Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni [603520]

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

1
Capitolul II Modele teoretice utilizate la analiza CFD și FEM
1. Obiectivele capitolului

În prezentul capitol se vor detalia noțiunile teoretice care au stat la baza î ntocmirii analizelor
numerice, atât pentru domeniul hidrodinamicii numerice, cât și al analizei structurale prin metoda
elementului finit. Aceste principii teoretice se vor concentra pe aspectele particulare tratate în
această teză, astfel:
1. Din punct de vedere al hidrodinamicii numerice, în abordarea prezentei lucr ări se vor
descrie metodele teoretice simplificate care stau la baza calculului for țelor de sustentație care
apar la navigația unei ambarcațiuni în regim de glisare.
2. Din punct de vedere al analizei structurale, în acest capitol vor fi des crise principiile
mecanice ale analizei comportării materialelor compozite la solicităr i de încovoiere.

2. Principiile dinamicii fuidelor aplicate
2.1. Ecuatiile Navier-Stokes mediate Reynolds (RANS )

Ecuatiile care descriu curgerea fluidului pe langa un corp ce se deplaseaza in acest fluid
sunt ecuatia de continuitate si ecuatiile Navier-Stokes. Aceste ecuatii modeleaza curgerea
fluidelor in functie de vascozitate, considerand fluidul ca fiind newtoni an iar fortele vascoase fiind
in directa dependenta cu gradientii de viteza. Aceste ecuatii formeaza impreuna un si stem de
ecuatii neliniare cu derivate partiale. Consderand apa ca fiind un lichid incompresibil , cu variatii
neglijabile de densitate, cele doua ecuatii pot fi scrise sub forma:
/g2034/g1847/g3036
/g2034/g1876/g3036=0 (2.1)
/g2025/g2034/g1847/g3036
/g2034/g1872 +/g2025/g2034/g3435/g1847/g3036/g1847/g3037/g3439
/g2034/g1876/g3037=/g2025/g1844/g3036+/g2034/g2026/g3036/g3037
/g2034/g1876/g3037, (2.2)
unde /g1847/g3036 sunt componentele instantanee ale vitezei particulelor de fluid in sistemul de coordinate
carteziene /g1876/g3036, /g2025 este densitatea apei, /g1872 este timpul. /g2026/g3036/g3037 este tensorul tensiunilor totale, care
poate fi scris sub forma:
/g2026/g3036/g3037 = −/g1842/g2012/g3036/g3037 +2/g2020/g3436/g1845/g3036/g3037 −1
3/g1845/g3038/g3038 /g2012/g3036/g3037 /g3440, (2.3)
unde /g1842 este presiunea, /g2012/g3036/g3037 este operatorul Kronecker, /g2020 este vascozitatea dinamica iar
/g1845/g3036/g3037 este tensorul ratei de deformatie care are formula:
/g1845/g3036/g3037 = 1
2/g4678/g2034/g1847/g3036
/g2034/g1876 /g3037+ /g2034/g1847 /g3037
/g2034/g1876 /g3036/g4679. (2.4)
Termenul /g1845/g3038/g3038 din ecuatia (2.3) scris conform (2.4) si considerand (2.1):
/g1845/g3038/g3038 =1
2/g3436/g2034/g1847/g3038
/g2034/g1876 /g3038+/g2034/g1847 /g3038
/g2034/g1876 /g3038/g3440=/g2034/g1847 /g3038
/g2034/g1876 /g3038=0 (2.5)
Solutionarea sistemului de ecuatii format din ecuatia de continuitate si ecuatia Navier Stokes
in forma initiala pentru curgerea turbulenta tridimensionala se poate face doar prin simulare
numerica directa. Variabilele implicate in acest sistem de ecuatii prezinta nelianiaritati in
domeniul de timp si in distributia spatiala iar rezolvarea prin metode numerice implica o alocare
de resurse de calcul care cresc odata cu cresterea numarului Reynolds. I n scopul eficientizarii

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

2 metodei de calcul se folosesc ecuatiile Navier-Stokes mediate Reynol ds (RANS) care reprezinta
o mediere in timp a valorilor instantanee obtinandu-se o serie de valori statis tice ale campurilor
de viteza iar fluctuatiile turbulente la scara redusa nu sunt simulate nu meric direct ci introduse
printr-o serie de termeni suplimentari in ecuatiile initiale. Medierea in tim p a ecuatiilor Navier
Stokes presupune separarea variabilelor prin care este caracterizata curgerea int r-o
componenta mediate in timp si o componenta pulsatorie. Vom avea definite astfel:
/g1847/g3036=/g1873/g3036+/g1873/g4593/g3036 (2.6)
si
/g1842/g3036=/g1868/g3036+/g1868′/g3036 , (2.7)
unde /g1873/g3036 este valoarea mediate in timp a vitezei instantanee /g1847/g3036 si /g1873′/g3036 este componenta
pulsatorie; in mod similar presiunea instantanee /g1842/g3036 se descompune in presiune mediate in timp
/g1868/g3036 si presiune pulsatorie /g1868′/g3036.
Medierea in timp a unei marimi oarecare /g1876 este definita de expresia:
/g1876̅=lim /g1846→∞1
2/g1846/g3505/g1876/g1856/g1872 /g3021
/g2879/g3021 , (2.8)
unde /g1872 este timpul si /g1846 este intervalul de mediere al marimii /g1876.
In forma mediata Reynolds ecuatiile de continuitate si Navier-Stokes pentru un fluid
incompresibil au formele:
/g2034/g1873 /g3036
/g2034/g1876 /g3036=0 (2.9)
/g3105/g3048 /g3284
/g3105/g3047 +/g3105/g3435/g3048/g3284/g3048/g3285/g2878/g3048/g4593/g3363/g3048/g4593/g3362 /g3364/g3364/g3364/g3364/g3364/g3364/g3364/g3364/g3364/g3439
/g3105/g3051 /g3285=/g1844/g3114/g3365−/g2869
/g3096/g3105/g3043
/g3105/g3051/g3284+/g3105
/g3105/g3051/g3285/g3428/g2021/g3436/g3105/g3048/g3284
/g3105/g3051 /g3285+/g3105/g3048 /g3285
/g3105/g3051 /g3284/g3440/g3432, (2.10)
unde
/g2021=/g2020
/g2025 (2.11)
este vascozitatea cinematica, iar /g1844/g3036 este tensorul tensiunilor Reynolds.
In forma mediata (2.10) ecuatia Navier-Stokes contine termini supliment ari care definesc
efectul fluctuatiei curgerii turbulente asupra curgerii medii. Pentru rezolvarea sistemului de
ecuatii, sunt necesare asadar ecuatii suplimentare, definite de modelul de turbulenta, in numar
egal cu numarul necunoscutelor.
2.2. Modele de turbulenta
Principalele probleme ale modelarii numerice a curgerii turbulente folosind sol utiile ecuatiilor
RANS sunt ridicate de determinarea componentelor tensorului Reynolds. Modelarea cu precizie
a componentelor nu este posibila deoarece necesita informatii detaliate car e sa descrie
fenomenul de turbulenta, care sun indisponibile, Bradshaw (1971)[6]. Mai mul t, tensiunile
Reynolds nu depind doar de natura fluidului, ci si de conditiile locale cum ar fi printer altele viteza,
rugozitatea peretelui sau geometria suprafetei. Pentru ca un singur model de turbulenta nu poate
acoperi toate situatiile in care se urmareste studierea curgerii turbulente de-a lungul timpului au
fost dezvoltate mai multe variante. Aceste modele prezinta avantaje si dezavant aje pentru
fiecare caz, diferite grade de complexitate precum si efortur i de calcul diferite. La alegerea
modelului de turbulenta este necesar sa se tina cont de caracteristica curger ii studiate, precum si
de acordarea acuratetei specifice a fiecarei solutii in functie de puterea de c alcul disponibila.
Un model de turbulenta folosit destul de larg este modelul k-ε (k-epsil on), care descrie
modelul de turbulenta folosind doua ecuatii, una pentru energia cinetica si una pentru rat a de
disipare specifica a acesteia.
Unul dintre cele mai folosite modele de turbulenta folosite in present este modelul /g2018 − /g2033
(k-omega), propus initial de Wilcox (1998) si imbunatatit apoi in 2008. In acest model de

