculează √
. Scrie . Dacă , scrie „O singură soluție”, STOP. Dacă
, continuă cu pasul 5;
Pasul 5. Calculează √
. Scrie STOP.
Exemple:

13 Exercițiul 6. Ecuația 2
are discriminantul
( ) .
Deci, ecuația are două rădăcini reale diferite
( ) √

(

( ) √

Exercițiul 7. Ecuația
are discrimin antul
( ) ( )
Această ecuație are rădăcinile egale

( )

Exercițiul 8. Ecuația
are discriminantul
.
Deci, ecuația nu are rădăcini reale.
Forme particulare importante ale ecuației de gradul al doilea, care are discriminantul

1. Fie ecuația și să presupunem că b are forma , (de
exemplu, , √ ).
Rădăcinile ecuației sunt
√
și √

Exemplu .
Exercițiul 9. Să se rezolve ecuația:

Deoarece coeficientul lui x este ( ), aplicăm formula de mai înainte și
obținem:
( ) √( )
√
√

Deci

14
și

2. Forma redusă a ecuației de gradul al doilea. O ecuație de gradul al doilea se
numește redusă dacă coeficientul lui este 1. Forma generală a ecuației reduse este :

unde și sunt numere reale.
Punând în formula generală a rădăcinilor ecuației de gradul al doilea:
√

, și se obține formula pentru rădăcinile ecuației de gradul al doilea sub
forma redusă:

√
și
√

Exemplu .
Exercițiul 10. Fie ecuația .
Atunci,
√ = ,
De unde:
și
Observație. Orice ecuație de gradul al doilea ( ) poate să fie
adusă la forma redusă împărțind ambii membri ai săi prin a:
este echivalentă cu

.
Relații între coeficienții și rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea
1. Relațiile lui Viète
Dacă rădăcinile ecuației
( )
sunt și , atunci:

Aceste realții poartă numele de relațiile lui V iète.
Exemplu .

15 Exercițiul 11. Ecuația are discriminantul
( ) . Deci ecuația are două rădăcini reale distincte și , iar

și

Teoremă. Fie un polinom de grad n( ). Dacă
sunt rădăcinile lui , atunci:
{

( )

( )

Invers, dacă numerele complexe satisfac relațiile (1), atunci
sunt rădăcini ale polinomului .
(Numărul de termeni din sumele (1) este egal cu ).
Demonstrație . Am văzut în corolarul 1.4.5. că poate fi scris sub forma
( )( ) ( )
Dar
(3)
Efectuând calculele în (2) și egalând coeficienții lui ( ) din (2) cu
coeficienții lui din (3) obținem formulele (1).
De exemplu, coeficientul lui din (2) este ( ).
Deci trebuie ca ( ), de unde obținem

. În continuare coeficientul lui din (2) este (
) care trebuie să fie egal cu coeficientul lui din (3) care este
.
Deci, ( ), de unde obținem

În același mod se obțin și celelalte egalități din (1).

16 Invers, presupunem că satisfac relațiile (1). Considerăm polinomul
( )( ) ( ). Făcând înmulțirile obținem
( ) ( )
( )
Ținând cont de relațiile (1) deducem că

( )

Din egalitatea
rezultă că sunt rădăcini și pentru .
Relațiile (1) se numesc relațiile între rădăcinile și coeficienții polinomului sau relațiile
lui Viète.
Dacă considerăm ecuația asociată (4)
atunci relațiile (1) se numesc și relațiile între răd ăcinile și coeficienții ecuației (4).
Dacă este de gradul 3, adică atunci relațiile (1) se scriu
astfel:

{

(5)
Dacă este de gradul 2, adică atunci relațiile (1) se scriu astfel:
{

(6)
Relațiile lui Viète sunt foarte utile în numeroase aplicații când se cere să se determine
rădăcinile unui polinom (sau ecuații) și când se cunoaște o relație suplimentară între rădăcini.
Exemplu.
Exercițiul 12. Fie polinomul . Să se determine rădăcinile ,
, ale lui f știind că .
Scriem relațiile lui Viète
{

(7)
Cum , atunci din prima relație din (7) avem și deci, .
Din , obținem . Formăm sistemul
{

17 Care are rădăcinile: și

1. Formarea unei ecuații de gradul al doilea când se cunosc rădăcinile
Dacă și sunt numere reale, fie și . Atunci și sunt
rădăcinile ecuației de gradul al doilea .
Într-adevăr,
( )
Analog avem Deci și sunt rădăcinile ecuației
.
Exemplu .
Exercițiul 13. Fie și . Atunci ( )
,
( ) și deci și . Ecuația care are rădăcinile
și este .
Relațiile lui Viète sunt folosite în numeroase probleme în care se cere să se determine
ecuația, cunoscându -se relațiile între rădăcinile , adică cunoscându -se numerele
date de relațiile:
{
(

(8)
În acest caz ecuația care are rădăcinile este următoarea:
( ) (9)

1.5. Ecuații reciproce
Definiție. O ecuație de forma
, ( ),
având proprietatea oricare ar fi ( ), se numește ecuație reciprocă de
gradul n (altfel spus, o ecuație este reciprocă dacă coeficienții termenilor egal depărtați de
extremi sunt egali).
Observație . Ne interesează numai rezolvarea ecuației reciproce de grad .
Dacă obținem forma generală a ecuației reciproce de gradul 3:
( )
Dacă obținem forma generală a ecuației reciproce de gradul 4:

18 ( )
Dacă obținem forma generală a ecuației reciproce de gradul 5:
( ).
Proprietăți generale pentru ecuațiile reciproce de gradul n
1. Dacă ecuația reciprocă are rădăcina , atunci ea are și rădăcina
.
Într-adevăr, dacă

este o ecuație reciprocă având rădăcina , atunci

Cum (în caz contrar, ar rezulta și deci ) putem să împărțim cu și
obținem relația:

4
5
4
5
4
5

Ținând cont de faptul oricare ar fi ( ) obținem
4
5
4
5

și deci și
este de asemenea rădăcină .

2. Orice ecuație reciprocă de grad impar are rădăcina
Într-adevăr, fie
( )
o ecuație reciprocă de grad impar
Înlocuind , obținem în membrul stâng numărul
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Cum , , …, , atunci grupând termenii egal
depărtați de extremi obținem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Rezultă că este rădăcină pentru ecuația reciprocă de grad impar.

3. Orice ecuație reciprocă de grad impar
( )

19 se reduce la rezolvarea ecuației și a unei ecuații reciproce de grad par,
( )
Într-adevăr, din ecuația ( ) are rădăcina .
Conform teoremei lui Bèzout putem scrie:
( ) ( ) ( )
Presupunem că
( )
Deci,
( ) (
),
de unde obținem:
,

,
…………………………………………………………..
Cum oricare ar fi ( ) obținem din primele egalități .
Cum obținem . Din următoarele egalități obținem că
.
Procedând la fel, din egalitățile următoare deducem în final că oricare ar fi
.
Deci ecuația este reciprocă.
Rezolvarea ecuației reciproce de gradul III
Forma generală a ecuației reciproce de gradul III este:
( ) (1)
Această ecuație are rădăcina . Atunci putem să scriem
( ), ( ) –
Ecuația (1) admite rădăcinile
și , date de ecuația ( )
Exemplu.
Exercițiul 1. Să se rezolve ecuația . Această ecuație este o ecuație
reciprocă de gradul III. Ea se scrie:
( )( )

20 care are rădăcinile și , care sunt rădăcinile ecuației , adică
( ) √ √ √ , √
și
√

Rezolvarea ecuației reciproce de gradul IV
Forma generală a ecuației reciproce de gradul IV este:
( ) (2)
Cum , ecuația (2) nu admite ca rădăcină pe . În (2) împărțim cu și obținem
ecuația

sau grupând termenii în mod convenabil
.
/ .
/
Facem substituția
. Cum
obținem ecuația în y
( )
sau
(3)
Ecuația (3) se numește rezolventa ecuației (2).
Dacă sunt rădăcinile ecuației (3) atunci obținem două ecuații:

și

sau
(4)
(5)
Dacă sunt rădăcinile ecuației (4) și sunt rădăcinile ecuației (5) atunci
sunt rădăcinile ecuației (2).
Exemplu .
Exercițiul 2. Să se rezolve ecuația:
Această ecuație este o ecuație reciprocă de gradul IV. Împărțim cu și obținem:

sau
.
/ .
/
Notăm
. Cum
obținem ecuația:

21 ( )
sau

re re r le
√ ( )
√
√

ș
(

A e e ț le

și

Prima ecuație:
)
)
, re r le

E ț o
)
)

)

,
re r le
√
și √

Deci , √
, √
sunt rădăcinile ecuației date.
Rezolvarea ecuației reciproce de gradul V
Forma generală a ecuației reciproce de gradul V este:
( )
Deoarece această ecuație este de grad impar, din proprietatea 3 rezolvarea acestei ecuații se
reduce la rezolvarea ecuației și a unei ecuații reciproce de gradul IV.
Exemplu .
Exercițiul 3. Să se rezolve ecuația:

Această ecuație este o ecuație reciprocă de gradul V.
Deoarece este de grad impar, această ecuație admite soluția . Putem scrie:
( )( )
Deci obținem ecuația reciprocă de gradul IV:

22
Împărțind cu obținem:

Facem substituția

Obținem ecuația de gradul II:

care are soluțiile:

√
√
√

(

și

Avem ecuațiile:

și

Din ecuația
) )
)
,
obținem
√

și
√

Din ecuația

23 )
) ,
obținem

Deci ecuația dată are rădăcinile
, √
, √
,

Observații
1) Am văzut că ecuația reciprocă de gradul IV se reduce la rezolvarea unor ecuații de
gradul II, făcând substituția
. Se poate arăta, folosind binomul lui Newton, că orice
ecuație reciprocă de gradul se reduce, folosind aceeași substi tuție
, la
rezolvarea unei ecuații de gradul p și a p ecuații de gradul II.
2) Sunt numite ecuații reciproce și ecuațiile de forma
(6)
având proprietatea următoare :
oricare ar fi i,
Se observă imediat că dacă (număr par) atunci obținem

și deci

Orice ecuație reciprocă de tipul (6) are ca rădăcină pe . Atunci, conform teoremei
lui Bèzout putem scrie:
( ) ( ) sau

( ) ( ) ( )

de unde obținem egalitățile:
,
,
,
Din prima egalitate, cum , obținem
Din a doua egalitate, cum , obținem

24 Din a treia egalitate, cum , obținem
Continuând astfel obținem că ( ) oricare ar fi i, ceea ce ne arată că
ecuația

este o ecuație reciprocă.
În concluzie orice ecuație

având proprietatea că ( ), se reduce la rezolvarea unei ecuații reciproce
de gradul .

1.6. Ecuații bipătrate
Forma generală a ecuațiilor bipătrate este:
unde C și (1)
Rezolvarea ecuației (1) se face astfel:
– se face substituția și obținem ecuația de gradul II
(2)
Ecuația (2) se numește rezolvanta ecuației (1) și rădăcinile ei sunt:
√

și
√

– din egalitatea obținem ecuațiile
și
Ecuația , are rădăcinile:
√ √

și
√ √

Ecuația , are rădăcinile:

25 √ √

și
√ √

Numerele sunt rădăcinile ecuației (1).
Rădăcinile ecuației (1) pot fi cuprinse în formula:
√ √
(3)
numită formula de rezolvare a ecuației bipătrate.
Observație. În formula de rezolvare a ecuației bipătrate apar radicali de forma
√A √
Acești radicali pot fi aduși la o sumă sau diferență de radicali mai simpli utilizând formula
√A √ √ √
√ √
(4)
(A ) (această formulă se ve rifică direct prin ridicare la pătrat)
Exemple
Exercițul 1. Să se rezolve ecuația bipătrată :

Facem substituția și obținem ecuația rezolventă

care are răddăcinile
și
Rădăcinile ecuației bipătrate sunt:
√ , √ , ,
Exercițiul 2. Să se rezolve ecuația bipătrată :

Făcând substituția obținem ecuația rezolventă

care are rădăcinile
√ și √
Rădăcinile ecuației bipătrate sunt:

26 √ √ , √ √ , √ √ , √ √
Dar, folosind formula (4) de transformare a radicalilor dubli obținem:
√ √ √ √
√ √
√
√
√
√ √ √

și

√ √ √ √
√ √
√
√
√
√ √ √

Deci,
√ √
, √ √
, √ √
, √ √
.

1.7. Ecuații binome
Forma ecuațiilor binome este:
(1)
Pentru a rezolva ecuația (1) scriem numărul a sub forma trigonometrică
r ( o )
Astfel ecuația (1) este echivalentă cu
r( o )
Deci rădăcinile ecuației (1) sunt date de formula:
√r ( o

)
unde .
Trebuie să observăm că rezolvarea ecuațiilor de gradele I și II se reduce la rezolvarea
unor ecuații binome.
Exemple
Exercițiul 1. Să se rezolve ecuația binomă:

Forma trigonometrică anumărului 64 este:
( o )

27 √ ( o

) ( o

) * +
( o )
( o

) 4
√
5 √
( o

) 4
√
5 √
Exercițiul 2. Să se rezolve ecuația :
( )
Făcând substituția , obținem ecuația de gradul al doilea în y
( )
( ) ( )
( ) ( )

Rezultă
A.

( )( )
Ecuația are soluția
Ecuația are soluțiile √

√

și
√

B.
√ √ o

o

o .

/ .

/
* +
Soluțiile ecuației sunt:

28 √

(√ )
√

( √ )

1.8. Ecuații exponențiale
Definiție. Se numește ecuație exponențială, ecuația în care necunoscuta este exponent
sau într -o expresie aflată la exponent.
Pentru rezolvarea ecuației exponențiale procedăm astfel:
 Se impun condiții de experiență asupra exponenților și bazei, atunci când este cazul;
 Se fac transformări echivalente folosind proprietățile funcției exponențiale până se obțin
ecuații algebrice cunoscute;
 Se verifică dacă valorile obținute la pasul 2 aparțin ecuației sau se fac verificări în ecuația
dată inițial.
A. Ecuații de tipul ( )
Pe baza injectivității funcției exponențiale ecuația dată este echivalentă cu ecuația:
( ) lo
În aceste ecuații b trebuie să fie exprimat ca o putere a lui a (atunci când este posibil).
Exemplu.
Exercițiul 1 . Să se rezolve ecuația:

( )
( ) √

(

( ) √

Se obțin soluțiile: 2
3

B. Ecuații de tipul ( ) ( )

29 Pe baza injectivității funcției exponențiale ecuația dată este echivalentă cu ecuația
algebrică
( ) ( ), care se rezolvă cu metode cunoscute.
Exemplu .
Exercițiul 2. Să se rezolve ecuația:
( )
( )

√

√

Se obțin soluțiile: * +

C. Ecuații de tipul ( ) ( )
În acest caz se logaritmează ecuația convenabil într -o anumită bază și apoi se fac
transformări pentru a obține o ecuație algebrică simplă.
Exemplu .
Exercițiul 3. Să se rezolve ecuația:
Pe baza injectivității funcției logaritmice se obține prin logaritmare în baza 10 ecuația
echivalentă.
l ( )l
l lo
( l l ) l
l
l l
Se obține soluția: 2
3

D. Ecuații de tipul : ( ) ( )

30 În acest caz se face substituția ( ) și se formează o ecuație de gradul doi, de
forma , cu soluțiile căreia se revine la substituția făcută. În final se verifică
dacă vslorile obținute verifică condițiile de existență ale ecuației sau sev erifică direct dacă
egalitatea dată inițial este adevărată.
Exemplu .
Exercițiul 4. Să se rezolve ecuația:
( )
( )
Se observă o substituție de forma
Ecuația de gradul doi atașată are soluțiile: 2
3
Revenind la substituție, se acceptă numai .
Se obține ecuația lo

1.9. Ecuații logaritmice
Definiție. Se numește ecuație logaritmică , ecuația în care necunoscuta este sub logaritm
sau la baza logaritmului.
Pentru rezolvarea ecuației logaritmice procedăm astfel:
 Se impun condițiile de existență asupra bazei logaritmului și a expresiilor de sub logaritm;
 Se fac transformări echivalente folosind proprietățile funcției logaritmice și a logaritmilor
până se obțin ecuați i algebrice cunoscute;
 Se verifică dacă valorile obținute la pasul doi aparțin domeniului ecuației sau se fac
verificări în ecuația dată inițial.
A. Ecuații de tipul lo ( )
Pe baza definiției logaritmului ecuația dată este echivalentă cu ecuați a de forma
( ) .
Exemplu .
Exercițiul 1. Să se rezolve ecuația:
lo ( )

lo ( ) lo
lo ( ) lo

31
Soluția ecuației este: * +
B. Ecuații de tipul lo ( ) lo ( )
Pe baza injectivității logaritmice ecuația dată este echivalentă cu ecuația algebrică
( ) ( ).
Exemplu .
Exercițiul 2. Să se rezolve ecuația: lo ( ) lo ( )

Scriem logaritmii în aceeași bază:
lo ( ) lo ( )
lo
lo ( ) lo ( )

lo ( ) lo ( )
lo ( ) lo ( )

,
care are soluțiile
√

√

{ √
}
C. Ecuații de tipul lo ( ) lo ( )
În acest caz e face substituția lo ( ) și se formează o ecuație de gradul doi,
de forma , cu soluțiile căreia se revine la substituția făcută. În final se
verifică dacă valorile obținute verifică condițiile de existență a le ecuației sau se verifică direct
ca egalitatea dată inițial să fie adevărată.
Exemplu.

