PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I COORDONATOR ȘTIINȚIFIC : Conf. univ. dr. GÂRTU MANUELA CANDIDAT : Prof. RUSU IULIAN ADRIAN SPECIALIZAREA:… [603473]

1

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Conf. univ. dr. GÂRTU MANUELA

CANDIDAT: [anonimizat]. RUSU IULIAN ADRIAN

SPECIALIZAREA:
MATEMATICĂ

BACĂU
2020

2

ECUAȚII ALGEBRICE CU COEFICIENȚI REALI .
CONSIDERAȚII METODICE.

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Conf. univ. dr. GÂRTU MANUELA

CANDIDAT: [anonimizat]. RUSU IULIAN ADRIAN

SPECIALIZAREA:
MATEMATICĂ

BACĂU
2020

3

CUPRINS
INTRODUCERE
Capitolul I. NOTIUNI PRELIMINARE
1.1. Scurt istoric
1.2. Aflarea unui termen necunoscut
1.3. Relația de egalitate in R

Capitolul II. ECUAȚII. NOTIUNI GENERALE
2.1. Noțiunea de ecuație
2.2. Soluți a unei ecuații
2.3. Rezolvarea unei ecuații
2.3.1. Transformări echivalente ale ecuațiilor
2.3.2. Transformări neechivalente ale ecuațiilor

CAPITOLUL III. ECUAȚII ALGEBRICE CU COEFICIENȚI REALI.
CONSIDERAȚII METODICE.
3.1. Generalități . Ecuații algebrice cu coeficienți reali.
3.2. Ecuația de gradul I
3.3. Ecuații reductibile la ecuația de gradul I
3.4. Ecuația de gradul al II -lea
3.4.1. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea
3.4.2. Relații intre rădăcini si coeficienți . Relațiil e lui Viѐte
3.4.3. Studiul semnelor rădăcinilor ecuației de gradul al doilea
3.4.4. Compararea rădăcinilor unei ecuați i de gradul al II -lea cu un număr real.
3.5. Rezolvarea diferitelor ecuații algebrice cu ajutorul ecuației de gradul al II -lea
3.5.1. Ecuații bipătrate
3.5.2. Ecuații reciproce de gradul III și de gradul IV
3.5.3 . Ecuații binome
3.5.4. Ecuații tr inome
3.6. Ecuații iraționale

Capitolul IV. ECUAȚII IN PROGRAMELE SCOLARE
4.1. Importanța temei din perspectiva programei școlare de matematică.
4.2. Studiu comparativ programele școlare pentru învățământul gimnazial 2009 –
2017
4.2. Ecuații in N

4
4.3. Ecuații in Z
4.4. Ecuații in Q
4.5. Ecuații in R
SAU
Capitolul IV. APLICAȚII ALE ECUAȚIILOR DE GRADUL AL DOILEA
4.1. Calculul sumelor de puteri ale rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea
4.2. Formarea ecuației de gradul al doilea cunoscân d rădăcinii
4.3. Descompunerea trinomului de gradul al doilea în factori liniari
4.4. Semnele rădăcinilor ecuației de gradul al doilea
4.5. Poziția rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea față de un număr real
4.6. Poziția rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea față de un interval mărginit
4.7. Condiția ca două ecuații de gradul al doilea să aibă o rădăcină comună
4.8. Probleme cu caracter aplicativ
SAU
Capitolul IV. SISTEME DE ECUATII
4.1. Noțiuni generale
4.2. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare
4.2.1. Metoda grafică
4.2.2. Metoda substituției
4.2.3. Metoda reducerii
4.2.4. Metoda lui Cramer
SAU
CAPITOLUL IV. Strategii didactice, aspecte metodice ale predării –
învățării si evaluarii ecuațiilor algebrice în învățământul preuniversitar

3.1. Demersuri tipice și creative în predare și învățare
3.1.1. Strategia didactică
3.1.2. Componentele strategiei didactice
3.1.3. Factorii determinanți în alegerea strategiei
3.1.4. Etapele elaborării unei strategii didactice
3.2. Metode didactice
3.2.1. Definiția și clasificarea metodelor
3.2.2. Metode tradiționale
3.2.3. Metode activ -participative

5
3.3. Strategii de evaluare
3.3.1. Forme, metode și instrumente de evaluare
3.3.2. Categorii de itemi
Capitolul V. CERCETAREA PSIHOPEDAGOGICĂ
5.1. Ipoteza cercetării
5.2. Scopul și obiectivele cercetării
5.3. Tema cercetării
5.4. Metodologia de cercetare
5.5. Testul de evaluare inițială
5.6. Testul de evaluare f ormativa
5.7. Testul de evaluare finală
5.8 Analiza comparativă a testelor
CONCLUZII
ANEXE
BIBLIOGRAFIE

6
INTRODUCERE

Matematica evoluează dinamic atât cantitativ cat si calitativ, c ercetările și
descoperirile contemporane redimensionează domeniile ei și impun exigențe deosebite
fundamentelor sale. Învățământul nu poate sa rămână dator evoluției ; el are de rezolvat
probleme noi referitoare la introducerea noilor științe in vocabularul școlarului , a viitorului
individ, precum si dezvoltarea abilitaților cognitive necesare înțelegerii transformărilor
vremii. În ultimele decenii matematica a cunoscut o dezvoltare de o asemenea manieră încât
pătrunde tot mai mult în cele mai diferite domen ii ale științei și ale producției.
,,Matematica este regina științelor , iar teoria nume relor este regina matematicilor’ ’a
evidențiat Carl Friedrich Gauss importanta matematicii in evoluția științelor , cu certitudine
nimeni nu se îndoiește astăzi, că matem atica nu poate fi considerată cea mai rafinată
construcție a minții umane. Marii matematicieni au susț inut și îmbrățișat această idee, de
exemplu cuvintele marelui Platon, potrivit cărora ”matematica ar reprezenta cea mai înaltă
formă a înțelepciunii omene ști”, ea ar fi expresia maturității depline a gândirii.
Dintre materiile școlare m atematica este cea mai educativă pentru că atinge în gradul
cel mai înalt, părți ale intelectului omenesc, dar nu în ultimul rând și pe cele ale sufletului,
așa cum susținea matematicianul Gheorghe Țițeica.
Precum „Matematica este limba cu care Dumnezeu a scris universul ” conform lui
Galileo Galilei , consider ca tema ” Ecuații algebrice cu coeficienți reali. Considerații
metodice ” are un rol important în învățarea matematicii, exercițiile și problemele prin
aplicabilitatea lor în vaste domenii , precum si ajutorul pe care îl oferă diferitelor noțiuni
matematice, facilitând înțelegerea si rezolvarea unor probleme matematice complexe,
stimulând gândirea și creativitatea.
In gimnaziu, ecuațiile ocupă un loc de seamă, datorat importanței lor atât pe plan
teoret ic, cât și datorită multiplelor aplicații practice, mai ales în viața de zi cu zi constituind
un ajutor remarcabil în rezolvarea problemelor cu caracter practic.
Lucrarea pe care am realizat -o este structurată în 5 capitole, finalizându -se cu
bibliografi a pe care am folosit -o în redactarea acesteia. Primul capitol al acestei lucrări este
dedicat noțiunilor preliminare ecuației, unde am cuprins istori a matematicii, mai exact
reprezintă o scurtă trecere în ”revistă” unor mari matematicieni care au avut o c ontribuție
neasemuită în descoperirea ecuațiilor, mai întâi a celor de g radul întâi, ajungând în cele din

7
urmă la descoperirea rezolvării ecuațiilor de grad superior , aflarea termenului necunoscut ca
si metoda premergătoare ecuații lor, dar si relația de eg alitate cu toate mirajele ei.
Al doilea capitol al lucrării l -am rezervat prezentării noțiunilor generale cu privire la
ecuații, abordându -se aspecte precum noțiunea de soluție a unei ecuații, rezolvarea unei
ecuații prin transformări echivalente dar și transformări neechivalente ale unei ecuații .
Capitolul al III -lea l -am intitulat ”Ecuații algebrice cu coeficienți reale. Considerații
metodice” . Am început cu studiul cu câteva generalități despre ecuațiile algebrice, cum ar
fi: gradul unei ecuații, so luția unei ecuații și am prezentat Teorema fundamentală a algebrei,
cunoscută mai degrabă sub numele de Teorema lui D‘Alembert -Gauss. Tot în acest capitol
am trata aspecte despre ecuațiile de gradul întâi și ecuațiile de gradul al doilea – prezentare
gener ală, discuția asupra existenței acestora în funcție de natura coeficienților, rezolvări ale
acestor ecuații, dar au fost abordate și alte tipuri de ecuații care se rezolvă cu ajutorul
ecuațiilor de gradul întâi sau a ecuațiilor de gradul al doilea: ecuații bipătrate, ecuații reciproce
de grad ul al III -lea, ecuații binome sau ecuații trinome, însoțite de exerciții aplicative
concludente.
Capitolul IV ……………………………………………………………………………………………. …..
Ultimul capitol al acestei lucrări este rezervat cercetării psihopedagogice pe care am realizat –
o și în care am urmărit importanța în procesul instructiv educativ a aplicării metodelor activ
participative la o clasă de elevi în vederea îmbunătățirii performanțelor școlare. În acest
capitol sunt prezentate ipoteza și obiectivele c ercetării, eșantionul de elevi pe care sa realizat
cercetarea, etapele și metodele folosite, precum și înregistrarea , analiza și interpretarea
rezultatelor cercetării .

8
Capitolul I. NOTIUNI PRELIMINARE

1.1. Scurt istoric
Antichitate
Ecuațiile de gradul întâi și doi erau rezolvate, prin indicarea
verbală a operațiilor , cu circa 2000 de ani î.Hr., de când datează
documentele scrise egiptene și caldeene. În antichitatea greacă erau
cunoscute unele identități algebrice, exprimate sub form ă geometrică și
erau rezolvate grafic unele ecuații de gradul al treilea și al patrulea prin
intersecții de conice .
Diofant (sec. III) utiliza litere speciale pentru operații și numere, inițiind
notațiile simbolice.
Evul mediu
Ideile algebrice, conținute , în germene, în operele antichității , au fost dezvoltate de
matematicienii indieni: Brahmagupta (598 – 660) a intro dus numerele negative iar Bhaskara
II (?1114 – 1178) a extins notația simbolică.

Algebra a fost cultivată mai ales de către matematicienii de limbă arabă: Al-Horezmi (780 ? –
850) a formulat în cuvinte regula generală de grupare a termenilor și de trecere a lor dintr -o
parte în alta, pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul întâi; Omar Khayyam (1036 – 1123) a scris
o carte importantă de algebră.

Epoca modernă
Algebra s -a dezvoltat considerabil în Renaștere , fixându -se
acum notația simbolică actuală: Niccolò Tartaglia (? – 1557) a dat
metoda generală de rezolvare a ecuației de gradul al treilea și Ludovico
Ferrari (1522 – 1565) a ecuației de gradul al patrulea.

François Viète (1540 – 1603) a efectuat calcule algebrice cu formule literale și a dat
relațiile dintre rădăcini și coeficienți (Formulele lui Viète); John Neper (1550 – 1617) a
inventat logaritmii; René Descartes (1540 – 1650) a ridicat calculul algebric la semnificația lui
generală, abstractă, și a dat o limitare a numărului rădăcinilor pozitive ale unei ecuații
algebrice; John Wallis (1616 – 1703) l -a exprimat pe π ca limită a unui șir de numere
raționale; Isaac Newton (1642 – 1727) a extins formula puterii binomului pentru exponenți
Niccolo

Tartaglia

9
raționali , a dat o metodă de calcul prin aproximație a rădăcinilor iraționale (vezi Binomul lui
Newton), o formulă de interpolare, formula de recurență pentru suma rădăcinilor unei
ecuații ; Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716) a stabilit criteriul de convergență al
seriilor numerice alternante; Michel Rolle (1652 – 1719) a d at o regulă de separare a rădăcinilor
ecuațiilor algebrice (Teorema lui Rolle ).
În secolul XVIII, James Stirling (1696 – 1770) a dat formula de calcul prin
aproximație a factorialului pentru valori mari ale numărului n, a adus contribuții în teoria
diferențelor finite; Gabriel Cramer (1704 – 1752) a stabilit legea de scriere directă a soluției
unui sistem de ecuații liniare, sub formă de rapoarte de determinanți.
Leonhard Euler (1707 – 1783) a exprimat cu ajutorul numerelor
complexe funcțiilor trigonometrice prin exponențiale și dezvoltarea lor în serie, a introdus
noțiunea de determinant ortogonal.
Étienne Bézout (1730 – 1783) a formulat o regulă de eliminare a necunoscutei între
două ecuații. Eduard Waring (1734 – 1798) a furnizat o metodă pentru calculul funcțiilor
simetrice de rădăcinile unei ecuații algebrice și formula clasică
de interpolare prin polinoame.
Alexandre -Théophile Vanderm onde (1735 – 1796) a stabilit
proprietățile determinanților. Joseph -Louis Lagrange (1736 – 1813) a sintetizat
teoria ecuațiilor algebrice, a introdus formele pătratice, a dat, independent de Waring,
formula de interpolare prin polinoame.

Pierre -Simon Lapl ace (1749 – 1827) a formulat regula dezvoltării determinanților după
minori de diferite ordine.

Secolul al XIX -lea
În secolul al XIX -lea s -au obținut rezultate remarcabile în teoria ecuațiilor
algebrice prin lucrările lui Niels Henrik Abel (1802 – 1829)
care a arătat că, în general, ecuațiile de gradul al cincilea și
superior nu sunt rezolubile în radicali și Évariste Galois (1811
– 1832 ) care a stabilit condițiile în care o ecuație algebrică este
rezolubilă în radicali.
În ceea ce privește metodele de rezolvare prin
aproximații , Charles Sturm (1803 – 1855) a dat o teoremă
generală de determinare a numărului rădăcinilor reale într –
un interval dat.

10

În teoria numerelor complexe s-au dat reguli corecte de calcul: Gauss (1777 – 1855) a
dat reprezentarea numerelor complexe în plan; Hamilton (1805 –
1865) le -a introdus axiomatic ca o pereche ordonată de numere reale,
supuse unor reguli de cal cul. S -au deschis domenii noi de cercetare
în algebră. A fost inițiată teoria abstractă a operațiilor .
Astfel, Hamilton a scos în evidență proprietățile
de comutativitate, asociativitate, distributivitate; De Morgan (1806 –
1871) a creat logica formală a operațiilor ; Benjamin Peirce (1809 –
1880) a studiat diferite tipuri posibile de algebre pe baza operațiilor
introduse axiomatic.
S-a extins teor ia numerelor complexe:
Hamilton a introdus cuaternionii,
Cayley (1821 – 1895) octavele, Grassmann (1809 – 1877) sistemele
cu n unități; Kummer (1810 – 1893) numerele ideale, adică numerele complexe de
forma a+bρ, unde ρn=1; Clifford (1845 – 1879) numerel e duale, adică de
forma a+bε, unde ε2=0,ε≠0.
Hamilton pune bazele calculului vectorial.
S-a creat teoria matricelor prin lucrările lui Cauchy (1789 – 1857) care a formulat regulile de
calcul în cazul numerelor reale.

