An: II , Semestru l II [603041]

REFERAT SISTEME
FUZZY

Student: [anonimizat]: IASTE
An: II , Semestru l II

Despre sistemele fuzzy

Ideea de mulțime fuzzy a fost introdusă pentru prima dată de către Lotfi A.
Zadeh, profesor la Universitatea Berkeley din California, la seminarul lui publicat în
1965. Lotfi Zadeh a extins teoria posibilității într -un sistem formal de logică
mate matică. De asemenea, a adus în discuție modalitățile de lucru cu termeni nuanțați
ai limbajului natural. Acest instrument de reprezentare și manipulare a termenilor
nuanțați se numește logica fuzzy. Logica tradițională consideră că un obiect poate
aparține sau nu unei mulțimi. Logica fuzzy permite o interpretare mai flexibilă a
noțiunii de apartenență. Astfel, mai multe obiecte pot aparține unei mulțimi în grade
diferite date de o funcție de apartenență. Un tip incipient de logică fuzz y a apărut
încă din 1920,propus de matematicianul polonez Jan Łukasiewicz (inventatorul
notației poloneze).
Sistemul său permitea extinderea valorii de adevăr a unei propoziții la toate
numerele reale din intervalul [0,1]. Un număr di n acest interval era interpretat drept
posibilitateaca propoziția considerată să fie adevărată sau falsă. Aceste cercetări
au dus la apariția teoriei posibilității, o tehnică de raționament în condiții de
inexactitate.
O altă contribuție maj oră a lui Lotfi A. Zadeh a fost introducerea, într -o lucrare
publicată în 1973 a termenului de „variabilă lingvistică”. Variabilele lingvistice pot
avea valori lingvistice cum ar fi „temperatură”, „presiune”, etc. O altă noțiune
introdusă de Zadeh se referă la termenii lingvistici aferenți unei variabile
lingvistice. Aceștia pot lua valori lingvistice cum ar fi „foarte rece”, „rece”, etc., și sunt
caracterizați prin funcții de apartenență specifice.
Metodele tradiționale de modelare a procesului șide analiză a sistemelor se pot folosi
numai atunci când se pot determina relații între variabilele sistemului, ca de exemplu
ecuații diferențiale între variabilele de intrare și ieșire. Însă intervenția factorului uman
în sistemele analizate impune analiza unor variabile care nu au valori numerice
concrete, fiind variabile lingvistice, definite prin mulțimi fuzzy. Metodele fuzzy sunt o
alternativă de proiectare pentru procese și sisteme foarte complexe. Variabilele fuzzy
sau lingvis tice nu descriu datele numeric, ci printr -o funcție de apartenență care este
scalată între zero și unu.
Operațiile executate cu variabilele fuzzy și regulile fuzzy aferente nu pornesc de la
modele precise ale procesului, ci de la înțelegerea fenomenelor fi zice, ca de exemplu:
IF (temperatura este mare) THEN (comandă scade)
Sistemele de conducere cu modele și algoritmi fuzzy sunt mai flexibile decât sistemele
convenționale, deoarece modificarea regulilor de deducție a mărimii de comandă se
poate face prin ad ăugarea de noi variabile lingvistice, fiind deci mai elastice în
proiectare. Deoarece proiectarea sistemelor de conducere cu regulatoare cu logică
fuzzy (RLF) nu se face pentru un model dat al procesului și nici pentru anumite valori
ale parametrilor acest uia, rezultă ca aceste sistemele sunt mai robuste, având
performanțe acceptabile într -o gamă relativ largă de variație a parametrilor procesului.
Însă sistemele de conducere cu RLF sunt mai greu de proiectat pentru cazul când sunt
mai mult de două intrări în regulator sau atunci când acesta are mai multe mărimi de
comandă, ceea ce se impune în cazul proceselor multivariabile.
În prezent sistemele fuzzy sunt de mare actualitate. Ele se întâlnesc în probleme de
conducere și luare a deciziei. Primele aplicații au fost semnalate în deceniul al
șaptelea. După 1985 în special în Japonia s -a produs o adevărată explozie a
aplicațiilor practice care utilizează logica fuzzy. În ultimul deceniu și în Europa a

