L 3 DETERMINAREA PARAMETRILOR DISTRIBUȚIEI PENTRU LEGILE [600803]

L 3 DETERMINAREA PARAMETRILOR DISTRIBUȚIEI PENTRU LEGILE
NORMALĂ ȘI EXPONENȚIALĂ

Metoda analitică de determinare a parametrilor unei legi de distribuție permite o estimare a
acestora cu o precizie superioară metodei grafice (prezentată în laborato rul 2). Se pot compara
rezultatele obținute prin cele dou ă metode, grafică și analitică.

Metoda experimental -analitică pentru legea normală

Determinarea parametrilor legii normale se poate face ușor apelând la „metoda momentelor”.
Conform acestei metode, se egal ează o parte dintre momentele teoretice, de diverse ordine, cu
momentele similare ale repartiției empirice (experimentale). În cazul legii normale, stabilirea
valorilor celor doi parametri recurge la a egala momentele necentrate de ordinul întâi, respectiv a
momentelor centrate de ordinul doi ( tabelul 3.1).

Tabelul 3.1 Utilizarea „metodei momentelor”
Momentul Teoretic Experimental
De ordinul I
()
t f t dt m
11
  k
jj
jx x nn (de la gruparea pe clase a
valorilor)
Centrat de
ordinul II
2 2 2( ) ( ) ( )
    D x t m f t dt
22
11()
   k
jj
js x x nn (de la gruparea pe clase
a valorilor)

Din egalarea termenilor de pe aceeași linie din tabel, rezultă:
mx și
.s

Aplicație rezolvată
Pentru repartiția empirică studiată în laboratorul 1, modelul matematic de tip lege normală are
forma
22
2) (
21)(
mt
e tf , parametrii m și σ au valorile m =
x =1635,5 ore și σ = s = 238,7
ore, valori mai precise decât cele obținute grafic în laboratorul 2 , respectiv m = 1631,5 ore și σ =
232,4 ore.

Metoda experimental -analitică pentru l egea exponențială

Pentru determinarea parametrilor distribuției legii exponențiale se poate folosi regresia liniară,
deoarece prin logaritmarea expresiei
bxy a e
(3.1)
se obține
ln lny a b x  
, (3.2)
adică o dreap tă de forma
1 .  y c b x
(3.3)

Folosind metoda celor mai mici pătrate, se det ermină coeficienții „
c ” și „
b ”, după algoritmul de
mai jos (vezi figura 3.1).

Figura 3.1 Diferența dintre ordonatele y 1j și f(x j) Observații:
Dacă particularizăm pentru cazul exemplului din cadrul lucrării 2, atunci:

1 ln 0 0,
λ,
.  
  

a a c
b
xt
(adic ă y  e–λ· t)

F(t) = 1 – e–λ· t ↔
t 11ln t1 ( ) 1 ( )eF t F t  
La această lege se consi deră pentru calculul de mai sus
,
1
=1k
j deoarece la intervalul k, valoarea
lui
1jF , ceea ce ar însemna că numitorul fracției
1
1jF ar fi zero.

Fie
1 ( , )jjxy perechile de valori experimentale, iar
()jfx modelul teoretic; în cazul de față
()jjf x x  cb
; (3.4)
se face suma
S :
11 22
11
11( ) ( )kk
j j j j
jjS y f x S y x
      cb
(3.5)

care se minimizează parcurgând etapele de mai jos:

1 1 1
11
1 1 10 2 ( ) 0 ( 1)k k k
j j j j
j j jSy x k x y  
                c b c bc ;

1 1 1 12
11
1 1 1 1S0 2 ( ) 0k k k k
j j j j j j j
j j j jy x x x x y x   
                   c b c bb
– se rezolvă sistemul format din cele două ecuații cu necunoscutele „
c ” și „
b ”.

La calculul parametrului
 se poate folosi for mula de mai jos, considerând valorile grupate pe
clase:
1
111k
j
j
kk
j j j j
jjn
nn
m n mx n x n

   
(m de la gruparea pe clase).
Observați e:
jn
reprez intă frecvența absolută a fiecărei clase
j , în cazul grupării pe clase a valo rilor.

Se fac următoarele notații:

1
1
1k
j
jxS


11
12
111ln1kk
j
jj jySF

 
Ecuația de rezolvare a sistemului este:

12
3
1k
j
jxS

2 1
13 41 S kS
SS S       c
b , (3.6)

11
14
111ln1kk
j j j
jj jy x x SF

     

fiind de forma (NU SE ÎNVAȚĂ)

11 a b x pA X B A X A Ba' b' y p'                         (3.7)
(am înmulțit la stânga cu
1A ).

