CAP ITOLUL I. PREZENTAREA GENERAL Ă A PROGRAMULUI [601428]

CAP ITOLUL I. PREZENTAREA GENERAL Ă A PROGRAMULUI
MATHCAD

Mathcad -ul este un program de calcul utilizat în aplicațiile matematice, tehnice și
economice. Produsul Mathcad a fost realizat de firma Mathsoft în mai multe variante,
începând de la variantele rula te sub sistemul de operare DOS până la cele sub Windows,
ultima variantă fiind Mathcad 14.0.
La început, Mathcad nu a avut decât o singură variantă, iar astăzi este disponibil în
trei:
 Mathcad Standard (utilizat pentru calcule inginerești uzuale);
 Mathca d Professional Academic (are scopul de a veni în ajutorul studenților și
profesorilor) și
 Mathcad Professional (dezvoltat pentru a efectua calcule și aplicații profesionale).
Fiind o aplicație care rulează pe sisteme de operare Windows, pornirea și părăs irea
aplicației Mathcad se fac la fel ca pentru orice componentă MS Office.
Mathcad -ul este ușor de învățat și de folosit și nu sunt necesare cunoștințe speciale
de programare.
Mathcad -ul este un pachet de programe ce oferă un mediu de lucru prietenos,
complex, ușor de utilizat și util pentru ingineri, cercetători, matematicieni, studenți, pentru
toți cei care folosesc matematica. Cu ajutorul lui se poate calcula orice formulă matematică,
se pot reprezenta grafice de funcții, se poate programa, se pot re zolva ecuații și multe alte
operații.
Permite scrierea de ecuații așa cum utilizatorul este obișnuit să le vadă pe tabla, pe
foaie, sau într -o carte. Nu trebuie învățată nicio sintaxă dificilă (pur și simplu sunt tastate
ecuațiile și afișate rezultatele). În Mathcad se utilizează notația matematică obișnuită.
Textul poate fi plasat oriunde în foaia de lucru, iar tot ce apare pe ecran se poate imprima în
aceeași formă.

1.1 Descrierea ferestrei principale

Fereastra principală a aplicației Mathcad are aceeaș i structură ca și cea a
componentelor MS Office. Cei care sunt familiarizați cu produsele Microsoft se vor obișnui
foarte repede cu modul de lucru din Mathcad.
Când porniți Mathcad -ul veți vedea o fereastră ca cea prezentată în Figura 1.1. În
mod implicit , zona din foaia de lucru are culoarea albă. Pentru a selecta o alta culoare care
vă facilitează lucrul cu acest program, selectați meniul Format → Color → Background,
alegeți culoare dorita și apăsați OK.
Se pot deschide atâtea foi de lucru cât sistemul de resurse disponibil permite.

Figura 1.1 Fereastra principală a aplicației Mathcad

Meniul principal (bara de meniu) al aplicației conține submeniurile : File, Edit,
View, Insert, Format, Tools, Symbolics, Window, Help

Figura 1.2 Bara de meniu

Submeniul File (Figura 1.3) conține comenzile :
 New – începe un nou document Mathcad
 Open – deshide un document Mathcat deja existent
 Close – închide documentul curent
 Save – salvează documentul curent
 Save as – salvează documentul curent cu alt nume
 Page setup – deschide o fereastr ă care permite setarea fondului, orientării paginii și
a marginilor acesteia
 Print pre view – vizualizează documentul înainte de imprimare
 Print – printează document ul curent
 Compare Bara de meniu Bara de unelte
Bara de format
Bara de
instrumente de
matematic ă

 Send – trimite documente Mathcad pe internet
 Properties
 Exit – iese din Mathcad

Figura 1.3 Submeniul File

Submeniul Edit (Figura 1.4) con ține comenzi referitoare la editarea documentului :
 Undo – anulează ultima acțiuni e efectuată
 Redo – revine la situația inițială ( efect invers comenzi i Undo )
 Cut – șterge zona de pe ecran selectată și copiază conținutul în zona de memorie
Clipboard
 Copy – copiază zona selectată în Clipboard
 Paste – copiază conținutul zonei de memorie Clipboard în locul selectat
 Paste special – plasează obiecte sau imag ini din Clipboard în locul precizat
 Delete – șterge zona selectată
 Select All – selectează tot documentul
 Find – caută un cuvânt în document
 Replace – caută și înlocuiește un cuvânt
 Go to page – plasează cursorul la începutul paginii indicate
 Links – editează obiectele din document

Figura 1.4 Submeniul Edit

Submeniul View (Figura 1.5 ) con ține comenzi pentru aspectul ecranului :
 Toolbars – bara de instumente, ce conține :
Standard : include butoane corespunz ătoare celor mai utilizate comenzi ale
submeniurilor File și Edit
Formating : butoane pentru stabilirea tipurilor și dimensiunii caracterelor, po ziția și
indentarea textului
Math : butoane corespunzătoare barelor instumentelor pentru : calcule aritmetice
(Calculator), reprezentări gr afice de funcții(Graph), calcul matriceal (Matrix), calcul de
sume, limite, derivate, integrale (Calculus), etc.
 Ruler
 Status bar – bara de stare a documentului curent
 Header and Footer – permite inserarea numărului de pagină într -un document, fie în
antetul paginii, fie în subsol
 Regions – vizualizează toate zonele documentului
 Annotations
 Refresh – reface imaginea afișată pe ecran
 Zoom – setarea dimensiunii caracterelor la afișarea pe ecran Figura 1.5 Submeniul View

Figura 1.5 Submeniul View

Submeniul Insert (Figura 1.6) con ține comenzi pentru inserarea graficelor,
matricelor, funcțiilor, imaginilor în document, etc. :
 Graph – inserează un grafic în document
 Matrix – deschide o fereastră de dialog pentru creearea unui tablou (vector sau
matrice) sau pentru a le edita
 Functio n – inserează funcții din biblioteca aplicației
 Unit – stabilește unitățile de măsură în care sunt exprimate datele
 Picture – inserează o imag ine în document
 Area – separă documentul în mai multe zone distincte
 Page Break – în locul în care se află curso rul este inserată o ruptură de pagină, care
provoacă trecerea la o pagină nouă
 Math Region – inserează o regiune de calcul
 Text Region – inserează o regiune de text