32 Exercițiul 3. Să se rezolve ecuația:
lo ( ) lo ( )
Se observă o substituție de forma: lo ( )
Obținem ecuația:

( )
( ) √

( ) √

Soluțiile ecuației date inițial sunt:
lo ( )
lo ( ) lo

lo ( )
lo ( ) lo

* +

1. 10. Ecuații trigonometrice fundamentale
Definiție. O ecuație în care necunoscuta apare ca argument al unei funcții
trigonometrice se numește ecuație trigonometrică .
A. Ecuații trigonometrice fundamentale :
 , cu mulțimea soluțiilor { r | } pentru și | |
;
 o , cu mulțimea soluțiilor * r o | + pentru și | |
;
Observație pentru | | , ambele ecuații au mulțimea soluțiilor .
 , cu mulțimea soluțiilor * r | + pentru ;
 , cu mulțimea soluțiilor * r | + pentru .
B. Ecuații trigonometrice liniare de forma o

33 Notăm
, pentru ( ) și folosim formulele:

o

Înlocuind în ecuația trigonometrică dată, se obține o ecuație algebrică în t care se rezolvă.
Mulțimea soluțiilor este reuniunea soluțiilor ecuațiilor trigonometrice
, unde sunt
soluțiile ecuației în t ( )
C. Ecuații simetrice în sin și cos de forma :
( o ) o
Notăm o , de unde o
și înlocuind în ecuația dată obținem o
ecuație de gradul al doilea în , cu soluții acceptabile numai în intervalul [ √ √ ].
Exemple:
Exercițiul 1. Să se rezolve în mulțimea , – ecuația o
Pentru o
obținem

o

{

}
Exercițiul 2. Să se rezolve în mulțimea , – ecuația
sin 3x – sin x = 0
2 sin x cos 2x = 0
sin x = 0 sau cos 2x = 0
Cum ( ) avem 2

3.
Exercițiul 3. Să se rezolve în mulțimea , – ecuația o
Ridicând la pătrat egalitatea dată,
obținem:
o o = 1
sin x cosx = 0
dar x , – avem
{

}
Cum o 2
3

٭Angelescu C. Bacalaureat 2011. pag 62

34 Exercițiul 4 ٭ .Să se rezolve în mulțimea , – ecuația o

Din , – și o
deducem 2

3 2

3.
Exercițiul 5 ٭ .Să se rezolve în R ecuația o .
/ o .
/
Obținem

sau

. Din prima relație
rezultă , iar din a doua relație obținem
.

1.11. Forma trigonometrică a unui număr complex. Ecuații
Forma algebrică a numerelor complexe:
Observații :
1) ( ) ( )
2) este număr pur imaginar z
Pentru a trece un număr complex în forma trigonometrică
procedăm astfel:
– Calculăm modulul său r | | √
– Calculăm o

și determinăm cadranul în care se află t
– Dacă , – atunci r o
, iar dacă , -, atunci, r o

Operații cu numere complexe scrise sub formă trigonometrică :
 Dacă r ( o , r ( o , atunci
r r , o ( ) ( )-

, o ( ) ( )-, pentru
 Dacă r ( o ) * + , atunci
r r r , o ( ) ( )-
 Dacă r( o , atunci r ( o )
( o ) o , (formula lui Moivre )

Exemple:
Exercițiul 1. Să se rezolve în C, ecuația
Din

٭Angelescu C. Bacalaureat 2011 pag 71

35 ( )
avem soluțiile:
( ) √

( )

( ) √

( )

Exercițiul 2 ٭ .Să se rezolve în C, ecuația ̅
Fie .
Atunci ecuația devine
( ) ( )

Deci

Exercițiul 3. Știind că . o

/ și ( o

).
Calculați
.
0 o .

/ .

/1 ( o

)

0 o .

/ .

/1
. o

/
0 o

1 ( o )
0 o

1 . o

/

1.12. Ecuații matriceale
Definiție . Se numesc ecuații matriceale , ecuațiile de tipul A A unde atât
coeficienții și termenii liberi A și B, precum și necunoscutele X, Y sunt matrice.
Pentru a rezolva ecuația A , unde A este matrice pătratică nesingulară, se
înmulțește la stânga cu A și obținem A (A ) A . Deoarece înmulțirea matricelor
este asociativă putem scrie (A A) A . Adică A sau A .
Pentru a rezolva ecuația A , unde A este matrice pătratică nesingulară, se
înmulțește la dreapta cu A și obținem ( A) A A . Deoarece înmulțirea

٭Gomolea A. Matematică. Manual pentru clasa a XI -a pag 41

36 matricelor este asociativă putem scrie (A A ) A . Adică A sau
A .
Exemple .
Exercițiul 1 ٭ .Rezolvați ecuația matriceală (
) (
)
Notăm cu A (
) și avem det A |
| , A este nesingulară
Dacă notăm cu (
) atunci ecuația se scrie A și are soluție pe A .
Deoarece A (

) rezultă (

) (
) (

).

Exercițiul 2 ٭ .Rezolvați ecuația matriceală

(

)
(

)

(

)

Efectuăm operațiile pentru a aduce ecuația la forma A

(

)
(

)
(

)

(

)
(

)

37 Notăm
A
(

) ș
(

)
Avem
det A ||

|| A este nesingulară

(

) ,
A ( ) |
| A ( ) |
| A ( ) |
|

A ( ) |
| A ( ) |
| A ( ) |
|

A ( ) |
| A ( ) |
| A ( ) |
|
Rezultă că A
(

) A
(

)
A

38
(

)
(

)

(

)

39 Capitolul II. Inecuații

Definițiile, teoremele și proprietățile întâlnite în acest capitol sunt extrase din manualele
școlare sau culegeri le matematice. Majoritatea exercițiilor sunt rodul muncii autorului.

2.1. Inecuații de forma ( )
Definiție. Expresiile de forma ( ) se numesc
inecuații de gradul întâi cu o singură necunoscută .
Pentru rezolvarea inecuației parcurgem următorii pași:

, dacă

, dacă
Soluția inecuației este:
 dacă , 2 |
3 .
/
 dacă , 2 |
3 .
/
Exemple . Rezolvați inecuațiile:

Exercițiul 1.

(
)

Exercițiul 2. ( )
( )

* +

Exercițiul 3. 6(x – 1) + 1 2(x + 3) – 3, x R
6x – 6 + 1 2x + 6 – 3
6x – 5 2x + 3

40 4x 8
x 2
( )

2.2. Inecuații de forma ( )
Definiție. Expresiile de forma ( ) se
numesc inecuații de gradul al doilea cu o singură necunoscută .
Pentru rezolvarea inecuației parcurgem următorii pași:
 Atașăm ecuația și calculăm soluțiile ecuației
√

 Atașăm tabelul
x +

semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

 Determinăm soluțiile inecuației
1) Dacă , –
2) Dacă ( ) ( )
Exemple . Rezolvați în R inecuațiile:

Exercițiul 1.
Atașăm ecuația
care are soluțiile √

și

Construim tabelul
x 6 1 +

+ 0 0 +

Soluțiile inecuației sunt : ( )

Exercițiul 2 .

41 Atașăm ecuația ( ) ( ) care are soluțiile
√
( )

și

Construim tabelul
x +

0 0

Soluțiile inecuației sunt: ( ) ( )

2.3. Inecuații exponențiale
Rezolvarea inecuațiilor exponențiale se bazează pe proprietățile de monotonie ale
funcțiilor exponențiale. Funcția exponențială este crescătoare dacă baza este supraunitară și
descrescătoare dacă baza este subunitară .
A. , dacă
( )
B. , dacă
( )
Exemple:
Exercițiul 1. Să se re zolve inecuația:
Inecuația se scrie , și deoarece funcția ( ) este crescătoare, rezultă
că .

Exercițiul 2. Ce relație trebuie să existe între x și y astfel încât:
a) ( ) ( )
b)
c) (√ ) (√ )
d) .
/
.
/
.
/
.
/

Exercițiul 3. Să se determine x astfel încât:
a)

42

b) ( ) (√ )
(
)

c) .
/

4√
5

(
)

(
)

, –
d) .
√ /
( √ )
( √ ) ( √ )

2.4. Inecuații logaritmice
Rezolvarea inecuațiilor logaritmice se bazează pe proprietățile de monotonie ale
funcțiilor logaritmice. Funcția logaritmică este crescătoare dacă baza este supraunitară și
descrescătoare dacă baza este subunitară.
A. lo lo , dacă
( )
B. lo lo , dacă
( )
Exemple:

43 Exercițiul 1. Să se re zolve inecuația: lo
( )
Avem: lo
și inecuația devine lo
( ) lo

Deoarece baza
a logaritmului este subunitară (funcția ( ) lo
este
descrescătoare) inecuația devine , adică . Din condiția de existență a
logaritmului avem: , adică

Soluția inecuației este: .
/.

Exercițiul 2. Rezolvați inecuațiile:
a) lo ( ) lo ( ) lo
și

și
.
/
) l ( ) l ( ) l
, – ș , – ș ( √ )
( √ ) [ √ ] [ √ ].

44 Capitulul III. Aplicații metodice

Definițiile și clasificările metodelor de predare – învățare – evaluare , întâlnite în acest
capitol, sunt extrase din manuale școlare, cărți de metodică sau cărți de psihopedagogie
școlară. Aplicațiile folosite în acest capitol sunt rodul muncii autorului .

3.1 Me tode de predare – învățare
Prin metodă de învățământ se înțelege o modalitate comună de acțiune a cadrului
didactic și a elevilor în vederea realizării obiectivelor pedagogice. Cu alte cuvinte, metoda
reprezintă „ o modalitate de acțiune, un instrument cu ajutorul căruia elevii, sub îndrumarea
profesorului sau în mod independent, își însușesc și aprofundează cunoștințele, își informează
și dezvoltă priceperi și deprinderiintelectuale și practice, aptitudinii, atitudinii etc. ”(M.
Ionescu, M. Bocos, 2001, p.1 22). Sub raportul structurării, metoda este un ansamblu organizat
de operații, de procedee. Metodele de învățământ reprezintă căile de transformare în practică a
idealului educațional, de dezvoltare multilaterală a personalității elevilor, căile prin care
aceștia se instruiesc și se formează sub îndrumarea cadrelor didactice .
Metodele de învățământ sunt un element de bază al strategiilor didactice , în strânsă
relație cu mijloacele de învățământ și cu modalitățile de grupare a elevilor. Strategiile
didactice urmăresc formarea și stabilizarea relațiilor optime între activitatea de predare a
profesorului și cea de învățare a elevului, în strânsă legătură cu particularitățile psihologice de
vârstă și individuale ale elevilor, precum și cu condițiile co ncrete în care se desfășoară
activitatea didactică . De aceea, opțiunea pentru o anumită strategie didactică condiționează
utilizarea unor metode de învățământ specifice.
Procedee didactice sunt elemente de detaliu ce intra în componența metodelor. Relatia
dintre metode și procedee este una dinamică: în anumite contexte pedagogice metoda se poate
transforma în procedeu și invers.
Predarea este activitatea profesorului de organizare și conducere a ofertelor de învățare
care au ca scop facilitarea și stimular ea învățării eficiente la elevi. Din punct de vedere al
profesorului, predarea necesită proiectarea, gândirea în avans, a derulării evenimentelor din
clasă. Ca formă de comunicare didactică, predarea constă într -un sistem de operații de
selectare, ordonare și adecvare la nivelul de gândire al elevilor, a unui conținut informațional
și de transmitere a lui, folosind anumite strategii didactice, în scopul realizării cu eficiență
maximă a obiectivelor pedagogice .

45 Învățarea este un proces ce se desfășoară în f uncție de numeroși factori, rezultatul fiind
un ansamblu de produse concretizate în cunoștințe, priceperi, deprinderi, abilități, convingeri,
sentimente, interese, atitudini, obișnuințe, modalități de a gîndi și de a acționa, pe baza cărora
are loc reconst rucția continuă a comportamentului uman .
Învățarea școlară este procesul de receptare și asimilare a informațiilor și influențelor
educative, de reorganizare, de construcție și dezvoltare a structurilor cognitiv -operaționale,
psihomotrice și afective, pre cum și a însușirilor psihice ale personalității (aptitudini, interese,
temperament).
Metodele de predare – învățare sunt împărțite în :
– metode tradiționale , cu un lung istoric în instituția școlară și care pot fi păstrate cu
condiția reconsiderării și ad aptării lor la exigențele învățământului modern (exemple
Expunerea, Conversația, Demonstrația, Lucrul cu manualul, Exercițiul etc.)
– metode moderne , determinate de progresele înregistrate în știință și tehnică, unele
dintre acestea de exemplu, se apropie de metodele de cercetare științifică, punându -l pe elev
în situația de a dobândi cunoștințele printr -un efort propriu de investigație experimentală;
altele valorifică tehnica de vârf ( exemple Algoritmizarea, Modelarea, Problematizarea,
Studiul de caz, Meto da prin descoperire, Metoda cubului, Turul galeriei etc. ).
O altă clasificare a metodelor de învățare este:
– Centrate pe elev : centrate pe activitate (lucrări practice, învățare prin descoperire,
învățare prin proiecte, învățare prin experiment, studiu de caz, jocuri didactice, simulare) sau
centrate pe conținutul învățării (dezbatere, conversație, demonstrație, dialog)
– Centrate pe profesor : centrate pe activitate (exercițiul, instruirea programată,
algoritmizarea) sau centrate pe conținutul învățării (prelegerea, explicația, povestirea).

Metode moderne:
Metoda BRAINSTORMING înseamn ă formularea a cat mai multor idei ca r ăspuns la
o situa ție enunțată, după principiul cantitatea generează calitatea . Conform acestui principiu,
pentru a ajunge la idei viabile si inedite este necesar ă o productivitate creativ ă cat mai mare.
ETAPE:
1. Alegerea sarcinii de lucru
2. Solicitarea exprimarii într-un mod c ât mai rapid, a tuturor ideilor legate de rezolvarea
problemei. Sub nici o form ă nu se vor admite referiri critice.
3. Inregistrarea tuturor ideilor în scris pe tabl ă

46 4. Reluarea ideilor emise pe r ând si gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie.
5. Analiza critic ă, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise anterior.
Se vor selecta acum ideile originale sau a celor mai apropiate de solu ție.
6. Se vor afisa ideile rezultate în forme c ât mai variate si originale: cuvinte, propozitii,
colaje, imagini, desene.
Obiectivul fundamental constă în exprimarea liberă a opiniilor prin eliberarea de orice
prejudecăți. De aceea, acceptați toate ideile, chiar trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste,
așa cum vin ele în mintea elevilor , indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea
problemei. Pentru a determina progresul în învățare al elevilor cu rămâneri în urmă, este
necesar să fie antrenați în schimbul de idei. T oți elevii să își exprime opiniile!
Aplicația 1. Profesorul anunț ă tema: „Ecuația de gradul întâi” și prezintă elevilor
metoda BRAINSTORMING ca o metodă modernă de învățare prin cooperare. Se solicită ca
fiecare elev , timp de 30 de minute, să propună idei legate de tema enunțată. Profesorul
precizează că sunt admise toa te ideile și nu o să fie înlătur ată nici o variantă propusă de elevi.
Iată, câteva din ideile propuse de elevi:
– ecuația de gradul întâi are forma: ax+b=0, a≠0
– ecuațiile de gradul întâi sunt cu o necunoscută, de forma ax+b=0, a≠0 , cu două sau
mai multe necunoscute de forma ax + by + c = 0, a,b 0
– există ecuații echivalente 3x = 9, x Z și x – 4 = – 1, x Z
– există ecuații reductibile la forma ax = b
– o ecuațiea de gradul întâi dacă admite soluție,atunci aceasta, este unică
– exemple de ecuații, de gradul întâi cu o necunoscută: 0,2x – 5 = 1, 3(2), x R sau
ecuația
x – 2 =
, x R
– exemple de ecuații cu două necunoscute 17x + 28y = 45, x, y R sau 2,(3)x
y =
10, x, y R
– ecuații de gradul întâi pot fi rezolvate în N, Z, Q sau R
A fost făcută o analiză cu argumente și contra -argumente a ideilor scrise pe tablă. Ideile
rezultate au fost afișate, în final, sub formă de postere. Se realizează un moment de reflexie
asupra metodei folosite și asupra modului de implicare al fiecărui elev .
Aplicația 2. Profesorul anunță tema: „ Ecuația exponențiale. Ecuații logaritmice .” și
prezintă elevilor metoda BRAINSTORMING ca o metodă modernă de învățare prin
cooperare. Se solicită ca fiecare elev, timp de 30 de minute, să propună id ei legate de tema

47 enunțată. Profesorul precizează că sunt admise toate ideile și nu o să fie înlăturată nici o
variantă propusă de elevi.
Iată, câteva din ideile propuse de elevi:
– ecuația exponențială este ecuația în care necunoscuta este exponent
– ecuația logaritmică este ecuația în care necunoscuta este sub logaritm sau la baza
logaritmului
– forma generală a ecuației exponențiale este: = b, a 0, a 1, b 0
– forma generală a ecuației logaritmice este: lo = b, a 0, a 1
– exemple de ecuații exponențiale: = 125; = ; = 6.
– exemple de ecuații logaritmice: lo ( ) = 2; lo ( ) = lo ( ).
A fost făcută o analiză cu argumente și contra -argumente a ideilor scrise pe tablă.
Ideile re zultate au fost afișate, în final, sub formă de postere. Se realizează un moment de
reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de implicare a l fiecărui elev .

