Studiul unor algoritmi de algebr a [601119]

Doctorat

Studiul unor algoritmi de algebr a [601119]

Byadmin ianuarie 1, 2024

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului
Universitatea “OVIDIUS” Constanța

Teză de doctorat

Conducător științific:
Prof. univ.dr. Mirela ȘTEFĂNESCU
Doctorand: [anonimizat] 2007

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului
Universitatea “OVIDIUS” Constanța

Studiul unor algoritmi de
algebră și geometrie
computațională

Conducător științific:
Prof. univ.dr. Mirela ȘTEFĂNESCU
Doctorand: [anonimizat] 2007

Studiul unor algoritmi de algebr˘ a
¸si geometrie computat ¸ional˘ a
Alexandru BOBE1
1Lucrare part ¸ial sust ¸inut˘a din Programul CEEX al Ministerului Educat ¸iei ¸si
Cercet˘ arii, contract CEX 05-D11-11/2005

Cuprins
1 Algoritm pentru determinarea r egiunii Groebner a unui ideal 2
1.1 Ideale monomiale. Ordon˘ ari monomiale . . . . . . . . . . . . . . 2
1 . 2 R e g i u n e a G r o e b n e r a u n u i i d e a l………………. 51.3 Interpret˘ ari geometrice ¸ s i a l g o r i t m i…………….. 8
1 . 4 I m p l e m e n t a r e a ………………………. 1 2
1 . 5 T e s t a r e a a l g o r i t m u l u i p e c a z u r i a t i p i c e…………… 1 5
1.6 Anex˘ a: Codul ˆ ınSingular al algoritmului de determinare a
r e g i u n i i G r o e b n e r……………………… 2 2
2 Aplicat ¸ii ale algoritmului de determinare a regiunii Groebner 30
2.1 Poliedru. Con. Fat ¸˘a au n u i p o l i e d r u ……………. 3 0
2.2ˆI n s u m a r e a p o l i e d r e l o r …………………… 3 4
2.3 Determinarea fanului normal al unui poliedru . . . . . . . . . . . 36
2.4 Fanul Groebner ¸ s i p o l i t o p u l d e s t a r e a l u n u i i d e a l……… 3 9
3I n v a r i a n t ¸i pre-T ¸it¸eica 44
3.1 Relat ¸ii liniare pentru curbe de pe suprafet ¸e ˆı n d e f o r m a r e….. 4 4
3.2 Raport pre-T ¸it¸eica pentru curbele de pe suprafet ¸ele ˆın deformare 50
4I n v a r i a n t ¸i de tip T ¸it¸eica 54
4.1 Funct ¸ia T¸it¸eica pentru curbe ˆ ınR
3…………….. 5 5
4.2 Suprafet ¸e T¸it¸eica ¸si ecuat ¸ii Monge-Amp` e r e ………… 5 6
4.3 Funct ¸ia T¸it¸eica pentru suprafat ¸ aE u l e r…………… 5 9
4.4 Invariant ¸i tip T ¸it¸eica pentru cuplul curb˘ a-suprafat ¸˘a …….. 6 0
5L a n t ¸ul Cliﬀord al conﬁgurat ¸iei T¸it¸eica pentru elipse egale 65
5 . 1 I s t o r i ap r o b l e m e i ……………………… 6 5
5.2 Conﬁgurat ¸ia T¸it¸eica-Johnson pentru elipse egale . . . . . . . . . 66
5.3 Lant ¸ C l i ﬀ o r d p e n t r ue l i p s e e g a l e ……………… 6 8
5.4 Implementarea ˆ ınMathematica al a n t¸ u l u iC l i ﬀ o r d …….. 7 0
6C u r b e ¸ si suprafat ¸e T¸it¸eica ˆınMathematica 74
6.1 Exemplu de suprafat ¸˘aT¸it¸ e i c a……………….. 7 4
6.2 Aplicarea unei transform˘ a r i c e n t r o – a ﬁ n e ………….. 7 6
6.3 Rolul liniilor asimptotice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
i

6.4 Algoritmul de test T ¸it¸eica implementat ˆ ınMathematica ….. 7 8
Lista de ﬁguri 79
Bibliograﬁe 81
ii

Introducere
ˆIn ultimii ani, ˆ ın algebr˘ a¸si geometrie, ca ¸ si ˆın alte ramuri ale matematicii, se
poate observa un interes sporit fat ¸˘a de metodele algoritmi ce de rezolvare a unor
probleme concrete. Acesta es te justiﬁcat de faptul c˘ a progresele spectaculoase
ˆın tehnica de calcul permit efectuarea de c alcule complet netriviale cu ajutorul
computerului, care nu erau posibile ˆ ınainte. Un alt motiv este faptul c˘ a algorit-
mii contribuie la o mai bun˘ aˆınt¸elegere a unei probleme.
Tot ˆın ultimii ani s-au dezvoltat noi metode de cercetareˆ ın algebr˘ a. Acestea
au la baz˘ a idei din diverse domenii: geometrie poliedral˘ a, teoria grafurilor,
programareˆ ıntreag˘ a, calcul simbolic etc. Leg˘ atura cu probleme ale matematicii
discrete ¸ si ale metodelor numerice sau ale cercet˘ arilor operat ¸ionale a devenit din
ce ˆın ce mai stˆ ans˘a. Astfel de metode ¸ si probleme cer, pur ¸ si simplu, abordarea
cu ajutorul calculatorului.
Teoria bazelor Groebner este un minunat exemplu cum o idee folosit˘ ap e n –
tru rezolvarea unei problem e devine cheia rezolv˘ arii unei variet˘ at¸i de alte pro-
bleme din diferite arii ale matematicii ¸ si chiar din afara matematicii (vedet ¸i
[Robbiano ¸ si Kreuzer, 2000]).
De aceea, teoria bazelor Groebner a deve nit un subiect important de cercetare
ˆın algebra computat ¸ional˘ a, generˆ and un interes co nstant datorit˘ a utilit˘ at¸ii unel-
telor computat ¸ionale create, care se aplic˘ a unor largi clase de probleme din
matematic˘ a, inginerie ¸ si informatic˘ a.
Bazele Groebner1au fost introduse ˆ ın 1965 de Bruno Buchberger2ˆın teza sa
de doctorat [Buchberger, 1965]. Ideea de baz˘ a din spatele acestei teorii poate
ﬁ descris˘ a¸ca o generalizare a teoriei polinoamelor ˆ ıntr-o variabil˘ a.ˆIn inelul
polinomial k[X], unde keste un corp, orice ideal Ipoate ﬁ generat de un
singur element, ¸ si anume de cel mai mare divizor comun al elementelor din
I. Fiind dat˘ aom u l t ¸ime de generatori {f1, …, f s}⊆k[X]p e n t r u I, se poate
calcula un polinom d=cmmdc (f1, …, f s)a s t f e lˆ ıncˆatI=(f1, …, f s)=(d).
Atunci un polinom f⊆k[X]s ea ﬂ ˘ aˆınI,d a c ˘a¸si numai dac˘ ar e s t u lˆ ımp˘art¸irii
luifladeste zero. Bazele Groebner sunt analoagele cmmdc-urilor ˆ ın inelele
polinomiale de mai multe variabile, ˆ ın urm˘ atorul sens: o baz˘ a Groebner pen-
tru un ideal I⊆k[X1, …, X n] genereaz˘ aI¸si un polinom f⊆k[X1, …, X n]
este ˆınI,d a c ˘a¸si numai dac˘ ar e s t u lˆ ımp˘art¸irii lui fla polinoamele din baza
1V o if o l o s ia c e s t ˘ a scriere a numelui ˆ ın locul scrierii Gr¨ obner
2Doctorandul lui Wolfgang Gr¨ obner
iii

Groebner este zero. Dac˘ a sintetiz˘ am, teoria bazelor Groebner rezolv˘ ap r o b –
leme de tipul urm˘ ator: avˆ and dat sistem de ecuat ¸ii polinomiale peste un corp
arbitrar f1(x1, …x n) = 0,…, fs(x1, …x n)=0¸ si o nou˘ a ecuat ¸ie polinomial˘ a
f(x1, …x n)=0 ,v r e ms ˘ aa ﬂ ˘am dac˘ as o l u t ¸iile sistemului init ¸ial sunt ¸ si solut ¸iile
noii ecuat ¸ii. Desigur, aceast˘ ap r o b l e m ˘ a depinde de corpul unde c˘ aut˘am o ast-
fel de solut ¸ie.ˆIn oricare din cazuri, o parte important˘ a a problemei const˘ aˆın
a decide dac˘ afapart¸ine idealului Igenerat de f1, …f s,a d i c ˘ as ˘a existe poli-
noamele g1, …, g sastfel ˆ ıncˆatf=g1f1+…+gsfs.D a c ˘ af∈I, atunci orice
solut¸ie a sistemului f1=…=fs=0e s t e¸ si solut ¸ie pentru f= 0. Deci, o baz˘ a
Groebner poate ﬁ v˘ azut˘a ca un sistem special de generatori pentru idealul I
cu proprietatea c˘ a problema apartenent ¸ei lui fla idealul Ise rezolv˘ a printr-o
simplu proces de ˆ ımp˘art¸ire cu rest.
Aceast˘ a caracterizare abstract˘ a a bazelor Groebner este numai o fat ¸˘aa
teoriei. De fapt, ideile din spatele acestei caracteriz˘ ari au existat ¸ si ˆınainte
de lucrarea lui Buchberger. De exemplu, Macaulay a folositˆ ın [Macaulay, 1927]
astfel de idei pentru a detrmina anumit ¸i invariant ¸i ai idealelor din inelele poli-
nomiale ¸ si Hironaka ˆ ın lucrarea [Hironaka, 1964] a folosit idei similare pentru a
studia inelele de serii de puteri.
Adev˘arata important ¸˘a a bazelor Groebner este de fapt c˘ a acestea se pot
calcula ¸ si algoritmul lui Buchberger a f˘ acut din bazele Groebner un subiect cu
drepturi depline ˆ ın algebr˘ a3.
Algoritmii de natur˘ ag e o m e t r i c ˘ as – a uf o r m a tc ao¸ stiint¸˘ad es i n es t ˘ at˘atoare
(geometria computat ¸ional˘ a), oferind solut ¸ii pentru multe dintre problemele prac-
tice de natur˘ ag e o m e t r i c ˘ a din diverse domenii — design arhitectural, inginerie
civil˘a¸si militar˘ a, transporturi, ecograﬁe, ecologie, etc. Geometria computat ¸ional˘ a
este, de asemenea, activitatea de a demonstra teoreme de geometrie folosind cal-
culatorul, rezultatele ˆ ın acest domeniu ﬁind ˆ ıns˘a doar ale geometriei.
Studiul sistematic al algoritmilor ¸ si a structurilor de dat e pentru obiectele ge-
ometrice poate ﬁ f˘ acut dac˘ a obiectelor geometrice li s- au identiﬁcat propriet˘ at¸ile
(de obicei altele decˆ at cele caracteriz˘ arile geometrice clas ice). Astfel de pro-
priet˘at¸i vom ˆ ıncerca s˘ ag ˘asim ˆın lucrarea de fat ¸˘a.
Teza este structurat˘ aˆın 6capitole .
Folosind ˆ ın cadrul teoriei bazelor Groebner tehnici din combinatoric˘ a, geome-
trie poliedral˘ a¸si geometrie computat ¸ional˘ a, se poate crea conceptul de regiune
Groebner pentru un ideal al unui inel de polinoame. ˆInCapitolul 1 am con-
struit un algoritm care s˘ a calculeze ˆ ınO(nlogn) regiunea Groebner a unui ideal
principal ˆ ın dou˘ a nedeterminate, am imple mentat acest algoritm ˆ ınSingular
¸si am vizualizat obiectul creat folosind Mathematica . Acest algoritm asociaz˘ a
unui obiect algebric un obiect geometric, care se poate vizualiza ¸ si folosi cu o
mai mare u¸ surint¸˘aˆın aplicat ¸ii. O parte din rezultatele acestui capitol le-am
comunicat ˆ ın cadrul a dou˘ a prelegeri la S ¸coala Nat ¸ional˘ ad eA l g e b r ˘ a-E d i t ¸ia a
XIV-a, Septembrie 2005.
3pentru mai multe detalii putet ¸i consulta [Robbiano ¸ si Kreuzer, 2000]
iv

Dup˘ac eˆınSect¸iunea 1.1 am prezentat cˆ ateva dintre propriet˘ at¸ile ide-
alelor monomiale ¸ si ordon˘ arilor monomiale ce ne sunt folositoare ˆ ın capitolele
urm˘atoare,ˆ ınSect¸iunea 1.2 am folosit leg˘ atura dintre idealele init ¸iale ( inω)¸si
bazele Groebner pentru a deﬁni regiunea Groebner:
GR(I)={ω∈Rn|inω(I)=inω/prime(I)pentru ω/prime≥0}.
Aceste dou˘ a sect¸iunicont¸in multe exemple originale , care permit o mai
buna ˆ ınt¸elegere a not ¸iunilor discutate. ˆInSect¸iunea 1.3 ,care este origi-
nal˘a, am construit algoritmul de determinare a regiunii Groebner pe urm˘ atorul
schelet: considerˆ and polinomul f∈k[X,Y]d ef o r m a : f=c1Xa1Yb1+c2Xa2Yb2+
…+cnXanYbn,c1,c2, …, c n/negationslash= 0, ﬁecare vector vi=(ai,bi) determin˘ aˆın plan
punctul Ai(ai,bi). Pentru a calcula GR(I) suntem interesat ¸i de acele direct ¸ii
ω∈R2astfel ˆ ıncˆatinω(I)=inω/prime(I)p e n t r u ω/prime∈R2
+,a d i c ˘ av r e ms ˘ ag ˘asim
reuniunea tuturor mult ¸imilor cu elemente ω∈R2astfel ˆ ıncˆat s˘aﬁ eˆındeplinit˘ a
condit¸iainω(I)=inω/prime(I), pentru ω/prime∈R2
+.Condit ¸iainω(I)=inω/prime(I)ˆınseamn˘ a
de fapt s˘ ag ˘asim acele direct ¸iiω∈R2astfel ˆ ıncˆatωvis˘aﬁ em a x i m , i=
1,n.
Valoarea optim˘ aaf u n c t ¸iei liniare ωvse obt¸ine pe frontiera politopului New-
tonNew(f)¸si, mai exact, ˆ ıntr-un vˆ arf al frontierei Hal u iNew(f). Folosind
acest rezultat, problema noastr˘ as er e d u c el aaa ﬂ a ,p e n t r uﬁ e c a r ev ˆ arf din H,
direct¸iileω=(ω1,ω2)∈R2astfel ˆ ıncˆat problema
/braceleftbiggmax(ω1x+ω2y)
v=(x, y)∈New(f)
s˘a-¸si realizeze solut ¸ia ˆın vˆarful considerat. ˆIn acest mod, vom determina de fapt
mult¸imile
Sω
j=/braceleftbig
ω∈R2|ωvˆı¸si atinge maximumul ˆ ın punctul Aj,v∈New(f)/bracerightbig
,
j=
1,m, unde m=e s t en u m ˘ arul de vˆ arfuri ale frontierei H. Atunci, algoritmul
va determina regiunea Grobner astfel:
GR(I)=m/uniondisplay
j=1(Sω
j∩R2
+).
Rezultatele din acest paragraf au fost publicate ˆ ın [Bobe , 2006]. Aici m˘ as i m t
dator s˘ a amintesc discut ¸iile avute pe aceast˘ at e m ˘a cu domnul profesor Gerhard
Pﬁster, la Workshop-ul “Cohen-Macaulay Rings and Related Structures” din
aprilie 2005 ¸ si cu doamna profesoar˘ a Viviana Ene ˆ ın cadrul preg˘ atirii pentru
SNA 2005. Aceste discut ¸ii au motivat scrierea unui astfel de algoritm, ca un
pas important al unui algoritm ce calculeaz˘ a politopul de stare al unui ideal de
polinoame.
ˆInSect¸iunea 1.4 am discutat detaliile de implementare ale ﬁec˘ arui obiect
din algoritmul de determinare a regiunii Groebner aﬂat ˆ ınAnexa 1.6 ¸si ale
¸sirurilor de caractere din Singular ce permit vizualizarea politopului Newton
¸si a regiunii Groebner ˆ ınMathematica .S¸irurile de caractere cont ¸in de asemenea
v

¸si instruct ¸iuni de manipulareˆ ınMathematica .T o t ˆ ın aceast˘ a sect¸iune am reg˘ asit
(cu ajutorul algoritmului implementat) politopul Newton ¸ si regiunea Groebner
din exemplul rezolvat teoretic ˆ ın Sect ¸iunea 1.2.
ˆInSect¸iunea 1.5 am testat algoritmul de determinare a regiunii Groebner
pe cˆateva cazuri atipice, pentru a observa cum funct ¸ioneaz˘ a algoritmulˆ ın situat ¸ii
ˆın care datele de intrare nu sunt convent ¸ionale ¸ si pentru a putea ﬁ uzitat ¸ si ˆın
alte aplicat ¸ii din capitolul urm˘ ator.
Scopul Capitolului 2 este de a aplica algoritmul d e determinare a regiunii
Groebner la construirea, pentru un ideal I⊂k[X], a unei corespondent ¸e bijec-
tiveˆıntre diferitele ideale init ¸iale ¸si vˆarfurile unui obiect geometric. Acest obiect
va ﬁ numit politopul de stare pentru I¸si ˆıl vom nota cu State(I).
ˆInSect¸iunea 2.1 am utilizat algoritmul de determinare a regiu-
nii Groebner pentru a aﬂa r egiunea Groebner a ﬁec˘ arei fet ¸e a unui
poliedru , folosindu-m˘ a¸si de identitatea
face ω/prime(face ω(P)) =face ω+εω/prime(P),∀ω,ω/prime∈Rn,/epsilon1>0,
astfel: am g˘ asit regiunea Groebner a fet ¸eiface ω(P) (pe care o putem nota
cuGRω)¸si apoi am calculat regiunea Groebner a fet ¸eiface ω/prime(P)( p ec a r ea m
notat-o cu GRω/prime). Dac˘ a vom intersecta cele dou˘ a regiuni GRω∩GRω/primevom
obt¸ine ca rezultat tocmai regiunea Grobner a fet ¸eiface ω+εω/prime(P).
Pentru a putea aplica procedura de determinare a politopului New-
ton folosit˘ aˆın algoritmul din Capitolul 1, la calcularea sumei Minkowski
ad o u ˘a poliedre ,ˆınSect¸iunea 2.2 am exprimat poliedrele ca polinoame ˆ ın
k[X]. Dup˘ ac ea mf ˘ acut aceast˘ a transformare, am folosit rezultatul care leag˘ a
suma Minkowski de polinoamele obt ¸inute, rezultat ce este o consecint ¸˘aai d e n –
tit˘at¸iiface ω(New(f)) =New(inω(f)),∀ω∈Rn¸si∀f∈k[X]¸si care aﬁrm˘ ac ˘a
suma Minkowski este tocmai politopul Newton al produsului polinoamelor.
ˆInSect¸iunea 2.3 am aplicat o rutin˘ a a algoritmului de determinare
a regiunii Groebner pentru a constr u if a n u ln o r m a la lu n u ip o l i e d r u .
C o n u ln o r m a la lﬁ e c ˘ arui vˆ arf al unui poliedru, precum ¸ si al ﬁec˘ arei muchii se
poate g˘ asi cu u¸ surint¸˘a folosind algoritmul de determinare a regiunii Groebner,
unde va trebui eliminat˘ a condit ¸ia de intersect ¸ie cu Rn
+(pasul 6 din algorimul de
determinare a regiunii Groebner). Reunind regiunile Groebner ale fet ¸elor se va
obt¸ine fanul normal al poliedrului.
Scopul Sect¸iunii 2.4 este de a construi politopul de stare pentru un ideal I⊆
k[X]. Constatˆ and c˘ao r d o n ˘ arile monomiale formeaz˘ aom u l t ¸ime nenum˘ arabil˘ a,
pentru un ideal ﬁxat Ile-am putea grupa totu¸ si ˆıntr-un num˘ ar ﬁnit de clase de
echivalent ¸˘a. Dac˘ a vom nota clasa de echivalent ¸˘ac uC[ω], atunci fanul Groebner
va ﬁ dat de GF(I)={
C[ω]|ω∈Rn}∪∅.ˆIn cazul particular ˆ ın care feste un
polinom omogen, politopul de stare ˆ ın putem calcula cu algoritmul de
determinare a regiunii Groebner , deoarece este politopul Newton al lui f.
La sfˆar¸situl secolului al XIX-lea, cˆ ateva dintre problemele importante din
geometria diferent ¸ial˘a au fost rezolvate datorit˘ a faimosului Program de la Erlan-
gen al lui F. Klein ce a oferit ideea de a studia geometria prin anumite grupuri
vi

de transformari. Urmˆ and ideile lui F. Klein, Gh. T ¸it¸ e i c aas t u d i a tc u r b e¸ si
suprafet ¸e obt¸inˆand importante propriet˘ at¸i aﬁne, centro-aﬁne ¸ si proiective ale
obiectelor supuse transform˘ arilor, descoperind ˆ ın 1907 o clas˘ a de suprafet ¸e din
spat¸iul 3-dimensional ( suprafet ¸eleS), ce sunt ast˘ azi exemple de sfere aﬁne. Din
punct de vedere istoric, Gh. T ¸it¸eica a fost primul geometru ce a studiat sfer-
ele aﬁne folosind invariant ¸i euclidieni. Aceste rezult ate au fost generalizate la
not¸iuni precum hipersuprafet ¸e T¸it¸eicaˆıntr-o dimensiune arbitrar˘ as a u sfere aﬁne
propriu-zise .On o t ¸iune geometric˘ ai m p o r t a n t ˘ a direct legat˘ a de hipersuprafet ¸ele
T¸it¸eica este funct¸ia distant ¸˘a aﬁn˘ a, cunoscut˘ ad ea s e m e n e a¸ si ca funct¸ia suport
aﬁn˘a[Nomizu ¸ si Sasaki, 1994]. O hipersuprafat ¸˘aT¸it¸eica poate ﬁ caracterizat˘ a
ca locul geometric al punctelor care se aﬂ˘ al aod i s t a n t ¸˘a aﬁn˘aﬁ x a t ˘ af a t¸˘ad eu n
punct centru (considerat ca ﬁind originea) — de unde ¸ si terminologia de “sfere
aﬁne”.
Pornind de la ideea lui T ¸it¸eica, ce aﬁrma c˘ a:“avˆand dat˘ aoc l a s ˘ ad eo b i e c t e ,
pentru a le studia propriet˘ at¸ile ce sunt invariante fat ¸˘ad eu na n u m i tg r u pd e
transform˘ ari, trebuie s˘ a consider˘ am un element arbitrar al clasei de obiecte ¸ si
s˘a vedem ce relat ¸ii satisface aceasta astfel ˆ ıncˆat aceste relat ¸ii s˘a ﬁe invariante
pentru ˆ ıntreaga clas˘ a, la act ¸iunea acelui grup” ,ˆınCapitolul 3 am c˘autat relat ¸ii
ˆıntre m˘ arimile caracteristice curbelor ¸ si suprafet ¸elor ce se p˘ astreaz˘ as u ba c t ¸iunea
transform˘ arilor centro-aﬁne, idee ce ne va conduce la not ¸iunea de suprafet ¸e
T¸it¸eica ¸si am dat astfel un alt r˘ aspuns la ˆ ıntrebarea: “Cum ¸ si de ce au ap˘ arut
suprafet ¸ele T ¸i t¸eica?” .
ˆInSect¸iunea 3.1 , pentru a ajunge la suprafet ¸e T¸itet¸ica, am c˘ autat maiˆ ıntˆai
relat¸ii asem˘ an˘atoare la curbe pe suprafet ¸e. Relat ¸iile pe care le-am c˘ autat sunt
ˆıntre curbura curbelor ¸ si distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant asociat. Am
cercetat ¸ si dac˘ a aceste relat ¸ii sunt invariante la centro-aﬁnit˘ at¸i. Acest studiu
l-am f˘ acut pe dou˘ a clase de suprafet ¸e: suprafet ¸eletetraedrale ˆ ın deformare ST
(xm
m+1+ym
m+1+zm
m+1=1 ,m∈Z\{−1,0})¸sisferele astroidale ˆ ın deformare SA,
anume cele date de ecuat ¸ia:x2
2m+1+y2
2m+1+z2
2m+1=1,m∈N.Pentru ambele
clase de suprafet ¸e studiate ( ST)¸si (SA)a mo b t ¸inut c˘ a produsul K1(x)·d(0,π)
este constant doar ˆ ın cazul sferei uzuale ¸ si a celei astroidale, ce sunt singurele
suprafet ¸e din ST∪SA(singurele solut ¸ii ale ecuat ¸ieim
m+1=2
2k+1,m∈Z−
{−1},k∈Nsunt numai m=±2, deoarece relat ¸ia se scrie k=m+2
2m∈N).
Obt¸inˆand c˘ar e l a t¸iaK1(x)·d(0,π)=ctnu este invariant˘ a pentru clasele de
o b i e c t ed em a is u s ,at r e b u i ts ˘ ac ˘aut˘am alt˘ ar e l a t¸ie ˆıntre aceste dou˘ am ˘arimi.
Relat¸ia pe care am cercetat-o ˆ ınSect¸iunea 3.2 esteK1(x)
d3(0,π)=ct, inspirat˘ ad i n
forma expresiilor celor doua m˘ arimi.
Pentru ambele clase de suprafet ¸e studiate ( ST)¸si (SA)a mo b t ¸inut c˘ ar a –
portulK1(x)
d3(0,π)este constant doar ˆ ın cazul sferei uzuale. Putem observa c˘ a, de¸si
aceast˘ ar e l a t¸ie este un invariant centro-aﬁ n pentru curbele de intersect ¸ie dintre
sfer˘a¸si un plan, ˆ ın momentul cˆ and am trecut la alte clase de suprafet ¸e, relat ¸ia
nu ne ofer˘ a decˆat sfera. Cu alte cuvinte relat ¸iaK1(x)
d3(0,π)este destul de greu de
ˆındeplinit. Am ﬁ put ¸in descurajat ¸i la acest pas de strictet ¸ea relat ¸iilor de tip
K
dn+1, dar am insistat ¸ si ˆın momentul cˆ and am trecut de la curbe pe suprafet ¸e
vii

la suprafet ¸e (adic˘ a am veriﬁcatK
d4), am constatat c˘ aoˆıntreaga clas˘ a veriﬁc˘ a
relat¸ia: clasa suprafet ¸elorS(numite ast˘ azi suprafet ¸e T¸it¸eica).
ˆInCapitolul 4 , am considerat geometria curbelor asimptotice asociate
suprafet ¸elor T ¸it¸eica, ceea ce ne-a condus la un nou invariant asociat cu-
plului curb˘ a-suprafat ¸˘aT¸it¸eica. Rezultatele au fost sintetizate ˆ ın lucrarea
[Agnew, Bobe ¸si Boskoﬀ, 2006] ¸ si au fost obt ¸inute ˆ ın 2006. Utilizˆ and limba-
jul invariant ¸ilor, ca ˆ ın [Buchin, 1983], am observat c˘ ad i s t a n t ¸a aﬁn˘ a¸si sfer-
ele aﬁne sunt relativ invariante sub transform˘ ari liniare nesingulare arbitrare
care p˘ astreaz˘ a centrul ¸ si sunt absolut invariante sub transform˘ ari care, ˆ ın plus,
p˘astreaz˘ a volumul (i.e. determinantul). ˆIn aceast˘ a lucrare am optat pentru
termenii curb˘ a/suprafat ¸˘aT¸it¸eica ˆın locul termenului de sfere aﬁne propriu-zise
¸si funct ¸ie T¸it¸eica (asociat˘ a curbei sau suprafet ¸ei date) ˆ ın loc de distant ¸˘a aﬁn˘a
(corespunz˘ atoare unei curbe sau suprafet ¸e date). Formul˘ arile de mai sus pot ﬁ
concentrate prin a spune c˘ a curbele/suprafet ¸ele T¸it¸eica ¸si funct ¸iile T¸it¸eica sunt
invariant ¸i centro-aﬁni.
ˆInSect¸iunea 4.1 am considerat funct ¸ia T¸it¸eica pentru curbeˆ ınR3, stabilind
invariantul pentru curbe ¸si relat ¸ia care exist˘ aˆıntre funct ¸ia T¸it¸eica pentru
o curb˘ a¸si transformata centro-aﬁn˘ a a acesteia. Totodat˘ aa mo b t ¸inut, ca ¸ si
consecint ¸˘a, rezultatul lui T ¸it¸eica referitor la curbe T ¸it¸eica.
Legˆand conceptul de suprafet ¸e T¸it¸eica de ecuat ¸ia Monge-Amp` ere,ˆınSect¸iunea
4.2am deﬁnit funct ¸ia T¸it¸eica pentru suprafet ¸e ¸si am ar˘ atat invariant ¸a acesteia
pentru suprafet ¸e, obt ¸inˆand ca rezultat partic ular cazul suprafet ¸elor T¸it¸eica. ˆIn
plus, am determinat ¸ si relat ¸ia ˆın care se aﬂ˘ a funct ¸ia T¸it¸eica pentru o suprafat ¸˘a
¸si transformata ei centro-aﬁn˘ a.
Unul dintre rezultatele cla sice de geometrie diferent ¸ial˘a aﬁn˘aa ﬁ r m ac ˘ a liniile
asimptotice ale unei suprafet ¸e T¸it¸eica sunt curbe T ¸it¸eica. ˆIn Capitolul Invariant ¸i
de tip T ¸i t¸eicaam demonstrat acest rezultat ca un caz particular al unei teoreme
enunt¸ate ˆıntr-un caz mult mai general. ˆInSect¸iunea 4.3 am deﬁnit funct ¸ia
T¸it¸eica pentru suprafat ¸a Euler ¸ si am oferit un contraexemplu rezultatului
invers ,a d i c ˘aa ms ˘ ag ˘asit o curb˘ aT¸it¸eica pe o suprafat ¸˘aT¸it¸eica care nu este
curb˘a asimptotic˘ a. Din cˆ ate ¸stim,rezultatele acestei sect ¸iuni nu au mai
fost discutate ˆın literatura de specialitate.
ˆInSect¸iunea 4.4 am tratat leg˘ atura dintre suprafet ¸ele T¸it¸eica ¸si curbele
T¸it¸eica de pe aceste suprafet ¸e. Not ¸iunea central˘ a a acestui studiu este cea de
curbe asimptotice . Acest˘ a analiz˘ a conduce la introducerea unui nou invari-
ant asociat cuplului curb˘ a-suprafat ¸˘aT¸it¸eica,c o m p l e t ˆ and rezultatele din
sect¸iunile anterioare. Din ceea ce ¸ stim,acest rezultat nu a mai fost abordat
ˆın literatura de specialitate.
ˆInCapitol 5 am extins conﬁgurat ¸ia T¸it¸eica pentru cercuri de raze egale
prezentat˘ ap es c u r tˆ ınSect¸iunea 5.1 la elipse egale ¸ si am ar˘ atat c˘ ap r o b l e m a
are sens pentru nelipse egale, generˆ and astfel un lant ¸ Cliﬀord. Aceste rezultate
se g˘asesc ˆ ın lucrarea [ Bobe ¸si Boskoﬀ, 2007].
ˆInSect¸iunea 5.2 am demonstrat dou˘ a rezultate ajut˘ atoare pentru a putea
viii

extinde conﬁgurat ¸ia¸si la elipse de semiaxe egale ¸ si paralele cu axele de co-
ordonate.
ˆInSect¸iunea 5.3 am introdus not ¸iunea de lant¸ Cliﬀord pentru elipse
egale ¸si am enunt ¸at ¸si demonstrat dou˘ a rezultate ce generalizeaz˘ a conﬁgurat ¸ia
init¸ial˘a.
Folosind programul Mathematica ,ˆınSect¸iunea 5.4 am implementat algo-
ritmul de construct ¸ie al lant ¸ului Cliﬀord pentru elipse egale ¸ si am vizualizat
obiectele noi create.
ˆInCapitolul 6 am discutat invariant ¸ii T¸it¸eica cu ajutorul programului
Mathematica . Suprafet ¸ele T¸it¸eica constituie un subiect excelent pentru a folosi
capabilit˘ at¸ile de calcul simbolic ale programului Mathematica . Din acest motiv,
acest capitol este ca un complement al ca pitolelor anterioare, oferind o imag-
ine a discursului matematic ¸ si chiar o vizualizare a obiectelor implicate. Mai
mult, folosindu-ne de rezultatele teoretice obt ¸inute ˆ ın Capitolul Invariant ¸i de
tip T¸i t¸eica, am dezvoltat un algoritm de veriﬁcare a apartenent ¸ei unei
suprafet ¸e la clasa suprafet ¸elor T ¸it¸eica. Acest algoritm se poate aplica nu
numai pentru testarea propriet˘ at¸ii T¸it¸eica, dar ¸ si pentru veriﬁcarea invariant ¸ei
unei suprafet ¸e. Rezultatele acestui capitol au fost publicate ˆ ın
[Agnew, Bobe ,B o s k o ﬀ¸ si Suceav˘ a, 2006].
ix

