Circuitele sau re țelele electrice intervin în producerea energiei electromagnetice, transportul, distribu ția la locul de utilizare și conversia… [602852]

1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE

1.1. DEFINI ȚII

Circuitele sau re țelele electrice intervin în producerea energiei
electromagnetice, transportul, distribu ția la locul de utilizare și conversia acestei
energii. Circuitele electrice se constituie prin interconectarea elementelor de circuit
(rezistoare, bobine, condensatoare, surse de energie, etc.), conform unor scheme de
conțin laturi, noduri și ochiuri.
Un element de circuit posed ă un număr specific de borne (accesuri sau
porți) prin care se realizeaz ă legăturile cu alte elemente. Fiecare born ă este
caracterizat ă prin intensitatea curentului absorbit și prin poten țialul electric fa ță de
un punct de referin ță. Diferen ța de poten țial dintre borne se va numi tensiune
electrică între aceste borne. Un element cu n borne se va numi n-pol sau multipol
electric. În particular , un element cu dou ă borne se va numi element dipolar sau
dipol, un element cu trei borne se va numi tripol, iar dac ă are patru accesuri se va
numi cuadripol.
Dou ă borne asociate constituie o poart ă dacă intensitățile curenților sunt
egale și opuse ca sens pentru cele dou ă borne.
Sursa de tensiune și sursa de curent sunt elemente de circuit active, în
sensul că, atunci când func ționează în regim de generator, transmit c ătre exterior
energia electromagnetic ă. Elementele de circuit pasive sunt acelea care primesc
energie din exterior, pe care o transform ă în altă formă (rezistorul, spre exemplu)
sau o acumuleaz ă ca energie electric ă (condensatorul) sau energie magnetic ă
(bobina).
Laturile active ale unei scheme electrice sunt acelea care con țin surse de
tensiune sau de curent, celelalte numindu-se laturi pasive. O parti ție a unei scheme
electrice se nume ște activă, respectiv pasiv ă, atunci când con ține, respectiv nu
conține, laturi active. Dac ă în schema electric ă a unui circuit activ se substituie
sursele de tensiune prin rezisten țele lor interne și sursele de curent prin
conductan țele interne se ob ține schema pasivizat ă a circuitului.
Latura incident ă la un nod al circuitului este latura pentru care acel nod
constituie una dintre extremit ăți.
Se nume ște ochi succesiunea de laturi ce formeaz ă un contur închis
aparținând schemei electrice.
Elementele ideale de circuit sunt obiecte idealizate în sensul c ă
interacțiunea electromagnetic ă cu exteriorul poate fi complet caracterizat ă printr-un

2 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS
sistem de curen ți și un sistem de tensiuni electrice.
Elementele de circuit pentru care rela țiile între tensiuni și curenți sunt
liniare (neliniare) se numesc elemente liniare (neliniare) de circuit. Dac ă relațiile
liniare dintre curen ți și tensiuni con țin coeficien ți variabili în timp, elementele de
circuit sunt parametrice. Un circuit electric liniar con ține doar elemente de circuit
liniare.

1.2. ECUA ȚII FUNDAMENTALE

Problema fundamental ă a calculului unui circuit electric const ă în
determinarea intensit ăților curen ților din cele l laturi ale acestuia. Un sistem de l
ecuații independente, dedicat acestui scop, se poate ob ține cu ajutorul celor dou ă
teoreme ale lui Kirchhoff, considerate ca esen țiale în teoria circuitelor electrice.

1.2.1. Prima teorem ă a lui Kirchhoff

Cu ajutorul legii de conservare a sarcinii electrice, se poate demonstra
prima teorem ă a lui Kirchhoff (teorema nodurilor), conform c ăreia suma algebric ă
a curenților laturilor incidente la un nod este nul ă, când se consider ă cu un semn
curenții care intr ă în nod și cu semn contrar curen ții care ies din nod. Folosind o
numerotare unic ă a laturilor circuitului, prima teorem ă a lui Kirchhoff aplicat ă unui
nod conduce la ecua ția
0
)(=∑
∈pkki , (1.1)
unde s-a utilizat semnul ∈ al relației de „apartenen ță”pentru a sugera c ă suma
algebrică s-a efectuat asupra curen ților laturilor incidente la nodul )(p.
De exemplu, pentru nodul din fig. 1.1.a, prima teorem ă a lui Kirchhoff
conduce la ecua ția
08 5 2 1 =−+− iiii .

Fig. 1.1 )(p
1i 5i
8i 2i
(a) )(o 1u
5u 4u
7u
(b)

1. Circuite electrice liniare 3
În general, pentru un circuit cu n noduri și γ părți separate galvanic se pot
obține
γ−=αn (1.2)
Ecuații independente prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, exprimate
generic în forma
α==∑
∈,1 ,0
)(p i
pkk . (1.3)
În regim sta ționar (acela al circuitelor de c.c.), curen ții laturilor au valori
constante. În regim cvasista ționar (acela al circuitelor de c.a., de exemplu), în
ecuațiile (1.3) intervin valorile instantanee (momentane) ale curen ților laturilor.

1.2.2. A doua teorem ă a lui Kirchhoff

Teorema a doua a lui Kirchhoff (teorema ochiurilor) afirm ă că suma
algebrică a tensiunilor la bornele laturilor unui ochi este nul ă
0
)(=∑
∈ojju . (1.4)
În suma (1.4) tensiunea ju este considerat ă cu semnul ) (+ dacă are acela și
sens ca sensul ales pentru parcurgerea oc hiului; în caz contrar, va intra în sum ă cu
semnul ) (−. Prin simbolul ∈ se sugereaz ă că suma (1.4) se efectueaz ă pentru toate
laturile j ce „apar țin” ochiului ) (o. De exemplu, pentru ochiul din fig. 1.1.b, se
obține
07 5 4 1 =+−− u u uu .
Pentru un circuit cu l laturi, n noduri și γ partiții separate galvanic, se pot
scrie
γ+−= nlm (1.5)
ecuații independente prin aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff, adic ă
m o u
ojj ,1 ,0
)(==∑
∈. (1.6)
Un ansamblu de m ochiuri care cuprinde toate laturile circuitului și pentru
care aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff conduce la m ecuații independente se
numește sistem de ochiuri fundamenta le. Pentru un circuit dat exist ă mai multe
sisteme de ochiuri fundamentale, dar num ărul m al ochiurilor dintr-un astfel de
sistem este acela și, bine determinat. Un ochi fundamental con ține cel pu țin o latură
ce nu apar ține celorlalte ochiuri din sistem.
În regim sta ționar, tensiunile la bornele laturilor au valori constante. În

