Specializarea: Matematic a-informatic a [602156]
Universitatea TRANSILVANIA din Bra sov
Facultatea de Matematic a si Informatic a
Specializarea: Matematic a-informatic a
Lucrare de Licent a
Autor: Andreea BOBOCEA
Coordonator stiint i c: Conf. univ. dr. Nicoleta ALDEA
Bra sov
2015
Universitatea TRANSILVANIA din Bra sov
Facultatea de Matematic a si Informatic a
Specializarea: Matematic a-informatic a
Teoreme celebre ^ n teoria
suprafet elor
Introducere
Geometria diferent ial a a curbelor si suprafet elor a ap arut ^ n acela si timp cu
calculul diferent ial si integral, spre sf^ ar situl secolului al XVII-lea, printre precursorii
acesteia ind matematicienii: J. Bernoulli, L. Euler, G. Monge, K.F. Gauss. Prin
lucr arile acestora s-a deschis si o cale a generaliz arilor, o geometrie pe variet at i
diferent iabile cu oric^ ate dimensiuni pe care este postult a o regul a de m asurare a
lungimilor, metrica riemannian a , dup a numele matematicianul german B. Riemann.
Geometria diferent ial a clasic a reprezint a studiul propriet at ilor locale ale cur-
belor si suprafet elor, adic a propriet at i care depind de comportamentul curbei sau
suprafet ei in vecin atatea unui punct. Dar, de o important a aparte este si geometria
diferent iala global a. ^In acest tip de geometrie se studiaz a in
uent a propriet at ilor
locale asupra comportamentului ^ ntregii curbe sau suprafet e.
Pentru c a cea mai interesant a si reprezentativ a parte a geometriei diferent iale
clasice o reprezint a studiul suprafet elor, ^ n aceast a lucrare ne propunem s a des-
criem dou a teoreme celebre^ n teoria suprafet elor: Teorema Egregium siTeorema
Gauss-Bonnet .
Teorema Egregium este un rezultat fundamental ^ n geometria diferent ial a de-
monstrat de K.F. Gauss, care se refer a la curbura total a a suprafet elor. Aceast a
teorem a spune: curbura total a depinde doar de coe cient ii primei forme fundamen-
tale, adic a poate determinat a ^ n ^ ntregime prin m asurarea unghiurilor, distant elor
pe suprafat a ^ n sine, far a alt a referire la modul particular ^ n care suprafat a este
^ ncorporat a ^ n spat iul euclidian tridimensional, ea este o proprietate intrinsec a a
suprafet ei. Intuitiv, s a ne imagin am ni ste int e bidimensionale care locuiesc pe o
suprafat a si nu sunt con stiente c a ^ n afara lumii lor mai exist a si altceva (adic a
nu pot s a- si priveasc a planeta din exterior). Conform teoremei Egregium aceste
int e sunt capabile totu si s a determine curbura suprafet ei, doar prin m asur atori pe
suprafat a. Este o observat ie fundamental a care l-a condus ulterior pe Riemann la in-
troducerea curburii pentru spat iile abstracte care ast azi ^ i poart a numele, variet at ile
riemanniene.
Teorema Gauss-Bonnet este unul din cele mai frumose si profunde rezultate
din teoria suprafet elor. Exist a mai multe versiuni ale acesteia, dar cea mai im-
1
2
portant a stabile ste o leg atur a ^ ntre integrala pe o suprafat a a curburii gaussiene a
acesteia si o proprietate topologic a a suprafet ei numit a caracteristica saunum arul
Euler , aceasta ind neschimbat a la orice deformare continu a a suprafet ei. ^In gene-
ral asemenea deform ari schimb a valoarea curburii Gauss, dar teorema ne spune c a
aceast a integral a pe suprafat a nu se schimb a. Teorema este denumit a dup a K.F. Ga-
uss, care stabile ste o prim a versiune (apare ^ n memoriul lui Gauss de la 1823-1827,
Disquisitiones generales circa super cies curvas) , si care se refer a la triunghiuri cu
laturile arce de geodezic a de pe o suprafat a si dup a P.O. Bonnet care a publicat un
caz special ^ n 1848.
Lucrarea de fat a este structurat a ^ n trei capitole.
Primul capitol, este o introducere ^ n teoria suprafet elor ind prezentate not iunile
generale despre: formele fundamentale (prima si a doua) ale suprafet ei, sunt descrise
curbele de pe o suprafat a, geometria aplicat iei lui Gauss, iar prin intermediul acesteia
curburile unei suprafet e si ale curbelor de pe o suprafat a.
^In capitolul a doilea prezent am not iunea de izometrie, pentru a putea formula
apoi ^ n limbaj matematic modern, teorema Egregium: curbura Gauss este invariant a
la izometrii locale. Prin intermediul acesteia caracteriz am suprafet ele compacte de
curbur a Gauss constant a, ecuat iile Codazzi-Mariandi si c^ ateva aplicat ii ale acestora.
^In ultimul capitol prezent am c^ ateva variante ale teoremei Gauss-Bonnet: pentru
curbe simple ^ nchise, pentru poligoane curbilinii si pentru suprafet e compacte si
studiem singularit at ile c^ ampurilor vectoriale tangente. De asemenea, evident iem si
c^ ateva aplicat ii.
Cuprins
1 Introducere ^ n teoria suprafet elor 4
1.1 Not iunea de suprafat a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Prima form a fundamental a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Curbura unei suprafet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 A doua form a fundamental a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Curbura medie si curbura total a . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Formule de calcul pentru curbur a . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Geodezice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Teorema Egregium a lui Gauss 22
2.1 Izometriile suprafet elor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Teorema Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Ecuat iile Codazzi-Mariandi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Suprafet e compacte de curbur a Gauss constant a . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Teorema Gauss-Bonnet 38
3.1 Gauss-Bonet pentru curbe simple si ^ nchise . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Gauss-Bonnet pentru poligoanele curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Gauss-Bonnet pentru suprafet e compacte . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Singularit at i ale c^ ampurilor vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Bibliogra e 60
3
Capitolul 1
Introducere ^ n teoria suprafet elor
Abordarea suprafet elor este mult mai di cil a ^ n comparat ie cu cea a curbelor,
deoarece curbele sunt reprezentate ca imagini ale unor aplicat ii de nite pe un interval
Icu valori ^ n R2sauR3, ^ n timp ce ^ n cazul suprafet elor este aproape cu neputint a
s a g asim o aplicat ie de nit a pe un domeniu din R2astfel ^ nc^ at imaginea sa ^ n R3,
s a e o suprafat a dat a.
^In acest capitol ne propunem s a facem o prezentare succint a a geometriei suprafe-
t elor, consider^ and suprafet ele ca submult imi ale spat iului euclidian ^ nzestrate cu o
structur a suplimentar a.
1.1 Not iunea de suprafat a
O submult ime UdinRneste numit a deschis dac a, pentru orice punct adinU,
exist a un num ar pozitiv astfel ^ nc^ at orice punct u2Rn;situat p^ an a la o distant a
dea;este si ^ nU, adic a
a2U siku ak<)u2U:
Ca exemple de mult imi deschise ment ion am: mult imea Rn;bila deschis a cu centrul
^ na si raz a>0,
Dr(a) =fu2Rnjku ak<g:
Pentrun= 1, bila deschis a este un interval deschis, iar pentru n= 2 este un disc
(interiorul unui cerc).
FieX siYsubmult imi ale lui Rmrespectiv, Rn. O funct ie f:X!Yeste
continu a ^ ntr-un punct a2Xdac a orice vecin atate a punctului adinXeste dus a
prin funct ia f^ ntr-o vecin atate a lui f(a) dinY. Mai precis, feste continu a ^ n a
4
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 5
dac a, oricare ar >0, exist a un num ar >0;astfel ^ nc^ at:
u2X siku ak<) kf(u) f(a)k<:
Dac afeste continu a ^ n orice punct din X;atunci este continu a pe X.
Av^ and ^ n vedere de nit ia unei mult imi deschise, atunci feste continu a pe X
dac a si numai dac a pentru un deschis VdinRn, exist a un deschis UdinRmastfel
^ nc^ atUTXeste dus prin f^ nVTY.
Dac af:X!Yeste continu a si bijectiv a si dac a funct ia invers a f 1:Y!X
este si ea continu a atunci fse nume ste omeomor sm , iar mult imile X siYsunt
omeomorfe .
Putem de ni not iunea de suprafat a ^ n R3:
De nit ia 1.1.1. O submult ime SdinR3este o suprafat a dac a pentru ecare punct
P2S, exist a un deschis U^ nR2 si un deschis V^ nR3,P2V, astfel ^ nc^ at STV
este omeomorf cu U.
Deci, o suprafat a este echipat a cu o 'colect ie' de omeomor sme r:U!STV,
pe care le numim port iuni de suprafat a sauparametriz ari . Reuniunea tuturor acestor
port iuni de suprafat a este numit a atlas al suprafet ei S. Deci, orice punct al unei
suprafet eSapart ine cel put in unei port iuni de suprafat a din atlasul suprafet ei.
Spre exemplu, orice plan din R3este o suprafat a cu un atlas format dintr-o
singur a port iune de suprafat a, (tot planul). Sfera nu poate acoperit a printr-o
singur a port iune de suprafat a, atlasul acesteia cont in^ and dou a port iuni de sfer a.
De nit ia 1.1.2. O suprafat a SR3se nume ste suprafat a regulat a dac a omeomor-
smulr:U!STVare propriet at ile:
1.reste diferent iabil a, adic a scriind
r(u;v) = (x(u;v);y(u;v);z(u;v));cu(u;v)2U;
funct iilex; y; z au derivatele part iale de orice ordin continue pe U;
2. Pentru orice p2U, derivatadr(p) :R2!R3este injectiv a.
Prin parametrizarea r:U!STVa suprafet ei (regulate) Si se asociaz a
acesteia, ^ ntr-o vecin atate a unui punct P2S;un sistem de coordonate locale, iar
r(u;v) se nume ste parametrizare local a a luiS:Consider^ and bazele canonice fe1;e2g
dinR2 siff1;f2;f3gdinR3, rezult a c a matricea aplicat iei liniare dr(p) este
(dr(p)) =0
@@x
@u@x
@v@y
@u@y
@v@z
@u@z
@v1
A; (1.1.1)
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 6
iar injectivitatea acesteia este echivalent a cu condit ia ca rangul matricei ( dr(p)) s a
e 2;(adic a are rang maxim).
O caracterizare local a a unei suprafet e este dat a de urm atoarea propozit ie:
Propozit ia 1.1.1. Fief:U!R3o aplicat ie diferent iabil a pe o submult ime des-
chis aUR2. Atunci gra cul s au,
S:=
(x;y;z )2R3jz=f(x;y);(x;y)2U
este o suprafat a regulat a.
De nit ia 1.1.3. FieF:V!Raplicat ie diferent iabil a pe o submult ime deschis a
VR3. Un punct q2Veste punct critic al lui F, dac a diferent iala dF(q)nu are
rang maxim, iar imaginea sa F(q)se nume ste valoare critic a. Un punct q2Vcare
nu este punct critic se nume ste punct regulat, iar F(q)este valoare regulat a.
^In baza canonic a a lui R3;dF(q) are matricea ( Fx;Fy;Fz);deci rangul maxim al
acesteia poate 1 :
O caracterizare global a a unei suprafet e este dat a de urm atoarea propozit ie:
Propozit ia 1.1.2. Dac aF:V!Reste o aplicat ie diferent iabil a pe o submult ime
deschis aVR3 sia2F(V)este o valoare regulat a, atunci F 1(a)este o suprafat a
regulat a ^ n R3.
Exemplul 1.1.1. Elipsoidul
x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1
este suprafat a regulat a.
Avem,F(x;y;z ) =x2
a2+y2
b2+z2
c2 1, elipsoidul ind F 1(1). Derivatele Fx= 2x
a2,
Fy= 2y
b2 siFz= 2z
c2se anuleaz a doar ^ n punctul (0;0;0), acesta neapart in^ and lui
F 1(1).
Exemplul 1.1.2. Hiperboloidul cu dou a p^ anze este o suprafat a regulat a S=F 1(0),
pentruF(x;y;z ) =x2 y2+z2 1: Snu este conex a, deoarece nu exist a o curb a
care s a uneasc a un punct cu z <0 si unul cuz >0.
De nit ia 1.1.4. Dou a parametriz ari r:U!S sir:U!Sse numesc echiva-
lente, dac a exist a un difeomor sm ':U!Uastfel ^ nc^ at r=r'.
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 7
Av^ and dou a parametriz ari echivalente, acestora le vor corespunde aceea si ima-
gine. Dar, dac a dou a parametriz ari au aceea si imagine, acestea sunt echivalente.
Fie o suprafat a S si o parametrizare local a r:U!S;^ n vecin atatea unui punct
regulatP=r(u0;v0)2S. Atunci vectorii
ru0=@r
@u(u0;v0); rv0=@r
@v(u0;v0)
sunt liniar independent i si determin a un plan care trece prin P si este ortogonal pe
produsul vectorial ru0rv06= 0.
De nit ia 1.1.5. Subspat iul vectorial generat de vectorii ru0 sirv0se nume ste spat iul
tangent ^ n punctul regulat Pla suprafat a S si va notat cu TPS.
Deoarece dimensiunea spa ului TPSeste 2, acesta se nume ste si planul tangent
^ nPlaS.
^In continuare vom studia cum se comport a planul tangent ^ n P=r(u;v) laS,
dac a schimb am parametrizarea. Consider am parametriz arile r:U!S sir:U!
Slegate prin
r(u;v) =r(u(u;v);v(u;v));
relat ie care prin derivare, conduce la
r
u=@u
@uru+@v
@urv;
r
v=@u
@vru+@v
@vrv;
ceea ce arat a c a vectorii r
u sir
vsunt o combinat ie liniar a a vectorilor ru sirv;deci
apart in luiTPS si pentru c a sunt liniar independent i, formeaz a o baz a ^ n TPS:Deci,
am obt inut c a TPSnu depinde de parametrizarea suprafet ei.