Figura 1.6 Submeniul Insert

Submeniul Format (Figura 1.7) conține comenzi pentru aranj area documentului :
 Equation – stabilirea tipului de caractere folosite într -o ecua ție (afișează o listă de
stiluri matematice)
 Result – alegerea modului de afișare a rezultatelor
 Text – setarea tipului și dimensiunii caracterelor unui text
 Paragraph – pentru alinierea și indentarea textului
 Tabs – pentru a stabili dimensiunile tabulatorilor
 Style – permite editarea stilului de lucru
 Graph – alegerea formei graficelor
 Color – permite stabilirea fondului documentului
 Area – permite separarea documentului în zone distincte
 Separat e Regions – separă regiunile text de cele de calcul
 Align Regions – permite alinierea regiunilor
 Repaginate Now – pentru numerotarea paginilor

Figura 1.7 Submeniul Format

Submeniul Tools ( Figura 1.8) conține comenzi pentru la nsarea calculelor, fie ele
numerice sau simbolice:
 Spelling
 Animation – realizarea unei animații într -o reprezentare grafică a unei funcții
 Protect Worksheet
 Calculate – execuția calculelor
 Optimize
 Debug
 Disable evaluation
 Trace error
 License
 Worksheet Options
 Preferences

Figura 1.8 Submeniul Tools

Submeniul Symbolics ( Figura 1.9) are comenzi pentru calculul simbolic :
 Evaluate – redă evaluarea simbolică
 Simp lify – simplifică expresiile matematice (realizează calcule aritmetice, scoate
factori co muni)
 Expand – degrupează toți exponenții și produsele din sumele expresiei selectate
 Factor – scrie expresiile ca un produs de factori ireductibili
 Collect – grupează termenii care au aceeași putere
 Polyno mial Coefficients – determină coeficien ții unui po linom
 Variable – pentru aflarea rădăcinii unei ecuații, pentru calcularea derivatei, a
primitivei, etc.
 Matrix – pentru determinarea transpusei, a inversei și a determinantului unui
matrice
 Transform – pentru determinarea transformatei directe și a transfo rmatei inverse de
tip Fourier, Laplace
 Evaluation Style – verifică unde sunt plasate rezultatele

Figura 1.9 Submeniul Symbolics

Submeniul Window (Figura 1.10) conține comenzi pentru aanjarea ferestrelor în
cascadă, pentru divizarea ferestrei în două p ărți: orizontal sau vertical și o listă a
documentelor deschise.

Figura 1.10 Submeniul Window

În submeniul Help (Figura 1.11) se găsesc informații despre această aplicație. Ele
se pot accesa fie apăsând tasta F1, fie dând click pe submeniul Help.

Figura 1.11 Submeniul Help

1.2 Principalele noțiuni cu care operează Mathcad
Principalele noțiuni utilizate în Mathcad sunt: operatori, identificatori, tipuri de
date.
1.2.1 Operatori în Mathcad
a. Operatorul de atribuire sau operatorul de definire ( := )
Este utili zat pentru a atribui elementului din membrul stâng valoarea expresiei din
membrul drept.
Acest operator se obține tastând : sau se ia din una din paletele Evaluation (figura
1.12) și Calculator (figura 1.13).
Sintaxă: variabilă := expresie
funcție (listă de variabile) := expresie

b. Operatorul de afișare (= )
Este folosit pentru afișarea unui rezultat calculat., adică afișează valoarea
membrului stâng.
Acesta se obține tastâ nd =, sau se găsește în paletele Evaluation și în Calcu lator.
Sintaxă : variabilă =
expresie =
funcție ( listă de variabilă ) =

c. Operatorul de definire globală ( ≡ )
Are domeniul de valabilitate pe tot documentul, permițând fixarea și modificarea
unor parametrii la nivel global.
Se obține tastând ~ sau se găsește în paleta Evaluation.

Sintaxă : variabilă = expresie

Figura 1.12 – Paleta Evaluat ion Figura 1.13 – Paleta Calcu lator

Mathcad utilizează operatorii uzuali ( +, –, *, /, ^) pentru introducerea expresiilor
aritmetice, afișarea pe ecran fiind cea din matematică. Rezultatul expresiei este afișat dupa
tastarea operatorului de afișare.
Mathcad permite atât efectuare un or calcule numerice simple, cât și efectuarea unor
operații cu vectori, matrice, etc.
Exemplu : Expresia (3.8 * 5 ) ^ 2 – 17.8 / 2 = o să apară pe ecran sub
forma
 1.35228.1758.32

Operatorii aritmetici sunt:
a. Adunarea +
b. Scăderea –
c. Înmulțirea *
d. Împă rțirea /
e. Produsul vectorial ×
f. Ridicarea la putere ^
Exemplu : Definim 2 vectori cu 4 linii și 1 coloană astfel :
a :=




3142 b :=




6521
Cu ace știa vom efectua operațiile de adunare, scădere și înmulțire, utilizând
operatorul de atribuire : c := a + b
d := a – b
e := a ∙ b
Rezultatele se vor afi șa utilizând operatorul de evaluare :

c =




9663 d =





3421 e = 33
Exemplu: Vom face acela și lucru pentru două m atrice cu 3 linii și 3 coloane
A :=




510256301 B :=




352845321
C := A + B
D := A – B
E := A ∙ B
C :=




86210911622 D :=





24 26 1 102 0 E :=




23 29 1564 42 3512 177
1.2.2 Identificatori Mathcad
Identificatorii în Mathcad sunt, de fapt, numele date variabilelor, constantelor și
funcțiilor. Aceștia pot fi :
a. Litere latine mari și mici (se face distincție între literele mari și mici )
b. Cifre
c. Litere grecești ( α, β, γ, δ…)
d. Caractere speciale ( _, %, `, ., ∞)
e. Caractere internaționale

Exemple de identificatori : x_151, α, functie `, x_%_12
1.2.3 Tipuri de date în Mathcad
În Mathcad sunt folosite următoarele tipuri de date :

a. Variabile numerice reale și complexe
O variabilă se definește în felul următor :
– Se taste ază numele ei
– Se tastează operatorul de definiție
– Se introduce expresia care definește variabila

Exemplu : Pentru a calcula valoarea expresiei y =
– 5x + 2 în punctul x=1, se
definește:
x := 1
y :=
– 5x + 2
Rezultatul se va af ișa utilizând operatorul de evaluare y =
y = 1

Pentru a defini o constantă complexă se utilizează forma algebrică a+bi. În locul lui
i ca unitate imaginară se poate folosi j. Mathcad utilizează i la afișarea rezultatelor
complexe, dar se poate schimba parametrul în j de la Format → Imaginary Unit.

b. Variabile șir
O progresie aritmetic ă se poate defini în felul următor:
variabilă_șir :=val_inițială,val_următoare..val_finală, unde rația progresiei aritmetice este :
val_următoare – val_inițială
Pentru a in troduce .. se tastează simbolul “;”.