debutat o intensă activitate de cercetare pentru introducere a principiilor sistemelor
fuzzy. Un domeniu de aplicare al sistemelor fuzzy care devine din ce în ce mai
important este cel de conducere a proceselor industriale. Se pot enumera numeroase
aplicații, cum ar fi: comanda metrourilor cu o funcționare mai confo rtabilă, în localitatea
Sendai din Japonia, comanda ascensoarelor, cu un timp de așteptare mai redus,
comanda instalațiilor de climatizare și multe altele. Însă aplicarea pe scară largă a
sistemelor fuzzy este frânată de o serie de impedimente cum ar fi: i nexistența unor
metode precise de proiectare a sistemelor fuzzy, inexistența unor metode precise de
analiză a stabilității sistemlor fuzzy și nu în ultimul rând complexitatea sporită a
sistemelor de dezvoltare a sistemelor fuzzy
Așa cum spune și numele, un sistem expert cu logică fuzzy este un sistem expert cu
logică fuzzy.
Necesitatea reprezintă gradul la care eviden țele considerate susțin valoarea de adevăr
a unei propozi ții sau a datei; posibilitatea reprezintă extinderea la care evidența
considerată nu respinge o dată, necesitatea fiindu -i 0 și posibilitatea 1. Cum din ce în
ce mai multe date sunt considerate necesitatea datei tinde să crească monoton,
întotdeauna subiect al restric ției cum că necesitatea unei date trebuie să fie egală cu
sau mai mică de cât posibilitatea ei; cum din ce în ce mai multe date respingătoare sunt
considerate, posibilitatea unei date tinde să descrească monoton. În sisteme care pot
stoca două valori de adevăr, acestea fiind posibilitata si necesitatea, o dată despre
care nu cun oaștem nimic are necesitatea 0 și posibilitaea 1. O dată despre care se
știe că este falsă complet are atât necesitatea cât și posibilitatea egale cu 0. O dată
despre care se știe că este adevărată complet are atât necesitatea cât și posibilitatea
egale cu 1. În sisteme care func ționează pe baza stocării unei singure valori de adevăr,
aceasta fiind necesitatea, nu putem dinstinge între data despre care nu se știe nimic
și o dată despre care se știe că este falsă, din moment ce ambele au necesitatea 0. În
astfel de sisteme, considerăm o dată fiind drept falsă până când eviden țe susținătoare
sunt găsite. De și sistemele bazate pe necesitate nu întrețin posibilitatea datelor, este
posibil să calculăm posibilitatea unei datedin eviden țele respingătoare; dacă
posibilitatea calculată este mai mică decât necesitatea -i existentă, necesitatea trebuie
redusă ca să se supună restric ției că necesitatea este mai mică sau egală cu
posibilitatea. Totu și, evidențele susținătoare considerate in blocuri de reguli executate
secvențial ar putea crește necesitatea redusă. Este de preferat ca mai întâi să se
execute blocuri de reguli care să ducă la concluzii preliminarii, care în cele din urmă
pot fi ambigue sau contradictorii. Apoi rezolvăm contradic țiile considerând evidențele
respingătoare în blocuri executate mai târziu în procesul de ra ționament.

Fundamentele sistemelor fuzzy
Definitia 1.1. Daca este o multime de obiecte notate generic cu , atunci
o multime fuzzy in este o multime de perechi ordonate ,
unde iar este gradul de apartenenta al lui la .
Deci, o multime fuzzy este echivalenta cu o multime de referinta si o
aplicatie .
Exemplul 1.1. Fie afirmatia „Dan a luat note in jur de 7“. Multimea fuzzy „in jur
de 7“ poate fi descrisa ca

.

Exemplul 1.2. Sa notam cu multimea numerelor reale grupate in jurul lui
. Ea poate fi descrisa prin , unde
O alta notatie pentru multimi fuzzy este:
(cazul discret)
sau
(cazul continuu).
Cu aceasta notatie, multimile din exemplele anterioare se reprezinta prin:

si respectiv prin

Definitia 1.2. Fiind data o multime fuzzy , se numeste taietura de nivel
sau -taietura multimea clasica .
Multimea se numeste -taietura stricta.

Exemplul 1.3. Referitor la multimea din exemplul 1.1, -taieturile sunt:

.
Functia de apartenenta joaca un rol fundamental in teoria multimilor fuzzy. De
aceea, operatiile cu multimi fuzzy vor fi definite cu ajutorul acestei functii.
1.2.1. Operatii fundamentale

Prezentam mai intai conceptele introduse de Zadeh in 196 5 [181].

Definitia 1.4. Fiind date doua multimi fuzzy si , intersectia lor
se defineste prin functia de apartenenta
,

Definitia 1.5. Fiind date multimile fuzzy si , reuniunea lor se
defineste prin functia de apartenenta
,
Definitia 1.6. Fiind data multimea fuzzy , complementara sa este definita
de
Exemplul 1.4. Fie si
.
Atunci

.