Pentru vectorii planului tangent TPS;(vectorii tangent i), vom folosi notat ia
dr=rudu+rvdv;
deoarecedu sidvau legatur a cu durespectiv,dv, prin formulele
du=@u
@udu+@v
@udv;
dv=@u
@vdu+@v
@vdv:
Dac a avem o funct ie F:R3!R si presupunem c a suprafat a Seste imaginea
invers a a unei valori regulate a funct iei F, putem da urmat atoarea caracterizare a
planului tangent.
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 8
Propozit ia 1.1.3. FieF:R3!Ro este o aplicat ie diferent iabil a si S=F 1(a)
o suprafat a regulat a si P2S. Atunci,
TPS=Ker(dF(P)):
FieSo suprafat a regulat a, ( rurv6= 0) cu o parametrizare r:U!S.^In orice
punct al parametriz arii P=r(u;v)2Savem vectorul normal:
NP=rurv
jjrurvjj;
care induce o aplicat ie N:r(U)!R3.
Nu orice suprafat a admite un c^ amp continuu de vectori normali. Un exemplu
de suprafat a care nu admite un astfel de c^ amp este banda lui Mobius . Dac a o
suprafat a admite un c^ amp global de vectori normali, aceasta se nume ste orientabil a.
Deoarece toate suprafet ele date de o singur a parametrizare sunt orientabile, local,
orice suprafat a admite o orientare.
De nit ia 1.1.6. FieSR3o suprafat a orientabil a. Aplicat a diferent iabil a
N:S!S2R3;
undeS2este sfera unitate, se nume ste aplicat ia Gauss.
Observat ia 1.1.1. ^In ecare plan tangent TPS;aplicat ia lui Gauss induce o orien-
tare. Spre exemplu spunem c a baza fru;rvgeste pozitiv a dac a produsul mixt
(rurv)NP
este pozitiv.
1.2 Prima form a fundamental a
Geometria unei suprafat e se studiaz a si prin intermediul curbelor situate pe
aceasta. A sadar, o modalitate natural a de a studia o suprafat a Seste prin interme-
diul curbele care se a
a pe S.
Dac a
: ( ; )!R3este cont inut a ^ n imaginea suprafet ei S;parametrizat a prin
r:U!S, exist a o aplicat ie de nit a pe intervalul ( ; ) cu valori ^ n deschisul U,
t!(u(t);v(t)), astfel ^ nc^ at:
(t) =r(u(t);v(t));
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 9
cu funct iile u sivsunt diferent iabile. Reciproc, este evident c a dac a aplicat ia
t!(u(t);v(t)) este diferent iabil a, atunci ecuat ia de mai sus de ne ste o curb a pe
suprafat aS.
Av^ and curba
(t) =r(u(t);v(t)) pe suprafat a S, atunci lungimea arcului curbei
cu extremitatea ^ n punctul
(t0) este dat a de
s=Zt
t0k
0(t)kdt;
unde
0(t) =u0ru+v0rveste vectorul tangent la curb a ^ n punctul P2S:
Consider^ and vectorul tangent la suprafat a S,dr=rudu+rvdv;avem
kdrk2= (rudu+rvdv)(rudu+rvdv)
= (ruru)du2+ (rurv)dudv + (rvru)dvdu + (rvrv)dv2
= (ruru)du2+ 2(rurv)dudv + (rvrv)dv2
=Edu2+ 2Fdudv +Gdv2;
unde
E=kruk2; F =rurv; G =krvk2:
A sadar,
s=Zt
t0(Edu2+ 2Fdudv +Gdv2)1
2dt:
Dac a ^ l introducem pe dtsub r ad acina p atrat a si scriem (du
dt)2(dt)2=du2, vedem c a
seste integrala r ad acinii p atrate a expresiei
I :=Edu2+ 2Fdudv +Gdv2:
Aceasta este numit a prima form a fundamental a a suprafet ei S:Deoarece
s=Zp
ds2;
obt inem c a prima form a fundamental a este p atratului elementului lungimii arcului
curbei, adic a
ds2=Edu2+ 2Fdudv +Gdv2:
A sadar, perechea ( TPS;I) este un spat iu euclidian, si al aturi de lungimi de arce
de curbe , prin intermediul primei forme fundamentale I putem calcula unghiul notat
cudintre doi vectori tangent i. Consider^ and vectorii tangent i dr1=rudu1+rvdv1
sidr2=rudu2+rvdv2, avem,
cos=dr1dr2
kdr1kkdr2k
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 10
care prin calcul direct conduce la formula:
cos=Edu 1du2+F(du1dv2+du2dv1) +Gdv 1dv2p
Edu2
1+ 2Fdu 1dv1+Gdv2
1p
Edu2
2+ 2Fdu 2dv2+Gdv2
2
Observat ia 1.2.1. Deoarece prin unghiul dintre dou a curbe de pe suprafat a Scare
se intersecteaz a ^ ntr-un punct P^ nt elegem unghiul dintre vectorii tangent i cores-
punz atori ^ n P2S; si unghiurile pe o suprafat a se calculeaz a cu ajutorul primei
forme fundamentale.
De nit ia 1.2.1. Aria unei port iuni Rde pe suprafat a Scont inut a ^ n imaginea unei
parametriz ari r:U!Seste de nit a prin
A(R) =Z Z
Qjjrurvjjdudv;
undeQ=r 1(R), iarjjrurvjjeste aria paralelogramului determinat de vectorii ru
sirv:
Se poate demonstra c a A(R) nu depinde de parametrizarea aleas a. Mai mult,
aceasta se poate exprima prin intermediul coe cient ilor primei forme fundamentale.
^Intr-adev ar, utiliz^ and identitatea Lagrange,
jjrurvjj2+ (rurv)2=jjrujj2jjrvjj2
rezult a c a:
A(R) =Z Z
Qp
EG F2dudv:
^In concluzie, cu ajutorul primei forme fundamentale putem calcula lungimile si
unghiurile pe o suprafat a, dar si ariile unor port iuni de pe suprafat a.
1.3 Curbura unei suprafet e
^In aceast a sect iune vom prezenta c^ teva modalit at i prin care vom putea preciza
c^ at de "curbat a" este o suprafat a.
1.3.1 A doua form a fundamental a
Pentru a putea de ni curbura unei suprafet e, ^ ncepem prin a g asi o nou a interpre-
tare a curburii unei curbe plane. Consider am curba plan a
;(^ nR2);cu proprietatea
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 11
c ak
0(t)k= 1, (curba "unit-speed"). Parcurg^ and curba
de la punctul
(t) la punc-
tul
(t+ t), pe aceast a port iune curba
se "^ ndep arteaz a" de tangenta ^ n
(t) cu
o distant a (
(t+t)
(t))n, unde neste normala principal a la
^ n punctul
(t).
Din formula lui Taylor, avem
(t+ t) =
(t) +
0(t)t+1
2
002(t)(t)2+rest;
unde (rest)=(t)2tinde la zero, c^ and ttinde la zero. Dar, neste perpendicular
pe vectorul tangent
0(t), iar din formulele lui Frenet avem
00(t) =kn, undekeste
curbura lui
. A sadar,
00(t)n=k si deviat ia lui
de la tangent a este:
(
0(t)t+1
2
002(t)(t)2+:::)n=1
2k(t)2+rest: (1.3.2)
FieSo suprafat a ^ n parametrizarea r=r(u;v) :U!S;cu normala standard
N. Schimb^ and parametrii ( u;v) ^ n (u+ u;v+ v), pe aceast a port iune, suprafat a
se "^ ndep arteaz a" de planul s au tangent ^ n r(u;v) cu o distant a
(r(u+ u;v+ v) r(u;v))N
Conform formulei lui Taylor pentru funct ii de dou a variabile, avem
r(u+ u;v+ v) r(u;v) =ruu+rvv
+1
2(ruu(u)2+ 2ruvuv+rvv(v)2) +rest;
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 12
unde (rest)=((u)2+ (v)2) tinde la zero c^ and ( u)2+ (v)2tinde la zero. Acum
ru sirvsunt tangente suprafet ei, a sadar perpendiculare pe N, astfel c a deviat ia lui
rfat a de planul tangent este:
1
2(L(u)2+ 2Muv+N(v)2) +rest; (1.3.3)
unde
L=ruuN; M =ruvN=rvuN; N =rvvN: (1.3.4)
Compar^ and ecuat iile (1.3.2) si (1.3.3), vedem c a expresia
L(u)2+ 2Muv+N(v)2
este analogul pentru suprafat a Sa termenului de curbur a k(t)2din cazul curbei
plane
.
Expresia
II :=Ldu2+ 2Mdudv +Ndv2(1.3.5)
se nume ste a doua form a fundamental a a suprafet ei S.
Ca si ^ n cazul primei forme fundamentale, privim expresia (1.3.5) ca pe o metod a
convenabil a de a urm ari cele trei funct ii: L; M siN.
Aplicat iei lui Gauss N:S!S2R3, undeS2este sfera unitate, i se asociaz a
aplicat ia liniar a tangent a dNP:TPS!TNPS2:Dar pentru c a TPS siTNPS2coincid,
ele av^ and acela si complement ortogonal si anume pe NP;dNPeste o aplicat ie liniar a
de laTPS^ nTPS:
Fie
(t) =r(u(t);v(t)) o curb a pe suprafat a Scu
(0) =P2S. Atunci vectorul
tangent la curb a ^ n punctul Pare forma
0=u0ru+v0rv sidNP(
0) =u0Nu+v0Nv.
DinNru=Nrv= 0 si relat iile (1.3.4) rezult a
L= Nuru; M = Nvru= Nurv; N = Nvrv: (1.3.6)
Pe de alt a parte, calcul^ and produsul scalar al vectorilor tangent i
0 sidNP(
0);
si folosind relat iile (1.3.6), avem
dNP(
0)
0= (u0Nu+v0Nv)(u0ru+v0rv)
= (Lu02+ 2Mu0v0+Nv02):
A sadar, putem exprima a doua form a fundamental a a suprafet ei Sprin intermediul
luidNP si anume,
IIP(
0) = dNP(
0)
0: (1.3.7)
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 13
1.3.2 Curbura medie si curbura total a
O alt a modalitate de a vedea c^ at de "curbat a" este o suprafat a este s a studiem
curbura mai multor curbe situate pe suprafat a.
FieSo suprafat a ^ n parametrizarea r=r(u;v) :U!S;cu normala standard
N si curba
(t) =r(u(t);v(t)) pe suprafat a S;cu proprietatea c a k
0(t)k= 1, (o
curb a "unit-speed" pe S). Atunci
0(t) este la un vector tangent la
S^ n punctul
r(u(t);v(t)) si deci
este perpendicular a pe normala Nla suprafat a S:Rezult a c a
vectorii
0,N siN
0sunt perpendiculari. Pe de alt a parte, deoarece k
0(t)k= 1,
00este perpendicular pe
0 si deci
00este o combinat ie liniar a ^ ntre N siN
0:
00=knN+kgN
0: (1.3.8)
M arimile scalare kn sikgsunt numite curbura normal a respectiv, curbura geode-
zic a ale curbei
. Deoarece N siN
0sunt vectori perpendiculari, ecuat ia (1.3.8)
implic a faptul c a:
kn=
00N; kg=
00(N
0)
si
k
00k2=k2
n+k2
g:
A sadar, curbura curbei
; k=k
00keste dat a de:
k2=k2
n+k2
g: (1.3.9)
Mai mult, dac a neste normala principal a la curba
, atunci
00=kn, si avem
kn=knN=kcos; (1.3.10)
undeeste unghiul dintre n siN. Atunci, din ecuat ia (1.3.9) rezult a:
kg=ksin: (1.3.11)
Din de nit ia lor, este evident c a cele dou a curburi kn sikgsau au acela si semn,
sau ambele ^ si schimb a semnul la o reparametrizare a suprafet ei S.
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 14
Observat ia 1.3.1. Dac a
este o curb a regulat a oarecare, ( k
0(t)k6= 0) , curbura
geodezic a si curbura normal a ale lui
se de nesc ca ind cele a unei reparametriz ari
t!sastfel ^ nc^ at ^ n noua parametrizare k
0(s)k= 1. C^ andseste schimbat cu un alt
parametrus+c, undeceste o constant a, este clar c a avem kn7!kn sikg7!kg,
a sa c akneste bine de nit a pentru orice curb a regulat a, ^ n timp ce kgeste bine
de nit a p^ an a la un semn. Ecuat iile (1.3.10) si (1.3.11) respect a aceast a situat ie
general a.
Un caz special este cel ^ n care
este o sect iune normal a , adic a
este intersect ia
suprafet ei cu planul ~ , care este perpendicular pe planul tangent al suprafet ei ^ n
ecare punct din
.
Deoarece
se a
a ^ n planul ~ , normala principal a neste paralel a cu ~ si cum ~
este perpendicular pe planul tangent, Neste de asemenea paralel cu ~ . Pentru c a
n siNsunt perpendiculari pe
0 si pentru c a
0este paralel cu ~ ,n siNtrebuie
s a e paraleli, aceasta ^ nsemn^ and c a = 0 sau. Din ecuat iile (1.3.10) si (1.3.11),
deducem c a, pentru o sect iune normal a, avem:
kn=k; kg= 0
Cea mai important a caracteristic a a curburii normale kna unei curbe
pe o
suprafat a este dat a de urm atoarea propozit ie:
Propozit ia 1.3.1. Dac a
(t) =r(u(t);v(t))este o curb a pe suprafat a Scu propri-
etatea c ak
0(t)k= 1, (o curb a "unit-speed" pe S), atunci
kn=Lu02+ 2Mu0v0+Nv02;
undeLdu2+ 2Mdudv +Ndv2este a doua form a fundamental a a lui r.