Exemplu: Șirul x := 0, 0.7 .. 6 (se tastează x: 0, 0.7 ; 6) definește progresia aritmetică.
Pentru afișarea rezultatului se tastează x=
x:=0, 0.7 ..6

O metod ă mai simplă de definire a acestui șir este sel ectarea din meniul Matrix a
iconiței m .. n. Pasul de incrementare, care implicit este 1, se poate schimba tastând virgulă
după introducerea valorii inițiale, apoi pasul de incrementare.
Exemplu: Șirurile definite prin:
i := 0.3 .. 6
j := 6 .. 0.6 sunt:
x
0
0.7
1.4
2.1
2.8
3.5
4.2
4.9
5.6

i
0.3
1.3
2.3
3.3
4.3
5.3
j
6
5
4
3
2
1
O variabilă șir ale cărei valori sunt numere natural consecutive se numește variabilă
indice ( j este o variabil ă indice ).

Exemplu : Pentru a defini un indice i care ia succesiv toate valorile 3,4,5,6,7, se tastează i :
3;7.
Pe ecran va ap ărea: i:=3. .7
i
3
4
5
6
7

Prin intermediul unei variabile indice se poate defini o variabilă șir oarecare prin
sintaxa :
:= expresie. Pentru a obține indicele, după variabila_șir se
tastează [. Dacă numele variabilei_șir este x, iar variabila indice este i=
…
, cu
≤
și
,
ϵR, atunci
definește șirul

,…,
.

Exemplu : Fie i variabila_indice definit ă în exemplul anterior, pentru definirea și rului
=

se tastează : x [ i : i ^ 2, iar pe ecran va ap ărea
:=
.
Pentru i ϵ [3,7], valorile șirului
=
se află efectuând următorii pași :
i := 3..7
:=

x =




493625169000

c. Variabile tablou (array): vectori și matrice

O variabilă devine o variabilă tablou dacă i se atribuie o constantă de tip tablou sau
o expresie a cărei valoare este de tip tablou.
Pentru a crea o constantă de tip tablou se parcur g pașii :
– Se tasteaz ă Ctrl + M sau se alege iconița
din meniul Matrix.
– Se aleg dimensiunile tabloului în fereastra care s -a deschis ( Insert Matrix ).
– Se afișează un vector sau o matrice cu dimensiunile specificate, elementele fiind
indicate pr intr-o poziție marcată.
Exemplu: Dacă numărul liniilor este 3, iar numărul coloanelor este 4, pe ecran va apărea :

După aceea se vor completa pozițiile marcate cu expresii numerice, iar trecerea de
la o componentă la alta se face acționând tasta Tab.

Componentele unui vector sau ale unei matrice se obțin tastând numele vectorului
sau matricei urmat de indici inferiori ( indicii inferiori se obțin tastând [ ).
În cazul matricelor, pentru a obține perechea de indici, aceasta trebuie inclusă în
paranteze. Dacă după indicatorul de indice [ tast ăm ‘, atunci pe ecran apare o pereche de
paranteze deschise, între care inserăm cei doi indici.

Exemplu l 1: Dacă v :=




152 , atunci
= 2,
= 5 și
= 1

Exemplu l 2: Dacă A :=
, atunci
= 2,
= 1,
= -1 și
= 0.

În lucrul cu vectori și matrice, în Mathcad, indexul începe întotdeauna de la 0. Dacă
dorim să modificăm valoarea inițială a indicilor în 1, trebuie să atribuim parametrului
Mathcad ORIGIN valoarea 1. Aceasta se obține prin definiția globală ORIGIN ≡ 1.

Exemplu : Dacă în exemplul anterior modificăm valoarea inițială a indicilor în 1, atunci :
= 2,
= 5 și
= 1

Pentru a defini șiruri de vectori sau de matrice se utilizează indici superiori. Un
indice superior se se obține tastând Ctrl + 6.

Exemplu: Dacă
u0 2
1 și
A0
11
1 , atunci pentru i := 0..5 calcul ăm








i:=0..5
:= A*

d. Funcții
Definirea structurilor nu se poate realiza decât prin utilizarea paletei de butoane
Programming (figura 1.14) , deci nu prin scrierea directă a instrucțiunilor. Pentru a fi
funcționale, toate secțiunile trebuie să aibă completate corec t toate marcatoarele.

Figura 1.14 – Paleta Programming

Toate structurile de programare trebuie să apară în dreapta unei secțiuni de tip Add
Line.
Inserarea unui program în document trebuie să înceapă cu apăsarea acestui buton
(Add Line), în urma căruia va apărea o linie verticală cu do uă marcatoare, ca în figura 1.15 .
fiecare marcator corespunde unei linii d e program. Se pot insera oricâte marcatoare sunt
necesare, apăsându -se din nou pe butonul Add Line.
În cadrul progr amelor Mathcad nu se mai folosește operatorul de atribuire obișnuit
(:=), ci operatorul ← , care se obține tastând Shift + {.

Figura 1.15 Marcatori inserați de secvența Add Line

Funcții condiționate
Secvența IF funcționează în felul următor : expresi a din stânga cuvântului IF este
evaluată numai dacă expresia din dreapta lui IF este adevărată.
u2
11
11
22
11
11
22
1

u4 1
1

u06( )2

u14( )1

Pentru executarea mai multor instrucțiuni, în cazul în care condiția de după IF este
adevărată , se apasă butonul Add Line , dupa selectarea marcatorului din s tânga cuvântului
IF.

Exemplu:

gx() 5 x2 if
0 0x 5 if
2x x0 if

Pentru o funcție care are expresii diferite pe intervale se folosește OTHERWISE.

Exemplu :
fx() 0 x5 if
x22otherwise

Ciclarea
Ciclurile cu un număr cunoscut de repetări se realizează cu ajutorul comenzii FOR.
Se precize ază variabila de ciclare, valoare inițială și valoare finală a acesteia, iar cu linia
următoare începe corpul ciclului.