Mult¸umiri
Doresc s˘ a adresez mult ¸umirile cuvenite tuturor cel or care, direct sau indirect,
prin sugestiile oferite au contribuit la ¸ slefuirea acestui demers ¸ stiint¸iﬁc ¸si m-au
sust¸inut ˆın ﬁnalizarea lui.
Pe tot parcursul efectu˘ arii acestei lucr˘ ari am beneﬁciat de sprijinul per-
manent al doamnei profesoare Mirela S ¸tef˘anescu, conduc˘ atorul ¸ stiint¸iﬁc al tezei
mele de doctorat, c˘ areiaˆıi aduc, pe aceast˘ a cale, cele mai sincere mult ¸umiri pen-
tru ˆındrumarea activit˘ at¸ii mele ¸ stiint¸iﬁce ¸si pentru exigent ¸a manifestat˘ af a t¸˘ad e
lucrare.
Mult¸umesc doamnei profesoare Viviana Ene pentru sugestiile oferite la partea
de algebr˘ a, idei ce mi-au fost de un real folos ˆ ın elaborarea acestei teze.
Mult¸umesc domnului profesor Wladimir Boskoﬀ, care cu generozitate, r˘ abdare
¸si profesionalism, aˆ ıncurajat permanent cont ¸inutul ideatic ¸ si ¸stiint¸iﬁc al cercet˘ arii
mele ¸si pentru sprijinul personal ¸ si ˆıncrederea pe care mi le acord˘ aˆın viat¸˘a¸si
mai ales ˆ ın carier˘ a.
De asemenea t ¸in s˘al em u l t ¸umesc domnilor profesori Bogdan Suceav˘ a, Al-
fonso Agnew ¸ si Laurent ¸iu Homentcovschi, pentru exactitatea sugestiilor ¸ si pu-
terea de sintez˘ a ce-au manifestat-o de-a lungul articolelor scrise ˆ ımpreun˘ a.
ˆIn cele din urm˘ aa ¸sd o r is ˘ a exprim recuno¸ stiint¸˘a¸si mult ¸umire mamei, sot ¸iei
¸si ﬁicei mele, pentru sust ¸inerea, ˆ ınt¸elegerea ¸ si lini¸stea pe care mi-au acordat-o
pe parcursul acestor ani de studiu.
1

Capitolul 1
Algoritm pentru
determinarea regiuniiGroebner a unui ideal
Bazele Groebner constituie o unealt˘ a fundamental˘ aˆın algebra comutativ˘ a compu-
tat¸ional˘ a. Aceast˘ a teorie a evoluat rapid ¸ si datorit˘ a introducerii unor tehnici
din combinatoric˘ a¸si geometria poliedral˘ a.ˆIn particular, aceste tehnici sunt
folosite pentru a crea conceptul de regiune Groebner pentru un ideal al unui
inel polinomial.
ˆIn acest capitol vom construi un algoritm care s˘ a calculeze regiunea Groebner
a unui ideal principal ˆ ın dou˘ a nedeterminate, vom impl ementa acest algoritm
ˆınSingular1¸si vom vizualiza obiectul creat folosind Mathematica2.
Unul dintre pa¸ sii algoritmului de construct ¸ie a regiunii Grobner const˘ aˆın de-
terminarea politopului Newton asociat. Acesta joac˘ a un rol central la intersect ¸ia
drumurilor algebrei, geometriei ¸ si combinatoricii. Pentru a putea construi acest
obiect, vom avea nevoie, mai ˆ ıntˆai, de cˆ ateva not ¸iuni de baze Groebner, or-
don˘ari monomiale ¸ si ordon˘ ari ponderate. Vom ˆ ıncerca s˘ a producem un drum
de abordare a problemelor noastre cˆ at mai scurt, prezentˆ and numai not ¸iunile
¸si rezultatele necesare ˆ ın continuare. Nu vom da demonstrat ¸ii, dar vom trimite
exact la c˘ art¸ile ce le cont ¸in. Vom prefera, cˆ and este posibil, trimiterea la cartea
de algebr˘ a computat ¸ional˘ a a doamnei profesor Viviana Ene [Ene, 2002], dar ¸ si
la cartea [Cox, Little ¸ si O’Shea, 1992].
1.1 Ideale monomiale. Ordon ˘ari monomiale
Scopul acestei sect ¸iuni introductive este de a descrie idealele monomiale ¸ si de a
cerceta propriet˘ at¸ile lor ce ne vor folosi ˆ ın capitolele urm˘ atoare.
1A se vedea [Pﬁster, 2001]
2A se vedea [Wolfram, 2007]
2

Orice monom Xi1
1Xi2
2…Xinndin inelul k[X]=k[X1,X2, …, X n] este unic
determinat de n-uplul ( i1,i2, …, i n)∈Nn.
Notat¸iile utilizate sunt cele care au intrat deja ˆ ın tradit ¸ie. Le vom aminti,
totu¸si.
Convenim s˘ an o t ˘am monomul Xi1
1Xi2
2…XinncuXα, unde α=(i1,i2, …, i n).
Multiindicele αse va numi multigradul luiXα;v o mn o t a
α=multideg Xα
Gradul lui Xαeste:
|α|=i1+i2+…+in.
Deﬁnit ¸ia 1.1.1. Un ideal Ial lui k[X1,X2, …, X n]se nume¸ steideal mono-
mial dac˘a admite un sistem de generatori format numai din monoame, deci
dac˘ae x i s t ˘ aos u b m u l t ¸imeAal u i Nnastfel ˆ ıncˆat
I=(Xα|α∈A).
Exemplul 1.1.2. 1. Idealul I=(X2,YZ,XZ )⊂k[X,Y,Z ] este monomial.
2. Idealul I=(X4+Y2,X2)⊂k[X,Y] este monomial pentru c˘ aa d m i t e¸ si
sistemul de generatori {X2,Y2}.
Urm˘atoarele aﬁrmat ¸ii (f˘ar˘ad e m o n s t r a t ¸ii aici) se reg˘ asescˆın [Cox, Little ¸ si O’Shea, 1992],
paginile 69-70, cu demonstrat ¸iile aferente.
Propozit ¸ia 1.1.3. FieI∈k[X1,X2, …, X n]un ideal monomial ¸ si f un polinom
dink[X1,X2, …, X n].U r m ˘ atoarele propriet˘ at¸i sunt echivalente:
1.f∈I.
2. Fiecare termen al lui fse aﬂ˘ aˆınI.
3.feste o combinat ¸iek-liniar˘ a de monoame din I.
Corolarul 1.1.4. Dou˘a ideale monomiale ale lui k[X1,X2, …, X n]coincid dac˘ a
¸si numai dac˘ ae l ec o n t ¸in acelea¸ si monoame.
Teorema 1.1.5. (Lema lui Dickson) FieI∈k[X1,X2, …, X n]un ideal
monomial. Atunci exist˘ aom u l t ¸ime ﬁnit˘ a de monoame care genereaz˘ aI.
Corolarul 1.1.6. FieI⊂Sun ideal monomial. Din orice sistem de generatori
monomiali al lui Ise poate extrage un sistem de generatori ﬁnit.
Corolarul 1.1.7. Orice ideal monomial din k[X1,X2, …, X n]a r eu nu n i cs i s t e m
de generatori minimal format numai cu monoame. Acesta cuprinde elementele
minimale ˆ ın mult ¸imea monoamelor din Iordonat˘ a cu divizibilitatea.
Observat ¸ia 1.1.8. Un ideal monomial nu are un unic sistem de generatori
minimal . De exemplu, pentru idealul I=(X,Y)⊂R[X,Y], orice sistem de
generatori de forma {X,aX +Y},a∈R, este minimal.
3

S˘an o t ˘am cu Mmult¸imea monoamelor din inelul k[X1,X2,…,X n],deci
M={Xα|α∈Nn}.
Funct¸ia
multideg : M→ Nn,Xα/mapsto→α,
este izomorﬁsm de la monoidul ( M,·) la monoidul ( Nn,+), cu transportul
relat¸iilor introduse pe M. Deci orice relat ¸ie de ordine pe Mcompatibil˘ ac u
ˆınmult¸irea determin˘ aor e l a t ¸ i ed eo r d i n ep e Nncompatibil˘ a cu adunarea ¸ si re-
ciproc.
Deﬁnit ¸ia 1.1.9. Or e l a t ¸ i ed eo r d i n e ≤peM(respectiv pe Nn)s en u m e ¸ ste
ordonare monomial˘ adac˘a satisface urm˘ atoarele condit ¸ii:
(i) este total˘ a, adic˘ ap e n t r uo r i c e Xα,Xβ∈M,Xα<XβsauXα=Xβsau
Xα>Xβ(pentru orice α, β, γ ∈Nn,α < β sauα=βsauα>β ).
(ii) este compatibil˘ ac uˆ ınmult ¸irea monoamelor, adic˘ a dac˘ aXα<Xβ¸si
Xγeste un monom arbitrar, atunci Xα+γ<Xβ+γ(este compatibil˘ a
cu adunarea ˆ ınNn,adic˘a dac˘ aα<β , atunci, pentru orice γ∈Nn,
α+γ<β +γ).
(iii)≤este ordine bun˘ a, adic˘ ao r i c es u b m u l t ¸ime nevid˘ aal u i M(respectiv Nn)
are prim element.
Ultima condit ¸ie din deﬁnit ¸ia de mai sus este echivalent˘ ac uf a p t u lc ˘ ao r i c e
¸sir strict descresc˘ ator de elemente din M(respectiv din Nn) este ﬁnit.
Propozit ¸ia 1.1.10. Fie≤or e l a t ¸ie de ordine total˘ ap eMcare satisface condit ¸ia
(ii)din Deﬁnit ¸ia 1.1.9. Atunci ≤este ordonare monomial˘ a dac˘ a¸si numai dac˘ a
1este prim element ˆ ınM(sau, echivalent, 0este prim element al lui Nn.)
Demonstrat ¸ie.A se vedea [Ene, 2002], pg. 50. /square
Deﬁnit ¸ia 1.1.11. (Ordonarea lexicograﬁc˘ a)Fie
α, β∈Nn,α=(i1,i2,…,i n),β=(j1,j2,…,j n).
Atunci αeste mai mic decˆ atβˆınordonarea lexicograﬁc˘ a¸si scriem
α<lexβ
(sau, echivalent, Xα<lexXβˆınM) dac˘ ae x i s t ˘ a1≤t≤nastfel ˆ ıncˆati1=
j1,i2=j2,…,i t−1=jt−1¸siit<jt,cu alte cuvinte, ˆ ın vectorul diferent ¸˘a
α−β=(i1−j1,…,i n−jn)cea mai din stˆ anga component˘ an e n u l ˘ ae s t en e g a t i v ˘ a.
InSingular ordonarea lexicograﬁc˘ a se noteaz˘ ac u lp.
4

Exemplul 1.1.12. 1. In inelul k[X,Y,Z ],X Y3Z5<lexX2YZsau, echivalent,
α=( 1,3,5)<lexβ=( 2,1,1) ˆınN3,deoarece α−β=(−1,2,4).
2. Consider˘ am urm˘ atoarea ordonare a n edeterminatelor ˆ ın
inelul k[X1,…,X n]:
X1>lexX2>lex…> lexXn.
Exist˘a, evident, n! posibilit˘ at¸i de a ordona nedeterminateleˆ ın inelul polinoamelor
ˆınnnedeterminate. In cazulˆ ın care nu vom da o ordonare explicit˘ a, consider˘ am
nedeterminatele ordonate ca mai sus.
3. In inelul k[X,Y,Z ]a v e mu r m ˘ atoarea ordonare a monoamelor de gradul doi:
X2>lexXY > lexXZ > lex>Y2
lex>YZ> lex>Z2.
1.2 Regiunea Groebner a unui ideal
Fiekun corp ¸ sik[X]=k[X1, …, X n] inelul polinoamelor ˆ ınnnedeterminate.
Fie<o ordonare monomial˘ aﬁ x a t ˘ a¸siIun ideal ˆ ınk[X].
Pentru f∈k[X]−{0}vom nota cu
in<(f)=monomul dominant al lui fˆın ordonarea <,
¸si cu
in<(I)=(in<(f)|f∈I,f/negationslash=0 )
idealul init ¸ialal lui I.
Deﬁnit ¸ia 1.2.1. Os u b m u l t ¸ime ﬁnit˘ aG={g1, …, g r}⊂Ise nume¸ stebaz˘a
Groebner pentru Iˆın ordonarea <, dac˘ ain<(I)=(in<(g1), …, in <(gr)).
Deﬁnit ¸ia 1.2.2. Fieω∈Rn.P e n t r u o r i c e p o l i n o m f=/summationtext
v∈NnavXv∈k[X],
deﬁnim forma init ¸ial˘ainω(f)=/summationtext
v/prime∈Nnav/primeXv/prime,u n d ev e c t o r i i v/primemaximizeaz˘ a
ω·v/primeˆın{v|av/negationslash=0}, adic˘ aω·v/prime≥ω·v,p e n t r uo r i c e vcuav/negationslash=0(i.e. se vor
considera ˆ ın suma decˆ at monoamele ce au produsul scalar ω·vmaxim).
Deﬁnit ¸ia 1.2.3. Pentru un ideal I⊂k[X]deﬁnim forma init ¸ial˘aa idealului
I:inω(I)=(inω(f)|f∈I).
Exemplul 1.2.4. FieIidealul generat de
f(X1,X2)=4X6
1X2
2+5X5
1X3
2−X4
1+3X2
1X4
2+X2
1+X1X2+X3
2+7.
Calcul˘ am forma init ¸il˘ap e n t r u ω=( 2,1) ¸siω=( 1,1). Vectorii vcuav/negationslash=0
sunt: v1=( 6,2),v2=( 5,3),v3=( 4,0),v4=( 2,4),v5=( 2,0),v6=( 1,1),
v7=( 0,3),v8=( 0,0).
Pentru ω=( 2,1) avem c˘ aω·vi={14,13,8,8,4,3,3,0},i=
1,8¸si maxi-
mumul acestei liste este 14 dat de ω·v1. Atunci inω(f)=X6
1X2
2¸siinω(I)=
(X6
1X2
2). Acesta este un ideal monomial.
5

Pentru ω=( 1,1) avem c˘ aω·vi={8,8,4,6,2,2,3,0},i=
1,8¸si maximumul
acestei liste este 8 dat de ω·v1¸siω·v2. Atunci inω(f)=4X6
1X2
2+5X5
1X3
2¸si
inω(I)=( 4 X6
1X2
2+5X5
1X3
2). Acesta nu este un ideal monomial.
Deﬁnit ¸ia 1.2.5. Fieω∈Rn
+¸si<o ordonare monomial˘ aﬁ x a t ˘ a. Deﬁnim
ordonarea monomial˘ a ponderat˘ a<ω,a s t f e l :p e n t r u a, b∈Nnavem c˘ a
a<ωb⇐⇒ω·a<ω ·bsau(ω·a=ω·b¸sia<b).
Lema 1.2.6. Pentru orice ideal I⊂k[X]avem relat ¸ia:
in<(inω(I)) =in<ω(I).
Demonstrat ¸ie.A se vedea [Sturmfels, 1996], pagina 4. /square
Exemplul 1.2.7. Fie idealul I=(f), unde feste polinomul din Exemplul
1.2.4, <ordonarea lexicograﬁc˘ ac uX1>X2¸siω=( 1,1). Atunci
in<(inω(I)) =in<(4X6
1X2
2+5X5
1X3
2)=(X6
1X2
2)
pentru c˘ aX6
1X2
2>X5
1X3
2.D a c ˘ av o mc a l c u l a in<ω(I) ca in Deﬁnit ¸ia 1.2.5
obt¸inem acela¸ si rezultat ca ˆ ın Lema 1.2.6, adic˘ ain<ω(I)=(X6
1X2
2).
Corolarul 1.2.8. Fieω∈Rn
+¸siGob a z ˘ a Groebner pentru Iˆın ordonarea
ponderat˘ a<ω.A t u n c i {inω(g)|g∈G}este o baz˘ a Groebner pentru inω(I)ˆın
ordonarea <.
Demonstrat ¸ie.FieG={g1,g2, …, g r}ob a z ˘a Groebner pentru Iˆın ordonarea
<ω. Din deﬁnit ¸ia bazei Groebner ¸ si Lema 1.2.6 rezult˘ ac ˘a
in<ω(I)=in<(inω(I)) = (in<ω(g1),in<ω(g2), …, in <ω(gr)) =
=(in<(inω(g1)),in<(inω(g2)), …, in <(inω(gr))).
Deci,
in<(inω(I)) = ( in<(inω(g1)),in<(inω(g2)), …, in <(inω(gr))),
adic˘a idealul init ¸ial al lui inω(I) este generat de monoamele init ¸iale ale mult ¸imii
inω(g1),inω(g2), …, in ω(gr)¸si aceasta este tocmai deﬁnit ¸ia bazei Groebner pen-
truinω(I). Putem concluziona c˘ a{inω(g)|g∈G}este o baz˘ a Groebner pentru
inω(I)ˆın ordonarea <./square
Corolarul 1.2.9. Dac˘aω∈Rn
+¸siinω(I)este un ideal monomial, atunci
inω(I)=in<ω(I).
Vom da un exemplu ˆ ın care vom calcula inω¸siin<ωpentru un ideal:
Exemplul 1.2.10. Fie idealul I=(f), unde fpolinomul din Exempul 1.2.4
¸si<este ordonarea lexicograﬁc˘ a(X1>X2). S˘ac o n s i d e r ˘ amω=( 2,1) ¸si vom
veriﬁca relat ¸iainω(I)=in<ω(I).
Forma init ¸ial˘ainω(I)=(X6
1X2
2) este un ideal monomial ¸ si este aceea¸ si ca ¸si
in<ω(I).Pentru ω=( 1,1) forma init ¸ial˘ainω(I)=( 4 X6
1X2
2+5X5
1X3
2)n um a i
este ideal monomial ¸ si este diferit˘ ad ein<ω(I)=(X6
1X2
2).
6

Urm˘atoarea propozit ¸ie g˘ase¸ste, pentru orice ordonare monomial˘ a<, un vec-
torωcare reprezint˘ a ordonarea monomial˘ a¸si care este mult mai u¸ sor de folosit
decˆat<. Pentru demonstrat ¸ie se va vedea [Sturmfels, 1996], paginile 4-5.
Propozit ¸ia 1.2.11. Pentru orice ordonare monomial˘ a<¸si orice ideal I⊂
k[X],e x i s t ˘ au nv e c t o r ω∈Nnastfel ˆ ıncˆatinω(I)=in<(I).
Deﬁnit ¸ia 1.2.12. Fieω∈Rn¸si<o ordonare monomial˘ aa s t f e lˆ ıncˆatinω(I)=
in<(I).ωse nume¸ steo ordonare monomial˘ ap e n t r u Ice reprezint˘ a
ordonarea monomial˘ a<.
Deﬁnit ¸ia 1.2.13. FieI⊂k[X]un ideal. Deﬁnim regiunea Groebner pentru
I,GR(I)ca ﬁind mult ¸imea tuturor acelor ω∈Rnastfel ˆ ıncˆatinω(I)=inω/prime(I)
pentru ω/prime≥0.
Putem formaliza deﬁnit ¸ia regiunii Groebner astfel:
GR(I)={ω∈Rn|inω(I)=inω/prime(I)pentru ω/prime≥0}. (1.2.1)
Observat ¸ia 1.2.14. GR(I)c o n t¸ineRn
+.
Exemplul 1.2.15. Pentru idealul I=(f), unde feste polinomul din Exemplul
1.2.4, vom calcula GR(I).
1234561234
/Bullet /Bullet/Bullet/Bullet/Bullet
/Bullet
/Bullet/Bullet
A8A5A6
A3A1A2A4
A7
d1d2d3d4
d5
d6
Fig. 1.a: Politopul Newton pentru Exemplul 1.2.15
Fiecare vector exponent vidin scrierea f=/summationtext
v∈NnavXv∈k[X], cuavi/negationslash=0d e –
termin˘ a un punct Aiˆın plan, a¸ sa cum se poate vedeaˆ ın Fig. 1.a. ˆInf˘a¸sur˘atoarea
convex˘ a a acestor puncte este hexagonul A1A2A4A7A8A3.
Pentru a calcula GR(I), suntem interesat ¸i s˘ac ˘aut˘am acei vectori ω∈R2
astfel ˆ ıncˆatinω(I)=inω/prime(I)p e n t r u ω/prime∈R2
+,a d i c ˘ av r e ms ˘ ag ˘asim, pentru
ﬁecare element (vˆ arf sau muchie) al ˆ ınf˘a¸sur˘atoarei convexe, toate direct ¸iileω=
(ω1,ω2)∈R2astfelˆ ıncˆat ele s˘ a maximizeze ω·vi¸pe acoperirea convex˘ a.ˆIn plus,
regiunile asociate ﬁec˘ arui vˆ arf sau muchii trebuie s˘ aa i b ˘a intersect ¸ia nevid˘ ac u
primul cadran al lui R2.
7

Deci, trebuie s˘ ag ˘asim acele direct ¸ii care se situeaz˘ aˆıntre vectorii normali ai
dreptelor d1¸sid4.ˆIn Figura 2 avem toate direct ¸iile posibile divizate ˆ ın clase.
Factorizarea direct ¸iilor se face prin vˆ arurile ¸ si muchiile ˆ ınf˘a¸sur˘atoarei convexe.
Astfel, regiunea Groebner este zona marcat˘ ac us ˘ ageat˘a circular˘ a, adic˘ a:
GR(I)=/braceleftbig
(ω1,ω2)∈R2|ω1+ω2>0¸si 2ω1+ω2>0/bracerightbig
.
Celelalte zone (nemarcate) maximizeaz˘ a produsul ω·vi, dar intersect ¸ia cu
primul cadran este vid˘ a.
12345 −1 −2 −31234
−1
−2GR(I)={(ω1,ω2):ω1+ω2>0∧2ω1+ω2>0}
Fig. 1.b: Regiunea Groebner pentru idealul din Exemplul 1.2.15
1.3 Interpret ˘ari geometrice s ¸i algoritmi
Vom construi un algoritm pentru aﬂarea regiunii Groebner GR(I)p e n t r uu n
ideal principal I=(f),f∈k[X,Y], pe care ˆ ıl vom implementa ˆ ınSingular .
Vizualizarea regiunii Groebner o vom realiza cu Mathematica . Rezultatele din
acest paragraf au fost comunicate la S ¸coala Nat ¸ional˘ ad eA l g e b r ˘ a-E d i t ¸ia a
XIV-a ¸ si au fost publicate ˆ ın [Bobe , 2006]. Trebuie ment ¸ionate ¸ si discut ¸iile
avute pe aceast˘ at e m ˘ a cu domnul profesor Gerhard Pﬁster, la Workshop-ul
“Cohen-Macaulay Rings and Related Structures” din aprilie 2005, ce au mo-
tivat scrierea unui astfel de algoritm ca un pas important al unui algoritm ce
calculeaz˘ a politopul de stare al unui ideal polinomial.
S˘ac o n s i d e r ˘ am polinomul f∈k[X,Y]d ef o r m a : f=c1Xa1Yb1+c2Xa2Yb2+
…+cnXanYbn,c1,c2, …, c n/negationslash= 0. Fiecare vector vi=(ai,bi) determin˘ aˆın plan
punctul Ai(ai,bi). Pentru a calcula GR(I) suntem interesat ¸i de acele direct ¸ii
ω∈R2astfel ˆ ıncˆatinω(I)=inω/prime(I)p e n t r u ω/prime∈R2
+(primul cadran), adic˘ a
vrem s˘ ag ˘asim reuniunea tuturor mult ¸imilor de elemente ω∈R2astfel ˆ ıncˆat
8

s˘aﬁ eˆındeplinit˘ a condit ¸iainω(I)=inω/prime(I), pentru ω/prime∈R2
+.Din deﬁnit ¸ia lui
inω(I) (Deﬁnit ¸ia 1.2.3), condit ¸iainω(I)=inω/prime(I)ˆınseamn˘ ad ef a p ts ˘ ag ˘asim
acele direct ¸iiω∈R2astfel ˆ ıncˆatωvis˘aﬁ em a x i m , i=
1,n.
S˘ac o n s i d e r ˘ am:
New(f)=conv({v1, …, v n})=⎧
⎨
⎩n/summationdisplay
j=1λjvj|λj∈R+,n/summationdisplay
j=1λj=1⎫
⎬
⎭
politopul Newton pentru f.
Observ˘ am imediat c˘ a problema noastr˘ a folose¸ ste idei din programarea liniar˘ a.
ˆIntr-adev˘ ar, dintr-o teorem˘ a de programare liniar˘ a ([Dantzing, 2003], pg. 16-18)
¸stim c˘ a valoarea optim˘ aaf u n c t ¸iei liniare ωvse obt¸ine pe frontiera lui New(f)
¸si, mai exact, ˆ ıntr-un vˆ arf al frontierei Hal u iNew(f). Folosind acest rezul-
tat, problema noastr˘ a se reduce la a aﬂa, pentru ﬁecare vˆ arf din H, direct ¸iile
ω=(ω1,ω2)∈R2astfel ˆ ıncˆat problema
/braceleftbiggmax(ω1x+ω2y)
v=(x, y)∈New(f)
s˘a-¸si realizeze solut ¸ia ˆın vˆarful considerat. ˆIn acest mod, vom determina de fapt
mult¸imile
Sω
j=/braceleftbig
ω∈R2|ωvˆı¸si atinge maximumul ˆ ın punctul Aj,v∈New(f)/bracerightbig
,
j=
1,m, unde m=e s t en u m ˘ arul de vˆ arfuri ale frontierei H.
Atunci:
GR(I)=m/uniondisplay
j=1(Sω
j∩R2
+).
Exemplul 1.3.1. Pentru a putea construi un algoritm s˘ ao b s e r v ˘ am mai ˆ ıntˆai
cum se poate calcula Sω
2pentru I=(f),fdin Exemplul 1.2.4. Politopul
Newton al lui feste dat de acoperirea convex˘ a a punctelor Ai,i=
1,8, adic˘ a
hexagonul ce are ca laturi dj,j=
1,6( v e d e t ¸i Figura 1). A¸ sa cum am descris
mai sus, Sω
2ˆınseamn˘ am u l t¸imea tuturor acelor ω=(ω1,ω2)∈R2astfel ˆ ıncˆat
ωvˆı¸si atinge maximumul ˆ ın punctul A2.A¸sadar avem de rezolvat urm˘ atoarea
problem˘ a:
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩max(ω
1x+ω2y)=5ω1+3ω2
y≥x−4
y≤−x+8
y≤−1
3x+14
3
y≤1
2x+3
x≥0
y≥0
Dac˘ac o n s i d e r ˘ am dreapta d:ω1x+ω2y=t, atunci nd=(ω1,ω2)e s t e
vectorul normal al acestei drepte. D eci, vectorul normal al dreptei de stare
9