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 15
Demonstrat ie. FieNnormala standard la suprafat a S. Atunci,
kn=N
00=Nd
dt(
0) =N(ruu0+rvv0)
=N[ruu00+rvv00+ (ruuu0+ruvv0)u0+ (ruvu0+rvvv0)v0]
=Lu02+ 2Mu0v0+Nv02;
folosind de nit ia (1.3.4) a lui L;M siN si faptul c a Neste perpendicular a pe ru si
perv.
Acest a propozit ie atest a faptul c a dou a curbe "unit-speed" care trec prin punctul
Pde pe suprafat a S si cu acela si vector tangent ^ n Pdeoarece au aceea si curbur a
normal a ^ n P, deoarece at^ at knc^ at si vectorul tangent
0=ruu0+rvv0depind doar
deu;v;u0 siv0(nu si de alte derivate ale lui u siv;de ordin mai mare).
O consecint a imediat a a propozit iei precedente este urm atoarea teorem a:
Teorema 1.3.1. (J.B. Meusnier) Toate curbele situate pe suprafat a S, care trec
prin punctul P2S si cu acela si vector tangent ^ n P;au aceea si curbur a normal a ^ n
P.
Din aceast a teorem a rezult a c a putem discuta despre curbura normal a de-a lun-
gul unei direct ii, care trece printr-un punct P2S. Fie 2TPS;un vector tangent
unitar si vectorul normal NP^ nP:Ace stia determin a planul ~ perpendicular pe
TPS, iar intersect ia planului ~ cuSeste sect iunea normal a de-a lungul lui .
DeoarecedNPeste o aplicat ie ortogonal a, ^ n ecare punct Pexist a o baz a
ortonormat afe1;e2gformat a din vectori s ai propri, adic a dNP(e1) = k1e1 si
dNP(e2) = k2e2cuk1k2,k1 sik2 ind maximul, respectiv minimul curburii
normale.
De nit ia 1.3.1. Curbura normal a maxim a k1 si cea minim a k2se numesc curburile
principale ale suprafet ei S^ n punctul P. Direct iile proprii corespunz atoare (cele
generate de e1, respective2) se numesc direct iile principale ^ n P.
De nit ia 1.3.2. O curb a regulat a, conex a
Scu proprietatea c a pentru orice
punctP2
, tangenta este direct ie principal a se nume ste linie de curbur a.
Cu ajutorul curburilor principale, putem a
a curbura normal a pentru orice
direct ie din TPS.
Fie 2TpS, cuk k= 1. Darfe1;e2g ind o baz a ortonormat a, avem
= cose1+ sine2;
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 16
ind unghiul dintre e1 siv. Atunci, folosind formula (1.3.7), calcul am curbura
normal akn:
kn= IIP( ) = dNP( )
= dNP(cose1+ sine2)(cose1+ sine2)
= (k1cose1+k2sine2)(cose1+ sine2)
=k1cos2+k2sin2:
Am obt inut formula lui Euler ,
kn=k1cos2+k2sin2; (1.3.12)
din care se poate deduce expresia formei a doua fundamentale ^ n raport cu reperul
fe1;e2g.
De nit ia 1.3.3. FieSo suprafat a, P2S si k1; k2valoriile proprii ale aplicat iei
dNP:TPS!TPS.
1.K:= detdNP=k1k2se nume ste curbura Gauss sau curbura total a a
suprafet eiS^ nP.
2.H:= 1
2tr(dNP) =k1+k2
2se nume ste curbura medie a suprafet ei S^ nP.
De nit ia 1.3.4. Un punctPde pe o suprafat a Sse nume ste:
1. eliptic dac a K > 0;
2. hiperbolic dac a K < 0;
3. parabolic dac a K= 0 sidNP6= 0;
4. planar dac a dNP= 0;
5. ombilical dac a k1=k2:
Spre exemplu, suprafet ele de mai jos (a doua este " saua maimut ei") au am^ andou a
originea un punct planar (cazul 4), dar au forme diferite.
^Intr-un punct eliptic curbura total a este pozitiv a, deci curburile principale au
acela si semn, iar vectorii normali ai tuturor curbele care trec prin Pse a
a de
aceea si parte a planului tangent. ^In particular, punctele planare sunt ombilicale.
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 17
Propozit ia 1.3.2. FieSo suprafat a conex a. Dac a toate punctele suprafet ei sunt
puncte ombilicale, atunci Seste inclus a ^ ntr-o sfer a sau ^ ntr-un plan.
De nit ia 1.3.5. FieSo suprafat a si P2S.
1. O direct ie din TPScare are curbura normal a nul a, se nume ste direct ie asimp-
totic a.
2. O curb a regulat a, conex a
Scu proprietatea c a pentru orice punct
P2
tangenta la
^ nPeste direct ia asimptotic a se nume ste curb a asimptotic a a
suprafet eiS.
Pentru a studia direct iile asimptotice putem folosi indicatoarea Dupin. Find dat
punctulP2S, se nume ste indicatoarea Dupin mult imea vectorilor w2TPScu
IIP(w) =1.
^In raport cu baza ortonormat a fe1;e2gformat a din vectorii proprii ai aplicat iei
dNP;avem
w=e1+e2:
Scriindu-l pe w^ n coordonate polare, w= cujj jj= 1 si = cose1+ sine2, ^ n
baza formulei lui Euler (1.4.18), avem:
1 = IIP(w) =2IIP( ) =k12cos2+k22sin2=k12+k22:
Rezult a c a indicatoarea lui Duplin este reuniunea a dou a conice ^ n TPS. Se observ a
c a ^ n punctele acesteia, curbura normal a este kn( ) = IIP( ) =1
2.
Observat ia 1.3.2. ^Intr-un punct eliptic, indicatoarea lui Dupin este o elips a ( k1
sik2au acela si semn). Pentru un punct hiperbolic, indicatoarea lui Dupin este
reuniunea a dou a hiperbole av^ and asimptote comune, iar ^ n puncte parabolice, una
din curburile principale este 0, deci indicatoarea lui Dupin este o pereche de drepte
paralele.
1.3.3 Formule de calcul pentru curbur a
^In continuare ne propunem s a evident iem formule locale pentru aplicat ia lui
Gauss, curbura total a si curbura medie, adic a formule care s a ne permit a s a le
calcul am ^ ntr-o parametrizare local a dat a. Fie So suprafat a ^ n parametrizarea
r=r(u;v) :U!S;cu normala N=rurv
jjrurvjj:
Fie
(t) =r(u(t);v(t)) o curb a pe suprafat a Scu
(0) =P2S, vectorul tangent
la curb a
0=u0ru+v0rv sidNP(
0) =u0Nu+v0Nv. Deoarece vectorii Nu siNvse
a
a ^ nTPS, ^ i putem exprima ^ n baza canonic a a acestuia
Nu=a11ru+a21rv;Nv=a12ru+a22rv: (1.3.13)
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 18
si avem
dNP(
0) = (a11u0+a12v0)ru+ (a21u0+a22v0)rv;
sau, scris a matriceal
dNPu0
v0
=a11a12
a21a22u0
v0
:
Deci, (aij)i;j=1;2este matricea lui dNP^ n bazafru;rvg. Determin am acum coe cient ii
aij^ n funct ie de L; M; N ( siE; F; G ). Avem,
L=Nuru=a11E+a21F;
M=Nurv=a11F+a21G;
M=Nvru=a11E+a21F;
N=Nvrv=a12F+a22G
sau matriceal
L M
M N
=a11a21
a12a22E F
F G
:
Deci,a11a21
a12a22
= L M
M NE F
F G 1
;
unde E F
F G 1
=1
DG F
F G
;
cuD:=EG F2:Obt inem,
a11=MF LG
D; a 12=NF LG
D; (1.3.14)
a21=LF ME
D; a 22=MF NE
D:
Observat ia 1.3.3. Ecuat iile (1.3.13) cu coe cient ii dat i de relat iile (1.3.14) se
numesc ecuat iile lui Weingarten.
Deoarece curbura Gauss a fost de nit a prin K:= detdNP, avem
K= det(aij) =LN M2
EG F2(1.3.15)
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 19
S tiind despre curburile principale c a sunt valorile proprii ale aplicat iei lui Gauss,
rezult a c a acestea sunt r ad acini ale polinomului caracteristic
k2+ (a11+a22)k+a11a22 a21a12= 0: (1.3.16)
Obt inem astfel o formul a de calcul pentru curbura medie:
H= 1
2(a11+a22) =1
2LG 2MF +NE
EG F2:
Deci, polinomul caracteristic (1.3.16) se poate rescrie ca ind
k2 2Hk+K= 0;
iar r ad acinile sale (i.e., curburile principale) se pot exprima prin relat iile:
k1;2=Hp
H2 K:
1.4 Geodezice
O clas a foarte important a de curbe pe o suprafat a este format a din geodezice.
Rolul pe care ^ l au acestea pentru suprafat a este similar cu cel al dreptelor din plan.
De nit ia 1.4.1. O curb a
:I!Spe o suprafat a regulat a se nume ste geodezic a
dac a
00(t) = 0 sau
00(t)este perpendicular a pe planul tangent ^ n
(t), pentru orice
t2I.
Din punct de vedere zic, o geodezic a este traiectoria descris a de o particul a care
se mi sc a pe suprafat a, doar sub in
uent a gravitat iei (care act ioneaz a perpendicular
pe suprafat a).
Propozit ia 1.4.1. Orice geodezic a are viteza jj
0(t)jjconstant a.
Demonstrat ie. ^Intr-adev ar e
:I!So geodezic a. Atunci
d
dtjj
0jj2=d
dt(
0
0) = 2
00
0:
Cum
este geodezic a,
00este ortogonal pe
0, deci lungimea derivatei este constant a.
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 20
Dac a reparametriz am curba dup a lungimea arcului l=jj
0jj=const , atunci
vom avea ~
(t) =
(t=l) o astfel de parametrizare cu:
d2
dt2~
=1
l2d2
dt2
:
Rezult a c a ~
00 si
00sunt coliniari, deci studiul nostru se poate restr^ ange la cazul
geodezicelor parametrizate canonic.
Leg atura dintre curbura geodezic a si geodezice este dat a de urm atoarea propozit ie.
Propozit ia 1.4.2. O curb a parametrizat a canonic este geodezic a, dac a si numai
dac a are curbura geodezic a identic nul a.
Demonstrat ie. Fie
o curb a parametrizat a canonic, p=
(0)2S siro parametri-
zare local a ^ n jurul lui pcu vectorul normal N. Atunci:
kg=
00(N
0):
Cum
00este coliniar cu N, acesta este ortogonal pe N
0, decikg= 0.
Reciproc, s a presupunem c a kg= 0, atunci
00este ortogonal pe N
0. Cum
este parametrizat a canonic, atunci
00este ortogonal pe
0. Rezult a c a
00este
coliniar cu N.
Din acest fapt, obt inem c a orice drept a (segment de dreapt a)este geodezic a.
Propozit ia 1.4.3. Orice sect iune normal a (i.e. intersect ia suprafet ei cu un plan
ortogonal pe planul tangent) este geodezic a.
Demonstrat ie. Planul normal care d a sect iunea are planul director generat de un
vector tangent v si de N. Sect iunea normal a este o curb a plan a pe o vecin atate a
luip, av^ and
0coliniar cu v sincoliniar cu N(sau nul). Obt inem c a kg= 0, deci
sect iunea normal a este geodezic a.
Propozit ia de mai sus ne spune c a, ^ n particular cercurile mari ale sferei sunt
geodezice.
Teorema 1.4.1. O curb a
:I!Seste geodezic a dac a si numai dac a pentru orice
parametrizare local a, astfel ^ nc^ at
(t) =r(u(t);v(t)), sunt satisf acute ecuat iile:
d
dt(Eu0+Fv0) =1
2(Eu(u0)2+ 2Fu(u0v0) +Gu(v0)2)
d
dt(Fu0+Gv0) =1
2(Ev(u0)2+ 2Fv(u0v0) +Gv(v0)2)
numite ecuat iile geodezicei.
CAPITOLUL 1. INTRODUCERE ^IN TEORIA SUPRAFET ELOR 21
Demonstrat ie.fru;rvgeste o baz a ^ n planul tangent, atunci
este o geodezic a dac a
si numai dac a
00este ortogonal pe ru sirv.
0=u0ru+v0rv, prin urmare avem:
d
dt(u0ru+v0rv)ru= 0 (1.4.17)
d
dt(u0ru+v0rv)rv= 0: (1.4.18)
Membrul st^ ang al ecuat iei (1.4.17) este egal cu
d
dt[(u0ru+v0rv)ru] (u0ru+v0rv)dru
dt
=d
dt(Eu0+Fv0) (u0ru+v0rv)(u0ruu+v0ruv)
=d
dt(Eu0+Fv0) [(u0)2(ruruu) +u0v0(ruruv+rvruu) + (v0)2(rvruv)]:
Reamintim formulele derivatelor coe cient ilor primei forme fundamentale:
Eu= (ruru)u=ruuru+ruruu= 2ruruu;
deciruruu=1
2Eu. Analogrvruv=1
2Gu siruruv+rvruu=Fu.
F ac^ and ^ nlocuirile obt inem c a ecuat ia (1.4.17) este echivalent a cu
d
dt(Eu0+Fv0) 1
2(Eu(u0)2+ 2Fu(u0v0) +Gu(v0)2) = 0;
adic a prima ecuat ie geodezic a. Analog, se demonstreaz a si cea de-a doua relat ie.
Capitolul 2
Teorema Egregium a lui Gauss
A sa cum am v azut ^ n capitolul precedent, av^ and o suprafat a S, cu ajutorul
primei forme fundamentale putem calcula lungimi ale arcelor de curb a de pe aceasta,
ariile unor port iuni din Ssau unghiurile dintre curbe situate pe S, f ar a a "p ar asi"
suprafat a. Se spune despre aceste concepte c a sunt intrinseci suprafet ei.