4 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS
regim cvasista ționar, ecua țiile (1.6) con țin valorile instantanee ale tensiunilor.
Din rela țiile (1.2) și (1.5) rezult ă
l nl nm =γ+−+γ−=+α , (1.7)
concluzia fiind c ă, pentru un circuit electric oarecare, cele dou ă teoreme ale lui
Kirchhoff permit ob ținerea unui num ăr de ecua ții independente egal cu num ărul
curenților necunoscu ți ai laturilor circuitului.

1.3. GRAFUL UNU I CIRCUIT ELECTRIC

Prin graf al unui circuit electric se în țelege reprezentarea geometric ă a
configura ției acestuia, ob ținută prin asocierea câte unui punct (numit nod al
grafului) pentru fiecare nod al circuitului și câte unui arc de curb ă (numit latur ă a
grafului) pentru fiecare latur ă de circuit. Modul în care laturile sunt legate la noduri
este identic pentru circuit și pentru graful asociat.
Dac ă pentru laturile grafului nu sunt pr ecizate sensuri de parcurs, acesta se
numește graf neorientat sau topologic. Dac ă se aleg sensuri arbitrare de parcurs
pentru laturi, se ob ține un graf orientat sau digraf.
Pentru exemplificare, în fig. 1.2 se prezint ă un circuit electric (fig. 1.2.a) și
digraful asociat (fig. 1.2.b).

Subgraful unui graf dat este constituit dintr-o submul țime de laturi și
noduri ale acestuia. Bucla este o curb ă închisă, formată din laturi ale grafului, ce
poate fi parcurs ă respectând sensurile laturilor și trecând o singur ă dată prin fiecare
nod al ei. În graful din fig. 1.2.b, de exemplu, laturile {1, 4, 2}, {5, 7, 2}, {2, 5, 6,
4} formeaz ă bucle.
Arborele unui graf este un subgraf f ără bucle care con ține toate nodurile Fig. 1.2 ab c
d 1
4 3 26 5
7 a b c
d 1
43 2 6 5
7
(a) (b)

1. Circuite electrice liniare 5
grafului unite prin laturi care se numesc ramuri. Laturile grafului care nu apar țin
arborelui se numesc coarde, ansamblul lor alc ătuind coarborele. De exemplu, dac ă
pentru graful din fig. 1.2.b se alege arborele format din laturile {5, 6, 7}, atunci
mulțimea laturilor {1, 2, 3, 4}, ce nu apar țin coarborelui, formeaz ă coarborele.
Împărțirea laturilor în ramuri și coarde nu este unic ă, în general existând mai mul ți
arbori pentru un graf dat. Oricare ar fi arborele ales, num ărul ramurilor va fi
α=γ−=nr și, în consecin ță, coarborele va fi alc ătuit din γ+−= nlc coarde.
Num ărul m al ochiurilor fundamentale ale unui circuit electric este egal cu
numărul coardelor din graful asociat acestuia. As tfel, pentru circuitu l din fig. 1.2.a,
având 4 ,7==n l și 1=γ , rezultă 4147=+−=γ+−= nlm . Graful din fig.
1.2.b, asociat circuitului anterior men ționat, are num ărul ramurilor α==3r și
numărul coardelor 4 37=−=−= rlc .
Grafurile orientate pot fi utilizate pentru scrierea sistematic ă a ecuațiilor lui
Kirchhoff, eventual în form ă matriceal ă, având ca scop calculul curen ților laturilor
unui circuit electric. Este recomandabil ă parcurgerea urm ătoarelor etape:
1) Se identific ă l, n și γ pentru circuitul dat;
2) Se calculeaz ă r=α , din relația (1.2), apoi cm=, din relația (1.5);
3) Se traseaz ă digraful asociat circuitului, alegând sensuri arbitrare pentru
laturile sale;
4) Se alege un arbore al grafului , rezultând implicit coarborele;
5) Se aleg ochiurile fundamental e, astfel încât fiecare s ă conțină o singură
coardă, al cărei sens va impune sensul de parcurs al ochiului;
6) Se scrie prima teorem ă a lui Kirchhoff pentru α noduri ale circuitului,
sensurile curen ților laturilor fiind identice cu sensurile laturilor
corespondente din digraf;
7) Se scrie a doua teorem ă a lui Kirchhoff în fiecare din cele m ochiuri
fundamentale, sensul tensiunilor la bornele laturilor circuitului fiind
considerat identic cu sensul laturilor corespondente din digraf.
Sistemul astfel ob ținut are un num ăr de ecua ții independente egal cu
numărul l al laturilor circuitului, deci al curen ților ce urmeaz ă a fi calcula ți.

1.4. CALCULUL CIRCUITELOR DE C.C.

Circuitele de c.c. sunt acelea în care toate tensiunile electrice, poten țialele
și curenții au valori invariabile în timp.
Exist ă mai multe metode de calcul al circuitelor de c.c., bazate, pân ă la
urmă, pe cele dou ă teoreme ale lui Kirchhoff. Cele mai importante metode sunt:
a) Metoda teoremelor lui Kirchhoff;
b) Metoda superpozi ției;
c) Metoda schemelor echivalente;
d) Metoda poten țialelor nodurilor;
e) Metoda curen ților de ochiuri.

6 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS
Succinte explica ții și exemple de aplicare a acestor metode sunt oferite în
cele ce urmeaz ă.