ω1x+ω2y=tce satisface condit ¸iile problemei se aﬂ˘ aˆıntrend2=( 1,1) ¸si
nd3=( 1,3) a¸sa cum putem observa ¸ si din Figura 1.b. Deci,
Sω
2={(ω1,ω2):−ω1+ω2≥0∧3ω1−ω2≥0}.
A¸sa cum am v˘ azut mai sus, primul obiect important ce intervineˆ ın construct ¸ia
regiunii Groebner este ˆ ınf˘a¸sur˘atoarea convex˘ a a unei mult ¸imi cu n>2 puncte,
obiect ce este de fapt frontiera lui New(f).
Ideea de baz˘ ap e n t r uag ˘ asi ˆınf˘a¸sur˘atoarea convex˘ anpuncte ˆ ın plan ˆ ın
O(nlogn)t i m pe s t eu r m ˘ atoarea ([Preparata, 1985], pg. 100): vom considera
un punct Pal ˆınf˘a¸sur˘atoarei convexe. Putem folosi ca punct Ppunctul de
ordonat˘ a minim˘ ac ea p a r t ¸ine ˆınf˘a¸sur˘atoarei convexe. ˆIn cazul ˆ ın care exist˘ a
mai multe puncte cu acela¸ siyminim, ˆ ıl vom alege dintre acestea pe acela cu
xmaxim. ˆIn exemplul nostru, acest punct este A3. Dup˘ a ce am ales punctul
P, vom sorta unghiular ˆ ın funct ¸ie de P,ˆın sens trigonometric, toate punctele
r˘amase. Pentru a rezolva situat ¸iileˆın care avem coliniarit˘ at¸i, folosim urm˘ atoarea
regul˘a: dac˘ a unghiul Aeste egal cu unghiul B, atunci spunem c˘ aA<B dac˘a
/bardblA−P/bardbl</bardblB−P/bardbl,a d i c ˘a este considerat mai ˆ ıntˆai punctul mai apropiat de
P. Pentru exemplul nostru, punctele sortate sunt: A1,A2,A4,A7,A6,A5,A8.
Vom procesa punctele ˆ ın ordinea dat˘ a de sortarea anterioar˘ a¸pentru a construi
incremental ˆ ınf˘a¸sur˘atoarea convex˘ a. La ﬁecare pas, ˆ ınf˘a¸sur˘atoarea convex˘ ae s t e
corect˘ a pentru punctele anterior examinate, dar punctele procesate ulterior vor
aduce schimb˘ ari deciziilor deja luate.
ˆInf˘a¸sur˘atoarea convex˘ a este memorat˘ aˆıntr-o list˘ a circular˘ aS,a v ˆand ca el-
emente puncte. Init ¸ial, lista cont ¸ine toate punctele: S={A3,A1, …, A 3}.U n
punct Aieste ¸sters din S,d a c ˘a acest punct formeaz˘ aoˆıntoarcereˆ ın sens invers
trigonometric (la dreapta), adic˘ a determinantul format cu punctele Ai−1,Ai,Ai+1
este negativ (ex: A6) sau zero (ex: A5). Dup˘ ac ea m¸ sters toate punctele cu
aceast˘ a proprietate, vom obt ¸ineˆınf˘a¸sur˘atoarea convex˘ aS={A3,A1,A2,A4,A7,A8,A3}.
Algoritmul ˆ ın pseudocod este (a se vedea [Preparata, 1985]):
Algoritm ˆInf˘a¸sur˘atoarea convex˘ a
Input:n>2 puncte A1, …, A n.
Output :ˆInf˘a¸sur˘atoarea convex˘ a a acestor puncte.
1. G˘asim punctul cu ordonata minim˘ a( d a c ˘ as u n tm a im u l t eˆ ıl consider˘ am
pe cel mai din dreapt a) pe care-l not˘ am cu P.
2. Sort˘ am unghiular ˆ ın jurul lui Ptoate punctele:
2.1. Dac˘ a avem coliniarit˘ at¸i, consider˘ am primul punct cel mai apropiat
deP.
2.2. Etichet˘ am punctele A1,A2, …, A n−1.
3. Lista S=(P,A1,A2, …, A n−1,P).
4.i=1 .
Cˆat timp i<n
dac˘aAiformeaz˘ aoˆıntoarcere la dreapta cu ( Ai−1,Ai+1)
atunci elimin˘ amAidinS
5. Aﬁ¸ s˘amS.
10

Avˆand algoritmul de mai sus, vom determina dreptele ce ne vor da GR(I).
Aceste drepte sunt determinate de vectorii normali exteriori ai laturilorˆ ınf˘a¸sur˘atoarei
convexe. Pentru ﬁecare latur˘ aAiAi+1(unde Ai=(ai,bi)) a ˆınf˘a¸sur˘atoarei con-
vexe, vectorul normal este ni=(bi+1−bi,ai−ai+1). Dac˘ av r e mc as ˘ aa v e m
numai vectori normali exteriori trebuie s˘ a veriﬁc˘ am dac˘ anieste orientat spre
exteriorul ˆ ınf˘a¸sur˘atoarii convexe, adic˘ a punctele Ai,Ai+1¸siNiau orientare
negativ˘ a, unde Ni=(αi,βi)e s t et r a n s l a t ¸ia vectorului niˆınAi:
/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglea
ibi1
ai+1bi+11
αiβi1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle<0. (1.3.1)
A¸sadar, vectorul normal exterior n
e
i=ni,d a c ˘a condit ¸ia 1.3.1 este indeplinit˘ a¸si
ne
i=−ni,ˆın cazul contrar.
Avˆand vectorii normali exteriori {ne
1, …, nem}, unde meste num˘ arul de puncte
din ˆınf˘a¸sur˘atoarea convex˘ a, p˘astr˘am doar acei vectori cu ambele componente
pozitive:/braceleftbig
ne
i,nei+1…, ne
j/bracerightbig
(vectorii normali exterio ri sunt consecutivi deoarece
laturileˆ ınf˘a¸sur˘atoarei convexe sunt sortate). Atunci, GR(I) este regiunea aﬂat˘ a
ˆıntre (ˆ ın sens trigonometric) dreptele ce trec prin (0 ,0) ¸si au vectori directori
ne
i−1¸sine
j+1.
ˆIn cazul ˆ ın care avem n≤3, politopul Newton ¸ si regiunea Groebner se
pot calcula direct astfel: pentru n= 1 politopul Newton este chiar punctul
¸si regiunea Groebner este R2;p e n t r u n= 2 politopul Newton este segmentul
format cu cele dou˘ a puncte ¸ si regiunea Groebner poate ﬁ R2sau un semiplan,
ˆın funct ¸ie de pozit ¸ia vectorului normal exterior al dreptei format˘ a cu cele dou˘ a
puncte.
Iat˘a, algoritmul nostru pentru determinarea regiunii Groebner:
Algoritm :Regiunea Groebner
Input:I=(f),f=c1Xa1Yb1+…+cnXanYbn,c1,c2, …, c n/negationslash=0 .
Output :GR(I).
1. Pentru ﬁecare monom al lui f:vi:= (ai,bi),i=
1,n.
2. Dac˘ an<2, atunci: GR(I)=R2;a ﬁ ¸seaz˘aGR(I).
3. Dac˘ an= 2, atunci:
Calculeaz˘ a vectorul normal exterior ne=(a, b),a>0. Dac˘ ab>0, atunci:
3.1.GR(I)=R2;a ﬁ ¸seaz˘aGR(I).
3.2. Altfel: GR(I)=/braceleftbig
(ω1,ω2)∈R2|−bω1+aω2>0/bracerightbig
;a ﬁ ¸seaz˘aGR(I).
4. Determin˘ aH:=ˆInf˘a¸sur˘atoarea convex˘ a(v1, …, v n)={A1, …, A m},m=
num˘arul de vˆ arfuri din ˆ ınf˘a¸sur˘atoarea convex˘ a.
5. Determin˘ a vectorii normali exteriori ai lui H:V:={ne
1, …, nem}.
6. P˘astr˘am din Vdoar vectorii ce au ambele componente pozitive:/braceleftbig
ne
i,nei+1…, ne
j/bracerightbig
.
7. Fie ne
i−1=(ai−1,bi−1)¸sine
j+1=(aj+1,bj+1) vectorii direct ori ai dreptelor
ce ne dau regiunea Groebner GR(I). Atunci,
GR(I)=/braceleftbig
(ω1,ω2)∈R2|−bi−1ω1+ai−1ω2>0o rbj+1ω1−aj+1ω2>0/bracerightbig
8. Aﬁ¸ seaz˘aGR(I).
11

1.4 Implementarea
Vom discuta implementarea ˆ ınSingular (vedet¸i Anexa 1.6) a algoritmului de
determinare a regiunii Groebner ¸ si vom construi un ¸ sir de caractere, care, in-
trodus ¸ si executat ˆ ınMathematica , va produce imaginea regiunii Groebner.
Trat˘am mai ˆ ıntˆai cazurile ˆ ın care num˘ arul de monoame este mai mic decˆ at
3.ˆIn aceste cazuri, vom constr ui direct politopul Newton ¸ si regiunea Groebner.
Procedura showmat aﬁ¸seaz˘aˆınSingular om a t r i c ed a t ˘ a¸si procedura multind
calculeaz˘ a vectorii exponent ¸i ¸si rezolv˘ a aceste cazuri particulare. Pentru aceste
cazuri, programul ne creeaz˘ aa c u m¸ sirurile de caractere ce vor ﬁ rulate ˆ ınMath-
ematica . Semniﬁcat ¸ia acestor ¸ siruri de caractere o vom da ˆ ın momentul ˆ ın care
vom ﬁ pe cazul general.
Programul principal ˆ ıncepe cu init ¸ializarea polinomului c˘ aruia vrem s˘ a-i de-
termin˘ am politopul Newton ¸ si regiunea Groebner.
Urmˆand ideea algoritmului p entru determinarea ˆ ınf˘a¸sur˘atoarei convexe, tre-
buie s˘ a determin˘ am punctul de ordonat˘ a minim˘ a¸si, ˆın caz ca exist˘ am a im u l t e
puncte de acest tip, ˆ ıl vom considera pe cel de abscis˘ am a x i m ˘ a. Dup˘ ac ea m
determinat acest punct, ˆ ı lv o ma d u c ep ep r i m ap o z i t ¸ie ˆın list˘a cu ajutorul pro-
cedurii interchange .
Vom sorta ˆ ın sens trigonometric punctele ˆ ın raport cu unghiurile pe care le
formeaz˘ a cu punctul g˘ asit anterior (de ordonat˘ a minim˘ a). Procedura detpoints
formeaz˘ a o submatrice 3 ×3 cu coordonatele punctelor dintr-un pas de sortare
¸si calculeaz˘ a determinantul aces tei submatrice. Avˆ and punctele sortate, putem
construi lista circular˘ a.
Procedura elimin are rolul de a ¸ sterge un punct din lista circular˘ ac o n s t r u i t ˘ a
anterior. Folosind acest˘ a procedur˘ a, putem aﬂa politopul Newton al polinomului
fca ˆın algoritmul de alfare a ˆ ınf˘a¸sur˘atoarei convexe.
Urmˆand pasul 5 din algoritmul de determinare a regiunii Groebner, vom cal-
cula vectorii normali exteriori politopului Newton cu ajutorul procedurii deterv .
Avem acum toate elementele pentru a im plementa algoritmul pentru deter-
minarea regiunii Groebner pentru orice polinom ˆ ın dou˘ a nedeterminate. Vari-
abilele right ¸sileftindic˘a semidreptele frontier˘ a ale regiunii Groebner.
Putem construiˆ ınSingular ¸siruri de caractere ce ne vor permite vizualizarea
politopului Newton ¸ si a regiunii Groebnerˆ ınMathematica .S¸irurile de caractere
cont¸in de asemenea ¸ si instruct ¸iuni de manipulare ˆ ınMathematica .
Vom vedea cum lucreaz˘ a acest program pentru determinarea regiunii Groeb-
ner a polinomului din Exemplul 1.2.4. Urm˘ arind pa¸ sii din algoritm, programul
va aﬁ¸sa ﬁecare obiect import ant pentru construct ¸ia ¸sirului ﬁnal de caractere.
The EXPONENT VECTORS are:
62
53
2440
03
20
12

11
00
The NUMBER of the points is:
8
The POSITION of the RIGHTMOST LOWEST POINT is:
4
The MATRIX before the sorting procedure is:
40
5324
62
03
20
1100
The MATRIX with the POINTS SORTED angulary is:
40
62
53
24
0311
20
00
The CIRCULAR LIST of the points is:
40
62
5324
03
1120
00
40
ELIMINATE the point from the POSITION
7
ELIMINATE the point from the POSITION
6
THE NEWTON POLYTOPE is:
13

40
62
53
2403
00
40
THE EXTERIOR NORMAL VECTORS are:
2- 2
11
13
-1 2
-3 0
0- 4
The POSITIONS of the FRONTIER HALF LINES
of the Groebner region are:
1
4
THE GROEBNER REGION is:
GR(I)={(w1,w2) in R^2 | 2*w1+2*w2>0 or 2*w1+1*w2>0}
Putem observa c˘ a regiunea Groebner determinat˘ a cu acest program este
aceea¸si cu cea dedus˘ at e o r e t i cˆ ın Sect ¸iunea 1.2.
Rulajul programuluiˆ ınSingular ne furnizez˘ a¸sirurile de caractere ¸ si, urmˆ and
instruct ¸iunile din ultimele rˆ anduri, vom transporta aceste ¸ siruri ˆ ıntr-un Note-
book din Mathematica .
Show[Graphics[{
RGBColor[0,1,0],PointSize[.03],Map[Point,{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{1,1},{2,0},{0,0}}],
RGBColor[0,0,1],
Map[Point,{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{0,0},{4,0}}],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],
Line[{{4,0},{6,2},{5,3},{2,4},{0,3},{0,0},{4,0}}]},
AspectRatio->Automatic,Axes->True]];
Show[Graphics[{
RGBColor[0,0,1],Thickness[.01],Map[Line[{{0, 0},#}]
&,{{2,-2},{1,1},{1,3},{-1,2},{-3,0},{0,-4}}],
RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line[{{0,0},{2,-2}}],
Line[{{0,0},{-1,2}}]},AspectRatio->Automatic,Axes -> True]];
Executˆ and instruct ¸iunile de mai susˆ ınMathematica , vom obt ¸ine reprezentarea
graﬁc˘a a obiectelor dorite (politopul Newton ¸ si regiunea Groebner), la fel ca ˆ ın
14

Figura 1.a ¸ si Figura 1.b din Sect ¸iunea 1.2. Politopul Newton al punctelor init ¸iale
se poate vedea ˆ ın ﬁgura de mai jos:
Fig. 1.1: Vizualizarea politopului Newton cu Mathematica
Regiunea Groebner este dat˘ a de sectorul circular inﬁnit din primul cadran
ce se aﬂ˘ aˆıntre cele dou˘ as e m i d r e p t er o ¸ sii suport:
Fig. 1.2: Reprezentarea regiunii Groebner ˆ ınMathematica
1.5 Testarea algoritmului pe cazuri atipice
Pentru a vedea c˘ a algoritmul de determinare a regiunii Groebner si imple-
mentarea acestuia sunt complete, v om da 5 exemple. Acestea ilustreaz˘ ac ˆateva
cazuri speciale, cum ar ﬁ:
(i) axele de coordonate s˘ an uc o i n c i d ˘ a cu dreptele suport ale unor laturi ale
politopului Newton;
15

(ii) regiunea Groebner este ˆ ıntreg planul (cu toate c˘ a politopul Newton este
un triunghi);
(iii) politopul Newton este un segment ¸ si regiunea Groebner este ˆ ıntreg
planul;
(iv) politopul Newton este un segment ¸ si regiunea Groebner este un semiplan;
(v) politopul Newton este un punct.
Exemplul 1.5.1. Vom construi politopul Newton ¸ si regiunea Groebner pentru
polinomul:
f(X1,X2)=X5
1X2
2+X4
1X4
2+X4
1+X2
1X5
2+X1X2
2+X6
2+X2.
Politopul Newton al acestui polinom nu are nici o latur˘ ac a r es ˘ aa p a r t ¸in˘aa x e l o r
de coordonate, iar acest lucru ar putea cauza probleme ˆ ın algoritm. Dup˘ ac u m
se va observa mai jos, programul funct ¸ioneaz˘ a cu succes ¸ si ˆın acest caz.
Fig. 1.3: Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.1
Fig. 1.4: Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.1
16

The EXPONENT VECTORS are:
44
52
2506
40
12
01
The NUMBER of the points is:
7
The POSITION of the RIGHTMOST LOWEST POINT is:
5
The MATRIX before the sorting procedure is:
4052
25
0644
12
01
The MATRIX with the POINTS SORTED angulary is:
40
52
4425
06
12
01
The CIRCULAR LIST of the points is:
40
5244
25
06
12
0140
ELIMINATE the point from the POSITION
4
ELIMINATE the point from the POSITION
17

5
THE NEWTON POLYTOPE is:
4052
44
06
01
40
THE EXTERIOR NORMAL VECTORS are:
2- 121
24
-5 0
-1 -4
The POSITIONS of the FRONTIER HALF LINES
of the Groebner region are:
14
THE GROEBNER REGION is:
GR(I)={(w1,w2) in R^2 | 1*w1+2*w2>0 or 0*w1+5*w2>0}
Exemplul 1.5.2. Dac˘a vom construi regiunea Groebner pentru polinomul:
f(X
1,X2)=X2
1X5
2+X5
1X3
2+X6
1X2
2,
vom constata c˘ a aceasta este ˆ ıntreg planul, cu toate c˘ a politopul Newton este
un triunghi.
The EXPONENT VECTORS are:
62
53
25
The NUMBER of the points is:
3
The POSITION of the RIGHTMOST LOWEST POINT is:
1
The MATRIX before the sorting procedure is:
62
18

53
25
The MATRIX with the POINTS SORTED angulary is:
62
53
25
The CIRCULAR LIST of the points is:
62
53
2562
THE NEWTON POLYTOPE is:
6253
25
62
THE EXTERIOR NORMAL VECTORS are:
11
23
-3 -4
The POSITIONS of the FRONTIER HALF LINES
of the Groebner region are:3
3
THE GROEBNER REGION is:
GR(I)={(w1,w2) in R^2 | 4*w1+-3*w2>0 or -4*w1+3*w2>0}
Exemplul 1.5.3. Programul trateaz˘ a¸si cazulˆ ın care politopul Newton este un
segment, iar regiunea Grobner este ˆ ıntreg planul. Pentru a observa acest fapt,
s˘ac o n s i d e r ˘ am polinomul:
f(X
1,X2)=X2
1X4
2+X5
1X3
2.
THE NEWTON POLYTOPE is:
53
24
THE GROEBNER REGION is:
GR(I)={(w1,w2) in R^2 | -3*w1+1*w2>0 or 3*w1+-1*w2>0}
19

Fig. 1.5: Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.2
Fig. 1.6: Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.2
Fig. 1.7: Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.3
Exemplul 1.5.4. Algoritmul r˘ aspunde corect ¸ siˆın cazul ˆ ın care politopul New-
ton este un segment, iar regiunea Groe bner este semiplanul determinat de vec-
torul normal al acestui segment. R egiunea Groebner nu mai este ˆ ıntreg planul
deoarece unul dintre semiplane are intersect ¸ia vid˘ a cu primul cadran ¸ si nu va ﬁ
considerat ˆ ın reuniune.
f(X1,X2)=X1X2+X3
1X3
2.
THE NEWTON POLYTOPE is:
20

Fig. 1.8: Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.3
Fig. 1.9: Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.4
33
11
THE GROEBNER REGION is:
GR(I)={(w1,w2) in R^2 | 2*w1+2*w2>0}
Exemplul 1.5.5. In cazul ˆ ın care polinomul are decˆ at un singur monom, pro-
gramul va r˘ aspunde c˘ a regiunea Groebner este tot planul.
f(X1,X2)=X1X2.
THE POLYNOMIAL HAS LESS THAN 2 MONOMIALS.
21

Fig. 1.10: Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.4
THE NEWTON POLYTOPE is:
11
THE GROEBNER REGION is: R^2 !
1.6 Anex ˘a: Codul ˆınSingular al algoritmului de de-
terminare a regiunii Groebner
LIB "matrix.lib";
intmat a[100][2];
proc showmat(intmat a,int n)
{
int i,j;
intmat b[n][2];
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (j=1;j<=2;j++){
b[i,j]=a[i,j];
}
}
print(b);
}
proc multind(poly f)
{
int m,j;
while (f<>0)
{
m++;
for (j=1;j<=2;j++)
22

{
a[m,j]=leadexp(f)[j];
}
f=f-lead(f);
}
if (m<2)
{
print("THE POLYNOMIAL HAS LESS THAN 2 MONOMIALS.");
print("THE NEWTON POLYTOPE is:");showmat(a,m);
print("THE GROEBNER REGION is: R^2.");
exit;
}
if (m==2)
{
print("THE NEWTON POLYTOPE is:");
showmat(a,m);print("");
print("THE GROEBNER REGION is:");
int vnx,vny;vnx=a[2,2]-a[1,2];
vny=-(a[2,1]-a[1,1]);
if (vnx*vny>0)
{
string s4;s4="GR(I)={(w1,w2) in R^2 | "+
string(-vny)+"*w1+"+string(vnx)+"*w2>0"+
"o r" +string(vny)+"*w1+"+string(-vnx)+"*w2>0"+
"}";
s4;
string s,s1,sg,s3;
s="{"+string(a[1,1])+","+string(a[1,2])+"}"+
","+"{"+string(a[2,1])+","+string(a[2,2])+"}";
s="{"+s+"}";
s1="Show[Graphics[{RGBColor[0,0,1],PointSize[.03],Map[Point,"+s+"],
RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line["+s+"]},
AspectRatio->Automatic,Axes->True]];";
s1;
sg="{"+string(vnx)+","+string(vny)+"}";sg="{"+sg+"}";
s3="Show[Graphics[{
RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Map[Line[{{0, 0}, #}] &,"+ sg+"]},
AspectRatio->Automatic,Axes -> True]];";
23

s3;
}
else
{
if (vnx<=0)
{
vnx=-vnx;
vny=-vny;
}string s4;
s4="GR(I)={(w1,w2) in R^2 | "+
string(-vny)+"*w1+"+string(vnx)+"*w2>0"+"}";
s4;
string s,s1,sg,s3;
s="{"+string(a[1,1])+","+string(a[1,2])+"}"+
","+"{"+string(a[2,1])+","+string(a[2,2])+"}";
s="{"+s+"}";s1="Show[Graphics[{
RGBColor[0,0,1],PointSize[.03],Map[Point,"+s+"],
RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line["+s+"]},AspectRatio->Automatic,Axes->True]];";
s1;
sg="{"+string(vnx)+","+string(vny)+"}"+
","+"{"+string(-vnx)+","+string(-vny)+"}";
sg="{"+sg+"}";s3="Show[Graphics[{
RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Map[Line[{{0, 0}, #}]
&,"+ sg+"]},AspectRatio->Automatic,Axes -> True]];";
s3;
}
print("");
print("In order to see the Newton polytope and theGroebner region paste the last 7 output lines into
a Mathematica notebook and then evaluate the cell
with SHIFT RETURN");exit;
}
print("");
print("The EXPONENT VECTORS are:");
showmat(a,m);n=m;
}
int n;
ring r=0,(x,y),Dp;
24

//Introduce the polynomial!
poly f=4x6y2+5x5y3-x4+3x2y4+x2+xy+y3+7;
multind(f);
print("");
print("The NUMBER of the points is:");
n;
int poz,i;//position of the rightmost lowest point
int ymin=a[1,2];poz=1;
proc interchange(int i,int j)
{
int tempx=a[i,1];
int tempy=a[i,2];
a[i,1]=a[j,1];
a[i,2]=a[j,2];
a[j,1]=tempx;a[j,2]=tempy;
}
for (i=1;i<=n;i++){
if (a[i,2]<ymin)
{
ymin=a[i,2];
poz=i;
}
else
{
if (a[i,2]==ymin)
{
if (a[i,1]>a[poz,1])
{
poz=i;
}
}
}
}
print("");
print("The POSITION of the RIGHTMOST LOWEST POINT is:");
poz;
interchange(1,poz);
print("");
print("The MATRIX before the sorting procedure is:");showmat(a,n);
proc detpoints(intmat a,int i,int j,int k)
25

{
intmat b[3][3]=
a[i,1],a[i,2],1,a[j,1],a[j,2],1,a[k,1],a[k,2],1;
return(det(b));
}
int temp;
int t=0;
while (t==0)
{
t=1;
for (i=2;i<n;i++)
{
if (detpoints(a,1,i,i+1)<0)
{
interchange(i,i+1);
t=0;
}else
{
if ((detpoints(a,1,i,i+1)==0) and (a[i,2]>a[i+1,2])){
interchange(i,i+1);
}
}
}
}
print("");
print("The MATRIX with the POINTS SORTED angulary is:");showmat(a,n);
int j;
intmat c[n+1][2];
for (i=1;i<=n;i++){
for (j=1;j<=2;j++)
{
c[i,j]=a[i,j];
}
}
c[n+1,1]=a[1,1];
c[n+1,2]=a[1,2];print("");
print("The CIRCULAR LIST of the points is:");
showmat(c,n+1);
int m=n+1;
26

proc elimin(int i)
{
int k;
for (k=i;i<m;i++){
c[i,1]=c[i+1,1];
c[i,2]=c[i+1,2];
}
m=m-1;
}
print("");
i=1;while (i<m-1)
{
if (detpoints(c,i,i+1,i+2)>0)
{
i=i+1;
}
else
{
print("ELIMINATE the point from the POSITION");i+1;
elimin(i+1);
if (i<>1)
{
i=i-1;
}
}
}print("");
print("THE NEWTON POLYTOPE is:");
showmat(c,m);
print("");
print("THE EXTERIOR NORMAL VECTORS are:");
int vx,vy;
intmat v[m][2];proc deterv(int j,int vx,int vy)
{
intmat b[3][3]=c[j,1],c[j,2],1,c[j+1,1],c[j+1,2],1,vx,vy,1;
return(det(b));
}for (i=1;i<m;i++)
{
v[i,1]=c[i+1,2]-c[i,2];v[i,2]=-(c[i+1,1]-c[i,1]);
vx=c[i+1,2]-c[i,2]+c[i,1];
27

vy=c[i,1]-c[i+1,1]+c[i,2];
if (deterv(i,vx,vy)>0)
{
v[i,1]=-v[i,1];v[i,2]=-v[i,2];
}
}
showmat(v,m-1);
int right;
int left;
i=1;while (i<m)
{
if ((v[i,1]>0) and (v[i,2]>0))
{
right=i;i++;
while ((v[i,1]>0) and (v[i,2]>0))
{
i++;
}
left=i;
i++;
}else
{
i++;
}
}
right–;
print("");
print("The POSITIONS of the FRONTIER HALF LINESof the Groebner region are:");
if (right==0)
{
right=m-1;
}
print(right);
print(left);
print("");print("THE GROEBNER REGION is:");
string s4;
s4="GR(I)={(w1,w2) in R^2 | "+
string(-v[right,2])+"*w1+"+string(v[right,1])+"*w2>0"+
"o r" +
28

string(v[left,2])+"*w1+"+string(-v[left,1])+"*w2>0"+
"}";
s4;
print("");
string s,s1,s2,sg,s3;
s="{"+string(c[1,1])+","+string(c[1,2])+"}";
for (i=2;i<=m;i++)
{
s=s+","+"{"+string(c[i,1])+","+string(c[i,2])+"}";
}
s="{"+s+"}";s2="{"+string(a[1,1])+","+string(a[1,2])+"}";
for (i=2;i<=n;i++)
{
s2=s2+","+"{"+string(a[i,1])+","+string(a[i,2])+"}";
}s2="{"+s2+"}";
s1="Show[Graphics[{
RGBColor[0,1,0],PointSize[.03],Map[Point,"+s2+"],RGBColor[0,0,1],Map[Point,"+s+"],
RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line["+s+"]},
AspectRatio->Automatic,Axes->True]];";
s1;
sg="{"+string(v[1,1])+","+string(v[1,2])+"}";for (i=2;i<m;i++)
{
sg=sg+","+"{"+string(v[i,1])+","+string(v[i,2])+"}";
}
sg="{"+sg+"}";
s3="Show[Graphics[{
RGBColor[0,0,1],Thickness[.01],
Map[Line[{{0, 0}, #}] &,"+ sg+"],RGBColor[1,0,0],Thickness[.01],Line[{{0,0},
{"+string(v[right,1])+","+string(v[right,2])+"}}],
Line[{{0,0},{"+string(v[left,1])+","+string(v[left,2])+"}}]},AspectRatio->Automatic,Axes -> True]];";
s3;
print("");
print("In order to see the Newton polytope and the Groebner
region paste the last 14 output lines into a Mathematicanotebook and then evaluate the cell with SHIFT RETURN
The NEWTON POLYTOPE is the polygon in red.
The GROEBNER REGION is the sector which contains the firstquadrant between the two red straight lines.");
29

Capitolul 2
Aplicat ¸ii ale algoritmului
de determinare a regiuniiGroebner
Scopul acestui capitol este de a aplica algoritmul de determinare a regiunii
Groebner la construirea, pentru un ideal I⊂k[X], a unei corespondent ¸e bijec-
tive ˆıntre diferitele ideale init ¸iale ¸si vˆarfurile unui obiect geometric pe care va
trebui s˘ a-l construim. Acest obiect va ﬁ numit politopul de stare pentru I¸si
ˆıl vom nota cu State(I).ˆIn particular, cˆ andI=(f) este un ideal principal,
State(I) este politopul Newton asociat. Pentru a putea construi State(I), vom
avea nevoie, mai ˆ ıntˆai, de cˆ ateva not ¸iuni de geometrie poliedral˘ a.
2.1 Poliedru. Con. Fat ¸˘a a unui poliedru
Deﬁnit ¸ia 2.1.1. Vom numi poliedru o intersect ¸ie ﬁnit˘ ad es e m i – s p a t ¸ii ˆınchise
dinRn.
De aceea, un poliedru Ppoate ﬁ scris ca:
P={x∈Rn:Ax≤b},A∈M r×n(R),b∈Rn.
Deﬁnit ¸ia 2.1.2. Os u b m u l t ¸imeC⊂Rnse numet ¸econ dac˘a
C={λ1u1+…+λmum|λ1, …, λ m∈R+,u1, …, u m∈Rn}.
Deﬁnit ¸ia 2.1.3. C∗={ω∈Rn|ω·c≤0,∀c∈C}se nume¸ steconul polar
al conului C.
Vom evident ¸ia not ¸iunile de mai sus pe urm˘ atorul exemplu:
Exemplul 2.1.4. Fie conul:
C={λ1u1+λ2u2|λ1,λ2∈R+,u1=( 1,3),u2=( 4,2)}.
30

Conul polar al lui Ceste dat, conform deﬁnit ¸iei, de:
C∗={ω∈R2|ω·c≤0,∀c∈C}.
Aceast˘ am u l t ¸ime este de fapt mult ¸imea tuturor vectorilor din R2care fac un
unghi obtuz cu vectorii din C.
Pentru a determina ace¸ sti vectori, trebuie mai ˆ ıntˆai s˘aa ﬂ ˘am dreptele ce
determin˘ a frontiera lui C. Aceste dou˘ a drepte trec prin origine ¸ si au vectorii
u1=( 1,3) ¸siu2=( 4,2) respectiv, ca vectori d irectori. De aceea, ecuat ¸iile sunt:
d1:y=3x,
d2:y=1
2x.
Conul Ceste regiunea din primul cadran cuprins˘ aˆıntre cele dou˘ a drepte, ca ˆ ın
Figura 2.1, marcat˘ ac uos ˘ ageat˘a circular˘ a.
Fig. 2.1: Vizualizarea conului polar pentru Exemplul 2.1.4.
Dac˘a vom g˘ asi vectorii normali ai acestor drepte vN(d1)¸sivN(d2), atunci
conul polar va ﬁ situat ˆ ıntre semi-dreptele ce au ca vectori directori vN(d1)¸si
vN(d2).
Vectorii normali sunt vN(d1)=(−3,1) ¸sivN(d2)=( 1 ,−2) (Am determinat
ace¸sti vectori din condit ¸iaui·vN(di)=0 , i=1,2). Deci, conul polar este
regiunea din Figura 2.1 marcat˘ ac us ˘ ageat˘a circular˘ a dubl˘ a.
ˆIn concluzie:
C∗={λ1vN(d1)+λ2vN(d2)|λ1,λ2∈R+,vN(d1)=(−3,1),vN(d2)=( 1 ,−2)}.
31