Exemplu :
j:= for i ϵ 0..5
s ← i + 2
Programul va afișa : j = 7.
10 5 0 5 102010010
gx()
x
10 5 0 5 10050100150
fx()
x

Exemplu : (Suma primelor n numere naturale)

Pentru n = 7, programul va afi șa: suma(7) = 28.

Ciclurile cu un număr necunoscut de repetări se realizează cu WHILE. Se
precizează doar condiția, iar cu linia următoare începe corpul ciclului. Atâta timp cât
condiție este adevărată, se vor executa instrucțiunile, iar pentru a ieși din WHILE trebuie să
se ajungă la o condiție falsă.

Exemplu : (Calculul lui n!)

Pentru n = 5, programul va afișa : f(5) = 120

CAPITOLUL II. REZOLVAREA ECUAȚIILOR ȘI A SISTEMELOR
ÎN MATHCAD

2.1 Rezolvarea unei ecuații algebrice

În Mathcad, rezolvarea unei ecuații algebrice se face cu ajutorul funcției ROOT.
Aproximația inițială trebuie dată de la început.
Pentru a rezolva ecuația f(x)=0 cu aproximația inițială x=a, programul Mathcad
este:
x := a
f(x) := expresia
y := root(f(x),x)
y =
Soluția poate fi afișată și direct, prin root(f(x),x) =

Exemple : 1. S ă se afle soluția ecuației x+5=0
x := 0
sn() s 0
s sii1n for
s
fn() f 1
f fn1( )n n1 while
f

f(x) = x+5
y := root(f(x),x)
y = -5

2. Să se găsească soluția ecuației
* sin(x) + x – 1 = 0
x := 0
f(x) :=
* sin(x) + x – 1
y := root(f(x),x)
y = 1.268

Ecuația de gradul doi se poate rezolva prin utilizarea funcției POLYROOTS sau
prin vectorizare.
Funcția Polyroots returnează rădăcinile polinomului care are coeficienții puși într –
un vector v. În vectorul coe ficienților, pe prima poziție se află termenul liber, apoi
coeficienții lui x,
.
Programul Mathcad pentru rezolvarea ecuației prin intermediul funcției polyroots
este:
v := vectorul coeficienților
r := polyroots(v)
r =

Exemplu : Să se afle so luțiile ecuației de gradul doi : 2
+ x – 1 = 0
Se creează vectorul coeficienților :
v :=




211
r := polyroots(v)
r =




5.01

Pentru a obține simbolul vectorizării se poziționează cursorul oriunde pe numele
funcț iei și se tastează Ctrl – sau se selectează iconița
din meniul Matrix. Dacă expresia
este mai complicată, aceasta se închide între paranteze și, cu cursorul pe paranteza stângă,
se tastează Ctrl – .

Exemplu : Se consideră ecuațiile de gradul doi cu coeficienții a, b, c definiți ca vectori:
a :=




1111 b :=





2103 c :=




1012

Formulele de calcul vectorizate sunt :

și
yb b24ac 
2a



 


Programul Mathcad returnează următoarele rezultate :
x :=





11i1 y :=





10i2

Exemplu : Să se rezolve ecuația
+
– z – 1 = 0 cu rădăcini complexe.

Metoda I: Vom determina succesiv rădăcinile polinomului. Dacă a este o rădăcină a
polinomului P(z), atunc i se va rezolva ecuația
0az)z(P .
x := 0
f(x) :=
+
– x – 1

a := root (f(x), x)
a = – 1
g(x) :=
ax)x(f

b := root (g(x), x)
b = 1
h(x) :=
bx)x(g

c := root (h(x), x)
c = – 0.5 – 0.866i
k(x) :=
cx)x(h

d := root (k(x), x)
d = – 0.5 + 0.866i

Metoda II: Prin intermediul funcției Polyroots.
v :=





11011
r := polyroots(v)
xb b24ac 
2a



 


r :=





1i866.05.0i866.05.01

2.2 Rezolvarea sistemelor algebrice d e n ecuații liniare cu n necunoscute

Fie un sistem liniar de n ecuații cu n necunoscute: A ∙ x = b , unde matricea asociată
sistemului este A :=
și matricea termenilor liberi este b :=




bn2b1b

O metodă de rezolvare a sistemul ui algebric liniar este calcularea relației:
x =
∙ b, iar cea de -a doua metodă presupune folosirea func ției LSOLVE.
Programul Mathcad pentru rezolvarea sistemului este:
A := matricea asociat ă sistemului
b := matricea termenilo r liberi
x :=
∙ b / x := lsolve(A,b)
x =

Exemplu: Să se rezolve sistemul :


2 2 61 2
y xyx
Metoda I : Se scrie matricea asociată sistemului A :=
și matricea termenilor
liberi
b :=




21
Soluția sist emului se obține din relația x :=
∙ b
x =




52

Metoda II: A :=

b :=




21
x := lsolve(A,b)
x =




52

Exemplu: Să se rezolve sistemul liniar de 3 ecuații și 3 necunoscute:


1 3 20 31 2
z y xz yxzy x
Se definesc cele două matrice : A :=
și b :=




101
x :=
∙ b / x := lsolve(A,b)
x =





011

2.3 Rezolvarea sistemelor algebrice de n ecuații neliniare cu n necunos cute

Pentru rezolvare sistemelor algebrice neliniare sunt folosite funcțiile FIND sau
MINERR. Aproximația inițială trebuie dată de la început, iar succesul rezolvării depinde de
alegerea adecvată a acesteia.
Programul Mathcad pentru rezolvarea sistemulu i este :
x := a
y := b
f(x,y) := expresia func ției f
g(x,y) := expresia funcției g
Given
f(x,y) = 0
g(x,y) =0 ( = Boolean → se tastează Ctrl + = )
Find(x,y) = / Minerr(x,y)=

Exemplu: Să se rezolve sistemul :




3 z2yx3z yx210z3y x
222
Metoda I (funcția FIND)
x := 1
y := 1
z := 1
f(x,y,z) :=
– y + 3z
g(x,y,z) := 2x –
+ z
h(x,y,z) := x + y – 2

Given
f(x,y,z) = 10
g(x,y,z) = 3
h(x,y,z) = 3

find(x,y,z) =




123

Metoda II ( funcț ia MINERR)
x := 1
y := 1
z := 1
Given
– y + 3z = 10
2x –
+ z = 3
x + y – 2
= 3
minerr(x,y,z) =




123

2.4 Obținerea coeficienților unui polinom

Coeficienții unui polinom se pot obține sub forma unui vector, cu termenul liber pe
prima poziție, prin următoarele metode :

1. Se scrie polinomul, se selectează variabila în raport cu care se ordonează vectoru l
coeficienților, apoi din sub meniul Symbolics se selectează opțiunea Polynomial
Coefficients, ca în figura 2.1.