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

3 turbulenta sunt folosite doua ecuatii diferentiale pentru doua variabile, /g2018 si /g2033, prima descriind
energia cinetica iar cea de-a doua rata specifica de dispiare a energiei cinet ice in energie
termica interna. Formulele celor doua marimi sunt urmatoarele:

/g2034/g1863
/g2034/g1872 +/g1847/g3036/g2034/g1863
/g2034/g1876/g3036=/g2028/g3036/g3037 /g2034/g1873/g3036
/g2034/g1876/g3037−/g2010∗/g2018/g2033 +/g2034
/g2034/g1876/g3036/g3428/g4666/g2021+/g2028∗/g2021/g3021/g4667/g2034/g1863
/g2034/g1876/g3036/g3432 (2.12)
/g2034/g2033
/g2034/g1872 +/g1847/g3036/g2034/g2033
/g2034/g1876/g3037=/g2009/g2033
/g1863/g2028/g3036/g3037 /g2034/g1873/g3036
/g2034/g1876/g3037−/g2010/g2033/g2870+/g2034
/g2034/g1876/g3037/g3428/g4666/g2021+/g2028/g2021/g3021/g4667/g2034/g2033
/g2034/g1876/g3036/g3432, (2.13)
unde constantele utilizate au urmatoarele valori:

/g2009=5
9; /g2010=3
40 ; /g2010∗=9
100 ; /g2026=/g2026∗=1
2; /g2013=/g2010∗/g2033/g1863 . (2.14)

Menter SST (din engleza Shear Stress Transport ) este un alt model folosit pe larg si destul
de robust care foloseste in mod cmbinat doua modele de turbulenta: modelul k- omega pentru
zona stratului limita adiacenta peretelui si modelul k-epsilon in zona curger ii libere, neturbulente.
2.3 Determinarea suprafetei libere prinmetoda volum ului de fluid
Pentru definirea zonei de demarcatie a suprafetei libere se foloseste o m etoda numerica
intitulata metoda volumului de fluid (din engleza Volume Of Fluid , VOF). In aceasta metoda,
bazata pe o functie fractionara volumica /g2009 densitatea si vascozitatea fluidului sunt modificate
astfel:
/g2020=/g2020/g3028/g3043/g3028 +/g2020/g3028/g3032/g3045 /g46661−/g2009/g4667 (2.15)
/g2025=/g2025/g3028/g3043/g3028 +/g2025/g3028/g3032/g3045 /g46661−/g2009/g4667, (2.16)
unde /g2020/g3028/g3043/g3028 si /g2020/g3028/g3032/g3045 sunt vascozitatile dinamice ale apei respective aerului, iar /g2025/g3028/g3043/g3028 si /g2025/g3028/g3032/g3045 sunt
densitatile apei respective ale aerului.
Deplasarea suprafetei libere a lichidului este guvernata de ecuatia de tr ansport a fractiei
volumetrice, iar aceasta se rezolva pentru fiecare unitate de volum discret izata in domeniul de
calcul:
/g2034/g2009
/g2034/g1872 +∇/g4666/g2009/g1847 /g4667=0, (2.17)
unde 0 ≤ /g2009 ≤ 1 , /g1847 este viteza curgerii iar ∇ este volumul celulei.
Rezolvarea ecuatiei ofera 3 solutii:
/g2009=0 In cazul in care celula este plina cu aer
/g2009=1 In cazul in care celula este plina cu apa
0</g2009<1 In cazul in care celula contine suprafata libera
2.4. Discretizarea domeniului de calcul
In studiul curgerii fluidului in jurul suprafetelor cu geometrii c omplexe este necesara
acordarea unei atentii sporite a discretizarii domeniului de calcul. Pentru a stabili dimensiunile
celulelor din imediata apropiere a suprafetelor sau peretilor se definest e urmatoarea functie care
poarta denumirea de functie de perete (din engleza wall function ):
/g1877/g2878=/g1873/g3047/g1877
/g2021, (2.18)
unde /g1877 este distanta fata de cel mai apropiat perete, /g2021 este vascozitatea dinamica iar /g1873/g3047
este viteza de frecare, definita ca fiind:

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

4 /g1873/g3047=/g3496/g2028/g3104
/g2025 (2.19)
unde /g2025 este densitatea fluidului (apa) iar /g2028/g3104 este tensiunea dataorata frecarii cu peretele
si are formularea:
/g2028/g3104=/g2025/g1873/g2870/g1829/g3033
2, (2.20)
unde /g1829/g3033 este coeficientul de frecare care depinde de calitatea suprafetei si geometr ie, insa
pentru curgeri turbulente poate fi aproximat ca fiind:
/g1829/g3033=0.058 /g1844/g1857 /g2879/g2870 (2.21)
Marimea primului rand de celule (grosimea primului strat de celule din im ediata vecinatate a
peretelui) se recomanda a fi la:
Δ/g1871=/g2020/g1877/g2878
/g2025/g1873/g3047 (2.22)
Coeficientul /g1877/g2878 are urmatoarele valori:
/g1877/g2878<5 pentru substratul vascos
5</g1877/g2878<30 pentru stratul tampon
2.5. Conditii la limita
Pentru a economisi resurse, se presupune ca in jurul unei carene curgerea are ca racter
simetric, asadar domeniul de calcul poate fi divizat in doua subdomenii si metrice. Limitele
domeniului de calcul se plaseaza in mod normal sufficient de departe pentru a nu influenta
caracteristicile curgerii, cu exceptia cazurilor in care se urmarest e in mod specific acest lucru,
cum ar fi situatia unui acvatoriu limitat.
Conditiile la limita aplicabile in situatii normale sunt:
a) Viteza constanta, egala cu viteza de deplasare a navei la intrarea in dome niul de calcul
(amonte)
b) Conditii de alunecare la iesirea din domeniul de calcul (aval), precum si pentru frontierele
exterioare ale domeniului, pe suprafata libera si in planul de simetri e, gradientul vitezei normale
pe aceste frontiere este zero.
c) Pe suprafața corpului navei se impune condiția de aderare a particulei de fluid la perete.