Deﬁnit ¸ia 2.1.5. Fiev1, …, v m∈Rn. Deﬁnim acoperirea convex˘ aal u i
v1, …, v m,c aﬁ i n d :
conv({v1, …, v m})=⎧
⎨
⎩m/summationdisplay
j=1ajvj|aj∈R+,m/summationdisplay
j=1aj=1⎫
⎬
⎭.
Deﬁnit ¸ia 2.1.6. Un poliedru P⊂Rnce este m˘ arginit se nume¸ stepolitop .
Exemplul 2.1.7. Cubul este un exemplu de politop 3-dimensional.
Observat ¸ia 2.1.8. Pentru un politop, exist˘ avj∈Rn,j=
1,mastfel ˆ ıncˆat
P=conv({v1, …, v m}).
Deﬁnit ¸ia 2.1.9. FiePun poliedru ˆ ınRn¸siω∈Rnv˘azut ca o funt ¸ional˘ a
liniar˘ a. Deﬁnim o fat¸˘aal u iP,c aﬁ i n d :
face ω(P)={u∈P|ω·u≥ω·v,∀v∈P}.
Un alt mod de a descrie face ω(P)e s t es ˘ a deﬁnim f:P−→Rprinf(x)=ω·
x.D a c ˘afˆı¸si atinge maximumul pe C, atunci face ω(P)={x∈P|f(x)e s t em a x i m }.
Dac˘a nu, atunci face ω(P)=∅.Putem de asemenea observa c˘ aface 0(P)=P,
ceea ce ˆ ınseamn˘ ac ˘aPeste o fat ¸˘aal u i P.
Observat ¸ia 2.1.10. Relat¸ia dintre poliedre “ Peste fat ¸˘aal u i P/prime”e s t et r a n z –
itiv˘a, datorit˘ au r m ˘ atoarei identit˘ at¸i de baz˘ a (pentru demonstrat ¸ie, se poate
consulta [Lauritzen, 2002], pg. 6):
face ω/prime(face ω(P)) =face ω+εω/prime(P),pentru ε>0 suﬁcient de mic .(2.1.1)
Fig. 2.2: Ilustrarea identit˘ at¸ii 2.1.1.
32

Exemplul 2.1.11. Putem discuta aceast˘ a identitate pentru cubul 3-dimensional.
Pentru acest exemplu, face ω(P) este muchia din spate sus ¸ siω/primeeste un vector
ˆındreptat spre dreapta. ˆIn ambele cazuri, cˆ and vom calcula, rezultatul va ﬁ
acela¸si: punctul marcat din Figura 2.2, care este tocmai face ω/prime(face ω(P)).
Acest exemplu poate ﬁ v˘ azut ca o aplicat ¸ie a algoritmului din
Capitolul 1, deoarece modul de evaluare al obiectului faceeste la
fel ca ¸ si cel al regiunii Groebner ,¸si anume: pentru a evalua expresia din
partea stˆ ang˘a(face ω/prime(face ω(P))), vom calcula ˆ ın primul rˆ andface ω(P), adic˘ a
vom determina care dintre fet ¸ele cubului maximizeaz˘ a funct ¸iaω·x,c ˆandωeste
dat ca ˆ ın Figura 2.2, iar xva apart ¸ine cubului. Deplasˆ andu-ne ˆ ın direct ¸iaω,
maximumul va ﬁ atins pe muchia superioar˘ a spate a cubului, pe care o vom
nota cu m. Expresia devine acum face ω/prime(m), ceea ce ˆ ınseamn˘ ac at r e b u i es ˘ a
g˘asim fat ¸a ce maximizeaz˘ aω/prime·x,c ˆandω/primeeste vectorul ˆ ındreptat spre dreapta,
ca ˆın Figura 2.2, iar xva apart ¸ine muchiei ma cubului. Deplasˆ andu-ne spre
dreapta, maximumul se atinge ˆ ın punctul scosˆ ın evident ¸˘aˆın Figura 2.2. Pentru
expresia din partea dreapt˘ a(face ω+εω/prime(P)), ne vom deplasa ˆ ın direct ¸iaω+εω/prime
pentru a maximiza ( ω+εω/prime)·x,c ˆandxapart¸ine cubului. Maximumul se atinge
ˆın acela¸ si punct marcat pe Figura 2.2.
Observat ¸ia 2.1.12. Algoritmul de determinare a regiunii Groebner se poate
aplica ¸ si la determinarea regiunilor Grobner ale fet ¸elor unui poliedru astfel:
g˘asim regiunea Groebner a fet ¸eiface ω(P) (pe care o putem nota cu GRω)¸si
apoi vom calcula regiunea Groebner a fet ¸eiface ω/prime(P) (pe care am notat-o cu
GR/prime
ω). Dac˘ a vom intersecta cele dou˘ a regiuni GRω∩GR/prime
ωvom obt ¸ine ca rezultat
tocmai regiunea Grobner a fet ¸eiface ω+εω/prime(P).
Deﬁnit ¸ia 2.1.13. Deﬁnim dimensiunea unei fet ¸eFa unui poliedru P,
dimP(F)= dimensiunea spat ¸iului aﬁn pe care-l genereaz˘ a¸sicodimensiunea
estecodimP(F)=d i m ( P)−dimP(F).Of a t¸˘ad ec o d i m e n s i u n e 1se nume¸ ste
fat¸et˘a.F e t¸ele de dimensiune 0¸si1sunt numite vˆarfuri ¸simuchii , respectiv.
Exemplul 2.1.14. Cubul 3-dimensional are exact 27 de fet ¸e:
8f e t¸e de dimensiune 0 = 8 vˆ arfuri
12 fet¸e de dimensiune 1 = 12 muchii
6f e t¸e de dimensiune 2 = 6 fet ¸e uzuale
1f a t¸˘a de dimensiune 3 = cubul. /square
Teorema 2.1.15. Orice poliedru Ppoate ﬁ scris ca sum˘ aP=Q+Cdintr-un
politop Q¸si un unic con C.
Demonstrat ¸ie.A se vedea Sect ¸iunea 8.2 din [Schrijver, 1998]. /square
Deﬁnit ¸ia 2.1.16. Conul Cdin teorema anterioar˘ as en u m e ¸ stecon de rece-
siune al poliedrului P.
Exemplul 2.1.17. S˘ac o n s i d e r ˘ am poliedrul Pdin Figura 2.3. Pse descompune
ˆıntr-un politop Q¸si un con de recesiune Cca ˆın Figura 2.3. Conul de recesiune
este dat de direct ¸iile celor dou˘ a muchii inﬁnite.
33

Fig. 2.3: Ilustrarea descompunerii din Teorema 2.1.15.
2.2 ˆInsumarea poliedrelor
ˆIn descompunerea din Teorema 2.1.15 ap˘ area semnul de adunareˆ ıntre poliedrele
P¸siQ. Vom deﬁni ˆ ın general suma a dou˘ a poliedre astfel:
Deﬁnit ¸ia 2.2.1. Vom numi suma Minkowski de poliedre :
P1+P2:={p1∈P1,p2∈P2}.
Observat ¸ia 2.2.2. Un element de baz˘ al ao p e r a t ¸ia de sumare Minkowski este
aditivitatea fet ¸elor:
face ω(P1+P2)=face ω(P1)+face ω(P2),
ceea ce ˆ ınseamn˘ ac ˘ad a c ˘aveste un vˆ arf al lui P1+P2,a t u n c ie x i s t ˘ av ˆarfurile
unice p1al lui P1¸sip2al lui P2astfel ˆ ıncˆatv=p1+p2.Suma Minkowski a
dou˘a poliedre poate ﬁ f˘ acut˘a astfel: ﬁecare vˆ arf al sumei Minkowski este suma
vˆarfurilor sumanzilor. Unele sume de vˆ arfuri ne vor da puncte interioare sumei
Minkowski ¸ si nu vˆ arfuri ale ei. S˘ ao b s e r v ˘ am de asemenea c˘ a orice latur˘ aal u i
P1+P2este translat ¸ie a unei laturi din P1sauP2. U na l tm o dd eac a l c u l a
suma Minkowski il vom descrie mai jos ˆ ın aceast˘ a sect¸iune.
Exemplul 2.2.3. S˘ac o n s i d e r ˘ am dou˘ a poligoane A1A2A3A4¸siB1B2B3B4,
unde A1=( 0,0),A2=(−3,2),A3=(−2,4),A4=( 0,2) ¸siB1=( 0,0),
B2=( 2,0),B3=( 3,3),B4=( 0,3).Vrem s˘ ac a l c u l ˘ am suma Minkowski a
acestor dou˘ a poligoane, reprezentate ¸ si ˆın Figura 2.4.
34

Fig. 2.4: Poligoanele pe care le ˆ ınsum˘ am Minkowski.
A¸sa cum am precizat mai su s, putem calcula aceast˘ as u m ˘ ap r i nd o u ˘ a metode.
Prin prima metod˘ a, putem aduna ﬁecare punct al primului poligon cu ﬁecare
punct al celui de-al doilea poligon ¸ si dup˘ a aceea s˘ ac a l c u l ˘ am politopul New-
ton al acestor noi puncte. Pentru acest pas putem folosi ¸ siprocedura din
algoritmul de determinare a regiunii Groebner ce calcula politopulNewton asociat unui polinom . Vom preciza mai jos ¸ si rezultatele de care
avem nevoie pentru aceast˘ am e t o d ˘ a. A doua metod˘ av aﬁi n s p i r a t ˘ at o td e algo-
ritmul de determinare a regiunii Groebner ,ˆın spet ¸˘a, deprocedura ce
ordoneaz˘ a pantele tuturor segmentelor init ¸iale. Oricare dintre metode
am folosi, rezultatul este acela¸ si, adic˘ a poligonul din Figura 2.5.
Fig. 2.5: Suma Minkowski a poligoanelor din Figura 2.4.
35

Pentru a putea aplica procedura de determinare a politopului New-
ton folosit˘ aˆın algoritmul din Capitolul 1, la calcularea sumei Minkowski
ad o u ˘a poliedre , vom exprima poliedrele ca polinoame ˆ ınk[X]. Dup˘ ac ea m
f˘acut aceast˘ a transformare, vom avea nevoie de un rezultat care s˘ al e g es u m a
Minkowski de polinoamele obt ¸inute. Rezultatul pe ca re-l vom demonstra va
aﬁrma c˘ a suma Minkowski este tocmai politopul Newton al produsului poli-
noamelor.
Lema 2.2.4. Pentru orice ω∈Rn¸sif∈k[X]avem c˘ a:
face ω(New(f)) =New(inω(f)).
Demonstrat ¸ie.A se vedea [Sturmfels, 1996], pg. 12. /square
D˘am rezultatul de baz˘ aˆın aplicarea algoritmului nostru din Capitolul 1 la
sumarea Minkowski:
Lema 2.2.5. Fief,g∈k[X].A t u n c i
New(f·g)=Mink (f,g),
unde prin Mink (f,g)ˆınt¸elegem suma Minkowski a politopilor Newton ata¸ sati
celor dou˘ ap o l i n o a m e .
Demonstrat ¸ie.Este suﬁcient s˘ aa r ˘at˘am c˘a cei doi politopi au acelea¸ si vˆarfuri.
S˘ao b s e r v ˘ am c˘al e m ae s t ea d e v ˘ arat˘a pentru monoame. Dac˘ af=Xa¸sig=
Xb, atunci Mink (f,g)=Mink (Xa,Xb)=New(Xa)+New(Xb)=a+b=
New(Xa+b)=New(Xa·Xb)=New(f·g).
Pentru cazul netrivial, avem: face ω(New(f·g))Lema 2.2.4= New(inω(f·
g)) =New(inω(f)·inω(g))monoame== New(inω(f)) +New(inω(g))Lema 2.2.4=
face ω(New(f)) +face ω(New(g)) =Observatia 2.2.2= face ω(New(f)+New(g)).
Putem concluziona c˘ a cei doi politopi au aceea¸ si mult ¸ime de vˆ arfuri, deci
vor ﬁ egali. /square
Cu ajutorul Lemei 2.2.5 am ar˘ atat c˘ a procedura de calculare a politopului
Newton din algoritmul de determinare a regiunii Groebner poate ﬁ folosit˘ ac u
succes ¸ pentru calcularea sumei Minkowski a doi politopi.
2.3 Determinarea fanului normal al unui poliedru
Vom aplica o rutin˘ a a algoritmului de determinare a regiunii Groebner pentru
a construi fanul normal al unui poliedru.
Deﬁnit ¸ia 2.3.1. FieP⊂Rnun poliedru ¸ siFof a t¸˘aal u i P. Deﬁnim conul
normal al lui FˆınP:
NP(F)={ω∈Rn:face ω(P)=F}.
36

Utilizarea termenului de con ˆ ın Deﬁnit ¸ia 2.3.1 este ˆ ındrept˘ at¸it˘a de un rezul-
tat ce aﬁrm˘ ac ˘a
NP(F) este un con (pentru demonstrat ¸ie, se va consulta
[Lauritzen, 2002], pg. 8).
Observat ¸ia 2.3.2. 1) dim( NP(F)) =n−dimP(F);
2) Dac˘ aF¸siF/primesunt fet ¸e ale lui P, atunci F/primeeste fat ¸˘aal u i Fdac˘a¸si numai
dac˘aNP(F)e s t ef a t ¸˘aal u i NP(F/prime).
Demonstrat ¸ie.[Mora ¸ si Robbiano, 1988]. /square
Exemplul 2.3.3. Fief(X1,X2)=X5
1X2
2+X4
1X4
2+X4
1+X2
1X5
2+X1X2
2+
X6
2+X2.V r e m s ˘ ac a l c u l ˘ am conurile normale ale ﬁec˘ arei fet ¸e a politopului
P=conv(f).
Fig. 2.6: Politopul c˘ aruia ˆ ıi calcul˘ am fanul normal.
ˆIn Figura 2.6, pentru o muchie arbitrar˘ adi, conul normal NP(di) este o semi-
dreapt˘ a ce trece prin origine ¸ si are ca vector director tocmai vectorul normal al
luidi, i.e.vN(di)( v e d e t ¸i Figura 2.7).
Pentru un vˆ arf arbitrar Ai, conul normal NP(Ai)e s t eu nc o nd a td es e m i –
dreptele ce au ca vectori directori tocmai vectorii normali ai muchiilor incidente
ˆınAi, i.e.vN(dj)¸sivN(dk).
C o n u ln o r m a la lﬁ e c ˘ arui vˆ arf, precum ¸ si al ﬁec˘ arei muchii se poate g˘ asi cu
u¸surint¸˘afolosind algoritmul de determinare a regiunii Groebner , unde
va trebui eliminat˘ a condit ¸ia de intersect ¸ie cu primul cadran.
Se poate veriﬁca ¸ si Observat ¸ia 2.3.2:
dim(NP(A7)) = 2 −dimP(A7)=2−0=2,
ceea ce este adev˘ arat, iar
A2este o fat ¸˘aal u i d4⇐⇒ N P(d4)e s t eof a t ¸˘aal u i NP(A2),
este de asemenea adev˘ arat˘a.
37

Fig. 2.7: Ilustratea conurilor normale pentru ﬁecare fat ¸˘a a politopului din Figura
2.6.
Deﬁnit ¸ia 2.3.4. Uncomplex Δeste o colect ¸ie ﬁnit˘ a de poliedre din Rnastfel
ˆıncˆat
(i) dac˘ aP∈Δ¸siFeste o fat ¸˘aal u i P,a t u n c i F∈Δ;
(ii) dac˘ aP1,P2∈Δ,a t u n c i P1∩P2este o fat ¸˘aal u i P1sau a lui P2.
|Δ|=/uniontext
P∈ΔPse nume¸ stesuportul complexului Δ.
Deﬁnit ¸ia 2.3.5. Un complex Δformat din conuri se nume¸ stefan.
Deﬁnit ¸ia 2.3.6. Un fan Δse nume¸ stecomplet dac˘a|Δ|=Rn.
Deﬁnit ¸ia 2.3.7. Colect ¸ia de conuri normale NP(F),u n d e Fparcurge mult ¸imea
fet¸elor lui P:
N(P)=/uniondisplay
F∈PNP(F)
se numet ¸efanul normal al lui P.
Folosirea termenului fan ˆ ın deﬁnit ¸ia de mai sus este justiﬁcat˘ a de rezultatul
ce aﬁrm˘ ac ˘aN(P) este fan ([Lauritzen, 2002], pg. 9).
ˆIn Figura 2.7 avem ilustrat fanul normal al politopului din Figura 2.6.
Observat ¸ia 2.3.8. 1)|N(P)|=C∗, unde Ceste conul de recesiune al poliedru-
luiP.
2) Dac˘ aQeste un politop, atunci |N(Q)|=Rn.
Demonstrat ¸ie.1) A se vedea [Mora ¸ si Robbiano, 1988].
Pentru 2), dac˘ aQeste un politop, atunci conul lui de recesiune este {0}¸si
conul polar C∗=Rn. Folosind 1), avem c˘ a:|N(Q)|=C∗=Rn.
38

Fig. 2.8: Poliedrul pe care vom ilustra Observat ¸ia 2.3.8.
Exemplul 2.3.9. S˘ac o n s i d e r ˘ am poliedrul Pdin Figura 2.8 ce are dou˘ al a t u r i
inﬁnite.
Vom ilustra primul punct din Observat ¸ia 2.3.8.
Fanul normal N(P) este dat, conform Deﬁnit ¸iei 2.3.7, de reuniunea tuturor
conurilor normale ale fet ¸elor poliedrului P. Aceste conuri normale se determin˘ a
folosindu-ne de algoritmul de determinare a regiunii Groebner modiﬁcat ca ˆ ın
Exemplul 2.3.3. Deci, suportul lui N(P) va ﬁ tocmai regiunea cuprins˘ aˆıntre
semidreptele ce pornesc din origine ¸ si au ca vectori directori (2 ,−1) ¸si (1,2),
regiune ce este marcat˘ a pe Figura 2.9 cu un arc de cerc.
Conul de recesiune al poliedrului Peste calculat ˆ ın Exemplul 2.1.17 ¸ si este
dat de vectorii directori ai laturilor inﬁnite ale poliedrului. Conul polar al acestui
con, adic˘ aC∗este dat, conform Deﬁnit ¸iei 2.1.3, de vectorii ce formeaz˘ a unghi
obtuz cu vectorii din conul C.L an o i ,a c e ¸ sti vectori sunt cuprin¸ si ˆıntre (2 ,−1)
¸si (1,2), adic˘ ae x a c tˆ ıntre vectorii ce ne d˘ adeau |N(P)|(ˆIn exemplul ales, conul
de recesiune are laturile supo rt perpendiculare din cauz˘ ac ˘a poliedrul init ¸ial
are laturile inﬁnite perpendiculare. Din acest motiv, conul polar al conului de
recesiune are ¸ si el laturile suport perpendiculare).
Not¸iunea de fan normal se aplic˘ a¸si la deﬁnirea izomorﬁsmului politopilor,
astfel:
Deﬁnit ¸ia 2.3.10. Doi politopi Q¸siQ/primese numesc tare izomorﬁ dac˘aN(Q)=
N(Q/prime).
2.4 Fanul Groebner s ¸i politopul de stare al unui ideal
Scopul acestei sect ¸iuni este de a construi, pentru un ideal I⊂k[X], o corespondent ¸˘a
bijectiv˘ aˆıntre diferitele ideale init ¸iale ¸si vˆarfurile unui obiect geometric pe care
39

Fig. 2.9: Ilustrarea Observat ¸iei 2.3.8.
va trebui s˘ a-l construim. Acest obiect va ﬁ numit politopul de stare pentru I
¸si ˆıl vom nota cu State(I). In particular, cˆ andI=(f) este un ideal principal,
State(I) este politopul Newton asociat.
Din nou, amintim cˆ ateva not ¸iuni necesare din teoria ordon˘ arilor monomiale.
Deﬁnit ¸ia 2.4.1. Fie<o ordonare monomial˘ a¸siIun ideal ˆ ınk[X].M o n o a m e l e
Xv/∈in<(I),v∈Nnse numesc monoame standard .
Propozit ¸ia 2.4.2. Mult¸imea monoamelor standard formeaz˘ aok-baz˘ap e n t r u
spat¸iul vectorialk[X]
I.
Demonstrat ¸ie.S˘an o t ˘am mult ¸imea din enunt ¸c u
S={[Xv]|v∈Nn,Xv/∈in<(I)}
Fieλ1, .., λ r∈k.S ˘ac o n s i d e r ˘ am o combinat ¸ie liniar˘ an u l ˘ad ee l e m e n t ed i n
S:λ1[Xv1]+…+λr[Xvr] = 0 unde vi∈Nn¸siXvi/∈in<(I),i=
1,r.
Darf=λ1Xv1+…+λrXvr∈I.D a c ˘af/negationslash= 0, atunci in<(f)∈in<(I) ceea
ce ar ﬁ o contradict ¸ie cu faptul c˘ afeste scris ca o sum˘ a de monoame standard.
Avem atunci c˘ af=0i m p i c ˘ aλ1=λ2=…λr= 0, deci Seste sistem liniar
independent.
FieG={g1, …, g r}ob a z ˘aG r¨obner pentru Iˆın raport cu <. Atunci in<(I)=
(in<(g1), …, in <(gr)).
Fie [f]∈k[X]
I. Atunci [ f]=[
fG], unde
fGeste o sum˘ a de termeni ce nu
sunt ˆınin<(I) i.e. sum˘ a de monoame standard ¸ siSeste sistem de generatori
pentruk[X]
I./square
Propozit ¸ia 2.4.3. Fie<¸si<2dou˘a ordon˘ ari monomiale. Dac˘ ain<1(I)⊆
in<2(I),a t u n c i in<1(I)=in<2(I).
40

Demonstrat ¸ie.Presupunem prin reducere la absurd ca avem incluziune
stricta. S˘ ac o n s i d e r ˘ am spat ¸iile vectorialek[X]
in<1(I)/supersetornotdbleqlk[X]
in<2(I). Monoamele stan-
dard relativ la in<1(I), respectiv in<2(I) formeaz˘ ab a z ˘ai nk[X]
Ipeste k.I n –
cluziunea strict˘ an ed u c el ac o n t r a d i c t ¸ie pentru ca de exemplu, un sistem liniar
independent dink[X]
in<2(I)este maximal ¸ si ad˘augˆandu-i un element dink[X]
in<1(I)ce
nu este ˆ ınk[X]
in<2(I), sistemul de vectori nu mai este liniar independent. /square
Propozit ¸ia 2.4.4. PeNn,n≥2exist˘ aom u l t ¸ime nenum˘ arabil˘ a de ordon˘ ari
monomiale.
Demonstrat ¸ie.A se vedea [Lauritzen, 2002a]. /square
Cu toate c˘ ao r d o n ˘ arile monomiale constituie o mult ¸ime nenum˘ arabil˘ a, pentru
un ideal ﬁxat Ile putem grupa ˆ ıntr-un num˘ ar ﬁnit de clase de echivalent ¸˘a, a¸sa
cum vom ar˘ ata ˆın teorema ce urmeaz˘ a.
Teorema 2.4.5. FieIun ideal ˆ ınk[X].A t u n c im u l t ¸imea
T={in<(I)|<ordonare monomial˘ a}
este ﬁnit˘ a.
Demonstrat ¸ie.S˘a presupunem c˘ aTeste inﬁnit˘ a.
Fief∈I−{0}.fva ﬁ atunci o sum˘ a ﬁnit˘ ad et e r m e n i( I= ﬁnit generat)¸ si
ˆın consecint ¸˘afare cel put ¸in un monom m1ce apart ¸ine unei mult ¸imi inﬁnite T1
de ideale init ¸iale din T
Putem g˘ asi un ideal init ¸ialin<1(I)ˆınT1astfel ˆ ıncˆat (m1)/subsetornotdbleqlin<1(I).
(•(m1) trebuie s˘ as er e g ˘ aseasc˘ a printre elementele lui T1;
•daca ( m1)=in<1(I),∀mi,dar cum ( mi) sunt in num˘ ar ﬁnit ( f=/summationtextmi),
rezult˘ ac ˘aT1= este ﬁnit˘ a, contradictie).
Deci ( m1)/subsetornoteqlin<1(I). Din Propozit ¸ia 2.4.2, rezult˘ ac ˘ae x i s t ˘ a un monom
m∈in<1(I)−(m1)a s t f e lˆ ıncˆat [m]=λ1[n1]+…+λr[nr]c un1,n2, …, n r
monoame /∈(m1), adic˘ a putem g˘ asif1∈I−{0}ce nu are monoame ˆ ın (m1).
Fie (m2) un monom ce apart ¸ine unei mult ¸imi inﬁnite T2de ideale init ¸iale
dinT1.
Analog putem g˘ asif2∈I−{0}ce nu are monoameˆ ın (m1,m2). Continuˆ and
acest procedeu, putem g˘ asi un lant ¸ inﬁnit strict ascendent de ideale ( m1)/subsetornotdbleql
(m1,m2)/subsetornotdbleql…, ceea ce contrazice faptul c˘ ai n e l u l k[X]e s t en o e t h e r i a n . /square
Folosindu-ne de aceast˘ at e o r e m ˘ a, putem ajunge la not ¸iunea de baz˘ aG r o e b –
ner universal˘ a.
Deﬁnit ¸ia 2.4.6. FieIun ideal ˆ ınk[X].Obaz˘a Groebner universal˘ apentru
Ieste o mult ¸ime (ﬁnit˘ a)G⊆Ice este baz˘ a Groebner pentru orice ordonare
monomial˘ a.
Corolarul 2.4.7. FieIun ideal ˆ ınk[X].A t u n c i Iare o baz˘ a Groebner uni-
versal˘ a.
41

Demonstrat ¸ie.Fiein<1(I), …, in <m(I) idealele init ¸iale (num˘ ar ﬁnit) ale lui
I. Vom considera bazele Groebner G1, …, G mcorespunz˘ atoare idealelor de mai
sus.
LuˆandG=G1∪…∪Gm, aceasta este o baz˘ a Groebner pentru orice ordonare
monomial˘ a, deci Geste baz˘ a Groebner universal˘ a./square
Deﬁnit ¸ia 2.4.8. FieI⊂k[X]un ideal ¸ siv,ω∈Rn.Deﬁnim
v∼ω⇐⇒inv(I)=inω(I)
oc l a s ˘ a de echivalent ¸˘ap eRn.Clasa de echivalent ¸˘ac ec o n t ¸ineωeste
C[ω]={v∈Rn|v∼ω}.
Propozit ¸ia 2.4.9. Fieω∈Rn.Atunci
C[ω]este un con ˆ ınRn.
Demonstrat ¸ie.A se vedea [Sturmfels, 1996], pg. 12. /square
Lema 2.4.10. Fieω∈Rn.Atunci C[ω]=NQ(face ω(Q)),undeQ=New(/producttext
g∈Gg)
¸siGeste baza Groebner redus˘ a1al u iI.
Demonstrat ¸ie.A se vedea [Lauritzen, 2002], pg. 13. /square
Propozit ¸ia 2.4.11. FieGF(I)={
C[ω]|ω∈Rn}∪∅ .A t u n c i GF(I)este un
fan.
Demonstrat ¸ie.A se vedea [Lauritzen, 2002], pg. 14. /square
Avˆand rezultatul de mai sus putem acum s˘ a deﬁnim
Deﬁnit ¸ia 2.4.12. GF(I)se numet ¸efanul Groebner al lui I.
Politopul de stare se deﬁne¸ ste pe baza fanului Groebner astfel:
Deﬁnit ¸ia 2.4.13. FieM⊂Rnun politop. Spunem c˘ aMeste un politop de
stare pentru I, dac˘ aN(M)=GF(I).
Teorema 2.4.14. FieIun ideal omogen ˆ ınk[X].A t u n c i e x i s t ˘ a un politop
State(I)⊂Rnal c˘arui fan normal N(State(I))coincide cu fanul Groebner
GF(I).
Demonstrat ¸ie.A se vedea [Sturmfels, 1996], pg. 14. /square
Acum ne vom ˆ ıntoarce la cazul din algoritmu l de determinare a regiunii
Groebner pentru a putea calcula politopul de stare.
Propozit ¸ia 2.4.15. Fiefun polinom omogen ¸ siI=(f)idealul principal pe
care acesta ˆ ıl genereaz˘ a. Atunci politopul Newton New(f)este un politop de
stare pentru I.
1Dac˘an i c iu nm o n o md i nm u l t ¸imea {in<(g1), …, in <(gr)}nu este redundant, atunci baza
Groebner Gse nume¸ ste minimal˘ a.B a z a e s t e n u m i t ˘ aredus˘ adac˘a, pentru oricare dou˘ ae l e –
mente distincte g, g/prime∈G, niciun termen al lui g/primenu este divizibil prin in<(g).
42

Demonstrat ¸ie.Baza Groebner redus˘ aal u i Iˆın raport cu orice ordonare
monomial˘ ae s t ed a t ˘ a de sigletonul {f}. Folosind Lema 2.4.10, avem c˘ a:
C[ω]=NNew(f)(face ω(New(f))),
i.e. clasele de echivalent ¸˘a ale ordon˘ arilor monomiale sunt fanul normal al poli-
topului Newton New(f). Deci, conform Deﬁnit ¸iei 2.4.13 State(I)=New(f)./square
Corolarul 2.4.16. FieGob a z ˘ a Groebner universal˘ ap e n t r u I(este o baz˘ a
Groebner redus˘ ap e n t r u Iˆın raport cu orice ordonare monomial˘ a). Atunci
/summationdisplay
g∈GNew(g)=State(I).
43

