Euler și cea mai faimoas ă formul ă din matematic ă [600758]

Euler și cea mai “faimoas ă” formul ă din matematic ă

dr. Dorin M ărghidanu
[anonimizat]

Despre Leonhard Euler (1707 – 1783) s-a scris – și se scrie în continuare foarte mult. Este oarecum
firesc s ă fie a șa , dac ă avem în vedere uria șă personalitate a acestui savant genial . In lumea academic ă
este considerat ca fiind unul dintre cei patru mari matematicieni
din perioada modern ă, al ături de Gauss , Newton si Riemann .
Născut în Basel ( Elve ția ) , a beneficiat înc ă din copilarie de
sprijinul și încuraj ările pertinente ale lui Johan Bernoulli .
Nu dup ă mult timp îns ă , elevul și-a dep ăș it profesorul.
Euler a fost membru al Academiilor de Știin țe din Berlin și
Sankt Petersburg. Pe lâng ă matematic ă avea cuno știn țe avansate
și în alte știin țe : fizic ă , astronomie , psihologie , medicin ă ,
botanic ă , geografie , filosofie . Cuno ștea foarte bine mai multe
limbi moderne , dar și limbile clasice (de exemplu , știa pe de
rost epopeea “Eneida” a poetului latin Virgiliu !..) .
Euler este adesea considerat ca fiind cel mai prolific autor
de pe planet ă – din toate timpurile și din toate domeniile
cunoa șterii. Publicarea operei sale , început ă în 1911 și care
continu ă neîntrerupt , con ține până în momentul de fa ță 887 de
titluri adunate în 72 de volume masive . Intre timp noi depozite
de manuscrise necunoscute se supraadaug ă la aceast ă zestre Leonhard Euler ( portret E. Handmann )
știin țific ă și se estimeaz ă ca vor fi necesare înc ă vreo sut ă de
volume pentru a acoperi cu adev ărat întreaga oper ă a savantului elve țian.
Dar nu neap ărat prin numarul de lucr ări impresioneaz ă opera lui Euler . Deoarece – în matematica, de
exemplu,el a fost numeric dep ăș it de (- până de curând – contemporanul nostru) Paul Erdos cu cele cca.
1500 de lucrari . De asemenea , la noi , istoricul și literatul Nicolae Iorga a publicat nu mai pu țin de 1.250
de volume și 25.000 de articole !..
Opera savantului din Basel este considerat ă cu adev ărat cea mai prolific ă – mai cu seam ă prin cantitatea
de informa ție con ținut ă , cât și prin num ărul de pagini scrise. S-a evaluat c ă , începând de la varsta de 20 de
ani , timp de 77 de ani – până la sfar șitul vietii sale , Euler a scris circa 800 de pagini pe an . Scrierile sale ,
etalând o mare boga ție de idei , sunt foarte explicite – niciodat ă condensate sau criptice .
Să mai amintim c ă în ultimii 17 de via ță, savantul a creat în condi ții
de orbire total ă . Acest impediment fizic nu l-a împiedicat s ă-și
continue în acela și ritm munca sa știin țific ă , z ămislind noi lucr ări
valoroase , pe care le dicta neîntrerupt unor secretari . Desigur c ă
memoria sa prodigioas ă și o voin ță de neclintit au suplinit cu succes
lipsa vederii. De altfel , despre memoria uria șă și puterea sa de calcul ,
fizicianul și gânditorul francez Arago , contemporan cu savantul,
spunea : „El calcula f ără nici-un efort aparent , precum oamenii respir ă ,
sau precum vulturii se sus țin în zbor”.
Contribu ția lui Euler la dezvoltarea știin ței a fost uria șă . Mai cu seam ă în matematic ă unde cercet ările
sale au condus la dezvoltarea tuturor disciplinelor matematice clasice. Nu mai pu țin important este aportul
său la modul de prezentare și de înv ățare a matematicii , la ceea ce azi numim didactica matematicii .

