Manual, pag 45, exercitiile 1, 2, 3, 4 [602121]
1
CUPRINS
CUPRINS………………………………………………………………………………………………………. ………….1
INTRODUCERE………………………………………………………………………………….. ………. …………..3
CAPITOLUL. l. NOȚIUNI GENERAL E DE TEORIA INELELOR…………………….5
I.1.Inele…………………………………… ………………………………………………………5
I.2. Domenii de integrita te…………………………………………………………………….6
I.3. Ideal ………… …………………………………………………………………….……..7
I.4. Morfisme de inele…………………………………………………………… ……………9
l.5. Subine l , ideal și inel factor ………… .………………………………………..………11
l.6.Ideal maximal… …… ……………………………………………………………..………14
l.7. Subcorpuri. Corpuri prime. Caracter istica unui corp………….. ……….………….14
l.8.Inele de fracții. Corpul de fracții al unui inel integ ru……………..………………….16
1.9.Inele de polinoa me……………………………………………………………………..18
CAPITOLUL II.DIVIZIBILITATE IN DOMENII DE INTEGRITATE……………….23
II.1.Relația de divizibilita te………………………………………………..………………..23
II.2. C. M.M.D.C. și C. M.M.M.C……………………………………………………………26
CAPITOLUL III. INELE FA CTORIALE………………..………………………………..34
III.1.Inele factoriale… ……………………………………………………………………….34
III.2.Factorialitatea inelelor de fracții……………….……………………………………..39
CAPITOLUL IV.INELE PRINCIPALE ȘI INELE EUCLIDIENE……………………..41
IV.1.Inele principale și inele e uclidiene……………………………………….……………41
IV.2. Exemple de inele eucl idiene……………………………………..……………………44
2
CAPITOLUL V. APLIC AȚII …………………………………………………………….. 56
CAPITOLUL VI. ASPECTE METO DICE ȘI METODOLOGICE………………….….90
BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………… ……..…….95
DECLARATIE…… ……… ………………………………………………….……..………..96
3
INTRODUCERE
Marile succese ale tehnicii sub toate formele au contribuit la recunoașterea rolului
fundamental al matematicii. Se știe că aceste succese nu s -ar obține fără matematică, de
aceea interesul pentru matematică a crescut mereu și, odată cu acesta și necesitatea de
informare asupra acestei științe.
Matematica este, în multe privin țe, o știință abstractă și în mod deosebit în ceea ce
privește modul de punere a problemelor. Dacă cercetătorii din domeniile medicinei,
zoologiei , botanicii, geografiei, geologiei pot expune unui neinițiat marea parte a
problemelor, rez ultatelor, ba chiar și a metodelor și principiilor de bază din domeniile lor
de specialitate, în așa fel încât neinițiatul să -și poată face o idee de ansamblu asupra
domeniului respectiv, acest lucru este foarte greu de făcut pentru fizica și chimia
contem porană și încă și mai greu pentru matematica contemporană. Nu numai întinderea
rezultatelor a crescut mult, dar problemele s unt așa de greu de tratat și at t de adânci, încât
nici chiar un matematician nu poate avea decât o idee de ansamnblu asupra întregi i
matematici.
O alt ă descoperire a început aproximativ în urmă cu 150 de ani. De mult s -a observat
că anumite reguli ale înmulțirii numerelor prezintă o asemănare formală cu unele reguli ale
adunării numerelor.
Asemănări s -au remarcat și la a lte operații matematice (exemplu: compunerea
mișcărilor și a permutărilor ). Insă, mai târziu s -a dedus din aceste proprietăți de bază, alte
noi proprietăți mai complexe. Domeniul creat este astăzi numit teoria grupurilor.
Astăzi se tratează axiomat ic importante părți ale matematicii, în special algebra.
Lucrul acesta este realizabil în fe lul următor: fiind dată o colecț ie de obiecte matematice cu
un sistem de proprietăți ( axiome), care sunt proprietățile de bază ale obiectelor date, să se
deducă di n aceste proprietăți consecințele cele mai complexe și să se dezvolte teoria unei
astfel de structuri.
4
Mulțimile de obiecte sau de elemente pentru care oricare dintre acestea se pot
combina după o anumită regulă specificată și într -o ordine dată, astfel încât să ducă la
obținerea unui al treilea element, apar în toate ramurile matematicii. Acestea sunt denumite
în algebră legi de compoziție. Aceste legi determină pe mulțimile de numere structurile
algebrice: grup, inel și corp.
Inelele joac ă un rol important în rezolvarea problemelor legate de mulțimi înzestrate cu
două operații binare. Exemple concrete de mulțimi înzestrare cu două operații se întâlnesc
de către cei care vor să studieze matematica încă din primele clase de șc oală . Ei discută
despre suma și produsul a două numere naturale deși definițiile mai concrete ale operațiilor
de adunare și înmulțire în mulțimea numerelor naturale nu le pot înțelege încă. În liceu sunt
învățați să definească corect operațiile de adunare și înmulțire în mulțimea numerelor
întregi, raționale, reale, complexe, în mulțimea polinoamelor cu o nedeterminată, în
mulțimea matricilor pătratice.Asemenea exemple concrete pot fi studiate prin introducerea
noțiunilor de inel și corp.
În lucrarea d e față am facut o trecere în revistă a celor mai cunoscute noțiuni despre
inele, realizând o prezentare teoretică a acestora, cu accent pe cele euclidi ene.
În elaborarea prezentei am urma t în special monografia din: Bazele algebrei (C.
Nastasescu, C. Niță , C. Vraciu ,vol.1, Ed. Academiei RSR, Bucuresti, 1986 ), Algebra (I. D.
Ion, N. Radu , E.D.P. , Bucuresti, 1991 ), Algebra (T. Dumitrescu, Bucuresti, 2006 ),
Probleme de algebra (C. Baetica, C. Boboc, S. Dascalescu, G. Mincu, Ed. Universitatii
Bucuresti,2008 ) , Curriculum pedagogic (Sorin Cristea, Ion Negret -Dobridor, Eugen
Noveanu, Elena Stanculescu, Crenguta Oprea, Elisaveta Georgescu, Elena Rafaila, Ion
Ovidiu Panisoara, Silviu Fat, Olimpius Istrate –, editia a ll -a, Editura did actica si
pedagogica, R.A.Bucuresti, 2008 ), Pedagogie. Bazele teoretice (Nicolae Oprescu, , Ed.
Fundației „Romania de maine”, Bucuresti,1999 ), Pedagogie generală (Gabriela Cristea ,
Ed. Didactica și pedagogică, R.A., 2008 ).
5
CAPITOLUL I
NOȚIUNI GENERALE DE TEORIA INELELOR
I .1. Inele
Definiția I.1.1 .Se numește inel o mulțime nevidă R înzestrată cu doua operații
algebrice:
+ : R x R→ R
și
x : RxR→ R,
una notată aditiv și numită adunare, iar cealaltă notată multiplicativ și numită înmulțire
care satisface urmatoarele condiții:
1. R este grup abelian față de operația de adunare;
2. Operația de înmulțire este asociativă;
3. Oricare ar fi a,b,c ϵ R, avem
a (b + c ) = ab + ac
și
( a + b ) c = ac + bc
Operația de înmulțire are element neutru 1.
Condiția 3. Exprimă proprietățile de distributivitate ale înmulțirii față de adunare.
In cazul unui inel R, grupul abelian R față de adunare se numește grupul aditiv
subiacent inelulu i. Elementul neutru al acestui grup se notează, de obicei, cu 0 și este
numit elementul zero al inelului,iar 1 este elemental neutru la înmulțire și se este elementul
unitate (unitatea inelului R).
Dacă înmulțirea este comutativă atunci inelul este comutativ.
Exemple:
1. Mulțimile Z, Q, R cu operațiile de adunare și înmulțire fo rmează inele comutative.
6
2. Mulțimea C ( [0,1] , R) = { f : [0,1] → R, f continuă } cu adunarea și înmulțirea
funcțiilor:
f+g și fg
definite astfel:
( f + g ) = f(x) + g(x)
și
(fg)(x) = f(x) g(x)
este un inel comutativ.
I.2. Domenii de integritate
Fie R un inel și a ϵ R. Spunem că elementul a este divizor al lui zero la stâ nga
(respectiv la dreapta) dacă există b ϵ R, b≠ 0 astfel încât ab = 0 (respectiv ba = 0).
Un element a care este în același timp divizor al lui zero la stânga și la dreapta se
numește divizor al lui zero .
Daca R este inel comutativ, noțiunile de divizor al lui zero la stânga și la dreapta
coincid cu cea de divizor al lui zero.
Un inel unitar nenul fără di vizori ai lui zero la stânga și la dreapta nenuli, se
numește inel integru . Dacă , în plus, inelul este și comutativ, atunci va fi numit domeniu
de integritate .
Observăm următoarele: un inel unitar R este integ ru dacă și numai dacă sunt
adevă rate regulile de simplificare, adică: pentru orice a≠0, ab=ac, implică b=c si ba=ca
implică b=c.
Intr-adevăr, dacă R este inel integru și ab=ac, a≠0, atunci a(b -c)=0, de unde rezultă
și b – c= 0 sau b = c. Dacă ba = ca, atunci rezultă că b = c. Reciproc, fie R inel î n care sunt
adevărate regulile de simplificare. Atunci, din ab = 0, a ≠ 0, avem ab = a0, deci b = 0. La
fel, din ba = 0, a ≠ 0, rezultă b = 0 și deci R este integru.
Daca R este inel, un element a ϵ R se numește inversabil dacă există b ϵ R astfel
încât:
ab = ba = 1.
Vom nota cu U(R) = {a ϵ R │ a inversabil}.
7
Dacă a,b ϵ U( R), atunci avem
(ab)-1= b-1 a-1
și deci ab ϵ U( R).
Este evident că U (R) are o structură de grup față de operația de înmulțire din R.
Acest grup se numește grupul elementelor inversab ile ale inelului R.
Exemple :
1) U( R) = { -1,1}
2) U (Q) = Q \{0}
3) U( R) = R \{0}
4) U(Z n) = { â │(a,n) = 1}.
Dacă R este un inel, orice element inversabil al lui R nu este divizor al lui zero.
Fie a ϵ R astfel încât există b ϵ R cu ab = ba = 1. Atunci a ≠ 0 și dacă și ac = 0, atunci
rezultă b(ac) = b0, adică (ba) c = 0, de ci rezultă c = 0.
La fel dacă da = 0, atunci (da) b = 0b, adică d (ab) =0, de unde d = 0.
I.3.. Ideal
Definiția I.3.1 . Fie R un inel. O submulțime nevidă S a lui R se numește subinel al
lui R dacă S împreună cu operațiile induse de cele doua operații algebri ce de pe R
formează la rândul să u un inel.
Exemple :
1) Dacă R este inel, atunci R și {0} sunt subinele ale sale.
2) 2) Z⊂Q⊂R sunt subinele unul în altul, cu adunarea și înmulțire a.
Definiția I.3.2. Fie R un inel și I ⊂R o submulțime nevidă a sa. Spunem că I este un
ideal la stânga (respectiv la dreapta) al inelului R dacă :
– Oricare ar fi x,y ∊ I, rezultă x -y ∊ I;
– Oricare ar fi a ∊ R și x ∊ I, rezultă ax ∊ I, (respectiv xa ∊ I).
8
Un ideal care este în același timp ideal la stânga și ideal la dreapta se numește ideal
bilateral.
Dacă R este inel comutativ, atunci este evident că noțiunea de ideal la stânga coincide
cu cea de ideal la dreapta și cu cea de ideal bilateral, es te un subinel al inelului, dar
reciproc nu este adevărat.
Exemple :
1. Z este subinel al lui Q dar nu este și ideal deoarece de exemplu 3 ∊ Z și
∊ Q, iar
3∙
=
∉ Z;
2. Dacă R este un inel, și a ∊ R un element oarecare, atunci Ra, aR și RaR se numesc
ideale principale, r espectiv la stânga, la dreapta ș i bilateral e.
In cazul în care R este inel comutativ , noțiunile de ideal principal la stânga, la
dreapta și bilateral coincid. In acest caz se va numi ideal principal și -l vom nota și cu (a).
3. Subinelele inelului Z sunt submulțimile sale de tipul nZ cu n ∊ N. Orice astfel de
mulțime este un ideal al lui Z și coincid cu submulțimile lui Z adică sunt date de
{nZ}, n ≥ 0. De aici rezultă că orice ideal al inelelor Z și Zn este principal.
Definiția I. 3.3. Fie R un inel și E o submulțime a lui R. Inte rsecția tuturor idealelor
la stâ nga ( respectiv la dreapta, bilaterale) ale lui R care conțin mulți mea E, se numește
idealul la stâ nga (respectiv la dreapta, bilateral) generat de mulțimea E î n inelul R.
Spunem că E este un sistem de generatori pentru acest ideal. Mulțimea vidă
generează idealul (0).
Un ideal la stâ nga ( respectiv la dreapta, bilateral) care are o mulțime finită de
generatori se numește de tip finit sau finit generat .
9
I.4. Morfisme de inele
Definiția I.4.1. Fie R și R' două inele. Se numește morfism de inele de la R la R' o
funcție f : R→R', astfel încât să fie satisfăcute urmatoarele condiții :
1. f ( a + b) = f(a) + f(b);
2. f( ab) = f(a) f(b), ori care ar fi a, b ∊ R;
3. f(1)=1.
Daca R si R' sunt inele, iar f : R→R' un morfism de inele, după prima condiție din
definiția morfismului rezultă că f este morfism al al grupurilor aditive ale celor doua inele
și deci avem :
f(0) = 0 si f( -a)= -f(a), ∀ a ∊ R.
Proprietă ți de bază ale morfismelor de inele:
1. Daca R, R', R'' sunt inele , iar f:R→R' și g:R'→R'' sunt morfis me de inele, atunci
compunerea g◦f : R→R'' este un morfism de inele.
2. Pentru orice inel R, funcția 1 R: R→R este un morfism, de inele, atunci :
f◦1R=f si 1 R’◦f=f.
Propoziția I.4.2 . Fie f: R→R' un morfism de inele. Atunci f este izomorfism dacă
și numai dacă funcția f este bijectivă.
Demonstrație :
Având în vedere rezultatul corespunzător pentru grupuri este suficient să
demonstrăm că, dacă g : R’→R’ este o funcție astfel încât f◦g=1 R’ și g◦f= 1 R’, atunci
g(bb’)=g(b)g(b’), oricare ar fi b, b ∊R’. Dacă b.b’ ∊ R’, atunci
bb’= 1 R(bb’)=(f◦g)(bb’)= f(g(bb’)).
Exemple :
1) Pentru orice inel R avem morfismul identic 1 R : R→R;
10
2) Funcția i : Z→Q, i(n) = n este un morfism injectiv de inele.
Defini ițiaI.4.3. Fie f:R→S un morfism de inele. Notăm cu Im f= f(R) și Ker f= {a
∊R | f(a)=0} numindu -le imaginea si respectiv nucleul morfismului f.
Propoziția I.4.4 . Fie f: R→S un morfism de inele. Atunci Im f este un subinel al lui
S, iar Ker f este ideal bilateral al lui R.
Demonstrație:
Cum R este subinel al lui R, atunci Im f este subinel al lui S. Apoi Ker f = f-1((0)),
iar (0) este evident bilateral al lui S.
Fie {R α}α∊ A o familie de inele. Pe produsul direct al familiei de grupuri sibiacente
inelelor R α, ∏ α = {(a α)α | aα∊ Rα pentru orice α ∊ A}, definim o operație algebrică
multiplicativă. Astfel, dacă a = (a α)α, b = (b α)α sunt două elemente din ∏ α, punem
prin definiție ab = (a αbα)α, unde pentru orice α ∊ A, aαbα se efectuează în R α.
Avem că ∏ α împreună cu cele două operații algebrice, adunarea și înmulțirea,
are o structură de inel.
Am remarcat deja că rele condiții:
1. Este asociativă;
2. Este distributivă față de adunare.
Să verificăm una din egalitățile care ne dau distributivitatea. Dacă a, b, c ∏ α, unde
a = (a α)α, b = (b α)α, c = ( cα)α, avem
a(b+c) = (aα)α((bα)α + (c α)α) = (a α)α(bα+ cα)α = (a α(bα+ cα))α = (a αbα + aαcα) α= (a αbα)α +
(aαcα)α = (a α)α((bα)α + (c α)α) = ab +ac.
Propoziția I.4.5. Fie{ R α}, α ∊ A o fa milie de inele unitare și R= ∏ α produsul
lor direct. Atunci
U(R)= ∏ Rα
Demonstrație:
Deoarece produsul a două elemente din R se efectuează pe două componente, rezultă
că (a α)α din R este inversabil dacă și numai dacă fiecare a α, α ∊ A, este inversabil în R α.
11
Propoziția I.4.6. Fie m,n numere întregi pozitive astfel încât (m,n)=1. Atunci
inelele Z mn, si Zm x Zn sunt izomorfe.
Propoziția I. 4.7. Daca m 1,m2………m k sunt numere întregi pozitive și (m i,mj) = 1
pentru orice i ≠ j
inele Zm1m2.…mk și ∏
mi sunt izomorfe.
l.5. Subinel, ideal și inel factor
Propoziția l.5.1 . O intersecție de subinele (unitare) ale unei inel este un subinel
(unitar).
Propoziția l.5.2. Fie A un inel unitar și I un ideal stâng ( drept si bilateral). Atunci
I = A dacă și numai dacă I conține un element in versabil al lui A.
Corolarul l.5.3. Un inel unitar nenul A este corp dacă și numai dacă singurele
ideale (stângi, drepte,bilaterale) sunt ( 0) și A (care sunt bilaterale).
Propoziția l.5.4. Fie f:A→B un morfism de inele. Atunci:
a) Dacă A' este un subinel în A, atunci f(A') este su binel în B.( In particular, Im f
este subinel al lui B).
b) Dacă B' e ste subinel al lui B, atunci f-1(B') este subinel al lui A.
c) Dacă J este ideal stâng(dr ept,bilateral) în B, atunci f-1(J) este ideal stâng
(drept,bilateral) în A. In particular, Ker f este id eal bilateral în A.
d) Daca în plus f este morfism surjectiv și I este ideal stâng (drept, bilateral) în A,
atunci f(I) este ideal ideal stâng (drept,bilateral) în B.
Aplicația care asociază unui ideal stâng (drept,bilateral) J din B ide alul stân g (drept,
bilateral) f-1(J) din A este un izomorfism de mulțimi ordonate între idealele stângi (drepte
bilaterale) ale lui B și idealele stângi ale lui A care conțin pe Ker f.
12
Vom numi inel factor al inelului A un inel A' împreună cu un morfis m surjectiv de
inele p: A→A'. Morfismul surjectiv p se numește morfism canonic sau surjecție canonică.
Dacă A' este un inel factor al al inelului A, atunci, reținând doar structurile de
grupuri aditive ale lui A și A', observăm că A' este gr up factor al lui A. La fel și în acest
caz A' este și o mulțime factor a mulțimii A.
Dacă A' este un inel factor al lui A de morfism canonic p: A→A', atunci vom nota acest
lucru și prin (A', p) punând astfel în evidență și morfismul canonic.
Propoziția l.5.5 . (Proprietatea de universalitate a inelelor factor). Fie p:A→A' un
inel factor al inelului A si φ: A→B un morfism de inele.
1) există un morfism de inele u: A'→B astfel încât up = φ, adică diagrama
următoare:
A p A'
φ u
B
să fie comutativă dacă și numai dacă Ker φ ⊇ Ker p . In cazul în care u există el este unic.
2) Dacă există morfismul de inele u cu proprietatea din 1), atunci u este
surjectiv dacă și numai dacă φ este surjectiv, adică (B, φ) este și el inel
factor al lui A.
3) Dacă există morfismul de inele u cu proprietatea din 1), atunci u este
injectiv dacă și numai dacă Ker p = Ker φ.
Corolarul l.5.6. Fie (A', p') si (A'', p ''), doua inele factor ale inelului A. Atunci
exist ă un izomorfism de inele u: A'→ A'', as tfel î ncăt up'=p '' dacă și numai dacă Ker p '=
Ker p''.
Teorema l.5.7. Fie A un inel și I un ideal bilateral al lui A. Atunci există un inel A'
și un morfism surjectiv de inele φ : A→A' astfel încât Ker φ = I.
13
Demonstrație:
Conside răm A cu structură de grup aditiv.