1.4.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Cele l ecuații independente, folosite pentru calculul curen ților laturilor unui
circuit dat (cu l laturi, n noduri și γ părți separate galv anic), se ob țin astfel:
► α ecuații cu prima teorem ă a lui Kirchhoff, conform (1.2) și (1.3),
► m ecuații cu a doua teorem ă a lui Kirchhoff, conform (1.5) și (1.6).
În scrierea sistematic ă a ecua țiilor, este recomandabil ă parcurgerea
etapelor (1 – 7) prezentate în §1.3.
Întrucât toate elementele unui circuit liniar au caracteris tici tensiune-curent
liniare, sistemul ecua țiilor lui Kirchhoff va fi algebric, liniar, cu coeficien ți
constanți (numere reale). În consecin ță, soluția acestui sistem va fi unic ă, deci se
obțin valori unice pentru curen ții laturilor.
Se va exemplifica metoda prin calculul curen ților laturilor pentru circuitul
din fig. 1.3.a, în care se cunosc t.e.m. 1E și 3E ale surselor de tensiune și
rezistențele 4 3 2 1 ,,, RRRR . Deoarece 2 ,3==n l și 1=γ , rezultă
.2123,112
=+−=γ+−==−=γ−=α
nlmn
Digraful asociat acestui circuit este reprezentat în fig. 1.3.b, latura 3
constituind arborele, iar laturile 1 și 2 fiind coarde.

Ținând seama de sensurile marcate pe fig. 1.3.a, aplicarea teoremelor lui
Kirchhoff conduce la sistemul de ecua ții
.,,0
3 34 33 223 1 34 33 113 2 1
E IRIRIRE E IRIRIRIII
=+++=++=−+
Fig. 1.3 2R 3R
4R 1R
3I 2I 1I
I II
1E 3E
1 2 3
(a) (b)

1. Circuite electrice liniare 7
Pentru valori cunoscute ale t.e.m. și rezistențelor
, 150 ;24.0 ;68 ;12.0 ;12.0 V;3 V;54 3 2 1 1 3 1 Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=== R R R R R E E
sistemul de ecua ții algebrice liniare cap ătă forma:
.3 24.150 68,8 24.150 12.0,0
3 23 13 2 1
= += +=−+
I II IIII

Ca solu ții unice ale sistemului de ecua ții, se obțin curenții laturilor:
.A 0533.0 A, 1270.0 A, 0737.03 2 1 = = −= I I I
Semnul „–” pentru valoarea curentului 1I indică faptul că sensul acestuia
este invers fa ță de cel adoptat, în mod ar bitrar, pentru scrierea ecua țiilor.
Validarea rezultatelor ob ținute se poate realiza prin efectuarea bilan țului
puterilor în circuit, adic ă prin verificarea egalit ății
2
342
332
222
11 33 11 IR IR IR IR IEIE +++=+ ,
pentru valorile calculate ale curen ților laturilor.

1.4.2. Metoda superpozi ției

Principiul superpozi ției sau „principiul suprapuner ii efectelor” este general
valabil în medii liniare. În particular, în cazul circuitelor electrice liniare, acest
principiu se concretizeaz ă în teorema superpozi ției. Conform acesteia, intensitatea
curentului electric din orice latur ă a unui circuit liniar este suma algebric ă a
intensităților curen ților pe care i-ar pr oduce în acea latur ă fiecare dintre surse
acționând singur ă, celelalte surse fiind pasivizate.
Pentru intensitatea jI a curentului din latura j rezultă deci
∑
==l
pjp j I I
1, (1.8)
unde jpI este curentul produs în latura j de sursa aflat ă în latura p, atunci când
toate celelalte surse din circuit au fost pasivizate.
Ca exemplu, se vor calcula prin metoda superpozi ției curenții din laturile
circuitului reprezentat în fig. 1.4.a.
Pasivizarea sursei 3E conduce la schema din fig. 1.4.b, iar prin pasivizarea
sursei 1E se obține schema de calcul din fig. 1.4.c.
Aplicarea metodei superpozi ției conduce la urm ătoarele rezultate:

8 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS
13 11 1 I II+= , unde
3 2 11
11||R R REI+= și
2 12
2 1 33
13|| R RR
RR REI+⋅+−= ,
23 21 2 I I I+= , unde
3 23
3 2 11
21|| R RR
R R REI+⋅+= și
2 11
2 1 33
23|| R RR
RR REI+⋅+= ,
33 31 3 I I I+= , unde
3 22
3 2 11
31|| R RR
R R REI+⋅+−= și
2 1 33
33||RR REI+= .

Metoda superpozi ției nu este recomandat ă de practic ă în cazul circuitelor
cu număr relativ mare de laturi și noduri, din cauza volumului de calcul implicat.
Este eficient ă atunci când, pentru un circuit dat, nu intereseaz ă curenții tuturor
laturilor, ci doar curentul într-o latur ă a acestuia.
Pentru exemplificare, se va calcula curentul
4I al circuitului din fig. 1.5
folosind metoda superpozi ției.

Rezultă:
45 44 41 4 I I I I ++= ,
unde Fig. 1.4 (a) (b) (c) 1I
3E 2R 3R 1R
2R 3R 1R
2R 3R 1R 2I 3I 11I
21I 31I 13I
23I 33I
1E 3E 1E
Fig. 1.5 2R
5R 4R 1R 4I
1E 4E
5E 3R

1. Circuite electrice liniare 9
()()4 33
4 3 5 22
4 3 5 2 11
41|| || || R RR
RR R RR
RR R R REI+⋅++⋅+ +−= ,
()2 1 5 3 44
44|| || RR R R REI+ +−= ,
4 33
4 3 2 1 55
45|| || R RR
RR RR REI+⋅++= .
Principiul superpozi ției stă la baza unor metode de calcul în medii liniare,
în particular al metodei curen ților de ochiuri aplicabil ă în circuite electrice liniare.

1.4.3. Metoda generatorului echivalent

Un circuit dipolar liniar ac tiv (fig. 1.6.a) admite dou ă scheme echivalente:
a) schema generatorului de tens iune echivalent (fig. 1.6.b);
b) schema generatorului de curent echivalent (fig. 1.6.c).