Preocuparea pentru studierea matematicii datează din cele mai vechi timpuri. Primele
problemelor cu care sau confruntau oamenii au fost numărătoarea, compararea, calculul unor
suprafețe sau a unor volume, ceea ce a condus omul pe calea cunoașterii, de la necesități
practice la plăcerea de a descoperi noul. Astfel s -a cristalizat matematica și a parcurs scara
dezvoltării de la concret la abstract.
1.2.Aflarea unui termen necunoscut
Aflarea unui termen necunoscut reprezintă modalitatea de introducere a ecuații lor in
vocabularul elevului, într-un mod intuitiv si care are la început un caracter mai degrabă ludic
decât riguros si care de zvolta intuiția si creativitatea, acest mod de a cunoaște ecuațiile oferă
posibilit atea educabilului sa realizeze conexiuni cognitive precum si consolidarea operațiilor
cu numere încă de la o vârsta frageda.

11
Voi prezenta o activitate de învățare la nivelul clasei a II -a.
Explicații teoretice cu exemplificări
a) Ai da avea 18 șervețele în colecție .
Câte șervețele a mai primit dacă acum are 56?
Rezolvare:
Notăm datele problemei sub formă de exercițiu :
18 + a = 56 numărul șervețelelor pe care îl are acum
numărul șervețelelor avute
numărul șervețelelor primite( nu știm câte a primit, deci e un număr necunoscut pe care îl
înlocuim cu o literă )
Cum gândim?
Pentru a afla câte șervețele a mai primit Ai da,(a) luăm din totalul obținut ,(56)numărul
șervețelel or pe care le avea(18), astfel:
18 + a = 56 →problema pusă sub formă de exercițiu ;
a = 56 – 18 → scădem din sumă termenul cunoscut;
a = 38 →a flăm termenul necunoscut;
Verificare: 18 + 38 = 56 →verificăm dacă am lucrat corect prin înlocuirea termenului
necunoscut cu numărul aflat Răspuns: 38 șervețele
Reținem :
Termenul necunoscut la adunare se calculează prin operația de scădere, scăzând din
sumă termenul cunoscut.
b) M ara avea 65 de mărgele.
Câte mărgele a rătăcit dacă i -au mai rămas doar 49 ?
Rezolvare: Notăm datele problemei sub formă de exercițiu

65 – a = 49 numărul mărgelelor pe care îl are acum
numărul mărgelelor avute

12
numărul mărgelelor rătăcite (nu știm câte a rătăcit, deci e un număr necunoscut, îl vom
înlocui cu o literă)
Cum gândim?
Pentru a afla câte mărgele a rătăcit Mar a, luăm din totalul inițial (65), mărgelele rămase(49),
astfel:
65 – a = 49 → problema pusă sub formă de exercițiu ;
a = 65 – 49 →scăzătorul se află prin scăderea diferenței din descăzut; a
= 16 → aflarea scăzătorului;
Verificare: 65 – 16 = 49 → verificăm dacă am lucrat corect prin înlocuirea termenului
necunoscut cu numărul aflat;
Reținem :
Scăzătorul se află prin operația de scădere, scăzând diferența din descăzut.
c) După ce a spart 17 baloane , Mihai a rămas cu 38 baloane. Câte baloane a avut la început
Mihai?
Rezolvare:
Notăm datele problemei sub formă de exercițiu :
a – 17 = 38 numărul baloanelor rămase
numărul baloanelor sparte numărul
baloanelor existente, la început
Cum gândim?
Pentru a afla câte baloane a avut Mihai, la numărul de baloane rămase(38), adăugăm numărul
de baloane pe care le -a spart(17), astfel:
a – 17 = 38 →problema sub formă de exercițiu ; a = 38 + 17
→descăzutul se află adunând diferența cu scăzătorul; a = 55
→aflarea descăzutului;
Verificare: 55 – 17 = 38 → verificăm dacă am lucrat corect prin înlocuirea termenului
necunoscut cu numărul aflat;
Reținem :
Descăzutul se află prin operația de adunare, adunând diferența cu scăzătorul.

13
Concluzii:
a) Termenul necunoscut la adunare se calculează prin operația de scădere.
Formule de calcul:
a+b=c a=c-b a= primul termen, b=al doilea termen
b=c-a c= sumă
b) Al doilea termen al scăderii (scăzăto rul) se calculează prin operația de scădere.
Formula de calcul:
a – b = c b= a – c scăzătorul

c) Primul termen al scăderii (descăzutul) se calculează prin operația de adunare.
Formula de calcul:
a – b = c a = c + b a→ descăzutul

Conform Program ei școlar e pentru disciplina Matematica clasele V -VIII nr. 3393/28.02.2017
,,Aflarea termenului necunoscut ,, rămâne procedeul de rezolvare a diferitelor tipuri de
exerciții , ecuațiile urmând a fi introduse în clasa a VI -a la sfârșitul ,, Numere întregi,,.
Consider ca aceasta modificare influențează activitățile de învățare, in consecință oferă
profesorului o problema in vederea organizării conținuturilor, dar acest aspect îl voi trata la
capitolul IV .
Relația de e galitate in mulțimea numerelor reale
Egalitatea nu exista decât in matematica este citatul lui Mihai Eminescu, dar
eu as puncta ca Egalitate este modul prin care matematica înțelege viața .
În mod concret , in fata elevului , profesorul este nevoit sa transpună percepția elevului
asupra egalității din diverse domenii in acea proprietate, stricta si riguroasa , de compara doua
numere, doua mărimi, cantități si a le asocia aceeași valoare .
Semnul egalității folosit astăzi, ”=”, a fost propus de englezul Robert Recorde (1510 –
1558) într -un manual de algebră scris sub formă de dialog, intitulat ” The Whetstone of Witte”
(”Piatra Spiritului”) apărută în anul 1557 motivând -o prin afirmația că ”ni mic nu este mai egal
decât două drepte paralele”.

14
Fie a și b două numere reale ; scrierea a=b desemnează egalitatea numerelor a și b. În
această egalitate, a se numește membrul stâng al egalității (membrul întâi al egalității ),
iar b membrul drept al egalit ății (membrul doi al egalității ).

Exemple: 1) 7 = 7 2) 15
3=5 3) −√36=−6

Relația de egalitate dintre numerele reale are următoarele proprietăți :
1. Reflexivitatea : a = a
2. Simetria : daca a = b ⇒ b = a
3. Tranzitivitatea : daca a = b si b = c ⇒ a = c
Daca a = b, atunci:
a + c = b + c
a – c = b – c
a * c = b * c c≠0
a : c = b : c, c≠0
Daca a = b si c = d, atunci:
a + c = b + d
a – c = b – d
a * c = b * d
a : c = b : d, cu c si d ≠ 0
Exemplu 1. Copiați si completați:
a) Daca a=b, atunci a+√3=b+…… si a-…….=b -3,7
b) Daca a=b, atunci 4
7*a=b*…. si a:….. .=b:3
Rezolvare:
a) Daca a=b, atunci a+√3=b+ √3 si a-3,7=b-3,7
b) Daca a=b, atunci 4
7*a=b*4
7 si a:3=b:3
Exemplu 2. a) Daca x=√7 si y=5 atunci x-….= √7-5 si x+y=…………

15
b) Daca x=4+2√3 si y=+ 2√3 atunci x+y=……….si x-y=…………
c) a) Daca x=12 si y= 3 atunci x*……. =36 si x:y=…………
Rezolvare: a ) Daca x=√7 si y=5 atunci x-y=√7-5 si x+y= √7+5
b) Daca x=4+2√3 si y= 2√3 atunci x+y=4+4 √3 si x-y=4
c) a) Daca x=12 si y= 3 atunci x*y=36 si x:y=4
Exemplu 3. Știind ca a+b= √2−√5, c+d= −2√2+3√5,
m*n= √3+√2 si p*q= √3−√2
Calculează: a) 2a+2b+c+d b)-3*(a+b) +2c+2d
c) m*n+p*q d) 2mn -3pq

Rezolvare: a ) 2a+2b+c+d=2(a+b)+(c+d)=2*( √2−√5) −2√2+3√5+()
=2√2−2√5−2√2+3√5= √5
b) -3*(a+b) +2c+2d= -3*( √2−√5 ) +2*(c+d)= −3√2+3√5+2(−2√2+
3√5)=−3√2+3√5−4√2+6√5=−7√2+9√5
c) m*n+p*q= √3+√2+ √3−√2 =2√3
d) 2mn-3pq= 2∗(√3+√2)-3*( √3−√2)= 2√3+2√2-3√3+3√2=−√3+5√2
Capitolul II ECUAȚII. PREZENTARE GENERALĂ
2.1. Noțiunea de ecuație
Termenul de ecuație poate fi definit cu un limbaj adaptat, astfel încât aceasta definiție
sa fie cat mai clara si cat mai pe înțelesul educabilului, astfel voi prezenta doua definiții
generale ale termenului de ecuație, o definiție în limbajul comun și o alta care face apel la
limbajul matematic.
Definiție. Ecuația este o egalitate care conține una sau mai multe lit ere si care este
adevărată pentru anumite valori date literelor.
Observații :

16
1. Ecuația fiind o egalitate, semnul „=” trebuie să apară o singură dată.
2. O parte dintre literele care apar într -o ecua ție se numesc necunoscute.
3. Termenii care nu conțin necunoscuta se numesc termeni liberi.

Definiție. Fie M o mulțime nevidă. Se numește ecuație cu o necunoscută în mulțimea
M, un predicat de o singură variabilă (unar) 𝒑(𝒙): ”𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙), 𝒙 ∈ M”, unde 𝒇 și 𝒈
sunt
funcții definite pe mulțimea M, cu valori în aceeași mulțime P.
Mulțimea M pe care o parcurge 𝑥 se numește mulțimea de definiție sau mulțimea de
valorilor a ecuației, dar denumirea cea mai uzuală este cea de domeniul de definiție al ecuației.
În matemat ica de gimnaziu se consideră de obicei M ⊆ ℝ , iar funcțiile 𝑓, 𝑔 din
membrul stâng, respectiv membrul drept al ecuației) iau valori reale ( P ⊆ ℝ ). În cazul
sistemelor de ecuații liniare cu două necunoscute avem M ⊆ ℝ2. Pentru sistemele de ecuații
liniare cu 𝑛 necunoscute, studiate în liceu, avem M ⊆ ℝ𝑛.
În clasa a V -a metodele de rezolvare a ecuațiilor au la bază proprietățile operațiilor de
adunare, scădere, înmulțire și împărțire, cu observația ca ecuații nu exist a in programa de
clasa a V -a, acele exerciții presupun aflarea termenului necunoscut, metoda studiata in clasele
primare.
În clasa a VI -a se prezintă ecuația de gradul I cu o necunoscută cu rezolvarea în Z și
în Q, tot aici se utilizează ecuațiile in rezol vări de probleme, pana in clasa a VI -a se pune
accentul pe rezolvarea de probleme cu ajutorul metodelor aritmetice (metoda reducerii la o
unitate, metoda comparației , metoda figurativa, metoda falsei ipoteze si metoda mersului
invers).
Ecuația de gradul I cu o necunoscuta, in clasa a VII -a, este extinsa peste mulțimea
numerelor reale, dar si completata cu noțiunea de echivalenta a relației de egalitate, ceea ce
extinde aria exercițiilor utilizând diverse proprietăți cum ar fi, ale modulului, ecuația de grad ul
II, forma incompleta x2=a. Tot in clasa a VII -a se studiază ecuația de gradul I cu doua
necunoscute respectiv sisteme de doua ecuații cu doua necunoscute.
Ecuația de gradul al doilea cu o necunoscut a se preda in clasa a VIII -a, rezolvarea
acesteia pe lâ ngă formula clasica, reprezintă diversitatea aplicațiilor in capitolul calcul
algebric (mutat in totalitate in clasa a VIII -a conform programei din 2017)
In învățământul liceal ecuațiile își continua evoluția prin studiul mai in detaliu a
ecuației de gradu l al doilea, prin ecuațiile iraționale, ecuația dreptei, ecuațiile trigonometrice,
etc.

17

2.2. Noțiunea de soluție a unei ecuații
După valorile atribuite lui 𝑥 din M⊆ ℝ, propoziția 𝑝(𝑥): ”𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)” este adevărată sau
falsă.
Definiție. Un element 𝒙𝟎 din M pentru care egalitatea 𝒇(𝒙𝟎) = 𝒈(𝒙𝟎) este adevărată se
numește soluție (sau rădăcină ) a ecuației 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙), 𝒙 ∈ M.
Se mai spune că 𝑥0 verifică ecuația 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Dacă 𝑥0 aparține mulțimii M, dar
propoziția logică 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0) este falsă, atunci 𝑥0 nu este soluție a ecuației.
De asemenea, dacă 𝑥0 nu aparține lui M, dar 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0), atunci 𝑥0 nu este soluție a ecuației
date 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ M, ci unei ecu ații înrudite, de forma 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷, unde 𝐷 ⊃ M.
Pentru a verifica dacă elementul 𝑥0 ∈ M este soluție a ecuației 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) este suficient să
înlocuim în ecuație necunoscuta 𝑥 prin 𝑥0. Se obține egalitatea numerică 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0).
Dacă această egalitate este adevărată, atunci elementul 𝑥0 este o soluție a ecuației, iar dacă
această egalitate este falsă, atunci 𝑥0 nu este soluție a ecuației.
De reținut este faptul că soluțiile (rădăcinile ) ecuației 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) se află în M ⊆ ℝ.
Exemplu. Verificați dacă elementul −3 este soluție a ecuației 2(𝑥 + 5) = 4.
Rezolvare. Cum domeniul de definiție a ecuației nu este precizat se consideră M =ℝ,−1∈ℝ .
Prin înlocuirea lui 𝑥 cu −3 obținem 2∙ (−3 + 5) = 4, o egalitate adevărată, ceea ce rezultă că
−3 este soluție a ecuației date 𝑆 = {− 3}.
Definiție. A rezolva ecuația 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) (în M) înseamnă a determina toate
soluțiile sale. Aceste soluții formează mulțimea soluțiilor ecuației date si se notează de
regula cu S . Deci,
𝑺 = {𝒙𝟎 ∈ M; 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0)}.
Spunem ca o ecuație este consistenta daca admite cel puțin o soluție in M dacă după
efectuarea calcul elor, se obține:
a) 2x=4, 𝒙 ∈ M are soluția unica 2. Scriem S={2}− ecuație compatibil determinată

18
b) 0x=0, 𝒙 ∈ M are ca soluție orice număr din M -ecuație compatibil nedeterminată
O astfel de ecuație se numește și identitate , iar mulțimea de soluții este ℝ (𝑆 = M = ℝ) .
Ecuația care nu are nici o soluție se numește ecuație incompatibilă (în acest caz mai
spunem că ecuația este imposibilă sau inconsistentă ) dacă după efectuarea calculelor, se
obține 0x = 𝑎, (𝑎 ≠ 0). O astfel de ecuație are mulțimea soluțiilor vidă (𝑆 = ∅).
Această situație este posibilă dacă:
• domeniul de definiție a ecuației este M = ∅;
• M ≠ ∅, dar egalitatea 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) nu are loc pentru nici un 𝑥 ∈ M.
Exemplul. 1 . Determinați mulțimea soluțiilor pentru ecuația .
Rezolvare. Stabili m domeniului de definiție, condiția de existență a radicalilor de
ordinul 2.
Fie funcțiile .
Pentru funcția avem 𝐷𝑓: 𝑥 − 2 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 2 (1).
Pentru funcția avem 𝐷𝑔: 1 − 𝑥 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ 1 (2).
Pentru stabilirea domeniului de definiție al ecuației date, vom intersecta cele doua domenii
ale funcțiilor de mai sus și obținem: 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = ∅ ⟹M = ∅, deci 𝑆 = ∅.
Exemplul. 2. Rezolvați ecuația 𝑥2 = −2.
Rezolvare. Studiem domeniul de definiție și observăm că M= ℝ și −2 ∈ ℝ.
Ecuația nu admite soluții reale deoarece numărul 𝑥2 ≥ 0 (un număr pozitiv nu poate fi egal cu
un număr negativ ( -2)). Deci, 𝑆 = ∅.
Observație. Mulțimea de soluții 𝑆 depinde de mulțimea M (în care considerăm ecuația dată).
Exemplul. 3. Rezolvați ecuația (𝑥+2)(3𝑥−2)(2𝑥−√3)=0 dacă :
a)M = ℤ; b) M = ℚ; c) M = ℝ.
Rezolvare. Pentru rezolvare utilizăm rezultatu l: ”un produs este egal cu zero dacă cel
puțin unul din factori este nul”.