^In acest capitol vom de ni not iunea de izometrie, pentru a putea discuta despre
not iunea de suprafet e "congruente". De si curbura Gauss a unei suprafet e pare s a e
"sesizabil a" doar din exteriorul suprafet ei, (aceasta ind produsul curburilor princi-
pale), nu este a sa. Vom demonstra celebra teorem a Egregium a lui Gauss prin care
si curbura Gauss este exprimat a doar prin intermediul primei forme fundamentale,
deci si ea este o m arime intrinsec a, numit a si invariantul metric al suprafet ei.
2.1 Izometriile suprafet elor
^Inainte de a introduce not iunea de izometrie, studiem dou a suprafet e: planul si
cilindrul generalizat. Consider^ and planul parametrizat prin
r(u;v) =a+up+vq;
cup siqvectori perpendiculari, avem ru=p sirv=q, ceea ce conduce la E=
kruk2=kpk2= 1;F=rurv=pq= 0;G=krvk2=kqk2= 1. Deci, prima form a
fundamental a a planului este:
I =du2+dv2: (2.1.1)
Consider am acum cilindrul (generalizat) ^ n parametrizarea
r(u;v) =
(u) +a:
22
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 23
Presupunem c ak
0(u)k= 1 siaeste un vector unitar, iar
este ^ n planul perpen-
dicular pea. Atunci,
ru=
0(u); rv=a;
astfel c aE=kruk2=k
0(u)k= 1;F=rurv=
0a= 0;G=krvk2=kak2= 1, iar
prima form a fundamental a a cilindrului (generalizat) este aceea si cu cea a planului,
I =du2+dv2:
Observ am deci c a planul si un cilindrul (generalizat), considerate ^ n parame-
triz ari convenabile, au aceea si prim a form a fundamental a. Semni cat ia geometric a
a acestui fapt nu este di cil de v azut. O foaie de h^ artie plan a poate "^ nf a surat a"
^ n jurul unui cilindru f ar a s a se "mototoleasc a", spre exemplu ^ n imaginea de mai
jos avem cazul unui cilindru circular:
Dac a desen am o curb a pe plan, atunci dup a ^ nf a surare devine o curb a pe ci-
lindru, iar lungimile acestor dou a curbe vor acelea si. Din moment ce lungimile
curbelor sunt calculate cu ajutorul primei forme fundamentale, este plauzibil ca
primele forme fundamentale ale celor dou a suprafet e s a e acelea si. Experimentul
sugereaz a, pe de alt a parte, c a este imposibil s a ^ nfo sori o h^ artie ^ n jurul unei sfere
f ar a mototolire. A sadar, ne a stept am ca planul si sfera s a nu aib a o aceea si prim a
form a fundamental a, oricare ar parametrizarea considerat a.
Urm atoarea de nit ie arat a exact ce ^ nseamn a a ^ nf a sura o suprafat a pe alta, f ar a
^ ndoire.
De nit ia 2.1.1. Dac aS1 siS2sunt dou a suprafet e, un difeomor sm f:S1!S2
este numit izometrie dac a duce curbe de pe S1^ n curbe pe S2;de aceea si lungime.
Dac a exist a o izometrie f:S1!S2, spunem c a S1 siS2sunt izometrice.
Teorema 2.1.1. Un difeormor sm f:S1!S2este o izometrie dac a si numai
dac a, pentru orice port ine de suprafat a r1dinS1, port iunile de suprafet e r1dinS1
sifr1dinS2au aceea si prim a form a fundamental a.
Demonstrat ie. Deoarece lungimea oric arei curbe poate calculat a ca suma lungimi-
lor curbelor, ecare ind dintr-o singur a port iune de suprafat a local a, putem presu-
pune c aS1 siS2sunt acoperite ecare de c^ ate o singur a port iune de supraf at a. Mai
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 24
mult, din moment ce feste un difeormor sm, putem presupune c a aceste port ini
de suprafet e sunt date prin parametriz arile de forma r1:U!R3(pentruS1) si
fr1=r2(pentruS2). Trebuie s a ar at am c a feste o izometrie dac a si numai dac a
r1 sir2au aceea si prim a form a fundamental a.
Presupunem mai ^ nt^ ai c a r1 sir2au aceea si prim a form a fundamental a. Dac a
aplicat iat!(u(t);v(t)) este orice curb a din U si
1(t) =r1(u(t);v(t)) si
2(t) =
r2(u(t);v(t)) sunt curbele corespondente din S1 siS2, atuncifduce curba
1^ n
curba
2, deoarece
f(
1(t)) =f(r1(u(t);v(t))) =r2(u(t);v(t)) =
2(t):
Este evident c a
1 si
2au aceea si lungime, din moment ce am^ andou a lungimile
se a
a integr^ and expresia ( Eu02+2Fu0v0+Gv02)1
2, undeEdu2+2Fdudv +Gdv2este
prima form a fundamental a a lui r1 sir2.
Reciproc, presupunem c a feste o izometrie. Dac a aplicat ia t!(u(t);v(t))
este orice curb a din U, de nit a pentru t2( ; ), curbele
1(t) =r1(u(t);v(t)) si
2=r2(u(t);v(t)) au aceea si lungime. A sadar,
Zt1
t0(E1u02+ 2F1u0v+G1v02)1
2dt=Zt1
t0(E2u02+ 2F2u0v+G2v02)1
2dt;
pentru orice t0;t12( ; ), undeE1;F1 siG1sunt coe cient ii primei forme fun-
damentale a lui r1 siE2;F2 siG2sunt coe cient ii primei forme fundamentale a lui
r2. Aceasta implic a faptul c a cei doi integrant i sunt aceia si, adic a
E1u02+ 2F1u0v+G1v02=E2u02+ 2F2u0v+G2v02: (2.1.2)
Fix am unt02( ; ) si consider am atunci u0=u(t0) siv0=v(t0). Aplic am
ecuat ia (2.1.2) pentru urm atoarele alegeri de curbe t!(u(t);v(t)) dinU:
(i)Pentruu=u0+t t0 siv=v0, rezult aE1=E2;
(ii)Pentruu=u0 siv=v0+t t0, rezult aG1=G2;
(iii) Pentruu=u0+t t0 siv=v0+t t0, rezult aE1+2F1+G1=E2+2F2+G2,
si folosind (i) si (ii)obt inemF1=F2.
^In continuare vom evident ia o clas a de suprafet e izometrice cu planul. Fie o
suprafat a desf a surabil a (regulat a) Scare admite o parametrizare de forma
r(u;v) =
(u) +
0(u); (2.1.3)
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 25
cuk
0(u)k= 1 si
00(u)6= 0:Deci curba directoare a acestei suprafet e este curba
;iar
suprafat a dat a prin (2.1.3) este reuniunea tuturor tangentelor
0(u) duse ^ n punctele
(u) ale curbei directoare
:Suprafat a (2.1.3) o vom numi suprafat a desf a surabil a
a tangentelor . Condit ia de regularitate
00(u)6= 0 conduce la k=k
00(u)k>0;i.e.,
curbura curbei
este strict pozitiv a.
Propozit ia 2.1.1. Orice suprafat a desf a surabil a a tangentelor este izometric a cu
un plan (sau cu o parte dintr-un plan).
Demonstrat ie. Cu notat iile si ipotezele de mai sus, avem:
E=kruk2= (
0+v
00)(
0+v
00)
=
0
0+ 2v
0
00+v2
00
00= 1 +v2k2;
F=rurv= (
0+v
00)
0=
0
0+v
0
00= 1;
G=krvk2=
0
0= 1;
deoarece
0
0= 1;
0
00= 0 si
00
0
00=k2. Deci prima form a fundamental a
suprafat ei desf a surabile a tangentelor este:
I = (1 +v2k2)du2+ 2dudv +dv2: (2.1.4)
Vom ar ata c a planul (sau o parte a acestuia) poate parametrizat astfel ^ nc^ at planul
s a aib a prima form a fundamental a ca ^ n (2.1.4).
Exist a o curb a plan a ~
;cuk~
0(u)k= 1 a c arei curbur a este k. Calculele similare
cu cele de mai sus ne conduc la faptul c a prima form a fundamental a a suprafet ei
desf a surabile a tangentelor, care are curba directoare curba ~
;este de asemenea dat a
de (2.1.4). Dar, deoarece ~
;este curb a plan a, liniile sale tangente ~
0(u) genereaz a
partea din planul ^ n care ~
se a
a.
Observat ia 2.1.1. Este adev arat a si o reciproc a a Propozit iei 2.1.1: orice port iune,
su cient de mic a, a unui plan este izometric a unui plan, cilindru (generalizat), con
sau unei suprafet e desf a surabile a tangentelor.
Suprafet ele izometrice sunt echivalente si din punctul de vedere al distant ei,
dup a cum suprafet ele difeomorfe sunt echivalente din punct de vedere diferent iabil.
Putem s a consider am si alte not iuni de echivalent a pentru suprafet e. Spre exemplu,
motivat i de teoria funct iilor complexe si mecanica
uidelor de nim:
De nit ia 2.1.2. Un difeomor sm ':S1!S2se nume ste aplicat ie conform a, dac a
pentru orice P2S1 si oricev1;v22TPS1;avem
d'P(v1)d'P(v2) =2(P)v1v2;
cu2o funct ie diferent iabil a, nenul a pe S1.
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 26
O transformare conform a va p astra unghiurile, dar nu neap arat lungimile. ^Intr-
adev ar, consider^ and ; :I!S1dou a curbe pe suprafat a S1care se intersecteaz a
^ nt= 0, unghiul dintre ele este
cos= 0 0
jj 0kjj 0jj:
Dac a'este o aplicat ie conform a si este unghiul ^ ntre imaginile curbelor ;
pe suprafat a S2, atunci
cos=d'( 0)d'( 0)
kd'( 0)kkd'( 0)k=2 0 0
2jj 0kjj 0jj= cos:
Are loc urm atoarea propozit ie:
Propozit ia 2.1.2. Dou a suprafet e sunt local conforme, dac a si numai dac a ^ n para-
metriz arile respective, coe cient ii primei forme fundamentale sunt proport ionali, ^ n
care factorul de proport ionalitate, notat cu 2;este o funct ie diferent iabil a, nenul a.
Teorema 2.1.2. Orice dou a suprafet e regulate sunt local, conforme.
O consecint a important a a teoremei de mai sus este existent a pentru orice
suprafat a regulat a a unei parametriz ari locale pentru care coe cient ii primei forme
fundamentale sunt E=G=2(u;v)>0 siF= 0, iar un astfel de sistem de
coordonate se nume ste izotermal.
2.2 Teorema Egregium
^In capitolul precedent am vazut c a pe o suprafat a exist a dou a not iuni de cur-
bur a: curbura medie si curbura total a (Gauss), ambele exprimate prin intermediul
curburilor principale. De si, ^ mpreun a cont in aceea si informat ie ca cele dou a curburi
principale, acestea au semni cat ie geometric a important a. Curbura total a are pro-
prietatea c a r am^ ane neschimbat a atunci c^ and suprafat a se ^ ndoaie f ar a s a se ^ ntind a,
o proprietate pe care curbura principal a nu o are.
Teorema Egregium (^ n latin a Egregium^ nseamn a important, distins, deosebit)
este un rezultat fundamental ^ n geometrie diferent ial a demonstrat de Karl Friedrich
Gauss, care se refer a la curbura total a a suprafet elor. Aceast a teorem a spune: cur-
bura total a depinde doar de coe cient ii primei forme fundamentale , adic a poate
determinat a ^ n ^ ntregime prin m asurarea unghiurilor, distant elor pe suprafat a ^ n
sine, far a alt a referire la modul particular ^ n care suprafat a este ^ ncorporat a ^ n
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 27
spat iul euclidian tridimensional, ea este o proprietate intrinsec a a suprafet ei. Intui-
tiv, s a ne imagin am ni ste int e bidimensionale care locuiesc pe o suprafat a si nu sunt
con stiente c a ^ n afara lumii lor mai exist a si altceva (adic a nu pot s a- si priveasc a pla-
neta din exterior). Conform teoremei Egregium aceste int e sunt capabile totu si s a
determine curbura suprafet ei, doar prin m asur atori pe suprafat a. Este o observat ie
fundamental a care l-a condus ulterior pe Riemann la introducerea curburii pentru
spat iile abstracte care ast azi ^ i poart a numele, variet at ile riemanniene.
Scopul acestei sect iuni este de a demonstra teorema Egregium si de a-i studia
consecint ele.
^In limbaj matematic modern, teorema Egregium se formuleaz a astfel: curbura
Gauss este invariant a la izometrii locale. Aceasta ^ nseamn a, mai precis, c a dac a S1
siS2sunt dou a suprafet e si f:S1!S2este o izometrie ^ ntre ele, atunci pentru
orice punct Pde pe suprafat a S1, curbura Gauss a lui S1^ nPeste egal a cu aceea
a luiS2^ nf(P). Acest rezultat obt inut de Gauss a pus practic bazele geometriei
diferent iale moderne, av^ and un num ar mare de aplicat ii.
Pentru a dovedi teorema Egregium, conform Teoremei 2.1.2 este su cient ca s a
consider am o port ine de suprafat a r(u;v) peS1, si s a se ar at am c a, dac a r sifr
au acelea si forme fundamentale, atunci ele au aceea si cubur a Gauss. Iar acest lucru
este aproape evident pentru c a avem curbura Gauss exprimat a prin:
K=LN M2
EG F2
si s a exprim am LN M2^ n funct ie de E;F siG;(de si teorema Egregium nu ne
spune c aL;M siNpot exprimat i ^ n acest mod individual).
Consider am o baz a ortonormat a neted afe0;e00ga planului tangent ^ n ecare
punct al suprafet ei, unde "neted" ^ nseamn a c a e0 sie00sunt funct ii netede (diferent ia-
bile) ^ n raport cu coordonatele ( u;v) de pe suprafet a. Atunci, fe0;e00;Ngeste o baz a
ortonormat a a R3(N ind normala standard a lui r), si presupunem c a fe0;e00;Ng
este direct orientat a, i.e, N=e0e00. Se poate realiza acest lucru schimb^ and e0cu
e00dac a este necesar.