Figura 2.1 – Submeniul Symbolics

În urma aplicării comenzii Polynomial Coefficients obținem :




1028

2. Se scrie polinomul, după care se alege comanda coeffs din paleta Symbolic, ca în
Figur a 2.2 .

Figura 2. 2 – Paleta Symbolic

Exemplu :
+ 2x – 8 coeffs →




1028

CAP ITOLUL III. CALCUL MATRICEAL ȘI VECTORIAL IN
MATHCAD

Calculul vectorial și matriceal este bine implementat în Mathcad. Pentru a crea un
vector sau o matrice se tastează Ctrl + M, sau se alege iconița
din meniul Matrix, iar în
fereastra care s -a deschis ( Insert Matrix – Figura 3.1 ) se aleg dimensiunile tabloului.

Figura 3.1 – Fereastra Insert Matrix

Pe ecran va apărea matricea sau vectorul dorit. După aceea , se vor compl eta
pozițiile marcate cu valori numerice, trecerea de la o componentă la alta făcându -se cu tasta
Tab.

Exemplu: Dacă numărul liniilor este 3, iar numărul coloanelor este 4, pe ecran va apărea :








3.1 Produsul scalar și vectorial a doi vectori.

Produsu l scalar a doi vectori:
Se precizează cei doi vectori, iar rezultatul se obține fie prin comanda x*y=, fie cu
operatorul
din meniul Matrix, urmat de = .
Exemplu: Să se calculeze produsul scalar al vectorilor : x = ( 3 8 1 2 ), y = ( 1
 5 3 4 ).
x :=




2183 y :=





4351
x ∙ y =
 26

Produsul vectorial a doi vectori:
Se precizează cei doi vectori, iar rezultatul se obține cu operatorul
din meniul Matrix,
urmat de = .

Exemplu: Să se calculeze produsul vectorial al vectorilor : x = ( 5 2 4 ), y = ( 3
 4 1 ).

x :=




425 y :=





143
x × y =




26718

3.2 Modali tăți de calcul pentru transpusa, determinantul și inversa unei
matrice

Pentru a determina transpusa, inversa și determinantul matricei M se folosesc
operatorii
,
, respectiv │M│din paleta Matrix (Figura 3.2 ).

Figura 3.2 – Paleta Matrix
Exemplu: Să se calculeza transpusa, inv ersa și determinantul matricei A=




123512132 .
A :=




123512132
=




151213322
=





182.0 227.0 045.0364.0 045.0 591.0636.0 045.0 409.0
│A│= 22

3.3 Adăugarea/ștergerea de linii și colane
Adăugarea de linii sau coloane se fac e prin intermediul paletei Insert Matrix.
Cursorul se plasează pe ultima poziție, iar în meniu Matrix se tastează numărul de
linii/coloane dorite și se alege butonul “Insert”.

Ștergerea liniilor/coloanelor se face în mod asemănător, din paleta Insert Matrix
alegându -se butonul “Delete”, după ce s -a tastat numărul de linii/coloane care vor fi șterse.

3.4 Extragerea și al ipirea matricelor
Extragerea unei submatrice dintr -o matrice se face cu funcția SUBMATRIX( ),
precizând matricea, linia de început și sfârșit, coloana de început și sfârsit.
Exemplu: Din matricea A=




70121025841232152 să se extragă matricea B formată din liniile 2 și
3 și coloanele 1,2 și 3 din matricea A.
submatrix(A, 1, 2, 0, 2) =




258123
Alipirea a două matrice se face fie cu funcția AU GMENT( ), fie cu funcția
STACK( ).
Pentru a adăuga matricea B la dreapta matricei A se folosește funcția
AUGMENT(A,B), cu condiția ca cele două matrice să aibă același număr de linii.
Pentru a adăuga matricea B sub matricea A se folosește funcția STACK(A,B), cu
condiția ca cele două matrice să aibă același număr de coloane.

Exemplu: Fie matricele: A =




184212 și B =




371521

augment(A, B) =




371184521212
augment(B, A) =




184371212521
A1
84
2





stack(A, B) =




371521184212
stack(B, A) =




184212371521

3.5 Determinarea valorilor și vectorilor proprii ale unei matrice

3.5.1 Prin intermediul funcțiilor EIGENVALS( ) și EIGENVEC( )

Valorile și vectorii proprii pentru o matric e se obțin prin intermediul funcțiilor
EIGENVALS( ) și EIGENVEC( ). Aceste funcții se găsesc în meniul Insert, submeniul
Function.

Figura 3.3 – Caseta de dialog pentru alegerea funcției eigenvals

Se numește valoare proprie a unei matrice A orice rădă cină a polinomului
caracteristic: P(
 ) = det(A –

).
Vectorul propriu corespunzător valorii proprii este orice vector nenul, care este o
soluție a sistemului.

Exemplu : Fie matricea A =





42 263 321 1 . Să se determine valorile proprii și vectorii proprii
corespunzători.

A :=





42 263 321 1
v := eigenvals(A)
v =




002
i := 0..2
:= eigenvec(A,
)
=




535.0802.0267.0
=





276.0897.0345.0
=





277.0897.0344.0

3.5.2 Prin metodele Krylov și Leverrier

Valorile proprii ale unei matrice pătratice de ordin n le obținem calculând rădăcinile
polinomului caracteristic P(
 ) =
+
∙
+ … +
∙
+
.
Coeficienții polinomului caracteristic se pot afla prin metoda Krylov sau prin
metoda Leverrier.

3.5.2.1 Metoda Krylov
Metoda Krylov are la bază dete rminarea valorilor și vectorilor proprii prin
rezolvarea unui sistem de ecuații având vectorii Krylov drept coloane ale matricei
caracteristice și ale matricei coloană a termenilor liberi:
)0(}Y{ ,
)1(}Y{ , … ,
)1n(}Y{
respectiv
)n(}Y{ . Ace ști vectori se determină prin iterații cu ajutorul matricei A
Etapele de rezolvare sunt :
1. Se alege un vector Krylov ini țial oarecare
)0(}Y{ .
2. Se calculează vectorii lui Krylov prin iterații successi ve, folosind relațiile:
= A

= A

= A

………………..

