În acest capitol vom studia despre cea de-a doua categorie de intrumente [601734]

1 
 Capitolul 6. Evaluarea obliga țiunilor

În acest capitol vom studia despre cea de-a doua categorie de intrumente
financiare primare, și anume obliga țiunile. Mai întâi vom ar ăta care sunt
elementele caracteristice obliga țiunilor, principalele tipuri de obliga țiuni, inova țiile
specifice pie ței obliga țiunilor, apoi modul de evaluare a acestora: determinarea
prețului teoretic al obliga țiunilor, definirea randamentului obliga țiunilor, precum și
alte elemente de evaluare cum sunt durata, sensibilitatea și convexitatea acestor
instrumente.
6.1 Caracteristici ale obliga țiunilor
Obligațiunile sau instrumentele cu venit fix așa cum mai sunt numite în
literatura de specialitate se refer ă la obliga ția unui emitent de a efectua pl ăți
periodice sub form ă de cupoane și de a rambursa datoria la o anumit ă scadență.
Principalele caracteristici ale instrumentelor cu venit fix sunt urm ătoarele:
a.1. Valoarea nominal ă (engl. par value, face value sau redemption )
reprezint ă suma de bani pe care emintentul obliga țiunii (debitorul) o va pl ăti la
scadență. Valoarea nominal ă sau valoarea paritar ă se determin ă astfel:
ࡺࢂ ൌࢂÎ
ࡺ ሺ૟. ૚ሻ
unde: VN reprezint ă valoarea nominal ă, ܸÎ este valoarea împrumutului, iar N
numărul de obliga țiuni emise.
a.2. Cuponul de dobând ă reprezint ă venitul periodic pe care îl
primește deținătorul obliga țiunii, și se determin ă ca un procent ( rata cuponului )
aplicat la valoarea nominal ă, ilustrat în rela ția de mai jos:
࡯ ൌ ࢉ · ࡺࢂ ሺ૟. ૛ሻ
unde: C reprezint ă cuponul, c reprezint ă rata cuponului. Cupoanele unei obliga țiuni
pot fi acordate trimestrial, semianual, anual în func ție de condi țiile stabilite de
debitor în momentul emisiunii instrumentelor.
a.3. Scaden ța (maturitatea) este un alt element caracteristic al
obligațiunilor, ce reprezint ă perioada de timp pe care este acordat împrumutul și în
care se pl ătesc cupoanele de dobând ă. Obliga țiunile sunt emise pe anumite
maturități în func ție de necesarul de capital al emitentului. De exemplu statul
poate emite bilete de trezorerie pe maturit ăți mai mici de un an, bonuri de tezaur

2 
 între 1 an și 10 ani (termen mediu), și obligațiuni pe termen lung între 10 și 30 de
ani.
Ținând seama de principalele caracteristici ale obliga țiunilor și de cele ale
acțiunilor, am sintetizat în tabelul 6.1 care sunt deosebirile între cele dou ă tipuri de
instrumente financiare primare.
Tabelul 6.1 Deosebiri între obliga țiuni și acțiuni
Elemente Acțiuni Obligațiuni
Ce reprezint ă? o parte din capitalul
social o parte dintr-un
împrumut
Relația emitentului cu
deținătorul titlului Deținătorul este
coproprietar Deținătorul este
creditor
Titlul IOU (I owe you)
Cash flow dividend cupon
Maturitate infinită determinat ă (finită)

6.2 Tipuri de obliga țiuni

™ Obligațiunile clasice sunt acelea care ofer ă un cupon constant pe toat ă
durata de via ță a titlului, și care se ramburseaz ă la scaden ță. În figura 6.1 sunt
ilustrate cash-flow-urile generate de o obliga țiune clasic ă, ce are urm ătoarele
caracteristici: valoarea nominal ă este 1000 RON, rata cuponului 10%, iar scaden ța
este 5 ani. Se observ ă că valoarea cupoanelor este egal ă cu 100 RON, iar acestea
sunt echivalente între ele.
Figura 6.1 Cash flow-urile unei obliga țiuni clasice

Pe lângă obligațiunile clasice exist ă și alte tipuri de obliga țiuni, precum:
™ Obligațiunile cu cupon variabil (engl. floating rate notes ) sunt
obligațiuni ale c ăror cupoane variaz ă în funcție de o rat ă de dobând ă a pieței. De
exemplu, dac ă a fost emis ă o obliga țiune la o rat ă a cuponului
ROBOR6M1+150 b.p.2, ale cărei cupoane sunt semestriale, iar la momentul t 2 când
                                                             
1 ROBOR – acronomic de la Romanian Interbank Offered Rate și reprezint ă rata dobânzii de pe pia ța
interbancar ă practicat ă la credite.
2 Un basis point reprezint ă 0.01 procente. C3=100 RON C4=100 RON C5+VN=1100RON C1=100 RON  C2=100 RON 
0  2 3 4 5  1

3 
 se realizeaz ă plata cuponului ROBOR6M este 10, 73%, atunci rata cuponului va fi
12,23% (10,73%+1,5%).
™ Obligațiunile ale c ăror cupoane scad atunci când ratele de doband ă de pe
piață cresc se mai numesc inverse floaters .
™ Obligațiunile zero-cupon se caracterizeaz ă prin faptul c ă sunt emise la
o valoare mai mic ă decât valoarea nominal ă, fără a se plăti cupoane pe durata de
viață a obliga țiunii, urmând ca la scaden ță deținătorul său să primeasc ă valoarea
nominal ă. Practic, câ știgul investitorului este reprezentat de diferen ța între
valoarea nominal ă și prețul de cump ărare.
™ Obligațiunile interna ționale care pot fi euroobliga țiuni și
obligațiuni str ăine.
‰ Euroobliga țiunile sunt denominate într-o alt ă monedă decât
cea a statului în care sunt emise. Cele mai renumite euroobliga țiuni sunt
eurodollar bonds, euroyen bonds și eurosterling bonds. De exemplu, General
Motors (companie american ă) emite obliga țiuni denominate în USD –
eurodollar bonds – în Germania sau Bank of Scotland din Marea Britanie
emite obliga țiuni denominate în GBP în Japonia (eurosterling bonds). Aceste
instrumente sunt purt ătoare atât de riscul de credit sau contrapartid ă cât și
de riscul de curs de schimb pentru poten țialii investitori.
‰ Obligațiunile str ăine sunt emise într-o țară alta decât cea a
emitentului și denominate în moneda statului în care sunt emise. De
exemplu, o firm ă din Germania emite obliga țiuni denominate în USD pe
teritoriul SUA, se mai numesc și Yankee bonds. Obligațiunile denominate în
yeni și vândute în Japonia, emise de c ătre entit ăți din afara Japoniei se mai
numesc Samurai bonds. Obligațiunile denominate în lire sterline și
vândute în Marea Britanie de c ătre entit ăți din afara UK se mai numesc
Bulldog bonds.
™ Obligațiunile indexate realizeaz ă plăți periodice ce țin cont de evolu ția
unui indice general de pre țuri (ex: Indicele Pre țurilor de Consum) sau de evolu ția
prețului unei m ărfi (ex: pre țul petrolului). Spre exemplu, în SUA obliga țiunile
indexate se mai numesc TIPS (Treasury In flation Protected Securities), iar scopul
acestor instrumente este de a compensa investitorii pentru riscurile asumate
datorită inflației existente.

4 
 ™ Obligațiunile ipotecare (mortgage backed securities) sunt emise de
către bănci pentru a se refinan ța întrucât ele imobilizeaz ă sume considerabile de
bani o dat ă cu acordarea creditelor ipotecare. Mecanismul prin care banca î și
transform ă o parte din activele nelichide (creditele ipotecare) în instrumente
financiare ce se pot tranzac ționa pe pia ța de capital se nume ște securitizare sau
titlurizare .
™ Asset-backed bonds sunt obliga țiuni pentru care plata cupoanelor și a
principalului este legat ă d e v a l o a r e a u n c o ș de active sau de cash flow-urile
generate de acest co ș de active. Spre exemplu, Walt Disney a emis obliga țiuni cu
rate de cupon legate de cash flow-urile generate de c ătre anumite filme realizate de
această companie de produc ție.
™ Obligațiuni ce pl ătesc cash flow-uri în func ți e d e r e a l i z a r e a u n o r
catastrofe: cutremure, furtuni ( catastrophe bonds ). Spre exemplu, compania
Electrolux a emis obliga țiuni avand plata ultimului cash flow legat ă de survenirea
unui curemur în Japonia.
™ Pentru a fi mai atractive pentru investitori, uneori obliga țiunile au
asociate anumite clauze. Aceste clauze sunt exercitate numai dac ă survin anumite
evenimente, prin urmare putem spune c ă obligațiunile cu clauze se comport ă ca și
contractele de op țiuni. Principalele clauze asociate obliga țiunilor sunt:
‰ Clauza de r ăscumpărare la ini țiativa emitentului (engl.
callable bonds) . Dacă o companie emite obliga țiuni la o anumit ă rata a cuponului,
iar ratele de dobând ă pe piață scad, atunci finan țarea prin obliga țiuni devine
costisitoare. Asfel, compania poate r ăscumpăra obliga țiunile și poate emite noi
obligațiuni la o rata a cuponului mai mic ă (finanțare mai avantajoas ă). Pentru a fi
atractive investitorilor exist ă o anumit ă perioad ă fixată în care compania nu î și
poate răscumpăra obliga țiunile.
‰ Clauza de r ăscumpărare la ini țiativa de ținătorului de
obligațiuni (engl. puttable bonds). Deținătorii de bonduri pot decide dac ă
răscumpărarea acestora se realizeaz ă până la maturitate, la maturitate sau la o
dată ulterioar ă. De exemplu, dac ă o obliga țiune cu clauza de r ăscumpărare ofer ă
cupoane mai mari decât alte randamente din diverse investi ții acesta va opta
pentru prelungirea maturit ății bondului.
‰ Clauza de convertibilitate prin care de ținătorul de
obligațiuni poate converti obliga țiunile pe care le de ține în ac țiuni la o anumit ă rată
de conversie. Orice investitor va exercita clauza asociat ă numai dac ă valoarea de

