2. HEMODINAMICA VASELOR DE S ÂNGE STENOZATE Rolul sistemului vascular este de transport al substanțelor în interiorul organismului uman. Componenta… [600986]

33

2. HEMODINAMICA VASELOR DE S ÂNGE
STENOZATE

Rolul sistemului vascular este de transport al substanțelor în interiorul
organismului uman. Componenta principală a acestui proces de transport este
sângele. Intervenind in reglarea temperaturii corporale, hemostaza și funcția
imunologică de apărare a org anismului uman, sângele este un fluid biologic bifazic,
compus dintr -o fază lichidă (plasma) și o fază solidă (elementele figurate).
[4][26][31]
Acest capitol prezintă proprietățile fizice asociate sângelui, ecuațiile care
guvernează curgerea fluidelor – hemodinamică teoretică, și analiza numerică a
curgerii prin vase stenozate cu diferite grade de severitate.

2.1. Proprietăți fizice ale sângelui

Sângele este un fluid vâscos, cu proprietăți vâscoelastice, care preia,
înmagazinează și disipă energia transmisă de inimă, prin pulsațiile ciclului cardiac
[48]. Womersley a demonstrat inițial că sângele este un fluid vâscos Newtonian[5].
Studiile continue au arătat că sângele este un fluid vâscos neNewtonian tixotrop,
care depinde de temperatură și condiți ile fiziopatologice [5][48][49] .
Volumul normal de sânge în organismul uman variază în funcție de sex și
structura fiecărui organism. Studiile arată că volumul de sânge pentru o persoană cu
masa corporală de 70 kg, variază în cazul persoanelor de sex feminin între 4 și 4,5
L, respectiv 4,5 -5 L în cazul persoanelor de sex masculin . [26]

2.1.1. Elemente de hematologie
Sângele este constituit din plasmă și elemente figurate.
Plasma este formată din apă (în proporție de 90 -92%) în care sunt dizolvate
substanțe anorganice și organice (electroliți, nutrienți, proteine, metaboliți ,
vitamine, hormoni, gaze). Rolul fiziologic principal al plasmei este de transport al
substanțelor dizolvate, de realizare a hemostazei. Hemostaza este realizată prin
menținerea unei presiune osmotice coloidale constante [4][26].
Elementele figurate reprezintă faza solidă, celulară a sângelui, și se împart
în: globule roșii (eritrocite), globule albe (leucocite) și plachete sangvine
(trombocite).
Eritrocitele au în componența lor hemoglobina, și au formă de disc biconcav.
Reprez intă 98% din totalul elementelor figurate și sunt celule flexibile, putând fi
deformate în funcție de solicitările mecanice, chimice sau termice. Au rol important
în transportul oxigenului (sub forma oxihemoglobinei) și a dioxidului de carbon (sub
forma ca rboxihemoglobinei) la nivelul sistemului circulator, și reglează pH -ul
corporal [4][26][36]. Concentrația de celule roșii raportată la volumul sângelui
reprezintă hematocritul, cu rol important în stabilirea proprietăților mecanice ale
sângelui [36].

Hemodinamica vaselor de s ânge stenozate – 2 34
Celulele albe reprezintă mai puțin de 1% din volumul sângelui, având rol
important în protecția organismului. Celulele albe au formă sferică și au rol
imunologic de apărare, în neutralizarea corpilor străini (virusuri și bacterii) și
crearea de anticorpi. Din punct de vedere morfologic, celulele albe se clasifică în:
euzinofile, bazofile, neutrofile(granulocite), monocite și limfocite. Deoarece
concentrația celulelor albe, raportată la volumul de sânge, este, în mod normal
scăzută, aceste celule nu influențează vâscozitatea sângelui. Influențele apar în
cazuri patologice [4][26][36].
Plachetele sangvine au rol în mecanismul de hemostază, favorizând
coagularea sângelui. Datorită dimensiunilor și a concentrației scăzute raportată la
volumul sângelui, trombocitele nu influențează vâscozitatea acestuia.
Variația concentrației diferitelor elemente figurate are loc în condiții
patologice, printre care se numără: anemii, leucemii, dezechilibre ale coagulării
[53].