Capitolul 3
Invariant ¸i pre-T ¸i t¸eica
La sfˆar¸s i t u ls e c o l u l u ia lX I X – l e a ,c ˆ ateva dintre problemele importante din geome-
tria diferent ¸ial˘a au fost rezolvate datorit˘ a faimosului Program de la Erlangen
al lui F. Klein ce a oferit ideea de a studia geometria prin anumite grupuri
de transformari. Urmˆ and ideile lui F. Klein, Gh. T ¸it¸ e i c aas t u d i a tc u r b e¸ si
suprafet ¸e obt¸inˆand importante propriet˘ at¸i aﬁne, centro-aﬁne ¸ si proiective ale
obiectelor supuse transform˘ arilor, descoperind ˆ ın 1907 o clas˘ a de suprafet ¸e din
spat¸iul 3-dimensional ( suprafet ¸eleS), ce sunt ast˘ azi exemple de sfere aﬁne. Din
punct de vedere istoric, Gh. T ¸it¸eica a fost primul geometru ce a studiat sferele
aﬁne folosind invariant ¸i euclidieni. Un studiu asupra invariantului T ¸it¸eica, de-
scoperirea lui, generarea geometriei aﬁne ¸ si dezvolt˘ ari ulterioare ale teoriei sunt
cuprinse ˆ ın lucrarea [Agnew, Bobe ,B o s k o ﬀ¸ si Suceav˘ a, 2007].
A¸sa cum chiar T ¸it¸eica aﬁrma, avˆ and dat˘ aoc l a s ˘ a de obiecte, pentru a le
studia propriet˘ at¸ile ce sunt invariante fat ¸˘a de un anumit grup de transform˘ ari,
trebuie s˘ ac o n s i d e r ˘ am un element arbitrar al clasei de obiecte ¸ si s˘a vedem ce
relat¸ii satisface aceasta astfelˆ ıncˆat aceste relat ¸ii s˘a ﬁe invariante pentru ˆ ıntreaga
clas˘a, la act ¸iunea acelui grup. Mai exact, vom c˘ auta relat ¸ii ˆıntre m˘ arimile car-
acteristice curbelor ¸ si suprafet ¸elor ce se p˘ astreaz˘ as u ba c t ¸iunea transform˘ arilor
centro-aﬁne, idee ce ne va conduce la not ¸iunea de suprafet ¸e T¸it¸eica ¸si d˘am astfel
un alt r˘ aspuns la ˆ ıntrebarea: “Cum ¸ si de ce au ap˘ arut suprafet ¸ele T ¸i t¸eica?” .
3.1 Relat ¸ii liniare pentru curbe de pe suprafet ¸eˆın de-
formare
A¸sa cum am spus mai sus, pentru a ajunge la suprafet ¸e T¸itet¸ica, vom c˘ auta mai
ˆıntˆai relat ¸ii asem˘ an˘atoare la curbe pe suprafet ¸e. Relat ¸iile pe care le vom c˘ auta
sunt ˆıntre curbura curbelor ¸ si distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant asociat.
Vom cerceta dac˘ a aceste relat ¸ii sunt invariante la centro-aﬁnit˘ at¸i.
Vom analiza cazul intersect ¸iei sferei de raz˘ aRcu planul z=r<R (Figura
3.1) ¸si atunci cercul de intersect ¸ie are raza R1=√
R2−r2¸si curbura lui este
K1=1
R1=1
√
R2−r2.
44

Fig. 3.1: Vizualizarea relat ¸ieiK1·d=ct.
Distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant ˆ ıntr-un punct la cerc este d=√
R2−r2(Figura 3.1) ¸ si astfel vom obt ¸ineK1·d=ct=1 .
Pentru a vedea dac˘ ar e l a t ¸iaK1·d=ctcaracterizeaz˘ a¸si alte curbe de
intersect ¸ie ale unor suprafet ¸e cu planul z=r, vom avea nevoie de expresiile
generale pentru curbura unei curbe de pe o suprafat ¸a ¸si distant ¸a de la origine
la planul rectiﬁcant. Ele apar ˆ ın urm˘ atoarea propozit ¸ie clasic˘ a.
Propozit ¸ia 3.1.1. Fiind dat˘ aoc u r b ˘ ap l a n ˘ ac(x)=(x, f(x),c t)avem:
a)K1(x)=|f/prime/prime(x)|
/parenleftBig√
1+(f/prime(x))2/parenrightBig3,K1(x)ﬁind curbura curbei ˆ ıntr-un punct;
b)d(0,π)=|f(x)−xf/prime(x)|
√
1+(f/prime(x))2,u n d e πeste planul rectiﬁcant.
Revenim acum la ideea de a c˘ auta curbe ce ˆ ındeplinesc relatia K1·d=ct,
undeK1este curbura curbei ¸ sideste distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant
al curbei ˆ ıntr-un punct.
S˘ac o n s i d e r ˘ am,suprafet ¸ele tetraedrale ˆ ın deformare ,a d i c ˘a cele date de ecuat ¸ia:
xm
m+1+ym
m+1+zm
m+1=1 ,m∈Z\{ −1,0},
pe care le vom nota cu ST.M a i ˆ ıntˆai s˘ao b s e r v ˘ am c˘ap e n t r u m=−2s e
obt¸inex2+y2+z2=1 ,a d i c ˘ a sfera uzual˘ aS2,i a rp e n t r u m= 2 vom avea
x2
3+y2
3+z2
3=1 ,a d i c ˘ a sfera astroidal˘ aS1.
S˘a vedem cum arat˘ a aceste suprafet ¸e tetraedrale pentru cˆ ateva valori ale
luim,m∈{3,9}.ˆIn Figura 3.1 putem observa ca suprafat ¸a tetraedral˘ aa r eo
anumit˘ a curbur˘ a, iar ˆ ın Figura 3.1 curbura se estompeaz˘ a. Cu cˆ at vom cre¸ ste
m,c ua t ˆ at mai mult suprafat ¸a va deveni de curbur˘ aa p r o p i a t ˘ a de zero.
Observat ¸ia 3.1.2. Pentru m=±2, relat ¸iaK1·d=cteste veriﬁcat˘ a.
Vom ar˘ ata c˘am=±2 sunt singurele valori pentru care suprafet ¸ele (ST)
veriﬁc˘ ar e l a t¸iaK1·d=ct.
45

Fig. 3.2: Suprafat ¸˘a tetraedral˘ ap e n t r u m=3
Fig. 3.3: Suprafat ¸˘a tetraedral˘ ap e n t r u m=9
Teorema 3.1.3. Curbele determinate de intersect ¸ia suprafet ¸elor tetraedrale ˆ ın
deformare (ST)cu planul z=c<1veriﬁc˘ ar e l a t ¸iaK1·d=ct(unde K1este
curbura curbei de intersect ¸ie, iar deste distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant
al curbei) dac˘ a¸si numai dac˘ am=±2.
Demonstrat ¸ie.Consider˘ am curba de intersect ¸ie a suprafet ¸ei tetraedrale cu
planul z=c<1. Not˘ am cu a=1−cm
m+1>0. Atunci, aceasta curba veriﬁc˘ a
ecuat¸ia:
xm
m+1+ym
m+1=a.
Deci, vom construi curba y=f(x)ˆın forma
f(x)=(a−xm
m+1)m+1
m.
46

Conform Propozit ¸iei 3.1.1, expresiile curburii ¸ si distant ¸ei vor ﬁ:
K1(x)=|f/prime/prime(x)|
/parenleftbigg/radicalBig
1+(f/prime(x))2/parenrightbigg3=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglea
m+1x−2−m
m+1(a−xm
m+1)1−m
m/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
/bracketleftBig
1+x−2
m+1(a−xm
m+1)2
m/bracketrightBig3
2
¸si
d(0,π)=|f(x)−xf/prime(x)|
/radicalBig
1+(f/prime(x))2=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglea(a−xm
m+1)1
m/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
/bracketleftBig
1+x−2
m+1(a−xm
m+1)2
m/bracketrightBig1
2.
Astfel vom avea ¸ si relat ¸ia dintre curbura ¸ si distant ¸˘a:
K1(x)·d(0,π)=a2
|m+1|·x−2−m
m+1(a−xm
m+1)1−m
m+1
m
/bracketleftBig
1+x−2
m+1(a−xm
m+1)2
m/bracketrightBig2.
I. Pentru ca produsul K1(x)·d(0,π)s ˘a ﬁe constant, trebuie, ˆ ın primul rˆ and,
ca expresia s˘ a nu mai depind˘ ad ex.G ˘asim:−2−m
m+1=0= ⇒m=−2. Deci,
pentru sfera uzual˘ a, relat ¸ia este: K1(x)·d(0,π)=1= ct.
II. Mai avem o posibilitate ca produsul K1(x)·d(0,π)s ˘a ﬁe constant: ter-
menii ce cont ¸in (a−xm
m+1)s ˘ad i s p a r ˘ a, deci puterile la care apare ˆ ın produs s˘ a
ﬁe zero:1−m
m+1
m=0=⇒m=2 .
Deci, pentru sfera astroidal˘ ar e l a t¸ i av aﬁ : K1(x)·d(0,π)=1
3=ct./square
V o mc o n s i d e r aoa l t ˘ ac l a s ˘a de suprafet ¸e, pe care le vom numi sfere astroidale
ˆın deformare (SA), anume cele date de ecuat ¸ia:
x2
2m+1+y2
2m+1+z2
2m+1=1,m∈N.
Rezultatul Teoremei 3.1.3 se p˘ astreaz˘ a pentru aceste suprafet ¸e, cum vom
ar˘ataˆın continuare. Pentru m=0s eo b t ¸inex2+y2+z2=1 ,a d i c ˘ a sfera uzual˘ a
S2,i a rp e n t r u m= 1 vom avea x2
3+y2
3+z2
3=1 ,a d i c ˘ a sfera astroidal˘ aS1.
Clasa acestor suprafet ¸e este mult mai interesant˘ a deoarece ne ofer˘ as u p o r t u l
vizual al deform˘ arii. S˘ a vedem cum arat˘ a aceste suprafet ¸e pentru cˆ ateva valori
ale lui m,m∈{1,2,3,4}.
Teorema 3.1.4. Curbele determinate de intersect ¸ia sferelor astroidale ˆ ın defor-
mare(SA)cu planul z=c<1veriﬁc˘ ar e l a t ¸iaK1·d=ct(unde K1este curbura
curbei de intersect ¸ie, iar deste distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant al
curbei), dac˘ a¸si numai dac˘ am=0saum=1.
Observat ¸ia 3.1.5. Pentru ambele clase de suprafet ¸e studiate ( ST)¸si (SA)a m
obt¸inut c˘ a produsul K1(x)·d(0,π) este constant doar ˆ ın cazul sferei uzuale ¸ si
a celei astroidale, ce sunt singurele suprafet ¸e din ST∪SA(singurele solut ¸ii ale
ecuat¸ieim
m+1=2
2k+1,m∈Z−{−1},k∈Nsunt numai m=±2, deoarece relat ¸ia
se scrie k=m+2
2m∈N).
47

Fig. 3.4: Sferele astroidale ˆ ın deformare pentru m∈{1,2}
Fig. 3.5: Sferele astroidale ˆ ın deformare pentru m∈{3,4}
Vom analiza dac˘ ar e l a t ¸iaK1(x)·d(0,π)=ctr˘amˆane invariant˘ al at r a n s –
form˘arile centro-aﬁne.
Propozit ¸ia 3.1.6. Relat¸iaK1(x)·d(0,π)=ctnu este un invariant centro-aﬁn
pentru curbele determinate de intersect ¸ia dintre sfer˘ a¸si un plan oarecare.
Demonstrat ¸ie.Cum curbele de intersect ¸ie sunt cercuri, iar transformata cen-
t r o a ﬁ n aau n u ic e r ce s t eoe l i p s ˘ a, va trebui s˘ aa r ˘at˘am numai c˘ a elipsa nu veriﬁc˘ a
relat¸ia din enunt ¸. F˘ar˘a a restrˆ ange generalitatea problemei, vom considera o
elips˘a centrat˘ aˆın origine.
Folosind expresiile pentru curbur˘ a¸si distant ¸˘a din Propozit ¸ia 3.1.1, vom
obt¸ine:
K1(x)·d(0,π)=a2b2/parenleftbig
a2−x2/parenrightbig−2
/bracketleftBig
1+b2
a2x2(a2−x2)−1/bracketrightBig2=a2b2a4+x2(b2−a2)
a4.
48

Expresia de mai sus nu poate ﬁ constant˘ a decˆat ˆın cazul ˆ ın care a=b,
adic˘a atunci cˆ and elipsa este un cerc, ceea ce se ¸ stia deja. A¸ sadar am ar˘ atat c˘ a
relat¸iaK1(x)·d(0,π)=ctnu este un invariant pentru curbele de intersect ¸ie
ale planelor paralele cu xOycu sfere. /square
ˆInainte de a trece la alte relat ¸iiˆıntre m˘ arimile fundamentale asociate curbelor
sau suprafet ¸elor, vom vedea dac˘ a, pentru curbele de intersect ¸ i ed ep es u p r a f e t ¸ele
tetraedrale ˆ ın deformare ( ST)¸si de pe sferele astroidale ˆ ın deformare ( SA),
relat¸iaK1(x)·d(0,π)=cteste un invariant.
Pentru a putea calcula curbura ¸ si distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant
a transformatei centro-aﬁne a unei curbe de intersect ¸ie dintre sfera astroidal˘ a¸si
un plan paralel cu xOy, avem nevoie maiˆ ıntˆai de ni¸ ste expresii generale (clasice)
pentru curbura ¸ si distant ¸˘a.
Propozit ¸ia 3.1.7. Fiind dat˘ aoc u r b ˘ aˆın planul xOy de forma c(x)=(f1(x),f2(x),0)
avem:
a) curbura curbei ˆ ıntr-un punct este
K1(x)=|f/prime
1(x)f/prime/prime
2(x)−f/prime/prime
1(x)f/prime
2(x)|
/parenleftbigg/radicalBig
(f/prime
1(x))2+(f/prime
2(x))2/parenrightbigg3,
b) distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant este
d(0,π)=|f1(x)f/prime
2(x)−f/prime
1(x)f2(x)|
/radicalBig
(f/prime
1(x))2+(f/prime
2(x))2,
undeπeste planul rectiﬁcant.
Putem acum enunt ¸a rezultatul asupra invariant ¸ei relat ¸iei date.
Propozit ¸ia 3.1.8. Relat¸iaK1(x)·d(0,π)=ctnu este un invariant centro-
aﬁn pentru curbele determinate de intersect ¸ia dintre sfera astroidal˘ ac up l a n u l
z=c<1.
Demonstrat ¸ie.Pentru simpliﬁcarea calculelor, putem presupune c˘ ap l a n u l
cu care intersect˘ am este z=0¸si atunci ecuat ¸ia curbei de intersect ¸ie va ﬁ:
x2
3+y2
3=1 (astroida ),
de unde vom ¸ sti imediat c˘ ay=/parenleftBig
1−x2
3/parenrightBig3
2.
Transformata centro-aﬁn˘ a a curbei de mai sus este tot o curba plan˘ ac ev a
avea ecuat ¸iile parametrice date de:
/parenleftbigg
x,/parenleftBig
1−x2
3/parenrightBig3
2/parenrightbigg/parenleftbigga1a2
b1b2/parenrightbigg
=/parenleftbigg
a1x+b1/parenleftBig
1−x2
3/parenrightBig3
2,a2x+b2/parenleftBig
1−x2
3/parenrightBig3
2/parenrightbigg
.
49

Pentru a putea folosi Propozit ¸ia 3.1.7, vom identiﬁca
f1(x)=a1x+b1/parenleftBig
1−x2
3/parenrightBig3
2
¸si
f2(x)=a2x+b2/parenleftBig
1−x2
3/parenrightBig3
2.
Calculˆ and cubura ¸ si distant ¸a cu ajutorul Propozit ¸iei 3.1.7, vom deduce c˘ a
produsul lor este:
K1(x)·d(0,π)=(detA)2
3x−4
3
/parenleftBig
(f/prime
1(x))2+(f/prime
2(x))2/parenrightBig2.
Astfel putem observa c˘ a produsul K1(x)·d(0,π) poate ﬁ constant doar dac˘ a
num˘ar˘atorul x−4
3se simpliﬁc˘ ac ue x p r e s i ad el an u m i t o r
/parenleftBigg/parenleftbigg
a1−b1x−1
3/parenleftBig
1−x2
3/parenrightBig1
2/parenrightbigg2
+/parenleftbigg
a2−b2x−1
3/parenleftBig
1−x2
3/parenrightBig1
2/parenrightbigg2/parenrightBigg2
,
lucru ce nu este posibil. /square
Observat ¸ia 3.1.9. Obt¸inˆand c˘ar e l a t¸iaK1(x)·d(0,π)=ctnu este invariant˘ a
pentru clasele de obiecte de mai sus, va trebui s˘ ac ˘aut˘am alt˘ ar e l a t¸ie ˆıntre aceste
dou˘am ˘arimi. Relat ¸ia pe care o vom cerceta esteK1(x)
d3(0,π)=ct, inspirat˘ ad i nf o r m a
expresiilor celor doua m˘ arimi. Pe parcursul studiului de mai sus putem observa
c˘a numitorii celor dou˘ a expresii sunt aceia¸ si, dar apar la puteri diferite. ˆIn
consecint ¸˘a, pentru a obt ¸ine o expresie constant˘ a, trebuie s˘ aˆımp˘art¸im cele dou˘ a
expresii una la cealalt˘ a, dar s˘ at¸inem cont ¸ si de puterile la care apar factorii
comuni.
3.2 Raport pre-T ¸it¸eica pentru curbele de pe suprafet ¸ele
ˆın deformare
Vom analiza cazul intersect ¸iei sferei cu planul z=r<R ; mai precis, vom
veriﬁca dac˘ a cercul de intersect ¸ie veriﬁc˘ ar e l a t¸iaK1(x)
d3(0,π)=ct¸si mai ales dac˘ a
acest˘ar e l a t¸ie este invariant˘ a la o transformare centro-aﬁn˘ a.
Propozit ¸ia 3.2.1. Curba de intersect ¸ i ed i n t r es f e r ac e n t r a t ˘ aˆın origine ¸ si de
raz˘aRcu planul z=r<R veriﬁc˘ ar e l a t ¸ia
K1(x)
d3(0,π)=ct,
K1(x)ﬁind curbura curbei ˆ ıntr-un punct, iar d(O,π)este distant ¸a de la origine
la planul rectiﬁcant al curbei.
50

Demonstrat ¸ie.Cercul produs de intersect ¸ia sferei cu planul z=r<R are
razaR1=√
R2−r2, iar curbura lui este K1=1
R1=1
√
R2−r2.
Distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant ˆ ıntr-un punct la cerc este d=√
R2−r2¸si astfel vom obt ¸ine
K1(x)
d3(0,π)=1
(R2−r2)2=ct./square
Avem nevoie de un rezultat general asupra acestei relat ¸ii:
Propozit ¸ia 3.2.2. Fiind dat˘ aoc u r b ˘ ap l a n ˘ ac(x)=(x, f(x),c t)avem:
K1(x)
d3(0,π)=|f/prime/prime(x)|
|f(x)−xf/prime(x)|3.
Demonstrat ¸ie.Folosim Propozit ¸ia 3.1.1 ce ne d˘ a expresiile pentru curbur˘ a
¸si distant˘ a pentru o curb˘ ap l a n ˘ a¸si obt¸inem relat ¸ia din enunt ¸./square
Avem ¸ si urm˘ atorul corolar:
Corolarul 3.2.3. Cercul veriﬁc˘ ar e l a t ¸iaK1(x)
d3(0,π)=ct.
Demonstrat ¸ie.Dac˘a vom considera un cerc centratˆ ın origine, atunciK1(x)
d3(0,π)=
1
R4=ct./square
Vom cerceta dac˘ a aceasta relat ¸ie r˘amˆane invariant˘ a pentru cerc la o trans-
formare centro-aﬁn˘ a.
Propozit ¸ia 3.2.4. Relat¸iaK1(x)
d3(0,π)=cteste un invariant centro-aﬁn pentru
curbele determinate de intersect ¸ia dintre sfer˘ a¸si un plan oarecare.
Demonstrat ¸ie.Cum curbele de intersect ¸ie sunt cercuri, iar transformata
centro-aﬁn˘ a a unui cerc este o elips˘ a, va trebui s˘ aa r ˘at˘am numai c˘ a elipsa veriﬁc˘ a
relat¸ia din enunt ¸. F˘ar˘a a restrˆ ange generalitatea problemei, vom considera o
elipsa centrat˘ aˆın origine. Folosind Propozit ¸ia 3.2.2, relat ¸ia noastr˘ a devine:
K1(x)
d3(0,π)=1
(ab)2=ct./square
ˆIn Propozit ¸ia 3.2.4 am demonstrat invariant ¸a, dar nu am aﬂat exact cum se
schimb˘ a aceast˘ a constant˘ a din relat ¸iaK1(x)
d3(0,π)=ct.Acest lucru se poate observa
din urmatoarea propozit ¸ie.
Propozit ¸ia 3.2.5. Pentru cerc avem relat ¸ia:
Kg
1(x)
d3g(0,π)=1
(detM)2·Kf
1(x)
df
g(0,π),
undeKg
1(x)este curbura transformatei centro-aﬁne a lui f(la noi feste un
cerc), Meste matricea transform˘ arii, iar dg(0,π)este distant ¸a de la origine la
planul rectiﬁcant pentru transformata centro-aﬁn˘ aal u i f.
51

Demonstrat ¸ie.Transformata centro-aﬁn˘ aal u i feste
g(x, y)=/parenleftBig
a1x+b1/radicalbig
R2−x2,a2x+b2/radicalbig
R2−x2/parenrightBig
.
Folosind Propozit ¸ia 3.1.7, vom deduce c˘ a:
Kg
1(x)
d3g(0,π)=detM·R2
(R2−x2)√
R2−x2
(detM)3·R6
(R2−x2)√
R2−x2=1
(detM)2·1
R4=1
(detM)2·Kf
1(x)
df
g(0,π)./square
Observat ¸ia 3.2.6. Propozit ¸ia 3.2.5 ne va ajuta s˘ aˆınt¸elegem care este invari-
antul la suprafet ¸e T¸it¸eica ¸si mai ales cum se schimb˘ a constanta din relat ¸ia ce
caracterizeaz˘ a suprafet ¸ele T¸it¸eica.
Vom studia acum ce condit ¸ie trebuie s˘ a veriﬁce suprafet ¸ele tetraedrale ˆ ın
deformare ( ST)¸si sferele astroidale ˆ ın deformare ( SA) pentru ca raportulK1(x)
d3(0,π)
s˘a ﬁe constant ¸ si ˆın plus vom cerceta dac˘ ar e l a t¸iaK1(x)
d3(0,π)=cteste un invariant
centro-aﬁn pentru curbele de intersect ¸ i ed i n t r ea c e s t e a¸ si un plan paralel cu
xOy.
Teorema 3.2.7. Curbele determinate de intersect ¸ia suprafet ¸elor tetraedrale ˆ ın
deformare (ST)cu planul z=c<1veriﬁc˘ ar e l a t ¸iaK1(x)
d3(0,π)=ct(unde K1este
curbura curbei de intersect ¸ie, iar deste distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant
al curbei), dac˘ a¸si numai dac˘ am=−2.
Demonstrat ¸ie.Consider˘ am curba de intersect ¸ie a suprafet ¸ei tetraedrale cu
planul z=c<1. Not˘ am cu a=1−cm
m+1>0.Atunci, aceasta curba veriﬁc˘ a
ecuat¸ia:
xm
m+1+ym
m+1=a.
Vom scrie curba sub forma y=f(x), cu
f(x)=(a−xm
m+1)m+1
m.
T¸inˆand cont de Propozit ¸ia 3.2.2 ¸ si de Teorema 3.1.3, avem:
K1(x)
d3(0,π)=1
a2·/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle1
m+1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle·x−2−m
m+1(a−xm
m+1)−2−m
m
I. Pentru ca produsulK1(x)
d3(0,π)s˘a ﬁe constant, trebuie, ˆ ın primul rˆ and, ca
expresia s˘ a nu mai depind˘ ad ex:
−2−m
m+1=0=⇒m=−2.
ˆIn acest cazK1(x)
d3(0,π)=1
a2=ct.
52

Deci pentru sfera uzual˘ ar e l a t¸ia este:
K1(x)·d(0,π)=1
a2=ct.
II. Mai avem o posibilitate ca produsulK1(x)
d3(0,π)s˘a ﬁe constant: termenii ce
cont¸in (a−xm
m+1)s ˘ad i s p a r ˘ a, deci puterile la care apare ˆ ın produs s˘ a ﬁe zero:
−2−m
m=0=⇒m=−2.
ce este tot sfera uzual˘ ac am a is u s . /square
Un rezultat asem˘ an˘ator putem stabili ¸ si pentru sferele astroidale ˆ ın defor-
mare.
Teorema 3.2.8. Curbele determinate de intersect ¸ia sferelor astroidale ˆ ın de-
formare (SA)cu planul z=c<1veriﬁc˘ ar e l a t ¸iaK1(x)
d3(0,π)=ct(unde K1este
curbura curbei de intersect ¸ie, iar deste distant ¸a de la origine la planul rectiﬁcant
al curbei), dac˘ a¸si numai dac˘ am=0.
Observat ¸ia 3.2.9. Pentru ambele clase de suprafet ¸e studiate ( ST)¸si (SA)a m
obt¸inut c˘ a raportulK1(x)
d3(0,π)este constant doar ˆ ın cazul sferei uzuale. Putem
observa c˘ a, de¸si aceast˘ ar e l a t¸ie este un invariant centro-aﬁn pentru curbele de
intersect ¸ie dintre sfer˘ a¸si un plan, ˆ ın momentul cˆ and am trecut la alte clase de
suprafet ¸e, relat ¸ia nu ne ofer˘ a decˆat sfera. Cu alte cuvinte relat ¸iaK1(x)
d3(0,π)este
destul de greu de ˆ ındeplinit. Am ﬁ put ¸in descurajat ¸i la acest pas de strictet ¸ea
relat¸iilor de tipK
dn+1,d a rT ¸it¸eica a insistat ¸ si ˆın momentul cˆ and a trecut de la
c u r b ep es u p r a f e t ¸e la suprafet ¸e (adic˘ aav e r i ﬁ c a tK
d4), a constatat c˘ aoˆıntreaga
clas˘a veriﬁc˘ ar e l a t¸ia: clasa suprafet ¸elorS(numite ast˘ azi suprafet ¸e T¸it¸eica).
53

Capitolul 4
Invariant ¸i de tip T ¸it¸eica
ˆIn acest capitol, vom considera geometria curbelor asimptotice asociate suprafet ¸elor
T¸it¸eica, ceea ce ne va conduce la un nou invariant asociat cuplului curb˘ a-
suprafat ¸˘aT¸it¸eica. Rezultatele au fost sintetizate ˆ ın lucrarea
[Agnew, Bobe ¸si Boskoﬀ, 2006] ¸ si au fost obt ¸inute ˆ ın 2006.
Gheorghe T ¸it¸eica a avut una dintre primele contribut ¸ii importante ˆ ın ge-
ometria diferent ¸ial˘a aﬁn˘ad el aˆ ınceputul secolului 20, atunci cˆ and ¸si-a publicat
rezultatele despre “ S-suprafet ¸e”, numite mai tˆ arziu suprafet ¸e T¸it¸eica. Aceste
rezultate au fost considerate ca ﬁind punctul de pornire al geometriei diferent ¸iale
aﬁne. Aceste rezultate au f ost generalizate la not ¸iuni precum hipersuprafet ¸e
T¸it¸eica ˆıntr-o dimensiune arbitrar˘ as a u sfere aﬁne propriu-zise .On o t ¸iune geo-
metric˘ ai m p o r t a n t ˘ a direct legat˘ a de hipersuprafet ¸ele T¸it¸eica este funct¸ia distant ¸˘a
aﬁn˘a, cunoscut˘ ad ea s e m e n e a¸ si ca funct¸ia suport aﬁn˘ a[Nomizu ¸ si Sasaki, 1994].
O hipersuprafat ¸˘aT¸it¸eica poate ﬁ caracterizat˘ a ca locul geometric al punctelor
care se aﬂ˘ al aod i s t a n t ¸˘a aﬁn˘aﬁ x a t ˘ af a t¸˘a de un punct centru (considerat ca ﬁind
originea) — de unde ¸ si terminologia de “sfere aﬁne”.
Utilizˆand limbajul invariant ¸ilor, caˆ ın [Buchin, 1983], vom observa c˘ ad i s t a n t ¸a
aﬁn˘a¸si sferele aﬁne sunt relativ invariante sub transform˘ ari liniare nesingu-
lare arbitrare care p˘ astreaz˘ a centrul ¸ si sunt absolut invariante sub transform˘ ari
care, ˆ ın plus, p˘ astreaz˘ a volumul (i.e. determinantul). ˆIn aceast˘ a lucrare am
optat pentru termenii curb˘ a/suprafat ¸˘aT¸it¸eica ˆın locul termenului de sfere aﬁne
propriu-zise ¸ si funct ¸ie T¸it¸eica (asociat˘ a curbei sau suprafet ¸ei date) ˆ ın loc de
distant ¸˘a aﬁn˘a (corespunz˘ atoare unei curbe sau suprafet ¸e date). Formul˘ arile de
mai sus pot ﬁ concentrate prin a spune c˘ a curbele/suprafet ¸ele T¸it¸eica ¸si funct ¸iile
T¸it¸eica sunt invariant ¸i centro-aﬁni.
ˆIn cele ce urmeaz˘ a, vom trece ˆ ın revist˘ a munca de pionierat a lui T ¸it¸eica ¸si
vom trata ¸ not¸iunile legate de funct ¸ia T¸it¸eica asociat˘ a unui cuplu curb˘ a-suprafat ¸˘a
T¸it¸eica. ˆIn sect¸iunea 5.1, vom discuta despre rezultate ce privesc curbele T ¸it¸eica
din spat ¸iul tridimensional. Urm˘ atoarea sect ¸iune trateaz˘ a suprafet ¸ele T¸it¸eica,
strˆans legate de ecuat ¸iile Monge-Amp` ere.ˆIn sect¸iunea 5.3, vom prezenta un ex-
emplu nou de suprafat ¸˘aT¸it¸eica provenit din considerar ea pantei dreptei lui Euler
54

asociat˘ a unui triunghi ˆ ın plan ¸ si a ecuat ¸iei Monge-Amp` ere corespunz˘ atoare. ˆIn
cele din urm˘ a, ˆın sect¸iunea ﬁnal˘ a a acestui capitol, vom introduce not ¸iunea de
funct¸ie T¸it¸eica asociat˘ a cuplului curb˘ a-suprafat ¸˘a¸si vom ar˘ ata c˘a¸si aceasta este
un invariant aﬁn. Din cˆ ate ¸stim, acest ultim rezultat ¸ si suprafat ¸a prezentat˘ aˆın
sect¸iunea 5.3 nu au mai fost discutate ˆ ın literatura de specialitate.
4.1 Funct ¸ia T¸it¸eica pentru curbe ˆınR3
Fiec:I⊂R−→R3o curb˘ aˆın spat ¸iul 3-dimensional. Vom nota cu K2(c)(t)
torsiunea curbei cˆıntr-un punct c(t)¸si cudc(t)d i s t a n t ¸a de la origine la planul
osculator ˆ ıntr-un punct c(t).
Lema 4.1.1. Fiec:I⊂R−→R3,c(t)=(x(t),y(t),z(t))oc u r b ˘ aˆın spat ¸iul
3-dimensional. Atunci avem relat ¸ia:
K2(c)(t)=d2
c(t)·Ic(t),
undeIc(t)=det(·c(t),··c(t),···c(t))
/parenleftBig
det(c(t),·c(t),··c(t))/parenrightBig2este o funct ¸ie de variabila t.
Demonstrat ¸ie.ˆIn primul rˆ and vom g˘ asi torsiunea curbei ˆ ın funct ¸ie de can-
tit˘at¸ile care aparˆ ın ecuat ¸iile analitice ale reperului Frenet. Torsiunea unei curbe
este:
K2(c)(t)=det(·c(t),··c(t),···c(t))
/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble·c(t)×··c(t)/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble2.
Pe de alt˘ a parte, planul osculator ˆ ın punctul c(t) este planul generat de·c(t)¸si
··c(t).Atunci, dc(t) este proiect ¸ia lui c(t) pe direct ¸ia normal˘ a la acest plan:
dc(t)=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglec(t)··c(t)×··c(t)
/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble·c(t)×··c(t)/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle.
Punˆand ˆımpreun˘ a aceste dou˘ a expresii, vom avea:
K
2(c)(t)
d2c(t)=det(·c(t),··c(t),···c(t))
/parenleftBig
det(c(t),·c(t),··c(t))/parenrightBig2=Ic(t)./square
Deﬁnit ¸ia 4.1.2. Vom numi cantitatea Ic(t)din Lema 4.1.1 funct¸ia T¸it¸eica
pentru curba c:I⊂R−→R3.
Deﬁnit ¸ia 4.1.3. Transformata centro-aﬁn˘ aac u r b e i c:I⊂R−→R3,
c(t)=(x(t),y(t),z(t))este o curb˘ ah:I⊂R−→R3,h(t)=c(t)·M,u n d e
M∈M 3(R),detM/negationslash=0.
55