Putem exprima derivatele part iale ^ n raport cu u sivalee0 sie00^ n func sie de
vectorii bazei ortonormate fe0;e0;Ng. Din moment ce am^ andou a derivatele part iale
ale luie0sunt perpendiculare pe e0, componentele dup a e0ale luie0
u sie0
vsunt zero
(analog si pentru e00).
A sadar,
e0
u= e00+0N;e0
v= e0+0N;
e00
u= 0e0+00N;e00
v= 0e0+00N;
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 28
unde ; ; 0; 0;00;00sunt m arimi scalare (care pot depinde de u siv). Mai mult,
prin diferent iind ecuat ia e0e00= 0 ^ n raport cu u, observ am c a e0
ue00= e0e00
u, i.e.
0= ;(la fel si pentru 0= ). Astfel,
e0
u= e00+0N; e0
v= e00+0N; e00
v= e0+00N; e00
v= e0+00N:(2.2.5)
Lema 2.2.1. ^In notat iile de mai sus, avem:
e0
ue00
v e00
ue0
v=000 000(2.2.6)
e0
ue00
v e00
ue0
v= v u (2.2.7)
e0
ue00
v e00
ue0
v=LN M2
(EG F2)1=2(2.2.8)
Demonstrat ie. Ecuat ia (2.2.6) rezult a din ecuat ia (2.2.5), deoarece e0;e00 siNvectori
unitari perpendiculari.
Avem,
v u=@
@u(e0e00
v) @
@v(e0e00
v)
din ecuat ia (2.2.5), rezult a
v u=e0
ue00
v+e0e00
uv e0
ve00
u e0e00
uv=e0
ue00
v e0
ve00
u;
adic a relat ia (2.2.7).
Pentru a demonstra ecuat ia (2.2.8), folosim formula
NuNv=K(rurv):
Combin^ and aceasta cu formulele:
N=rurv
krurvk;krurvk= (EG F2)1=2
obt inem:
NuNv=LN M2
(EG F2)1=2N:
A sadar,
(NuNv)N=LN M2
(EG F2)1=2(2.2.9)
Dar,N=e0e00, ceea ce conduce la
(NuNv)N= (NuNv)(e0e00)
= (Nue0)(Nve00) (Nue00)(Nve0)
= (Ne0
u)(Ne00
v) (Ne00
u)(Ne0
v);
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 29
^ n care am folosit ecuat iile:
Nue0= Ne0
u;Nue00= Ne00
u;
Nve0= Ne0
v;Nve00= Ne00
v;
obt inute prin diferent ierea relat iilor Ne0= 0 = Ne00^ n funct ie de u siv.
Avem deci,
(NuNv)N=000 000; (2.2.10)
care ^ mpreun a cu (2.2.9) arat a c a membrii din dreapta ai ecuat iilor (2.2.6) si (2.2.8)
sunt egali. Din moment ce ecuat ia (2.2.6) a fost stabilit a, aceasta demonstreaz a
ecuat ia (2.2.8).
Cu toate aceste informat ii putem demonstra teorema Egregium:
Teorema 2.2.1. (Teorema Egregium) curbura Gauss este invariant a la izometrii
locale.
Demonstrat ie. Combin^ and ecuat iile (2.2.7) si (2.2.8), obt inem:
K= v u
(EG F2)1=2(2.2.11)
Pentru a dovedi teorema, este su cient s a ar at am c a, pentru o alegere potrivit a
a bazeife0;e00g, m arimile scalare si depind doar de E;F siG. Ar trebui s a
construimfe0;e00gaplic^ and procesul Gram-Schmidt bazei fru;rvga planului tangent,
si apoi s a ar at am c a au proprietatea dorit a.
De nim:
e0:=ru
kruk=ru;
unde=E 1=2. C aut a un vector e00=
ru+rv, cu
;m arimi scalare, astfel ^ nc^ at
e00este vector perpendicular pe e0. Rezult a,
E 1=2(
E+F) = 0;
2E+ 2
F+2G= 1:
Din prima ecuat ie obt inem
= F=E , iar ^ nlocuind ^ n a doua ecuat ie, rezult a
2(F2
E 2F2
E+G) = 1;
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 30
=E1=2
(EG F2)1=2;
= FE 1=2
(EG F2)1=2; =E 1=2: (2.2.12)
A sadar,
e0=ru; e00=
ru+rv; (2.2.13)
unde
;depind doar de E;F siG.
Urmeaz a s a calcul am ; :
=e0
ue00(prin (2:2:5))
= (uru+ruv)(
ru+rv) (prin (2 :2:13)
=u
(ru)(
ru+rv) +
ruvru+ruvrv:
Rezult a,
=1
2
Eu+(Fu 1
2Ev); (2.2.14)
care depinde doar de E;F siG(deoarece acela si lucru este valabil si pentru
;; ).
Analog,
=e0
ve00= (vru+ruv)(
ru+rv)
=v
e0e00+
ruvru+ruvrv;
si deci,
=1
2
Ev+1
2
Gu; (2.2.15)
care depinde de asemenea de E;F siG. Cu aceasta demonstrat ia teoremei este
complet a.
^Inlocuind valorile actuale ale
;; ^ n aceste formule pentru si , si apoi uti-
liz^ and ecuat ia (2.2.11), obt inem o formul a explicit a pentruK^ n funct ie de E;F si
G.
Corolarul 2.2.1. Curbura Gauss este dat a de:
K= 1
2Euv+Fuv 1
2Guv1
2EuFu 1
2Ev
Fv 1
2 1
2Gu E F
1
2Gv F G 01
2Ev1
2Gu
1
2EvE F
1
2GuF G
EG F2
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 31
Corolarul 2.2.2. (i) Dac aF= 0, avem
K= 1
2p
EGf@
@u(Gup
EG) +@
@v(Evp
EG)g;
(ii) Dac aE= 1 siF= 0, avem
K= 1p
G@2p
G
@u2:
Teorema 2.2.1. Punctele unei suprafet e ^ n care curbura Gauss este constant a sunt
situate pe o port iune a suprafet ei care este izometric a cu o port iune a unui plan, a
unei sfere sau a unei pseudosfere.
Demonstrat ie. FiePun punct al suprafet ei Scu o curbur a Gauss constant a K.
Aplic^ and o dilatat ie pe R3, ((x;z;y )7!a(x;y;z );cua2R; a6= 0);lu am ^ n
considerare doar cazurile K= 0;1 si 1.
Consider am o port iune geodezic a r(u;v) a suprafet ei S, cur(0;0) =P. Scriind
g=p
G, atunci prima form a fundamental a a acesteia este:
du2+g(u;v)2dv2:
Din Corolarul 2.2.2, (ii) avem,
@2g
@u2+Kg= 0: (2.2.16)
Not am
g(0;v) = 1; gu(0;v) = 0: (2.2.17)
Dac aK= 0, solut ia ecuat iei (2.2.16) este g(u;v) = u+ , unde si sunt
functii netede doar ^ n raport v. Din condit iile (2.2.17) rezult a = 0 si = 1, deci
g= 1 si prima form a fundamental a pentru port iunea geodezic a r(u;v) este:
du2+dv2:
Aceasta este identic a cu prima form a fundamental a a parametriz arii obi snuite a
planului (dup a cum am obt inut ^ n (2.1.1)), si conform Teoremei 2.1.2 putem spune
c a port iunea geodezic a r(u;v) este izometric a cu o parte a planului.
Dac aK= 1, solut ia general a a ecuat iei (2.2.16) este g= cosu+ sinu, unde
si depind doar de v. Din condit iile (2.2.17) rezult a = 1 si = 0, iar prima
form a fundamental a pentru reste:
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 32
du2+ cos2udv2:
Aceasta este prima form a fundamental a a unei sfere, cu u siv ind latitudine,
respectiv longitudine. Astfel, reste izometric cu o port iune din sfer a.
^In nal, pentru K= 1, g asim prin aceea si metod a c a prima form a fundamental a
a luireste:
du2+ cosh2udv2:
Reparametriz^ and r, avem:
V=evtanhu; W =evsechu:
Astfel, prima form a fundamental a devine:
dV2+dW2
W2;
aceasta ind prima form a fundamental a a pseudosferei.
2.3 Ecuat iile Codazzi-Mariandi
Prin teorema Egregium a lui Gauss, coe cient ii primei si celei de a doua forme
fundamentale ai unei suprafet e nu pot funct ii netede arbitrare, ar at^ and c a LN M2
poate exprimat ^ n funct ie de E; F siG.^In acest a sect iune vom ar ata c a exist a
anumite relat ii adit ionale ^ ntre ace sti coe cient i, si vom demonstra c a nu mai exist a
alte relat ii.
Propozit ia 2.3.1. (Ecuat iile Gauss ) FieSo suprafat a parametrizat a prin r(u;v).
Avem,
ruu= 1
11ru+ 2
11rv+LN;
ruv= 1
12ru+ 2
12rv+MN;
ruv= 1
22rv+ 2
22rv+NN;
unde,
1
11=GEu 2FFu+FEv
2(EG F2); 2
11=2EFu EEv FEu
2(EG F2);
1
12=GEv FGu
2(EG F2); 2
12=EGu FEv
2(EG F2);
1
22=2GFv GGu FGu
2(EG F2); 2
22=EGv 2FFv+FGu
2(EG F2):
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 33
Coe cient i i
jk; i;j;k = 1;2;din aceste formule se numesc simbolurile lui Chris-
to el .
Demonstrat ie. Deoarecefru;rv;Ngeste o baz a a R3, funct iile scalare i; i;
i; i=
1;2;3;satisfac relat iile:
ruu= 1ru+ 2rv+ 3N; (2.3.18)
ruv= 1ru+ 2rv+ 3N;
rvv=
1ru+
2rv+
3N;
care atest a totodat a si existent a acestora. Consider^ and produsul scalar al ec arei
ecuat ii cu N, obt inem:
3=L; 3=M;
3=N:
Efectu am produsul scalar al ec arei ecuat ii (2.3.18) cu ru sirv. Obt inem astfel
sase ecuat ii scalare din care determin am cei sase coe cient i r ama si. Spre exemplu,
lu am produsul scalar al primei ecuat ii din (2.3.18) cu rv sirvobt inem dou a ecuat ii:
F 1+F 2=ruuru=1
2Eu;
F 1+G 2= uu v= (rurv)u ruruv=Fu 1
2Ev:
Rezolv^ and aceste ecuat ii obt inem 1= 1
11; 2= 2 11. Asem an ator se procedeaz a
si pentru ceilalt i patru coe cient i din ecuat iile (2.3.18).
Noile relat ii ^ ntre coe cient ii primei si celei de-a doua forme fundamentale a unei
suprafet e sunt cont inute ^ n urm atorul rezultat.
Propozit ia 2.3.2. (Ecuat iile Codazzi-Mainardi ) Av^ and simbolurile Christo el
ale unei suprafet e r(u;v);au loc ecuat iile
Lv Mu=L 1
12+M( 2
11 1
11) N 2
11; (2.3.19)
Mv Nu=L 1
22+M( 2
22 1
22 N 2
12:
Demonstrat ie. Scriem ecuat ia ( ruu)v= (ruv)u, folosind ecuat iile Gauss pentruruu si
ruv:
( 1
11ru+ 2
11rv+LN)v= ( 1
12ru+ 2
12rv+MN)u;
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 34
(@ 1
11
@v @ 1
12
@u)ru+ (@ 2
11
@v @ 2
12
@u)rv+ (Lv Mu)N (2.3.20)
= 1
12ruu+ ( 2
12 1
11)ruv 2
11ruv LNv+MNu
= 1
12( 1
11ru+ 2
11rv+LN) + ( 2
12 1
11)( 1
12ru+ 2
12rv+MN)
2
11( 1
22ru+ 2
22rv+NN) LNv+MNu:
Dar,Nu siNvsunt perpendiculare pe N si sunt combinat ii liniare pentru ru sirv.
Astfel, egal^ and componentele lui Ndin ambele p art i ale ultimelei ecuat ii, se obt ine:
Lv+Mu=L 1
12+M( 2
12 1
11) 2
11;
aceasta ind prima ecuat ie Codazzi-Mainardi . Cealalt a ecuat ie se obt ine ^ ntr-un
mod similar din ( ruv)v= (rvv)u.
Observat ia 2.3.1. Putem spune c a se obt in alte patru identit at i ca cele din (2.3.19),
dou a prin egalarea coe cient ilor lui ru sirvdin ecuat ia (2.3.20) si alte dou a din
ecuat ia care rezult a explicit^ and pe (ruv)v= (rvv)u. Totu si, aceste identit at i sunt
echivalente cu formula din Corolarul 2.2.1, astfel obt in^ andu-se o nou a demonstrat ie
pentru Teorema Egregium.
^In realitate, nu exist a alte egalit at i, a sa cum arat a urm atoarea teorem a.
Teorema 2.3.1. Fier:U!R3 sir:U!R3dou a suprafet e care au aceea si
prim a si a doua forme fundamentale. Exis a o mi scare rigid a MaR3astfel ^ nc^ at
r=Mr.
Mai mult, e Vo submult ime deschis a din R2 si eE; F; G; L; M siNfunct ii
netede peV si presupunem c a E > 0; G > 0; EG F2>0,K=LN M2
EG F2 si
simbolurile Christo el exprimat i ca ^ n Propozit ia 2.2.1. Dac a (u0;v0)2V, exist a
un deschis Ucont inut ^ n V si care cont ine (u0;v0), si o port iune de suprafat a r:
U!R3, astfel ^ nc^ at Edu2+ 2Fdudv +Gdv2 siLdu2+ 2Mdudv +Ndv2sunt prima,
respectiv a doua form a fundamental a pentru r.