Atunci I este subgrup al lui A și considerăm grupul factor A` = A/I, iar φ: A → A`
morfismul canonic de grupuri cu proprietatea Ker φ = I. Vom arăta că pe A` putem
introduce o structură de inel astfel încât φ să fie morfism de i nele. Intradevăr, fie α, β ∊ A`
și fie a ∊ α și b ∊ β. Deci α = a + I, β = b + I, atunci definim αβ = ab + I.
Clasa produsului nu depinde de elementele a și b alese în clasele respective. Dacă
a` = a + c, b` = b + d, cu c, d ∊ I , deci a`b` = ab+ cb +ad + cd și , deoarece I este ideal
bilateral în A, ab +ad + cd ∊ I; deci a`b`≡ ab (mod I).
Această operație este asociativă pe A’ , deoarece operația de înmulțire pe A este
asociativă, are element unitate dacă A are element unitate și este distributivă față de
adunarea pe A ’, deoarece înmulțirea pe A este distributivă față de adunare. Avem, de
asemenea :
φ (ab) = ab + I, iar φ(a) φ(b) = (a + I)(b + I) = ab + I
pentru orice a,b ∊ A, deci φ este morfism de inele.
Inelul construit în teorema precedentă se numește inelul factor (cât) al lui A în
raport cu idealul bilateral I și se notează prin A/I sau
.
Corolarul l.5.8. Dacă f: A→B este un morfism de inele, atunci există un
izomorfism canonic:
ḟ : A/Ker f ≈ Im f.
Corolarul 1.5.9. Fie A un inel și I ⊇J doua ideale bilaterale ale sale. Atunci există
un izomorfism canonic de inele:
Ψ :
⥲ A/J.
Propoziția l.5.10. In inelul Z n, n>1, clasa â a numărului a ϵ Z este element
inversabil dacă și numai dacă (a,n) =1.
In particular, Z n este corp dacă și numai dacă n este număr prim.
14
l.6. Ideale maximale, prime și ireductibile
Definiția 1.6.1 . Fie A un inel comutativ și unitar. Un ideal M al lui A se numește
ideal maximal dacă M ≠ A și oricare ar fi idealul I al lui A cu A ⊇I⊇M, rezultă I = A sau
I = M.
Propoziția 1.6.2 . Fie A un inel și M un ideal în A. Atunci următoarele afirmații
sunt echivalente:
M este ideal maximal în A;
Inelul factor A|M este corp.
Propoziția 1.6.3. Fie P ideal in inelul A. Atunci P este prim dacă și numai dacă A/P
integru.
Corolar 1.6.4. Orice ideal maximal al unui inel este și ideal prim.
Din corolarul precedent rezultă că dacă M este ideal maximal în A, atunci A/M
este corp, deci este în particular inel integru.
l. 7. Subcorpuri . Corpuri prime. Caracteristica unui corp.
Propoziția 1.7.1 . Dacă k este un corp, atunci orice morfism unitar de inele φ: k →
B într -un inel unitar nenul B este injectiv. Reciproc, dacă A este un inel comutativ unitar
nenul cu proprietatea că orice morfism unitar de inele φ de la A la un inel B nenul este
injectiv, atunci A este un corp.
Demonstrație:
Deoarece Ker φ este ideal bilateral în k și k este corp rezultă Ker φ= k sau Ker φ=
0. Prima egalitate nu este posibilă căci φ(1) = 1≠0. A doua afirmație rezultă din faptul că
inelul A nu are alte ideale distincte de A și de (0).
15
Definiția 1.7.2. O submulțime nevidă k a unui corp K se numește subcorp al lui K
dacă operațiile alg ebrice de pe K ind uc pe k operaț ii algebrice împreună cu care k este
corp.
Din aceasta definiție rezultă în particular că subcorpul k conține cel puțin două
elemente. Deasemenea mai rezultă și că subcorpul k este subinel unitar al lui K, căci
elementul unitate din k este neapărat cel din K, fiindcă k \{0}.
Reciproc: un subinel al lui K este subcorp dacă în același timp cu un element nenul
conține și inversul acestuia. Folosind caracterizarea subinelelor unui inel, rezultă că
submulțimea k a lui K care conține un element nenul din K este corp dacă și numai dacă
pentru orice x, y ϵ k, x ― y ϵ k, xy ϵ k și dacă x ϵ k, x ≠ 0, x-1 ϵ k. Condiția aceasta poate fi
scrisă și astfel: oricare ar fi x,y ϵ k, x ― y ϵ k, iar dacă y ≠ 0, xy-1 ϵ k. Evident, dacă prima
condiție este îndeplinită, atunci este îndeplinită și cea de a doua.
Reciproc, din a doua condiție rezultă că pentru x ≠ 0, x ϵ k, xx-1 ϵ k, adică 1 ϵ k, și
apoi, considerăm elementele 1 și x care aparțin lui k și rezultă x-1 ϵ k. Fie x, y ϵ k, y ≠ 0,
atunci x, y-1 ϵ k, prin urmare x(y-1)-1 = xy ϵ k.
Din cele de mai sus rezultă că o submulțime a unui corp K este subcorp dacă și
numai dacă este subgrup al grupului aditiv și submulțimea elementelor nenule este nevidă
și este un subgrup al grupului multiplicativ al elementelor nenule din K.
Din proprietă țile subgrupurilor rezultă că o intersecție de subgrupuri ale unui corp
este încă un subcorp al corpului respectiv.
Fie k un subcorp al corpului K, atunci spunem că acest corp K este o extindere a
corpului k.
Corpul numerelor raționale Q este un subcorp al corpului numerelor reale R, deci R
este o extindere a lui Q.
R este subcorp în C, iar C un subcorp al corpului cuaternionilor.
Fie A un inel. Știm că există un singur morfism unitar de inele i : Z → A.
16
Nucleul lui i este un ideal în Z, deci de forma nZ, unde n ≥ 0, atunci n este
caracteristica inelului A. In particular i este morfism injectiv dacă și numai dacă inelul A
este de caracteristică zero. Dacă avem caracteristica lui A mai mare ca 0, ea coincide cu
ordinul elementului 1 din A în grupul aditiv al lui A, iar în cazul caracteristicii 0 ordinul lui
1 este infinit.
Noțiunea de caracteristică se folosește mai des în cazul în care A este corp. In acest
caz, imaginea lui i este unul din corpurile Zp, unde p > 0 este un număr întreg p rim.
Dacă K este un corp de caracteristică zero, atunci unicul morfism de inele i : Z →
K se extinde la un morfism injectiv de inele unic j : Q → K. Deci K conține un corp
izomorf cu Q. Corpurile Q, R, C, sunt de carecteristică zero. Corpul Q are proprietatea că
nu conține alt subcorp distinct de Q, căci orice subcorp al lui Q, conține elementele de
forma n∙1, n ϵ Z și inversele acestor elemente și deci și produsele formate cu aceste
elemente care constituie toate elementele lui Q. O proprieta te asemănătoare o au și
corpurile Zp, p > 0 număr întreg prim.
Zp este un corp de caracteristică p. Corpurile Q și Zp, p > 0 număr întreg prim, se
numesc corpuri prime datorită faptului că ele nu posedă subgrupuri proprii și orice corp
conține un corp și numai unul izomorf cu unul dintre aceste corpuri. Un corp este de
caracteristică zero dacă și numai dacă conține un corp izomorf cu Q și de caracteristică p >
0 dacă și numai dacă conține un corp izomorf cu Zp.
O noțiune strâns legată de cea de caracteris tică este cea de exponent caracteristic.
Dacă K este un corp de caracteristică zero, exponentul sau caracteristic este 1, iar în cazul
contrar exponentul caracteristic coincide cu caracteristica.
l. 8. Inele de fractii. Corpul de fracții al unui inel integru.
Fie A un inel comutativ cu element unitate, iar S o submulțime a lui A care conține
elementul unitate al lui A și produsul a doua elemente din S este în S, adică S este un
semigrup unitar cu operația de înmulțire din A. O astfel de submu lțime A a lui S se
numește de obicei un sistem multiplicativ din A. Vom considera în continuare sisteme
17
multiplicative care nu conțin divizori ai lui zero, deși construcțiile care urmează se pot
face, cu unele modificări , și în cazul în care S conține div izori ai lui zero.
Teorema 1.8.1 . Fie A un inel comutativ cu element unitate și S un sistem
multiplicativ din A format din nondivizori ai lui zero.Atunci există un inel comutativ si un
morfism injective de inele φs: A →A s astfel încât φ s(s) este un element inversabil în A s
pentru orice s ϵ S. Acest inel are în plus urmatoarea proprietate (n umită de universalitate)
care il determină până la un izomorfism : oricare ar fi inelul comutativ B si morfismul de
inele φ : A → B pentru orice s ϵ S , φ(s) este inversabil în B, exista un morfism unic de
inele ϴ: A s→B, adică astfel ca diagrama
φs
A As
φ ϴ
sa fie comutativă. B
Fie A un inel comutativ nenul cu elemente unitate și S un sistem multiplicativ de
nondivizori ai lui zero în A. Atunci inelul A s definit în teorema precedenta se numește
inelul de fracții lui A în raport cu S și se notează cu S-1 A.
Intr-un inel comutativ cu elemen te unitate A, mulțimea tuturor nondivizorilor lui
zero formează un sistem multiplicativ, după cum se verifică, caci 1 este nondivizor al lui
zero și produsul a doi nondivizori ai lui zero este un nondivizor al lui zero. Inelul de fracții
în raport cu acest sistem multiplicativ se numește inelul total de fracții al lui A. In
particular, dacă A este inel integru, atunci inelul total de fracții al lui A este un corp ( căci
dacă α este un element al acestui inel, el este de forma
, cu a A, s ≠ 0 și dacă α ≠ 0,
rezultă că a ≠ 0, deci
are ca invers pe
) numit corpul de fracții al lui A.
Fie A un inel integru continut înt -un corp K. Atunci, din proprietatea de
universalitate a corpului de fracții al lui A, rezultă că există un subcorp al lui K care
conține pe A, izomorf cu corpul de fracții al lui A și acesta coincide cu intersecția
subcorpurilor lui K care conțin pe A.
18
Construcția dată în teorema I.8.1. pentru inelul A s este o generalizare a construcției
obișnuite de trecere de la inelul întregilor raționali Z la corpul numerelor raț ionale Q.
Fie Z inelul numerelor întregi și Z [i] mulțimea numerelor complexe de forma a +
bi, cu a,b ϵ Z. Se verifică ușor că această mulțime este un subinel al corpului numerelor
complexe. Acest inel se numește inelul î ntregilor lui Gauss . Corpul să u de fracții va fi cel
mai mic subcorp al lui C, care îl conține. Acest subcorp trebuie evident să conțină pe Q,
deci va conține toate numerele complexe de forma r + si, cu r,s ϵ Q.
Se constată că mulțimea acestor numere comp lexe formează un subcorp al lui C
(este evident inel și inversul lui r + si, pentru r + si ≠ 0, este (r2+s2)-1(r-si)). Așadar corpul
de fracții al lui Z [i] este mulțimea elementelor de forma r + si, cu r, s ϵ Q și se notează cu
Q[i] sau Q(i).
1.9. Inele de polinoame
Mai întâi vom introduce inelul seriilor formale de o nedeter minată peste un inel
comutativ ș i apoi inelul polinoamelor cu coeficienți în același inel ca subinel al inelului
seriilor formale.
Inelele vor fi comutative cu elemente unitate. Fie A un astfel de inel și N mulțimea
numerelor naturale. Vom nota cu A’ mulțimea funcțiilor de la N în A pe care introducem
operația algebrică numită adunare, indusă de adunarea în A. Dacă scriem o astfel de funcție
prin valorile ei, avem, pentru f,g ϵ A’:
f= (a0, a1,…)
g=(b 0, b1,….).
f + g = (a 0 + b 0, a1 + b 1, …).
Cu această operație algebrică, A’ formează un grup comutativ cu elementul nul
care este funcția Ө: N→A, ϴ(n) = 0 pentru orice n ϵ N. Pe A’ vom mai introduce o
operație algebrică numită înmulțire în felul următor: dacă f și g sunt elemente din A’ ca
mai sus, atunci:
19
fg=(c 0, c1, …)
unde c k= ∑ ibj pentru toți k ϵ N. Operația de înmulțire pe A’ are element unitate și
anume (1, ….,0, ….), și este asociativă.
Deoarece operația de înmulțire pe A’ este comutativă, ea este și distributivă față de
adunare.
Deci, A’ cu cele două operații introduse, este un inel comutativ cu element unitate.
Există un morfism (unitar) canonic injectiv φ: A→A’, definit prin φ(a)=(a, 0, 0…).
Vom identifica elementul a ϵ A cu imaginea sa φ(a) în A’. Atunci, dacă notăm X=(0, 1, 0,
…0, …), observăm că Xn = {0, 0, …,0, 1, 0, …}, n ≥ 1, și elementul f = (a i),
i ϵ N va fi scris formal astfel
f = Ʃ∞
i=0 aiXi
( scriere care este unică), unde X0 = 1.
Elementele a i se numesc coeficienții lui f. Inelul A’ se numește inelul seriilor
formale de o nedeterminată cu coeficienți în inelul A (sau A -algebra seriilor formale de o
nedeterminată, cu structura de A -algebra dată de φ) .
Un element în A’ se nu mește o serie formală cu coeficienți în A. Inelul A’ se
notează A[[X]].
Fie A un inel; o serie formală din A[[X]] se numește polinom dacă are un număr
finit de coeficienți nenuli.
Diferența și produsul a doua polinoame este tot un polinom.
Deci, submulțimea polinoamelor din A[[X]] formează un inel, cu element unitate
și comutativ. Acest inel se notează cu A[X] și conține pe A (adică imaginea lui A prin φ),
deci A[X] are o structură canonică de A -algebra. A[X] se numește inelul polinoamelor de
o nedeterminată cu coeficienți în inelul A și un element f ϵ A[X] se scrie în mod unic sub
forma:
f = a nXn+an-1Xn-1+…+a 1X+a 0,
20
unde a i ϵ A și toți a i = 0, pentru i > n.
Un polinom de forma aXi, a ϵ A, a ≠ 0, i ϵ N se numeste monom , i se numește
gradul monomului ș i a coeficientul lui.
Orice serie formală se scrie ca o sumă formală de monoame și orice polinom ca o
sumă (finită) de monoame.
Fie A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în inelul A; atunci
pentru un po linom f ϵ A[X], avem
f = Ʃm
i=0 aiXi , f ≠ 0.
Numim gradul lui f (no tat grad (f)), cel mai mare numă r natural n cu proprietatea că a n ≠ 0.
Atunci polinomul f se poate scrie și sub forma:
f = Ʃm
i=0 aiXi unde a n ≠ 0.
Pentru polinomul nul care se notează cu 0, grad (0) se consideră ca fiind egal cu -∞
(uneori se consideră grad (0)= -1 sau pentru acest polinom nu se definește gradul).
Propoziția I.9.1 .Fie A un inel și
f = Ʃm
i=0 aiXi , g = Ʃn
i=0 biXi
două polinoame din A[X] cu a m ≠ 0, b n ≠ 0. Dacă unul dintre elementele a m si b n nu este
divizor al lui zero în A, atunci:
grad (fg) = grad (f) + grad (g).
Corolarul l.9.2 . Dacă A este inel integru, atunci A[X] este inel integru.
In particular, pentru un corp k inelul polinoamelor de o nedeterminată cu
coeficienți în k este inel integru.
Lema l.9.3. Fie A un inel. Atunci un element din A este inversabil în A[X] dacă și
numai dacă este inversabil în A.
Propoziția I.9.4. Proprietatea de universalitate a ine lelor de polinoame . Fie A un
inel comutativ , A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coefici enți în A și ѱ:
21
A→B morfism de inel comutativ , iar x ϵ B. Atunci există un unic morfism de inele u: A[X]
→ B, astfel încât u(X) = x și diagrama
φ
A A[X]
ѱ u
B
să fie comutativă ( adică u φ = ѱ ).
Construcția de mai sus pentru inelul polinoamelor de o nedeterminată se poate face
pentru a introduce inelul polinoamelor de mai multe nedeterminate (în număr finit sau
infinit).
Mai precis A[X 1,X2] = A[X 1]A[X 2],….,A[X 1,….,X n] = A[X 1,…,X n-1][X n].
Polinomului f i se asociază o funcție definită pe An cu valori în A , numită tot
polinom sau funcț ia polinomială asociată .
Propoziția l.9.7. Fie A un inel, I este un ideal în A si X 1,X2,…,X n nedeterminate.
Atunci există un morfism canonic.
A [X 1,X2,…X n] / I A [X 1,X2,…X n]≈ ( A / I) [X 1,X2,…X n].
Corolarul l.9.8 . Fie A un inel și P un ideal prim în A. Atunci P A[X 1,X2,…,X n]
este ideal prim în A[X 1,X2,…X n].
Fie K un corp și K[X 1,…,X n] inelul polinoamelor de n nedeterminate cu coeficienți
în K. Acest inel este ine l integru și corpul său de fracții va fi notat cu K(X 1,…,X n) numit
corpul fracțiilor raționale de n -nedeterminate cu coeficienți în K.
Un element h ∈K(X 1,…,X n) se poate scrie sub forma: h = f/g, unde f,g ∈
K[X 1,…,X n], g ≠ 0 și se va numi fracție rațională de n nedeterminate (sau variabile) cu
coeficienți în K .
Dacă S este mulțimea elementelor s din Kn cu proprietatea că g(s) = 0, atunci putem
asocia lui h o funcție definită pe Kn \S cu valori în K prin h(x)=f(x)/g(x), pentru orice x ϵ
22
Kn\S. Datorită acestu i fapt, corpul K(X 1,…,X n) se numește și corpul funcțiilor raționale de
n nedeterminate (sau variabile) peste K , iar un element al său funcție rațională de n
nedeterminate (sau variabile) peste K.
Fie φ :A →B un morfism de inele. Atunci există un unic morf ism de inele φ*:
A[X 1,…,X n] →B[X 1,…,X n] astfel încâ t φ *(X i)=X i și diagrama :
A φ B
↓ φ n ↓
A[X 1,…,X n] → B[X1,…,X n]
să fie comutativă, unde morfismele verticale sunt morfismele canonice.
23
CAPITOLUL II
DIVIZIBILITATE IN DOMENII DE INTEGRITATE
II.1.Relația de divizibilitate
În acest capitol, R va desemna un domeniu de integritate. U(R) este mulțimea
elementelor inversabile din R. U(R) împreună cu operația de înmulțire este un grup abelian
numit grupul unităților lui R .Vom nota cu R* mulțimea R \ {0}.
Fie R un domeniu de integritate. Spunem că un element a ∈ R divide elementul b ∈ R
daca exista c ∈ R astfel înc ât b =a c.
Pentru a ∈ R, vom nota cu Ra sau (a) idealul principal generat de a, adică R a= {λa |
λ∈R}.
Propoziția II.1.1. Relația de divizibilitate are proprietățile :
1. a|b dacă și numai dacă R b ⊆ R a;
2. a|a oricare ar fi a ∈ R;
3. Dacă a|b și b|c atunci a | c;
4. Dacă a | bi; i = 1,2,…,n; atunci a| c1 b1 + c 2 b2 + …..+c n bn oricare ar fi c 1,
c2,….,c n∈ R;
5. a|b și b|a dacă si numai dacă există u ∈ U(R ) astfel încât b = u a.
Demonstrație:
1. Presupunem că a| b ; deci există c ∈ R, astfel încât b = a c. Dacă x ∈ R atunci
există λ∈ R astfel încât x=λb. Cum b = a c atunci x= (λ c) a și deci x ∈ R a, adică
R b ⊆ R a.
Invers, fie R b ⊆ R a, cum b ∈ R b, atunci b ∈ R a și deci există c ∈ R astfel încât b= a
c, adică a | b .
2. Relația a|a rezultă din faptul că a = 1 a
24
3. Dacă a|b și b|c, atunci există elementele λ, µ ∈ R astfel încât b = λ a, adică a|b și c
= µ b. Deci c = µ (λa ) = ( µ λ )a, adică a|c.
4. Cum a | b i ,rezulta ca a | c i bi pentru orice i, deci a | c 1 b1+ c 2b2 +….cnbn
5. Presupunem că a | b și b | a . Înseamnă că există u , v ∈ R astfel încât b = u a și a
= b v. Dacă a = 0 obținem b = 0 și putem lua u = 1. Dacă b = 0 obținem a = 0 și în
mod similar putem lua v = 1. Dacă a , b ≠0 atunci din relațiile de mai sus obținem a
= ( u v) a și cum a ≠ 0 rezultă că u v = 1 adică u ∈ U (R).