Mărimi fizice caracteristice sângelui
Comportarea sângelui în sistemul circulator este influențată de proprietățile
fizice asociate. Mărimile fizice importante care caracterizează sângele sunt:
– Vâscozitatea;
– Densitatea.
2.1.2. Vâscozitatea

Fiind un fluid vâsco elastic, sângele prezintă vâscozitate, dată de prezența
elementelor figurate și implicit a concentrației celulelor roșii. Valoarea normală a
hematocritului variază în funcție de vârstă și sex, între 40 -54 %, în cazul
persoanelor de sex masculin, respectiv 37-47% în cazul persoanelor de sex feminin
[26]. În condiții patologice, valoarea hematocritului poate scădea (boli cardiace) sau
poate crește (tromboză venoasă) [14][83]. Curgerea sângelui prin vase de diametre
mici este posibilă datorită proprietății de elasticitate – deformabilitate a celulelor
sangvine.
Vâscozitatea este definită ca proprietatea fluidului de a se opune curgerii.
Vâscozitatea dinamică se poate calcula cu relația (2.1):

𝜏=𝜂𝜕𝑣
𝜕𝑦 (2.1)

Unde: 𝜏 – tensiunea tangențială între două straturi de fluid
𝜂 – vâscozitatea dinamică
𝜕𝑣
𝜕𝑦 – gradientul vitezei în direcția perpendiculară pe straturile fluidului
Vâscozitatea cinematică(ν) este definită ca raportul între vâscozitatea
dinamică (η) și densitatea fl uidului (ρ), conform relației ( 2.2):

𝜈=𝜂
𝜌 (2.2)

Valoarea vâscozității variază, și este influențată de: hematocrit, concentrația
celorlalte elemente figurate sangvine, temperatură, vâscozitatea și compoziția
plasmei, sex, vârstă și condiții patologice [36]. Unitatea de măsură a vâscozității
dinamice, fre cvent utilizată este cP (centiPoise), echivalent cu 1 g/ (cm*s ), respectiv

35
Pa*s. Vâscozitatea cinematic ă are ca unitate de măsură St (Stokes), echivalentă cu
1 mm²/s.
Giovanni et all. [36], a măsurat vâscozitatea dinamică pentru o persoană de
sex feminin, c u vârsta de 25 ani și hematocrit 40%, la temperatura de 23oC. Studiul
a evidențiat o variație a vâscozității, în funcție de modelul matematic ales, între
57,46 și 87,5 mPa*s. Analiza reologică a sângelui are loc la temperatura de 37oC
sau poate fi realizat ă pentru temperaturi cuprinse între 20 și 25 oC.
Sângele prezintă proprietatea de tixotropie, suferind o transformare
reversibilă, prin agitare devenind mai fluid.
În funcție de dependența tensiune tangențială – gradient de viteză, fluidele
se împart în: f luide Newtoniene și neNewtoniene. În cazul fluidelor Newtoniene,
dependența este liniară. Fluidele neNewtoniene prezintă o dependență curbilinie și
nu respectă legea lui Newton asupra vâscoz ității, descrisă prin relația ( 2.1). În
cadrul sistemului circulat or, sângele este considerat fluid Newtonian, la curgerea
prin vase mari, respectiv neNewtonian la curgerea prin vase mici.

2.1.3. Densitatea
Densitatea într -un punct al unui fluid este definită ca fiind limita raportului
dintre masa Δm a unui element de volum ΔV din jurul punctului considerat și
volumul ΔV al elementului, când acest tinde la 0, conform ecuației (2 .3) [33].

lim∆𝑉→0∆𝑚
∆𝑉=𝑑𝑚
𝑑𝑉 (2.3)

Densitatea unui fluid depinde de presiune și de temperatură. În cazul
lichidelor, această variație este foarte redusă, fiind considerată neglijabilă [19].
În cazul unui fluid omogen, densitatea este numeric egală cu masa unității
de volum, și are aceeași valoare în toate punctele fluidului, fiind descrisă de ecuația
(2.4) [33].

𝜌=𝑚
𝑉 (3.4)

Unitatea de măsură a densității în Sistemul Internațional este kg/m3. Din
punct de vedere dimensional, densitatea se poate scrie sub forma monomului {M*L-
3}, unde M – dimensiunea masei și L – dimensiunea lungimii [85].
Densitatea unui fluid este denumită și masa specifică a fluidului [16].
Mărimea fizică derivată din densitate este greutatea specifică. Definită ca
greutatea conținută în unitatea de volum [19], greutatea specifică γ a unui fluid,
calculată într -un punct al său, reprezintă limita raportului dintre greutatea ΔG a unui
element d e volum ΔV din jurul punctului considerat și volumul elementului, când
acesta tinde la 0, conform ecuației ( 2.5) [11].

lim∆𝑉→0∆𝐺
∆𝑉=𝑑𝐺
𝑑𝑉 (2.5)

În cazul unui fluid omogen, greutatea specifică γ a fluidului este numeric
egală cu greutatea unității de volum, și are aceeași valoare în orice punct al
fluidul ui, fiind descrisă de ecuația ( 2.6) [33].

𝛾=𝜌𝑔 (2.6)

unde, g reprezintă accelerația gravitațională [m/s2].

Hemodinamica vaselor de s ânge stenozate – 2 36
Densitatea fiziologică a sângelui are valori între 1050 și 1070 kg/m3 și
variază în funcție de starea patologică a pacienților [93].