3. Modele matematice de analiza structural
3.1 Considerente de material

Din punct de vedere structural, materialele conventionale sunt considerate omogene
datorita in principal caracterului monofazic. Materialele compozite, pe de alta parte, asa cum s-a
aratat in capitolul anterior, sunt considerate omogene, prezentand cel putin doua f aze distincte,
asadar caracterul lor poate fi descris ca fiind neomogen. Este insa importan t sa consideram ca
notiunea de omogenitate depinde de scara si de ordinul de marime al constituentilor
compozitului analizat. In aceste conditii, din punct de vedere macroscopic , un obiect de mari
dimensiuni, cum ar fi in cazul acestei teze un corp de ambarcatiune, poate fi considerat ca fiind
alcatuit dintr-un material omogen.
Im mod similar, asa cum s-a observat in descrierea proprietatil or materialelor compozite din
capitolul nterior, acestea prezinta proprietati diferite in functie de dir ectia de orientare a fibrelor
de armare. Pentru constructia acestei ambarcatiuni au fost folosite mat eriale de armare cu

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

5 dispunere complet aleatorie (MAT) precum si materiale de armare bidirec tionale sub forma unor
straturi de tesaturi. Vom considera astfel materialul din care este confectionata ambarcatiunea
intr-o analiza globala la scara intregii structuri ca fiind un mateial iz otrop.

3.2 Notiuni de teoria elasticitatii

Se considera un element plan de forma dreptunghiulara dintr-un material izotrop, s olicitat la
tractiune uniaxiala, in urma careia se observa o deformatie specifica /g2013/g3051 in directia solicitarii si o
deformatie specifica /g2013/g3052 perpendicular pe aceasta (Figura 2.2 a).
Relatiile de calcul pentru deformatiile mentionate mai sus pot fi scr ise astfel:
/g2013/g3051=/g2026/g3051
/g1831; /g2013/g3052=−/g2021/g2026/g3051
/g1831, (2.23)
unde /g2026/g3051 este tensiunea axiala, /g1831 este modulul de elasticitate al lui Young, iar /g2021 este
coeficientul de contractie transversala al lui Poisson pentru materialul considerat.

a) tracțiune b) forfecare
Figura 2.2. Solicitări mecanice
Considerand pentru acelasi material o solicitare de tipul forfecarii sub efe ctul unei tensiuni
tangentiale /g2028/g3051/g3052 vom inregistra o deformatie specifica acestei solicitări, în sensul ca o placă
plană de formă dreptunghiulară se transformă în paralelogram, fără a înregistr a modificări ale
lungimii laturilor sale. Asadar, in acest caz vor fi deformatii s pecifice liniare nule, /g2013/g3051= /g2013 /g3052= 0, iar
lunecarea specifica va avea forma:
/g2011/g3051/g3052 =/g2028/g3051/g3052
/g1833=2/g2028/g3051/g3052 /g46661+/g2021/g4667
/g1831, (2.24)
unde /g1833 este modulul de elasticitate transversal (modulul de forfecare) specific materialului
studiat. Se poate observa ca /g2021 (coeficientul Poisson) este un element de cuplare intre
deformatiile specifice masurate perpendicular pe directia de solicitare a ele mentului, iar /g1833 nu
este o constanta eleastica independenta a unui material, acesta putand fi calcul at in functie de /g2021
si /g1831:
/g1833=/g1831
2/g46661+/g2021/g4667 (2.25)

3.3 Metode de calcul

In mecanica studiului deformabil se folosesc in general metode ce calcul analitic e acestea
avand in principiu in vedere integrarea ecuatiilor teoriei elasticitatii. Put em considera astfel:
– Ecuatiile diferentiale Cauchy
/g2034/g2026 /g3051
/g2034/g1876 +/g2034/g2026 /g3052/g3053
/g2034/g1877 +/g2034/g2026 /g3053/g3051
/g2034/g1878 +/g1850=0 (2.26)

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

6 /g2034/g2028 /g3051/g3052
/g2034/g1876 +/g2034/g2026 /g3052
/g2034/g1877 +/g2034/g2028 /g3053/g3052
/g2034/g1878 +/g1851=0
/g2034/g2028 /g3051/g3053
/g2034/g1876 +/g2034/g2028 /g3052/g3053
/g2034/g1877 +/g2034/g2026 /g3053
/g2034/g1878 +/g1851=0,
unde /g1850, /g1851, /g1852 reprezinta proiectiile pe cele 3 axe ale fortei masice pe unitatea de volum ( de
exemplu greutatea proprie);
– Relatii intre deplasari si deformatii specifice
/g2013/g3051=/g2026/g3048
/g2034/g3051; /g2013/g3052=/g2026/g3049
/g2034/g3052; /g2013/g3053=/g2026/g3050/g3104
/g2034/g3053
(2.27)
/g2011/g3051/g3052 =/g2034/g1873
/g2034/g1877 +/g2034/g1874
/g2034/g1876 ; /g2011/g3052/g3053 =/g2034/g1874
/g2034/g1878 +/g2034/g2033
/g2034/g1877 ; /g2011/g3053/g3051 =/g2034/g2033
/g2034/g1876 +/g2034/g1873
/g2034/g1878
– Relatii intre deformatii specifice si tensiuni (legea lui Hooke) pent ru materiale omogene si
izotrope
/g2013/g3051=/g2026/g3051−/g2021/g3435/g2026/g3052+/g2026/g3053/g3439
/g1831; /g2011/g3051/g3052 =/g2028/g3051/g3052
/g1833
(2.28) /g2013/g3052=/g2026/g3052−/g2021/g4666/g2026/g3053+/g2026/g3051/g4667
/g1831; /g2011/g3052/g3053 =/g2028/g3052/g3053
/g1833
/g2013/g3053=/g2026/g3053−/g2021/g3435/g2026/g3051+/g2026/g3052/g3439
/g1831; /g2011/g3053/g3051 =/g2028/g3053/g3051
/g1833
Relatiile (2.28) pot fi scrise si sub forma condensata, matriceala:
/g4668/g2026/g4669=/g4670/g1830/g4671∙/g4668/g2013/g4669, (2.29)
unde /g4668/g2026/g4669 este tensorul tensunilor, /g4668/g2013/g4669 este tensorul deformatiilor specifice iar /g4670/g1830/g4671 este
matricea de elasticitate care are forma:
/g4670/g1830/g4671=/g1831
/g46661 + /g2021 /g4667/g46661 − 2/g2021 /g4667∙
/g1743/g1742/g1742/g1742/g1742/g17411−/g2021 /g2021 /g2021 0 0 0
/g2021 1−/g2021 /g2021 0 0 0
/g2021 /g2021 1 − /g2021 0 0 0
0 0 0 /g46661 − 2/g2021/g4667/2 0 0
0 0 0 0 /g46661−2/g2021/g4667/2 0
0 0 0 0 0 /g46661−2/g2021/g4667/2/g1746/g1745/g1745/g1745/g1745/g1744