19
Din (𝑥+2)(3𝑥−2)(2𝑥−√3)=0 rezultă (𝑥+2)=0 𝑠𝑎𝑢 (3𝑥−2)=0 𝑠𝑎𝑢 (2𝑥−
√3)=0
a) Dacă M = ℤ , constatăm că doar ecuația 𝑥 +2 = 0 are soluția 𝑥 = -2 ∈ ℤ.
În acest caz 𝑆 = {-2}.
b) Dacă M = ℚ, se constantă că prim a și a doua ecuație furnizează soluțiile x1=-2 și
𝑥2 =2
3, dec i 𝑆={−2; 2
3}.
c) Dacă M = ℝ, atunci ecuația are soluțiile date de cele trei ecuații care rezultă din ecuația
dată: x1=-2, 𝑥2 =2
3și, 𝑥3=√3
2 deci 𝑆={−2; 2
3;√3
2}

2.3. Transformări echivalente ale ecuațiilor
Se consideră două ecuații definite pe 𝐸1, respectiv 𝐸2: 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥) și 𝑓2(𝑥) = 𝑔2(𝑥) având
mulțimea de soluții 𝑆1 respectiv 𝑆2.
Definiție. Fie două ecuații 𝒇𝟏(𝒙) = 𝒈𝟏(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑬𝟏 (𝟏) și 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒈𝟐(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑬𝟐 (𝟐)
cu intersecția 𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐 nevidă, având mulțimile de soluții 𝑺𝟏 respectiv 𝑺𝟐.
Ecuațiile (1) și (2) se numesc echivalente și scriem (𝟏) ⇔ (𝟐) dacă au aceeași mulțime de
soluții, adică 𝑺𝟏= 𝑺𝟐. Așadar, (𝟏) ⇔ (𝟐) dacă și numai dacă 𝑺𝟏= 𝑺𝟐.
Corolar: Doua ecuații care care se rezolva in aceeași mulțime si au aceeași mulțime de
soluții se numesc ecuații echivalente.
Exemplu. Fie ecuațiile 3𝑥 + 5= 17 și 2𝑥 − 1 = 7. Arătați că ecuațiile sunt echivalente.
Rezolvare. Separăm termenii ecuației 3𝑥 + 5 = 17 și obținem 3𝑥 = 12, deci 𝑥 = 4.
Așadar, soluția ecuației este 𝑆1 = {4}.
Separăm termenii ecuației 2𝑥−1=7 și obținem 2𝑥=8, deci 𝑥=4. Soluția ecuației este 𝑆2 = {4}.
Așadar, 𝑆1 ⇔ 𝑆2 ⇒ 3𝑥 + 5 = 17 ⇔ 2𝑥 −1 = 7.
Proprietăți ale relației de echivalenț a
Fie ecuațiile 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐸 și f2(x) = g 2(x), x ∈ E. Au loc următoarele proprietăți:
𝑃1: Reflexivitatea : Ecuațiile 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) și 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) sunt echivalente.

20
𝑃2: Simetria : Dacă ecuațiile 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥), și f2(x) = g 2(x) sunt echivalente, atunci și ecuațiile
f2(x) = g 2(x) si 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥),
𝑃3: Tranzitivitatea : Dacă perechile de ecuații (𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥); f 2(x) = g 2(x)), (𝑓2(𝑥) = 𝑔2(𝑥);
f3(x) = g 3(x)) sunt formate din ecuații echivalente, atunci perechea de ecuații (𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥);
f3(x) =g 3(x)) conține ecuații echivalente.
Teoreme de echivalență
Următoarele t eoreme stau la bază rezolvării ecuațiilor aceste a exprimă condițiile
suficiente pentru a transforma o ecuație într -o ecuație echivalentă utilizând proprietățile
relației de egalitate.
Teorema 1. Fie ecuațiile în 𝑹, f(x)=g(x) (1) și f(x)+h(x)=g(x) +h(x) (2) .
Dacă Df(domeniul membrului stâng din (1)) și Dg(domeniul membrului drept din (1))
sunt incluse în Dh , atunci ecuațiile (1) și (2) sunt echivalente.
Prin adăugarea unei expresii algebrice h(x) celor doi membri ai ecuației f(x)=g(x) , se obține
o ecuație echivalentă cu aceasta dacă 𝐷𝑓∩𝐷𝑔⊆𝐷ℎ
Adăugând la ambii membri ai ecuației (2) termenul h(x) se obține ecuația echivalentă (1);
spunem că am trecut h(x) dintr -un membru în altul, cu semn schimbat.
Corolar. Dacă într -o ecuație se trece un termen dintr -un membru în celălalt schimbându –
i semnul, atunci se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.
Această teoremă permite să grupăm termenii care conțin necunoscuta într -un membru, iar
ceilalți termeni în celălalt membru, obținând în final o ecuație echivalentă cu cea dată.
Exemplu. Fie ecuația în .
Rezolvare. În acest caz, și cu . Fie
expresia pentru . Avem 𝐷𝑓∩𝐷𝑔=𝐷ℎ=𝑅⇒2𝑥+1+(−1−
𝑥)=𝑥−3+(−1−𝑥) sau , deci .

Teorema 2. Fie ecuațiile în , f(x)=g(x) (1) și f(x)∙h(x)=g(x) ∙h(x)(2)
Dacă 𝑫𝒇∩𝑫𝒈⊆𝑫𝒉 și h(x)≠0 pentru orice x∈𝐷ℎ, atunci ecuațiile (1) și (2) sunt
echivalente.

21
Înmulțind ambii membrii ai ecuației f(x)=g(x) printr -o expresie algebrică h(x) se obține o
ecuație echivalentă cu cea dată dacă:
și .
Exemplu. Fie ecuația în .
Rezolvare. Se înmulțesc ambii membrii ai ecuației date prin numitorul comun al
fracțiilor
care este 12 și se obține ecuația echivalentă

4𝑥 − 6𝑥 = 4 + 3 ⟺
−2𝑥 = 7 ⟺

Observație. Dacă împărțim ambii membrii printr -o expresie care conține necunoscuta se pot
pierde soluții, iar dacă se înmulțește o ecuație cu o expresie care conține necunoscuta pot
apărea soluții suplimentare.
Teorema 3. Transformarea unui membru sau a ambilor membri ai unei ecuații
cu ajutorul regulilor de calcul literal, fără modificarea domeniului de definiție, conduce
la obținerea unei ecuații echivalente cu cea dată.
Exemplu. Ecuațiile în sunt echivalente, căci ele au
unica soluție 𝑥 = 1. Totuși, domeniul membrului stâng al ecuației (1) este ℝ − {−1} , în timp
ce domeniul membrului stâng al ecuației (2) este ℝ.
Acest exemplu ilustrează faptul că cerința de a nu schimba domeniul de definiție al ecuației,
impusă de teorema 1, nu este o condiție necesară.
Teorema 4. Dacă cei doi membri ai egalității sunt numere pozitive, atunci se pot
obține egalități echivalente și astfel:
a) Se ridică la puterea n, număr întreg, ambii membri ai egalității.
b) Se extrage radical din ambii membri ai egalității.

22
Exemplu: Daca √𝒙+𝟐𝟐𝟐=𝟐𝟐 atunci x este…
√𝒙+𝟐𝟐𝟐 =𝟐𝟐 ridicam la puterea a doua ambii membri
x+222=222 ⇔x+222=484 scădem 222 din ambii membri
x=262

2.4 Transformări neechivalente ale ecuațiilor
Presupune m doua numere reale egale a si b
a=b înmulțim cu a ambii membrii

a² = ab scădem b2 din ambii membri

a² – b² = ab – b2 descompunem expresiile din fiecare membru

(a+b)(a -b) = b(a -b) împărțim cu a -b ambii membri

(a+b) = b înlocuim a cu b

b+b = b

2b = b împărțim la b

2 = 1
Am demonstrat ca 2=1, eroarea vine de la împărțirea la a -b, deoa rece daca a=b in
mod evident a -b=0, de aceea prin înmulțirea sau împărțirea la 0 obținem o ecuație
neechivalenta cu ecuație inițiala
Se consideră două ecuații în M, 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥) (1); f 2(x) = g 2(x) (2) având mulțimea
de soluții 𝑆1, respectiv 𝑆2.
Definiție. Dacă orice rădăcină a primei ecuații (1) este o rădăcină a celei de -a doua
ecuații (2), atunci a doua ecuație este o consecință a primei ecuații și scriem:

23
𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥) ⟹ f2(x) = g 2(x) sau simplu (1) ⟹ (2).
Exemplu. Fie ecuațiile .
Rezolvare. Prima ecuație are soluția 𝑥 = 4 ⟹ 𝑆1 = {4} , iar cea de -a doua
ecuație are soluțiile 𝑥1 = −4 și 𝑥2 = 4 ⟹ 𝑆2 = {−4; 4} . Deci 𝑆1 ⊂ 𝑆2 sau putem scrie (1) ⟹ (2).
Propoziție. Avem implicația 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) (𝟏) ⟹ 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒈𝟐(𝒙) (𝟐). Mulțimea de soluții
în E a ecuației 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) este inclusă în mulțimea de soluții a ecuației 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒈𝟐(𝒙),
adică 𝑺𝟏 ⊆ 𝑺𝟐.
Mulțimea 𝑆2 poate conține elemente din E care nu sunt soluții ale ecuației (1). Aceste elemente
se numesc ”soluții străine” pentru ecuația (1).
Demonstrație. Fie 𝑥0 – soluție arbitrară a ecuației (1), adică 𝑥0 ∈ 𝑆1. Atunci avem
egalitatea numerică 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0) ⟹ [𝑓(𝑥0)]2 = [𝑔(𝑥0)]2 care este adevărată, ceea ce arată că
𝑥0 este soluție a ecuației (2).
Cum 𝑥0 ∈ 𝑆1 a fost o soluție arbitrară rezultă S1 ⊆ S2.
Observație. Reciproca acestei propoziții nu este adevărată, adică mulțimea S2 ⊆ S1. Deci
ridicând la pătrat ambii membrii ai unei ecuații se pot introduce alte soluții decât cele ale
ecuației date.
Exemplu. Să se rezolve ecuația .
Rezolvare. Ridicăm la pătrat amb ii membrii ai ecuații și obținem
3𝑥2 + 25 = 4 𝑥2 și de aici 𝑥2 − 25 = 0 sau (𝑥 − 5)( 𝑥 + 5) = 0 , deci obținem 𝑥1 = 5, 𝑥2 = −5, deci
𝑆2 = {−5, 5} .
Verificând cele două soluții obținem:
• Pentru 𝑥 = 5, avem , ceea ce este adevărat, deci 5 ∈ 𝑆1;

• Pentru 𝑥 = −5, avem √3 ∙ (−5)2 + 25 = 2 ⋅ (−5), ceea ce -i fals, adică −5 ∉ 𝑆1.
În concluzie mulțimea de soluții a ecuației este 𝑆1 = {5} , deci 𝑆1 ⊂ 𝑆2.
Putem remarca că valoarea -5 este soluție străină a ecuației propuse spre rezolvare.

24
Capitolul III. ECUATII ALGEBRICE CU COEFICIENTI REALI.
CONSIDERATII METODICE

3.1. Generalități. Ecuații algebrice cu coeficienți reali.
Evoluția cercetărilor in teoria ecuațiilor algebrice a corelat o strânsă legătură cu
polinoamele conducând la rezultate importante cu privire la rădăcinile ecuațiilor algebrice de
orice grad.
Definiție. Fie P(x) un polinom în mulțimea M . Ecuația de forma P(x)=0 se
numește ecuație algebrica .
Fie polinomul 𝑃(𝑥)=𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥1+𝑎0𝑥0 cu coeficienți reali
𝑎𝑖∈𝑀⊆𝑅, 𝑖=1,𝑛 ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑛≠0 𝑠𝑖 𝑛∈𝑁, ecuația algebrica asociata acestui polinom este
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥1+𝑎0𝑥0=0
Gradul polinomului este și gradul ecuației, acesta fiind dat de puterea cea mai mare a
necunoscutei ecuației algebrice, gradul ecuației dă și numărul de soluții, care pot f i diferite
sau identice.
Dacă 𝑃(𝑥)=𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥1+𝑎0𝑥0 este un polinom iar x0 este un
număr real , atunci prin valoarea polinomului in punctul x0 înțelegem numărul
𝑎𝑛𝑥0𝑛+𝑎𝑛−1𝑥0𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥01+𝑎0
Valoarea polinomului in punctul se notează P(x 0), x0 se numește rădăcina polinomului P dacă
P(x 0)=0.
Definiție: Numărul x0 este o rădăcină a ecuației algebrice P(x)=0 dacă si numai dacă
este rădăcina polinomului P(x).
Exemplu:
Ecuația 𝑥3−2𝑥2−𝑥+2=0 admite rădăcinile 1, -1 și 2 deoarece
13-2∙12-1+2=0
(-1)3-2∙(-1)2-(-1)+2=0
23-2∙22-2+2=0

In studiul polinoamelor respectiv a rădăcinilor unui polinom au fost formulate câteva
teoreme, din care am sa evidențiez câteva ,, consecințe ,, prin următoarea afirmație .