2.2. Hemodinamică teoretică . Ecuații care guvernează
curgerea

În funcți e de caracteristicile segmentelor vasculare, sângele are o curgere
laminară, tranzitorie sau turbulentă, care poate favoriza inițierea și propagarea
diferitelor patologii [4][48].
Ecuațiile care descriu fenomenele de curgere a sângelui sunt cel e specifice
mecanicii fluidelor: ecuația de continuitate, de mișcare și a energiei.

a) Ecuația de continuitate
Principiul conservării masei arată că masa conținută într -un volum V,
mărginit de suprafața S, rămâne constantă în timpul mișcării, dacă nu are loc niciun
schimb de substanță cu exteriorul. [2][16][23][92]
Exprimarea matematică este:

𝑑
𝑑𝑡 𝜌𝑑𝑉=0
𝑉(𝑡) (2.7)

Forma integrală a ecuației continuității, pentru un volum arbitrar de fluid, V,
este:
𝜕𝜌
𝜕𝑡+∇∙(𝜌𝑣 ) 𝑑𝑉=0
𝑉 (2.8)

unde, V – elementul de volum;
ρ – densitatea fluidului,
t – timpul;
𝑣 – viteza;
∇ – operatorul nabla

Forma locală a ecuației de continuitate pentru unitatea de volum dV este:

𝜕𝜌
𝜕𝑡+∇∙ 𝜌𝑣 =0
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝑣 ∙∇𝜌+𝜌∇∙𝑣 =0 (2.9)

Pentru fluide incompresibile (lichide – sânge ), ρ=const, ecuația de
continuitate este:
∇∙𝑣 =0 (2.10)

În coordonate carteziene, ecuația (2.10) are forma:

∂vx
∂x+∂vy
∂y+∂vz
∂z=0 (2.11)

37
b) Ecuația de mișcare
Ecuațiile de mișcare ale fluidului omogen derivă din formele integrale sau
diferențiale ale următoarelor legi de conservare: [47]
– Conservarea masei (ecuația de continuitate);
– Conservarea momentului (legea a doua a lui Newton);
– Conservarea energiei (prima lege a termodinamicii).
Asupra unui volum de fluid acționează forțe masice și superficiale, care
determină deplasarea fluidului cu viteza 𝑣 : [2][16][23][33][92]
– Forțe masice (în interiorul volumului de fluid):
𝐹𝑚 = 𝜌𝑓 𝑑𝑉
𝑉 (2.12)
– Forțe superficiale (acționează pe suprafața ce delimitează volumul)
𝐹𝑠 = −𝑝𝑛 𝑑𝑆
𝑆 (2.13)
unde, ρ – densitatea fluidului;
𝑓 – accelerația forțelor masice;
p – presiunea;
𝑝𝑛 – tensiunea normală (compresiune)
Ecuația de mișcare se obține prin aplicarea relațiilor legii a II -a a dinamicii
(Newton) și a variației în timp impulsului unui volum fluid, care este egală cu suma
forțelor care acționează asupra volumului fluid.
Ecuația de mișcare a fluidelor nevâscoase (ideal e), numită și ecuația
Euler a mișcării, este:
𝑑𝑣
𝑑𝑡=−∇𝑝+𝜌𝑓 (2.14)

Ecuația de mișcare a fluidelor vâscoase , numită și ecuația Navier –
Stokes , are următoarea formă în mișcare laminară [6][13]:

𝜌 𝜕𝑣
𝜕𝑡+∇∙(𝑣 𝑣 ) =𝜌𝑓 −∇𝑝+𝜂∆𝑣 (2.15)

unde, 𝜂 – vâscozitatea dinami că a fluidului;
Δ – operatorul Laplace, aplicat vitezei.
Într-un sistem de coordonate cartezie ne, relația (2.1 5) are următoarele
forme , și reprezintă ecuației Navier -Stokes pentru curgerea unui fluid incompresibil
cu proprietăți constante : [47]
– Componenta x
𝜌 𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑡+𝑣𝑥𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥+𝑣𝑦𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦+𝑣𝑧𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧 =𝜌𝑓𝑥−𝜕𝑝
𝜕𝑥+𝜂 𝜕2𝑣𝑥
𝜕𝑥2+𝜕2𝑣𝑥
𝜕𝑦2+𝜕2𝑣𝑥
𝜕𝑧2 (2.16)

– Componenta y
𝜌 𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑡+𝑣𝑥𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥+𝑣𝑦𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦+𝑣𝑧𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧 =𝜌𝑓𝑦−𝜕𝑝
𝜕𝑦+𝜂 𝜕2𝑣𝑦
𝜕𝑥2+𝜕2𝑣𝑦
𝜕𝑦2+𝜕2𝑣𝑦
𝜕𝑧2 (2.17)