Ciorchinele este o metodă de brainstorming neliniară care stimulează găsirea
conexiunilor dintre idei. Poate fi utilizată atât în evocare prin inventarierea cunoștințelor
elevilor, cât și în etapa de reflecție. Această metodă reprezintă și un exercițiu de stimulare și
cultivare a creativității în grup, de afirmare a opiniilor perso nale. Deasemenea, poate fi
utilizată ca mijloc de rezumare a ceea ce s -a studiat, ca mod de construire a unor noi asocieri
sau ca mod de reprezentare grafică a noilor rațiuni. În general, este o modalitate de accesare a
propriilor cunoștințe, rațiuni sau c onvingeri despre un subiect.
La început, tema (care urmează a fi rezolvată) este scrisă în mijlocul tablei / foii de
hârtie , iar elevii sunt solicitați să î și noteze toate ideile care le vin în minte în legătură cu tema
respectivă, trăgându – se linii într e acestea și tema inițială. Pe măsură ce se scriu cuvinte, idei
noi, elevii vor trage linii între toate ideile care par a fi conectate. Activitatea se oprește când se
epuizează toate ideile sau când s -a atins limita de timp acordată. Etapele pot fi preceda te de
brainstorming în grupuri mici sau în perechi. În acest fel, se îmbogățesc și se sintetizează
cunoștințele. Rezultatele grupurilor se comunică profesorului care le notează la tablă într -un
ciorchine fără a le comenta sau judeca.
Aplicația 3. Profesor ul anunță tema: „ Ecuații de forma a +bx+c=0, a 0.” și prezintă
elevilor metoda ciorchinelui ca o metodă modernă de învățare prin cooperare. Timpul de lucru
este de 30 de minute. T ema anuțată este scrisă în mijlocul tablei / foii de hârtie, iar elevii sunt
solicitați să noteze toate ideile care le vin în minte în legătură cu tema respectivă, trăgându se

48 linii între acestea și tema inițială. Pe măsură ce se scriu cuvinte, idei noi, elevii vor trage linii
între toate ideile care par a fi conectate. Activi tatea se oprește când se epuizează toate ideile
sau când s -a atins limita de timp acordată .

Profesorului notează , ideile corecte, pe tablă într -un ciorchine . Se realizează un
moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de implicare al fiecărui elev.
Aplicația 4. Profesorul anunță tema: „ Ecuații trigonometrice .” și prezintă elevilor metoda
ciorchinelui ca o metodă modernă de învățare prin cooperare. Timpul de lucru este de 30 de
minute. Tema anuțată este scrisă în mijlocul tablei / foii de hârtie, iar elevii sunt solicitați să
noteze toate ideile care le vin în minte în legătură cu tema respectivă, trăgându -se linii între
acestea și tema inițială. Pe măsură ce se scriu cuvinte, idei noi, elevii vor trage linii între toate
Ecuații de forma
a𝒙𝟐+bx+c=0, a 0
a, b, c sunt
coeficienții
Folosim =𝑏 𝑎𝑐

𝑥 = 𝑏
𝑎

x

Relațiile lui Viète
S = 𝑥 𝑥 = 𝑏
𝑎
P= 𝑥 𝑥 = 𝑐
𝑎
Formăm ecuația:
– Sx + P = 0
𝑥 𝑏 √
𝑎
0

cazuri particulare
a + c = 0
a + bx = 0

Exemple: 𝑥 𝑥
5𝑥 𝑥
𝑥 9 = 0

49 ideile care par a fi conectate. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau c ând s -a
atins limita de timp acordată.

Profesorului notează, ideile corecte, pe tablă într -un ciorchine. Se realizează un moment
de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de implicare al fiecărui elev.

Metoda cubului este folosită în cazul în care se dorește explorarea unui subiect /
a unei situații din mai multe perspective – oferă posibilitatea de a dezvolta
competențele necesare unei abordări com plexe și integratoare, facilitează analiza unui
subiect din diferite puncte de vedere. Elevii sunt organizați în șase grupe. Se confecționează
un cub pe al e cărui fețe se scriu cuvintele : descrie , compară , analizează , asociază , aplică ,
argumentează . Elevii citesc un text sau realizează o investigație pe o temă dată. Se alege o
față a cubului pe care este scris unul din cele șase cuvinte. Se cere grupelor să examineze
tema dată din această perspectivă timp de cinci minute. În continuare, se procedează la fel cu
toate fețele cubului, purtându -se următoarele tipuri de discuții :
– descrie : Cum arată ? Ce se întâmplă?
Ecuații
trigonometrice
𝑥 = a
S=*( )𝑘 r 𝑎
𝑘𝜋 𝑘𝜖𝐙+
Exemplu:
𝑥 =

o 𝑥 𝑎
S = * r o 𝑎
𝑘𝜋 𝑘 𝐙+
o 𝑥

S=* r 𝑎
𝑘𝜋 𝑘 𝐙+
tg x = a
Alte tipuri de ecuații:
𝑥 o 𝑥 , a, b, c R
a ( 𝑥 o 𝑥) + b 𝑥 o 𝑥 = c

50 – compară : Ce este asemănător ? Ce este diferit ?
– asociază : La ce te îndeamnă să te gândești ?
– analizează : Din ce este făcut ? Din ce se compune ? Ce conține ?
– aplică : Ce poți face cu el ? Cum poți pune în practică ?
– argumentează : E bun ? E rău? Ești de acord?
După perioada de scriere, rugați elevii să „rostogolească" cubul și să își împărtășească
răspunsurile pentru fiecar e față a cubului.
Aplicația 5. Profesorul anunță tema “ Ecuații de forma ax+b=0, a 0. Inecuații de forma
ax+b 0 ( ), a 0” și prezintă elevilor metoda cubului ca o metodă modernă de
învățare prin cooperare. Se arată elevilor un cub din carton având fețele colorate diferit și
fiind inscripționate cu verbele: descrie, compară, asociază, analizează, aplică și argumentează.
Elevii sunt împărțiți în șase grupe, nu neaparat egale numeric. Echipele aleg un lider care va
arunca zarul pentru a alege verbul de finitoriu pentru grupă. Se împart fișele de lucru (fișele 1 –
6) corespunzătoare fiecărei grupe și se anunță timpul de lucru. Timp de 25 de minute elevii
lucrează în echipă la sarcina de lucru primită. Profesorul supraveghează activitatea elevilor și
dă indi cații acolo unde este nevoie. După perioada de scriere, elevii își împărtășesc
răspunsurile pentru fiecare față a cubului. Se realizează un moment de reflexie asupra metodei
folosite și asupra modului de implicare a fiecărui elev în echipa sa.

Fișa 1.
DESCRIE
– scrieți cum se numesc elementele care compun o ecuație de forma ax+b=0, a≠0
– scrieți etapele de rezolvare a unei inecuații de forma ax+b<0 (≤, >, ≥), a≠0
– scrieți interpretarea geometrică a ecuației de forma ax+b=0, a≠0
– scrieți interpretarea geometrică a unei inecuații de forma ax+b≥0 , a≠0
– scrieți rezolvați trei exemple de ecuații și trei exemple de inecuații

Fișa 2.
COMPARĂ
– realizați un scurt eseu –matematic în care să puneți în evidență asemănările și
deosebirile între ecuațiile forma ax+b=0, a≠0 și inecuații de forma ax+b<0 (≤, >, ≥), a≠0
– compară suluțiile inecuațiilor: 4(x+3) – 5 19, x R și 4(x+3) – 5 19, x R

51 Fișa 3.
ASOCIAZĂ
– asociați ecuațiilor și inecuațiilor din coloana A răspunsul corect din coloana B
Coloana A
1. 2x + 5 = 7, x R
2. 5x + 6 16, x R
3. 3(x – 2) + 1 5x + 9, x R
4. – 7x + 4 = 2x + 3, x R
Coloana B
a) ( 2)
b) – 2
c)

d) [ 7, + )
e) ( , 7]
f) ( , 2]
g)

h) 1

Fișa 4.
ANALIZEAZĂ
– anlizați care ecuații sunt echivalente:
a) 5x + 2(x + 3) = 6(x +2) – 1, x R
b) 3x + 8 = 20, x R
c) 2x – 1 = 9, x R
d) 4x + 5 = 21, x R
e) x – 3 = 1, x R
f) 7x + 6 = 6x + 11, x R

Fișa 5.
APLICĂ
– rezolvați în R ecuațiile și înecuațiile urmatoare:
a) 6x – 3 x – 5

52 b)

c)
+

d) 4(x 5) + 7 = 2x – 5
e) 0.2x + 0.(3) = 1,(5)x – 0,2(8)
f)
+ 9 = x

Fișa 6.
ARGUMENTEAZĂ
– să se justifice și să se analizeze valoarea de adevăr a propozițiilor:
a) „În inecuația ax+b 0, a≠0 dacă a 0, atunci x (
); iar dacă a 0,
atunci x (
)”
b) Proprietățile fundamentale ale modulului:
1. | | 0
2. | | = 0, dacă și numai dacă a = 0
3. | | = | | | |
4. | | | | + | |
Aplicația 6 . Profesorul anunță tema “ Ecuații reciproce ” și prezintă elevilor metoda
cubului ca o metodă modernă de învățare prin cooperare. Se arată elevilor un cub din carton
având fețele colorate diferit și fiind inscripționate cu verbele: descrie, compară, asociază,
analizează, aplică și argumentează. Elevii sunt împărțiți în șase grupe, nu neaparat egale
numeric. Echipele aleg un lider care va arunca zarul pentru a alege verbul definitor iu pentru
grupă. Se împart fișele de lucru (fișele 1 -6) corespunzătoare fiecărei grupe și se anunță timpul
de lucru. Timp de 25 de minute elevii lucrează în echipă la sarcina de lucru primită.
Profesorul supraveghează activitatea elevilor și dă indicații a colo unde este nevoie. După
perioada de scriere, elevii își împărtășesc răspunsurile pentru fiecare față a cubului. Se
realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de implicare a
fiecărui elev în echipa sa.

Fișa 1.
DESCRIE
– scrieți definiția ecuației reciproce de gradul n

53 – scrieți forma ecuației reciproce de gradul III, de gradul IV și de gradul V
– scrieți proprietățile generale ale ecuațiilor reciproce

Fișa 2.
COMPARĂ
– realizați un scurt eseu –matematic în care să puneți în e vidență asemănările și
deosebirile între ecuațiile reciproce de gradul III, de gradul IV și de gradul V
– exemplificați metoda de rezolvare a ecuațiilor reciproce de gradul III

Fișa 3.
ASOCIAZĂ
– asociați întrebărilor din coloana A răspunsul corect din coloana B
Coloana A
1. Care este forma generală a ecuației reciproce de gradul III ?
2. Dacă ecuația reciprocă are rădăcina atunci care este forma altei rădăcini ale
aceleași ecuații în funcție de
3. Ce rădăcină are orice ecuație reciprocă de grad impar?
4. Ecuația reciprocă de gradul V se reduce la rezolvarea ecuației x + 1 = 0 ți a unei
ecuații reciproce de gradul III sau de gradul IV ?
Coloana B
a)
b)
c) -1
d) gradul IV
e)

f) 1
g)
h) gradul III

Fișa 4.
ANALIZEAZĂ
– analizați ecuațiile reciproce de gradul II și de gradul VI

54 Fișa 5.
APLICĂ
– rezolvați ecuațiile:
a)
b)

Fișa 6.
ARGUMENTEAZĂ
– să se justifice și să se analizeze valoarea de adevăr a propozițiilor:
a) “Orice ecuație reciprocă de gra d impar are rădăcina x = -1”
b) “Dacă ecuația reciprocă admite rădăcina atunci admite și rădăcina

Turul galeriei este o metodă de învățare prin colaborare ce urmărește dezvoltarea și
exersarea gândirii, a capacității de a lua decizii întemeiat argumen tate, stimularea creativității
și a spiritului inovator, interacțiunea directă în grupul inițial și indirectă cu ceilalți colegi prin
intermediul produselor muncii acestora.
Elevii, organizați în grupe de trei sau patru, primesc o sarcină de învățare susceptibilă de
a avea mai multe soluții sau mai multe perspective de abordare. Produsele muncii grupului se
materializează într -o schemă, diagramă, inventar de idei notate pe un poster. Posterele se
expun pe pereții clasei, transformați a stfel într -o veri tabilă galerie. La semnalul profesorului,
grupurile trec pe rând, pe la fiecare poster pentru a examina soluțiile propuse de colegi.
Comentariile și observațiile “vizitatorilor” sunt scrise pe posterul analizat. După ce se încheie
“turul galeriei”, grupurile revin la poziția inițială și fiecare echipă își reexaminează produsul
muncii lor comparativ cu ale celorlalți și discută observațiile și comentariile notate de colegi
pe propriul poster.
Aplicația 7. Profesorul anunță tema “Ecuații . Inecuații. ” și prezintă elevilor metoda turul
galeriei ca o metodă modernă de învățare prin cooperare. Elevii sunt organizați pe grupe (4
grupe de 6 elevi) primind posterele și fișele de lucru (fișele 1 -4). Se precizează că fiecare
grupă are probleme diferite. Elev ii rezolvă problemele pe poster în 15 minute. Materialele
realizate, posterele, vor fi expuse în clasă în 4 locuri vizibile. Elevii la semnalul dat de
profesor, vor trece, pe rând pe la fiecare poster al colegilor de la altă grupă și vor studia
rezolvările col egilor, adugând ideile lor si nota propusă de ei . După ce fiecare grup a vizitat
„galeria” și a notat corespunzător productiile colegilor, se vor discuta notele primite și

55 obiectivitatea acestora, se vor face aprecieri și se vor corecta eventualele erori. Se realizează
un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de implicare a fiecărui elev
în echipa sa .

Fișa 1.
1. Scrieți definiția pentru ecuația de gradul I cu o necunoscută
2. Rezolvați, în R, ecuația: 1,4x +
= 0,1(5)

Fișa 2.
1. Scrieți definiția pentru ecuația de gradul I cu două necunoscut e
2. Rezolvați, în R, ecuația: 3x – 5y = 0,(45)

Fișa 3.
1. Scrieți definiția pentru inecuația de gradul I cu o necunoscută
2. Rezolvați, în R, inecuația: 4(x -5) +7 1,2(6) + 2x

Fișa 4.
1. Scrieți definiția pentru ecuația de gradul II cu o necunoscută
2. Rezolvați, în R, ecuația: 0,5 – 9x – 1 = 0
Aplicația 8. Profesorul anunță tema “Ecuații trigonometrice. ” și prezintă elevilor metoda
turul galeriei ca o metodă modernă de învățare prin cooperare. Elevii sunt organizați pe grupe
(4 grupe de 6 elevi) primind posterele și fișele de lucru (fișele 1 -4). Se precizează că fiecare
grupă are probleme diferite. Elev ii rezolvă problemele pe poster în 15 minute. Materialele
realizate, posterele, vor fi expuse în clasă în 4 locuri vizibile. Elevii la semnalul dat de
profesor, vor trece, pe rând pe la fiecare poster al colegilor de la altă grupă și vor studia
rezolvările colegilor, adugând ideile lor si nota propusă de ei . După ce fiecare grup a vizitat
„galeria ” și a notat corespunzător productiile colegilor,se vor discuta notele primite și
obiectivitatea acestora, se vor face aprecieri și se vor corecta eventualele erori.
Se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de
implicare a fiecărui elev în echipa sa .

Stănă șilă O. Breviar teoretic .Matematică clasa a X -a pag 78

56 Fișa 1.
1. Scrieți mulțimea soluțiilor pentru ecuația: = a
2. ٭Rezolvați ecuația: o √

Fișa 2.
1. Scrieți mulțimea soluțiilor pentru ecuația: o = a
2. ٭Rezolvați ecuația: 1 + o o

Fișa 3.
1. Scrieți mulțimea soluțiilor pentru ecuația: a
2. ٭Rezolvați ecuația: tg 3x – 2tg 4x + tg 5x = 0

Fișa 4.
1. Scrieți mulțimea soluțiilor pentru ecuația: a
2. ٭Rezolvați ecuația: 2 √ ( o ) = 1
Mozaicul este o metodă de învățare prin colaborare ce urmărește dezvoltarea și
exersarea gândirii, implicarea responsabilă a fiecărui elev în însușirea și transmiterea unor
informații corecte colegilor lor, deveniți la un moment dat auditoriu. Fiecare elev va trebui să
învețe toată lecția, dar va deveni expert doar în una din părțile lecției, pe care o va preda
celorlalți.
ETAPE:
1. Impărțirea clasei în g rupuri eterogene de 4 elevi, fiecare dintre aceștia primind câte o
fișă de învățare numerotată de la 1 la 4. Fișele cuprind părți ale unui material, ce urmează a fi
înțeles și discutat de către elevi.
2. Prezentarea succintă a subiectului tratat. Explicare a sarcinii de lucru și a modului în
care se va desfășura activitatea.
3. Regruparea elevilor, în funcție de numărul fișei primite, în grupuri de experți: toți
elevii care au numărul 1 vor forma un grup, cei cu numărul 2 vor forma alt grup s.a.m.d.
4. Invățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit fiecărui grup de experți. Elevii
citesc, discută, încearcă să înțeleagă cât mai bine, hotărăsc modul în care pot preda ceea ce au
înțeles colegilor din grupul lor originar.