2.4 Suprafet e compacte de curbur a Gauss con-
stant a
Lema 2.4.1. Fier:U!R3o suprafat a si un punct P=r(u0;v0)un punct
neombilical al suprafet ei. Fie k1k2curburile principale ale lui r si presupunem ca
funct iak1are un maxim ^ n punctul P si iark2are un minim ^ n P. Atunci, curbura
Gauss a lui r^ nPeste0.
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 35
Demonstrat ie. DeoarecePnu este punct ombilical, k1> k 2^ nP, astfel dac a
mic sor amU(dac a este nevoie), putem presupune c a are loc inegalitatea strict a
k1>k 2oriunde. Putem presupune c a prima si a doua form a fundamental a ale lui r
sunt:
Edu2+Gdv2; Ldu2+Ndv2:
Avem,
Ev= 2E
k1 k2(k1)v; Gu=2G
k1 k2(k2)u;
si din Corolarul 2.2.2 (ii), curbura Gauss este
K= 1
2p
EG(@
@u(Gup
EG) +@
@v(Evp
EG)):
Dac aPeste un punct stat ionar al lui k1 sik2, avem (k1)v= (k2)u= 0, si astfel
Ev=Gu= 0 ^ nP. Atunci, ^ n Pavem:
K= 1
2EG(Guu+Evv) = 1
2EG(2G
k1 k2(k2)uu 2E
k1 k2(k1)vv):
Deoarecek1are un maxim ^ n P, (k1)vv0 sik2are un minim ^ n P, (k2)uu0,
ultima ecuat ie ne conduce la concluzia K0 ^ nP.
Teorema 2.4.1. Orice suprafat a compact a de curbur a Gauss constant a este o sfer a.
Mai mult, valoarea constant a a curburii Gauss trebuie s a e pozitiv a.
Demonstrat ie. Consider am funct ia continu a pe suprafat a S;dat a deJ= (k1 k2)2,
undek1 sik2sunt curburile principale. Se observ a c a aceast a funct ie este bine
de nit a. Ar trebui s a demonstr am c a aceast a funct ie este identic nul a pe S, astfel
c a ecare punct din Seste un punct ombilical. Deoarece curbura Gauss K > 0, se
deduce c aSeste o parte din sfer a, pe care o not am cu S2.Strebuie s a e ^ ntregul
S2. Pentru orice punct PdinScare este cont inut ^ n port iunea r:U!R3dinS,
avemr(U) =STW, undeWeste o mult ime deschis a din R3. Rezult a c a Seste
o submult ime deschis a a lui S2. Dar, deoarece Seste compact a, este necesar a o
submult ime ^ nchis a a lui R3, si deci o submult ime ^ nchis a a lui S2. Dar deoareceS2
este conex a, singura submult ime nevid a a lui S2care este si deschis a si ^ nchis a este
chiarS2.
Presupunem atunci, pentru a obt ine o contradict ie, c a Jnu este identic nul a pe
S. DeareceSeste compact, Jtrebuie s a ating a valoarea maxim a ^ ntr-un punct P
dinS si aceast a valoare maxim a este >0. Alegemr:U!R3dinS, cont in^ andu-l
peP, si ek1 sik2curburile principale. Deoarece k1k2>0, reparametriz^ and dac a
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 36
este necesar, putem presupune c a k1 sik2sunt ambele >0. Presupunem c a k1>k 2
peU. Dac aKeste constant a >0, funct ia (x k
x)2cre ste cux, consider^ andu-se c a
x >K
x>0. Dac ak1>K
k1=k2>0, aceast a funct ie cre ste ^ n x=k1, a sa c ak1
trebuie s a aib a un maxim ^ n P si apoik2=K
k1trebuie s a aib a un minim ^ n P.
Din Lema 2.4.1, rezult a K0 ^ nP. Aceast a a rmat ie contrazice presupunerea
facut a, si anume c a K > 0.
2.5 Aplicat ii
Exercit iul 2.5.1. FieSo suprafat a de revolut ie av^ and parametrizarea local a:
r(u;v) = (f(v) cosu;f(v) sinu;g(v));
cua<v<b; 0<u< 2 sif(v)>0. Coe cient ii primei forme fundamentale sunt:
E=f2(v); F = 0; G =f02(v) +g02(v):
Dac a lu am curba generatoare ca ind l ant i sorul, adic a f(v) =acoshv sig(v) =av,
aceast a suprafat a se nume ste catenoid, iar coe cient ii primei forme fundamentale
devin
E=a2cosh2v; F = 0; G =a2(1 + sinh2v) =a2cosh2v: (2.5.21)
Fie acum o alt a suprafat a S0dat a de parametrizarea:
r(u;v) = (vcos u;vsin u;au);
cu0<u<2 si 1<v<1, cunoscut a sub numele de elicoid drept. Dac a facem
schimbarea de variabil a u=u siv=asinhvobt inem o nou a parametrizare:
r(u;v) = (asinhvcosu;asinhvsinu;au );
iar coe cient ii primei forme fundamentale corespunz atori elicoidului drept ^ n aceast a
parametrizare au expresiile:
E=a2cosh2v; F = 0; G =a2cosh2v: (2.5.22)
Privind (2.5.21) si (2.5.22), rezult a c a elicoidul drept si catenoidul sunt local
izometrice, iar ^ n baza teoremei Egregium, obt inem c a elicoidul drept si catenoidul
au curburile Gauss egale.
CAPITOLUL 2. TEOREMA EGREGIUM A LUI GAUSS 37
Exercit iul 2.5.2. Exercit iul 10.9
Exercit iul 2.5.3. Exercitiul 10.10
Exercit iul 2.5.4. Exercitiul 10.11
Capitolul 3
Teorema Gauss-Bonnet
Teorema Gauss-Bonnet este unul din cele mai frumose si profunde rezultate din
teoria suprafet elor. Exist a mai multe versiuni ale acesteia, dar cea mai important a
stabile ste o leg atur a ^ ntre integrala pe o suprafat a a curburii gaussiene a acesteia
si o proprietate topologic a a suprafet ei numit a caracteristica saunum arul Euler ,
aceasta ind neschimbat a la orice deformare continu a a suprafet ei. ^In general ase-
menea deform ari schimb a valoarea curburii Gauss, dar teorema ne spune c a aceast a
integral a pe suprafat a nu se schimb a.
Teorema este denumit a dup a Karl Friedrich Gauss, care stabile ste o prim a ver-
siune (apare ^ n memoriul lui Gauss de la 1823-1827, Disquisitiones generales circa
super cies curvas) , si care se refer a la triunghiuri cu laturile arce de geodezic a de pe
o suprafat a si dup a Pierre Ossian Bonnet care a publicat un caz special ^ n 1848.
Adev arata important a a teoremei Gauss-Bonnet este c a ea un prototip, ind
cunoscute numeroase generaliz ari la variet at ile diferent iabile de dimensiuni mari,
care fac o leg atur a ^ ntre propriet at ile geometrice si cele topologice ale acestora. Stu-
diul acestui gen de relat ii este una dintre cele mai importante teme ale matematicii
secolului XX.
3.1 Gauss-Bonet pentru curbe simple si ^ nchise
Cea mai simpl a versiune a teoremei Gauss-Bonnet implic a o curb a simpl a si
^ nchis a situat a pe o suprafat a. Pentru o suprafat a ^ n general, avem:
De nit ia 3.1.1. O curb a
(t) =r(u(t);v(t))pe o port iune de suprafat a r:U!R3
se nume ste curb a simpl a si ^ nchis a cu perioad a adac a(t) = (u(t);v(t))este o
curb a ^ nchis a si simpl a ^ n R2cu o perioad a aastfel ^ nc^ at interiorul lui notat cu
int()dinR2este ^ n ^ ntregime cont inut ^ n U(ca ^ n diagramele de mai jos). Curba
38
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 39
este pozitiv orientat a dac a este pozitiv orientat a. ^In nal, imaginea prin ra lui
int()este de nit a ca ind interiorul lui
;notat cuint(
).
Acum putem enunt a prima versiunea a Teoremei Gauss-Bonnet.
Teorema 3.1.1. Fie
(s)o curb a simpl a si ^ nchis a pe o port iune de suprafat a rde
lungimel(
), cujj
0(s)jj= 1; si presupunem c a
este pozitiv orientat a. Atunci,
Zl(
)
0kgds= 2 ZZ
int(
)KdAr;
undekgeste curba geodezic a a lui
,Keste curbura Gauss a lui r sidAr= (EG
F2)1=2dudv este elementul de arie pe suprafat a r.
Demonstrat ie. Pentru a simpli ca scrierea, vectorii e0 sie00ai bazei ortonormate
fe0;e00;Ngii renot am ^ n acest capitol cu a sib.
Alegem o baz a ortonormat a neted a fa;bga planului tangent la r^ n ecare punct,
astfel ^ nc^ atfa;b;Ngeste o baz a ortonormat a direct orientat a a lui R3, unde Neste
normal a standard la r. Consider am urm atoarele integrale:
I=Zl(
)
0ab0ds
=Zl(
)
0a(buu0+bvv0)ds
=Z
(abu)du+ (abv)dv:
Din teorema lui Green, ultima integral a curbilinie poate rescris a ca o integral a
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 40
dubl a astfel:
I=ZZ
int()f(abv)u (abu)vgdudv
=ZZ
int()faubv) (avbu)gdudv
=ZZ
int()LN M2
(EG F2)1=2dudv
=ZZ
int()LN M2
EG F2(EG F2)1=2dudv
Deci,
I=ZZ
int()KdAr: (3.1.1)
Fie(s) unghiul dintre vectorul tangent
0al lui
^ n
(s) si vectorul a^ n acela si
punct. Mai precis, este unghiul determinat p^ an a la valori multiple ale lui 2 , astfel
^ nc^ at:
0= cosa+ sinb: (3.1.2)
Apoi,
N
0= sina+ cosb: (3.1.3)
Din ecuat ia (3.1.2), avem:
00= cosa0+ sinb0+0( sina+ cosb); (3.1.4)
Rezult a din ecuat iile (3.1.3) si (3.1.4), curbura geodezic a a lui
este:
kg= (N
0)
00
=0( sina+ cosb)( sina+ cosb) + (sina+ cosb)(cosa0+ sinb0)
=02(a0b) sin2(b0a) + sincos(b0b a0a);(din (3:1:2);(3:1:3))
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 41
Dar, vectorii a sibsunt perpendiculari si unitari, atunci:
aa0=bb0= 0;a0b= ab0:
Astfel,
kg=0 ab0;
si din de nit ia lui I,
I=Zl(
)
0(0 kg)ds:
Pentru a completa demonstrat ia teoremei, trebuie s a ar at am c a:
Zl(
)
00ds= 2: (3.1.5)
Ecuat ia (3.1.5) este numit a ^ n german a "Hopf's Umlaufsatz" si se traduce prin
"Teorema rotat iei" .
Principala observat ie este c a, dac a
este orice curb a simpl a si ^ nchis a, cont inut a
^ n interiorul lui
, atunci exist a o familie de curbe simple si ^ nchise
, de nite
pentru 0 1, cu
0=
si
1=
. Existent a unei astfel de familii de curbe
este evident a. Este important ca interiorul lui s a e ^ n ^ ntregime ^ n U, pentru c a
altfel, o astfel de familie nu va exista, ^ n general.
^In continuare, observ am c a integralaRl(
)
00dsar trebui s a depind a continuu
de . Dac a
siase ^ ntorc la valorile originale, integrala este mereu multiplu de
2. Aceste lucruri implic a faptul c a integrala trebuie s a e independent a de , iar
dinTeorema valorii intermediare , o variabil a continu a nu se poate schimba de la
un num ar ^ ntreg la un alt num ar ^ ntreg f ar a s a treac a printr-o valoare non-^ ntreag a.
Pentru a calculaRl(
)
00ds, putem ^ nlocui
cu orice al a curb a simpl a si ^ nchis a
din interiorul lui
, deoarece aceasta nu va schimba valoarea integralei. Lu am
ca
ind imaginea prin ra unui cerc mic din interiorul lui . Este evident c a:
Zl(
)
00ds= 2;
deoarece:
(i) a este constant ^ n toate punctele lui
(pentru c a cercul este foarte mic),
(ii)vectorul tangent la
se rote ste o singur a dat a cu 2 , deoarece interiorul lui
poate considerat o parte esent ial a a unui plan si este "intuitiv clar" c a
vectorul tangent al unei curbe simple si ^ nchise ^ n plan se rote ste cu 2 o dat a
^ n jurul curbei.
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 42
3.2 Gauss-Bonnet pentru poligoanele curbilinii
Pentru urm atoarea variant a a Teoremei Gauss-Bonnet, trebuie s a generaliz am
not iunea de curb a, prin introducerea "colt urilor".
De nit ia 3.2.1. Un poligon curbiliniu din R2este o aplicat ie continu a :R!R2
astfel ^ nc^ at, pentru diviziuni 0 =t0<t1<:::<t n=aale intervalului [0;a]; a> 0,
au loc:
(i)(t) =(t0)dac a si numai dac a t0 teste multiplu ^ ntreg de a;
(ii)este neted a pe ecare din intervalele deschise (t0;t1);(t1;t2); :::;(tn 1;tn);
(iii) derivatele laterale
0 (ti) = lim
l"ti(t) (ti)
t ti; 0+(ti) = lim
l#ti(t) (ti)
t ti: (3.2.6)
exist a pentru i= 1;::;n; si nu sunt nule si paralele.
Observat ia 3.2.1. Punctele
(ti);pentrui= 1;:::n; sunt numite v^ arfuri ale poli-
gonului curbiliniu iar segmentele lui care corespund intervalelor deschise (ti 1;ti)
sunt numite laturi.
Are sens s a spunem c a un poligon curbiliniu este pozitiv-orientat , adic a8t
astfel ^ nc^ at (t) nu este v^ arf, vectorul nsobt inut rotind 0invers acelor ceasului cu
un unghi de =2 ar trebui s a se ^ ndrepte spre int(). Regiunea int() ^ mprejmuit a
deare sens, deoarece teorema Jordan pentru curbe se aplic a poligoanelor curbilinii
din plan.