Hemodinamica vaselor de s ânge stenozate – 2 38
– Componenta z
𝜌 𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡+𝑣𝑥𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥+𝑣𝑦𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦+𝑣𝑧𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧 =𝜌𝑓𝑧−𝜕𝑝
𝜕𝑧+𝜂 𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑥2+𝜕2𝑧
𝜕𝑦2+𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑧2 (2.18)

În funcție de tensorul tensiunilor vâscoase, 𝜏, ecuația Navier -Stokes pentru
un fluid Newtonian, poate fi scri să în formă vectorială conform relației: [47]

𝜌 𝜕𝑣
𝜕𝑡+𝑣 ∙∇𝑣 =𝜌𝑓 −∇𝑝+∇∙𝜏 (2.19)
Într-un sistem de coordonate carteziene, relația (2.19) are următoarele
componente: [47]
– Componenta x
𝜌 𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑡+𝑣𝑥𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥+𝑣𝑦𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦+𝑣𝑧𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧 =𝜌𝑓𝑥−𝜕𝑝
𝜕𝑥+𝜕
𝜕𝑥𝜏𝑥𝑥+𝜕
𝜕𝑦𝜏𝑦𝑥+𝜕
𝜕𝑧𝜏𝑧𝑥 (2.20)
– Componenta y
𝜌 𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑡+𝑣𝑥𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥+𝑣𝑦𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦+𝑣𝑧𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧 =𝜌𝑓𝑦−𝜕𝑝
𝜕𝑦+𝜕
𝜕𝑥𝜏𝑥𝑦+𝜕
𝜕𝑦𝜏𝑦𝑦+𝜕
𝜕𝑧𝜏𝑧𝑦 (2.21)
– Componenta z
𝜌 𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡+𝑣𝑥𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥+𝑣𝑦𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦+𝑣𝑧𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧 =𝜌𝑓𝑧−𝜕𝑝
𝜕𝑧+𝜕
𝜕𝑥𝜏𝑥𝑧+𝜕
𝜕𝑦𝜏𝑦𝑧+𝜕
𝜕𝑧𝜏𝑧𝑧 (2.22)

Componentele tensorului sunt descrise de ecuațiile: [47]

τxx=2η𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥+λ∇∙𝑣 (2.23)

τyy=2η𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦+λ∇∙𝑣 (2.24)

τzz=2η𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧+λ∇∙𝑣 (2.25)

τxy=τyx=η 𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦+𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥 (2.26)

τxz=τzx=η 𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥+𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧 (2.27)

τyz=τzy=η 𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧+𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦 (2.28)
Unde, λ – al doilea coeficient al vâscozității.
În cazul fluidelor incompresibile ( ∇∙𝑣 =0), relațiile (2.23) -(2.25) devin :

τxx=2η𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥 (2.29)

39
τyy=2η𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦 (2.30)

τzz=2η𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧 (2.31)

c) Ecuația lui Bernoulli
Ecuația lui Bernoulli se obține din prima integrare a ecuației de mișcare
Euler, în raport cu spațiul.
Dacă mișcarea fluidului este elicoidală ( ∇×𝑣 ×𝑣 =0 ) sau irotațională
(∇× 𝑣 =0 ), dacă mișcarea se realizează pe o linie de curent sau o linie de vârtej,
ecuația lui Bernoulli este scrisă sub forma:

𝜕𝑣
𝜕𝑡𝑑𝑟 +𝑣2
2+ 𝑑𝑝
𝜌+𝑈=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (2.32 )

unde, 𝑣 – viteza;
t – timpul;
𝑟 – vectorul de poziție;
p – presiunea;
ρ – densitatea fluidului;
U – potențialul forțelor masice exterioare.

Dacă mișcarea este staționară, iar potențialul forțelor masice exterioare este
𝑈=𝑔𝑧+𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, atunci ecuația lui Bernoulli scrisă între p unctele 1 și 2 ale conductei
prin care acesta curge, este:
𝜕𝑣
𝜕𝑡𝑑𝑟 +𝑣2
2+ 𝑑𝑝
𝜌+𝑈=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (2.33 )

unde, 𝑣1,𝑣2 – vitezele în punctele 1 și 2;
g – accelerația gravitațională;
γ – greutatea specifică a fluidului;
z1, z2 – înalțimea la care sunt situate punctele 1 și 2 ale conductei prin care
curge fluidul

d) Ecuația energiei
Ecuația energiei este o ecuație cu derivate parțiale care face legătura între
fenomenele mecanice și termodinamice care au loc în fluide. Ecuația energiei
reprezintă expresia matematică a principiului întâi al termodinamicii, fiind aplicată
atât fluidelor ideale, cât și reale. [16]
Principiul I al termodinamicii, aplicat particulei P, de masă unitate relativ la
intervalul infinitezimal dt, este:
𝑑𝑄𝑐+𝑑𝑄𝑣=𝑑𝐸+𝑝𝑑 1
𝜌 (2.34)
Dacă presupunem că particula se mișcă în jurul unui perete mai cald, va
avea loc un schimb de căldură prin conductibilitate, de la perete la fluid. Particula P
de masă unitate va primi, prin conduc ție, cantitatea de căldură 𝑑𝑄𝑐, și, o cantitate
de căldură suplimentară 𝑑𝑄𝑣, datorat lucrului mecanic al forțelor de vâscozitate,
normale și tangențiale, care acționează pe fețele particule P.
Prin exprimarea termenilor relației ( 2.34), se obține urm ătoarea formă a
ecuației energiei:

Hemodinamica vaselor de s ânge stenozate – 2 40
𝜌𝑑𝐸
𝑑𝑡=−𝑝𝜌𝑑
𝑑𝑡 1
𝜌 +Φ+∇∙(𝜆𝑡∇𝑇) (2.35)
unde, ρ – densitatea fluidului;
t – timpul;
p – presiunea fluidului;

– funcție de disipație;
𝜆𝑡 – coeficientul de conductivitate termică;
T – temperatura absolută.

O parte a lucrului mecanic al forțelor de vâscozitate se transformă în energie
mecanică (cinetică și de presiune), cealaltă parte fiind transformată în căldură.
Ecuația energiei scrisă în funcție de entropia S, este:
𝜌𝑇𝑑𝑆
𝑑𝑡=Φ+∇∙(𝜆𝑡∇𝑇) (2.36)
Ecuația generală a energiei totale, numită și forma a doua a ecuației
energiei, este:

𝜌𝑑
𝑑𝑡 𝑖+𝑣2
2 =𝜌𝑣 𝐹 +𝜕𝑝
𝜕𝑡+∇∙ 𝜂∇𝑣2+𝜂 ∇×𝑣 ×𝑣 −2
3𝜂𝑣 ∇∙ 𝑣 +𝜆𝑡∇𝑇 (2.37)

unde, 𝑖=𝐸+ 𝑝
𝜌 – entalpia;
μ – vâscozitatea dinamică a fluidului.

Dacă mișcarea este staționară, ecuația ( 2.24) devine:
∇∙ 𝜌𝑣 𝑖+𝑣2
2 −𝜂∇ 𝑖
𝜎+𝑣2 +𝜂 ∇×𝑣 ×𝑣 +2
3𝜂𝑣 ∇∙𝑣 =0 (2.38)

unde, 𝜎=𝜂𝑐𝑝
𝜆 – numărul lui Prandtl

2.3. Hemodinamica vaselor de sânge stenozate

În funcți e de caracteristicile segmentelor vasculare, sângele are o curgere
laminară, tranzitorie sau turbulentă, care poate favoriza inițierea și propagarea
diferitelor patologii [4][48]. Dezvoltarea aterosclerozei conduce la obturarea parțială
sau totală a vaselor de sânge, manifestări numite stenoze.
În cadrul acestui subcapitol a fost realizată analiza numerică a curgerii prin
vase stenozate cu diferite grade de severitate. Scopul ana lizei este de a pune în
evidență efectele hemodinamice induse de stenoză, prin analiza parametrilor
hemodinamici semnificativi pentru practica clinică: căderea de presiune și tensiunea
de frecare la perete. Prezența stenozelor are ca efecte creșterea vitez ei de curgere a
fluidului în zona obturată, respectiv creșterea căderii de presiune.
Analiza curgerii prin stenoze reprezintă un punct important al tezei de
doctorat, deoarece, în urma tratamentelor aplicate vaselor stenozate, se dorește
obținerea unor parametrii hemodinamici îmbunătățiți, comparativ cu situația
ocluzată inițială.

41
2.3.1. Severitatea stenozelor

Stenozele reprezintă îngustarea lumenului arterial, al diametrului vasului de
sânge, ca efect al dezvoltării plăcii aterosclerotice. Severitatea stenozelor poate fi
evaluată prin parametrul numit grad de severitate.
În funcție de caracteristica geometrică utilizată în calculul acestui grad,
putem distinge:
– Grad de severitate calculat în funcție de diametru (st D%);
– Grad de severi tate calculat în f uncție de aria transversală a secțiunii cu
valoarea maximă ocluzată (stA%).
Gradul de severitate în funcție de diametru poate fi calculat cu formula:

𝑠𝑡𝐷%= 1−𝐷𝑠
𝐷 ∙100 (2.39)

Unde, D s reprezintă diametrul zonei ocluzate, iar D reprezintă diametrul
arterei neafectate.
Gradul de severitate în funcție de arie poate fi calculat cu formula:

𝑠𝑡𝐴%= 1−𝐴𝑛𝑒𝑜𝑐𝑙𝑢𝑧𝑎𝑡ă
𝐴𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑎 ∙100 (2.40)

Unde, Aneocluzată – aria suprafeței neocluzată din zona stenozei,
Anormală – aria normală a secțiunii transversale a vasului neafectat.
Gradul de stenozare st A% poate fi calculat în raport cu diametrele asociate,
conform formulei:

𝑠𝑡𝐴%= 1− 𝐷𝑆
𝐷 2
∙100 (2.41)

Din punct de vedere medical, gradul de stenozare calculat în raport cu aria
este mai semnificativ.
Tabelul 2.1 prezintă gradele de stenozare asociate unui vas cu diametrul de
4 mm, considerând severitatea în raport cu diametrul de la 0 la 90%, și gradul
asociat în raport cu aria .