57 5. Revenirea în grupul inițial și predarea secțiunii pregătite celorlalți membri. Dacă sunt
neclarități, se adresează întrebări expertului. Dacă neclaritățile persistă se pot adresa întrebări
și celorlalți membri din grupul expert pentru secțiunea respectivă.
6. Trecerea în revistă a materialului dat prin prezentare orală cu toată clasa.
Metoda Mozaicului are avantajul că implică toți elevii în act ivitate și că fiecare dintre ei
devine responsabil, atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți. De aceea,
metoda este foarte utilă în motivarea elevilor cu rămâneri în urmă: faptul că se transformă,
pentru scurt timp, în ”profesori” l e conferă un ascendent moral asupra colegilor
Aplicația 9. Profesorul anunță tema “Ecuații . Inecuații. ” și prezintă elevilor metoda
mozaicul ca o metodă modernă de învățare prin cooperare la nivelul unui grup și predarea
achizițiilor dobândite de către fiecare membru al grupului unui alt grup . Profesorul
atenționează elevii pentru a se implica responsabil, în cadrul activității, deoarece vor transmite
informații colegilor lor. Clasa este împărțită în grupuri de 4 elevi. F iecare dintre aceștia
primind cât e o fișă de învățare numerotată de la 1 la 4. Elevii sunt regrupați în funcție de
numărul fișei primite în grupuri de experți. Elevii citesc, discută, încearcă să înțeleagă cât mai
bine, hotărăsc modul în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor din gru pul lor originar.
Elevii revin în grupul inițial și predă, informațiile asimilate, celorlalți membri.
In finalul orei are loc t recerea în revistă a materialului dat prin prezentare orală cu toată
clasa. Se realizează un moment de reflexie asupra metodei f olosite și asupra modului de
implicare a fiecărui elev în echipa sa .
Fișa 1. Ecuații de forma ax + b = 0, a 0. Definiție. Modul de rezolvare. Reprezentarea
grafică. Proprietăți. Exemple.
Fișa 2. Ecuații de forma ax + by +c = 0. Definiție. Modul de rezol vare. Reprezentarea
grafică. Proprietăți. Exemple.
Fișa 3. Inecuații de forma ax+b<0 (≤, >, ≥), a≠0 . Definiție. Modul de rezolvare.
Proprietăți. Exemple.
Fișa 4. Ecuații de forma a +bx+c=0, a 0. Definiție. Modul de rezolvare. Proprietăți.
Relațiile lui Vi ète. Exemple .
Aplicația 10. Profesorul anunță tema “Ecuații și inecuații exponențiale. Ecuații și
inecuații logaritmice. ” și prezintă elevilor metoda mozaicul ca o metodă modernă de învățare
prin cooperare la nivelul unui grup și predarea achizițiilor dobândite de către fiecare membru
al grupului unui alt grup . Profesorul atenționează elevii pentru a se implica responsabil, în
cadrul activității, deoarece vor transmite informații colegilor lor. Clasa este împărțită în

58 grupuri de 4 elevi. F iecare dintre aceștia primind câte o fișă de învățare numerotată de la 1 la
4. Elevii sunt regrupați în funcție de numărul fișei primite în grupuri de experți. Elevii citesc,
discută, încearcă să înțeleagă cât mai bine, hotărăsc modul în care pot preda ceea ce au înțeles
colegilor din grupul lor originar. Elevii revin în grupul inițial și predă, informațiile asimilate,
celorlalți membri.
In finalul orei are loc t recerea în revistă a materialului dat prin prezentare orală cu toată
clasa. Se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de
implicare a fiecărui elev în echipa sa .
Fișa 1. Ecuații exponențiale . Definiție. Modul de rezolvare. Proprietăți. Exemple.
Fișa 2. Inecuații exponențiale . Definiție. Modul de rezolvare. Propr ietăți. Exemple.
Fișa 3 . Ecuații logaritmice . Definiție. Modul de rezolvare. Proprietăți. Exemple.
Fișa 4 . Inecuații logaritmice . Definiție. Modul de rezolvare. Proprietăți. Exemple.

Metoda “Pălăriilor gânditoare” stimul ează creativit atea participanților și se bazează
pe interpretarea de roluri în funcție de pălăria aleasă. Sunt 6 pălării gânditoare, fiecare
având câte o culoare: alb, roșu, galben, verde , albastru și negru. Membrii grupului își aleg
pălăriile și vor interpreta astfel rolul precis, așa cum consideră mai bine. Rolurile se pot
inversa, participanții sunt liberi să spună ce gândesc, dar să fie în acord cu rolul pe care îl
joacă.
Culoarea pălăriei este cea care definește rolul.
Pălăria albă : are un caracter neutru și se bazează pe fapte obiective, clare; imaginea
asupra realității este obiectivă.
Pățăria verde : stă sub semnul stimulării gândirii creative, incurajează elaborarea ideilor
noi.
Pălăria galbenă : promovează o gândire optimistă și e ste preocupată de construirea unei
imaginii pozitive asupra realității; susține atitudinea constructivă față de problemele analizate.
Pălăria roșie : simbolizează sentimente, presimțiri ; exploatează oportunitățile care
stimulează imaginația și sentimentele.
Pălăria albastră : supraveghează si controlează activitățile; exprimă controlul procesului
de gândire.
Pălăria neagră : aduce o perspectivă a gândirii pesimiste; exprimă prudență, analiză
amănunțită.

59 Se împart cele 6 pălării gânditoare elevilor și se oferă cazul supus discuției pentru ca
fiecare să -și pregătească ideile. Pălăria poate fi purtată individual – și atunci elevul respectiv
îi îndeplinește rolul – sau mai mulți elevi pot răspunde sub aceeași pălărie. În acest caz, elevii
grupului care interpret ează rolul unei pălării gânditoare cooperează în asigurarea celei mai
bune interpretări. Ei pot purta fiecare câte o pălărie de aceeași culoare, fiind conștienți de
faptul că:
pălăria albastră – clarifică
pălăria albă – informează
pălăria verde – generează ideile noi
pălăria galbenă – atitudine constructivă
pălăria neagră – identifică greșelile
pălăria roșie – spune ce simte despre …
Aplicația 11. Profesorul anunță tema „Ecuații de forma a +bx+c=0, a 0.” și prezintă
elevilor metoda „pălăriilor gânditoare” ca o metodă modernă de învățare prin cooperare.
Elevii sunt îm părțiți în 6 grupe. Membrii grupelor își aleg pălăriile și vor interpreta rolul așa
cum consideră mai bine. Rolurile se pot inversa, participanții sunt liberi să spună ce gândesc,
dar să fie în acord cu rolul pe care îl joacă. Culoarea pălăriei este cea care definește rolul :
– Grupa pălăriilor albastre : enunță definiția ecuației de gradul al doilea cu o
necunoscută
– Grupa pălări ilor albe : oferă formulele pentru determinarea soluțiilor = și
√

– Grupa pălăriilor verzi : prezintă cazurile particulare ale ecuației:
– Grupa pălăriilor galbene : scrie formulele pentru calcularea soluților, pe tablă
– Grupa pălăriilor negre : evidențiază greșelile
– Grupa pălăriilor roșii : evidențiază corectitudinea rezolvării ecuației și propune spre
rezolvare diferite exerciții
În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev , în echipa sa .
Aplicația 12. Profesorul anunță tema „Ecuații matriceale .” și prezintă elevilor metoda
„pălăriilor gânditoare” ca o metodă modernă de învățare prin cooperare. Elevii sunt îm părțiți
în 6 grupe. Membrii grupelor își aleg pălăriile și vor interpreta rolul așa cum consideră mai
bine. Rolurile se pot inversa, participanții sunt liberi să spună ce gândesc, dar să fie în acord
cu rolul pe care îl joacă. Culoarea pălăriei este cea care defin ește rolul :

60 – Grupa pălăriilor albastre : enunță definiția ecuației matriceale
– Grupa pălăriilor albe : oferă formulele det A 0, X = B, X = B
– Grupa pălăriilor verzi : prezintă c azurile particulare:A X = B, A X B = C
– Grupa pălăriilor galbene : scrie formulele pentru calcularea soluților, pe tablă
– Grupa pălăriilor negre : evidențiază greșelile
– Grupa pălăriilor roșii : evidențiază corectitudinea rezolvării ecuației și propune spre
rezolvare diferite exerciții
În final, se realizează un mo ment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev , în echipa sa .

Metoda „Știu/ Vreau să știu/ Am învățat” este o metodă de î nvățare prin colaborare
ce urmărește implicarea participanților ce știu deja despre o anumită temă și apoi se
formulează întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsului în lecție. Elevii formează perechi
și realizează o listă cu ceea ce știu despre tema dată.
Se construiește tabelul urmator:
Știu Vreau să știu Am învățat

Tabelul cuprinde:
– Inventarierea a ceea ce știu elevii sau cred că știu despre tema dată (trecute în prima
coloană)
– Așteptările, lucrurile despre care nu sunt siguri sau sunt curioși să afle despre tema
dată (trecute în a doua coloană)
Consemnările cu ceea ce au î nvățat, răspunsurile la ceea ce doreau să știe (trecute în a
treia coloană) .
Aplicația 13. Profesorul anunță tema „Ecuații de forma a +bx+c=0, a 0.” și prezintă
elevilor metoda „Știu/ Vreau să știu/ Am învățat ” ca o metodă modernă de învățare prin
cooperare. Este o metodă ce urmărește implicarea participanților ce știu unele noțiuni despre
acestă temă, vor să formuleze întrebări și să găsească răspunsu rile în lecție.
Se împarte clasa în grupe a câte 4 -5 elevi și fiecare grupă își va alege un căpitan care va
nota pe Fișa 1 . noțiunile cunoscute sau întrebările stabilite de membrii grupului. Profesorul
scrie tabelul, cu cele trei rubrici (știu, vreau să știu, am învățat), pe tablă și împarte elevilor
fișa de lucru Fișa 1. Timpul de lucru este de 15 minute. Elevii notează în rubrica „Știu” toate

61 noțiunile cunoscute (definiție, proprietăți, observații, formule, etc), iar în rubrica „Vreau să
știu” întrebări și curiozități despre tema anunțată. După citirea, de către elevi, a rubricilor din
tabel pr ofesorul completează pe tablă definiția, proprietățile, observațiile, formulele știute de
elevi, dar mai ales întrebările acestora. Profesorul răspunde la toate întrebările elevilor.
Elevii primesc a doua fișă de lucru Fișa 2., care conține exerciții din tema dată.
Profesorul asigurându – se că elevii au înțeles și asimilat toate noțiunile. După completarea
celei de a doua fișe de lucru, profesorul poartă o discuție cu elevii, scoțând în evidență ceea ce
știau la începutul activi tății și ce știu la sfârșitul ei, insistându -se pe ceea ce au aflat, noile
conținuturi, aici de fapt regăsindu -se ideea principală a lecției. În final, se realizează un
moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de implicare a fiecărui el ev, în
echipa sa .

Fișa 1.
Știu Vreau să știu Am învățat
Definiția.

Formulele 4ac,
√

Proprietățile
,

√

Cum rezolvăm
– 9 = 0 ?

Cum rezolvăm
x² 7x = 0 ? Metoda 1.
= 9, aplică √ și obținem

Metoda 2. Descompunem
(x – 3)(x + 3) = 0 si avem

Metoda 3. și

Metoda 1.
x(x – 7) = 0 și avem = 0
și = 7
Metoda 2. și =
0, = 7

Fișa 2.
Rezolvați, în R, următoarele ecuații:
1) – 7x + 6 = 0
2) + 4x + 4 = 0
3) – 3x + 5 = 0

62 4)
5) + 20x = 0
Aplicația 14. Profesorul anunță tema „Ecuații exponențiale. Ecuații logaritmice .” și
prezintă elevilor metoda „Știu/ Vreau să știu/ Am învățat ” ca o metodă modernă de învățare
prin cooperare. Este o metodă ce urmărește implicarea participanților ce știu unele noțiuni
despre acestă temă, vor să formuleze întrebări și să găsească răspunsu rile în lecție.
Se împarte clasa în grupe a câte 4 -5 elevi și fiecare grupă își va alege un căpitan care va
nota pe Fișa 1 . noțiunile cunoscute sau întrebările stabilite de membrii grupului. Profesorul
scrie tabelul, cu cele trei rubrici (știu, vreau să știu, am învățat), pe tablă și împarte elev ilor
fișa de lucru Fișa 1. Timpul de lucru este de 15 minute. Elevii notează în rubrica „Știu” toate
noțiunile cunoscute (definiție, proprietăți, observații, formule, etc), iar în rubrica „Vreau să
știu” întrebări și curiozități despre tema anunțată. După citirea, de către elevi, a rubricilor din
tabel profesorul completează pe tablă definiția, proprietățile, observațiile, formulele știute de
elevi, dar mai ales întrebările acestora. Profesorul răspunde la toate întrebările elevilor.
Elevii primesc a doua fișă de lucru Fișa 2., care conține exerciții din tema dată.
Profesorul asigurându – se că elevii au înțeles și asimilat toate noțiunile. După completarea
celei de a doua fișe de lucru, profesorul poartă o discuție cu elevii, scoțând în evidență ceea ce
știau la începutul activității și ce știu la sfârșitul ei, insistându -se pe ceea ce au aflat, noile
conținuturi, aici de fapt regăsindu -se ideea principală a lecției. În final, se realizează un
moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de implicare a fiecărui elev , în
echipa sa .

Fișa 1.
Știu Vreau să știu Am învățat
Definițiile.
Condițiile de existență
lo a 0, a 1.
Proprietățile
logaritmilor.
Clasificarea ecuațiilor
exponențiale și a
ecuațiilor logaritmice
Cum rezolvăm
= 90 ?

Cum rezolvăm
lo ( ) lo ( ) ? Notăm ,
determinăm t = 3 și
calculăm x = 1.
Avem condițiile
8x + 5 0, x + 2 0
Aplicăm proprietățile
lo
= lo
Soluția este x = 9

63 Fișa 2.
Rezolvați următoarele ecuații:
1. =

2. .
/
√
3. =0
4. lo ( ) = lo ( )
5. lo (lo (lo ( ))) = 0

Metoda SINELG (Sistemul Interactiv de Notare pentru Eficientizarea Lecturii și a
Gândirii) este o metodă de menținere a implicării active a gândirii elevilor în citirea unui text,
de monitorizare a gradului de înțelegere a unui conținut de idei, de învățare eficientă c e
urmărește să realizeze auto -actualizarea pentru a face conexiuni și interrelații cu noile
cunoștințe, să angajeze activ elevii în maximizarea înțelegerii, sporind eficiența învățării și
asigurându -i astfel durabilitatea.
ETAPE:
1. Elevii notează tot ceea ce știu despre tema dată, nu e important dcă e corect sau nu
2. Se enunță tot ceea ce s -a scris, fiecare citește ce a scris, profesorul notează pe tablă
3. Se discută neconcordanțele și se reține ce este important pentru temă
4. Elevilor li se împarte un text sau citesc din manuale paragrafele despre subiectul
respectiv
5. Trebuie să noteze cu creionul următoarele semne:
 reprezintă : confirmarea a ceea ce stiam
+ reprezintă : informație nouă pentru mine
repre zintă: informația e diferită față de ce știam
? reprezintă: nu am înțeles, mi se pare confuz
6. Are loc o dezbatere pe tema lecției, realizându -se urmatorul tabel pe tablă
 ?

Aplicația 15. Profesorul anunță tema „Inecuații de forma a +bx+c 0, ( )
.” și prezintă elevilor metoda SINELG ca o metodă modernă de învățare prin cooperare.

64 Profesorul împarte elevilor fișa de lucru, Fișa 1 , explicându -le cum se completează.
Elevii citesc din manuale definiția, modul de rezolvare, proprietățile, observațiile ș i
exemplele. În timpul lecturii lecției , elevii sunt sfătuiți să pună lângă paragrafe semne le din
fișa de lucru. După lecturare elevii completează fișa de lucru. La terminarea completării fișei
de lucru,elevii formez ă o pereche cu colegul de bancă și disc ută preț de câteva minute ceea ce
au constatat fiecare dintre ei.
Se trece în revistă frontal, cu toată clasa, informațiile scoase la fiecare semn,
clarificându -se problemele, confuziile, dubiile sau lacunele. În final, se realizează un moment
de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de implicare a fiecărui elev .

Fișa 1.
Completați tabelul:

 ?
Definiția.
Formulele:
∆=b² – 4ac,
√

Proprietățile

, =

=
√

Obsevația: atașăm
ecuația înainte de a
calcula soluțiile.

Dacă atunci
peste tot avem
semnul lui a.

În cazurile de
ecuații incomplete,
găsirea soluțiilor
ecuațiilor se poate
face în mai multe
moduri nu doar
folosind formulele
de la ecuația de
gradul II. Prin
factor comun,
descompuneri sau
folosin radicalul .
Rezolvarea
exercițiului + 9
0.

 reprezintă : confirmarea a ceea ce stiam
+ reprezintă : informație nouă pentru mine
repre zintă: informația e diferită față de ce știam
? reprezintă: nu am înțeles, mi se pare confuz
Aplicația 16. Profesorul anunță tema „Inecuații exponențiale și logaritmice .” și
prezintă elevilor metoda SINELG ca o metodă modernă de învățare prin cooperare.

65 Profesorul împarte elevilor fișa de lucru, Fișa 1 , explicându -le cum se completează.
Elevii citesc din manuale definiția, modul de rezolvare, proprietățile, observațiile și
exemplele. În timpul lecturii lecției , elevii sunt sfătuiți să pună lângă paragrafe semne le din
fișa de lucru. După lecturare elevii completează fișa de lucru. La terminarea completării fișei
de lucru,elevii formez ă o pereche cu colegul de bancă și discut ă preț de câteva minute ceea ce
au constatat fiecare dintre ei.
Se trece în revistă frontal, cu toată clasa, informațiile s coase la fiecare semn,
clarificându -se problemele, confuziile, dubiile sau lacunele. În final, se realizează un moment
de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de implicare a fiecărui elev .

Fișa 1.
Completați tabelul:

 ?
Definiția.

Condițiile de
existență.

Proprietățile.