Multe dintre tratatele sale constituie și acum modele de elaborare și redactare . De pild ă , toate tratatele
de analiz ă de dup ă el – chiar până în zilele noastre , nu sunt altceva decât relu ări epigonice dup ă faimoasele
sale lucr ări:„Introductio in analysin infinitorum ”, (1748), [4] ,
„Institutiones Calculi Differentialis ” (1755) , „ Institutiones
Calculi Integralis ”, (1768-1794) .
Rămâne de actualitate îndemnul lui Laplace : „ Citi ți-l pe
Euler, citi ți-l pe Euler . El este în toate , maestrul nostru al
tuturor ! ” [3] .
Și într-adev ăr, genera ții întregi l-au citit și evident l-au și
comentat. S-a acumulat astfel o uria șă literatur ă apologetic ă
despre Euler . I s-au dedicat volume întregi, numere speciale
în reviste de specialitate – de obicei în preajma unor
comemorari , articole nenum ărate , și mai de curand – felurite
prezent ări pe internet .
In consecin ță , a scrie cuprinzator despre personalitatea lui
Euler a devenit ast ăzi o încercare extrem de dificil ă . Și pentru
că oricând spa țiul rezervat pentru o astfel de întreprindere ar fi
insuficient , ne-am gândit c ă ar fi mai potrivit ă descrierea
„personalita ții” doar a uneia dintre produc țiile sale .
Nu a uneia oarecare , ci a „ celei mai frumoase formule ”
din matematic ă . Leonhard Euler (1707 – 1783)
(portret de Georg Brucker )
Astfel este socotit ă faimoasa identitate a lui Euler , e i π + 1 = 0 , descoperit ă de genialul savant
Leonhard Euler în anul 1740. Identitatea lui Euler este o simpl ă consecin ță a nu mai putin celebrei
formule a lui Euler , e i φ = cos φ + i sin φ , atunci când se face înlocuirea argumentului φ prin π .
Formula lui Euler a fost descoperit ă în anul 1740 și inserat ă în celebra sa lucrare [4] – comparat ă
de unii istorici ai matematicii cu “ Elementele ” lui Euclid , carte care îns ă a v ăzut lumina tiparului abia în
anul 1948 (v.[3] , [6]) . De fapt – cum s-a dovedit ulterior (v. [8]) , a fost vorba mai degrab ă de o
redescoperire a acestei rela ții.
Forme echivalente ei , dar ceva mai obscure, au fost ob ținute , la începutul veacului al XVIII și de c ătre
al ți matematicieni ai vremii : englezul Roger Cotes , francezul Abraham DeMoivre , elve țianul Johann
Bernoulli și chiar de însu și marele Euler – în dou ă rânduri .
Identitatea lui Euler reune ște într-o exprimare lapidar ă (și –
să recunoa ștem , și într-o form ă cât se poate de surprinzatoare !..)
cele mai importante și cele mai utilizate cinci constante din
matematica modern ă : 0 , 1 , i , π și e .
Semnifica țiile acestor numere sunt binecunoscute :
0 – este elementul neutru fa ță de opera ția de adunare ,
1 – este elementul neutru fa ță de opera ția de înmul țire ,
i – este unitatea imaginar ă ,
π – este raportul dintre lungimea și diametrul unui cerc ,
e – este num ărul lui Euler – deopotriv ă baz ă a logaritmilor naturali
și limit ă a șirurilor (- introduse chiar de Euler ) , n
n11

+ =ne ,
respectiv ,n! 1
2! 1
1! 11 + + + + = KnE
ambele binecunoscute în analiza matematic ă , dar nu numai .