Tabelul 2.1. Grad e de stenozare pentru o arteră cu
diametrul nativ D=4mm.
D Ds stD% stA%
4 4 0% 0%
4 3,6 10% 19%
4 3,2 20% 36%
4 2,8 30% 51%
4 2,4 40% 64%
4 2 50% 75%
4 1,6 60% 84%
4 1,2 70% 91%
4 0,8 80% 96%
4 0,4 90% 99%

Hemodinamica vaselor de s ânge stenozate – 2 42
Diametrul ales este semnificativ pentru artera coronară dreaptă. În cadrul
analizei am utilizat ca ipoteză simplificatoare caracteristica de concentricitate a
stenozei, respectiv am considerat toate variantele de stenoze, plecând de la vas
normal neocluzat, și aplicând un procent de stenozare între 10% și 90% în raport cu
diametrul.

2.3.2. Geometria vaselor stenozate

Pentru analiza numerică am considerat configurațiile geometrice cu un grad
de stenozare calculat în raport cu diametrul, între 0% și 70%. Gradul de 70% în
raport cu diametrul, corespunde valorii de 91% calculat în raport cu aria. Am ales
limitarea în rapor t cu diametrul la 70%, considerând acest nivel sever, aproape total
ocluzat.
Conform literaturii de specialitate, intervențiile chirurgicale de tip bypass se
realizează pentru grade de severitate de peste 75%, calculate în raport cu aria,
corespunzând gra dului de 50% calculat în raport cu diametrul.
Figura 2 .1 prezintă do meniul asociat stenozei cu severitate calculată în
raport cu diametrul de 50%, corespunzând gradului de 75% în raport cu aria
secțiunii transversale. Artera are diametrul D=4mm, iar Ds va riabil co nform
Tabelului 2.1. Stenoza este ideală, concentrică, cu lungimea totală de 10,5mm, cu o
lungime la intrare (regiunea convergentă) de 6mm iar a zonei cu obturare maximă
de 3mm. Regiunea divergentă situată la ieșirea din stenoză este de 1,5mm.

Figura 2 .1. Vedere generală a geometriei cu grad de stenozare în raport cu
diametrul de 50%.

Geometriile au fost discretizate cu un număr mediu de 1,600,000 celule,
nestructurat.
Figura 2 .2 prezintă configurațiile geometrice utilizate în prezentul studiu,
asociate gradelor de stenozare de la 0% la 70%, în raport cu diametrul.

43

Figura 2 .2. Modele geometrice de stenoze cu grade variabile de severitate.

2.3.3. Condiții la limită

Condițiile la limită utilizate în analiza numerică a curgerii prin stenoze cu
diferite grade de severitate sunt:
– Condiții la intrare: profil uniform de viteză pentru componenta de
viteză axială și valoare 0 a componentei transversale a vitezei, în regim staționar cu
viteza corespunzătoare debitulu i de 200 ml/min specific sistemului coronar;
– Condiții la ieșire: presiune p=0 Pa;
– Condiții la perete: pereții sunt considerați rigizi, datorită faptului că
placa de aterom reduce elasticitatea vasului;
– Fluidul este considerat o mogen, Newtonian, incompresib il;
– Efectele gravitaționale sunt neglijate, propritetățile fizice rămânând
constante.
Ecuațiile care guvernează curgerea sunt : ecuația Navier-Stokes pentru fluide
vâscoase și ecuația de continuitate, definite la punctul 2.2.
Analiza numerică a fost realizată utilizând programul comercial Fluent 6.0, în
regim staționar, laminar, iar criteriul de convergență impus a fost de 10-9.

Hemodinamica vaselor de s ânge stenozate – 2 44
2.3.4. Câmpul de viteză
Viteza de curgere a fluidului crește odată cu gradul de severitate al stenozei.
Figura 2.3 prezint ă câmpul de viteză asociat secțiunilor longitudinale ale
configurațiior stenotice investigate.
Viteza de curgere este maximă în cazul stenozei cu grad de severitate de
70%. Prezența ocluziei determină apariția instabilității curgerii, respectiv a zonelor
de recirculare aval de obturație. Viteza de curgere a fluidului depinde de secțiunea
transversală parcursă de fluid, în domeniul investigat. Considerând că de -a lungul
domeniul fluidul curge respectând legea de conservare a masei, viteza crește o dată
cu îngustarea secțiuni i. Astfel, pent ru același debit impus la intrarea în arteră, viteza
asociată curgerii fluidului în zona de stenoză crește o dată cu creșterea gradului de
stenozare, și, implicit, o dată cu scăderea diametrului secțiunii transversale.
Scăderea diametrului induce instabili tate, manifestată prin apariția zonelor de
recirculare, modificări ale tensiunii de frecare la perete, respectiv cădere de
presiune.