25
Dacă x 0 este rădăcină a polinomului P(x), adică P(x 0)=0, atunci restul împărțirii lui
P(x) la x-x0 este nul, deci x 0 este un divizor al polinomului P(x).
3.2. Ecuația de gradul întâi
Ecuația de forma
𝑎𝑥+𝑏=0, 𝑎≠0,𝑎,𝑏∈𝑅 (1)
se numește ecuația de gradul întâi cu o necunoscuta.
Numerele 𝑎 și 𝑏 se numesc coeficienții ecuației, iar 𝑥 este termenul necunoscut sau
variabila ecuației.
Exemplu. Ecuația 3 𝑥 − 5 = 0 are coeficienții 𝑎 = 3 ș 𝑖 𝑏 = −5, iar 𝑥 este necunoscuta.
Observați e. Ecuația de gradul întâi de necunoscută 𝑥 este o ecuație algebrică de gradul întâi,
deoarece membru l stâng al ei este polinom de gradul întâi de neterminată 𝑋, 𝑃(𝑋) = 𝑎𝑋 + 𝑏,
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0.
A rezolva ecuația de gradul întâi înseamnă a determina mulțimea soluțiilor:
𝑆={𝑥| 𝑎𝑥+𝑏=0}
Pentru determinarea lui S se aduce mai întâi ecuația de gradul întâi cu necunoscuta x
la forma ax+b=0 , folosind teoremele de echivalenta ale ecuațiilor.
Discuție:
A. Daca 𝑎≠0 atunci soluția ecuației ax+b=0 este unica 𝑥=−𝑏
𝑎, 𝑆={−𝑏
𝑎} este
ecuație compatib il determinata.
B. Daca a=0 si b=0 atunci avem o infinitate de soluții, S=R, este ecuație
compatibil nedeterminata.
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑎 = 𝑏 = 0. Astfel obținem:
0 ∙ 𝑥 + 0 = 0
0 ∙ 𝑥 = 0
0 = 0 . (propoziție adevărată .
C. Daca a=0 si 𝑏≠0 atunci ecuația nu are nici o soluție, S= ∅, ecuație
incompatibila.
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0. Astfel obținem:
0 ∙ 𝑥 + 𝑏 = 0
0 ∙ 𝑥 = −𝑏

26
0 = − 𝑏. (propoziție falsă)
1. Să se rezolve următoarele ecuații
a) în N: 2x-10 = 0
b) în Z: 6x +4 = 5 x -8
c) în Q: 𝑥−1
2+ 𝑥−2
3 = 𝑥+3
6
d) în R: a) √16 + √4+ √64 = x√2 + x√8 + x√32

b) 2( x-2)√5 +√5 (x + 4) = √15
Soluție:
1. 2x = 10
x = 10
2 = 5 , S = {5}

2. 6x – 5x = – 8 – 4
 x = – 12 , S = {- 12}
3. 3𝑥−3
6+ 2𝑥−4
6 = 𝑥+3
6
 3x + 2x – x = 3 + 7 , 4 x = 10, x = 5
2 , S={ x = 5
2 }

4. a) 4 + 2 + 8 = x√2 + 2x√2 + 4x√2
 14 = 7 x√2, x = 14
7√2 , x = √2 , S={√2 }
b) 2x√5 – 4√5 + x√5 + 4√5 = √15
 3x√5 = √15, 3x = √3 , x = √3
3 , S={ √3
3 }

Rezolvarea grafică a ecuațiilor este bazată pe corespondența dintre soluții și punctele
planului. Se pot obține soluții aproximative ale ecuațiilor, reprezentând aceste puncte într -un
sistem de coordonate.
Se consideră funcția liniară f(x)=ax+b asociata e cuației de gradul întâi 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, cu
a≠0, Reprezentare grafică pentru această funcție este o dreaptă, fapt pentru care ecuația de
gradul întâi se mai numește și ecuație liniară . Această dreaptă intersectează axa absciselor în
punctul a cărei coordonata reprezintă soluția ecuației 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0.

27
Exemplu: Fie ecuația 3
2𝑥−3=0
Se trece la funcția 𝑓(𝑥)=3
2𝑥−3.
Graficul ei intersectează axa 𝑂𝑥 în punctul 𝐴 (2; 0) , abscisa acestuia 2 fiind soluția ecuației.

3.3. Ecuații reductibile la ecuația de gradul întâi . Considerații metodice.
De cele mai multe ori ecuațiile au forme mai complicate, dar utilizând proprietățile
relației de egalitate ele se pot transforma într -o ecuație echivalenta cu cea din relația (1).
Cu ecuațiile de gradul întâi cu o singură necunoscută ne ocupăm deja din clasa a V -a,
fără ca elevii să cunoască noțiunea de ecuație, utilizând procedeul numit aflarea unui termen
necunoscut studiat încă din clasele primare. În clasa a VI -a se prezintă rezol varea în Z și în Q
a ecuației de gradul întâi cu o necunoscută și se dă algoritmul de calcul în rezolvarea ecuației
de gradul întâi. În clasa a VII -a se reformulează definiția ecuației de gradul întâi sub forma:
O ecuație de forma (1), unde a și b sunt nu mere reale iar (1) se numește ecuație de gradul
întâi cu o necunoscută .
Ecuației de gradul întâi îi este dedicată o așa întindere mare în programa școlară
deoarece de cele mai multe ori diferite ecuații sunt reductibile la ecuații de gradul I și
rezolvar ea lor presupune metode de calcul, folosirea formulelor de calcul prescurtat, grupări
de termeni, scoaterea factorului comun, descompunerea în factori. Acum este introdusă și

28
ecuația de gradul al doilea, dar ca ecuație reductibilă la ecuații de gradul I , astfel de ecuații le
vom numi ecuații reductibile la ecuația de gradul întâi cu o necunoscută.
Voi prezenta o serie de exerciții unde ecuația de gradul întâi este procedeul folosit in
rezolvarea acestora utilizându -se ecuații reductibile la ecuația de gradul întâi, acestea se
regăsesc in parcurgerea programei școlare pentru disciplina matematica, clasele 5 -8 din 2017.
3.3.1. Ecuații in scrierea numerelor in baza 10.
Exemplu 1. Determinați numerele de forma 𝑎𝑏̅̅̅ pentru care are loc egalitatea
17𝑎𝑏̅̅̅̅̅̅̅+𝑎𝑏57̅̅̅̅̅̅̅=5191
Rezolvare:
U(b+7)=1⇒ b+7=11 ⇒b=4 U(b+7) -ultima cifra a sumei dintre b si 7
U(a+5+1)=9 ⇒a+5+1=9 ⇒ a=3 U(a+5+1) -ultima cifra a sumei dintre a,5 si 1
𝑎𝑏̅̅̅=34
Determinați numărul natural 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ cu proprietatea 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅+𝑏𝑐̅̅̅=176
3.3.2. Ecuația exponențială
Determinați numărul natural n știind că 7𝑛+2−2∙7𝑛+1=245
Membrul stâng al egalității se scrie
7𝑛+2−2∙7𝑛+1=7𝑛+1+1−2∙7𝑛+1=7𝑛+1∙7−2∙7𝑛+1=7𝑛+1(7−2)=7𝑛+1∙5
Din egalitatea 7𝑛+1∙5=245 rezultă 7𝑛+1=49, 7𝑛+1=72 de unde n+1=2 și n=1

3.3.3. Ecuația si divizibilitatea
Exemplu 1. Determinați numerele naturale de trei cifre, de forma 3𝑏𝑐̅̅̅̅̅ , știind că sunt
divizibile cu 5 și cu 9 .
3𝑏𝑐̅̅̅̅̅ este divizibil cu 5 , deci c 0,5
30𝑐̅̅̅̅̅ este divizibil cu 9 3+0+b este divizibil cu 9 și, cum b este cifră, obținem b = 6
35𝑐̅̅̅̅̅ este divizibil cu 9 3+5+ b este divizibil cu 9 și, cum b este cifră, obținem b =1,
deci numerele sunt 315 și 360
Exemplu 2. Determinați numerele naturale de trei cifre care sunt de 34 de ori mai mari decât
suma cifrelor lor.
𝑛=𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅⇒100 ∙𝑎+10∙𝑏+𝑐=34(𝑎+𝑏+𝑐)⇒8𝑏=11(2𝑎−𝑐), de unde
obținem 11 divide b , deci b = 0 și c = 2a
Obținem numerele 102 , 204 , 306 și 408

3.3.4. Ecuația si proporția (utilizarea proprietății fundamentale a unei proporții)
Exemplu 1. Determinați numărul natural n știind că următoarele propoziții sunt adevărat e:

29
a) 6
5=𝑛
25⇔𝑛∙5=6∙25⇒n=30
b) 3𝑛−2
𝑛=5
2⇔(3𝑛−2)∙2=𝑛∙5⇒6𝑛−4=5𝑛⇒𝑛=4
Exemplu 2. Determinați perechile de numere naturale (a, b) pentru care are loc
egalitatea 𝑎−1
2=3
𝑏+1(E.N 2011)
(a-1)(b+1)=6 ⇒𝑏+1∈𝐷6
Cum 𝑎,𝑏∈𝑁⇒(𝑎,𝑏)={(2,5);(3,2);(4,1)(7,0)}

3.3.5. Ecuația rațională
Numim ecuație rațională o ecuație dacă membrii săi sunt funcții raționale (rapoarte de
polinoame).
Ecuații de forma 𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑 = 𝑐𝑥+𝑒
𝑎𝑥+𝑓 a,b,c,d,e ,𝑓 ∈𝑅. Deoarece apar fracții sunt necesare
condiții de existență: cx+d  0, ax+f  0  𝑥 ∈𝑅\{−𝑏
𝑑,−𝑓
𝑎}.
Aplicând proprietatea fundamentală a proporțiilor ”produsul mezilor este egal cu
produsul extremilor” ecuația se reduce la ecuații de tipul anterior, iar re zolvarea lor se face
similar.
Acest tip de ecuații este foarte util pentru formarea la elevi a competenței de a desface
paranteze, calcule c u litere, regula semnelor, etc.
Pentru a rezolva acest tip de ecuație se recomandă parcurgerea următoarelor etape, ș i
anume:
Determinarea mulțimii (domeniului) de definiție a ecuației, ( 𝒟);
Înmulțirea ambilor membrii ai ecuației cu numitorul cel mai mic multiplu comun al
numitorilor fracțiilor care figurează în ecuație;
Rezolvarea ecuației astfel obținute;
Verificarea soluțiilor găsite; dacă acestea sunt în mulțimea de definiție ( 𝒟) și păs trarea
acelora care satisfac această cerință.

Exemplu 1 . Să se rezolve ecuațiile 𝑥+1
𝑥−2=2𝑥+1
2𝑥+3.
D=𝑅\{−3
2,2}
Eliminând numitorul obținem: (x+1)(2x+3)=(x -2)(2x+1) ⇒
2×2+5x+3=2×2-3x-2⇒

30
5x+3=-3x-2⇒
8x=-5⇒
𝑥=−5
8∈𝐷⇒𝑆={−5
8}
3.3.6. Ecuații cu parametru
Parametrul este o literă diferită de cea care se notează necunoscuta. Parametrul este
dat, dar poate lua orice valoare dorim; este fixat. Rezolvarea ecuațiilor cu parametru se reduce
la rezolvarea ecuațiilor de gradul întâi cu o necunoscută .
Deseori se cer e să se discute soluțiile ecuației in funcție de valorile parametrului , a
discuta soluțiile ecuației înseamnă a stabili condițiile în care aceasta admite rădăcini într -o
mulțime dată, de obicei mulțimea numerelor reale și a determina apoi numărul lor, sem nele
lor etc.
Exemplu 1. Aflați 𝑚∈𝑅 astfel încât ecuația 𝑚(3−2𝑥)+𝑥+3−2(𝑚+1)=0
sa aiba solutia 𝑥=−2.
Rezolvare: 𝑚[3−2∙(−2)]+(−2)+3−2(𝑚+1)=0
7𝑚+1−2𝑚−2=0
𝑚=𝟏
𝟓
Exemplu 2 . Să se rezolve în ℝ ecuația
9 ( 9)1,20 20 20x x m xmm++ − = − + unde m ∈ ℝ \{0}
Soluție: Pentru m ∈ ℝ \ {0}
9x + mx -20m = -20m2+ m(m + 9)
m(9 + m)x – (m + 9)x = 20m2- 20m
(m + 9)(m -1)x = 20m(m -1)
m≠-9 ⟹x =
20
9m
m+ , ecuația este compatibil determinată
m =1 ⟹x ∈ ℝ, ecuația este compatibil nedeterminată
m= -9 ⟹S = ∅, ecuația devine ecuație incompatibilă

31
3.3.7. Ecuații cu modul
Ecuația în care necunoscuta figurează în unul sau mai multe module se numește ecuație
cu modul de nedeterminată x.
Rezolvând o ecuația cu module înseamnă a determina mulțimea soluțiilor.
Un număr real a se numește soluție a ecuației cu module dacă înlocuind nedeterminata
x cu a se verifică egalitatea;
Pași de urmat în rezolvarea ecuațiilor ce conțin modul:
Definirea modulului și proprietățile sale:
Modulul unui număr real a, notat prin |a| , se definește astfel:
,0
| | 0, 0
,0aa
aa
aa 
==
−

Proprietăți:
Dacă a și b sunt numere reale, atunci:
1. |a| ≥ 0;
2. |a| = 0 ⟺a = 0;
3. |a • b| = |a| • |b|;
4. a+b ≤ |a| + |b|
5. |- a| =|a|
6. Ridicarea ambilor membrii la pătrat.
7. Rezolvarea ecuației pe intervale: mulțimea R este împărțită pe intervale prin
explicitarea modulelor.
Se rezolvă fiecare ecuație aferentă intervalului pe care este definită și se verifică dacă
soluțiile găsite aparțin intervalului dat.

• Forma generală a ecuației de gradul întâi cu modul :
|ax + 𝑏| = c, unde a , b, c∈ℝ
A rezolva o ecuație cu module înseamnă a -i determina toate soluțiile :
S = { x / |ax + b = c, unde a, b, c ∈ℝ }.

32
Exemplu:
Să se rezolve în R ecuațiile:
1. |2x – 8| = 4
2x – 8 = 4
2x = 12
x = 6
2x – 8 = – 4
2x = 4
x = 2
S = { -4, 2}
2. ||x – 3| – 3| = 4
|𝑥−3| – 3 = 4
 |𝑥−3|=7
𝑥 – 3 = 7
 x = 10
𝑥 – 3 = -7
 x = – 3
S = {-3,10}

3. |x| = -16⇒𝑆=∅
4. b) |𝑥−3| – 3 = – 4
 |𝑥−3| = -1⇒S=∅

Observație: O metodă de rezolvare a ecuației cu modul este metoda cu intervale în
care ne folosim de semnele expresiilor de sub modul.
• Fie funcția de gradul întâi f(x) = ax + b = 0, a
 0, a, b ∈𝑅 .
Semnul funcției este dat de următorul tabe l:
x
-∞ -b
a +∞
f(x) semnul contrar lui a 0 semnul lui a
Exemple
Exemplu: Să se rezolve în R ecua ția |x – 2| + 3 | x+1|=
x – 2 = 0 x + 1 = 0
x = 2 x = -1

33

I. x∈(-
,-1)
-x+2 +3( -x-1) = 7
x = -2∈(-
,-1)- este soluție a ecuației
II. x ∈[-1,2]
-x+2+3( x+1) = 7
x = 1 ∈[-1,2] – este soluție a ecuației
III. x ∈ (2,
 )
x-2+3(x+1) = 7
3(2, )2x=  
-nu este soluție a ecuației
Din I, II, III mulțimea soluțiilor este S = { -2, 1}.