Ecuatiile (2.26), (2.27) si (2.28) formeaza un sistem de 15 ecuatii cu 15 functii necunoscute
astfel:
– 6 tensiuni: /g2026/g3051, /g2026/g3052, /g2026/g3053, /g2028/g3051/g3052 , /g2028/g3052/g3053 , /g2028/g3053/g3051 ;
– 6 deformatii specifice: /g2013/g3051, /g2013/g3052, /g2013/g3053, /g2011/g3051/g3052 , /g2011/g3052/g3053 , /g2011/g3053/g3051
– 3 deplasari: /g1873, /g1874, /g1875 .
Aplicarea unor metode analitice de calcul este o practica restransa in cazuri le intalnite in
inginerie, deoarece apar limitari legate de geometria corpului si de compl exitatea sistemului de
sarcini, ambele trebuind sa fie relativ simple. In cazul in care proble mele propuse spre rezolvare
prezinta un grad mai mare de complexitate, se utilizeaza metode aproxim ative de calcul. Pentru
a fi acceptabila, o astfel de metoda trebuie sa indeplineasca conditia de a determina cu o
precizie suficienta solutia, considerand scopul practic propus pentru acea problema concreta.
Conform Buzdugan et al. (1979) metodele de calcul aproximativ cunosc 2 dir ectii de
dezvltare:
1. Se scriu ecuatiile exacte pentru problema data si se neglijeaza term enii cu pondere
secundara, rezultand ecuatii simplificate ce pot fi integrate nalitic sau rez olvate prin metode
numerice, precum metoda relaxarii, metoda diferentelor finite, etc;
2. Se rezolva exact ecuatiile obtinute pe un model aproximativ de calcul c onsiderand ipoteze
simplificatoare pentru configuratia cea mai probabila a deplasarilor in problem a data; ipoteza
simplificatoare trebuie verificata experimental si trebuie sa satisfaca conditiile la limita. Ipotezele

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

7 acestor de plasari pot fi:
2.a) globale , aplicate modului de comportare la deformare al unei suprafete sau drepte din
corpul studiat, obtinand rezultate aplicabile zonelor cu efecte locale neglijabile sau care nu fac
obiectul studiului. Cele mai frecvent utilizate astfel de ipoteze sunt ipot eza deformatiei suprafetei
neutre a barelor, ipoteza nedeformarii conturului, ipoteza dreptei normale;
2.b) locale , constand in admiterea unei anumite configuratii a deplasarilor elementelor de
forma convenabil aleasa si de dimensiuni mici, finite, obtinute prin desco mpunerea (discretizarea)
corpului sau structurii studiate. Aceasta ipoteza a condus la elaborarea metodei ele mentelor
finite, o metoda numerica aproximativa folosita la scara foarte larga i n prezent in foarte multe
domenii stiintifice prin dezvoltarea unor solutii software specifice f iecarui domeniu in parte.
3.4 Modele de calcul pentru placi
Intrucat modelele analitice pentru calculul riguros al placilor capabile sa satisf aca ecuatiile
(2.26), (2.27) si (2.28) sunt foarte mari consumatoare de resur se de calcul, s-au dezvoltat o serie
de metode aproximative specifice.
Modelul placii plane subtiri, unde grosimea cea mai mare a placii nu depases te 1/5 din
dimensiunea ei cea mai mica, descris de ecuatia Sophie Germain:
/g2034/g2872/g2033
/g2034/g1876/g2872+2/g2034/g2872/g2033
/g2034/g1876/g2870/g1877/g2870+/g2034/g2872/g2033
/g2034/g1877/g2872=/g1842
/g1830 , (2.30)
unde /g1830 =/g3006/g3035/g3119
/g2869/g2870 /g4666/g2869/g2879/g3092 /g4667 este rigiditatea la incovoiere a placii
Pentru modelul general al unei placi plane subtiri flexibile putem scrie:
/g1830ΔΔ /g2033=/g1868−/g1838/g4666/g2033,/g2038/g4667−/g1860/g2870/g46662−/g2021/g4667Δ/g1868−2/g1838/g4666/g2033,/g2038/g4667
10 /g46661−/g2021/g4667
(2.31) 1
Δ/g1831/g1860ΔΔ /g2038=1
2/g1838/g4666/g2033,/g2033/g4667−/g2021Δ/g1868
2/g1831 ,
unde Δ =/g3105/g3118
/g3105/g3051/g3118+/g3105/g3118
/g3105/g3052/g3118, /g1838/g4666/g2033, /g2038 /g4667=/g3105/g3118/g3104
/g3105/g3051/g3118/g3105/g3118/g3109
/g3105/g3052/g3118− 2/g3105/g3118/g3104
/g3105/g3051/g3105/g3052 /g3105/g3118/g3109
/g3105/g3051/g3105/g3052 +/g3105/g3118/g3104
/g3105/g3052/g3118/g3105/g3118/g3109
/g3105/g3051/g3118 iar /g2038 este functia eforturilor din
planul median al placii conform Figurii 2.3:
/g1840/g3051=−/g2034/g2870/g2038
/g2034/g1877/g2870
(2.32) /g1840/g3052=−/g2034/g2870/g2038
/g2034/g1876/g2870
/g1840/g3053=/g2034/g2870/g2038
/g2034/g1876/g2034/g1877

Figura 2.3. Eforturile din planul median al placii

Expresiile momentelor incovoietoare si al fortelor taietoare (Figura 2.4 ):

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

8 /g1839/g3051=−/g1830/g4678/g2034/g2870/g2033
/g2034/g1876/g2870+/g2021/g2034/g2870/g2033
/g2034/g1877/g2870/g4679+/g1860/g2870
5∙/g2034/g1846/g3051
/g2034/g1876 −/g1860/g2870
10 ∙/g2021
1−/g2021/g4670/g1868−2/g1838/g4666/g2033,/g2038/g4667/g4671
(2.33) /g1839/g3052=−/g1830/g4678/g2034/g2870/g2033
/g2034/g1877/g2870+/g2021/g2034/g2870/g2033
/g2034/g1876/g2870/g4679+/g1860/g2870
5∙/g2034/g1846/g3052
/g2034/g1877 −/g1860/g2870
10 ∙/g2021
1−/g2021/g4670/g1868−2/g1838/g4666/g2033,/g2038/g4667/g4671
/g1839/g3051/g3052 =/g1839/g3052/g3053 =−/g46661−/g2021/g4667/g1830/g2034/g2870/g2033
/g2034/g1876/g2034/g1877 +/g4666/g2034/g1846/g3051
/g2034/g1877 +/g2034/g1846/g3052
/g2034/g1876 /g4667/g1860/g2870
10
/g1846/g3051−/g1860/g2870
10 ∆/g1846/g3051=−/g1830/g2034∆/g2033
/g2034/g1876 −/g1860/g2870
10 /g46661−/g2021/g4667∙/g2034
/g2034/g1876 /g4670/g1868−/g46661+/g2021/g4667/g1838/g4666/g2033,/g2038/g4667/g4671
/g1846/g3052−/g1860/g2870
10 ∆/g1846/g3052=−/g1830/g2034∆/g2033
/g2034/g1877 −/g1860/g2870
10 /g46661−/g2021/g4667∙/g2034
/g2034/g1877 /g4670/g1868−/g46661+/g2021/g4667/g1838/g4666/g2033,/g2038/g4667/g4671