Latura pasiv ă conectată la bornele (A, B) ale dipolului activ se consider ă
de rezisten ță R și conductan ță
G.
Pentru schema echivalent ă din fig. 1.6.b, rezult ă (teorema Thévenin-
Helmholtz)
00
ABAB
ABRRU
I+= , (1.9)
unde 0ABU este tensiunea de mers în gol la bornele (A,B), iar 0ABR este rezisten ța
internă a circuitului pasivizat.
Pentru schema echivalent ă din fig. 1.6.c, rezult ă (teorema lui Norton)
0ABsAB
ABGGIU+= , (1.10) Fig. 1.6
Linear
active
circuit R ABU ABI
B A
(a) 0ABR
R ABU ABI
BA
0ABU 0ABG
G
ABU ABI
B A
ABsI
(b) (c)

10 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS
unde sABI este curentul de scurtcircuit al dipolului activ, iar 0ABG este
conductan ța internă a dipolului pasivizat.
Metoda bazat ă pe formulele (1.9), respectiv (1.10), permite calculul rapid
al curentului, respectiv tensiunii la borne, pentru o latur ă oarecare a unui circuit
liniar. Ca exemplu, se va calcula curentul 2I pentru schema electric ă din fig. 1.4.a
folosind formula (1.9) adaptat ă:
00
22
ABAB
R RU
I+= .
Schema auxiliar ă din fig. 1.7.a permite calculul tensiunii de mers în gol:
3 113 31
3 13 1
1 1 1 1 0R RRE RE
R RE ER EIR E UAB++=+−⋅−=−= .

Pasivizarea dipolului activ conduce la schema auxiliar ă din fig. 1.7.b, din
care rezult ă
3 131
0R RRRRAB+= .
Substituind 0ABU și 0ABR în expresia ob ținută pentru 2I, prin
particularizarea rela ției (1.9), se ob ține
13 32 2113 31
2RR RR RRRE REI+++= .
Pentru re țele pasive simple, folosind doar teoremele lui Kirchhoff și relația
(1.9), se poate efectua calculul rezisten ței echivalente în raport cu dou ă borne, fără
a efectua transfigur ări.
De exemplu, pentru re țeaua pasiv ă din fig. 1.8, cu bornele (A, B), se poate
calcula curentul I debitat de o ipotetic ă sursă de tensiune (reprezentat ă cu linie
întreruptă), utilizând în acest scop ecua țiile lui Kirchhoff. Se ob ține Fig. 1.7 3R 1R
1E I
B A
0ABU
3E 3R 1R
BA
(a) (b)

1. Circuite electrice liniare 11
rREI
+=
1619,
rezultat care, interpretat și comparat cu rela ția (1.9) ofer ă rezistența echivalent ă
căutată
R RAB1619= .

Metoda generato rului echivalent este eficient ă în calcule privind erorile de
măsurare și în determinarea condi țiilor în care aceste erori se încadreaz ă în limite
acceptabile. Spre exemplificare, se consider ă schema din fig. 1.9, în care tensiunea
4U trebuie m ăsurată cu voltmetrul V, astfel încât
%5'1'
44
44 4
44≤−=−=Δ
UU
UU U
UU,
unde '4U este tensiunea indicat ă de voltmetrul cu rezisten ța internă VR.
Intereseaz ă ce valoare limiteaz ă inferior rezisten ța VR, astfel încât m ăsurarea să
poată fi efectuat ă cu precizia impus ă, dacă Ω=3.01R , Ω=7.02R și Ω=5.03R .

Fig. 1.8 R
R R
R2 R2
A BI
r E
Fig. 1.9 VR 1R
1E '4U V 3R 3E
2R
4R A
B4U

12 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS
În lipsa voltmetrului, schema electric ă se poate reprezenta compact ca în
fig. 1.10.a, iar în prezen ța acestuia se ob ține schema compact ă din fig. 1.10.b.

Rela ția (1.9), aplicat ă pentru schema din fig. 1.10.a, conduce la
0 440
4
ABR RUI+= , cu 3
2 121
0RR RRRRAB ++= ,
de unde
0 440
4 1
ABR RUR U+⋅= .
Aceea și relație, aplicat ă în schema din fig. 1.10.b, conduce la
0||''
440
4
AB VR R RUI+= ,
de unde
()
() ()V AB VV
V AB VV
VV
R R R RRURR
R R R RRR R U
R RRRU+ +=+ ++⋅+=
4 440 4
4 44 40
44
4
0 0'',
Rezult ă că raportul ce intereseaz ă, adică
00
44 44'
ABAB
VV
R RRR
RR
UU
++= ,
nu depinde de t.e.m. ale surselor prezente în circuit. Respectarea preciziei de
măsurare impus ă se realizeaz ă dacă Fig. 1.10 Linear active
circuit
3 2 13 1
,,,
RRREE
4R
4U 4I
BA
(a) (b) Linear active
circuit
3 2 13 1
,,,
RRREE
4R
'4U '4I
BA
VR

1. Circuite electrice liniare 13
10095'
44≥UU, adică 95.0
00
44≥
++
ABAB
VV
R RRR
RR,
de unde rezult ă condiția
00
4419
ABAB
VR RRR
R+≥ .
Cu datele numerice cunoscute ale schemei electrice, se ob ține condiția
Ω≥ 42.13VR ,
necesară pentru ca tensiunea 4U să poată fi măsurată cu eroare de sub %5,
condiție îndeplinit ă de voltmetrele analogice, a c ăror rezisten ță internă este de Ωk
până la ΩM.