Fier:U!R3 si e:R!Uun poligon curbiliniu ^ n U, ca ^ n De nit ia 3.2.1.
Atunci,
=reste un poligon curbiliniu din suprafat a r,int(
) este imaginea
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 43
prinral luiint(), v^ arfurile lui
sunt punctele
(ti);pentrui= 1;:::;n; iar laturile
lui
sunt segmentele care corespund intervalelor deschise ( ti 1;ti). Deoarece reste
admisibil a, derivatele laterale:
0 (ti) = lim
t"ti
(t)
(ti)
t ti;
0+= lim
t#ti
(t)
(ti)
t ti
exist a si nu sunt paralele.
Fie
iunghiurile dintre
0 si versorul a, de nite ca ^ n ecuat ia (3.1.2), e i=
+
i
iunghiul exterior cu v^ arful ^ n
(ti) si e i= iunghiul interior. Deoarece
vectorii tangent i
0+(ti) si
0+(ti) nu sunt paraleli, unghiul inu este un multiplu
de 2. Observ am c a toate aceste unghiuri sunt multiplu de 2 . Presupunem c a
0< i<2;pentrui= 1;:::;n .
Un poligon curbiliniu
se spune c a este de vitez a unitar a dac a k
0k= 1;oric^ and
0este de nit, i.e. pentru orice tastfel ^ nc^ at
(t) nu este v^ arf al lui
. G asim c a
parametrul lui
desdac a
este de vitez a unitar a. Perioada lui
este atunci egal a
cu lungimea l(
), care este suma lungimilor laturilor lui
.
Teorema 3.2.1. Fie
un poligon curbiliniu pozitiv orientat cu nlaturi pe o suprafat a
r si e 1; 2;:::; nunghiurile interioare ale v^ arfurilor. Atunci,
Zl(
)
0kgds=nX
i=1 i (n 2) ZZ
int(
)KdAr:
Demonstrat ie. Prin acelea si atgumente ca ^ n demonstrat ia Teoremei 3.2.1, avem
Zl(
)
0kgds=Zl(
)
00ds ZZ
int(
)KdAr
si trebuie s a demonstr am c a:
Zl(
)
00ds= 2 nX
i=1i: (3.2.7)
Presupun^ and aceasta, avem:
Zl(
)
0kgds= 2 nX
i=1i ZZ
int(
)KdAr
= 2 nX
i=1( i) ZZ
int(
)KdAr
=nX
i=1 i (n 2) ZZ
int(
)KdAr:
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 44
Pentru a demonstra ecuat ia (3.2.7), ne imagin am "netezirea" ec arui v^ arf al lui
a sa cum ne arat a diagrama urm atoare:
Curba "netezit a" ~
dac a este neted a atunci avem:
Zl(~
)
0~0ds= 2: (3.2.8)
Deoarece
si ~
sunt aproape identice, except ie f ac^ and vecin at at ile v^ arfurilor lui
, diferent aZl(~
)
0~0ds Zl(
)
00ds (3.2.9)
este o sum a de ntermeni, c^ ate unul din vecin atatea ec arui v^ arf. Vecin atatea lui
(si) este ca ^ n gura urm atoare:
i.e.
si ~
coincid, excep^ and cazul c^ and sapart ine intervalului ( s0
i;s00
i), cont i^ andu-l
pesi, deci termenul corespunz ator v^ arfului ieste:
Zs00
i
s0
i0ds Zsi
s0
i0ds Zs00
i
si0ds:
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 45
Prima integral a este unghiul dintre ~
0(s00
i) si
0(s0
i), undes0
i sis00
itind lasi si
devine unghiul dintre
0 (si) si
0+(si), i.e.i. Pe de alt a parte, deoarece
(s)
este nit pe ecare din intervalele ( s0
i;si) si (si;s00
i), ultimele dou a integrale tind la
zero c^ ands0
i sis00
itind lasi. Deci, termenul corespunz ator v^ arful idin expresia
(3.2.9) tinde la ic^ ands0
i sis00
itind lasi. Adun^ and termenii corespunz atori tuturor
v^ arfurilor obt inem:Zl(~
)
0~0ds Zl(
)
00ds=nX
i=1i:
Deci, ecuat ia (3.2.7) rezult a din aceasta si din ecuat ia (3.2.8).
Corolarul 3.2.1. Dac a
este un poligon curbiliniu cu nlaturi, ecare latur a ind
un arc al unei geodezice, atunci unghiurile interioare 1; 2;:::; nale poligonului
satisfac ecuat ia:
nX
i=1 i= (n 2)+Z Z
int(
)KdAr:
Demonstrat ie. Aceasta rezult a imediat din Teorema 3.2.2, deoarece kg= 0 de-a
lungul unei geodezice.
^In continuare consider am c^ ateva cazuri speciale ale acestui corolar:
I.Consider am poligonul cu nlaturi drepte din plan. Deoarece ^ n plan avem K=
0;din Corolarul 3.2.1 obt inem un rezultat cunoscut pentru geometria elementar a:
nX
i=1 i= (n 2);
II.Pentru un poligon curbiliniu cu nlaturi de pe sfer a av^ and ca laturi arce ale
unui cerc, avem K= 1, deciPn
i=1 idep a se ste valoarea ( n 2)de la plan cu aria
poligonului:RR
dAr.^In particular dac a lu am n= 3, obt inem pentru un triunghi
sfericABC ale c arui laturi sunt arce de cerc,
A(ABC ) =\A+\B+\C :
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 46
III.^In nal, pentru un poligon curbiliniu geodezic cu nlaturi de pe o pseudosfer a,
(deci avem K= 1), vedem c aPn
i=1 ieste cu (n 2)mai mic a dec^ at aria
poligonului. ^In particular, pentru un triunghi geodezic ABC din pseudosfer a avem
A(ABC ) = \A \B \C:
3.3 Gauss-Bonnet pentru suprafet e compacte
Cea mai important a versiune a teoremei Gauss-Bonnet este cea referitoare la
suprafet eScompacte. Este un rezultat surprinz ator pentru c a exist a put ine suprafet e
compacte ^ n R3difeomorfe, dar care pot descrise explicit. Cel mai simplu exemplu
este sfera. Un alt exemplu de suprafat a compact a este torul, care poate obt inut
rotind ^ n jurul axei Ozun cerc ^ n planul xOz, care nu intersecteaz a axa Oz.
Dar se pot combina mai multe toruri:
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 47
Not am aceast a suprafat a prin Tg, undegeste num arul de g auri, numite genul
suprafet ei. Spre exemplu lu am g= 0 pentru sfer a.
Teorema 3.3.1. Pentru orice num ar ^ ntreg g0, peTgexist a un atlas astfel ^ nc^ at
Tgeste o suprafat a neted a. Mai mult, orice suprafat a compact a este difeomorf a cu
o suprafat a din Tg.
Versiunea teoremei Gauss-Bonet pe care o dorim s a o prezent am, se obt ine aco-
perind suprafat a compact a Scu poligoane curbilinii potrivite, c arora li se aplic a
Teorema 3.2.2 si apoi se adun a toate rezultatele.
De nit ia 3.3.1. FieSo suprafat a, cu atlasul format din port iunile de suprafat a
ri:Ui!R3. O triangulare a lui Seste o colect ie de poligoane curbilinii, interiorul
ec arui ind cont inut ^ n una din mult imile ri(U), astfel ^ nc^ at:
(i) ecare punct din Seste ^ n cel put in ^ n unul din poligoanele curbilinii;
(ii) dou a poligoane curbilinii sunt sau disjuncte sau intersect ia lor este o latur a
comun a sau un v^ arf comun;
(iii) ecare latur a este o latur a a exact dou a poligoane.
Situat ii ca ^ n desenul urm ator nu sunt permise:
O triungulare a sferei unitate cu opt poligoane este obt inut a intersect^ and sfera
cu cele trei plane de coordonate:
Teorema 3.3.2. Orice suprafat a compact a admite o triungulare cu un num ar nit
de poligoane curbilinii.
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 48
De nit ia 3.3.2. Num arul (caracteristica) Euler Xal triangul arii unei suprafet e
compacteSeste
X=V E+F;
unde:
Veste num arul total de v^ arfuri ale triangul arii
Eeste num arul total de latruri ale triangul arii,
Feste num arul total de poligoane ale triangul arii.
Exemplul 3.3.1. Pentru triangularea sferei dat a mai sus, V= 6;E= 12 siF= 8,
deciX= 6 12 + 8 = 2 .
Important a num arului lui Euler este c a, de si diferite triunghiul ari ale unei suprafet e
date vor avea numere diferite de v^ arfuri, laturi si poligoane, Xeste de fapt indepen-
dent de triangulare si depinde doar de suprafat a.
Exemplul 3.3.2. Putem obt ine o alt a triungulare a sferei "um
^ and" un tetraedru
regulat:
Exemplul 3.3.3. ^In acest caz, V= 4;E= 6 siF= 4 si rezult aX= 4 6 + 4 = 2 ,
egal cu cel de sus.
Aceas a proprietate a lui Xeste o consecint a a urm atoarei teoreme.
Teorema 3.3.3. FieSo suprafat a compact a. Atunci, pentru orice triangulare a lui
S, avem: ZZ
SKdA= 2X; (3.3.10)
undeXeste num arul lui Euler al triangul arii.
Demonstrat ie. Ca s a putem explica relat ia din teorema de mai sus, x am o triangu-
lare a luiScu poligoanele Pi. FiecarePieste cont inut ^ n imaginea lui ri:Ui!R3
din atlasul lui S, deci avem Pi=ri(Ri), undeRiUi. Atunci, prin de nit ie,
ZZ
SKdA=X
iZZ
RiKdAri;
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 49
undeKeste curbura Gauss a lui ri.
Dar, trebuie s a ar at am c a aceasta este o bine de nit a, i.e. nu depinde de alegerea
parametriz arilor ri(deoarece, chiar si pentru o triangulare dat a, Pipoate cont inut
^ n mai mult de un plan), si nu depinde nici de triangulare.
Pentru a justi ca aceasta, presupunem c a, dac a ~ ri:~Ui!R3este o reparametri-
zare a luiri si dac aPi= ~ri(~Ri), unde ~Ri~Ui, atunci:
ZZ
RiKdAri=ZZ
~RiKdA~ri;
pentru c a ^ n am^ andou a, elementul de arie dAr si curbura Gauss K, sunt nu se
modi c a ^ n urma reparametriz arilor.
Dac afPig sifP0
jgsunt dou a triangulariz ari ale lui S, este evident c a putem g asi
a treia triangulare fP00
kga luiS, astfel ^ nc^ at ecare Pieste reuniunea unor poligoane
P00
k, ca de altfel si P0
j. Spre exemplu, dac a Pi siP0
jse suprapun astfel,
atunci inser^ and v^ arfuri adit ionale, putem crea poligoanele adecvate P00
k:
Este evident c a:
X
iZZ
RiKdAri=X
jZZ
R0
jKdAr0
j;
deoarece ambii membri sunt egali cu:
X
kZZ
R00
kKdAr00
k:
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 50
Aceasta este adev arat a deoarece integrala din Kpeste reuniunea nit a a poli-
goanelor, toate cont inute de o singur a port iune de suprafat a si oricare dou a care
sunt sau disjuncte sau se intersecteaz a (au un unghi sau latur a comun a), este suma
integralelor din Kpeste ecare poligon.
^In continuare vom justi ca relat ia (3.3.10). Fix am triunghiularea suprafet ei S
cu poligoanele Pi, ecare ind cont inut ^ n imaginea lui ri:Ui!R3din atlasul lui
S, si spunem c a Pi=ri(Ri), undeRiUi. Din Teorema 3.2.2, avem
ZZ
RiKdAri=\i (ni 2)+Zl(
i)
0kgds; (3.3.11)
undenieste num arul de v^ arfuri ale lui Pi,
ieste un poligon curbiliniu care formeaz a
frontiera lui Pi, iar\ieste suma unghiurilor sale interioare. Trebuie s a ^ nsum am
toate valorile corespunz atoare ec arui poligon Pitermenii din partea dreapt a a
ecuat iei (3.3.11).
A sadar,P
i\ieste suma tuturor unghiurilor interioare ale tuturor poligoanelor.
^In ecare v^ arf, suma unghiurilor ind 2 , rezult a:
X
i\i= 2V; (3.3.12)
undeVeste num arul total de v^ arfuri.
Avem,X
i(ni 2)=X
ini
2F= 2E 2F; (3.3.13)
undeFeste num arul total de poligoane si Eeste num arul total de laturi, deoarece
^ n sumaP
ini ecare v^ arf este num arat de dou a ori (un v^ arf este v^ arf a dou a
poligoane).
^In nal, avem:
X
iZl(
i)
0kgds= 0: (3.3.14)
^In suma din ecuat ia (3.3.14), integr am de dou a ori ecare v^ arf, o dat a ^ n ecare
direct ie. Dar, kgi si schimb a semnul c^ and travers am o curb a dat a ^ n direct ia opus a,
astfel cele dou a integrale se reduc.
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 51
Pun^ and ecuat iile (3.3.11), (3.3.12), (3.3.13) si (3.3.14) ^ mpreun a, avem:
ZZ
SKdA=X
iZZ
RiKdAri
=X
i\i X
i(ni 2)+X
iZl(
i)
0kgds
= 2V (2E 2F) + 0
= 2X;
av^ and astfel dovedit a teorema.
^Impreun a cu faptul c aRR
SKdAeste indepentent a de triunghiulare, Teorema
3.3.5 implic a urm atoarea:
Corolarul 3.3.1. Num arul EulerXal unei triunghiul arii a unei suprafet e compacte
Sdepinde doar de S si nu de alegerea triunghiul arii.
Teorema 3.3.4. Num arul lui Euler al suprafet ei compacte TgesteX=2 2g.