3.3.8. Reducerea e cuați ei de gradul al doilea la o ecuație de gradul întâi
În clasa a VII -a, după introducerea noțiunii de radical și a formulelor de calcul
prescurtat, se vor rezolva în R ecuații de gradul al doilea, prin transformări și formule de calcul
prescurtat.
Ecuația de forma ax2 +bx +c = 0, a, b, c ∈ ℝ, a≠ 0. (2)
se numește ecuația de gradul al doilea cu coeficienți reali .
Numerele 𝑎, 𝑏, 𝑐 se numesc coeficienții ecuației, iar 𝑥 reprezintă necunoscuta ecuației
de gradul al doilea.
Cazuri particulare:
I. Cazul 𝒃 ≠ 𝟎 ș𝐢 𝒄 = 𝟎.
În acest caz ecuația are forma particulară 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0.
Propunem spre rezolvare ecuația obținută și avem
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 ⇔ (scoatem factor comun pe 𝑥) x –
 -1 2

x-2 ––––––––––– –––– –- 0 ++++++++++++++++++++++++
x+1 ––––-
––––-
– 0
0++++
++ +++++++++++++++
+++++++++++++ ++++++++++++++
+

34
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 ⇔ (rezolvăm ecuația produs obținută și obținem soluțiile)
.
Ecuația are două soluții reale și diferite x 1=0 și x 2=−𝑏
𝑎, iar mulțimea de soluții este
.
Exemplu 1. Să se rezolve ecuația 5𝑥2−7𝑥=0
x(5x-7) =0 (scoatem factor comun pe )
rezolvăm ecuația produs obținută și obținem soluțiile 𝑥1=0 și 𝑥2=7
5.
Ecuația are soluțiile 𝑥1=0 și 𝑥2=7
5. , iar mulțimea de soluții este 𝑆={0,7
5}.
II. Dacă a, c  0, b = 0, a, c  R , atunci ax2 +c = 0  ax2= -c  x2 = – 𝑐
𝑎
Conform noi programe din 2017, o atenție deosebita i se acorda studiului ecuației de
forma x2=a, ∀𝑎∈𝑅 in cadrul unității de învățare ,,Mulțimea numerelor reale,, studiata
înaintea ecuațiilor dar elevii se întâlnesc pri ma dată cu aceste ecuații de forma x2=a in clasa
a VI-a in predarea teoremei lui Pitagora, folosindu -ne de varianta incompleta, considerând
soluție doar valoarea pozitivă, in concluzie ecuația de forma x2=a este introdusă in mod
intuitiv , revenind cu preci zări in clasa a VII a.
Discuție :
➢ Dacă – 𝑐
𝑎 >0 , atunci ecuatia are ecuația are două rădăcini reale distincte:
x1 = √−𝑐
𝑎 , x2 = – √−𝑐
𝑎 , x1 ≠ x2 , x1 , x2 ∈R
➢ Dacă – 𝑐
𝑎=0, atunci ecuația are o singură rădăcină: x = 0.
➢ Dacă −𝑐
𝑎<0, atunci ecuația nu are soluție în , iar mulțimea de soluții este .
Exemplu.
a) Să se rezolve ecuația 3𝑥2−75=0.
3𝑥2−75=0 (separăm termenii ecuației )
3𝑥2=75 (împărțim membrii ecuației prin 3)
𝑥2=25
𝑥1=−√25⇒𝑥1=−5
𝑥2=√25⇒𝑥2=5
𝑆={−5,+5}

b) Să se rezolve in R ecuația -3×2 – 27 = 0
-3×2 – 27 = 0 (separăm termenii ecuației)

35
– 3×2 = 27 (împărțim membrii ecuației prin -3)
x2 = – 9<0⇒𝑆=∅

Observație. Rezolvarea ecuației de forma ax2 +bx +c = 0 , a, b, c ∈ ℝ, a≠ 0 se realizează
in clasa a VIII – a și utilizând descompunerea in factori :
Exemplu 1. Să se rezolve ecuația 𝑥2+6𝑥+9=0
Din formula de calcul (a+b)2=a2+2ab+b2 obținem (x+3)2=0⇒𝑥+3=0⇒𝑥=−3

Exemplu 2. Să se rezolve ecuația 𝑥2+4𝑥+3=0
Descompunerea polinomului 𝑥2+4𝑥+3 poate fi realizata prin două procedee studiate in
capitolul ,,Calcul algebric,, ( clasa a VII -a conform programei din 2009 respectiv clasa a VIII –
a conform programei din 2017 ) astfel:
1) Completarea polinomului pentru a deveni pătrat perfect

𝑥2+4𝑥+4−1=(𝑥+2)2−1
(𝑥+2−1)(𝑥+2+1)=(𝑥+1)(𝑥+3)
Ecuația devine (x+1)(x+3)=0
2) o altă metoda de descompunere este cunoscuta ca fiind metoda artificiului de calcul, ce are
la bază relațiile lui Viette, dar la nivel intuitiv:
𝑥2+4𝑥+3=0
𝑥2+𝑥+3𝑥+3=0
𝑥(𝑥+1)+3(𝑥+1)=0
(x+1)(x+3)=0
Produsul a doi factori este nul dacă unul dintre factori este nul.
Astfel considerăm fiecare factor nul și obținem:
x+1=0 ⇒𝑥1=−1
x+3=0 ⇒𝑥2=−3
𝑆={−3,−1}

36
3.4. Ecuația de gradul întâi cu două necunoscute (ecuația liniară cu două
necunoscute)

Forma generala a ecuației de gradul întâi cu două necunoscute:

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 𝑎,𝑏∈𝑅∗,𝑐∈𝑅, cu a2 + b2 ≠ 0, (x, y) ∈𝑅
a, b- se numesc coeficienții ecuației
c-se numește termenul liber
x, y- se numesc necunoscutele ecuației
O soluție a unei astfel de ecuații este o pereche de numere reale (α, β) cu proprietatea că
𝑎𝛼+𝑏𝛽+𝑐=0
A rezolva o ecuație de forma 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 înseamnă a determina mulțimea S a
soluțiilor acelei ecuații.
Dacă 𝑏≠0 atunci ecuația 𝑎𝛼+𝑏𝛽+𝑐=0 obținem 𝛽=−𝑎
𝑏∙𝛼−𝑐
𝑏, deducem că o
ecuație de gradul întâi cu două necunoscute are o infinitate de soluții.
Obținem 𝑆={(𝛼,−𝑎
𝑏∙𝛼−𝑐
𝑏)|𝛼∈𝑅}
Observație : Mulțim ea S coincide cu graficul funcției:
f :R →𝑅, f(x) = mx + n, m = – 𝑎
𝑏, n = – 𝑐
𝑏.
Reprezentând într -un sistem de axe xOy mulțimea S, obținem dreapta soluțiilor ecuației
ax+by+c=0. Dre apta soluțiilor ecuației ax + by + c = 0 se mai numește dreapta de ecuație
ax+by+c=0
Exempl u 1. Să se rezolve în ℝ ecuația :
3223 2 5xy
xy−+=+−
Dacă 3 x +2y -5 ≠ 0 avem x -3y +2 = 6 x +4y -10
5x +7y = 12
y = 12−5𝑥
7 , cu condiția 3 x +2y -5 ≠ 0
Căutăm perechile ( x, y) astfel încât :
3x + 2 12−5𝑥
7 – 5 = 0
21x + 24 – 10x – 35 = 0

37
11x – 11 = 0
x = 1
 y = 12−5
7 = 1
Soluția ecuației : (𝑥,12−5𝑥
7)∈𝑅2\{1,1}

3.5. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
Problemele cu conținut practic sau aplicativ se pot rezolva atât aritmetic, cât și
introducând o necunoscută ( sau două ) și obținând o ecuație ( un sistem de ecuații ) a cărei
soluție conduce la soluția problemei. Ecuația atașată problemei poartă numele de model
matematic al problemei.
Etapele de rezolvare a problemelor folosind modelul matematic :
• Evidențierea datelor cunoscute și a datelor necunoscute și notarea acesteia
(acestora) cu o literă (litere);
• Stabilirea mulțimii în care poate lua valori necuno scuta (necunoscutele );
• Scrierea cu ajutorul necunoscutei (necunoscutelor) a relației (relațiilor ) date în
probl emă și obținerea unei ecuații (sistem de ecuații );
• Rezolvarea ecuației (sistemului de ecuații ); a modelului matematic;
• Interpretarea rezultatului, formularea și probarea răspunsului la problemă.
Momentul cel mai important al rezolvării este obținerea modelului matematic, ceea ce
presupune o corectă trecere de la limbajul obișnuit la cel matematic (simbolic).
Trecerea de la exprimarea în limbajul obișnuit a datelor unei problemei (situații mai
des întâlnite) la limbajul matematic (simbolic):

Exprimare în limbajul obișnuit Exprimare simbolică
Număr cu n mai mare decât x x+n
Număr cu n mai mic decât x x-n
Număr de n ori mai mic decât x x:n
Număr de n ori mai mare decât x x
n
p% din x 𝑝
100∙𝑥
Raportul numerelor x și y, y⟹ 0 𝑥
𝑦
y
Un număr de trei cifre scris în baza 10
abc= a
 100 + b
10 + c

38
„Răsturnatul” numărului abc, c ⟹ 0
cba
Opusul numărului n -n
Inversul numărului n
1
n

Forma unui număr par 2n
Forma unui număr impar 2n-1 sau 2n+1
Consecutivul numărului n n+1
Nr. x și y sunt direct proporționale cu nr. a și b

xy
ab=
Nr. x și y sunt invers proporționale cu nr. a și b x • a = y • b
Pătratul numărului x x2
Cubul numărului x x3
Dublul numărului x 2x
Triplul numărului x 3x
:
Exemple.
1. Suma a trei numere întregi consecutive este 708. Care sunt cele trei numere ?
Notăm cel mai mic număr prin x. Atunci celelalte se scriu x + 1 și x + 2.
Cu condiția x
𝑍, avem x + (x + 1) + ( x + 2) = 708.
Ecuația este echivalentă cu 3 x + 3 = 708
 3x = 705
 x = 235. Cum 235
 𝑍, soluția
ecuației este x = 235.
Numerele sunt 235, 236, 237.
Ne întrebăm dacă orice număr întreg se poate scrie ca suma a trei numere întregi consecutive?
De exemplu, 707 obținem analog 3 x = 704, care nu are soluție în 𝑍. Rezultă că 707 nu are
proprietatea menționată.

2. Un număr natural este format din două cifre a căror sumă este 9. Numărul format din
aceleași cifre, scrise în ordine inversă este mai mare cu 9 decât produsul dintre primul număr
și 4. Care este primul număr?
Un număr de două cifre se scrie: 𝑎𝑏̅̅̅ = 10a + b, unde a, b sunt cifre. Cum în cazul nostru,
a + b = 9, numărul căutat se scrie 10 a +9 – a. Alegem ca necunoscută a cifra zecilor.
Al doilea număr este 10(9 – a) + a. Din condiția problemei rezultă ecuația:
10(9 – a) + a = 9 + 4(10 a +9 – a), unde 1 ≤𝑎≤9 și a
N.

39
Ecuația se scrie 90 – 10a + a = 9 + 40a + 36 -4a sau 45 a = 45 și are soluția a = 1.
Numărul căutat este 18.

3. Peste 16 ani, un tată va fi de două ori mai mare decât fiul său. Câți ani au acum fiecare
dintre ei, dacă , cu 4 ani în urmă, tatăl a fost de șase ori mai mare decât fiul ?
t – vârsta actuală a tatălui f – vârsta actuală fiului t+16 = 2(f+16) ⟹ t = 2f+16 (1)
t – 4 = 6(f – 4) ⟹ t = 6f -20 (2)
Din (1) și (2) ⟹ 6f – 20 = 2f+16 4f = 36
f = 9 ( vârsta fiului )
înlocuind în relația (1) obținem t = 44 ( vârsta tatălui ).

3.6. Ecuaț ia de gradul al II -lea
Definiție. O ecuație în ℝ se numește de gradul al doilea în necunoscuta 𝒙 dacă are
forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎. (2)
Numerele 𝑎, 𝑏, 𝑐 se numesc coeficienții ecuației, iar 𝑥 reprezintă necunoscuta ecuației
de gradul al doilea.
Observație.
1. 𝑎𝑥2 – reprezintă termenul pătratic, 𝑏𝑥 – reprezintă terme nul liniar, iar 𝑐 reprezintă
termenul liber;
2. Ecuația de gradul al doilea în necunoscuta 𝑥 este o ecuație algebrică de gradul doi,
deoarece membrul stâng este polinomul de gradul doi în nedeterminanta x, 𝑎x2 + 𝑏x + 𝑐 = 0,
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0.
3. Numărul real 𝑥0 ∈ ℝ este o rădăcină (soluție) a ecuației 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ℝ, 𝑎 ≠ 0, dacă 𝑎𝑥02 + 𝑏𝑥0 + 𝑐 = 0.
3.6.1. Rădăcinile ecuației de gradul al II -lea cu coeficienți reali
Rezolvând ecuația de gradul al doilea înseamnă a determina mulțimea soluțiilor:
S = { x / ax2 +bx+c = 0, ) ( x R(C), a  0, a, b, c  R }.
În continuare ne propunem să găsim elementele mulțimii S.
Mai întâi scoatem în fața parantezei coeficientul lui x2:
ax2 +bx +c = 𝑎(𝑥2+ 𝑏
𝑎𝑥+ 𝑐
𝑎)
Scriem termenul 𝑏
𝑎𝑥 sub forma 2𝑏
2𝑎𝑥 :

40

𝑎(𝑥2+ 𝑏
𝑎𝑥+ 𝑐
𝑎) = 𝑎(𝑥2+2𝑏
2𝑎𝑥 + 𝑐
𝑎)
Adăugând și scăzând în paranteză pe 𝑏2
4𝑎2 , care este pătratul lui 𝑏
2𝑎 , obținem:

ax2 +bx+c = 𝑎[(𝑥2+2𝑏
2𝑎𝑥 +𝑏2
4𝑎2 )−𝑏2
4𝑎2+𝑐
𝑎 ]

Cum 𝑥2+2𝑏
2𝑎𝑥 +𝑏2
4𝑎2= (𝑥+𝑏
2𝑎)2 avem :

ax2 +bx +c = 𝑎[(𝑥+𝑏
2𝑎)2− 𝑏2
4𝑎2+𝑐
𝑎]= 𝑎[(𝑥+𝑏
2𝑎)2− 𝑏2− 4𝑎𝑐
4𝑎2] = a(𝑥+𝑏
2𝑎)2− 𝑏2− 4𝑎𝑐
4𝑎
Observație : Această expresie ax2 +bx +c = a(𝑥+𝑏
2𝑎)2+ −∆
4𝑎 se numește forma canonică a
ecuației de gradul al doilea .
Așadar, ecuația (2) devine
a(𝑥+𝑏
2𝑎)2− 𝑏2− 4𝑎𝑐
4𝑎 = 0 sau a(𝑥+𝑏
2𝑎)2= 𝑏2− 4𝑎𝑐
4𝑎 (3)
Așadar, ecuația (3) este echivalentă cu ecuația (2 ). Cum membrul stâng al ecuației (3 )
este pătrat perfect, deci nenegativ, rezultă că aceasta are rădăcini reale dacă și numai dacă
𝑏2− 4𝑎𝑐
4𝑎 ≥0 sau 𝑏2− 4𝑎𝑐 ≥0 ( deoarece 4 a 2 ≥0 ). Ecuațiile (2) și (3 ) fiind e chivalente
rezultă că ecuația (2 ) are rădăcini reale dacă și numai dacă 𝑏2− 4𝑎𝑐 ≥0.
Dacă 𝑏2− 4𝑎𝑐 <0 , ecuația nu are rădăcini reale.
Existenta rădăcinilor rea le ale ecuației de gradul doi (2 ), precum și numărul lor, depind
de expresia 𝑏2− 4𝑎𝑐. Această expresie se numește discriminantul ecuației de gradul al
doilea și se notează cu Δ.
Fie deci, în continuare, Δ= b2 – 4ac ≥0 . Atunci, există numărul real √𝑏2− 4𝑎𝑐 și
putem scrie :
(𝑥+𝑏
2𝑎 )2
=(√Δ
2𝑎)2
sau(𝑥+𝑏
2𝑎 )2
-(√Δ
2𝑎)2
=0
 (𝑥+ 𝑏
2𝑎−√Δ
2𝑎)(𝑥+ 𝑏
2𝑎+√Δ
2𝑎)=0

Rezultă că: 𝑥+𝑏
2𝑎=±√Δ
2𝑎
 x = −𝑏
√Δ
2𝑎

41
Concluzii:
➢ Dacă Δ > 0 , atunci ecuația (2 ) are două rădăcini reale diferite între ele :
𝑥1= − 𝑏+ √Δ
2𝑎 ,𝑥2= − 𝑏− √Δ
2𝑎 , 𝑥1≠𝑥2 ,𝑥1,𝑥2 ∈𝑅