= A
.
3. Se rezolv ă sistemul de ecuații scrise cu ajutorul vectorilor Krylov :




    
)0(
n)1(
n)2n(
n)1n(
n)0(
3)1(
3)2n(
3)1n(
3)0(
2)1(
2)2n(
2)1n(
2)0(
1)1(
1)2n(
1)1n(
1
y y ….. y y….. ….. ….. ….. …..y y ….. y yy y …. y yy y …. y y
∙




n321
k…kkk = –




)n(
n)n(
3)n(
2)n(
1
y…yyy
4. Coeficienții polinomului caracteristic al matricei A sunt necunoscutele sistemului.
Polinomul se scrie : D(
 ) =
)k… k k ()1(n2n
21n
1n n  .
Rădăcinile acestui polinom sunt valorile proprii ale matricei A .
Pentru a demonstra această proprietate se consideră determinantul caracteristic al
matricei A : D(
 ) = det(A –

nI ) =
)k… k k ()1(n2n
21n
1n n  .
Folosind Hamilton -Cayley :
0Ik… Ak Ak Ann2n
21n
1n  și multiplicând
ecuația cu un vector
oarecare, obținem:
0 }Y{k… }Y{Ak }Y{Ak }Y{A)0(
n)0( 2n
2)0( 1n
1)0( n    
(1)
Dacă notăm
)k( )0( k}Y{ }Y{A obținem :
relația (1)

)n( )0(
n)2n(
2)1n(
1 }Y{ }Y{k… }Y{k }Y{k    






   
)n(
n)0(
nn)2n(
n2)1n(
n1)n(
2)0(
2n)2n(
22)1n(
21)n(
1)0(
1n)2n(
12)1n(
11
y yk… yk yk. ………. ………. ………. ………. ………. ……….y yk… yk yky yk… yk yk
, unde coeficienții
)k(
iy sunt elementele
vectorilor lui Krylov :
= A

= A
=
)0( 2}Y{A
………………..
= A
=
)0( n}Y{A .
Aceștia se mai pot scrie în felul următor:




   )1n(
i in)1n(
i2i)1n(
i1i)n(
i)1(
i in)1(
i2i)1(
i1i)2(
i)0(
i in)0(
i2i)0(
i1i)1(
i
ya… ya ya y…. ………. ………. ………. ………. ……….ya… ya ya yya… ya ya y
, i =
n,…,1
Se face ipoteza că toate rădăcinile polinomului caracteristic :
D(
 ) =
)k… k k ()1(n2n
21n
1n n  sunt distincte
1 ≠
2 ≠
3 ≠ … ≠
n .
Vectorii Krylov folosiți la determinarea coeficienților polinomului caracteristic
n 2 1 k,…,k,k
se scriu :

= A

= A

= A

………………..
= A
.
Cum vectorul ini țial
este ales arbitrar, el se poate lua ca o combinație liniară
de vectori proprii
ai matricei A:
=

n
1i)i(
i}X{c .
Vectorii proprii au proprietatea că:




)i( n
i)i( n)i( 2
i)i( 2)i(
i)i(
}X{ }X{A………. ………. ……….}X{ }X{A}X{ }X{A , i =
n,…,1

vectorii Krylov se pot scrie sub forma următoarelor combinații liniare de vectori proprii
ai matricei A:



 
    )n( 1n
nn)2( 1n
22)1( 1n
11)1n()n(
nn)2(
22)1(
11)1()n(
n)2(
2)1(
1)0(
}X{ c… }X{ c }X{ c }Y{… ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ……….}X{ c… }X{c }X{c }Y{}X{c… }X{c }X{c }Y{ (2)
Fie funcțiile polinomiale
)(i de grad n – 1 definite în felul următor :
)(i
=
i,1n i,2n2n
i,11nq q… q   , cu i =
n,…,1 . (3)
Înmulțim ecuațiile (2) cu coeficienții
1,q,q,…, q,qi,1 i,2 i,2n i,1n  și le însum ăm membru
cu membru

)n(
n in)1(
1 i1)0(
i,1n)2n(
i,1)1n(}X){(c… }X){(c }Y{q… }Y{q }Y{     ,
i =
n,…,1 . (4)
Dacă funcțiile polinomiale
)(i au aceleași rădăcini cu cele alea polinomului
caracteristic D(
 ) cu excepția rădăcinii
i, atunci
)(i =
i)(D
 ,
i .
Deci
0)(ji,0)(
i ij i
 (5)
Din (5)
 relațiile (4)

)i(
i ii)0(
i,1n)2n(
i,1)1n(}X){(c }Y{q… }Y{q }Y{     ,
deci vectorii proprii
se pot scrie sub forma unor combinații liniare ale vectorilor
Krylov.
Coeficienții
i,jq se determină din relațiile (3) și (5), folosind schema lui Horner:
j =
n,…,1





  
j i,1ji i,ji,0
in 1n1n
1n
i,1n i,2n1n
i,11n
i,0k q q1 q k k… kq q… q q

Exemplu : Programul Mathcad corespunz ător matri cei A =




110125011 este:
A :=




110125011
:=




001
n := rows(A)
i := 0..n
1
= A

j := 0..n
1
:=

:=

p :=
∙ c
p =





414

3.5.2.2 Metoda Leverrier
Prin această metodă se calculează valorile proprii ale unei matrice A pe baza
dezvoltării polinomului caracteristic D(
 ), folosind formulele lui Newton p entru sumele
puterilor rădăcinilor unei ecuații polinomiale.
Determinarea valorilor proprii se face calculând primele n puteri ale matricei A și
sumele termenilor aflați pe diagonala principală (urma) a acestor matrice.
Determinantul caracteristic al mat ricei A se scrie : D(
 ) = det(A –

nI ) =
)k… k k ()1(n2n
21n
1n n 
.
Notăm cu
m
nm
2m
1 m … s  =

n
1i)m(
iia , suma puterilor de ordinal m ale
rădăcinilor polinomului caracteristic, unde
)m(
iia sunt termenii de pe diagonala principală a
matricei A, m =
n,…,1 .
Formulele lui Newton pentru sumele puterilor de ordin m ale rădăcinilor sunt:
m 11m 2m2 1m1 m k sk… sk sks   
, m =
n,…,1
Dacă se cunosc sumele puterilor rădăcinilor, atunci coeficienții
n 2 1 k,…,k,k sunt:





  1n 1n2 1n1 n n12 21 3 311 2 21 1
sk… sk sks nk……. ………. ………. ……….sksks k3sks k2s k

Exemplu: Pentru aceeași matrice A, programul Mathcad este :
A :=




110125011
n := rows(A)
k := 1..n
:= tr (
)
:= –

:= –
k1 (
ks

1k
1iikisp )
p =





414

3.5.2.3 Calculul valorilor proprii
Pornind de la polinomul caracteristic, putem găsi valorile proprii, determinând
succesiv rădăcinile polinomului. Dacă a este o rădăcină a polinomului P(x), atunci se va
rezolva ecuația
0ax)x(P .
Exemplu: Pornind de la polinomul caracteristic ai cărui coeficienți sunt elementele
vectorului p de mai sus, putem determina valorile proprii utilizând secvența Mathcad
următoare :
P(x) :=
–
0p
–
1px +
2p este următoarea :

P(x) :=
– 4
– x + 4
x := 0
a := ro ot(P(x), x)
a = 4
Q(x) :=
ax)x(P

b := root(Q(x), x)
b = 1
R(x) :=
bx)x(Q

c := root(R(x), x)

c = –1

3.5.2.4 Calculul vectorilor proprii
În cazul în care valorile proprii sunt distincte două câte două, vectorii proprii
,
, … ,
corespunzători sunt liniari independenți și are loc o egalitate de forma :
=

+ … +


=

+ … +

Dacă ф este un polinom, atunci ф(A)
=
ф(
)
+ … +
ф(
)

În particular, pentru polinoamele
(x)=
izx)x(P
 =

n
1j1jj)zx( obținem :
(A)
=
P (
)
sau
=
)z(Py)A(
i0
i


Pentru exemplul considerat, programul Mathcad este
D(f, x) :=
)x(Pdxd
i := 1..3
X :=

jif (j ≠ 1, A –
∙identity(3), identity(3))
Y :=

jif (j ≠ 2, A –
∙identity(3), identity(3))
Z :=

jif (j ≠ 3, A –
∙identity(3), identit y(3))
:= D(P,
)
u :=
11
 ∙ X ∙

v :=
21
 ∙ Y ∙

w :=
31
 ∙ Z ∙

u =




125.025.0625.0
v =






25.010 849.825.0
6
w =





125.025.0625.0

CAPITOLUL IV. REZOLVAREA ECUAȚIILOR DIFERENȚIALE
ORDINARE

4.1 Ecuația diferențială cu variabile separabile

Fie f(x), g(y) funcții continue, cu g(x) ≠ 0. Ecuația de forma y ’(x) = f(x) ∙ g(y) se
numește ecuație diferențială cu variabile separa bile.
Pentru soluția y(
0x ) =
0y se obține ecuația
x
xy
y0 0ds)s(f)t(gdt

Exerciții: 1. S ă se rezolve ecuația : y ∙ y’ + x = 0
 y’ = – x ∙
y1
f(x) := – x
g(y) :=
y1
 dx)x(f)y(gdy

2y
2×2 2

Utilizând comanda solve obținem soluția:
2y
2×2 2

solve,y






ixix
2. Să se rezolve ecuația y’∙ ctg(x) + y = 2
 y’ =
)x(ctgy2
 y’ = (2 – y) ∙ tg(x)
f(x) = tan(x)
g(y) = 2 – y
   )2yln())x ln(cos( dx)x(f dy)y(g1

Utilizând comanda solve obținem soluția:
ln(cos(x)) – ln(y – 2)
 cos(x) + 2

3. Să se rezolve ecuația y ’ =
)y23(x)5×2(y

 y’ =
x5x2
y23y
f(x) :=
x5x2
g(y) :=
y23y

)yln(3x2y2)xln(5 dx)x(f)y(gdy 

4.2 Ecuația diferențială omogenă

Presupunem că h este o funcție continuă pe intervalul I, care satisface condiția h (x)
≠ x, pentru
 x. Ecuația y ’(x) = h(
xy ), x ϵ I se nume ște ecuație diferențială omogenă.
Efectuând substituția u(x) =
x)x(y , deducem că u(x) este soluția ecuației diferențiale
cu variabile separab ile u’(x) =
x1 (h(u) – u).
Funcția u rezultă din ecuația
dtt)t(h1u
u0 =
dss1x
x0

Exerciții : 1. Să se rezolve ecuația : y’ =
xyy x2 2
 y’ =
xyy
xyx2 2

 y’ =
xy
yx
Dacă notăm
uyx

h(u) := u +
u1
)xln(2udxx1duu)u(h12

Utilizând comanda solve obținem soluția :





 
)xln(2)xln(2
u, solve)xln(2u2

2. Să se rezolve ecuația : x ∙ y’ – y = x ∙ tan(
xy )
 y’ = tan(
xy ) +
xy
Dacă notăm
xy = u
h(u) := tan(u) + u
dxx1duu)u(h1
ln(sin(u)) – ln(x)

4.3 Ecuația diferențială exactă

Fie funcțiile P(x, y), Q(x, y) continue într -un domeniu D, în care Q(x, y) ≠ 0
Ecuația diferențială y ’(x) =
)y,x(Q)y,x(P (1) scris ă sub forma P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
0 (2) se numește ecuația diferențială exactă dacă există o funcție U(x, y) astfel încât

diferențiala ei să coincidă cu membrul stâng al ecuației dU(x, y)(dx, dy) = P(x, y)dx + Q(x,
y)dy






)y,x(QyU)y,x(PxU
(3)
O soluție a ecuației (1) sau (2) se obține din ecuația în necunoscuta y U(x, y) = C,
unde C este o constantă arbitrară din R. Dacă funcția
)x( verifică egalitatea U(x,
)x( ) =
C, atunci
)x( este soluție pentru ecuația (2).
Condiția necesară și suficientă ca (2) să fie ecuație diferențială exactă este
xQ
yP

Utilizând (3) obținem U(x, y) =
 x
xy
y0
0 0kdt)t,x(Q ds)y,s(P , unde (
,
) ϵ D și
k ϵ R constantă.
Soluția ecuației (3) se obține rezolvând ecuația U(x, y) =
x
xy
y0
0 0dt)t,x(Q ds)y,s(P =
= C