45

Figura 2 .3. Câmpul de viteză în secțiune longitudinală asociat curgerii prin geometrii
stenozate cu grade de severitate cuprins între 0% și 70%, și debit specific
segmentul vascular coronar, de 200 ml/min.

Din punct de vedere hidrodinamic, o arteră stenozată conține 2 zone
importante: o zonă de tip contracție, reprezentând regiunea de intrare în stenoză,
respectiv o zonă de tip destindere bruscă, la ieșirea din stenoză. Zona de tip
contracție se caracterizează hidrodinamic prin creșterea vitezei de curgere a
fluidului, creșterea tensiunii de frecare la perete, respectiv creșterea căderii de
presiune. Zona de tip destindere se caracterizează hidrodinamic prin scăderea
vitezei de curgere a fluidului, scăderea tensiunii de frecare la perete, respectiv
scăderea căderii de presiune.
La ieșire din s tenoză, datorită efectelor induse de caracteristicile geometrice ,
se formează zone de recirculare (Figura 2.5) . Extinderea acestora este strâns legată
de geometria stenozei, și, implicit, de diametrul zonei stenozate. Dacă simularea
este realizată în regim nestaționar, pentru aceeași variantă de stenoză, lungimea
zonelor de recirculare depinde de pasul de timp al ciclului cardiac, respectiv valoarea
numărului Re, pentru care se face analiza. [9]
Prezența zonelor de recirculare favorizează dezvoltarea plăcii de aterom și
evoluția nefavorabilă a gradului de stenozare. Prezența acestor zone este asociată
valorilor scăzute la tensiunii de frecare la perete, descrise în subcapitolul următor.

2.3.5. Tensiunea de frecare la perete

Valori scăzute ale tensiunii de frecare la perete (TFP) sunt asociate prezenței
zonelor de recirculare. Corelarea variației TFP cu prezența recirculărilor e ste
realizată grafic în Figura 2 .4.
Figura 2.5. prezintă variația tensiunii de frecare la perete aso ciate curgerii
prin toate geometriile investigate. TFP a fost măsurat de -a lungul liniei L 1, definită
începând din imediata vecinătate a ieșirii din zona stenozată, până la secțiunea de
ieșire a vasului (Figura 2.1) .
Conform literaturii de specialitate, valori ale TFP mai mici de 4 dynes/cm2
(0,4 Pa) favorizează apariția aterosclerozei, respectiv valori ale TFP mai mari de 70
dynes/cm2 (7 Pa) sunt asociate cu inițierea și dezvoltarea trombozei. Se observă că,
o dată cu creșterea gradului de stenozare , zonele care depășesc pragurile critice ale
tensiunii de frecare la perete sunt mai extinse . Odată cu creșterea severității, și
zonele cu TFP sub pragul de 0,4Pa, respectiv zonele de recirculare se extind, având
un efect negativ asupra peretelui vascular. Prezența valorilor TFP în domeniul

Hemodinamica vaselor de s ânge stenozate – 2 46
aterosclerotic este înregistrată începând cu gradul de severitate 10 -20%,
prezentând extinderi semnificative la grade de severitate de peste 40%.
În cazul stenozelor cu un grad de peste 60%, instabilitatea indusă de
severita tea ocluziei determină o variație importantă a TFP având valori
semnificative , și peste pragul de dezvoltare al trombozei.

Figura 2 .4. Corelarea variației tensiunii de frecare la perete și prezența zonelor de
recirculare, asociate curgerii prin geometria cu gradul de severitate de 50%.

La nivelul întregului domeniu investigat, s tabilizarea tensiunii de frecare la
perete , cu valori situate între pragurile critice, are loc odată cu îndepărtarea de zona
îngustată. Se observă că în toate cazurile i nvestigate, în vecinătatea secțiunii de
ieșire, câmpul de viteză devine uniform, cu valori mai ridicate în centru, care scad o
dată cu apropierea de peretele vasului.

47

Figura 2 .5. Variația tensiunii de frecare la perete asociate curgerii prin domeniile
stenozate investigate.