5 
 piață a acțiunilor firmei emitente este mai mare decât valoarea de pia ță a
obligațiunilor de ținute. Cele mai multe obliga țiuni care au asociat ă clauza de
convertibilitate sunt emise la o valoare mult mai mic ă decât valoarea de pia ță
acțiunilor pe care le-ar primi investitorii dac ă și-ar executa imediat clauza
(obligațiunile sunt deep out of the money ). Prin urmare, rata de conversie este
astfel stabilit ă încât investitorul s ă nu exercite imediat clauza de convertibilitate.
Exemplu: S ă presupunem c ă un investitor de ține o obliga țiune
(VN=1000 EUR) ce are asociat ă clauza de convertibilitate, iar rata de conversie este
1 obliga țiune la 10 de ac țiuni. Pre țul obliga țiunii este în prezent 873 EUR.
Exercitarea clauzei de convertibilitate se realizeaz ă de investitor dac ă prețul
acțiunilor este mai mare decât ௉௥௘ț ௢௕௟௜௚௔ț௜௨௡௘ൈே௥ ௢௕௟௜௚௔ț௜௨௡௜
௥௔௧௔ ௗ௘ ௖௢௡௩௘௥௦௜௘ൌ଼଻ଷൈଵ
ଵ଴ൌ 87,3 ,ܴܷܧ adică
acțiunile valoareaz ă mai mult decât obliga țiunea. Observ ăm că obligațiunile
convertibile se comport ă ca niște contracte de op țiuni.
Dac ă prețul de pia ță al acțiunii este 65 EUR, atunci nu este convenabil ă
exercitarea clauzei întrucât aceste ac țiuni valoreaz ă: 65 ܴܷܧ ൈ 10 ܿܽț݅݊ݑ݅ ൌ 650 ܴܷܧ ,
iar obliga țiunea are o valoare de pia ță mai mare, resp ectiv 873 EUR.
Dac ă prețul acțiunii este 122 EUR, atunci valoarea de pia ță a acțiunilor este
1220 EUR și deci este oportun ă exercitarea clauzei de convertibilitate, profitul
investitorului fiind de 347 EUR.
6.3 Evaluarea obliga țiunilor
6.3.1 Pre țul obliga țiunilor

Prețul obliga țiunilor se exprim ă, de regul ă, ca procent din valoarea
nominal ă. Spre exemplu, dac ă valoarea nominal ă este 1000 RON, iar pre țul este
87,25%, pre țul în unit ăți monetare este 1000 RON ൈ 87,25% ൌ 872,5 RON. La Bursa
de Valori Bucure ști, se realizeaz ă în prezent tranzac ții cu obliga țiuni municipale și
corporative emise de entit ăți din România și obligațiuni interna ționale emise de
Banca European ă de Investi ții Luxembourg și Banca Interna țională pentru
Reconstruc ție și Dezvoltare.
Prețul unei obliga țiuni se determin ă ca o valoarea prezent ă a tuturor
cash-flow-rilor viitoare pe care acest instrument le genereaz ă. Pentru a calcula
prețul obliga țiunii sunt necesare:
I. estimarea cash-flow-urilor viitoare în func ție de modalitatea de
rambursare a împrumutului și

6 
 II. determinarea ratei de dobând ă folosită pentru actualizare .
Cele mai multe obliga țiuni emise sunt riscante și, deci, pentru a le evalua se
pornește de la un benchmark , respectiv o rată de dobând ă a unui activ f ără risc,
cum ar fi un titlu de stat, la care se adaug ă o primă de risc ce reflect ă
caracteristicile obliga țiunii, precum riscul asociat contrapartidei emitente,
lichiditate, regim de taxare, riscul de r ăscumpărare.
ࢇࢍ࢏࢒࢈࢕࢟țࢋ࢚࢔ࢇࢉ࢏࢘ ࢏࢔࢛࢏ ൌࢌ ࢜࢏࢚ࢉࢇ࢟ ă࢘ă ࢉ࢙࢏࢘ ൅ ࢓࢏࢘࢖ă ࢉ࢙࢏࢘ ࢋࢊ
Î n c e l e c e u r m e a z ă vom determina pre țul obliga țiunilor în func ție de
modalitatea de rambursare . Astfel, exist ă:
a) Obligațiuni care se ramburseaz ă la scaden ță (obligațiunile clasice,
obligațiunile zero-cupon, obliga țiunile cu cupon unic, obliga țiuni indexate);
b) Obligațiuni care se ramburseaz ă în rate constante;
c) Obligațiuni care se ramburseaz ă în anuit ăți constante;
a). Determinarea pre țului unei obliga țiuni care se ramburseaz ă la
scadență
a.1. Obligațiuni clasice
O obliga țiune clasic ă este purt ătoare de cupoane constante și se ramburseaz ă
la scaden ță. Prin urmare, pre țul obliga țiunii clasice depinde de cash flow-urile
viitoare notate cu ܨܥ௧ și va fi:
ࡼൌ෍࢚ࡲ࡯
ሺ૚൅࢟ ሻ࢚ൌ࡯૚
ሺ૚൅࢟ ሻ૚൅࡯૛
ሺ૚൅࢟ ሻ૛൅ڮ൅࢔࡯൅ࡺࢂ
ሺ૚൅࢟ ሻ࢔࢔
࢚ୀ૚ ሺ૟. ૜ሻ
Dacă cupoanele sunt constante ( ܥଵൌܥ ଶൌڮൌܥ ௡), atunci rela ția 6.3 devine:
ܲൌ෍ܨܥ௧
ሺ1൅ݕ ሻ௧ൌܥ
ሺ1 ൅ ݕሻ·൬1൅1
ሺ1 ൅ ݕሻ൅1
ሺ1൅ݕ ሻଶ൅ڮ൅1
ሺ1൅ݕ ሻ௡ିଵ൰൅ܸܰ
ሺ1 ൅ ݕሻ௡௡
௧ୀଵ֜
ܲൌܥ
1൅ݕ൮1െ1
ሺ1 ൅ ݕሻ௡
1െ1
1൅ݕ൲൅ܸܰ
ሺ1 ൅ ݕሻ௡֜
ࡼൌ࡯
࢟൬૚െ૚
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢔൰൅ࡺࢂ
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢔ ሺ૟. ૝ሻ

Exemplul 1. Presupunem c ă o obliga țiune are valoarea nominal ă VN =1000
RON, rata cuponului (c) este 10%, scaden ța (n) este 5 ani, iar rata dobânzii (y) este
8%. Care ar fi pre țul obliga țiunii? Am enun țat mai sus c ă acesta este o valoare
prezentă a cash-flow-urilor viitoare. Cash flo w-urile sunt formate din cupoane din

7 
 anul 1 pân ă în anul 4, și cupon plus valoarea nominal ă în anul 5 (vezi figura de
mai jos).

În exemplul nostru, pre țul obliga țiunii clasice va fi:
ܲൌ෍ܨܥ௧
ሺ1൅ݕ ሻ௧ൌܥଵ
ሺ1൅ݕ ሻଵ൅ܥଶ
ሺ1൅ݕ ሻଶ൅ڮ൅ܥହ൅ܸܰ
ሺ1൅ݕ ሻହହ
௧ୀଵ֜
ܲൌ෍ܨܥ௧
ሺ1൅ݕ ሻ௧ൌ100
ሺ1൅8 % ሻଵ൅100
ሺ1൅8 % ሻଶ൅ڮ൅100 ൅ 1000
ሺ1൅8 % ሻହ௡
௧ୀଵൌ100
0.08൬1െ1
1,08ହ൰൅1000
1,08ହ
ܲ ൌ 1079,85 ܱܴܰ
a.2. Obligațiuni zero-cupon
În secțiunea referitoare la tipurile de obliga țiuni existente, am definit
obligațiunile zero-cupon ca fiind acele instrumente care sunt emise la o valoare
nominal ă mai mic ă decât valoarea nominal ă, pe durata de via ță a sa nu se ofer ă
cupoane, urmând ca la scaden ță investitorul s ă primeasc ă valoarea nominal ă.