➢ Dacă Δ=0, atunci ecuația (2 ) are două rădăcini reale egale
𝑥1= 𝑥2 = −𝑏
2𝑎,𝑥1,𝑥2 ∈𝑅

➢ Dacă Δ<0, atunci ecuația (2) nu are două rădăcini reale, ci două rădăcini complexe
( numere complexe conjugate )
Cum Δ = b2 – 4ac <0 , atunci – Δ = 4 ac – b2
În mulțimea numerelor complexe ecuația se poate scrie astfel:
(𝑥+𝑏
2𝑎 )2
-(𝑖√−Δ
2𝑎)2
=0
 (𝑥+ 𝑏
2𝑎−𝑖√−Δ
2𝑎)(𝑥+ 𝑏
2𝑎+𝑖√−Δ
2𝑎)=0
Deducem de aici c ă rădăcinile complexe ale ecuației de gradul al doilea sunt:

𝑥1= − 𝑏+ 𝑖√−Δ
2𝑎 ,𝑥2= − 𝑏− 𝑖√−Δ
2𝑎 ,𝑥1≠𝑥2 ,𝑥1,𝑥2 ∈𝐶 unde 𝑖2 = −1 .
Exemple:
Să se rezolve ecuațiile :
1. x2 – 4x + 3 = 0 , x∈𝑅
a = 1, b = – 4, c = 3
∆ = 4
𝑥1 = 4+2
2=3
x2 = 4−2
2 = 1
S = { 1 ; 3 }
2. 2×2 – 4x + 2 = 0 , x∈𝑅
a = 2, b = – 4, c = 2
∆ = 0
x1 = x2 = 4
4=1
S = { 1 }
3. x2 – √12𝑥 + 4 = 0 , x∈𝐶
a = 1, b = √12 , c = 4
∆ = – 4

42
𝑥1 = 2√3 + 2𝑖
2= √3+ 𝑖
x2 = √3− 𝑖
S = { √3 ± 𝑖 }

3.6.2. Relații între rădăcini și coeficienți (relațiile lui F. VIETE)
Ecuația de gradul al doilea cu coeficienți reali ax2 +bx +c = 0 , a  0, a, b, c  R cu
discriminatul pozitiv: Δ > 0, atunci ecuația are două rădăcini reale diferite între ele:

{𝑥1≠𝑥2 , 𝑥1,𝑥2∈𝑅
𝑥1= − 𝑏+ √Δ
2𝑎 ,𝑥2= − 𝑏− √Δ
2𝑎
Calculând suma și produsul rădăcinilor obținem:

x1 + x2 = − 𝑏+ √Δ
2𝑎 + − 𝑏− √Δ
2𝑎 = − 𝑏− 𝑏
2𝑎=− 𝑏
𝑎

x1 ∙ x2 = − 𝑏+ √Δ
2𝑎 ∙ − 𝑏− √Δ
2𝑎 = (−𝑏)2−(√∆)2
4𝑎2 = 𝑏2− (𝑏2−4𝑎𝑐)
4𝑎2 = 4𝑎𝑐
4𝑎2 = 𝑐
𝑎

Așadar {𝑥1 +𝑥2 =− 𝑏
𝑎
𝑥1∙𝑥2 = 𝑐
𝑎, aceste relații poartă numele de relațiile lui Viète.
Observație.
1. Aceste formule permit să calculăm suma și produsul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea
fără a cunoaște efectiv rădăcinile.
2. Ori de câte ori pentru o ecuație de gradul al doilea se precizează o relație între rădăcinile
acesteia, atunci acestei relații îi asociem relațiile lui Viete.

Exemple
1. Să se scrie relațiile lui Viète pentru e cuația: 5×2 – 3x – 4 = 0
{𝑆=𝑥1 +𝑥2 = 3
5
𝑃=𝑥1∙𝑥2 = −4
5

43
2. Să se determine parametrul real m dacă între rădăcinile ecuației
𝑥2 − (2𝑚 + 1) 𝑥 + (𝑚 − 1) = 0 există relația 𝑥1 = 2𝑥2.
a) Pentru început asociem ecuației date relațiile lui Viete.
.
Din relațiile 𝑥1 = 2𝑥2 și 𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑚 + 1 deducem că

.
Înlocuim pe 𝑥1 și 𝑥2 în 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑚 − 1 și obținem

8𝑚2 + 8𝑚 + 2 − 9 𝑚 + 9 = 0 ⇔ 8𝑚2 − 𝑚 + 11 = 0 .
Calculăm ∆ = 𝑏2 ̶ 4𝑎𝑐 = (−1)2 − 4 ∙ 8 ∙ 11 < 0 ⇒ ecuația nu are rădăcini reale.
Concluzia, nu există nici un număr real pentru parametrul 𝑚, pentru care să existe relația
𝑥1 = 2𝑥2 între rădăcini.

3.6.3. Studiul semnelor rădăcinilor ecuației d e gradul al doilea
Fie ecuația de gradul al doilea cu coeficienți reali:
ax2+bx+c = 0 , a  0, a, b, c R  cu Δ  (4)
Notăm cu S și P suma, respectiv produsul rădăcinilor 𝑥1,𝑥2 ale ecuației, adică:

{𝑥1 +𝑥2 =− 𝑏
𝑎=𝑆
𝑥1∙𝑥2 = 𝑐
𝑎=𝑃

Prin împărțirea cu a relația (4) va deveni echivalentă cu :
𝑥2+𝑏
𝑎𝑥+𝑐
𝑎=0 sau x2 – Sx +P = 0 (5)
În raport de semnul lui S si P , se poate stabili dacă rădăcinile ecuației sunt pozitive sau
negative, fără a le afla efec tiv.

44
P=0 S=0 x1 =0 , x2 =0
S < 0 x1 =0 , x2< 0
S > 0 x1 =0 , x2> 0
P > 0
S=0 nu poate avea loc
S < 0 x1 <0 , x2 <0
S > 0 x1 >0 , x2 >0
P < 0
S=0 x1 <0 , x2> 0. |𝑥1|=|𝑥2|
S < 0 , x1 <0 , x2 >0, |𝑥1|>|𝑥2|
S > 0 x1 <0 , x2 >0, |𝑥1|<|𝑥2|

Exemple:
1. Fie ecuația 2 x2 -5x+3 = 0 , Δ = 1 > 0, {𝑆=𝑥1+𝑥2=5
2
𝑃= 𝑥1 ∙𝑥2 = 3
2 .
Deci P > 0, S > 0  x1 >0 , x2 >0

2. Să se discute ecuația 𝑥2 − 2(𝑚 + 3) 𝑥 + 6𝑚 + 2 = 0 .
Studiem natura și semnele rădăcinilor reale ale ecuației de gradul al doilea.
Avem 𝑎 = 1, 𝑏 = −2( 𝑚 + 3), 𝑐 = 6𝑚 + 2.
Dacă 𝑏 = 0 ⇔ −2( 𝑚 + 3) = 0 ⇔ 𝑚 + 3 = 0 ⇔ 𝑚 = −3 și
.
Calculăm discriminantul ecuației date.
∆= 4( 𝑚 + 3)2 − 4 ∙ 1 ∙ (6 𝑚 − 2) =
4(𝑚2 + 6𝑚 + 9) − 24 𝑚 + 8 =
4𝑚2 + 24 𝑚 + 36 − 24 𝑚 + 8 =
4𝑚2 + 28 > 0 , pentru orice număr real 𝑚.
Fie 𝑥1, 𝑥2 rădăcinile reale ale ecuației, atunci:
și
.
Discuția după valoarea parametrului 𝑚 este redată mai jos:

45
• Dacă 𝑚>−1
3, atunci avem 𝑥1∙𝑥2>0
𝑥1+𝑥2>0}⇒𝑥1 ș𝑖 𝑥2 sunt rădăcini pozitive.
• Dacă 𝑚=−1
3, atunci avem𝑥1∙𝑥2=0
𝑥1+𝑥2>0}⇒𝑥1=0 ș𝑖 𝑥2>0
• Dacă 𝑚<−1
3 , atunci 𝑥1 ∙ 𝑥2 < 0 ⇒ 𝑥1 și 𝑥2 sunt rădăcini cu semne contrare și avem
cazurile:
o 𝑚∈(−3,−1
3), atunci 𝑥1 + 𝑥2 > 0 ⇒ 𝑥1 > 0 și 𝑥2 < 0, 𝑥1 > |𝑥2| – rădăcina pozitivă
este mai mare decât valoarea absolută a rădăcinii negative.
o 𝑚 = −3 , atunci 𝑥1 + 𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = − 𝑥2 – valoarea ab solută a rădăcinii negative
este egală cu rădăcina pozitivă.
o 𝑚 < −3 , atunci 𝑥1 + 𝑥2 < 0 ⇒ 𝑥1 > 0 și 𝑥2 < 0, 𝑥1 < |𝑥2| – rădăcina pozitivă este
mai mică decât valoarea absolută a rădăcinii negative.
Sintetizând studierea naturii și a semnelor rădăc inilor reale ale ecuației de gradul al
doilea 𝑥2 − 2(𝑚 + 3) 𝑥 + 6𝑚 + 2 = 0, 𝑚 ∈ ℝ în următorul tabel:
𝑚 ∆ 𝑝 𝑠 Natura și semnele rădăcinilor reale ale ecuației
𝑥2 − 2(𝑚 + 3) 𝑥 + 6𝑚 + 2 = 0
−∞
+ − − 𝑥1 > 0, 𝑥2 < 0, 𝑥1 < |𝑥2|
−3 + − 0 𝑥1 > 0, 𝑥2 < 0, 𝑥1 = − 𝑥2
+ − + 𝑥1 > 0, 𝑥2 < 0, 𝑥1 > |𝑥2|
+ 0 + 𝑥1 = 0 și 𝑥2 > 0
+ + + 𝑥1 > 0 și 𝑥2 > 0
+∞

3.7. Ecuații reductibile la ecuații de gradul al doilea

Ecuații de forma ax3 + bx = 0 a,b ∈𝑅 .
Aplicăm metoda descompunerii în factori și obținem : x(ax2 + b) = 0, x1 = 0, ax2 + b = 0
ecuație de gradul al doilea r ezolvabilă .
Ecuații de forma (𝑎𝑥2+𝑏𝑥)2+𝑝(𝑎𝑥2+𝑏𝑥)+𝑞=0 a,b,p,q ∈𝑅 .
Aplică m metoda introducerii unei noi necunoscute .
Facem substituția: ax2 + bx = y și obținem ecuația de gradul doi cu necunoscuta y:

46
y2 + py + q = 0 rezolvabilă similar cu ecuația (2 ).
După aflarea rădăcinilor reale ale ecuației y2 + py + q = 0, înlocuim în substituție pe y și
rezolvăm ecuațiile de gradul al doilea: ax2+ bx = y1 , ax2 + bx = y2 rezolvabile similar cu
ecuația (2).
Ecuații de forma (𝑎𝑥+𝑏)2=(𝑎𝑥+𝑐)2, a,b,c ∈𝑅 .
Aplicăm formula de calcul prescurtat: (𝑎+𝑏)2 = a2 + 2ab +b2 și obținem:
𝑎2𝑥2+2𝑎𝑏𝑥 +𝑏2= 𝑎2𝑥2+2𝑎𝑐𝑥 +𝑐2 2𝑎𝑏𝑥 −2𝑎𝑐𝑥 =𝑐2−𝑏2
(2𝑎𝑏−2𝑎𝑐)𝑥=𝑐2−𝑏2
o ecuație de gradul întâi rezolvabilă, în funcție de valorile a,b,c ∈𝑅 .
Ecuații de forma (𝑎𝑥−𝑏)2=(𝑎𝑥−𝑐)2, a,b,c ∈𝑅
Metoda de rezolvare este similară cu cea anterioară folosind formula de calcul prescurtat :
(𝑎−𝑏)2 = a2 – 2ab +b2 .
Ecua ții de forma (𝑎𝑥+𝑏)𝟑=(𝑎𝑥+𝑐)𝟑. Aplicăm formula de calcul prescurtat
(𝑎+𝑏)𝟑 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 și obținem:
a3x3 + 3a2bx2 + 3ab2x + b3 = a3x3 + 3a2cx2 + 3ac2x + c3
3a2bx2 + 3ab2x + b3 = 3a2cx2 + 3ac2x + c3
(3a2b – 3a2c)x + (3ab2 – 3ac2) + (b3 – c3) o ecuație de gradul al doilea rezolvabilă similar cu
ecuația ( 2).
Exemplu 1. Să se rezolve în R ecuațiile:
a) 2×3 – 16x = 0
2x (x2 – 8) = 0
x1 = 0 sau x2 – 8 = 0
x2 = 8
x2 = 2√2
x3 = -2√2
S = {-2√2, 0, 2√2}
b)
4
13xx
xx+=−−
x(x – 3) = (1 – x)(4 + x)
x2 – 3x = 4 + x – 4x – x2
2×2 = 4
x2 = 2
x1 = √2, x2= −√2
S = {- √2, √2}

47

c)
2212( 1) (6 2 3)x+ = +
x + 1 = ±√(6+2√3)2
12
x + 1 = √(6+2√3)2
12
 x = 6
2√3
 x1 = √3
x + 1 = −√(6+2√3)2
12
 x =- −6−4√3
2√3 = -√3 – 2
S = {-√3 – 2, √3}
Ecuații cu modul
Forma generală a ecuației de gradul al doilea cu modul :
|ax2 + bx + c| = d, unde a, b, c, d ∈ℝ, a≠ 0
Rezolvând ecuația de gradul al doilea cu modul înseamnă a determina mulțimea soluțiilor:
S = { x / |ax2 + bx + c| = d, unde a, b, c, d ∈ℝ, a ≠0}.
1. Dacă Δ > 0, atunci se rezolvă ecuațiile: ax2 + bx + c = d ; ax2 + bx + c = -d similar
cu rezolvarea ecuației (2).
2. Dacă Δ = 0, atunci se rezolvă ecuația ax2 + bx + c= d , similar cu rezolvarea ecuației (2).
3. Dacă Δ < 0, atunci ecuația nu are soluții reale S = ∅.
Exempl u: Să se rezolve în R ecuația |6×2 – x -1| = 2
1. 6 x2 – x -1 = 2
 6 x2 – x – 3 = 0
Δ = 73
1/21 73
12x=

II. 6 x2 – x -1 = -2
 6 x2 – x +1 = 0
Δ = -23, S =∅
Mulțimea soluțiilor ecuației este :
1 73 1 73,12 12S+−=
Observație : O metodă de rezolvare a ecuației cu modul este metoda cu intervale în care ne
folosim de semnele expresiilor de sub modul.