De asemenea , în identitatea lui Euler apar câte o singur ă dat ă opera țiile matematice fundamentale :
adunarea , înmul țirea și ridicarea la putere (exponen țierea).
Și toate aceste opt no țiuni matematice sunt îngem ănate -în mod unic- sub semnul rela ției de egalitate !..
Să remarc ăm c ă prin natura elementelor componente, formula reu șește s ă adune laolalt ă no țiuni apar ți-
nând la diferite discipline matematice : aritmetica și teoria numerelor, algebra, geometrie și trigonometrie,
analiza real ă și complex ă , etc. ( v.[3]-[10] ) .
De asemenea surprinde pl ăcut coexisten ța entita ților reale ( 0 , 1 , π , e ) cu entitatea complex ă i – pe
de o parte, precum și a m ărimilor algebrice ( 0 , 1 , i ) cu cele transcendente ( π și e ) – pe de alt ă parte .
Frumuse țea identita ții lui Euler este sporit ă și de starea “de mister” în care este înv ăluit ă aceast ă
formul ă . Iar misterul ei întrece binein țeles misterul – cunoscut în lumea matematicienilor – al unora din
constantele implicate (în pofida unor manifest ări , interpret ări sau aplic ări din/în “lumea real ă” ale acestor
constante ) . Tocmai aceast ă îngem ănare dintre frumos și mister au f ăcut din aceast ă formul ă una din cele
mai populare și mai apreciate formule din întreaga matematic ă .
Pentru c ă , oricât ar p ărea de curios ,- și pentru crea țiile matematice se întocmesc diferite clasamente !..
Și trebuie spus c ă identitatea lui Euler se afl ă mai întotdeauna pe podium . Poate cea mai relevant ă
clasificare a fost f ăcut ă de revista Mathematics Intelligencer , o revist ă sus ținut ă de binecunoscutul trust
de publica ții de matematic ă (c ărți și reviste) , Springer-Verlag . Astfel în aceast ă revist ă , în 1988 este
lansat ă lumii academice, cunosc ătorilor și consumatorilor de matematic ă – o anchet ă inedit ă despre „ cea
mai frumoas ă teorem ă (sau realizare ) din matematic ă ”.
Rezultatul vot ării, exprimat în acordarea de note de la 0 la 10 , pentru o lista de 24 de rezultate cele bre
din matematica – și publicat în num ărul din vara 1990 , plaseaz ă identitatea lui Euler , pe primul loc , cu
media de 7,70 . Pentru compara ție, s ă amintim c ă : pe locul doi s-a plasat demonstra ția lui Euclid despre
existen ța unei infinit ăți de numere prime – cu media 7,50 ; pe locul trei – cu media 6,70 , demonstra ția
privind ira ționalitatea lui ; pe locul patru rezultatul privind transcenden ța lui π – cu media 6,50 !..
De asemenea identitatea lui Euler apare pe locul doi în topul „ celor mai importante formule ”
știin țifice , ini țiat ă de editorii revistei Physics World , [1] – dup ă ecua ția lui Maxwell ( pentru câmpul
electromagnetic ) . Reponden ții la ancheta revistei s-au întrecut în calificative : “cea mai profund ă
propozi ție matematic ă scris ă vreodat ă ”, “ ciudat ă și sublim ă ” , “ șocant ă” , “picant ă” , “înc ărcat ă cu o
frumuse țe cosmic ă” ; sau excl ămări de genul – “ce poate fi mai misterios decât un num ăr imaginar care
interac ționeaz ă cu un num ăr real pentru a se anula (!?..) ” . Iat ă c ă nu numai matematicienii , ci și fizicienii
apreciaz ă splendoarea formulei lui Euler. De altfel , renumitul fizician Richard Feynman , laureat al
premiului Nobel pentru fizic ă , dar și un talentat matematician , nume ște aceast ă formul ă : " bijuteria
noastr ă" și "cea mai remarcabil ă formul ă din matematic ă ! " [6] , [7] .
Entuziasmul matematicienilor – vis-à-vis de aceast ă formul ă – este chiar mai mare . Astfel în [7] , o
lucrare de aproape 400 de pagini și dedicat ă aproape în exclusivitate acestei formule , autorul ei – Paul
Nahin o nume ște “standardul de aur pentru frumuse țea matematicii” , sau “cea mai faimoas ă formul ă din
toat ă matematica”. Sau iat ă cum o înf ățiseaz ă – prin asociere cu alte produse artistice propriu-zise –
cunoscutul matematician Keith Devlin de la Universitatea Stanford : “Ca un sonet shakespearean care
capteaz ă filonul pur al dragostei , sau ca o pictur ă care dezv ăluie frumuse țea uman ă dincolo de aparen ță ,
identitatea lui Euler atinge adev ărat ă adâncime a existen ței ” !..
Să mai ad ăug ăm c ă și pentru matematicieni se fac topuri și aici trebuie s ă spunem c ă de fiecare dat ă
Leonhard Euler este in Top 5 (al ături de nume precum cele ale lui Arhimede , Newton sau Gauss ) .
In ceea ce prive ște semnifica ția real ă a identita ții lui Euler , trebuie spus c ă lucrurile sunt departe de
a fi total l ămurite și explicate. Pentru a exemplifica și prelungi starea “de perplexitate” ce ne este indus ă
de aceast ă formul ă , vom expune și dou ă forme echivalente ei , la fel de stranii , care – fapt remarcabil –
furnizeaz ă evalu ări pentru puteri ale lui i . Pentru aceasta , scriind identitatea lui Euler sub forma
e i π = – 1 , prin ridicarea la puterea ½ , ob ținem , ii
e=2π
. (*)