Dacă obligațiunea zero cupon este emis ă pe o perioada mai mic ă de un an,
atunci pre țul său va fi descris de rela ția 6.5:
ࡼൌࡺࢂ
૚൅࢟·࢔
૚૛ ሺ૟. ૞ሻ
unde n reprezint ă numărul de luni pe care obliga țiunea a fost emis ă. În cazul în
care obliga țiunea a fost emis ă pe o perioad ă mai mare de un an atunci pre țul său se
va calcula potrivit rela ției 6.6, iar n va fi num ărul de ani:
ࡼൌࡺࢂ
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢔ ሺ૟. ૟ሻ

C3=100 RON C4=100 RON C5+VN=1100RON   C1=100 RON  C2=100 RON 
0  2 3 4 5  1 
VN 
0  n

8 
 a.3. Obligațiuni cu cupon unic
În cazul unei obliga țiuni cu cupon unic un investitor reinveste ște cuponul pe
care este îndrept ățit să-l primeasc ă. Spre exemplu, dac ă obligațiunea cu cupon unic
este emis ă pe n ani suma pe care o va de ține investitorul este dedus ă în tabelul 6.1:
Tabelul 6.1 Deducerea pre țului unei obliga țiuni cu cupon unic
Cupon de dobând ă Suma reinvestit ă
࡯૚ൌࢉ·ࡺࢂ ܵଵൌܥ ଵ൅ܸܰ ൌܸܰ ·ሺ 1൅ܿ ሻ  
࡯૛ൌࢉ·ࡿ ૚ൌ ࢉ · ࡺࢂ · ሺ૚ ൅ ࢉሻ ܵଶൌܥ ଶ൅ܵ ଵൌ ܸܰ · ሺ1 ൅ ܿሻଶ 
࡯૜ൌࢉ·ࡿ ૛ൌ ࢉ · ࡺࢂ · ሺ૚ ൅ ࢉሻ૛ ܵଷൌܥ ଷ൅ܵ ଶൌ ܸܰ · ሺ1 ൅ ܿሻଷ
࢔࡯ൌࢉ·࢔ࡿ ି૚ ൌ ࢉ · ࡺࢂ · ሺ૚ ൅ ࢉሻ࢔ି૚ ܵ௡ൌܥ ௡൅ܵ ௡ିଵ ൌ ܸܰ · ሺ1 ൅ ܿሻ௡
Se observ ă din tabelul de mai sus c ă o obliga țiune cu cupon unic aduce
investitorului un singur flux la scaden ță reprezentat ă de cuponul și valoarea
nominal ă reinvestit ă.

Așadar pre țul unei obliga țiuni cu cupon unic va fi:
ࡼൌࡺࢂ · ሺ૚ ൅ ࢉሻ࢔
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢔ ሺ૟. ૠሻ

a.4. Obligațiune indexat ă de tip TIPS (Treasury Inflation Protected
Securities)
Obligațiunile TIPS se caracterizeaz ă prin faptul c ă valoarea nominal ă este
ajustată cu rata infla ției în sensul c ă investitorii vor primi cupoane mai mari de la
un an la altul în func ție de evolu ția inflației, precum și o valoarea nominal ă mai
mare la scaden ța obligațiunii.
Exemplul 3. Un investitor achizitioneaz ă 10 obligatiuni TIPS (Treasury
Inflation Protected Securities) cu urmatoarel e caracteristici: valoarea nominala 1000
EUR, rata cuponului 5% (cupoane se pl ătesc anual), scaden ța 4 ani, obliga țiunea se
ramburseaz ă la scaden ță, iar valoarea nominal ă se ajusteaza ținând cont de rata
inflației de la un an la altul. Știind ca rata dobânzii este 7%, iar rata infla ției ࡺࢂ · ሺ૚ ൅ ࢉሻ࢔ 
0  n

9 
 așteptate este cea din tabelul de mai jos, s ă se determine pre țul unei obliga țiuni
TIPS.
Nr. ani Rata infla ției
așteptate
1 5%
2 3%
3 7%
4 4,8%
Pentru a determina pre țul obliga țiunii TIPS, trebuie estimate cash-flow-urile
viitoare, ținând seama de rata infla ției. În tabelul de mai jos, sunt ilustrate aceste
cash-flow-uri:
Tabelul 6.2 Cash flow-uri ale obliga țiunilor indexate cu infla ția
Nr. ani Rata infla ției
așteptate Valoarea nominal ă ajustat ă
ሺࢇ,࢏ࡺࢂ ሻ Cupon ajustat
ሺࢇ,࢏࡯ሻ
1 5% 1000 · ሺ1൅5 % ሻൌ 1050 ܴܷܧ 5% · 1050 ൌ 52,5 ܴܷܧ
2 3% 1050 · ሺ1൅3 % ሻൌ 1081,5 ܴܷܧ 5% · 1081,5 ൌ 54,07 ܴܷܧ
3 7% 1081,5 · ሺ1൅7 % ሻൌ 1157,2 ܴܷܧ 5% · 1157,21 ൌ 57,86 ܴܷܧ
4 4,8% 1157,2 · ሺ1 ൅ 4,8% ሻൌ 1212,74ܴܷܧ 5% · 1212,77 ൌ 60,64 ܴܷܧ
Așadar pre țul obliga țiunii TIPS va fi:
ࡼൌ࡯૚,ࢇ
ሺ૚൅࢟ ሻ૚൅࡯૛,ࢇ
ሺ૚൅࢟ ሻ૛൅ڮ൅ࢇ,࢔࡯൅ࢇ,࢔ࡺࢂ
ሺ૚൅࢟ ሻ࢔ ሺ૟. ૡሻ
În cazul exemplului nostru sche ma cash-flow-urilor este ilustrat ă mai jos, iar
prețul este:

ܲൌܥଵ,௔
ሺ1൅ݕ ሻଵ൅ܥଶ,௔
ሺ1൅ݕ ሻଶ൅ڮ൅ܥସ,௔൅ܸܰ ସ,௔
ሺ1൅ݕ ሻସ
ܲൌ52,5
ሺ1൅7 % ሻଵ൅54,07
ሺ1൅7 % ሻଶ൅57,86
ሺ1 ൅ 7%ሻଷ൅60,64 ൅ 1212,74
ሺ1൅7 % ሻସൌ 1114,98 ܴܷܧ
b). Determinarea pre țului unei obliga țiuni care se ramburseaz ă în
rate anuale constante
Definim rata anual ă o parte din împrumutul pe care investitorul o prime ște
de la emitentul obliga țiunii, iar corespunz ător Rt este rata anual ă la momentul t.
Ratele anuale și cupoanele de dobând ă alcătuiesc plățile anuale sau anuitățile pe 0  1  2  3  4 ܥଵ,௔ൌ5 2 , 5  ܥଶ,௔ൌ5 4 , 0 7 ܥଷ,௔ൌ5 7 , 8 6 ܥସ,௔൅ܸܰ ସ,௔
ൌ 60,64 ൅ 1212,74

10 
 care emitentul le realizeaz ă deținătorului de obliga țiuni. Deci, notând anuitatea la
momentul t cu At, înseamn ă că ࢚࡭ൌ࢚࡯ ൅.࢚ࡾ
Dacă ratele reprezint ă o parte din împrumut atunci valoarea cumulat ă a
tuturor ratelor este egal ă cu valoarea nominal ă a obliga țiunii, respectiv cu valoarea
împrumutului (vezi rela ția de mai jos).
෍ܴ ௧ൌܸܰ ௡
௧ୀଵ
În cazul obliga țiuni ce se ramburseaz ă sub forma ratelor anuale egale,
cuponul se calculeaz ă la valoarea r ămasă de rambursat. Prin urmare, anuit ățile
sunt:
ܣଵൌܥ ଵ൅ܴ ଵൌܿ·ܸܰ ൅ܴ ଵ
ܣଶൌܥ ଶ൅ܴ ଶൌܿ·ሺ ܸܰ െܴ ଵሻ൅ܴ ଶ
ܣଷൌܥ ଷ൅ܴ ଷൌܿ·ሺ ܸܰ െܴ ଵെܴ ଶሻ൅ܴ ଷ
…..
ܣ௡ൌܥ ௡൅ܴ ௡ൌܿ·ሺ ܸܰ െܴ ଵെܴ ଶെ …െ ܴ ௡ିଵሻ൅ܴ ௡
Cum ratele sunt constante, ܴଵൌܴ ଶൌڮൌܴ ௡, atunci:
ܣଵൌܿ·ܸܰ ൅ܴ
ܣଶൌܿ· ሺܸܰ െ ܴ ሻ൅ܴ
ܣଷൌܿ· ሺܸܰ െ 2ܴ ሻ൅ܴ
….
ܣ௡ൌܿ· ሾܸܰ െ ሺ݊െ1 ሻܴሿ൅ܴ
Generalizând, ܣ௧ൌ ܿ· ሾܸܰ െ ሺݐെ1 ሻܴሿ൅ܴ ,și știind că ܴൌ௏ே
௡ întrucât ratele
sunt egale, valoarea r ămasă de rambursat la momentul t este:
࢚ࡾࢂ ൌࡺࢂ ൤ ૚െ࢚െ૚
࢔ ൨ ሺ૟. ૢሻ
Prin urmare, pre țul obliga țiunii este:
ܲൌ෍ܣ௧
ሺ1 ൅ ݕሻ௧ൌ෍ܿ·ܴܸ ௧൅ܴ
ሺ1 ൅ ݕሻ௧௡
௧ୀଵ௡
௧ୀଵൌ෍ܿ·ܸܰ ቂ 1െݐെ1
݊ቃ
ሺ1 ൅ ݕሻ௧൅ܴ෍1
ሺ1 ൅ ݕሻ௧௡
௧ୀଵ௡
௧ୀଵ
ܲൌܿ·ܸܰ · ൬1൅1
݊൰෍1
ሺ1 ൅ ݕሻ௧െܿ·ܸܰ
݊෍ݐ
ሺ1 ൅ ݕሻ௧௡
௧ୀଵ൅ܴ෍1
ሺ1 ൅ ݕሻ௧௡
௧ୀଵ௡
௧ୀଵ
ܲൌ൤ ܿ·ܸܰ · ൬1൅1
݊൰൅ܴ ൨൤1
ݕ·൬1െ1
ሺ1 ൅ ݕሻ௡൰൨െܿ·ܸܰ
݊෍ݐ
ሺ1 ൅ ݕሻ௧௡
௧ୀଵ