48
• Fie funcția de gradul al doilea f: R ⟹ R, f (x) = ax2 + bx + c, a≠ 0, a, b, c∈ℝ
Dacă Δ> 0, atunci
x -∞ x 1 x2 ∞
f(x) semn contrar lui a 0 semnul lui a 0 semn contrar lui a

Dacă Δ = 0, atunci

x -∞ x1 ∞
f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

Dacă Δ < 0, atunci

x – ∞ ∞
f(x) semnul lui a

Problemă rezolvată
Să se rezolve în R ecuația |4 x2 – 4x +1| +| -2×2 – 4x + 5| = 0
2
124 4 1 0
0
1
2xx
xx− + =
=
==

– 2 x2 – 4 x + 5 = 0
Δ = 56
1
24 2 14 14142
4 2 14 14142x
x+= = − −−
−= = − +−

x -∞
1412−−

1
2

1412−− ∞
2( ) 4 4 1f x x x= − +
+++++++++++++++++++++++0++++++++++++++++++++++
2( ) 2 4 5g x x x = − − +
––––– 0 ++++++++++++++++++++++ 0 –––- ––––

49

22
22
1
214 14. , 1 1 ,22
4 4 1 2 4 5 0
46 4 06
6 14 14, 1 1 ,3 2 2
6 14 14, 1 1 ,3 2 2Ix
x x x x
xx
x
x    − − −  − +     
− + + + − =
− =  =
   =  − − −  − +      
   = −  − − −  − +      
2 2 2
2
1
214 14. 1 , 122
4 4 1 2 4 5 0 2 8 6 0
4 3 0
4
14 143 1 , 122
14 141 1 , 122II x
x x x x x x
xx
x
x − − − +
− + − − + =  − + = 
 − + =
=
=  − − − + 
=  − − − + 

Din I și II mulțimea soluțiilor este S = ∅.

Capitolul V CERCETAREA PSIHOPEDAGOGICĂ
5.1. Ipoteza cercetării
5.2. Scopul și obiectivele cercetării
5.3. Tema cercetării
5.6. Metodologia de cercetare
5.7. Testul de evaluare inițială
5.6. Testul de evaluare f ormativa
5.7. Testul de evaluare finală
5.8 Analiza comparativă a testelor

50

Cercetarea pedagogică este un demers sistematic de cunoaștere, de explicare a
fenomenelor educației; acest demers, care are ca punct de plecare conștientizarea unei
cerin țe, a unei dificultăți întâmpinate în profesie, urmărește, în final, sporirea eficienței
activității educative.
Specific pentru o cercetare autentică este emiterea obiectivului și a unei ipoteze pentru
o problemă bine delimitată și apoi, folosind o metodologie specifică, angajarea într -un
demers experimental ce urmărește, în final, confirmarea/validarea ipotezei.
Cercetările experimentale presupun înregistrarea și prelucrarea rezultatelor acțiunii
educative. Experimentul creează posibilitatea determinării cantitative, prin măsurarea
fenomenelor investigate. Acesta permite evidențierea obiectivă a eficiențe i rezultatelor
școlare.

5.1. Ipoteza cercetării
Importanța lucrării constă în utilizarea metodelor activ -participative care urmăresc
avantaje și progrese în învățare. Cultivarea spiritului de observație, atenția, precizia,
rigoarea, răbdarea, tenacitatea, conduc la creșterea interesului școlar.
Prin metodele moderne utilizate am căutat formarea rapidă a unor deprinderi, obținerea
unor cunoștințe profunde, prevenirea uitării și a confuziilor.
Ipoteza majoră a cercetării pedagogice propuse poate fi formulată astfel:
Dacă în cadrul lecțiilor de matematică din ciclul gimnazial voi folosi, combinând
diferite metode activ – participative de predare – învățare, atunci performanța școlară a
elevilor în cadrul procesului instructiv educativ se va îmbunătăți.

5.2. Scopul și obiectivele cercetării
Pornind de la ideea că dacă mă voi axa pe metode alternative și le voi folosi și pe
cele tradiționale , dar într -o mai mică măsură decât de obicei, făr ă să neglijez rolul lor, dacă
voi folosi materialul adecvat în lecție și dacă voi organiza activitatea în grupuri mai mici ,
individual și mai puțin frontal , în care elevii se vor antrena în spiritul metodelor amintite ,
atunci impactul asupra elevului se va reflectă la n ivelul componentei intelectuale, la nivelul
motivației în s pecial, al blocajelor crea tivităț ii și randamentului școlar.
Am desfășurat o cercetare observațională , ameliorativă , urmărind obiectivele:
a) – evoluția potențialului intelectual în condițiile axării pe disciplina matematică;
b) – înregistrarea efectelor activității intelectuale și a climatului afectiv asupra:
• calității și volumului cunoștințelor asimilate de elevi;

51
• motivației pentru învățare , în general, pentru disciplina matematică în special.
c) – conștientizarea de că tre elevi a eficienței metodelor alternative și a modului de
organizare pe grupe și individual, diferențiat în funcție de potențialul intelectual al fiecărui
elev;
d) – consemnarea și aprecierea participării elevilor la desfășurarea lecției;
e) – dobândire a de către elevi a unor obișnuințe de învățare în comun și a unor instrumente
de activitate intelectuală independentă;
f) – apariția unor forme de comportament școlar la elevi (dispariția fricii față de examinarea
curentă, înlocuirea interesului pentru notă cu interesul pentru cunoaștere , creșterea
capacității de concentrare a atenției în timpul orei).
Conform ipotezei formulate mai sus, se desprind două variabile și
anume:
Variabila independentă – cea introdusă de noi;
Variabila dependentă .
În cercetarea de față, variabila independentă o constituie utilizarea metodelor activ
participative în cadrul lecțiilor de matematică , iar variabila dependentă este redată de
creșterea performanței elevului în cadrul orelor de matematică.
Așadar, pentr u demonstrarea ipotezei menționate mi -am propus să demarez o
cercetare psihopedagogică care are la bază obiective enunțate mai sus. În vederea obiectivelor
propuse am aplicat un set de teste cuprinzând diferite probleme, integrate în diferite momente
ale lecției.

5.3. Tema cercetării

Cercetarea a vizat ameliorarea procesului instructiv -educativ în ceea ce privește
predare –învățarea și evaluarea noțiunii de ecuație algebrică și a modului de rezolvare ,
formarea cu ajutorul metodelor activ -participative , în consecință o cercetare de ti p
ameliorativ.
Cercetarea ameliorativă își propune să verifice eficiența unor inovații; se pornește de la o
ipoteză a cercetării care propune perfecționări, ameliorări ale randamentului activității
instructiv – educative, în diverse probleme pedagogice: plan și prog rame, metode de predare
– învățare și de verificare a progresului școlar, manuale școlare și mijloace de învățământ,
orientare școlară și profesională, constituirea grupelor de elevi și a claselor etc. Ca și în

52
majoritatea cercetărilor psihopedagogice, cer cetarea pe care am inițiat -o este o investigație de
tip constatativ -formativ și a urmărit rezultatele elevilor pe parcursul anului școlar 2019 -2020.
Ea s-a desfășurat pe un eșantion de 22 elevi, elevii clasei a VII -a de la Școala
Gimnazială numărul 1 Prip onești.
Grupul țintă
Majoritatea elevilor provin din familii cu studii elementare sau medii și cu un
număr mare de membri, cu ambii părinți șomeri sau care nu au un loc de muncă stabil,
principala sursă de existență a familiei fiind ajutorul social, diverse munci sezoniere sau cu
ziua. Chiar dacă situația materială nu este tocmai una favorabilă, majoritatea părinților
manifestă interes pentru creșterea și educarea copiilor, menținând legătura cu școala în mod
constant, răspunzând afirmativ solici tărilor cadrelor didactice în ceea ce privește procesul
instructiv -educativ.
Clasa pe care am realizat cercetarea este una omogenă ca vârstă, nivel de
dezvoltare intelectuală dar și ca mediu de proveniență, elevii reușind să realizeze cu succes
anumite sarcini în funcție de natura și de dificultatea lor sau de potențialul intelectual al
fiecărui elev.
Am observ at astfel , că, deși toți elevii dețin capa cități intelectuale apropiate ca nivel ,
diferențierea se face în special la nivelul aten ției. Rezultatele obținute în urmă testărilor
inițiale caracterizează clasa ca fiind omogenă , cu un nivel mediu de pregătire al elevilor .

5.4. Metodologia de cercetare
Am urmărit prin ac eastă cercetare să înlătur defi cientele din procesul instru ctiv
educ ativ, ameliorând munca și rezultatele sale. Pentru a furniza date specifice și pentru a
formulă o imagine corectă și completă, am inclus în cercetare cât mai multe instrumente,
metode de investigare în funcție de obiectivele și ipoteza cercetării . Ipoteza de la care am
pornit a fost concretizată în ideea conform căreia , dacă se introduc în mod sistematic
metode activ participative , folosindu -se și un bogat material didactic în procesul instructiv –
educativ, rezultatele randamentului școlar al elevilor vo r cunoaște îmbunătățiri
substanțiale..
Cercetarea a cuprins 3 etape fundamentale:
Pentru verificarea ipoteze am urmărit realizarea următoarelor obiective:
• optimizarea activității de instruire și educare a elevilor;
• dezvoltarea interesului pentru învățare ;

53
• semnalarea rezultatelor în noile condiții de lucru.
Obiectivul investigației mele l -a constituit proiectarea și experimentarea unui ans amblu
de strategii didactice ( metode alternative, forme de organizare pe grupe și indiv idual,
material didactic divers ) desfășurate cu elevii pe parcursul orelor de matematică .
Am apelat la metode alternative pentru a preveni plictiseal a, monotonia, pentru a capta
atenția, curiozitatea , dar și pentru formarea și consolidarea unor pri ceperi și deprinder i, iar
la organizare în grupuri , pentru dezvoltarea uno r laturi ale personalității , pentru fo rmarea
capacității de cooperare , de învățare în grup, cu ac tivitățile de muncă independentă
reprezintă o cerință primord ială în educația postmo dernistă. Specifice metodelor interactive
de grup este faptul că ele promovează interacțiunea dintre mințile participanților , dintre
personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente .

Din complexul de metode recoma ndate de literatură de specialitate le -am folosit pe cele
care mi -au permis strângerea unor cantități suficiente de date și informații concrete,
obiective și complete a căror analiză și interpretare ulterioară m -au condus la răspunsuri și
concluzii viabile .
Aceste metode le -am detaliat în capitolul anterior al acestei lucrări .
În cadrul lucrării de față am folosit următoar ele metode de cercetare : metoda observației ,
metoda experimentului, metoda analizei produselor activității, metoda testelor , toate
constituindu -se în metode de colectare a datelor cercetării . La acestea se mai adaugă și
metodele de prelucrare și măsurare a datelor cercetării: metoda ordonării, metoda
comparării, metode de prezentare și prel ucrare statistice -matematice ( grafice, tabele,
histograme, diagrame aureolare).
Observarea sistemică – utilizată pe parcursul unei unități de învățare prin efectuarea
unor evaluări orale și scrise , predictive , formative și sumative.
Acesta constă în urmărirea sistematică a faptelo r educaționale așa cum se desfășoară în
condiții obișnuite și în condiții impuse de ipoteza lucrării.
Mi-am propus să urmăresc gradul de participare prin :
• răspunsuri date în timpul lecției;
• muncă independentă ;
• calitatea răspunsurilor;
• atenția și concentrarea la lecție;
• antrenarea colegilor în lecție;
• interesul elevilor pentru lecție.
Rezultatele observației le -am valorificat în proiectarea demersului didacti c în etapele
următoare. Metoda a fost folosită în toate etapele cercetării. Prin folosirea acestei metode

54
am avut în vedere că observația să se bazeze pe un comportament natural de tratare a
subiectului în activitate.
Metodă experimentului – constă în stabilirea acelorași obiecti ve la clase diferite .
Modalitățile de măsurare și control au constat în aplicarea unor teste de evaluare . Am
considerat că această metodă servește direct și în mai mare măsură obiectivului principal al
cercetării și finalitatea ei ( optimi zarea activități i de instruire și educare a elevilor, sporirea
eficienței actului pedagogic concret).
Acesta s -a desfășurat în mod natural în condiții obișnuite fără că elevii să simtă acest
lucru respectând cele trei faze:
• faza prealabilă intervenției factorului experimental, când am selectat eșantionul , am testat
datele existente , înaintea experimentării am stabilit etapele introducerii factorului
experimentului , precum și strategia folosită;
• faza administrării factorului experimental sau faza desfășurării activității educative
stabilite , când am suspus eșantionul experimental unor activități de învățare diferite față de
eșantionul de control;
• faza înregistrării rezultatelor și prelucrării acestora în vederea stabilirii diferențelor dintre
cele două eșantioane și a testării variabilelor dependențe după intervenția factorului
experimental.
Rezultatele experimentului pot fi evaluate prin referință la cel puțin la patru tipuri principale
de criterii și anume:
– la conținutul și norma programei;
– la norma statistică a grupului școlar (valoarea clasei ) sau la standardele locale,
naționale sau internaționale;
– la norma individuală;
– la obiective (evaluarea criterială ).
În cazul de față s -a realizat evaluarea criterială.
Analiza produselor activități i (caiete de teme, lucrări scr ise , muncă independentă ,
munca în echipe ) – periodic am putut găsi indirect date privito are la rezultatele cercetării,
putând compara la momentul respectiv produsele activității copiilor , apoi trăgând
concluziile.
Această analiză a evidențiat gradul de înțelegere al sarcinilor testate , modul de formare
al priceperilor și deprinderilor intelectuale , toate oglindind calitatea a cțiunii de predare –
învățare. Metoda a oferit prilejul unor reflecții și a unor comparați i între diferite etape ale
demersului didactic ca urmare a folosirii unor metodologii variate prin combinarea
metodelor activ -participative.

55
Testul este o metodă standardizată care arată diferențele individuale între subiecți la
începutul cercetării și la sfârșitul ei permițând o cunoaștere obiectivă a profilului psihologic
al acestuia. Am folosit teste care să cuprindă o arie cât mai largă de activitate , să corespundă
unor orientări și cerințe metodologice cât mai diferite, am solicitat gândirea re productivă,
productiv -creativă în cadrul învățării prin activități independente sau în grup.
Rezultatele obținute le -am comparat în ideea verificării ipotezei d e la care am pornit în
cercetare. Pornind de la faptul că metoda de investigare e în același timp premisa cercetării
am încercat să respect anumite cerințe de ordin teoretic și practic care să confere grade de
accesibilitate și de fidelitate.
Am folosit tehnicile statistice în prelucrarea datelor cercetării și în evidențierea unor
rezultate:
– Întocmirea tabelului de rezultate . După administrarea probelor și măsurarea rezultatelor
am întocmit tabele de rezultate sintetice grupând datele măsurate și făcând abstracție d e
numele subiecților ;
– Reprezentările grafice . Datele înregistrate au fost reprezentate grafic în sistemul celor două
axe . Am folosit formele de reprezentare grafică:
– Histograma reprezentată prin dreptunghiuri de înălțime ;
– Diagrama areolară( prin hașurarea sau colorarea unor sectoare de cerc ).Pentru
evidențierea rezultatel or am folosit culori diferite.

5.5.Testul de evaluare inițială
În etapa inițială desfășurată în perioada 13 – 17 Ianuarie 2020 am aplicat elevilor de clasa a
VII –a testul de evaluare inițială prin care am urmărit nivelul lor de cunoștințe, priceperi și
deprinderi matematice, dobândite anterior.
Pentru început am prezentat competențele vizate în acest test de evaluare, la care am
atașat matricea de specificaț ie.
Competențe vizate:
𝑪1: Verificarea ca un număr real să fie soluția unei ecuații.
𝑪2: Rezolvarea unei ecuații de gradul I cu o necunoscută.
𝑪3: Utilizarea noțiunii de ecuații echivalente.
𝑪4: Rezolvarea unei inecuații de gradul I cu o necunoscută.
𝑪5: Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu
numere reale reprezentate pr in litere.