Pașii de rezolvare
Obsevația:
rezolvarea
inecuațiilor se
bazează pe
proprietățile de
monotonie ale
funcțiilor
exponențiale și
logaritmice. Obsevație: atât
funcția
exponențială cât și
funția logaritmică
sunt cr ecătoare
dacă baza este
supraunitară și
descrescătoare
dacă baza este
subunitară. Rezolvarea
exercițiului
lo
( ) 8

 reprezintă : confirmarea a ceea ce stiam
+ reprezintă : informație nouă pentru mine
repre zintă: informația e diferită față de ce știam
? reprezintă: nu am înțeles, mi se pare confuz

Diagrama VEEN are rolul de a reprezenta sistematic, într -un mod cât mai creativ,
asemănările și deosebirile evidente dintre două categorii de operații matematice. Dă rezultate
deosebite la activ itatea în echipă.
ETAPE:

66 1. Fiecare elev desenează două cercuri care se suprapun parțial
2. Profesorul prezintă cele două elemente care urmează să fie comparate, duă pă care,
lucrând individual, elevii vor con semna în intersecția cercurilor noțiunile comune, iar în
zonele în care cercurile nu se suprapun , vor nota , diferențele elementelor
3. Lucrând în grupuri mici, elevii vor ajune la un numitor comun, iar cel desemnat să fie
purtător de cuvânt va prezenta intregii clase opinia grupului
Aplicația 17. Profesorul anunță tema „Ecuații de forma ax + b = 0, a 0. Inecuații de
forma ax+b<0 (≤, >, ≥), a≠0 .” și prezintă elevilor metoda „Diagrama VEEN” ca o metodă
modernă de învățare prin cooperare. Metoda are rolul de a reprezenta sistematic, într -un mod
cât mai creativ, asemănările și deosebirile evidente dintre două categorii de operații
matematice. Profesorul împarte elevii în grupuri de 4 – 5 elevi și distribuie fișele de lucru.
Elevii, după ce primesc fișa de lucru, Fișa 1. , completează asemănările și d eosebirile
dintre ecuații și inecuații. Timpul de lucru este de 20 minute. Elevii cconfruntă ideile
exprimate în fișa de lucru, iar la sfârșitul timpului stabilit fiecare reprezentant al grupurilor
prezintă opiniile întregii clase. În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei
folosite și asupra modului de implicare a fiecărui elev.
Fișa 1.
Completați în diagrama Wenn ceea ce știți voi despre ecuații si inecuații:

Aplicația 18. Profesorul anunță tema „Ecuații reciproce de gradul III. Ecuații reciproce
de gradul IV .” și prezintă elevilor metoda „Diagrama VEEN” ca o metodă modernă de

–

ECUAȚII
INECUAȚII
– soluția este unică
(dacă soluția există)
-forma ecuației
-apare doar semnul =
-soluția este
formată din
mai multe
numere (dacă
soluția există)
-forma
inecuației
-nu apare
semnul =
-au o singură necunoscută
-algoritmul de rezolvare
-necunoscuta are gradul
întâi

67 învățare prin cooperare. Metoda are rolul de a reprezenta sistematic, într-un mod cât mai
creativ, asemănările și deosebirile evidente dintre două categorii de operații matematice.
Profesorul împarte elevii în grupuri de 4 – 5 elevi și distribuie fișele de lucru.
Elevii, după ce primesc fișa de lucru, Fișa 1. , completează a semănările și deosebirile
dintre ecuațiile reciproce de gradul III și ecuațiile reciproce de gradul IV. Timpul de lucru este
de 20 minute. Elevii cconfruntă ideile exprimate în fișa de lucru, iar la sfârșitul timpului
stabilit fiecare reprezentant al grupu rilor prezintă opiniile întregii clase. În final, se realizează
un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.
Completați în diagrama Wenn ceea ce știți voi despre ecuațiile reciproce de gradul III și
IV:

Metoda R.A.I . are la bază stimularea și dezvoltarea capacităților elevilor de a comunica
(prin întrebări și răspunsuri) ceea ce tocmai au învățat. Denumirea provine de la inițialele
cuvintelor Răspunde – Aruncă – Interoghează și se desfășoară astfel: la sfârșitul unei lecții
sau a unei secvențe de lecție, profesorul împreună cu elevii săi, printr -un joc de aruncare a
unei mingi mici și ușoare de la un elev la altul. Cel care aruncă mingea trebuie să pună o

–

Forma de scriere.

Algoritmul de rezolvare
(x+1),𝑎𝑥 (𝑏 𝑎)𝑥
𝑎- .

Numărul soluțiilor.

Forma de
scriere.

Algoritmul de
rezolvare:
𝑦 𝑥
𝑥 ,
𝑎𝑦 𝑏𝑦
𝑐 𝑎 .

Numărul
soluțiilor.

Sunt cazuri
particulare ale
ecuațiilor
reciproce de
gradul n.

Au coeficienții
simetrici.

Au o singură
necunoscută.
Ecuații reciproce
de gradul III
Ecuații reciproce
de gradul IV

68 întrebare din lecția predată celui care o prinde. Cel care prinde mingea răspunde la întrebare și
apoi aruncă mai departe altui coleg, punând o nouă întrebare. Evident interogatorul trebuie să
cunoască și răspunsul întrebării adresate. Elevul care nu cunoaște răspunsul iese d in joc, iar
răspunsul va veni din partea celui care a pus întrebarea. Acesta are ocazia de a mai arunca
încă o dată mingea, și, deci, de a mai pune o întrebare. În cazul în care, cel care interoghează
este descoperit că nu cunoaște răspunsul la propria înt rebare, este scos din joc, în favoarea
celui căruia i -a adresat întrebarea. Eliminarea celor care nu au răspuns corect sau a celor care
nu au dat niciun răspuns, conduce treptat la rămânerea în grup a celor mai bine pregătiți.
Metoda R.A.I. poate fi folos ită la sfârșitul lecției, pe parcursul ei sau la începutul
activității, când se verifică lecția anterioară, înaintea începerii noului demers didactic, în
scopul descoperirii, de către profesor ce asistă la joc, a eventualelor lacune în cunoștințele
elevilo r și a reactualizării ideilor .
Pot fi sugerate următoarele întrebări:
– Ce știi despre …. …?
– Care sunt ideile principale ale lecției ……..?
– Despre ce ai învățat în lecția ……….?
– Care este importanța faptului că ………..?
– Cum justific i faptul că …………. ?
Metoda poate fi organizată cu toată clasa sau pe grupe mici, fiecare deținând câte o
minge. Membrii grupurilor se autoelimină treptat, rămânând cel mai bun din grup. Acesta
intră apoi în finala câștigătorilor de la celelalte gr upe, jocul desfășurându -se până la
rămânerea în cursă a celui mai bine pregătit.
Aplicația 19. Profesorul anunță tema „Ecuații de forma a +bx+c=0, a 0.” și prezintă
elevilor metoda R.A.I. ca o metodă mod ernă de învățare prin cooperare. Sunt prezentate
regulile metodei ca fiind:
– se aruncă o minge de la un elev la alt elev
– elevul care aruncă mingea adresează o întrebare din tema anunțată
– elevul care primește mingea dacă răspunde corect aruncă mingea spre a lt coleg, dacă
răspunsul nu este corect elevul părăsește jocul
– dacă un elev părăsește jocul, atunci, elevul care a adresat întrebarea răspunde la
întrebare și mai aruncă mingea spre alt coleg
– este declarat câștigător elevul care știe să răspundă la toate î ntrebările
Câteva din întrebările elevilor:

69 – Care este forma generală a ecuației ?
– Cum se calculează deteminantul ecuației ?
– Care sunt formulele pentru calcularea soluțiilor ecuației ?
– Care sunt soluțiile ecuației dacă ?
– Care sunt soluțiile ecuației dacă ?
– Cum rezolvăm ecuația dacă b = 0 ?
– Cum rezolvăm ecuația dacă b = 0 și c = 0 ?
În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev.
Aplicația 20. Profesorul anunță tema „Ecuații trigonometice .” și prezintă elevilor
metoda R.A.I. ca o metodă mod ernă de învățare prin cooperare. Sunt prezentate regulile
metodei ca fiind:
– se aruncă o minge de la un elev la alt elev
– elevul care aruncă mingea adresează o întrebare din tema anunțată
– elevul care primește mingea dacă răspunde corect aruncă mingea spre alt coleg, dacă
răspunsul nu este corect elevul părăsește jocul
– dacă un elev părăsește jocul, atunci, elevul care a adresat întrebarea răspunde la
întrebare și mai aruncă mingea spre alt coleg
– este declarat câștigător elevul care știe să răspundă la toate întrebările
Câteva din întrebările elevilor:
– Care este definiția pentru ecuațiile trigonometrice ?
– Care este mulțimea soluțiilor pentru ecuația a ?
– Care este mulțimea soluțiilor pentru ecuația a ?
– Cum se rezolvă ecuațiile de forma b o = c, a, b, c R ?
– Cum se rezolvă ecuațiile simetrice în sin și cos ?
– Care sunt asemănările și deosebirile între funcțiile trigonometrice ?
– Cum se r ezolvă ecuațiile omogene în sin și cos ?
În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev.

Metoda piramidei sau bulgărele de zăpadă este o metodă interactivă centrată pe elev,
fiind, de fapt, o împletire a activității individuale și cea pe grupe de elevi. Această metodă
presupune mai întâi activitatea individuală a fiecărui elev, rezultatele acestei activități fiind

70 discutate mai depar te în grupe de elvi, pentru a ajunge la sfârșit la rezolvarea problemei
propuse.
ETAPE:
1. Etapa individuală : elevilor li se dă o scurtă perioadă de timp, de obicei 5 minute,
pentru a rezolva fiecare o anumită problemă, un anumit subiect
2. Etapa pe p erechi : elevii se grupează câte doi, în pereche, verificându -și reciproc
rezultatul obținut la problema propusă inițial, dar și răspunzând reciproc la întrebările care
apar în interiorul perechii.
3. Etapa pe grupuri : se forme ază grupe de către patru elevi. Elevii verifică rezultatele
obținute, formează un nou răspuns la problema propusă inițial , la formularea lui aducându -și
aportul fiecare elev din grup, răspunzând la toate întrebările care apar între membrii grupului.
4. Etapa pe întreaga clasă : grupurile își aleg un reprezentant care prezintă în fața
întregii clase rezultatele finale la care au ajuns membrii grupului . Acestea sunt no tate de către
profesor pe tablă. Se vor evidenția răspunsurile care se aseamănă și cele care sunt diferite, la
sfârșit trăgându -se concluziile asupra problemei propuse inițial.
Aplicația 21. Profesorul anunță tema „Ecuații. Aplicații .” și prezintă elevilor metoda
piramidei sau bulgărele de zăpadă ca o metodă modernă de învățare prin cooperare .
Profesorul explică etapele aplicării metodei:
1. Exercițiile din prima parte a fișei de lucru sunt lucrate individual timp de 5 minute
2. Se formează grupe de câte doi elevi (elevii din aceeași bancă) care după ce verifică
rezultatele obținute la exercițiile din prima parte, vor rezolva împreună exercițiile din partea a
II-a a fișei de lucru timp de 10 minute
3. Se formează grupe de câte patru elevi (elevii din băncile alăturate) care după ce verifică
rezultatele obținute la exercițiile din primele două părți, vor rezolva împreună exercițiile din
partea a III -a a fișei de lucru timp de 15 minute
4. Fiecare grupă își alege un lider care va prezenta clasei rezultatele obținute
5. Se vor compara rezultatele obținute, se vor evidenția rezultatele corecte și se va
răspunde la întrebări
În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.
I. Rezolvați, în R, ecuațiile:

71 a) x + 5 = 7
b) x – y + 6 = 0
c) + 4x + 3 + 0
II. Rezolvați, în R, ecuațiile:
a) 5(x+2) + 17 =
– 4
b) 2x – 5y – 6 = 0
c) – 9 = 0
III. Rezolvați, în R, ecuațiile:
a) 2,3(x + 1) – 5 = x + 0,(7)
b)
+ 5y –
= 0
c) + 4x + 5 = 0
Aplicația 22. Profesorul anunță tema „Ecuații matriceale .” și prezintă elevilor metoda
piramidei sau bulgărele de zăpadă ca o metodă modernă de învățare prin cooperare.
Profesorul explică etapele aplicării metodei:
1. Exercițiile din prima parte a fișei de lucru sunt lucrate individual timp de 5 minute
2. Se formează grupe de câte doi elevi (elevii din aceeași bancă) care după ce ver ifică
rezultatele obținute la exercițiile din prima parte, vor rezolva împreună exercițiile din partea a
II-a a fișei de lucru timp de 10 minute
3. Se formează grupe de câte patru elevi (elevii din băncile alăturate) care după ce verifică
rezultatele obținut e la exercițiile din primele două părți, vor rezolva împreună exercițiile din
partea a III -a a fișei de lucru timp de 15 minute
4. Fiecare grupă își alege un lider care va prezenta clasei rezultatele obținute
5. Se vor compara rezultatele obținute, se vor eviden ția rezultatele corecte și se va
răspunde la întrebări
În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.
I. Rezolvați ecuațiile:
a) X (
) = (
)

72 b) (
) X = (
)
II. Rezolvați ecuațiile:
a) (
) X – (
) = (
)
b) X
(

) =
(

)
III. Rezolvați ecuația:
(

) X
(

) =
(

)

Jocul matematic este format dintr -un ansamblu de acțiuni care face accesibilă
asimilarea cunoștințelor in procesul instructiv -educativ. Cunoscând locul pe care jocul îl
ocupă în viața copilului se înțelege eficiența folosirii lui în procesul instructiv -educativ
Jocul matematic poate fi sub form ă de: rebus, cuvinte încrucișate, probleme cu con ținut
haios, dezlegarea unor puzzle, Tangram, ghicitori, etc. Folosind jocul:
– elevul învață de plăcere cu un minim de efort
– elevul devine foarte interesat de activitate a pe care o desfășoară
– îi facem pe elevii timizi să devină mai volubili
– elevul nu este constrâns, ci este motivat intrinsec
– elevul iese din egocentrismul său și învață să colaboreze
– elevul își reglementează comportamentul
Aplicația 23. Profesorul anunță tema „Ecuații .” și prezintă elevilor metoda „Jocul
matematic” ca o metodă modernă de învățare prin cooperare. Profesorul împarte elevii în
grupuri de 4 – 5 elevi și distribuie fișele de lucru. Fiecare elev primește o fișă de lucru.
Timpul pentru rezolvarea fiecărui exercițiu este de 10 minute.
În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.

73 1. Știind că fiecărei litre îi corespunde un număr, rezolvații ecuațiil e pentru a găsi cuvântul
căutat. Soluției fiecărei ecuații îi este asociată litera corespunzătoare.
A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9, J=10, K=11, L=12, M=13, N=14,
O=15, P=16, Q=17, R=18, S=19, T=20, U=21, V=22, X=23, Y=24, Z=25.
Rezolvați, în N, ecuațiile:
a) x + 7 = 12
b) + 9 = 0
c) 2x +1 = 43
d) + 1 = 0
e) 2(x + 3) + 4 = x + 30
f)
g) x– 3 = 2
Cuvântul căutat este:
a) b) c) d) e) f) g)

2. Rezolvați rebusul pentru a determina cuvântul cautăt, pe verticală.

A
1

2

3

4

5

6

7
B

74 1. Aparține unei ecuații
2. Numărul „vecin” cu litera într-o ecuație
3. Rezultatul adunării
4. ( )
5. Stabilește dacă ecuația de gradul II are soluții
6. Rezultatul ecuației
7. Se aseamănă cu ecuația

3. Compuneți un rebus matematic, astfel încât pe verticală să fie cuvântul „inecuație”

Aplicația 24. Profesorul anunță tema „Ecuații .” și prezintă elevilor metoda „Jocul
matematic” ca o metodă modernă de învățare prin cooperare. Profesorul împarte elevii în
grupuri de 4 – 5 elevi și distribuie fișele de lucru. Fiecare elev primește o fișă de lucru.
Timpul pentru rezolvarea fiecărui exercițiu este de 10 minute
În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.

1. Știind că fiecărei litre îi corespunde un număr, rezolvații ecuațiile pentru a găsi
cuvântul căutat. Soluției fiecărei ecuații îi este asociată litera corespunzătoare.

A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9, J=10, K=11, L=12, M=13, N=14, O=15,
P=16, Q=17, R=18, S=19, T=20, U=21, V=22, X=23, Y=24, Z=25.

Rezolvați, î n N, ecuațiile:
a)
b) + 9 = 0
c) lo
d)
e) lo
f) lo
g) 2(x + 1) + 3 = x + 10

75 Cuvântul căutat este:

a) b) c) d) e) f) g)

2. Rezolvați rebusul pentru a determina cuvântul cautăt, pe verticală

A
1

2

3

4
B

1. Metodă de predare – învățare prim cooperare
2. Se aseamănă cu ecuația
3. Metodă de predare – învățare prim cooperare
4. ( )

Instruirea asistată de calculator (I. A. C.) reprezint ă o metod ă didactic ă ce valorific ă
principiile de modelare si de analiz ă cibernetic ă a activit ății de instruire în contextul noilor
tehnologii informa ționale și comunica ționale . Elevul parcurge în ritm propriu un con ținut de
instruire cu ajutorul unui program , de un anumit tip , care îi asigur ă posibilitatea autoverific ării
după fiecare pas și îi ofer ă, prin tehnica de elaborare, condi ții de reusit ă. Calculatorul are
avantajul de a îmbina în modul cel mai util imaginea, sunetul si comentariul ceea ce
stimuleaz ă gradul de participare a ele vului si intensitatea activit ății pe care o depune mental.
Conceptul de asistare a procesului de învățămînt cu calculatorul include :
– Predarea unor lecții de comunicare de cunoștințe
– Aplicarea, consolidarea, sistematizarea noilor cunoștințe

76 – Verificarea aut omată a unei lecții sau a un ui grup de lecții
– Trecerea mai rapidă de la operațiile concrete la cele formale
– Dezvoltarea gândirii și precizia operațiilor mentale
– Creșterea motivației pentru învățare
Aplicația 25. Profesorul anunță tema „Ecuații de forma ax + b = 0, a 0.” și prezintă
elevilor metoda „Instruirea asistată de calculator” ca o metodă modernă de învățare prin
cooperare.
Lecția se desfășoară în laboratorul de informatică. Profesorul arată elevilor un film, în
care este este prezentată lecția sub formă de poveste. În cadrul programului sunt evidențiate
principalele idei ale lecției. La sfârșitul vizionării programului, elevii vor completa fișa de
lucru distribuită de profesor.
În final, se realizează un moment de reflexie as upra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.
1. Enunțați definiția
2. Scrieți cum se rezolvă o ecuație
3. Scrieți exemple de ecuații
4. Enunțați o părere despre această metodă

Aplicația 26. Profesorul anunță tema „Ecuații trigonimetrice .” și prezintă elevilor
metoda „Instruirea asistată de calculator” ca o metodă modernă de învățare prin cooperare.
Lecția se desfășoară în laboratorul de informatică. Profesorul arată elevilor un film, în
care este este prezentată lecția su b formă de poveste. În cadrul programului sunt evidențiate
principalele idei ale lecției. La sfârșitul vizionării programului, elevii vor completa fișa de
lucru distribuită de profesor.
În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosit e și asupra modului
de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.
1. Enunțați definiția
2. Scrieți toate tipurile de ecuații observate
3. Scrieți mulțimea soluțiilor ecuațiilor

77 4. Scrieți exemple de ecuații
5. Enunțați o părere despre această metodă

Problematizarea este modalitatea de a cre ea în mintea elevului o stare (situa ție)
conflictual ă intelectual ă pozitiv ă, determinat ă de necesitatea cunoa șterii unui obiect,
fenomen, proces sau a rezolv ării unei probleme teoretice sau practice pentru a ob ține progres
în pregatire . A mai fost denumită predare prin rezolvare de probleme sau rezolvarea
productivă de probleme.
ETAPE:
– Identificarea problemei
– Stabilirea ipotezelor de lucru
– Strângerea informațiilor necesare
– Luarea deciziilor corecte
– Aplicarea lor practică
– Verificarea și generalizarea rezultatelor
Aplicația 27. Profesorul anunță tema „Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor .”
și prezintă elevilor metoda „problematizarea” ca o metodă modernă de învățare prin
cooperare.
Elevii primesc fișa de lucru și au la dispozi ție 30 minute pentru rezolvarea problemelor
din fișă. După terminarea timpului anunțat, profesorul împreună cu elevii discută și analizează
rezolvarea problemelor din fișă de către elevi. Sunt remarcate și apreciate răspunsurile corecte
și originale. În fi nal, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra
modului de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.
1. Determinați două numere reale, știind că suma lor este 1045 și că al doilea este mai
mare cu 17 decât triplul primului număr.
2. Amalia a cumpărat 8 kg de mere și 4 kg de ananas, plătind 56 de lei. Știind că un kg
de ananas costă de 5 ori mai mult decât un kg de mere, aflați cât costă un kg de ananas.
3. Aflați două numere, știind că suma lor este 18 și că împărțind primul număr la al
doilea număr obținem câtul 5 și restul 6.