Figura 2.4. Expresiile momentelor incovoietoare si al fortelor taie toare pentru o placa plana
Sistemele de ecuatii (2.31) impreuna cu ultimele doua ecuatii (2.33) si condit iile la limita
permit determinarea functiilor necunoscute /g2033, /g2038, /g1846 /g3051 , /g1846/g3052.
3.5 Metoda elementului finit
Asa cum s-a precizat anterior, folosirea metodelor analitice pentru rezol varea ecuatiilor de
mecanica este o practica greoaie si prohibitiva, iar metodele aproximat ive sunt cele chemate sa
ofere solutii rapide in mod practic si eficient. Una dintre cele mai folosite metode de calcul
aproximativ este metoda elementului finit, pentru structuri solicita te in mod complex static,
dinamic, termic, la limita, in regim liniar sau neliniar. Utilizarea pe scara larga calculatoarelor si a
programelor de calcul numeric a contribuit la popularitatea acestei metode.
Pentru a defini intr-un mod simplu conceptele de baza ale metodei elementului finit putem
privi acest model ca pe o aplicare la scara larga a modelului de calcul al structurilor din bare prin
metoda deplasarilor. Astfel, structura care se calculeaza prin metoda elementelor finite se
discretizeaza intr-un grad oarecare, formand o retea de noduri in care s e leaga elementele
idealizate ale structurii, care pot fi elemente de bara, de placi subtiri plane sau curbe, de
membrana, elemente de volum tertraedrale, cuboide, etc, care poarte denum irea de elemente
finite . Conceptele de sarcina nodala, grad de libertate, matrice de rigiditate definite pent ru
structuri din bare pentru metoda deplasarilor raman valabile si pentru structurile analizate prin
metoda elementelor finite, sub aspect generalizat.
/g4668/g1844/g4669=/g4670/g1863/g4671/g4668/g1873/g4669 (2.33)

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

9 In interpretarea relatiei (2.33) consideram ca deplasarile nodale /g4668/g1873/g4669 produc in mod unic
fortele nodale /g4668/g1844/g4669 fara a fi valabila si reciproca, in sensul ca pentru anumite valori ale fortelor
nodale se obtin o infinitate de vectori ai deplasarilor. Spre deosebire de deplas arile nodale,
fortele nodale nu sunt independente, deoarece prin satisfacerea conditiei de echilibru for tele
trebuie sa satisfaca ecuatiile de echilibru corespunzatoare, iar matricea de r igiditate /g4670/g1863/g4671 este
singulara, nu poate fi inversata.
3.5.1 Deducerea matricei de rigiditate a unui element finit, fo losind principiul lucrului
mecanic virtual
Domnisoru (2001) arata ca daca luam un element finit izoparametric pentru care funcțiile de
interpolare pentru geometrie și câmpul deplasărilor au același ordin, respect iv numărul
parametrilor /g4668/g2009/g4669 ai funcției câmpului deplasărilor este egal cu numărul gradelor de libertate
nodale ale elementului /g4668/g1873/g3038/g4669 putem scrie câmpul deplasărilor /g4668/g1873/g4669 folosind o lege polinomială cu
coeficienții /g4668/g2009/g4669:
/g4668/g1873/g4669=/g4670/g1858/g4666/g1876,/g1877,/g1878/g4667/g4671/g4668/g2009/g4669, (2.34)
unde /g4668/g1873/g4669= /g4668/g1873 /g1874 /g1875/g4669/g3021 este vectorul deplasarilor, /g4668/g2009/g4669= /g4668/g2009 /g2869, /g2009/g2870… /g2009 /g3041/g4669/g3021 este vectorul
coeficientilor functiilor de interpolare iar /g4670/g1858/g4671este matricea functiilor de interpolare pe element
si are forma:
/g4670/g1858/g4671=/g3430/g1858/g2869/g18582… /g1858/g18640 0 … 0 0 0 … 0
0 0 … 0/g1858/g1864+1/g1858/g1864+2… /g1858/g18650 0 … 0
0 0 … 0 0 0 … 0 /g1858/g1865+1/g1858/g1865+2… /g1858/g1866/g3434
Pe baza relației (2.34), introducând coordonatele nodurilor, se stabilește legătura între
vectorul deplasărilor nodale (gradele de libertate ale elementului):
/g4668/g1873/g3038/g4669=/g4668/g1873/g2869 /g1873/g2870… /g1873/g3039 /g1874/g3039/g2878/g2869/g1874/g3039/g2878/g2870… /g1874/g3040 /g1875/g3040/g2878/g2869 /g1875/g3040/g2878/g2870… /g1875/g3041/g4669/g3021
si vectorul parametrilor functiilor de interpolare /g4668/g2009/g4669:
/g4668/g1873/g3038/g4669=/g4670/g1827/g4671/g4668/g2009/g4669→/g4668/g2009/g4669=/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g4668/g1873/g3038/g4669→/g4668/g1873/g4669=/g4670/g1858/g4666/g1876,/g1877,/g1878/g4667/g4671/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g4668/g1873/g3038/g4669=/g4670/g1840/g3048/g4666/g1876,/g1877,/g1878/g4667/g4671/g4668/g1873/g3038/g4669 (2.35)
Folosind relatia Cauchy scrisa sub forma matriceala putem obtine legatura dintr e vectorul
deformatiilor specifice totle si vectorul coordonatelor nodale:
/g4668/g1857/g4669=/g4670∆/g4671/g4668/g1873/g4669, /g4668/g1857/g4669=/g4670∆/g4671/g4670/g1858/g4666/g1876,/g1877,/g1878/g4667/g4671/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g4668/g1873/g3038/g4669, /g4670∆/g4671/g4670/g1858/g4671=/g4670/g1828∗/g4671,
/g4670/g1828/g4671=/g4670/g1828∗/g4671/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671=/g4670∆/g4671/g4670/g1840/g3048/g4671,/g4668/g1857/g4669=/g4670/g1828∗/g4671/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g4668/g1873/g3038/g4669 (2.36)
Din legea lui Hooke generalizata (2.28), (2.29) de determina campul tensiunilor :
/g4668/g2026/g4669=/g4670/g1830/g4671/g4668/g2013/g4669, /g4668/g2013/g4669=/g4668/g1857/g4669+/g4668/g1857/g3021/g4669+/g4668/g1857/g2868/g4669
→/g4668/g2013/g4669=/g4668/g1857/g4669−/g4668/g1857/g2868/g4669+/g2009/g1846 /g4670/g1831/g2879/g2869/g4671/g4668/g2031/g3021/g4669,
/g4668/g2026/g4669=/g4670/g1830/g4671/g4666/g4668/g1857/g4669−/g4668/g1857/g2868/g4669/g4667+/g2009/g1846 /g4668/g2031/g3021/g4669 (2.37)
Variatia energiei interne de deformatie, considerand deformatiile initiale /g4668/g1857/g2868/g4669 si cele termice
/g4668/g1857/g3021/g4669 se poate scrie:
/g2012/g1847 =/g3505/g4668/g2012/g1857/g4669/g3021/g4668/g2026/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667 (2.38)
si pe baza relatiei (2.36) avem
/g2012/g1847 =/g3505/g4668/g2012/g1857/g4669/g3021/g4670/g1831/g4671/g4668/g1857/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667− /g3505/g4668/g2012/g1857/g4669/g3021/g4670/g1831/g4671/g4668/g1857/g2868/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667+/g3505/g4668/g2012/g1857/g4669/g3021/g2009/g1846 /g4668/g2031/g3021/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667 (2.39)

iar impreuna cu relatia (2.36) avem
/g4668/g2012/g1857 /g4669=/g4670/g1828∗/g4671/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669=/g4670/g1828/g4671/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669 /g2012/g1847 = (2.40)