56
Matricea de specificații a testului de evaluare inițială
Competente de evaluat
Conținuturi C1 C2 C3 C4 C5 Total
Ecuația de gradul I
Ecuații reductibile la ecuația de gradul I
Operații cu numere reale
Puterea unui număr real
Inecuații

TEST INITIAL
ECUAȚII ȘI INECUAȚII Numele și prenumele elevului

……………………………………………………………………………….
Data: ……………………………………………
Clasa a VII -a ………….
❖ Din oficiu se acordă 10 puncte.
❖ Timpul de lucru este de 50 minute.

SUBIECTUL I. Pe foaia de test scrieți numai rezultatele (30
puncte)
4p 1. Dacă
135 4 =+x , atunci x este egal cu ………
4p 2. Dacă
147 5=x , atunci x este egal cu ………
4p 3. Dacă
* ,139 Nx x  + , atunci x este egal cu ………
4p 4. Dacă doi covrigi costă 1,20 lei, atunci cinci covrigi costă ………
4p 5. Soluțiile ecuației x2=25 în Z sunt …………………….…
4p 6. Dacă
7 4=−x , atunci x este egal cu ………
6p 7. Daca
ba=24 atunci a=… ..si b=………..

SUBIECTUL II. Pe foaia de test scrieți litera corespunzătoare rezultatului corect (20
puncte)
4p 1. Dacă
5 7 2 +=− x x , atunci x este egal cu:
A.7 B.5 C.12 D.9
4p 2. Dacă
71
51 +=− x x , atunci x este egal cu:
A.6 B.5 C.4 D.3
4p 3. Dacă
Nx x  + ,106 8 , atunci x este egal cu:
A.5 B.4 C.3 D.2
4p 4. Dacă
25 64 49 − = x atunci :

57
a. x=
83 B . x=
73 C. x=
87 D. x= 2
4p 5. Soluțiile ecuației (y+3)2= 64 în Z sunt:

a. 8 si -8 B. 5 si -11 C. -5 si 11 D. 8

SUBIECTUL III. Pe foaia de test scrieți rezolvările complete (40
puncte)
24p 1. Rezolvați ecuațiile: a)
36)1 2(7)8 (3)1 (5 ++ =− −− x x x .
b)
2 1 2 1 1 7
20 15 4 12 12x x x− + ++ − = + .
c)  2
3 – 4  + x-
3  = √25−9
6p 2. Aflați 𝑚∈𝑅 astfel încât ecuația 𝑚(3−2𝑥)+𝑥+3−2(𝑚+1)=0 sa aiba
solutia 𝑥=−2.

10p 3. Dacă 9n+32n+1+2∙32n+2=198 atunci numărul natural n=……………….

Barem de corectare și notare
Se acordă 10 puncte din oficiu.
Pentru a calcula nota finală se împarte punctajul total obținut la 10.
SUBIECTUL I (30 puncte)
Se punctează numai rezultatul corect. Nu se dau punctaje intermediare.
1 2 4p
2 10 4p
3 1;2;3 4p
4 3 lei 4p
5 -11; 5 4p
6 -3; 4p
7 a=2; b=6 6p

SUBIECTUL II. Pe foaia de test scrieți litera corespunzătoare rezultatului corect (20
puncte)
Se punctează numai rezultatul corect. Nu se dau punctaje intermediare.
1 C.12 4p
2 A. 6 4p
3 C. 3 4p

58
4 B. 3
7 4p
5 B. 5 si -11 4p

SUBIECTUL III (40 puncte)
Se punctează maximum corespunzător pentru orice soluție corectă neprevăzută în barem.
În limitele punctajului indicat din barem se poate da punctaj intermediar pentru o rezolvare
parțială.
Nr. item Rezolvare Punctaj

1)

𝒂) 5𝑥−5−3𝑥+24=14𝑥+7+36.
2x+19=14x+43
12x= -24
x=-2 3p
2p
2p
1p
𝒃) 6𝑥−3
60+4𝑥+8
60−15
60=5𝑥+5
60+35
60 .
6x-3+4x+8 -15=5x+5+35
10x-10=5x+40
5x=50
x=10 3p
2p
2p
1p
c) -2
3 + 4 + x-
3 = √16
x-
3 = 4+2
3 – 4
x-
3= 2
3 ⇒x=3
3
x-
3= -2
3 ⇒x=-
3

3p
1p
2p
2p
2. 𝑚[3−2∙(−2)]+(−2)+3−2(𝑚+1)=0
7𝑚+1−2𝑚−2=0
𝑚=𝟏
𝟓 3p
2p
1p
3. 9𝑛=[32]𝑛=32𝑛
32n+1=32n∙31
2∙32n+2=2∙32n∙32=18∙32n
32n∙(1+3+18)=198
32n=9
2n=2 ⇒𝑛=1 2p
1p
1p
3p
2p

1p

59

Înregistrarea, prelucrarea și interpretarea rezultatelor testului
inițial

Pentru înregistrarea rezultatelor obținute de cei 22 subiecți în urma aplicării testului de
evaluare inițială am realizat două tabele analitice. În primul tabel sunt trecute punc tajele
obținute de fiecare subiect în parte pentru fiecare item din testul de evaluare , iar al doilea
tabel conține punctajul obținut de fiecare elev pe competența urmărită.
În urma aplicării testului inițial am scos în evidență următoarele:
Media aritmetică: Ma = (media clasei)
Mediana Me .
Me =
Modulul: Mo = și Mo=
În continuare am prezentat histograma nr. în care sunt prezentate rezultatele testului inițial
obținute de elevii clasei a VII -a.

Analizând datele consemnate în tabelul analitic se observă că:

Măsuri ameliorative

5.6.Testul de evaluare formativa
În etapa evaluării formative desfășurată în perioada 27 – 31 Ianuarie 2020, elevii din
clasa a VII-a au rezolvat testul de evaluare formativă prin care s -a urmărit verificarea
capacității elevilor de a rezolva ecuații de gradul întâi, ecuații reductibile la ecuația de gradul
I

60
Această a doua etapă a experimentului a avut drept scop creșterea randame ntului
școlar prin folosirea metodelor activ – participative și a fișelor de lucru. Am utilizat fișe
construite pentru a recupera golurile și dificultățile pe care le acumulaseră unii elevi. Lucrul
suplimentar cu elevii care au întâmpinat greutăți în rezol varea de exerciții și probleme la testul
inițial, a urmărit antrenarea intensă a elevilor prin activitatea de autoinstruire.
Datorită particularităților de vârstă și individuale ale elevilor, am urmărit stabilirea
unor obiective și mijloace de realizare c are să dea posibilitatea interpretării cât mai corecte a
rezultatelor și raportarea acestora la cele obținute în evaluarea inițială.
Rezultatele obținute au oferit informații cu privire la eficiența metodologiei aplicate,
acestea permit reluarea unor prob leme neînțelese, organizarea unor activități diferențiate,
anumite completări sau sistematizări.
Competențe vizate:
Identificarea unor contexte practic -aplicative sau teoretice care folosesc ecuații sau inecuații
în mulțimea numerelor întregi
Validarea (prin probă) a soluției unei ecuații sau a unei inecuații în mulțimea numerelor
întregi
Aplicarea regulilor de calcul cu numere raționale pentru rezolvarea ecuațiilor de tipul:
x a b + = ,
x a b ⋅ = , x a b : = (a ≠ 0), ax b c + = , unde a , b și c sunt numere raționale
Validarea (prin probă) a soluției unei ecuații cu coeficienți numere rați onale
– Rezolvarea de ecuații utilizând regulile de calcul studiate
Utilizarea eficientă a metodelor de determinare a unei necunoscute dintr -o ecuație sau
inecuație (metoda
mersului invers, metoda balanței, transformări ale relațiilor de egalitate/inegalit ate)

Utilizarea proprietăților operațiilor pentru compararea și efectuarea calculelor
cu numere
raționale
Redactarea etapelor de rezolvare a ecuațiilor și a inecuațiilor studiate în
mulțimea numerelor
întregi
Transpunerea, în limbaj algebric, a unei situa ții date, rezolvarea ecua ției sau
inecuației obținute și interpretarea rezultatului

𝑪𝟏: Precizarea numărului de soluții ale unei ecuații.
𝑪𝟐: Precizarea soluției unei ecuații.
𝑪𝟑: Redactarea rezolvării unei ecuații de gradul întâi cu o necunoscută.
𝑪𝟒: Identificarea și transpunerea unei situații -problemă/relații dintr -o formă în alta.
1.2.Identificarea unei situa ții date rezolvabile prin ecuații sau sisteme de
ecuații liniare

61
2.2. Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea
soluțiilor unor ecuații sau sisteme de ecuații liniare
3.2. Utilizarea transformărilor echivalen te în rezolvarea unor ecuații și
sisteme de ecuații liniare
4.2 Redactarea rezolvării ecuațiilor și sistemelor de ecuații liniare
5.2 Stabilirea unor metode de rezolvare a ecua țiilor sau a sistemelor de ecua ții
liniare
6.2. Transpunerea matematică a unor s ituații date, utilizând ecua ții și/sau
sisteme de ecua ții liniare

Matricea de specificații a testului de evaluare formativă
Competente de evaluat
Conținuturi C1 C2 C3 C4 C5 Total
Ecuația de gradul I
Ecuații reductibile la ecuația de gradul I
Operații cu numere reale
Puterea unui număr real
Inecuații

TEST DE EVALUARE
ECUAȚII ȘI INECUAȚII Numele și prenumele elevului

……………………………………………………………………………….
Data: ……………………………………………
Clasa a VII -a ………….
❖ Din oficiu se acordă 10 puncte.
❖ Timpul de lucru este de 50 minute.

SUBIECTUL I. Pe foaia de test scrieți numai rezultatele (25
puncte)
5p 1. Dacă
172 3 =+x , atunci x este egal cu ………
5p 2. Dacă
3045
6=x , atunci x este egal cu ………
5p 3. Dacă
* ,68 42Nx x  −=− , atunci x este egal cu ………
5p 4. Dacă 7-x=1 atunci x este egal cu ………………….
5p 5. Dacă
118=−x , atunci x este egal cu ………

SUBIECTUL II. Pe foaia de test scrieți litera corespunzătoare rezultatului corect (25
puncte)
5p 1. Dacă
3 11 5 −=− x x , atunci x este egal cu:
A.5 B.11 C.2 D.3

62
5p 2. Dacă
45
35 2 −=+ x x , atunci x este egal cu:
A.3 B.-5 C.-7 D.4
5p 3. Suma soluțiilor ecuației
103=−x este egală cu ……….. .:
A.0 B. 2 C. 3 D. -3
5p 4. Dacă x
49 =
25 144− atunci x este egal cu:
A. 3 B. 8 C.5 D. 1
5p 5. Soluția reală a ecuației -2×2 = −32 este:
A.4 B.
 C. -4 D. 16

SUBIECTUL III. Pe foaia de test scrieți rezolvările complete (40
puncte)
15p 1. Rezolvați ecuațiile: a)
2373=−x
b)
1)4 (5)2 (4)2 (6)5 (3 +− −+ =− −+ x x x x .
c)
145
21
73 2
143 4+−=+−− x x x .
10p 2. Aflați 𝑚∈𝑅 astfel incat ecuatia
12 7)3 ( 2 + =+ − mx xmx are Solutia 5;

15p 3. Rezolvați ecuațiile: a)(x -1) + (x -2) + (x -3) + … + (x -11) = 0

b ) (3x -6)2=225
c )
63 6
122
3 22 3 x x x x −= + −+
Barem de corectare și notare
Se acordă 10 puncte din oficiu.
Pentru a calcula nota finală se împarte punctajul total obținut la 10.
SUBIECTUL I (25 puncte)
Se punctează numai rezultatul corect. Nu se dau punctaje intermediare.
1 2 5p
2 10 5p
3 1;2;3 5p
4 3 lei 5p
5 -11; 5 5p

În urma aplicării testului de evaluare formativă au ieșit în evidență următoarele:
Media aritmetică: Ma = (media clasei)
Mediana Me :

63
Me =
Modulul: Mo = și Mo=
Conform rezultatelor obținute la testul de evaluare formativă, identificăm un progres al
randamentului școlar în comparație cu rezultatele obținute la testul de evaluare inițială.
Astfel constatăm următoarele:
Pentru îmbunătățirea performanțelor școla re am decis să aplic în continuare
următoarele măsurilor ameliorative:
5.7. Testul de evaluare finală

Matricea de specificații a testului de evaluare finala

TEST DE EVALUARE
ECUAȚII, SISTEME DE ECUAȚII,
PROBLEME Numele și prenumele elevului

……………………………………………………………………………….
Data: ……………………………………………
Clasa a VII -a ………….
❖ Din oficiu se acordă 10 puncte.
❖ Timpul de lucru este de 50 minute.

SUBIECTU L I. Pe foaia de test scrieți numai rezultatele (30
puncte)
5p 1. Valoarea de adevăr a propoziției “ – 3 este soluție a ecuației 6 : x = – 2” este……..
5p 2. Soluția ecuației 𝑥−1=7 este egală cu ………..
5p 3. Dacă
32
9=x , atunci x este egal cu ………
5p 4. Trei caiete costă 7,50 lei. Patru caiete de același fel costă ………..lei.
5p 5. Soluția sistemului de ecuații

=−=+
35
yxyx este egală cu

==
………….
yx
5p 6. Dacă a+c=11 și b+d=13, atunci a+b+c+d=_______
SUBIECTUL II. Pe foaia de test scrieți litera corespunzătoare rezultatului corect (20 puncte)
4p 1. Dacă
2 3 2 +=− x x , atunci x este egal cu:
A.2 B.3 C.4 D.5
4p 2. Daca x=4+2√3 si y=+ 2√3 atunci x-y este egal cu :
A.6+4√3 B.4+4 √3 C. 4 D.8√3

64
4p 3. Numărul care prin împărțirea la 7 se obține câtul 17 și restul 10 este egal cu………
A.129 B.87 C.70 D.34
4p 4. În mulțimea numerelor naturale, o soluție a ecuației
9 3 2 = +y x este:
A.(1;3) B.(0;3) C.(2;3) D.(3;1)
SUBIECTUL III. Pe foaia de test scrieți rezolvările complete (40 puncte)
15p 1. Rezolvați ecuațiile: a)
( )( ) 4 5 5 3 5x x x+ − + = − .
b)
Qxx x x ++=−−−,51351 2
23
51 4
c) |7x – 1 | = 6
5p 2. Rezolvați sistemul prin metoda substituției:
{−3𝑥+2𝑦=3
2𝑥−5𝑦=−13

5p 3. Rezolvați sistemul prin metoda reducerii:
{√2𝑥−3√3𝑦=11
2√2𝑥+√3𝑦=1
5p 4. După o majorare de 10% a prețului, o bicicletă costă 495 lei. Aflați prețul inițial al
bicicletei.

10p 5. La un pet shop sunt iepuri și papagali având în total 10 capete și 34 de picioare.
Aflați câți iepuri și câți papagali sunt la pet shop.

Barem de corectare și notare

Înregistrarea, prelucrarea și interpretarea rezultatelor testului de evaluare finală
Tabel analitic cu rezultatele obținute de elevii la testul de evaluare finală:

Media aritmetică: Ma = (media clasei)
Mediana Me :
Me =
Modulul: Mo =
În continuare am prezentat histograma nr. … în care sunt prezentate rezultatele elevilor
obținute la testul de evaluare finală:

65

5.8 Analiza comparativă a testelor

CONCLUZII

ANEXE

PROIECTAREA UNITATII DE INVATARE -Ecuații si sisteme de ecuații liniare
PROIECT DIDACTIC