78 4. Silvia are în biblioteca personală 148 de cărți. Pe rasftul din mijloc sunt cu 6 cărți
mai multe decât pe cel de jos și cu 10 cărți mai puține decât pe raftul de sus. Câte cărți sunt pe
fiecare raft ?
5. Diferența a două numere naturale este 6, iar suma lor este 40. Determinați numerele.
6. Rebeca citește următoarea statistică: elevii participanți la faza județeană a olimpiadei
de matematică au fost premiați astfel: 10 au luat premiul I, 14 au luat premilul II, 16 au
luat premiul III, iar mențiuni au primit 40 din numărul elevilor participanți; 40 de elevi nu
au luat premii sau mențiuni. Ajutați – o pe Rebeca să afle câți elevi au participat la olimpiadă.
Aplicația 28. Profesorul anunță tema „Probleme care se rezolv ă cu ajutorul ecuațiilor .”
și prezintă elevilor metoda „problematizarea” ca o metodă modernă de învățare prin
cooperare.
Elevii primesc fișa de lucru și au la dispoziție 30 minute pentru rezolvarea problemelor
din fișă. După terminarea timpului anunțat, profesorul împreună cu elevii discută și analizează
rezolvarea problemelor din fișă de către elevi. Sunt remarcate și apreciate răspunsurile corecte
și originale. În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra
modului de im plicare a fiecărui elev.

Fișa 1
1. Să se determine valorile parametrului m R, astfel încât ecuația ( )
= 0, să nu aibă soluții.
2. Să se determine valorile parametrului m R, astfel încât ecuația
să aibă o rădăcină triplă cel eilalte.
3. Discutați natura și semnul rădăcinilor ecuației ( )
4. Formați ecuația de gradul al II – lea știind că și
5. Formați ecuația de gradul al II – lea știind că S = 5 și = 13.

Algoritmizarea este definită ca metoda de predare -învățare const ând în utilizarea și
valorificarea algoritmilor . Algoritmii reprezintă succesiuni de operații folosite într-o ordine
aproximativ constantă, prin parcurgerea cărora se ajunge la rezolvarea unei serii întregi de
probleme de același tip.
Exista mai multe tipuri de algoritmi:
– algoritmi de recunoastere
– algoritmi de rezolvare de probleme

79 – algoritmi de consolidare
– algoritmi de transformare
– algoritmi de creație
Aplicația 29. Profesorul anunță tema „Ecuații de forma a +bx+c=0, a 0.” și prezintă
elevilor metoda „algoritmizarea” ca o metodă modernă de învățare prin cooperare.
Elevii, în timp ce primesc fișa de lucru, sunt atenționați, de către profesor, că este foarte
important ca să evidețieze pașii (algoritmii) de rezolvare și nu do ar rezolvarea corectă a
exercițiilor. Timpul de lucru este de 30 minute. După terminarea timpului stabilit inițial, elevii
prezintă rezolvarea exercițiilor la tablă. Sunt evidențiate rezolvările corecte, dar mai ales
rezolvările meticuloase, originale și c are evidențiază algoritmii de rezolvare folosiți.
În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.
I. Rezolvații ecuațiile și evidențiați algoritmii folosiți
1. + 2 = 0
2. + 1 = 0
3.
4.
5.
II. Formați ecuația de gradul al II – lea cunoscând:
1.
2.
III. Rezolvați ecuațiile:
1. ( ) 8 = (x – 3)(x + 3) + 4
2. ( ) + 2 = (x – 2)(x + 3) – 6

Aplicația 30. Profesorul anunță tema „Ecuații matriceale .” și prezintă elevilor metoda
„algoritmizarea” ca o metodă modernă de învățare prin cooperare.
Elevii, în timp ce primesc fișa de lucru, sunt atenționați, de către profesor, că este foarte
important ca să evidețieze pașii (algoritmii) de rezolvare și nu doar rezolvarea corectă a
exercițiilor. Timpul de lucru este de 30 minute. După terminarea timpul ui stabilit inițial, elevii

80 prezintă rezolvarea exercițiilor la tablă. Sunt evidențiate rezolvările corecte, dar mai ales
rezolvările meticuloase, originale și care evidențiază algoritmii de rezolvare folosiți.
În final, se realizează un moment de reflexi e asupra metodei folosite și asupra modului
de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.
I. Rezolvați ecuațiile:
1. X (
) = (
)
2. (
) X = (
)
II. Rezolvați ecuația:
(

) X
(

) =
(

)

Metoda cadranelor urmărește implicarea elevilor în realizarea unei înțelegeri cât mai
adecvate a unui conținut informațional. Această metodă se poate folosi frontal și individual, în
rezolvarea problemelor prin metoda grafică .
Fișa de lucru este împărțită în patru cadrane , prin trasarea a două axe perpendiculare,
repartizate în felul următor :
I – textul problemei
II – reprezentarea grafică a problemei
III – rezolvarea problemei
IV – răspunsul problemei
Aplicația 31. Profesorul anunță tema „Ecuații de forma ax + b = 0, a 0.” și prezintă
elevilor metoda cadranelor ca o metodă modernă de învățare prin cooperare.
Profesorul explică elevilor cum se va desfășura ora și împarte elevilor fișele de lucru.
Timpul pentru această activitate este de 30 de minute. La terminarea activității fiecare elev
prezintă fișa de lucru ascultând opiniile colegilor săi, iar profesorul evidențiază lucrurile

81 pozitive și corectează erorile. În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei
folosite și as upra modului de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.
Completați:
I
Scrieți definiția ecuației și etapele de
rezolvare.
II
Scrieți 5 exemple de ecuații.
1.
2.
3.
4.
5.
III
Rezolvați, în Q, ecuațiile:
a) 3x + 5 = 11

b) 2(x – 3) = x + 10

c) 0,(3)x + 1 = 1,2 IV
Scrieți un scurt eseu cu tema: „Importanța
ecuațiilor în matematică.”

Aplicația 32. Profesorul anunță tema „Ecuații trigonometrice .” și prezintă elevilor
metoda cadranelor ca o metodă modernă de învățare prin cooperare.
Profesorul explică elevilor cum se va desfășura ora și împarte elevilor fișele de lucru.
Timpul pentru această activitate este de 30 de minute. La terminarea activității fiecare elev
prezintă fișa de lucru ascultând opiniile colegilor săi, iar profesorul evidențiază lucrurile
poziti ve și corectează erorile. În final, se realizează un moment de reflexie asupra metodei
folosite și asupra modului de implicare a fiecărui elev.

Fișa 1.
Completați:
I
Scrieți toate tipurile de ecuații trigonometrice
.

II
Scrieți 3 exemple de ecuații.
1.
2.
3.
III
Rezolvați ecuațiile: IV
Scrieți un scurt eseu cu tema: „Importanța

82 a) tg x = 1
b) cos 2 x = cos x
c) sin .
/ = sin ( )

d) sin² x + 5 sin x – 6 = 0 ecuațiilor trigonometrice în matematică.”

Metode tradiționale:
Expunerea reprezinta comunicarea de catre profesor a unor cuno știnte noi, sistematic,
în forma unei prezentari orale închegat ă si sus ținută. Ea poate lua trei forme: prelegerea,
povestirea si explicatia . Dintre acestea, în predarea matematicii se foloseste mai ales
explicația.
Expunerea didactică reprezintă o direcție simplă, rapidă, de transmitere a unor
informații noi. Este o metodă practică și funcțională de predare, prin care elevii pe cale directă
observă, ținta finală, spre care tinde profesorul. Minusul aces tei metode este lipsa spiritului
critic și pasivitate din partea elevilor, superficialitate în învățare, din cauza informațiilor brute,
care sunt recepționate de către elevi. În această situație, feedback -ul este mic, iar legătura
dintre elev și profesor e ste unidirecțională, profesorii fiind cei activi, iar elevii cei pasivi.
Expunerea didactică este utilizată în cazuri didactice corespunzătoare, și poate fi înviorată
prin utilizarea metodelor euristice: întrebări, luare de poziții, situații -problemă, etc.
Aplicația 3 3. Profesorul scrie titlul lecției pe tablă: „Ecuația de gradul al II – a cu
rădăcini reale.” După captarea atenției elevilor este făcută o scurtă introducere ( expunere ) a
ecuației de gradul doi. Pe tablă este scrisă, de căte profesor, schița lecței, care cuprinde:
Definiția. Expresia de forma + bx + c = 0, a 0, a, b, c R se numește ecuație de
gradul al doilea cu coeficienți reali . Se numește soluție sau rădăcină reală a ecuației un
număr real astfel încât să avem
a + b + c = 0.
Prin rezolvare ecuației se înțelege determinarea tuturor soluțiilor ecuației. Pentru
determinare soluțiilor vom calcula mai întâi discriminantul , cu formula
= b² 4ac.
Existența rădăcinilor reale, precum și numărul lor depind de valoarea lu i
Dacă:
 0 atunci, ecuația are două rădăcini reale distincte calculate cu formula

83 √
,
 = 0 atunci, ecuația are două rădăcini reale egale calculate cu formula

,
 0 antunci, ecuația nu are rădăcini reale
.
Exemplu : 6x² + 5x +1 = 0, = 5² 4 6 1 1, √

și

Aplicația 3 4. Profesorul scrie titlul lecției pe tablă: „Ecuații matriceale.” După
captarea atenției elevilor este făcută o scurtă introducere ( expunere ) a ecuației de gradul doi.
Pe tablă este scrisă, de căte profesor, schița lecței, care cuprinde:
Definiție. Se numesc ecuații matriceale ecuațiile de tipul AX = B, YA = B, unde atât
coeficiențiiși termenii liberi A și B, precum și necunoscutele X, Y sunt matrice.
Pentru rezolvarea ecuației AX = B, unde A este matrice pătratică nesingulară, se
înmulțește la stânga cu A și obținem A (AX) = A B. Deoarece înmulțirea matricelor
este asociativă putem scrie ( A A)X = A B adică X = A B sau X = A B.
Analog se rezolvă ecuația YA = B și obținem Y = B A .
Exemplu: (
) (
)
Notăm A = (
) și avem det A = |
| = 3 0, rezu ltă că A este nesingulară.
Notăm (
) = B, atunci ecuația se srie AX = B și are soluția pe X = A B
Deoarece A = (

) X = (

) (
) X = (

).

Metoda conversației este o convorbire sau un dialog ce se desfășoară între cadrul
didactic și elevi, cu scopul ca, pe baza unor întrebări și răspunsuri, să se stimuleze și să se
dirijeze activitatea de învățare. Metoda conversației cunoaște două forme principale:

84 – Conversaț ia euristică , folosită pentru a -l conduce pe elev printr -o serie de întrebări la
descoperirea de noi adevăruri. Acest lucru este posibil pentru că întrebările îl determină pe
elev să efectueze o investigație în universul informațiilor de care dispune, să f acă o serie de
asociații care să -l conducă la descoperirea unor noi aspecte ale realității, la elaborarea unor
definiții, desprinderea unor învățăminte;
– Conversația catehetică , prin care elevii sunt puși în situația de a reproduce
cunoștințele anterior a similate. Rolul esențial în folosirea acestei metode îl are modul în care
sunt formulate întrebările, care sunt considerate începutul cunoașterii și al progresului
cognitiv. Aceasta pentru că întrebarea anticipează operațiile mintale pe care trebuie să le
efectueze elevul, orientează gândirea pe calea descoperirii adevărului, îndeamnă la deducții și
inducții. Se recomandă folosirea întrebărilor de gândire, divergente, deschise, pentru a spori
implicarea activă a elevilor în prelucrarea informațiilor de care dispun pentru a formula
răspunsuri adecvate.
Prin această metodă elevii sunt determinați să facă propriile “plimbări” în universul
cunoașterii pentru a stabili legaturile între cunoștințele găsite . Această metodă cere o
inteligență productivă, curiozitate, libertate și independență în gândire.
Aplicația 3 5. Profesorul scrie titlul lecției pe tablă: „Ecuația de gradul al II – a cu
rădăcini reale.”
În timpul predării lecției, de către profesor, are loc un dialog ( convervație ) permanent
între pro fesor și elevi. Profesorul întrebând dacă elevii înțeleg lecția sau dacă au întrebări
(nelămuriri). Elevii întreabă ceea ce nu au înțeles.
În timpul ore i are loc în permanență un dialog între profesor și elevi. Dialogul se
realizează la începutul orei (r eactualizarea cunoștințelor), pe parcursul orei (predarea lecției
sau evaluare) și la sfârși tul lecției (anunțarea și explicarea temei sau anunțarea rezultatelor
evaluării).

Demonstrația didactică se evidențiază prin prezentarea unor obiecte, fenomene, care
vor ușura înțelegerea altor fenomene mai complexe. Noțiunea de demonstrare cere după sine,
noțiunea de arătare, de prezentare, a unor procese sau acțiuni naturale sau nenaturale, pentru o
înțelegere mai bună a elevilor a unor legi, proprietăți, consta nte, și care sunt elemente de bază
a cunoașterii . Există diverse tipuri de demonstrații, în dependență de materealul avut la
dispoziție:
– pe viu : experimente de laborator, demonstrația unor comportamente;

85 – figurativă : prin intermediul reprezentărilor gr afice;
– cu ajutorul desenului ;
– cu ajutorul modelelor : fizice, grafice;
– cu ajutorul imaginilor audiovizuale : proiecții statice sau dinamice;
– prin exemple .
Demonstrația are un caracter ilustrativ, iar ca finalitate – reproducerea unor acțiuni, sau
învățarea unor cunoștințe noi pe bază de suport intuitiv .
Aplicația 36. Profesorul scrie titlul lecției pe tablă: „Ecuații matriceale.”. Este scrisă, de
căte profesor, schița lecței, care cuprinde: definiție, proprietăți, observații si exemple. În
cadrul lec ției, prin exempl ele folosit e de către profesor, se demonstrează că definiția,
observațiile si proprietățile predate sunt aplicabile, dar mai ales corecte.
Demonstrația este o metodă matematică folosită, în special, în cadrul orelor de
geometrie pentru a arăta că teo remele sunt enunțate corect .

Lucrul cu manualul este o metodă c are ajută elevul să -și creeze priceperea și
deprinderea de a se orienta într -un text citit, d e a-l analiza și a extrage esențialul, de a -i
sistematiza conținutul, reținând: definițiile , regulile de calcul și teoremele din text. Are o
desfăș urare specific ă, pornind de la lectura integral ă, continu ând cu analiza pe p ărți sau
aspecte și încheind cu încercarea de redare a întregului și aplica țiile aferente. Este o metodă
didactică în cadrul c ăreia învățarea are ca surs ă esențială cartea scolara sau alte surse similare.
Finalitatea ei este dubl ă: dob ândirea de c ătre elevi a fondului aperceptiv necesar înțelegerii
textului în general, precum și capatarea deprinderii de a utiliza cartea.
Aplicația 37. Profesorul scrie titlul lecției pe tablă: „Ecuații matriceale.” și prezintă
lecția , care cuprinde definiția, proprietățile și formulele din cadrul lecției.
Folosirea manualelor, în timpul orelor de matematică este un lucru esențial. Manualele
ajută atât la scrierea și înțelegrea mai usoară a definițiilor, observațiilor sau prorietăților, dar și
ca sursă de exerciții. Uneori este utilizată culegerea.
Pentru această lecție a fost folosit manualul: „ Matematică. Manual pentru clasa a XI –
a.”, autorii manualului fiind: Aurelia Gomolea, Mariana Taraș Chirculescu, Dumitru
Săvulescu, Editura Teora, 2001.