Mai departe , prin ridicarea la puterea i și folosind i 2 = – 1 , ob ținem ii e =−2π
.
Cu ajutorul unui calculator , se ob ține chiar urm ătoarea evaluare numeric ă – cu 10 zecimale exacte ,
… 2078795763 , 01= =
2πeii
De asemenea , din (*) , prin ridicare la puterea 1/i , ob ținem , i ii i e = =1π
2 , care de
asemenea se poate calcula cu ajutorul unui un calcu lator . Trebuie spus c ă aceste valori ob ținute pentru
i i și ii sunt doar unele dintre multele (chiar infinit de m ulte !..) valori reale cu aceia și proprietate ,
deoarece în mul țimea numerelor complexe – exponen țierea nu este unic ă ! De exemplu pentru i i , toate
rădăcinile reale sunt , 1 

+ = kπ2ii
2π unde k este un num ăr întreg .
Despre formula 2π
eii= – matematicianul american Benjamin Pierce (1808 – 1880) le spunea
studen ților s ăi de la universitatea Harvard: ’’ Domnilor , ceea c e este cu siguran ță adev ărat , este c ă este
absolut paradoxal ă , n-o putem în țelege și nu știm ce înseamn ă ; dar am demonstrat-o , prin urmare știm
că trebuie s ă fie adev ărat ă ( !..) ’’ [3] , [7] . Desigur c ă aceast ă caracterizare , plin ă de umor , dar v ădind
și modestie și obiectivitate știin țific ă – se poate aplica și pentru echivalenta ei , identitatea lui Euler !..

Bibliografie

[1] Crease, Robert P., „The greatest equations ever ", PhysicsWeb, October 6 , 2004 ,
On line : http://physicsworld.com/cws/article/print/20407 .
[2] Devlin Keith , „The language of mathematics: making the invisible v isible ” , W. H. Freeman
and Company , New York ,1998, 2000 .
[3] Dunham William , „ Euler : The Master of Us All ”, Mathematical Association of America, 1999.
[4] Euler, Leohnard , „Introductio in analysin infinitorum ”, Bosquet, Lausanne, 1748. Available at
www.EulerSociety.org English translation by John Blanton, Springer, New York, 1988 and 1990.
[5] Le Lionnais François (avec la collaboration de Jean Brette) , „ Les nombres remarquables ” ,
Hermann , Paris 1983 .
[6] Maor Eli , „e : the story of a number ”, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1994 .
[7] Nahin, Paul J., “Dr. Euler's Fabulous Formula : Cures Many Mathematical Ills ” , Princeton
University Press, 2006 .
[8] Sandifer,C. Edward , „e, π π π π and i :Why is “Euler” in the Euler identity? ”,in "Euler's Greatest Hits ",
MAA Online, February 2007.
[9] Sandifer, C. Edward , „The Early Mathematics of Leonhard Euler ”, Mathematical Association
of America , Washington , DC, 2007 .
[10 ] Yeo Adrian , „The Pleasures of Pi , e and Other Interesting Numbe rs ”, World Scientific
Publishing Co. Pte. Ltd.