11 
 ܲൌ൤ ܿ·ܸܰ · ൬1൅1
݊൰൅ܸܰ
݊൨൤1
ݕ·൬1െ1
ሺ1 ൅ ݕሻ௡൰൨െܿ·ܸܰ
݊෍ݐ
ሺ1 ൅ ݕሻ௧௡
௧ୀଵ
Observăm că prețul obliga țiunii care se ramburseaz ă prin rate anuale constante
depinde acum în ultima rela ție de mai sus de suma pe care o not ăm cu S
ቀܵ ൌ ∑௧
ሺଵା௬ሻ೟௡
௧ୀଵ ቁ.
ܵൌ෍ݐ
ሺ1 ൅ ݕሻ௧௡
௧ୀଵൌ1
ሺ1൅ݕ ሻଵ൅2
ሺ1൅ݕ ሻଶ൅ڮ൅݊
ሺ1൅ݕ ሻ௡
Dacă există:
ܺൌቂଵ
ሺଵା௬ ሻభ൅ଵ
ሺଵା௬ ሻమ൅ڮ൅ଵ
ሺଵା௬ ሻ೙ቃൌଵ
௬·ቂ 1െଵ
ሺଵା௬ ሻ೙ቃ și derivăm X în raport cu rata
dobânzii, ob ținem:
߲ܺ
ݕ߲ൌെ1
ሺ1൅ݕ ሻଶെ2
ሺ1൅ݕ ሻଷെڮെ݊
ሺ1൅ݕ ሻ௡ାଵ
Observăm deci faptul c ă ܵൌെ ሺ 1൅ݕ ሻ·డ௑
డ௬. Deci, S va fi:
ܵൌെ ሺ 1൅ݕ ሻ ൤ െ1
ݕଶ൅1
ݕଶ·1
ሺ1൅ݕ ሻ௡൅1
ݕ·݊
ሺ1൅ݕ ሻ௡ାଵ൨
ࡼൌ൤ ࢉ·ࡺࢂ ·൬ ૚൅૚
࢔൰൅ࡺࢂ
࢔൨൤૚
࢟൬૚ െ૚
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢔൰൨ െࢉ·ࡺࢂ
࢔ሺ૚൅࢟ ሻ൤૚
࢟૛െ૚
࢟૛·૚
ሺ૚൅࢟ ሻ࢔െ૚
࢟·࢔
ሺ૚൅࢟ ሻ࢔ା૚൨ ሺ૟. ૚૙ሻ
Exemplul 4. Să se determine pre țul unei obliga țiuni care se ramburseaz ă în
rate anuale constante și are urm ătoarele caracteristici: VN=100 USD, c=4%, y=7%,
iar scaden ța este 50 ani.
Pൌ ൤4·൬1൅1
50൰൅100
50൨൤1
0.07·൬1െ1
1.07ହ଴൰൨െ4
501.07 ൤1
0.07ଶെ1
0.07ଶ·1
1.07ହ଴െ1
0.07·50
1.07ହଵ൨
ܲ ൌ 68,97 ܦܷܵ
c). Determinarea pre țului unei obliga țiuni care se ramburseaz ă în
anuități constante
Dacă anuitățile sunt constante, atunci exist ă următoarea rela ție:
ܣଵൌܣ ଶൌڮൌܣ ௡ൌܣ
ܣଵൌܥ ଵ൅ܴ ଵൌܿ·ܸܰ ൅ܴ ଵ
ܣଶൌܥ ଶ൅ܴ ଶൌܿ·ሺ ܸܰ െܴ ଵሻ൅ܴ ଶ

12 
 ܣଷൌܥ ଷ൅ܴ ଷൌܿ·ሺ ܸܰ െܴ ଵെܴ ଶሻ൅ܴ ଷ
…..
ܣ௡ൌܥ ௡൅ܴ ௡ൌܿ·ሺ ܸܰ െܴ ଵെܴ ଶെ …െ ܴ ௡ିଵሻ൅ܴ ௡

și ܣଵൌܣ ଶܿ֜·ܸܰ ൅ܴ ଵൌܿ·ሺ ܸܰ െܴ ଵሻ൅ܴ ଶ, de unde rezult ă că:
ࡾ૛ൌࡾ ૚ሺ૚ ൅ ࢉሻ
ܣଶൌܣ ଷܿ֜· ሺܸܰ െ ܴ ଵሻ൅ܴ ଶൌܿ·ሺ ܸܰ െܴ ଵെܴ ଶሻ൅ܴ ଷ, de unde rezult ă că:
ࡾ૜ൌࡾ ૚ሺ૚ ൅ ࢉሻ૛.
Deci, ࢔ࡾൌࡾ ૚ሺ૚ ൅ ࢉሻ࢔ି૚. Se observ ă faptul c ă ratele cresc în progresie
geometric ă.
Cum ∑ ܴ௧ൌܸܰ ௡
௧ୀଵ , rezultă că:
ܸܰ ൌ ෍ ܴ ௧ൌܴ ଵ൅ܴ ଶ൅ڮ൅ܴ ௡ൌܴ ଵ൅௡
௧ୀଵܴଵሺ1൅ܿ ሻ൅ڮ൅ܴ ଵሺ1 ൅ ܿሻ௡ିଵ
ࡺࢂ ൌ ࡾ ૚·૚ െ ሺ૚ ൅ ࢉሻ࢔
૚ െ ሺ૚ ൅ ࢉሻ ሺ૟. ૚૚ሻ
Însă în momentul achizi ționării unei obliga țiuni ce se ramburseaz ă în
anuități constante se cunosc valoarea nominal ă, rata cuponului și scaden ța ei, iar
investitorul dore ște să știe cât este spre exemplu o rat ă din anul t. Prin urmare, din
relația 6.11 putem afla rata din primul an și deci și anuitatea din fiecare an
întrucat acestea sunt constante (vezi rela ția 6.12).
ࡾ૚ൌࢉ·ࡺࢂ
ሺ૚ ൅ ࢉሻ࢔െ૚ ሺ૟. ૚૛ሻ
Așadar anuitatea va fi:
࡭ൌ࡭ ૚ൌ࡯ ૚൅ࡾ ૚ൌࢉ·ࡺࢂ ൅ࢉ·ࡺࢂ
ሺ૚൅ࢉ ሻ࢔െ૚ൌࢉ·ࡺࢂ · ሺ૚൅ࢉ ሻ࢔
ሺ૚൅ࢉ ሻ࢔െ૚ ሺ૟. ૚૜ሻ
Cunoscându-se anuitatea putem calcula pre țul obliga țiunii:
ࡼൌ෍࢚࡭
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢚ൌ࡭෍૚
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢚࢔
࢚ୀ૚࢔
࢚ୀ૚ൌࢉ·ࡺࢂ · ሺ૚൅ࢉ ሻ࢔
ሺ૚൅ࢉ ሻ࢔െ૚·൤૚
࢟·൬૚െ૚
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢔൰൨ ሺ૟. ૚૝ሻ

Dirty Price versus Clean Price

Dacă un investitor care de ține o obliga țiune o vinde înainte de a încasa
cuponul atunci acesta este îndrept ățit să primeasc ă acea parte din cupon aferent ă
perioadei între ultimul cupon încasat și data vânz ării. Aceast ă sumă pe care
investitorul este îndrept ățit să o primeasc ă se mai nume ște dobând ă acumulat ă
(engl. accrued interest ). Astfel cump ărătorul acestei obliga țiuni îi va pl ăti

13 
 vânzătorului un preț brut (dirty price) în care se va include și dobânda
acumulat ă. Prin urmare, de și cumpărătorul va încasa întregul cupon peste o
anumită perioad ă de timp, întrucât el a pl ătit dobânda acumulat ă vânzătorului
practic prime ște doar acea parte din cupon ce i se cuvine. Pre țul brut se determin ă
după următoarea rela ție:
ࡼࡰ ൌࡲ࡯ ૚
ቀ૚ ൅ ࢟ ·࢏࢚െ࢔࢚ ା૚
࢔࢚െ࢔࢚ ା૚ቁ൅෍࢚ࡲ࡯
ቀ૚ ൅ ࢟ ·࢏࢚െ࢔࢚ ା૚
࢔࢚െ࢔࢚ ା૚ቁ·ሺ૚൅࢟ ሻ࢚ି૚ ሺ૟. ૚૞ሻ࢔
࢚ୀ૛
unde: ݐ௡െݐ ௡ାଵ reprezint ă perioada între ultimul cupon încasat și următorul cupon
de încasat;
ݐ௜െݐ ௡ାଵ reprezint ă perioada între data vânz ării și plata urm ătorului cupon.
Dobânda acumulat ă se va calcula dup ă următoarea rela ție:
ࡵ࡭ ൌ ࢉ · ࡺࢂ ·࢔࢚െ࢏࢚
࢔࢚െ࢔࢚ ା૚ ሺ૟ . ૚૟ሻ
ݐ௡െݐ ௜ reprezint ă perioada între ultimul cupon încasat și data vânz ării;
ݐ௡െݐ ௡ାଵ reprezint ă perioada între ultimul cupon încasat și următorul cupon de
încasat.
Prețul net (clean price) reprezint ă acel pre ț care nu ia în considerare
dobânda acumulat ă.
În cadrul unei burse de valori, de regul ă, cotarea obliga țiunilor se realizeaz ă
în prețuri nete (clean price) , iar întrucât de cele mai multe ori, data vânz ării unei
obligațiuni nu coincide cu data încas ării cuponului, decontarea se realizeaz ă în
prețuri brute (dirty price) care includ și dobânda acumulat ă.
Pentru calculul cupoanelor de dobând ă există mai multe conven ții ce sunt
folosite și care difer ă de la țară la țară. În tabelul de mai jos, am sintetizat care sunt
principalele conven ții de num ărare a zilelor, utilizate pentru diverse tipuri de
obligațiuni:

Tip obliga țiune Conven ție
Obligațiuni emise de stat ܣ݈ܽݑݐܿ
ܣ݈ܽݑݐܿ
Obligațiuni municipale,
corporatiste 30
360
Bilete de trezorerie,
instrumentele pie ței
monetare ܣ݈ܽݑݐܿ
360

14 
 În România, la Bursa de Valori Bucure ști3 se practic ă următoarele
convenții de calcul a cupoanelor:
‰ Pentru obliga țiunile care au un cupon fix, dobânda acumulat ă se
calculeaz ă după convenția ஺௖௧௨௔௟
஺௖௧௨௔௟ și se tranzac ționează pe bază de preț
net;
‰ Pentru obliga țiunile care au un cupon variabil pre-determinat,
dobânda acumulat ă se calculeaz ă după conven ția ஺௖௧௨௔௟
ଷ଺଴ și se
tranzacționează pe bază de preț net;
‰ Pentru obliga țiunile care au un cupon variabil post-determinat,
dobânda acumulat ă se calculeaz ă după conven ția ஺௖௧௨௔௟
ଷ଺଴ și se
tranzacționează pe bază de preț brut .
‰ În cazul în care caracteristicile emisiunii nu corespund cu conven țiile
de calcul a dobânzii acumulate enun țate mai sus, BVB poate adapta în
mod corespunz ător conven țiile de calcul utilizate.