Demonstrat ie. Formula este veri cat a c^ and g= 0, deoarece stim c a X= 2 pentru
o sfer a. Demonstr am formula pentru torul T1. Pentru a g asi triungularea torului,
folosim faptul c a poate obt inut dintr-un p atrat ^ n plan, lipind laturile opuse:
Subdiviz am p atratul ^ n triunghiuri, ca mai jos:
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 52
Aceasta conduce spre o triunghiularizare a lui T1, cuV= 9; E= 27 siF= 18.
Cele patru v^ arfuri circulare ale p atratului corespund unui singur v^ arf al torului.
Observ am c a nu orice subdiviziune a p atratului ^ n triunghi este acceptat a. Spre
exemplu, subdiviziunea:
nu este acceptat a, deoarece dup a lipire, cele dou a triunghiuri ha surate se inter-
secteaz a ^ n dou a v^ arfuri, ceea ce nu este permis:
Subdiviziunea cea mai bun a d a:
X= 9 27 + 18 = 0 = 2 21;
demonstr^ and teorema c^ and g= 1.
Demonstr am prin induct ie dup a g, folosind faptul c a Tg+1poate obt inut din
Tglipind o copie a lui T1.
Presupunem c a efectu am lipirea prin ^ ndep artarea unui poligon curbiliniu cu n
laturi de la Tg siT1 si lipind v^ arfurile corespunz atoare (av^ and triungul ari xate
potrivite ale lui Tg siT1). Dac aV0; E0 siF0sunt numerele v^ arfurilor, laturilor si
poligoanelor din triungularea lui Tg siV00; E00 siF00pentruT1, numerele V; E siF
sunt date de:
V=V0 n+V00 n+n=V0+V00 n;
E=E0 n+E00 n+n=E0+E00 n;
F=F0 1 +F00 1 =F0+F00 2:
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 53
Astfel,
X(Tg+1) =V E+F
= (V0+V00 n) (E0+E00 n) + (F0+F00 2)
=V0 E0+F0+V00 E00+F00 2
= 2 2g+ 0 2 = 2 2(g+ 1);
demonstr^ and rezultatul pentru g+ 1.
Corolarul 3.3.2. AvemZZ
TgKdA= 4(1 g):
Demonstrat ie. Se justi c a folosind Teorema 3.3.5 siTeorema 3.3.6 .
3.4 Singularit at i ale c^ ampurilor vectoriale
Presupunem c a Seste o suprafat a si c a Veste un c^ amp vectorial tangent, neted
peS. Aceasta ^ nseamn a c a, dac a r:U!R3este o port iune a lui S si (u;v) sunt
coordonatele lui U, atunci:
V= (u;v)ru+ (u;v)rv;
unde si sunt funct ii netede pe U, condit ie este independent a de alegerea lui r.
Observat ia 3.4.1. ^In orice punct Pal suprafet ei Sexist a o unic a curb a
(t)pe
Sastfel ^ nc^ at
(0) =P si
0(t) =V. Aceast a curb a se nume ste curba integral a a
c^ ampului vectorial tangent V.
De nit ia 3.4.1. Dac a Veste un c^ amp vectorial tangent, neted pe o suprafat a S,
un punctPal suprafet ei S^ n care V= 0 se nume ste punct stat ionar al lui V.
Vom demonstra teorem a care spune c a num arul de puncte stat ionare al oric arui
c^ amp vectorial pe o suprafat a compact a S, num arate cu multiplicit at ile cores-
punz atoare, este egal cu num arul lui Euler al lui S. Pentru a de ni aceast a mul-
tiplicitate, e Pun punct stat ionar al lui Vcont inut ^ ntr-o port iune de suprafat a
r:U!R3al luiS, cur(u0;v0) =P. Fieun c^ amp vectorial tangent, neted pe
r(U) (spre exemplu, am putea alege =rusaurv) si e unghiul dintre V si.
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 54
De nit ia 3.4.2. Cu notat iile de mai sus, multiplicitatea punctului stat ionar Pal
c^ ampului vectorial tangent Veste
(P) =1
2Zl(
)
0d
dsds;
unde
(s)este orice curb a simpl a si ^ nchis a, pozitiv-orientat a, cu k
0(s)k= 1 si de
lungimel(
)dinr(U)cu punctul Psituat ^ n interiorul curbei
(s).
Este evident c a (P) este num ar ^ ntreg. Demonstrat ia lui Hopf Umlaufsatz arat a
c a(P) nu depinde de alegerea unei curbe simple si ^ nchise
. Este evident ca este
independent si de alegerea c^ ampului vectorial "de referint a" .
Exemplul 3.4.1. Urm atoarele c^ ampuri vectoriale tangente (netede) din plan au ca
puncte stat ionare originea, ind indicat a si multiplicitatea acestora
(i)V(x;y) = (x;y);= +1 .
(ii)V(x;y) = ( x; y);= +1 .
(iii)V(x;y) = (y; x);= +1 .
(iv)V(x;y) = (x; y);= 1.
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 55
Punctule stat ionare din exemplele (i), (ii), (iii) si (iv) sunt numite surs a, atractor,
v^ artej, respectiv bifurcat ie.
Veri c am multiplicitatea^ n cazul (iv). Lu am c^ ampul vectorial tangent "referint a"
ca ind c^ ampul vectorial constant = (1;0). Atunci, unghiul este dat de:
(cos ;sin ) =V
kVk=xp
x2+y2; yp
x2+y2
:
Fie
(s) = (coss;sins) cercul de raz a 1, atunci unghiul satisface:
(cos ;sin ) = (coss; sins);
deci = 2 s. A sadar,
(0;0) =1
2Z2
0d
ds(2 s)ds= 1:
Teorema 3.4.1. FieVun c^ amp vectorial tangent, neted, pe o suprafat a compact a
Scare are doar puncte stat ionare P1;P2;:::;Pn. Atunci,
nX
i(Pi) =X;
undeXeste num arul Euler al lui S.
Demonstrat ie. Fie curbele simple si^ nchise pozitiv orientate
i, cuk
0
ik= 1;cont inute
^ n port iunile rial luiS;cuPi^ n interiorul lui
i. Presupunem c a
isunt alese foarte
mici astfel ^ nc^ at interioarele lor s a e disjuncte. Alegem o triungulare a port iunii S0
a luiS^ n exteriorul curbelor
1;
2;:::;
n;determinat a de poligoanele curbilinii j.
Observ am c a laturile unora din aceste poligoane curbilinii vor segmentele curbelor
i:
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 56
Se observ a c a atunci c^ and aceste poligoane sunt pozitiv-orientate, orientarea
indus a curbelor
ieste opus a orient arii lor pozitive (vezi diagrama de mai sus, ^ n
care s aget ile indic a sensul pozitiv orientat).
Putem s a vedem poligoanele curbilinii din S0, ^ mpreun a cu curbele simple si
^ nchise
i si interioarele lor, ca o triunghiularizare a lui S, si din Teorema 3.3.1
rezult aZ
S0KdA+nX
i=1Z
int(
i)KdA= 2X; (3.4.15)
undeXeste num arul lui Euler al lui S. PeS0alegem o baz a ortonormat a fa;bg
a planului tangent al lui S;^ n ecare punct, astfel ^ nc^ at aeste paralel c^ ampului
vectorial tangent V. Vedem c a:
Z
S0KdA=X
jZl( j)
0ab0ds; (3.4.16)
undeseste lungimea de arc pe j sil( j) este lungimea acestuia. Orice latur a
comun a a celor dou a poligoane curbilinii jeste traversat a o dat a ^ n ecare direct ie
astfel ^ nc^ at termenii corespunz atori lor ^ n suma din ecuat ia (3.4.16) se reduc. Ceea
ce r am^ ane este integrala ^ mpreun a cu segmentele curbelor
icare sunt parte din
poligoanele j. Obt inem:
Z
S0KdA= nX
i=1Zl(
j)
0ab0ds; (3.4.17)
undeseste lungimea arcului din
i sil(
i) este lungimea lui
i. Alegem o baz a
ortonormat afx;yga planului tangent al lui Spe ecareri si avem
Z
int(
i)KdA=Zl(
i)
0xy0ds: (3.4.18)
Combin an ecuat iile (3.4.15), (3.4.17) si (3.4.18), si obt inem
nX
i=1Zl(
i)
0(xy0) (ab0)ds= 2X: (3.4.19)
Dar, din demonstrat ia Teoremei 3.2.2,
ab0=0 kg;xy0='0 kg;
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 57
undekgeste curba geodezic a a lui
i si si'sunt unghiurile dintre
0
i sia0 six.
Atunci, =' este unghiul dintre a0 six, i.e. dintre V si c^ ampul vectorial de
"referint a" de pe ri. Astfel, membrul st^ ang al ecuat ie (3.4.19) este:
nX
i=1Zl(
i)
0d
dsds= 2nX
i=1(Pi);
ceea ce trebuia demonstrat.
Exemple de c^ ampuri vectoriale pe suprafet e
Exemplul 3.4.2. Un c^ amp vectorial de pe sfer a are o surs a si ub v^ artej: X= 2.
Exemplul 3.4.3. Un c^ amp vectorial pe tor cu niciun punct stat ionar: X= 0.
Exemplul 3.4.4. Un c^ amp vectorial pe un tor dublu T2cu 2 bifurcat ii:X= 2.
3.5 Aplicat ii
Exercit iul 3.5.1. Exercit iul 11.4
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 58
Exercit iul 3.5.2. Adapteaz a aplicat ia de mai jos la forma Corolarului 3.2.2
^In loc de excesul triunghiului vei avea aria triunghiului
Se consider a sfera (S) : !r(u;v) = sinvcosu !i+ sinvsinu !j+ cosv !k si triun-
ghiul geodezic ABC format de cercurile mari ale acesteia ( u=
3);( u=
6) si( v=
2):
Calculat i execesul triunghiului ABC .
Solut ie.
FieAB( u=
6); AC( u=
3) siBC( v=
2):
Avem
(AB) : !r(
6;v) =p
3
2sinv !i+1
2sinv !j+ cosv !k si
(AC) : !r(
3;v) =1
2sinv !i+p
3
2sinv !j+ cosv !k si
(BC) : !r(u;
2) = cosu !i+ sinu !j+ 0 !k:
S tim c aex(
) =RR
Int(
)Kd
=A+B+C :
Coe cient ii metricii sferei sunt: E= sin2v; F = 0 siG= 1:Calcul am curbura
Gauss cu teorema Egregium: K=1p
EG F2 @Q
@u @P
@v
;cu
P:=1
2Ep
EG F2(EuF 2FuE+EvE);
Q:=1
2Ep
EG F2(EvF GuE):
Eu=Fu=Gu= 0; Ev= 2 sinvcosv sip
EG F2= sinv:Rezult a
P=1
2 sin3v2 sin3vcosv= cosv siQ= 0:Deci,K=1
sinv(0 + sinv) = 1:
Atunci,
ex(
) =RR
Int(
)Kd
=RR
Int(
)p
EG F2dudv =R
3
6(R
2
0sinvdv)du
= 1(
3
6) =
6:
Deci,
6=A+B+C siA+B+C=7
6:
Exercit iul 3.5.3. Pentru a remarca important a Teoremei 3.3.5, o aplic am sferei
S2. Atunci,X= 2 si obt inem:
ZZ
S2KdA= 4: (3.5.20)
Presupunem c a deform am sfera, i.e. consider am sfera ca ind o bucat a de cauciuc,
o tragem si o ^ ntindem ^ n orice direct ie, dar f ar a s a o rupem.
CAPITOLUL 3. TEOREMA GAUSS-BONNET 59
Pentru o astfel de sfer a deformat a, curbura Gauss Knu va constat a, si rezolvarea
direct a a integraleiRR
SKdAva di cil a. Dar, dac a consider am cu o triungulare
a sferei nedeformate, atunci dup a deformare ar trebui s a avem o triunglare a sferei
deformate cu acela si num ar de v^ arfuri, laturi si poligoane ca si triungularea origi-
nal a. Rezult a c a num arul lui Euler a sferei nedeformate este acela si ca al sferei
deformate, i.e. 2, deci din Teorema 3.3.5,R
SKdA= 4:
^In general, argumentele de mai sus arat a c a num arul lui Euler al oric arei suprafet e
compacte este neschimbat c^ and suprafat a este deformat a far a rupere.
Exercit iul 3.5.4. Exercit iul 11.9
Bibliogra e
[1] M. Anastasiei, Geometrie: curbe si suprafet e, Ed. Tehnic a, S tiint i c a si Didac-
tic a CERMI, Ia si, 2003.
[2] M.P. do Carmo, Di erential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall
1976.
[3] A. Dobrescu, Curs de geometrie diferent ial a , Ed. Didactic a si Pedagogic a 1961.
[4] L. P. Eisenhart, A treatise on the di erential geometry of curves and surfaces ,
Harward Colledge, 1910.
[5] A.D. Halanay, Curs de geometrie, (electronic)
http://gta.math.unibuc.ro/pages/ahalanay/Curs.pdf
[6] Gh. Gheorghiev, R. Miron, D. Papuc, Geometrie analitic a si diferent ial a. Vol.
1 si 2. Ed. Didactic a si Pedagogic a, Bucure sti, 1969.
[7] O.E. Gheorghiu, B.D. Cristici, Geometrie analitic a si diferent ial a. Ed. Didac-
tic a si Pedagogic a, Bucure sti, 1968.
[8] C. J. Lejdfors, Surfaces of constant mean curvature , Lund University, 2003.
[9] L. Ornea, O introducere ^ n geometria diferent ial a , (electronic)
http://gta.math.unibuc.ro/pages/curs2.pdf
[10] A. Pressley, Elementary Diferential Geometry, Springer 2001.
[11] M. Spivak, A comprehensive introduction to di erential geometry, Vol. 1-4.
Publish or Perish, Boston, 1971-1975.
60
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Specializarea: Matematic a-informatic a [602156] (ID: 602156)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.