Invers, dacă b = u a, unde u ∈ U ( R ) atunci a | b . Cum a = u-1 b, atunci avem b | a.
Observație:
Proprietățile 2 ) și 3) ne arată că relația de divizibilitate pe R este o relație binară reflexivă
și tranzitivă . Relația de divizibilitate nu este simetrică.
Relația de divizibilitate nu este nici antisimetrică ( exemplu : 2 | -2 și -2 | 2 dar 2 ≠ -2).
Proprietatea 5) din propoziția de mai sus permite să definim o altă relație binară pe R :
dacă a, b ∈ R spune m că a și b sunt asociate în diviz ibilitate și notam a ∼db daca a|b si b|a.
Propoziția II.1.2. Relația ,,∼d” are proprietă țile:
1. a ∼d b ↔ (a ) = ( b);
2. ,,∼dˮ este o relație de echivalență pe R;
3. a ∼d 1 ↔ a ∈ U (R) ↔ ( a) = R.
Demonstrație :
1. rezultă din afirmația 1) din propoziția anterioară.
2. rezultă din 1) pentru că relația de egalitate pe mulțimea idealelor
principale este o relație de echivalență.
3. Dacă a ∼d 1 atunci a | 1 și deci există b ∈ R astfel încât 1 = a b și deci
a ∈ U(R ) .
Invers, dacă a ∈ U (R) atunci a ∼d 1. Echivalența a ∈ R astfel încât 1 = a b și a |
1. Cum evident 1 | a atunci a ∼d 1. Echivalența a ∈ U ( R ) ↔ ( a ) = R este evidentă.
25
Propoziția II.1.3 . Fie R un dom eniu de integritate. Atunci două elemente a, b din
R sunt asociate dacă și numai dacă a = u b, unde u este element inversabil în R.
Demonstrație :
Dacă a = u b , unde u este element inversabil în R, atunci este clar că a și b sunt asociate.
Reciproc , să presupunem că a și b sunt asociate. Atunci rezultă că există a, b ∈ R astfel
încât b = a bˊ și a = b aˊ și de aici rezultă că b= bˊ aˊ bˊ, deci b (1 – aˊ bˊ ) = 0 . Dacă b = 0
atunci evident și a = 0 și a = 0 și totul este demonstrat. În caz contrar, rezultă 1 – aˊ bˊ = 0
(căci R este integru ), deci aˊ bˊ sunt elemente inversabile în R.
Definiția II.1.4 . Fie R un domeniu de integritate. Un element p ϵ R se numește
prim dacă :
p ≠ 0 și p ∉ U(R);
Daca p │ab atunci p│ a sau p │b.
Definiția II.1.5. . Un element q din R se numește ireductibil dacă:
q ≠ 0 si q ∉ U(R);
daca q = ab atunci a sau b este inversabil.
Este clar că orice element asociat cu un element prin ( respectiv ireductibil) este prim
(ireductibil).
Intr-adevă r, fie p un element prim din R și pˊ un element asociat cu p. Daca p’ │ab, atunci
si p│ab. Cum pe prim, rezultă că p │a sau p │b. Atunci p’ │a sau p’ │b.
Fie a un element ireductibil din R și b ∈ R un element asociat cu a.
Este evident că b ≠ 0 și b nu este inversabil. Fie c un divizor al lui b. Atunci c divide pe a
și este asociat cu a, deci și cu b, sau c este inversabil, ceea ce demonstrează afirmația
propoziției.
Teorema II.1.6. Fie p și q două elemente nenule dintr -un domeniu de integritate R.
1. p este un element prim dacă și numai dacă idealul principal (p) este prim.
26
2. q este un element ireductibil dacă și numai dacă idealul (q) este maximal în
mulțimea tuturor idealelor principale și proprii ale lui R.
3. Orice element prim este ireductibil.
4. Dacă inelul R are proprietatea că pentru orice două elemente există un
c.m.m.d.c. atunci orice element ireductibil este prim.
Observație :
Intr-un domeniu de integritate oarecare noțiunile de element prim și element
ireductibil sunt în general distincte, așa cum rezultă d in următorul exemplu:
Considerăm mulțimea R = Z[i√5] = {a + ib√5 | a,b ϵ Z } care este un subinel al
corpului C. Fie funcția φ : Z[i√5] → N, φ(a + ib√5)) = a2 + 5b2
. Dacă z, z` ϵ Z[i√5], atunci
φ(z ∙z`) = φ(z ) ∙φ(z`). Rezultă că z ϵ Z[i√5]↔ φ(z) = 1 ↔z = ±1.
Cum Z[i√5] ⊇Z, avem în Z[i√5] descompunerea 6 = 2∙ 3 = (1 +i√5)(1 – i√5). Se verifică
folosind funcția φ, că elementele 2, 3, 1 +i√5 si 1 – i√5 sunt ireductibile , dar nu sunt prime
în Z[i√5].
Să arătăm că 3 este ireductibil. Fie 3 = z 1 z 2 , unde z 1 = a 1 + ib 1√5 și z 2= a 2 +ib 2
√5. Din φ (3) = φ(z 1 z2 )= φ(z 1) φ(z 2) observăm că 9 = (a2
1+ 5b2
1 )(a2
2 + 5b2
2 ) și deci a2
1+
5b2
1 =1, 3 sau 9. Egalitatea a2
1+ 5b2
1 = 0 implică a 1 = ±1 și b 1 = 0, deci z 1 este inversabil.
Egalitatea a2
1+ 5b2
1 = 3 este imposibilă, iar egalitatea a2
1+ 5b2
1 = 9 implică φ(z 2) = 1 adică
z2 este inversabil. Deci 3 este ireductibil în Z[i√5]. La fel se arată că 2, 1 +i√5 și 1 – i√5
sunt ireductibile în Z[i√5].
Dacă 3 ar fi prim, atunci 3 | (1 +i√5)(1 – i√5) obținem că 3 | 1 +i√5 sau 3 |1 – i√5
adică 1 +i√5 = 3(a + ib√5) sau 1 – i√5 = 3(a – ib√5) cu a,b ϵ Z. Deci 3a = 1, contradicție.
II.2. C.M.M.D.C. si C.M.M.M.C.
Definiția II.2.1. Fie a, b ∈ R. Un element d ∈ R se numește cel mai mare divizor
comun. ( c.m.m.d.c ) al elementelor a și b dacă are urmatoarele proprietăți:
i. d | a și d | b adică d este un divizor comun al elementelor a și b ;
27
ii. dacă dˊ | a și dˊ |b atunci dˊ | d.
Dacă d 1 și d 2 au prorietațile i ) și ii ),atunci d 1 ∼d d2 și invers, da că d are
proprietățile i ) și ii), atunci orice element asociat în divizibilitate cu d are aceleași
proprietăți.
În concluzie , oricare două elemente d 1 și d 2 care sunt fiecare un cel mai mare
divizor comun al elementelor a și b se găsesc în aceeași clasă de echivalență relativ la
relația ,,∼d ˮ. Din acest motiv vom nota cu (a, b ) sau c.m.m.d.c ( a; b ) orice element care
este cel mai mare divizor comun , adică nu vom face nici o distincție între elementele
asociate.
Două elemente a și b din R se nume sc prime între ele dacă ( a , b ) = 1. Cu această
convenție putem da proprietățile cele mai importante ale celui mai mare divizor comun a
două polinoame.
Propoziția II.2.2. Fie R un domeniu de integritate cu proprietatea că pentru orice
două elemente un c .m.m.d.c. Atunci urmatoarele afirmații sunt adevarate:
1. (a , b ) = a daca si numai daca a | b;
2. (a , 0 ) = a;
3. Fie (a,b) = d cu a = da’, b = db’ . Atunci (a’,b;) 1.
4. (a c , b c )= c (a, b );
5. (a(b,c ))= ((a, b ), c).
Demonstrație:
1) și 2) sunt evidente.
3 ) Fie dˊ = (aˊ , bˊ ).Cum dˊ |aˊ și dˊ | bˊ atunci rezultă că dˊ d | a și dˊ d | b.
Cum d ≠ 0, atunci dˊ | 1 adică dˊ ∼ d 1, de unde rezultă că (aˊ , bˊ ) = 1.
4 ) Fie dˊ = (a, b ) și dˊ = (a c ,b c). Putem presupune că a ≠ 0 și c ≠ 0. Cum d = (a , b),
atunci a = d aˊ și b = d bˊ și deci a c = (d c ) aˊ și b c = ( d c ) bˊ , ceea ce implică că dˊˊ | aˊ
și dˊˊ | bˊ. Cum ( aˊ bˊ ) = 1 atunci dˮ | 1 adică dˮ este inversabil și deci dˊ ∼ d d c ceea ce
trebuie demonstrat.
Afirmația 5) rezultă din definiția cel mai mare divizor comun .
28
Proprietatea 5) ne permite sa extindem noțiunea de cel mai mare divizor comun la un
numar finit de elemente : dacă a 1, a2, …..a n ∈ R, atunci definim c.m.m.d.c ( a 1, a2,…,an)n =
c.m.m.d.c (a 1 , c.m.m.d.c (a 2,….(a n-2, c.m.m.d.c (a n-2, an )….) pe care -l vom nota simplu (a 1
, a2 ,…a n ).
Definiția II.2.3. Fie a, b ∈ R. Un element m ∈ R se numește c.m.m.m.c al
elementelor a și b dacă are următoarele proprietăți :
i ) a | m și b | m , adică este un multiplu comun al elementelor a și b .
i i ) Dacă a | mˊ și b |mˊ atunci m | mˊ.
Din definiție rezultă că c.m.m.m.c a două elemente ( dacă există ) este unic, abstracție
de o multiplicare cu un element inversabil . Vom nota cu [a, b] sau c.m. m.m.c [a, b ] orice
element care este un cel mai mic multiplu comun.
Teorema II.2.4 . Fie R un domeniu de integritate. Urmatoarele afirmații sunt
echivalente :
1. Pentru orice două elemente există c.m.m.d.c;
2. Pentru orice două elemente există c.m.m.m.c;
3. Inters ecția oricăror două ideale principale este un ideal principal.
În plus, dacă este verificată una din condițiile echivalente de mai sus, atunci pentru
oricare a, b ∈ R avem egalitatea ( a, b ) [a, b] = a b .
Demonstrație:
2 )↔ 3) Fie m =[a, b] atunci R m ⊆ Ra și R m ⊆ Rb adică R m ⊆ Ra ⋂ Rb.
Dacă mˊ ∈ Ra ⋂ Rb atunci a| mˊ și b | mˊ și deci m | mˊ adică mˊ ∈ R astfel încât a|mˊ și
b |mˊ; deci există λ , µ ∈ R astfel încât mˊ = a λ λ = b μ.
Prin urmare , d aˊ λ =d bˊµ și cum d ≠ 0 rezultă că aˊ λ = bˊµ. Cum (aˊ , bˊ ) = 1
rezultă că λ = (aˊ λ , bˊ λ )=(bˊµ , bˊµ) și deci bˊ | µ adică λ =b`λ 1 . Deci mˊ = a λ = bˊ λ 1
= m λ1, adică m = mˊ.
29
2)⇒1 ). Presupunem că a ≠ 0, b≠ 0 și fie m = [a, b] . Atunci există aˊ,bˊ ∈ R astfel încât m
= a aˊ = b bˊ.Deoarece a | a b și b | a b atunci m | a b și deci există d ∈ R astfel încât a b =
m d. Vom demonstra că d = (a, b ).
Deoarece a b = a aˊ d = b bˊ d, obținem prin simplificare că b = a ˊd și a = bˊ d și deci d | a
și d | b.
Fie dˊ|a și dˊ| b. Obținem că a= dˊ a 1 și b = dˊb1. Punem mˊ= dˊ a 1 b1 = a b 1 = b a 1 . Deci
a|mˊ și b | mˊ , de unde rezultă că m | mˊ adică mˊ = m c și deci dˊ m = dˊ m c.
Cum dˊ mˊ = dˊ2 a1 b1 = ( dˊ a 1 ) (dˊ b 1 ) = a b 1, obținem astfel c ă a b = dˊm c sau m d = dˊ
m c și prin simplificare rezultă că d = dˊ c , adică dˊ| d .
Propoziția II.2.5. . Fie R un domeniu integru și a ∈ R un element nenul și
neinversabil în R. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente :
1. a este ireductibil în R;
2. dacă a = b c atunci a este asociat cu cel puțin unul dintre elementele b sau c;
3. dacă a = b c , atunci a este asociat cu cel puțin unul dintre elementele b sau c, iar
celălalt este inversabil.
Demonstrație:
1. ⇒ 2) Din a = b c rezultă că b este sau inversabil sau asociat cu a ; la fel, c, este sau
inversabil, sau asociat cu a. Însă nu se poate ca ambele sa fie inversabile căci ar
rezulta ireversibil.
2. ⇒ 3) Fie a = b c. Din 2) rezultă că unul dintre elementele b sau c , să zicem b este
asociat cu a. Deci, conform teoremei R’’ inel integru. Atunci a, b din R sunt
asociate dacă și numai dacă a = u b, unde u este inversabil în R’’, b = a u, cu u
inversabil în R. Atunci, din a = au c și din faptul că ≠ 0 rezultă 1 = u c, deci c este
element inversabil.
Implicația 3) ⇒ 1) este evidentă.
Datorită proprietăților 2) 3) din propoziția precedentă , uneori elementele ireductibile sunt
numite nedecompozabile.
Propoziția II.2.6. Dacă R este un domeniu de integritate, atunci :
1. Orice element prim este ireductibil.
30
2. Dacă R are proprietatea că pentru oricare doua b elemente există un c.m.m.d.c,
atunci un element este prim dacă și numai dacă este ireductibil.
Demonstrație :
1)Fie p = ab, unde p este un element prim. Atunci p | ab și deci p |a și p | b.
Dacă p | a atunci a = pa’ și prin urmare, p = pa’b, de unde rezultă că a’b =1 adică b este
inversabil. Deci q este inversabil.
2)Presupunem că q este ireductibil și fie q | ab. Fie d = (q, a). Cum d | q, rezultă că d este
inversabil s au d este asociat în divizibilitate cu q. În cazul în care d este inversabil, atunci 1
= (q , a ) și deci b = ( qb , ab ) și cum q | ab rezultă că q | b.
3)Dacă q este asociat în divizibilitate cu d, atunci q | d și cum d | a rezultă q| a.În concluzie,
q este element prim în R.
Exemple:
1. În inelul Z al întregilor , numarul 2 este prim, deci este ireductibil .Într –
adevăr, dacă 2 |ab atunci trebuie ca cel puțin unul din numerele a sau b să se
dividă cu 2, altfel produsul 2 nu se divide cu 2, căci dacă a = 2a’+1,b
=2b’+1, atunci ab = 4a’b’+ 2 (b’+a’)+ 1, care se observă că nu se divide cu
2. Analog, se arată că 3,5,7 etc. sunt si ele ireductibile. În acelașii timp se
obține că -2, -3, -5, etc. sunt și ele ireductibile , fiind asociate cu cele
precedente.
2. Fie k un corp. Atunci, în inelul K[X] orice polinom de gradul 1 este
ireductibil. Într -adevar, dacă f este un astfel de polinom, atunci f =
g’hrezultă g≠0, h≠ 0 și grad (f)= grad (g) + grad (h)=1.De aici rezultă că sau
grad (g)=1 și grad (h)=0,sau invers și afirmația rezultă din faptul că în K [X]
un polinm de gradul 0 este inversabil.
Dacă K = R, polinoamele ireductibile sunt cele de gradul I și cele de gradul
II,cu discriminantul negativ.
Dacă K = C, polinoamele ireductibile sunt cele de gradul I .
Fie R u n domeniu de integritate și a ∈ R un element ireductibil.
Atunci a este ireductibil și în inelul R[X], căci el este neinversabil și a ≠ 0
(elementele inversabile din R[X] fiind cele inversabile în R, iar dacă a se
31
descompune în produsul a două polinoame , acestea vor fi de grad 0, deci
element din R.
3. Să considerăm inelul întregilor lui Gauss Z[i] . Pentru a studia mai bine
divizibilitatea în Z[i], considerăm fun cția N : C → R, definită prin N(a + bi )
= (a +bi )( a- bi )=a2+b2 (N este numită funcția normă, iar N ( z) norma
numărului complex ( z). Observam ca N(z) = zż = |z|2
Dacă α și β ∈C atunci avem relația:
N ( α β)=N(α )N(β)
Într-adevăr, fie α =a + a’i,β = b +b’i, atunci :N (αβ)= |αβ|2 = |α|2 | β|2 = N(α )
N(β) și se verifică egalitatea cerută.
Este clar că, restricția lui N la Z[i] are imaginea cuprinsă în Z (chiar în N )
și o vom nota tot cu N.
Să determinăm mai întâi care sunt elementele inversabile în Z[i] .Fie ɑ un
element inversabil. Atunci există α -1 ∈Z[i] astfel ca α ∙ α -1= 1,de unde
rezultă 1=N(1)=N ( α)⋅N(α -1) și, deoarece N( α) și N ( α -1) sunt numere
naturale ≥ 1, rezultă că N (ɑ) = 1.
Reciproc, dacă ɑ ∈Z[i] este un element astfel încât N = 1, atunci ɑ este
inversabil în Z[i] căci avem 1 = N ( α)= α ⋅α unde α ∈Z[i] este conjugat
lui ɑ, deci ɑ este inversul lui ɑ α. Fie α = a +bi, a, b ∈Z. De aici rezultă că
α este un element inversabil în Z[i] dacă și numai dacă Z [ α] = a2 +b2= 1, de
unde rezultă că elementele inversabile din Z [i] sunt: 1, -1, i, -i.
Dacă α și β sunt elemente asociate în Z[i], atunci N( α)=N(β). Se mai
observă și că dacă α |β, atunci N(α )| N(β).
Reciproc, este adevărată următoarea lemă.
Lema II.2.7. Dacă α , β∈Z[i] as tfel încât α|β și N (α)=N(β), atunci α este asociat
cu β.
32
Demonstrație:
Dacă β = 0, afirmația este clară. Pentru β ≠ 0, din faptul că α |β rezultă că există α’ ∈ Z [i]
astfel încât β= α’∙α . Avem atunci N (β)=N(α ) N(α’), deci N α’)=1, adică α’ este inversabil
în Z [i]și lema este demonstrată.
În Z[i] numarul 2 este reductibil căci el se scrie sub forma 2 = (1 +i )(1 -i ), iar 1+i și 1 -i nu
sunt inversabile căci N(1+i)=N(1 -i)=2.
Să arătăm acum că 1+ i și 1 -i sunt elemente ireductib ile în Z [i]. Fie 1+ i = ɑ β. Atunci, 2 =
N(1+i ) = N ( α)N(β) și avem descompunerea în Z a lui 2, de unde rezultă sau N ( α)=2 și
N(β)=1 sau i nvers. Deci, conform lemei II.2.7,sau e α ste asociat cu 1 + i în Z [i] sau β este
asociat cu 1+i.
Așadar 1+i est e element ireductibil în Z [i].
Pentru 1 – i, raționamentul este analog.
Numărul 3 în Z [i] este ireductibil. Dacă ar fi reductibil, ar exista o descompunere a sa de
forma 3= α β, în care ɑ și β sunt neinversabile. Atunci obținem că 9 = N(3)=N( α)N(β) d e
unde rezultă N( α)=3 și N(β)=3, deoarece am presupus că α și β sunt neinversabile.
Fie α = a +bi.
Atunci : N( α)= a2+ b2 = 3,deci |a|, |b| ≤ 1 și se observă că nu există numere întregi a, b care
să verifice această egalitate,deci, un astfel de ɑ un există și, prin urmare, 3 este ireductibil
în Z[i].
4. Considerăm inelul Z[i√5 ] acesta este format din toate elementele ɑ ∈ C,
care se scriu sub forma a + bi √5 , unde a , b ∈Z. Definim funcția N: Z[i√3]
→ N (numită funcție normală) prin N (ɑ)= a2 +5b2, unde ɑ = a + bi√5. Se
vede că această funcție este multiplicativă , adică pentru ɑ , β ∈Z[ i √5]
avem: N (ɑ β) = N (ɑ)N(β), de unde rezultă că ɑ |β,atunci N(ɑ) | N(β). Un
element ɑ ∈Z[i√5 ] este inversabil dacă și numai dacă N(ɑ)=1,
raționamentul fiind întru totul analog.