Rezultatul important al acestei sect ¸iuni este urm˘ atoarea teorem˘ ac es t a –
bile¸ste invariantul pentru curbe ¸ si relat ¸ia care exist˘ aˆıntre funct ¸iile T¸it¸eica pen-
tru o curb˘ a¸si transformata centro-aﬁn˘ a a acesteia.
Teorema 4.1.4. Fieh:I⊂R−→R3transformata centro-aﬁn˘ a a curbei
c:I⊂R−→R3,c(t)=(x(t),y(t),z(t)).A t u n c i f u n c t ¸ia T¸it¸eica pentru curbe
I·(t)=K2(·)(t)
d2·(t)este un invariant centro-aﬁn ¸ si, ˆın plus, satisface relat ¸ia:
Ih(t)=1
detM·Ic(t).
Demonstrat ¸ie.FieM∈M 3(R) o matrice nesingular˘ a. Atunci, transformata
centro-aﬁn˘ a corespunz˘ atoare curbei care urm˘ atoarea form˘ a:
h(t)=c(t)·M=(x1(t),y1(t),z1(t)).
Folosind relat ¸ia dintre torsiune ¸ si distant ¸adc(t)g ˘asit˘aˆın Lema 4.1.1, putem de-
duce relat ¸ia pe care o satisface transformata centro-aﬁn˘ ah(t):Ih(t)=K2(h)(t)
d2(h)(t)=
1
detM·det(·c(t),··c(t),···c(t))
/parenleftBig
det(c(t),·c(t),··c(t))/parenrightBig2=1
detM·K2(c)(t)
d2(c)(t)=1
detM·Ic(t)./square
Avˆand rezultatul general, putem acum s˘ a deﬁnim curbele T ¸it¸eica:
Deﬁnit ¸ia 4.1.5. Oc u r b ˘ ac:I⊂R−→R3se numet ¸ecurb˘aT¸it¸eica dac˘a
funct¸ia T¸i t¸eicaIc(t)este constant˘ a.
Rezultatul lui T ¸it¸eica referitor la invariant ¸a funct ¸iei pentru curbe T ¸it¸eica
devine corolarul Teoremei 4.1.4:
Corolarul 4.1.6. (T¸it¸eica) Transformata centro-aﬁn˘ aau n e ic u r b eT ¸i t¸eica este
tot o curb˘ aT¸i t¸eica. ˆIn plus, relat ¸ia pe care o satisfac cele dou˘ ac u r b ee s t e :
Ih=1
detM·Ic.
Demonstrat ¸ie.D¸ in ipotez˘ a,ceste o curb˘ aT¸it¸eica, deciK2(c)(t)
d2c(t)=λ=Ic∈
R.Folosind Teorema 4.1.4, vom obt ¸ine c˘ aK2(h)(t)
d2
h(t)=Ih∈R,a¸sa cum aveam
nevoie. /square
4.2 Suprafet ¸e T¸it¸eica s ¸i ecuat ¸ii Monge-Amp `ere
S˘ac o n s i d e r ˘ am ecuat ¸ia Monge-Amp` ere neomogen˘ aˆın dimensiune 2, adic˘ ao
ecuat¸ie cu derivate part ¸iale de ordinul doi de forma:
/parenleftbigg∂2u
∂x∂y/parenrightbigg2
−∂2u
∂x2·∂2u
∂y2=F(x, y), (4.2.1)
56

avˆand ca solut ¸ieu=u(x, y).ˆIn sect¸iunea 7.2.2 din [Polyamin ¸ si Zaitsev, 2004],
pot ﬁ g˘ asite solut ¸ii exacte ale ecuat ¸iei Monge-Amp` ere pentru diferite forme ale
termenului neomogen F(x, y).
Vom deﬁni conceptul care leag˘ a suprafet ¸ele T¸iteica de ecuat ¸ia Monge-Amp` ere:
Deﬁnit ¸ia 4.2.1. Numim o suprafat ¸˘af:U=◦
U⊂R2−→R3, cu condit ¸ia ca
f(x, y)=(x, y, u (x, y)),
suprafat ¸˘a generat˘ ad ee c u a t ¸ia Monge-Amp` ere neomogen˘ a,u n d e u=
u(x, y)este o solut ¸ie pentru ecuat ¸ia 4.2.1
Fief:U=◦
U⊂R2−→R3o suprafat ¸˘aˆınR3.S ˘an o t ˘am cu K(f)(p)
curbura Gauss a curbei fˆın punctul p=(x, y)¸si cudf(p)d i s t a n t ¸a de la origine
la planul tangent suprafet ¸eifˆın puncul f(p).
Rezultatul ce leag˘ a ecuat ¸ia Monge-Amp` ere de suprafet ¸e poate ﬁ enunt ¸at sub
forma:
Lema 4.2.2. Suprafat ¸a generat˘ ad ee c u a t ¸ia Monge-Amp` ere 4.2.1 satisface relat ¸ia:
K(f)(p)=d4
f(p)·Jf(p),
unde
Jf(p)=−F(x, y)
/parenleftBig
u(x, y)−x∂u
∂x−y∂u
∂y/parenrightBig4.
Demonstrat ¸ie.Pentru suprafat ¸a generat˘ a de ecuat ¸ia Monge-Amp` ere 4.2.1
avem c˘ ad e t ( gij)=1+/parenleftbig∂u
∂x/parenrightbig2+/parenleftBig
∂u
∂y/parenrightBig2
, unde gijsunt coeﬁcient ¸ii primei forme
fundamentale a suprafet ¸ei ¸si curbura Gauss pentru fˆın punctul p=(x, y)e s t e
K(f)(p)=−F(p)
(det (gij))2,
iar distant ¸a de la origine la planul tangent la suprafat ¸afˆın punctul f(p)e s t e :
d4
f(p)=/parenleftBig
u(x, y)−x∂u
∂x−y∂u
∂y/parenrightBig4
(det (gij))2.
Atunci, avem c˘ a:
K(f)(p)=d4
f(p)−F(x, y)
/parenleftBig
u(x, y)−x∂u
∂x−y∂u
∂y/parenrightBig4=d4
f(p)·Jf(p)./square
Deﬁnit ¸ia 4.2.3. Numim cantitatea Jf(p)din Lema 4.2.2 funct¸ia T¸it¸eica
pentru suprafat ¸af:U=◦
U⊂R2−→R3.
57

Fief:U=◦
U⊂R2−→R3o suprafat ¸˘a generat˘ a de ecuat ¸ia Monge-Amp` ere
4.2.1. Not˘ am cu M∈M 3(R),detM/negationslash= 0 o transformare centro-aﬁn˘ aˆın spat ¸iul
3-dimensional.
Deﬁnit ¸ia 4.2.4. Transformata centro-aﬁn˘ aas u p r a f e t ¸eifeste o suprafat ¸˘a
g:U=◦
U⊂R2−→R3dat˘ad e :
g(x, y)=f(x, y)·M.
Urm˘atoarea teorem˘ a evident ¸iaz˘ai n v a r i a n t ¸a funct ¸iei T¸it¸eica pentru suprafet ¸e
¸si relat ¸ia ˆın care se aﬂ˘ a funct ¸iile T¸it¸eica pentru o suprafat ¸˘a¸si transformata ei
centro-aﬁn˘ a.
Teorema 4.2.5. Fief:U=◦
U⊂R2−→R3os u p r a f a t ¸˘a generat˘ ad ee c u a t ¸ia
Monge-Amp` ere 4.2.1 ¸ sigtransformata centro-aﬁn˘ aas u p r a f e t ¸eif.A t u n c i ,
funct¸ia T¸i t¸eica pentru suprafet ¸eJ·(p)=K(·)(p)
d4·(p)este un invariant al trans-
form˘ arii ¸si, ˆın plus, satisface relat ¸ia:
Jg(p)=1
(detM)2·Jf(p).
Demonstrat ¸ie.Prin calcul direct, se poate obt ¸ine c˘ ad i s t a n t ¸a de la origine
la planul tangent la transformata centro-aﬁn˘ aal u i feste:
d4
g(p)=( d e t M)4/parenleftBig
u(x, y)−x∂u
∂x−y∂u
∂y/parenrightBig4
(detIx)2.
Avˆand ¸si expresia curburii Gauss pentru transformat˘ aK(g)(p)=(detM)2
(detIx)2(−F(x, y)),
putem obt ¸ine c˘a:
K(g)(p)=1
(detM)2·d4
g(p)·−F(x, y)
/parenleftBig
u(x, y)−x∂u
∂x−y∂u
∂y/parenrightBig4=1
(detM)2·d4
g(p)·Jf(p),
ceea ce ˆ ınseamn˘ ac ˘a:
Jg(p)=1
(detM)2·Jf(p)./square
Avˆand acest rezultat, putem reveni la contextul particular de suprafet ¸e
T¸it¸eica.
Deﬁnit ¸ia 4.2.6. Os u p r a f a t ¸˘af:U=◦
U⊂R2−→R3se nume¸ stesuprafat ¸˘a
T¸it¸eica dac˘af u n c t ¸ia T¸i t¸eicaJf(p)este constan˘ a.
Rezultatul lui T ¸it¸eica referitor la invariantul pentru suprafet ¸eleSdevine
acum o consecint ¸˘a Teoremei 4.2.5:
58

Corolarul 4.2.7. (T¸it¸eica) Transformata centro-aﬁn˘ a a unei suprafet ¸e T¸i t¸eica
este tot o suprafat ¸˘aT¸i t¸eica. Mai mult, invariantul centro-aﬁn satisface relat ¸ia:
Jg=1
(detM)2·Jf.
Demonstrat ¸ie.S¸tiind c˘ afeste o suprafat ¸˘aT¸it¸eica, avem c˘ aJfeste constant
¸si, folosind Teorema 4.2.5, obt ¸inem imediat concluzia ¸ si relat ¸ia dorit˘ a./square
4.3 Funct ¸ia T¸it¸eica pentru suprafat ¸a Euler
Panta dreptei lui Euler ˆ ın raport cu un triunghi ABC avˆand baza BCpe axa
Oxeste dat˘ ad ef o r m u l a :
me=−3+m1m2
m1+m2.
Aceast˘ ap a n t ˘ a genereaz˘ a suprafat ¸a:
fe(x, y)=(x, y,−3+xy
x+y).
pe care o vom numi supratat ¸˘aE u l e r .
Conexiunea dintre geometria aﬁn˘ aas u p r a f e t ¸ei ¸si geometria triunghiului din
plan, precum ¸ si alte rezultate ref eritoare la aceste dou˘ a obiecte sunt cuprinse ˆ ın
lucrarea [Agnew, Bobe ,B o s k o ﬀ ,H o m e n t c o v s c h i¸ si Suceav˘ a, 2006].
Fig. 4.1: Suprafat ¸a Euler.
59

Pentru suprafat ¸a Euler sunt simplu de veriﬁcat prin calcul direct urm˘ atoarele
rezultate:
Lema 4.3.1. 1. Suprafat ¸a Euler este generat˘ ad ee c u a t ¸ia Monge-Amp` ere:
(1e)/parenleftbigg∂2u
∂x∂y/parenrightbigg2
−∂2u
∂x2∂2u
∂y2=12
(x+y)4.
2. Suprafat ¸a Euler generat˘ ad ee c u a t ¸ia Monge-Amp` ere(1e)este o suprafat ¸˘a
T¸i t¸eica cu funct ¸ia T¸it¸eicaJe=−1
108.
3. Transformata centro-aﬁn˘ a a suprafet ¸ei Euler este o suprafat ¸˘aT¸it¸eica,
avˆand funct ¸ia T¸i t¸eica asociat˘ a−1
108·(detM)2,undeM∈M3(R),detM/negationslash=0
este transformarea centro-aﬁn˘ a.
Demonstrat ¸ie.Prin calcul direct din Lema 4.2.2 ¸ si Teorema 4.2.5. /square
4.4 Invariant ¸i tip T ¸it¸eica pentru cuplul curb ˘a-suprafat ¸˘a
ˆIn aceast˘ a ultim˘ a sect¸iune vom trata leg˘ atura dintre suprafet ¸ele T¸it¸eica ¸si curbele
T¸it¸eica de pe aceste suprafet ¸e. Not ¸iunea central˘ a a acestui studiu este cea de
curbe asimptotice . Acest˘ a analiz˘ a conduce la introducerea unui nou invariant
asociat cuplului curb˘ a-suprafat ¸˘aT¸it¸eica, completˆ and rezultatele din sect ¸iunile
anterioare. Din ceea ce ¸ stim, acest rezultat nu a mai fost abordat ˆ ın literatura
de specialitate.
Fief:U=◦
U⊆R2−→R3o suprafat ¸˘a cu forma a doua fundamental˘ a
notat˘ac uII¸si normala unitate notat˘ ac uN.S ˘ac o n s i d e r ˘ am ¸si o curb˘ ap e
suprafat ¸af,d a t ˘ad ec=f◦α:I⊂R−→R3,undeα:I−→Ueste o curb˘ a
ˆınR2ce este ˆ ın pozit ¸ie general˘ a. Fie {e1(t),e2(t),e3(t)}reperul Frenet asociat
acestei curbe.
Deﬁnit ¸ia 4.4.1. Fief:U−→R3os u p r a f a t ¸˘a. Un vector X∈Tf(x)fse
nume¸ stedirect¸ie asimptotic˘ adac˘aX/negationslash=0¸siIIx(X,X)=0 .
Deﬁnit ¸ia 4.4.2. Fief:U−→R3os u p r a f a t ¸˘a¸sic=f◦α:I−→R3oc u r b ˘ a
pef.C u r b a cse nume¸ stelinie asimptotic˘ adac˘av e c t o r u l·c(t)este direct ¸ie
asimptotic˘ ap e n t r uo r i c e t∈I.
Pentru a da o caracterizare a liniilor asimptotice ale unei suprafet ¸e avem
nevoie mai ˆ ıntˆai de urm˘ atorul rezultat.
Propozit ¸ia 4.4.3. Fief:U−→R3os u p r a f a t ¸˘a¸sic=f◦α:I−→R3oc u r b ˘ a
pef. Atunci avem urm˘ atoarea relat ¸ie:
IIx/parenleftBig·c(t),·c(t)/parenrightBig
=/angbracketleftBig··c(t),N(α(t))/angbracketrightBig
.
60

Demonstrat ¸ie.S¸tiind forma lui c(t), putem deduce c˘ a:
/angbracketleftBig··c(t),N(α(t))/angbracketrightBig
=/parenleftbigg·
x1(t)/parenrightbigg2
·/angbracketleftbigg∂2f
(∂x1)2(α(t)),N(α(t))/angbracketrightbigg
+·
2·x1(t)··
x2(t)·
·/angbracketleftbigg∂2f
∂x1∂x2(α(t)),N(α(t))/angbracketrightbigg
+/parenleftbigg·
x2(t)/parenrightbigg2
·/angbracketleftbigg∂2f
(∂x2)2(α(t)),N(α(t))/angbracketrightbigg
.
Deci, am obt ¸inut c˘ a:
IIx/parenleftBig·c(t),·c(t)/parenrightBig
=/angbracketleftBig··c(t),N(α(t))/angbracketrightBig
./square
Observat ¸ia 4.4.4. A¸sa cum am v˘ azut ˆın Deﬁnit ¸ia 4.4.2, o curb˘ ac=f◦α:
I−→R3pe suprafat ¸af:U−→R3este linie asimptotic˘ ad a c ˘a¸si numai dac˘ a
IIx/parenleftBig·c(t),·c(t)/parenrightBig
=0,∀t∈I.
Formula lui Meusnier ne ofer˘ au r m ˘ atoarea relat ¸ie:
K1(t)·cosθ(t)=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleIIx/parenleftBig·c(t),·c(t)/parenrightBig/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
Ix/parenleftBig·c(t),·c(t)/parenrightBig,
unde K1(t) este curbura curbei cˆın punctul c(t)¸siθ(t)∈[0,π
2] este unghiul
dintre vectorii unitate N(α(t)) ¸sie2(t). Din aceast˘ af o r m u l ˘ a putem obt ¸ine o
condit¸ie echivalent˘ a:ceste linie asimptotic˘ a pentru suprafat ¸afdac˘a¸si numai
dac˘ac o sθ(t) = 0 i.e. N(α(t)) ¸sie2(t) sunt ortogonali pentru orice t∈I.
Ca o concluzie a celor discutate mai sus cu privire la linii asimptotice, putem
da urm˘ atoarea caracterizare:
Propozit ¸ia 4.4.5. Fief:U−→R3os u p r a f a t ¸˘a¸sic=f◦α:I−→R3oc u r b ˘ a
pef.U r m ˘ atoarele aﬁrmat ¸ii sunt echivalente:
1. Curba ceste linie asimptotic˘ ap e n t r us u p r a f a t ¸˘a;
2. Planul osculator al curbei cˆın puncul c(t)coincide cu planul tangent la
suprafat ¸˘aˆın punctul c(t)=f(α(t)).
Vom studia leg˘ atura dintre funct ¸ia T¸it¸eica pentru suprafet ¸e ¸si funct ¸ia T¸it¸eica
pentru curbe, folosindu-ne de not ¸iunile studiate ˆ ın sect¸iunile anterioare.
Lema 4.4.6. Fief:U−→R3os u p r a f a t ¸˘a¸sic=f◦α:I−→R3oc u r b ˘ ap e
f.A t u n c i :
Jf(p)=I2
c(t)·Qf,c(p,t),
undeQf,c(p,t)este o funct ¸ie real˘ a.
61

Demonstrat ¸ie.Fief:U=◦
U⊆R2−→R3,f(x, y)=( x, y, u (x, y))
o suprafat ¸˘a¸sic=f◦α:I⊂R−→R3o curb˘ a pe aceast˘ a suprafat ¸˘a,
unde α:I−→Ueste o curb˘ aˆınR2, i.e. α(t)=( x1(t),x2(t)).Avem c˘ a
c(t)=( f◦α)(t)=f(x1(t),x2(t)) = ( x1(t),x2(t),u(x1(t),x2(t))).Folosind
Lema 4.1.1 ¸ si Lema 4.2.2, vom obt ¸ine c˘a:
Jf(p)
I2c(t)=K(f)(p)
d4
f(p)
/parenleftBig
K2(c)(t)
d2c(t)/parenrightBig2=−F(x,y)
(u(x,y)−x∂u
∂x−y∂u
∂y)4
/parenleftBig···x1(t)·A(t)+···x2(t)·B(t)+···u(t)·C(t)/parenrightBig2
(x1(t)·A(t)+x2(t)·B(t)+u(t)·C(t))4=Qf,c(p,t),
undeA(t)=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle·x2(t)·u(t)
··x2(t)··u(t)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle,B(t)=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle·u(t)·x1(t)
··u(t)··x1(t)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
¸siC(t)=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle·x1(t)·x2(t)
··x1(t)··x2(t)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle./square
Deﬁnit ¸ia 4.4.7. Q
f,c(p,t)din Lema 4.4.6 se nume¸ stefunct¸ia T¸it¸eica pentru
cuplul (f,c).
Urm˘atorul rezultat este o particu larizare a lemei anterioare ˆ ın cazul liniilor
asimptotice ale unei suprafet ¸e.
Corolarul 4.4.8. Fief:U=◦
U⊆R2−→R3os u p r a f a t ¸˘ad ec u r b u r ˘ an e g a t i v ˘ a
¸sic=f◦α:I⊂R−→R3o linie asimptotic˘ a pe aceast˘ as u p r a f a t ¸˘a. Atunci
Qf,c(t)=−1=Qf,c.
Demonstrat ¸ie.Din Propozit ¸ia 4.4.5 avem c˘ a planul osculator la o curba c,ˆın
punctul c(t), coincide cu planul tangent la suprafat ¸˘aˆın punctul c(t)=f(α(t)).
Deci, distant ¸a de la origine la planul osculator ˆ ın punctul c(t) este aceea¸ si cu
distant ¸a de la origine la planul tangent la suprafat ¸afˆın punctul f(α(t)), ceea
ce ˆınseamn˘ ac ˘a:
dc(t)=df(t)=d(t).
Atunci,
Qf,c(t)=Jf(α(t))
I2c(t)=K(f)(α(t))
d4(t)
K2
2(c)(t)
d4(t)=K(f)(α(t))
K2
2(c)(t).
Dar din Teorema Beltrami-Enneper (vedet ¸i [O’Neill, 1966], pagina 230),
avem c˘ a
K(f)(α(t))
K2
2(c)(t)=−1=Qf,c.
Deci, am demonstrat c˘ a:
Qf,c(t)=−1./square
Urm˘atorul rezultat ˆ ıi apart ¸ine lui T ¸it¸eica ¸si prin prisma celor discutate mai
sus devine un corolar.
62

Corolarul 4.4.9. (T¸it¸eica) Liniile asimptotice ale unei suprafet ¸e T¸i t¸eica sunt
curbe T ¸i t¸eica.
Demonstrat ¸ie.Din Corolarul 4.4.8 avem c˘ a funct ¸ia T¸it¸eica pentru cuplul
(f,c) este constant˘ a, adic˘ aQf,c(t)=Qf,c.Folosind c˘ afeste o suprafat ¸˘aT¸it¸eica
(Jf(t)=Jf∈R), vom obt ¸ine folosind Lema 4.4.6 c˘ aIc(t)∈R, i.e. (din deﬁnit ¸ia
4.1.2), tocmai ceea ce vroiam s˘ ad e m o n s t r ˘ am./square
Vrem s˘ a oferim un contraexemplu rezultatului invers, adic˘ av r e ms ˘ ag ˘asim o
curb˘aT¸it¸eica pe o suprafat ¸˘aT¸it¸ e i c ac a r en ue s t ec u r b ˘ a asimptotic˘ a. Suprafat ¸a
pe care vom g˘ asi acest contraexemplu va ﬁ chiar suprafat ¸a Euler despre care
am vorbit ˆ ın Sect ¸iunea 4.3. Curbele provenind din sect ¸iuni planare, ﬁind plane,
sunt trivial curbe T ¸it¸eica — curbe cu distant ¸a aﬁn˘ ad el ao r i g i n en u l ˘ a. Aceste
curbe nu sunt curbe asimptotice ale suprafet ¸ei, deoarece ˆ ın aceste cazuri planul
osculator nu se suprapune peste planul tangent la suprafat ¸˘a. De aceea, aceast˘ a
clas˘ad ec u r b eo f e r ˘ a un contraexemplu inversei (T ¸it¸eica implic˘ a asimptotic).
Acest rezultat precum ¸ si explicat ¸iile de natur˘ a geoemtric˘ a se pot g˘ asiˆın lucrarea
[Agnew, Bobe ,B o s k o ﬀ ,H o m e n t c o v s c h i¸ si Suceav˘ a, 2006].
Urm˘atorul rezultat stabile¸ ste invariant ¸a funct ¸iei T¸it¸eica pentru cuplul ( f,c).
Teorema 4.4.10. Fie(f,c)un cuplu constˆ and dintr-o suprafat ¸˘af¸si o curb˘ a
cpe aceast˘ as u p r a f a t ¸˘a, ¸si ﬁe (g,h)transformata centro-aﬁn˘ a a cuplului (f,c).
Atunci funct ¸ia T¸i t¸eica Q·,·(p,t)=J·(p)
I2
·(t)este un invariant centro-aﬁn pentru
aceast˘ a transformare. Mai mult, relat ¸ i ap ec a r ec u p l u r i l eos a t i s f a ce s t e :
Qg,h(p,t)=Qf,c(p,t).
Demonstrat ¸ie.Folosind Teorema 4.1.4 ¸ si Teorema 4.2.5 avem c˘ a:
Qg,h(p,t)Lema 4.4.6=Jg(p)
I2
h(t)=1
(detM)2·Jf(p)
/parenleftbig1
detM·Ic(t)/parenrightbig2=Jf(p)
I2c(t)=Qf,c(p,t)./square
Pentru a putea particulariza rezultatul de mai sus ca s˘ a ajungem la rezul-
tatele lui T ¸it¸eica, avem nevoie s˘ a¸stim cum se transform˘ a liniile asimptotice ale
unei suprafet ¸e prin aplicarea unei centro-aﬁnit˘ at¸i.
Propozit ¸ia 4.4.11. Transformata centro-aﬁn˘ a a unei linii asimptotice de pe o
suprafat ¸˘a este o linie asimptotic˘ a pentru transformata centro-aﬁn˘ a a suprafet ¸ei.
Demonstrat ¸ie.Fiefo suprafat ¸˘a,co linie asimptotic˘ a pe aceast˘ a suprafat ¸˘a,
gtransformata centro-aﬁn˘ a a suprafet ¸eif¸sihtransformata centro-aﬁn˘ a a liniei
asimptotice c.V r e m s ˘ aa r ˘at˘am ˆın primul rˆ and c˘aheste o linie asimptotic˘ a
pentru g. Folosind Propozit ¸ia 4.4.3 ¸ si Observat ¸ia 4.4.4, avem de fapt de demon-
strat c˘ a/angbracketleftbigg··
h(t),Ng(t)/angbracketrightbigg
=0 .S¸tim despre curba cc˘a este linie asimptotic˘ ap e n t r u
63

suprafat ¸af, deci ¸ stim de fapt c˘ a/angbracketleftBig··c(t),Nf(t)/angbracketrightBig
= 0, ceea ce este echivalent cu:
··x1·/parenleftbigg
−∂u
∂x1/parenrightbigg
+··x2·/parenleftbigg
−∂u
∂x2/parenrightbigg
+··u=0.(∗)
Folosind aceast˘ ae x p r e s i e¸ si expresia transformatei centro-aﬁne a unei curbe,
relat¸ia/angbracketleftbigg··
h(t),Ng(t)/angbracketrightbigg
= 0 devine:
detM···x1/parenleftbigg
−∂u
∂x1/parenrightbigg
+d e t M···x2/parenleftbigg
−∂u
∂x2/parenrightbigg
+d e t M···u=0,
care este adev˘ arat˘a conform relat ¸iei (∗).Deci, produsul scalar/angbracketleftbigg··
h(t),Ng(t)/angbracketrightbigg
=
0,ceea ce ˆ ıncheie demonstrat ¸ia./square
Pentru a putea particulariza rezultatul de mai sus la cazul suprafet ¸elor ¸si
curbelor T ¸it¸eica, avem nevoie maiˆ ıntˆai de particularizarea la curbe asimptotice.
Corolarul 4.4.12. Funct ¸ia T¸i t¸eicaQ=J
Ieste un invariant centro-aﬁn pentru
cuplul transfomat centro-aﬁn (g,h)al cuplului (f,c),u n d e feste o suprafat ¸˘a¸si
ceste o linie asimptotic˘ ap ef. Mai mult, avem ¸ si relat ¸ia:
Qg,h=Qf,c.
Demonstrat ¸ie.Din Propozit ¸ia 4.4.11 avem c˘ ahr˘amˆane linie asimptotic˘ a
pentru g. Folosind Corolarul 4.4.8, g˘ asim c˘ aQf,c(t)=c o n s t a n t= Qf,c¸si
Qg,h(t)=c o n s t a n t= Qg,h.Luˆand ˆın considerare relat ¸ia din Teorema 4.4.10,
putem concluziona c˘ aQg,h=Qf,c./square
Corolarul 4.4.13. Funct ¸ia T¸i t¸eica Q=J
Ieste un invariant centro-aﬁn al
cuplului format din suprafat ¸˘aT¸i t¸eica ¸ si linie asimptotic˘ a pe aceast˘ as u p r a f a t ¸˘a.
Demonstrat ¸ie.Fiefo suprafat ¸˘aT¸it¸eica, co curb˘ a asimptotic˘ a pe aceast˘ a
suprafat ¸˘a (aceast˘ a curb˘ a este curb˘ aT¸it¸eica din Corolarul 4.4.9), gtransformata
centro-aﬁn˘ aal u i f(este o suprafat ¸˘aT¸it¸eica din Corolarul 4.2.7) ¸ sihtransfor-
mata centro-aﬁn˘ a a liniei asimptotice c(este de asemnea curb˘ aT¸it¸eica, dup˘ a
cum putem deduce dac˘ a folosim succesiv Propozit ¸ia 4.4.11 ¸ si Corolarul 4.4.9).
Folosind Corolarul 4.4.12 avem c˘ a egalitatea Qg,h=Qf,ceste ˆındeplinit˘ a¸si, de
aceea, raportulJ
Ieste un invariant centro-aﬁn al cuplului: suprafat ¸˘aT¸it¸eica-
curb˘aT¸it¸eica./square
64