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

10 =/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669/g3021/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g3021/g4684/g3505/g4670/g1828∗/g4671/g3021/g4670/g1831/g4671/g4670/g1828∗/g4671/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667/g4685/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669−/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669/g3021/g3505/g4670/g1828/g4671/g3021/g4670/g1831/g4671/g4668/g1857/g2868/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667+
+/g2009/g1846 /g4668/g2012/g1873/g3038/g4669/g3021/g3505/g4670/g1828/g4671/g3021/g4668/g2031/g3021/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667
Lucrul mecanic virtual al fortelor concentrate de volum, de suprafa ta si fortele nodale de
cuplare cu celelalte elemente ale structurii se poate scrie ca:
/g2012/g1849 =/g3505/g4668/g2012/g1873 /g4669/g3021/g4668/g1850/g4669/g1856/g1848 +/g3505/g4668/g2012/g1873 /g4669/g3021/g4668Φ/g4669/g1856/g1845 +/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669/g3021/g4668/g1842/g2868/g3038/g4669+/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669/g3021/g4668/g1842/g3038/g4669
/g4666/g3020/g4667,
/g4666/g3023/g4667 (2.41)
unde /g4668/g1850/g4669 est vectorul fortelor de volum exterioare, /g4668Φ/g4669 este vectorul fortelor de suprafata
exterioare, /g4668/g1842/g2868/g3038/g4669 este vectorul echivalent al fortelor concentrate exterioare in campul
elementului si reduse la noduri iar /g4668/g1842/g3038/g4669 este vectorul fortelor nodale interne de legatura cu
elementele vecine.
Folosind relatia (2.35) obtinem:
/g2012/g1849=/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669/g3021/g3505/g4670/g1840/g3048/g4671/g3021/g4668/g1850/g4669/g1856/g1848 +/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669/g3021/g3505/g4670/g1840/g3048/g4671/g3021/g4668Φ/g4669/g1856/g1845 +/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669/g3021/g4668/g1842/g2868/g3038/g4669+/g4668/g2012/g1873/g3038/g4669/g3021/g4668/g1842/g3038/g4669
/g4666/g3020/g4667
/g4666/g3023/g4667 (2.42)
Din relatiile (2.40), (2.42) si principiul lucrului mecanic virtual obtinem legea elementului finit
care are ca necunoscute deplasarile nodale /g4668/g1873/g3038/g4669:
/g2012/g1849 =/g2012/g1847
→ /g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g3021/g4684 /g3505/g4670/g1828∗/g4671/g3021/g4670/g1831/g4671/g4670/g1828∗/g4671/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667/g4685/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g4668/g1873/g3038/g4669=
= −/g2009/g1846 /g3505/g4670/g1828/g4671/g3021/g4668/g2031/g3021/g4669/g1856/g1848 +
/g4666/g3023/g4667/g3505/g4670/g1828/g4671/g3021/g4670/g1831/g4671/g4668/g1857/g2868/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667+/g4668/g1842/g2868/g3038/g4669+ /g3505/g4670/g1840 /g3048/g4671/g3021/g4668/g1850/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667
+/g3505/g4670/g1840/g3048/g4671/g3021/g4668Φ/g4669/g1856/g1845 +/g4668/g1842/g3038/g4669
/g4666/g3020/g4667 (2.43)
De unde prin identificare obtinem:
• Matricea de rigiditate a elementului finit:
/g4670/g1837/g4671=/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g3021/g4670/g1837∗/g4671/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671=/g3505/g4670/g1828/g4671/g3021/g4670/g1831/g4671/g4670/g1828/g4671/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667 /g4670/g1837∗/g4671=/g3505/g4670/g1828∗/g4671/g3021/g4670/g1831/g4671/g4670/g1828∗/g4671/g1856/g1848 ,
/g4666/g3023/g4667
unde /g4670/g1837∗/g4671 este nucleul matricei de rigiditate; (2.44)
• Vectorul incarcarilor exterioare pe element reduse la noduri:
/g4668/g1843/g3038/g4669=/g4668/g1842/g2868/g3038/g4669+/g1516/g4670/g1840/g3048/g4671/g3021/g4668/g2004/g4669/g1856/g1845 +/g4666/g3020/g4667 /g1516/g4670/g1840/g3048/g4671/g3021/g4668/g1850/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667+/g1516/g4670/g1828/g4671/g3021/g4670/g1831/g4671/g4668/g1857/g2868/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667−/g2009/g1846 /g4670/g1860/g4671,
(2.45)
unde /g4670/g1860/g4671=/g1516/g4670/g1828/g4671/g3021/g4668/g2031/g3021/g4669/g1856/g1848
/g4666/g3023/g4667 este matricea termica,
/g4668/g2004/g4669 este vectorul fortelor exterioare de suprafata,
/g4668/g1850/g4669 este vectorul forttelor exterioare de volum,
/g4670/g1840/g3048/g4671=/g4670/g1858/g4666/g1876, /g1877, /g1878 /g4667/g4671/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671 este matricea functiilor de interpolare a campului deplasarilor’
/g4670/g1858/g4666/g1876, /g1877, /g1878 /g4667/g4671 sunt functiile de interpolare /g4668/g1873/g4669=/g4670/g1858/g4666/g1876, /g1877, /g1878 /g4667/g4671/g4668/g2009/g4669,
/g4670/g1827/g4671 este matricea de legatura dintre vectorul coordonatelor nodale /g4668/g1873/g3038/g4669 si parametrii /g4668/g2009/g4669
/g4670/g1828/g4671=/g4670Δ/g4671/g4670/g1840/g3048/g4671 este matricea deformatiilor specifice,
/g4670Δ/g4671 este operatorul de diferentiere Cauchy,
/g2009 este coeficientul dilatarii termice liniare
/g1846 este diferenta de pemperatura care provoaca sarcina termica

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

11 /g4668/g2031/g3021/g4669/g2871/g3005=/g3006
/g2869/g2879/g2870/g3092/g4668−1 − 1 − 1 0 0 0/g4669/g3021
Din relatiile (2.43), (2.44) si (2.45) legea elementului finit este:
/g4670/g1837/g4671/g4668/g1873/g3038/g4669=/g4668/g1842/g3038/g4669+/g4668/g1843/g3038/g4669 (2.46)

3.5.2 Formularea matricei de rigiditate a elementului de membran a triunghiulara folosind
coordonatele naturale de suprafata

Un element finit triunghiular admite in coordonate naturale de suprafata exprim area din
Figura 2.5:

Figura 2.5 Element de membrana triunghiular in cordonate de suprafata
Conform Domnisoru (2001) matricea de rigiditate /g4670/g1837/g4671 a elementului de membrana triunghiular
are expresia
/g4670/g1837/g4671=/g1872/g3505/g4670/g1828/g4671/g3021/g4670/g1831/g4671/g4670/g1828/g4671/g1856/g1827 , /g4670/g1831/g4671=/g1831
1 − /g2021/g2870/g34301/g2021 0
/g20211 0
0 01−/g2021
2/g3434
/g4666/g3002/g4667,/g4670/g1828/g4671
=1
2/g1827/g2940/g4686/g1854/g28690 /g1854/g28700 /g1854/g28710
0 /g185510 /g185520 /g18553
/g18551/g18541/g1855/g2870/g18542/g18553/g18543/g4687 (2.47)
de unde prin calcul direct rezulta:
/g4670/g1837/g4671=/g1831/g1872
4/g1827/g2940/g46661 − /g2021/g2870/g4667
/g1743/g1742/g1742/g1742/g1742/g1742/g1741/g2006/g2869/g2869 /g200411 /g200612 /g200412 /g200613 /g200413
/g200411 /g199011 /g200421 /g199012 /g200431 /g199013
/g200612 /g2004/g2870/g2869 /g200622 /g200422 /g200623 /g200423
/g2004/g2869/g2870 /g199012 /g200421 /g199022 /g200432 /g199023
/g200613 /g200431 /g200623 /g200432 /g200633 /g200433
/g200413 /g1990/g2869/g2871 /g200423 /g199023 /g200433 /g199033 /g1746/g1745/g1745/g1745/g1745/g1745/g1744
,
unde /g2006/g3036/g3037 =/g1854/g3036/g1854/g3037+/g2869/g2879/g3092
/g2870/g1855/g3036/g1855/g3037; /g1990/g3036/g3037 =/g1855/g3036/g1855/g3037+/g2869/g2879/g3092
/g2870/g1854/g3036/g1854/g3037; Φ/g3036/g3037 =/g2021/g1854 /g3036/g1855/g3037+/g2869/g2879/g3092
/g2870/g1855/g3036/g1854/g3037,/g1861,/g1862=1,2,3. (2.48)

3.5.2 Matricea de rigiditate pentru un element de placa triunghiul ar cu 3 noduri si 9 grade
de libetate nodale

Confom Domnisoru (2001), consideram un element triunghiular de placa subtir e cu 3 noduri
si 9 grade de libertate (Figura 2.6) pentru care scriem legea de variatie a campului deplasarilor:
/g1875/g4666/g1876,/g1877/g4667=/g2009/g2869+/g2009/g2870/g1876+/g2009/g2871/g1877+/g2009/g2872/g1876/g2870+/g2009/g2873/g1876/g1877+/g2009/g2874/g1877/g2870+/g2009/g2875/g1876/g2871+/g2009/g2876/g4666/g1876/g2870/g1877+/g1876/g1877 /g2870/g4667+/g2009/g2877 /g1877/g2871
→/g1849/g4666/g1876,/g1877/g4667=/g4670/g1858/g4666/g1876,/g1877/g4667/g4671/g4668/g2009/g4669 /g4668/g2009/g4669=/g4668/g2009/g2869/g2009/g2870 /g2009/g2871/g2009/g2872/g2009/g2873/g2009/g2874/g2009/g2875/g2009/g2876/g2009/g2877/g4669/g3021 (2.49)
si vectorul gradelor de libertate nodale:
/g4668/g1873/g3038/g4669=/g4668/g1875/g2869 /g1875/g3051/g2869 /g1875/g3052/g2869 /g1875/g2870 /g1875/g3051/g2870 /g1875/g3052/g2870 /g1875/g2871 /g1875/g3051/g2871 /g1875/g3052/g2871/g4669/g3021 (2.50)

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

12

Figura 2.6 Element triunghiular de placa subtire cu 3 noduri si 9 grade de li bertate
Matricea de rigiditate are formularea:
/g4670/g1837/g4671=/g3505/g4670/g1828/g4671/g3021/g4670/g1830/g3038/g4671/g4670/g1828/g4671/g1856/g1827 , /g4670/g1828/g4671=/g4670∆/g4671/g4670/g1840/g4671, /g1875/g4666/g1876,/g1877/g4667=/g4670/g1840/g4666/g1876,/g1877/g4667/g4671/g4668/g1873/g3038/g4669=/g4670/g1858/g4666/g1876,/g1877/g4667/g4671/g4668/g2009/g4669
/g3002
/g4668/g1873/g3038/g4669=/g4670/g1827/g4671/g4668/g2009/g4669→/g4668/g2009/g4669=/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g4668/g1873/g3038/g4669→/g4670/g1840/g4666/g1876, /g1877/g4667/g4671=/g4670/g1858/g4666/g1876, /g1877/g4667/g4671/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671→/g4670/g1828/g4671=/g4670/g1828∗/g4671/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671
/g4670/g1828∗/g4671=/g4670∆/g4671/g4670/g1858/g4666/g1876,/g1877/g4667/g4671 /g4670∆/g4671=/g4682/g2034/g2870
/g2034/g1876/g2870 /g2034/g2870
/g2034/g1877/g2870 2/g2034/g2870
/g2034/g1876/g2034 /g1877 /g4683 /g3021 (2.51)
De unde rezulta ca matricea de rigiditate are expresia:
/g4670/g1837/g4671=/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671/g3021/g4670/g1837∗/g4671/g4670/g1827/g2879/g2869/g4671,
Iar nucleul maricei de rigiditate are expresia:
/g4670/g1837∗/g4671=/g1831/g1872/g2871/g1827∆
12 /g46661 − /g2021/g2870/g4667∙
∙
/g1743/g1742/g1742/g1742/g1742/g1742/g1742/g1742/g1742/g174100 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 4 0 4/g2021 12Ψ 1 4/g4666/g2021Ψ 1+ Ψ 3/g4667 12/g2021Ψ 3
0 0 0 0 2/g46661 − /g2021/g4667 0 0 /g2019 1 0
0 0 0 4/g2021 0 4 12/g2021Ψ 1 4/g4666Ψ 1+ /g2021Ψ 3/g4667 12Ψ 3
0 0 0 12Ψ 1 0 12/g2021Ψ 1 36Ψ 2 12 /g4666νΨ 2+ Ψ 5/g4667 36/g2021Ψ 5
0004/g4666/g2021Ψ1+Ψ3/g4667 /g1855 4/g4666Ψ1+/g2021Ψ3/g466712 /g4666νΨ 2+Ψ5/g4667 /g20192 12 /g4666Ψ5+/g2021Ψ4/g4667
000 12 /g2021Ψ3 0 12 Ψ3 36 /g2021Ψ5 12 /g4666Ψ5+/g2021Ψ4/g4667 36 /g2021Ψ4 /g1746/g1745/g1745/g1745/g1745/g1745/g1745/g1745/g1745/g1744
(2.52)