Fie ɑ = a + bi√5, α este inversabil dacă și numai dacă a2 + 5b2=1, de unde
rezultă că acest inel elementele inversabile sunt 1 și -1.
Se observă că și pentru acest inel rămâne valabilă lema anterioara .
33
Să considerăm acum că elementul 3 din acest inel este ireductibil , căci
dacă 3 = ɑβ, cu ɑ și β neinversabile, rezultă că 9 = N( α) N(β), adică N( α)=
N(β)=3.Dacă α = a + bi√5, atunci avem 3 = a2+5b2, ceea ce nu este posibil.
Însă 3 nu este prim în acest inel, căci 3| (4+i√5)(4 -i√5)=21, iar 3 n u divide
nici unul dintre factori. Dacă ar divide de exemplu pe 4 +i√5, ar rezulta că
N(3)=9 și divide pe N(4+i√5)=21. Acest exeplu arată că reciproca proziției
„dacă R este inel integru, orice element prim din R este ireductibil”, nu este
totdeauna adevă rată, adică nu în orice inel integru un element ireductibil
este prim.
Deducem, că în Z(i√5) nu orice două elemente au un c.m.m.d.c.
34
CAPITOLUL III
INELE FACTORIALE
III. 1. INELE FACTORIALE.
Propoziția III.1.1. Fie R un domeniu de integritate. Daca p 1, p 2, …, p n sunt
elemente prime între ele, iar q 1, q2, …, q m sunt elemente ireductibile astfel încât:
p1 …pn = q1 … q m
atunci m = n și există o permutare ϭ ∈ Sn astfel încât p i si q ϭ(i) sunt asociate, oricare ar fi i
= 1,2,…, n.
Demonstrație :
Vom utiliza inducția după n.
Dacă n = 1, din egalitatea p 1 = q 1 … q m și p1 este ireductibil rezultă că m = 1 și
atunci p 1 = q 1.
Presupunem că n > 1. Cum p 1 / q1, q2, …, q m și p 1 este prim, există q k astfel încât p 1/
qk. Cum q k este ireductibil,rezultă că q k și p 1sunt asociate.
Renumerotănd elementele q 1, q2, …, q m putem presupune că p 1 și q 1 sunt asociate.
Deci q 1 = p 1u, unde u ∈U(R). Inlocind pe q1 în inegalitatea din enunț obținem p 1 …pn =
p1.uq2 … q m. Simplificând cu p 1 obținem egalitatea:
p2…pn = (uq 2)…q m.
Cum uq 2 este ireductibil, putem aplica ipoteza de inducție. Deci n – 1 = m – 1,
d
adica m = n si abstracție făcând de o renumerotare a elementelor uq 2 … q m avem ca p 2 ~
uq2,
d d d
pi ~ q i oricare ar fi i > 2. cum u este inversabil, avem p 2 ~ q 2. Deci p i ~ q i oricare ar fi i ≥ 1.
35
Propoziția III.1.2 . Fie R un domeniu de integritate și a, b ∈R. Dacă elementul ab
este un produs de elemente prime, atunci atât a cât și b este un produs de elemente prime
(sau inversabile).
Demonstrație:
Presupunem că ab = p1 …pn, unde p 1 …pn sunt elemente prime.
Vom demonstra prin inducție după n. Dacă n = 1, atunci ab = p 1. Cum p 1 este
ireductibil, atunci a este asociat în divizibilitate cu p 1 și b este inversabil sau b este asociat
în divizibilitate cu p 1 si b este inversabi l. In primul caz a este prim; în cel de -al doilea caz b
este prim.
Presupunem că n > 1. cum p 1 | ab rezultă că p 1 | a sau p 1 | b.
Să presupunem că p 1 | a; atunci a = p 1 c și înlocuind obținem cq p 1bc = p 1 …pn, sau,
simplificând cu p 1, rezultă că bc = p 2…pn. Aplicând ipoteza de inducție rezultă că b si c
sunt produse de elemente prime ( sau inversabile) și deci a este un produs de elemente
prime.
Definiția III.1.3 . Un domeniu de integritate R se numește factorial dacă orice
element nenul și neinversabil al lui R este produs de elemente prime ale lui R.
Deoarece relația de asociere este o relație de echivalență pe mulțimea R, putem
vorbi de un sistem de reprezentanți de elemente prime pe care îl vom nota cu P = (p i)i∈I și
are urmatoarele prop rietăți:
1. dacă i, j ∈I, i ≠ j, atunci elementele p i și p j nu sunt asociate în divizibilitate;
2. daca p este un element prim al lui R, există un i ∈ I astfel încât p ~ p i ( pi
este unic).
Exemple:
– în inelul Z, un sistem de reprezentanți de elemente prime poate fi luat multimea P
= {2,3,5,7,11, … }.
36
– alt sistem de reprezentanți de elemente prime este mulțimea P’ = { -2,-3, -5,-7,-
11,…}.
Dacă inelul R este factorial iar (pi)i∈I este un sistem de reprezentanți de elemente
prime, atunci orice a ∈R, a ≠ 0, se poate scrie sub forma:
a = u ∏ i mi, (1)
unde u ∈U(R), m i ≥ 0, și numai un număr finit dintre numerele (m i)i
∈I sunt nenule. Mai
mult scrierea lui a sub forma (1) este unică, în sensul că numerele m i sunt unic determinate.
Propozitia III.1.4. Fie R un inel factorial. Daca a și b ∈R sunt doua elemente
nenule scrise sub forma (1), adică
a = u П p i mi, b = v П p i ni ,
i∈I i∈I
atunci elementul d = П p i min (mi,ni ) ( respectiv m = П p imax (m i,ni)) este c.m.m.d.c. (respectiv
i∈I i∈I
c.m.m.m.c. ) al elementelor a și b.
Demonstrație:
Se vede că d | a si d | b. Fie d` ∈R astfel încât d`| a si d`| b. Deoarece R este
factorial, putem scrie d` = w ∏
i unde w ∈U(R), s i≥0, și numai un număr finit dintre
numerele (s i)
i∈I sunt nenule .
Utilizând Propozitia III.1.1. , din faptul că d`|a rezultă că s i ≤ m i oricare ar fi i ∈ I.
Analog din d` |b rezultă că s i ≤ n i, oricare ar fi i∈ I, și deci s i ≤ (min(m i, ni), oricare ar fi i
∈ I, ceea ce implică d`| d.
Asemănător se demonstrează că m este c.m.m.m.c. al elementelor a și b.
Teorema III.1.5 . Fie R un domeniu de integritate. Urmatoarele afirmații sunt
echivalente:
1. R este factorial;
37
2. Orice element nenul și neinversabil al lui R se scrie în mod unic ca un
produs de elemente ireductibile;
3. Orice element nenul și neinversabil este un produs de elemente ireductibile
și orice element ireductibil este prim;
4. Orice element nenul și n einversabil este un produs de elemente ireductibile
și pentru orice doua elemente există un c.m.m.d.c. ( sau un c.m.m.m.c.);
5. Orice ideal prim nenul al lui R conține un element prim;
6. a) Orice lanț ascendent de ideale principale este staționar, adică dacă Ra 1 ⊆
Ra2⊆…⊆Ran⊆… este un lanț ascendent de ideale principale, există un n
astfel încât Ra n = Ra n+1=…;
b) Intersecția a doua ideale principale este un ideal principal.
Demonstrație :
1) →2). Rezultă din propoziția III.1.1.
2) → 3). Trebuie să dovedim că dacă q este ireductibil, atunci q este prim.
Presupunem că q |ab, adică ab = qc. Dar a = q 1…qs, b = q 1…q’ r, c = q’’ 1…q’’ t , unde q 1, …q s
, q’ 1, …q’ r, q’’ 1, …q’’ t sunt elemente ireductibile. Din egalitatea q 1…qs q1…q’ r = q’’ r…qt și
din faptul că scrierea unui element ca produs de elemente ireductibile este unică, rezultă că
există
d d
qk sau q’ 1 astfel încât q ~ q k sau q ~ q’ 1 și deci q | a sau q | b. Deci q este prim.
3) → 1). Este evidentă.
1) → 4). Rezultă din propoziția III. 1.4. iar 4) → 3) rezultă din teorema I. 6.3.
1) → 5). Daca p este un ideal prim nenul al lui R, există a ∈p, a ≠ 0. Cum a este
neinversabil, atunci a = p 1…pn, unde p 1, …, p n sunt elemente prime. Cum p 1…pn ∈p rezultă
că există 1 ≤ k ≤n astfel încat p k ∈p.
5) → 1). Notăm S = {a ∈R | a ≠ 0, a nu aparține U(R) și a este un produs de
elemente prime}. S este un sistem multiplicativ închis. Pentru a încheia demonstrația este
suficient să arătăm că dacă a ∈R, a ≠ 0 ș i a nu aparține U(R), atunci a ∈S. Prin reducere
la absurd presupunem că a nu aparține lui S. Din propoziția III. 1.2. rezultă că (a) ∩ S = Ø.
38
Inseamnă că aplicând lema lui Zorn, există un ideal p maximal cu proprietatea p ∩ S = Ø si
(a) ⊆ p.
Să arătăm că p este ideal prim. Fie, pentru aceasta, λ, μ ∈ R astfel încat λ, μ ∈p.
Dacă λ este inclusă în p si μ nu aparține lui p, atunci λ ∈S și μ ∈S ( deoarece în cazul că λ
nu aparține S rezultă că avem p neinclus în p+ (λ) și deci (p + (λ))∩ S ≠ Ø. Rezultă că
există s 1 ∈S de forma s 1 = a 1 + λ λ’ cu a 1 ∈p. Asemănător, din faptul ca (p + (μ)) ∩ S ≠
Ø, există s 2 ∈S astfel încat s 2 = a 2 + μμ’ cu a 2 ∈p. Atunci s 1s2 = (a 1 + λ λ’) (a 2 + μμ’) de
unde rezultă că s 1s2∈p, contradicție.
Cum λ, μ ∈S, rezultă că λ și μ sunt produse de elemente prime și deci λ μ este un
produs de elemente prime, deci p ∩ S ≠ Ø, contradicție.
1) → 6). Considerăm șirul ascendent de ideale:
Ra1⊆Ra2⊆…⊆Ran⊆… .
Atunci rezultă că a n | a1 oricare ar fi n. Cum inelul R este factorial, atunci a 1 este un
produs finit de elemente. Deci a 1 are un numar finit de divizori și prin urmare există un n 0
astfel încât oricare ar fi n ≥ n 0, an si a n+1 sunt asociate în divizibilitate și atunci Ra n = Ra n+1,
oricare ar fi n≥ n 0.
6) → 1). Tinând cont de teorema II.2.4., este suficient să dovedim că orice element
din R nenul și neinversabil este un produs finit de elemente ireductibile. Prin reducere la
absurd presupunem că afirmația nu este adevarată și fie a un element de acest fel. Vom
nota cu x = { a ∈R | a ≠ 0, a nu aparține U(R) și a nu este un produs finit de elemente
ireductibile}.
Deci X ≠ Ø. Dacă a ∈ X, atunci în particular a nu este ireductibil; deci există a 1,
b1 ∈ R astfel încat a = a 1b1 si a 1, b1 nu aparțin lui U(R). Evident ca unul dintre elemente le
a1, b1 nu apartine multimii X. Să presupunem ca a 1 nu aparține lui X. In particular, a 1 nu
este ireductibil. Dacă exista a 2, b2 nu apartine U(R) astfel încat a 1 = a 2b2. unul dintre
elementele a 2, b2 nu aparține mulțimii X; deci putem presupune că a 2 nu aparține lui X.
Continuând procedeul gasim sirurile de elemente: (a n)n≥1 si (b n) n≥1 astfel încât șirul de
ideale Ra 1⊆Ra2⊆…⊆Ran⊆… este strict crescător, deci o contradicție.
39
III.2. FACTORIALITATEA INELELOR DE FRACȚII
Fie R un domeniu de integritate și S ⊆R un sistem multiplicativ închis al lui R.
Vom nota cu S-1R inelul de fracții asociat și conținut în corpul de fracții al lui R.
Propoziția III.2.1. Dacă R este un inel factorial, atunci S-1R este un inel factorial.
Demonstrație :
Fie p ∈R un element prim astfel încât p nu divide nici un element al mulțimii S;
atunci p este un element prim și în inelul S-1R. Este adevărat că p este nenul și neinversabil
in S-1R deoarece p nu divide nici un element al lui S. Presupunem că p │
∙
unde a, b ∈R
si s, t ∈S. Deci
∙
= p/s ∙ c/r, unde r ∈S. Există u, v ∈S astfel încat uab = pcv. Cum p
este prim, atunci p | u sau p | a sau p | b. Dar situația p | u este imposibilă, deci avem p | a
sau p | b si deci p | a/s sau p | b/s în inelul S-1R.
Fie a α = a/s un element oarecare din inelul S-1R. Cum R este factorial, atunci a =
p1…pn, unde p 1, …, p n sunt elemente prime. Fie dintre acestea p r+1, …, p n elementele prime
care divid cel putin un element din S. Rezultă că în inelul S-1R avem:
α = a/s = p 1/1…p r/1∙p r+1/1…p n/1∙s-1 = p 1/1…p r/1∙ u
unde am notat cu u = p r+1…pn / s care este un element inversabil în S-1R. Deci α este
în S-1R egal cu produsul a r elemente prime.
Fie R un domeniu de integritate oarecare s i (p i)i∈I o mulțime nevidă de elemente
prime ale lui R. Vom nota cu S sistemul multiplicativ generat de această mulțime ( un
element din S este un produs finit din elementele (p i)i∈I și un element inversabil al lui R).
Urmatoarea teoremă constituie o reciprocă a propoziției III.2.1.
Teorema III.2.2. Fie R un domeniu de integritate cu proprietatea ca orice lanț
ascendent de ideale principale este staționar. Fie (p i)i∈I o mulțime de elemente prime și S
sistemul multiplicativ închis generat de aceasta m ulțime. Dacă inelul S-1R este factorial,
atunci R este factorial.
40
Demonstrație:
Conform teoremei III.1.5., este suficient să dovedim că orice ideal prim nenul p al
lui R conține un element prim. Dacă p ∩ S ≠ Ø, atunci p conține un element prim din
mulțimea (p i)i∈I. Presupunem că p ∩ S ≠ Ø și vom nota S-1p = {a/s | a ∈p, s ∈S} care
este un ideal prim al inelului S-1R. Cum S-1R este un inel factorial, atunci S-1p conține un
element prim; fie acesta q/s, unde q ∈p. Cum s este inversabil, atunci S-1p contine
elementul p/1. putem alege elementul q astfel încat să nu fie divizibil cu nici un element p i.
Intr-adevăr, dacă q este divizibil cu p i atunci q = p iq’ și cum p i nu aparține lui p,
rezultă q’ ∈ p și în plus q / 1 si q’ 1 sunt asociate în divizibilitate în inelul S-1R, deoarece
pi este inversabil în S-1R. Deci putem înlocui pe q /1 cu q’ / 1. Continuând procedeul de
dividere cu elemente p j, deoarece inelul R satisface condiția lanțurilor ascendente pentru
ideale principale, după un număr finit de pași găsim un element q 0 / 1 cu q 0 ∈p astfel încât
q/1 si q 0/1 sunt asociate în divizibilitate si q 0 nu se mai divide cu nici un element p i(i∈I).
Să arătăm acum că q este un element prim.
Fie q | ab în R. Atunci q/1 | a /1∙b/1 în S-1R dar cum q/1 este element prim in S-1R,
obținem că q/1 | a/1 sau q/1 | b/1. Presupunem ca q/1 |a/1. deci a/1 = q/1 ∙ c/s și deci sa = qc
in R, unde s ∈S. Fie s = p i1…pir; atunci avem p i1…pir a = qc. Cum q nu se divide cu nici un
pi rezultă că p i1…pir divide pe c și deci c = p i1…pirc’. Inlocuind și făcând simplificarile
obținem că a = qc’, adică q | a și deci q este un element prim în R.
41
CAPITOLUL IV
INELE PRINCIPALE ȘI INELE EUCLIDIENE
IV.1. INELE PRINCIPALE ȘI INELE EUCLIDIENE
Definiția IV.1.1. Un inel se numește principal dacă este un domeniu de integritate
și orice ideal al său este principal.
Definiția IV.1.2. Dacă R este un inel principal, atunci R este factorial.
Demonstrație:
Conform teoreme i III.1.5. afirmația 6) este suficient să arătăm că orice lanț ascendent de
ideale este staționar.
Fie pentru aceasta lanțul ascendent de ideale:
I1⊂I2⊂…….⊂In⊂……
Vom nota I = U∞ In. Este evident cq I este un ideal. Cum inelul R este principal, atunci
există α∊R astfel încât I=Ra.
Cum a ∊ I, atunci a ∊ U∞ In. și deci există un r ≥1 astfel încât a ∊ Ir. Deci Ra⊂Ir,
n=1
adică I⊂Ir și, în particular, I k ⊂Ir, oricare ar fi k ≥ r, obținem I k⊂Ir⊂Ik și deci I r=Ik.
Atunci I r =Ir+1=… .
Teorema IV.1.3. Fie R un inel principal și a și b ∊ R și d este c.m.m.d.c. al
elementelor a și b, atunci există λ, μ ∊ R astfel încât
d = λa + μb.
42
In particular, elementele a și b sunt prime între ele dacă și numaiq există λ, μ ∊ R
astfel încâ t
1 = λa + μb.
Demonstrație:
Considerăm idealul Ra + Rb care fiind principal există d ∊ R astfel încât:
Ra +Rb = Rd.
Cum d ∊ Rd, atunci există λ, μ ∊ R astfel încât:
d = λa + μb.
Cum Ra⊂Ra + Rb, atunci Ra ⊂Rd și deci d | a.
Analog avem și relația d | b.
Fie d’ ∊ R astfel încât d’ | a si d’ | b; atunci d’ | λa + μb, adica d’ | d. Deci d un este
c.m.m.d.c.. cum orice alt c.m.m.d.c. al elementelor a și b este asociat cu d, atunci rezultă
prima afirmație din teorema IV.1.3.
A doua afirmație rezultă din prima folosin d definiția elementelor prime între ele.
Definiția IV.1.4. Se numeste un inel euclidian un domeniu de integritate R pentru
care exista o funcție φ: R – {0}→ N având proprietatea urmatoare: oricare ar fi a,b ∊ R, b ≠
0, există q,r ∊ R astfel încât:
a= bq + r, unde r = 0 sau φ(r) ˂ φ(b) (1)
Egalitatea aceasta se numește formula împărțirii cu rest în inelul euclidian R.
Elementele q și r se numesc câtul, respectiv restul împărțirii.
Legatura între inele euclidiene și inele principale este dată de teorema următoare:
Teorema IV.1.5. Dacă R este un inel euclidian, atunci R este un inel principal.
In particular orice inel euclidian este factorial.
Demonstrație:
Fie I un ideal al lui R.
43
Dacă I = (0), atunci I este un ideal principal. Presupunem că I ≠ (0) și notăm cu A={φ(a) | a
∊ I,a ≠ 0}. Cum A ≠ ⌀ si A⊂N, există un cel mai mic element al lui A; fie acesta n 0.
Atunci există a 0 ∊ I astfel încât n 0 = φ(a 0). Vom demonstra că I = Ra 0. Cum a o ≠ 0, este
evidentă incluziunea Ra 0 ⊂I. Invers, fie x ∊ I. Cum a 0, atunci există q,r ∊ R astfel încât x =
a0q + r, unde r = 0 sau φ(r)˂φ(a 0).
Dacă r ≠ 0, atunci r = x -a0 q ∊ I și deci φ(r) ∊ A. Cum φ(r) ˂ φ(a 0) = n 0, obținem o
contradicție.
Deci trebuie ca r = 0 și deci x = a 0q, adica x ∊ Ra0. Deci are loc egalitatea I = Ra 0.
Observație :
Reciproca teoremei IV.1.5. nu este adevarată.
Există inele principale care nu sunt euclidiene. De exemplu Z[ √
] = { a +
b( √
) | a, b ∊ Z} este un inel principal, dar nu este euclidian.
In cazul în care inelul R este euclidian se poate determina c.m.m.d.c. a doua
elemente prin aplicarea de un număr finit de ori a formulei împărțirii cu rest.
Mai exact, fie a, b ∊ R. Daca b = 0, atunci (a, 0) = a.
Deci presupunem că b ≠ 0 aplicând formul a împărțirii cu rest avem egalitatea:
(E1) a = b q 1 + r1 cu r 1 = 0 sau φ(r 1)< φ(b).