Exemplul 5. Presupunem c ă un investitor vinde o obliga țiune la data de 15
februarie N, care are urm ătoarele caracteristici: valoarea nominal ă 10.000 USD,
rata cuponului este 5,5%, iar cupoanele sunt semianuale, scaden ța este la momentul
N+3. Știind că ultimul încasat a fost la 31 ianuarie N, obliga țiunea se ramburseaz ă
la scaden ță, iar rata dobânzii de pe pia ță este 8%, s ă se determine dirty price (DP),
clean price (CP) și accrued interest (AI).
Schema cash-flow-urilor unei obliga țiuni care se ramburseaz ă la scaden ță
este ilustrat ă în figura de mai jos. Observ ăm faptul c ă perioada de timp între
ultimul cupon încasat (31 ianuarie N) și data vânz ării (15 februarie N) obliga țiunii
este de 15 zile, de aceea vânz ătorului titlului i se cuvi ne acea parte din cupon
aferente acestei perioade de 15 zile. Pentru a determina pre țul obliga țiunii la
momentul zero, adic ă 15 februarie N, vom folosi cash-flow-urile viitoare, respectiv
cuponul de la 31 iulie N pân ă la 31 ianuarie N+3, și valoarea nominal ă de la 31
ianuarie N+3.
Observăm faptul c ă folosim valoarea întregului cupon de la 31 iulie N (C 1)
pentru a determina pre țul obliga țiunii, de și cumpărătorului nu i se cuvine întregul
cupon, de aceea spunem c ă prețul determinat este un pre ț brut. În pre țul brut este
inclusă, deci, dobânda acumulat ă, pe care cump ărătorul o datoreaz ă vânzătorului
obligațiunii. Prin urmare de și la 31 iulie N cump ărătorul încaseaz ă întreaga
valoarea a cuponului C 1, întruvât el a pl ătit dobânda acumulat ă la achizi ționarea
obligațiunii, rămâne practic doar cu diferen ța între C 1 și AI.
                                                             
3 Potrivit codului BVB operator de piață, 2008

15 
 

ࡵ࡭ ൌ ܿ · ܸܰ ·ݐ
௡െݐ ௜
ݐ௡െݐ ௡ାଵൌ5,5%
2· 10.000 ܦܷܵ ·15
181ൌ 22,79 ܦܷܵ
ࡼࡰ ൌܥଵ
ቀ1 ൅ݕ
2·166
181ቁ൅ܥଶ
ቀ1 ൅ݕ
2·166
181ቁ·ቀ 1൅ݕ
2ቁ൅ڮ൅ܥ଺൅ܸܰ
ቀ1 ൅ݕ
2·166
181ቁ·ቀ 1൅ݕ
2ቁହ
ࡼࡰ ൌ275
ቀ1 ൅ 4% ·166
181ቁ൅275
ቀ1 ൅ 4% ·166
181ቁ·ሺ1൅4 % ሻ൅ڮ൅10275
ቀ1 ൅ 4% ·166
181ቁ·ሺ1൅4 % ሻହ
ൌ 9374,61 ܦܷܵ
ࡼ࡯ ൌ ܲܦ െ ܫܣ ൌ 9374,61 ܦܷܵ െ 22,79 ܦܷܵ ൌ 9351,82 ܦܷܵ

6.3.2 Randamentul plasamentului în obliga țiuni

Investitorii în obliga țiuni sunt interesa ți de randamentul pe care îl ob țin prin
achiziționarea acestora. În acest sens, putem vorbi de: randamentul nominal,
randamentul curent, randamentul la maturitate al obliga țiunilor și randament
realizat. Vom discuta pe rând fiecare din aceste tipuri de randament.
a) Randamentul nominal (rata cuponului) reprezint ă câștigul
procentual pe care îl ob ține investitorul prin cump ărarea unei obliga țiuni ținând
seama de cuponul de dobând ă și valoarea nominal ă:
ࢉൌ࡯
ࡺࢂ· ૚૙૙ ሺ૟. ૚ૠሻ
b) Randamentul curent ( engl. current yield) reprezint ă venitul adus de
obligațiuni ca procent fa ță de prețul acestuia f ără a lua în considerare veniturile
viitoare sau pierderile viitoare de capital. Randamentul curent arat ă la un moment
dat care este câ știgul investitorului în raport cu valoarea pe pia ță a obliga țiunii, ca
în relația de mai jos:
ࢉࣁൌ࡯
ࡼ· ૚૙૙ ሺ૟. ૚ૡሻ 15 zile  166 zile 31 ian N  31 iul N  31 ian N+1  31 ian N+2  31 ian N+3  31 iul N+1  31 iul N+3 C1   C2  C3  C4  C5   C6 +VN15 feb N

16 
 c) Randamentul la maturitate (engl. yield to maturity) ia în considerare
atât venitul curent (cuponul) cât și creșterile și scăderile de pre ț ale obliga țiunilor
pe toată durata de via ță a acestora, de aceea este cea mai utilizat ă formă a
randamentului. Randamentul la maturitate este rata de actualizare care egaleaz ă
valoarea prezent ă a tuturor cash flow-urilor cu pre țul curent de pia ță al
obligațiunii. În plus, randamentul la maturitate reprezint ă o măsură a rentabilit ății
medii ce va fi câ știgată de un investitor dintr-o obliga țiune pe care o de ține până la
scadență.
Spre exemplu, dac ă prețul de pe pia ță al unei obliga țiuni este în prezent
1134,2 GBP, și are urm ătoarele caracteristici: valoarea nominal ă este 1000 GBP,
rata cuponului este 10%, scaden ța 10 ani, iar modalitatea de rambursare este la
maturitate. Cât este randamentul la maturitate?
Pentru a determina randamentul la maturitate este necesar ă rezolvarea
următoarei ecua ții:
1134,2 ൌ ෍0,1 · 1000
ሺ1 ൅ ݕሻ௧ଵ଴
௧ୀଵ൅1000
ሺ1 ൅ ݕሻଵ଴
Rezolvând ecua ția de gradul 10 de mai sus, s-a ob ținut o solu ție reală pozitivă
egală cu 8%, o solu ție reală negativ ă și 8 soluții ce apar țin mulțimii numerelor
complexe. Deci, randamentul la maturitate este 8%, fiind calculat prin rezolvarea
unei ecua ții de gradul 10, în exemplul de mai sus.
Randamentul la maturitate mai poate fi determinat printr-o formul ă
aproximativ ă astfel:
࢚ࢇ࢓࢏࢞࢕࢘࢖ࢇ࢟ ൌ࡯൅ࡺࢂ െ ࡼ
࢔
ࡺࢂ ൅ ࡼ
૛ ሺ૟. ૚ૢሻ
unde: n reprezint ă numărul de ani r ămăși până la scaden ță.
Randamentul aproximat pentru exemplul de mai sus este 8,11%.
ݕ௔௣௥௢௫௜௠௔௧ ൌ100 ൅1000 െ 1134,2
10
1000 ൅ 1134,2
2ൌ 0.0811 ൌ 8,11%
d) Randamentul realizat presupune analiza rentabilit ății obliga țiunilor
dacă se reinveste ște cuponul cu o anumit ă rată. În aceast ă analiză randamentul la
maturitate și rata de reinvestire a cuponului sunt previzionate pe un anumit
orizont de timp.