2.3.6. Căderea de presiune

Prezența ocluziei determină apariția unei rezistențe manifestată de vas față
de curgerea fluidului.
Creșterea gradului de stenozare conduce la creșterea căderii de presiune.
Conform ecuației lui Bernou lli, o dată cu creșterea vitezei asociate curgerii,
presiunea scade. Această cădere de presiune este asociată alterării curgerii datorată
prezenței stenozei. Figura 2 .6 prezintă variația căderii de presiune, în unități Pa și
mmHg, în raport cu gradul de se veritate calculat în funcție de diametru.
Se observă că în cazul gradelor de severitate de până la 50%, calculate în
funcție de diametru, asociate valorii de 75% calculat în raport cu aria, căderea de
presiune are valori sub 10 mmHg, situându -se în limitel e fiziologice acceptate de
sistemul cardiovascular. O creștere semnificativă a căderii de presiune se produce
pentru vase cu stenoze de peste 50%.
Rezultatele obținute se corelează cu rezultatele prezentate în literatura de
specialitate. [8][12][13]

Hemodinamica vaselor de s ânge stenozate – 2 48

a) Căderea de presiune în unități Pa; b) Căderea de presiune în unități mmHg;
Figura 2.6. Variația căderii de presiune în funcție de gradul de stenozare.

2.4. Concluzii

Sângele este o componentă importantă a organismului uman, asigurând
transportul substanțelor necesare unei bune funcționări ale țesuturilor. Problemele
care apar la nivelul sistemului vascular influențează curgerea sângelui, și, implicit,
perfuzia țesuturilor. O patologie importantă care cond uce la afectarea irigării
organelor, cu efecte negative semnificative , este stenoza, datorată dezvoltării plăcii
aterosclerotice.
Studiul hemod inamicii vaselor stenozate contribuie la înțelegerea
fenomenului morfo și fiziopatologic, și, implicit, la optimi zarea terapiilor asociate
acestei patologii. Ecuațiile care guvernează curgerea sângelui sunt ecuațiile clasice
specifice mecanicii fluidelor: ecuația Navier -Stokes, respectiv ecuația de
continuitate.
În acest capitol au fost studiate stenoze cu grade de severitate diferite ,
cuprins e între 0 și 70% calculate în raport cu diametrul, corespunzătoare valorilor
între 0 și 91% calculate în raport cu aria suprafeței transversale din regiunea
ocluzată. Literatura de specialitate arată că stenozele cu grade de peste 50% (în
raport cu diametrul), respectiv 75% (în raport cu aria) au ca metodă de tratament
intervenția chirurgicală de tip bypass. Acest lucru este susținut și de rezultatele
obținute în prezenta analiză, parametrii investigați suferind modificări semni ficative
în cazul stenozelor cu peste 50% severitate (în raportul cu diametrul) .
Prezența ocluziei induce o modificare a vitezei de curgere prin zona
obturată. Viteza crește o dată cu îngustarea secțiunii transversale a vasului , și,
implicit, contribuie l a dezvoltarea zonelor de recirculare situate în imediata
vecinătate a ocluziei. Analiza tensiunii de frecare la perete arată că zonele de
recirculare cresc odată cu severitatea stenozei.
Literatura de specialitate prezintă două praguri critice ale acestui parametru,
în raport cu care sunt corelate aparițiile condițiilor patologice: valori scăzute ale TFP
sub 0.4 Pa sunt asociate cu zone favorizante dezvoltării aterosclerozei, respectiv
valori ale TFP peste 7 Pa favorizează dezvoltarea trombozei. În cazul s tenozelor cu

49
grad de până la 50% (în raport cu diametrul) , valorile critice alt TFP corespund
zonelor aterosclerotice, respectiv o dată cu creșterea severității, apar zone care
conțin valori critice ale TFP situate și în domeniul dezvoltării trombozei.
Căderea de presiune crește o dată cu severitatea stenozei, cunoscând o
creștere lină până la stenozele cu grad de 50%, respectiv o creștere semnificativă în
cazul stenozelor cu severitate de peste 50% (în raportul cu diametrul) . Acest fapt
este datorat creșt erii rezistenței pe care vasul stenozat o dezvoltă în procesul de
curgere al sângelui.
Rezultatele obținute în acest capitol contribuie la clarificarea parametrilor
care se doresc a fi îmbunătățiți în urma terapiei aplicate. Se urmărește astfel
restaurarea debitului fiziologic prin vasul afectat, în cazul plasării stenturilor,
respectiv prin intermediul grefelor de bypass. În momentul alegerii terapiei
corespunzătoare trebuie luat în calcul efectul secundar indus de aceasta (creșterea
căderii de presiune, p rezența zonelor de recirculare extinse), care trebuie să fie mai
redus decât în cazul stenozei inițiale, pentru a considera tratamentul eficient.
Rezultatele obținute prin analiza numerică a curgerii prin stenoze de diferite
grade de severitate, constitui e în același timp, valori de referință și de comparație
pentru tipurile de bypas s analizate în prezenta lucrare, evaluând astfel eficiența
acestora.