Dacă r 1 ≠ 0 aplicăm din nou formula împărțirii cu rest și găsim elementele q 2, r2 astfel
încat
(E2) b = b q 2 + r2 cu r 2 = 0 sau φ(r 2)< φ(r 1).
Repetând ac est procedeu obținem elementele q 3, q4, …, q n, … si r 3, r4, …, r n, … din R astfel
încât:
(E3) r 1 = r2q3 + r3 cu r 3 = 0 sau φ(r 3)< φ(r 2)
……………………………………………………..
(En)……….r n-2 = rn-1qn + rn cu r n = 0 sau φ(r n) < φ(r n-1)
(En+1)…….r n-1 = rn qn+1 + rn+1 cu r n+1 = 0 sau φ(r n+1)< φ(r n).
Cum φ(r 1) > φ(r 2) > … > φ(r n) > φ(r n+1) > … și cum N este bine ordonată există un număr
natural n astfel încât r n ≠ 0 si r n+1 = 0.
44
Arătăm că r n este un c.m.m.d.c. al elementelor a și b. Cum r n-1 = rn qn+1, rezultă : r n
| rn-1. Dar deoarece r n-2 = rn-1qn + rn, rezultă ca r n | rn-2. Folosim egalitatea r n-3 = rn-2qn-1 + rn-1
și tinând seama că r n | rn-2 si r n | rn-1 rezultă r n | rn-3. Din aproape î n aproape, tinând seama
de egalitatea (E n) rezultă că r n divide elementele r n-1, rn-2, …, r2, r1.
Din egalitatea (E 2) rezultă că r n | b iar din egalitatea (E 1) obținem ca r n | a.
Deci r n este un divizor comun al elementelor a și b.
Din (E 1) obținem ca r1 = a – bq1 și deci d’ |r 1.
Din egalitatea (E 2) obținem r 2 = b – r1 q2. Cum d’ | r 1 și d’ | b, atunci d’ | r 2.
Folosind egalitățile (E 3), …, (E n),… obținem că d’ divide elementele r 3, r4, …, r n-1, rn.
Așadar, r n (ultimul rest nenul) este un c.m.m.d.c. al elementelor a și b.
Sirul de egalitati (E 1), (E 2), …, (E n), poarta denumirea de algoritmul lui Euclid.
IV.2. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
1. IMPARTIREA POLINOAMELOR
Teorema împărțirii cu rest : Fiind date două polinoame oarecare cu coeficienți
complecși f,g cu g ≠0, există două polinoame q,r cu coeficienți complecși astfel încât
f=gq+r, unde grad r < grad g. În plus, q și r sunt unic determinate.
f poartă numele de deîmpărțit , g de împărțitor , q de cât, iar r de rest.
g grad r grad, ],[ ,!,0 ],[ , rgqfXCrq qXCqf
Demonstrație:
Fie n=grad f, m=grad g.
Dacă n<m fie q=0, r=f. Atunci relația
f= gq+r devine f=g0+f.
Presupunem atunci că n≥m.
f=a 0+a1X+a 2X2+…+a nXn, an≠0
g=b 0+b1X+b 2X2+…+b mXm, bm≠0. Fie atunci polinomul:
.1 g Xbaffmn
mn
45
În această egalitate avem a nXn (de la f ) –
mn
mnXba . bmXm (de la g) și deci termenul de grad
maxim se va reduce, deci grad f 1< grad f. Fie n 1= grad f 1. Atunci f 1 este de forma:
|
011
11| 1
1|
1 …a Xa Xafn
nn
n
.
Dacă n 1<m atunci
rgqffr Xbaqmn
mn , ,1 , grad r=n 1<m=grad g.
Dacă n 1≥m atunci fie
g Xbaf fmn
mn1|
1
1 2 ,
grad f 2=n2, evident n 2<n1<m. Repetăm procedeul și vom obține:
g Xbaf fg Xbaf fg Xbaff
mn
mp
n
p pmn
mnmn
mn
p
)(
1
11|
1
1 21
….. ………. ………. ………..
cu n>n 1>……>n p>np+1.
Cum
NpNm, astfel încât n p+1<m. Adunăm egalitățile obținute, facem
reducerile ce se impun și în final vom obține:
.) … ()(
1|
1
1 g XbaXbaXbaf fmnp
mp
np mn
mn mn
mn
p
Notăm polinomul aflat în paranteză cu q și fp+1 cu r și obținem formula f=gq+r cu
grad r=n p+1<m=grad g .
Demonstrăm apoi faptul că descompunerea obținută este unică.
Fie q1,r1 q1≠q, r 1≠r, f=gq 1+r1, f=gq+r
f=gq+r=gq 1+r1, g(q-q1)=r 1-r.
Dacă q-q1≠0 atunci grad g(q -q1)>grad g. Dar grad(r 1-r)<max(grad r 1,grad r)<grad
g, cea ce este o contradicție. Asta înseamnă că ipoteza noastră este greșită și atunci q-q1=0,
adică q=q 1. Astfel obținem g0=r 1-r, r 1-r=0, r 1=r. Deci cele două polinoame q,r obținute
prin aplicarea teoremei împărțirii cu rest sunt unic determinate.
46
Observație:
Operațiile efectuate asupra coeficienților polinoamelor nu schimbă natura coeficienților noi
rezultați.
Toate operațiile efectuate asupra polinomului f se pot scrie sub forma unui tabel:
f=anXn+an-1Xn-1+…+a 0 g=bmXm+…+b 0
mn
mn n
mmn n
n XbbaXbbaXa 0 1 1…
… mn
mnXbaq
mnp
mp
npXba)(
|
011 |
111 |
1 1 …a Xa Xafn
nn
n
……………………………………………………
)(
01 )(
1)(…p np p
npnp p
np p a Xa Xaf
mnp
mp
n np p
np XbbaXa0)(
)(…
r=
)1(
01 )1(
1 1 …
p np p
np p a X a f
Această schemă poartă numele de regula de împărțire a polinoamelor și este folosită în
practică pentru a obține câtul și restul împărțirii a două polinoame.
Pentru mai buna înțelegere a schemei prezint un exemplu concret:
Exemplu:
f=2X5+X4-5X3-8X+1, g=X2-3.
2X5 +X4 –
5X3 -8X +1 X2 -3
– +6X 2X3+X2+X+3
47
2X5 3
X4 +X3 -8X +1
-X4 +3X
2
X3 +3X
2 -8X +1
-X3 +3X
3X2 -5X +1
–
3X2 +9
-5X +10
2X5+X4-5X3-8X+1=(X2-3)(2X3+X2+X+3)+( -5X+10).
O altă teoremă importantă în cazul împărțirii polinoamelor este cea care ne permite
calcularea restului împărțirii la un binom de forma (X -a) fără a face efectiv împărțirea.
Teoremă.
Restul împărțirii unui polinom prin (X -a) este egal cu valoarea f(a) a polinomului f în a.
Demonstrație:
Fie f deîmpărțitul și g=(X -a) împărțitorul. Efectuăm împărțirea cu rest și obținem că:
F=(X -a)q+r, unde grad r <grad (X -a)=1 . Deci grad r<0, adică r este un polinom constant
ce nu depinde de nedeterminata X. Calculam valoarea lui f în a și obținem:
f(a)=(a -a)q+r, f(a)=0q+r, f(a)=r.
Pentru o mai bună înțeleger e prezentăm un exemplu concret:
Exemplu:
f=X3-2X2+X+1, g=X -2
r=f(2)=23-2.22+2+1, r=8-8+3, r=3.
Această teoremă ne permite calcularea restului , dar nu ne oferă nici un indiciu asupra
câtului împărțirii polinomului f prin binomul (X -a).
48
Indicăm un procedeu de identificare atât a restului cât și a câtului împărțirii a unui polinom
prin bi nomul de forma (X -a), procedeu cunoscut sub numele de schema lui Horner
Fie f un polinom de forma:
f=a 0+a1X+a 2X2+…+a nXn, an≠0. Efectuăm împărțirea cu rest și obținem: f=(X -a)q+r.
Dacă grad f=n, atunci grad q=n -1. Fie q de forma:
q=b 0+…+b n-2Xn-2+bn-1Xn-1. Atunci f=(X -a)q+r devine:
a0+a1X+…+a nXn=(X-a)(b 0+…+b n-1Xn-1)+r.
Efectuăm înmulțirile:
(X-a)(b 0+…+b n-1Xn-1)=b n-1Xn+bn-2Xn-1+…+b 0X-abn-1Xn-1-abn-2Xn-1-…-ab0=bn-1Xn+(b n-
2-ab-1)Xn-1+…+(b 0-ab1)X-ab0
a0+a1X+a 2X2+…+a nXn= bn-1Xn+bn-2Xn-1+…+b 0X-abn-1Xn-1-abn-2Xn-1-…-ab0=bn-1Xn+(b n-
2-ab-1)Xn-1+…+(b 0-ab1)X-ab0
De aici rezultă că:
an=bn-1
an-1=bn-2-abn-1
…………….
a1=b0-ab1
a0=r-ab0
Scoatem coeficienții b i și r în funcție de a j și de cel calculat anterior:
bn-1=an
bn-2=an-1-abn-1
………………
b0=a1+ab 1
r=a 0+ab 0
Toate valor ile calculate se trec într -un tabel de forma:
Xn Xn-1 … X1 X0
an an-1 … a1 a0
an an-1-abn-1 … a1+ab 1 a0+ab 0
bn-1 bn-2 … b0 r
Pentru o mai bună înțelegere prezentăm un exemplu concret:
49
f=2X4-5X3-8X+1, g=(X -2)
X4 X3 X2 X X0
2 -5 0 -8 1
2 –
5+2×2= –
1 0+2( -1)=-
2 -8+2( -2)=-
12 1+2( -12)= –
23
b3 b2 b1 b0 r
2. Inelul (Z, +, ∙) este un inel euclidian .
In acest inel are loc formula împărțirii cu rest: dacă a, b ∊ Z cu b ≠ 0, există q, r ∊ Z unic
determinate cu proprietatea
(1) a = bq + r, unde 0 ≤ r˂ | b |.
Dacă considerăm funcția
φ : Z – { 0} → N, φ(n) = | n | = n, daca n ≥ 0
-n, daca n < 0
Această funcție satisface proprietatea (1) din definitia IV.1.4.
Formula (1) se poate pune sub forma urmatoare:
(2) a = bq 0 + r0, unde | r 0 |
In general numerele q 0 si r 0 nu sunt unic determinate.
3. Fie K un corp comutativ. Inelul de polinoame într -o singură variabilă K[X] este
un inel euclidian. Intr -adevăr, fie f, g ∊[X]cu g ≠ 0. Vom demonstra că există
două polinoame q, r ∊ K[X] astfel încât
(3) f = gq + r, unde grad r ˂ grad g
Intr-adevăr, fie f = a 0+a1X+…+a nXn și g = b 0+b1X+…+b mXm, unde b m≠ 0 si m ≥ 0.
Vom arăta că există formula (3) prin inducție după grad f = n.
Dacă n ˂ grad g, atunci punem q = 0 si r = f.
Dacă n ≥ grad g considerăm polinomul f′ = f – bm-1anXn-mg.
50
Se observă că grad f′ ˂ n și conform ipotezei de inducție există polinoamele q′, r′ astfel
încât
f′ = gq′ + r′ unde grad r′ ˂ grad g
sau f = b m-1 anXn-mg=gq′ + r′ de unde f = g(q′+b m-1 anXn-m) + r′. Notand q = q′+b m-1anXn-m si
r = r′ obținem f = gq + r, unde grad r ˂ grad g. D in formula (3) consideram functia
φ: K[X] -{0}→N, φ(f) = grad f
care satisface proprietatea (1) din definitia IV.1.4.
4. Fie K un corp comuntativ. Inelul de serii formale într -o singură variabilă K[[X]]
este un inel euclidian.
Dacă f = a 0+a1X = …+ a nXn +… este o serie formală , atunci f este un element
inversabil în K[[X]] dacă și numai dacă a 0 ≠ 0. Rezultă că orice f ∊ K[[X]] , f ≠ 0, este de
forma f = Xnu, unde u este element inversabil în K[[X]], deci n este unic determinat.
In particular, rezultă că dacă f, g ∊ K[[X]], atunci avem f | g sau g | f.
Definim funcția φ: K[X] -{0}→N, φ(f) = n, unde n ∊ N, cu proprietatea că f = Xnu,
unde u este un element inversabil din K[[X]]. Este clar că φ satisface proprietatea (1) din
definiția IV.1.4.
5. Fie a, b ∊ Z și fie α o radacină a ecuației
(4) x2 + ax + b = 0
Vom nota Z[α ]= { m + n α | m, n ∊ Z}.
Z[α] are urmatoarele proprietăți :
i) Z[α ] etse un subinel al lui C si Z ⊂Z[α ].
Dacă m ∊ Z, atunci putem scrie m = m + 0∙ α și deci m ∊ Z[α]. Deci Z ⊂Z[α].
Dacă z 1, z2 ∊ Z[α ], atunci există numerele întregi m 1, n1 astfel încât z 1 = m 1 + n 1 α și
există numerele întregi m 2, n2 ∊ Z astfel încât z 2 = m 2 + n 2 α. Dar cum z 1 + z 2 = (m 1 + m2 )
+ (n 1 + n 2)α rezultă că z 1 + z 2 ∊ Z[α]. Insă z 1z2 = (m 1 + n 1 α)( m 2 + n 2 α) = m 1m2 + (m 1n2
+ n 1m2) α + n 1n2 α2. Dar cum α2 + a α + b = 0 rezultă că α2 = -a α – b și deci z 1z2 = m 1m2
51
+ (m 1m2 + n 1m2) α + n 1n2(-a α – b ) = (m 1m2 – b n 1n2) + (m 1n2 + n 1m2 – a n1n2) α ceea ce
ne arată că z 1z2 ∊ Z[α].
Deci Z[α] este un subinel al lui C.
Cazuri particulare .
i) Daca a = 0, b = 1, atunci ecuația (4) devine x2 + 1 = 0 si α = i este radacină a
acestei ecuații. In acest caz avem inelul Z[i] = {m + ni | m, n ∊ Z}. Inelul Z[i] se numește
inelul întregilor al lui Gauss.
Daca a = 0 si b = -2, atunci ecuația (4) devine x2 -2 = 0 si α = √2 este o radacină a
acestei ecuații. In acest caz obținem inelul
Z[√ ] = { m + n √ | m ,n ∊ Z }.
ii) Daca α’ este cealaltă radacină a ecuației (4), avem Z[α] = Z[α’]. Intr -adevăr cum
α + α’ = -a ∊ Z, rezultă că α’ = -a – α și deci din afirmația a) avem α’ ∊ Z[α] și deci Z[α’]
⊂Z[α]. Analog din α = -a – α’ obținem și incluziunea Z[α’] ⊂Z[α] si deci Z[α’] = Z[α].
iii) Notăm d = a2 – 4b; deci α = √
. dacă d ≥ 0 și d este un pătrat perfect,
atunci α ∊ Z.
Intr-adevăr , dacă a este par, atunci a2
-4b este număr întreg par și deci √( a2
-4b)
este par, ceea ce ne arată inelul ca –a ±√(a2-4b) este număr par. Dacă a este impar, atunci
(a2-4b) este impar și deci √(a2-4b) este impar ceea ceea ce ne arată că –a ±√(a -4b) este par.
In concluzie α ∊ Z și deci Z[α] = Z.
iv) Voi prezenta în continuare cazul când d < 0 sau d > 0 și d nu este pătrat
perfect.
Să presupunem : α = √
= √
.
52
Atunci Z[α] = { m + n α} | m, n ∊ Z} = {(m –
n) + √
| m, n ∊ Z}. Dacă z ∊
Z[α], atunci z este de forma z = ( m –
n) + √d
, unde m, n ∊ Z. Se observă că avem z = 0
dacă și numai dacă m = n = 0.
Intr-adevăr, z = 0 implică (m –
n)+ √d
= 0. cum √d este număr complex (cand d ,
0) sau irațional (cand d > 0 și d nu este pătrat perfect)., atunci m –
n = 0 si
= 0 și deci n
= 0 și m = 0. Notăm
ž = ( m –
n) – √d
.
Cum z + z = 2m – an ∊ Z, atunci ž ∊ Z[α]. Numarul ž il vom numi conjugatul lui z
in inelul Z[α]. Se observa ca daca α’ este cealalta radacina a ecuatiei (4), atunci daca z = m
ž1 + n α, avem ž = m + n α’.
Daca z 1, z2 ∊ ž [α], atunci au loc egalitățile
(5) z1 + z2 = ž 1 + ž 2,
z1z2 = ž 1 ž2.
Intr-adevăr, z 1 = m 1 + n 1 α, z 2 = m 2 + n 2 α unde m 1, n1, m 2, n2 ∊ Z. Deci ž 1 = m 1 +
n1 α’ și ž 2 = m 2 + n 2 α’. Verificăm a doua egalitate din (5) deoarece prima este evidentă.
Avem
z1z2 = (m 1m2 – b n1n2) + (m 1n2 + n 1m2 – a n1n2) α
și deci
ž1 ž2 = (m 1m2 – b n1n2) + (m 1n2 + n 1m2 – a n1n2) α’.
Pe de altă parte, cum ž 1 = m 1 + n 1 α’ și ž 2 = m 2 + n 2 α’, avem
ž1 ž2 = (m 1 + n 1 α’)( m 2 + n 2 α’) = = m 1m2 + (m 1n2 + n 1m2) α’ + n 1n2 α’2.
Cum α’2 + a α’ + b = 0, avem α’2 = -a α’ – b și deci
ž1 ž2 = (m 1m2 – b n1n2) + (m 1n2 + n 1m2 – a n1n2) α’
și deci
z1z2 = ž 1 ž2.
v) Definim funcția
N: Z[α] →Z
53
N(z) = z∙ž, unde z ∊ Z[α].
Daca z = m + n α = (m –
n) + √d
, atunci
N(z) = [(m –
n)+ √d
] [(m –
n)+ √d
] = m2 –amn +bn2.
Numărul întreg N(z) îl vom nota norma lui z.
Funcția N are urmatoarele proprietăți:
a) N este multiplicativă:
N(z 1z2) = N(z 1) N(z 2), oricare ar fi z 1, z2 ∊ Z[α].
Intr-adevăr, N(z 1z2) = z 1z2 z1z2 = z 1z2ž1 ž2 = ( z 1ž1)( z 2 ž2) = N(z 1) N(z 2).
b) Daca z ∊ Z[α], atunci N(z) = 0 ↔ z = 0.
Este clar că dacă avem z = 0 rezultă N(z) = 0.
Invers, dacă presupunem N(z) = 0 si z = m + nα, cum N(z) = m2 – amn + bn2,
obținem
m2 – amn + bn2 = 0.
Dacă n ≠ 0, atunci avem (
)2 – a(
) + b = 0 și deci
= √
= √
.
Cum m/n ∊ Q, rezultă că √d ∊ Q, contradicție. Deci n = 0 și atunci avem m2 = 0, adică și
m = 0, de unde z = 0.
c) z ∊ U(Z[ α]) ( adica z este inversabil în inelul Z [α]) ↔ N(z) = ± 1. Intr –
adevăr, dacă z ∊ U(Z[ α]), există z’ ∊ U(Z[ α]) astfel încat zz’ = 1. Cum N este multiplicativă,
avem N(zz’) = N(1) = 1 sau N(z) N(z’) = 1. Cum N(z) ∊ Z, atunci N(z) = ± 1.
Invers, dacă N(z) = ± 1, atunci N(z) = z∙ž = ±1.
Dacă z∙ž = 1, atunci inversul lui z este ž.
vi)Definim funcția φ : Z[α] → N, φ(z) = | N(z) | = |m2 – amn +bn2 |.
Din proprietățile a),b), c) ale funcției N obținem că φ are proprietățile:
a’) φ este multiplicativă: φ(zz’) = φ(z) φ(z’).
b’) φ(z) = 0 ↔z = 0.
c’) z ∊ Z[α] este inversabil ↔ φ(z) = 1.
54
De exemplu în cazul in elului întregilor lui Gauss Z[i], funcția φ este:
Z[i] → N, φ(m + ni) = m2 + n2.
In continuare vom arăta posibilitățile inelului Z [α] de a fi euclidian relativ la funcția φ.
Fie z, z’ ∊ Z[α] cu z’≠ 0. Avem z/ž’ =z ž’ / z ž’ = z 1 / N(z 1’), unde am notat z 1 = z
ž’ .