1.4.4. Metoda poten țialelor nodurilor

Metoda teoremelor lui Kirchhoff conduce la un sistem de l ecuații
independente, în care necunoscutele sunt curen ții celor l laturi ale circuitului.
Pentru circuite cu num ăr mare de laturi, volumul de calcul implicat de rezolvarea
acestui sistem este important, a șa încât se apeleaz ă la metode ce conduc la un
număr semnificativ mai mic de ecua ții: metoda poten țialelor nodurilor și metoda
curenților ochiurilor.
Astfel, metoda poten țialelor nodurilor, cunoscut ă și ca „metoda analizei
nodale”, conduce la α ecuații independente, adic ă la atâtea câte s-ar ob ține prin
aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Întrucât l<α , oricare ar fi circuitul
analizat, rezult ă o reducere a efortului de calcul, de cele mai multe ori
semnificativ ă.
Metoda prezentat ă în acest paragraf apeleaz ă la un set de necunoscute
auxiliare: poten țialele nodurilor circuitului, considerate în raport cu un nod de
referință (al cărui potențial se consider ă nul). Pentru o latur ă oarecare a circuitului,
curentul se poate exprima în func ție de poten țialele bornelor sale. Astfel, pentru
latura activ ă reprezentat ă în fig. 1.11, curentul kI depinde de poten țialele jV și kV
ale bornelor laturii conform rela ției
()jk k j
kk E V VRI +=⋅=1, (1.11)
în care intervin rezisten ța totală kR a laturii și t.e.m. jkE a sursei prezente în
respectiva latur ă.

14 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

Dac ă se substituie curen ții, exprima ți în forma (1.11), în ecua țiile (1.3)
obținute prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, se ob ține un sistem de
α
ecuații independente, prin rezolvarea c ăruia rezult ă cele α potențiale ale nodurilor,
considerate ca necunoscute auxiliare în cadrul metodei.
Curentul fiec ărei laturi se calculeaz ă apoi cu ajutorul rela ției (1.11), în care
jkE are sensul marcat prin succesiunea indicilor inferiori (de la nodul j către nodul
k).
Pentru a exemplifica aplicarea metodei, se consider ă schema electric ă din
fig. 1.12, în care V61=E , V122=E , V93=E , Ω=101R , Ω=302R ,
Ω=203R , Ω=404R , Ω=55R și Ω=156R .

Conform rela ției (1.11), rezult ă
()1 1
111E VRI +−⋅= , ()2 1
221E VRI +−⋅= , ()3 3 2
331E V VRI +−⋅= ,
()3 2
441V VRI −⋅= , 3
551VRI⋅= , ()2 1
661VVRI −⋅= .
Aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, în cele trei noduri cu poten țial
nenul, conduce la ecua țiile independente
06 2 1 =−+ III , 04 3 6 =−− III , 05 4 3 =−+ III .
Dacă, în aceste ecua ții, fiecare curent este exprimat în func ție de Fig. 1.11 kR jkE
kI
kV
jV
)(j )(k
Fig. 1.12 2R
5R 4R
1R 1I
1E
5I 6R 6I
4I
3E
3R 3I
2E 2I 1V 2V
3V 0=V

1. Circuite electrice liniare 15
potențialele nodurilor, se ob ține sistemul ce are ca solu ții aceste poten țiale:
() () ()
() () ()
() () .01 1 1,01 1 101 1 1
3
53 2
43 3 2
33 2
43 3 2
32 1
62 1
62 1
21 1
1
=⋅−−⋅++−⋅=−⋅−+−⋅−−⋅=−⋅−+−⋅++−⋅
VRV VRE V VRV VRE V VRVVRVVRE VRE VR

Cu valorile numerice precizate pentru parametrii elementelor de circuit,
prin rezolvarea sistemului se ob țin valorile numerice
V02.51=V , V 061.02=V , V 653.13=V .
Relațiile scrise conform (1.11) pe rmit calculul facil al curen ților laturilor,
pentru care se ob țin valorile:
.A 3306.0 ,A 3306.0 ,A 0398.0,A 3704.0 ,A 2326.0 ,A098.0
6 5 43 2 1
= = −== = =
I I II I I
De remarcat c ă a fost necesar ă rezolvarea unui sistem de numai 3 ecua ții,
pe când aplicarea metodei teoremelor lui Kirchhoff ar fi condus la un sistem de 6
ecuații. În plus, metoda nodal ă dispune de proceduri prin care se pot scrie direct
ecuațiile satisf ăcute de poten țialele nodurilor, urmare a unei simple inspec ții
vizuale sau a folosirii unei aplica ții software dedicate.

1.4.5. Metoda curen ților de ochiuri

Bazată pe principiul superpozi ției, aceast ă metodă conduce la un sistem de
m ecuații independente, câte una pentru fiecare ochi fundamental al circuitului
analizat. Necunoscutele acestui sistem sunt reprezentate de un set de curen ți fictivi
ce se închid prin laturile ochiurilor fundamentale, numi ți curenți de ochiuri (de
contur, ciclici), câte unul pentru fie care dintre aceste ochiuri. Condi ția esențială
este ca, pentru fiecare latur ă, curentul real s ă fie suma algebric ă a curenților de
ochiuri care trec prin acea latur ă.
Metoda se va prezenta cu ajut orul unui exemplu ce utilizeaz ă schema
electrică din fig. 1.13, cu 6 =l laturi, 4 =n noduri, 1 =γ și, în consecin ță,
3=γ+−= nlm .
Se consider ă că prin laturile {1, 2} ale primului ochi circul ă curentul fictiv
1mI, prin laturile {2, 6, 3, 5} ale celui de al doilea ochi circul ă curentul de ochi
2mI, iar prin laturile {3, 4} ale celui de al treilea ochi fundamental circul ă curentul
3mI. Sensurile curen ților de ochiuri se pot alege arbitrar.
Curentul fiec ărei laturi rezult ă prin superpozi ția curenților de ochiuri ce

16 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS
trec prin acea latur ă:
1 1 mII= , 2 1 2 m mI I I+−= , 3 2 3 m m I I I−= , 3 4 mI I= , 2 5 mI I= , 2 6 mI I= .