17 
  Randamentul realizat al obliga țiunii se determin ă luând în considerare:
prețul din prezent (P) al obliga țiunii și suma pe care o de ține investitorul la
scadență, adică valoarea cupoanelor reinvestite la care se adaug ă ultimul
cash- flow generat de obliga țiune (VF) , ca în rela ția 6.20:
ࡼ·ሺ૚൅࢚ࢇࢠ࢏࢒ࢇࢋ࢘࢟ ሻ࢔ൌ ࡲࢂሺ૟. ૛૙ሻ
Deci, randamentul este:
࢚ࢇࢠ࢏࢒ࢇࢋ࢘࢟ ൌඨࡲࢂ
ࡼ࢔
െ ૚ ሺ૟. ૛૚ሻ
Suma pe care o de ține investitorul la scaden ță din obliga țiune este format ă
din valoarea cupoanelor reinvestite și ultimul flux generat de obliga țiune (ultimul
cupon și valoarea nominal ă) este descris de rela ția 6.22:
ࡲࢂ ൌ ෍ ࡯ · ሺ૚ ൅ ࢏ሻ࢚ି࢚࢔
࢔ୀ૚൅ ࡺࢂሺ૟. ૛૛ሻ
unde: n reprezint ă numărul de ani pe care s-a realizat reinvestirea cupoanelor, iar i
este rata de reinvestire a cupoanelor.
Exemplul 6 . Un investitor cump ără o obliga țiune având urm ătoarele caracteristici:
valoarea nominal ă 1000 RON, rata cuponului 6%, iar cuponul se pl ătește anual,
prețul de pia ță al obliga țiunii în prezent este 829,7287 RON, scaden ța 15 ani. Știind
rata de reinvestire a cuponului estimat ă este 5%, s ă se determine randamentul
realizat al obliga țiunii.
Modalitatea de reinvesti re a cupoanelor este descris ă în figura de mai jos:

Deoarece, toate cupoanele se reinvestesc, la sfâr șitul anului cel de-al 15-lea,
suma de ținută de investitor notat ă cu VF de la valoarea fructificat ă va fi:
ܨܸ ൌ ܥ
ଵሺ1 ൅ ݅ሻଵସ൅ܥ ଶሺ1 ൅ ݅ሻଵଷ൅ڮ൅ܥ ଵସሺ1൅݅ ሻ൅ܥ ଵହ൅ܸܰ

ܨܸ ൌ ܥ · ෍ሺ1 ൅ ݅ሻଵହି௡ଵହ
௡ୀଵ൅ܸܰ ൌ6 0·1.05ଵହെ1
1.05 െ 1൅ 1000 ൌ 2294,71 ܱܴܰ
Deci, randamentul realizat în exemplul analizat este: 0  1  2  3 4 14 15C1  C2  C3  C4  C14  C15+VN

18 
 829,7287 ܱܴܰ · ሺ1൅ݕ ௥௘௔௟௜௭௔௧ ሻଵହൌ 2294,71 ܱܴܰ
ݕ௥௘௔௟௜௭௔௧ ൌඨ2294,71
829,7287భఱ
െ 1 ൌ 7,02%
6.3.3 Rela ția între pre țul și randamentul obliga țiunilor
Pentru a ilustra rela ția între pre țul și randamentul unei obliga țiuni vom
porni de la urm ătorul exemplu.
Exemplul 7. Să presupunem c ă o companie „Helveta” a emis o obliga țiune
având caracteristicile: valoarea nominal ă este 1500 EUR, rata cuponului este 10%,
(cuponul se pl ătește anual), scaden ța este 10 ani, rambursarea realizându-se la
maturitate. Peste un an o alt ă companie BSB emite o obliga țiune cu o rat ă a
cuponului de 12%, o scaden ță de 9 ani, iar în rest acelea și caracteristici cu cele ale
obligațiunii emise de Helveta.
Este evident faptul c ă, investitorii vor prefera obliga țiunea ce ofer ă o rată a
cuponului mai mare, respectiv obliga țiunea emis ă de BSB. Astfel, va cre ște cererea
pentru obliga țiunile BSB și va scădea cererea pentru obliga țiunile Helveta (deci
prețul obliga țiunilor Helveta va sc ădea). Mai exact, dac ă determin ăm valoarea celor
două obligațiuni cu 9 ani înainte de scaden ță, se obține:
ܲு௘௟௩௘௧௔ ൌ෍ܨܥ௧
ሺ1൅ݕ ሻ௧ൌܥଵ
ሺ1 ൅ 0.12 ሻଵ൅ܥଶ
ሺ1 ൅ 0.12 ሻଶ൅ڮ൅ܥଽ൅ܸܰ
ሺ1 ൅ 0.12 ሻଽൌ 1340.15 ܴܷܧଽ
௧ୀଵ
ܲ஻ௌ஻ ൌ෍ܨܥ௧
ሺ1൅ݕ ሻ௧ൌܥଵ
ሺ1 ൅ 0.12 ሻଵ൅ܥଶ
ሺ1 ൅ 0.12 ሻଶ൅ڮ൅ܥଽ൅ܸܰ
ሺ1 ൅ 0.12 ሻଽൌ 1500 ܴܷܧଽ
௧ୀଵ
În concluzie, dac ă rata dobânzii pe pia ță crește atunci pre țul unei obliga țiuni
existente pe pia ță va scădea. Cu alte cuvinte, între pre țul obliga țiunii și rata
dobanzii (randamentul obliga țiunii) există o relație invers ă (vezi figura 6.2).
Din exemplul de mai sus s-a observat c ă există o relație invers ă între pre ț și
randament, îns ă vrem să observăm cu cât de modific ă prețul obliga țiunii dac ă rata
dobânzii cre ște sau scade cu „x” puncte procentuale

19 
 Figura 6.2 Rela ția preț-randament

. Exemplul 8 . Presupunem c ă un investitor de ține o obliga țiune clasic ă cu
următoarele caracteristici: valoarea nominal ă 1000 EUR, rata cuponului 10%,
cuponul se pl ătește anual, scaden ța 20 ani, iar rata dobânzii: 8%; 10% și 12%.
Prețul obliga țiunilor va fi:
ܲଵൌ100
8%൬1െ1
ሺ1 ൅ 8%ሻଶ଴൰൅1000
ሺ1 ൅ 8%ሻଶ଴ ൌ 1196,36 ܴܷܧ
ܲଶൌ100
10%൬1െ1
ሺ1 ൅ 10%ሻଶ଴൰൅1000
ሺ1 ൅ 10%ሻଶ଴ ൌ 1000 ܴܷܧ
ܲଷൌ100
12%൬1െ1
ሺ1 ൅ 12%ሻଶ଴൰൅1000
ሺ1 ൅ 12%ሻଶ଴ ൌ 850,61 ܴܷܧ
În primul rând, se observ ă faptul c ă atunci când rata dobânzii scade de la
10% la 8%, pre țul obliga țiunii cre ște cu 196,36 EUR (1196,36 EUR – 1000 EUR), iar
când rata dobânzii cre ște de la 10% la 12%, pre țul obliga țiunii scade cu 149.39 EUR
(850,61 EUR – 1000 EUR). Remarc ăm că, o creștere de pre ț este mai mare atunci
când randamentul scade cu 2 pp decât sc ăderea de pre ț atunci când randamentul
crește cu 2 pp. Deci, relația între pre ț și randament este una convex ă.
În al doilea rând se observ ă că atunci când rata cuponului este egal ă cu rata
dobânzii, atunci pre țul obliga țiunii este egal cu valoarea nominal ă.
În al treilea rând, atunci când rata dobanzii este mai mare decat rata
cuponului, pretul obliga țiunii este mai mic decât valoarea nominal ă, caz în care
spune că obligațiunea este cu discount. Dac ă rata dobânzii este mai mic ă decat rata
cuponului pre țul obliga țiunii este mai mare decat valoarea nominal ă și spunem c ă
obligațiunea este cu prim ă. Se pune întrebarea ce se îmtpl ă cu pre țul unei
obligațiuni cu discount sau cu prim ă pe măsură ce maturitatea ei scade. În acest
sens urm ărim exemplul 7.

20 
  Exemplul 9. Fie o obliga țiune clasic ă cu valoarea nominal ă 1000 RON, rata
cuponului a) 7% și b). 12%, rata dobânzii 10%, ia r maturitatea 5, 2, 1 ani. S ă se
determine pre țul său.
Cazul a).
ܲଵൌ70
10%൬1െ1
ሺ1 ൅ 10%ሻହ൰൅1000
ሺ1 ൅ 10%ሻହ ൌ 886,2763 ܱܴܰ
ܲଷൌ70
10%൬1െ1
ሺ1 ൅ 10%ሻଶ൰൅1000
ሺ1 ൅ 10%ሻଶ ൌ 947,9338 ܱܴܰ
ܲସൌ70 ൅ 1000
1 ൅ 10%ൌ 972.72 ܱܴܰ

Cazul b).
ܲଵൌ120
10%൬1െ1
ሺ1 ൅ 10%ሻହ൰൅1000
ሺ1 ൅ 10%ሻହ ൌ 1075,81 ܱܴܰ
ܲଷൌ120
10%൬1െ1
ሺ1 ൅ 10%ሻଶ൰൅1000
ሺ1 ൅ 10%ሻଶ ൌ 1034,71 ܱܴܰ
ܲସൌ120 ൅ 1000
1 ൅ 10%ൌ 1018,18 ܱܴܰ
Se observ ă că în ambele cazuri pre țul obliga țiunii tinde la valoarea nominal ă
pe măsură ce aceasta se apropie de maturitate, fapt ilustrat în figura de mai jos.
Rating-ul obliga țiunilor
Randamentul obliga țiunilor depinde de o serie de factori generali , cum ar fi
nivelul ratelor de dobând ă dintr-o economie, precum și o serie de factori specifici
care se refer ă la riscul de credit asociat emiten ților de obliga țiuni ce este reflectat
de rating-ul acestora. Pentru a acorda un anumit rating unei companii, agentiile de