Cum z 1 ∊ Z[α], atunci z 1 = m + n α, unde m, n ∊ Z. Cum z’ ≠ 0, atunci din
proprietatea b) avem N(z’) ≠ 0.
Aplicând formula împărțiirii cu rest sub forma în care este dată în egalitatea (3),
obținem: există, q 1, r1 ∊ Z astfel încât:
(6) m = N(z’)q 1 + r1 cu | r 1 | ≤ ½ |N(z’) |
exista q 2, r2 ∊ Z astfel încât
(7) n = N(z’) q 2 + r2 cu |r 2 | ≤ ½ |N(z’) |
Atunci
=
=
= (q 1 + q 2α) +
.
Notăm Q = q 1 + q 2α si R =
. Atunci este evident că
(8) Q ∊ Z[α] si z = z’ α + R
Cum z,z’ ∊ Z[α] și cum R = z –z’ α, obținem că și R ∊ Z[α]. Pe de alta parte, cum RN(z’)
= z’(r 1 + r2α), aplicând funcția φ, obținem
φ (R) φ(N(z’)) = φ(z’) φ(r 1 + r2α)
sau
φ (R) N(z’)2 = | N(z’) | φ(r 1 + r2α)
de unde prin simplificare cu N(z’) rezultă
φ (R) =
.
Dar cum φ(r 1 + r2α) = | r 12 + ar 1r2 + br 22 | ≤ | r 12| + |a|∙|r 1| |r2| + |b| |r 22|, folosind inegalitatile
din (6) si (7) , obținem că
φ(r1 + r2α) ≤
φ(z’)2 + |
| φ(z’)2 +
φ(z’)2 =
= φ(z’)2 (
+ |
| +
).
55
Deci
(9) φ (R) ≤ φ(z’)(
+
+
)
Dacă |a| + |b| < 3, atunci din (9) rezultă că
(10) φ (R) < φ(z’).
Să vedem acum când este verificată egalitatea
(11) |a| + |b| < 3.
Dacă a = 0, atunci din (11) rezultă |b| = 1 sau |b| = 2.
Adică b = ±1 sau b = ±2. Pentru a = 0 și b = 1 ecuația (4) devine x2 + 1 = 0 și deci α = i. In
acest caz obținem inelul întregilor lui Gauss Z[i]. Pentru a = 0 si b = -1 ecuația (4) devine
x2 – 1 = 0 și deci α = 1. In acest caz obținem inelul Z[α] = Z.
Pentru a = 0 si b = 2 ecuația (4) devine x2 + 2 = 0 și deci α = i √ . In acest caz obținem
inelul Z i√2 = { m + n i√2 | m ,n ∊ Z}. Pentru a = 0 și b = -2 ecuatia (4) devine x2 – 2 = 0 și
rezultă α = 2. In acest caz obținem inelul Z[ √ ] = { m + n √ | m, n ∊ Z}.Dacă |a| = 1,unci
din (11) rezultă că |b| = 0 sau |b| =1. In acest caz |a| =1 si |b| = 0, ecuația (4) devine x2 +x =
0, adică α = 0 sau α = 1. In acest caz obținem Z[α] = Z.
In cazul |a| = 1 si |b| = 1, ecuația (4) ia una din urmatoarele forme:
x2 + x + 1 = 0; x2 – x + 1 = 0; x2 + x – 1 = 0; x2 – x – 1 = 0.
In cazul x2 – x + 1 = 0 obținem α = (1 + i√3) /2 și avem inelul:
Z[ √
] = { √
n | m, n ∊ Z}.
In cazul x2 + x + 1 = 0 obtinem același inel.
In cazul când x2 – x – 1 = 0 obținem α = √
și avem inelul:
Z[ √
] = { m + √
n | m, n ∊ Z}.
In cazul când x2 + x – 1 = 0 obținem același inel.
In concluzie inelele urmatoare Z[i], Z[ √ ], Z[i√ ], Z √
], Z[ √
] sunt inele
euclidiene.
56
CAPITOLUL V
APLICAȚII
V.1. Aritmetica lui Z[i]
1. Pentr u fiecare pereche de elemente a, b din mulțimea {1+i, 2+i, 1 -i, 1+2i, 1 –
2i, -2+i} ⊂Z[i] decide ți dacă a|b, respectiv daca a b.
Soluție: Fracțiile pe care le vom scrie sunt elemente din corpul de fracții al
domeniului în care lucrăm.
Notăm R = Z[i], a = 1+i, b=2+i, c=1 -i, d=1+2i, e=1 -2i si f= -2+i. Vom studia
relațiile între elementele a și b.
=
=
+
i nu aparține lui R. Prin urmare, b nu divide pe a și b nu ~ a.
=
=
–
i nu aparține lui R și a nu ~ b.
Cu considerații similar obținem a~c, a nu| b, b~e, d nu |a, d nu | b, d~f. Celelalte
relații între elementele date se deduc imediat din cele daja menționate .
2. Arătați că un element din inelul Z[i] este prim dacă și numai dacă este
asociat în divizibilitate cu unul din următoarele elemente:
i. 1+i;
ii. p Z număr prim cu p 3 (mod 4);
iii. a+bi, a,b Z, astfel încât p = a2 + b2 este număr prim cu p 1 (mod 4).
Soluție: Notăm R = Z[i], care etse inel euclidian. Prin urmare un element din R este
prim dac ă și numai dacă este ireductibil. Fie R prim. este asociat cu un prim
din Z sau N( ) este prim în Z. Prin urmare, trebuie să considerăm elementele prime
din Z și să decidem care rămân prime în R și care sunt norme de prime din R.
Să remarc ăm pentru început că 2 = (1+i)(1 -i) și N(1+i) == N(1 -i) = 2, deci 2 R nu
este prim. Pe de altă parte, 1+i și 1 -i sunt ireductibile deci, cum R este euclidian, ele
sunt prime. Observăm și că 1 -i = -i(1+i), deci 1 -i ~R 1+i.
Pentru ca un prim p din Z să reductibil î n R, el trebuie să se scrie p=xy cu x,y R
pentru care N(x) = N(y) = p. Punând x = a + bi, deduce a2 + b2 = p. Cum membrul
57
st ng al acestei relații nu poate fi congruent cu 3 modulo4, rezultă că primele de
forma 4k+3 din Z rămân prime și în R.
3. Care numere natural pot fi scrise ca o sumăde două pătrate?
– p prim în N, p 1 ( mod 4), atunci p = (a+bi)(a -bi), cu a+bi, a -bi elemente prime în
Z[i]; în particular p = a2 + b2.
– p prim în N, p 3 ( mod 4), atunci p nu este sumă de două pătrate, pentru că dacă p
= a2 +b2, atunci p = (a+bi)(a -bi), deci p | (a+bi)(a -bi), de unde p | a+bi sau p | a -bi( p
este prim î Z[i]), de unde p | a sau p | b. Atunci p2 | a2 + b2, adică p2 | p, contradicție.
– 2 = 12 + 12
– Dacă u, v sunt sume de două pătrate, atunci și uv este sumă de două pătrate.
– u = a2 + b2 = N(a+bi), v = c2 + d2 = N(c+di) uv = N(a+bi)(c+di) =
N((a+bi)(c+di)) , deci este sumă de două pătrate.
– p prim, p 3 ( mod 4), p2 este sumă de două pătrate: p2 = p2 + 02.
Consecință:
Dacă n N*, n , n = 2αp1ᵝ1….p rᵝr qᵞ1…qᵞs cu p 1…, p r prime distincte de forma 4k +
1, qᵞ1…qᵞs prime distincte de forma 4k + 3. Atunci n este sumă de două pătrate toți
1…… s sunt pari.
Demonstrație:
( 2, p 1,…,p r, q12,…,q s2 se scriu ca sumă de două pătrate deci și n este sumă de două
pătrate .
( ) Fie n = a2 + b2= (a+bi)(a -bi), iar un q j, 1 j s.
Observăm că q jt | a+bi qjt | a și q jt | b qjt | a-bi.
Atunci luând descompunerea în factori a lui a+bi și a -bi (știm că Z[i] este euclidian,
deci și factorial), rezultă că în a+bi și a-bi, factorul q j are același exponent, deci în
(a+bi)(a -bi) are exponent par j par.
58
V.1. Teorema împărțirii cu rest pentru numere naturale
Pentru oricare a, b ϵ N, cu b≠0, exista q, r ϵ N, unic determinate, astfel încât a = b· q +
r, 0≤ r < b.
Demonstrație:
Fie a, b ϵ N, b fiind oarecare, nenul, dar fixat.
Fie A = a ϵ N| Ǝ q, r ϵ N: a = b· q + r, 0≤ r < b}. Vom aplica axioma inducț iei.
0 ϵ A, pentr u ca Ǝ q = 0 si Ǝ r = 0 astfel î ncat 0 = b ·0 + 0. Daca a ϵ A, adica Ǝ q, r ϵ N : a
= b· q + r, 0≤ r < b, atunci a*= (b· q + r) *= b· q + r *.
Dacă r* = b, atunci consi derăm q` = q + 1 ϵ N si r `= 0 ș i avem egalitatea a* = b· q` +
r`, deci a* ϵ A . Conform axiomei inducț iei N = N.
Să demonstră m acum unicitatea lui q si r. Presupunem că există q` ș i r` ϵ N, a stfel încâ t a =
b· q` + r`, 0≤ r` < b.
Presupunem q≠ q`. Putem avea situațiile : q < q` sau q`< q. Daca q < q`, atunci există p ϵ
N, p ≠ 0 : q`= q + p. Din b∙q + r = b∙q` + r` rezultă că b∙q + r = b∙q + b∙p +r`, de unde r =
b∙p + r`. Din p ϵ N, p ≠ 0 rezultă că Ǝ u ϵ N: p = u*, deci b∙p +r` = b∙u* + r`= b∙u + b + r`.
Obținem b ≤ b∙u + b + r` = b∙ p + r`= r, contradicție.
Dacă q `< q, procedăm în mod analog obținem de asemenea, o contradicție.
Deci q `= q și atunci r`= r.
Observație :
Putem demonstra existența numerelor q și r ( astfel încât a = b∙q + r, , 0≤ r < b ) și în alt
mod și anume: considerăm A ={ b∙k | k ϵ N și a < b∙k}. Conform lemei lui Arhimede
rezultă că A ≠Ø.
Ǝ b∙l ϵ A așa încât b∙l≤ b∙k, oricare ar fi b ∙ k ϵ A.
Observăm că l ≠ 0, altfel am avea a < 0 = b∙l, ceea ce este absurd. Rezultă că Ǝ q ϵ N: l =
q*. Avem b∙q< b∙l și cum b∙l este prim element al lui A rezultă că b∙q nu apartine A, adică
b∙q ≤ a, de unde rezultă că există r ϵ N, astfel încât a = b∙q + r.
59
Dacă am presupune că b ≤ r, atunci ar exista u ϵ N: r = b + u, de unde a = b∙q + r = b∙q + b
+ u = b∙(q + 1) + u = b∙l + u, deci b∙l ≤ a, ceea ce este absurd. Deci, r < b.
Exemple:
1. Aflați cel mai număr natural de trei cifre care împărțit la 13 dă restul 9.
Soluție Scriem teorema împărțirii cu rest
abc =13q+9, unde
abc -9=13q
cum
abc minim găsim
abc =100.
2. Cîte numere de trei cifre împărțite la 21 dau restul 5?
Soluție ca și înainte găsim cel mai mic număr cu proprietatea cerută este
110=21·5+5 iar cel mai mare este 992=47·21+5, deci sunt 47 -4=43 numere cu proprietatea
din enunț.
3. Să se afle cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la un număr format dimtr –
o singură cifră să dea restul 8.
Soluție Notăm
abc numărul cerut în enunț. Avem
abc =qt+8, 0≤8<t<9
Atunci
abc =9q+8=>
abc -8=99. Cum
abc minim, avem
abc -8=99, de unde
abc =107.
V.1.2. Teorema împărțirii cu rest pentru numere întregi
Pentru orice două numere întregi x și y, y ≠ 0, există și sunt unice numerele întregi q
și r, astfel încât x = yq + r și 0 ≤ r < |y|.
Demonstrație:
Dacă x, y ϵ N, y ≠ 0, atunci aplicăm teorema cu rest pentru numere naturale și obținem că
există q, r ϵ N, deci întregi, astfel încât 0≤ r < y = |y|.
Dacă x ≤ 0, iar y > 0, atunci pentru |x|și y există q`, r` naturale, deci întregi, astfel încât -x
= |x| = yq` + r` și 0 ≤ r < y = |y|. Avem x = y( -q`)- r`. Dacă r `= 0, atunci q = -q` și r = 0.
Dacă 0 < r`;atunci x = y( -q`-1) + y -r`.
60
Considerăm q = -q`-1 ϵ Z și r = y -r` > 0 și r < y = |y|.
Dacă 0 ≤ x și y < 0, atunci aplicăm teorema împărțirii cu rest pentru numerele naturale x
și |y|. Rezultă că Ǝ q„, r„ϵ N: x = |y | q„+ r„ și 0≤ r„ <|y |, de unde x = y( -q„)+ r„.
Alegem q = -q„și r„= r. Dacă x ≤ 0 și y < 0, atunci Ǝq„`, r„`ϵ N: |x| = |y|q„` + r„` și 0 ≤
r„`< |y|, adică -x = ( -y)q„` + r„` și 0 ≤ r„`< |y|. Dacă r„` = 0, atunci x = yq„` și alegem
q = q„` și r = 0. Dacă r „`> 0, atunci x = yq„` – r „`= y(q„` + 1) + ( -y – r„`). Alegem q= q
„`+ 1 și r = – y – r„`> 0 și r < -y = |y|.
Verificăm acum unicitatea numerelor q și r. Presupunem că yq + r = yq* + r*, cu 0 ≤ r <|y|
și 0 ≤ r*<|y|. Rezultă că y(q -q*) = r* -r, deci yu = r* -r, unde u = q -q*. Deoarece |ab| = |a|·|b|,
pentru orice a, b ϵ Z, obți nem că |y|·|u| = |r* -r|.
Dacă r* ≤ r, atunci 0 ≤ r – r* ≤ r <| y|, iar dacă r ≤ r*, atunci 0 ≤ r – r* ≤ r <| y|. În ambele
cazuri, avem | r – r|< |y|. Pe de altă parte, presupunând că u ≠ 0 rezultă că 1≤ | u|, deci |y |
·|u|≤ |y|, de unde|y|≤ |r* -r|, contradicție. Așadar, u = 0, deci q = q* și r = r*.
61
V.2.PROIECT DIDACTIC
Clasa : a-XII-a A
Obiectul : Matematică – Algebră
Subiectul lecției : Împărțirea polinoamelor prin X – a. Schema lui Horner.
Tipul lecției : Lecție de formare de priceperi și deprinderi de calcul.
Conpetențe generale :
1. Identificarea unor date si relații matematice și corelarea lor în funcție de
contextul în care au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse
în enunțuri matematice.
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală
sau globală a unei situații conccrete.
4. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă în
scopul găsirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor.
5. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei
situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
Competențe specifice :
3.2 Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezol varea ecuațiilor algebrice
5.2 Determinarea unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc condiții date
6.1 Exprimarea unor probleme practice folosind calcul polinomial
6.2 Aplicarea prin analogie, în calcule cu polinoame a metodelor de lucru din a ritmetica
numerelor
Strategia didactică: activ -participativă.
Metode și procedee didactice: conversația euristică , exercițiul,
demonstrația, munca independentă.
Material didactic utilizat : manual clasa a -XII-a , fișe de lucru .
Tipuri de actități : frontală și individuală.
Procedee de evaluare: analiza răspunsurilor, observarea sistematică a
atenției, verificarea cantitativă si calitativă a temei.
62
Scenariu didactic:
1.Moment organizatoric: Verificarea prezentei elevilor și notarea absențelor (dacă
sunt) in catalog;
Asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desfășurare a orei ;
2.Captarea atenției: Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul
profesor -elev; elev -elev, prin confruntarea rezultatelor (in cazul in care apar
diferente se rezolvă exercițiile la tablă ).
3.Informarea elevilor asupra obiectivelor lecției: Se anunță și se scrie pe tablă
titlul lecției: Împărțirea polinoamelor prin X – a. Schema lui Horner.
4. Prezentare de material nou
În cazul particular când împărțitorul este
][XKaXg restul se poate
determina mult lai simplu:
Teoremă. (Teorema restului) Restul împărțirii polinomului
][XKf prin polinomul
][XKaXg
este egal cu valoarea polinomului f în punctul a, adică
)(afr .
Demonstrație : Conform teoremei împărțirii cu rest putem scrie
rqaXf ) ( , unde
grad(r) < grad(g) = 1 r constant (1) . Pentru X = a obținem
)( )( af ar (2). Din (1) și
(2)
)(afr
Exemplu : 1. Să se determine restul împărțirii lui
7 5 32 3 X X Xf prin
2Xg
Rezolvare Conform teoremei restul împărțirii prin X – 2 este
17710128725232)2(2 3fr
Teorema factorului ( Teorema lui Bezout)
Un element
Ka este rădăcină a polinomului
][XKf dacă și numai dacă X – a divide
pe f .
Deci
0)( ) ( af aXf .
63
Exemplu :
1. Se consideră polinomul
mX X mXf 7 112 3 cu coeficienți reali. Să se determine
Rm
astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul
1Xg . (Var .22.
Bacalaureat 2009).
Rezolvare :
0)1( )1 ( f Xf
9 18 2 0 711 m m m m
2. Se consideră polinomul
4 6 )3(2 3 4 X X a aX Xf cu coeficienți reali. Să se
determine
Ra astfel încât polinomul f să fie divizibil cu
2X . (Var .23. Bacalaureat
2009).
Rezolvare :
0426 2)3( 2 2 0)2( )2 (2 3 4 a a f Xf
04266 2224 a a
222266
a
)2 1(22 16
a
3a
Schema lui Horner
Se consideră polinomul
0 11
1 axa Xa Xafn
nn
n
. Câtul și restul împărțirii
polinomului f prin X – a se poate obține prin următorul procedeu numit schema lui Horner:
nX
1nX
2nX
…
2X
X
0X
na
1na
2na …
2a
1a
0a
a
na=
1 1 n na ba=
2nb
2 2 n n a ba=
3nb
…
2 2aba=
1b
1 1aba=
0b
0 0aba=
r
1nX
2nX
…
2X
X
0X
Restul
Câtul împărțirii este
0 12
21
1 bxb Xa Xbgn
nn
n
iar restul împărțirii este
0 0abar
.
Exemplu : Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului
4 2 6 32 3 X X X f
prin
2Xg .
X3 X2 X X0
3 -6 2 -4
1nb
64
3
0632
2202
0422
Câtul împărțirii este
2 32X q iar restul este r = 0.
5.Consolidarea cunostințelor și asigurarea feed -back -ului : Fiecare elev va
primi cate o fișă de lucru .Pe parcursul rezolvării exercițiilor, profesorul intervine
cu întrebări , adresate atât elevilor de la tablă cât și celor din clasă, pentru a se
clarifica demersul rezolvării.
6.Tema pentru acasă : Se vor propun e spre rezolvare ca temă pentru acasă ,
exercițiile rămase nerezolvate din fișă .
7.Aprecieri: se noteaza elevii care s -au evidențiat în timpul orei.
65
V.3. Sume Gauss
1. Să se calculeze suma primelor
n numere naturale nenule consecutive.
Rezolvare:
Fie a = 1 +2+3+4+…+n . Suma respectivă
n conține termeni. Suma respectivă este
comutativă.
Dacă schimbăm ordinea termenilor de la cel mare la cel mic rezultatul nu se schimbăa
a = 1 + 2 + 3 + 4 + … + (n -3) +(n -2) + (n -1) + n
a = n + (n -1) + (n -2) + (n -3) + ……4 + 3 + 2 + 1
Adunând termenii pe verticală obținem doar (n + 1).
2a = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) +(n + 1) + (n + 1)
Adunarea repetată a lui
1n de
n ori se transformă în înmulțire
2a = n( n + 1)
a =
Exemplu:
Să se calculeze suma primelor
2014 numere naturale nenule consecutive.
Rezolvare:
Fie a = 1+2+3+4+…+2014
Suma respectivă 2014 conține termeni.
Suma este comutativă.
Dacă schimbăm ordinea termenilor de la cel mare la cel mic rezultatul nu se schimbă.
a = 1 + 2 + 3 + …. + 2012 + 2013 + 2014
a = 2014+2013+2012 +…. + 3 + 2 + 1
Adunând termenii pe verticală obținem doar 2014.