3.5.3 Transformari de coordonate

Relatiile prezentate anterior pentru deducerea matricelor de rigiditate au folosit sisteme de
coordonate locale /g4666/g1876/g1877/g1878/g4667 , alese din considerente de usurare a calculului. Pentru a analiza
structura globala spatiala, este necesar ca toate elementele structurii i dealizate descrise in
modelul analizat sa fie descrise in acelasi sistem global de coordonate /g4666/g1876/g1877/g1878 /g3364/g3364/g3364/g3364/g3364/g4667. Trecerea de la
sistemul local de coordonate la sistemul global se realizeaza pe baza matric elor de transformare
/g4670/g2019/g4671, definite pentru fiecare element in parte. Sistemul global de coordonate /g4666/g1876/g1877/g1878 /g3364/g3364/g3364/g3364/g3364/g4667 se alege din
considerente practice ingineresti.
Conform Domnisoru (2001), relatia intre vectorul deplasarilor nodale pe elem ent in sistem
local /g4668/g1873/g3038/g4669 si vectorul deplasarilor in sistem global /g4668/g1873 /g3364/g3038/g4669 se poate scrie:
/g4668/g1873/g3038/g4669=/g4668/g2019/g4669/g4668/g1873/g3364/g3038/g4669→ /g4668/g2012/g1873/g3038/g4669=/g4668/g2019/g4669/g4668/g2012/g1873/g3364/g3038/g4669 (2.53)
Cunoscand ca lucrul mecanic virtual este o marime scalara care nu depi nde de sistemul de
coordonate ales putem scrie:
/g4668/g2012/g1873/g3364/g3038 /g4669/g3021/g4668/g1842/g3364/g3038/g4669=/g4668/g2012/g1873/g3038 /g4669/g3021/g4668/g1842/g3038/g4669 (2.54)
Din legea elementului finit in sistem propriu, local (2.46) si relatii le (2.53) si (2.54) putem

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structur ilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatat irea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II
Modele teoretice utilizate
la analiza CDF și FEM

13 scrie legea elementului finit in sistem global:
/g4668/g1842/g3364/g3038/g4669=/g4670/g1837/g3365/g4671/g4668/g1873/g3364/g3038/g4669−/g4668/g1843/g3364/g3038/g4669 (2.55)
Relatiile de transformare se scriu sub forma:
/g4668/g2012/g1873/g3364/g3038 /g4669/g3021 /g4668/g1842/g3038/g4669=/g4668/g2012/g1873/g3364/g3038 /g4669/g3021/g4670/g2019/g4671/g3021/g4668/g1842/g3038/g4669 →/g4668/g1842/g3364/g3038/g4669=/g4670/g2019/g4671/g3021/g4668/g1842/g3038/g4669 →/g4668/g1842/g3364/g3038/g4669=/g4670/g2019/g4671/g3021/g4670/g1837/g4671/g4668/g1873/g3038/g4669−
=/g4670/g2019/g4671/g3021/g4668/g1843/g3038/g4669→/g4670/g1837/g3365/g4671=/g4670/g2019/g4671/g3021/g4670/g1837/g4671/g4670/g2019/g4671 /g4668/g1843/g3364/g3038/g4669=/g4670 /g2019/g4671/g3021/g4668/g1843/g3038/g4669 (2.56)

3.5.4 Conditii de margine – metoda ecuatiilor de transformar e

Conditiile de margine impun unui grad de libertate o valoare prestabilita initiala. Aceasta
poate fi globala cum ar fi de exemplu o conditie de rezemare simpl a sau o incastrare a structurii
studiate, sau conditii locale precum impunerea unei legaturi rigide intre o s erie de elemente.
Matematic, pentru fiecare conditie de margine, un grad de libertate poate fi eliminat din vectorul
deplasarilor globale /g4668/g1873 /g3364/g3034/g4669. Cele mai folosite metode de impunere a conditiilor de margine sunt
metoda functiilor de penalizare si metoda ecuatiilor de transformare, pe care o vom prezenta in
cele ce urmeaza. Scriind conditiile de margine care cupleaza gradele de libertate in vectorul
deplasarilor globale /g4668/g1873 /g3364/g3034/g4669 sub forma:
/g4670/g1829/g4671/g3419/g1873/g3364/g3034/g3423=/g4668/g1833/g4669, (2.57)
unde /g4670/g1829/g4671, /g4668/g1833/g4669 sunt constante si considerand cazul standard /g4668/g1833/g4669= 0 putem rescrie ecuatia
(2.57) sub forma:
/g3427/g4670/g1829/g3045/g4671/g4670/g1829/g3030/g4671/g3431/g4682/g4668/g1873/g3364/g3034/g4669/g3045
/g4668/g1873/g3364/g3034/g4669/g3030/g4683=/g46680/g4669, (2.58)
unde /g4668/g1873 /g3364/g3034/g4669/g3045 sunt gradele de libertate neconstranse (libere) iar /g4668/g1873 /g3364/g3034/g4669/g3030 sunt gradele de libertate
constranse (eliminate).
/g4670/g1829/g3045/g4671/g4668/g1873/g3364/g3034/g4669/g3045+/g4670/g1829/g3030/g4671/g4668/g1873/g3364/g3034/g4669/g3030=0→/g4668/g1873/g3364/g3034/g4669/g3030=−/g4670/g1829/g3030/g4671/g2879/g2869/g4670/g1829/g3045/g4671/g4668/g1873/g3364/g3034/g4669/g3045=−/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671/g4668/g1873/g3364/g3034/g4669/g3045
/g3427/g1873/g3034/g3423=/g4682/g4668/g1873/g3364/g3034/g4669/g3045
/g4668/g1873/g3364/g3034/g4669/g3030/g4683=/g3428/g4670/g1835/g3045/g4671
/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671/g3432/g3419/g1873/g3034/g3423/g3045=/g4670/g1846/g4671/g3419/g1873/g3034/g3423/g3045, (2.59)
unde /g4670/g1846/g4671=/g4670/g1835/g3045/g4671
/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671 este matrice de transformare. Astfel, legea sistemului global devi ne:
/g3427/g1837/g3365/g3034/g3431/g3419/g1873/g3034/g3423=/g3419/g1843/g3364/g3034/g3423→/g3427/g1837/g3365/g3034/g3431/g4670/g1846/g4671=/g3428/g4670/g1837/g3045/g3045 /g4671+/g4670/g1837/g3045/g3030 /g4671∙/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671
/g4670/g1837/g3030/g3045 /g4671+/g4670/g1837/g3030/g3030 /g4671∙/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671/g3432
/g3419/g1843/g3364/g3034/g3423 = /g3421/g3419/g1843/g3364/g3034/g3423/g3045
/g3419/g1843/g3364/g3034/g3423/g3030/g3425 ,/g4670/g1846/g4671/g3021/g3419/g1843/g3364/g3034/g3423 = /g3419/g1843 /g3364/g3034/g3423/g3045+/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671/g3021/g3419/g1843/g3364/g3034/g3431/g3030
/g3427/g1837/g3365/g3034/g3045/g3431/g3419/g1873 /g3364/g3034/g3423/g3045= /g3419/g1843/g3364/g3034/g3045/g3423 ,
unde /g3427/g1837/g3365/g3034/g3045/g3431=/g4670/g1837/g3045/g3045 /g4671+/g4670/g1837/g3045/g3030 /g4671/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671+/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671/g3021/g4670/g1837/g3030/g3045 /g4671+/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671/g3021/g4670/g4670/g1837/g3030/g3030 /g4671/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671,
/g3419/g1843/g3364/g3034/g3045/g3423=/g3419/g1843/g3364/g3034/g3423/g3045+/g4670/g1829/g3045/g3030 /g4671/g3021/g3419/g1843/g3364/g3034/g3423/g3030 (2.60)