Capitolul 5
Lant¸ul Clifford al
configurat ¸iei T¸i t¸eica
pentru elipse egale
ˆIn acest capitol vom extinde conﬁgurat ¸ia T¸it¸eica la elipse egale ¸ si vom ar˘ ata
c˘a problema are sens pentru nelipse egale, generˆ and astfel un lant ¸ Cliﬀord.
Algoritmul de construct ¸ie al lant ¸ului Cliﬀord ˆ ıl vom implementa ˆ ın programul
Mathematica , veriﬁcˆ and astfel ¸ si cu ajutorul computerul ui rezultalele demon-
strate teoretic. Rezultatele t eoretice din acest capitol se g˘ asesc ˆ ın lucrarea
[Bobe ¸si Boskoﬀ, 2007].
5.1 Istoria problemei
Problema monedelor de 5 lei a lui T ¸it¸eica este cunoscut˘ a din 1908 ¸ si a fost
publicat˘ a¸si ˆın a ¸sasea edit ¸ie a lucr˘ arii [T¸it¸eica, 1962]. Ea are urm˘ atorul enunt ¸:
Fiind date 3cercuri de raza Rce se intersecteaz˘ aˆıntr-un punct, atunci
punctele de intersect ¸ie mutual˘ aa p a r t ¸in unui alt cerc avˆ and aceea¸ si raz˘ aR.
Se cunoa¸ ste c˘a aceast˘ ap r o b l e m ˘ aal u iT ¸it¸eica este echivalent˘ ac ur e l a t ¸ia lui
Euler OI2=R(R−2r) (se poate vedea cartea [Mih˘ aileanu, 1976], pp. 179-180),
iar Barbilian ˆ ın “Pagini inedite” aﬁrm˘ a posibilitatea ca aceast˘ a conﬁgurat ¸ie s˘a
se extind˘ a la mai mult de 4 cercuri formˆ and un lant ¸ Cliﬀord.
Problema este cunoscut˘ a¸si sub numele de problema lui Johnson datorit˘ a
public˘ arii ei ˆ ın American Mathematical Monthly, ˆ ın lucrarea [Johnson, 1916].
Ca urmare, ˆ ın cele ce urmeaz˘ a, ne vom referi la problema T ¸it¸eica-Johnson ¸ si
vom analiza extinderea ei pentru elipse egale.
65

5.2 Configurat ¸ia T¸it¸eica-Johnson pentru elipse egale
ˆIn aceast˘ a sect¸iune vom extinde conﬁgurat ¸ia T¸it¸eica-Johnson la elipse ce au
semiaxele paralele cu axele de coordonate ¸ si lungimile semiaxelor coincid.
Lema 5.2.1. FieABCD un paralelogram ˆ ınscris ˆ ıntr-o elips˘ aE¸si{P}=
AC∩BD. Atunci centrul Oal elipsei coincide cu P.
Demonstrat ¸ie.S˘a presupunem c˘ aP/negationslash=O.S ˘an o t ˘am cu A/prime,B/prime,C/prime,D/primesimet-
ricele punctelor A, B, C, D fat¸˘ad eO. Punctele A/prime,B/prime,C/prime¸siD/primeapart¸in elipsei
Edeoarece Oeste centru de simetrie pentru elips˘ a.
A
B
CD
A´B´C´D´
PO
Cele patru segmente formate AC/prime,BD/prime,CA/prime¸siDB/primesunt paralele cu OP¸si
egale cu 2 ·OPdeoarece OPeste linie mijlocieˆ ın triunghiurile ACC/prime,BDD/prime,CA A/prime
¸siDBB/prime, respectiv. Dar, pentru o direct ¸ie dat˘ aOPexist˘a cel mult dou˘ as e g –
mente paralele ¸ s ie g a l ec ea p a r t ¸in elipsei. Din acest motiv, avem c˘ aP=O./square
Deﬁnit ¸ia 5.2.2. Dou˘a elipse ce au axele paralele ¸ si semiaxele de aceea¸ si lungime
se numesc egale .
Vom nota cu E1(O1,a ,b)¸siE2(O2,a ,b)d o u ˘a astfel de elipse, unde O1,O2
sunt centrele, iar a,bsunt lungimile semiaxei mari ¸ si semiaxei mici, respectiv.
Lema 5.2.3. FieE1(O1,a ,b)¸siE2(O1,a ,b)dou˘a elipse egale. Dac˘ aE1∩E2=
{A, B},a t u n c i AO1BO2este un paralelogram.
Demonstrat ¸ie.Construim C1C2prinA¸siD1D2prinBastfel ˆ ıncˆatC1C2¸si
D1D2sunt paralele cu O1O2, unde C1,D1∈E1,C2,D2∈E2.
Cum translat ¸iaO1−→O2suprapune O1peste O2, atunci C1−→A,A−→
C2,D1−→B¸siB−→D2. Atunci avem c ua C1A≡AC2≡D1B≡BD2≡
O1O2. De aici rezult˘ ac ˘aC1ABD 1¸siAC2D2Bsunt paralelograme. Conform
Lemei 5.2.1 vom avea c˘ aA, O1¸siD1sunt coliniare ¸ si analog A, O2¸siD2coliniare.
Atunci O1O2va ﬁ linie mijlocie ˆ ın triunghiul D1AD2, ceea ce implic˘ af a p t u lc ˘ a
AO1BO2este un paralelogram. /square
66

AB
OO
CCDD
¹
¹¹²
²
²
Corolarul 5.2.4. ˆIn condit ¸iile Lemei 5.2.3, dac˘ aA, O1,O2au aﬁxele 0,z1¸si
z2,r e s p e c t i v ,a t u n c ia ﬁ x u ll u i Bestez1+z2.
Teorema 5.2.5. Dac˘a3elipse egale Ei(Oi,a ,b),i=
1,3au un punct comun
P, atunci celelalte 3puncte de intersect ¸iePij,i , j=
1,3,i<j apart¸in unei
elipse egal˘ ac uc e l ei n i t ¸iale.
Demonstrat ¸ie.F˘ar˘aar e s t ˆ ange generalitatea problemei vom considera punc-
tulPca originea O. Vom considera ca centrele elipselor vor avea ca aﬁxe
urm˘atoarele numere complexe: O1(z1),O2(z2)a n d O3(z3). Folosind Coro-
larul 5.2.4, punctele de intersect ¸ie vor avea aﬁxele: P12(z1+z2),P13(z1+z3)
¸siP23(z2+z3).
×
××
×OO
OO
PP
P
P¹²
³¹²³¹²
²³
¹³O´¹
Vom ar˘ ata c˘aP12,P13,P23apat¸in unei elipse E123de centru O123¸si aﬁx z1+
z2+z3. Facem translat ¸iaT(−z1−z2−z3). Va rezulta c˘ aO123(z1+z2+z3)−→
O(0),P12(z1+z2)−→P/prime
12(−z3),P13(z1+z3)−→P/prime
13(−z2)¸siP23(z2+z3)−→
P/prime
23(−z1). Aplicˆ and simetria S(O), vom avea urm˘ atoarele transform˘ ari:
P/prime
12(−z3)−→O3(z3),P/prime
13(−z2)−→O2(z2),P/prime
23(−z1)−→O1(z1).
Deci, vom avea de demostrat decˆ at c˘aO1,O2,O3apart¸in unei elipse egal˘ ac u
cele init ¸iale. S˘ ao b s e r v ˘ am c˘ad a c ˘a vom face translat ¸iaT(z1) atunci O1(z1)−→
O/prime
1(2z1),O2(z2)−→P12(z1+z2),O3(z3)−→P13(z1+z3) i.e. triunghiul
O1O2O3este translatat in triunghiul O/prime
1P12P13.L u ˆand ˆın considerare ¸ si faptul
c˘aO/prime
1(2z1) este simetricul punctului O(0) fat ¸˘ad eO1, triunghiul O/prime
1P12P13
devine inscris in elipsa E1./square
67

5.3 Lant ¸ Clifford pentru elipse egale
Teorema 5.3.1. FieEi(Oi,a ,b),i=
1,44elipse egale, toate trecˆ and printr-un
punct P¸si ﬁePij,i , j=
1,4,i<j punctele de interset ¸ie ale elipselor Ei¸siEj.
Atunci cele 4elipse (conform Teoremei 5.2.5) Eijk(Oijk,a ,b),i , j=
1,4,i<
j<k ce trec prin punctele Pij,Pik,¸siPjkau un punct comun P1234.
Demonstrat ¸ie.F˘ar˘a a restrˆ ange generalitatea problemei vom considera punc-
tulPca ﬁind originea O.C o n s i d e r ˆ and centrele elipselor ca ﬁind Oi(zi),i=
1,4,
vom avea din Cororarul 5.2.4 c˘ a aﬁxele punctelor de intersect ¸ie sunt Pij(zi+zj),
i,j=
1,4,i<j ¸si din Teorema 5.2.5 vom avea c˘ a centrele elipselor Eijkvor
avea aﬁxele Oijk(zi+zj+zk),i,j=
1,4,i<j<k .
×
××
× OO
OO
PP
P
P¹²
³¹²³¹²
²³
¹³O×
4×P1234
Vom ar˘ ata, prin transformarea conﬁgurat ¸iei ˆın doi pa¸ si, c˘a elipsele E123,E124,
E134¸siE234au ca punct comun P1234de aﬁx z1+z2+z3+z4.
Aplicˆand translat ¸iaT(−z1−z2−z3−z4), vom avea c˘ a:P1234−→O(0),
O123−→O/prime
123(−z4),O124−→O/prime
124(−z3),O134−→O/prime
134(−z2)¸siO234−→
O/prime
234(−z1). Aplic˘ am simetria S(O)¸si vom obt ¸ine c˘aO/prime
123−→O4(z4),O/prime
124−→
O3(z3),O/prime
134−→O2(z2)¸siO/prime
234−→O1(z1). Deci am transformat conﬁgurat ¸ia
de 4 elipse E123,E124,E134,E234ˆın conﬁgurat ¸ia init ¸ial˘ap e n t r uc a r e¸ stim c˘ aO
este punctul comun. Inversˆ and cele dou˘ a transform˘ ari (T(z1+z2+z3+z4)◦
S(O)) vom avea c˘ a elipsele E123,E124,E134¸siE234au ca punct comun punctul
P1234(z1+z2+z3+z4)./square
Teorema 5.3.1 aﬁrm˘ ae x i s t e n t ¸a unui punct comun P1234de intersect ¸ie a 4
elipse determinate de Teorema 5.2.5 ˆ ıntr-o conﬁgurat ¸ie cu patru elipse egale
avˆand un punct comun P. Este natural s˘ a ne punem problema conﬁgurat ¸iei de
cinci elipse egale ce au un punct comun P. Conform Teoremei 5.3.1, ﬁecare 4
determina un punct. Cele 5 puncte obt ¸inute din intersect ¸ii apart ¸in unei elipse
egale cu cele init ¸iale? Dac˘ a raspunsul este aﬁrmativ, putem continua? Dac˘ a
vom considera o conﬁgurat ¸ie format˘ a din 6 elipse egale avˆ and un punct comun
P, ﬁecare 5 vor produce o elips˘ a egal˘ a cu cele init ¸iale. Cele 6 elipse produse se
vor ˆıntˆalniˆıntru-un punct comun P123456?P u t e m g ˘ asi generalizar ea rezultatelor
din Teorema 5.2.5 ¸ si Teorema 5.3.1?
68

Deﬁnit ¸ia 5.3.2. ˆIn planul euclidian, un ¸ sir de teoreme de compexitate crescˆ and˘a,
ﬁecare ﬁind construit˘ a pe baza precedentei intr-o progres natural se numesc teo-
reme ˆın lant¸ Cliﬀord .
Vom demostra rezultat ele ce generalizeaz˘ a teoremele anterioare:
Teorema 5.3.3. Avˆand2n+1elipse egale Ei(Oi,a ,b),i=
1,2n+1,n∈N∗,
toate avˆ and un punct comun P,a t u n c ic e l e 2n+1 puncte P1…
i…2n+1,i=
1,2n+1, ﬁecare dat de intersect ¸ia a2nelipse E12…
i…
j…2n+1,j=
1,2n+1,j/negationslash=
i,a p a r t ¸in unei elipse egal˘ ac uc e l ei n i t ¸iale. (unde
iˆınseamn˘ ao m i t e r e al u i i)
Demonstrat ¸ie.F˘ar˘a a restrˆ ange generalitatea problemei vom considera punc-
tulPca ﬁind originea O. Vom considera c˘ a centrele elipselor vor avea aﬁxele
Oi(zi). Vrem s˘ ad e m o n s t r ˘ am c˘a cele 2 n+1 puncte apart ¸in unei elipse de centru
O1…2n+1¸si cu aﬁx z1+…+z2n+1.
Urmˆand ideile din Teorema 5.2.5 vom face trei transform˘ ari:
P1…
i…2n+1(z1+…+
zi+…+z2n+1)T(−z1−…−z2n+1)−→ P/prime
1…
i…2n+1(−zi),
P/prime
1…
i…2n+1(−zi)S(O)−→Oi(zi),i=
1,2n+1,
O1,Oi(zi)T(z1)−→O/prime
1(2z1),P1i(z1+zi),i=
2,2n+1.
Punctele O/prime
1(2z1),P1i(z1+zi),i=
2,2n+ 1 apart ¸in elipsei E1deoarece
O/prime
1(2z1) este simetricul punctului O(0) ˆın elipsa E1¸si punctele P1i(z1+zi)
sunt punctele de intersect ¸ie ale elipsei E1cu elipsele Ei,i=
2,2n+1 .
Facˆand transform˘ arile inverse putem concluziona c˘ a cele 2 n+ 1 puncte
P1…
i…2n+1,i=
1,2n+ 1 apart ¸in elipsei E1…2n+1(O1…2n+1,a ,b)./square
Teorema 5.3.4. Fiind date 2n+2elipse egale Ei(Oi,a ,b),i=
1,2n+2,n∈
N∗, toate intersectˆ andu-se ˆ ıntr-un punct P,a t u n c ic e l e 2n+2elipse
E1…
i…2n+2/parenleftbig
O1…
i…2n+2,a ,b/parenrightbig
,i=
1,2n+2, ﬁecare determinat˘ a (conform Teoremei 5.3.3) de cˆ ate2n+1
puncte P1…
i…
j…2n+2,j=
1,2n+2,j/negationslash=i,a uu np u n c tc o m u n P1…2n+2.
Demonstrat ¸ie.Vom demonstra c˘ a cele 2 n+ 2 elipse se vor intersecta ˆ ın
punctul P1…2n+2de aﬁx z1+…+z2n+2. Vom considera dou˘ a transform˘ ar i :
O1…
i…2n+2(z1+…+
zi+…+z2n+2)T(−z1−…−z2n+2)−→ O/prime
1…
i…2n+2(−zi),
O/prime
1…
i…2n+2(−zi)S(O)−→Oi(zi),i=
1,2n+2.
Aceste dou˘ a transform˘ ari suprapun elipsele E1…
i…2n+2peste elipsele init ¸iale
Ei,i=
1,2n+ 2 ce se intersectau ˆ ınP=O.ˆIn acela¸ si timp P1…2n+2este dus
ˆın punctul O, de unde putem deduce c˘ aP1…2n+2este punctul comun al celor
2n+ 2 elipse E1…
i…2n+2,i=
1,2n+2./square
69

5.4 Implementarea ˆınMathematica a lant ¸ului Clifford
ˆIn aceast˘ a sect¸iune vom implementa ˆ ınMathematica rezultatele din Teorema
5.2.5 ¸ si Teorema 5.3.1 ¸ si folosindu-ne de Teoremele 5.3.3 ¸ si 5.3.4 vom putea
generaliza algoritmul de generare a unui lant ¸ Cliﬀord ¸ si ˆınMathematica .
S˘ac o n s i d e r ˘ am celei 3 elipse egale ce au ca punct comun originea:
e1 = Ellipse2D[{a, 0}, a, b, 0];
e2 = Ellipse2D[{p, (b/a) Sqrt[a^2 – p^2]}, a, b, 0];
e3 = Ellipse2D[{r, -(b/a) Sqrt[a^2 – r^2]}, a, b, 0];
Cele trei puncte de intersect ¸ie mutual˘ as ev o rc a l c u l aa s t f e l :
pts12 = Points2D[e1, e2] // FullSimplify;
pts23 = Points2D[e2, e3] // FullSimplify;
pts13 = Points2D[e1, e3] // FullSimplify;
Elementele din conﬁgurat ¸ia init ¸ial˘a se pot acum vizualiza:
Sketch2D[{e1, e2, e3} /. {a -> 2, b -> 1, p -> 1/2, r -> -1}];
Fig. 5.1: Conﬁgurat ¸ia T¸it¸eica ˆınMathematica .
Vom deﬁni o funt ¸ie de dou˘ a variabile ce este de fapt o elips˘ ad es e m i a x e a¸si
b(paralele cu axele de coordonate) ¸ si centru variabil:
e[x_, y_] := (x – u)^2/a^2 + (y – v)^2/b^2 – 1;
70

Dac˘a vom pune aceast˘ a curb˘ as ˘at r e a c ˘ a prin cele trei de intersect ¸ie mutual˘ a
a celor trei elipse
x1 = XCoordinate2D[pts12[[2]]];
y1 = YCoordinate2D[pts12[[2]]];x2 = XCoordinate2D[pts23[[2]]];
y2 = YCoordinate2D[pts23[[2]]];
x3 = XCoordinate2D[pts13[[2]]];
y3 = YCoordinate2D[pts13[[2]]];
de fapt vom rezolva urm˘ atorul sistem de ecuat ¸ii, ce va avea ca solut ¸ie tocmai
centrul elipsei c˘ autate:
Solve[{e[x1, y1] == 0, e[x2, y2] == 0, e[x3, y3] == 0},
{u, v}] // FullSimplify
Vom considera elipsa dat˘ ad es o l u t ¸ia sistemului anterior
e4 = Ellipse2D[{a + p + r,
((b/a) (Sqrt[(a – p) (a + p)] – Sqrt[(a – r) (a + r)]))},a, b, 0] //FullSimplify
¸si vom reprezenta graﬁc solut ¸ia. Se observ˘ a¸si in Figura 5.2 c˘ as o l u t ¸ia este
tocmai elipsa ce trace prin puctele de intersect ¸ie mutual˘ a:
Sketch2D[{e1, e2, e3, e4} /. {a -> 2, b -> 1, p -> 1/2, r -> -1}];
Fig. 5.2: Solut¸ia conﬁgurat ¸iei T¸it¸eica.
Pentru cazul a 4 elipse egale ce au un punct comun, vom considera
71

e4 = Ellipse2D[{a, 0}, a, b, 0];
e1 = Ellipse2D[{-p, (b/a) Sqrt[a^2 – p^2]}, a, b, 0];
e2 = Ellipse2D[{-r, -(b/a) Sqrt[a^2 – r^2]}, a, b, 0];
e3 = Ellipse2D[{s, (b/a) Sqrt[a^2 – s^2]}, a, b, 0];
¸si le vom intersecta cˆ ate 3, astfel:
pts12 = Points2D[e1, e2] // FullSimplify;
pts23 = Points2D[e2, e3] // FullSimplify;
pts13 = Points2D[e1, e3] // FullSimplify;
pts14 = Points2D[e1, e4] // FullSimplify;
pts24 = Points2D[e2, e4] // FullSimplify;
pts34 = Points2D[e3, e4] // FullSimplify;
Conﬁgurat ¸ia o putem vizualiza:
Sketch2D[{e1, e2, e3, e4}
/. {a -> 2, b -> 1, p -> 5/3, r -> -1/2, s -> 3/4}];
Fig. 5.3: Conﬁgurat ¸ia init ¸ial˘a pentru 4 elipse.
Cele 4 elipse determinate de punctele anterioare
e123 = Ellipse2D[{-p – r + s, (
b (Sqrt[(a – p) (a + p)] – Sqrt[a^2 – r^2] + Sqrt[a^2 – s^2]))/a},
a, b, 0] // FullSimplify;
e124 = Ellipse2D[{a – p – r, (
b (Sqrt[(a – p) (a + p)] – Sqrt[a^2 – r^2]))/a}, a, b, 0] //
FullSimplify;
e134 = Ellipse2D[{a – p + s, (
b (Sqrt[(a – p) (a + p)] + Sqrt[a^2 – s^2]))/a}, a, b, 0] //
FullSimplify;
72

e234 = Ellipse2D[{a – r + s, (b (-Sqrt[a^2 – r^2] + Sqrt[a^2 – s^2]))/
a}, a, b, 0] // FullSimplify;
le putem intersecta pentru a vedea dac˘ a au un punct comun:
Points2D[e123, e124] // FullSimplify;
Points2D[e123, e134] // FullSimplify;
Points2D[e123, e234] // FullSimplify;
Points2D[e124, e134] // FullSimplify;
Points2D[e124, e234] // FullSimplify;
Points2D[e134, e234] // FullSimplify;
Punctul comun este:
P1234 = Point2D[{a -p-r+s ,(
b (Sqrt[(a – p) (a + p)] – Sqrt[a^2 – r^2] + Sqrt[a^2 – s^2]))/a}]
Solut¸ia conﬁgurat ¸iei pentru 4 elipse se poate vizualiza ˆ ın Figura 5.4:
Sketch2D[{e123, e124, e134, e234} /. {a -> 2, b -> 1, p -> 5/3,
r -> -1/2, s -> 3/4}];
Fig. 5.4: Solut¸ia pentru 4 elipse.
73

Capitolul 6
Curbe s ¸i suprafat ¸e T¸it¸eica
ˆınMathematica
ˆIn acest capitol vom discuta invariant ¸ii T¸it¸eica cu ajutorul programului Math-
ematica . Suprafet ¸ele T¸it¸eica constituie un subiect excelent pentru a folosi ca-
pabilit˘ at¸ile de calcul simbolic ale programului Mathematica . Din acest motiv,
acest capitol este ca un complement al ca pitolelor anterioare, oferind o imagine
a discursului matematic ¸ si chiar o vizualizare a obiectelor implicate. Mai mult,
folosindu-ne de rezultatele teoretice obt ¸inute ˆ ın Capitolul 5 Invariant ¸i de tip
T¸it¸eica, am dezvoltat un algoritm d e veriﬁcare a apartenent ¸ei unei suprafet ¸e
la clasa suprafet ¸elor T ¸it¸eica. Acest algoritm se poate aplica nu numai pentru
testarea proprietat ¸ii T¸it¸eica, dar ¸ si pentru veriﬁcarea invariant ¸ei unei suprafet ¸e.
Rezultatele au fost publicate ˆ ın [Agnew, Bobe ,B o s k o ﬀ¸ si Suceav˘ a, 2006].
6.1 Exemplu de suprafat ¸˘aT¸it¸eica
ˆInainte de a da un algoritm general ˆ ınMathematica de veriﬁcare a apartenent ¸ei
la clasa suprafet ¸elor T¸it¸eica, vom veriﬁca anumite proceduri pe cazul suprafet ¸ei
z=1
xy. Vom include rezultatele oferite de program, doar atunci cˆ and sunt
relevante.
Suprafat ¸a noastr˘ a
z=1/ (x*y)
are urm˘ atoarea reprezentare:
ParametricPlot3D[
{{x, y, z}, {-x, -y, z}, {-x, y, -z}, {x, -y, -z}},
{x, 0.1, 4}, {4, 0.1, 4}]
Pentru a putea calcula m˘ arimile fundamentale asociate, vom avea nevoie de
acast˘a suprafat ¸˘as u bf o r m a :
74

Fig. 6.1: Suprafat ¸az=1
xy.
r = {x, y, z}.
Vectorii tangent ¸i la suprafat ¸˘aˆıntr-un punct oarecare sunt:
rx = D[r, x]; ry = D[r, y];Putem calcula ¸ si componentele primei forme fundamentale:
e = rx.rx
f = rx.ry
g = ry.ry
Normala unitate la suprafat ¸˘av aﬁ :
u = Cross[rx, ry] / Sqrt[Cross[rx, ry].Cross[rx, ry]] // Simplify
Calculˆ and derivatele part ¸iale de ordinul doi ale lui r, vom putea g˘ asi ¸si coeﬁcient ¸ii
celei de-a doua forme fundamentale:
rxx = D[rx, x]; rxy = D[rx, y]; ryy = D[ry, y];
l = u.rxx // Simplify
m = u.rxy // Simplifyn = u.ryy // Simplify
Avem acum toate elementele pentru a calcula curbura Gauss a suprafet ¸eiz=
1
xy
k=( l*n-m^ 2 )/( e*g- f^2) // Simplify
75

¸si aceasta va ﬁ:3x4y4
(x2+y2+x4y4)2.D i s t a n t ¸a de la origine la planul tangent o putem
calcula u¸ sor f˘acˆand produsul scalar dintre normal˘ a¸si vectorul de pozit ¸ie al
punctului de pe suprafat ¸˘a:
d = u.r // Simplify // Expand;
ˆIn ﬁnal, pentru a veriﬁca dac˘ a este o suprafat ¸˘aT¸it¸eica, vom calcula raportul
din invariantul T ¸it¸eica:
k / d^4 // Simplify
R˘aspunsul este1
27, deci o constant˘ a, ceea ce ne arat˘ ac ˘a suprafat ¸az=1
xyeste
T¸it¸eica.
6.2 Aplicarea unei transform ˘ari centro-afine
Vom aplica o transformare centro-aﬁn˘ a suprafet ¸ei T¸it¸eica din sect ¸iunea ante-
rioar˘a¸si vom constata c˘ a este tot o suprafat ¸˘aT¸it¸eica. Este important s˘ ao b –
serv˘am cˆat de diﬁcil ar ﬁ de f˘ acut aceste calcule cu mˆ ana, pe cˆ and, cu Mathe-
matica , aceste calcule iau aproximativ 12 secunde pe un PC Core 2 Duo de 3.0
Ghz.
Calculele urmeaz˘ ap a ¸sii din sect ¸iunea anterioar˘ a, numai c˘ aa c u ms u n ts i m –
bolice. ˆIn primul rˆ and, vom aplica vectorului de pozit ¸iero transformare centro-
aﬁn˘a reprezentat˘ ad eom a t r i c eg e n e r i c ˘ a:
z=1/( x*y ) ;
r = {{a11, a12, a13}, {a21, a22, a23}, {a31, a32, a33}}.{x, y, z};
rx = D[r, x]; ry = D[r, y];e = rx.rx;
f = rx.ry;
g = ry.ry;
u = Cross[rx, ry] / Sqrt[Cross[rx, ry].Cross[rx, ry]] // Simplify;
rxx = D[rx, x]; rxy = D[rx, y]; ryy = D[ry, y];l = u.rxx // Simplify;
m = u.rxy // Simplify;
n = u.ryy // Simplify;k=( l*n-m^ 2 )/( e*g- f^2) // Simplify;
d = (u.r) / (Sqrt[u.u]) // Simplify;
d^4 // Simplify;
k / d^4 // Simplify
Dup˘a rulare vom avea ca r˘ aspuns:
1/(27(a13a22a31−a12a23a31−a13a21a31+a11a23a32+a12a21a33+a11a22a33)
2).
Deci, vom avea tot o suprafat ¸˘aT¸it¸eica cu constanta alterat˘ a de o putere a
determinantului matricei de transformare.
76

6.3 Rolul liniilor asimptotice
Din teorema Beltrami-Eneper (vedet ¸i [O’Neill, 1966], pagina 230) ¸ stim urm˘ atoarea
relat¸ie ˆıntre curbura Gauss a unei suprafet ¸e ¸si torsiunea unei linii asimptotice
pe acea suprafat ¸˘a:K=−τ2.Din aceast˘ ar e l a t¸ie se poate observa faptul c˘ ao
suprafat ¸˘a cu linii asimptotice trebuie s˘ aa i b ˘a curbur˘ a negativ˘ a.ˆIn particular,
suprafat ¸a prezentat˘ am a is u s z=1
xynu va avea linii asimptotice.
Pentru o discut ¸ie netrivial˘ a despre curbe asimptotice/T ¸it¸eica de pe o suprafat ¸˘a
T¸it¸eica, vom considera exemplul suprafet ¸eiz=1
x2+y2. La fel ca mai sus, poate
ﬁ veriﬁcat c˘ a invariantulK
d4este pentru aceast˘ a suprafat ¸˘a−4
27.
Mai jos avem o imagine standard a acestei suprafet ¸e ˆın coordonate cilindrice:
Fig. 6.2: Suprafat ¸az=1
x2+y2.
Utilizˆand metodele standard de determinare a liniilor asimptotice (vedet ¸i
Capitolul 18 din [Grey, 1998]), vom g˘ asi c˘a aceste linii asimptotice sunt (imag-
inile) spirale logaritmice de forma:
θ=v±√
3Log[ρ],
ρ[θ]→ue±θ
√
3,
undeu¸sivsunt noii parametrii. Vom ﬁgura una dintre aceste spirale pentru o
mai buna vizualizare:
Schimbˆ and coordonateleˆ ınu¸siv, vom obt ¸ine o parametrizare ale c˘ arei curbe
de coordonate constante sunt curbe asimptotice/T ¸it¸eica pe aceast˘ a suprafat ¸˘a.
77

Fig. 6.3: Linie asimptotic˘ ap e n t r u z=1
x2+y2.
ˆIn Figura 6.4 am evident ¸iat curbele T ¸it¸eica ale suprafet ¸ei folosindu-ne de o astfel
de parametrizare.
6.4 Algoritmul de test T ¸it¸eica implementat ˆınMathe-
matica
ˆIn aceast˘ a sect¸iune vom enunt ¸a algoritmul de tes tare a apartenent ¸ei unei suprafet ¸e
la clasa suprafet ¸elor T¸it¸eica implementat ˆ ınMathematica .ˆIn primul pas se vor
introduce coordonatele x,y¸sizale suprafet ¸ei ca funct ¸ii de parametrii suprafet ¸ei
u¸siv.D a c ˘av r e ms ˘ a veriﬁc˘ am pentru transformata centro-aﬁn˘ a a unei suprafet ¸e,
vom multiplica vectorul de pozit ¸iercu transformarea dorit˘ a( n u m e r i c ˘ as a us i m –
bolic˘a).
Testul T ¸it¸eica
x=
y=
z=
78

Fig. 6.4: Curbele asimptotice/T ¸it¸eica pentru z=1
x2+y2.
r = {x, y, z}
ru = D[r, u]
rv = D[r, v]
e = ru.ru
f = ru.rvg = rv.rv
normal = Cross[ru, rv] / Sqrt[Cross[ru, rv].Cross[ru, rv]] // Simplify
ruu = D[ru, u]ruv = D[ru, v]
rvv = D[rv, v];
l = normal.ruu // Simplify
m = normal.ruv // Simplify
n = normal.rvv // Simplifyk=( l*n-m^ 2 )/( e*g- f^2) // Simplify
d = (normal.r) / (Sqrt[normal.normal]) // Simplify
d^4 // Simplify;k / d^4 // Simplify
79