2a = 2015 +2015 +….. +2015 +2015 +2015
Adunarea repetată a lui 2015 de 20124 ori se transformă în înmulțire.
2a = 2014 2015
2a =
66
2. Să se calculeze suma numerelor naturale consecutive începând cu
k până la
n .
Rezolvare:
Fie a = k + (k +1) + (k + 2) + … + n
Fie primele
n numere naturale 1,2,3,…,k -1,k,k+1,…,n -1,n .
De la
1 la
n sunt
n numere naturale.
De la
1 la k-1 sunt k -1 numere naturale.
De la
k la
n sunt n -(k-1) = n -k +1 numere naturale.
Suma respectivă este comutativă. Dacă schimbăm ordinea termenilor de la cel mare la cel
mic rezultatul nu se schimbă.
a = k + (k +1) + ( k + 2) + … + ( n – 2) + ( n -1) + n
a = n + ( n – 1) + (n – 2) + … + (k + 2) + (k + 1) + k
Adunând termenii pe verticală obținem mereu ( n + k).
2a = ( n + k) + ( n + k) + ( n + k) + … + ( n + k) + ( n + k) + ( n + k) de n – k + 1
termeni
Adunarea repetată a lui n+ k de n -k+1 ori se transformă în înmulțire.
2a = (n -k+1)∙(n -k)
a =
Exemplu:
Să se calculeze suma numerelor naturale consecutive începând cu 1500 până la 6457 .
Rezolvare:
Fie a = 1500 + 1501 +1502+… +6457
Fie primele 6457 numere naturale ,2,3,…,1499,1500,1501,…, 6456,6457.
De la 1 la n sunt 6457 numere natural, iar de la 1 la1499 sunt 1499.
De la 1500 la 6457 sunt 6457 – 1499 = 4958 numere natural.
Suma este comutativa si daca schimbăm ordinea termenilor de la cel mai mare la cel mai mic rezultatul
nu se schimba.
a = 1500 + 1501 + 1502 + … + 6455 + 6456 + 6457
a = 6457 + 6456 + 6455 + … + 1502 + 1501 + 1500
Adunând termenii pe vertical = 7957.
2a = 7957 +7957 + 7957 +… +7957 +7957 +7957 de 4958 ori.
67
Adunarea repetată a lui 7957 de 4958 ori = înmultire.
2a = 4958 ∙ 7957
a = (4958 ∙ 7957): 2
a = 197.254.203
3. Să se calculeze suma primelor n numere naturale pare consecutive.
Rezolvare:
Fie a = 2 + 4 + 6 + … + 2∙n
Suma aceasta are n termeni.
Fie a = 2 + 4 + 6 + … + 2∙n = 2 ∙ ( 1 +2 +3 + … + n) = 2∙
= n∙( n + 1).
Exemplu:
Să se calculeze suma primelor 2014 numere naturale pare consecutive.
Fie a = 2 + 4 + 6 + … + 2014.
Suma are 2014 : 2 = 1007 termeni.
a = 2 + 4 + 6 + … + 2∙n = 2∙(1 + 2 + 3 + … + 1007)
a = 2∙
a = 1007 ∙ 1008 = 1.015.056
4. Să se calculeze suma numerelor naturale pare consecutive de la 2∙k la 2∙n.
Rezolvare:
Fie a = 2∙k + 2∙(k+1) + 2∙(k+2) +…+ 2∙n su mă ce are n -k+1 termeni.
a = 2∙k + 2∙(k+1) + 2∙(k+2) + … + 2∙n
a = 2∙k + 2∙k + 2∙k + … + 2∙k + 2∙[1+2+3+…+(n -k)]
2∙k se n -k+1 ori
a = 2∙k∙(n -k+1) + 2∙(n -k)∙(n -k+1)
a = 2∙(n -k+1)∙(k+n -k)
a = 2∙n∙(n -k+1)
68
Exemplu:
Să se calculeze suma numerelor naturale pare consecutive de la 200 la 2000.
Fie a = 200 + 202 + 204 + … + 2000.
a = 200 + (200+2∙1) + (200+2∙2) +….+ (200+2∙900)
a = 200 +200+200+…+200+ 2∙(1+2+3+…+900) 200 se repeta de 901 ori
a = 200∙ 901 + 2∙
a = 200∙901 + 900∙901
a =901∙(200 +900)
a = 901 ∙1100
a =991.100
Generalizare:
Să se calculeze suma numerelor naturale luate din p în p pornind de la x = a∙p +r până la y
= (a + n)∙p + r unde a este câtul si r este restul împărțirii lui x la p.
S = (a∙p +r) +[a∙(p+1) +r] + [a∙ (p+2) +r]+…+[a∙(p+n) + r]
S = (a∙p +r) +(a∙p +r) +…+(a∙p +r) + a∙ (1+2+3+…+n) unde (a∙p +r) se repetă de n+1
ori
S = (n+1) ∙(a∙p+r) + a∙
Exemplu:
Să se calculeze suma numerelor naturale luate din 7 în 7 pornind de la 200 până la 1964.
200 : 7 = 28 rest 4
200 = 7 ∙28 + 4
1964 : 7 = 280 rest 4
1964 = 7 ∙ 280 + 4
1964 = 200 + 1764 = 200 + 7 ∙ 452 deoarece 1764 :7 = 452
Fie
S = 200 +207 +214 +221 + … +1964
S = 200 + (200 +7∙1) + (200 + 7∙2) + (200 + 7∙3) +…+ (200+7∙452)
S = 200 + 200 +200 +… + 7∙(1 +2+3+…+ 452) unde 200 se repată de 453 ori
S = 200∙453 + 7∙
69
S = 453 ∙(200 + 7∙226)
S = 453∙(200 +1582)
S = 453 ∙1782
S = 807.246
70
V.4.Proiect didactic
SCOALA GIMNAZIALA TALPA
Prof.
Disciplina: MATEMATICA – ALGEBRA
Clasa: a VI -a
Data:
Subiectul lecț iei: INMULȚIREA NUMERELOR INTREGI
Obiective de referință:
CUNOASTEREA REGULILOR DE INMULȚ IRE A NUMERELOR INTREGI;
REGULA SEMNELOR
CUNOA ȘTEREA PROPRIETAȚILOR DE INMULȚ IRE A NUMERELOR INTREGI
ȘI APLICAREA CORECT EXERCI ȚII
CUNOASTEREA PROPRIETAȚ II DE DISTRIBUTIVITATE A NUMERELOR
INTREGI
Tipul lectiei: Lecție de dobândire de cunoștințe
Metode : Problematizarea și conversația euristică
Mijloace : table, creta colorată, fiș de lucru
Desfasurarea lecț iei :
1. Organizarea clasei pentru lecți e :
2. Reactualizarea cunostinț elor anterioare ; verificarea temei.
Adunarea numerelor î ntreg i; reguli de adunare; proprietățile adunării
numerelor î ntregi
Inmulțirea –adunare repetată
3. Prezentarea coț inutului temei:
71
Activitatea profesorului Activitatea elevului
CAPTAREA ATENȚ IEI :
Citiți cu atenți e problemele de mai jos!
1)Mama îi dă Mirelei în fiecare zi timp de
3 zile câte 2 lei. Câți lei are Mirela la
sfârș itul celei de a treia zi ?
2)Doru se împrumută timp de 4 zile de câ te
2 lei de l a prietenul să u Mi rcea. Ce datorie
are Doru la sfârș itul celei de a patra zi ?
3)Ionel a împrumutat câ te doi lei la trei
prieteni, cu condiția ca aceștia sa îi
înapoieze a doua zi. Câți lei ar e Ionel după
ce cei trei prieteni și -au “ș ters” datoria?
Dacă notăm cu numere
întregi pozitive sumele încasate și
cu numere î ntregi negative sumele
datorate preciza ți corespondența
între reprezentă rile graf ice de
rezolvare a problemelor și
operaț iile alaturate.
Din exercițiul precedent observăm că la
înmultirea a dou a numere întregi se aplică
următoarele reguli pentru semne:
Semnul lui
a Semnul lui
b Semnul lui
ab
+ + +
1) (+2)+ (+2)+ (+2)=(+3)(+2)=+6
2) (-2)+(-2)+ ( -2)+(-2)=(+4)( -2)= -8
3) –(-2) –(-2) –(-2)=(-2)(-3)= +6
Efectuați:
Exercițiul 4:
1) (+7)(+6)=
2) (-8)(+5)=
3) (+11)( -4)=
4) (+23)( -10)=
5) (-13)(+5)=
6) (+72)( -1)=
7) (-27)(-3)=
8) (-16)(-4)=
a) O M
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
b) D O
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
c) I
0 +2 +4 +6
x
x
x
72
– + –
+ – –
– – +
Produsul a doua numere întregi a si b este
un număr întreg care se obține astfel:
Daca a=0 sau b=0, atunci ab=0
Daca a>0 si b>0,sau a<0 si b<0
atunci ab=+(|a||b|)
Daca a>0 si b<0, sau a<0 si b>0
atunci ab= -(|a||b|)
OBSERVATIE:
Dacă numărul factorilor întregi negativi
dintr -o înmulț ire este numar par, atunci
produsul este pozitiv.
Dacă numărul factorilor î ntregi negativi
dintr-o înmulțire este număr î mpar,
atunci produsul este negativ.
Efectuați înmulț irile (exercițiul 4 din
fișa de lucru)!
Proprietățile înmulțirii numerelor î ntregi:
Comutativitatea: ()a,bZ, ab=ba
Asociativitatea: ()a,b,cZ, a(bc)=(ab)c
Elementul neutru la înmulțirea numerelor
întregi este 1.
Observatie: Inmulțirea numerelor î ntregi
nu are element simetrizabil!
Folosind proprietățile înmulțirii
numerelor întregi rezolvati exercițiul
5 din fiș a de lucru!
Distributivitatea î nmulț irii numerelor 9) (+75)( -40)=
10) (-70)(+1)=
11) (+72)( -1)(-3)=
12) (-27)(-3)(-5)=
13) (-16)(-4)(-
2)(+1)( -8)=
14) (+75)( –
40)(+10)=
15) (-1)(+2)( –
3)(+4)( –
5)(+6)( –
7)(+8)=
Exercț tiul 5:
1. (-4)(-3)(-25)=
2. (+20)( -129)( -5)=
3. (-144)( -100)( -10)=
4. (-2)(+7)( -5)(-4)(-3)(+25)=
Exercitiul 6: Rezolvati in doua moduri:
73
întregi față de adunarea sau scăderea
numerelor î ntregi:
()a,b,cZ, a(b+c)=ab+ac; a(b -c)=ab -ac
Folosind prop rietatea de distributivitate a
înmulț irii numerelor întregi rezolvați
exercițiul 6 din fiș a de lucru!
1) (+20)[( -129)+( -1)]=
2) [(+71) -(-129)]( -5)=
3) [(+111)+( -189)]( -25)=
4) (-2)[(-21)+( -779)]=
4. Asigurarea feedback -ului :
Care sunt proprietățile înmulț irii numerelor î ntregi?
Ce proprietate apare în plus la adunarea numerelor î ntregi față de
înmulț irea numerelor î ntregi ?
Care este avan tajul aplicarii proprietăți lor învățate î n rezolvarea de
exerciț ii?
Care este regula semnel or la înmulțirea numerelor în tregi ?
5. Intensificarea retenți ei:
Tema: Manual, pag 45, exercitiile 1, 2, 3, 4
74
Fisa de lucru: – clasa a VI -a
1) Cititi cu atenț ie problemele de mai jos!
1)Mama îi dă Mirelei în fiecare zi timp de 3 zile câ te 2 lei. Câți lei are Mirela la sfârș itul
celei de a treia zi ?
2)Doru se împrumută timp de 4 zile de câte 2 lei de la prietenul să u Mircea. Ce datorie are
Doru la sfârș itul celei de a patra zi ?
3)Ionel a împrumutat cât e doi lei la trei prieteni, cu condiți a ca aceștia să îi înapoieze a
doua zi. Câți lei are Ionel după ce cei trei prieteni și -au “șt ers” datoria?
Dacă notăm cu numere întregi pozitive sumele încasate și cu numere î ntregi
negative sumele da torate precizați corespondența între reprezentă rile graf ice
de rezolvare a problemelor și operați ile alaturate.
1) (+2)+ (+2)+ (+2)=(+3)(+2)=+6
2) (-2)+(-2)+ ( -2)+(-2)=(+4)( -2)= -8
3) –(-2) –(-2) –(-2)=(-2)(-3)= +6
a) O M
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
b) D O
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
c) I
0 +2 +4 +6
x
x
x
75
Exerciț iul 5: Rezolva aplicând
proprietățile înmulțirii numerelor
întregi :
(-4)(-3)(-25)=
(+20)( -129)( -5)=
(-144)( -100)( -10)=
(-2)(+7)( -5)(-4)(-3)(+25)=
Exercitiul 6: Rezolvati in doua
moduri:
1. (+20)[( -129)+( -1)]=
2. [(+71) -(-129)]( -5)=
3. [(+111)+( -189)]( -25)=
4. (-2)[(-21)+( -779)]=
Exercițiul 4:
1) (+7)(+6)=
2) (-8)(+5)=
3) (+11)( -4)=
4) (+23)( -10)=
5) (-13)(+5)=
6) (+72)( -1)=
7) (-27)(-3)=
8) (-16)(-4)=
9) (+75)( -40)=
10) (-70)(+1)=
11) (+72)( -1)(-3)=
12) (-27)(-3)(-5)=
13) (-16)(-4)(-2)(+1)( -8)=
14) (+75)( -40)(+10)=
15 ) (-1)(+2)( -3)(+4)( -5)(+6)( -7)(+8)=
76
V.5.PROIECT DIDACTIC
Clasa: a VI-a
Data: Profesor :
Obiectul : Matematică – Aritmetică și Algebră
Unitatea de învățare :.Ecuații și inecuații cu numere întregi
Conținutul noțional: Rezolvarea de ecuații și inecuații în Z
Tipul lecției: Consolidare
Obiectiv de referință:
Să înțeleagă semnificația și proprietățile ecuațiilor și inecuațiilor cu numere întregi
și să le aplice în calcule variate.
Obiective operaționale:
a). cognitive
OC 1 = să rezolve și să utilizeze ecuații și inecuații în Z, de tipul
;bax
;bax
0 :abax
;bax
;bax unde a și b sunt numere întregi, pentru a rezolva
probleme;
OC 2 = să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmații, prin construirea unor
exemple și contraexemple ;
OC 3 = să prezinte într -o manieră clară, corectă și concisă, oral sau scris, succesiunea
operațiilor din rezolvarea unei probleme, folosind terminologia și notațiile adecvate;
b). psihomotorii
OH 1 = Să așeze corect în pagină; să scrie lizibil pe caiete și la tablă.
OH 2 = Să prezinte îndemânare în operarea cu numere întregi.
c). afective
OA 1 = Să fie atenți.
OA 2 = Să participe afectiv la lecție.
OA 3 = Să-și dezvolte interesul pentru calcule cu numere întregi.
77
Strategii didactice:
a). Metode și procedee: conversația, exercițiul, munca independentă;
b). Mijloace de realizare: manualul, culegeri, fișe de lucru;
c). Forme de organizare: frontală, individuală, pe grupe.
Evenimentele
lecției
(timp)
Obiective
Conținutul lecției
Strategii
didactice
Moment
organizatoric
(2 minute) Profesorul creează condițiile necesare desfășurării
eficiente a lecției.
Verifică prezența elevilor.
Este verificată tema pentru acasă.
Conversația
euristică
Enunțarea
temei și a
obiectivelor
(3 minute) OH 1
OA 1. Profesorul anunță elevii titlul lecției noi, scriind
titlul pe tablă:
“ Exerciții .Ecuații și inecuații cu numere întregi ” Conversația
euristică
Reactualizarea
cunoștințelor
(5 minute)
OC 1;
OC 2. Elevii sunt solicitați să -și reamintească:
Regulile de calcul cu numere întregi
învățate;
Care este ordinea efectuării operațiilor;
Cum se determină modulul unui număr întreg.
Cum se rezolvă ecuațiile și inecuațiile de gr.I
Conversația
euristică
78
Desfășurarea
învățării
(25minute)
OC 1
OC 2
OC 3
OH 1
OH 2
OA 1
OA 2
OA 3
ACTIVITATEA PROFESORULUI ȘI A
ELEVILOR
Profesorul propune elevilor spre rezolvare fișa de
lucru nr. 1cu exerciții, în vederea consolidării
cunoștințelor teoretice acumulate.
Profesorul cere ca elevii să schimbe fișele cu colegii
lor de bancă pentru verificarea rezultatelor .
Se distribuie fișa de corectare a fișei nr.1
După notarea lucrărilor se distribuie fișa nr.2
În timpul rămas se rezolvă exerciții la tablă din fișă
de către elevi.
Exercițiul
Munca
independentă
Lucru pe
grupe
Activitate
frontală
Asigurarea
feedback -ului
(10 minute)
OA 1
OA 3
OC 3 La sfârșitul fiecărui exercițiu rezolvat profesorul
scoate în evidență cât de importantă este folosirea
corectă a regulilor de calcul cu numere întregi.
Explicația
Evaluare
(3 minute)
Sunt notați elevii care au participat la rezolvarea
exercițiilor, atât cu note cât și cu calificative care vor
participa la o notă finală a unității de învățare.
Conversația
Tema pentru
acasă
(2 minute)
Profesorul propune elevilor ca temă rezolvarea
exercițiilor din fișa de lucru nr.2 care nu au fost
abordate în cadrul orei.
Conversația
79
Fișa nr . 1 ECUAȚII ȘI INECUAȚII ÎN Z
Scrieți răspunsurile în tabel
Nr ex. 1 2 3 4a 4b
Răspuns
(1p)1. Soluția ecuației
10 7 : x este ………….
(1p)2.Dacă -15x-13= -7x+11, atunci x= …. …….
(1p)3.Dacă triplul unui număr, micșorat cu -9, este egal cu -15, atunci numărul este :
a) -6 b)6 c) -2
4.Fie inecuația
Zx x ,20 53 _ (mulțimea numerelor întregi negative)
(1p).a)Găsiți mulțimea soluțiilor inecuației
(1p) b)Aflați intersecția dintre mulțimea soluțiilor și Z_
Rezolvările complete
(2p)5.Suma a 5 numere întregi consecutive este 0. Aflați care este cel mai mare număr
dintre acestea.
(2p)6..Rezolvați în Z ecuația
.31x
FIȘA DE CORECTARE NR. 1
Barem de corectare:Se acordă un punct din oficiu
itemii 1,2,3,4A,4B, câte un punct
itemii 5,6 câte 2 puncte . Total 10 puncte
Nr ex. 1 2 3 4a 4b
Răspuns -17 -3 c)-2 x
5
1,2,3,4,5
5.Cinci numere întregi consecutive x,x+1,x+2,x+3,x+4
Suma lor este: x+x+1+x+2+x+3+x+4=0 5x+10=0 x=-2 nr sunt: -2,-1,0,1,2
Cel mai mare este nr. 2
6 .
.31x
3131
xx
24
xx
80
Fișa nr . 2 ECUAȚII ȘI INECUAȚII ÎN Z
(3p)1.a) Soluția ecuației
10 7 : x este ….
(2p) b) Numărul întreg ce verifică relația
6 12 :n este ….
2p) c) Numărul întreg ce verifică relația -2z-6=6 este …
(3p)2.a)Dacă -15x+12= -7x+11, atunci x= ….
(2p) b) Soluția ecuației( -2)(-3x)+17=+x+10 este x=….
(3p)3.a)Dacă triplul unui număr, mărit cu -3, este egal cu -15, atunci numărul este egal
cu…
(2p)b)Dacă dublul numărului de la a) se micșorează cu -17 atunci se obține rezultatul ..
4.Fie inecuația
Zx x ,20 5 3 _ (mulțimea numerelor întregi negative)
(3p).a)Mulțimea soluțiilor inecuației este ….
(2p) b)Singura soluție mai mică decât -4 este …..
(3p)5.a)Mulțimea soluțiilor inecuației
18311 x în mulțimea numerelor întregi
negative este ….. b)Mulțimea soluțiilor inecuației
18311 x în mulțimea numerelor
întregi pozitive este …..
(2p) c)Soluția inecuației
12 12x în mulțimea numerelor întregi negative Z_ este
…
(3p)6.a)Mulțimea
7* XZXA este …
(2p) b)Elementele mulțimii
xxsi xZxB ,,1825, sunt …..