Adoptând sensurile curen ților ciclici ca sensuri de parcurs pentru scrierea
teoremei a doua a lui Kirchhoff, se ob țin ecuațiile:
.,,
3 44 333 2 55 33 66 222 1 22 11
E IRIRE E IRIRIRIRE E IRIR
−=+−+=+++−=−

Substituind curen ții laturilor cu expresiile lor în func ție de curen ții
ochiurilor, se ob ține sistemul de ecua ții
()
() ( )
() ,,,
3 3 4 3 2 33 2 2 5 3 2 3 2 6 2 1 22 1 2 1 2 1 1
E IR I IRE E IR I IR IR I I RE E I I R IR
m m mm m m m m mm m m
−=+−−+=+−+++−−=+−−

care, ordonat dup ă curenții fictivi ai ochiurilor fundamentale, devine
()
()
() .,,
3 4 3 3 323 2 33 6 5 3 2 2 112 1 22 2 1 1
E R RI RIE E RI R R R RI RIE E RI R RI
m mm m mm m
−=++ −+= −++++ −−= −+

O analiz ă simplă a formei coeficien ților acestui sistem conduce la concluzii
ce permit scrierea direct ă a ecuațiilor sale, urmare a unei inspec ții vizuale a
schemei electrice, ceea ce spore ște eficiența metodei.
Considerând acelea și valori ale parametrilor schemei ca și pentru aceea din
fig. 1.12, rezolvarea sistemului de ecua ții anterior conduce la solu ția
.A 0398.0 ,A 3306.0 ,A098.03 2 1 −= = =m m m I I I Fig. 1.13 2R
5R 4R
1R 1I
1E
5I 6R 6I
4I
3E
3R 3I
2E 2I
2mI
1mI 3mI

1. Circuite electrice liniare 17
Calculul curen ților laturilor prin superpozi ția curenților de contur conduce
la valorile ob ținute în aplica ția din §1.4.4, schema electric ă aleasă pentru
exemplificare fiind aceea și.
Metoda curen ților de ochiuri presupune rezolvarea unui sistem algebric cu
atâtea ecua ții câte s-ar ob ține cu teorema a doua a lui Kirchhoff, adic ă lm<.

1.5. CALCULUL CI RCUITELOR ÎN REGIM
VARIABIL

Circuitele electrice de curent variabil în timp prezint ă o importan ță majoră
pentru aplica țiile tehnice, cele mai im portante regimuri de studiu al acestora fiind:
a) Regimul tranzitoriu, în care valorile instantanee ale curen ților și
tensiunilor sunt func ții oarecare de timp;
b) Regimul sinusoidal, în care toate m ărimile ce descriu func ționarea
circuitului au varia ții sinusoidale în timp;
c) regimul periodic nesinusoidal, în care tensiunile și curenții prezintă o
variație periodic ă oarecare în timp.
Studiul circuitelor în aceste regimuri de func ționare se poate face
sistematic, cu metode relativ simple și eficiente, dac ă sunt întrunite urm ătoarele
condiții:
– intensitatea curentului este uniform repartizat ă pe secțiunea transversal ă a
conductoarelor;
– variația în timp a curen ților și tensiunilor este suficient de lent ă pentru ca
peste tot, cu excep ția dielectricului dintre arm ăturile condensatoarelor, s ă poată fi
neglijat curentul de depl asare (caracterul cvasista ționar al regimului de varia ție în
timp);
– dielectricul din jurul conductoarelor ce alc ătuiesc circuitul s ă fie perfect
izolant.
În cazul circuitelor electrice liniare func ționând în regim variabil, aplicarea
teoremelor lui Kirchhoff conduce la un sistem de ecua ții integro-diferen țiale
liniare, cu coeficien ți constanți, în care necunoscutele sunt valorile instantanee ale
curenților laturilor. Calculul acestor curen ți constituie o „Problem ă în domeniul
timp”, la a c ărei soluție se poate ajunge, în general, pe dou ă căi:
a) Rezolvarea direct ă, în domeniul timp;
b) Rezolvarea în domeniul imaginilor, la care se ajunge printr-o
transformare func țională, apoi revenirea în domeniul timp printr-o transformare
funcțională inversă celei inițiale (metode opera ționale).
Cele dou ă strategii de abordare a calculului circuitelor liniare în regim
variabil sunt prezentate schematic în fig. 1.14. Se poate observa c ă rezolvarea în
domeniul timp este direct ă, dar presupune dificultatea rezolv ării ecuațiilor integro-
diferențiale fără a apela la operatori matematici. Rezolvarea în domeniul imaginilor
necesită două transform ări funcționale, una direct ă și alta invers ă, dar are avantajul
că ecuațiile rezolvate sunt algebri ce, liniare, cu coeficien ți constanți.

18 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

Complexitatea circuitului, regimul de studiu și experien ța celui care
efectueaz ă analiza sunt factorii determinan ți în alegerea uneia dintre cele dou ă
strategii.
1.5.1. Metoda integr ării directe

M ărimile de stare ale circuitelor linia re cu parametri invariabili satisfac
ecuații diferențiale liniare cu coeficien ți constanți.
În regim tranzitoriu, valorile instantanee ale acestor m ărimi au o
component ă liberă – soluție general ă a ecuației omogene – și o component ă de
regim for țat – soluție particular ă a ecuației neomogene. Constantele arbitrare ce
apar în forma general ă a componentei libere se calculeaz ă cu ajutorul condi țiilor
inițiale ale circuitului, deduse din continuitatea fluxurilor totale ale bobinelor și a
sarcinilor condensatoarelor. În regim permanent, care coincide cu regimul for țat pentru circuitele
uzuale alimentate cu tensiu ni constante sau periodice, valorile instantanee ale
mărimilor se determin ă substituind în ecua țiile neomogene solu ții particulare de
aceeași formă cu termenii liberi.
Se va exemplifica aplicarea metodei integr ării directe a ecua țiilor, apelând
la schema electric ă din fig. 1.15, în care ini țial condensatorul nu este înc ărcat și
contactul k se află în poziția median ă (între pozi țiile 1 și 2). Circuitul se afl ă în
stare de repaus, cu condi
țiile inițiale
0 )(0==tti și 0 )(0==t Ctu . (1.12)
Time domain
problem Time domain
solution Solving in the time domain
(Integro-differential equations)
Direct
functional
transform
Image
domain
problem Image
domain
solution Solving in the image
domain
(Algebraic equations) Inverse
functional
transform
Fig. 1.14