1.2.2. Operatii algebrice
Definitia 1.7. Fie multimi fuzzy in ; produsul lor
cartezian este o multime fuzzy in spatiu l produs avand functia de
apartenenta .
Definitia 1.8. Puterea a multimii fuzzy este definita de

Definitia 1.9. Suma algebrica (probabilista) este
, unde .
Definitia 1.10. Suma marginita este definita de
, unde .
Definitia 1.11. Difere nta marginita este definita prin
, unde .
Definitia 1.12. Produsul algebric al doua multimi fuzzy si este
.
Exemplul 1.6. Fie si . Atunci,
conform definitiilor de mai sus avem

.
1.2.3. Operatii bazate pe t -operatori
Vom descrie in continuare clase de operatori de intersectie si reuniune, din
care operatorii prezentati anterior se obtin ca fiind cazuri particulare; universul de
discurs il vom nota cu .
Definitia 1.17. Functia este o negatie (sau operator de
complementare ) stricta daca
(N1)
(N2)
(N3) pentru orice .
Trillas [164] a aratat ca orice negatie stricta se poate scrie sub forma

(1.3)
unde este o functie continua si strict crescatoare cu si
numar finit. Fiind aleasa o negatie , complement ara a multimii fuzzy este
data de
Operatiile cu multimi fuzzy pot fi definite mai general prin

unde , sunt operatori de reuniune si respectiv intersectie.
Asupra lui si se impun urmatoarele conditii, pentru :
– concordanta cu reuniun ea si intersectia clasice:
u1)
i1)
– comutativitate
u2) i2)
– asociativitate
u3) i3)
– legile lui de Morgan: exista un operator de complementare astfel incat:
u4) i4)
– existenta elementului neutru
u5) , adica i5) , adica
– monotonie
u6) – i6) si sunt functii nedescrescatoare in fiecare argument
– continuitate
u7) – i7) si sunt functii co ntinue.

Rezultatele obtinute in teoria ecuatiilor functionale [1, 109] permit o clasificare
a operatorilor de intersectie si reuniune. Pentru aceasta avem nevoie de rezultate
suplimentare.
Definitia 1.18 . Functia ce satisface
(T1)
(T2)
(T3) daca
(T4)
pentru orice , se numeste norma triunghiulara (sau t-norma ).
O t-norma continua este arhimedeana daca
(T5) .
O t-norma arhimedeana este stricta daca
(T6) pentru si .
Definitia 1.19 . Functia ce satisface
(S1)
(S2)
(S3) daca
(S4)
pentru orice , se numeste conorma triunghiulara (sau t-conorma ).
O t-conorma continua este arhimedeana daca
(S5) .
O t-conorma arhimedeana este stricta daca
(S6) pentru si .

Pentru orice t -norma si orice t -conorma au loc relatiile
.
Ling [109] a demonstrat ca orice t -norma arhimedeana se poate scrie sub
forma
(1.4)
unde este o functie continua si strict descrescatoare iar
este pseudo -inversa lui , definita de

Daca si atunci t -norma este stricta . Daca si
, t-norma se numeste nilpotenta.
Analog, orice t -conorma arhimedeana se poate scrie
(1.5)
unde este o functie continua si strict crescatoare iar

Daca si , t-conorma este stricta . Daca si t-
conorma se numeste nilpotenta. Orice t -norma satisface relatia [149]
, unde

Analog, pentru orice t -conorma avem
, unde

Prin intermediul unei negatii se poate trece de la o t -norma la o t -conorma si
invers, conform teoremei urmatoare:
Teorema 1.2. [4] Daca este o t -norma si este o negatie stricta, atunci
este o t -norma si reciproc, .
1.4.1. Principiul extensiei
Unul din conceptele de baza din teoria multimilor fuzzy, care poate fi utilizat
pentru a generaliza concepte matematic e clasice la multimi fuzzy, este principiul
extensiei.
Definitia 1.23. Fie produsul cartezian al universurilor si
, multimi fuzzy in respectiv. Consideram functia
. Principiul extensiei ne permite sa definim o multime fuzzy
in prin
unde

Pentru , principiul extensiei se reduce la
unde

Exemplul 1.9. Fie si . Aplicand
principiul extensiei obtinem .
1.4.2. Numere fuzzy
Definitia 1.24 . O multime fuzzy se numeste normalizata daca exista cel putin
un punct in care functia de ap artenenta ia valoarea 1.

Definitia 1.25. Un numar fuzzy este o multime fuzzy convexa si normalizata
a universului R cu proprietatile:
1) exista un unic R astfel incat se numeste valoarea medie
a lui
2) este functie continua pe portiuni.
Exemplul 1.10. Multimea

este numar fuzzy, dar nu este numar fuzzy deoarece

Definitia 1.26. Un numar fuzzy este pozitiv (negativ) daca functia sa de
apartenenta este astfel incat .
Daca sunt operatiile algebrice obisnuite, exten siile lor la numere
fuzzy le notam cu si respectiv . Notam in continuare cu F(R) multimea
numerelor fuzzy.
Din principiul extensiei rezulta
Teorema 1.4. [41] Daca F(R) au functiile de apartenenta si
respectiv iar RR R, atunci functia de ap artenenta a numarului fuzzy
este data de .