21 
 rating, precum Standard & Poor’s, Moody’s și FitchRatings ș.a. evalueaz ă situația
financiar ă a companiilor, în func ție de anumite criterii financiare și nefinanciare.
În functie de ratingul acordat obligatiunile pot fi:
¾ Obligațiuni cu grad investi țional – de la rating-ul AAA la BBB potrivit
scalei Standard &Poor’s sau Aaa la Baa potrivit scalei Moody’s descrise în
tabelul 6.3;
¾ Obligațiuni cu grad speculativ s a u junk bonds d e l a B B s a u B a l a D
potrivit scalei Standard &Poor’s și Moody’s (vezi tabelul 6.3). Obliga țiunile
speculative (junk bonds) ofer ă randamente ridicate, întrucât sunt obliga țiuni
cu grad de risc ridicat de aceea ele mai sunt întâlnite în literatura de
specialitate sub denumirea de high yield bonds .
Tabelul 6.3 Scala de rating Moody’s și Standard & Poor ’s a obliga țiunilor
Moody’s S& P Capacitatea de plat ă a emitentului
Aaa AAA Capacitatea de plat ă de către emitent a valorii nominale și
a cupoanelor de dobând ă este cea mai bun ă.
Aa AA Obliga țiuni al c ăror emitent are o capacitate de plat ă
foarte bun ă. Impreun ă cu titlurile din categoria AAA sau
Aaa constituie clasa de obliga țiuni cu rating mare (high-
grade bond class).
A A Emitentul are o capacitate de plat ă foarte bun ă, însă aceste
obligațiuni sunt susceptibile la modific ări ale condi țiilor
economice spre deosebire de obliga țiunile high-grade.
Baa BBB Obliga țiuni ale c ăror emiten ți au o capacitate de plat ă a
cupoanelor și valorii nominale adecvat ă. Se caracterizeaz ă
prin faptul c ă anumite schimb ări economice determin ă o
capacitate de plat ă mai scăzută, de aceea se mai numesc
obligațiuni cu risc de credit mediu.
Ba BB Obligațiuni care au un grad speculativ conform cu
prevederile contractuale de rambursare a cupoanelor și
valorii nominale. Obliga țiunile cu cel mai mic grad de
speculație sunt Ba și BB. Obliga țiunile cu cel mai mare
grad de specula ție sunt CC și Ca. Activitatea emiten ților
acestor obliga țiuni este expus ă la numeroase incertitudini,
deci riscul de credit este ri dicat. Unele titluri pot fi
încadrate în default. B B
Caa CCC
Ca CC
C C Este ratingul acordat emiten ților care nu au pl ătit niciun
cupon de dobând ă.
D D Obliga țiuni încadrate în default.

22 
 6.4 Elemente de evaluare a obliga țiunilor
În momentul în care se evalueaz ă o obliga țiune se iau în considerare pe lâng ă
preț și alte concepte precum durata obliga țiunilor, sensibilitatea și convexitatea. În
cele ce urmeaz ă vom trata pe rând aceste concepte.
6.4.1 Durata obliga țiunilor
Durata reprezint ă media ponderat ă a scaden ței fluxurilor utilizând ca
ponderi valoarea prezent ă a fiecărui flux în total fluxuri actualizate. Dac ă notăm
ponderile cu wt, ca în rela ția de mai jos:
࢚࢝ൌ࢚ࡲ࡯
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢚
∑࢚ࡲ࡯
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢚࢔
࢚ୀ૚
Atunci durata se mai poate scrie sub urm ătoarea form ă:
ࡰൌ෍ ࢚·࢔࢚࢝
࢚ୀ૚ ሺ૟. ૛૜ሻ
Conceptul de durat ă a fost introdus în anul 1938 de c ătre Frederick
Macaulay, iar în opinia mai multor autori reprezint ă perioada în care se
recupereaz ă investiția realizat ă în obliga țiuni. Întrucât am ar ătat ca durata este o
medie ponderat ă a scaden ței fluxurilor, formula sa de calcul care este echivalent ă
cu relația 6.23 este:
ࡰൌ∑࢚ࡲ࡯ ·࢚
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢚࢔
࢚ୀ૚
∑࢚ࡲ࡯
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢚࢔
࢚ୀ૚ൌ૚
ࡼ·෍࢚ࡲ࡯ ·࢚
ሺ૚ ൅ ࢟ሻ࢚࢔
࢚ୀ૚ ሺ૟. ૛૝ሻ
Exemplul 10. Fie o obliga țiune clasic ă cu urm ătoarele caracteristici:
valoarea nominal ă 1000 u.m., rata cuponului 5%, cupoane anuale, scaden ța 5 ani,
randamentul la maturitate 5%. S ă se calculeze durata acestei obliga țiuni.
Observ ăm ca rata cuponului este egal ă cu randamentul la maturitate, prin
urmare pre țul obliga țiunii este egal cu valoarea nominal ă de 1000 u.m. În
continuare vom determina durata:
ܦൌ1
1000൬50 · 1
ሺ1 ൅ 5%ሻଵ൅50 · 2
ሺ1 ൅ 5%ሻଶ൅ڮ൅1050 · 5
ሺ1 ൅ 5%ሻହ൰ൌ 4,55 ݅݊ܽ
Exemplul 11. Fie o obliga țiune cu cupon unic ce are valoarea nominal ă 500
u.m., rata cuponului 7%, randamentul la maturitate 10%, scaden ța 7 ani. S ă se
determine durata obliga țiunii.

23 
 ܦൌ1
ܲ·෍ܨܥ௧·ݐ
ሺ1 ൅ ݕሻ௧ൌ1
ܸܰ · ሺ1 ൅ ܿሻ௡
ሺ1 ൅ ݕሻ௡·ܸܰ · ሺ1 ൅ ܿሻ௡·݊
ሺ1 ൅ ݕሻ௡௡
௧ୀଵൌ݊
Deci, D = 7 ani.
Remarcăm faptul c ă durata este egal ă cu maturitatea întrucât obliga țiunea
cu cupon unic se ramburseaz ă la scaden ță și are un singur cash flow de actualizat și
anume la maturitate.
6.4.2 Sensibilitatea obliga țiunilor
Sensibilitatea reprezint ă modificarea procentual ă a pre țului unei
obligațiuni în urma modific ării cu un punct procentual a ratei dobânzii (a
randamentului). De aceea, putem spune c ă sensibilitatea m ăsoară riscul ratei
dobânzii. În rela ția 6.25 g ăsim formula sensibilit ății.
ࡿൌ∆ࡼ
ࡼ
∆࢟ ሺ૟. ૛૞ሻ
În continuare, vom deduce formula de calcul a sensibilit ății pornind de la
definiția acesteia.
ܵൌ∆ܲ
ܲ
∆ݕൌ∆ܲ
∆ݕ·1
ܲൌ߲ܲ
ݕ߲·1
ܲ
Presupunem o obliga țiune clasic ă, prin urmare pre țul său este:
ܲൌܥଵ
1൅ݕ൅ܥଶ
ሺ1 ൅ ݕሻଶ൅ڮ൅ܥ௡൅ܸܰ
ሺ1 ൅ ݕሻ௡
Vom deriva pre țul obliga țiunii clasice în func ție de randamentul acesteia:
߲ܲ
ݕ߲ൌെܥଵ
ሺ1 ൅ ݕሻଶെ2·ܥ ଶ
ሺ1 ൅ ݕሻଷെڮെ݊·ሺ ܥ ௡൅ܸܰ ሻ
ሺ1 ൅ ݕሻ௡ାଵ | · ൬െ1
ܲ൰
߲ܲ
ݕ߲·1
ܲൌെ1
1൅ݕ·1
ܲ·൬ܥଵ
ሺ1 ൅ ݕሻଵെ2·ܥ ଶ
ሺ1 ൅ ݕሻଶെڮെ݊·ሺ ܥ ௡൅ܸܰ ሻ
ሺ1 ൅ ݕሻ௡൰
Așadar, sensibilitatea obliga țiunii este:
ࡿൌെࡰ
૚൅࢟ ሺ૟. ૛૟ ሻ
Se remarc ă faptul c ă sensibilitatea depinde de durata obliga țiunilor, durata
reprezentând un instrument esen țial în imunizarea portofoliilor la riscul ratei
dobânzii. Egalând rela ția 6.25 cu 6.26, rezult ă:
∆ܲ
∆ݕ·1
ܲൌെܦ
1൅ݕ
Deci, modificarea procentual ă a prețului se mai poate scrie sub urm ătoarea form ă:

24 
 ∆ࡼ
ࡼൌെࡰ
૚൅࢟· ∆ ࢟ሺ૟. ૛ૠሻ
sau
∆ࡼ
ࡼൌെ ࢓ࡰ · ∆ ࢟ሺ૟ . ૛ૡሻ
unde: Dm se mai nume ște durată modificat ă și reprezint ă o măsură mai direct ă a
sensibilit ății obligațiunii la modificarea randamentului. Din rela ția 6.27 sau 6.28 se
observă că există o rela ție invers ă între pre țul obliga țiunii și mărimea
duratei, pentru varia ții mici ale ratei dobânzii. Cu alte cuvinte, obliga țiunile
cu durat ă mai mare pot înregistra câ știguri sau pierderi mai mari în urma sc ăderii
sau creșterii ratei dobânzii decât obliga țiunile cu o durat ă mai mic ă.
Exemplul 12. Consider ăm următoarele obliga țiuni care se ramburseaz ă la
maturitate:
Obligațiune Rata cuponului Randament
A 0% 16%
B 14% 16%
C 4% 16%
D 14% 10%
Având aceste obliga țiuni ne punem întrebarea care este rela ția între
maturitatea și durata lor. Pentru a observa care este rela ția durat ă-maturitate,
vom presupune c ă maturitatea ia valori între 1 an și 30 de ani, grafic aceast ă relație
fiind ilustrat ă de figura 6.3.
Figura 6.3 Rela ția durat ă-maturitate

Din figura 6.3 putem trage o serie de concluzii :
¾ O obliga țiune zero cupon are durata egal ă cu maturitatea ceea ce este evident
întrucât exist ă un singur flux al emitentului c ătre deținătorul obliga țiunii,
respectiv la scaden ța acesteia.
Durata