Exercițiul reprezintă o metodă de învățământ, în care predomină acțiunea
practică/operațională reală. Această metodă implică automatizarea acțiunii didactice prin

86 consolidarea și perfecționarea operațiilor de bază care asigură realizarea unei sarcini didactice
la niv eluri de performanță prescrise și repetabile, eficiente în condiții de organizare
pedagogică relativ identice.
Exercițiile sunt acțiuni efectuate în mod conștient și repetat de către elev cu scopul
dobândirii unor priceperi, deprinderi și cunoștințe noi, pentru a ușura alte activități și a
contribui la dezvoltarea altor aptitudini . O clasificare a exercițiilor ce are la bază aportul
capacităților intelectuale necesare rezolvării lor:
– exerciții de recunoaștere a unor noțiuni, formule, metode.
– exerciț ii aplicative ale unor formule sau algoritmi cunoscuți.
– exrciții care permit însușirea unor noțiuni.
Avantajele metodei sunt concretizate în rezultatele aplicării ei: formează o gândire
productivă, oferă posibilitatea muncii independente, oferă posibi litatea analizei diverselor
metode și soluții de rezolvare a problemelor, activează simțul critic și autocritic și îi învață pe
elevi să -și aprecieze rezultatele și metodele de lucru, oferă posibilitatea depistării și eliminării
erorilor.
Matematica fără exerciții sau probleme matematice nu există !
Aplicția 38. Profesorul anunță tema „Ecuații de forma a +bx+c=0, a 0.” și scrie schița
lecției, pe tablă . În cadrul lecției sunt folosite fișa de lucru, manualul și culegerea.
Toate exercițiile din fiș a de lucru, folosite în cadrul acestei lecții, sunt concepute de
către profesor. Exercițiile sunt folosite, la matematică, în diferite etape ale unei lecții. Pentru
reactualizarea cunoștințelor, în cadrul exemplelor utilizate în predarea lecției și nu în ultimu l
rând pentru evaluarea cunoștințelor elevilor.

3.2 Metode de evaluare
Evaluarea reprezint ă totalitatea activit ăților prin care se colecteaz ă, organizeaz ă si
interpreteaz ă datele obținute în urma aplic ării unor tehnici, metode și instrumente de
măsurare, elaborate în conformitate cu obiectivele si tipul evalu ării, în functie de con ținutul și
grupul de lucru vizat, în scopul emiterii unei judec ăți de valoare pe care se bazeaz ăa o
anumit ă decizie în plan educa țional. In mod curent prin evaluare în învățământ se înțelege
actul didactic complex integrat întregului proces de învățământ care asigur ă eviden țierea
cantit ății cunostin țelor dob ândite și valoarea, nivelul performan țelor și eficien ța acestora la un
moment dat oferind solu ții de perfec ționare a actului de predare -învățare.

87 In planul evalu ării, profesorii sunt preocupa ți sistematic de m ăsurarea și aprecierea
cantit ății și calit ății cunostin țelor elevilor, a deprinderilor, abilit ăților, capacit ăților, intereselor
si priceperilor posedate de elevi l a un moment dat ca rezultat al educa ției.
Evaluarea reprezintă un proces continuu și de durată, putându -se face:
– la începutul programului de instruire
– pe parcursul programului de instruire
– la finalul programului de instruire
Focalizată pe unitatea de învățare, ar trebui să asigure evidențierea progresului
înregistrat de elev în raport cu sine însuși în vederea atingerii competențelor din programa
scolară. Este important să fie evaluată nu numai cantitatea de informație de care dispune
elevul, dar mai ales ceea ce poate el să facă utilizând ceea ce știe.
Structura acțiunii de evaluare didactică include trei operații : măsurarea , aprecierea și
decizia . Măsurarea presupune aplicarea unor tehnici specifice pentru a cunoaște efectel e
acțiunii instructiv – educative și a obține date în perspectiva unui scop determinat. Exactitatea
măsurii este condiționată de calitatea instrumentelor de măsură folosite și de m odul cum sunt
acestea aplicate. Aprecierea sau evaluarea propriu -zisă constituie procesul de judecată de
valoare a rezultatelor constatate, prin compararea acestora cu scopurile urmărite. Ea
presupune și semnificația unui rezultat observabil sau măsurabil într -un cadru de referință
axiologic. Decizia reprezintă operația de evaluare care asigură prelungirea aprecierii într -o
notă școlară, caracterizare, hotărâre, recomandare, etc. cu valoare de prognoză pedagogică.
Principalele funcții ale evaluării sunt:
– funcția diagnostică = are în vedere depistarea și înlăturarea lacunel or sau greșelilor
elevilor
– funcția prognostică = pune în evidență performanțele viitoare ale elevilor
– funcția de selecție = când se dorește clasificarea candidaților la examene sau concursuri
Din perspectiva profesorului, evaluarea este necesară pentru c ă permite culegerea de
informații, sugerează căi de perfecționare a stilului didactic și identifică dificultățile elevilor.
Din perspectiva elevului, evaluarea orientează și dirijează învățarea, formează motivația
față de învățare, e un mijloc eficace de asigurare a succesului.
Metodele de evaluare sunt împărțite în:
– metode tradiționale : aceste metode au căpătat această denumire datorită consacrării lor
în timp ca fiind cele mai des utilizate (exemple : Proba orală, Proba scrisă și Proba practi că)

88 – metode alternative : sunt folosite pentru că stimulează creativitate elevului, gândirea
divergentă și lucrul în echipă (exemple: Investigația, Proiectul, Portofoliul, Observarea
sistematică a elevilor, Autoevaluarea, Referatul, etc)
Prin item înțelegem orice întrebare sau orice element din structura unui test. Din punct
de vedere al obiectivității în notare, itemii se clasifică în:
– itemi obiectivi: itemi pereche, itemi cu alegere duală, itemi cu alegere multiplă
– itemi semiobiectivi: itemi cu răspuns scurt/de completare, întrebări structurate
– itemi subiectivi: itemi cu răspuns deschis, rezolvări de probleme
Itemii pereche solicită stabilirea unor corespondențe între cuvinte, propoziții, fraze,
simboluri, distribuite pe două coloane. Criteriul pe baza căruia se stabilește răspunsul corect
este enunțat în instrucțiunile care preced cele două coloane.
Itemii cu alegere dual ă solicită asocierea unuia sau mai multor enunțuri cu una din
componentele unor cupluri de alternative duale, cum ar fi: adevărat -fals, corect -greșit, da -nu,
etc.
Itemii cu alegere multiplă solicită alegerea unui răspuns dintr -o listă de variante oferite
pentru o singură premisă.
Itemii cu răspuns scurt/de completare sunt itemi care cer un răspuns (scurt) în totalitatea
lui sau o parte componentă a unei afirmații, astfel încât aceasta să capete sens și valoare de
adevăr.
Itemii cu întrebări structurate sun formați din mai multe subîntrebări legate între ele
printr -un element comun.
Itemii cu răspuns deschis testează obiective/competențe ce scot în evidență
originalitatea, creativitatea și caracterul personal al răspunsului.
Rezolvarea de probleme este o activitate a procesului de instruire cu scopul dezvoltării
creativității, gândirii divergente, imaginației, capacității de a genera sau reformula o
problemă.

Metode tradiționale:
Probele orale reprezintă metoda de evaluare cel mai des utilizată la clasă. Este o formă
de conversație prin care se urmărește volumul și calitatea cunoștințelor, priceperilor și
deprinderilor achiziționate, precum și capacitatea elevilor de a opera practic cu ele.
Chestionarea poate fi individuală și frontală; întrebările pot fi de memorie (vizând fidelitatea

89 reproducerii materialului) și de gândire (urmărind capacitatea de prelucrare a materialului),
preferabilă fiind combinarea celor două tipuri de întrebări .
Probele scrise au avantajul că permit verificarea unui număr mare de elevi în același
interval de timp, au un grad mai mare de obiectivitate și favorizează elevii timizi care au
dificultăți în exprimare, conferindu -le tuturor posibilitatea de a -și expune ideile în mod
independent și de a -și dezvolta abilitățile cogn itive. Aceste probe pot lua forma lucrărilor
scrise curente ori a celor de sfârșit de semestru susținute în perioadele de evaluare.
Probele practice presupun aplicarea cunoștințelor teoretice însușite precum și
deprinderilor și priceperilor anterior forma te. Concret, este vorba despre confecționarea unor
obiecte sau aparate, executarea unor experimente de laborator, hărți, observații microscopice,
discuții, realizarea unor exerciții fizice etc.

Metode alternative:
Autoevaluarea, ca metodă de evaluare, pe rmite aprecierea propriilor performațe în
raport cu obiectivele propuse. În procesul evaluării, elevul înțelege mai bine conținutul
sarcinii ce o are de rezolvat, căile prin care găsește soluțiile corecte și modul în care efortul
său de rezolvare este valo rificat. Autoevaluarea comportamentelor din sfera domeniului
cognitiv și afectiv se poate realiza cu ajutorul unor instrumente, cum ar fi chestionarele și
fișele de autoevaluare ; acestea pot fi utilizate sistematic și fac posibilă monitorizarea în timp a
evoluției elevilor din perspectiva maturizării psihoafective și a capacității de autoevaluare. În
cazul chestionarelor de autoevaluare, răspunsurile elevilor sunt de obicei, deschise, iar în
cazul fișelor de autoevaluare, pentru înregistrarea răspunsurilor se apelează la scări de
clasificare, de exemplu cu 5 trepte, scări binare.
Elevii au nevoie să se autocunoască. Acest fapt are multiple implicații în plan
motivațional și atitudin al, le va da încredere în sine și îi va ajuta să -și îmbunătățească
perform anțele școlare. Modalități de formare a capacitații de autoevaluare:
1. Planurile personale de acțiune
2. Discuție – toată clasa sau în grupuri mici
3. Jurnale de autoreflecție
4. Autoevaluări săptămânale
5. Interviuri elev -profesor
Investigația este o metodă de evaluare în care elevul caută o soluție deosebită (față de
soluțiile algoritmice) la sarcini de complexități diferite. La matematica , metoda implic ă, atât

90 rezolvarea unor problem e întâlnite în cotidian sau în alte domenii ale disciplinelor școlare cât
și explorarea unor concept e matematice necunoscute utiliz ând metode, tehnici sau concept e
cunoscute.
Investiga ția presupune atat rezolvarea de problem e cât și creearea de probleme. Această
metodă presupune def inirea unei sarcini de lucru cu instrucțiuni precise, înțelegerea acesteia
de către elevi înainte de a trece la rezolvarea propriu -zisă, prin care elevul demonstrează și
exersează totodată, o gamă largă de cunoștințe și capacități în contexte variate. Modu l de
lucru poate fi individual sau în grup.
Portofoliul este un instrument de evaluare complet care urmărește progresul elevului la
o anumită disciplină, dar și atitudinea acestuia față de această disciplină, pe o perioadă mai
lungă de timp. Acesta este c ompletat de elev și cuprinde rezumate, sinteze, referate, rezolvări
de probleme, recenzii, biografii ale unor personalități din domeniul respectiv, etc. Structura
portofoliului este definită de către profesor, dar elevii au libertatea să pună în propriul
portofoliu materialele pe care le consideră necesare și reprezentative pentru sine.
Portofoliul poate contine:
– lucrări scrise
– teste
– chestionare
– compuneri
– fișe
– proiecte
– informații despre activitățile extrașcolare la care elevul a participat
– lucrări experime ntale
– rapoarte de laborator
Evaluarea portofoliului va avea în vedere progresul înregistrat în înțelegerea
matematicii, motivația învățării, perseverența, curiozitatea, flexibilitatea, valoarea
raționamentului matematic adaptat la con ținuturi și situații, abilitatea de a folosi instrumentele
matematice și de a rezolva situațiile -problemă, înțelegerea relației dintre matematică și alte
discipline de studiu.
Referatul este un instrument modern de evaluare ce poate fi folosit ca bază de discuție
în legătură cu o temă dată, fiind menit să contribuie la formarea sau dezvoltarea deprinderilor
de muncă independentă a elevilor, fiind și o posibilă probă de evaluare a gradului în care
aceștia și-au însușit un anumit segment al programei .

91 Referatul are, de obic ei, trei – patru pagini fiind folosit doar ca element de portofoliu
sau pentru acordarea unei note parțiale în cadrul evaluării efectuate pe parcursul instruirii.
Această metodă de evaluare prezintă avantajul implicării elevului în consultarea bibliografie i
pentru înțelegerea și aprofundarea unor noțiuni noi sau insuficient abordate la clasă . Se pot
diferenția două tipuri de referate :
– referat de investigație științifică , bazat pe descrierea demersului unei activități
desfășurate în clasă și pe analiza rezu ltatelor obținute
– referat bibliografic , bazat pe informarea documentară, bibliografică.
Referatul se poate utiliza în demersul didactic, atât pentru evaluarea continuă, pe
parcursul unui semestru, cât și pentru evaluarea sumativă în cadrul unui model înca drat într –
un portofoliu sau independent.

Teste de evaluare (modele propuse):

Test inițial ( evaluare la începutul programului de instruire )

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ
Disciplina : Matematică
Anul școlar 2016 – 2017
Clasa a V-a

 Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și din Partea a II -a se
acordă 90 de puncte. Din oficiu se acordă 10 puncte.
 Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute
PARTEA I . La exercițiile 1. și 2. scrieți numai rezultatele. La exercițiul 3. scrieți (A)
dacă propoziția este adevărată și (F) dacă propoziția este falsă. ( 45 de puncte )

1. Efectuați:
a) 2016 + 217 = (5p)
b) 2816 – 148 = (5p)

92 c) 142 35 = (5p)
d) 17028 : 9 = (5p)
2. Câte triunghiuri sunt în figura de mai jos?

3. Precizați, pentru fiecare propoziție, dacă este adevărată ( A) sau falsă ( F).
a) Cel mai mic număr par de trei cifre distincte este 102. (5p)
b) Numărul 5505 este mai mic decât numărul 5055. (5p)
c) Numărul cu 117 mai mic decât 345 este 228. (5p)
d) Numărul care împărțit la 6 are câtul 2 și restul 5 este 17. (5p)

PARTEA a II -a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. ( 45 de puncte )
4. Efectuați: 2 [39 : (16 – 12 : 4) + (9 + 6 : 3) 7] = ( 15p)
5. Determinați:
a) Numărul x știind că este dublul numărului 481 ( 7p)
b) fracția din pătrat care reprezintă partea hașurată ( 6p)
c) fracția din cerc care reprezintă partea nehașurată ( 7p)

6. Maria și Loredana au rezolvat probleme de matematică. În timp ce Maria rezolvă 3
probleme, Loredana rezolvă 6 probleme. Câte probleme rezolvă fiecare, dacă în total ele
rezolvă 81 de probleme? ( 10p)

93 BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE

Disciplina Matematică
Anul școlar 2016 -2017
Clasa a V-a

PARTEA I (45 de puncte)

 Se punctează doar rezultatul astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim
prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
 Nu se acordă punctaje intermediare.

Nr. Item 1.a) 1.b) 1.c) 1.d) 2. 3.a) 3.b) 3.c) 3.d)
Rezultate 2233 2668 4970 1892 3 A F A A
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p

PARTEA a II -a (45 de puncte)

 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul
maxim corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări
parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

4. 2 x [39:(16 -12:4) + (9+6:3) x 7]=2 x [39:(16 -3)+(9+2) x 7]=
=2 x (39:13+11 x 7)=
=2 x (3+77)=
=2 x 80=
= 160 5p
5p
2p
2p
1p
5.a) x = 481 x 2 =
= 962 3p
4p
5.b) trei optimi 6p
5.c) două pătrimi 7p
6. 3 + 6 = 9 probleme rezolvă, în același timp, Maria și Loredana împreună
81 : 9 = 9
3 ∙ 9 = 27 de probleme rezolvă Maria
6 ∙ 9 = 54 de probleme rezolvă Loredana 3p
3p
2p
2p

 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin impărțirea punctajului obținut
la 10.

94 Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare inițială pentru
clasa a V –a este următoarea:

MATRICEA DE SPECIFICAȚII – TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ
CLASA a V – a

Competențe de evaluat

Conținuturi

C1

C2

C3

C4

C5

C6
Total
Scrierea în forme echivalente a unor
numere naturale
I3a.(5p)
5p
Introducerea intuitivă (prin desene:
decupare, hașurare, colorare) a noțiunii
de fracție; figuri geometrice
I2.(5p)
II5b.(3p)
II5c.(4p)
II5b.(3p)
II5c.(3p)

18p
Exerciții de calcul cu numere naturale
urmărind respectarea ordinii efectuării
operațiilor și folosirea corectă a
parantezelor

II4.(15p)

15p
Operații cu numere naturale I1.(20p) 20p
Operații de adunare, scădere,
înmulțire,împărțire care derivă din: ’’cu
atât mai mult’’, ’’cu atât mai
puțin’’,’’de atâtea ori mai mult’’, ’’de
atâtea ori mai puțin’’
I3b.(3p)
I3c.(3p)
I3d.(3p)
I3b.(2p)
I3c.(2p)
I3d.(2p)

15p
Transpunerea unei situații problemă, în
limbaj matematic
II6.(4p)
4p
Stabilirea datelor, a necunoscutelor și a
operațiilor prin care se ajunge la
rezolvarea unei probleme
II5a.(7p)
II6.(1p)
II6(2p)

10p
Scheme simple pentru a figura pe scurt
datele și pașii de rezolvare a unei
probleme
II6.(1p)
II6.(2p)
3p
Total 14p 12p 6p 35p 13p 10p 90p

COMPETENȚELE DE E VALUAT ASOCIATE TE STULUI DE E VALUARE INIȚIALĂ PE NTRU
CLASA a V – a

C1. Identificarea în contexte variate, a unor corespondențe simple după reguli date
C2. Recunoașterea unor figuri geometrice
C3. Utilizarea numerelor fracționare pentru a exprima subdiviziuni ale întregului
C4. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere
naturale
C5. Analizarea, pe baza unui plan simplu de idei, a demersului parcurs în rezolvarea unei
ecuații sau a unei probleme
C6. Interpretarea semnificației oper ațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații problemă

95 Test de evaluare la sfârșit de capitol (evaluare pe parcursul programului de instruire )

TEST DE EVALUARE
Disciplina: Matematică
Clasa: a VII -a
An școlar: 2016 – 2017

Subiectul I – pe foaia de lucrare scrieți numai rezultatele (fiecare exercițiu are 5p)
1. Soluția reală a ecuației 3x – 7 = 4 este egală cu ……..
2. Valoarea reală a lui m pentru care 5 este soluție a ecuației: 3 m – 2(x + 7) = 17 este
…….
3. Propoziția: „ 1 este soluție a ecuației 3x – 6 = – 9” este ………….
4. Soluția reală a ecuației
1 =
este egală cu …………
5. Valoarea reală a lui m pentru care – 3 este soluție a ecuației: 5 mx – 8 = 10x + 14
este……
6. Valorile reale ale lui x pentru care | | sunt egale cu ………
7. Soluția reală a ecuației : ( √ ) (√ ) este egală cu ……..
8. Valoarea parametrului real m, pentru care ecuațiile x – 3 = 4 și 6(x + m) = 4 mx + 10
sunt echivalente, este egală cu ………
9. Mulțimea soluțiilor ecuației ( ) este S = * +

Subiectul II – pe foia de lucrare scrieți rezolvările complete
(25p) 1. Rebeca a cheltuit o sumă de bani astfel: în prima zi 25 din întreaga sumă, a doua
zi 40 din suma inițială, iar a treia zi restul de 480 de lei. Care es te suma inițială ?
(10p) 2. Rezolvați ecuația 2(6 | | – 12) – 4 = 16, în mulțimea numerelor reale.
(10p) 3. Determinați soluția reală a ecuației:
( )
( )( )
=
– 1

96 Test de evaluare finală (evaluare la finalul programului de instruire )

TEZĂ
Disciplina: Matematică
Clasa: a VIII -a
An școlar: 2016 – 2017
Semestrul II

 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.