(2p) c)Elementele mulțimii C
xxsi xZx ,,1825, sunt …..
(2p) d)Elementele mulțimii
xxsi xNx D ,,1825, sunt …..
(2p) f)Elementele mulțimii
xxsi xZxE ,,18 25, sunt …..
(5p)7.Dacă
.1614, 1134, xZx siB xZxA
Atunci
….. …., N iarB BA
(3p)8.a)Soluția ecuației
15 53212 7 x x este ……
(2p) b)Numărul a obținut din
1213 11
ax după înlocuirea lui x de la a) este a=
81
(3p)9.a)Elementele mulțimii
5 , xZxA sunt ….
(2p) b)Mulțimea
7 , xZxB este B=….
(15p)10.Să se determine mulțimea
ZxZx A16,
11Aflați numerele :
(10p)a).Suma a șapte numere întregi consecutive este 0.
(10p)b)Suma a 3 numere întregi consecutive este 0.
(10p)c)Suma a șapte numere întregi pare consecutive este 0.
(10p)d)generalizarea punctului c)
12.Suma a 9 numere întregi consecutive este 0.
a)Aflați care este cel mai mare număr dintre acestea.
b)Aflați numai suma numerelor negative din cele 7 nr.
c)Aflați numai suma numerelor pozitive din cele 7 nr.
(10p)13.Rezolvați în Z ecuația
53x
(10p)13.Rezolvați în Z ecuația
52x
(10p)14. Rezolvați în Z ecuația 4
07 3x x
82
V.6. PROIECT DIDACTIC
Școala:
Clasa: a V -a
Data:
Profesor:
Disciplina : Matematica
Subiectul : Media aritmetica a doua sau a mai multor fractii zecimale finite
Tipul lecției : Lecție de consolidare și evaluare
Competențe generale:
• Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contex tul
în care au fost definite
• Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în
enunțurile matematice
• Utilizarea algoritmilor și conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situații concrete
• Anal iza și prelucrarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă
Competențe specifice:
• Alegerea formei de reprezentare a unui numar rational pozitiv si utilizarea de
algoritmi pentru optimizarea cacului cu fractii zecimale
• Interpretarea matematica a unor probleme practice prin utilizarea operatiilor cu
fractii zecimale si a ordinii efectuarii operatiilor;
• Transpunerea unei situații -problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei
obținute (utilizând ecuații sau inecuații) și interpretar ea rezultatului;
83
Obiectivele operaționale ale lecției:
La sfârșitul orei elevii vor fi capabili:
• O
1 Să cunoască, să scrie, să citească numere raționale (fracții zecimale
finite, fracții zecimale periodice ,numere naturale);
• O
2 Să efectueze calcule conținând adunări, scăderi, înmulțiri, împarțiri,
ridicări la putere cu numere naturale si zecimale utilizând proprietățile
operațiilor de adunare si înmulțire;
• O
3 Să respecte ordinea efectuării operațiilor;
• O
4 Să cunoască formula de calcul a mediei arit metice a două sau a mai
multor numere;
• O
5 Să utilizeze formula de calcul a mediei aritmetice;
Mijloace și strategii didactice
• Materiale suport: tabla, caiete, fișe de lucru
• Metode: conversația euristica, exercitiul, demonstratia, explicatia,
expunerea.
• Forme de evaluare: scrisă
• Forme de organizare a activității: frontal, individual
• Bibliografie: Manual pentru clasa a V -a, autori: Mihaela Singer,
Mircea Radu, Ion Ghica – Editura: Sigma
• Mate 2000, Matematica – Algebra pentru clasa a V -a, Partea I si
Partea a II-a-Sorin Peligrad, Dan Zaharia,Maria Zaharia -Editura Paralela 45
• www.mateinfo.ro , www.mate30.lx.ro , www.didactic.ro .
Etapele lecției
• Moment organizatoric
• Captarea atenției
• Verificarea cunostintelor insusite
• Anuntarea temei si a obiectivelor
84
• Consolidarea cunostintelor
• Obtinerea performantei si asigurarea feed – back -ului
• Incheierea lectiei
Desfășurarea lecției
Etapele
lecției OB. Conținutul instructiv -educativ Strategia didactică
Metode și
procedee Forme de
activitate
1.Moment
organizatoric
(2 min)
• Asigur condițiile
necesare începerii lecției.
• Verific prezența;
notez absențele. Conversația
1. Captarea
atenției (2
min) • Elevii sunt anunțați ca
vor primi un test de 30 min.
• Inainte de a le fi
împărțite testele recapitam
materia. Conversatia
Frontală
3. Verificarea
cunoștințelor
însușite
(consolidarea
acestora)
(15 min)
O1
O2
O3
O4
O5
• Anunț obiectivele
lecției
• Elevii vor răspunde la
întrebări de tipul:
Cum se calculeaza media aritmetica
a doua sau mai multor numere
zecimale?
Un elev va defini: Media aritmetică a
două sau a mai multor numere se
obține impărțind suma numerelor la
numarul lor.
Elevii vor primi o fisa le lucru cu
Conversatia
Exercitiul
Frontala
Individuala
85
O1
O2
O3
O4
O5
exercitii recapitulative.
Ex.
ma(x,y)=
Exemplu :m a(2,3)===2,5
ma(x,y,z)=
Cum se efectuează împărțirea unei
fracții zecimale la un număr natural?
Exemplu: m a(0,15;1,24;2)===1,13
ma(x1,x2, …., xn)=
Ce legături există între media
aritmetică calculată pentru două
numere si cele două numere?
Media aritmetică a două numere
raționale este mai mică decât cel mai
mare dintre ele si este mai mare
decât cel mai mic dintre ele si este
egală cu fiecare din tre ele dacă cele
două numere sunt egale.
Exemplu: 1) m a(1,24;21,36)==11,3
11,3 <21,36; 11,3>1,24
Dacă în probleme este data media
aritmetică a numerelor noi vom
putea calcula suma lor?
Ex. Media aritmetica a patru
numere este 12,38. Calculati suma
numer elor.
Demonstratia
Conversatia
Exercitiul
86
ma (x,y,z,t)= 12,38 atunci
(x+y+z+t)= 12,38 4= 49,52
Un alt tip de probleme sunt cele în
care este data media aritmetică a
două numere , un număr se
consideră cunoscut și se cere al
doilea număr.
Ex. Media aritmetica a doua numere
este 5,31, iar unul dintre ele este
4,283. Calculati celalalt numar.
ma (x,y)=5,31 și x= 4,283, atunci
y=?
(x+y): 2= 5,31 înseamnă că (x+y)=
5,31 ⋅2=10,62, atunci
y= 10,62 -4,283 =6,337
3. Obtinerea
performantei
si asigurarea
feed-back –
ului (30 min)
O1
O2
O3
O4
O5
• Impart elevilor un test
de evaluare a cunoștintelor
dobândite.
Individuală
4. Incheierea
lectiei
(1 min)
• Tema pentru acasă va fi
exercițiile din test.
• Elevii sunt atenți la
aprecierile făcute de către profesor si
notează tema pentru ora viitoare.
Conversatia
Frontala
87
Fisa de lucru -recapitulare
• Calculati media aritmetica a numerelor:
• 2 si 3;
• 0,15; 1,24 si 2;
• 1,24 si 21,36;
• Un termometru indica dimineata temperatura de 3, la amiaza 10,8 iar seara 4,3.
Care este temperatura medie de peste zi?
• Media aritmetica a patru numere este 12,38. Calculati suma numerelor.
• Media aritmetica a doua numere este 5,31, iar unul dintre ele este 4,283. Calculati
celalalt numar.
• Aflati trei numere consecutive a caror medie aritmetica este 19.
• Calculati media aritmetica a numerelor:
x=(12,1 -11,9):4+4,5
y=(2,3+1,5)2,5
z=11 -(0,5+2,5)
88
TEST DE EVALUARE –
Media aritmetica a doua sau a mai multor fractii zecimale finite
Se acorda 10 punct din oficiu !
(20 p) I .Cristian are la istorie pe semestrul intai urmatoarele note : 8, 9 si 10. Care
va fi media lui la sfarsitul semestrului ?
(20p) II. Calculati media aritmetica a numerelor:
• 2 si 5 ;
• 0,15 ; 0,3 ;1 ;
(20 p) III . .Daca media aritmetică a trei numere este 9,27, atunci suma celor trei
numere este:
a) 28,81 ; b) 2,781 ; c) 278,1 ; d) 27,81.
(30p) IV. Media aritmetică a două numere este 14,75, iar unul dintre numere este
10. Dete rminați celălalt număr.
Succes!
89
Barem de corectare si notare
10 puncte oficiu!
I. ma(x,y,z)=
=
20p
II. ma(x,y)=
==3,5
ma(x,y,z)=
==0,48(3)
10p
10p
III.
ma (x,y,z,)= 9,27 atunci
(x+y+z)= 9,27 3= 27,81
Raspuns: d 10p
10p
IV. ma (x,y)=14, 75 și x= 10,
atunci y=?
(x+y): 2= 14, 75 înseamnă
că (x+y)= 14,75 ⋅2=29,5,
atunci
y= 29,5 -10=19,5.
10p
10p
10p
Total 100p
90
CAPITOLUL VI
ASPECTE METODICE ȘI METODOLOGICE
VI.1.Aspecte generale
Pedagogia este știința care are ca obiect de studiu specific educația .
Educația este un proces de transformare conștientă a omului, potrivit unui scop. Ea
este o influență formativă intenționată și dirijată în direcția unor rezultate stabilite
anticipat. Formele educației sunt:
Educația formală reprezintă educația care se realizează în instituțiile școlare printr –
un proces de educație și instruire organizat, finanțat, dirijat și evaluat.
Educația non -formală este considerată ca o formă de educație „dincolo” de școală,
în afara instituției școlare, având ca obiect să completeze, să lărgească și să
adâncească cultura școlară pe diferite căi, de la completarea instruirii până la
petrecerea timpului liber .
Educația informală (incidentală sau ocazională) este forma care se produce în
contextul situațiilor și activităților cotidiene. Cele mai semnifivative mesaje
informale sunt cele emise de mass -media prin: televiziune, radiou, presa scrisă,
Conte xtul în care se realizează educația poate fi definit și înțeles cu ajutorul
următoarelor concepte pedagogice fundamentale și operaționale: sistem de educație, sistem
de învățământ, proces de învățământ, activitate concretă de educație/ instruire, situație
educativă.
Sistemul de educație constituie contextul cel mai larg în care se desfășoară
activitățile într -un cadru organizat și neorganizat.
Sistemul de învățământ constituie contextul specializat în care are loc educația în
cadrul instituțiilor organizate formal, dar și nonformal. Sistemul de învățământ reprezintă
principalul subsistem al sistemului de educație, organizat pe niveluri, trepte, cicluri etc.
91
Sistemul de învățământ are următoarea structură:
– Învățământ preprimar: grupa m ică, prupa mijlocie, grupa mare.
– Învățământ primar: clasele I -IV și pregătotoare;
– Învățământ secundar:
a) inferior organizat in doua cicluri care se succed: gimnaziu, clasele
V-VIII si ciclul inferior al liceului sau de arte și meserii, clasele
IX-X;
b) Învățământ secundar superior: ciclul superior al liceului, clasele
XI-XII/XIII, precedat =, după caz de anul de completare;
– Învățământ postliceal;
– Învățământ superior: învățământ universitar și învățământ postuniversitar.
Formele de organizare ale învățămâ ntului sunt: învățământul de zi, seral, cu frecvență
redusă, la distanță, comasat și pentru copii cu nevoi speciale, nedeplasabili, cu
școlarizare la domiciliu.
Procesul de învățământ este principalul subsistem al sistemului de învățământ, în
cadru l caruia se realizează instruirea și învățarea elevilor și studenților prin intermediul
activităților proiectate, organizate și dirijate de către profesori în conformitate cu anumite
norme și principii didactice, într -un context metodic adecvat, apelând la resurse materiale
și didactice adecvate, în vederea atingerii dezideratelor educației.
Procesul de învățământ cuprinde activitățile didactice/educative.
Procesul de învățământ funcționează ca o unitate, prin îmbinarea firească și necesară a
trei funcții și componente fundamentale: predarea, învățarea și evaluarea.
Predarea este acțiunea de comunicare pedagogică propusă de cadru didactic în diferite
variante și forme de organizare.
A preda nu înseamnă ca profesorul să transmi tă informații, iar elevii să le reproducă.
A preda înseamnă a organiza și dirija experiențele de învățare școlară (Chis 2001). Putem
spune că predarea este activitatea profesorului de organizare și conducere a ofertelor de
învătare, care au drept scop faci litarea și stimularea învățării eficiente la elevi.
Invățarea este acțiunea elevului realizată în mod dirijat, ca efect direct al instruirii
proiectate de profesor la diferite niveluri de competențăpedagogică.
92
În procesul de predare -învațare, profe sorul combină diferite mijloace de comunicare
(verbale, nonverbale și paraverbale, grafice, scheme realizate pe tablă sau slide -uri puse la
retroproiector etc).
Evaluarea este actiunea inițiată de profesor special pentru verificarea gradului de
îndeplinire a sarcinilor de predare – învățare.
Activitatea concretă de educație/ instruire este realizată în contextul procesului de
învățământ fiind organizată formal,dar și nonformal.
Situațiaa educativă este suportul concret care permi te realizarea faptelor pedagogice
înt-un timp și spațiu eterminat (exemplu lecția).
VI.2. Metode și strategii de predare -învățare – evaluare
Clasificarea metodelor de predare -învățare -evaluare solicită eliminarea formelor
artificiale („metode tradiționale – metode moderne”, „metode principale – metode
secundare”, „metode generale – metode particulare” etc.). Astfel rezultă patru categorii de
metode didactice, perfectibile la nivel de sistem ca metode de predare -învățare -evaluare:
4. metode în care predomină acțiunea de comunicare ,într-o formă de
organizare orală ( expozitivă – explicația, prelegerea -, interogativă –
conversația euristică, dezbaterea, problematizarea), scrisă ( activitatea cu
manua lul și alte materiale de învățare, lectura – dirijată, explicativă,
independentă etc.);
5. metode în care predomină acțiunea de cercetare a realității în mod direct
(observația, experimentul) sau indirect ( demonstrația – observațională ssau
inductivă, experi mentală, grafică documentară, problematizată –
,modelarea);
6. metode în care predomină acțiunea practică, într-o formă de organizare
reală ( exercițiul – algoritmic, euristic -, algoritmizarea, lucrările practice,
studiul de caz – de tip deductiv sau problemat izat), sau simulată (jocul
didactic, dramatizarea);
7. metode în care predomină acțiunea de programare specială a instruirii:
instruirea programată; instruirea asistată de calculator.
93
Strategiile de predare -învățare -evaluare în calitate de metode de acțiune sunt
angajate pe trasee pedagogice mai extinse ( capitole, discipline, semestre, ani, trepte
școlare), decât metodele (aplicabile pe secvențe de instruire în cadrul unor lecții).
VI.3. Strategii, moduri și tipuri de evaluare
Strategiille de evaluare reprezintă reprezintă modalitățile de integrare a operațiilor
de măsurare – apreciere –decizie în activitatea didactică.
Clasificarea strategiilor sau formelor de evaluare:
1. inițială ce are funcția predictivă. Evaluarea inițială propun e operații de
măsurare -apreciere -decizie la începutul activității didactice în vederea
cunoașterii nivelului psihopedagogic real al elevilor.
2. continuă cu funcția formativă. Evaluarea continuă se desfășoară pe tot parcursul
activității didactice.
3. finală cu funcție cumulativă sau sumativă .Evaluarea sumativă se realizează în
timpul sau la sfârșitul activității în vederea cunoașterii nivelului real de
stăpânire a materiei după parcurgerea anumitor perioade și secvențe de
instruire, conform obiectivelor programe lor școlare, adaptate de cadrul didactic
la condițiile concrete ale clasei de elevi.
Metodele de evaluare reprezintă căile de eficientizare a operațiilor de măsurare –
apreciere -decizie realizabile în cadrul diferitelor forme de activitate didactică. Orice
metodă didactică este și o metodă de evaluare, dar unele metode sunt doar de evaluare.
Metode tradiționale de evaluare ( metode clasice). Forma de realizare a
metodelor tradiționale implică probe orale, scrise și practice:
a) Evaluarea prin chestionare ( realizată într -o formă curentă – intervine în orice
moment al activității didactice cu posibilitatea realizării frontale, sau finală – la
sfârșit de capitol, trimestru, an sau ciclu școlar valorificându -se în cadrul
examenelor școlare.
b) Evaluarea prin lucrări scrise : lucrări scrise curente, lucrări scrise semestriale (
tezele) și lucrări scrise de sinteză ( la sfârșit de capitol, an, ciclu școlar, lucrări de
licență, disertație, doctorat).
94
c) Evaluarea prin lucrări practice realizată în la boratoare, cabinete șvolare, ateliere
unde se pot face experimente, cercetări, procesări de resurse materiale și
informaționale.
d) Evaluarea prin scări de apreciere prin calificative (foarte bine -bine-suficient –
insuficient).
e) Evaluarea prin teste de cunoștinț e. Acestea pot fi teste școlare (verifică toate
cunoștințele dobândite în procesul educativ) și teste docimologice (ce se aplică la
examenele școlare). Elaborarea acestor teste pune în evidență importanța itemilor.
f) Evaluarea prin examene valorifică toate metodele anterioare.
Metode alternative de evaluare (complementare metodelor tradiționale) sunt:
– Observarea sistematică a comportamentului elevilor care pate fi utilizată și ca
metodă tradițională – fișa de evaluare, scara de clasificare.
– Investigația este o metodă cu caracter intensiv. Investigația se bazează pe o sarcină
didactică de cercetare trasată de cadrul didactic elevului prin instrucțiuni clare și se
aplică pe parcursul unei lecții.
– Proiectul are un caracter extensiv. Sarcinile propuse de cadru d idactic sunt de
cercetare și se desfășoară într -o perioadă mai lungă de timp.
– Portofoliul include rezultatele obținute prin celelalte metode.
– Autoevaluarea se poate realiza în condițiile în care elevul atinge anumiți parametri
superiori în procesul de înv ățare. Cadrul didactic folosește diferite procedee sau
instrumente ( chestionare cu răspunsuri deschise).
95
BIBLIOGRAFIE
1. C. Nastasescu, C. Nita, C. Vraciu, Bazele algebrei , vol.1, Ed. Academiei RSR,
Bucuresti, 1986
2. I. D. Ion, N. Radu, Algebra, Ed. didactica si pedagodica, Bucuresti, 1991
3. T. Dumitrescu, Algebra1, Bucuresti, 2006
4. C. Baetica, C. Boboc, S. Dascalescu, G. Mincu, Probleme de algebra, Ed.
Universitatii Bucuresti, 2008
5. Sorin Cristea, Ion Negret -Dobridor, Eugen Noveanu, Elena St anculescu, Crenguta
Oprea, Elisaveta Georgescu, Elena Rafaila, Ion Ovidiu Panisoara, Silviu Fat,
Olimpius Istrate – Curriculum pedagogic, editia a ll -a, Editura didactica si
pedagogica, R.A.Bucuresti, 2008
6. Nicolae Oprescu, Pedagogie. Bazele teoretice , Ed. Fundației „Romania de maine”,
Bucuresti,1999
7. Gabriela Cristea, Pedagogie generală, Ed. Didactica și pedagogică, R.A., 2008
96
Declaratie de autenticitate,
Subsemnata ZANFIR E. VALERIA , căsătorită PETRE ,
cadru didactic la școala SCOALA GIMNAZIALA TALPA din localitatea
TALPA, județul TELEORMAN, înscrisă la examenul de acordare a gradului
didactic I, seria 2014 / 2016, cunoscând dispozițiile articolului 292 Cod
penal cu privire la falsul în declarații, de clar pe propria răspundere
următoarele:
a) lucrarea a fost elaborată personal și îmi a parține în întregime;
b) nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie;
c) nu am pre luat texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau
din alte surse fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării,
inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale subsemnatei
ZANFIR E.VALERIA (cas. PETRE) ;
d) lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de
concurs.
Dau prezenta declarație fiindu -mi necesară la predarea lucrării
metodico -științifice în vederea avizării de către conducătorul științific,
domnul Prof. Univ. Dr. SORIN DĂSCĂLESCU .
Declarant ,
ZANFIR (PETRE) VALERIA
…………………………………
Data……………
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Manual, pag 45, exercitiile 1, 2, 3, 4 [602121] (ID: 602121)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.