1. Circuite electrice liniare 19

Închiderea contactului
k în poziția 1, la momentul 0 =t , cuplează sursa cu
t.e.m. ) (te la bornele circuitului serie RLC, declanșându-se astfel un regim
tranzitoriu. Intereseaz ă evoluția valorilor instantanee ) (ti, )(tuC, )(tuR și )(tuL
pe parcursul acestui regim variabil.
Aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff conduce la ecua ția
0=+++e C L R u u u u , (1.13)
care, ținând seama de rela țiile caracteristice elementelor de circuit
)( ,dd,dd, te utuCitiL uiR ueC
L R = ==+ , (1.14)
capătă forma
)(dd2
dd2
02
0 22
te utu
tu
CC Cω=ω+α+ , (1.15)
în care
LR
2=α și
LC1
0=ω . (1.16)
Solu ția de regim tranzitoriu )(tuC are forma
)( )( )( t ututufC lC C += , (1.17)
unde componenta liber ă )(tulC este soluția general ă a ecuației omogene
0dd2
dd2
0 22
=ω+α+CC Cutu
tu, (1.18)
iar componenta for țată este o solu ție particular ă a ecuației neomogene (1.15).
R ădăcinile ecua ției caracteristice
0 22
02=ω+α+ r r (1.19) Fig. 1.15 )(te R L C
k 1
Ru Lu Cu
eu 2i

20 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS
sunt
β±α−=ω+α±α−=2
02
2,1r . (1.20)
În func ție de natura acestor r ădăcini, se disting trei cazuri c ărora le
corespund expresii distincte ale componentei libere:
a) 0ω>α , deci CLR2> , caz în care
( )t t t
lC eA eA etuβ− β α−+⋅=2 1 )( , (1.21)
cu 1A și 2A constante;
b) 0ω=α , deci CLR2= , caz în care
()t
lC etBA tuα−+=)( , (1.22)
cu A și B constante;
c) 0ω<α , deci CLR2< , caz în care
()Ψ−ω⋅=α−t eKtut
lC 1 cos )( , (1.23)
cu K și Ψ constante, pulsa ția oscilațiilor fiind
22
2 2
0 141
LR
LC−=α−ω=ω . (1.24)
Componenta for țată ) (t ufC depinde esen țial de mărimea de excita ție )(te.
Vor fi prezentate dou ă cazuri frecvent întâlnite în practic ă: cazul în care sursa
asigură o tensiune constant ă la borne și cazul în care sursa ofer ă o tensiune
sinusoidal ă la bornele sale.
Cazul A: T.e.m. a sursei are valoarea constant ă 0E, caz în care rezult ă
0 )( Et ufC= , (1.25)
ca soluție particular ă a ecuației (1.15).
Solu ția de regim tranzitoriu se determin ă distinct, cu rela ția (1.17), pentru
fiecare tip de regim liber, dup ă cum urmeaz ă.
a) Ținând seama de (1.21), rezult ă
( )t t t
C eA eA e Etuβ− β α−+⋅+=2 1 0 )( . (1.26)
Cu ajutorul condi țiilor inițiale 0 )0(=Cu și 0 )0(=i (sau 0dd=tuC la

1. Circuite electrice liniare 21
momentul 0=t ), se pot calcula constantele
()β+α⋅β−=20
1EA și ()β+α−⋅β−=20
2EA ,
a căror substituire în expresia (1.26) conduce la
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛ββα+β⋅−=α−t t e Etut
C sinh cosh 1 )(0 . (1.27)
Folosind rela țiile (1.14), se ob țin
. sinh cosh )(, sinh )(, sinh )(
000
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛ββα−β =ββ=ββ=
α−α−α−
t t eEtut eLREtut eLEti
t
Lt
Rt
. (1.28)
b) Ținând seama de expresia (1.22) a componentei libere, rezult ă:
()t
C etBA Etuα−++=0 )( . (1.29)
Cu acelea și condiții inițiale, rezult ă 0E A−= și 0E Bα−= . În consecin ță,
din expresia (1.29), se ob ține
()[ ]t
C et Etuα−α+−= 11 )(0 , (1.30)
apoi, cu rela țiile (1.14), rezult ă
() . 1 )(, )(, )(
000
t
Lt
Rt
et EtuetLREtuetLEti
α−α−α−
α−===
. (1.31)
c) Ținând seama de expresia (1.23) a componentei libere, rezult ă
()Ψ−ω⋅+=α−t eK Etut
C 1 0 cos )( , (1.32)
Utilizând condi țiile inițiale ale circuitului, se determin ă constantele de
integrare
10
0ωω=EK și
1arctanωα=Ψ ,

22 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS
care se substituie apoi în expresia (1.32), ob ținându-se în final
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛ωωα+ω⋅−=α−t t e Etut
C 1
11 0 sin cos 1 )( . (1.33)
Cu rela țiile (1.14) se ob țin valorile instantanee ale celorlalte m ărimi care
intereseaz ă
. sin cos )(, sin )(, sin )(
1 1 01
101
10
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ωωα−ω =ωω=ωω=
α−α−α−
t t eEtut eLREtut eLEti
t
Lt
Rt
(1.34)
Se poate observa c ă, în toate cele trei cazuri (a, b, c) se ob țin valorile de
regim permanent
,0)(lim, )( lim0
=== =
∞→∞→
ti iEtu u
tpCtpC

care confirm ă anularea curentului atunci când înc ărcarea condensatorului s-a
încheiat.
Dac ă, odată atins regimul permanent, se comut ă întreruptorul k din poziția
1 în poziția 2, se va declan șa un nou regim tranzitoriu. Alegând acest moment ca
origine a timpului, condi țiile inițiale ale noului regim tranzitoriu vor fi: 0 )0( E uC=
și 0)0(=i . Integrarea ecua ției care modeleaz ă acest regim tranzitoriu
0 d1
dd=++∫tiCtiL Ri (1.35)
are ca rezultat ) (ti, același ca în precedentul regim analizat (pe parcursul c ăruia
condensatorul s-a înc ărcat), dar cu semn schimbat. O evolu ție similar ă prezintă și
tensiunile ) (,)(,)( tututuL R C .
Cazul B: T.e.m. a sursei este sinusoidal ă, de forma ) sin( )( Ψ+ω= t Etem ,
caz în care solu ția particular ă a ecuației (1.15) se caut ă de forma
( )C Cm fC t Ut u ϕ−γ+ω = sin )( , (1.36)
care reprezint ă componenta for țată a soluției de regim tranzitoriu ) (tuC.
Impunând ca ) (t ufC , de forma (1.36), s ă verifice identic ecua ția (1.15)
pentru orice moment t, rezultă amplitudinea CmU și defazajul Cϕ al componentei
forțate:

1. Circuite electrice liniare 23
21
arctan ,
12
2π−ω−ω
=ϕ
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω+ω=RCL
CL RCEUCm
Cm , (1.37)
această component ă fiind astfel complet determinat ă.
Regimul liber al circuitului fiind acela și, independent de ) (te, pentru
cazurile distincte tratate anterior rezult ă:
a) Cazul în care CLR2> :
() ( )t t t
C Cm C eA eA e t Utuβ− βα−+ +ϕ−γ+ω =2 1 sin )( ; (1.38)
b) Cazul în care CLR2= :
( )()t
C Cm C etBA t Utuα−++ϕ−γ+ω = sin )( ; (1.39)
c) Cazul în care CLR2< :
( ) ()Ψ−ω +ϕ−γ+ω =α−t eK t Utut
C Cm C 1 cos sin )( . (1.40)
Utilizând condi țiile inițiale ale circuitului, se determin ă constantele de
integrare KBAAA ,,,,2 1 și Ψ, sau doar acelea impuse de cazul concret analizat.
Cunoscând ) (tuC, se pot determina imediat, cu rela țiile simple (1.14),
valorile instantanee ) ( ),( tutiR și )(tuL.
Pentru regimul permanent la care se ajunge, în urma derul ării regimului
tranzitoriu, se ob ține
⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
ω−ω
−Ψ+ω⋅
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
ω−ω+==∞→ RCL
t
CL REti tim
tp1
arctan sin
1)(lim)(
2
2.

1.5.2. Metoda simbolic ă

Circuitele electrice func ționând în regim sinusoidal prezint ă o importan ță
deosebită în aplicațiile tehnice privind producerea, transportul și utilizarea energiei
electromagnetice. Într-un astfel de ci rcuit, valorile instantanee ale curen ților și
tensiunilor sunt toate sinusoidale, de aceea și frecvență.

24 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS
Modelarea în domeniul timp a circui telor liniare conduce la sisteme de
ecuații integro-diferen țiale liniare cu coeficien ți constan ți, în care necunoscutele
sunt de obicei valorile instantanee sinusoidale ale curen ților laturilor. Rezolvarea
acestor sisteme se poate face, simplu și eficace, utilizând metoda simbolic ă –
metodă ce transform ă ecuațiile integro-diferen țiale în ecua ții algebrice liniare.
Metoda simbolic ă se bazeaz ă pe reprezentarea în complex a m ărimilor
sinusoidale, care asociaz ă fiecărei mărimi sinusoidale )(ti o imagine în complex
unică I, prin rela ția de coresponden ță biunivoc ă
()γ=↔γ+ω =jeII t Iti sin2 )( , (1.41)
unde 1−=j . Reprezentarea în complex (simplificat) este liniar ă și are avantajul
că asociază operației de derivare, respectiv de integrare, opera ția algebric ă de
înmulțire, respectiv de împ ărțire cu num ărul imaginar ωj.
Rezolvarea sistemului de ecua ții algebrice liniare satisf ăcut de imaginile
complexe ale m ărimilor c ăutate, urmat ă de revenirea în domeniul timp prin
reprezentarea invers ă (din complex în sinusoidal), ofer ă valorile instantanee ale
mărimilor care intereseaz ă în funcționarea circuitului.
De exemplu, pentru schema electric ă din fig. 1.16.a, în care
()γ+ω = t E te sin2 )( , aplicarea teoremelor lui Kirchhoff în valori instantanee
conduce la sistemul de ecua ții:
,0dd
dd
dd
dd,)(dd
dd,0
2 1
11 2
2 22 1
12 1
=−−++=+=−−
tiMtiLtiMtiL RitetiMtiLiii
(1.42)
care corespunde sensurilor precizate pe figur ă și notației cu M a inductivit ății de
cuplaj mutual (existent între cele dou ă bobine).

Fig. 1.16
)(te R
1L 2L )(ti
M
∗ ∗ )(1ti )(2ti
1m 2m
(a) E R
1Ljω 2Ljω I
Mjω
∗ ∗1I 2I
1m 2m
(b)

1. Circuite electrice liniare 25
Reprezentarea în complex a m ărimilor sinusoidale transform ă sistemul de
ecuații diferen țiale liniare (1.42) într-un sistem de ecua ții algebrice liniare,
satisfăcut de imaginile complexe ale curen ților laturilor:
.0,,0
2 11 1 22 22 112 1
=ω−ω−ω+ω+=ω+ω=−−
IMj ILj IMj ILj IRE IMj ILjIII
(1.43)
Acestui sistem de ecua ții i se poate asocia schema electric ă „în complex”
din fig. 1.16.b.
Sistemul (1.43) ofer ă ca soluții imaginile complexe ale curen ților laturilor.
De exemplu, pentru curentul din latura 2 se ob ține
()2
21 11
2M LLjRLL ME I
−ω+−= , (1.44)
expresie care se poate scrie sub forma
()
()()ϕ−γ⋅
−ω+−=je
M LL RLL MEI
22
212 22
11
2 , (1.45)
în care defazajul
()
RLM LL
12
21arctan−ω=ϕ , (1.46)
și valoarea efectiv ă
()
()()ϕ−γ⋅
−ω+−=je
M LL RLL MEI
22
212 22
11
2 , (1.47)
rezultă din (1.44), întrucât
{}2 argI=ϕ și 2 2I I= .