Se calculează matricea transpusă
ta a'Ab b' .
Trebuie să calculăm matricea adjunctă care are elementele:
11 12
21 22*AAAAA
, unde
1ij
ij ijA    , iar
12 i, j ,   .
ijA
complementul algebric al ele mentului
ija din matricea transpusă.
11
11 11 1 A b' b'     
;
12
12 12 1 A b b    
;
21
21 21 1 A a' a'     
;
22
22 22 1 A a a    
.

⟹
* b' bAa' a  

1 11 * b' bAAa' a det A a b' a' b          

Înlocuim în relația
11 a b x pA X B A X A Ba' b' y p'                         , va rezulta:
11 x b' b p x b' p b p'
y a' a p' y a' p a p' a b' a' b a b' a' b                                                  

b' p b p'xa b' a' b    

a' p a p'ya b' a' b     

Se va obține soluția , identificând notațiile,
1 1 3 2 4 1 ; ; ; ; ; a k b S a' S b' S p S p' S       :
3 2 1 4
2
311S S S S
k S S  
  c


1 2 4
2
311.
1S S k S
k S S    
  b
(PÂN Ă AICI NU SE ÎNVAȚĂ)

Determinarea corespondenței cu legea teoretică se face folosind testele „F” (Fischer ) sau „ t”
(Student ), criteriul Kolmogorov sau coeficientul de corelație
1Rx,y , dat de relația (SE
ÎNVA ȚĂ):


 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
11 22 221 1 1 122 1111 111 1 1 11
11x, yRk k k k
j j j j j j
j j j j
kkk k k kjjj j j j jjj j j jx X y Y k y x x y
x X y Yk x x k y y   
   
   
             

                                      1

Pentru calculul coeficientului de corelație se mai face notația
2
112
15
111ln1kk
j
jj jySF

 

Acest coeficien t atestă o bună corelație dacă valoarea
±1 Rx,y1 .
Relația coeficientului de corelație poate fi scrisă și în funcție de sumele precizate anterior, astfel:

 4 1 2
22
3 1 5 21
11x,yRk S S S
k S S k S S   
            1

Aplicație rezolvată (NU SE ÎNVAȚĂ)

Pentru realizar ea aplicației s -au considerat valorile din tabelul 3.2 (sunt afișate și sumele acestora
necesare la determinarea parametrilor sistemului ( c, b) și a coeficientului de corelație ).
Tabelul 3.2 Valorile sumelor ce intervin în relațiile anterioare
xj y1j = ln(1/(1Fj)) (xj)^2 y1j∙xj = (ln(1/(1Fj))) ∙xj (yj)^2
100 0,3029 10000 30,2950 0,0918
300 0,6042 90000 181,2731 0,3651
500 0,9065 250000 453,2623 0,8218
700 1,2088 490000 846,1638 1,4612
900 1,5093 810000 1358,3305 2,2779
1100 1,8126 1210000 1993,900 8 3,2857
1300 2,1131 1690000 2746,9756 4,4650
1500 2,4093 2250000 3613,9860 5,8048
1700 2,7008 2890000 4591,4362 7,2946
1900 3,0040 3610000 5707,6590 9,0242
2100 3,2917 4410000 6912,5976 10,8354
2300 3,5794 5290000 8232,6090 12,8121
2500 3,8795 6250 000 9698,7495 15,0505
2700 4,1672 7290000 11251,3911 17,3654
S1 = 19 600 S2 = 31,4895 S3 = 36 540 000 S4 = 57 618.6294 S5 = 90,9554
Simbolul „ ^” se referă la ridicarea la putere când se lucrează în aplicația tabelară Excel .
Pentru exemplul considerat în aplicație s -au obținut analitic , următoarele rezultate , considerându -se
1 14 k
:

= ;
;
;
;
, în cazul grup ării pe clase;
, în cazul grup ării pe clase.
   ,1
10,167189
0,001487
0,00115
0,99997
660,12396 ore
331,5149Ε 1,5149 10 orexyc
b
S
R
m



  
Având în vedere valorile coeficientului de corelație și a sumei celor mai mici pătrate, se poate spune
că există o bună corelați e între legea de repartiție empirică și cea teoretică, presupusă a fi valabilă în
cazul dat. Deci m odelul matematic este de tip lege exponențială și are forma :
( ) .tf t e