Exerciții : 1. Să se rezolve ecuația (y – x)dx + (x + y)dy = 0
P(x, y) := y – x
Q(x, y) := x + y
0)y,x(Qx)y,x(Py
(deci condiția necesară și suficientă ca ecuația să fie
diferențială exactă este satisfăcută)

4.3 Ecuația diferențială liniară de ordinul I

Fie funcțiile a(x), b(x) continue în I. Ecuația diferențială liniară de ordinul I are
forma y’(x) = a(x) ∙ y(x) + b(x) (1).
Ecuația omogenă corespunzătoare este : z’(x) = a(x) ∙ z (x).
Utiliz ând metoda separării variabilelor obținem : z(x) = C
x
0xds)s(a
e (2).
Soluția generală a ecuației neomogene se obține prin metoda variației constantelor :
y(x) = c(x)
x
0xds)s(a
e . Substituind (1) se ob ține c ’(x) = b(x)
x
0xds)s(a
e , iar dup ă integrarea și
substituirea relației (2) se obține : y(x) = k
x
0xds)s(a
e +

x
t
0ds)s(a x
xe)t(b dt, cu k constant ă.
Soluția generală a ecuației (1) se poate scrie și y(x) =
x
0xds)s(a
e (k +

CAPITOLUL V. RE PREZENTĂRI GRAFICE

5.1 Funcții de o variabilă

5.1.1 Reprezentarea grafică a curbelor date în coordonate carteziene
Pentru a reprezenta grafic o funcție de o variabilă se alege butonul X -Y Plot (@ )
din paleta Graph (Figura 5.1). Pe ecran apare un dreptunghi ca cel din figura 5 .2

Figura 5.1 – Paleta Graph Figura 5.2

Pe latura de jos se completează locul din mijloc cu numele variabilei, iar cele două
locuri care apar la colțuri se completează cu capetele intervalului pe care se dorește
reprezentarea grafică.
Pe latura verticală se completează loc ul din mijloc cu numele funcției sau cu
expresia acesteia, iar locurile care apar in colțuri se lasă necompletate.

Exemplu : Graficul func ției sinus pe ( -2
,2
)

Pentru apariția axelor de coordonate se dă dublu clic pe grafic, iar în fereastra care
apare, numită Formatting Currenty Selected X -Y Plot, la rubrica Axis Style se selectează
Crossed în loc de Boxed.
Astfel, graficul funcției va arăta în felul următor :
5 0 510.500.51
sinx()
x

Putem atașa și un nume grafi cului, făcând dublu clic pe grafic , unde va aparea din
nou fereastra numită Formatting Currenty Selected X -Y Plot. În această fereastră, selectând
Labels, la rubrica Title se completează titlul dorit.
Tot în acea fereastră, găsim butonul Trace, de unde pu tem modifica tipul, grosimea
și culoarea liniei.

Exemplu : Astfel, punând un titlu graficului și modificându -i tipul liniei în linie întreruptă,
grosimea 3 și culoare albatră, aceasta va arăta în felul următor :

Pe aceleași axe se pot reprezen ta mai multe funcții, putându -se compara
comportamentul lor.
Pentru a reprezenta două sau mai multe funcții în același sistem de axe, după ce s -a
scris numele primei funcții se pune virgulă și se scrie numele celei de -a doua funcții.

Exemplu :

5 0 5
10.50.51
sinx()
x
5 0 5
10.50.51Graficul functiei sinus
sinx()
x

5 0 5
10.50.51Graficele functiilor sinus si cosinus
sinx()
cosx()
x

Exemple: 1. Graficul func ției ln(x).

2. Reprezenta ți grafic funcția f(x) =
– 2x + 4.

3. Reprezentați funcțiile
și
în același sitem de axe.
f(x) :=

g(x) :=

5.1.2 Reprezentarea grafică a curbelor date în coordonate polare
Pentru a reprezenta grafic o curbă dată în coordonate polare se alege butonul Polar
Plot (Ctrl + 7) din paleta Graph. Pe ecran o să apară un cerc, la fel ca în figura 5. 3, care se
complează la fe l ca în cazul anterior.
0 2 4 6 8 10
4224
lnx()
x
10 5 0 5 1050100150
fx()
x

4 2 0 2 450100150
fx()
gx()
x

Figura 5.3
Exemple : 1. Lemniscata lui Bernoulli
p(
) := 2

2. Roza cu patru bucle
p(
) := 3∙sin (2

0306090
120
150
180
210
240
270300330Lemniscata lui Bernoulli
p()


3. Spirala lui Arhimede
p(
:= 4

5.2 Funcții de două variabile

Pentru a reprezenta grafic o suprafață se definește funcția de două variabile a cărei
suprafață dorim să o reprezentăm, apoi folosim butonul Surface Plot (Ctrl + 2) din paleta
Graph. Pe ecran o s ă apară graficul următor ( Figura 5.4) :
0306090
120
150
180
210
240
270300330Roza cu patru bucle
p()

0306090
120
150
180
210
240
270300330Spirala lui Arhimede
p()


Figura 5.4

În locul marcat din partea stângă jos a graficului se scrie numele funcției. Pentru
realizarea reprezentării grafice se apasă tasta Enter sau se dă clic în afara zonei.

Exemple : 1. Pa raboloidul eliptic
f(x,y) :=
9y
4×2 2

i := 0 .. 80
j := 0 .. 180
:= – 4 + 0.1 i
:= – 9 + 0.1 j
:= f(
,
)

2. Paraboloidul hiperbolic

a

f(x,y) :=
9y
4×2 2

i := 0 .. 80
j := 0 .. 180
:= – 4 + 0.1 i
:= – 9 + 0.1 j
:= f(
,
)

Ca și în cazul curbelor se poate da un nume graficului, axelor, se poate colora
graficul, dân d dublu clic pe grafic și modificând setările dorite în fereastra care apare,
numită 3 -D Plot Format.
Deasemenea, se pot reprezenta mai multe suprafețe pe aceleași axe, separând
numele funcțiilor prin virgulă.
Graficul poate fi rotit astfel încât să ave m o poziție mai avantajoasă a figurii,
prinzând graficul cu mouse -ul.

Exemplu:
a

Paraboloidul eliptic
a