Lista de figuri
1.1 Vizualizarea politopului Newton cu Mathematica ……… 1 5
1.2 Reprezentarea regiunii Groebner ˆ ınMathematica ……… 1 5
1.3 Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.1 . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.1 . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.2 . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.2 . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.3 . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Regiunea Groebner pentru Exemplul 1.5.3 . . . . . . . . . . . . . 211.9 Politopul Newton pentru Exemplul 1.5.4 . . . . . . . . . . . . . . 21
1 . 1 0R e g i u n e a G r o e b n e r p e n t r u E x e m p l u l 1 . 5 . 4…………. 2 2
2.1 Vizualizarea conului polar pentru Exemplul 2.1.4. . . . . . . . . . 31
2.2 Ilustrarea identit˘ at¸ i i2 . 1 . 1 ………………….. 3 2
2.3 Ilustrarea descompunerii din Teorema 2.1.15. . . . . . . . . . . . 34
2.4 Poligoanele pe care le ˆ ınsum˘ a m M i n k o w s k i . ………… 3 5
2.5 Suma Minkowski a poligoanelor din Figura 2.4. . . . . . . . . . . 35
2.6 Politopul c˘ aruia ˆ ıi calcul˘ a m f a n u l n o r m a l . …………. 3 7
2.7 Ilustratea conurilor normale pentru ﬁecare fat ¸˘a a politopului din
F i g u r a 2 . 6 . ………………………… 3 8
2.8 Poliedrul pe care vom ilustra Observat ¸ i a2 . 3 . 8 . ………. 3 9
2.9 Ilustrarea Observat ¸ i e i 2 . 3 . 8 …………………. 4 0
3.1 Vizualizarea relat ¸ieiK
1·d=ct……………….. 4 5
3.2 Suprafat ¸˘a tetraedral˘ ap e n t r u m= 3 …………….. 4 6
3.3 Suprafat ¸˘a tetraedral˘ ap e n t r u m= 9 …………….. 4 6
3.4 Sferele astroidale ˆ ın deformare pentru m∈{1,2}……… 4 8
3.5 Sferele astroidale ˆ ın deformare pentru m∈{3,4}……… 4 8
4.1Suprafat ¸a Euler. ………………………. 5 9
5.1Conﬁgurat ¸ia T¸it¸eica ˆınMathematica ……………… 7 0
5.2Solut¸ia conﬁgurat ¸iei T¸it¸eica. …………………. 7 1
5.3Conﬁgurat ¸ia init ¸ial˘a pentru 4 elipse. ……………… 7 2
5.4Solut¸ia pentru 4 elipse. ……………………. 7 3
6.1 Suprafat ¸az=1
xy. ……………………… 7 5
80

6.2 Suprafat ¸az=1
x2+y2…………………….. 7 7
6.3 Linie asimptotic˘ ap e n t r u z=1
x2+y2. ……………. 7 8
6.4 Curbele asimptotice/T ¸it¸eica pentru z=1
x2+y2. ………. 7 9
81

Bibliografie
[Adams, Loustaunau, 1994] Adams, W.W., Loustaunau, P., An Introduction to
Gr¨obner Bases , AMS, 1994.
[Agnew, Bobe ,B o s k o ﬀ¸ si Suceav˘ a, 2007] Agnew, A.F., Bobe, A. ,B o s k o ﬀ ,W . G . ,
Suceav˘ a, B.D., Gheorghe Tzitzeica and the Origins of Aﬃne Diﬀerential Ge-
ometry , Hist. Math., Manuscript number: HM-06-24R2 (ˆ ın curs de publicare).
[Agnew, Bobe ¸si Boskoﬀ, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A. ,B o s k o ﬀ ,W . G . , Tzitzeica-
Type Invariants , Rocky Mt. J. Math. (trimis spre publicare).
[Agnew, Bobe ,B o s k o ﬀ ,H o m e n t c o v s c h i¸ si Suceav˘ a, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A. ,
Boskoﬀ, W.G., Homentcovschi, L., Suceav˘ a, B.D., The Equation of Euler’s Line
Yields a Tzitzeica Surface , Elem. Math. (trimis spre publicare).
[Agnew, Bobe ,B o s k o ﬀ¸ si Suceav˘ a, 2006] Agnew, A.F., Bobe, A. ,B o s k o ﬀ ,W . G . ,
Suceav˘ a, B.D., Tzitzeica Curves and Surfaces , The Math. J., WR-675289, 2006.
[Alexander, 1995] Alexander, A., Gaston Darboux and the history of complex dynam-
ics, Hist. Math., 22(2) (1995), 179-185.
[Andonie, 1965] Andonie, G.S ¸.,Istoria matematicii ˆ ın Romˆ ania,v o l .I ,E d i t u r a
S¸tiint¸iﬁc˘a, Bucure¸ sti, 1965.
[Barbilian, 2000] Barbilian, D., Ion Barbu – Opere , vol. II, Proz˘ a, Academia Romˆ an˘a,
Univers Enciclopedic, Bucure¸ sti, 2000.
[Baues ¸ si Cort´ es, 2003] Baues, O., Cort´ es, V., Proper Aﬃne Hyperspheres which Fiber
over Projective Special Kaehler Manifolds ,A s i a nJ .M a t h . , 7(2003), 115-132.
[Bianchi, 1894] Bianchi, L., Lezioni di geometria diﬀerenziale , Ed. Spoerri, Pisa, 1894.
[Blaschke, 1930] Blaschke, W., Vorlesungen ¨ uber diﬀerential Geometrie unde ge-
ometrische Grundlagen von Einsteins Relativit¨ atstheorie , Berlin, 1930.
[Bobe , 2006] Bobe, A. ,Algorithm for the Groebner region of a principal ideal ,A n .
S¸tiint¸. Univ. Ovidius Constant ¸a,14(1) (2006), 23-44.
[Bobe ¸si Boskoﬀ, 2007] Bobe, A. ,B o s k o ﬀ ,W . G . , Tzitzica-Johnson Theorem Revis-
ited, Aust. Math. Soc. Gaz., (trimis spre publicare).
[Boskoﬀ ¸ si Suceav˘ a, 2004] Boskoﬀ, W.G., Suceav˘ a, B.D., When Is Euler’s Line Par-
allel to a Side of a Triangle? , College Math. J., 35(2004), 292-296.
82

[Brˆınz˘anescu ¸ si St˘an˘a¸sil˘a, 1998] Brˆ nz˘anescu, V., St˘ an˘a¸sil˘a, O., Matematici speciale ,
Ed. All, Bucure¸ sti, 1998.
[Buchberger, 1965] Buchberger, B., Ein Algorithmus zum Auﬃnden der Basiselemente
des Restklassenringes nach einem nulldimensionalen Polynomideal ,P h . D .T h e s i s ,
Inst. University of Innsbuck, Austria, 1965.
[Buchin, 1983] Buchin, S., Aﬃne Diﬀerential Geometry , Science Press, Beijing, China
and Gordon and Breach, Science Publishers, Inc., New York, 1983.
[Calabi, 1972] Calabi, E., Complete Aﬃne Hypersurfaces ,I .S y m p o s i aM a t h e m a t i c a ,
10(1972), 19-38.
[Calabi, 1990] Calabi, E., Aﬃne diﬀerential geometry and holomorphic curves. Com-
plex Geometry and Analysis , Lecture Notes in Mathematics, 1422, Springer-
Verlag, 1990, 15-21.
[Chen, 2000] Chen, B.-Y., Riemannian submanifolds. Handbook of Diﬀerential Ge-
ometry , vol. I, Editors F.J.E. Dillen and L.C.A. Verstraelen, Elsevier, 2000, pp.
187-418.
[Cheng ¸ si Yau, 1986] Cheng, S.-Y and Yau, S.-T., Complete Aﬃne Hyperspheres. Part
I. The completeness of aﬃne metrics , Comm. on Pure and Appl. Math., 39(6)
(1986), 839-866.
[Cox, Little ¸ si O’Shea, 1992] Cox, D., Little, J., O’Shea, D., Ideals, Varieties and Al-
gorithms , Springer-Verlag, 1992.
[Coxeter ¸ si Greitzer, 1967] Coxeter, H.S.M., Greitzer, S.L., Geometry Revisited ,Y a l e
Univ. Press., 1976.
[Cruceanu, 2005] Cruceanu, V., Research works of Romanian mathematicians on
Centro-Aﬃne Geometry , Balkan J. Geom. Appl., 10(1) (2005), 1-5.
[Dantzing, 2003] Dantzing, G.B., Thapa, M.N., Linear Programming , Springer, 2003.
[Darboux, 1894] Darboux, G., Le¸cons sur la th´ eorie g´ en´erale des surfaces et les ap-
plications g´ eom´etriques du calcul inﬁnit´ esimal ,V o l .I – I V ,T h i r de d i t i o n ,C h e l s e a ,
New York, 1972.
[Demoulin, 1911a] Demoulin, A., Sur les surfaces R et les surfaces Ω, C.R. Acad. Sci.
Paris, 153(1911), 590-593.
[Demoulin, 1911b] Demoulin, A., Sur les surfaces R ,C . R .A c a d .S c i .P a r i s , 153
(1911), 797-799.
[Dillen ¸ si Vrancken, 1994] Dillen, F., Vrancken, L., Calabi Type composition of aﬃne
spheres , Diﬀ. Geom. and Its Appl., 4(1994), 303-328.
[Dillen, 1996] Dillen, F., Komrakov, B., Simon, U., Verstraelen, L., Van De Woestyne,
I.,Geometry and Topology of Submanifolds VIII , World Scientiﬁc, 1996.
[Dumitru, 1981] Dumitru, N.C., Gh. T¸it¸eica, Gazeta matematic˘ a,6(1981), Electronic
edition, Softwin, Bucharest, 2005.
83

[Eisenhart, 1909] Eisenhart, L.P., A treatise on the diﬀerential geometry of curves and
surfaces , Dover Publications, Inc. New York, new edition published in 1960.
[Eisenhart, 1917/1918] Eisenhart, L.P., Darboux’s contribution to geometry , Bull.
Amer. Math. Soc. 24(1917/18), 227-237.
[Eisenhart, 1921] Eisenhart, L.P., Conjugate nets R and their transformations , Ann.
Math. 22(2) (1921), 161-181.
[Ene, 2002] Ene, V., Capitole de algebr˘ a asistat˘ ad ec a l c u l a t o r , Ex Ponto, Constant ¸a,
2002.
[Euler, 1765] Euler, L., Solutio facilis problematum quorundam geometricorum diﬃ-
cillimorum , Novii Comm. Acad. Sci. Petropolitanae 11(1765), 103-123 (in Opera
omnia, 26(1), 139-157).
[Fubini, 1924] Fubini, G., Su alcune classi di congruenze di rette e sulle trasformazioni
delle R , Ann. di Mat., 1(4) (1924), 241-257.
[Fubini, 1926] Fubini, G., Proprieta proiettive delle superﬁcie a curvature metrica
costante , Rend. Accad. Roma, 4(6) (1926), 167-171.
[Fubini, 1928] Fubini, G., Riassunto di alcune ricerche di geometria proiettivo-
diﬀerenziale , Proc. Congress Toronto 1, 1928, pp. 831-834.
[Gheorghiev ¸ si Popa, 1960] Gheorghiev, G., Popa, I., G´eom´etrie projective
diﬀ´erentielle des vari´ et´es de cˆ ones, C.R. Acad. Sci. Paris, 251(1960),
1208-1210.
[Gheorghiev ¸ si Popa, 1961] Gheorghiev, G., Popa, I., G´eom´etrie des r´ eseaux d’une
surface , C.R. Acad. Sci. Paris, 252(1961), 2499-2501.
[Gheorghiev ¸ si Popa, 1962] Gheorghiev, G., Popa, I., Corespondent ¸a ˆıntre variet˘ ati de
conuri , An. Stiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi, sect ¸ia I, mat., ﬁz., chim., 8(1) (1962),
97-103.
[Gheorghiu, 1939] Gheorghiu, G.T., George T ¸it¸eica, Gazeta matematic˘ a,4(1939),
Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.
[Gheorghiu, 1956] Gheorghiu, G.T., Les courbes Tzitzeica dans la g´ eom´etrie projec-
tive, Rev. Roum. Math. Pures Appl., 1(1956), 133-150.
[Gheorghiu, 1959] Gheorghiu, G.T., Hipersuprafet ¸e T¸it¸eica,L u c r ˘ arile ¸stiint¸. Inst.
pedag. Timi¸ soara, mat., ﬁz., 1959, 45-60.
[Gheorghiu ¸ si Popa, 1959] Gheorghiu, G.T., Popa, C., O proprietate aﬁn˘ a caracteris-
tic˘as u p r a f e t ¸elor T¸it¸eica,L u c r ˘ arile ¸stiint¸. Inst. pedag. Timi¸ soara, mat., ﬁz., 1959,
65-71.
[Gheorghiu, 1962] Gheorghiu, G.T., Asupra variet˘ at¸ilor neolonome T ¸it¸eica, Studia
Universitatis Babe¸ s-Bolyai, series math.-phys., 7(1) (1962), 45-60.
[Godeaux, 1932] Godeaux, L., Les quadriques de Tzitzeica et la th´ eorie des surfaces ,
Ann. Soc. Polon. Math. 10(1932), 21-24.
84

[Grey, 1998] Grey, A., Modern Diﬀerential Geometry of Curves and Surfaces with
Mathematica , CRC Press, Boca Raton, 1998.
[Gross ¸ si Siebert, 2003] Gross, M., Siebert, B., Aﬃne manifolds, Log structures, and
mirror symmetry ,T u r k i s hJ .M a t h . 27(2003), 33-60.
[Guggenheimer, 1963] Guggenheimer, H.W., Diﬀerential geometry , McGraw-Hill,
New York, 1963.
[Hironaka, 1964] Hironaka, H., Resolution on singularities of an algebraic variety over
a ﬁeld of characteristic zero , Ann. Math. 79(1964), 109-326.
[Ianu¸s, 1995] Ianu¸ s, S.,Gheorghe T ¸it¸eica (1873-1939) – fondatorul ¸ scolii de geometrie
din t¸ara noastr˘ a, Gazeta matematic˘ a,100(1995), 399-401.
[Johnson, 1916] Johnson, R.A., A Circle Theorem , Amer. Math. Monthly, 23(1916),
161-162.
[Kimberling, 2007] Kimberling, C., Gossard Perspector , 2007,
http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html
[Lauritzen, 2002] Lauritzen, N., Convex analysis , 2002,
http://home.imf.au.dk/niels/Topics/convexanalysis.pdf
[Lauritzen, 2002a] Lauritzen, N., Sturmfels expanded , 2002,
http://home.imf.au.dk/niels/Topics/chapter1.pdf
[Lauritzen, 2002] Lauritzen, N., Groebner bases , 2002,
http://home.imf.au.dk/niels/Topics/statepoly.pdf
[Loftin, 2002] Loftin, J., Aﬃne spheres and K¨ ahler-Einstein metrics , Math. Res. Lett.,
9(2002), 425-432.
[Loftin, 2005] Loftin, L, Yau, S.-T., Zaslow, E., Aﬃne manifolds, SYZ geometry and
the ”Y” vertex ,J .D i ﬀ .G e o m . , 71(2005), 129-158.
[Li ¸si Simon, 1993] Li, A.M., Simon, U., Zhao, G., Global aﬃne diﬀeretnial geometry
of hypersurfaces , W. De Gruyter, Berlin-New York, 1993.
[Liu, 1996] Liu, H., Magid, M., Scharlach, Ch., Simon, U., Recent developments in
aﬃne diﬀerential geometry, in Geometry and topology of submanifolds VIII ,( F .
Dillen et al., eds.), World Scientiﬁc, 1996.
[Macaulay, 1927] Macauly, F.S., Some properties of enumeration in the theory of mod-
ular systems , Proc. London Math. Soc. 26(1927), 531-555.
[Mayer, 1927] Mayer, O., Sur les surfaces r´ egl´ees `a lignes ﬂecnodales planes , Ann.
Scient. Univ. Iassy, 15(1-2) (1927), 25-55.
[Mayer, 1928] Mayer, O., Etudes sur les surfaces r´ egl´ees,B u l .F a cS ¸tiint¸e, Cern˘ aut¸i,
1(2) (1928), 1-33.
[Mayer ¸ si Myller, 1933] Mayer, O., Myller, A., G´eom´etrie centro-aﬃne diﬀ´ erentielle
des courbes planes , Ann. Scient. Univ. Iassy, 18(3-4) (1933), 234-280.
85

[Mayer, 1934] Mayer, O., G´eom´etrie centro-aﬃne diﬀ´ erentielle des surfaces , Ann. Sci-
ent. Univ. Iassy, 21(1934), 1-77.
[Mayer, 1938] Mayer, O., Etude des r´ eseaux plans en g´ eom´etrie centro-aﬃne , Ann.
Scient. Univ. Iassy, 24(1) (1938), 57-71.
[Mayer, 1940a] Mayer, O., Sur les surfaces r´ egl´ees, III , Ann. Scient. Univ. Iassy, 26
(1940), 299-308.
[Mayer, 1940b] Mayer, O., Sur les surfaces r´ egl´ees, IV , Ann. Scient. Univ. Iassy, 26
(1940), 626-632.
[Mignotte, 1991] Mignotte, M., Mathematics for Computer Algebra , Springer-Verlag,
1991.
[Mih˘aileanu, 1955] Mih˘ aileanu, N., Gheorghe T ¸it¸eica, Gazeta matematic˘ a,8(1955),
Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.
[Mih˘aileanu, 1972] Mih˘ aileanu, N., Geometrie Analitica Proiectiva si Diferentiala.
Complemente , Ed. Did. ¸ si Ped., Bucure¸ sti, 1972.
[Mih˘aileanu, 1976] Mih˘ aileanu, N., Lect¸ii complementare de geometrie , Ed. Did. ¸ si
Ped., Bucure¸ sti, 1976.
[Mora ¸ si Robbiano, 1988] Mora, T., Robbiano, L., The Groebner fan of an ideal ,J .
Symb. Comp., 6(1988), 183-208.
[Nicolescu, 1945] Nicolescu, A., Sur les courbes sph´ eriques de Tzitzeica , Bull. Sci. ´Ec.
Polyt. Timi¸ soara, 12(1-2) (1945), 37-44.
[Nicolescu, 1956] Nicolescu, A., Cˆateva propriet˘ at¸i ale suprafet ¸elor T ¸it¸eica,C o m .
Acad. R.P.R., 6(9) (1956), 1065-1071.
[Nicolescu, 1962] Nicolescu, A., Construct ¸ia invariant ¸ilor geometriei centro-aﬁne ,E d .
Acad., 1962, pp. 139-141.
[Nomizu ¸ si Sasaki, 1991] Nomizu, K., Sasaki, T., A new model of unimodular-aﬃnely
homogeneous surfaces , Manuscr. Math., 73(1991), 39-44.
[Nomizu ¸ si Sasaki, 1994] Nomizu, K., Sasaki, T., Aﬃne diﬀerential geometry, Geom-
etry of aﬃne immersions , Cambridge University Press, 1994.
[Oliker ¸ si Simon, 1992] Oliker, V., Simon, U., Aﬃne geometry and polar hypersur-
faces. Analysis and Geometry: Trends in Research and Teaching , (B. Fuchssteiner
and W. A. J. Luxemburg, eds.), BI-Mannheim-Z¨ urich, 1992, pp. 87-112.
[O’Neill, 1966] O’Neill, B., Elementary Diﬀerential Geometry , Academic Press, San
Diego, 1966.
[Pambuccian, 2005] Pambuccian, V., Euclidean geometry problems rephrased in terms
of midpoints and point-reﬂections , Elem. Math., 60(2005), 19-24.
[Papuc ¸ si Munteanu, 1960] Papuc, D., Munteanu, E., Asupra geometriei diferent ¸iale
au n u ig r u pp a r t i c u l a rd et r a n s f o r m ˘ ari proiective ,A n .S ¸t. Univ. Ia¸ si, mat., ﬁz.,
chim., 6(3) (1960), 655-663.
86

[Papuc, 1963a] Papuc, D., Sur les vari´ et´es des espaces klein´ eens `ag r o u p el i n ´ eaire
compl´etement r´ eductible , C.R. Acad. Sci. Paris, 256(1) (1963), 62-64.
[Papuc, 1963b] Papuc, D., Sur la th´ eorie des vari´ et´es des espaces klein´ eens `ag r o u p e
lin´eaire compl´ etement r´ eductible ,C . R .A c a d .S c i .P a r i s , 257(3) (1963), 589-591.
[Pﬁster, 2001] Pﬁster, G., Greuel, G.M., Sch¨ onemann, H., Singular 3.0. A Computer
Algebra System for Polynomial Computations , Centre for Computer Algebra, Uni-
versity of Kaiserslautern, http://www.singular.uni-kl.de, 2001.
[Polyamin ¸ si Zaitsev, 2004] Polyamin, N., Zaitsev, V., Handbook of Nonlinear Partial
Diﬀerential Equations , CRC Press, 2004.
[Popa, 1934a] Popa, I., G´eom´etrie centro-aﬃne hyperbolique des courbes gauches ,
Ph.D. thesis., Ann. Sci. Univ. Iassy, 21, 78-181.
[Popa, 1934b] Popa, I., G´eom´etrie centro-aﬃne parabolique des courbes et des sur-
faces, Ann. Sci. Univ. Iassy, 21(1934), 141-181.
[Preparata, 1985] Preparata, F.P., Shamos, M.I., Computational Geometry. An Intro-
duction , Springer, 1985.
[Pripoae ¸ si Gogu, 2005] Pripoae, G.T., Gogu, R., Gheorghe Tzitzeica – an incomplete
bibliography ,B a l k a nJ .G e o m .A p p l . , 10(2005), 32-56.
[Robbiano ¸ si Kreuzer, 2000] Robbiano, L., Kreuzer, M., Computational Commutative
Algebra I , Springer, 2000.
[Rodriguez, 2006] Rodriguez, J., Manuel, P., Simiao, P., A conic associated with Euler
lines, Forum Geom., 6(2006), 17-23.
[Scharlach, 1997] Scharlach, Ch., Simon, U., Verstraelen, L., Vrancken, L., An e w
intrinsic curvature invariant for centroaﬃne hypersurfaces , Contrib. Alg. Geom.,
38(1997), 437-458.
[Scharlach ¸ si Vrancken, 1996] Scharlach, Ch., Vrancken, L., A curvature invariant for
centroaﬃne hypersurfaces, Part II. Geometry and Topology of Submanifolds ,8,
(ed. by F. Dillen et al.), World Scientiﬁc, Singapore, 1996, pp. 341-350.
[Schrijver, 1998] Schrijver, A., Theory of Linear and Integer Programming , J. Wiley,
New-York, 1998.
[Simon, 1991] Simon, U., Schwenk-Schellschmidt, A., Viesel, H., Introduction to the
aﬃne diﬀerential geometry of hypersurfaces , Science University of Tokyo, 1991.
[Simon, 2000] Simon, U., Aﬃne diﬀerential geometry. Handbook of Diﬀerential Ge-
ometry , vol. I, (Editors F.J.E. Dillen and L.C.A. Verstraelen), Elsevier, 2000, pp.
905-962.
[Slebodzinski, 1937] Slebodzinski, W., Sur la realization d’une variete et connexion
aﬃne par une surface plongee dans un espace aﬃne ,C .R .A c a d .S c i .P a r i s , 7(2)
(1937), 31-40.
[Slebodzinski, 1939] Slebodzinski, W., Sur quelques problemes de la theorie des sur-
faces de l’espace aﬃne , Prace Mat. Fiz. 46(1939), 81-88.
87

[Soare, 2005] Soare, N., Gheorghe Titeica An Aﬃne Diﬀerential Geometry ,B a l k a nJ .
Geom. Appl., 10(1) (2005), 21-23.
[Sturmfels, 1996] Sturmfels, B., Gr¨obner Basis and Convex Polytopes , AMS, 1996.
[Teleman, 2005] Teleman, K., On the mathematical work of Gheorghe T ¸it¸eica,B a l k a n
J. Geom. Appl., 10(1), 59-64.
[T¸it¸eica, 1895] T ¸it¸eica, G., Relat¸iuni ˆıntre elementele unui tetraedru , Gazeta matem-
atic˘a,3(1895), Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.
[T¸it¸eica, 1903] T ¸it¸eica, G., Geometria ˆ ın ˆınv˘at¸˘amˆantul secundar , Gazeta matematic˘ a,
Part 1, 1(1903); Part 2, 3(1903), Electronic edition, Softwin, Bucharest, 2005.
[T¸it¸eica, 1906] T ¸it¸eica, G., Sur la deformation de certaines surfaces tetraedrales ,C .
R .A c a d .S c i .P a r i s , 142(1906), 1493-1494.
[T¸it¸eica, 1907] T ¸it¸eica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces , C. R. Acad. Sci. Paris,
144(1907), 1257-1259.
[T¸it¸eica, 1908a] T ¸it¸eica, G., Sur une classe de surfaces .C .R .A c a d .S c i .P a r i s , 146
(1908), 165-166.
[T¸it¸eica, 1908b] T ¸it¸eica, G., Sur les surfaces regl´ ees, C. R. Acad. Sci. Paris, 147
(1908), 173-174.
[T¸it¸eica, 1908c] T ¸it¸eica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, I , Rend. Circ. Mat.
Palermo, 25(1908), 180-187.
[T¸it¸eica, 1908d] G. T ¸it¸eica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces , Atti del IV Con-
gresso Internazionale dei Matematici, Roma, vol. 2, 1908, pp. 304-308.
[T¸it¸eica, 1909] T ¸it¸eica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces, II , Rend. Circ. Mat.
Palermo, 28(1909), 210-216.
[T¸it¸eica, 1910a] T ¸it¸eica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces ,C .R .A c a d .S c i .
Paris, 150(1910), 955-956.
[T¸it¸eica, 1910b] T ¸it¸eica, G., Sur une nouvelle classe de surfaces , C. R. Acad. Sci.
Paris, 150(1910), 1227-1229.
[T¸it¸eica, 1913a] T ¸it¸eica, G., Sur une generalization des surfaces minima non-
euclidiennes ,C .R .A c a d .S c i .P a r i s , 156(1913), 1136- 1138.
[T¸it¸eica, 1913b] T ¸it¸eica, G., Sur une generalisation des surfaces minima , Bull. Sect.
Sci. Acad. Roumaine, 2(1) (1913), 11-15.
[T¸it¸eica, 1915a] T ¸it¸eica, G., Sur une classe speciale de surfaces , Bull. Sect. Sci. Acad.
Roumaine, 3(1915), 200-204.
[T¸it¸eica, 1915b] T ¸it¸eica, G., Sur une classe speciale de surfaces, II , Bull. Sect. Sci.
Acad. Roumaine, 3(1915), 205-210.
[T¸it¸eica, 1916] T ¸it¸eica, G., Deformarea unei clase de suprafet ¸te tetraedrale ,A n .A c a d .
Romana, Mem. Sectiei St., 2(38) (1916), 241-259.
88

[T¸it¸eica, 1924] T ¸it¸eica, G., G´eometrie diﬀ´ erentielle projective des reseaux ,C u l t u r a
Nat¸ional˘ a, Bucharest and Gauthier-Villars, Paris, 1924.
[T¸it¸eica, 1926] T ¸it¸eica, G., Sur la deformation de certaines surfaces tetraedales, les
surfaces S et les reseaux R , Appendix of Geometria proettiva diﬀerenziale ,( G ,
Fubini – E. Cech), Bologna, 1926, vol.II, 663-669.
[T¸it¸eica, 1931] T ¸it¸eica, G., Introduction ` al ag ´ eom´etrie diﬀ´ erentielle projective des
courbes ,M e m .S c i .M a t h .P a r i s , 47(1931), 61 pag.
[T¸it¸eica, 1935] T ¸it¸eica, G., Sur quelques proprietes aﬃnes , C. R. Acad. Sci. Paris, 200
(1935), 1563-1565.
[T¸it¸eica, 1956] T ¸it¸eica, G., Geometrie diferent ¸ial˘a proiectiv˘ aar e t¸elelor ,E d i t .A c a d .
R.P.R., 1956.
[T¸it¸eica, 1962] T ¸it¸eica, G., Probleme de geometrie ,E d i t¸ia a ¸sasea, Ed. Tehnic˘ a, 1962.
[Transon, 1841] Transon, A., Recherches sur la courbure des lignes et des surfaces ,J .
Math. Pures et Appl., 6(1841), 191-208.
[Vrancken, 1991] Vrancken, L., Li, A.M., Simon, U., Aﬃne spheres with constant
aﬃne sectional curvature ,M a t h .Z . , 206(1991), 651-658.
[Vr˘anceanu, 1972] Vr˘ anceanu, Gh., Invariants centro-aﬃnes d’une surface ,R e v .
Roum. Math. Pures Appl., 24(1972), 979-982.
[Vr˘anceanu, 1977] Vr˘ anceanu, Gh., Surfaces Tzitzeica , An. Univ. Craiova, Ser. Mat.
Fiz.-Chim., 5(1977), 5-10.
[Vr˘anceanu, 1979a] Vr˘ anceanu, Gh., Tzitz´eica fondateur de la g´ eom´etrie centro-aﬃne ,
Rev. Roum. Math. Pures Appl., 24(1979), 983-988.
[Vr˘anceanu, 1979b] Vr˘ anceanu, Gh., Sur les surfaces de Tzitzeica , Bul. Stiint. Univ.
Teh. Constr. Bucuresti, 40(1) (1979), 63-64.
[Wilczynski, 1907] Wilczynski, E.J., Projective diﬀerential geometry of curved surfaces
(First Memoir) , Trans. Amer. Math. Soc., 8(1907), 233-260.
[Wilczynski, 1908a] Wilczynski, E.J., Projective diﬀerential geometry of curved sur-
faces (Second Memoir) ,T r a n s .A m e r .M a t h .S o c . , 9(1908), 79-120.
[Wilczynski, 1908b] Wilczynski, E.J., Projective diﬀerential geometry of curved sur-
faces. III , Trans. Amer. Math. Soc., 9(1908), 293-315.
[Wolfram, 2007] Wolfram Reasearch, Mathematica 6.0, http://www.wolfram.com,
2007.
[Ye ¸si Wu, 2002] Ye, Z.H., Wu W.C., Problem 10980 , Am. Math. Mon., p.921 (2002),
solution pp. 823-824 (2004).
[Ziegler, 1995] Ziegler, G.M., Lectures on Polytopes , Springer-Verlag, 1995.
89

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Studiul unor algoritmi de algebr a [601119] (ID: 601119)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Studiul unor algoritmi de algebr a [601119]

Copyright Notice

CATEDRA DE ISTORIA FILOSOFIEI ANTICE ȘI MEDIEVALE [600394]

Contribut ii la Teoria Aproxim arii Funct iilor [616074]

Doctora nd: Stoichici (Pescaru) Onelia-Nicoleta Coordonator științific: prof.univ.dr. M itrofan Nicolaie Structura lucr ării Teza este structurat ă… [600614]

SPITALUL UNIVERSITAR DE URGEN ȚĂ BUCURE ȘTI TEZĂ DE DOCTORAT DIAGNOSTIC MOLECULAR AL CANCERULUI DE PANCREAS PRIN SENZORI STOCASTICI CONFIRMAT… [609113]

EFICIENȚA ȘI SIGURANȚA APLICĂRII ELECTROSTIMULĂRII NEUROMUSCULARE MULTICANAL A MEMBRELOR INFERIOARE LA PACIENȚII CU DIZABILITATE DE CAUZĂ CARDIACĂ… [307057]

Teza Tot 23.04.2018 1,5 [308011]

Copyright Notice

Similar Posts