25 
 ¾ Comparând obliga țiunile B (ilustrat ă grafic cu ro șu) și C (ilustrat ă grafic cu
albastru), remarc ăm faptul c ă titlurile care au cupoane mai mici (cu acee și
maturitate și același randament) au o durat ă de imunizare mai mare.
¾ Comparând obliga țiunile B și D (ilustrat ă grafic cu negru), se observ ă că
tilurile care au randament mai mic (cu acela și cupon și aceeași maturitate)
au o durat ă de imunizare mai mare.
Exemplul 13. Fie urm ătoarele obliga țiuni care se ramburseaz ă la scaden ță:
Obligațiune Rata cuponului Randament Maturitate
A (negru) 14% 16% 30 ani
B (roșu) 4% 16% 30 ani
C (verde) 14% 10% 30 ani
D (albastru) 14% 16% 5 ani
Să se determine durata și sensibilitatea obliga țiunilor, știind că valoarea
nominal ă este 100 u.m.
Aplicând formula duratei și a sensibilit ății (relațiile 6.24 și 6.26), se ob țin
următoarele valori ale acestora:
Obligațiune Durata (ani) Sensibilitatea (%)
A (negru) 7,20 -6,20
B (roșu) 7,93 -6,84
C (verde) 10,04 -9,12
D (albastru) 3,87 -3,34
Se observ ă în cazul obliga țiunii A c ă atunci când rata dobânzii cre ște cu 1 pp,
prețul obliga țiunii scade cu 6,20%, acela și raționament se aplic ă și pentru celelate
instrumente. În figura 6.4 am ilustrat cum se modific ă prețul unei obliga țiuni în
urma modific ării cu un punct procentual a randamentului. Analizând figura de mai
jos, putem desprinde urm ătoarele concluzii:
¾ Comparând obliga țiunile care au acela și randament și aceeași maturitate,
dar cupon diferit, adic ă A (SA = – 6,20) și B (SB = – 6,84 ), observăm faptul c ă
titlurile cu care au un cupon mai mic sunt mai sensibile la modificarea ratei
dobânzii (au și durata de recuperare mai mare, iar D A=7,20 ani, D B=7,93 ani).
¾ Comparând obliga țiunile care au acela și cupon și aceeași maturitate, dar
randament diferit, adic ă A și C (SC = – 9,12), observăm faptul c ă titlurile cu
care au un randament mai mic sunt mai sensibile la modificarea ratei
dobânzii (au și durata de recuperare mai mare, D C=10,04 ani).
¾ Comparând obliga țiunile care au acela și cupon și randament, dar maturitate
diferită, respectiv A și D (S D = – 3,34), observ ăm că titlurile care au
maturitatea mai mare sunt mai sensibile la modificarea ratei dobânzii (au și
durata de recuperarea mai mare D D = 3,87 ani).

26 
 
Figura 6.4 Rela ția modificare procentual ă a prețului și randament

6.4.3 Convexitatea obliga țiunilor
Cum spuneam în sec țiunea 6.4.2, durata reprezint ă un instrument important
în managementul portofoliilor de obliga țiuni. De asemenea, se observ ă că prețul
unei obliga țiuni s-ar putea determina folosind:
a) formula de calcul a sa ܲൌ ∑஼ி೟
ሺଵା௬ሻ೟௡
௧ୀଵ sau;
b) relația 6.27, ∆௉
௉ൌെ஽
ଵା௬·∆ ݕ ,determin ăm modificarea procentual ă a prețului,
apoi noul pre ț al obliga țiunii, atunci când rata dobânzii se modific ă cu
maxim 1 punct procentual.
Dar dac ă sunt modific ări mai mari de un punct procentual se mai poate folosi
durata pentru a determina pre țul obliga țiunii? Răspunsul este nu deoarece folosind
durata relația între modificarea pre țului și rata dobânzii este una liniar ă,
de fapt această relație fiind una convex ă. Prin urmare, pentru a determina
prețul obliga țiunii, în cazul unor modific ări mai mari de 1 pp a ratei dobânzii,
folosind conceptul de durat ă se impune luarea în considerare nu numai a derivatei
de ordinul 1 în func ție de rata dobânzii. Deci, vom scrie modificare pre țului ca o
dezvoltare în serie Taylor :
∆ࡼ ൌ૚
૚!·ࡼࣔ
࢟ࣔ·∆ ࢟൅૚
૛!·ࣔ૛ࡼ
࢟ࣔ૛·ሺ∆࢟ሻ૛൅૚
૜!·ࣔ૜ࡼ
࢟ࣔ૜·ሺ∆࢟ሻ૜൅ڮ൅૚
!࢔·ࡼ࢔ࣔ
࢔࢟ࣔ·ሺ∆࢟ሻ ࢔ሺ૟. ૛ૢሻ

27 
 Este suficient s ă luăm în considerare derivatele de ordinul 1 și 2 (derivata de
ordinul 2 este convexitatea, CX) și să împărțim relația 6.29 cu P, de unde rezult ă că
modificarea procentual ă a prețului este:
∆ࡼ
ࡼൌ૚
ࡼ·ࡼࣔ
࢟ࣔ·∆ ࢟൅૚
૛·૚
ࡼ·ࣔ૛ࡼ
࢟ࣔ૛·ሺ∆࢟ሻ૛ ሺ૟. ૜૙ሻ
∆ࡼ
ࡼൌെ ࢓ࡰ ·∆ ࢟൅૚
૛ࢄ࡯ · ሺ∆࢟ሻ૛ ሺ૟. ૜૚ሻ
Derivata de ordinul 1 a pre țului a fost dedus ă în secțiunea 6.4.2:
߲ܲ
ݕ߲ൌെܥଵ
ሺ1 ൅ ݕሻଶെ2·ܥ ଶ
ሺ1 ൅ ݕሻଷെڮെ݊·ሺ ܥ ௡൅ܸܰ ሻ
ሺ1 ൅ ݕሻ௡ାଵ
Derivata de ordinul 2 a pre țului va fi:
߲ଶܲ
ݕ߲ଶൌ1·2·ܥ ଵ
ሺ1 ൅ ݕሻଷ൅2·3·ܥ ଶ
ሺ1 ൅ ݕሻସ൅ڮ൅݊·ሺ݊൅1 ሻ·ሺ ܥ ௡൅ܸܰ ሻ
ሺ1 ൅ ݕሻ௡ାଶ
Înmulțim derivata de ordinul 2 cu 1/P, iar convexitatea este deci:
ࢄ࡯ ൌ૚
ሺ૚൅࢟ ሻ૛·૚
ࡼ·෍࢚ࡲ࡯ ·࢚·ሺ ࢚൅૚ ሻ
ሺ૚൅࢟ ሻ࢚࢔
࢚ୀ૚ ሺ૟. ૜૛ሻ
Exemplul 14. Fie o obliga țiune cu valoarea nominal ă 1000 RON, rata cuponului
10%, scaden ța 10 ani, iar modalitatea de rambursare este la scaden ță. Să se
determine pre țul obliga țiunii dac ă randamentul devine 8%, folosind: a). formula de
calcul a pre țului și b). pornind de la modificarea procentual ă a prețului folosind
durata.
Cazul a). Pre țul obliga țiunii pentru un yield de 8% va fi:
ܲଵൌ100
ሺ1 ൅ 8%ሻଵ൅100
ሺ1 ൅ 8%ሻଶ൅ڮ൅1100
ሺ1 ൅ 8%ሻଵ଴ൌ 1134,2016 ܱܴܰ
Cazul b). Pentru a determina modificarea procentual ă a prețului obliga țiunii mai
întâi determin ăm durata sa:
ܦൌ1
1000·൬100
ሺ1 ൅ 10%ሻଵ൅100 · 2
ሺ1 ൅ 10%ሻଶ൅ڮ൅1100 · 10
ሺ1 ൅ 10%ሻଵ଴൰ൌ 6.759 ݅݊ܽ
Deci, modificarea procentual ă a prețul este:

28 
 ∆ܲ
ܲൌെܦ
1൅ݕ·∆ ݕൌെ6,759
1 ൅ 10%·ሺ8% െ 10% ሻൌ 12,289%
Iar noul pre ț pentru un yield de 8% este:
ܲଵൌ 1,12289 · ܲ ଴ൌ 1,12289 · 1000 ൌ 1228,9 ܱܴܰ
Observăm că folosind durata ob ținem un pre ț de 1228,9 RON, care este diferit de
prețul corect al obliga țiunii care este 1294,4034 RON. Aceast ă eroare de
65,5034 RON exist ă întrucât cea de-a doua metod ă poate fi folosit ă doar pentru
modificări ale yieldului mai mici sau eg ale cu 1 pp, iar în cazul de fa ță yieldul se
modifică cu 2 pp. Aceast ă relație între modificarea procentual ă a prețului și
modificarea yieldului este reprezentat ă în figura 6.5.
Prin urmare vom determina și convexitatea func ție preț-randament,
ܺܥ ൌ1
ሺ1 ൅ 10% ሻଶ·1
1000·൬1·2·1 0 0
ሺ1 ൅ 10% ሻ൅2 · 3 · 100
ሺ1 ൅ 10%ሻଶ൅ڮ൅10 · 11 · 1100
ሺ1 ൅ 10%ሻଵ଴൰ൌ 52,7926
∆ܲ
ܲൌെ ܦ ௠·∆ ݕ൅1
2ܺܥ · ሺ∆ݕሻଶൌെ6,759
1 ൅ 10%·ሺ8% െ 10% ሻ൅1
2· 52,7926 · ሺ8% െ 10% ሻଶ
ൌ 13,3448%
Deci,
ܲଵൌ 1,133448 · ܲ ଴ൌ 1,133448 · 1000 ൌ 1134,45 ܱܴܰ

Figura 6.5 Rela ția modificarea pre țului – modificarea randamentului

Pre țul determinat folosind durata și convexitatea este aproximativ egal cu
prețul real datorit ă aproxim ărilor realizate în calcul.