SUBIECTUL I – Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele. (30 puncte)
5p 1. Rezultatul calculului 1818 : 9 este egal cu …
5p 2. Soluția reală a ecuației 3x + 7 = 0 este ……
5p 3. Dacă f : R→R, f (x) = x – 1, atunci f ( – 2) este egal cu ……
5p 4. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 6 cm, 4 cm și 2 cm este
egală cu …..cm.
5p 5. Aria laterală a unei prisme triunghiulare regulate cu latura bazei de 10 cm și înălțimea
de 3cm, este egală cu …..cm2.
5p 6. Într-un cub cu latura de 8 dm, încap …… litrii de apă.

SUBIECTUL al II -lea – Pe foaia de examen scrieți rezolvările complete. (30
puncte)
5p 1. Desenați, pe foaia de examen, o prismă patrulateră regulată ABCDA 'B'C'D'.
5p 2. După ce parcurge dintr-un drum, un călător constată că mai are de parcurs 20 km,
până la jumătatea drumului. Aflați lungimea drumului.
3. Fie funcția f : R→R, f (x) = 3x + 2.
5p a) Reprezentați grafic funcția f, în sistemul de axe ortogonale xOy.
5p b) Calculați distanța de la punctul M ( – 1; 0) la dreapta ce reprezintă graficul funcției.
5p 4. Arătați că expresia, E (x) = (3x + 1)∙(1 – 3x) + (2x – 3)2 + (3 + 2x )2 + x2 nu depinde de
x.
51

97 5p 5. Simplificați raportul:
2 7 32 5 3
22

x xx x , unde

 2;31Rx

SUBIECTUL al III -lea – Pe foaia de examen scrieți rezolvările complete. (20 puncte)
1. O cameră are forma unui pătrat cu aria de 36 m2.
5p a) Aflați latura pătratului.
5p b) Calculați câți metrii pătrați de parchet trebuie să cumpărăm, dacă la montaj se pierd 2
% din aria suprafeței acoperite.
5p c) determinați dacă două persoane aflate în cameră, pot fi la distanță mai mare de 7 m,
una față de alta.
2. Un rezervor are forma unei piramide patrulatere regulate, cu baza pe un plan orizontal
și cu vârful în sus. Dacă latura bazei este de 4 m și înălțimea 10 m, aflați:
5p a) Volumul rezervorului;
5p b) Câți litrii de apă încap în rezervor, dacă apa se ridică până la jumătate din înălțime;
5p c) Dacă apa se toarnă într -un alt rezervor în formă de prismă patrulateră, așezată în plan
orizontal, cu latura de 6m, aflați l a ce înălțime se ridică apa în prismă.

Test de evaluare ( folosind referatul)

Tema referatului: „ Realizați un referat bibliografic despre un matematician român ”
Clasa: a VIII – a
Cerințele profesorului:
– referatul trebuie să conțină 4 – 5 pagini
– referatul trebuie terminat într -o săptămâmă
– referatul poate conține date personale ale matematicianului, date despre operele și
activitate a matematicianului ales

98 Test de evaluare ( folosind portofoliul )

Profesorul anunță elevii, încă din semestrul I , că o notă finală va fi dată pe baza
portofoliului realizat de catre elevi. Elevii sunt informați de conținutul unui portofoliu ca fiind
format din: rezumate, sinteze, referate, rezolvări de probleme, recenzii, biografii ale unor
matematicieni, lucrări s crise, teste, chestionare, fișe, proiecte, exerciții lucrate din diferite
culegeri, etc.
Evaluarea portofoliului va avea în vedere progresul înregistrat în înțelegerea
matematicii, motivația învățării, perseverența, curiozitatea, flexibilitatea, valoarea
raționamentului matematic adaptat la conținuturi și situații, abilitatea de a folosi instrumentele
matematice și de a rezolva situațiile -problemă, înțelegerea relației dintre matematică și alte
discipline de studiu

99 CONCLUZII

Lucrarea Metodica rezolvării ecuațiilor și inecuațiilor de la gimnaziu la liceu este
alcătuită din trei capitole. Cele trei capitole sunt bine documentate și prezentate într -un mod
usor accesibile de către elevi.
Primul capitol este format din următoarele subcapito le: ecuații de gradul întâi cu o
singură necunoscută, ecuații reductibile la ecuații de gradul întâi cu o singură necunoscută,
ecuații de gradul întâi cu două necunoscute, ecuații de gradul al doilea cu o singură
necunoscută, ecuații reciproce, ecuații bip ătrate, ecuații binome, ecuații exponențiale, ecuații
logaritmice, ecuații trigonometrice, ecuații cu numere complexe și ecuații matriceale . Fiecare
subcapitol conține definiția, proprietățile, teoremele și observațiile ecuației la care se face
referire, p recum și exemple și exerciții rezolvate.
Al doilea capitol este format din inecuațiile: de gradul întâi cu o singură necunoscută,
de gradul al doilea cu o singură necunoscută, exponențiale și logaritmice . Fiecare subcapitol
conține definiția, proprietăți le, teoremele și observațiile inecuației la care se face referire,
precum și exemple și exerciții rezolvate.
Ultimul capitol, „ Aplicații metodice ”, este format din prezentarea metodelor de
predare -învățare, prezentarea metodelor de evaluare și din aplica ții metodice ale acestora.
Metodele de predare -învățare prezentate în această lucrare sunt: metode le tradiționale ,
cu un lung istoric în instituția școlară și care pot fi păstrate cu condiția reconsiderării și
adaptării lor la exigențele învățământului modern (exemple Expunerea, Conversația,
Demonstrația, Lucrul cu manualul, Exercițiul), dar și metode le moderne , determinate de
progresele înregistrate în știință și tehnică, unele dintre acestea de exemplu, se apropie de
metodele de cercetare științifică, punându -l pe elev în situația de a dobândi cunoștințele
printr -un efort propriu de investigație experimentală; altele valorifică tehnica de vârf ( exempl e
Brainstorming, Ciorchinele, Cubul, Turul galeriei, Mozaicul, Pălăriile gânditoare, Știu/Vreau
să știu/ Am învățat, SINELG, Diagrama Veen, R. A. I., Bulgărele de zăpadă, Jocul matematic,
Instruirea asistată de calculator, Problematizarea, Algoritmizarea, Metoda cadranelor ).
Este prezentată fiecare metodă de predare -învățare, dar și 38 de aplicații concrete în
utilizarea metodelor, aplicații atât pentru gimnaziu cât și pentru liceu.
Metodele de evaluare , prezentate în această lucrare, sunt împărțite în: metode
tradiționale : aceste metode au căpătat această denumire datorită consacrării lor în timp ca
fiind cele mai des utilizate (exemple : Proba orală, Proba scrisă și Proba practică ) și metode

100 alternative : sunt folosite pentru că stimulează creativitate elevului, gândirea divergentă și
lucrul în echipă (exemple: Investigația, Portofoliul, Autoevaluarea, Refer atul, etc). De
asemenea este dată definiția pentru item, este realizată o clasificare a itemilor și prezentarea
fiecărui item. Itemii se clasifică în: itemi obiectivi (itemi pereche, itemi cu alegere duală,
itemi cu alegere multiplă ), itemi semiobiectivi (itemi cu răspuns scurt/de completare,
întrebări structurate ) și itemi subiectivi (itemi cu răspuns deschis, rezolvări de probleme ).
Lucrarea Metodica rezolvării ecuațiilor și inecuațiilor de la gimnaziu la liceu se încheie
cu cinci teste de evaluare. Un test initial (prezentat pentru clasa a V -a), un test de evaluare la
sfârșit de capitol (prezentat pentru clasa a VII -a, la capitolul Ecuații. Inecuații. Probleme care
se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor. ), un test d e evaluare finală ( Teza pentru clasa a VIII -a,
semestrul al II -lea), dar și două teste de evaluare folosind metodele alternative ( Referatul
pentru clasa a VIII -a și Portofoliul pentru clasa a VI -a).
În lucrarea Metodica rezolvării ecuațiilor și inecuațiilo r de la gimnaziu la liceu
obiectivele au fost realizate, fiind bine documentată și bine structurată, cu un conținut bogat,
în special de aplicații metodice și exerciții de rezolvare a ecuațiilor și inecuațiilor.

101 BIBLIOGRAFIE


 Poenaru, T. (2008), ALGEBRA. GHID PENTRU GIMNAZIU, Cluj-Napoca, Editura Eikon.
 Singer, M., Radu, M., Ghica, I., Drugan, G., Puican, F., Stănciulescu, I. (2002),
MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a V -a,
 Udrea, T., Nițescu, D. (2001), MATEMATICĂ. MANUAL PENTRU CLASA a VI -a,
București, Editura Didactică și Pedagogică.
 Radu, D., Radu, E. (2005), MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a VII -a, București,
Editura Teora
 Singer, M., Voica, C., Voica, C. (2000), MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a VI II-a,
București, Editura SIGMA.
 Gologan, R. (coordonator), Negrilă, A., Negrilă, M. (2011), MATEMATICĂ. Algebră.
Geometrie. Clasa a VII -a. Partea a II -a, Argeș, Editura PARALELA 45.
 Banu, F. (1998), ALGEBRĂ pentru clasele V – VIII, București, Editura NICUL ESCU.
 Schneider, G. -A. (1993), CULEGERE DE PROBLEME DE ALGEBRĂ PENTRU
CLASELE IX – XII, Craiova, Editura HYPERION.
 Savu, I., Popovici, D., Streinu -Cercel, G., Andronache, M., Chiteș, C., Prajea, M.,
Rădulescu, S. (2003), Ghidul profesorului de matemati că. Concursul pentru ocuparea
posturilor didactice – 2003, București, Editura SIGMA.
 Năstăsescu, C., Niță, C., Rizescu, Gh. (1992), Matematică. Manual pentru clasa a IX -a.
Algebră , București, Editura Didactică și Pedagogică.
 Năstăsescu, C., Niță, C., Popa, S. (1994), Matematică. Manual pentru clasa a X -a.
Algebră , București, Editura Didactică și Pedagogică.
 Stănășilă, O. (consultant), Simion, P., Nicolae, V., Nicula, V., Dilimoț -Niță, V.
(coordonatori), Negulescu, A. S., Băiatu, P., Bărjoianu, C., Bogdan, V ., Cojanu, V.,
Constantinescu, A., Dăneț, G., Dăneț, T., Dilimoș -Niță, S., Drăgan, A. M., Dumitran, S.,
Ionescu, C. M., Ionescu, G. Lazarov, P., Marghidanu, D., Neacșu, I. M., Pîndaru, V., Popescu,
I., Popescu, M., Stoica, I. M. (2016), Matematică clasa a X-a. Breviar teoretic. Exerciții și
probleme propse și rezolvate. Teste de evaluare. Teste summative, București, Editura
NICULESCU.

102  Gomolea, A., Taraș Chirculescu, M., Săvulescu, D. (2001), MATEMATICĂ. Manual
pentru clasa a XI -a, București, Editura Teora.
 Marc, O. (2012), Exerciții și probleme de matemeatică pentru liceu (M2), Oradea,
Editura .
 Angelescu, C., Baciu, N., Bădescu, O., Bălănescu, D., Buzduga, N., Chirilă, C., Chiteș, D.,
Cimpoeșu, M. -C., Constantinescu, G., Cremenescu, D., Cosic, D., Ionescu, M., Lupșor, V.,
Marin L., Marinescu, I., Nănuți, D., Năstruț, D., Poștaru, A., Seimeanu, N., Stănică, N.,
Stoianovici, G., Suciu, N., Trifon, D., Vlad, G., Zîrnă, C. (2011), GHID DE PREGĂTIRE
PENTRU BACALAUREAT 2011 . MATEMATICĂ – M1, București, Editura SIGMA.
 Marcu, V., Filimon, L. (coordonatori), Abrudan, C., Bacoș, M., Blândul, C. V., Bradea,
A., Cercel, R., Curta, Iosif., Dan, M., Demeter, R., Filimon, L., Filimon, R., Hanga, C., Hava,
F., Hora, I. A., Marcu, A., Marcu, V., Marinescu, M., Orțan, F., Zdrehuș, C. (2009),
Psihopedagogie pentru formarea profesorilor – ediția a III -a revăzută și adăugită, Oradea,
Editura UNIVERSITĂȚII DIN ORADEA:
 Orțan, F. (coordinator), Abrudan, C., Blândul, V. C., Bradea, A., Cercel, R., Chioncel, N.
E., Filimon, L., Hanga, C., Marcu,V., Marinescu, M., Mărginean, I., Mândrea, L., Orțan, F.,
Peter, K., Pop, C., Popa, C., Sas, C. (2012), Pedagogie și elemente de psihologie, Cluj-
Napoca, Editura Risoprint.
 Cucoș, C. (2006), Pedagogie , Iași, Editura Polirom.
 Schaub, H. (2009), Dicționar de pedagogie, București, Editura Didactică și Pedagogică.
 Radu, I. T. (2001), Evaluarea în procesul didactic, București, Editura Didactică și
Pedagogică.
 Cerghit, I. (2006), Metode de învățământ, Iași, Editura Polirom.
 http://www.didactic.ro/materiale -didactice/115514_test -de-verificare
 http://www.didactic.ro/materiale -didactice/107595_test -ecuatii -si-inecuatii -de-gradul -i-si-ii
 http://mate.info.ro/Materialul -3958 -model -teza-la-matematica -semestrul -i-clasa -a-viii-
a.html
 http://www.did actic.ro/materiale -didactice/teza -1-clasa -viii-sem-ii-2016
 http://www.didactic.ro/materiale -didactice/predarea -invatarea -matematicii -din-gimnaziu –
folosind -metodele -interactive -exempl
 http://www.didactic.ro/materiale/94146_strategii -didactice -interactive
 http://www.didactic.ro/materiale -didactice/metode -de-predare -si-evaluare

103  http://www.didactic.ro/materiale -didactice/stiu -vreau -sa-stiu-am-invatat -cu-aplicare -in-
lectiile -de-matematica
 http:// www.didactic.ro/materiale -didactice/metoda -rai-folosita -in-lectiile -de-matematica
 http://www.didactic.ro/materiale/metode -activparticipative
 http://www.didactic.ro/materiale/132181_metode -active -in-abordarea -conceptelor –
matematice
 http://www.didactic.ro/materiale -didactice/promovarea -metodelor -activ-participative -in-
insusirea -cunostintelor -matematice
 http://w ebserv.lgrcat.ro/ssmrb/evenimente/Sesiune_09_11_2013/15.pdf
 http://www.math.uaic.ro/~oanacon/depozit/Curs_7_Strat_didactice(I).pdf
 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:obpMLmG0P90J:tet.pub.ro/mater
iale/anul3/pedagogie -curs/curs5.doc+&cd=1&hl=ro&ct =clnk&gl=ro
 http://forum.portal.edu.ro/index.php?act=Attach&type=post&id=2160804 .
 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:JKhj1bbYAgcJ:forum.porta l.edu.r
o/index.php%3Fact%3DAttach%26type%3Dpost%26id3D1818597+&cd=1&hl=ro&ct=clnk
&gl=ro

104 DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE A
LUCRĂRII METODICO -ȘTIINȚIFICE PENTRU ACORDAREA
GRADULUI DIDACTIC I

Titlul lucrării: Metodica rezolvării ecuațiilor și inecuațiilor de la gimnaziu la liceu
Autorul lucrării: Paul Adrian Vasile

Lucrarea este elaborat ă în vederea obținerii gradului didactic I organizat de D.P.P.D. din
cadrul Universității din Oradea, sesiunea August 2017.

Prin prezenta, subsemnatul declar pe proprie răspundere că această lucrare a fost
elaborată de către mine, fără nici un ajutor neautorizat și că nici o parte a lucrării nu conține
aplicații sau studii de caz publicate de alți autori.
Declar, de asemenea, că în lucrare nu există idei, tabele, grafice, hărți sau alte surse
folosite fără respectarea legii române și a convențiilor internationale privind drepturile de
autor.

Data, Semnătura,