Exemplul 1.12. Fie numerele fuzzy si
. Atunci

1.4.3. Reprezentarea LR a numerelor fuzzy
Operatiile de calcul cu multimi fuzzy se pot realiza mai usor daca se utilizeaza
o reprezenta re speciala, numita LR. Acest tip de reprezentare a fost sugerat de Dubois

si Prade [40]: ei numesc functia descrescatoare (si ): R functie de forma
daca :

pentru
pentru
sau ( si )
Definitia 1.28. Numarul fuzzy este de tipul daca ex ista functiile de
forma (pentru partea stanga) si (pentru partea dreapta) si scalarii
astfel incat

unde este un numar real, numit valoarea medie a lui , iar si respectiv
reprezinta intinderea stanga si respect iv dreapta. Simbolic este notat prin

Exemplul 1.13. Fie , , Atunci

Teorema 1.6 .[41] Fie numerele fuzzy si .
Atunci 1)
2)
3)

Exemplul 1.14. Fie , si
. Atunci si .
Teorema 1.7. [41] Daca si sunt nu mere fuzzy, atunci
daca si sunt pozitive;
daca si ;
daca si sunt
negative.
Exemplul 1.15. Fie , si

Avem
=
=
deci si sunt pozitive.
Conform teoremei anterioare avem

Daca nu este numar real ci interval, se obtine un interval fuzzy.
Definitia 1.29 . Un interval fuzzy este de tipul daca exista functiile de
forma si si parametrii
(, ) R , astfel incat

Un astfel de inte rval fuzzy se noteaza prin .
#n aplicatii practice se lucreaza frecvent cu functii si liniare:

De obicei, un interval fuzzy este numit numar fuzzy trapezoidal.
Relatiile fuzzy sunt submultimi ale lui , adica aplicatii de la la . Ele
au fo st studiate de numerosi autori dintre care amintim pe Zadeh [181] si Kaufmann
[97]. Ne vom ocupa numai de relatii binare.
Definitia 1.30. Fie R multimi universale; atunci
se numeste relatie fuzzy pe .
Exemplul 1.16. Fie R si = „considerabil mai ma re decat“. Putem
defini aceasta relatie prin functia de apartenenta

Definitia 1.32. Fie si doua relatii fuzzy in acelasi spatiu produs;
reuniunea respectiv intersectia lor se definesc, pentru , prin

.
Definitia 1.3 3. Fie o relatie fuzzy. Prima
proiectie a lui este
A doua proiectie este ,

Exemplul 1.18. Un exemplu de relatie fuzzy si proiectiile sale este:

Prima
proiectie
0.1 0.2
0.4 0.8 1 0.8 1
0.2 0.4
0.8 1 0.8 0.6 1
0.4 0.8 1 0.8 0.4 0.2 1
a doua proiectie 0.4 0.8 1 1 1 0.8
Proiectia totala 1
Definitia 1.34. Cea mai larga relatie fuzzy a carei proiectie este se numeste
extensia cilindri ca a lui .
Exemplul 1.19. Extensia cilindrica a lui din exemplul anterior este

0.4 0.8 1 1 1 0.8
0.4 0.8 1 1 1 0.8
0.4 0.8 1 1 1 0.8

Relatiile fuzzy din diferite spatii produs pot fi combinate prin operatia de
compunere. Au fost sugerate diferite tipuri de compuneri, dar compunerea max-min
este cea mai utilizata.
Defini tia 1.35. Fie si doua
relatii fuzzy. Compunerea max -min a lui cu este definita prin

Bibligrafie:

1. Marius Lucian Tomescu: Contribuții la dezvoltarea sistemelor fuzzy cu aplicații
in conducerea proceselor Universitatea „Politehnica ” din Timișoara 2007
2. http://www.rasfoiesc.com/educatie/matematica/MULTIMI -FUZZY61.php
3. https://ro.wikipedia.org/wiki/Sistem_expert_cu_logic%C4%83_fuzzy#Posibilita
tea_.C8.99i_necesitatea_potrivite_pentru_ra.C8.9Bionamentul_fuzz y_bazat_
pe_reguli_.C3.AEn_mai_mul.C8.9Bi_pa.C8.99i
4. http://www.cs.bris.ac.uk/~kovacs/publications/gbml -survey/html –
version/node16.html